UNIDAD I. Fundamentos de Procesos Estocásticos

Unidad I. Fundamentos de Procesos Estocásticos Experimento Aleatorio - Distribuciones Procesos Estocásticos 2-2016 UNEFA-Núcle UNEFA-Núcleo o Trujillo Todos Todos los fenómenos que ocurren en l nturle! son determinísticos o aleatorios "no determin#sticos$% es &or ello que result necesrio estudir este ti&o de fenómenos' son que quell llos os fenóm enómen eno os cu(os u(os Fenómenos os Determiníst Determinísticos: icos: son • Fenómen resul resultd tdos os &odemo &odemos s &rede &redecir cir de ntem ntemno% no% &or ejem&l ejem&lo) o) si suelto suelto el l&icero que ten*o en l mno% se &uede &redecir con tod certe! que cerá +ci ,jo de,ido  l le( de *redd' son tod todos quell uello os fenóm enómen eno os cu(os u(os Fenómenos os Aleatorios Aleatorios:: son • Fenómen resultdos no &odemos &redecir con certe!% &or ejem&lo) no s,emos con certe! cuál será el número *ndor de l loter# de Nidd% ni que número   &recer cundo lnce un ddo' En PR!E"" estudirá rán n todos todos quell quellos os fenómen fenómenos os PR!E"" E"#!$"#I!" E"#!$"#I!" se estudi leto letorio rios s "no determ determin# in#sti sticos cos o estocá estocásti sticos cos$' $' A contin continuc ución ión se de.nen de.nen l*unos conce&tos ,ásicos/

I. !%!EP#" &$"I!" '.- E(PERI)E%#: es culquier situción en l que eiste un conjunto de resultdos &osi,les' Por ejem&lo) un com&etenci o un jue*o% un crrer de c,llos% un otción'

'.'.- Experimento Aleatorio e.nición 1/ conjunto de &rue,s reli!ds ,jo ls misms condiciones ( cu(os resultdos son im&redeci,les' im&redeci,les' e.nición 2/ se llm e&erimento letorio  l e&resión ( o,serción de fenómenos no determin#sticos o letorios' Por ejem&lo/ ln!r un ddo &r o,serr cuál de los seis números &rece% scr un fósforo de un cj que contiene 2 &r eri.cr si se &rende o n o' 3os rs*os que distin*uen  los e&erimentos letorios son/ Todos los resultdos del e&erimento son conocidos con nterioridd  su • Todos reli!ción' • No se &uede &redecir el resultdo del e&erimento' • El e&erimento &uede re&etirse en condiciones id4ntics'

*.- E"PA!I )UE"#RA+: es el conjunto de todos los resultdos &osi,les de un e&erimento letorio' 5e denot con l letr *rie*  o l letr 758' Este es&cio muestrl &uede ser un conjunto .nito% in.nito numer,le% in.nito no numer,le' Tm,i4n se &uede clsi.cr en/ • iscreto/ es quel cu(o resultdo &uede &onerse en un corres&ondenci uno  uno con el conjunto de los números nturles N% &or ejem&lo) re*istrr el seo de un reci4n ncido% ln!r un moned +st que &re!c cr'

Unidad I. Fundamentos de Procesos Estocásticos Experimento Aleatorio - Distribuciones Procesos Estocásticos 2-2016 UNEFA-Núcle UNEFA-Núcleo o Trujillo 9ontin inuo uo// quel quel cu(o cu(os s resul result tdo dos s cons consis iste ten n de un inte inter rlo lo de los los • 9ont números reles% &or ejem&lo% re*istrr cuánto tiem&o dur funcionndo un ,om,illo% tiem&o que trd un tlet en recorrer 100 metros &lnos' cd &osi &osi,l ,le e resul result tdo do de un e&e e&eri rime ment nto o ,.- PU%# PU%# )UE"#R )UE"#RA+: A+: es cd conce& conce&tu tull "el djeti djetio o 7conce 7conce&tu &tul8 l8 eclu eclu(e (e situc situcion iones es tles tles como como 7l &ro,,ilidd &ro,,ilidd de que mi noi me quier8$' Ejem&los/ • Arrojr un moned un e!' :( dos &untos mu estrles/ ;"cr% sello$<' Arrojr jr un moned moned  dos eces' eces' 5e tienen tienen cutr cutro o &untos &untos muestr muestrles les// • Arro ;"cr% cr$%"cr% sello$% "sello% cr$% "sello% sello$<' clse e de &roc &roces esos os esto estocá cást stic icos os +( +( 20 lumn lumnos os'' 5e +ce +ce un • En l cls emen ( se   o,serr cuántos lumnos &rue,n' =9uál ser# el es&ci es&cio o muestr muestrl> l> El es&ci es&cio o muestr muestrl l contie contiene ne un número número .nito .nito de &untos muestrles%  ? ;0%1%2%@%'%20<' moned +st que sl* sl* cr' cr' El es&ci es&cio o muestr muestrl l es • 5e ln! un moned discreto ( contiene un número in.nito de &untos muestrles' • 5e ln! un Bec+ contr un ,lnco ( se   medir l distnci desde el &unto de im&cto +st el centro del ,lnco' En este cso el es&cio muestrl es continuo ( está ddo &or el interlo interlo  ? ; C D0<'

.- "U!E"  EE%#: se llm llm suceso suceso  culqu culquier ier su,co su,conju njunto nto de un es&cio muestrl' Por ejem&lo) l ln!r un ddo% el es&cio muestrl es el conjunto  ? ;1%2%@%%%6< ( el suceso A 7se o,tuo un número &r8 será el su,conjunto A ? ;2%%6<' &ro,,ilidd es un medid de l &osi,ilidd de que un /.- PR&A&I+IDAD: l &ro,,ilidd eento ocurr en el futuro' Este conce&to es im&ortnte cundo se tr,j con suceso sucesos s f#sico f#sicos% s% ,ioló* ,ioló*ico icos s o socil sociles es que *ener *enern n o,ser o,serci cione ones s que no &ueden &redecirse con certe!% &or ejem&lo% l &resión rteril de un &erson en un momento determindo no &uede &redecirse con ectitud' • Puede sumir lores entre cero ( uno inclusie' • Un lor cercno  cero si*ni.c que es &oco &ro,,le que el eento suced' Un lor cercno  uno si*ni.c que es ltmente &ro,,le que el eento suced' • :( tres de.niciones de &ro,,ilidd/ clásic o 7 &riori8% em&#ric o 7 &osteriori8 ( su,jeti'

/.'.- Probabilidad !lásica o 0a priori1 3 de.nición clásic &lic cundo +( n resultdos i*ulmente &ro,,les ( mutumente eclu(entes' Ejem&los/ • 5i un ddo es ln!do% cuál es l &ro,,ilidd de que sl* el 2> 9d uno de los los ld ldos del ddo ddo tien iene i*u i*ulldd de &r &rec ecer er%% son son een eento tos s equi&ro,,les% equi&ro,,les% &or lo tnto l &ro,,ilidd &ro,,ilidd de de que sl* el 2 es 16' • Un moned es ln!d l ire' :( dos &osi,les resultdos cr o sello' Estos Estos dos dos resul resultd tdos os no &ueden &ueden ocurri ocurrirr l mismo mismo tiem&o tiem&o "mutu "mutument mente e

Unidad I. Fundamentos de Procesos Estocásticos Experimento Aleatorio - Distribuciones Procesos Estocásticos 2-2016 UNEFA-Núcleo Trujillo eclu(entes$% ( tienen l mism &ro,,ilidd% decimos entonces que l &ro,,ilidd de tener cr es G'

/.*.- Probabilidad empírica2 relati3a2 4recuencial o 0a posteriori1 En muc+s ocsiones no es &osi,le &licr l de.nición clásic &orque los n resultdos no son i*ulmente &ro,,les% o ,ien &orque el número de resultdos es in.nito% en este cso% se &lic l de.nición em&#ric' Este ti&o de &ro,,ilidd se &lic cundo el número de eces que ocurre un eento se diide &or el número totl de o,serciones' Ejem&los/ • =9uál es l &ro,,ilidd de que un ,om,illo dure funcionndo más de 100 +ors> En este cso no es &osi,le &licr l de.nición clásic &orque l durción de l ,om,ill es un ri,le continu ( entonces el número &osi,le de resultdos es in.nito' • 5i un ddo está cr*do' =9uál es l &ro,,ilidd de o,tener un @ l ln!r dic+o ddo> Tm&oco es &osi,le &licr l de.nición clásic &orque se + &erdido l simetr#% los resultdos &osi,les si*uen siendo 6% &ero esos resultdos no tienen l mism &ro,,ilidd' Un form de o,tener l &ro,,ilidd% ser# reli!ndo un e&erimento como el si*uiente/ se ln! el ddo cr*do 10 eces ( se o,tienen los si*uientes resultdos/ 1 2 @

•

2 2 @

@  

 1 0

 2 

6 2 

3 &ro,,ilidd de scr @ con ese ddo es/ P"@$ H 10 H 0'@ Not/ se escri,e P"@$H0'@ ( no P"@$? 0'@% &ues si se re&ite el e&erimento% es decir% si ln!mos de nueo el ddo 10 eces% es mu( &osi,le que el @ no sl*  eces como ntes% sino tl e! 2% @I% % etc' En el de&rtmento cd4mico del &rofesor 3ó&e!% se + si*ndo un totl de cli.cciones de 7A8 de 1J6 entre un totl de 1%200 estudintes' =9uál es l &ro,,ilidd de que un estudinte de su sección este semestre reci, un cli.cción de 7A8> 3 &ro,,ilidd &edid está dd &or/ P" A$ ? 1J61%200 ? 0'1

/.,.- Probabilidad "ub5eti3a Este ti&o de &ro,,ilidd se ,s en culquier informción dis&oni,le' Ejem&los/ • Estimr l &osi,ilidd de que el equi&o de los Ptriots de Nue Kn*lterr &rtici&e en el jue*o del 5u&er T!ón de fut,ol mericno &r el &róimo Lo "en EUA$' • Elur l &ro,,ilidd de que l em&res Menerl otors% &ierd su lu*r número 1 en el totl de uniddes endids% frente  l Ford o l 9+r(sler% en un l&so de dos Los'

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/.,.'.- Re6las &ásicas de probabilidad 5i dos eentos A ( B son mutumente eclu(entes% l re*l es&ecil de l dición indic que l &ro,,ilidd de que ocurr uno u otro de los eentos% es i*ul  l sum de sus &ro,,iliddes' P" A o B$ ? P" A$ O P "B$ Ejem&lo/ 3 o.cin de uelos de Aerom4ico tiene re*istrd l si*uiente informción en su ,itácor de uelos entre 9iudd de 4ico ( Ac&ulco' 3le*ds

Frecuenci

Tem&rno

100

A tiem&o

J00

Trde

I

9nceldo

2

Totl

1000

5i A es el eento de que el uelo lle*ue tem&rno% entonces/ P" A$ ? 1001000 ? 0'10 5i  es el eento de que el uelo lle*ue trde% entonces/ P "B$ ? I1000 ? 0'0I 3 &ro,,ilidd de que el uelo lle*ue tem&rno o trde es/ P"A o B$ ? P" A$ O P"B$ ? 0'10 O 0'0I ? 0'1I

/.,.*.- +a re6la del complemento

• 3 re*l del com&lemento es utili!d &r determinr l &ro,,ilidd • •

de que un eento ocurr% restndo  1 l &ro,,ilidd de que no ocurr dic+o eento' 5i P" A$ es l &ro,,ilidd de un eento A ( P"Q A$ es l &ro,,ilidd del com&lemento de A% P" A$ O P"Q A$ ? 1 o P" A$ ? 1 R P"Q A$ Un di*rm de Senn ilustrndo l re*l del com&lemento se &recir# s#/

QA

Fi*ur 1/ e*l del com&lemento Ejem&lo/


• • •

etomndo el ejercicio nterior% use l re*l del com&lemento &r encontrr l &ro,,ilidd de un eento " A$ tem&rno o un eento " B$ trde' 5i C es el eento de que el uelo lle*ue  tiem&o% entonces P"C$ ? J001000 ? 0'J 5i D es el eento de que el uelo se cncele% entonces P"D$ ? 21000 ? 0'02 P" A o B$ ? 1 - P"C o D$ ? 1 - 0'J O'02V ?0'1I

/.,.,.- +a re6la 6eneral de la adición 5i A ( B son dos eentos que no son mutumente eclu(entes% entonces P" A o B$ es dd &or l si*uiente fórmul/ P" A o B$ ? P" A$ O P"B$ - P" A ( B$ Ejem&lo/ En un muestr de 00 estudintes% 22 .rmron tener un est4reo% 1I dijeron tener un TS% ( 100 .rmron tener m,os' Est4reo 22

Am,os 100 TS Fi*ur 2/ i*rm de Senn

• 5i un estudinte es selecciondo l !r% =cuál es l &ro,,ilidd de que el estudinte ten* sólo un est4reo% sólo un TS% ( m,os un est4reo ( un TS> P"S$ ? 2200 ? 0') P"T $ ? 1I00 ? 0'@) P"S ( T $ ? 10000 ? 0'20 • 5i un estudinte es selecciondo l !r% =cuál es l &ro,,ilidd de que ten* un est4reo o un TS en su curto> P"S o T $ ? P"S$ O P"T $ - P"S (T $ ? 0' O 0'@ - 0'20 ? 0'60

/..- Probabilidad !on5unta: es quell &ro,,ilidd que mide l &osi,ilidd de que dos o más eentos ocurrn en form simultáne' Un ejem&lo &odr# ser el eento de que un estudinte ele*ido l !r ten* m,os% un est4reo ( un TS en su curto'

/..'.- Re6la especial de la multiplicación

• 3 re*l es&ecil de l multi&licción requiere que dos eentos A (

B

sen inde&endientes' • os eentos A ( B son inde&endientes si l ocurrenci de uno no fect l &ro,,ilidd de que ocurr el otro' • Est re*l se escri,e/ P" A ( B$ ? P" A$P"B$ Ejem&lo/ 9ristin tiene dos cciones% K ( ME' 3 &ro,,ilidd de que l cción de K umente de lor el &róimo Lo es 0'% ( l &ro,,ilidd de que

Unidad I. Fundamentos de Procesos Estocásticos Experimento Aleatorio - Distribuciones Procesos Estocásticos 2-2016 UNEFA-Núcleo Trujillo l cción de ME umente su lor el &róimo Lo es 0'I' 5u&on* que ls dos cciones son eentos inde&endientes' =9uál es l &ro,,ilidd de que m,s cciones incrementen su lor el &róimo Lo> P "K ( ME$ ? "0'$"0'I$ ? 0'@ =9uál es l &ro,,ilidd de que l menos un de ests cciones umente su lor durnte el &róimo Lo> P"l menos un$ ? "0'$"0'@$ O "0'$"0'I$ O "0'I$"0'$ ? 0'1 O 0'@ O0'@ ? 0'J

/./.- Probabilidad !ondicional: es l &ro,,ilidd de que ocurr un eento determindo% ddo que otro eento ( +( ocurrido' 3 &ro,,ilidd de que ocurr el eento A ddo que el eento  + ocurrido se escri,e P" AB$'

/./.'.- Re6la 6eneral de la multiplicación / es utili!d &r encontrr l &ro,,ilidd conjunt de que dos eentos ocurrn' 3 re*l est,lece que ddos dos eentos A ( B% l &ro,,ilidd conjunt de que m,os ocurrn se encuentr multi&licndo l &ro,,ilidd de que suced A% &or l &ro,,ilidd condicionl de que ocurr el eento B' 3 &ro,,ilidd conjunt P" A ( B$ está dd &or l si*uiente fórmul/ P" A ( B$ ? P" A$P"B/A$ ó P" A ( B$ ? P"B$P" A/B$ Ejem&lo/ El director de l Escuel de Ne*ocios l Espe 7 ) # de ciali o u o Uniersidd Ncionl% l dad m 5 t reco&iló si*uiente b e a informción cerc de r r l estudintes no *rdudos en su e escuel/ 9ont 1 1 2 dur# I 1 J  0 0 0

• 5i

un

!r% que el un mujer P" A ( F $ ?

Finn !s

1 2 0

1 0 0

2 2 0

erc dot ecni

1 6 0

I 0

Admi nistr ción

1  0

1 2 0

es 2 estudinte @ selecciondo l es l 0 =cuál &ro,,ilidd de estudinte se 2 "F $ &snte de I contdur# " A$> 0 1101000

6 0 0

 0 0

Totl

1 0 0 0


• do que el estudinte es un mujer% =cuál es l &ro,,ilidd de que ell se &snte de contdur#> P" AF $ ? P" A ( F $P"F $ ? 1101000V001000V ? 0'2I 8.- PR!E" E"#!$"#I!: Un &roceso estocástico es quel en el que se re&resentn todos ( cd uno de los &sos necesrios &r reli!r un ctiidd% demás de ls forms o mners en que cd uno de los &sos &uede ser lledo  efecto ( sus res&ectis &ro,,iliddes% dic+o de otr mner% culquier &roceso en el que se inolucren &ro,,iliddes es un &roceso estocástico'

9.- DIARA)A DE $R&+: es un re&resentción *rá.c útil &r or*ni!r cálculos que ,rcn ris et&s' 9d se*mento en el ár,ol es un et& del &ro,lem' 3s &ro,,iliddes escrits cerc de ls rms son ls &ro,,iliddes condicionles del e&erimento' Ejem&lo/ En un ,ols que contiene I c+i&s rojos (  c+i&s !ules% usted seleccion dos c+i&s uno des&u4s del otro sin reem&l!rlo' El,ore un di*rm de ár,ol mostrndo est informción'

;.- #ERE)A DE &A
Ejem&lo/ Un em,otelldor de refresco de col reci,ió ris denuncis cerc del ,jo contenido de sus ,otells' Un denunci fue reci,id +o(% &ero el *erente de &roducción no &uede identi.cr cuál de ls dos &lnts en A*usclientes " A o B$ llenó ests ,otells' =9uál es l &ro,,ilidd de que ls ,otells defectuoss &roen*n de l &lnt A> 3 si*uiente t,l resume l e&erienci de &roducción de dic+ em,otelldor/ Plnt s

W del totl de &roducción

W de ,otells defectuos s

A



@

B






P ( A / U ) = =

P ( A) P (U / A) P ( A) P (U / A) + P ( B) P (U / B)

.55(.03) .55(.03) + .45(.04)

=

.4783

3 &ro,,ilidd de que ls ,otells fuern llends en l &lnt A se redujo de 0'  0'IJ@

=.- PRI%!IPI DE !%#E: • Fórmula de la multiplicación: 5i +( m forms de +cer un cos% ( n forms de +cer otr% eistirán m  n forms de +cer m,s' Ejem&lo/ el r' Selsco tiene 10 cmiss ( J cor,ts' =9uántos jue*os de cmis ( cor,t &uede tener> es&/ "10$"J$ ? J0 n! n

P r

=

(n

−

r )!

Permutación: un rre*lo o dis&osición de r

•

o,jetos selecciondos de un solo *ru&o de n o,jetos &osi,les' El orden del rre*lo es im&ortnte en ls &ermutciones'

• !ombinación/ es el número de mners de esco*er r o,jetos de un *ru&o de n o,jetos sin im&ortr el orden/ C r

n

n! =

r !( n

−

r )!

Ejem&lo/ :( 12 ju*dores en el equi&o de ,ásquet,ol de l Pre&rtori Po&ulr' El director t4cnico Tomás P4re! de,e esco*er  ju*dores de los 12 del equi&o &r formr su l#ne de inicio' =e cuánts mners diferentes &uede +cerlo> 12C 5

=

12! 5!(12 − 5)!

=

792


5u&oniendo que demás de formr los *ru&os de  ju*dores% el t4cnico de,e res&etr el orden de los mismos de cuerdo  su +,ilidd'

P 5 =

12

12! (12 − 5)!

= 95,040

I. DI"#RI&U!I%E" DE PR&A&I+IDAD Un distri,ución de &ro,,ilidd es l list de todos los resultdos &osi,les de un e&erimento ( l corres&ondiente &ro,,ilidd'

De>niciones &ásicas: '.- ariable Aleatoria: es un lor num4rico determindo &or el resultdo de un e&erimento'

*.- #ipos de ariables Aleatorias 2'1' ariable discreta: es quell que su conjunto de &osi,les resultdos es cont,le' Ej' tos que se cuentn% tles como NX de niLos ncidos en un +os&itl en un mes% NX de ccidentes de crreter &or Lo' 2'2' ariable continua: es quell que &uede tomr lores en un escl continu' Ej' tos medidos en &esos% lturs% tem&erturs% etc'

#ipos de Distribuciones de Probabilidad '. Distribución de probabilidad discreta: &uede sumir sólo lores clrmente se&rdos' Ejem&los/ el número de estudintes en un clse% el número de niLos en un fmili% el número de utos entrndo en un uto ldo &or +or% el número de clientes que lle*n  un est4tic cd +or' 2' Distribución de probabilidad continua: &uede sumir un número in.nito de lores dentro de un rn*o determindo' 3 distnci que recorre cd estudinte &r lle*r  su clse' Ejem&los/ el tiem&o que le tom  un ejecutio lle*r  su tr,jo% el tiem&o inertido en un llmd telefónic% l esttur de los lumnos de un *ru &o en clse'

'.- Distribución de Probabilidad Discreta e.nición/ el conjunto de &res ordendos "% f "$$% es un distri,ución de &ro,,ilidd de l ri,le letori Y) donde f "$ es un función de &ro,,ilidd ( si se cum&le &r cd &osi,le resultdo % que/

1'- f "$ ≥ 0 f ( x ) = 1

∑ x

2'-


@'- P"Y ? $ ? f "$ Ejem&lo/

9onsidere un e&erimento letorio en el cul un moned es ln!d tres eces' 5e x el número de crs' 5e H l que re&resent el resultdo cr ( T el resultdo cru!' 5e Y l ri,le letori que re&resent el número de crs en tres ln!mientos de un moned' 3os &osi,les resultdos "es&cio muestrl$ &r este e&erimento serán/ {TTT % TTH% THT % THH% HTT % HTH% HHT % HHH< Entonces los lores &osi,les &r x "número de crs$ son 0% 1% 2% @' Y f "$ ? P"Y ? x$ F"$?P"Y≤ x $ 0 1J 1J 1 @J J 2 @J IJ @ 1J 1 Σf "$ ? 1 onde/

f "$/ Función de Pro,,ilidd' F"$ ? Función de istri,ución Acumuld' Toda Variable Aleatoria tiene las siguientes características: 1.- Función de probabilidad 2.- Función de distribución 3.- Esperanza Mate!tica ".- Varianza #.- $es%iación Est!ndar

3 FU%!I?% DE DI"#RI&U!I?% se de.ne como F"$ ? P"Y ≤ x $ 9lculndo l función de distri,ución &r el ejem&lo nterior se tiene/ F"$ ? P"Y ≤ $ P" ≤ 1$ ? J ? 0' :ciendo uso de función de distri,ución% se &ueden clculr ls &ro,,iliddes si*uientes/ • P"1 ≤  ≤ @$ ? P" ≤ @$ R P" Z 1$ ? 1 R 1J ? IJ • P" ≥ 2$ ? 1 R P" Z 2$ ? 1 R [ ? J ? 0' Tod ri,le letori tiene E"PERA%@A E(B < ARIA%@A (B • E"$ ? ΣiP"$ • S"$ ? E"2$ R "E"$$2 En el ejem&lo l es&ern! es/ E"$ ? "0  1J$ O "1  @J$ O "2  @J$ O "@  1J$ ? 12J ? 1' E"2$ ? "12  @J$ O "2 2  @J$ O "@ 2  1J$ ? 2J ? @ \tr fórmul &r l rin! es/


S"$ ? E"2$ R E"$2 l cul se deduce de l de.nición/ S"$ ? E" R E"$$2 S"$ ? E"2 R 2E"$ O E"$2$ S"$ ? E"2$ R 2E"$2 O E"$2 S"$ ? E"2$ R E"$2 Al &licrl l ejem&lo% se tiene/ S"$ ? @ R "1'$2 ? 0'I

)EDIA DE U%A DI"#RI&U!I?% DI"!RE#A DE PR&A&I+IDAD

• e*istr l u,icción centrl de los dtos' • Es el lor &romedio  lr*o &l!o de l ri,le letori' • Tm,i4n se le conoce como su lor es&erdo% E" x $% en un distri,ución • •

de &ro,,ilidd' Es un &romedio &onderdo' 3 medi es clculd con l fórmul/ µ = Σ[ xP ( x)]

onde/ µ re&resent l medi% ( P" x $ es l &ro,,ilidd de que x sum l*ún lor'

ARIA%@A DE U%A DI"#RI&U!I?% DI"!RE#A DE PR&A&I+IDAD

• 3 rin! mide el tmLo de l dis&ersión de u n distri,ución' • 3 rin! de un distri,ución discret es re&resentd &or l letr • •

*rie* ]2 "si*m cudrd$' 3 desición estándr es l r#! cudrd ] 2 ' 3 rin! de un distri,ución de &ro,,ilidd discret es clculd con l si*uiente fórmul/ 2 2 σ = Σ[( x − µ ) P ( x )]

Ejem&lo/ id m#re!% dueLo de un ne*ocio de sericios de &intur% estudió sus re*istros de ls últims 20 semns ( re&ort el si*uiente número de css &intds &or semn/ ^ de css &intds

semns

10



Unidad I. Fundamentos de Procesos Estocásticos Experimento Aleatorio - Distribuciones Procesos Estocásticos 2-2016 UNEFA-Núcleo Trujillo 11

6

12

I

1@

2

• istri,ución de Pro,,ilidd Número de css &intds% x

Pro,,ilidd% P" x $

10

0'2

11

0'@0

12

0'@

1@

0'10

T\TA3

1'00

• 9lcule el número medio de css &intds &or semn/ µ

= E ( x) = Σ[ xP ( x)] = (10)(.25) + (11)(.30) + (12)(.35) + (13)(.10) = 11.3

• 9lcule l rin! del número de css &intds &or semn/ σ

2

= Σ[( x − µ ) 2 P ( x)] = (10 − 11.3) 2 (.25) + ... + (13 − 11.3) 2 (.10) = 0.4225 + 0.0270 + 0.1715 + 0.2890 = 0.91


'.'.- Distribución &inomial 3 istri,ución inomil sur*e de un e&erimento ernoulli% nom,rdo s# en +onor del mtemático sui!o _mes ernoulli "16-1IJ$' 9undo en un solo ens(o &uede ocurrir sólo uno de dos resultdos mutumente eclu(entes% como 4ito% frcso% liio o muerte% &resenci o usenci% mc+o o +em,r% el ens(o se denomin ens(o ernoulli' 0 frcso 5e `i ? 1

1' 2' @'

1'

4ito

Un secuenci de ens(os de ernoulli form un &roceso de ernoulli si se cum&len ls si*uientes condiciones/ En cd ens(o ocurre uno de los &osi,les resultdos mutumente eclu(entes' Uno de los &osi,les resultdos se denot "r,itrrimente$ como un 4ito ( el otro como un frcso' 3 &ro,,ilidd de un 4ito% denotdo &or &% &ermnece constnte de un ens(o  otro% ( l &ro,,ilidd de frcso% 1 R &% se denot &or q% q ? 1-&' 3os ens(os son inde&endientes% es decir% el resultdo de l*ún ens(o en &rticulr no es fectdo &or el resultdo de culquier otro ens(o' 3 ri,le letori inomil% se de.ne como un sum de ri,les ernoulli/ Y ? Σ `i' 3s crcter#stics de est ri,le son/  n  x n− x f ( x ) = P ( X = x ) =    p q para x = 0 ,1,...n x  

Función de &ro,,ilidd/

F ( x ) = P ( X ≤ x ) 2' ' ,'

 n  = ∑    p x q n − x 0  x  x

Función de istri,ución/ 3 es&ern! mtemátic es/ E"$ ? n& 3 rin! es S"$ ? n&q onde/ n/ es el número de ens(os' / es el número de 4itos' &/ &ro,,ilidd de 4ito en cd ens(o' q/ &ro,,ilidd de frcso' Ejem&lo/ 5e dese clculr l &ro,,ilidd de  4itos en n ens(os de ernoulli' 5u&ón*se que en ciert &o,lción el 2W de todos los ncimientos que se re*istrron son rones' 5i letorimente se seleccionn cinco re*istros de

Unidad I. Fundamentos de Procesos Estocásticos Experimento Aleatorio - Distribuciones Procesos Estocásticos 2-2016 UNEFA-Núcleo Trujillo ncimientos dentro de es &o,lción% =cuál es l &ro,,ilidd de que ectmente tres de ellos &ertene!cn  rones> 5e A el suceso corres&ondiente  ls com,inciones del ncimiento ectmente de tres rones de entre cinco' :SS:S% A ? ;SSS::% SS:S:% SS::S% S:SS:% S:S:S% S::SS% :SSS:% :S:SS% ::SSS< A+or mos  clculr l &ro,,ilidd del ncimiento ectmente de tres rones em&lendo ls nociones de &ro,,ilidd' 3 &ro,,ilidd de del ncimiento de tres rones ( dos + em,rs es/ P"S% S% S% :% :$ ? &&&qq P"S% S% S% :% : ? & @q2 Pr ls 10 &osi,les com,inciones es/ P" ? @$ ? 10  & @q2 P" ? @$ ? 10  "0'2$ @ "0'J$2 P" ? @$ ? 0'@20 9lculndo dic+ &ro,,ilidd em&lendo l función de &ro,,ilidd% se tiene/  n 

    x 

P"Y ? x $ ? f " x $ ? p x qn – x = nC x p x qn – x   5   5! 3 = ( 0 . 52 ) ( 0 . 48 ) (0.52) 3 (0.48) 2 = 10 x(0.52) 3 (0.48) 2 = 0.324  3  3!2!   P" x ? @$ ? '.*.- Distribución de Poisson: est distri,ución es llmd s# en +onor l mtemático frnc4s 5imeon enis Poisson "1IJ1-1J0$% l cul + sido em&led etensmente en ,iolo*# ( medicin' 3 distri,ución de &ro,,ilidd de Poisson descri,e l cntidd de eces que ocurre un eento en un interlo determindo' Est distri,ución tm,i4n es un form l#mite de l distri,ución ,inomil% cundo l &ro,,ilidd de 4ito es mu( &equeL ( n es *rnde'

!aracterísticas del Proceso de Poisson 1' 2' @' '

3s ocurrencis de los eentos son inde&endientes' 3 ocurrenci de un eento en un interlo de es&cio o tiem&o no tiene efecto en l &ro,,ilidd de un se*und ocurrenci del eento en 4l mismo o en l*ún otro interlo' Teóricmente% es &osi,le l ocurrenci de un eento un número in.nito de eces dentro del interlo' 3 &ro,,ilidd de un sol ocurrenci del eento en un interlo ddo es &ro&orcionl  l dimensión del interlo' En culquier frcción in.nitesiml del interlo% l &ro,,ilidd de más de un ocurrenci del eento es insi*ni.cnte' Un crcter#stic interesnte de est distri,ución es que su es&ern! ( rin! son i*ules' Por lo tnto% su es&ern! mtemátic es E"$ ? a ( su rin! es S"$ ? a'


P ( x ) =

e−u x!

x

µ

3 distri,ución de Poisson &uede descri,irse mtemáticmente utili!ndo l si*uiente fórmul/ onde/ • µ ó b es l medi del número de ocurrencis "4itos$ en un interlo es&ec#fico' • e es l constnte 2'I1J2J ",se del sistem lo*r#tmico ne&erino$' • x es el número de 4itos' • P" x $ es l &ro,,ilidd que se   clculr &r un lor ddo de x ' Ejem&lo/ 1'- 3 5r' onill está encr*d de los &r4stmos en el ,nco del centro de Perlillo' 9on ,se en sus Los de e&erienci% estim que l &ro,,ilidd de que un solicitnte no se c&! de &*r su &r4stmo% es 0'02' El mes &sdo reli!ó 0 &r4stmos' =9uál es l &ro,,ilidd de que @ &r4stmos no sen &*dos  tiem&o> µ ? np ? 0"'02$ ? 1 P"@$ ? 1@e-1@ ? 0'061@

' ,' c' d'

2'- 5u&ón*se que se s,e que en ciert áre de un *rn ciudd el número &romedio de rts &or mn!n es de cinco' 5u&ón*se que el número &romedio de rts si*ue un distri,ución de Poisson% encuentre l &ro,,ilidd de que en un mn!n ele*id letorimente/ "niel% &á*' 11J$' Eistn ectmente cinco rts' Eistn más de cinco rts' Eistn menos de cinco rts' Eistn entre cinco ( siete rts% inclusie' Pr λ ? 

e −5 5 5 5! $

,$ c$ d$

= 01755 ≅ 0.176

P" ? $ ? 5i se +ce uso de l t,l tenemos/ P" ? $ ? P" ≤ $ R P" ≤ $ ? 0'616 R 0'0 ? 0'1I6 P"  $ ? 1 R P" ≤ $ ? 1 R 0'616 ? 0'@J0 P" Z $ ? P" ≤ $ ? 0'0 P" ≤  ≤ I$ ? P" ≤ I$ R P" Z $ ? P" ≤ I$ R P" ≤ $ ? 0'J6I R 0'0 P" ≤  ≤ I$ ? 0'2I0

*.- Distribuciones de Probabilidad !ontinua Un distri,ución es continu cundo 7l ms8 "en el cso continuo se su&one que l &ro,,ilidd es un ms unitri distri,uid so,re el eje rel$ totl de l &ro,,ilidd se encuentr distri,uid continumente en el eje rel% con función densidd f"$'

Unidad I. Fundamentos de Procesos Estocásticos Experimento Aleatorio - Distribuciones Procesos Estocásticos 2-2016 UNEFA-Núcleo Trujillo En el cso de ri,les letoris continus solo tiene sentido +,lr de &ro,,iliddes so,re interlos% más no so,re lores &untules% esto se de,e  que ls &ro,,iliddes se re&resentn medinte áres ,jo un cur% ( &r que eist un áre se requieren dos dimensiones "lr*o ( nc+o$'

Propiedades de una 4unción de densidad 5i f"$ es un función de densidd entonces/ 1'- f"$ D 0 &r culquier lor de ' ∞

2'-

∫ f ( x ) dx =1 −∞

• 5i l ri,le letori  tiene un función de densidd f"$% l &ro,,ilidd de que  se encuentre en el interlo % ,V es/ b

P ( a < x < b )=∫ f ( x ) dx a

E"PERA%@A )A#E)$#I!A  A+R E"PERAD 5e Y un ri,le letori continu con función de densidd f"$' El lor es&erdo o es&ern! mtemátic de  es/ ∞

E ( x )=∫ xf ( x ) dx −∞

ARIA%@A : S"$ ? E"Y2$ - a

*.'.- Distribución %ormal Es l distri,ución más im&ortnte de l Estd#stic% l formul &r est distri,ución fue &u,licd &or A,r+m de ore "166I-1I$ el 12 de Noiem,re de 1I@@ "citdo &or niel% &á*' 122$' Tm,i4n% es conocid como distri,ución de Muss en reconocimiento  ls contri,uciones reli!ds &or Friedric+ Muss "1III-1J$' 3 función de densidd Norml está dd &or/ 2 2 1 f ( x ) = e − ( x − µ ) / 2σ , 2π σ −∞
!aracterísticas de la distribución %ormal: 1' 2'

Es sim4tric res&ecto  su medi' 3s medids de tendenci centrl/ medi% medin ( mod son i*ules'

Unidad I. Fundamentos de Procesos Estocásticos Experimento Aleatorio - Distribuciones Procesos Estocásticos 2-2016 UNEFA-Núcleo Trujillo @' El áre totl ,jo l cur so,re el eje de ls x es un unidd de áre% &uesto que es un distri,ución de &ro,,ilidd' Además% &or ser sim4tric% el 0W del áre está  l derec+ de l &er&endiculr que se lent so,re l medi% ( el otro 0W  su i!quierd' ' 3os &rámetros µ ( σ determin l distri,ución% es decir% que &r cd lor diferente de µ ( σ se es&eci.c un distri,ución Norml diferente' Por tl r!ón se +,l de l fmili de l distri,ución Norml'

a



Fi*ur / istri,ución Norml 3 cur de l Norml tiene l form de 9m&n% sim4tric' e&endiendo de l esición Estándr ( &r un mism medi &o,lcionl l cur Norml% &uede tomr tres forms/ Plticurtic% 3e&tocurtic ( esocurtic% tl como se muestr en l .*ur ' ientrs% en l .*ur 6 se o,sern tres distri,uciones normles con diferentes medis &o,lcionles e i*ul ri,ilidd'

*.*.- Distribución de Probabilidad %ormal Estándar

• 3 distri,ución norml estándr es un distri,ución norml con medi cero ( desición estándr de 1' Tm,i4n es llmd distri,ución z '


• Un lor z es l distnci entre un lor selecciondo llmdo x % ( l

medi de l &o,lción µ2 diidid entre l desición estándr% σ ' 3 fórmul es/ Z ? " x R µ$σ Por lo tnto l sustituir en l función de densidd qued/ 2 1 f ( z ) = e − z / 2 , 2π − ∞ < z < ∞

Ejem&lo/ 1'- El slrio inicil de los &rimeros dos meses de los reci4n *rdudos de A si*uen l distri,ución norml con un medi de 2%000 ( un desición estándr de 200' =9uál es el lor z &r un slrio de 2%200> Z ? " x R µ$s ? "2%200 R 2%000$200 ? 2'00 • 9uál es el lor z de 1%I00> Z ? " x R µ$σ ? "1%I00 R 2%000$200 ? -1'0 Un lor z de 1 indic que el lor de 2%200 es un desición estándr rri, de l medi de 2%000' Un lor z de -1'0 indic que 1%I00 es 1' desición estándr de,jo de l medi de 2%000' 2'- En un estudio de dctilo*rf#% un crcter#stic cuntitti mu( im&ortnte es el totl de surcos en los 10 dedos de un indiiduo' 5u&ón*se que el totl de surcos en los dedos de los indiiduos en un &o,lción tienen distri,ución &roimdmente norml con un medi de 10 ( un desición estándr de 0' 9lculr l &ro,,ilidd de que un indiiduo% ele*ido l !r de entre es &o,lción% ten* un totl de surcos en los dedos/ "niel% &*' 1@@$' ' e 200  más' ,' enos de 100' c' Entre 100 ( 200' d' Entre 200 ( 20' e' En un &o,lción de 10'000 &ersons% =cuántos &uede es&errse que ten*n un totl de 200 surcos o más> 5e µ ? 10 ( σ ? 0% &r clculr l &ro,,ilidd se de,e trnsformr l ri,le x en z % es decir de,emos estndri!r/ 200 − 140 60 $

P" ≥ 200$ ? 1 R P" Z 200$ ? 1 R P" Z - P" Z 1'2$ ? 1 - 0'JJg ? 0'111 100 − 140

50

50

$ ? 1 R P" Z

50

,$

P" Z 100$ ? P" Z

$ ? P" Z -0'J0$ ? 0'211g

$?1


200 − 140 50 c$

P"100 Z  Z 200$ ? P" Z 200$ R P" Z 100$ ? P" Z 100 − 140

$ R P" Z

50

$

P"100 Z  Z 200$ ? P" Z 1'2$ R P" Z -0'J0$ ? 0'JJg R 0'211g ? 0'6I@0 P"200 Z  Z 20$ ? P" Z 20$ R P" Z 200$

d$

250 − 140

200 − 140

50

P"200 Z  Z 20$ ? P" Z R P" Z 1'2$

50

$ R P" Z

$ ? P" Z 2'2$

? 0'gJ61 R 0'JJg ? 0'1012 El número de surcos es&erdos se clcul como/ np% donde n?10'000 ( p?0'111% &or tnto% np ? 10'000  0'111 ? 111'

e$

$reas ba5o la cur3a normal

• A&roimdmente 6JW del áre ,jo l cur norml está entre l medi • •

más un ( menos un desiciones estándr% ( se e&res µ O- 1σ . Alrededor de gW del áre ,jo l cur norml está entre l medi más dos ( menos dos desiciones estándr% lo que se e&res µ O- 2σ . Prácticmente tod el áre ,jo l cur norml está entre l medi ( tres desiciones estándr " uno ( otro ldos del centro$% es decir µ O@σ .

Ejem&lo/ El uso dirio de *u &or &erson en Sist ell% Nucl&n% está distri,uido normlmente con un medi de 20 *lones ( un desición estándr de  *lones' A&roimdmente 6JW de ellos =cuántos *lones de *u consumen> A&roimdmente 6JW del uso dirio de *u ce entre 1 ( 2 *lones' • =9uál es l &ro,,ilidd de que un &erson de Sist ell selecciond l !r consum entre 20 ( 2 *lones &or d#> Z ? " x R µ$σ ? "20 R 20$ ? 0'00 Z ? " x R µ$σ ? "2 R 20$ ? 0'J0 El áre ,jo l cur norml entre un lor ! de cero ( un lor ! de 0'J0 es 0'2JJ1' Por lo tnto se conclu(e que el 2J'J1W de los residentes consumen entre 20 ( 2 *lones de *u &or d#' • =hu4 &orcentje de l &o,lción consume entre 1J ( 26 *lones &or d#> Z ? " x R µ$σ ? "1J R 20$ ? R 0'0 Z ? " x R µ$σ ? "26 R 20$ ? 1'20 El áre socid con un lor z de R 0'0 es de 0'1 ( con un lor z de 1'20 es de 0'@Jg' 5umndo ests áres% el resultdo es 0 '0@' Por lo tnto se conclu(e que el '0@W de los residentes consumen entre 1J ( 26 *lones de *u &or d#'


+a aproximación normal a la binomial

• 3 distri,ución norml "un distri,ución continu$ &ro&orcion un •

,uen &roimción de l distri,ución ,inomil "un distri,ución discret$ &r lores *rndes de n' 3 distri,ución de &ro,,ilidd norml es *enerlmente un ,uen &roimción &r l distri,ución de &ro,,ilidd ,inomil cundo n& ( n"1 R &$ son m,os m(ores que '

Factor de corrección de continuidad El lor 0' que se rest o se sum% de&endiendo de l situción%  un lor selecciondo cundo un distri,ución de &ro,,ilidd discret se &roim &or medio de un distri,ución de &ro,,ilidd continu' Ejem&lo/ Un estudio reciente de un .rm de estudios de mercdo mostró que 1W de residentes mericnos son &ro&ietrios de un ideocámr' Pr un muestr de 200 +o*res% =cuántos de los +o*res es&err# que ten*n ideocámr> µ = np = (0.15)(200) = 30 Est es l medi de un distri,ución ,inomil' 2 σ = np (1 − p ) = (30 )(1 − 0.15) = 25 .5 =9uál es l rin!> •

• =9uál es l desición estándr> σ

=

25 .5

= 5.0498

• =9uál es l &ro,,ilidd de que menos de 0 +o*res en l muestr ten*n ideocámrs> Usmos el fctor de corrección% &or lo tnto x es @g'' El lor z es/ Z ? " x R µ$σ ? "@g' R 0$'0gJ ? 1'JJ • El áre entre 0 ( 1'JJ en l escl z es '6gg' • Por lo tnto% el áre  l i!quierd de 1'JJ es '000 O '6gg ? 'g6gg' 3 &ro,,ilidd de que menos de 0 de los 200 +o*res ten*n ideocámr es &roimdmente gIW'

*.,.- Distribución amma: l*uns ri,les letoris son siem&re no ne*tis ( &or dierss r!ones dn ori*en  distri,uciones de dtos ses*dos "sim4trics$  l derec+% es decir% l m(or &rte del áre ,jo l función de densidd está cerc del ori*en% ( l función de densidd disminu(e *rdulmente  medid que ument (' En l .*ur se o,ser funciones de densidd *mm'


Este ti&o de distri,ución es usd &or ejem&lo &r clculr tiem&os entre flls de funcionmiento de los motores de cierto ión% tiem&os que &sn los clientes formdos &r lle*r  l cj en un su&ermercdo' 3 distri,ución *mm se de.ne  &rtir de l función *mm% cu( ecución es/

• 3 función de densidd de l distri,ución *mm es/

 (  son los &rámetros de l distri,ución'

• 3 medi ( l rin! de l ri,le *mm son/

• 3 función de densidd Mmm en l que  ? 1 se llm función de densidd e&onencil' 5u función de densidd es/


• 5u &rámetro es ' • 3 medi ( l rin! de l distri,ución e&onencil son/

*..- Distribución &eta 3 función de densidd ,et es un función de densidd con dos &rámetros% de.nid en el interlo cerrdo 0ZZ1' A menudo se utili! como modelo &r re&resentr &ro&orciones% como el &orcentje de im&ure!s &resentes en un &roducto qu#mico o l cntidd de tiem&o que un máquin está en re&rción' 5e dice que un ri,le letori ,et Y tiene un distri,ución de &ro,,ilidd ,et con &rámetros   0 ( 0 si ( solo si l función de densidd de Y está re&resentd &or l e&resión/

f ( x )=

{

x

α −1

( 1− x ) β− , ∧0 ≤ x ≤ 1 B (α , β ) 1

0 ,∧ en cualquier otro

punto

onde/ 1

B ( α , β ) =∫ x

α −1

0

(1 − x ) β − dy = 1

Γ ( α ) Γ ( β ) Γ ( α + β )

*./.- Distribuciones &idimensionales A menudo el e&erimentdor quiere s,er más de l intersección de dos o más eentos' Por ejem&lo% un ,iólo*o que o,ser l cntidd de cr#s que so,reien en un cmd está interesdo en l intersección de los si*uientes eentos/

Unidad I. Fundamentos de Procesos Estocásticos Experimento Aleatorio - Distribuciones Procesos Estocásticos 2-2016 UNEFA-Núcleo Trujillo A/ 3 cmd contiene n nimles / ( nimles so,reien

e mner similr% l o,serción de l esttur ( el &eso de un &erson re&resentn l intersección de un &r de eentos es&ec#.cos relciondos con l medición de l ltur ( el &eso' Es &osi,le de.nir dierss ri,les letoris en el mismo es&cio muestrl' Por ejem&lo% considere el e&erimento que consiste en ln!r un &r de ddos' El es&cio muestrl contiene @6 &untos muestrles% que corres&onden  ls mn ? 6 k 6 ? @6 mners en que &ueden &recer los números en ls crs del ddo' 9ulquier de ls si*uientes ri,les letoris de.nids en el es&cio muestrl &odr# interesr l e&erimentdor/ Y1/ Número de &untos que muestr el ddo 1' Y2/ Número de &untos que muestr el ddo 2' Y@/ 5um del número de &untos de los ddos' Y/ Producto del número de &untos que &recen en los ddos'

3os @6 &untos muestrles relciondos con el e&erimento son equi&ro,,les ( corres&onden  los @6 eentos num4ricos " 1% 2$' Por lo tnto% ln!r un &r de números uno constitu(en el eento sim&le "1%1$) o,tener un 2 en el &rimer ddo ( un @ en el se*undo ddo constitu(e el eento sim&le "2%@$' ` que todos los &res "1% 2$ ocurren con l mism frecuenci relti% si*nemos un &ro,,ilidd de 1@6  cd &unto muestrl' e +# que l función de &ro,,ilidd ,iri,le se/ p(x1, x2) = p(X1 = x1, X2 = x2) = 1/36, x1 =1,2,…,6, x2 = 1,2,…..6.

• 5i Y1 ( Y2 son dos ri,les letoris discrets% l distri,ución de &ro,,ilidd conjunt "o ,iri,le$ de  1 ( 2 está determind &or/

Unidad I. Fundamentos de Procesos Estocásticos Experimento Aleatorio - Distribuciones Procesos Estocásticos 2-2016 UNEFA-Núcleo Trujillo p(x1, x2) = p(X1 = x1, X2 = x2) ,

−∞ < x 1 < ∞ ,− ∞ < x 2 < ∞

Denomin!emo"  # $%n&i'n (x1, x2) $%n&i'n e p!o**i#i &on+%n.

• 5i Y1 ( Y2 son dos ri,les letoris discrets con un función de &ro,,ilidd conjunt p(x1, x2), enon&e"1. p(x1, x2)  0, p! o x1, x2.

2.

∑ p ( x

x 2 )=1,

1,

x 1 , x 2

one # "%m in&#%e oo" #o" #o!e" (x1, x2) %e ienen

"in" p!o**i#ie" i$e!ene" e &e!o.

• 3 función de distri,ución conjunt F" x1, x2$ de dos ri,les letoris discrets Y1 ( Y2 culesquier% está dd &or/ F"x1, x2$ ? P (X1  x1, X2  x2),

−∞< x 1 < ∞ ,− ∞< x 2 < ∞

• 3 función de distri,ución conjunt F" x1, x2$ de dos ri,les letoris continus Y1 ( Y2 culesquier% está dd &or/ x 1 x 2

F ( x 1 , x 2 )= ∫ ∫ f ( t 1 ,t 2 ) d t 2 dt 1 % &r tod

−∞< x 1 < ∞ ,− ∞< x 2 < ∞

−∞ −∞

Pr ri,les letoris continus $(x1, x2) "e ##m $%n&i'n e en"i e p!o**i#i &on+%n  "e &%mp#e %e1. $(x1, x2)  0, p! o x1, x2. ∞

2.

∞

∫ ∫ f ( x

1

, x 2 ) dx 1 dx2 =1

−∞ −∞

REFERENCIAS

Unidad I. Fundamentos de Procesos Estocásticos Experimento Aleatorio - Distribuciones Procesos Estocásticos 2-2016 UNEFA-Núcleo Trujillo 5o"#e", .  7e!n8ne9, :. (2014). Fundamentos de Procesos Estocásticos. Experimento Aleatorio. Distriuciones. ;<>?  @A!i, Bene9%e#.

UNIDAD I. Fundamentos de Procesos Estocásticos

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