VELOCIDAD CRÍTICA Y ANALISIS DE RIGIDEZ Un eje es un elemento e lemento de máquina generalmente rotatorio y a veces estacionario, que tiene sección normalmente circular de dimensiones menores a la longitud del mismo. Tiene montados sobre sí, elementos que transmiten energía o movimiento, tales como poleas (con correas o cadenas), engranajes, etc.
Las cargas en las flechas o ejes de transmisión rotatoria son principalmente de uno de dos tipos: torsión debido al par de torsión transmitido o de flexión proveniente de cargas transversales por engranes, poleas o ruedas dentadas. 1. Evaluar los momentos flectores, de torsión, esfuerzos de corte y esfuerzos axiales en el tramo completo del eje. 2. Seleccionar las secciones más conflictivas y de ellas los puntos más conflictivos. Determinación de factores de concentración de esfuerzos. 3. Evaluar los estados tensionales en los puntos conflictivos. 4. Seleccionar el criterio o teoría de falla estática o dinámica en función del tipo de material (frágil o dúctil) y tipo de rotura estimada (fatiga, etc.)
ANÁLISIS POR RESISTENCIA A CARGAS ESTÁTICAS
En general, el término deflexión hace referencia a la "desviación de la dirección de una corriente". De un modo específico, el término deflexión se utiliza en física, análisis estructural, botánica, automovilística y armamentística para describir cuatro fenómenos diferentes. Para nosotros los ingeniero hay dos referencias que si nos deben importar estos dos términos son para la física y el análisis estructural: 1.- En la física: la deflexión se produce cuando un objeto colisiona y rebota contra una superficie plana. 2.- En análisis estructural: la deflexión hace referencia al grado en el que un elemento estructural se desplaza bajo la aplicación de una fuerza. Velocidad critica en los ejes Todos los ejes, aun sin la presencia de cargas externas, se deforman durante la rotación. La magnitud de la deformación depende de la rigidez del eje y de sus soportes, de la masa total del eje, y de las piezas que se le añaden, del desequilibrio de la m asa con respecto al eje de rotación y del amortiguamiento presente en el sistema.
La deformación, considerada como una función de la velocidad de giro del eje, presenta sus valores máximos en las llamadas velocidades críticas. Un sistema de 1 masa, será un sistema
de 1gdl, y tendrá 1 velocidad crítica. Para sistemas de n masas, esto es n gdl, habrán n velocidades críticas ¿Que es un grado de libertad? Más concretamente, los grados de libertad son el número mínimo de velocidades generalizadas independientes necesarias para definir el estado cinemático de un mecanismo o sistema mecánico. Normalmente, sólo la velocidad crítica más baja (primera) y ocasionalmente la segunda tienen relevancia. Las otras son generalmente tan altas que están muy alejadas de las velocidades de operación.
Cálculo de la velocidad crítica Existen diversos métodos para el cálculo de la velocidad crítica de un eje: Raleigh, ecuación de frecuencias o Dunkerley. El elegido en este caso es el de Raleigh, que proporciona una aproximación para la primera velocidad crítica. Cuando la geometría es simple, como la de un eje de diámetro uniforme, simplemente apoyado, la tarea es fácil. Puede expresarse como: m es la masa por unidad de longitud,
A el área de la sección transversal γ es
el peso específico.
EI RESISTENCIA POR LA RIGIDES A FLEXION DEL EJE En el caso de un ensamble de elementos, el método de Rayleigh para masas concentradas establece:
w i es el peso de la i -ésima ubicación y i es la deflexión en la ubicación del i -ésimo cuerpo.
Se puede usar la ecuación (2) en el caso de la ecuación (1) dividiendo el eje en segm entos y colocando su fuerza del peso en el centroide del segmento como se muestra en la figura 1. La ecuación de Rayleigh sobrestima la velocidad crítica.
Figura 1.- a) Eje de diámetro uniforme de la ecuación 1. b) Eje de diámetro uniforme segmentado de la ecuación 2 Puesto que el eje es un cuerpo elástico, se utilizan coeficientes de influencia, que son las deflexiones transversales en la ubicación i de un eje, debida a una carga unitaria en la ubicación j del eje
De la tabla A-9-6 se obtiene, para una viga simplemente apoyada con una sola carga unitaria, como la que se muestra en la figura 2
Figura 2.- El coeficiente de influencia es la deflexión en i, debida a una carga unitaria en j.
LA ECUACION DE DUNKERLEY, la cual proporciona otra aproximación para la primera velocidad crítica de un sistema de masas múltiples, es
donde wc es la primera velocidad crítica del sistema de masas múltiples, w1 es la velocidad crítica que existiría con la presencia aislada de la masa No. 1, w2, la velocidad crítica con la presencia aislada de la masa No. 2, etc. 1ª y 2ª velocidad critica LAS VELOCIDADIIS CRITICAS MAS AITAS para sistemas con masas múltiples requieren cálculos mucho más extensos que los necesarios para determinar la velocidad crítica más baja (primera). Existen muchos métodos para dicho efecto. Aquí se da l a ecuación para un sistema con dos masas:
El eje mostrado en la figura soporta un engranaje m1 cuyo peso es 50 Ib y un volante m2 cuyo peso es 100 lb. Se ha encontrado que las deformaciones estáticas d1 y D2 son 0,0012 pul y 0,0003 pul, respectivamente. Determinar la primera velocidad crítica, ignorando la masa propia del eje.
Las dos masas, m1 Y m2, unidas al eje de la figura pesan 140 lb y 60 lb respectivamente. Mediante un análisis de deformaciones, se ha encontrado que los coeficientes de influencia para el eje son a11= 2x10-6 Pul/lb, a22 = 12x 10-6 Pul/lb, a12= 4x10-6Pul/lb.
Ejemplo 1 Encuentre el valor de la velocidad critica fundamental para el eje mostrado en la figura si su modulo de elasticidad es de E=30,000,000 psi utilizando las ecuaciones de: a) Rayleigh-Ritz y b) Dunkerley.
Ecuaciones a utilizar para el inciso a).
(pulg) (pulg)
(pulg) (pulg) (pulg)
+ (pulg)
Donde 386 es la aceleración gravitatoria en
)( ) ⁄ √ ( ( )( )( ) √ () ⁄ (
(
(rpm)
Solución para el inciso a) Encontrando el momento de inercia para el eje.
Se encontraran las deflexión para el punto A debido a la carga de 80 lb.
Se encontrara la deflexión total sumando las dos deflexiones
Se encontraran la deflexión total en el punto B debido a la carga de 80 y 120 Lb respectivamente.
Ahora se suman las dos deflexiones encontradas para el punto B.
Ahora se encuentra la frecuencia del eje en rotación
√ Para poder encontrar la velocidad critica para este eje giratorio es:
Solución para el inciso b) usando la ecuación de Dunkerley. Primero encontrando las frecuencias.
√ √ √ √ Planteado la ecuación de Dunkerley y sustituyendo los valores.
√
Y por ultimo se encuentra la velocidad critica.
Nota importante
Es importante recordar que las ecuaciones de Rayleigh-Ritz y Dunkerley son aproximaciones a la primera frecuencia natural de vibración, la cual se supone igual a la velocidad crítica de rotación. En general, Ia ecuación de Ra yleigh-Ritz sobrestima la frecuencia natural, mientras que la de Dunkerley Ia subestima.
