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UNIVERSITE ABDELMALEK ESSAADI ECOLE NATIONALE DES SCIENCES APPLIQUEES TANGER

TAVEAUX PRATIQUES OFDM ET CDMA ANNEE 2008/2009

Prof : mohamed moussaoui ENSA Tanger, Route Ziaten, BP 1818 Tanger principale [email protected]

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Prof : mohamed moussaoui ENSA Tanger, Route Ziaten, BP 1818 Tanger principale [email protected]

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ECOLE NATIONALE DES SCIENCES APPLIQUEES DE TANGER

PARTIE A : Modulations Multi-porteuses OFDM

I

L’écart fréquentiel entre deux porteuses orthogonales

II

Transmission d’un signal OFDM

III Etude du cas de la Transmission OFDM dans le Wifi IEEE 802.11a IV Etude de la transmission et la réception d’un signal OFDM

Prof: Mohamed Moussaoui

TRAVAUX PRATIQUES OFDM ET CDMA

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I. L’écart fréquentiel entre deux porteuses orthogonales Notre objectif est de calculer l’écart minimal entre deux sinusoïdes orthogonales de fréquences f 1 et f 2 , de duréeT . φ la On considère queφ différence de phase entre les deux sinusoïdes, φ π . avec φ φ ∈ 0, 2π Pour vérifié l’orthogonalité :

∫

T

0

cos(2π π f 1 t + φ φ ) cos(2π π f 2 t )dt = 0

On peut simplifie l’équation:

 sin(2π π ( f 1 + f 2 )T )

cos(φ φ )



2π π ( f 1 + f 2 )

+

sin (2π π ( f 1 − f 2 )T )  2π π ( f 1 − f 2 )

 

 cos(2π π ( f 1 + f 2 )T ) − 1 cos(2π π ( f 1 − f 2 )T ) − 1  + sin(φ + φ ) =0 ) ( ) π π f f f f 2 2 ( + − π π 1 2 1 2  

(1)

On note: • sin( nπ π ) = 0 et cos(2 nπ π ) = 1 , avec n est un entier. • On assume que ( f 1 + f 2 )T est un entier Donc sin (2π π ( f 1 + f 2 )T ) = 0 et cos(2π π ( f 1 + f 2 )T ) = 1 . Finalement on peut écrire l’équation (1) sous la forme: cos(φ φ )

sin(2π π ( f 1 − f 2 )T ) π ( f 1 − f 2 ) 2π

+ sin (φ φ )

cos(2π π ( f 1 − f 2 )T ) − 1 π ( f 1 − f 2 ) 2π

= 0.

(2)

Questions: φ ∈ 0, 2π 1. Donner la condition de l’orthogonalité dans le cas ou φ π 2. Donner la condition de l’orthogonalité dans le ou φ φ = 0 3. écrire un programme matlab qui explique les deux cas

On note • • •

La durée de deux sinusoïdes T = 1. La fréquence d’échantillonnage fs = 100 La fonction matlab « rand » donne une distribution uniforme



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II. Transmission d’un signal OFDM L’écart fréquentiel entre deux sinusoïdes de phases arbitraires est

1 T

. Avec T est la

période du symbole En OFDM, on utilise des sinusoïdes d’écart fréquentiel

1

. T On défini les sinusoïdes d’un signal OFDM sous la forme : g k ( t ) =

1 T

π kt     2π  T   rect T  t −     T   2 

exp j

Avec

   

T 

 : un signal rectangulaire entre [0, T )

•

rect T  t −

•

k = 0, 1, ..., K − 1 correspond à la fréquence de la sinusoïde

2 

Chaque sinusoide g k est multiple par sa propre information a k , et la somme des sinusoïdes modulées forme un signal OFDM s(t).

Questions 1. Donner la forme générale d’un signal OFDM s(t). 2. Trouver la relation entre un signal OFDM et la transformation de Fourier discrète

a 0

a1

g 0 ( t )

a K −1

g1 ( t )

g K −1 ( t )

s( t )

Figure 1. Réalisation possible d’un modulateur OFDM



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III Etude du cas de la Transmission OFDM dans le Wifi IEEE 802.11a Les spécifications techniques de IEEE 802.11

Paramètre FFT size. nFFT Number of used subcarriers. nDSC FFT Sampling frequency Subcarrier spacing Used Subcarrier index Cyclic prefix duration, Tcp Data symbol duration, Td Total Symbol duration, Ts

valeur 64 52 20MHz 312.5kHz -26 to -1, +1 to 26 0.8us 3.2us 4us

µ s , signifié qu’on peut utiliser les sous-porteuses : La durée symbole T = 3.2 µ µ µ ± k

= ±312.5 kHz , ±625kHz ....... T La bande passante de 20Mhz est divisée entre les 64 sous-porteuses d’indices : k = [− 32,.....31] .

Le nombre des sous-porteuses utilisées est 52 d’indices k = − 26,.. − 1, +1,..., +26 . Elles sont utilisées pour transmettre les séquences d’information a1 → a 52 . Chaque bit du symbole est assigné à son entrée IFFT. L’opération IFFT nous permet de présenter le signal dans le domaine temporel

Intervalle de garde (cyclic prefix) : Il est possible d’ajouter un espace entre les symboles OFDM, d’une durée supérieure à l’étalement des retards du canal. Ainsi les derniers échos du symbole OFDM auront lieu durant cet intervalle dit "de garde", et le symbole OFDM suivant ne sera plus perturbé par le précédent. En pratique on recopie le segment de la fin vers le début du symbole.

la Simulation On note : la taille de la IFFT est 64 52 sous porteuses utilisées d’indices k = − 26,.. − 1, +1,..., +26 Le nombre de bits par symbole OFDM est 52 Le nombre de bits totale 2500 1. générer une séquence binaire aléatoire de longueur nBit 2. convertir les bits en symboles BPSK ( 0 → −1, 1 → +1 ) 3. présenter le signal BPSK sous forme de matrice : Nombre de lignes= nombre de symboles OFDM Nombre de colonnes= nombre de bit par symbole OFDM) Pour ce but utiliser la fonction matlab « reshape » (voir help) 4. Pour chaque symbole OFDM, On assigne les bits a1 → a 52 aux sous fréquences d’indices k = − 26,.. − 1, +1,..., +26

5. générer le signal OFDM s ( t ) avec l’intervalle de garde 6. Tracer la densité spectrale de puissance DSP du signal OFDM Prof: Mohamed Moussaoui


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IV Etude de la transmission et la réception d’un signal OFDM Dans cette section, on s’intéresse à • étudier un simple émetteur récepteur OFDM trouver la relation entre E b / N 0 (Bit to Noise ration) et E s / N 0 (Signal to Noise • ratio) Calculer la probabilité d’erreurs dans le cas de la modulation BPSK

•

Cyclic prefix Dans le cas du canal AWGN, on sait que l’intervalle de garde ne porte pas d’une information ‘extra’. L’énergie du signal est étalée sur T d + T cp , alors que l’énergie du bit est étalée sur T d . c-à-d : E s T d + T cp = E b T d → E s =

T d T d + T cp

E b .

L’étalement fréquentiel (Frequency spread) En transmission OFDM, les sous-porteuses disponibles ne sont pas toutes utilisées pour transmettre les données. Par exemple le IEEE802.11a : la bande passante est − 10 MHz , 10 MHz , mais on utilise seulement la bande de 8.1250MHz (-26/64*20MHz) à +8.1250MHz (+26/64*20MHz). L’énergie du signal est étalée sur une bande passante de 16.250MHz, alors que le bruit est étalé sur la bande passante de 20MHz (-10MHz to +10MHz). c-àd : 20 Mhz . E s = 16.25. E b . Pour simplifier nDSC E s = E b . nFFT La relation entre E b / N 0 et E s / N 0 En combinant les deux aspects, la relation entre l’énergie du symbole et l’énergie du bit est la suivante: E s N 0

=

E s N 0 dB

 T d  E b   nDSC      N 0   nFFT   T d + T cp  =

E b N 0 db

  T d    nDSC  . + 10 log 10   + 10 log 10     nFFT    T d + T cp 



6


La simulation On note: • • • • •

nFFT = 64; nDSC = 52 nBitPerSym = 52 nSym = 10000 EbN0dB = [0:10]

Pour chaque EbN0dB 1. générer une séquence binaire aléatoire longueur nBit 2. générer le signal BPSK 3. Pour chaque symbole OFDM, assigner les bits a1 → a 52 aux sous fréquences

4. 5. 6. 7. 8.

d’indices k = − 26,.. − 1, +1,..., +26 , et générer le signal OFDM transmis avec l’intervalle de garde ajouter le bruit AWGN diviser le vecteur reçu en multiples symboles, et garder les sous porteurs utiles démoduler et convertir aux bits calculer le nombre de bits erronés tracer la porbabilité d’érreur en fonction EbN0dB

On donne la probabilité d’erreur théorique de la modulation BPSK : P b , BPSK =

1 2

  E b    N 0    

erfc



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PARTIE B : L’Accès Multiple de Division de Code (CDMA)

I. Le modèle de CDMA asynchrone II. La détection conventionnelle III. Simulation de CDMA dans un canal AWGN IV.Simulation de CDMA asynchrone dans un scénario Multi-Utilisateurs



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I. Le modèle de CDMA asynchrone Dans cette section nous présentons un modèle mathématique de système DS-CDMA asynchrone pour la liaison montante (Uplink) avec une modulation BPSK. Un système général de CDMA multi-utilisateurs est illustré dans la figure 2.

b1 (t )

τ 1

P1 c1 ( t ) τ 2

b2 ( t )

r ( t )

P2 c 2 ( t )

b K ( t )

n( t )

τ K

P K c K ( t ) Fig. 2 - Modèle de l’émetteur pour le système CDMA asynchrone Dans ce modèle, les K utilisateurs partagent les mêmes médias de communication et les signaux transmis par les utilisateurs passent dans des canaux séparés et indépendants. Les sorties des canaux sont ajoutées à un bruit commun aditif blanc gaussien. Chaque utilisateur transmet un flux de données binaires modulé comme suit N b −1

b k ( t ) =

∑ b

ψ ( t − nT ) , ψ

k , n

n = 0

avec T la période de symbole, b k ,i le bit i de l’utilisateur k, b k , i ∈ {− 1,1}et ψ ψ ( t ) la forme d'onde de symbole. Le flux des données de chaque utilisateur est étalé par son propre code de taux élevé, sa forme d’onde est exprimée comme : N c −1

c k ( t ) =

∑ c

ψ ψ ( t − mT c )

k , m

m = 0

Avec c k , m est le chip m de l'utilisateur k, T c est la période de chip, N c =

T T c

est le

gain de traitement (ou facteur d’étalement : Spreading Factor), et ψ (t ) la forme d'onde de chip. On suppose que c k ( t ) est réelle (l'analyse peut être simplement généralisée dans le cas complexe) et normalisée, donc, Prof: Mohamed Moussaoui


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2

T

si t ∉ [0, T ) et

c k ( t ) = 0

∫ c

k

( t ) dt = 1 , les chips sont binaires, c-à-d c k , m ∈ {− 1,1} . La

0

forme d’onde de la signature est périodique de période T . Le signal émis par chaque utilisateur après l’étalement est s k ( t ) = P k b k ( t ) c k (t ) , avec P k la puissance en bande de base de l'utilisateur k. Il est supposé aussi que le système CDMA étudié ici est asynchrone et que les retards sont uniformément distribués dans l’intervalleτ τ k ∈ [0, T ) ∀k . Le système CDMA est dit synchrone si les retards sont égaux (et, ainsi, normalisables à zéro), c.-à-d., τ τ 1 = τ τ 2 = ... = τ τ K = 0 et

quasi-synchrone

si les retards sont petits

durant l'intervalle de symbole. Le signal reçu est : N b −1 K

K

∑ ∑ s

r ( t ) =

k

( t − τ τ k ) + n( t ) =

k =1

∑∑

P k b k , n c k ( t − nT − τ τ k ) + n( t ) ,

n = 0 k =1

Le bruit n( t ) est de moyenne nulle ergodique et stationnaire AWGN complexe avec un module de spectre de puissance N 0 .

II. La détection conventionnelle Le détecteur conventionnel est une batterie de K corrélateurs, comme montré dans la figure 3.

1 T

r ( t )

∫

T

t = iT

Décision

ˆ b 1

Décision

ˆ b 2

c1 ( t ) 1

∫ T

T

t = iT

c 2 ( t ) 1 T

∫

T

t = iT

Décision

ˆ b K

c K ( t ) FIG. 3 - Le détecteur conventionnel de DS-CDMA : une batterie de corrélateurs



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Ici, chaque code est régénéré et corrélé avec le signal reçu dans une branche séparée de détecteur. Les sorties des corrélateurs sont échantillonnées au temps de bit, pour donner des estimations "souples" (soft) ( Z m ) des données transmises. ˆ ) des données sont données selon le signe En final, des décisions "dures" (hard) ( b m des estimations souples. La sortie du corrélateur de l'utilisateur Z m , i =

1

∫

T

( i +1)

iT

avec A m = 1

T

ℜ{ r ( t ) c1 ( t )} dt = A m +

m pendant l’intervalle de bit i est

K

∑i

k , m

+ η η ,

k =1 k ≠ m ( i +1 )

∫ ℜ{ P b m

m

}

( t ) c m ( t ) c m ( t ) dt =

Pm bm ,i

iT

144 4 4 4 244 4 4 4 3

L'utilisateu r _ Désiré

K

∑i

I m =

k , m

k =1 k ≠ m

  K      = ℜ  ∑ P k b k ( t − τ τ k ) c k ( t − τ τ k ) c m ( t )dt ∫   T iT   k k =≠ m1      144 4 4 4 4 4 4 4 244 4 4 4 4 4 4 4 3 1

( i + 1)T

MAI

η =

1 T

( i + 1)T

∫ ℜ{ n( t ) c

m

( t )} dt .

iT

144 4 244 4 3

Bruit

Avec A m , i k , m et η η les contributions de l'utilisateur désiré, l’interférence de l'utilisateur k, et le bruit AWGN, respectivement Dans l’hypothèse SGA (approximation gaussienne standard), la probabilité d'erreur moyenne approximative de symbole dans un canal asynchrone est donnée sous la forme :

PSGA

  E ( Z m ,i )   = Q  var ( Z )  m , i    


     1 = Q    2 E b   N 0     1

 P k  ∑ k =1 1 k ≠ m  ⋅  3 N Pm    K

+

−

1 2

    .    


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III. Simulation de CDMA dans un canal AWGN On note: • • • • •

le nombre de bits à simuler : x_ném = 10000; La longueur du code : N = 64; La durée de chip : Tc=1 ; La densité spectrale du bruit est fixée à 2 L’intervalle du rapport signal/bruit : EbNodB = -20:2:10;

Pour chaque EbN0dB

1. Convertir le rapport signal/bruit en linéaire 2. Calculer la puissance d’émission 3. Générer les symboles BPSK 4. Générer le code Hadamard 5. Générer le signal étalé plus le bruit AWGN 6. Dés-étaler le signal et récupérer les symboles reçus 7. Tracer la probailité d’erreur en fonction du rapport signal/bruit



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IV.Simulation de CDMA asynchrone dans un scénario Multi-Utilisateurs On note: • • • • • •

le nombre de bits à simuler : x_ném = 300000; le nombre d’utilisateurs: K = 4 La longueur du code : N = 32 La durée de chip : Tc=1 La densité spectrale du bruit est fixée à 2 L’intervalle du rapport signal/bruit : EbNodB = -20:3:50,

1- générer les retards en chips entre les utilisateurs 2- pour chaque EbNodB •

Convertir le rapport signal/bruit en linéaire

•

Calculer la puissance d’émission

•

Générer les symboles BPSK

•

Générer le code Hadamard

•

prendre le code 1 de la matrice comme le code de l’utilisateur 1 et générer son signal étalé

•

ajouter les signaux des autres utilisateurs au signal de l’utilisateur 1

•

ajouter le bruit AWGN

•

Dés-étaler le signal de l’utilisateur 1 et récupérer les symboles reçus

2-a) Tracer la probabilité d’erreur en fonction du rapport signal/bruit 2-b) tracer la probabilité d’erreur en fonction du nombre d’utilisateurs (La capacité)



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