torsión
3-1. INTROD UCCIÓN E HIPÓTESIS FUN DAM ENTALES
En esie capítulo se estudia el problem a de la torsión y sus aplicaciones, pero sólo en el caso de árboles de sección circular, o de tubos de pared delgada. La torsión de árboles* de sección arb itraria es un problem a complejo del que sólo se exponen las fórmulas de aplicación. Con la torsión se inicia, por otra parte, el estudio de los problemas en los que el esfuerzo no se distribuye uniformem ente dentro de una sección. Aunque la teoría general de este tipo de problemas es complicada, su aplicación es sencilla, y una vez deducidas las fórmulas, no hay más que sustituir en ellas los valores de los datos y nada más. El procedimiento general que se sigue en todos los casos de distribución no uniform e de esfuerzos se puede resumir en los siguientes puntos: 1. Del examen de las deformaciones elásticas que produce un determ inado tipo de carga, y la aplicación de la ley de Hooke, se determinan unas relaciones entre los esfuerzos en los distintos puntos de la sección, de m anera que sean compatibles con las deformaciones. Tales relaciones se denom inan ecuaciones de compatibilidad. 2; Aplicando las condiciones de equilibrio en el diagrama del cuerpo libre correspondiente a una porción del cuerpo, se obtienen otras relaciones entre los esfuerzos. Dichas relaciones, deducidas de la consideración del equilibrio entre las fuerzas exteriores aplicadas y las fuerzas resistentes interiores en una sección de exploración, se llaman ecuaciones de equilibrio. * N. del R. Se conoce como árbol a tod o elemento mecánico que tiene la form a.de un sólido de revolución y que se utiliza p ara trasmitir par. El árbol de sección circular suele llamarse “ eje” o “ flecha” (en inglés, shaft).
60
3 -2
D e d u cc ión de las fo rm u la s de to rs ió n
61
3. Com probación de que la solución del sistema de ecuaciones de los puntos 1 y 2 satisface las condiciones de carga en la superficie del cuerpo. Es decir, se han de verificar las condiciones de fro ntera impuestas. En la teoría de elasticidad se demuestra que si existe una solución que satisface estos tres grupos de ecuaciones, esta solución es única. P ara deducir las fórmulas de la torsión se debe establecer una serie de hipótesis que pueden dem ostrarse matem áticamente y algunas de ellas, comprobarse experimentalmente. Las dos primeras corresponden a secciones circulares. 1. Las secciones circulares permanecen circulares después de la torsión. 2. Las secciones planas permanecen planas y no se alabean después de la torsión. 3. La proyección sobre u na sección transversal de una línea radial de una sección permanece radial después de la torsión. 4. El árbol está sometido a la acción de pares torsores o torsionantes que actúan en planos perpendiculares a su eje. 5. Los esfuerzos no sobrepasan el límite de proporcionalidad. 3-2. DEDUCCIÓN DE LAS FÓRMULAS D ET O R S IÓ N
En la figura 3-1 se m uestran dos proyecciones de un árbol circular macizo. Al aplicar un momento torsionante T a los extremos del árbol, una generatriz cualquiera, tal como A B , en
62
TO RSIÓN
la superficie del cilindro, inicialmente recta y paralela al eje, se tuerce form ando una hélice A C , al tiempo que la sección en B gira un cierto ángulo 6 respecto de la sección en A . Se puede adquirir una representación intuitiva de cómo se form a esta hélice de la m anera siguiente: Imaginemos que el árbol está form ado por innumerables «rebanadas» o porciones d iscoidales muy delgadas, todas ellas perfectamente rígidas y unidas m ediante fibras elásticas. La (2) sufrirá una rotación, resbalando sobre la (T) hasta que la fibras elásticas que las unen se deformen y produzcan, al estirarse, un par resistente que equilibre al par aplicado. En este momento, las “ rebanadas” o porciones discoidales (T) y (2) actuarán como un conjunto único y rígido, trasm itiendo el par torsionante a la (3 ); esta girará hasta que las fibras elásticas que la unen a (2) desarrollen como antes un p ar resistente igual al par aplicado, y así sucesivamente, propagándose la deform ación a lo largo de la longitud L del árbol. La hélice A C es la línea que une los puntos iniciales de referencia de todas las rebanadas infinitamente delgadas, puntos que antes de la deform ación estaban sobre A B . Esta descripción intuitiva de la deform ación por torsión en un árbol es puramente ideal, pero la hélice que resulta está perfectamente definida. En realidad, todas las rebanadas empiezan a girar al mismo tiempo sobre las anteriores, tan pronto como se aplica el momento torsionante, y el ángulo total de torsión 6 de uno a otro extremo aum enta si el m omento de torsión se incrementa. Consideremos ahora una fibra cualquiera a una distancia p del eje del árbol. Po r la hipótesis 3 de la sección 3-1, el radio de dicha fibra gira también el mismo ángulo 6, produciéndose una deformación tangencial <5, igual a DE. La longitud de esta deform ación es el arco de círculo de radio p y ángulo 6 y viene dada por: Ss = DE — P9
(a)
En estas condiciones, la distorsión es: 7
L
_pB_ L
(b)
y el esfuerzo cortante, según la ley de Hooke, (c) La expresión (c) se suele llam ar ecuación de compatibilidad, ya que los esfuerzos expresados p or ella son compatibles con las deformaciones elásticas. Obsérvese que los términos de paréntesis son constantes que no dependen de la posición de la fibra; de aquí que el esfuerzo cortante en un punto interior sea el producto de una constante por su distancia al centro, es decir, la distribución de esfuerzos a lo largo de cualquier radio varía linealmente con la distancia al centro de la sección. La figura 3-1 representa gráficamente esta variación a lo largo de OB; el esfuerzo cortante máximo, rmáx, tiene lugar evidentemente en la fibras exteriores. Siguiendo el procedim iento general de la sección 3-1 se divide el árbol en dos mediante una sección M -N perpendicular a su eje y se traza el diagrama del cuerpo libre correspondiente a una de las partes, como el representado en la figura 3-2. Un elemento diferencial de área de esta sección estará sometido a una fuerza resistente dP = t d A , ya que al ser diferencial se puede adm itir que el esfuerzo es constante dentro del elemento. C omo la misión de estas fuerzas resistentes, que representan la acción sobre esta
3 -2
D e d u cc ió n de las fó rm u la s de to rs ión
63
Sección M -N
Figura 3-2. Diagram a del cuerpo libre de la figura 3-1.
sección de la parte suprimida del sólido, es oponerse al m omento torsionante aplicado T, han de tener la dirección perpendicular al radio para producir el máximo efecto. En una sección circular esto es matemáticamente cierto, pero difícil de dem ostrar aquí; baste con decir, aun que se considere como axioma, que, como consecuencia del principio de conservación de la energía, las fuerzas resistentes se distribuyen siempre de manera que sean lo más eficaces posibles y que, por tanto, dP ha de ser perpendicular a p de forma que produzca la máxima resistencia a la torsión. Para que se cumplan las condiciones de equilibrio estático, apliquemos la condición L M = 0, es decir, que el par torsor resistente ha de ser igual al m omento torsionante aplicado. El par resistente Tr es la suma de los momentos respecto al centro de todas las fuerzas diferenciales dP: T = T = JpdP = j
p(T
dA)
Sustituyendo r por su valor dado en (c) resulta:
A hora bien, \p 2dA = J, es el momento polar de inercia de la sección recta, con lo que:
que también se suele escribir en la forma:*
A fin de expresar 6 en las unidades apropiadas (radianes), T debe estar en N • m y L en m; / por supuesto está en m 4 y G. en N /m 2. Si deseamos expresar 0 en grados, multiplicamos el segundo miembro de la ecuación (3-1) p or la fracción unitaria, 180 grad/rc rad = 57.3 g rad /rad . * Obsérvese la semejanza de la ecuación (3-1) con la ecuación de la deform ación lineal <5 = P L /A E , analogía que hace recordar más fácilmente estas expresiones.
64 „
TO RSIÓ N
Sustituyendo el valor de G 6/L en la ecuación (c) por su equivalente T /J dado por (3-1) se obtiene: r - 1$ .
(3-2)
que es la fó rm ula de la torsión. P a ra calcular el m áxim o esfuerzo cortante, que es la expresión m ás utilizada en la práctica, se sustituye p p or el radio r del árb ol, es decir: ^máx
Tr j
(3-2a)
obsérvese que al haber aplicado la ley de H ook e en la deducción de estas fórm ulas, los esfuerzos no deben sobrepasar el lím ite de prop orcionalidad*. A dem ás, conviene insistir en que estas expresiones sólo son válidas en el caso de secciones circulares, llenas o huecas1". En la figura 3-3 se m uestran los valores del m om ento po lar de inercia para secciones circulares. Sustituyendo estos valores en la fórm ula de la torsión , ésta adquiere las siguientes form as: E je m acizo:
2T 16 T Tfnáx = — = — ir r
Eje hueco:
(3-2b)
iTd
T = ----- H * ___ = ____ - 7¿>___ max ir(R 4 - r4) u ( D 4 — d 4)
n , , ( °
E n m uchas aplicaciones prácticas, los árboles se utilizan p ara trasm itir potencia. Del estudio de la dinám ica se sabe que la p otencia W tran sm itida p or un par con stan te T que gira a velocidad an gular constante a> está dad a por <éP = To» donde co está m edida en radianes p or u nidad de tiem po. Si el árbol gira a una frecuencia d e / revoluciones por unidad de tiem po, o j = 2-wf, y se tiene =
T 2 rrf
Así, el m om ento to rsio nan te trasm itido puede expresarse com o
* La expresión (3-2a) tam bién se emplea para determ inar el esfuerzo de rup tu ra p o r cortante. A u nq u e en el instante de la ru p tu ra de un á rbo l se habrá excedido el lím ite de p ro po rcio na lida d , el esfuerzo cortante obtenid o ap licando está fó rm ula, que suele llamarse módulo de ruptura a torsión , sirve para comparar los esfuerzos ú ltim os o de rup tu ra de muestras de distinto s materiales y diámetros. +Una fó rm u la suficientemente aproxim ada para determ inar el esfuerzo cortante m áxim o en una b arra de sección rectangular es
T * a b (V3 + 1 8 “a )) en donde a es el lado m ayo r y b, el lado m enor del rectángulo.
3-2
D e d u c ció n de las fó rm u la s de to rs ió n
65
Sección hueca Sección llena
nd
¿ = f (R4V ) =g(2>4- d 4)
32
Figura 3-3. M om entos polares de inercia.
C on m edida en w atts (1 W = 1 N • m /s) y / en revoluciones po r segundo ( r/s), la ecuación an terior determ in ará el m om ento to rsion ante en new ton-m etros. Pued e usarse este v alor de Y en la ecuación (3-2) p ara obtener el esfuerzo cortan te m áxim o y en la ecuación (3-1) para determ inar el ángulo de giro. PROBLEMAS ILUSTRATIVOS
301. U n árbo l m acizo de un tren de lam inación tiene que trasm itir una potencia de 20 kW a 2 r/s . D eterm inar su diám etro de m anera que el esfuerzo cortan te m áxim o no exceda de 40 M N /m 2 y que el ángu lo de to rsión, en un a longitud de 3 m, sea com o m áxim o de 6o. Emplee un valo r de G de 83 G N /m 2. Solución: Este p ro blem a es un ejem plo de diseño de un elem ento de m áqu ina en el que se ha de tener en cuenta tan to la resistencia com o la rigidez. Se com ienza p o r d eterm inar, según (3-3), el m om ento to rsio n an te a que está som etido el árbol. —
2trf
T
= 20 X l°- = 1590 N - m 2 t t ( 2)
P a ra satisfacer la condición de resistencia se aplica (3-2b) que da el esfuerzo co rtan te máxim o, \f>T^ vi 16(1590) 167* 40 x 10b = T = ------ 7rd TTií'
^ = 202 x 10 6 m3 = 202 x l ° 3 mm3 y d = 58-7 mm A h ora, de la expresión del ángulo de torsión (3-1), se deduce el d iám etro necesario que satisface la condición de rigidez, de dond e
9 = I I x 57.3 o bien, J = I I x 57.3 JG vG de donde trd4 = 1590(3)(57.3) 32 “ (6)(83 x 109)
66
TO RSIÓN
3 m~ Alum inio
75 m m diám. G 4/= 28 G 'N /m -
50 m m diám. Ga = 83 G N /m 2
Figura 3-4. Árbol compuesto estáticam ente indeterm inado.
P o r tanto :
d 4 = 5.59
X
1(T 6 m4 = 5.59 X 106 m m 4
y
d = 48.6 m m
El diám etro m ayor de 58.7 mm satisface, pues, a las dos condiciones de resistencia y de rigidez.
302. L a fig ura 3-4 m uestra un árb ol m acizo de dos m ateriales y diám etros distintos, firm em ente unidos y perfectam ente em po trado en sus extrem os. L a p arte de alum inio tiene 75 mm de d iám etro y C áv ale 28 x 109 N /m 2 y la de acero tiene 50 m m de d iám etro y Ga = 83 x 109 N /m 2. El p ar to rso r aplicado es de 1000 N • m, y com o se observa en la figura, se aplica en la unión de las dos partes. C alcular el m áxim o esfuerzo co rtan te en el acero y en el alu minio. Solución: Se tra ta de un prob lem a estáticam ente in determ inado en el qu e se desconoce en qué p ro po rció n se reparte el p ar to rso r aplicado entre las dos partes, derecha e izquierda, del árb ol. El procedim iento a em plear es exactam ente el mism o que el seguido en la sección 2-5 para elem entos estáticam ente ind eterm inado s en el caso de fuerzas axiales. A plicando en primer lugar las condiciones de equilibrio estático se tiene: [2 A / = 0]
Ta + Ta ¡ = T = 1000
(a)
La o tra relación entre Ta y TA¡ se obtiene p o r las condiciones geom étricas de la d efo rm ación que, en este caso, se expresa po r la igu ald ad del ángulo de torsión desde la sección en que se aplica el p ar torso r, a los dos extremos del eje. Es decir 6ac = da¡. P o r consiguiente, según (3-1),
Ta(l.5)
7^/(3)
de d o nde
Ta = \ M T Al Resolviendo el sistem a fo rm ad o p or (a) y ( b ) resulta:
TAl = 461 N -m
y
Ta = 539 N • m
(b)
3 -2
D e d u c c ió n de las fórm u la s de to rs ión
67
Teniendo aho ra en cuen ta la fórm u la de la torsión , los esfuerzos respectivos vienen dados por:
167" 77d 3
16(461)
TAr
= 5.57 x 10* N / m 2
7r(0.075)3 5.57 M N /m 2 16(539) = 22.0 t t (0.050)“
x
106 N / m 2
- 22.0 M N /m 2
303. U n árbol de sección constante, de 50 mm de diám etro está som etido a los pares torsores que se indican en la figura 3-5 a través de engranes m on tad os sobre él. Si G - 83 x 103 M N /m 2, d eterm in ar, en g rados, el ángulo total de to rsió n entre A y D. (M aterial: acero.) Solución: El em pleo de vectores p ara indicar el sentido de los pares aplicados, com o se ve en la p arte inferior de la figura 3-5, facilita la determ inación del m o m en to to rsio nante resultan te sobre cada p arte del árbol. P ara ello, apliquem os las condiciones de equilibrio al diagram a de cuerpo libre entre un a sección cu alqu iera y un extrem o del eje, p or ejem plo, D, E ntonces, con respecto a D, los pares trasm itidos po r cada p orció n y, por tanto , los m om entos torsionantes a que están som etidos, son: TAU = 700 N ■m en sentido del reloj, TBC = 500 N • m en sentido con trario al del reloj y TCD = 800 N • m en sentido del reloj. El ángulo de torsió n to tal es la sum a algebraica de los ángulos parciales en cada porción.
r00 N ■ni
800 N • m
j D
1300 N - m 1200 N • m
700 N • m
| »■» C
B
Tc d = 800 Tb c = - 5 0 0
,1
TÁfí - 700
Figura 3-5. Deform aciones angulares por torsión.
68
TO RSIÓN
Tom ando arbitrariam ente la deform ación en sentido del reloj como positiva, y aplicando la expresión (3-1) con el factor 57.3 p ara obtener el ángulo en grados, se obtiene: TL JG 6a / d = — 2 T L X 57.3 57.3
[700(3) - 500(1.5) + 800(2)]
7t (0.050)4 (83 X 109) 32
Lo cual da Resp.
= 3,32°
El signo positivo indica que el ángulo de torsión de A respecto a D es en sentido del relo j. PROBLEMAS 304. Calcular el mínimo diámetro de un árbol de acero que, sometido a un momento torsionante de 14 kN • m, no debe experimentar una deformación angular superior a 3° en una longitud de 6 m. ¿Cuál es entonces el esfuerzo cortante máximo que aparecerá en él? Use G = 83 G N /m 2. Resp.
d = 118 mm; r = 43.4 M N /m 2
305. En un árbol macizo de 5 m de longitud, en el que el ángulo total de torsión es de 4o, el esfuerzo cortante máximo es de 60 MPa. Si G = 83 GPa, calcular su diámetro. ¿Qué potencia podrá transmitir a 20 r/s? Resp.
d = 104 mm; # = 1.67 MW
306. Hallar la longitud de una varilla de bronce de 2 mm de diámetro para que pueda torcerse dos vueltas completas sin sobrepasar el esfuerzo cortante admisible de 70 MPa. Use G = 35 GPa. 307. Un gran árbol de trasmisión para la hélice de un barco tiene que transmitir 4.5 MW a 3 r/s sin que el esfuerzo cortante exceda de 50 M N /m 2 y sin que el ángulo de torsión sea superior a un grado en una longitud de 25 diámetros. Determinar el diámetro más apropiado si G = 83 G N /m 2.
308. Demostrar que un árbol hueco de sección, circular, cuyo diámetro interior sea la mitad del exterior, tiene una resistencia a la torsión que es igual a de la que tiene un árbol macizo del mismo diámetro exterior. 309. Un árbol de acero de diámetro constante e igual a 60 mm está cargado mediante pares aplicados a engranes montados sobre él, según se muestra en la figura P-309. Usando un módulo G = 83 G N /m 2, calcule el ángulo de torsión del engrane D con respecto al A .
310. Determinar el máximo momento torsionante que puede soportar un árbol hueco de sección de 100 mm y 70 mm de diámetros exterior e interior, respectivamente, sin que se sobrepase un esfuerzo cortante de 60 x 106 N /m 2 y sin que la deformación sea superior a medio grado por metro de longitud. Use G = 83 x 109 N /m 2. 311. Un árbol de transmisión de acero consta de una parte hueca de 2 m de longitud y diámetros de 100 mm y 70 mm, y otra parte maciza de 70 mm de diámetro y 1.5 m de longitud. Determinar el máximo momento torsionante que puede soportar sin que el esfuerzo sobrepase el valor de 70 M N /m 2, ni el ángulo total de torsión supere el valor de 2.5° en la longitud total de 3.5 m. Use G = 83 G N /m 2. Resp.
T = 4.01 kN • m
3-2
D e d u cc ión de las fó rm u la s de to rsió n
69
800 N • ni
312. Una trasmisión flexible consta de un alambre de acero de 5 mm de diámetro encerrado en un tubo guía en el que encaja tan ajustado que se produce un par torsor resistente por fricción de 2 N • m/m. Determinar la máxima longitud que puede tener si el esfuerzo cortante no debe exceder de 140 MPa. ¿Cuál será el ángulo total de torsión? Use G = 83 GPa. Resp.
mitado a 60 M N/m2 y el ángulo de rotación en el extremo libre no debe exceder de 4o. 500 N -m
2 m-
-3 n r
Figura P-314.
313. El árbol de la figura P-313 gira a 3 r/s absorbiendo 30 kW en A y 15 kW en B de los 45 kW aplicados en C. Si G = 83 x 109 N /m 2, calcular el esfuerzo cortante máximo y el ángulo de torsión de la rueda A respecto de la rueda C. (Material acero.) B „í Omm C - diám.
315. A un eje de sección constante y 5 m de longitud que gira a 2 r/s se le aplican 70 kW a través de un engrane situado a 2 m del extremo izquierdo, en donde se absorben 20 kW. En el extremo derecho se utilizan 30 kW y a 1.5 m de éste, los otros 20 kW . (a) Dimensionar el árbol si el esfuerzo cortante no ha de exceder de 60 M N /m 2. (b) Si el eje tiene un diámetro de 100 mm, determinar el ángulo total de torsión de un extremo al otro. Use G - 83 G N /m 2. Resp.
■4 m-
iñ
A
L = 1.72 m; 6 = 33.3°
-50 m m diam.
1000 N -m
•2 m
d = 69.6 mm; 8 = 0,448°
316. Un eje de acero de 3 m de longitud tiene un diámetro que varía uniformemente desFigura P-313. de 60 mm en un extremo hasta 30 mm en el otro. Suponiendo que es válida la ecuación (3-1) en caResp. rmáx = 64.9 M N /m 2; 6 = 8.23° da elemento diferencial de longitud sin error apreciable, determinar el ángulo total de torsión 314. Un árbol de acero se encuentra carga- si trasmite un par torsor de 170 N • m. Use G = do según se muestra en la figura P-314. Usando 83 x 103 M N /m 2. un módulo G = 83 G N /m 2, calcule el diámetro requerido del árbol si el esfuerzo cortante está liResp. = 1.29°
70
TO RSIÓ N
317. Un árbol hueco de bronce de 75 mm de diámetro exterior y 50 mm interior tiene dentro un eje de acero de 50 mm de diámetro y de la misma longitud, estando ambos materiales firmemente unidos en los extremos del eje. Determinar el máximo esfuerzo en cada material cuando se somete el conjunto a un par torsor de 3 kN • m. G = 35 G N /m 2 para el bronce y G = 83 G N /m 2 para el acero.
Resp,
321. Un árbol compuesto, que consta de un segmento de aluminio y uno de acero, está sometido a dos momentos de torsión como se muestra en la figura P-321. Calcule el máximo valor admisible de T de acuerdo con las siguientes condiciones: % < 100 MPa, Ta¡ < 70 MPa, y el ángulo de rotador del extremo libre, limitado a 12°. Use los valores Gac = 83 GPa y Ga, = 28 GPa.
Tb - 28.5 M N /m 2; ra = 45.1 M N /m 2
7 5 m m diám. 5 0 m m diám
i 318. Un árbol compuesto está construido con tres materiales diferentes y sujeto a dos pares aplicados según se ilustra en la figura P-318. (a) Calcule el máximo esfuerzo cortante desarrollado en cada material, (b) Calcule el ángulo de rotación del extremo libre del árbol. Use los siguientes valores: G„, = 28 G N /m 2, Gac = 83 G N /m 2 y Gb = 35 G N /m 2. 1 0 0 m m diám. /
7 5 m m diám.
4.0kN-m
i
^
Aluminio
1.5 k \ ' - m
/
/( P
Acero
Q
T
Aluminio
% m — ►U— 1.5 m -
Figura P-321.
322. Un par torsor T se aplica, como indica la figura P-322, a un árbol macizo con extremos empotrados. Demostrar que los momentos torsionantes en los empotramientos son 7~t = Tb/L y T2 = Ta/L ¿Variarían estos valores si el árbol fuera hueco?
•3 m -
nÚ
Figura P-318.
319. En el árbol de la figura P-319, firmemente empotrado en sus extremos, la porción AB tiene 75 mm de diámetro y es de bronce, con r < 60 M N /m 2 y G = 35 G N /m 2. La porción BC es de acero, de 50 mm de diámetro, r < 80 M N /m 2 y G = 83 G N /m 2. Si a = 2 m y b = 1.5 m, determinar el par torsor máximo T que puede aplicarse en el punto B de unión de las dos partes. 320. En el problema anterior determinar la relación de longitudes b/a que debe existir para que el acero y el bronce trabajen al máximo esfuerzo posible. ¿Qué par torsor T es necesario para ello?
b/a = 1.19; T = 6.93 kN • m
.
..
.
'B
(Á T
Figura P-319 y P-320.
C
Figura P-322.
323. Un árbol de 100 mm de diámetro y 3 m de longitud, con los extremos empotrados, se somete a un par torsor de 4 kN • m aplicado a 1 m del extremo izquierdo y a otro del mismo sentido de 16 kN • m a 2 m de ese extremo. Determinar el esfuerzo cortante máximo en cada porción del árbol. Indicación: Aplicar el método de superposición con la solución del problema anterior. 324. Un árbol se compone de tres porciones AC, CD y DB soldadas entre sí y el conjunto firmemente empotrado en sus extremos y cargado como indica la figura P-324. Para el acero G = 83 G N /m 2; para el aluminio G -■ 28 G N /m 2; y para el bronce G = 35 G N /m 2. Determinar la tensión cortante máxima en cada material.
Resp.
Tb = 472 N • m; roí = 9.3 M N /m 2
3 -3
T r
=-
300 N ■m
A co p la m ie n to s p or m e dio de brida s
71
I'n = 700 N' ■m B
Ta
C
Acero 2 5 mm diám.
Aluminio 5 0 m m diám.
2 ni---------
Bronce
D
¿
1 .5 m -------
2 5 m m diám.
G
m
Figura P-324.
325. Los dos árboles de acero mostrados en localización de los barrenos de los tornillos, según se ilustra en la figura. Calcule el máximo esla figura P-325, cada uno con un extremo emfuerzo cortante en cada árbol una vez que los ejes potrado en un apoyo rígido, tienen sendas bridas se hayan atornillado uno al otro. Use un valor de rígidamente sujetas a sus extremos libres. Los G = 83 G N /m 2 y desprecie la deformación ejes están atornillados uno al otro en sus bridas. de tornillos y bridas. Sin embargo, existe una desalineación de 6o en la 6; 4 0 m m diám.
,___
L
5 0 m m diám.
-2 ni ■
-1 nv Figura P-325.
3-3. ACOPLAM IEN TO S POR MEDIO DE BRIDAS
Una conexión o acoplamiento rígido muy empleado entre dos árboles es el que se representa en la figura 3-6, y que consiste en unas bridas o discos que forman cuerpo con cada árbol, y que se unen entre sí mediante pernos o tornillos. El par torsor se trasmite por la resistencia al esfuerzo cortante de los pernos.
Figura 3-6. Acoplam iento por medio de bridas.
72
TO RSIÓN
Figura 3-7. A coplam iento por bridas con dos series concéntricas de pernos.
Suponiendo que el esfuerzo se distribuye uniformem ente, la fuerza en cada perno viene dada por la fórmula del esfuerzo cortante simple P = A t , es decir, ( ttc¡ 2/ 4 ) t , y actúa en el centro de cada perno, tangente a la circunferencia de radio R en donde se sitúan éstos. El par torsor que resiste cada perno es PR, y para un núm ero cualquiera n de pernos, la capacidad del acoplamiento viene dada por 7 = p Rn = _ird_2 TRn
(3-4)
En ocasiones, un acoplam iento tiene dos series concéntricas de pernos, como se observa en la figura 3-7. Llam ando P 1 y.P 2 a las fuerzas cortantes que soportan cada perno en los círculos exterior e interior, la resistencia del acoplam iento es: (3-5)
T — P^Rxn^ + P2R 2^2
La relación entre P x y P2 puede determinarse del hecho que las bridas, de rigidez relativamente grande, causan deformaciones angulares en los pernos, que son proporcionales a sus distancias al eje del árbol. Así, las deformaciones angulares están relacionadas por Yi
Y2 R,
(a)
Usando la ley de Hooke p ara la deformación angular, G = 7-/ 7 , tenemos o bien,
P2/ A 2 G2R2
(b) C ,/?, l'M vG-,R-'2 2 Si los pernos en ambos círculos tienen la misma área A x - A 2, y si además son del mismo material, G 1 = G2, la relación entre P x y P 2 se reduce a Rí
P2 R2
(3_6)
Este e> el caso m ostrado en la figura 3-7. U sando la relación entre P x y P2, ecuación (3-5), determinar la capacidad torsional del acoplam iento.
3 -3
A c o p la m ie n to s po r m e d io de b ridas
73
Para tres o más círculos concéntricos de pernos se puede aplicar el mismo procedimiento. Como se verá en el Capítulo 12, esta form a de trab ajar de los pernos, pasadores o remaches también ocurre en las uniones de placas cuando, cargadas excéntricamente, se produce un m omento en el plano de la unión. PROBLEMAS 326. Un acoplamiento por medio de bridas tiene 8 pernos de 20 mm de diámetro, equidistantemente espaciados en un círculo de 300 mm de diámetro. Determinar el par torsor que puede trasmitir si el esfuerzo cortante admisible en los pernos es de 40 M N /m 2. Resp.
T = 15.1 kN • m
327. Un acoplamiento por medio de bridas conecta un árbol de 90 mm de diámetro y otro hueco de diámetros exterior e interior de 100 y 90 mm, respectivamente. Si el esfuerzo cortante admisible es de 60 M N /m 2, determinar el número de pernos de 10 mm que se necesitarían, dispuestos en una circunferencia de 200 mm de diámetro, para que el acoplamiento sea igualmente resistente que el más débil de los árboles. 328. Un acoplamiento por medio de bridas tiene 6 perno? de 10 mm situados en una circunferencia de 300 mm de diámetro y cuatro pernos del mismo diámetro, en otro círculo concéntrico de 200 mm de diámetro, como se indica en la figura 3-7. ¿Qué par torsor puede trasmitir sin que el esfuerzo cortante exceda de 60 MPa en los pernos?
de un remache, siendo J = "2A p2, donde A es el área de la sección recta de un remache situado a una distancia p del centroide del conjunto de remaches. 332. Una placa se sujeta a un elemento fijo y rígido mediante cuatro remaches de 20 mm de diámetro, como se indica en la figura P-332. Determinar el máximo y mínimo esfuerzos cortantes que aparecen en los remaches.
333. Seis remaches de 20 mm de diámetro sujetan la placa de la figura P-333 a una base rígida. Determinar el esfuerzo cortante medio en cada remache producido por las fuerzas de 40 kN aplicados como se indica. ¿Qué fuerzas adicionales P podrían aplicarse sin que el esfuerzo cortante sobrepase el valor de 60 M N /m 2 en remache alguno?
Resp. T = 5.50 kN • m 329. Determinar el número de pernos de acero de 10 mm de diámetro que se necesitarían en el círculo exterior del problema anterior para poder trasmitir un par torsor de 8 kN • m. Resp.
10 pernos
330. Resolver el problema 328 si en el círculo interior los pernos son de 20 mm de diámetro. 331. En un conjunto de remaches sometidos a la acción de un par torsor, demostrar que se puede aplicar la fórmula de la torsión r = Tp/J para determinar el esfuerzo cortante en el centro
Resp.
Tmáx = 45.9 M N /m 2; P = 55.4 kN
74
TORSIÓN
334. La placa de la figura P-334 se sujeta a Determinar el valor de las fuerzas P de manera que en ninguno de los remaches se sobrepase el una base rígida mediante 3 remaches de 10 mm. esfuerzo cortante admisible de 70 MPa. Resp.
P = 7.12 kN
335. Un acoplamiento por medio de bridas tiene seis pernos de acero de 10 mm de diámetro, espaciados uniformemente en una circunferencia de 300 mm de diámetro, y cuatro pernos de aluminio de 20 mm de diámetro en un círculo de 200 mm de diámetro. ¿Qué par torsor puede transmitir sin exceder el valor de 60 M N /m 2 en el acero o de 40 M N /m 2 en el aluminio? Para el acero Ga = 83 G N /m 2 y para el aluminio GAi- 28 G N /m 2. Figura P-334.
Resp.
T = 5.94 kN - m
3-4. ESFUERZO CORTANTE LONGITUDINAL
En el estudio de los esfuerzos debidos a la torsión, se ha considerado hasta ah ora el esfuerzo cortante que se produce en las secciones transversales. Sin embargo, también aparece un esfuerzo cortante longitudinal, de dirección perpendicular al anterior, y del mismo módu-
Figura 3-8. Equivalencia de los esfuerzos cortantes longitudinal y transversal en la torsión.
3 5 T o rs ió n de tu bo s Je pared de lgada
75
lo. Es un ejemplo del principio general que veremos más adelante, en la sección 5-7, de que todo esfuerzo cortante que actúa sobre una cara de un elemento va acom pañado siempre de oiro de igual valor absoluto en otra cara perpendicular a la primera. P ara dem ostrar la existencia de este esfuerzo longitudinal, consideremos un elemento aislado por dos secciones transversales, dos planos axiales longitudinales y dos superficies cilindricas de distinto radio, como se observa en la figura 3-8a. Si en el diagram a de cuerpo libre de este elemento, muy ampliado en la figura 3-8b, se tom an momentos de las fuerzas aplicadas respecto al eje gh, se deduce que sólo es posible el equilibrio si además del esfuerzo cortante r ya estudiado actúa otro longitudinal r'. M ultiplicando los esfuerzos por las áreas de las caras sobre las que actúan para tom ar momentos de las fuerzas, resulta: 2 Mgh — 0]
(r dr r d9) dx — (V dr d x)r dd = 0
y dividiendo entre el factor común r dd dr dx, T
T
En la figura 3-8c se observa, en perspectiva, un corte de un árbol de sección circular, con la presentación, de los esfuerzos cortantes transversales y longitudinales. 3-5. TORSIÓN DE TUBOS DE PARED DELGADA; FLUJO DE CORTANTE
Aunque la torsión de ejes de sección distinta a la circular requiere métodos de cálculo más avanzados, en el caso de tubos de pared delgada es fácil obtener una solución sencilla y muy aproxim ada a la solución exacta. En la figura 3-9a se observa uno de estos tubos, de forma arbitraria y espesor de pared variable t, siempre pequeño com parado con las dimensiones de la sección. La figura 3-9b muestra, am pliado, un elemento cualquiera de este tubo a modo de cuerpo libre y con una longitud AL. El esfuerzo cortante transversal que existe en el punto de espesor t1 produce otro longitudinal igual, com o hemos visto en la sección anterior, y lo mismo ocurre con r 2 en la parte de espesor t2.
(a)
(b)
Figura 3-9. Flujo de cortante en un tubo de pared delgada.
76
TO RSIÓN
Figura 3-10.
Las resultantes de estos esfuerzos cortantes longitudinales son F, = q x AL
Y
F2 = q2 AL
(a)
en donde el símbolo q representa j tl 2t/2 7 dt. El término q se suele llam ar flu jo de cortante, y es un concepto muy interesante y conveniente cuando no se conoce, o no interesa mucho, la distribución exacta del esfuerzo en un espesor dado. C onsiderando el equilibrio longitudinal del elemento se tiene, q x AL = q2 AL o bien, q x = q2
ib)
La igualdad de los valores del flujo de cortante en dos lugares arbitrariam ente escogidos prueba que debe ser constante en todo el perímetro del tubo. De hecho, el nombre de flujo de cortante se debe a la analogía m atemática entre este flujo y el flujo evidentemente constante de un fluido incompresible que circulara a través de un conducto cerrado cuyos contornos fueran las paredes interior y exterior del tubo. P ara relacionar el flujo de cortante con el p ar torsor aplicado T , analicemos la figura 3-10. La fuerza tangencial q dL que actúa en u na longitud dL , contribuye al par resistente con un momento diferencial r(q dL) con respecto a un determ inado centro O. Puesto que el momento torsionante es independiente del centro de momentos que se considere, igualando T a la suma de los m omentos diferenciales, se tiene
En vez de efectuar la integración, observamos que r dL es el doble del área del triángulo rayado cuya base es d L y cuya altu ra es el radio r. P o r tanto, y puesto que q es constante, el valor de la integral es q veces el doble del área encerrada po r la línea media de la pared del tubo, es decir, T = 2 Aq
(3-7)
3 -5
T o rsión de tuDos de pared d elgada
77
Por último el esfuerzo cortante medio, en cualquier punto de espesor t, viene dado por:
PROBLEMA ILUSTRATIVO
336. U n tubo de pared delgada tiene la forma semicircular de la figura 3-11. Prescindiendo de la concentración de esfuerzos que se produce en las esquinas, calcular el momento rorsionante que producirá un esfuerzo cortante de 40 M N /m 2.
= 2 mm
F igura 3-11.
Solución: Aplicando (3-8) y teniendo en cuenta que A es el área encerrada por la línea media del tubo resulta: [T=2Atr]
T = = 2 |( 0 .0 2 5 )2 |(0.002)(40 x 106) Resp.
= 157 N -m PROBLEMAS
337. Se aplica un momento torsionante deHallar el momento torsionante que producirá en él un esfuerzo cortante de 60 M N/m2. 600 N • m a un tubo de sección rectangular, como el de la figura P-337. Determinar el espesor t de sus paredes de manera que el esfuerzo cortante no exceda de 60 MPa. Calcular el esfuerzo en los lados cortos. Despreciar la concentración de esfuerzos en las esquinas.
Resp.
T = 3.18 kN • m
339. Un tubo de 3 mm de espesor tiene la forma y dimensiones que se indican en la figura P-339. Calcular el esfuerzo cortante si se le aplica 338. Un tubo de 3 mm de espesor tiene una un momento torsionante de 700 N • m, y el valor forma elíptica, como se indica en la figura P-338. de a es 75 mm. Figura P-337.
78
TCR SiÓ N
340, Determinar la dimensión a del problema anterior de manera que pueda soportar un momento torsionante de 600 N • m con un esfuerzo cortante admisible de 70 M N /m 2. Resp.
a = 55.7 mm
341. Deducir la fórmula de la torsión r = Tp/J para una sección circular, partiendo de que ésta puede considerarse formada por una serie de tubos de paredes delgadas encajados unos dentro de otros, y suponiendo que el esfuerzo cortante en cada fibra es proporcional a su distancia al centro.
Figura P-339 y P-340.
3-6. RESORTES H ELICOIDALES
La figura 3-12 representa un resorte helicoidal de espiras cerradas, estirado bajo la acción de una fuerza axial P. El resorte está form ado por un alambre o varilla redonda de diámetro d enrollada en form a de hélice de radio medio R . La pendiente de esta hélice es pequeña, de manera que se puede considerar con bastante aproxim ación que cada espira está situada en un plano perpendicular al eje del resorte. P ara determinar los esfuerzos producidos por P seguiremos el procedimiento general de cortar el resorte por una sección de exploración m-n, y determinar las fuerzas resistentes que se necesitan para el equilibrio de una de las porciones separada por esta sección. Después se analiza la distribución de esfuerzos que originan estas fuerzas resistentes. La figura 3-13a representa el diagrama de cuerpo libre de la porción superior del resorte. P ara el equilibrio en dirección axial, la fuerza resistente P r, que representa la acción sobre es-
Figura 3-12. Resorte helicoidal.
3 -6
Resortes h e lic o id a le s
79
'2
(b) Sección m-n del resorte
Figura 3-13. Análisis de un resorte helicoidal.
ta sección de la porción suprimida, ha de ser igual a P. El equilibrio horizontal también se cumple, ya que ninguna de las dos, ni P ni P r, tienen componentes en esta dirección. Para el equilibrio de momentos, como P y P r, opuestas y paralelas, producen un par P R , en la sección debe existir otro par resistente P R igual y opuesto al anterior, originado por un esfuerzo cortante de torsión, distribuido en la sección de corte. Se representa por T = PR. La figura 3-13b representa la distribución de esfuerzos que producen estas fuerzas resistentes en la sección de corte. Observemos dos tipos de esfuerzo cortante: (1) un esfuerzo cortante t x uniform emente distribuido, producido por la fuerza resistente P r que pasa por su centro de gravedad, y (2) un esfuerzo cortante variable producido por el par torsor resistente T = PR. Este último varía tanto en magnitud, con la distancia al centro, como en dirección, ya que es perpendicular al radio en cada punto. El esfuerzo resultante en cada punto es el vector suma de los vectores t 1 y r2. En el punto B, por ejemplo, los esfuerzos cortantes son de signos distintos (sentidos contrarios) y el esfuerzo resultante es la diferencia entre sus valores absolutos, pero en las fibras más cercanas al eje del resorte, como C, los dos esfuerzos tienen la misma dirección y sentido por lo que se suman, y la suma da el máximo valor del esfuerzo cortante en la sección. ¿Existirá algún pun to en el diám etro B C en el que el esfuerzo cortante sea nulo? Si es asi, ¿cómo se podría situar? En resumen, el esfuerzo cortante máximo tiene lugar en el p unto de la sección más próximo al eje del resorte y viene dado por la suma del esfuerzo cortante directo, t x = P /A y el máximo valor del esfuerzo cortante producido por la torsión, t 2 = T r/J, es decir:
que puede escribirse en la forma
Í6PR 1Tí/3
(3-9)
80
TO RSIÓN
T, A
T (a)
(b)
Figura 3-14. To rsión de b arras rectas y curvas.
Observando (3-9) se deduce que si la relación d /4 R es pequeña, lo cual ocurre si el resorte es de un alambre de diám etro pequeño enrollado según una hélice de radio grande, el esfuerzo máximo se debe principalmente a la torsión del alam bre y, en realidad, se puede despreciar el efecto del esfuerzo cortante directo. Si se trata, en cambio, de resortes pesados, como los que se emplean en los ferrocarriles, hechos con varillas de gran diámetro d con relación al radio medio de las espiras R , el efecto del esfuerzo cortante directo P /A puede llegar a ser im portante, del orden de un 14% o más, y no se puede despreciar. Debemos hacer no tar que en el estudio realizado se ha prescindido de otro efecto que hace aum entar el esfuerzo cortante máximo. Esto se debe a que la fórm ula de la torsión aplicada se dedujo para barras rectas, y en el resorte helicoidal la barra que se somete a torsión es curva. Este efecto tiene im portancia únicam ente en resortes pesados, en los que la curvatura de la b arra es grande. En la b arra recta de la figura 3-14a, la torsión produce la misma deformación 8S en las fibras A B y CD y, por tanto, la distorsión y = o /L es la misma en B que en D puesto que los elementos A B y CD tienen la misma longitud inicial. En cambio, en la barra curva de la figura 3-14b la situación es distinta, ya que aunque las fibras A B y CD tienen la misma deformación 8S, como la longitud inicial de A B es menor que la de CD, la distorsión en B es mayor que en D , p or lo que el esfuerzo cortante por torsión en las fibras internas A B es mayor que en las externas CD. La im portancia de este efecto depende de la magnitud de la diferencia de longitud inicial entre A B y CD. Evidentemente esta diferencia depende del grado de curvatura del alambre o barra, es decir, de la relación d /R . El investigador A. M. Wahl ha desarrollado la siguiente fórmula que tiene en cuenta este efecto adicional*: T máx —
16PR ( 4m — 1 ~ I A----------T Trd V4 m — 4
(
H
0.615 m
)
(3-10)
en donde m = 2R / d = D /d es la relación del diámetro medio de las espiras al diámetro del alambre. P ara resortes ligeros, en los que la relación m es muy grande, el valor del primer sum ando del paréntesis es próximo a la unidad, y para com parar esta expresión con (3-9) se puede escribir esta últim a en la siguiente forma:
•¡td*
(3-9a)
* Véase A. M. W ahl, «Stresses in Heavy Closely Coiled Helical Springs», Trans. A .S .M .E ., Vol. 51, No. APM-51-17.
3 -6
Resortes he licoida le s
81
Para resortes pesados en los que la curvatura del alambre es grande y m es más pequeño, la o p resió n (3-10) corrige el error de (3-9). La diferencia de los factores 0.5 y 0.615 en las expresiones (3-9a) y (3-10) tiene también *u razón de ser, ya que el esfuerzo cortante directo no se distribuye uniform emenie en una ección del alambre, sino que, como veremos en la sección 5-7, el esfuerzo cortante en una íccción circular varía desde un máximo de 1.33 de su valor medio en el centro hasta cero en 35 extremos del diám etro vertical, y vale 1.23 de dicho valor medio en los extremos del i:ámetro horizontal, supuesta la fuerza cortante vertical. El factor 0.615 de la expresión ?-10) resulta de multiplicar 0.5 por 1.23. Por último, obsérvese también que los resortes se fabrican en general de aceros y b ro nces especiales en los que el esfuerzo cortante admisible alcanza valores del orden de 200 a 800 MPa. Distensión de un resorte
Prácticam ente toda la elongación de un resorte según el eje se debe a la torsión del alambre. Si en la figura 3-15 se supone por un momento que todo el resorte, excepto la pequeña longitud dL, es rígido, el extremo A girará hacia D un pequeño ángulo dd. Como este ángulo es muy pequeño, el arco A D = A B ■dd puede considerarse como una recta perpendicular a A B , de donde, por la semejanza de los triángulos A D E y B A C se tiene, A E = BC AD ~ AB o sea dS AB-d9 de donde
R AB
d8 = R dO
Figura 3“15. D eformación de un resorte helicoidal.
82
TO RSIÓN
Aplicando la expresión (3-1) se puede sustituir dd por su valor en función del m omento torsionante, d8 = R
( PR ) dL JG
(b )
e, integrando a lo largo de toda la longitud del alambre, se obtiene la distensión o elongación total:
Sustituyendo L por h rR n , que es la longitud de n espiras de radio R , y / por 7rtf4/3 2, resulta: 8 =
64 P R 3n
(3-1 1)
Gd4
Esta expresión de la distensión del resorte desprecia el efecto de la fuerza cortante directa, como se había indicado anteriorm ente. Este efecto adicional viene dado por: <5 -
PL _ P{2>nRn) = SPRn AG
vd*
Gd2
(3-12)
y es casi siempre despreciable frente al valor de 5 dado por (3-11), por lo que no se suele tener en cuenta. La fórm ula (3-11) también se utiliza para determinar la deformación axial de un resorte helicoidal sometido a compresión siempre que las espiras no estén tan poco espaciadas que lleguen a juntarse al aplicar la carga. PROBLEMA ILUSTRATIVO
342. Dos resortes de acero dispuestos en serie soportan una carga P, como se indica en la figura 3-16. El resorte superior tiene 20 espiras de alambre de 20 mm, y un diám etro medio de 150 mm. El resorte inferior tiene 15 espiras de alambre de 10 mm y un radio medio de 130 mm. C alcular el máximo esfuerzo cortante en cada resorte si la deform ación total, alargamiento en este caso, es de 80 mm y G = 83 G N /m 2.
rp Figura 3-16.
3 -6
Resortes he lico idales
83
Solución: La defo rm ació n to tal es la sum a de las deform aciones de am bos resortes, ya que están som etidos a la tracción P, Teniendo en cuenta (3-11) se obtiene p a ra P el valor 64 PR n
64 P
(0.075) (20)
(0.065)3(15)
Gd4
83 x 109
( 0 .020 )
(o.o io r
P = 233 N C onocida P se pueden determ inar los esfuerzos. P ar a el reso rte sup erior, m - 2 R / d = 2(0.075)70.020 = 7.5 y 4 m = 30, po r lo que aplicando la fórm u la de W ahl (3-10) resulta:
—
16PR i 4 m - 1 0.615 I— "----- — — *4“ ------\ 4m — 4 m 16(223)(0.075) [ 30 - 1 t t (0.020)3
V30 - 4
0.615 7.5
= 12.7 M N /m 2
Resp.
A nálo gam ente, para el resorte inferio r en el que m = 2(0.0ó5)/0.010 = 13 y 4 m = 52, se tiene = 16(223)(0.065) / 52 - 1 0.615 7 7 ( 0 .0 10)3
152-4 +
13 Resp.
= 81.9 M N /m 2 Si se h ubiera ap licado la expresión tes, los resultados h ubieran sido 11.4 y tivam ente. Se deduce que en este caso 10.2 y 6.35°7o po r ab ajo de los valores
(3-9) para obtener los valores de los esfuerzos co rtan 76.7 M N /m 2 en el resorte superior e inferior, respecla fó rm u la aprox im ada da unos errores relativos de más exactos de la fórm u la de W ahl.
PRO BLE M A S 343. Determinar el esfuerzo cortante máxi-
mo y el alargamiento en un resorte helicoidal de 20 espiras de alambre de 20 mm con un radio medio de 80 mm, cuando el resorte soporta una carga de 2 kN. Aplicar la expresión (3-10) con G = 83 G N /m 2. Resp.
7máx = 121 M N /m 2; 5 = 98.7 mm
344. Calcular el máximo alargamiento del
resorte del problema anterior sí está hecho de bronce fosforado para el que G = 42 G N /m 2 y el esfuerzo máximo puede ser de 140 M N /m 2. Aplicar (3-10). 345. Se construye un resorte helicoidal enrollando una varilla de 20 mm de diámetro sobre un cilindro de 150 mm de diámetro. Deter-
minar el número de espiras necesarias para permitir un alargamiento de 100 mm sin que el esfuerzo cortante exceda de 140 MPa. Aplicar (3-9) con G = 83 GPa. Resp.
n = 17.9 espiras
346. Determinar el esfuerzo cortante máximo en un resorte de bronce fosforado de diámetro medio de 200 mm y formado por 24 vueltas de varilla de 20 mm de diámetro cuando se estira una longitud de 100 mm. Aplicar (3-10) con G - 42 G N /m 2. 347. Un embrague está accionado por seis resortes helicoidales dispuestos simétricamente. Cada resorte tiene doce espiras de alambre de acero de 10 mm de diámetro y un diámetro exte-
84
TORSIÓN
rior de 50 mm. Determinar la fuerza que hay que ejercer contra la placa del embrague para comprimir los resortes una longitud de 40 mm. ¿Cuál será el esfuerzo cortante máximo en ellos? Aplicar (3-9) con G = 83 G N /m 2. 348. Dos resortes de acero colocados en serie, como indica la figura P-348, soportan una carga P. El resorte superior tiene 12 espiras de varilla de 25 mm de diámetro con un radio medio de 100 mm. El inferior tiene 10 espiras de varilla de 20 mm de diámetro con radio medio de 75 mm. Si el esfuerzo cortante no debe exceder en ninguno de ellos de 200 M N /m 2, determinar P y el alargacalcular el esfuerzo cortante máximo en cada remiento total del conjunto. Aplicar (3-10) con G sorte con P = 5 kN. Aplicar (3-10). = 83 G N /m 2. Calcular la constante del resorte equivalente dividiendo ta carga entre el alarga351. Una placa rígida se apoya en el resorte miento. central, figura P-351, que es 20 mm más largo que los dos resortes laterales, simétricamente colocados. Cada uno de estos laterales tiene 18 espiras de alambre de 10 mm sobre un diámetro medio de 100 mm. El resorte central tiene 24 espiras de alambre de 20 mm y diámetro medio de 150 mm. Si se aplica una carga P - 5 kN en la placa, determinar el esfuerzo cortante máximo en cada resorte. Aplicar (3-9) con G - 83 G N /m 2.
Figura P-348.
349. Una carga P está soportada por dos resortes helicoidales colocados concéntricamente uno dentro de otro, como se observa en la figura P-349. El interior tiene 30 espiras de alambre de 20 mm de diámetro sobre un radio medio de 150 mm y el exterior, 20 espiras de alambre de 30 mm con un radio medio de 200 mm. Determinar la carga máxima P que pueden soportar de manera que no se sobrepase el esfuerzo cortante admisible de 140 MPa en cada resorte. Aplicar (3-9) con G = 83 GPa. Inicialmente los dos resortes tienen sus extremos superiores al mismo nivel. Resp. P = 9.05 kN 350. Si el resorte interior del problema anterior es de bronce fosforado con G - 42 G N /m 2,
Resp.
Resorte central: rmáx = 170 M N /m 2
352. Resolver el problema 351 si los resortes laterales son de bronce fosforado para el que G = 42 G N /m 2. ¿Se puede predecir el efecto, cualitativo, de este cambio en los esfuerzos? 353. Una barra rígida articulada en un extremo pende de dos resortes idénticos, como se observa en la figura P-353. Cada uno de ellos tiene 20 espiras de alambre de 10 mm con diámetro medio de 150 mm. Determinar el es-
3 -6
Resortes h e lico id ales
85
355. Como se indica en la figura P-355, un bloque rígido de 50 kg pende de tres resortes cuyos extremos inferiores, inicialmente, están al mismo nivel. Cada resorte de acero tiene 24 espiResp, rmáx - 46.5 M N/m2 ras de alambre de 10 mm de diámetro sobre un diámetro medio de 100 mm y G = 83 GN/m2. El 354. Si cada resorte del problema anterior resorte de bronce tiene 48 espiras de alambre de 20 mm y diámetro medio de 150 mm, con G = 42 tiene 16 espiras de alambre de 10 mm sobre 160 GN/m2. Determinar el esfuerzo cortante máximo ■nm de diámetro medio, determinar la carga máen cada resorte aplicando (3-9). üma P para que el esfuerzo no exceda de 140 MN/m2 en ningún resorte. Use la ecuación (3-9). fuerzo cortante máximo en los resortes aplicando 3-9). Desprecie la masa de la barra rígida.
Figura P-353
Resp.
y P-354.
Para el bronce, rmáx = 9.93 MN/m2
RESUMEN
El estudio de la torsión hecho en este capítulo se limita a secciones circulares, llenas o huecas. El esfuerzo cortante es directamente proporcional a la distancia al centro de la sección y viene dado por: r - S í
(3_ 2)
El esfuerzo co rtante máximo en un árbol macizo de diám etro d vale: 16T r =—
•ttd
(3-2b)
En árboles huecos de diám etro exterior D e interior d, se tiene: M TD T = ------ :----- t ir(D4- d 4)
(3-2c)
La deform ación angular en una longitud L , expresada en radianes, viene dada por: Tí
»- ^
(3 -1 )
que se convierte en grados sexagesimales multiplicando por 180/ ít = 57.3. La expresión (3-1) se utiliza no sólo para determ inar ángulos de torsión, sino tam bién p ara resolver problemas de torsión estáticamente indeterm inados.
86
TO RSIÓ N
La relación entre el par, T, y la potencia trasmitida, 6? , por un árbol que gira a una frecuencia / e s <3> T - w /
<3- 3>
El estudio de los acoplamientos por bridas (sección 3-3) es prácticamente la aplicación de la fórmula de la torsión a un núm ero finito de elementos de área sometidos a cortante. La existencia de un esfuerzo cortante longitudinal, como consecuencia del transversal, sirve para dem ostrar que el flujo de cortante q es constante a lo largo del contorno de un tu bo de pared delgada (sección 3-5). Su valor, en función del área A encerrada por la linea media de la pared del tubo, es: 0 = ~
(3 -7 )
de la que se obtiene el valor medio del esfuerzo cortante en un punto de espesor t, que es: T = f = Ta í
<3 - 8 >
En los resortes helicoidales de espiras cerradas (sección 3-6) el esfuerzo cortante máximo viene dado, con mucha aproximación, por: T =
16 PR
--------—
Ttd
( • + ^ )
(3 -9 )
y más exactamente por: 16PR / 4m - 1 ^¿3 \4 m 4
0.615 ) m
(3-10)
en donde m = 2R /d . En la deform ación axial (distensión) de un resorte se suele despreciar el efecto de la fuerza cortante directa, atendiéndose solamente a la torsión. Esta deformación axial viene dada (3-iD Gd*
4
fuerza cortante y momento flexionante en vigas
4-1. INTRODUC CIÓN
El problema fundam ental de la resistencia de materiales es la determinación de las relaciones entre los esfuerzos y las deformaciones producidas por las fuerzas que se aplican a un elemento o a una estructura. En el estudio realizado de las fuerzas axiales, y de la torsión, no se ha tenido dificultad alguna en la aplicación de las relaciones entre esfuerzos y deform aciones, ya que en la mayoría de los casos las fuerzas y sus efectos, los esfuerzos internos, o bien eran constantes en el conjunto de la estructura o su distribución entre las partes componentes se conocía perfectamente. Sin embargo, el estudio de la flexión es más complejo debido a que los efectos de las fuerzas aplicadas son variables de una a otra sección de la viga. Estos efectos son de dos tipos claramente diferenciados, la fuerza cortante y el momento flexionante, al que a menudo se llama simplemente m om ento, y que se define en la sección siguiente. En el C apítulo 5 se verá como estos dos efectos producen dos tipos distintos de esfuerzos en las secciones transversales de las vigas: (1) un esfuerzo normal, directamente proporcional al mom ento flexionante, y (2) un esfuerzo cortante que depende de la fuerza cortante. En este capítulo, y como paso previo a la determinación de los esfuerzos, se estudia la distribución y el cálculo de la fuerza cortante y del momento flexionante en vigas sometidas a distintas combinaciones de cargas en diferentes condiciones de sujeción o apoyo y, concretamente, la determinación de sus valores máximos. En el Capítulo 6 se tratará de la deform ación de las vigas. En la figura 4-1 se m uestran varios tipos de vigas con distintas condiciones de sujeción. U na viga simplemente apoyada en sus extremos, o viga simple, tiene una articulación en un extremo y un apoyo móvil sobre rodillos en el otro. Una viga en voladizo, o ménsula, se sujeta en un solo extremo, en un em potramiento que impide el giro en dicho extremo. Una viga 87
