TUGAS AKHIR MODUL 3 MATEMATIKA (ANALISIS DAN PERSAMAAN DIFERENSIAL)

TUGAS AKHIR MODUL 3 MATEMATIKA

ANALISIS DAN PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA

Disusun Untuk Memenuhi sebagian Persyaratan Ketercapaian Tugas Akhir M3 PPG dalam Jabatan Angkatan 2 Tahun 2019

Oleh: Muhammad Darmawan Dewanto, S.Pd 19040318010315

PPG DALAM JABATAN ANGKATAN 2 PROGRAM PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA 2019

1. Buktikanlah secara formal teorema berikut Jika fungsi 𝑓, 𝑔; 𝐼 → 𝑅, 𝑎 ∈ 𝐼, lim 𝑔(𝑥) = 𝐿 , dan f kontinu di titik L 𝑥→𝑎

Buktikan bahwa: lim 𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑓(lim 𝑔(𝑥)) 𝑥→𝑎

𝑥→𝑎

Jawab: Misal

karena

𝑒>0

f

kontinu

di

L

maka

terdapat

sedemikian

sehingga

………………………(i) karena lim 𝑔(𝑥) = 𝐿, ∀𝛿1 > 0 𝑥→𝑐

maka, terdapat

sedemikian hingga ………………………. (ii)

Dari persamaan (i) dan (ii) diperoleh:

Hal ini berarti lim 𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑓(𝐿) 𝑥→𝑐

Jika g kontinu di c maka

2. Diberikan 𝑓(𝑥) = 𝐴𝑥 3 + 𝐵(𝑥)2 + 𝐶(𝑥) + 𝐷,

tunjukkan bahwa ƒ mempunyai sebuah

maksimum lokal dan sebuah minimum lokal jika dan hanya jika a. Hitung

dan

.

b. Tentukan bilangan kritis dari ƒdan syarat ƒ mempunyai dua bilangan kritis. c. Gunakan uji turunan kedua untuk masing-masing bilangan kritis. Jawab : Menghitung

dan

𝑓(𝑥) = 𝐴𝑥 3 + 𝐵(𝑥)2 + 𝐶(𝑥) + 𝐷 𝑓′(𝑥) = 3𝐴𝑥 2 + 2𝐵(𝑥) + 𝐶

Jika 𝑓′(𝑥) = 0, diperoleh:

Petunjuk pengerjaan:

𝑓′(𝑥) = 3𝐴𝑥 2 + 2𝐵(𝑥) + 𝐶 0 = 3𝐴𝑥 2 + 2𝐵(𝑥) + 𝐶

Bilangan kritis

Subtitusi bilangan kritis

Jadi

ke

3. Lukislah a. Daerah D yang dibatasioleh

sumbu x,

kemudian hitunglah

i. ii.

Luasdaerah D denganberbagaicara yang andaketahuidanapakah yang dapat anda simpulkan tentang luas daerah

Jawab :



1

1

Luas daerah = 2 . 𝑎. 𝑡 = 2 . 5.5 =

25 2

satuan luas.

Luas daerah yang dibatasi oleh suatu kurva sama dengan integral dari fungsinya.

b. Dengan menggunakan luas daerah D pada a hitunglah volume benda yang terjadi apabila daerah D diputar mengeliling isumbu x menggunakan metode cakram dan rumus kerucut. Buatlah kesimpulan dari kedua hasil jawaban tersebut. Jawab :

satuan luas

Maka, volume benda diputar terhadap sumbu x adalah

4. Tentukan solusi umum dari persamaan diferensial berikut. a. b.

Jawab: a.

, kedua ruas dibagi 𝑦 2 (𝑦 + 1)(𝑥 − 1)

b. Menyelidiki apakah ini persamaan diferensial eksak atau tidak.

Karena

maka persamaan tersebut merupakan persamaan eksak.

sehingga Maka, solusi umum dari persamaan diferensial tersebut adalah: