Tti Matemática Financeira

REDRIGUES, Paulo Eduardo Durão. Técnico em Transações Imobiliárias, Matemática Financeira. Brasília: Editora, 2003.

REDRIGUES, Paulo Eduardo Durão. Técnico em Transações Imobiliárias, Matemática Financeira. Brasília: Editora, 2003.

SUMÁRIO

APRESENTA ÇÃO ................................................................................... 4 APRESENTAÇÃO INTRODUÇÃO ........................................................................................ 6 1. Núm Número eross Pro Propo porr ci cion onais ais ...... ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ........ .. 7 2. Op 2. Operaç erações ões s ob obre re Merc Mercado adorr ias ...... ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ........ .. 12 2.1 - Preços Preç os de cus c usto to e vend v enda: a: ..... ........... ........... ........... ........... ........... ........... ........... ........... ........... .......13 .13 2.2 2.2 - Lu Lucr cros os e Preju Pr ejuízos ízos:: ...... ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ...... 13 3. Taxa 3. Taxa de Juros ................................................................................... 17 3.1 3.1 - Hom Homog ogenei eneidad dade e ent entre re tempo tem po e taxa: tax a: ...... ............ ............ ............ ............ ............ ........ .. 18 3.2 - Ju Jurr o Exat Exato o e Jur J uro o Comerci Comer cial: al: ...... ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ...... 20 4. Inflação 4. Inflação .............................................................................................. 21 5. Capi Capital talizaç ização ão Sim Simpl ples es ...... ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ .......... .... 24 5.1 5.1 - Ju Jurr os Sim Simpl ples: es: ........ .............. ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ .......... .... 25 5.3 - Desc Descon onto to Simp Si mples les:: ...... ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ........... ..... 28 6. Capi Capital talizaç ização ão Com Compo poss ta ...... ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ...... 32 6.1 6.1 - Ju Jurr os Com Compo post stos os:: ...... ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ........ 33 6.2 6.2 - Mon Montan tante te Com Compo poss to to:: ...... ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ......... ... 34 6.3 6.3 - Desc Descon onto to Com Compo post sto: o: ...... ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ........ .. 36 BIBLIOGRAFIA BIB LIOGRAFIA B ÁSICA ........................................................... ......................................................................40 ...........40

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APRESENTAÇ APRESEN TAÇÃ ÃO

Esta apostila foi elaborada para contribuir com a honrosa profissão de Corretor de Imóveis já fazia parte de meus projetos, antes mesmo, de receber o nobre convite do COFECI. Desde pequeno eu acompanhava o trabalho do meu pai, um corretor de imóveis que conta hoje com praticamente praticamente quarenta anos de profissão, e que sempre se se preocupou em oferecer um excelente serviço ao cliente, para assim, efetuar a venda do produto – o imóvel. O serviço prestado ao cliente pode ser classificado como, a parte das relações humanas, no processo de venda. É nesta etapa que devemos mostrar o conhecimento da linguagem da Matemática Financeira, informando, orientando e trazendo segurança para o comprador. Nossa apostila começa com uma matemática básica e fundamental, necessária necessária para a construção de um alicerce bem estruturado, passando pelas operações sobre mercadorias, pelas taxas de juros, pela inflação, até chegarmos aos regimes de capitalização. Vários autores foram pesquisados na tentativa de se obter bons conteúdos. conteúdos. No primeiro tópico - Números Proporcionais - foi utilizado como referência o livro Matemática Comercial e Financeira com complementos de matemática e introdução ao cálculo, de Nicolau D’ambrósio e Ubiratan D’ambrósio. Nessa bibliografia capturamos os fundamentos das razões equivalentes, das proporções, da divisão em partes proporcionais, da divisão em partes inversamente proporcionais e das porcentagen porcentagens. s. Esses conhecimentos serão de grande valia para o entendimento e a resolução de alguns exercícios no final da apostila. No segundo tópico- Operações sobre Mercadorias – são feitos estudos (através de exemplos), mostrando-se o cálculo cálculo de lucros e prejuízos, referenciando-se nos preços preços de compra e venda. Os livros aqui adotados, Matemática Financeira: noções básicas, de José Lineu Marzagão e Matemática Comercial e Financeira, de Rogério Gomes de Faria, foram de grande valia, pois proporcionaram uma visão esclarecedora de vários casos de negociações de vendas e compras. Centro de Ensino Tecnológico Tecnológico de Goiás - CETEG

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No terceiro tópico- Taxas de Juros- procurou-se informar como se utiliza o tempo de aplicação e a taxa de juros em fórmulas de matemática financeira, bem como, a diferença entre juro exato e juro comercial. Novamente, os autores Nicolau D’ambrósio e Ubiratan D’ambrósio são nossos esteios na elaboração desta lição que, possui também, exemplos resolvidos para a obtenção de um melhor entendimento sobre o assunto. É importante compreendermos as taxas, pois as mesmas estão presentes nos investimentos e empréstimos. O assunto Inflação (quarto tópico) utiliza-se de uma linguagem bem tranqüila, baseada no livro Guia da inflação para o povo, de Paul Singer, possibilitando ao leitor um entendimento geral deste, dito terror, do mundo econômico. O estudo do regime de Capitalização Simples é o nosso cenário principal no quinto tópico da apostila. Aqui, são abordados a conceituação de juros simples, montante simples, desconto simples, cálculo de taxa acumulada, sempre com a utilização de vários exemplos. Na seqüência, o sexto tópico, é feito o estudo da Capitalização Composta. Neste regime de capitalização são analisados os juros compostos, o montante composto e o desconto composto. São também estudados o cálculo do montante a partir de uma série de vários depósitos e a equivalência entre taxa anual composta e taxa mensal composta. Sabendo-se que todas as negociações financeiras têm como suporte um dos regimes de capitalização, procurou-se dar ênfase aos dois últimos tópicos, estando os seus respectivos exemplos de aprendizagem, digitados no estilo passo a passo. A bibliografia, aqui utilizada, foi o livro Concursos Públicos - Matemática Geral e Financeira, de Benjamin Cesar de Azevedo Costa que, muito nos auxiliou na formatação das etapas finais destes estudos. Através dos conteúdos abordados, a presente apostila tem por objetivo, dar ao aluno uma melhor visão dos conceitos matemáticos, possibilitando-o executar transações financeiras e também prepará-lo para o exame de proficiência do COFECI na disciplina em questão. O estudo deve ser uma constante na vida do aluno, pois, aquele que conseguir aliar fundamentação teórica à prática, terá um poderoso instrumento de trabalho nas mãos, além é claro, de clientes para efetuar negócios.

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INTRODUÇÃO O Capitalismo começou após o enfraquecimento do Feudalismo, por volta do décimo segundo século depois de Cristo, constituindo-se em um novo sistema econômico, social e político. Como importantes características do Capitalismo podemos citar: a combinação de três centros econômicos (produção, oferta e consumo) formatando a economia de mercado; o surgimento das grandes empresas; as relações de trocas monetárias; a preocupação com os rendimentos; e principalmente, o trabalho assalariado. Durante o seu desenvolvimento, o Capitalismo passou por quatro fases, sendo atualmente chamado, nos países de primeiro mundo, de Capitalismo Financeiro. Nesta fase, as grandes empresas financeiras são as detentoras do maior volume do capital em circulação. Sobre as outras três etapas do Capitalismo podemos, assim, enumerar: 1ª)Pré-Capitalismo: fase de implantação desse sistema (séculos XII ao XV); 2ª)Capitalismo Comercial: os comerciantes administravam a maior parte dos lucros (séculos XV ao XVIII); 3ª)Capitalismo Industrial: o capital é investido nas indústrias, transformando os industriais em grandes capitalistas (séculos XVIII, XIX, XX). É bom lembrar que esta terceira fase ainda acontece. Então, para existir um melhor entendimento entre as relações de troca, para a utilização das melhores taxas em empréstimos e investimentos, para se fazer previsões de movimentação de capital no mercado, para cálculo de juros, montante, descontos, dentre outros, a matemática foi sendo gradativamente aplicada ao comércio e às finanças; Conseqüentemente, originando o seu ramo específico, chamado Matemática Financeira. A Matemática Financeira deve ser bem entendida, pois, em um mercado econômico que não é estático, o conhecimento e a informação representam um grande poder para a execução de serviços. Centro de Ensino Tecnológico de Goiás - CETEG

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1 Números Proporcionais


7

Sendo a e b, duas grandezas conhecidas, definimos a razão entre a e b, nesta ordenação, como o quociente entre a e b. •

a

Então, escrevemos: b ou a : b. Observação: A grandeza que se encontra no denominador deve possuir, o seu valor, diferente de zero. a b  ( a é o numerador e b é o denominador). Exemplo: Calcule a razão entre a e b, sabendo-se que a = 32 e b = 28. Solução: a = 32 , então 32 = 16 = 8 . Essas três frações são Razões b 28 28 14 7 Equivalentes pois dividindo-se, o pelo denominador, em cada uma das três frações, obteremos o mesmo resultado. Resposta: a  8 . b

•

7

A igualdade de duas razões equivalentes é chamada de Proporção.

Exemplo 1: 16 = 8, 16 e 7 são os extremos da proporção e 14 e 8 são os meios da 14 7 proporção. Propriedade Fundamental: “Em toda proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos”. Exemplo 2: As razões

12

e

3

12 3



16 4

16 4

são iguais, logo:

, então: 3 x 16 = 4 x 12. 48 = 48.

Vamos trabalhar agora, com a Divisão em Partes Proporcionais, através da análise do exemplo a seguir: •


8

Exemplo: Dividir o número 850 em partes proporcionais aos números 1, 4 e 5.


9

Observação: como a divisão é proporcional à três números, o número 850 será dividido em três partes. Solução: vamos supor que as três partes do número 850 sejam representadas, respectivamente, pelas letras X, Y e Z. X=

850 1  4  5

*1  8 5 .

850

Y= 1  4  5 * 4  340. 850

Z= 1  4  5 * 5  425. Somando-se os números 85, 340 e 425 obteremos o número 850, provando assim, que a divisão em partes proporcionais está correta. No cálculo de cada uma das letras ( X , Y e Z ), devemos sempre dividir o número principal ( neste caso o número 850 ), pelo somatório das partes proporcionais ( no exemplo foram os números 1, 4 e 5), e em seguida, multiplicar o resultado desta divisão por cada uma das partes proporcionais.

•

Divisão em Partes Inversamente Proporcionais utilizando uma exemplificação:

Exemplo: Dividir o número 1.200 em partes inversamente proporcionais aos números 2 e 4. 1º passo: Deve-se inverter os números, tornando-os

1 2

e

1

.

4

2º passo: Deve-se agora, colocar as frações em um mesmo denominador (denominador comum). Vamos fazer o mínimo múltiplo comum e depois dividir, o mínimo múltiplo encontrado, pelo denominador. Em seguida multiplicaremos o resultado desta divisão pelo numerador, lembrando que, estes cálculos estão acontecendo com as 1 1 frações 2 e . Como o valor do mínimo múltiplo comum será 4, as frações se modificarão 2

1 4

para e 4

. 4


1

3º passo: Um novo problema aparecerá, pois agora serão utilizados apenas


1

os numeradores das novas frações encontradas no item 2º passo. A partir daqui teremos uma resolução semelhante à divisão em partes proporcionais , pois o número principal ( neste caso o número 1.200 ) será dividido pelo somatório das partes ( números 2 e 1 ), sendo o resultado desta divisão multiplicado por cada uma das partes. • 1º parte:

•

2º parte:

1.200

* 2  800.

2 1

1.200

*1  400.

2 1

4º passo: Somando-se os números 800 e 400 obteremos o número 1.200, provando assim que, a divisão em partes inversamente proporcionais está correta. Nesta parte, vamos estudar noções básicas que serão de grande valia no trabalho com porcentagens (percentagens). •

Exemplo 1: Escreva a taxa de 14,45% na forma unitária. Solução: devemos dividir a taxa por 100. 14,45% = 14,45  0,1445. 0,1445 é a forma unitária. 100

Exemplo 2: Colocar a fração

3 4

na forma percentual.

Solução: devemos utilizar as Razões Equivalentes e a propriedade fundamental das Proporções que estão citadas no início deste tópico. 3 x  4 100

4 . x = 3 . 100 4x = 300 x = 75, então 3 = 75 = 75% 4 100 Centro de Ensino Tecnológico de Goiás - CETEG

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Exemplo 3: Calcular 27% de 270. Solução : transformar 27% na forma unitária e depois multiplicar o número encontrado por 270. 27% = 27 = 0,27. Assim: 0,27 x 270 = 72,9. 100 72,9 corresponde a 27% de 270.


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2 Operações sobre Mercadorias


12

2.1 - Preços de cust o e vend a:

Vamos trabalhar, nesta seção, com problemas de porcentagens relacionados às operações de compra e venda. Ao se efetuar a venda de uma mercadoria pode-se ter lucro ou prejuízo, sendo que os mesmos, podem ser calculados sobre o preço de custo ou sobre o preço de venda da mercadoria em questão. Fórmula básica : PRV = PRC + LC Onde: • PRV = Preço de Venda; PRC =Preço de Custo ou Preço de Compra; LC = Lucro obtido na Venda. •

•

2.2 - Lucros e Prejuízos:

O estudo desta seção será feito com base nos exemplos a seguir: Exemplo 1: Lucro sobre o custo. Uma mercadoria foi comprada por R$3.000,00 e vendida por R$3.850,00. Calcule o lucro, na forma percentual, sobre o preço de compra. Solução: PRC = 3.000 PRV = 3.850 PRV = PRC + LC LC = PRV - PRC LC = 3.850 – 3.000 LC = 850

3.000  100% 850  X 3.000 . X = 100 . 850 X = 28,333%


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Obs.: O lucro sobre o custo foi de 28,333%.

Exemplo 2: Lucro sobre a venda. Uma mesa de escritório foi comprada por R$550,00 e vendida por R$705,00. Calcule o lucro, na forma percentual, sobre o preço de venda. Solução: PRC = 550 PRV = 705 PRV = PRC + LC LC = PRV – PRC LC = 705 – 550 LC = 155

705 100% 155 X 705 . X = 100 . 155 X = 21,986% Obs.; O lucro sobre o custo foi de 21,986%.

Exemplo 3: Uma mercadoria foi vendida por R$430,00. Sabendo-se que o lucro foi de 15% sobre o preço da venda, calcule o mesmo. Solução: 430  100% X  15% 100 . X = 430 . 15 X = 64,5 O lucro foi de R$64,50. Sendo o luc ro calcu lado sob re o preço da venda, este terá o valor d e 100% .

Exemplo 4: Um monitor foi vendido por R$670,00, dando um lucro de R$152,00. Calcule o lucro, em porcentagem, sobre o preço de custo. Centro de Ensino Tecnológico de Goiás - CETEG

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Solução: PRV = PRC + LC PRC = PRV – LC PRC = 670 – 152 PRC = 518

518  100% 152  X

518 . X = 100 . 152 X = 29,344%. Sendo o luc ro calcu lado sob re o preço d e custo, este terá o valor de 100%.

Exemplo 5: Uma mercadoria que foi comprada por R$1.050,00 foi vendida, com um prejuízo de 42%, sobre o preço de venda. Calcule o preço de venda.

Solução:

142% 1.050 100%  X 142 . X = 100 . 1050 X = 739,44. O preço de venda é R$739,44.

Como o prejuízo é de 42% sobr e o pr eço de venda, este corr esponderá a 100%. O preço de cus to c orrespo nderá então a 142%.

Exemplo 6: Uns móveis de escritório foram vendidos com prejuízo de 15% sobre o preço de venda. Calcule o preço de venda sabendo-se que o preço de custo foi de R$445,00. Solução: 115%  445 100%  X


15

115 . X = 100 . 445 X = 386,96 O preço venda de é R$386,96. Como o prejuízo é de 15% sobr e o pr eço de venda, este corr esponderá a 100%. O preço de cus to c orrespo nderá a 115%.

Exemplo 7: Utilização de índices. Em uma operação de compra e venda, a taxa de prejuízo para o preço de venda foi de 4 para 8. Determine o preço de venda sabendo-se que o preço de custo foi de R$2.500,00. Solução:

Custo 2.500

Prejuízo

12

Venda

P

PRV

4

8

2.500 = PRV 12 8 12 . PRV = 2500 . 8 PRV = 1666,67.

O preço de venda é R$1.666,67.

A rel ação de pr op or ci on ali dad e ent re o prej uízo e o preç o de venda é est abeleci da pela taxa 4 para 8. Temos assim 8 unidades de preço de venda para 4 unidades de prejuízo e, conseqüentemente, para cada 12 unidades de cu sto, n este exercício.


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3 Taxa de Juros


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Quando pedimos emprestado uma certa quantia, a uma pessoa ou a uma instituição financeira, é normal, após um certo tempo, pagarmos a quantia que nos foi emprestada, mais uma “ outra quantia que representa o aluguel pago pelo empréstimo”. Essa outra quantia, citada acima, representa o juro; ou seja, representa o bônus que se paga por um capital emprestado. O juro que é produzido em uma determinada unidade de tempo ( ao ano, ao mês, ao dia), representa uma certa porcentagem do capital ou do montante, cuja taxa se chama Taxa de Juros.

3.1 - Homogeneidade entre tempo e taxa:

Sempre o prazo de aplicação (representado pela letra n) deve estar na mesma unidade de tempo (anos, meses, dias) em que está a taxa de juros (representada pela letra i ).

•Considerações Importantes:

1º) - O mês comercial possui 30 dias; - O ano comercial possui 360 dias; - O ano civil possui 365 dias. 2º) Normalmente, a taxa de juros i está expressa na forma percentual, assim, para usá-la em qualquer fórmula de matemática financeira, deve-se antes, transformá-la para a forma unitária. Ex.: i = 25,8%  forma unitária  i = 0,258.


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Exemplo 1: A taxa de juros de 18% ao ano, considerando-se ano comercial, equivale a quantos % (por cento) ao dia? Solução: ano comercial = 360 dias. i = 18%  0,0 5% ao dia. resposta: 0,05% ao dia. 360

Exemplo 2: A taxa de juros de 12% ao ano, equivale a quantos % (por cento) ao mês? Solução: i = 12% ao ano. i = 1 2%  1% ao mês.

resposta: 1% ao mês.

12

Exemplo 3: A taxa de juros de 3% ao mês, considerando-se o mês comercial, equivale a quantos % (por cento) ao dia? Solução: mês comercial = 30 dias. 3% i=  0,1% ao dia. 30

Exemplo 4:

resposta: 0,1% ao dia.

A taxa de juros de 4,5% ao mês, equivale a quantos % ( por cento) ao

ano? Solução: ( 4,5% ao mês) x 12 = 54% ao ano. i = 54% ao ano. resposta: 54% ao ano.

Exemplo 5: A taxa de juros de 0,03% ao dia, equivale a quantos % ( por cento) ao ano, levando-se em consideração o ano civil? Solução: ( 0,03% ao dia ) x 365 = 10,95% ao ano. i = 10,95% ao ano. resposta: 10,95% ao ano.


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3.2 - Jur o Exato e Jur o Comerci al:

Geralmente, nas operações correntes, a curto prazo, os bancos comerciais utilizam o prazo n ( tempo ) expresso em dias. Assim, no cálculo do juro exato, teremos a taxa de juros i dividida por 365 dias, pois o ano utilizado é o ano civil. Já, no cálculo do juro comercial, teremos a taxa de juros i dividida por 360 dias, pois o ano utilizado é o ano comercial. i •

Juro Exato  J = C x

365

x n. i

•

Juro Comercial  J = C x

360

x n.

Obs: As fórmulas do juro exato e do juro comercial serão abordadas no tópico capitalização simples. Por enquanto, basta compreender que as divisões feitas nas duas fórmulas foram necessárias para que, a unidade de tempo, entre n e i, fossem iguais.


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4 Inflação


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(O presente tópico visa dar ao aluno um conhecimento básico sobre o problema inflacionário). De uma maneira global, a inflação é caracterizada por um aumento geral e cumulativo dos preços. Esse aumento geral não atinge somente alguns setores, mas sim, o bloco econômico como um todo. Já o aumento cumulativo dos preços acontece de forma contínua, prolongando-se ainda, por um tempo indeterminado. O Estado em associação com a rede bancária aumenta o volume do montante dos meios de pagamento para, atender à uma necessidade de demanda por moeda legal; mas associado ao aumento do montante, acontece também, um aumento dos preços. O aumento dos preços gera a elevação do custo de vida, popularmente chamado de carestia. O custo de vida apresenta-se com peso variado nas diferentes classes econômicas. Uma família pobre tende a utilizar, o pouco dinheiro conseguido, para comprar gêneros alimentícios. O restante do dinheiro geralmente é utilizado para o pagamento de serviços de água, luz e esgoto. Em uma família abastada, além dos gastos com alimentos, água tratada e eletricidade, costuma-se também gastar com roupas, carros, viagens, clínicas de beleza e estética, entre outras coisas mais. Assim, um aumento nos preços dos produtos de beleza e rejuvenescimento, terá peso zero no custo de vida da família pobre e um acréscimo no orçamento da família rica. Em suma, o custo de vida aumenta, quando um produto que possui um determinado peso nas contas mensais, sofre também um aumento.

Exemplo para um melhor entendimento do aumento do custo de vida: Um casal gasta de seu orçamento mensal 12% com alimentação, 10% com vestuário, 8% com plano de saúde e 5% com o lazer. •

Acontece então uma elevação geral nos preços, acrescentando um aumento de 3% nos gastos com alimento, 5% nos gastos com vestuário, 4% nos gastos com plano de saúde e 2% nos gastos com o lazer. Calcule o aumento do custo de vida no mês.


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Solução:

Produtos

Gasto no orçamento

Gasto no orçamento na forma unitária

Aumento dos produtos

Aumen to dos produtos na forma unitária

Alimentos

12%

0,12

3%

0,03

Vestuário

10%

0,10

5%

0,05

Plano de Saúde

8%

0,08

4%

0,04

Lazer

5%

0,05

2%

0,02

Para o cálculo do aumento, proporcionado por cada produto, deve-se multiplicar o gasto no orçamento na forma unitária com o aumento dos produtos na forma unitária. Alimentos: 0,12 x 0,03 = 0,0036. Vestuário: 0,10 x 0,05 = 0,005. Plano de Saúde: 0,08 x 0,04 = 0,0032. Lazer: 0,05 x 0,02 = 0,001.

Produtos

Aumento do custo d o produto na forma unitária

Aumento do custo d o p roduto na forma percentual

Alimentos

0,0036

0,36%

Vestuário

0,005

0,50%

Plano de Saúde

0,0032

0,32%

Lazer

0,001

0,10%

Com o somatório dos aumentos de cada produto na forma percentual obtemos o aumento do custo de vida no mês em questão: 0,36% + 0,50% + 0,32% + 0,10% = 1,28%. Nesse mês, o aumento no custo de vida para a família do exemplo foi de 1,28%, devido à elevação dos preços de quatro produtos utilizados pelo casal.


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5 Capitalização Simples


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No regime de capitalização simples temos, a taxa ( i ) incidindo somente sobre o capital inicial ( C ), proporcionando-nos obter assim, juros simples, ao final do período de tempo( n ).

5.1 - Jur os Simpl es:

Juro produzido pelo capital C ao final de um período de tempo: J = C x i. Juro produzido pelo capital C ao final de n ( vários ) períodos de tempo: J = C x i x n. Fórmula Básica: J = C x i x n

Onde: J = juros simples. C = capital inicial ou principal. i = taxa de juros. n = tempo de aplicação ou prazo de tempo.

Exemplo 1: Se um capital de R$8.825,00 for aplicado durante 2 meses, à taxa de 2% ao mês, qual será o valor dos juros simples? Solução: J = C x i x n C = 8825 J = 8825 x 0,02 x 2 i = 2% ao mês = 0,02 J = 353 n = 2 meses J = R$353,00 Obs: i e n estão na mesma unidade de tempo.

Exemplo 2: Se um capital de R$550,00 for aplicado durante 4 meses, à taxa de 9% ao ano, qual será o valor dos juros simples? Solução: J = C x i x n. C = 550. 9%    i = 9% ao ano 0,75% ao mês = 0,0075. 12 n = 4 meses.


25

J = 550 x 0,0075 x 4. J = 16,50. J = R$16,50.

Exemplo 3: Calcule o capital necessário para que haja um rendimento de R$650,00, sabendo-se que a taxa utilizada é de 5% ao mês e o período de tempo igual a 6 meses. Solução: J = C x i x n, mas isolando-se C temos, C =

J i .n

J = 650. i = 5% ao mês = 0,05.

C=

n = 6 meses.

650 0,0 5 * 6

C = 2166,67. C = R$2.166,67.

Exemplo 4: Um capital de R$425,00 foi aplicado durante 6 meses, rendendo R$105,00 de juros simples. Calcule a taxa mensal i. Solução: J = C x i x n, mas isolando-se i temos, i =

J = 105. C = 425.

i=

n = 6 meses.

i = 0,04117

J

.

C .n

105 425 * 6

i = 0,04117 está na forma unitária. Para colocarmos o resultado na forma percentual devemos m ult ipl icar i por 100, ficando então com o respo sta, i = 4,117% ao mês.

Na taxa i a unidade de tempo util izada foi o mês po rque o período de aplicação estava, em meses.


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5.2 - Montante Simples: À soma dos juros simples (relativo ao período de aplicação) com o capital inicial ou principal dá-se o nome de montante simples. Fórmulas: S = J + C

ou

S=Cxixn+C S = C x ( i x n + 1)

Onde: S = Montante Simples. J = Juros Simples. i = Taxa de Juros. n = Período de Aplicação.

Exemplo 1: Um capital de R$1.550,00 foi aplicado durante um período de 8 meses, à taxa de 24% ao ano, no regime de capitalização simples. Calcule o montante. Solução: S = J + C C = 1550. i = 24% ao ano n = 8 meses.

 

2 4%



2%

ao mês = 0,02.

12

J = C x i x n. J = 1550 x 0,02 x 8. J = 248. S = J + C. S = 248 + 1550. S = 1798. S = R$1.798,00. Exemplo 2: Calcule o tempo, no qual, devo aplicar uma quantia de R$200.000,00, para obter um montante simples de R$360.000,00, à taxa de 16% ao mês. Centro de Ensino Tecnológico de Goiás - CETEG

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Solução: C = 200.000. S = 360.000.

S = C x (i x n + 1) (ixn+1)=

i = 16% ao mês = 0,16. (i x n + 1) =

S C

360.000 200.000

(i x n + 1) = 1,8. i x n = 1,8 – 1. i x n = 0,8. 0,16 x n = 0,8. n = 5 meses. A u ni dad e ut il izada para n fo i m eses , dev id o ao fat o, d e i t ambém es tar em m eses.

5.3 - Descon to Simp les:

Toda vez que se paga um título, antes da data de seu vencimento, obtemos um desconto (abatimento). •

Algumas considerações:

Valor Nominal (VN) é o valor indicado no título, na data de seu vencimento. Valor Atual (VA) é o valor do título no dia do seu pagamento antecipado, ou seja, antes da data de vencimento. D =VN – VA Onde D = Desconto. •• Desconto Racional ou “Por Dentro”:

Equivale aos juros simples produzidos pelo valor atual, à taxa utilizada e ao período de tempo correspondente. V A

Fórmula:

DR

1

V N



 i.n

1  i.n

Onde: DR = Desconto Racional;


28

VA = Valor Atual; VN = Valor Nominal; i = taxa; n = Período de Tempo. Exemplo 1: Calcule o desconto racional para um título com valor atual de R$16.000,00, à taxa de 2,6% ao mês e com prazo de 3 meses para o vencimento. V A

Solução:



1

D R

VA = 16.000 i.n

i = 2,6% ao mês = 0,026 n = 3 meses. DR = VA x i x n DR = 16.000 x 0,026 x 3 DR = 1.248 DR = R$1.248,00

Exemplo 2: Se um empréstimo com valor atual de R$750,00, calcule o desconto racional, sabendo-se que a taxa de juros é de 12% ao ano e o prazo é de 5 meses para o vencimento. V A

Solução: 1



D R

i.n

VA = 750.

i = 12% ao ano

12%  

12



1%

ao mês = 0,01.

DR = VA x i x n DR = 750 x 0,01 x 5 DR = 37,5 DR = R$37,5.


29

•• Desconto Bancário ou Comercial ou “Por Fora”:

Equivale aos juros simples produzidos pelo valor nominal, à taxa utilizada e ao período


30

de tempo correspondente. V A

Fórmula:

1  i.n

D B





i.n

V N

1

Onde: DB = Desconto Bancário; VA = Valor Atual; VN = Valor Nominal; i = Taxa; n = Período de Tempo.

Exemplo 1: Calcule o desconto bancário para um compromisso de valor nominal igual à R$2.700,00, à taxa de 18% ao ano, e prazo de 33 dias antes do vencimento. (Considerar o ano comercial). Solução: D B  V N i.n

1

VN= 2.700. i = 18% ao ano

18 %

 360

 0,0 5 %

ao dia = 0,0005.

DB = VN x i x n DB = 2700 x 0,0005 x 33 DB = 44,55 DB = R$44,55. Exemplo 2: Calcule o desconto “por fora” para um pagamento antecipado, à taxa de 5,8% ao mês e prazo de 5 meses, sabendo-se que o valor nominal é de R$42.000,00.

Solução:

D B i.n



V N

VN = 42.000

1

i = 5,8% ao mês = 0,058. DB = VN x i x n DB = 42.000 x 0,058 x 5 Centro de Ensino Tecnológico de Goiás - CETEG

30

DB = 12.180 DB = R$12.180,00.


30

•

Considerações finais dentro da capitalização simples:

-Como se calcular uma taxa acumulada (ao ano) que é aplicada pelo período de n meses: Exemplo: No regime de capitalização simples, calcular a taxa acumulada a 36% ao ano, aplicada durante 8 meses. Solução: 1º) Verifica-se a taxa, neste caso i =36% ao ano; 2º) Verifica-se o número de meses de aplicação, neste exemplo são 8 meses; 3º) Calcula-se o valor da taxa i no mês; ex.: 36% ao mês. 12 4º) Multiplica-se a taxa encontrada pelo número de meses; ex.: 3% x 8 = 24%. 5º) Resultado Final: 24%.


31

6 Capitalização Composta


32

Inicialmente temos o capital principal; após um período, esse capital sofre uma remuneração (juros), sendo então, capital e juros somados para, assim, formarem um novo capital (1º montante). Esse novo capital, após um segundo período, sofre uma outra remuneração (juros), sendo então, novo capital e juros somados para, assim, formarem um segundo montante. (E assim por diante). Então as remunerações acontecerão sempre, “em cima” do montante do período anterior, caracterizando o que chamamos de capitalização composta.

6.1 - Juros Compostos: Fórmula: j = C x 1  i  1 n

Onde: j = Juros Compostos; C = Capital Inicial; n

( 1+i ) = Fator de Capitalização; i = Taxa de Juros; n = Período de Tempo. Exemplo 1: Ao se aplicar um capital de R$829,30, no regime de capitalização composta, por um período de 3 meses, à taxa de 2,4% ao mês, qual será o juro obtido?

i = 2,4% ao mês = 0,024.

j = C x 1 i  1 j = 829,30 x 1 0,024 3 1

n = 3 meses.

j = 829,30 x 1,024  1

Solução: C = 829,30.

n

3

j = 829,30 x 1,073742 1 j = 61,15 j = R$61,15.


33

Exemplo 2: Calcule o valor dos juros compostos para um capital de R$777,56, aplicado à taxa de 6% ao ano, durante um período de 2 meses.

Solução: C = 777,56. i = 6% ao ano  6% 12 = 0,5% ao mês = 0,005.

j = C x 1  i   1 n

j = 777,56 x 1 0,005 2  1

n = 2 meses.

2 j = 777,56 x 1,005



 1

j = 777,56 x 1,010025 1 j = 7,80  j = R$7,80.

6.2 - Montante Composto:

Fórmula: s = C x ( 1+i )

n

Onde: s = Montante Composto; C = Capital Principal; ( 1+i ) = Fator de Capitalização. i = Taxa de Juros; n

n = Período de Tempo. Exemplo 1: Calcule o montante composto para um capital de R$627,43, aplicado à taxa de 2% ao bimestre, durante um período de 6 meses. Solução: C = 627,43. i = 2% ao bimestre = 0,02. n = 6 meses Como 6 meses correspondem a três bimestres, o n será igual a 3, pois o período de Centro de Ensino Tecnológico de Goiás - CETEG

34

capitalização é bimestral.


35

n

s = C x ( 1+i ) 3 s = 627,43 x (1+0,02) 3 s = 627,43 x (1,02) s = 627,43 x (1,061202) s = 665,83 s = R$665,83.

Exemplo 2: Calcule o montante produzido por um capital de R$15.600,70, aplicado à taxa de 7,2% ao mês, durante 4 meses. Solução: C = 15.600,70. i = 7,2% ao mês = 0,072. n = 4 meses.

n

s = C x ( 1+i ) 4 s = 15.600,70 x (1+0,072) 4 s = 15.600,70 x (1,072) s = 15.600,70 x (1,320623) s = 20.602,64. s = R$20.602,64.

Exemplo 3: Calcule o capital que gera um montante composto de R$7.656,70, à taxa de 18% ao ano, durante um período de aplicação de 4 meses. Solução: s = 7656,70. 18%  1,5% ao mês = 0,015. i = 18% ao ano  12 n = 4 meses.


36

Exemplo 4: Calcule a taxa composta para que, um capital de R$300,00, consiga gerar um montante de R$4.800,00, em um período de 2 meses. Solução: C = 300. s = 4.800 n = 2 meses s = C x (1+i ) (1+i ) = n

2 (1+i ) 

n

s C

4.800 300

2

(1+i ) = 16. (1+i ) = 1+ i = 4 i = 4 – 1 i=3 •

•

•

•

i = 3 representa a taxa na forma unitária; Ao multiplicarmos por 100 obteremos a taxa i na forma percentual: i = 300%; Para se descobrir a unidade de tempo da taxa, é só lembrar que, o período de tempo n está sendo usado em meses. Resposta: i = 300% ao mês.

6.3 - Desco nto Compo sto :

No desconto composto, a taxa incide sobre uma determinada quantia que equivale ao capital. Essa determinada quantia é chamada de valor atual. Nos cálculos deste tipo de desconto, o montante, equivale ao valor nominal.


37

Fórmula:

VN

D = VN - VA

= VA x 1  i 

n

Onde: VN = Valor Nominal; VA = Valor Atual; D = Desconto Composto. Exemplo 1: Determine o desconto composto de um capital de R$1.250,52, à taxa de 1,7% ao mês, 2 meses antes do vencimento. Solução : VN = 1.250,52. i = 1,7% ao mês = 0,017. n = 2 meses. VN = VA x 1  i n VN

VA =

1  i 

n

1.250,52

VA = 1



0,017 

VA =

1.250,5 2 1,017 2

VA =

1.250,5 2

2

1,034289

VA = 1.209,06. D = VN – VA D = 1.250,52 – 1.209,06 D = 41,46 D = R$41,46.

Exemplo 2: Calcular o valor atual de um título de R$753,53, à taxa de 18% ao ano, 3 meses antes do vencimento. Solução: VN = 753,53. Centro de Ensino Tecnológico de Goiás - CETEG

38

•

Considerações finais dentro da capitalização composta:

Cálculo do montante a partir de uma série de vários depósitos: = Dep x 1  i   1 n

Fórmula: M

i

Onde: M = Montante; Dep = Depósitos.

Exemplo: Calcule o montante de uma série de 4 depósitos de R$230,00 cada um, efetuados no fim de cada mês, à taxa de 2% ao mês, após o quarto depósito. Solução: Dep = 230. i = 2% ao mês = 0,02.


39

Equivalência entre taxa anual composta e taxa mensal composta: Fórmula: 1  i a   1  i m 1 2

Onde: i = Taxa anual composta; i = Taxa mensal composta. a

m

Exemplo: Determine a taxa anual composta equivalente à taxa mensal de 3%. Solução:

1  i   1  i 1 2 a

m

1  i   1  0,0312 a

1  i   1,0 312 a

1  i   1,425760 a

i = 1,425760 - 1 i = 0,425760 a

a

Ao se m ul ti pl ic ar a t axa anual co mp osta p or 100, ob tém -se o val or da

ref eri da

taxa na for ma percentual, fi cando o valor igual a 42,5760%..


40

BIBLIOGRAFIA BÁSICA

ARRUDA, J. J. A (1988) História Moderna e Contemporânea. 3ª Ed. São Paulo: Editora Ática, 263p. COSTA, B. C. A (1996) Concursos Públicos - Matemática Geral e Financeira. 2ª Ed. Rio de Janeiro: Oficina do Autor, 206 p.

CRESPO, A A. (1991) Matemática Comercial e Financeira. 6ª Ed. São Paulo: Editora Saraiva. D’AMBRÓSIO, N. & D’AMBRÓSIO, U. (1977) Matemática Comercial e Financeira com

complementos de matemática e introdução ao cálculo. 25ª Ed. São Paulo: Companhia Editora Nacional, 287 p. FARIA, R. G. (1979) Matemática Comercial e Financeira. Belo Horizonte: Editora Mc Graw-Hill do Brasil, 219 p. MARZAGÃO, L. J. (1996) Matemática Financeira: noções básicas. Belo Horizonte: Edição do Autor, 173 p. SANTOS, C. A. M.; GENTIL, N. & GRECO, S. E. (2003) Matemática. Série Novo Ensino Médio – Volume Único. São Paulo: Editora Ática, 424 p. SINGER, P. (1983) Guia da Inflação para o povo. 9ª Ed. Petrópolis: Vozes, 80 p.


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Tti Matemática Financeira

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