Ecuaciones Diferenciales
Fase 5: Discusión Estudio de series y funciones especiales
Elaborado Por: Eliana Marcela Villegas. Código: 1.113.524.339 Daniela Ibáñez Espinosa. Código: 1.112.106.163 Lizeth Calvo. Código: 1.113.514.213 Oscar Iván Suarez. Código: 1.113.627.639 Yeinson Ramírez Mosquera. Código: 1.107.0565.29
Tutor: Javier Andrés Moreno
Grupo: 100412_192
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA -UNAD- Noviembre-2017
INTRODUCCIÓN
El curso de Ecuaciones Diferenciales ha permitido obtener un amplio conocimiento y destreza de cada uno de los temas tratados en las unidades 1, 2 y 3, logrando así desarrollar cada una de las actividades propuestas. En la unidad 3 se estudiaron temas de gran relevancia como series matemáticas, series de potencias, funciones especiales, y se presentaron varios problemas de aplicación para lograr una mejor asimilación de la teoría. Después los temas vistos se colocan en práctica para lograr así el desarrollo idóneo de la presente actividad. Al terminar de estudiar todo el material del curso se observa que realmente las ecuaciones diferenciales son muy importantes en diferentes profesiones o disciplinas como en la física, la electricidad, la economía, la ingeniería, la medicina, entre otros. Por lo tanto el hombre está en búsqueda constante constante de la comprensión de de los fenómenos físicos físicos que ocurren, y se emplean una serie de modelos matemáticos para lograr su entendimiento, y la gran cantidad de veces se llega a ecuaciones que tienen derivadas de funciones desconocidas y deben encontrarse, por lo que es muy importante contar con un amplio conocimiento y destreza de las Ecuaciones Diferenciales. Gracias a los temas vistos se logra dar desarrollo a la actividad colaborativa 5, colocando a prueba los conocimientos adquiridos a través de una serie de ejercicios y planteamientos de problemas correspondientes a lo visto en la unidad 3
OBJETIVOS Objetivo general Por medio del trabajo colaborativo 3 se pretende que cada estudiante aporte sus conocimientos a la consolidación del trabajo.
Objetivos específicos
Que cada estudiante de Ecuaciones Diferenciales realice los ejercicios del trabajo mediante sus conocimientos adquiridos. Hacer socializaciones de los ejercicios para que entre todos los integrantes del grupo puedan compartir sus métodos métodos de aprendizajes efectivamente. Que cada estudiante tenga los conocimientos ben en claro de los temas tratados en la unidad 3del módulo de Ecuaciones Diferenciales.
TABLA 1. PLAN DE TRABAJO – GRUPO: GRUPO: 192
Datos Estudiante
Preguntas Rol dentro seleccionada s a del Trabajo desarrollar actividad Colaborativo individual
Preguntas seleccionada s para revisar o realimentar
1113524339 Eliana marcela Villegas Uzuriaga.
Alertas
Pregunta 8 y 5
Pregunta 2 y 6
Utilero
Pregunta 2 y 9
Pregunta 7 y 8
Evaluador
Pregunta 6 y 1
Pregunta 4 y 9
CEAD Palmira-valle Oscar Suarez. Código: 1113627639 CEAD: Palmira Yeinson Ramírez Mosquera. Código: 1107056529 CEAD Palmira. Daniela Ibáñez Espinosa Código: 1.112.106.163 1.112.106.163
Preguntas 1 y 3 Entregas
Preguntas 3 y 7
FASE INDIVIDUAL.
>0
Teniendo en cuenta la siguiente información conteste las preguntas 1, 2 y 3. Toda serie de potencias tiene un radio de convergencia . Si , entonces la serie de potencias
| | < 0 | | < | | >
=
| | > ∞ → << → > > ó < 1 ++ 2 1 = | 3| < 1 | 2| < 1 <<4 1<<3 | 2| < 1 1<<3
Converge para y diverge para . Si la serie converge converge sólo en su centro entonces . Si la serie converge para todo entonces se escribe . Es importante recordar que la desigualdad de un valor absoluto es igual a:
Una serie de potencias podría converger o no en los puntos extremos intervalo.
y
de este
1. Teniendo en cuenta lo anterior, ¿para qué valores de converge la serie de potencias?
A. B. C. D.
La serie converge para lo que equivale a 2 La serie converge absolutamente para lo que equivale a No se puede determinar determinar la convergencia convergencia La serie converge absolutamente para lo que equivale a -
Desarrollo.
1+ 2 =
1 ≥ ≥ ≠ 0 ∞ < 1 , > 1 ,
1 , + 1 11++11+++12 +2 + + + + + 1 1 12 lim 11++2 → 11++: + ++ 1 + 1 + + + 1 1 12 lim 11++2 → 1111++++ 1 + 112 lim 2 → ++ 2 2 212 lim → 2 →lim 1 l→im 1 1 2 ∗ 1 2 < < , < < 2<1 22<12
2>1 <3 22>12 >3
1 < x < 3,Interervalvalo dede convconverergencgencia
La respuesta es B.
2. El radio de convergencia de la serie de potencias es:
A. B. C. D.
1 2 =
01 32
Desarrollo: Existe un número ρ, llamado radio de convergencia, tal que la serie converge para |x − x0| < ρ y diverge para |x − x 0| > ρ. Si la serie converge solo para x = x 0 decimos que ρ = 0 y si converge para todo x decimos que ρ es infinito.
La respuesta es la B.
3. ¿Cuál es el conjunto de convergencia absoluta y el radio de convergencia de la siguiente serie?
a. b. c. d.
Conjunto (-1, 1) Conjunto (-1, 1] Conjunto [-1, 1) Conjunto [-1, 1]
Desarrollo:
11 11
Aplicando la definición
Hallando el límite
= √
l→im + 1
+ + −+ √ + 1 √ l→im lim→ √ lim→ √ 1lim→ √ √ 1lim→ √ √ 1 √ l→im √ √ 1 || →lim √ √ 1 || →lim √ √ 1 || →lim 1 1 √ || →lim 1 1 || →lim 1 1 || →lim 11 1 || (√ 11 0) || | | < 1 <1 <1 >1 <1 1<<1 1 211 1 2 1 22 1 1 1 = √ 1 √ 1,1, √ 12 , √ 13 , . √ 1 1
Ya que el límite solo depende de la variable n extraemos los demás valores:
Así para que la serie converja se debe cumplir que:
Aplicando propiedad del valor absoluto:
Así
El intervalo de convergencia sería:
Y el radio de convergencia sería:
Determinando la convergencia en sus puntos extremos Para
Es decreciente
Por tanto, converge Para
Es una serie con =1/2<1 divergente La respuesta es la C
1 = √
1,1 1 ´´´ ´ Rta: C. Conjunto [-1, 1)
4. Un punto singular de
se puede definir como:
a. Es un punto donde las funciones y no tienen ni pueden tener una representación en series de potencias. b. Es el punto que al formar los siguientes productos y y hace que sea analítico en c. Es el punto que al formar los siguientes productos y hace que sean desarrollables en series de potencias d. Es el punto donde una ecuación tiene representación r epresentación en series de potencias, no importando si están definidas o no las funciones en dicho punto. punto.
Desarrollo Se tiene una ecuación diferencial de la forma:
´´´ ´ 0 ó
Es analítica en todos los puntos cumpliendo la condición:
Se puedan escribir como una serie de potencias en todos los puntos Si llega a existir un punto donde sea imposible escribir ya sea potencia, a este este punto se le llama punto singular. singular.
A. Es un punto donde las funciones representación en series de potencias.
y
Como Como una serie de
no tienen ni pueden tener una
5. Obtenga los primeros términos de la solución de la ecuación diferencial de Airy
´´ 0, 0 , ´´0 ´´
´ 8 ´ ´´ ´ ´ ´´ ´ 8 ´ ´´ ´ 8 ´ 0 0 ´´0 ´´´´0 − − ´ ´´ ´´ 1 = = = ∑== 1− ∑== 2 2 = 0 ∑= 21 ∑= + 2 1 + 0 1 1 1 1 + = = 21 0 − + = = 21 21 + − − = = = 2 = 21 21+− 2 0 → 0 2 1+− −− 0 + 21 A.
B. C.
D.
Desarrollo
-x
=0
- x
1 32 6 2 43 12 3 54 20 12 20 +
+
La repuesta es la C
6. Teniendo en cuenta las siguientes definiciones en cada caso, escoge la respuesta correcta: Un punto ordinario de una ecuación diferencial de la forma es aquel punto en el cual ambas funciones son analíticas; es decir, pueden son representarse en series de potencias de con con radio de convergencia Mientras que un punto singular no tiene representación en series de potencias
´ ´ ´ ´ 0 >0. . ´´´0 00 ≠ 0 00 > 0 ≠ 0 ∑∝ !, e ´ ´ 11 cos ! !sen ! ! ⋯ ⋯ cos sen 11 ⋯ ⋯ De la siguiente ecuación
a. b. c. d.
se puede afirmar que:
ordinario, así como el resto de los reales irregular, ordinarios ordinario y ordinarios singular regular ordinarios
Desarrollo.
Debido a que
tiene representación en serie de potencias como La repuesta es C.
7. La solución general de la ecuación 1. 2. 3. 4.
Desarrollo
! !
mediante series de potencia es:
! !
Partiendo del supuesto que la ED tiene una solución del siguiente tipo
= − ′ = = 1 − = 1 −= 0 1 − → 2 2 0 = 2 → 0 0 = + + − − = 221 21 + = 0 = 2 1 +++−−= 0
Reemplazando en la ED
Igualando los límites de cada sumatoria, realizando un cambio de variable.
Realizando el cambio de variable en la ecuación diferencial:
Simplificando:
22 0 22 + = = = 32 32 + = 0 32 0 32 + =
Aplicando la propiedad de las sumatorias con iguales límites:
Factorizando:
32 0 32 + = 32 32+1 0 + 32 32 0 310 2 2
Así para que la igualdad se cumple se debe de cumplir que:
Para
Para
0 1 2 3 4 5
1 311 2 6 2 312 2 121 2 24 3 313 2 201 6 120 4 314 2 301 24 720 5 315 2 421 120 5040 = ⋯ 2 6 24 120 720 5040 ⋯ 2 6 24 120 720 5040 ⋯
Para
Para
Para
Para
Así la solución general seria:
Remplazando los coeficientes hallados:
Factorizando:
Pero:
Rta:
2 24 720 6 120 5040 ⋯ 2 24 720 ⋯ 6 120 5040 ⋯ 1 2 24 720 ⋯ 6 120 5040 ⋯ 1 2!2! 4!4! 6!6! ⋯ 3!3! 5!5! 7!7! ⋯ 1 2!2! 4!4! 6!6! ⋯ =11 22! 2 1+! 3!3! 5!5! 7!7! ⋯ =11 21 cos sen 11 ⋯ ⋯ 1.
2.
! !
! !
Marque A si 1 y 2 son correctas
8. Halle la solución general de la ecuación diferencial, usando series de potencias. Exprese dicha ecuación mediante funciones elementales. 1. 2. 3. 4.
Desarrollo
1 ´´ 2´20 1sen 1 ⋯ ⋯ 1arctan 1 ´´ 2´20
. = − ´. = − ´´1 =
,´,´ − 2. 0 1 = 1 − 2. = = 1 − 1 −. 2. −. 2. 0 = = = = − 1 . 2. 0 1 = = = = 221 0 21 1 2 2 . + = = = = 21 32 = 2 1 + = 1 .. 21 2 2 2 . 0 2 = = 2 622 =⌊ 2 1+ 1 2 2⌋ 22 66 =⌊ 2 1+ 1 2 2⌋ 0 22 22 0 =6 0 0
Sustituimos
en la ecuación 1
2 21 + 11 2 2 2 20 0 + 22 11+ 2 0 2 0 + 2 2 1+21 2 2 2 21 2 1 1 + 211 232 23 = 23 4 12 5 35 2 1 3 3 2 5 …. 23 15 35 …. 1 13 12 …. Si k=2
K=3
K=4
La respuesta es correcta correcta es el numeral numeral 2
9. Si una función se puede representar con una serie de potencias se dice que es no analítica PORQUE los coeficientes de la serie son necesariamente los determinados en la fórmula de la serie de Taylor. Desarrollo: La respuesta es la D la afirmación es FALSA, pero la razón r azón es una proposición VERDADERA.
Una función es analítica si y solo si se puede representar con una serie de potencias; los coeficientes de esa serie son necesariamente los determinados en la fórmula de la serie de Taylor.
−
−
´´−´´ −
10. El punto singular de la siguiente ecuación ordinaria PORQUE y no están definidas en dicho punto.
es
Desarrollo Al reescribiendo la ED se obtiene:
1 1 0 0 1 0 1 0 0
Las ecuaciones diferenciales de segundo orden tienen una forma estándar
De lo cual:
Ya que en x=0 es indeterminada la función y no se puede representar como una serie de potencia
Pues en x=0 es indeterminada la función y así a sí que no puede representarse como una serie de potencia Por lo anterior, el punto singular de la ecuación diferencial es
La afirmación y la razón son verdaderas y la razón es una explicación correcta de la afirmación. Marque A si la afirmación y la razón son VERDADERAS y la razón es una explicación CORRECTA de la afirmación.
FASE COLABORATIVA Primera actividad Grupal: Se plantea una situación problema y el grupo de realizar los aportes respectivos r espectivos en el foro colaborativo con el fin de reconocer las características del problema que se ha planteado y buscar el método de solución más apropiado según las ecuaciones diferenciales de primer orden.
Problema:
2 6 / 0 3 ´´0 0
Al calentar un resorte, su “constante” decrece. Suponga que el resorte se calienta de modo que la “constante” en el instante es (véase la figura). Si el sistema masa-resorte sin forzamiento tiene masa y una constante de amortiguamiento con condiciones iniciales y , entonces el desplazamiento queda descrito mediante el problema de valores valores iniciales
1/
2´´ ´´ 6 0 0 3 ´0 0 0
Determine los primeros cuatro términos no nulos en un desarrollo en series de potencias en torno de para el desplazamiento. Ecuación diferencial con condiciones iníciales a evaluar (dado). Resolvemos el problema de valor inicial a través de series de Taylor.
2´´0´ 36 ´000 01 2 0 0 630 30 0 9
Reemplazamos las condiciones iníciales
Resolvemos aplicando propiedad uniforme
Derivamos ecuación (1)
2 6 0 2 2 ′93 ′ 93 600 00 0 6 2 ′ 6 ′′0 3 2 6 690 90 024 ´ 0 0 0 0 1!1! 2!2! 3!3! 4!4!0 ⋯ 3 1!1!0 2!2!9 3!3!6 244!4! ⋯ 3 92 ⋯
Reemplazamos las condiciones iníciales
Resolvemos aplicando propiedad uniforme
Derivamos ecuación (2)
Reemplazamos las condiciones iníciales
Resolvemos aplicando propiedad uniforme
Solución mediante series de Taylor
Reemplazamos valores obtenidos
Simplificando obtenemos
Segunda actividad grupal: Se presenta un problema junto con su solución, de forma colaborativa deben evaluar y analizar toda la solución a la situación plantea, si consideran que todo el proceso y respuesta se encuentra de manera correcta, deben realizar aportes en cuanto a procedimiento faltante faltante y fórmulas utilizadas, resaltando en otro color los aportes extras a la solución. Si el grupo considera que el proceso y/o respuesta se encuentra incorrecto, deben realizar la observación y corrección al error o errores encontrados resaltando en otro color la corrección y aportes extras e xtras a la solución. Situación y solución planteada:
Pandeo de una columna cónica. Una columna de longitud L, está abisagrada en ambos a mbos extremos, tiene secciones transversales circulares y es cónica como se muestra en la figura
´´ 0 0 0 0
Si la columna, un cono truncado, tiene un afilamiento lineal , como se muestra en la sección transversal de la figura b, el momento de inercia de una sección transversal respecto a un eje perpendicular al plano plano es , donde y . Por tanto, escribimos
donde
Sustituyendo en la ecuación diferencial determina del problema de valor en la frontera.
, la deflexión en este caso se
Donde
Encuentre las cargas críticas para la columna cónica. Use una identidad apropiada para expresar los modos de pandeo como una sola función.
SOLUCIÓN
Teniendo en cuenta las condiciones iniciales
Tenemos:
0 0 √ √ 0 √ √ 0
Ya que es un sistema homogéneo de ecuaciones lineales, las soluciones no son triviales.
√ √ √ √ √ √ .√ √ √ . √ √( ) 0 − √ √ − , 1,2,3,… √ √ √ √ √ √ √ . √ √ . √ √(1 1) (1 1) 11
Este será el caso si Ó O si,
Las cargas críticas entonces son: Usando
Tenemos
CORRECCIÓN La solución se puede hallar aplicando la ecuación: e cuación:
En realidad la expresión es:
Usando
Explicación
√ √ 0 √ √ 0 √ ´ √ √ √ √ √ .√ √ √ . √ √( ) 0 √ √ , 1,2,3,… √ √ √
Identidad resta de ángulos para el seno y Factorizando Al sustituir Se obtiene:
√
11
CONCLUSIONES
En la unidad 3, se estudiaron las funciones especiales, series de potencias y algunos problemas de aplicación, aplicación, lo cual permitió desarrollar desarrollar correctamente correctamente los ejercicios planteados.
Gracias a los conceptos y las fórmulas estudiadas durante el curso, se logra tener un amplio conocimiento de los temas, logrando así un mejor análisis y desempeño en las actividades propuestas.
El buen desempeño en las actividades, se ha dado en gran manera por los conocimientos adquiridos en otros cursos como álgebra, trigonometría, trigonometría, geometría, física, cálculo diferencial e integra, ya que son la base fundamental para cursos más complejos como el de las Ecuaciones Diferenciales
De acuerdo a los ejercicios que se plantearon se logró identificar la clasificación, el estudio de series y funciones especiales, la solución de ecuaciones diferenciales a través de las series de potencias, las funciones especiales y las series matemáticas
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