1
Villamosságtan III. - Tranziens jelenségek vizsgálata Moln Molnár ár Gábo Gáborr
2013 2013 Május Május
Tartalomjegyzék
Tartalomjegyzék
2
1
3
Tranziens jelenségek
1.1 Bevezetés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 A Laplace transzformáció alkalmazásai . . . . . . . . . . . . . . . . A soros RC kör . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A soros RC kör ha uc (0) =0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A soros RL kör . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A soros RL kör, ha iL (0) =0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Induktív feszültségosztó kimenetének vizsgálata bekapcsoláskor . . Kapacitív feszültségosztó kimenetének vizsgálata bekapcsoláskor . 2
A Laplace transzformáció - emelt szinten
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . .. . . .. . . .. . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . .. . . . . . .. . . . . .. . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . 3 .. .. 5 . . . . 5 . . .. 6 . . . . 8 . . .. 9 . . . . 11 . . . . 12 15
A Táblázatok
17
2
1
Tranziens jelenségek
1.1.
Bevezetés
Tranziens folyamatnak nevezzük azokat a néhány τ ideig tartó folyamatokat, amik két állandósult állapot között zajlanak le. Ilyen állandósult állapotok a
• bekapcsolás • kikapcsolás • átkapcsolás Az ilyen jelenségek vizsgálatát két módszerrel lehet végezni:
• differenciálegyenletek közvetlen megoldásával, • Laplace transzformációs módszerrel. (s = σ + jω) A laplace transzformációt az alábbi integrállal definiáljuk ∞ Lf (t) = f (t)e−stdt = F (s).
(1.1)
0
A Laplace transzformáció értelmezési tartománya azok a [0, ∞] halmazon integrálható függvények, melyek konvergensek, azaz F (s) véges. A Laplace transzformációval való vizsgálat menete az alábbi: 1. Felírjuk a differenciálegyenleteket 2. Laplace transzformáljuk az egyenleteket 3. kifejezzük az ismeretlent (ismeretleneket) 4. Inverz-laplace transzformálunk
1.1. ábra. Az 1(t) függvény és annak τ -val eltoltjának grafikonja. Ahhoz, hogy akár egy sin(ωt) függvényt a [0, ∞] tartományon alkalmazni tudjunk, szükségünk van egy függvényre, amely levágja az ezen kívül eső részét. Ez az un. 1(t) függvény. 1(t) =
1 0
3
t 0 t< 0
≥
(1.2)
4
1 Tranziens jelenségek
Ennek a függvénynek a Laplace transzformáltját egyszerű integrálással kiszámíthatjuk: ∞ ∞ 1 −st 1 − st L1(t) = 1(t)e dt = − e = .
0
s
0
s
(1.3)
Egy másik függvény (hivatalos nevén disztribúció), az un. Dirac-delta függvény. A függvényt úgy képezzük, hogy a [0, 1/ξ ] tartományon a magassága ξ legyen, azon kívül zérus, majd vesszük a ξ → ∞ határátmenetet, így egy olyan függvényt kapunk, amely az x = 0 pontban végtelen, azon kívül pedig zérus. δ (t) =
ξ 0
1/ξ 0 t< 0
≥
(1.4)
1.2. ábra. A Dirac-delta függvény értelmezése. A Dirac-delta függvény alapvető tulajdonsága az alábbi két integrál: ∞ ∞
−∞
δ (t)dt = 1,
(1.5)
− τ )f (t)dt = f (τ ).
(1.6)
−∞
δ (t
Bizonyítás nélkül közöljük az alábbi összefüggést az egységugrás (Heaviside) függvény deriváltjával kapcsolatban: d1(t) = δ (t). dt
(1.7)
A Laplace transzformáció fontos tulajdonsága a linearitás, azaz
L[af (t) + bg(t)] = aLf (t) + bLg(t).
(1.8)
A különböző függvények Laplace transzformáltját a kiosztott képletlap "Laplace transzformációk" része tartalmazza. Amikor felírjuk a hálózatokra vonatkozó törvényszerűségeket, a jω helyett mindig az operátoros jelölésmódot használjuk, azaz jω = s komplex frekvenciát. Így operátoregyenletet kapunk, ahol megjelennek az un. operátoros impedanciák, az R, sL és az 1/(sC ). A következőkben komplex alapkapcsolások felírásán keresztül ismerjük meg a Laplace transzformáció használatát. Az egyenletek felírásakor az operátoros alakot fogjuk preferálni, kihagyva a differenciálegyenletek felírását.
1.2 A Laplace transzformáció alkalmazásai
1.2.
5
A Laplace transzformáció alkalmazásai
A soros RC kör
Az első feladatunk a 1.3. ábrán látható soros RC kapcsolás i(t) köráramának, uR (t) ellenálláson és uC (t) kondenzátoron eső feszültségének meghatározása. A t = 0 időpillanat előtt a generátor feszültsége 0, utána pedig egy meghatározott u0 feszültség. A kérdés, hogy milyen tranziens játszódik le a bekapcsolás miatt.
1.3. ábra. A soros RC kör. Mivel ez az első eset, amit vizsgálunk, írjuk fel a kapcsolásra a Kirchoff második egyenletét differenciálegyenletes alakban. 1 u0 = R i(t) + C
·
t
·
i(τ )dτ
(1.9)
0
Hogy kidomborítsuk a Laplace transzformáció funkcióját és előnyeit, oldjuk meg most az egyszer ezt az egyenletet. Deriváljuk mindkét oldalt az idő szerint, hogy egy elsőfokú differenciálegyenletet kapjunk, így du0 di 1 =R + I. dt dt C
·
(1.10)
1 di − RC i= . dt
(1.11)
Tudjuk, hogy du0 /dt = 0, mivel nincs időfüggése, így
Ennek a megoldása, mint tudjuk egy peremértékfeladat, ahol az ansatz függvény I (t) = A · exp(λ · t), ahol A a kezdeti feltételből számolt állandó. Megoldva ezzel az (1.11) egyenletet kapjuk, hogy i(t) = A e−
·
1 RC
· t.
(1.12)
A kiinduló egyenletből meghatározhatjuk A értékét, mivel ekkor az integrál zérus, így marad az i(t = 0) = u0 /R össszefüggés, amiből a differenciálegyenlet teljes megoldása a megfelelő kezdeti értékkel i(t) =
u0 − e R
·
1 RC
· t.
(1.13)
Itt is körülményes volt már a megoldás, pedig csak két passzív elem volt a hálózatban, el lehet képzelni, mekkora lesz egy differenciálegyenlet-rendszer, ha több hurok található a hálózatban. Az ilyen differenciálegyenletek egy kézenfekvő és egyszerű megoldási módszere, ami a műszaki alkalmazások között az egyik legelterjedtebb, az un. Laplace módszer, vagy becsületes nevén a Laplace-féle integráltranszformáció. A módszer lényege, hogy algebrai egyenletmegoldásra vezetjük vissza a differenciálegyenletek megoldását. Táblázat segítségével alkalmazva a megfelelő transzformációs lépéseket az idő térből (reprezentációból) áttértünk a komplex frekvenciák terébe, így az egyenlet nem időfüggő, hanem a komplex frekvenciáktól függő alakot veszi fel. A függelékben található egy kicsit bővebb táblázat a kiadottaknál, a komplexebb feladatok megoldásához. Most oldjuk meg a fenti feladatot a Laplace módszerrel. Írjuk fel a körben folyó áramot az S operátoros alakban, azaz u0 (s) I (s) = . (1.14) Z (s)
6
1 Tranziens jelenségek
Tudjuk, hogy az R ellenállás operátoros alakja R, a kapacitásé most 1/(sC ) az induktivitásé pedig sL. Így az áramra I (s) =
1 1 u0 u0 sC u0 = = . s R + 1/(sC ) s sCR + 1 R s + 1/(RC )
·
·
(1.15)
·
Az átalakításnál törekedjünk arra, hogy az s egyedül álljon! A kapott összefüggést inverz transzformáljuk a táblázat alapján: u0 · 1(t) · e− · t, (1.16) i(t) = L−1 I (s) =
1 RC
R
ahol kihasználtuk, hogy az (1.15) képletet olyan alakra hoztuk, amelyik a táblázatban megtalálható. Az ábrázoláshoz határozzuk meg a t = 0 , t → ∞ és t = τ időpontokban az áram értékét: t=0 t=
∞
t = τ =
u0 R u0 1/(RC ) t i( ) = lim e =0 t→∞ R u0 −1 u0 i(τ ) = e = 0, 37 R R
(1.17)
i(0) =
∞
1 RC
·
·
·
(1.18)
·
(1.19)
· t,
(1.20)
Most határozzuk meg az uR feszültséget az i áramból uR (t) = R i(t) = 1(t) u0 e−
·
· ·
1 RC
valamint a Kirchoff egyenletből a kondenzátor feszültsége uC (t) = u0 1(t)
·
− u0 · 1(t) · e− · t = u0 · 1 − e− · t 1 RC
Az áram és a feszültésgek időbeni változását a (1.4) ábrán láthatjuk.
1 RC
(1.21)
.
1.4. ábra. A soros RC kapcsolás áramának és feszültségeinek időfüggése. Tehát az áramkör viselkedését a 1.4. ábra alapján könnyen értelmezhetjük. Bekapcsoláskor a kondenzátor rövidzárként működik, így a körben lévő áram maximális, majd ahogy a töltések a kondenzátorra áramolnak, úgy kezd a rajta lévő feszültség nőni miközben az áram és az ellenállás feszültsége exponenciálisan csökken. Egy idő után (néhány τ idő alatt) lezajlanak a tranziens folyamatok, beáll a stacioner állapot, ahol nem folyik a körben áram és a kondenzátor kapocsfeszültsége megyegyezik a tápfeszültséggel. A soros RC kör ha uc (0) = 0
Abban az esetben, ha a kapacitáson van kezdeti feszültség, úgy megváltozik a leíró egyenlet és természetesen az eredményeink is ezt fogják követni. Ezt úgy tudjuk figyelembe venni, hogy felveszünk egy, a kondenzátorral sorba kötött feszültséggenerátort, melynek forrásfeszültségének nagysága és iránya is megegyezik az uC (0) kezdeti kapacitásfeszültség nagyságával és irányával, ahogy ezt a (1.5) ábrán is láthatjuk. Ahhoz, hogy meghatározzuk a körben folyó áramot, ismét alkalmazzuk a Laplace módszert, de most már elhagyva a differenciálegyenlet felírását, egyből kezdhetjük az operátoros alakok behelyettesítésével is. Ekkor az áram az s térben a Kirchoff egyenletből I (s) =
u0 (s) uC 0 (s) u0 uC 0 1 = 1 = (u0 Z (s) s R + sC
−
−
·
C u0 − uC 0 1 − uC 0) sRC + · = 1 R s+ 1
RC
.
(1.22)
1.2 A Laplace transzformáció alkalmazásai
7
1.5. ábra. A soros RC kapcsolás helyettesítő kapcsolása, amikor a kondenzátor fegyverzetei közti kezdőfeszültség nem zérus. Inverz transzformáció után: i(t) =
L −1
I (s) = −1
L
u0
− uC 0 · R
1 1(t) (u0 = 1 R s + RC
·
− uC 0 · e−
1 RC
t
(1.23)
.
Az ábrázoláshoz most is számítsuk ki a t = 0, t → ∞ és t = τ időpontokban az áram értékét: t =0 t=
∞
t = τ =
− uC 0 R u0 − uC 0 1/(RC ) · t ·e i(∞) = lim =0 t→∞ R u0 − uC 0 −1 · e = 0, 37 · u0 − uC 0 i(τ ) = i(0) =
1 RC
u0
R
(1.24) (1.25) (1.26)
R
Az ellenálláson eső feszültséget most is az áramból határozzuk meg: uR (t) =
u0
− uC 0 · e−
1 RC
t
R
· R = 1(t) · (u0 − uC 0)e−
1 RC
t
(1.27)
.
Hasonlóan a kondenzátor feszültségére:
uC (t) = u0 − uR (t) = u0 − u0 · e−
1 RC
t
+ uC 0
· e−
1 RC
t
·
1(t) = 1(t) u0
·
· − 1
e−
1 RC
uc0 − t + e u0
·
1 RC
t
.
(1.28)
1.6. ábra. A soros RC kapcsolás áramának és feszültségeinek idődiagramja uC 0 kezdeti feszültség esetén. Abban az esetben, ha a kezdeti feszültség a kondenzátoron nem zérus, úgy a kondenzátor feltöltődése bekapcsoláskor erről a feszültségről kezdődik, ahogy azt a 1.10. ábra harmadik grafikonján láthatjuk. Ebben az esetben a kisebb potenciál, ami az ellenálláson esik kisebb áramot tud áthajtani rajta, így a kezdő áram is a kezdő potenciállal csökkentett generátorfeszültséggel lesz arányos.
8
1 Tranziens jelenségek
1.7. ábra. A soros RL kapcsolás áramköri rajza. A soros RL kör
A következő vizsgálandó hálózat a soros RL kör, amit a 1.7. ábrán láthatunk. Írjuk fel ismét az operátoros Kirchoff egyenletet, hogy meghatározzuk a körben folyó áram nagyságát, majd rendre az ellenálláson és az induktivitáson eső feszültségeket. Az áramra írhatjuk, hogy I (s) =
u0 (s) u0 1 u0 1 = = Z (s) s R+L L s s+
·
·
R L
(1.29)
,
ahol ismét alkalmaztuk a "maradjon magára s" elvet. Amennyiben a nevező magasabb fokszámú, az un. kifejtési tételt kell alkalmazni (lsd. táblázat). Ehhez meg kell határozni a nevező zérushelyeit, most rendre s0 = 0,
s1 =
− RL ;
(1.30)
A nevező és a nevező s szerinti első deriváltja
N = s s +
R L
R = s2 + s , L
∂N R = 2s + . ∂s L
N =
(1.31)
Ekkor a kifejtési tétel összefüggése alapján az inverz Laplace transzformáció u0 i(t) = L−1 I (s) = 1(t) L
L 0 e R
·t +
1 e−Rt/L 2R/L + R/L
·
−
u0 = 1(t) 1 L
·
−
e−Rt/L .
(1.32)
Az áram ábrázolásához ismét határozzuk meg a t = 0 , t = ∞ és a t = τ időpillanatokban az áramértékeket. t =0 t=
∞
t = τ =
(1.33)
i(0) = 0 u0 i( ) = R u0 i(τ ) = R
(1.34)
∞
L R
· 1 − e−1
= 0, 63
· uR0 .
(1.35)
Most határozzuk meg az áram segítségével az ellenálláson eső feszültséget: uR (t) = R i(t) =
·
u0 R R
· · 1 − e−Rt/L · 1(t) = u0 · 1(t) · 1 − e−Rt/L
Ennek a feszültségnek az értékeit is nézzük meg a különböző időpontokban: t=0 t=
∞
t = τ =
(1.37) (1.38)
uR (0) = 0 uR ( ) = u0 L R
∞
uR (τ ) = u0
(1.36)
· 1 − e−1
= 0, 63 u0 .
·
(1.39)
Hasonlóan az eddigiekhez határozzuk meg az induktivitáson eső feszültség időbeni változását. uL (t) = u0 1(t)
·
− uR(t) =
u0
− u0 + u0 · e−Rt/L · 1(t) = u0 · e−Rt/L · 1(t).
(1.40)
1.2 A Laplace transzformáció alkalmazásai
9
Ennek a feszültségnek az értékeit is meg tudjuk határozni a különböző időpillanatokban az ábrázoláshoz: t=0 t= t = τ =
∞
L R
uL (0) = u0 uL ( ) = 0 uL (τ ) = u0 e−1 = 0, 37 u0 .
∞
·
·
(1.41) (1.42) (1.43)
1.8. ábra. A soros RL kapcsolás áramának és az ellenálláson és az induktivitáson eső feszültségének idődiagramja. Abban az esetben, ha induktivitást kötünk az áramkörünkbe, úgy az a bekapcsolás állapotában szakadásként viselkedik, majd ahogy épül fel rajta a mágneses tér, úgy indul meg a körben az áram is. Ez a jelenség látható a 1.8. ábra első grafikonján. Ennek hatására az ellenálláson eső feszültség is arányos ezzel az árammal, majd több τ idő múlva el is éri a generátor feszültségét, mivel akkor már az induktivitás rövidzárként működik és az összes feszültség az ellenálláson fog esni. Mindeközben a tekercs sarkain a kezdeti generátorfeszültségről zérusig esik a potenciál. A soros RL kör, ha iL (0) = 0
Most vizsgáljuk meg a soros RL kapcsolást abban az esetben, ha t = 0 időpillanatban a tekercsnek egy iL0 kezdeti árama van. Ezt az áramot természetesen kifejezhetjük úgy is, mint egy, az induktivitás sarkain megjelenő feszültségkülönbséget a t = 0 időpillanatban, amit uL0 = L · iL0 · δ (t) alakban írhatunk fel a Dirac delta függvény segítségével. A kapcsolásban ezt a feszültséget egy, azáram irányával ellentétes irányú feszültségforrással tudjuk helyettesíteni, ahogy azt a 1.9. ábra mutatja.
1.9. ábra. A soros RL kapcsolás kapcsolási rajza és helyettesítő képe, abban az esetben, ha iL0 = 0. Írjuk fel megint az operátoros Kirchoff egyenletet, ekkor I (s) =
u0 (s) + L I L0 (s) . Z (s)
·
(1.44)
Behelyettesítve a Laplace transzformált értékeket és az impedanciát, kapjuk, hogy I (s) =
u0 s
u + L IL0 + I L0 s u0 + sLI L0 = = L . R + sL s (R + sL) s s+ R L
·
0
(1.45)
10
1 Tranziens jelenségek
Mivel ismét másodfokú a nevező, alkalmazzuk a kifejtési tételt az inverz Laplace transzformációhoz. A nevező két megoldása s-re R s0 = 0, s1 = − . (1.46) L
A nevező és deriváltja N = s2 + s
R , L
N =
∂N R = 2s + . ∂s L
(1.47)
Végezzük el az inverz Laplace transzformációt
u0 /L 0 · t u0 /L − I L0 R/L −Rt/L u0 ·e + ·e i(t) = L−1 I (s) = 1(t) = 1(t) R/L
−2R/L + R/L
R
−
u0 −Rt/L e + I L0 e−Rt/L . R
·
(1.48)
Az ábrázoláshoz határozzuk meg a már megszokott időpillanatokban az áram értékét: t =0 t=
∞
t = τ =
(1.49)
i(0) = I L0 u0 i( ) = R
(1.50)
∞
L R
i(τ ) = 0, 63
· uR0 + 0, 37 · I L0.
(1.51)
Számítsuk ki az ellenálláson eső feszültséget: uR (t) = R i(t) = 1(t)
·
· − u0 1
e−Rt/L + I
L0
· R · e−Rt/L
A szokásos időpontokra ennek az értéke a megfelelő behelyettesítésekkel: t =0 t= t = τ =
∞
.
uR (0) = I L0 R uR ( ) = u0 uR (τ ) = 0, 63 u0 + 0, 37 I L0 R.
∞
L R
·
·
·
·
Az induktivitáson eső feszültség pedig egyszerűen adódik az eddigiekből u (t) = u · 1(t) − u (t) = (u − I R) e−Rt/L . 0
L
L
0
L0
(1.52)
(1.53) (1.54) (1.55) (1.56)
Ennek az értéke a különböző időpontokban t =0 t= t = τ =
∞
L R
uL (0) = u0 I L0 R uL ( ) = 0 uL (τ ) = 0, 37 (u0 I L0 R) .
∞
−
·
·
−
·
(1.57) (1.58) (1.59)
1.10. ábra. A soros RL kapcsolás áram, ellenállás- és induktivitásfeszültségének idődiagramja. Amennyiben remanens áram marad az induktivitáson (remanens mágneses tér) és úgy kapcsoljuk rá a körre a generátorunkat, akkor a kialakuló áram nem nullától, hanem a tekercsen folyó áram nagyságától kezd el növekedni a végső áramérték felé. Hasonló a helyzet ezáltal az ellenálláson eső feszültség esetében is, mivel az arányos a rajta átfolyó árammal.
1.2 A Laplace transzformáció alkalmazásai
11
Induktív feszültségosztó kimenetének vizsgálata bekapcsoláskor
Ebben a részben egy feszültségosztó kimenetének időfüggését vizsgáljuk, ahol a keresztágban egy induktivitás is található az ellenállással sorba kötve, ahogy azt a 1.11. ábrán is láthatjuk.
1.11. ábra. Induktív elemet tartalmazó feszültségosztó kapcsolási rajza. Írjuk fel egyből az operátoros formában az osztóképletet U ki (s) = u0 (S )
R/L · R R+ +sLsL+ R = u0 s(ss ++ 2R/L) .
(1.60)
Ismét másodfokú a nevező, tehát alkalmazzuk a kifejtési tételt. A nevező nérushelyei az s0 = 0 és az s1 = −2R/L. Meghatározva a nevező deriváltját ∂N 2R N = = 2s + (1.61) ∂s
L
máris írhatjuk az inverz Laplace transzformációt n
uki (t) = L−1 U ki (s) = 1(t)
i=0
M (si ) s t R/L 0 e = u0 e N (si ) 2R/L i
· t + u0 −2R/L + R/L e−2Rt/L = u0 −4R/L + 2R/L 2
1 + e−2Rt/L
(1.62)
A kapcsolás időállandója most τ = L/2R.
1.12. ábra. Az induktivitásos feszültségosztó kimeneti feszültségének időfüggése. A kimeneti feszültség ábrázolásához határozzuk meg a főbb időpillanatokban az értékét, t=0 t=
∞
t = τ =
L 2R
uki (0) = u0 u0 uki ( ) = 2 u0 uki (τ ) = 1, 37. 2
∞
·
(1.63) (1.64) (1.65)
12
1 Tranziens jelenségek
A kimeneti feszültség időbeni lefutását pedig a 1.12 ábrán láthatjuk. Az induktív elemet tartalmazó osztó kimeneti feszültsége sem tartalmaz már meglepő mozzanatokat számunkra, ha értjük az előzőekben tárgyalt kapcsolások tranziens jelenségeit. Kezdetben az induktivitás szakadásként működik, ekkor a kimeneten a generátor feszültsége jelenik meg. Ahogy nő az áram a körben úgy csökken a tekercs impedanciája egészen addig, amíg rövidzár nem lesz néhány τ idő után. Ekkor a kimeneten a feszültség beáll az ellenállásosztó elemei által meghatározott feszültségre. Kapacitív feszültségosztó kimenetének vizsgálata bekapcsoláskor
Most cseréljük ki az előzőleg induktív keresztági elemet egy kapacitív taggal, majd így vizsgáljuk a kapcsolás kimenetén megjelenő feszültség időbeni változását. A kapcsolási rajz a 1.13. ábrán látható.
1.13. ábra. A kapacitást tartalmazó feszültségosztó kapcsolási rajza. Írjuk fel ismét a kimeneti feszültséget az operátoros alakban: 1 1 R + sC s + RC u0 u0 sRC + 1 u0 U ki (s) = = = . 1 1 s R + sC s s2RC + 1 2 s s + 2RC +R
·
·
(1.66)
Itt is másodfokú a nevező s-ben, így a kifejtési tételhez határozzuk meg a zérusait, amik s1 = 0 és s2 = −1/(2RC ). Szükség van még a nevező deriváltjára is, ami N =
∂N 1 = 2s + . ∂s 2RC
(1.67)
Ennek alapján a kimeneti feszültség uk i(t) =
−1/(2RC ) + 1/(RC ) e−t/(2RC ) = 1(t) u0 2 − e−t/(2RC ) ) 0 u0 L−1uki (s) = u20 1(t) · 1/(RC e + 1(t) −2/(2RC ) + 1/(2RC ) 1(2RC ) 2 2
.
(1.68)
Az ábrázoláshoz számoljuk ki a nulla és végtelen időpontban a kimeneti feszültséget: t =0 t=
∞
u0 2 uki ( ) = u0 uki (0) =
∞
(1.69) (1.70)
A kimeneti feszültség feszültség-idő grafikonját pedig a 1.14. ábrán láthatjuk. A kapacitív tagor tartalmazó feszültségosztó működése - ill. kimeneti feszültségének időbeni változása- is könnyen magyarázható a korábban látottak segítségével. A generátor bekapcsolásakor a kapacitás a körben mint rövidzár szerepel, ekkor a kimeneten megjelenő feszültséget a feszültségosztó elemeinek nagysága határozza meg. Az idő múlásával a kondenzátor fegyverzetein kezdenek felhalmozódni a töltések mindaddig, amíg telítésbe nem megy. Ebben az esetben a kapacitás már szakadásként fog viselkedni és meg fog jelenni az áramkör kimenetén a generátornak megfelelő nagyságú feszültség.
1.2 A Laplace transzformáció alkalmazásai
1.14. ábra. A kapacitást tartalmazó feszültségosztó kimeneti feszültségének feszültség-idő diagramja.
13
2
A Laplace transzformáció - emelt szinten
A Laplace transzformáció az integráltranszformációk csoportjába tartozik, melyek általános alakja a F (ξ ) =
K (ξ, x)f (x)dx,
(2.1)
ahol a K (ξ, x) az úgynevezett magfüggvény (vagy kernel), aminek segítségével az integrálást végezzük. Különböző magfüggvények segítségével az integráltranszformációk változatos palettáját végigjátszhatjuk. Két széles körben elterjedt és használt integráltranszformáció a Fourier-transzformáció valamint a Laplace-transzformáció. Mi is a Laplace transzformáció és mely függvényeken van értelmezve? Az inverz-laplace transzformáció hasonló módon értelmezhető, azaz 1 f (t) = L−1 F (s) =
2πi
15
γ +i∞
γ −i∞
F (s)est ds.
(2.2)
A
Táblázatok
f (t)
L f (t)
1
1 s
eat f (t)
F (s
− a) U (t − a)
1
(5)
d F (s) ( 1)n dsn
−
− f (0) (8) sn F (s) − s(n−1) f (0)− · · · − f (n−1)(0) (9)
f (x)g(t
0
tn (n tx (x
− x)dx
∈ Z) ≥ −1 ∈ R)
F (s)G(s) n! Γ(x + 1) sx+1
cos kt
s s2 + k 2
(14)
sinh kt
1 s
−1 k
s2
−
k2
(19) (20)
− a)2
(21) (22)
eat cos kt
s a (s a)2 + k 2
(23)
eat sinh kt
k a)2
(24)
(s
−
−
−
(s
−
− k2
eat cosh kt
s a (s a)2 k 2
(25)
t sin kt
2ks (s2 + k 2 )2
(26)
t cos kt
s2 k2 (s2 + k 2 )2
(27)
2ks k 2 )2
(28)
(s2
sin at t
arctan
1 −a e πt
√
(16)
17
−
− s2 − k2 (s2 − k 2 )2
t cosh kt
(15)
−
−
−
t sinh kt
(13)
− b)
(18)
k a)2 + k 2
(12)
sin kt
−
s a)(s
− b)
−
(11)
sn+1
−
1 a)(s
n! (s a)n+1
tn eat
(10)
k 2 s + k2
eat
(s (s
(7)
t
(s
(17)
− k2
1
teat
eat sin kt
sF (s)
f n (t)
− ebt −b aeat − bebt a−b
(6) n
f (t)
s2
eat a
(2)
(4)
0
tn f (t)
(1)
e−as F (s)
e−st
− t0)
s
cosh kt
(3)
s
δ (t) δ (t
− a)
e−as
U (t − a) f (t
= F (s)
2
/4t
√
e−a s s
√
a s
(29) (30) (31)
