Una introducción al uso de FEMM 4.2 Introducción
La sigla FEM (Finite Element Method o Método de Elementos Finitos en castellano) designa a uno de los muchos métodos utilizados para la resolución aproximada de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales (EDP) Estas ecuaciones ecuaciones aparecen aparecen en muchas !reas" an!lisis de tensiones tensiones estructurales# estructurales# dise$o de diversas piezas# estudio de m!%uinas eléctricas# la conducción del calor & una larga serie de aplicaciones imposi'le de mencionar en detalle a'itu a'itualm alment ente# e# en los cursos cursos de n!li n!lisis sis *** se estudia estudian n alguno algunoss de los métod métodos os anal+ticos %ue se pueden utilizar para resolver EDP# siendo el de Fourier# en mi opinión# el m!s vers!til & 'ello ,n con la potencia de estos métodos anal+ticos# muchos de los pro'lemas de ingenier+a son demasiado comple-os como para ser resueltos .a mano/# a menos %ue se 'us%ue una solución a un pro'lema so're simplificado Para 'ien & para mal las computadoras han cam'iado dr!sticamente nuestra forma de tra'a-ar tra'a-ar La parte parte 'uena 'uena reside reside en método métodoss numéric numéricos os %ue nos posi'i posi'ilit litan an atacar atacar pro'lemas cu&a comple-idad los torna virtualmente imposi'les de resolver por métodos anal+ticos La parte mala aparece cuando los usamos en forma ciega sin sa'er %ué hacen & cu!les son las limitaciones 0odo méto método do numé numéri rico co %ue %ue resue resuelv lvaa EDP EDP encu encuen entr traa una una solu soluci ción ón aproximada al pro'lema en un con-unto discreto de discreto de puntos del espacio Las dos pala'ras en cursiva son importantes & refle-an limitaciones esenciales de todo algoritmo de este tipo Es imposi'le encontrar la solución en los infinitos puntos del espacio (ni ser+a razona'le) & ello lleva a %ue se resuelva un pro'lema (en general matricial) .seme-ante/ al diferencial 1o nos vamos a adentrar en estos temas por%ue corresponde a cursos superiores de n!lisis 1umérico# nos vamos a contentar con aprender a utilizar un programa en particular en algunos e-emplos propios de nuestra materia Dada la velocidad de evolución de la tecnolog+a# es importante u'icarse en el tiempo Durant Durantee mucho muchoss a$os a$os hemos hemos utiliz utilizamo amoss el progra programa ma 2uic3 2uic3 Field# Field# propie propiedad dad de la empresa 0era nal&sis La versión empleada era una distri'ución li're# destinada a estudiantes & %ue esta'a limitada a calcular en 455 puntos del espacio Esa versión esta'a compilada compilada para el sistema operativo operativo M6D76# aun%ue corr+a 'ien con versiones versiones antiguas de 8indo9s en nuestras vetustas computadoras c omputadoras :on el paso del tiempo el uso del programa se fue tornando cada vez m!s dif+cil conforme las versiones de los sistemas operativos i'an cam'iando l presente# 0era n!lisis provee una versión estudiantil actualizada pero limitada a ;55 puntos Esto trae apare-ado dos pro'lemas El primero es %ue# en principio# la exactitud de la respuesta me-ora con el n,mero de puntos< entonces la nueva versión ser+a .m!s r,stica/ El segundo pro'lema es# a mi parecer# m!s grave El usuario de'e aprender a utilizar sa'iamente los ;55 puntos %ue tiene como capital 1o es f!cil decidir dónde poner esos puntos & re%uiere de mucho entrenamiento Por este motivo no hicimos el cam'io de versión fortu fortunad nadame amente nte## este a$o hemos hemos encont encontrad rado o otro otro progra programa ma de element elementos os finito finitos# s# llamado FEMM =; %ue es de licencia li're & no tiene limitación en el n,mero de puntos< el pro'lema puede usar toda la memoria disponi'le de la computadora computadora La p!gina desde la %ue se lo puede descargar es"
http">>999femminfo>9i3i>Do9nload
Est! compilado para 8indo9s & lo he pro'ado en ?P 6ervice Pac3 @ & 8indo9s A l momento no he encontrado una versión compilada para Linux o Mac Es as+ %ue agradecemos a estos programadores generosos %ue nos regalan su tra'a-o & nos permiten recuperar una herramienta %ue ha'+amos perdido por la o'solescenci o'solescenciaa de nuestro material Bamos Bamos a recurrir al método cl!sico" aprender con los e-emplos e-e mplos FEMM 4.2
Este programa resuelve pro'lemas ;D o @D con simetr+a de revolución alrededor de un e-e (axisimétrico) Para el caso ;D la pantalla representa los e-es x e-es x e y< y< en el caso @D axisimétrico el e-e vertical es el de simetr+a (corresponde al e-e z e-e z ) ) & el horizontal es el e-e r Primer caso. Miramos bastante y tocamos poco.
El primer e-emplo es un cl!sico" el famoso dipolo eléctrico Es un sistema simple de descri' descri'ir ir por métodos métodos anal+ti anal+ticos cos & ha& muchos muchos casos casos %ue seme-an seme-an un dipolo dipolo## por e-emplo la molécula de agua Bamo Bamoss a estudiar un dipolo .aplanado/ en el plano x-y plano x-y E-ecutamos el programa# & siguiendo la secuencia cl!sica vamos a File->Open a File->Open & & entre las opciones de tipo de archivos seleccionamos .fee. Cno de ellos es dipolo.fee. La imagen luce como la siguiente figura"
:omo :omo ha& ha& much muchos os deta detall lles es %ue %ue conf confun unde den n vamo vamoss a repr repres esen enta tarr una una vari varian ante te simplificada & con colores
Los dos c+rculos coloreados representan las cargas o-o la positiva & negro la negativa para seguir la costum're ancestral La circunferencia a zul es el l+mite del sistema :omo di-imos antes# es imposi'le calcular la solución para todo el espacio# por lo %ue restringimos el an!lisis a la región interior de la circunferencia azul Bolviendo al di'u-o original# vemos %ue en varias partes aparece la pala'ra aire Para el programa ha& tres regiones a considerar" el interior de cada uno de los c+rculos coloreados & la región interior a la circunferencia azul pero %ue no pertenece a los c+rculos ro-o & negro En los tres casos hemos declarado %ue es el mismo material La diferencia de comportamiento eléctrico entre el aire & el vac+o es mu& pe%ue$a por lo %ue en principio los consideramos iguales hora vamos a ver %ué magnitudes eléctricas hemos elegido Primero notamos %ue todas las l+neas del pro'lema son curvas# para .interrogar/ las propiedades de cada una de ellas marcamos el 'otón (%uinto de la 'arra superior de herramientas) Luego marcamos con el 'otón derecho del Mouse el 'orde de la circunferencia %ue representa la carga positiva & vemos %ue el color cam'ia a ro-o (aparecer! un sector de 5) Presionamos la 'arra de espacio & aparece un cuadro con mucha información Por el momento la %ue nos interesa es la %ue dice Boundary cond. En castellano significa condición de 'orde & es precisamente %ue dato .eléctrico/ le asignamos Bemos %ue dice mas (por positiva) Esto es solamente un nom're# a,n no sa'emos el valor Podemos seguir recorriendo las otras tres partes restantes de esta circunferencia & veremos %ue todas tienen la condición de 'orde igual a la primera 6i pasamos a la carga negativa & hacemos lo mismo vemos %ue la condición de frontera es de tipo menos (por negativa) Por ,ltimo# vamos a la circunferencia azul & vemos %ue est! definida como de tipo front (por frontera) hora veremos %ué valores tienen asociados estos nom'res Bamos a Properties>Boundary l tope del cuadro aparece el nom're Property name. Desplegamos las opciones & vemos %ue aparece mas, menos y front Primero seleccionamos mas# presionamos Modify property & aparece un cuadro %ue dice %ue el o'-eto mas tiene asignada una condición de 'orde ( BC type) dada por una densidad de carga cu&o valor es de G5H :>m; (las unidades no est!n expl+citas) Pasamos ahora a la propiedad menos & o'servamos %ue tam'ién est! definida la densidad de carga# sólo %ue ahora es un valor
negativo pero de igual módulo Por ,ltimo# el o'-eto front tiene asignada una condición de 'orde de tipo volta-e fi-o ( Fixed voltaje) :omo la curva azul es el l+mite del sistema# lo asimilamos al nefasto infinito & le asignamos un potencial de referencia de cero Después de ha'er mirado algunas propiedades del sistema (ha& otras de las %ue no hemos ha'lado)# podemos pasar a generar la malla En este proceso el programa divide al .universo/ en un con-unto de tri!ngulos ad&acentes Los vértices de los tri!ngulos son llamados nodos (nodes) & el programa encontrar! una solución aproximada en dichos nodos< para los otros puntos recurrir! a un proceso de interpolación Para crear la malla presionamos el 'otón (noveno de la 'arra superior de herramientas) En un instante el sistema se cu're con muchos tri!ngulos amarillos & el programa informa el n,mero de nodos 6implemente aceptamos Ia tenemos todo listo as+ %ue damos la orden de calcular apretando el 'otón (décimo de la 'arra superior de herramientas) Bemos aparecer información del progreso & cuando termina de calcular pasamos a o'servar los resultados presionando el 'otón (undécimo de la 'arra superior de herramientas) parece una nueva ventana cu&a imagen luce as+
0enemos un mapa de colores del infame potencial (tomando como referencia de cero la circunferencia exterior) Bemos %ue en las vecindades de la carga positiva tenemos resultados positivos & cerca de la carga negativa -usto lo opuesto :erca de la circunferencia externa leemos valores próximos a cero# %ue es lo %ue esperamos Para tener m!s información vamos a sumarle una gr!fica del campo eléctrico Presionamos el 'otón (,ltimo de la 'arra de herramientas) En el cuadro %ue aparece a'rimos el men, desplega'le & elegimos lectric Field !ntensity ( ) 0enemos esta gr!fica"
*ntuimos las l+neas de campo pero el pro'lema es %ue los puntos est!n mu& separados Para solucionarlo presionamos el 'otón (,ltimo de la 'arra vertical de herramientas) El cuadro nos propone un espaciado de la grilla igual a G pero lo reducimos a 5;4 para tener m!s densidad de datos La nueva imagen %ueda as+
hora tenemos m!s vectores de campo eléctrico por lo %ue podemos imaginar las l+neas de campo %ue nacen en la carga positiva & terminan en la negativa asta a%u+ o'servamos un mapa de colores & uno vectorial cualitativo Para o'tener valores m!s precisos podemos recurrir a un gr!fico %ue releve valores a lo largo de una curva Para hacer esto hemos puesto# previamente# cuatros puntos a partir de los cuales generaremos l+neas a lo largo de las %ue graficaremos alguna magnitud %ue nos interese Los cuatro puntos fuero elegidos para o'tener .cortes/ horizontales & verticales Estos puntos aparecen en el di'u-o como los vértices de un cuadrado imaginario %ue no est! di'u-ado Para ha'ilitar esta capacidad de mostrar .corte/ de'emos ir al men, Operation & ha'ilitar la opción Contours. Bemos %ue se ha'ilita la herramienta (cuarta de la 'arra superior de herramientas) Primero hacemos un corte vertical Marcamos con el
Mouse el punto superior (pasa a ro-o) & luego el inferior parece una l+nea ro-a vertical como se muestra La dirección de circulación %ueda definida desde el punto superior hacia el inferior
hora vamos al +cono (sexto de la 'arra superior) El cuadro %ue aparece nos propone# en principio# representar el potencial (volta"e) ceptamos & o'tenemos el siguiente gr!fico
El resultado es previsi'le Balores positivos cerca de la carga positiva & negativos en las vecindades de la negativa 1otamos %ue a mitad de camino (-usto entre am'as cargas)# el valor es cero como era previsi'le hora pasamos a visualizar el campo eléctrico epetimos la operación pero ahora elegimos |EJ (ma"nitude of field intensity) El resultado es"
El campo eléctrico es intenso en el 'orde de las cargas Mu& pe%ue$o dentro de ellas (Por %uéK) & disminu&e conforme nos ale-amos hacia la frontera Esta gr!fica nos informa del módulo del campo pero no dice nada de la dirección 'rimos otra gr!fica pero esta vez optamos por E.t (tan"encial field intensity) Esto es la componente de campo eléctrico paralela a la l+nea ro-a Por el di'u-o ;D intuimos %ue es la componente m!s intensa 7'tenemos este di'u-o
%u+ es importante discutir los signos Entre 5 & G4 cm encontramos valores negativos Esto se de'e a %ue en esa región el campo eléctrico apunta hacia arri'a# mientras %ue la dirección positiva de circulación es desde arri'a hacia a'a-o Por este motivo leemos valores negativos Entra las dos cargas el campo apunta desde arri'a hacia a'a-o# coincidente con la dirección de circulación# & por eso tenemos valores positivos Pasemos ahora a hacer un corte horizontal Binculamos ahora los puntos horizontales Primero 'orramos la l+nea ro-a vertical presionando E6: hora %ue el di'u-o est! li're trazamos una l+nea entre los puntos horizontales con principio en el punto de la iz%uierda & finalización en el de la derecha (esto define la dirección de circulación)
Bolvemos al men, de selección de gr!fico & elegimos E.n (normal field intensity) por%ue el campo eléctrico es esencialmente perpendicular a la l+nea
Los valores negativos indican %ue el campo eléctrico apunta hacia a'a-o Bamos ahora a cam'iar algunos datos del pro'lema para incorporar otras ha'ilidades umentaremos el valor de la carga positiva en una cantidad ar'itraria# por e-emplo la llevaremos al triple del original Por supuesto %ue esta estructura &a no es un dipolo pero mantendremos el nom're Bolvemos a la primera solapa# a%uella donde est! definido el pro'lema & volvemos al men, Properties-> Boundary En el men, vamos a la propiedad mas & cam'iamos su valor a @xG5 H :>m; ceptamos hasta cerrar el cuadro hora recalculamos con
& visualizamos con
7'tenemos esto"
:omo esperamos# los valores de potencial son ahora superiores en la cercan+a de la carga positiva & el di'u-o ha %uedado asimétrico
Bolvemos con las mismas gr!ficas para ver las diferencias Primero con la l+nea vertical"
6e nota la asimetr+a Los valores de potencial son superiores cerca de la carga positiva
Lógicamente el campo es m!s intenso por el mismo motivo 1o seguimos repitiendo di'u-os por%ue ser+a a'urrido :reemos %ue la idea ha %uedado expuesta Bamos a crear ahora un pro'lema desde cero 0omamos un pro'lema ; D cl!sico" un capacitor de placas planas de ancho ## separación d # espesor de las placas e & profundidad indefinida (de hecho no termina nunca) Esta dimensión indefinida es perpendicular a la pantalla lgunos resultados %ue o'tengamos" carga en los conductores# capacitancia# etc< ser!n valores por unidad de longitud 7tros# como los campos# no dependen del largo Elegimos# ar'itrariamente# # G5 cm# e54 cm & d Gcm
:omenzamos a'riendo el programa acemos la secuencia cl!sica" File->$e% parece un cuadro de di!logo %ue propone# por defecto# resolver un pro'lema magnético 'rimos el men, desplega'le & elegimos pro'lema electrost!tico 'rimos el men, Pro&lem En la definición de-amos planar (;D) & en unidades elegimos cent+metros (la primera opción es en pulgadas) Las otras opciones no las tocamos En el men, "rid marcamos snap to "rid & en set "rid elegimos un espaciado de 5;4 a'iendo definido estos par!metros pasamos al di'u-o 1otamos %ue el cuarto +cono de la 'arra superior de herramientas est! marcado & seme-a un cuadrado pe%ue$o Esta es la herramienta para marcar vértices entre los cuales di'u-aremos l+neas Bamos a la placa superior< expandimos al m!ximo la pantalla & con el mouse marcamos = puntos en" (G#@)# (GG#@)# (GG#@4) & (G#@4) (mirar las coordenadas en el 'orde inferior iz%uierdo) Ia tenemos lo cuatro puntos %ue delimitan la placa superior :on la inferior procedemos igual & marcamos" (G#;)# (GG#;)# (GG#G4) & (G#G4) hora %ue tenemos los vértices pasamos a la herramienta l+nea (la cuarta de la 'arra) Bamos marcando las l+neas (ha& %ue marcar cada punto de arran%ue# no arrastra desde el punto anterior) De'er+amos tener una vista as+"
En principio tenemos di'u-ado el sistema Pero falta algo importante" si 'ien la pantalla muestra una región# es sólo una cuestión del nivel de zoom elegido 0odav+a no hemos definido una frontera del pro'lema# & esto es importante por%ue la computadora no puede calcular hasta el infinito Bamos a poner un contorno circular %ue englo'e a las placas Para %ue se parezca m!s a un pro'lema real# %ueremos %ue el radio de este c+rculo sea grande en comparación al tama$o de las placas c! aparece un conflicto cl!sico Cna circunferencia grande nos acerca a lo ideal pero consume mucha memoria 0omemos# ar'itrariamente un di!metro tres veces m!s grande %ue el ancho de las placas 7'viamente pondremos el centro de la circunferencia en la mitad del espacio entre placas Para di'u-arla volvemos a la herramienta vértice & marcamos = puntos#
pero como las placas ocupan toda la pantalla tenemos %ue %uitar zoom Bamos al men, 'ie% & marcamos (oom Out @ veces hora podemos marcar en" (;G#;4)# (# GA4)# (H #;4) & (#HG;4) Bamos ahora a la herramienta rco (la %uinta de la 'arra) # marcamos cual%uier punto de la futura circunferencia & el %ue le sigue en sentido antihorario 6e a're un cuadro de di!logo donde nos propone un !ngulo de 5 grados (lo de-amos) & pasos de 4 grados (hace un facetado del arco en pasos de 4 grados) :ontinuamos completando la circunferencia Luego# con la misma idea del primer e-emplo# vamos a agregar cuatro puntos para poder visualizar cortes Los u'icamos a mitad de camino entre las dos placas (en la dirección horizontal) & como mediatriz de la cara de la placa (en la dirección vertical) 0enemos algo as+"
Es importante destacar %ue el programa va a calcular dentro de la circunferencia Ese es todo el universo Podr+amos ha'er elegido una frontera m!s le-ana# pero ha'r+amos pagado un precio en re%uerimientos & tiempo de computadora hora ha& %ue definir %ué materiales vamos a usar Bamos a hacer todo en aire En el men, Properties-> Materials aparece cuadro de di!logo Elegimos )dd Property & el nom're %ue le damos es aire De-amos todos los valores propuestos hora vamos a decir %ué lugares son de aire Bamos a la herramienta Bloc* & marcamos cual%uier punto dentro de la circunferencia parece un punto con la le&enda +none># presionamos so're dicho punto el 'otón derecho del Mouse para seleccionarlo & luego la 'arra de espacio 6e a're un cuadro %ue nos permite elegir la propiedad aire Este es el momento de decidir %ué distancia %ueremos entre puntos Limpiamos el casillero %ue dice . #et trian"le cose Mes ize/ & en Mes ize completamos 5G (los puntos distan 5G cm) epetimos el procedimiento para puntos interiores a las placas Es cierto %ue de'er+amos definir propiedades de un metal# pero este es un pro'lema introductorio & es me-or de-arlo f!cil La pantalla %ueda as+"
Ia tenemos la forma & los materiales# pero no hemos dado datos elctricos a,n Elegimos %ue todos los puntos de la placa superior se encuentren a G B# todos los de la inferior a HG B & la frontera a o B Para hacer esto tenemos %ue definir tres conductores Bamos a Properties-> Conductors & agregamos tres conductores l primero lo llamamos up (superior) & le asignamos un volta-e de G B# el segundo se llama !nf (inferior) & le asignamos un volta-e de HG B & el ,ltimo se llama Front (frontera) (la circunferencia) & le ponemos 5 B hora salvamos el archivo con el nom're %ue nos plazca siguiendo la ruta usual hora generamos la grilla Esta es una distri'ución de tri!ngulos %ue cu're la región a estudiar Para hacerlo 'uscamos el 'otón (noveno de la 'arra) Bamos a ver %ue la región se cu're con una gran cantidad de tri!ngulos amarillos# tantos %ue parece %ue estuviera pintada Es pro'a'le %ue un reporte diga %ue se generaron varias decenas de miles de tri!ngulos
hora activamos la rutina %ue encuentra los resultados Presionamos & esperamos Cna ventana nos informa del progreso & luego todo parece morirse no desesperar< vamos al men, )nalyze HN 'ie% /esults 6i todo fue 'ien tendremos esto"
El mapa de colores nos devuelve el potencial de cada punto con respecto a una referencia de 5 B (la frontera) Para ver las l+neas de campo eléctrico vamos a 'ie%-> 'ector Plot & optamos por lectric Field acemos zoom in algunas veces para ver en detalle & o'servamos"
El campo eléctrico es esencialmente perpendicular a las placas salvo en los 'ordes Pasemos ahora a la vista con .cortes/ Primero a lo largo de la l+nea vertical
Los puntos pertenecientes a la placa positiva tienen un potencial de OG B & los de la negativa de HGB 1ótese %ue dentro de cada placa el potencial es constante# lo %ue significa %ue el campo eléctrico es nulo en esta dirección Por el contrario# entre las dos placas# el potencial var+a r!pidamente Esto est! asociado a un campo eléctrico intenso
hora pasamos a representar a lo largo de la l+nea horizontal"
7'servamos %ue el campo es intenso en la región entre las placas & fuera 'a-a r!pidamente Bamos a cerrar con un una pregunta importante" :u!nta carga ha& en los conductores para los valores de potencial elegidosK Presionamos el +cono & el cuadro %ue se a're HG; nos dice %ue la placa sup tiene una carga de ;G4xG5 : Este resultado es sospechoso puesto %ue hemos dicho %ue las placas tienen una dimensión infinita en la dirección perpendicular al plano de la pantalla#" entonces de'er+amos o'tener un resultado infinito :ómo se entiende este resultadoK La convención es simple" el programa calcula para una unidad de longitud perpendicular a la pantalla :omo hemos elegido al cm como la unidad tenemos una profundidad (para el c!lculo) de G cm Beamos cu!n le-os hemos %uedado del valor teórico simple Cn capacitor idealizado de estas dimensiones tiene una capacidad"
C0ε 5 1d 4xG5 HG; F>m Q(5G m x 55G m)> 55G m 4xG5 HG@ F 54 pF :omo la diferencia de potencial entre placas es de ; B (OGH HG)# la carga almacenada en cada placa tiene una carga de" 20C ' GAAx G5 HG; : GAA p: El valor de carga reportado es un ;GR superior El resultado puede parecer mu& distante del teórico# pero no es para asustarse a& %ue notar %ue el modelo idealizado no considera efectos de 'orde ni la carga almacenada en las caras laterales de las placas 6i hu'iéramos di'u-ado placas m!s cercanas & de menor espesor ha'r+amos o'tenido un resultado m!s próximo al idealizado (Podr+an rehacer el di'u-o siguiendo estas premisas & ver el resultado) Bamos a terminar con un e-emplo de simetr+a de revolución Cn sistema de este tipo permite reducir un pro'lema @D a uno ;D :omo mencionamos antes# en este caso el e-e vertical pasa a ser el z & el horizontal es r Bamos a resolver el desgastante e-emplo de la gota de aceite cargada volumétricamente Este es un pro'lema %ue figura como e-ercicio o'ligatorio & %ue odio con profundidad indescripti'le El enunciado dice as+" .Cna gota de aceite (ε r ;) se encuentra cargada uniformemente en volumen con densidad de carga li're ρ l Determinar los campos en todo punto del espacio as+ como las densidades volumétrica & superficial de carga de polarización/ Manos a la o'ra La parte imaginativa es considerar una versión .aplanada/ del pro'lema pero %ue conserve el car!cter @D 'rimos un nuevo pro'lema Bolvemos a elegir electrost!tico pero ahora# en lugar de plano tomamos axisimétrico Primero di'u-amos tres puntos en las posiciones (5#HG)# (G#5) & (5#G) Estos tres puntos nos servir!n para di'u-ar media circunferencia de radio G (la esfera completa aparece por revolución de esta media circunferencia alrededor del e-e z) hora pasamos a definir la frontera con los puntos (5#H4)# (4#5) & (5#4) :on la herramienta arco di'u-amos la esfera cargada & la frontera :on la herramienta segmento unimos los puntos li'res so're el e-e z 1uevamente# para ver .cortes/ agregamos un punto en (5#5) De'er+amos tener un di'u-o as+"
hora vamos a PropertiesHNMaterials & generamos dos materiales< uno llamado aire# con las opciones por defecto & el otro llamado plast Este es m!s comple-o Le asignamos una permitividad relativa igual a ; & una densidad volumétrica de carga li're
igual a G5HG; :>m@ l interior de la esfera pe%ue$a lo designamos como tipo plast & el resto como aire La esfera exterior la nom'ramos front & le asignamos una condición de 'orde de 5 B Ia podemos generar la malla & resolver De'er+amos o'tener lo siguiente"
El resultado no es sorprendente :omenzamos a con 5 B en la frontera & luego vamos o'teniendo valores crecientes conforme caminamos hacia el centro de la esfera pe%ue$a Es m!s interesante si miramos un mapa de colores del desplazamiento En el men, 'ie%-> 3ensity Plot optamos por Flux 3ensity (JDJ) hora tenemos el siguiente mapa de colores"
El módulo del vector desplazamiento es nulo en el centro (como se o'tiene en la resolución anal+tica) :onforme nos movemos adialmente el módulo del desplazamiento aumenta hasta alcanzar el valor m!ximo en el 'orde de la esfera pe%ue$a 6i nos seguimos moviendo adialmente el módulo del desplazamiento decrece por%ue nos ale-amos de la distri'ución de carga
Para tener una me-or visualización repetimos la generación de una l+nea a lo largo de la cual representaremos distintas varia'les Cnimos el punto (5#5) con el (4#5) & mostramos la componente tangencial del desplazamiento a lo largo de esta l+nea 0enemos esta gr!fica
Dentro de la esfera pe%ue$a el módulo del desplazamiento crece desde cero hasta un m!ximo en el 'orde El desarrollo anal+tico predice una dependencia lineal con la distancia al centro & notamos %ue la curva es casi una recta 6in em'argo se o'serva %ue no parte de cero como predice la resolución anal+tica Esto se de'e a %ue el programa encuentra una solución aproximada M!s all! de esta discrepancia o'servamos %ue fuera de la esfera pe%ue$a el módulo del desplazamiento decrece como la inversa del cuadrado de la distancia hora pasamos a representar el campo eléctrico"
Dentro de la esfera pe%ue$a el comportamiento es seme-ante al del desplazamiento puesto %ue am'os vectores est!n conectados con una constante positiva 6in em'argo# en el 'orde ocurre un fenómeno curioso 1otamos un cam'io a'rupto al llegar al 'orde
(de hecho el an!lisis teórico predice una discontinuidad) Este cam'io a'rupto se de'e al cam'io de tipo de material El módulo del desplazamiento es continuo al atravesar el 'orde pero el campo eléctrico es discontinuo Sien# es tiempo de ir cerrando dem!s de esta a&uda ha& otras incluidas en el pa%uete del programa# aun%ue est!n escritas en inglés partir de a%u+ es me-or practicar a& %ue pro'ar como con un -uego nuevo hasta %ue uno le toma la mano# aun%ue de'o reconocer %ue es mucho m!s divertido -ugar %ue usar este programa
