Unidad 4(2)

´ DE CUERPOS RÍGIDOS ROTACI ON ´ ´ DINAMICA DEL MOVIMIENTO DE ROTACI ON ´ EQUILIBRIO DE CUERPOS R IGIDOS

´ FÍSICA MECANICA Octa Oc tavi vio o Jos´ Jo sé Ruiz Ru iz Chim Ch im´á

UNIVERSIDAD DEL NORTE DEPARTAMENTO DE FÍSICA 2015


ÍNDICE GENERAL ´ DE CUERPOS RÍGIDOS 1 ROTACION

´ ´ ANGULAR POSICION, VELOCIDAD Y ACELERACI ON ´ CON ACELERACION ´ ANGULAR CONSTANTE ROTACION ´ ENTRE CINEMATICA ´ RELACION LINEAL Y ANGULAR ´ ENERGÍA EN EL MOVIMIENTO DE ROTACI ON

2

´ ´ DINAMICA DEL MOVIMIENTO DE ROTACI ON TORCA ´ ANGULAR DE UN CR TORCA Y ACELERACI ON ´ DE UN CUERPO RÍGIDO SOBRE UN EJE MOVIL ´ ROTACION ´ TRABAJO Y POTENCIA EN MOVIMIENTO DE ROTACION MOMENTO ANGULAR

3

EQUILIBRIO EQUILIBR IO DE CUER CUERPOS POS RÍGIDOS CONDICIONES DE EQUILIBRIO CENTRO DE GRAVEDAD


´ ANGULAR POSICION

´ VELOCIDAD Y ACELERACI ON ´ ANGULAR POSICI ON, ´ ´ ROTACI ON CON ACELERACI ON ANGULAR CONSTANTE ´ ENTRE CINEM ATICA ´ RELACION LINEAL Y ANGULAR ´ ´ ENERGIA EN EL MOVIMIENTO DE ROTACI ON



DESPLAZAMIENTO ANGULAR



VELOCIDAD ANGULAR MEDIA

Definimos la velocidad angular media ωmed−z del cuerpo como la raz´ on entre el desplazamiento angular ∆θ y el intervalo de tiempo ∆t durante el que ocurre el desplazamiento: θ2 − θ 1 ∆θ ωmed−z = = t2 − t1 ∆t



´ VELOCIDAD ANGULAR INSTANTANEA La velocidad angular instant´ anea ωz es el l´ımite de ωmed−z cuando ∆t tiende a cero, es decir, la derivada de θ con respecto a t: ∆θ dθ ωz = l´ım = ∆t→0 ∆t dt



VELOCIDAD ANGULAR COMO VECTOR



´ ANGULAR MEDIA ACELERACION Definimos la aceleraci´ on angular media αmed−z en el intervalo ∆t = t2 − t1 como el cambio en la velocidad angular dividido entre ∆t: ω2z − ω1z ∆ωz αmed−z = = t2 − t1 ∆t



´ ANGULAR INSTANTANEA ´ ACELERACION

La aceleraci´ on angular instant´ anea αz es el l´ımite de αmed−z cuando ∆t tiende a cero: ∆ωz dωz αz = l´ım = ∆t→0 ∆t dt



´ ANGULAR COMO VECTOR ACELERACION



´ ANGULAR VELOCIDAD Y ACELERACION Ejemplo La posici´ on angular θ de un volante de 0.36m de diámetro está dada por θ = (2· 0 rad/s3 )t3 a) Calcule θ, en radianes y en grados, en t1 = 2.0 s y t2 = 5.0 s. b) Calcule la distancia que recorre una part´ıcula en el borde del volante durante el intervalo t1 = 2.0 s a t2 = 5.0 s. c) Calcule la velocidad angular media, en rad/s y en rev/min, en ese intervalo. d) Calcule las velocidades angulares instantáneas en t1 = 2.0 s y t2 = 5.0 s. e) Calcule la aceleraci´ on angular media entre t1 = 2.0 s y t2 = 5.0 s. f) Calcule las aceleraciones angulares instantáneas en t1 = 2.0 s y t2 = 5.0 s.



´ CON ACELERACION ´ ANGULAR ROTACION CONSTANTE



´ CON ACELERACION ´ ANGULAR ROTACION CONSTANTE Ejemplo Imagine que usted acaba de ver una pel´ıcula en Blu-ray y el disco se est´ a deteniendo. La velocidad angular del disco en t = 0 es de 27.5 rad/s y su aceleraci´ on angular constante es de −10.0 rad/s2 . En la superficie del disco se encuentra una l´ınea P Q a lo largo del eje +x en t = 0. a) ¿Qué velocidad angular tiene el disco en t = 0.300s? b) ¿Qué ángulo forma la l´ınea P Q con el eje +x en ese instante?



´ DE UN CUERPO RAPIDEZ LINEAL EN LA ROTACION RÍGIDO v = rω



´ LINEAL EN LA ROTACION ´ DE UN ACELERACION CUERPO RÍGIDO atan

dv dw = =r = rα dt dt



´ LINEAL EN LA ROTACION ´ DE UN ACELERACION CUERPO RÍGIDO

arad

v2 = = ω 2 r r



´ LINEAL EN LA ROTACION ´ DE UN ACELERACION CUERPO RÍGIDO Ejemplo Un lanzador de disco gira el disco en un c´ırculo con radio de 80.0cm. En cierto instante, el lanzador gira a 10.0 rad/s y la rapidez angular está aumentando a 50.0 rad/s2 . a) Calcule las componentes de aceleración tangencial y centr´ıpeta del disco en ese instante, y la magnitud de la aceleraci´ on en ese instante. b) Si la rapidez angular se duplica mientras α permanece constante, calcule la magnitud de la aceleraci´ on.



´ ENERGÍA EN EL MOVIMIENTO DE ROTACION

Energ´ıa cinética de rotaci´ on La energ´ıa cinética de rotaci´ on de un cuerpo r´ıgido que gira alrededor de un eje fijo depende de la rapidez angular ω y del momento de inercia I para ese eje de rotaci´ on: 1 2 K = Iω 2



MOMENTO DE INERCIA

Momento de inercia El momento de inercia I de un cuerpo alrededor de un eje dado es una medida de su inercia rotacional. Se expresa como una sumatoria de las part´ıculas mi que constituyen el cuerpo, cada una de las cuales está a una distancia perpendicular ri del eje. 2 1 1

2 2 2

I = m r + m r + · · ·

 = mr

2

i i

i


MOMENTO DE INERCIA




´ ´ ENERGÍA CINETICA DE ROTACION

Ejemplo La hélice de un avi´ on tiene 2.08 m de longitud (de punta a punta) y masa de 117 kg, y gira a 2400 rpm (rev/min) alrededor de un eje que pasa por su centro. Trate a la hélice como una varilla delgada. a) ¿Qué energ´ıa cinética de rotaci´ on tiene? b) Suponga que, debido a restricciones de peso, usted tuviera que reducir la masa de la hélice al 75.0 de su masa original, pero siguiera requiriendo el mismo tamaño y la misma energ´ıa cinética. ¿Cuál tendr´ıa que ser su rapidez angular en rpm? Resp. a) 1.33 × 106 J b) 2770 rpm



MOMENTO DE INERCIA Ejemplo La pieza de una máquina está formada por tres discos unidos por puntales ligeros. a) ¿Qué momento de inercia tiene este cuerpo con respecto a un eje que pasa por el centro del disco A y es perpendicular al plano del diagrama? b) ¿Qué momento de inercia tiene con respecto a un eje que pasa por el centro de los discos B y C ? c) Si el cuerpo gira alrededor del eje que pasa por A con rapidez angular ω = 4.0 rad/s, ¿qué energ´ıa cinética tiene?



MOMENTO DE INERCIA Ejemplo Cuatro esferas peque˜ nas, que pueden considerarse como puntos con masa de 0.200 kg cada una, están colocadas en un cuadrado de 0.400 m de lado, conectadas por varillas muy ligeras. Calcule el momento de inercia del sistema alrededor de un eje a) que pasa por el centro del cuadrado, perpendicular a su plano (que pasa por O en la figura); b) que biseca dos lados opuestos del cuadrado (a lo largo de la l´ınea AB en la figura); c) que pasa por los centros de las esferas superior izquierda e inferior derecha y por el punto O. Resp. a) 0.0640 kg · m2 b) 0.0320 kg · m2 c) 0.0320 kg · m2


MOMENTO DE INERCIA




MOMENTO DE INERCIA Ejemplo La rueda de una carreta est´ a construida como se muestra en la figura. El radio de la rueda es de 0.300 m y la masa de su borde es de 1.40 kg. Cada uno de sus ocho rayos que se encuentran sobre un diámetro tiene 0.300 m de longitud, y una masa de 0.280 kg. ¿Qué momento de inercia tiene la rueda con respecto a un eje que pasa por su centro y es perpendicular a su plano? Resp. 0.193 kg · m2



´ DE CUERPOS RÍGIDOS ROTACION Ejemplo Enrollamos un cable ligero y que no se estira en un cilindro s´ olido de masa M y radio R. El cilindro gira con fricci´ on despreciable alrededor de un eje horizontal fijo. Atamos el extremo libre del cable a un bloque de masa m y soltamos el bloque a partir del reposo a una distancia h sobre el piso. Conforme el bloque cae, el cable se desenrolla sin estirarse ni resbalar. a) Obtenga las expresiones para la rapidez del bloque que cae y la rapidez angular del cilindro cuando el bloque golpea el suelo. b) Suponga que el cilindro y el bloque tienen la misma masa, de manera que m = M . Justo antes de que el objeto golpee el piso, ¿cuál es mayor: la energ´ıa cinética del bloque que cae o la energ´ıa cinética de rotaci´ on del cilindro?



´ DE CUERPOS RÍGIDOS ROTACION



´ DE CUERPOS RÍGIDOS ROTACION Ejemplo En el sistema que se ilustra en la figura, una masa de 12.0 kg se suelta desde el reposo y cae, haciendo que el cilindro uniforme con masa de 10.0 kg y diámetro de 30.0 cm gire en torno a un eje sin fricci´ on que pasa por su centro. ¿Qué distancia deberá descender la masa para impartir al cilindro 480 J de energ´ıa cinética? Resp. 13.9 m



´ DE CUERPOS RÍGIDOS ROTACION Ejemplo Un cable ligero, y que no se estira, se enrolla alrededor de un cilindro s´ olido olido con masa de 50 kg y 0.120 m de diámetro ame tro,, que gira gira alrede alrededor dor de un eje fijo horizo horizonta ntall y est´ está montad montado o en cojine cojinetes tes sin fricci´ fricci´ on. on. Una fuerza constante de 9.0N tira N tira del extremo libre del cable una distancia de 2.0 m, haciendo girar el cilindro conforme se desenrolla sin resbala resbalar. r. Si el cilindr cilindro o est´ está inicial inicialmen mente te en reposo, reposo, calcule calcule su rapidez angular final y la rapidez final del cable. Resp. ω Resp. ω = 20 20rad/s rad/s;; v = 1.2 m/s



´ DE CUERPOS RÍGIDOS ROTACION Ejemplo Un alambre ligero y delgado se enrolla alrededor del borde de una rued rueda, a, co com mo se mues uestra tra en la fig figur ura. a. La rued ruedaa gi gira ra sin sin fric fricci ci´ on oń alrededor de un eje horizontal fijo que pasa por su centro. La rueda es un disco uniforme de radio R = 0.280 280 m m.. Del extremo libre del alambre se encuentra suspendido un objeto de m = 4.20 kg. kg . El sistema se libera del reposo y el objeto desciende con aceleraci´ on on constante una distancia de 3.00 m en 2.00 s. ¿Cuál al es la masa de la rueda? Resp. 46 46..5 kg



´ DE CUERPOS RÍGIDOS ROTACION Ejemplo Unos Unos inge i ngeni nier eros os est´ e stán an dis d ise˜ e˜ nando un sistema en el que una masa m nando masa m,, al caer, cae r, imparte imparte energ ene rg´´ıa cinética etica a un un tamb tambor or uniform uniformee gira giratorio torio,, al a l cual c ual está unida con un alambre delgado delga do y muy ligero liger o que está enrollado enroll ado alrededor del borde del tambor . No hay fricci´ on on considerable considerable en el eje del tambor y todo el sistema parte del reposo. Este sistema se probó en la Tierra, pero debe utilizarse en Marte, donde la aceleración on debida a la gravedad es de 3.71 71 m/s m/s2 . En las pruebas en la Tierra, cuando m es de 15 15..0 kg y se le permite descender una distancia de 5.00 00 m m,, imparte 250 250..0 J J de de energ ene rg´´ıa cinética etica al tambor tambor.. a) Si el sistema sistem a se opera ope ra en Marte, ¿qué distancia dista ncia tendr´ tendr´ıa que descender descen der la masa de 15 15..0 kg p kg para ara impartir impartir la misma misma cantid cantidad ad de energ ene rg´´ıa cinética eti ca al tambor? b) ¿Con qué rapidez se mover´ a la masa de 15 15..0 kg k g en Marte justo cuando el tambor gane 250 250..0 J de ene energ´ rg´ıa cinéti etica?






´ DE CUERPOS RÍGIDOS ROTACION Ejemplo La polea de la figura tiene radio R y momento de inercia I . La cuerda no resbala sobre la polea y esta gira sobre un eje sin fricci´ on. El coeficiente de fricci´ on cinética entre el bloque A y la mesa es µk . El sistema se suelta del reposo y el bloque B desciende. El bloque A tiene masa mA ; y la de B es mB . Use métodos de energ´ıa para calcular la rapidez de B en funci´ on de la distancia d que ha descendido.



´ DE CUERPOS RÍGIDOS ROTACION Ejemplo La polea de la figura tiene 0.160 m de radio y su momento de inercia es de 0.560 kg · m2 . La cuerda no resbala en la polea y el sistema se suelta desde el reposo. Use m´ etodos de energ´ıa para calcular la rapidez del bloque de 4.00 kg justo antes de golpear el piso. Resp. 2.65 m/s



´ DE CUERPOS RÍGIDOS ROTACION Ejemplo Dos discos metálicos, con radios R1 = 2.50 cm y R2 = 5.00 cm, y masas M 1 = 0.80 kg y M 2 = 1.60 kg, se sueldan y se montan en un eje sin fricci´ on que pasa por el centro común. a) ¿Qué momento de inercia total tienen los discos? b) Una cuerda ligera se enrolla en el extremo del disco más chico y del extremo libre de la cuerda se cuelga un bloque de 1.50 kg. Si el bloque se suelta del reposo a una altura de 2.00 m sobre el piso, ¿qué rapidez tiene justo antes de golpear el piso? c) Repita el inciso b), pero ahora con la cuerda enrollada en el borde del disco grande. ¿En qué caso el bloque alcanza mayor rapidez? Explique su respuesta. Resp. a) 2.25 × 10−3 kg · m2 b) 3.40 m/s c) 4.95 m/s






ENERGÍA POTENCIAL GRAVITACIONAL DE UN CUERPO EXTENSO

Energ´ıa potencial gravitacional Si la aceleraci´ on de la gravedad g es la misma en todos los puntos del cuerpo, la energ´ıa potencial gravitacional es igual que si toda la masa estuviera concentrada en el centro de masa del cuerpo. U = M gy cm



ENERGÍA POTENCIAL GRAVITACIONAL DE UN CUERPO EXTENSO

Ejemplo Una escalera uniforme de 2.00 m de longitud y masa de 9.00 kg está apoyada contra un muro vertical formando un ángulo de 53.0◦ con el piso. Un trabajador empuja la escalera contra la pared hasta que queda vertical. ¿Cu´ al es el aumento de la energ´ıa potencial gravitacional de la escalera? Resp. W Grav = −17.7 J



TEOREMA DE LOS EJES PARALELOS Teorema de los ejes paralelos I p = I cm + M d2



TEOREMA DE LOS EJES PARALELOS

Ejemplo Considere una barra r´ıgida uniforme de masa M y longitud L. a) Encuentre el momento de inercia de la barra en torno a un eje perpendicular a la barra a través de un extremo. b) Calcule el momento de inercia de la barra alrededor de un eje perpendicular que pasa por el punto x = L4 .




Ejemplo Calcule el momento de inercia de un aro (anillo hueco de paredes delgadas) con masa M y radio R, alrededor de un eje perpendicular al plano del aro y que pasa por el borde. Resp. I = 2M R2



TEOREMA DE LOS EJES PARALELOS Ejemplo Se cuelga un aro delgado de radio R de un clavo. El aro se desplaza lateralmente (dentro de su plano) un ángulo β con respecto a su posici´ on de equilibrio y se suelta. ¿Qué rapidez angular tiene al volver a su posici´ on de equilibrio? Resp. ω = g(1 − cosβ )/R





TEOREMA DE LOS EJES PARALELOS Ejemplo Una placa metálica rectangular delgada tiene lados que miden a y b y una masa M . Use el teorema de los ejes paralelos para calcular el momento de inercia de la l´ amina alrededor de un eje perpendicular al plano de la placa y que pasa por una esquina de esta. Resp. I = 13 M (a2 + b2 )



TEOREMA DE LOS EJES PARALELOS Ejemplo a) Para la placa rectangular delgada que se muestra en la figura, calcule el momento de inercia en torno a un eje que está en el plano de la placa, pasa por el centro de esta y es paralelo al eje que se muestra en la figura. b) Calcule el momento de inercia de la placa en torno a un eje que está en el plano de la placa, pasa por el centro 1 de esta y es perpendicular al eje del inciso a). Resp. a) I = 12 M a2 1 b) I = 12 M b2



TEOREMA DE LOS EJES PARALELOS Ejemplo Una varilla delgada uniforme de masa M y longitud L se dobla por su centro de manera que los dos segmentos son ahora perpendiculares entre s´ı. Determine el momento de inercia alrededor de un eje perpendicular a su plano y que pasa por a) el punto donde se cruzan los dos segmentos y b) el punto medio de la recta que conecta los 1 1 dos extremos. Resp. a) I = 12 M L2 b) I = 12 M L2




Ejemplo Una varilla uniforme delgada se dobla formando un cuadrado de lado a. Si la masa total es M , calcule el momento de inercia alrededor de un eje que pasa por el centro y es perpendicular al plano del cuadrado. (Sugerencia: Use el teorema de los ejes paralelos). Resp. I = 13 M a2



TEOREMA DE LOS EJES PARALELOS Ejemplo La pieza de un acoplamiento mecánico tiene una masa de 3.6 kg. Su momento de inercia I P alrededor de un eje que pasa a 0.15 m de su centro de masa es I P = 0.132 kgm2 . Calcule el momento de inercia I cm alrededor de un eje paralelo que pasa por el centro de masa.



´ CALCULOS DE MOMENTO DE INERCIA

Distribuci´ on continua de masa I =



r2 dm



´ CALCULOS DE MOMENTO DE INERCIA Ejemplo Usando integraci´ on, calcule el momento de inercia de una varilla delgada uniforme con masa M y longitud L alrededor de un eje en un extremo, perpendicular a la varilla.



´ CALCULOS DE MOMENTO DE INERCIA Ejemplo Usando integraci´ on, calcule el momento de inercia de una barra r´ıgida uniforme de longitud L y masa M en torno a un eje perpendicular a la barra (el eje y) y que pasa a través de su centro de masa.



´ CALCULOS DE MOMENTO DE INERCIA Ejemplo La figura muestra un cilindro hueco con densidad uniforme de masa r, longitud L, radio interior R1 y radio exterior R2 . (Podr´ıa ser el cilindro de acero de una imprenta. Usando integraci´ on, calcule el momento de inercia alrededor del eje de simetr´ıa del cilindro.


TORCA

TORCA ´ ANGULAR DE UN CR TORCA Y ACELERACION ´ DE UN CUERPO RÍGIDO SOBRE UN EJE M OVIL ´ ROTACI ON ´ TRABAJO Y POTENCIA EN MOVIMIENTO DE ROTACI ON MOMENTO ANGULAR



TORCA Magnitud  act´ Cuando una fuerza F ua sobre un cuerpo, la torca de esa fuerza ua con respecto a un punto O punto O tiene tiene una magnitud dada por el producto de la magnitud de la fuerza F y F y el brazo de palanca l: τ = F l



TORCA Vector  act´ Cuando una fuerza F u a en un punto que tiene un vector de ua posici´ on on  τ de τ de la fuerza con r con respecto a un origen O, la torca  respecto a O es la cantidad vectorial:  τ τ =  r × F


TORCA



TORCA




TORCA Ejemplo Para aflojar una junta de tuber´ıa, un plomero aficionado ensarta un pedazo de tubo (una extensi´ on) en el mango de su llave. Se coloca de pie en el extremo del tubo, aplicando todo su peso de 900 N en un punto a 0.80 m del centro de la junta. El mango de la llave y la extensi´ on forman un ángulo de 19◦ con la horizontal. Encuentre la magnitud y direcci´ on de la torca que se aplica en torno al centro de la junta.



TORCA Ejemplo A un cilindro de una pieza se le da la forma que se muestra en la figura, con una secci´ on central que sobresale desde el cilindro más grande. El cilindro es libre de dar vuelta en torno al eje central que se muestra en el dibujo. Una soga enrollada en torno al tambor, que tiene radio R1 , ejerce una fuerza T 1 hacia la derecha sobre el cilindro. Una soga enrollada en torno a la parte central, que tiene radio R2 , ejerce una fuerza T 2 hacia abajo sobre el cilindro. a) ¿Cuál es el momento de torsión neto que act´ ua en el cilindro en torno al eje de rotaci´ on? b) Suponga T 1 = 5.0 N , R1 = 1.0 m, T 2 = 15.0 N y R2 = 0.50 m. ¿Cuál es el momento de torsi´ on neto en torno al eje de rotaci´ on, y de qué forma da vuelta el cilindro si parte desde el reposo?


TORCA




TORCA Autoevaluación Calcule la torca (magnitud y direcci´ on) alrededor del punto O debida a la fuerza en cada una de las situaciones que se representan en la figura. En todos los casos, la fuerza y la varilla están en el plano de la página, la varilla mide 4.00 m de largo y la fuerza tiene magnitud F = 10.0N . Resp. a) 40.0N m b) 34.6N m c) 20.0N m d) 17.3N m e) 0 f) 0



TORCA

Autoevaluación Calcule la torca resultante alrededor del punto O para las dos fuerzas aplicadas. La varilla y las dos fuerzas están en el plano de la página. Resp. τ = −28.0 N m



TORCA Autoevaluación Una placa metálica cuadrada de 0.180 m por lado pivota sobre un eje que pasa por el punto O en su centro y es perpendicular a la placa. Calcule la torca neta alrededor de este eje debida a las tres fuerzas que se muestran en la figura, si las magnitudes de las fuerzas son F 1 = 18.0 N , F 2 = 26.0 N y F 3 = 14.0 N . La placa y todas las fuerzas están en el plano de la página. Resp. τ = 2.50 N m



TORCA Autoevaluación Se aplican tres fuerzas a una rueda con radio de 0.350 m, como se indica en la figura. Una fuerza es perpendicular al borde, otra es tangente a este y la otra forma un ángulo de 40.0◦ con el radio. ¿Cu´ al es la torca neta sobre la rueda debida a estas tres fuerzas para un eje perpendicular a la rueda y que pasa por su centro? Resp. τ = −0.31 N m



TORCA Autoevaluación  , B  , C  y D  tienen cada una 50 N de En la figura, las fuerzas A magnitud y act´ uan en el mismo punto en el objeto. a) ¿Qué torca (magnitud y direcci´ on) ejercen cada una de estas fuerzas sobre el objeto sobre el punto P ? b) ¿Cuál es la torca total sobre el punto P ? Resp. a) τ A = 8.7 N m, τ B = 0, τ C = −5.0 N m, τ D = −10.0 N m b) τ = −6.3 N m



TORCA Autoevaluación Un maquinista usa una llave inglesa para aflojar una tuerca. La llave tiene 25.0 cm de longitud y él ejerce una fuerza de 17.0 N en el extremo del mango, formando un ángulo de 37◦ con el mango. a) ¿Qué torca ejerce el maquinista alrededor del centro de la tuerca? b) ¿Cuál es la torca máxima que el maquinista podr´ıa ejercer con esta fuerza y cómo deber´ıa orientarse la fuerza? Resp. a) τ A = 2.56 N m b) τ = 4.25 N m



´ ANGULAR TORCA Y ACELERACION Análogo rotacional de la segunda ley de Newton La torca neta que act´ ua sobre un cuerpo r´ıgido es igual al momento de inercia del cuerpo alrededor del eje de rotaci´ on multiplicado por su aceleraci´ on angular:

 τ = Iα z

z



´ ANGULAR TORCA Y ACELERACION Ejemplo Una barra uniforme de longitud L y masa M unida en un extremo a un pivote sin fricci´ on es libre de dar vueltas en torno al pivote en el plano vertical, como en la figura. La barra se libera desde el reposo en la posici´ on horizontal. ¿Cu´ ales son la aceleraci´ on angular inicial de la barra y la aceleraci´ on traslacional inicial de su extremo r´ıgido? Si se coloca una moneda en el extremo de la barra y después se libera la barra, ¿la moneda permanecer´ıa en contacto con la barra?



´ ANGULAR TORCA Y ACELERACION

Ejemplo Enrollamos un cable ligero y que no se estira en un cilindro s´ olido de masa M y radio R. El cilindro gira con fricci´ on despreciable alrededor de un eje horizontal fijo. Atamos el extremo libre del cable a un bloque de masa m y soltamos el bloque a partir del reposo a una distancia h sobre el piso. Conforme el bloque cae, el cable se desenrolla sin estirarse ni resbalar. ¿Cu´ ales son la aceleraci´ on del bloque que cae y la tensi´ on en el cable?



´ ANGULAR TORCA Y ACELERACION



´ Y ROTACION ´ COMBINADAS TRASLACION

Cuerpo r´ıgido con traslaci´ on y rotaci´ on Si un cuerpo r´ıgido se mueve en el espacio al tiempo que gira, su movimiento puede considerarse como la suma de un movimiento de traslación del centro de masa y un movimiento de rotación en torno a un eje que pasa por el centro de masa. De esta manera, la energ´ıa cinética es la suma de las energ´ıas cinéticas traslacional y rotacional: 1 1 2 K = M vcm + I cm ω 2 2 2






´ Y ROTACION ´ COMBINADAS TRASLACION Condici´ on para rodar sin resbalar vcm = Rω




Ejemplo Se hace un yoyo enrollando una cuerda con masa despreciable varias veces alrededor de un cilindro s´ olido de masa M y radio R. Se sostiene el extremo de la cuerda fija mientras se suelta el cilindro desde el reposo. La cuerda se desenrolla sin resbalar ni estirarse conforme el cilindro cae y gira. Use consideraciones de energ´ıa para calcular la rapidez vcm del centro de masa del cilindro después de caer una distancia h. Resp. vcm = 43 gh








´ Y ROTACION ´ COMBINADAS TRASLACION Ejemplo Para el yoyo del ejemplo anterior, calcule la aceleraci´ on hacia abajo del cilindro y la tensi´ on en la cuerda. Resp. acm−y = 23 g, T = 13 M g



´ Y ROTACION ´ COMBINADAS TRASLACION Ejemplo Una bola de bolos s´ olida rueda sin resbalar bajando por una rampa que está inclinada un ángulo β con la horizontal. ¿Qué aceleraci´ on tiene la bola y cuál es la magnitud de la fuerza de fricci´ on sobre esta? Trate la bola como esfera s´ olida uniforme, despreciando los agujeros. Resp. acm−x = 57 gsenβ , f = 27 Mgsenβ



´ Y ROTACION ´ COMBINADAS TRASLACION Ejemplo Un cilindro s´ olido uniforme de masa M y radio 2R descansa en una mesa horizontal. Se ata una cuerda mediante un yugo a un eje sin fricci´ on que pasa por el centro del cilindro, de modo que este pueda girar sobre el eje. La cuerda pasa por una polea con forma de disco de masa M y radio R, que está montada en un eje sin fricci´ on que pasa por su centro. Un bloque de masa M se suspende del extremo libre del hilo. La cuerda no resbala en la polea, y el cilindro rueda sin resbalar sobre la mesa. Si el sistema se libera del reposo, determine: a) La magnitud de la aceleración del bloque. b) Las tensiones sobre el bloque y sobre el centro de masa del cilindro. c) La aceleraci´ on angular del cilindro y de la polea. d) La velocidad final del bloque cuando haya descendido una altura h. Resp. a) a = 31 g b) T 2 = 32 M g, T 1 = 21 M g c) α = C

g 6R

,α = P

g 3R

d) v =



2 3

gh






´ Y ROTACION ´ COMBINADAS TRASLACION Ejemplo Una esfera hueca uniforme de masa M E = 5.0 kg y radio RE = 50 cm, gira libre de fricci´ o n en torno a un eje vertical que pasa por su centro de masa O. Una cuerda de masa despreciable pasa alrededor del ecuador de la esfera, sobre una polea uniforme de masa M P = 2.0 kg y radio RP = 25 cm, y por último está unida a una masa puntual m = 1.0 kg que puede caer verticalmente. Halle: a) Las tensiones T 1 y T 2 b) La aceleraci´ on angular de la esfera y de la polea. c) El valor de la aceleración lineal del sistema. d) Si el sistema parte del reposo, calcule la velocidad final de la masa m cuando haya descendido una altura h = 50cm. Resp. a) T 1 = 6.2N , T 2 = 8.1 N b) αE = 3.7 rad/s2 , αP = 7.4 rad/s2 c) a = 1.9 m/s2 d) v = 1.4 m/s






´ Y ROTACION ´ COMBINADAS TRASLACION Ejemplo La figura muestra un bloque de masa m que puede ser modelado como una part´ıcula. Una polea cil´ındrica homogénea, de masa M p y radio R p , que rota alrededor de un eje fijo y sin fricci´ on que pasa por su centro de masa (punto O). Un cilindro, también homogéneo, de masa M c y radio Rc , que rueda sin deslizar sobre un plano inclinado un ángulo θ. El bloque está conectado al cilindro mediante una cuerda inextendible y de masa despreciable, atada mediante un yugo, a un eje sin fricci´ on que pasa por el centro de masa del cilindro (punto A). La cuerda en cuestión no resbala sobre la polea. Si el sistema se libera desde el reposo, calcule: a) La aceleración del bloque. b) Las tensiones sobre el bloque y sobre el centro de masa del cilindro.






TRABAJO Y POTENCIA EN MOVIMIENTO DE ´ ROTACION Trabajo efectuado por una torca Si una torca act´ ua sobre un cuerpo r´ıgido que gira, ésta efect´ ua trabajo sobre el cuerpo: θ2

W =



θ1

τ z dθ



TRABAJO Y POTENCIA EN MOVIMIENTO DE ´ ROTACION

Trabajo efectuado por una torca constante Si la torca es constante y el ángulo cambia en una cantidad finita: W = τ z (θ2 − θ1 ) = τ z ∆θ




El teorema trabajo-energ´ıa El trabajo rotacional total efectuado sobre un cuerpo r´ıgido es igual al cambio de energ´ıa cinética de rotaci´ on: ω2

W tot =



ω1

1 2 1 2 Iωz dωz = Iω2 − Iω1 2 2




Potencia Si una torca τ z (con respecto al eje de rotaci´ on) act´ ua sobre un cuerpo que gira con velocidad angular ωz , su potencia (rapidez con que efect´ ua trabajo) es: P = τ z ωz




Ejemplo Un motor eléctrico ejerce una torca constante de 10 N m sobre una piedra de afilar que tiene un momento de inercia de 2.0 kg · m2 . El sistema parte del reposo. Calcule el trabajo W efectuado por el motor en 8.0 s y la energ´ıa cinética K en ese lapso. ¿Qué potencia media P med desarroll´ o el motor?



MOMENTO ANGULAR Momento angular de una part´ıcula El momento angular de una part´ıcula con respecto a un punto O es el producto vectorial del vector de posici´ on  r de la part´ıcula con p = m v : respecto a O y su momento lineal   L =  r ×  p =  r × m v



MOMENTO ANGULAR

Momento angular de una part´ıcula La rapidez de cambio del momento angular de una part´ıcula es igual a la torca de la fuerza neta que actúa sobre ella: d L = τ dt



MOMENTO ANGULAR Ejemplo Una part´ıcula de masa m se mueve en el plano xy con una velocidad v a lo largo de una l´ınea recta. ¿Cu´  ales son la magnitud y direcci´ on de su momento angular, a) respecto del origen O, y b) respecto del origen O ?



MOMENTO ANGULAR Ejemplo Una part´ıcula se mueve en el plano xy en una trayectoria circular de radio r, como en la figura. a) Encuentre la magnitud y la direcci´ on v . de su momento angular relativo a O cuando su velocidad es  b) Encuentre una expresi´ on alternativa para L en funci´ o n de la velocidad angular, ω.



MOMENTO ANGULAR Momento angular de un cuerpo r´ıgido Si un cuerpo simétrico gira alrededor de un eje de simetr´ıa estacionario, su momento angular es el producto de su momento de inercia y su vector velocidad angular:   L = I ω



MOMENTO ANGULAR

Momento angular de un cuerpo r´ıgido La rapidez de cambio del momento angular total del sistema de part´ıculas es igual a la suma de las torcas externas:

 τ = d L dt



MOMENTO ANGULAR

Ejemplo Una h´ elice de turbina del motor a reacci´ o n de un avión tiene un momento de inercia de 2.5 kg · m2 alrededor de su eje de rotaci´ on. Al arrancar la turbina, su velocidad angular es ωz = 40 rad/s3 t2 . a) Calcule el momento angular de la hélice en funci´ on del tiempo y su valor en t = 3.0 s. b) Determine la torca neta que act´ ua sobre la hélice en funci´ on del tiempo, y su valor en t = 3.0 s.







´ DEL MOMENTO ANGULAR CONSERVACION

Principio de conservaci´ on del momento angular Si la torca externa neta que actú a sobre un sistema es cero, el momento angular total del sistema es constante (se conserva):

 Si τ = 0

⇒

d L L = constante = 0, y  dt



´ DEL MOMENTO ANGULAR CONSERVACION Ejemplo v i se dispara contra un cilindro Un proyectil de masa m y velocidad  sólido de masa M y radio R. El cilindro está inicialmente en reposo y est´ a montado sobre un eje horizontal fijo que pasa por su centro de masa. La l´ınea de movimiento del proyectil es perpendicular al eje y está a una distancia d < R del centro. Encuentre la velocidad angular del sistema después de que el proyectil incide y se adhiere a la superficie del cilindro.



´ DEL MOMENTO ANGULAR CONSERVACION Ejemplo Una puerta de 1.00m de ancho y masa de 15 kg tiene bisagras en un costado, de modo que puede girar sin fricción sobre un eje vertical. Una bala de 10 g de masa con rapidez de 400 m/s pega en el centro de la puerta, en dirección perpendicular al plano de la puerta, y se incrusta dentro de esta. Calcule la rapidez angular de la puerta. ¿Se conserva la energ´ıa cinética? Resp. 0.40 rad/s; No



´ DEL MOMENTO ANGULAR CONSERVACION Ejemplo Un port´ o n de madera s´ olida, cuadrado y uniforme, de 4.5 kg, de 1.5 m de lado cuelga verticalmente desde un pivote sin fricci´ on en el centro de su extremo superior. Un cuervo de 1.1 kg que vuela horizontalmente a 5.0 m/s se dirige hacia el centro de la puerta y rebota en la direcci´ on contraria 2.0 m/s. a) ¿Cu´ al es la velocidad angular de la puerta justo después de que es golpeada por el desafortunado cuervo? b) Durante la colisi´ on, ¿por qué se conserva el momento angular, pero no el momento lineal? Resp. 1.71 rad/s



´ DEL MOMENTO ANGULAR CONSERVACION Ejemplo Un blanco de una galer´ıa de tiro consiste en una barra vertical de madera de masa M = 0.750 kg y longitud L = 0.250 m, que pivota en un extremo sobre un eje fijo sin fricción. Un proyectil de 1.90 g que viaja perpendicular al centro de la barra con una velocidad de 360 m/s î , choca con ésta y se incrusta en su centro. Trate el proyectil como una part´ıcula y a la barra como un s´ olido r´ıgido homogéneo. Para la situaci´ on descrita calcule: a) El momento angular total del sistema justo antes del choque. b) La rapidez angular del sistema después del choque? c) La altura máxima sobre la posici´ on de equilibrio que alcanza el centro de la barra? c) La rapidez m´ınima que deber´ıa tener el proyectil para que la barra realice media vuelta después del impacto Resp. a) L1 = 0.0855 kgm2 /s b) ω2 = 5.46 rad/s c) h = 0.0317 m d) v = 1010 m/s







Ejemplo Un ave de 500.0 g vuela horizontal y distra´ıdamente a 2.25 m/s, cuando de repente viaja directo hacia una barra vertical estacionaria, golpeándola a 25.0 cm debajo de la parte superior. La barra es uniforme con longitud de 0.750 m y masa de 1.50 kg, y tiene una bisagra en la base. El choque aturde al ave, de modo que después simplemente cae hacia el suelo (aunque pronto se recupera para continuar volando felizmente). ¿Cu´ al es la velocidad angular de la barra, a) justo despu´ es de que es golpeada por el ave, y b) cuando esta llega al suelo? Resp. a) 2.00 rad/s b) 6.58 rad/s







Ejemplo Un ágil profesor de f´ısica se pone de pie en el centro de una mesita giratoria y sin fricci´ on con los brazos extendidos horizontalmente y una mancuerna de 5.0 kg en cada mano. Se le pone a girar sobre un eje vertical, dando una revoluci´ on cada 2.0 s. Calcule la velocidad angular final del profesor si él pega las mancuernas a su abdomen. Su momento de inercia (sin las mancuernas) es de 3.0 kg · m2 con los brazos extendidos, y baja a 2.2 kg · m2 si coloca las manos en el abdomen. Las mancuernas están a 1.0 m del eje al principio y a 0.20 m al final. Resp. 2.5 rev/s = 15.7 rad/s






´ DEL MOMENTO ANGULAR CONSERVACION Ejemplo Un proyectil de masa m p = 25 g que se mueve con velocidad constante v0 = 45 m/s hacia un disco estacionario de masa md = 0.50 kg y radio Rd = 15 cm; que gira libremente en el plano x − y, alrededor de un pivote que pasa por su eje O y que es perpendicular al plano de giro como se muestra en la figura. Antes del impacto, el proyectil se desplaza a lo largo de una recta situada a una distancia b = 5.0 cm por debajo del eje. El proyectil choca inel´ asticamente contra el disco y queda adherido a él en el punto B. Trate el proyectil como una part´ıcula y al disco como un s´ olido homogéneo. Para esta situación calcule: a) El momento angular total del sistema (disco + proyectil) justo antes del choque. b) La velocidad angular del sistema (disco + proyectil) después del choque. c) La energ´ıa cinética disipada en la colisi´ on.






´ DEL MOMENTO ANGULAR CONSERVACION Ejemplo Una part´ıcula de masa m = 2.0 kg, que viaja inicialmente hacia la derecha con rapidez v , golpea en ángulo recto, una barra de masa M = 1.0 kg y longitud L = 4.0 m. Ambos, la part´ıcula y la barra se encuentran en una superficie plana sin fricci´ on, como se muestra en la vista superior de la figura. Suponga que después de la colisi´ on la part´ıcula no se desv´ıa de su l´ınea de movimiento original. Justo después de la colisi´ on. la rapidez de m es de v = 5.0 m/s y la rapidez angular de la barra es ω = 5.45 rad/s. Con la información suministrada encuentre: a) La rapidez inicial v de la part´ıcula antes de la colisi´ on. b) La rapidez del centro de masa v cm de la barra justo después del choque. c) La energ´ıa cinética disipada en la colisi´ on. Resp. a) v = 8.6 m/s b) vcm = 7.2 m/s c) 22 J 0

0

0





CONDICIONES DE EQUILIBRIO CENTRO DE GRAVEDAD

CONDICIONES DE EQUILIBRIO Para que un cuerpo r´ıgido esté en equilibrio, deben cumplirse dos condiciones: 1

La suma vectorial de todas las fuerzas externas que act´ uan sobre el cuerpo debe ser igual a cero:

 F  =  0  F = 0  F = 0  F = 0 x

2

y

z

La suma de las torcas debidas a todas las fuerzas externas que act´ uan sobre el cuerpo con respecto a cualquier punto espec´ıfico debe ser igual a cero: 0 τ = 





CENTRO DE GRAVEDAD La torca debida al peso de un cuerpo se calcula suponiendo que todo el peso se concentra en el centro de gravedad: τ =   r cm × M g =  r cm × w



´ DEL CENTRO DE GRAVEDAD OBTENCION



USO DEL CENTRO DE GRAVEDAD



EQUILIBRIO DE CUERPOS RÍGIDOS Ejemplo Un oso hambriento que pesa 700 N camina hacia afuera de una viga en un intento por recuperar una canasta de comida que cuelga en el extremo de la viga. La viga es uniforme, pesa 200 N y mide 6.00 m de largo; la canasta pesa 80.0 N . a) Dibuje un diagrama de cuerpo libre para la viga. b) Cuando el oso est´ a en x = 1.00 m, encuentre la tensi´ on en el alambre y las componentes de la fuerza que ejerce la pared sobre el extremo izquierdo de la viga. c) Si el alambre puede resistir una tensi´ on máxima de 900 N , ¿cuál es la distancia máxima que el oso puede caminar antes de que el alambre se rompa? Resp. b) T = 343 N ; Rx = 171 N ; Ry = 683 N c) x = 5.13 m



EQUILIBRIO DE CUERPOS RÍGIDOS



EQUILIBRIO DE CUERPOS RÍGIDOS Ejemplo Una pluma uniforme de 1200 N está sostenida mediante un cable, como se muestra en la figura. La pluma est´ a articulada en la parte baja, y un objeto de 2000 N cuelga de su parte superior. Encuentre la tensi´ on en el cable y las componentes de la fuerza de reacción que ejerce el suelo sobre la pluma. Resp. T = 1.46 kN ; H = 1.33 kN




Ejemplo Un extremo de una barra uniforme de 4.00 m de largo y peso F g está sostenido mediante un cable. El otro extremo descansa contra la pared, donde se mantiene por fricci´ on, como se muestra en la figura. El coeficiente de fricci´ on est´ atica entre la pared y la barra es µs = 0.500. Determine la distancia m´ınima x desde el punto A en el que un objeto adicional, también con el mismo peso F g , se puede colgar sin hacer que la barra se deslice en el punto A. Resp. xmin = 2.82 m






EQUILIBRIO DE CUERPOS RÍGIDOS Ejemplo Una gr´ ua de 15, 000 N puede girar alrededor de un eje sin fricci´ on en su base y est´ a sostenida por un cable que forma un ángulo de 25◦ con la gr´ ua. La gr´ ua tiene 16 m de largo y no es uniforme; su centro de gravedad está a 7.0 m del eje medidos a lo largo de la gr´ ua. El cable está sujeto a 3.0 m del extremo superior de la grúa. La gr´ ua se levanta a 55◦ por encima de la horizontal, sosteniendo un contenedor con ladrillos de 11, 000N mediante una cuerda muy ligera de 2.2m. Calcule a) la tensi´ on en el cable y b) las componentes vertical y horizontal de la fuerza ejercida por el eje sobre la gr´ ua. Comience dibujando un diagrama de cuerpo libre de la gr´ ua. Resp. a) T = 2.93 × 104 N b) Rx = 2.54 × 104 N ; Ry = 4.06 × 104 N






EQUILIBRIO DE CUERPOS RÍGIDOS Ejemplo En la figura se muestra una barra esbelta de masa m = 100 kg y longitud L, en equilibrio est´ atico pero a punto de deslizar. El coeficiente de rozamiento est´ atico entre la barra y la superficie horizontal es µs = 0.6. Para la situaci´ on descrita, calcule: a) El ángulo θ que el alambre forma con la pared. b) La tensión T en el alambre que une el extremo superior de la barra con la pared vertical. Resp. a) θ = −47◦ b) T = 516 N



EQUILIBRIO DE CUERPOS RÍGIDOS Ejemplo Un peso W se sostiene unido a un poste metálico vertical y uniforme, mediante una cuerda ligera que pasa por una polea, cuya masa y fricci´ on son despreciables. La cuerda est´ a unida al poste 40.0 cm debajo de la parte superior y tira horizontalmente de él. El poste pivota alrededor de una bisagra en su base, tiene 1.75 m de altura y pesa 55.0 N . Un alambre delgado conecta la parte superior del poste con una pared vertical. El clavo que une este alambre a la pared se saldrá si una fuerza hacia afuera mayor que 22.0 N act´ ua sobre él. a) ¿Cuál es el peso máximo W que puede soportarse de esta forma sin que se salga el clavo? b) ¿Cuál es la magnitud de la fuerza que la bisagra ejerce sobre el poste? Resp. a) W = 28.5 N b) F = 84.5 N






EQUILIBRIO DE CUERPOS RÍGIDOS Ejemplo Una se˜ nal nal uniforme de peso F g y ancho 2L cuelga de una viga horizontal ligera con bisagra en la pared y sostenida por un cable. Determine a) la tensi´ on en el cable y b) las componentes de la fuerza on de reacci´ on on que ejerce la pared sobre la viga, en t´ erminos erminos de F g , d, L y θ.



EQUILIBRIO DE CUERPOS RÍGIDOS Ejemplo Supo Supon nga que que ust usted inau inaugu gura ra un rest restau aura rant ntee y espe espera ra atra atraer er a sus clientes colgando un letrero en el exterior. La viga horizontal uniforme que sostiene el letrero tiene 1.50 m de longitud y masa de 12..0 kg, 12 kg , y est´ a sujeta a la pared pared mediante mediante una bisagra. bisagra. El letrero es uniforme con masa de 28 de 28..0 kg y kg y longitud de 1 de 1..20 20m m. los dos alambres que sostienen el letrero tienen una longitud de 32 32..0 cm cada uno, est´ están an separ separad ados os 90 90 cm cm y se encuentran igualmente espaciados con respecto al punto medio del letrero. El cable que sostiene la viga tiene 2.00 00 m m de de longitud. longi tud. a) ¿Qué tensión on m´ınima debe deb e soportar sop ortar el cable sin que se caiga el letrero? letrero? b) ¿Qu´ ¿Qué fuerza vertical vertical m´ınima debe soportar la bisagra sin salirse de la pared? Resp. a) T = T = 379 N b) F v = 141 N






EQUILIBRIO DE CUERPOS RÍGIDOS Ejemplo La figura muestra una puerta de cochera que está montada en un riel superior. Las ruedas en A y B se oxidaron, de modo que no ruedan, sino que se deslizan sobre el riel. El coeficiente de fricción cinética es de 0.52. La distancia entre las ruedas es de 2.00 m, y cada una está a 0.50 m del borde vertical de la puerta. La puerta  la empuja a la es uniforme y pesa 950 N . Una fuerza horizontal F izquierda con rapidez constante. a) Si la distancia h es de 1.60 m, ¿Qué fuerza vertical ejerce el riel sobre cada rueda? b) Calcule el valor máximo que h puede tener para que la rueda izquierda A no se levante del riel. Resp. a) nA = 80 N , nB = 870 N b) h = 1.92 m







Ejemplo Una puerta de 4.00 m de ancho y 2.00 m de altura pesa 500 N ; su centro de gravedad está en su centro, y tiene bisagras en A y B. Para aliviar la deformación en la bisagra superior, se instala el alambre CD como se muestra en la figura. La tensió n en CD se aumenta hasta que la fuerza horizontal en la bisagra A es cero. a) ¿Qué tensión hay en el alambre CD? b) ¿Qué magnitud tiene la componente horizontal de la fuerza en la bisagra B? c) ¿Qué fuerza vertical combinada ejercen las bisagras A y B? Resp. a) T = 268 N b) H Bh = 232 N c) H Av + H Bv = 366 N






EQUILIBRIO DE CUERPOS RÍGIDOS Ejemplo Imagine que est´ a tratando de subir una rueda de bicicleta de masa m y radio R a una acera de altura h; para ello, aplica una fuerza  logra subir la rueda, si la horizontal. ¿Qué magnitud m´ınima de F fuerza se aplica a) al centro de la rueda? b) ¿Y en la parte superior de la rueda? √ c) ¿En cuál caso√ se requiere menos fuerza? Resp. a) −h b) F = mg 2Rh−h c) En b) F = mg 2RRh 2 R −h −h 2

2


TEORÍA Ejemplo En la figura se muestran dos masas idénticas que están unidas por poleas sin fricci´ on mediante cuerdas muy delgadas, enrolladas alrededor del borde de la polea, y se liberan partiendo del reposo. Ambas poleas tienen la misma masa y el mismo diámetro, pero una es s´ olida y la otra es un aro. Conforme las masas caen, podemos afirmar que la tensión en la cuerda de la polea sólida es: a) El doble de la tensión de la cuerda que tiene aro. b) El triple de la tensión de la cuerda que tiene aro. c) La mitad de la tensión de la cuerda que tiene aro. d) Igual en ambos casos.


TEORÍA


TEORÍA Ejemplo Una piedra de 2.00 kg tiene una velocidad horizontal con magnitud 12.0 m/s cuando está en el punto P de la figura. En ese instante, el momento angular que tiene respecto a O es: a) 115 kg · m2 /s entrando al plano de la página. b) 96 kg · m2 /s entrando al plano de la página. c) 57.64 kg · m2 /s saliendo del plano de la página. d) 153.53 kg · m2 /s saliendo del plano de la página.


TEORÍA Ejemplo Dos masas, mA = 1 kg y mB = 2.5 kg, se unen en los extremos opuestos de una varilla de 1 m de longitud. La masa de la barra es de 1.5 kg. Si el sistema gira alrededor de un eje perpendicular a la varilla que pasa por su centro con una rapidez angular de 4 rad/s. El momento de inercia del sistema alrededor de un eje perpendicular a la varilla que pasa por su centro es: a) 1.37 kg · m2 b) 1.25 kg · m2 c) 2 kg · m2 d) 1 kg · m2


TEORÍA Ejemplo Una fuerza de 10 N se aplica tangente a una rueda de radio R, mientras que una fuerza de 15 N se aplica tangente a una rueda de radio R/3 montada en la parte superior de la rueda anterior, como se muestra aqu´ı. El momento de torsi´ on que act´ ua sobre el sistema es: a) 5R en la dirección x negativa. b) 5R en la dirección x positiva. c) 5R en la dirección y negativa. d) 5R en la dirección y positiva. e) 5R en el plano xz.


TEORÍA


TEORÍA Ejemplo v a una distancia Cinco objetos de masa m se mueven con velocidad  r de un eje de rotaci´ on perpendicular a la p´ agina por el punto A, como se muestra en la figura. El que tiene momento angular cero alrededor de ese eje es:


TEORÍA Ejemplo La figura muestra dos bloques de masas m1 y m2 , conectados por medio de una cuerda ligera que pasa por una polea de radio R y momento de inercia I alrededor de su eje. El bloque m2 se desliza sobre una superficie horizontal sin fricci´ on. Cuando se libera m1 , los bloques se aceleran y la polea gira. El momento angular total del sistema, el cual se compone de los dos bloques más la polea en torno a un eje que coincide con el eje de la polea es: a) El mismo en cualquier instante. b) Proporcional al radio de la polea. c) Proporcional a la velocidad de los bloques. d) Proporcional a la longitud de la cuerda. e) Todas las anteriores.


TEORÍA


Unidad 4(2)

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