Uma abordagem Numérica ao Problema de Ondas Gravitacionais

Universidade do Estado do Rio de Janeiro Centro de Tecnologia e Ciências Instituto de Física Departamento de Física Teórica

Uma Abordagem Numérica ao Problema de Ondas Gravitacionais Autor: Thalles Carvalho G. R. de Aguiar

fevereiro de 2007


Autor: Thalles Carvalho G. R. de Aguiar Orientador: Prof. Dr. Henrique Pereira de Oliveira

Uma Abordagem Numérica ao Problema de Ondas Gravitacionais

Autorizo a Apresentação.

Prof. Dr. Henrique Pereira de Oliveira data da apresentação: fevereiro de 2007.


Autor: Thalles Carvalho G. R. de Aguiar Orientador: Prof. Dr. Henrique Pereira de Oliveira

Uma Abordagem Numérica ao Problema de Ondas Gravitacionais

Autorizo a Apresentação.

Prof. Dr. Henrique Pereira de Oliveira data da apresentação: fevereiro de 2007.

CATALOGAÇÃO NA FONTE UERJ/REDE SIRIUS/CTC-D

A931

Aguiar, Thalles Carvalho G. R. de. Uma abordagem numérica ao problema de ondas gravitacionais / Thalles Carvalho G. R. de Aguiar. – 2007. vi, 54f. : il. Orientador: Prof. Dr. Henrique Pereira de Oliveira. Monografia (Final de curso) - Universidade do Estado do Rio de Janeiro, Instituto de Física. 1. 1. Gravitação – Monografia. 2. Ondas gravitacionais - Monografia. 3. Métodos espectrais – Monografia. I. Oliveira, Henrique Pereira de. II.Universidade do Estado do Rio de Janeiro, Instituto de Física. III. Título.

CDU 531.5

Agradecimentos:

Gostaria de agradecer à minha família, à Amanda, ao meu orientador, Henrique, aos meus amigos, amigos, por toda a ajuda e bons momentos momentos que passamos, passamos, e a todas as pessoas pessoas que, de alguma forma, me ajudaram e incentivaram durante os quatro anos de curso.

iv

Resumo

As equações de Einstein possuem uma natureza não-linear. Uma conseqüência interessante de quando linearizamos as equações, descrevendo pequenas perturbações, é que elas se tornam equações equações de onda. Isso sugere que a interação gravitacion gravitacional al se propaga pelo espaço-tempo espaço-tempo como como uma onda com velocida velocidade de igual à da luz. Uma das formas mais mais simple simpless de radiação radiação gravitacional são as ondas com simetria cilíndrica. Seu estudo é importante para um completo entendiment entendimentoo da interação interação não-linear não-linear. Nesta monografia, monografia, as equações equações de campo serão obtidas obtidas de forma bem objetiva. Em seguida será feita uma rápida exposição dos principais aspectos das ondas gravitacionais com simetria cilíndrica e dos métodos espectrais utilizados para a obtenção das soluções. O elemento de linha mais geral com simetria cilíndrica é dado por ds2 = e 2(γ −ψ) (dt2

2

2ψ

− dr ) − e

(dz + ωdφ + ωdφ))2

2

− r e−

2ψ

dφ2 ,

onde ω = ω = ω ω((t, r), ψ = ψ = ψ( ψ (t, r) e γ = γ (t, r). Nosso ponto de partida será considerar o caso em que apenas um modo de polarização está presente, ou seja, ω = 0. A evolução desse modo é governada pela seguinte equação de onda ψ¨

ψ  r

− − ψ = 0,

cuja solução solução exata pode ser obtida. Aqui, aplicaremos aplicaremos o método de Galerkin Galerkin e o método de colocação para estudar a propagação de ondas cilíndricas no regime linear. Palavras-chave: gravitação, ondas gravitacionais, métodos espectrais, método de Galerkin,

método de colocação

v

Abstract

Einsteins’s equations have a non-linear nature. An interesting consequence when one linearizes the equations describing the evolution of tiny perturbations is that they become a wave equation. That suggests that the gravitational interaction propagates as a wave with the velocity of light. One of the simplest forms of gravitational waves are the cylindrical waves. The study of these waves is important for a complete comprehension of the non-linear interaction. In this monograph the field equations will be obtained in a very objective way. Then, we will make a brief exposure of the main features of the gravitational waves with cylindrical simmetry and of the spectral methods used to obtain the solutions. The general cylindrical line is given by ds2 = e 2(γ −ψ) (dt2

2

2ψ

− dr ) − e

(dz + ωdφ)2

2

− r e−

2ψ

dφ2 ,

where ω = ω(t, r), ψ = ψ(t, r) and γ = γ (t, r). Our starting point will be to consider the the case in which just one polarization mode is present, what means that ω = 0. The evolution of such a mode is governed by the following wave equation ψ¨

ψ  r

− − ψ = 0,

where an exact solution can be obtained. Here we apply the Galerkin method and the collocation method to study the propagation of cylindrical waves in the linear regime. Keywords: gravitation, gravitational waves, spectral methods, galerkin method, collocation

method

vi

Sumário

Lista de Figuras

ix

1

Introdução

1

2

Relatividade Geral a partir do Princípio Variacional

6

2.1 Vínculos diferenciais das equações de campo . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

2.2 A lagrangiana de Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

2.3 A abordagem de Palatini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

2.4 As equações de campo completas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

2.5 O limite newtoniano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

Ondas gravitacionais

15

3.1 Equações de campo linearizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

3.2 Transformações de calibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

3.3 Ondas planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

Métodos espectrais e ondas cilíndricas

23

4.1 Método de Galerkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

4.2 Método de colocação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

4.3 Ondas gravitacionais com simetria cilíndrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

Aplicação dos métodos espectrais

29

3

4

5

vii

SUMÁRIO

6

viii

5.1 Aplicação e resultados do método de Galerkin . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

5.2 Aplicação e resultados do método de colocação . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

Conclusões

45

Referências Bibliográficas

47

Lista de Figuras 3.1 Efeitos de uma onda plana gravitacional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

5.1 Forma do pulso inicial da onda em função de r . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

5.2 Comparação do pulso inicial com a solução aproximada obtida pelo método de Galerkin no sistema (r, u) para N = 10. .

. . . . . . . . . . . . .. . . . . . .

34

5.3 Comparação do pulso inicial com a solução aproximada obtida pelo método de Galerkin no sistema (r, u) para N = 15. .

. . . . . . . . . . . . .. . . . . . .

34

5.4 Comparação entre as soluções exata e aproximada obtida pelo método de Galerkin em u = 0.8 para N = 10.

. . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .

35

5.5 Comparação entre as soluções exata e aproximada obtida pelo método de Galerkin em u = 0.8 para N = 15.

. . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .

35

5.6 Comparação entre as soluções exata e aproximada obtida pelo método de Galerkin em u = 5 para N = 10.

. . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . .

36


. . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . .

36


. . . . . . .. . . . . .. . . . . . .. . . . . .

37

5.9 Comparação entre as soluções exata e aproximada obtida pelo método de Ga. . . . . . .. . . . . .. . . . . . .. . . . . .

37

5.10 Forma do pulso inicial da onda em função de x . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

lerkin em u = 10 para N = 15.

ix

x

LISTA DE FIGURAS 5.11 Comparação do pulso inicial com a solução aproximada obtida pelo método de colocação no sistema (x, u) , para N = 15 .

. . . . . . . . . . . . .. . . . . .

41

5.12 Comparação do pulso inicial com a solução aproximada obtida pelo método de colocação no sistema (x, u) , para N = 21 .

. . . . . . . . . . . . .. . . . . .

41

5.13 Comparação entre as soluções exata e aproximada obtida pelo método de colocação em u = 0.8 para N = 15.

. . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . .

42

5.14 Comparação entre as soluções exata e aproximada obtida pelo método de colocação em u = 0.8 para N = 21.

. . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . .

42

5.15 Comparação entre as soluções exata e aproximada obtida pelo método de colocação em u = 5 para N = 15.

. . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .

43


. . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .

43


. . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . .

44


. . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . .

44

Capítulo 1 Introdução A teoria da Relatividade Restrita surgiu, de grosso modo, da incompatibilidade entre a eletrodinâmica de Maxwell e a mecânica Newtoniana. As equações de Maxwell não são invariantes sob transformações de Galileu. Talvez motivado pelas tentativas sem sucesso de detectar o movimento da Terra através do éter, e assumindo que as leis do Eletromagnetismo estivessem corretas, Einstein propôs que as transformações de Galileu fossem substituídas por outras, que considerassem a velocidade da luz invariante para todos os referenciais inerciais e mantivessem a forma das equações de Maxwell. Tais transformações de coordenadas para referenciais inerciais são as transformações de Lorentz, que se reduzem às de Galileu para baixas velocidades comparadas à da luz. Um dos dois postulados nos quais a teoria da Relatividade Restrita foi elaborada é que todos os sistemas inerciais são adequados para descrever um fenômeno físico, ou seja, as Leis da Física devem ser as mesmas em qualquer referencial inercial. Este postulado é chamado de Princípio da Relatividade Especial. Entretanto a principal diferença entre a relatividade de Einstein e a relatividade de Galileu é o postulado de que a velocidade da luz permaneça a mesma, independentemente do movimento do observador, pois faz com que o tempo passe a ser considerado uma variável na descrição de um evento, e não mais apenas um parâmetro como na mecânica Newtoniana [1, 2]. Assumindo que as transformações de Lorentz sejam as mais adequadas, as leis do mo1

2

CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO

vimento tiveram que ser modificadas de forma que se tornassem invariantes de Lorentz, ou seja, para que mantivessem a mesma forma sob as transformações de coordenadas de Lorentz. Entretanto, a gravitação Newtoniana não pode ser incluída na Relatividade Restrita, pois sua formulação, dada basicamente pelas equações

d2 xi = dt2

∂φ − ∂x ,

(1.1)

∇ φ = 4πGρ,

(1.2)

i

2

onde φ é o potencial gravitacional, ρ é a densidade de matéria e G é a constante da gravitação universal, não é invariante de Lorentz. A equação de movimento (1.1) é uma equação de movimento em três dimensões, e deveria ser modificada para uma equação quadridimensional. Além disso, o operador Laplaciano que aparece na equação de Poisson (1.2) significa que o potencial gravitacional "sente" instantaneamente qualquer modificação na densidade de matéria, o que não concorda com os postulados da Relatividade Restrita. Em uma primeira análise, seria razoável esperar que esses problemas poderiam ser resolvidos através de uma generalização direta das equações, entretanto, todas as formulações falham em algum ponto, seja ele observacional ou teórico. Após examinar as questões referentes à Relatividade Restrita, Einstein se voltou para a seguinte questão: por que privilegiar uma classe de referenciais apenas, os referenciais inerciais? Baseado nas idéias do austríaco Ernst Mach, Einstein formulou o que seria uma das principais bases da nova teoria da gravitação, o princípio de Equivalência [2]. Para compreender o princípio de Equivalência é necessário entender os conceitos de massa inercial e massa gravitacional. Quando estamos em um referencial acelerado, sentimos uma força atuando sobre nós e se opondo ao movimento. Tais forças, denominadas inerciais, pois aparecem somente em referenciais acelerados ou em rotação, são proporcionais à chamada massa inercial. Os efeitos gravitacionais na teoria Newtoniana são proporcionais à massa gra-

3


vitacional. Entretanto, o que se constata é que a massa inercial é igual à massa gravitacional. Vários experimentos bastante precisos estabeleceram que a massa gravitacional e a massa inercial diferem entre si em, no máximo, uma parte em 10 11 . Enquanto na mecânica Newtoniana isso é apenas uma coincidência, na Relatividade Geral isso é um princípio fundamental. A principal conseqüência disso é que, localmente, em um campo gravitacional uniforme é impossível distinguir efeitos inerciais de efeitos gravitacionais, como fica evidente no experimento mental do elevador de Einstein. Nesse experimento, um observador em queda livre em um campo gravitacional uniforme é equivalente a um observador em repouso ou movimento uniforme na ausência de um campo gravitacional. Analogamente, um observador em repouso em um campo gravitacional uniforme é equivalente a um observador sendo acelerado na ausência de campo gravitacional. Portanto, em um sistema de coordendas imerso em um campo gravitacional, é sempre possível escolher um sistema de coordenadas localmente inercial, e assim recuperar a Relatividade Restrita. Esse aspecto do campo gravitacional guarda uma grande semelhança com a geometria Riemanniana. Devido a essa semelhança, podemos esperar que o campo gravitacional seja descrito através dos elementos dessa geometria. Na geometrica de Riemann, o espaço curvo é descrito pelo tensor métrico, g µν . Na formulação da Relatividade Geral, os g µν fazem o papel do potencial gravitacional, e portanto, esperaríamos obter equações de movimento que envolvessem o tensor métrico e suas derivadas de segunda ordem, de forma que no limite apropriado, recuperássemos as equações (1.1) e (1.2). de fato, as equações de campo são dadas por

Gµν =

8πG T µν , c4

onde Gµν é o tensor de Einstein, que será melhor definido no próximo capítulo, e T µν é o tensor momento energia que representa os elementos geradores do campo gravitacional. Tais equações são equações diferenciais não-lineares de segunda ordem para o tensor métrico gµν , e a não-linearidade evidencia que o próprio campo gravitacional é fonte de campo gravitacional.


4

Uma conseqüência interessante da Relatividade Geral pode ser obtida se fizermos uma aproximação linear das equações de campo. É possível mostrar que pequenas perturbações no campo gravitacional são propagadas através do espaço tempo segundo uma equação de onda [2, 3]. As ondas gravitacionais também existem em uma situação mais geral onde são governadas pelas equações de campo não-lineares. Nesse caso, não é possível encontrar uma solução exata para as equações de campo, e muitas vezes um tratamento numérico é satisfatório, pois revela aspectos da natureza não linear das ondas gravitacionais. Até hoje, as ondas gravitacionais não foram detectadas diretamente, pois sua amplitude é muito pequena. Entretanto, atualmente muitos experimentos estão sendo feitos com o objetivo de detectá-las. Mesmo sem sua detecção direta, é possível verificar prováveis fontes de radiação gravitacional como, por exemplo, o binário PSR1913+16 formado por duas estrelas de nêutrons. Seus parâmetros orbitais foram medidos com grande acurácia e chegou-se à conclusão de que as duas estrelas estão espiralando em torno de seu centro de massa à medida em que perdem energia pela emissão ondas gravitacionais. Nos dois primeiros capítulos, as equações de campo da Relatividade Geral serão obtidas de um modo bastante objetivo, e um breve tratamento sobre ondas gravitacionais será feito. O objetivo é obter uma base para a discussão dos aspectos relevantes das ondas gravitacionais com simetria axial, como a aproximação linear e a solução exata, o que será feito no terceiro capítulo. Além disso, será feita uma breve exposição dos métodos espectrais, método de Galerkin e método de colocação, utilizados para o tratamento do problema linear. Finalmente, alguns dos resultados obtidos na aplicação dos métodos espectrais no problema em sua aproximação linear serão mostrados e comparados com a solução exata no último capítulo. A aplicação dos métodos espectrais [4, 5, 6] ao problema em seu regime linear é um passo fundamental, que deve anteceder o tratamento numérico do regime não-linear. Essa etapa é necessária para verificar se o método escolhido pode gerar soluções aproximadas que representem bem a solução do problema. O trabalho desenvolvido nas páginas pode servir como parâmetro para uma futura aplicação dos métodos espectrais no problema mais geral, onde a evolução das

CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO ondas gravitacionais não é linear.

5

Capítulo 2 Relatividade Geral a partir do Princípio Variacional Assim como na dinâmica clássica, as equações de campo da Relatividade Geral podem ser obtidas de forma bastante concisa através do princípio variacional de Hamilton, como será feito nesse capítulo.

2.1

Vínculos diferenciais das equações de campo

Para empregar o princípio variacional [3], é necessário especificar uma densidade lagrangiana L, que é um funcional da métrica g µν e suas derivadas. A densidade lagrangiana L deve ser uma densidade tensorial de peso +1, de forma que a integral da ação possa ser resolvida. O princípio de Hamilton atesta que, se fizermos variações arbitrárias em gµν que se anulem na borda do espaço Ω, a ação é estacionária. Ou seja, dada a ação

S =

 L

dΩ,

Ω

6

(2.1)

CAPÍTULO 2. RELATIVIDADE GERAL A PARTIR DO PRINCÍPIO VARIACIONAL

7

temos µν + δg µν

gµν

→ g

δS =

S

 ⇒L → Ω

S + δS

δ δgµν dΩ = 0. δg µν

(2.2)

As equações de campo são, então,

L ≡ δgδ L µν

= 0.

(2.3)

µν

Como δS é um escalar, Lµν deve ser uma densidade tensorial de peso +1. Entretanto, as equações de campo obedecem a certas identidades diferenciais. Uma maneira de determinarmos tais identidades a partir do princípio de Hamilton, é gerar uma variação em gµν . Considerando uma transformação infinitesimal do tipo

xα

→ x

α

= x α + εX α ,

(2.4)

onde X α é um campo vetorial que se anula na borda de Ω e ε  1. A métrica se transforma da seguinte maneira:

gαβ (x ) =

∂x γ ∂x δ  g (x). ∂x α ∂x β γδ

(2.5)

 (x ) pelo Teorema de Taylor e mantendo até a primeira ordem em ε , obtemos Expandindo g γδ g (x + εX ) = g  (x ) + εX g  (x). Substituindo essa expressão em (2.5) podemos obter γδ

γδ

γδ,

δgαβ =

β ;α + X α;β ).

−ε(X

Combinando a equação acima com a equação (2.2) obtemos

(2.6)

8


δS =

 L Ω

δ δg αβ dΩ = δg αβ

−2ε

 L  Ω

δ (X α;β )dΩ = 0. δg αβ

(2.7)

Lαβ

A integral acima pode ser escrita de uma forma mais útil se observarmos que Lαβ X α;β = (

L

αβ

αβ ;β X α

X α );β

 L

−L

. Substituindo essa relação na equação (2.7) podemos obter que

αβ ;β X α dΩ

Ω

 L Ω

(

αβ

X α );β dΩ =

. Como o termo entre parênteses é uma densidade tensorial de peso 1, a derivada

covariante é equivalente à derivada usual, e pelo teorema do divergente,

 L (

αβ

X α ),β dΩ =

Ω

 L

αβ

X αdS,

∂ Ω

podemos obter

 L (

αβ

X α);β dΩ =

Ω

 L (

Ω

αβ ;β )X α dΩ

=

 L

αβ

X α dS.

(2.8)

∂ Ω

O terceiro termo é uma integral de superfície e, como X α = 0 na borda de Ω obtemos

 L (

Ω

αβ ;β )X α dΩ

=0

αβ ;β

→L

= 0.

(2.9)

A identidade obtida é chamada Identidade de Bianchi, e as equações geradas por qualquer funcional candidato à lagrangiana do campo gravitacional devem obedecer tal identidade.

2.2

A lagrangiana de Einstein

√ −gR é chamada lagrangiana de Einstein,

A densidade lagrangiana definida como LG =

onde R é o escalar de Ricci e g é o determinante de gµν . O sinal negativo aparece devido ao fato da assinatura da métrica ser negativa. Explicitamente, podemos escrever

L

G

=

√ −gg

Rµν ,

µν

onde o tensor Rµν é o tensor de Ricci. Essas quantidades estão intimamente ligadas à curvatura do espaço-tempo. A lagrangiana de Einstein pode ser encarada como um funcional de gµν e suas


9

primeiras e segundas derivadas, ou seja: LG = LG(gµν , gµν,γ , gµν,γδ ). Vale lembrar que g µν e g são funções de g µν . Considerando g µν as variáveis dinâmicas, a equação de Euler-Lagrange é escrita como ∂ G δ G = δg µν ∂g µν

L −

L

L L ∂ G ∂g µν,γ

∂ G ∂g µν,γδ

+

,γ

= 0. ,γδ

Pode ser mostrado que

L

µν G

=

δ G = δg µν

L

−√ −gG

µν

= 0,

e, portanto, as equações de campo no vácuo são Gµν = R µν

− 12 g

µν

R = 0,

As equações de campo obedecem à Identidade de Bianchi, que é escrita como Gµν ;β = 0 .

2.3

A abordagem de Palatini

Uma abordagem mais elegante e econômica para a obtenção das equações de campo no vácuo é a abordagem de Palatini. Ela consiste em tratar a métrica e as conexões afim, Γαβγ , como variáveis dinâmicas independentes na Lagrangiana de Einstein. Podemos, então, afirmar que LG = L(g αβ , Γαβγ , Γαβγ,δ ), ou, mais especificamente G =

L

√ −gg

αβ

Rαβ =

√ −g g

Se considerarmos uma variação de

δS =

 √ − δ (

Ω

αβ

αβ

√ −gg

gg )Rαβ dΩ =

(Γγ αβ,γ αβ

Ω

Γ γ αβ Γδγδ

γ δ αγ Γβδ ).

−Γ

em relação a δg αβ , então,

  √ − δ (

δ αδ,β +

−Γ

g)g

αβ

+

√ −gδ (g

αβ



) Rαβ dΩ = 0.

CAPÍTULO 2. RELATIVIDADE GERAL A PARTIR DO PRINCÍPIO VARIACIONAL 10 Mas, a partir das seguintes relações,

√ −g) = 1 √ −gg 2

δ (

γδ

e

δg γδ

δg αβ =

−g

αγ βδ

g δg γδ ,

podemos escrever a variação da ação como

δS =

   − √ −  −   g

  

1 γδ Rg 2

Rγδ

Ω

Gγδ

δg γδ = 0,

e, como as variações δg γδ são arbitrárias, obtemos Gγδ = 0.

Por outro lado, se considerarmos uma variação com respeito a Γ αβγ , lembrando que g αβ e Γαβγ são considerados independentes, temos

δS =

 √ −

gg αβ δR αβ dΩ =

Ω

 √ − (

Ω

gg αβ )[δ Γγ αβ ;γ

γ αγ ;β ]dΩ,

− δ Γ

(2.10)

onde levamos em conta a expressão δR βδ = δ Γαβδ ;α − δ Γαβα;δ , resultante da variação de Rαβ em relação a Γαβγ . Integrando por partes obtemos δS =

 √ −  √ − [(

Ω

=

Ω

[δ γ β (

− (√ −gg − (√ −gg )

gg αβ );β δ Γγ αγ gg αδ );δ

);γ δ Γγ αβ ]dΩ

αβ

αβ

γ

;γ ]δ Γαβ dΩ.

Pelo princípio da mínima ação, como δ Γγ αβ é arbitrário, mas simétrico, chegamos à expressão 1 β δ [ ( 2 γ

 −

√ −gg

1 g)g αδ ];δ + δ γ α[ 2

βδ

];δ

− [√ −gg

αβ

];γ = 0.

Segue que gαβ ;γ = 0, e portanto, 1 Γαβγ = gαδ (gβδ ;γ + gγδ ;β 2

βγ ;δ ).

−g

(2.11)

CAPÍTULO 2. RELATIVIDADE GERAL A PARTIR DO PRINCÍPIO VARIACIONAL 11 Conclui-se que, utilizando a lagrangiana de Einstein, ao considerarmos uma variação em relação ao tensor métrico obtemos as equações de campo para o vácuo, e ao considerarmos uma variação com relação às conexões afim concluimos que as mesmas são os símbolos de Christoffel.

2.4

As equações de campo completas

Para obtermos as equações completas, assumimos que há outros campos presentes, além do campo gravitacional, descritos pela lagrangiana de matéria LM . A ação passa a ser escrita como S =

 L (

Ω

G + k

L

M )dΩ,

onde k = 8πG/c4 é uma constante que pode ser determinada através do limite newtoniano, e ambas as lagragianas são funcionais da métrica e suas derivadas. Então, realizando uma variação em relação a gαβ , obtemos

−√ −gG ≡ √ −gT ,

δ G = δg αβ δ M δg αβ

L

L

αβ

,

αβ

(2.12) (2.13)

onde a equação (2.13) define o tensor momento-energia para os campos presentes. Nesse tensor está contida toda a informação sobre a energia e a matéria presentes, ou seja, toda a fonte de campo gravitacional. Sendo assim, as equações de campo completas são

Gαβ = kT αβ ,

(2.14)

sendo que k = 8πG/c4 pode ser determinada através do fato de que as equações de Einstein devem se reduzir à equação de Poisson (1.2) no limite adequado. As equações de campo definidas

CAPÍTULO 2. RELATIVIDADE GERAL A PARTIR DO PRINCÍPIO VARIACIONAL 12 acima são equações diferenciais não-lineares de segunda ordem para o tensor métrico gµν .

2.5

O limite newtoniano

Para determinar a constante k é necessário verificar o limite das equações de campo na presença de campos gravitacionais fracos. Assumimos que no limite Newtoniano exista um referencial privilegiado xα = (x0 , x1 , x2 , x3 ) = (ct,x,y,z ),

na qual a métrica g µν difere muito pouco da métrica de Minkowski η µν . Assumimos também que os campos são produzidos por corpos com baixas velocidades se comparadas à da luz. Considerando v a velocidade dos corpos, definimos ε um pequeno parâmetro adimensional da ordem de v/c , de forma que podemos desprezar termos quadráticos ou de ordem superior em ε. Sendo assim, a métrica pode ser escrita como

gµν = η µν + εhµν .

(2.15)

Em um intervalo de tempo δt um corpo se move uma distância δxa com velocidade v , ou seja: δxa = vδt = (v/c)cδt

0

≈ εδx .

Assim, para qualquer função f , a seguinte aproximação é válida:

ε

∂f ∂x a

∂f ≈ ∂x . 0

(2.16)

As condições (2.15) e (2.16) são as suposições iniciais para obtermos o limite Newtoniano.

CAPÍTULO 2. RELATIVIDADE GERAL A PARTIR DO PRINCÍPIO VARIACIONAL 13 Consideremos, então, o movimento de uma partícula de teste com velocidade da ordem de v numa linha de mundo parametrizada pelo tempo próprio cuja equação é uma geodésica do tipo tempo: β γ d2 xα α dx dx + Γβγ = 0. dτ 2 dτ dτ

(2.17)

Por definição, temos c2dτ 2 = ds 2 = dt2 (c2 − v2 ) = c2 dt2 (1 − ε2 ). Assim, dt/dτ = 1 + O(2 ), e portanto, podemos substituir τ por t em (2.17). Podemos escrever também, pela aproximação (2.16), dxa ≈ ε c dt, e dessa forma, dxa /cdt = O(ε). Os símbolos de Christoffel Γαβγ = 1 αδ η ε(hβδ,γ 2

+ h γδ,β

βγ,δ )

− h

+

1 αδ g (gβδ,γ 2

O(ε ), ou seja: 2

+ gγδ,β

Γαβγ =

βγ,δ )

− g O(ε).

ficam da forma Γαβγ =

Como estamos interessados

somente na parte espacial de (2.17), obtemos, usando as expressões anteriores e dividindo por c2 ,

1 d2 xa + Γa00 + 2Γ a0b 2 2 c dt

1 d2 xa + c2 dt2 dxb + Γabc c dt

1 a dxβ dxγ Γ [1 + (ε)] = c2 βγ dt dt dxb dxc + (ε2 ) = 0. c dt c dt

  

O

O

Entretanto, o segundo e terceiro termos acima são da ordem de ε2 ou superior. O segundo termo é Γa00 =

−



1 ∂h 0a ε 2 0 2 ∂x

−

∂ h00 ∂x a



1 ∂h 00 = ε a + 2 ∂x

2

O(ε ).

A parte espacial da equação da geodésica pode ser escrita como d2 xa = dt2

− 12 c ∂g [1 + O(ε)]. ∂x 2

00 a

(2.18)

Comparando a equação anterior com a equação Newtoniana correspondente, d2 xa /dt2 = −∂φ/∂xa ,

CAPÍTULO 2. RELATIVIDADE GERAL A PARTIR DO PRINCÍPIO VARIACIONAL 14 onde φ é o potencial gravitacional, e notando que, a grandes distâncias das fontes de campo, φ

→ 0 e g → 1, é possível concluir que 00

g00 = 1 +

que é o limite para campos fracos.

2φ + c2

O(v/c),

(2.19)

Capítulo 3 Ondas gravitacionais 3.1

Equações de campo linearizadas

Uma pergunta que pode ser feita é: como perturbações do campo gravitacional se propagam no espaço segundo a teoria da Relatividade Geral? Certamente a velocidade de propagação dessas perturbações deve ser finita e menor ou igual à da luz, caso contrário existiria um conflito entre a Relatividade Geral e a Relatividade Restrita. A descrição geral da evolução de ondas gravitacionais não é nem um pouco trivial, devido à não-linearidade das equações de campo. Entretanto, é possível tratar o problema através de uma aproximação linear, ou seja, por meio de perturbações infinitesimais, cuja descrição é relativamente simples [2, 3]. Consideremos, portanto, uma perturbação na métrica de Minkowski dada por

gµν = ηµν + εhµν ,

(3.1)

onde ε é um parâmetro adimensional infinitesimal, ou seja |ε|  1, e podemos desprezar termos de segunda ordem ou superior em ε. Consideremos, também, que o espaço é assintoticamente plano, o que quer dizer que:

15

16

CAPÍTULO 3. ONDAS GRAVITACIONAIS

lim hµν = 0.

r

→∞

(3.2)

A forma contravariante do tensor métrico pode ser obtida, supondo que g µν = η µν + ε∆µν e sabendo que gµν gνρ = δ ρµ . De fato ∆µν = −hµν , e portanto, g µν = η µν − εhµν . O próximo passo será obter as equações de campo linearizadas uma vez que conhecemos g µν e gµν . De forma a simplificar os cálculos a seguir, utilizaremos a seguinte forma para as equações de campo

Rµν = kS µν ,

(3.3)

onde S µν = T µν − 1/2gµν T . Essa forma pode ser obtida escrevendo o escalar de Ricci em função do traço de T µν através de uma contração com com g µν . No vácuo, T µν = 0, e portanto, as equações de campo se tornam R µν = 0. Inserindo as expressões que definem g µν e g µν na equação (2.11) que define os símbolos de Christoffel temos 1 Γαβγ = g αδ (gδγ,β + gβδ,γ 2

βγ,δ )

−g

1 = ε(hαγ,β + hαβ,γ 2

α βγ , ).

−h

(3.4)

Para calcular as componentes do tensor de Riemann, é necessário achar as derivadas dos símbolos de Christoffel, pois α α Rβγ δ = Γβδ,γ

Mas como Γ αβγ

α βγ,δ +

−Γ

Γ µβδ Γαµγ

µ α βγ Γµδ .

−Γ

∼ ε, os termos com multiplicação são da ordem de ε

2

e, portanto, podem ser

ignorados. Assim

ν ν Rβγ δ = Γβδ,γ

As derivadas dos símbolos de Christoffel ficam

ν βγ,δ .

−Γ

(3.5)

17


1 Γν βδ,γ = ε(hν δ,βγ + hν β,δγ 2

ν βδ, γ ),

−h

(3.6)

de onde é possível obter a expressão para o tensor de Riemann, 1 Rαβγδ = ε(hαδ,βγ + hβγ,αδ 2

−h

βδ,αγ

αγ,βδ ),

−h

(3.7)

onde observamos que Rαβγδ ∼ O(ε). O tensor de Ricci, definido como Rµρ = g λν Rλµνρ, pode ser escrito como Rαβ = η γδ Rγαδβ +

O(ε ) = 12 ε(h 2

δ δ β,αδ + hα,βδ

αβ ),

− h − h ,αβ

e, portanto, as equações de campo linearizadas no vácuo são:

hδβ,αδ + hδα,βδ

3.2

− h − h ,αβ

αβ

= 0.

(3.8)

Transformações de calibre

Analisaremos o que acontece às equações de campo linearizadas quando submetidas a uma transformação de coordenadas do tipo:

xα = x α + εξ α .

(3.9)

que representam a liberdade de calibre na Relatividade Geral. A transformação dada pela equação (3.9) é a transformação de coordenadas mais geral que mantém coerência com o campo definido pelo tensor métrico (3.1). Se considerarmos como a métrica se transforma, ∂x γ ∂x δ  gαβ = g , ∂x α ∂x β γδ

(3.10)

18


e, como g µν = η µν − εhµν , podemos obter a expressão para hµν , desprezando os termos de ordem ε2 ou superior, no novo sistema de coordenadas, ou seja

hαβ = h αβ

− (ξ

β,α + ξ α,β ).

(3.11)

De fato, pode ser verificado que se h µν é solução da equação (3.8), hµν também será. Tanto o tensor de curvatura, quanto suas contrações são invariantes de calibre. Devido à liberdade de calibre, podemos escolher um sistema de coordenadas em que as equações de campo se reduzem a uma equação de onda. Esse sistema de coordenadas é tal que

gµν Γλµν = η µν Γλµν +

2

O(ε ) = 0,

(3.12)

de onde podemos obter o calibre de Einstein,

hµν,µ =

1 h,ν . 2

(3.13)

(3.14)

De fato, usando (3.13) em (3.8), obtemos as equações de campo,

hµν = 0.

Ou seja, as pequenas perturbações no campo gravitacional se propagam pelo espaço-tempo segundo uma equação de onda, com a velocidade da luz. Portanto, h µν satisfaz (3.14) sujeito à equação (3.13). No caso de hµν não satisfazer o calibre (3.13), é possível encontrar um h que o satisfaça, realizando uma transformação do tipo (3.11) com ξ α sujeito à equação µν

β

ξ α = h α,β

− 1/2 h

,α

.

19


3.3

Ondas planas

Consideremos as soluções de ondas planas para as equações de campo . O estudo das ondas planas é bastante útil, pois a solução de uma equação de onda na presença de uma fonte se comporta como uma onda plana quando r →

∞. Como são a forma mais simples de ondas,

sua análise é relativamente simples e vários aspectos das ondas gravitacionais ficam evidentes. A solução de (3.14), sujeita à (3.13), é uma superposição linear de soluções da forma

hµν = e µν exp (ikλ xλ ) + e∗µν exp ( ikλ xλ ).

−

(3.15)

onde o tensor constante e simétrico eµν é chamado tensor de polarização, e define as componentes de hµν , e kλ é o quadrivetor de onda. Se a expressão (3.15) satisfaz a equação de onda (3.14) e o calibre de Einstein (3.13), as seguintes relações também devem ser satisfeitas, respectivamente, kµ k µ = 0

e

1 kµ eµν = kν eµµ . 2

(3.16)

Um tensor simétrico de 2a ordem possui 10 componentes independentes, mas as 4 equações dadas pela segunda expressão em (3.16) reduzem esse número para 6, pois podemos escrever 4 componentes de e µν que seriam independentes em função das componentes restantes. Entretanto, é possível mostrar que apenas 2 dessas 6 componentes representam graus de liberdade físicos. Isso pode ser feito realizando uma transformação de coordenadas do tipo (3.9), com

ξ µ = i µ exp(ikλ xλ )

µ

λ

− i ∗ exp (−ik x ). λ

(3.17)

O tensor hµν expresso no novo sistema de coordenadas pode ser escrito como hµν = e µν exp (ikλ xλ )+ e∗ exp (−ikλ xλ ), onde µν

eµν = e µν + kµ ν + kν µ .

(3.18)

20


O tensor hµν é solução de (3.14) e (3.13), portanto, as relações (3.16) continuam válidas no novo sistema de coordenadas. Assim, com a expressão (3.17) é possível relacionar 4 das 6 componentes independentes, de forma que no novo sistema de coordenadas apenas 2 componentes são realmente independentes. Para melhor ilustrar esse aspecto, suponhamos uma onda plana viajando no sentido positivo do eixo OX , com o vetor de onda dado por k 2 = k 3 = 0

k1 = k 0 = k > 0.

e

(3.19)

Nesse caso, das 4 equações definidas pela segunda expressão em (3.16) podemos obter as seguintes relações, que reduzem o número de componentes independentes de eµν de 10 para 6:

e12 = e 02 ,

e11 =

e13 = e 03 ,

−e

00 ,

e33 =

−2e − e 01

22 .

Quando submetemos o sistema a uma transformação do tipo (3.9) com (3.17), as 6 componentes restantes se transformam segundo as seguintes relações: e22 = e 22

e23 = e 23

e00 = e 00 + 2k0

e01 = e 01 + k 1 + k 0

e02 = e 02 + k 2

e03 = e 03 + k 3

Portanto, apenas e22 e e23 possuem importância física. De fato, as demais componentes são nulas se a transformação realizada possuir

0 =

− e2k , 00

Neste caso, fica evidente que

1 =

− e −k e 01

00

,

2 =

− ek , 02

3 =

− ek . 03

21


hµν =

   

0 0

0

0

0 0

0

0

0 0 h22 0 0 h23

h23

−h

22

   

No caso em que h23 = 0 o elemento de linha se torna ds2 = dt2 − dx2 − (1 − εh22 )dy2 − (1+ εh22 )dz 2 . Supondo que h22 seja dado por (3.15), verificaremos o que acontece quando uma onda

desse tipo incide sobre uma distribuição de partículas teste. Consideremos, primeiramente, duas partículas situadas no plano Y Z que, inicialmente possuem coordenadas (y0 , z 0 ) e (y0 + dy,z 0 ). A distância própria entre elas é dada por ds2 = −(1 − εh22 )dy2 . Então, se h22 > 0 as partículas se aproximam e se h22 < 0 as partículas se afastam. O oposto acontece se considerarmos partículas com coordenadas (y0 , z 0 ) e (y0, z 0 +dz ), já que agora ds2 = −(1+εh22 )dz 2 . Portanto, se uma onda plana oscilatória propagando na direção X incide sobre um anel de partículas situado no plano Y Z , o anel é deformado em uma elipse cujo eixo maior está sobre o eixo Y , ou Z . O caráter transverso da onda é evidente. Nesse estado, é possível dizer que a onda possui polarização em +. Analogamente, se considerarmos h22 = 0 e h23 dado por (3.15), o elemento de linha se torna ds 2 = dt2 − dx2 − dy2 + 2εh23 dydz − dz 2 . Ao considerarmos uma rotação de 45 ◦ em torno do eixo X , ou seja,

1 1 (y + z ), z = √ ( y + z ), y = √ 2 2

−

o elemento de linha anterior se torna ds2 = dt2

2

− dx − (1 − εh

23 )dy

2

− (1 + εh

2 23 )dz

.

Comparando essa expressão com o elemento de linha obtido na situação em que h23 = 0, é possível observar que nesse caso a onda produz exatamente o mesmo efeito, mas com os eixos rotacionados em 45◦ . Esse estado da onda gravitacional é chamado de polarização em ×.


22

Figura 3.1: Efeitos de uma onda plana gravitacional.

Na figura (3.1) estão ilustrados os efeitos de uma onda gravitacional plana, com os modos de polarização + e ×, respectivamente, atravessando um anel de partículas massivas. Uma onda mais geral é dada pela superposição de ondas de ambos modos de polarização.

Capítulo 4 Métodos espectrais e ondas cilíndricas Nesse capítulo apresentamos características básicas dos métodos numéricos empregados e do problema estudado, ou seja, da evolução de ondas gravitacionais com simetria cilíndrica. Os dois métodos apresentados a seguir, Colocação [4, 6] e Galerkin [4, 5, 6], fazem parte de um conjunto maior de técnicas utilizadas para resolver equações diferenciais, sejam elas ordinárias ou parciais. Supondo uma equação diferencial do tipo L(u) = 0, onde L é um operador diferencial e u = u(x, t), em um domínio D(t, x), com condições de contorno S (u) = 0 na borda de D , os métodos espectrais consistem basicamente em supor uma solução aproximada na seguinte forma N

uap =



an(t)χn(x),

(4.1)

n=0

sendo χ n funções de base escolhidas, que geralmente formam um conjunto completo de funções, ou seja, são ortonormais e obedecem a uma relação de fechamento. Ao substituirmos a solução aproximada na equação diferencial obtemos uma função residual N

R(a0 , a1 ,...,x,t) = L(uap ) =



L(an(t) χn(x)).

n=0

Ambos os métodos têm como ponto principal a obtenção dos coeficientes a n (t) de forma que 23

24

CAPÍTULO 4. MÉTODOS ESPECTRAIS E ONDAS CILÍNDRICAS R seja minimizada. Os coeficientes espectrais são obtidos impondo a condição

(wi (x), R) =



wi R dx = 0

, i = 0, 1,...,N,

(4.2)

onde wi são as funções teste e a integração é feita sobre todo o domínio espacial.

4.1

Método de Galerkin

O método foi desenvolvido pelo matemático e engenheiro russo Boris Grigoryevich Galyorkin (transliterado como Galerkin) por volta de 1915. Nele as funções teste w i são escolhidas como sendo as próprias funções de base, ou seja, wi (x) = χ i (x). De fato, a função residual R pode ser expandida como uma série das funções de base

R =

∞



rn(a0 , a1 ,...,an , t)χn (x),

n=0

e os coeficientes rn (a0 , a1,...,an, t) são obtidos pelo produto r n = (R, χn). Os coeficientes para n > N decaem rapidamente com n. Então, de forma a minimizar R, estabelecemos que

rn = (R, χn ) = 0

, n = 0, 1,...,N.

Dessa forma obtemos um sistema de N + 1 equações para os coeficientes an (t). Resolvendo tal sistema, que pode ser um sistema de equações algébricas, caso a equação diferencial L(u) = 0 seja elíptica, ou um sistema de equações diferenciais ordinárias se a equação diferencial L(u) = 0 for hiperbólica ou parabólica, determinamos os coeficientes espectrais an (t).

25

CAPÍTULO 4. MÉTODOS ESPECTRAIS E ONDAS CILÍNDRICAS

4.2

Método de colocação

O método de colocação consiste em tomar a função teste como w k = δ (x − xk ), sendo os pontos xk chamados pontos de colocação. Dessa forma, a equação (4.2) se torna

R(xk ) = 0

, k = 0, 1,...,N.

(4.3)

Ou seja, a equação residual é igual a zero nos pontos de colocação, o que significa dizer que a solução aproximada satisfaz a equação diferencial nos pontos de colocação. Resolvendo as N + 1 equações obtidas de (4.3) obtemos os coeficientes ak .

Uma vantagem desse método em relação ao método de Galerkin é o fato de não precisarmos resolver integrais para a determinação do sistema de equações para os coeficientes modais. Entretanto, de um modo geral, para conseguirmos uma precisão comparável à do método de Galerkin, é necessário considerarmos muito mais pontos de colocação e, portanto, mais termos na expansão da solução aproximada.

4.3

Ondas gravitacionais com simetria cilíndrica

Ondas gravitacionais cilíndricas são a forma mais simples de radiação gravitacional [ 8]. Apesar de não possuir sentido físico, seu estudo pode auxiliar na compreensão da interação não-linear das ondas. O ponto de partida do estudo é a métrica geral cilíndrica de JordanEhlers-Kompaneets [9], cujo elemento de linha é dado por

ds2 = e 2(γ −Ψ) (dt2

2

2Ψ

− dr ) − e

(dz + ωdφ)2

2

2Ψ

− r e−

dφ2 ,

(4.4)

onde as funções γ , Ψ e ω são funções de t e r . As equações de campo no vácuo [11] são

¨ Ψ



4Ψ

− Ψr − Ψ = e2r

2



ω˙ 2

− ω

2



,

(4.5)

26

CAPÍTULO 4. MÉTODOS ESPECTRAIS E ONDAS CILÍNDRICAS ω  ¨ + ω r



 

− ω = 4 ωΨ − ω˙ ˙Ψ ,



4Ψ

 

˙ 2 + Ψ2 + e γ  = r Ψ

ω˙ 2 + ω 2 ,

4r 4Ψ  ˙ = 2r ˙ΨΨ + ˙ . γ ωω 2r

(4.6)

(4.7)

(4.8)

Nas equações acima, Ψ e ω representam os dois graus de liberdade do campo gravitacional, correspondendo aos modos de polarização + e ×, respectivamente. Mais precisamente, a função γ representa a energia do campo gravitacional, ou energia C [10]. Mais precisamente, γ dá a energia gravitacional por unidade de comprimento entre o eixo de simetria e o raio r em um tempo t . As equações de campo obtidas acima são equações diferenciais parciais não-lineares e suas soluções analíticas não são conhecidas. No capítulo seguinte aplicaremos os métodos espectrais a uma aproximação linear da evolução das ondas gravitacionais, e compararemos com a solução exata das equações nesse regime, que pode ser obtida. O regime linear ocorre quando apenas um modo de polarização está presente, digamos +. Nesse caso, ω(t, r) = 0 , e as equações de campo são reduzidas a ¨ Ψ



− Ψr − Ψ = 0,





(4.9)

˙ 2 + Ψ 2 , γ  = r Ψ

(4.10)

˙  . ˙ = 2rΨΨ γ

(4.11)

A equação que descreve a evolução da função Ψ(r, t) se torna uma equação diferencial de onda em coordenadas cilíndricas. Para que Ψ(r, u) represente uma solução fisicamente aceitável, ela deve obedecer às seguintes condições de regularidade e contorno:

lim Ψ (r, t) = 0,

r

→0

lim Ψ (r, t) = 0,

r

→∞

lim Ψ(r, t) = 0

r

→∞

Assumindo que Ψ(r, t) = τ (t)R(r), a equação (4.9) pode ser desmembrada em duas,

(4.12)

27


τ¨ + α2 τ = 0

(4.13)

rR + R + α2 rR = 0,

(4.14)

onde α é uma constante real e arbitrária. De imediato, a solução de (4.13) pode ser escrita como τ (t) = e−iαt. Com relação à segunda equação, multipliquemos por r e introduzamos a nova variável definida por ξ = αr , de modo que ela passe a ser reescrita como d2 R dR + ξR = 0, ξ 2 + dξ dξ

que é uma equação de Bessel de ordem zero. A solução pode ser escrita como R(r) = C 1 J 0 (αr) + C 2 Y 0 (αr). Observando as condições de regularidade (4.12), C 2 = 0, pois tanto Y 0 (αr) quanto sua derivada divergem em r = 0. A solução fica Ψ(r, t) = A(α)e−iαt J 0 (αr), e a

solução geral para o problema é obtida somando sobre todos os possíveis valores de α . Se α é uma variável contínua, o somatório pode ser substituído por uma integral, e a solução geral tem a seguinte forma

Ψ(r, t) =



∞

A(α)J 0 (αr)e−iαtdα.

(4.15)

0

Para determinar A(α) é necessário inverter a expresão anterior. Para isso consideramos t = 0 pois, dessa forma, só é necessário conhecer a forma do pulso da onda nesse instante de tempo, f (r). A expressão de A(α) pode ser determinada da seguinte forma

Ψ(r, 0) = f (r) =



∞

A(α)J 0 (αr)dα.

0

Multiplicando a equação acima por rJ 0 (α r) e integrando em r de 0 a infinito obtemos

28




∞

rJ (α r)f (r)dr

  ∞

=

0

0

rJ (α r)

0

∴

∞

A(α) =

0



∞

A(α)J 0 (αr)dα dr ∴

0

rJ 0 (αr)f (r)dr,

(4.16)

0

onde utilizamos a seguinte relação de ortogonalidade das funções de Bessel [ 7],



∞

xJ m (kx)J m (k  x)dr =

0

1 δ (k k

− k).

(4.17)

Assumindo que o resultado da integral anterior seja A(α) = C e−aα , onde a e C são constantes arbitrárias, a função Ψ(r, t) fica completamente estabelecida por

Ψ(r, t) = C



∞

J 0 (αr)e−iαte−aα dα.

(4.18)

0

De fato, a solução geral é dada por

 

Ψ(r, t) = C

(a2 + r 2 t2 )2 +2 +4a2 t2 + a2 + r 2 (a2 + r2 t2 )2 + 4a2 t2

−

−

2

−t .

(4.19)

A forma inicial da onda, f (r), pode ser obtida fazendo t = 0 na expressão acima. A solução encontrada representa, a medida em que o tempo passa, um pulso incidente na origem para valores negativos de t, chega na origem em t = 0, é refletida e passa a se propagar no sentido oposto, ou seja, como se tivesse sido emitido pela origem, para valores positivos de t. Conhecido Ψ(r, t), podemos determinar a energia gravitacional fazendo



r

γ =

0



r

˙ 2 γdr =

0

˙  dr. rΨΨ

(4.20)

Capítulo 5 Aplicação dos métodos espectrais Nesse capítulo serão expostos procedimentos, propriedades e resultados obtidos na aplicação dos métodos espectrais ao problema de ondas gravitacionais com simetria cilíndrica em sua aproximação linear.

5.1

Aplicação e resultados do método de Galerkin

A partir da solução expressa pela equação (4.19) é conveniente para o tratamento que será realizado fazer a transformação de coordenadas (r, t) → (r, u), de forma que u = t −r, portanto,

√

t = u + r . Substituindo tal transformação, a = 2 e C = 1/ 2 na equação (4.19), obtemos

Ψ(r, u) =

 

(4 + u2 )(u2 + 4ur + 4 + 4r2 ) + 4 u2 (4 + u2 )(u2 + 4ur + 4 + 4r2 )

− − 2ur ,

(5.1)

que satisfaz as seguintes equações ˙  2Ψ

˙ = 0, − Ψ − 1r (Ψ − Ψ)

(5.2)

γ  = rΨ2 ,

(5.3)

(5.4)

˙  ˙ = 2rΨ(Ψ γ

29

˙ − Ψ),

30

CAPÍTULO 5. APLICAÇÃO DOS MÉTODOS ESPECTRAIS

que são as equações de campo (4.9), (4.10) e (4.11) expressas no novo sistema de coordenadas. Nesse sistema, a solução exata apresenta as seguintes características,

lim Ψ(r, u) = 0

r→∞

e

lim Ψ (r, u) = 0,

r

→∞

(5.5)

além da própria função e suas derivadas serem finitas na origem. Um aspecto interessante a se observar é a forma como a função acima se comporta na origem e quando r tende a infinito pois podemos comparar com a função de base que representará a solução aproximada. Em um instante u = 1, por exemplo, a expansão de Taylor em torno da origem é

2

0.565685

3

− 0.226274r − 0.033941r + O(r ),

(5.6)

(5.7)

e sua expressão assintótica é dada por



0.351578

3

  O 

1 1 + 0.196539 r r

2

+

r−

5 2

.

Nesse sistema de coordenadas, a solução representa uma onda incidindo sobre a origem e decaindo a zero, conforme u, que consideramos ser a coordenada temporal, cresce. Para valores negativos de u o pulso se move em direção à origem. Em u = 0 o pulso atinge a origem e começa a decair. Escolheremos como instante inicial u = 0, e a expressão do pulso inicial é dada quando consideramos Ψ(r, u = 0), ou seja, 1 f (r) = 2

 √

1 + r 2 + 1 . 1 + r 2

(5.8)

Para determinar a solução aproximada é necessário escolher as funções de base. Uma boa escolha é uma composição de funções ortonormais, devido à sua convergência, facilidade de computação e completeza. Em vista disso, as funções escolhidas foram os polinômios de Chebyshev. Entretanto, como a convergência dos polinômios ocorre dentro do intervalo [−1, 1] e o domínio da variável r é [0, ∞[ , é necessário fazer um mapeamento para que o domínio seja

31


Figura 5.1: Forma do pulso inicial da onda em função de r compactado no intervalo de convergência dos polinômios. Essa transformação é

x =

r L , r + L

−

(5.9)

onde L é um parâmetro real arbitrário. Em diversos problemas encontrados na literatura, a escolha do parâmetro L não afeta significativamente os resultados, entretanto, isso não ocorre no problema estudado. Depois de utilizarmos diversos valores de L, como 1, 10, 50, e até mesmo 100, após alguma tentativa e erro, a escolha que apresentou os melhores resultados foi L = 3. Definimos os polinômios de Chebyshev racionalizados como:

T Lk (r) = T k

É importante ressaltar que

−

r 3 . r + 3

32


lim T Lk (r) =

r

→0

−1

e

lim T Lk (r) = 1.

r

→∞

Quanto à escolha das funções de base χk (r), uma combinação bastante simples dos polinômios acima que satisfaz as mesmas condições de contorno satisfeitas por Ψ(r, u) dadas por (5.5), é

χk (r) = T Lk+1 (r)

− T L (r). k

(5.10)

A expansão da função χ3 (r), por exemplo, em torno da origem é dada por

2

2

3

− 16.666667r + 28.666667r + O(r ),

(5.11)

e como pode ser observado, se comporta de forma semelhante à solução exata. A expansão assintótica da função de base χ3 (r) é dada por

−

42 1134 + 2 + r r

  O 1 r3

,

(5.12)

e embora decaia de forma diferente da solução exata, esta pode ser bem representada pelo conjunto de funções escolhido. Para determinar os coeficientes espectrais ai (u), procedemos como descrito no capítulo anterior. O primeiro passo é substituir a solução aproximada na equação (5.2), de onde obtemos a equação residual, dada por

 N

R =

i=0

dai (u) dχi (r) da i (u) 2r + χi (r) du dr du

−

d2 χi (r) rai (u) dr2

−



dχi (r) ai (u) . (5.13) dr

Em seguida, devem ser feitas as projeções (R, χ j (r)) = 0, com j = 0, 1,...N . Com isso, obtemos um sistema de N + 1 equações diferenciais envolvendo os coeficientes ai (u). Para

33


resolvermos esse sistema dinâmico é necessário determinar o valor de cada a i (u) em u = 0. Como conhecemos f (r), podemos fazer as seguintes projeções

 N

ai (0)χi (r), χ j (r)

i=0



− (f (r), χ (r)) = 0, j

j = 0, 1, ...N.

(5.14)

Obtemos, então, um sistema de N + 1 equações algébricas que quando resolvido nos dá os valores de ai (u) em u = 0. A forma como a solução aproximada com os valores iniciais acompanha o pulso inicial é mostrada nas figuras (5.2) e (5.3). É possível notar que tanto com uma truncagem de N = 10 tanto com N = 15, a solução aproximada representa bem o pulso incial da onda. Com isso é possível resolver o sistema dinâmico e obter os coeficientes espectrais para qualquer valor de u , e portanto, determinar a solução aproximada e compará-la com a exata, como é mostrado nas figuras a seguir. Podemos observar que a solução aproximada acompanha muito bem a solução exata para pequenos valores de u , tanto para N = 10 quanto para N = 15. Entretanto, à medida em que u assume valores maiores existe uma discrepância, embora

pequena, entre as duas soluções. Tal discrepância se torna menor conforme escolhemos valores maiores de N , ou seja, conforme aumentamos a truncagem aumentamos a precisão do método, sobretudo para grandes valores de u.


Figura 5.2: Comparação do pulso inicial com a solução aproximada obtida pelo método de Galerkin no sistema (r, u) para N = 10.

Figura 5.3: Comparação do pulso inicial com a solução aproximada obtida pelo método de Galerkin no sistema (r, u) para N = 15.

34


Figura 5.4: Comparação entre as soluções exata e aproximada obtida pelo método de Galerkin em u = 0.8 para N = 10.

Figura 5.5: Comparação entre as soluções exata e aproximada obtida pelo método de Galerkin em u = 0.8 para N = 15.

35


Figura 5.6: Comparação entre as soluções exata e aproximada obtida pelo método de Galerkin em u = 5 para N = 10.


36




37

38


5.2

Aplicação e resultados do método de colocação

Nessa seção serão expostos os resultados obtidos pela aplicação do método de colocação. Diferentemente do método de Galerkin, o método de colocação só pode ser aplicado a domínios finitos. Para isso, reescreveremos a solução (5.1) e a equação (5.2) no sistema de coordenadas (x, u), compactando o domínio, com x definido pela transformação inversa de (5.9), dada por

r =

−L x1 + x − 1.

(5.15)

Nesse caso, utilizaremos como funções de base os próprios polinômios de Chebyshev T k (x). A equação (5.2) pode ser escrita como

(1

−

˙  + x(1 x )Ψ 2

2

3

− x) Ψ − (1 + x)(1 − x) Ψ + Ψ˙ = 0, 6

12

(5.16)

onde a linha agora representa derivação com relação a x. A solução exata no novo sistema de coordenadas, escolhendo novamente L = 3, fica

Ψ(u, x) =



a(u, x) + b(u, x) (x c(u, x) + (b(u, x))2

− 1),

(5.17)

onde a(u, x) = b(u, x) = c(u, x) =



(u2 + 4)(u2 x2

2

2

2

2

2

− 2u x + u − 12ux −4x − 6ux + u x − u + 4 − 6u, 16(ux − u − 3x − 3) .

+ 12u + 40x2 + 64x + 40),

2

O pulso inicial é obtido substituindo u = 0 na equação (5.17), ou seja,

f (u, x) =



√ 2 (√ 2√ 5x 4

2

+ 8x + 5 + x 1)(x 5x2 + 8x + 5

−

− 1) .

(5.18)

39


Figura 5.10: Forma do pulso inicial da onda em função de x Escolhemos os N pontos de colocação como sendo os extremos dos polinômios de Chebyshev, ou seja, x i = cos(πi/N ), com i = 0, 1,...N . Substituindo a equação aproximada na equação (5.16) obtemos a função residual, que é igual zero nos pontos de colocação, o quer dizer

 N

i=0

(1

−

dai dT i x(1 x)2 dT i + x2 ) ai 6 du dx dx

−

−

(1 + x)(1 12

3

2

− x) a d T + da T i

i

i

dx2

du

i



= 0, (5.19)

com i = 0, 1,...N . A expressão (5.19) nos fornece N + 1 equações diferenciais para os N + 1 coeficientes modais a i (u). Para resolvê-las, assim como no método de Galerkin, é necesário determinar o valor de cada coeficiente no instante inicial u = 0, ou seja, ai (0). No instante u = 0 supomos que Ψ(0, x) = f (x) =



N i=0 ai (0)T i (x)

2 a j (0) = N ¯ c j

N

 n=0

, e portanto

1 f (xn)T j (xn ), c¯n

(5.20)


40

onde fizemos uso da seguinte relação de ortogonalidade, válida nos pontos de colocação xn , 2 N ¯ ck

N

 n=0

1 T j (xn )T k (xn ) = δ jk , c¯n

e o parâmetro ¯ck é definido como

c¯k =

 

2, se k = 0, N 1, se k assume qualquer outro valor

Dessa forma, após resolver o sistema de equações para os coeficientes espectrais podemos comparar a solução exata com a solução aproximada, como é mostrado nas figuras a seguir. Para valores de u próximos de u = 0, ambos os métodos apresentam bons resultados, e as soluções obtidas se aproximam bem da solução exata. Entretanto, mesmo com uma truncagem muito maior, N = 21, a solução obtida pelo método de colocação não acompanha a curva exata tão bem quanto a solução aproximada obtida pelo método de Galerkin à medida em que u cresce. Para valores relativamente baixos de u, há uma discrepância razoavelmente grande nos resultados obtidos pelo método de colocação, embora como já foi dito, um modo de melhorar os mesmos é aumentar o número de pontos de colocação. Nesse aspecto, o método de Galerkin é muito mais eficaz, pois a representação da solução exata pela solução aproximada se mantém boa para altos valores de u, com N relativamente pequeno.


Figura 5.11: Comparação do pulso inicial com a solução aproximada obtida pelo método de colocação no sistema (x, u) , para N = 15 .

Figura 5.12: Comparação do pulso inicial com a solução aproximada obtida pelo método de colocação no sistema (x, u) , para N = 21 .

41


Figura 5.13: Comparação entre as soluções exata e aproximada obtida pelo método de colocação em u = 0.8 para N = 15.

Figura 5.14: Comparação entre as soluções exata e aproximada obtida pelo método de colocação em u = 0.8 para N = 21.

42


Figura 5.15: Comparação entre as soluções exata e aproximada obtida pelo método de colocação em u = 5 para N = 15.


43




44

Capítulo 6 Conclusões A partir dos gráficos expostos no capítulo anterior fica evidente a eficiência dos métodos espectrais, sobretudo a do método de Galerkin. Apesar dos gráficos apresentarem o comportamento das soluções até r = 40, a solução aproximada representa bem a solução exata até o infinito, pois as funções de base e a solução exata obedecem às mesmas condições de contorno. Paragandes valores de u, com uma solução de 15 termos, começam a apracer pequenas discrepâncias entre as soluções exata e aproximada. Entretanto, Esse problema pode ser resolvido com um pequeno aumento no número de termos da solução aproximada, por exemplo, para N = 21. A implementação do método de Galerkin é simples, embora o método exija um es-

forço computacional moderado, devido às diversas integrações que devem ser realizadas para a determinação dos coeficientes modais. O método de colocação pôde ser implementado de forma extremamente simples, exigindo um esforço computacional relativamente pequeno. Entretanto, as soluções geradas por este método não tiveram a mesma precisão das soluções geradas pelo método de Galerkin, embora se tenha considerado mais termos na série. Por ser um método de fácil execução, é possível aumentar sua acurácia considerando mais termos na solução aproximada, ou seja, mais pontos de colocação. O instante inicial u 0 = 0 utilizado para resolver o sistema dinâmico para os coeficientes 45

CAPÍTULO 6. CONCLUSÕES

46

espectrais é completamente arbitrário. É possível escolher qualquer outro valor de u0 , contanto que a solução exata seja conhecida nesse instante. Quanto à convergência dos métodos, fica claro ao observarmos os gráficos que quanto maior o número de termos considerados nas soluções aproximadas de ambos os métodos, mais estas se aproximam da solução exata. Em vista dos resultados obtidos na aplicação dos métodos espectrais na aproximação linear da evolução de ondas gravitacionais cilíndricas, podemos esperar que o caso mais geral possa ser bem representado pelas soluções aproximadas geradas por ambos os métodos, desde que seja considerada uma truncagem grande o suficiente, da ordem de N = 21 ou maior para o método de Galerkin. Nesse tipo de aplicação dos métodos apresentados, as mesmas funções de base devem ser escolhidas, pois as condições de contorno são as mesmas tanto para o regime linear quanto para o regime não-linear, onde os dois modos de polarização estão presentes.

Referências Bibliográficas [1] MISNER, Charles; THORNE, Kip; WHEELER, John A., Gravitation, New York: W. H. Freeman and Company, 1973, 1215 p. [2] WEINBERG, Steven , Gravitation and Cosmolgy: Principles and Applications of The general Theory of Relativity, New Jersey: John Wiley & Sons, 1972, 657 p.

[3] D’INVERNO, Ray , Introducing Einstein’s Relativity, Oxford: Oxford University Press, 1992, 394 p. [4] BOYD, John P., Chebyshev and Fourier Spectral Methods, New York: Dover, 2000, 688 p. [5] FLETCHER, C. A. J., Computational Galerkin Methods, London: Springer-Verlag, 1984, 309 p. [6] GOTTLIEB, David; ORSZAG, Steven A., Numerical Analysis of Spectral Methods: Theory and Applications,

Philadelphia: Society For Industrial and Applied Mathematics,

1977, 170p. [7] JACKSON, John D., Classical Electrodynamics, New jersey: John Wiley & Sons, 1962, 808 p. [8] EINSTEIN, A.; ROSEN, N., J. Franklin Inst. 223, 43, 1937.

47

Uma abordagem Numérica ao Problema de Ondas Gravitacionais

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