TUGAS 1 MATA KULIAH GEOSTATISTIK (GL-5045) Dosen : Dr.Prih!i S
TEO"I "EGIO#AL $A"IA%LE
#AMA : Eri Sr&n' Si'in* #IM : ++0 1+ ,0
Pror& S'!i Mis'er Te*ni* Geo/oi */'s I/& Ke&in !n Te*no/oi Miner/ Ins'i'' Te*no/oi %n!n +014 Teor Teorii Vari Variab abel el Regi Region onal al adal adalah ah meru merupak pakan an meto metode de geos geosta tati tist stik ik yang yang digu digunak nakan an untu untuk k melakukan interpolasi di dalam ruang. Konsep dari teori ini adalah bahwa interpolasi dari titiktitik titik didala didalam m ruang ruang yang yang tidak tidak akan didasark didasarkan an pada pada objek objek yang yang meneru meneruss secara secara merata. merata.
Interpolasi tersebut harus berdasarkan pada model stokastik yang menyertakan berbagai kecenderungan didalam kumpulan titik-titik asal tersebut. Teori ini menyatakan bahwa didalam berbagai kumpulan data, akan ditemukan hubungan-hubungan sebagai berikut : a. agian struktur, yang juga disebut sebagai kecenderungan b. Variasi yang berkorelasi c. Variasi yang tidak berkorelasi atau noise !etelah menentukan ketiga hubungan tersebut, teori "ariable regional ini akan mengaplikasikan hukum pertama dalam ilmu geogra#i yaitu untuk memperkirakan harga yang tidak diketahui dari titik-titik, dimana setiap titik berhubungan satu dengan yang lain tetapi titik-titik yang berdekatan akan lebih berhubungan daripada titik yang berjauhan. $ada akhirnya aplikasi utama dari teori ini adalah metode kriging untuk interpolasi. %eostatistik merupakan aplikasi dari dari teori "ariable regional yang digunakan untuk memperkirakan endapan mineral secara tidak langsung. !ecara lebih umum, ketika suatu #enomena menyebar didalam ruang dan memiliki suatu struktur ruang tertentu, maka kita menyebutnya sebagai daerah atau wilayah ®ionali'ed(. )ika #&*( merupakan nilai pada titik * dari suatu karakteristik # dari #enomena tersebut, maka kita harus menyatakan bahwa #&*( adalah "ariable regional. Ini merupakan pengertian awal tetapi deskripti# dan secara khusus sebelum menginterpretasikan kemungkinan &probabilistik(. +alam kacamata matematika, ini merupakan #ungsi yang sederhana dari #&*( di titik *, tetapi secara umum merupakan #ungsi yang sangat tidak beraturan &irregular( contohnya adalah kadar dari sebuah endapan mineral. al ini juga menunjukkan dua aspek yang bertentangan : - !ebuah aspek random &dicirikan oleh ketidakteraturan dan "ariasi yang tidak dapat diprediksi dari suatu titik ke titik yang lain( atau komponen random dimana sebuah obser"asi dari sebuah "ariabel di sebuah titik i, didalam area yang lebih luas , merupakan realisasi dari sebuah "ariable random &i( pada titik i - !ebuah aspek terstruktur atau tidak random & hal ini harus mencerminkan karakteristik luas dan stuktur dari #enomena di daerah atau wilayah tertentu( atau komponen tidak random dimana "ariabel-"ariabel random untuk dua lokasi i dan i/h &yang dipisahkan oleh jarak h( tidak dianggap independen secara ruang. 0da dua tujuan dari teori regional "ariable yaitu : 1. +alam konteks teori, untuk memperlihatkan properti struktur dalam bentuk yang memadai. 2. +alam konteks praktek, untuk menyelesaikan masalah perkiraan dari sebuah "ariable regional dari data sampel yang terbagi-bagi &#ragmented sampling(. +ua tujuan ini berhubungan untuk sampel-sample terhubung yang sama, error dari perkiraan tergantung pada karakteristik struktur, contohnya akan menjadi lebih besar ketika "ariable regional lebih tidak beraturan dan lebih tidak berhubungan dalam "ariasi ruangnya. Konsep "ariable regional ini banyak diaplikasikan dalam ilmu geologi dimana nilai dari sebuah "ariable yang terukur pada dua lokasi yang berdekatan akan lebih mirip daripada nilai "ariable pada lokasi yang berjauhan. $ada tahapan tertentu didalam proses geostatistik membutuhkan
"ariable regional mengikuti kondisi khusus, kondisi ini biasanya disebut sebagai 3ipotesa Intrinsik4 atau 3weak stationary4. !ebuah "ariable mengikuti hipotesa intrinsic jika : 1. )ika perbedaan yang diharapkan &didalam nilai "ariable( antara titik-titik tertentu di dalam data diatur sama dengan nol,
2. Varian pengaturan dari perbedaan didalam pasangan-pasangan nilai "ariable hanya merupakan #ungsi dari jarak pemisahan h,
alaupun pengukuran korelasi ruang dikenal sebagai semi-"ariogram membutuhkan pemenuhan hipotesa intrinsik, beberapa pengukuran korelasi ruang yang lain seperti korelogram membutuhkan nilai "ariable hadir dan konstan untuk semua lokasi dan ko"arian hadir yang merupakan #ungsi dari jarak pemisahan h. Kehadiran tren didalam kumpulan data diindikasikan ketika perbedaan yang diharapkan tidak sama dengan nol. Tren ini dimodelkan secara terpisah sebelum disertakan dalam proses perkiraan. +asar dari teori "ariable regional dan analisa korelasi ruang adalah untuk menghitung keberlanjutan properti sampel dalam jarak dan arah tertentu. )adi dengan dasar ini kita bisa menyimpulkan bahwa dua well yang berdekatan akan memiliki properti reser"oir yang cenderung sama dari pada dua well yang berjauhan. Tetapi sampai seberapa jauh jarak antara dua well akan memiliki property sampel yang sama harus melalui pengukuran statistic. Kita memerlukan pengukuran statistic yang baru karena statistic uni"ariate atau bi"ariate klasik tidak dapat menangkap in#ormasi korelasi ruang. 0nalisa korelasi ruang adalah tahapan yang penting dalam sebuah penelitian geostatistik reser"oir. eberapa kumpulan data dapat memiliki statistic uni"ariate yang sama dengan kumpulan data yang lain, sebagian lagi bisa sangat berbeda.
Kita bisa melihat bahwa gra#ik 1a menunjukkan kemenerusan porosity dalam ruang, tetapi gra#ik 1b memiliki distribusi porositas yang acak. Tetapi walaupun begitu mean, "ariance dan histogram kedua kumpulan data porositas ini mirip. $ersamaan kedua gra#ik adalah mean yang sama &5.67(, standar de"iasi yang sama & 2.87( dan #rekuensi distribusi yang sama &histogram(. !edangkan perbedaannya adalah gra#ik 1a memiliki kemenerusan ruang &spatial continuity( sedang gra#ik 1b tidak atau acak.
!ekuen 1a yang memiliki sebuah struktur atau komponen korelasi ruang disebut sebgai Regionali'ed "ariable, sedangkan sekuan 1b yang tidak menunjukkan kemenerusan ruang diklasi#ikasikan sebagai Random "ariable. !patial structure &struktur ruang( aakn mencerminkan hubungan nilai terukur disuatu titik dengan nilai di titik lain, jadi secara umum kegunaan spatial structure adalah : 1. 9enjelaskan intensitas dari pola dan skala dimana pola tersebut terdapat atau tersingkap. 2. 9enginterpolasi untuk memperkirakan nilai pada titik-titik tidak terukur di sepanjang domain &contohnya adalah kriging(. . 9enilai ketidakbergantungan "ariable sebelum mengaplikasikan parameter pengukuran dari signi#icance. )adi "ariable &( yang diukur di lokasi I, dapat diuraikan menjadi tiga komponen melalui #ungsi persamaan berikut :
#&i( s&i( <
; merupakan tren atau struktur berskala besar &yang umumnya bisa dihilangkan( ; merupakan ketergantungan ruang local yang acak &yang akan dicari( ; error dari "arian &dianggap terdistribusi secara normal(
eberapa hal penting didalam "ariable regional adalah : 0.
0utocorrelation
Korelasi merupakan suatu pernyataan dari penyebaran dimana dua kumpulan data cocok satu dengan lain. =orrelation coe##icient ditentukan melalui penyebaran dimana dua garis regresi menyimpang dari sumbu hori'ontal dan "ertical. +idalam konsep struktur ruang &spatial structure( autocorrelation merupakan derajat korelasi ke nilai itu sendiri, sehingga spatial correlation adalah hubungan yang merupakan #ungsi jarak. Ketika kumpulan data &misalnya kumpulan nilai porositas( diplot didalam gra#ik terhadap nilai porositas itu sendiri akan membentuk suatu tren dengan slope atau kemiringan sebesar 6> derajat, hal ini menunjukkan korelasi yang semourna. Tetapi jika data kita terjemahkan dengan menggunakan inter"al sampling dan di plot terhadap data dengan inter"al sampling juga maka akan menunjukkan pengaruh dari spatial correlation atau kurangnya korelasi ruang. Kita bisa melihat dari dua data set berikut yang masing-masing di plot didalam h-scatterplot &h merupakan lag atau distance( :
!ekuen
!ekuen 0
Kita bisa melihat bahwa sekuen 0 mulai menunjukkan kurangnya spatial correlation setelah lag 6, sementara lag 1- di scatter plot masih menunjukkan spatial correlation. !edangkan sekuen dari lag 1 sudah menunjukkan kurangnya spatial correlation yang dicerminkan titik-titik nilai menyebar di dalam scatter plot. !ekuen 0 merupakan Regionalized variable yang menunjukkan kemenerusan spatial sampai lag . !edangkan !ekuen merupakan Random variable tanpa kemenerusan spatial
0tribut yang kompleks didalam reser"oir merupakan #ungsi yang acak, dimana merupakan kombinasi dari Regionali'ed "ariable dan Random "ariable. ?ungsi acak ini memiliki dua komponen yaitu : 1. !tructure component : terdri dari regionali'ed "ariable yang mengandung derajat spatial auto correlation. 2. @ocal random component : terdiri dari random "ariable &atau disebut sebgai nugget e##ect( yang menunjukkan sedikit atau tidak adanya korelasi. 9odel dari #ungsi acak ini menganggap bahwa : 1. $engukuran tersendiri pada lokasi '&*i( adalah satu hasil yang memungkinkan dari sebuah "ariable acak pada lokasi di titik &*i(. 2. Kumpulan sampel yang didapat, '&*i(, i;1,An, dienal sebagai #ungsi acak. +engan mempelajari ketergantungan ruang antara dua pengukuran suatu atribut yang sama pada '&*i( dan '&*i/h(, dimana h merupakan jarak pengukuran, kita sebenarnya mempelajari korelasi ruang antara dua #ungsi acak yang berhubungan '&*i( dan '&*i/h(. . !patial auto correlation analysis !patial auto correlation adalah analisa spatial hanya pada satu "ariable &mis:porositas( yang menjelaskan hubungan antara "ariable regional yang diambil di tempat-tempat yang berbeda. !ampel yang auto-correlated tidak lepas atau bebas terhadap jarak. 0da dua pengukuran kemenerusan spatial uumnya yaitu variogram dan correlogram, yang mengi'inkan kita menghitung kemenerusan, anisotropy dan property a'imuthal dari kumpulan data kita. Variogram Variable regional menggunakan konsep semi"arian untuk memperlihatkan hubungan antara titiktitik yang berbeda di sebuah permukaan. !emi"arian adalah sebagai berikut :
!emi"arian die"aluasi dengan menghitung B&h( untuk setiap pasangang data dan dipasangkan terhadap inter"al lag,h. jika kita memplotkan hasil semi"ariance terhadap jarak lag, maka akan dihasilkan "ariogram. &atau sering dikenal dengan semi"ariogram(. Variogram mengukur ketidakmiripan atau peningkatan "arian antara data-data sebagai #ungsi jarak. Variogram menghasilkan cara pembelajaran dari pengaruh #actor geologi lain yang mungkin mempengaruhi apakah korelasi spatial berubah hanya terhadap jarak &atau disebut kasus isotropic( atau berubah terhadap jarak dan arah &atau disebut kasus anisotropic(. Variogram ini disebut juga sebagai e*perimental "ariogram, yang didasarkan pada data yang ada dan dihitung sebagai tahapan awal dalam proses kriging.
=orrelogram 9erupakan pengukuran yang tergantung pada ruang, yang mengukur kemiripan atau korelasi terhadap jarak pemisahan.
Kita akan mendapatkan bahwa ko"arian akan semakin kecil seiring dengan bertambahnya jarak. !edangkan "ariogram akan menunjukkan peningkatan "arian seiring bertambahnya jarak.
R R
Cmnidirectional "ariogram
=orrelogram
$engukuran anisotropy dapat dilakukan dengan berdasarkan arah yang berbeda dari penyebaran data. 0da dua geometri anisotropy yang umum dihasilkan didalam "ariogram yaitu : 1. 0nisotropy geometri : diindikasikan oleh "ariogram bidirectional yang memiliki sill yang sama tetapi berbeda range. 2. 0nisotropy 'ona : dicirikan oleh "ariogram yang memiliki sill berbeda tetapi range yang sama.
=. !patial cross correlation analysis 9erupakan analisa yang bertujuan mempelajari hubungan spatial antara dua atau lebih "ariable. 9odel cross correlation berguna dlam melakukan co-krigging atau conditional cosimulation &seperti mencocokkan data sumur dengan data seismic(. =ross correlogram atau cross "ariogram menjelaskan hubunga spatial dimana pasangan data yang mewakili "ariable-"ariabel yang berbeda. !ebagai contoh adalah misalnya kita akan memperkirakan porositas berdasarkan pengukuran impedansi akustik, maka penting untuk menghitung model auto-correlation untuk keua atribut dan menghitung model cross-corelation seperti gambar berikut :
erikut rumus yang umum digunakan dalam analisa cross correlation : &gambar 1a( &gambar 1b( &gambar 1c( ; atribut utama yang diukur di lokasi *i ; atribut utama yang diukur di lokasi *i/jarak pemisahan&lag(, h ; atribut kedua yang diukur di lokasi *i ; atribut kedua yang diukur di lokasi *i/jarak pemisahan&lag(, h ; jumlah data
+.
!tationary didalam regionali'ed "ariable
al ini terjadi bila nilai yang diharapkan dari perbedaan antara dua "ariable acak adalah nol. !tationary menjelaskan bahwa korelasi spatial dapat dimodelkan dengan #ungsi positi# tertentu dan menyatakan bahwa nilai yang diharapkan yang dianggap merupakan nilai rata-rata tidak tergantung pada jarak yangmemisahkan data-data tersebut. Crde pertama
erikut adalah tiga parameter orde kedua yang penting dalam geostatistik :
$ada kondisi orde kedua inilah semi"ariogram dan co"arian merupakan pengukuran alternati"e dari autocorrelation spatial. Dntuk data yang non-stationary, masih banyak perdebatan, karena sebagian menganggap ini hanya masalah skala pengukuran. $engaruh dari pengukuran non-stationary tergantung pada bagian dari skala sampel dalam hubungan dengan skala tren. !ayangnya, geoscientist jarang memiliki kewenangan dalam menentukan distribusi sampel. )ika regionali'ed "ariable adalah non-stationary, dapat berkenaan sebagai susunan dua bagian yaitu residual dan tren.
+imana : E&*( ; memiliki "ariogram dasar &residual( m&*( ; dapat diperkirakan oleh polynomial &tren( Daftar Pustaka
1. 2. . 6. >.
9atheron, %. &1F81(, The Theory of Regionalized Variables and Its Applications, @es =ahiers du =entre de 9orphologie 9athematiGue de ?ontainebleau. +owdall, 9., CH+ea, ). &1FFF(, %eostatistical analysis o# monitoring data, )ournal o# n"ironmental monitoring, "ol II. =ressie, J. 0. =. &1FF(, Statistics for Spatial Data, Jew Eork: )ohn iley !ons. asic %eostatistics compiled by )imba Clu http:LLen.wikipedia.orgLwikiLRegionali'edM"ariableMtheory
