Índice I Bimestre Capítulo 1
Sistema de medición angular I
5
Capítulo 2
Sistema de medición angular II
10
Capítulo 3
Longitud de arco
15
Capítulo 4
Área de un sector circular
20
Capítulo 5
Repaso
25
Capítulo 6
Razones trigonométricas de ángulos agudos I
28
Capítulo 7
Razones trigonométricas II de ángulos notables
33
Capítulo 8
Propiedades de las razones trigonométricas
38
Capítulo 9
Repaso
42
II Bimestre Capítulo 10
Resolución de triángulos rectángulos
44
Capítulo 11
Razones trigonométricas de ángulos de cualquier medida
49
Capítulo 12
Reducción al primer cuadrante
55
Capítulo 13
Circunferencia trigonométrica I
58
Capítulo 14
Circunferencia trigonométrica II
65
Capítulo 15
Identidades trigonométricas de una variable
69
Capítulo 16
Repaso
73
Capítulo 17
Identidades trigonométricas de la suma y resta de ángulos
76
Capítulo 18
Repaso
80
III Bimestre Capítulo 19
Identidades trigonométricas del ángulo doble
82
Capítulo 20
Identidades trigonométricas del ángulo mitad
86
Capítulo 21
Transformaciones trigonométricas I
90
Capítulo 22
Transformaciones trigonométricas II
94
Capítulo 23
Repaso
98
Capítulo 24
Ecuaciones trigonométricas
100
Capítulo 25
Resolución de triángulos oblicuángulos
105
Capítulo 26
Funciones trigonométricas I y II
110
Capítulo 27
Funciones trigonométricas I y II
110
Capítulo 28
Repaso
117
IV Bimestre Capítulo 29
Complemento de funciones trigonométricas
119
Capítulo 30
Funciones trigonométricas inversas I y II
123
Capítulo 31
Funciones trigonométricas inversas I y II
123
Capítulo 32
Repaso
130
Capítulo 33
Complemento de razones trigonométricas de ángulos agudos
133
Capítulo 34
Complemento de identidades trigonométricas de una variable
137
Capítulo 35
Miscelánea de identidades
140
Capítulo 36
Repaso general
143
Trigonometría
Capítulo
4
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Trigonometría
1
Sistema de medición angular I
Ángulo trigonométrico Es la figura que se genera por la rotación de un rayo alrededor de un punto fijo llamado vértice desde una posición inicial (lado inicial) hasta una posición final (lado final).
B
a O
A
q
C
Elementos * O
vértice lado inicial
* OA * OB ∧ OC
lado final
* a
ángulo trigonométrico positivo (rotación antihoraria).
* q
ángulo trigonométrico negativo (rotación horaria).
Sistema sexagesimal (Inglés) NOTACIÓN
EQUIVALENCIAS
Un grado sexagesimal: 1º
1º=60'
Un minuto sexagesimal: 1'
1'=60''
Un segundo sexagesimal: 1''
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mB1v=360º
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Capítulo 01 Sistema centesimal (francés) NOTACIÓN
EQUIVALENCIAS
Un grado centesimal: 1g
1g=100m
Un minuto centesimal: 1m
1m=100s
Un segundo centesimal: 1s
m<1V=400g
Sistema radial (circular) En este sistema la unidad se denomina RADIÁN que se define como la medida del ángulo central que subtiende un arco en una circunferencia con longitud igual al radio.
r 1 rad
r
mB1V=2prad
r
Equivalencias de conversión mB 1 V = 180c=200g = ≠rad 2 g
Ejemplo: convertir 70 a sexagesimales.
Ejercicios resueltos ο 1. Simplificar: P = 2 2' 2'
a) 60
b) 61
c) 62
d) 64
e) 63
Resolución ο De la expresión: P = 2 + 2' 2'
(Tenemos que expresar en una misma unidad)(minutos). Recordar: 1º=60' 2º=120' Luego: P = 120' + 2' 2' ' 122 P= 2' ∴ P = 61
6
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Trigonometría 2. ¿Cuántos segundos hay en b=2º4'5''? a) 7444
b) 7445
c) 7446
d) 7404
e) 7448
Resolución Pasaremos a la misma unidad: b=2º+4'+5'' Recordar: * 1º=3600'' ⇒ 2º=7200''
* 1'=60'' ⇒ 4'=240''
Luego: b=7200''+240''+5'' b=7445'' g
3. En un triángulo rectángulo, los ángulos agudos miden (40n) y (24n)º. ¿Cuál es el valor de "n"? a) 1
b) 2
d) 1 2
c) 3
e) 3 2
Resolución Graficando la situación; note que para poder operar, los ángulos deben estar en las mismas unidades. Convirtiendo: ο g C=(40n) . 9 g =(36n)º 10 C (40n)g
A
(24n)º B
Luego sabemos que: A+C=90º esto es: (24n)º+(36n)º=90º ∴ 60n=90 n= 3 2
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Capítulo 01
Práctica 1. En el gráfico hallar "x" en función de a y q
6. Determine el valor de "x" en: (7x+10)º = (10x) a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
g
c) 3
7. Del gráfico, hallar: xº a
x q
a) 90º–a–q c) 90º–a+q e) a+q– 90º
(4x–10)º
b) 90º+a+q d) 90º+a–q
(10x)g
2. En el gráfico, hallar "x", en función de "q"
a) 9 d) 16
q
b) 12 e) 20
c) 15
8. De la figura, calcular: 10x – 9y x xº yg
a) 90º–q d) 180º–q
b) q–90º e) q– 180º
150º
c) –90º–q a) 210 d) 120
3. Del gráfico, hallar: "x".
b) 2100 e) 1200
c) 21000
9. Calcular: ο +Nο + Mο + Sο + Mο E= U Ug + Ng + Mg + Sg + Mg
2x+10º 10º-2x
a) 90
x+20º
a) 24º d) 32º
b) 27º e) 36º
4. Calcular: E = a) 1 d) 4
25c + 50g + ≠ rad 3 g 64c + 40 + ≠ rad 6 b) 2 e) 5
d) c) 30º
c) 3
≠ 20 e) ≠ 90 b)
^ x - 3hο
b) 17 e) 10
5g
ο
G < >=
^4x - 18hο
15g
g
G
c) 24
11. Si: aºb'c''=x'y''+y'x''. Además: x+y = 90 Calcular: E = b - a c
π rad = a0ο n+1
≠ rad 10 d) ≠ 60
c) 10 9
e) 1
a) 12 d) 20
a) 0
b) 1
d) 2 3
e) 3 2
c) 2
12. Si: ≠ rad=aºb'c'' 32
Determine aº en radianes a)
9 10
1 90
10. Hallar: "x" si se cumple: =
3π rad - 28ο 5. Si: n = 5 g ο 50 - 5 Además:
b)
c)
≠ 30
Calcular: a) 2 d) 8
8
a-3
b+c-3 b) 4 e) 10
c) 6
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Trigonometría
Tarea domiciliaria g
g
10. Los ángulos de un triángulo son: (y + 20)º; (10y) ; ≠y ` j rad. Hallar el mayor ángulo. 6
1. Convertir 80 al sistema radial. a) 4≠ rad 3 2≠ d) 5
b) 4≠ 9 3≠ e) 5
c) 4≠ 5
a) 90º d) 140º
g
b) 45º e) 52º
c) 47º
g
3. Convertir 100 al sistema sexagesimal. a) 190º d) 90º
b) 130º e) 100º
g
g
a) 20 g d) 10
12. En un triángulo, uno de sus ángulos interiores mide g 120 y otro 3≠ rad. ¿Cuánto mide el tercer ángulo? 10
c) 140º
4. Convertir ≠ rad al sistema centesimal. 10 b) 30 g e) 15
a) 2º d) 16º
g
b) 105º e) 125º
g
a) 5
c) 115º
b) 3
c) 1
9º
m
18
b) 2323 m e) 3632
m
'
c) 3232
xg
7. ¿Cuántos segundos sexagesimales hay en q=5º4'32''? b) 18271" e) 18371"
c) 18272"
b) 61
c) 62
d) 71
e) 51
d) 46
e) 54
≠ rad 3
B
C a) 100 d) 132
ο 8. Calcular: P = 5 5' 5'
a) 60
e) 4
A m
a) 18270" d) 18200"
d) 2
14. En el triángulo mostrado, hallar "x".
g
a) 3322 m d) 3622
c) 6º
13. Si 9º y (10x) son ángulos complementarios. Hallar el valor de x
6. ¿Cuántos minutos centesimales hay en a=32 32 ? m
b) 4º e) 18º
c) 18
5. Calcular: M = ≠ rad + 50g en el sistema sexagesimal. 3 a) 107º d) 110º
c) 135º
g 11. Si se sabe que: w=50º; f=80 ; d= ≠ rad 6 Ordenar de mayor a menor. a) w; f; d b) w; d; f c) d; f; w d) d; w; f e) f; w; d
2. Convertir 50 al sistema sexagesimal. a) 43º d) 48º
b) 120º e) 150º
b) 115 e) 144
c) 123
15. Se sabe que: ≠ rad < >xºy'. Hallar: C=y - x 24 a) 21
b) 22
c) 23
d) 24
e) 25
g
9. Si se sabe que: xº < > (x+2) Hallar el valor de (2x) a) 18 b) 30 c) 36
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Capítulo 02
2
Sistema de medición angular II
Fórmula general de conversión Es aquella relación que existe entre los números que expresa la medida de un ángulo en los tres sistemas conocidos.
a
en el sistema sexagesimal en el sistema centesimal en el sistema radial
Sº g C R rad
Demostrando: Del gráfico: q=Sº=Cg=R rad ο g Luego: θ = S = C = Rrad 1vta 1vta 1vta 1vta De donde:
Sο = Cg = Rrad 360ο 400g 2πrad `
Fórmula auxiliar:
S = C =R 180 200 ≠
S = C & S= C 180 200 9 10
Además: S = C = R = k C 10 ≠ 20 & S = 9k ; C = 10k ; R = ≠k 20 Donde: * S=# de grados sexagesimales. * C=# de grados centesimales. * R=# de radianes.
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Trigonometría Nota: * p=3,1416 * p= 22 7 * p= 10 * p= 3 + 2 Observación: * # de minuto sexagesimal = 60S * # de segundo sexagesimal = 3600S * # de minuto centesimal = 100C * # de segundo centesimal = 10000C Ejemplo aplicativo 1. Calcule: M = 4
C+S -3 C-S
C+S +8 C-S
Resolución: Se sabe que: S = 9k / C = 10k Reemplazando en "M". 19k - 3 19k + 8 k k M = 4 19 - 3 M = 4 16 ` M = 2 Rpta. M=4
2. Si la diferencia de los números de minutos centesimales y grados sexagesimales que contiene un ángulo es igual a 1982. Calcule la medida circular del ángulo. Resolución: Se sabe: # de minutos centesimales = 100C # de grados sexagesimales = S 100 C - S = 1982 pero: C = 10k / S = 9k Luego reemplazando: 100(10k) - 9k=1982 991k=1982 k=2 Piden: R = ≠k 20 ≠^2h 20 ≠ Rpta. `R= 10 &R=
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Capítulo 02 Ejercicios resueltos 1. Si los números que representan la medida de un ángulo en los sistemas sexagesimal y centesimal son números pares consecutivos, ¿cuál es la medida radial del ángulo? a) ≠ rad 6
b) ≠ rad 4
c)
≠ rad 20
Resolución
En estos casos se debe interpretar el enunciado. Tenemos un ángulo medido en: * Sexagesimales=S * Centesimales=C * Radianes=R Del enunciado: "S" y "C" pares consecutivos S n Es decir, si: = 1C - S = 2 C = n+2
d)
≠ rad 10
e) ≠ rad 8
Como piden "R": C - S=2 200 R - 180 R = 2 " 20 R = 2 ≠ ≠ ≠ ≠ R= 10 ∴ El ángulo mide ≠ rad 10
2. Señale la medida circular de un ángulo que verifica: S+C+R= π + 95 ; siendo "S", "C" y "R" lo conocido para dicho 4 ángulo. a) ≠ rad 3
b) ≠ rad 4
c) ≠ rad 2
d) ≠ rad 5
e) ≠ rad 6
Resolución En la condición: S+C+R= ≠ +95 ................... (1) 4
380 R + R = 95 + ≠ 4 ≠ ≠ 380 R R 380 + +≠ " = 4 ≠ R^380 + ≠h = 380 + ≠ " R = 1 ≠ ≠ 4 4 ≠ " R = rad 4
Como piden la medida circular "R" del ángulo, colocaremos todo en función de "R"; para ello usaremos: S=180 R ; C=200 R ≠ ≠ En (1) 180 R + 200 R + R = 95 + ≠ ≠ ≠ 4
∴ El ángulo mide ≠ rad 4
3. Halle la medida de un ángulo en radianes que cumple: C = n + 17 y S = n + 7 ; siendo "S" y "C" lo convencional. ≠ 18 ≠ 10 a) 1rad
b) 2rad
c) 2 rad 3
Resolución
d) 3 rad 2
e) 1 rad 2
Tenemos:
Como piden "R"; hacemos:
C 10 S 18 C 10
S=180 R ; C=200 R . ≠ ≠ R R 200 180 ≠ ≠ = 10 10 18 ≠ R R 10 " 20 - 10 = ≠ ≠ ≠ R 10 10 = "R=1 ≠ ≠ ∴ El ángulo mide: 1 rad
= n + 17 ............................^1h ≠ 7 = n + ............................... ^2h ≠ S 10 = 18 ≠
De (1) - (2):
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Trigonometría
Práctica 1. Halle la medida circular de un ángulo si su número de grados sexagesimales aumentado con el doble de su número de grados centesimales es igual a 145. a) ≠ rad 3 d) ≠ rad 6
b) ≠ rad 4 e) ≠ rad 7
c) ≠ rad 5
a) 3 d) 6
S + C = 2, 3 12 25 ≠ rad 10 e) ≠ rad 30
b)
≠ 10 d) ≠ 5
b) ≠ 8 e) ≠ 4
c)
≠ rad 15
≠ rad 40 d) ≠ rad 10
≠ rad 20 e) ≠ rad 12
b)
≠ rad 10 e) ≠ rad 40 b)
≠ rad 15
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a) 0,25 d) 0,75
–1
b) 0,20 e) 0,10 –1
c) 0,50 –1
10. Si se cumple: RC(S) +RS(C) = 181≠ ; siendo S, C 180
a) ≠ rad 2 d) ≠ rad 20
b) ≠ rad 8 e) ≠ rad 40
c)
≠ rad 10
11. Siendo S y C lo convencional, hallar un ángulo en radianes, si: S=n+1 C=n+2 a) p/5 b) p/10 c) p/15 d) p/20 e) p/25
c) ≠ rad 5
C + S = 19 + 6 10 ; Calcule R R C- S r b) 2p e) p/2
Hallar: 19(C – S)
y R los números en los sistemas conocidos. Hallar la medida de dicho ángulo en el sistema radial.
6. Si: S, C y R son los conocidos y además se cumple:
a) p d) 4p
c) 9
2 2 C S = S +C + 360 S C 11S+C S+C
5 5 5 20R S C ` 9 - 1j + ` 10 - 1j + ` ≠ - 1j = 3
≠ rad 20 d) ≠ rad 4
^ 2 2h 6 - 14 C - S2 ^C + Sh
9. Si: S y C representan a los números de un mismo ángulo en los sistemas sexagesimales y centesimal respectivamente. Si además se cumple:
c) ≠ 6
5. Señale el ángulo en radianes, si se cumple:
a)
5^C - Sh2 + C2 - S2
b) 10 e) 3
a) 19 d) 19
c)
c) 5
Siendo: "S"; "C" lo convencional
4. Un ángulo es tal que el número que representa su suma en los sistemas sexagesimales y centesimales es igual a 29 más su número en grados sexagesimal dividido entre dos. Calcular dicho ángulo en el sistema radial. a)
4+
M=
3. Siendo: "S", "C" y "R", los convencionales. Además se cumple que: S=x3+x2+x+2 ; C=x3+x2+x+7 Hallar: "R" a)
b) 4 e) 7
8. Indicar el valor de:
2. Determine un ángulo en radianes, si se cumple:
a) ≠ rad 5 d) ≠ rad 20
7. Siendo "S", "C" y "R" los convencionales. Simplificar: Q = 3≠C - 2≠S + 10R 0, 1 ≠S - 8R
12. Siendo S, C y R lo convencional, simplificar: E = 2πS + πC − 10 R (C − S) π
c) 3p
a) 11,5 d) 27,5
13
b) 13,5 e) 20
c) 15,5
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Capítulo 02
Tarea domiciliaria 9. La medida de un ángulo en el sistema sexagesimal y en el sistema centesimal son: S=n2- 1 y C=n2+ 1 ; 19 19 el valor del ángulo en radianes es:
C+S +6 C-S
1. Hallar: P =
S: Número de grados sexagesimales. C: Número de grados centesimales a) 2 b) 3 c) 4 d) 5
e) 25
2. Calcular "a" B S=a
O
lo convencional.
C=a+1 A
a) 6
b) 7
c) 8
d) 9
e) 10
3. Siendo "S" y "C" lo conocido para un ángulo no nulo, simplificar: J = C + S + 5S - 2C + 1 C-S C-S a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
4. Sabiendo que "S", "C" y "R" son lo conocido para un cierto ángulo no nulo; calcular: J = 2≠C - ≠S + 40R 2≠S - ≠C - 30R a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
5. Siendo "S", "C" y "R" lo conocido para un mismo ≠2 ^C - Sh^C + Sh ángulo no nulo; reducir: P = 380R2 a) 10
b) 20
≠ rad b) ≠ rad c) r rad 119 109 380 e) ≠ rad d) ≠ rad 19 190 10. Halle la medida de un ángulo en radianes que cumple: C = n + 17 y S = n + 7 . Siendo "S" y "C" ≠ ≠ 18 10 a)
c) 40
d) 60
e) 80
6. Señale la medida radial de un ángulo que verifica: C - S = 4R siendo "S", "C" y "R" lo conocido para 2C - S 11≠
b) 2 rad a) 1 1 rad c) 2 rad 2 3 e) 1 rad d) 3 rad 2 11. Señale la medida circular de un ángulo que cumple: 2S – C+20R=11,1416. Siendo "S", "R" y "C" lo conocido para dicho ángulo. (p=3,1416) ≠ rad b) ≠ rad c) ≠ rad 10 5 20 ≠ ≠ rad e) rad d) 40 60 12. Sabiendo que la suma de las inversas de los números de grados sexagesimal y centesimal de un ángulo, es a su diferencia; como 38 veces su número de radianes es a p. ¿Cuál es la medida circular de dicho ángulo? a)
a) ≠ rad b) ≠ rad c) ≠ rad 2 3 4 e) ≠ rad d) ≠ rad 6 5 13. Señale la medida circular de un ángulo que verifica: S+C+R=95+ ≠ siendo "S", "C" y "R" lo conocido 4 para dicho ángulo.
dicho ángulo. a) ≠ rad 3 ≠ rad d) 6
b) ≠ rad 4 ≠ e) rad 8
c) ≠ rad 5
7. Si los números que representan la medida de un ángulo en los sistemas sexagesimal y centesimal son números pares consecutivos, ¿cuál es la medida del ángulo? a) ≠ rad 6 d) ≠ rad 10
b) ≠ rad 4 e) ≠ rad 8
c)
≠ rad 20
8. Sean S, C y R los números que representan la medida de un ángulo en los sistemas sexagesimal, centesimal y radial respectivamente. Si: CS2+S3=(C - S)2. Halle: "R". r 30780 d) 19≠ 216 a)
b) 15≠ 163 e) 21≠ 365
a) ≠ rad b) ≠ rad c) ≠ rad 3 4 2 ≠ ≠ rad e) rad d) 5 6 14. Calcule el número de radianes de un ángulo diferente de cero, para el cual sus números, de grados sexagesimales (S) y su número de grados centesimales (C) verifican la relación: S - C = 1 - C C C S ≠ b) ≠ c) ≠ 90 180 200 ≠ ≠ d) e) 360 120 15. Señalar la medida circular de un ángulo que verifica: S3 ≠ + C3 ≠ + 20R3 = S2 + C2 + R2 . Siendo "S", "R" y 9 10 a)
"C" los conocido para dicho ángulo.
c) 17≠ 198
a) ≠ rad 2 1 rad d) 6 14
1 rad 20 e) ≠ rad 7
b)
c) ≠ rad 5
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Trigonometría
3
Longitud de arco
Arco El arco de circunferencia es una porción cualquiera de dicha circunferencia.
A R
*
! AB : arco
* A: origen del arco AB O
* B: extremo del arco AB * O: centro de la circunferencia R
* R: radio de la circunferencia B
Longitud de arco En una circunferencia de radio "R" un ángulo central "q" determina una longitud de arco "L"; que se calcula multiplicando el número de radianes " q" y el radio "R".
A R q rad
O
L
R B ! * L: longitud de arco AB . * R: radio de la circunferencia. * q: número de radianes del ángulo central. O < θ # 2π Se cumple: L = θ . R
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Capítulo 03 Ejercicios resueltos 1. Calcular la longitud de arco que corresponde a un ángulo central de 50º en una circunferencia de diámetro 36m. a) 25pm
b) 5pm
c) 10pm
d) 20pm
Resolución
Graficando; y convirtiendo el ángulo central en radianes. A
18 O 50º
Calculamos la longitud: L = θ R = 5π # 18 18
θ = 50ο # πradο 180 π 5 rad & θ = 18
L
18
e) 15pm
∴ L =5 pm
B 2. Un arco con radio 15m mide 8m. ¿Qué diferencia en metros existe entre la longitud de este arco y la de otro arco del mismo valor angular pero con 6m de radio?
Resolución
Se observa: &q=
6m
L2
q
L2 = 8 & L 2 = 3, 2 6 15
Piden: L1 - L2=8m - 3,2m
8m
" ` L1 - L2=4,8m
15m
a) 4,5m
b) 4,7
c) 4,8
3. De la figura; hallar: M = a b a O
a) 1
b) 1 2
C
b
D
c) 1 4
Resolución
b
e) 6,2
d) 2
e) 1 3
A
3x
x a
d) 5,2
B
Igualando: 1 y 2 x = 3x a a+b a+b=3a b=2a Piden: a = a b 2a
Asumiendo que: mBAOB=q ⇒ recordemos: q = L r Para cada sector: q = x .......................^1h a q = 3x ..................^2h a+b
16
`a =1 b 2 www.trilce.edu.pe
Trigonometría
Práctica 1. En un sector circular, el arco mide 2≠cm y el radio 6cm. ¿Cuál es la medida sexagesimal del ángulo central? a) 30º d) 75º
b) 45º e) 15º
c) 60º
7. Según la figura, calcule: Q =
Si: L1, L2 y L3 son arcos con centro en "O" A C E
2. En un sector circular, el ángulo central mide 20º y el radio mide 45cm. ¿Cuál es el perímetro del sector? a) 5(18+p) d) 4p
b) 6(18+p) e) 4(25+p)
F
g
a) 2(p+20) d) 4(p+40)
b) 2(p+40) e) 2(p+25)
c) 4(p+20)
a) 1
b) 2
d) 1 2
e) 2 3
L2 D
L3
B c) 3
8. Si la longitud del arco PQ es pm. Calcule la longitud del OA B
4. Del gráfico, adjunto: Evaluar:
L1
O
c) 5(16+p)
3. En un sector circular, el ángulo central mide 10 y el radio mide 40cm. ¿Cuál es el perímetro del sector?
L1 + L2 L3
x+y x-y
Q x
P
O 3
4
a) 6m d) 12m
y a) 1 d) 5
b) 2 e) 7
A
b) 8m e) 14m
c) 10m
9. Del gráfico, calcule el perímetro de la región sombreada.
c) 3
5. De acuerdo al gráfico, calcule: "L!"
5
AB
5 A P
20º
O
36cm a) p cm d) 4pcm
b) 8pcm e) 2pcm
a) 10( ≠ – 1) 3 ≠ d) 6( +2) 3
B
b) 2 L 3 e) 8 L 9
C A O
c) 4 L 3
1rad B D
a) p d) 4p
Central 6198-100
c) 10( ≠ +1) 3
10. Calcular la longitud de la circunferencia inscrita si la longitud de los arcos AB y CD miden 2 y 5 respectivamente.
c) 16pcm
6. En un sector circular el arco mide "L". Si el ángulo central se reduce en su tercera parte y el radio se incrementa en el triple, se genera un nuevo sector circular cuyo arco mide: a) 1 L 6 d) 8 L 3
b) 3( ≠ +2) 3 ≠ e) 5( +1) 3
17
b) 2p e) 5p
c) 3p
San Marcos
Capítulo 03 11. Determinar: K=
L1 L2
2
14. Del gráfico, calcular: P= q +q D
13
L1 O
J
A
E L2
5
qrad
C B
a) 12 5 d) 5 13
b) 12 13 e) 13 5
V
c) 13 12
M
12. Del gráfico, calcular "q" (en radianes) 4
a) 1
b) 2
d) 3
e) 2 3
a
4 a) 1/2 d) 5/2
b) 3/4 e) 4/3
c) 2/3
z
13. Hallar θ ! ! Si AB = 3CD A C θ D a) 2 d) 1/2
b) 3 e) 1/3
c) 1 2
15. De la figura mostrada, determine el valor de: ay + by M= ax + bz b
2
q
O
x
y
a) 1 2 1 d) 3
b) 1
d) ≠ rad 6
e) 3≠ rad 2
c) 2
e) 3
B c) 1
Tarea domiciliaria 1. Calcular la longitud de arco de un sector de 96 cm de radio y que subtiende un ángulo central de 3º45' a) pcm
b) 2pcm
d) 4pcm
e) 5pcm
c) 3pcm
2. Calcular la longitud del arco correspondiente a un ángulo central de 40º en una circunferencia de 36cm de diámetro. a) pcm
b) 2pcm
d) 4pcm
e) 5pcm
4. Dado un sector circular de arco 9(x – 1)cm, de radio (x+1)cm y ángulo central (x2 – 1) radianes. Calcular "x" a) 1
b) 2
d) 4
e) 5
5. Del gráfico, calcular (y – x)
c) 3pcm
4
3. Hallar la medida del ángulo central cuyo arco correspondiente mide 11cm y radio 14cm (usar: p= 22 ) 7 a) ≠ rad 3
b) ≠ rad 4
c) 3
c) ≠ rad 2
18
a) 2
b) 4
a) 8
b) 10
x
y
c) 6
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Trigonometría 6. Del gráfico mostrado. Hallar "x" C
4
2
O
x+2
D 3
a) 1
b) 2
a) 4
b) 0,5
a) 27 10 d) 7 3
A
3
b) 10 27 e) 5 9
c) 3 7
11. Del gráfico la medida del diámetro es: (considerar: ≠ = 22 ) 7 22cm
B c) 3
50g
7. Del gráfico, determinar "R". A
3
C R 2
O R
a) 2 d) 1
4
D
3
a) 11cm
b) 22cm
d) 24cm
e) 33cm
12. Calcular:
B
b) 3 e) 5
L1 L2
O
c) 4
A
q
2q
A E L1
L2
L
L 9. Hallar: 2 L1
a) 1/3 d) 3/2
B
b) 8p e) 6p
c) 12p
b) 2
d) 4
e) 5
c) 3
a) 40cm
b) 60cm
c) 80cm
d) 10cm
e) 120cm
14. Se tiene un sector circular de 6m de radio y 12m de longitud de arco. Si el radio aumenta en 2m sin que el ángulo varíe. ¿Cuál será la nueva longitud de arco?
L1 L2
20º 10º b) 2/3 e) 4/3
10. Del gráfico. Calcular: K=
a) 1
13. En un sector circular, el arco mide 10cm. Si duplicamos el ángulo central y aumentamos el radio en su doble, se obtiene un nuevo sector cuyo arco mide:
F C
B
D
D
a) 4p d) 16p
L1
C L2
8. En el gráfico, calcular "L". Si: L1+L2=16p
O
c) 28cm
a) 8m
b) 10m
d) 14m
e) 16m
c) 12m
15. En la figura mostrada: OA=OB=60; O y B son ! centros. Calcular: mPQ
c) 1
B
L2 L1
Q
R L2
qº q
g
2R
R
2R
Central 6198-100
P
O a) p
b) 2 p
d) 4 p
e) 5 p
A c) 3 p
L1
19
San Marcos
Capítulo 04
4
Área de un sector circular 2
2
2
Es aquella porción de área de un círculo que se mide en unidades cuadradas (cm ; m ; km ; .....)
R L
S qrad R Se cumple: S= q #R 2
2
S= L#R 2 2 S= L 2θ
Área de un trapecio circular R1
qrad
ST
L2
L1
R2 m ST =
θ (R12 − R22) 2
•
ST =
(L1 + L2) # m 2
• L2 − L22 ST = 1 2θ •
20
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Trigonometría Ejercicios resueltos 1. Calcular el área del sector circular mostrado. A 6m O
30º 6m B
Resolución Convertimos 30º a radianes: 30º πradο = π rad 180 6 El número de radianes es: π & θ= π 6 6 La longitud del radio es: 6m ⇒ r=6 2 ^6h2 π Aplicamos la fórmula: A = r $ θ " A = $ " A = 3π 2 2 6
El área del sector circular es: 3pm2. 2. Calcular el área de la figura sombreada sí "O" es centro del arco AC B
2m 30º
O
A
Resolución 4m
2 O As=A
OAB - A
B
C
3m
2m
30º A
2 3m
AOC
2 ^2 3 h ≠ As= 2 3 . 2 $ 2 2 6
As=2 3 - ≠ El área de la figura sombreada es: As=(2 3 - ≠ )m2
Central 6198-100
21
San Marcos
Capítulo 04
Práctica 1. Si la longitud del arco de un sector circular es de 15m y la del radio es 6m. Calcular el área del sector. 2
a) 40m
2
d) 50m
2
7. Del gráfico, calcular: a b
A
2
b) 45m
c) 90m
B
2
e) 55m
3S
b
S
O
2. Calcular: "q". Si: 2 S1=S2.
a
C D S2
S1
a)
q rad a) ≠ 2
b) ≠ 3
d) ≠ 5
e) ≠ 6
b) 2
3
d) 2 3 c) ≠ 4
b) 2rad
d) 4rad
e) 5rad
8. Calcular el área de la figura sombreada, siendo AC = 14 m A B
c) 3rad
4. El ángulo central de un sector circular es igual a 16º, si se desea disminuir en 7º. ¿En cuánto hay que aumentar el radio del sector para que su área no varíe, si su longitud inicial era igual a 27m? a) 3m
b) 6m
d) 12m
e) 15m
c) 9m
O
b) 2u
d) 4u
e) 5u
≠ rad 7
C
a) ≠ m2 4
2 b) ≠ m 2
d) 2pm2
e) 4pm2
D c) pm2
9. En el gráfico, el área de la región sombreada es 8p Calcular: "q" 2 4
5. ¿Cuánto debe medir el radio de un sector circular para que su área sea numéricamente igual a la longitud del arco? a) 1u
2 2
e)
3. El perímetro de un sector circular al ser elevado al cuadrado se obtiene 16 veces su área. Calcular la medida de su ángulo central. a) 1rad
c) 2 2
q rad
O
c) 3u
a) 3≠ 11 d) 5≠ 12
6. Calcular:"q" si el área de la región sombreada es 16u2
b) 4≠ 9 e) 3≠ 7
c) 3≠ 8
10. Del gráfico, calcular: "q" S
5u
S q rad
q rad
a) ≠ 2 d) ≠ 5
3u a) 1,5
b) 2
d) 3
e) 3,5
c) 2,5
22
b) ≠ 3 e) ≠ 6
S1 q rad c) ≠ 4
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Trigonometría
11. Del gráfico mostrado, calcular: M = A
D a) 1 d) 2
C
b) 1/2 e) 3
a) 1m
b) 2 6 m
d) 3 6 m
e) 3 3 m
c) 1/3
A
2m L2
O
B L1
a) 3 2 u d) 6 2 u
2m a) 2m d) 8m
b) 4m e) 10m
S
C
B 6m
2S F
E
c) 6u
qrad
13. Del gráfico mostrado, calcular: "x" (S: Área).
O
b) 4 2 u e) 8u
D
15. Del gráfico mostrado, hallar el valor de: E = q-1 - q
c) 6m
A
C
O
12. Del sector circular mostrado. Calcular: (L1+L2)
6m2
c) 2 3 m
14. Del gráfico mostrado, el área de la región sombreada es igual al área de la región no sombreada, además la ! longitud del arco AB es 4u. Halle la longitud del arco ! DC (en u).
S2
S1
O
S2 S1 B
a) 1 d) 3
x 3S
b) 6 e) 2
c) 8
D
Tarea domiciliaria 1. Hallar el área de un sector circular cuya longitud de arco es 8cm y radio 4cm. a) 8cm2
b) 4cm2
d) 16cm2
e) 32cm2
c) 12cm2
(7x - 1)cm
b) 230cm2
d) 140cm2
e) 200cm2
b) 4m2
d) 8m2
e) 10m2
Central 6198-100
a) 11 3 16 d) 3
b) 13 3 17 e) 3
c) 100cm2
3
c) 14 3
7
2
3. Hallar el área de un sector circular de radio 8m, que es igual al área de un cuadrado, cuyo lado es igual a la longitud de dicho sector. a) 2m2
2
5. Calcular el área de la región sombreada.
(3x+1)cm a) 110cm2
7
4
2. Del gráfico mostrado. Hallar el área del sector circular sombreado.
(x - 1)rad
4. Calcule el área sombreada.
c) 16m2
23
a) 10 3 50 d) 3
b) 20 3 70 e) 3
c) 40 3
San Marcos
Capítulo 04 6. Calcular el área sombreada.
11. Calcular el perímetro de la figura sombreada.
8
8
2
12
8
2≠
2
a) 20 d) 50
b) 30 e) 60
D
A
2
a) 2(p+3)
b) 2(p+1)
d) 3(p+3)
e) 2(p+5)
c) 2(p+2)
12. Calcular el perímetro de la región sombreada. R=12 16u2
9u2 B b) 14
3
c) 40
7. Calcule la medida del arco AB en el gráfico adjunto.
a) 13
2
3
45u
c) 27
d) 35
e) 15
8. El perímetro de un sector circular de 2 cm, de radio es numéricamente igual a 3 veces el número de radianes de su ángulo central. Hallar el área de dicho sector. a) 4cm2
b) 6cm2
d) 10cm2
e) 16cm2
R
R
C
c) 8cm2
a) 5pm d) 16pm
b) 8pm e) 24pm
c) 12pm
13. Del gráfico mostrado, el área de la región sombreada es igual al área de la región no sombreada, además ! L!=8u. Halle la longitud del arco DC AB
C
A
9. Del sector circular mostrado. Calcular el área de la figura sombreada.
O
4m
B a) 3 2 d) 6
4m a) 8m2
b) 10m2
d) 14m2
e) 16m2
c) 2m2
14. Hallar:
x
q
D a) 3
b) 9
d) 1 9
e) 6
c) 1 3
c) 6 2
e) 8 2
L1 + L2 . L3
1
a) 1 2 d) 4 5
x+1 B
b) 4 2
3 2
10. Dada la figura, determinar el perímetro del sector circular COD, sabiendo además que el área de la región limitada por el trapecio circular es 7 u2 4 1 2 A C x O
D
3m
2m
L3
L2
L1 b) 2 3 1 e) 6
c) 3 2
S 15. Del gráfico mostrado, calcular: M = 2 S1 Si: AB=2OA B A O
S2
S1 D
a) 2 d) 8 24
b) 4 e) 10
C c) 6
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Trigonometría
5
Repaso
1. En un triángulo ABC, se tiene que dos de sus ángulos g g m g ο internos son: A = c 2 3' m ; B = c 3 2 m 3' 2m Determine la medida del ángulo "C". g g g b) 8 c) 12 a) 4 g g d) 16 e) 20
a) p
S3 C3 - 20R3 = S2 C2 - R2 + + 27 30 3≠ b) 60º e) 27º
b
a
3
a) 15/11 d) 17/9
e) 5≠ 2 R ° E ° P ° A ° + S° + O° + + + 7. Calcular: g g g R + E + P + Ag + Sg + Og b) 9/10 e) 90
c) 9
1
q
L3
L1 + L2 L3 L3
q
q
a) 1 d) 3/4
c) 13/7
c) 1603 27
L2
L1
b) 9/11 e) 15/7
c) 30
b) 3260 27 e) 251 27
10. En el gráfico, hallar:
L2
L1
c) 3p
d) 3≠ 2
a) 3150 7 d) 137 9
b) (a+b) . c d) (a+b) . c-1
2
R q rad
g m 9. Calcular: E = T° + R' − Im + I s − Cg° + Em' T' R" I I C E
x
L +L 4. En el gráfico, hallar: 1 3 L2 + L3
S1
g 8. Calcular: E = 150 + 15° π rad 12 a) 10 b) 20 d) 40 e) 50
x
a) (a - b) . c c) (a - b) . c-1 e) (a+b)-1 . c
S2
b) 2p
a) 10/9 d) 10
c) 45º
3. De la figura mostrada, calcule "x"
c rad
S1 30°
2. Siendo S, C y R lo convencional para un mismo ángulo. Hallar: su medida sexagesimal. Si se cumple:
a) 30º d) 53º
6. Siendo S1 y S2 áreas, calcule: E= S1 - S2 ; si: R= 6
b) 2 e) 2/3
c) 3
11. Calcular el área de la región sombreada. área)
5. Del gráfico mostrado, calcule "x". (S
6 S
a) 1 d) 4
Central 6198-100
b) 2 e) 5
S
24
x
2
S x
4 a) 11 2 17 d) 2
c) 3
25
b) 13 2 19 e) 2
1 c) 15 2
San Marcos
Capítulo 05 14. En el gráfico, hallar "x"
12. Hallar el área sombreada.
B 7
(20x)
g
40g 4 a) p d) 8p
b) 2p e) 16p
A c) 4p
13. Si ABC es equilátero de lado 6 cm, hallar el área sombreada. B
A
≠ rad 3
(12x)º
a) 1
b) 2
d) 4
e) 5
C
c) 3
15. Determine: a + b – c, si: aºb'c" = 40º35'42" + 20º47'32" a) 50
b) 60
d) 80
e) 100
c) 70
C
a)
3 -≠ 4
b) 18 ^ 3 - ≠h 5
d)
3 + 2≠
e) 9^ 3 - ≠h
c) 9 ^2 3 - ≠h 2
Tarea domiciliaria 1. Hallar el equivalente de 54° en el sistema centesimal. g
g
a) 50 g d) 40
b) 60 g e) 30
5. Siendo: S, C y R lo conocido, simplificar:
g
U = ≠S + ≠C + 20R ^C - Sh ≠
c) 70
2. Hallar el equivalente de ≠ rad en el sistema 36 sexagesimal. a) 2°
b) 3°
c) 4°
d) 5°
e) 6°
a) 10
b) 20
d) 40
e) 50
c) 30
6. Hallar "x"
3. Convierte 40° al sistema radial. a) ≠ rad 5 d) ≠ 9
b) 2≠ 9 e) 5≠ 9
c) 2≠ 7
x+2
4. Determine: a+b, si: 3≠ rad=a°b' 8 a) 81 d) 105
b) 83 e) 107
4
2
c) 97
26
a) 1
b) 1 2
d) 2
e) 3
3 c) 1 3
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Trigonometría
7. Calcular:
L1 L2
12. Si ABCD es un cuadrado de lado 2 2 , hallar "x", si es arco del sector BDM. L1
A
L2
B x
q 3q a) 1
b) 1 2
d) 2
e) 3
c) 1 3
D
9. Hallar:
b) 2p e) 5p
b) ≠ 2 ≠ e) 5
a) p
8. Un camino está conformado por 2 arcos cuyos radios son 9 y 3 y los ángulos centrales son 20º y 60º respectivamente. a) p d) 4p
C
d) ≠ 4
M c) ≠ 3
2
13. Calcular "q +q"
c) 3p qRad
L! AD
L! BC
B a
C D
a) 1 2
b) 2
d) 4 3
e) 1
b) 2
d) 1 2
e) 1 3
c) 3
14. Determine el área sombreada.
2a 60º
a) 1
A
p
30º
c) 3 4
10. Hallar el ángulo central en el sector mostrado.
a) 21 p
b) 24 p
d) 72 p
e) 81 p
5p
c) 36 p
15. Determine el área sombreada; ABCD es un cuadrado: 2x
x+1
A
xrad a) 1rad
b) 2rad
d) 0,5rad
e) 0,25rad
2u c) 3rad
11. Un sector circular de ángulo central q radianes tiene el radio de igual medida que el lado de un triángulo rectángulo isósceles. Si sus perímetros son también iguales. Calcule: E = q + 4 q a)
2
d) 2 3
Central 6198-100
b) 2 2
B
D
C
a) 2 (4 – p)
b) 4 (4 – p)
d) 4 (1 – p)
e) 4 (4 – 2≠ ) 3
c) 2 (2 – ≠ ) 2
c) 3 2
e) 4 3
27
San Marcos
Capítulo 06
Razones trigonométricas de ángulos agudos I
6 Definición
Son relaciones obtenidas al dividir dos lados de un triángulo rectángulo tomados con respecto a uno de los ángulos agudos.
Hipotenusa Catetos
B
mBA+mBB= Teorema de Pitágoras:
También: A
C
Definimos Seno(sen)=
Cosecante (csc)=
Coseno(cos)=
Secante(sec)=
Tangente(tg)=
Cotangente(ctg)=
Del gráfico anterior: c2=a2+b2 ó a2=c2 - b2 a) senA=
b) tgB=
c) secA=
d) senB=
e) tgA=
f) secB=
28
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Trigonometría Ejercicios resueltos 1. Se tiene un triángulo rectángulo ABC. Calcular: P = b senA + b senC + c tgA a c a a) a+b+c b) 2a c) b d) 2c
Resolución
Se tiene un triángulo rectángulo ABC. C
Reemplazando en: P = b`aj+ b` c j+ c `aj c b a c a b
b
a
e) 3
⇒ P=1+1+1 ∴ P=3 A
c
B
2. En un triángulo rectángulo ABC, recto en "C" reducir: J=csenB – actgA+bcscB a) 2a
b) 2b
c) a
Resolución
Graficando el triángulo ABC B
e) c
Reemplazando en: J = c` b j - a` b j + b` c j a b c
c
a
d) b
⇒ J=b - b+c b
C
A
∴ J=c
3. En un triángulo rectángulo ABC, recto en "B", se cumple que: 3tanA=2cscC. Calcular: M= 5 tgA+6secC a) 5
b) 7
c) 9
Resolución
Graficando el triángulo rectángulo. C b
d) 11
e) 13
Reemplazando: 32=22+c2 ∴ c= 5
a
Luego: C
c A a b Del dato: 3 ` j = 2 ` j c c
B
3
* a=2 & a = 2. * b = 3 b 3 * c=?
A
Para hallar "c", aplicamos el teorema de Pitágoras: ⇒ b2=a2+c2
2 5
B
Reemplazando: M = 5 c 2 m + 6 ` 3 j 2 5 ⇒ M=2+3(3) ∴ M=11
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29
San Marcos
Capítulo 06
Práctica 8. Del gráfico, calcular: senf
1. Si: tgx = 1 . Determinar: 5
f
E= 26 senx+ctgx a) 1 d) 7
b) 5 e) 9
c) 6
2. En un triángulo rectángulo, un cateto es el doble del otro. Calcular el coseno del mayor ángulo agudo del triángulo. 1 3 1 d) 2 a)
b) e)
2 3 2 5
c)
4
1 5
7 a) 0,2 d) 0,8
/
3. En un triángulo rectángulo ABC (B =90º); reducir: L=(b – asenA)cscC a) a d) c2
b) b e) 1
c) c
a) 17 d) 25
b) 19 e) 29
c) 21
tga tg a 2 a) 2 d) 5
p q
b)
q2 - p2 q e) pq c)
d)
a) 3 4 d) 5 4
q p q2 + p2 q
L=sec2A+4sec2C b) 6 e) 10
Calcular: E= 13 cosA+3ctgB a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
b) 4 3 e) 6 7
c) 3
c) 5 3
/
CD=15 y AD=25 y la medida del ángulo CD A=D, el valor de: K=cscD+ctgD, es: a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
/
12. En un triángulo rectángulo ABC (B =90º) señale el equivalente de:
c) 8
7. En un triángulo ABC, recto en "C" se sabe que: sec A = 2 sec B 3
c) 4
11. En el trapecio ABCD: BC//AD. Si: AB=BC=8
/
6. En un triángulo rectángulo ABC (B =90º) se sabe que: senA=2senC, calcular: a) 5 d) 9
b) 3 e) 6
10. Los lados de un triángulo rectángulo son x – 1; x; x+1; determinar la tangente del mayor ángulo agudo del triángulo.
5. Si: p . ctgq= q2 - p2 . Hallar: senq a)
c) 0,6
9. Siendo "a" un ángulo agudo, tal que: tga=2 2 Calcular:
4. Sabiendo que: 23+tgf =43; donde "f" es un ángulo agudo, calcular: C=2sec2f+10sen2f
b) 0,4 e) 1
K = ` tgA tg A + 1j` tan A ctg A - 1j 2 2 a) sen2A d) ctg2A
b) cos2A e) sec2A
c) tg2A
13. En un triángulo rectángulo los lados miden: a+b; a – b ; a2 + b2 Calcular la secante del mayor ángulo agudo. a) d) 3
30
2
b)
3
c)
5
e) 2
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Trigonometría
14. Del gráfico, calcular: W =
15. Siendo "O" centro, hallar: tgq
senα senβ senθ
A a
q
O
b a) 1
b) 2
d) 1 2
e)
c)
a) 2 3
2
q
b) 5 3
B c) 3 2
d) 4 3
e) 6 5
2 2
Tarea domiciliaria 1. En la figura mostrada, calcular: K=ctga – ctgq
5. En un triángulo rectángulo ABC (recto en B). Reducir: K=(tgA+tgC) senA senC a) 1
q a) 1
b) 2
d) 1 2
e) 1 3
d) 4
e) 5
a) 96m d) 86m
tgA + 1 = 2 ; 0º
2. Si:
a) 1
b) 2
c) 3
b) 64m e) 69m
C
b) 3
c) 2
M
a) 1
q D c) 1 2
b) 2
e) 3 2
A
4. Del gráfico, calcular: tgf, si: tgw= 5 12
2 3 d) 1 2
f
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B
3 2 e) 1 3 b)
c)
3 3
9. En un triángulo ABC, recto en C, se sabe: sec A = 2 sec B 3 Calcular: E= 13 cosA+3 ctgB
w b) 1 e) 2,5
e) 5
P
O
a)
a) 0,5 d) 2
a
E d) 2 5
d) 8
N
B
1
c) 120m
8. De la figura, calcular: sena. (O " centro), MP= 1; PB=2
b 2
A
e) 1 3
R = 8 senA + cos B B csc B csc A csc B sec A a) 6
cos θ - senβ cos β - senθ
d) 1 2
7. Si: "A" y "B" son ángulos agudos de un triángulo rectángulo, simplificar:
3. Del gráfico, si : AB = CD. Calcular: M=
c) 3
6. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 40m Si "q" es uno de sus ángulos agudos y tanq= 3 4 Hallar su perímetro.
a c) 3
b) 2
c) 1,5
a) 1
31
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
San Marcos
Capítulo 06 14. Del gráfico, calcular: ctgq
10. Calcule el área de la región triangular ABC Donde: AC=36m; si, además:
q
cscA= 17 ∧ cscC= 26 a) 72m2 d) 18m2
b) 144m2 e) 360m2
c) 108m2 A
11. Dado un triángulo ABC (recto en C) donde se cumple: a-b+c = 1 a - b + 7c 7 Calcular: ctg A – senAsecB 2 a)
b)
2
d) 3 2
a) 2
b) 6
4 c) 7
d) 8
e) 9
15. Del gráfico, calcular: tgf ctgf c) 2 3
3
e) 2 2
12. En un triángulo rectángulo el área y el perímetro son iguales numéricamente, si el coseno de uno de los ángulos agudos es 0,8. Hallar la longitud del lado mayor. a) 5
C
H
1
b) 6
c) 8
d) 9
f
a) 1
e) 10
q 3
1 b) 1 2
c) 1 3
2 d) 3
e) 2
13. Calcular: ctgq. 1 q 8
a) 2 d)
b) 3 7 3
e)
c)
7
7 2
32
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Trigonometría
Razones trigonométricas II de ángulos notables
7
53º
30º 45º
L 2
L
2L
L 3
L
4k
L
75º
74º 25k
7k
4
6- 2 16º
15º 5
6+ 2
71
82º
º3
º3
0'
5
1
13
12
24k
0'
10
1
5 2
1
18º30'
26º30' 2
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37º
60º
45º
63
5k
3k
3
33
8º 7
San Marcos
Capítulo 07 Ejercicios resueltos 1. Calcular: A =
tg2 45ο + sec2 60ο 5 - 3tg60ο ctg60ο
a) 5
b) 5,3
c) 2,5
d) 2,7
e) 2,8
Resolución
Reemplazando los valores:. ^1h2 + ^2h2 A= 5 - 3^ 3 hc 3 m 3
" A = 1 + 4 " A = 2, 5 5-3
2. Del gráfico mostrado. Hallar "x+y" 60º
y
2
30º
x a) 1
b) 2+ 3
c) 4+ 3
Resolución a
60º
d)
3
e) 4+2 3
Recordar: * Se nota: a=2
2a
⇒ x=a 3 y=2a
30º a 3
∴ x=2 3 ∴ y=4
Luego: x+y=4+2 3
3. En un triángulo ABC equilátero mostrado. Calcular "tgy" B y
A a)
3 6
3 7
b)
12
D 4
c) 3 3 5
C d) 2 3 5
e) 4 3 5
Resolución
Como el ángulo "y" no está en un triángulo rectángulo, entonces trazamos la altura DH. (DH ⊥ AB) B B 10 y 16 16 H 6 3 6 A
60º
30º
12
D 4
*
BHD
tgy= 6 3 10 ∴ tgy= 3 3 5
C
34
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Trigonometría
Práctica 1. Hallar el valor de: E=(sec45º) a) 1
b) 3
sec60º
+5sen37º
c) 5
d) 7
7. De la figura, hallar: tgq
e) 9
2. Calcular: M=
q
37º 6 sec 45ο sec 30ο + 5^sen37ο + sen53οh tg45ο + 3 sec 53ο
a) 11 5 17 d) 6
b) 13 6 17 e) 5
c) 11 6
a) 24
b) 28
c) 30
B ο
x cos 60 + tg45 ο = csc 53 x cos 60ο - tg45ο a) 10
b) 12
c) 16
d) 18
a e) 20
4. Del gráfico, hallar: AP
a) 1 8
P 10
23º
37º
A b) 14
c) 15
d) 16
53º
D
A
B
a) 12
e) 36
8. En el gráfico, DC=2AD. Calcular: "tga"
3. Calcular el valor de "x" en: ο
d) 32
b) 1 5
c) 2 8
C
d) 1 2
e) 3 8
9. Del gráfico, hallar: tgq C e) 18
5. Del gráfico, hallar: "tgq". q
B 60º
4 1 16 d) 7 16
2 q
C
a)
3 2
b)
3 3
d)
3 5
e)
3 6
c)
2
d) 4 2
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5 16
C D 37º q
O a) 1 2
45º b) 2 2
c)
A
a b
a)
b)
10. Del gráfico, hallar: tgq
3 4
6. De la figura, hallar: P=5sena cscb
53º
3 16 e) 9 16
a)
P A
53º O
b) 2 7
c) 3 7
B d) 4 7
e) 5 7
c) 3 2
e) 5 2
35
San Marcos
Capítulo 07 11. Calcular ctgq, de acuerdo al gráfico mostrado.
a) 1 2
A
b) 1 3
B 2 60º
q 10
3 2
b) 2 3 4
d)
3 6
e) 2 3 3
O
a) 2
b) 1
d) 0,5
e) 3 4
F
C 3 5
c)
D
D
E
a) 1
b) 2
15. Encontrar:
c) 3
d) 4
e) 5
tgq del gráfico mostrado. q
º 37 37º
45º
B
c)
3
a)
4
3 2
4 d) 2 27 3
13. Del gráfico, hallar tgq (ABCD es cuadrado). A
37º
A
C
x
A
C 45º
12. Del gráfico, calcular tgx; además "O" es el centro de la semicircunferencia. D
e) 1 6
q
D
a)
d) 1 5
14. Del gráfico, calcular: "11tgq"
8
A
c) 1 4
60º
b)
3 4
e)
3 16
c) 4 3 3
B
q
C
37º
E
Tarea domiciliaria 1. Calcular: E = 3sec53º – tg45º sec60º a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
4. Reducir: 2 ο sen30ο + csc 30ο + sec 60ο + cos 60ο - tg 60 3 tg45ο + ctg45ο
c) 3
a) 1 d) 1,4
2. Hallar "x" en: 5xsen37º – csc30º = x+ctg45º a) 0,5 d) 2
b) 1 e) 2,5
c) 1,5
6(x – 1)cos2(45º) – (x – 4)csc(30º)= x tg2(60º), es: 2
E= 41 sena+8ctga b) 12 e) 15
c) 1,3
5. Halle el valor de x en la ecuación:
3. Si: ctga=sec37º. Determine: a) 11 d) 14
b) 1,2 e) 1,5
c) 13
36
a) 10
b) 21 5
d) 21 4
e) 14
c) 15
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Trigonometría 6. Del gráfico, calcular: "ctgf"
12. Calcular: tg 45 2
A f
a)
37º
O a) 1
b) 2
2
d) 1 –
E
2
2 +1
e)
2 +2
c)
d) 4
37º
e) 5
M
b) 60º e) 37º
c) 45º
8. El perímetro de un triángulo rectángulo es 20m y uno de sus ángulos agudos mide 37º. Hallar la longitud de la altura relativa a la hipotenusa. b) 3m e) 6m
q
O a) 4 3 d) 2 3
b) 3 4 e) 4 5
14. Del gráfico, calcular: "ctgw"
c) 4m
a 4a
B
w a) 1 d) 2,5
D x 23º
37º
A b) 12
c) 11
d) 9
B c) 5 4
9. En el gráfico mostrado, hallar "x". Si : DC=10
a) 13
2 –2
A
B
7. En un triángulo rectángulo ACB, recto en C, se tiene que secA=2cosB; entonces la medida del ángulo B es:
a) 8m d) 5m
b)
13. Del gráfico, obtener: "tgq"
F
c) 3
a) 80º d) 53º
ο
45º b) 1,5 e) 3
c) 2
15. En la figura, BD=10cm y tgb= 3 . La longitud de 13 AD es:
C
B
e) 6
10. Del gráfico, hallar: "ctgq"
b
45º x+3 2x+1 a) 1,6 d) 0,6 11. Calcular: tg 53 2 a) 1 2 d) 1 5
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5x - 3
q
b) 1,7 e) 1,4
c) 0,4
b) 1 3 e) 1 6
c) 1 4
a) 5 2
A
D
3 cm
b)
d) 3 3 cm
30º
3 cm
C c) 4 3 cm
e) 2 3 cm
ο
37
San Marcos
Capítulo 08
8
Propiedades de las razones trigonométricas
Razones recíprocas (inversas)
a) sen ; csc
sena . csca=1
b) cos ; sec
cosa . seca=1
c) tg ; ctg
tga . ctga=1
Ángulos iguales
Razones de ángulos complementarios (co – razones)
Si: mBA+mBB=90º
a) sen ; cos
Entonces: senA=cosB
b) sec ; csc
secA=cscB
c) tg ; ctg
tgA=ctgB
38
Ángulos complementarios
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Trigonometría Ejercicios resueltos 1. Sabiendo que: cos(60º - x) sec2x=1; sen3x=cos3y. Hallar "2y - x" a) 10º
b) 30º
c) 60º
d) 40º
e) 0º
d) 5
e) 10
Resolución * Por: R.T.R. ⇒ 60º – x=2x ⇒ x=20º * Por: R.T.C. sen3x=cos3y ⇒ 3(20º)+3y=90º Piden: 2y – x=0º
⇒ y=10º
2
2. Si: sen2x secy=1; calcular: P=csc c a) 4
b) 6
2 2x + y 2x + y m +csc c m 3 2
c) 8
Resolución Del dato: sen2x
sec y =1 S
csc^90ο - yh
Luego: sen2x csc(90º - y)=1 ⇒ 2x=90º - y ⇒ 2x+y=90º Reemplazando en: ο ο P=csc2 c 90 m +csc2 c 90 m 3 2 P=csc230º+csc245º P=22+ 2
2
∴ C=6 3. Si: sen(4x+10º) tg(3x+30º) secx=ctg(60º - 3x). Calcular: P=6tan2 (3x - 18º)+7tg6(x+29º) a) 2
b) 7
c) 9
d) 11
e) 13
Resolución
Del dato: sen(4x+10º) tg(3x+30º)secx=ctg(60º – 3x) .... (1)
Piden:
(3x+30º)+(60º – 3x)=90º ⇒ tg(3x+30º)=ctg(60º – 3x)
P=6tg (3x-18º)+7tg6(x+29º)
En (1):
P=6tg (48º-18º)+7tg (16+29º)
sen(4x+10º) ctg(60º – 3x) . secx=ctg(60º – 3x) sen(4x+10º) csc(90º – x)=1 ⇒ 4x+10=90º – x 5x=80º x=16º
P=6tg 30º+7tg 45º
2
2 2
6
Reemplazando: 2 6 P=6 c 1 m +7(1) 3 P=6 c 1 m +7 3
Central 6198-100
6
39
"
∴ P=9
San Marcos
Capítulo 08
Práctica 1. Determinar con "V" si es verdadera o "F" si es falsa la proposición: I. Sec20º=Csc70º
............ (
)
II. Tg50º=Ctg50º
............ (
)
III. Sen27º . Csc27º=1
............ (
)
IV. Tg35º . Ctg65º=1
............ (
)
a) VFVV d) VFVF
b) VVFV e) FVVF
8. Si: sen(6q+20º)=cos(2q+2º). Calcular: 2 M = b2 - a 6
R
a
c) VFVV
2. Si: tg(80º – 2x) Ctg(7x+8º)=1 Halle: R=sec(8x – 4º)+csc2(5x+5º) a) 2 d) 6
b) 3 e) 8
a) 2 d) 8
c) 4
9. Si: cos θ =
3. Si: Sen7x=Cos2x Calcular: A=tg26x+csc3x a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
c) 1 2
b) 2
d) 3 2
e) 4 3
5. Siendo "a" un ángulo agudo, tal que:
sen50ο . sec 40ο 3tg10 .tg80ο + 2ctg20.ctg70ο ο
Señale el valor de: T=tg5x+ctg5x a) 2 b) 4 d) 25 e) 26
a) 0
c) 12
senx
a)
b)
d)
2 2
e)
2 4
3 6
c) 33
sen2x - tg3x sec 4x cos 7x - ctg6x csc 5x c) 2
d) -1
e) -2
A=(2Sen20º+3Cos70º)(5Csc20º-3Sec70º)
b) 20º e) 36º
c) 24º
13. Si: seca=csc2f. Hallar: R=tg ` α + φj +sec(330º - 3a - 6f) 2 a) 1
7. Calcular: b) 3 e) 15
b) 1
a) 40º d) 32º c)
c) 4
12. Si:tg(2x+y) ctg40º=1; sen(x - y)=cos70º. Calcular: E=2x - 5y
=sen45º (cosy) Calcular: E = Sen2x – Tgy+Secx 3 4
b) 3 e) 6
W=
6. Siendo x e y complementarios y además:
3 2
c) 6
10. Sabiendo: sen( ≠ tgx)=cos( ≠ ctgx) 4 4
Calcular: C= 2 tga+8csc2a b) 11 e) 14
Q
11. Si: sen(x+20) sec(30º+3x)=1. Calcular:
3cosa=tg1º . tg2º . tg3º .....tg89º
a) 2 d) 10
b) 4 e) 10
a) 2 d) 5
a) 1
4θ + 3 ο S b
Calcular: M=tgq tg ` q j 2
c) 3
4. Si: tg2x tg4x=1 Calcular: sen23x+sen2x
a) 10 d) 13
θ + 10ο 10
P
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
14. Si: tg(2x+25º)=ctg(5x - 5º)+tg45º - 2cos60º. Hallar "x" (agudo) a) 10º d) 40º
c) 5
b) 20º e) 45º
c) 30º
15. Si: A+2B=90º. Calcular: Q= a) 10 40
3tg^ A + Bh 7tg^ A - Bh tgA + + +2 ctg3B ctg 2B ctgB b) 11
c) 12
d) 13
e) 14
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Trigonometría
Tarea domiciliaria 10. Calcular: a+b, si: sena - cos2b=0; senb csc4a=1
1. ¿Para qué valor de "x" se cumple que: cos(60º – x)=sen(70º – 3x)? a) 5º b) 15º c) 25º d) 10º e) 50º
a) 50º d) 60º
b) 2
c) 3
M= d) 4
e) 5
a) 1
3. Si: sen2x=cos3x, "x" agudo, calcular: b) 6
c) 7
d) 8
e) 9
c) 7
d) 8
b) 22
c) 24
d) 26
e) 28 cos 60ο
ο 2tg29ο 4 sec 22ο o 6. Reducir: P = e 3sen40ο + ο + cos 50 ctg61 csc 68ο
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
7. Reducir: P=(5cos20º - 3sen70º)csc70º a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
d) 4
b) 1,5 e) 2
Además: 16sena=secb. Hallar:
e) 9
5. Calcular: E=(5sen20º+3cos70º)(5csc20º – 2sec70º) a) 20
c) 3
e) 5
c) 2
13. Si: "a" ∧ "b" son complementarios.
E=csc2x+ctg3x+sec4x b) 6
b) 2
a) 1 d) 2,5
4. Siendo: sen(3x – 17º)csc(x+13º)=1. Calcular: a) 5
sen3x + tg70ο tg (3x - 10ο) ο cos (50 + x)
ο ο 12. Si: n = sen42 ο + tg32 ο . Calcular: P=sen ≠ +tg ≠ . 3n 2n ctg58 cos 48
E=4tg(2x+1º)+3tg(3x – 1º) a) 5
c) 30º
11. Si: tg(2x+20º)tg(80º – 3x)=1. Calcular:
ο tg20ο 2. Calcular: E = sen10 ο + ctg70ο cos 80
a) 1
b) 40º e) 80º
e) 5
a)
2 2
b) 1 2
c) 1 4
4
sena d) 1 5
e) 1 3
14. Siendo "a", "b" y "q" las medidas de tres ángulos agudos que verifican el siguiente sistema de ecuaciones: cos(a+b)=sen20º cos(b – q)=sen40º ctg(a – q)=tg80º Luego, uno de ellos será: a) 75º b) 65º c) 55º d) 45º e) 25º 15. Para: x=15º; calcular:
8. Hallar "x".
οh ^ tg30ο csc ^2x + 10οh H = sen 2x + 5 ο + + sec ^4x - 10οh cos ^3x + 10 h tg^5x - 15οh
sen40º cos45º sec(x+30º)=cos50º c 2 m csc(x+30º) 2 a) 12º d) 15º
b) 13º e) 18º
c) 14º
a) 4 3
b) 7 3
c) 10 3
d) 1 3
e) 2 3
9. Sabiendo que: tg(3x – 10º)tg40º=1. Calcular: E=3sec3x+5sen(2x – 3º) a) 5
b) 6
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c) 7
d) 8
e) 9
41
San Marcos
Capítulo 09
9
Repaso
1. En un triángulo, "q" es uno de los ángulos agudos. Si: cosq= 1 , calcule el valor de: E= 2 (cscq - ctgq) 3 a) 1 d) 0,4
b) 0,5 e) 0,2
8. Del gráfico, calcule: E=tgq+ctgq a) 1
c) 0,3
2. En un triángulo rectángulo ABC (recto en C), calcule: H=(tgB+ctgB)2 - (ctgA - tgA)2 a) 0
b) 1
c) 2
d) 4
d) 4
b
b) 16/15
a) 0 b) 1
2 mn
c) 2 12
d) 3
q
a
4
11. Calcular: M =
5. Del gráfico, calcular: G = tg B − cos α
a) 2
a) 5/6
b) 2,25
12. En la igualdad:
b
c) 1/5 2
halle: Q = m
a
e) 3/5
a)
25
6. En un triángulo rectángulo ABC recto en B; se cumple que: tg A = 1,333..... 2 sec A − 3 ctg A Calcular: N = 3 csc A − 2 tg A a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
a) 1
;8^
sen60
d) 2,75
e) 3
ο ο m - cos 60 ο sec 37 E οhcos 45 B
=1
c) 1
3 2 e) 1 2
b)
C
d) 72 m C
c)
2
d)
3
e) 3
42
D q
b) 2
c) 80 m
M
1 2
c) 2,5
13. Si AOC es un cuadrante, calcular: M = 4 3ctgq + 3 y AOD es equilátero.
a
A
2 2
d) 0
7. En el gráfico BM es mediana y mide 15m. Si: 5 sen a – 3 = 0, halle el perímetro del triángulo. B a) 60 m b) 64 m
n
ctg2 30ο . sec 60ο .ctg45ο 2tg2 30ο + sec2 45ο
5
b) 6/5
m
10. Calcular: M=(7ºsen40°–5cos50º)(9csc40º–7sec50º) a) 1 b) 2 c) 4 d) 12 e) 18
3
e) 15/16
b
9. De la figura, hallar: E=(tgq - 2)
e) 4
d) 5/48
e) 75 m
q 2
c) 48/5
d) 5
a
e) 5
sen α + csc β sec α . ctg β
a) 16/19
a+b
c) 3
e) 8
3. En un triángulo ABC, recto en B se cumple: 41 (sen A + cos) tg A = 40/9; calcular: E = tg A + sec A a) 7/3 b) 3/7 c) 5/4 d) 4/5 e) 1 4. Del gráfico, calcular: M =
a-b
b) 2
M
O
A
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Trigonometría 14. De acuerdo al gráfico, determine: ctga + ctg i Q= ctg b
15. Siendo "a" un ángulo agudo, tal que: tg α = x − 2 + 2 − x + 4x + 1 Calcular: M = sec α + sen α csc α + cos α
C
a) 1/6 d) 6
M b a
A a) 1 z
b) 1/6 e) 9
c) 3
q
b) 2
B d) 4
c) 3
e) 5
Tarea domiciliaria 10. Del gráfico, hallar: tgf B m
1. Siendo: tga= 8 , "a" es agudo. Calcular "csca" 15 a) 17 15
b) 15 8
c) 17 8
d) 17 12
e) 2 7
M n
2. En un triángulo rectángulo ABC, recto en "A", reducir: R=senB senC tgB a2 a) a2
b) b2
c) c2
d) ab
e) bc
3. En un triángulo rectángulo ABC (B=90º), reducir: S=tgA tgC+senA secC+cosA cscC a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
4. En un triángulo rectángulo ABC (B=90º), reducir: Q=sec2A – ctg2C+sen2A+sen2C a) 1
b) -1
c) 2
d) 0
e) -2
5. En un triángulo rectángulo, un cateto es el doble del otro. Calcular la secante del menor ángulo agudo. a)
2
3 2
b)
c)
3
d)
5 2
e)
5
6. En un triángulo rectángulo, un cateto es el triple del otro cateto. Calcular la cosecante de su menor ángulo agudo. 2 b) 10 c) 2 2 d) 2 2 e) 3 3 3 7. En un triángulo rectángulo, el coseno de uno de sus ángulos agudos es el doble del coseno del otro ángulo agudo. Determinar el coseno de su mayor ángulo agudo. a)
f
A
N
a) n - m n+m n-m d) n+m
c) 2n - m n+m
b) n + m n-m 2n - m e) 2n + m
37ο + 4 cos 60ο 11. Calcule: M = 25sen 2 ο ctg 30 - 2tg3 45ο a) 17
b) 16
c) 14
d) 13
e) 12
d) 3
e) 4
4 ο 2 ο 12. Calcular: M = sec 45 ο- 8sen3 30ο 5sen37 - ctg 45
a) 0
b) 1
c) 2
13. Si BN=2AN, calcule tgb
10
2 5 3 b) 2 5 c) d) 3 3 e) 5 5 5 2 2 8. En un cuadrado ABCD se traza ("E" en BC), tal que: BAE=a y EDC=q. Calcular: K=tga+tgq
C
M
a)
a) 1
b) 2
c) 4
d) 6
e) 8
a) 1 2
b) 2 3
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c) 3 4
a) 0,25 d) 0,8
N
b
B
b) 0,5 e) 0,75
c) 0,6
b) 6,5 e) 9,5
c) 6
15. Calcular: f(2); si: f^nh = csc ≠ + tg ≠ + 2 cos ≠ 3n 2n n+1
D d) 2 5
45º
a) 5,5 d) 5
N q
A
14. Calcular: E=4tg ≠ +sen ≠ +3cos ≠ 4 6 3
9. Si ABCD es un cuadrado, calcular "tgq" M B C
A
C
a) 0
b) 1
c) 4
d) 2
e) 8
e) 1 6 43
San Marcos
Capítulo 10
10
Resolución de triángulos rectángulos
En este tema debemos determinar los elementos desconocidos de un triángulo rectángulo a partir de otros que si sean conocidos, establecemos esta regla general: Lado incógnita = R.T ^qh Lado dato
⇒ Lado Incógnita = (Lado dato) × RT (q) Ejemplo: determine: x e y
4
3
y
x
q
a
Si queremos agilizar el proceso de solución en problemas podemos utilizar los siguientes casos:
Caso I:
Caso II:
m a
a
m Caso III:
m a
44
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Trigonometría Ejercicios resueltos 1. Calcular "h" de la figura, si: tgq+ctgq= 8 3 B q h A
C
H 32
a) 64
b) 32
c) 16
d) 12
e) 6
Resolución Trasladando el ángulo "q" B
*
AHB
" AH=hctgq
*
BHC
" HC=tgq
q h A
q 14 424 4H 31 444444 2 444444 3 hctgq htgq 1 44444444 2 44444444 3 32
Se observa: S AH + S HC = AC
C
Reemplazando: hctgq+htgq=32 h^ctgq + tgqh = 32 1 44 2 44 3 h ` 8 j = 32 & h = 12 3
2. Del cuadrado ABCD; hallar "ED" C
B q m
A a) m(tgq - ctgq)
b) m(senq - cosq)
D
E c) m(cosq - senq)
d) msenqtgq
e) m(cosq - secq)
Resolución Del gráfico: C
B q mcosq
A
m
D
msenq E
Luego: S AD = S AB ^lados del cuadradoh ; Piden ED; pero: ED=AD-AE ED=mcosq - msenq ⇒ ∴ ED = m (cos q - sen q)
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45
San Marcos
Capítulo 10
Práctica 1. Determine: "x"
6. Del gráfico, hallar: "x"
m
q
m x a
a q
a) m csca ctgq c) m seca senq e) m csca senq
x
a) m(cosa – tgq)
b) m seca cosq d) m csca tgq
b) m(sena – tgq) c) m(cosa – sena tgq) d) m(sena – cosa tgq)
2. Del gráfico, determine: "x" m q
a) m senq cosq c) m secq cscq e) m sec2q
e) m(sena – cosa ctgq) x
7. Determine "x" en el gráfico
b) m secq tgq d) m cscq ctgq
m x
3. Hallar: "x"
q 4
b
x a) 4senb d) 4ctgb
b) 4cosb e) 4secb
a) m sen3q
b) m sen2q cosq
c) m senq cos3q
d) m sen2q cos2q
e) m secq cscq
c) 4tgb
8. Del gráfico, hallar: "x"
4. Siendo ABCD un cuadrado, hallar: "x" B A q x
x m
m D
a
a) (n – msenq) secq
C b) m ctga tgq d) m tga ctgq
a) m tga tgq c) m ctga ctgq e) m sena senq
b) (n – mcosq) cscq c) (nsenq – mcosq) tgq d) (ncosq – msenq) secq e) (n – mcosq) secq
5. Hallar: "x" 45º
x
9. Del gráfico mostrado determinar PQ en términos de qyr
q
q a) m(senq – cosq) c) m(secq – cscq)
Q
P
m
e)
q
n
b) m(cosq – senq) d) mtgq
2 m senqcosq
46
r O
a) rsenq
b) rcosq
d) rctgq
e) rcscq
c) rtgq
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Trigonometría 10. Del gráfico, hallar "tgf" en función de b
12. Del gráfico calcular: E =
C
ctgα + ctgθ 1 + csc α A q
f
A
b
D
3
a) 0,2tgb
b) 0,3tgb
d) 0,5tgb
e) 0,6tgb
2
O 2a
B c) 0,4tgb
B
11. Hallar el perímetro del triángulo ABC B
q
b) 2
d) 1 2
e) 1 3
c) 3
13. Triángulo ABC isósceles (AB=BC=a); DC=n Hallar "x" B
m A
a) 1
C
a) m(1+senq+cosq)
b) m(1+tgq+secq)
c) m(1+ctgq+cscq)
d) m(senq+cosq)
q
H E
e) m(tgq+ctgq)
a
x
F C D b) asenq – nsena d) 2asenq – nsena
A a) asenq+nsena c) asenq+2nsena e) 2(asenq – nsena)
Tarea domiciliaria 1. Determine DC B
C
a
q
a) m(senb – cosb) c) m(cosb – senb) e) m(cscb – secb)
m A a) msena . cscq c) msena . secq e) mtga . tgq
b) m(senb+cosb) d) m(secb – cscb)
4. Halle: “x”
D b) mcosa . secq d) mcosa . cscq
45º x m
2. Hallar "x" en el gráfico:
a
m
q
a a) msena secq c) mcosa secq e) mtga ctgq
a) m(sena – cosa) c) m(tga – sena) e) m(ctga – tga)
x
b) m(cosa – sena) d) m(tga – cosa)
5. Hallar “x”:
b) msena cscq d) mcosa cscq
q
a
3. Del gráfico, hallar AD en función de "m" y "b" C
a
x
b m A
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45º
D
a) acos(a – q)tga c) acos(q – a)tgq
B
47
b) acos(a – q)ctga d) acos(q – a)ctga
San Marcos
Capítulo 10
e) acos(q+a)tga
! 6. Halle el arco AB en términos de “a” y “q”. (O: centro) A 90º- q
O
a
b) aqsecq
d) aθπ sec θ 180
e) aq tgq
b) asenq – bcosq d) acosq – bsenq
11. Si: AD=AB=1 y CD=2 Obtener:K=tga ctgb B b
D
a) aacscq
a) asenq+bcosq c) acosq+bsenq e) asecq – cscq
B
a
c) aθπ csc θ 180
a) 1 4
C
D
A b) 1 2
d) 2
e) 4
d) 4 7
e) 5 7
13. Dado el siguiente gráfico simplificar: N =
senαsenφ senθ
2 2
c)
12. Calcular: tgq ctga
7. Del gráfico, hallar "R". Si: EC=m B
q
2
a q
A
C
E
O
m tgq - 1 m c) sec q - 1 e) m(cscq – 1) a)
a) 1 7
m csc q - 1
b)
b) 2 7
c) 3 7
d) m(secq – 1)
q a
8. Calcular: tgq tga
f
B a) 5
a
2
A a) 1 2
3
2
R
b) 1 3
D
3
c) 1 4
q
C
d) 2 3
e) 3 8
b) 4
c) 3
C q a) Rsen x 2 d) 2Rsenx
1 A
a) tgq(secq+1) c) ctgq(secq+1) e) ctgq(cscq – 1)
b) tgq(secq+1) d) tgq(cscq+1)
O
x
A
B
C
b) Rcos x 2 e) 2Rcosx
c) Rtgx
15. En el gráfico mostrado, MNPQ es un cuadrado de lado "a". Halle AC en términos de "q" y "a" B M
10. Del gráfico mostrado, hallar "x":
q
N
a
x
A a) a(1+senq+cosq) c) a(1+secq+cscq) e) a(1+senq+tgq)
b
q
e) 1
14. En la siguiente figura, el triángulo ABC está inscrito en la circunferencia de radio "R" la longitud del lado BC es: B
9. Calcular: AB
O
d) 2
a
48
Q
P
C
b) a(1+tgq+ctgq) d) a(secq+tgq)
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Trigonometría
Razones trigonométricas de ángulos de cualquier medida
11
Ángulo en posición normal Llamado también ángulo en posición canónica o standar. Es aquel ángulo trigonométrico cuyo vértice coincide con el origen del sistema cartesiano y su lado inicial coincide con el eje "x" positivo. Cuando un ángulo está en posición normal, el lado final puede estar en uno de los cuadrantes, en cuyo caso se dice que éste pertenece a tal cuadrante.
y lado final q
(+) x
vértice
lado inicial
y
lado inicial
vértice b
x
(-)
lado final
Del gráfico: • q: es un ángulo en posición normal
• b: es un ángulo en posición normal
• q ∈ IIC > q
• b ∈ IIIC; b < q
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49
San Marcos
Capítulo 11 Definición de las razones trigonométricas Para determinar el valor de las RT de un ángulo en posición normal tomaremos un punto P(xo;yo) perteneciente a su lado final. y P(xo;yo)
yo
r a
q xo
x
Se define:
• r =
y sen a = o r
x cot a = o yo
x cos a = o r
sec a = r xo
y tan a = o xo
csc a = r yo
• q: se denomina ángulo de referencia.
x2o + y2o
Signo de las RT en los cuadrantes
Dependiendo del cuadrante al que permanezca un ángulo en posición normal, sus RT pueden ser positivas o negativas. Es así como se obtiene el cuadro adjunto.
y (+)
seno y cosecante
(+)
tangente y cotangente
(+)
todas son positivas
(+)
coseno y secante
50
x
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Trigonometría Razones trigonométricas de ángulos cuadrantales q (radianes)
q (grados)
Sen q
Cos q
Tan q
Cot q
Sec q
Csc q
0 ∧ 2p
0
0
1
0
N.D.
1
N.D.
p/2
90º
1
0
N.D.
0
N.D.
1
p
180º
0
–1
0
N.D.
–1
N.D.
3p/2
270º
–1
0
N.D.
0
N.D.
–1
Nota: N.D.: No definido
Ángulos coterminales Son aquellos ángulos trigonométricos que poseen el mismo vértice, el mismo lado inicial y final. Así tenemos que: I. Lado inicial Lado final a T q T: vértice II. y f x b P(xo;yo) Se tiene que:
• a y q
: son coterminales
• b y f
: son coterminales (están en posición normal)
Propiedades Si a y q son coterminales se cumple que: I.
α - θ = 360c n
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II.
;n∈Z
51
R.T. (α) = R.T. (θ)
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Capítulo 11 Ejercicios resueltos
1. Del gráfico mostrado, calcular: E = sec q + tan q
y (–12;5) q x
a) – 5 2
b) – 3 2
c) – 2 3
d) – 1 2
e) – 1 3
Resolución y
Reemplazando: E = 13 + 5 = 18 –12 –12 –12
(–12;5) y=5
` E=– 3 2
q
r=13 x=-12
x
2. Calcular el valor de: E = (cos 270c) sen 90c - tan 360c + (sec 180c) cot 90c cos 0c a) 0
b) 1
c) –1
d) 2
e) –2
Resolución Aplicando las razones trigonométricas de ángulos cuadrantales: E = (0) (1) -
(0) + ( 1)c (1)
" E =1
3. Hallar el mayor de los dos ángulos coterminales, si la suma de ambos es 2480º y el menor de ellos está comprendido entre 304º y 430º a) 3160º
b) 2140º
c) 2350º
d) 2150º
e) 3240º
Resolución Como son ángulos coterminales, entonces: a – b = 360º n Por condición: α + β = 2480c ... (1) res tan do: 2β 2480c - 360c n = 3 α - β = 360c n ... (2) " b = 1240º - 180ºn
Entonces: 304c < 1240c - 180cn < 430c " - 810c < n < - 936c - 180c - 180c 4,5 < n < 5,2 n=5 Reemplazando en (1) y (2): α + β = 2480c sumando: α 2140c = 3 α - β = 1800c
52
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Trigonometría
Práctica 1. El lado final de un ángulo canónico "q" pasa por el punto (–3; 5)
8. Si: (27)ctg a=9; a ∈ IIIC Calcular: A = 13 sen a + 6 tan a
Calcular: J = 5 cot q + a) 0 d) –4
34 cos q
b) 6 e) –6
a) 2 d) 8
c) 4
b) 4 e) 10 2
2. Si el punto (m+1; m) pertenecen al lado final de un –1
. tan q
a) 3 d) 1/3
b) –3 e) –1/4
c) –1/3
2
3. Si: (tan q) (tan q) = 2 , además q ∈ III C Calcular: E = 6 . sen q + 2 cot q a) 0 d) 2
b) 1 e) –2
y q
2 d) - 2 b 2 a
e) –2
c) a + b
b) 1340º e) 1250º
c) 1296º
11. Siendo "G" baricentro del triángulo ABC. Calcular: R = tan a + cot a sec a + csc a
5. Si: BC = 2 AB. Calcular: tan q 37º
b) a – b
a) 1248º d) 1200º
b) q ∈ IIC c) q ∈ IIIC e) No se puede precisar
A
2 a) a b2
10. Calcular el mayor de dos arcos coterminales, sabiendo que el mayor de ellos es seis veces el menor y el menor de ellos está comprendido entre 200° y 300°.
c) –1
4. Si: sen q = - sen q / cos q = cos q , entonces: a) q ∈ IC d) q ∈ IVC
2
9. Siendo: f(x)=a senx+b cos 2x f ` ≠ j + f ` 3≠ j 2 Calcular: E = 2 f (≠ )
ángulo canónico "q", tal que: senq=–0,8; q ∉ IVC Calcular: m
c) 6
x
B(-6;9)
B
y C(0;5)
C a) 7/6 d) 11/6
b) 4/3 e) 4/9
A(-9; 1) x
c) 3/2 a
6. Si: sen θ < cos π / tan θ > sen π 2 Halle el signo de: E = c cot q - cos q m + ` cot q j csc q sen q - tan q a) (+) d) F.D.
b) (–) e) (+) y (–)
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b) 2 2
d) - 2 2
e)
12. Si:
c) (+) ó (–)
c) - 2 2
2
22 tan q + 2 - 6 tan q = 2 (32 tan q + 2) ,
además:
secq<0. Calcular: E = sec q – csc q
7. Si: tan q . – cos q < 0 , ¿en qué cuadrante está "q"? a) IC d) IVC
a) - 2
b) IIC c) IIIC e) En ningún cuadrante
53
a) 5 5 2
b) - 3 5 5
d) 5 5 3
e) 3 5 2
c) - 3 5 2
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Capítulo 11
Tarea domiciliaria 1. Si:
8. ¿A qué cuadrante pertenece el ángulo en posición normal "q"; que cumple: secq<0 ∧ tgq>0?
csc q = - 3 / q ! IVC 2 Calcular: E = 3 5 cos q + 5 sec q a) 1 d) –8
b) 4 e) 0
c) 8
b) - 1 2
d) 1 3
e) - 1 4
c) - 1 3
K = sen 300c cos 200c ; J = csc 140c + sec 340c ctg 92c ctg 121c - 2 C = tan 225c + sec 330c sen 210c c) –; –; –
5. Si: (tg q)
(tg q) 2
= 2 ; q ! IIIC
Calcular: sen q a)
2
d)
2 3
b)
3
e)
c) -
b) (–)
2 3
1 3
d) (+) y (–)
e) No se puede precisar b) IIC e) F.D.
Señale el signo de: L=tan b + cot b b) (–) c) (+) y (–) e) No se puede precisar
a) a d) a – b
b) b e) ab
13. Al reducir: a2 . sen ≠ + b2 cos ≠ 2 ; se obtiene: a . sen 3≠ + b cos 2≠ 2 a) a+b b) a – b 2 2 d) a – b e) – (a+b)
a) –2 d) 1
b) –1 e) 2
O
2 - 10 sen q = 0 b) 1
d) –2
e) 3
d) 3
e) 4
c) 0
A
C x
c) 2 B
a)
Calcular: E = sec q – tg q b) 1 2
c) b – a
q
7. Si: 8 tg q = 6 sec 45c@2 tg q - 3 y q ∈ IVC a) 1 3
c) a + b
sen x + cos 2x - tg x 2 14. Siendo: F (x) = cos x + sen 3x Evaluar para: x = ≠ 2
Sabiendo que "q" es un ángulo del segundo cuadrante
a) 0
c) IIIC
15. En el gráfico mostrado ABC es un triángulo equilátero de lado 2. Calcular: tan q, si: OA=3 y
6. Hallar el valor de la expresión: L= 5 2 - 1 sec q tan q y que:
c) (+) ó (–)
12. Calcular: 2 2 J = a sen 90c - b cos 180c - 2 ab sen 270c a sen 4 270c - b cos3 180c
4. Dar el signo de:
(tg q)i
a) (+)
a) (+) d) (+) ó (–)
c) 3
b) +; +; – e) –; +; –
e) No se puede precisar
11. Si: sen b = - sen b ; cos b = cos b
Calcular: A = 3 + 13 (sen q + cos q)
a) +; –; – d) –; –; +
d) IVC
a) IC d) IVC
cuadrante, donde: tg q = –1,5 b) 2 e) 5
c) IIIC
10. Si: sena<0 ∧ ctga>0. Indicar el cuadrante del "a"
3. Si "q" es un ángulo de posición standar del II
a) 1 d) 4
b) IIC
9. Señale el signo de: J = sen 170c cos 240c + tan 210c Cos 100c sec 200c
2. Si se cumple: 3 tan x + 4 = 0; x ∈ IVC Calcular: A = csc x – ctg x a) 1 2
a) IC
c) 2
3 3
d) – 3 4
54
b) – 3 2
c)
3 4
e) – 3 3
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Trigonometría
12 Reducción al primer cuadrante Casos 1. Ángulos negativos: Se aplica el siguiente criterio: Sen (–x) = – Sen x
Csc (–) = – Csc x
Cos (–x) = cos x
Sec (–x) = Sec x
Tan (–x) = –Tan x
Cot (–x) = – Cot x
2. Ángulos mayores que 360º: Aquí se divide el ángulo en consideración entre 360º, descartando el cociente pero tomando el residuo en lugar del ángulo original. Ejemplo: Sen 1140c = Sen 60c =
3 2
1140º
360º
1080º
3
60º 3. Ángulos menores que 360º: Aquí se descompone el ángulo original como la suma o resta de un ángulo cuadrantal con un ángulo agudo; para luego aplicar el siguiente criterio. Z ] R.T. e 90c ! x o = ! Co - R.T. (x) ] 270c ] R.T. (x) = [ ] 180c ! x o = ! R.T. (x) ]] R.T. e 360c \ El signo (±) dependerá del cuadrante en el que se ubique el ángulo original y de la RT original.
Ejercicios resueltos 1. Calcular: C = sen 240c cos 120c a) 1
b) -1
c)
3
d) – 3
e) –
3 3
Resolución En la expresión, por partes: Sen 240º = Sen (180c + 60c ) = –Sen 60º ⇒ Sen 240º = – 3 1 44 2 44 3 2 III
Cos 120º = Cos (180c − 60c ) = –Cos 60º ⇒ Cos 120º = – 1 1 44 2 44 3 2 Reemplazando:
C=
II
– 3 2 " ` C= 3 1 – 2
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55
San Marcos
Capítulo 12 2. Calcular: Tan 2580º
Resolución Dividimos el ángulo entre 360º: Reemplazando: Tan 2580º = Tan 60º 2580º 2520º 60º
360º 7
∴ Tan 2580º = 3
3. ¿A qué es igual: Sen (36p+x)
Resolución Sen (36 ≠ + x) = Sen ( 0 + x) ` Sen (36 ≠ + x) = Sen x
Práctica 1. Calcular: E = 2 cos 120º+4 tan 217º a) 2 b) 3 c) 0 d) 1 e) –2
6. Calcular: tan 123 ≠ 4
2. Simplificar: sen (90c + x) tan (180c + x) sec (270c – x) E= – + cos (–x) tan (–x) csc (–x) a) 1 d) 4
b) 2 e) 9
c) –1
3. Simplificar: tan (–x) cot (2≠–x) sen ( 3≠ + x) 2 E= cos (≠ + x) sec (2≠ – x) a) sen x d) –sen x
b) cos x e) –cos x
b) –1
d) 0
e) 2
3 6
d) – 3 2
b) – 3 6 e) 3 3 2
d) – 2
e)
c) –1
c)
3 2
3 2
2
3
e) –1
8. Si: x + y = 3≠ ; Simplificar: E = sen x + sec x – tan x 2 cos y csc y cot x a) –2
b) –3
d) 2
e) 3
c) –1
9. En un triángulo ABC, simplificar: tan (2A + 2B + C) E= + cos (B + C) . sec A tan (A + B) a) 0 d) 2
c)
c)
7. Si: x - y = p; Reducir: E = sen x . csc y + tan x tan y a) 0 b) 2 c) –2
5. Calcular: E = tan750º – sen1860º a)
b) –1
d) 1
4. Reducir: E = sen 200º csc (–20º) + cos (–10º) sec 170º a) 1
a) 1
b) 1 e) –2
c) –1
10. Calcular: E = cos ≠ + cos 3≠ + cos 5≠ + cos 7≠ 8 8 8 8 a) 0 b) 1 c) –1 d) 2 cos ≠ 8 56
e) – 2 cos ≠ 8 www.trilce.edu.pe
Trigonometría 11. Calcular "Tg q"
cos 2y 13. Si: x + y = ≠ . Calcular: sen 2x + sen 2y cos 2x 2 a) –2 b) –1 c) 0 d) 1
37º
a) 3 d) –1/3
3
q
b) –3 e) 4/3
14. Si: x–y = 3≠ . Simplificar: tan x + sen x ctg y cos y 2 a) 0 b) 1 c) 2
1
a) –2
c) 183
b) 2 tan x
15. En un triángulo ABC, simplificar: sen (A + B) tag (B + C) + sen C tan A
12. Si: tan (135º – x) = m. Calcular: cot (45º – x) a) –1 b) 1 c) m d) 2m
e) 2
e) –m
a) 0
b) 2
a) –2
a) 2 tan A
b) 2 tan B
Tarea domiciliaria 1. Calcular el valor de: sen 150º – cos 120º + tan 135º a) –2 b) –1 d) 1 e) 2 2. Reducir: E = tan x + ctg (–x) a) 1 b) 2 e) d) 2 sec x
sec x cos (–x) –1 2
8. Del gráfico, calcular: tan q c) 0
2
37°
c) 2 tan x
q
3. Simplificar: sen (≠ + x) + sen (≠–x) + tan (≠–x) E= csc ( ≠ + x) 2 a) –1 b) 1 c) sen x d) –sen x e) – tan x sen (≠ + x) cos (2≠–x) – sec ( ≠ + x) sec (≠ + x) 2 2 a) 1 b) 2 sen x 2 2 e) –cos x d) –sen x
2
a) 1
b)
a)
a) –13
a) –24
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c) – 2
e) 2
d) 4
e) 5
13. Calcular: (cos 810º + ctg 405º) sen 450º a) 1 b) –1 c) 0
2 2
4
e) –1
12. Calcular: tan 1140º+ ctg 765º a) 1 b) 2 c) 3
d) 2
7. Simplificar: 16 tan 397º – 9 sec 210º – (2 ctg 315º) b) 1
e) 5
2
2
a) 0
c) –3/2
11. Calcular: E = 2 sen 1470º + tan 1125º a) 2 b) 0 c) –2 a) –1
2
3 sec 180330c b) –2
d) –1
c) 2 cos x
cos (330c) . cot (300c) . csc (135c) sec (315c) . sen (300c) . tan (330c) b) 1 2
e) 2/7
d) 1
b) 2 b) 3
a) –1
d) 2/3
10. Calcular: a) 1
sen (≠ + x) tan ( ≠ – x) 2 5. Reducir: ctg (2≠–x) sen (2≠ + x)
6. Reducir: K =
b) 3/4
9. Simplificar: 3 sen 20c – 2 cos 110c cos 70c a) 1 b) 2 c) 3 d) 4
4. Simplificar:
a) 1 a) –2
a) 4/3
3
14. Calcular: E = cos ≠ + cos 3≠ + cos 4≠ + cos 6≠ 7 7 7 7 a) 0 b) –1 c) 1 d) 2
a) –10
e) –2
e) –2
15. Calcular: tan10º+tan40º+tan70º+tan110º+tan140º+tan170º
57
a) –2
b) –1
d) 1
e) 2
c) 0
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Capítulo 13
13 Circunferencia trigonométrica I Circunferencia trigonométrica Es aquella circunferencia cuyo centro coincide con el origen de coordenadas de un sistema bidimensional y considera como radio la unidad de dicho sistema. y B
C.T.
A: origen de arcos
IC
IIC A'
B: origen de complementos
O
A x
R=1
A': origen de suplementos
IVC
IIIC
B': sin especificación particular
B'
• Importante:
(m; n) C.T.
(0;1)
2
ordenada
n (–1;0)
≠ 2
abscisa
3 ≠ m
• ≠ . 3, 14
1
0; 2≠
(1;0) 6
4 3≠ 5 2
(0;–1)
• 3≠ . 4, 71 2
• ≠ . 1, 57 2
• 2≠ . 6, 28
Representación de la razón trigonométrica seno y coseno La razón trigonométrica seno de un arco en posición normal está representada por la ordenada del extremo final de dicho arco y la del coseno por la abscisa del mismo extremo. M (cos q ; sen q)
C.T. Q
q
q q P
O
58
A
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Trigonometría Demostración
OPM sen q = MP OM como: OM = 1 & sen q = MP
OQM cos q = MQ OM como: OM = 1 & cos q = MQ
Signos B + +
A'
–
IC
IIC
IIIC
IVC
Seno
+
+
–
–
Coseno
+
–
–
+
IC
IIC
IIIC
IVC
+ A –
– +
– B'
Variación analítica (0;1) Seno
(cos 0c; sen 0c)
0"1
(–1;0)
(1;0)
1 " 0 0 " –1 –1 " 0
Coseno 1 " 0 0 " –1 –1 " 0 0 " 1
(0;1)
Extensión –1 # sen q # 1
seno
–1 # cos q # 1
–1
y 0
coseno 1
& Rango = 6 –1; 1@
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59
San Marcos
Capítulo 13 Ejercicios resueltos 1. En la CT mostrada, hallar el área de la región sombreada en función de "q". y B
M q A
A'
x C.T. B' a) sen q
c) 1 sen q 2
b) cos q
d) 1 cos q 2
e) 2 sen q
Resolución En estos tipos de problemas se usarán líneas trigonométricas para determinar lo pedido; por ello es necesario aplicarle valor absoluto a la LT usada, para garantizar el signo positivo del segmento utilizado. En el gráfico: I. A'A = 2 II. S = A'A . MP 2
y B M S
A' 1
MP = sen q & MP = sen q S +
O
1
P
q A
x
Reemplazando: S = 2 sen q " ` S = sen q 2
2. Poner V ó F, en: I. sen 20º < sen 100º II. cos 160º > cos 290º a) VF
b) FV
c) VV
d) Faltan datos
60
e) FF
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Trigonometría
Resolución Graficando en la C.T. y
Del gráfico:
100º
I. sen 20º < sen 100º ... (V)
C.T.
20º (+) sen 100º (–) (+) 160º sen 20º cos 160º
II. cos 160º < cos 290º ... (F) x
cos 290º 290º
(+)
3. Con la ayuda de una circunferencia trigonométrica, señale la expresión de mayor valor: a) sen 50º
b) sen 70º
c) sen 100º
d) sen 210º
e) sen 300º
Resolución Graficamos una C.T. y ubicamos en ella los arcos mencionados; luego trazamos una línea trigonométrica seno correspondiente a cada uno de ellos y notamos que: sen 210º y sen 300º: (–) sen 50º, sen 70º y sen 140º: (+)
y C.T. 140º
70º 50º
x 210º 300º
Como piden el mayor, sólo comparamos entre los positivos (el porqué? es obvio), y notamos que el mayor es: sen 70º
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61
San Marcos
Capítulo 13
Práctica 1. En qué cuadrante(s) el seno decrece y es negativo: a) I
b) III
c) IV
d) III y IV
e) II y III
7. En el gráfico, determine BP y B
q
P
2. ¿Qué signo de comparación debe ir en el círculo? sen 250º
A'
cos 250º
a) >
b) <
d) ≥
e) ≤
B'
sen 300º
a) >
b) <
d) ≥
e) ≤
c) =
a) 0,5
b) sen q
d) 1 – sen q
e) 1 + sen q
c) –cos q
8. Determinar el área sombreada en la C.T. mostrada: B q
A'
4. ¿Qué signo de comparación debe ir en el círculo?
A
O
cos 30º
sen 300c a) >
b) <
d) ≥
e) ≤
c) =
B'
5. Calcular el área del triángulo AMA' en la C.T. mostrada C.T. M
q
A
A'
a)
(1–sen q) . cos q 2
b)
(1– cos q) . sen q 2
c)
(1 + sen q) . cos q 2
d)
(1 + cos q) . sen q 2
e)
(1–sen q) . (1– cos q) 2
9. Indicar lo correcto, si: 180c < x1 < x2 < 270c I. sen x1 > sen x2
D
C
a) sen q
b) cos q
d) 2 cos q
e) 0,5 sen q
II. cos x1 < cos x2 c) 2 sen q
III. sen x1 > sen x2
6. Calcular el área sombreada en la C.T.: q
x
A
c) =
3. ¿Qué signo de comparación debe ir en el círculo? sen 200º
O
B
a) I y II
b) II y III
d) solo I
e) solo II
c) I y III
10. Indicar con "V" lo verdadero y "F" lo falso: I. sen 1 < sen 3 II. cos 5 > cos 6
A
A'
III. sen 1 = cos 1
B' a) 0, 5 (1 + sen q)
b) 0, 5 (1 + cos q)
c) 0, 5 (1–sen q)
d) 0, 5 (1– cos q)
a) VFV
b) FFV
d) FFF
e) FVV
c) VFF
11. En qué cuadrante(s) el seno y coseno crecen.
e) 0,5 62
a) I
b) II
c) III
d) IV
e) No se puede precisar
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Trigonometría 12. Señale verdadero (V) o falso (F) según corresponda: I. sen 70º > sen 140º II. sen 260º > sen 200º a) VV
b) VF
d) FF
e) No se puede precisar
e) 1 sen a cos a 2 14. En la C.T. mostrada, determine el área sombreada: y
c) FV
B
q
P
13. Determine en la C.T. mostrada el área sombreada. y B
A'
O
x
A
a A'
O
A
B'
x
B' a) 1 (1 + sena + cos a) 2 1 (1 – sen a + cos a) b) 2 c) 1 (1 – sen a – cos a) 2 1 (sen a – cos a – 1) d) 2
a)
sen θ 1 − cos θ
b) −
c)
sen θ 1 + cos θ
d)
e)
− cos θ 1 − sen θ
cos θ 1 + sen θ
− cos θ 1 − cos θ
15. Indicar el mayor valor: a) sen 1
b) sen 2
d) sen 4
e) sen 5
c) sen 3
Tarea domiciliaria 1. Indique el signo de: A = sen 100º ; B = cos 200º a) + ; + d) – ; –
b) +; – e) N.A.
6. En la C.T. mostrada, hallar la longitud de PA. y C.T. q M
c) –; +
2. Determine la distancia del origen de complemento al origen de suplementos. a) 1 d)
2
b) 1 2 e) 2 2
c) 2
3. En la C.T., calcular la distancia del origen de arcos al origen de complementos. a) 1u
b)
2
c) 2
e) 1 2 4. Indicar el menor valor, (graficar) d) 2 2
a) cos 20º
b) cos 110º
d) cos 280º
e) cos 360º
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b) VVF e) FFF
O P
a) 1– cos q
b) 1 + cos q
d) 1 – sen q
e) –2 cos q
A
x
c) 1 + sen q
7. En la C.T, mostrada, hallar el área de la región sombreada. y q C.T.
c) cos 200º
5. Señale verdadero (V) o falso (F), según corresponda: I. sen 70º > sen 20º II. sen 216º > sen 254º III. sen 300c > sen 320c a) VVV d) FFV
A'
O
x
c) FVF
63
San Marcos
Capítulo 13
c) cos q b) 1 sen q 2 d) – 1 cos q e) 1 2 2 8. Determine el área de la región sombreada. y C.T. a) sen q
c) 0,5(cosq–senq)
d) –0,5(senq+cosq)
e) 1 senq cosq 2 12. Del gráfico mostrado, calcular el área del cuadrilátero sombreado. y C.T. q
O x
x
q a) sen q
c) – 1 sen q 2
b) –sen q
e) –2sen q d) – 1 cos q 2 9. Del gráfico mostrado, calcular: sen a + sen q y C.T. a A
a) 0,5(senq+cosq)
b) 0,5(senq–cosq)
c) 0,5(cosq–senq)
d) 0,5senq
e) 0,5 cos q 13. En la C.T. mostrada, halle el área de la región sombreada. y C.T.
x O
A
q
x
q a) –1
b) 0
c) 1
d) 2
e) –2
10. Calcular el área de la región sombreada. y C.T.
a) 3 sen q 4 d) – 3 cos q 4
c) – 3 sen q 4
14. Indicar verdadero "V" o falso "F": Si: ≠ < x1 < x2 < 3≠ 2 I. sen x1 < sen x2
A
O
b) 3 cos q 4 e) – 1 sen q 2
x
II. cos x1 < cos x2 III. sen x1 < sen x2
q
a) cos q
b) –cos q
c) 1 cos q 2
e) –2 cos q d) – 1 cos q 2 11. Del gráfico mostrado, calcular el área del cuadrilátero sombreado. y C.T.
a) VVV d) FVF
b) VVF e) VFV
c) FVV
15. Hallar las coordenadas del punto "P". y C.T. a
O
x
x P q a) 0,5(senq+cosq)
b) 0,5(senq–cosq)
a) (–1; sena)
b) (sen a; –1)
c) (sen a; 1)
d) (cos a; –1)
e) (cos a; 1)
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Trigonometría
14 Circunferencia trigonométrica II Variación analítica I. Línea seno Representación:
Variación: Esto es:
y B
C.T.
–1 # sen a # 1 ; 6 a ! R
Ma
sen a 'max . : 1 min . : –1
1 sen a (+)
(+) A'
A
(–) N
Análisis en cada cuadrante
x
sen b –1 (–)
a∈ sen
b
IC
IIC
IIIC
IVC
<0; 1> <0; 1> <-1; 0> <-1; 0>
B'
II. Línea coseno Representación:
Variación: y B
C.T.
cos b (–)
–1 # cos a # 1 ; 6 a ! R
Ma
cos a (+)
–1
A'
N
Esto es:
1
cos a 'max . : 1 min . : –1
A x
Análisis en cada cuadrante a∈ cos
b
IC
IIC
IIIC
IVC
<0; 1> <-1; 0> <-1; 0> <0; 1>
B' (+)
(–)
Para arcos con extremos en A, B, A' ó B' (n ∈ Z) y
..., 3≠; ≠ : A'
_ A : 2n≠ b 3 n≠ A' : (2n + 1) ≠ b b n≠ ≠ ` B : (4n + 1) 2 ( 2 n + 1) ≠ b 2 4 2b b B' : (4n + 3) ≠ 2 a
B : ≠ ; 5≠ ; 9≠ ; ... 2 2 2
A : 0; 2≠; 4≠; ... x
B': 3≠ ; 7≠ ; 11≠ ; ... 2 2 2
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San Marcos
Capítulo 14 Ejercicios resueltos 1. Sume el máximo y el mínimo valor de: L = 3 sen x – 2; x ∈ R. a) –2
a) –3
b) 2
c) 3
a) –4
b) 13
c) 6
a) 14
c) <0; 2>
a) <–1; 1>
Resolución En este caso como "x" ∈ IR: –1 ≤ sen x ≤ 1 ⇒ –3 ≤ 3 sen x ≤ 3 – 3 – 2 # 3 sen x – 2 # 3 – 2 1 44 2 44 3 L
⇒ –5 ≤ L ≤ 1 L =1 & ) max Lmin = –5 & Lmax + Lmin = –4
2. Sume el máximo y el mínimo valor de: C = 7 – 4 cos x; x ∈ R a) 11
a) 8
Resolución Como: x ∈ R: –1 ≤ cos x ≤ 1 ⇒ –4 ≤ –4 cos x ≤ 4 - 4 + 7 # –4 cos x + 7 # 4 + 7 " 3 # C # 11 Cmáx=11 1 44 2 44 3 C Cmín=3 ⇒ Cmax + Cmin = 14 3. Sabiendo que, q ∈ IIC; señale la variación de: L = 3 sen q – 1 a) <0; 3>
a) <–1; 3>
b) <–1; 2>
Resolución Como: q IIC & 0 < sen q < 1
y
0
0 < 3 sen q < 3
1
& 0 – 1 < 3 sen q – 1 < 3 – 1 1 44 2 44 3
x
L
–1 < L < 2 B'
` L ! < –1; 2 >
66
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Trigonometría
Práctica 1. Determine la variación de A: A = 2 cos x – 3 ; x ∈ R 4 a) 8 1 ; 3 B 4 4
d) 8– 5 ; 0B 4
b) 8– 1 ; 1B 4
e) 8– 1 ; 0B 4
c) 8– 5 ; – 1 B 4 4
10. Hallar la suma del máximo y mínimo valor de: M=3+2 sen q. Si: θ ! 8 π ; 5π B 6 6
2. Determine la variación de: 2 B = 8 sen x + 1; x ∈ R a) [0; 9]
b) [1; 9]
d) [–1; 4]
e) [0; 4]
a) 4 d) 10
c) [–1; 8]
b) 13
d) –13
e) –27
b) <–1; 2>
d) <–1; 1>
e) 6–4; 2@
c) 27
b) <–1; 3>
d) <0; 3>
e) <–2; 2>
c) <0; 3>
e) –12
d) 8 9 ; 5B 2
c) <–1; 1>
c) 8
e) 8
8. Determine el intervalo de "k", si se cumple la siguiente igualdad: 2 cos x –1 = k + 2 – k–1 3 2 3 a) [–14; –6] d) [4; 12]
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b) [–13; –5] e) [5; 13]
b) 8 5 ; 5B 2 e) 6 4; 5@
c) 8 7 ; 5B 2
13. Si: x ! ≠ ; 5≠ . Señale la variación de: 8 24 4 L= 2 sen (2x – ≠ ) + 1 4 a) <1; 2>
b) <1; 4>
d) <3; 6>
e) <4; 8>
c) <2; 4>
14. Determine la variación de: J = 3 + 2 sen b Si: b ∈ <20º; 180º>
7. Determine el máximo valor de: 2 M = 3 + 2 sen a – cos b – sen q; (a ≠ b ≠ q) a) 2 b) 3 c) 4 d) 6
e) <3; 7]
a) 8 3 ; 5B 2
Siendo a, b y q independientes entre sí. d) –8
d) <–2; 4>
c) <2; 7>
2
f (α, β, θ) = 2 sen2 α – 3 cos β + sen θ b) 4
b) [3; 7>
F(x) = 2 sen (45º+x) + 3
6. Calcular el producto del máximo y mínimo valor de:
a) 0
a) [3; 7]
12. x ∈ [15º; 45º], indicar el rango de:
5. Sabiendo que b ∈ IIIC; determine la variación de: L = 2 cos b + 1 a) [–1; 3]
c) 9
P = 4 cos x + 5
4. Sabiendo que a ∈ IIC. ¿Cuál es la variación de: L = 3 sen a – 1 ? a) <0; 2>
b) 5 e) 13
11. Si: x ! ≠ ; 2≠ . Señale la variación de: 3 3
3. Determine la suma de valores enteros que toma: E = 4 cos a – 3; a ∈ R a) 26
9. Indicar el intervalo de "m" si: q ∈ IVC y además: sen q = 2m – 3 5 a) <–1; 2> b) <–1; 3> c) –1; 3 2 d) [–1,2] e) [–1, 3]
a) <1; 5]
b) <2; 5]
d) <4; 5]
e) <0; 5]
c) <3; 5]
15. Determine la variación de: K = 5 + 3 sen ` 2α − 40 j ; a ∈ <200°; 380°] 4 a) <1; 5] b) [3; 7> c) <5; 8] d) [5; 8>
e) <–5; 5>
c) [–12; –4]
67
San Marcos
Capítulo 14
Tarea domiciliaria 1. ¿En qué cuadrante en "seno" es positivo y es creciente? a) IC
b) IIC
d) IVC
e) Ninguno
c) IIIC
10. Calcular el máximo valor de: 2 E = 3 sen x – cos y; x ≠ y
2. ¿En qué cuadrante el "coseno" es negativo y es decreciente? a) IC
b) IIC
d) IVC
e) Ninguno
c) IIIC
b) IIC
d) IVC
e) Ninguno
b) I y III
d) II y III
e) II y IV
c) IIIC
b) [–12; 2]
d) [–2; 12]
e) [–6; 8]
b) [–6; 8]
d) [–2; 8]
e) [4; 10]
c) I y IV
b) [1; 4]
d) <–1; 4]
e) [–5; 3]
c) [2; 12]
b) <–1; 3>
d) <0; 3>
e) <–2; 2>
d) 80 ; 1 B 2
b) 8– 1 ; 1B 2
e) 8–1 ; – 1 B 2
e) 4
a) <1; 3]
b) <1; 3>
c) < 1; 2 3 + 1 >
d) <2; 3>
13. Si: x ∈ <60º; 210º>. Señale la extensión de:
c) [–4; 10]
a) <–7; 5]
b) [–7; 5>
d) <–6; 5]
e) [–6; 5>
c) <–7; 5>
14. Si: π < θ < 5π . Determine la extensión de: 6 6 E=2senq – 3. Dar como respuesta el mayor valor de "E". a) – 1 2 d) 0
c) [–2; 4]
b) –2
c) –1
e) 1
15. Determine la extensión de: A = cos q – 3 cos q – 2 c) <–1; 1>
a) 8 2 ; 4 B 3 d) < 4 ; 2 > 3
9. Indicar la extensión de "k", si se cumple: sen q = 4k – 1 3 a) 8 1 ; 1B 2
d) 3
c) 2
H = 8 cos x + 1
8. Si: x ∈ IIIC. Señale la variación de: E = 2 cos x + 1 a) [–1; 3]
b) 1
e) [–1; 3]
7. Si: q ∈ IIC, señale la variación de: E = 3 sen q + 1 a) <1; 4>
a) 0
de: A = 4 sen a – 1.
6. Señale la variación de: A = 7 – 3 cos q; q ∈ R a) [4; 7]
e) 1
12. Sabiendo que: a ∈ <30º; 120º>; señale la variación
5. Señale la variación de: A = 7 sen a – 5; a ∈ R a) [–7; 12]
d) 4
c) –4
de los valores enteros que toma "n"?
4. ¿En qué cuadrante(s) el "seno" y "coseno" tienen el mismo signo? a) I y II
b) 2
11. Si: q ∈ R y además: sen q = 2n–1 . ¿Cuál es la suma 7
3. ¿En qué cuadrante el "seno" y "coseno" decrecen simultáneamente? a) IC
a) 3
b) < 2 ; 4 > 3 e) 8 3 ; 2B 4
c) 8 4 ; 2B 3
c) 8–1; 1 B 2
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Trigonometría
Identidades trigonométricas de una variable
15 Definición
Son aquellas igualdades entre las razones trigonométricas de una variable; las cuales se verifican para todo valor de la variable en que la razón trigonométrica que interviene se encuentra definida. Clasificación III. I.T. recíprocas: sen x csc x = 1 & csc x =
1 ; 6 x ! R – "n≠ ; n ! Z, sen x
cos x sec x = 1 & sec x =
1 ; 6 x ! R – (2n + 1) ≠ ; n ! Z $ . cos x 2
tan x cot x = 1 & cot x =
1 ; 6 x ! R – n≠ ; n ! Z $ 2 . tan x
IV. I.T. por división tan x = sen x ; 6 x ! R – $(2n + 1) ≠ ; n ! Z. cos x 2
cot x = cos x ; 6 x ! R – "n≠ ; n ! Z, sen x
V. I.T. Pirágoras: 2 2 sen2 x + cos2 x = 1 ; 6 x ! R )sen x = 1 – cos x 2 cos x = 1 – sen2 x 2 2 sec2 x– tan2 x = 1; 6 x ! R – $(2n + 1) ≠ ; n ! Z.)sec x = tan x + 1 2 tan2 x = sec2 x – 1 2 2 csc2 x – cot2 x = 1 ; 6 x ! R – )csc x = cot x + 1 cot2 x = csc2 x – 1
Observación: Identidades auxiliares Son expresiones cuyas reducciones y/o simplificaciones debido al uso frecuente se hacen conocidas lo cual nos permite operar directa o indirectamente con mayor facilidad la resolución a ciertos ejercicios. 1. sen 4 x + cos 4 x = 1 – 2 sen2 x . cos2 x
2. sen6 x + cos6 x = 1 – 3 sen2 x . cos2 x
3. tan x + cot x = sec x . csc x
4. sec2 x + csc2 x = sec2 x . csc2 x
5. (1 ! sen x ! cos x) 2 = 2 (1 ! sen x) (1 ! cos x)
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69
San Marcos
Capítulo 15 Ejercicios Resueltos: 1. Si: tan x + sen x = 2 (1+cos x); x ∈ IIIC. Calcular: C = sec x . csc x a) 3 2
b) 5 2
c) 7 2
d) – 7 2
e) – 5 2
Resolución Pasando a senos y cosenos sen x + sen x = 2 (1 + cos x) cos x
5
sen x + sen x . cos x = 2 (1 + cos x) cos x
x
factorizando "sen x": Reduciendo:
2
*csc x = –
sec x = – 5 5 2
1 Luego, en la expresión pedida:
sen x (1 + cos x) = 2 (1 + cos x) cos x
C = sec x . csc x = (– 5 ) (– 5 ) & ` C = 5 2 2
sen x = 2 & tan x = 2 (x ! IIIC) cos x
Rpta: b
2. Sabiendo que: sec x . csc x = cot x + 1; 0º < x < 360º. Hallar "x". a) 45º
b) 135º
c) 225º
d) a y b
e) a y c
d) 15
e) 18
Resolución Como: sec x . csc x = tan x + cot x, tenemos: tan x + cot x = cot x + 1 ⇒ tan x = 1 ⇒ x ∈ IC ó IIIC x = 45º y 135º
& ` Rpta: a y b
3. Si: tan x + cot x = 3, calcular: 2
J = (sec x + csc x) a) 6
b) 9
c) 12
Resolución Note que el dato:
Luego:
tan x + cot x = 3 & sec x . csc x = 3 1 44 2 44 3
J = sec2 x + csc2 x + 2 sec x . csc x
sec x . csc x
Desarrollando la expresión pedida: J = (sec x + csc x) 2
J = sec2 x . csc2 x + 2 sec x . csc x ordenando: J = (sec x . csc x) 2 + 2 sec x . csc x
J = sec2 x + 2 sec x . csc x + csc2 x
Reemplazando valores:
Pero recuerde que:
J = 32 + 2 (3) = 9 + 6 & ` J = 15
70
Rpta: d
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Trigonometría Lenguaje
Práctica 1. Reducir: E = Tan x (1 + Cos x) – Sen x a) tan x d) csc x
b) cot x e) 1
9. Si: sen x + cos x = m . Hallar: E = (1+Senx)(1+Cos x)
c) sec x
a) 1 + m 2
2. Reducir: M = (Sec x – Cos x) Cot x a) 1 d) cot x
b) sen x e) tan x
c) cos x
d)
A = 3 cos x + 4 sen x L = 3 sen x – 4 cos x I = 5 . tan x Calcular: E = A2 + L2 + I2 2
a) 5 . sec x 2 c) 5 . tan x e) 5 . sec x
b) 2 tan x 2 d) 5 . csc x
P = (sen x + csc x) 2 + (cos x + sec x) 2 – (tan x – cot x) 2 b) 5 e) 11
b) 1 e) 2
c) –1
2
e) 2 5
4 2 Calcular: K = sec x − sec x csc4 x − csc2 x a) 1 b) 2
c) 3
e) 3 3
c) 2secx
b) 5/2 e) -5/2
c) 7/2
tan x + sec x + 1 = A . Halle: E = Asenx − B cos x cot x + csc x + 1 B senx − cos x a) A+B d) A2-B2
4
b) 31 32 e) 31 64
5
c) 3
14. Sean A y B tales que: A≠0, B≠0 y A≠B. Si:
2
c) cos x
Calcular: M = sen x + cos x a) 30 19 d) 31 16
d)
a) 3/2 d) -7/2
5. 4 4
b) 5
13. Si: tanx+senx=2(1+cosx); x ∈ IIIC
6. Reducir: A = (secx . cscx – tanx) (tanx + cotx) b) sen x 2 e) csc x
3
12. Reducir: L = (secx+tanx-1)(secx-tanx+1) a) tanx b) secx d) 2tanx e) 2
sec x– tan x + sec x + tan x = n + nn cot–2 x sec x + tan x sec x– tan x
7. Si: sen x + cos x =
e) m 2
a)
d) 2 2
c) 7
5. Hallar el valor de "n".
a) 1 2 d) sec x
(1 + m ) 2 2
5 5 11. Si: senx cos x − sen x cos x = 1 tan x 2 cos2x − sen2x
4. Reducir:
a) –2 d) 4
c)
10. Si: tan x + cot x = 3. Calcular: L = sec x + csc x sec x – csc x
3. Si :
a) 3 d) 9
(1–m) 2 2
b) 1–m 2
b) A2+B2 e) A-B
c) B - A
15. Si la igualdad es una identidad, calcular: M+N csc x − ctgx csc x + ctgx + = M + 4 ctgN x csc x + ctgx csc x − ctgx
c) 19 30
a) 1 d) 4
8. Simplificar:
b) 2 e) 5
c) 3
sen 4 + cos 4 x – sen6 x + cos6 x 2 3 a) 1 2
b) 1 3
d) 1 12
e)
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c) 1 6
1 24
71
San Marcos
Capítulo 15
Tarea domiciliaria 4
2
4
2
1. Reducir: B = sen x csc x + cos x sec x a) 1
b) sen x 2
d) sen x
c) cos x
10. Reducir: 2 2 2 C = (secx+cosx) + (cscx+senx) –(tanx–cotx) a) 5 d) 8
e) 0
b) 6 e) 9
c) 7
2
2. Simplificar: C = sen x cot x cos x (tan x + 1) a) 1
b) sen x
d) cos x
e) 2 4
c) tan x
11. Reducir: S = 1 (sen6 x + cos6 x) – 1 (sen2 x– cos2 x) 2 4 3
6
3. Reducir: L = sen x – sen x cos 4 x – cos6 x 2
a) 1
b) tan x 4
d) tan x
2
c) cot x
4
b) tan x 2
d) tan x
c) cot x
2
c) csc x
e) sen x
b) 0,75 e) 1,5
b) 2
d) 0,4
e) 0,1
b) 2
c) 1 4
d) –1
e) 1
c) 1
b) sen x
d) csc x
e) sec x
4
4
b) 2n–1 e) 2n
c) n+1
15. Simplificar: E=
c) 0,5
a) cos x
4
a) 2n+1 d) n–1
(sec2 x + csc2 x) cos x tan x + ctg x
a) sen x d) csc x
b) cos x e) tan x
c) sec x 6
6
16. Si: tan x + ctg x = 3. Calcular: E = sen x + cos x
cos x + cos x = 2 1 + sen x 1 – sen x M c) sen x cos x
a) 1 2
b) 2 3
d) 4 5
e) 5 6 2
2
c) 3 4
4
4
17. Si: sec x + csc x = 5. Calcular: E = sen x + cos x
9. Reducir: 2 2 P = tan x – sen x cot2 x – cos2 x 6
a) tan x
b) tan x
d) tan x
e) 0
3
a) 1 2
(tan x + ctg x) 2 sec2 x + csc2 x
2
8. Determinar "M", en la siguiente identidad:
4
c) 1
14. Si: sen x+cos x=n. Hallar: K=sen x + cos x
7. Si: sec x – tan x = 2,5. Calcular: sec x + tan x a) 2,5
(1 + sen a + cos a) 2 (sen a + tan a) (cos a + ctg a) b) 3 e) 0,25
E=
b) sec x
c) 1 3
13. Calcular:
e) cot x
6. Si: csc x + cot x = 2. Calcular: cot x a) 0,5 d) 1,25
e) 2
a) 2 d) 0,5
sec x – cos x csc x – sen x
a) cot x 2 d) tan x
d) 3 5
P=
5. Reducir: A=3
b)
12. Efectuar:
e) cot x
4. Simplificar: C = sen x tan x + cos x cos x cot x + sen x a) 1
1 12
a) 1
8
c) tan x
72
a) 1 5
b) 2 5
d) 2 3
e) 1 3
c) 3 5
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Trigonometría
16
Repaso 5. En el gráfico, hallar tg q + tg a y
1. Determinar "x"
(2;5)
q m
(–5;3)
a
a x
q
a) m sen α . tan θ
b) m sen α . cot θ
c) m cos α . sec θ
d) m cos α . tan θ
a) 1,1 d) 2,8
C
B
a) L (1 – sen q)
b) L (1 – cos q)
c) L (1 – tan q)
d) L (1 – cot q)
d) –1
e) –2
c) 0
a) 1/2 cos a
y
a
b) 1/2 sen a c) 1/4 sen a
O
d) 1/4 cos a
a) (+)(+)(+)(+)
b) (+)(+)(–)(–)
c) (+)(–)(+)(–)
d) (+)(–)(–)(–)
8. Si "q" es un ángulo canónico del tercer cuadrante el
3. De la C.T. mostrada, hallar el área de la región sombreada.
cual cumple: (tan q) 2 cot q = 8 27 Calcule: E = 3 cos q + sen q 5 13
a) 0
b)
d) – 7
e) – 13
c) – 12 5
x 9. Calcular:
e) sen a
C = (3 sen 90c – 2 cos 180c) 2 + (sen 270c – cos 360c) 2
4. En la gráfica se muestra una C.T. Hallar la medida de PB, si: A'P= 5 P a) 1 B
b) 2 A
d) 4
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b) 2
e) (–)(+)(+)(+)
e) L (tan q – cot q)
e) 5
a) 1
7. Determine el signo de "E" en los cuatro cuadrantes: E = csc x (1 – cos x)
E
c) 3
c) 1,9
6. Calcular: E = sec 1860º + tg (–135º) – sen 990º
2. Hallar BE, si "L" es el lado del cuadrado ABCD. A D
q
b) 1,2 e) 3,4
2
e) m sen α . csc θ
F
x
C.T.
x z
73
a) 26
b) 27
d) 29
e) 25
c) 28
10. Reducir: sec (180c + θ) sen (270c + φ) C= + csc (90c + θ) cos (360c – φ) a) –2
b) 2
d) 1
e) –1
c) 0
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Capítulo 16 11. Simplificar: 2 L = tg x (1 + cos x) – sen x . csc x a) tanx d) 2cosx
b) 2tanx e) senx
sen 4 x - sen6x 14. Reducir: L = 4 6 cos x - cos x
c) cosx
12. Reducir: C=senx(1+senx-cosx)+cosx(1+cosx+senx) – 1 a) senx b) cosx c) 2senx.cosx d) senx+cosx e) senx- cosx
2
a) 1 4 d) tg x
2
b) tg x 4 e) ctg x
c) ctg x
15. Reducir: 2
2
b) 5 e) 15
c) 12
C = (3 sen x + 2 cos x) + (2 sen x – 3 cos x)
a) 7 d) 13
13. Reducir: L=senx(cscx+senx)+cosx(secx+cosx)+1 a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
c) 3
Tarea domiciliaria 1. Siendo "a", "b" y "q" las medidas de tres ángulos agudos que verifican el siguiente sistema de ecuaciones:
5. Del gráfico mostrado, determine "x".
cos (a+b) = sen 20º cos (b–q) = sen 40º cot (a–q) = tan 80º Luego, uno de ellos será:
m q
a) 75º
b) 65º
d) 45º
e) 25º
c) 55º
x
2. Hallar la medida del ángulo agudo "x", en: cos3x . tan2x . sen4x . cot2x . sec3x . csc(60º – x) = 1 a) 8º
b) 10º
d) 15º
e) 16º
c) 12º
a) m sen q
b) m cos q
d) m csc q
e) m sen q cos q
6. Calcular "x" en la figura mostrada, en función de "a", "b" y "m". bc x
3. Calcular: (4 . cos 36c + 9 . sen 54c) . sec 36c H= cot 18c . cot 72c a) 5
b)
5
d) 13
e)
13
ac
c) 1
m
4. Del gráfico mostrado, determine "w".
w
c) m sec q
a) mcotasecb
b) mcotacosb
c) mtanasecb
d) mtanacosb
e) mtanasenb 7. En qué cuadrantes el seno crece, a medida que el ángulo crece.
m+1
a) I y IIC c) I y IVC e) III y IVC
a a) m sen a + 1
b) (m + 1) sen a
c) m cos a + 1
d) (m + 1) cos a
b) II y IIIC d) II y IVC
8. En qué cuadrante(s) el seno decrece y el coseno crece. a) IC d) IVC
e) m tan a
74
b) IIC e) IIC y IIIC
c) IIIC
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Trigonometría 13. Calcular:
9. Hallar el mínimo valor de: E = 6 cos q + 13 sen q + 20 a) 2 b) 4 d) 8 e) 10
Q=
c) 6
10. Si: sen f= 5x - 18 ; Indicar la variación de “x”. 3 a) ;3, 21 E 5 d)
3, 21 E 5
b) ;3, 21 E 5
c)
3, 21 5
q
e) –2
Central 6198-100
c) 4a
c) 2 6 3
e) – 2 3
C E
c) –3
E = 5 sen q + tan q d) 2
b) – 6 3
q
12. Si el lado final de un ángulo positivo en posición normal "q" pasa por el punto (–1;2), hallar el valor de: b) 0
6 3
15. Del gráfico, calcular: "cot q" B
x
a) 4
e) b
d) – 2 6 3
17
e) –5
d) 4b
a)
(1–x;2x)
d) –4
b) 4
C = sen 135c . sen 240c . tan 150c cos 210c . cos 300c
11. De la figura, calcular: "tan q" y
b) –2
a) 4ab
14. Calcular:
e) 60, 21 E 5
a) 1
(a + b) 2 sen 90c – (a–b) 2 cos2 180c a sen 4 90c + b cos3 270c
c) –4
75
A a) 1 2 d) –4
37° b) 4
D c) – 1 2
e) 1 4
San Marcos
Capítulo 17
Identidades trigonométricas de la 17 suma y resta de ángulos Fórmulas básicas: A) Suma: sen (A + B) = sen A .cos B + sen B . cos A cos (A + B) = cos A . cos B – sen A . sen B tan (A + B) =
tan A + tan B 1 – tan A . tan B
B) Resta: sen (A – B) = sen A . cos B – sen B . cos A cos (A – B) = cos A .cos B + sen A . sen B tan (A – B) =
tan A – tan B 1 + tan A . tan B
Propiedades I. tan A + tan B + tan (A+B) tan A tan B = tan (A+B) tan A – tan B – tan (A–B) tan A tan B = tan (A–B) II. Calculo del máximo y mínimo valor de la expresión de la forma Sea: E = A sen x + B cos x & Emax =
A2 + B2 ; Emin = – A2 + B2
III. Si: A + B + C = 180º ó np; n ∈ Z tan A + tan B + tan C = tan A . tan B . tan C cot A . cot B + cot B . cot C + cot A . cot C = 1 IV. Si: A + B + C = 90º ó (2n+1) ≠ ; n ∈ Z 2 cot A + cot B + cot C = cot A . cot B . cot C tan A . tan B + tan B . tan C + tan A . tan C = 1
Ejercicios Resueltos: 1. Reducir: L=
sen (a + x) –sena . cos x cos (a + x) + sen a . sen x
a) tan x
b) –tan x
c) cot x
76
d) –cot x
e) 1
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Trigonometría
Resolución L=
sen (a + x) –sena . cos x cos (a + x) + sen a . sen x
L = sen a . cos x + sen x . cos a – sen a . cos x cos a. cos x – sen a . sen x + sen a . sen x Reduciendo: L = sen x . cos a = sen x & ` L = tan x cos a . cos x cos x
Rpta: a
2. Señale la variación de: L = 2 2 sen (x + 45c) + sen x + 2 cos x + 1 a) 6–1; 3@
b) 6–2; 4 @
c) 6–4; 5@
d) 6–4; 6@
e) 6–5; 5@
Resolución En este caso, primero, desarrollaremos la expresión: L = 2 2 sen (x + 45c) + sen x + 2 cos x + 1 L = 2 2 (sen x . cos 45c + sen 45c . cos x) + sen x + 2 cos x + 1 L = 2 2 (sen x . 1 + 1 . cos x) + sen x + 2 cos x + 1 ⇒ L = 3 sen x + 4 cos x + 1 2 2 Reduciendo; pero, note que: L 5 1 6 3 sen x + 4 cos x 'max = 5 & max = + = min = –5 Lmin = –5 + 1 = –4
` L ! 6–4; 6@
Rpta: d
3. Reducir: L = tan 34c + tan 26c + 3 tan 34c . tan 26c tan 33c + tan 12c + tan 33c . tan 12c a) 1
b)
3
c)
3 3
d) 2
e) 2 3
Resolución En el numerador: N = tan 34c + tan 26c + 3 tan 34c. tan 26c N = tan 34c + tan 26c + tan 34c. tan 26c . tan 60c N = tan 60c = 3 En el denominador: D = tan 33º + tan 12º + 1 . tan 33º . tan 12 D = tan 33 + tan 12º + tan 33º . tan 12º . tan 45º = tan 45º D=1 En la expresión: L = tan 34c + tan 26c + 3 tan 34c . tan 26c tan 33c + tan 12c + tan 33c . tan 12c L=
3 & ` L= 3 1
Central 6198-100
Rpta: b
77
San Marcos
Capítulo 17
Práctica 1. Simplificar: sen (45c + x) E= sen x + cos x
8. Calcular el máximo valor de: E = 5 (sen x + cos x) + 3 (sen x – cos x)
a) 1
b)
d) – 2
e) – 2 2
2
c)
a)
2 2
3
d) 2 2
b) 5 e) 4
c)
15
9. En un triángulo ABC, se sabe que: tan A = 1 ∧ tan B = 2. Calcular: "tan C"
2. En el gráfico, hallar: tan q. q
a) –1
b) –2
d) 3
e) – 1 3
c) –3
10. En un triángulo ABC, reducir: 37º a) 1
5 b) 1/2
d) 2/3
e) 3/2
3 c) 1/3
3. Siendo: x+y=30° ∧ x – y = 37°. Calcular: M = (sen x + cos x)(sen y + cos y) a) 1,1
b) 1,2
d) 1,4
e) 1,5
c) 1,3
4. Calcular: Q = tan 56c – tan 34c tan 22c a) 1
b) 2
d) 1/4
e) 1/2
6 tan (A + B + 2C) + tan (A + 2B + C) + tan (2A + B + C@ . . cot B. cot C
d) 8
e) 12
d) –ctg A
e) –tan A
c) 4
a) 5/6
b) 6/5
d) -1
e) 1
a) 1
b) 2
d) 1/2
e) 1/3
c) 6
a) 5/6
b) 6/5
d) -1
e) 1
a) 1 2
b) 2 3
d) 3 3 14
d) 4 5
e) 5 6
c) 3 4
3 28
b) 5 3 28
c) 3 3 28
e) 5 3 14
15. En un triángulo ABC, tan A + tanB = n tan C Hallar: K = tanA . tan B
7. Calcular: E = ( 3 + tan 10c) ( 3 + tan 20c)
e) 6
c) 1/3
3 ; x+y=60º. Calcular: 4 M=(1+tanx tany)tan (x-y)
a)
d) 5
c) 3
14. Siendo: tan y =
E = 4 tan 19c + 4 tan 18c + 3 tan 19c . tan 18c 3 tan 26c + 3 tan 27c + 4 tan 26c . tan 27c
b) 3
c) 1/3
13. Si: tan (y+x)=1/2; tan (z-x)=1/3. Calcular: tan (y+z)
6. Calcular:
a) 2
c) tan A
11. Si: tan(x+y)=1/2; tan(z-x)=1/3. Calcular: tan(y+z)
sen (x + y) sen (y + z) sen (z + x) Calcular: A = + + cos x cos y cos y cos z cos z . cos x b) 4
b) –1
12. Si: sen(x+y)=3 sen(x-y). Calcular: M=tan x cot y
5. Siendo: Tan x + Tan y + Tan z = 4
a) 3
a) 1
c) 4
78
a) n-1
b) 3n+1
d) n+1
e) 2n+1
c) 2n-1
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Trigonometría
Tarea domiciliaria 1. Simplificar : sen (60 + x) + sen (60–x) L= cos x a)
3
b) 1
d)
3 tan x
e)
8. Simplificar : E = (1 + tan 27°) (1 + tan18°) a) 1 b) 2 d) 2 tan 28° e) 2 tan 17°
c) tan x
9. Reducir : L = (1 + tan 40º) (1 + tan 5º)
3 3
2. Reducir : sen (a + x) – sen a cos x L= cos (a + x) + sen a sen x a) tan x d) ctg a
b) tan a e) 1
c) cot x
b) 18 65
d) 28 65
e) 33 65
d)
3
e)
b)
d) 2
e) 2 3
e) 4 3 + 5 10
Central 6198-100
b) 1 4 e) 3 4
3 3
b)
3
c)
5
d)
7
e)
11
12. Calcular el máximo valor de:
3
b)
5
c)
15
e) 4
13. Señale la extensión de: E = 5 sen x – 12 cos x + 1 a) 6–12; 13@
d) 6–11; 13@
b) 6–14; 14 @ e) 6–13; 13@
c) 6–12; 14 @
14. Determine el máximo valor de: E = 2 sen (x + 30º) + cos x c) 4 3 + 2 10
3
d) 3
b)
5
e)
10
c)
7
15. En un triángulo ABC, se cumple: 3 tan A – tan B = tan C. Calcular: M = tan B . tan C
7. Siendo: a + b = 45º y tan a = 3 . 5 Calcular : tan b a) 1 3 d) 2 5
c)
3 sen x
2
a)
d) 4 3 + 3 10
3
a)
d) 2 2
6. Calcular el valor de cos 7º b) 3 3 + 2 10
1 2
a) 1
a)
3 3
a) 3 3 –2 10
1 4
E = 5 (senx + cos x) + 3 (sen x – cos x)
c) 24 65
c) 1 2
b) 2
e)
E = 3 cos (60º + x) +
5. Siendo x + y = 60, simplificar : sen x cos y + cos x sen y R= cos x cos y – sen x sen y a) 1
d) 4
c)
11. Determinar el máximo valor de:
c) ab
4. Siendo a y b ángulos agudos; además sen a = 12 y 13 cos b = 4 , hallar: sen (a – b) 5 a) 12 65
b) 2
L = tan 34c + tan 26c + 3 tan 24c tan 26c tan 33c + tan 12c + tan 33c tan 12c
sen a . cos b = a cos a . sen b = b Hallar: sen (a + b) b) a – b e) ab + 2
a) 1
10. Reducir :
3. Sabiendo que :
a) a + b d) ab + 1
c) 3
c) 2 7
79
a) 3
b) 2
d) 1/4
e) 1/3
c) 4
San Marcos
Capítulo 18
18
Repaso 9. Señale el equivalente de: C = sen q . cos q . cos 2q . cos 4q
1. Reducir: 2
M = e 1–sen x + 1o tan2 x 1– cos2 x 2
a) 1
b) csc x
d) secx . tanx
e) cscx . cotx
2
c) sec x
b) tan2x e) cot2x
c) tan4x
b) 2 3
d) – 3 2
e) 3 2
(sen x + cos x) 2 − (sen x − cos x) 2 (sen x + cos x) 2 + (sen x − cos x) 2 b) sen 2x e) csc 2x
sen3 x + cos3 x = 7 senx + cos x 8 Calcular: M = tan x + cot x a) 16 b) 14 d) 4 e) 8
c) – 2 3
4. Si: tan(y+x)=1/2; tan(z–x)=1/3. Calcular: tan(y+z) b) 6 /5 e) 1
c) 1/3
5. Reducir: C = tan 10c + tan 12c + tan 10c . tan 12c. tan 22c tan 15c + tan 7c + tan 15c. tan 7c. tan 22c b) 2 e) 2 tan 22º
c) tan 15º
6. Reducir: C = sen 50º – 2 sen 10º cos 40º a) tan 40º d) cot 45º
c) 1 sen 4q 4
c) cos 2x
11. Siendo: 4
a) 1 3
a) 1 2 d) tan 22º
e) 1 sen 8q 8
a) 2 d) sec 2x
C = sen x + cos x–1 sen6 x + cos6 x–1
a) 5/6 d) –1
d) 8 sen 8q
E=
3. Simplificar: 4
b) 4 sen 4q
10. Simplificar:
2. Reducir: 2 2 2 A = sec x . csc x – csc x 2 2 sec x . csc x – sec2 x a) tanx d) cot4x
a) sen 4q
b) tan 10º e) sen 30º
c) cot 10º
12. Simplifique: 1 M= − tan 5x tan 2x tan 5x − tan 2x tan 2x − tan 5x a) tan 7x d) cot 3x
b) tan 3x e) tan 4x
13. Simplificar: E = 8 sen a . cos a cos 2a cos 4a a) sen2a b) sen8a d) sen4a e) sen32a
c) cot 7x
c) sen16a
14. Siendo: senx = cos x ; calcular: L = 1 − cos 2x + sen2x 1 + cos 2x + sen2x 4 a) 2 d) 1/16
7. Calcular el máximo valor de: C = 2 sen x + 5 cos x + 3 y súmelo con el mínimo valor de: L = 7 sen x – 2 cos x + 2 a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) 9
c) 7
b) 4 e) 16
15. Si: tan(x+45º)=n Calcular: E=sec 2x - tan 2x a) 1/n b) 2n d) 2/n e) n
c) 1/4
c) 3/n
8. Calcule: E = (sen 2q . sec q) 2 + (sen 2q . csc q) 2 a) 2 d) 8
b) 4 e) 10
c) 6
80
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Trigonometría
Tarea domiciliaria 9. Del gráfico, calcular “cos q”
1. Reducir:
C
2 2 A = sen x– cos x – cos x sen x – cos x
a) 1
b) sen x
d) –sen x
e) 2 cos x
3
c) 0
D
3 3 2. Si: sen x – cos x = 8 . Calcular: sen x – cos x 7
A
M = sen2 x . cot x + cos2 x . tan x a) 1 7
b) 1 8
d) 2 7
e) 1 2
c) 1 4
a) 1/2
b) 1/3
d) 2/3
e) 5/4
c) 3/2
3 5
b)
2 3
d)
4 5
e)
6 7
c)
5 6
a) sen x
b) cos a
d) 2 cos a
e) 2 sen a . tan x
c) 2 sen a
d) 9 7
e) 4 3
d) 7
e) 9
c) 5
2
a) A+B 2
d) A –B
b) A +B 2
2
c) B–A
e) A–B
12. Si: sen x – cos x = m, Calcular: E = (1 + senx)(1 – cosx)
13 . Calcular: tan (a+b) 2 b) 5 9
b) 3
Halle: E = A sen x – B cos x sen x – cos x
5. Si "a" y "b" son ángulos agudos; tales que: csc a = 10
a) 7 9
a) 1
11. Sean A y B tales que A≠0, B≠0 y A≠B . Si: tan x + sec x + 1 = A cot x + csc x + 1 B
4. Reducir: sen (a + x) + sen (a–x) J= cos x
(1 + m ) 2 2 d) (1 + m) 2
a) m2 + n2 = 1 c) 9 5
b)
c) m2 + n2 = 3 e) 1+m
13. Si: tan x + cot x = 3 2 . Calcular: C = sec2 x + csc2 x
6. Sabiendo que: sen x = cos (x + ≠ ) , determine: M = tan x + cot x 3 a) 2 3
b) 2
d)
e) 4+2 3
c) 4
a) senx
b) 2senx
d) cosx
e) 2cosx
c) 0
b) sen 4x
d) 2 sen 4x
e) 4 sen 4x
b) 12
d) 18
e) 36
c) 16
a) cos x
b) cos 2x
d) cos 4x
e) cos 5x
c) cos 3x
15. Si: 5 sen (x–37c) = 2 cos (x + 45c) . Hallar: cot x
8. Reducir: C = 8 sen x . cos x . cos 2x . cos 4x a) sen 2x
a) 9
14. Simplificar: L=(sen 3x+cos 3x)(sen 2x+cos 2x)–sen 5x
7. Reducir: J =sen 2x . sec x – tan x . cos x
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a)
P = (sen x + 2 cos x) 2 + (2 sen x + cos x) 2
4 4 E = sen x + cos x + 1 6 sen x + cos6 + 2
3
B
10. ¿Cuál es el máximo valor de:
3. Simplificar:
y csc b =
2
q q
c) sen 8x
81
a) sen 37º
b) cos 37º
d) csc 37º
e) 1
c) sec 37º
San Marcos
Capítulo 19
Identidades trigonométricas del ángulo doble
19
Sabemos: sen (A + B) = sen A . cos B + cos A . sen B A ⇒ sen (A + A) = sen A . cos A + cos A . sen A ` sen 2A = 2 sen A . cos A Análogamente: 1 – 2 sen2A cos 2A = cos2 A – sen2 A 2 cos2A – 1 tan 2A = 2 tan A 1 – tan2 A Fórmulas de degradación
&
2 sen2 A = 1 – cos 2A
&
2 cos2 A = 1 + cos 2A
Ejercicios Resueltos: 1. Simplifique: 3
3
C = sen x . cos x – sen x . cos x
b) 1 sen 2x 2
a) sen 2x
c) sen 4x
d) 1 sen 4x 2
e) 1 sen 4x 4
Resolución En la expresión, factorizando: 2
4 C = 2 sen2x . cos 2x 1 444 2 444 3
2
sen 4x
C = sen x . cos x (cos x – sen x) ; 1 444 2 4 44 3 cos 2x
4 C = sen 4x
luego multiplique por 2 cada miembro
& ` C = 1 sen 4x 4
2 C = 2 senx . cos x . cos 2x 1 44 4 2 44 43
Rpta: e
sen 2x
Luego: 2C = sen 2x . cos 2x; y multiplicando por 2 a cada miembro tenemos:
82
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Trigonometría 2. Calcular un valor agudo de "x" que cumple: 1 sec x = sen x . cos 2x 8 a)
≠ 12
b) ≠ 6
c)
≠ 18
d)
≠ 24
e)
≠ 48
Resolución En la condición, multiplicando por 2 : 2 . 1 = 2 sen x . cos x . cos 2x 8 1 = sen 2x . cos 2x 4 Ahora multiplicamos por 2: 1 = sen 4x 2 4x = ≠ ; x = ≠ 6 24
Rpta: d
3. Si: tan a = 2 ; "a" es agudo, calcular "sen 2a". 3 a)
5 13
b) 12 13
c)
7 13
d)
6 13
e) 13 14
Resolución Del dato: tan a = 2 3
con ayuda del triángulo: sen 2a = 2 . 2 . 3 13 13
13
& ` sen 2a = 12 13
2
a
Rpta: b
3 Piden calcular: sen 2a = 2 sen a . cos a
Observación
1+tg2A
2 tg A 1 + tg2 A
Cos 2A =
1 − tg2 A 1 + tg2 A
2 tg A
2A 1–tg A 2
Central 6198-100
Sen 2A =
83
San Marcos
Capítulo 19
Práctica 1. Halle el equivalente de la expresión: 2
10. Del gráfico, determine CD.
2
B
E = sen x cot x + cos x tanx a) sen 2x
b) cos 2x
d) cot 2x
e) csc 2x
c) tan 2x
2. Simplificar : 2 E = sen 2x – 2 cos x sen 2x – 2 sen2 x
x
a) tan x
b) cot x
d) –cot x
e) tan x
2
c) –tan x
b) cos 2x
d) 2 cos 2x
e) cos 2x
2
b) 2
d) 1/2
e) 1/4
b) 2/9 e) 7/9
b) cot A
d) cot A
e) tan A
7. Si: tan x = – 2 5
3
d) -2/9
1 29 d) 4 29
D
2
c) tan A C
∧ x ∈ IVC.
2 29 e) 5 29 b)
O c)
3 29
b) 1/9
d) 2/5
e) 2/3
a) 1
b) 2
d) 1/2
e) 1/4
b) 3/5
d) 5/12
e) 1/6
c) 4
2
Q
B
P
c) 5/6 3
14. Siendo: cos x+cos 2x+cos 2x=1 2 3 Calcular: L = tanx+tan x+tan x
c) 2/9
9. Hallar el valor de "A" para que la igualdad sea una identidad: A cot 2x = cot x - tan x
q q
a) 2/3 2
8. Si: tan x + cot x = 3. Calcular: cos 4x a) 2/3
c) -3/5
e) 3/5
13. Del gráfico, calcular "cosq", si: CP=3 y DQ=5. A
Calcular: E = sen 2x + cos 2x a)
c) 2/9
e) -2/7
d) 1
c) 4/9
6. Simplificar : E = 1 + sen 2A – cos 2A 1 + sen 2A + cos 2A a) tan A
11. Si: sen2x= 2 . 3 4 4 Calcule: E = sen x + cos x a) 7/9 b) -7/9
12. Si: sen2x= 3 ; x ∈ <0; ≠ > 5 4 4 4 Calcular: cos x – sen x a) -1 b) 4/5
5. Calcular "sen 2x", si: sen x – cos x = 2 3 d) 5/9
e) a cos 2x 2
c) 2 sen 2x
c) 4
a) 1/9
b) a sen 2x 2 d) a cos 2x
c) 2a sen 2x
4. Hallar el valor de "A" para que la igualdad sea una identidad: A cot 2x = (csc x + sec x)(cos x – sen x) a) 1
D
a) a sen 2x
E=sen 2xcotx – senx (2 senx+csc x) + 1 a) sen 2x
x
A
3. Reducir la expresión:
2
C
a
a) 1
b) 2
d) 4
e) 5
c) 3
15. Halle "m" en la igualdad: sen (mx) sen 2x sen ( ≠ -x)sen ( ≠ +x)= 4 4 m
84
a) 2
b) 4
d) 6
e) 3
c) 8
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Trigonometría
Tarea domiciliaria 1. ¿A qué es igual:
2 9. Si: cos q = 1 . Calcular: cos 2q 5
P = 2 sen 15c . cos 15c + 2 sen 37c . cos 37c 2 2 a) 1,1
b) 1,2
d) 1,4
e) 1,5
c) 1,3
(senx + cos x) 2 – (senx– cos x) 2 2
a) senx
b) sen2x
d) 2senx
e) sen4x
d) 4 9
e) 5 9
e) 0,36
x
d) 2sec 2x
e) 2csc 2x
c) tan 2x
5
5. Reducir: J = sen x . cos x . cos 2x . cos 4x a) sen 4x
b) sen 4x 4
d) 8 sen 8x
e) sen 8x 8 2
x (cos 20c–sen 20c) –4x (1–2sen 20c) = 36 cos 140c b) –6
d) 12
e) 1
2
b) csc q
2
c) csc 2q
2
e) csc 8q
M = (1– 2 sen x) (1 + 2 sen x) – (1–2 cos2 x) a) 0
b) cosx
d) 2 cos 2x
e) 4 cos 2x
c) 58 21
a) 0,32
b) 0,42
d) –0,52
e) – 1
c) – 0,42
8 15
b) 3 4
c) 12 5
e) 20 21
14. Siendo: m = cos x . cos 4x . cos 8x n = sen x . cos 2x . cos 16x Hallar: sen 32x
2
8. Reducir:
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e) 58 23
d)
P = ; cos q – sen q E + tan2 45c 2 sen q cos q 2
d) 58 22
a) 2 5
c) –8
7. Reducir:
d) csc 4q
b) 58 20
13. Si: tan2 x + 3 tan x – 1 = 0 . Halle: tan 4x
2
a) –12
a) 58 19
12. Si: tan b = 5. Calcular: tan 2b (aproximadamente)
c) 4 sen 4x
6. Determinar "x".
a) csc q
2
a a b) cscx
2
c) 2
c) 2
a) secx
2
c) 0,33
11. Del gráfico, hallar: "x"
4. ¿A qué es igual: Q = tan x + ctg x
2
b) 1 2 e) 3 4
d) 2 3
2
b) 2 9
d) 0,35
a) 1
c) 2sen2x
3. Hallar: cos 2x. Si: sec x = 3 sen x a) 1 9
b) 0,32
10. Reducir: 1– cos 2b 1 + cos 2b P= + 2 sen2 b 2 cos2 b
2. Reducir: P=
a) 0,31
a) mn 32
b) 32mn
d) mn 16
e) mn
c) 16mn
15. Halle el valor de la expresión:
c) cos 2x
W = sen 20c + 3 cos 20c sen 40c . cos 40c
85
a) 2
b) 4
d) 1 2
e) 1 4
c) 1
San Marcos
Capítulo 20
Identidades trigonométricas del ángulo mitad
20
sen A = ! 2
1– cos A 2
cos A = ! 2
1 + cos A 2
tan A = ! 2
1– cos A 1 + cos A
cot A = ! 2
1 + cos A 1– cos A
tan A = csc A – cot A 2
cot A = csc A + cot A 2
El signo (±) que se ubica delante de las raíces dependerá del cuadrante donde se ubica ( A ) . 2
Ejercicios Resueltos: 1. Siendo: 270º < a < 360º; sen a = – 15 . Calcular: " tan a ". 4 2 a) +
3 5
b) –
2 3
c) –
3 2
d) –
3 5
e)
4 5
Resolución Como: 270º < a < 360º;
Ahora reemplazaremos en:
270c < a < 360c & 135c < a < 180c " IIC & tan a es (–) 2 2 Luego: tan a = – 2
1 – cos a 1 + cos a
tan a = – 2
tan a = – 2
Busquemos ahora "cos a" Como: sen a = – 15 ; a ! IV C 4
1– cos a = – 1 + cos a
1– 1 4 1+ 1 4
3 4 5 4
& ` tan a = – 2
3 5 Rpta: d
4
15
& cos a = 1 4
a 1
86
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Trigonometría φ 2. Siendo: sen f = m–n ; hallar " tan c π – m " m+n 4 2 a) !
n m
b)
2n m
c) –
2m n
d) –
3n 2m
e) !
m n
Resolución φ Piden: tan c π – m ; pero: tan x = ! 4 2
1– cos 2x 1 + cos 2x
φ Sea: x = π – & 2x = π – φ 4 2 2 φ Entonces: tan ( π – ) = ! 4 2
1– cos ( π – φ) 2 1 + cos ( π –φ) 2
Luego: cos ( π – φ) = sen φ 2
φ Reemplazando: tan ( π – ) = ! 4 2 φ tan ( π – ) = ! 4 2 φ tan ( π – ) = ! 4 2 φ ` tan ( π – ) = ! 4 2
1– m –n m+n =! 1 + m –n m+n
1–senφ 1 + senφ m + n– m + n m+n m + n + m –n m+n
2n 2m n m
Rpta: a
3. Siendo csc 2x + csc 2y + csc 2z = cot 2x + cot 2y + cot 2z Calcular: C =
tan x + tan y tan z
a) 1
b) 2
c) –1
d) –2
e) 0
Resolución De la condición: tan x + tan y Piden: C = tan z csc 2x + csc 2y + csc 2z = cot 2x + cot 2y + cot 2z csc 2x + csc 2y + csc 2z – cot 2x – cot 2y – cot 2z=0 Reemplazando: ordenando: tan x + tan y C= = – tan z ` C = –1 csc 2x – cot 2x + csc 2y – cot 2y + csc 2z – cot 2z =0 tan tan z z 1 444 2 444 3 1 444 2 444 3 1 444 2 444 3 tan x
tan y
tan z
Rpta: c
quedando: tan x + tan y + tan z = 0 ⇒ tan x + tan y = –tan z
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87
San Marcos
Capítulo 20
Práctica 1. Si: 270° < q < 360° y sec q = 8 . Calcule: sen q . 7 2 a) –1/3
b) –1/4
d) 1/4
e) 4/7
c) 1/3
2. Sabiendo que: cos q = 1 . Calcule: cos q ; siendo "q" 8 2 un ángulo agudo. a) 1/4
b) 1/2
d) 1/8
e) 3/8
6 7
d)
6 7
3 2
b) – e) – 1 2
6 7 2
4. Si: 180°< a < 270°, y 64 cos a – 9 = 0. Calcule: sen a . 2 a) d)
11 16 21 8
b) e)
11 8
c)
11 4
2
d) 2 2
3
e)
2 –1
c)
2 2
1– cos x – 1 ; 6 x ! < 0; ≠ > 1 + cos x csc x + cot x 2
a) 1
b) –1
d) –1/2
e) 0
b) 1
d) 3
e) 4
cot (45c– x ) – tan x 2 sec x– tan (45c– x ) 2
a) sen x
b) cos x
d) cot x
e) sec x
c) tan x
a) 2
b) 1/2
d) 1/3
e) 5
c) 3
c) –1
e) − 3 3
13. Reduzca: csc x − 1 (tan x ) 2 2 1 (tan x ) + cot x 2 2 a) cscx b) tanx d) 2
c) secx
e) 1
14. Simplifique la expresión: E = tan x + (1 - cosx) cotx 2 a) 1 b) senx d) cosx
c) tanx
e) –1
15. Calcule: N = tan 37º30'
c) 1/2
csc x– 1 tan x 2 2 7. Simplifique: W = 1 tan x cot x + 2 2 a) 1/2
c) 2 sec x
M=
6. Reducir la expresión: R=
e) 2 tan 2x
d) – 3
21 16
b)
d) 2 csc x
12. Calcule: Q = csc 40° − cot 40° cot 70° b) 1 a) 3
5. Calcule el valor de: E = 2 2 + 2 sen 22c30' a)
b) 2 cot x
11. Halle: Q=tan 18º30'
3 2
c)
a) 2 tan x
10. Simplifique : P =
c) 3/4
3. Si: cos a = –0,2; α ! < π; 3π > . Halle: tan a . 2 2 a) –
9. Simplifique: E = tan ( ≠ + x ) + cot ( ≠ + x ) 4 2 4 2
a)
6 + 3 + 2 +2
b)
6 − 3 + 2 −2
c)
6 + 3 − 2 +2
d)
6 − 3 − 2 −2
e)
6 + 3 − 2 −2
c) 2
8. Halle el equivalente de: E = csc x + csc x + csc x + csc x + cot x 8 4 2 a) cot x 16
b) cot x 8
d) cot x 2
e) cot x
c) cot x 4
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Trigonometría
Tarea domiciliaria 8. Si: senq = a–b . Hallar: tan (45c + q ) . a+b 2
1. Si: csc b = – 6 ; 180c < b < 270c 11 Calcular: sen
a)
11 12
d)
7 8
b 2
a) ± ab
b)
10 11
e)
6 7
d) !
5 6
c)
1 7
b) – 1 7
d) – 2 7 3. Si: tan q = a) – d) –
c)
2 7
1 6
e)
1 4
1 5
c) –
1, 2
1 5
d) – 1, 4
b) – 1, 2
c)
1, 4
e) – 1, 6
0, 3
d) – 0, 6
b) – 0, 3
c)
0, 6
e) – 0, 2
0, 6
d) – 0, 8
b) – 0, 6
d) csc 40º
e) cot 160º
c)
c) cot 40º
a) tan x 2
b) cot x 2
d) 2 cot x 2
e) tan x
c) 2 tan x 2
a) tan 10º
b) sen 10º
d) –tan10º
e) –ctg 10º
c) cot 10º
cot x – csc x 4 2 x cot 2
a) 1
b) –1
c) 0
d) – 2
e) tan2 x 2
a) 1
b) –1
d) – 1 2
e) 0
c) 1 2
14. Si se cumple: sen ( x ) = 5 ; sen 270º < x < 360. 2 4 Hallar: cos x.
6. Si: sec q = 9; 270º < q < 360º. Calcular: tan q 2 a)
b) csc 80º
13. Reducir: E = (tan x + cot x) sen x 2
5. Si: sen a = – 15 ; 270c < a < 360c. Calcular: tan a 4 2 a)
a) cot 80º
12. Reducir: E =
f 4. Si: cos f = – 1 ; 180c < f < 270c. Calcular: tan 6 2 a)
b 2a
b a
11. Reducir: E=csc 20º+csc40º+csc80º+tan10º
5 ; 180c < q < 270c. Calcular: cos q 2 2 b) –
e) !
c) !
10. Reducir: S = csc x + csc 2x + cot 2x
e) – 3 7
1 3
a b
9. Hallar: M = csc 80º + cot 80º
b 2. Si: cos b = 1 ; 270c < b < 360c. Calcular: cos 7 2 a)
a 2b
b) !
0, 8
e) – 0, 4
7. Si: senq = 1 . Calcular: tan (45c– q ) 3 2
a) 1 8
b) 3 8
d) 17 8
e) – 3 8
c) 5 8
15. Reducir: "f"; a) ! 1 3
b) ! 1 2
d) ! 1 5
e) ! 1 6
c) ! 1 2
f = csc 20c– cot 20c– (csc 160c + csc 320c + csc 640c + cot 640c)
a) 1
b) 0
c) cot 10º+tan 10º
d) tan 10º+cot80º
e) tan10º–cot80º
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Capítulo 21
Transformaciones trigonométricas 21 I Identidades para la suma o diferencia de dos senos o cosenos a productos (A > B). sen A + sen B = 2 sen ( A + B ) . cos ( A – B ) 2 2 sen A – sen B = 2 cos ( A + B ) . sen ( A – B ) 2 2 cos A + cos B = 2 cos ( A + B ) . cos ( A – B ) 2 2 cos B – cos A = 2 sen ( A + B ) . sen ( A – B ) 2 2 Ejemplo: transformar a producto: 1. sen 24º + sen 12º = 2. cos 7x + cos 3x = 3. cos 9q – cos 15q = 4. sen 4a – sen a =
Ejercicios Resueltos: 1. Simplificar: J = sen 80c + sen 20c cos 20c – cos 80c
a)
3
b)
3 3
c) tan 50º
d) cot 50º
e) – 3
Resolución En la expresión: J = sen 80c + sen 20c cos 20c – cos 80c 2 sen ( 80c + 20c ) cos ( 80c–20c ) 2 2 J= c c c 80 – 20 80 20c ) + 2 sen ( ) sen ( 2 2 J = 2 sen 50c . cos 30c = cos 30c & 2 sen 30c . sen 50c sen 30c
cos x = cot x sen x
J = cot 30c ` J = 3
90
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Trigonometría 2. Reducir: J = sen 7x – sen 3x cos 7x – cos 3x a) cot 5x
b) cot 2x
c) –cot 2x
d) –cot 5x
e) –cot 3x
d) 2 cos 3x
e) 2 cos 2x
Resolución En la expresión: J = sen 7x – sen 3x cos 7x – cos 3x Pasamos a producto 2 sen ( 7x – 3x ) cos ( 7x + 3x ) 2 2 J= x x 3 – 3 x 7 2 sen ( ) sen ( + 7x ) 2 2 J = 2 sen 2x . cos 5x 2 sen (–2x) . sen 5x & sen (–b) = – sen b J=
sen 2x . cos 5x - sen 2x . sen 5x
Reduciendo: J = – cos 5x = – cot 5x sen 5x 3. Simplificar: J = 2 sen 2x – sen 4x + sen 8x sen 5x – sen x a) cos x
b) 2 cos x
c) cos 3x
Resolución En la expresión: J = 2 sen 2x – sen 4x + sen 8x sen 5x – sen x 6 444 7 444 8 J = 2 sen 2x + sen 8x– sen 4x 5x2 – 44 sen sen4x3 1 444 Transformando: J = 2 sen 2x + 2 sen 2x . cos 6x 2 sen 2x . cos 3x J=
2 sen 2x (1 + cos 6x) 2 sen 2x . cos 3x
Reduciendo: 2 J = 1 + cos 6x = 2 cos 3x cos 3x cos 3x
J = 2 cos 3x
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Capítulo 21
Práctica 2
a) tan x d) tan 4x
b) tan 2x e) tan 8x
b) 1/2 3 2
d)
e)
a) 1 d) 2
c) tan 3x
3 4
b) tan 4q e) tan 5q
c) tan 6q
c) 5°
5. Transforme a producto:
b) 1 6
d) 2 3
e) 4 3
12. Simplificar: L = sen2A − sen2B sen (A − B) a) 2 cos C a) –2 cos C a) –2 sen C a) –cos C
C = sen 2x+sen 6x+sen 10x + sen 14x a) b) c) d) e)
a) 8 3
sen 8x cos 4x cos 2x 2 sen 8x cos 4x cos 2x 4 sen 8x cos 4x cos 2x 8 sen 8x cos 4x cos 2x 16 sen 8x cos 4x cos 2x
c) 1 3
a) 4sen 3A cos A cosA 2 2 3 A b) senA cos 2 3 A c) 2cos sen A sen A 2 2 d) 4cos 3A senA sen A 2 2 3 A e) 3 cos cos2A cosA 2
sen x + sen 5x + sen 9x = 3 cos x + cos 5x + cos 9x 3 b) 4° e) 9°
c) 3/2
11. Transformar a producto la expresión: E = senA + sen 2A + sen3A
4. Determine un valor de "x" que cumple:
a) 3° d) 6°
b) 1/2 e) 3/4
sen 6x (sen 10x + sen 6x) sen2 7x – sen2 x
c) 8/5
3. Reducir: L = sen 2q + sen 4q + sen 6q cos 2q + cos 4q + cos 6q a) tan 2q d) tan 3q
2
10. Siendo: sen 7x + sen x = 1 . Halla el valor de: sen 5x + sen 3x 3
2. Calcule: B = sen 47c – sen 27c sen 10c a) 1
2
9. Calcule el valor de: E=sen 20º+ sen 40º+sen 80º
1. Reducir: A = sen 6x + sen 2x cos 6x + cos 2x
a) 2 sen C
13. La expresión: sen2 2x sen x cos xsenx + cos x + tan x senx es igual a: a) tan x b) cos 2x cos 3x c) 2 senx cos 3x d) sen 2x sen3x e) 2 sen 3x cos x sen4x +
6. En un triángulo ABC, reducir: L = sen 2A + sen 2C cos 2A + cos 2C a) tan A d) –cot B
b) –tan B e) –tan A.tanC
c) cot B
7. Señale el valor máximo de:
14. Si: cos 2x cos 4x cos 8x = 0,5. Calcule: A = tan 7x tan 9x
C = sen (40° + x) + sen (20° – x) a) 1 d)
b) 2 3 2
c)
3
a) 0,6 d) 1,8
e) 1/2
E = sen 2A + sen 2B – sen 2C cos (A – B) – cos C
L = sen (50° + x) + sen (x – 10°)
d)
b) 2 3 2
c) 1,6
e) 2,4
15. En un triángulo ABC, simplificar:
8. Señale el valor máximo de:
a) 1
b) 0,8
c)
3
e) 1/2
92
a) sen C
b) –sen C
d) –2 sen C
e) 1
c) 2 sen C
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Trigonometría
Tarea domiciliaria 1. Simplificar: E = sen 7x – sen x cos 7x + cos x a) tan x
b) tan 3x
d) ctg5x
e) ctg3x
10. Señale la extensión: E = sen 3x + sen x sen 2x c) tan 5x
2. Simplificar: E = sen 3x + sen x cos2 x a) 2 senx
b) 2 cosx
d) 4 senx
e) 4 cosx
a) <–2;2>
b) [–2; 2]
c) <–1; 0> ∪ <0; 1>
d) [–1; 1]
e) <–2; 0> ∪ <0; 2> 11. Factorizar: E = 1 + cos 2A + cos 4A +cos 6A
c) 4
a) 2 cos A . cos 2A . cos 3A b) 2 cos A . cos 3A . cos 5A
3. Simplificar: E = sen 5x + sen 10x + sen 15x 2 cos 5x + 1
c) 4 cos A . cos 2A . cos 3A d) 4 cos A . cos 3A . cos 5A
a) sen 5x
b) sen 10x
d) cos 5x
e) cos 15x
c) sen 15x
e) 1 cos A . cos 3A . cos 5A 4 2 2 12. Simplificar: E = sen 9x – sen 3x sen 6x
4. Reducir: E = (sen 20° + cos 20°) . sec 25° a)
2 2
b) 2
d)
2
e)
c) 1 2 2 4
b) sen 9x
d) sen 12x
e) cos 6x
c) sen 3x
13. Factorizar: E = 1 + cos 4x + cos 8x + cos 12x a) 4 cos x cos 2x cos 3x
5. Reducir: E = 2(cos5x + cos3x) (sen3x – senx) a) sen 2x
b) sen 4x
d) sen 8x
e) sen 16x
b) 4 cos x cos 3x cos 5x
c) sen 6x
c) 4 cos 2x cos 4x cos 6x d) 4 cos 2x cos 3x cos 4x
6. Reducir: E = cos 10° + cos 110° + cos 130° a) 0
b) 2 sen 10°
c) 2 cos 10°
d) sen 10°
e) 4 cos 3x cos 4x cos 5x 14. Factorizar: E = 3 + 5 sen 13° a) 5 sen 25° . cos 12°
e) cos 10°
b) 10 sen 25° . cos 12°
7. En un triángulo ABC, si: A – B = ≠ . Reducir: 3 E = sen 2A + sen 2B a) sen A
b) sen B
d) cos C
e) cos A
8. Simplificar: E =
a) 1
c) 10 sen 50° . cos 24° d) 5 cos 50° . sen 12° e) 10 sen 25° . cos 6°
c) sen C
15. Simplificar: E = a . sen 7x + b . sen 3x – a . sen x a . cos 7x + b . cos 3x + a . cos x
cos (2a – 3b) + cos 3b sen (2a – 3b) + sen 3b
a) tan a
b) ctg a
d) ctg b
e) tan a . tan b
c) tan b
a) tan x
b) tan 2x
d) a . b
e) a b
c) tan 3x
9. Si: 24x = ≠ . Calcular: E = sen 9x + sen 7x cos 5x + cos 3x a) 1
b) –1
d) – 1 2
e) 0
Central 6198-100
c) 1 2
93
San Marcos
Capítulo 22
Transformaciones trigonométricas 22 II Identidades para el producto a suma y diferencia de senos y cosenos (A > B) : 2 sen A . cos B = sen (A + B) + sen (A – B) 2sen B . cos A = sen (A + B) – sen (A – B) 2 cos A . cos B = cos (A + B) + cos (A – B) 2 sen A . sen B = cos (A – B) – cos (A + B) Ejemplo Convertir: a) 2 sen 20° . cos 10° = b) 2 cos 4x . cos x = c) 2sen 9x . sen x = d) 2 cos 3q . sen q = e) sen 4a . cos 3a =
Ejercicios Resueltos: 1. Reducir: J = sen 5x . sen x + cos 7x . cos x cos 6x a) cos x
b) 2 cos x
c) cos 2x
d) 2 cos 2x
e) cos 4x
Resolución En la expresión: J = sen 5x . sen x + cos 7x . cos x cos 6x multiplicamos x 2: 2 J = 2 sen 5x . sen x + 2 cos 7x . cos x cos 6x transformando: 2 J =
cos (5x–x) – cos (5x + x) + cos (7x + x) + cos (7x–x) cos 6x
2 J = cos 4x – cos 6x + cos 8x + cos 6x & 2 J = cos 8x + cos 4x cos 6x cos 6x Transformando a producto: cos 8x + cos 4x = 2 cos ( 8x + 4x ) cos ( 8x – 4x ) = 2 cos 6x . cos 2x 2 2 2J = 2 cos 6x . cos 2x & J = cos 2x cos 6x
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Trigonometría 2. Reducir: J=cos 5x . cos 2x + sen 6x . sen x – cos 4x . cos x a) cos x
b) cos 2x
c) –cos x
d) –cos 2x
e) 0
Resolución En la expresión: J=cos 5x . cos 2x + sen 6x . sen x – cos 4x . cos x Multiplicamos x 2: 2J = 2 cos 5x . cos 2x + 2 sen 6x . sen x – 2 cos 4x . cos x Transformando: 2 J = cos 7x + cos 3x + cos 5x – cos 7x – (cos 5x + cos 3x) 2 J = cos 7x + cos 3x + cos 5x – cos 7x – cos 5x – cos 3x Reduciendo: 2 J = 0 & ` J = 0 3. En un triángulo ABC; transforme a suma o diferencia: J = 4 sen A . cos B . cos C a) sen 2A + sen 2B – sen 2C
b) sen 2A – sen 2B – sen 2C
c) sen 2A – sen 2B + sen 2C
d) sen 2B + sen 2C – sen 2A
e) sen 2B – sen 2C – sen 2A
Resolución Ordenando la expresión: J = 4 sen A . cos B . cos C = 2 (2 sen A . cos B) . cos C Transformando: J = [sen (A + B) + sen (A – B)] cos C; pero recuerde que: A + B + C = 180º ⇒ sen (A + B) = sen C; luego: J = 2 {sen C + sen (A – B)} cos C J = 2 sen C . cos C + 2 sen (A – B) cos C J = sen 2C + 2 sen (A – B) cos C Pero como: A+B+C=180º ⇒ cosC=–cos(A+B) (ángulos suplementarios) J=sen 2C + 2 sen (A–B) [–cos (A+B)] J=sen 2C – 2 sen(A – B) cos (a+B) ...a Obs. 2 sen (A – B) cos (A+B) = sen (A – B+A+B) + sen (A – B – A – B) 2 sen (A – B) cos (A + B) = sen 2A + sen (–2B) ⇒ 2 sen (A – B) cos (A + B) = sen 2A – sen 2B En a: J = sen 2C – (sen 2A – sen 2B) ⇒ ∴ J = sen 2B + sen 2C – sen 2A
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San Marcos
Capítulo 22
Práctica 1. Reducir: E = 2 sen 40° . cos 20° – sen 20° a) 1 2 d)
b)
3 2
c)
3
10. Si "A" es agudo mide ≠ rad. Hallar el valor de: 13 F = cos A . cos 10 A cos 2A + cos 4A
e) 2 3 3
3 3
2. Reducir: A = 2 cos 3x . sen x + sen 2x a) 1
b) –1
d) sen 4x
e) cos 2x
c) sen 2x
b) –1
d) sen 6x
e) sen 4x
2 4
d)
6 3
b)
3 4
e)
2 6
e) –3/2
d)
c) 0
c)
d) 1/2
a) 1
b)
b) 1/2
d) 3/4
e) 1/4
6 2
30
d)
b) 1/2 3
e)
c) 2 3 /2
4
c) 2
A a) 2,532
x b) 3,156
d) 3,108
e) 2,748
a) tan 10º
b) cot 10º
d) 1
e) 1 cot10º 2
b) 1/2
d) –1/2
e) 0
a) tan2
b) tan4
8. Simplificar: M = cos 4q . cos 3q – cos 5q . cos 2q sen 2q
d) tan1
e) tan10
b) sen q
d) sen 2q
e) cos 2q
c) cos q
9. Reducir: P = 1 sec 80c – 2 sen 70c 2 a) tan 10°
b) cot 10°
d) 1
e) 1 cot 10° 2
c) –1
B c) 2,216
c) -1
14. Calcule el valor de: sen1 + sen1 sen1 sen1 M= + + cos 0. cos 1 cos 1. cos 2 cos 2. cos 3 cos 3. cos 4
a) –1
a) 2
c) 1
10º
13. Calcular el valor de la siguiente expresión: 1 sen 80º - 2 sen 70º 2
3 2
7. Calcular: E = 1 – 4 cos 80c . sen 70c 2 cos 80c
C
50º
c) 3/2
6. Si: P(x)=sen3x.cos2x + sen3x.cos4x–senx.cos6x Calcule: P( ≠ ) a) 1
e)
3
5. Si se define la función: f (x) = cos ( 2≠ + x) . cos ( ≠ –x) 9 9 Halle: fmax (x) . a) 1
c) 2/3
12. Del gráfico, calcule "x", (cos 40º = 0,766) D
4. Calcular: R = 2 sen 40c . cos 20c – sen 20c 2 cos 35c . cos 10c – cos 25c a)
b) –1/2
11. Si: P(x) = sen2x + sen3x cos4x - senx cos6x Calcule: P` ≠ j 30
3. Simplificar: E = 2 sen 3x . cos x – sen 4x 2 sen 2x . cos 4x – sen 6x a) 1
a) 1
c) tan3
15. Transforme a suma o diferencia de senos o cosenos: J = 4 sen x . cos 2x . cos 4x a) sen 7x - sen 5x + sen3x - senx b) sen 7x + sen 5x - sen3x - senx c) sen 7x - sen 5x - sen3x + senx d) sen 7x + sen 5x + sen3x + senx e) sen 7x + sen 5x + sen3x - senx
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Trigonometría
Tarea domiciliaria 1. Reducir : E = 2 sen 40° . cos 10° – cos 40° a) 1 2
b)
d)
e) 0
3
3 2
10. Si: cos 2x =
c) 1
2. Reducir: E = 2 cos 7x . cos 3x – cos 10x a) cos 2x
b) cos 4x
d) sen 4x
e) 1
b) 3 2
d)
a) 0,25
b) 0,50
d) 2
e) 4
a) 2
b) senx
d) 2senx
e) 2 cosx
b) –1
d) – 1 2
e) 0
c) cosx
c) 1 2
d) ctg 5x
e) 1
c) 3
7 10
b) 7 5
d)
9 25
e)
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a) 0
b) 1
d) 1 2
e) – 1 2
b) sen2x
d) – sen3x
e) –sen2x
2 2
a)
2
b)
d)
3 3
e) –1
d) – 1
c) senx
c) 1
b) 1
c) 2
1 2
16. Si: A > B. Determine: A , si: B sen5x . senx + cos7x . cosx = cosAx . cosBx
c) tan 5x
c)
c) –1
a) sen3x
a) 0
9. Si: cos 2x = 1 . Calcular: E = cos(30º+x).cos (30º–x) 5 a)
e) – 3
15. Determine el máximo valor de: E = cos 2x cos x – 1 cos x 2
8. Simplificar: E = 2 cos 6x . cos x – cos 7x 2 sen 7x . cos 2x – sen 9x b) ctg x
3
c) –1
14. Determine el máximo valor de: E = 2sen 5x cos 2x – sen 3x
7. Si: cos x = 2 . Calcular: E = 2 cos 3x . cos x + 13 3 2 2 9
a) tan x
b) 1
13. Reducir: E = 2sen(x + y) . cos(2x – y) – sen(2y – x)
c) 1
6. Reducir: E = 2 sen 50° . cos 20° – 2 sen 80° . cos 10° a) 1
6
12. Reducir: E = 0,5 csc10° – 2cos20°
c) 1 2
5. Simplificar: E = 2 sen 3x . cos x – sen 4x 2 sen 2x . sen x + cos 3x
e) 5
e)
d)
4. Calcular: E = 0,5 sen 10° + cos 80° . cos 20°
d) 4
d) 3 3
c) 2 2
E = 2sen20c. cos 10c + 2 cos 40c. cos 20c– 3 cos 50c
c) sen 2x
e) 2
b) 2
b) 3 2
a) 0
3
a) 1
a) 2 3
11. Reducir:
3. Reducir: E = 2 cos 50° . cos 10° – cos 40° a) 1
2 . Calcular: E = csc ( ≠ + x) csc ( ≠ –x) 4 4 3
a) 1
b) 2
d) 4
6
c) 3
17. Determine: Cos(x + y). Si: 2 cos 7x cos 3x - cos 10x = 1 2 sen 5y – sen 3y = cos 5y + cos 3y
9 20
7 20
97
a) 1 2
b)
d) 3 5
e) 4 5
3 2
c)
2 2
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Capítulo 23
23
Repaso 9. Simplificar: P = 2sen4x . cosx – sen5x
1. Siendo: 270º < a < 360º; sena = – 15 ; 4 a Calcular: “ tan ” 2 3 5
a) + d) –
3 5
2. Si se cumple:
2 3
b) –
c) –
3 2
4 5
e)
b) 50º
d) 55º
e) 75º
e) 1
a) 1°
b) 2°
d) 5°
e) 6°
5 27
2 a) 27
b)
d) 13 27
e) 23 27
3 2
c) 3°
e) – 17 27 sen 3 x cos 3x 5. Hallar: L = + cos x sen x a) cos 2x b) 2 cos 2x
c) 4 2 9
c) - 7 9
d) tan 4x
e) tan 5x
8. Si el ángulo A mide: ≠ rad. Hallar el valor de: 13 cos . cos A 10 A F= cos 2A + cos 4A a) 1
b) –1/2
d) 2/3
e) –3/2
d) tg 10x
e) tg 15x
c) tg 5x
4 cos x . cos 3x . sen 7x 2 cos x . cos 3x . sen 7x 4 cos 2x . cos 3x . sen 7x 2 cos 2x . cos 3x . sen 7x 2 cos 2x . cos 3x . sen 7x
14. Reducir: P = 2 sen 4x . sen 3x + cos 7x 2 sen 4x . cos 2x − sen 6x a) 1 cosx 2 d) 1 cscx 2
7. Simplificar: E = sen x + sen 3x + sen 5x cos x + cos 3x + cos 5x c) tan 3x
b) 2
a) b) c) d) e)
e) 3
b) tan 2x
a) 1
13. Transforme a producto: R = sen3x + sen5x + sen9x + sen11x
e) 2
a) tan x
d) 2 ( 6 + 2 )
12. Simplificar: E = sen 5x + sen 10x + sen 15x cos 5x + cos 10x + cos 15x
c) 4 cos 2x
c) 2
6+ 2
6− 3
e)
d) – 23 27
6. Reducir: E = sen 20c + cos 50c sen 80c a) 1 b) –1
b)
c) 2 ( 6 − 2 )
4. Si: cos q = 1 , calcular “cos 2q” 3 b) – 19 27
6− 2
a)
c) 25º
3. Siendo: senb = 1 ; calcular "sen 2b" 3
d) –2
d) sen x
c) sen 2x
11. Calcule: E = tan 7º30' + cot 7º30'
a) 65º
d) 4
b) sen 3x
10. Hallar “x”, si: 2 cos 4x . cos 2x – cos 2x =
1– cos 50c = cot x . Halle : “x”, si : 1 + cos 50c
0º < x < 90º.
a) 19 27
a) sen 4x
b) 1 senx 2 e) 1 tanx 2
c) 1 secx 2
15. Reducir: P = cos 5x. cos x + sen 5x .sen 3x 2x + sen 7x .sen 5x 2 2 2 2
c) 2/3
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a) 0
b) cosx
d) cos4x
e) cos6x
c) cos2x
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Trigonometría
Tarea domiciliaria 1. Si Tan 20º = b, entonces E =Tan55º – Tan35º es igual a: a) 2/b
b) 1/b
d) b
e) 2b
9. Reducir: J = 2 sen 3x.cos x – sen 4x c) b/2
b) 45º
d) 15º
e) 75º
c) 60º
51 125
b)
d) 31 125
61 125
c)
71 125
3 11
b) 2 11
d) – 3 11 5. Si: sen b =
c) – 2 11
d) 5 3
e) 7 3
6. Reducir: C =
c) 19 9
b) tan 3b
d) cot 2b
e) cot 3b
c) tan 2b
b)
2 2
d) 2 2
e)
2 4
e)
3
3 2
a) 0
b) sen x
d) sen 3x
e) sen 7x
c) sen 5x
a) 0
b) 1
d) 2
e) 2 2
c)
1–
c)
2
1 + cos 24c 2 2
a) cos 6º
b) sen 6º
d) cos 3º
e) sen 12º
c) sen 3º
a) tan x 2
b) ctg x 2
d) ctg x 8
e) –ctg x 8
c) tan x 8
15. Convierta a producto: E = sen 1º + sen 3º + sen 5º + sen 7º a) b) c) d) e)
7. Al simplificar la expresión: E = sen 17c + cos 17c sen 31c cos 31c se obtiene. a) 4 2
d) 1 2
c)
14. ¿A qué es igual: E = csc x – ctg x ? 4 4
sen 4b + sen 2b cos 4b + cos 2b
a) tan b
b) 2
13. Reducir: H =
2 , calcular: S = sen3b . cscb 3 b) 17 9
a) 1
Calcule: E = 7 . sen a + cos a 2 2
e) – 5 11
a) 7 9
e) csc 2x
12. Si: π < α < π / cos α = - 3 2 4
e) 41 125
4. Si: tanq = 2, calcular “tan3q” a)
d) sen 2x
c) tan 2x
11. Simplificar: J=sen 3x.cos 2x + sen 3x.cos 4x + sen x.cos 6x
3. Si: sen a = 1 , calcular “sen3a” 5 a)
b) cot 2x
10. Reducir: P = 2 sen 10°.cos 20° + sen 10°
2. Señale un valor agudo de “x” que verifique: (csc 2x – cot 2x)csc x = 2 a) 30º
a) cos 2x
2
2 cos 1º . cos 2º . cos 8º 2 sen 1º . sen 2º . cos 8º 4 cos 1º . cos 2º . sen 8º 4 cos 1º . sen 2º . cos 8º 4 sen 1º . sen 2º . sen 8º
8. Calcular “x”, si: sen 5x + sen x = 3 cos 5x + cos x a) 10º
b) 15º
d) 25º
e) 30º
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c) 20º
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Capítulo 24
24
Ecuaciones trigonométricas
¿Qué es una ecuación trigonométrica? Es una igualdad en el cual la incógnita o variable angular está afectada por un operador trigonométrico (sen, cos, tan, ctg, ... arcsen, arccos, ... etc.) y que dicha igualdad se cumple para un conjunto determinado de valores que asume la incógnita. A continuación indicar cuáles son ecuaciones trigonométricas : • tan (3x) = 3 3
• cos x = x
• sen x = 0,5
• x sen x = 1
• tan (x + ≠ ) = – 3 9 • sen x = x 2
• x sen x + 1 = 0
• csc (3x) =
3 2
• sen x + x = 0
• 2 cos x + ctg x = 2 3
•
3 sen x = x2 –1
• cos x = x 2
2
• sen x + cos x = 1
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Trigonometría Algunas definiciones a) Conjunto Solución (C.S.) de una ecuación trigonométrica: Es el conjunto de valores que satisfacen la ecuación. b) Valor Principal (V. P.): Es aquella que pertenece al rango de la función inversa dada en la ecuación trigonométrica elemental.
Fórmulas generales de las ecuaciones trigonométricas elementales • sen x = a & Xg = k≠ + (–1) k arcsen a , k ! Z • cos x = b & Xg = 2k≠ ! arccos b , k ! Z • tan x = c & Xg = k≠ + arctan c , k ! Z • ctg x = d & Xg = k≠ + arcctg d , k ! Z • sec x = e & Xg = 2k≠ ! arc sec e , k ! Z • csc x = f & Xg = k≠ + (–1) k arc csc f , k ! Z
Ejercicios Resueltos: 2
1. Resolver: (sen x + cos x) = 1 + cos x. Indicando la suma de las tres primeras soluciones positivas. a) 180º
b) 270º
c) 360º
d) 450º
e) 720º
Resolución Del dato: (sen x + cos x) 2 = 1 + cos x 1 44 4 2 44 43 1 + 2 sen x . cos x = 1 + cos x Quedaría: 2 sen x . cos x = cos x Reduciendo: 2 sen x = 1 " sen x = 1 " ` x = 30c; 150c; ... 2 Pero: cos x = 0 (factor cancelado, se iguala a cero) x = 90º; 270º; ... Las tres primeras soluciones serían: 30º; 90º; 150º " ` / = 270 °
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Capítulo 24 2
2. Resolver: 1 + cos x = 2 sen x; indicando la suma de sus dos primeras soluciones positivas. a) 180º
b) 120º
c) 200º
d) 240º
e) 360º
Resolución Como la variable es la misma, vamos a colocar todo en términos de una sola razón trigonométrica, así: 2
2
1 + cos x = 2 sen x ⇒ 1 + cos x = 2 (1 – cos x) factorizando: 1 + cos x = 2 (1 + cos x)(1 – cos x) cancelando "1 + cos x", quedaría: 1 = 2 (1 – cos x) 1 = 2 – 2 cos x ⇒ 2 cos x = 1 ⇒ cos x = 1 2 ⇒ x = 60º; 300º Pero el factor cancelado se iguala a cero (0) para no perder soluciones: 1 + cos x = 0 cos x = –1 ⇒ x = 180º Las dos primeras soluciones positivas son: 60º y 180º. ∴ suma = 240º 3. Resolver: sen 3x . csc x = 2; (n ! Z) a) n≠ ! ≠ 6
b) 2n≠ ! ≠ 3
c) n≠ ! ≠ 6
d) n≠ ! ≠ 12
e) n≠ ! ≠ 4
Resolución En la ecuación recuerde: sen 3q = sen q (2 cos 2q + 1) Luego: sen x (2 cos 2x + 1) . csc x = 2; pero: sen x . csc x = 1 queda: 2 cos 2x + 1 = 2 " cos 2x = 1 " xp = Arc cos 1 " xp = ≠ 2 3 2
luego: xg = 2n≠ ! xp ; xg = 2x " 2x = 2n≠ ! ≠ 3
∴ x = n≠ ! ≠ 6
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Trigonometría
Práctica 9. Resolver: tan ( ≠ – x) = cos 2x 4 Dar como respuesta la suma de las soluciones comprendidas en 6 0; 2≠ > .
1. Resolver si: x ! < 0; 2≠ > ; 2 sen x + 3 = 0 . Dar como respuesta la suma de soluciones. a) 360º
b) 420º
d) 540º
e) 600º
c) 480º
2. Resolver si: x ! < 0; 2≠ > ; 3 sen x + cos x = 0 Dar como respuesta la suma de soluciones. a) 360º
b) 420º
d) 540º
e) 600º
c) 480º
b) 180º
d) 270º
e) 360º
b) 480º
d) 780º
e) 840º
c) 240º
c) 540º
5. Si "x" es la medida de un ángulo agudo, hallar dicho valor en la ecuación: sen x+sen 3x = cos x a)
≠ 15
b) ≠ 6
d)
≠ 13
e)
c)
≠ 12
a) k≠ + (–1) k ≠ ; k ! Z 10 b) k≠ – (–1) k 3≠ ; k ! Z 10
a) n≠ 4 4 d) n≠ 3
d) 2 k≠ + (–1) k ≠ ; k ! Z 10 e) k≠ – (–1) k 3≠ ; k ! Z 5 1 1 7. Resolver: =4 + sec 2x + tan 2x sec 2x – tan 2x e) 360º
b) 2n≠ ! ≠ + 4 ≠ d) 2n≠ ! + 6
≠ 6 ≠ 4
b) n≠ + ≠ 5 15 n ≠ d) + ≠ 6 15
b) 2n≠ ± ≠ 4 d) a y b
13. Resolver: cos 3x - cos 5x = 0
c) k≠ + (–1) k ≠ ; k ! Z 5
d) 330º
11. Resolver: sen7x + sen3x = 3 cos 7x + cos 3x a) n≠ + ≠ 3 c) n≠ + ≠ 15 ≠ e) n≠ + 6
a) 2n≠ ± ≠ 2 r c) 2nr ± 8 e) a y c
6. Resolver : 4 cosx –3 sec x = 2 tan x
b) 120º
e) 9r 2
c) 5r 2
12. Resolver: cos3x+cosx=0
≠ 18
a) 60º
d) 7r 2
a) n≠ + (–1) n ≠ 4 n≠ ≠ c) n≠ + (–1) – 4 3 e) n≠
4. Calcular la suma de las tres primeras soluciones positivas de la ecuación: 2 cos 2x+4 cos x = –3. a) 360º
b) 3r 2
10. Resolver: sen x + 3 cos x = 2
3. Resolver, si: x ! < 0; ≠ > ; sen 2x = cos x Dar como respuesta la suma de soluciones. a) 120º
a) r 2
b) n≠ 3 n e) ≠ 6
c) n≠ 2
14. Resolver: sen26x = 1 4 a) n≠ ± ≠ 6 10 n d) ≠ ± ≠ 6 36
c) 300º
b) n≠ ± ≠ 6 12 n e) π − π 6 5
c) n≠ ± ≠ 6 30
15. Resolver: Senx+Cosx= 2 , e indicar la menor solución positiva
8. Resuelva: cos (3x – ≠ ) = – 2 6 2 ≠ ≠ a) 2k≠ ! – ;k!Z 4 18 b) k≠ ! ≠ + ≠ ; k ! Z 4 18
a) 15°
b) 30°
d) 53°
e) 60°
c) 45°
c) 2k≠ ! ≠ + ≠ ; k ! Z 3 4 18 d) k≠ ! ≠ ; k ! Z 2 e) 2k≠ – ≠ ; k ! Z 4 Central 6198-100
103
San Marcos
Capítulo 24
Tarea domiciliaria 1. Resolver: 2 sen (x + 12°) + 1 = 0 a) 190°
b) 194°
d) 199°
e) 203°
2. Resolver: sec (2x – 45º) = a) 45°
b) 30°
d) 225°
e) 315°
c) 198°
10. Halle el menor valor positivo que toma "x" en la 1 1 ecuación: + =8 1 + cos x 1 – cos x
2 ; x ! 6180c ; 360c > c) 180°
b) 45°
d) 22°30'
e) 67°30'
c) 60°
4. Resolver: sen 2x = 2 sen x a) 10°
b) 15°
d) 90°
e) 0°
c) 30°
b) 60°
d) 45°
e) 53°
c) 15°
b) ≠ 3
d) ≠ 6
e) ≠ 8
c) ≠ 4
2
7. Resolver: 2 sen x = cos 2x a) 10°
b) 20°
d) 45°
e) 15°
b) ≠ 6
a) ≠ 2
a) ≠ 5
3 =0
a) 15°
b) 25°
d) 45°
e) 65°
c) 35°
a) –30°
b) –10°
d) 30°
e) 150°
3 =0
c) 10°
13. Resolver senx– 3 cosx=1 y señalar la menor solución positiva. a) 15°
b) 30°
d) 45°
e) 90°
c) 37°
14. Si 0°
b) 5
d) 7
e) 8
c) 6
15. Hallar la solución principal en: tan x+ctg x=4. a) 10°
b) 15°
d) 20°
e) 30°
c) 18°
16. Si 0°
tan x – tan x = 0
c) 30°
8. Encuentra la menor solución positiva de la ecuación: cscx – senx = cosx a) ≠ 3
e) 50°
c) 40°
12. Hallar la solución principal de: 3 tan 3x +
6. Resolver: 1 + tan x = 3 1 + cot x a) ≠ 2
d) 10°
tan (2x+10°) –
5. Resolver: sec x = 4 sen x a) 30°
b) 20°
11. Hallar la solución principal de:
3. Señale un valor de "x" agudo que cumpla: sen x cot x + cosx = 1 a) 30°
a) 30°
a) 2
b) 3
d) 5
e) 6
c) 4
c) ≠ 4
9. Resolver: cot x – tan x = 2 3 a) 10°
b) 20°
d) 75°
e) 30°
c) 15°
104
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Trigonometría
Resolución de triángulos oblicuángulos
25
Teorema de los senos En todo triángulo se cumple que sus lados son proporcionales al seno del ángulo al cual se oponen; siendo la constante de proporcionalidad el diámetro de la circunferencia circunscrita a dicho triángulo. En el gráfico, se cumple : a = b = c =2R sen A sen B sen C
B R
R: circunradio
a
c
De donde:
C I. a = 2R sen A
II. a sen B = b sen A
b = 2R sen B
b sen C = c sen B
c = 2R sen C
c sen A = a sen C
A
b
Teorema de los cosenos En todo triángulo se cumple que el cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos; menos el doble producto de los mismos multiplicados por el coseno del ángulo que forman dichos lados. Del gráfico B
a2 = b2 + c2 – 2 bc cos A b2 = a2 + c2 – 2 ac cos B c2 = a2 + b2 – 2 ab cos C
c
a
A
b
2
2
C
2
De donde: a + b + c = 2 (bc cos A + ac cos B + ab cos C)
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105
San Marcos
Capítulo 25 Ejercicios Resueltos: 1. En un triángulo ABC: a=2 3 , BA=60º; BB=45º. Calcular "b". a) 1
b) 2
c) 3
d) –2
e) 4
Resolución Se tiene que:
Del gráfico:
a = b " b = a sen B sen A sen B sen A Reemplazando valores:
C
b
A
a=2 3
60º
45º
b = 2 3 . sen 45c = sen 60c B
2 3.
2 2
3 2
" `b=2 2
2. En un triángulo ABC; simplificar: E = a sen B + b sen A ; si: b = 3c a sen C + c sen A a) 3
b) 6
c) 9
d) 2
e) 1
Resolución Por propiedad:
a sen B = b sen A 1 a sen C = c sen A
A = b sen A + b sen A = 2 b sen A " E = b c sen A + c sen A 2 c sen A c pero: b = 3c " E = 3c " ` E = 3 c 3. En un triángulo ABC; reducir: J = a cos A + b cos B + c cos C , si su circunradio es "R". sen A . sen B . sen C a) R
b) 2R
d) R 2
c) 4R
e) R 4
Resolución Sabemos que: a=2R sen A; b=2R sen B; c = 2R sen C Luego: J = 2R sen A cos A + 2R sen B cos B + 2R sen C . cos C sen A . sen B . sen C J = R sen 2A + R sen 2B + R sen 2C sen A . sen B . sen C J=
R (sen 2A + sen 2B + sen 2C) sen A . sen B . sen C
Pero, como: A + B + C = 180º; por propiedad: " sen 2A + sen 2B + sen 2C = 4 sen A . sen B . sen C J = R 4 sen A . sen B . sen C sen A . sen B . sen C
` J = 4R
106
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Trigonometría
Práctica 1. En un triángulo ABC; se sabe que: a = b ; calcular: 2 3 sen B J= sen A a) 0,5
b) 0,6
d) 1,5
e) 1,3
c) 0,8
b) 2R
d) 0
e) 4R
c) R/2
d) 3/4
e) 3/8
L = a sen B + b sen A ; si: a=3c c sen B + b sen C b) 3
d) 1/3
e) 2 2
2
2
2
2
2
2
a) 3–n 2
b) 12–n 4
d) 4–n 2
e) 12–n 2
c) 6–n 2
6. En un triángulo ABC; a=2, c=3; mBB=60º. Calcular: "b" b) 5 7
d) 120º
e) 150º
c) 45º
c)
a) 60º
b) 120º
d) 150º
e) 30º
c) 135º
a) b
b) a
d) 0
e) 1
c) c
a) 2
b) 3
d) 9
e) 10
c) 6
14. En un triángulo ABC; a= b= c . Calcular: BC 3 5 7
circunradio). Hallar: L=cos A+cos B+cos C
d)
b) 30º
13. En un triángulo ABC; a=6 y BA=30º. ¿Cuánto mide el circunradio del triángulo ABC?
c) 1/6
5. En un triángulo ABC, se cumple: a +b +c =nR (R:
a) 7
a) 60º
12. En un triángulo ABC; simplificar: E = a cos A . csc 2A b cos B . csc 2B
c) 1/2
4. En un triángulo ABC; reducir:
a) 6
e) –1
Hallar: BA
a=3 y c=2; calcular: "cos C". b) 1/4
d) –2 cos A
c) –cos A
2 2 2 11. En un triángulo ABC; a =b +c +bc
3. En un triángulo ABC, se sabe que: mBA=2mBC;
a) 1/3
b) 2 cos A
(a+b+c)(a+b–c)=3ab. Calcular: "mBC".
a+b - c sen A + sen B sen C
a) R
a) cos A
10. En un triángulo ABC; se sabe que:
2. En un triángulo ABC, reducir: L=
2 2 2 9. En un triángulo ABC, reducir: L = b + c – a bc
5
a) 60º
b) 120º
d) 30º
e) 45º
c) 135º
2 2 2 15. En un triángulo ABC, se cumple que: a +b +c =10 Hallar: E = bc cos A + ac cos B + ab cos C
a) 10
b) 20
d) 15
e) 5
c) 7,5
e) 3 3
7. En un triángulo ABC: a=2; b=3; c=4. Calcule: "CosA". a) 3/5
b) 4/5
d) 7/8
e) 5/9
c) 3/8
8. En un triángulo ABC; a=3; b=4; mBC=120º. Calcular: "c". a)
19
b)
26
d)
43
e)
52
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c)
37
107
San Marcos
Capítulo 25
Tarea domiciliaria 1. En un triángulo ABC: BA=30º; BC=45º y c=2. Calcular "a". a)
2
d) 1
b) 2
c) 4
8. Los lados de un triángulo miden x, ax, 2ax. Calcule el valor de "a" sabiendo que el ángulo opuesto al lado "x" mide 120º.
e) 4 2
a) 1 7
2. En un triángulo ABC; BA=60º; a=2 y b=1. Calcular "BB". a) arcsen 3 3
b) arcsen– 3 4
c) arcsen 1 3
d) arcsen 1 4
d)
3. En un triángulo ABC: a=2 y b=3. Calcular: Q = sen B + sen A sen B – sen A b) 3
d) 5 3
e) 5
c) 4 3
4. En un triángulo ABC, reducir: (R: circunradio). Q=a(senB–senC)+b(senC–senA)+c(senA–senB) a) R
b) 2R
d) R 2
e) 1
d) 3n 4
b) n 2 e) 3n 2
d)
b) 19 7
19
e) 2 6
17 a) 24
b) 25
d) 21
e) 23
x–1 2 (x + 1)
b)
x+1 5 (x–1)
c)
x+3 2 ( x –1 )
d)
x+1 2 ( x –1 )
e)
x+1 2 ( x –1 ) 2
a) 6
b) 8
d) 4
e) 6 2
c) 10
a) arcsen 1 5
b) arcsen 2 15
c) arcsen 8 15
d) arcsen 12 13
12. En un triángulo ABC: a=3 y b=4. Calcular: Q = 2 sen B + sen A 2 sen B – sen A
26 a
a)
e) arcsen 4 15
7. En la figura, tana=2,4, el valor de "a" es:
a
e) 2 7
11. En un triángulo ABC: a=2; c=3 y BC=53º. Calcular "BA"
c) n 4
c)
2 7
Calcular "b".
6. En un triángulo ABC: a=3; c=2 y BB=60º. Calcular: "b". a) 7
c)
10. En un triángulo ABC: BA=30º; BB=53º y a=5.
c) 0
5. En un triángulo ABC; (R : circunradio). 2 2 2 2 2 2 2 a +b +c =nR . Hallar: Q=sen A+sen B+sen C a) n
7
7 7
9. Tres lados de un triángulo están expresados por tres números enteros consecutivos: x–1; x; x+1. El ángulo más grande es el doble del más pequeño. ¿Cuál es el coseno del ángulo pequeño?
e) 30º
a) 1 3
b)
a) 1,2
b) 2,1
d) 2,3
e) 2,4
c) 2,2
13. En un triángulo ABC, reducir: Q = a sen B + b sen A a sen C + c sen A
c) 27
108
a) sen B sen C
b) sen A sen C
d) sen C sen B
e) sen A sen B
c) sen C sen A
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Trigonometría 14. En un triángulo ABC: (R: circunradio)
18. En
2
un
triángulo
ABC:
2
2
2
2
a +b +c =mR ;
(R:
ab + bc + ca = nR . Hallar:
circunradio). Hallar: Q=cos 2A + cos 2B + cos 2C.
Q=senA.senB.senC(cscA + cscB + cscC)
a) 3–m 2
b) m–3 2
d) 6–m 2
e) 3 + m 2
a) n
b) n 2
c) n 4
d) 3n 2
e) 3n 4
19. En un triángulo ABC, reducir:
15. En un triángulo ABC: a=2; b=5 y BC=53º. Calcular "c". a) 7 d)
17
b)
7
e)
23
c) 17
16. En un triángulo ABC se cumple: a = b = sen A cos B
b) 45º
d) 65º
e) 75º
2 2 2 2 2 2 J = e a + b –c o e a + c –b o 2 2 2 2 b + c –a a cos B . cos C
a) sec A
b) 2 sec A
d) 4 sec A
e) 5 sec A
c) 3 sec A
20. En un triángulo ABC:
c . Hallar el mayor ángulo. 3 cos C
a) 35º
c) m–6 2
c) 55º
b – a cos C = 1 y a – b cos C = 2 . Hallar: "BC" c 2 c 2 a) 45º
b) 75º
d) 30º
e) 15º
c) 60º
17. Del gráfico mostrado, determine: sec (A+B) B
12
172
A
14
a) –1
b) –3
d) –2
e) 2
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C c)
3
109
San Marcos
Capítulo 26 y 27
Funciones trigonométricas I y II
26 y 27
Definición de función trigonométrica F.T. = " (x; y) / y = R.T. (x) ; x ! D (F.T.) ,
Por ejemplo: F.T. (tangente) = " (x; y) / y = tan x ; x ! D (tan) , Si queremos algunos pares ordenados: F.T. (tan) = '(0;0), ( r ;1), ( r ; 3), ( 2r ; – 3), ...1 3 3 4 Consideración I: Para el análisis de cada una de las funciones trigonométricas, tendremos que recordar las representaciones, en la circunferencia trigonométrica, de las Razones Trigonométricas, así como algunas propiedades adicionales.
B
y q
a A'
b
senq
sena
A senf
senb b
B
B'
y
B
cos a
cos b
A'
q
f
cos f
cos q
tan a
a a A
x
y
A'
A
x
x
f
B'
B'
b
tan b
Cuadro de Variaciones I q
0" ≠ 2
≠ "≠ 2
≠ " 3≠ 2
3≠ " 2≠ 2
sen q
0 "1
1"0
0 " –1
–1 " 0
cos q
1"0
0 " –1
–1 " 0
0 "1
tan q
0"+3
–3 " 0
0"+3
–3 " 0
Además, no olvide que en la circunferencia trigonométrica mostrada, los arcos con extremo en: y B
A es de la forma : 2np; n ∈ Z B es de la forma: (4n+1) ≠ ; n ∈ Z 2
A
A'
x
B'
A' es de la forma: (2n+1) ≠ ; n ∈ Z B' es de la forma: (4n+3) ≠ ; n ∈ Z 2
110
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Trigonometría Pero si debido a alguna condición; puede estar ubicado en: A o A' ; es de la forma: np ; n ∈ Z B o B' ; es de la forma: (2n + 1) ≠ ; n ∈ Z 2 A,A' ; B o B' ; es de la forma: n≠ ; n ∈ Z 2 Por ejemplo: si nos pidiesen hallar "a" que cumple: sen a = 0 ⇒ "a" tiene su extremo en A o A' ∴ a = np ; n ∈ Z sen a = 1 ⇒ "a" tiene su extremo en B ` α = (4n + 1) π ; n ∈ Z 2 cos a = 0 ⇒ "a" tiene su extremo en B o B' ` α = (2n + 1) π ; n ∈ Z 2 cos a = –1 ⇒ "a" tiene su extremo en A' ∴ a = (2n+1)p; n ∈ Z sen 2a = 0 ⇒ "2a" tiene su extremo en A o A' ` 2α = nπ ; α = nπ ; n ∈ Z 2
Análisis de las funciones trigonométricas III. Función trigonométrica seno F.T. (sen) = " (x; y) / y = sen x ; x ! D (sen) , Por lo visto en la representación y de acuerdo al cuadro de variaciones, tenemos: y 1 sen x1
–≠ 2
0
≠ 2
x1
3≠ 2
≠ x2
3≠
2≠ 5≠ 2
x
sen x2 –1
Gráfica que recibe el nombre de sinusoide; desde el cual podemos afirmar: • D(Sen) = R min • R (sen) = 6–1: 1@ & –1 # sen x # 1
máx
• Es una función continua en R. • Es una función creciente y decreciente. • Es una función periódica: T=2p (periodo principal) • Es una función impar: Sen(–x) = – Senx • No es inyectiva.
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Capítulo 26 y 27 IV. Función trigonométrica coseno F.T. (cos) = " (x; y) / y = cos x ; x ! D (cos) , Por lo visto en la representación y de acuerdo al cuadro de variaciones, tenemos: y 1 cos x1 –≠ 2
≠ 2 x2
0
≠
3≠ 3≠ 2
x1
5≠ 2
2≠
x
cos x2 –1
Gráfica que recibe el nombre de cosinusoide; desde el cual podemos afirmar: • D (Cos) = R min
• R (cos) = 6–1: 1@ & –1 # cos x # 1
máx
• Es una función continua en R. • Es una función creciente y decreciente. • Es una función par: Cos(–x) = Cosx • Es una función periódica: T=2p (periodo principal) • No es inyectiva. V. Función trigonométrica tangente F.T. (tan) = " (x; y) / y = tan x ; x ! D (tan) ,
De acuerdo a la representación en la C.T. y el cuadro de variaciones; y con el detalle adicional que la tangente no se define para todo arco cuyo extremo coincide con B o B', (en la C.T.), es decir los arcos de la forma (2n + 1) ≠ , n ! Z no pertenecen al dominio de la función. 2 asíntotas
y
≠ 2
tan a –≠ 2
0
a
tan b
b
≠
3≠
2≠ 3≠ 2
112
5≠ 2
x
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Trigonometría A la curva se le va a denominar tangentoide; y de allí podremos afirmar: • D (tan) = R – $(2n + 1) ≠ ; n ! Z. 2 • R (tan) = R & – 3 < tan x < + 3 • No se define en (2n + 1) ≠ ; n ! Z 2 • Es una función creciente en cada cuadrante. • Es una función impar: tan(–x) = –tanx • Es una función periódica: T = ≠ (período principal) • No es inyectiva. Consideración II: y cot b
B
b
y cot a
B
a
a sec b
x
A
A'
A
A'
x
sec a b
B'
B'
y B csc a
a A
A'
x b
csc b B'
Nótese de los gráficos, aparte de las representaciones de las R.T.; que la cotangente, secante y cosecante no se definen respectivamente, para arcos cuyo extremo coincide con: A y A' ⇒ np ; n ∈ Z B y B' ⇒ (2n+1) ≠ ; n ∈ Z 2 A y A' ⇒ np; n ∈ Z
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Capítulo 26 y 27 Ejercicios Resueltos: 1. Señale el dominio de la función: y = 3 sen x sen 2x + 1 a) IR – $ n≠ . 4
b) IR – $(2n + 1) ≠ . 4
d) IR – $(4n + 3) ≠ . 4
e) IR – $ n≠ . 2
c) IR – $(4n + 1) ≠ . 4
Resolución En este caso: sen 2x + 1 ≠ 0 ⇒ sen 2x ≠ –1 (recuerda que en la C.T. en B': seno=–1) ≠ 2x ! (4n + 3) ≠ & x ! (4n + 3) ≠ ; ∴ D y : IR – $(4n + 3) 4 . ; n ∈ Z 2 4
Rpta: d
2. Señale el dominio de la función: y = 3 cos x + 1 cos 2x + 1 a) IR – {np}
b) IR – {(2n+1)p}
d) IR – $(4n + 1) ≠ . 2
e) IR – $(4n + 3) ≠ . 2
c) IR – $(2n + 1) ≠ . 2
Resolución
En la función: cos 2x + 1 ≠ 0 ⇒ cos 2x ≠ –1 (en A': cos =–1) 2x ≠ (2n+1) p; x ≠ (2n+1) ≠ 2 ∴ D y = IR - $(2n + 1) ≠ . ; n ∈ Z 2
Rpta: c
3. Señale el dominio de la función: y = 2 tan 2x + 1. a) IR – $ n≠ . 4
b) IR – $(2n + 1) ≠ . 2
d) IR – $(4n + 1) ≠ . 2
e) IR – "(4n + 1) 4 ,
c) IR – $(2n + 1) ≠ . 4
Resolución En la función: y=f(x) = 2 tan 2x+1 (recuerde que: tan q = sen q ) cos q y = f (x) = 2 sen 2x + 1 cos 2x Debe cumplirse: cos 2x ≠ 0 (en B y B'; coseno=0) 2x ! (2n + 1 ) ≠ , n ! Z 2 x ! (2n + 1) ≠ " ∴ D f : IR – $(2n + 1) ≠ . , n ∈ Z 4 4
Rpta: c
114
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Trigonometría
Práctica 1. Siendo "Df" y "Rf" dominio y rango de una función "f". Indicar verdadero (V) o falso (F) en: I. F (x) = sen x ; D f ! R / R f ! 6–1; 1@ 2 II. F (x) = 7 cos x ; D f ! R / R f ! 6–7; 7@ 3 III. F (x) = cos2 x + 4 ; D f ! R / R f ! 6 4; 5@ a) VFV
b) VFF
d) VVV
e) FFV
b) R – {0}
c) R – {1}
d) R – {np/n ∈ Z}
3. Calcule el dominio de la función: f (x) = 4 + 2 sen x
d) –1
e) 0
c) 1
d) ;– 1 ; 1 E 8 8
b) 8– 1 ; 1 B 2 2 e) ;– 1 ; 1 E 16 16
c) 8– 1 ; 1 B 4 4
a) [5; 6]
b) [5; 7]
c) [6; 7]
d) [4; 7]
e) [3; 5]
a) [–1; 1]
d) R – "n≠ / n ! Z,
11. Señale el rango de: f(x)=5sen2x+7cos2x
b) R – {np}
2 2 12. Señale el rango de: g(x)=7sen x-2cos x
d) R – $(4n + 3) ≠ . 2
5. Señale el dominio de: f (x) = 3 sen 2x + 1 1 – cos 4x
a) [–2; 7]
b) [–7; 2]
d) [–7; 5]
e) [–5; 2]
c) [–2; 5]
2 2 13. Señale el rango de la función: y=g(x)=5sen x-3cos x
b) R – $(4n + 1) ≠ . 8 d) R – {np}
a) [–3; 5]
b) [–2; 3]
d) [–5; 3]
e) [–3; 2]
c) [–1; 2]
14. Señale el rango de la función: y=2 sen x + cos x
6. Señale el dominio de: h (x) = 3 cos x – 1 1 – sen 4x a) R – $ n≠ . 2 n c) R – $ ≠ . 4 e) R – "4n≠,
b) –8
b) R
4. Señale el dominio de: f (x) = 2 sen x – 1 sen x + 1
c) R – $(2n + 1) ≠ . 8 n ≠ e) R – $ . 4
a) 8
10. Señale el rango de: F(x) = sen x cos x cos 2x cos 4x
e) R – $(2n + 1) ≠ / n ! Z. 3
a) R – $ n≠ . 2
c) 6–3– 13 ; 3 + 13 @
9. Si consideramos M el valor máximo que asume la función: f(x)=(3–senx)(3+senx) y N el valor mínimo que asume la función: g (x) = (cos x – 1 ) (cos x + 1 ) 3 3 Luego: M . N, resulta:
e) R – {2}
e) R – $(2n + 1) ≠ . 2
b) 6–1– 13 ; 1 + 13 @
e) 61– 13 ; 1 + 13 @
a) R
a) R – $ n≠ . 2 c) R – "(2n + 1) ≠,
a) 6–1– 13 ; –1 + 13 @
d) 63– 13 ; 3 + 13 @
c) FFF
2. Determine el dominio de la función: G (x) = 4 cos ( 1 ) x
a) R – $ n≠ / n ! Z. 2 c) R – {0}
8. Determine el rango de: g(x) = 2 (sen x –1) + 3 (cos x + 1)
a) [– 5 ;
5]
b) [– 2 ;
c) [– 3 ;
3]
d) [–5; 5]
2]
e) [–2; 2]
b) R – {np} d) R – $(4n + 1) ≠ . 8
15. Señale el rango de: f(x) =
7. Si "f" es una función definida por: f (x) = sen2 x – 2 sen x + 5 2
5 . sen x – 2 cos x + 1
a) [1; 2]
b) [–2; 4]
d) [–4; 4]
e) [0; 4]
c) [–2; 2]
Calcule el valor de: E = 2 fmax + 4 fmin a) 14
b) 15
d) 17
e) 18
Central 6198-100
c) 16
115
San Marcos
Capítulo 26 y 27
Tarea domiciliaria 1. Halle el rango de: y = f(x) = 3 senx + 1
14. Hallar el dominio de:
2. Halle el rango de: y = f(x) = 7 sen 5x + 1
y = f (x) = cos 5x + 2 sen x – 1
3. Halle el rango de: y = f(x) = 4 cos x – 1
15. Halle el dominio de:
4. Halle el rango de: y = f(x) = 6 cos 4x – 5 y = f (x) = 5. Si: x ∈ IIIC. Hallar el rango de: y = f(x) = 2 sen x + 3
1 cos 4x – 1
16. Halle el dominio de: 6. Si: x ∈ IIIC. Hallar el rango de: y = f(x) = 3 cos x + 2 y = f (x) = 2
2
2
2
3 cos 6x + 1
7. Hallar el rango de: y = f(x) = 2 sen x + 3 cos x 17. Halle el dominio de: y = f(x) = 3 tan 2x
8. Hallar el rango de: y = f(x) = 5 sen x + 4 cos x 18. Halle el dominio de: y = f(x) = 5 sec 3x 9. Hallar el rango de: y = f(x) = 3 sen x + 4 cos x 19. Halle el dominio de: 10. Hallar el rango de: y = f(x) = 2 cos x – 3 sen x y = f (x) = 11. Hallar el dominio de la función:
1 + cot 3x cos x + 1
20. Halle el dominio de: y = f (x) = sen ( 2 ) + 1 x
y = f(x) =
1 + tan 4x sen x – 1
12. Hallar el dominio de: y = f (x) = 2 cos ( 5 ) – 4 2x 13. Hallar el dominio de: y = f (x) =
3 sen x + 1
116
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Trigonometría
28
Repaso
1. Resolver: sen x + sec x = 3 cos x + csc x a) ≠ 3 c)
b) ≠ 6
≠ 12
e) ≠ 2 2. Resolver: 3 sec x − cos x = 1 csc x − sen x b) ≠ 4
d) ≠ 6
e)
a) 30°
b) 45°
d) 22°30'
e) 67°30'
b) ≠ 6
d) 3≠ 2
e) 3≠ 4
e) 6
b) n 2 e) 3n 4
c) n 4
c) 6
e) 9
BA=60º; BB=45º; a=3 3 . Calcular b.
c) 37°
a)
2
b)
d)
6 /2
e) 3 2
6
13. En un triángulo ABC; simplificar: E = a cos A . csc 2A b cos B . csc 2B a) b b) a d) 0
c) ≠ 4
c)
3 /2
c) c
e) 1
14. En un triángulo ABC, reducir: E = (ctgA + ctgB) ab 2R a) 1 b) 2 c) 1/2
2
8. En un triángulo ABC: a = 3 y b = 4. Calcular: Q = 2 sen B + sen A 2 sen B – sen A Central 6198-100
e) sen A sen B
c) sen C sen A
12. En un triángulo ABC, se sabe que:
c) 60°
7. En un triángulo ABC: BA = 30°; BB = 53° y a = 5. Calcular “b". a) 6 b) 8 c) 10 d) 4
d) sen C sen B
d) 1/6
6. Una solución de la ecuación: 4 tan x + 12 cot x = 8 3 es: a) ≠ 3
b) sen A sen C
11. En un triángulo ABC, simplificar: E = asenB + bsenA ; si: b=3c asenC + csenA a) 3 b) 1/3
5. Señale un valor de “x” que verifica: 3 sen x + 4 cos x = 5 e) 60°
a) sen B sen C
d) 3n 2
a) ≠ b) ≠ c) ≠ 10 60 30 d) ≠ e) ≠ 120 180 4. Señale un valor agudo de “x” que cumpla: sen x . cot x + cos x = 1
d) 53°
e) 2,4
a) n
3. Resolver: sen 5x + sen 10x + sen 15x = 3 3 cos 5x + cos 10x + cos 15x
b) 45°
d) 2,3
c) 2,2
10. En un triángulo ABC: (R: circunradio). 2 ab + bc + ca = nR . Hallar: Q = senA.senB.senC(cscA + cscB + cscC)
c) ≠ 3
≠ 12
a) 30°
b) 2,1
9. En un triángulo ABC, reducir: Q = a sen B + b sen A a sen C + c sen A
d) ≠ 4
a) ≠ 2
a) 1,2
117
d) c
e) 2c
15. En un triángulo cuyos lados son proporcionales a los números 5; 7 y 8. Calcular el coseno del mayor ángulo. a) 3/7
b) 4/7
d) 6/7
e) 2/7
c) 5/7
San Marcos
Capítulo 28
Tarea domiciliaria 1. Señale un valor agudo de "x" que cumpla: senx + cosx = 2 a) r 6 d) r 2
b) r 4
c) r 3
e) 0
b) 30°
d) 20°
e) 10°
b) 30°
d) 10°
e) 5°
2
b) 45°
d) 22°30'
e) 67°30'
b) ≠ 4 e) ≠ 10
a) 30º
b) 20º
d) 45º
e) 50º
d) 1
2
b) 2
2
b) n 2 e) 3n 2
c) n 4
a) 250º
b) 350º
d) 550º
e) 650º
c) 450º
12. Resolver: 3 sen 2x = cos x a) 2n≠ ! ≠ 2 ≠ c) 2n≠ ! 4 e) b y c
b) n≠ + (–1) n arcsen 1 6 d) a y b
13. Resolver: sec x − sen x = 3 csc x − cos x 3
c) ≠ 6
a) p/2
b) p/3
d) p/6
e) p/12
c) p/4
14. Resolver: cos 2x = 1 + sen x cos x − sen x
c) 60º
7. En un triángulo ABC: BA = 30°; BC = 45° y c = 2. Calcular “a”.
2
11. Sume las tres primeras soluciones positivas de: 2 2 cos x - 1 = senx
c) 60°
6. Si = sen 5x + sen x = 3 , entonces el valor de "x" es: cos 5x + cos x
a)
d) 3n 4
c) 15°
5. Señale un valor agudo de “x” que cumpla: 4 sen2 x + cos2 x = 7 4 a) ≠ 3 ≠ d) 8
a) n
2
a) 30°
e) 1
Q = sen A + sen B + sen C
c) 15°
4. Señale un valor agudo de “x” que cumpla: tanx.cosx + senx =
d)
c) 0
a2 + b2 + c2 = nR2 . Hallar:
3. Señale un valor agudo de "x" que cumpla: ctg3x = 1 a) 45°
b) 2R
10. En un triángulo ABC: (R: circunradio).
2. Señale un valor agudo de "x" que cumpla: tg(x – 10°) = 3 4 a) 37°
a) R
a) 0
b) p
d) a y b
e) a y c
c) 2p
15. Resolver: 2 cos 3x . cos x – 4x = 1 2
c) 4
e) 4 2
a) p/3
b) p/6
d) p/12
e) p
c) p/9
8. En un triángulo ABC: a = 2 y b = 3. Calcular: A = sen B + sen A sen B – sen A a) 1 3 5 d) 3
b) 3
c) 4 3
e) 5
9. En un triángulo ABC, reducir: (R: circunradio) Q = a(senB– senC) + b(senC–senA) + c(senA–senB) 118
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Trigonometría
Complemento de funciones trigonométricas
29
1. Señale el rango de:
6. Señale verdadero (V) o falso (F) según corresponda, en:
f(x) = 2 cos 4x – 1. a) [–3;0]
b) [–3:1]
d) [–1;1]
e) [–3;3]
I. La función: y = senx, es creciente en <0; p>
c) [–3;2]
II. La función: y = senx, es decreciente en < – ≠ ; ≠ > 2 2 III. La función: y = senx, es creciente en < 3≠ ; 2≠ > 2
2. Señale el rango de: 2
2
f(x) = 5 sen x + 7 cos x a) [5;6]
b) [5;7]
d) [4;7]
e) [3;5]
c) [6;7]
a) FVF
b) FFF
d) VFF
e) VVF
c) FFV
7. Señale verdadero (V) o falso (F) según corresponda en:
3. Señale el rango de: I. La función: y=sen x, tiene un máximo en <0;p>
f(x) = 2(sen x + 3) – cos x + 1 a) 6– 5 ; 5 @ c) [–7; 7] e) 6 - 3 ; 3 @
II. La función: y=senx, tiene un máximo en < – ≠ ; ≠ >. 2 2
b) 6– 5 + 7; 5 + 7@
d) 6– 3 + 7 ; 7 + 7@
III. La función: y=senx, tiene un mínimo en .
4. Señale el dominio de: f (x) = 3 sen 2x – 1 1 – sen x
a) VFV
b) VVF
d) FFV
e) VVV
c) FVV
8. Una función: y = f(x), se llama:
a) IR – $ n≠ . 2
b) IR – $(4n + 1) ≠ . 2
Par, si: f (–x) = f (x); ` 6 x, –x ! D f
c) IR – "n≠,
d) IR – $(4n + 3) ≠ . 2
Impar, si: f (–x) = –f (x); ` 6 x, –x ! D f
e) IR – $(2n + 1) ≠ . 2
Señale si son pares (P) o impares (I) las siguientes funciones:
5. Señale el dominio de:
f(x) = sen 2x . cosx
f (x) = 3 sen 2x + 1 1 – cos 4x
g(x) = tan x . cos 2x 2
a) IR – $ n≠ . 2
b) IR – $(4n + 1) ≠ . 8
c) IR – $(2n + 1) ≠ . 8
d) IR – {np}
h(x) = sec x + csc x a) P; P; I
b) P; P; P
d) P; I; P
e) I; P; P
c) I; I; P
e) IR – $ n≠ . 4 Central 6198-100
119
San Marcos
Capítulo 29 9. Grafique en [0; 2p]:
10. Grafique en [0; 2p]:
f(x) = 2 sen x + 1
y = h(x) = 3 cos x – 1
y
y
0 0 a)
x
a)
y
0
x
y
0
x
b)
x
b)
y
0 c)
y
x x
c)
y
0
y
x
d)
d)
y
0
0
x
y
x 0
e)
e)
120
x
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Trigonometría
Tarea domiciliaria 1. Señale el rango de la función: g(x) = 4 cos x – 3 a) [–3;1] b) [–7:–1] c) [–5;1] d) [–7;1]
e)
y
e) [–7;3] 2
2
2. Señale el rango de: g(x) = 7 sen x – 2 cos x a) [–2;7]
b) [–7;2]
d) [–7;5]
e) [–5;2]
x
c) c)[–2;5] 2
2
3. Señale el rango de la función: g(x)=5sen x – 3cos x a) [–3;5]
b) [–2;3]
d) [–5;3]
e) [–3;2]
c) [–1;2]
7. Grafique en [0; 2p]; g(x) = 3 cos x + 1 a)
y
4. Señale el rango de la función: y = 2 sen x + cos x a) 6– 5 ; 5 @
d) [–5;5]
b) 6– 2 ; – 2 @ e) [–2;2]
c) 6– 3 ; 3 @
5. Señale verdadero (V) o falso (F) según corresponda, en: I. La función: y = cosx, es creciente en <0; p>. II. La función: y = cosx, es decreciente en . III. La función: y = cosx, es creciente y decreciente en < – ≠ ; ≠ > . 2 2 a) FFF b) FFV c) FVF d) VFF
b)
y x
e) VVF c)
6. Grafique en [0; 2p]; g(x) = 2 sen x – 1 a)
x
y
y x x d)
b)
y
y x x e)
c)
y
y x
x d)
8. Sume los periodos principales de: f (x) = 2 sen5 (3x – ≠ ) – 1; g (x) = 4 sec 4 (4x + ≠ ) – 3 4 8
y
x
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121
a) 5≠ 6
b) 11≠ 6
d) 7≠ 3
e) 4≠ 3
c) 11≠ 12
San Marcos
Capítulo 29 9. Halle la ecuación de la curva mostrada, si es de la forma: y = acosbx + c. y
c)
d)
y
y
3 x
x
≠
0
x e)
-5 a) y = 3 cos 2x + 1
b) y = 3 cos 4x + 1
c) y = 4 cos 4x + 3
d) y = 4 cos 2x – 1
y
x
e) y = 3 cos 4x – 1 10. Halle la ecuación de la curva mostrada, si es de la forma: y = a cos bx + c y
13. Halle "a" si el periodo mínimo de: g (x) = 3 cosa (ax + ≠ ) es 2≠ 5 4
4
0 -2 a) y = 3 cos 2x + 1
b) y = 3 cos 4x + 1
c) y = cos 4x + 3
d) y = cos 2x + 3
e) y = 3 cos 4x – 1 3
3
11. Grafique en [0; 2p]: h(x) = tan x . cos x + sen x a)
b)
y
b) 3
d) 7
e) 9
c) 5
14. Sume los periodos mínimos de: f(x) = tan(2x) con el periodo mínimo de: g (x) = 2 cos6 (3x – ≠ ) + 1 5
x
≠ 2
a) 1
a) 7≠ 6
b) 5≠ 6
d) ≠ 6
e) ≠ 3
c) ≠ 4
15. Halle la ecuación de la curva mostrada, si es de la forma: y = a sen bx + c. y
y
4 x c)
x d)
y
0
e)
x
-2
y
x
≠
x
a) y = 2sen2x + 1
b) y = 3sen2x – 1
c) y = 3sen2x + 1
d) y = sen2x – 1
e) y = sen2x + 2
y
x 12. Grafique en [0; 2p], la función: y = tanx . cosx a)
b)
y
x
y
x
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Trigonometría
Funciones trigonométricas inversas I y II
30 y 31 Introducción
Según el análisis de funciones; la condición suficiente para que una función posea inversa, es que debe ser inyectiva:
y
y
y h g
f
x
x
f no es inyectiva
x
g no es inyectiva
h si es inyectiva
Las funciones trigonométricas; debido a su carácter periódico no son inyectivas:
y
y
1
–≠ 2
y=tan x
y=sen x
0
≠ 2
≠
3≠ 2
x
–≠ 2
0
≠ 2
≠
3≠ 2
x
–1
Según este comentario, las funciones trigonométricas no poseen inversa. Sin embargo; es posible redefinir la función trigonométrica, restringiendo su dominio (sin alterar su rango), a un intervalo donde sea inyectiva y en consecuencia se pueda obtener su inversa.
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123
San Marcos
Capítulo 30 y 31 Obtención y análisis de las funciones trigonométricas inversas I. Función trigonométrica seno inverso o arco seno De la función: y = sen x
Tomamos el dominio: 8– ≠ ; ≠ B 2 2 El rango no cambia: [–1; 1]
y 1
Luego para hallar la inversa; hacemos en: y = sen x . . x = sen y
–≠ 2
≠ 2
0
x
≠
3≠ 2
–1
Esto es: "y es un arco o número cuyo Seno vale x". Lo cual se denotará: y = ArcSenx Finalmente, como el dominio y rango se intercambian con el de la función original; tendremos: f
f*
y = f(x) = sen x
y = f*(x) = arcsen x
Dom 8– ≠ : ≠ B 2 2
Dom * 6–1: 1@
Ran 6–1: 1@
Ran * 8– ≠ : ≠ B 2 2
Cumpliéndose :
y ≠ 2 –1
x 0
1
–≠ 2
arcsen (– x) = –arcsen x
II. Función trigonométrica coseno inverso o arco coseno y 1
De la función: y = Cosx Tomamos el dominio: [0; p]
–≠ 2
Sin cambiar el rango: [–1; 1]
≠ 2
0
≠
x 3≠ 2
–1 Luego para hallar la inversa procedemos igual que en el caso del "ArcSenx"; obteniéndose: f
f*
y = f(x) = cos x
y = f*(x) = arccos x
Dom [0; p]
Dom * [–1; 1]
Ran [–1; 1]
Ran * [0; p]
y
≠ 2
–1 Cumpliéndose :
≠
0
1
x
arccos (– x) = ≠ – arccos x
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Trigonometría III. Función trigonométrica tangente inverso o arco tangente y De la función: y = Tanx Tomamos el dominio: < – ≠ ; ≠ > 2 2
–≠ 2
≠
≠ 2
0
x 3≠ 2
Sin cambiar el rango: < –3; + 3 >
Luego, para hallar la inversa de la función Tangente, procedemos igual que en los casos anteriores, obteniéndose: y
f
f*
y = f(x) = tan x
y = f*(x) = arctan x
Dom < – ≠ : ≠ > 2 2
Dom * < –3; + 3 >
Ran < –3; + 3 >
Ran * < – ≠ : ≠ > 2 2
Cumpliéndose :
≠ 2
0
x
–≠ 2
arctan (– x) = – arctan x
Ejercicios Resueltos: 1. Calcular: q = arctan 3 – arctan
a) ≠ 3
3 3
b) ≠ 6
c)
≠ 11
d) ≠ 4
e) ≠ 8
Resolución Tenemos: θ = arctan 3 – arctan 3 = α – β 1 44 2 44 3 3 1 44 2 44 3 α β
hacemos: a = arctan 3 " "a es un arco cuya tangente vale
3"
" α = π ... (60º) 3 b = arctan
3 " "b es un arco cuya tangente vale 3 " 3 3
" β = π ... (30º) 6 Luego: θ= π – π " ` θ = π 3 6 6
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Rpta: b
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San Marcos
Capítulo 30 y 31
2. Calcular: q = arccos (– 3 ) – arctan (– 3 ) 3 a) ≠ 6
b) 7≠ 6
c) 2≠ 3
d) 4≠ 3
e) ≠
Resolución Tenemos: θ = arctan (– 3 ) – arctan (– 3 ) = α – β 2 4244 3 1 444 2 444 3 1 44 β α
hacemos: α = arccos (– 3 ) = – arccos 3 + π = – π + π = 5π 2 2 6 6 β = arctan (– 3 ) = – arctan 3 = – π 3 Luego: θ = α – β = 5π – (– π ) " ` θ = 7π 3 6 6
Rpta: b
3. Señale el rango de la función: y = 2 arcsen x + ≠ 4 a) 8– 7≠ ; 3≠ B 4 4
b) 8– ≠ ; 3≠ B 4 4
c) 8– 3≠ ; 5≠ B 4 4
d) 8– 5≠ ; 3≠ B 4 4
e) 8– 3≠ ; ≠ B 4 4
Resolución En estos casos, se parte de la función básica: arcsen x; –1 ≤ x ≤ 1; Sabemos que: – r # arc sen x # r 2 2 Multiplicando por 2: –p ≤ 2 arc sen x ≤ p Sumando ≠ : 4 – 3r # 2.arc sen x + r # 5r 4 1 4444 2 444443 4 y ` R f : 8 – 3≠ ; 5≠ B 4 4
Rpta: c
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Trigonometría
Práctica 1. Calcular el valor de:
8. Dada la función: h (x) = 1 arccos 4x + 3≠ . 4 4 Halle: rangoh
K = arcsen ( 1 ) + arccos ( 2 ) + arctan (1) 2 2 a) 2≠ 3
b) ≠ 3
d) 5≠ 6
e) 2p
c) ≠ 2
a) 80; ≠ B 4
b) 8 3≠ ; ≠B 4
d) 8 ≠ ; ≠B 2
2. Calcular:
c) 8 5≠ ; 7≠ B 8 8
e) 8 5≠ ; 3≠ B 4 2
9. Graficar: y = 4 arc sen (x –1) + p
P = arccos (– 1 ) –arcsen (– 3 ) + arctan (– 3 ) 2 2 a) ≠
b) ≠ 2
d) ≠ 3
e) 2≠ 3
a)
b)
y
y
c) 5≠ 6
x
x
3. Calcular: N = sen 'arccos ; sen (arccos a) 0 d)
b) 1 3 2
e)
c)
3 )E1 2
x
2 2 e)
R = sec2 (arctan 2 ) + csc2 (arc cot 3 ) b) 3
d) 7
e) 9
x 10. Grafique la función: y = 2 arccos x – ≠ 4
arcsenx + arcseny + arcsenz = 2≠ . Calcule: 3
a)
M = arccos x + arccos y + arccos z a) 5≠ 6
b) 7≠ 6
d) 5≠ 3
e) ≠ 6
d) [–1; 2]
e) 6–2; 1@
d) 8 5 ; 2B 6
Central 6198-100
b) ;– 1 ; 2E 3
e) ;– 1 ; 5 E 3 6
y
x c)
x d)
y
y x
c) 8–1; 1 B 2
x
7. Dada la función: h (x) = 5 arccos ( 6x–5 ) ; halle: Domh 6 7 a) 8–1; 4 B 3
b)
y
c) 2≠ 3
6. Dada la función: g (x) = 2 arcsen ( 2x–1 ) , halle: Domg 3 3 b) 8 1 ; 2B 2
x
y
c) 5
5. Si:
a) [–2; 3]
y
c) 1/2
4. Calcular:
a) 1
d)
y
e)
y
c) ;–2; 1 E 3 x
127
San Marcos
Capítulo 30 y 31 15. Grafique la función: y = 3 arccos (2x–1) – p
11. Calcular: sen (arcsen 0,8 – arcsen 0,6) a)
7 24
7 25
b)
d) 24 25
c)
a)
7 23
2≠
b)
y
2≠
y
e) 24 7
12. Si: arcsen x + arccos y = ≠ . Calcule: 2 E = arcsen y + arccos x a) p
b) ≠ 2
d) ≠ 6
e) ≠ 3
x
0
1
–≠ c) ≠ 4
c)
b) 6
d)
y
d) 22
e) 24
y 2≠
2≠
0
–1
c) 16 e)
x
–≠
13. Hallar: K = sec2 (arctan 2) + csc2 (arc cot 4) a) 20
1
0
x
x –1
0 –≠
–≠
y
14. Grafique: y = 2 arcsen x + ≠ 2 4 a)
b)
y
2 3≠ – 4
c)
x
–2
d)
x
2
x
1
x
y 5≠ 4
5≠ 4 1 – 3≠ 4
e)
1
– 3≠ 4
y
–1
0
5≠ 4
5≠ 4 –2
–1
y
x
–1 – 3≠ 4
y 5≠ 4
–1 2
1 2 – 3≠ 4
x
128
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Trigonometría
Tarea domiciliaria 1. Calcular: M = arcsen ( 1 ) + arctan (1) 2 ≠ 12
b) 3≠ 5
d) 7≠ 12
e) 6≠ 5
a)
2. Calcular: E =
9. Calcule: E = arctan 1 + arctan 1 3 2 c) 5≠ 12
b) 2
d) –1
e) –2
c) 3
3. Calcular:
a) ≠ 6
b) ≠ 3
d) 5≠ 6
e) 15≠ 8
c) 2≠ 3
a)
5 12
b)
d)
5 13
e) 13 5
7 12
a) 8 15
b) 8 17
d) 15 19
e) 2 17
b) 2 11
d) 5
5
e)
35
d) ≠ 4
e) ≠ 5
c) ≠ 3
a) –3
b) –2
d) 2
e) 1
c) 3
b) 1 1 5
e)
c)
5
2 5
13. El valor de: arctan ( tan 2 – cot 2 ) 2 a) 4– ≠ 2 d) 4
c) 15 17
b) 4–≠
c) 4– 3≠ 2
e) 4–2≠
14. Calcular:
c)
E = 5 cos (arctan 7 ) + cot (arcsen 5 ) + 6 sec (arc sec 5) 13 24 3 11
5 11
b)
b) ≠ 2
d)
a) 36,2
b) 36,9
d) 37,2
e) 35,2
c) 39,6
15. Hallar "x". 7 arcsen x = 5≠ + arccos x 6
7. Calcule: E = tan (arc cos 1 ) 4 3
a) ≠
a) 2
c) 13 12
6. Hallar el valor de: K = tan ( 1 arccos 60 ) 2 61
a)
e) 2≠
12. Resolver: arcsen 2x = arcos x
5. Calcular: A = sen (2 arctan 1 ) 4
e)
d) ≠ 3
E = cot ' 1 arctan ;cos (2 arcsen 7 )E1 2 8
4. Siendo: sen q = 5 . Hallar: E = tan (arcot(cosq)) 13
d) 4 11
c) ≠ 6
11. Obtenga el valor de:
M = 2 arccos (–1) + 1 arcsen ( 2 ) + arctan (–1) 2 2
1 11
b) ≠ 4
10. Hallar: arcsen 1 + arc cot 3 5
arccos (–1) arcsen (1)
a) 1
a)
a) ≠ 2
c)
a)
15
d)
2 2 6– 2 4
b) 1 2 e)
c)
3 2
6+ 2 4
8. Calcule: arccos (– 1 ) 2 a) ≠ 2
b) ≠ 3
d) 3≠ 4
e) 2≠ 3
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c) 5≠ 2
129
San Marcos
Capítulo 32
32
Repaso
1. Dada la función: g (x) = 2 Arcsen ( 2x − 1 ) ; Halle: Domg 3 3 a) [–2; 3] d) [–1; 2]
b) [ 1 ; 2] 2 e) [–2; 1]
9. Graficar: y = 4 ArcSen (x – 1) + p a)
c) [–1; 1 ] 2
b)
y
y
x 2. Dada la función: h(x)= h (x) = 5 Arc cos ( 6x − 5 ) 6 7 Halle: Domh a) [–1; 4 ] 3 d) [ 5 ; 2] 6
b) [– 1 ; 2] 3 e) [ − 1 ; 5 ] 3 6
c)
c) [–2; 1 ] 3
d)
y
3. Halle el dominio de la siguiente función: b) <–3; 3>
d) <0; 3>
e) [3; +∞>
c) [0; 3]
e)
e) <–∞; –2>
5. Dada la función: g(x) = 2 Arc sen x – r; halle: Rang 2 a) [–p; 3p]
b) [–p; p]
d) [ − π ; 3π ] 2 2
e) [0; 2p]
x 10. Grafique la función: y = 2 Arc cosx – ≠ 4 a)
c) [–2p; 0]
b)
y
6. Dada la función: h(x) = 1 Arc cos4x + 3r ; halle Ranh 4 4 a) [0; ≠ ] 4 ≠ d) [ ; p] 2
b) [ 3≠ ; p] 4 5 e) [ ≠ ; 3≠ ] 4 2
b) [0; 3p]
d) [–p; p]
e) [–p; 0]
y
x
c) [ 5≠ ; 7≠ ] 8 8
c)
x d)
y
7. Halle el rango de la siguiente función: y = 4 Arc sen |x| + p a) [–p; 3p]
x
y
4. Halle el dominio de la siguiente función: y = 2 Arc tan x + 2 − π 4 a) [–2; 2] b) <–2; 2> c) [–2; +∞> d) <–∞; 2]
y
x
y = Arctan x − 3 a) [–3; 3]
x
y x
x
c) [p; 3p] e)
y
8. Halle el rango de la siguiente función: 2 y = 2 Arc cos (–x ) – p a) [0; p]
b) [–p; p]
d) [p; 2p]
e) [–2p; p]
c) [–p; 0] x 130
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Trigonometría 13. Hallar el rango de la siguiente función: y = f(x) = Arc senx + Arc tanx + Arc cosx
11. Graficar: f(x) = Arc sen 5x a)
b)
y
y
p/2
a) [ − π ; π ] 2 2 d) [0; p]
p/2
x –1/5
x
1/5
–5
–p/2
5
d)
y
y p
5p
x –1
–1/5
a) [0; p]
b) [0; 2p]
d) [–p; 2p]
e) [–2p; 2p]
y
1/5
y=Arc senx
–p
–5p
e)
c) [p; 2p]
15. Hallar el área de la región triangular A'PA.
x
1
e) [0; 2p]
14. Hallar el rango de la siguiente función: y=f(x)=Arc secx+Arc tanx+Arc cscx+Arc cotx+Arc cosx
–p/2
c)
c) [ − π ; 0] 2
b) [–p; p]
P A'
y
3 2
A
x
p/2
x –1
1 2 a) ≠ u 6 2 d) ≠ u 2
–p/2
12. Graficar: y = 3 Arc cos (5x – 2) a)
b)
y
2p
3≠ 2
p
2 5
c)
3 5
1 5
x d)
y
p
2p p
e) p
–1
–1 x
−2 −1 5 5
2 c) ≠ u 3
y
3p
1 5
2 b) ≠ u 4 2 e) ≠ u 12
2 5
x
y
1
x
–p
y 1
x
–p
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131
San Marcos
Capítulo 32
Tarea domiciliaria 2
5 2
E = sen arcsec a) 1/2
b) 2/3
d) 2 5 5
5 e) 10
c)
5 5
a) 2/5
b) 3/5
d) 12/13
e) 15/18
c) 5/13
d) –1
e) –2
d)
e)
a)
d) 2 3 3
c)
p
6
5 +1 4
b)
2 /2
e)
3 2
c)
b) –p/6
d) p/3
e) p/2
2 /4
3 2
a)
5 y 4
7 4
c)
7 y − 7 4 4
e)
5 y − 5 4 4
b) solo d)
7 4
7 8
3 5
5p 7p + arcsen sen 6 6 c) p/6
a) 0
b) 4/5
d) 7/25
e) 25/24
b) 2p+1
d) 2 (p+1)
e) 2(p+2) + arcsen
c) 24/5
14. Calcular el valor de la siguiente expresión: sen 2arccot4 – arctan
a) 2p–1
2 a
e) 2
13. Hallar: x
7. Calcular: q = arccos(cos2) + arccos(cos4)
a+1
e) 60º
2arccot2 + arccos = arccscx
+ arcsen sen
a) 0
8. Si: arcsen
d) 30º
c) 67º30'
Son:
3 2
6. Calcular: q = arcsen sen
b) 45º
cos(arcsenx) + sen(arccosx) =
x x +1
2
a) 22º30'
12. El valor o valores que verifican:
5. Si: tan(arctan2x) + cot(arccotx) = 6, calcular: k = tan arccos
2 +1 1 – arctan 2 –1 2
d) 1
b) 1/4
5 −1 4
e) 12
c) 0
4. Hallar "x", si: 4 arcsenx = arccosx a) 1/2
d) 27
c) 15
11. Dada la ecuación: arctan(x + 1) – arctan(x – 1) = arctan1 Indicar la suma de las soluciones. a) –2 b) –1 c) 0
x–2 x = arcsec x+1 2 b) 2
b) 13
10. Calcular el valor de:
2 3
3. Resolver:
a) 1
a) 7
x = arctan
2. Hallar el valor de: cos2 arctan
arctan
2
9. Reducir: M = sec (arctan3) + csc (arccot4)
1. Calcular:
c) 2(p–1)
5 12
a) 9/100
b) 19/200
d) 0
e) 1/10
c) 21/221
15. Si: 0 ≤ x ≤ 1, entonces, podemos afirmar que: 2
arccos(2x – 1) es igual a:
1 – a = p, 1+a 2
el valor de "a" es: a) a=1; a=0
b) a=2/3
c) 0 ≤ a ≤ 1
d) a=1; a=2
a) arccosx
b) arcsenx
d) 2arccosx
e) arccos2x
c) 2arcsenx
e) a=1
132
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Trigonometría
Complemento de razones 33 trigonométricas de ángulos agudos Definición de razones trigonométricas Son los resultados que se obtienen al dividir entre sí los lados de un triángulo rectángulo. Dichos resultados, asumirán un nombre que dependerá de la posición de los lados que se dividen, respecto a uno de los ángulos agudos del triángulo. Así tendremos: C b
b a
A
seno de "a": sen a = C.O. H
a B
c
cosecante de "a": csc a =
H C. O.
coseno de "a": cos a = C.A. H
secante de "a": sec a = H C.A.
tangente de "a": tan a = C.O. C.A.
cotangente de "a": cot a = C.A. C. O.
Para: "a": a = cateto opuesto (C.O.) c = cateto adyacente (C.A.) b = hipotenusa (H) Sin olvidar que: a+b = 90º
2
2
2
a +c =b
(Teorema de Pitágoras)
Por ejemplo: Calcule la razones trigonométricas (R.T.) del ángulo mencionado en cada caso:
q
7
2
2 q
a 5
4
3
tan a =
cot q =
csc q =
2 6
b
a
5
5 3
b cos b =
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sec b =
3 sen a cos a =
133
1
.
=
San Marcos
Capítulo 33 Triángulos rectángulos de ángulos notables
2 45º
45º
60º
2
1
30º 1
53º
5
1
75º
6− 2
15º
37º
6+ 2
4
3
4
3
R.T. de los ángulos notables 30º; p/6
60º; p/3
45º; p/4
37º
53º
15º; p/12
sen
1 2
3 2
2 2
3 5
4 5
6− 2 4
6+ 2 4
cos
3 2
1 2
2 2
4 5
3 5
6+ 2 4
6− 2 4
tan
3 3
3
1
3 4
4 3
2− 3
2+ 3
cot
3
3 3
1
4 3
3 4
2+ 3
2− 3
75º; 5p/12
sec
2 3 3
2
2
5 4
5 3
6− 2
6+ 2
csc
2
2 3 3
2
5 3
5 4
6+ 2
6− 2
Por ejemplo, determine el valor de cada expresión, en:
2 K = sen 30° 2+ cos 30° 2+ tan 37° sec 60° + sec 45°
K=
K=
(sec 53° + cot 37°) (csc 53° + tan 37°) tan 45° + tan2 60°
sen 37° cos 60° (2 tan2 60° − 1) tan2 30° + sen 30°
K=
134
(csc 30° + 3 tan 53°) cos2 30° sec2 30° tan 37°
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Trigonometría
Práctica 1. En un triángulo rectángulo ABC (B = 90°); reducir: L = senA. secC + cosA.cscC a) 1 b) 2 c) 3 d) abc e) 4 2. En un triángulo rectángulo ABC (B = 90°); simplificar: L = tan A . tan C + 1 cot A . cot C + 1 a) 1 b) 2 c) 3 d) ac e) 4 3. En un triángulo rectángulo ABC (B = 90°); reducir: L = a . sen C + c . sen A ac –1 a) b b) 2b c) b –1 d) 2b e) 3b 4. En un triángulo rectángulo ABC (B = 90°); reducir: L = 3 a tan A c . tan C a) 1 b) 1/2 c) 2 d) a/c e) 3 5. En un triángulo rectángulo los lados menores miden 3 y 7 . Calcular el seno del mayor ángulo agudo de dicho triángulo. a) 0,25 d) 0,75
b) 0,45 e) 0,35
c) 0,5
6. En un triángulo rectángulo los catetos miden 2 y 5 . Calcular la secante del mayor ángulo agudo. a) 1,25 d) 0,75
b) 0,45 e) 1,5
c) 0,5
7. En un triángulo rectángulo, el seno de uno de los ángulos agudos vale 0,6. Calcular el perímetro del triángulo, si la hipotenusa mide 15 cm. a) 12 cm d) 48
b) 21 e) 25
c) 36
2
b) 3 e) 4
5
b) 3
d)
5 /2
e) 2
d) 4 2
c) 3/2
b) 2 e) 4
c) 2 2
12. Si “f” es un ángulo agudo; tal que: sec f = 13 , 3 2 2 Calcular: L = 13 sen f + 4 cot f a) 7 b) 9 c) 11 d) 13 e) 16 13. En un triángulo rectángulo ABC (B = 90°); se traza la ceviana "AD" (“D” en BC), tal que: BD = 2DC. S S Si: BAD = α y ACB = b ; calcular: L = tan a . tan b a) 2 d) 3/2
b) 3 e) 1/3
c) 2/3
14. En un cuadrado ABCD se traza la ceviana AE (“E” en S = a y S = b; calcular: BC). Si: BEA EDC L = cota + tanb a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 15. En un cuadrado ABCD se toman los puntos “E” y “F” sobre BC y CD respectivamente; tales que: BE=3EC S = a y S = b; calcular: y CF = FD. Si: BAF EFC L = tan α tan β a) 1 b) 2 c) 4 d) 1,5 e) 3 16. Se tiene una circunferencia de radio 5 cm. Si la distancia mínima de un punto exterior “P” a la circunferencia es de 2 cm; calcular la cotangente de la mitad del ángulo que forman las tangentes trazadas desde “P” a dicha circunferencia. 6 5
d) 2 6 3
b) 2 6 5 e)
c)
6 3
6 4
2
2
17. Reducir: C = sen 45º + sen 30º a) 1/4 d) 3/4
c) 3/2
9. En un triángulo rectángulo un cateto es el doble del otro. Calcular la secante del mayor ángulo agudo. a)
a) 2
a)
8. En un triángulo rectángulo, la tangente de uno de los ángulos agudos vale 3. Si la hipotenusa mide 2 10 cm, ¿cuál es el área del triángulo? a) 6 cm d) 2
11. Si “q” es un ángulo agudo; tal que: cos q= 1 ; calcular 3 “tanq”.
b) 1/2 e) 2/5
c) 2
18. Siendo: tan f = sen 60º, calcular "senf" a) d)
2 3 3 7
b) e)
3 5 1 2
c)
2 7
10. Si “a” es un ángulo agudo, tal que: sena= 2 ; calcular 3 “cota”. a) 1/2
b) 2
d)
e) 4
5 /2
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c)
5
135
San Marcos
Capítulo 33
Tarea domiciliaria S = 90°); 1. En un triángulo rectángulo ABC (B Simplificar: K = a tan C + b cos A c a) 1 b) 2 c) 2c d) c/2 e) 3 S =90º), cuyo 2. En un triángulo rectángulo ABC (B perímetro es "2p"; hallar: K = c tanA + a cscA + b senC a) p b) 2p c) p/2 d) 4p e) 3p 3. En un triángulo rectángulo, un cateto es el triple del otro. Calcular el seno del mayor ángulo agudo del triángulo. a) 1/4 d) 3/4
b) 1/ 10 e) 1/2
c) 3/ 10
4. En un triángulo rectángulo, la hipotenusa es el cuádruple de un cateto. Calcular el cuadrado de la cotangente del menor ángulo agudo del triángulo. a) 16 d) 1/15
b) 15 e) 11
c) 17
5. En un triángulo rectángulo, el seno de uno de sus ángulos agudos es 0,6. Si el perímetro del triángulo es 48 cm, ¿cuánto mide el menor lado? a) 6 cm d) 16
b) 3 e) 5
c) 12
6. En un triángulo rectángulo, la tangente de uno de sus ángulos agudos es 2,4. Si el mayor lado del triángulo mide 52 cm, ¿cuál es el perímetro del triángulo? a) 100 cm d) 140
b) 120 e) 150
c) 160
10. Si: sec f=1,5; "f" es agudo, calcular: S = sen f . tan f + 1 6 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 2
11. Calcular el valor de: P = sen 45° cos30° a) d)
3 2 3 6
a) 3/4 d) 4/3
b) 0,2 e) 0,5
e)
3 3
c)
3 4
b) 3/2 e) 1/2
c) 2/3
13. Siendo: tan a = sen 60º; "a" es agudo, 2 2 Calcular: R = 2sec a + cos 45º a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 14. Siendo: senb = tan37°; "b" es agudo, 2 2 Calcular: S = 3cot b – tan 30° a) 1 b) 2 c) 3 d) –1 e) –2 15. En un triángulo rectángulo ABC (B = 90º), reducir: J = a . sec C + b . sen A + c Si su perímetro es 20 cm a) 20 cm b) 10 c) 5 d) 40 e) 30 16. Del gráfico, calcular: Q = tan a + tan q; si: ABCD es un cuadrado. E B C F a
q
A a) 1 d) 2,5
D b) 2 e) 3
c) 1,5
17. En un triángulo rectángulo ABC (B = 90º), se cumple: tan A = 4 tan C. Calcular: sen A . sen C a) 0,1 d) 0,4
9. Si: tan q = 2; "q" es agudo, calcular: R = senq . cosq a) 0,1 d) 0,4
3
2 12. Calcular: Q = sen 60° tan 30° + sen 45° tan 37°
7. Si: sen a = 2 ; "a" es agudo, calcular: 3 P = 5 cot a + 1 2 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 8. Si: cos b = 1 ; "b" es agudo, calcular: Q= 2 tanb+1 3 a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
b)
c) 0,3
136
b) 0,2 e) 0,5
c) 0,3
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Trigonometría
Complemento de identidades trigonométricas de una variable
34 Definición
Son aquellas igualdades que se establecen entre las razones trigonométricas de una cierta variable angular y se verifican para todo valor admisible de dicha variable. Clasificación I. I. T. recíprocas sen x . csc x = 1
• csc x =
cos x . sec x = 1
1 sen x
• sec x =
tan x . cot x = 1
1 cos x
• cot x =
1 tan x
II. I. T. por división tan x = sen x cos x
cot x = cos x sen x
III. I. T. pitagóricas 2
2
2
2
2
2
sen x + cos x = 1
sec x – tan x = 1
csc x – cot x = 1
• sen2 x = 1 – cos2 x
• sec2 x = 1 + tan2x
• csc2 x = 1 + cot2 x
• cos2x = 1 – sen2x
• tan x = sec x – 1
2
2
• cot2x = csc2x – 1
Los problemas que vamos a resolver en este capítulo serán de tipo simplificación y tipo condicionales.
Práctica 1. Reducir: E = tanx . cosx + senx a) senx b) sen2x d) 2 e) 3 2. Reducir: 3 2 2 E = sen x . cot x . sec x a) senx b) cosx 2 d) sen x
4. Reducir: 2 2 E = [(senx + cosx) – (senx – cosx) ]tanx a) 2 b) 2senx c) 2cosx 2 e) 3 d) 4sen x
c) 2senx
5. Reducir: 2 2 E = (2senx + cosx) + (senx – 2cosx) a) 3 b) 4 c) 5 d) 7 e) 9
c) 1
3. Reducir: 2 2 E = senxcotx + cosxtanx – sen xcscx – cos xsecx a) 1 b) 2senx c) 2(senx – cosx) d) 0 e) 3
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6. Reducir: 2 E = 1 − sen2 x + 1 1 − cos x 2
a) sen x 2 d) csc x
137
2
b) cos x 2 e) tan x
2
c) sec x
San Marcos
Capítulo 34 14. Reducir:
7. Reducir: E=
2 2 E = sen 2 x − tan2 x cos x − cot x
2
(sec x − 1) cot x (csc2 x − 1) tan x
a) tanx 2
d) cot x
2
b) tan x
c) cscx
9. Reducir: E = cotx . cosx + senx a) senx b) cosx d) secx e) tan x
c) cscx
10. Reducir: E = sec x + tan x + 1 csc x + cot x + 1 b) tanx e) senx
c) cotx
2
2
d) cot x
8
2
2
b) sec x
c) tan x
2
3
15. Si: tanx + cotx = 2 2 ; calcular: 2 2 E = tan x + cot x a) 4 b) 6 d) 12 e) 14 16. Si: senx – cosx = 2 ; calcular: 2 E = senx cosx a) 1/2 b) 1/4 d) 1/16 e) 1/5 17. Si: tanx + cotx = 3 ; calcular: E = senx cosx a) 1/3 b) 2/3 d) 1/12 e) 2/5
c) 8
c) 1/6
c) 1/6
3
18. Si: tanx + tan x + tan x = 1; hallar: 3 E = cotx + tan x a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 19. Si: senx + cosx = n , hallar: E = tanx + cotx + secx + cscx
e) sen x
12. Reducir: 4 4 E = c sen x − cos x m sec x + 1 sen x + cos x a) 1 b) tanx d) secx e) cos x
6
c) tan x
e) tan x
2
11. Reducir: E = sec x csc x – cot x + 1 sec x csc x – tan x a) csc x
4
b) tan x
d) tan x
e) sec x
8. Reducir: E = tanx . senx + cosx a) senx b) secx d) cosx e) tanx
a) 1 d) cscxsecx
2
a) tan x
c) cotx
c) cotx
13. Reducir: 3 3 3 3 E = sen x + cos x + sen x − cos x senx + cos x sen x − cos x
a) 1
b) 2
c) 3
d) 2senxcosx
a)
2 n−1
b)
2 n+1
d)
2 n2 − 1
e) − 2 n
c) 2 n
2
20. Si: sen x = cosx ; hallar: 4 2 E = (1 – sen x) csc x a) 1 b) 2 d) 1/4 e) 1/6
c) 1/2
e) 2(1 + senxcosx)
138
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Trigonometría
Tarea domiciliaria 2
12. Reducir:
1. Reducir: C = sen x.cotx.secx a) senx d) cos2x
b) cosx e) tan x
c) cos3x
2
C=
a) 1 c) –1 e) 3
2
2. Reducir: C = tanx.cot x.senx + cos x.secx a) cosx d) 2cosx
b) tanx e) 2 sen x
c) 2tanx
2
3. Simplificar: C = (senx.cotx) + (cosx.tanx) a) 1 d) cotx
b) 2 e) secx 3
4. Simplificar: C = sen x.cscx + cos x.secx a) 1 c) senx.cosx e) cotx
2
d) cos x 6. Reducir:
14. Reducir: C = sen x . tan x + cos x . cot x + 1 sen x + cos x a) senx.cosx b) secx.cscx c) 2senx.cosx d) 2secx.cscx e) cosx.senx
b) senx + cosx d) tanx
5. Reducir: C = ` sen x + cos x j tan x sec x + csc x a) senx b) cosx
2
2
c) sen x
C = (secx + tanx)(1 – senx) 2
b) cos x e) cscx
a) 10 c) 9 e) 6senqcosq
b) cosx
d) cos x
e) tanx
2
3
a) cscx d) csc4x
9. Reducir: C = 3 sec x − 3 tan x + 1 3 csc x + cot x − 3 a) secx . cscx c) tanx e) cscx
c) 2cosx
b) 2 e) 5
c) 3
19. Reducir: (tan α + 2 cot α) 2 + (2 tan α − cot α) 2 M= tan2 α + cot2 α
b) senx . cosx d) cotx 2
b) 2 d) 4 2
11. Simplificar: C = (tanx + cotx) – (tanx – cotx)
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c) csc2x
2 2 M = senθ . sec θ . tan2θ + sen θ . sec θ sec θ − 1
10. Simplificar: C = (2senx + cosx) + (senx – 2cosx)
a) 2 c) 4 e) 5
2
18. Simplificar:
a) 1 d) 4
2
b) sen2x e) sen4x
2 x . csc x E = tan x . cos x + sen 2 1 − cos x a) cscx b) 2cscx d) 3secx e) 3cscx
b) senx . cosx d) cotx
2
a) 3 c) 5 2 2 e) 5sen x.cos x
2
17. Simplificar:
2
c) sen x
8. Reducir: C = sec x + tan x + 1 csc x + cot x + 1 a) secx . cscx c) tanx e) cscx
b) 6 d) 12senqcosq
16. Reducir: E = csc x . cot x . senx . sec x
2
c) sen x
7. Simplificar: C = (cscx – cotx)(1 + cosx) cotx a) senx
2
15. Reducir: E = (3senq + cosq) + (senq – 3cosq)
e) tanx
a) cosx d) secx
b) –2 d) 4senx.cosx
13. Reducir: 2 2 2 C=(senx+cscx) +(cosx+secx) –(tanx–cotx) a) 3 b) 5 c) 7 d) 9 e) 8
2
c) tanx
3
(senx + cos x) 2 − 1 (senx − cos x) 2 − 1
a) 3 d) 9
b) 5 e) 10
c) 7
20. Reducir: 2 2 E = (seni – 1) + (cosi – 1) – 1 1 – seni – cosi
2
a) –2 d) 2
2
b) 2(tan x + cot x) 2 2 d) 4(tan x + cot x)
139
b) –1 e) 3
c) 1
San Marcos
Capítulo 35
35
Miscelánea de identidades
1. Simplificar la expresión: E = (tgx+tgy)(1–ctgx.ctgy)+(ctgx+ctgy)(1–tgx.tgy) a) ctgx d) 0
b) –ctgy e) secx
2. Calcular: 4 4 2 E = sec a – tg a – 2tg a a) 1 b) 2 d) –1 e) –2
2
c) tgx
c) 0
9. Si: 1 + tgx = secy 1 + tgy = secx Calcular: E = secx + secy a)
3. Si: x = sena + cosa y = sena – cosa Hallar la relación entre "x" e "y" independiente de "a" 2
2
2
2
a) x + y = 2
b) x – y = 2
c) x = 3 y 4
d) x = 4 y 3
2
2
d)
4. Eliminar "a", partiendo de: tga + ctga = x seca + csca = y 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
e) y = b – a
2
d) y = !
2
a2 + b2 2
b −a
d)
b) 1 2 2
e)
e) A –B
7. Si: senx = a y tgx = b 2 2 Calcular: E = (1 – a ) (1 + b ) a) 2 b) 0 d) 1 e) –2
2
c) AB
2
2
b) secx
c) cscx
e) ctgx
12. Simplificar: sec 4 α (1 − sen 4 α) − 2 tg2 α csc 4 α (1 − cos 4 α) − 2ctg2 α
2
b) 2 e) 3/5
c) 4
2
c) 3 3
c) 3 2 2
sec x − cos x csc x − senx
a) 1 d) 9/2
6. Determinar el valor de la expresión: E= Sec x (1+cos x) – csc x . tg x a) 0
d) A + B
ctgx 2 d) tgx
c) y = a – b
2 −2
b) A − B 2
a)
b) y = !
e)
a) A – B
W=3
5. En el siguiente sistema: ysenx = a ycosx = b El valor de "y" es: a2 − b2
2 −1
11. Reducir:
2
d) y = 2x – x
e) x + 2y = y + 2
a) y = !
b)
2
b) y = 2x + x
c) y + 2x = x + 2
2 2 2 3
10. Si: tgx + sec x + 1 A = ; (B≠0; A≠B) ctgx + csc x + 1 B Hallar: E = A senx − B cos x senx − cos x
e) x – y = 3
a) y = x – 2x
2
8. La expresión: sen a.tga + cos a.ctga + 2sena.cosa es equivalente a: a) sena + cosa b) seca + csca c) tga + ctga d) sena.cosa e) cos x + sena
3 2
13. Si: (1 + senx – cosx) = A(1 + senx) (1 – cosx) Hallar el valor de "A". a) 1 b) 2 c) – 1 d) – 2 e) 3 14. Si: cotx < tanx < 0, reducir: J=
c) – 1
tan2 x + cot2 x + 2 −
a) 2cotx d) –2tanx
140
cot2 x + tan2 x − 2
b) –2cotx e) 2secx
c) 2tanx
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Trigonometría 15. Si: (senq + cosq) (cosq – senq) = 1 , hallar: R = cotq 9 a)
5 2
b)
5 4
d)
3 4
e)
5 3
c) 1 4
a) 1 − 5
b) 1 + 5
d) 2 + 5
e) 2 − 5
19. Si:
c) 2 5
1 + 1 = 1 + 1 , hallar "N" cos2 θ tan2 θ N cot2 θ 2
a) cos q 2 d) tan q
16. Simplificar la siguiente expresión: 2 R = 1 + senα + cos2 α 2 senα − sen α a) 1 – cosa c) 1 – csca e) 1 + sena
18. Si: cscx – secx = 2, calcular: tanx+cotx
2
b) sen q 2 e) csc q
2
c) sec q
3 20. Si se tiene que: secx + senx = 1, hallar: A = cos x 1 + sen x a) 1 b) 0 c) 2 d) – 2 e) –1
b) seca csca d) csca + 1
17. Hallar: 8 seca, sabiendo que: 1 − senα = 1 17 cos α 4 a) 1 d) 1,8
b) 1,5 e) 1,7
c) 2
Tarea domiciliaria 1. Cuál será el valor de “N”, sabiendo que: 8 8 senx.cosx = – 1 ; N = sen x + cos x 4 a) 49 64 d) 95 128
96 128 e) 50 60 b)
c)
6. Hallar el valor de: 2 2 2 2 E = sen 1º + sen 2º + sen 3º + ... + sen 90º a) 22,5 b) 30 c) 45 d) 45,5 e) 25
97 128
2. El valor de “F” en la siguiente identidad: –p < q < p: 3 2 sen q + F cos q = senq q ≠ ≠ ; – ≠ es: 2 2 2
2
a) F = sen q
b) F = cos q
c) F = cosq
d) F = senq
2
2
2
3. Si: a – cos x – sec x = 2; encontrar el valor de: senx . tanx + 2cosx a) − a2 − 2 d) ±a
b)
a
c) – a
d) 3 3 2 Central 6198-100
b) 2 3 3 3 3 e) 3
e)
c)
3
2
c) mn
b) 0; 1; 1 e) 1; 0; 1
c) 1; 1; 0
10. Si: A = 2Kp + ≠ ; la expresión equivalente de: 2 1 − 2 sec2 A , es: 1 + senA
c) 1
5. Si: sena + csca = 5 ; hallar: Z = cota + cosa 2 a) 3 3
3 2
a) 0; 2; 0 d) 1; 1; 1
3 5 7 P = sena − sen 3a + sen 5a − sen 7a cos a − cos a + cos a − cos a
b) 3 e) –2
d)
b) 1
9. Hallar “a”, “b” y “c” tal que: 2 sen x . cos x = a senx + b cos x + c senx + cos x − 1
e) –a
4 4. Si: 1 + sen4 a = tan a ; hallar: 1 + cos a
a) 2 d) –1
a) –1
8. Si: tana = n ; a qué es igual: m n(2cosa + seca) – 2msena a) m cos a b) m sec a d) n sec a e) m sen a
e) F = tan q 2
7. Si: senq = ≠ + cosq; entonces el valor de: 4 2 tan c 1 − m tan θ + cot θ
c) 2 3
141
a)
1 1 − senA
b)
−1 1 − senA
c)
−1 1 + cos A
d)
−1 1 − cos A
e)
1 1 − csc A
San Marcos
Capítulo 35 11. Simplificar la expresión: K = 1 − cos x + 1 + cos x 1 − senx 1 + senx 3≠ Si: p < x < 2 a) – 2 d)
2 cosx
b) – 2 secx e)
16. En la identidad trigonométrica: 4
c)
2 cscx
14. Simplificar: E = a) –1 d) 2
c) 27 28
2
2
2
c) 1/3
2
b) senx . cosx d) 2
3 ; hallar el valor de la expresión: 2 b) 21 e) 22
c) 34
18. Si: cscx – secx = 3, calcular: tanx + cotx. a) 1 –
10
19. Si:
10
b) 1 + e) 2 –
10
c) 2 10
10
1 − 1 = 1 − 1 ; hallar “N”. sen2 θ tan2 θ N cot2 θ 2
2
a) cos q
b) sen q
d) tan q
e) ctg q
2
1 1 + 2 − sen2 θ 2 + tan2 θ b) 1 e) 3
17. Si: secx – cosx = 2 2 8(sec x + cos x) a) 56 d) 42
d) 2 +
13. Hallar el mínimo valor de: 2 M = 10 – 9cos x + senx b) 35 36 e) 18 17
2
Hallar el valor de “k”. a) secx . cscx c) 3 e) 1
2 secx
12. Si “P”, “Q”, “R” son constantes que satisfacen la siguiente relación: 1 1 P + Q tanR x = + 1 + senx csc x − 1 Calcular el producto “P.Q.R” a) 2 b) 4 c) 8 d) 12 e) 15
a) 17 18 d) 45 46
4
sen x+cos x+ksen x.cos x=sen x.cos x(tanx+cotx)
2
2
c) sec q
20. Si se tiene que: secx + senx = 1, hallar: 3 2 A = cos x + cos x + cosx a) 1 d) –2
b) 0 e) –1
c) 2
15. Hallar “seca”; sabiendo que: 1 − senα = 1 cos α 3 a) 5/3 b) 3/5 c) 5/4 d) 4/5 e) 5/5
142
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Trigonometría
36
Repaso general o
1. Un ángulo se expresa como abb y también como g a(b+2)0 señale el equivalente en radianes de: 0 a(b–a)5 a) 3≠ 5
b) 3≠ 4
d) 2≠ 3
e) 5≠ 6
2. Calcular "R", si: S = C 4 5 a) ≠ b) 3 d) 7≠ e) 9
c) 2≠ 5
1 7. Si: ctg ` 5x − 96° j = , determine "x". 2 ctg ( 4x ) 3 a) 36º b) 30º c) 45º d) 20º e) 35º 8. En el cuadrado ABCD, calcular: ctg a a) 1
+3
A
B
a
b) 3
3≠ 5 9≠ 11
c) 5≠ 7
c) 5 d) 7
3. Si a y b son números reales positivos hállese el mínimo número de radianes del ángulo que satisface la igualdad: (a + b) 2 + (a − b) 2 C+S= 2 ab a) ≠ b) ≠ c) ≠ 180 190 200 d) ≠ e) ≠ 210 220 4. Del gráfico, calcular: E = 4 tg θ + ctg θ
e) 9
C
9. En la figura halle AB en términos de R y q. a) R tgq (cscq+1)
B T
b) R tgq (cscq+1) c) R tgq (cscq+1) O
R
d) R tgq (cscq+1) e) R tgq (cscq+1)
a) 1
37º
D
q
A
C
10. Siendo ABCD cuadrado, calcular ctgq, si C(–2; –5)
b) 2 c) 3
a) –1,2
d) 4
b) 1,2 q
37º
e) 5
q
b) 2
e) 0,2
c) 3
e)
3
O
D
a) 2 2
b) 2 3
d) 3 2
e) 3 3
x
C tg a . ctg b sec2 a − 1 y
a) 1 b) –1
6. Si: tg ` π + xj + ctg ` π − xj = 2 3 6 3 Calcular: E = csc x + sec 2x
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q
11. Del gráfico, hallar: E = 45º
B
d) 1,4
a) 1
2
A
c) –1,4
5. Del gráfico, calcular "ctg q"
d)
y
c) 0 c) 4
d) –2 e) 2
143
a
x
q q b
San Marcos
Capítulo 36 12. La expresión simplificada de: 2 1 1 + sen x 1 − sen x 8 4 cos x B ` 1 − sen x − 1 + sen x j 2 2 a) cos x b) 4 cos x c) 4 sen x d) sen x
d) 2 3
22. Si: csc 2x + csc 4x =
13. Si: sen x + 4 cos x = –4. Entonces cos x, es igual a: b) 4 e) a y d
c) 1
b) 3/4 e) 5/2
c) 2
a) d) 2
c) 1/2
b) 2 3 3 e) 2
16. Reducir: E = cos ` 3π − xj csc (5π + x) . ctg (4π + x) . sec (3π − x) 2 a) –sec x b) –csc x c) –1 d) –tg x e) tg x ( 2 K + 1) 17. Si: tg α = y ctg ` π + αj = K 2 2 3 El valor de K es: a) –2/7 b) 7/2 c) –7/2 d) 3/7 e) 7/3
b) 3/4
d) 1/2
e) 1/4
c) 7/4
δ 2 δ 2
25. Si A y B son agudos y cosA.cosB – senA.senB= 2 3 Calcular: ctg (A+B) a)
5 5
b) 2 5 5
d)
5
e) 4 5 5
a) 0,125 d) 1
10
b) 12 c) 18
c) 3 5 5
a a x
a) 150º 4
19. Si: sen 2a=0,4, cuál es el valor de sen a + cos a b) 1/5 e) 0,96
b) 0,25 e) 1,5
c) 0,5
28. De la figura AB=BC, y además AN y BM son bisectrices los ángulos BAC y ABC, respectivamente. Si: tg (a+b)= 3 , entonces el valor de "x" es:
8
4
a) 4/25 d) 23/25
a) 5/4
27. Calcular: E = 3 ctg 20° − 4 cos 20°
a) 9
e) 30
e) 9
26. Calcular la suma de los senos de 3 ángulos en progresión aritmética de razón 2≠ . 3 a) –2 b) –1 c) 0 d) 1 e) 2
18. De acuerdo con la gráfica, calcular "x".
d) 24
d) 8
c) 7
β β b) 2 cos α . cos . cos a) cos α . cos . cos δ 2 2 2 2 2 β β c) 2 cos α . cos . cos δ d) 4 cos α . cos . cos 2 4 4 2 2 β e) 4 cos α . cos . cos δ 2 4 4
1 + tg2 20° + tg2 40° + tg2 20°tg2 40° 1 − tg 20° . tg 40° 3 2
b) 6
24. Si: a+b+d=p, entonces: sena+senb+send, es:
15. Calcular: E=
a) 5
23. Si: A + B = 120º, calcular: 2 2 E = sen A + sen B – sen A sen B
14. Si: tg 14º = y (tg 52º – tg 38º). Hallar el valor de y. a) 2/5 d) 1/2
sen Ax sen Bx . sen Cx
Calcular: A + B + C
e) 4 sen x cos x
2
a) 5 d) –1
e) 2
b) 120º
c) 0,84
20. La suma de las raíces de la ecuación: 4 2 cos 2x + sen x – cos x = 0; (0 ≤ x ≤ p) 2 2 a) 2p/5 b) p/4 c) 2p/3 d) 5p/6 e) p/3 21. Si: 3 sen x + 4 cos x = 5. Calcular: E = tg x + 1 4 b) 3 c) 1 a) 2
B a x
c) 135º d) 105º e) 127º
A
N
b M
29. Los lados de un triángulo están representados por 3 números impares consecutivos, si el mayor ángulo mide 120º. Indicar el perímetro. a) 13 d) 21
144
b) 15 e) 23
c) 19
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