Matemática II - Curso on line 2017. TP Nº5 – Elementos de Probabilidad y Estadística - Resuelto Comisión B 1) En un bolillero hay 3 bolillas bolillas rojas y 5 bolillas blancas, blancas, totalmente indistinguibles indistinguibles al tacto. Se extraen a azar y sin reposición 2 de ellas. Calcular la probabilidad de que sean: a) Ambas rojas. b) Ambas del mismo color. c) Al menos una de ellas sea roja. a) Ambas sean rojas. Resolución: El hecho de extraer dos bolillas sin reposición hace que los sucesos sean dependientes ya que, el resultado de la segunda bolilla, depende de la primera. De allí es que las fórmulas que utilizamos son las que siguen. ( 3 son rojas)
Hay Hay una una roja menos
3 8
P ( R 1 R 2 ) P ( R 1 ). P ( R 2 / R 1 )
.
2 7
8 po posib sibles les
Hay Hay una una bolilla menos
3 28
0 ,1071
P ( R 1 R 2 ) 0 ,1071
b) Ambas del mismo color. casos porque lo que importa es que que haya dos del mismo color. Resolución: Aquí hay dos casos P ( X X ) P ( R 1 R 2 ) P ( B1 B2 ) P ( R 1 ). P ( R 2 / R 1 ) P ( B1 ). P ( B2 / B1 ) . 4 13 Reemplazando resulta: P ( X X ) 38 . 7 2 5 0 ,4643 8 7 28 P ( X X ) 0 ,4643
c) Al menos una de ellas sea roja. Resolución: Supongamos que llamamos "X" a la cantidad de bolillas rojas que salen en dos extracciones sin reposición. Entonces, siendo: X: "Nº bolillas r ojas extraídas". X: "0,1, 2" P ( X 0 ) P ( X 1 ) P ( X 2 ) 1
P ( X 1 ) P ( X 2 ) 1 P ( X 0 )
Esto debemos calcular
Z
9 . 4 14 0 ,6428 Luego: Z 1 P ( B1 B2 ) 1 P ( B1 ). P ( B2 / B1 ) 1 5 8 7
P ( X 1 ) 0 ,6428
2) En una ciudad de la provincia de Buenos Aires hay dos escuelas de enseñanza agrícola, ellas son la Escuela Gral Urquiza y la Escuela Bernardino Rivadavia. La primera de ellas recibe al 55% de los alumnos, mientras que el 45% restante concurre a la segunda. Entre aquellos alumnos que concurren al Urquiza, sus padres dicen sentirse conforme con la
enseñanza impartida en el 70% de los casos mientras que para el Rivadavia esa cifra es del 80%. Se elige al azar un padre de alumno que está en alguna de esas escuelas y, mediante una encuesta, se le pregunta si se siente conforme con la enseñanza recibida. Se pide: a) Calcular la probabilidad probabilidad de que efectivamente lo esté. esté. b) Si el padre elegido manifestó sentirse conforme conforme ¿Qué probabilidad probabilidad hay de que su hijo concurra a la Escuela Rivadavia? a) Resolución: Vamos a simbolizar previamente cada suceso posible U: “Alumno de escuela Urquiza” R: “Alumno de Escuela Rivadavia” C: “Está conforme con la enseñanza” P (U) = 0,55
P (R) = 0,45
P (C/U) =0,70
P (C/R) = 0,80
P ( C ) P C U P C R P C U . P ( U ) P C R . P ( R ) P ( C ) 0 ,70 . 0 ,55 0 ,80 . 0 ,45 P ( C ) 0 ,745
b) Resolución: P C R . P ( R ) 0 ,80 . 0 ,45 . P ( R / C ) P ( C ) 0 ,745 P ( R / C )
Entonces:
0 ,80 .0 ,45 0 ,745
P ( R / C ) 0 ,4832
3) Durante el último año el Instituto Nacional Nacional de Arte tuvo una matrícula matrícula superior a la la habitual. A fin de año, llegado el momento de los exámenes, los mismos arrojaron los siguientes resultados: El 34% del total no pudo aprobar el examen final de Historia; el 26% no pudo aprobar el de Dibujo y hubo un 52% que no logró aprobar alguno de esos dos exámenes. Si del total de alumnos examinados se elige uno al azar: a) Calcular la probabilidad de que haya aprobado los dos exámenes. b) ¿Qué probabilidad hay de que habiendo aprobado el examen de Historia también haya aprobado el de Dibujo? c) ¿El hecho de haber aprobado el examen de Historia, se puede afirmar que es probabilísticamente independiente del de haber aprobado el de Dibujo? Justificar la respuesta. Resolución: Definimos previamente cada suceso y su complementario. A partir de ello armaremos una tabla de doble entrada para estudiar la situación: P ( D ) : “No aprobó el examen de Dibujo ”
P ( H ) “Aprobó el examen de Historia” P ( D )
P ( D )
P ( H )
34 %
P ( H )
66 % 26 %
74 %
100 %
Los únicos datos que podemos colocar colocar en el cuadro son los de la última fila f ila o columna, el resto es necesario deducirlos: E l enunciado enunciado indic indica a que " no aprobó" aprobó" alg lguno uno de de es es os exám exámene eness . E ll llo o sig s ig nific a que no pudo apr aprobar obar uno, ó el otro, ó ning nin g uno de los dos .
Como P D H 0 ,52 , aplicando la fórmula de probabilidad total resulta: P D H P D P H P D H
0 ,52
0 ,34
0 ,26
P D H 0 ,08
Lo calculado anteriormente, en términos de porcentaje significa un 8%. Ahora estamos en condiciones de completar la tabla que resulta así: (Los datos señalados en color rojo fueron calculados por sumas o diferencias) difer encias) D
D
H
8%
26%
34%
H
18%
48%
66%
26 %
74 %
100 %
El cuadro completo nos permite calcular los ítems solicitados.
a) Calcular la probabilidad de que haya aprobado los dos exámenes. P D H 0 ,48
b) ¿Qué probabilidad hay de que habiendo aprobado el examen de Historia también haya aprobado el de Dibujo? P D H
P D H 0 ,48 P H 0 ,66
8 P D H 11 0 ,7273
c) ¿El hecho de haber aprobado el examen de Historia, se puede afirmar que es probabilísticamente independiente del de haber aprobado el de Dibujo? Justificar la respuesta.
Cuando dos sucesos son probabilísticamente independientes, la probabilidad de ocurrencia de ambos simultáneamente, coincide con el producto entre las probabilidades de cada uno de ellos por separado. O sea que debería pasar que: P D H P D.P H
Como
P D H 0 ,48
P D .P H 0 ,74 . 0 ,66 0 ,4884
Los números obtenidos son prácticamente iguales
( 0 ,48 0 ,4884 )
. Con ello podríamos
afirmar que los resultados logrados en una de estas asignaturas es probabilísticamente independiente del logrado en la otra.
4) Un juego consiste en lo siguiente: La banca posee posee una baraja española española de 40 naipes y entrega una de ellos al apostador. Si obtiene un Basto o una Copa le paga un premio de 10 pesos. Si es de Espadas le paga un premio de $20. Si llega a ser de Oros le paga $40 pero si es el 7 de Oros le paga $100. ¿Cuánto debe pagar cada jugador por su derecho de intervención para que el juego resulte equitativo? Resolución: Construyendo una tabla de doble entrada y volcando allí los posibles sucesos resulta de la manera indicada más abajo. Luego, para exigir que el juego sea justo, vamos a plantear un valor de esperanza matemática nulo. Vamos a asociar previamente cada tipo de naipe con una letra que lo identifique: B: ”El naipe extraído es de Bastos” C: ”El naipe extraído es de Copas” E: ”El naipe extraído es Espadas” O: ”El naipe extraído es de Oros”
Pi
Xi
Pi . Xi
P ( B C )
20 40
10 p
20 .10 p 40
P ( E )
10 40
20 p
10 .20 p 40
P ( O )
9 40
40 p
9 .40 p 40
P ( O 7 )
1 40
100 p
1 .100 p 40
E s peranza matem matemát átic ica a as as ociad oci ada a al al jueg o
Si: E ( X ) 0
E ( X )
20 9 1 .10 p 10 .20 p 40 .40 p 40 .100 p 40 40
0
Para evitar las fracciones multiplicaremos a todos por “40”
Así resulta: 20 .10 p 10 .20 p 9.40 p 1.100 p 0 Distribuyendo tenemos: 200 20 p 200 10 p 360 9 p 100 p 0 De donde: 860 40 p
p 21,5 $
p i . X i 0
5) Una muestra de de 100 motores motores eléctricos fue fue sometido a una prueba de duración en forma continua hasta que fue necesario detenerlos por falla de algún componente. Los datos obtenidos se detallan en la siguiente tabla. Duración (en miles de horas)
[0,2 ; 0,4) [0,4 ; 0,6)
Cantidad
12
de motores
[0,6 ; 0,8)
[0,8 ; 1,0)
[1,0 ; 1,2)
[1,2 ; 1,4)
30
22
13
5
18
a) Confeccionar en escala un gráfico de frecuencias absolutas y otro de frecuencias acumuladas. b) Mediante la confección de una planilla calcular la media y el desvío standard. c) Estimar gráficamente, en forma aproximada, aproximada, el valor de la mediana y la moda. La siguiente tabla y los gráficos están confeccionados en Excel
TABLA DE DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS ABSOLUTAS _
x 0 ,2 ; 0 ,4
0 ,4 ; 0 ,6 0 ,6 ; 0 ,8 0 ,8 ;1,0 1,2 ;1,4 1,4 ;1,6
( x i x )2 f i
x i
f i
F i
x i f . i
0,3
12
12
3,6
2,3444
0,5
18
30
9
1,0542
0,7
30
60
21
0,0529
0,9
22
82
19,8
0,5492
1,1
13
95
14,3
1,6661
1,3
5
100
6,5
1,5568
74,2
7,22
100
Cálculo de la media: x
x i .f i x
N
74 ,2 100
0 ,742 x
Cálculo del desvío standard: σ
σ
x i x 2 .f i N
σ
7 ,22 100
0 ,269
Cálculo de la moda y de la mediana por fórmula – (No se pide en el enunciado): m0
c i . hi hi 1 L hi hi 1 hi hi 1 i
m0 0 ,72
m0
0 ,2 . 30 18 0 ,6 30 18 ( 30 22 )
me
c i f i
. N F i 1 Li 2
me
0 ,2 .50 30 0 ,6 30
m0 0 ,733
Cantidad de motores
Tiempo de duración
Cantidad de motores
Tiempo de duración
planta industrial el el consumo mensual mensual de combustible es una variable aleatoria distribuida 6) En una planta normalmente con media de 20.000 litros y desvío de 2.500 litros.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que en un mes se consuman menos de 24.000 litros? b) ¿Qué porcentaje de los meses se consume entre 18.000 y 24.000 litros? c) ¿Cuál es el consumo superado en el 95% de los meses?
Resolución: Previamente debemos unificar las unidades para poder estandarizarlas. Dado que μ 20000 la variable es una variable aleatoria normal con σ 2500
a) ¿Cuál es la probabilidad de que en un mes se consuman menos de 24.000 litros? Para X 24000 El cálculo de probabilidades de variables normales se efectúa utilizando la tabla que está más abajo. En la tabla figuran las probabilidades en el intervalo ; z y un determinado valor de la variable auxiliar z que se denomina variable estandarizada o tipificada. Entonces, para poder usar la tabla de la distribución Normal, se deben transformar los valores de la variable original x en valores de la variable auxiliar z mediante la siguiente fórmula:
z
x μ σ
Este cálculo se conoce como estandarización de la variable X. Entonces vamos a pasar a unidades estándar el valor 24000: z
x
24000 20000 2500
1,6
Para poder deducirlo vamos a esquematizar una campana de Gauss que permita l legar a la respuesta.
rea Dada por la tabla P(z<1,6)=0,9452
1,6
Buscamos entonces en la tabla el valor 1,6 (señalado en color rojo) en la columna z y encontramos que le corresponde un valor de 0,9452. resulta: P Z 1,6
0,9452
24000 0,9452
P x
b) ¿Qué porcentaje de los meses se consume entre 18.000 y 24.000 litros? Procedemos de la misma manera que en el punto anterior, entonces: 18000 litros en unidades estándar:
z
x
18000 20000 2500
0,8
z
24000 litros en unidades estándar:
x
24000 20000 2500
1,6
Luego, P 18000 X 24000 P 0,8 Z 1,6 P Z 1,6 P Z 0,8 Como lo buscado es el área comprendida entre los dos valores de X y además la tabla no contiene valores negativos, debemos hacerlo por simetría. Buscamos en la tabla. Uno de los valores ya fue calculado anteriormente y el otro es el (señalado en color verde) los valores necesarios que resultan ser:
rea solicitada
-0,8
1,6
rea Solicitada P(z>0,8)=1-0,7881 =(z>0,8)=0,2119
rea dada por tabla P z<0 8 =0 7881
rea dada por tabla P(z<1,6)=0,9452
0,8
P (0,8 X
1,6
1,6) P Z 1,6 P Z 0,8
Entonces buscando en la tabla resulta: P ( 0,8 X
1,6) P Z 1,6 1 P Z 0,8 P Z 0 ,8
P 0,8 X
1,6 0,9452 1 0,7881
P 0,8 X
1,6 0,73334
c) ¿Cuál es el consumo superado en el 95% de los meses? Ahora el problema es al revés, revés, nos dan como dato la probabilidad. Queremos, en esta ocasión que P x a 0 ,95 Debemos buscar en la tabla el valor que más se aproxima a 0,95. El mismo se encuentra señalado en color amarillo y es el que corresponde a 1,65. Dado que z
x
x 20000
2500
1,65
x 20000
4125
x
15875
Tabla de distribución Normal PROBABILIDAD MENOR O IGUAL AL VALOR Z BUSCADO Tabla 1. reas bajo la curva normal estándar. estándar. Los valores de la tabla que no se muestran en negrita representan la probabilidad de observar un valor menor o igual a z. La cifra entera y el primer decimal de z se buscan en la primera columna, y el segundo decimal en la cabecera de la tabla.
P( Z z)
z
f (t).dt
Segunda cifra decimal del valor de z z 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3.0 3.1 3.2 3.3 3.4
0.00 .5000 .5398 .5793 .6179 .6554 .6915 .7257 .7580 .7881 .8159 .8413 .8643 .8849 .9032 .9192 .9332 .9452 .9554 .9641 .9713 .9772 .9821 .9861 .9893 .9918 .9938 .9953 .9965 .9974 .9981 .9987 .9990 .9993 .9995 .9997
.01 .5040 .5438 .5832 .6217 .6591 .6950 .7291 .7611 .7910 .8186 .8438 .8665 .8869 .9049 .9207 .9345 .9463 .9564 .9649 .9719 .9778 .9826 .9864 .9896 .9920 .9940 .9955 .9966 .9975 .9982 .9987 .9991 .9993 .9995 .9997
.02 .5080 .5478 .5871 .6255 .6628 .6985 .7324 .7642 .7939 .8212 .8461 .8686 .8888 .9066 .9222 .9357 .9474 .9573 .9656 .9726 .9783 .9830 .9868 .9898 .9922 .9941 .9956 .9967 .9976 .9982 .9987 .9991 .9994 .9995 .9997
.03 .5120 .5517 .5910 .6293 .6664 .7019 .7357 .7673 .7967 .8238 .8485 .8708 .8907 .9082 .9236 .9370 .9484 .9582 .9664 .9732 .9788 .9834 .9871 .9901 .9925 .9943 .9957 .9968 .9977 .9983 .9988 .9991 .9994 .9996 .9997
.04 .5160 .5557 .5948 .6331 .6700 .7054 .7389 .7704 .7995 .8264 .8508 .8729 .8925 .9099 .9251 .9382 .9495 .9591 .9671 .9738 .9793 .9838 .9875 .9904 .9927 .9945 .9959 .9969 .9977 .9984 .9988 .9992 .9994 .9996 .9997
.05 .5199 .5596 .5987 .6368 .6736 .7088 .7422 .7734 .8023 .8289 .8531 .8749 .8944 .9115 .9265 .9394 .9505 .9599 .9678 .9744 .9798 .9842 .4878 .9906 .9929 .9946 .9960 .9970 .9978 .9984 .9989 .9992 .9994 .9996 .9997
.06 .5239 .5636 .6026 .6406 .6772 .7123 .7454 .7764 .8051 .8315 .8554 .8770 .8962 .9131 .9279 .9406 .9515 .9608 .9686 .9750 .9803 .9846 .9881 .9909 .9931 .9948 .9961 .9971 .9979 .9985 .9989 .9992 .9994 .9996 .9997
.07 .5279 .5675 .6064 .6443 .6808 .7157 .7486 .7794 .8078 .8340 .8577 .8790 .8980 .9147 .9292 .9418 .9525 .9616 .9693 .9756 .9808 .9850 .9884 .9911 .9932 .9949 .9962 .9972 .9979 .9985 .9989 .9992 .9995 .9996 .9997
.08 .5319 .5714 .6103 .6480 .6844 .7190 .7517 .7823 .8106 .8365 .8599 .8810 .8997 .9162 .9306 .9429 .9535 .9625 .9699 .9761 .9812 .9854 .9887 .9913 .9934 .9951 .9963 .9973 .9980 .9986 .9990 .9993 .9995 .9996 .9997
.09 .5359 .5753 .6141 .6517 .6879 .7224 .7549 .7852 .8133 .8389 .8621 .8830 .9015 .9177 .9319 .9441 .9545 .9633 .9706 .9767 .9817 .9857 .9890 .9916 .9936 .9952 .9964 .9974 .9981 .9986 .9990 .9993 .9995 .9997 .9998
