1. Opšti deo 1.1 Uvod Elektromotorni pogoni imaju važnu ulogu u svakodnevnom životu i u napretku čovečanstva. Preko polovine proizvedene električne energije u industrijski razvijenim zemljama se pretvara u mehaničku, bilo za potrebe transporta, bilo za proizvodne procese. U odnosu na druge vrste pogona elektromotorni pogoni imaju niz prednosti: • obuhvataju širok dijapazon snaga, počev od snaga ispod jednog vata (elektronski časovnici), pa do više stotina megavata (reverzibilne hidroelektrane); • obuhvataju širok dijapazon obrtnih momenata (preko 1000000Nm u valjaonicama) i brzina (preko 10000o/min kod centrifuga); • mogu se prilagoditi bilo kakvim radnim uslovima (prinudno hlađeni, potpuno zatvoreni, potopljeni, u eksplozivnoj atmosferi...); • ekološki su pozitivni (nema zapaljivog goriva, nema gasova, relativno mala buka); • spremni su za rad odmah i to na puno opterećenje; • zahtevaju veoma malo održavanja; • imaju veoma male gubitke praznog hoda; • imaju veoma visok stepen korisnog dejstva; • imaju sposobnost visoke kratkotrajne preopteretivosti; • lako se upravlja i to u širokom intervalu brzina bez potrebe za mehaničkim menjanjem prenosnog odnosa; • pri upravljanju mogu imati veoma brz dinamički odziv; • lako se menja smer obrtanja (reverziranje bez mehaničkih prenosnika); • imaju mogućnost kočenja sa rekuperacijom (regeneracijom) energije nazad prema izvoru napajanja; • imaju ravnomeran obrtni momenat i miran hod bez vibracija; • ne rade pod naročito visokom temperaturom, te su dugovečni; • mogući su različiti oblici, prilagođeni različitim potrebama montaže u radnim mašinama (npr. više manjih motora montiranih na mestima upotrebe umesto jednog većeg motora sa mehaničkim prenosnicima, motor sa rotorom sa spoljašnje strane, linearni motor umesto rotacionog...). Ovom nizu značajnih prednosti električnih pogona suprotstavljaju se samo dva veća nedostatka, ali su u određenim slučajevima i ona dovoljna da spreče ili bar ograniče njihovu upotrebu: • zavisnost od električnog napajanja; • mali odnos snage prema težini. Prvi nedostatak ograničava primenu električnih pogona u vuči. Ekonomski prihvatljiva akumulatorska baterija je još uvek oko 50 puta teža nego odgovarajuća količina goriva za motor sa unutrašnjim sagorevanjem. Najznačajniji elemenat elektromotornog pogona je naravno elektri čni motor. Međutim, u savremenim elektromotornim pogonima veliku ulogu igra i elektronika, i to dve njene grane: • energetska elektronika (engl.: power electronics), sa svojim tiristorima i snažnim tranzistorima, uz pomoć koje se vrši pretvaranje električne energije iz jednog oblika u drugi (npr. pretvaranje trofaznih naizmeničnih struja u jednosmernu i obrnuto) uz istovremeno kontrolisanje količine pretvorene energije (npr. radi regulacije brzine); 1
• upravljač ka elektronika (engl.: control electronics), sa svojim tranzistorima, integrisanim kolima, operacionim pojačavačima, logičkim kolima, mikroprocesorima, mikrokompjuterima, uz pomoć kojih se vrši upravljanje i regulacija pojedinih fizi čkih veličina (npr. brzine, momenta, položaja...), delujući na energetske pretvarače ili pobudne sisteme električnih mašina. Oblast elektromotornih pogona u sebi objedinjuje (i zahteva) znanja iz većeg broja različitih naučnih i tehničkih disciplina, kao što su: električne mašine, energetska elektronika, mehanika, matematika, elektronika, upravljanje sistemima, dinamički sistemi, itd.
1.2 Opšta struktura elektromotornog pogona Elektromotorni pogon je elektromehanički sistem koji se u opštem slučaju sastoji iz električnog motora (elektromotora, motora), energetskog pretvarača (konvertor, pretvarač ), mehaničkog prenosnog uređaja ( prenosnik ) i upravljačkog sistema (regulator u širem smislu), koji napajan iz nekog izvora električne energije (izvor ) služi za pokretanje izvršnih organa radnih mašina (opterećenja, tereta) i upravljanje tim pokretanjem.
Slika 1.1. Opšta struktura elektromotornog pogona Na slici 1.1 je prikazana strukturna šema opšteg elektromotornog pogona. U prvom redu se nalaze energetski elementi sa naznačenim normalnim tokom energije. Izvor električne energije predstavlja najčešće električnu mrežu, trofaznu ili monofaznu, niskonaponsku ili visokonaponsku, sa mrežnim transformatorom ili bez njega, obi čno sa prekidačima, osiguračima i drugim elementima za zaštitu, merenje, nadzor... To može biti i izvor jednosmernog napona, npr. akumulatorska baterija, generator jednosmerne struje ili kontaktni vod u električnoj vuči. Energetski pretvarač služi za pretvaranje energije iz izvora, kao i za njeno upravljanje.Pretvaranje ima za cilj da se određene karakteristične veličine ulazne energije (učestanost, napon, struja, broj faza...) pretvore u druge radi prilagođenju motoru, a doziranjem te energije se postiže upravljanje motorom (menjanjem napona, struje ili u čestanosti) i time određenim karakterističnim veličinama pogona, odnosno procesa (brzina, momenat, položaj, nivo, pritisak, temperatura...). U savremenoj tehnici pretvarač je elektronski (na bazi tiristora, snažnih tranzistora ili drugih poluprovodničkih prekidača), ali kod starijih pogona to može biti i 2
električni generator (Ward-Leonard-ova grupa), transformator sa promenljivim prenosnim odnosom, i dr. Kod neregulisanih pogona energetski pretvarač izostaje, ali se obično na njegovom mestu nalaze posebni ure đaji (otpornici, prigušnice, autotransformatori...) koji obezbe đuju pravilan polazak pogona. Kod sasvim starih pogona i upravljanje se vrši bez pretvarača, npr. redni otpornici sa kontaktorima, otpornici u rotorskom kolu asinhronog motora, delovanje na pobudu jednosmernog motora... Za ovaj elemenat pogona se često upotrebljava opšti termin aktuator . Električni motor je pretvarač električne energije u mehaničku. Kod neregulisanih pogona najčešća je upotreba asinhronih i sinhronih motora (za pogone velikih snaga). Kod regulisanih pogona dugo su vremena dominirali motori za jednosmernu struju, ali su u savremenoj tehnici, zahvaljujući razvoju pretvarača učestanosti, asinhroni i sinhroni motori postali ravnopravni sa njima. U pogonima se često koristi osobina električne mašine da može da pretvara energiju i u obrnutom smeru, tj. da može pod određenim uslovima da radi kao generator i vrši kočenje radne mašine. U tim slučajevima pojedini tokovi energije prikazani na slici 1.1 okre ću se u suprotnu stranu (od radne mašine preko prenosnika ka motoru). Ako to obezbe đuje tip energetskog pretvarača, taj povratni tok energije se može produžiti preko pretvarača sve do izvora, u kom slučaju se govori o generatorskom kočenju, odnosno kočenju sa rekuperacijom energije. Često je pretvarač takvog tipa da ne dozvoljava povratni tok energije (običan ispravljač). U tom slučaju se povratna mehanička energija pri kočenju mora pretvoriti u toplotu u samoj električnoj mašini ili u otpornicima koji se postavljaju između mašine i nerekuperabilnog pretvarača. Mehanički prenosnik služi za prenos i prilagođenje brzine, odnosno momenta, kao i vrste kretanaj koje motor predaje izvršnom organu radne mašine. Tu spadaju zupčasti i kajišni prenosnici sa fiksnim prenosnim odnosom (naj češće reduktori za smanjenje brzine i povećanje momenta), prenosnici sa promenljivim prenosnim odnosom (stepenasto, kao kod automobilskog menjača ili kontinualno), prenosnici rotacionog kretanja u translatorno (pužasti prenosnici), zamajci i drugo. U najjednostavnijem sluča ju prenosnik je zajedničko vratilo motora i radne mašine. Regulacioni sistem ili regulator u širem smislu, u savremenoj tehnici elektronski, analogni ili digitalni, služi za automatsko upravljanje pogonom, naj češće delujući svojim upravljačkim signalima na energetski pretvarač (strelica označena sa a na slici 1.1), ali ponekad i na sam motor ili na prenosnik. Ovaj sistem uzima informaciju o stanju pogona sa odgovarajućih mernih organa (senzora) preko povratnih veza, kao i od signala za zadavanje željenih vrednosti regulisanih veličina (referenci) (strelica označena sa b na slici 1.1) i obrađuje ih na osnovu određenih algoritama. Postoje pogoni bez regulatora, u kom se slučaju upravljanje vrši delujući direktno na energetski pretvarač (strelica a). Suprotno tome, regulacioni sistem pogona može biti podređen regulacionom sistemu koji upravlja grupom regulisanih pogona, u kom slučaju umesto reference (strelica b) treba zamisliti dejstvo nadređenog regulacionog sistema. U daljem tekstu će se pod pojmom upravljanje podrazumevati dejstvo na upravljivi pogon bez regulatora ili bez učešća regulatora, a pod pojmom regulacija dejstvo na upravljivi pogon preko automatskog regulacionog sistema.
1.3 Merne jedinice U literaturi se fizičke veličine i jednačine mogu izraziti na tri načina: • u međunarodnom sistemu jedinica (SI); 3
• u sistemu relativnih jedinica (PU – per unit system); • u nekom drugom sistemu jedinica. Sistem SI se podrazumeva i to se naj češće na naznačuje. Međutim, u slučajevima kada postoji mogućnost zabune, na početku, s leve strane teksta ili niza obrazaca, u ovom materijalu se upotrebljava uvodna oznaka [A:] (A za apslutno). U ovom sistemu oznaka svake veli čine koja ima fizičku dimenziju sadrži u sebi numeričku vrednost i odgovarajuću mernu jedinicu (U =220V). U sistemu relativnih jedinica oznaka fizi čke veličine sadrži u sebi odnos njene numeričke vrednosti prema unapred izabranoj baznoj vrednosti veli čine istih fizičkih dimenzija. Ako je u konkretnom slučaju data numerička vrednost, posle nje obično sledi oznaka r.j. (relativnih jedinica), na primer U =1,05 ili U =1,05r.j. znači U =231V ako je bazni napon U b=220V. Postupak prelaska iz sistema SI u sistem relativnih jedinica naziva se često normiranjem ili normalizacijom veličina, odnosno jednačina. U stranoj literaturi relativne jedinice se naj češće označavaju skraćenicom p.u. (per unit). U ovom materijali će normalizovane veličine biti obeležene podvlačenjem simbola (U =1,05) ili bez toga ako je to jasno iz konteksta. U slučaju kada postoji mogućnost zabune, na početku, s leve strane teksta ili niza obrazaca, u ovom materijalu se upotrebljava uvodna oznaka [N:] ( N za normalizovano). Neki drugi sistem jedinica upotrebljava se u ređim, pojedinačnim slučajevima koji su se toliko uobičajili u praksi da se ne mogu izbe ći. Tipični primeri su minuti i časovi za izražavanje vremena ili stepeni za izražavanje ugla. Za pogone je naročito karakteristično izražavanje uglovne brzine brojevima obrtaja u jedinici vremena umesto u radijanima u sekundi prema relaciji: 2π ω = 60 n (1.1) gde je ω izraženo u rad/s (prema SI) a n u ob/min.
2. Mehanika 2.1 Njutnova jednačina kretanja Iz mehanike je poznato (Njutnov zakon) da je kod translatornog kretanja tela mase M brzinom v izvod količine kretanja (proizvod Mv ) ravan algebarskom zbiru svih sila f koje deluju na to telo u pravcu kretanja: d (Mv) = ∑f i, (2.1) dt i Analogno tome kod rotacionog kretanja važi: d (Jω) = ∑mi, (2.2) dt i gde je J momenat inercije tela koje se obr će, ω uglovna brzina obrtanja, a mi jedan od obrtnih momenata koji deluju na telo koje se obr će. Kod elektromotornih pogona radi se obično o rotacionom kretanju, a dejstvo na kretanje se može prikazati kao dejstvo dva me đusobno suprotstavljena momenta, pa se iz 2.2. dobija tzv. Njutnova jednačina kretanja: dω dJ J + ω = me - mm , (2.3) dt dt 4
gde je me električni momenat (pogonski, elektromagnetni, motorni, unutrašnji momenat, momenat koverzije), a mm mehanički momenat (otporni, kočni, spoljni, momenat opterećenja, momenat radne mašine). Najčešće ovi momenti zavise od brzine ω i vremena t , ali mogu zavisiti i od položaja rotora prema statoru. Električni momenat me se može izraziti i kao funkcija električnih i magnetnih veličina motora. Član sa izvodom momenta inercije se javlja veoma retko, tako da se naj češće ne uzima u obzir. Trenje u samom motoru, ako nije zanemarivo, često se izdvaja iz mehaničkog momenta mm i uzima da je proporcionalno, bar u određenom intervalu brzina, brzini na određeni stepen x , to , gde je K konstanta trenja. jest da iznosi K ω x
Ako je x=1 jednačina kretanja dobija izgled diferencijalne jedna čine prvog reda: dω J + Kω = me - mm , (2.4) dt koja zadovoljava većinu praktičnih potreba. Ako mehanički momenat zavisi od ugla θ ovoj jednačini je potrebno dodati i jednačinu: dθ = ω. (2.5) dt
2.2 Momenat inercije Momenat inercije kod rotacionog kretanja igra ulogu mase kod translatornog kretanja. U praksi se ova veličina izražava na više načina i u različitim mernim jedinicama. 2.2.1 Prvi način Pošto se u osnovi radi o analogiji između translatornog i rotacionog kretanja može se najpre definisati inercijalna sila kod translatornog kretanja kao: dv f a = M , (2.6) dt i inercijalni momenat kod rotacionog kretanja kao: dω ma = J . (2.7) dt Ove jednačine predstavljaju u stvari leve strane jednačina (2.1) i (2.2) ako su M i J konstantni. Ako se sada posmatra kruto telo mase M koje se obr će oko vertikalne osovine ugaonom brzinom ω (slika 2.1) svaki elemenat tog tela, mase dM , obr će se po svom krugu polupre čnika r , brzinom: v = r ω (2.8) i imaće inercijalnu silu: dv dω df a = dM = rdM , (2.9) dt dt odnosno inercijalni momenat: dω dma = rdf a = r 2dM . (2.10) dt Pošto je ω zajedničko za sve elemente mase, ukupni inercijalni momenat celog tela može se izraziti kao u jednačini (2.7) ako se momenat inercije definiše kao: 2 J = ⌠ ⌡r dM.
(2.11)
M
Ako je telo homogeno, to jest ako je: dM = ρdV, gde ρ specifična masa, a dV elemenat zapremine tela, biće:
(2.12)
5
2 J = ρ⌠ ⌡r dV.
(2.13)
V
Momenat inercije homogenog tela je jednak integralu podintegralne funkcije u (2.13) sračunatom za celu njegovu zapreminu V , pomnoženim sa ρ .
Slika 2.1. Momenat inercije 2.2.2 Drugi način Ako se u jednačinu kretanja (2.4) uvedu relativne vrednosti momenta i brzine prema: ω m mrel = ; ωrel = , (2.14) Mb ωb gde su M b i ω b unapred izabrane bazne vrednosti momenta i brzine (obično nominalne), dobija se: dω [N:] Tm + Bω = me - mm , (2.15) dt gde je: Jωb Kωb Tm = ;B= . (2.16) Mb Mb Veličina T m koja ima dimenziju vremena (sekunde), stoji umesto momenta inercije i zove se mehani čk a vremenska konstanta. 2.2.3 Treći način U američkoj literaturi se često pojavljuje pojam konstante inercije H umesto momenta inercije kao odnos kinetičke energije tela koje se obr će baznom brzinom prema baznoj snazi: Jωb/2 H= . (2.17) Pb Konstanta inercije ima dimenziju vremena (sekunde). Ako se uzme da je P b=ω bM b dobija se jednostavno: Tm = 2H (2.18)
2.3 Svođenje momenta inercije Ako je električni motor spregnut sa obrtnim masama radne mašine preko mehaničkih prenosnika kojim se prilagođava brzina motora brzini radne mašine, efektivni momenat inercije 6
nije prost zbir momenata inercije rotora motora i obrtnih delova radne mašine, već se mora najpre izvršiti svođenje momenta inercija radne mašine na vratilo motora. Na slici 2.2 je šematski prikazan prenosnik u vidu dva točka različitih poluprečnika (r 1 i r 2) koji se dodiruju i, okrećući se oko svojih centara, prenose kretanje sa jednog na drugi bez klizanja i bez mrtvog hoda. Stoga linearna brzina u tački dodira (v ) mora biti zajednička: v = r 1ω1 = r 2ω2, (2.19) gde su ω 1 i ω 2 ugaone brzine pojedinih točkova. Takođe sila (f ) u tački dodira mora biti zajednička.
Slika 2.2 Svođenje momenta inercije Neka levi točak pripada motoru sa pogonskim momentom me i momentom inercije J 1, a da desni pripada obrtnim masama radne mašine sa momentom inercije J 2. Neka su opterećenje i trenje jednaki nuli, radi jednostavnosti. Tada za motor važi jednačina kretanja: dω1 J1 + r 1f = me . (2.20) dt S druge strane mora biti: dω2 r 2f = J2 . (2.21) dt Eliminacijom ω2 iz (2.21) primenom (2.19) i sile f iz (2.20) primenom (2.21) dobija se sledeća jednačina kretanja: dω1 Jek = me , (2.22) dt gde je: 2 2 r 1 ⎞ ⎛ ω2 ⎞ ⎛ Jek = J1 + ⎜ ⎟ J2 = J1 + ⎜ ⎟ J2. (2.23) ⎝ r 2 ⎠ ⎝ ω1 ⎠ J ek je ekvivalentni momenat inercije pogona sveden na vratilo motora. Momenat inercije obrtnih masa radne mašine, pre dodavanja momentu inercije motora, množi se sa kvadratom donosa brzina i to tako što se pri redukovanju brzine momenat inercije efektivno smanji i obrnuto.
2.4 Snaga i energija Kada se jednačina kretanja (2.4) pomnoži brzinom snaga pogona:
ω dobija se jednačina bilansa mehaničkih 7
d ⎛ Jω2 ⎞ ⎟. pe = pm + Kω + ⎜ (2.24) dt ⎝ 2 ⎠ Ovaj jednačina kazuje da je mehani čka snaga pe=ω me koja se dobija posle elektromehaničke konverzije električne energije u elektromotoru jednaka snazi pm=ω mm koju uzima opterećenje, , samo onda kada se brzina ne menja. U suprotnom mora uvećanoj za gubitke usled trenja K ω2 se dodati član koji odgovara izvodu kineti čke energije (Jω2/2) koja se nagomilava ili je nagomilana u obrtnim masama. 2
To dalje znači da je za svako povećanje brzine potrebno uložiti dodatnu energiju od strane motora radi povećanja kinetičke energije. Pri smanjenju brzine doga đa se obrnut proces: odgovarajuća količina kinetičke energije se mora utrošiti na gubitke ili inverznom elektromehaničkom konverzijom pretvoriti u električnu energiju.
3. Statika Pod statikom se u ovom slučaju podrazumeva ponašanje pogona u ustaljenom stanju. U narednom delu teksta će biti izloženi opšti pojmovi i osnovne karakteristike tog ponašanja.
3.1 Jednačina kretanja u ustaljenom stanju U ustaljenom stanju su brzina i momenat konstantni, pa se jednačina kretanja, zanemarujući trenje ili ga uračunavajući u momenat opterećenja, svodi na jednakost: me = mm. (3.1) Međutim, postoje pogoni kod kojih je opterećenje periodična funkcija ugla (pogon sa klipnim kompresorom). U tom slučaju je stacionarno stanje dostignuto onda kada su srednje, a ne trenutne vrednosti konstantne.
3.2 Mehaničke karakteristike Pod statičkom mehaničkom karakteristikom se podrazumeva zavisnost momenta od brzine u ustaljenom stanju, data u analitičkoj ili grafičkoj formi. Postoje mehaničke karakteristike motora: me = f e(ω), (3.2) i mehaničke karakteristike opterećenja: mm = f m(ω). (3.3) Na slici 3.1 su prikazane tri tipične mehaničke karakteristike električnog motora: sinhrona (a), asinhrona ili otočna (b) i redna (c).
8
Slika 3.1 Tipične mehaničke karakteristike elektromotora: sinhrona (a), asinhrona ili otočna (b) i redna (c) Sinhrona karakteristika se odlikuje potpunom nezavisnošću električnog momenta od brzine, kao što je slučaj kod sinhronog motora. Kod asinhrone karakteristike brzina malo opada se povećanjem opterećenja. Ovu osobinu ima jednosmerni motor sa nezavisnom pobudom (kriva b, desno od tačke A). Istu osobinu ima i asinhroni motor, ali samo ispod odre đene vrednosti momenta (radni deo karakteristike, desno od tačke A); iznad toga momenat dostiže maksimum i sa smanjenjem brzine se smanjuje. Redna karakteristika se odlikuje jakom zavisnoš ću momenta od brzine, karakterističnom po tome što je na širokom opsegu brzina snaga pe=ω me približno konstantna. Zbog toga njena grafička predstava ima hiperboličnu formu. Ovakvu zavisnost ima jednosmerni motor sa rednom pobudom. Na slici 3.2. su prikazane tri tipične mehaničke karakteristike opterećnja: (a) linearna, (b) ventilatorska i (c) gravitaciona. Kod linearne karakteristike momenat opterećenja raste linearno sa brzinom (valjaonice). Ventilatorska karakteristika je takođe monotono rastuća funkcija, približno sa kvadratom brzine (centrifuge, ventilatori, centrifugalne pumpe). Kod gravitacione karakteristike momenat opterećenja ne zavisi od brzine (vertikalni transporteri, liftovi).
Slika 3.2 Tipične mehaničke karakteristike opterećnja: (a) linearna, (b) ventilatorska i (c) gravitaciona
3.3 Kvadranti Električni pogoni mogu biti predviđeni za rad u jednom ili u oba smera brzine, sa mogućnošću električnog kočenja (generatorski rad) ili bez te mogućnosti.
9
Slika 3.3 Kvadranti Rad pogona prikazan grafički u ravni momenat-brzina može obuhvatiti sva četiri kvadranta ove ravni ili samo neke od njih. Pošto proizvod momenta i brzine predstavlja snagu, u svakom kvadrantu ove ravni je smer snage odre đen (slika 3.3). U ravni me-ω neparnim kvadrantima odgovara pozitivna, a parnim negativna snaga. Pozitivna snaga zna či pretvaranje električne snage u mehaničku, a negativna obrnuto. U zavisnosti od vrste motora i drugih elemenata pogona, pre svega vrste energetskog pretvarača, mehaničke karakteristike se mogu protezati po jednom, dva ili četiri kvadranta.
3.4 Aktivno i reaktivno opterećenje Mehanička karakteristika opterećenja može biti aktivna i reaktivna. Aktivna karakteristika nastaje dejstvom spoljnih sila, kao što je zemljina teža ili vetar. Ona obično ne zavisi od smera obrtanja niti od brzine, pa se proteže kroz I i II kvadrant ravni me-ω , kao što je prikazano pravom (a) na slici 3.4. Reaktivna karakteristika je posledica reakcije radne mašine na pokretanje (trenje). Ovakva karakteristika se proteže kroz I i III kvadrant (karakteristike (b), (c), (d) na slici 3.4). U ovakvim slučajevima je snaga uvek istog smera: promenom smera obrtanja se menja i smer otpornog momenta.
10
Slika 3.4. Aktivna (a) i reaktivne (b, c, d) karakteristike opterećenja Kod pojedinih pogona mehani čka karakteristika opterećenja može biti kombinovana. Na slici 3.5. je prikazana karakteristika jednog krana, u kojoj se superponira momenat usled zemljine teže (tačka A) i momenat usled trenja. U prvom kvadrantu motor daje snagu (momenat i brzina su pozitivni) i teret se diže. U drugom se teret spušta (brzina negativna), momenat zbog dejstva gravitacije ostaje pozitivan, pa snaga menja smer (kočni režim). Međutim, pod uticajem trenja, da bi brzina spuštanja prešla određenu vrednost (tačka B) mora se ponovo preći u motorski režim, to jest u treći kvadrant.
Slika 3.5.
3.5 Radna tačka i stabilnost Jednakost električnog i mehaničkog momenta (izraz 3.1) u ustaljenom stanju grafički je izražena tačkom gde se presecaju karakteristike motora i optere ćenja na dijagramu koji prikazuje ova
11
dva momenta u funkciji brzine (slika 3.6). Ova ta čka se zove radna tačka pogona. Na slici 3.6 presek karakteristike motora i radne mašine u tački A, pokazuje radnu tačku tog pogona.
Slika 3.6. Stabilna (A i B) i nestabilna (C) radna tačka Međutim, ne pokazuje svaka prese čna tačka stabilno ustaljeno stanje. Na drugoj karakteristici se javlja još jedna tačka. B predstavlja stabilnu radnu tačku dok C predstavlja nestabilnu, jer bi i malo povećanje brzine zbog povećanja me i smanjenja mm uslovilo dalje povećanje brzine, dok bi malo smanjenje brzine uslovilo njeno dalje smanjenje. Nasuprot ovome, kod radnih tačaka A i B malo povećanje brzine dovodi do smanjenja me i povećanja mm. što dovodi do smanjenja brzine, i obrnuto. Uslov stabilnosti u ustaljenom stanju se može izraziti i analitički. Posmatra se linearizovana jednačina kretanja u okolini radne tačke ω 1. (neka je K=0) d∆ω J + a∆ω = 0, (3.4) dt gde je ∆ω =ω -ω 1, a ⎛ ∂mm ⎞ ⎛ ∂me ⎞ a=⎜ (3.5) ⎟ω - ⎜ ⎟ω .
⎝ ∂ω ⎠
1
⎝ ∂ω ⎠
1
razlika u nagibima tangenata na krivu me i mm u presečnoj tački. Rešenje ove diferencijalne jednačine, uz početni priraštaj brzine ∆ω (0) glasi: t Tm ∆ω(t) = ∆ω(0)e , (3.6) gde je T m=J/a mehanička vremenska konstanta.Pošto je stabilnost obezbe đena ako priraštaj brzine ∆ω(t) u jednačini 3.6 vremenom nestane, uslov stabilnosti, s obzirom da je momenat inercije J uvek pozitivan, glasi: a>0 (3.7) to jest da bi presečna tačka predstavljala stabilnu radnu tačku, nagib (tangens ugla) tangente na krivu mm u toj tački mora biti veći od nagiba tangente na krivu me. Ako je tako posle svakog malog poremećaja i izletanja iz radne tačke radno stanje će se vratiti u radnu tačku po eksponencijalnoj funkciji sa vremenskom konstantom T m.
12
