DINÁ MICÁ DINÁ Parte II. Cinemática de cuerpos rígidos
v
A B
θ
θ
b
b
Ramón Lobato Silva José Manuel Rabelo Miranda 0
C
DINÁMICA
UNIDAD II. CINEMÁTICA DE CUERPOS RÍGIDOS
CLASE 13
UNIDAD 2. CINEMÁTICA DE CUERPOS RÍGIDOS UNIDAD 2. CINEMÁTICA CINEMÁTICA DE CUERPOS RÍGIDOS ............................................ RÍGIDOS ........................................................................ ............................ 1 2.1 Tipos de movimiento de un cuerpo rígido ............................................................................. 2 2.2 Traslación Tras lación .................................................... ........................................................................................................... ........................................................................... .................... 2 2.3 Rotación .................................................................................. ........................... ...................................................................................................... ............................................... 6 2.4. Movimiento absoluto...................................................... ........................................................................................................... ..................................................... 18 2.5. Análisis de velocidades ....................................................................................................... .......................................................... ............................................. 24 2.6. Análisis de aceleraciones .................................................................................................... 37 2.7 Análisis de velocidades y aceleraciones: ejes en rotación…………………………………45
Un cuerpo rígido puede ser considerado como un sistema de un número infinito de partículas cuyas distancias relativas permanecen sin cambios a pesar de someter el cuerpo a cargas. En este capítulo se deducirán las ecuaciones que describen el movimiento de los cuerpos rígidos y se explicará cómo dichas ecuaciones se aplican a problemas específicos.
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DINÁMICA
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CLASE 13
UNIDAD 2. CINEMÁTICA DE CUERPOS RÍGIDOS UNIDAD 2. CINEMÁTICA CINEMÁTICA DE CUERPOS RÍGIDOS ............................................ RÍGIDOS ........................................................................ ............................ 1 2.1 Tipos de movimiento de un cuerpo rígido ............................................................................. 2 2.2 Traslación Tras lación .................................................... ........................................................................................................... ........................................................................... .................... 2 2.3 Rotación .................................................................................. ........................... ...................................................................................................... ............................................... 6 2.4. Movimiento absoluto...................................................... ........................................................................................................... ..................................................... 18 2.5. Análisis de velocidades ....................................................................................................... .......................................................... ............................................. 24 2.6. Análisis de aceleraciones .................................................................................................... 37 2.7 Análisis de velocidades y aceleraciones: ejes en rotación…………………………………45
Un cuerpo rígido puede ser considerado como un sistema de un número infinito de partículas cuyas distancias relativas permanecen sin cambios a pesar de someter el cuerpo a cargas. En este capítulo se deducirán las ecuaciones que describen el movimiento de los cuerpos rígidos y se explicará cómo dichas ecuaciones se aplican a problemas específicos.
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DINÁMICA
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CLASE 13
2.1 Tipos de movimiento de un cuerpo rígido Un cuerpo rígido es un sistema de puntos materiales o partículas, la distancia entre los cuales no varía durante el proceso del movimiento. Los cuerpos reales se pueden considerar rígidos, si su deformación es despreciablemente pequeña en las condiciones del problema que se examina. Se distinguen cinco tipos de movimientos de un cuerpo rígido: 1) traslación; 2) rotación alrededor de un eje fijo; 3) movimiento plano general; 4) rotación alrededor de un punto fijo; 5) movimiento general tridimensional. Los problemas de la cinemática cinemática del cuerpo rígido se dividen en dos partes: 1) Definición del movimiento y estudio de las características cinemáticas del movimiento del cuerpo completo. 2) Estudio del movimiento de cada punto de cuerpo por separado
2.2 Traslación Movimiento de traslación es el movimiento de un cuerpo rígido en el que cualquier recta trazada en este cuerpo se desplaza paralelamente pa ralelamente a sí misma.
B
A
O 2
O 1
Las propiedades del movimiento de traslación se determinan por el siguiente teorema: durante el movimiento de traslación de un cuerpo todos sus puntos describen trayectorias congruentes (es decir, que se puede hacer coincidir con otra mediante traslados paralelos) de acuerdo con la misma ley de movimiento y sus velocidades y aceleraciones son geométricamente iguales.
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DINÁMICA
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CLASE 13
Demostración: Primero consideremos la idea del movimiento relativo de dos partículas. y
y A
A y
r A/O
r A/O
r A/B B
B
r B/O O
r A/B x
r B/O O
x
Dos partículas en movimiento en un plano
x
Dos partículas en movimiento y dos sistemas de coordenadas
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗
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DINÁMICA
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CLASE 13
Ahora consideremos el caso de dos puntos que pertenecen a un cuerpo rígido en movimiento de traslación. z
B B 1 1
r B O
A
r A
A 1 y
x
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗
De la definición de cuerpo rígido,
⃗ ⃗
Como resultado, se tiene:
⃗
, es decir, los módulos y las direcciones de las velocidades de
los punto A y B del cuerpo son iguales para todo instante. Asimismo, al tomar de nuevo las derivadas, se encuentra:
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ Por consiguiente, los módulos y las direcciones de las aceleraciones de los puntos A y B del cuerpo también son iguales para todo instante.
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DINÁMICA Problema 1.
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CLASE 13
El mecanismo que se muestra en la siguiente figura consta de cinco elementos
móviles: las barras OA, DC y BE , la placa rectangular y el collarín deslizante unido a la guía fija FG. Estos elementos están unidos entre sí por seis articulaciones planas, dos fijas en O y D y
cuatro móviles en A, B, C y E . Si en la posición mostrada la barra OA gira alrededor de O con rapidez angular de 10 s-1 en el sentido antihorario y con una aceleración angular uniforme cuyo módulo decrece a razón de 1 s-2, determine el tipo de movimiento que tiene cada elemento del mecanismo. F
α OA
30 ωOA
O
30°
A
H
B
E
40
30
4
C
G 3
Acotaciones en cm D
30°
Solución:
Elemento:
Tipo de movimiento:
Barras OA y DC Rotación (excéntrica) en torno a un eje fijo Collarín E
Traslación rectilínea
Placa rectangular Traslación curvilínea Barra BE
Movimiento general en el plano.
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DINÁMICA
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CLASE 13
2.3 Rotación Se llama movimiento de rotación del cuerpo sólido un movimiento tal que dos puntos cualesquiera de este cuerpo (o puntos ligados invariablemente con éste) permanecen inmóviles durante todo el tiempo que dura el movimiento. La recta AB que pasa por los puntos inmóviles A y B se llama eje de rotación.
Consideremos un cuerpo rígido que gira alrededor de un eje fijo A A’ . Sea M un punto de dicho
⃗
cuerpo y su vector de posición con respecto a un sistema de referencia fijo
. Por
conveniencia, el origen del sistema de referencia está en el eje A A’ y el eje z coincide con AA’ , como se muestra en la figura (a). Durante el movimiento del cuerpo, el punto M se mueve a lo largo de una trayectoria circular, sobre un plano perpendicular al eje de rotación, con centro en B
y de radio
, donde
⃗
es el ángulo entre el eje AA’ y .
La posición de M y del cuerpo rígido está definida completamente por el ángulo entre el plano xy y la línea BM . El ángulo se conoce como coordenada angul ar del cuerpo y se toma como
positiva cuando el cuerpo gira en sentido antihorario si se ve desde A’ . La coordenada angular se mide en radianes (rad) aunque también se puede expresar en grados (rev).
o en revoluciones
z
a
A
b
A
k ˆ
B
B
l
l M k ˆ
O
r
i
ˆ
x
O
r j
ˆ
A
y
A
6
M v
DINÁMICA
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⃗⃗ ⁄ ⃗ ̇ ̇ ⃗⃗ ̇ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ̇ ( ̇)
Sabemos que la velocidad de M ,
⁄ módulo es
CLASE 13
es un vector tangente a la trayectoria de M y su
Si el cuerpo gira un pequeño ángulo
durante un intervalo de tiempo
, el punto M recorre un pequeño arco de longitud
ambos lados de la igualdad anterior entre velocidad resulta como:
̇
, dividiendo
y tomando el límite cuando
el módulo de la
Donde denota la derivada de la coordenada angular respecto al tiempo t. Si recordamos que el módulo de un producto vectorial módulos por el seno del ángulo entre los vectores,
es igual al producto de los
podemos concluir que el vector
velocidad del punto M debe ser resultado del producto vectorial entre los vectores
y
como se muestra en la figura (b), es decir,
El vector
que está dirigido a lo largo del eje de rotación se denomina velocidad angular del cuerpo y su magnitud es igual a la razón de cambio de la coordenada angular
El sentido de
se
obtiene aplicando la regla de la mano derecha y considerando el sentido de rotación del cuerpo. La velocidad angular se mide en radianes / (unidad de tiempo) o 1/(unidad de tiempo), porque el radián es una magnitud adimensional, generalmente se emplea el
o (1/s), aunque también
se puede expresar en revoluciones por minuto (rpm).
Derivando (1) respecto a t obtenemos la aceleración del punto M :
el vector
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ̇ ̈
se denomina
aceleración angu lar del cuerpo y suele ser denotado como:
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DINÁMICA
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⃗
CLASE 13
El vector aceleración angular está dirigido a lo largo del eje de rotación del cuerpo, su sentido
puede ser el mismo de la velocidad angular o el contrario y su magnitud es igual a la segunda derivada, respecto al tiempo, de la coordenada angular del cuerpo
̈
La aceleración
angular caracteriza el cambio de la velocidad angular con respecto al tiempo y se mide en radianes/ (unidad de tiempo)2 , como unidad de medida se emplea generalmente rad/s2 (o 1/s2). A
A
Movimiento de Rotación Acelerada
Movimiento de Rotación Retardada
A
A
⃗
El sentido de coincide con el de cuando el cuerpo tiene movimiento de rotación acelerado y es contrario al de si el movimiento de rotación es retardado. Considerando (1) y (3), la aceleración del punto M se expresa finalmente como:
⃗⃗⃗ ⃗
Dado que el punto M puede estar situado a una distancia h del eje de rotación, de la ecuación (1) concluimos que la magnitud de la velocidad de cualquier punto del cuerpo rígido en rotación es igual al producto de la velocidad angular del cuerpo por la distancia h entre este punto y el eje de rotación:
̇ v
C
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DINÁMICA
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CLASE 13
⃗
De acuerdo con la ecuación (4), el vector aceleración de la partícula M es igual a la suma de dos vectores:
El primer vector
⃗⃗
que según la regla de la mano derecha, es tangente a la
⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ ̈ ⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ̇ √ √ √ ̈ ̇
circunferencia descrita por la partícula M , por lo tanto
es igual a la aceleración
tangencial:
El segundo vector
es perpendicular a
y está dirigido hacia el centro B
de la circunferencia descrita por el punto M , por consiguiente
es igual a la
aceleración normal:
Por último, la magnitud de la aceleración total del punto M será:
z
A
B
a
h
O
M
B
r
an
x
A
a t
M
y
Rotación uniforme
Si durante todo el tiempo del movimiento la velocidad angular del cuerpo queda constante (ω = constante), la rotación del cuerpo se llama uniforme. La definición de la derivada dice
que dθ = ωdt . De aquí, considerando que en el instante inicial cuando t = 0 y el ángulo θ = tomando las integrales de la parte izquierda entre 0 y θ y de la derecha entre 0 y t , se obtiene: θ = ωt
9
0
y
DINÁMICA
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CLASE 13
De la igualdad anterior se deduce también, que en el caso de rotación uniforme:
En la práctica, la velocidad de rotación uniforme se determina frecuentemente por el número de revoluciones por minuto representando esta magnitud por n rev/min. Hallemos la dependencia entre n rev/min y
ω
1/s. Al hacer una revolución el cuerpo gira el ángulo 2π y después de n
revoluciones 2πn; esta rotación se efectúa en un tiempo t = 1min = 60 s. De la igualdad se deduce
que:
Características cinemáticas y el carácter de movimiento Fórmula general e o d t n n i e ó i m c i a v u o c E m
d a d i c o l e V
Movimiento de un punto
Movimiento uniforme Movimiento con aceleración constante Fórmula general Movimiento uniforme Movimiento con aceleración constante
l a e n i L
Unidad de medida n ó i c a r e l e c A
Fórmula general Movimiento uniforme Unidad de medida
l a i c n e g n a T
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Movimiento de rotación de un cuerpo
r a l u g n A
r a l u g n A
[] []
DINÁMICA Problema 2.
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CLASE 13
Un árbol que gira a n = 90 rpm después de desconectar el motor adquiere
movimiento uniformemente retardado y se detiene al cabo de revoluciones efectuadas por el árbol durante este tiempo.
11
. Determinar el número de
DINÁMICA Problema 3.
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CLASE 13
La barra en ángulo recto gira a través del punto O alrededor del eje z con una
aceleración angular α = 3 rad/s2 en la dirección mostrada. Determine la velocidad y aceleración del punto P cuando la velocidad angular alcanza el valor de ω = 2 rad/s.
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DINÁMICA Problema 4.
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CLASE 13
Las dos poleas de correas trapezoidales forman un conjunto único que gira
alrededor de O. En cierto instante, el punto A de la correa de la polea pequeña lleva una velocidad v A = 1.5 m/s y el punto B sobre la correa de la polea grande posee una aceleración a B = 45 m/s2,
tal como se indica en la figura. Para ese instante, determine el módulo de la aceleración punto C y dibujar el diagrama vectorial correspondiente.
del
Solución:
Para este caso, al ser un problema ubicado en el plano, se puede hacer uso de las ecuaciones escalares de la velocidad y la aceleración en sus componentes normal y tangencial, que son:
Recordando que h es la distancia entre cualquier punto y el eje de rotación, se puede obtener velocidad angular del sistema, que es común para todos los puntos, de la siguiente manera:
Por lo que:
De manera similar, mediante la expresión de la aceleración tangencial, es posible encontrar la aceleración angular, que también es común a todos los puntos del sistema:
13
DINÁMICA
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Por lo tanto:
CLASE 13
Así, estos valores de la velocidad y aceleración angular se utilizan para obtener las componentes normal y tangencial de la aceleración para el punto C :
*+ *+ √ *+
Finalmente, se obtiene el módulo de la aceleración:
Diagrama vecorial del la aceleración de C :
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DINÁMICA Problema 5.
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CLASE 13
La figura representa un reductor de velocidad a base de correas de poleas
trapezoidales, en el que la polea A arrastra a las dos poleas solidarias B, a su vez arrastran a la polea C . Si a parte del reposo en el instante t = 0 y recibe una aceleración angular constante α1, deducir las expresiones de la velocidad angular de C y el módulo de la aceleración de un punto P de la correa, ambas para un instante t .
Solución:
Mediante las expresiones escalares de la velocidad y la aceleración normal y tangencial, que son:
Como se puede observar de la figura, la velocidad lineal en C es igual la velocidad lineal en la polea pequeña de B, igualmente, la velocidad de la polea grande de B, es igual a la velocidad lineal de A, por lo que se puede expresar lo siguiente:
Despejando ω B, se tiene:
Despajando ωC y sustituyendo el valor de ω B, se puede decir que:
Se puede realizar algo similar relacionando ahora la aceleración tangencial:
Si se despaja α B :
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DINÁMICA
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CLASE 13
Despajando αC y sustituyendo el valor de α B, se expresa:
Además, la velocidad angular de la polea A se puede expresar en términos de la aceleración angular, así:
Así, para obtener la aceleración del punto P, sustituimos los valores encontrados en las ecuaciones de la aceleración normal y tangencial expresadas al inicio, lo que resulta:
Por lo que al obtener el módulo de la aceleración, se tiene:
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DINÁMICA
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CLASE 13
Tarea Problema 6. El diseño de una unidad de reducción por engranaje se encuentra bajo revisión. El
engrane B gira en sentido horario con una velocidad de 300 rpm cuando un par es aplicado al engrane A en el instante t = 2 s para darle al engrane A una aceleración angular en sentido
antihorario , la cual varía con el tiempo en un intervalo de 4 segundos, como se muestra en la gráfica. Determine la velocidad N B del engrane B cuando t = 6 s.
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DINÁMICA
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CLASE 14
2.4. Movimiento absoluto En este planteamiento se emplean las relaciones geométricas que definen la configuración de los cuerpos que intervienen en el problema y, seguidamente, se derivan respecto al tiempo esas relaciones geométricas al objeto de obtener velocidades y aceleraciones. Cuando se trata del movimiento de cuerpos rígidos, en las relaciones geométricas definitorias aparecen medidas tanto lineales como angulares y, por tanto, las derivadas temporales de esas cantidades comprenden velocidades tanto lineales como angulares. Para resolver problemas de cinemática de cuerpos rígidos, el método del movimiento absoluto resulta muy sencillo y eficaz con tal que la configuración geométrica se preste a una descripción matemática que no sea excesivamente complicada. Problema 7.
Al punto A se le da una aceleración constante a hacia la derecha iniciando del
reposo cuando x es cero. Determine la velocidad angular ω del eslabón AB en términos de x y a.
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DINÁMICA Problema 8.
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CLASE 14
Encontrar la aceleración del vástago B para θ = 60° si la manivela OA tiene una
̈
̇
aceleración angular = 8 rad/s2 y una velocidad angular = 4 rad/s en esa posición. El resorte hace que no se pierda el contacto entre el rodillo y la cara del émbolo.
19
DINÁMICA Problema 9. La
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CLASE 14
barra OB se desliza por el collarín articulado en A a la manivela giratoria. Si CA
posee una velocidad angular ω = 3 rad/s durante un intervalo de su movimiento, calcular la velocidad angular de OB cuando θ = 45°.
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DINÁMICA Problema 10.
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CLASE 14
El mecanismo biela – manivela es uno de los mecanismos más comunes. Expresar
la velocidad angular ω AB de la biela AB en función del ángulo de la manivela θ para una rapidez constante ω0. Tomar ω AB y α AB positivos en sentido antihorario.
Solución:
Esquema auxiliar Al analizar el esquema auxiliar, se puede observar que:
̇ ̇ ̇ ̇ ̇
Derivando la expresión anterior, resulta:
De esta forma, se obtiene que:
Del enunciado del problema y de la figura, se expresa: De la fórmula básica de la trigonometría, se sabe que: Así, de la relación geométrica inicial:
21
DINÁMICA
UNIDAD II. CINEMÁTICA DE CUERPOS RÍGIDOS
Por lo tanto:
̇ ̇ ( ̇ ) ( ̇ ) ̈ ̇ ̇
Al sustituir los datos anteriores en la ecuación de ω AB , el resultado es:
Al realizar la segunda derivada de la relación geométrica inicial, se obtiene:
̈
Al despejar :
̇ ̇ ̈ ̈ ⁄
22
CLASE 14
DINÁMICA
UNIDAD II. CINEMÁTICA DE CUERPOS RÍGIDOS
CLASE 14
Tarea Problema 11. En
un mecanismo diseñado para convertir el movimiento lineal a movimiento
angular, el cilindro hidráulico proporciona al pasador en A una velocidad descendente constante v
para un instante de tiempo. Determine la aceleración angular de las barras ranuradas en
términos de .
v
A B
θ
θ
b
b
23
C
DINÁMICA
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CLASE 15
2.5. Análisis de velocidades Por movimi ento plan o general (o movimiento planoparalelo ) se entiende el movimiento del cuerpo rígido durante el cual todos sus puntos se desplazan paralelamente a un plano fijo P (figura a). M
y
y B
S
S
M A
x
O
y A P
O
x A
x (b)
(a)
Muchas piezas de mecanismos y máquinas efectúan un movimiento plano general durante su funcionamiento, por ejemplo, la rueda de un vehículo cuando éste se desplaza en un camino recto, la biela de un mecanismo de movimiento alternativo, etc. El movimiento de rotación del cuerpo rígido es un caso particular del movimiento plano general. Examinemos la sección S del cuerpo situada en un plano Oxy paralelo al plano P . Si el cuerpo efectúa movimiento plano general, todos los puntos situados en el segmento rectilíneo MM perpendicular a la sección S se mueven de un modo idéntico. Por eso, para estudi ar el movimi ento de todo el cuerpo r ígido es suf iciente estudiar el movim iento de la sección
S en
el
plano O x y . En lo sucesivo haremos coincidir el plano Oxy con el plano del dibujo y en vez del
cuerpo entero representaremos solamente su sección S (una figura plana). La posición de la sección S en el plano Oxy se determina por la posición de un segmento cualquiera AB trazado en esta sección (figura b). A su vez, la posición del segmento AB puede ser determinada si se conocen las coordenadas x A , y A del punto A y el ángulo formado por el segmento AB y el eje x .
24
DINÁMICA
UNIDAD II. CINEMÁTICA DE CUERPOS RÍGIDOS
CLASE 15
Al punto A , elegido para determinar la posición de la sección S , lo llamaremos polo . Durante el estudio del movimiento se puede escoger como polo a cualquier punto del cuerpo. Examinemos dos posiciones sucesivas I y II que ocupa la sección S del cuerpo en movimiento en los instantes t 1 y t1 t , como se muestra en la figura siguiente. y
B 2
B1
S
B1
S A1
I
I I
A 2 x
O
La sección S puede ser llevada de la posición I a la posición II del modo siguiente:
Primero se traslada el cuerpo de manera que el polo A llegue a la posición A2 (el segmento A1B1 ocupará la posición A2 B1 ).
Luego se gira la sección alrededor del polo A2 un ángulo .
Del mismo modo se puede mover el cuerpo de la posición II a la posición II I y así sucesivamente. De lo anterior se puede concluir que el movimiento plano general de un cuerpo r ígido se compone de un movimi ento de tr aslaci ón, cuando todos los pun tos del cu er po se mueven de la mi sma maner a que el polo
A
, segui do de un movim iento de r otación al r ededor de este polo .
Entonces, las pr incipales características cinemáti cas del movimiento plano general son:
La velocidad y la aceleración del movimiento de traslación, iguales a la velocidad y la aceleración del punto escogido como polo.
La velocidad angular y la aceleración angular del movimiento de rotación alrededor del polo. 25
DINÁMICA
UNIDAD II. CINEMÁTICA DE CUERPOS RÍGIDOS
CLASE 15
Determi naci ón de las veloci dades de los pun tos del cuerpo.
Demostremos que, durante el movimiento plano general, la velocidad v M de todo punto M del cuerpo es igual a la suma vectorial de la velocidad v A , del polo A , más la velocidad v M / A que tendría el mismo punto M si el cuerpo estuviera solamente girando alrededor de polo A . En efecto, la posición de todo punto M de la sección S del cuerpo, medida respecto a un sistema de referencia fijo OX Y , está dada por la relación: r M rA r M / A ,
----------------------------------
(1)
donde r A es la posición del polo A y r M / A es la posición relativa del punto M con respecto al polo A (figura c). y
Y
M
r M / A
r A
J ˆ
O
S
x
r A X I ˆ
c
Nótese que el vector de posición relativa r M / A se mide respecto al sistema de referencia Axy que se encuentra fijo en el polo A y se traslada junto con el polo. Derivando (1), v M
dr dr dr dr A M / A vA M / A . dt dt dt dt
---------------------
(2)
Pero la velocidad de cualquier punto de un cuerpo rígido en movimiento de rotación pura se expresa como v M / A r M / A . Entonces concluimos que dr M / A r M / A vM / A ---------------------------dt
y por consiguiente, de la ecuación (2), 26
(3)
DINÁMICA
UNIDAD II. CINEMÁTICA DE CUERPOS RÍGIDOS
v M v A vM / A .
CLASE 15
-----------------------------
(4)
En este caso, v M / A es la velocidad relativa del punto M respecto al polo A , considerando como si el único movimiento del cuerpo fuera el de rotación alrededor del polo. La velocidad relativa v M / A es perpendicular al vector r M / A y su módulo de se determina como: v M / A rM / A r M / A .
En resumen: la velocidad de todo punto otro punto cualquiera
A
M del
----------------------------------
(5)
cuerpo es la suma vectorial de la veloci dad de
tomado como polo y l a velocidad qu e tendr ía el pu nto
M si
el úni co
movimi ento del cuer po fuera el de rotación alr ededor del polo . El módulo y la dirección de la
velocidad v M se determinan mediante la construcción del paralelogramo correspondiente como se muestra en la figura. v M
v M / A v A M
S
v A A
Teorema sobre las proyecciones de las velocidades de dos puntos del cuerpo.
Aplicar directamente la ecuación (4), para determinar las velocidades de los puntos de un cuerpo rígido en movimiento plano general, suele implicar cálculos muy complicados. Sin embargo, en base a este resultado fundamental [ecuación (4)] se pueden deducir métodos más cómodos y más simples para resolver el mismo problema. Uno de tales métodos lo proporciona el teorema siguiente: las proyecciones de las velocidades de dos puntos del cuerpo rígido sobre la r ecta que un e estos pun tos, son i guales .
27
DINÁMICA
UNIDAD II. CINEMÁTICA DE CUERPOS RÍGIDOS
CLASE 15
Examinemos dos puntos cualesquiera A y B de un cuerpo rígido. v B
v B / A v A
A
v A
B
Tomando el punto A como polo obtenemos que, según la ecuación (4), v B vA vB / A . De aquí, proyectando ambos miembros de la igualdad sobre la línea AB y teniendo en cuenta que el vector v B / A es perpendicular a la línea AB , hallamos: v B cos v A cos .
-------------------------------
(6)
Con esto el teorema queda demostrado. Con ayuda del teorema demostrado se puede hallar fácilmente la velocidad de un punto de interés del cuerpo, si son conocidas la dirección del movimiento de ese punto y la velocidad de otro punto cualquiera del mismo cuerpo. Determi naci ón de las veloci dades de los pun tos del cuerpo por medio del centro instantáneo de velocidades.
Se llama centr o i nstantáneo de veloci dades al punto de la sección S del cuerpo, cuya velocidad en el instante dado es igual a cero. Es evidente que si el cuerpo no tiene movimiento de traslación, tal punto existe en cada instante t y además es único. Por ejemplo, para una rueda de bicicleta que se pone a girar cuando la bicicleta está colgada de una estructura, el centro de la rueda tiene velocidad cero y así se mantiene durante el movimiento. Por lo tanto, el centro instantáneo de velocidades de la rueda es su centro geométrico.
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DINÁMICA
UNIDAD II. CINEMÁTICA DE CUERPOS RÍGIDOS
CLASE 15
Demostremos la existencia de dicho centro para el caso general. Supongamos que los puntos A y B del cuerpo, situados en la sección S tienen, en un instante t , velocidades v A y v B no
paralelas entre sí, como se muestra en la siguiente figura. v A
S
A B h A
y
h A PA
h B
hB
PB
v B
P
b
a
En este caso, el punto P , situado en la intersección de la perpendicular Aa al vector vector
⃗ ⃗ ⃗ ⃗
⃗ ⃗
, será el centro instantáneo de velocidades, porque
contrario
⃗ ⃗
y la Bb al
. En efecto, supongamos lo
, entonces según el teorema sobre las proyecciones de las velocidades de los
puntos del cuerpo, el vector a BP (porque
debe ser al mismo tiempo perpendicular a AP (porque
), lo cual es imposible. Por lo tanto
.
)y
Demostrada la existencia del centro instantáneo de velocidades, podemos sacarle provecho de la siguiente manera: si en el instante t se toma como polo al punto P , entonces, según la ecuación (4), la velocidad de A será igual a v A vP vA / P 0 vA / P vA / P . Un resultado análogo se obtiene para cualquier otro punto del cuerpo. En conclusión, la velocidad de todo punto del cuer po que se encuentr a en la sección r otaci ón al rededor del centr o in stantáneo de veloci dades
P .
S es igual
a su veloci dad de
Ahora, según la ecuación (5), para
el mismo instante, v A hA
.
v B hB
29
----------------------------------
(7)
DINÁMICA
UNIDAD II. CINEMÁTICA DE CUERPOS RÍGIDOS
CLASE 15
De las igualdades (7) se deduce que: v A vB , h A hB
------------------------------------
(8)
es decir, las veloci dades de los pun tos del cuerpo son pr oporci onal es a sus distanci as al centr o instantáneo de velocidades .
Los resultados obtenidos nos llevan a las conclusiones siguientes: 1. Para determi nar el centro i nstantáneo de velocidades es suf iciente conocer las
direcciones de las velocidades sección
S del
v A y v B de
dos puntos cualesqui era
A
y
B de
la
cuerpo (o l as trayectori as de estos puntos). El centro instantáneo de
velocidades se encuentra en el punto de intersección de las perpendiculares trazadas desde los puntos A y B a las velocidades de estos puntos (o a las tangentes a sus trayectorias). 2. Para determinar la velocidad de cualquier pu nto del cuerpo hace fal ta conocer el
módulo y la di r ección de la velocidad de un punto de la velocidad de otr o punto
B . En
A
del cu erpo asícomo la dirección
este caso, después de trazar desde los puntos A y
B las perpendiculares a las velocidades v A y v B construimos el centro instantáneo de
velocidades P y según el sentido de v A determinamos la dirección de rotación del cuerpo. Luego, conociendo v A , determinamos valiéndonos de la ecuación (8) la velocidad v M de un punto cualquiera M del cuerpo. El vector v M está dirigido perpendicularmente
a PM en el sentido de la rotación del cuerpo. 3. L a velocidad angul ar del cuerpo, como nos muestran la ecuaciones (7), es igu al en cada instante dado a la relaci ón de la veloci dad de un pun to cualqui era de la sección r especto a su distanci a al centro instantáneo
v B . h B
P :
--------------------------------------
30
S
(9)
DINÁMICA
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CLASE 15
Hallemos una expresión más para la velocidad angular . De las ecuaciones (4) y (5) se deduce que v B / A vB vA y v B / A hB , de donde
v B vA v B vA . h B hB
---------------------------
(10)
Cuando v A 0 (es decir, el punto A es el centro instantáneo de velocidades), la ecuación (10) se transforma en la ecuación (9). Las igualdades (9) y (10) determinan la misma magnitud pues la rotación de la sección S alrededor del punto A o del punto B se efectúa con la misma velocidad angular .
31
DINÁMICA
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CLASE 15
Problema 12. Hallar la velocidad del punto M de la llanta de una rueda de radio R que se rueda
sin deslizar por un riel rectilíneo, como se muestra en la figura (i ). La velocidad del centro C de la rueda es vC y el ángulo DPM es igual a . D
D
v D
v M M
M
C
v C
C
v C E
v K
K P
P
i
ii
32
v E
DINÁMICA
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CLASE 15
El movimiento horizontal del vástago del émbolo del cilindro hidráulico controla la rotación de la barra OB alrededor de O. Para el instante representado, v A = 2 m/s y OB es horizontal. Problema 13.
a) Determine la velocidad angular ω de OB para ese instante, mediante el método de la velocidad relativa. b) Resolver el problema utilizando el método del centro instantáneo de rotación.
33
DINÁMICA
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CLASE 15
Problema 14. Se presentan los elementos integrantes de un mecanismo.
a) Encontrar la velocidad angular del brazo AC cuando la manivela motriz OB cruza el eje y con una velocidad angular de ωOB = 0.5 rad/s si ese instante tan θ = 4/3. b) Para las mismas condiciones anteriores, encontrar nuevamente la velocidad angular del brazo AC utilizando ahora el método del centro instantáneo de rotación.
34
DINÁMICA
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CLASE 15
Tarea Problema 15. Para la posición x = 75 mm la barra OA posee una velocidad angular de 2 rad/s.
a) Determine la velocidad del cursor B, por el método de la velocidad relativa. b) Determine la misma velocidad con el método del centro instantáneo de rotación.
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DINÁMICA
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Problema 16. La
CLASE 15
barra AB se mueve a la izquierda a 0.3 m/s: La barra CE sólo puede moverse
verticalmente, lo que restringe al punto C en el eslabón BD a moverse también en dirección vertical,
émbolo P.
en el instante ilustrado,
y
36
. Determine la rapidez del
DINÁMICA
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CLASE 16
2.6. Análisis de aceleraciones Determin ación de las aceleracion es de los pun tos del cuerpo.
⃗
Demostremos que, durante el movimiento plano general, la aceleración
⃗
cuerpo es igual a la suma vectorial de la aceleración
de todo punto M del
⃗
, del polo A, más la aceleración
que
tendría el mismo punto M si el cuerpo estuviera solamente girando alrededor de polo A. Nuestro punto de partida son las ecuaciones (3) y (4)
Y
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ ( ⃗)
Derivando (4),
Pero
y
, entonces el vector
aceleración del punto M resulta como:
De acuerdo con la expresión para la aceleración de cualquier punto de un cuerpo en rotación pura [Ec. (4), sección 2.4], podemos apreciar que los dos últimos términos en el lado derecho de (11) serían la aceleración del punto M siempre y cuando el único movimiento del cuerpo fuera el de rotación alrededor del polo A. Por lo tanto, la aceleración del punto M se puede expresar como:
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ ( ⃗)
donde,
En resumen, la aceleración de cualquier punto
M
del cu erpo es la suma vector ial de la
aceleración de otro pu nto cual quier a A tomado como pol o y la aceleraci ón qu e tendr ía el punto M si el úni co movimi ento del cuerpo f uera el de rotación alr ededor del polo. El módulo
37
DINÁMICA
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CLASE 16
⃗
y la dirección de la aceleración se determinan mediante la construcción del paralelogramo correspondiente como se muestra en la figura.
a M
a M / A
a A
a A
M
h M
AM
rM / A
h M
A
⃗
Sin embargo, la determinación de con ayuda del paralelogramo representado en la figura h complica un poco el cálculo, porque hará falta calcular previamente el ángulo , entre la dirección de y , y luego el ángulo entre los vectores y . Por eso, es más
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗
cómodo reemplazar el vector por sus componentes tangencial donde [según las Ecs. (6) y (7), sección 2.4]
El vector
está dirigido perpendicularmente a
está siempre
⃗ ⃗ 38
,
en el sentido de rotación, si está
acelerada, y en el sentido contrario cuando la rotación es retardada; el vector dirigido del punto M hacia el polo A.
Entonces, en vez de la ecuación (12) obtendremos:
y normal
DINÁMICA
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El mecanismo que se muestra en la figura consta de los cinco elementos móviles siguientes; las barras OA, DC y BE , la placa rectangular y el collarín deslizante unido a la guía fija FG. Estos elementos están unidos entres sí, como lo indica la figura por seis articulaciones planas, dos fijas en O y D y cuatro móviles en A, B, C y E . Problema 17.
Si en la posición mostrada la barra OA gira alrededor de O con una rapidez angular de 10 s-1 en el sentido antihorario y con una aceleración angular uniforme cuyo módulo decrece a razón de 1 s-2, determine: a) El tipo de movimiento que tiene cada elemento del mecanismo. b) La rapidez y el módulo de la aceleración del collarín E . c) La velocidad y la aceleración del punto medio H de la barra BE . F
α OA
30 ωOA
O
30°
A
H
B
E
40
30
4
C
G 3
Acotaciones en cm
D
30°
39
DINÁMICA
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CLASE 16
Problema 18. Determine
la velocidad y aceleración lineales de la corredera A y la velocidad y la aceleración angulares de la barra AB cuando θ = tan-14/3, si ωOB = 4 rad/s, constante. Resolver mediante álgebra vectorial.
Solución:
Esquema auxiliar
Análisis de las velocidades
Se plantea la siguiente ecuación de la velocidad relativa del punto A:
Donde:
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ̂ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗
Es necesario, conocer los vectores de posición que se encuentran en las ecuaciones anteriores, los cuales pueden ser expresados de la siguiente forma: 40
DINÁMICA
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CLASE 16
⃗ ̂ ̂ ̂ ̂ ⃗ ̂̂ ⃗ ̅ ̂ ̂ ̅ ̂̂ ̅ √ ̅ ⃗ ̂̂ ̂ ̂ ⃗ ⃗ | |̂̂ * + ̂ ̂ ⃗ ⃗ | |̂ ̂ *+ ̂ ̂̂ ̂ ̂
Con base en el esquema auxiliar y aplicando el Teorema de Pitágoras, se tiene:
Por lo tanto:
Se realizan los cálculos de cada uno de los términos de la ecuación de la velocidad de A:
Sustituyendo los valores obtenidos en la ecuación de la velocidad de A, resulta:
Al igualar los coeficientes en cada uno de los vectores unitarios, se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones lineales simultáneas:
*+ ⃗ ̂ *+
Resolviendo el sistema, da como resultado:
En expresión vectorial, son:
41
DINÁMICA
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CLASE 16
Análisis de aceleraciones.
De forma similar al caso del análisis de velocidades, se plantea la ecuación de la aceleración:
⃗ ⃗ (⃗ ) (⃗ ) ⃗ ̂ ⃗ ⃗ ( ⃗) ⃗ ̂̂ * + ̂ ̂ ( ⃗)| |̂̂ * + (⃗) ( ⃗) ̂ ̂ ⃗ | |̂̂ * + ̂ ̂ ( ⃗)| |̂ ̂ * + (⃗) ⃗ ⃗ ̂ ̂ ⃗ | |̂ ̂ *+ ⃗ ⃗ (⃗ ) (⃗ ) ̂ ̂̂ ̂̂ ̂ ̂
Además, como el punto B en su movimiento realiza una trayectoria circular, entonces:
Además:
Para el caso de la aceleración tangencial de A respecto de B, se puede plantear la siguiente expresión:
Sustituyendo los valores encontrados, se tiene:
42
DINÁMICA
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CLASE 16
Igualando los términos en los vectores unitarios, resulta el siguiente sistema de ecuaciones lineales simultáneas:
*+ ⃗ ̂ *+ ⃗
Al resolver el sistema, se obtiene:
Los valores anteriores expresados vectorialmente, son:
43
DINÁMICA
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CLASE 16
Tarea Problema 19. El centro O de la rueda en movimiento sobre un riel rectilíneo, como se muestra en la figura (i), en un instante dado, tiene la velocidad y la aceleración . El radio de la rueda es . Determinar la aceleración del punto B, extremo del diámetro AB
perpendicular a OP , y la aceleración del punto P que coincide con el centro instantáneo de velocidades.
A
a0
O v0
B
v0
P
P
i
ii Respuestas:
*+ *+
44
a0
O
A
B
DINÁMICA
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CLASE 16
2.7 Análisis de velocidades y aceleraciones: ejes en rotación
En la clase que trató sobre el movimiento relativo, se desarrollaron las ecuaciones cinemáticas para el movimiento en el espacio de un punto material relativo a ejes en traslación y rotación. Dichas relaciones pueden aplicarse directamente al caso de un cuerpo rígido en el que el origen del sistema xyz en traslación sea cualquier punto B conveniente del cuerpo y en el que el punto A sea algún otro punto fijo del cuerpo. El cuerpo tiene una velocidad angular absoluta en el instante considerado. Las expresiones de la velocidad y aceleración relativas desarrolladas en la clase para el movimiento relativo de dos puntos A y B, son:
⃗ ⃗ ⃗
⃗ ⃗ ⃗
Figura 1 Al aplicar estas relaciones al movimiento de un cuerpo rígido se observa que la distancia AB permanece constante. Así, para la posición de un observador en xyz , A parece girar alrededor del punto B. En consecuencia, el movimiento general puede considerarse como una traslación del cuerpo con el movimiento de B más una rotación del cuerpo respecto a B. Los términos del movimiento relativo representan el efecto de la rotación en torno a B y son iguales a las expresiones de la velocidad y de la aceleración para la rotación de un cuerpo rígido y de una línea en torno a un punto fijo. Por tanto, las ecuaciones de la velocidad y la aceleración relativas serán:
⃗ ⃗ ⃗ 45
DINÁMICA
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⃗ ⃗ ⃗⃗ ( ⃗)
CLASE 16
Donde es la velocidad angular instantánea del cuerpo.
La selección del punto de referencia B es totalmente arbitraria en teoría. En la práctica, el punto B se toma, por conveniencia, sobre cierto punto del cuerpo cuyo movimiento se conoce total o parcialmente. Si se toma como punto de referencia el punto A, las ecuaciones del movimiento relativo quedan en la forma:
⃗ ⃗
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ ( ⃗) ⃗
Donde . Debe quedar claro que y, por tanto, son los mismos vectores en una y otra formulación puesto que el movimiento angular absoluto del cuerpo es independiente de la elección del punto de referencia. Una formulación más general del movimiento de un cuerpo rígido en el espacio exige el empleo de ejes de referencia que giren al mismo tiempo que se trasladan. La descripción de la figura 1 se modifica en la figura 2 mostrando ejes de referencia ligados al punto B, como antes, pero que giran con una velocidad angular absoluta . La velocidad angular absoluta del cuerpo es .
En la clase sobre el movimiento relativo se desarrollaron las relaciones que describen el movimiento relativo de un punto A desde una posición en rotación que se mueve con un punto B y se repiten aquí sustituyendo por la velocidad angular de los ejes de referencia xyz en rotación, en vez de .
1. 2. 3. 4. 5.
⃗ ⃗ ⃗ ⃗
⃗ ⃗ ⃗ ⃗
es la velocidad absoluta del punto de interés A con respecto a las coordenadas XYZ . es la velocidad absoluta del origen del sistema xyz escogido.
es la velocidad angular del sistema xyz con respecto al sistema XYZ escogido. localiza el punto de interés en el sistema xyz. es la velocidad del punto de interés relativa al sistema de coordenadas xyz .
46
DINÁMICA
1.
2. 3. 4. 5. 6.
⃗ ̇ ⃗ ⃗ ⃗
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⃗ ⃗ ̇ ⃗ ( ⃗) ⃗ ⃗
CLASE 16
es la aceleración absoluta del origen del sistema de coordenadas móvil xyz .
es la aceleración angular del sistema de coordenadas xyz con respecto a XYZ . es la velocidad angular del sistema xyz con respecto al sistema XYZ escogido. localiza el punto de interés en el sistema xyz. es la velocidad del punto de interés relativa al sistema de coordenadas xyz . es la aceleración del punto de interés relativa al sistema de coordenadas xyz
⃗
La magnitud de que se caracteriza por el cambio del vector de la velocidad relativa en el movimiento de arrastre y del vector de la velocidad de arrastre en el movimiento relativo se llama aceleración de Coriolis del punto. El movimiento de arrastre que se menciona es el movimiento que efectúa el sistema de referencia móvil xyz y todos los puntos espaciales ligados permanentemente con él, respecto del sistema inmóvil OXYZ.
Figura 2
47
DINÁMICA
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CLASE 16
Problema 20. En
la posición mostrada, la manivela BC gira con una velocidad angular constante de 4.25 rad/s en sentido horario, y su pasador en B está restringido a moverse en la ranura del eslabón OD. a) Determinar para esta posición la velocidad angular ωOD del eslabón OD y la velocidad v B/OD del pasador en B relativa al eslabón OD. b) Haciendo uso del sistema de referencia en rotación, determinar, para la posición mostrada, αOD del eslabón OD y la aceleración a B/OD del pasador B relativa al eslabón OD.
Solución:
a) Para resolver el problema, se fija el eje OXYZ en el punto O y el eje Oxyz se asocia en el eslabón OD, como se muestra en la siguiente figura. Se tiene que ω BC = - 4.25 rad/s (sentido horario) y vC = 0, entonces:
48
DINÁMICA
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⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ( ) ⃗ | | ⃗ *+ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗
CLASE 16
La velocidad angular de Oxyz es:
Si se aplica la ecuación:
Que en la terminología del problema planteado, sería:
El sistema de referencia xyz es un sistema móvil que sólo gira, pero no se traslada, además, el origen de los dos sistemas de coordenadas, tanto el fijo como el móvil comparten el origen en el punto O, por lo que:
⃗ ̇
Mientras que los otros dos términos de la ecuación, resultan como:
̂ ̂ ⃗ ̂ | | ̂ ⃗ ̂ ⃗ ̂ ⃗ ̂ ̂
La velocidad de B obtenida, se puede proyectar en el marco de referencia fijo XYZ , con base a las siguientes conversiones de vectores unitarios surgidas de la relación geométrica en el instante mostrado:
̂ ̂ 49
DINÁMICA
Así:
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CLASE 16
⃗ ⃗ ⁄ ⁄ * + *+
Igualando esta velocidad de B con la obtenida anteriormente, se tiene:
De esta manera, surge un sistema de ecuaciones lineales:
Al resolver el sistema, se tiene:
Sustituyendo el valor obtenido en la primera ecuación, resulta:
b) Conservando la ubicación de los sistemas de referencia, y haciendo uso de los datos obtenidos anteriormente se tiene:
50
DINÁMICA
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⃗ ̂̂ * + ⃗ ⃗
Se puede plantear la siguiente ecuación:
⃗ ⃗ (⃗ ) (⃗ ) ⃗ ⃗ (⃗) ( ⃗) ⃗ ⃗ (⃗) ⃗ ⃗ ( ⃗)( ) ( ) | | 51
CLASE 16
DINÁMICA
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CLASE 16
⃗ ( ) | | ⃗ ⃗ ⃗ ̇ ⃗ (⃗ )⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ̇ ⃗ (⃗ )⃗ ⃗ ⃗ ̇ ⃗ ̂ ⃗ ⃗ ̂ ̇ ⃗ | ̂ ̂ | ̂ ( ⃗) ( ⃗) ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ⃗ ()̂ | |̂ ⃗ ̂ ̂ ̂ ̂ ⃗ ( )̂ ̂
Ahora con el uso de la ecuación general de la aceleración, que es:
Escribiendo la ecuación anterior en términos del problema, se puede expresar:
Donde:
Se procede a realizar los cálculos pertinentes:
Así, sustituyendo los valores obtenidos en la ecuación general, se tiene:
Agrupando los términos, resulta:
La aceleración obtenida se puede proyectar en el plano XYZ , con base a las siguientes conversiones de vectores unitarios surgidas de la relación geométrica en el instante señalado: 52
DINÁMICA
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̂ ̂ ⃗ ( ) ⃗ ( ) ( )
CLASE 16
Igualando los términos de la ecuación recién obtenida con la ecuación de la aceleración de B obtenida anteriormente, se obtiene un sistema de ecuaciones lineales simultáneas:
⁄ *+ *+
Resolviendo el sistema de ecuaciones, da como resultado:
Sustituyendo el valor obtenido, se tiene:
53