UFSM – Universidade Universidade Federal de Santa Maria CT – Centro Centro de Tecnologia PPGEE – Programa Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica - Mestrado DPEE- Departamento de Processamento de Energia Elétrica
JOSEMAR DE OLIVEIRA QUEVEDO LUCAS VIZZOTTO BELLINASO
CONTROLE DE CONVERSOR BUCK UTILIZANDO LQR – REGULADOR REGULADOR LINEAR QUADRÁTICO
Professor: Dr. Engº Vinícius Foletto Montagner
Santa Maria Junho, 2012
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JOSEMAR DE OLIVEIRA QUEVEDO LUCAS VIZZOTTO BELLINASO
CONTROLE DE CONVERSOR BUCK UTILIZANDO LQR – REGULADOR REGULADOR LINEAR QUADRÁTICO
Trabalho realizado no componente curricular Sistemas Lineares, do curso de Mestrado em Engenharia Elétrica, pela Universidade Federal de Santa Maria.
Professor: Dr. Engº Vinícius Foletto Montagner
Santa Maria Junho, 2012
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JOSEMAR DE OLIVEIRA QUEVEDO LUCAS VIZZOTTO BELLINASO
CONTROLE DE CONVERSOR BUCK UTILIZANDO LQR – REGULADOR REGULADOR LINEAR QUADRÁTICO
Trabalho realizado no componente curricular Sistemas Lineares, do curso de Mestrado em Engenharia Elétrica, pela Universidade Federal de Santa Maria.
Professor: Dr. Engº Vinícius Foletto Montagner
Santa Maria Junho, 2012
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LISTA DE FIGURAS Figura 1 - Sistema RLC proposto ......................................... ............................................................... ............................................ .............................. ........ 11 Figura 2 - Sistema simulado em malha aberta ............................................ ................................................................... .............................. ....... 15 Figura 3 - Sistema simulado com o controlador ......................................... ............................................................... .............................. ........ 15 Figura 4 - Resposta do sistema simulado no Matlab .......................................... ................................................................ ...................... 16 Figura 5 – Entrada Entrada u resultante do sistema de controle ......................................... ............................................................ ................... 16 Figura 6 - Diagrama de Bode de Y(s)/U(s) do sistema em malha aberta (azul) e controlado (verde)........................................... ................................................................. ............................................ ............................................ ............................................. .......................... ... 17 Figura 7 - Resposta do sistema RLC em malha aberta .......................................... ............................................................. ................... 17 Figura 8 - Comparação da resposta do sistema em malha aberta (azul) e o sistema controlado (vermelha)............................................ .................................................................. ............................................ ............................................ ......................................... ................... 18 Figura 9 – Erro Erro percentual e erro integrado do sistema controlado.......................................... controlado.......................................... 18 Figura 10 - Circuito Cir cuito simulado para avaliação da redução de carga no sistema ........................ ........................ 19 Figura 11 - Resposta do sistema para redução de carga ............................................ ........................................................... ............... 19 Figura 12 - Circuito Cir cuito simulado para avaliação de aumento de carga no sistema....................... ....................... 20 Figura 13 - Resposta do sistema para aumento de carga ........................................... .......................................................... ............... 20 Figura 14 - Circuito Cir cuito simulado para avaliação de aumento de carga no sistema ....................... ....................... 21 Figura 15 - Resposta em malha aberta (azul) e malha fechada (vermelha) .............................. .............................. 21 Figura 16 - Conversor Buck operando em malha aberta .................................... .......................................................... ...................... 22 Figura 17 - Conversor Buck operando com controlador LQR ....................... .............................................. .......................... ... 22 Figura 18 - Resposta em malha aberta (vermelha) e resposta em malha fechada (azul) .......... 23 Figura 19 - Erro e erro integrado do sistema controlado ........................................... .......................................................... ............... 23 Figura 20 - Conversor Buck com redução de carga ......................................................... ................................................................. ........ 24 Figura 21 - Resposta do conversor buck à uma redução de carga em malha aberta (vermelha) e malha fechada (azul) .................................... .......................................................... ............................................ ............................................. .............................. ....... 25 Figura 22 - Conversor Buck com aumento de carga ................................................. ................................................................ ............... 25 Figura 23 - Resposta do conversor buck ao aumento de carga em malha aberta (vermelha) e malha fechada (azul) ............................... ...................................................... ............................................. ............................................. ..................................... .............. 26 Figura 24 - Conversor Buck com variação da referência ...................................... ......................................................... ................... 26 Figura 25 - Resposta do conversor buck à variação da referência ........................................... ........................................... 27 Figura 26 - Conversor Buck alimentado por retificador monofásico ....................................... ....................................... 27 Figura 27 - Resposta do conversor buck alimentado por retificador monofásico (tensão de saída em azul, tensão de entrada em vermelho). (a) malha fechada (b) malha aberta ............. 28
4
Figura 28 - Sistema pêndulo invertido (OGATA ( OGATA 2002) ............................................ ........................................................... ............... 28 Figura 29 - Diagrama de corpo livre do sistema ................................................ ...................................................................... ...................... 29 Figura 30 - Resposta em malha aberta a uma entrada degrau unitário ..................................... ..................................... 35 Figura 31 - Resposta do sistema a uma entrada degrau unitário com a ação de controle ........ 36 Figura 32- Entrada u de controle ............................... ..................................................... ............................................ ......................................... ................... 36 Figura 33 - Diagrama de Bode para o sistema em malha aberta (azul) e sob ação de controle (verde)........................................... ................................................................. ............................................ ............................................ ............................................. .......................... ... 37
5
SUMÁRIO INTRODUÇÃO ........................................................................................................................ 6 1. CONTROLE ÓTIMO QUADRÁTICO............................................................................. 7 1.1
Função Quadrática Hermitiana .................................................................................... 7
1.2
Otimização de J através do segundo método de Liapunov.......................................... 7
1.3
Escolha de Q e R ........................................................................................................ 10
2. MODELAGEM DO SISTEMA RLC PROPOSTO ....................................................... 11 2.1
Modelo do sistema ..................................................................................................... 11
2.2
Modelo aumentado do sistema .................................................................................. 12
2.3
Sistema em malha fechada......................................................................................... 13
2.4
Controlabilidade......................................................................................................... 13
2.5
Projeto do controlador LQR aplicado ao sistema RLC ............................................. 14
3. SIMULAÇÃO DO SISTEMA RLC ................................................................................. 14 3.1
Simulação do sistema para condições nominais ........................................................ 15
3.2
Simulação: resposta do sistema para redução de carga ............................................. 18
3.3
Simulação: resposta do sistema para aumento de carga ............................................ 19
3.4
Simulação: resposta do sistema para variação da referência ..................................... 20
4. CONTROLADOR LQR APLICADO A UM CONVERSOR BUCK ........................... 22 4.1
Conversor Buck operando em condições nominais ................................................... 22
4.2
Conversor Buck operando em com redução de carga................................................ 24
4.3
Conversor Buck operando em com aumento de carga .............................................. 25
4.4
Conversor Buck operando variação da referência ..................................................... 26
4.5
Conversor Buck alimentado por retificador monofásico na entrada ......................... 27
5. CONTROLADOR LQR APLICADO A UM SISTEMA PÊNDULO INVERTIDO .. 28 5.1
Modelagem do sistema .............................................................................................. 29
5.2
Sistema aumentado e controlabilidade....................................................................... 33
5.3
Projeto dos ganhos K do controlador......................................................................... 34
5.4
Simulação do sistema ................................................................................................. 35
CONCLUSÃO......................................................................................................................... 38 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ................................................................................. 39 ANEXOS ................................................................................................................................. 40
6
INTRODUÇÃO Existem várias técnicas para controle de sistemas lineares. A técnica de
( )
realimentação de estados consiste em fazer a entrada forma
depender dos estados da planta, na
. Se o sistema é controlável, é possível alocar arbitrariamente os pólos da
matriz característica do sistema realimentado
através do cálculo do ganho . Dessa
forma, pode-se obter uma resposta desejada para o sistema realimentado. Uma técnica para cálculo do ganho
é a chamada “controle ótimo quadrático”.
Nessa técnica, o projetista determina matrizes que descrevem a importância de cada estado da
planta e a energia necessária para a entrada . A partir dessas matrizes, o ganho é calculado para minimizar um índice de desempenho . Assim, o sistema realimentado é estável sempre que a planta for controlável.
Neste trabalho, é apresentada inicialmente a dedução do cálculo do ganho
através
dessa técnica. A seguir, a teoria é aplicada a um conversor Buck, cujo projeto é realizado através do software Matlab/Simulink e simulação através do software PSIM. Também é apresentado o projeto de um sistema pêndulo invertido como exemplo de aplicação para um sistema mecânico com o mesmo método.
7
1. CONTROLE ÓTIMO QUADRÁTICO Em projetos de sistemas de controle, muitas vezes a escolha dos pólos de malha fechada não tem uma solução trivial. O controle ótimo quadrático baseia-se na minimização de um critério quadrático que está associado à energia das variáveis de estado e dos sinais de controles a serem projetados. Tal método permite um meio sistemático de computar a matriz de ganhos de controle de malha fechada (OGATA 2002).
1.1 FUNÇÃO QUADRÁTICA HERMITIANA Ao projetar o controle de sistemas lineares, deseja-se normalmente escolher o valor
()
̇ ∫ ( ) ∫()
da entrada para que um dado índice de desempenho seja minimizado. Seja dado um sistema do tipo
cuja entrada de controle é dada por
, o índice de performance utilizado no controle ótimo quadrático é dado por:
onde:
( )
(1)
é uma função quadrática ou Hermitiana.
é escolhida pelo projetista e se refere à importância do erro de cada estado.
é escolhida pelo projetista e se refere à energia para atuar. é a entrada com estados realimentados.
As matrizes e definidas positivamente e Hermitianas (simétricas), ou seja:
e
.
e
para qualquer e reais.
A minimização de , que é um índice de desempenho quadrático (
‖‖
),
garante que o sistema seja estável sempre que o sistema for controlável. Uma abordagem para minimizar é através do segundo método de Liapunov, descrita a seguir.
1.2 OTIMIZAÇÃO DE J ATRAVÉS DO SEGUNDO MÉTODO DE LIAPUNOV O projeto do controlador ótimo quadrático é realizado através da escolha das matrizes
e . A minimização é realizada através do cálculo da matriz de ganhos
Substituindo
em (1), obtém-se:
.
8
∫(()) ∫( ) ∫ () (2)
Determinando a seguinte equação:
() ()
(3)
onde é Hermitiana (simétrica) e definida positivamente. Assim, pela regra da cadeia obtémse: (4) Sendo
(5)
( ) ̇ ̇ ̇ ( ) ( ) ( ) ( ) , tem-se:
O que leva à seguinte igualdade:
(6)
( ) ( ) ( ) ( ) ∫ () ()() ()() Pela segunda lei de Liapunov, se a matriz
for estável, então existe uma
matriz definida positivamente que satisfaz a equação acima. O procedimento é determinar os elementos de a partir da equação acima e verificar se é definida positivamente. O índice de desempenho pode ser calculado como:
(7)
9
( ) ()()
Como os autovalores de
devem ter parte real negativa, então
Dessa forma, pode ser obtido através da condição inicial e da matriz :
( )
.
(8)
Como a matriz é definida positivamente e Hermitiana (simétrica), pode-se assumir:
(9)
onde é uma matriz inversível. Assim, obtém-se:
( )( ) ( ( ) ) ( ) () ( ) ( ) ( ) () ( ) () ()
(10)
Considerando apenas os termos com :
Adicionando e subtraindo um termo
(11)
, pode-se simplificar a
equação:
(12)
A equação obtida é dada por:
() () A minimização de em relação à requer a minimização de:
(13)
10
() () () ) ( () () ( )
(14)
em relação à .
Como a expressão acima não pode ser negativa, o mínimo ocorre quando , ou seja :
(15)
Essa equação gera o valor ótimo de
por
, e a entrada realimentada do sistema é dada
.
Como
, então deve satisfazer a seguinte equação, chamada
equação matricial reduzida de Riccati:
(16)
O projeto do controlador ótimo consiste em:
1. Encontrar
através da equação matricial reduzida de Ricatti:
. Se for encontrada uma matriz definida positivamente, então a
matriz
é estável.
2. Calcular a matriz ótima a partir da equação:
.
1.3 ESCOLHA DE Q E R
As matrizes Q e R são definidas normalmente na forma diagonal. Dessa forma, a
matriz pode definir individualmente a importância do erro de cada estado e a matriz
pode
definir individualmente a energia de cada entrada . Considerando, por exemplo, as seguintes matrizes:
;
11
Quando maior o valor de q 1 em relação à q2 e q3, por exemplo, maior a importância do erro da variável de estado x1. Dessa forma, o ganho K será calculado para que a variável de estado x1 apresente o erro reduzido mais rapidamente. Já na matriz R, quanto maior o valor de r 1, por exemplo, menor é a energia absorvida da entrada u1, e mais lento é o controle dependente dessa entrada. Neste trabalho, o sistema controlado apresenta apenas uma entrada. Dessa forma, R é uma constante unidimensional.
2. MODELAGEM DO SISTEMA RLC PROPOSTO 2.1 MODELO DO SISTEMA O sistema RLC proposto é apresentado na Figura 1. Sendo que as variáveis de estado são a corrente no indutor ( i L) e a tensão sobre o capacitor ( vc). A variável de saída é a tensão sobre o capacitor.
i L L
u
C
vc
R
Figura 1 - Sistema RLC proposto
onde os valores especificados são:
(referência) =
: tensão de saída de um conversor Buck. Valores possíveis de 0 a 100. A fim de obter-se o modelo apresentado em (17).
̇̇
(17)
12
Do circuito, se obtém:
onde
̇ ( ̇ ) ̇ Outra malha obtida:
̇ ̇ ̇̇
A saída é a tensão no capacitor
. Sistema obtido:
(18)
2.2 MODELO AUMENTADO DO SISTEMA Para garantir o erro nulo, é necessário haver um integrador no erro.
∫ ̇ ̇̇ ∫ ̇ ∫
(19)
O modelo aumentado do sistema é dado por:
(20)
13
Realizando as substituições:
̇̇ ∫ ̇ ∫
(21)
Assim, obtém-se o modelo aumentado do sistema:
∫ [ ] 2.3 SISTEMA EM MALHA FECHADA
̇ ̇ ( )
Em malha fechada, tem-se que por:
Obtendo-se:
. Assim, o modelo do sistema é dado
(22)
(23)
Já a matriz de saída se mantém constante:
(24)
2.4 CONTROLABILIDADE O valor numérico obtido para as matrizes é dado por:
(25)
14
A matriz de controlabilidade é calculado por:
(26)
Se a matriz apresentar rank completo de linhas, então o sistema é controlável. A matriz de controlabilidade é dada aproximadamente por:
(27)
O rank da matriz é completo ( rank = 3). Dessa forma, o sistema é controlável.
2.5 PROJETO DO CONTROLADOR LQR APLICADO AO SISTEMA RLC Para o projeto do controlador LQR, os valores da matriz Q e a constante R são obtidos empiricamente até que o controlador atinja as especificações. Para o projeto do controlador, os seguintes requisitos foram utilizados:
Sem sobre-elevação (saturação) na ação de controle . Ganho do controlador e esforço de controle reduzidos; Máxima resposta dinâmica obtida.
Q = [1 0 0;0 100000 0; 0 0 5000000]; R = [800]; A partir das matrizes Q e R foram determinados os ganhos Kn e os pólos do sistema: K = [-0,0223 11,1723 -79,0569]; Pólos = [-505 -12195].
3. SIMULAÇÃO DO SISTEMA RLC O projeto do controlador LQR foi realizado para que a saída do sistema RLC mantenha-se em 50V, considerando resposta transitória em condições nominais menor que 60
15
ms e reduzido esforço de controle. O circuito controlado, apresentado na Figura 3 foi comparado com um circuito operando em malha aberta. Os seguintes testes foram realizados para verificar o comportamento do controlador:
Resposta do sistema para condições nominais;
Redução de 50% da carga nominal;
Aumento de 100% da carga,
Variação no sinal de referência do controlador.
Figura 2 - Sistema simulado em malha aberta
Figura 3 - Sistema simulado com o controlador
3.1 SIMULAÇÃO DO SISTEMA PARA CONDIÇÕES NOMINAIS O sistema projetado foi simulado nos softwares Matlab e PSIM. A resposta do sistema obtida do software MATLAB é apresentada na Figura 4, e a entrada u resultante do
16
sistema de controle é apresentada na Figura 5. A resposta em frequência do sistema em malha aberta e sob a ação de controle é apresentado na Figura 6 através de seu diagrama de Bode.
x1 (tensão) versus t 2
x1 (tensão) Vc malha aberta
1.5 1 x
x2 (corrente) versus t
0.015 2 x
1
0.5 0
0.02
0.01
0.005 0
0.02
0.04
0.06 0.08 t Sec x3 (erro integrado) versus t
0.1
0
0.12
0.02
0
0.02
0.04
0.06 t Sec erro
0.08
0.1
0.12
0
0.02
0.04
0.06 t Sec
0.08
0.1
0.12
1
0.015 3 x
o r r e
0.01
0.5
0.005 0
0
0.02
0.04
0.06 t Sect
0.08
0.1
0.12
0
Figura 4 - Resposta do sistema simulado no Matlab
Figura 5 – Entrada u resultante do sistema de controle
17
Figura 6 - Diagrama de Bode de Y(s)/U(s) do sistema em malha aberta (azul) e controlado (verde)
A resposta do sistema simulado no software PSIM em malha aberta é apresentada na Figura 7.
Figura 7 - Resposta do sistema RLC em malha aberta
A Figura 8 apresenta a resposta do sistema controlado. A Figura 9 apresenta a resposta do erro do sistema projetado e do erro integrado.
18
Figura 8 - Comparação da resposta do sistema em malha aberta (azul) e o sistema controlado (vermelha)
Figura 9 – Erro percentual e erro integrado do sistema controlado
3.2 SIMULAÇÃO: RESPOSTA DO SISTEMA PARA REDUÇÃO DE CARGA O sistema foi simulado para uma redução de carga para 50% da nominal, sendo que foi avaliada a possível saturação do mesmo, a qual não foi detectada para o controlador projetado para o nível de tensão de entrada de 100V e tensão de saída de 50V. O circuito simulado para avaliação da resposta à redução de carga é apresentado na Figura 10. A resposta do sistema para uma mudança de carga é apresentada na Figura 11.
19
Figura 10 - Circuito simulado para avaliação da redução de carga no sistema
Figura 11 - Resposta do sistema para redução de carga
3.3 SIMULAÇÃO: RESPOSTA DO SISTEMA PARA AUMENTO DE CARGA O sistema foi simulado para um aumento de carga para 100% da nominal, sendo que foi avaliada a possível saturação do mesmo, a qual não foi detectada para o controlador projetado para o nível de tensão de entrada de 100V e saída de 50V. O circuito simulado para avaliação da resposta ao aumento de carga é apresentado na Figura 12. A resposta do sistema para uma mudança de carga é apresentada na Figura 13.
20
Figura 12 - Circuito simulado para avaliação de aumento de carga no sistema
Figura 13 - Resposta do sistema para aumento de carga
3.4 SIMULAÇÃO: RESPOSTA DO SISTEMA PARA VARIAÇÃO DA REFERÊNCIA O sistema foi simulado para um a variação do sinal de referência, aumentando o sinal de referência de 50V para 70V, a fim de verificar o comportamento da resposta do mesmo. O circuito simulado para avaliação da resposta à variação do sinal de referência é apresentado na Figura 14. A resposta do sistema para uma variação na referência é apresentada na Figura 15.
21
Figura 14 - Circuito simulado para avaliação de aumento de carga no sistema
Figura 15 - Resposta em malha aberta (azul) e malha fechada (vermelha)
22
4. CONTROLADOR LQR APLICADO A UM CONVERSOR BUCK O controlador LQR projetado no capitulo 3 foi utilizado para controlar um conversor buck, com frequência de chaveamento de 50 kHz, sendo que o sinal de controle foi implementado utilizando modulação PWM.
4.1 CONVERSOR BUCK OPERANDO EM CONDIÇÕES NOMINAIS O circuito simulado no software PSIM é apresentado na Figura 16, o mesmo foi comparado com um conversor Buck operando em malha aberta e razão cíclica de 0,5, que é apresentado na Figura 17.
Figura 16 - Conversor Buck operando em malha aberta
Figura 17 - Conversor Buck operando com controlador LQR
23
A resposta do sistema é apresentada na Figura 18, onde é feita a comparação da resposta do conversor controlado com o conversor operando em malha aberta. É de se ressaltar o fato de a corrente apresentada para o conversor Buck de malha aberta apresentada possui uma razão cinco vezes menor que corrente real.
Figura 18 - Resposta em malha aberta (vermelha) e resposta em malha fechada (azul)
A Figura 19 apresenta o comportamento do erro, e do erro integrado do conversor.
Figura 19 - Erro e erro integrado do sistema controlado
24
4.2 CONVERSOR BUCK OPERANDO EM COM REDUÇÃO DE CARGA O conversor buck foi simulado para uma redução de carga para 50% da nominal, sendo que foi avaliada a possível saturação do mesmo, operando com o controlador projetado. Não foi detectada saturação para o nível de tensão de entrada de 100V e tensão de saída de 50V. O circuito simulado para avaliação da resposta à redução de carga é apresentado na Figura 20.
Figura 20 - Conversor Buck com redução de carga
A resposta do sistema para uma mudança de carga é apresentada na Figura 21. É de se ressaltar o fato de a corrente apresentada para o conversor Buck de malha aberta apresentada possui uma razão cinco vezes menor que corrente real.
25
Figura 21 - Resposta do conversor buck à uma redução de carga em malha aberta (vermelha) e malha fechada (azul)
4.3 CONVERSOR BUCK OPERANDO EM COM AUMENTO DE CARGA O conversor buck foi simulado para um aumento de carga para 100% da nominal, sendo que foi avaliada a possível saturação do mesmo, a qual não foi detectada para o controlador projetado para o nível de tensão de entrada de 100V e tensão de saída de 50V. O circuito simulado para avaliação da resposta à redução de carga é apresentado na Figura 22. A resposta do sistema para uma mudança de carga é apresentada na Figura 23.
Figura 22 - Conversor Buck com aumento de carga
26
Figura 23 - Resposta do conversor buck ao aumento de carga em malha aberta (vermelha) e malha fechada (azul)
4.4 CONVERSOR BUCK OPERANDO VARIAÇÃO DA REFERÊNCIA O conversor buck foi simulado para um a variação do sinal de referência, aumentando o sinal de referência de 50V para 70V, a fim de verificar o comportamento da resposta do mesmo. O circuito simulado para avaliação da resposta à variação do sinal de referência é apresentado na Figura 24. A resposta do sistema para uma variação na referência é apresentada na Figura 25.
Figura 24 - Conversor Buck com variação da referência
27
Figura 25 - Resposta do conversor buck à variação da referência
4.5 CONVERSOR BUCK ALIMENTADO POR RETIFICADOR MONOFÁSICO NA ENTRADA O conversor buck foi simulado sendo alimentado por um retificador monofásico em ponte completa conectado à uma rede 220 V/60 Hz, tendo filtro capacitivo na saída de 100 μF.
O circuito simulado para avaliação é apresentado na Figura 26. A resposta do sistema é
apresentada na Figura 27.
Figura 26 - Conversor Buck alimentado por retificador monofásico
28
Figura 27 - Resposta do conversor buck alimentado por retificador monofásico (tensão de saída em azul, tensão de entrada em vermelho). (a) malha fechada (b) malha aberta
5. CONTROLADOR LQR APLICADO A UM SISTEMA PÊNDULO INVERTIDO Como exemplo de aplicação do controle LQR, foi realizado o projeto de um controlador para um sistema pêndulo invertido, o qual é proposto por (CHEN 1999, OGATA 2002), sendo representado pela Figura 28. Onde M = 2kg, m=0,1kg, l=0,5m, g=9,81m/s². É desejável manter a haste na posição vertical pelo maior tempo possível e ainda controlar a posição do carro.
Figura 28 - Sistema pêndulo invertido (OGATA 2002)
29
5.1 MODELAGEM DO SISTEMA Para a obtenção das equações dinâmicas do sistema apresentado é realizado o diagrama de corpo livre do mesmo, analisando as forças e momentos envolvidos, o qual é apresentado na Figura 29. ϴ ) l sen(
ϴ ) l cos(
l mg
M v
V
θ P
H M h
Figura 29 - Diagrama de corpo livre do sistema
Da Figura 29 tem-se que: P – Ponto de referência para a análise V – Força de reação vertical da haste ao ser empurrada pelo carro H – Força de reação horizontal da haste ao ser empurrada pelo carro Mv – Momento de reação vertical Mh – Momento de reação horizontal
̈
- reação de aceleração da massa
mg – força peso da massa Para obterem-se as equações de dinâmicas do sistema para as componentes de força, aplica-se a lei de Newton que governa os sistemas mecânicos em translação, a qual é dada por:
∑
(28)
30
Assim, podem-se escrever o somatório das forças verticais da massa m como: m d 2 l cos dt 2
mg V 0
(29)
E o somatório das forças horizontais da massa pode ser escrito como: m d 2 x l sen dt 2
H 0
(30)
O somatório das forças de reação do carro é dado por: M d 2 x dt 2
H u 0
(31)
Para obterem-se as equações dinâmicas do sistema para as componentes dos momentos que atuam no sistema, aplica-se a lei de Newton que governa os sistemas mecânicos em rotação, para isso, fazem-se necessárias algumas definições como seguem (BEER 1991):
A aceleração tangencial de um corpo em movimento rotacional é dada por tan
l , onde l é à distância do centro de gravidade da massa em relação ao
ponto de rotação.
Sabendo-se que o momento de uma força aplicada a um corpo é dado por M l F sen , onde F é a força aplicada e
é
o ângulo de giro, então pode-
se substituir a equivalência m tan F sen , e a equação que representa o momento de reação de aceleração do corpo é dada por: m l 2 M l m l
Assim, o somatório de momentos na Figura 29 é dado por:
(32)
31
Mh Mv m l 2 m l x cos mg l sen m l 2
(33)
Portanto, as equações dinâmicas que descrevem o sistema são dadas por: m d 2 l cos V mg 2 dt m d 2 x l sen H dt 2 M d 2 x H u 2 dt mg l sen m l 2 m l x cos
(34)
Como se pode perceber de (34), o sistema proposto é não linear. Considerando
θ
pequeno, pode-se trabalhar com um sistema linearizado, e considera-se sen , e cos 1 . Como pode ser comprovado a seguir:
sen5º 0,087 rad sen10º 0,1736 rad
5º 0,087 rad 10º 0,1745 rad
cos5º 0,996 rad cos10º 0,984 rad
Substituindo essa definição em (34), tem-se que: m d 2 l 1 V mg 2 dt m d 2 x l H dt 2 M d 2 x H u 2 dt mg l m l 2 m l x 1
(35)
Resolvendo as equações mostradas em (35), tem-se que: V mg
(36)
l H m x
(37)
u H M x
(38)
32
x g 0 l
(39)
Substituindo-se (37) em (38) tem-se:
u m x l M x
M m x m l u
(40)
E as equações dinâmicas que descrevem o sistema são dadas por (39) e (40). Isolando x em (39) e substituindo em (40), tem-se: g l x
M m g l m l u m g m l m l u M g M l
(41)
M l ml ml
u M l
g M m u g M m M l
Isolando em (39) e substituindo em (40), tem-se:
g x l g x
M m x m l
u g x M m x m l m l u
l
l M m m m g u x
x
u M
l
(42)
m g M
Convertendo as variáveis do sistema em variáveis de estado, tem-se: x1 x1 x 2
1 x 2 x x3 x x 3 x 4
3 x 4 x
(43)
33
Substituindo as variáveis de estado nas equações (41) e (42), tem-se: x 2
x 4
u g x1 M m M l M l u M
m g x1 M
(44)
(45)
Reescrevendo o sistema em equações de estado, tem-se: 0 0 1 0 0 x1 1 x1 M m g 0 0 0 x x 2 M l u 2 M l x 3 0 0 0 1 x3 0 1 x x 4 m g 0 0 0 4 M M x1 x y1 2 y 0 0 1 0 x 3 2 x 4
(46)
Substituindo os valores das variáveis em (46), tem-se: 0 x1 x 20,601 2 x 3 0 x 4 0,4905
1 0 0 0
0 x1
0 x 1 0 0 2 u 0 1 x3 0 0 0 x 4 0,5
0
x1
x 2 y 0 0 1 0 x 3 x 4
5.2 SISTEMA AUMENTADO E CONTROLABILIDADE Das equações (19) e (22-24) tem-se que o sistema aumentado é dado por:
(47)
34
0 20,601 Aaum 0 0,4905 0
1 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 1 0 ; Baum 0 0 0 0 0,5 0 1 0 0 0
0 0
(48)
A matriz de controlabilidade é dada por: C Baum Aaum Baum Aaum2 Baum Aaum3 Baum Aaum4 Baum
0 1 C 0 0,5 0
1
0
20,601
0
20,601
0
0,5
0
0,4905
0
0,4905
0
0
0,5
0
424,4 0 10,1048 0,4905 0
(49)
Como é possível perceber, a matriz possui rank igual a cinco, logo, o sistema é totalmente controlável.
5.3 PROJETO DOS GANHOS K DO CONTROLADOR Para o projeto do controlador LQR, os valores da matriz Q e a constante R são obtidos empiricamente até que o controlador atinja as especificações. Para o projeto do controlador, os seguintes requisitos foram utilizados:
Sem sobre-elevação (saturação) na ação de controle . Ganho do controlador e esforço de controle reduzidos; Sem grandes variações na variável de saída (posição do carro). Os valores utilizados nas matrizes Q e R, a matriz de ganhos encontrados, e os polos em malha fechada do sistema controlado são dados por:
Q = [ 500 0 0 0 0; 0 1 0 0 0; 0 0 1 0 0; 0 0 0 1 0; 0 0 0 0 1 ]; R = [0,05]; k = [-159,1737 -28,0312 -14,0290 -19,7681 4,4721]; Pólos = [-8.2365 + 5.8991i; -8.2365 - 5.8991i; -0.8371 + 0.8001i;-0.8371 - 0.8001i].
35
5.4 SIMULAÇÃO DO SISTEMA O sistema foi simulado no software Matlab, sendo avaliada a resposta em malha aberta e sob a ação de controle, além da resposta em frequência do mesmo. A resposta em malha aberta do sistema a uma entrada degrau unitário é apresentada na Figura 30.
Figura 30 - Resposta em malha aberta a uma entrada degrau unitário
A resposta do sistema para uma entrada degrau unitário, atuando com o controlador é apresentada na Figura 31. Onde as variáveis x1 a x4 representam as variáveis de estado conforme definidas em (43), e a variável x5 representa o erro integrado do controlador.
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Figura 31 - Resposta do sistema a uma entrada degrau unitário com a ação de controle
A entrada de controle é apresentada na Figura 32.
Figura 32- Entrada u de controle
O diagrama de Bode do sistema para a resposta em malha aberta, com entrada degrau unitário, e sob a ação do controlador LQR é apresentada na Figura 33.
37
Figura 33 - Diagrama de Bode para o sistema em malha aberta (azul) e sob ação de controle (verde)
38
CONCLUSÃO Diversas técnicas são usadas em controle de sistemas por realimentação de estados, este trabalho demonstrou a aplicação do Regulador Linear Quadrático – LQR, cuja técnica visa obter um controle ótimo de forma a minimizar a energia do atuador sobre a planta para a reposta desejada. Porém, a resposta do sistema depende dos valores projetados para as matrizes Q e R, as quais determinam a importância relativa do erro e da quantidade de energia necessária no processo de controle. Tais matrizes são definidas empiricamente, portanto, estão sujeitas a diferentes respostas, que serão tão boas quanto maior a faixa de valores testados, permitindo assim definir a configuração que melhor se encaixa para um dado projeto. Este trabalho teve por objetivo demonstrar a aplicação da técnica proposta em sistemas elétricos e mecânicos, de forma a demonstrar a aplicabilidade da técnica nos mais diferentes sistemas. Foram projetados e simulados um conversor Buck e um sistema pêndulo invertido. O projeto do controlador aplicado ao conversor Buck visou obter uma resposta que levasse o nível de tensão de saída para o valor desejado com reduzida demanda de energia e rápida resposta dos estados do sistema. Para tanto, buscou-se uma resposta que fosse mais rápida que a resposta natural do sistema operando em malha aberta, mas com ganhos possíveis de serem implementados. O projeto do controlador para o sistema pêndulo invertido teve por objetivo obter o controle da haste na posição vertical de forma rápida e com reduzida demanda de energia, de forma que as variáveis de estado não sofressem variações muito acentuadas devido às limitações mecânicas que o sistema pode estar sujeito em uma aplicação real. Com o estudo do controlador LQR pode-se destacar como vantagens a minimização da energia demandada pelo sistema, resultando em melhor rendimento em sistemas que utilizam energia externa para a ação de controle. Como desvantagem pode-se citar a limitação da técnica relacionada à maneira aleatória de definição dos ganhos do controlador, sendo difícil definir a condição ótima de ganhos.
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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS BEER, F. P, JOHNSTON, E. R. J. Mecânica vetorial para engenheiros: cinemática e dinâmica. São Paulo: Makron Books do Brasil Editora Ltda., 1991.
CHEN, Chi-Tsong. Linear Systems Theory and Design. New York: Oxford University Press. 3rd edition, 1999. OGATA, Katshuhiko. Modern Control Engineering . New Jersey: Prentice Hall. 4ª edição, 2002.
40
ANEXOS Anexo I: Projeto controlador LQR aplicado a sistema RLC close all clear all clc %% fprintf(' *****************************************************************' ); fprintf('\n *\tAutores: Josemar O. Quevedo e Lucas V. Bellinaso *'); fprintf('\n *\tCurso de mestrado em engenharia elétrica *'); fprintf('\n *\tDisciplina: Sistemas lineares *'); fprintf('\n *\tTrabalho: Controle LQR aplicado a sistema RLC *'); fprintf('\n *\tProfessor: Vinícius Foletto Montagner *'); fprintf('\n *\tData de entrega: junho de 2012 *'); fprintf('\n *****************************************************************\n\n\n' ); pause; %% %Definição das variáveis e matrizes de estado Res=50; L=886e-6; Cap=220e-6; A=[-1/(Res*Cap) 1/Cap;-1/L 0]; B=[0; 1/L]; C=[1 0]; D=[0]; % Definição do ganho do controlador Aaum = [A zeros(2,1);-C 0]; Baum = [B;0]; Q = [1 0 0;0 100000 0; 0 0 5000000]; R = [800]; Kah = lqr(Aaum,Baum,Q,R) K = Kah(1:2) Kl = -Kah(3); AA = [A-B*K B*Kl;-C 0]; BB = [0;0;1]; CC = [C 0]; DD = [0]; t = 0:0.0001:0.12; [y,x,t] = step(AA,BB,CC,DD,1,t); [y2,X,t] = step(A,B,C,D,1,t); x1 = [1 0 0]*x'; x2 = [0 1 0]*x'; x3 = [0 0 1]*x'; figure(2); subplot(2,2,1); plot(t,x1, 'LineWidth',2); grid hold on plot(t,y2, 'r'); title('x1 versus t') xlabel('t Sec'); ylabel('x1');
41
legend('x1','Vc malha aberta' ); subplot(2,2,2); plot(t,x2); grid title('x2 versus t') xlabel('t Sec'); ylabel('x2') subplot(2,2,3); plot(t,x3); grid title('x3 versus t') xlabel('t Sect'); ylabel('x3') erro=1-x1; subplot(2,2,4); plot(t,erro);grid title('erro') xlabel('t Sec'); ylabel('erro)'); figure(3) u=-(Kah(1)*x1+Kah(2)*x2+Kah(3)*x3); plot(t,u);grid title('Entrada u'); xlabel('t Sec'); ylabel('u(t)'); %Diagrama de Bode do sistema figure(4) bode(A,B,C,D); % sistema em malha aberta hold on; bode(A-B*K,B,C,D); % sistema controlado grid on; legend('Sistema em malha aberta' ,'Sistema controlado' ); % Obtenção dos pólos de malha fechada disp('Pólos do sistema'); [z,p,k] = ss2zp( A-B*K,B,C,D)
Anexo II: Projeto controlador LQR aplicado a sistema pêndulo invertido close all clear all clc %% fprintf(' *****************************************************************' ); fprintf('\n *\tAutores: Josemar O. Quevedo e Lucas V. Bellinaso *'); fprintf('\n *\tCurso de mestrado em engenharia elétrica *'); fprintf('\n *\tDisciplina: Sistemas lineares *'); fprintf('\n *\tTrabalho: Controle LQR aplicado a sistema pêndulo invertido *'); fprintf('\n *\tProfessor: Vinícius Foletto Montagner *'); fprintf('\n *\tData de entrega: junho de 2012 *'); fprintf('\n *****************************************************************\n\n\n' ); pause; %% %Definição das variáveis e matrizes de estado M=2; m=0.1; l=0.5; g=9.81; A=[0 1 0 0;((M+m)*g/(M*l)) 0 0 0;0 0 0 1;-(m*g)/M 0 0 0] B=[0;-1/(M*l);0;1/M] C=[0 0 1 0]; D=[0];
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% Controlabilidade Aaum = [A zeros(4,1);-C 0]; Baum = [B;0]; Ccont=[Baum Aaum*Baum Aaum^2*Baum Aaum^3*Baum Aaum^4*Baum] %matriz de controlabilidade rank(Ccont) % Projeto dos ganhos % Q = [500 0 0 0 0;0 1 0 0 0; 0 0 1 0 0; 0 0 0 1 0; 0 0 0 0 1]; R = [0.05]; Kah = lqr(Aaum,Baum,Q,R) K = Kah(1:4) Kl = -Kah(5); AA = [A-B*K B*Kl;-C 0]; BB = [0;0;0;0;1]; CC = [C 0]; DD = D; t = 0:0.01:12; [y,x,t] = step(AA,BB,CC,DD,1,t); x1 = [1 0 0 0 0]*x'; x2 = [0 1 0 0 0]*x'; x3 = [0 0 1 0 0]*x'; x4 = [0 0 0 1 0]*x'; x5 = [0 0 0 0 1]*x'; figure(2); subplot(3,2,1); plot(t,x1, 'LineWidth',2); grid title('x1 versus t') xlabel('t Sec'); ylabel('x1'); subplot(3,2,2); plot(t,x2, 'LineWidth' ,2); grid title('x2 versus t') xlabel('t Sec'); ylabel('x2') subplot(3,2,3); plot(t,x3, 'LineWidth' ,2); grid title('x3 versus t') xlabel('t Sect'); ylabel('x3') subplot(3,2,4); plot(t,x4, 'LineWidth' ,2); grid title('x4 versus t') xlabel('t Sect'); ylabel('x4') subplot(3,2,5); plot(t,x5, 'LineWidth' ,2); grid title('x5 versus t') xlabel('t Sect'); ylabel('x5') erro=1-y; subplot(3,2,6); plot(t,erro, 'LineWidth' ,2);grid title('erro') xlabel('t Sec'); ylabel('erro)'); figure(3) u=-(Kah(1)*x1+Kah(2)*x2+Kah(3)*x3+Kah(4)*x4+Kah(5)*x5); plot(t,u,'LineWidth',2);grid title('Entrada u'); xlabel('t Sec'); ylabel('u(t)'); %Diagrama de Bode do sistema figure(4) bode(A,B,C,D); % sistema em malha aberta hold on; bode(A-B*K,B,C,D); % sistema controlado grid on; legend('Sistema em malha aberta' ,'Sistema controlado' ); % Obtenção dos pólos de malha fechada disp('Pólos do sistema'); [z,p,k] = ss2zp( A-B*K,B,C,D) %
