PREGUNTAS DEL FOLLETO(TOPICO ESTADÍSTICO MAX. MITC) 1.-) Los siguientes siguientes datos son los puntajes puntajes obtenidos obtenidos por 50 estudiantes estudiantes en un exámen de estadística en el primer semestre del 2002 en la FISI. 6.6 – 07 – 07 – 7.8 – 8.2 – 8.2 – 8.4 – 09 – 9.4 – 9.6 – 10 – 10.4 – 10.6 – 10.8 – 11 – 11 – 11.4 – 11.8 – 12 – 12 – 12.2 12.2 – 12.8 – 13 – 13 – 13 – 13.2 – 13.2 13.2 – 13.2 – 13.4 – 13.6 – 13 – 14.2 – 14.6 – 14.6 – 14.8 – 14.8 – 15.2 – 15.4 – 15.4 – 15.6 – 16 – 16.2 – 16.8 – 17 – 17 – 17.6 – 17.8 – 18.2 18.2 – 18.8 – 19.4 Clasificar Clasificar estos datos convenientem convenientemente ente en intervalos intervalos de clases, clases, de la misma amplitud y construir los gráficos respectivos.
Solución Recorrido o Rango: R = XMAX – XMIN =19.4 – 6.6 = 12.8 Número de Intervalo de Clase: Clase: K = 1+3.3 Log50 = 6.6 = 7 Tamaño de Intervalo de Clase: Tic = R / K = 12.8 / 7 =2 Intervalos [6.6 – 8.6 > [8.6 – 10.6 > [10.6 – 12.6 > [12.6 – 14.6 > [14.6 – 16.6 > [16.6 – 18.6 > [18.6 – 20.6 > Total
Fi 7 5 9 11 10 6 2 50
Xi 7.6 9.6 11.6 13.6 15.6 17.6 19.6
Fi 7 12 21 32 42 48 50
hi 0.14 0.10 0.18 0.22 0.20 0.12 0.04 1.00
Hi 0.14 0.24 0.42 0.64 0.84 0.96 1.00
20 15 10 5 0 6.6
8.6
10.6
12.6
14.6
16.6 18.6
20.6
HISTOGRAMA Y POLÍGONO DE FRECUENCIAS
50
48
45
50
42
40 35
32
30 25 21
20 15 10 5
12 7
0 6.6
8.6
10.6
12.6
14.6
16.6
18.6
20 15 10 5 0 6.6
8.6
10.6
12.6
14.6
16.6 18.6
20.6
HISTOGRAMA Y POLÍGONO DE FRECUENCIAS
50
48
45
50
42
40 35
32
30 25 21
20 15 10 5
12 7
0 6.6
8.6
10.6
12.6
14.6
16.6
18.6
2.-) 2.-)
Los sigu siguien ientes tes datos datos prop proporc orcion ionan an las las remune remunerac racion iones es (en sole soles) s) de 50 obreros: 573 565 569 576 573
547 570 558 579 564
567 557 576 577 570
582 585 567 588 546
567 559 552 594 568
570 570 568 567 563
560 557 569 577 572
567 573 566 554 584
561 577 572 593 563
580 558 586 556 574
Agrupar estos datos en una tabla de frecuencias cuyos intervalos sean de amplitud constante. Solución i) Rango: R = 594 – 546 R = 48 ii) Intervalos Intervalos (Regla (Regla de Sturges) Sturges) K = 1+3.3log(50) K = 6.6 K=7 iii) T.I.C. (Tamaño del del Intervalo de Clase) TIC = 48/7 TIC = 7 iv) T.D.F. (Tabla de Distribución Distribución de Frecuencia) Frecuencia)
I.C.
Fi 03
Fi* 50
hi 0.06
Hi 0.06
Hi* 1.00
Xi 549
546
−553
fi 03
553
−560
07
10
47
0.14
0.20
0.94
556
[560 − 567
07
17
40
0.14
0.34
0.80
563
[567 − 574
18
35
33
0.36
0.70
0.66
570
574
−581
08
43
15
0.16
0.86
0.30
577
[581 − 588
04
47
07
0.08
0.94
0.14
584
[588 − 595
03
50
03
0.06
1.00
0.06
591
P.-3) Representar gráficamente
FACULTAD Nº de alumnos Ingeniería metalúrgica 200 economía 1500 Ingeniería industrial 3000 Contabilidad 800 Derecho 700 Ciencias de la comunicación 900 Ingeniería de sistemas 400 Ciencias administrativas 600
Economia
7% 5%
Ing. Metalurgica
2%
19%
11%
Ing. Industrial Contabilidad
9% Derecho 10%
37% Ciencias de la Com. Ing. de Sistemas
4.-)
Construir el gráfico de la siguiente distribución de frecuencias. Tabla 2: Defunciones por enfermedad , por causas y sexos: departamento x, 2001 Causas de la Enfermedad SIDA Cólera Tuberculosis Malaria Otros Total
Sexo Hombres Mujeres 495 673 352 298 298 307 123 233 110 215 1687 1917
Total
1368 650 605 356 625 3604
Gráfico 700 600 500 400 300
H M
200
H M H M
H M
100
H M SIDA
Cólera
T.B.C.
Malaria
Otros.
5.-) Completar los datos que faltan en la siguiente tabla y tace la gráfica de la función de distribución acumulada. Valores 1 2 3 4 5 6 7 8 TOTAL
fi 4 4 8 7 5 10 7 5 50
Fi 4 8 16 23 28 38 45 50
}
Solución: fi / n = hi = 4 / 0.08 = n n = 50
hi 0.08 0.08 0.16 0.14 0.10 0.20 0.14 0.10
Valores 1 2 3 4 5 6 7 8 Total
fi 4 4 8 7 5 10 7 5 50
Fi 4 8 16 23 28 38 45 50
hi 0.08 0.08 0.16 0.14 0.10 0.20 0.14 0.10 1.00
Hi 0.08 0.16 0.32 0.46 0.56 0.76 0.9 1.00
1.00 0.9 0.76 0.56 0.46 0.32 0.16 0.08 0
1
2
3
4
TOPICO pag 51.
5
6
7
8
12-) Una empresa que se dedica a preparar dietas, proyecta lanzar al mercado una dieta rigurosa. Los empleados de una compañía se presentaron como voluntarios para dicha promoción. Se realizo un muestreo con 80 dichos empleados elegidos aleatoriamente. Los resultados del chequeo de los pesos (en kgr.), fueron los siguientes: 80.6 53.2 76.9 88.3 75.6 65.2 54.2 80.2
65.8 60.2 77.4 94.6 41.8 62.1 75.3 60.2
49.6 91.2 67.9 57.3 73.6 44.8 50.1 71.6
79.1 74.8 63.7 87.3 71.4 82.9 61.1 77.1
84.4 78.6 49.9 74.3 83.2 81.7 42.3 94.9
66.2 81.4 46.4 73.2 67.4 70.4 68.6 61.4
79.3 58.6 68.8 90.4 99.3 74.6 56.2 82.1
59.4 68.2 67.3 76.3 62.3 76.9 70.8 78.3
72.9 67.4 72.3 52.7 89.2 85.7 47.3 51.2
73.6 55.6 75.8 71.7 86.8 40.9 66.9 79.3
Se pide: a) b) c) d)
Elaborar una distribución de frecuencias ¿Cuántos empleados tienen pesos entre 45 y 60 Kgr.? ¿Qué porcentaje de empleados tienen pesos mayores que 75.5 Kgr.? La empresa promotora obsequia uniformes de trabajo a los empleados voluntarios. Suponiendo que los pesos de los empleados voluntarios es menor o igual a 80 Kgr. ¿Cuántos uniformes deben ser devueltos?.
Solución a) Recorrido o Rango R
= X max − X min = 99.3 −40.9 = 58.4
Número de Intervalos de clases =1 +3.3 log(80) K = 7.280 ≈ 7 K
Tamaño del Intervalo de Clases c
=
R K
=
58.4 7
= 8.3857 ≈ 8
En este caso al efectuar las operaciones correspondientes con nuestro amplitud que es igual a 8 nos damos cuenta que no llega a alcanzar al
valor máximo, por lo que le sumamos 1. Es decir le puede pasar pero no le puede faltar. Entonces trabajamos con una amplitud de 9. I.C.
Xi 45.4 54.4 63.4 72.4 81.4 90.4 99.4
[40.9 −49.9 [49.9 −58.9 [58.9 −67.9 [67.9 −76.9 [76.9 −85.9 [85.9 −94.9 [94.9 −103.9 Total b)
7 40.9
45
fi 7 10 15 21 18 7 2 80 10
Fi 7 17 32 53 71 78 80
hi 0.0875 0.125 0.1875 0.2625 0.225 0.0875 0.025 1.00
15
49.9 x
58.9
60
67.9
y
x + 10 + y =? x
=
( 40.9 − 45) 7 49.9 − 40.9
= 3.81
y
=
( 60 − 58.9) 15 67.9 − 58.9
= 1.83
3.81 + 10 + 1.83 = 15.64 ≈ 15 15 empleados tienen pesos 45 y 60 Kgr. c) 0.2625
0.225
67.9 75.5 76.9 x
85.9
0.0875 94.9
0.025 103.9
x + 0.225 + 0.0875 + 0.025 =? x
=
( 76.9 − 75.5) 0.2625 76.9 − 67.9
= 0.041
0.041 + 0.225 + 0.0875 + 0.025 = 0.3785 37.85 % es el porcentaje de empleados que tienen pesos mayores de 75.5 Kgr.
d)
7 40.9
10 49.9
15 58.9
21 67.9
18 76.9
80
85.9
x 7 + 10 +15 +21 + x =? x
=
( 80 − 76.9 ) 18 85.9 − 76.9
= 6.2
7 + 10 + 15 + 21 + 6= 59 59 uniformes tienen que ser devueltos. Se tiene la siguiente tabla de frecuencias relativas de 300 empleados. según su edad. Edades 19-21 22-24 25-27 28-30 31-33 hi 0.15 0.25 0.40 0.10 0.10 7.-)
a.-) ¿Cuántos empleados tienen edades entre 22 y 32 años? b.-)¿Qué porcentaje de empleados tienen 25 años o más ? c.-)¿ Qué porcentaje de empleados tienen 34 años o menos? Solución fi = hi x n 0.15 x 300 = 45 n = 300 0.25 x 300 = 75 0.40 x 300 = 120 0.10 x 300 = 30 0.10 x 300 =30 Edades [19– 22> [22 – 25> [25 – 28> [28 – 31> [31 – 34>
fi 45 75 120 30 30
Hi 0.15 0.25 0.40 0.10 0.10
a) 75 22
120 25
30 28
30 31
32
33
y
75+ 120 + 30 + y =? y
=
( 32 − 31)
30
33 − 31
= 15
75 + 120 + 30 + 15 = 240 240 empleados tienen entre 22 y 32 años. b) 0.40 + 0.10 + 0.10 = 60% c) 0.15 + 0.25 + 0.40 + 0.10 + 0.10 = 100% 8.-) Las velocidades de los rayos x para tratamiento medico en un hospital local fueron registrados en milisegundos ( 1 1000 de un segundo) y son: 0.3 0.8 1.2 0.1 1.8
0.9 1.0 1.5 1.4 0.7
1.1 1.3 0.8 0.7 0.9
1.7 0.2 0.9 0.8 1.0
1.5 1.6 0.7 0.6 0.3
0.8 0.1 0.5 1.3 1.2
0.7 0.5 1.1 1.2 1.8
1.1 0.7 1.5 1.4 1.0
a) Construya una distribución de frecuencias usando intervalos de tamaño de 0.25 milisegundos. b) Construya un histograma y polígono de frecuencias a partir de los datos. c) Construya una ojiva de frecuencia relativa “mayor que” a partir de los datos. d) Trace la grafica de la función distribución acumulada.
Solución
1 .7 k k = 6.8 ≈ 7
0.25
R
=
= 1 .8 − 0 .1 = 1 .7
a.-) I.C.
[0.1 −0.35 [0.35 −0.6 [0.6- 0.85>
[0.85 −1.1 [1.1 −1.35 [1.35 −1.6 [1.6 −1.85 Total
fi 5 2 10 6 8 5 4 40
Fi 5 7 17 23 31 36 40
hi 0.125 0.05 0.25 0.15 0.2 0.125 0.1 1.00
|I* 1.00 0.875 0.825 0.575 0.425 0.225 0.1
b)
10 8 6 4 2 0 0.1
c.-)
1.00 0.90 0.80
0.35
0.6
0.85
1.1
1.35
1.6
1.85
0.70 0.60 0.50 0.40 0.30 0.20 0.10 0 0.1
0.35
0.6
0.85
1.1
1.35
1.6
1.85
d) 40 35 30 25 20 15 10 5 0
0.1
0.35
0.6
0.85
1.1
1.35
1.6 1.85
PREGUNTAS DEL LIBRO TOPICOS DE ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Y PROBABILIDAD P-1) Los siguientes datos representan el numero de interrupciones por días de trabajo debido a fallas mecánicas en una planta procesadora de alimentos: 3, 4, 1, 3, 6, 5, 6, 3, 2, 3.
Calcule la media, la mediana y encuentre el numero modal de interrupciones diarias. Solución A) la media n
x =
∑ x
i
=
3 + 4 + 1+ 3 + 6 + 5 + 6 + 3 + 2 + 3 10
i =1
=
36 10
= 3.6
El promedio de interrupciones por días de trabajo debidos a fallas mecánicas de una planta procesadora es de 3.6. 7 B) la mediana Ordenando datos: 1, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 5, 6, 6. , n = 10 l n med =
( ) 2
+ l n + (
2
2
1)
l l => med = 5 + 6 = 3 + 3 = 3 2
2
El 50% del numero de interrupciones por día de trabajo debido a fallas mecánicas en una planta procesadora de alimentos es mayor o igual que 3. C) la moda
Nº de interrup 1 2 3 4 5 6
f i 1 1 4 1 1 2
La moda es 3 porque es el valor que mas se repite
2.-) La media mínima para aprobar una asignatura es 11. Si un estudiante obtiene las notas 13.5, 14, 9.5, 12, 8.5, 8, 11.5, 10 en los trabajos mensuales de la asignatura en cuestión. ¿El estudiante fue aprobado?
Solución
= el numero datos que presenta el problema. n = el total de datos. ∑ xi = 13.5 + 14 + 9.5 + 12 + 8.5 + 8 + 11.5 + 10 = 10.875
xi
n
8
El estudiante tuvo un promedio de 10.875, por lo tanto fue desaprobado. 3.-) Diga usted que medidas de tendencia central serian más útiles en cada uno de los siguientes casos: a) El gerente de producción de una fábrica de vasos de vidrio quiere saber. ¿Cuál es el tamaño de vaso que debe fabricar en mayor cantidad? El tiene a la mano un buen número de datos de los tamaños de vasos ordenados por el cliente. b) El gerente de ventas de una compañía que produce muebles de lujo desea seleccionar regiones para establecer salas de exhibición. ¿En que medida del ingreso familiar por región estará interesado, en la media o la mediana? c) Un analista de la bolsa de valores esta interesado en describir el cambio diario en el precio en el mercado de una acción de Banco de Vivienda. Rara vez el precio cambia mas de un punto, pero hay ocasiones en que el precio cambia hasta cinco puntos ¿Qué medida debe usar el analista para describir el cambio de precio de la acción en cuestión, la media , la mediana o la moda de los cambios de precio en el mercado
Solución a) Este caso la medida de tendencia central más útil de acuerdo al tamaño de vaso que debe fabricar en mayor cantidad lo correcto es la moda. Porque nos dirá que tamaño de vasos se vende más (lo común). b) Con respecto a esta pregunta con relación a lo que nos menciona la medida del ingreso familiar por región estará más interesado en la mediana por que nos permitirá seleccionar de varias regiones c) La cual para el analista para poder describir el cambio de precio de la acción la más adecuada es la mediana por que nos mencionara los cambios que se efectúan de un punto a otro.
4.-) A continuación se da la distribución de los alquileres de 65 casas. Determine su media empleando el proceso abreviado. Alquiler [ 1.5 - 3.5 > [ 3.5 - 5.5 > [ 5.5 - 7.5 > [ 7.5 - 9.5 > [ 9.5 - 11.5 > miles de intis 12
N° de casas
18
20
10
5
Solución: N° de casas f i
Xi
Xi Fi
[ 1.5 - 3.5 >
12
2.5
30
[ 3.5 - 5.5 >
18
4.5
81
[ 5.5 - 7.5 >
20
6.5
130
[ 7.5 - 9.5 >
10
8.5
85
[ 9.5 - 11.5 >
5
10.5
52.5
Alquiler miles de intis
65
• DETERMINAR LA MEDIA: n
−
X =
∑ x f i
i
i =1
n −
X
=
378.5 65
=
5.8231
378.5
6.-) A continuación se dan las notas de 50 alumnos : 60 85 33 52 65 77 84 65 74 57 71 35 81 50 35 64 74 47 54 68 80 61 94 88 89 41 91 55 73 59 53 77 45 41 55 78 48 69 85 67 39 60 76 94 98 66 66 73 42 65 a) Se pide el numero de clases por la formula de Sturges y amplitud de clase. b) ¿Cuáles son los intervalos de clases? (inicie en 30) c) Trace el histograma y polígono de frecuencias d) Determine la media, la mediana y la moda e) Determine el tercer cuartil, el séptimo decil, y el 55vo percentil R = 98-31 = 67 K = 1 + 3.3* log (50) = 6.6 R C = K =10.15 ≈ 10 INTERVALOS fi xi [30-40> 4 35 [40-50> 6 45 [50-60> 8 55 [60-70> 12 65 [70-80> 9 75 [80-90> 7 85 [90-100> 4 95 total 50
Fi 4 10 18 30 39 46 50
hi 0.08 0.12 0.16 0.24 0.18 0.14 0.04
Hi 0.08 0.2 0.36 0.6 0.78 0.92 1
fi*xi 140 270 440 780 675 595 380
12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 30
40
50
k
La Media. =
∑ xi * fi i=n
n
=
3280 50
= 65.6
60
70
80
90
100
( 25 − 18) *10 La Mediana = 60 + ( 30 − 18) = 65.83 4
La moda = 60 + ( 7 )10 = 65.7 El 3er cuartil = 70 + El 7mo Decil =
( 37.5 − 30) *10
70 +
39 − 30 ( 35 − 30) *10
= 78.3
= 75.55 39 − 30 ( 27.5 − 18) *10
El 55mo percentil = 60 +
30 − 18
= 67.9
7) Los diámetros en cms de 50 cojinetes fabricados por una cierta compañía se muestra en la siguiente tabla. 0.529 0.537 0.524 0.534 0.540 0.541 0.537 0.538 0.530 0.543
0.535 0.540 0.531 0.545 0.532 0.538 0.530 0.539 0.536 0.540
0.529 0.536 0.539 0.527 0.532 0.532 0.535 0.536 0.542 0.544
0.535 0.535 0.536 0.536 0.528 0.527 0.535 0.533 0.534 0.526
0.546 0.535 0.535 0.535 0.542 0.525 0.532 0.534 0.528 0.537
a) Forme una tabla de frecuencia. b) Trace un histograma y un polígono de frecuencia acumulada . c) Obtenga la mediana y la moda.
Solución a) R = 0.546 - 0524 R = 0.022 K = 1 + 3.3log(50) K = 6.6 = 7 T = 0.004
[
I
−
0.524
0.528
0.526
0.528
0.532
0.530
0.532
0.536
0.534
0.536
0.540
0.538
0.540
0.544
0.542
0.544
0.548
0.546
b)
f
X i
C
5 7 16 12 7 3
F i
5 12 28 40 47 50
hi
0.10 0.14 0.32 0.24 0.14 0.06
H i
0.10 0.24 0.56 0.80 0.94 1.00
Poligono de
16
Frecuencia
12 8 4 5555555jklh 0.524
c)
0.528
0.532
La Mediana
Med
= 0.532 +
Med
=
25
0.54
La Moda
− 12 . 0.004 16
0.536
0.540
0.544
0.548
9 = 0.532 + . 0.004 13 Mo = 0.53 Mo
8.-) Dada la siguiente tabla de frecuencias. Intervalos [ 20,40 > [ 40,50 > [ 50,80 > [80,90 > [ 90,94 > TOTAL a).
Frecuencias absolutas 10 25 46 9 10 100
Determine la media y mediana de esta distribución.
Solución Intervalos
Frecuencias absolutas
f
x
i
x f
F
300 1125 2990 765 920 6,100
10 35 81 90 100
i
i
i
i
10 25 46 9 10 100
[ 20,40 > [ 40,50 > [ 50,80 > [ 80,90 > [ 90,94 > TOTAL
30 45 65 85 92
n
a).
Media =
x
=
∑x f i =1
i
N
i
6100 = 100 = 61
n− 2 Fk -1 + Mediana = Me = LMe C − Fk Fk -1 50 - 35 30 81 - 35 15 Me = 50 + 30 46 Me = 59.7826 Me = 50 +
9.-)
El jefe de control de calidad de una empresa a clasificado un lote de 80 artículos con una distribución de 6 clases y con un intervalo de 5 unidades. Si las frecuencias correspondientes son: 6, 12, 24, 18,13 y 7; siendo la cuarta marca de clase igual a 35 gr. Determinar la moda y mediana de la distribución. I.C. > > > > > >
[ [ [ [ [ [
fi
Xi
6 12 24 18 13 7
Fi 6 18 42 60 73 80
35
Solución 35 = y4
= y − y
35 = y4
= y + 3c + y + 4c
35 = 2 y0
3
2
4
;
C
0
5 unidades
0
2
2 y0
+ 7c 2
+ 35 =
70
35 I.C2 = 17.5 y[0 17.5 – 22.5> y0
=
=
[ 22.5 – 27.5> [ 27.5 – 32.5> [ 32.5 – 37.5> [ 37.5 – 42.5> [42.5 –Mediana 47.5> : F
i -1
Xi fi 20 6 25 12 30 24 35 18 40 n 80 13 <45 = = =40 7 2 2
n −F li + 2 c ⇒ fi Me =32.08 i -1
Fi 6 18 42 60 73 80
80 40 - 18 27.5 + x5 24
Moda max fi = 24 d1 =24 - 12 d2 = 24 - 18
d1 x c Mo = Li + d1 +d2 Mo
12 =27.5 + x5 8
Mo
=30.8
Xifi 120 300 720 630 520 315 2605
10.-) Una fabrica de botones tiene tres maquinas. La maquina B produce la mitad de los que produce la maquina A y la producción de la maquina C es inferior en un 20% de los que produce la maquina B. Los costos de producción por unidad son 20, 30, 50, intis para las maquinas A, B, C, respectivamente. Si se desea ganar el 20% por docena. Se pide calcular el precio medio de venta. 1. Sea :
= S / . 20 = costo unitario de A; X 2 = S / . 30 = costo unitario de B; X 3 = S / . 50 = costo unitario de C;
= precio de venta unitario de A; Y2 = precio de venta unitario de B; Y3 = precio de venta unitario de C;
X1
Y1
2. La relación entre las variables Yi y X i es :
= X i + 0.2X i Yi =1.2X i i = 1, 2, 3 entonces : Y1 =1.2X1 = 1.2( 20) = 24; Y2 = 1.2X 2 =1.2(30) = 36 Y3 = 1.2X 3 = 1.2(50) = 60 Yi
3. Sean :
= numero de articulos producidos por A; n 2 = numero de articulos producidos por B; n 3 = numero de articulos producidos por C; n1
y la relación entre los numeros n i es :
= 2n 2 n 3 = n 2 − 0.2n 2 = 0.8n 2 n1
4. Los resultados de 2 y 3 los llevamos a la sgte. tabla :
Precio De venta Yi
24 36
Numero de Art. Y n producidos ( n ) 2n 48 n n 36 n i
i
2
2
2
2 2
60 totales
0.8 n 3.8 n
48 n 132
2
2
2
n2
Luego el precio medio de venta es: _
X
=∑
Y i ni
n
=
132n2 3.8n2
El precio medio de venta es: S/.34.7 por unidad. 11. -) De diez familias con teléfono, con radio y con auto se obtuvo la siguiente información relativa al mes de febrero de 1985: Costo promedio del mantenimiento del auto 60,000 intis. Costo de teléfono 3 200; 3 500; 3 400; 2 900; 2 950; 3 150; 3 350; 3 425; 3 275; 3 150 intis respectivamente. Distribución de costos de mantenimiento de la radio. Costo en intis [0 - 1,000 > [1,000 - 2,000 > [2,000 - 4,000 > [4,000 - 7,000 > [7,000 - 10,000>
N° de familias 1 2 3 3 1
Se pide calcular el costo total promedio, por familia, en febrero de los tres servicios considerados.
Solución: IC [0 - 1,000 > [1,000 - 2,000 > [2,000 - 4,000 > [4,000 - 7,000 > [7,000 - 10,000> TOTAL
La Media: M=
fi 1 2 3 3 1 10
∑ fi. Xi n
Xi fiXi 500 500 1500 3000 3000 9000 5500 16500 8500 8500 37500
=
37500 = 3750 10
La media de radio: 3750 intis. La media de auto: 60,000 intis. La media de teléfono: 3 200 + 3 500 + 3 400 + 2 900 + 2 950 + 3 150 + 3 350 + 3 425 + 3 275 + 3 150=32300 32300 = 10 =3230 intis. 66980
3 750 + 60 000 + 3 230 = 66 980 = 10 = 6 698 De los tres servicios considerados el costo total promedio por familias, en febrero es 6 698 intis. 12.-) Los siguientes datos son los haberes básicos del mes de abril de 20 empleados de un ministerio (intis): 210 200 220 150 190 100 160 150 170 190 150 180 230 210 160 140 180 120 200 190 a) calcular la media, la mediana y la moda de los datos anteriores. b) Clasifique en 5 intervalos de clase de igual tamaño y calcule la media y la mediana de los datos así agrupados. c) Para el mes de mayo se decreta un aumento del 10% sobre los haberes básicos del mes de abril y un descuentos del 2% de los haberes básicos del mes de mayo pro fondos de reconstrucción. Se pide calcular la media y la mediana de los nuevos haberes.
Solución a) la media es :
x
= n1 + n2 ................ + n20
x
=
20
3,480 20
x
= 174
El promedio de los haberes básicos del mes de abril de 20 empleados es de 174 .
la mediana es:
lugar =
20
2 lugar = 10
med
=190
El 50% de los haberes básicos de 20 empleados es <= que 190. M 0
La moda es :
=150
y
M 0
=190
b) K=5 intervalos [100 ; 126 > [126 ; 152> [152 ; 178> [178 ; 204> [204 ; 230> Total
R = 130
113 139 165 191 217
2 4 3 7 4 20
La media: x
=
3.482 20
La mediana:
Fi
f i
xi
x
=174 .1
TIC = 26 xi f i
2 6 9 16 20
226 556 495 1.337 868 3.482
20
l n
=
l n
= 10
⇒
l n =
2
20
2
2
+1
l n = 11 2
191 + 191 2
= 191
10 − F k −1 c ⇒ Med = l med + F F − k k −1 Med = 181.714
10 − 9 26 16 − 9
Med = 178 +
c)
• aumento del 10% de los haberes básicos: 231 220 242 165 209 110 176 165 187 209 165 198 253 231 176 154 198 132 220 209
• descuento del 2% de los nuevos haberes básicos (mayo): 226 216 237 162 205 108 172 162 183 205 162 194 248 226 172 151 194 129 216 205
• hallando rango: R = 248-108
R =140
• hallando número de filas: k=5 intervalo [108 ; 136> [136 ; 164> [164 ; 192>
y
TIC = 28
xi
F i
f i
122 150 178
2 4 3
f i xi
2 6 9
244 600 534
[192 ; 220> [220 ; 248> Total
206 134
7 4 20
16 20
1442 936 3,756
• la media: x
=
3,756 20
x
=187 .8
• la mediana: n − F k −1 Med = l med + 2 F k − F k −1 c Med = 196.142
10 − 6 29 9 6 −
Med = 164 +
Dada la siguiente tabla: Intervalo de clase frecuencias relativa [0.20 – 0.40> [0.40 – 0.60> [0.60 – 0.80> [0.80 – 1.00>
0.10 h2 h3 0.10
13.-) Determinar : a) Los datos que faltan sabiendo que la media aritmética es 0.61 b) La mediana y la moda
solución : Usando la formula para la media (X) en términos de frecuencias relativas tenemos:
k
k
i =1
i =1
X = ∑ hiXi = 0.61 donde ∑ hi = 1 Completando la distribución de frecuencias se tiene : IC [0.20 – 0.40> [0.40 – 0.60> [0.60 – 0.80> [0.80 – 1.00> total
hi 0.10 h2 h3 0.10 1
marca de clase hi xi 0.30 0.50 0.70 0.90
0.03 0.5h2 0.7h3 0.09
Hi 0.10 0.85 0.90 1.00
Luego tenemos ∑ hi = 0.10 + h 2 + h3 + 0.10 = 1 entonces h 2 + h3 = 1- 0.10 -0.10 h2 + h3 = 1- 0.8….. (1) k
∑ hixi i =1
=
0.66 si y solo si 0.33 +0.50h 2 + 0.70h3 + 0.09 = 0.61
0.50h2 + 0.70h3 = 0.41….. (2) Resolviendo las ecuaciones (1)(2) tenemos h2 = 0.75 h3 = 0.05 b) La mediana y la moda Reemplazando los datos en la formula: X = L med
− H + H − H 1 2
k -1
k
Tenemos :
k -1
xc
− 0.10 0.2 X = 0.40 + 0.85 − 0.10 1 2
Med = 0.506 Moda: Ic [0.20 – 0.40> [0.40 – 0.60> [0.60 – 0.80> [0.80 – 1.00>
hi 0.10 0.75 0.05 0.10
Primer paso : el intervalo de clase mayor hi (0.75) en el segundo ([0.40 – 0.60>)
Segundo paso : aplicando la formula tenemos ∆ Lmo + ∆ + ∆ 1
u
X = Mo
1
2
x c
mo
∆ = 0.75 - 0.05 = 0.7 2
Mo =
∆ = 0.75 - 0.10 = 0.65 1
Cmo = 0.2
0.65 x 0.2 0.65 + 0.70
0.40 +
Mo = 0.496 15).-Se han medido mediantes pruebas adecuadas los coeficientes intelectuales de un grupo de alumnos, viniendo los resultados agrupados en 6 intervalos de amplitud variable. Estas amplitudes son :
C 1 = 12 ; C 2 = 12 ; C 3 = 4 ; C 4 = 4 ; C 5 = 12 ; C 6 = 20 . Las frecuencias acumuladas correspondiente a cada uno de los intervalos son: H1 = 0.15; H2 = 0.15 ; H3 = 0.55; H4 = 0.8 ; H5 = 0.95; H6 = 1 . Se pide: a).-Formar la tabla de distribución de frecuencias (absolutas, relativas, absolutas acumuladas , relativas acumuladas ), Sabiendo que el extremo inferior del primer intervalo es 70. b).-Dibujar el histograma y el polígono de frecuencias absolutas . Calcular la moda. c).-¿Entre que dos percentiles esta compredido un coeficiente intelectual de 98.4?.Encontrar el valor de ambos percentiles. Al mismo grupo de alumnos se les hace una prueba de rendimiento, los resultados nos vienen dados en el gráfico siguiente.
F
20 16 10 5 1 4
6
8
10
d).-Formar la tabla de distribución de frecuencias y calcular la media. e).-¿Qué medidas están mas dispersas, los coeficientes intelectuales o las puntuaciones deL rendimiento ?. I.C [ 70;82 > [ 82;94 > [ 94;98 > [ 98;102 > [102;114 > [114;134 > Total
Xi 75 88 96 100 108 181
Fi = (hi)(n)
f i 3 0 8 5 3 1 20 hi =H2-H1
8
Fi 3 3 11 16 19 20
hi 0.15 0 0.4 0.25 0.15 0.05
Hi 0.15 0.15 0.55 0.8 0.95 1
5
3 1 70
82 94 98
102 114 134
Moda = Lmo + AA+ A C 1
1
2
A1= 8-0 =8 A2= 8-5= 3 Moda =94 + 4 Moda =96. c) Percentiles. i * n − F k -1 100 Cpi Pi = L pi + − Fk Fk -1
11.5 − 11 = 98 + 5 4 -El coeficiente intelectual 98.4 esta entre los percentiles P 57 y P58.
P57..5
P57 = 98.32 P58 = 98.48.
d).I . C 0;4 4;6 6;8 8;10 10;o mas total
fi 1 4 5 6 4 20
Fi 1 5 10 16 20
Lugar: = 6 Lugar: L n2 +1 = 8 Media =
6+8 2
Media = 7. 16.-) La Universidad de lima tiene 100 empleados. Para los nombrados el haber básico máximo es de 4500 intis mensuales y el mínimo es de 600 intis mensuales. Hay un 5% de eventuales que trabajan ad-honoren o perciben compensaciones inferiores a 600 intis; 15 trabajadores nombrados perciben haberes inferiores a 2500 intis, el 85% de los trabajadores tienen haberes inferiores a 4000 intis con esta información calcular. a) cuartil 3 y percentil 20 b) ¿Cuántos trabajadores ganan más de 2000 intis mensuales c) La media, mediana, y moda de los haberes.
SOLUCIÓN: Demostrando mediante la Tabla:
INTERVALOS [0- 600> [600-2500> [2500-4000> [4000-4500> TOTAL
fi 5 15 65 15 100
Fi 5 20 85 100
a) Desarrollo:
Cuartil 3 Formula: Qi
in − F k −1 + 4 W F k − F k −1
= LQ i
Lugar =
in
= 75 4 Limite inferior = LQ i
= 2500 Frecuencia anterior = F k −1 = 20
= F k = 85 Deter min aciónde la amplitud del intervalo = W =1500 Limite anterior a la clase cuartilica
Reemplazando toda la información en la formula : Q3 Q3
75 − 20 1500 = 2500 + 85 − 20 = 3769.231
Percentil
Percentil :
= 600 + 20 - 5 1900 20 - 5 P20 = 2500 P20
b) Interpolando: 600
2000
15
2500
Xi 300 1550 3250 4250
Xifi 1500 23250 211250 63750 299750
2500 - 2000 I = 15 2500 - 600 más 65 + 15 500 15 + 65 + 15 I = 1900 I = 84
c) La media: n
Med = Med =
∑ xifi i −1
N 299750 100
= 2997.5
La mediana: n
− F k −1 2 Me = F k − F k −1 50 − 20 1500 85 − 20
Me = 2500
Me = 3192.31
Moda:
n
2
− F k −1
F k − F k −1 Mo = Li +
d ' w '
d
Mo = 2500 +
+ d '' 50(1500) 50 + 50
Mo = 3250
18.-)La fabrica A produce n artículos, la fabrica B produce el doble numero de artículos que la fabrica A y la fabrica C produce produce 20% mas que que la fabrica B. si los costos unitarios son respectivamente 100,120,140 soles , calcular el precio promedio de ventas, si los productores desean ganar el 30% de los correspondientes precios unitarios unitarios de costo. costo. SOLUCION: fabricas A B C
N° de artículos (fi) N 2n 2n+0.2(2n)
Total
Precio promedio
Precio (xi)
xi+30%
fi*xi
100 120 140
130 156 182
130n 240n 336n
5.4 n
=
878.8n
87 8.88n 878. 5.4n
= 162.7407407 promedio de venta es S/. 162.741 Rpta. Precio promedio
21.-) Siguiendo la única carretera que cruza cierta región se encuentran cinco pueblos P 1, P 2 , P 3, P 4 , P 5 en dicho orden y a las distancias siguientes 6Km. de P 1a P 2 , 3Km. de P 2 a P 3 , 8Km de P 3 a P 4 , 2Km de P 4 a P 5 .- Una sociedad tiene sus socios repartidos entre los cinco pueblos en la siguiente manera : el 10% vive en P 1 , el 20% vive en P 2 , el 30% en P 3 , y el 25% en P 4 , se trata de establec establecer, er, en algún algún punto a lo largo largo de la carretera, carretera, un campo campo de deportes al que concurrirán los los socios. La experiencia de la sociedad indica que el costo del viaje para cada uno de sus socios es proporcional al cuadrado de la distancia que tenga recorrer como la socieda sociedadd paga los viajes viajes tiene tiene en interé interéss en reduci reducirr dichos dichos gastos gastos a un mínimo en el caso de que acudan al campo todos sus socios. ¿Dónde debe situarse situarse el campo?
Solución: De acuerdo al siguiente esquema. P 1
P 3
P 2
P 4
P 5
carretera
6Km
3Km
8Km
2Km
Si a = el punto a lo largo de la carretera donde se construirá el campo deportivo entonces C i − a 2 = ( C i − a ) 2 = el cuadrado de al distancia a recorrer del pueblo al campo, i = 1,2,3,4,5. y
5
∑= ( C − a ) i
2
= la suma del cuadrado de las
i 1
distancias a recorrer por los socios.
Como el costo es proporcional al cuadrado de la distancia recorrida y se desea que su mínimo entonces debemos tener que: 5
∑= ( C − a ) i
2
= mínimo
i 1
− Esta Esta expresi expresión ón será será mínim mínimoo si a = C por tant tantoo el proble problema ma se reduce reduce a calcular la media ubicación de las ciudades C i , i = 1,2,3,4,5 para lo cual
consideremos como origen de coordenadas la ciudad ahora. P 1
0
P 2
P 3
P 4
P 5
6
9
17
19
C i
esto significa que
Llevamos los datos del problema a la tabla donde se efectúan las operaciones convenientes. C i C i hi 100hi% hi 0 10 0.1 0 6 20 0 1.20 9 30 0.2 2.70 17 25 0 4.15 19 15 0.3 2.85 0 0.2 5 0.1 5 100 1.0 11.00 0 Luego
− C =
5
∑C i hi =11 i =1
Por la formula (*) 0 −11
=11 Km P 1 6 −11 =5 Km P 2 Es decir 9 −11 =2 Km P 3 17 −11 =6 Km P 4 19 −11 =8 Km P 5
23.-)En un examen final dado por tres secciones de una clase de estadística de 91 alumnos la nota promedio de todos los estudiantes fue de 14.5. El promedio de la sección A fue de 15.5 y el de la sección B fue de 9.2. Los datos sobre el numero de alumnos de cada sección y el promedio de las notas de la sección C se perdieron, pero los profesores de la sección A y B
recuerdan que ellos tenían exactamente el mismo numero de estudiantes; mientras que el profesor de la sección C recuerda que tenia 5 estudiantes menos que el de la sección A. ¿Cuál es el promedio de los alumnos de la sección C ?
Solución: Tenemos :
∑ x91 f = 14.5 ∑ x f = 1319.5 i i
i i
luego : _
x →
x A f A
∑
32
= 15.5
∑ x3232 = 15.5 A
x A
= 15.5
Secciones A B C total
_
x →
∑ x 32 f
B B
= 15.5
∑ x3232 = 9.2 B
x B
= 9.2
f i
xi
xi f i
32 32 27 91
15.5 9.2
496 294.4 27 xc 1319.5
xc
24.7+ xc
24.-) Se tiene la siguiente información, sobre una distribución de frecuencias de 50 elementos de un material sometido a prueba de rotura (en kg/cm 2), la longitud de los intervalos de clase es constante e igual a 20.
Intervalos
Marca de clase Xi
Fi
hi
Fi
Xifi
23
300 400 350
10 17 110
1100
a.-) Determinar la media y la mediana b.-) Determinar el Nº de datos que se estima que pertenezca al intervalo
− x, x
Solución Primero llenamos la tabla: 1.-La marca de clase: 2XMin + C = 60 2XMin + 20 =60 XMin =20 Intervalos
Marca de clase Xi 30 50 70 90 110
[20 –40> [40 -60 > [60 –80 > [80 –100 > [100 –120> TOTAL
fi 10 8 5 17 10 50
hi
Fi
Xifi
0.2 0.16 0.1 0.34 0.2 1.00
10 18 23 40 50
300 400 350 1530 1100 3680
a.-) −
X =
fiXi
∑
n
= 3680 = 73.6 50
n − F xC i −1 2 = 80 + ( 25 − 23) x 20 = 82.35 b.-) La media es 73.6 está en el Me = li + fi
clase es 70 x−− x =73.6 −70 =3.6
17
intervalo [60-80> la marca de
El número de datos que pertenecen al intervalo
− x, x
es aproximadamente 4.
P.-25)Una empresa de butano quiere colocar en una red viaria, un deposito para abastecer a los pueblos que están en los kilómetros 10, 50, 80,140, 290 y 450, se pide: a) Suponiendo que todos los pueblos consumen la misma cantidad, ¿en qué kilómetro se debe colocar el deposito de forma que los gastos de abastecimiento sean mínimos? b) Si se sabe que los pueblos que están en los kilómetros 50 y 80 tienen el doble de población que los demás y, por tanto, consumen el doble, entonces ¿en qué lugar se debería colocar el deposito?
Solución a) Km. =
10 – 50 – 80 – 140 – 290 – 450
Ahora entre
n
2
y
n
2
+ 1 , encontramos la mediana.
6 6 y + 1 ⇒ entre 3 y 4 2 2
Me =
80 + 140 220 = = 110 2 2
Rpta = El deposito de butano debe ser colocado en el Km. 110, para que los gastos de abastecimiento sean mínimos. b) Km. =
10 – 50 – 50 - 80 - 80 – 140 – 290 – 450 n
n
Ahora entre 2 y 2 + 1 , encontramos la mediana. 8 2
y
8 2
+1
⇒ entre 4 y 5
Me =
80 + 80 2
=
160 2
= 80
Rpta = El deposito de butano debe ser colocado en el Km. 80
26.-) Una distribución de frecuencias consta de 5 intervalos de clase de igual longitud y de ella se conocen los siguientes datos: n =110 , f4 - f 5 = 10 , f4 – f 3 – f 1 = 0 f 1 = f 5, f 2 = f 4, limite inferior de la primera marca de clase es 12.5 y y 4 f 4 = 975 donde y4 es el limite superior de la cuarta marca de clase. a). b).
Dibujar histograma y polígono de frecuencias. Hallar el valor de la media y la mediana. Solución: f 4 - f 5 = 10 f2 - f 1 = 10 f 4 – f 3 – f 1 = 0 f 2 – f 3 – f 1 = 0
* f 3 = 10
f 1+ f 2 + f 3 + f 4 + f 5 = 110 2f 1 +10 +2 f 2 = 110 f 1 + f 2 = 50 - f 1 + f 2 = 10 * f 1 = 20 y *f 2 = 30 y4.f 4 = 975
*y4 = 32.5
y4 = y0 + 4c c = amplitud 32.5=12.5 + 4c *c = 5 I.C.
Xi
fi
hi
Hixi
[12.5 [17.5 [22.5 [27.5 [32.5
17.5> 22.5> 27.5> 32.5> 37.5>
15 20 25 30 35
20 30 10 30 20 110
0.18 0.27 0.1 0.27 0.18 1
2.7 5.4 2.5 8.1 6.3 25
a). 30 25 20 15 10 5 10
12.5
15
17.5
20
22.5
25
27.5
30
32.5
35
37.5
40
Histograma y Polígono de frecuencias. b).
Como la tabla es simétrica la entonces: Media = Mediana = 25.
28.-) Un vendedor viajante hizo 5 viajantes durantes los meses de junio y julio de 1986. El numero de días y el valor de las ventas de cada viaje son los siguientes :
viaje
numero de días (fi)
valor de venta (Xi.fi)
venta por días (Xi)
1
3
I /. 300
I /. 100
2
7
1,540
220
3
10
2,000
200
4
5
400
80
5
10
2,250
225
total
35
I /. 6,490
I /. 825
El gerentes de ventas critico la actuación del vendedor por sus ventas medias por día solo ascendió a I /. 165. Pero el vendedor arguyo que el gerente de ventas estaba equivocado, por que sus ventas medias por día fuera I /. 185, 43. ¿Cómo obtuvo las ventas medias por día? ¿de quien es el promedio correcto?.
SOLUCION: n
Ventas medias (Gerente de ventas): =
∑ Xi
i =1
Total de viajes
=
Ventas por dia Total de viajes
= 825 = 165
Ventas medias (vendedor) = n
∑ Xi. fi
i =1
Numero de dias
=
valor de las ventas 35
=
6, 490 35
=185,43
Rspta. La media del vendedor es la correcta, pues pondera por el numero de días que tomo En cada viaje.
5
29.-) La compañía Petro Perú maneja una pequeña refinería en Ica que vende gasolina al por mayor, a minoristas independientes. Las ventas de la semana pasada fueron las siguientes:
Galones de gasolina (en miles) [0 −10 [10 −20 [20 −30 [30 −40 [40 −50 [50 −60 [60 −70 [70 −80 TOTAL
Número de Operaciones 10 20 30 25 15 10 5 5 120
a) A partir de esta distribución de frecuencias, calcule el número total de galones vendidos la semana pasada. b) Determine la media de los galones vendidos en cada operación. c) ¿La moda se encuentra por debajo o por arriba de los 25,000 galones? ¿Cómo lo sabe? d) Calcule la mediana de las ventas.
Solución
I.C.
[0 −10 [10 −20 [20 −30 [30 −40 [40 −50 [50 −60 [60 −70
fi 10 20 30 25 15 10 5
Fi 10 30 60 85 100 110 115
Xi 5 15 25 35 45 55 65
fiXi 50 300 750 875 675 550 325
[70 −80 TOTAL
5 120
120
75
375 3900
a) El Número total de galones vendidos la semana pasada en 120 operaciones es de 79 galones de gasolina (en miles). k
b)
∑ fiXi
x
= i =1
n
=
3900 120
=32.5
≈ 33
33 galones de gasolina (en miles ) es el promedio de galones vendidos la semana pasada por la compañía Petro Perú en su refinería que tiene en Ica. c)
Mo
30 − 20 = 20 + .10 = 26.6 ≈ 27 10 + 5
Casi siempre los galones de gasolina (en miles) vendidos la semana pasada por la compañía Petro Perú es igual a 27 galones de gasolina.
d)
60 − 30 .10 = 30 60 − 30
Med = 20 +
El 50% de los galones de gasolina (en miles) vendidos la semana pasada por la compañía Petro Perú es menor igual a 30 galones de gasolina y el 50% restante es mayor a 30 galones de gasolina. 31.-) En la siguiente tabla se presenta la distribución de salario de 50 trabajadores de la universidad , del mes de Abril del presente año. HABERES (EN MILES DE INTIS. ) [ 60 , 100 > [ 100 , 150 > [ 150 , 210 > [ 210 , 250 > [ 250 , 260 >
Nº TRABAJADORES 5 10 20 8 7
Por incremento del costo de vida se planea 2 alternativas de aumento para el mes de Mayo.
La primera propuesta consiste en un aumento general de 35.000 intis mensuales. La segunda propuesta consiste en un aumento de 30% de los salarios de Abril, a los obreros que ganan menos de 210.000 intis y del 5% a los obreros que ganan mas de 210.000 intis y un aumento adicional de 20.000 intis para todos los trabajadores. a) ¿Cuál de las propuestas convendrían a los trabajadores ? b) Para los trabajadores que ganan menos de 210.000 intis ¿Qué propuesta convendría?
60 + 100 Marca de clase = 2 = 80
HABERES (EN MILES DE INTIS. ) [ 60 , 100 > [ 100 , 150 > [ 150 , 210 > [ 210 , 250 > [ 250 , 260 >
Solución :
xi
f i
Fi
hi
Hi
80 125 180 230 255 870
5 10 20 8 7 50
5 15 35 43 50
0.1 0.2 0.4 0.16 0.14 1.00
0.1 0.3 0.7 0.86 1.00
Con la primera propuesta la tabla seria :
HABERES (EN MILES DE INTIS. )
[ 60 , 100 > [ 100 , 150 > [ 150 , 210 > [ 210 , 250 > [ 250 , 260 > HABERES (EN MILES DE INTIS. )
[ 60 , 100 > [ 100 , 150 > [ 150 , 210 > [ 210 , 250 > [ 250 , 260 >
Nº de Salari Salari mayo = abril +35 trabaj o del o de adores mes mes Con la segunda propuesta la tabla seria : . de de Abril Mayo 5 80 115 10 125 160 20 180 215 8 230 265 7 255 290 Nº de Salari Salari trabaj o del o de adores mes mes . de de Abril Mayo 5 80 361 10 125 406 20 180 461 8 230 293.5 7 255 318.5
incremento :
= 261 5% = 43 .5 Mayo = abril + 20 +increm. 30 %
a) Los trabajadores les convendría la propuesta Nº 1 por que seria justo para todos. b) A los trabajadores que ganan menos de 210.000 intis, les convendrían la propuesta Nº 2 , por que ganarían mucho mas.
P-32) En una clase de la asignatura de análisis uno hay 40 estudiantes varones con una edad media de 20 año; las mujeres en promedio son 10% mas jóvenes ¿cuántas mujeres hay si la edad media de la clase es de 19 años? Solución
= 40 numero de var ones = ? numero de mujeres
na nb
+ nb xb na + nb
na xa
=
19
edad media xb
= 20 años = 18 años
na
n b
na
+ nb 2
20 18 19
= x = 19
na +b
x
edad media xa
=
reemplazando los datos en la formula:
40(20) + nb (18) 40 + nb
=>
19( 40 + nb )
= 800 + 18nb
760 + 19nb
= 800 + 18nb 19nb − 18nb = 800 − 760 nb = 40
el numero de mujeres es 40.
33.-) Considere un aeroplano que vuela al rededor de un cuadrado que tiene 100 millas de lado, recorriendo el primero de estos a 100m.p.h, el segundo a 200m.p.h, el tercero a 300m.p.h y el cuarto a 400m.p.h. ¿Cuál es la velocidad media del aeroplano en su vuelo alrededor del cuadrado? Solución v
=
d t 100 m
1) t 1
=
2) t 2
=
3) t 3
=
4) t 4
=
t = t 1
+ t 2 + t 3 + t 4 = 2.083h
100 m. p.h 100 m 200 m. p.h 100 m 300 m. p.h 100 m 400 m. p.h
=1h = 0. 5h = 0.333h = 0.25h
d 400 m la velocidad media es : v = t = 2.083h =192.031m. p.h
34.-)Suponga que una ciudad tuviese en el año 1980 una población de 50,000 personas y que este fuera de 490,000 en 1990. Estime la población en 1985. Solución:
Usando la formula para determinar la población media es Donde P es la población en el primer año P es la población en el segundo año
P x
= p0 P 1
0
1
P x
=
p0 P 1
P x
=
=156,525
(50000 x 490000)
Por lo tanto la población media es 156,525 35.- )Encontrar la media aritmética de los n primeros números naturales y probar que coincide con la media. SOLUCIÓN. Ordenando los n primeros números en forma ascendente: 1er) Cuando n es impar La mediana es: n +1 Med. = 2 − − − − − − − − − − − (1) La media es: n
X =
−
X =
1 + 2 + ............. + n n
=
∑ X
i
−
n ( n +1) 2
n
i =1
=
n
X 1
+ X 2 + ............... + X n n
−
X =
n +1 2
.................... ...........(2)
De (1) y (2) se concluye: Med. = 2do) Cuando n es par: Hallamos.- el lugar:
Ln 2
La mediana es: Med. =
n 2
n
= 2
+ n2 + 1 2
−
X
Ln +1 = 2
n
2
+
1
= n + 1 .........................(3) 2
La media es:
−
X =
n +1 2
.......... .................... .(2)
De (2) y (3) se concluye que
−
X
= Med.
Luego sea n par o impar se comprobó
−
X
= Med.
37.-)Durante 4 años una fabrica ha comprado azúcar a los precios de 1.60 , 1.80 , 2.10, 2.50, el kilo a) ¿cuál es precio promedio del kilo de azúcar si cada año compro 10000 kilo?
Xi 1.6 1.8 2.1 2.5
I II III IV
Yi 10000 10000 10000 10000 40000
XI*Yi 16000 18000 21000 25000 80000
El precio promedio será igual a la media: k
∑ Xi * Yi i =1
n
= 80000 = 2 10000
El promedio será 2 Si cada año compro 20000 kilos
I
Xi 1.6
Yi 20000
XI*Yi 32000
II III IV
1.8 2.1 2.5
20000 20000 20000 80000
36000 42000 50000 160000
k
∑ Xi * Yi i =1
n
= 160000 = 2 80000
El promedio será 2 38) Al estudiar el consumo diario de leche ,se verificó que en cierta región, 20% de las familias consumen menos de un litro , 50% de las familias consumen entre uno y dos litros , 20% consumen entre dos y tres litros y el restante consumen entre tres y cinco litros . Para la variable en estudio. a) Escriba las informaciones en la forma de una tabla de frecuencia. b) Construya el histograma. c) Calcule la media y la mediana. d) Cual es el valor del primer cuartil.
Solución: a) [
I
−
C
0 1 1 2 2 3 3 5 Total
hi
H i
0.20 0.50 0.20 0.10 1.00
0.20 0.70 0.90 1.00
b) El Histograma 0.50 0.40
H i %
20 70 90 100
X i
0.5 1.5 2.5 4
0.30 0.20 0.10 0 c)
1
2
3
5
La Media X X X
= x i hi = 0.1 + 0.75 + 0.5 + 0.4 =1.75
La Mediana Med
= 1 +
Med
=
0.5
− 0.2 .1 0.5
1.6
d) Primer Cuartil Q1 Q1
0.25 − 0.20 = 1 + 1 0 . 50 = 1.1
39.-) En una granja avícola se registra la siguiente tabla de distribución de pollos con respecto a sus pesos. Peso (en gramos) [ 960,980 > [ 980,1000 >
N° de pollos 60 160
[1000,1020 >
280
[1020,1040 > [1040,1060 > [1060,1080 >
260 160 80
Se desea agrupar los pollos en 4 categorías con relación al peso de modo que: a). b). c). d).
Los 20% menos pesados sean de la categoría D. Los 30% siguientes de la categoría C. Los 30% siguientes de la categoría B. Los 20% más pesados sean de la categoría A. ¿cuáles son los limites de peso entre la categoría A,B,C,D?
Solución * *
K=4 R = x máx − x mín = 1080 − 960 = 120
*
TIC=
R K
=
120 4
= 30
Peso (en gramos)
N° de pollos
f i
[ 960,990 > [ 990,1020 > [1020,1050 > [1050,1080 >
200
TOTAL
1000
300 300 200
Limites de las categorías: Categoría A = [1050,1080 > Categoría B = [1020,1050 > Categoría C = [ 990,1020 > Categoría D = [ 960,990 >
40.-) 100 elementos de un material determinado fueron sometidos a prueba de rotura por comprensión obteniéndose los resultados en Kg. /cm 2. Cuando se recurrió a la tabla de cálculos que el operador debió confeccionar se encontró sólo lo siguiente.
Intervalos [ [ [ [ [
Marca de Clase xi
, > , > , > , > , 72.5>
fi
ui = xi - x3 5
10
-54
ui
=
f i u i
14 -10
ui
=
ui
=
ui
=
ui
=
xi - x3
=
5
10 - 25
=
162 96 234
Solución ui
f i ui2
92
TOTALES
Si :
f i ui
5 - 54
⇒
15 - 25 5 25 - 25 5 40 - 25 5 60 - 25 5
=
- 15
= -3
5 f i =18
=
- 10
=
0
=
5
15
=7
5
=-2
=3
590
Fi
I.C.
xi
ui = xi – x3 5
[ 7.5 – 12.5> 10 [ 12.5 – 17.5> 15 [ 17.5 – 32.5> 25 [ 32.5 – 47.5> [ 47.5 – 72.5>
40 60
f i ui
f i ui2
f i
Fi
xi f i
-3
-54
162
18
18
180
-2
-48
96
24
42
360
0 3 7
-102/ 92 78 14
0 234 98
30 26 2
72 98 100
750 1040 120
-10
590
100
2450
La Moda
Max fi
=
30
d =30 - 26 = 4 = 30 - 24 = 6 d Mo = Li + x Tic d +d 6 17.5 + x 15 10 Mo = 26.5
d1
2
1
1
Me
=
Fi -1
<=
n 2
2
100
=
2
= 10
n - Fi - 1 Me = Li + 2 x Tic fi 50 - 42 x 15 ≈ 21.49999 ≈ 17.5 + 30 Fi
<=
88n 100
=
88
88 - 72 x 26 88 percentil =41.7 32.5 +
21.5
15
41. Al final del año pasado, los salarios por hora de las dos clases de empleados de producción de determinada campaña fueron los siguientes: Ingresos por hora
Clase A Clase B
% [2.30, 2.50> [2.50, 2.70> [2.70, 2.90> [2.90, 3.10> [3.10, 3.30> [3.30, 3.50> [3.50, 3.70> [3.70, 3.80> [3.90, 4.10> Todos los empleados Número de empleados
7.7 15.8 43.2 21.8 10.0 1.0 0.5 100 830
% 9.7 14.2 23.7 52.4
100 2075
a) Para cada clase de empleados calcule la tarifa promedio y la mediana por hora.
Solución: Distribución de frecuencia de la clase A Ingresos por hora Clase A (fi) [2.70, 2.90> 64 [2.90, 3.10> 131 [3.10, 3.30> 359 [3.30, 3.50> 181 [3.50, 3.70> 83 [3.70, 3.80> 8 [3.90, 4.10> 4
Total
830
Xi fiXi
Fi
2. 8 3 3. 2 3. 4 3. 6 3. 8 4
64 195 554 735 818 826 830
179.2 393 1148. 8 615.4 298.8 30.4 16
2681. 6
Media:
_
X=
∑ f X i
i
n
=
2681.6 830
= 3.23
Interpretación: el promedio de los salarios por hora de la clase A es de: S/. 3.23
Mediana: Me = Li +
(
n 2
− F i −1 ) fi
0 .2 = 3 .1 +
(415 −195) 359
0.2 = 3.22
Interpretación: el 50% de los salarios por hora es menor o igual a S/. 3.22 y el resto mas de S/. 3.22 Distribución frecuencia de la clase B: Ingresos por hora
∑ f X
[2.30, 2.50> [2.50, 2.70> [2.70, 2.90> [2.90, 3.10>
Clase B (fi) 201 295 492 1087
Total
2075
5888
Xi FiXi 2. 4 2. 6 2. 8 3
Fi
482.4 201 767 496 1377. 988 6 2075 3261 5888
Mediana: Me = Li +
(
n 2
− F i −1 ) fi
(415 −195)
0 .2 = 3 .1 +
359
0.2 = 3.22
Interpretación: el 50% de los salarios por hora es menor o igual a S/. 3.22 y el resto mas de S/. 3.22 Distribución frecuencia de la clase B: Ingresos por hora
Media:
_
X=
∑ f X i
i
n
[2.30, 2.50> [2.50, 2.70> [2.70, 2.90> [2.90, 3.10>
Clase B (fi) 201 295 492 1087
Total
2075
Xi FiXi 2. 4 2. 6 2. 8 3
Fi
482.4 201 767 496 1377. 988 6 2075 3261 5888
= 5888 = 2.84 2075
Interpretación: el promedio de los salarios por hora de la clase B es de: S/. 2.84 Mediana: Me = Li +
(
n 2
− F i −1 ) fi
0.2
= 2 .9 +
(1037.5 − 988) 1087
0.2
= 2.91
Interpretación: el 50% de los salarios por hora es menor o igual a S/. 2.91 y el resto mas de S/. 2.91 42. Se ha construido una planta de tratamiento de agua para uso doméstico en una ciudad de capacidad de 4 500 000 m3 por día. Casi siempre es necesario suspender el riesgo de jardines públicos cuando la demanda excede al abastecimiento. Este hace pensar que hay fugas en las tuberías. La demanda medida por día laborable (en millones de m3), en los meses de abril, mayo y junio de 1986 permitió construir la siguiente tabla. Intervalos [1 800 000 - 2 340 000> [2 340 000 - 2 880 000> [2 880 000 - 3 420 000> [3 420 000 - 3 960 000> [3 960 000 - 4 500 000> [4 500 000 - 5 040 000>
fi 2 7 10 26 16 5
Se pide: a) Hallar el promedio de la demanda diaria de agua. R. 3 657 272.7
Interpretación: el 50% de los salarios por hora es menor o igual a S/. 2.91 y el resto mas de S/. 2.91 42. Se ha construido una planta de tratamiento de agua para uso doméstico en una ciudad de capacidad de 4 500 000 m3 por día. Casi siempre es necesario suspender el riesgo de jardines públicos cuando la demanda excede al abastecimiento. Este hace pensar que hay fugas en las tuberías. La demanda medida por día laborable (en millones de m3), en los meses de abril, mayo y junio de 1986 permitió construir la siguiente tabla. Intervalos [1 800 000 - 2 340 000> [2 340 000 - 2 880 000> [2 880 000 - 3 420 000> [3 420 000 - 3 960 000> [3 960 000 - 4 500 000> [4 500 000 - 5 040 000>
fi 2 7 10 26 16 5
Se pide: a) Hallar el promedio de la demanda diaria de agua. R. 3 657 272.7 b) Hallar la mediana. R. 3 710 769.23 c) ¿ Qué porcentaje de la demanda excede la capacidad de la planta? R. 7.5757% Solución
Intervalos [1 800 000 - 2 340 000> [2 340 000 - 2 880 000> [2 880 000 - 3 420 000> [3 420 000 - 3 960 000> [3 960 000 - 4 500 000> [4 500 000 - 5 040 000> Total
a) La media es:
fi 2 7 10 26 16 5 66
241380000 66
Xi fi * Xi 2,070,000.00 4,140,000.00 2,610,000.00 18,270,000.00 3,150,000.00 31,500,000.00 3,690,000.00 95,940,000.00 4,230,000.00 67,680,000.00 4,770,000.00 23,850,000.00 241,380,000.00
= 3 657 272.7
n
b) La mediana es: F − <= 2 , i 1
Fi 2 9 49 45 61 66
Li
n − F i −1 * C + 2 fi
C= 540 66 −19 * 540 = 3710769.23 3420000 + 2 26
hi 0.0303 0.1060 0.1515 0.3939 0.2424 0.0757
Intervalos [1 800 000 - 2 340 000> [2 340 000 - 2 880 000> [2 880 000 - 3 420 000> [3 420 000 - 3 960 000> [3 960 000 - 4 500 000> [4 500 000 - 5 040 000> Total
a) La media es:
fi 2 7 10 26 16 5 66
241380000 66
Fi 2 9 49 45 61 66
Xi fi * Xi 2,070,000.00 4,140,000.00 2,610,000.00 18,270,000.00 3,150,000.00 31,500,000.00 3,690,000.00 95,940,000.00 4,230,000.00 67,680,000.00 4,770,000.00 23,850,000.00 241,380,000.00
hi 0.0303 0.1060 0.1515 0.3939 0.2424 0.0757
= 3 657 272.7
n
b) La mediana es: F − <= 2 , i 1
Li
n − F i −1 * C + 2 fi
C= 540 66 −19 * 540 = 3710769.23 3420000 + 2 26
c) 0.0757 * 100 = 7.57% El porcentaje de la demanda excedida en la capacidad de la planta es de 7.57% 43) De una muestra de tamaño 3, se sabe que:
2
3
a)
∑ i =1
x1
= 183
b)la media aritmética es 7
c)la mediana es 6
d ) x1
< x2 < x3
SOLUCIÖN
3
∑ x
2 1
a)
= ( x1 ) 2 + ( x2 ) 2 + ( x3 ) 2
i =1
⇒ ( x1 ) 2 + ( x2 ) 2 + ( x3 ) 2 = 183........................(1) 3
∑ x
i
b)
i =1
3 x1 + x2 c)
=
xi
+ x2 + x3
⇒
3 + x3 = 21................................( 2)
xi
+ x2 + x3 3
=7
2
3
a)
∑ i =1
= 183
x1
b)la media aritmética es 7
c)la mediana es 6
d ) x1
< x2 < x3
SOLUCIÖN
3
∑ x
2 1
a)
= ( x1 ) 2 + ( x2 ) 2 + ( x3 ) 2
i =1
⇒ ( x1 ) 2 + ( x2 ) 2 + ( x3 ) 2 = 183........................(1) 3
∑ x
i
b)
i =1
3 x1 + x2
=
xi
+ x2 + x3
⇒
xi
+ x2 + x3
3 + x3 = 21................................( 2)
3
c)
Muestras
f i
F 1
x1
1 1 1
1 2 3
x2 x3
lugar x
3 +1 2
=2
=6
⇒ x2 = 6
• trabajando en 1:
( x1 ) 2 + ( 6) 2 +( x3 ) 3 =183 ( x1 ) 2 + ( x3 ) 2 = 147 .......... .......... .......( 3)
• trabajando en 2: + x2 + x3 =21. + x3 =15 x1 =(15 − x3 )...................................( 4 ) x1 x1
trabajando en 3 y 4:
=7
lugar x
3 +1 2
=2
=6
⇒ x2 = 6
• trabajando en 1:
( x1 ) 2 + ( 6) 2 +( x3 ) 3 =183 ( x1 ) 2 + ( x3 ) 2 = 147 .......... .......... .......( 3)
• trabajando en 2: + x2 + x3 =21. + x3 =15 x1 =(15 − x3 )...................................( 4 ) x1 x1
• trabajando en 3 y 4:
( x1 ) 2 + ( x3 ) 2 = 147 (15 − x3 ) 2 + ( x3 )2 = 147
x3
− 30 x3 + 78 = 0 2 = b ± b − 4ac
x3
= 30 ±
x3
=
x3
= 11.65
2( x3 )
2
2a
900 − 624
4 30 ±16.61
x3
4 x3
x1
x3
4
= 30 −16.61
= 3.34
⇒ x1 + x3 = 15 como
= 30 +16.61
x1
= 3.35
< x2 < x3
⇒ x1 = 3.35
x2
=6
y
x3
= 11.65
4
( x1 ) 2 + ( x3 ) 2 = 147 (15 − x3 ) 2 + ( x3 )2 = 147
x3
− 30 x3 + 78 = 0 2 = b ± b − 4ac
x3
= 30 ±
x3
=
x3
= 11.65
2( x3 )
2
2a
900 − 624
4 30 ±16.61
x3
4 x3
x1
x3
4
= 30 −16.61 4
= 3.34
⇒ x1 + x3 = 15 como
= 30 +16.61
x1
= 3.35
< x2 < x3
⇒ x1 = 3.35
x2
=6
y
x3
= 11.65
46).-La media aritmética entre dos números es16 y su media geométrica 4.calcular la media armónica. Solución. H < G < X Razón de la med y la G es 12. razón = 3. G
46).-La media aritmética entre dos números es16 y su media geométrica 4.calcular la media armónica. Solución. H < G < X Razón de la med y la G es 12. razón = 3. G H = G – 3 =1. 47.-) Los salarios medios mensuales, en cientos diferentes sectores de la industria, son dados en la tabla sgte. Determinar el salario medio de toda la industria. Sector Porcentaje del empleo industrial
A 30
B 25
C 20
D 20
E 5
Salario medio mensual en el sector
320
350
320
300
280
SOLUCIÓN:
Sector A B C D E TOTAL
xi 320 350 320 300 280
fi 30 25 20 20 5 100
xifi 9600 8750 6400 6000 1400
n
X=
∑ xifi i =i
N 32150 = 321.50 X= 100 El salario medio de toda la industria es 321.50
48.-) Si se tiene una distribución de frecuencia simétrica con 6 intervalos de amplitud constante y los
Salario medio mensual en el sector
320
350
320
300
280
SOLUCIÓN:
Sector A B C D E TOTAL
xi 320 350 320 300 280
fi 30 25 20 20 5 100
xifi 9600 8750 6400 6000 1400
n
X=
∑ xifi i =i
N 32150 = 321.50 X= 100 El salario medio de toda la industria es 321.50
48.-) Si se tiene una distribución de frecuencia simétrica con 6 intervalos de amplitud constante y los siguientes datos n = 150 limite superior al quinto intervalo de clase = 60 f 3 = 30 Q1 = 43.5 f 2 =f 1 +5. Calcule el sexto Decil.
Solución m=6 f 1 = f 6 n = 150
,
f 2 = f 5 , n1 +n2 + n3 =75
f 3 = f 4 = 30
n1 + n1 +5 +30 =75 2 n1 =75 – 35 =40 → n1 = 20 n2 = n1 +5 =25
Intervalo
fi
Fi
I0 – I1
20
20
I1 – I2
25
45
I2 – I3
30
75
I3 – I4
30
105
I4 – 60
25
130
60 – I6
20
150
n1 + n1 +5 +30 =75 2 n1 =75 – 35 =40 → n1 = 20 n2 = n1 +5 =25
Intervalo
fi
Fi
I0 – I1
20
20
I1 – I2
25
45
I2 – I3
30
75
I3 – I4
30
105
I4 – 60
25
130
60 – I6
20
150
Total
150
Calculando la amplitud : Q1 = 43.5
n / 4 = 150 / 4 = 37.5 n / 4 = 32.5 I1 – I2 contiene a Q1 n / 4 = 37.5 > f 1 = 20 Q1 = I1 + C
n − Fi 4 37 .5 − 20 fi = I +C 25
I5 = I0 +5C = I0 +C +4C = I1 +4C= 60 I1 = 60 – 4C 17 .5
43.5 = 60 - 4C + C 25 C=5 Intervalo [35 – 40> [40 45
fi 20 25
FI 20 45
n / 4 = 150 / 4 = 37.5 n / 4 = 32.5 I1 – I2 contiene a Q1 n / 4 = 37.5 > f 1 = 20 Q1 = I1 + C
n − Fi 4 37 .5 − 20 fi = I +C 25
I5 = I0 +5C = I0 +C +4C = I1 +4C= 60 I1 = 60 – 4C 17 .5
43.5 = 60 - 4C + C 25 C=5 Intervalo [35 – 40> [40 – 45> [45 – 50> [50 – 55> [55 – 60> [60 – 65> Total
fi 20 25 30 30 25 20 150
FI 20 45 75 105 130 150
Calculando el Sexto Decil
6n / 10 = 6(150) / 10 = 90 I3 – I4 = 50 – 55 6D =50 + [
90 − 75 30
]5 = 52.5
6D = 52.5 49.-) Una encuesta de los salarios iniciales tipicos ofrecidos a personas con grados de bachillerato por 191 empresas, en 1986, mostro los resultados siguientes :
Salario inicial Contabilidad mensual (soles) [ 601, 640 ] [ 641, 680 ] [ 681, 720 ] [ 721, 760 ] [ 761, 800 ] [ 801 840 ]
0 3 5 16 34 20
Mercadotecnia y ventas 2 11 12 26 12 1
Administración general 3 14 17 34 21 3
Administración Finanzas y de la produccion economia 0 3 5 10 9 5
0 0 2 7 9 9
6n / 10 = 6(150) / 10 = 90 I3 – I4 = 50 – 55 6D =50 + [
90 − 75 30
]5 = 52.5
6D = 52.5 49.-) Una encuesta de los salarios iniciales tipicos ofrecidos a personas con grados de bachillerato por 191 empresas, en 1986, mostro los resultados siguientes :
Salario inicial Contabilidad mensual (soles) [ 601, 640 ] [ 641, 680 ] [ 681, 720 ] [ 721, 760 ] [ 761, 800 ] [ 801, 840 ] [ 841, 880 ] [ 881, 920 ] [ 921, 960 ] [ 961, 1000 ] Numero de empresas reportadas
a) b) c) d) e)
Mercadotecnia y ventas
Administración general
Administración Finanzas y de la produccion economia
0 3 5 16 34 20 13 5 1 2
2 11 12 26 12 1 4 2 0 1
3 14 17 34 21 3 1 0 1 0
0 3 5 10 9 5 1 2 0 0
0 0 2 7 9 9 2 0 0 1
99
71
94
36
30
Obtenga el salario promedio inicial ofrecido a egresados de carrera profesionales. Obtenga la mediana de los salarios iniciales del campo que se haya analizado. Indique el intervalo modal de ese mismo campo. Explique la diferencia de significado que hay entre estos dos campos. Si se hubieran aplicado los últimos cuatro intervalos de clase en una sola clase, designada, I/ 840 o mas, ¿que medida o medidas se hubiera modificado, la media o moda?, ¿Por qué?.
a). Contabilidad:
promedio = (78869.5/ 99) = 796.67
Mercadotecnia y ventas:
promedio = (52575.5/ 71) = 740.5
Administración general:
promedio = (68847/ 94) = 732.41
Administración de la producción:
promedio = (27498/ 36)
Finanzas y economía:
promedio = (23695/ 30)
= 763.83 = 789.83
El salario promedio inicial ofrecido a egresados de carreras profesionales es:
a) b) c) d) e)
Obtenga el salario promedio inicial ofrecido a egresados de carrera profesionales. Obtenga la mediana de los salarios iniciales del campo que se haya analizado. Indique el intervalo modal de ese mismo campo. Explique la diferencia de significado que hay entre estos dos campos. Si se hubieran aplicado los últimos cuatro intervalos de clase en una sola clase, designada, I/ 840 o mas, ¿que medida o medidas se hubiera modificado, la media o moda?, ¿Por qué?.
a). Contabilidad:
promedio = (78869.5/ 99) = 796.67
Mercadotecnia y ventas:
promedio = (52575.5/ 71) = 740.5
Administración general:
promedio = (68847/ 94) = 732.41
Administración de la producción:
promedio = (27498/ 36) promedio = (23695/ 30)
Finanzas y economía:
= 763.83 = 789.83
El salario promedio inicial ofrecido a egresados de carreras profesionales es: = =
78869.5 +52575.5+68847 +27498 + 23695 330 762.07
Rpt. El salario promedio es S/. 762.07 b).
Salario inicial mensual (soles) [ 601, 640 ] [ 641, 680 ] [ 681, 720 ] [ 721, 760 ] [ 761, 800 ] [ 801, 840 ] [ 841, 880 ] [ 881, 920 ]
xi
620. 5 660. 5 700. 5 740. 5 780. 5 820. 5 860. 5 900. 5
Contabilidad
Mercadotecnia y ventas fi xi.fi
Administración general Fi xi.fi
Administración de la produccion fi xi.fi
Finanzas y economia fi
xi.fi
fi
xi.fi
0
0
2
1241
3
1861.5
0
0
0
0
3
1981.5
11
7265.5
14
9247
3
1981.5
0
0
5
3502.5
12
8406
17
11908.5
5
3502.5
2
1401
16
11848
26
19253
34
25177
10
7405
7
5183.5
34
26537
12
9366
21
16390.5
9
7024.5
9
7024.5
20
16410
1
820.5
3
2461.5
5
4923
9
7384.5
13
11186.5
4
3442
1
860.5
1
860.5
2
1721
5
4502.5
2
1801
0
0
2
1801
0
0
Salario inicial mensual (soles) [ 601, 640 ]
xi
620. 5 [ 641, 680 ] 660. 5 [ 681, 720 ] 700. 5 [ 721, 760 ] 740. 5 [ 761, 800 ] 780. 5 [ 801, 840 ] 820. 5 [ 841, 880 ] 860. 5 [ 881, 920 ] 900. 5 [ 921, 960 ] 940. 5 [ 961, 1000 ] 980. 5 Numero de empresas reportadas
Contabilidad
Mercadotecnia y ventas fi xi.fi
Administración general Fi xi.fi
Administración de la produccion fi xi.fi
Finanzas y economia fi
xi.fi
fi
xi.fi
0
0
2
1241
3
1861.5
0
0
0
0
3
1981.5
11
7265.5
14
9247
3
1981.5
0
0
5
3502.5
12
8406
17
11908.5
5
3502.5
2
1401
16
11848
26
19253
34
25177
10
7405
7
5183.5
34
26537
12
9366
21
16390.5
9
7024.5
9
7024.5
20
16410
1
820.5
3
2461.5
5
4923
9
7384.5
13
11186.5
4
3442
1
860.5
1
860.5
2
1721
5
4502.5
2
1801
0
0
2
1801
0
0
G1
940.5
0
0
1
940.5
0
0
0
0
2
1961
1
980.5
0
0
0
0
1
980.5
99
78869.5
71
52575.5
94
68847
36
27498
30
23695
MEDIANA Mediana:
=
Med = L med +
( (n/2 – Fk-1) / (Fk - Fk-1) ) c
Contabilidad = 99/ 2 = 49.5 = 49.5
MEDIANA Mediana:
=
Med = L med +
( (n/2 – Fk-1) / (Fk - Fk-1) ) c
Contabilidad = 99/ 2 = 49.5 = 49.5 24 601
641
681
721
761
med x
58
Med =
=
761+ (49.5 – 24 ) / (58 – 24) 39
790.25
El 50% de los profesionales que trabajaron en. Área de contabilidad sus sueldos era >= ó =< que 790.25 C). El intervalo modal del are de contabilidad es: Mo = Lmo + (
1
/
1
+
2
) Cmo
= 761+ (18/18+14)39 = 782.9375 D). L a diferencia que hay entre la mediana y moda del área de contabilidad son:
800
-
E).
la mediana indica el valor medio de sueldos de un profesional o sea el 50%. La moda indica que cantidad de sueldo gana un profesionales que tienen mayor frecuencia relativa la cual esta ligada por el mayor numero de empresas en este caso el área de contabilidad La medida que se hubiese modificado hubiera sido la media porque no pudiera sacar La marca de clase de los sueldos suprimidos o agrupados para poder multiplicar con la frecuencia absoluta la cual es indispensable para sacar la media En ese caso se trabajaría con referencias de las ganancias desueldo máximo
51.-)Se tiene una población dividida en dos grupos de diferentes tamaños, el primer grupo tiene un ingreso medio de 8000 intis y el segundo grupo tiene un ingreso medio de 4000 intis. Si el ingreso medio total es de 5200 intis ¿ Que porcentaje de la población esta en cada grupo? Sol Xi X1 X2
f i f 1 f 2
hi h1 h2
Por formula tenemos : h1+h2=1 ⇒ h2=1- h1 X1 h1+ X2 h2=5200 1200
8000 h1+ 4000(1- h1)=5200 ⇒ 8000 h1+4000-4000 h1=5200 *h1= 4000 =0.3=30%…(Primer grupo) *h2=1- h1, pero h1=0.3 h2=1- 0.3=0.7= 70%...(segundo grupo)
