DEPARTAMENTO DE METAL-MECANICA MET AL-MECANICA
Diseño I Diseño de ejes
PROFESOR:
Ing. Cauich Cupul Javier Iván
Alumno:
Guzmán Dionisio Tamayo Chi Rufino Esteban
Mérida Yucatán a 6 de junio de 2013
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Introducción: Para transmitir a todo objeto axisimétrico especialmente diseñado para transmitir potencia. Estos elementos de máquinas constituyen una parte fundamental de las transmisiones mecánicas y son ampliamente utilizados en una gran diversidad de máquinas debido a su re lativa simplicidad.
Un árbol de transmisión es un eje que transmite un esfuerzo motor y está sometido a solicitaciones de torsión debido a la transmisión de un par de fuerzas y puede estar sometido a otros tipos de solicitaciones mecánicas al mismo tiempo. En general, existen tres parámetros fundamentales para el diseño de los árboles de transmisión: su resistencia, su rigidez y su inercia de rotación. Resistencia
Esfuerzos
y
resistencia : resistencia:
Son
funciones
de
la
geometría
local,
como
los concentradores de esfuerzos y de la distribución de las fuerzas, además de las fallas por fatiga. Debe ser suficientemente resistente como para soportar las tensiones mecánicas. Rigidez
Deflexiones y rigidez: rigidez : Son funciones de la geometría del árbol y de las deformaciones sufridas debido al estado de esfuerzos .
Inercia En el diseño de un árbol de transmisión se ha de tener en cuenta que este no tenga demasiada inercia, pues, de manera similar a la masa en un movimiento rectilíneo, la inercia
supone
una
oposición
a
las
variaciones
de
su velocidad
angular,
acumulando energía cinética y variando su momento angular.
donde T e es el par de entrada que se comunica al árbol, T s es el par de salida que el árbol comunica al mecanismo conducido por él, I es la inercia y α es el la aceleración angular.
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Introducción: Para transmitir a todo objeto axisimétrico especialmente diseñado para transmitir potencia. Estos elementos de máquinas constituyen una parte fundamental de las transmisiones mecánicas y son ampliamente utilizados en una gran diversidad de máquinas debido a su re lativa simplicidad.
Un árbol de transmisión es un eje que transmite un esfuerzo motor y está sometido a solicitaciones de torsión debido a la transmisión de un par de fuerzas y puede estar sometido a otros tipos de solicitaciones mecánicas al mismo tiempo. En general, existen tres parámetros fundamentales para el diseño de los árboles de transmisión: su resistencia, su rigidez y su inercia de rotación. Resistencia
Esfuerzos
y
resistencia : resistencia:
Son
funciones
de
la
geometría
local,
como
los concentradores de esfuerzos y de la distribución de las fuerzas, además de las fallas por fatiga. Debe ser suficientemente resistente como para soportar las tensiones mecánicas. Rigidez
Deflexiones y rigidez: rigidez : Son funciones de la geometría del árbol y de las deformaciones sufridas debido al estado de esfuerzos .
Inercia En el diseño de un árbol de transmisión se ha de tener en cuenta que este no tenga demasiada inercia, pues, de manera similar a la masa en un movimiento rectilíneo, la inercia
supone
una
oposición
a
las
variaciones
de
su velocidad
angular,
acumulando energía cinética y variando su momento angular.
donde T e es el par de entrada que se comunica al árbol, T s es el par de salida que el árbol comunica al mecanismo conducido por él, I es la inercia y α es el la aceleración angular.
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ESTUDIO SOBRE LA RESISTENCIA Y RIGIDEZ DE EJES HUECOS Los ejes son elementos de transmisión que constantemente están sometidos a la acción de cargas y esfuerzos, pero que a la vez deben ser lo suficientemente li geros para soportar estos sin sacrificar la resistencia mecánica. El objeto de este trabajo es identificar la incidencia que tendrá la reducción de peso en la resistencia mecánica de un eje de transmisión, para este fin se han considerado diversas variaciones geométricas y los resultados se han organizado de forma tal que permitan generar un criterio acerca de la conveniencia de utilizar ejes huecos y cuales serian las geometrías recomendadas. recomendadas.
1. INTRODUCCIÓN La reducción de peso y uso de material en elementos de maquinas es una preocupación que constantemente atañe a las personas involucradas en el proceso de diseño y manufactura de estos, sin embargo no se ha profundizado suficientemente en tales aspectos, por ejemplo un eje hueco puede lograr tener una resistencia mecánica similar a la de un eje macizo, siempre que la geometría utilizada sea lo suficientemente apropiada. Una forma acertada de establecer comparaciones entre la resistencia mecánica y rigidez de ejes o árboles macizos y huecos es la utilización de teorías y ecuaciones ampliamente aceptadas y utilizadas en un software que permita comparar mediante tablas o graficas de resultados las hipótesis supuestas.
2. DESARROLLO DE LA TEMATICA Es sabido que la resistencia mecánica volumétrica de un árbol, es decir, la magnitud de las tensiones que surgen en su sección transversal bajo una carga determinada, está definida por el módulo de resistencia a la flexión (Wf) y el módulo de resistencia a la torsión (Wt). Estos módulos de resistencia dependen de la geometría de la sección transversal del árbol. Se desarrollara una comparación entre árboles macizos y huecos, tomando como parámetro comparativo el módulo de resistencia a la flexión (Wf) [2,6-7]: Wfmacizo = Π . d3 / 32 Wfhueco = Π . d3 (1 – c4) / 32
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donde: Cideal = do/d para el caso de una sección circular sin entallas de ningún tipo. (d: diámetro exterior, do: diámetro hueco) Para este análisis se realizo un programa de computación [8], que partiendo de un árbol macizo de un diámetro determinado, va incrementando progresivamente la relación (do/d) y calcula para cada una de las relaciones la variación de (Wf) y del área de la sección transversal (A) con respecto al árbol macizo. Para la tabla de resultados del programa partimos de un árbol de diámetro 50 mm. Estos resultados fueron graficados y se representan en la figura 1:
Del gráfico podemos destacar los siguientes aspectos: Para relaciones Cideal menores que 0.22 la variación del módulo de resistencia a la flexión es menor de un 0.25% y la variación del área es menor de un 0.25%. Para la relación Cideal igual a 0.31 la variación del módulo de resistencia a la flexión es de aproximadamente el 1% sin embargo el área ha disminuido alrededor de un 0.8%. Para la relación Cideal igual a 0.38 la variación del módulo de resistencia a la flexión es de 2.08% y la variación del área alcanza una disminución del 2%.
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Para la relación Cideal igual a 0.45 el módulo de resistencia a la flexión ha disminuido sólo un 6.2% y el área ha disminuido un 6%. Para la relación Cideal igual a 0.56 ya el módulo de resistencia a la flexión ha disminuido alrededor de un 10% y la disminución del área es del 9.83%. Para relaciones Cideal mayores que 0.57 la disminución del área es superior del 12% y el módulo de resistencia a la flexión disminuye más del 11%. Analizando los aspectos anteriormente expuestos y tomando como variación máxima el módulo de resistencia a la flexión del 10%, podemos plantear que en pos de disminuir el área (peso) del árbol las relaciones recomendadas están aproximadamente en el rango (0.2
Pare tener en cuenta el chavetero se elaboró un programa con las expresiones de [2],[67]: 4
- [bt(d-t)^2]/2d – c4) / 32] - [bt(d-t)^2]/2d
Donde (b: base de la sección del chavetero, t: altura de la sección del chavetero en el eje), que incrementa la relación (do/d) hasta (do/d) recomendado, para este programa y la tabla de resultados obtenidos por él. El gráfico obtenido es el siguiente:
Analizando estas curvas y los resultados tabulados podemos destacar los siguientes aspectos: Para relaciones c menor que 0.25 la variación del módulo de resistencia a la flexión es del 0.48% y el área disminuye en menos del 6.85%. Para la relación c igual a 0.31 el módulo de resistencia a la flexión ha disminuido el 1% y el área ha disminuido un 10%. Para la relación c igual a 0.38 la disminución del módulo de resistencia a la flexión es del 2.3% y la disminución del área es del 15%. Para la relación c igual a 0.45 la disminución del módulo de resistencia a la flexión es del 4.6% y la disminución del área es del 21%.
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Para la relación c igual a 0.49 el módulo de resistencia a la flexión ha disminuido en un 6.6% y el área en un 25%. Para relaciones c mayores que 0.54 el área disminuye en más de un 30%, pero el módulo de resistencia a la flexión disminuye más del 10%. Como se aprecia para las mismas variaciones del área la disminución del módulo de resistencia a la flexión es mayor en el caso de una sección con un chavetero. En este caso, uno de los más comunes en árboles de transmisiones mecánicas, las relaciones indicadas para disminuir el área (peso) del árbol como criterio un 10% de reducción del Modulo de 0.54), y la resistencia del chavetero no está afectada en este rango de relaciones. De lo analizado anteriormente se concluye que la utilización de árboles huecos en lugar de árboles macizos manteniendo el mismo diámetro exterior en ambos, permite reducir el peso de los mismos con pequeñas disminuciones de la resistencia mecánica. A continuación se realiza un análisis similar al anterior pero en este caso se sustituye el árbol macizo por uno hueco pero con igual resistencia al anterior, es decir, con igual módulo de resistencia a la flexión que el macizo; para esto se elaboró un programa en donde para cada relación (do/d) recomendado se determina un nuevo diámetro (d) de forma tal que los módulos de resistencia del árbol macizo y el hueco sean iguales. Además como en los casos anteriores se determina el porcentaje de disminución del área y la relación entre el diámetro del árbol macizo y el diámetro exterior del árbol hueco, todo esto para cada relación (do/d) recomendado. Para el programa en cuestión el ploteo de los resultados [8] se encuentra enla figura 4. Analizando el gráfico y la tabla de resultados se observa que si aumentamos el diámetro exterior del árbol hueco para cada relación (do/d)recomendado con el fin de igualar la resistencia a la del árbol macizo, se logra una disminución significativa del área con un incremento insignificante del diámetro, por ejemplo, puede verse como con un árbol hueco de diámetro exterior de 51.7 mm y diámetro del hueco de 29.5 mm, logra la misma resistencia mecánica que la de un árbol macizo de diámetro 50 mm y la disminución del área (peso) es del 28%. A medida que aumenta la relación (do/d) recomendado aumenta la disminución del área estando limitado este incremento por la resistencia del chavetero.
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En el caso de árboles sin chaveteros podemos determinar los árboles huecos de igual resistencia que los macizos a partir de la siguiente expresión [1-7]:
donde: d : diámetro exterior del árbol hueco dm : diámetro del árbol macizo c = (do/d)recomendado En este caso al no existir el límite de incremento producto del chavetero la relación puede aumentarse indiscriminadamente.
Análisis de la rigidez de los árboles huecos En este análisis, primero se exponen los criterios y expresiones fundamentales que se utilizan en la comprobación de la rigidez de los árboles. Como se ha expuesto anteriormente los árboles de las transmisiones mecánicas están sometidos a la acción de cargas, para los cuales es muy importante la valorización de la rigidez, pues es necesario que haya una garantía suficiente de esta a la hora de proyectar árboles [1].
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El cálculo a la rigidez tiene como fin aclarar las inflexiones y los ángulos de inclinación de la línea flexible del eje de la pieza, en determinadas secciones. Para la valorización de la rigidez es necesario tener en cuenta las ecuaciones generales de la elástica de una viga, que se dan a continuación ver figura 5:
Como se observa en estas ecuaciones aparece un parámetro, el cuál es analizado como una característica geométrica de la rigidez longitudinal, dicho parámetro está definido como: momento de inercia a la flexión (Ix) y momento de inercia a la torsión (Ip), para el caso de rigidez torsional.
Para desarrollar este análisis se toma la sección circular maciza y la sección circular hueca del árbol con chavetero, al tener en cuenta dicho chavetero, la relación (do/d) recomendado se ve afectada de manera similar a lo sucedido con la resistencia mecánica. En este análisis se realiza un programa de computación para cada caso (momento de inercia a la flexión y momento de inercia a la torsión) con sus correspondientes expresiones, donde se incrementa la relación (do/d)recomendado hasta un valor maximo. Primero se expone el análisis del momento de inercia a la flexión. El gráfico obtenido es el siguiente.
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Analizando estas curvas y los resultados tabulados podemos destacar los siguientes aspectos: Para relaciones c menores que 0.26, la variación del momento de inercia a la flexión es de 0.45% y el área disminuye en menos del 6.8%. Para la relación c igual a 0.31, la disminución del momento de inercia a la flexión es de 1% y la del área es de 10%. Para la relación c igual a 0.38, el momento de inercia a la flexión disminuye en un 2.1% y el área disminuye en un 15%. Para la relación c igual a 0.44, el momento de inercia a la flexión ha disminuido en un 4% y el área disminuye en un 20%. Para la relación C igual a 0.49, el momento de inercia a la flexión disminuye en un 6% y el área disminuye en un 25.5%. Para relaciones c mayores que 0.55, el área disminuye en más de un 32%, mientras que el momento de inercia a la flexión disminuye más del 10%. Analizando los aspectos anteriormente expuestos y tomando como variación máxima el momento de inercia a la flexión del 10%, podemos plantear que en pos de disminuir el área (peso) del árbol las relaciones recomendadas son aproximadamente (0.26 la resistencia del chavetero [1-4], dada por este parámetro, no está afectado en este rango de relaciones.
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A continuación se analiza lo referente al momento de inercia a la torsión. El gráfico obtenido [8] se encuentra en la figura 7
Al analizar las curvas y los resultados tabulados. Podemos destacar los siguientes aspectos: Para relaciones c menor que 0.26, la variación del momento de inercia a la torsión es del 0.45% y el área disminuye en menos del 7%. Para la relación c igual a 0.31, el momento de inercia a la torsión disminuye en un 0.93% y el área disminuye en un 9.7%. Para la relación c igual a 0.38, el momento de inercia a la torsión disminuye en un 2.2% y el área disminuye en un 15%. Para la relación c igual a 0.44, la disminución del momento de inercia a la torsión es de 4% y la disminución del área es de 20.5%. Para la relación c igual a 0.52, la disminución del momento de inercia a la torsión es del 7.5% y el área disminuye en un 28.7%. Para relaciones c mayores que 0.56, el área disminuye en más de un 33%, mientras que la disminución del momento de inercia es mayor del 10%. Teniendo en cuenta los aspectos anteriormente expuestos y tomando como variación máxima el momento de inercia a la torsión el 10%, se plantea que las relaciones indicadas para disminuir el área (peso) del árbol son: 10
avetero no afecta en este rango de relaciones. A continuación se hace un análisis, similar al que se realizo en la valoración de la resistencia mecánica, al sustituir un árbol macizo por un árbol hueco pero con igual resistencia al anterior, es decir, en este caso de rigidez con igual momento de inercia a la flexión y a la torsión que el del árbol macizo. De igual forma que en el análisis de la resistencia mecánica se elaboró un programa de computación [8], los gráficos obtenidos se encuentran en las figuras 8 y 9 respectivamente.
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Analizando estos gráficos y las tablas de resultados correspondientes podemos observar que si aumentamos el diámetro exterior del árbol hueco para cada relación (do/d) con el fin de igualar los momentos de inercia del mismo a los del árbol macizo, se logra una disminución significativa del área con un incremento insignificante del diámetro, por ejemplo puede verse como un árbol hueco con d = 51.31 mm y do = 28.78 mm tiene la misma rigidez que un árbol macizo de D = 50 mm y la disminución del área es del 29.2%. A medida que aumenta la relación (do/d) aumenta la disminución del área estando limitado este incremento por la rigidez del chavetero. En el caso de árboles sin chaveteros las relaciones (do/d) recomendados indicadas para que la variación de la rigidez no sea mayor del 10% son: árboles de igual resistencia la relación (do/d)recomendados puede incrementarse aún más obteniendo disminuciones del área superiores. Ejemplos Un eje hueco de 20 pul de diametro exterior y 12 pulgadas de diámetro interior esta soportado por dos cojinetes separados 20 pies. El eje es conducido por medio de un acoplamiento flexible situado en un extremo y mueve una hélice de barco a 100 rpm. El empuje máximo sobre la hélice es 120.000 lb cuando el eje esta transmitiendo 8000 hp. El eje pesa 15.000 lb. Determinar el esfuerzo cortante máximo en el eje por medio de la
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ecuación ASME considerando el peso del eje y el efecto de columna. Suponer Kb = 1.5 y Kt= 1.0 Solución: =15.000(240)/8 = 450,000 lb.pul Mt(max)= (8000x63000/100 = 5040000lb.pul I= (20^4 – 12^4)/64= 6840 pul^4
K=
A=
^
^2 /4 = 201pul^2
= 5.84pul L/k= 240/5.84 = 41.2 < 11.5
1/ 1- .0044(240/5.84) = 1.222 d0= 20, di=12 k= 12/20= .6 Ss =
+ *
= 3800psi.
Ejemplo 2 Para poder reducir el peso de los elementos de control y potencia usados en cierto tipo de airoplanos se planea usar un eje hueco para la trasmision de potencia. Desarrollar una expresion para determinar el porcentaje de ahorro de peso que puede optenerce al usar un je hueco en vez de un eje masizo de igual resistencia. Solucion
√
para el eje macizo el esfuezo cortante es Ss =
√
para el hueco Ss =
(1) 1=(d/do)^3 = (di/do)^4
N= [1- (do/d)^2 +
= (1- N/100)
]100
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VELOCIDAD CRÍTICA EN EJES
Todos los ejes, aun sin la presencia de cargas externas, se deforman durante la rotación. La magnitud de la deformación depende de la rigidez del eje y de sus soportes, de la masa total del eje, y de las piezas que se le añaden, del desequilibrio de la masa con respecto al eje de rotación y del amortiguamiento presente en el sistema. La deformación, considerada como una función de la velocidad de giro deleje, presenta sus valores máximos en las llamadas velocidades críticas. Un sistema de1 masa, será un sistema de 1gdl, y tendrá 1 velocidad crítica. Para sistemas de n masas, esto es n gdl, habrán n velocidades críticas. Normalmente, sólo la velocidad crítica más baja (primera) y ocasionalmente la segunda tiene relevancia. Las otras son generalmente tan altas que están muy alejadas de las velocidades de operación. En la primera velocidad crítica, la flexión del eje sigue la forma más sencilla posible. En la segunda, la flexión sigue la segunda forma más sencilla, etc. Por ejemplo, un eje soportado en sus extremos y con dos masas relativamente grandes (en comparación con la del eje), se deforma según la configuración mostrada en las figuras siguientes, cuando rota en la primera y la segunda velocidad crítica respectivamente.
Para un eje que lleva una sola masa, y asumiendo que su masa es pequeña en comparación con la masa que lleva unida:
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Donde: x: deformación del eje durante la rotación, en el punto de localización de la masa e: excentricidad k= fuerza/deformación 2
mw (x+e)=kx
2
x=(mwe) / (k-mw )
De la ecuación anterior se deduce que si la excentricidad e es nula, ladeformación x del eje también será nula, salvo que se cumpla que k x=(mw2e)
Concepto de velocidad crítica Cuando un eje se ve sometido a un sistema de cargas radiales, sufre una deformación, i.e., un desplazamiento de sus secciones transversales, de manera que los centros de éstas dejan de estar alineados. Recordemos que la ecuación de la línea elástica —lugar geométrico de los centros de gravedad de las secciones — se obtenía a partir de la ley de momentos flectores, por integración de la ecuación diferencial:
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con las condiciones de contorno que imponen los apoyos y la continuidad de la ecuación de la línea elástica. Si las cargas permanecen fijas con respecto al eje de la máquina —o, lo que es lo mismo, son rotatorias respecto del eje—, el eje no varía, sino que cada sección gira alrededor de su centro. Si la carga es fija respecto al eje, el eje deformado gira en
torno a la posición de equilibrio sin carga, de manera que el centro de cada sección describiría una circunferencia contenida en un plano perpendicular al eje. En cualquiera de los dos casos aparece una fuerza centrífuga cuya dirección es siempre radial respecto al eje de giro, y que por tanto se mantiene fija respecto de la sección del eje y en rotación respecto de la bancada. Supongamos un eje sobre el que hay montado un disco cuyo centro de gravedad G está desplazado una distancia e—llamada excentricidad — respecto del centro geométrico de la sección O′. Si el eje gira con ω constante, se tiene que cumplir que la fuerza centrífuga sea igual a la fuerza de recuperación elástica del eje, que será proporcional al desplazamiento de la sección r y, por tanto,
A partir de esta ecuación, es posible calcular la distancia r que se separa el centro geométrico de la sección respecto del eje de giro:
Haciendo ω n =
km, la expresión de r queda de la forma:
A ω n se le llama velocidad crítica, y corresponde a la frecuencia natural de vibración del sistema. Cuando la velocidad de rotación del eje coincidiese con la velocidad crítica, el centro del disco se desplazaría, teóricamente, hasta el infinito. Para velocidades de rotación pequeñas (ω→0), r es también pequeño, con lo que la sección gira alrededor de
su centro geométrico, como si la fuerza centrífuga no actuara. Por último, para velocidades de giro muy elevadas, se tiene r → −e, lo que significaría que el disco gira alrededor de su centro de gravedad. En la práctica, debe evitarse el funcionamiento del 16
eje en regímenes de rotación próximos a las velocidades críticas. Las elevadas deformaciones pueden inducir una deformación permanente en el eje o incluso su rotura. Aun sin llegar a esos límites, los elevados niveles de vibración que se inducen, y que se transmiten a la bancada a través de los apoyos, serían inadmisibles.
Cálculo de las velocidades críticas Para determinar las velocidades críticas, es necesario conocer el valor de la constante elástica del eje, k. Para ello, se pueden seguir dos procedimientos: integrar la ecuación diferencial de la línea elástica o aplicar el teorema de Castigliano. En ambos casos, la solución dependerá de la ley de momentos flectores a lo largo del eje, y por tanto de la configuración geométrica de la carga y los apoyos. La velocidad crítica depende de la configuración geométrica del eje —vinculada a la disposición de los apoyos — y de la masa
del rotor, pero no de la excentricidad. El eje debe diseñarse con una geometría que asegure que la velocidad crítica queda suficientemente distanciada de la velocidad de rotación prevista en el diseño. Influencia de la excentricidad en la resistencia del eje
Los esfuerzos quela rotación induce en el eje consisten en una flexión producida por la
fuerza centrífuga; este esfuerzo puede expresarse como:
Donde M c(x)es el momento flector producido en la sección x por la fuerza centrífuga. Para cálculos a fatiga, esta tensión es tensión media, puesto que permanece fija respecto de la sección del eje.
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Materiales empleados en la construcción El acero es el material que frecuentemente mas se usa en la fabricación. Variando adecuadamente la composición, el tratamiento térmico y el tratamiento mecánico pueden obtenerse propiedades mecánicas que se encuentren entre márgenes muy amplios. Generalmente, los árboles están hechos de barras circulares de acero al carbono estirado en frió. Cuando se requiera tenacidad, resistencia al impacto y alta resistencia, se utilizan barras de acero aleado, tratado térmicamente. El acero con un cierto grado de carburación se empleara cuando el desgaste en la superficie del árbol sea importante. Sin embargo, para no aumentar el costo, el diseñador deberá tratar de usar acero con bajo contenido en carbono, siempre que esto fuera posible. La mayor parte de las flechas de máquinas se fabrican a partir de un acero al bajo o medio carbono, ya sea rolado en frío o en caliente, aunque también cuando se requiera de su superior resistencia, se aplican aceros de aleación. En flechas de diámetros más pequeños (menores de alrededor de 3 pulg de diámetro), se recurre más al acero rolado en frío, y en tamaños mayores se utiliza acero rolado en caliente. La misma aleación, rolada en frío, tiene propiedades mecánicas superiores a las que tienen rolado en caliente, por el trabajo en frío, pero esto se obtiene a costa de esfuerzos residuales a tensión en la superficie. El maquinado para formar cuñeros, ranuras o escalones libera estos esfuerzos locales residuales, pudiendo provocar distorsión. Las barras roladas en caliente deben ser maquinadas en toda su superficie para eliminar la capa exterior carburizada. Materiales para fabricar ejes. La deflexión no se ve afectada por la resistencia sino por la rigidez, representada por el modulo de elasticidad, que es esencialmente constante en todos los aceros. Por esa razón, la rigidez no puede controlarse mediante decisiones sobre el material, sino por decisiones geométricas. La resistencia necesaria para soportar esfuerzos de carga afecta la elección de los materiales y sus tratamientos. Muchos ejes están hechos de acero de bajo carbono, acero estirado en frio o acero laminado en caliente, como lo son ANSI 1020-1050.
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A menudo no está garantizado el incremento significativo de la resistencia proveniente del tratamiento térmico ni e l contenido de la aleación. La falla por fatiga se reduce moderadamente mediante el incremento de la resistencia, y después solo a cierto nivel antes de que los efectos adversos en el límite de resistencia a la fatiga y la sensibilidad a la muesca comience a contrarrestar los beneficios de una resistencia mayor. Una buena práctica consiste en iniciar con un acero de bajo o medio carbono de bajo costo, como primer paso en los cálculos del diseño. Si las consideraciones de resistencia resulta dominar sobre la deflexión, entonces debe probarse un material con mayor resistencia, lo que permite que los tamaños del eje se reduzcan hasta que el exceso de deflexión adquiera importancia. El costo del material y su procesamiento debe ponderarse en relación con la necesidad de contar con diámetros de eje más pequeños. Cuando están garantizadas, las aleaciones de acero típicas para tratamiento térmico incluyen ANSI 1340-50, 3140-50, 4140, 4340, 5140 Y 8650. Por lo general, el acero estirado en frio se usa para diámetros menores a 3 pulgadas. El diámetro nominal de la barra puede dejarse sin manipular en áreas que no requieren el ajuste de los componentes. El acero laminado en caliente debe maquinarse por completo. En el caso de ejes grandes que requieren la remoción de mucho material, los esfuerzos residuales pueden tender a causar alabeo. Si la concentración es importante, puede ser necesario maquinar las rugosidades, después tratar térmicamente para remover los esfuerzos residuales e incrementar la resistencia, luego maquinar para el terminado y llegar a las dimensiones finales. Cuando se debe seleccionar el material, la cantidad que se producirá es un factor sobresaliente. Para pequeñas producciones, el torneado es el proceso más común. Un punto de vista económico puede permitir un método de conformado conservado de volumen (formado en caliente o en frio, fundición) y un mínimo de material en el eje puede convertirse en una meta de diseño. Se puede especificar el hierro fundido si la cantidad de producción es alta, y los engranes deberán fundirse de manera integral con el eje. Las propiedades del eje dependen localmente de su historia: trabajo en frio formado en frio, laminado en los rasgos del filete, tratamiento térmico, incluyendo el medio temple, agitación y régimen de templado. El acero inoxidable puede resultar apropiado para algunos entornos. 19
En tanto que en una superficie rolada en frío ciertas porciones pueden quedarse tal cual, excepto cuando se requiera maquinar hasta cierta dimensión para cojinetes, etcétera. Se pueden adquirir flechas de acero preendurecido (30HRC) o rectificado a precisión (recto) en dimensiones pequeñas y maquinarse con herramientas de carburo. También se dispone de flechas de precisión rectificadas totalmente localización angular endurecida (60HRC), pero éstas no pueden ser maquinadas. Sujetos sobre la flecha.
Herramientas Mecánicas con Flecha Flexible Con una flecha flexible es posible combinar la fuerza y el empleo de varias herramientas diferentes en una práctica unidad portátil. Con ella podrá tallar, perforar, lijar, rautear, bruñir, aserrar, ilustrar y esmerilar, empleando simplemente los accesorios necesarios, instalándolos en el mango que se encuentra al extremo de la flecha. Estas flechas flexibles se usan extensamente en la industria para operaciones tan pesadas como remover óxido e incrustaciones, esmerilar soldadura, lustrar grandes superficies de metal, y alisar piezas de fundición.
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De manera adicional el elemento flexible a ser desarrollado debe ser lo suficientemente flexible como para poder ser deformado por el torque que se transmitirá a través de 1; sin embargo, debe de ser lo suficientemente rígido para resistir la operaci6n continua del sensor así como los picos de torque producidos por los ciclos de combustión Consideraciones teóricas dentro del diseño del elemento Flexible Para poder Ilevar a cabo el diseño del elemento flexible se estudiaron los diversos comportamientos que los materiales presentan aI ser sometidos a un torque, debido a que el sensor de torque a ser desarrollado se encontrar6 girando constantemente, se decidi6 analizar con mayor enfasis los comportamientos que pudieran generar un desfase angular entre los extremos, de entrada y salida, del elemento flexible. Pues dicho cambio será m6s fácil de medir cuando el sensor se encuentre girando. Los fen6menos a los que se dedic6 la mayor atenci6n fueron los de torsión y flexión. ACOPLAMIENTOS FLEXIBLES ELASTOMÉRICOS El acoplamiento flexible elastomérico utiliza típicamente un elemento de plástico o hule que permite la
expansión térmica o el movimiento axial. El elemento
elastomérico es suficientemente resistente a la ruptura
por fatiga como para
proporcionar una vida útil aceptable en comparación con el costo del acoplamiento. La mayoría de los acoplamientos flexibles no utilizan lubricación, y reciben la carga en corte. Aunque no es tan común, los acoplamientos de diseño de horquilla y perno y de buje están diseñados para ser cargados en compresión
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Tolerancias dimensionales: definiciones Dimensión: Es la cifra que expresa el valor numérico de una longitud o de un ángulo. Dimensión nominal (dN para ejes, DN para agujeros). Es el valor teórico que tiene una dimensión, respecto al que se consideran las medidas límites. Dimensión efectiva (de para eje, De para agujeros): Es el valor real de una dimensión, determinada midiendo sobre la pieza ya construida. Dimensiones límites (máxima, dM para ejes, DM para agujeros / mínima, dm para ejes, Dm para agujeros): Son los valores extremos que puede tomar la dimensión efectiva. Desviación o diferencia: Es la diferencia entre una dimensión y la dimensión nominal. Diferencia efectiva: Es la diferencia entre la medida efectiva y la nominal. Diferencia superior / inferior: Es la diferencia entre la dimensión máxima / mínima y la dimensión nominal correspondiente. Definiciones Diferencia fundamental: Es una cualquiera de las desviaciones límites (superior o inferior) elegida convenientemente para definir la posición de la zona de tolerancia en relación a la línea cero. Línea de referencia o línea cero: Es la línea recta que sirve de referencia para las desviaciones o diferencias y que corresponde a la dimensión nominal. Tolerancia (t para ejes, T para agujeros): Es la variación máxima que puede tener la medida de la pieza. Viene dada por la diferencia entre las medidas límites y coincide con la diferencia entre las desviaciones superior e inferior. Zona de tolerancia: Es la zona cuya amplitud es el valor de la tolerancia. Tolerancia fundamental: Es la tolerancia que se determina para cada grupo de dimensiones y para calidad de trabajo.
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Ejemplo:
Representación de las tolerancias a) Con su medida nominal seguida de las desviaciones límites. 23
b) Con los valores máximo y mínimo c) Con la notación normalizada ISO. – Las unidades de las desviaciones son las mismas que las de la dimensión nominal. – El número de cifras decimales debe ser el mismo en las dos diferencias, salvo que una de
ellas sea nula. – Si los elementos afectados de tolerancia se representan con su medida nominal seguida
de las desviaciones límites se debe tener en cuenta: – La desviación superior siempre se coloca encima de la inferior, tanto en ejes como en
agujeros. – Si una diferencia es nula, se expresa sin decimales. – Si la diferencia superior es igual a la inferior cambiada de signo, se escribe solamente el
valor absoluto de las diferencias precedido del signo ± . – Los convenios son los mismos para las cotas lineales que para las angulares.
Calidad o índice de calidad • Es un conjunto de tolerancias que se corresponde con un mismo grado de precisión para
cualquier grupo de diámetros. Cuanto mayor sea la calidad de la pieza, menor será la tolerancia. • La norma ISO distingue dieciocho calidades (o dieciocho grados de tolerancia)
designados como IT01 IT0, IT1, IT2, ..., IT16,
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Ajustes • Ajuste: diferencia entre las medidas antes del montaje de dos piezas que han de acoplar.
Puede ser: • Ajuste móvil o con juego, • Ajuste indeterminado • Ajuste fijo o con apriete.
Juego • Juego (J): diferencia entre las medidas del agujero y del eje, antes del montaje, cuando
esta es Positiva dimensión real del eje < dimensión real del agujero. • Ajuste con juego o ajuste móvil : la diferencia entre las medidas efectivas de agujero y
eje resulta positiva • Juego máximo (JM): diferencia que resulta entre la medida máxima del agujero y la
mínima del eje. • Juego mínimo (Jm) es la diferencia entre la medida mínima del agujero y la máxima del
eje.
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Tolerancia del juego (TJ): la diferencia entre los juegos máximo y mínimo, que coincide con la suma de las tolerancias del agujero y del eje. • J = De - de > 0
JM = DM - dm Jm = Dm - dM TJ = JM - Jm = T + t
Aprieto • Aprieto (A): diferencia entre las medidas efectivas de eje y agujero, antes del montaje,
cuando ésta es positiva. Dimensión real del eje> dimensión real del agujero • Ajuste con aprieto o ajuste fijo: la diferencia entre las medidas efectivas de eje y agujero
resulta negativa • Aprieto máximo (AM): valor de la diferencia entre la medida máxima del eje y la mínima
del agujero. • Aprieto mínimo (Am): valor de la diferencia entre la medida mínima del eje y la máxima
del agujero • Tolerancia del aprieto (TA): diferencia entre los aprietos máximo y mínimo, que coincide
con la suma de las tolerancias del agujero y del eje. 26
• A = de - De > 0
AM = dM - Dm Am = dm - DM TA = AM - Am = T + t
Ejemplos. 1.-Un eje de 3” gira sobre un cojinete.la tolerancia para el eje y cojinete es 0.003” y la discrepancia requerida es .004”. Determinar el eje y el orificio del cojinete de acuerdo con el orificio normal básico. Solución. Orificio d= 3.000” d+ th= 3.003”
eje= d-a =2.996” d-ts-a= 2.993”
2.- un ajuste semiforzado sobre un eje de 3 pulg requiere una tolerancia de orificio de .009 pul y una interferencia media de .0015 pul. Dar las dimenciones aproximadas del eje y del orificio de acuerdo con el orificio normal básico. Solución: Orificio d= 3.0000” d+ th=3.0009”
eje d+i = 3.0015” d+i+ts= 3.0024”
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Ejes Análisis por resistencia: A) Bajo Cargas Estáticas En el análisis por resistencia estática de ejes, la mayor dificultad que se plantea es la de escoger cuál de las secciones transversales es la más desfavorable desde el punto de vista resistente. El procedimiento a seguir sería el siguiente: dibujar los diagramas de momento torsores, momentos flectores y esfuerzos axiales; seleccionar las secciones que pudieran ser las más desfavorables; calcular las tensiones por torsión, flexión y esfu erzo axial en
cada una de las secciones transversales seleccionadas; calcular la tensión alternante equivalente en dichas secciones; calcular el factor de seguridad estático en cada sección, y seleccionar el menor de los factores de seguridad obtenidos. Para la tensión equivalente, aplicando los criterios de Tresca y Von Mises, se obtiene:
teniendo en cuenta que M, N y T vendrán multiplicados por sus correspondientes factores de concentración de esfuerzos si el material es frágil y hay cambio de sección. Las expresiones anteriores de la tensión equivalente pueden servir también
para hacer
estimaciones del diámetro del eje para un determinado factor de seguridad estático; de todos modos, para su resolución es necesario el empleo de métodos numéricos. En el caso particular de que no haya esfuerzo axial, el diámetro se puede despejar:
Nótese, por último, que para el cálculo estático las tensiones normales por flexión y esfuerzo axial siempre se deben sumar, independientemente de que esta última sea de tracción o de compresión. El punto más cargado será aquel cuya tensión de flexión tenga
el mismo signo que el de la tensión debida al esfuerzo axial, pero el valor de la tensión máxima será siempre la suma de ambas.
Ejemplo: Determinar cuál es el torque que soporta un eje que ti ene las siguientes características: 28
d= 1.237pulg n= 1.6 Sy= 84000 psi M=1000 lb*in Se=16000 psi Donde: d= Diámetro del eje (pulg) n= Factor de diseño (adimensional) Sy=limite elástico de fluencia superior para acero (psi) T= Torque que soporta el eje (lb*in) M=Momento torsor sobre el eje (lb*in) Se=Límite de fatiga de la pieza (psi) Solución: despejamos el torque:
B) Bajo Cargas Dinámicas Las cargas dinámicas se distinguen de las estáticas por el hecho de originar modificaciones tanto en la magnitud de las tensiones como en las deformaciones a que dan lugar, afectando también la forma y límite de rotura de los materiales. En los materiales solicitados dinámicamente la deformación de rotura se reduce en forma considerable. Asimismo, las experiencias realizadas demuestran incrementos del límite de fluencia y de la tensión de rotura. Muchos materiales que frente a cargas estáticas tienen un comportamiento dúctil, en el caso de cargas dinámicas presentan un comportamiento frágil. Las cargas dinámicas producidas por el impacto de un cuerpo en movimiento 29
pueden originar en la estructura o en parte de ella efectos vibratorios. Si la carga dinámica se repite en forma periódica, y su frecuencia coincide con el período de vibración del elemento, éste puede entrar en resonancia. Cuando esto ocurre se originan deformaciones tan grandes que conducen al colapso de la estructura
Análisis por resistencia a la fatiga
El caso más general, con torsión, flexión y esfuerzo axial fluctuantes, constituye un caso de combinación de carga para el que únicamente es posible realizar cálculos a vida infiníta
manejando el diagrama de fatiga. Ahora bien, lo más habitual en un eje de transmisión es que la flexión sea alternante rotatoria, y la torsión y el esfuerzo axial constantes. En este caso, puesto que la tensión alternante sólo tiene componente de flexión, no hay
combinación de cargas, y por tanto es posible corregir el límite de fatiga y realizar cálculos a vida finita. Para este caso, las componentes media y alternante de la tensión son:
Donde j= 3 si se emplea el criterio de Von Mises y j = 4 si se emplea el de Tresca. Además, si el material es frágil y hay un cambio de sección, cadacomponente de la sección debe venir afectada de su correspondiente factor deconcentración de esfuerzos.
Aplicación del criterio de Von Mises
La aplicación del criterio de Von Mises al cálculo a fatiga de ejes de transmisión es más sencilla y más utilizada en la práctica que la del criterio de Tresca. El procedimiento es el habitual: calcular las componentes media y alternante de la tensión, incluir el factor de seguridad donde corresponda y sustituir en la ecuación del criterio de fallo elegido. Además de los criterios conocidos, se emplean en ocasiones otros similares, como el de Bagci, que se expresa como:
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o la elíptica de la ASME (American Society of Mechanical Engineers ), cuya ecuación es:
Aplicación del criterio de Tresca La aplicación del criterio de Tresca exige una consideración previa: en el caso que se está considerando, la tensión alternante es de flexión, mientras que la tensión media es la
composición de una tensión de cortadura, producida por la torsión, y otra normal, producida por el esfuerzo axial. Los respectivos tensores de tensiones son:
Las direcciones principales de ambos tensores son distintas y, por tanto, los planos de máxima tensión de cortadura serán también diferentes. Se habrá de determinar, así, el plano cuyas tensiones de cortadura media y alternante más se aproximen a la curva del criterio de fallo por fatiga que se esté considerando. Aquí se realizará un análisis simplificado válido solamente para los criterios lineales aplicando el criterio de Goodman.
La tensión de cortadura en el plano que forma un ángulo α con el eje se puede expresar
de la siguiente manera:
*
+ 31
Las tensiones de cortadura media y alternante en el plano son:
Cuando se maneja el criterio de Tresca para tensiones de cortadura, la ecuación de Goodman puede escribirse como:
cuya pendiente es -
. El punto de la curva descrita por los valores de
y
anteriores más próximo a la recta de Goodman será aquel cuya pendiente coincida con la de éste, de manera que habrá de cumplirse:
Las componentes media y alternante de la tensión cortante serán:
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√ Sustituyendo en la ecuación de Goodman y realizando ciertos cálculos, se llega a:
Para calcular la duración bastará con sustituir
por la tensión alternante equivalente
, despejar ésta y entrar con su valor en el diagrama de fatiga. En el caso más general,
en el que tanto el esfuerzo axial como los momentos flector y torsor tienen componentes
media y alternante, la expresión obtenida a partir de la ecuación de Goodman, mediante un procedimiento análogo al anterior, sería:
Ejemplo:
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