TRACTRIZ TRACTRIZ “Un punto atado a un extremo es arrastrado desde el otro extremo por una cuerda inextensible de longitud constante, siguiendo una trayectoria prefijada no colineal con la cuerda, describir´ a una curva denominada TRACTRIZ siendo siempre tangente a la mencionada cuerda en el punto arrastrado”. Esta curva fu´e primeramente introducida por Claude Perrault en 1670, y luego estudiada por Isaac Newton (1676) y Christiaan Huygens (1692). Posteriormente tambi´en estudiada por Leibniz, Jean Bernoulli, Liouville, y Beltrami. Tambi´en llamada en ingl´es curva tractrix, tractory y quitangential. Varias situaciones pueden ser representada por la tractriz. El arrastre de una carro, el arrastre de un perro por su collar con una correa, queriendo el perro regresar a donde dej´ o su hueso en la c´ uspide de la tractriz (problema del hueso del perro) mientras el due˜ no se desplaza en l´ınea recta, la marca de la rueda trasera de una bicicleta despu´es de una curva, cuando la rueda de delante se fija en l´ınea recta, etc. No obstante, que el concepto mostrado aqu´ı es para la tractriz de una l´ınea recta, puede ser generalizado para cualquier curva, siendo una categor´ıa de los problemas de persecusi´on. En este caso se deber´ıa decir que la curva mostrada abajo es la tractriz de la l´ınea recta.
Fig 1. Curva tractriz horizontal de radio a mostrando sus principales caracter´ısticas. Las ecuaciones de una tractriz horizontal como la mostrada en la fig.1, son las siguientes
x = a (t − tanh t) −∞ < x, t < ∞ y = a/ cosh t 0
(1)
que son las ecuaciones param´etricas para el primer y el segundo cuadrante, donde el par´ ametro at = OA ≥ 0 es la distancia del origen del sistema de coordenadas O al punto A, intersecci´on de la tangente a la curva en el punto P con el eje x horizontal. Las coordenadas se calculan tambi´en para los dos primeros cuadrantes como
x = a ln(sec θ + tan θ) − a sen θ y = a cos θ
− π2 < θ <
π 2
(2)
en funci´ on del a´ngulo θ. Forma representativa de la manera de generar la tractriz a partir del deslizamiento de una varilla, como en la fig.2, de longitud a constante. Tambi´en se pueden reescribir estas ecuaciones en funci´ on del par´ ametro ϑ como
x = a ln(cot ϑ2 ) − a cos ϑ = a ln(tan φ2 ) + a cos φ y = a sen ϑ = a sen φ 0 < ϑ, φ < π
siendo el ´angulo ϑ el complementario del ´angulo θ el suplementario del a´ngulo φ = π − ϑ.
Fig 2. La tractriz generada por el arrastre de una varilla r´ıgida de longitud a. 2
(3)
Una forma alterna de tratar las ecuaciones de la tractriz es mediante la pendiente del segmento generador y =
y dy = tan φ = dx ∓ a2 − y 2
(4)
La ecuaci´on de la abscisa es entonces x = ± a arcsech
y a
∓
a2 − y 2
(5)
donde t = arcsech ya = cosh−1 ay . De (1.b) se sabe que cosh t = (et + e−t )/2 = a/y por lo que despejando t de la ecuaci´on cuadr´ atica resultante se obtiene a2 − y 2 = sen θ = cos ϑ tanh t = a + a2 − y 2 ϑ a = ln(sec θ + tan θ) = ln(cot ) t = ln (6) y 2 y sech t = = cos θ = sen ϑ a donde cosh2 t − senh 2 t = 1, 1 − tanh2 t = sech 2 t, tanh t = senh t/ cosh t y sech t = 1/ cosh t. Adicionalmente, 1 + cot2 φ = csc2 φ, sec θ + tan θ = (1 + sen θ)/ cos θ, senh t = tan θ = cot ϑ y cosh t = sec θ = csc ϑ. Interviene tambi´en el par´ ametro s, la longitud de la curva entre la c´ uspide B y el punto P, la cual se calcula como
y x dy 2 a dy (7) 1+ dx = − s= dx 0 a y resultando
a s = a ln(csc φ) = a ln y
a2 + R2 = a2 e2s/a
csc φ =
a 1 = = es/a sen φ y
(8)
donde R = 1/K = a cot φ = −a tan θ es el radio de curvatura en P. El resultado final en (7) se ha obtenido de aplicar (4) con signo negativo para el primer cuadrante y luego separando variables. Las expresiones en (8) se traducen convirtiendo las identidades trigonom´etrica que est´ an despu´es de (6). El valor de s supera al de x correspondiente siendo su diferencia, (8.a) menos (5) substituyendo (6.a) y agrupando los logaritmos, tendiente a s − x ≈ a (1 − ln 2) ≈ 0.306853 a cuando x → ∞ y y → 0. La tractriz de radio a es la envolvente de la catenaria y(x) = a cosh(x/a), cuyo v´ertice coincide con la c´ uspide de la tractriz en el punto de contacto entre ambas curvas, como se observa en la figura 3. Rec´ıprocamente, la catenaria es la evoluta de la tractriz. Cuando se dibuja horizontalmente la curva de la tractriz es as´ıntota al eje de las x. En la curva mostrada en la fig.1 el punto P es arrastrado por el punto A, el cual se desplaza horizontalmente sobre el eje x, como se observa en la figura 2. La distancia PA = a es constante, siendo dicho segmento tangente a la curva en el punto P en todo momento. Dos propiedades m´etrica importante de la curva son la curvatura K y el radio de curvatura R K=
y tan φ 1 = = R a a
R=
a = a cot φ y
(9)
El a´rea dentro/bajo de la tractriz completa con su sim´etrica-opuesta (especular) es A = πa2 = 4
0
a
a2 − y 2 dy = 4
0
∞
y dx
(10)
coincidiendo con el ´area de un c´ırculo de radio a. Ver la figura 1 y la ecuaci´on (4) con signo negativo para el primer cuadrante y separando variables. Con la circunferencia no coincide pues es infinita para la tractriz. 3
La superficie y el volumen del cuerpo de revoluci´ on generado por la tractriz completa alredor de su eje asint´ otico o directriz son 2 S = 4πa2 V = πa3 (11) 3 coincidiendo con la superficie y la mitad del volumen de la esfera de radio a. Estos resultados son obtenibles f´ acilmente de aplicar el teoremas de Pappus para cuerpos de revoluci´ on y las expresiones (7) y (10).
Fig 3. La catenaria y(x) = a cosh(x/a) como la evoluta de la tractriz de radio a (mostrada para a = 1).
4
Dibujado verticamente el eje asint´otico, la ecuaci´ on de la curva satisface la siguiente ecuaci´on diferencial cuya soluci´ on est´ a a la derecha para la condici´ on inicial y(a) = 0 √ √
a√ 2 a + a2 − x2 dy a2 − x2 a − t2 − a2 − x2 =− y= dt = ± a ln (12) dx x t x x
y donde el primer t´ermino de este resultado puede escribirse como a arcsech (x/a) = a cosh−1 (a/x), siendo arcsech = sech −1 con sech x = 1/ cosh x. Comparar con la ecuaci´ on (5) intercambiando x por y.
Fig 4. La pseudoesfera es el s´olido de revoluci´ on de la tractriz alrededor del eje asint´ otico o directriz. De una gran implicaci´on de la tractriz es el estudio del cuerpo de revoluci´on generado alrededor del eje asint´otico o directriz: La pseudoesfera (ver figura 4). Estudiada por Eugenio Beltrami en 1868, como una superficie con curvatura de Gauss κ constante negativa (producto de las dos curvaturas principales).
κ = κ1 κ2 = −
1 a2
−1 y | cot θ| = = −|K| 2 a a | a − y2| 1 | a2 − y 2 | |sen θ| = κ2 = y a y
κ1 = −
5
(13)
La curvatura principal κ1 = 1/ρ1 coincide con la curvatura (9.a) con signo negativo de su valor absoluto para indicar que el centro de curvatura del circulo osculador de radio ρ1 = −|R| cae fuera del s´ olido de revoluci´ on. La curvatura κ2 = 1/ρ2 es la correspondiente a una esfera de radio ρ2 = y/|sen θ| inscrita tangencialmente dentro del s´ olido de revoluci´ on con el mismo punto de osculaci´on anterior. La pseudoesfera es un modelo local de la geometr´ıa no euclidiana para superficies con forma de silla de montar. Por tener la misma superficie y el mismo volumen/2, m´as la curvatura constante, que una esfera com´ un de radio a, se le da el nombre de pseudoesfera. La pseudoesfera ha sido de suma importancia para el estudio de la geometr´ıa de Lobachevsky. Un aspecto fundamental del problema de la tractriz es que interrelaciona funciones hiperb´ olicas con las trigonom´etricas convencionales mediante la transformaci´on (6.a) ( t ∈ (−∞, ∞) ←→ θ ∈ (−π/2, π/2) ), un aspecto que rara vez se ve en la geometr´ıa. En 1927, P. G. A. H. Voigt patent´ o una corneta de altavoz basado en la asumci´ on de que el frente de onda viaja a trav´es de la corneta con radio constante. La idea era minimizar la distorsi´ on causada por la reflexi´on interna del sonido dentro de la corneta. El resultado es que la forma o´ptima de la corneta es una superficie de revoluci´ on de una tractriz. De igual forma se dise˜ nan los picos o campanas de los instrumentos musicales de metal tales como las trompetas y los saxofones. Las matrices para el embutido de planchas de metal tambi´en tienen esa forma. Vamos ahora a describir la tractriz intermedia. Es la curva generada por un punto intermedio fijo Q entre el punto P y el punto A (ver fig.1), separado de A en una distancia b constante, con 0 < b < a sobre la varilla de la figura 2. La curva param´etrica de dicha curva es
x = a t − b tanh t y = b/ cosh t
−∞ < x, t < ∞ 0
x = a ln(sec θ + tan θ) − b sen θ y = b cos θ
− π2 < θ <
π 2
(14)
bien sea en el par´ ametro t en el lado izquierdo o el par´ ametro θ en el lado derecho. Estos par´ametros son exactamente los mismos que los definidos anteriormente, puesto que se refieren igualmente a la posici´on de la varilla. El punto Q coincide con el punto P en el caso b = a de la tractriz simple. El punto Q coincide con el punto A en el caso b = 0 de la tractriz intermedia trivial del eje x coordenado. La abscisa y ordenada x, y de la tractriz intermedia se relacionan entre s´ı y con los par´ ametros t, θ con las siguientes expresiones y ∓ b2 − y 2 x = ± a arcsech b b + b2 − y 2 = ln(sec θ + tan θ) t = ln y
b2 − y 2 tanh t = = sen θ b y sech t = = cos θ b
(15)
con una interpretaci´ on geom´etrica similar que en el caso de la tractriz simple. Donde, de las identidades despu´es de (6) y de (15), se sabe que senh t = tan θ = ± b2 − y 2 /y y que cosh t = sec θ = b/y. La curvatura de esta curva se calcula con las expresiones d2 y 2 ¨
x˙ × x dx κ= = ˙ 3
x
1 + dy 2 3/2
(16)
dx
La expresi´on del lado derecho de (16) arriba fu´e u ´ til para el c´ alculo de (9.a) a partir de (4). Pero en este caso mejor utilizamos la expresi´on del lado izquierdo. Calculemos entonces las derivadas respecto a t
x˙ = a − b sech 2 t y˙ = −b sech t tanh t
x ¨ = 2 b sech 2 t tanh t y¨ = b sech t (2 tanh2 t − 1)
(17)
Con estas se pueden calcular la derivada de primer y segundo orden respecto a x, como se muestra a continuaci´ on
y˙ b senh t y b2 − y 2 d2 y dy 1 d y˙ b tan θ y¨x˙ − y˙ x ¨ = = = ∓ = (18) = = 2 2 2 2 3 dx x˙ b − a sec θ ab − y dx x˙ dt x˙ x˙ b − a cosh t 6
¨ = (¨ donde las componentes x˙ = (x, ˙ y) ˙ y las componentes x x, y¨) son las usadas en (16.a). El numerador de (18.b) es el resultado del numerador de (16.a). El final de la expresi´on (18.a), donde se ha usado las identidades geom´etrica despu´es de (15), coincide con (4) para el caso trivial b = a, cuando la tractriz intermedia coincide con la tractriz simple. Bajo esta designaci´ on los resultados para la curvatura son κ=
b sech t | a (tanh2 t − sech 2 t) + b sech 2 (tanh2 t + sech 2 t) | | (a − b sech 2 t)2 + b2 sech 2 t tanh2 t |3/2
=
b sech t | (b sech 2 t + a) tanh2 t + (b sech 2 − a) sech 2 t | | (a − b sech 2 t)2 + b2 sech 2 t tanh2 t |3/2
=
b cosh t | (b + a cosh2 t) senh 2 t + (b − a cosh2 t) | | (a cosh2 t − b)2 + b2 senh 2 t |3/2
(19)
donde en el tercer caso se ha expresado en funci´on de cosh t y senh t, multiplicando el numerador y el denominador de la expresi´ on anterior por cosh6 t. Finalmente se pueden substituir las funciones hiperb´ olicas en funci´ on de y y b como indican las identidades geom´etricas despu´es de (15). La curva presenta un punto de inflexi´on donde se satisfacen las siguientes relaciones d2 y =0 dx2
(x˙ = 0)
−→
y¨ y˙ = x˙ x ¨
senh t =
a cosh2 t − b = a cosh2 t + b
ab − y 2 ab + y 2
(20)
que anulan el numerador de (16), (18.b) y (19). Esto es porque en el origen x = 0, en lugar de una c´ uspide de la tractriz simple, ahora, para la tractriz intermedia, aparece una punta redondeada
x = 0 , y = b , dy/dx = 0 → t=0
cosh 0 = 1 senh 0 = 0
−→
κ=
b (a − b)2
ρ = 1/κ =
(a − b)2 b
(21)
con un radio de curvatura ρ, que se vuelve m´as acusado en la medida que b se acerca a a. Esta punta redondeada hace cambiar la curvatura negativa alejada del centro de la tractriz, a una curvatura positiva en el centro de la misma, y el cambio ocurre justo en el punto de inflexi´on donde se satisface (20). REFERENCIAS: [1] Lawrence, J. Dennis. A Catalog of Special Plane Curves. Dover Publications (New York), 1972. [2] Yates, Robert C. Curves and Their Properties. J. W. Edwards, 1952. [3] Lockwood, E. H. A Book of Curves. Cambridge University Press, 1961. [4] Kasner, Edward; Newman, James. Mathematics and The Imagination. Simon & Schuster, 1940. Andr´es L. Granados M., 20/Junio/2017.
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