Vibracao 2GDL rev7

Prof. Antônio Carlos P. Bitencourt ENG 314 - 2013.1 22/08/2014

SISTEMAS COM 2 GDL Vibrações Mecânicas IFBA 2014.1 Prof. Antonio Carlos Peixoto Bitencourt

1

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Prof. Antônio Carlos P. Bitencourt - ENG 314 - 2013.1

INTRODUÇÃO 

Até agora, estudamos sistemas mecânicos com apenas 1 GDL: x(t), para para a translação ou

θ(t),

para a rotação



Sistemas reais na maioria dos casos, há necessidade de mais de uma coordenada independente para descrever o movimento



Casos mais simples de sistemas multidimensionais: multidimensionais: sistemas com 2 GDL



Conceitos que serão estendidos para sistemas com n GDL

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INTRODUÇÃO 

Até agora, estudamos sistemas mecânicos com apenas 1 GDL: x(t), para para a translação ou

θ(t),

para a rotação



Sistemas reais na maioria dos casos, há necessidade de mais de uma coordenada independente para descrever o movimento



Casos mais simples de sistemas multidimensionais: multidimensionais: sistemas com 2 GDL



Conceitos que serão estendidos para sistemas com n GDL

2


EX.: SISTEMA MOTOR-BOMBA

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EX.: SISTEMA MOTOR-BOMBA

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Torno Universal

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Automóvel

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Comportamento de prédio

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DEFINIÇÕES GDL Número mínimo de coordenadas independentes necessárias para especificar o movimento do sistema •

Restrições Mecânicas •

Reduzem a quantidade de GDL

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GDL X RESTRIÇÕES 

2 translações + 1 rotação = 3 possibilidades de movimentos



L = constante -> 1 GDL 

No equações de restrição: ner = 1



No coordenadas dependentes: ncd = 2



Relação: 

nGDL = ncd - ner

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GDL 

Regra geral para o cálculo do número de graus de liberdade:



No GDL do sistema = no de massas do sistema x n o de movimentos possíveis de cada massa



n Equações de Movimento para um sistema com n GDL.



n Equações Diferenciais Acopladas



Desacoplar as equações diferenciais: coordenadas naturais, principais ou modais

10


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GDL - VIBRAÇÃO NATURAL (OU LIVRE)

1 GDL sistema vibra na freqüência natural • possui 1 freqüência natural •

n GDL condições iniciais adequadas, o sistema vibrará em uma de suas freqüências naturais • condições iniciais arbitrárias, vibrará em uma superposição dos modos normal •

11


GDL - VIBRAÇÃO FORÇADA HARMONICAMENTE

1 GDL sistema vibrará na mesma freqüência da excitação • ressonância em 1 situação •

n GDL sistema vibrará na mesma freqüência da excitação • ressonância em n situações •

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Modelo Matemático - Sistema Com 2 GDL

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FORMA MATRICIAL DE EQUAÇÕES ACOPLADAS m1 0 

 ..  0   x 1  c 1  c 2     ..  c2 m2  x 2    

matriz massa

vetor aceleração

.    c 2  x1 k 1  k 2     . c 2  c 3     k 2 x 2 

matriz amortecimento vetor velocidade

 k 2   x 1  F1( t )       k 2  k 3  x 2  F2 ( t )

matriz rigidez

vetor excitação vetor deslocamento


VIBRAÇÃO LIVRE DE SISTEMAS SEM AMORTECIMENTO Fazendo: c1 = c2 = c3 = 0 (sistema sem amortecimento) F1 = F2 = 0 (sistemas sem excitação)

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VIBRAÇÃO LIVRE DE SISTEMAS SEM AMORTECIMENTO Fazendo: c1 = c2 = c3 = 0 (sistema sem amortecimento) F1 = F2 = 0 (sistemas sem excitação)

 (k 1  k 2 ) x1  k 2 x2  0 2  k 2 x1  (k 2  k 3 ) x2  0 m2 x 1 m1 x

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PROCEDIMENTO CLÁSSICO PARA DETERMINAR FREQÜÊNCIAS NATURAIS E MODOS DE VIBRAÇÃO 

Considerar que, assim como os sistemas com 1 GDL, as respostas livres das duas massas sejam também harmônicas:

x1 = X1cos(t + ) x2 = X2cos(t + )



4

 k1  k 2 k2  k3  2 k1k2  k2k3  k3k1   0   m2 m1 m2  m1 

20

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Resolver a Equação das Frequências:

 k1  k 2 k2  k3  2 k1k2  k2k3  k3k1  0     m2 m1 m2  m1  4

2 2 1 , 2

1  (k1  k2 )m2  (k2  k3 )m1 

  2

m1 m2

 

2  1   (k1  k2 )m2  (k2  k3 )m1    m1 m2 2   

 (k1  k2 )(k2  k3 )  k22   4     m1 m2   

1

2

21


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Existe resposta harmônica para o sistema de equações diferenciais



Raízes da equação característica são as freqüências naturais



Freqüências Naturais são chamadas = freqüência natural fundamental (menor)

 ω1

= 2a freqüência natural (maior)

 ω2



Equação característica tem grau 2n, onde n é o número de GDL do sistema

22

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Obter modos naturais: r



X 2 X 1

Amplitude da primeira variável de referência no denominador X2/X1, X3/X1, ... , Xn/X1 •

•

Modos Naturais (ou Normais) de Vibração • relações entre as amplitudes • nomenclatura similar às freqüências naturais

•

Sistema de equações das amplitudes

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Obter modos naturais:

k2 X1  (m2 2  k2  k3 ) X2  0  2 (m1  k1  k2 ) X1  k2 X2  0 r 

•

X2 X1



 k1  k2   m1 2 k 2

Para r 1(ω=ω1), r2=(ω= ω2) (1)

r 1



X2

(1) X1

r 2



(2) X1

2 1

k 2





(2)

X2

 k1  k2   m1



k 2

 k1  k2   m1 22 k 2





2

m2 1 

(k2

 k 3

)

k 2

m2 22  (k2  k 3 )



k 2 2

m2



(k2



k 3 )


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Vetores Normais 

Vetores que descrevem as amplitudes para cada modo de vibração Amplitude da massa m1 no 10 modo

X

( 1)

X1(1)   X1(1)    (1 )    (1 )  X2  r1 X1  Amplitude da massa m 2 no 10 modo

Amplitude da massa m 1 no 20 modo

X

(2)

X1(2)   X1(2)    (2)    (2)  X2  r2 X1 

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Resposta Livre 

Equações do movimento no tempo (1) (1)     x t X ( ) 1 (1) x (t )     1  cos(1t   1 )   x2(1) (t) r1 X 1(1) 

10 modo

( 2) ( 2)     x ( t ) X ( 2) ( t )   1( 2)    1 ( 2)  cos( 2 t   2 ) x x 2 (t ) r 2 X1 

20 modo

X1(1) , X1( 2) , 1 e  2

são determinadas pelas condições iniciais

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Resposta Livre – Condições Iniciais 

Para condições iniciais gerais há uma superposição dos módulos x

1 (t )  x1 (t )  x1 (t )

x

2 (t )

(1)

(2)

 x2(1) (t )  x2(2) (t )

x1 (t



0)



x 1 (0)

x 1 (t



0)



x 1 (0)

x2 (t



0)



x 2 (0)

x 2 (t



0)



x 2 (0)

(1)

x1 (t )  X1

(2)

cos(1t  1 )  X1 cos(2t  2 )

(1)

x2 (t )  r1 X1

(2)

cos(1t  1 )  r2 X1 cos(2t  2 )

 x1 (0)  X1(1) cos1  X 1(2) cos 2   x1 (0)  1 X1(1) sen1  2 X1(2) sen2  (1) (2)  x (0) r X cos r X    2 1 1 1 2 1 cos 2  (1) (2) (0)       x r X sen r X 1 1 1 1 2 2 1 sen2  2

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Resposta Livre 

X1(1) sen1, X1(2) sen 2 , X1(1) cos1 e X1(2) cos 2

Sistema para

(1) X 1 sin 1

(1)

X 1

cos 1

r x (0)  x 2 (0)  2 1  1  r2  r 1  

r2 x1 (0) r2





x 2 (0)

r 1

(2) X 1 sin 2



r1 x1 (0)





 2 r2

x 2 (0)



r 1



r x (0)  x (0) (2) 1 1 2 X 1 cos 2  r2  r 1

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Resposta Livre 

Encontrando

(1)

X1

1

 r2

 r 1

(1)

X1

(2)

, X 1 ,1 e  2

  r2 x1 (0)  x 2 (0)  2    r2 x1 (0)  x 2 (0)   2     1

  r1 x1 (0)  x 2 (0)  1 2  (2) X1    r1 x1 (0)  x 2 (0)   2 r2  r 1     2    r2 x1 (0)  x 2 (0)    1  atan   r x x   (0) (0)    2  1 2 1    2  atan   

 x 2 (0)    (0)  (0)  

(1)

x1 (t )  X1

2

2

   

   

1

1

2

2

(1)

(2)

(1)

(2)

x

1 (t )  x1 (t )  x1 (t )

x

2 (t )  x2 (t )  x 2 (t ) (2)

cos(1t  1 )  X1 cos(2t  2 )

1 1 (0)

r x



()

(1)

(

)

(2)

(

)

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Condições iniciais especiais para ativar um dado modo de vibração 

Condições iniciais podem ser ajustadas para ativar determinados modos de vibração. 

(1)

X1

Para ativar r i 2    r2 x1 (0)  x 2 (0)  1  2 r x (0) x (0)          2 1 2 2 r2  r 1  1      

1

1

2

2

=0

  r1 x1 (0)  x 2 (0)  1 2  (2) X1    r1 x1 (0)  x 2 (0)   2 r2  r 1     2 1

1

2

   

=0

1

2

x1 (0)



x 1 (0)



x2 (0)



x 2 (0)



(i )

X 1

0 (i )

r1 X 1

0

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Resumo 

GDL e Restrição



Freqüências Naturais

2 2  , 1 2

1  (k1  k2 )m2  (k2  k3 )m1 

  2

m1 m2

 

2  1   (k1  k2 )m2  (k2  k3 )m1    2  m1 m2  

 (k1  k2 )(k2  k3 )  k22   4      m1 m2   

1

2

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Resumo 

Modos Naturais

(1)

r 1



X2

(1) X1



 k1  k2   m1 12

(2)

r 2



X2

(2) X1

k 2

 k1  k2   m1

2 2



k 2

m2 12  (k2  k 3 )

k 2





k 2



2 2  (k2  k 3 )

m 

2

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Resumo 

Resposta Livre Completa

 x1 (t )   1 )   2 )  (1) (2)  x2 (t )  r1 X1 cos(1t  1 )  r2 X1 cos(2t  2 ) (1) X1 cos(1t

2    r2 x1 (0)  x 2 (0)  1  2 (1) X1     r2 x1 (0)  x 2 (0)   2 r2  r 1    1   

1

2

2    (0)  (0) r x x 1 2   (2) 1 1 2 X1    r1 x1 (0)  x 2 (0)    2 r2  r 1      2  

  r2 x1 (0)  x 2 (0)    1  atan   r x (0)  x (0)     2  1 2 1 

Condições Iniciais Gerais

(2) X1 cos(2t

1

 x1 (t  0)  x 1 (0)   x (t  0)  x (0) 1  1   x2 (t  0)  x 2 (0)   x 2 (t  0)  x 2 (0)

2

  r1 x1 (0)  x 2 (0)    2  atan     r x (0)  x (0)    2  2 1 1 

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Sistemas Massa Mola 

Para simplificar, vamos considerar que 

m1 = m2 = m



k 1 = k 2 = k 3 = k

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34

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



4





4

4

Para simplificar, vamos considerar que 

m1 = m2 = m



k 1 = k 2 = k 3 = k

Equação de Frequência  k1  k 2 k2  k3  2 k1k2  k2k3  k3k1   0   m2  m1m2  m1  k k    m 

4 k

m

k  2    m 

k

k k

k

k

m m

k

k

0

2

2 



3k

2

0

k

m



1



m

e

3k 

2



m

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Modos de Vibração

X2

r 

r1

r1



X1

(1 ) 2  (1 ) 1

X X

1



k1

 k 2  m1 2 k2

k k m k

k m

k2

 k2

r2

r2



 k 3  m 2 2

X2(2) ( 2) 1

X

 1

k k m 

k

3k m

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Sistemas Massa Mola

r1



1

r2



1



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Sistemas Massa Mola

r1



1

r2



1



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Sistemas Torcionais

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Sistemas Torcionais ..

m1 x 1  (k 1

 k 2 )x 1  k 2 x 2 

0

..

m2 x 2  k 2 x1



(k 2



k 3 )x 2



0

Adaptando as equações equações

..

J1 1  (k t1

 k t 2 )1  k t 2  2 

0

 2  k t 2 1  (k t 2  k t 3 ) 2 

0

..

J2

40


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Exemplo 

Achar as freqüências naturais e os modos naturais de vibração à torção Sugestão: Considerar o volante como estacionário, tendo em vista que o seu momento de inércia é muito maior que os demais Dados: Jvolante = 9000 kg.m2 Jmotor = 1000 kg.m2

Jengr 1 = 250 kg.m2 Jengr 2 = 150 kg.m2 Jhélice = 2000 kg.m2

Gaço = 80x109 Pa

41


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Frequência e Modos de Vibração de um Automóvel 

Determinar as frequências e modos de vibração de inclinação e vertical. Instabilidade Vertical



Massa 1000kg



Raio de giro 0,9m





Distância entre o eixo traseiro e CG 1,5m Distância entre o eixto frontal e CG 1,0m



Rigidez molas traseiras 22 kN/m



Rigidez molas frontais 18 kN/m

Inclinação

43


Frequência e Modos de Vibração de um Automóvel 

Determinar as frequências e modos de vibração de inclinação e vertical.



Massa 1000kg



Raio de giro 0,9m





Distância entre o eixo traseiro e CG 1,5m Distância entre o eixto frontal e CG 1,0m



Rigidez molas traseiras 22 kN/m



Rigidez molas frontais 18 kN/m

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RAO 5.4

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RAO 5.5

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Batimento

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Batimento

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Acoplamento de Coordenadas e Coordenadas Principais 

Sistemas com n GDL requer n variáveis independentes



Grandezas geométricas independentes em relação à posição de equilíbrio



Qualquer conjunto de variáveis pode ser adotado 



(Coordenadas Generalizadas)

Sistema desacoplado  Coordenadas Principais

51


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Exemplo: Torno Mecânico 

Modelo mais exato  Viga elástica  Colunas curtas elásticas  Massas concentradas nos cabeçotes



Modelo simplificado  Barra rígida com CG  Cabeçotes  massas concentradas  Molas de compressão

52


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Exemplo: Torno Mecânico 

Deflexões do CG x(t) e rotação θ(t)



Deflexões x1(t) e x2(t) das extremidades A e B



Deflexão da extremidade

x1(t) e rotação θ(t) 

Deflexão da ponta principal y(t) e rotação θ(t)

53


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Deflexões do CG x(t) e rotação θ(t)

m 0 

0

J

  x   k  k      k l  k l    2

2 2

1

1 1

k2l2 2

k 2 l2

 k l   x  0       k l    0  1 1

2

1 1


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Deflexão da ponta principal y(t) e rotação θ(t)

 m me   y   k  k  me J      k l '  k l '  P     2

2

2

1

1

1

k2l '2  k1l '1   y 

 0     k l '  k l '     0 2

2

2

2

1

1

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Tipos de Acoplamentos

   x    x ..

m m 

11

m12

21

m22

1

..

2

  c   c   

 x    x  .

11

c12

21

c22

1

.

2

 k    k 

11

k12   x1 

21

k22

0   x   0    



Acoplamento dinâmico ou inercial



Acoplamento de amortecimento ou de velocidade



Acoplamento de rigidez ou elástico

2

56


Exemplo de Desacoplamento

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Sistemas Semidefinidos Também conhecidos como sistemas sem restrição ou sistemas degenerados Exemplos:

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Freqüências naturais  k k  2       0  m1 m2  4



2

  k k     m m  2

1

Não há oscilação

2  1 

0

2

   0 

2 2 

k(m1



m2 )

m1m 2

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Modos de vibração: r



X2





X1

10 modo normal vibração:

20 modo normal vibração:

k



2

k

2  1

0

k(m1





2 2

m1

r 1

m2 )

m1m 2

r 2





1



m1 m2

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Auto-excitação e análise de estabilidade  m11 m  21

 x..  m12   1   c11     m22  .. c  x 2   21  

.   k c12  x1     11   c22   .   k21  x 2 

k12   x1 

0       k22   x2  0 

ai

x j ( t )  X j e i

0, i= 0,1, 2, 3 e 4

t



j  1, 2


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Vibração Forçada Harmonicamente Absorvedores de vibração

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Vibração Forçada 2 GDL 

Resposta forçada de um sistema linear com muitos GDL é dada pela soma das respostas livre e forçada 

resposta livre depende das propriedades do sistema e das condições iniciais



resposta forçada depende da forma da excitação



Excitações periódicas, a resposta livre é geralmente ignorada, por constituir um transiente



Vamos considerar o caso de um sistema massa-molaamortecedor submetido a um forçamento harmônico sob forma exponencial

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Modelo matemático mais geral de um sistema com 2 GDL: m11  m 21

 .. 

m12  x 1  

c 11   ..   m 22   c  x 2   21

. 

c 12  x 1  

k 11   .   c 22   k  x 2   21

k 12   x 1 

F1       k 22   x 2  F2 

Considerando forçamento harmônico

F j ( t )  F j0 e it

j  1, 2

onde j = 1,2 indica o grau de liberdade considerado, obtemos a resposta permanente, também harmônica:

x j (t )  X j e i

t



j  1, 2

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Modelo matemático mais geral de um sistema com 2 GDL:   2 m11  ic 11  k 11  2   m12  ic 12  k 12

 2 m12  ic 12  k 12   X1  F10       2   m 22  ic 22  k 22   X 2  F20 

Definindo Impedância Mecânica Zrs(i) como

Z rs (i)  2mrs

onde

i c rs

 



k rs ,

 Z11(i) Z12 (i) Z(i)    Z ( i ) Z ( i )   22  12 

 X1  X  X 2 

r, s  1, 2





Z(i) X  F 0

é a matriz impedância





F0

F10    F 

é o vetor amplitude da resposta

é o vetor amplitude da excitação

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Modelo matemático mais geral de um sistema com 2 GDL: 

X

onde Z (i

X1(i) 

Z 22 (i)F10



)



Z(i) Z 22 (i

)

Z12 (i

1

Z11 (i

F0

)

Z 12 (i

x j (t )  X j e i

t



) 2

Z 12 (i

X 2 (i) 

2 Z12 (i)

)

Z 11 (i

)Z 22 (i )

Z12 (i)F20

Z11(i)Z 22 (i) 



1



)

Z12 (i)F10





Z11(i)F20

2 Z11(i)Z 22 (i)  Z12 (i)

j  1, 2

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Resposta permanente de um sistema massa-mola

Obter as respostas em freqüência das amplitudes X1() e X2()

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Equações do movimento: m11 m  21

..   c m12  x 1 11     ..  c m 22    x 2   21

m  0

.   k c 12  x 1 11     .  k c 22    x 2   21

k 12   x 1 

 F1       k 22   x 2  F2 

..    2k  k   x  F cos t  0  x1 1 10      ..    x     m  k 2 k 0  2    x 2  


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Solução Harmônica Como F10cost = Real(F10eit), consideraremos a solução como sendo também harmônica: x j(t) = Real(X jeit) = X jcost, j = 1, 2 Z rs (i

2

)

mrs

Z11()  Z 22 ()  m2

X1(i) 

Z 22 (i)F10



i crs



Z12 (i)F20

Z11(i)Z 22 (i) 

2 Z12 (i)

k rs ,

r, s

1, 2

Z 12 ()

2k

X 2 (i) 

k

 

Z12 (i)F10  Z11(i)F20 2 Z11(i)Z 22 (i)  Z12 (i)


obtemos:

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( 2 m  2k )F10

X1() 

( 2 m  3k )( 2 m  k )

X 2 () 

kF10 (  2 m  3k )(2 m  k )

Usando as freqüências naturais já conhecidas: k 

1

3k

e





m

2



m

2

F 10

2 X 1 (

1

)

2

k

2 1

1

F 10

)

2

k 70

2

1

1

X 2 (

2

2

2

2

1


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Problema 5.49 Uma máquina alternativa de massa m1 está montada sobre uma viga bi-engastada de comprimento l, espessura t e largura a e módulo de Young E. Foi acrescentado ao sistema um conjunto massa mola (m2, k 2) com o objetivo de reduzir a vibração da máquina. Achar a relação entre m2 e k 2 que anula a vibração da máquina quando uma força harmônica F1(t) = F0cost é desenvolvida na máquina durante a sua operação

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Absorvedores de vibração Se um sistema mecânico for excitado por uma força harmônica de freqüência constante que opera nas proximidades da ressonância, a amplitude da vibração aumenta, atingindo valores que podem eventualmente provocar a falha do sistema A fim de remediar tal situação, podemos tentar mudar a massa e/ou a rigidez do sistema para fugir da condição de ressonância, o que nem sempre é prático ou mesmo possível Uma outra possibilidade será apresentada a seguir, a qual consiste na aplicação do absorvedor dinâmico de vibrações, idealizado por Frahm, em 1909 O uso de um absorvedor dinâmico de vibrações é indicado para máquinas que operam em velocidades constantes, como máquinas elétricas síncronas Basicamente, o absorvedor dinâmico de vibrações adiciona um grau de liberdade ao sistema: ele consta de uma massa e de uma mola auxiliares, ma e k a, que são colocadas em série com o sistema principal M, k


Equações do movimento

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Equações do movimento

   x   x  ..

 m1 0 

0

m2

1

..

2

 k k    k  1

2

2

k   x  k   x 2

2

1

2

    F sen  t    0  

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Soluções Harmônicas   X   k  k   m    X   k

 m    0

2

0

1

1

1

2

2

2

 k  k  m   k 

2

1

2

1

2

2

k  m  2

k2

2

2

2

k   X  k   X 2

2

  X     X

1

2

1

2

  F    0   

  F    0   

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Soluções Harmônicas e Amplitude X 1

X 1

 st



( 2 m2  k2 ) F ( 2 m1  k1  k2 )(  2 m2 1



2 2

 2

   k   k 1  1        k   k 2

2

2

2

 st



2

k2 )  k 2



2

X 2



2

2

1

1

1

1

   k   k 1  1       k   k 2

2

2

2

2

2

2

1

1

1

X 2



k2 F

( 2 m1  k1  k2 )( 2 m2  k 2 )  k 22


Comportamento do Sistema com Absorverdor 

Frequência de excitação igual a frequência natural 

Amplitude do sistema principal



Absorvedor exerce força contrária a excitação



Não tem cargas transmitida à fundação

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Comportamento com Absorvedor 

Ressonância 

Duas frequência de ressonância



Altas amplitudes se velocidade crescente



Separação das frequências de ressonância implica em absorvedor de massa igual do sistema principal

2

 1,2       2 

  m   2  1  1  2  2   1   m 1    

2

2   m   2     1  1  2  2    4  2  1   m   1  1     2   2  2   

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Exercícios 1. Dado o sistema mecânico da figura, determinar as freqüências naturais e os modos naturais de vibração e esboçar os dois modos naturais de vibração.

Dados: M = 2 kg; m = 1 kg; k1 = 10 N/m; k2 = 40 N/m. Resp.: 1 = 2,6818 rad/s; r 1 = 3,5615;

2 = 5,2733 rad/s r 2 = -0,5615

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3. Determinar as freqüências naturais e os modos de vibração para o sistema pendular duplo da figura:

Re sp. :

2

1 

g 

2

2 

g 



2

k a 2 ( ) m 

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4. Achar as freqüências naturais e os modos naturais vibração para o sistema da figura:

Re sp. :

12  1,439 r 1  1,281

k m

 22  5,562

k

m r 2  0,781

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5. A figura apresenta um modelo simplificado de um automóvel, no qual são considerados apenas 2 GDL: translação vertical da massa m2 (chassis e carroceria) e translação vertical da massa m 1 (massas das rodas e eixos). Determinar as duas freqüências naturais do movimento. Dados numéricos: m1 = 180 kg m2 = 670 kg 2k1 = 538 N/mm 2k2 = 45,5 N/mm

Resp.: 75,5 ciclos/min; 544 ciclos/min.

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Vibracao 2GDL rev7

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