Vigas Mistas Exemplos

Especialização Especialização em em Engenharia Engenharia de de Estruturas Estruturas

Dimensionamento de vigas mistas de aço e concreto segundo NBR 8800:2008 Exemplos

1

Momento Momento fletor fletor resistente resistente positivo positivo 

Plano das vigas no pavimento tipo 1

2 620

A

P1

620

V1 P1

P1 5 1 3

V2 P2

L2

5 1 3

P3 9 V

V3

0 6 7 3

6 V

390

V4

V5

8 V

V

P2

C

L2

5 1 3

115

P2 9 V

L1

V

D

P1

V1

L2

P3

V3

7 V

8 V

V4

P3

6 V

V2

P2

V2 0 5 4 6

P1 L1

6 V

115 B

620

V1 L1

0 6 5 4 V

4

3

L2

P3

V2 5 1 3

6 V

P1

6 V

L1 P1

V1

6 V

P 2

1


Dados Geometria

620,0 cm

Ações: Peso próprio estrutura: 0,43 kN/m Peso próprio laje: 13,19 kN/m Alvenaria: 5,8 kN/m Sobrecarga de utilização: 4,44 kN/m Combinação última normal: 1,25PP+1,35(CP+alv)+1,5SC 1,25*0,43+1,35*(13,19+5,8)+1,5*4,44

Total: 32,83 kN/m

Esforços de cálculo para combinação normal: Momento fletor: M Sd=157,77 kN.m Esforço cortante: V Sd=101,79 kN.m 3

1ª. 1ª.HIPÓTESE HIPÓTESE

Viga BIAPOIADA Construção ESCORADA Interação TOTAL

4

2


Dados Geometria

620,0 cm

Ações: Peso próprio estrutura: 0,43 kN/m Peso próprio laje: 13,19 kN/m Alvenaria: 5,8 kN/m Sobrecarga de utilização: 4,44 kN/m Combinação última normal: 1,25PP+1,35(CP+alv)+1,5SC 1,25*0,43+1,35*(13,19+5,8)+1,5*4,44

Total: 32,83 kN/m

Esforços de cálculo para combinação normal: Momento fletor: M Sd=157,77 kN.m Esforço cortante: V Sd=101,79 kN.m 3


Viga BIAPOIADA Construção ESCORADA Interação TOTAL

4

2

Momento Momentofletor fletorresistente resistentepositivo positivo 

Dados Geometria da viga de aço

Interação TOTAL 80 9,5

VS 250 x 33 d=250 mm; b f =160 mm; tf =9,5 mm; tw=4,75 mm Distância para as vigas adjacentes:

4,75

250

viga esquerda (V1): L1=3150 mm viga direita (V3): L 2 =3150 mm

160

Laje de concreto hc=80 mm

Conectores tipo pino com cabeça Diâmetro mínimo: lembrar que h co > 4dco hco=80 – 15 = 65mm → d co < 16,2 mm Adotado d co=12,5 mm

Materiais: Aço: f y=25 kN/cm2; f u=40 kN/cm2 e Es=20500 kN/cm2 Concreto da laje: f ck=2 kN/cm2 Conector: f uco= 41,5kN/cm2 5


Interação TOTAL

Classificação da viga de aço Propriedades geométricas da viga de aço A=41,37 Iax=4886,06 cm4 Wa=390,89 cm3

80

80

9,5

cm2

9,5

4,75

250

250

Verificar classificação da viga de aço

4,75 160

160

Compacta, semi-compacta e esbelta Alma: Mesas:

h 231 E = = 48,63 < 3,76 = 108 → seção compacta t w 4,75 f y b f 160 E = = 8,4 < 0,38 = 10,9 → seção compacta 2t f 2 x9,5 f y

Viga contida lateralmente

Plastificação total da seção mista Viga mista biapoiada → βvm= 1,0 1,0 6

3


Interação TOTAL

Construção escorada e interação completa Largura efetiva da laje: Viga mista biapoiada: Menor valor entre:

σ b

σmax

1/4 * L1=0,25*620= 155 cm 0,5*(L1+L2)=0,5*(315+315)=315 cm

Portanto: b=155cm

B

Cisalhamento na interface (V h)

Para interação completa → QRd ≥ VhRd Linha neutra única: na viga de aço ou na laje de concreto

VhRd

0,85 f ck bt c 0,85 ⋅ 2 ⋅ 155 ⋅ 8  = = 1505 ,7kN Ccd = 1,4 1,4 ≤ Tad = (Af y ) = 41,37 ⋅ 25 = 940,2kN a 1,10 

Como Ccd > Tad → linha neutra plástica na LAJE → QRd=940,2 kN 7


Interação TOTAL

Construção escorada e interação completa Resistência dos conectores tipo pino com cabeça Área do conector: Aco=0,25*π =0,25*π*(dcon)2=1,23 cm2 Módulo de elasticidade do concreto: E c=4760*(f ck) ½=2128,7 kN/cm2 Resistência de um conector: qRd Esmagamento do concreto Ruptura do conector

qRd

 0,5 A cs f ck E c Cred ⋅ = 1,0 ⋅ 32,1 = 32,1 kN  1 , 25 ≤ C ⋅ A cs f u = 1,0 ⋅ 40,8 = 40,8 kN  red 1,25

Portanto qRd=32,1 kN

Número de conectores necessários: ηco ηco =

Entre pontos de Mmax e nulo

QRd 940,2 = = 29,3 conectores/meia viga qRd 32,1 8

4


Interação TOTAL

Construção escorada e interação completa Posição da Linha neutra plástica Linha neutra plástica localizada na altura da laje de concreto se (f y ⋅ A a Resistência da laje 0,85f ck ⋅ b ⋅ t c

≥

1,40

de concreto

1,10

Ccd=1505,7 kN

Resistência da viga de aço

Tad=940,2 kN

LNP na laje

Resistência ao momento fletor Força de tração no perfil →

Tad =

Posição da linha neutra →

a=

Resultante no concreto →

C cd =

( A f y )a 41,37 ⋅ 25 = = 940,2kN 1,10 1,10

Tad 940,2 = = 5cm ≤ t c = 8cm 0,85 f ck b 0,85 ⋅ 2 ⋅ 155 1,40 1,40

0,85 f ck b a 0,85 ⋅ 2 ⋅ 155 ⋅ 5 = = 941,1 kN 1,40 1,40 9


Interação TOTAL

Construção escorada e interação completa Resistência ao momento fletor b

(0,85 f ck )/1,40 a

tc hF

tf

Ccd

d1

d1 d

LNP

CG

C cd = 941,1 kN

Tad = 940,2kN

h Tad

tw f y/1,10

a  MRd = β vm Tad 0,5d + hF + t c −  = 1,0 ⋅ 940,2 ⋅ (12,5 + 0 + 8 − 2,5) = 16925 kN.cm 2 

Momento fletor resistente de cálculo:

MRd = 16925 kN.cm

Momento fletor solicitante de cálculo:

MSd = 15777 kN.cm 10

5


Interação TOTAL

Construção escorada e interação completa Viga de aço Testadas: VS 300 x 43 → não passou na flexão (MRd=10188kN.cm) VS 350 x 58 → ok!!!! (MRd=19892kN.cm)

Para viga mista VS 250 x 33

11

2ª. 2ª.HIPÓTESE4 HIPÓTESE4

Viga BIAPOIADA Construção ESCORADA Interação PARCIAL

12

6


Interação PARCIAL

Construção escorada e interação parcial Momento fletor solicitante de cálculo: MSd=15777 kN.cm Escolha do grau de interação: valores mínimos: para perfil de aço com mesas de áreas iguais Le=6,2m (distância entre pontos de momento nulo)

E  1 − 578 f (0,75 − 0,03 L e ) ≥ 0,40 se L e ≤ 25m η= y 1 se L > 25m e  Le = 6,20m → η = 1 −

E (0,75 − 0,03 Le ) ≥ 0,4 578 f y

η = 0,2 < 0,4 → mínimo η = 0,4

Adotado grau de interação η=0,5

L=620cm

13


Interação PARCIAL

Construção escorada e interação parcial Cisalhamento na interface (Vh)

Para interação parcial → QRd= η * VhRd VhRd

0,85 f ck bt c 0,85 ⋅ 2 ⋅ 155 ⋅ 8  = = 1505,7kN C cd = 1,4 1,4 ≤ Tad = (Af y ) = 41,37 ⋅ 25 = 940,2kN a  1,10

∴ VhRd=940,2 kN

Número de conectores para interação parcial Fluxo de cisalhamento a ser resistido

QRd = η ⋅ VhRd = 0,5 ⋅ 940,2 = 470,1kN QRd=0,5*940,2=470,15 kN nco=QRd/qRd com qRd=32,1 kN

∴ nco=14,68 conectores para meia viga 14

7


Interação PARCIAL

Construção escorada e interação parcial Resistência ao momento fletor bef tc hF

0,85 f cd

Ccd

a

LNP (na laje)

f yd

tf

Cad

yc yp

LNP (no perfil)

h

d tw

Tad yt f yd

( A f y )a = 940,2kN 1,10

Resultante na viga de aço →

Tad =

Para interação parcial →

C cd = QRd = 470,15 kN 15


Interação PARCIAL

Construção escorada e interação parcial Resultante de compressão na viga de aço C ad: C ad =

 1  41,37 ⋅ 25 1  ( Af y )a  − C cd  =  − 470,15  = 235,04 kN  2  1,10   2  1,10

Interação parcial → duas LN: uma na laje e outra na viga de aço a: linha neutra na laje de concreto a=

C cd 470,15 = = 2,5 cm 0,85 f ck b 0,85 ⋅ 2 ⋅ 155 1,40 1,40

yp: linha neutra na viga de aço – a partir da face inferior da laje Verificar se LNP está na mesa superior ou na alma Cad=235,04 kN Contribuição da mesa superior: (Af y)tf / 1,10=345,45 kN Se Cad ≤ (Af y)tf / 1,10→ linha neutra na mesa superior Caso contrário, LNP na alma ∴ LNP na mesa superior

16

8


Interação PARCIAL

Construção escorada e interação parcial Resistência ao momento fletor ∴ LNP na mesa superior yp =

Cad t = 0,59 cm ( A f y )tf f

A partir da face da mesa superior da viga de aço

Pto de aplicação da força T ad: yt

yc =

yp = 0,29 cm 2

yp yt

yt =

h ⋅ t w ⋅ (0,5h + t f ) + bf ⋅ t f ⋅ (0,5t f ) + (t f − yp ⋅ b f ⋅ (d − t f − y p = 8,91cm h ⋅ t w + bf ⋅ t f + bf ⋅ (t f − yp )

 a   MRd = β vm C ad (d − y t − y c ) + C cd  t c − + hF + d − y t  = 13158,4 kN.cm 2   

17


Interação PARCIAL

Construção escorada e interação parcial Momento fletor resistente de cálculo:

MRd = 13158,4 kN.cm Momento fletor solicitante de cálculo:

MSd = 15777 kN.cm OPÇÃO: ALTERAR O GRAU DE INTERAÇÃO

18

9


Interação PARCIAL

Construção escorada e interação parcial: η=0,8 Como o momento fletor resistente de cálculo é MENOR que o momento fletor solicitante de cálculo é preciso aumentar a resistência da viga mista Uma opção é aumentar o grau de interação η, por exemplo, para: η=0,8 VhRd

0,85f ck bt c 0,85 ⋅ 2 ⋅ 155 ⋅ 8  = = 1505 ,7kN C cd = 1,4 1,4 ≤ Tad = (Af y ) = 41,37 ⋅ 25 = 940,2kN a 1,10 

VhRd = 940,2kN

Número de conectores para interação parcial QRd=0,8*940,2=752,2 kN nco=QRd/qRd com qRd=32,1 kN

∴ nco=23,5 conectores para meia viga 19


Interação PARCIAL

Construção escorada e interação parcial: η=0,8 Resistência ao momento fletor bef tc hF

0,85 f cd a

Ccd

LNP (na laje)

f yd

tf

Cad

yc yp

LNP (no perfil)

h

d tw

Tad yt f yd

Resultante na viga de aço:

( A f y )a ( A f )= 940,2kN Tad =1,10 y a = 940,2kN

Tad =

1,10

Para interação parcial →

C cd = QRd = 752,2 kN C cd = QRd = 752,2 kN 20

10


Interação PARCIAL

Construção escorada e interação parcial: η=0,8 Resistência ao momento fletor Resultante de compressão na viga de aço C ad: C ad =

 1  ( Af y )a − C cd  = 94,03 kN  2  1,10 

Para interação parcial temos duas linhas neutras: uma na l aje e outra na viga de aço linha neutra na laje de concreto →

a=

C cd = 4,0 cm 0,85 f ck b 1,40

yp: linha neutra na viga de aço – a partir da face inferior da laje Verificar se LNP está na mesa superior ou na alma C ad =94,03 kN Contribuição da mesa superior: (Afy)tf / 1,10=345,45 kN Se C ad ≤ (Afy)tf / 1,10 → → linha neutra na mesa superior Caso contrário, LNP na alma ∴

LNP na mesa superior

21


Interação PARCIAL

Construção escorada e interação parcial: η=0,8 Resistência ao momento fletor ∴ LNP na mesa superior yp =

Cad t = 0,24 cm ( A f y )tf f

yp yt

Pto de aplicação da força Tad: yt yt =

h ⋅ t w ⋅ (0,5h + t f ) + b f ⋅ t f ⋅ (0,5t f ) + (t f − y p ) ⋅ bf ⋅ (d − t f − y p ) = 11,26 cm h ⋅ t w + b f ⋅ t f + b f ⋅ (t f − yp )

 a   MRd = β vm Cad (d − y t − y c ) + Ccd  t c − + hF + d − y t  = 14624 kN.cm 2   


MRd = 14624 kN.cm Momento fletor solicitante de cálculo:

MSd = 15777 kN.cm

Adotar interação total 22

11


Detalhes da viga mista

Interação PARCIAL

80 9 ,5

Conector: Diâmetro: 12,5mm 250 Altura: h ≥ 4φφ=4*12,5=50mm → hc= 70mm

4,75

Número total de conectores: 2*29,3

160

= 59 conectores

Laje de concreto armado

80

Altura: 8 cm

9 ,5 250

4,75

160

23


Viga BIAPOIADA Construção NÃO ESCORADA Interação TOTAL

24

12


Interação TOTAL

Verificação em duas etapas: Fase construtiva: Viga de aço isolada verificada para as ações de construção

Utilização: Viga mista 

Ações de construção: Combinação: 1,25PP+1,35CP PP=0,43 kN/m CP=13,19 kN/m

25


Interação TOTAL

1a. Etapa: viga de aço isolada VS 250 x 33 Flambagem Local Flambagem local da mesa (FLM) b

E

λ = f b=f 8,42 < λ p = 0,38 sE=s 10,88 λ 2=t f = 8,42 < λ p = 0,38f y = 10,88 2t f

f y

M rkm = momento de plastificação

Mpl = 1,12 ⋅ Wa ⋅ f y = 10944,8 kN.cm

∴ Mrkm=10944,8 kN.cm Flambagem local da alma (FLA) λ=

h h E = 48,7 < λp = 3,76 ⋅ ⋅ s = 107,7 tw hp f y


Mpl = 1,12 ⋅ Wa ⋅ f y = 10944,8 kN.cm

∴ Mrka=10944,8 kN.cm 26

13


Interação TOTAL

1a. Etapa de verificação: viga de aço isolada Flambagem Local Flambagem lateral com torção (FLT)

λ=

Lb E = 12,63 < λ p = 1,76 s = 50,4 r y f y


Mpl = 1,12 ⋅ Wa ⋅ f y = 10944,8 kN.cm

∴ Mrkflt=10944,8 kN.cm

∴ para flambagem local, Mrkflt=10944,8 kN.cm

Momento resistente de cálculo M Rd: Verificação da resistência ao momento fletor MRd = MRk = 9949,8 kN.cm 1,10


MRd = 9949,8 kN.cm Momento fletor solicitante de cálculo:

MSd = 8814 kN.cm 27


Interação TOTAL

1a. Etapa de verificação: viga de aço isolada Verificação da flecha na viga de aço – ELS combinação para cálculo da flecha Peso próprio + Carga Permanente: q=13,33 kN/m

Flecha no meio do vão: δ=

5q ⋅ L4 = 2,56cm 384 ⋅ Es ⋅ Iax

Flecha máxima:

δmax =

δ > δmax → NÃO Ok!!!!

L = 2,07cm 300

28

14


Interação TOTAL

1a. Etapa de verificação: viga de aço isolada Alterando as dimensões da viga... VS 350 x 39 d=350 mm; b f =180 mm; t f =9,5 mm; t w=4,75 mm

Flambagem Local Flambagem local da mesa (FLM) ∴ Mrkm=18161,5 kN.cm Flambagem local da alma (FLA) ∴ Mrka=18161,5 kN.cm Flambagem lateral por torção (FLT) ∴ Mrkflt=18161,5 kN.cm

Momento resistente de cálculo: M Rd=16510,5 kN.cm Momento solicitante de cálculo: M Sd=8814 kN.cm 29


Interação TOTAL

1a. Etapa de verificação: viga de aço isolada Verificação da flecha na viga de aço – ELS combinação para cálculo da flecha Peso próprio + Carga Permanente: q=13,33 kN/m 0,33 + 13

Flecha no meio do vão: δ=

5q ⋅ L4 = 1,1 cm 384 ⋅ E s ⋅ Iax

Flecha máxima: L δmax = = 2,07cm 300

30

15


Interação TOTAL

2a. Etapa de verificação: viga mista Determinar a largura efetiva da laje

b = mínimo [L/4; 0,5(L1 + L2 )] = 155 cm

Verificar: Cisalhamento na interface → QRd: mínimo (Tad, Cd) Cd =

0,85 f ck b ⋅ t c = 1505,7 kN 1,40

Tad =

( A f y ) a = 1134 ,6 kN 1,10

0,85 ⋅ f ck ⋅ b ⋅ t c (A ⋅ f y )a ≥ 1,40 1,10 1505,7 kN > 1134,6 kN → ok

∴ QRd=1134,6 kN

Resistência dos conectores → qRd=mínimo (ruptura do conector, esmagamento do concreto)  0,5A cs f ckEc = 1,0 ⋅ 32,1 = 32,1kN Cred ⋅  1 , 25 qRd ≤  C ⋅ A cs f u = 1,0 ⋅ 40,8 = 39,3 kN  red 1,25

qRd=32,1 kN

31


Interação TOTAL

2a. Etapa de verificação: viga mista Verificar: Número de conectores para interação completa → n=QRd/qRd n=

QRd = 35,4 para meia viga qRd

Posição da linha neutra plástica C d = 1505,7 kN

Tad = 1134,6 kN

Como Cd > Tad → LNP na laje de concreto a=

Tad 1134 ,6 ≤ tc → = 6,03 cm ≤ 8 cm 0,85 f ck b 0,85 ⋅ 2 ⋅ 155 1,40 1,40

Componente C cd: Ccd =

0,85 f ck b a 0,85 ⋅ 2 ⋅ 155 ⋅ 6,03 = = 1134,6 kN 1,40 1,40 32

16


Interação TOTAL

2a. Etapa de verificação: viga mista Verificar: Resistência ao momento fletor a  MRd = β vm Tad d1 + hF + t c −  2  6,03   33,1 +0+8− MRd = 1,0 ⋅ 1134,6 ⋅   2   2 MRd = 24433,6 kN

Momento resistente de cálculo: MRd=24433,6 kN.cm Momento solicitante de cálculo: MSd=15777 kN.cm 33


Viga BIAPOIADA Construção NÃO ESCORADA Interação PARCIAL

34

17


Interação PARCIAL

1a. Etapa de verificação: viga de aço VS 350 x39 Já verificada e ok!!!!



2a. Etapa de verificação: viga mista Viga de seção compacta Grau de interação: η=0,4 Largura efetiva: b=155cm Cisalhamento na interface: V hRd Tad=1134,6 kN Ccd=1505,4 kN ∴ VhRd=1134,6 kN Força a ser transferida pelos conectores: Q Rd=0,4*1134,6 = 453,8 kN

Resistência dos conectores: q Rd qRd=32,03 kN

Número de conectores → nco =

QRd 458,8 = = 14,2 qRd 32,03 35


Interação PARCIAL

2a. Etapa de verificação: viga mista Posição da LNP (duas linhas neutras) lembrar que C cd=QRd a: na laje de concreto a=

C cd 453,8 = = 2,41 cm 0,85 f ck b 0,85 ⋅ 2 ⋅ 155 1,40 1,40

Resultante de compressão na viga de aço

C ad =

 1 1  ( Af y )a − C cd  = ⋅ (1134,6 − 453,8 ) = 340,4 kN  2  1,10  2

yp: linha neutra na viga de aço – a partir da face inferior da laje Verificar se LNP está na mesa superior ou na alma Cad=340,4 kN Contribuição da mesa superior: (Af y)tf / 1,10=17,1*25/1,10=388,6 kN Se Cad ≤ (Af y)tf / 1,10 → linha neutra na mesa superior Caso contrário, LNP na alma ∴ LNP na mesa superior 36

18


Interação PARCIAL

2a. Etapa de verificação: viga mista LNP na mesa superior Posição de LNP yp =

C ad 340,4 t = ⋅ 0,95 = 0,76 cm ( A f y )tf f 427,5 1,10

Pto de aplicação da resultante de compressão na laje de concreto yc: y y c = p = 0,38 cm 2 Pto de aplicação da resultante de tração yt: yt =

h ⋅ t w ⋅ (0,5h + t f ) + b f ⋅ t f ⋅ (0,5t f ) + t f − y p ⋅ b f ⋅ d − t f − y p = 10,9 cm h ⋅ t w + b f ⋅ t f + b f ⋅ (t f − y p )

Resultante de compressão na laje = resistência da ligação aço-concreto Ccd=453,8 kN

37


Interação PARCIAL

2a. Etapa de verificação: viga mista Momento fletor resistente de cálculo 

 

MRd = 1,0 340,4 ⋅ (33,1 − 10,9 − 0,38 ) + 453,8 ⋅  8 −



2,41   + 0 + 33,1 − 10,9  2  

MRd = 20583,3 kN.cm

Momento resistente de cálculo: MRd=20583,3 kN.cm Momento solicitante de cálculo: MSd=15777 kN.cm

38

19


Interação PARCIAL

Síntese dos resultados: Momento solicitante de cálculo: M Sd=15777 kN.cm



Construção escorada: Viga VS 250 x 33 1. Interação completa: MRd=16925 kN.cm 60 conectores em toda a viga

2. Interação parcial : MRd=13158,4 kN.cm e 14624 kN.cm (η=0,5 e 0,8 respectivamente) Respectivamente, 30 e 47 conectores em toda a viga 

Construção NÃO escorada: VS 350 x 39 3. Interação completa : MRd=24433,6 kN.cm 71 conectores em toda a viga

4. Interação parcial : MRd=20583,3 kN.cm (η=0,4) 29 conectores em toda a viga 39

Vigas Vigas mistas mistas biapoiadas biapoiadas

Estado limite de serviço

40

20

Estado Estado limite limite de de serviço serviço 

Verificação de deslocamentos

Propriedades geométricas da seção transformada Região de momento positivo Construção escorada e interação total viga de aço isolada

Ief = Ia +

QRd (I − I ) VhRd tr a seção mista homogeneizada

VhRd=940,3kN Ia=4886,06 cm4

Cálculo da inércia transformada Itr E c = 4760 ⋅ f ck = 4760 ⋅ 20 = 21287,7MPa

n=

Es 205000 = = 9,63 E c 21287,4

b tr =

b 155 = = 16,1cm n 9,63 41



Propriedades geométricas da seção transformada Para região de momento positivo Cálculo da inércia transformada Itr Área de concreto transformada

A ctr = b tr ⋅ t c = 16,1 ⋅ 8 = 128,76cm 2

Posição da LNP da seção de aço: y a=12,5cm Centro de gravidade da seção transformada: ytr y tr =

A ⋅ y a + A ctr ⋅ (d + 0,5 t c + hF ) 41,37 ⋅ 12,5 + 128,76 ⋅ ( 25 + 0,5 ⋅ 8 + 0 ) = = 24,98cm A + A ctr 41,37 + 128,76

y tr < d → linha neutra na viga de aço

Distância do topo da laje até a LN caso esta esteja na laje: atr a tr = d + t c − y tr = 25 + 8 − 24,98 = 8,02cm

Momento de inércia da seção transformada: I tr b tr ⋅ t c 3 + A ctr ⋅ (d + t c + hF − y tr )2 12 16,1⋅ 83 + 128,76 ⋅ (25 + 8 + 0 − 24,98 )2 = 20298,3cm4 Itr = 4886,06 + 41,37 ⋅ (24,98 − 12,5)2 + 12 Itr = Ia + A ⋅ (y tr − y a )2 +

42

21



Propriedades geométricas da seção transformada Para região de momento positivo Inércia transformada Itr Itr = 20298,3cm 4 Inércia efetiva Ief Ief = Ia +



QRd 940,3 ⋅ (20298,3 − 4886,06 ) = 20298,3cm 4 (I − I ) = 4886,06 + VhRd tr a 940,3

Flecha máxima L/300 = 6200/300 = 2,07cm



Combinação de ações para cálculo da flecha Peso próprio + carga permanente + 0,4 * sobrecarga 0,33 + 19 + 0,4*4,44 = 21,11kN/m



Flecha na viga biapoiada δ=

5qL4 5 ⋅ 0,2111 ⋅ (620)4 = = 0,98cm < 2,07cm → ok!!! 384 ⋅ Es ⋅ Itr 384 ⋅ 20500 ⋅ 20298,3 43

Vigas Vigasmistas mistascom comcontinuidade continuidadenos nosapoios apoios intermediários intermediários Viga CONTÍNUA Análise ELÁSTICA-LINEAR

44

22

Vigas Vigascontínuas contínuas 

Análise ELÁSTICA-LINEAR

Sistema de piso misto 1

2

3

4

A

VE VS 400x49

VI VS 400x49

VE

m 0 1 = 5 , 2 x 4

B 3x9,0=27m

45



Ações: g1 = 6,5kN/m (permanente, atuante antes da cura do concreto) g2 = 5,0kN/m (permanente, atuante após a cura do concreto) q1 = 2,5kN/m (sobrecarga de construção, atuante antes da cura do concreto) q2 = 25,0kN/m (sobrecarga de utilização, atuante após a cura do concreto, 70% de curta duração)



Materiais: Aço das vigas: MR-250 (f y = 250MPa; f u = 400MPa) Laje mista: h=145mm (hF=75mm; capa de 70mm) Armadura da laje: CA-50 (f y = 500MPa) Concreto: C20 (f ck = 20MPa) – densidade normal (γγc = 24kN/m3) 46

23



Hipóteses: a) construção escorada b) a viga de aço é contida lateralmente na fase construtiva c) a viga de aço atende à verificação de força cortante



Seção transversal perfil soldado VS 400x49 A = 62 cm2 Ix = Ia = 17.390 cm4 Wx = 870 cm3 Zx = 970 cm3 Iy = 1.267 cm4 r y = 4,52 cm It = 14,61 cm4 47



Largura efetiva da laje (b ef ) Vãos da viga VE → L1= 9m VI → L2= 9m

Momento POSITIVO: POSITIVO Menor valor entre: 2 ⋅ 1 ⋅ 4 ⋅ L = 2 1 ⋅ 4 ⋅ 9 = 1,8m 1  8 5 b ef −1pos ≤  8 5 1 1  ⋅ (L d + L e ) = ⋅ (2,5 + 2,5) = 2,5m  2 2

b ef − 2pos

2 ⋅ 1 ⋅ 7 ⋅ L = 2 1 ⋅ 7 ⋅ 9 = 1,575m 2  8 10 ≤  8 10  1 ⋅ (L d + L e ) = 1 ⋅ (2,5 + 2,5 ) = 2,5m 2  2 48

24



Largura efetiva da laje (b ef ) Momento NEGATIVO: NEGATIVO Menor valor entre: 1 (9 + 9 )  1 (L1 + L2 ) m 22⋅⋅ 81⋅⋅ (L1 4+ L 2 ) == 22 ⋅⋅ 81 ⋅⋅ (9 4+ 9) == 11,,125 125 m  bef −1neg ≤  8 4 1 8 4 b ef −1neg ≤ 1 ( ) ( ⋅ + = ⋅ + L L 2 , 5 2 , 5 1 1 d e 2 ⋅ (L d + L e ) = 2 ⋅ (2,5 + 2,5)) == 22,,55m m  2

2

1 (9 + 9 )  1 (L1 + L 2 ) =2 ⋅ = 1,125m 2 ⋅ 8 ⋅ 4 8 4 bef −2neg ≤   1 ⋅ (L d + L e ) = 1 ⋅ (2,5 + 2,5 ) = 2,5m  2 2 49



Inércia da seção mista NÃO FISSURADA ηE =

b tr

E s 20500 = = 9,63 Ec 2128,7

c t f a h

 ⋅ 1⋅ = ⋅ 1⋅ = 2 L1 2 9 2,25 m  8 → b ef = 2,25 m bef ≤  8  1 ⋅ (L d + L e ) = 1 ⋅ (2,5 + 2,5 ) = 2,5 m  2 2 b tr =

b ef 225 = = 23,36 cm ηE 9,63

a

d

d

r t

y

a

y

f t

b f

y a = 0,5 ⋅ d = 0,5 ⋅ 40 = 20 cm

A ctr = b tr ⋅ t c = 23,36 ⋅ 7 = 163,55 cm2 y tr =

A ⋅ y a + A ctr ⋅ (d + 0,5t c + hF ) 62 ⋅ 20 + 163,55 ⋅ (40 + 0,5 ⋅ 7 + 7,5 ) = = 42,48 cm A + A ctr 62 + 163,55 50

25



Inércia da seção mista NÃO FISSURADA a = d + t c + hf − y tr = 40 + 7 + 7,5 − 42,48 = 12,02 cm btr

Posição da LN transformada

c t f a h

ytr (42,48) > d (40 cm) → LN na laje

a

d

d

r t

y

a

y

b ⋅ a3 Itr = Iax + A ⋅ (y tr − y a ) + tr + b tr ⋅ a ⋅ (0,5 ⋅ a)2 12

f t

bf

2

Itr = 17390 + 62 ⋅ (42,48 − 20 )2 +

23,36 ⋅ 12,023 + 23,36 ⋅ 12,02 ⋅ (0,5 ⋅ 12,02 )2 = 61266 cm 3 12 51



Momento fletor solicitante de cálculo Combinação última normal Carga distribuída q = 1,35 ⋅ (g1 + g2 ) + 1,5 ⋅ q2 = 1,35 ⋅ (6,5 + 5,0) + 1,5 ⋅ 25 = 53kN / m 53 kN/m

Usando Itr =61266 cm4 e Atotal=Actr +As= 163,55+62=225,55 cm2 52

26



Momento fletor resistente positivo Tramo 01 Largura efetiva positiva: b1pos=180 cm Resultantes de tração (Tad) e compressão (Ccd): ( A f ) 62 ⋅ 25 = ( A f yy )aa = 62 ⋅ 25 = 1409,1kN T Tad ad = 1,10 = 1,10 = 1409,1 kN 1,10 1,10

C cd =

0,85 ⋅ f ck ⋅ b ⋅ t c 0,85 ⋅ 2,0 ⋅ 180 ⋅ 7 = = 1530 kN 1,40 1,40

Posição da LN: como T ad < Ccd → LN na laje a=

1409,1 = 6,45 cm ≤ t c = 7 cm 0,85 ⋅ 2 ⋅ 180 1,40 53



Momento fletor resistente positivo Tramo 01 Valor de β vm → 0,95 para vigas contínuas a  MRd = β vm Tad d1 + hF + t c −  2  6,45   MRd = 0,95 ⋅ 1409,1⋅ 20 + 7,5 + 7 − = 41869 kN ⋅ cm 2  

54

27



Momento fletor resistente positivo Tramo 02 Largura efetiva positiva: b2pos=157,5 cm Resultantes de tração (Tad) e compressão (Ccd): Tad =

( A f y )a 62 ⋅ 25 = = 1409,1 kN 1,10 1,10

Ccd =

0,85 ⋅ f ck ⋅ b ⋅ t c 0,85 ⋅ 2,0 ⋅ 157,5 ⋅ 7 = = 1338,7 kN 1,40 1,40

Posição da LN: como T ad > Ccd → LN na viga de aço Compressão na viga de aço C ad: Cad =

 1 1  (Af y )a ⋅ − Ccd  = ⋅ [1409,1 − 1338,7] = 35,2 kN 2  1,10  2 55



Momento fletor resistente positivo Tramo 02 Posição da LN na viga de aço → na mesa ou na alma? Cad (35,2) <

( A f y )tf 20 ⋅ 0,95 ⋅ 25 = = 431,8 kN 1,10 1,10

→ LNP mesa superior yp =

Cad 35,2 ⋅ 0,95 = 0,08 cm t = ( A f y )tf f 20 ⋅ 0,95 ⋅ 25 1,10 1,10

y c = 0,5 ⋅ y p = 0,5 ⋅ 0,08 = 0,04 cm

yt =

h ⋅ t w ⋅ (0,5h + t f ) + 0,5 ⋅ b f ⋅ t f 2 + (t f − y p ) ⋅ b f ⋅ (d − t f − y p ) h ⋅ t w + b f ⋅ t f + (t f − y p ) ⋅ b f

yt =

38,1 ⋅ 0,63 ⋅ (0,5 ⋅ 38,1 + 0,95 ) + 0,5 ⋅ 20 ⋅ 0,95 2 + (0,95 − 0,08 ) ⋅ 20 ⋅ (40 − 0,95 − 0,08 ) = 18,9 cm 38,1⋅ 0,63 + 20 ⋅ 0,95 + (0,95 − 0,08 ) ⋅ 20 56

28



Momento fletor resistente positivo Tramo 02 Valor de β vm → 0,95 para vigas contínuas 

 t c  + hF + d − y t   2 

MRd = βvm Cad (d − y t − y c ) + Ccd 



  7  MRd = 0,95 ⋅ 35,2 ⋅ (40 − 18,9 − 0,04 ) + 1338,7 ⋅  + 7,5 + 40 − 18,9  = 41527 kN ⋅ cm  2  

Resumo de momentos positivos: Tramo 01: MRd1pos=41869 kN.cm Tramo 02: MRd2pos=41527 kN.cm

57



Momento fletor resistente negativo Apoio 02 Largura efetiva negativa: b 1neg=157,5 cm Verificação da flambagem lateral com distorção Cálculo da altura hp: altura da porção comprimida da alma

y hp =

b f ⋅ t f ⋅ (0,5 ⋅ t f ) + d ⋅ t w ⋅ (0,5 ⋅ h + t f ) + b f ⋅ t f ⋅ (d − 0,5 ⋅ t f ) + A sL ⋅ (d + da ) A + A sL

y hp =

20 ⋅ 0,95 ⋅ (0,5 ⋅ 0,95 ) + 40 ⋅ 0,63 ⋅ (0,5 ⋅ 38,1 + 0,95 ) + 20 ⋅ 0,95 ⋅ (40 − 0,5 ⋅ 0,95 ) + 9,8 ⋅ (40 + 12,5 ) 62 + 9,8 AsL

yhp = 24,77 cm

a

d

hp = 2 ⋅ (y hp − t f ) = 2 ⋅ (24,77 − 0,95 ) = 47,64 cm

d

p h

y

Se

hp E ≤ 3,76 ⋅ s = 108 → sem FLD tw f y

f t

bf 58

29



Momento fletor resistente negativo Apoio 02 Força resistente nas barras da armadura longitudinal: T ds

Tds At f y/1,10 f y/1,10 d1 ypn d2 d3

Tds =

Posição da LNP: medida a partir do topo da viga de aço

Ac f y/1,10

yc

A sL ⋅ f ys 9,84 ⋅ 50 = = 427,8 kN 1,15 1,15

f y/1,10

y pn = t f +

2 ⋅ A f ⋅ f y 2 ⋅ 0,95 ⋅ 20 ⋅ 25 1409,1 − 427,8 − 1,10 = 0,95 + 1,10 = 5,06 cm 2 ⋅ t w ⋅ f y 2 ⋅ 0,63 ⋅ 25 1,10 1,10

Tad − Tds −

Porção de área tracionada A at = t f ⋅ b f + (ynp − t f ) ⋅ t w = 0,95 ⋅ 20 + (5,06 − 0,95) ⋅ 0,63 = 21,59 cm2

Porção de área comprimida ,59,59 41 ,cm = 40 = AA−−AAatat==6262− 21 − 21 = ,40 A ac 412cm 2 ac = 59


Momento fletor resistente negativo Apoio 02

Análise ELÁSTICA-LINEAR Tds At f y/1,10

Posição do CG da área tracionada 0,5b f ⋅ t f 2 + t w ⋅ (y np − t f ) ⋅ [0,5 ⋅ (y np − t f ) + t f ] y at = A at

f y/1,10

d1

ypn

d2 d3 Ac f y/1,10

yc f y/1,10

y at =

0,5 ⋅ 20 ⋅ 0,95 2 + 0,63 ⋅ (`5,06 − 0,95 ) ⋅ [0,5 ⋅ (5,06 − 0,95 ) + 0,95 ] = 0,78 cm 21,59 Posição do CG da área comprimida

y ac =

0,5b f ⋅ t f 2 + t w ⋅ 0,5 ⋅ (d − y np − t f )2 + t f A ac

y ac =

0,5 ⋅ 20 ⋅ 0,95 2 + 0,63 ⋅ [0,5 ⋅ (40 − 5,06 − 0,95)2 + 0,95] = 9,24 cm 40,41 60

30

Vigas Análise ELÁSTICA-LINEAR Vigascontínuas contínuas Momento fletor resistente negativo



Apoio 02

1125

distância do CG da armadura a LNP d1 = y pn + da = 5,06 + 12,5 = 17,56 cm

Tds At LNP

At f y/1,10

distância da área tracionada a LNP

d2 = y pn − 0,5 ⋅ y at = 5,06 − 0,5 ⋅ 0,78 = 4,67 cm

f y/1,10

yt

d1

ypn

d2 d3

Ac

Ac f y/1,10

yc

distância da área comprimida a LNP

f y/1,10

d3 = d − y pn − y ac = 40 − 5,06 − 9,24 = 25,7 cm

MRd,neg = Tds d1 +

A at f y d2

γa

MRd,neg = 427,8 ⋅ 17,56 +

+

A ac f y d3

γa

21,59 ⋅ 25 ⋅ 4,67 40,41⋅ 25 ⋅ 25,7 + = 33406,8 kN ⋅ cm 1,10 1,10

Resumo de momentos negativos: Apoio 02: M Rd,neg=33406,8 kN.cm 61



Momentos solicitantes após redistribuição Para seç seção compacta e modelo não fissurado Classe da seção mista: M neg Modelo não fissurado

Compacta 30%

Valores iniciais

Redistribuiç Redistribuição de momentos negativos Apoios 2 e 3: MSd1−red = 0,7 ⋅ MSdneg = 0,7 ⋅ 429,3 = 300,5 kN ⋅ cm MSd2−red = 0,7 ⋅ MSdneg = 0,7 ⋅ 429,3 = 300,5 kN ⋅ cm 62

31



Momentos solicitantes após redistribuição Redistribuiç Redistribuição de momentos positivos Viga V2: interna MSd,pos,Re d = MSd,pos + 0,3MSdneg = 107,3 + 0,3 ⋅ 429,3 = 236,1 kN ⋅ cm Viga V1: externa --------------fazer --------------fazer equilí equilíbrio de momentos

= 397 ⋅ cm MM ,1 kN = 397 ⋅ cm ,1 kN Sd,Sd pos ,red,red ,pos 63

Vigas Vigascontínuas contínuas




Diagrama de momentos solicitantes após redistribuição



Verificação dos momentos fletores Tramo 01: Momento positivo solicitante: M Sd1pos=397,1 kN.m Momento positivo resistente: MRd1pos=418,7 kN.m

Tramo 02:

Momento positivo solicitante: M Sd2pos=236,1 kN.m Momento positivo resistente: MRd2pos=415,3 kN.m

Apoio 02:

Momento negativo solicitante: MSd2neg=300,5 kN.m Momento negativo resistente: MRd2neg=334,1 kN.m 64

32



Diagrama de momentos solicitantes após redistribuição

65

Vigas Vigasmistas mistascom comcontinuidade continuidadenos nosapoios apoios intermediários intermediários Viga CONTÍNUA Análise RÍGIDO-PLÁSTICA Modelo NÃO FISSURADO

66

33


Análise RÍGIDO-PLÁSTICA

Procedimento Determinar: Momentos fletores solicitantes de cálculo Inércia da seção mista (fissurada ou não fissurada) Momentos resistentes positivos Momentos resistentes negativos Capacidade resistente da viga: momento resistente negativo (MRdv) Esforços solicitantes (valores de cálculo) Calcular os momentos

67



Determinar a resistência ao momento fletor com base no método rígido-plástico. Sistema de piso misto 1

2

3

4

A

VE VS 400x49

VI VS 400x49

VE

m 0 1 = 5 , 2 x 4

B 3x9,0=27m

68

34



Ações: g1 = 6,5kN/m (permanente, atuante antes da cura do concreto) g2 = 5,0kN/m (permanente, atuante após a cura do concreto) q2 = 25,0kN/m (sobrecarga de utilização, atuante após a cura do concreto, 70% de curta duração)



Materiais: Aço das vigas: MR-250 (f y = 250MPa; f u = 400MPa) Laje mista: h=145mm (hF=75mm; capa de 70mm) Armadura da laje: CA-50 (f y = 500MPa) Concreto: C20 (f ck = 20MPa) – peso normal (γγc = 24kN/m3)



Seção transversal

perfil soldado VS 400x49 A = 62cm2 Ix = Ia = 17.390cm4 Wx = 870cm3 Zx = 970cm3 69



Largura efetiva da laje (bef ) Vãos da viga VE → L1= 9m VI → L2= 9m

Momento positivo:

b tr

Viga VE: bef-1pos=1,8m Viga VI: bef-1pos=1,575m

c t f a h

a

d

Momento negativo: Apoio 2: bef-2neg=1,125m Apoio 3: bef-3pos=1,125m 

Inércia da seção mista NÃO FISSURADA ηE =

E s 20500 = = 9,63 E c 2128,7

y a = 20cm

b ef = 2,25m

A ctr = 163,55 cm2

b tr = 23,36 cm

y tr = 42,48 cm

d

r t

y

a

y

f t

b f

a = 12,02 cm

Itr = 61266 cm 3 70

35



Momento fletor solicitante de cálculo Combinação última normal 53 kN/m

q = 1,35 ⋅ (g1 + g2 ) + 1,5 ⋅ q2



Momento fletor resistente positivo Tramo 01 → LN na laje Ccd = 1530 kN

Tad = 1409,1kN

a = 6,45 cm

MRd1pos = 41869 kN ⋅ cm 71



Momento fletor resistente positivo Tramo 02 → LN na viga de aço: na mesa superior



Tad = 1409,1 kN

y p = 0,08 cm

C cd = 1338,7 kN

y c = 0,04 cm

C ad = 35,2 kN

y t = 18,9 cm

MRd2pos = 41527 kN ⋅ cm

AsL

a

d

Momento fletor resistente negativo Apoio 02 hp = 47,64 cm

d

p h

A at = 21,59 cm2

y at = 0,78 cm

y pn = 5,06 cm

A ac = 40,41 cm 2

d1 = 17,56 cm

Tds = 427,8 kN

y ac = 9,24 cm

d2 = 4,67 cm

y f t

bf

MRd,neg = 33406,8 kN ⋅ cm

d3 = 25,7 cm 72

36



Momentos fletores resistentes Resumo de momentos positivos: Tramo 01: MRd1pos=41869 kN.cm Tramo 02: MRd2pos=41527 kN.cm

Resumo de momentos negativos: Apoio 02: M Rd,neg=33406,8 kN.cm 

Obs.: No sistema contínuo, a ligação é de resistência total, portanto a rótula plástica está associada à viga e não à ligação. O momento negativo corresponde à capacidade da viga. Portanto:

MRdv=33406,8 kN.cm 73



Momentos solicitantes Momento no tramo interno 53,0 kN/m MSd,q = 9,0 m

MRd,v

q

q ⋅ L2 53 ⋅ 9 2 = = 536,88 kN.m 8 8

MRd,v

53

334

334

9,0 m

MSd = MSd,q − MRd,v ⋅

(L − z ) L

MSd,max + = 536,88 − 334 ⋅ MRd2pos = 415,27 kN ⋅ m

− MRd,v ⋅

(9 − 4,5 ) 9

z L

− 334 ⋅

No meio do vão → z=4,5

4,5 = 202,9 kN.m 9

MSd,max + < MRd2pos → ok! 74

37



Momentos solicitantes Momento no tramo interno

Momento no tramo externo q

53

MRd,v

334

9,0 m

334

334

382,6 382,6



Momentos solicitantes Momento no tramo externo MRd1pos = 418,7 kN ⋅ m



75

MSd,max +1 = 382,6 kN.m

MSd,max + < MRd1pos → ok!

Verificação dos momentos fletores Tramo 01: Momento positivo solicitante: M Sd1pos=382,6 kN.m Momento positivo resistente: M Rd1pos=418,7 kN.m

Tramo 02: Momento positivo solicitante: M Sd2pos=202,9 kN.m Momento positivo resistente: M Rd2pos=415,3 kN.m

Apoio 02: Momento negativo solicitante: M Sd2neg=334 kN.m Momento negativo resistente: M Rd2neg=334 kN.m 76

38



Momentos solicitantes

77

Vigas Vigasmistas mistascom comcontinuidade continuidadenos nosapoios apoios intermediários intermediários Viga SEMICONTÍNUA Análise RÍGIDO-PLÁSTICA Modelo NÃO FISSURADO

78

39

Vigas Vigas semicontínuas semicontínuas 


Verificar a resistência ao momento fletor admitindo: Sistema semicontínuo Método rígido-plástico ligação mista → semi-rígida e de resistência parcial

Detalhe similar às ligações pré-qualificadas (com capacidade de rotação adequada) 1

2

3

4

A

VE VS 400x49

VI VS 400x49

VE

m 0 1 = 5 , 2 x 4

B 3x9,0=27m

79



Detalhe da ligação viga-viga 8φφ12,5 (CA50)

6φ12,5(CA50)

y3=120

L75x75x6,3(L=240) A.L.

d=400

L150x100x8(L=190)



No sistema semicontínuo: a rótula plástica está associada à ligação, que é de resistência parcial, portanto, é necessário determinar o momento resistente de cálculo da ligação. 80

40



Ações: g1 = 6,5kN/m (permanente, atuante antes da cura do concreto) g2 = 5,0kN/m (permanente, atuante após a cura do concreto) q2 = 25,0kN/m (sobrecarga de utilização, atuante após a cura do concreto, 70% de curta duração)



Materiais:

Aço das vigas: MR-250 (f y = 250MPa; f u = 400MPa) Laje mista: h=145mm (hF=75mm; capa de 70mm) Armadura da laje: CA-50 (f y = 500MPa) Concreto: C20 (f ck = 20MPa) – peso normal (γc = 24kN/m3)



Seção transversal: perfil soldado VS 400x49 A = 62 cm2 Ix = Ia = 17.390 cm4 Wx = 870 cm3 Zx = 970 cm3 81



Momento fletor positivo Tramo 01 → LN na laje Tad = 1409,1 kN

Ccd = 1530 kN

h p / t w

≤ 3,76 E / f y

a = 6,45 cm


Tramo 02 → LN na viga de aço: na mesa superior Tad = 1409,1 kN

Ccd = 1338,7 kN

Cad = 35,2 kN

y p = 0,08 cm

y c = 0,04 cm

y t = 18,9 cm


82

41



Momentos fletores resistentes Resumo de momentos positivos: Tramo 01: MRd1pos=41869 kN.cm Tramo 02: MRd2pos=41527 kN.cm

Obs.: Sistema semicontínuo → ligação semi-rígida e de resistência parcial, Portanto a rótula plástica está associada à ligação mista. Sendo assim, é preciso determinar o momento fletor resistente da ligaç ligação mista

83



Momento fletor resistente da ligação mista

MRdlig−1 =

f ys ⋅ A sl ⋅ (d + da ) 50 ⋅ 9,81⋅ (40 + 12,5 ) = = 23428 kN.cm 1,10 1,10 84

42



Momento fletor solicitante A resistência da ligação mista será usada para determinar os momentos fletores solicitantes

Momento no tramo interno 53,0 kN/m

MSd,q =

q ⋅ L2 53 ⋅ 9 2 = = 536,88 kN.m 8 8

9,0 m

MRd,lig

234

MRd,lig

234

53

q 9,0 m

MSd = MSd,q − MRd,v ⋅

(L − z ) L

MSd,max+ = 536,88 − 234 ⋅

− MRd,v ⋅

z L

(9 − 4,5 ) − 9

MRd2pos = 415,27 kN ⋅ m

234 ⋅

No meio do vão → z=4,5m

4,5 = 302,9 kN.m 9

MSd,max + < MRd2pos → ok! 85



Momento fletor solicitante Momento no tramo interno

1,11 m

Momento no tramo externo MRd,lig

53

234

q 9,0 m

86

43

Vigas Mistas Exemplos

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