VIBRACIONES Vibraciones Mecánicas
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Agradecimiento Un agradecimiento especial de parte de Jorge Guamanquispe Toasa, a todos los autores de obras de las cuales se ha recopilado esta información, así como también a quienes facilitan la información mediante la publicación de normas relacionadas con el tema.
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VIBRACIONES
Por: Jorge Guamanquispe Toasa Ingeniero Mecánico Magister en Diseño Mecánico Mecánico
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Índice Contenido Capítulo Capítulo 1 ..................................................................................... ..................................................................................... 1 1.
Generali Gen eralidades dades....................................................................... 1 1.1 Con Conceptos ceptos básicos básicos .............................................................. 1 1.2 Elemen E lementos tos básicos básicos de un elemento o sistema vibratorios ..... 4 1.3 Clasificación de las vibraciones mecánicas ............ ...... ............. ............. ...... 7 1.3.1 Vibraci Vibraciones ones libres libres........................................................ 7 1.3.2 Vibraci Vibraciones ones forzadas forzadas ................................................... 9 1.4 Parámetros en sistemas vibratorios ................................... 11 1.4.1 Movimien Movimiento to Armónic Armónicoo .............................................. 12 1.4.2 Grados Grados de libertad libertad ..................................................... 16
Capítulo Capítulo 2 ................................................................................... ................................................................................... 19 2.
Modelado de Sistemas Vibratorios ..................................... 19 2.1 Modelado Modelado ......................................................................... 19 2.1.1 Método basado en la ley de Newton ................ .......... ............. .......... ... 19 iv
2.1.2 Método Método de la energía ................................................. ................................................. 20 2.2 Elemen Elementos tos de Inercia Inercia ........................................................ 21 2.3 Elemen Elementos tos de Rigidez Rigidez .................................. ....................................................... ..................... 25 2.3.1 Rigidez en elementos elementos estructural estr ucturales es ............. ...... ............. ............. ........... 25 2.3.2 Rigidez de resortes en serie y en paralelo.. paralelo........ ............ ........... ..... 31 2.4 Elementos de Amortiguamiento Amortiguamiento ............. ....... ............. ............. ............ ............. ......... 44 2.5 Excitación de un sistema Vibratorio.................................. 54 Capítulo Capítulo 3 ................................................................................... 59 3.
Vibraciones Libres sin Amortiguamiento ........................... 59 3.1 Sistem Sistemaa Masa Resorte....................................................... 59 3.2 Péndul Pénduloo simple simple ................................................................. ................................................................. 75 3.3 Vibraciones libres de cuerpos rígidos............. ...... ............. ............ ............. ....... 80 3.4 Péndul Pénduloo físico físico ................................................................... 80 3.5 Método Método de energía energías........................................................... s........................................................... 91 91
Capítulo Capítulo 4 ................................................................................. 105 4.
Vibraciones Vibraciones Forzadas sin Amortiguamiento .............. ........ ............. ....... 105 v
4.1 Soluci Soluciones ones del sistema sistema .................................................... .................................................... 106 4.1.1 Excitación Debido a una carga excéntrica ............. ...... .......... ... 108 4.1.2 Excitación mediante un desplazamiento...... desplazamiento............ ............. ....... 110 4.2 Tipos T ipos de Respuestas a diferente tipo de EXCITACIÓN .. 112 4.3 Resonan Resonancia cia ..................................................................... 112 4.4 Factor Factor de amplifi amplificaci cación ón .................................................. 114 114 Capítulo Capítulo 5 ................................................................................. ................................................................................. 120 5.
Vibraciones Libres con Amortiguamiento......................... 120 5.1 análisis y modelación de la vibración ............. ....... ............ ............. ........... .... 120 5.2 Tipo de vibraciones libres con amorti a mortiguamiento guamiento ............. ...... ....... 127 5.1.1 Relación de factores de amortiguamiento...... amortiguamiento............. ........... .... 129 5.2.1 Amortiguamiento Amortiguamiento Crítico ............ ...... ............. ............. ............ ............. .......... ... 130 5.2.2 Amortiguamiento Súper Crítico ............. ...... ............. ............. ............ ..... 131 5.2.3 Amortiguamiento Sub Crítico ............. ...... ............. ............ ............. ........... 131 5.3 Decrecimiento Logarítmico ............................................ 150 5.4 Criterios Criterios de estabilid estabilidad ad ................................................... 154 vi
Capítulo Capítulo 6 ................................................................................. 157 6.
Vibraciones Vibraciones Forzadas con Amortiguamiento ................ .......... .......... .... 157 157 6.1 Relación de frecuencias .................................................. 160 6.2 Análisis de la variación de amplitud ............................... 162
Capítulo Capítulo 7 ................................................................................. 178 7.
Control Control de Vibraci Vibraciones ones ..................................................... 178 7.1 Introducci Introducción ón ................................................................... 178 7.2 Control de las Frecuencias Naturales .............................. 180 7.3 Amortiguamiento Amortiguamiento de sistemas sistemas vibratorios ................. ........... ............ ...... 181 7.4 Aislamiento de Vibraciones ............................................ 183 7.5 Aislami Aislamiento ento de Impactos Impactos ................................................ 195 7.6 Absorvedores Dinámicos ................................................ 197
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Prefacio Este libro es sólo una recopilación de información de varias obras interesadas en temas relacionadas con Vibraciones Mecánicas de elementos y sistemas, el mismo se lo ha realizado con el único afán de brindar a estudiantes de Ingeniería mecánica un compendio de la teoría necesaria para el análisis, modelación y solución de sistemas vibratorios, como lo son: estructuras metálicas, motores, maquinaria rotativa, turbinas, automóviles, etc. en elementos, sistemas, máquinas, estructuras y otros. El objetivo principal principal es de desarrollar modelos modelos matemáticos que permitan determinar los parámetros necesarios para el análisis e interpretación de fenómenos vibratorios.
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Reconocimientos Quiero hacer un profundo reconocimiento a todos los autores tanto de los trabajos de investigación, normas técnicas y catálogos de fabricantes de equipos por facilitar esta información que va sólo en beneficio beneficio de estudiantes de ingeniería mecánica. Por lo tanto reconozco que este es sólo un trabajo t rabajo de recopilación.
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CAPÍTULO 1
1. GENERALIDADES 1.1 CONCEPTOS BÁSICOS Los términos básicos en vibraciones son movimiento, oscilación y vibración que a veces se los considera como sinónimos: Toda vibración es una oscilación, toda oscilación es un movimiento, pero no se puede afirmar afirmar lo contrario.
Movimiento.- Es el desplazamiento de una partícula o cuerpo de un punto a otro en el espacio. espacio.
Oscilación.- Es el movimiento de vaivén de un parámetro físico alrededor de un punto de referencia. referencia.
Figura 1-1 Oscilación
1
Vibración.- Es el movimiento oscilatorio y periódico de un elemento o sistema alrededor de un punto de equilibrio. Es importante aclarar que para que un sistema vibre es necesario que posea por lo menos un elemento inercial (energía cinética), un restaurador (energía potencial) y exista una perturbación (observe la siguiente figura).
Figura 1-2 elementos básicos en un sistema vibratorio
Aunque en algunos casos los elementos restauradores se generalizan como elementos elásticos, existen sistemas en los que no existe un elemento elástico y sin embargo pueden vibrar, por ejemplo el péndulo péndulo de la figura 1-3 que se manifiesta como como elemento restaurador.
2
Figura 1-3 Pendulo en vibración
Ahora bien, cuando un cuerpo vibra resulta importante definir la causa de la vibración, es decir, si el cuerpo vibra por su condición natural debido a una perturbación instantánea y ajeno a toda excitación permanente, o bien si se debe a que existen fuerzas perturbadoras que hacen vibrar al sistema, en la figura 1-4 se esquematiza la excitación o perturbación perturbación instantánea o permanente.
Figura 1-4 Excitación o perturbación
3
1.2 ELEMENTOS BÁSICOS DE UN ELEMENTO O SISTEMA VIBRATORIOS Para que un elemento o sistema se considere vibratorio en él deben existir tres
elementos elementos o parámetros parámetros básicos: básicos: masa, rigidez y
amortiguamiento, los mismos que están relacionados con tres diferentes tipos de fuerzas: fuerzas de inercia, fuerzas elásticas y fuerzas de disipación de energía. En todo problema relacionado con elementos o sistemas vibratorios la masa, la rigidez y el amortiguami amort iguamiento ento deben ser datos, los mismos mismos que no varían ni con el tiempo ni la deformación 1. La masa está íntimamente relacionada con la inercia, cuando las características del movimiento tales como desplazamiento, velocidad y aceleración; es independiente de la forma del sistema se considera como una partícula. La rigidez se define como la capacidad de un elemento o sistema para mantener su forma y dimensiones. En un sistema vibratorio estos elementos se pueden reemplazar por resortes, los mismos que tienen la capacidad de almacenar energía potencial elástica e lástica.. El amortiguamiento se define como la capacidad de un sistema o cuerpo para disipar energía cinética en otro tipo de energía.
1
(CLOUGH & PENZIEN, 1993)
4
Típicamente los amortiguados disipan la energía cinética en energía térmica y/o en energía plástica (e.g. atenuador de impactos). impactos). El amortiguamiento es un parámetro fundamental en el campo de las Vibraciones, en el desarrollo de modelos matemáticos que permiten el estudio y análisis de sistemas vibratorios, como lo son: estructuras metálicas, motores, maquinaria rotativa, turbinas, automóviles, etc. Esto va encaminado a la teoría de que todo sistema vibratorio (regularmente sistemas mecánicos) tiene la capacidad de disipar energía. Para el Control de Vibraciones e Impactos en maquinaria, se utiliza el concepto de amortiguamiento como una técnica para disipar energía del sistema, manipulando así la amplitud de vibración en el sistema y otros parámetros de estudio. estudio. Por ejemplo, un sistema mecánico que posea po sea masa y elasticidad tendrá una frecuencia natural y además la particularidad de llegar a vibrar; sí se le proporciona energía al sistema este tenderá a vibrar, o si una fuerza externa actúa en el sistema con cierta frecuencia, el sistema podría entrar en un estado de resonancia resonancia y esto a su vez significaría una condición de alta vibración y el sistema se vuelve inestable y dispuesto a fallar. En todo esto se fundamenta la importancia del estudio del amortiguamiento. Existen diferentes mecanismos o tipos de amortiguamiento, según sea su naturaleza:
5
Amortiguamiento fluido. Se produce por la resistencia al movimiento de un sólido en un entorno fluido, siendo éste viscoso o turbulen t urbulento. to.
Amortiguamiento Amortiguamiento por histéresis. Se ocasiona por la fricción interna molecular o histéresis; cuando se deforma un cuerpo sólido.
Amortiguamiento Amortiguamiento por fricción seca. Es causado por la
fricción cinética entre superficies deslizantes secas ( =
).
Además de los elementos mencionados se debe considerar los mostrados en la siguiente figura.
Figura 1-5 Parámetros de vibración
Amplitud. Es la máxima distancia recorrida por el cuerpo o partícula medida medida desde el punto de equilibrio. equilibrio.
Ciclo. Es el movimiento de una partícula o cuerpo en ir de una posición extrema a la otra y luego regresar a la primera. 6
Frecuencia . Es el número de oscilaciones completas que realiza un cuerpo en cada unidad de tiempo (f = 1/T).
Período. Es el tiempo requerido para que una partícula o cuerpo complete un ciclo completo.
1.3 CLASIFICACIÓN DE LAS VIBRACIONES MECÁNICAS Las vibraciones mecánicas pueden clasificarse considerando diferentes factores: A. Excitación
Libres.
Forzadas.
B. Disipación de energía
Amortiguadas. No amortiguadas. amortiguadas.
C. Linealidad de los elementos
Lineales. No lineales.
1.3.1 Vibraciones libres
Sin amortiguamiento.- Son aquellas que vibran gracias a una excitación instantánea y depende de las condiciones iniciales del movimiento, es decir velocidad inercial o energía cinética o un desplazamiento inicial que genera energía potencial en un resorte, la modelación modelación está representada en la figura 1-6.
7
Figura 1-6 Vibración libre sin amortiguamiento
Una estructura está en vibración libre cuando es perturbada de su posición estática de equilibrio y comienz co mienzaa a vibrar sin la excitación de fuerza externa alguna (f (t) (t) = 0). El modelo matemático que rige este tipo de movimiento es 2:
+
Ec. 1-1
= 0
Con amortiguamiento.- Son aquellas en las que la amplitud de vibración disminuye continuamente por acción del medio que absorbe energía del sistema. La energía se disipa en forma de fricción o calor, o se transmite en forma de sonido. La fuerza de amortiguamiento en este caso es proporcional a la velocidad en donde el coeficiente de proporcionalidad proporcionalidad
c
es
el
coeficiente
de
amortiguamiento,
estrictamente, esto es válido sólo para amortiguamiento viscoso, pero
2
(THOMSOM, 1992)
8
si las fuerzas de disipación son pequeñas (amplitudes pequeñas), las otras formas de amortiguamiento se aproximan al viscoso, la modelación de este tipo de movimiento está representada en la figura 1-7.
Figura 1-7 vibraciones libres amortiguadas a mortiguadas
El modelo matemático que rige este tipo t ipo de movimiento es 3:
+
+
= 0
Ec. 1-2
1.3.2 Vibraciones forzadas
Sin amortiguamiento.- Cuando un cuerpo que está vibrando se pone en contacto con otro, el segundo cuerpo se ve forzado a vibrar con la misma frecuencia que el original. Por ejemplo, si un diapasón es golpeado con un martillo y luego se coloca su base contra la cubierta 3
(CLOUGH & PENZIEN, 1993)
9
de una mesa de madera, la intensidad del sonido se incrementará repentinamente. Cuando se separa de la mesa el diapasón, la intensidad disminuye a su nivel original. Las vibraciones de las partículas de la mesa en contacto con el diapasón se llaman vibraciones vibraciones forzadas. El modelo matemático que rige este tipo de movimiento es:
0 +
Ec. 1-3
=
Con amortiguamiento.- Consideremos el movimiento en la dirección del eje x de un sistema masa-resorte, en un medio de constante de amortiguamiento c y sometido a la acción de una fuerza externa armónicamente variable,
0 =
, por ejemplo podría ser la
causada por fuerzas en rotación que no están equilibradas equ ilibradas.. F0 es la amplitud de fuerza (valor máximo de la fuerza externa) y ω f es el valor de la frecuencia angular con la que varía en el tiempo esta fuerza en radianes/s. El modelo matemático que rige este tipo de movimiento es 4:
4
(CLOUGH & PENZIEN, 1993)
10
0 +
+
=
Ec. 1-4
1.4 PARÁMETROS O CARACTERÍSTICAS EN SISTEMAS VIBRATORIOS Las vibraciones mecánicas pueden ser analizadas considerando diferentes patrones y criterios, este análisis consiste en determinar los parámetros del movimiento tales como desplazamiento, velocidad y aceleración. Cuando uno de estos parámetros se repite con las mismas características después de cierto intervalo de tiempo se dice que se tiene un movimiento periódico, ejemplos de este tipo de movimiento pudieran ser la variación variación de voltaje en generadores de CA, la vibración producida por una maquinaria rotativa desbalanceada. Ahora bien, cuando el movimiento de una partícula puede ser representada por una forma senoidal, entonces a este movimiento se le conoce como movimiento armónico, ejemplo de un movimiento armónico se puede observar en Figura 1-8 en donde la posición vertical de la partícula p puede ser representada como una onda senoidal.
11
K
x A
m
t
Figura 1-8 Movimiento senoidal de una partícula
1.4.1 Movimiento Armónico Todo movimiento periódico o armónico cumple con las característica de una función periódica, es decir que existe una constante T llamada período tal que la posición en un instante x(t) es la misma en x( t + nT) para n = 1,2,3,4 ....., por lo tanto se puede definir al período como el valor del tiempo en la cual se efectúa un ciclo completo. El inverso del período se le conoce como la frecuencia de oscilación y representa de una manera las veces que se repite el movimiento en un determinado tiempo.
=
1
Ec. 1-5
En donde el hertz se define como ciclos/s. Es posible representar la frecuencia en otras unidades, para ello es necesario recordar que 1 rev = 2π radianes y que 1 minuto = 60 segundos, por lo tanto la frecuencia en rad/s y en rpm están dadas por:
12
=
=
2
/
Ec. 1-6
2
60
Ec. 1-7
En una señal armónica el valor máximo se le conoce como amplitud y si se mide desde la referencia se le llama amplitud de pico pero si se mide desde extremo a extremo entonces se le conoce como amplitud de pico a pico como se muestra en la figura 1-9.
Figura 1-9 Amplitud de vibración
Dentro del ambiente laboral, estos parámetros son utilizados para la medida del movimiento de la vibración de una máquina y que son: a) El desplazamiento de la vibración. b) La velocidad de la vibración. c) La aceleración de la vibración. d) La fase.
13
El desplazamiento de la vibración generalmente se mide de pico–pico y usualmente se usan las unidades de milésimas de pulgada (mils) que es 0.001 in. o micrómetro que es 0.001 mm. Se puede determinar mediante la siguiente relación:
cos(
=
+ + )
Ec. 1-8
La velocidad de vibración generalmente se mide de pico p ico y usualmente se usan las unidades de pulgada por segundo (in/s) o milímetros por segundo (mm/s).
ω =
=
sen(
+ + )
Ec. 1-9
Mientras que la aceleración de vibración generalmente se mide de pico y usualmente se usa como unidad el gs, donde g es la aceleración aceleración de la gravedad 9.80665 m/s2.
ω2 =
=
cos(
+ + )
Ec. 1-10
La fase se refiere a la medida relativa entre dos puntos de medición, generalmente se usa el ángulo de separación entre las señales que representan el movimiento de estos puntos. 14
Estos parámetros se pueden visualizar fácilmente en la Figura 1-10. Se puede observar como los parámetros de desplazamiento desplazamiento y velocidad en fase a 90° mientras que entre la velocidad y la aceleración están en fase también a 90º con la velocidad y a 180° con el desplazamiento. Lo anterior se debe a que si el desplazamiento del movimiento es
ω 2 ω
expresado como = derivada =
=
del
cos(
+ + ), entonces la velocidad que es la
desplazamiento
sen(
velocidad como =
quedará
expresada
como
+ + ) y la aceleración que es la derivada de la =
cos(
+ + ).
Figura 1-10 Unidades de medición de las vibraciones
Puesto que se puede medir la amplitud de vibración en términos de desplazamiento, velocidad o aceleración ahora la pregunta es: ¿Qué unidad de amplitud utilizar?, hay varios elementos a considerar para seleccionar cuál parámetro a utilizar, por ejemplo, el tipo de problema causante de la vibración, tipo de diagnóstico, el equipo utilizado, etc, pero la experiencia e xperiencia dice d ice que para bajas frecuencias hasta 10 Hz (600 rpm) la medida de desplazamiento es recomendable, mientras mientras que para frecuencias de 10 a 1000 Hz (600 – 60000 rpm) cualquier unidad de amplitud puede ser utilizada aunque se recomienda el análisis de
15
velocidad, por último para frecuencias arriba de 1000 hz la medida de la amplitud de aceleración es recomendable.
1.4.2 Grados de libertad Es el número de parámetros independientes y necesarios para determinar este tipo de movimiento. Este parámetro es de mucha importancia ya que de él depende el tipo de análisis, metodología y solución a utilizar. Por ejemplo la posición de una partícula en un sistema unidimensional (en un eje) es de un grado de libertad, en un sistema bidimensional (en el plano) es de dos grados de libertad, y en un sistema tridimensional (en el espacio) es de tres t res grados de libertad). Un sólido rígido en el plano es de tres grados de libertad, ya que para determinar la posición de una de sus partículas necesita de un origen y la inclinación del elemento.
Figura 1-11 Determinación de GDL de un sólido
=
+
/
16
Ec. 1-11
Un elemento con flexibilidad lineal en el plano tiene cuatro grados de libertad, dos que determinan la posición del origen, uno determina la inclinación y un cuarto que determina la variabilidad de la longitud del elemento.
Figura 1-12 Determinación de GDL de un u n sólido flexible
=
En donde el módulo de
/
+
/
es variable.
Figura 1-13 Sistemas de un grado de d e libertad
17
Ec. 1-12
Cuestionario 1. Que son vibraciones mecánicas? 2. Cuáles son los elementos básicos básicos de un sistema vibratorio? 3. Como se clasifican los sistemas vibratorios 4. Cuáles son los parámetros de una vibración? vibración? 5. Que es movimiento armónico simple? 6. Que son grados de libertad? 7. Explique la diferencia entre movimiento, oscilación y vibración 8. Que son vibraciones libres? 9. Que son vibraciones forzadas? 10. Que son vibraciones sin amortiguamiento? 11. Que son vibraciones con amortiguamiento? 12. Cuáles son los elementos de masa, rigidez y amortiguamiento? amortiguamiento? 13. Esquematice cada uno de los sistemas vibratorios 14. De ejemplos físicos reales de cada uno de los tipos de vibración 15. Cuáles
son
los
diferentes
conceptualice.
18
tipos
de
amortiguamiento?;
CAPÍTULO 2
2.
MODELADO DE SISTEMAS SISTEMAS
VIBRATORIOS 2.1 MODELADO El modelado de un sistema vibratorio consiste en determinar un modelo matemático, es decir una o varias ecuaciones que describan completamente al sistema físico real, mediante las cuales podamos determinar
las
características
del
movimiento
tales
como
desplazamiento, velocidad y aceleración en cualquier tiemp t iempo. o. Para ello se disponen de dos métodos, aplicando la ley de Newton y el de conservación de la energía.
2.1.1 Método basado en la ley de Newton Newton Conocido también como el método de las fuerza, este método consiste en aplicar la segunda ley de Newton, el mismo que establece que una fuerza aplicada sobre una determinada masa, está le imprime una aceleración en el mismo sentido de aplicación, es decir cuando se tiene movimiento lineal rectilíneo,
19
=
Ec. 2-1
Donde Fi son las fuerzas aplicadas sobre el objeto, m la masa y a es la aceleración aceleración en dirección del movimiento. Y cuando se tiene movimiento de rotación.
=
Ec. 2-2
Donde representa los torques aplicados sobre la masa, J son los momentos polares de inercia en torno al eje de rotación y aceleración aceleración angular.
es la
2.1.2 Método de la energía Este método consiste en aplicar la conservación de la energía, es muy útil cuando es difícil determinar las fuerzas o torques aplicadas al sistema. El principio se basa justamente en que la energía total del sistema se mantiene constante., es decir,
+ =
Ec. 2-3
En donde T es la energía cinética y V es la energía potencial elástica o gravitatoria. gravitatoria. En dónde dó nde la energía cinética en movimiento rectilíneo es. 20
2 =
1 2
Ec. 2-4
En movimiento circular la energía cinética está dada por.
̇2 =
1
Ec. 2-5
2
La energía potencia en movimiento rectilíneo y circular está dada respectivamente por las siguientes ecuaciones.
2 2 =
=
1 2
Ec. 2-6
1 2
Ec. 2-7
2.2 ELEMENTOS DE INERCIA INERCIA El elemento de inercia almacena y libera energía cinética, se caracteriza por una relación entre una fuerza aplicada (o momento) y la correspondiente respuesta de aceleración. aceleración. Las unidades asociadas con estos elementos y los símbolos más usados para los distintos elementos se muestran a continuación. continuación.
21
Movimiento de traslación traslación Masa, m en Kg. Rigidez, k en N/m Amortiguamiento, c en N·s/m Fuerza externa, F en N
Movimiento de rotación Momento de inercia de la masa, J en Kg.m 2 Rigidez, k en N·m/rad N· m/rad Amortiguamiento, c en N·m·s/rad Momento externo en N.m De la definición de momentos de inercia respecto al centro de gravedad, se tiene:
2 =
Ec. 2-8
22
En el caso de cuerpos en rotación, se tiene:
2 =
Ec. 2-9
Y según el teorema de los ejes paralelos 5
0 2 0 2 =
=
+
Ec. 2-10
+
Aplicando lo que establece el principio de cantidad de movimiento lineal y angular en la que establece la relación entre la fuerza o torque y la inercia y masa.
̇ =
Si la masa y la dirección no dependen del tiempo, se tiene:
5
(HUTTE)
23
Ec. 2-11
Ec. 2-12
̇2
Ec. 2-13
=
La energía cinética es 6
=
1 2
En el caso de un cuerpo rígido en rotación con una velocidad tiene que:
̇
se
̈ =
Ec. 2-14
̇2
Ec. 2-15
La energía cinética es:
=
1 2
El momento polar de inercia para algunos elementos son los representados en la siguiente figura.
6
(CLOUGH & PENZIEN, 1993)
24
Tabla 2-1 Momento polar de inercia de algunos elementos
2.3 ELEMENTOS DE RIGIDEZ RIGIDEZ 2.3.1 Rigidez en elementos estructurales estructurales El elemento de rigidez almacena y libera energía potencial. Los elementos de rigidez se caracterizan por una relación entre una fuerza aplicada (o momento) y el desplazamiento (o rotación) correspondiente.
Movimiento longitudinal Para un sistema como el representado en la figura 2-1, la deformación longitudinal bajo la aplicación de una carga axial se tiene:
=
Ec. 2-16
25
Figura 2-1 Rigidez de elementos sometidos so metidos a tracción
Según la ley de Hooke se tiene:
=
Ec. 2-17
Reemplazando Reemplazando la deformación ( δ=x) y haciendo P=F se tiene 7:
=
Despejando k
=
Ec. 2-18
En el caso de un resorte helicoidal la constante de rigidez depende del número de espiras, diámetro del calibre o alambre, radio del resorte y módulo de rigidez G. para el caso de la figura 2-2.
7
(CLOUGH & PENZIEN, 1993)
26
Figura 2-2 Rigidez de un resorte helicoidal
La deformación está dada por 8:
3 4 =
64
Ec. 2-19
Por la ley de Hooke
3 4 =
Reemplazando Reemplazando se tiene
=
64
9
Y despejando la rigidez k obtenemos :
8
(Shigley, 2008)
9
(Shigley, 2008)
27
4 3 =
64
Ec. 2-20
Movimiento torsional En el caso de un elemento sometido a torsión como el representado en la figura 2-3 la constante de rigidez se obtiene de la siguiente manera:
Figura 2-3 Rigidez de elementos sometidos s ometidos a torsión
El ángulo girado al aplicar un torque to rque está dado por la ecuación 10:
=
Ec. 2-21
Por la ley de Hooke se tiene:
10
(Shigley, 2008)
28
=
Ec. 2-22
Reemplazando el ángulo girado en torno a la posición de equilibrio resulta:
=
Despejando el coeficiente de rigidez k resulta 11:
=
Ec. 2-23
En el caso de un resorte torsional como el mostrado en la figura siguiente.
Figura 2-4 Rigidez de un resorte de torsión
11
(Shigley, 2008)
29
La rigidez del resorte viene viene dado por 12:
=
Ec. 2-24
En donde I es el momento de inercia de la sección transversal y l es la longitud total del resorte.
Movimiento transversal transversal En un sistema como el mostrado en la figura 2-5, sobre el cual se aplica una carga transversal se tiene una viga que vibra como el caso de una suspensión trasera de un automóvil. automóvil.
Figura 2-5 Rigidez de un elemento sometido a flexión
En este caso la deflexión deflexión provocada pro vocada es 13:
12
(Shigley, 2008)
13
(Shigley, 2008)
30
3 =
Ec. 2-25
3
Nuevamente Nuevamente según la ley de Hooke tenemos: tenemos:
3 =
Reemplazando la deflexión y haciendo F=P
=
3
Despejando la rigidez k se obtiene 14:
3 =
3
Ec. 2-26
2.3.2 Rigidez de resortes resortes en serie y en paralelo Para un elemento de rigidez como el representado en la figura 2-6 y considerando la Ley de Hooke se tiene: t iene:
14
(Shigley, 2008)
31
Figura 2-6 Elemento de rigidez
=
Y la energía cinética expresada como el trabajo t rabajo realizado se tiene:
2 =
=
=
1 2
Ec. 2-27
Para resortes de torsión el trabajo es:
=
Y la energía cinética expresada como el trabajo t rabajo realizado se tiene:
2 =
=
=
1 2
Ec. 2-28
Si se tienen resortes de tensión-compresión, se puede tener las configuraciones configuraciones representadas en e n la figura siguiente. s iguiente.
32
Figura 2-7 Resorte en serie y paralelo
Para resortes en paralelo En el caso de la figura 2-7b se tiene que la fuerza total F es igual a la suma de F1 y F2 distribuidas en cada uno de los resortes, y que además los desplazamientos x1 y x2 son iguales al desplazamiento total se tiene:
1 11 2 22 1+2 11+22 =
=
= =
Luego se tiene que:
=
Como los desplazamientos son iguales se tiene t iene que: 33
1 2 =
+
Ec. 2-29
Para resortes en serie Para el caso de la figura 2-7c se tiene que el desplazamiento total x es igual a la suma de los desplazamientos x1 y x2 y que además la fuerza F total aplicada al sistema es igual a F1 y F2 aplicadas a cada uno de los resortes, por lo que nuevamente nuevamente de:
1 11 2 22 1 2 11 22 =
=
=
=
+
=
+
Como las fuerzas son iguales, se tiene:
1 2 1
=
1
+
1
O también:
34
Ec. 2-30
1 1 2 2 =
Ec. 2-31
+
Para un sistema de viga y resorte en serie En el sistema mostrado en la figura 2-8 el resorte equivalente y el resorte helicoidal actúan en serie.
Figura 2-8 Sistema viga resorte en serie
2 1
=
1
+
1
Para un sistema de viga y resorte en paralelo En el sistema mostrado en la figura 2-9 el resorte equivalente y el resorte helicoidal actúan en paralelo.
35
Figura 2-9 Sistema viga resorte en paralelo
1 =
+
Para una viga con carga puntual Para determinar la rigidez en un sistema como el mostrado en la figura siguiente se procede de la siguiente manera:
Figura 2-10 Viga con carga puntual
Aplicando la regla de la palanca se determina las reacciones en cada uno de los resortes.
36
1 2 =
=
Ec. 2-32
+
Ec. 2-33
+
Por la ley de Hooke Hoo ke se tienen los desplazamientos:
1 1 1 1 2 22 2 =
=
=
=
( + )
Ec. 2-34
( + )
Ec. 2-35
La constante equivalente del resorte es:
1 2 2 1 2 2 =
En donde por semejanza de triángul tr iángulos os se tiene t iene que: =
+
=
+
37
+
+
1 2 2 =
+
2 1 2 22 12 =
+
( + ) +
Ec. 2-36
En la siguiente tabla se muestran rigideces rigideces de algunos elementos.
38
Tabla 2-2 Rigidez de algunos elementos
39
Ejemplo 2.1 Una viga como la representada en la figura 2-11 con uno de sus extremos empotrado, la cual es de una aleación cuyo módulo de elasticidad de Young es E = 72X 109 N/m2 , recibe una carga transversal en su extremo libre. Si la longitud de la viga es de 750 mm y su sección transversal es anular con 110 mm de diámetro interior y 120 mm de diámetro exterior, determine la rigidez equivalente de esta viga.
Figura 2-11 Sistema de viga en voladizo
El desplazamiento en el punto de apoyo de la carga es:
3 3 =
Despejando P se tiene:
=
De la ley de Hook se tiene:
3
3
=
40
Haciendo
3 =
Y
=
Entonces
=
El momento de inercia es:
3
4 4 = =
64
(
)
Ec. 2-37
I=2.99 x 10-6 m4 Luego reemplazando se tiene que:
6 � = 1.53 10
Ejemplo 2.2
Hallar la rigidez equivalente del sistema representado en la figura.
41
Figura 2-12 Resortes en serie y en paralelo
Solución
1 1 1 3 3 2 1 2 224 4 2 113 3 2 2 13 12 13 3 2 13 121 3 23 =
+
=
+
=
=
=
=
+
+
+
+
(
+
+
+
+
+
42
)
1 3 2 1 2 3 4 1 3 13 121 3 23 4 1 3 2 1 2 3 4 4 13 112133 23 4 131 213 23 4 1 3 113 3 21 23 4 14 313 1231 2213 23 4 1 44133 1231 2213 23 1 1131 2 2 2 3 2 4 14 1433 41231 2412323 +
+
+
=
+
+
+
+
+
+
=
+
+
+
)
+
(
=
+
+
+
)
+
(
+
) +
+
+
+
=
=
(
(
+
) +
+
(
+
+
=
=
+
+
=
)
+
+
)
+
+
3
3
+
+
+
+
43
+
+
+
)
2.4 ELEMENTOS DE AMORTIGUAMIE AMORTIGUAMIENTO NTO El elemento de disipación o de amortiguamiento se utiliza para expresar la pérdida de energía en un sistema. s istema. Los elementos de disipación poseen como característica una relación entre una fuerza aplicada (o momento) y la respuesta correspondiente de velocidad. Existen diversas modelizaciones de amortiguamiento, el más simple de ellos representada en la figura 2-12 consta de una partícula o masa concentrada, que va perdiendo velocidad bajo la acción de una fuerza de amortiguamiento amortiguamiento proporcional proporcional a su velocidad:
Figura 2-13 Sistema con amortiguamiento
=
� ⁄ �
Ec. 2-38
Donde la constante c es el coeficiente de amortiguamiento expresado en
(
)
.
44
Se tiene tres tipos t ipos de amortiguamientos amortiguamientos
Amortiguamiento Amortiguamiento viscoso
Amortiguamiento Amortiguamiento de histérisis
Amortiguamiento Amortiguamiento Coulomb Coulomb
El amortiguamiento viscoso entre dos elementos se debe a la fricción viscosa entre el fluido y el elemento. El amortiguamiento de histérisis se debe a la fricción interna intermolecular cuando un elemento es deformado. El amortiguamiento de Coulomb se debe a la fricción seca entre elementos sólidos. Amortiguadores en paralelo.- Se tiene cunado la fuerza distribuida en cada uno de ellos produce la misma velocidad.
Figura 2-14 Amortiguadores en paralelo
En este caso las velocidades son iguales y la fuerza total F es igual a la suma de F1 y F2, por lo que: 45
1 11 2 22 1 2 11+22 =
=
=
=
+
=
Simplificando las velocidades se tiene que el coeficiente de amortiguamiento amortiguamiento equivalente equivalente es:
1 2 =
+
Ec. 2-39
Amortiguadores en serie.- Si la fuerza aplicada en el extremo se transmite en la misma proporción en cada uno de ellos.
Figura 2-15 Amortiguadores en serie
Para los amortiguadores en serie representados en la figura 2-15 se tiene que la fuerza total F es igual a las fuerzas F1 y F2 y ademas la 46
velocidad v total es igual a la suma de las velocidades v1 y v2 se tiene:
1 11 2 22 1 2 11 22 =
= =
=
+
=
+
el coeficiente de amortiguamiento es:
1 2 1
=
1
+
1
Ec. 2-40
Resolviendo para Ce se tiene:
1122 =
+
Ec. 2-41
Ejemplo 2.2 Considere el sistema vibratorio que se presenta en la figura 2.16, en el cual el movimiento de la masa m está restringido por un conjunto de resortes lineales y amortiguadores viscosos lineales. 47
Figura 2-16 Sistema vibratorio amortiguado
En la figura 2.16 se muestra un diagrama de cuerpo libre de este sistema. Para determinar la fuerza del resorte que generan los resortes k 2 y k 3 se aprovechó el hecho de que los resortes están en serie. Por lo
que se aplicó la ecuación:
2 3 1
=
1
+
1
Figura 2-17 Diagrama de cuerpo libre
Los resortes y amortiguadores que se muestran en la figura 2.16 se reúnen en la figura 2.17, y se expresan como una combinación de resorte equivalente y amortiguador equivalente. Por consiguiente, se tiene:
48
Figura 2-18 Sistema equivalente
2 1 2 3 3 1 2 =
+
=
+
+
Ejercicio copiado de: Conceptos generales GDL y ejercicios
Ejemplo 2.3 Considere el sistema mostrado en la figura, si se aplica una fuerza F=500 N, determine la fuerza y deformación en cada elemento. El elemento k 1 es de acero de 20 cm. de claro y de sección transversal circular de 1 cm de diámetro, el elemento k 3 es de aluminio de 25 cm de claro y de sección transve tr ansversal rsal cuadrada de 1 cm. c m. por lado, el e l resorte es de k 2=30 KN/m.
49
Figura 2-19
Primero se calcula las constantes elásticas k 1 y k 3; de tablas se obtiene que la constante elástica para una viga en cantiléver ca ntiléver es:
3 =
3
El módulo de elasticidad para el acero es de 200 GPa. y para el aluminio es de 70 GPa. Las secciones circulares tienen un momento de inercia:
4 = =
64
Y las secciones cuadradas tienen un momento de inercia
3 ℎ = =
12
Por lo que:
1 3 = 36810
= 11200
50
Ahora por la disposición se tiene que el elemento k1 y el elemento k2 se encuentran en serie cuya rigidez equivalente es k e1 representada en el diagrama equivalente figura 2-19 éste a su vez por su disposición está en paralelo con el elemento k3 como se muestra.
Figura 2-20
1 1 1 2 2 1 3 1 3 1 1 2 1 11 2 22 3 33 =
=
= 16530
+
/
=27730 N/m
+
Del diagrama de cuerpo libre se puede concluir que: =
+
=
=
=
= = =
51
3 ∗ −2 3 33 3 1 1 11 ∗ −3 2 2 2 ∗ −3 =
=
= 1.8031 10
=
= 201.95
=
3 = 500
=
=
201.95
298.05
= 298.05
= 8.097 10
36810
=
=
298.05
= 9.935 10
30000
2.6 SISTEMA OSCILANTE
Considere la barra de masa uniformemente distribuida m con un pivote en la parte superior que se presenta en la figura 2.21. 2. 21. Ubique la posición de referencia a una u na distancia d istancia L/2 abajo del punto de pivoteo, donde se sitúa el centroide centro ide cuando el péndulo está en θ = O. Cuando la barra gira en el sentido de las manecillas del reloj o en dirección contraria, la distancia vertical a la que el centro de gravedad de la barra se ubica ubica a partir de la posición posición de referencia es:
52
Figura 2-21
=
2
2
cos =
2
(1
cos )
Ec. 2-42
Como F = mg, el incremento de energía potencial es
0 0 =
=
=
=
Ec. 2-43
o bien,
=
2
(1
cos )
53
Ec. 2-44
Cuando el ángulo de rotación θ con respecto a la posición θ = 0 hacia arriba es "pequeño", es posible aplicar la aproximación de la serie de Taylor 15.
2 ⋯
cos = 1
2!
+. +. . +
,
Ec. 2-45
y se sustituye esta expresión en la ecuación (2.44) (2. 44) para obtener
2 2 =
1
2 2
=
1 2
Ec. 2-46
donde la constante de resorte equivalente equivalente es
=
2
Ec. 2-47
2.7 EXCITACIÓN EXCITACIÓN DE UN SISTEMA VIBRATORIO VIBRATORIO La excitación está en la forma de una fuerza o de un momento como se muestra en la figura 2-18, y la respuesta correspondiente del elemento está en la forma de un desplazamiento, velocidad o aceleración.
15
9T. B. Hildebrand, AdvalZced Calculus Íor .4.pplicatiolZs, Prentice Hall, Englewood Cliffs, NJ (1976).
54
Figura 2-22 Excitación de un sistema s istema vibratorio
En el ejemplo de la figura la fuerza de excitación F D puede ser una fuerza periódica representada por el modelo matemático siguiente:
0 =
cos
En donde F0 es la amplitud del esfuerzo, aplicación de la fuerza y T es el período.
Ec. 2-48
es la frecuencia de
Ejemplo 2.4 Modelado de la suspensión de un automóvil auto móvil..
Figura 2-23 Modelado de una u na suspensión
55
Cuestionario 1. Calcule la rigidez equivalente de un sistema con resortes en paralelo. paralelo. 2. Calcule la rigidez equivalente de un sistema con resortes resort es en serie. 3. Calcule el coeficiente de amortiguamiento equivalente de un sistema de amortiguamiento en paralel para lelo. o. 4. Calcule el coeficiente de amortiguamiento equivalente de un sistema de amortiguamiento en serie. 5. Calcule la rigidez equivalente en un sistema siste ma vibratorio compuesto por una viga en voladizo voladizo y dos resortes en el extremo. extremo.
Figura 2-24
6. Encuentre la rigidez en una viga en voladizo. 7. Encuentre la rigidez de un elemento sometido a un momento torsor en el extremo. 8. Encuentre la rigidez en una viga simplemente apoyada con carga en el punto medio. medio. 9. Si un resorte se parte justo a la mitad, ¿cuál deberá ser la constante elástica de cada uno de los resortes? 10. Calcule la rigidez equivalente en un sistema siste ma vibratorio compuesto por una viga en voladizo voladizo y un resorte en el extremo. extremo. 56
Figura 2-25
11. Calcule la rigidez equivalente del sistema mostrado en la figura.
Figura 2-26
12. Calcule la rigidez equivalente del sistema mostrado en la figura.
Figura 2-27
57
13. Determine el amortiguamiento equivalente del sistema que aparece en la figura.
Figura 2-28
14. Determine el amortiguamiento equivalente del sistema que aparece en la figura.
Figura 2-29
58
CAPÍTULO 3
3.
VIBRACIONES LIBRES SIN
AMORTIGUAMIENTO Como se indicó anteriormente un sistema vibratorio es aquel que cambia periódicamente de posición o forma en torno a un punto de equilibrio, ahora para que se llame vibración libre no deben existir fuerzas periódicas. En este caso la vibración se inicia gracias a una excitación instantánea, es decir depende de las condiciones iniciales del movimiento, las mismas que pueden ser ya sea una velocidad o un desplazamiento inicial.
3.1 SISTEMA MASA RESORTE RESORTE Para el análisis se consideran las siguientes hipótesis: hipót esis: a) La masa tiene un guiado vertical, sin rozamiento, que permite únicamente
desplazamientos
verticales,
e
impide
otros
desplazamientos y giros. b) El muelle tiene masa despreciable frente a la masa principal del sistema y su fuerza recuperadora elástica es proporcional a su deformación. 59
c) El dispositivo amortiguador tiene sus masas móviles despreciables frente a la masa principal del sistema y está basado en un rozamiento de tipo viscoso, con fuerza de rozamiento opuesto a la velocidad y proporcional a ella. ella. d) El sistema se supone situado en el vacío. En la siguiente figura se puede observar una idealización de este tipo de vibración en la que la línea entre-cortada representa un resorte, el cual se encuentra en equilibrio extendiéndose una cierta longitud conocida como longitud libre, luego que se le añade una masa en el extremo del resorte lo que hace que se desplace una distancia
Figura 3-1 Sistema masa-resorte
Aplicando la condición de equilibrio estático se tiene:
60
.
=
Ec. 3-1
Ahora si se desplaza una cierta cantidad x adicional y se suelta, el sistema empieza a vibrar, gracias a la fuerza restauradora del resorte, por lo que hay que considerar el diagrama cinético equivalente representado a la derecha en la figura 3-2.
Figura 3-2
Por lo tanto debe cumplir cumplir con:
=
(
+ ) =
61
Ec. 3-2
̈
= 0
Considerando la ecuación 3.1 se tiene: +
Como:
=
= 0
=
Y reemplazando se tiene el modelo matemático característico de este tipo de vibración 16.
̈ + +
O
= 0
̈ + +
Haciendo
16
(Beer & Johnston, 2004)
62
Ec. 3-3
= 0
2 ̈ 2 =
En esta ecuación
Ec. 3-4
se conoce como frecuencia circular natural de
vibración. Reemplazando por (
+ +
) se tiene:
= 0
Ec. 3-5
La ecuación 3.5 es una ecuación diferencial de segundo orden, que tiene una solución general de la forma 17.
̇ ̈ 2 2 2 2 2 λ
=
=
λ
= λ
λ
λ
Ec. 3-6
λ
λ
+
λ
λ
+
= 0
Por lo tanto las raíces son:
17
(Beer & Johnston, 2004) 2 004)
63
= 0
λ = =
2 = ±
=±
Ec. 3-7
Por lo tanto la solución solución es:
− =
λ
λ
+
Ec. 3-8
Utilizando la ecuación de Euler para la figura 3-3 Se tiene:
λ
=
λ
+
λ
Figura 3-3 Notación compleja
Si ϕ se mide desde el eje de los imaginarios y se hace tiene:
64
Ec. 3-9
=
, se
(
=
=
) +
(
+
λ
) Ec. 3-10
λ
Derivando sucesivamente se tiene:
̇ ̈ 2 2 (
=
)
(
=
(
)
)
(
Ec. 3-11
)
Ec. 3-12
Reemplazando las ecuaciones 3-10 y 3-11 en 3-12 se verifica la igualdad.
2 2 2 (
)
(
)+
(
(
)+
(
)
=0
Para determinar las constantes A y B se aplican las condiciones iniciales, por lo que se puede tener los siguientes dos casos: a) En t=0 si se suelta del reposo, la velocidad inicial es cero y el desplazamiento inicial es x0 de la ecuación 3-11 se tiene:
0 =
( ) =
0
Además en t=0 el desplazamiento inicial x es x (0) en la ecuación 3-10 se tiene: 65
0 0 ̇ 0 ̈ 02 =
(
=
)
=
(
)
=
(
)
Ec. 3-13
b) En t=0 si se suelta del reposo en el punto de equilibrio con cierta velocidad inicial V 0, de la ecuación 3-9 se tiene:
0 0 0 ̇ 0 ̈ 0 =
( ) =
0
En la ecuación 3-11 se tiene:
( )
=
=
=
=
( )
(
)
(
)
(
Ec. 3-14
)
En el caso a) para determinar las características del movimiento máximos en las ecuaciones 3.13 se debe cumplir lo siguiente: 66
2
Para el desplazamiento de splazamiento máximo máximo Esto se cumple cuando
(
= =
) = ±1
2
Sabiendo que la frecuencia natural
= 2
=
Reemplazando este valor y despejando t se tiene: t iene: Despejando
2 32 2 2
= =
= =
Para la velocidad máxima Esto se cumple cuando
(
2
) = ±1
= =
Sabiendo que la frecuencia natural
= 2
=
Reemplazando este valor y despejando t se tiene: t iene: Despejando
2
= =
= =
67
4
2
2
Para la aceleración máxima nuevamente Esto se cumple cuando
= =
(
) = ±1
2
Sabiendo que la frecuencia natural
= 2
=
Reemplazando Reemplazando este valor y despejando despejando t se tiene: Despejando
2
= =
= =
2
Por lo tanto las ecuaciones ecuaciones son:
̇ ̈ 2 2 =
=
(
(
)
4
)
2
Ya que en el caso de la velocidad el factor 1 o -1 y esto se cumple cuando
=
Se tiene que la velocidad máxima es 18:
18
(Beer & Johnston, 2004)
68
(
) debe ser igual a
=
(
=
(
)
)
Y en el caso de la aceleración el factor -1 y esto se cumple cuando
2
(
Ec. 3-15
) debe ser igual a 1 o
=
Y la aceleración máxima es 19:
2 2 =
=
(
(
)
( )
)
Ec. 3-16
Ejemplo 3.1 Un bloque de 4 kg. de masa se mueve entre guías verticales suspendido por dos muelles iguales de constante recuperadora elástica K1 = K2 = 50 N/m, como se indica en la figura.
19
(Beer & Johnston, 2004) 2 004)
69
Figura 3-4 Sistema masa resortes en paralelo
Calcular: a) Ecuación de las pequeñas oscilaciones del sistema. b) Periodo y frecuencia frecuencia del movimiento movimiento resultante. c) Velocidad y aceleración máxima del bloque si la amplitud del movimiento es a=60 mm. d) Determinar la masa que debería tener el bloque para que su periodo de oscilación sea 1 s.
Solución: a) Los muelles están asociados en paralelo y oscilan con vibración libre sin amortiguamiento por lo que la constante elástica equivalente es:
1 2 =
+
70
= 100
N m
El sistema es uno con vibración libre sin amortiguamiento, por lo tanto el modelo matemático es:
̈ ̈ ̈ + +
= 0
4 + + 100 = 0 + + 25 = 0
b) La frecuencia frecuencia natural y el periodo son:
� =
=
De la ecuación:
100 100
=5
4
=
=
=
2
5
2
2
= 1.25
c) La velocidad máxima del bloque para una amplitud de a=60 mm es:
=
(
71
)
∗ ⁄ 2 ∗ 2 �2 =
0.6 5 =
0.3
Y la aceleración máxima
=
(
)
= 0.6 5 = 1.5
d) La masa que debería tener el bloque para que su periodo de oscilación sea 1 s se obtiene para una frecuencia natural igual a:
=
2
=2
Por tanto de:
=
Se tiene que la masa debe ser:
2 2 =
100 = = 2.5 (2 )
72
Ejemplo 3.2 Determinar el período de oscilación del sistema representado en la figura.
Figura 3-5 Sistema Masa Resorte
En primer lugar se reemplaza los resortes en paralelo por uno equivalente, el sistema se reduce a:
Figura 3-6 Sistema equivalente
En donde:
2 =
+
= 2
Luego reemplazamos los resortes K2 y K que se encuentran en serie por su equivalente equivalente K3. 73
Figura 3-7 Sistema equivalente
En donde:
3 2 2 3 =
=
+
=
2
2 +
2 3
El resorte K1 es el equivalente de los resortes en serie K y 2K, por lo que:
1 1 =
2
=
+ 2
=
2
2 +
2 3
Ahora los resortes K1 y K3 se encuentran en paralelo, por lo que el equivalente será:
1 3 =
=
+
2 3
74
+
2 3
√ √ =
4 3
=
4
=
=
=
2
4 3
3
2
=
3
3.2 PÉNDULO SIMPLE En la siguiente figura se puede observar una idealización de este tipo de vibración en la que se puede observar una cuerda y una masa en su extremo, la misma que puede vibrar en un plano p lano vertical. vertical.
75
Figura 3-8 Péndulo simple
Para el análisis de este tipo de vibración se considera el equilibrio dinámico en el sentido tangencial. En la siguiente figura se puede apreciar la descomposición del peso en las direcciones tangencial y normal.
Figura 3-9 Diagrama de cuerpo libre
Como el sistema se encuentra en movimiento se debe analizar el sistema cinético equivalente:
76
Figura 3-10 Diagrama cinético equivalente
En donde:
̈ =
=
=
Se tiene:
+
= 0
Para vibraciones pequeñas, en radianes se tiene que: =
Y como:
=
Por lo que para este caso nuestro modelo es: 77
Ec. 3-17
̈ +
= 0
Ec. 3-18
Esta ecuación es semejante a la Ec. 3.3
̈ +
= 0
Por lo que la frecuencia natural es:
=
Ec. 3-19
Ec. 3-20
El período
= 2
̇
En t=0,
= 0 y =
, el el desplazamiento, velocidad velocidad y aceleración
angulares son:
78
̇ ̈ 2 (
=
)
=
(
)
=
(
)
Ec. 3-21
Ejemplo 3.3 Determinar el período, la frecuencia y la frecuencia circular natural para el sistema vibratorio formado por un péndulo simple, en donde la longitud de la cuerda es de 60 cm y la masa es de 0.1 Kg. Para este sistema se tiene el siguiente s iguiente modelo matemático
̈ 2 +
= 0
Por lo tanto la frecuencia frecuencia circular natural es: =
=
9.81 9.81
/
0.6
= 4.044
=
2
79
/
= 1.55
=
/
2
= 0.64
/
3.3 VIBRACIONES VIBRACIONES LIBRES DE CUERPOS RÍGIDOS RÍGIDOS El análisis de vibraciones de cuerpos rígidos de un grado de libertad es similar al de una partícula con la diferencia que para definir la posición se requiere de una distancia a un determinado ángulo. ángulo. Para que la vibración se considere como un movimiento armónico simple se requiere que el modelo matemático sea de la forma:
O
̈ ̈ + +
= 0
+
= 0
En donde la frecuencia circular natural nuevamente es igual a: =
3.4 PÉNDULO FÍSICO FÍSICO
2
/
La diferencia radica en que la cuerda ahora es reemplazada por un elemento rígido con una masa considerada puntual en el centro de gravedad de la misma. 80
0 ̈ 0 ̈ 0̈ 0 ̈ 0 =
En donde:
=
=
2
+
Para pequeñas oscilaciones o scilaciones
+
=
= 0
2
=
= 0
2
2
Ec. 3-22
Ec. 3-23
Ejemplo 3.4 Una chapa cuadrada homogénea de lado “L” y masa “m” está suspendida del punto medio de uno de sus lados. Encuentre su frecuencia de oscilación.
81
L/2
x' L
G
G
mg L
Figura 3-11 Placa Plana
En la ecuación:
0 =
2
El momento de inercia es:
2 2 0 2 2 2 2 0 0 2 =
1
12
=
En nuestro caso
=
1
12
(
)
+
( +
=
+
5
12
Reemplazando, Reemplazando, se tiene:
82
) +
4
2 =
2
=
5 12
6
5
Ec. 3-24
Otra manera de analizar este tipo de vibración es utilizando el diagrama cinético equivalente de la figura 3-14 para lo cual se parte de la figura 3-12, que representa una placa cuadrada de 2b de ancho suspendida en el punto medio de uno de sus lados, en la que se igualarán el sistema de fuerzas externas con el sistema de fuerzas internas.
Figura 3-12 Placa en vibración
Para este sistema se realiza un diagrama de cuerpo libre de la placa rotada un ángulo θ entre la línea OG y la vertical.
83
Figura 3-13 Diagrama de cuerpo libre
Puesto que la placa se encuentra en movimiento se considera el diagrama cinético equivalente de la figura 3-14.
Figura 3-14 Diagrama cinético equivalente
En el caso anterior se utilizó sumatoria de torques alrededor del eje de rotación mediante la siguiente ecuación: ecuación:
0 =
84
En este caso se igualará la sumatoria del torque respecto al eje de rotación como la suma de los torques internos generados por la fuerza tangencial más la generada por la inercia respecto al centro de gravedad.
̈ ̈ 2 2 2 2 2 =
En donde
+
=
=
=
Reemplazando se tiene
(
) =
+
El momento de inercia respecto al centro de gravedad es: =
=
1
12
1
12
(
+
)
((2 ) +(2 ) ) =
2 3
Reemplazando se tiene:
̈ 2 ̈ (
) =
+
85
2 3
̈ ̈ ̈ ̈ (
5 3
+
) =
+
3
+
2 3
= 0
= 0
5
Ec. 3-25
La frecuencia circular natural y el período de vibración son:
=
=2
3 5
5 3
Para determinar la fuerza normal se parte de:
̇2 ̇2 =
como
Ec. 3-26
=
=
86
Ec. 3-27
Ejemplo 3.5 Una varilla rígida de sección uniforme se restringe para moverse verticalmente por la acción de dos resortes lineales y otro torsional como se muestra en la figura. Calcule la frecuencia de oscilación vertical de la varilla.
Figura 3-15 Sistema de resortes lineales y torsionales
Los resortes lineales se encuentran en paralelo por lo tanto la constante de rigidez equivalente es:
1 2 =
+
= 2
La fuerza aplicada por los resortes es: = 2
Sacándole del equilibrio al sistema la distancia x es: =
Entonces 87
2 = 2
Para ángulos pequeños
=
En el caso del resorte de torsión El torque aplicado es:
=
El momento de inercia de una barra que gira alrededor de uno de sus extremos, según el teorema de ejes paralelos se tiene: t iene:
0 2 2 0 2 2 =
=
1
12
+
+
2
=
1 3
Por lo tanto aplicando aplicando la ecuación: ecuación:
0 =
Se tiene:
2 ̈ 2 ̈ 2 .2
1 3
+ (
=
+ 2
1 3
) = 0
Por lo tanto la frecuencia frecuencia circular natural es: 88
2 2 =
3
+ 6
Ejemplo 3.6 Analice la estabilidad del péndulo invertido de la figura
Figura 3-16 Péndulo invertido
Para el análisis primeramente se realiza un diagrama con el sistema fuera de equilibrio como se muestra en la siguiente figura, luego consideramos el equilibrio de los momentos externos con el momento resistente como sigue:
=
89
Figura 3-17 Péndulo invertido
El torque debido al peso se tiene:
∗ ∗ 1=
La fuerza debido a los dos resortes en paralelo de rigidez k es: 1= 2
2
El torque debido al resorte equivalente equivalente es: 2
2
2
Y el torque resistente es:
2 ∗ ̈ =
Por lo tanto. 90
∗ ∗ 2 ∗ ̈ 2 2 ̈ ̈ 2
2
+
2
+
+
=
= 0
2
= 0
2
2
=
=
(
2
)
2
De la ecuación anterior se puede apreciar que para que el sistema vibre
2
debe ser mayor que cero, caso contrario el sistema
jamás volverá vo lverá a su posición de equilibrio y por po r el contrari contr arioo se alejará a lejará más volviéndolo inestable. inestable.
3.5 MÉTODO DE ENERGÍAS ENERGÍAS Este método consiste en determinar un modelo matemático de sistemas vibratorios lineales, rotacionales o ambos, se basa en el principio de conservación conservación de la energía. Así como tiene ventajas (análisis de sistemas vibratorios combinados lineales y torsionales), tiene la desventaja de ser utilizado sólo en sistemas de un grado de libertad y sin amortiguamiento. 91
̇ ̇ ̇ ̇ ̇ ̇̇ ̇̇ ̇̇ +
= 0
Como se sabe que:
=
=
=
1
=
1
=
Reemplazando Reemplazando se tiene:
1
+
+ +
+ + 1 +
= 0
= 0
+ 2 = 0
Integrando
̇ 2 2 2
+
2
=
Sabiendo que:
92
Ec. 3-28
La energía cinética T está dada por 20:
̇ 2 =
1 2
Ec. 3-29
La energía potencial está dada por 21:
2 =
1 2
Ec. 3-30
Por lo que en la ecuación 3-28 se puede observar que la suma de energía cinética y energía potencial es siempre constante “Ley de conservación conservación de la Energía”. Energía”.
Ejemplo 3.6 Hallar la constante de rigidez r igidez de los sistemas mostrados en la figura 316, 3-17 y 3-18.
a)
20
(Beer & Johnston, 2004) 2 004)
21
(Beer & Johnston, 2004) 2 004)
93
Figura 3-18 Péndulo simple
De la figura 3-16 se puede observar que la masa m se encuentra concentrada en el extremo de la cuerda cuando al sistema se le gira un pequeño ángulo θ, la ubicación de la masa cambia una distancia x como se muestra en la figura y se calcula con:
=
= (1
)
Ec. 3-31
Luego para determinar la energía potencial total se aplica la siguiente relación:
( ) =
0 ( )
Ahora como F = mg, el incremento de energía potencial es:
( ) =
0 0 ( )
=
( ) =
94
Ec. 3-32
Según la ecuación 3-31 se tiene:
( ) =
(1
)
Para ángulos pequeños según la serie de Taylor 22:
2 ⋯ 2 = 1
1
2
=
+
. Ec. 3-33
2
Por lo tanto se tiene:
2 ( ) =
2
Reacomodando
2 12 2 2 2 ( ) =
1 2
(
)
y recordando de la ecuación 2-7 que ( ) = 1 2
(
)
=
Se tiene: 22
(HILDEBRAND, 1976)
95
1 2
=
Ec. 3-34
b)
Figura 3-19 Barra de masa uniformemente distribuida
La barra tiene una masa m uniformemente distribuida a lo largo de la misma, entonces se considera que la masa se encuentra concentrada en su punto medio es decir a L/2, cuando a la barra se le gira un pequeño ángulo θ, la ubicación del centro de gravedad cambia una distancia x como se muestra en la figura y se calcula con:
=
2
2
=
2
(1
)
Ec. 3-35
Expresando la energía potencial en función del trabajo desarrollado por el peso W se se tiene F = mg, el incremento de energía potencial es:
96
( ) =
0 0 ( )
=
2
Ec. 3-36
( ) =
Según la ecuación 3-31 se tiene: ( ) =
2
(1
)
Para ángulos pequeños según la serie de Taylor: T aylor: ( ) =
Reacomodando
2 2
2 12 2 ( ) =
1 2
2
y recordando de la ecuación 2-7 que ( ) = Se tiene:
=
c)
97
2
Figura 3-20 Péndulo invertido
Cuando el péndulo se invierte se observa que el cambio de posición es negativo por lo tanto el incremento de energía potencial es negativo, por lo tanto
2 ( ) =
1 2
(
)
Sin embargo la constante elástica del sistema sigue siendo: =
Problemas 1.- Suponiendo que la constante del resorte es inversamente proporcional al número número de vueltas del mismo, encuentre encuentre y compare las frecuencias naturales de los sistemas mostrados en la figura.
98
Figura 3-21
+
Respuestas:
44
=
=
2.- Una viga simplemente apoyada con una carga concentrada que actúa en su punto medio, mostrada en la figura, si la masa de la viga es despreciable comparada con la masa que actúa, encuentre la frecuencia natural del sistema.
Figura 3-22
Respuesta:
4848 =
3.- Una viga de acero en voladizo tiene una longitud total de 10 pulgadas y una sección transversal cuadrada de 1/4 x ¼ de pulgada. pulgada. Una masa de 10 slugs, se ata al extremo libre de la viga, como se muestra en la figura, determine la frecuencia natural del sistema si la masa se desplaza ligeramente y luego se deja en libertad. 99
Respuesta:
�
Figura 3-23
= 33.7
4.- Un motor eléctrico está soportado por cuatro resortes, cada uno de los cuales tiene una constante de elasticidad de k [lb/pulgadas], como se muestra en la figura, si el momento de inercia del motor alrededor de del eje central de rotación en J 0, encuentre su frecuencia natural de vibración
Figura 3-24
Respuesta:
=2
rad/s
5.- Determine la frecuencia circular natural del sistema representado en la figura.
100
Figura 3-25
Respuesta:
+
rad/s
=
6.- Determine la frecuencia circular de vibración del de l sistema mostrado en la figura, a) si la masa de la varilla es despreciable y b) si la masa de la varilla no es despreciable.
Figura 3-26
Respuesta:
a)
=
rad/s
101
++ rad/s b)
=
7.- La masa de la varilla delgada de sección uniforme, como se muestra en la figura, es pequeña comparada con la masa que tiene colgada en su extremo, calcule su frecuencia circular natural.
Figura 3-27
Respuesta:
2 2 +
=
8.- Use el método de energía para encontrar la frecuencia circular natural del cilindro homogéneo representado en la figura,
Figura 3-28
102
Respuesta:
443+ =
(
)
9.- En el sistema masa-resorte-polea, mostrado en la figura, la cuerda se puede suponer inextensible, la masa m se desplaza ligeramente y luego se deja en libertad, encuentre la frecuencia circular natural del sistema utilizando el método de energías. energías.
Figura 3-29
Respuesta:
4+3 =
rad/s
10.- Si la masa de las poleas, mostrada en la figura son pequeñas y la cuerda es inextensible, encuentre la frecuencia circular natural del sistema.
103
Figura 3-30
Respuesta:
4+ =
(
rad/s
)
104
CAPÍTULO 4
4.
VIBRACIONES FORZADAS SIN
AMORTIGUAMIENTO Se tiene este tipo de vibración cuando en el sistema existen elementos de rigidez, la acción de fuerzas externas armónicas y ausencia de elementos de amortiguamiento, para este caso el modelo matemático que rige su movimiento es: 23
0 +
=
Ec. 4-1
Figura 4-1 Sistema de d e vibración forzada sin amortiguam a mortiguamiento iento
En donde F0 representa la amplitud o la amplitud máxima de la fuerza aplicada,
representa la frecuencia de excitación expresada en rad/s.
23
(Beer & Johnston, 2004) 2 004)
105
La frecuencia de excitación puede ser representada como una función seno, coseno o una función exponencial compleja, es decir:
00
Ec. 4-2
0
Ec. 4-3
=
=
O =
Donde j representa la unidad imaginaria.
4.1 SOLUCIONES SOLUCIONES DEL SISTEMA Para el sistema de la figura 4.1 y modelo representado en la ecuación 4.1 se tiene que la solución general es la suma de una solución homogénea y una soluci so lución ón particular. En donde del capítulo tres se tiene que la solución homogénea, es
decir una solución para la la cual =
= 0 es de la forma:
+ +
Ec. 4-4
Y la particular es:
=
Donde X es la amplitud de la respuesta forzada. 106
Ec. 4-5
̈̇ 2 2 0 2 0 =
Ec. 4-6
=
Reemplazando en la ecuación 4.1 y factorizando se tien t iene: e: + + k
= =
+ k =
Resolviendo para la amplitud queda:
0 2 0 � �2 ≠ =
k
=
Ec. 4-7
1
Para todo
Por lo que la solución general (la suma de las dos soluciones anteriores) es:
0 � �2 =
+ +
+ +
1
Las constantes A y B se obtienen de las condiciones iniciales. Por ejemplo ejemplo para t=0, t =0, xt= x0 y vt=v0 se tiene:
107
Ec. 4-8
̇ 0 � �2 =
+
Ec. 4-9
1
Reemplazando Reemplazando las condiciones iniciales se tiene t iene::
0 0� 0 �2 0 � 0 �2 =
1
=
=
1
4.1.1 Excitación Debido a una carga carga excéntrica
Durante el montaje es posible que un rotor quede perfectamente balanceado, pero no se puede impedir que con el tiempo y debido al desgaste en sus apoyos su desbalanceamiento aumente, por lo tanto es necesario establecer los valores admisibles para el desbalanceamiento residual de un rotor. El problema del desbalanceamiento, es que se generan fuerzas centrífugas (fuerzas de inercia), las cuales sobrecargan todos los elementos de la máquina disminuyéndole su vida de operación.
108
Ejemplo 4.1 Determine el valor de la fuerza centrífuga que se genera en un rotor con una masa de 100 Kg y que tiene un desbalanceamiento de 4000 (gr mm), cuando: a) el rotor gira a 1000 cpm b) el rotor gira a 3000 cpm Respuesta La fuerza centrífuga es:
2 2 =
= 4000
a)
1000
Por lo tanto
= 1000
= 0.04
b)
3000
= 1000
= 0.004
2
.
1
60
104.7
2
109
= 104.7
= 43,8
.
1
60
= 314
2 = 0.04
Notas:
314
= 394,8
Observe que cuando la velocidad aumenta en tres veces, la fuerza centrífuga aumenta en nueve veces, además cuanto mayor es la velocidad velocidad de rotación menor es el desbalanceamiento permitido.
4.1.2 Excitación mediante un desplazamiento desplazamiento En el caso en que se reemplace la fuerza de excitación por un soporte móvil como se muestra en la figura 4-2, el cual genera un desplazamiento x del cuerpo, el mismo que corresponde a la proyección proyección sobre el eje vertical del radio radio de giro de la deslizadera.
Figura 4-2 Excitación mediante un desplazamiento
110
Considerando que la posición de equilibrio es cuando
= = 0, se
encuentra que la elongación total del resorte en un tiempo t es:
̈ ̈ 0 �2 =
+
Del equilibrio cinético se tiene:
=
(
+
)=
Ec. 4-10
Como se vio antes
=
+
Si se hace
=
Ec. 4-11
se ve que es de la misma forma que la ecuación
=
4-1, por lo que la ecuación ecuación 4-7 puede ser expresada como:
=
1
Ec. 4-12
Luego los desplazamientos medios serán:
0 � �2 =
1
y 111
Ec. 4-13
�2 =
Ec. 4-14
1
4.2 TIPOS DE RESPUESTAS A DIFERENTE TIPO DE EXCITACIÓN EXCITACIÓN Respuesta a una excitación armónica: armónica: Las fuerzas que varían armónicamente son fáciles de reproducir físicamente y de estudiar teóricamente. Además, estudiando la respuesta del sistema para toda to da una gama de frecuencias de exci e xcitación, tación, se tiene caracterizado su comportamiento comportamiento dinámico. dinámico.
Respuesta a una función impulso, a una función escalón y a una función rampa: Son las funciones más simples y relativamente re lativamente fáciles fáciles de reproducir en un laboratorio o taller. También caracterizan el comportamiento dinámico del sistema totalmen tot almente. te.
Respuesta a una excitación aleatoria: aleatoria: Incluyen a todas las anteriores.
4.3 RESONANCIA RESONANCIA La resonancia es un fenómeno físico que se produce en sistemas de vibración forzada, si la frecuencia de excitación o aplicación de carga
se iguala a la frecuencia circular natural 112
se dice que el sistema
entra en resonancia cuando esto ocurre la amplitud de vibración aumenta indefinidamente y se presenta la posibilidad de que los elementos se sobre esfuercen y por lo tanto colapsen, ya que la frecuencia natural requiere la mínima cantidad de energía para que el sistema vibre, debido a esto el sistema depende de la cantidad de amortiguamiento amortiguamiento del sistema. Existen dos tipos fundamentales de resonancia:
Resonancia en amplitud.- Se produce a la frecuencia que hace que la amplitud del desplazamiento sea máxima. máxima.
Resonancia en energía.- Se produce a la frecuencia que hace que la amplitud de la velocidad sea máxima. Una característica muy significativa del movimiento oscilatorio tiene lugar cuando la fuerza excitadora de las vibraciones tiene unas frecuencias particulares, para cada sistema dado, produciéndose cambios de configuración de los sistemas mecánicos que alcanzan amplitudes notables, y generalmente, ocasionan un fallo estructural del material sometido a esfuerzos de rotura o efectos resonantes. Este riesgo se produce incluso con fuerzas excitadoras muy pequeñas ya que depende de las características del material sometido a vibración. vibración. Cuando la frecuencia de la fuerza exterior es igual a la frecuencia natural del sistema
=
, se produce la resonancia, la ecuación
que rige dicho fenómeno es,
113
0 =
(
2
)
Expresión que corresponde a un movimiento armónico de frecuencia
ωn y cuya amplitud tiende a infinito cuando t → ∞ . 4.4 FACTOR DE AMPLIFICACIÓN AMPLIFICACIÓN Por definición el factor de amplificación es la relación entre la
amplitud amplitud de vibración de estado estable ( desplazamiento desplazamiento de excitación
) y la deflexión estática (el
), por lo tanto se tiene: ó =
=
Por lo tanto de la ecuación 4-13 se tiene:
0�
�2 1
ó =
1
114
115
116
Ejemplo 4.2 Dada la masa del tráiler de 250 Kg soportado por dos resortes cada uno de 10 KN/m. circula por un camino sinuoso de amplitud de 40 mm y 5 metros de distancia entre valles consecutivos:
Figura 4-3
Determinar: a) La velocidad del tráiler trá iler para que el sistema esté en resonancia. b) la amplitud amplitud de vibración del tráiler a una una velocidad de 50 Km/h. Resolución
a) Como los resortes se encuentran en paralelo, la rigidez equivalente es de 20 KN/m, 117
La frecuencia de vibración (circular) del sistema es:
2
=
2 0 =
20000 / 250
= 80 /
El desplazamiento vertical del tráiler está dado por la ecuación: =
En donde
sin
=2
Hacemos que
La frecuencia de vibración =
=2
El sistema entra en resonancia cundo se igualan las frecuencias la circular natural con la de excitación.
=
= 2
Luego
=
2
118
2 ℎ �2 2� =
b)
5
80 80 /
2
= 50
= 13.89
=2
=2
=
= 2
=
1
= 7.11
/
/
= 2
13.89 / 5
=
1
119
= 17.45/
0.04 17.45
=
80
0.014
CAPÍTULO 5
5.
VIBRACIONES LIBRES CON
AMORTIGUAMIENTO Se denominan sistemas vibratorios con amortiguamiento a aquellos sistemas en los que la amplitud de vibración disminuye con el tiempo hasta llegar a la posición de reposo, esta disminución de la amplitud se debe a que el medio absorbe energía del sistema ya sea en forma de calor, fricción o ruido, en la práctica siempre existe una combinación de estas formas de amortiguamiento, y su efecto es medido mediante un factor denominado factor de amortiguamiento, la fuerza de amortiguamiento se ha determinado que es proporcional a la velocidad.
5.1 ANÁLISIS Y MODELACIÓN MODELACIÓN DE LA VIBRACIÓN VIBRACIÓN En la figura 5-1 se puede observar una esquematización de este tipo de vibraciones. La fuerza de amortiguamiento como se dijo antes es proporcional a la velocidad (v), en donde el factor de proporcionalidad (c) es el denominado coeficiente de amortiguamiento. amortiguamiento. 120
=
Ec. 5-1
Figura 5-1 Sistema libre con amortiguamiento
Por lo tanto del diagrama de cuerpo libre y cinético equivalente se tiene:
̈ ̇ =
(
Ec. 5-2
+ ) =
= 0
Considerando la ecuación 3.1 se tiene 24: +
+ +
+ +
+
= 0
= 0
Ec. 5-3
La solución a esta ecuación diferencial es de la forma representada en la primera de las ecuaciones 5-4, por lo que derivando sucesivamente
24
(THOMSOM, 1992)
121
se tiene la velocidad y aceleración de la partícula en la segunda y tercera de las ecuaciones 5-4.
̇ ̈ 2 λ
=
=
λ
λ
Ec. 5-4
λ
= λ
Reemplazando Reemplazando en la ecuación 5-3 y dividiendo para
λ
Encontramos Encontramos la ecuación característica:
2 √ 2 2 λ
+
λ +
= 0
Ec. 5-5
Las raíces de esta ecuación característica son:
= λ =
λ = =
2
±
±
4
2
Ec. 5-6
2
Por lo que las raíces ra íces pueden ser:
Reales e iguales.
Reales y desiguales.
Imaginarias.
Dependiendo del valor de las raíces la solución a la ecuación diferencial puede ser: 122
Para raíces reales e iguales:
= ( +
)
Ec. 5-7
Para raíces reales y desiguales: λ
=
λ
+
Ec. 5-8
Para raíces imaginarias: =
cos
+ +
sin
Ec. 5-9
En donde representa la parte real y la parte imaginaria, es decir: = +
Ejemplo 5.1
Un resorte de constante k y un amortiguador de constante c están conectados en uno de sus extremos a un cuerpo de masa m y en el otro o tro a una pared. El sistema descansa sobre una mesa horizontal sin fricción. Determine la posición y velocidad del cuerpo con las siguientes condiciones iniciales: Tabla 5-1 Datos del problema pro blema
caso
Masa m[Kg]
Coeficiente de amortiguamiento c[N.s/m]
Rigidez k[N/m]
X(0)[m]
V(0)[m/s]
a b c
0,5 4 0.25
3 16 5
4 16 169
0 1 0
2 -1 16
123
Solución La ecuación diferencial que modela el sistema es:
̈ ̇ ̈ ̇ 2 2 12 + +
Caso a
+ +
= 0
0.5 + + 3 + + 4 = 0
Por lo que su ecuación característica característica es:
0.5 + 3 + 4 = 0 + 6 + 8 = 0
( + 4)( + 2) = 0
Por lo tanto las raíces son:
De la ecuación 5.8:
=
4
=
2
−4 −2 ̇ −4 −2 λ
=
=
=
λ
+ +
4
2
Las constantes A y B se obtienen utilizando las condiciones iniciales.
−4−4 −2−2
0= 2=
+
4
2
Resolviendo el sistema se determina que A=-1 y B=1 124
Por lo tanto.
̇ −4−4 −2−2 =
1
+ 1
= +4
2
Que son las soluciones para la posición y velocidad para todo t.
Caso b
̈ 22
̇
4 + + 16 + + 16 = 0
Por lo que su ecuación característica es:
4 + 16 + 16 = 0
+ 4 + 4 = 0
2
( + 2) = 0
Por lo tanto las raíces son:
12 −2 −2 ̇ −2 −2 −2 −2 −2 =
2
=
2
De la ecuación 5.7:
= ( +
=
λ
=
=
2
+
)
λ
+
+
2
Las constantes A y B se obtienen utilizando las condiciones iniciales. 0=
+
125
2=
−2 −2 −2 2
+
2
Resolviendo el sistema se determina que A= B=1 Por lo tanto.
−4 −2 −2 ̇ −2 −2 −2 −2 =
=
2
+
= (1 + )
+
2
=
(1 + 2 )
Que son las soluciones para la posición y velocidad para todo t.
Caso c
̈ ̇ 2 2 √ 2 ∗ −10 −10 1 4
+ + 5 + + 169 = 0
Por lo que su ecuación característica característica es: 1 4
+ 5 + 169 = 0
+ 20 + 676 = 0
20 ± 20 20
λ = =
4 6761
2
=
10 ± 24 24
Por lo tanto la solución solución de la ecuación ecuación ddiferencial iferencial 5.9 es: =
=
cos +
sin
cos cos 24 +
24
Derivando se tiene:
̇ −10 −10 −10 −10 =
10
cos cos 24 + 24
24 cos cos 24
126
24
10
24
Las constantes A y B se obtienen utilizando las condiciones iniciales.
= 0
24
10 = 16
Resolviendo el sistema se determina que A=0 y B=2/3 Por lo tanto.
−10 ̇ −10 −10 =
=
2
24
3
20
24 + 16
3
24
Que son las soluciones para la posición y velocidad para todo t.
5.2
TIPO
DE
VIBRACIONES
LIBRES
CON
AMORTIGUAMIENTO AMORTIGUAMIENTO Dependiendo de la solución dada por la ecuación 5.6 5. 6
λ = =
2
±
2 2
Se pueden obtener tres tipos diferentes de vibraciones, vibraciones, a saber: a) Amortiguamiento Crítico.- Se dice que se tiene amortiguamiento crítico cuando las raíces son reales e iguales, es decir el valor del radical es cero:
2 2
127
= 0
=2
En este caso el coeficiente de amortiguamiento se lo denomina coeficiente de amortiguamiento amortiguamiento crítico, crítico, por lo que:
=
= 2
= 2
b) Amortiguamiento Supercrítico.- Se dice que se tiene amortiguamiento supercrítico cuando las raíces son reales y desiguales, en otras palabras en el radical se tiene: t iene:
2 >
2
c)
Amortiguamiento Subcrítico.- Se dice que se tiene
amortiguamiento subcrítico cuando las raíces son imaginaria, en otras palabras en el radical se tiene:
2 2 <
2
Analizando la ecuación 5.6
λ = =
2
±
128
2
5.1.1 Relación de factores de amortiguamiento amortiguamiento Relación de amortiguamiento.- Es la relación entre el factor de amortiguamiento amortiguamiento y el factor de amortiguamiento amortiguamiento crítico. crítico.
Ω =
=
Factor de frecuencias: frecuencias:
2
=
En donde
Ec. 5-10
Ec. 5-11
es la frecuencia natural amortiguada: frecuencia del
movimiento armónico que resulta al introducir un desplazamiento y/o una velocidad inicial a un sistema de un grado de libertad amortiguado, que está en posición de equilibrio, y dejarlo vibrar libremente 25 (problema de vibraciones libres amortiguadas). Su valor es:
2 =
1
La relación entre estos dos factores nos da la ecuación de la elipse:
25
Pintor, J. M. (s.f.). Elementos de máquinas y bibraciones. Navarra. 129
Ω2 2 2 +
= 1
Utilizando este concepto la ecuación 5.6 resulta ser:
λ = =
±
(
)
Ec. 5-12
5.2.1 Amortiguamiento Crítico Crítico Como se mencionó anteriormente este tipo de vibración es cuando el radicando es igual a cero, es decir las raíces son reales e iguales por lo
tanto = 1, o =
.
En este caso la solución es la ecuación 5.7.
= ( +
)
Solución que no es de carácter vibratorio y no tiene ninguna importancia en el diseño de máquinas. Pero con la particularidad que estos sistemas regresan a su posición de equilibrio en el tiempo más corto posible sin oscilaciones. Una gráfica del comportamiento se lo puede observar observar en la figura siguiente 26.
26
(ZILL, 1999)
130
Figura 5-2 Respuesta de una vibración críticamente amortiguada
5.2.2 Amortiguamiento Súper Crítico Crítico Se tiene este tipo de vibración cuando el en el radicando se tiene
2 > 1 , o >
, es decir las raíces son reales y desiguales, por lo
tanto, como se mencionó anteriormente en este caso la solución es la
ecuación 5.8
=
λ
+
λ
Solución que tampoco es de carácter vibratorio y no tiene ninguna importancia en el diseño de máquinas. El sistema regresa a su posición de equilibrio equilibrio después de un tiempo finito. finito.
5.2.3 Amortiguamiento Sub Crítico Crítico Se tiene este tipo de vibración cuando el en el radicando se tiene
2 < 1 , o <
, es decir las las raíces son imaginarias, imaginar ias, por lo lo tanto, tanto ,
como se mencionó anteriormente en este caso la solución es la
ecuación 5.9 131
=
cos
+ +
sin
Una gráfica del comportamiento se lo puede observar en la figura siguiente 27.
Figura 5-3 Respuesta de una vibración libre subamortiguada
Ejemplo 5.2 Si se tiene un objeto de 10 kg que está suspendido por dos muelles idénticos de constante elástica k=500 N/m asociados en serie, y un amortiguador de tipo viscoso viscoso de constante constante c=90 N·s/m. N· s/m. Calcular: a) El coeficiente de amortiguamiento crítico c c.
Ω
b) El factor de frecuencias frecuencias . c) El valor del pseudoperíodo, justificando su existencia. existencia. 27
(ZILL, 1999)
132
d) Si inicialmente se separa de su posición de equilibrio estable 5cm, calcular la energía total en ese instante. e) Indicar el principio de conserv co nservación ación de la energía energ ía que cumple.
Figura 5-4 Sistema de vibración con amortiguamiento a mortiguamiento
Resolución a) Constante equivalente (serie)
1 2 � � 1
1
=
=
1
1
+
1
500
+
1
500
= 250 =
=
250 250 10
=5
133
Ω2 Ω2 2 =2
= 2
=
=
= 100
90
100
.
= 0.9
b) Factor de frecuencias frecuencias
=1
=1
0.9 = 0.19
= 0.436
Comprobación:
2 2 Ω Ω =
1
(0.9) = 2.18
=5 1 =
=
= 0.436
2.18
= 0.436
5
c) Pseudoperiodo, existe por ser un amortiguamiento amortiguamiento subcrítico. =
=
2
2.18
2
= 2.88
d) Cumple el principio de conservación de la energía total, tot al, el principio de conservación de la energía mecánica no lo cumple por existir fuerza amortiguadora disipadora de energía. energía.
134
Ejemplo 5.3 El sistema de la figura consta de una masa, dos muelles y un amortiguador de características: m=20kg; k 1= 50 N /m; k 2= 70 N /m; c= 80 N s /m
Determinar: a) Ecuación diferencial del movimiento y su solución so lución general. general. b) Coeficiente de amortiguamiento crítico, indicando indicando el tipo de amortiguamiento amortiguamiento del sistema. c) Frecuencia de la vibración libre y frecuencia de la vibración libre amortiguada. d) Valor del pseudoperiodo justificando su existencia. e) Si inicialmente la masa se desplaza de su posición de equilibrio estable 5cm, calcular la energía mecánica comunicada al sistema indicando si se conserva o no en el transcurso del movimiento.
135
Figura 5-5
Resolución a) La ecuación diferencial del movimiento de una vibración libre amortiguada es:
1 2 2 +
+
= 0
La constante equivalente de los muelles en paralelo es, =
Por lo que:
+
= 120
/
20 + 80 + 120 = 0
Simplificando Simplificando queda
+ 4 + 6 = 0
Cuya ecuación ecuación característica es,
+ 4 + 6 = 0
136
Donde:
√ √ −2√ =
2±
2
La solución general es:
=
2 +
b) El coeficiente de amortiguamiento amortiguamiento crítico se obtiene a partir de la expresión:
√ √ =2
.
Como se cumple que <
= 2 2400 2400 = 97.98
el tipo de amortiguamiento amortiguamiento es subcrítico. subcr ítico.
c) La frecuencia de la vibración libre y la frecuencia de la vibración libre amortiguada son:
√ 2 √ =
120 120
=
=
20
1
= 6
=
2
/
/
d) Por tratarse de amortiguamiento subcrítico se puede obtener el valor del pseudoperiodo:
√ =
2
=
2
2
= 4.44
e) La energía mecánica comunicada inicialmente al sistema para x = 5 cm es:
137
2 =
1 2
= 0.15
La energía total se conserva en el transcurso del movimiento pero la energía mecánica no, parte se disipa en forma de calor debido al amortiguador.
Ejemplo 5.4 Para un modelo vibratorio se tiene una masa equivalente de ¼ Kg. Un coeficiente de amortiguamiento de 5 N.s/m, una constante de rigidez de 169 N/m, en donde para t=0 x 0=0 y v0=16 m/s. Determinar: a) El modelo matemático que rige este tipo de movimiento. b) La solución. solución. c) El desplazamiento y la velocidad para todo to do t. Solución: La ecuación diferencia a resolver, en este caso, es la ecuación 5-3:
̈ ̇ + +
+ +
= 0
Reemplazando los valores dados en el planteamiento del problema se tiene: 1 4
̈ ̇
+ + 5 + + 169 = 0
138
Por lo tanto la ecuación ecuación característica caracter ística es la ecuación 5-5:
2 2 λ
1 4
λ
+
λ + +
= 0
+ 5λ + 169 = 0
Aplicando la ecuación general para resolver ecuaciones de segundo grado se obtienen las raíces:
2 −10 −10 ̇ −10 −10 −10 −10 5±
4(169)
5
λ = =
(2 )
λ = =
1 4
1 4
10 ± 24i
De la ecuación 5-9 se tiene: =
cos cos 24 + +
sin sin 24
Derivando obtenemos la velocidad. =
10
cos cos 24 +
24
sin sin 24
10
sin sin 24
cos cos 24
Ahora aplicando las condiciones iniciales para t=0 x 0=0 y v0=16 m/s. Se obtienen los valores de las constantes:
= 0
= 2/3
Finalmente reemplazando en la solución general
139
−10 −10 −10 = 0
cos cos 24 + 2
=
2
sin sin 24
3
sin sin 24
3
Derivando se tiene:
= ( 10) =
2 3
20 3
Ejemplo 5.5
−10 −10
−10 −10
sin sin 24 +
2 3
sin sin 24 + 16
24
cos cos 24
cos cos 24
Un cuerpo de masa igual a 1 kg está unido a un resorte de constante k = 5 N/m y a un amortiguador, con constante c = 2 N.s/m. Se alarga el resorte una distancia de 0.3 m y se suelta del reposo. Determine los tiempos en que se obtienen los dos primeros desplazamientos máximos y los dos primeros desplazamientos mínimos. Calcule también la amplitud y el ángulo fase del movimiento.
Solución La ecuación característica en este caso es:
̈ ̇ 2√ 2 ∗
+ + 2 + + 5 = 0
Por lo que su ecuación característica característica es: + 2 + 5 = 0
λ = =
2± 2
4 5
2
140
=
1±2
Por lo tanto la solución solución de la ecuación ecuación ddiferencial iferencial es:
− − ̇ − − − − =
cos
+ +
=
cos2 +
sin
2
Derivando se tiene: =
cos cos 2
2
2
1
2 + + 2
cos cos 2
Las constantes A y B se obtienen utilizando las condiciones iniciales. =
3
10
+ 2 = 0
Resolviendo el sistema se determina que A=3/10 y B=3/20 Por lo tanto.
− − − =
=
3
2 + +
10
3 ( 10
2 +
3
20
3
2
20
2 )
Que es la solución para la posición para todo t. Ahora para determinar el desfase, la ecuación 5-8.
− − =
cos2 +
Podemos escribirla en la forma:
141
2
Ec. 5-13
− ∅ =
− ∅ Donde
(2 + + )
es la amplitud del movimiento que depende del tiempo y
es el e l ángulo ángulo de fase. Usando la relación trigonométrica:
− − ( + ) =
+
Obtenemos
=
=
(
2
(
+
2 +
2
2 )
) Ec. 5-14
Igualando término término a término las ecuaciones 5-16 y 5-17 se tiene que: 3
10
=
3
20
=
Por lo que el ángulo de desfase es:
= 2
= 63.43° = 1.1072
Y la amplitud es:
=
3
= 0.3354 10 sin 1.10 1.1072 72
Finalmente, la posición y la velocidad de la partícula están dadas por:
− ∅ =
(2 + + )
142
− − ̇ − = 0.3354
=
0.3354
(2 + + 1.1072)
(2 + 1.1072) + 0.6708
(2 + 1.1072)
La gráfica del desplazamiento se tiene en la figura siguiente.
−
La amplitud variable está dada por A = 0.3354
2
angular es =
=2[
[m], la frecuencia
movimiento está dado por / ]. y el periodo del movimiento
/
Por otra parte, los desplazamientos máximos se obtienen cuando sen(2t + 1.1072)= 1, lo que ocurre cuando:
1 2 + + 1.1072 = (2 + ) 2
Con n=1,2,3,4…..
= =
Con n=1,2,3,4…..
+
1 4
143
0.5536
Y los dos primeros tiempos son t = 1.2318 s & t = 3.3724. En contraste, los desplazamientos mínimos se obtienen cuando sen(2t + 1.1072)= -1, lo cual ocurre cuando:
3 2 + + 1.1072 = (2 + ) 2
Con n=1,2,3,4…..
= =
Con n=1,2,3,4…..
+
3 4
0.5536
Y los dos primeros tiempos son t = 1.8026 s & t = 4.9442.
Ejercicio 5.6 Una masa de 1 kg se une a un resorte de constante k = 4 N/m. El medio ofrece una fuerza de amortiguamiento que es numéricamente igual a cinco veces la velocidad instantánea. La masa se libera desde un punto situado 0.3 m arriba de la posición de equilibrio, con una velocidad descendente de 2,4 m/s. Determine el tiempo en el que la masa pasa por la posici pos ición ón de equilibrio. equilibrio. Encuentre el tiempo en el que la masa alcanza su desplazamiento extremo. ¿Cuál es la posición de la masa en ese instante? Solución
144
En este caso, las constantes del sistema masa-resorte-amortiguador son m = 1 kg, c = 5 Ns/m y k = 4 N/m; en consecuencia el modelo matemático que describe la posición X t está dado por:
̈ ̈ ̇̇ + +
+ +
= 0
1 + + 5 + + 4 = 0
Cuya ecuación característica asociada es:
2
1λ + 5λ + 4 = 0
De donde obtenemos las raíces
1
λ
=
2 4 y λ =
1
Por lo que la solución general de la ED es
−4 −1 ̇ −4 −1 =
+
Derivando la posición, obtenemos la velocidad de la masa: =
4
Para determinar las constantes, sustituimos en las expresiones previas las condiciones iniciales. Obtenemos Obtenemos entonces el sistema de ecuaciones:
̇ =
0.3
= 2.4
Cuya solución es A=-0.7 y B=0.4
145
/
Si usamos estos resultados en la posición y velocidad de la masa tenemos:
̇ −4−4 −1−1 =
0.7
+ 0.4
= = 2.8
0.4
Observe que la masa pasa por la posición de equilibrio cuando se
cumple que
=0
, lo que ocurre cuando:
−4−3 −1
0.7
= 0.4 =
4 7
3 = = ln
4 7
= = 0.1865
Observe también que el máximo desplazamiento ocurre cuando la velocidad velocidad se anula, esto ocurre cuando:
−4−3 −1 06468 2.8
= 0.4 =
1 7
3 = = ln
1 7
= = 0.6486
En este tiempo la posición de la masa es .
= 0.1568
146
Note que al inicio la masa se encuentra en la mayor separación separación del punto de equilibrio. El último desplazamiento encontrado en un máximo relativo.
Ejercicio 5.7 Una masa de 3 kg se sujeta a un resorte y se desliza horizontalmente con coeficiente de amortiguamiento c. La constante del resorte es k = 12 N/m y el movimiento comienza en la posición de equilibrio x 0 = 0 m, con una velocidad inicial diferente de cero. a. Suponiendo que no existe amortiguamiento, ¿qué tiempo tomará al objeto para regresar a la posición de reposo r eposo por primera vez? b. ¿Qué valor de c es necesario necesario para que el sistema presente amortiguamiento amortiguamiento crítico? c. ¿Qué ocurre en el tiempo que se encontró en el inciso a. cuando c aumenta, aproximándose al valor del amortiguamien a mortiguamiento to crítico? crítico? Solución La ecuación diferencial que modela la posición x t de la masa en el resorte amortiguado es
2 +
3 +
+
= 0
+ 12 = 0
y su ecuación característica es
3 +
+ 12 = 0
147
Aplicando la fórmula para resolver ecuaciones cuadráticas obtenemos las raíces:
2 √ ̇ =
±
4x12x3
2 3
a. En el caso c = 0 tenemos que
= ±2 . Por lo cual la solución
general de la ecuación es
=
2 +
2
Con la velocidad dada por =
2 sin 2 + + 2
cos 2
Sabemos que la masa parte del punto de equilibrio, x 0= 0, con velocidad v=v0. Tenemos Tenemos entonces:
0 0 0=
= 2
=
1 2
Tomando en cuenta estos resultados obtenemos la posición de la masa:
0 =
1 2
148
2
La frecuencia natural de este movimiento es periodo es
= 2
/ y el
, así que el tiempo necesario para pasar por
=
primera vez por el punto punto de equilibrio equilibrio es
1
2 2
= =
b. El amortiguamiento crítico se presenta cuando c = 12 (pues entonces el discriminante de la ecuación característica se anula). En ese caso tenemos que la ecuación característica tiene una raíz doble, ésta es r1 = r2 = -2. En consecuencia, la posición está dada por
Como
0
= ( +
)
= 0, tenemos que A = 0 y esto implica que la posición se
reduce a:
−2 ̇ −2 −2 0 0 0−2 =
Ahora la velocidad es
=
Como (0) =
2
, tenemos que =
, por lo que la posición de la
masa en el tiempo t > 0 es
=
c. Observamos que en el caso de amortiguamiento crítico no se regresará al punto de equilibrio salvo en un tiemp t iempoo infinito.
149
5.3 DECRECIMIENTO DECRECIMIENTO LOGARÍTMICO 28 Una forma de medir la cantidad de amortiguamiento es determinando el cociente entre dos amplitudes consecutivas, es decir a un tiempo t y
a un tiempo t+ . Una técnica muy común es aprovechar el hecho de
− − − +
que la evolvente viene dada por
se pueden ajustar a
los puntos medidos a
,
, respectivamente. respectivamente.
=
En donde
, representa el psudoperíodo dado por:
=
2
28
(CLOUGH & PENZIEN, 1993)
150
y
Ec. 5-15
Figura 5-6 Amortiguamiento subcrítico
Por lo que
− −+ 2 =
(
)
=
=
=
2
1
Ec. 5-16
Para pequeños valores de
= 2
Ec. 5-17
De la ecuación 5-14 se puede despejar la razón de amortiguamiento
151
√ 2 2 =
4
Por lo tanto, si se mide el valor de
Ec. 5-18
en los picos sucesivos, digamos
, etc. Por medio de la ecuación 5-13 se puede determinar el
decremento logarítmico, de la 5-16 la razón de amortiguamiento y si se conoce el valor de m y k, se puede determinar el coeficiente de
amortiguamiento amortiguamiento c. En la práctica se puede determinar el porcentaje de amortiguamiento mediante el porcentaje de reducción de la amplitud después de n ciclos, por lo que el decremento logarítmico se determina de la siguiente relación.
0 0
2
=
=
Ec. 5-19
2
Ejemplo 5.8 Un cuerpo de peso igual a 10 lb está suspendido por un resorte de k=10 lb/in y está conectado a un amortiguador que es ajustado para producir una resistencia de 0.01 lb a una velocidad velocidad de 1 in/s. En E n qué 152
proporción será reducida la amplitud de vibración vibración después de 10 ciclos. Solución De la relación
̇ ̇ � 2 2 2 2 + =
=
=
=
=
0.01
= 0.01
1
10
32.2
= 0.31056
/
10 lb/in
=
=
. /
0.31056
.
/
12 1 . /
= 19,657 λ = =
2 0.31056
12 1 . /
2
2
0.01
= λ =
2
=
. /
=
= 0.192
/
= 0.3197
19,657
La relación entre la amplitud de vibración y el número de ciclos es: λ
0.192
=
1
0.3197 =
153
1
10
1
0.06138 =
Si hacemos que:
1 10
1
06132+ =
=
.
= 0.541
La proporción en la que se reduce es en un 54.1% Vibraciones Vibraciones amortiguadas libres.
5.4 CRITERIOS DE ESTABILIDAD ESTABILIDAD Se dice que un sistema es estable cuando sus raíces son reales y negativas. Si analizamos la solución.
2 =
λ
Y sabiendo que las raíces son:
=
2
±
2
Se deduce que cuando las raíces son positiva, al aumentar el tiempo la amplitud tiende al infinito, por lo tanto el sistema se vuelve inestable, en cambio cuando las raíces son negativas, al aumentar el tiempo la amplitud tiende a cero o a la posición de equilibrio, por lo tanto se dice que el sistema es estable.
154
En la ecuación se puede observar además que las raíces se hacen positivas cuando k y/o c son negativas, negativas, es decir que tanto las fuerzas de elasticidad elasticidad como como las de amortiguamiento en vez de oponerse al movimiento favorecen al mismo. Analizando el péndulo invertido de la figura.
Figura 5-7 Péndulo invertido
0 0 ̈ 2 2 ̈ 2 ̈ ̈ 2 =
2
+
2
+
+
=
= 0
2
2
= 0
2
=
2
2
Es decir si la rigidez efectiva del sistema es negativa, es decir si
2
< 0, el movimiento del péndulo será inestable, es decir el
155
no retorna a su posición de equilibrio sino que con el tiempo se aleja más de ella. Para este mismo ejemplo sólo de la física del problema se puede observar que para que el sistema vuelva a la posición de equilibrio, el momento generado por la fuerza del resorte debe ser mayor al momento que genera el peso.
2
>
2
Un resorte de 21 cm alcanza 30:8 cm después de colgarle una masa de 250 g. El medio por el que se mueve la masa ofrece una fuerza de amortiguamiento igual a 3 veces la velocidad instantánea. Encuentre la ecuación de movimiento, si la masa se libera de la posición de equilibrio, con una velocidad descendente de 2 m/s. Calcule el tiempo en el que la masa alcanza su desplazamiento extremo, ¿cuál es la posición de la masa masa en ese instante?
156
CAPÍTULO 6
6.
VIBRACIONES FORZADAS CON
AMORTIGUAMIENTO Se tiene este tipo de vibración cuando en el sistema existen elementos de rigidez, elementos de amortiguamiento y la acción de fuerzas externas armónicas, una representación esquemática se puede observar en la figura 6-1, para este caso el modelo matemático que rige su movimiento es:
0 +
+
=
Figura 6-1
157
Ec. 6-1
En la ecuación 6-1 dividiendo para la masa se tiene:
̈ ̇ 2 0 ̈ ̇ 2 0 + + 2
Dónde = ; = ;
+ +
=
=
; =
;
Ec. 6-2
=
.
En las ecuaciones 6-1 y 6-2 el primer término representa la fuerza debido a la inercia según la segunda ley de Newton, el segundo término representa la fuerza de amortiguamien amort iguamiento to que es proporcional pro porcional a la velocidad del elemento, y el tercer término representa la fuerza de restauración elástica, el segundo miembro de la igualdad representa la fuerza periódica. Para dar solución a este tipo de vibraciones se consideran dos soluciones particulares, la solución transi tr ansitoria toria (solución (so lución homogénea).
− 0 ∅ sin(
=
+ +
)
Ec. 6-3
Y la solución de estado estacionaria estacionaria (solución particular). =
sin
t
Ec. 6-4
La solución general será la suma.
− 0 ∅ sin(
=
+ +
) +
sin
t
=
ó
+
158
ó
Ec. 6-5
La solución homogénea es la solución para vibraciones libres amortiguadas, las constantes A y
se obtiene a partir de las
condiciones de frontera aplicadas a la solución total, en el caso de la respuesta estacionaria como se dedujo anteriormente la amplitud es:
0 � 0 � 22 � 2 =
1
Ec. 6-6
+ 2
Y el desfase es:
� ∅ �2 2
tan =
Ec. 6-7
1
Solución Transitoria.- corresponde a la solución de la ecuación de la vibración libre amortiguada, es decir, es un movimiento vibratorio de amplitud decreciente en el tiempo, ejecutado a la frecuencia angular natural ωn del sistema masa-resorte, que se amortigua rápidamente en el tiempo. En general, el transitorio acompaña a cualquier cambio en la cantidad o la forma de la energía almacenada en un sistema vibratorio. En muchos casos se puede ignorar la vibración transitoria, considerando solamente la vibración de estado estacionario, pero, no siempre son posibles grandes márgenes de seguridad que permitan dejar de lado la consideración de las condiciones transitorias.
159
Figura 6-2 Vibración transiente
Solución de estado estacionario .- es un movimiento resultante a la frecuencia forzada ω f .
Como la solución general de la ecuación 6-4
consiste en la superposición de la vibración libre amortiguada con la vibración forzada, después de un corto tiempo, la vibración libre amortiguada (de estado transitorio) desaparece y sólo persiste la vibración vibración forzada (vibración (vibración de estado estacionario). estacionario).
Figura 6-3 Vibración estacionaria
6.1 RELACIÓN DE FRECUENCIAS Cuando se tiene este tipo de vibración se debe distinguir tres tipos de frecuencias. 160
a) Frecuencia natural no amortiguada.
2 2 =
b) Frecuencia natural natural amortiguada.
=
Ec. 6-8
4
c) Frecuencia máxima de amplitud forzada, a veces denominada como frecuencia de resonancia
.
Factor de frecuencias.- Por definición se tiene que es la relación entre la frecuencia amortiguada y la natural.
Ω =
Ec. 6-9
Factor de amortiguamiento.- Es la relación entre el coeficiente de amortiguamiento amortiguamiento y el amortiguamiento crítico. =
Ec. 6-10
Estos dos factores están relacionados por la ecuación de la elipse:
Ω2 2 +
=1
161
Ec. 6-11
6.2 ANÁLISIS DE LA VARIACIÓN DE AMPLITUD A continuación se realiza un estudio sobre la variación de la amplitud de la respuesta estacionaria Xo con la frecuencia de la fuerza excitadora sistema.
. Que es importante para entender la dinámica del
Figura 6-4
Ejemplo 6.1 a) Escribir la ecuación diferencial general de las vibraciones indicando qué tipo de fuerza representa representa cada término. b) Clasificación de las vibraciones estableciendo, para cada caso, su ecuación diferencial. c) Indicar cuándo se producen los denominados efectos resonantes y citar un ejempl e jemplo. o. 162
d) Un sistema está formado por una masa m suspendida de dos muelles cuyas constantes elásticas son k1=1 KN/m y k2=0,5 KN/m y vibra libremente con amplitud A. Indicar en cuál de los casos (asociación en serie o en paralelo) el sistema vibra con mayor frecuencia y posee mayor energía total, justificando su respuesta.
Resolución a) La suma de la fuerza de inercia, fuerza amortiguadora y fuerza recuperadora elástica es igual a la resultante de las fuerzas exteriores:
0 +
Siendo
+
=
=
b) Clasificación Clasificación de las vibraciones
Vibración Vibración libre sin amortiguamiento
+
= 0
Vibración Vibración libre con amortiguamiento +
+
= 0
Vibración Vibración forzada sin amortiguamiento +
=
Vibración Vibración forzada con amortiguamiento 163
+
+
=
c) Los efectos resonantes se producen cuando la frecuencia natural ωn se iguala a la frecuencia de la fuerza exterior ωf . Ejemplos: rotura de cristales por el paso de un avión, rotura de una copa por una determinada voz; paso acompasado de soldados en un puente; un viento armónico puede producir el derrumbamiento de un puente colgante. d) Valor de la constante en serie:
112 2 ∗ 1 2 1 2 2 =
+
=
1 0.5
1 + 0. 0.5
= 0.33
/
Valor de la constante en paralelo: =
+
= 1 + 0.5 0.5 = 1.5
=
,
/
=
Asociación en paralelo: a mayor constante, mayor frecuencia y mayor energía
Ejercicio 6.2 La figura muestra una máquina rígida montada en el centro de una base metálica compuesta co mpuesta por dos vigas de acero. Rígida significa s ignifica que todos los puntos de la máquina se mueven de la misma manera. Determinar el valor pico del desplazamiento vibratorio vertical en ella debido a su desbalanceamiento residual. La masa de la máquina es 40 Kg (masa del rotor es 20 Kg y gira a 1480 cpm), la masa de cada viga 164
en 10 Kg, el momento de inercia de la viga es 0.5x10 -7 m4, el largo de la viga es de 1 metro y el desbalanceamiento residual del rotor es de calidad G 6.3, y para determinar el amortiguamiento se realizó un ensayo de vibraciones libres.
Figura 6-5
El diagrama de sistema equivalente es el mostrado en la parte derecha de la figura. El modelo matemático que rige el movimiento es:
0 +
+
=
La frecuencia del sistema se calcula de la ecuación. =
En donde:
2
=
165
/
La rigidez equivalente para la viga simplemente apoyada se calcula de:
3 11 2 −7 4 =
En donde para el acero
192
= 2.1 10
Para las dos vigas simplemente apoyadas se tiene t iene:: = = 2 0.5x10 m
Como L=1 m Se tiene que
11 −7 4 2 3 5 192 2.1 10
=
2 0.5 10
1
= 40.32 10
La masa total que vibra es la masa de la máquina más un medio de las masas de las vigas que es la masa que se mueve junto con la máquina. Por lo tanto:
= 40
luego
+ 10
166
= 50
5 2 40.32 40.32 10
=
= 283.97
50
= 2712
La fuerza excitadora es la fuerza centrífuga =
=
Donde
� 2
= 1480
En donde
60
= 155
=
Según las normas ISO 1940 para desbalanceamiento residual del rotor
de calidad = 6.3
2 2 −4 =
=
6.3
20000
= 813 .
155
= 813 .
= 8.13 10
155
.
155
= 19.53
El amortiguamiento del sistema se obtiene de un ensayo de impacto, medidas después de un impacto de martillo en las vigas. 167
Figura 6-6
El decremento logaritmo se obtiene de:
+ 0 � � 22 � 2 � 5 2 2 2 1
=
=
=
1
1.79
5
0.20
2
=
= 0.438
0.438 2
= 0.07
=
1
En donde
+ 2
=
1480 2712
= 0.55
19.53
40.32 10
=
(1
0.55 ) + (2 0.07 0.55)
168
= 6.9
Ejemplo 6.3
Hallar el desplazamiento y el ángulo de desfase del sistema representado en la figura
Figura 6-7
La base del movimiento está dada por la siguiente relación relación
∅2 ∅ = +
Sabiendo que:
cos
= +
cos
cos
1
sin
ω ∅∅ 2 2 2 sin t = sin
sin sin
= +
= = sin
cos
1
sin
Utilizando la siguiente aproximación
2 2 2 2 2 2 1
sin
= = 1
169
2
sin
Se tiene
2 2 2 2 2 2 2 2 2 ̇ = +
cos
1
=
cos
+ +
=
cos
+ +
1
2
2
2
(1
4
sin
)
cos2
cos2
4
La ecuación del movimiento es +
+
=
+
2
=
cos
+ +
+
4
co cos 2
4
+ +
sin
(2 ) sin2
4
La solución de la ecuación anterior puede ser determinada por adición debido a la solución de cada término del lado derecho de dicha ecuación.
0 2 − ∅ −1 ∅ 2 Ω ∅0 =
1
1
cos(
1
= tan
1
La solución debido a la constante, co nstante, Fo =
En donde:
sin(
170
)
)
Ω20 2 2Ω2 ∅ −1 ΩΩ2 0 Ω Ω ∅0 Ω20 2 2Ω2 Ω −1 ∅ Ω2 0 Ω Ω ∅0 Ω20 2 2Ω2 Ω −1 ∅ Ω2 =
Y
(
) +
= tan
La solución debido al a l término senoidal, =
Dónde:
=
sin t
sin( t
(
)
) +
= tan
La solución debido al término cosenoidal, =
Dónde:
=
Y
cos( t
(
) +
= tan
De los datos se tiene:
171
cos t
)
√ =
=
2
10
2 1(100)
= 0.5
= = 0.1
= 100
Ejemplo 6.4
Un ventilador centrífugo pesa 100 lb y tiene un desbalanceamiento rotacional de 20 lb-in. Si los amortiguadores utilizados tienen un
factor de amortiguamiento = 0.2, determine los resortes que deben utilizarse de modo que sólo un 10% de la fuerza de desbalanceamiento se transmita al piso. Determine también la magnitud de la fuerza transmitida. El ventilador está girando a una velocidad constante de 1000 rpm. La fuerza total transmitida es la suma de las reacciones en los extremos fijos fijos del resorte y amortiguador.
̇ =
+
Bajo las condiciones de la vibración del estado estacionario discutidas anteriormente, la amplitud amplitud de la vibración vibración es:
0 � 0 � 22 � 2 0 ∅ =
1
+ 2
Y la solución de estado estacionaria estacionaria (solución particul part icular). ar). =
sin
172
t
0 � � 22 � 2 ∅ ∅ ̇ ∅ ∅ ∅
Por lo tanto la solución solución de estado transitorio (solución (solución homogénea) ho mogénea) es: =
sin
1
t
+ 2
Por conveniencia, sea
=
sin
t
Por lo tanto la velocidad será: =
cos
t
La fuerza total queda como: =
sin
t
+
cos
t
Pero la fuerza del resorte es máxima cuando la velocidad es igual a cero (o sea que el desplazamiento es máximo) mientras que la fuerza de amortiguamiento es máxima cuando el desplazamiento es igual a cero (o sea que la velocidad sea máxima). Puesto que la fuerza del resorte está en ángulo recto con la fuerza de amortiguamiento, la fuerza resultante máxima que se transmite es:
2 2 2 2 ∅ −1 ∅ + (
=
Y
)
+ (
) cos
tan
=
173
t
Ejemplo 6.5 Un motor de 200 lb se sostiene por medio de dos resortes, cada uno de constante igual a 15 Kips/ft, y se conecta al suelo mediante un amortiguador que tiene un coeficiente de amortiguamiento c = 490 lb.s/ft. El motor está restringido a moverse verticalmente, y la amplitud de su movimiento es de 0.10 in a una velocidad de 1200 rpm. Si el peso del rotor es de 30 lb, determine la distancia entre el centro de masa del rotor y el eje de la flecha.
174
Figura 6-8
El desplazamiento máximo (amplitud) se obtiene de la siguiente relación
22 2 2 2 2 −2 2 2 −2 2 2 =
+
=
(1200)(2 ) 60
= 15791
= 2(15) = 30
/
=
=
30
15791
= 14712
32
0.10 12
=
14712
30000
200 15791 32.2
+ (490) 15791
0.10 = 0.16027 12
= 0.051995
= = 0.62395
175
Ejemplo 6.6 El desbalance del rotor de un motor de 180 Kg es equivalente a una masa de 85 g ubicada a 150 mm del eje de rotación. La almoadilla que se coloca entre el motor y la base es equivalente a un resorte de constante k=7.5 KN/m en paralelo con un amortiguador de constante c. si la magnitud de la aceleración máxima del motor es de 9 mm/s 2 a una velocidad de 100 rpm, determine el factor de amortiguamiento c/cc.
176
2 2 −3 −4 2 3 2 2 2 −3 2 22 −3 2 2 22 2 2 −3 2 22 2 2 2 2 2 −3 2 2 2 =
(0.150
= 85 10 =
1.3982
7500
100 2
)
60
= 1.862 10
/
=
=
7.5 10
= 41.666
180
10 3 = 41.666
=
9 10
/
(
) =
(
=
9 10
)
(
)
/
=
1
9 10
/
+ 2
=
1
9 10
+ 2
1
/
=
2
177
= 1.3982
2 =
2 2 2 −4 2−3 2
41.666(1.862 10 9 10
)
1
10 3 41.666
10 4 3 41.666
2
= (0.487)
= 0.487
CAPÍTULO 7
7.
CONTROL DE VIBRACIONES
7.1 INTRODUCCIÓN INTRODUCCIÓN En la práctica, existen un gran número de situaciones en las que es posible reducir, pero no eliminar eliminar las fuerzas de carácter dinámico dinámico (variables en el tiempo) que excitan nuestro sistema mecánico (Fig. 7178
1) dando lugar a la aparición de un problema de vibraciones. En este sentido, existen diferentes métodos o formas de plantear el control de las vibraciones; entre todos ellos cabe destacar: El conocimiento y control de las frecuencias naturales del sistema de cara a evitar la presencia de resonancias bajo la acción de excitaciones externas. La introducción de amortiguamiento o de cualquier tipo de mecanismo disipador de energía de cara a prevenir una respuesta del sistema excesiva (vibraciones de gran amplitud), incluso en el caso de que se produzca una resonancia. El uso de elementos aislantes de vibraciones que reduzcan la transmisión de las fuerzas de excitación o de las propias vibraciones entre las diferentes partes part es que constituyen nuestro sistema.
Figura 7-1 Esquema de un motor de cuatro cilindros
179
La incorporación de absorbedores dinámicos de vibraciones o masas auxiliares
neutralizadoras
de
vibraciones,
llamados
también
amortiguadores dinámicos, con el objetivo de reducir la respuesta del sistema.
7.2 CONTROL DE LAS L AS FRECUENCIAS NATURALES Sabemos que cuando la frecuencia de excitación coincide con una de las frecuencias naturales del sistema, tiene lugar un fenómeno de resonancia. La característica más importante de la resonancia es que da lugar a grandes desplazamientos, al amplificar de manera importante las vibraciones del sistema. En la mayor parte de los sistemas mecánicos, la presencia de grandes desplazamientos es un fenómeno indeseable ya que provoca la aparición de tensiones y deformaciones igualmente grandes que pueden ocasionar el fallo del sistema. En consecuencia, las condiciones de resonancia deben de tratar de ser evitadas en el diseño y construcción de cualquier sistema mecánico. No obstante, en la mayor mayor parte de los casos, las frecuencias de excitación no pueden controlarse al venir impuestas por los requerimientos de carácter funcional del sistema (por ejemplo, velocidades de giro). En tal caso, el objetivo será el control de las frecuencias naturales del sistema para evitar la presencia de resonancias. Tal y como se deduce de la definición vista para un sistema de un grado de libertad (1 gdl), la frecuencia natural de un sistema ω= k m 180
puede cambiarse variando tanto la masa (m) como la rigidez (k) del mismo. Aunque la definición se haya establecido para un sistema de 1 gdl, la conclusión obtenida es, en general, igualmente aplicable a sistemas de N grados de libertad. En muchas situaciones en la práctica, sin embargo, la masa no resulta fácil de cambiar, ya que su valor suele venir determinado por los requerimientos funcionales del sistema (por ejemplo, la masa del volante de inercia de un eje viene determinada por el valor de la energía que se quiere almacenar en un ciclo). Por ello, la rigidez del sistema es el parámetro que se modifica de forma más habitual a la hora de alterar las frecuencias naturales de un sistema mecánico. Así, por ejemplo, la rigidez de un rotor puede modificarse cambiando el número y colocación de los puntos de apoyo (cojinetes).
7.3 AMORTIGUAMIENTO DE SISTEMAS VIBRATORIOS Aunque el amortiguamiento es a menudo despreciado de cara a simplificar el análisis de un sistema, especialmente en la búsqueda de sus frecuencias naturales, todos los sistemas mecánicos reales poseen amortiguamiento en mayor o menor medida. Su presencia resulta de gran ayuda en la mayor parte de los casos, e incluso en sistemas como los parachoques de los automóviles y en muchos instrumentos de medida de vibraciones, el amortiguamiento debe ser introducido para satisfacer los requerimi requer imientos entos funcionales. funcionales. Si el sistema se encuentra en un caso de vibraciones forzadas, su respuesta (la amplitud de la vibración resultante) tiende a amplificarse en las cercanías de la resonancia, tanto más cuanto menor sea el 181
amortiguamiento. La presencia de amortiguamiento siempre limita la amplitud de la vibración. Si la fuerza o fuerzas de excitación son de frecuencias conocidas, será posible evitar las resonancias cambiando la frecuencia natural del sistema y alejándola de aquella o aquellas. Sin embargo, en el caso de que el sistema tenga que operar en una determinada banda de velocidades (como es el caso de un motor eléctrico de velocidad variable o de un motor de combustión), puede que no resulte posible evitar la resonancia en todo el rango de condiciones de operación. En tales casos, podremos tratar de aportar amortiguamiento al sistema con el objetivo de controlar su respuesta dinámica, mediante la introducción de fluidos (agua, aceites, …) que envuelvan al sistema aportando amortiguamiento externo, o el uso de materiales estructurales con un alto amortiguamiento interno: hierro fundido, laminado, materiales tipo sándwich, … En ciertas aplicaciones de carácter estructural, también es posible introducir amortiguamiento a través de las uniones. Por ejemplo, las uniones atornilladas o remachadas, al permitir un cierto deslizamiento entre superficies, disipan más energía en comparación con las uniones soldadas. Por lo tanto, de cara a aumentar el amortiguamiento de una estructura (su capacidad de disipación de energía) resultan más recomendables las uniones atornilladas o remachadas. Sin embargo, este tipo de uniones reducen la rigidez del sistema y generan mayores problemas de corrosión como consecuencia de las partículas que se desprenden debidos precisamente a ese deslizamiento en la unión. Pese a todo, si se precisa diseñar una estructura con un valor alto del amortiguamiento, estas uniones deben ser una posibilidad a tener en cuenta. 182
Otra posibilidad es hacer uso de materiales viscoelásticos que proporcionan valores muy altos de amortiguamiento interno. Cuando se emplean este tipo de materiales en el control de vibraciones, se les hace estar sometidos a la acción de tensiones de cortante o tensiones principales. Existen diferentes tipos t ipos de disposiciones. La más sencilla es colocar una capa de material viscoelástico sujeta a otra de material elástico. Otra, más habitual y que da muy buenos resultados, es la formada por una capa de viscoelástico entre dos de material elástico. Una desventaja importante asociada al uso de los materiales viscoelásticos es que sus propie pro piedades dades mecánicas se ven muy afectadas por la tempe te mperatura, ratura, la frecuencia de las cargas aplicadas sobre so bre ellos e llos y la tensión a la que están sometidos.
7.4 AISLAMIENTO DE VIBRACIONES Se conoce como aislamiento de vibraciones a todo aquél procedimiento que permite reducir los efectos indeseables indeseables asociados aso ciados a toda vibración. Básicamente, ello suele suponer la introducción de un elemento elástico (aislante) entre la masa vibrante y la fuente de vibración, de forma que se consigue reducir la magnitud de la respuesta dinámica del sistema, bajo unas determinadas condiciones de la excitación en vibración. Un sistema de aislamiento de vibraciones puede ser activo o pasivo, dependiendo de si se precisa una fuente externa de potencia o no para que lleve a cabo su función.
183
Un control pasivo está formado por un elemento elástico (que incorpora una rigidez) y un elemento disipador de energía (que aporta un amortiguamiento). Ejemplos de aislantes pasivos (Fig. 7-2) son: un muelle metálico, un corcho, un fieltro, un resorte neumático, un elastómero, …
Figura 7-2 Aislantes pasivos
Un control activo de vibración está formado por un servomecanismo que incluye un sensor, un procesador de señal y un actuador. El control mantiene constante una distancia entre la masa vibrante y un plano de referencia. Cuando la fuerza aplicada al sistema varía esa distancia, el sensor lo detecta y genera una señal proporcional a la magnitud de la excitación (o de la respuesta) del sistema. Esta señal llega al procesador que envía una orden al actuador para que desarrolle un movimiento o fuerza proporcional a dicha señal. La efectividad de un aislante de vibraciones se establece en términos de su transmisibilidad. La transmisibilidad (Tr) puede definirse como 184
el cociente entre la amplitud de la fuerza transmitida y la de la fuerza de excitación. Los problemas principales que el aislamiento de vibraciones plantea pueden encuadrarse encuadrarse dentro de una de estas dos situaciones: situaciones: Aislar un sistema que vibra de la base que lo soporta para que ésta no sufra y/o no transmita la vibración a su entorno. En este caso, las fuerzas que excitan al sistema dando lugar a la vibración pueden tener su origen en desequilibrios, desalineamientos, … cuando se trata de sistemas mecánicos con elementos alternativos (Fig. 7-3) o rotativos; o pueden tratarse de fuerzas de carácter impulsivo, impulsivo, es el caso de sistemas de prensa, estampación, explosiones, explosiones,
Figura 7-3 Pistón-biela-manivela Pistón-biela-manivela
185
Aislar el sistema mecánico a estudio de la base que lo soporta y que está vibrando (excitaciones (excitaciones sísmicas, Fig. 7-4). Este puede ser el caso de la protección de un instrumento o equipo delicado del movimiento de su contenedor o su base soporte. En la práctica, el problema por ejemplo ejemplo puede ser diseñar correctamente correctamente un embalaje para evitar la transmi t ransmisión sión de fuerzas de magnitud importante al instrumento delicado o equipo que se quiere qu iere transportar.
Figura 7-4 Mesa vibrante
REDUCCIÓN DE LA FUERZA TRANSMITIDA A LA BASE Si el sistema se modeliza como un sistema de un grado de libertad, la fuerza de excitación se transmite a la fundación o base a través del
̇
muelle y el amortiguador y su valor ambas componentes:
+
186
=
viene dado por la suma de
Si la fuerza transmitida a la base
varía de forma armónica (como es
el caso de sistemas con elementos rotativos, Fig. 7-5 y 7-6), las tensiones y deformaciones que tendrán lugar sobre los elementos de unión a la fundación también variarán armónicamente, lo que podría llegar a provocar un fallo por fatiga. Incluso en el caso de que la fuerza transmitida no sea armónica, su magnitud deberá limitarse por debajo debajo de unos valores de seguridad.
Figura 7-5 Máquina rotativa
Cuando una máquina rotativa se sujeta directamente sobre una fundación rígida, ésta se verá sometida a la acción de una fuerza armónica debida al desequilibrio de la máquina rotativa que se superpondrá a la carga estática asociada a su peso. Por ello, se colocará un elemento elástico entre la máquina y la fundación que trate de reducir las fuerzas transmitidas a esta última.
187
Figura 7-6 Ventilador en voladizo
El sistema puede ser idealizado como un sistema de un grado de libertad (Fig. 7-7). El elemento elástico incorpora tanto una rigidez (muelle k) como co mo un amortiguamiento (amortiguador c). Suponiendo que el funcionamiento de la máquina da lugar a una fuerza de excitación que actúa sobre el sistema y varía de forma armónica (el álgebra compleja permite considerar de forma simultánea tanto el caso senoidal como el cosenoidal):
0 0 =
=
(cos
+ + sin
Figura 7-7 Sistema de 1 gdl
La respuesta estacionaria del sistema ante dicha excitación armónica será el producto de la excitación por la función de transferencia
188
.
Es decir, recordando lo visto al definir la función de transferencia en sistemas de 1 gdl:
La fuerza transmitida a la fundación será la resultante de las fuerzas de resorte y amortigua amort iguador: dor:
̇ +
=
La magnitud de esa fuerza será igual a la composición de los módulos de las dos fuerzas anteriores:
Se define así el concepto de TRANSMISIBILIDAD como la relación entre el módulo de la fuerza transmitida al soporte Ft y el módulo de la fuerza excitadora f0. Recordando la definición del Factor de Amplificación Amplificación Dinámica (D):
Reducción de la fuerza transmitida a la fundación debida al desequilibrio desequilibrio del rotor 189
Resulta un caso particular del presente problema muy habitual. En esta situación, la fuerza que excita el sistema en esta situación (Figura 7-8) es la componente vertical de la fuerza centrífuga de la masa m que gira con velocidad angular
Figura 7-8 Transmisión del desequilibrio desequ ilibrio
De forma análoga a lo descrito anteriormente, la respuesta del sistema ante dicha excitación será la parte imaginaria del producto pro ducto de la fuerza compleja por la función de transferencia
. La transmisibilidad
entendida como la relación entre el módulo F de la fuerza transmitida al soporte y el módulo de la fuerza excitadora será idéntica a la vista:
190
REDUCCIÓN DE LA FUERZA TRANSMITIDA POR LA BASE AL SISTEMA Si el sistema se modeliza como un de un grado de libertad, la fuerza transmitida transmitida Ft(t) ven vendrá drá dada por la resultante de las componentes debidas al muelle y al amortiguador:
Considerese el sistema de la Figura 7-9, en el que la base está sometida a un movimiento armónico:
Se trata de un caso de excitación sísmica (excitación por la base), luego la ecuación diferencial del sistema discreto básico se cumple aplicada al movimiento relativo entre la masa m y la base, introduciendo como fuerzas exteriores las fuerzas de inercia de arrastre:
191
Figura 7-9 Vibraciones sísmicas
El movimiento relativo resultante será:
y el absoluto será la suma del movimiento de arrastre
y relative relat ive
:
De donde, el módulo del desplazamiento resultante X será:
192
Se define en este caso la TRANSMISIBILIDAD como la relación entre la amplitud del desplazamiento del sistema de masa m y la del desplazamiento de la base.
Que resulta ser la misma expresión que en e n el caso anterior.
CONSIDERACIONES
PRÁCTICAS
SOBRE
LA
TRANSMISIBILIDAD El que tanto en un caso como en otro la transmisibilidad tenga la misma expresión anima a representarla gráficamente (Fig. 7-10), de modo análogo a como se hizo con el factor de amplificación dinámica D en sistemas de 1 grado de libertad: Para poder decir que se ha conseguido co nseguido el aislamiento es preciso que la Transmisibilidad sea < 1. Puede observarse que ello obliga a que la frecuencia e excitación ω sea, por lo menos, √2 veces la frecuencia natural del sistema ω.
193
Para valores valores de
próximos a la unidad, el sistema
actúa no como un aislante, sino como un amplificador, transmitiendo esfuerzos o desplazamientos muy superiores a los originale or iginales. s. Para una frecuencia de excitación dada
, puede reducirse el valor
de transmisibilidad disminuyendo la frecuencia natural ω del sistema (lo que equivale a aumen tar la β).
Figura 7-10 Tranmisibilidad
Por lo que al amortiguamiento se refiere, la transmisibilidad también puede reducirse disminuyendo la relación de amortiguamiento (ξ) ya que si β es >
√2 , la Tr disminuye al hacerlo ξ.
Sin embargo, este planteamiento resulta perjudicial si el sistema se ve obligado a pasar por la resonancia, por ejemplo durante situaciones de arranque y parada. Por ello, en cualquier caso, siempre será necesario 194
un cierto amortiguamiento que evite amplitudes de vibración infinitamente infinitamente grandes en el e l paso por la resonancia. resonancia.
7.5 AISLAMIENTO DE IMPACTOS Los impactos son cargas aplicadas durante un intervalo intervalo de tiempo muy corto, normalmente inferior a una vez el periodo natural del sistema: martillos de fragua, prensa, estampación, explosiones, … son ejemplos de fuerzas de impacto. El aislamiento de impactos puede definirse como todo aquél procedimiento mediante el cual se pretende reducir los efectos indeseables de un impacto. Los principios presentes en este tipo de problemas son similares a los vistos en el aislamiento de vibraciones, aunque las ecuaciones son diferentes debido a la naturaleza transitoria transitoria de la excitación excitación por impacto. Un carga por impacto de corta duración F(t), aplicada a lo largo de un intervalo de tiempo T, puede ser considerada considerada como co mo un impulso:
que al actuar sobre una masa m, le comunicará una velocidad m F ~ v = Es decir, que la aplicación de una carga de impacto de corta duración puede ser considerada equivalente al establecimiento de una velocidad inicial en el sistema. En tal caso, la respuesta del sistema bajo la carga 195
de impacto puede determinarse a partir de la resolución de un problema de vibraciones vibraciones libres con veloc velocidad idad inicial. inicial. Asumiendo como condici co ndiciones ones iniciales:
el problema de vibraciones libres de un sistema de un grado de libertad con amortiguamiento viscoso tiene una respuesta x(t) que puede expresarse: expresarse:
La fuerza transmitida a la fundación Ft(t) será, una vez más, la resultante de la composición de las fuerzas de resorte y amortiguador:
La aplicación en esta ecuación de la expresión obtenida para la respuesta del sistema permitirá determinar el valor máximo de la fuerza transmitida a la fundación, así como la dependencia de los parámetros que influyen influyen en su valor. valor.
196
7.6 ABSORVEDORES ABSORVEDORES DINÁMICOS DINÁMICOS Una máquina o sistema mecánico puede experimentar unos niveles excesivos de vibración si opera bajo la acción de una frecuencia de excitación cercana a alguna de las frecuencias naturales del sistema. En estos casos, el nivel de vibración puede reducirse también haciendo uso de un absorbedor dinámico de vibraciones, que no es otra cosa sino otro sistema masa-resorte que se añade al sistema. En este sentido, el absorbedor dinámico de vibraciones se diseña de tal forma que las frecuencias naturales del sistema resultante se encuentren alejadas de la frecuencia de excitación. El análisis de este tipo de sistemas para el control de vibraciones se llevará a cabo idealizando la máquina o sistema mecánico mediante mediante un sistema siste ma de un grado de libertad.
ABSORBEDOR
DINÁMICO
DE
VIBRACIONES
SIN
AMORTIGUAMIENTO Sea un sistema (Fig. 7-11) de masa m1 sujeto a la acción de una
fuerza excitadora de carácter armónico armónico en el caso más general (senoidal en el ejemplo de la figura 7-12). Si añadimos una masa auxiliar m2, el resultado es un sistema de dos grados de libertad. Planteando las ecuaciones del movimiento, suponiendo una solución armónica: 197
y resolviendo el sistema de forma similar a lo desarrollado en el apartado de sistemas de 2 gdl, obtendremos las amplitudes de las vibraciones
estacionarias
de
ambas
masas:
Figura 7-11 Absorbedor dinámico no amortiguado
El objetivo es reducir X 1, amplitud de la vibración correspondiente al sistema inicial de masa m1, por lo que interesará que el numerador correspondiente sea nulo. Si, además, inicialmente el sistema estaba operando cerca de la resonancia, es decir
, se deduce que el absorbedor deberá diseñarse de forma que su masa y rigidez cumplan: 198
Así, la amplitud de vibración de la máquina o sistema original operando en su frecuencia de resonancia original será cero (antiresonancia). Es decir, no es que se haya reducido la amplitud de la vibración desde un valor infinito a un valor finito, como ocurriría si lo que hiciésemos fuera introducir amortiguamiento, sino que la hemos reducido a cero (Fig. 7-12).
Figura 7-12 X1 frente a β
Figura 38 – En cualquier caso, existen consideraciones que han de tenerse en cuenta, algunas de las cuales pueden observarse en la figura: 199
La introducción de absorbedor dinámico de vibraciones elimina la vibración a la frecuencia de excitación ω f , pero introduce dos nuevas frecuencias de resonancia Ω1 y Ω2 en las que las amplitudes de vibración de ambas masas se vuelve infinita. Puede comprobarse que dichas frecuencias de resonancia Ω 1 y Ω2
se
encuentran por encima y por debajo respectivamente de la frecuencia de resonancia original ω.
Por lo tanto, si el sistema se va a ver sometido a situaciones de arranque o parada hasta la frecuencia de operación ω f , pasará por la nueva resonancia Ω 1
dando lugar a amplitudes de vibración
importantes que habrán de ser tomadas en consideración. La separación entre estas dos nuevas frecuencias de resonancia Ω 1 Ω2 se
y
denomina banda de absorción (anchura de banda de amplitudes
mínimas de vibración alrededor de la resonancia original) y será tanto mayor mayor cuanto mayores mayores sean los los valores seleccionados seleccionados para m2 y k 2. Si los valores de masa y rigidez del absorbedor son grandes, la banda de absorción será más ancha y el desplazamiento X 2 de la masa m2 añadida será pequeño, pero nuestro sistema habrá de ser capaz de admitir la introducción de una masa importante. Si, por el contrario, los valores seleccionados son pequeños, no habrá problemas en introducir una pequeña masa m2 al sistema; pero la banda de absorción será mucho más estrecha y al ser k 2 igualmente pequeña, la amplitud de la vibración X2 de esta nueva masa será importante por lo que el diseño de nuestro sistema habrá de ser capaz de permitirla.
200
Como el absorbedor dinámico está sintonizado a una frecuencia de excitación determinada ( ω f ), la amplitud de vibración del régimen estacionario del sistema será cero sólo a esa frecuencia. Si el sistema funciona a otras frecuencias o la fuerza de excitación que actúa sobre el sistema tiene contenido en varias frecuencias, la amplitud global de la vibración de la máquina o sistema puede llegar a ser mayor. La solución adoptada mediante un absorbedor de estas características permite controlar contro lar la respuesta r espuesta en vibración vibración del sistema sin añadir más amortiguamiento ni disipar más energía, simplemente redistribuyendo la energía de vibración con una nueva masa. Una aplicación típica de este tipo de sistemas es la reducción del nivel de vibración en líneas de corriente de alta tensión. El amortiguador dinámico empleado en estos casos tiene la forma que se puede observar en la Figura 7-13. Recibe este nombre aunque no aporte propiamente amortiguamiento, lo único que ocurre es que la energía que antes “estaba haciendo vibrar” el cable, ahora “hará vibrar” el amortigua amort iguador. dor.
Figura 7-13 Esquema de un amortiguador a mortiguador dinámico para para cables de alta tensión
ABSORBEDOR
DINÁMICO
DE
VIBRACIONES
CON
AMORTIGUAMIENTO El absorbedor dinámico de vibraciones descrito en el apartado apart ado anterior elimina el pico de resonancia original en la curva de respuesta del 201
sistema, pero introduce dos nuevos picos de resonancia (Fig. 7-12) provocando amplitudes de vibración vibración importantes durante los procesos de arranque y parada del sistema. No obstante, este problema problema puede reducirse considerando considerando la introducción de un absorbedor dinámico de vibraciones que incluya, asimismo asimismo (Fig. 7-14), un determinado determinado amortiguamiento amortiguamiento (c2). En tal caso, hay que constatar: Si el amortiguamiento introducido es nulo (c 2=ξ2=0) estaríamos en la situación anterior con dos frecuencias de resonancia no amortiguadas Ω1 y Ω2.
Figura 7-14 Absorbedor dinámico amortiguado
_ Si el amortiguamiento tiende a infinito (ξ 2→∞) las dos masas m1 y m2
resultan rígidamente unidas y el sistema se comporta como si se tratara de un sistema de 1 grado de libertad de masa (m 1+m2) y rigidez k 1 que presenta una resonancia en la que X 1→∞ para un valor valor de 202
Por lo tanto, la amplitud de vibración del sistema X 1 se puede hacer infinita (resonancia) tanto para ξ =0 como para ξ =∞;
sin embargo, entre
ambos límites existe un punto en el que X 1 se hace mínimo (Fig. 715). En tal caso, se dice que el absorbedor de vibraciones está sintonizado de forma forma óptima.
Figura 7-15 X1 frente a β
Puede comprobarse que un absorbedor de vibraciones está óptimamente sintonizado cuando el diseño de su masa (m2) y rigidez (k 2) es tal que cumple la condición:
203
a la vez que un valor óptimo para la relación de amortiguamiento utilizada en el diseño de este tipo t ipo de absorbedores es:
En este tipo de absorbedores cabe constatar dos aspectos a considerar en su diseño: La amplitud del movimiento vibratorio de la masa del absorbedor ( X2 ) siempre será mucho mayor que la de la masa principal del sistema ( X1 ). Por lo tanto, el diseño deberá de tener esta cuestión en cuenta de cara a posibilitar la amplitud de vibración del absorbedor. absor bedor. Dado que las amplitudes de m2 se esperan que sean importantes, el resorte del absorbedor (k2) necesitará ser diseñado desde el punto de vista de la resistencia a fatiga.
� �2 �2 2 =
1
=
1
=
1
204
Ω 22 2 � � 2 2 2 � � � 2 � � �2 ̈ ̇ 22 2 2 2 =
=
+
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1
=
1
+ 2
=
2
=
+ +
+
1 1
=
=
1
+
=
+
205
1
8.
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