Problemas resueltos 1. En el gráfico: L //L //L ; L //L . Calcular "x". 1 2 3 4 5 θ
4β
α
θ
γ γ
80º L1
L5
L4
Resolución:
θ
a
25º b b
L3
β
L2 θ
B
β
30º
β
2θ θ
En el ∆ABC : 3 α+3θ=150º : α+θ=50º Por Prop. mBEBF= α + θ = 50º =25º 2 2 ∆FNG : 25º+a+b=180º \ a+b=155º.
L3
50º
4β
2α a
L2
x
E
Resolución:
80º
β
L1
x
3. En el gráfico mostrado, calcule "x". B
F L5
L4
L1//L2 : 2θº+80º=180º
2B m m
⇒ θ=50º nº nº
L2//L3 : mBEBF=50º
x
L4//L5 : 5β=2θ 5β=100º
⇒ βº=20º
x
θ θ
Resolución:
B
∆EBF : 50º+x=4 βº 50º+x=4(20º) \x=30º.
2B B
B
x 90º+ 2x 2
2B m m S m m
T
2. En el gráfico mostrado, calcule: a+b. α
nº nº x
x θ θ θ C
2α a
γ γ
b 30º
A
β
β
2θ θ
Piden: "x" Por propiedad de bisectrices interior y exterior: mBABC=4B ∆BTS: Prop. Bisectriz interior y exterior mBBTS=2x. ∆ABC: Prop. Bisectrices interiores mBATB=90º+ x . 2 90º+ x +2x=180º 2 \x=36º.
4. En un triángulo ABC, se ubica en AB y BC los puntos "P" y "Q", respectivamente. mBBAQ=30º, mBQAC=50º, mBPCA=60º y AB=BC. Calcule mBQPC.
5. Según el gráfico, calcule α+β+θ, si AN=AT, BM=BR y CS=CP. M
Resolución:
R
B
β
B
S θ
40º x
a
A
Q
80º 30º 50º
C
T
N
P
50º
40º a 60º
E
α
A
P
Resolución:
a
20º a 40º
Mb
20º 60º
a
C
b R
Piden: "x" Se traza CE tal que mBECA=20º ∆EQC: equilátero. ∆EPQ: isósceles: 40+x =70º \x=30º.
B 2b
β
S θ c
A N
a
2a α a T
2c
c C
P
Piden : α+β+θ ∆ABC : 2a+2b+2c=180º a+b+c=90º ∆TRS : a+ α+β+b+θ+c=360º a+b+c+α+β+θ=360º 90º \ α+β+θ=270º.
Problemas para clase 1. En el gráfico, a // b , αº + θº=160º y el ángulo PQS es recto, calcule el valor de " β". αº
P βº
3. En el gráfico, αº=24º. Calcule el valor de " θº". θº
θº
θº
αº
a
θº
Q b
θº
a) 28° d) 42º
S
a) d) 35º 55º
b) e) 40º 80º
b) 36º e) 52º
c) 39º
c) 50º 4. Tenemos m // n , el ángulo AOB es recto. Calcule el valor de " α".
2. En el gráfico, calcule "x":
m
αº
xº
A
αº
βº
8θº θº
a) 140º d) 160º
αº
7αº
7βº
b) 110º e) 120º
φº
n
αº
8φº
c) 100º
a) 12º d) 45º
b) 15º e) 60º
B
O
c) 30º
5. Si: m // n , calcule el valor de "x".
10. Si : a // b , calcule: xº+yº+zº.
xº
160º
xº+10º 2xº x+40º
αº
yº
αº
m
zº
xº αº
a n
160º
a) 5° d) 20º
αº
b) 10º e) 30º
b
c) 15º a) 120º d) 165º
b) 135º e) 180º
c) 150º
6. En el gráfico: a //b ; m// n y α=66º, calcule "x". a βº
αº
βº
11. del Si: Lángulo L3 ; αº+βº=200º. Calcule el valor 1// L2//ABC.
b m
φº
a) 66º d) 15º
B βº
φº
n
b) 60º e) 11º
c) 33º
7. Si: L1// L2, calcule el valor de "x". φº
φº
A
L1
3xº
64º
L1
bº bº
L2 aº
αº
aº
L3
C
a) 60° d) 90º
b) 70º e) 100º
c) 80º
12. Si : L1// L2 ; b° - a°=70°. Hallar "xº" xº
2xº αº αº
L2
L1
aº
a) 40º d) 16º
b) 36º e) 8º
c) 32º bº
L2
8. Si: BA = AD = DC, calcule: m BBCD. B
a) 50º d) 75º
D
5αº αº
3αº
A
a) 12º d) 18º
C
b) 10º e) 16º
b) 60º e) 90º
13. Si: a // b , AB // EF, α=22º y θ=144º, calcule el valor de "x°". a xº θº
A
βº
xº
a) 54º d) 122º
βº
b) 100º e) 150º
B
αº
F
E
αº
a) 90º d) 130º
b
c) 15º
9. En el gráfico mostrado, calcule "xº", si: β=50º.
βº
c) 70º
αº
c) 120º
b) 58º e) 128º
c) 78º
14. En la figura L1// L2, si: mº+nº+qº=135º, calcule: (αº+θº)
15. En el gráfico: L1// L2. Calcule el valor de "x°". xº
nº θº
mº αº
αº θº
qº 86º
L1
2αº
L1
2θº
αº
48º
L2
L2
a) 93º d) 107º
b) 97º e) 108º
c) 100º
a) 30º d) 45º
b) 37º e) 60º
c) 40º
Tarea domiciliaria 1. En el gráfico mostrado, calcule la medida del ángulo ABC. B
aº
a) 9µ d) 8
aº
120º A
40º
D
C
a) 20º d) 40º
b) 60º e) 50º
c) 30º
2. En el gráfico mostrado, calcule: y - x.
x y
a) 10º d) 18º
60º
b) 10º e) 25º
bº bº
80º
a) 20º d) 10º
4bº
bº
x
a) 120º d) 132º
aº aº
b) 118º e) 126º
c) 144º
2bº
bº bº
c) 35º
c) 3 e) 5
4aº
aº 2aº
b) 15º e) 25º
b) 2
c) 15º
8. En el gráfico mostrado, calcular "xº".
xº
4. Los lados de un triángulo miden 8, "x" y "3x", calcule el valor entero de "x". a) 1µ d) 4
b) 12º e) 20º
c) 60º
3. En el gráfico mostrado, hallar el valor de "xº".
dº dº cº cº
c) 6 e) 5
6. En un triángulo ABC, se trazan las cevianas BE y BD, donde "E" ∈ AD y mBEBD = mBDBC =mBABE=xº, AB=AD y 3 2 BC=EC, calcule "xº".
aº
a) 20º d) 30º
b) 7
7. En el gráfico mostrado, calcule "xº".
a a
80º
5. En un triángulo ABC, AB=5µ, BC=9µ. Calcule la diferencia entre el máximo y el mínimo valor entero que puede tomar AC.
xº
a) 120º d) 135º
b) 150º e) 105º
c) 144º
9. En un triángulo rectángulo ABC, recto en "B", se traza la ceviana CM. Si CM=12µ, MB=2x y AC=3x+6, calcule los valores enteros que puede tomar "x". a) 2,3,4,5,6 d) 4,5,6
b) 2,3,4 e) 3,4
c) 3,4,5
10. Dado el triángulo obtusángulo ABC, obtuso en "C", AC=6 cm y BC=4 cm. Calcular la suma del máximo y mínimo valor entero de AB. a) 13 cm d) 12 cm
b) 14 cm e) 16 cm
c) 17 cm
16. Cuál es el máximo valor entero de la longitud de un lado de un triángulo, si el perímetro de su región es igual a 40µ. a) 20µ d) 19
b) 21 e) 18
c) 22
17. En un triángulo ABC, en los lados AB y AC se ubican los puntos "D" y "E" respectivamente, DE=EC=BC. La medida del ángulo BAC es igual a 25º y la del ángulo ADE es igual a 35º. Calcular la medida de ángulo ABC. a) 68º
b) 85º
c) 99º
e) 92º 11. Dada la región triangular ABC cuyo perímetro es d) 70º igual a 10 m. (en dicha región de ubica el punto "P"). 18. En el gráfico, L1// L2 y el ángulo AOB es recto. Calcular PA+PC, sabiendo que dicha suma es entero Luego, el suplemento del complemento de "αº" y que además AC toma su máximo valor entero. es: a) 6,5 m b) 5,5 c) 4 B d) 5 e) 6 12. En un triángulo isósceles ABC cuya base es AC, se ubican los puntos "P" en AB y "Q" en BC de modo que: mBPAQ=20º, mBACP=50º y mBPCQ=30º. Calcule la mBPQA. a) 30º d) 31º
b) 28º e) 32º
O αº
L2
c) 29º
13. Los lados de un triángulo isósceles miden 5µ y 12µ. Calcule el perímetro de la región del triángulo. a) 22µ d) 29
L1
2αº
b) 25 e) 30
c) 24
A
a) 30º d) 90º
b) 45º e) 120º
c) 60º
19. Calcular "x" si L1// L2 y el triángulo ABC es equilátero. A
7θ
14. Del gráfico mostrado, calcule "xº".
L1
x xº C 100º
L2
θ
B xº
a) d) 120º 110º
a) 100º d) 140º b) e) 130º 145º
c) 135º
15. En el gráfico, halla el valor de " θº". 2θº 2θº
θº
a) 10º d) 20º
b) 15º e) 25º
2θº
2θº
c) 18º
b) 130º e) 110º
c) 120º
Problemas resueltos Enmun triángulo ABC, seBCA=23º. traza la mediana 1. si y mB Calcule:BM, BBAC=106º mBBMA. Resolución:
T
4m
37 º
En unBN=AC, triángulom ABC, se traza la ceviana BN, tal 3. que mBBCN=30º. BBAC=100º, Calcule mBNBC. Resolución:
B S
5m
x 6m
50º
3m
B
100º 14 º
106º
Sea : ∆BST : ∆BSC : : BTCM : • BM//TC ` xº=37º.
6m
x
23º
5m
A
A
M
5m
80º
30º 20º
N
C
80º
C T
TA=AC NOT 37º y 53º NOT 14º y 76º Trapecio isósceles
Se prolonga BA tal que TC=BT ∆BNCT: Prop. del cuadrilátero no convexo mBTBN=40º. \x=10º.
2. En un triángulo ABC, se traza la mediana BM, luego se traza AH ⊥ BM (H ∈ BM). BH=2(HM). Calcule mBCBM. (mBABH=45º)
4. En un triángulo isósceles ABC (BC=AC), se traza la ceviana BL, tal que mBBCA=2mBCBL. Calcule mBBCA, (AB=LC). Resolución:
Resolución:
B B
α
α
45 x 2m
S S
H 2m
A
m C
A
M m
2m S
Piden "x" Se prolonga BM y luego CS ⊥ BM ∆ AHM ≅ ∆ MSC HM=MS, AH=SC BSC: ∆ NO` T 53 y 127 j 2 2 53 ` X= 2
N
E 2α α
S 30
90º-α H
2α L
C
Piden: 2 α Se traza LE tal que m BLCE=2α Se traza BH ⊥ AC, ∆ABH ≅ ∆BEN • BN=NL=BH (∆HBL: NOT 30º y 60º) 30=α+2α α=10 \ 2α=20º.
5. En un triángulo rectángulo ABC recto en "B" (AB=BC), se ubica un punto interior "P" PA=AB, mBBCP=135º. Calcule mBBCP. Resolución:
• ∆BCI:NOT ( 37º y 143º ) 2 2 37 º • x+ =45º 2
B a θ H a θ θ
• θ= 37º 2
\ x= 53º . 2
135º
P 45º a
A
Piden: "x" Se traza AH ⊥BP BH=HP= α • ∆ABH ≅ ∆BIC (ALA) IC=BH
x C
α
a
I
Problemas para clase 1. Del gráfico, calcule "x".
5. En un triángulo ABC, m BA=2(mBC), la bisectriz interior BD prolongada intersecta en "E" a la bisectriz exterior del BC. Si: DE=8µ. Calcule CE.
θ θ
x
x
a) 4µ d) 6
α
b) 7
c) 8 e) 10
α
a) 12° d) 36º
b) 18º e) 60º
6. En un triángulo ABC, sobre la prolongación del lado CB se ubica el punto "Q", tal que la medida del suplemento del ángulo AQC es el doble de
c) 24º
la ángulo ACB. Calcule QB. Si:medida AQ=9 del y BC=7.
2. Calcule "xº": B 80º
α
A
a) 140° d) 110º
α
a) 1 d) 4
xº
θ θ
C
b) 130º e) 125º
c) 120º
3. En el gráfico, calcule el valor de "xº".
b) 2 e) 5
c) 3
7. Sobre el lado AC de un triángulo ABC, se ubica el punto "E", de tal manera que: EB=AB=10, BC=16 y mBC=30°. Calcule EA. a) 16 d) 13
b) 15 e) 12
c) 14
8. En la figura, calcule "α". B
θ θ
F
α
E
α
3xº
a) 18º d) 12º
b) 16º e) 20º
4xº
b) 24º e) 9º
15º
A
c) 19º
4. En un triángulo ABC, mBA - mBC=18º. Calcule la medida del ángulo formado por la bisectriz interior del BB y la mediatriz de AC . a) 16º d) 12º
α
c) 18º
a) 30º d) 18º
b) 24º e) 15º
45º C
c) 20º
9. En la figura, calcule "θ".
12. En el gráfico, AM=MB, calcule "x". B
B
135º
135º
M M
53º/2
θ
8º
A
C
a) 30º d) 35º
b) 31º e) 37º
c) 33º
a) 10º d) 18º
10. En el gráfico, calcule: "xº ". AB = BC.
c) 12º
AC. Si: mBA=14º, mBC=25º/2, calcule la mBABM.
63º
A
b) 8º e) 16º
C
13. En un triángulo ABC, "M" punto medio de
B 21º
x
A
30º
a) 75º d) 100º
C
xº
b) 82º e) 105º
c) 90º
14. En el grafico, PB=PC, AB=BC, calcule "xº". B
a) 15º d) 30º
b) 20º e) 45º
11. En el gráfico AM=MB.
c) 25º
75º
2 AB=2BC. Calcule: "α", si: P
B
A
a) 14º d) 53/2º
135º M
α
A
a) 15º d) 45/2º
b) 37/2º e) 8º
C
c) 12º
xº
C
b) 15º e) 30º
c) 37º/2
15. En un triángulo ABC, "P" punto medio de AC. Si la mBA=53º, mBC=23º, calcule la m BCBP. a) 28º d) 37º
b) 30º e) 53º/2
c) 36º
Tarea domiciliaria 1. Dos lados de un triángulo isósceles miden 5 µ y 12µ. Calcular su perímetro. a) 22µ d) 29
b) 25 e) 31
6. Calcular el valor de "x", si: a+b=220º y CN=NM.
c) 27
C
θ θ
N
2. Calcular "θ", si: AE=EF=FP=PB.
x
M
B a F
b
3θ 140º
2θ
A
E
b) 120º e) 135º
c) 140º
C
P
a) 10º d) 20º
a) 110º d) 150º
b) 18º e) 24º
c) 15º
7. En un triángulo ABC, se tiene que 6AB=5AC y mBA=7º. Calcule la mBC. a) 37º d) 53º
3. Calcular "x".
b) 45º e) 60º
c) 30º
8. Según el gráfico, calcular "2x", si AB=AC. xº
θ β
θ
º 27
B θ
x β
a) 15º 9º d)
b) 28º 18º e)
c) 27º
θ
A
4. Si BC // ED, m - n=16º. Calcular " α". AD=DE. nº
80º
a) 60º d) 20º
E
70º
b) 40º e) 50º
C
c) 10º
B mº
A
xº 2xº
αº
C
a) 16º d) 14º
b) 18º e) 26º
D
c) 22º
5. Calcular "θ" si los ángulos ACE y BFD son
9. En un triángulo rectángulo ABC, recto en "B", se traza la ceviana interior CM, de tal manera que m BBCM=39º. Calcule "AM". Si: BC=9,6 y m BA=37º. a) 6,4º d) 4º
b) 5º e) 3,2º
c) 4,8º
10. Según el gráfico, calcular: m+n.
suplementarios. D
B
α
C
α
θ
θ
2θ 3θ 40º θ
A
F
a) 10º d) 18º
m
n
20º
3θ
b) 12º e) 20º
E
c) 15º
a) 220º d) 200º
b) 210º e) 250º
c) 145º
11. Según el gráfico, calcular (x+y). B
15. Calcular "x", del gráfico mostrado. θ θ
y
β β
80º
α
y
x A
y-α
a) 200º d) 280º
x+m
C
40º
b) 210º e) 245º
m
x
c) 220º
a) 8º d) 13º
b) 10º e) 15º
c) 12º
16. En la figura mostrada, calcular "xº" B
12. Calcular el valor de "x". si: 2mBABD+mBBCA=130º.
x
B α
α
A
R x
3θº 2θº
A
a) 10º d) 40º
C
D
b) 50º e) 35º
xº
c) 30º
17. Sobre el lado BC de un triángulo ABC, se ubica el punto "D", tal que la m BADC es igual a la semisuma de los ángulosAC=12 interiores de "A" y "B". Calcular BD, si además: µ y BC=16µ.
B
a) 14µ d) 4 60º
35º
b) 20º e) 25º
c) 30º
13. Calcular "x", si AD=DC=BC.
A
b) 10 e) 6
c) 8
C
18. Se tiene un triángulo obtusángulo ABC, obtuso en "C", de modo que mC - m A =32º. Calcular la medida del ángulo que forman la bisectriz exterior BE y la altura BH. !
D
a) 85º d) 95
b) 80 e) 75
c) 65
a) 64º d) 72
14. Calcular BC, si: AB+AD=4.
a) 12µ d) 15
αº αº
a) 3º d) 9º
2θ
θ
D
b) 5º e) 4º
b) 68 e) 74
!
c) 70
19. En un triángulo ABC la m BA=30º mBC=7º, BC=10. Calcule: AC.
B
A
C
30º D
60º
a) 40º d) 45º
45º
c) 7º
C
b) 13 e) 16
c) 14
20. En un triángulo ABC se traza la bisectriz interior BD. Si mBA-mBC=20º. Hallar mBBDC. a) 100º d) 110
b) 90 e) 120
c) 105
Problemas resueltos 1. En la figura, los triángulos ABC y CPQ son equiláteros. Calcule: mBBQP.
Piden "x" RE tal que: mBREB=90-θ ∆ ABR ≅ ∆ REC (L.A.L.) 2θ=x 2θ+2θ=90º 2θ=45º ` X=45º.
Se traza
B Q
∆ ABC:
P
3. En el gráfico AB=BC=2, AR=1. Calcule BT. T A
C
Resolución:
R 45º
B Q
x
P
60º
b α
B
C
Resolución:
T θ
θ
A
A
60º
a
β
C
a
x
R 45º
Se pide: "x" θ+α=60º ∆PQC : equilátero ∆APC ≅ ∆BCQ (L.A.L.) mBBQC=90º x+60º=90º x=30º
1 A
4
θ β
2
B
2
θ
C
1
F
Se pide: "x" Se prolonga AC tal que m BTFC=90º ∆RAC ≅ ∆CTF (A.L.A.) • CF=1, TF=4 2. Dado un triángulo ABC, recto en "B", en la cual la ∆ BTF (NOT 53 y 37) ceviana interior es BR, tal queBm BAC=2mBABR x=5 y AB=RC. Calcule m BBCA. 4. Del gráfico AB=EC. Calcule "x". Resolución:
C
B
x
θ 90º-θ
a
90º-θ
E E
b 2θ
2θ A
b x
θ
R
a
C
A
20º
20º
B
Resolución:
M C 30º 30º
x
a
5. En un triángulo ABC, obtuso en "B", se traza la medianaAM, mBBAM=30º, mBBCA=2mBMAC. Calcule mBMAC. Resolución:
a
T E
A
40º 20º
a
40º
B 40º 20º
a
B l
Piden: "x" Se construye el ∆ABM equilátero ∆AME ≅ ∆EBM (L.A.L.) ∆MBE ≅ ∆EBC (L.A.L.) \ x=30º.
30º+3x
x M S lx
30º x
A
l
2x
2x
C
E
Piden: "x" Se traza ME tal que m BMEC=2x Se traza MT = AB ∆BTM ≅ ∆SME mBBTM = x 30º+3x+x+90º=180º ` X=15º.
Problemas para clase 1. Si CD=CA, AB=2µ y BC=5µ. Calcule la distancia de "D" a L
3. En el gráfico, el triángulo ABC es equilátero. AB=a y AT=b. Calcular: BL.
D
B
C
L 60º
B
a) 5µ d) 7
L
A
b) 3
c) 6
A
a) b d) b 2
e) 8
2. En el gráfico, los triángulos ABC y BED son equiláteros. Calcule la medida del ángulo EDC. Si: mBAEB=108º.
C
T
b) a.b e) a + b 2
c) a-b
4. En el gráfico: AB=ED, AE=CD y CE=6. Calcular: BC.
B
C D
E A
a) 60º d) 45º
A
C
b) 30º e) 53º
B
c) 48º
a) 6º d) 12
60º
60º E
b) 6 2 e) 9
D
c) 6 2
5. En el gráfico, calcule "xº".
9. En la siguiente figura, calcule m BCDA. si AB=BC=CD.
B
B
24º
A
C
10x
P xº
42º 24º
C 48º D
a) 30º d) 46º
7x
A
b) 36º e) 48º
c) 42º
5x D
a) 50º d) 70º
6. En gráfico: AE=MF, AE // MN y MN=AF. Halle "fº " .
b) 10º e) 100º
10. En la siguiente figura, calcule MP si: AD=16, BM=MC y mBBAD=mBPDC.
N
E
c) 40º
B
70º
P M φº
A
a) 20º d) 25º
M
b) 30º e) 35º
C
D
F
c) 40º
A
7. En la siguiente figura, calcule la m BDCE. Si: BD=DE y la m BADE=100º.
a) 16 d) 4
b) 12 e) 8
c) 6
11. En el gráfico, calcule "αº" AP=BC.
D
B
B
α
A
a) 40º d) 20º
P α
E
C
b) 30º e) 25º
c) 10º
8. En un triángulo equilátero ABC, en su región interior se ubica un punto "P" , si: mBABP = mBCAP = mBBCP . 4 5 6 Calcule mBABP. a) 24º b) 24º d) 37º e) 45º
c) 30º
A
a) 5º d) 10º
2αº 3αº
5α H
b) 7º e) 15º
C
c) 9º
12. En un ∆ ABC se traza la ceviana BD, tal que: AB ≅ CD y "D" está en el lado AC. Además, ABD=60º y mBBAC=20º. Calcule la m mB BBCA.
a) 15º d) 22º30'
b) 30º e) 20º
c) 25º
13. Si mBBCD=30º, AB=BC y BD=AD. Calcular "θº".
15. Del gráfico, BM=AC. Calcule "θ". B
B
2θ
4θº M
θº
D
θ
90º-θ
A A
a) 12º d) 18º
C
b) 15º e) 20º
c) 10º
a) 20º d) 10º
b) 30º e) 40º
C
c) 60º
14. Dado un triángulo equilátero ABC, en AC y en la región exterior relativa a BC se ubican los puntos "D" y "E", respectivamente, tal que AD=EC, AE=BC y m BBAE=40º. Calcule la mBBDE. a) 30º d) 50º
b) 45º e) 60º
c) 40º
Tarea domiciliaria 1. En el gráfico, AB=CD. Hallar la medida del
3. Si: AB=CD. Calcule "α":
ángulo formado por las rectas AB y CD.
α
θ θ
A
a) 60º d) 40º
B
C
B
2α
90 - α
A
C
D
b) 45º e) 15º
c) 30º
2. En el gráfico, los triángulos ABC y LCD son congruentes. Hallar la medida del ángulo formado por las rectas AB y LD.
a) 10º d) 8º
L
S
S
S
S
S
b) 16º e) 9º
S
a) 90º d) 150º
D
C
b) 100º e) 135º
c) 12º
5. En un triángulo ABC, se traza la ceviana interior BM, de modo que: mMB C=2 (mMBA) y SB=2 (mMBC). Calcular mMBA, si BM=AC. mMC S
A
c) 16º
4. En cierto triángulo PQT, se traza de ceviana interior QM, de tal manera que: QM=PT y mMT Q=4(mMQ P). Hallar: mMQ P, si: mQP M=7(mMQ P). a) 18º d) 10º
B
b) 12º e) 18º
D
c) 120º
a) 15º d) 24º
b) 18º e) 10º
S
S
c) 20º
6. Sobre el lado AC de un triángulo ABC, se construye exteriormente el triángulo isósceles SB AEC, (AE=EC) de tal manera que mA EB=3mAC S A. Calcular mE SA C, y mC S A B=2mEC S A=mA CS B. si EC
12. Si AB=BC, AH=3µ y HC=8µ. Halle la distancia de "B" a L B
S
a) 10º d) 18º
b) 12º e) 24º
c) 15º
A
7. En un triángulo ABC, obtuso en "B", se traza la ceviana interior BM, de tal manera que: MC=AB. Además, se sabe que m S A =12º y S =18º. Calcular mMBA. mC S
a) 9º d) 18º
b) 12º e) 24º
c) 15º
C
H
a) 4,5µ d) 5
b) 6,5 e) 6
b) 120º e) 130º
B
C
c) 125º A
9. Calcule AD. Si: AB=9µ y CD=12µ.
a) 7º d) 12º
C B
a) 18µ d) 21
3θ 45º
b) 8º e) 15º
2αº
2αº E
b) 15 e) 20
D
c) 22
c) 9º
a) 6 d) 8
b) 6 2 e) 12
b) 36º e) 48º
b) 10º e) 20º
c) 6 3
15. En el gráfico, las regiones sombreadas son congruentes. Si: BM=3 y AC=11, calcule AB. B
M
c) 40º
11. En un triángulo ABC, sobre AC se ubica un punto "P", sea "Q" un punto exterior relativo al lado AC, si: AB=BP, AQ=PC, mBBAC=2xº, mBCAQ=5xº, mBBQC=mBBCQ. Calcule "xº". a) 8º d) 15º
D
14. En un triángulo escaleno ABC, sobre sus lados exteriores se grafican los triángulos isósceles ABM y CBN. MC=12. Calcule la medida del segmento AN.
10. En un triángulo ABC, sobre AC y BC se ubican los puntos "D" y "E", respectivamente. Si: AB=DC, mBBAC=mBBDE=32º, mBDBE=74º. Calcule la mBABD. a) 32º d) 42º
2θ
90º- αº
2αº A
c) 5,5
13. En el gráfico, calcule: "θº", si: AB=CD y BC = AD .
8. Se tiene un triángulo escaleno ABC. Exteriormente se construyen los triángulos equiláteros BAD y BEC. Hallar la medida del ángulo formado por CD y AE . a) 135º d) 115º
L
c) 12º
A
a) 4 2 d) 5
C
H
b) 7 2 e) 10
c) 5 2
16. Calcule "x", si los triángulos ABR y PBC son equiláteros.
18. En la figura: AB=FC, calcular " αº". B
B
A
P
α
2α
C
x
α
A
R
a) 30º d) 53º
b) 35º e) 60º
c) 45º
C
F
a) 15º d) 30º
b) 18º e) 36º
c) 22º30'
19. En la figura, AP=BC, calcule "xº". B
17. En el gráfico, calcular "x"
70º
xº
40º x 10º 80º 40º
a) 10º d) 18º
40º
A
b) 12º e) 20º
c) 15º
a) 20º d) 30º
P
b) 10º e) 40º
C
c) 15º
Problemas resueltos Sea ED=2n
1. Del gráfico, calcule: AC. Si: PB=4.
Se prolonga CP ⇒ TP=PC ⇒ Por dato: AB=BC=m T. mediana: CS=SE=SD=m ∆BSC ≅ ∆TSD: SC=TC ⇒ ∆ACT: NOT 30º y 60º \x=30º
B α α
P α
A
C
Resolución:
3. Según el gráfico, AB=CD.L1 y L2 son mediatrices de AC y BD, respectivamente. Calculeθ
B
α
C
L1
α α
B T
A
L2
α
M
4 α
P
α
A
x
Se prolonga CP ⇒ TP=PC Se traza por "P" MP // AC ⇒ MP: base media del ∆ATC ∆MPB: isósceles: MP=4 \x=8
D
θ
C
Resolución:
C
L1
m
B
m
2. En el gráfico AB=BC= ED . Calcule "x". 2
A
/ /
B
α
4θ
α
C
β
θ θ
L2 / /
D
M
Se pide: θ
x
A
θ
E
D
Resolución:
B 2θ
m
2θ
C k
m k A
θ
k
S
x
T E
m 2θ m
S
m
θ
D
α T. mediatriz: AM=MC, MB=MD ∆ABM ≅ ∆CMD (L.L.L.) ⇒ 2α+β=2θ+β α=θ \ θ =1 α
4. En el gráfico mostrado, AD=BC. Calcule "x".
5. En el gráfico mostrado, calcule: "x".
B
B
M
T
x
D
x 2x
3x x
A
C
A
10 10
30
C
Resolución:
Resolución:
B
B x
m
A
2x 3x x x
120-2x T 4x D x m x
m
M
50º 40º
x 40º m
x 2x
2x
A
40º m 30º
H
F m
10º 10º
C
G
C
Se traza DS tal que mBDSC=2x ∆ASD ≅ ∆BDC (L.A.L.) ∆ATD ≅ ∆ADS ABDT: propiedad cuadrilátero no convexo ⇒mBABD=120 - 2x \ x=10º.
T
∆AFG: NOT (30º y 60º) AF=2m, FG=m T. bisectriz: FG=FR ∆ MHF ≅ ∆ FRT (A.L.A.) ⇒ MF=FT \x=20º
Problemas para clase 1. En la figura, calcule BC, si: HM=6.
4. Calcule QP. AM=MP, BP=PC.
B
B H
Q α
α
A
a) 9 d) 18
M α
b) 12 e) 24
C
A
c) 15
2. En un triángulo ABC la medida del
18
C
M
B
a) 36 d) 12 ABC es
b) 48º e) 64º
b) 24º e) 48º
c) 18
30º
20º
c) 50º 70º
3. En un triángulo ABC (AB
b) 24 e) 9
5. En la siguiente figura, calcule " α".
AB y BC cortan igual Las mediatrices a AC aen128°. los puntos "R" y "S",de respectivamente. Luego, la suma de las medidas de los ángulos ABR y SBC es :
a) 40º d) 52º
P
α
c) 30º
a) 9º d) 22,5º
10º
α
b) 10º e) 30º
c) 15º
6. En el gráfico, calcule HM. AM=MC. AB=12 y BC=18.
12. En el gráfico: EL=2(FB). Calcule la m BFBC. B
B 3αº
θ θ
C
F M
A
C
A
b) 3,5 e) 6
c) 4
7. En un triángulo ABC, se traza la mediana BM. Si: AB=8µ y BC=12µ, calcule el máximo valor entero de BM. a) 8µ d) 10
b) 11 e) 12
L
b) 40º e) 60º
c) 50º
13. En el gráfico : AH =AB=HC. Calcule la mBABD. 2 B
c) 9 H
A
8. En un triángulo ABC, se traza la mediana BM. Si: AB=50µ, BC=14µ, BM=24µ, calcule la mBABM. a) 37º/2 d) 32
15º E
a) 30º d) 53º
H
a) 3 d) 5
αº αº
b) 24 e) 16
c) 30
C
D
a) 37º/2 d) 30º
b) 45º/2 e) 38º
c) 53º/2
14. Según el gráfico, calcule "x". 9. En un triángulo isósceles ABC (AB=BC) se ubica el punto "P" en el interior, AP=AB,
B 80º
30º
C
mBABC=2(mBBAP) y mBPCB=2(mBPAC). Calcule: mBAPC. a) 100º d) 130º
b) 110º e) 140º
x
c) 120º
70º 40º
A
10. De la figura, calcule: MN. Si: QM=7. Q M
c) 30º
B
α 2α
θ
N
a) 12 d) 15
b) 13 e) 16
B
4θ
A
x
45º
a) 18º d) 53º/2
C 2θ
θ
D
b) 12º e) 20º
º2
c) 14
3θ
A
90
R
11. En la figura mostrada, AC=CD. Calcule : "θº".
a) 10º d) 18º
b) 50º e) 60º
15. Según el gráfico, calcule "x", si AM=MC.
θ
P
a) 40º d) 45º
D
c) 15º
x M
b) 20º e) 15º
c) 37º/2
C
Tarea domiciliaria 1. Sobre el lado BC de un triángulo ABC, se construye exteriormente el triángulo BEC, de tal manera que mBEBC=90º, mB E A=14º, mE A C=30º y AE=2EB. Calcular mB C E, si A C B=74º !
6. En la figura: AM=MB, MO=OC y MN // OA. Calcule MN, si: OA=21µ. B
!
!
!
a) 30º d) 53º
b) 37º e) 60º
N
M
c) 45º
O
2. Hallar PH, si: BH=36µ.
C
A
B
a) 10µ d) 9 M
b) 7
c) 10,5 e) 14
7. En la figura, calcule "x", si MN=NC, AM=CB y mBANC=120º.
P
B A
a) 18µ d) 9
C
H
b) 15 e) 6
c) 12 M
3. En un triángulo ABC, se traza la alturaBH y la mediana BM; de tal manera que: mBABH=mBHBM=mBMBC. Calcule mBHBM. a) 30º b) 37º d) 53º e) 60º
c) 45º
4. En un triángulo rectángulo ABC, recto en "B", sobre la hipotenusa AC se ubica un punto "D" tal que el ángulo ABD mide 24º. Si el ángulo "C" mide 38º y BD=5. Calcule AC. a) 6 d) 9
b) 7 e) 10
c) 8
5. En la figura, calcule "x", si: AP=PB y PC=2AB. B
xº A
a) 15º d) 24º
x P
b) 18º e) 10º
c) 20º
C
C
a) 53º d) 75º
b) 60º e) 80º
c) 63º30'
8. En un triángulo ABC, se traza la mediana BM. AB=7µ y BC=9µ. Calcule el mayor valor entero de BM. a) 6µ d) 5
b) 7
c) 8 e) 4
9. En un triángulo rectángulo ABC, recto en "B", se traza la ceviana CE y en los triángulos ABC y AEC se trazan las alturas BD y EF, respectivamente. Si BC=5µ, EF=3µ y la mBBAC=2(mBBCE), calcule: BD. a) d) 1 4µ
A
N
b) 2 e) 5
c) 3
10. En un triángulo rectángulo ABC, recto en "B", sobre la hipotenusa AC se ubica un punto "D" tal que el ángulo ABD mide 24º. Si el ángulo "C" mide 38º y BD=8, hallar AC. a) 6 d) 9
b) 7 e) 10
c) 16
11. En la figura, hallar "x". Si HC=4AH.
16. En un triángulo ABC, se traza la altura BH de tal manera que m BHBC=2(mBHBA) y 8(AH)=3(HC). Calcular mBC.
B 2φ
a) 37º d) 16º
x
A
b) 60º e) 37º
c) 24º
17. En la figura mostrada, hallar "x", si AM=MC.
φ
C
H
a) 62º d) 45º
b) 30º e) 15º
B
c) 53º
x
12. En la figura, hallar θ" ". Si: AM=BM y CM=BC/2. B
A
2θ
a) 32º d) 24º
b) 37º e) 18º
H
a) 20º d) 40º
M
A
70º
C
M
b) 45º e) 25º
c) 50º
18. En la figura mostrada, AM=MC. Calcular " α".
θ
B
C
c) 36º
13. En un triángulo rectángulo ABC, la altura BH y la bisectriz interior AD se cortan en "P". Luego, por "P" se traza una paralela al lado AC que corta a BC en "N". Calcular NC, si: BD=6cm. a) 2cm b) 3 c) 4 d) 6 e) 5 14. En la figura, hallar BC si MH=9cm. B M
A
45º
2α
α
M
a) d) 10º 5º
b) e) 15º 18º
C
c) 20º
19. En un triángulo ABC: m BABC=62º; sobre AB y BC se ubican los puntos "P" y "Q", respectivamente. Tal que BP=QC y las mediatrices de BC y PQ se cortan en "O". Hallar mBOBC. a) 30º d) 26º30'
b) 31º e) 24
c) 28º
α
A
α
H
a) 9cm
b) 12
d) 18
e) 24
C
c) 15
a) 3µ d) 12
15. En un triángulo acutángulo ABC, se trazan las alturas BQ y CP. Calcular mBPMQ, siendo "M" punto medio de BC y m BA=50º. a) 80º d) 40º
b) 70º e) 50º
20. En un triángulo obtusángulo ABC, obtuso en "A", mBB=2(mBC), se levanta AP perpendicular a AC ("P" en BC). Calcule: PC, si: AB=6µ.
c) 60º
b) 6
e) 15
c) 9
Problemas resueltos 1. Se tiene un polígono equiángulo tal que el
3. Si el número de diagonales aumenta en 18 en un
número de diagonales más el doble del número de lados es 36. Calcule la medida del ángulo interior de dicho polígono.
polígono regular, su ángulo central disminuye en 20º. Calcule el número de lados. Resolución:
Resolución:
Lados
Dato: N diag + 2n = 36 n (n - 3) +2n = 36 2 ⇒ n=8. • BInterior = 180 (n - 2) n = 180 (6) =135º. 8 BInterior =135º.
θ
central
n
n ( n - 3) 2
360 n
Polig2
m
m ( m - 3) 2
360 m
n (n - 3) + 18= m (m - 3) 2 2
Dato:
360 - 20 = 360 n m Despejando y operando : \ n=6
C
θ
B
Polig1
2. En el gráfico, ABCDEF es un polígono equiángulo, L es mediatriz de CD, y BT=6. Calcule TN. B
Diag
L
T
A
D
Resolución:
N
F
4. Se tiene un octógono equiángulo ABCDEFGH tal que AB=1, CD=2, BC= 2 y DE=2 2 . Calcule mBDEA. 1
S
E
2
2
45º
S
B θ
60º
θ=60º
12 0º
6 x
α
C
2
135º 45º 2 37 º/2
5
53º/2
135º
1
x
D
2 E
F
A
H
G
E
= 180 (6 - 2) =120º 6 ⇒ θ=60º T. mediatriz: CT=TD ∆STC ≅ ∆TDN (A.L.A.) ⇒ ST=x ∆BTS: NOT(30º y 60º) \ =3 3 .
BInterior
x
53 2
N
F
T 2
5
α 120º
T
A
B
D
2 53º/2
1
Resolución:
C
Piden "x" interior : 180 (8 - 2) =135º 8 ∆SCA (NOT 53º y 127º ) 2 2 ∆CTE (NOT 53º y 127º ) 2 2 53 º 127 º) ∆ACE (NOT y 2 2 B
x= 53 + 37 2 2
Piden "x" Dato: 3 θ= 360 n
\ x=45º. 5. Según el gráfico, calcular "x" si los polígonos ABCDE... y MCNP... son equiángulos, además el número de lados del segundo es mínimo. C
B
3θ
x
N
2θ
⇒ θ= 120
n
⇒ n (mínimo) Si: n=3 ⇒ θ =40º n=4 ⇒ θ =30º ⇒ 2θ= 360º ⇒ 80= 360º
A
M
P
D
m m: no existe
m
⇒ 2θ = 360 m º ⇒ 60= 360 mº
m= 6 (existe) ⇒ 3θ+x+2θ=180º
Resolución:
C
B
A
3θ
x
90º+x+60º=180º \ x=30º.
N
2θ
P
M
n lados
m lados
Problemas para clase 1. Calcule el número de vértices de un polígono cuyo número de diagonales es el triple del número de lados. a) 10 d) 9
b) 11 e) 8
c) 12
a) 5 d) 8
2. Si: ABCDEF es un hexágono regular, calcule "x". D
C
5xº
B
E
A
a) 8° d) 20º
b) 10º e) 21º
3. Si a un polígono se le aumentan cuatro lados, entonces la suma de las medidas de sus ángulos internos se duplica. Calcule el número de vértices del polígono :
xº
c) 15º
c) 7
4. Marcar la proposición correcta : • El círculo es un conjunto convexo. • Las rectas paralelas son un conjunto convexo. • Todo ángulo es conjunto no convexo. • Todo polígono es un conjunto convexo. a) VFFF d) VFVF
F
b) 6 e) 9
b) FVVV e) VFVV
c) FVFV
5. Al aumentar en tres el número de lados de un polígono, el número de diagonales se duplica. Calcule la suma de las medidas de los ángulos internos de dicho polígono. a) 720º d) 1440º
b) 900º e) 1260º
c) 1080º
6. Indicar el valor verdadero de cada proposición: • Todo polígono tiene ángulos exteriores. • Si un polígono presenta ángulos internos de igual medida será polígono regular. • Todo polígono es un conjunto convexo. • Todo polígono es no convexo. • Si a toda región poligonal se le extrae una diagonal, el conjunto resultante será no convexo. a) FVFFF d) FFVVF
b) FFVVV e) FFFFF
c) FFFFV
7. Si de cuatro vértices consecutivos de un polígono convexo se trazan 25 diagonales, ¿cuántas diagonales tiene en total el polígono? a) 27 d) 54
b) 35 e) 45
c) 44
8. En un decágono regular ABCDEFG ... Calcular "x". x=
a) 1 7 10 d) 21
a) 10º d) 30º
b) 15º e) 24º
b) 2 21 e) 5 23
b) VVF e) FFV
a) 16º d) 32º
b) 8º e) 15º
D
E 2α
C
F
α
B
G
H
A
10. Exteriormente y sobre los lados AB y BC, de un triángulo ABC equilátero, se construyen el hexágono regular ABMNLT y el cuadrado BCQP. Calcule la medida del menor ángulo que forman las prolongaciones de MT y PA. a) 10º b) 15º c) 25º d) 30º e) 20º
c) 4º
13. Calcule el número de diagonales del polígono regular ABCDEFGH ....
c) 9 17
c) VVV
c) 18º
12. Se grafica el octógono equiángulo ABCDEFGH y se prolonga el lado GF hasta "M" (M={GF∩DE}), de modo que: EM=DE= CD = BC . Calcule 2 2 2 mBEBM.
mBADC + mBDEC mBADE mBCEF
9. Indicar verdadero o falso, según corresponda: • La semirrecta es un conjunto convexo. • Una región triangular cuyos vértices se han omitido, es aún una región convexa. • Dos rectas paralelas al ser intersectadas por una recta secante determinan cuatro regiones convexas y dos no convexas en el plano. a) VFV d) VFF
11. Al disminuir 5º, la medida de cada ángulo interno de un polígono equiángulo resulta otro polígono cuyo número de lados es 3/4 del número de lados del polígono srcinal. Calcule la medida del ángulo externo del polígono srcinal.
a) 27 d) 54
b) 35 e) 65
c) 44
14. Dar el valor de verdad de: • Una región triangular en la cual se han omitido dos de sus vértices, es una región convexa. • La diferencia de dos conjuntos no convexos puede ser un conjunto convexo. • Todo polígono es un conjunto no convexo. a) VVV d) FFV
b) VVF e) VFF
c) FVV
15. En un pentágono regular ABCDE, se considera el punto interior "P", tal que: PD=DE y mBPAB=42º. Calcule mBPDE. a) 60º d) 45º
b) 50º e) 75º
c) 30º
Tarea domiciliaria 1. Desde tres vértices consecutivos de un polígono se trazan 14 diagonales. Calcular cuántas diagonales en total se pueden trazar en el polígono. a) 15 d) 30
b) 20 e) 40
c) 25
2. En un pentágono regular ABCDE, las diagonales AC y BE se intersecan en "F", de mododelque: EF= 5. Calcular la medida del lado pentágono. a) 5 d) 5 3
b) 5 2 e) 2 5
b) 5 e) 18
c) 8
4. La diferencia del número de diagonales de cierto polígono y el número de ángulos rectos a que equivale la suma de las medidas de sus ángulos interiores es 8. Entonces, el polígono tiene: a) 4 vértices b) 5 c) 8 d) 12 e) 18 5. La medida de los ángulos interiores de 2 polígonos convexos regulares difieren en 20º y las medidas de los ángulos exteriores suman 100º. ¿Cuántas diagonales tiene el polígono de mayor número de lados? a) 27 d) 40
b) 18 e) 52
c) 32
6. En un polígono convexo de "n" lados, calcular la suma de las medidas de los ángulos formados al prolongar los lados del polígono. a) 180º n d) 180º (n-4)
b) 360º n e) 360º (n-2)
c) 90º (n-2)
7. Un octógono equiángulo ABCDEFGH tiene por lados GH=4µ, AH=4 2 µ, AB=3µ. Hallar GB. a) 12µ d) 13
b)
113 e) 15
a) 16 d) 150
b) 100 e) 130
c) 104
9. Se tiene un polígono regular ABCDEF..., de "n" % lados donde m ACD =135. Hallar el número total de diagonales a) 30 d) 84
b) 45 e) 104
c) 54
c) 2 3
3. Si a un polígono se le aumentara 3 lados, su número de diagonales aumentará en 15. Hallar el número de vértices del polígono. a) 4 d) 12
8. Desde 5 vértices consecutivos de un polígono se trazan 59 diagonales. Hallar el número de diagonales de dicho polígono.
c)
120
10. El lado de un polígono equilátero mide 6 cm y el número que expresa su cantidad total de diagonales equivale al perímetro del polígono. ¿Cuántos lados tiene el polígono? a) 10 d) 18
b) 12 e) 20
c) 15
11. Al disminuir en 2 el número de lados de un polígono convexo, se obtendrá otro polígono con 15 diagonales menos. Hallar el número de lados srcinal. a) 10 d) 18
b) 12 e) 20
c) 15
12. En un polígono regular ABCDEF... de "n" lados, las diagonales AD y BF se intersecan en el punto "P". Hallar "n" si el ángulo APB mide 27º. a) 18 d) 15
b) 20 e) 16
c) 12
13. La diferencia de los ángulos exteriores de dos polígonos regulares es 9º. Si uno de ellos tiene dos lados más que el otro, hallar el número de lados del polígono que tiene menor ángulo exterior. a) 8 d) 12
b) 6 e) 15
c) 10
14. Si la diferencia entre los ángulos exteriores de dos polígonos regulares es 18º. ¿Cuál es la diferencia entre las medidas de sus ángulos centrales? a) 12º d) 20º
b) 15º e) 36º
c) 18º
15. En un polígono convexo, el número de diagonales es igual a cuatro veces el número de vértices. Hallar el número de lados. a) 13 d) 11
b) 12 e) 9
c) 10
18. Si se disminuye en dos el número de lados de un polígono, el número de diagonales disminuye en 19. Hallar el número de diagonales media, trazadas desde un punto medio de un lado de dicho polígono.
a) 11 b) 13 c) 15 d) 16 e) 18 16. En cierto polígono de "n" lados, desde (n-7) vértices consecutivos se trazan (7n+4) diagonales. Hallar "n". 19. En cierto polígono de "n" lados, desde (n-7) vértices consecutivos se trazan "2n" diagonales. a) 24 b) 23 c) 21 Hallar el máximo número de diagonales media d) 19 e) 17 de dicho polígono. 17. De uno de los vértices de un polígono convexo se pueden trazar (a+3) diagonales. ¿A cuántos ángulos rectos equivale la suma de los ángulos internos de dicho polígono? a) 2(a+3) d) 2(a+4)
b) 3(a-3) e) 3 (a+5) 2
c) a+3
a) 55 d) 45
b) 50 e) 42
c) 48
20. La diferencia de las medidas de los ángulos internos de dos polígonos regulares es 6º. Si la diferencia de sus lados es 16, hallar el número de lados de uno de ellos. a) 15 d) 18
b) 24 e) 36
c) 30
Problemas resueltos 1. Según el gráfico, ABCD es un paralelogramo. Si CM=MD, calcule "θ". B
3. En el gráfico, ABCD es un rectángulo. Calcule DC si la distancia de "F" a BCes 4 y AE=20. F
C
θ
B
C
θ
E
M 40º
A
θ
D
Resolución:
B
θ
D
A Resolución:
a
C
θ
S
S 40º
4
θ
4
B
C N
M
a
F
20
E
x
A
40º
2θ D
a
θ
F
a
Se prolonga BM ∆BMC ≅ ∆MDF ⇒ mBMFD=θ. ⇒ ∆ SDF: isósceles \ θ=50
2θ
D
A
2. En un trapecio rectángulo ABCD, recto en "C" y "D", se ubica el punto medio "M" de AC y el punto "T" en la prolongación de CB. Tal que mBTBA=80º y 3(BC)=2(AD). Calcule mBABM. Resolución:
20
20
θ
Piden: "x" Por el T. bisectriz: SF=FE AS=AE=20 FN=SB=4 x+4=20 \ x=16. 4. En un trapecio ABCD ( BC // AD), se ubica el punto medio "M" de CD, tal que BM es perpendicular a AB, mBCBA= 120º, AB=8 y BC=4. Calcule AD. Resolución:
E
m H 80º
T
m 80º
x
B80º
2m
C
4
B
C
30º
a
a
4 M
8
8
30º
T
a
a
4 A
3m
Piden "x": AH = EC Tal que: EH=HB=m ∆ EAC: BM es la base media ⇒ EA // BM, m BMBC=80º \ x=20º.
D
A
M
x
Se traza la base media MT ∆BTM: (NOT 30º y 60º) ⇒ TM=8 T. base media: 8= 4 + x 2 \ x=12.
D
5. En el gráfico, ABCD es un cuadrado, BCNM es un romboide, DM=2MB. Calcule "x".
Resolución:
C
B
C
B
n
n N
M
N
M
3n 37
2n
x
A
x
A
/2
D
D
Se traza BD=AC=3n BD // CN: mBACN=90º ∆ACN (NOT 37 y 143 ) 2 2 \ x= 53 2º .
Problemas para clase 1. En un romboide ABCD, se traza BP y DQ perpendiculares a AC, tal que : AB=PQ y mBABP=53º. Calcule: mBACB. a) 22º d) 37º 2
b) 16º e) 53º 2
4. En el gráfico, ABCD es un rectángulo. Además: PD=6 cm, AL=3 cm. Calcule: LC. B
θ
L P
2. En el gráfico, ABCD es un rectángulo. AR=10 µ, CD=8µ. Calcule : PQ. P B
D
b) 8 e) 11
c) 10
C
Q
5. Se tiene un rombo ABCD. Se traza la mediatriz de BC que intersecta a AC en "G", se prolonga DG que intersecta a BC en "F", tal que: mBCFG=2(mBACD). Calcule : mBFAG.
θ
D
A
b) 2
θ
A
a) 7 cm d) 9 R 2θ
a) 1µ d) 3
C
c) 8º
a) 16º d) 72º
c) 2,5 e) 4
3. En el gráfico, ABCD es un rombo. "O" BM=MO y CH=12u. Calcule: AM. B
C M
centro,
b) 18º e) 24º
6. Sea ABCD un trapezoide, tal que: AC es bisectriz del ángulo BAD. Sea DF una perpendicular de AC, tal que: m BFBC=4mBDCF y mBABC=90º. Calcule la mBFCD. a) 15º d) 24º
45º
c) 36º
b) 18º e) 32º
c) 20º
O
7. En el gráfico, ABCD es un romboide. Calcule: "xº". A
a) 9 2 µ d) 5 2
E
b) 8 2 e) 4
H
D
C
B
c) 9
O 90
º
53º/2
º +x
xº
D
A
a) 10º d) 18º15'
b) 12º e) 20º
c) 15º
8. En el gráfico, BCEF rombo ("O" centro del rombo). AO=CH. Calcule "xº". Si: CD=BC. B
C θθ
O 10
a) 12º d) 20º
b) 15º e) 24º
c) 18º
º
xº A
12. En un paralelogramo ABCD, las mediatrices de AB y BC se cortan en "P", un punto que pertenece a AD, si: mBD=112º. AB
E
F
a) 30º d) 60º
b) 40º e) 70º
D
H
c) 50º
13. En el gráfico mostrado: 2 α+θ=90º, 2β+γ=90º, AD=4 , AB=AE, CD=ED. Calcule la distancia del punto medio de BC a AD. C B
9. En el cuadrilátero ABCD; FB, CD y ED miden 18; 24 y 16 unidades, respectivamente. Si: FM=ME y BN=NC. Calcule MN.
E
B A
C
a) 15µ d) 18
37º
M
53º E
b) 16 e) 20
D
c) 17
10. En el gráfico, calcular "θº", si: BC=AD. B
A
2θº 3θº
θº
2θ
C
b) 3 e) 8
b) 12º e) 20º
b) 24 e) 12
c) 2
a) 37º 2 d) 36º
b) 53º 2 e) 45º 2
c) 30º
15. Del gráfico, ABCD y MNPQ son cuadrados y "M" centro del cuadrilátero. Calcule "x". B
N
C
º
x M
c) 15º
P A
36º
11. En un trapecio ABCD (BC // AD), mBA=28º, mBD=76º y AB=32u. Calcule la longitud del segmento que une los puntos medios de AC y BD. a) 32µ d) 16
D
14. En un romboide ABCD, sobre AB se ubica un punto "M" y el punto medio "N" del lado BC. Si: mBNMD=90º y MN = MD, calcule la mBBMN.
D
a) 10º d) 18º
β
α
a) 4 d) 6
F
A
γ
θ
N
c) 18
D
Q
a) 36º d) 72º
b) 54º e) 45º
c) 48º
Tarea domiciliaria 1. En el trapezoide ABCD, se cumple que: 7. El perímetro de un rombo es 24 µ y uno de mBA - mBB=11º; mBA - m BC=13º, los ángulos interiores mide 120º. Calcular la mBA - mBD=16º. ¿Cuánto mide el ángulo "A"? distancia que hay entre dos lados opuestos. a) 80º d) 100º
b) 90º e) 115º
c) 120º
a) 2 3 d) 6
2. Calcule PQ, si: BC // CD, AB=7u, BC=8u, CD=11 µ y AD=20 µ. C
B α
8. En un romboide ABCD, la base AD mide el doble de la altura BH. m BBDA=30º. Calcule la mBBCD. a) 45º d) 85º
θ
P
a) 6µ d) 3
c) 2 6
θ
α
A
b) 3 3 e) 3 2
Q
M
D
N
b) 4
b) 95º e) 75º
c) 60º
9. En el trapezoide ABCD: AC BD=12µ. Calcule "x".
BD; AC=16µ y
B
c) 5
C
e) 7 x
3. En un trapezoide ABCD: mBB=120º, mBC=100º. Calcule la medida del ángulo que forman las bisectrices interiores de "A" y "D". a) 100º d) 110º
=
b) 120º e) 105º
c) 115º
D
A
a) 7µ d) 13
b) 10 e) 20
c) 14
4. Dado el cuadrilátero ABCD, tal que las diagonales AC=m y BD=n. Luego se toman los puntos medios "P", "Q", "R" y "S" de los lados AB, BC, CD y AD, respectivamente. Luego, el perímetro de PQRS, es:
10. En un trapecio isósceles ABCD de bases AD y BC, calcule: mBABC. Si: 2(AB)=2(BC)=AD.
b) 3 (m+n) 2 e) 2 (m+n) 3
11. Hallar el perímetro del romboide ABCD, donde las bisectrices interiores de "B" y "C" se cortan en un punto de AD y además: AB=3,5.
a) 2(m+n) d) m + n 2
c) m+n
5. Se tiene un cuadrado ABCD cuyo lado mide 24µ. "F" es punto medio de BC, los segmentos DF y AC se cortan en "G". Calcule OG ("O" es centro del cuadrado). a) 2 d) 6 2
b) 2 2 e) 8 2
b) 3
c) 3 2 e) 4
b) 90º e) 135º
a) 31,5 d) 28
c) 110º
b) 24,5 e) 21
c) 17,5
-1 12. ABCD es un paralelogramo. Calcule:( EF ) AB
c) 4 2
6. En el trapecio isósceles donde uno de los ángulos mide 45º y uno de los lados no paralelos mide 6µ, calcule el segmento que une los puntos medios de las diagonales. a) 6µ d) 6 2
a) 100º d) 120º
B
F
C
E 2θ A
a) 1 3 d) 2 3
θ
D
H
b) 1 9 e) 1
c) 1 2
13. Sea ABCD un trapecio (BC // AD) en el cual se cumple que: AD=36+BC y mBB+mBC=270º. Calcule la longitud del segmento que une los puntos medios de las bases. a) 14 d) 18
b) 17 e) 20
c) 15
14. ABCD es un cuadrado y ARD es un triángulo equilátero interior al cuadrado. Hallar la mBRCB. a) 15º
b) 20º
d) 18º
e) 10º
c) 30º
15. Se tiene un trapecio isósceles ABCD, donde BC y AD son las bases. Si AC es el doble de la mediana, calcule el menor ángulo formado por AC y BD. a) 15º d) 45º
b) 30º e) 60º
17. Si los ángulos adyacentes de la base mayor de un trapecio son complementarios. Dichas bases miden 4µ y 10µ. Calcule la longitud del segmento que une los puntos medios de la base. a) 2 d) 4,5
b) 3 e) 4
18. Se tiene un rombo ABCD y se construye exteriormente el cuadrado CDEF. Calcule la mBAEC, si mBBAD=42º. a) 67º
b) 58º
d) 47º
e) 69º
c) 62º
19. Calcule "x", si : AD = DC y el triángulo AED es equilátero. B
c) 37º
D
23º
37º
C
A
16. En el gráfico mostrado, ABCD es un cuadrado. CH=3µ y PH=4µ. Calcule AH.
xº
B
E
C H
A
D
a) 7µ d) 13
c) 2,5
b) 9
P
c) 11 e) 14
a) 35º
b) 45º
d) 60º
e) 75º
c) 30º
20. Dado el cuadrado ABCD, se ubica en el punto "F", en diagonal AC, de manera que mBAFB=10mBCDF, calcule mBCDF. a) 22,5º d) 9º
b) 15º e) 5º
c) 10º
Problemas para clase 1. En el gráfico: AB ≅ BC ≅ AC y aº+bº=140º.
5. En la figura, calcule "x", si: MC=2AB.
Calcule la mBFCB. bº
B M
B
x
F
C
θ
A
A
aº
a) 10º d) 30º
a) 22,5º d) 12
θ
b) 15º e) 40º
c) 20º
2. En el gráfico mostrado, calcule xº +yº. 2αº αº
xº
b) 260º e) 340º
c) 270º
3. En un triángulo ABC, m BA= 53 y mBB=45º. 2 Calcule "AB", si BC+AC=8( 2 + 5 ) a) 16( 2 + 5 ) c) 4(2+ 5 ) e) 16
b) 24 d) 4( 2 +5)
4. En la figura, AB=BC. Calcule QC, si AQ=8, PC=2. A
α α
B
a) 6 d) 4
C
b) 5 e) 7
c) 3
a) 16º d) 30º
c) 15
b) 36º e) 48º
c) 40º
Q
b) 37º/2 e) 32º
c) 53º/2
8. En un triángulo ABC, sobre AB y BC se ubican los puntos "M" y "N", respectivamente, tal que BM=NC, las mediatrices de MN y BC se intersecan en "P". Si m BABC=56º, calcular la mBPCB. a) 56º d) 30º
b) 42º e) 28º
c) 40º
9. Calcule el número de lados de un polígono cuyo número de diagonales excede al número de vértices en 18. a) 5 d) 8
P θ θ
b) 30 e) 9
7. En un triángulo ABC se traza la mediana BM. AB=50µ, BC=28µ y BM=25µ. Calcular la mBABM.
θº
a) 240º d) 320º
C
6. En un triángulo ABC, sobre AC y BC se ubican los puntos "D" y "E", respectivamente. Si AB=DC, mBBAC=mBBDE=32º, mBDBE=74º, calcule la mBABD. a) 32º d) 42º
yº
2θº
20º
2x
b) 6 e) 9
c) 7
10. Si a un polígono se le aumenta cuatro lados, entonces la suma de las medidas de sus ángulos se duplica. Calcule el número de vértices del polígono. a) 5 d) 8
b) 6 e) 9
13. Del gráfico, calcular DP, si ABCD y APQR son cuadrados. AB=4 y BR=6. P
Q
c) 7
B C
11. En un trapezoide ABCD, las bisectrices de los ángulos ABC y BCD se intersectan en "P". Si mBBAD=mBCDA, CD - AB=3, BC=15 y mBBPC=45º, calcule la mBABC. a) 120º
b) 127º
d) 143º
e) 150º
c) 135º
12. Del gráfico, ABCD y CPQR son cuadrados, calcular "x". P C
B
x
Q
R
A
a) 18º30' d) 30º
15º
R
A D
a) 9 d) 15
b) 8 e) 7,5
14. En un trapecio ABCD (BC // AD) se cumple que 2CD=5AB y mBD=23º. Calcular mBABC. a) 104º d) 127º
b) 143º e) 120º
c) 135º
15. En el gráfico, ABCD es un cuadrado, BQ=9 µ y DR=6µ. Calcular la medida de PS. B
C
D
b) 22º30' e) 31º
c) 10
R
S
c) 26º30' P
Q
A
a) 12µ d) 18
D
b) 15 e) 16
c) 13
Tarea domiciliaria 1. Calcule la medida del ángulo interno de un polígono equiángulo de 35 diagonales. a) 120º d) 160º
b) 135º e) 150º
7. En la figura mostrada, (BC // AD), BC=5µ y AD=9µ. Hallar BH. B
c) 144º
C
2θ
3θ
2. Calcule la suma de las medidas de los ángulos internos de un polígono de 44 diagonales . a) 1260º d) 1440º
b) 1080º e) 1620º
c) 900º
3. En la siguiente figura, calcule AC, si MD=4 y CM=ME.
B M
45º
b) 4 e) 18
a) 1 d) 3
b) 2 e) 6
a) 8µ d) 12
c) 4
b) 9
c) 10 e) 16
D
E
a) 8 d) 12
D
A
8. Exteriormente a un triángulo ABC, se construyen los cuadrados ABDE, ACFG y el paralelogramo AEHG. Además, ED=6µ y AH=10µ. Calcule BC.
C
A
H θ
9. En la figura mostrada, si AM=MD, mBBCD=mBCAD y AC+3AB=64, calcular MN.
c) 6
B
un triángulo equilátero ABC, se traza la 4. En ceviana exterior BR, luego se ubica un punto "P" exterior y relativo al lado BC de tal manera que BP=8, AB // PC. Calcule BR, si AR=PC.
a) 16 d) 4
b) 12 e) 8
c) 6
N A
M C
D
5. Los lados de un triángulo miden ( α+2), (α+3) y 8. Calcular el menor valor entero primo que puede tomar "α" para que el triángulo exista. a) 13 d) 11
b) 7 e) 2
c) 5
6. En la siguiente figura, calcule "x", si AC=5 y PQ=1.
b) 14 e) 18
c) 15
10. En el trapezoide donde las diagonales al cortarse forman un ángulo de 120º y una de las diagonales mide 8µ, calcule la suma de las diagonales del rombo que se forma al unir los puntos medios de los lados consecutivos del trapezoide.
P
B
a) 13µ d) 16
a) 4( 3+ 1) d) 6( 2+ 1)
b) 8( 3+ 1) e) 8( 6+ 1)
c) 2( 3+ 1)
Q x A
x
a) 37º/2º d) 15º
C
b) 45º/2 e) 53º/2
c) 30º
11. Se tiene un trapecio ABCD (BC // AD) donde mBA=40º y mBD=70º. Hallar el segmento que une los puntos medios de sus diagonales, siendo además: AB=8µ. a) 2µ d) 6
b) 4
c) 3 e) 5
12. En un hexágono equiángulo ABCDEF, AF=a, CD=b, DE=c. Calcule AB. a) a+b - c b) b+c - a d) a + b + c e) 2a+b - c 2
b) 4
2α 40º
c) 5 e) 2,5
b) 50º e) 30º
2α
a) 18º d) 23
2α
b) 20º e) 25º
c) 22º
16. En la figura mostrada, hallar "x", si AB=BC.
14. Las mediatrices de los lados AD y CD de un paralelogramo ABCD se intersectan en un punto "M" que pertenece a BC. Calcule BMAB, si mBB=110º. a) 40º d) 35º
5α
c) a+c - c
13. En un paralelogramo ABCD, AB
15. En la figura, calcular "α".
A
2x
c) 45º B
a) 10º d) 18º30'
2x
x
C
b) 12º e) 18º
c) 15º
Problemas resueltos !
!
1. En el gráfico, m AB =40º y m CD =70º. Calcule mPQ . !
2. En el gráfico mostrado, "T" es punto de tangencia. Calcule "x" en función de " θ".
C B a
θ x
b b
a
T
A
D
P
Resolución:
Q
360º- (2θ+2x)
Resolución:
B 40º A
a
a
θ x
C
2β
b b
70º
T
γ
β+35º
S
β+20º
2θ
D A
P
x
Q
Piden "x" Sea mBC =2β. j ABCD: 2a+2b+2β+55=360º
B
exterior :
90= 360º - (2θ + 2x) - 2θ 2 180º=360º - 2θ - 2x - 2θ 2x=180º - 4θ \ x=90º - 2θ.
a+b+β= 305º 2 a+b+γ=180º
C
2x
Piden "x"
!
∆BSC:
B
3. ABCD es un cuadrado, calcule BF . TF B
γ - β= 55º
C
2
55º γ= 2 + β 2β + x B interior: γ=
2 55º +β= 2β + x 2 2 \ x=55º.
F
T
A
D
Resolución:
53º B
C
T
53º 2 2a
F
53º 2
53º A
a
O
a
D
Piden: BF TF V BAO ≅ V OCD: ⇒ AO=OD 53º y 127º ) V BOA: NOT ( 2 2 B
5. En la figura m FG =αº, Calcule: C
exterior : mBBTC= 53º 2 \ BF = 1 . TF 2
G
E
4. Si "T", "Q" y "R" son puntos de tangencia, calcule "x" en función de " θ" y "α".
Resolución:
C M
θ
Q
x
B
β
β
F
θ
α/2
α
α
T
R
G
β
E
Se traza ME : BCME: inscrito
Resolución:
B
θ
T
x-θ
.
L
F
θº
B
!
Q
αº
M
central : mBC =53º
B
θº
inscrito: m BLGE=β
⇒ BC // GL
x 180 - x R
α
mBCBL=mBFLG α
2 =θ \ θ = 1. α 2 Prop: B exterior : mQR=180º - x Prop: B exterior : m TR =180º - θ ⇒ mTQ =x - θ - θ - (180º - x) x B exterior : α= 2 2α=2x - θ - 180º \ x= 2α + 180º + θ . 2
L
Problemas para clase 1. Del gráfico mostrado, calcule (bº+aº).
!
5. En el gráfico mostrado, calcule: m AB.
bº B
40º aº
a) 100º d) 180º
b) 150º e) 200º
A
c) 160º a) 22,5º d) 120º !
b) 30º e) 90º
c) 60º
!
2. En el gráfico mostrado: m AB +mBBC =280º. Calcule: mPN. !
P
6. Del gráfico mostrado, calcule: "xº". ("T" y "Q": puntos de tangencia). mBTAC=mBTBD. T
C
N A
C B
a) 40º d) 70º
b) 50º e) 80º
D
c) 60º
xº Q
B
A
!
3. En el gráfico, "B", "C" y "D" son puntos de tangencia y la mDEC =70º. Calcule la mBPAC.
a) 70º d) 60º
b) 36º e) 75º
c) 45º
7. En una circunferencia de diámetro AB, se ubican los puntos "P" y "Q", tal que: m AP =90º y AQ intersecta a PB en "M", luego en AB se ubica el punto "L", tal que: mBAQL=45º y AM=2(LB). Calcule : mBPAM. !
B
P
E
A
a) 28º d) 35º
D
a) 19º d) 16º
C
b) 30º e) 78º
c) 32º
b) 18º e) 15º
c) 14º
8. Del gráfico, calcule : "xº". 140º - a
4. En el gráfico, "C" es un punto de tangencia. Calcule "xº".
xº
C 120º+a xº A
a) 120º d) 80º
b) 60º e) 100º
B
a) 70º d) 50º
c) 90º
b) 80º e) 45º
c) 40º
9. Del gráfico, calcule : "xº".
13. Si "A", "B", "C" y "D" son puntos de tangencia. m AB =120º y m AE =110º. Calcule "x". !
!
A
a) 20º d) 50º
E
xº
20º
xº
b) 30º e) 70º
B
DC
c) 40º a) 50º d) 25º
b) 40º e) 20º
10. En el gráfico mostrado, "A", "B" y "C" son puntos de tangencia. Calcule : xº+yº.
c) 30º
!
!
14. En el gráfico, si: m BQ +m QD =100º, calcular "xº". ("A", "B", "Q" y "D" son puntos de tangencia).
xº 40 yº
C
C
x D
B A
a) 160º d) 140º
Q
B
b) 150º e) 170º
A
c) 180º
11. En el gráfico mostrado: AB=AP=r. Calcule: m AC . ("A": punto de tangencia). !
O
P
E
a) 95º d) 110º
b) 100º e) 115º
c) 105º
15. En el gráfico, "T" es punto de tangencia. Calcule "x". r
x T
B C
100º
P
a) 10º d) 25º
A
O
b) 20º e) 35º
12. Del gráfico, calcule "x".
a) 20º d) 40º
θ
xº α
a) 35º d) 53º
θ
α
b) 45º e) 90º
10º
c) 30º
θ
c) 60º
b) 10º e) 35º
c) 15º
Tarea domiciliaria 1. Según el gráfico: m BC=60º. Calcule el valor de "xº"
5. En el gráfico mostrado, calcule "αº", si: PA=AB y además: 2(mBQ)=3m(QC ). P
B
A
xº
E
C
Q
C A
100º
αº
B D
a) 60º d) 90º
b) 70º e) 100º
c) 80º
2. Según el gráfico, calcule la m BN, si: ABCT es un paralelogramo y CT=CD.("T" es punto de tangencia). N
B
a) 15º d) 30º
b) 50º e) 25º
c) 40º
6. Del gráfico, calcule "xº". B 2xº
C
xº
70º A
D
T
a) 70º d) 80º
b) 50º e) 65º
c) 60º
3. Si: mAB =80º, m CD =40º y m MN =50º. Calcule el valor de "xº". A
C
xº
D
a) 15º d) 30º
b) e) 35º 45º
c) 22º30'
b) 125º e) 110º
c) 120º
8. Calcule "θ".
N
B
a) d) 30º 55º
b) 20º e) 36º
7. Se tiene una circunferencia en la cual se ubican los puntos consecutivos "A", "B", "C", "D", "E" y "F", de manera que m BFAB=150º y mBBCD=90º. Calcule la mBFED. a) 100º d) 130º
M
C
A
3θ
c) 50º 2θ
4. Calcule "xº". a) 37º d) 30º
100º xº
a) 110º d) 65º
b) 55º e) 80º
c) 70º
b) 58º e) 27º
c) 45º
9. Calcule el valor de "xº", en función de " α" y "β".
13. Del gráfico, calcule "xº", siendo : "A", "B" y "C" puntos de tangencia. B 2 0º
αº
xº
βº
xº
A
40 º
C
a) d)
α-β
b) α - β
2 β-α
e)
c) β - α
b) 20º e) 60º
b) 75º e) 67º30'
14. En el gráfico mostrado, θ+β=160º. Calcule: mBBAC. A
c) 71º30' θ
β
11. Calcular: mBABO.
C
B B
A
c) 30º
β+α
2 2 10. En una semicircunferencia de diámetro AB y centro "O" se ubica el punto "M", de modo que: m AM =mMB . Se traza el cuadrado MNLP. (N en AM ) y "L" en AO. Calcule la m BOMN. a) 60º d) 63º30'
a) 10º d) 40º
C
20º O
a) 10º d) 25º
b) 20º e) 30º
c) 15º
15. En el gráfico mostrado, "T" y "B" son puntos de tangencia. Si: M TN =50º, calcule: m TL . T
D
a) 60º d) 70º
b) 50º e) 75º
c) 80º
70º
N
B
12. Si ABCD es un trapecio isósceles (BC // AD). BC=CE, BE=CD,("E" y "D" son puntos de tangencia). Calcule la mBEBC. a) 100º d) 130º
E B
L
C
b) 80º e) 150º
c) 120º
16. En el gráfico mostrado: β+γ - (θ+φ)=30º. Calcule "xº". D
A
a) 10º d) 25º
b) 15º e) 30º
xº
c) 20º
γ
β
φ
θ
a) 160º d) 145º
b) 165º e) 150º
c) 175º
17. En el gráfico mostrado, si: m BAEB+ m AB =90º. 2 Calcule "θº".
19. Si OFEM es un cuadrado, calcule m AE . A
E
F
M
O
C B
θ
A
E
a) 60º d) 30º
b) 80º e) 82º
c) 75º
18. En el gráfico mostrado, "H" y "G" son puntos de tangencia. Calcule m EF , si m AB =20º.
a) 53º d) 53º/2
b) 37º e) 30º
c) 37º/2
20. de Según el gráfico, calcule la m PB , si "T" es punto tangencia. N
M
E
T
P
70º
H 80º
A
B
A
B
a) 60º d) 80º
G
b) 90º e) 30º
F
c) 100º
a) 40º d) 60º
b) 80º e) 45º
c) 70º
Problemas resueltos 1. Del gráfico, calcule la m MN, siendo "N", "T" y "P" puntos de tangencia. TB=4 y R=5.
Resolución:
x
T
D
B
r x
T
R
N
x 2x
4
2x
Piden: "x" Se traza DT, PO. V OTD ≅ V DPO ⇒ mBTDO=mBODP=x x+2x=90º \ xº =30º.
Resolución:
T
B
P
O
A
M
P
5
L
r
S
B
O
R=5 5
4 53º
I
37º
x
S x O1
P
AT( // NL). 3. En el gráfico, calcule "x", si: aº - bº=65
N
N
53º M
A
A
Piden "x" OT ⊥ TA NOT 53º y 37º V OIP: ⇒ mBBPA=37º O1N ⊥ BA : x+53º=90º \ x=37.
x
bº
T a
L Resolución:
2. Según la figura, calcule "x", si m PL =2x. ("T", "P" y "D" son puntos de tangencia).
2bº
N
A
x
x
bº
aº
bº
D
R
aº
T
T
T L P
B
2bº
L
M
Piden: "x" j MRTS: inscrito AT // NL:mAN=m TL =2bº B exterior: bº+90º=a+x 90≡= aº - bº +x 65 \ x=25º.
aº S
4. Se tiene un rectángulo ABCD. En BC se ubica 5. En el gráfico "Q", "M", "L", "S" y "T" son puntos de el punto "E" tal que el cuadrilátero ABED sea tangencia. AQLS es un trapecio. Calcule:LS m. circunscriptible a una circunferencia de radio "2" y a la circunferencia inscrita en el triángulo. ECD tiene la longitud de su radio igual a 1. Calcule M mBEAD. Resolución:
a
B
E
b
2
c
L
Q
1
4 2
C
A
4
T
S
Resolución:
2
37
x A
M
D
a+b
Piden: "x" T. PITHOT: 4+c=2a+b...(1) T. PONCELET: c+2=b+4...(2) restando (1) y (2) 2=2a - 4 ⇒ a=3 BAE (NOT 53º y 37º) V \ x=53º.
O1
2α
Q
L α
α α
O
2α
2α
A
x
T
S
Piden "x" OT ⊥ AS, O1N ⊥ AS 2α+α=90º ⇒α=30º B central: x=2α \ x=60º.
Problemas para clase 1. Se tiene un triángulo rectángulo en el cual la diferencia entre el semiperímetro y la hipotenusa es igual a 12µ. Calcule la longitud del radio de la circunferencia inscrita en dicho triángulo. a) 9µ d) 15
b) 10 e) 18
3. En el gráfico, AB=10µ, AD=18µ, y CP=20µ. Calcule: r1+r2+r3+r4. B
C
c) 12
r2 P
2. En el gráfico, calcule BD, si: R=6 µ y r=4µ.
r4
B A D
R A
a) 8µ d) 14
a) 6µ d) 9 r C
E
b) 12 e) 9
c) 10
r3
r1
D
Q
b) 7
c) 8 e) 10
4. Una circunferencia es tangente a tres lados de un romboide cuyas alturas miden 8 µ y 10µ. Calcule la longitud de la cuerda determinada en la circunferencia por el cuarto lado. a) 6µ d) 10
b) 12 e) 8
c) 9
5. En el gráfico, BE=DP y los perímetros de los triángulos ABC y ADE miden 40µ y 24µ, respectivamente. Calcule TC.
9. En el gráfico, AC=2µ y BC=6 2 µ. Calcule x+y. A
B D
x
E
C
P
F
y A
a) 4µ
C
T
b) 5
d) 8
B
O
a) ( 2 +1)µ b) (2
c) 6 e) 9
d) 2
6. En el gráfico, BO=4 2 µ, AH=4µ, HD=5 µ, CD=7µ. Calcule BC.
2 -1)
c) (3 2 -1)
e) 3
10. En el gráfico, calcule el radio de la circunferencia menor.
B C
12 4 O A
D
H
a) 4µ d) 7
b) 5
a) 0,5µ d) 1
c) 6
b) 0,6 e) 1,2
c) 0,8
e) 8
7. Los puntos indicados son de tangencia, siendo BP=6µ y TM=2µ. Calcule "R".
11. Del gráfico, calcule la altura del triángulo equilátero ABC. B
B D
E
P
r G
N
A
R A
a) 4µ d) 8
K
Q C
T M
F
b) 5
c) 2
3
e) 3 3
8. El radio de una circunferencia y el perímetro de un triángulo rectángulo circunscrito a dicha circunferencia miden 3 y 50 cm, respectivamente. Entonces, el radio de la circunferencia circunscrita al triángulo rectángulo mide: a) 44 cm d) 12
b) 22 e) 13
C r
a) 4r d) 7
b) 5 e) 8
c) 6
12. En el gráfico, "O" es centro del cuadrado ABCD, BE // AF y R+r=8, calcule OG. C R
E
B O
c) 11
r F
a) 4 d) 4 2
D G
b) 8 e) 8 2
A
c) 16
13. En el gráfico, "I" es el incentro del triángulo ABC, BN=2AB, 3(HA)=4(RQ)=6(CT)=6(TR), "T", "L", "J", "D", "Q", "M" y "N" son puntos de tangencia. Calcule AH . HC S
14. En el gráfico, AB+BC=10, AR+RS=16. ("L", "P" y "Q" son puntos de tangencia). Calcule el inradio del triángulo ARS. R
M J
A
I
2θ C
A
a) 1/4 d) 2/7
θ
Q
S
D
C T R
H
P
O
B L
L
B
N
Q
b) 3/5 e) 3/4
c) 4/7
a) 2
b) 3
d) 1,5
e) 6
c) 3,5
15. En un trapecio rectángulo ABCD, recto en "A" y "B", se traza una semicircunferencia de centro "O" y diámetro AE en AD, es tangente en "N" y "M" a BC y CD, respectivamente. LO interseca a la semicircunferencia de "P"("L" en BN). Si LN=MD, LP=BL=1 y AD=9, calcule la m BLOD. a) 127º d) 140
b) 130 e) 14
c) 135
Tarea domiciliaria 1. Una cuerda EF de 16µ de longitud, dista 6µ del centro de la circunferencia. Calcule el diámetro de dicha circunferencia. a) 5µ d) 15
b) 9
c) 10 e) 20
a) 2 2 µ d) 4 2
2. Grafique al triángulo ABC y a la circunferencia ex-inscrita relativa a BC, que determina el punto de tangencia "Q" en la prolongación de AC. Si el perímetro de la región del triángulo ABC es de 42 µ, calcule la longitud de la diagonal del cuadrado cuyo lado es AQ . a) 24 2 µ d) 32
b) 21 2 e) 40
5. En un triángulo rectángulo ABC, los catetos AB y BC suman 34 µ, la hipotenusa mide 26µ y "O" es el centro de la circunferencia inscrita. Calcule BO.
b) 6
B
c) 21 C
c) 7 e) 10
4. En un triángulo rectángulo, calcule la longitud de su inradio, donde sus catetos miden 15µ y 20µ. a) 2µ d) 8
b) 4
c) 5 e) 10
c) 3 6
6. En el gráfico se muestra al cuadrilátero ABCD, donde BC=10µ y AB=CD+AD. Calcule la suma de los inradios de los triángulos ABC y ADC.
3. Los lados mayores de un triángulo rectángulo miden 24µ y 26µ. Calcule el diámetro de la circunferencia inscrita. a) 4µ d) 8
b) 3 5 e) 4 3
D
a) 10µ d) 5
A
b) 20 e) 7,5
c) 15u
7. Por un punto "P" exterior a una semicircunferencia de diámetro AB se trazan las tangentes PQ y PR, tal que PQ // AR. Si mBBAR=20º, calcule la mBQPR. a) 70º d) 100º
b) 80º e) 110º
c) 90º
8. En una semicircunferencia de diámetro AB 14. En el gráfico, BL+BQ=10µ. Calcule: R+r. y centro "O" se ubican los puntos "D" y "C" B Q r (D ∈ AC). Se traza CH ⊥ OB (H ∈ OB). Calcule L la mBDCH, si DB=2(CH) y mAD =40º. a) 70º d) 80º
b) 40º e) 60º
c) 75º
9. Interiormente a un cuadrado ABCD se traza una semicircunferencia con diámetro AD y por "B" se traza una tangente a ella. Calcule la medida del ángulo formado por dicha tangente con BM, siendo "M" punto medio de CD. a) 8º d) 7º30'
b) 10º e) 9º
R
a) 6µ d) 14
3xº
a) 8µ d) 15
a)
a) 30º d) 45º
b) 11 e) 19
B
b) 22º30' e) N.A.
c) 36º
(10 3 - 2)µ c) (5 3 - 6) e) (5 3- 3)
b) 3 d) 5 3
17. Si : p - a=5µ. Calcule "x" ("p" es semiperímetro de la región del triángulo ABC).
11. Del gráfico, mBPRQ=140º. Calcule "xº". Q
B
C
xº P
c) 13
16. Las circunferencias inscrita y ex-inscrita a un triángulo ABC determinan sobre el lado AC los puntos "P" y "Q", respectivamente. BC - AB=(5 3 - 6)µ. Calcule PQ.
Q
A
c) 10 e) 12
"B", tomando como diámetroAB se construye una circunferencia que es tangente CD a en "M". Calcule CD, si el radio de la circunferencia mide 6µ y el perímetro de la región del trapecio esµ38 .
10. Del gráfico, "A", "B", "P" y "Q" son puntos de tangencia. Calcule "xº".
P
b) 8
15. En un trapecio rectángulo ABCD, recto en "A" y
c) 10º30'
xº
C
A
C
a O
R
x A
A
B
a) 40º d) 60º
b) 50º e) 35º
D
a) 2,5µ d) 10
c) 70º
b) 5
c) 7 e) 8
18. En el gráfico, "M", "N", "P" y "Q" son puntos de 12. Las circunferencias ex-inscritas a los catetos de un triángulo tienen radios que miden 6 µ y 8u. Calcule la longitud de la hipotenusa del triángulo. a) 10µ d) 18
b) 12 e) 25
tangencia y ABCD es un cuadrado. Calcule la mBCPO. B N
c) 14
b) 2
c) 3 e) 5
C
O
Q
13. Se tiene un cuadrilátero ABCD circunscrito a una circunferencia, tal que: CD=5 µ, mBA=37º y m B B=90º. Si AD+BC=21 µ . Calcule la medida del radio de la circunferencia. a) 1µ d) 4
M
P
A
a) 37º d) 60º
D
b) 53º e) 45º
c) 30º
19. En el gráfico mostrado: AD=BC, AB=PC y AC=a. Calcule AP.
20. Si r1=3µ y r2=5µ, calcule BC. B
C
C r1 O
P
B
r2 r D
A A
a) a+r d) a - 3r
b) 2(a+r) c) a - 2r e) 2/3 (a+3r)
D
a) 6µ d) 7
b) 10 e) 8
c) 4
Problemas resueltos 1. En el gráfico, "I" es el incentro del ∆ABC, "I" es punto de tangencia. Calcule "x".
Por propiedad del excentro: m BAEC=45º Por propiedad del incentro: mBAIC=135º
B V ALC:
θ
⇒ mBLAC= 37
I
2
\x=53º.
x A
C
E
O
NOT ` 37 y 143 j 2 2
Resolución:
3. En un triángulo ABC, dos de sus medianas son perpendiculares y miden "a" y "b". Calcule la longitud de la tercera mediana.
B
Resolución:
θ
B x I
3
θ/2
θ
A
/2
x
θ/2
x
A
Si: AI=IE, calcule mBACB. B E K 45º
K /2 7º 13
A
137º/2
2
` 23x j = c 23b m +` 23a j 2
2
4x 2 = 4b 2 + 4c 2 3 3 3
Resolución:
K
L
45º
C
N
Piden: CD=x Sea AM=a y NM=b Por prop. AG= 2a 3 T. de Pitágoras: VAGB
2. En un triángulo rectángulo ABC, recto en "B", de incentro "I" y excentro "E" relativo a BC.
I
2x 3
b/3
C
Piden "x" Por propiedad D: mBAIC=90º+θ/2 Bsemi-inscrito m IE =θ AI: bisectriz: ⇒ mBBAI=θ/2 \ x=90º - θ.
M
a/3
G
2a 3
x 3
E
O
2b 3
x 3
P
K
135º x C
\ x=b
2
2
+c .
4. En el gráfico mostrado, "H" es el ortocentro y 5. Del gráfico, calcule: "x". BC=MC. "O" el circuncentro del ∆ABC, calcular: γ"", B si: θ+α=38º. B γ
M O
H
A θ
α
A
3x 3x
2x x
C
Resolución:
C
B
Resolución:
D
β β β
B M
γ
x x
φ
H
O
φ
A φ α φ
+
α θ
A
C
Por prop. del ortocentro y circuncentro mBHCA=mBOCB=φ mBBAH=mBHCB=φ α+θ + = + ⇒ α+θ=γ \ x=38º.
3x 3x
x
2x C
Se traza la bisectriz CD Bisectriz del BBCM. ∆BDC ≅ ∆MDC: mBBDC=mBCDM M: incentro del ∆ADC ⇒ B=60º ⇒ 6x+2β+2x=180º 8x=60º \x= 15º .
2
Problemas para clase 1. Dar el valor de verdad de las siguientes proposiciones : • El circuncentro de un triángulo equidista de sus vértices. • El ortocentro de un triángulo equidista de los lados de dicho triángulo. • En el triángulo equilátero el baricentro, el ortocentro, el circuncentro y el incentro son el mismo punto. a) VFF d) VVV
b) VFV e) FFV
c) FVF
2. En un triángulo acutángulo ABC, mBB - mBC=40º. Siendo "I" el incentro y "O" el circuncentro de dicho triángulo, calcule la mBIAO. a) 10º d) 30º
b) 15º e) 20º
3. Dado el triángulo ABC escaleno, m BB=120º, si su incentro es "I" y su excentro relativo a BC es "E". Calcule IE, si: IC=3µ. a) 3 µ d) 2 3
b) 6 e) 3 3
c) 4,5
4. La suma de las medidas de dos ángulos exteriores de un triángulo es 270º. Si el lado mayor mide 36µ, calcule la distancia del ortocentro al baricentro de dicho triángulo. a) 15µ b) 12 c) 9 d) 18 e) 6 5. Calcule : "xº" xº
c) 25º
120º αº
βº
αº
a) 22,5º d) 37º
βº
b) 26,5º e) 40º
c) 30º
6. Dado un triángulo rectángulo ABC, se traza la altura BH, siendo "I1" e "I2" los incentros de los triángulos ABH y HBC. Se traza BM ⊥ I1, I2 . Calcule: BM .(M ∈ I1I2) BH a)
3
b)
3 2
d)
2 2
e)
2 4
c)
2
12. En un triángulo acutángulo ABC; m BB=20º, "O" es el circuncentro, las mediatrices de OA y OC intersecan a AB y BC en "F" y "L", respectivamente. Calcule : mBFOL. a) 20º d) 60º
b) 30º e) 80º
c) 40º
13. En un cuadrilátero ABCD; mBBAC=mBCAD =8º, mBBCA=13º, 7. Del gráfco, "I1" e "I2" son los incentros de los mBACD=69º. Calcule la medida del mayor triángulos ABH y HBC. Calcule:"xº", si: ángulo formado por las diagonales. mBA=50º. a) 150º b) 145º c) 146º d) 148º
B
14. Del gráfico, "O" es circuncentro del triángulo APC y OB = CB. Calcule "x".
xº
I2
I1 A
B
b) 80º e) 60º
c) 85º
8. En un triángulo rectángulo ABC (recto en "B"), de incentro "I" y circuncentro "M", la m BAIM=90º. Calcule la mBAIB. a) 90º d) 112,5º
b) 115º e) 108,5º
c) 120º
9. Grafique al triángulo ABC de incentro "I". En AC se marca "E" y con diámetro EC se traza la semicircunferencia tangente en "I" a AI. Calcule la mBBAI, sabiendo que el BABC mide 70°. a) 40º d) 70º
xx
C
H
a) 75º d) 90º
e) 158º
b) 20º e) 25º
P A
b) 95º
O
a) 10º
b) 12º
d) 9º
e) 8º
B
θ
I
O
x C
A
a) 30º d) 45º
θ
C
c) 18º
b) 36º e) 53º
c) 37º
16. En un triángulo ABC, con diámetro AC, se traza una semicircunferencia que contiene al baricentro "G" de la región ABC. Si: AG=2 5 µ y m AG =53º, Calcule BC. a) 5 17 µ c) 4 34 e) 34
H
b) 15º e) 32º
I
c) 25º
B
A
c) 15º
15. En el gráfico, "I" y "O" son incentro y ortocentro del triángulo ABC, respectivamente. Calcule "x".
c) 30º
d) 75º e) 90º 11. Calcule "θ", si: "I" es incentro y "H" es ortocentro del triángulo ABC.
a) 10º d) 24º
C
10º
10. Grafique al cuadrilátero convexo ABCD, de modo que: mBABD=70°, mBDBC=55°, mBADB=mBBDC=60°. Calcule la medida del menor ángulo que forman las diagonales del cuadrilátero ABC. a) 85º
20º
b) 2 85 d) 2 34
Tarea domiciliaria 1. Dado un triángulo, ¿cuántos puntos existen en el plano que equidisten de las rectas que contienen a sus lados? a) 1 d) 4
b) 2 e) Infinitos
c) 3
2. En un triángulo ABC de baricentro "G", siendo: BG=AC. Calcule la m BAGC. a) 90º
b) 45º
d) 75º
e) 120º
c) 60º
8. Se tiene un cuadrado ABCD, en BD y en la prolongación de DA se ubican los puntos "E" y "F", respectivamente, de modo que BEFG sea un rectángulo y AB ∩ EF={P}. Si: mBBGE=20º, calcule la mBPDA. a) 100º d) 30º
b) 25º e) 10º
9. Del gráfico, calcule "xº". B º 0 2
3. Calcule la distancia del baricentro al ortocentro de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide 12µ. a) 2µ d) 6
b) 3
c) 4
10º
e) 8 A
4. En un triángulo acutángulo ABC, se traza la ceviana interior BP, siendo "K" circuncentro del triángulo ABP y "O" circuncentro del triángulo PBC. Calcule la m BKPO, siendo además: mBABC= 70º. a) 40º d) 70º
b) 50º e) 110º
a) 10º d) 30º
10º 20º
x
b) 15º e) 25º
C
c) 20º
10. Del gráfico, calcule "xº". B
c) 60º
48º 66º
5. En un triángulo ABC de circuncentro "K" y excentro relativo a BC "E". Calcule la mBA, siendo: mBBKC=2(mBBEC). a) 30º d) 90º
c) 20º
b) 60º e) 75º
xº
A
C 56º 68º
c) 45º
6. En el gráfico, "G" es baricentro del triángulo ABC, si: DC=4µ. Calcule: AM. B
D
a) 44º d) 80º
b) 84º e) 78º
c) 72º
11. Según el gráfico, calcule el valor de " θ". "E" es excentro del triángulo ABC.
R
E M
G
B C
A D
a) 4µ d) 7
b) 5
θ
c) 6 A
e) 8
7. En un paralelogramo ABCD, la mediana AM del triángulo ABC, intersecta en "F" a BD . Si: BD=12µ. Calcule BF. a) 2µ d) 8
b) 4
c) 6 e) 10
a) 18º d) 45º
O
b) 15º e) 60º
C
c) 30º
12. En un romboide ABCD, se ubica el punto "E" en AD, "C" es el excentro del triángulo ABD y mBBEA = 80º. Calcule la m BABE. a) 20º d) 50º
b) 30º e) 60º
c) 40º
13. En un cuadrilátero ABCD, calcule la m BADB, si: mBBAC=40º, mBBCA=24º, mBDBC=52º, mBBDC = 80º. a) 40º d) 25º
b) 50º e) 30º
c) 60º
14. En un triángulo ABC de circuncentro "O" se traza la ceviana interior BL, de modo que: BC=LC, mBABL=20º y "O" ∈ BL. Calcule la m BLBC. a) 20º d) 60º
b) 45º e) 65º
c) 55º
15. En el gráfico, "C", "D" y "E" son puntos de tangencia. ¿Qué punto notable es "P" para el triángulo ABO?
17. Se tiene un triángulo ABC, en donde "H" es el ortocentro, "O" el circuncentro; si: mBAHC=2(mAOC). Calcule la m BABC. a) 36º d) 45º
b) 40º e) 39º
c) 50º
18. Sobre los lados AB, BC y AC de un triángulo acutángulo ABC, se construyen exteriormente los cuadrados con centros "M", "N" y "P", respectivamente; BP y CM se intersectan en "O". ¿Qué punto notable es "O" para el triángulo MNP? a) Circuncentro c) Baricentro e) N.A.
b) Incentro d) Ortocentro
19. En un triángulo rectángulo ABC recto en "B", la mBBAC=53º y AC = 10µ. Calcule el exradio relativo a la hipotenusa del triángulo ABC. a) 10µ d) 13
b) 11 e) 14
c) 12
20. Calcule "x", si: "H" y "O" son el ortocentro y circuncentro del ∆ABC.
C A
B O
P
E
θº θº 20º
F
a)
B
D
H
Baricentro b) Incentro c) Ortocentro d) Circuncentro e) Un punto cualquiera
16. En un triángulo ABC, la mBABC=53º, se trazan las alturas AD y CF. Si el circunradio de dicho triángulo es 25 cm, calcule DF. a) 16 cm d) 20
b) 18 e) 15
x
A
a) 70º d) 80º
c) 24
O C
b) 60º e) 40º
c) 50º
Problemas resueltos 1. En un triángulo ABC, acutángulo, de ortocentro "O", la recta de Euler corta en el punto "F" al AC. Calcule: mBFDC, si AF=2FC=2OB ("D" es circuncentro). Resolución:
B
tgα=
n = 3a a 2m + n
O
⇒ D
(1)
3k
45º
E
K
37º/2
C
F
4k
3a 2 =1 N 2m + n
^
(2)
h
De (1) y (2) \tgα tgβ=3.
2k
Por el dato: AF=4k FC=2k OB=2k Por propiedad del ortocentro y circuncentro DE=k AE=EC=3k
3. En un triángulo ABC, la mBABC=x. Si la recta de Euler corta a los lados AB y BC en "F" y "G", respectivamente, y el cuadrilátero AHOC es inscriptible, calcule x (H: ortocentro y O: circuncentro). Resolución:
x+ 37º =45º 2 \ x= 53º . 2
B x
2. En un triángulo ABC, la recta de Euler es paralela a AC mBBAC=α, mBACB=β. Calcule: tgα . tgβ Resolución:
F A
B 2a O H a
a
α
Q m+n
⇒ (2m+n)=3a2
x
K
A
hE
;^
V BQC: ∼ V AQH
2k
A
3a 2m + n 3a V BQC: tgβ= n 3a 2 tgα tgβ=3 2m + n n V ABQ:
m
β
n
C
H
O
G
C
Piden: x Sea H: ortocentro y O: circuncentro : AHOC: inscriptible mBAHC=mBAOC por propiedad mBAMC=180º - x mBAOC=2x 180º - x=2x \ x=60º.
4. Se tiene el triángulo ABC de ortocentro "H". "M" 5. Si la medida de un ángulo del ∆ABC es 40º, y "R" son puntos medios de AB y BC. Si BM=8, calcule un ángulo de su triángulo tangencial. calcule la distancia del circuncentro del triángulo Resolución: mediano de ∆ABC hacia MR. B
Resolución:
B
P
M x 8
M
2x
R
x
H
O1
O
40º
A
Q
4
C
α
A
∆MPQ: triángulo tangencial del ∆ ABC Inscrito mPQ=2x 2x+40º=180º \ x=70º.
C
N
Piden: x Por propiedad O1N= BH 2 ⇒ O1N=4 (O1: circuncentro del ∆ABC) O1: ortocentro del ∆MNR \ x=2.
Problemas para clase 1. En un triángulo ABC, de circuncentro "O", ¿qué punto notable es "O" de su triángulo mediano? a)
Baricentro c) Incentro e) Circuncentro
b) Excentro d) Ortocentro
2. Dé el valor de verdad de las siguientes proposiciones: • En todo triángulo se determina su triángulo pedal. • En el triángulo acutángulo, el incentro es el ortocentro de su triángulo pedal. • Si la recta de Euler pasa por un vértice del triángulo, dicho triángulo debe tener por lo menos dos lados de igual longitud. a) VVF c) FVV
b) FFV e) VFF
5. En el gráfico, "H" y "O" son el ortocentro y circuncentro del triángulo ABC y BO // QP.
c) FVF
Calcule "xº".
Q
b) 50º e) 90º
b) 12 e) 4
O C
P
a) 53º d) 36º
b) 37º e) 60º
c) 45º
6. En el gráfico, calcule "θº", si " L " es la recta de Euler. L 2θº θº
c) 60º
4. En un triángulo escaleno ABC, la recta de Euler corta a los lados AB y BC en "M"y "N", respectivamente. Si mBB=60º y BN=4µ, calcule: MN. a) 8 d) 4 3
H x
A
3. En un triángulo ABC, mBABC=120º (AB
B
c) 8 3
a) 53º d) 75º
b) 45º e) 60º
c) 37º
7. En el gráfico: "H" es el ortocentro del triángulo 11. ¿Qué punto notable es el vértice de un ángulo obtuso de un triángulo obtusángulo para su ABC, "O" es el circuncentro y HB = 6 . Calcule respectivo triángulo pedal? OB 5 la suma de los ángulos HCO y OBC. a) Baricentro b) Circuncentro B c) Incentro d) Ortocentro e) Punto de Gergonne 12. Se tiene el triángulo ABC, de ortocentro "H" y circuncentro "O". Se ubica "M" y "N" en AC tal que MHON es un cuadraro. Calcule BH . AC
O H A
C
a) 53º 30º d)
b) 60º 37º e)
c) 45º
a) d) 50º 120º
b) e) 60º 130º
c) 100º
a) 1/3 d) 1/2
b) 1/4 e) 4/5
c) 2/3
13. Se tiene un triángulo ABC, inscrito en una circunferencia de centro "O". Se traza el diámetro 8. Sea ABC un triángulo acutángulo de ortocentro AD, si "H" es el ortocentro del triángulo. Calcule "H" y circuncentro "O". Si OB=HB, calcule la la distancia de "O" al lado AB, sabiendo que mBABC. el perímetro del cuadrilátero HBDC es 30 y la a) 30º b) 45º c) 53º distancia de "O" al lado AC es 4µ. d) 60º e) 75º a) 2µ b) 3 c) 4 d) 3,5 e) 7,5 9. Dado el triángulo acutángulo ABC, el BA mide 80° y sea E 1E2E3 su respectivo triángulo 14. En un triángulo acutángulo ABC de ortocentro excentral (E1 relativo a AB y E2 relativo a "H", la recta de Euler interseca a los lados AB y BC). Calcule la suma de los ángulos E2E1E3 y BC en los puntos "P" y "Q", respectivamente, tal E1E3E2. que: PB=BQ. Calcule la distancia de "P" a BC. Si: AH+HC=18. a) 9 b) 10 d) 4,5 e) 3
c) 6
10. En un triángulo ABC, se trazan las alturas AM, BH y CN; desde "M" se trazan las perpendiculares 15. Dado el triángulo acutángulo ABC, se traza la MP y MQ a los lados AB y AC, respectivamente. altura BH, y las perpendiculares HP y HQ a los Si PQ = 12, calcule el perímetro del triángulo lados AB y BC, respectivamente. Demuestre órtico MHN. que el semiperímetro del triángulo órtico pedal a) 8µ b) 12 c) 16 es igual a la longitud del segmento PQ. d) 20 e) 24
Tarea domiciliaria 1. En un triángulo ABC de circuncentro "O" y8. En un triángulo acutángulo ABC de ortocentro ortocentro "H", AC=24 µ y OB=13µ. Calcule BH. "H" y circuncentro "O", la recta de Euler intersecta a AC en "F", de modo que: AF=2(FC)=2(HB). a) 5µ b) 7 c) 8 Calcule la mBHOC. d) 10 e) 12 2. En un cuadrilátero ABCD inscrito a una circunferencia; los puntos "F" y "G" son ortocentros de los triángulos ABD y ACD. Calcule FG, si BC=4µ. a) 1µ d) 4
b) 2
e) 5
c) 3
3. En un triángulo acutángulo ABC: AC=4(BH). Calcule la mBABC, si "H" es ortocentro del triángulo ABC. a) 45º d) 76º
b) 60º e) 75º
c) 63º30'
4. En un triángulo acutángulo ABC de ortocentro "H", se cumple que: BH=10 µ y AC=24µ. Calcule la longitud del segmento que une los puntos medios de BH y AC. a) 12,5µ d) 15
b) 13 e) 14
c) 12
b) 37º e) 72º
b) 130º e) 135º
c) 118º30'
9. Analice las siguientes proposiciones : • El circuncentro de un triángulo coincide con el ortocentro ortocentro de de un su triángulo • El triángulo mediano. coincide siempre con el incentro de su triángulo órtico. • El vértice de un triángulo puede coincidir con el incentro de su triángulo pedal. a) VFV d) FVV
b) VVV e) VFF
c) FFV
10. En un triángulo acutángulo ABC, la distancia del ortocentro H a B es 4µ, la distancia del punto medio de HO a AC es 5 µ ("O" es el circuncentro del triángulo ABC); en dicho triángulo se traza la altura AM, si mBBHM=37º, calcule AC. a) 18µ
b) 20
d) 21
5. En un triángulo acutángulo ABC de ortocentro "H" y circuncentro "K", calcule la m BABC, siendo: BH=BK. a) 30º d) 60º
a) 118º d) 126º30'
c) 19
e) 22
11. Del gráfico, calcule "xº". B
C
60º
c) 83º xº
6. Analice las siguientes proposiciones: • El ortocentro, baricentro y circuncentro, en ese orden, pertenecen a la recta deEuler. • En un triángulo obtusángulo, el ortocentro se encuentra en el vértice del ángulo obtuso. • En un triángulo, el ortocentro puede coincidir
20º A
a) 18º d) 45º
40º 30º
D
b) 15º e) 60º
c) 80º
con uno de los excentros de su triángulo pedal. 12. En un triángulo ABC, mBABC=120º. Calcule la medida del mayor ángulo formado por la recta a) FVF b) FFF c) VFV de Euler y el lado BC. d) FFV e) VFF a) 130º b) 145º c) 160º d) 175º e) 120º 7. En un triángulo ABC, mBABC=60º. Calcule la medida del menor ángulo determinado por BC y la recta que contiene al ortocentro y al 13. Calcule la medida de un ángulo interior de un triángulo, si se sabe que es igual a la medida circuncentro de dicho triángulo. del ángulo interior opuesto de su triángulo a) 25º b) 45º c) 55º tangencial. d) 60º e) 30º a) 30º b) 45º c) 36º d) 60º e) 54º
14. En un triángulo rectángulo ABC, recto en "B", se traza la altura BH. "M" y "N" son los incentros de los triángulos ABH y HBC. Se traza la perpendicular BR a MN. Si m BBAC=50º, calcule la BRBH.(RE MN) a) 5º d) 20º
b) 10º e) 25º
c) 15º
15. Grafique el triángulo acutángulo ABC de circuncentro "O". Si la m BA=70º, calcule la mBOBC. a) 18º
b) 20º
d) 37º
e) 35º
c) 15º
b) 6
b) 3/5 e) 1
c) 2/3
19. Calcule la distancia del circuncentro de un triángulo acutángulo ABC hacia la altura BF, sabiendo que su circunradio mide 12µ y mBA - mBC=30º. a) 4µ
b) 6
c) 8 e) 10
20. En el gráfico mostrado, QR // PS. Calcule "αº". Q
2αº
R
c) 8 e) 12
4αº
17. En un triángulo ABC, se sabe que: mBAHC=mBAKC. Calcule la mBAIC, siendo: "H", "K" e "I" el ortocentro, circuncentro e incentro, respectivamente. a) 100º d) 120º
a) 1/2 d) 1/3
d) 9
16. En un triángulo acutángulo ABC, se trazan las alturas, cortándose en "O". Si la distancia entre los circuncentros de los triángulos ABC y AOC es 8µ, calcule: OB. a) 4µ d) 10
18. En un triángulo obtusángulo, la distancia del ortocentro al baricentro mide (a+b) y la distancia del circuncentro al ortocentro mide (2a). Calcule (b/a).
b) 80º e) 135º
c) 60º
P
a) 15º d) 10º
αº
4αº
S
b) 18º e) 12º
c) 5º
Problemas resueltos 1. Del gráfico, MNPQ es un cuadrado AB // NP y
Resolución:
MP=4(PB). Calcule QC RQ
B a
A
D M
N B
2 R x 2
a
P M
A
α α
C
P
H
4
C
Q
R
α
BD = AH DC HC
DH // AB Resolución:
Aplicando T. Ceva. (AM)(BD)(HC)=(AH)(DC)(BM) ⇒ AM=MB DH // AB ⇒ HR=RD T. Mediana relativa a la hipotenusa \x=2.
A N
2m
M
45º 2m
B
45º P
3. En el gráfico mostrado, MN=6, PC=8. Calcule AC. D
R x Q
x
B
C
Piden x y MP=4 m, PB=PB=m Complementando la semicircunferencia "D", "M" y "B" son colinelaes porque mDA=90º mBDBC=90º : RMBC: T. THALES x = 2m [ \ x= x = 2 . y 3m y 3 [
A
M
N
C
P
Resolución:
B c
2. En el gráfico mostrado AB // HD, AH=4.CalculeRP.
a
B
2c b
D M A R A
α α
H
P
C
n
M
6
N
e=4 x
P
C 8
Piden: "x" T. Thales
a=e b 8 a= 6 b e+8
⇒ e=8
T. Thales: T. Thales:
12 = a + b 6 c 3c = x 2c 18
⇒ 2c=a+b
5. En el gráfico, BM=MC. AL = 5 . Calcule BL . LM 3 LN B
αα
\ x=27º. M
4. En el gráfico, ME=3, EC=5. Calcule BE. L
E θ
A
r
A
C
N
B Resolución:
B
M
αα
θθ
3m 5m
C
3k
Resolución:
5k
E r
A θx
r
A
B
5
3-x
5n
M 3m
L y N
6n
C
x Piden: y T. Bisectriz interna AB=5 m BM=3 m T. Bisectriz interna AB=5 n NC=6 n ∆BNC: T. Menelao ⇒ MC=4
M 4 C
Piden: "x" AM=AL ⇒ mAM=mAL ⇒BInscrito: mBACL=θ V MEC: NOT 53º y 37º ⇒ MC=4 T. Bisectriz interna 5 = x 4 3- x \ x= 5 . 3
[ x 5n [=3m [ y 11n [ 3m \ x = 11 y 5
Problemas para clase 1. Grafique al triángulo ABC, de modo que: AB=9 dm, 3. Sea ABC un triángulo, AI una bisectriz interior, BC=12 dm y AC=14 dm. Trace la bisectriz interior y trace IF paralela a AC (F∈FB). Si FB=4 dm y BI y la mediana BM. Calcule el valor de MI. FI=5 dm, calcule el valor de AC. a) 0,5 dm d) 2,5
b) 1 e) 3
c) 2
2. Sea ABC un triángulo cuyo lado AC mida 8 dm. Trace la mediana AF y la ceviana CE, de modo que la prolongación de EF corte a la prolongación de AC en "H". Calcule el valor de HC, si AE=6 dm y EB=4 dm. a) 10 dm d) 16
b) 12 e) 18
c) 14
a) 10,20 dm d) 13,25
b) 11,25 e) 14,25
c) 12,25
4. Dado el triángulo ABC, marque "H" enAB, "E" y "F" en BC, de modo que: F∈EC, HE // AF, HF // AC, EB=7 dm y EF=9 dm. Calcule CF. a) 18,23 dm d) 21,22
b) 19,75 e) 23
c) 20,57
5. En un triángulo ABC, los ángulos BAC y ACB miden 11. Grafique al pentágono ABCDE de modo que 73° y 39°, en ese orden. Calcule la distancia del ABDE sea un cuadrado y que el ángulo ECD mida 45°. Las diagonales AC y CE cortan a BD incentro al vértice "B", en función de los lados. en los puntos "P" y "Q", respectivamente. Si a+b b b+c b a+c c BP y QD miden 5 dm y 12 dm, en ese orden, a) b) c) a+b+c a+b+c a+b+c calcule el valor de PD. a+c a a+b a d) e) a) 12 dm b) 13 c) 14 a+b+c a+b+c d) 15 e) 16 6. En un triángulo ABC, AB=3µ, BC=12µ. Calcule 12. En el gráfico : EF = 3 , FG = 1. Calcule GH, si la medida de la bisectriz interior, si m BB=120º. "T" es punto de tangencia. a) 2µ b) 2,4 c) 4 d) 5 e) 6
^ ^
h h
^ ^
h h
^
h
T
7. Se tiene un triángulo rectángulo ABC, recto en B; si en AB se ubican los puntos "P" y "Q", tal que : mBACP=mBPCQ=mBQCB; AP=a y PQ=b. Calcule QB. a)
^
h
a a+b 2b
d) b (2a+b) a
b)
^
h
^
h
2a a + b b
c) b (a+b) a
b a+b e) 2a
8. En el gráfico, L1//L2//L3//L4. Calcule: x+y+z+w. L1 5
y
x2 - 1
3z+y
3y+1
3z
4y w2+5w 4z+16
L2 L3 L4
a) 1 d) 0,5
b) 12 e) 20
a) 37º d) 60
b) 53 e) 75
c) 45
10. Grafique la semicircunferencia de diámetro AB y en la prolongación de AB marque "P". Luego trace la secante PSQ, las cuerdas AS y QB que se cortan en "E". La perpendicular trazada a AB por "E", corta a SQ en "F", si : QF=5 dm y SF=2 dm. Calcule SP. a) 3 dm d) 5,44
b) 4 e) 6,66
c) 3
13. Se tiene un triángulo ABC inscrito en una circunferencia; se trazan las cevianas interiores AM y AN, paralelas a las tangentes trazadas a la circunferencia por "B" y "C", si AB=K y AC=P. Calcule: BM / NC. 2
2
a) K P2 d) K P
b) K P2 e) 2K P
c) K P
14. En el gráfico, AB=CD=3 y BM=2. Calcule MD. θ
α+θ
c) 13
9. En un triángulo ABC, se traza la bisectriz exterior BT, "T" en la prolongación de AC. Si BT=10 y las alturas AH y CR del triángulo ABC miden 8 y 4, respectivamente, calcule m BTBC.
H
G
b) 2 e) 2,5
B
a) 10 d) 15
F
E
C b
M α
a+b
a
A
D
a) 1 d) 2
b) 2 e) 3
c) 3
15. En el gráfico, BC // AD. Calcule PD, si MP=6 y AN=2(NC). B
C N
M P
c) 4,66 A
a) 8 d) 12
D
b) 9 e) 18
c) 10
Tarea domiciliaria 1. Dado un triángulo ABC, se traza la bisectriz BF (F en AC) y luego se traza la ceviana AM (M en BC), la cual intersecta en su punto medio a BF. Si BM=4µ y CM=12µ, calcule AB. a) 4µ d) 10
b) 6
6. Del gráfico, BP = 5(AP) , BQ = 3(QC); AM=MD y NC=20µ. Calcule DN. B
c) 8 e) 12
D P
2. En un triángulo ABC, si m BB=120º, AB=5 µ y BC=15 µ. Se traza la bisectriz interior BE. Calcule BE. a) 11/4 d) 17/4
b) 17/8 e) 19/6
c) 15/4
Q M
N C
A
a) 8µ d) 12
b) 9
c) 10 e) 15
7. Del gráfico, AH=7µ y HB=2µ. Calcule BC.
3. En el gráfico, calcule "xº". 6
x
9 α
A
α
a) 2,8µ d) 4
12
a) 10µ d) 6
b) 7
H
c) 4 e) 8
4. En el gráfico mostrado, si los radios de las semicircunferencias miden µ3 y 4µ, respectivamente, calcule TD. (T: punto de tangencia).
b) 3,6 e) 5
B
I θ
T
B
A
c) 3,6
a) 1,5µ d) 3
G
θ
A
b) 2,8 e) 2,4
c) 4,8
8. Del gráfico, calcule "IG", siendo I: incentro, G: baricentro y BI=6µ. (AM = MC).
D
a) 3 d) 4
C
B
C
M
b) 2
c) 2,5 e) 4
9. Del gráfico, L1//L2, L3//L4. Calcule la relación µ2 2 5. En el gráfico mostrado, I→ incentro del triángulo entre AB y PQ, siendo (BC)(CD)=36 (QR)(RS)=12µ . ABC. Además: AB=5µ; BC=7µ; AC=6µ y EM // BD. Calcule AM. A
B
P
B C
E I A
a) 13/12 d) 15/13
M
D D
b) 15/11 e) 13/7
L1
Q
L2
R
L3
S
L4
C
c) 15/17
a) 2µ d) 3
b)
2 e)
c) 3 5
10. En un triángulo ABC; m BABC=120º, AB=4µ y BC=6µ. Calcule la longitud del segmento bisectriz interior, trazada desde el vértice "B". a) 5µ d) 2,8
b) 4,2 e) 2
17. En la figura, calcule CD, si BD=7, AB=BC, PB=4PH. B
c) 2,4 D
11. En un cuadrilátero ABCD, las prolongaciones de BC y AD se intersecan en E. Calcule DE, si AB=3µ; CD=2µ y AD=4µ. Además: mBABC=mBBCD. a) 13µ/3 d) 16/3
b) 4/3 e) 8/3
c) 5/3
12. En un triángulo ABC, se traza la bisectriz exterior del ángulo de vértice "B" que interseca a la prolongación de AC en "F". Luego, se ubica el punto "D" en AB, tal que: DF corta a BC en "E". Si AD=2µ, BD=4µ y BE=3µ, calcule EC. a) 0,5µ d) 2
b) 1
P
A
α α
a) 2,5 d) 2,8
b) 3,5 e) 3,8
O B
e) 2,5
a) 20µ
b) 16
c) 40
A
a) 5 d) 9
b) 5
c) 10 e) 11
15. En un triángulo ABC (AB=BC), la bisectriz interior AF intersecta a la altura BH en "E". Si AE=6µ, EF=4µ y BE=12µ, calcule HE. b) 4
H
C
b) 8 e) 7
D
c) 6
19. En la figura, calcule "x", si AB=1 y BC=3.
d) 25 e) 31 14. En un triángulo ABC, por el punto medio de AB se traza una recta perpendicular a la bisectriz interna BD; dicha recta intersecta a BC en "Q". Calcule QC, si AB=6µ, AD=5µ y DC=QC.
a) 3µ d) 3,5
c) 3
18. En la circunferencia de centro "O", calcule AB, si BC=3, AH=HC=CD.
c) 1,5
13. En un paralelogramo ABCD, en la prolongación de AB se ubica el punto "E", ED intersecta a BC y AC en "M" y "N", respectivamente. Calcule ED, si MN=9µ y ND=15µ.
a) 6µ d) 15
C
H
45º 45º x C
B
A
a) 37º d) 15º
b) 53º e) 8º
c) 45º
20. En el gráfico, calcule FC, si BF=8 y AM=MC. B
c) 5 e) 4,5
F
16. En el gráfico mostrado, calcule AB, si EB // AF, CD=a, BC=b (D: punto de tangencia). α
D E C
A F
a) 16 d) 14
B A
a) b (a - b) a
b)
ab a+b
d) b a + b a
e)
ab
c) b (a+b) a
α
C
M
b) 8 e) 10
c) 12
Problemas resueltos 1. En el gráfico: "P" y "Q" son puntos de tangencia, calcule PT, si AM=9, BN=16.
Resolución:
B α θ
N
b Q
a α α
A
M O
A
B
P
T
N
n M 9 A
16 20
15
O
α α
P
B
θ
90º
B
T
Piden x Por Pro.: mAT=mTB n =9 V ANQ ∼ V QNB: 16 n Por Prop. l= 15.20 2 15 + 20
α
3k
⇒ n=12 ⇒ l= 60 2 7
P
(3k)2=4k(4k - 7) 2. En el gráfico mostrado AM=a, BM=b. Calcule: TQ. ⇒ k=4 B \ x=9. Q
T α α
M C
8 6 α
x A 4k
Piden: ∆APB x∼ ∆PBC PB = 3 PC 4 Por Prop.
∆ AQP ∼ ∆ QTB 15 = l l + x 20 \x= 125 2 . 14
A
C
Resolución:
x 90º
T M
3. Se tiene un triángulo ABC inscrito en una circunferencia: AB=6, BC=8, AC=7. Por "B" se traza la tangente a dicha circunferencia que interseca a la prolongación de CA en "P". Calcule: PA.
n
α
Q
x
Piden: x mBQBC=mBQAC ∆ ABM ∼ ∆ BTQ b=a x b 2 \x= b . a
Resolución:
Q
θ
b
7
C
4. En el gráfico: 3(AB)=2(EB). DE=18. Calcule AC 5. En un triángulo rectángulo ABC, donde "I" es (BC=BD). incentro, si (AI)(IC)=400. AC=40. Calcule BI. B
B
T
45º 45º
θ x
x
2 2
a θ
A
D
C
E
B
3k
2k
A
a
α
θ
x
45 b
x
2 2
α
M
C
40
Piden: x
α θ
a
2 2
135
α
A
Resolución:
b
I
D
C
e
18
E
Del dato AB=400 Por Prop. del incentro mBAIC=90º+ 90º =135º 2 IN= x 2 2 V AIM ∼ V ACT
x 2 [ 2 = a 40 b 2 [ 2 x= ab = 400 40 40
Piden: x Del dato AB=2k EB=3k Por Prop. (2k)2=l . x (3k)2 = l . 18 ⇒ 4 = x 9 18 \ x=8.
⇒ x= a
b
40
\ x=10.
Problemas para clase 1. En un pentágono ABCDE, se sabe que: 3. A, B y C son puntos de tangencia. Si los radios mBCDE=mBCBE=mBCAE=90°, miden "a" y "b", calcule la distancia de "C" a la BC=CD=20 dm, AC=50 dm y BD ∩ AC={Q}. tangente común AB. Calcule el valor de QC. a) 4 dm d) 12
b) 6 e) 14
B
2. En una circunferencia de centro "O" se encuentra inscrito un triángulo ABC. Sea "P" punto medio de AB y trace desde "P" perpendiculares a los radios OB y OA que cortan en "M" y "N" a los lados BC y AC, respectivamente. Si: (PM)(NP)=162 dm2. Calcule AB. a) 9 dm d) 18
b) 9 2 e) 18 3
A
c) 8
c) 18 2
a
b C
O1
a) d) a
b) 2 ab
ab 2
+b
2
e)
ab a+b
O2
c)
2ab a+b
4. En la figura: R=12, OA=10 y OB=14,4. Calcule 9. En el gráfico, EFGH es un paralelogramo y "r" ("P" punto de tangencia). (FH)(EF)=9(MN). Calcule EH. A
N
F
G
r O
P
M
R
α
E B
a) 5 d) 7,2
b) 8 e) 4,8
c) 6
α
H
a) 4 d) 9
b) 18 e) 5
c) 4,5
5. En un triángulo rectángulo ABC, donde "I" es 10. En la Rfigura: RS=10, ES=5, VE=3. Calcule ST. 2 y la hipotenusa incentro, si (AI)(IC)=400 dm β AC=40 dm, calcule BI. a) 20 dm d) 5
b) 15 e) 12
c) 10
θ θ
l3
l1
B
l2
F
a) 24 d) 12,5
a) 2 d) 6
b) 2,5 e) 8
C
D
E
T
V
c) 4
11. En el gráfico R=6 dm, r=4 dm, si "A", "P", "Q", "C", son puntos de tangencia. Calcule el inradio del triángulo ABC.
G
A
E
β+θ
6. En el gráfico: DC=8 y ED=4. Calcule AE. (L1 // L2 // L3 )
S
b) 16 e) 8,5
B
c) 12 R P
7. En la figura mostrada, calcule FH, si BN=1 y AM=4. (A y F: punto de tangencia). M A
r
N H B
Q
A
F
a) 4 d) 2,4
C
b) 3 e) 2
c) 2,5
12. Según el gráfico, calcule "R", si TQ=QP=4, AE=10. a) 2µ d) 5
b) 2,4 e) 6
c) 4
E
8. En el gráfico, BM=MN y ABCD es un cuadrado. Calcule "x". B
M
N
Q
A
a) 4 d) 8 a) 8º d) 53°/2
D
b) 15º e) 30º
R
C
x
A
T
c) 37°/2
B
P
b) 6 e) 5
c) 7
13. En la figura, AT=2(TB), DE=mET m , si BC=2, 15. En el gráfico, ABCD es un paralelogramo. BT=6 y DF=3. Calcule AE (T: punto de tangencia). AB=BD, (EB)(JC)=16 y BJ=2. Calcule EC. B
A D
C
F T
J A
C B
E
a) 8 d) 4
D
R
b) 6 e) 2 2
E
c) 3 2
b) 8 2 e) 16
a) 4 d) 8
c) 32
14. En el gráfico (EB ) (BT (BN ) ) =3, si "M" y "N" son puntos de tangencia. Calcule BM. B θ θ θ
T
E A
N
M
a) 1,5 d) 4,5
b) 2 e) 6
c) 3
Tarea domiciliaria 1. Sea ABCD un trapecio cuya base menorBC mide 4. Grafique dos circunferencias tangentes exteriores 3 dm. Las diagonales e cortan en "O" y se cumple de radios 5 dm y 4 dm. Luego se trazan las rectas que 5(BO)=2(DO). Calcule AD. tangentes comunes exteriores que se cortan en "P". Calcule la mayor distancia de "P" a la a) 6,7 dm b) 7 c) 7,5 circunferencia mayor. d) 8 e) 8,5 2. Grafique el trapecio rectángulo ABCD (mBB=mBC=90º) cuyas diagonales se cortan en "O". Si AB y CD miden 4 dm y 6 dm, en ese orden, calcule la distancia de "O" hasta BC. a) 1,6 dm
b) 2,4
c) 3,6
d) 4,2 e) 5 3. En el gráfico mostrado, calcule: mBACB + mBABC mBDCE + mBDEC
10
14
c) 50
b) e) 12 18
c) 14
6. En el gráfico: PQ=6 dm, QM=2 dm y R=5 dm. Calcule la mayor flecha correspondiente a la cuerda AB. 5
6
b) 42 e) 60
5. Grafique al rectángulo ABCD y trace DH perpendicular a AC, y QH perpendicular a AD. Calcule DH, si HQ=4 dm y AB=25dm. a) d) 10 16
B D
a) 40 dm d) 56
7
M
Q
E P
N O
A
B
R A
a) 1/2 d) 3/2
12
b) 1 e) 4/3
C
c) 2
a) 1,6 dm d) 8,4
b) 2,8 e) 9,6
c) 7,1
7. Grafique el cuadrado ABCD de 30 dm de lado. En AB, marque los puntos "M" y "N" de modo que: AM=MN=NB=10 dm. AC y DM se cortan en "Q". DB y NC se cortan en "P". Calcule PQ. a) 15 dm d) 17,5
b) 15 e) 20
B
c) 17,2
8. En un paralelogramo ABCD (AB
12. En el gráfico mostrado, AMPC es un paralelogramo. Calcule PQ, si MN=3 µ y NP=5µ.
b) 14 e) 10
c) 15
M
α
b) 7 e) 10
A
respectivamente; además, contiene al incentro del triángulo. Calcule PQ. a) 7µ d) 6
C
a) 2,4µ d) 3,6
b) 3
b) 4,5 e) 8
c) 3,2 e) 4,8
13. En el gráfico, PE=8µ, BC=10µ y CD=16µ. Calcule PF. (B y D: puntos de tangencia). B E
P
A
C
F
c) 6
10. En un triángulo ABC, donde: AB=9µ, BC=10µ, y AC=8µ, se traza una recta paralela al lado AB que interseca a BC y AC en "P" y "Q",
Q
α
9. Un trapecio ABCD está inscrito en una circunferencia, la base menor BC mide 18 dm, AB=12 dm. Por "C" se traza una tangente a la circunferencia que con la prolongación de AD se corta en Q. Calcule DQ. a) 8 dm d) 9
P
N
D
a) 5µ d) 4
b) 6
c) 7 e) 3
14. En la circunferencia de centro "O", calcule PQ, si AP=5 y AB=6. B
c) 5
Q
11. En el gráfico, 2(AC)=3(CD). Calcule AB DE
P
B
A θº
a) 1 d) 2,3
D
O
C
H
b) 2,2 e) 1
c) 2
θº
A
2 a) 3 d) 3 2
C
3 b) 4 e) 5 3
E
15. En la figura, calcule BC, si "O" es cincuncentro del triángulo ABC. Si: BN=NC, AM=5 y MC=4. B
4 c) 3
N O A
a) 3 2 d) 2 6
M
b) 2 3 e) 5
C
c) 6 2
16. En la semicircunferencia, calcule PQ, si AT=8, BQ=9 y AB=12 (O es centro). T
Q
19. En la siguiente figura, calcule AD, si AB=6, DE=3, AD=CE+1. B
P
E O
A
a) 6 d) 3
B
b) 8 e) 4
A
c) 7
a) 3 d) 4
17. En la figura, calcule ME, si BC=16, AB=12 y AM=MC.
C
D
b) 6 e) 5
c) 3
20. En la siguiente figura, calcule AD, si AB=6, DE=3, AD=CE+1.
B
B x x P
E A
C
M
a) 6 d) 15/2
c) 7
18. En la figura, calcule x si AB=BC=CD. D
α
E
a) 37º d) 45º
C B
α
b) 60º e) 53º
C
A
b) 8 e) 4
x
R
A
c) 30º
a) 30º d) 45º
b) 37º e) 60º
D
c) 53º
Problemas resueltos N
!
1. En el gráfico: calcule mLE . AB es igual al diámetro de la circunferencia (B: punto de tangencia). ALEF: cuadrado.
D
M
B
C B A
L
P
A
Q Resolución:
E
N 2
F
D
M x+2
x+4
Resolución:
B S
2r
2 2 (2r) - m 45º r
x
4
m
C x+1 P
A m
r
B
A
L
x
3 Q
r E
F
Piden x AB = 2r T. tangente: (2r)2=( (25) 2 - m 2 +m)m ⇒ m= 2 r ∆ STL: NOT 45º y 45º B inscrito \x=90º.
Piden: x T. cuerdas: x(x+4)=(x+2)(x+1) \x=3. 3. Si A, B, C y D son puntos de tangencia, PQ=QF, calcule: PB FD P
B
C
D Q
F
2. En la figura, "D" es punto de tangencia. AD y NQ son diámetros. AB=4, NM=2 y PQ=3. Calcule BC.
A
5. En el gráfico, T es punto de tangencia. EB=3, AB=9. AB // DN. Calcule ET.
Resolución:
P
x
B
m
2θ
θ
C
D
E y Q
T m F
2θ
N
B
θ
A
Por prop. circunferencias tangentes exteriores : ACQF: inscriptible T. Tangente: x 2=(AP)(CP) T. Tangente: y 2=2m.m : ACQF: T. secante (AP)(CP)=2m.m ⇒ x=y \ x =1. y
A
Resolución:
E x
B
:
A n
m B
L P
C
E F
mBAEF=mBCBF: : Inscrito ⇒ : LFCB: inscriptible T. Secante: 2m.m=(AF)(AL) T. Tangente: n 2=(AF)(AL) ⇒2m2=n2 \ 2m = 2 . n
m
/ /
θ
M
MPND: Inscrito ABPM: Inscriptible T. Secante: 12.3=(ME)(PE) T. Tangente: x 2=(ME)(PE) ⇒ x2 = 12.3 \x=6 :
Resolución:
N
θ
θ
A
C
P
/ /
9
A
P
T
3
4. En el gráfico, calcule:AC , si AB=BC (P: punto de AP tangencia).
B
D
M
D
Problemas para clase 1. En la figura, AH = 5 y HB = 10. Calcule "PH" . C
6. En la figura, ET = 40 y EF = 58. Calcule "FP". (P y T: puntos de tangencia). E
P A
a) 4 2 d) 2/5 2
T B
H
c) 5 2 2
b) 3/2 2 e) 2 3
a) 40 d) 46
2. En la fgura, calcule "AB".
A B
2 b) 3
b) 42 e) 48
a)
c)
3 +1
b) 4
c) 5 +1 65 + 1 2 8. En la figura: AP = 5, PB =3 y OP= 3 . Calcule "r". d) 5
6
e) 9
e)
A
3. En la figura, AB = 2; CD = 4 y EF = 5. Calcule "OT". (P: punto de tangencia).
P r
O
A
P
B O
B E
E T C
F
a) 4,2 d) 3 2
D
a) 2 d) 1,5
c) 44
7. Desde un punto "P" exterior a una circunferencia se trazan las secantes PAB y PCD; de tal manera que: PA=CD, AB=3 y PC=4. Calcule: AP.
12
a) 2 d) 2
F
P
b) 2,5 e) 3
b) 2 2 e) 2 3
c) 4,4
9. En la figura, AT = a y BP = b. Calcule "AB" en función de "a" y "b". (P y T: puntos de tangencia).
c) 3
T
4. En la figura, calcule "PT". Si AT = µ6 y TB = 2µ. (P y T: puntos de tangencia)
A
B
P P B T
A
a) 2 d) 5
3 µ b) 4 e) 3
a) c) 3
2
2ab c) a a +2 b e) a - ab + b2
ab
b)
d) a+b
b) 12 e) 4 5
2
10. En la figura : AH =10, HB = 24 y PH = 30. Calcule: OH. P
5. Se tiene un trapecio isósceles, una de sus diagonales mide 2 79 unidades y el producto de las longitudes de sus bases es igual a 2162.u Calcular la longitud de uno de los lados laterales. a) 79 d) 10
b2+
O A
c) 6 2 a) 8 d) 170
H
b) 3 5 e) 9
B
c) 6
11. Sea ABCD un romboide cuyas diagonales AC14. En el gráfico mostrado: CD=4 y DE=1. Calcule y BD miden 20 dm y 16 dm, en ese orden. La "BC" (O y O1 son centros). circunferencia circunscrita al triángulo ABD es secante aBC y tangente en CD en "D". Calcule CD. D E
a) 3 2 dm d) 6 2
b) 4 3 e) 2 7
c) 6
C A
12. En una semicircunferencia de diámetro AB y centro "O", se traza el radio OC ⊥AB y la cuerda AD, de modo que: AD∩OC={E}. El radio de la circunferencia que contiene a los puntos "C", "D" y "E" mide 2 . Calcule "DE", si AB=8. a) 5 3 6
b) 6 5 5
d) 4 2
e) 5 7
c) 3 3
13. En la figura, "P" es punto de tangencia. AB=1, BC=6 y DC=5. Calcule (PB)2+(PC)2. P
C
7 21
b) e)
B
5 35
c) 2
15. Grafique un cuadrado ABCD cuyo lado mida 15 dm. Sea "C" una circunferencia de centro "D" y radio igual a 15 dm. BM corta a "C" en "E", siendo "M" punto medio de CD. Calcule el valor de EB. a) 3 2 dm d) 6 2
b) 3 5 e) 5
c) 6 3
D
O
A B
a) 11 d) 38
a) d)
O1
O
b) 35 e) 52
c) 46
Tarea domiciliaria 1. Sobre el arco AB de una circunferencia circunscrita3. Del gráfico: CM=MD. Calcule BE, si el lado del a un cuadrado ABCD, se ubica el punto "P", tal cuadrado ABCD mide "a". que : PB + PD = 8u. Calcule PC. C B E
a) 2 u d) 4 2
b) 2 2 e) 8
2. De la figura : PC=3u; Calcule AB.
c) 4 M
CD=5u y AP=4u. I
P
Q
A
D
A
a) a 5
d) a 3 3 e) a 2 2 4. Calcule PT, si BC=2µ y AB=1µ. (T y B son puntos de tangencia).
B
C D
a) 2 u d) 5
b) 3 e) 6
c) a 5 5
b) a 3
T
c) 4
P A B C
a) 4µ d) 1,2
b) 2
c) 1 e) 3
5. Del gráfico: AM=MC, calcule BQ, siendo: AP=4u, PB=5u y QC=3u (M es punto de tangencia)
d) 16
e) 18
10. Del gráfico, calcule AT, siendo: AB= 5 u (A y T son puntos de tangencia).
B
T A
Q
P
2R A
M
a) 8u d) 10
B
R
C
b) 9 e) 12
a) 2,5 u d) 7,5
c) 7
b) 2 5 e) 10
c) 5
6. Dado un romboide ABCD, cuyas diagonales son Del puntos gráfico:de AO=OB=15u, AC=8u y DB=10u, la circunferencia que pasa 11. son tangencia). calcule PQ. (Q y T por "B", "C" y "D" corta a la prolongación de la A diagonal CA en "E". Calcule AE. a) 1,75 u d) 2,25
b) 2,75 e) 1,25
Q T
c) 2
7. Del gráfico: AB=AC, PQ=1u. Calcule BT. (T es punto de tangencia). a) 3 7 d) 3 3
B T
O
P
P
B
b) 5 7 e) 7 5
c) 5 3
12. Del gráfico, calcule PT, si PR // CD, PQ=3µ y QR=9µ. (T: punto de tangencia).
Q
P C
a) 1u d) 2
A
b) 1,5 e) 2 2
c)
B
Q
2
T
C
8. Calcule PM, si ABCD: cuadrado.(BM=MC). M
B P
a) 4 µ d) 3 3
2 5
A
a) 0,5 u d) 2
D
b) 1 e) 5
c) 1,5
A D E
a) 10 u
b) 12
A
c) 14
b) 5
D
c) 6 e) 6 3
13. Desde un punto "F" exterior a una circunferencia se trazan las tangentes FA, FB y la secante FCD que interseca a AB en el punto "G", si GC=2 µ y FC=3µ. Calcule GD. a) 8µ
9. Del gráfico: 3BC=6CD=2DE y AB=6u. Calcule AE.
B C
R
C
b) 12
d 6
c) 10
e) 14
14. En un triángulo ABC; AB=9µ, AC=12µ, siendo "M" punto medio de AC. La circunferencia que pasa por los puntos "B", "C" y "M" corta a AB en "N". Calcule BN. a) 0,5 µ d) 3
c) 1
c) 2 e) 2,5
15. En una circunferencia de diámetroAB y centro "O", se traza una circunferencia con diámetro AO. Se traza la cuerda CD tangente a la circunferencia menor en "E". Si: CE=4u; CD=16u, calcule AE.
a) 5 2 d) 6 3
b) 4 2 e) 4 3
c) 5 3
16. Siendo "P" y "J" puntos de tangencia, calcule EJ, si además: 1 + 1 = 1 AJ LJ 5 L
A
J
E
a) 4 d) 9
c) 12
19. En un cuadrilátero ABCD inscrito a una circunferencia AC∩BD={P}, calcule BP , PD siendo: AB=3u, BC=4u, CD=5u y AD=6u. a) 3 5 d) 1
P
b) 8 e) 15
b) 2 5 e) 2
c) 7 11
20. En la circunferencia clacule "x", si "T" es punto de tangencia. TP = 4 . AP 3 a) 2,5u d) 10
b) 7,5 e) 12,5
c) 5 T x
17. Calcule MN, si PQ=SN, QS=1µ y SR=3µ (P y Q son puntos de tangencia). P
M
B
Q
a) 54º d) 60º
S R N
a) ( 2+ 2) µ b) ( 3+ 1) c) ( 2- 1) d) ( 2 +1) e) ( 5 +1) 18. En el gráfico: AB=BC=CD. Calcule AD, si R=9µ y r=7µ.
A
B
C O r
R
D
O
b) 45º e) 23º
P
A
c) 37º
Problemas resueltos Resolución:
1. Se tiene un trapecio ABCD inscrito en una circunferencia AD // BC, BC=AB=2, AC=3. Calcule el radio de dicha circunferencia.
P x
S
n
Resolución:
m
2
B
C
h
3
θ
A
2
2
Q
F B 5
R
A
D
θ
M
Por RMTR: X 2=mn ∆ AQB~∆QSM 3=m ⇒ mn=24 n 8 2 ⇒ X =24
Piden R 2
T. Pitágoras: 2 2=h2+ ` 3 j 2 ⇒ h= 7 2 ∆ T. Lados: 2.2=h.2.R 2.2= 7 .2R 2 4 7 \R= . 7
\x2=2 6 . 3. En el gráfico calcule "R". Si "P" es punto de tangencia, BO=a, HO=b. B P
2. En el gráfico: BM=5, MQ=8. Calcule PQ. P
R A Resolución:
Q
A
H O B
F
P
B a
R R
M A n
R
H O b
Piden R PorR MTR: a2 = nR PorR MTR: R2 = nb a 2 b = R3
5. En el gráfico se muestra un cuadrado ABCD. "T" es punto de tangencia. Calcule "x".
÷
B
C T
2 . \ R= 3 ab
4. Se tiene el triángulo rectángulo ABC, recto en "B", se traza la altura BH y la ceviana interior AD. AD=DC=HC=1. Calcule BC.
x A
D
Resolución: Resolución:
B D
x
3a
B 1
1
O a a
C
T
R A
J
H
a
C
4a
R
1
37º
2a
x
Piden x Por las RMTR: x 2=2a.1 ∆ BHC~∆ DJC x = 1 ⇒ a= 1 1 a x
A
D
R=4a
Por el teorema de las circunferencias tangentes = R2 .R a ⇒ R=4a
Remplazando x2=2 1 .1 `xj \ X= 3 2 .
∆ABO: NOT 37º y 53º B Central: mBT =37º o \ X= 37 . 2 !
Problemas para clase 1. En un triángulo rectángulo ABC, recto en "B", se traza la altura BH; de tal manera que: HC=2 y AB=4 5 . Calcule BH. a) 3 d) 4
2
b) 3 e) 2 6
3. En la figura, EM=8, MC=25 y AB=18. Calcule PD. B
M
C
c) 6 2 E
P
2. En la fgura, AT=10 y TC=24. Calcule "r". A A
T
a) 2 21 d) 11
r C
B
a) 5 d) 8
b) 6 e) 9
c) 7
D
b) 12 e) 3 5
c) 2
29
4. En la figura, AH=30, HC=28 y mBABC=135º. 9. Se tiene un triángulo rectángulo ABC (mBB=90º). Se traza la altura BH, luego HP⊥ Calcule BH. B AB y HQ ⊥ BC ("P" en AB y "Q" en BC). Calcule AC, si AP=2 y CQ=16. a) 5 3 d) 10 5 A
b) 15 e) 18
c) 10
2
C
10. Dado un cuadrado ABCD, se traza por "B" una recta que intersecta a CD en "E" y a la prolongación a) 20 b) 18 c) 16 de AD en "F". Si 1 2 + 1 2 =0,25; calcule la d) 14 e) 12 (BE) (BF) longitud del lado de dicho cuadrado. 5. En cada figura, calcule PD. ("P": punto de tangencia). H
B
a) 2,5 d) 4
C
b) 2 e) 5
c) 5
2 P
11. En el gráfco, calcule BH, siendo "P" y "Q" puntos de tangencia.
A
B
D
a)
2 b) 2 2 -2 + 2 1 d) e) 2( 2- 1) 2 6. En la figura, calcule "θ".
c)
3
P
H Q
3 1 A
C
a) 1 d)
θ
b) 1,5 3
c) 2,5
e) 2 2
12. En el gráfco, AB=BC, AC=4 2 m. Calcule CF. a) 53º d) 63º30'
b) 57º30' e) 64º
B
c) 60º
7. En la figura, calcule: (a2+b2+c2). B 3
a A
H
b P
N
7
I c
M
5
a) 111 d) 88
b) 99 e) 83
F A
C
c) 92
a) 2 d) 3 2
C
b) 4
c) 2 2
e) 6
8. En el gráfico, "M" y "N" son puntos de tangencia, 13. Sea "A" un punto exterior a una circunferencia, desde el cual se trazan la secante diametral ABC AN=29µ, BM=20µ. Calcule AB. y la tangente AD. Luego trace las perpendiculares N A BE y CF a la tangente AD. Calcule EA, si: EB=4 dm y CF=9 dm. O
M
a) 18µ d) 24
b) 20 e) 25
a) 12/5 dm d) 48/5 B
c) 21
b) 13/6 e) 48/7
c) 38/5
14. Grafque un triángulo rectángulo ABC B (mB=90º) 15. En el gráfco: AB=c, BC=a, AC=b, CH=h, y a su circunferencia inscrita de centro "O". Esta AH=m y HB=n. Diga qué relacion no es la circunferencia determina los puntos de tangencia correcta: "P" en AC, "Q" en BC, respectivamente, y la C prolongación de BO corta a PQ en "F". Calcule el valor de OF, si la diferencia de AB y el diámetro de la circunferencia es de 2 2 dm. a) 1 dm d) 2
b) 2 e) 2 2
c)
3 A
B
H
c b a a) h = a + b c) abh=cmn
2
2
b) a m=b n d) c2 = 1 + 1 m n h
e) am + bn =1 b a
Tarea domiciliaria 1. Del gráfico AB=PQ=8u, calcule "R" ("T" es punto de tangencia) T
B
5. Del gráfico, AB y CD son diámetros. Calcule "BH", siendo AC=8u, CH=2u y BD=12u.
C
P
R A A
a) 4u d) 6u
Q D
P
b) 5 e) 6,5
c) 5,5
2. Un arco de un a circunferencia tiene una cuerda de 20u y una flecha de 2u. ¿Cuánto mide el radio de la circunferencia? a) 18u d) 26
b) 20 e) 22
c) 24
3. Del gráfico:(AT)2+(TB)2=32u2, calcule "R". (T: punto de tangencia).
C H
a) 2,5u d) 4
B
D
b) 3 e) 6
c) 3,5
6. Calcule la suma de las longitudes de los catetos de un triángulo rectángulo, si la hipotenusa mide 5u y su altura relativa mide 2u. a) 4 2 u d) 5 3
b) 3 2 e) 2
c) 3 5
7. El gráfico ABCD es un cuadrado. Calcule "xº". B
C
A R x
B C
a) 2u d) 4 2
T
b) 2 2 e) 6 2
c) 4
4. Calcule la altura de un trapecio cuyas diagonales son perpendiculares, siendo su mediana igual a 2. 12,5u y el producto de sus diagonales es 300u a) 8u d) 15
D
A
b) 9 e) 18
c) 12
a) 18º d) 30º
b) 22º30' e) 20º
c) 23º
8. Dadas dos circunferencias de radios 2 u y 5 u; y la distancia entre sus centros mide 9u. Calcule la longitud del segmento tangente común exterior a las dos circunferencias. a) 6u d) 6 2
b) 7 e) 8 2
c) 8
9. Del gráfico, QH=2(PQ) y BH=4u. Calcule BC. 14. Del gráfico, calcule PQ, siendo DQ=3u y CQ=12u. P D
Q
Q C
A
B
H
a) 4u d) 6
C
b) 4,5 e) 8
c) 5
10. Del gráfico, calcule AQ, siendo AO=OB y AP=4u.
A
B
P
a) 6u d) 6,5
b) 4 e) 7,5
c) 5
15. "R" Del ygráfico, AO=OB. Calcule la relación de "r".
A
A Q
P O
a) 4 2 d) 6
R r
R B
S
b) 4 3 e) 8
c) 5
11. Del gráfico, calcule "R", si ABCD es un cuadrado. AP=2u y PD=23u. B
B
O
a) 2 d) 5/3
b) 3/2 e) 1/4
c) 5/2
16. Del punto medio del cateto de un triángulo rectángulo se traza una perpendicular a la hipotenusa, dividiendo a esta en dos segmentos que
C
R
A
a) 15u d) 20
P
miden 3u y 5u. Calcule la longitud de los catetos. a) 4u y 4 3 b) 2 3 y 2u c) 5u y 6u d) 4u y 5u e) 8 3u y 8u
D
b) 17 e) 25
c) 18
12. Si ABCD es un cuadrado de 32u de lado, calcule: "x". B
17. En un triángulo rectángulo ABC, recto en "B", se traza la altura BH, tal que 9(AH)=4(HC) y AB=4u. Calcule BC. a) 9u d) 4
b) 6 e) 5
c) 8
!
C
E
L r
A
a) 8u d) 10
r
M
D
b) 8,5 e) 12
b) 4,5 e) 6
N
A
O
c) 9
13. Sobre una semicircunferencia de diámetro AB se ubica el punto "P", luego se traza PH perpendicular a AB, siendo AH=5u y PB=6u. Calcule el radio de la semicircunferencia. a) 4u d) 5,5
!
18. En el gráfico mostrado, m AM +mNB=90º, EL=7u y LM=2u. Calcule AB.
x
c) 5
a) 7u d) 6
b) 5 e) 3
B
c) 3 2
19. En un triángulo rectángulo ABC, mBB=90º, se traza la mediana CM. Calcule la distancia del punto "A" a la mediana CM. Si MC=18u y AB=12u. a) 4 2 d) 2 2
b) 3 2 e) 3
c)
2
20. En un triángulo ABC se traza la altura BH. Calcule la longitud del segmento que une el incentro del triángulo BHC con el punto "A". BH=3u, AH=2u y HC=4u. 10 u 2 d) 2 5 a)
b)
10
e) 3 5
c) 2 10
Problemas para clase 1. En el gráfico, (AB)(CD) = 6. Calcule FC. mFD = m DI
5. MN En la//figura: AB=9MN. m, BC=7 m y AC=8 m. Si AC, calcule B
F D
M
B A
I
a) 6 d) 3
b) 3 e) 2 6
c)
A
6
2. En el gráfco, calcule TH, si ABCD es un cuadrado. PA=4 y DQ=9. R B
P
a) 111/25 d) 102/25
T
A
H
C
b) 114/25 e) 109/25
c) 104/25
a) 1 m
b) 1,5
d) 2,5
e) 3
c) 2
c) 9,6
b) 8/3 e) 7/2
c) 3
6. En una circunferencia de diámetro AB, se traza una cuerda CD en una de las semicircunferencias, se trazan CM y DN perpendiculares a AB y la perpendicular BS a la prolongación de CD. Calcule BS, si BM=6 y NB=2. a) 2 d) 2 5
b) 2 2 e) 2 6
c) 2 3
7. En un triángulo ABC, en su región interior se ubica un punto "P", se trazan PQ y PT perpendiculares a AB y BC, respectivamente, si PB.AC=48u2. QT=6u. Calcule la medida del circunradio del triángulo ABC. a) 3 u d) 6
b) 4 e) 8
c) 5
8. Del gráfico, calcule "r" si R=4,1r=2. R
4. Grafique el triángulo rectángulo ABC B (mB=90º), con AB=8 dm. En BC se marca "F", de modo que la distancia FH a la hipotenusa AC mide 5 dm. Si, además, HC mide 6 dm, calcule el valor de BC. b) 9,1 e) 10,6
C
a) 2 m d) 10/3
Q
D
3. En un triángulo ABC de incentro "I", se traza la bisectriz interior BE que, prolongada, corta a la circunferencia circunscrita en "D". Si BI=6 m y ED=1 m. Calcule IE.
a) 8,6 dm d) 10,2
N
C
r r1
a) 1 d) 2
b) 2/3 e) 1/2
c) 3/2
9. En el gráfco: BC // AD, AM=3, BM=4 y CM=5. Calcule DM.
12. Calcule AM, si PB=3AQ=3. Q
A
P B
A
D
O
M
a) 3 2 d) 6
M
C
b) 4 2 e) 8 2
c) 5
a) d)
10. En el gráfco, calcule CR, si (PD).(AH)= 64 . H
D
B
O
A
P
10 10 2
b) e)
5 5 2
c) 2 10
13. Del gráfco: AB=13, BC=20 y AC=21. Calcule BS. B 16º
R B
C
a) 6 d) 8
b) 6,5 e) 12
11. Calcule, si MP2+MC2, si EC=4 2 . "O", centro de la circunferencia y semicircunferencia. M T
P
O
A
c) 7 a) 13 d) 20
C
S
b) 15 e) 5 3
c) 17
14. Grafque al trapecio ABCD, cuyas bases BC y AD miden 4 dm y 8 dm respectivamente. Sea EF el segmento que une los puntos medios de las "H"trapecio el punto de corte AB y CD.diagonales Si la alturaydel mide 6 dm,de calcule la distancia de "H" hacia EF.
C
a) 4 dm d) 9
b) 6 e) 12
c) 8
E
a) 25 d) 24
b) 32 e) 64
c) 30
15. La secante trazada por el vértice "A" de un cuadrado ABCD corta a BC en "M" y a la prolongación de DC en "N". Siendo: 1 + 1 = 1 36 AM 2 AN2 Calcule la logitud del lado del cuadrado. a) 6 d) 4,5
b) 3 e) 9
c) 12
Tarea domiciliaria 1. Calcule el radio de la circunferencia inscrita en un rombo cuyas diagonales miden 8 cm y 6 cm, respectivamente. a) 1,8 d) 2,4
b) 2,6 e) 2,5
6. Los tres lados de un triángulo miden 9, 16 y 17 metros, respectivamente. Al disminuirles en "x", el triángulo sería rectángulo. Calcule "x".
c) 2
a) 4 d) 1,5
2. Calcule el radio de cuadrante AOB, si AM=2 y BN=4.
A
a) b) c) d) e)
N
a) 11 d) 15
B
b) 10 e) 12
c) 9
3. De la figura mostrada, halle AB, si PQ=3, PT=9 y AB // QT. Q A
a) 4 4 d) 4 5
h2=X2+Y2+Z2 Z2=h2+Y2+Z2 hZ = 4XY h2=Z(X+Y) h3=XYZ
8. Calcule la mediana relativa a la hipotenusa de un triángulo rectángulo, si las medianas relativas a los catetos miden 6 y 8 cm. a) 5 d) 2 5
P
O
B
b) 2 3 e) 6
c) 2
7. En el triángulo rectángulo ABC, recto en "C", se traza la altura CH, desde "H" se trazan las perpendiculares HM y HN a los catetos AC y BC, respectivamente ("M" en AC y "N" en BC), de tal manera que AM=X, BN=Y, AB=Z y CH=h. Indique la relación correcta.
M
O
b) 7 e) 1
b) 5 e) 15
c)
10
9. Se tiene un cuadrante AOB elderadio radio Considerando como diámetro OA,"R". se traza una semicircunferencia interiormente. Halle el radio de la circunferencia inscrita en el triángulo mixtilíneo AOB.
T
c) 3 10
a) R/2 d) R/4
b) R e) R/5
c) R/3
4. Calcule el radio de la circunferencia menor, si AD=8 y BC=2. 10. Se tiene un triángulo rectángulo ABC, recto en D "B", se traza la altura BH de tal manera que AH=4 y HC=5. Calcule el perímetro de dicho triángulo. C
a)
9
b) 10 c) 2(3+ 3) e) 8 3
A
a) 2 d) 1
O
b) e)
^
B
c) 0,5 3 2 5 -1
h
5. Se tiene el triángulo rectángulo ABC, recto en "B", se traza la altura BH, de tal manera que AH=1 y HC=3. Calcule el perímetro de la región triangular ABC. a) 9
b) 10 c) 5( 3 +2) e) 8 3
d) 2(3+ 3 )
d) 3(5+ 5)
Problemas resueltos 1. En un triángulo ABC, AB=5, BC=6 y AC=7. La circunferencia inscrita es tangente a AB y BC en "M" y "N", respectivamente. Calcule MN. Resolución:
3. En el gráfico, AP=PQ, (BQ) 2+(GQ)2=65u2 y (CQ)2+(QF)2=17u2. Calcule AQ.
B N
x
M
9 (y2 + x2 + z) 2 Remplazando: 4 =3 48 4 \x2 + y2 + z2=16.
F
G
6
5
Q
A
C
C
7
D
P
Piden "x" ∆ABC Por propiedad: BM=p BM=9 - 7 - 7 BM=2 Ley de cosenos 72=52+62 - 2(5)(6) Cos θ ⇒ Cosθ= 1 5 2 2 2 x =2 +2 - 2(2)(2) Cos θ 1 2 x =8 - 8. 5 \x=4 2 . 5
B
A
Resolución:
F
G
b
d
Q a C
2. En un triángulo ABC, de baricentro "G", calcule: AG2+BG2+CG2, si AB2+BC2+AC2=48.
t
m
D
P c
m
Resolución:
Piden 2m Dato: c 2+d2=65, a2+b2=17 T. Marlen > ABCD: a2+(2m)2=c2+t2
y /
c
x 2
2 2
a
G /
A
x ~
y 2 b
z ~
Piden x 2+y2+z2 Dato a 2+b2+c2 =48 3y 2 3x 2 3z 2 +` j +` j = 3 Por Prop.: 2 2 2 4 a2 + b 2 + c 2
c m
A
B
B
> PFGD:
C
+
2 2 2 2 btmd + = + 17 + 4m2 = m 2 + 65
3m2=48 ⇒ m=4 \ 2m=8.
4. En el gráfico, calcule "a", si R=12 y r=6.
5. En un trapecio ABCD, BC // AD, BC=12, AD=23, AC=25, BD=29. Calcule la altura del trapecio. Resolución:
R 13
B
a
C
r
29 25
Resolución:
29
h
A
R 12
a
12
6 + a
9.5 9
6
9 18
T. Mediana 2 (12+a)2+(6+a)2=2(9 - a)2+ 18 2 \ a=2.
D 13
23
L
Piden h Se traza CL // BD T. Heron ∆ACL (p ∆ACL=45) ∆ABO: NOT 37º y 53º h= 2 45.20.16.9 36 h= 1 . 3.4.5.3 . 2 18 \ X=20
Problemas para clase 1. Dado el triángulo ABC: BC=a y AC=b, se ubican los puntos "M" y "N" de manera que: AM=MN=NB. Calcule: CM2+CN2+4MN2. ("M" y "N" en AB). a) (a2+b2) b) (a+b)2 2 d) (a - b) e) ab
c) a2+b2
2. Se tienen dos circunferencias secantes de radios 21u y 36u, y la distancia entre sus centros es 30u. Calcule la distancia de uno de sus puntos de intersección a la tangente común mas cercana. a) 3,2u d) 3,6
b) 4,2 e) 3,8
c) 2,8
4. En una circunferencia de centro "O", diámetro AB, se trazan las cuerdas CD y DE de manera que: CD∩AO={M}, DE∩OB={N}, CM=6 5 ; MD=10 5 u, DN=25u y NE=7u. Calcule ON2 - OM2. a) 81 u2 d) 125
B
a) 3u d) 7/5
O
b) 4 e) 1
D
C
c) 2
b) 2/3 e) 2/5
c) 3/4
6. En un cuadrilátero ABCD, mBABC=90º. Luego se traza DO∩AC ("O" ∈ AC), tal que: AO=OC, también BH ⊥ OC (H ∈ a OC). Si AD=4m, BH=3m, calcule DH. a) d)
A
c) 120
5. Determine la razón entre dos lados consecutivos de un paralelogramo que tiene un ángulo cuya medida es 60º, sabiendo que la razon entre los cuadrados de sus diagonales es igual a 19/7. a) 1/2 d) 4/5
3. En el gráfico, mBABD=45º, AD=7u y DC=1u. Calcule BD.
b) 100 e) 130
5m 10
b) 7 e) 2 5
c)
6
7. Según el gráfico, calcule DE, si CD=5BC=5; AE=3u y "O": centro.
12. En el gráfco, AB=12 dm y BC= 5 dm. Calcule PQ. P
A
B C
B O
E
D
a) 2 11 d) 2 7
b) 2 14 e) 3 7
c)
A
14
C
a) 5 13 3
b) 2 29 3
d) 15 13 26
e) 13 20 11
Q
c) 15 13 6
8. En un triángulo ABC, la mediatriz deAC intersecta 13. Según la fgura, AB=4. Calcule "r". a BC y la bisectriz exterior del ángulo "B", en los puntos "P" y "Q" respectivamente. Si AQ intersecta a BC en "E", calcule AE, si, AB=6 cm, r PC=2EP=8 cm. a) 6 cm d) 3 3
b) 4 3 e) 7
c) 2 6
A
B
O t
9. En la región interior del triángulo ABC, se ubica el punto "P" de modo que (PA)2+(PB)2+(PC)2=328. Calcule la distancia de "P" al baricentro de dicho triángulo, si (AB)2+(CB)2+(AC)2=840. a) 2 2 d) 4
b) 3
c) 2 e)
3
a) d)
6 6 3
b)
3 6 2
e)
c)
2
14. Calcule AM, si PB=3(AQ)=6. Q
A
6
P M
10. En la fgura, calcule "r". r 5
a) 2 d) 33/15
b) 120/49 e) 6
c)
B
O
3
5
a) d)
10 10 2
b) e)
c) 2 10
5 5 2
15. Según la fgura, calcule EB,αsi+θ =90º y
11. En la fgura, calcule EP.
(BC)(AB) - (AE)(DE)=25.
B
D E
8 P
θ
A
a) 6 d) 4 2
b) 2 2 e) 4
α
E
c) 5 a) 2 2 d) 5 3
b) 5 e) 2 6
c) 4
2
C
Tarea domiciliaria 1. Las bases de un trapecio miden 2u y6u. Calcule la 8. En un triángulo acutángulo ABC, se traza la longitud del segmento que une los puntos medios altura AN. Calcule: (BN)(NC). Si AN=4u y de las bases, siendo los lados los laterales 3u y AB2+AC2 - BC2=6u2. 4u. a) 10 u2 b) 12 c) 13 a) 8 u b) 8, 5 c) 3 d) 9 e) 14 d) 7, 5 e) 7 9. En un cuadrilátero ABCD, se tiene que: AB2+CD2=120u2, BC2+AD2=140u2, AC=5u. 2. Dado un rectángulo ABCD, fuera de él se Luego se trazan las perpendiculares BM y DN ubica el punto "P", tal que : AP = 4u, BP=3u y relativas a AC. Calcule MN. PD=5u. Calcule PC. a) 4 u d) 3,45
b) 3 2 e) 5
c) 4 2
3. En un triángulo, sus medianas miden 9u, 12u y 15u. Calcule la longitud del menor lado del triángulo. a) 9 u d) 12
b) 8 e) 13
c) 10
4. En un rombo ABCD, sobre BC se ubica el punto medio "M". Siendo : AM=9 y DM=13 u. Calcule el lado del rombo. a) 11,5 u d) 12 5.
b) 11 e) 10,5
c) 10
a) 1 u d) 2
c)
2
10. En un triángulo acutángulo ABC, considerando como diámetro el lado AC, se traza una semicircunferencia que intersecta al lado AB en el punto "E" y a BC en el punto "F". Si: AB . AE+BC . FC=18 u 2, calcule AC. a) 3u d) 2 6
b) 3 2 e) 4,5
c)
6
11. Se tienen dos circunferencias concéntricas de radios "r" y "R" (r
Del gráfico : AC2+BC2=37 u2 y PC=3u. Calcule
b) 1,5 e) 3
2
BE + EC
E
OM. (PM=MC). C
M
A P
C
B O
D
F
A
a) 5u d) 2 7
B
O
b) 7 e) 2 5
c) 4 5
a)
Rr R+r
b) R2+r2
c) 1
6. Dado un triángulo ABC, se traza la bisectriz
e) R r 12. Calcule el perímetro de la región del triángulo cuyos lados son proporcionales a los números
interior AD y la mediana AM, tal que:2AD=DM. Calcule BC, siendo : (AB)(AC)=16 u .
13u, 37u y 40u. Sabiendo, además, que la longitud de su menor altura es 24 u.
a 4u d) 4 2
a) 120u d) 240
b) 6 e) 8 2
c) 8
7. En un triángulo acutángulo ABC se traza una paralela por "B" al lado AC; la bisectriz interior del ángulo "A" corta a dicha paralela en "E". Calcule AE, si AB = 5u, BC =4 2 u y AC = 7u. a) 5 5 d) 4 5
b) 6 5 e) 9 3
c) 8 3
d) 1,5
b) 360 e) 540
c) 180
13. En el gráfico, ABCD es un cuadrado y BE2 - BC2= AE(AE+10). Calcule la distancia de D a DH. C
16. En un trapecio ABCD (BC // AD), cuya base media mide 2u, calcule DM, siendo "M" el punto medio de AB, y CD 2 - 2MC2=2u2. a) 1 u d) 4
b) 2 e) 2,5
c) 3
B
17. En el trapecio escaleno ABCD BC ( // AD), se cumple: AB2+CD2=16u2 y BC.AD=5u2. Calcule: AC2+BD2.
D
A
a) 2u d) 5
E
H
b) 3 e) 6
c) 4
14. En el gráfico, AC es diámetro; AB . BD=27 u2 y CH=5 3 u. Calcule BC. B
E
a) 9 u d) 11
calcule: AP . OT
P Q
b) 3 e) 2
b) 10 e) 5
c) 12
20. Los lados de un triángulo miden 10u, 17u y 21u. Calcule la altura menor. a) d) 4 9u
A
2 6
c) 3
c) 3 2
15. Siendo: "P", "Q" y "T" puntos de tangencia,
a) d)
b) 2 e) 5
19. Los lados de un triángulo miden 13u, 14u y 15u. Calcule la altura relativa al lado intermedio.
b) 4 3 e) 6 3
O
c) 13 e) 12
C
D
H
a) 5 3 u d) 6 2
b) 4
18. En un triángulo ABC, de baricentro "G" y circuncentro "O", si AB2+BC2+AC2=54u2 y R= 10 u (R es el circunradio), calcule OG. a) 1u d 4
θº θº
A
a) 3u2 d) 26
T
A
c) 1
b) e) 5 3
c) 8
Problemas resueltos 1. En la figura mostrada AD=DC=BC=6. Calcule BD.
se
cumple
Resolución:
B
13
7º
7α
θ
D
C
Resolución:
Piden x Por Prop.: 2 θ=45º θ: 45º ⇒ mAM =135º 2
!
B 7α
⇒ AM=2ap8
x=2 R
2
D
R
135º
A
α
45º/2
45º/2
2α
θ
M
x A α
/2
2+ 2.
\x=R 2 + 2 .
2α
A
C
3. Un triángulo ABC está inscrito en una circunferencia BC=2 10 + 2 5 , mBC =144º. Calcule el radio de la circunferencia. !
Por propiedad: 7 α=120º - α α=15º ⇒ ∆BDC: T. Elemental del dodecágono
Resolución:
\x=6 2 - 3 .
B
10 + 2
2. En el gráfico, calcule AM en función de "R".
144º
18º
R
θ θ
2
O M
5
A
R
18º
C
A R
Piden R BL=ap12 10 + 2 5 = R 4 \ R=4.
10 + 2 5
10 + 2
5
4. En el gráfico mostrado, AE = 2 + 2 , calcule EM 2- 2 mMC .
!
B
Resolución:
M
Por propiedad: 15 m2=l102+k2 \l10= m2 - k2 .
E
A
5. Si en una misma circunferencia se inscriben polígonos regulares de l5, l6 y l10; de lados l5=m, l6=k, calcule l10.
C
T
O
2=l 2+l 2 10 6
Resolución: a( 2 -
2)
B 90 E
) 2 a( 45
45
M a( 2 - 2 )
x
2+
/2
A
Piden X ∆ BEM (NOT 45º y 45º) ∆ ABE: AE=ap 8 mBBAE= 45º 2 \ x=45º.
C
T
O
⇒ BE=a 2 -
2
!
⇒ mBM =45º
Problemas para clase 1. En el gráfico, calcule PN, si R=2 + 3 . ("P" y "Q" son puntos de tangencia).
!
3. En el gráfico, calcule DB, si m BC = 55º; r= 10 + 2 5 m. A r
R
B
D
P R N
a) 1 d) 2
Q
b) 2 - 3 e) 4/3
c) 1,5 a) 5m d) 4 5
2. En un nonágono regular ABCDEFGHI, calcule AF, si AB + AC = 6 m. a) 2 d) 2 2
b) 3 e) 4
C
O
c)
6
b) 2 e) 10
c) 3 5
5
4. En el gráfico, la mBABM = 18º; 10 - 2 5 . Calcule : MN.
AB =4
B
M A
a) 1 d) 4
N
b) 1,5 e) 2
θ
θ
C
c) 2
5. Calcule el perímetro de un heptágono regular 12. En un heptágono regular ABCDEFG, se cumple ABCDEFG, si: 1 + 1 = 1 que: (FC)2+4(EG)2=(2+BE)2. Calcule la longitud AC AD 6 de su lado. a) 12 b) 18 c) 21 a) 1 b) 2 c) 3 d) 42 e) 49 d) 4 e) 5 6. En el gráfico, calcule AD, si: 13. En el gráfico, calcule el lado del cuadrado AB=BC=CD= 2 +3 m. inscrito en el sector circular, si R = 1 B 6α A α
D
A
a) 1 d) 2,5
2α
O
b) 1,5 e) 2
c) 2
7. En un polígono regular de 13 lados: V1V2V3... V13, si V1V4=a y V1V5=b. Calcule: V4V10. a) c) e)
30º
C
a+b a2 + b2 ab
b) 2 b (a + b) d) a (a + b)
R
B
a)
5+ 3 13
b)
8+2 3 13
c)
5- 3 3
d)
5-2 3 13
5+2 3 e) 13 8. En un triángulo rectángulo ABC, recto en "B", interiormente se ubica un punto "P", tal que: 14. En la figura mostrada, PQCD es un cuadrado, mBBAC = 52º; mBACP = 2º. m AC =18º, CE= 5 +1. Calcule FR. Además: PB = 5 y AC = 10 + 2 5 .Calcule: A mBPBC. !
a) 12º d) 20º
b) 16º e) 30º
c) 18º
C
Q F
9. En una circunferencia, se traza la cuerdaCD y el diámetro AB los cuales se intersecan en "P", tal que: mCAD =144º. Calcule el radio de dicha circunferencia, si las distancias de "A" y "B" aCD son 1 y 5 m, respectivamente.
!
a) 1 d) 1 2
b) 2 e) 3 2
c) 3
10. En un dodecágono regular: ABCDEFGHIJKL, AG ∩ DI ={P}. Calcule: AP, si AB= 6 . a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 11. En un cuadrilátero ABCD inscriptible, mB BAC=60º, mBBCA=15º y el circunradio del cuadrilátero es "R". Calcule AC. a)R( 2 - 2 - 3 ) b)R( 2 + 2 - 3 ) c)R 2 + 3 d)R( 3 - 2 + 3 ) e)R(2 +2 +3 )
R P
a) 1.5 3 d)
E D
B
2
O
b) 2 e)
c) 1 5 +3 2
15. En un triángulo ABC se tiene que : m BA=75º, mBB=45º, AC=2 2 m. Calcule la longitud del segmento que une los pies de las alturas trazadas desde los vértices "A" y "C". a) 3 4 3 d) 2
b) 1
c) e) 2
5 4
Tarea domiciliaria 1. Calcule el apotema del octógono regular, cuyo 6. En la figura, R= perímetro es igual a 32 2 - 2 u. a) 4u
b)
18º
A
R
2. En la figura : AC y BD son los lados que corresponden a polígonos regulares de 4 y 3 lados, respectivamente. Calcule " φ". E
A B C
b) 20º e) 12º
c) 18º
3. Calcule el lado del decágono regular cuyo apotema mide: 2 5 + 5 a) 2( 5 +1)u c) 2( 5 - 1) e) 2/3( 5 - 1)
5
10 +
/2
b) 8 d) 12
4. En la figura, AB= 4 - 2 2 u,BC= R= 2 u. Calcule "n".
5 - 5 uy
A θ
B
b) 130º e) 150º
c) 135º
8. En un octógono regular ABCDEFGH, inscrito en una circunferencia, sobre el arco BC se ubica el punto "P", de tal manera que: PA=a y PG=b. Calcule PE. b) 2b - a e)
c)
2ab
a2 + b2
9. Calcule el apotema de un polígono regular de tres lados, si el perímetro de su región es igual a 18u. a) 4u d) 3
b) 2 2 e) 6
D
c) 6
2 5. Calcule el lado del dodecágono regular, si el producto de su lado con el apotema es igual a dos unidades. b) 2 2 e ) 2 +3
5 - 1)
c) 3
10. En la figura, AC y BD son lados que corresponden a polígonos regulares de 5 y 3 lados, respectivamente. Calcule "x".
C
b) 4 5 e) 4
d) 2(
a) 120º d) 142º
a) a + b 2 d) 2b - a
R nθ
5 + 10
b)
7. Se tiene un triángulo obtusángulo ABC, obtuso en "B", de tal manera que : m BC=15º, AB=2 4 - 2 3 u y AC=4u. Calcule m BB.
D
a) 24º d) 15º
a)
c) 5 + 5 e) 2( 2+ 2)
φ
a) 4u d)2 2 - 3
B
2+ 2 d) 2 2 +2
c) 2 e) 4 2 - 2
a) 2 u d) 3
2 u. Calcule AB.
c) 8
C
A
B x
a) 18º d) 9º
b) 15º e) 6º
c) 12º
11. Calcule el perímetro de la región del pentágono regular cuyo apotema mide dos unidades.
16. En la figura : AB= 2 u, AD=2u y CD= 6 u. Calcule BC, si R2=2u2.
a) 5( 5 - 1) 10 - 2 5 u
C
B
b) 5( 5+ 1) 2 c) 10( 5 - 1)
10 - 2 5
d) 5( 5 -1) 5
+5
e) 10( 5 +1)
R
A
5 -1
12. En la figura, AB y BC miden 8 u y 12 u, respectivamente. Calcule: (α - φ), si R=2u.
a) 3 u d) 3
D
b) 2 2 e) 5
c) 2
C B
17. En un triángulo acutángulo ABC, se trazan las alturas AM y CN, de tal manera que: m BNCM=30º. Calcule MN, si AC=8u.
φ α
a) 4( 5 -1)u d) 4
R
b) 2 2 c) 2( e) 10 2 - 5
5 +1)
A
a) 5º d) 15º
b) 8º e) 10º
18. En la figura : BC=4. Calcule AB.
c) 12º
B
13. El perímetro de la región de un octógono regular es igual a 32 unidades. Calcule el apotema de dicho polígono. a) ( 2+ 2)u d) 8( 2 - 1)
b) 2(1+ 2) e) 3 3
2 u. Calcule AB.
α
a)2u d)
A
B
b) 4 + 2 2c)2 e) 2 2 1+
^
h
2-
2
15. En un triángulo obtusángulo ABC, obtuso en "A"; se sabe que: m B =18º; AC=10u y BC=(5+5 5 )u. Calcule m BA. S
b) 115° e) 150°
C
b)2 2 10 - 2 5 5
^
c)2
h
5 -1
e) 2(
10 - 52 5 5 - 1)
19. Se tiene el trapecio isósceles ABCD,AD // BC, de modo que: AC=AD y mBCAD=36º. Calcule BC, si BD=( 5 +1)u.
R
a) 105° d) 135°
36º
c) 4 2
14. En la figura,α= 135º y R =
a) 2 2 d)3 2
A
c) 120°
a) 5 - 1u d) 2
b) 4 e) 5
c)
5+1 2
20. Calcule la razón entre los perímetros de un hexágono regular y un octógono regular inscritos en una misma circunferencia. a) 3/8c) 3/4 e) 2 - 2
b) 4/3 d) 3/4
2 - 2
Problemas resueltos 1. En la figura, ABCD es un cuadrado: AB=3; r=1. Calcule el área de la región triangular PAQ.
Resolución:
B 3 N
N
Q P
r
M
R
∼
∼
M
S B
C
Q A
P
m
m
C
S
Como QR // AC ∆QPS ≅ ∆QBR (ALA) ⇒ SP=3 N+M= 3.3
A Resolución:
2
P B
C
A SOMB=2(
1
2 2
x 9
2
\A SOMB=9
2 2
2 2
S + L )=2
Q
3. Según el gráfico, "B" y "C" son puntos de tangencia, mAB =37º y el área de la región OPQC=10. Calcule el área de la región triangular BPQ. !
3 2
A
A
Piden A∆PAQ AC ⊥PQ 2 7 2 A∆APQ= 2 × 2 \x=3,5.
B
P
Q
O
C
2. En la figura, AP=PC, PQRS es un cuadrado y BQ=3. Calcule el área de la región PQBR. B Q
A
R
P
S
C
Sea G baricentro de ∆ABC ∆ BGE ≅ ∆ETC m 2 = . 9531 . . 2M= 3 5 × 3 \ 6M=9 5
Resolución:
A
37º B l
P
5. En el gráfico, calcule "x". (BC=2AB. AM=MC)
37º Q
2l
B l 37º
53
º/2
53º/2
O
C
2l
x
3
A
C
M
BQ=QC
Resolución:
53 º y 127 º) QC=l, OC=2l 2 2 > OPBQ: inscriptible
∆ BQO (NOT
B
mBBQP=37º
x
M
Piden "x"
4. Calcule el área de una región triangular en la cual las longitudes de las medianas son 6, 9 y12. B /
a /
M 4
A
2
6 M 2
E
G
8 M
3
⇒A∆ABM=A∆MBC
ax = 2a.3 2 2 \x=6
Piden 6M
M 4
3
A
3 5 \ A ∆PBQ =5 =5 ×
Resolución:
2a
a
∆PBQ= l.2l Sen 37º 2 2 =l .Sen 37º
M
T
M 6
M C
C
Problemas para clase 1. En el gráfico, calcule el área de la región sombreada, si BF = 5u y AC = 12 u. B F
A
a) 60 u2 d) 30
a) 120/11 dm b) 240/11 d) 21 e) 42 C
H
b) 45 e) 15
c) 40
2. ABCD es un cuadrado, "Q" es punto de tangencia. Si BQ = 9 dm, calcule el área de la región triangular BFE. Q C
B
5. Calcule el área de una región triangular, si su inradio mide 2 dm y los segmentos determinados por la circunferencia inscrita sobre un lado miden 3 dm y 5 dm.
E
c) 20
6. En un triángulo rectángulo, la suma de los ex-radios relativos a los catetos es 13 m y el inradio es 1 m. Calcule el área de dicha región triangular. a) 11 m2 d) 15
b) 12 e) 16
c) 14
7. En la figura mostrada, calcule el área de la región sombreada PBS, si el rectángulo se encuentra inscrito en el triángulo ABC, además: AP=4, PS=13 y SC=9. B
A
D
F
R
Q
a) 81 dm2 b) 81/9 d) 81/2 e) N.A.
c) 27/2
3. Calcule el área de la región triangular ABC, si R.AB=12 cm2 y mBPAB=mTQ . (T: punto de tangencia). !
C
A
C
S
P
a) 65 d) 104
b) 78 e) 156
c) 91
8. En el gráfico, QM=6u. Calcule el área de la región sombreada. (TM=MB).
B
A
R Q P
a) 6 cm2 b) 8 d) 12 e) 24
c) 10
O
Q
a) 8 2 u 2 b) 9 2 d) 16 2 e) 18 2
4. Calcule el área de la región sombreada en m, el semicírculo mostrado, si AP=PC, BP=2 PD=4 m. C
R P
D
b) 2 e) 8
c) 12 2
O
P
a) 1 d) 6
N
B
9. En el gráfico, calcule el área de la región sombreada, si Rr=8u2 y mBOPQ=45º.
B
A
M
T
T
A
r
Q
c) 4 O2
O1
a) 6u2 d) 12
b) 4
c) 8 e) 16
10. En la figura, halle las relaciones de las áreas de las regiones triangulares AOP y OO 1Q.
2
13. En la fgura: [(CT) - R] R=16 m . Calcule S1+2S2, siendo "F", "N" y "T" puntos de tangencia.
Q
F S2
P
B
O1
N S1
A
B
O
a) 1:3 d) 1:1
T
b) 1:4 e) 1:5
a) 10m2 d) 8
c) 1:2
11. "P", "Q", "R" son puntos de tangencia, PB=m, AP=n. Calcule el área de la región triangular ABC. B Q
P
60º
C
R
b) mn c) mn 2 e) mn 3 3
a) mn
3
d) mn 3 2 12. En el gráfco mostrado, calcule el área de la región sombreada, si AL=5 y LQ=4. ("O" → centro). P Q L θ
A
a) 15 3 2 15 5 d) 4
θ
O
b) 15 5 2 15 3 e) 4
B
c) 15 7 4
b) 12 e) 20
c) 16
14. En una los circunferencia de diámetro AB se inscriben triángulos isósceles AMC(AM=MC) y CBN(CN=NB), tal que "C" pertenece al diámetro y "M", "N", al arco AB. Si AC=2BC=4, calcule la relación de las superficies triangulares AMC y CNB. a) 1:2 d) 4 10 : 5
A
C
A
b) 3:7 e) 2 : 6
c)
5: 2
15. En un triángulo rectángulo ABC, recto en "B", se traza la bisectriz interior BD, la cual al prolongarse corta a la circunferencia circunscrita en el punto "M". Calcule el área de la región triangular ABC, si BD=4 m y DM=6 m. a) 26 m2 d) 24
b) 25 e) 20
c) 18
Tarea domiciliaria 1. Los lados de un triángulo ABC miden 2u; 3u y 5. En un triángulo rectángulo ABC, recto en "B", se 4u. Calcule el área de laregión del triángulo y los construye exteriormente el cuadrado ACDE. Si valores del inradio y circunradio. AB=4u y BC=6u, calcule el área de la región del triángulo ABD. 3 5 15 8 15 a) u, u, u a) 20 u2 b) 18 c) 30 4 6 15 d) 40 e) 24 b) 15 u, 15 u, 15 u 4 6 8 6. Se tiene un triángulo ABC, donde: AB=40u, BC=14u y AC=30u. Calcule el radio de c) 3 5 u, 15 u, 2 15 u d) 3 15 u, 4
la circunferencia que tiene su centrodeen prolongación de AC y que es tangente BClay la prolongación de AB.
15 u, 8 15 u 3
e) N.A. 2. En la figura se tiene un cuadrado de lado igual a 2u. Si "M" y "N" son puntos medios, calcule el área de la región del triángulo sombreado. Además, "T" es punto de tangencia. N
B
C
T
A
a) d) 7/4
c) 2
d) 16
c)
B
b) 240 17 477 e) 34
c) 15
C
A
a) 40 u2
D
b) 80
d) 120
4. Sobre los lados de un triángulo ABC, se construyen exteriormente 3 cuadrados de áreas 18u2 ; 20u2 y 26u2, respectivamente. Calcule el área de la región del triángulo ABC.
c) 100
e) 150
9. En la figura, ABCD es un cuadrado de lado 20u. Calcule el área de la región del triángulo BEF, siendo "E" y "F" puntos de tangencia de las semicircunferencias. B
a) 9 u2 b) 10 d) 26 e) 2 26 2
c)
67 3 4
T
3. En un triángulo rectángulo, la bisectriz interior del ángulo recto determina sobre la hipotenusa dos segmentos parciales, cuyas longitudes son de 3u y 5u. Calcule el área de la región del triángulo rectángulo mencionado. a) 480 u2 17
b) 18 3
d) 69 3 e) 65 3 4 4 8. En el gráfico, ABCD es un cuadrado de lado 20u. Calcule el área de la región sombreada, siendo "T" punto de tangencia.
D
b) 3/2 e) 5/3
168 13
c)
7. Se tiene un hexágono equiángulo ABCDEF, tal que : AB=3u, BC=4u, CD=2u y DE=6u. Calcule el área de la región hexagonal mencionada. a) 16 3
M
1u2
a) 12u2 b) 15 d) 168 e) 30 17
C
26
T F E A
a) 48 d) 60
u2
b) 50 e) 80
D
c) 56
10. En un triángulo acutángulo ABC, las distancias 16. Se tiene un triángulo ABC, en el cual: AB=15u, desde los vértices "A", "B" y "C" a los lados del BC=14u y AC=13u. La prolongación de la triángulo órtico miden 2, 3 y 6,respectivamente. mediana AM interseca a la bisectriz exterior del Calcule el área de la región del triángulo ABC. ángulo "B" en el punto "E". Calcule el área del triángulo BME. 2 a) 6 u b) 18 c) 24 d) 30 e) 36 a) 42 u2 b) 45 c) 46 d) 49 e) 147/4 11. En un triángulo de hipotenusa 20 u y en el que un cateto es el triple del otro, calcule el área de 17. En un triángulo ABC, se trazan las cevianas BM su región. y CN, las cuales se cortan en "H". Calcule el área de la región triangular ABC, si las áreas de a) 120 u2 b) 60 c) 80 las regiones BHN, BHC y HMC son 6u 2, 12u2 y d) 100 e) 200 2 8u , respectivamente. a) 30 u2 b) 36 c) 42 12. En un triángulo ABC, se traza la mediana AQ. d) 50 e) 45 Sean "M" y "N" puntos medios de AQ y AB, respectivamente. Calcule el área de la región triangular MNB, si el triángulo ABC tiene como 18. En un triángulo ABC, sobre el lado AC se toman los puntos "E" y "F", tal que EF=3u. Si AB=13u, área de su región 80 u 2. BC=15u y AC=14u, calcule el área de la región a) 10 u2 b) 8 c) 9 triangular EBF. d) 5 e) 20 a) 36 u2 b) 18 c) 32 13. En un triángulo ABC se traza la ceviana BR y d) 24 e) 16 sobre ella se marca el punto "Q", de modo que: BQ 3 S 19. En la figura, calcule el área de la región = y RC=AR. Calcule: AQR QR 2 S ABC sombreada. (AB=6u y EC=3u). a) 2/15 d) 3/16
b) 1/20 e) 1/5
B
c) 3/20
x
14. En un triángulo ABC se trazan las medianasAN y BM que se cortan en "G". Calcule el área de la región triangular MGN, si el área de la región triangular ABC es 12 u2. a) 2 d) 1
u2
b) 3
C
c) 4 a) 18 u2 d) 15
e) 6
2x
A
E
b) 9
D
c) 4,5 e) 12
15. Se tiene un triángulo ABC, se traza la mediana BM y la ceviana AN, las cuales se cortan en "P" 20. Se tiene una circunferencia de diámetro AB, y BN=2(NC). Calcule el área de la región del centro "O" y radio OC. Sea AE una cuerda que triángulo APM, sabiendo que el área de la región mide 10u (E ε AC y m BAOC=90º). Calcule el 2. del triángulo ABC es 100 u área de la región triangular AQB, siendo "Q" la !
2
a) 8 u d) 10
b) 12 e) 15
c) 20
intersección de AC y EH. (EH ⊥ AO). a) 25 u2 b) 100 c) 50 d) 30 e) 75
Problemas resueltos 1. En el gráfico se muestran tres cuadrados. Si el área del cuadrado mayor es 100 m 2, calcule el área de la region sombreada (O: centro).
2. En el gráfico, (AP)(BD)+16=(AB)2+PL2. Calcule el área de la región paralelográmica ABCD. P
Q
45º
B
O
C
A
D L
Resolución:
Resolución:
a+b
A
a
P
B
Q 45º
a a
/
m
45º
B
O
n X
b
b
/
A
C
a
45º
θ
S
º 5 4
m
D
L D
b
Piden "x", región sombreada x= A4 ABCD 2 (a + b + a) + b a b + 2 x= 2
m^
c
x=
h
(2a + 2b) a b + 2 2
^
h
2
x= (a + b) . 2
pero, por dato, (a+b) 2=100 \X=50.
C
a.a + 16 = n2 + m2(DATO) piden A 4 ABCD ∆ ALP ≅ ∆ADB ⇒ AD=m, AP=BD
a2=n2+m2 - 2nm Cos 45º a2=n2+m2 - nm 2 (2) DE2 (1) y (2)2 a +16=n +m2 n2+m2=a2+nm 2 16=nm 2
⇒ mn=8 2 \A 4 ABCD= nm Sen 45º= 2 × 2 =3 .
3. ABCD es un paralelogramo. Calcule la relación entre el área de la región sombreada y el área del 4 ABCD (BM=MC). M
B
C
∆OCD: Not ( 53º ) y ( 127º ) 2 2
mBTCD=53º A reg. sombreada= 10.20 2 =100 × 3 5 \ A reg. sombreada=60.
A
5. En el gráfico, calcule el área de la región sombreada (TM=AM). "T" es un punto de tangencia. BC=a y CA=b.
D
Resolución:
M
B
C
S
S S
P
2S
N
O
T
2S
3S
M
A
D
Por prop.: A∆MNC= A4ABCD 12
Sea A
4=12 S
C
B
A
Resolución:
⇒A∆MNC=S
A4ABCD =3S 4 A 4ABCD Por prop. A∆BOC =3S 4 \ Asomb = 4S = 1 . A4ABCD 12S 3 Por prop. A∆MDC
a + 2b 2
O S
T /
M /
a/2
4. Calcule el área de la región sombreada, si AB=20. (T es punto de tangencia). (TL=LC) ABCD: cuadrado. B
C L
B
a
C
` a+22b + a + bj 2
^a + bhb
T
S= (3a + 4b) (a + b) b 4 D
Resolución:
20
B
10
20 53º
A
C
37º
10 L
53º
53º 2 20
T
10
10
D
A
Tangente: (AT) 2=(a+b)b por prop.: S= A4BOTA 2 S=
A
b
(a + b) b
Problemas para clase 1. En la figura, calcule el área de la región paralelográmica EBFN. AE=4u, AB=BC=10 u, FC=9 u.
5. Calcule el área de la región sombreada, si el área de la región del cuadrado ABCD es 90 2u. ("P" y "Q" son puntos medios).
B
C
B F
E
Q
N C
A
A
a) 23 u2
b) 56
c) 23,2
2
e) 144 25
d) 42,88
2. Según la figura, "T" es punto de tangencia y "O" es centro. Calcule el área de la región rectangular ABCD, HD=6u, H ε TE . !
a) 13 u2 d) 39
D P
b) 26 e) 52
6. En la fgura mostrada, ABCD es un cuadrado. Si AB=2 5 u, calcule el área de la región cuadrangular sombreada. B
T
u2
a) 9 d) 36
Q
C
A
O
b) 12 e) 48
E
D
c) 20
3. El exradio relativo a BC de un triángulo ABC, mide 4u. Calcule el área de dicha región triangular, si los segmentos determinados por la circunferencia exinscrita sobre el lado BC miden 1u y 2u. a) 15 u2 4 16 d) 5
b) 13 5
A
D M
a) 1 u2 d) 5
b) 2
c) 3 e)
5
7. Según la figura, "P", "Q" y "T" son puntos de tangencia. Calcule el área de la región rectangular ABCD; MN contiene los centros de las circunferencias de AM=8u, AT=2u. C B
c) 12 7
Q
P
N
e) 6
4. En un triángulo ABC se trazan las medianas AN y BM que se cortan en "G". Calcule el área de la región triangular MGN, si el área de la región triangular ABC es 36 u2. a) 2 u2 d) 1
C
P
H B
c) 30
b) 3
c) 4 e) 6
A
T
D
M
a) 24 d) 20
u2
b) 30 e) 40
c) 36
8. En la figura, "T" es punto de tangencia. Calcule el área de la región limitada por el paralelogramo ABCD y CT=6. T
B
12. El área de la región del paralelogramo ABCD es 120 u2. Calcule el área de la región sombreada ("M" y "N" son puntos medios). M
B
C
C
N 53º
D
A
a) 12 u2 d) 24
A
b) 18 e) 27
c) 12
2
9. Calcule el área de la región paralelográmica ABCD, en BC se ubica el punto "P" y en CD, el punto medio "M", m
b) 18 e) 27
c) 12
a) 30 d) 22,5
B
13. Del gráfico, calcule el área de la región triangular ABC, si S1=9 u2. //
S1
a) 36 u2 d) 60
b) 42 e) 64
c) 48
C
14. Dado un triángulo ABC, cuya región tiene
D
b) 4
un área de 18 m2, se traza la altura BH, si la mediatriz de AC intersecta a BC en "N". Calcule el área de la región cuadrangular ABNH.
c) 5 e) 8
11. En la fgura, ABCD es un rectángulo, y el área de su región es 48 m2. Calcule el área de la región sombreada ("M" y "N" son puntos medios). B
C
a) 6 m2 d) 10
b) 8
c) 9 e) 12
15. Calcule la diferencia de las áreas de las regiones sombreadas, si el lado del cuadrado ABCD mide 8 u. (CM=MD).
M
B
A
d) 8
c) 25
//
A
a) 6 m2
b) 27,5 e) 20,5
2
2, C=12 u 2; D= 15 2 10. En el gráfco, A=92, uB=10 u u. Calcule el área de la región sombreada.
a) 3 u2 d) 6
D
u2
D
N
b) 4
C
M
c) 5 e) 3 A
u2
a) 8 d) 16
b) 12 e) 20
D
c) 15
Tarea domiciliaria 1. Calcule el área de la región del rectángulo de 98 7. Calcule el área de la región sombreada, si el área m de perímetro y 41 m de diagonal. de la región del paralelogramo ABCD es "S". Los puntos "P", "Q" y "R" son puntos medios. 2 a) 720 m b) 360 c) 540 d) 640
e) 480
Q
B
2. Calcule el área de la región de un trapezoide simétrico, si sus diagonales miden 14 u y 24 u. a) 124 u2 b) 84 d) 172 e) 147
C
P
R
A
c) 168
D
a) S/6
b) S/12
c) S/24
d) 3S/8 e) S/48 3. Calcule la altura de un trapecio de bases 5yu13 u, si es equivalente a un cuadrado de lado 6 u. 8. Si ABCD es un paralelogramo, calcule "Sx", si S1=7 u2; S2=5 u2 y S3=3 u2. a) 2u b) 4 c) 6 B C d) 3 e) 9 4. Si A, B y C son cuadrados, calcule la relación entre las áreas de sus regiones.
S2 A
B A
a) A = B + C 2
b) 12 e) 7,5
S∆AQD=6 u. Calcule el área de la región del paralelogramo ABCD. B
A= B+ C
C Q
e) A=B+C - 2 BC 5. Calcule el área de la región del trapecio ABCD, si CQ=1u y QD=9 u. B
C /
Q
D
A
b) 48 e) 40
c) 36
6. AFEG es un rectángulo. Si AF=8 u y FE=12 u, calcule el área de la región sombreada. F
A
a) 28 u2 d) 36
D
E
b) 30 e) 27
c) 34
10. Las bases de un trapecio miden 4 u y 10 u; las diagonales miden 13 u y 15 u. Calcule el área de la región del trapecio.
R
a) 24 u2 d) 32
c) 15
9. En la figura mostrada: AE=2(ED). Además,
2
b) A =B +C c) A2=B2+C2 - BC d)
D
S1
C
a) 10 u2 d) 20 2
Sx
S3
a) 48 u2 d) 63
b) 62 e) 80
c) 84
11. El gráfico mostrado, ABC, es un romboide. "M" y "N" son puntos medios de AB y CD. Halle la diferencia de áreas de las regiones sombreadas. M
A
B
E P
A
a) 16 u2 d) 32
b) 24 e) 34
G
c) 48
D
a) 0 d) 3
N
b) 1 e) 10
C
c) 2
12. Del gráfico, "B" y "C" son puntos de tangencia. Si AB=4 dm y CD=9 dm, calcule el área de la región cuadrilátera ABCD.
14. En el gráfico, si ABCD es un cuadrado, calcule: S1/S2. B
C S1
E M
C
B A
S2
D
a) 37 dm2 b) 50 d) 57 e) 67
A
a) 1 2 d) 1
13. yABCD es un paralelogramo. HE // AB, S∆ALB=18 S∆HLE=8. Calcule S∆DEC. B
C
a) 20 d) 15
b) 10 e) 25
b) 1 3 e) 2
c) 2 3
15. ABCD es un cuadrilátero, calcule el área de la C
B
L
H
D
región sombreada. (AN=CM=MD=4)
E
A
N
c) 56
D
M
c) 12 A
a) 32/15 d) 32/17
N
b) 16/15 e) 18/13
D
C) 17/15
Problemas resueltos
1. Calcule el área de la región sombreada, AB=8.
Resolución: Piden: Á. reg. somb.
2
O A
M
B
O
Resolución:
2 C
R
2
L 4 45 /2 5 º
2 2 A
45º
S 15º 2
B
T R=2
N 4 22
45º
45/2
M 2 2 O 4
B
4
Piden: Área sombreada * LMN: Isósceles m LMN=45º 2 2 * Á reg somb.= 45º (2 2) - (2 2) sen45º 360º 2 2 = -
* Por propiedad: M TS=60º STB=30º m RTS: Isósceles MTS=90º * Á. reg. somb. =A OCS - A OCS 2 = 90 2 - 2.2 360 2 = -2
2. Calcule el área de la región sombreada (T: Punto de tangencia), si: R=2.
3. En el gráfico, el área de breada si las calcule circunferencias y la el región círculosomson tangentes R=3 y r=2. (M, P y Q: puntos de tangencia).
R
r
T R
M
P
Q
* T. Cuerdas: 3 x 8=4(CL) CL=6 * Por teorema de Faure:
Resolución: Piden A
3
2 r
P Q 1 Por propiedad: = 1 +1 r 3 2 r2=36(( 3 - 2)2)2
32+42+82+62=4R2 R= 5 5 2 2 5 5 * A.somb=M - 11×4 2 2
M
=
125M - 22 4
5. En el gráfico mostrado, calcule el área de la región sombreada. T, P y Q: Puntos de tangencia. PL=4LT, R=6.
A =36 (5 - 2 6)2 4. Calcule el área de la región sombreada, si: AC=3; BC=4, CD=8
T
Q
L
R
D
B
P C
Solución:
A Solución:
T D
B 8
4 3
C
R
A 6
L
Q
KL
76º 14º
4K
152º
6 124º
P Piden: Á. reg. somb. * TLP: (NOT 14º y 76º) mPQ=152º, m QAP=28º 124º (6)2 * Á. reg. somb.= 360º .. . Á. reg. somb.= 62 5
28º
1. En el gráfico muestra un cuarto de círculo y un 5. Calcule el área sombreada donde los lados del semicírculo. AM=MO=2 3. Calcular el área cuadrado ABCD son diámetros de los semicírde la región sombreada. culos AB=6 cm. A B C N
M
O B a) 5 - 6 3 b) 5 + 6 3 c) 4 - 3 d) 4 + 3 e) 10 +3 3 2. Calcule el área de la región sombreada, si R=8'cm; r=2 cm.
A
D
a) (15 - 6 3) cm3 c) (6 - 15 3) e) (5 - 6 3)
b) (15 - 18 3) d) (6 +15 3)
6. Indique qué relación es la correcta: C r
E
R - 2) cm2
a) 20(3
- 1) cm2
c) 20(
A
R - 2) cm2
d) 10(2
3. Calcule el área de la faja circular cuyas bases son el lado del hexágono regular y del triángulo equilátero inscrito en una misma circunferencia, además el radio de la circunferencia es R= 6 . a) / 3 cm2 b) / 2 c) d) / 4 e) / 6 4. Calcule "Sx", si: S1+S2=25 Sx
2 2
b) 50 e) 35
a) A+B+C=D+E
b) E - D=A+B+C
c) A+B+D=E+C
d) B+D=A+C+E
e) A+E=B+C+D 7. En la figura mostrada, se pide S4, si los triángulos ABC, AFG y FHC son equiláteros: S1+S3=16 cm2 y S2=4 cm2 R B G
2
H
S2 S1
S1
S3
F S4
a) 20 cm d) 12
S2 a) 30 d) 20
B
- 2) cm2
b) 10(
- 2) cm2
e) 10(3
r D
2 2
c) 25
2
2
A b) 24 e) 14
C c) 10
8. En el gráfico: B+C+D=12
2.
Calcule: "A"
a) 96 m d) 114
2
b) 110 e) 118
c) 112
D C
12. Según el gráfico, calcule el área del círculo sombreado, si ABCD es un cuadrado cuyo lado mide 3( 3+2) cm (P y Q son puntos de tangencia). B Q C
B
A a) 12 d) 15
2
b) 9 e) 18
P c) 6
x S
d)
b) 3 +4
-1
13. En el gráfico: AB es diámetro. Si: S1, S 2 y S3 representan las áreas de las regiones sombreadas, ¿qué relación existe entre S1, S2 y S3? T: punto de tangencia. A
c) +3
e) 3 +1
S1 T
10. Del gráfico, calcule: S1+S2 - S3, si: AM=MD. (ABCD: cuadrado) B C 3
S1
a) 2
M
b) 3 d) 5
S2 S3
B
a) 2S 3=S2+S1 c) S1.S2=S1 e) 2S1+S2=S3
S2
A
c) e) 25
P a) 3 +2
D
A b) 4
9. En el gráfico, calcule el área de la región "x", si el área de la región S=4 2. (P: punto de tangen- a) 6 d) 9 cia).
S3 D
b) S3 - S2=S1 d) S2+S3=2S1
14. En el gráfico: A+C=B; y=18 2. Calcule "x". y
c) 4 e) 6 A
11. En el gráfico, calcule el área de la región sombreada, si el lado del cuadrado ABCD es de 20'm y =3,14. B C
B a) 18 d) 9
A
D
x
2 2
C
b) 16 e) 6
2 2
c) 12
2
15. Calcule "S3", si: S1=16 m2, S2=9 m2 (P y Q: puntos de tangencia). P Q S1
S2 S3
a) 12 m d) 36
2
b) 24 e) 52
c) 48
1. En el gráfico se muestra dos circunferencias 3. En el gráfico, calcule: S2 - S1, si el lado del cuaconcéntricas de centro "O", AB es una cuerda drado ABCD es 4 . de la circunferencia mayor y tangente a la cirB C cunferencia menor. Calcule el área de la corona S1 circular formada. Si: AB=2m. A
O
B
S2
O a) (3 - 8) d) (6 +8) a) 2 m 2 d) 4 m2
b) 3 m2 e) m2
c) 3 4
m2
2. Si: ABC es un triángulo equilátero de lado 2 3 . Calcule el área del círculo. B
2 2
A
b) 2(3 - 8) e) 2(6 - 8)
a) 2 d)
2
b) 3 e)
2
R 30º
B
P
a) (10 - 3) 2 2 c) (15 - 6 3) e) ( - 3 3) 2 A
D c) (6 - 8)
4. En el gráfico se pide el área de la región sombreada, si: OA=OB,R=2 3 y m AOB=30º. A
O
2
2 2
b) (12 - 6 3)2 2 d) (5 - 6 3)
C 2
2
2
c) 4
2
5. Dados los círculos de centros A y B, calcule elárea de la región sombreada. (A: punto de tangencia). R A
R B
14. En el gráfico: O y O1 son centros. Si: EF=4 y BC=5 , calcule el área de la región sombreada. E
B E
F
A F C
O1 O
2 - Sen2 a) a 2 90
2 - Sen b) a 4 60
2 - Sen4 c) a 2 90
2 - Sen2 d) a 2 30
e)
a2 8 10
p a) 29 9
2
p b) 39 13
d) 19p 3
2
e) 245p 24
B
C p c) 17 7
2
2
2
.-.9Sen2
15. En el gráfico mostrado, se sabe que "O" es centro, "P" y "Q" son puntos de tangencia,HA=2 y 13. A es centro de los arcos concéntricos CTQ HO=3 . Calcule el área de la región sombreay BP, ambos suman º. Si: AB=BC=CD y da. DT=2 5 , calcule el área de la región somA breada. (T: punto de tangencia) A Q
H B
P
C
Q
D
a) d)
p
30 p
90
O
T 2 2
b) e) 8
p
2
15 2
c)
p
60
2
a) 265p - 432 256 c) 224p - 243 266 e) 2p 2
P 2 2
B
b) 265p - 423 265 d) 432p - 624 624
2 2
1. En el gráfico: ABCD ytriangular DEFG son cuadrados, el área de la región paralelográmica el área de la región BCE es 18 m 2si, 5. Calcule ABCD, con diámetros en DC se traza interiorcalcule el área de la región DEAF. mente una semicircunferencia que pasa por el centro del paralelogramo e intersecta a BC en D C P. BP=2 y PC=8 2 2 a) 15 2 b) 20 c) 30 G 2 2 d) 45 m e) 60 m E B a) 9 m 2 d) 12 m2
A b) 9 2 m2 e) 18 m 2
F c) 9 3 m2
6. Calcule el área de la región rombal ABCD, en AD se ubica el punto E, BE intersecta a AC en P m BPC=45º, PC=a y AP=b. 2 2 2 2 a) a +b b) a - b c) ab 2 2 2
d) 2ab e) a2- b2 2. En el gráfico: AP=PB, AM=MC y DM=ME y BF=FD. Si el área de la región SFD es 9 2. Cal7. En una región rombal ABCD cuya área se desea cule el área de la región MEC. conocer, con centro en B y radio BC se traza un B arco de circunferencia que intersecta a la proF longación de AD en P . PD=1 y BC=5 D 2 2 P a) 10 2 b) 15 c) 20 S 2 E d) 25 2 e) 30 A a) 12 d) 27
2 2
b) 15 e) 36
2 2
M c) 18
C 2
8. En el gráfico: 5AB=10BC=10AD=2DE. Si: S1=27 m2, calcule: S2. A S2 BD
3. Calcule la medida del menor ángulo de un triángulo que tiene por ex-radios cuyas longitudes son 2; 3 y 6 m, respectivamente. 37º a) b) 30º c) 45º d) 53º e) 60º
S1 C
4. En un triángulo ABC inscrito en una circunferencia sus sagitas miden 1 m, 2 m, 5 m. Calcule el área de la región ABC. a) 12 m 2 b) 16 m 2 c) 20 m 2 2 2 d) 22 m e) 24 m
a) 9 m d) 4
2
b) 6
E c) 5
e) 3
9. Del gráfico, calcule el área de la región triangu- 12. De la figura: B, P y T puntos de tangencia. Calcule el área de la región (BTP). Si: S1 . S2=100 m4 lar ABC, donde: BD=8 m. T B P S1 r A
D b) 64 m e) 32 m
a) 72 m 2 d) 40 m2
C 2 2
S2
A
r
c) 48 m
2
a) 5 m 2 d) 10 m2
C
B b) 6 m e) 12 m
2
c) 8 m
2
2
13. En el gráfico: x=7 dm2 y w=12=dm2. Calcule el valor de "y". 10. Si: BC//AD, AM=BC y el área de la región C 2 B ABCD es 40 . Calcule el área de la región sombreada. w x B C a
y A
a A a) 140 3
b
M b) 145 3
D
b c)
160 3
a) 12 dm 2 d) 15 dm2
b) 13 dm e) 16 dm
2 2
D c) 14 dm
2
14. Calcule el área de la región triangular máxima inscrita en una circunferencia de radio a. d) 140 e) 170 2 3 9 a) 3a 2 b) a2 c) a 2 2 2 11. Calcule el área de la región sombreada PQR, si d) 3a4 3 e) 3 3a2 2 el área de "X", "Y" y "Z" suman 20 m2. Además: AD=2DC, CF=2FB, BE=2AE 15. El área de la región paralelográmica ABCD es B 80 (AM=MD, BN=NC, CP=PD). Calcule el área de la región sombreada. y F N B C Q E x P P R z A C D A M D a) 10 m 2 b) 20 m 2 c) 15 m 2 a) 1 b) 4 c) 3 d) 30 m2 e) 25 m 2 d) 2 e) 6
11. Calcule el área de la región sombreada, si: 15. Si el área de un círculo se duplica al aumentar AO=OB=BC=r. (T: punto de tangencia) su radio en ( 2 - 1). Calcule la longitud del radio srcinal. a) 1 b) 3 c) 1 2 5 r d) 2 e) 3 A
O
3 a) r2 3 6 3 c) r 2 - 6 2
C
B 2 b) r2 3 3 - 3
2
3 d) r 2 - 6
2
2
2
16. En el gráfico, el triángulo ABD es equilátero y AC=10 . Calcule el área de la región sombreada. B
2
º
e) N.A. 12. Si: AO=OB=2 , calcule el área de la región sombreada.
D º
C
A a) 10 3 d) 30 3
45º A a) ( - 2) 2 c) (2 - 1) 2 e) (2 +2) 2
2
b) (2 - 3) d) (4 - 3)
b) 20 e) 40
2 2
3 3
c) 25
2
3
17. En una circunferencia se encuentra inscrito el triángulo ABC, en el cual el producto de la medida de sus tres lados es 48 m3 y el producto de
B
O
2 2
las medidas sus tres alturas es 36 m3. Calcule el radio de ladecircunferencia. a) 1 m b) 2 m c) 3 m d) 4m e) 6 m
2
13. En un triángulo ABC, recto en B, se traza la bisectriz interior BD y por "D" se levanta DE perpendicular a AC ("E" en BC). Calcular el área 18. A, B y C son puntos de tangencia. Si: AB.BQ. BC.BP=36 dm4, calcule el área de la región del triángulo AED, si: AE=1 m. triangular ABC. (A y C: puntos de tangencia). a) 0,25 m 2 b) 0,5 m 2 c) 1 m 2 P 2 2 d) 1,25 m e) 1,5 m Q 14. Calcule el área de la región sombreada, AB=16. (M, N, P, Q: puntos medios). G
A
B
a) 136 m 2 d) 256 m2
a) 12 dm d) 5 dm2
N
Q
D
C
P b) 196 m e) 266 m
B
2 2
c) 220 m
2
2
A b) 9 dm e) 3 dm
2 2
C c) 6 dm
2
19. Se muestra la circunferencia de centro "O" ins- 20. Calcule la razón de las áreas de las regiones crita en el cuadrado ABCD. Calcule el área de triangular y cuadrilátera regulares inscritas en la la región sombreada. misma circunferencia. C a) 323 b) 383 c) 385 d) 343 e) 3 8 5 D O B 4
A a) 4+ 5 d) 4 2
b) 4+ 3 e) 4 2
c) 3 2
1. Se tiene el triángulo equilátero ABC y ACD ubi- 2. Se tiene a un triángulo rectángulo ABC, recto en B, por A se levanta una perpendicular al plano cados en planos perpendiculares. Calcule el ánque contiene al triángulo, tal que: AL=AB=BC. gulo formado por AB y CD. Calcule el ángulo formado por AC BL . Solución: Solución: Piden: m AB y CD Piden: AC BL L B l
4l
E l
3
xl F l
C
2l
a
a
C
A D
M
A
B
a
l
I
2l Se construye al cubo de arista "a"
Sea: AB=4 * Se traza ME // AB, MI // CD * FAI: Ley de los cosenos
L
FI= 7
a 2
x
a 2
a 2
a
* T. Pitágoras: EI 2=( 3)2+( 10)2
a
EI= 7 * MEI: Ley de los cosenos * ( 10 )2= 2+(2 )2 - 2 . 2 . cosx ... x=arc cos - 5 4
I
B
A
* LI // AC * Piden: m AC BL=x * LB=BI=LI=a 2 ... x=60º
a C
3. En el gráfico ABCD es un cuadrado; ABNM un rectángulo ubicados en planos perpendiculares. Calcule la mínima distancia entre AB y RT, si MF=4, FN=12, BR=RC. N F M T
B
A
* A.
4 F
12
h 4
B
5. Un cuadrado y un semicírculo de diámetro AB determinan un ángulo diedro cuya medida se pide calcular, siendo M punto medio del arco AB y el triángulo DMC es equilátero. Solución: M
71
T A
x
B 8
12
R 8
C
D * Por propiedad h 2=4,12 h=4 3 * AB proyectado Q es B * TB proyectado Q es T'R
r
A
4. Se tiene un cuadrado ABCD de centro O, un semicírculo de diámetro OC es perpendicular al plano del cuadrado se traza la tangente AP a la semicircunferencia, AB= 2, calcule el área e la región APB. P B 2
L
2 2 3
1
2 3
O
E
D
O
r
r
d(AB TR)=x * T'BR: RMTR 4 3 . 8=4 7 . x ... x= 8 21 7
A
PL= 10 3 2 . 10 3 5 ABP= 2 =3
D N
ED= 1 6
AE= 4 3 * Por teorema de las tres perpendiculares 2 2 * T. Pitágoras: (PL) 2= 2 3 + 2 3 3
C
R
Solución: M
Solución: 2 * RMTR . 1 = 3 (ED) 2 2
C
B
r
C
2r 2r
L D
Piden: Sea: AB=2r * MDC: equilátero: ML=r 3 * MOL: Triángulo notable de 30º y 60º ... =60º
1. Un plano queda determinado unívocamente P por: C 1. Tres puntos no colineales. 2. El movimiento de una recta que se desplaza B H paralelamente así misma. A R 3. Dos rectas paralelas. 2 2 a) 20 2 b) 21 c) 22 4. Una recta que se mueve pasando siempre 2 2 d) 25 e) 26 por un punto fijo. De estas afirmaciones, son ciertas: 6. En el gráfico, BF es perpendicular al plano del a) 1 y 2 b) 1 y 3 c) 2 y 3 cuadrado ABCD. Si: AB=BF=BC=a y "M" es d) 2 y 4 e) 3 y 4 punto medio de CD, calcule el área de la región sombreada. 2. Calcule el máximo número de planos que deF terminan 8 rectas paralelas y 6 puntos en el esB C pacio. a) 48 d) 96
b) 72 e) 106
c) 84
3. Tres planos paralelos determinan sobre una recta secante L1 los segmentos AE y EB y sobre otra L2, secante los segmentos CF y FD. Si: AB=8'm, CD=12'm y FD - EB=1'm, calcule "CF". a) 4 m b) 7 m c) 5 m d) 1 m e) 9 m
M A a2
2
a) 2 2 d) 3a 8
D a2 2 b) 4 2 e) a 3 4
a2 c) 4
7. En el gráfico, m RHS=30º; OH=5, PH=5 3. Calcule el área de la región PSR. 4. Indicar si es falso o verdadero, según corresponP da: • Si una recta es paralelas a un plano, entonces dicha recta será paralela a todas las rectas contenidas en dicho plano. .....................(__) H R O • Si un conjunto de rectas son paralelas, necesariamente dichas rectas son coplanares. ...(__) S • Si una recta es perpendicular a otras tres da-
25 6 c) 26 b) 3 das, las rectas dadas necesariamente tienen a) 25 2 d) 25 e) 28 3 que estar en un mismo plano que contenga a la perpendicular. ...................................(__) FVV a) b) FVF c) VFF 8. Sean y dos rectas alabeadas que forman un d) FFF e) VVF ángulo de medida igual a 60º. En se marcan los puntos "A" y "B", en se marcan los puntos "P" y "Q" de modo que: AP sea la mínima dis5. En el gráfico, PB es perpendicular al plano R. tancia entre ellas y AB=PQ=2(PA). Calcule la AH=2 , HC=8 , PB=3 . Calcule el área de la relación de QB y AP. región APC. a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
y son dos rectas alabeadas que forman 12. Si una recta es perpendicular a dos rectas: a) Estas rectas son paralelas entre sí. 37º. En se marcan A y B, en se marcan E y F de modo que: AE es la mínima distancia b) Estas rectas se cortan. EA AB entre ellas, m BFE=90º y = . Calcule c) Todo plano paralelo a una de las dos rectas 3 5 será perpendicular a la primera recta. el ángulo que forman AE y BF. d) Todo plano perpendicular a una de las dos 15º a) b) 30º c) 37º rectas será también perpendicular a la otra d) 45º e) 53º de las dos rectas. e) Ninguna de las afirmaciones anteriores com10. Se tienen los segmentos alabeados AB y CD orpleta correctamente a la proporción inicial. togonales: AB=4 y CD=6. Calcule la longitud 9.
delBD. segmento que une los puntos medios de AC y 13. Dado un triángulo ABC: AB=15; BC=8 y AC=17. Por el incentro "I" se eleva ID, perpena) 3 b) 4 c) 13 dicular al plano ABC, siendo: ID= 247. Calcud) 11 e) 15 le la medida del ángulo DAB. 37º a) b) 53º c) 60º 11. En el gráfico, el plano "R" es paralelo al plano d) 45º e) 75º "S"; AM=MB y "G" es baricentro del triángulo ABC. Calcule: PG/GQ. 14. Desde un punto A exterior a un punto se traza B una perpendicular AB a dicho plano y dos oblicuas AC y AD (B, C y D sobre un plano); por B P se traza BR AC y BQ AD. Calcular RC. Si: M N B AR=6; AQ=5 y QD=4. a) 1 d) 2,5
G A S
a) 1/2 d) 1
b) 1/3 e) 1/6
b) 1,5 e) 3
c) 2
Q C c) 1/4
15. Se considera un punto "P" exterior y no coplanar a un rectángulo ABCD. Si: PA=3; PB=4; PC=5. Calcular PD. a) 2 b) 2 2 c) 3 2 d) 4 2 e) 6
12. Por el vértice B deun triángulo equilátero ABCse 16. Se tiene los planos perpendiculares ABCD y ABEF. Se ubica el punto "N" sobre el plano levanta la perpendicular BP al plano del triángulo, ABEF y el punto "M" se ubica sobre el plano de tal manera que: BP=333 y AC=12 ' . Si ABCD, de modo que el segmento MN forma án"M" es el punto medio de AC. Calcule la medigulos de 30º y 45º con los planos ABEF y ABCD respectivamente. Calcule la distancia entre los da del ángulo con que se cruzan los segmentos segmentos alabeados AB y MN, si: MN=12' . BC y PM. a) 4 b) 2 c) 6 3 a) 60º b) 47º30' c) 53º d) 2 e) 40 6 d) 63º30' e) 90º 13. Por el incentro "I" de un triángulo rectángulo 17. Calcule el máximo número de planos que determinan 6 puntos en el espacio. ABC, recto en B, se levanta la perpendicular b) 15 c) 20 IP al plano del triángulo, de tal manera que: a) 10 d) 30 e) 40 IP=25' , AC=61' y BC=11' . Calcule la distancia de P a la hipotenusa AC. 26 a) b) 5 26 c) 29 18. En el plano Q se traza el triángulo ABC y exted) 10 15 e) 31 rior a dicho plano se ubica el punto E. Luego, se ubican los puntos medios M y N de AE y BC, respectivamente, de modo que: 14. Se tienen las rectas alabeadas L 1 y L2 que se EB = MN = AC cruzan formando un ángulo " ". En se ubi3 10 8 can los puntos A y B, en se ubican los puntos Calcule la medida del ángulo entre EB y AC. E y F en es e orden, de tal manera que el segmento AE es la mínima distancia entre dichas 60º a) b) 37º c) 90º d) 40º e) 45º rectas y EF BF. Calcule " ", si: 4 (AB)=5(EF). 60º a) 37º d)
b) 53º e) 30º
c) 45º
b) 17 e) 22
c) 18
19. Los rectángulos ABCD y ABEF están ubicados en planos perpendiculares, AD=24 ' y BE=10' . Calcule la distancia entre los cen15. Se tienen los segmentos alabeados AB y CD que tros e dichos rectángulos. se cruzan formando un ángulo recto, AB=16 b) 13 c) 15 y CD=30 . Calcule la longitud del segmento a) 9 d) 16 e) 12 que une los puntos medios de AC y BD. a) 15 d) 20
20. En el plano Q se traza al cuadrante AOB. Luego por "O" se traza OP perpendicular a dicho plano, de modo que: m APB=53º. Calcule la medida del diedro determinado por la región APB y el plano Q. 30º a) d) 75º
b) 60º e) 15º
c) 45º
1. Si las distancias de un punto interior a las caras y a la arista de un diedro miden 4 y 4 2 y 8, entonces la medida del diedro es: Solución: E
4
B
8 L
A
30º C 45º
m=2 28+8 3 ..........(1) FBN: cálculo de la mediana 2 m2+(4 5)2=2x2+8 ..........(2) 2 Reemplazando (1) en (2) ... x=4 5+ 3 3. En un triedro O-ABC, los diedros OB y OC miden 164º, calcule la medida del diedro OA, si la medida es menor a 150º y es entero. Solución: A
4 2
F Q
Piden: m P - AC - Q EBL: NOT (30º y 60º) LBF: NOT (45º y 45º) .. . m P - AC- Q=75º
164º
x
O
164º
C Usando el triedro polar:
2. Un cuadrado ABCD y un triángulo equilátero ABF están contenidos en planos que forman un ángulo diedro de 120º, sea M el punto medio de FB y N punto medio de CD. Si: AB=8, calcule "MN". Solución: F 4 M 4
x 4 3 120º B 4 A
H
m C 4 5
8
N
D 8 FHN: ley de cosenos m2=(4 3)2+82 - 2(4 3)(8) cos120º
180 - x 16
M 16 * Por propiedad: m MPN=180 - x m NPR=16º m MPR=16º * Por propiedad: 180 - x < 16+16 148
N P R
B
4. Se tiene un triedro isósceles O-ABC. Las caras 5. Se tiene un triángulo ABC recto en B, contenido miden: m AOB=m AOC=45º, m BOC=60º en un plano Q, se ubica E un punto exterior a y OA=16. Hallar la longitud de la proyección dicho plano tal que EA=EB=EC, si la distancia de OA sobre la cara BOC. de E al plano Q es 40 y AB=14. Calcule la medida del ángulo diedro (BC). Solución: Solución: A Piden: x E C 16
O
45º 30º x 45º 60º 30º
8 2
40
M
14
T B
OM: proyección de OA sobre COB OAT: NOT(45º y 45º) OT=8 2 OMT: NOT(30º y 60º) ... x= 16 6 3
1. Se tiene un triedro trirectángulo O-ABC, se traza OH perpendicular a la sección plana ABC. Calcule el área de la cara BOC, si las áreas de las caras ABC y BHC miden 20 y 10 cm2, respectivamente. a) 10 2 cm2 b) 5 cm 2 c) 5 2 cm2 2 2 4. d) 15 2 cm e) 10 cm
A
B
Q
x M 14
C
O
Por dato: AE=BE=EC O es el circuncentro del AO=OC T. Tres perpendiculares EM BC ... x=ArcTg 20 7
ABC
con los vértices A y B. Calcule el valor de OM para que el diedro AB mida 60º. 3a)m b) 1 c) 2 d) 4 e) 5 En un triángulo ABC, recto en B, los lados miden AB=6 y BC=8. Por el vértice B, se traza BF perpendicular al plano ABC tal que BF=4,8. Calcule la medida del ángulo diedro que forman los planos ABC y AFC. 15º a) b) 30º c) 45º d) 75º e) 90º
2. En el plano P, se tiene el triángulo ABC, cuyo ángulo A mide 60º. Se tiene un punto S fuera del plano P. Si las distancias, de S al punto A es igual a 25 cm, de S al lado AC igual a 20 cm, y de S al lado AB igual a 7 cm. Calcule la distancia de S al plano P. 5. Un triángulo se encuentra en un plano que fora) 37 cm b) c) 38 39 ma un ángulo de 45º con otro plano P. Si la d) 6 e) 31 proyección del triángulo sobre el plano P tiene 20 cm2 de área, encontrar en cm2 el área del 3. Dado un triángulo rectángulo AOB isósceles, triángulo del espacio. siendo AO=OB= 6 m, en el vértice O se eleva a) 29 2 b) 18 2 c) 24 2 una perpendicular el plano AOB y se toma un d) 24 e) 30 punto M sobre esta perpendicular, uniendo M
6. Calcule el máximo valor entero de una cara de 12. Dados los planos secantes P y Q, en P está conun triedro si las otras dos miden 100º y 120º. tenido el triángulo ABC y en Q su proyección, el triángulo A1B1C1. Si: BC= , m ACB=90º, a) 100º b) 112º c) 139º m BAC=30º y m A 1B1C1 =45º, calcular el d) 140º e) 141º coseno del ángulo diedro formado por los planos secantes P y Q. 7. En un triedro trirectángulo O-ABC se sabe que: a) 3 /2 b) 2 /2 c) 3 /3 OA=1 cm; OB=2 cm y OC=3 cm. Calcule la d) 6 /4 e) 1/2 distancia de "O" a la sección plana ABC. a) 5/7 b) 6/7 c) 1 13. En la figura, AB está contenido en el plano P, d) 4/7 e) 5/8 AB=2 5, y A'B' es su proyección ortogonal en el plano Q la cual forma un ángulo de 30º con la arista CD. M es punto medio de AB y se en8. En la figura, hay un triedro cuyas caras son mucuentra una distancia de 2 2 de la arista. Calcutuamente ortogonales y la longitud de sus arisle la distancia de B al plano Q. tas es: PA=PB=PC=6 m. Calcule el área de la región triangular ABC. P B C
A A'
B B'
P
a) 18
A 2 m2 b) 18
d) 16 2 m
2
e) 12
Q
45º
C 2 3 m c) 16 2
D 3 m2
a) 4
b) 3 d) 6
c) 5 e) 5
3m
9. Se tiene un tiedro O-ABC, en el cual la cara BOC=90º y las caras AOB y AOC mide 60º cada una. Calcular la medida del ángulo que forma OA y su cara BOC. 2 30º a) b) 60º c) ArcTan 3 2 d) 45º e) ArcTan 3 10. Se tiene un tiedro cuyas caras miden 60º, 60º y 53º. Calcular la distancia de un punto de la arista común de las caras iguales a la cara desigual, ce 4'm.sabiendo que dicho punto dista del vértia) 13 m b) c) 14 11 d) 8 e) 17 11. Sea ABC un triángulo isósceles (AB=BC=5 y AC=6). Se levanta BQ perpendicular al plano de dicho triángulo, de modo que BQ=AC. Calcular la medida del diedro quer forman los planos ABC y AQC. 30º a) b) 45º c) 37º d) ArcTg 3 e) ArcTg 4 2 5
14. Dado un triedro S-ABC, si SC forma con la bisectriz de la cara opuesta un ángulo igual a la mitad de dicha cara, calcule el diedro C, si: diedro A+diedro B=120º. 90º a) b) 45º c) 135º d) 60º e) 120º 15. Sea O-ABC un triedro donde:___________ m AOB=m AOC=60º y m BOC=74º. Calcule la medida del diedro OB a) ArcCos 3 b) ArcCos 6 c) ArcCos 3 4 2 d) ArcCos 2 e) ArcCos 2 3 4
5
1. Las caras de un ángulo diedro son cortados en 6. Se tiene un triángulo rectángulo isósceles AOB los puntos M y N por una recta; siendo A la (AO=OB= 2). Por "O" se levanta la perpenproyección ortogonal de estos puntos sobre la dicular OF al plano del triángulo. Hallar "OF", arista, la mitad del ángulo diedro es igual a la para que el diedro AB mida 30º. semidiferencia de los ángulo ANM, AMN, y si estos últimos están en la relación de 3 a 1. ¿Cuál a) 1 b) 3 c) 3 3 3 es el valor del ángulo diedro? d) 33 e) 23 30º a) b) 40º c) 50º d) 60º e) 70º 2. Se tiene un diedro de 90º, formado por las caras "P" y "Q" una secante a dichas caras intersecta a "P" y "Q" en A y B respectivamente. Calcule la mínima distancia entre AB y la arista de dicho diedro, sabiendo que AB forma con "P" un ángulo de 37º/2 y AB forma con "Q" un ángulo de 53º/2. Además: AB= 10 m. a) m6 2 d) 2 6
b)
6 e) 36
c)
7 3
3. Los que contienen a losdiedro rectángulo ABCDplanos y BCEF forman un ángulo recto, tal que: BC=8 y BF=6, entonces la longitud del segmento que une los puntos medios de FD y AB es: a) 4 b) 4,5 c) 5 d) 5,5 e) 6
7. Se tiene un triángulo rectángulo ABC, AB=6' y BC=8, por "B" se levanta la perpendicular BE al plano del triángulo rectángulo ABC, tal que el ángulo diedro que forman ABC y AEC sea igual a 45º. Hallar "BE". a) 4,8 2 b) 2,4 3 c) 2,4 2 d) 4,8 e) 2,4 8. La figura muestra dos cuadrados que forman un diedro que mide 45º. Si el lado mide 6 dm, hallar la distancia entre sus centros. Q R B A
C
D
a) 6( 2+ 3) dm b) 6 2 - 2 c) 3 2 - 2 d) 2( 2 - 1) e) N.A.
4. En un triedro trirectángulo O-ABC se sabe que: OA=3 cm; OB=5 cm y OC=4 cm. Hallar la distancia de "O" a la sección plana ABC. 9. Se tiene un rectángulo ABC: AB=12; BC=16. a) 5 b) 6 c) 60 769 7 7 769 Por el vértice "B" se levanta la perpendicular BF d) 67 51
e) 58 462
al de ABC. Si: BF=9,6, calcular medidaplano del ángulo diedro que forman ABC ylaAFC. 30º a) b) 60º c) 37º d) 53º e) 45º
5. La recta I de intersección de dos planos x e y, perpendiculares entre sí, es paralela a una recta R del plano "x" y una recta S del plano "y"; si la distancia entre I y R es de 16 cm y la distancia 10. Un ángulo diedro es de 114º. Calcular la medida del ángulo formado por las semirectas entre I y S es de 12 cm, ¿cuál es la distancia enperpendiculares a sus caras trazadas desde un tre R y S? punto cualquiera del plano bisector del diedro. a) 14 cm b) 25 c) 4 28 114º a) b) 46º c) 66º d) 10 3 e) 20 d) 60º e) 90º
11. En el triángulo rectángulo ABC los catetos AB y a) 100 3 m2 b) 20 3 c) 40 3 BC miden 15 y 20 m respectivamente. Por "B" d) 20 e) 30 se levanta BP perpendicular al plano del triángulo, luego se une "P" con "A" y "C". Calcular 16. Por el circuncentro "K" del triángulo PQR la medida del diedro AC, si: BP=16 m. se levanta la perpendicular KE. Calcular 53º a) b) 30º c) 60º "EP+EQ+ER", siendo: RE=m (KE al plano d) 37º e) 45º del triángulo). m 3 a) 3m b) 4m c) 2 12. La siguiente figura representa un libro cerrado d) 2m 3 e) m 3 donde "M" y "N" indican las esquinas de la tapa. Si se supone un punto "P" entre "M" y "N", pero fijo en el libro, ¿qué ángulo debe girar la tapa 17. En el interior de un ángulo diedro se ubica un para que MNP sea un triángulo equilátero? punto "P" que dista 6 y 5 cm de las caras y 10'cm de la arista. Calcular la medida de dicho a ángulo diedro. 2a 45º a) b) 60º c) 67º M d) 53º e) 97º N 60º a) d) 150º
b) 90º e) 80º
c) 120º
18. Un ángulo diedro mide 60º, ¿a qué distancia de la arista se encuentra un punto "P" si se halla a 20 de cada cara? a) 20 b) 30 c) 40 d) 60 e) 40 3
13. Sea ABC un triángulo equilátero de 18' de lado cuyo ortocentro es "M". Si en "M" se levanta 19. Dos caras de un triedro miden 115º y 125º. Determinar entre qué valores puede variar la terceuna perpendicular MD= 27, hallar el ángulo ra cara. diedro formado por el triángulo ADC y ABC. a) 30º y 150º b) 40º y 150º c) 60º y 200º 60º a) b) 75º c) 90º d) 50º y 200º e) 10º y 200º d) 45º e) 30º 14. Por el vértice "B" de un triángulo equilátero 20. Dos caras de un triedro miden 120º y 130º respectivamente, la tercera cara puede medir: ABC se levanta la perpendicular BE al plano del triángulo. Hallar el ángulo diedro que forman 10º a) b) 20º c) 110º los planos ABC y AEC, si: BC=6, BE=3 3 d) 120º e) 130º 30º a) b) 15º c) 60º d) 45º e) 37º 15. En el gráfico, "C" es la proyección de "C" sobre el plano "P". Si el área de la región ABC es igual a 40 m2 y el ángulo diedro que forman ABC y "P" mide 60º, hallar el área de ABC. C
A
C' B
P
1. En un ypoliedro, la razón entre aristas el número de caras es el 5/3.número Hallar de el número de caras, si el número de vértices es mayor que 6 y menor que 10.
a2
E
a2
O
A=5n * Por dato: A = 5 C 3 C=3n * T. Euler: C+V=A+R 3n+V=5n+2 V=2n+2 Pero: 6 < V < 10 6 < 2n+2 < 10 4 < 2n ; 2n < 8 2
a
26 3
2a
Solución:
G
M I
a
a3 A *
a2
C
O1
O1OI OCM a 2 =a 3 a=1 2a 2 6 3 GC=2 ... Vcubo=23=8
3. En un tetraedro regular O-ABC la longitud de su arista es a, la altura OH intersecta al plano BMC en el punto P, siendo M punto medio de OA. Calcule: OP 2. Se tiene al cubo ABCD-EFGH, calcule el voluSolución: men del sólido, si la distancia entre FH y DM Piden "x" es 2 6 (M: punto medio de CG). 3 O Solución: a 2 F G a 2
O
E
a 2
M
a
C
x
a 2
M
C P
a B a 2
A
C O1
2a
D * La proyección FH y DM sobre AEGC es O y O1M respectivamente.
A
Ha
a3 3
a
3
3
a 2 B
* H: Baricentro del ABC MN AO * ON=AN
N
5. Calcule el volumen del octaedro V-ABCD-E, AM=MV, DF=FC, MF= 3 V
* T. Pitágoras: MN= a 2 a * MOP AMN a x = 2 a 3 a 2 2 2 6 ... x= a 4
M
B C
A F
4. Calcule el ángulo entre AB y CD si se presenta al icosaedro regular.
D E Solución: Piden: V. oct. reg.
B
V
D C
a
A
M
Piden: m
A
AB CD
a 3
3
a Solución:
2
B
a C
a 5
2a D
a
M B D C
P A
Q * Por teoría: ABMPQ: Pentágono regular * CD // BM x=m AB CD ... x=108º
x
E Cálculo de la mediana AFV: 2 (a 3)2+(a 5)2=2( 3)2+(2a) 2 6a2=6 a=1 3 * V. oct. reg.= 2 2 3 ... V. oct. reg.= 8 2 3
F
1. En un poliedro de seis caras y doce aristas, calcule la suma de los ángulos que las aristas forman en los vértices. a) 2 880º b) 1 300º c) 2 160º d) 1 400º e) 220º
B
C D
A
T F
2. Un poliedro que tiene 12 vértices y 21 aristas está formado por "2p" triángulos, "c" cuadriláteros y "p" pentágonos, todos convexos. Entonces, "p" y "c" son, respectivamente: a) 1 y 8 b) 3 y 2 c) 2 y 5 d) 3 y 4 e) 4 y 1
G N
E M 2 a) 7L 6 8 2 d) 7L 6 16
2
H
2 b) 7L 6 18 2 e) 7L 6 12
2 c) 7L 6 9
3. Encontrar el área de la sección hecha en un tetraedro regular de 10 cm de arista, por un plano 7. En un tetraedro OABC, se cumple que los ángude simetría que pasa por una de las aristas. los COB=60º, AOB=45º, AOC=45º. Entonces, el valor del ángulo diedro corresponde a la a) 20 3 cm2 b) 25 3 c) 50 2 arista OA vale: d) 20 2 e) 25 2 45º a) b) 60º c) 75º d) 90º e) 120º 2 4. Si se divide un octaedro regular de 800 cm de superficie enpor doscuatro pentaedros, mediante unes plano que pasa de sus aristas, ¿cuál la 8. Se tiene un cubo de arista "a", calcule el área de superficie total de un pentaedro? la región del triángulo PQR, si P es centro (Q y R son puntos medios de las aristas). a) 500 cm 2 b) 23,6 c) 400 d) 530 e) 630,8 Q 5. ¿Cuál de las siguientes proposiciones es falsa? a) En todo triedro, puedenexistir 2 caras iguales. b) En todo triedro,pueden existir 3caras iguales. c) En todo poliedro, la suma de los diedroses menor que 6 rectos y mayor que 2 rectos. d) En un tetraedro, la suma delos diedros es menor que 12 rectos y mayor que 4 rectos. e) La suma de las caras de un dodecaedroregular, es 6480º. 6. En un hexaedro regular ABCD-EFGH de aristas laterales AE, BF, CG y DH, los puntos M y N son puntos medios de las aristas EH y HG. El punto "T" es el centro de la cara BCGF, si la arista del hexaedro mide L unidades (u). Calcule el área de la sección determinada en el interior del hexaedro por el plano que pasa por los puntos M, N y T.
P R
2 a) a 3 26 d) a 3 18
2 b) a 3 2 14 e) a 3 16
2 c) a 3 8
9. Se tiene un tetraedro regular de arista "a". Hallar el volumen del tetraedro regular que se forma al unir los baricentros de las caras. 3 a) a 2 27 3 d) a 2 216
3 b) a 2 81 3 e) a 2 324
3 c) a 2 162
10. La longitud del segmento que une los puntos 13. En el gráfico, se muestra un dodecaedro regular; medios de dos aristas opuestas de un tetraedro siendo: P, Q, M y N puntos medios de las aristas regular es de 2 cm. ¿Cuál es la longitud de la respectivas. Calcule la medida del ángulo entre PQ y MN. arista? a) 1 cm b) 2 c) 3 Q P d) 2 e) 11. Se tiene un cubo ABCD-EFGH y un punto interior "P". Si: (PA)2+(PC)2 - (PB)2=a2, calcule PD. a a) a b) 2a c) d) 3a 2
e) 3a
2
M 18º a) d) 72º
N
b) 36º e) 45º
c) 54º
12. Dar el valor de verdad de las siguientes proposiciones: 14. En un tetraedro P-ABC trirectángulo en P, PA=PB=PC=3 2. Calcule la diagonal de cubo • En los vértices de todo poliedro regular se inscrito en el tetraedro, donde uno de los ánguforman ángulos diedros. lo sólidos del cubo es P. • El icosaedro regular tiene 100 diagonales. a) 3 B) c) 4 6 • En un dodecaedro hay 20 vértices. d) 2 3 e) 6 • Las diagonales de un octaedro regular son
perpendiculares. a) FVFV b) VVVV d) VFVF
e) FFFF
c) FFFV
15. En un octaedro regular, la distancia de un vértice al baricentro de la cara opuesta a dicho vértice midediagonal 2 3 unidades. área de la sección ubicada Calcule en dichoeloctaedro. a) 12 2 b) 6 6 c) 16 d) 8 3 3) 18
1. ¿Cuántas diagonales tiene aquel poliedro con- 3. Calcule el área total de un hexaedro regular, savexo que está limitado por 6 regiones cuadranbiendo que la distancia de uno de los vértices al gulares y 8 regiones triangulares. centro de una cara opuesta es de 2 3 m. a) 38 b) 36 c) 34 a) 40 m 2 b) 45 c) 64 d) 32 e) 30 d) 16 e) 20 2. ¿Cuál es el área de la proyección de una cara de 4. Se tiene un poliedro convexo formado por 2 reun tetraedro regular sobre otra cara cualquiera, giones triangulares y 3 regiones cuadrangulares. si la arista del tetraedro mide 2 3 m? Calcular el número de arista de dicho poliedro. a) 12 b) 10 c) 9 a) 4 m2 b) 3 c) 3 d) 8 e) 6 3 2 d) 2 e) 2 3
5. ¿Cuántas diagonales tiene aquel poliedro con- 11. Sobre la arista EF del exaedro regular ABCDvexo formado por 2 regiones exagonales y 6 reEFGH se ubica el punto medio M; de tal manera giones cuadrangulares? que la distancia entre las rectas alabeadas EG y CM es igual a 2 unidades. Calcular el volumen a) 24 b) 22 c) 20 de dicho exaedro. d) 18 e) 16 a) 180 3 b) 216 c) 196 d) 204 e) 224 6. Un poliedro convexo está limitado por x regiones triangulares, z regiones cuadrangulares y 3 regiones exagonales, además el número de vér- 12. En un exaedro regular ABCD-EFGH; P es el centices y el número de arista son 15 y 25 respectitro de la cara ABCD y M es el punto medio de la vamente. calcular (2x - z) arista BF. Calcular la medida del ángulo diedro que determinan los planos EPF y MCD. a) 2 d) 5 b) 3 e) 6 c) 4 30º a) b) 37º c) 45º d) 60º e) 90º 7. Calcular el volumen de un tetraedro regular, cuya altura mide 2 6 unidades. 13. Calcular la razón entre las áreas totales de un cubo y un octaedro que tiene como vértices los 3 a) 24 2 b) 18 3 c) 20 2 centros de las caras del cubo. d) 18 2 e) 12 6 6 a) 3 b) 2 c) 6 3 2 8. La distancia de un vértice a la diagonal de un d) 2 3 e) 3 2 exaedro regular mide 2 . Calcular el volumen de dicho exaedro. 14. Cuatro esferas de radio 3 , son tangente entre a) 8 3 b) 3 3 3 c) 2 2 3 3 3 sí formando una pila triangular (es decir, una de d) 4 e) 2 6 ellas está sobre las otras tres). Calcular la altura de la pila. 9. La diagonal de un octaedro regular mide 6 . a) 2 6 b) 3( 3+1) Calcular el volumen de dicho octaedro. c) 3 6 d) 2 3( 2+ 3) a) 6 3 b) 6 3 c) 6 2 3 e) 6 2 d) 9 3 e) 3 3 3 10. Se tiene un tetraedro regular P-ABC, la distancia de P al centro de la circunferencia exinscrita al triángulo ABC relativa al lado AB es igual a 6 6 . Calcule la altura del sólido. a) 36 6 b) 120 c) 54 6 d) 8 3 e) 60 6
15. ¿En qué relación se encuentran los volúmenes de un octaedro regular y el de su poliedro conjugado? 5/3 a) b) 11/5 c) 2 d) 26 e) 9/2
1. Determinar el volumen de un prisma regular 2. Calcule el volumen de un cilindro recto cirtriangular, tal que las diagonales de dos caras cunscrito a un octaedro regular cuya arista mide laterales de cruzan ortogonalmente y cuya lon4 además dos vértices opuestos están ubicados gitud de estas es 2 6 . en los centros de las bases del cilindro. Solución: Piden V prisma Solución: Piden V Cilindro B 2
6
O
A
D
2 M 2
2 3
4
N
* OM // AB m MOD=90º * MOD: MD=2 3 * ADN: Equilátero MN=AM=2 * VPrisma=ABase x h 2 * VPrisma=4 3 . 2 2 4 ... V =8 6 3 Prisma
O
2 2
M
2 2
4 2
2 2
4 O1
OO1=4 2 MN=4 2 r=2 2 V = (2 2)2 . 4 2 Cilindro ... VCilindro=32 2 3
2 2
N4 2
3. En un prisma hexagonal regular ABCDEFGHIJKL, el plano que pasa por las aristas DE y GH forman diedros de 45º con las bases y la sección determinada tiene área de 6 6. Calcule el volumen del prisma. Solución: Piden: V Prisma H
Solución:
g
S M
S
S
S
g
I
r
r
J
G K
L 2 3
a 6
B A a
C
F
a 6. a=6 6
D
a 3
45º a
a E
a= 6
a2 3 VPrisma= 4 2 . 6×a 3 = ( 6) 3 . 6 . 6 . 3 4 =27 6 3
45=2g . 2r S=gr M =gr 2 ALateral Cilindro=2 rg ALateral Cilindro=2 M 2 ALateral Cilindro=M 5. Se tiene un prisma regular triangular ABC-DEF. Si "O" es el centro de la base DEF m
E
2K 3
2K 3
2K
O
D
2K
F
53º 53º 53º 2 2
4. Según el gráfico se muestra a un cilindro de revolución. Si el área de la región sombreada es M. Calcule el área de la superficie lateral.
K 15
K 11
B K 3
A
M
K 3
C A Piden: L AT EOF: Elemental Si: OF=2K EF=2K 3 53 127 OMC: NOT OC=K 15 2 y 2 AL=6K 3 . K 11 2 AT=6K2 33+ (2K 3) 3×2 4 ... AL = 11 AT 11+1
1. La base de un prisma recto es un rombo, cuya 7. Calcule el volumen de un prisma triangular reárea es igual a S. las áreas de las secciones diagular circunscrito a una esfera de 6 unidades de gonales son iguales a S1 y S2. Calcule el voludiámetro. men del paralelepípedo. 3 a) 162 3 3 b) 180 3 c) 120 3 3 d) 190 e) 172 a) S.S1.S2 b) S.S1.S2 2 4 8. En la base de un cilindro de revolución se insS.S .S S.S 1 2 1.S2 c) d) cribe un hexágono regular ABCDEF, luego se 3 5 trazan las generatrices AI, BM, DN y EO. CalcuS.S1.S2 e) 6 le la razón de los volúmenes del cilindro y del sólido ABDE-LMNO. 2. En un paralelepípedo rectangular las diagonales a) p b) c) 6 de las caras miden 34, 58 y 74 cm. El volup 2 men del paralelepípedo, en m3 será: 5 d) e) p 3 a) 10,5 . 0 -8 b) 1,05 . 10 -6 c) 1,05 . 10 -4 -2 2 d) 1,05 . 10 e) 1,05 . 10 9. En las bases de un cilindro se trazan dos cuerdas (una en cada base), las cuales determinan 3. En un prisma triangular regular, se inscribe un una región rectangular de área 60 cm 2. Calcule cilindro. ¿Qué relación existe entre las áreas lael volumen de dicho cilindro, si la proyección terales de estos dos cuerpos? de dicha sección sobre una base, es una región cuadrada inscrita en ella; además, dicha base y a) 3 b) 2 3 c) 2 3 la región rectangular determina un diedro que 3 3 mide 53º. d) 3 3 e) 3 a) 144 cm 3 b) 288 cm 3 c) 44 cm 3 d) 104 cm3 e) 96 cm 3 4. Se tiene un tetraedroregularABCD cuya arista mida "a" y tal que sus vértices se encuentran sobre la su10. Se tiene un cilindro de revolución cuya altura perficie de un cilindro recto que tiene por generatriz es 6, el radio de su base es 4; se traza un plano la arista AB. Calcule el volumen del cilindro. paralelo a su generatriz de cilindro y pasa por el 3 3 3 punto medio del radio de su base perpendicular 4 a 3 a 5 a a) b) c) 25 16 28 al radio. Calcule el volumen de la porción me3 3 9 a 7 a nor determinada en el cilindro. d) e) 32 40 a) 8(4 - 3 3) b) 4(2 - 3) c) 4(4 - 3) d) 6(3 - 3) 5. El área de una de las caras de un prisma oblicuo e) 8(4 +3 3) triangular es de 24 2 y la arista opuesta dista de dicha cara en 10 unidades. Calcule el volumen de dicho prisma. a) 180 3 b) 164 d) 132 3 e) 120
3 3
c) 144
3
6. Se tiene un prisma recto triangular ABC-DEF inscrito en un cilindro equilátero, de modo que: AB=6 3; BC=6 y AC=12. Calcule la longitud de menor recorrido sobre la superficie lateral de cilindro para ir de B a un punto de la generatriz AD y luego hacia F. 12+5 2 a) 6 4+5 2 b) 12 c) 3 d) 2 36+25 2 e) 15
11. La diagonal de un paralelepípedo rectangular mide "d" y forma un ángulo que mide 30º con la cara lateral. El plano que pasa por esta diagonal y la arista que la intersecta forma un ángulo que mide 60º con la misma cara lateral. Calcule el volumen del paralelepípedo. 3 a) d3 3 b) d3 12 6 2 3) c) d3 12 d) d3( 3+ 12 e) d3( 39- 1)
12. Dado el prisma recto ABCD-EFGH, si el área de 14. Según el gráfico se tiene un cilindro de revolula región ABGH es S 1, y de la región EFGH es ción, si el área de la región BSA es 9 2 y el área S2 y la distancia de AB y HG es "a". Calcule el de la región CSP es 4 2, calcule el área de la volumen de dicho prisma. superficie lateral del cilindro. C a) SS1 a S1S2 b) 2S22 - S12 R 2 B c) SS1 2S12 - S22 d) SS1 a 2S12 - S22 2 2 S S 1 e) S S1 2 13. En un prisma regular ABC - A'B'C', cuya arista básica mide "a", se ubican los puntos medios "M" y "N" de AB y BC respectivamente. Calcule el volumen del prisma, si: C'M y A'N determinan un ángulo que mide 60º. a) 8 2 a3 b) 8 3 c) 3 2 8 d) 3 3 e) 4 3 8 3
P
A a) 30 d) 35
2 2
b) 15 e) 32
2 2
c) 25
2
1. Calcule el volumen de un paralelepípedo rec- 5. En un prisma triangular regular se inscribe un citángulo, sabiendo que las longitudes de sus tres lindro recto. ¿Qué relación existe entre las áreas dimensiones se hallan aritmética y que ellas suman 18 en . Suprogresión área total es 208 2. a) 192 3 b) 196 c) 182 d) 186 e) 184
laterales de estos dos sólidos? a) 2 3 b) 3 3 c) 4 3 d) 32 3
e) 3
2. Un cilindro cuya altura es igual al diámetro de 6. El desarrollo lateral de un cilindro recto es un la base tiene un área total de 12 2. Calcule su rectángulo cuya diagonal mide 13 cm, si la gevolumen. neratriz mide 5 cm. Calcule el área lateral del cilindro. 3 3 c) 8 2 3 a) 32 b) 16 3 3 d) 4 2 e) 12 a) 70 cm 2 b) 60 cm 2 c) 50 cm 2 d) 90 cm2 e) 80 cm 2 3. Calcule el área total y el volumen de un prisma hexagonal regularesenuna el cual el cuadrada desarrollode depesu 7. gular Calcule el volumen del paralelepípedo rectan-y cuyas dimensiones de su altura, largo superficie lateral región ancho miden: 3 , 4 y 5 . rímetro 48. 3 3 a) 20 3 b) 30 c) 40 3); 72 3 a) 12+ 3; 36 3 b) 12(1+ 3 3 d) 60 e) 72 c) 12(12+ 3); 72 3 d) 12(1+ 3); 36 3 e) N.A. 4. Un cilindro recto está circunscrito a una esfera de radio igual a 10 cm. Calcule el volumen del cilindro. a) 200 cm 3 b) 1 800 c) 2 000 d) 4 000 e) 2 100
8. La base de un prisma recto es la base de un tetraedro regular de 2 6 u de altura y el área lateral del prisma es igual al área total del tetraedro. Calcule el volumen del prisma. 6 a) 48 6 3 b) 54 c) 27 d) 54 6 e) 48
1. Dos segmentos MN y PQ se cruzan de termi- 6. Calcular el volumen de un cubo si se sabe que nando ángulo de 60º; MP MN y MP PQ, el triángulo formado al prolongar las rectas de MP=20 ; MN=16 ; PQ=24 . Calcular "NQ". unen los puntos medios de sus aristas consecutivas (de tal manera que 3 puntos no pertenecen a) 2 53 b) 3 53 c) 4 53 a la misma cara) tienen un área de 72 3 m2. d) 5 53 e) 6 53 512 a) b) 343 c) 216 d) 729 e) 100 2. En el gráfico mostrado, las rectas y son alabeadas. Si: PQ=NQ y MN es perpendicular co7. Dado un tetraedro regular ABCD; "M" es punmún entre dichas rectas, calcular "xº". to medio de BC y "Q" es punto medio de AM. L P 1 M Calcule el ángulo que forman BC y DQ. a) 22º30' b) 20º c) 39º xº d) 45º e) 90º N 45º a) d) 37º
b) 30º e) 53º
Q L2 c) 60º
8. En un hexaedro regular cuya arista mide "a" unidades, calcule la distancia entre dos diagonales de dos caras adyacentes, sabiendo que estas diagonales no son coplanares. 3. Un plano intersecta a las aristas de un triedro de a a 2a a) b) c) vértice "O" en los puntos A, B y C de modo que: 3 2 5 m AOB=m COB=60º, m AOC=m ABC=90º. 2a 2a d) e) Calcule "OB", si: OA+OC=10 m. 3 3 a) 5 b) 6 c) 8 d) 10 e) 4 9. En el gráfico, la arista del tetraedro regular es igual a 4 33 m; P y Q son puntos medios de las aristas AD y BD respectivamente. Si RC=3BR, 4. En el ángulo triedro O-ABC las caras bº=cº=45º. calcular la longitud del segmento que es interSi OA forma con el plano de la cara BOC un sección de las regiones AQR y BPC. ángulo cuya tangente es 2 . Calcular la medida B 2 de la cara BOC. R 60º a) b) 30º c) 45º d) ArcTg(2) e) ArcTg 5. Se tiene un tetraedro regular B-ACD, se toma el punto medio "M" de la altura BH del trapecio. Si MA="K", calcule el volumen del tetraedro. K3 K3 K3 a) 8 b) 6 c) 3 2K3 3K3 d) 5 e) 8
Q A P D
C
a) 10 m d) 13
b) 11 e) 14
c) 12
13. Calcular el volumen del cilindro oblicuo que se muestra en la figura, cuya sección recta es un círculo. O1 y O2 son centros de las elipses. O2P=8 O2 10. En un hexaedro regular ABCD-EFGH, de arista O1P=6 "a", se traza AM y DN perpendiculares a BH (M y N en BH). Calcule en función de "a", el área de la región triangular MGN. P 2 2 2 a) a 2 2 b) a 2 6 c) a 6 2 2 O1 d) a2 3 e) 3a a) 214,4
3
b) 220,5
c) 225,6
11. Sea "A" el área lateral de un cilindro recto y "R" d) 230,4 e) 242 el radio de su base, si "V" es el volumen del sólido. Relacionar A, R y V. 14. Un octaedro de volumen 4/3 m3 está inscrito V 2 V 4 V 1 a) = b) = c) = en un cilindro de revolución, de modo que dos A.R 3 A.R 5 A.R 2 vértices opuestos del octaedro son los centros de las bases de dicho cilindro. calcule la longitud d) V = 1 e) V = 3 A.R 4 A.R 7 de la menor trayectoria para ir de un extremo a otro extremo de una generatriz recorriendo la 12. En el cilindro oblicuo de base circular cuyo rasuperficie lateral del cilindro. dio es de 5 cm, calcular el volumen del cilina) 2 1+ 2 m b) 3 2 - 1 m c) 4 1+ 2 m dro. d) 2 2+2 m e) O 15. congruentes En la figura seAB=A'B'=3 muestran dos rectos; ; prismas BF=B'F'=2 BC=B'C'=5 . Calcular EE'. H' E' D' A'
M 60º a) 130 2 cm3 b) 115 c) 110 2 d) 120 e) 125 3
3 2
H P E
F
A
B
a) 10 d) 3 5
G C C' b) 2 10 e) 5 10
F' B' c) 3 10
1. En un tetraedro regular A-BCD es una de sus aristas se ubica un punto que dista 2 y 4 de dos caras. Calcule la longitud de la arista. a) 5 b) 2 5 c) 6 d) 2 6 e) 3 6
que debe girar el cilindro con respecto a la vertical para que el agua esté a punto de derramarse. 30º a) b) 45º c) 60º d) 53º e) 37º
2. Calcule el volumen de un tetraedro regular cuya 8. ¿En qué razón se encuentran las áreas de la suarista mide 3 2 . perficie lateral de un cilindro y de la región que a) 6 3 d) 27
b) 9
e) 8
c) 12 a)
resultaade al cilindro en un plano paralelo su proyectar eje? b) 2 c) 3 d) 4 e) 6
3. En un octaedro regular, la distancia entre los centros de gravedad de dos caras opuestas que tienen un vértice común es "a". Calcule el área 9. El desarrollo de la superficie lateral de un prisde la superficie del octaedro. ma regular triangular tiene por diagonal 34 y por altura 16 . Calcular el área total del pris2 a) 3 a2 b) 33 a2 c) 9 3 a2 ma. 3 9 9 3 2 2 a) 10(5 3+48) 2 b) 12(32+6 3) 2 d) 5 a e) a 2 3 c) 596 2 d) 25( 3+3) 2 e) 624 2 4. En un hexaedro regular (cubo) ABCD-EFGH, "O" es centrola de ABCDdely ángulo M punto mediopor de 10. Se tiene un triángulo rectángulo isósceles CG. Calcule medida formado OH y EM . AOB(AO=OB= 2 ). Por "O" se levanta una perpendicular OF al plano del triángulo. Calcu6 30º a) b) 60º c) ArcCos 9 le OF para que el diedro AB mida 30º. 6 d) ArcCos e) 40º 3 a) 3 b) 2 3 c) 3 2 3 3 5. ¿En qué porcentaje debe aumentar la altura de d) 3 e) 3 3 un cilindro, sabiendo que el radio de su base disminuye 50%, para que ambos sólidos (final e inicial) tengan el mismo volumen? 11. Se tiene un triángulo rectángulo isósceles ABC, recto en B, por el punto medio M de AB se lea) 100% b) 200% c) 300% vanta MP perpendicular al plano del triángulo d) 400% e) 500% ABC. Si el plano APC forma un diedro de 60º con el plano del triángulo ABC, calcule: PM, si: 6. El radio de la sección recta de un cilindro obliAC=12 . cuo mide 2 3 m. La generatriz está inclinada 2 a) 6 b) 3 c) 3 3 60º respecto a la base y la longitud de la altu2 3 d) 4 e) 4 ra es el doble del diámetro de la sección recta. Calcular el volumen del cilindro. a) 184 m 2 b) 192 m 2 c) 176 m 2 12. Por el vértice B de un triángulo ABC se led) 196 m 2 e) 204 m 2 vanta la perpendicular BH al plano ABC, tal que: BH=4,2 . Calcule la media del ángulo diedro formado por AB C y ACH. S i: AB=14 , 7. Se tiene un cilindro cuyo radio de la base mide BC=30 y AC=40 . 4 cm y altura 8 está lleno de agua hasta un nivel a) 22º30' b) 26º30' c) 30º superior 3 cm. Calcular la medida del ángulo d) 45º e) 37º
13. Se tiene un ángulo diedro que mide 60º forma- 17. ¿Cuántas aristas tiene un icosaedro regular? do por los triángulos rectángulos ABC y AFC, tal a) 20 b) 12 c) 30 que: AB=AF=30 y BC=FC=40 . Calcule la d) 32 e) 40 distancia entre los baricentros de sus caras. a) 6 b) 8 c) 10 18. Se tiene un ángulo triedro, dos caras miden 45º d) 12 e) 9 y el diedro entre ellas es recto. Calcule la medida de la otra cara. 14. ¿Cuántos vértices tiene un dodecaedro regular? 30º a) b) 45º c) 75º a) 12 b) 20 c) 30 d) 90º e) 60º d) 32 e) 40 15. Se tiene un triángulo ABC cuya área de su región es igual a 100 m2. Calcule el área de la proyección de dicho triángulo sobre un plano que contiene al lado AB, si el ángulo diedro formado por el triángulo y el plano mide 37º. a) 60 m 2 b) 80 c) 70 d) 50 e) 90
19. Desde un ángulo triedro equilátero donde sus caras miden 60º cada uno. ¿Cuánto mide uno de sus ángulos diedros? 5 a) ArcCos 1 b) ArcCos 5 3 5 c) ArcCos 2 d) ArcCos 3 4 e) 60º
16. Se tiene un cubo ABCD-EFGH cuya arista mide "a". Calcule la mínima distancia entre BD y CH.
20. La altura del tetraedro regular mide 6 . Calcule la longitud de su arista. a) 1 b) 2 c) 3
a) a 3
b) a 23
d) a 6 3
e) a 5
c) a 33
d) 4
e) 6
1. Se muestra aaun tronco cilindro circular recto el su volumen de un tronco dea cilindro circunscrito una esferadede radio R. Calcular el 2. Calcule circular si dos bases pertenecen planos volumen del tronco de cilindro. perpendiculares y una de ellas forma 15º con la generatriz mayor. Si las generatrices mayor y menor miden a y b, calcule el volumen del sólido. 45º Solución: Piden: Vsol 15º R
Solución:
a
45º
15º b
45º
M
R 2
r N R
R
R R
Piden: Vtcilind cilind= Vt R 2 . eje = R2(R+R 2) = R3(1+ 2)
R
NOT 15º y 75º: NR= b4 , MR= 4a MN=2r= a - b 4 a+b 2 ólido= Vs r 2 = (a - b) a+b 8 2 2(a+b) (a b) = 128
3. En el gráfico mostrado, calcule la relación de volúmenes del tronco de prisma cuadrangular regular y del prisma cuadrangular regular y del tronco de cilindro circular recto inscrito en él.
Solución: Piden V t.prisma C 30º
6 3
T D 30º 2 3 2 3
C
I 2 3
2 3
A
Solución:
6 Q
2 N
2
O
M
4
B
4 3
AMB: Equilátero, MB=4 3 CN=NO=2
e
CDN: (NOT 30º y 60º) R R
R
DCI: (NOT 30º y 60º)
DN=2 3 CI=6 3
VT prisma= Bx(h1+h2+h3) 3 Piden:
VT prisma VT cilindro VTprisma regular = (2R)2×e VTronco cilindro R2 . e
...
VT prisma = 4 VT cilindro
4. En una cuña cilíndrica cuya base mayor forma 30º con la generatriz mayor y el radio de la base es 4. Se inscribe un tronco de prisma regular triangular, una de sus aristas laterales coincide con la generatriz mayor. Calcule el volumen del tronco de prisma.
(4 3)2 3 4 VT prisma= (2 3+2 3+8 3) 3 VT prisma=12 3 . 12 3 VT prisma=432
5. Se muestra al cubo ABCD-EFGH (AM=ME). Calcule la razón de volúmenes de cubo y del tronco de prisma MFD-AB. F G E
Solución: F E
H
a
H
2a
M M
A
C
S
A
R
D
en ese orden. Si AB mide 13 dm y las bases forman un diedro de 60º, calcule el área de la base AEFD. a) 460 dm 2 b) 260 c) 360 d) 480
2R
º b) 53º e) 37º/2
C
S
Vtronco=S a+2a+0 3 Vcubo=2S . 2a ... Vcubo =4 Vtronco
D
1. Un cilindro contiene las tres cuartas partes de su volumen con agua. Si se inclina como se muestra en la figura, ¿cuánto debe medir " " para que el agua no se derrame?
37º a) d) 45º
B
a
B
G
c) 15º
e) 370
4. El lado de un cuadrado ABCD mide 2 dm; se levantan las perpendiculares AE y CF al plano del cuadrado ABCD. Si: AE=6 dm y CF=9 dm, calcule el volumen del sólido de la base ABCD, aristas laterales AE y CF. (EF es un arista de la parte superior del sólido). a) 5 dm 3 b) 10 c) 12 d) 8 e) 9
5. El gráfico muestra a un tronco de cilindro recto, donde el área de la sección ABCD es 18 dm 2 y 2. recto, Sea ABC-FED deelprisma triangular la distancia de "O" a DC es de 3,6 dm. Calcule donde la un basetronco recta es triángulo rectánel volumen del tronco de cilindro recto. gulo isósceles ABC de hipotenusa AC=3 3. La D otra base FED es un triángulo equilátero y cuya cara lateral es un rectángulo cuya altura es una arista lateral y mide 6 dm. Calcule el volumen C de dicho tronco. a) 33,6 dm d) 32,23
3
b) 41,5 e) 45,7
c) 30,6
3. ABCD-AEFD es un tronco de prisma recto, donde la base recta ABCD es un trapecio isósceles cuyas bases BC y AD miden 10 dm y 20 dm,
A
O
B
a) 14 dm d) 18
3 b)
24 e) 21
c) 9
11. En el gráfico se muestra un cilindro de revolución de 80 dm3 de volumen. Calcule el volumen del tronco del cilindro recto.
6. Sea ABC-PQR un prisma triangular regular cuya arista básica mide 6 dm. Se traza un plano secante que pasa por PB y corta a RC en E. Si: EC=4 dm y ER=6 dm, calcular el volumen del sólido ABC-PBE. a) 72,74 dm c) 83,72 e) 62,8
2
b) 62,83 d) 74,45
a) 45 dm 3 b) 15 c) 60 7. Se tiene un tronco de prisma oblicuo triangular, d) 50 e) 30 cuya sección recta es un triángulo equilátero de lado igual a 6 unidades de longitud y la distancia entre los baricentros de las bases es igual 12. En el gráfico: CD=6, AB=3, BO=OC y la a 16 unidades. Calcule el área lateral de dicho m AOD=90º. Calcule el volumen del tronco. tronco. D a) 90(2+ 2) 2 b) 224 c) 90( 2+ 6) d) 120(1+ 3) A e) 288 8. Se tiene un tronco de cilindro recto en el que su área lateral es numéricamente igual al duplo de su volumen. Si la diferencia entre sus generatrices mayor y menor es 2 , calcule el área de la base elíptica. 2 1+ 2 2 2 a) b) c) 4+ 2 a) 36 2-1 d) 54 d) 2 e) 5
B
O b) 40 e) 42
C c) 81
9. Sobre las aristas AD, BE y CF de un prisma recto 13. El lado de un triángulo equilátero ABC mide 4 3 . Por A y B se levantan las perpendiculares AE=2 ABC-DEF se ubican los puntos P, Q y R, resy BF=6, al plano ABC. Calcule el volumen del pectivamente, de tal manera que: AP=3PD, sólido ABCEF. BQ=EQ y FR=2CR. Calcule el volumen del tronco de prisma ABC-PQR, si el volumen del a) 2 3 b) 3 c) 2 prisma ABC-DEF es igual a "V". d) 3 2 e) 4 a) V 2 19V d) 36
b) 3V 5 11V e) 24
c) V 3
10. Se tiene el tronco de prisma recto PQR-EFG, de modo que la base superior EFG es un triángulo equilátero de lado 10; RG=6 3 y FG // QR. Calcule el volumen de dicho tronco, si la medida del ángulo diedro formado por las bases es de 37º. a) 380 2 3 450 b) c) 420 d) 320 2 e) 360 3
14. La sección recta de un prisma triangular oblicuo es un triángulo rectángulo de lados menores iguales a 6 dm y 8 dm. Si el segmento que une los baricentros de la base mide 16 dm, calcular el volumen del tronco. a) 384 dm 4 b) 294 c) 364 d) 483 e) 438
15. En el gráfico mostrado, es un tronco de cilindro oblicuo cuyas bases elípticas están en planos perpendiculares. Si: AB2 - CD2=48 2, calcular el área lateral del sólido. B 15º C
D
a) 6 d) 6
2
A b) 8
c) 4 e) 8
1. Se tiene un tronco de prisma recto triangular, 4. Se tiene un recipiente cilíndrico conteniendo tomando como base a los triángulos medianos agua hasta sus 2/3 partes. ¿Cuánto mide el ángude las bases se obtiene un nuevo tronco. Deterlo que debe inclinarse el recipiente para que el minar la relación de volúmenes entre los dos agua empiece a caer, sabiendo que la altura del troncos mencionados. recipiente es el triple del diámetro de la base? a) 1 b) 2 c) 3 30º a) b) 45º c) 53º/2 d) 4 e) 5 d) 37º/2 e) 60º 2. Las bases de un prisma recto son los paralelo- 5. En la figura se muestra un tronco de cilindr o gramos ABCD y EFGH. En la arista DH se ubica de revolución, donde: AC=3 , BD=5 y el punto medio M; en la arista AE se ubica el AB=4 . Calcular: PC 2+PD 2. punto P, tal que el volumen del sólido PBMD EFH es los 2 del volumen del prisma dado. CalAP 5 cule: PE a) 1 4 d) 1 9
b) 3 5 e) 2 5
C
c) 2 9
3. Un tronco de prisma recto ABCD-EFGH, la base EFGH es un rectángulo, tal que: BF=CG=2AE=4HG=4a y el área de la base EFGH es la octava parte del área de la superficie lateral. Calcule el volumen del sólido. a) 6 a 3 b) 8 a 3 c) 9 a 3 d) 12 a3 e) 15 a 3
B
A a) 25 d) 50
2
c) 30 e) 60
P c) 40
6. Calcule el volumen de un prisma de 2 m de 11. La base ABC de un tronco de prisma rectangualtura, si su base es la región triangular formada lar triangular ABC-DEF, es un triángulo equiláal unir los puntos medios de los lados de un tero de 24 de perímetro. Calcule el volumen triángulo cuya área de su región es 36 m2. del sólido A - DEF, si: AD=12 , BE=15 y CF=18 . 3 a) 16 m b) 18 c) 20 3 d) 24 e) 12 a) 64 3 3 b) 72 c) 60 d) 84 e) 48 6 7. Calcule el volumen de la cuña cilíndrica ABC circunscrita a la esfera de radio "r", sabiendo 12. Se tiene un tronco de prisma triangular cuya que el triángulo ABC es equilátero. sección recta tiene 160 2 de área y la longitud del segmento que una los baricentros de las bases es de 18 . Calcule el volumen del tronco. B a) 3 200 3 b) 2 880 c) 2 800 d) 2 760 e) 2 480 A
a) 9 r d) r3
3
C 9 3 r3 c) 3 r b) 4 3 e) 3 r
3
3
13. Dado prisma triangular regular ABC-DEF. Si: CF=3(BC), BD= 10 . Calcule el volumen del prisma. a) 2 3 3 b) 2 2 3 c) 3 3 3 4 d) 3 3 e) 3 2 3 4 4
8. Calcule el volumen de un prisma cuadrangular 14. Calcule el área lateral de un tronco de cilindro circular recto circunscrito a una esfera de radio regular si el desarrollo de su superficie lateral es una región cuadrada cuyo lado es de la longitud "r", cuyas bases forman un ángulo diedro que mide 60º. "K". 2 2 3 3 3 a) 3 r 2 b) 4 r c) 5 r a) K b) K c) K 2 d) 6 r 2 e) 7 r 16 12 13 3 3 d) K e) K 15 17 15. Un prisma recto tiene por base un cuadrilátero inscrito que se descompone por una de sus dia9. Calcule el volumen de un tronco de prisma gonales en un triángulo equilátero de lado igual recto triangular, cuyas aristas laterales mia 12 cm y otro isósceles. Si la altura es 10 cm. den 5 , 6 y 7 y el área de la base recta es Calcule el volumen. 2 de 24 . 2 a) 480 3 cm3 b) 420 3 c) 360 a) 180 3 b) 172 c) 164 3 d) 240 2 e) 250 d) 144 e) 136 10. Las aristas laterales de un tronco de prisma recto triangular miden 9 , 12 y 15 , Calcule el volumen del tronco, cuyas bases forman un ángulo diedro que mide 53º y el área de la base superior oblicuas es de 120 2. a) 924 3 b) 900 c) 898 d) 888 e) 864
16. El desarrollo lateral de un cilindro recto es un rectángulo cuya diagonal mide 17 cm. Si la generatriz mide 15 cm, calcule el área lateral del cilindro. a) 80 cm 2 b) 50 c) 60 d) 70 e) 120
17. En un tronco de cilindro circular recto sus bases 19. Calcule el área lateral de un tronco de cilindro forman un ángulo diedro cuya medida es 60º, recto circunscrito a una esfera, sabiendo que además la suma de las áreas de las bases es S y sus generatrices mínima y máxima miden 2 y la generatriz menor tiene medida nula. Calcule 5 . el radio de la base circular. 2 b) 10 a) 12 c) 14 S S S d) 15 e) 18 a) R= b) R= 2 c) R= 3 S S d) R= 20. Un prisma regular triangular es tal que su aris5 e) R= 7 ta de la base es un tercio de la arista lateral. Además el área lateral es de 81 cm2. Calcule el 18. Calcule el volumen de un tronco de prisma recvolumen del sólido. to cuya base es un cuadrado de lado 4 y tres de sus aristas laterales perpendiculares al cuadrado a) 81 3 cm3 b) 81 c) 91 2 3 4 3 miden 3 , 4 y 6 . 81 81 d) 4 3 e) 3 5 a) 72 3 b) 76 c) 81 d) 69 e) 80
1. Las caras laterales de una pirámide triangular V-ABC forman un ángulo diedro cuya medida con la base es de 45º. Si AB=13, BC=14 y AC=15, calcule el volumen de la pirámide. Solución: V
h ap B 2
B 15
I 45º
A
45º
4
M
1
4
13
B Piden: V pirámide V-ABC * I=Incentro del ABC IM=Inradio del ABC * A ABC=P ABC ×(IM) 21×8×6×7 =21 . IM 84=21.IM IM=4 * VIM(NOT 45º y 45º) h=4
2
2 2
2 2
4
A Del dato * 128=P base x ap 128=8 . ap ap=16 * T. Pitágoras ap2=22+h2 162 - 22=h2 h=6 7 2 Vpirámide=4 ×6 3 3 ... Vpirámide=32 3 3. Calcule la razón de volúmenes entre los sólidos mostrados.
* Vpirámide V-ABC =84×4 3 =112 2. El área lateral de una pirámide regular cuadrangular es 128. Si el radio de la circunferencia circunscrita a la base es 2 2, calcule el volumen de la pirámide. Solución: Piden V pirámide
2
Solución: Piden: Vcil Vcono
T
R
L
R
2g r
P
R
O
r
5. En el cono circular recto mostrado, calcule la relación entre el área lateral y total del sólido, si: mAB=120º. V
N g
53º
M
* Por prop. de la semejanza *
B
2r=2R3R. R r= R3 NM= 2 OPM PTL LN 1 2 * Vcil = RR 23g Vcono 2 .g ... Vcil =27 Vcono
A Solución: V
4. Calcular el volumen de un cono de revolución en el cual el desarrollo de su superficie lateral es una semicircunferencia de 12 de radio. Solución: Pide: V cono
53º 2
2r 3
2r 12 Desarrollo=2 r g =2 r 12 r=6 12 6 3 6 2 Vc= M6 . 6 3 3 ... Vcono=72 3
53º 2
r 15
B
r N r3 r 3
120º
A A L * Piden: AT * AB=2r 3 AVB: Isósceles; VN=25 3 VNB: NOT 53 x 127 VB=5 15 2 2 * AL= rg T= A r(g+r) AL = g = r 15 AT g+r r 15+2r ...
ATL = 15+2 15 A
1. Se tiene una pirámide V-ABCD tal que ABCD a) 2 3cm b) 3 3 3 c) 43 4 es un paralelogramo cuyas diagonales miden d) 5 e) 6,5 AC=10 y BD=8. Calcule el valor de: E=(VA)2+(VC)2 - (VB) 2 - (VD)2 6. La figura muestra a un cilindro oblicuo de a) 24 b) 20 c) 28 60'cm3 de capacidad, inscrito en el cono recd) 16 e) 18 to de revolución. Calcule el volumen de dicho cono. 2. Calcule el volumen de un cono de revolución en el cual el desarrollo de su superficie lateral se muestra.
R=8 m
a) 4 3 m3 d) 20 m3
8 b) 3 15 m3 c) 2 2 m3 e) 4,8 m3
3. Calcule la medida del ángulo del desarrollo que se obtiene, al desarrollar la superficie lateral del cono menor, si tiene una generatriz paralela a la generatriz mayor, h= 15; R=1.
h R 120º a) d) 50º
b) 75º e) 90º
c) 180º
a) 120 cm d) 150
3
b) 80 e) 140
c) 160
7. En una pirámide cuadrangular regular, la arista lateral forma 37º con el plano base. Calcule el valor del ángulo diedro que forma la cara lateral con la base. 3 2 a) ArcTan 4 b) ArcTan 2 3 3 3 2 2 c) ArcTan d) ArcTan 4 3 e) ArcTan 3 4 8. En una pirámide S-ABC, la base ABC y la cara SBC son triángulos equiláteros. Si: AS=4 y BC=6, calcule el volumen de la pirámide SABC.
4. En una pirámide hexagonal regular, su altura a) 4 23 b) 2 26 c) 3 23 d) 26 e) 5 26 mide 18 y la arista de la base mide 12. Calcule a qué distancia del vértice se debe trazar un plano paralelo a la base para que la sección resultante 9. En la figura, calcular la altura del cono, si el tenga un área de 72 3. cono de vértice "P" y la cuña cilíndrica recta a) 3 3 b) 4 3 c) 5 3 son equivalentes. Además: 3AP=5PB, la altura d) 6 3 e) 7 3 del cilindro es 17 m. 5. ¿A qué distancia del vértice de una pirámide cuya altura mide 8 cm, se debe trazar un plano paralelo a la base para que se determine dos sólidos equivalentes?
13. Dado un cono de revolución, calcular el volumen del cono cuya base es una sección perpendicular a OB y OM=MB. O B 6
=
P
M 6
A a) 9 d) 12
=
b) 10 e) 14
A
c) 11
B
R=6
a) 12 2 b) 16 6 c) 36 5 3 d) 18 6 e) 24 10. Sobre las aristas laterales PA, PB y PC de una 3 pirámide triangular P-ABC, se ubican los puntos L, M y N respectivamente, de tal manera que: AL=LP, PM=2MB y PN=3NC. Calcule el vo- 14. Por el incentro del triángulo ABC cuyos lados miden 5 m, 6 m y 7 m, se traza la perpendicular lumen del sólido ABC-LMN, si el volumen de la al plano de dicho triángulo. Si IO=2 2, calcule pirámide P-ABC es 100 3. la suma de las áreas de las caras laterales de la 3 a) 10 b) 48 c) 54 pirámide O-ABC. d) 64 e) 75 a) 144 b) 14 6 c) 12 6 d) 6 6 e) 18 6 11. En una pirámide triangular regular O-ABC trirectangular en "O", el volumen es 3 3, cal- 15. En el gráfico se muestra un cilindro de revolu2 cule la distancia del centro de la base a la arista ción de 18 m3 de volumen, si: AB=BC, calcular el volumen del cono que tiene como base la lateral. región elíptica. a) 2 b) 3 c) 6 3 2 2 A d) 6 e) 5 3 2 B
12. Se tiene un cubo de 2 dm de arista y una esfera inscrita en él. En su vértice "A" del cubo y a una distancia "x" de él se señalan los puntos P, Q y R en las aristas que confluyen en "A". Determine el volumen de la pirámide APQR, si el plano PQR es tangente a la esfera. a) 48 1
b) 3( 3- 1)3
c) 2 3 - 1 4 3 e) 2( 3 - 1) 2
3 d) 3( 3 - 1) 2
C a) 1 m d) 3
3
b) 2
c) 2,5 e) 4
1. Un semicírculo de radio "R" es el desarrollo la- 8. En un cono circular recto la media armónica enteral de un cono de revolución. Calcule el volutre su altura y el diámetro es de 12 . Calcule el men del cono. volumen de un cilindro recto circular inscrito, si 3 3 3 su altura y su diámetro son congruentes. R R R a) b) c) 6 2 3 3 3 12 12 8 a) 54 b) 64 c) 48 3 3 3 3 d) 27 e) 45 d) R 3 e) R 24 12 9. Un cono y un cilindro circular recto cuya generatriz mide 4 dm, comparten la misma base mero de aristas del sólido. de radio igual a 3 dm la otra base del cilindro a) 30 b) 60 c) 90 es secante al cono. Si ambos sólidos son equid) 50 e) 100 valentes, calcule el volumen de la porción del cono interior al cilindro. a) 96 dm3 b) 76 dm3 c) 25 dm 3 3. El radio de la base de un cono es de 15 dm y su 5 3 2 área lateral es de 375 . Calcule la distancia 13 91 d) dm3 e) dm3 del centro de la base a la generatriz del cono. 3 18 a) 12 b) 8 c) 10 d) 14 e) 16 10. Sea V-ABCD una pirámide cuadrangular regular, donde el área del círculo inscrito en el triángulo 4. Un triángulo equilátero tiene como lado 6 y VAB es 9 m2 y la m AVB=74º, calcular el 4 gira alrededor de uno de los lados un ángulo de volumen de la pirámide V-ABCD. 360º. a) 7 6 m3 b) 6 6 c) 12 7 do. Calcule el volumen del sólido engendra24 3 b) 54 d) 12 5 e) a) 45 c) 34 5 7 d) 52 e) 28 2. Una pirámide tiene 31 vértices. Calcule el nú-
5. Una pirámide recta de base cuadrada tiene una altura de 1,2 y la arista lateral mide 1,3 . ¿Cuánto mide el área de la proyección de una cara lateral sobre la base de la pirámide? 2 c) 0,125 2 a) 0,5 2 b) 0,42 d) 0,125 2 e) 1,56 2
2. Calcule 6. La de si: uny2cono circular recto elmide "y",generatriz la altura "h", - h2=3k volumen de dicho cono.
a) k2h d) k2h3
b)
k2h
3 e) k2h2
11. B es punto medio de una generatriz del cilindro y OB OB. Calcule la relación de volúmenes del cilindro y del cono de vértice "O". O
B
A
c) kh2 3 a) 4 8 d) 15
5 b) 7 8 e) 5
9 c) 13
7. Calcule el volumen de una pirámide, cuya área de su base es 12 2 y su altura mide 4 . 12. En una pirámide pentagonal regular el área total a) 9 3 b) 12 c) 16 es de 30 2 y el área lateral es 20 2. Calcule el d) 20 e) 24 valor del ángulo diedro que forman la cara lateral con el plano de la base.
1. Calcule el volumen de un tronco cilíndrico oblicuo, conociendo que la sección recta es un círculo y forma con la base mayor un diedro de 45º; además, el área de la base mayor es de 60 dm 2 y las generatrices máxima y mínima miden 10 dm y 4 dm en ese orden.
a) 72 dm2 7 d) 47 dm2 5
b) 62 dm2 5 e) 73 dm2 6
c) 27 dm2 8
6. Grafique al triángulo ABC, de modo que AB=6 dm, BC=8 dm y AC=10 dm. Perpendicularmente a su plano se levanta AE, BF y CH que miden 2 dm, 8 dm y 4 dm en ese orden. Calcule el volumen del sólido ABC-EFH. a) 112 dm 3 b) 168 dm 3 c) 336 dm 3 2. Calcule el volumen de un tronco de cilindro d) 224 dm3 e) 102 dm 3 recto circunscrito a una esfera de radio 2. El diámetro de la base mide 6 y la generatriz mínima del tronco es nula. 7. En un tronco de cilindro circular recto, las genea) 240 6dm3 c) 210 2dm3 e) 222 2dm3
) 60 a d) 36
b) 160 d) 190
b) 45 e) 40
3dm3 3dm3
c) 12
3. En un tronco de cilindro circular recto, la generatriz mínima es nula y las bases forman un diedro de ángulo rectilíneo igual a 60º. calcule el volumen del sólido, si la suma de las áreas de las bases es 48 dm 2. 8. a) 695,32 dm 3 b) 965,23 dm 3 c) 895,32 dm3 d) 348,23 dm 3 3 e) 665,32 dm
ratrices máxima y mínima miden 10 dm y 4'dm en ese orden. Si el diámetro de la base circular es congruente al eje del sólido, calcule el área lateral del sólido. a) 48 dm 2 b) 72 dm 2 c) 49 dm 2 d) 94 dm 2 e) 98 dm 2 En un tronco de prisma recto (cuya sección es un triángulo), se inscribe una pirámide cuya base es la misma del tronco y cuyo vértice es el punto de intersección de las medianas de la otra base. Calcule la relación de volúmenes de estos sólidos.
4. En un tronco deuna cilindro recto, se aen-6 a) 19 b) 13 c) 12 cuentra inscrita esferacircular de radio igual dm. El eje mayor de la elipse forma un ángulo 2 2 d) 9 e) 3 de 37º con la generatriz máxima. Determine el volumen de dicho tronco. 9. Los volúmenes que genera un triángulo rectána) 576 dm3 b) 496 dm3 c) 136 dm3 gulo cuando gira alrededor de sus catetos son d) 468 dm3 e) 586 dm3 de 3 dm3 y 4 dm3. Calcule el volumen que genera el triángulo cuando gira alrededor de la hi5. Un tronco de cilindro oblicuo tiene como secpotenusa. ción recta a un círculo de 8 dm de perímetro. a) 5 dm 3 b) 2,2 dm 3 c) 2,5 dm 3 Las generatrices máxima y mínima miden 14'dm 3 d) 2,3 dm e) 2,4 dm 3 y 4 dm, en ese orden. Calcule la relación entre el volumen y la generatriz mayor del tronco.
10. En un cono de revolución, se inscribe dos esfe- 13. Una cuerda del círculo base de un cono circular ras de radios 2 dm y 6 dm. Calcule el volumen recto de 8 m de altura, mide 16 m. La distancia del cono. de la cuerda al centro del círculo de la base es de 4 m. Calcule el área lateral del cono. a) 190 dm 3 b) 810 dm 3 c) 790 dm 3 3 3 d) 840 dm e) 648 dm a) 12 m 2 b) 48 5 m2 c) 96 m 2 d) 96 5 m2 e) 48 m 2 11. Calcule el volumen de un cono recto de altura 3m, sabiendo que el plano que pasa por el vérti- 14. La altura de un cono recto se divide en tres segce determina en la base una cuerda que subtienmentos congruentes por dos puntos, por dichos de un arco de 120º y que la sección determinapuntos se trazan planos paralelos a las bases. da por dicho plano es un triángulo rectángulo. Calcule el volumen de la parte mayor, si el volumen del cono es de 27 m3. 3 3 3 a) m m d) 924 mm3 b) e) 12 36 m3 c) 18 a) 5 m 3 b) 9 m 3 c) 19 m 3 d) 21 m3 e) 24 m 3 12. Sea F-ABCD una pirámide donde las aristas laterales son congruentes y miden 5 6 dm. AB y 15. La altura y el diámetro e la base de un cono BC miden 8 dm y 6 dm en ese orden. Calcule recto miden 18 y 24 unidades respectivamente. el volumen del sólido, sabiendo además que la En el cono, se inscribe un cilindro recto cuya base es un rectángulo. área total es 260 2. Calcule el volumen del cono parcial cuya base es la base superior del a) 80/3 dm 3 b) 40 dm 3 c) 80 dm 3 cilindro. d) 90 dm3 e) 8 5d m 3 3 b) 480 3 c) 440 3 a) 500 3 3 d) 420 e) 400
1. ¿En qué porcentaje debe aumentar la altura de 4. ¿En qué razón se encuentran las áreas de la suun cilindro, sabiendo que el radio de su base perficie lateral de un cilindro y de la región que disminuye 50% para que ambos sólidos (final e resulta de proyectar al cilindro en un plano painicial) tengan el mismo volumen? ralelo a su eje? a) 100% b) 200% c) 300% a) b) 2 c) 3 d) 400% e) 500% d) 4 e) 6 2. El radio de la sección recta de un cilindro obli- 5. En una tetraedro regular de arista "a", se inscricuo mide 2 3 m. La generatriz está inclinada be un cilindro de revolución con una de sus ba60º respecto a la base y la longitud de la altuses en una cara y la otra tangente a las demás ra es el doble del diámetro de la sección recta. Calcular el volumen del cilindro. a) 184 m 3 b) 192 m 3 c) 176 m 3 d) 196 m 3 e) 204 m 3
caras. Si el radiode desulassuperficie base del lateral. cilindro es "r". Calcular el área a) 2 2 a 3r 6
b) 3
3 a 3 6
r
c) 4 2 a 3 - r d) 2 2 a 3 - r 6 6 3. Se tiene un cilindro cuyo radio de la base mide 4 cm y está lleno de agua hasta un nivel supee) 2 r 2 a 3 - r 3 rior 3 cm. Calcular la medida del ángulo que debe girar el cilindro con respecto a la vertical 6. Las dimensiones de un ortoedro se encuentran para que el agua esté a punto de derramarse. en la relación de 1:2:3 y la longitud de la dia30º a) b) 45º c) 60º gonal es igual a 2 7 . calcular el volumen de d) 53º e) 37º dicho ortoedro.
1. Calcule el volumen del tronco de cono. 2. Se tiene al tronco de pirámide regular cuadranMA=VM, VN=NB, VP=PC. VD=4 3, AD=8. gular ABCD-EFGH, FG=2, AD=8 y el apotema de dicho tronco es 5. Calcule su volumen. Solución: V Piden V tronco F 2 G 1 O N P E ap=5 H M 4 h E B C B C 3 O2 1 4 O A D
A
V 2 3
M B
2 4
A
P 2 3
E 4 2
C
3. Calcule la razón de volúmenes del cono y del tronco de cono circular recto.
O
8
r D
Piden: V tronco * VD=VC=4 3 * VO=4 * T. Puntos medios: ME= AD 2 * Vtronco= 4 (22+42+2.4) 3 ... Vtronco= 112 3
D
* O1 y O2: Centros de las bases h=4 * Vtronco= 4 (22+82+ 22×82 ) 3 Vtronco= 4 (84) 3 Vtronco=112
Solución:
N 2 4
8
2r Solución: Piden: Vcono Vt.cono
Or r
Por dato: A.L.cono=A.L. tronco cono x . x = x 10 = (x+2) 10(2 - x) x2=x2 - x2 ... x= 2
M
l
O1 a
N
3l
5. Calcule el volumen del tronco de pirámide cuadrangular regular. La semicircunferencia está inscrita en PMNQ. MN=4, PQ=10.
2r
O2 2r * Por propiedad a= r . 2r = 2r *
F
G
M
r+2r 3O O N OMO 2 1 2 2 r = OO OO2=3l 2r 2 O1O2=3l B 2 Vcono= a × 3l ..........(1) B Vt.cono= 3l (r2+(2r)2+r.2r) 3 Vt.cono= l . 7r2 ..........(2) De (1) y (2): Vcono = 4 Vt.cono 63
E
H B
C Q
P A
4. Calcule el valor de x, si la sección sombreada es paralela a la base del cono y determina dos sólidos de áreas laterales iguales.
D
Solución: En la región PMNQ (trapecio isósceles) 4 2 N M 2 2 R P
... Vtronco= 4 (42+102+ 42.102 ) 3 = 4 (156) 3 Vtronco=208
Solución:
x 10
2 10
x
10 (2 - x)
2
3
... R=4
2
37
5
52 - R2
2
Q
* T. Pitágoras (2+ 42.102 )2=R2+32
6
x
RR 2
10
3x 2
N
6
1. En el gráfico se tiene un tronco de cilindro de revolución, las regiones ABC y BDC están contenidas en planos perpendiculares, tal que sus áreas están en la razón de 2 a 1 respectivamente. Si: AB=AC y el área de la proyección ortogonal de la región ABC en la base inferior es 8 2, calcular el volumen del tronco del cilindro. A D B
a) 208 d) 104 3
416 m3 c) 208 3 e) 104 5
b)
2
C a) 10 2 d) 5 17
b) 20 e) 17
c) 20
2
4. Calcule el volumen de un tronco de cono circular recto, si se pueden inscribir en él dos esferas de radios 1 m y 3 m. 2. Según el gráfico, se tiene un tronco de cono a) 782 m3 b) 756 m3 c) 745 m3 9 9 9 de revolución y un cilindro de revolución. Si: 728 740 3 3 AB=2(BC), calcule razón de volúmenes del d) 9 m e) 9 m tronco de cono y el la cilindro. A 5. En un tronco de cono, cuya generatriz es 10 y la medida del ángulo entre dicha generatriz y el plano de la base es 37º, está inscrita una esfera. Calcule el volumen del tronco de cono. B a) 180 m3 b) 182 m3 c) 192 m3 d) 184 m3 e) 193 m3 C
30 a) 740 d) 7 2e)
2
b) 2 15 12
c) 3 15 2
6. En un tronco de pirámide triangular regular, la arista lateral se encuentra inclinada 45º respecto de la base mayor. Calcule la relación entre el apotema del tronco y su altura. a) 3 2 d) 5 2
b) 6 2 2 e) 3 3
c)
5 4
3. El octaedro regular mostrado está inscrito en el tronco de cono de revolución. Si la longitud de la arista del octaedro es 4 2 y el área de la superficie lateral del tronco de como es 32 5 , 7. En un tronco de cono circular de bases paralecalcule el volumen del tronco. las, los radios de sus bases miden 5'dm y 2'dm. Si el área lateral es de 35 dm 2, calcule el ángulo central del desarrollo lateral. 2 rad a) 5rad b) 4rad c) 7 3 3 6 d) rad e) rad 2 5
8. Calcule el volumen de un tronco de cilindro 12. En el gráfico se muestra un tronco de cono reccircular recto, en el cual se inscribe una esfera, to. Calcular el área lateral. además la generatriz mayor y menor miden 4 y1 . 3 b) 1,6 3 c) 1,8 3 a) 1,4 3 3 d) 2,2 e) 2,4 A 9. En la figura, se tiene un tronco de cono circular recto (QB: generatriz). Si: AB=BC, R=10 cm, QO=QB. VQ-ABC=400 cm3, calcule el volumen del tronco. Q
A a) Sen d) 2TgA
2 A b) Sen 4 A e) Sen
2 A c) Cos
A R
B
O C
a) 800 cm d) 850
3
) b700 e) 750
c) 900
13. Una pirámide cuadrangular regular tiene como arista básica 5 dm y es cortado mediante un plano paralelo a la base a 6 dm de su vértice. Si la sección que se determina es de 4 dm2 de área, calcule el volumen de tronco de pirámide que se determina. a) 117 dm 3 b) 107 c) 137 d) 127 e) 147
10. En un sus tronco pirámide regular, todas carasdelaterales soncuadrangular circunscriptibles. Si los inradios de las bases miden "a" y "b", calcu- 14. El desarrollo de un tronco de conos el área de le el área lateral del tronco. un trapecio circular que tiene por radios 4 y 10 , además 180º de ángulo central. calcule el a) (a+b) ab b) 2(a+b) ab valor de la altura del tronco del cono. c) 4 ab(a+b) d) 8 ab(a+b) e) 16(a+b) ab a) 2 3 b) 3 3 c) 6 d) 2 6 e) 4 3 11. En la figura, se tiene un tronco de cilindro oblicuo cuyas bases están en planos perpendicula- 15. Las bases de un tronco de pirámide de bases res. Si: MN2 - PQ2=32. Calcule el área lateral paralelas son polígonos de áreas "S1" y "S2". de sólido. Calcule el área de la base media. N 2 + a) S1 2 S2 b) [ S1+ S2]2 15º 3 c) S1 - S2 d) S1 - S2 2 2 P e) S + S 1
M a) 2
Q b) 4
d) 16
c) 8 e) 32
2
1. La fórmula que expresa el volumen de un tron- 6. Un tronco de un cono de revolución tiene una co de pirámide cuyas áreas de las bases miden de sus bases igual a la cuarta parte de la otra. A y B y además la altura mide "h" es: Hallar qué fracción del volumen total resulta ser el volumen de un cono cuyo vértice es el centro h 2 2 a) 2 (A+B+ A +B ) de la base mayor y cuya base es la base menor del tronco. h 2 2 b) 3 (A +B + A+B ) a) 1 b) 1 c) 7 4 8 h c) 2 ( A2+B2 + A.B ) d) 1 e) 1 d) h3 (A+B+ A.B ) 7 3 2 e) 3 h(A+B+ 2AB )
7. Calcular el volumen de un tronco de cono de revolución, sabiendo que la diferencia de cubos de sus radios es 81 y que la generatriz es 10 veces la altura. 2. El área total de un tronco de cono circular recto de generatriz "g" radio mayor "R" y radio menor a) 9 b) 15 c) 20 "r" es: d) 12 e) 8 a) (R+r)g b) 2 (R2+r2+Rr)g c) (Rg+rg+R 2+r2) d) (Rg+rg+Rr) e) N.A.
8. La suma de los radios de las bases de un tronco de cono es de 4 dm, la altura mide 4 dm y la generatriz forma un ángulo de 60º con la base. Hallar el área total del tronco. 2 a) 16 3 (1+ 3) dm c) 64 (1+ 3) dm2 3 16 e) (1 - 3) dm2 3
2 b) 32 3 (1+ 3) dm d) 32 ( 3 - 1) dm2 3
3. Un tronco de pirámide tiene como áreas de sus bases 4 dm y 16 dm. Si el volumen del sólido es de 84 dm3. Hallar la altura del tronco. a) 6 dm b) 9 c) 12 d) 8 e) 10 9. En un tronco de pirámide cuadrangular regular, las bases distan 23 m, la arista básica menor mide 2m y las caras laterales están inclinadas 4. Una pirámide de 9'dm de altura es cortada a con respecto a la base de un ángulo diedro cuya 4'dm de su vértice mediante un plano paralelo a medida es 60º. Calcular el área de la superficie su base. Hallar la relación de volúmenes de los total. sólidos determinados. a) 104 m 2 b) 206 c) 401 a) 729 64 b) 665 46 c) 665 64 d) 106 e) 102 d) 64 e) 64 656 656 10. La base de una pirámide triangular regular está inscrita en una circunferencia cuyo radio miden 2 cm, el área de la superficie lateral de dicha pi5. En una pirámide triangular regular, el lado de la rámide es el doble del área de la base. Calcular base es a la arista lateral como 10 . Calcule la el volumen de la pirámide. 5 medida del ángulo diedro en la arista lateral. a) 8 cm 3 b) 5 c) 2 d) 3 e) 4 13 4 15 a) ArcCos b) ArcCos c) ArcCos 35 6 9 17 17 d) ArcCos e) ArcSen 35 35
1. Calcule el área de la superficie esférica menor si está inscrita en el cono equilátero de altura 27.
R 27
Solución:
h
Solución: 30º
R
30º
2r
r
1 r
27
R=3r R
3r
Dato: A
casquet=2
2 1 ×h=2 h= 1 *
NOT30º y 60º: 2R=3r+R R=3r * 27=9r r=3 ... Vsup esf=4 (3)2=36
Acasque=Asemicircunferencia esférica Acasquete=2
1
2
=2
2. Calcule el área de la base del casquete esférico mostrado, sabiendo que el área de dicho cas- 3. En el gráfico mostrado, si la relación entre el área de los círculos menores y mayores es de 1 quete es 2m2. EL radio de la esfera es 1 . a 2, además ABCD-EFGH es un paralelepípedo recto, calcule el área de la semi superficie esférica. GC= 3
F M E
G
B H
C
O
A
D Solución: F P
E
M
r
B
r
H
3 O
G
O1O2O3: Equilátero H: Ortocentro del O 1O2O3 HO3= 3 * T. Pitágoras (3+r)2=(2 3 2+32) r= 21 - 3 ... Asup esf=4 (r 21 - 3)2 5. Calcule el área de la superficie esférica inscrita en un cotaedro regular de diagonal igual a 4 6. Solución: V
2
R
4
C B
2 6
A
G 2
r
D Acírculo menor = 1 Acírculo mayor 2
r2 = 1 R2 2
R= 2r =45º r 2= 6 r= 3 Asemi supesf=2 ( 3)2 ... Asemi superesf=6 4. Se tienen tres superficies esféricas congruentes de radio 3, tangentes exteriormente dos a dos y tangente a un plano. ¿Cuánto mide el área de la superficie esférica tangentes a las tres mencionadas y cuyo centro está en el plano? Solución: Ubicaremos los centros de las superficies esféricas y la unión de estas es la suma de radios. O2 3 3 3 H O1 2 3 3 3 O3 3 3 3 3 3 3 r r
O A 2 6 a
M Piden: A supesf G: baricentro de AVDC VM=4 6 a 2=4 6 a=4 3 VON: RMTR 2 6 . 2 3=6 . r r=2 2 .. . A 2 sup esf=4 (2 2) =32
2 3
D 4
3
C N
1. Según la gráfica: 4(AM)=3(MD); O es centro de la esfera. Calcular la razón de las áreas de los casquetes esféricos S1 y S2. R A S1
R O B M C
a) 1
D S2 c) 1/2
b) 2 d) 4/3
b) 8 R2 5 18 e) R2 5
c) 12 R2 5
e) 3/4
2. Una esfera es cortada por un plano en dos casquetes cuyas superficies están en la relación de 4 a 5; la cuerda del arco generador del casquete menor es de 60 m. Calcular la longitud del radio de la esfera. a) 15 m d) 45
a) 4 R2 5 16 d) R2 5
b) 30 e) 48
6. Calcule el área de la superficie esférica de una esfera inscrita en un cono equilátero de 648 3 de volumen. 2 b) 178 2 c) 164 2 a) 184 2 d) 158 2 e) 144
c) 36
7. Calcule el área de la superficie generada al girar el cuadrado ABCD alrededor de . Además: º=60º( // DN) a 3. Calcule el radio de la esfera circunscrita al ocN A B L taedro regular de arista l . 360º a) l 22 b) l 32 c) l 42 d) l 52 e) l 62 30º "
"
4. ¿Cuántas veces es mayor la distancia desde un punto luminoso hasta el centro de una esfera, que el radio de esta, si el área de la parte iluminada de la esfera es dos veces menor que esta sombra? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 6 5. En el cilindro está inscrita una esfera y un cono. Calcular el área del casquete esférico mayor que determina la intersección del cono con la esfera.
D a) 4a 22 ( 3+1) c) 8a ( 3+1) e) 2a2 ( 3+1)
C b) 4a22 ( 6+1) d) 2a ( 6+1)
8. En la figura mostrada AOB es un sector circular de 30º. Determinar la razón de las áreas de las superficies generadas por los arcos AB y BC al girar en torno al eje OB.
1. En un cono equilátero se inscribe una esfera. Calcule el volumen de dicha esfera si el área total del cono es 12 . Solución: Piden V esf M
* AC=2R 2 AO=R 2 * ATO: NOT 45º m=R ... Vsemi esf= 2 m3 3 3. Del gráfico mostrado, calcule el volumen del sólido que se genera cuando la región sombreada gira 360º entorno de .
P
Q 2r 3 r
r
O r
2
30º 30º
6
r 3
Atotal cono= r 3 (2r 3+r 3) 12 =
2
.9
12=r2. 9 Vesf= 4 3
Solución: Piden: V sol gen
4 3 4 2=32 3 27 3 r=
2. Se tiene un paralelepípedo ABCD-EFGH recto circunscrito a una semi-esfera (el círculo máximo está inscrito e la cara ABCD). Si la longitud de la tangente trazada por A a la esfera es m, calcule el volumen de dicha esfera. Solución: F G
E
H
T B
C
R m
2 2
A
O
R
R
B
3
2
2
6M 1 3
P
CG 360
* Sea MP mediana MP CG: Baricentro del ABP * T. Pappus Vsol gen=2 Ax
=2 6.2 ×2 2 ... Vsol gen=24
Reemplazando en (1) 2 32= 4x 2 x -4 8x2 - 32=x3
4. El gráfico representa a una bola de helado y un barquillo cónico. Si la bola de helado se derrite, llena el barquillo. Calcule: x2(8 - x).
8x2 - x3=32 ... x2(8 - x)=32 5. Se tiene una cuña esférica de volumen 6 y su ángulo diedro formado por dos semicírculos es 60º. Calcule el área total de la cuña.
2
Solución: x 60º
R Solución: Vesfera=Vbarquillo Piden AT
2 r
R3 Vcuña= 270 R3 6p= 60 270
2 x
cuña
g
Acuña = 32+ 32+Ahuso 18 + = Acuña =24
4 23= r2x 3 8 4 . 8=r2 . x ..........(1) RMTR: 12= 12 + 12 2 r x 2 2 r = 4x x2 - 4
R=3
60 32 90
1. Si el volumen de un cono de revolución equi- 5. Calcule el volumen generado por la región somlátero es "V", calcule el volumen de la esfera breada al girar 360º alrededor de "L". inscrita. a) 4V 9 3V d) 5
b) 3V 7 3V e) 8
c) 2V 5
2. Determine la distancia del centro de gravedad de un cuarto de círculo AOB hacia OB, siendo: AO=OB=6 . a) 4 b) 6 c) 8 d) 4,5 e) 6,5
L
R
3R
a) 48 2R3 37 d) 48 2R3 27
b) 78 2R3 37
c) 52 2R3 37
2R3
e) 52
3. Calcule el volumen generado por la región sombreada al girar 360º sobre AC, si ABC es un 6. Calcule la relación de volúmenes que hay entre triángulo equilátero de lado 5 . los sólidos generados cuando el trapecio (región gira 360º alrededor de AC y CD. C 4
A
A
M
B
B 60º
a) 1875 64
b) 1975 16
d) 1875 34
e) 1975 24
c) 1475 64
D
C
8 b) 723 7 e) 196
a) 63 d) 323
c) 5123
4. Según el gráfico, calcule la razón de volúmenes de los conos. r 7. Del gráfico, calcule la relación de volúmenes que genera al rotar 360º el área de la región sombreada sobre los ejes "y", "x". y R B 4 r a) 25 64 d) 5 64
b) 16 25 e) 8 25
c) 64 125
R a) 2
b) 3
d)
e)
6
x
R
8
c) 4
15. En el gráfico, O y O1 son los centros de los cuadrantes. Calcule el volumen del sólido generado por la región sombreada al girar 360º alrededor de L. Además: R= 3 . C B 2R
360º
A
R 3
O1
R a)
b)
L
O
c)
d)
e)
1. El círculo máximo de una esfera tiene como 5. ABCD es un cuadrado de lado "L". Hallar el voárea 36 cm 2. Hallar el volumen de la esfera. lumen del sólido generado al rotar ABCD alrededor del eje ( =15º) a) 386 cm 2 ) b288 c) 188 B C d) 278 e) 268 Eje 2. Un cilindro tiene como volumen 30 dm3. Hallar el volumen de la esfera inscrita en el cilindro. a) 20 dm 3 b) 18 c) 22 30 d) 7 e) 15 3. El cuadrado ABCD al girar una revolución alrededor del eje "L", genera un sólido de 4 6 cm3 de volumen. Calcular el perímetro del cuadrado. C
D
a) 2
b) 6 d) 8
L3 a) 3 5 L3 d) 4 6
D
L3 b) 6 2 L3 e) 8
L3 c) 2 6
6. Un triángulo equilátero de lado "b" cm, gira alrededor de uno de sus lados. Hallar el volumen del sólido generado.
B A
A
L
15º
a) c) 10
e) 5
4. Calcule el volumen de una esfera cuyo radio mide 3 . 3 3 c) 64 3 a) 18 b) 27 d) 36 e) 40 3
d)
2 3
b3
b)
b3 2
e)
8 6
b3 b3
c)
4
b3
7. El círculo de radio "R", gira alrededor del eje 9. Se tiene una cuña esférica de 36 3 y 45º de "I", calcule el volumen del sólido generado (T: ángulo diedro. Calcule el radio de dicha cuña. punto de tangencia). a) 4 b) 9 c) 6 d) 8 e) 3 l 10. En un cilindro circular recto, se inscribe una esfera y un cono circular recto. La razón entre los volumen del cilindro, la esfera y el cono es: a) 1:2:3 b) 2:1:3 c) 3:1:2 d) 3:2:1 e) N.A.
T
a) 2R2 d) 2 2R3
b) 2 R e) 2 R
4 3
c)
2R3
8. En la figura mostrada, la región rectangular al girar alrededor del eje(1) genera un sólido cuyo volumen es V 1 y al girar alrededor del eje(2) genera un sólido cuyo volumen es V 2. Calcule: V 1/V2. Eje (2)
3a a Eje (1) 2:3 a) d) 1:3
b) 3:1 e) 4:9
c() 1:9
1. Calcule el lavolumen prisma cuadrangular Se tiene un cilindro revolución, planoque no regular, si diagonaldedelundesarrollo de la super- 6. paralelo a las bases de lo corta de tal un manera ficie lateral mide 37 unidades y la arista lateral forma un ángulo de 45º con las bases y las gede dicho prisma mide 35 unidades. neratrices máxima y mínima están en la relación de dos a uno. Si el radio de la base del cilindro a) 275 3 b) 290 c) 300 es 1, calcule el volumen del tronco de cilindro. d) 315 e) 324 a) 3p/2 3 b) 5p/2 c) 3p d) 4p e) 7p/2 2. Las tres dimensiones de un rectoedro están en progresión aritmética y suman 45 unidades. Calcule el volumen, si su área total es igual a 7. En un cono recto de revolución, el punto medio 1'332' 2. de una generatriz dista de la base 6 dm. Si el radio es de 4 dm, calcule la capacidad de dicho a) 3 600 3 b) 3 524 3 c) 3 484 3 cono. 3 3 d) 3 360 e) 3 240 a) 32 p dm3 b) p dm3 c) 46 p dm3 d) 54p dm3 e) 60 p dm3 3. Sobre la arista AD de un tronco de prisma oblicuo ABC-DEF se ubica el punto P, de tal manera que PD=15. Calcule el volumen del sólido 8. Se tiene una pirámide cuadrangular regular en PDEF, si el área de la sección recta de dicho la cual una arista lateral y la altura forman un tronco es igual a 60 2. ángulo cuya medida es 30º. Calcule la medida del ángulo diedro que forma el plano de la base 3 3 3 a) 120 b) 180 c) 240 y un plano perpendicular a una arista lateral. 3 3 d) 250 e) 300 45º a) b) 53º c) ArcCtg 3 d) ArcTg 5 e) 30º 4. En un cilindro de revolución de altura 5, se puede inscribir un paralelepípedo rectangular cuya superficie lateral es 280, si uno de los lados 9. Se tienen dos conos rectos congruentes tangenmide 12. Calcule el área lateral del cilindro. tes por sus generatrices y cuyos vértices coina) 50 p d) 200 p
b) 100 e) 220
p p
c) 150
p
ciden. sus alturas son "h" radiotriangular de bases es "r", Si entonces el área de lay el región cuyos vértices son los centros de las bases y el vértice común de los conos es:
5. Un octaedro de volumen 4/3 m3 está inscrito en un cilindro de revolución, de modo que dos a) 2hr b) r c) r r2+h2 hr vértices opuestos del octaedro son los centros de 3 3 las bases de dicho cilindro. Calcule la longitud d) 2rh 2 e) 2rh 2 r +h r -h de la menor trayectoria para ir de un extremo a otro extremo de una generatriz recorriendo la superficie lateral del cilindro. 10. Calcule el volumen de una pirámide de base triangular en la que dos de sus caras son triángua) 2 1+ 2 b) 3 2 - 1 c) 4 1+ 2 d) 4 2 - 1 e)
lo equiláteros cuyo lado mide L y las otras dos son triángulos rectángulos isósceles. 3 a) L 2 12 3 d) L 5 12
3 b) L 2 10 3 e) L 5 8
3 c) L 2 8
11. Calcule el volumen de un tronco de pirámide circunscrito a una esfera, cuyas bases son regiones cuadradas y una cara lateral es perpendicular a las bases. Además, la suma y el producto de las longitudes dos respectivamente. aristas básicas diferentes es igual a "S" ydea "P"
esfera que contiene a dicha zona. Además, se sabe que la altura es de 14 unidades de longitud. a) 140 p 2 b) 120 2 p 2 c) 148p 2 d) 100 3 p 2 e) 280 p 2 16. Dadas tres esferas de radio R, tangentes exteriormente dos a dos y apoyados a un plano, calcule el radio de la esfera tangente a las tres esferas y al plano. a) R/2 b) R/4 c) R/3 d) 2R/5
e) R/6
17. El área de una esfera es de 400p dm2.Dicha esfera es tangente a todos los lados de un rombo. La distancia del centro de la esfera al plano del rombo es de 4 dm. Calcule el área de dicho rombo, si la longitud de su lado es de "L" dm. a) 12L 2 cm2 b) 2 21L c) 8L2 12. Dado un tronco de cono de revolución de bases 2 d) 8 2L e) 4 21L circulantes de radios 1u y 4u, luego, tomando como bases a estos círculos se construyen conos rectos cuyos vértices son los centros de las bases. Calcule la relación entre los volúmenes 18. Dado un octaedro regular de volumen 9 2 3, calcule el área de la superficie esférica inscrita del sólido formado por la intersección de los coal octaedro. nos y del tronco de cono inicial. a) 3p 2 b) 4p 2 c) 5p 2 a) 16/275 b) 12/325 c) 16/525 2 2 d) 6 p e) 9 p d) 12/525 e) 16/325 a) P (S2+P) 2 d) P (S2+P) 2
b) P (S2+P) 2 e) P (S2+P) 2
c) P (S2+P) 2
13. Dadas dos esferas concéntricas, se traza un plano secante a la esfera mayor y tangente a la esfera menor, determinando un círculo de 16 p 2 de área. Calcule el área del casquete menor formando en la esfera mayor, sabiendo que la superficie de la esfera menores es 36 p 2. a) 10 p 2 b) 12 p 2 c) 15 p 2 d) 20p 2 e) 24 p 2 14. Dos esferas de 1 y 3 de radio reposan tangentes entre sí, en una superficie cóncava de 7 de radio. Calcule el área de la región triangular cuyo vértice son los centros de las dos esferas y la superficie esférica. a) 4 2 b) 3 7 2 c) 7 3 2 d) 7 2 2 e) 3 2 2
19. Una superficie esférica es dividida por dos planos en dos casquetes y una zona. Calcule la altura de la zona, si el área de la zona es los 3/5 de la suma de las áreas de la zona es los 3/5 de la suma de las áreas de los casquetes y el radio de la superficie esférica es 8R. a) 4R b) 6R c) 3R d) 5R e) 2R
20. Calcule área de unamenores esfera, sabiendo las áreas deeldos círculos paralelosque distantes 3 y situados a un mismo lado del centro, tienen áreas de p 2 y 16p 2. a) 34 p 2 b) 48 p 2 c) 68 p 2 d) 72p 2 e) 48 p 2
21. Calcule el volumen de la esfera inscrita en un cilindro equilátero de 54p 3 de volumen. 15. Calcule el área de la zona esférica de dos bases a) 45 p 3 b) 48 p 3 c) 54 p 3 cuyos radios de base miden 6 y 8 unidades y se d) 60p 3 e) 36 p 3 encuentran a uno y otro lado del centro de la
22. Calcule el volumen de un segmento esférico de 26. El volumen de un segmento esférico es 20p 3 3 una base, si su altura es 1 y el área de su casy su altura es 1 . Calcule el radio de la base ma2 quete mide 2p . yor conociendo que la diferencia entre el radio mayor y el menor es 1 . a) 4 p 3 b) 2 p 3 c) 6 p 3 5 3 13 a) 2 b) 4 c) 3 5 2 3 3 d) 2,5 e) 5 d) p e) p 13 13 23. En la figura, el volumen del cono es 18p cm3. 27. Calcule el volumen del sólido generado por la región sombreada al girar alrededor de la recta Calcule el volumen de la semiesfera. "L", si: EF=8 y OE= 2 AB 3 A r
r
B L
O
a) 36 p cm3 b) 42 p cm3 c) 72 p cm3 d) 120p cm3 e) 144 p cm3 24. En la figura, AB//OT, AB=R 3, el volumen de la esfera es 32 3 p. Calcule el volumen del cono equilátero. (T es punto de tangencia). B Q A
F
D
C E
a) 144 p(4 - p) c) 64p (5 - p) e) 132p(4 - p)
3
b) 72 p(4 - p) d) 132(5 - p)
R O
T H
a) 18 3 p d) 12 3 p
b) 3 3 p e) 15 3p
c) 9 3 p
28. Un alambre se enrolla de modo que forma una esfera. Si la elección del alambre es de p m2 y el radio de esfera formado es de 10 cm. Calcule la longitud del alambre, si el porcentaje de vacíos de la esfera es del 10%. a) 1,2 km b) 3 c) 1 d) 1,6 e) 2,4
25. El cuadrado ABCD, al girar alrededor del eje, genera un sólido de 4p 6 m3 de volumen ( =15º). 29. La distancia del punto medio de AB a la recta "l" Calcule el perímetro del cuadrado. de giro es de "x" dm. Si: AB y BC miden 8 dm y C 6 dm, calcule el área de la superficie que genera D
Eje
B
B
A
a) 5
b) 6 d) 8
c) 12 e) 4
la diagonal ABC (BC//l ). A
C l
a) 20x p dm2 b) 60x p dm2 c) 40x p dm2 d) 50xp dm2 e) 45x p dm2 30. Se tiene un cono equilátero en el cual está inscrita una semiesfera, cuyo círculo máximo está contenido en la base del cono. Calcule la razón de volúmenes de los sólidos determinados en la semiesfera, por el plano que pasa por los puntos de tangencia entre la superficie esférica y la superficie cónica. a) 3/5 b) 5/6 c) 3/8 d) 5/9 e) 5/11 31. Calcule el volumen de un tronco de pirámide regular, de base hexagonal, circunscrito a una esfera, sabiendo que las aristas básicas miden 4 y 9 m. a) 1 097 m 3 b) 1 297 m 3 c) 1 197 m 3 d) 2 197 m3 e) 2 097 m 3
32. Según el gráfico,siendo: AB=5 y (AP)2+ (PB)2 =12. Calcule el volumen del sólido generado por la región sombreada al girar 360º en torno a la recta AB. A C
P
B a) 5 d) 9
b) 12 e) 25
c) 10
