Métodos Numéricos 2013
TRABAJO PRÁCTICO Nº7
Yésica Magnoli
Ejercicio 4 (Guía de prácticos de clase): Estime el logaritmo natural de 10 por medio de interpolación lineal. a) Interpole entre ln(8)=0.9030900 ln(8)=0.9030900 y ln(12)=1.791812 ln(12)=1.791812 LINEAL: >> x=[8 12]; >> y=[0.9030900 1.0791812]; >> xi=[8:1:12]; >> in=interp1(x,y,xi,'linear'); in=interp1(x,y,xi,'linear'); >> log10=in(3)
log10 = 0.99114 LAGRANGE: >> [xi,yi]=lagrange(x,y,3) [xi,yi]=lagrange(x,y,3) xi = 8 10 12 yi = 0.90309 0.99114 1.0792 >> y=log10(10); >> error=((y-log10)/log10)*100 error=((y-log10)/log10)*100
error = 0.89392%
b) Interpole entre ln(9)=0.9542425 ln(9)=0.9542425 y ln(11)=1.0413927. ln(11)=1.0413927. LINEAL: >> x=[9 11]; >> y=[0.9542425 1.0413927]; >> xi=[9:1:11]; >> i=interp1(x,y,xi,'linear'); i=interp1(x,y,xi,'linear'); >> log10=i(2)
log10 = 0.99782
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TRABAJO PRÁCTICO Nº7
Yésica Magnoli
LAGRANGE: >> x=[9 11]; >> y=[0.9542425 1.0413927]; >> xi=[9:0.1:11]; >> [xi,yi]=lagrange(x,y,3) xi = 9 10 11 yi = 0.95424 0.99782 1.0414
Se observa que en ambas interpolaciones, tanto por Lagrange como por interpolación lineal, el resultado es el mismo. También vemos, que en cuando más cerca del valor que queremos averiguar tomemos el intervalo, el error será menor.
>> y=log10(10); >> error=((y-log10)/log10)*100
error = 0.21848%
Ejercicio 5 (Guía de prácticos de clase): Los valores indicados en la tabla corresponden a la densidad del agua, (gr/ml ), a diversas T(°C) : T (°C)
r (gr/ml)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60
0.0008679 0.9999919 0.9997279 0.9991265 0.9982323 0.9970739 0.9956756 0.9940594 0.9922455 0.99024 0.98807 0.98573 0.98324
Realícese la interpolación para diferentes valores de T usando interpolación lineal, por spline y polinomial (serie de potencias y Lagrange). Grafique los puntos y las interpolaciones obtenidas.
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Yésica Magnoli
INTERPOLACIÓN LINEAL: >> T=[0:5:60]; >>d=[0.0008679,0.9999919,0.9997279,0.9991265,0.9982323,0.9970739,0.9956756,0 .9940594,0.9922455,0.99024,0.98807,0.98573,0.98324]; >> Ti=[0:0.1:60]; >> di=interp1(T,d,Ti,'linear'); >> plot(Ti,di,'b')
LAGRANGE >> [Ti,di]=lagrange(T,d,200) >> hold on >> plot(Ti,di,'b')
POLINÓMICA >> p=polyfit(T,d,200); >> c=polyval(p,Ti); >> hold on >> plot(Ti,c,'g')
SPLINE >> di=interp1(T,d,Ti,'spline'); >> hold on >> plot(Ti,di,'k')
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Yésica Magnoli
GRÁFICA 1.4 LINEAL LAGRANGE POLINÓMICA SPLINE
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
10
20
30
40
50
La gráfica anterior muestra las diferentes tipos de interpolaciones realizadas. Como conclusión se puede decir que ninguno de los métodos de interpolación es erróneo, sino cada uno responde de manera más satisfactoria que otros de acuerdo a la situación física de la cual queremos estudiar el comportamiento. Si de esta situación no se conoce o no se predice su comportamiento entonces debemos realizar todos estos tipos de interpolaciones hasta llegar al que mejor se aproxime al valor real de la curva.
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ALGORITMO DE INTERPOLACIÓN POR LAGRANGE (EN MATLAB)
function [xi,yi]=lagrange(x,y,n) %La función calcula el polinomio de lagrange para interpolar curvas. %ENTRADA: %x=vector de valores del eje x. %y=vector de valores del eje y. %n=números de puntos a estimar (vector). % %SALIDA %xi= vector de valores del eje x. %yi= vectores de valores valuados por interpolación de Lagrange. % %-------------------------------------------------------------------------m=length(x); xi=linspace(x(1),x(m),n); for k=1:n for i=1:m v(i)=1; for j=1:m if i~=j v(i)=v(i)*((xi(k)-x(j))/(x(i)-x(j))); end end end yi(k)=sum(v.*y); end
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