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UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL SISTEMAS Y ARQUITECTURA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL
ASIGNATURA: ESTATICA DOCENTE:
ING. BERNILLA GONZALES JANNYNAA
INTEGRANTES:
ASTOCHADO SANCHES ALEXANDER COBEÑAS DE LACRUZ CARLOS DIAZ ALTAMIRANO CLEVER YOEL DIAZ VASQUEZ LENIN JONATAN CICLO: 2018-I
GRUPO: 02
L am amba bayeque, yeque, J ulio 2018
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MOMENTO POLAR DE INERCIA, PRODUCTO DE INERCIA, RADIO DE GIRO DE ÁREAS SIMPLES Y COMPUESTAS. 1. Objetivos General Determinar los conceptos y características del Momento Polar de Inercia, Producto de inercia, radio de giro de áreas simples y compuestas, mediante una investigación bibliográfica. Específicos
Determinar las definiciones fundamentales del Momento Polar de Inercia, Producto de inercia y Radio de Giro, para su respectivo entendimiento. Identificar las unidades, con sus respectivas ecuaciones de los Momentos y Producto de inercia.
2. Introducción: Dentro del momento de inercia encontramos diferentes subtemas, como son producto de inercia, momento polar de áreas simples y compuestas y radio de giro. El trabajo que se presenta a continuación contiene las definiciones, fórmulas y teoremas que encontramos en dichos subtemas; además con el fin de reforzar la teoría hallaremos ejercicios en el cual usamos los distintos conceptos ya tratados. El primer tema a tratar será producto de inercia, el cual es menos conocido que el momento; pero que es muy útil para la ingeniería civil. Hablaremos de sus características, características, aplicaciones y diferencias con el momento de inercia. Luego le sigue el momento polar, que es un momento de inercia, pero respecto al polo, es decir respecto al origen de coordenadas. Gracias a él podemos conocer la capacidad de resistencia de la torsión entre otras cosas. Finalmente encontraremos el radio de giro, que trabaja con un área respecto a un eje; es la distancia en que se concentra toda el área para que se cumpla la expresión. Usado a menudo para el diseño de columnas.
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MOMENTO POLAR DE INERCIA, MOMENTO DE INERCIA
1.-Desarrollo INERCIA La inercia es la propiedad de la materia de resistir a cualquier cambio en su movimiento, ya sea en velocidad o en dirección. Esta propiedad se escribe claramente en la primera ley de Movimiento de Newton lo cual dice: “Un objeto en reposo tiende a permanecer en reposo, y un objeto en movimiento tiene a continuar moviéndose en línea recta, a no ser que actué sobre ellos una fuerza externa. MOMENTO Un momento es resultante de una fuerza por una distancia, este efecto hace girar elementos en torno a un eje o punto el momento es constante, se puede tomar en cualquier punto del plano y siempre dará el mismo resultado, siendo la distancia la perpendicular, entre el punto y la dirección de la fuerza. MOMENTO DE INERCIA Es la medida de la inercia rotacional de un cuerpo. Es una magnitud escalar que refleja la distribución de masas de un cuerpo o un sistema de partículas en rotación, respecto al eje rígido. Es el valor de momento angular longitudinal en un sólido rígido. El momento de inercia, también denominado Segundo Momento de Área, Segundo Momento de Inercia o Momento de Inercia de Área, es una propiedad geométrica de sección transversal de los elementos estructurales. El Momento de Inercia solo depende de:
La geometría del cuerpo. La posición del eje de giro. No depende de la fuerza que intervienen en el movimiento. El momento de inercia debe ser específicamente respecto un eje de rotación dado.
Para una masa Puntual El Momento de Inercia es exactamente el producto de la masa por el cuadrado de la distancia perpendicular al eje de rotación.
=
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Esa relación de la masa puntual, viene a ser la base para todos los demás momentos de inercia, puesto que un objeto se puede construir a partir de una colección de puntos materiales.
El Momento de Inercia de un objeto ordinario Involucra una distribución de masa a una distancia continuamente variable de cualquier eje de rotación, el cálculo del momento de inercia, generalmente involucra el cálculo diferencial, la disciplina de las matemáticas que puede manejar tales variables continuas. Puesto que el momento de inercia de una masa puntual se define por:
Entonces, la contribución al momento de inercia por un elemento de masa infinitesimal dm tiene la misma forma. A esta clase de elemento de masa se le llama un elemento diferencial de masa y su momento de inercia está dado por
Note que el elemento diferencial del momento de inercia dI debe estar siempre definido con respecto a un específico eje de rotación. La suma sobre todos estos elementos se llama integral sobre la masa.
Donde:
I = Momento de Inercia. = Distancia del eje. = Áreas subdivididas en elementos diferenciales.
Usualmente, el elemento de masa dm será expresado en términos de la geometría del objeto, de modo que la integración puede llevarse a cabo sobre el objeto como una totalidad. Características:
El momento de inercia es usado para resolver problemas de diseño donde le miembro es una viga o una columna larga. Requerido para calcular el momento polar de inercia.
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Cuanta mayor distancia entre la masa y el centro de rotación, mayor es el momento de inercia.
Unidad Del Momento De Inercia
El SI de la unidad de Momento de Inercia está dado por:
=∗
MOMENTO POLAR DE INERCIA El momento de inercia de un área en relación a un eje perpendicular a su plano se llama momento polar de inercia, y se representa por J. Es una cantidad utilizada para predecir habilidad para resistir la torsión del objeto, en los objetos (o segmentos de los objetos) con un invariante circular de sección transversal y sin deformaciones importantes o fuera del plano de deformaciones Características
Se utiliza para calcular el desplazamiento angular de un objeto sometido a un par. Es análogo a la zona de momento de inercia que caracteriza la capacidad de un objeto para resistir la flexión. Momento polar de inercia no debe confundirse con el m omento de inercia, que caracteriza a un objeto de la aceleración angular debido a la torsión.
Limitaciones
El momento polar de inercia no se puede utilizar para analizar los ejes de sección circular. En tales casos, la constante de torsión puede ser sustituida en su lugar. En los objetos con una variación significativa de cortes transversales (a lo largo del eje del par aplicado), que no puede ser analizado en segmentos, un enfoque más complejo que tenga que ser utilizado. Sin embargo, el momento polar de inercia puede ser utilizado para calcular el momento de inercia de un objeto con sección transversal arbitraria.
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Descripción Un esquema que muestra cómo el momento polar de inercia se calcula de la siguiente una forma
=
= Momento Polar de Inercia = Un área elemental = La distancia radial al elemento
dA del eje z
Esto significa que el momento polar de inercia de un área con respecto a un eje perpendicular a su plano es igual a la suma de los momentos de inercia con respecto a dos ejes perpendiculares contenidos en dicho plano y que pasen por el punto de intersección del eje polar y del plano Unidad el Momento Polar de Inercia El SI la unidad de momento polar de inercia, como el momento en la zona de la inercia.
=
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Momento Polar de inercia es una cantidad utilizada para predecir la capacidad de un objeto a resistir la torsión. Cuando mayor es el momento polar de inercia, menos se retuerce, cuando se somete a un par dado. Momento polar de inercia no debe confundirse con el momento de inercia que se caracteriza a un objeto de la aceleración angular debido a un par. Momento polar de inercia, es la tendencia de una masa en reposo a permanecer en reposo y masa en movimiento a permanecer en movimiento, en línea recta, a menos que actué sobre él una fuerza externa.
EJEMPLO: Para el rectángulo mostrado en la figura, determine el momento polar de inercia u el radio de giro polar respecto al punto medio de su lado más largo.
Solución:
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=
= 13 1 = 3 − = 3 2= 23 = = 2 = − = 3 − = 3 = + = 23 + 23 = 43 4 = = 32 = 23 =
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RADIO DE GIRO DE UN ÁREA El radio de giro es una cantidad que tiene por unidad una longitud, que mide la distribución del área desde un eje; se emplea a menudo en el diseño de miembros estructurales solicitados por comprensión. Considérese un área
=
, como la que se ilustra en la figura . Sean
e
los
momentos de inercia de esta área respecto a los ejes y , respectivamente. Si se coloca una tira o franja delgada que tenga la misma área
muestra en la figura , de tal forma que parámetro
, paralela al eje a una distancia
como se
entonces, para el área , se dice que el
es el radio de giro con respecto al eje , o sea
= El radio de giro es muy útil en el ámbito de la ingeniería civil ya que está presente en diferentes situaciones tales como el cálculo de las fallas en las columnas. Precisando de esta manera que interviene en el análisis del pandeo de una columna. Esta es la relación que interviene en dicho análisis ( L/r ) donde ‘’r’’ es el radio de giro y ‘’l’’ la longitud del elemento.
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De modo semejante, si se coloca una tira angosta de área a una distancia forma que
=
, entonces el parámetro
el área , osea:
del eje , de tal
será el radio de giro con respecto al eje para
=
Problema 1: Para el área sombreada que muestra cada figura, determine el momento de inercia y el radio de giro respecto al eje x.
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Solución:
Hacemos los cálculos de K1 y K2:
Ahora
= , =; = = = = = = y
= ∫ = ∫ = = = ∫ = = ∫ ( )
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4 =13 17 = (134 17) = 1591 = = = =0.52414 =0.524
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Radio de giro de áreas compuestas
El procedimiento para encontrar el radio de giro para áreas compuestas con respecto a un eje se encuentra con el mismo procedimiento que de áreas simples. solo que en este caso tenemos un conjunto de áreas simples Procedimiento: 1. Dividir el área compuesta en áreas de figuras planas conocidas. Triángulos rectángulos circunferencias etc. 2. Una vez divididas encontrar el momento de inercia de cada una de las partes con respecto a sus ejes centroidales o a ejes que sean fáciles de calcular 3. Aplicando el teorema de líneas paralelas encontramos el momento de inercia de cada parte con respecto al eje que nos piden 4. Hacemos la sumatoria de los momentos de inercia de cada parte con respecto a estos ejes 5. Aplicamos las fórmulas antes mencionadas para encontrar el radio de giro con respecto a cada uno de los ejes. 6. Dividir el área compuesta en áreas de figuras planas conocidas. Triángulos rectángulos circunferencias etc. 7. Una vez divididas encontrar el momento de inercia de cada una de las partes con respecto a sus ejes centroidales o a ejes que sean fáciles de calcular 8. Aplicando el teorema de líneas paralelas encontramos el momento de inercia de cada parte con respecto al eje que nos piden 9. Hacemos la sumatoria de los momentos de inercia de cada parte con respecto a estos ejes 10. Aplicamos las fórmulas antes mencionadas para encontrar el radio de giro con respecto a cada uno de los ejes.
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PROBLEMA1: Determinar el momento de inercia u el radio de giro del área sombreada respecto al eje x
Solución:
=, = = : = = : = = Ó
Ó
= =
= = ( )
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1 1 4 ] = =2 =2 [ 2 =2 2 41 = 12 = = 2 = =2 2 [14 61 ] =2 4 16
= = 1 = = 61 = 13 ó = √ 3 2 ó
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PROBLEMA 2: Determinar el momento de inercia y el radio de giro del área sombreada
respecto al eje x.
Solución:
Primero calculamos las áreas:
= + +
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=1.2 .0.3.+2.4 .0.4 .+2.4 .0.3 . =0.36+0.96+1.72 =2.04 = + + = 1.2 .0.3 . + 0.36 1.36 =0.6588 = 0.4 .2.4 . =0.4608 = 2.4 .0.3 . +0.72 1.35 . =1.3176 =0.6588 +0.4608 +1.3176 =2.4372 =2.44 =1.1947 = = 2.2.4372 04 =1.093 .
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PRODUCTO DE INERCIA
La integral la cual se, obtiene al multiplicar a cada elemento de un área A por sus coordenadas x e y e integrando sobre toda el área, se conoce como el producto de inercia del área A con respecto de los ejes x e y. A diferencia de los momentos de inercia 1x e IY, el producto de inercia puede ser positivo, negativo o cero.
INTRODUCCIÓN El producto de inercia no se utiliza tanto como el momento de inercia, pero es necesario en algunos problemas, como en la determinación de los momentos de inercia máximo y mínimo, en la flexión asimétrica de vigas, y en el estudio de estructuras estáticamente indeterminadas. También indicaremos que las dimensiones del producto de inercia son las mismas que las de un momento de inercia, es decir [L4]. En cuanto a la regla de los signos, indica que durante la rotación de los ejes existe una posición crítica en la que el producto de inercia cambia de signo y será, por tanto, nulo.
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a) simétrico respecto a Y y Z
b) sección simétrica respecto al eje z
El producto de inercia del área respecto a un sistema de ejes perpendiculares y ez, se define como:
= Al igual que en los momentos de inercia, la dimensión del producto de inercia tiene unidades de longitud a la cuarta potencia, por ejemplo, Sin embargo, el producto de inercia puede ser positivo o negativo, como se muestra en la Figura a), o nulo, como se muestra en la Figura b).
, , ,.
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Si todo el área se encuentra en el primer cuadrante respecto a los ejes de referencia, el producto de inercia es positivo, ya que y y z son siempre positivas. Si toda el área se encuentra en el segundo cuadrante, el producto de inercia es negativo, ya que la coordenada y es negativa y la z es positiva. Similarmente, si toda el área se encuentra en el tercer o cuarto cuadrante, tienen signo negativo y positivo, respectivamente. Cuando el área se sitúa en más de un cuadrante, el signo del producto de inercia depende de la distribución del área dentro de los cuadrantes. Cuando uno de los ejes es de simetría, los productos de inercia de cada uno de los dos lados en los que se divide la sección se anulan, y por lo tanto, el producto de inercia es nulo. Es decir, el producto de inercia de un área es nulo con respecto a cualquier par de ejes donde al menos uno de ellos es de simetría.
Para hallar el producto de inercia de un área compuesta se debe dividir o mejor dicho segmentar la figura en pequeñas partes de las cuales sea más sencillo hallar su producto de inercia. Luego se procederá a desarrollar de la misma forma que para áreas simples.
El área de la figura es compuesta, ya que está conformada por un cuadrilátero y un hoyo en su centro de forma circular. AC = CUADRILÁTERO - A CIRCULO
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El teorema de los ejes paralelos, permite relacionar el momento de inercia respecto a un eje cualquiera con el momento de inercia respecto a un eje paralelo al anterior que pase por el centro de gravedad de la sección. En el caso del producto de inercia, la expresión toma la forma
= ++ Desarrollando esta ecuación, se obtiene
= + + + El primer término del segundo miembro de la ecuación es el producto de inercia respecto a unos ejes que pasan por el centroide, paralelos a los de referencia. Los términos segundo y tercero son nulos, ya que corresponden a los momentos estáticos del área respecto a unos ejes que pasan por el centroide. La integral del último término es el área de la sección. Por tanto, la ecuación se expresa de la siguiente forma:
= +
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El teorema de los ejes paralelos, para el forma:
, se expresa de la siguiente
“Elproductodeinerciadeunáreaconrespectoacualquierpardeejesensuplanoes igualalproductodeinerciaconrespectoaunosejesparalelosalosanterioresyquepasan porelcentroidedelárea,máselproductodeláreaylasdistanciasdecadaunodeestos ejesquepasanporelcentroide,respectoalosdosdereferencia”.
EJERCICIOS DE APLICACIÓN-PRODUCTO DE INERCIA EJEMPLO 1.
Determine el producto de inercia
muestra en la figura.
=
del triángulo que se
Un elemento diferencial con espesor dx, como se muestra en la figura tiene, tiene un área . El producto de inercia de este elemento con respecto a los ejes y se determinan con el teorema de os ejes paralelos.
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= ̅ +̃̃ ̃ ̃ 0, ̃ = ̃ =/2 =0+ 2=(ℎ )(2ℎ ) =0 = ℎ ℎ = 2 = 8 ℎ ∴ = 8
Donde y ubican el centroide del elemento o el origen de los ejes debido a la simetría, y y , entonces:
=
.
Al integrar con respecto a desde
hasta
se obtiene.
,′ ̅ = . Como
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EJEMPLO 2. Determine el producto de inercia para el área de la sección transversal del elemento que se muestra en la figura con respecto a los ejes centroidales X y Y.
Dividimos en tres áreas rectangulares compuestas A, B y D. las coordenadas para el centroide de cada uno de esos rectángulos se muestran en la figura. Debido a la simetría el producto de inercia de cada rectángulo es cero con respecto a cada uno de ejes x’, y’
que pasan atreves del centroide de cada rectángulo. Si usamos el teorema de los ejes paralelos tenemos:
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RECTÁNGULO A:
= ̅ + =0+300100250200 =1.5010 = ̅ + =0+0=0 = ̅ + =0+300100250200 =1.5010 =1.5010 +01.5010 =3.0010 ∴ =3.00×1094 RECTÁNGULO B:
RECTÁNGULO D:
Por tanto, el producto de inercia total es:
CONCLUSIONES: El producto de inercia tiene las mismas dimensiones que el momento de
inercia, es decir [L 4]. Aunque no se utiliza mucho como el momento de inercia, es necesario en algunos problemas. Es necesario para determinar los momentos de inercia máximo y mínimo, en la flexión asimétrica de vigas, y en el estudio de estructuras estáticamente indeterminadas. Si tenemos los momentos de inercia respecto al eje x e y, podemos obtener el momento polar de inercia con tan solo sumar algebraicamente dichos momentos de inercia.
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