CENTRO ESTADUAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA PAULA SOUZA Faculdade de Tecnologia Tatuapé “Victor Civita”
CÁLCULO DE TRELIÇAS PLANAS UTILIZANDO MODELAGEM COMPUTACIONAL COMPUTACIONAL EM MATLAB
Elisama Politano Gomes Roberto Vieira Netto
São Paulo 2016
Faculdade de Tecnologia TATUAPÉ “VICTOR CIVITA” Curso de Tecnologia em Construção de Edifícios
CÁLCULO DE TRELIÇAS PLANAS UTILIZANDO MODELAGEM COMPUTACIONAL COMPUTACIONAL EM MATLAB
Projeto de Graduação apresentado por Elisama Politano Gomes e Roberto Vieira Netto, como pré-requisito para conclusão do Curso Superior de Tecnologia em Construção de Edifícios da Faculdade de Tecnologia Tatuapé “Victor Civita”, elaborado sob a orientação do Professor Ailton Dias dos Santos.
São Paulo 2016
AGRADECIMENTOS Agradecemos a todos que acreditaram e colaboraram de alguma forma para a realização deste trabalho, em especial: Ao nosso orientador, Professor Ailton Dias dos Santos, pelo suporte e atenção. A todos os professores da Fatec Tatuapé, da University of Mississippi e da University of Connecticut pelos pelos
ensinamentos que contribuíram de diferentes formas para a realização
deste projeto. Aos nossos familiares e amigos que sempre estiveram nos apoiando e incentivando durante todas as fases desse estudo.
CENTRO ESTADUAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA PAULA SOUZA Faculdade de Tecnologia do Tatuapé – Victor Civita
ELISAMA POLITANO GOMES ROBERTO VIEIRA NETTO
Banca Avaliadora:
Prof. Me. Ailton Dias dos Santos Orientador Prof. Dr. Gilder Nader
Avaliador Interno
Prof. Me. Ribamar de Jesus Gomes
Data da defesa: 07/07/2016
Avaliador Interno
RESUMO Este trabalho apresenta uma proposta de modelagem computacional realizada no software MATLAB, com o objetivo de analisar e dimensionar treliças planas. A rotina nomeada TPmat analisa os deslocamentos nodais, esforços internos, tensões normais e reações de apoios através da aplicação de sistemas de Matrizes de Rigidez. A fim de analisar o dimensionamento de estruturas, a rotina se baseia na análise de tensões ao realizar comparações de tensões atuantes e admissíveis das treliças. Propondo métodos de avaliação, além das respostas geradas, a rotina oferece opções de exportação, desta forma é possível que os usuários verifiquem os dados calculados em forma de tabelas. A validação do programa é realizada através da comparação entre soluções realizadas manualmente, bem como comparado ao programa brasileiro Ftool em versão para estudantes. Desta forma, a rotina desenvolvida mostrou-se eficiente e capaz de gerar valores que se diferenciam entre 0 – 0,04 kN ao comparar os resultados r esultados obtidos com o software Ftool. Palavras chave: Treliças Planas; Matriz de Rigidez; MATLAB; Análise; Dimensionamento.
ABSTRACT This work presents a computer modeling project developed with MATLAB, in order to analyze and design flat trusses. The routine nominated TPmat analyzes the nodal displacements, internal forces, normal stress and the support reactions by applying stiffness matrices system. In order to analyze and design structures, this routine is based on the stress analyses when it performs the comparison between the trusses’ acting and the allowable stresses. Proposing methods of evaluation, in addition to the generated answers, the code offers export options, thus it is possible that users check the calculated data in tabular form. The program’s validation is performed by the comparison of manually performed solutions and also compared to the software Ftool. Thus, the developed program proved to be useful and capable of determine values ranging between 0 – 0,04kN when comparing the results with wit h the software Ftool. Keywords: Flat Trusses; Stiffness Matrix; MATLAB; Analysis; Design.
LISTA DE FIGURAS Figura 2.1 – Estrutura de Telhado. Fonte: Hibbeler (2014)........................................... .................................................... .......... 19 Figura 2.2 – Estrutura de Ponte. Fonte: Hibbeler (2014). .......................................... ........................................................ .............. 19 Figura 2.3 - Triângulo. Fonte: Própria. ............................................ .................................................................. ........................................ .................. 20 Figura 2.4 - Tetraedro. Fonte: Própria. ..................................... ........................................................... ............................................ ......................... ... 20 Figura 2.5 - Plano Cartesiano. Fonte: Própria. ........................................... ................................................................. ............................. ....... 22 Figura 2.6 - Cossenos Diretores. Fonte: Adaptada de Gere & Weaver (1987). ...................... ...................... 23 Figura 2.7 - Mudança de Comprimento. Fonte: Própria. ........................................... ......................................................... .............. 24 Figura 2.8 - Deslocamento Próximo. Fonte: Adaptada de Hibbeler (2014). ........................... ........................... 24 Figura 2.9 - Deslocamento Distante. Fonte: Adaptada de Hibbeler (2014). ........................... 25 Figura 2.10 – Deslocamentos. Deslocamentos. Fonte: Adaptada de Hibbeler (2014)....................................... ...................................... 25 Figura 2.11 - Deslocamento Próximo em x. Fonte: Adaptada de Hibbeler (2014). ................26 ................ 26 Figura 2.12 - Deslocamento Próximo em y. Fonte: Adaptada de Hibbeler (2014). ................27 ................ 27 Figura 2.13 - Deslocamento Distante em x. Fonte: Adaptada de Hibbeler (2014)..................27 ................. 27 Figura 2.14 - Deslocamento Distante em y. Fonte: Adaptada de Hibbeler (2014)..................27 ................. 27 Figura 2.15 - Resultante da Força Próximo. Fonte: Adaptada de Hibbeler (2014). ................29 ................ 29 Figura 2.16 - Resultante da Força Distante. Fonte: Adaptada de Hibbeler (2014)..................29 ................. 29 Figura 2.17 - Treliça Modelo e Legenda de Símbolos. Fonte: Própria. .................................. .................................. 32 Figura 2.18 - Numeração dos Graus de Liberdade. Fonte: Própria. ................................. ........................................ ....... 33 Figura 2.19 - Graus de Liberdade da Barra 1. Fonte: Própria. ................................................ ................................................ 33 Figura 2.20 - Diagrama Tensão Deformação. Fonte: Melconian (2013)................................. ................................ 43 Figura 2.21 - Barra Antes da Flambagem Fonte: Própria.............................................. ....................................................... .......... 46 Figura 2.22 - Barra Flambada. Fonte: Própria. ......................... ............................................... ............................................ ......................... ... 46 Figura 2.23 - Perfil Metálico. Fonte: Própria.......................................... ................................................................ ................................. .......... 47 Figura 2.24 - Barra A em Tração. Fonte: Própria. ........................... ................................................. ........................................ .................. 48 Figura 2.25 - Barra B em Compressão. Fonte: Própria. .......................................................... ..........................................................48 48 Figura 4.1 - Apoio Móvel Imobilizando Eixo das Abcissas. Fonte: Própria ........................... ........................... 58 Figura 4.2 - Apoio Móvel Imobilizando Eixo das Ordenadas. Fonte: Própria ........................ ........................ 59 Figura 4.3 - Exemplo TPmat. Fonte: Própria.......................................... ................................................................ ................................. .......... 64 Figura 4.4 - Tabela de Tensões. Fonte: Própria .......................................... ................................................................ ............................. ....... 66 Figura 5.1 - Treliça Triângular - TPmat. Fonte: Própria ......................................................... .........................................................71 71 Figura 5.2 - Treliça Triangular - Ftool. Fonte: Própria.......................................... ........................................................... ..................72 72 Figura 5.3 - Propriedades do Dimensionamento – Treliça Triangular. Fonte: Própria ........... ...........73 73 Figura 5.4 - Resposta - Treliça Triangular. Fonte: Própria ............................................ ...................................................... .......... 73 Figura 5.5 - Tabela de Tensões - Treliça Triangular. Tri angular. Fonte: Própria ...................................... ...................................... 74 Figura 5.6 - Treliça Howe - TPmat. Fonte: Própria ............................................ ................................................................. .....................75 75 Figura 5.7 - Treliça Howe – Ftool. Fonte: Própria.......................................... ................................................................ ......................... ... 76 Figura 5.8 - Perfil Metálico 02. Fonte: Própria..................... Própria. .......................................... ............................................ ............................. ....... 77 Figura 5.9 - Propriedades do Dimensionamento – Treliça Howe. Fonte: Própria ...................77 ...................77 Figura 5.10 - Resposta - Treliça Howe. Fonte: Própria .............................. .................................................... ............................. ....... 77 Figura 5.11 - Tabela de Tensões - Treliça Howe. Fonte: Própria. ........................................... ........................................... 78 Figura 5.12 - Treliça Pratt - TPmat. Fonte: Própria ............................ .................................................. .................................... ..............79 79 Figura 5.13 - Treliça Pratt – Ftool. Fonte: Própria............................................. .................................................................. .....................80 80 Figura 5.14 - Propriedades do Dimensionamento – Treliça Pratt . Fonte: Própria. .................80 .................80 Figura 5.15 - Resultado do Dimensionamento – Treliça Pratt . Fonte: Própria. ...................... ......................81 81 Figura 5.16 - Tabela de Tensões - Treliça Pratt. Fonte: Própria............................................. ............................................81 81
LISTA DE QUADROS Quadro 2.1 - Relação entre Barras e Nós. ....................................... ............................................................. ........................................ .................. 32 Quadro 2.2 - Posição dos valores das Matrizes .......................................... ................................................................ ............................. ....... 36 Quadro 2.3 - Comparação JAVA com MATLAB. Fonte: Própria. ......................................... .........................................50 50 Quadro 4.1 - Arquivo Principal - Limpeza de Variáveis........................................... ........................................................ .............. 53 Quadro 4.2 - Mensagens de Atenção – Coordenadas (X, Y). .......................................... ................................................. ....... 54 Quadro 4.3 - Mensagens de Atenção – Círculo Trigonométrico. ............................................ ............................................ 54 Quadro 4.4 - Mensagens de Atenção – Unidades de Medidas. ................................. ............................................... .............. 54 Quadro 4.5 - Mensagens de Atenção – Interrupção do Programa. .......................................... .......................................... 54 Quadro 4.6 - Mensagens de Atenção – Continuação de Etapas .................................... .............................................. .......... 54 Quadro 4.7 - Arquivo Principal - Coleta de Dados. ............................... ...................................................... ................................. .......... 55 Quadro 4.8 - Definição Coordenada X. ............................ .................................................. ............................................. ................................. .......... 55 Quadro 4.9 - Definição Coordenada Y ............................. ................................................... ............................................. ................................. .......... 55 Quadro 4.10 - Alerta de Atenção – Valor Inválido. .................................................. ................................................................ .............. 56 Quadro 4.11 - Alerta de Atenção – Quantidade de Nós Insuficiente. ..................................... .....................................56 56 Quadro 4.12 - Alerta de Atenção – Nó Existente. ........................... ................................................. ........................................ .................. 56 Quadro 4.13 - Definição de Barras. ....................... ............................................. ............................................. ............................................ ..................... 56 Quadro 4.14 - Alerta de Atenção – Valor Inválido. .................................................. ................................................................ .............. 57 Quadro 4.15 - Alerta de Atenção – Quantidade de Barras Insuficiente. ................................. ................................. 57 Quadro 4.16 - Alerta de Atenção – Nó Inexistente. .............................................. ................................................................ .................. 57 Quadro 4.17 - Alerta de Atenção – Barra Existente. ........................... ................................................. .................................... .............. 57 Quadro 4.18 - Definição dos Apoios. ............................ .................................................. ............................................ .................................... .............. 57 Quadro 4.19 - Definição de Apoios Fixos. .......................................... ................................................................ .................................... .............. 58 Quadro 4.20 - Definição de Apoios Móveis........................................... ................................................................. ................................. .......... 58 Quadro 4.21 - Alerta de Atenção – Valor Inválido. .................................................. ................................................................ .............. 59 Quadro 4.22 - Alerta de Atenção – Nó Inexistente. .............................................. ................................................................ .................. 59 Quadro 4.23 - Alerta de Atenção – Apoio Existente. ............................................ .............................................................. .................. 59 Quadro 4.24 - Alerta de Atenção – Quantidade de Apoios Insuficiente. ......................... ................................ ....... 59 Quadro 4.25 - Definição de Nós para Posicionamento de Forças. ............................ .......................................... .............. 60 Quadro 4.26 - Definição dos Eixos e Valores de Forças........................................... ........................................................ .............. 60 Quadro 4.27 - Alerta de Atenção – Valor Inválido. .................................................. ................................................................ .............. 60 Quadro 4.28 - Alerta de Atenção – Nó Inexistente. .............................................. ................................................................ .................. 60 Quadro 4.29 - Alerta de Atenção – Quantidade de Forças Insulficiente. ................................ ................................ 61 Quadro 4.30 - Alerta de Atenção – Força existente. ..................................................... ............................................................... .......... 61 Quadro 4.31 - Arquivo Principal - Análise da Treliça. ........................................................ ........................................................... ... 62 Quadro 4.32 - Demonstrativo de Cálculo ................................. ....................................................... ............................................ ......................... ... 63 Quadro 4.33 - Classificação de Treliças ........................ .............................................. ............................................ .................................... .............. 63 Quadro 4.34 - Alerta de Erro na Realização do Cálculo ........................................... ......................................................... .............. 63 Quadro 4.35 - Alerta de Erro de Cálculo............................................. ................................................................... .................................... .............. 63 Quadro 4.36 - Arquivo Principal – Dimensionamento.......................................... ........................................................... ..................65 65 Quadro 4.37 - Atividade Opcional – Dimensionamento. ....................... .............................................. ................................. .......... 65 Quadro 4.38 - Definição de Dimensionamento ........................... .................................................. ............................................ ..................... 65 Quadro 4.39 - Perfil de Treliça Aceitável............................................ ................................................................. .................................... .............. 66 Quadro 4.40 - Perfil de Treliça Inaceitável. ........................................... .................................................................. ................................. .......... 66 Quadro 4.41 - Mensagens de Escoamento e Flambagem. ............................................. ....................................................... .......... 66 Quadro 4.42 - Atividade Opcional - Tabela de Tensão. ............................................ .......................................................... .............. 66 Quadro 4.43 - Atividade Opcional - Recalcular o Perfil de Treliça. ....................................... .......................................67 67 Quadro 4.44 - Arquivo Principal – Exportação. ......................................... ............................................................... ............................. ....... 68
Quadro 4.45 - Atividade Opcional – Exportação. .................................. ......................................................... ................................. .......... 68 Quadro 4.46 - Definição do Arquivo Exportado. ............................ .................................................. ........................................ .................. 68 Quadro 4.47 - Alerta de Atenção – Atividade Indisponível. .......................... ................................................ ......................... ... 68 ............................................................ ................................. .......... 69 Quadro 4.48 - Arquivo Principal - Finalização. ..................................... Quadro 4.49 - Código Finalizado. ............................................ .................................................................. ............................................ ......................... ... 69
LISTA DE TABEL TABELAS AS Tabela 5.1 - Cálculo Manual - Treliça Triangular .............................................. ................................................................... .....................74 74 Tabela 5.2 - Cálculo Manual - Treliça Howe. ......................................... ................................................................ ................................. ..........78 78 Tabela 5.3 - Cálculo Manual - Treliça Pratt. .......................................... ................................................................. ................................. ..........82 82
LISTA DE SIGLAS !"#$ – Associação Brasileira de Normas Técnicas %&' – Degrees of Freedom / Graus de Liberdade '())* – Two-Dimensional Frame Analysis Tool +!$,!" – Matrix Laboratory #"- – Norma Brasileira Registrada
Planas através de Matrizes Matrizes (Rotina Desenvolvida) Desenvolvida) $./0( – Treliças Planas
LISTA DE SÍMBOLOS 23 e 24 – Cossenos diretores de uma barra em relação aos eixos do sistema global %5 – Deslocamento desconhecidos desconhecidos 67 – Deslocamento longe %73 – Deslocamento longe de X %74 – Deslocamento longe de Y %8 – Deslocamento do Nó n 69 – Deslocamento perto %93 – Deslocamento perto de X %94 – Deslocamento perto de Y %: – Deslocamento conhecidos '5 – Forças conhecidas ;7 – Força longe '73 – Resultante da Força Longe em X '74 – Resultante da Força Longe em Y '<=3 – Força Máxima '8 – Força aplicado no Nó n ;9 –Força perto '93 – Resultante da Força Próxima em X '94 – Resultante da Força Próxima em Y ': – Forças desconhecidas ;>7 – Força de tensão longe ;>9 – Força de tensão perto ;?7 – Força de compressão longe ;?9 – Força de compressão perto +55 – Sub-Matriz de + +5: – Sub-Matriz de + /8 – Matriz de Rigidez do Membro n +:5 – Sub-Matriz de + +:: – Sub-Matriz de + $ @ – Matriz Trasnposta de Transformação de Deslocamento
A5 e B5 – Coordenadas finais AC e BC – Coordenadas iniciais DEF< GH<9IJ::KH – Tensão de Admissível de Compressão DEF< L7=
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SUMÁRIO !
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1 INTRODUÇÃO Desde o início da era computacional, softwares foram desenvolvidos para o auxílio dos engenheiros, pois o cálculo dos esforços sempre foi uma etapa trabalhosa dentro do Cálculo Estrutural e Dimensionamento de Estruturas (BRANCO, 2004). Disponibilizado em versões pagas e gratuitas, a utilização de software é comum entre estudantes de Engenharia devido à facilidade e confiabilidade dos resultados. Para o auxílio nos estudos e resoluções de exercícios relacionados às estruturas, os futuros engenheiros preferem a utilização de versões livres, mesmo contendo restrições de funções. O programa Ftool, desenvolvido por Martha (2015), é um exemplo de ferramenta de Análise Estrutural Bidimensional inspiradora para estudantes e engenheiros de países de língua portuguesa, apresentando opções de análises de estruturas como: vigas, pórticos e treliças. Este trabalho aborda especificamente as treliças que são estruturas compostas por barras com extremidades articuladas, muito utilizadas no século passado e no início deste século (BOTELHO, 2013, p. 175). Por oferecer soluções práticas e econômicas em diversas situações, a treliça é um dos principais tipos de estruturas da Engenharia e é utilizada especialmente no projeto de pontes e edifícios (BEER, ( BEER, JOHNSTON JR, 2012, p. 371). O Cálculo Estrutural da treliça, como de qualquer outra estrutura, é divido em duas partes: análise e dimensionamento. dimensionamento. A análise tem como objetivo a determinação das forças atuantes nas estruturas, enquanto o dimensionamento baseia-se na escolha do melhor perfil e material a ser utilizado. Ao versar de Botelho (2013, p. 26), dados os esforços, as tensões limites e os coeficientes de segurança, determinam-se as dimensões das estruturas. Por outro lado, o Método de Rigidez apresenta soluções eficientes para a análise de treliças, utilizando matrizes não apenas na determinação das forças internas e forças externas, mas também na indicação do deslocamento dos nós. Essa técnica é muito utilizada para a composição básica de softwares estruturais, porém ainda é pouco compreendida pelos estudantes e pouco reconhecida, como a fundamentação de tais softwares, pelos profissionais.
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1.1 JUSTIFICATIVA Considerando os aspectos de custo, qualidade de obra e tempo de execução, o mercado cada dia mais exigente para o dimensionamento de estruturas, a utilização de ferramentas que auxiliam nesta função tem se tornado indispensável. No momento, os softwares gratuitos que auxiliam os profissionais e estudantes nos cálculos de estruturas, na sua maioria, não apresentam a opção de realizar o dimensionamento. Com essa restrição, os usuários podem sentir dificuldades e, até mesmo, insegurança nas resoluções dos problemas propostos em projetos, dificultando o entendimento das das informações e a avaliação da estrutura.
1.1.1 Motivação Tendo como base o crescimento de uso dos softwares estruturais entre engenheiros calculistas e estudantes de Engenharia, vê-se a importância de conhecer e aprofundar os conhecimentos nestas ferramentas a fim de melhor capacitá-los a interpretar os resultados de forma mais eficiente e até mesmo propor inovações para a área. O desenvolvimento deste trabalho permite o amadurecimento de fundamentos teóricos como Álgebra, Cálculos I e II, Geometria Analítica, Resistência dos Materiais e Análise de Estruturas.
1.2 OBJETIVOS 1.2.1 Objetivo Geral O objetivo deste projeto é desenvolver uma rotina de cálculo com a utilização do software MATLAB. A rotina oferece a análise de forças e a verificação do dimensionamento de treliças planas, sendo nomeada TPmat (Treliças Planas através de Matrizes).
1.2.2 Objetivos Específicos I. II. III.
Verificar a estabilidade da treliça, classificando-a em Hipo, Iso ou Hiperestática. Determinar as reações de apoio e esforços axiais atuantes nas treliças. Identificar tipo de solicitação em cada barra, isto é, indicar esforços de tração ou compressão.
IV. V.
Verificar o dimensionamento de treliças. Exportar dados calculados para tabelas eletrônicas.
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VI.
Validar e verificar o desempenho do código desenvolvido, comparando os resultados com soluções manuais e também soluções do software Ftool.
VII.
Ser um material de caráter didático, de forma a despertar novas aplicações entre estudantes e profissionais da área de Estruturas.
1.3 ESTRUTURA DO TRABALHO A fim de cumprir os objetivos propostos, a utilização do programa MATLAB se fez necessária para a elaboração da rotina TPmat. Ao utilizar conceitos como Método de Rigidez, para a determinação de forças axiais e os Cálculos Cálculos de Tensões para verificar o escoamento escoamento e a flambagem das barras foi-se determinada à estrutura de cálculo da rotina. Para validar as informações obtidas foram necessárias comparações utilizando o software Ftool e realizando cálculos manuais. Visando o caráter didático adotado para a elaboração deste trabalho, o mesmo está organizado em sete capítulos, sendo o presente Capítulo 1 uma introdução ao tema, apresentando os objetivos e as justificativas da elaboração do projeto, além disso, o capítulo abre uma contextualização sobre o tema. O Capítulo 2 apresenta a fundamentação teórica, com destaque para os assuntos que são objetos da análise, utilizados na rotina criada. Este capítulo contém informações sobre treliças, detalhes da formação e aplicação das matrizes de rigidez, apresenta informações e critérios para o dimensionamento de estruturas treliçadas e reúne informações básicas sobre o programa MATLAB, informações informações estas necessárias para para a compreensão compreensão do trabalho. O Capítulo 3 descreve a metodologia utilizada para o projeto, destacando o que foi analisado e qual o método de análise utilizado Depois de toda a contextualização do projeto, o Capítulo 4 apresenta detalhadamente a estrutura da rotina criada, contendo informações sobre a organização das fases e detalhamento de erros previstos pelos autores. O Capítulo 5, além de apresentar os resultados gerados pelo código, compara resultados gerados por cálculos manuais e resultados gerados pelo software Ftool. Por sua vez, o Capítulo 6 faz referência aos resultados gerados do Capítulo 5 e também detalha dificuldades encontradas durante a programação da rotina. O Capítulo 7 sintetiza as principais considerações do trabalho, além de sugerir propostas para trabalhos trabalhos futuros.
19
2
FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
2.1 TRELIÇA Treliça é uma armação reticulada formada pelo cruzamento de elementos retos, aos quais se dão o nome de barras, estes são interligados em seus extremos por rótulas conhecidas como nós. Para esclarecer o funcionamento de barras e nós: a barra tem função geométrica de determinar distâncias e a função estática de transmitir os esforços de tração e compressão, enquanto o nó é uma articulação em que são conectadas as barras (BOTELHO, 2013, p. 176). Quando tem função estrutural as treliças podem ser feitas de madeira, metal ou alumínio, sendo que, sua utilização se faz comum em torres, pontes, guindastes etc. A Figura 2.1 e Figura 2.2 correspondem a algumas aplicações de estruturas treliçadas:
Figura 2.1 – Estrutura Estrutura de Telhado. Fonte: Hibbeler (2014).
Figura 2.2 – Estrutura de Ponte. Fonte: Hibbeler (2014).
As treliças são esqueletos estruturais utilizados para vencer grandes vãos. Os elementos destas estruturas podem ser posicionados de múltiplas maneiras, isto define o perfil da treliça, alguns exemplos dos tipos de treliça são Howe, Pratt , Warren, Baltimore, entre outros.
20
Como definido em teoria, é importante que o desempenho de uma treliça seja garantido quando as forças concentradas são aplicadas nos nós da estrutura, de modo a formar um conjunto estável. Deste modo, não há transmissão de momento fletor entre os elementos, logo, a análise de uma treliça submetida a cargas apenas nos nós, dá como resultado forças axiais de tração e de compressão (NETO; VIEIRA, 1973, p. 7). Do ponto de vista estrutural, as treliças podem ser planas ou tridimensionais. Treliças planas são idealizadas como um sistema de membros dispostos num plano, observe a Figura 2.3, a forma mais simples de uma treliça é um único triângulo. Treliças tridimensionais podem ser denominadas denominadas treliças espaciais, estas estas saem do plano X e Y, sendo sendo assim, uma barra qualquer pode ser definida a partir de qualquer direção no espaço. O formato de tetraedro, correspondente a Figura 2.4, é a forma de treliça tridimensional mais simples, sendo ele composto por seis membros ou barras, que se encontram conectadas a quatro articulações ou nós, esse tipo de treliça tr eliça é bem representado em desenhos 3D.
Figura 2.3 - Triângulo. Fonte: Própria.
Figura 2.4 - Tetraedro. Fonte: Própria.
Em se tratando de estabilidade podem ser classificados três tipos de estruturas: isostática, hiperestática e hipostática. Na perspectiva de Botelho (2013, p. 176), em se tratando de estruturas isostáticas, todos os esforços internos e externos podem ser determinados com a aplicação das equações de equilíbrio estático, desta forma: ['A \ ]
W-X"Y
['B \ ]
W-X-Y
[+^_` \ ]
W-XEY
21
Por outro lado, são conhecidas como hiperestáticas as estruturas em que os apoios existem em maior número do que o necessário para impedir todos os possíveis movimentos, onde as reações de apoio e esforços internos não podem ser determinadas apenas por condições de equilíbrio. Estruturas hipostáticas não são estáveis, pois possuem algum movimento de grau de liberdade não restringido. Para verificar a estabilidade das estruturas usam-se relações entre a quantidade de reações, barras e nós, essas são relacionadas por Botelho (2013, p. 177) da seguinte maneira: I. II. III.
Reações + Barras < 2 a Nó b Treliça tipo Hipostática Reações + Barras = 2 a Nó b Treliça tipo Isostática Reações + Barras > 2 a Nó b Treliça tipo Hiperestática
A função do apoio é restringir o movimento dos corpos rígidos, garantindo assim o equilíbrio. Como todas as ligações das barras são consideradas rotuladas, não há transformações de movimento e as únicas forças transferidas são as forças axiais e transversais (NETO; VIEIRA, 1973, p. 7). Sendo assim, os possíveis movimentos são: I. II.
Movimentos na direção da normal (perpendicular) ao plano de apoio. Movimentos na direção paralela ao plano de apoio.
Portanto, são necessários apenas apoios móveis e fixos para fixar as estruturas treliçadas. Estes tipos de apoios são classificados como apoios de primeiro e segundo gênero, pois o apoio móvel impede os movimentos na direção da normal e o apoio fixo impede os dois tipos de movimentos. Para calcular uma treliça, o Método dos Nós e o Método do Rittle são os métodos analíticos utilizados com maior frequência. Em uma breve explicação, a utilização do método dos nós consiste em verificar o equilíbrio de cada nó da treliça. Por sua vez, o Método de Rittle se deve ao corte dos elementos da treliça, sendo importante para a resolução dos exercícios que os cortes tenham representados no máximo três incógnitas, onde são resolvidas através das equações de equilíbrio (MELCONIAN, 2000, p. 113-123). A fim de propor a resolução de treliças através da Análise Matricial, utilizando o Método de Rigidez, os itens 2.2 e 2.3 são destinados ao detalhamento teórico deste método.
22
2.2 MATRIZ E MÉTODO DE RIGIDEZ Este item tem o propósito de explicar detalhadamente a formação das matrizes constituintes da matriz principal de rigidez, em se tratando da análise de treliças planas. A utilização de matrizes se faz de extrema importância por dispor de uma resolução que facilmente pode ser utilizada na linguagem li nguagem computacional. computacional. Como um método de posicionamento gráfico das barras, para facilitar a utilização computacional, foi utilizado o sistema de coordenadas no plano cartesiano. Este sistema é utilizado por vários autores de livros de Análise de Estruturas, assim como Gere & Weaver (1987), Hibbeler (2014) e Neto & Vieira (1973). O sistema consiste em duas retas perpendiculares que se interceptam em suas origens, estes eixos se tornam referência para a estrutura.
Figura 2.5 - Plano Cartesiano. Fonte: Própria.
Analisando a Figura 2.5, pode-se interpretar a reta AB como uma possível barra para a treliça, onde os pontos (2, 1) e (7, 6) são a representação dos nós e a linha que os conecta representa uma barra. Utilizam-se também coordenadas classificadas em globais e locais a fim de auxiliar a orientação das forças e dos deslocamentos atuantes na estrutura. As coordenadas globais fazem referência a uma camada estrutural, considerando a estrutura com o conjunto de barras.
23
Enquanto, as coordenadas locais lidam com o sistema em uma camada elementar, se referindo a uma barra em si, correspondendo a uma componente da estrutura (MARTHA, 1993, p. 2). Por se tratar de uma estrutura reticulada de membros inclinados, a análise de uma barra inicia-se pelo uso uso de cossenos cossenos diretores ( 23 e 24 ), conforme Figura 2.6:
Figura 2.6 - Cossenos Diretores. Fonte: Adaptada de Gere & Weaver (1987).
Gere & Weaver (2010, p. 215) em seu livro “Análise de Estruturas Reticuladas” disponibiliza as seguintes relações: 23 \ c)dYe
W-X@Y
24 \ c)dYf
W-XJY
Para a função ser expressa em função das coordenadas ( Ag B), considere: A5C8=7 h AC8CiC=7 , B5C8=7 h BC8CiC=7 24 \ , 23 \
W-XDY W-X,Y
Onde , é o comprimento e pode ser calculado pelas coordenadas dos nós:
,\
A5 h AC
f
j ^B5 h BC `f
W-XVY
24
2.2.1
Matriz de Rigidez do Membro
Figura 2.7 - Mudança de Comprimento. Fonte: Própria.
Analisando uma barra rotulada, como na Figura 2.7, a exposição de uma força ' do lado direito da barra, exige uma força de reação do lado esquerdo da mesma, onde surge uma força de mesma intensidade e sentido contrário. Isto ocasiona uma redução de comprimento 6 da barra devido à compressão (NETO; VIEIRA, 1973, p. 8). Hibbeler (2014, p. 552) define detalhadamente as relações entre forças e deslocamentos das barras, observe a Figura 2.8:
Figura 2.8 - Deslocamento Próximo. Fonte: Adaptada de Hibbeler (2014).
A força axial de compressão de um membro devido à mudança de comprimento deve ser: S! 6 , 9 S! ;?7 \ h 6 , 9 ;?9 \
W-XGY W-X"IY
25
Da mesma forma, Hibbeler (2014, p. 552) propõe a inversão da direção da força e a posição da rótula, rótula, sendo assim, têm-se um esquema esquema da Figura 2.9: 2.9:
Figura 2.9 - Deslocamento Distante. Fonte: Adaptada de Hibbeler (2014).
Sendo representado pelas equações equações (2-11) e (2-12): S! 6 , 7 S! ;>7 \ 6 , 7
;>9 \ h
W-X""Y W-X"-Y
Compilando a Figura 2.8 e Figura 2.9, obtém-se:
Figura 2.10 – Deslocamentos. Deslocamentos. Fonte: Adaptada de Hibbeler (2014).
Segundo Hibbeler (2014, p. 552), a Figura 2.10 é representada sistematicamente da seguinte maneira:
;9 \
S! S! 69 h 6 , , 7
W-X"EY
26
;7 \ h
S! S! 69 j 6 , , 7
W-X"@Y
Os sistemas lineares (2-13) e (2-14) podem ser transformados em um produto matricial, como se segue: ;9 S! k hk 69 \ ;7 , hk k 67
W-X"JY
Podendo ser representado pela simplificação: ; \ /?6
W-X"DY
Onde, /? representa a matriz de rigidez do membro:
/? \
S! k hk , hk k
W-X",Y
2.2.2 Matriz de Transformação de Deslocamento Ao versar de Hibbeler (2014, p. 554), dentro das coordenadas globais, as extremidades de cada barra podem se movimentar em duas diferentes direções, portanto ao considerar uma barra com duas extremidades têm-se, no total, quatro possibilidades de deslocamentos. Sob a ótica de Hibbeler (2014, p. 554), os esquemas das Figuras 2.11, 2.12, 2.13 e 2.14 demonstram os possíveis deslocamentos das barras.
Figura 2.11 - Deslocamento Próximo em x. Fonte: Adaptada de Hibbeler (2014).
27
Figura 2.12 - Deslocamento Próximo em y. Fonte: Adaptada de Hibbeler (2014).
Figura 2.13 - Deslocamento Distante em x. Fonte: Adaptada de Hibbeler (2014).
Figura 2.14 - Deslocamento Distante em y. Fonte: Adaptada de Hibbeler (2014).
28
Na visão de Hibbeler (2014, p. 554), para encontrar o valor referente à resultante dos deslocamentos devem-se somar as componentes da barra, unindo os vetores das Figuras 2.11, 2.12, 2.13 e 2.14, da seguinte maneira, observe uma das extremidades: 69 \ %93 c)d Y3 j %94 c)d Y4
W-X"VY
Seguindo a mesma lógica, a outra extremidade deve ser escrita da seguinte forma: 67 \ %73 c)d Y3 j %74 c)d Y4
W-X"GY
Substituindo c)d Y3 \ 23 e c)d Y4 \ 24 : 69 \ %93 23 j %94 24
W-X-IY
67 \ %73 23 j %74 24
W-X-"Y
Juntando as equações (2-20) e (2-21), pode-se escrever uma matriz da seguinte maneira: 23 69 \ ] 67
24 ]
] 23
] 24
%93 %94 %73 %74
W-X--Y
Simplificando o produto, obtém-se: 6 \ $%
Onde $ é considerado a Matriz de Transformação de Deslocamento.
W-X-EY
29
2.2.3 Matriz de Transformação de Força A teoria da Matriz de Transformação de Força foi aplicada seguindo a mesma lógica utilizada para a explicação da Matriz de Deslocamento. Contudo, nesta explicação é considerada uma barra limitada por um pino, onde em sua extremidade oposta, há uma força aplicada, assim como a Figura 2.15:
Figura 2.15 - Resultante da Força Próximo. Fonte: Adaptada de Hibbeler (2014).
'93 \ ;9 c)dY3
W-X-@Y
'94 \ ;9 c)dY4
W-X-JY
Da mesma forma, Hibbeler (2014, p. 555) descreve que deverão ser consideradas as condições inversas da Figura 2.15, onde a extremidade que estava presa pelo pino agora está solta com uma força aplicada, como se segue na Figura 2.16:
Figura 2.16 - Resultante da Força Distante. D istante. Fonte: Adaptada de Hibbeler (2014).
30
As forças podem ser representadas da seguinte maneira: '73 \ ;7 c)dY3
W-X-DY
'74 \ ;7 c)dY4
W-X-,Y
Assim, como executado na Matriz dos Deslocamentos, substituindo c)d Y3 \ 23 e c)d Y4 \ 24 , obtêm-se: '93 \ ;9 23
W-X-VY
'94 \ ;9 24
W-X-GY
'73 \ ;7 23
W-XEIY
'74 \ ;7 24
W-XE"Y
Compilando as quatro equações em uma matriz, pode-se escrever: '93 23 24 '94 \ ] '73 ] '74
] ] ;9 23 ;7 24
W-XE-Y
Simplifica-se a equação (2-32) da seguinte maneira: ' \ $ @ ;
W-XEEY
Ao Definir $ @ como a Matriz de Transformação de força, pode-se perceber que é a transposta da Matriz de Transformação de deslocamento da equação (2-23).
2.2.4 Matriz Principal de Rigidez Segundo Hibbeler (2014, p. 556), para a definição da Matriz de Rigidez são utilizadas e combinadas as equações citadas anteriormente. A partir da junção das equações (2-16) e (2-23), têm-se: ; \ /?$%
W-XE@Y
31
Substituindo ; na equação (2-34) conforme a equação (2-33), obtém-se: ' \ $ @ /?$%
W-XEJY
' \ /%
W-XEDY
/ \ $ @ /?$
W-XE,Y
Que pode ser simplificada para:
Onde / é representado por:
Detalhando matricialmente a equação (2-37): 23 24 /\ ] ]
] ] S! k hk 23 23 , hk k ] 24
24 ]
] 23
] 24
W-XEVY
Desta forma, o autor descreve o produto da equação (2-38), como a seguinte matriz: 23f S! 23 24 /\ , h23f h23 24
23 24 24f h23 24 h24f
h23f h23 24 23f 23 24
h23 24 h24f 23 24 24f
W-XEGY
32
2.3 ANÁLISE DE TRELIÇAS PLANAS A fim de explicar a formação da Matriz de Rigidez Global, optou-se pela disposição de um exemplo de treliça, que exemplifica as argumentações dos Itens 2.1 e 2.2. Mais adiante há explicações sobre a concepção das Matrizes de Rigidez Global. Esta escolha se faz necessária, pois a formação de uma Matriz de Rigidez Global depende, fundamentalmente, fundamentalmente, da quantidade de barras utilizada. No caso deste exemplo, é utilizada uma treliça formada por cinco barras, assim como a Figura 2.17. Para iniciar a análise devem-se numerar todos os nós e todas as barras, esta etapa ajuda na compreensão dos cálculos e na avaliação dos resultados. Para ilustrar a numeração arbitrária de nós e membros, segue a Figura 2.17:
Figura 2.17 - Treliça Modelo e Legenda de Símbolos. Fonte: Própria.
O Quadro 2.1 contém informações sobre a relação de barras e nós da Figura 2.17: Barra
1
2
3
4
5
Extremidade 1 do Nó
1
2
3
4
1
Extremidade 2 do Nó
2
3
4
1
3
Quadro 2.1 - Relação entre Barras e Nós.
Em seguida, as coordenadas locais devem ser identificadas e numeradas, a fim de definir sua sequência na construção das matrizes, podem ser definidas duas formas de numeração. A primeira forma, e mais comum, é seguindo a sequência de nós. A segunda
33
forma é numerar os deslocamentos conforme seu conhecimento sobre as forças, sendo assim, o objetivo é numerar a priori os nós que existem forças conhecidas, consequentemente, consequentemente, os nós com as forças desconhecidas são numerados a posteriori. Ambas as abordagens devem seguir a regra de numerar as translações X antes das translações Y em cada nó, por se tratar de barras rotuladas podem-se observar dois graus de liberdade para cada nó, resultando em quatro coordenadas por barra. (GERE; WEAVER, 1987, p. 221) Com o objetivo de otimizar o desenvolvimento do cálculo para o uso computacional, o segundo método descrito foi exemplificado, onde os nós com forças conhecidas são numerados primeiro e o padrão de numeração segue a sequência V e X para cada nó. Verifique o padrão adotado na Figura 2.18:
Figura 2.18 - Numeração dos Graus de Liberdade. Fonte: Própria.
Ao serem definidos os nós, a quantidade de barras e numeradas as coordenadas locais deve-se iniciar a construção dos cálculos. Para cada barra deve ser definida uma matriz de rigidez, sendo assim, ao final deste primeiro exemplo têm-se cinco matrizes que são unidas por uma Matriz Global + no Item 2.3.1. Segue o desenvolvimento: BARRA 1
Figura 2.19 - Graus de Liberdade da Barra 1. Fonte: Própria.
34
Utilizando os dados da Figura 2.19 e aplicando a equação (2-8), obtém-se o respectivo valor de , para a Barra 1: ,\
l h]
f
j ^ ] h ] `f \ l
Os cossenos diretores podem ser definidos a partir das equações (2-6) e (2-7): l h ] \k l ] h ] 24 \ \] l 23 \
Substituindo os valores na equação (2-39): m k S! ] /e \ l hk ]
n l o ] hk hk ] m ] ] ] n ] k ] l ] ] ] o
Os números que estão escritos à direita e acima da matriz /e, foram obtidos a partir das observações sobre a direção do deslocamento das barras. Neste exemplo, a Barra 1 é representada pelos deslocamentos deslocamentos (7, 8, 5, 6) assim como mostra a Figura 2.19. Dividindo os valores da matriz /e por L: m ]gp ] /e \ S! h]gp ]
n l ] h]gp ] ] ] ]gp ] ]
o ] ] ] ]
m n l o
Ao finalizar a primeira barra é necessário seguir o mesmo raciocínio para as barras restantes, veja a seguir os resultados: BARRA 2 , \ qglq 23 \ ]gm] 24 \ h]gm]
l o k p ]gkr h]gkr h]gkr ]gkr h]gkr ]gkr ]gkr h]gkr /f \ S! h]gkr ]gkr ]gkr h]gkr ]gkr h]gkr h]gkr ]gkr
l o k p
35
BARRA 3 k p q r ]gkr h]gkr h]gkr ]gkr h]gkr ]gkr ]gkr h]gkr /s \ S! h]gkr ]gkr ]gkr h]gkr ]gkr h]gkr h]gkr ]gkr
, \ qglq 23 \ h ]gm] 24 \ ]gm]
k p q r
BARRA 4 m , \ lg]] 23 \ ]g]] 24 \ k ,00
/t \
S! ,
n
]g]] ]g]] ]g]] ]gp] ]g]] ]g]] ]g]] h]gp]
q
]g]] ]g]] ]g]] ]g]]
r ]g]] h]gp] ]g]] ]gp]
m n q r
BARRA 5 m n p k ]gkr ]gkr h]gkr h]gkr m ]gkr ]gkr h]gkr h]gkr n /u \ S! h]gkr h]gkr ]gkr ]gkr p h]gkr h]gkr ]gkr ]gkr k
, \ qglq 23 \ ]gm] 24 \ ]gm]
2.3.1 Matriz de Rigidez Global Seguindo a mesma lógica das matrizes anteriores, os números que estão escritos à direita e acima das matrizes / são os representantes das coordenadas locais, isto posiciona as matrizes geradas para cada barra dentro de uma Matriz Global + (NETO; VIEIRA, 1973, p. 19). A quantidade de coordenadas locais da treliça analisada definem os elementos da matriz global, no caso deste exemplo de treliça (Figura 2.17), oito são as possíveis coordenadas coordenadas e são representadas por uma Matriz Global M 8x8. A construção da matriz + envolve a somatória das contribuições de rigidez de cada elemento. A fim de se notar o posicionamento das matrizes / dentro da matriz +, basta observar o Quadro 2.2: 1
h h h h h h h h
2
h h h h h h h h
3 4
h h h h h h h h
h h h h h h h h
5
h h h h A A A A
Barra 1
6
h h h h A A A A
7
h h h h A A A A
8
h h h h A A A A
k p q r l o m n
1
A A h h A A h h
2
A A h h A A h h
3 4
h h h h h h h h
h h h h h h h h
5
A A h h A A h h
Barra2
6
A A h h A A h h
7
h h h h h h h h
8
h h h h h h h h
k p q r l o m n
36
1
A A A A h h h h
1
A A h h h h A A
2
3 4
5
6
7
8
A A A A h h h h
A A A A h h h h
A A A A h h h h
h h h h h h h h
h h h h h h h h
h h h h h h h h
h h h h h h h h
2
3 4
5
6
7
8
A A h h h h A A
h h h h h h h h
Barra 3
h h h h h h h h
h h h h h h h h
Barra 5
h h h h h h h h
A A h h h h A A
A A h h h h A A
k p q r l o m n
1
h h h h h h h h
2
h h h h h h h h
3 4
h h A A h h A A
h h A A h h A A
5
h h h h h h h h
6
h h h h h h h h
7
h h A A h h A A
8
h h A A h h A A
Barra 4
k p q r l o m n
k p q r l o m n
Quadro 2.2 - Posição dos valores das Matrizes
Ao posicionar e somar os valores necessários, a matriz + é: 1 ]grp h]gkr h]gkr ]gkr M= S! h]gkr ]gkr h]gkr h]gkr
2
3
4
5
6
7
8
h]gkr h]kr ]gkr h]gkr ]gkr h]gkr h]gkr ]grp ]gkr h]gkr ]gkr h]gkr h]gkr h]gkr ]gkr ]gkr h]gkr ] ] ] ] h] h]gkr h]gkr ]g ]gqr ] ] ] h]gp ]g ]gkr ] ] ]gqr h] h]gkr h]gp ] h]gkr ] ] h]gkr ]gkr ] ] h]gkr ] ] h]gp ] ]gqr ]gkr h]gkr ] h]gp ] ] ]gkr ]gqr
k p q r l o m n
Neste momento, o interesse desta resolução está em conhecer as relações entre as forças e os deslocamentos que atuam nas coordenadas globais, utilizando o produto do módulo de elasticidade ( S ) e a área de secção transversal das barras ( !) igual a um, e modificando a equação (2-36), previamente definida por Hibbeler (2010, p. 556), para que a matriz local / seja substituída pela matriz global +, tem-se a equação (2-40): v \ +w
W-X@IY
37
Onde ' é representado pela força no Nó e w é representado pelo deslocamento no Nó. Substituindo os valores da matriz M: 'e ]grp 'f h]gkr 's h]gkr 't ]gkr \ 'u h]gkr 'x ]gkr h]gkr 'y h]gkr 'z
h]gkr h]kr ]gkr h]gkr ]gkr h]gkr h]gkr ]grp ]gkr h]gkr ]gkr h]gkr h]gkr h]gkr ]gkr ]gkr h]gkr ] ] ] ] h] h]gkr h]gkr ]g ]gqr ] ] ] h]gp ]g ]gkr ] ] ]gqr h] h]gkr h]gp ] h]gkr ] ] h]gkr ]gkr ] ] h]gkr ] ] h]gp ] ]gqr ]gkr h]gkr ] h]gp ] ] ]gkr ]gqr
%e %f %s %t %u %x %y %z
Em termos de deslocamento, pode-se observar na Figura 2.17 que os apoios (fixo e móvel) impedem o movimento da treliça nas suas extremidades, sendo assim, os deslocamentos nodais referentes às suas coordenadas locais são nulos: %x g %y g %z \ ]
Da mesma forma, analisando as forças externas aplicadas nos nós, conclui-se que: 'e \ ]g 'f \ hk]g hk]g 's \ p] p]gg 't \ ]g 'u \ ]
Em busca de conhecer os valores desconhecidos de forças e deslocamentos devem-se substituir os valores na equação (2-40): ] ]grp hk] h]gkr p] h]gkr ] ]gkr \ ] h]gkr 'x ]gkr 'y h]gkr 'z h]gkr
h]gkr h]kr ]gkr h]gkr ]gkr h]gkr h]gkr ]grp ]gkr h]gkr ]gkr h]gkr h]gkr h]gkr ]gkr ]gkr h]gkr ] ] ] ] h] h]gkr h]gkr ]g ]gqr ] ] ] h]gp ]g ]gkr ] ] ]gqr h] h]gkr h]gp ] h]gkr ] ] h]gkr ]gkr ] ] h]gkr ] ] h]gp ] ]gqr ]gkr h]gkr ] h]gp ] ] ]gkr ]gqr
%e %f %s %t %u ] ] ]
O procedimento proposto por Hibbeler (2010, p. 552) para solucionar esse sistema é dividi-lo em sub-matrizes. A intensão, neste caso, é separar os sistemas de equações de equilíbrio com apenas uma incógnita. A barra na horizontal deve separar os valores conhecidos e desconhecidos de ' e %. A barra da vertical divide a matriz global de um modo que os primeiros elementos formem uma matriz quadrática, os valores conhecidos de F irão
38
definir a quantidade de linhas e colunas, neste caso, foi gerada uma sub-matriz +55 5x5. Segundo Hibbeler (2010, p. 552), o sistema acima pode ser representado da seguinte forma: +55 '5 \ +:5 ':
+5: %5 +:: %:
W-X@"Y
'5 \ +55 %5 j +5: %:
W-X@-Y
': \ +:5 %5 j +:: %:
W-X@EY
E pode-se escrevê-lo como:
Pelo modo em que a equação (2-42) está disposta, pode-se verificar que os valores de %: são iguais à zero, anulando assim as multiplicações +5: %: e +:: %: . Deste modo, a sub-
matriz que define os deslocamentos dos nós é a seguinte: ]grp h]gkr h]kr ]gkr h]gkr ] h]gkr ]grp ]gkr h]gkr ]gkr hk] ]gkr h]gkr ] p] \ h]gkr ]gkr ]gkr h]gkr h] h]gkr ]gqr ] ] h]gkr ]gkr ] ] ]gqr ]
%e %f %s %t %u
Colocando o deslocamento em evidência obtém-se: % \ +{e '
Que resulta nos valores de: %e kqqgpk %f hkonglo %s \ lrqgk| %t k]] %u kpl
W-X@@Y
39
Os resultados dos deslocamentos possibilita a resolução da equação (2-43). A partir da sub-matriz de esforços, tem-se: kqqgpk 'x ]gkr h]gkr ] ] h]gkr hkonglo 'y \ h]gkr h] h]gkr ] ] h]gp lrqgk| 'z h]gkr h]gkr ] h]gp ] k]] kpl
Sendo assim, os resultados abaixo representam as forças externas que agem sobre os apoios da treliça na Figura 2.17. 'x pl 'y \ hp] 'z hkl
2.3.2 Definindo as Forças Axiais Neste momento o interesse da resolução se faz em definir os valores das forças axiais de casa barra. Á luz de Hibbeler (2010, p. 553), as forças nos membros podem ser determinadas a partir da equação (2-34), que se expandindo gera: ;9 S! k hk 23 \ ;7 , hk k ]
24 ]
] 23
] 24
%93 %94 %73 %74
W-X@JY
Como ;9 \ h;7 , apenas uma das variáveis precisa ser encontrada, assim:
;7 \
S! h23 ,
h24
23
24
%93 %94 %73 %74
W-X@DY
Esta equação deve ser aplicada para todas as barras da treliça, levando em consideração os itens que foram definidos anteriormente como: Deslocamentos Nodais, Comprimentos, Área da Secção Transversal, Módulo de Elasticidade e Cossenos Diretores das barras. Com os resultados, são identificados valores positivos para forças de tração e valores negativos para forças de compressão. O objetivo do demonstrativo que segue é exemplificar a equação (2-46), a partir da utilização dos dados da Figura 2.17 e assim é possível definir os valores valores das forças axiais da treliça.
40
BARRA 1 Retomando os valores definidos anteriormente para a Barra 1 sendo representada pela Figura 2.19: •
O Comprimento da barra é igual a 5.
•
O Cosseno Diretor em X é igual a 1.
•
O Cosseno Diretor em Y é igual a 0.
•
O produto do Módulo de Elasticidade e a Área é igual a 1
•
O Deslocamento Nodal do eixo 7 é igual a 0
•
O Deslocamento Nodal do eixo 8 é igual a 0
•
O Deslocamento Nodal do eixo 5 é igual a 125
•
O Deslocamento Nodal do eixo 6 é igual a 0
Substituindo os valores na equação (2-46), obtém-se o valor de 25 kN referente à carga axial da barra 1: ] k ] ;e \ hk ] k ] \ pl kplg]] l ]
Desenvolvendo Desenvolvendo o mesmo raciocinio para as barras restantes: BARRA 2 , \ qglq 23 \ h ]gm] 24 \ ]gm]
%u \ kpl %x \ ]g]] %e \ kqqgpk %u \ hkonglo
kpl k ] ]gm h]gm h]gm ]gm ;f \ \ hqlg]k kqqgpk qglq hkonglo
BARRA 3 , \ qglq 23 \ ]gm] 24 \ h]gm]
kqqgpk k hkonglo h]gm ]gm ]gm h]gm \ hpng]k %f \ hkonglo ;s \ lrqgk| qglq k]]g]] %s \ lrqgk| %e \ kqqgpk
%t \ k]]g]]
41
BARRA 4 , \ lg]]
%s \ lrqgk|
23 \ ]
%t \ k]]g]]
24 \ hk
%y \ ]g]]
lrqgk| k k]]g]] ;t \ ] k ] hk \ p] ] l ]
%z \ ]g]]
BARRA 5 , \ qglq
%y \ ]g]]
23 \ ]gm]
%z \ ]g]]
24 \ ]gm]
%e \ kqqgpk
] k ] h]gm h]gm ]gm ]gm ;u \ \ hmg]] kqqgpk qglq hkonglo
%f \ hkonglo
Portanto, os resultados obtidos durante toda esta resolução foram: I.
Deslocamentos %e kqqgpk %f hkonglo %s \ lrqgk| %t k]] %u kpl
II.
Reações dos Apoios: 'x pl 'y \ hp] 'z hkl
III.
Forças Axiais: "0}}0 k \ pl U# "0}}0 p \ hqlg]k U# "0}}0 q \ hpng]k U# "0}}0 r \ p] U# "0}}0 l \ hmg]] U#
42
2.4 DIMENSIONAMENTO O objetivo do dimensionamento de um projeto é garantir que o mesmo tenha resistência suficiente para suportar as condições de uso e esforços que a estrutura é submetida. Este é um estudo que envolve a análise de tensões das partes que compõem a estrutura e considerações a respeito das propriedades mecânicas mecânicas do material. material. A análise de tensões, tensões, esforços e propriedades mecânicas dos materiais são os principais aspectos da resistência dos materiais para o dimensionamento. dimensionamento.
2.4.1 Tensão A tensão atuante ^~` é definida como sendo a aplicação de uma intensidade de força externa por unidade de área na secção transversal, ou seja, é a força por unidade de área. (NASH & POTTER, 2014, p. 2)
~\
' !
W-X@,Y
Para indicar tensão de tração nas barras é utilizado o sinal positivo (+ !), logo para indicar tensão de compressão o sinal negativo (- !) é empregado. Portanto: v • ] b ~ • ] b €‚PKƒ €‚PKƒ v „ ] b ~ „ ] b …ƒ†‡ˆ‰‰Kƒ …ƒ†‡ˆ‰‰Kƒ
2.4.2 Tensão Limite Os materiais da construção possuem uma carga limite que pode ser definida através de testes, onde é avaliado como as amostras do material irão reagir às condições conhecidas de esforços. Em laboratório, por exemplo, pode-se analisar um corpo de prova de aço, o mesmo é submetido a uma carga axial de tração. Enquanto uma máquina de ensaios aplica uma força que aumenta progressivamente de intensidade, é possível notar modificações do corpo de prova, como novos novos diâmetros e comprimentos comprimentos (BEER; JOHNSTON JOHNSTON JR, 1995, 1995, p. 38). O ensaio ocorre até a ruptura do material, neste momento a máxima força ( '<=3 ) é atingida e o corpo de prova se quebra.
43
Figura 2.20 - Diagrama Tensão Deformação. Fonte: Melconian (2013).
Quando um material, classificado como dúctil, é submetido a um ensaio de ttração ração seus comportamentos estão previstos na Figura 2.20, sendo esta a demonstração da relação entre tensão e deformação. (MELCONIAN, 2000, p.67) A tensão limite ou tensão máxima pode ser definida por:
~<=3 \
'<=3 !
W-X@VY
Mais informações podem ser encontradas no Anexo B (ESPINOZA, 2010, p. 54), onde há tabelas pré-definidas sobre a tensão limite de materiais como madeira e aço, aconselha-se para materiais específicos que testes laboratoriais sejam feitos com os mesmos, a fim de definir um valor correto para a tensão limite. !"#"$
Módulo de Elasticidade do Material O Módulo de Elasticidade, também conhecido como Módulo de Young ( S), é uma
grandeza que proporciona medidas da rigidez de um material sólido. É definido pela razão entre a tensão aplicada ( ~` e a deformação sofrida pelo corpo ( 6), dentro do limite elástico,
44
em que a deformação é totalmente reversível. Para a análise de um sólido elástico perfeito, a curva tensão/deformação é linear e inalterada pela taxa de deformação calculada pela Lei de Hooke. (NASH & POTTER, 2014, p. 3) S\
~ 6
W-X@GY
O Módulo de Elasticidade depende fundamentalmente das forças de ligação atômica e é capaz de dividir os materiais em duas classes: os flexíveis e os rígidos, sendo que, um material rígido é caracterizado por um elevado valor do Módulo de Young (HIBBELER, 2010, p. 32-33). Os valores que definem o ^S` dos materiais são tabelados, mas é importante ressaltar que as tabelas apresentam valores típicos, portanto é recomendado que se consulte o fabricante do material para usos específicos. O Anexo B (ESPINOZA, 2010, p. 54) apresenta o Módulo de Elasticidade de alguns materiais à temperatura ambiente, pois com o aumento da temperatura, o módulo de elasticidade tende a diminuir para praticamente todos os materiais.
2.4.4 Coeficiente de Segurança O coeficiente de segurança ( 2R) é selecionado com base na experiência do profissional e depende de vários fatores, como: tipo de estrutura, durabilidade do material, qualidade do material e da mão de obra, entre outros. Ele pode ser considerado uma reserva estratégica, onde é empregado um valor maior ou igual a 1 para suprir possíveis falhas de cálculo e prevenir possíveis incertezas de projeto. (HIBBELER, 2010, p. 32-33). A definição do coeficiente de segurança é uma tarefa que demanda responsabilidade por parte do calculista, pois a escolha de um coeficiente de segurança segurança baixo pode trazer danos à estrutura e a escolha de um coeficiente de segurança alto pode elevar consideravelmente os custos do projeto. O calculista deve consultar regulamentos e especificações de projeto a fim de definir um valor para o coeficiente de segurança, alguns códigos que podem ajudar na definição são: 1. Aço I.
Instituto Americano de Construção Metálica, Especificações para o projeto e a execução de estruturas metálicas para edifícios.
II.
NB-14 - Projeto e Execução Execução de Estruturas Estruturas de Aço em Edifícios
45
2. Madeira I.
Associação Nacional de Produtos Florestas, Especificações Nacional para projeto em madeira estrutural e suas ligações.
II.
NB-11 - Cálculo e Execução Execução de Estruturas de Madeira Madeira
2.4.5 Tensão admissível A tensão que oferece à estrutura uma condição de trabalho segura é chamada de tensão admissível, a mesma consiste na relação entre a tensão limite de resistência e o coeficiente de segurança. (NASH & POTTER, 2014, p. 4)
~=F< \
~<=3 2R
W-XJIY
Uma componente estrutural deve ser projetada para que apenas parte da capacidade de resistência do material esteja sendo utilizada, utili zada, outra parte é reservada para assegurar condições seguras de utilização, não atingindo assim as condições de ruptura ou escoamento da barra (HIBBELER, 2010, p. 32). Para analisar a eficiência da barra escolhida, devem ser definidos os valores de tensão limite dos materiais em compressão e em condições de tração, e como descreve a equação (2-50), devem-se dividir os valores de tensão limite pelo coeficiente de segurança. Neste momento devem-se ter duas tensões admissíveis, uma para tensão admissível de tração e outra para compressão. Estes valores são comparados à tensão que a barra esta sendo submetida. Neste caso, as as barras que se apresentam tracionadas tracionadas devem ser avaliadas da da seguinte maneira: maneira: I.
Tensão Atual da barra > Tensão Admissível de tração b ocorre o escoamento da barra;
II.
Tensão Atual da barra < Tensão Admissível de tração b é possível utilizar o perfil. Da mesma forma, as barras que apresentam forças de compressão devem ser
analisadas. A situação ideal no cálculo dos dois casos (compressão e tração) é a tensão atual das barras apresentarem valores menores do que a tensão admissível, caso contrário, pode-se considerar que o dimensionamento da estrutura não é seguro, tendendo ao processo de ruptura da barra.
46
2.4.6 Tensão de flambagem Estruturas esbeltas, quando sujeitas a forças de compressão axial, tendem à ocorrência do fenômeno chamado flambagem. Assim como mostra na Figura 2.21, a barra sob a atuação de uma força de compressão axial ^'` apresenta um estágio de equilíbrio estável (MASCIA, 2006, p. 3-7).
Figura 2.21 - Barra Antes da Flambagem Fonte: Própria.
Aumentando a intensidade da carga ^'` no centroide da barra, é possível observar que a carga ^'` provoca a mudança de estado da barra, saindo do equilíbrio estável para o instável. (MASCIA, 2006, p. 3-7)
Como resultado, observe a Figura 2.22:
Figura 2.22 - Barra Flambada. Fonte: Própria.
Para determinar a tensão de flambagem, a equação (2-47) foi utilizada e adaptada. Ao utilizar as características do material e as características geométricas das barras, obtém-se:
~L7=
Sendo que as variáveis representam: S - Módulo de Elasticidade; T - Momento de Inércia; U - Fator de Comprimento Efetivo; , - Comprimento da Barra e; ! - Área de Secção da barra.
Š‹ŒSŒT UŒ,‹Œ!
W-XJ"Y
47
Mais informações sobre Momento de Inércia podem ser encontradas no Anexo A (GUSTAVO, 2014, p. 21). É recomendado o uso do Fator de Comprimento Efetivo devido às incertezas quanto ao comportamento dos engastes nas estruturas. Em se tratando de treliças, o valor definido pela NR 8800 é igual a um, sendo assim, assim, esse fator não não foi considerado nos cálculos. O objetivo de aplicar a equação (2-51) é verificar se há ou não a flambagem da barra. Esta verificação é feita mediante o uso da equação (2-50), onde com o auxílio do coeficiente de segurança, a tensão de flambagem se transforma em uma tensão admissível (~EF< L7=
Tensão Atual da barra < Tensão Admissível de flambagem b não há flambagem, o perfil previsto pode ser utilizado.
II.
Tensão Atual da barra > Tensão Admissível de flambagem b a barra flamba, sendo assim, não é recomendado o uso das dimensões da barra utilizadas nos cálculos.
2.4.7 Exemplo de dimensionamento de barra O objetivo do Item 2.4.7 é exemplificar as fundamentações teóricas do Item 2.4, a partir da análise do dimensionamento de supostas barras de treliça. Desta forma, foi proposto um exemplo de duas barras, sendo considerando um perfil circular metálico, assim como na Figura 2.23, com as seguintes dimensões em metros:
Figura 2.23 - Perfil Metálico. Fonte: Própria.
48
A Figura 2.24 define o comprimento e a força axial de tração para a Barra A:
Figura 2.24 - Barra A em Tração. Fonte: Própria.
Em seguida, a Figura 2.25 se refere à Barra B que possui o mesmo comprimento da barra A, mas a força atuante é de 30 kN em um movimento movimento de compressão. compressão.
Figura 2.25 - Barra B em Compressão. Fonte: Própria.
Com valores hipotéticos, foi definido que a Tensão Limite de compressão e de tração são referentes à 10 kN/cm " e o Coeficiente de Segurança utilizado igual a 2. Com isto, utilizando a equação (2-50) é possível calcular as Tensões Admissíveis de tração e compressão: ~EF< OI=PKH \
k] Ž†‹ \ l Ž†‹ p
~EF< GH<9IJ::KH \
k] Ž†‹ \ l Ž†‹ p
Neste momento é necessário definir a Tensão Atual em que as barras estão submetidas, para isto foi necessário definir a Área de Secção da barra: ! \ Š]g]l‹ h Š]g]rof \ kgp]oŒ kgp]oŒ k]{s /‹
Utilizando a equação (2-47) em unidades de kN e centímetros, pode-se definir que a Tensão Atual para a Barra A é:
49
~E@Q=7 \
l] \ rgkr U#c/‹ kpg]o
Com isto, pode-se verificar que a Tensão Atual de tração é menor que a Tensão Admissível de tração. Sendo assim, os valores previstos para o dimensionamento da Barra A são aceitáveis. Deve-se repetir o processo para a Barra B:
~E@Q=7 \
q] \ pgrn U#c/‹ kpg]o
Da mesma forma, a Tensão Atual da Barra B é menor do que a Tensão Admissível de compressão, representando representando um valor aceitável. Como definido anteriormente, caso a Tensão Atual seja maior que a Tensão Admissível, não é recomendável a utilização da barra nestas dimensões, pois a barra pode atingir o nível de escoamento do material. Utilizando o Anexo A (GUSTAVO, 2014, p. 21), é possível definir o Momento de Inércia das barras: ŠŒ % t T\ or
W-XJ-Y
ŠŒ ^]gk ^]gkt h ]g]| ]g]|p pt ` T\ \ kgq|p kgq|pkŒ kŒ k]{x /t or
A fim de verificar a flambagem das barras foi adotado um módulo de elasticidade no valor de 10.000 kN para a tração e a compressão. Convertendo os valores necessários para centímetros e substituindo valores na equação (2-51), obtém-se:
~L7=
Š‹Œ k]]]]Œkq k]]]]Œkq|gpk |gpk \ pngrn U#c/‹ p]]‹Œ p]]‹Œ kpg]o kpg]o
A fim de se estabelecer um valor seguro é definido a Tensão Admissível de flambagem: ~EF< L7=
pngrn Ž†‹ \ krgpr Ž†‹ p
Com isto é possível verificar que a Tensão Atual que as barras estão submetidas é menor do que a Tensão Admissível para as mesmas, confirmando assim a eficiência do dimensionamento proposto.
50
2.5 MATLAB O nome MATLAB vem de Matrix Laboratory, este é um software desenvolvido no Departamento de Ciência da Computação da Universidade do Novo México, por Moler (1981). O intuito do programa é prover o tratamento de vetores e matrizes. As matrizes constituem a estrutura básica do MATLAB, por isso o programa permite manipulá-las de maneira eficiente. Esta linguagem de programação é apropriada ao desenvolvimento de aplicativos de natureza técnica, com ele é possível testar soluções com facilidade e precisão, como uma análise em laboratório, assim como o próprio nome cita. Donizetti (2002, p. 03) cita alguns dos usos típicos do programa MATLAB em sua apostila: I. II.
Cálculos matemáticos; Desenvolvimento de algoritmos;
III.
Modelagem, simulação e confecção de protótipos;
IV.
Análise, simulação e confecção de dados;
V. VI.
Gráficos Científicos e de Engenharia; A elaboração de interfaces gráficas O MATLAB é o programa principal onde a funcionalidade é criada pelos usuários
através de rotinas. É um software de muito sucesso na área da computação cientifica pela sua eficiência em calcular rotinas e simulações numéricas, sendo capaz de ajudar empresas, pesquisadores e estudantes. O programa oferece um potente sistema de visualização de dados e a sua facilidade de uso é o que mais atrai os usuários. Através do Quadro 2.3, podem ser comparadas duas linguagens computacionais, JAVA e MATLAB, os exemplos têm a mesma finalidade, somar dois números: "#$#
"#$%&' '%()) *#+,-. / "#$%&' )0(0&' 1.&2 +(&3450-&36 (-6)789 / &30:;<= : > ?= < > @= 5<)0,+A.#0A"-&30%34B:C< 5<)0,+A.#0A"-&30%34B:C< >DC 4:C<99= E
%#&'#(
F>?= G>@=
disp(['x+y = ' num2str(x+y)])
E
Quadro 2.3 - Comparação JAVA com MATLAB. Fonte: Própria.
51
Como comprovado, o uso do MATLAB se torna mais acessível, isto traz uma comodidade ao usuário. Muitas vezes o código é escrito de uma forma semelhante às expressões algébricas, com isto, para resolver problemas simples, pode-se utilizar comandos básicos e o programa programa responde como uma calculadora. calculadora. Conforme o número de comandos aumenta deve-se utilizar o MATLAB como uma linguagem computacional, onde o programa executa uma sequência de comandos contidos em arquivos conhecidos como “scripts”, estes arquivos são nomeados arquivos “.m” ou M-files (DONIZETTI, 2002, p. 29-30). Faz-se necessária uma breve introdução de alguns conceitos do MATLAB, assim como: interface do programa, estrutura de rotinas e dicas básicas para funcionamento dos comandos em geral. Começando pela interface do programa, na apostila “Noções Básicas de Programação em MATLAB” seus autores definem: I.
Command Window :
local onde oferece resultados e podem ser feitas operações
matemáticas rapidamente. II.
Workspace:
espaço destinado às variáveis que estão salvas na memória, onde é
possível visualizar visualizar o nome, valor e classe da mesma. mesma. III.
Command History :
lista de comandos realizados, organizados por data de execução,
permitindo o comando comando ser realizado novamente novamente com duplo clique. Projetos realizados no MATLAB fazem o uso de rotinas de cálculo onde sua estrutura é baseada na repetição, isto é, uma sequência de loop ou estruturas condicionais executada repetidamente até que uma dada condição de interrupção seja satisfeita. Seguindo padrões de cálculo Norte Americano é importante salientar aos usuários que números decimais são representados por ponto e não por vírgula, como o exemplo, “10,25” deve ser utilizado por “10.25”. O atalho “Control + C ” deve ser do entendimento de todos os usuários do MATLAB, pois este tem uma função importante de interromper i nterromper imediatamente o código. O atalho pode ser acionado em qualquer fase do código e é muito utilizado em caso de erros.
52
3 METODOLOGIA Sempre presando pelo caráter didático, este projeto tem como objetivo a resolução de treliças planas, devido à facilidade de leitura e compreensão do código computacional, sendo que, o enfoque é dado para a análise e dimensionamento de estruturas isostáticas e hiperestáticas. Utilizando o software MATLAB, foi elaborada uma rotina, denominada pelos autores como TPmat, que tem como função calcular as forças que agem em estruturas treliçadas e também verificar o dimensionamento de treliças. O usuário deve entrar com dados referentes às propriedades geométricas das treliças planas, apoios e forças tendo, como opção, a possibilidade do cálculo de dimensionamento dimensionamento através da inserção de valores referentes ao perfil e material a ser simulado. Como resposta o código gera resultados em forma de gráficos, tabelas e avisos. Para isso, foram utilizados conceitos como o método de rigidez, para a determinação das forças axiais, a equação de tensão mecânica, para o cálculo de tensão de escoamento, e a equação de Euller, para o cálculo das forças de flambagem. Como ferramenta de comparação e teste de eficiência do código quanto à análise da estrutura, foi utilizado um dos softwares mais conhecidos por estudantes de Engenharia, o Ftool. Em relação ao dimensionamento, por falta de opções de softwares gratuitos disponibilizados ao público, preferiu-se realizar o cálculo através de planilhas em Excel, baseando-se na fundamentação fundamentação teórica apresentada. apresentada.
53
4 ESTRUTURA DO PROGRAMA A montagem do código se baseia na rotina de um arquivo principal e dezenove arquivos de funções. O código principal é divido em seis fases: I. II.
Inicialização do Código; Coleta de Dados;
III.
Análise da Treliça;
IV.
Dimensionamento;
V.
Exportação;
VI.
Finalização.
Tais fases são argumentas durante todo Capítulo 4 com a finalidade de apresentar o arquivo principal e explanar a criação da rotina TPmat.
4.1 INICIALIZAÇÃO DO CÓDIGO %% Limpar a linha de comando e as variáveis clear; clc; %% Mensagens de Atenção msg01 = input('Atenção: input( 'Atenção: \n- Este código apresenta soluções utilizando coordenadas (X, Y). \n- Considere valores positivos e negativos de acordo com o padrão do Círculo Trigonométrico. \n- As distâncias são medidas em metros (m). \n- As forças são medidas em kilonewton (kN). \n- Para interromper o programa pressione Ctrl+C. \n[Pressione Enter para continuar]' ); clc; Quadro 4.1 - Arquivo Principal - Limpeza de Variáveis.
Para iniciar as rotinas no MATLAB é comum a utilização dos códigos “ clear ” e “clc”, pois eles têm a função de limpar o Workspace e a Command Window , liberando assim a memória de códigos executados anteriormente. É possível encontrar esses comandos ao longo de toda a rotina do TPmat, pois este é um processo que visa melhorar o funcionamento e a visualização do mesmo. Fez-se de extrema importância para os desenvolvedores do código que mensagens iniciais fossem exibidas para facilitar o primeiro contato do usuário, nestas mensagens são apontadas instruções básicas do funcionamento da rotina.
54
Neste momento, para comentar as instruções descritas no Quadro 4.1 foram divididas as mensagens, observe os Quadros 4.2, 4.3, 4.4, 4.5, 4.6 e seus respectivos comentários: -Este código apresenta soluções utilizando coordenadas (X, Y). Quadro 4.2 - Mensagens de Atenção – Coordenadas (X, Y).
A primeira linha da mensagem argumenta que para localizar a posição dos nós e definir as distâncias das barras são utilizadas coordenadas (X, Y). -Considere valores positivos e negativos de acordo com o padrão do Círculo Trigonométrico. Quadro 4.3 - Mensagens de Atenção – Círculo Trigonométrico.
A utilização de valores positivos e negativos de acordo com o Círculo Trigonométrico facilita a definição da direção das forças atuantes na estrutura. -As distâncias são medidas em metros (m). -As forças são medidas em kilonewton (kN). Quadro 4.4 - Mensagens de Atenção – Unidades de Medidas.
Informações sobre as unidades de medida do código se fazem de extrema importância para evitar simples erros erros que resultariam em em resultados equivocados. equivocados.
-Para interromper o programa pressione Ctrl+C. Quadro 4.5 - Mensagens de Atenção – Interrupção do Programa.
Assim como definido no Item 2.5, o uso do atalho “ Ctrl + C ” se faz de extrema importância para usuários do MATLAB, pois esta é a única maneira de interromper o código em qualquer fase da rotina. [Pressione Enter para continuar] Quadro 4.6 - Mensagens de Atenção – Continuação de Etapas
Essa mensagem é muito decorrente ao longo do código, pois ela indica que para finalizar uma fase e iniciar outra, basta pressionar a tecla “ Enter ”. ”.
55
4.2 COLETA DE DADOS %% Coleta de Dados iniciarFigure(); no = pegarNos(); elemento = adicionarElemento(no); apoio = adicionarApoio(no); forca = adicionarForca(no); Quadro 4.7 - Arquivo Principal - Coleta de Dados.
Cada linha descrita acima define a abertura de um arquivo de função secundário, nesta primeira fase são seis os arquivos que compõem o montante de dezenove. As funções f unções acima são detalhadas a seguir.
4.2.1 Iniciar figura iniciarFigure.m - Este M-file possui
a característica de iniciar o gráfico onde é
desenhada a treliça gerada pelo usuário. Este arquivo contém todas as características estéticas do gráfico, como configurações de cor e legendas. Para resultar na criação geral do gráfico, outras seis funções são utilizadas, sendo que, cada arquivo tem a função de desenhar uma parte da figura. Esses arquivos representaram de forma gráfica os nós, as barras, os apoios, as forças internas, as forças externas e as reações de apoio.
4.2.2 Definição de nós pegarNos.m - C om om esta função iniciam-se as perguntas ao usuário, deste modo o perfil
da treliça é definido. Nesta primeira etapa é determinada a posição dos nós, para isto, os usuários receberão uma mensagem idêntica a essa: Defina a coordenada X do Nó 1 [Ou Enter para finalizar esta etapa]: Quadro 4.8 - Definição Coordenada X.
Ao ser definida a coordenada X do nó 1 e após o pressionamento da tecla “ Enter ”, ”, o programa requere a coordenada Y do nó 1: Defina a coordenada Y do Nó 1 [Ou Enter para finalizar esta etapa]: Quadro 4.9 - Definição Coordenada Y
A partir do momento que foram definidas as duas coordenadas referentes ao primeiro nó, o código posiciona e numera esse nó de forma gráfica. Para definir um perfil de treliça
56
plana são necessários necessários pelo menos três nós, sendo sendo assim, é iniciado um novo loop de de perguntas sobre as coordenadas X e Y dos próximos nós.
4.2.2.1 Possíveis Erros Prevendo possíveis erros de execução, as seguintes mensagens são visualizadas: Atenção: Entre com um valor válido. Quadro 4.10 - Alerta de Atenção – Valor Inválido.
Valores válidos para a definição de nós são apenas números inteiros ou números com decimais separados por ponto final para substituir a vírgula. Não são aceitas letras ou outros caracteres. Atenção: Quantidade de Nós insuficiente. Quadro 4.11 - Alerta de Atenção – Quantidade de Nós Insuficiente.
Caso o usuário queira finalizar a etapa de nós com uma quantidade menor que três pontos, é exibida essa mensagem, pois como definido no Item 2.1, um perfil de treliça plana simples é definido por um triângulo, ou seja, três pontos de nós. Atenção: Nó existente. Entre com um valor válido. Quadro 4.12 - Alerta de Atenção – Nó Existente.
Em caso de repetição de valores das coordenadas X e Y, o usuário é alertado de tal equívoco.
4.2.3 Definição de Barras adicionarElemento.m –
Depois de finalizar o posicionamento de todos os nós que
formarão a treliça, a próxima fase é definir a ligação dos nós, em outras palavras, neste momento são definidas as barras do perfil da treliça. Observe os próximos pedidos da rotina: Defina o Nó inicial para a Barra 1 [Ou Enter para finalizar esta etapa]: Defina o Nó final para a Barra 1: Quadro 4.13 - Definição de Barras.
Seguindo a numeração de nós gerada no gráfico, é definido o nó que inicia a barra e o segundo extremo que finaliza a mesma, os dois pontos definirão uma reta que se trata da representação de uma barra. A numeração das barras é definida conforme a entrada de valores fornecida pelo usuário.
57
4.2.3.1 Possíveis Erros Assim como na definição de nós foram previstos possíveis erros de execução na definição das barras, as seguintes mensagens são exibidas em caso de falhas: Atenção: Entre com um valor válido. Quadro 4.14 - Alerta de Atenção – Valor Inválido.
Não são aceitas letras ou outros caracteres. A definição de barras segue o padrão de números inteiros ou números com decimais separados por ponto final. fi nal. Atenção: Quantidade de Barras insuficiente. Quadro 4.15 - Alerta de Atenção – Quantidade de Barras Insuficiente.
Esta mensagem surge somente se a quantidade de barras for menor que dois, pois é impossível definir um perfil de treliça a partir de uma barra. Com base na verificação de nós anterior são necessários, no mínimo, três nós para definir uma treliça e, consequentemente, duas barras para conectá-los. Contudo, neste exemplo citado, deve ser previsto a utilização de dois apoios fixos para garantir a estabilidade da estrutura. Atenção: Nó inexistente. Entre com um valor válido. Quadro 4.16 - Alerta de Atenção – Nó Inexistente.
Quando solicitado um nó e o valor digitado não representar uma numeração de nó, o código exibe este alerta, pedindo para que o usuário reentre com um valor correto.
Atenção: Barra existente. Entre com um valor válido. Quadro 4.17 - Alerta de Atenção – Barra Existente.
Não há necessidade de repetição dos valores, portanto, o usuário é alertado de tal equívoco.
4.2.4 Definição dos Apoios adicionarApoio.m –
A próxima etapa a ser definida pelo usuário é a definição dos
apoios. Iniciando a sequência de perguntas, observe o Quadro 4.18: Defina o tipo de Apoio [f -> fixo][m -> móvel][Ou Enter para finalizar esta etapa]: Quadro 4.18 - Definição dos Apoios.
58
Ao visualizar a mensagem do Quadro 4.18, o usuário deve optar por uma das letras ( f ou m), a fim de definir o tipo de apoio, sendo que a letra “ f ” representa o apoio fixo e “ m” o apoio móvel. Se o usuário optar pelo apoio fixo pressionando “ f + Enter ”, ”, a seguinte mensagem é exibida: Defina o Nó referente ao Apoio fixo: Quadro 4.19 - Definição de Apoios A poios Fixos.
Através da numeração de nós gerada pode-se definir qual nó está posicionado o apoio fixo. Ao definir o nó e apertar a tecla “ Enter ” para confirmar o valor, instantaneamente, o apoio é posicionado no gráfico. Novamente em um loop, o código solicita novos apoios, esta pergunta dura até o usuário definir que a etapa está finalizada. O exemplo do Quadro 4.20 detalha os requerimentos da rotina caso seja escolhido o apoio tipo móvel: Defina o tipo de Apoio [f -> fixo][m -> móvel][Ou Enter para finalizar esta etapa]: m Defina o Nó referente ao Apoio móvel: 2 Defina o eixo que está imóvel [x][y]: Quadro 4.20 - Definição de Apoios Móveis.
Em se tratando de apoios móveis deve ser realizada a definição do eixo que se encontra imóvel na treliça, sendo assim, o diferencial em a relação ao apoio fixo. Neste caso, a letra “ x” imobiliza o eixo das abcissas e a letra “ y” imobiliza o eixo das ordenadas. Assim como nas Figuras 4.1 e 4.2.
Figura 4.1 - Apoio Móvel Imobilizando Eixo das Abcissas. Fonte: Própria
59
Figura 4.2 - Apoio Móvel Imobilizando Eixo das Ordenadas. Fonte: Própria
4.2.4.1 Possíveis Erros Atenção: Entre com um valor válido. Quadro 4.21 - Alerta de Atenção – Valor Inválido.
Como nos outros verificadores de erros, se faz f az de extrema importância verificar se o valor digitado é compatível com a solicitação. I. II.
Para definir o nó que o apoio está localizado apenas números são aceitos. Caso o valor solicitado seja uma letra especifica, como é o caso de “f”, “m”, “x”, “y” não são aceitas variações como “F”, “M”, “X”, “Y”.
Atenção: Nó inexistente. Entre com um valor válido. Quadro 4.22 - Alerta de Atenção – Nó Inexistente.
Só são aceitos números de nós existentes. Atenção: Nó com apoio já existente. Entre com um valor válido. Quadro 4.23 - Alerta de Atenção – Apoio A poio Existente.
O código verifica se já existe apoio no nó digitado, evitando assim dois ou mais apoios no mesmo nó, pois não há necessidade de tal aplicação. Atenção: Quantidade de Apoios insuficiente. Quadro 4.24 - Alerta de Atenção – Quantidade de Apoios Insuficiente.
Para este trabalho foi definido inicialmente que uma treliça simples necessita de no mínimo dois apoios, tornando-se assim um critério para sua montagem.
4.2.5 Definição das Forças adicionarForca.m –
Em se tratando da análise de estruturas treliçadas a determinação
das forças é o último últi mo requerimento do software antes de apresentar os resultados. Assim como
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na definição de treliça no Item 2.1 são aceitas apenas forças pontuais localizadas nos nós da mesma, consequentemente, consequentemente, a primeira pergunta do loop é: Defina o Nó referente à Força 1 [Ou Enter para finalizar esta etapa]: Quadro 4.25 - Definição de Nós para Posicionamento de Forças.
Para posicionar a força no nó correspondente, basta indicar sua numeração e seguir o procedimento: Defina o eixo da Força 1 [x][y]: Defina o valor da Força 1 (kN): Quadro 4.26 - Definição dos Eixos e Valores de Forças.
Verifique no Quadro 4.26 que os próximos passos são definir o eixo da força atuante e seu respectivo valor. Como definido nas instruções iniciais, os valores das forças seguem o padrão do Círculo Trigonométrico para definir valores positivos ou negativos. O loop é iniciado novamente, caso seja necessário à inserção de novas forças. Ao finalizar essa etapa apertando “ Enter ”, ”, inicia-se o procedimento de cálculo, este processo ocorre em segundos, mas foi detalhado no Item 4.3, logo após o detalhamento dos possíveis erros na inserção das forças.
4.2.5.1 Possíveis Erros Prevendo falhas de execução os seguintes avisos são disponibilizados: Atenção: Entre com um valor válido. Quadro 4.27 - Alerta de Atenção – Valor Inválido.
Nesta etapa de definição de forças forças três valores podem podem ser considerados considerados como válidos: válidos: I. II.
Apenas numerais para representar os nós; Números com sinais sinais positivos ou negativos negativos para representar representar as forças; forças;
III.
Ou apenas as letras “ x” e “ y” para definir os eixos.
Atenção: Nó inexistente. Entre com um valor válido. Quadro 4.28 - Alerta de Atenção – Nó Inexistente.
Caso o valor solicitado no Quadro 4.19 não corresponda a um nó, essa mensagem é exibida.
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Atenção: Quantidade de Forças insuficiente. Quadro 4.29 - Alerta de Atenção – Quantidade de Forças Insulficiente.
Deve ser utilizada, no mínimo, uma força atuante para o cálculo de uma treliça qualquer. Atenção: Força já existente. Entre com um valor válido. Quadro 4.30 - Alerta de Atenção – Força existente.
A repetição de forças já existentes não é permitida.
62
4.3 ANÁLISE DE TRELIÇAS %% Análise da Treliça dof = calculoDof(no, apoio); [reacao, membro_forca, deslocamento] = calcularTrelica(no, elemento, apoio, forca, dof); tipo = classificacao(elemento, reacao, no); if if strcmp(tipo, 'Hipostática' 'Hipostática') ) || ~isempty(find(isnan(membro_forca), 1)) msg02 = input( 'Não foi possível realizar o cálculo da treliça. [Enter para finalizar o programa]' ); else desenharTrelica(no, elemento, apoio, dof, reacao, membro_forca, tipo); Quadro 4.31 - Arquivo Principal - Análise da Treliça.
Nesta etapa são analisados todos os dados definidos pelo usuário como: nós, barras, apoios e forças. O objetivo é calcular as forças desconhecidas que são constituídas pelas reações e forças internas das barras, além de definir a classificação do perfil de treliça.
4.3.1 Coordenadas locais calculoDof.m -
Esse arquivo se trata da análise dos nós, em relação aos apoios, para
identificar a quantidade de deslocamentos desconhecidos. O arquivo numera os graus de liberdade das barras auxiliando a identificação e a orientação das forças, dos apoios e dos deslocamentos, assim como demonstrado na Figura 2.19. Seu objetivo é organizar as variáveis da equação (2-40) para que as mesmas fiquem agrupadas e viabilizem o cálculo da treliça de uma maneira eficiente, sendo essencial para o funcionamento do arquivo calcularTreliça.m.
4.3.2 Cálculo de treliça calcularTrelica.m –
Este se trata do arquivo de função mais importante do código.
Grande parte das explicações da fundamentação teórica do Item 2.2 e 2.3 se encontram dentro deste arquivo. Neste caso, para demonstrar a formação das matrizes de rigidez de cada barra é apresentado apenas uma parte do código, observe: L = sqrt((xb - xa)^2+(yb - ya)^2); cx = (xb - xa) / L; cy = (yb - ya) / L;
63
Kel = 1/L * [cx^2, cx*cy, -cx^2, -cx*cy; cx*cy, cy^2, -cx*cy, -cy^2; -cx^2, -cx*cy, cx^2, cx*cy; -cx*cy, -cy^2, cx*cy, cy^2]; Quadro 4.32 - Demonstrativo de Cálculo
A partir do processo de loop são definidas as distâncias entre os nós, os Cossenos Diretores para coordenadas em “x” e “y” e também a Matriz de Rigidez de cada barra. Além destas operações, o arquivo processa dados das coordenadas locais com o objetivo de gerar a Matriz de Rigidez Global de cada treliça. A Matriz Global é particionada e com o auxílio dos valores de forças e deslocamentos conhecidos são encontrados os valores desconhecidos que nos interessam, assim como no Item 2.3.1. Outra matriz é formada no final do processo com o objeto de definir valores para as forças axiais atuantes nas barras, assim como executado no Item 2.3.2.
4.3.3 Classificação Classificação.m – Esta função f unção foi criada em uma estrutura condicional, onde o arquivo
utiliza relações entre quantidades de reações, barras e nós. Verifique no quadro: if r if r + b < 2*n tipo = elseif r elseif r + tipo = elseif r elseif r + tipo = else tipo = end
'Hipostática'; 'Hipostática' ; b == 2*n 'Isostática'; 'Isostática' ; b > 2*n 'Hiperestática'; 'Hiperestática' ; 'Erro'; 'Erro' ;
Quadro 4.33 - Classificação de Treliças
O objetivo desta classificação é mostrar ao usuário o tipo de estrutura do projeto. O resultado é posicionado posicionado no título da figura gerada pelo pelo MATLAB. O foco deste trabalho trabalho se destina a resolução de treliças Isostáticas ou Hiperestáticas, caso o projeto sugerido pelo usuário não represente um destes dois tipos de treliça, os usuários são alertados que a estrutura apresenta uma estabilidade hipostática e os alertas de erros são exibidos: Não foi possível realizar o cálculo da treliça. finalizar o programa] Quadro 4.34 - Alerta de Erro na Realização do Cálculo
Ou simplesmente: Erro
Quadro 4.35 - Alerta de Erro de Cálculo
[Enter
para
64
Caso haja um erro não previsto, ocorre o que é conhecido como “interrupção brusca” do programa, finalizando assim a rotina. Isto possivelmente ocorre se a representação feita pelo usuário não representar uma treliça. treliça.
4.3.4 Desenhar treliça Este arquivo tem a missão de reunir todas as informações sobre
desenharTreliça.m-
barras, forças axiais e reações nos apoios, disponibilizando assim o resultado final da análise. Deste modo, este arquivo corresponde ao demonstrativo gráfico das respostas encontradas nos procedimentos anteriores. Observe a Figura 4.3, esta representa uma treliça triangular projetada na rotina TPmat. TPmat.
Figura 4.3 - Exemplo TPmat. Fonte: Própria.
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4.4 DIMENSIONAMENTO % Dimensionamento disp('Dimensionamento: disp('Dimensionamento: ' ); dimensionamento = input( 'Deseja continuar com o dimensionamento da treliça? [s -> Sim][Ou Enter para finalizar esta etapa]: ', ' , 's' 's'); ); if strcmp(dimensionamento, if strcmp(dimensionamento, 's' 's') ) [verificacao, propriedade] = dimensionamentoTrelica(no, elemento, membro_forca); clc; else verificacao = '' ''; ; propriedade = '' ''; ; clc; end Quadro 4.36 - Arquivo Principal – Dimensionamento.
Como ferramenta opcional, o usuário pode testar perfis de treliça, em outras palavras, testar o dimensionamento da mesma. Depois de finalizado a parte de Análise Estrutural, o arquivo principal disponibiliza esta função ao exibir pergunta do Quadro 4.37: Deseja continuar com o dimensionamento da treliça? [s -> Sim][Ou Enter para finalizar esta etapa]: Quadro 4.37 - Atividade Opcional – Dimensionamento.
Caso a resposta do usuário seja positiva através da indicação da letra “ s”, o arquivo principal recorre ao arquivo arquivo secundário secundário abaixo: dimensionamentoTrelica.m –
Este arquivo tem a função de solicitar dados sobre o
perfil da treliça e avalia-la da mesma forma feita no Item 2.4.7. Neste caso, inicialmente são solicitados dados que caracterizaram o perfil da treliça e as propriedades do material escolhido, observe o Quadro 4.38: Defina Defina Defina Defina Defina Defina
o a a a o o
Módulo de Elasticidade do material (kN/cm2): Tensão limite do material na Tração (kN/cm2): Tensão limite do material na Compressão (kN/cm2): Área de Secção da barra (cm2): Momento de Inércia da barra (cm4): Coeficiente de Segurança: Quadro 4.38 - Definição de Dimensionamento
Para o melhor funcionamento do código, aconselha-se atenção quanto às unidades requeridas, pois desvios de unidades poderão gerar resultados equivocados. A rotina segue o mesmo raciocínio de cálculo argumentado no Item 2.4. Em suma, as tensões limites são transformadas com tensões admissíveis e comparadas com a tensão atual da barra verificando
66
possíveis escoamentos. Da mesma forma, a flambagem é verificada a partir da utilização da equação (2-51), transformando-a em tensão admissível. Ao comparar os valores, resulta em respostas como: É possível utilizar o perfil para a treliça desenhada. Quadro 4.39 - Perfil de Treliça Aceitável.
Neste caso, todas as condições foram satisfeitas e nenhum valor ultrapassou os resultados admissíveis, caso contrário, a seguinte mensagem é exibida: Não é possível utilizar o perfil para a treliça desenhada. Quadro 4.40 - Perfil de Treliça Inaceitável.
Junto com essa mensagem são expressos os problemas que as barras sofreram com o dimensionamento proposto, dentre eles, podem ser: Escoamento na barra (número) Flambagem na barra (número) Flambagem e Escoamento na barra (número) Quadro 4.41 - Mensagens de Escoamento e Flambagem.
Este processo do Quadro 4.41 indica a numeração da barra problemática. A fim de visualizar os valores de tensão calculados foi disponibilizada a seguinte opção: Deseja visualizar a tabela de tensões? [s -> Sim][Ou Enter para finalizar esta etapa]: Quadro 4.42 - Atividade Opcional - Tabela de Tensão.
Ao solicitar os valores da tabela de tensão os dados são dispostos como demonstra a Figura 4.4.
Figura 4.4 - Tabela de Tensões. Fonte: Própria
Desta forma, o usuário é capaz de visualizar e avaliar os resultados, com isto é possível verificar se a estrutura está superdimensionada superdimensionada ou se os valores de tensão são aceitáveis, esta avaliação deve ser feita a partir do conhecimento do usuário. A fim de avaliar
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outras possibilidades de dimensionamento o código dá a opção de recalcula-lo para ambas as soluções: caso possível utilizar o perfil ou caso não seja possível utilizar o perfil. A mensagem visualizada é: Deseja recalcular o dimensionamento? [s -> Sim][Ou Enter para finalizar esta etapa]: Quadro 4.43 - Atividade Opcional - Recalcular o Perfil de Treliça.
Caso “ Enter ” seja a opção escolhida pelo usuário, o programa se prepara para o processo de finalização, finalização, sendo assim explanado explanado nos Item 4.5 e 4.6.
68
4.5 EXPORTAÇÃO PARA PLANILHA ELETRÔNICA %% Exportação disp('Exportação: disp('Exportação: '); ' ); exportar = input( 'Deseja exportar esses valores para o Excel? [s -> Sim][Ou Enter para finalizar o programa]: ' , 's' 's'); ); if strcmp(exportar, if strcmp(exportar, 's' 's') ) exportarExcel(no, elemento, apoio, forca, reacao, dof, membro_forca, dimensionamento, verificacao, propriedade); end end Quadro 4.44 - Arquivo Principal – Exportação. exportarExcel.m –
Este arquivo secundário é utilizado para definir a exportação dos
resultados gerados pelo código. Desta forma, o arquivo contém todas as informações sobre a treliça projetada, assim como: posição dos nós, apoios, forças axiais, forças de reação, valores de dimensionamento e tensão. A seguinte mensagem é exibida: Deseja exportar esses valores para o Excel? [s -> Sim][Ou Enter para finalizar o programa]: Quadro 4.45 - Atividade Opcional – Exportação.
Ao digitar “ s + Enter ”, ”, o usuário define o nome do arquivo criado. Defina o Nome do Arquivo: Quadro 4.46 - Definição do Arquivo Exportado.
Automaticamente um arquivo “ .xlsx” é criado na pasta que se encontra a rotina TPmat. A função de exportação se mostra como um destaque da rotina, pois softwares com funções semelhantes não apresentam esse tipo de informação. Este arquivo pode ser considerado a “caixa preta” da rotina, pois apresenta todos os resultados calculados. É importante resultar que esta função de exportação está disponível apenas em ambiente Windows. Caso usuários tentem o processo de exportação em outros sistemas a seguinte mensagem é exibida: Essa função está disponível apenas em ambiente Windows. [Enter para finalizar o programa] Quadro 4.47 - Alerta de Atenção – Atividade Indisponível. Indisponível.
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4.6 FINALIZAÇÃO %% Finalização clc; clear all; disp('Código disp('Código Finalizado.' ); Quadro 4.48 - Arquivo Principal - Finalização.
A finalização do código se resume na limpeza do Command Window , das variáveis do Workspace e na
disponibilização da mensagem:
Código Finalizado.
Quadro 4.49 - Código Finalizado.
A mensagem do Quadro 4.49 se faz necessária, pois o programa MATLAB não apresenta mensagens sobre a finalização das rotinas, isso poderia gerar uma incerteza ao usuário sobre possíveis falhas de funcionamento. Porém, esta mensagem não é exibida em caso de interrupções bruscas do programa, devido a algum erro de execução, pois isso impede o software de realizar a leitura dessa linha de execução.
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5 APLICAÇÕES E RESULTADOS Com o objetivo de demonstrar os resultados gerados pela rotina do TPmat este capítulo apresenta três exemplos de treliças divididos em subcapítulos. O primeiro exemplo se trata da verificação de resultados dos Itens 2.3 e 2.4. Os próximos exemplos representam as treliças do tipo Howe e Pratt , onde são comparadas as análises do TPmat com resoluções do software Ftool. Este é um programa muito reconhecido na área da Engenharia Estrutural, por isto, foi utilizado para comparar e avaliar os resultados do TPmat. Em um segundo momento, estes exemplos de treliças são dimensionados dimensionados a fim de avaliar o perfil da barra.
5.1 TRELIÇA TRIANGULAR O primeiro exemplo está relacionado à Figura 2.17, pois na demonstração da fundamentação teórica do Item 2.3 foi desenvolvida uma completa análise sobre a treliça, sendo que seu desenvolvimento foi baseado nas literaturas desenvolvidas por Gere & Weaver (1987), Martha (1993) e Neto & Vieira (1973). Neste caso, com o intuito de demonstrar e comparar resultados, o mesmo perfil de treliça foi projetada na rotina do TPmat, confira o resultado apresentado pela rotina na Figura 5.1.
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Figura 5.1 - Treliça Triângular - TPmat. Fonte: Própria
A Figura 5.1 é composta por duas representações gráficas de treliças. O primeiro gráfico, localizado na parte superior, representa o perfil da treliça escolhido pelo usuário, esta é definida da mesma forma explicita no Item 4.2. Neste momento é possível verificar a numeração de barras, a numeração de nós, forças atuantes da estrutura (identificadas em vermelho) e o auxílio dos apoios fixo e móvel a fim de garantir a estabilidade da estrutura. O segundo gráfico gerado é a consequência do Item 4.3 onde são identificadas as forças axiais e reações dos apoios, diferenciando as forças axiais de tração e compressão pelas cores azul e vermelha. As reações são exibidas na cor roxa independentemente da direção. Observe o título do segundo gráfico, para demonstrar o resultado e facilitar a análise do usuário, a classificação da treliça foi identificada, neste caso de uma treliça Isostática. Ambos os gráficos possuem legendas que se referenciam os representativos gráficos gerados.
72
Os resultados apresentados para as reações dos apoios e forças axiais ao final do Item 2.3 foram: I.
Reações dos Apoios: 'x pl 'y \ hp] 'z hkl
II.
Forças Axiais: "0}}0 k \ pl U# "0}}0 p \ hqlg]k U# "0}}0 q \ hpng]k U# "0}}0 r \ p] U# "0}}0 l \ hmg]] U#
Calculando a mesma treliça no Software Ftool é possível verificar os resultados da Figura 5.2:
Figura 5.2 - Treliça Triangular - Ftool. Fonte: Própria.
73
Pode se observar a eficiência da rotina, pois os resultados são compatíveis aos cálculos realizados no Item 2.3 e também compatíveis aos resultados gerados pela utilização do software Ftool. Analisando as soluções, percebe-se desvios de decimais que pode ser justificado pela diferença de arredondamento arredondamento adotado no software Ftool, na rotina TPmat TPmat e na elaboração do exemplo em Excel, porém é possível observar que resultados apresentados pelo Ftool e pela rotina r otina TPmat apresentam valores mais precisos.
5.1.1 Dimensionamento Neste momento é avaliado o perfil de treliça triangular citado no Item 5.1. O perfil já se encontra previamente dimensionado, pois o Item 2.4.7 contém uma proposta de dimensionamento para esta treliça. Portanto, a fim de comparar resultados foi proposto o mesmo dimensionamento dimensionamento na rotina do TPmat, sendo assim, assim, os dados utilizados no Item 2.4.7 são demonstrados na Figura 5.3:
Figura 5.3 - Propriedades do Dimensionamento – Treliça Triangular. Fonte: Própria
Neste momento a rotina desenvolve o cálculo proposto no Item 2.4.7, em questão de segundos, gerando a informação da Figura 5.4:
Figura 5.4 - Resposta - Treliça Triangular. Fonte: Própria
Como observado na Figura 5.4, o perfil proposto é aceitável não havendo possibilidade de escoamento ou flambagem nas barras, em seguida, o código questiona sobre a visualização da tabela de tensão. Caso a resposta seja positiva, são disponibilizados pela rotina TPmat os resultados da tensão da mesma maneira demonstrada na Figura 5.5.
74
Figura 5.5 - Tabela de Tensões - Treliça Triangular. Fonte: Própria
Para efeitos de comparação são realizados cálculos em tabelas a fim de conferir os resultados apresentados. Esta escolha se faz necessária, pois não há ferramentas disponíveis no mercado que realizem tal verificação, observe a Tabela 5.1:
0KLLK (MLNK X
WZ[Y "
5 W?Y
1
O &LKNPM O )MQR"
*
'
WZ[\8?-Y WZ[\8?-Y WZ[\8?-Y W8?-Y W8?@Y
)MST" %SU"
O *VWKX
X
O *YQ" (XKQZ"
O *YQ"
WZ[\8?-Y WZ[\8?-Y
WZ[\8?-Y
-J]II J]II
"I#III
"I]II
X "-]ID "EG]-"
-
-]I,
J]II
X
- XEJ]ED E]JE
"I#III
X
"I]II "-]ID "EG]-"
-
X-]GE
J]II
@]J,
E X-V]-V E]JE
"I#III
X
"I]II "-]ID "EG]-"
-
X-]E@
J]II
@]J,
@
-I]II J]II
"I#III
"I]II
X "-]ID "EG]-"
-
"]DD
J]II
X
J
X,]I, E]JE
"I#III
X
"I]II "-]ID "EG]-"
-
XI]JG
J]II
@]J,
Tabela 5.1 - Cálculo Manual - Treliça Triangular
Analisando os valores dispostos na Tabela 5.1 e comparando a tensão atual que a barra está submetida com as suas respectivas tensões admissíveis, da mesma maneira proposta no Item 2.4. É possível concluir que a escolha do dimensionamento é aceitável, não havendo possibilidade de escoamento ou flambagem em nenhuma nenhuma das barras barras dessa treliça. Além disso, é possível comparar a Figura 5.5 e a Tabela 5.1, neste caso, a verificação dos resultados apresentados pelo TPmat e os cálculos executados no Excel são compatíveis.
75
5.2 TRELIÇA TIPO HOWE Observe a Figura 5.6, esta representa um perfil de treliça tipo Howe com forças atuantes em todos os nós superiores e fixadas por apoios fixo e móvel.
Figura 5.6 - Treliça Howe - TPmat. Fonte: Própria
A resposta gerada no segundo gráfico demonstra que todas as barras transversais da treliça estão submetidas à força de compressão, enquanto as barras horizontais e verticais
76
estão sob a ação de tração. Devido á simetria da estrutura estrutura é possível observar observar que a treliça proposta contém valores valores correspondentes. correspondentes. Ao projetar uma treliça idêntica no programa Ftool, o software gerou resultados semelhantes ao demonstrativo elaborado na rotina TPmat, a Figura 5.7 representa esse projeto.
Figura 5.7 - Treliça Howe – Ftool. Fonte: Própria
Comparando a Figura 5.6 e a Figura 5.7 os resultados variam de 0,02 a 0,04 kN, isto se deve a questões de arredondamento. De toda forma, essas variações são consideravelmente pequenas.
5.2.1 Dimensionamento A fim de avaliar o código criado foi proposto um dimensionamento para este perfil de treliça. Para isso, definiu-se o uso da barra conforme a Figura 5.8:
77
Figura 5.8 - Perfil Metálico 02. Fonte: Própria.
Para os valores referentes à propriedade do material, definiu-se os dados representados na Figura 5.9:
Figura 5.9 - Propriedades do Dimensionamento – Treliça Howe . Fonte: Própria
Desta forma, a resposta gerada pela rotina TPmat é visualizada da maneira apresentada na Figura 5.10:
Figura 5.10 - Resposta - Treliça Howe. Fonte: Própria
Sendo assim, a rotina avalia a proposta como plausível, não havendo problemas de escoamento e flambagem. Verifique os valores de tensão apresentados na Figura 5.11:
78
Figura 5.11 - Tabela de Tensões - Treliça Howe. Fonte: Própria.
A fim de avaliar os resultados encontrados na solução gerada pelo TPmat tem-se a Tabela 5.2:
0KLLK (MLNK X
WZ[Y
5 W?Y
1
O &LKNPM O )MQR"
*
'
WZ[\8?-Y WZ[\8?-Y WZ[\8?-Y W8?-Y W8?@Y
)MST" %SU"
O *VWKX
X
O *YQ"
O *YQ" (XKQZ"
WZ[\8?-Y WZ[\8?-Y WZ[\8?-Y
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D]II
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X "-]D@ J-J]GG
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"]D,
X
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X "-]D@ J-J]GG
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D]II
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X "-]D@ J-J]GG
D
I]@,
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E]EJ
"I#III
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X@]@,
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D
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D]"I
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X@]@,
E]EJ
"I#III
X
"I]II "-]D@ J-J]GG
D
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"]D,
D]"I
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XD],"
E]EJ
"I#III
X
"I]II "-]D@ J-J]GG
D
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D]"I
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I]II
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"I#III
"I]II
X "-]D@ J-J]GG
D
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X-]-@
E]EJ
"I#III
X
"I]II "-]D@ J-J]GG
D
XI]"V
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-]II
E]II
"I#III
"I]II
X "-]D@ J-J]GG
D
I]"D
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X-]-@
E]EJ
"I#III
X
"I]II "-]D@ J-J]GG
D
XI]"V
"]D,
D]"I
"E
I]II
"]JI
"I#III
"I]II
X "-]D@ J-J]GG
D Tabela 5.2 - Cálculo Manual - Treliça Howe.
I]II
"]D,
X
Os valores apresentados na Figura 5.11 e Tabela 5.2 são compatíveis, variando de 0 à 0,2 kN, como explicado anteriormente isto é referente á questões de arredondamento.
79
5.3
TRELIÇA TIPO PRATT A demonstração da Figura 5.12 se deve ao perfil de treliça identificada como Pratt ,
aonde o vão central é suportado por dois apoios nas extremidades da treliça e é exposta por cargas normais de 20 kN nos nós inferiores.
Figura 5.12 - Treliça Pratt - - TPmat. Fonte: Própria
Com exceção dos elementos externos superiores da treliça, todas as barras estão expostas a forças forças de tração. A Figura 5.13 se deve á Análise Estrutural Estrutural do mesmo perfil perfil de treliça, porém neste momento realizado pelo software Ftool.
80
– Ftool. Fonte: Própria Figura 5.13 - Treliça Pratt –
Comparando os resultados encontrados na Figura 5.12 e na Figura 5.13 é possível observar que as estruturas apresentam resultados que variam de 0,01 - 0,03 kN. Deste modo, pode-se avaliar que que as duas interpretações interpretações de análise análise estão semelhantes semelhantes e corretas. corretas.
5.3.1 Dimensionamento Utilizando o perfil da Figura 5.8 foi proposto um possível dimensionamento da estrutura apresentada na Figura 5.12. Observe os dados da proposta na Figura 5.14:
Figura 5.14 - Propriedades do Dimensionamento – Treliça Pratt . Fonte: Própria.
81
O suposto dimensionamento previsto na Figura 5.14 resulta na resposta apresentada pela Figura 5.15:
Figura 5.15 - Resultado do Dimensionamento – Treliça Pratt . Fonte: Própria.
Ao solicitar os valores de tensão, eles são apresentados em forma de tabela, assim como demonstra a Figura 5.16:
Figura 5.16 - Tabela de Tensões - Treliça Pratt. Pratt. Fonte: Própria.
Na rotina TPmat, os valores da Figura 5.16 indicam que algumas das tensões atuais são maiores que as tensões admissíveis, assim como nas barras 5, 6, 7 e 8. Isto resulta problemas de escoamento, desta forma, a utilização do perfil projetado não é recomendada, recomendada, como solução se deve recalcular e utilizar novos valores para o dimensionamento.
82
Para confirmar os resultados descritos acima, utiliza-se a Tabela 5.3 representando assim, os cálculos realizados em Excel.
1
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Tabela 5.3 - Cálculo Manual - Treliça Pratt.
Assim como nos exemplos dos Itens 5.1.1 e 5.2.1, os valores para o dimensionamento apresentados nos cálculos da Tabela 5.3 e cálculos realizados pelo MATLAB são compatíveis.
83
6 DISCUSSÃO Os três resultados demonstrados no Capítulo 5 apresentam dados que variam de 0,00 0,04 kN, ao comparar a rotina TPmat e o software Ftool, esta diferença é praticamente desconsiderável para a análise de forças. Além disso, o dimensionamento de estruturas também apresenta resultados compatíveis aos cálculos realizados com base nas literaturas de Hibbeler (2010) e Beer & Johnston Jr (1995). Sendo assim, pode considerar que este trabalho apresenta resultados aceitáveis devido à precisão obtida. As formas utilizadas para inserir dados no Ftool e no TPmat se diferenciam pois, no software de Martha (2014) é possível a utilização do teclado e mouse em quase todas as etapas de definição de dados, enquanto no TPmat essas funções podem ser chamadas apenas com o auxílio do teclado, não tendo a opção de uso do mouse. As fases que dividem a construção do código se mostraram de extrema praticidade, pois separando o código em funções é possível realizar verificações com uma maior eficiência, facilitando assim os ajustes de erros de programação. Entretanto, a verificação de possíveis equívocos que os usuários possam cometer, durante a execução do código, é algo complexo na rotina, dependendo de muitas estruturas condicionais. Uma dificuldade encontrada pelos desenvolvedores do código se deve à relação entre barras e nós. Caso a especificação do usuário esteja incorreta ou incompleta, o código apresenta uma falha. Não havendo um padrão que defina esta relação, não há como o TPmat definir se o desenho do usuário realmente representa uma treliça e se a sua quantidade de barras está correta. Caso haja este erro, a rotina é incapaz de calcular o projeto especificado, resultando assim em uma interrupção brusca do programa. Recomenda-se atenção à figura gerada pelo código, a fim de garantir lógica e coerência na estrutura projetada. Durante o planejamento do código enfrentou-se um problema relativo às forças posicionadas diretamente nos apoios da treliça. As matrizes apresentadas no Item 2.3.1 não preveem tal configuração, deste modo foi determinado pelos programadores do TPmat que, durante o primeiro cálculo da Matriz Global, as forças inseridas nos nós são adicionadas posteriormente nos resultados referentes às reações. Tal decisão foi determinada com o conhecimento prévio de que tais forças não influenciam i nfluenciam nos resultados das forças axiais.
84
7 CONCLUSÃO A análise e dimensionamento de estruturas pode ser uma tarefa que demande tempo dos que o calculam. Desta forma, ferramentas que visam otimizar os cálculos são criadas e incrementadas a todo momento na era computacional, pois a eficiência é fundamental para aqueles que visam o crescimento da Construção Civil. Devido à grande importância das treliças para a Engenharia, os estudos deste trabalho visam soluções práticas baseadas em literaturas reconhecidas no Brasil e no mundo, propondo uma rotina que avalie não só a análise de forças na treliça, como também a verificação do seu dimensionamento. Este projeto pode beneficiar engenheiros e futuros engenheiros a estudar, analisar e dimensionar estruturas treliçadas. A utilização de matrizes não é muito compreendida principalmente por estudantes, mas uma das funções deste trabalho foi demonstrar que análises de Geometria Analítica resultam em matrizes de extrema eficiência, para cálculos estruturais. Sua formação torna possível o desenvolvimento de matrizes gerais que nos auxiliaram a definir as forças de reação para os mais diferentes tipos de treliças. É importante salientar que a rotina desenvolvida apresenta bons resultados, pois todos os exemplos de treliças testados na rotina TPmat mostraram-se corretos, apresentando resultados que se diferenciam entre 0 – 0,04 kN ao comparar com softwares reconhecidos no meio técnico como o Ftool. O diferencial do código para programas existentes se deve a verificação de possíveis dimensionamentos propostos pelo usuário, e além disso, a rotina oferece opções de exportação para Excel, facilitando a visualização dos dados para futura análise e desmistificando o que pode ser chamado de “caixa preta”, ou seja, as informações que antes eram guardadas no próprio software e não disponibilizadas aos usuários. Os objetivos deste trabalho foram atingidos ao se conseguir, com o auxílio da ferramenta computacional MATLAB, desenvolver uma rotina para os cálculos estruturais previstos. Com o intuito de que as contribuições deste trabalho possam ser extrapoladas, ficam algumas sugestões para novos trabalhos como soluções para o aprimoramento do funcionamento do código: I.
Cálculo das diferentes propriedades para cada barra como: definição de Área, Módulo de Elasticidade e Momento de Inércia;
II.
Cálculo do Momento de Inércia e Área de Secção Transversal automatizados;
85
III.
Inclusão ao cálculo da combinação de carregamento das cargas permanentes, acidentais, intempéries e peso próprio da estrutura;
IV. V. VI. VII. VIII.
Verificação e representação gráfica de deslocamento de nós na estrutura; Inclusão de cargas pontuais inclinadas e carregamentos perpendiculares perpendiculares à barra; Implementação apoios inclinados; Aumento da área de verificação dos dados digitados pelo usuário; Ampliação dos tipos de arquivos exportados pelo software.
86
REFERÊNCIAS ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS - ABNT, 1986, Projeto e Execução de Estruturas de Aço de Edifícios: Método dos Estados Limites, (NBR 8800), São Paulo/SP. BECKER, A. J. et al. Noções Básicas de Programação em MATLAB . Santa Maria, 2010. BEER, F. P.; JOHNSTON, JR, E. Russell. Mecânica Vetorial para Engenheiros : Estática. 5. ed. São Paulo: Makron Books, 1994. BEER, F. P.; JOHNSTON JR, E. Russell . Resistência dos Materiais . 3. ed. São Paulo: Pearson, 1995. BOTELHO, M. H. C. Resistência dos Materiais : Para Entender e Gostar. 2. ed. São Paulo: Blucher, 2013. BRANCO, R. H. F.; SANTOS, R. M.; REQUENA, J. A. V.; ARAÚJO, A. H. M., Automação do Projeto de Pórticos Metálicos Planos Constituídos de Barras Tubulares , II CICOM – 2002, São Paulo/SP. DONIZETTI, S. J. L. Elementos Básicos de Programação em MATLAB . Pato Branco, 2002. ESPINOZA, J. W. M. Resistência dos Materiais . Niterói, 2010. (Apostila) GERE, J. M.; WEAVER, W. Análise de Estruturas Reticuladas . 1. ed. Rio de Janeiro: Guanabara, 1987. GUSTAVO, L. Resistência dos Materiais . São José dos Campos, 2014. (Apostila) HIBBELER, R. C. Resistência dos Materiais: De Acordo com o Sistema de Unidades Si . 7. ed. São Paulo: Pearson, 2010. HIBBELER, R. C. Structural Analysis . 9. ed. New Jersey: Pearson, 2014. MARTHA, L. F. O método da rigidez Direta sob um enfoque matricial . Rio de Janeiro, 1993. MARTHA, L. F. Análise de Estruturas : Conceitos e Métodos Básicos. Rio de Janeiro: Elsevier Editora Ltda., 2010. MARTHA, L. F. Ftool – Two-Dimensional Frame Analysis Tool . Versão 3.01: PUC-Rio, 2015. Disponível em: . . Acesso em: 8 jul. 2016. MASCIA, N. T. Flambagem de Barras . Campinas, 2006. MELCONIAN, S. Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais . 19. Ed. São Paulo: Érica, 2013.
87
MELCONIAN, S. Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais . 19. Ed. São Paulo: Érica, 2010. MOLER, C. B. Matlab Manual. Department of Computer Science, University of New Mexico, 1981. MOREIRA, D. F. Análise Matricial das Estruturas . 1. ed. Rio de Janeiro: LTC/EDUSP, 1977. NASH & POTTER. Schaum’s Outline of Strength of Materials . 5. ed. New York: McGraw-Hill, 2011. NETO, J. A. F.; VIEIRA, I. A. Análise Matricial de Estruturas . 1. ed. Curitiba: Dom Bosco, 1973.
88
ANEXOS ANEXO A – PROPRIEDADES GEOMÉTRICAS Seção
Momento de Inércia ( ‘) ŠŒ 6 t T\ or ŠŒ ^%t h 6t ` T\ or
Área da Secção ( ’) 6 ! \ ŠŒ ŠŒ p % ! \ ŠŒ ŠŒ p
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Fonte: Gustavo (2014)
89
ANEXO B – PROPRIEDADES MECÂNICAS :KVSL[KX
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:\YWXM 1XK]V[^[YKYS 5M_U[VWY[_KX cd>a^Q.e
&S_]PM `XV[QKa5[Q[VS &S_]PM YS &LKNPM cd>a^Q.e
&S_]PM YS )MQRLS]]PM cd>a^Q.e
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Fonte: Espinoza (2010)