Wiener Filter
Muhamad Firdaus Al-Hakim 12310048 Teknik Geofisika ITB, Fakultas Teknik Pertambangan dan Perminyakan, Institut Teknologi Bandung Dalam suatu proses konversi sebuah informasi ke dalam citra digital menyebabkan timbulnya degradasi dan penambahan noise, sehingga seringkali hasil konversi tidak sesuai dengan yang diinginkan. Perbaikan sinyal menggunakan Inverse filter tidak bisa mereduksi noise yang timbul, bahkan terkadang cenderung mempertajam noise. Wiener Filter merupakan filter yang digunakan untuk membuat estimasi dari suatu proses acak menggunakan filtering linear time invariant pada noise dari proses, dengan mengasumsikan sinyal stationer yang diketahui dan noise spectra, serta noise tambahan. Wiener filter meminimalisir mean square error antara proses acak dengan proses yang diinginkan. Abstrak.
1. PENDAHULUAN 2. WIENER FILTER PROBLEM SETUP
Pada pemrosesan sinyal, Wiener Filter merupakan filter yang digunakan untuk membuat estimasi dari suatu proses acak menggunakan filtering linear time invariant pada noise dari proses, dengan mengasumsikan sinyal stationer yang diketahui dan noise spectra, serta noise tambahan. Wiener filter meminimalisir mean square error antara proses acak dengan proses yang diinginkan. Filter ini diperkenalkan pertama kali oleh Norbert Wiener pada tahun 1940. Kontribusi utamanya adalah kegunaan filter ini untuk model statistik dari sinyal yang diperkirakan. Wiener filter dianggap optimal dalam urusan MMSE ( Minimum Mean Square Error ). ). Meskipun demikian, Kalman filter bisa menyelesaikan masalah filtering secara lebih umum, untuk sinyal nonstationer. Tujuan utama dari Wiener filter adalah menyaring noise yang mengganggu suatu sinyal. Filter sejenis didesain untuk respon frekuensi yang diinginkan. Akan tetapi, desain Wiener filter memiliki pendekatan yang berbeda. Kita berasumsi mengetahui spectral properties dari sinyal original dan noise, dan mencari linear time-invariant filter yang outputnya mendekati sinyal asli. Wiener Filter dicirikan oleh: Asumsi: sinyal dan noise merupakan proses sembarang yang linear dan stasioner dengan karakter spektral yang diketahui Kebutuhan: filter harus bisa direalisasikan Kriteria kinerja: Minimum Mean Square Error (MMSE)
Input pada Wiener Filter kita anggap sebagai suatu sinyal, s(t) yang terganggu oleh noise, n(t). Output-nya ŝ(t) dihitung menggunakan filter g(t) dengan memakai prinsip konvolusi
S(t) adalah sinyal asal (tidak diketahui; untuk diestimasi), n(t) adalah noise, ŝ(t) adalah sinyal yang diestimasi, dan g(t) adalah impulse response dari Wiener Filter. Errornya didefinisikan sebagai
α adalah delay dari Wiener Filter . Dengan kata lain, “error” adalah perbedaan antara estimated signal dengan true signal sebesar α Error
Dimana s(t+α) adalah adalah output yang diinginkan oleh filter dan e(t) adalah error. Berdasarkan nilai dari α, maka masalahnya antara lain: Jika α>0 maka isunya adalah prediksi (error berkurang ketika ŝ(t) sama dengan nilai awal s) Jika α=0 maka isunya adalah filtering (error berkurang berkurang ketika ŝ(t) sama dengan s(t)) Jika α<0 maka isunya adalah smoothing (error berkurang ketika ŝ(t) sama dengan nilai akhir s)
Dengan menggunakan menghasilkan
nilai
dari
squared
error
S adalah spektra. Terlihat bahwa g(t) opsional, maka persamaan minimum mean-square error menjadi
E (e ) R s (0) 2 2
g ( ) R
xs
( )d
Dan solusi g(t) adalah invers dari transformasi Laplace G(s).
g ( ) g ( )R x ( )d d
3.2. FIR Wiener Filter
[ , ]
X(t)=s(t)+n(t) adalah sinyal yang dilihat, R s adalah fungsi auto-korelasi dari s(t), R x adalah fungsi autokorelasi dari x(t), dan R xs adalah cross-correlation dari x(t) dan s(t). Jika sinyal s(t) dan noise n(t) tidak berhubungan, maka R xs=R s dan R x=R s+R n.
Kita
2
Tujuannya adalah untuk meminimalkan E(e ), nilai dari squared error dengan cara mencari optimal g(τ), fungsi impulse response Wiener Filter. Nilai minimum didapatkan dengan menghitung orde pertama
E (e
2
) 2
perlu
menemukan
koefisien
(hi ) yang
menimalisir MSE
Untuk mendapat
g ( )
(hi ) , kita bisa mendiferensialkan
errornya. Mulai dengan prinsip orthogonalitas:
R xs ( ) g ( ) Rx ( ) d d
Anggap terdapat FIR filter dengan panjang N 1 :
Akan memberikan
Untuk minimum, ini harus dihilangkan dari δg(τ) untuk τ>0 yang akan menjadi persamaan Wiener -Hopf
Persamaan ini fundamental pada teori Wiener. Dalam bentuk matriks: 3. WIENER FILTER SOLUTION
Wiener Filter memiliki solusi untuk tiga macam kasus: Pertama ketika noncausal filter bisa digunakan (membutuhkan jumlah past dan future data yang tak terbatas), kedua adalah casual filter yang digunakan (menggunakan past data yang tidak terbatas), ketiga adalah finite impulse respons /FIR yaitu ketika past data yang berjumlah tertentu digunakan).
atau
Persamaan di atas adalah persamaan Yule-Walker MMSE bisa dihitung dengan:
3.1. Non-Causal Solution
3.3. Causal Solution
Yaitu: H(s) mengandung bagian causal
S x , s( s )
s
e
S X ( s)
S x ( s ) S x ( s )
adalah komponen causal dari
S x ( s )
adalah komponen anti-kausal dari
S x ( s )
Untuk menuliskan solusi G(s) kita gunakan step: 1.
s
2.
( s)
S
Mulai dengan spektrum x untuk bentuk rasional dan faktorisasikan ke dalam komponen kausal dan anti-kausal
S x , s ( s) e
S x ( s )
Bagi oleh dan tuliskan hasilnya sebagai partial fraction expansion 3. Pilih bentuk itu saja yang memiliki kutub pada LHP. Kita sebut bentuk ini H(s)
4.
Bagi H(s) oleh fungsi filter G(s)
S x ( s )
. Hasilnya adalah
REFERENCES
1. Chen, Jingdong, et al. "New insights into the noise reduction Wiener filter." Audio, Speech, and Language Processing, IEEE Transactions on 14.4 (2006): 1218-1234. 2. Scharf, Louis L. Statistical signal processing . Vol. 98. Reading: Addison-Wesley, 1991. 3. Prof. N. Shimkin. 2009. Estimation and Identification in Dynamics System (catatan kuliah). Israel Institute of Technology, Department of Electrical Engineering. http://webee.technion.ac.il/people/shimkin/Est imation09/ch3_Wiener.pdf 4. http://en.wikipedia.org/wiki/Wiener_filter
