UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA – ENERGÍA DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE INGENIERÍA MECÁNICA
Curso: Dinámica (M 4119)
Periodo Académico 2011-A
Vibraciones Mecánicas DEFINICIONES PREVIAS A) Movimiento periódico.- Es aquel que se repite en iguales intervalos de tiempo, llamados periodo. B) Movimiento vibratorio u oscilatorio .- Es aquel movimiento periódico que constantemente cambia de sentido. C) Movimiento armónico.armónico.- Es aquel movimiento de tipo matemático que tiene lugar según una función armónica ( seno o coseno). x ; y ; θ (coordenada)
MOVIMIENTO PERIODICO PURO
A T
MOVIMIENTO VIBRATORIO
A
T
T
A
Fig. 1. Tipos de movimiento vibratorio
1
MOVIMIENTO ARMONICO
t
Modelo elemental de un movimiento oscilatorio (De un grado de libertad) Posición de equilibrio (P.E.) L Longitud natural del resorte (δ = 0)
Superficie horizontal de oscilación sin fricción
Fig. 2. El más elemental sistema vibratorio
Elementos de un movimiento oscilatorio •
Fig. 4a. La coordenada
Posición de Equilibrio (P.E.).- Es el punto
que define la oscilación del péndulo es el ángulo θ.
en donde la deformación del sistema vibratorio es nulo. •
Fuerza restauradora o recuperadora.Es la fuerza que permite que el movimiento retorne a su posición de equilibrio luego de haberla alejado cierta longitud.
•
Amplitud (A ).- Es el máximo desplazamiento del móvil oscilante con respecto a su posición de equilibrio.
•
VIBRACIÓN TORSIONAL
Periodo (T ).- Es el tiempo en que el móvil realiza una oscilación completa.
•
Frecuencia ( f ).- Es el número de oscila-
Fig. 4b. De igual modo que en 4a, θ define la oscilación del péndulo torsional.
ciones o ciclos realizados por el móvil en la unidad de tiempo. Se expresa en hertz (1 Hz = 1 ciclo /segundo = 1 s -1).
f = 1 / T Sistemas de n grados de libertad.-
Movimiento oscilatorio por su modo de vibración Sistemas de un grado de libertad.- Son sistemas que requieren tan solo de una coordenada que definan su movimiento.
Fig. 5. El sistema oscilatorio mostrado es de dos grados de libertad, ya que requiere de las coordenadas x 1 y x 2 para definir su movimiento.
Fig. 6. El sistema mostrado tiene dos grados de libertad, ya que las coordenadas que define sus oscilaciones son y ; .
Fig. 3. La coordenada que define las oscilaciones del carrito es la deformación x .
2
Fig. 10. Sistema que oscila, además, por la acción de una fuerza periódica, y por ello la oscilación es forzada.
MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE (MAS) Es el tipo más sencillo de movimiento oscilatorio, y sucede cuando la fuerza recuperadora de la oscilación es proporcional al desplazamiento x (es decir, el resorte obedece a la Ley de Hooke) respecto al punto de equilibrio, y asimismo no hay pérdida de energía mecánica 2.
Fig. 7. Sistema de n grados de libertad (n = 6).
Vibración continua
Fig. 8. Al liberar el extremo libre, la varilla puede oscilar en forma indefinida en el plano vertical.
En el curso se estudiarán los siguientes tipos de movimiento vibratorio, y todos con un grado de libertad:
Fig. 11. Bloque en MAS
Movimiento armónico simple (MAS), que se caracteriza porque puede realizarse indefinidamente, sin pérdida de energía mecánica 1. El modelo elemental presentado en la fig. 2 es un ejemplo de MAS.
F = kx
Movimiento oscilatorio amortiguado (fig. 9), en el cual la energía del sistema vibrante disminuye en cada oscilación del móvil debido a una fuerza amortiguadora.
Fig. 12. DCL del bloque en MAS.
Amortiguador
En la fig. 12, el bloque es desplazado una distancia x hacia la derecha (dirección positiva). La fuerza recuperadora del resorte de masa despreciable F = kx siempre se dirige hacia P.E., mientras que la aceleración x tiene su sentido positivo coincidente con el de x . Luego, al aplicar la Segunda Ley de Newton se tiene:
Fig. 9. Sistema que oscila adherido a un amortiguador, y por ello la oscilación es amortiguada.
Movimiento oscilatorio forzado (fig. 10), el cual se mantiene así por la acción
Despejando
de una fuerza de acción periódica ( F (t )), llamada fuerza excitatriz .
se obtiene:
2 Al pretender hacer oscilar una masa en un MAS, en
1 Durante el estiramiento y la compresión, el resorte se
realidad veremos que al cabo de un largo tiempo la amplitud disminuye debido a la fricción del aire sobre la masa.
calienta, lo cual hace que la energía total del sistema disminuya en una magnitud casi despreciable.
3
ECUACIÓN DIFERENCIAL (ED) DEL MOVIMIENTO
(I)
Ecuación que se puede escribir como:
El coeficiente se llama frecuencia natural , y representa el número de radianes por segundo que la partícula giraría si tuviera un movimiento circular uniforme (MCU).
APLIACIONES DEL MAS A) Oscilación vertical de un bloque suspendido en un resorte o cuerda elástica de
masa despreciable
L
Posición de equilibrio sin masa
Posición de equilibrio con la masa m . El resorte se alarga la longitud y 0.
mg
La masa oscila respecto a la posición de equilibrio con un desplazamiento: y´ = y - y 0.
Fig. 13. Masa que oscila en un plano vertical con movimiento armónico simple.
Aplicando la 2da Ley de Newton se tiene: 2
d y´
Haciendo: y = y´ + y 0 se obtiene:
dt
k m
y´
y´ = A cos( t + )
Cuya solución es: Asimismo:
2
=−
ω = 2
k m
⇒
2π = ω = T
4
k m
⇒
T = 2π
m k
B) Oscilación de un péndulo simple (Ángulo de oscilación máximo: 10°) 2da Ley de Newton:
− mgsenφ = mat = m
d 2 s
= mL
2
dt
d 2φ dt 2
2
g = − senφ dt 2 L
d φ
(*)
Como φ ≤ 10°, senφ ≈ φ. Luego, la ecuación anterior se puede escribir como: 2
g = − φ 2 dt L
d φ Cuya solución es:
= A cos(
t
+
)
0
Fig. 14. Oscilación de un péndulo simple.
Asimismo:
ω 2 =
g
⇒
L
g 2π = T L
ω =
T = 2π
⇒
L g
Para oscilaciones cuya amplitud angular es mayor de 10°, la ecuación (*) debe ser resuelta en su forma original. La solución de ésta se obtiene mediante series de potencias, la cual es aproximadamente:
T = 2π
L
1
2 φ
1
3
1 + 2 sen + 2 g 2 2 2 4
2
sen
4
φ + ........ 2
C) Oscilación de un péndulo físico Cuando un cuerpo rígido es suspendido de un punto lejano de su centro de masa y se le desplaza de su posición de equilibrio, este péndulo recibe el nombre de péndulo físico. Consideremos un cuerpo rígido que oscila alrededor de un eje situado a la distancia D del centro de masa. Teniendo en cuenta que el ángulo de oscilación φ ≤ 10°, aplicando la 2da Ley de Newton para un cuerpo rígido O en rotación se tiene:
∑ M
O
= I Oα
− mg ( Dsenφ ) = I O
mg
⇒ Fig. 15. Oscilación de un péndulo físico.
5
2
d φ 2
dt
mgD φ = − 2 dt I O 2
d φ
2
2π mgD ω = = I O T
T = 2π
2
De donde:
⇒
I O mgD
Nota importante.- La relación obtenida para el periodo del péndulo físico nos permite calcular experimentalmente el momento de inercia de un cuerpo de forma irregular, así como también conocer su radio de giro centroidal mediante la aplicación del Teorema de Steiner.
D) Oscilación de un péndulo de torsión Considérese ahora un cuerpo rígido suspendido en un plano horizontal, y adherido a un resorte que solo puede deformarse por torsión. Al desplazar al cuerpo de su posición de equilibrio, el péndulo formado recibe el nombre de péndulo torsional . Su periodo se calcula del mismo modo que el del péndulo físico.
∑ M
eje
= I ejeα
− K θ = I eje
2
dt
T = 2π
De donde:
Fig. 16. Oscilación de un péndulo
d 2θ
torsional.
⇒
K θ = − 2 dt I eje
d 2θ
I eje K
Siendo K la constante elástica torsional del péndulo, expresada en N .m /rad .
E) Métodos energéticos en el MAS Sabiendo que en un MAS la energía mecánica se conserva, el Principio de Conservación de la Energía ofrece un método alternativo en la solución de problemas que requieren calcular el periodo o la frecuencia de oscilación de sistemas mecánicos, principalmente de cuerpos rígidos.
Aplicación: Consideremos ahora la masa del resorte de longitud L de un sistema vibratorio común masa–resorte. Si λ es la masa por unidad de longitud del resorte, la masa del resorte es λL . Luego, la energía cinética del sistema viene dada por: T del sistema
= T de la masa + T del resorte L
1 1 ]2 (λ de )[(e / L )x = m x 2 + 2 20
∫
siendo (e /L )x el desplazamiento en un punto intermedio del resorte a una distancia e del extremo superior de éste. Para calcular el periodo del sistema, al aplicar el Principio de Conservación de la Energía se tiene: T máx T máx
= V g máx (*) =
1 2
2
máx m x
+
Fig. 17. Sistema que
1 2
L
2
máx / L ) λ (x
∫ e de 2
0
6
vibra con MAS, pero considerando la masa del resorte.
T máx
=
1 1 1 1 2 2 máx + λ (x máx / L )2 (L 3 / 3) = m + λ L x máx m x 2 2 2 3
V g máx
=
1 2 kA 2
Para un MAS, si su ecuación de movimiento es de la forma x = A sen(ωt ), la velocidad máxima x máx será: x máx = ω A . Al llevar las energías máximas en (*) se obtiene:
1 1 1 2 2 m + λ L (ω A) = kA 2 3 2
ω =
⇒
2π = T
k 1
m + λ L 3
Como la masa del resorte es λL , la fórmula del periodo del péndulo será: m+ T = 2π
y su brazo AB está horizontal en la posición de equilibrio, y los resortes están sin deformar. Si en t = 0 el brazo AB es girado 2º, y se le suelta del reposo, y suponiendo oscilaciones de pequeña amplitud angular, determinar:
PROBLEMAS PROPUESTOS Vibraciones armónicas 1.
1 mres. 3 k
Un bloque de 10 kg de masa se desliza sobre una superficie horizontal lisa, según se muestra. Ambos resortes están estirados en todo momento, y las poleas son ideales. Si el bloque se desplaza 75 mm (←) de su posición de equilibrio, y se le da una velocidad de 1,25 m /s (→) cuando t = 0, determinar:
a) La ED del movimiento de la barra ABC. b) El periodo de vibración de la barra. c) La posición angular θ(t ) de la barra función del tiempo, así como su velocidad angular y aceleración angular.
10 kg
3.
a) La ED del movimiento del bloque, y a partir de ella, indicar la posición del bloque en función del tiempo b) El periodo de la vibración resultante. 2.
Una barra esbelta de 3 kg de masa está atornillada a un disco uniforme de 5 kg . A éste está sujeto un resorte de constante k = 280 N /m , que está sin deformar en la posición mostrada. Si el extremo B de la varilla recibe un pequeño desplazamiento θ = 5º, y se suelta del reposo, determinar: a) La ED del movimiento de la varilla. b) El periodo y la amplitud de la vibración resultante. c) La posición de la varilla θ en función del tiempo.
El bloque de 25 N de peso mostrado se desliza por una superficie horizontal lisa, mientras que el bloque de 15 kg pende en un plano vertical. La barra ABC es de masa despreciable,
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SE RECOMIENDA RESOLVER LOS SIGUIENTES PROBLEMAS APLICANDO EL PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA 4.
Dos varillas uniformes AB y CD de masa m y longitud l cada una, están sujetas a sendos engranajes, según se muestra. Sabiendo que la masa del engranaje A es m , la del engranaje C es m /4, y los engranajes pueden modelarse como discos macizos, calcular el periodo de las oscilaciones de cada uno de los sistemas propuestos.
6.
Una barra uniforme de 3 kg está soldada en C a un eje de masa despreciable, que a su vez está soldada a los centros de dos discos uniformes de 6 kg A y B. Sabiendo que los discos ruedan sin deslizar, calcular el periodo de las pequeñas oscilaciones del sistema.
7.
La barra AB de 10 kg de masa está unida a los dos discos de 4 kg , según se muestra. Si los discos ruedan sin deslizar, calcular el periodo de las pequeñas oscilaciones del sistema.
8.
Determinar el periodo de pequeñas oscilaciones en el plano vertical de una placa plana cuadrantal homogénea de masa m y radio R , al pivotarla en los siguientes puntos:
PRIMER CASO
SEGUNDO CASO 5.
Determinar el periodo de pequeñas oscilaciones de la placa plana mostrada, de lado a , alojada en un eje paralelo a uno de sus lados, que dista b de su centro de gravedad.
a) En su centro geométrico.
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b) En uno de sus bordes cercanos al arco del cuadrante. 9.
Suponga usted que en los bordes del arco de la placa del problema anterior se colocan dos resortes lineales de constante k , de masa despreciable, perpendiculares a los lados del cuadrante. Determinar el nuevo periodo de oscilación de la placa en estas condiciones.
10. Un semidisco de radio r y masa m descansa sobre los rodillos A y B, cada uno de los cuales es un disco uniforme de radio r /4 y masa m /8. El semidisco se hace girar un ángulo pequeño y después se suelta para que ruede sobre los discos sin deslizar, calcular la frecuencia de pequeñas oscilaciones del sistema.
11. Resuelva el problema anterior, si ahora los rodillos son retirados, y se deja al semidisco oscilar sin deslizar. 12. Un disco uniforme de radio r y masa m puede rodar sin deslizar sobre una curva cilíndrica, y está conectado a una barra ABC de longitud L y masa despreciable. La barra está unida a un resorte de constante elástica k , y puede girar libremente en el plano vertical alrededor del punto B. Si al extremo A se le aplica un pequeño desplazamiento y luego se suelta, determinar la frecuencia de pequeñas oscilaciones del sistema. EL PROFESOR DEL CURSO: JMCM Bellavista, 1º de julio del 2011
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