CONJUNTOS
CONJUNTOS
CONJUNTOS
EJERCICIOS PROPUESTOS DE CONJUNTOS
1. Escribe simbólicamente las afirmaciones siguientes: a) V pertenece al conjunto M b) El conjunto T contiene como subconjunto al conjunto H c) Entre los números del conjunto G no está el número 2 d) El conjunto Z no es un subconjunto del conjunto A e) El conjunto X no contiene al conjunto K f) El conjunto H es un subconjunto propio del conjunto K 2. Completa las proposiciones siguientes con los símbolos ∈ ∉: 2______ {1,3,5,7} 5______ { 2,4,5,6} 3______ { ∈ ℕ ∕ 2 < < 6 } 2______ { 4,5,6,7} 8______ { ∈ ℕ ∕ 8 < < 10 } 0______ ∅ América_____ { ⁄ }
12 _______ ℕ 8
3. ¿Cuáles de los siguientes conjuntos son: vacíos, unitarios, finitos, infinitos? A = {x / x es día de la semana} B = {vocales de la palabra conjunto} C = {1, 3, 5, 7, 9} D = {x / x es un número par} E = {x / x < 15} K = {x / x es un número real y 1 = 0 } J = {x / x es un número real y = 9 } A = {x / x es un número real y + 1 = 0 } S = {x / x es un número real y = 2 + 1 } H = {x / x ∈ N y 2 < ≤ 6 } 4. Definir por extensión cada uno de los siguientes conjuntos: A= { x∈ ℤ/ x2 = 4} B= { x∈ ℤ/ x−2=5} T = { x / x es una cifra del número 2324} R= { x / x∈ ℤ; x2 = 9} Q= { x / x es una letra de la palabra calcular} F= { x / x es una letra dela palabra CORRECTO} D= { x ∈ ℝ/ x+5=5} F = { x ∈ N/ x > 4 ∧ x no es mayor que 6} C= { ⁄ = ( 1) ; ∈ ℤ ; 1 ≤ n < 4 } ; ∈ ℤ ; 3 ≤ n < 3 } P= { ⁄ = −
5. Sea el conjunto = { 1, {2}, 3, {5,6} }. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones son verdaderas?
. 1 ∈
. 2 ∈
. {5,6} ∈
. 6 ∉
. 5 ∈
) … … … ) … … … … ) , … … … … … ) , … … … … …
CONJUNTOS
6. Si = {3, {5} } Decidir cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera
) {3,5} ⊂ … … … ) {5} ⊂ … … … ) 5 ∈ … … . . ) {{5}} … … …. ) {{{5}}} ⊂ ….….. 7. Diga si lo siguiente es Verdadero o Falso ={1,2, {3,4 }} Podemos decir que: 2 ∈ B………….{3,4} ∈ B…………………3 ∈ {3,4}…………∅ ⊂ B……………. { } ⊂ B……………{2} ⊂ B……………….{1,2} ⊂ B……… amarillo ∉ B…………8 ∉ B……………n(B) = 3………… 8. Expresar por comprensión lo siguiente: a) {1,3,5,7,9}……………………………………… b) {-5, 5}………………………………………… c) { 0 }…………………………………………… d) {2,4,6,8}……………………………………. e) {-4,-3,-2,-1}……………………………………. 9. De entre los siguientes conjuntos, señala los que son el conjunto vacio:
= { ∈ ℝ/ ² + + 1 = 0 } = { ∈ ℝ/ < 4 ∨ > 6 } = { ∈ ℝ/ ² + 1 = 0 } = { ∈ ℝ/ < 4 ∧ > 6 } = { ∈ℝ∕ +5= 5} = { ∈ ℝ/ > 4 ∧ 6 } 10. Sea M={r,s,t }. Dígase cuáles de las afirmaciones siguientes son correcta. Si alguna es incorrecta, decir el por qué: a) a ∈ M, b) r ⊂ M, c) {r} ∈ M, d) {r} ⊂ M 11. Si E={1,0}, razona cuáles de las afirmaciones siguientes son c orrectas y cuáles no: a) {0} ∈ E, b) ∅ ∈ E, c) {0}⊂ E, d) 0 ∈ E y e) 0 ⊂ E 12. Consideremos el conjunto A={r,s,m,e}. Razona la veracidad de las siguientes afirmaciones: a) C ∈ A, b){r,c,m} ⊂A, c){m}⊂A, d) {e,m,r} ⊂A e) {s,e}∈A f) {s,e}⊂ A 13. Justifica razonadamente que el conjunto A ={2,3,4,5} no es un subconjunto del C={x∈ℕ/x es par } 14. Sean los conjuntos: V={d}, W={c,d}, X={a,b,c}, Y={a,b} y Z={a,b,d}. Establece la veracidad de las siguientes afirmaciones, justificando en cada caso tu respuesta: a) Y⊂ X, g) V⊂ X,
b) W⊅V, h) Y⊄ Z,
c)W≠Z, i) X=W y
d) Z⊃ V, j) W⊂Y
e) V⊄ Y,
f)
Z⊅
X,
15. a)¿Es el conjunto A={1,3,5,7} un subconjunto del conjunto B={x ∈ ℤ/x=2n,n∈ℤ}?
CONJUNTOS
¿Y del C={x∈ℕ/x=2n+1,n∈ℕ}?¿Por qué? b) ¿Y D={2,4,6,7,8} es subconjunto de alguno de los conjuntos A o B del apartado anterior? ¿Por qué?
16.Sea B={*, α}, entonces es verdad que: a) N(P(P(B)))=8 b) *∈P(B) c) ∅ ∈P(B) d) {*, α}, ∉ P(B) e) {*, α}, ⊂ P(B) 17. Sea B={a, {b}}, entonces es verdad que: a) ∅ ∈ A b) a⊂A c) {{b}}∈ A d) N(P(P(A)))=8
e) {{b}}∈ P(A)
18. Define por extensión cada uno de los siguientes conjuntos: a) b) c) d) e)
{x / x es un número entero que verifica 3 < x < 4} {x / x es entero positivo múltiplo de 3} {x ∈ ℝ/(3x+1)(x+2)=0} {x / x es un número entero que es solución de la ecuación (3x - 1)(x + 2) = 0} {x / 2x es entero positivo}
19. Describe por extensión cada uno de los siguientes conjuntos a) {n /x∈ℕ,n²= 9} b) {x /x∈ℕ, x² = 9} c) {n /x∈ℤ, 3 < n < 7} d) {x / x ∈ℝ, x < 1 y x ≥ 1} e) {x / x∈ℚ, x² = 3} OPERACIONES CON CONJUNTOS
20. Dado el siguiente Diagrama de Venn. Señale el valor de verdad de lo siguiente:
a) x ∈ AΔ b) w∈ ∩C c) v ∈( ⋃B) C d) p ∈ ( C) e) o ∉ 21. Consideremos U ={a,b,c,d,e}como conjunto universal y los subconjuntos
CONJUNTOS
A∪(B∪C),
A−B,
A={a,b,d}, B∩A', U',
B={b,d,e} y C={a,b,e}.Halla A∪B, (A∪B)',
A∪C,
A∩A,
(A')',
A−A,
A∪A',
A'∩B',
B∪C,
B∩C,
C−A,
A',
A∩A',
(B−C)',
B∪B,
(A∩B)∩C,
B−C,
B',
∅',
A∪B',
A∩B,
A∩(B∩C),
B−A,
(A∩C)',
A'∪C',
B'−A
22. Representa en el diagrama de Venn dado al margen los siguientes conjuntos:
A∪B,
A∪(B∪C),
A−B,
B∩A',
U',
(A∪B)',
A∪C,
A∩A,
(A')',
A−A,
A∪A',
A'∩B',
B∪C,
B∩C,
C−A,
A',
A∩A',
(B−C)',
B∪B,
(A∩B)∩C,
B−C,
B',
∅',
A∪B',
A∩B,
A∩(B∩C),
B−A,
(A∩C)',
A'∪C',
B'−A
23. Escribe la expresión que corresponde al conjunto sombreado en el diagrama
a)
c)
b)
d)
24. Representa, en cada uno de los diagramas de Venn dados, los siguientes conjuntos:
CONJUNTOS
A∪B,
A−B,
(A∩B)',
U',
A∪(B∩A),
B∪B,
(A')',
A'∪B',
A∪A',
B∩(A∪B)
A∩B,
B∩A',
A−A,
A∩A',
A∩A,
(A∪B)'
A',
A∪B',
B−A,
A'∩B',
B',
B'−A'
25. Sea U = {1, 2, 3, 4, 5, . . . , 12} e l conjunto universal. Consideremos los subconjuntos, A = {1, 3, 5, 7, 9, 11}, B = {2, 3, 5, 7, 11}, D = {2, 4, 8} y C= {2, 3, 6, 12}. Determina los conjuntos:
B) ∩ C'
a) A ∪ B
c) (A ∪
b) A ∩ C
d) A − B
e) C − D f ) (B − D) ∪(D − B)
26. Dado un conjunto referencial U con 3 subconjuntos no vacíos, A, B y C, encuentre los elementos de dichos conjuntos, tales que se cumplen las siguientes características: a) = {∗,? ,#,℧, ∃,∀,⊥, , ℮}
d) ⋂ = {#, ∃, ⊥, }
b) ⊂
e) (⋂)⋃ = {#, ℧, ,℮}
c) A y C son disjuntos
f) (⋃⋃) = { ∀ }
27. Sea el conjunto referencial U y los conjuntos no vacíos A,B y C definidos así:
= {∗, !, #, $, % , ∞, ? } = {∗, !, #, $} = {!, %, ∞, ? } = {%, ∞, ? } Entonces [( ) ⋃ ] : a)
U
b) ∅
c) {%, ∞, ? }
d) {!}
e)
28. Sean A={x ∈ ℝ/−2 < x ⩽ 10} y B={x ∈ ℝ/ x >1}. Expresa dichos conjuntos mediante intervalos y calcula la unión, la intersección y la diferencia de uno con el otro. Calcula, además, los complementario y comprueba que se cumplen las leyes de De Morgan
CONJUNTOS
29. Se consideran los conjuntos A = ( – 7, 3 ), B = [ – 2, 5 ), C = ( – 4, 9 ] y D = [ – 1,8 ]. Expresa cada intervalo por comprensión y calcula A ∪B,
A'∩B, (B∪C)∩D,
(B – A)∪(C – D), (A – B)' y (B – A)'. 30. Sean = { ∈ ℝ/
−
⩾ 1} yB={ x ∈ℝ /x² – 4x +3 < 0}. Expresa dichos conjuntos
mediante intervalos y calcula la unión, la intersección y la diferencia de uno con el otro. Calcula, además, los complementario y comprueba que se cumplen las leyes de Morgan. 31. dados los conjuntos no vacíos A y B, tales que A ∪B=B, entonces es verdad que:
a) A ∩ B=A
d) (A – B) ∪(B – A)=C
b) (A – B)= ∅
e) (C – A)= ∅
c) (A – B) ⊂ C 32. Sean A,B,C subconjuntos del Universo U, tales que:
a) A ∩ B= {,}
d) U={,∆,∗,?,,,+,,℮,,}
g) ( ∪ ∪ ) ={+}
b) A – B={,,℮}
e) B – (A∪C) ={∗,?,∆}
h) C – ( ∪ )= {}
c) A ∩C={,℮}
f) B ∩ C= {,}
Halle los elementos de A,B y C 33. Dados los conjuntos no vacíos A,B y C, entonces la región sombreada del gráfico adjunto corresponde a: a) (A – B) ∩ (C∩B) b) ( ∩ ∩ ) c) [(C – A) ∩ B] ∪ (A – B) d) ( ∩ ) e) [(A – C) ∩ (B – C)] ∪ (B∩C) 34. Sea el U={1,2,3,4,5,6,7,8,9} y los conjuntos A,B y C no vacíos que cumplen las siguientes condiciones:
⊆ ;
A y C son disjuntos;
B – C={3,5,7,8};
(A ∩B) ∪ C={3,4,8,9}
(A∪B∪C)C ={6}. Determine el conjunto A
35. Si A ⊆ B, entonces (A∪B) =B a) Verdadero
b) Falso
36. Si U es un conjunto referencial, A y B subconjuntos de U. Entonces:
CONJUNTOS
[A∩(B∪A)] ∩AC = U a) Verdadero
b) Falso
37. La región sombreada del gráfico adjunto representa el conjunto: a) C – (A∩ B)
b) (C ∪A) – B c) (A ∩C) – B d) (C∪B) – A e) (B∩C) – A
38. Si A,B y C son conjuntos no vacíos entonces la región sombreada corresponde a:
a) [(A – B) – C]C ∩[A∪B]
b) [(C – A) – B] ∪[A∩B∩C] c) [A∩B∩C]C ∪[ C – B] d) (A – B)C ∩C e) [(B –A) ∩C]
39. En una entrevista realizada a 40 estudiantes del curso de nivelación, acerca de los deportes que les gusta practicar, se obtuvo la siguiente información: a) 12 practican ajedrez, 14 tenis y 16 futbol b) No hay estudiantes que practiquen ajedrez y tenis c) 4 practican ajedrez y futbol d) 20 practican tenis o futbol, pero no ajedrez. Determine la cantidad de estudiantes que no practic an deporte alguno 40. De un total de 90 estudiantes, 2/3 de ellos no toman inglés, 3/5 no toman física, 44 no toman ninguna de las dos materias. ¿Cuántas estudiantes toman las dos materias? A) 15
B) 20
C) 25
D) 3
E) 35
41. Se hizo una encuesta a 50 personas sobre preferencias respecto a dos revistas A y B. Se observa que los que leen las dos revistas son el doble de los que leen solo A, el triple de los que leen solo B y el cuádruplo de los que no leen ninguna de las dos revistas. ¿Cuántas personas leen la revista A? A) 24
B) 30
C) 32
D) 36
E) 40
42. A una ceremonia asistieron 24 señoritas con cartera, 28 varones con corbata, 40 portaban casaca, 17 varones con corbata no tenían casaca, 9 señoritas portaban casaca
CONJUNTOS
pero no tenían cartera. ¿Cuántos varones con casaca no llevaron corbata, si 16 señoritas no llevaron cartera ni casaca y 28 señoritas no llevaron casaca? A) 8
B) 9
C) 10
D) 11
E) 12
43. De los residentes de un edificio se ha observado que 29 de ellos trabajan y 56 son mujeres, de los cuales 12 estudian pero no trabajan. De los varones 32 trabaj an o estudian y 21 no trabajan ni estudian, ¿cuántas mujeres no estudian ni trabajan, si 36 varones no trabajan? A) 32 B) 30 C) 28 D) 26 E) 34 44. En una clase de 50 alumnos, se practica t res deportes: Atletismo, Básquet y Fulbito. * Los que practican atletismo o fulbito pero no básquet son 30. * Los que practican básquet o fulbito pero no atletismo son 27. * Los que practican atletismo y fulbito son 7. * Los que practican fulbito pero no atletismo o básquet son 15. * Los que no practican estos deportes son la cuarta parte de los que practican básquet y fulbito pero no atletismo. * 4 practican atletismo y básquet pero no fulbito. * Los que practican básquet pero no atletismo o fulbito son 4. ¿Cuántos practican solo dos deportes o no practica n ninguno? A) 21 B) 17 C) 19 D) 2 E) 18 45. Dado los conjuntos A; B y C contenidos en el universo de 98 elementos, tal que: n(A - B) = 21 n(B - C) = 25 n(C - A) = 32 3n (A∩B∩C) = n ( ∪ ∪ ) Hallar: ( ∩ ∩ ) A) 93 B) 95 C) 87 D) 77 E) 91 ́ 46. Usando las leyes del álgebra de conjuntos, simplificar:
{[( ) ∩ ]⋂[(⋃)⋂ ]} A) AC B) BC C) U D) (A ∆ B)C E) (A – B)C 47. En un condominio de 100 personas, 85 son casados, 70 son abonados de teléfono, 75 tienen bicicleta y 80 son empresarios. ¿Cuál es el mínimo número de personas que al mismo tiempo son casados, poseen teléfono, tienen bicicleta y son empresarios? A) 15 B) 10 C) 20 D) 24 E) 15 48. Un club consta de 78 personas, de ellas 50 juegan fútbol, 32 básquet y 23 voley. Además 6 figuran en los 3 deportes y 10 no practican ning ún deporte. Si “x” es el total de personas que practican exactamente un deporte, “y” es el total de personas que practican exactamente 2 deportes, el valor de (x – y) es:
CONJUNTOS
A) 9
B) 10
C) 12
D) 15
E) 16
49. En un grupo de 80 estudiantes, se encuentra que las cantidades que estudiaban las diversas lenguas eran en número de 72, distribuidas de la siguiente manera: * Alemán solamente 25 * Español solamente 12 * Francés pero no alemán ni español, 15 * Alemán y francés 10 * Alemán y español 8 Además los que estudiaban español y francés eran tantos como los que estudiaban alemán y español. Determinar cuántos estudiaban 2 lenguas solamente o estudiaban las 3 le nguas. A) 14 B) 20 C) 12 D) 8 E) 18 50. En una encuesta realizada a 100 trabajadores de una fábrica se obtuvo la siguiente información: todos los hombres tenían más de 20 años, 25 de las mujeres eran casadas mientras que 15 de los trabajadores casados tenían más de 20 años y 10 de las mujeres casadas tenían más de 20 años. Si hay 60 que tienen más de 20 años, hallar la diferencia entre el número de trabajadores con menos de 20 años y el número de mujeres solteras con menos de 20 años. A) 5 B) 10 C) 15 51. ¿Qué operación representa el gráfico?
A) B) C) D) E)
D) 18
E) 8
[(A∩ C) ∪ (B ∩ C)] – C [(A – B) ∪(B – A) – C C – (A∩B) (C – A) ∪ (C – B) (A∩B)C – C
52. En un colegio hay 35 niños. Cada uno de ellos tiene una bandera que puede ser monócroma, bicolor o tricolor, habiéndose usado únicamente 3 colores: rojo, amarillo y azul. El número de banderas bicolor es el doble del número de banderas monocromas, mientras que el número de banderas que tienen el color rojo es igual al número de banderas que tienen el color azul e igual al número de banderas que tienen el color amarillo. Si sólo 8 niños tienen banderas tricolor y dos alumnos banderas color amarillo. ¿Cuántas banderas bicolor rojo – azul hay? A) 2 B) 3 C) 5 D) 7 E) 10 53. A cuántas personas le gusta 2 cursos solamente si la cantidad de personas que le gusta aritmética pero no álgebra ni física es el doble de los que les gusta álgebra, pero no aritmética ni física y además a los que les gusta física pero no aritmética ni álgebra es el
CONJUNTOS
triple de los que les gusta álgebra pero no aritmética ni física y a los que les gusta los 3 cursos es la cuarta parte de los que les gusta aritmética pero no álgebra ni física, si a 24 personas le gusta solamente un curso y además el total de personas que gusta de al menos un curso es 36. A) 5 B) 8 C) 12 D) 4 E) 10 54.Laura tiene discos de diferentes géneros musicales: pop, rock, punk, gothic, clásica y jazz. Su amiga Diana tiene discos de salsa, gothic, hip-hop, pop, metal e industrial. a) Luis, un amigo común, quería escuchar la música que le gusta a cada una de ellas, así que le prestaron un disco de cada uno de los géneros. ¿De qué géneros le han prestado los discos? b) Si Luis se decide a oir primero los discos que le gustan a ambas, ¿qué discos ha de oír? Expresa la situación en términos de conjuntos. 55. Se preguntó a 11 profesores del instituto acerca de sus preferencia por dos marcas de café instantáneo A y B y se obtuvieron los siguientes resultados: 7 prefirieron solo una de dichas marcas; el número de personas que prefirieron ambas marcas fue igual al número de personas que no prefirió ninguno de las dos; 3 personas manifestaron que no prefieren la A pero sí la B. Se desea saber: a) ¿Cuántas personas prefirieron la marca A? b) ¿Cuántas personas prefirieron sólo la B? c) ¿Cuántas personas manifestaron que les eran indistintas ambas marcas? 56. Se hizo una encuesta entre mil personas de Bratislava para determinar el medio de comunicación empleado para para conocer las noticias del día. 400 respondieron que se enteran de forma regular de los sucesos del día a través de la televisión, 300 lo hacen a través de la radio. De las cantidades anteriormente mencionadas, 275 corresponde al número de personas que utilizan ambos medios para estar al día en los acontecimientos del mundo. a) ¿Cuántas de las personas encuestadas se enteran de las noticias sólo a través de la televisión? b) ¿Cuántas de las personas entrevistadas lo hacen únicamente a través de la radio? c) ¿Cuántas de las personas investigadas no hacen uso de ninguno de los dos medios? 57. A una prueba de ingreso a la Universidad se presentaron 100 alumnos, de los cuales 65 aprobaron el examen de Matemáticas, 25 el de Matemáticas y Física y 15 aprobaron sólo el de Física. ¿Cuántos no aprobaron ninguno de los exámenes mencionados? 58. Se llevó a cabo una investigación con 1000 personas, para determinar que medio utilizan para conocer las noticias del día. Se encontró que 400 personas escuchan las noticias en forma regular por TV, 300 personas escuchan las noticias por la Radio y 275 se enteran de las noticias por ambos medios. a.-¿Cuántas de las personas investigadas se enteran de las noticias solo por la TV? b.-¿Cuántas de las personas investigadas se enteran de las noticias solo por Radio? c.-¿Cuántas de las personas investigadas no escuchan ni ven las noticias?
CONJUNTOS
59. Se le preguntó a un grupo de 10 estudiantes sobre sus preferencias por dos marcas de refrescos Pepsi y Coca Cola. Obteniéndose lo siguientes resultados: El número de estudiantes que prefirieron Pepsi pero no Coca Cola fue de 3. El número de estudiantes que no prefirieron Pepsi fueron 6. Se desea saber: a) ¿Cuántos de los encuestados prefirieron Pepsi? b) ¿Cuántos de los encuestados prefirieron Coca Cola? c) ¿Cuántos de los encuestados prefirieron Pepsi o Coca Cola? 60. Una encuesta realizada a un grupo de empleados reveló que 277 tenían casa propia; 233 poseían automóvil; 405 televisor; 165 automóvil y televisor; 120 automóvil y casa; 190, casa y televisor y 105 tenían casa, automóvil y tele visor. a. ¿Cuántas personas fueron encuestadas? b. ¿Cuántas personas tienen solamente casa propia? c. ¿Cuántas personas tienen solamente casa y televisor? 61. En un total de 250 personas encuestadas sobre su desayuno se obtuvieron las siguientes respuestas, 30 personas tomaban té con leche, 40 personas tomaban café con leche, 80 personas tomaban leche, 130 personas tomaban té o leche y 150 tomaban café o leche. a) ¿Cuántas personas tomaban té puro? b) ¿Cuántas personas tomaban leche pura? c) ¿Cuántas personas tomaban café puro? d) ¿Cuántas personas no tomaba ninguna de estas tres cosas al desayuno? 62. Una tienda de artículos electrónicos vende en un día 44 equipos de música, todos los que tienen lector de CD (C.D.) tienen lector de cassetes (T.C.). Algunos tienen control remoto (C.R) y otros ninguna de las tecnologías nombradas. Si se vendieron: 16 equipos con (C.R) pero sin (C.D), 12 equipos con (TC) pero sin (CD) ni (CR), 24 equipos sin (C.R), 9 equipos con (C.R) y (T.C), 16 equipos con (T.C) pero sin (C.R): a) ¿Cuántos equipos que tenían alguna de éstas tecnologías se vendieron? b) ¿Cuántos equipos se vendieron con (CD) y (CR)? c) ¿Cuántos equipos con (CR) pero sin (TC) se vendieron?
CONJUNTOS
