NGHIÊN CỨU ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP NỘI SUY TRONG VIỆC TÍNH TOÁN CÁC BÀI TOÁN KỸ THUẬT APPLYING INTERPOLATION METHOD FOR CALCULATION MANY TECHNOLOGICAL PROBLEM
SVTH : Phạm Thị Trang. Lớp : 01KX – Ngành kinh tế xây dựng và quản lý dự án Khoa Xây Dựng Thuỷ Lợi - Thuỷ Điện. CBHDKH : GS. TS Nguyễn Thế Hùng. TÓM TẮT Đề tài tập trung nghiên cứu và thiết lập chương trình tính toán các phương pháp nội suy, tiến hành phân tích các tính chất của các đường cong nội suy, sau đó lựa chọn một phương pháp nội suy thích hợp và chính xác nhất để áp dụng tính toán nội suy cho một số bài toán kỹ thuật trong thực tiễn và đưa ra những kiến nghị sử dụng. ABSTRACT This Subject focuses on researching and seting up calculation program for some interpolation methods, carry out analyzing property of spline interpolation, after choosing a suitable and exactly Method to apply in calculation for some technological problem and putting forward proposal motions
1. MỞ ĐẦU. Xây dựng là một biểu hiện về sự phát triển của xã hội, việc ứng dụng phương pháp nội suy vào các bài toán kỹ thuật , đặc biệt là đối với ngành xây dựng sẽ góp phần quan trọng vào việc giảm giá thành xây dựng công trình, nó không những có hiệu quả về mặt tài chính mà góp phần tạo khả năng tranh thầu và thắng thầu cao. Trong thực tế, có những hiện tượng vật lý cũng như những hiện tượng tự nhiên có tính quy luật cao như hiện tượng thuỷ triều, sự phân bố nồng độ mặn của muối tại cửa sông hay mô hình dự báo theo chuỗi thời gian…Vấn đề đặt ra là làm sao chúng ta có thể xác định được các thông số cần biết thông qua một vài giá trị điến hình đã biết. Với yêu cầu đó, thông qua phương pháp nội suy với độ chính xác tương đối cao, ở một chừng mực nào đó sẽ là công cụ hổ trợ đắc lực giúp chúng ta xác định được các thông số cần biết trên cơ sở của các thông số đã biết dựa vào mối tương quan giữa các đại lượng, hay theo mô hình xu hướng của các hiện tượng. Hạn chế số điểm đo đạc khảo sát trên cơ sở mối quan hệ tương quan giữa các thông số đã được xác định, nội suy ra các thông số cần thiết còn lại. Đó chính là mục tiêu của việc nghiên cứu và ứng dụng các phương pháp nội suy vào các bài toán kỹ thuật đặt ra trong thực tiễn. Việc ứng dụng phương pháp nội suy nhằm hạn chế phí tổn khảo sát, đo đạc trong xây dựng. Chính vì thế việc nghiên cứu các phưong pháp nội suy và ứng dụng chúng vào trong lĩnh vực đầu tư xây dựng cơ bản là rất cần thiết và rất có hiệu quả. 2. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU. 2. 1 Đặt vấn đề. Trong thực tế của khoa học kỹ thuật, nhiều khi cần tìm hàm (quan hệ) : y =f(x) mà chỉ biết giá trị yi tại các điểm xi ∈ [a,b] với i = 0, n . Cũng có trường hợp quan hệ f(x) đã biết nhưng trong dạng một biểu thức giải tích khá phức tạp, khi đó người ta dùng phép tính nội suy, nghĩa là thay hàm f(x) bởi hàm F(x) đơn giản hơn để tìm trị số của hàm tại điểm x ∈ [a,b] bất kỳ, mà đạt được độ chính xác cao . Trong trường hợp đó ta nói F(x) xấp xỉ hàm f(x). 2. 2 Cơ sở lý thuyết. 2. 2. 1 . Đa thức nội suy Lagrănggiơ : a. Mô hình bài toán : Xét hàm y =f(x) trên đoạn [a,b] và giả sử tại n+1 mốc xi ∈ [a,b] ta đã biết giá trị
yi =f(xi) với i = 0, n (1) Ta xây dựng đa thức bậc Pn(x) bậc không quá n sao cho thoã mãn điều kiện : Pn(xi) = yi với i = 0, n (2) Theo cách của Lagrănggiơ trước hết lập các đa thức bậc n. Lj(x) thoã mãn điều kiện : Lj(x) = 0 nếu i ≠ j Lj(x) = 1 nếu i = j Dễ dàng thấy rằng ∀ j = 0, n thì : ( x − x0 ).( x − x1 )...( x − x j −1 ).( x − x j +1 )...( x − x n ) Lj(x) = ( x j − x 0 ).( x j − x1 )...( x j − x j −1 ).( x j − x j +1 )...( x j − x n ) là đa thức bậc n thoã mãn điều kiện (3) Ta chọn : n
Pn(x) =
∑L j =0
j
( x).Y j
Do yi =f(xi), với i = 0, n đã có nên Pn(x) là đa thức bậc n Và từ (3),(4) ta suy ra Pn(x) thoã mãn điều kiện (2). Đa thức dạng (5) gọi là đa thức nội suy Lagrănggiơ. 2.2.2 Đa thức nội suy Newton Đa thức nội suy Lagrănggiơ dễ tính xong có nhược điểm là khi thêm vào mốc nội suy thì quá trình tính cũ phải bỏ đi tất cả và phải lặp lại từ đầu. Newton đã đưa ra một cách lập khác thuận lợi hơn. a. Mô hình bài toán : Xuất phát từ bảng số : yi =f(xi) với i = 0, n (1) Với các mốc nội suy là x0, x1, x2,. . . , xn , với x ∈ [a,b] Ta xây dựng đa thức nội suy như sau : Cùng với mốc nội suy xi ( i = 0, n ), đưa thêm vào mốc x bất kỳ. Ta có : f ( x) − f ( x 0 ) f[ x,x0] = x − x0 Do đó : f(x) = f(x0) + (x-x0). f[x,x0] (2) Ta lại có : f [ x, x0 ] − f [ x 0 , x1 ] f[x,x0,x1] = x − x1 Từ đó ta có : f[x,x0] = f[x0,x1] + (x-x1). f[x,x0,x1] Và cứ tiếp tục cuối cùng ta thu được : f(x) =f(x0)+(x-x0).f[x,x0]+(x-x0). (x-x1).f[x,x0,x1] +. . . + (x-x0). (x-x1). . . (x-xn-1).f[x,x0,x1,. . . xn-1] +. . . + (x-x0). (x-x1). . . (x-xn-1). (x- xn).f[x,x0,x1,. . . xn-1,xn] (3) Trong công thức (3) nếu đặt : Pn(x) = f(x0)+(x-x0).f[x,x0]+(x-x0). (x-x1).f[x,x0,x1] +. . . + (x-x0). (x- x1). . . (x-xn-1).f[x,x0,x1,. . . xn-1]. (4) R(x) = (x-x0). (x-x1). . . (x-xn-1). (x- xn).f[x,x0,x1,. . . xn-1,xn]. (5) Thì : f(x) = Pn(x) + R(x) (6) Đa thức (4) gọi là đa thức nội suy Newton tiến. R(x)- gọi là số hạng dư. Dạng của đa thức (4) phụ thuộc vào cách sắp xếp các mốc x0,x1,x2,x3,. . . xn. Hơn thế nữa tỉ hiệu có tính chất đối xứng nên nếu ta sắp xếp lại các mốc nội suy theo thứ tự : xn, xn-1, xn-2,. . . , x1, x0 thì đa thức nội suy xuất phát từ mốc xn sẽ là : Pn(x) = f(xn)+(x-xn).f[xn,xn-1]+(x-xn). (x-xn-1).f[xn,xn-1,xn-2]+. . . +(x-xn). . (x- xn-1). . . (x-x1).f[xn,xn-1,xn-2,. . . x0]. (4’) khi đó (4’) gọi là đa thức nội suy newton lùi.
Thông thường đa thức nội suy newton tiến thường được sử dụng để tính giá trị gần đúng của f(x) tại điểm x gần đầu bảng (gần x0 ), còn công thức nội suy newton lùi dùng để tính x ở gần cuối bảng (gần xn). 2. 2. 3. Đa thức nội suy Spline : a. Phương pháp luận : Phương pháp nội suy bằng đa thức có nhược điểm là nếu số mốc nội suy tăng lên thì bậc đa thức cũng tăng lên. Điều này rất bất lợi cho việc tính toán. Ta có thể thực hiện phép nội suy nhờ những hàm phép trơn (spline), là những đa thức từng khúc được ghép với nhau một cách trơn tru. Xét một cách chia đoạn [a,b], ta có ∆ ={a=x01). Số điều kiện thiếu đó sẽ được bổ sung nhờ điều kiện biên x0= a, xn = b. c. Phương pháp giải mô hình : Tổng quát nếu có n+1 điểm ta cần n hàm spline bậc 3 có dạng : fi(x) = A1i+A2i.x+A3i.x2+A4i.x3+. . . ,( i =1, n ) Có 4n hệ số Aij có thể xác định theo các điều kiện sau : - Hàm Cubies phải gặp tất cả các điểm ở bên trong : có 2n phương trình : f1(xi) = yi, với i =1, n fi+1(xi) = yi, với i =1, n +1 - Đạo hàm bậc một phải liên tục ở bên trong dẫn đến được n+1 phương trình : f’i+1(xi) = fi(xi) với i =1, n +1 . - Đạo hàm bậc 2 phải liên tục tại các điểm bên trong, thêm được n-1 phương trình nữa : f’’i(xi) = f’’i+1(xi) với i =1, n . - Hai điều kiện cuối cùng dựa vào hai điểm cuối của đường spline, ở đây thường đặt : f’’1(x0) = 0 và f’’n(xn) = 0 - Sắp xếp lại hàm fi(x) ta cần n-1 phương trình cần thiết để giải,dạng : y = f’i(x) = y = f ' i ( x) = (
f ' ' ( xi −1 ).( xi − x) 3 f ' ' ( xi ).( x − x i −1 ) 3 y f ' ' ( xi −1 ).∆x i + + ( i −1 − ).( xi − x) + 6∆xi 6∆x i ∆xi 6
yi ×' ' ( x i ).∆xi − ).( x − xi −1 ) ∆x i 6
∆xi = xi − xi −1 với i =1, n −1 . với Đạo hàm phương trình này và áp dụng điều kiện liên tục đạo hàm bậc nhất ta được : ∆xi . f ' ' ( xi −1 ) + 2(∆xi + ∆xi +1 ). f ' ' ( xi ) + ∆xi +1 . f ' ' ( xi +1 ) = 6(−
∆y i ∆y i +1 + ) ∆xi ∆xi +1
với ∆y i =yi-yi-1 và i = 1, n −1 Điều này tương đương với hệ phương trình tuyến tính có ẩn là đạo hàm bậc 2 tại các điểm bên
trong :
2( ∆x1 + ∆x 2 ) ∆x 2 0 ∆x1 2( ∆x 2 + ∆x3 ) ∆x 3 0 ∆x 2 2( ∆x3 + ∆x 4 ) 0 0 0 0
∆y 2 ∆y1 ∆ x − ∆x 2 1 f ' ' ( x1 ) 0 ∆ y ∆ y 3 2 f ' ' ( x ) − 0 2 ∆ x 3 ∆x 2 0 f ' ' ( x3 ) = 6 ∆y 4 ∆y 3 ∆ x − ∆x 4 3 2( ∆x n−1 + ∆x n f ' ' ( x n ) ∆y ∆y n − n−1 ∆x n ∆x n −1
Ký hiệu ma trận tương đương là : f1 e 2
g1 f2
g2
e3
f3
g3
.
.
.
.
.
.
.
.
.
en −1
f n −1 en
g n −1 fn
x1 x 2 x3 . . . x n −1 xn
=
r1 r 2 r3 . . . rn rn −1
2.3 Ứng dụng các phương pháp nội suy vào việc tính toán các bài toán kỹ thuật. 2.3.1 Bài toán 1 : Nội suy độ mặn tại La Ỷ, Ngã Ba Sình, Thượng Thảo Long thuộc Sông Hương của Thành Phố Huế. Dữ liệu bài toán Tại La Ỷ : Độ sâu (m) -0,39 -4,23 -8,82 Độ mặn (S0/00 ) 1 2,01 2,6 Tại Ngã Ba Sình : Độ sâu (m) -0,34 -5,0 -10,32 Độ mặn (S0/00 ) 2,9 6,9 7,3 Tại Thượng Thảo Long : Độ sâu (m) -0,36 -3,4 -7,1 0 Độ mặn (S /00 ) 8 9,5 11,87 § é s© u (H) -0,39
§ é s©u (H)
§ é s© u (H)
-0,34
-0,36
-5,0
-3,4
-10,32
-7,10
-4,23
-8,82 1 2,01 2,6
§ é mÆ n (S /000)
2,9 6,97,3
§ é mÆn (S 0/00 )
Tại La Ỷ Tại Ngã Ba Sình Kết quả tính toán nội suy : * Theo phương pháp Largrange và phương pháp Niutơn
8 9,511,87
§ é mÆ n (S /00)0
Tại Thượng Tháo Long
Tại La Ỷ Độ sâu (m) Độ mặn (S0/00 )
-0,39
-1
-2
-3
-4
-4,23
-5
-6
-7
-7,5
-8
-8,82
1,0
1,19
1,48
1,74
1,96
2,01
2,16
2,32
2,45
2,50
2,54
2,6
Tại Ngã Ba Sình Độ sâu (m) -0,34 0 Độ mặn (S /00 ) 2,9 Tại Thượng Thảo Long Độ sâu (m) -0,36 0 Độ mặn (S /00 ) 8,0 * Theo phương pháp Spline Độ sâu (m) Độ mặn (S0/00 )
-2 4,72
-4 6,33
-5,00 6,9
-1 8,28
-2 8,76
-3,4 9,5
-7 7,57
-9 7,62
-4 9,84
-10,32 7,3
-6 11,10
-7,1 11,87
-0,39
-1
-2
-3
-4
-4,23
-5
-6
-7
-7,5
-8
-8,82
1,0
1,16
1,42
1,69
1,95
2,01
2,11
2,24
2,37
2,43
2,5
2,6
Tại La Ỷ Độ sâu (m) -0,39 -1 -3 -4,23 0 Độ mặn (S /00 ) 1,0 1,16 1,69 2,01 Tại Ngã Ba Sình Độ sâu (m) -0,34 -2 -4 -5,00 0 Độ mặn (S /00 ) 2,9 4,33 6,04 6,9 Tại Thượng Thảo Long Độ sâu (m) -0,36 -1 -2 -3,4 Độ mặn (S0/00 ) 8,0 8,32 8,81 9,5 Đồ thị biểu diến mối tương quan § é s©u (H) -0,39 -1,0
-0,34 -2 -4 -5,0 -7,0
-4,23
3
-8,82
1 2,01 2,6
Tại La Ỷ
-10,32 § é mÆn (S 0/00)
-7 7,05 -4 9,88
-7 2,37
-8,82 2,6
-9 7,20
-10,32 7,3
-6 11,17
-7,1 11,87
§ é s© u (H)
§ é s© u (H) 1 2
-5 2,11
3
-0,36 -1 -2
2
-3,4 -4 -6
1
-7,10 2,9 6,9 7,3
§ é mÆn (S 0/00)
Tại Ngã Ba Sình
1 2 3
89,511,87
§ é mÆn (S 0/00)
Tại Thượng Thảo Long
Ghi chú : 1. Đường số liệu cho ban đầu 2. Đường nội suy Lagrange và Niutơn 3. Đường nội suy Spline *Nhận xét : Đối với hiện tượng vật lý ở đây là phân bố độ mặn theo độ sau , nội suy Spline bậc 3 tỏ ra có nhiều ưu điểm vì đường cong phân bố là đường bậc 3 và đủ trơn nên cho phép ta xây dựng đường nội suy sát với sự phân bố độ mặn trong thực tế. Các phương pháp nội suy Niutơn hay Largrange chỉ tạo đa thức bậc càng cao khi số điểm nội suy càng lớn do đó không thích hợp ở đây do đường cong uốn khúc quanh co. 2.3.2 Bài toán 2 : Nội suy mực nước thuỷ triều cho một con triều hình Sin(x) trong vòng 24 giờ. * Dữ liệu của bài toán. HThuỷ triều 0 1,2 0 -1,2 0 1,2 0 Thời điểm 0 1 2 3 4 5 6 *Kết quả tính toán nội suy :
Nội suy Largrange và Niutơn Httriều 0 0,9 1,2 0,9 Thời điểm 0 0,5 1 1,5 Nội suy Spline 0 0,825 1,2 0,825 Httriều Thời điểm
0
0,5
1
1,5
0 2 0 2
-0,9 2,5 -0,825 2,5
-1,2 3 -1,2 3
-0,9 3,5
0 4
0,9 4,5
1,2 5
0,9 5,5
0 6
-0,825 3,5
0 4
0,825 4,5
1,2 5
0,825 5,5
0 6
* Kết luận Với hiện tượng thuỷ triều lên xuống thì việc sử dụng nội suy Largrange và Niutơn tỏ ra có hiệu quả hơn do nó chỉ là đường cong bậc 2 nên nội suy theo Phương pháp Spline tỏ ra không hiệu quả và thiếu chính xác. 2.4 Kết luận và kiến nghị.
Qua số liệu đã cho và kết quả tính toán ta nhận thấy rằng, trong thực tế có nhiều hiện tượng có quy luật khác nhau, tuỳ theo từng hiện tượng vật lý mà ta chọn phương pháp nội suy thích hợp để có được kết quả nội suy sát với thực tế nhất.Việc ứng dụng phương pháp nội suy vào các bài toán kỹ thuật đặt ra trong thực tế là rất cần thiết và rất có ý nghĩa thực tiễn bởi nó đã góp phần giảm khối lượng số liệu nghiên cứu đo đạc như thế là ta đã tiết kiệm được một khoản rất lớn chi phí cho việc thu thập và xác định số liệu trên cơ sở đường xu hướng và mối quan hệ tương quan giữa các đại lượng thông qua phương pháp nội suy để tính toán. Một số giao diện nhập và tính toán nội suy
TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Steven C.Chapra and Raymond P.Canale,Numerical Methods for Engineer with Programming and Software Application. 2. Giáo trình Giải tích số,Nhà xuất bản khoa học và kỹ thuật Hà Nội. 3.GS.TS Nguyễn Thế Hùng, Giáo trình Phương pháp tính.. 4. Tạp chí khoa học và công nghệ 5. RoBert SEDGEWICK,Cẩm nang thuật toán.
