Topología Básica Carlos Prieto

´ındice general ´ logo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pro

13

ń . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduccio

21

Primera parte Nociones de topolog´ıa de conjuntos [27] I. I.1 I.2 I.3 I.4 I.5

´ ESPACIOS METRICOS . . . Espacios euclidianos . . . . . . . Espacios métricos . . . . . . . . . Vecindades y conjuntos abiertos . Convergencia . . . . . . . . . . . Espacios seudométricos . . . . .

. . . . . .

29 29 30 36 42 44

II. II.1 II.2 II.3 II.4 II.5 II.6

´ ESPACIOS TOPOLOGICOS . . . . . . . . . . . . Definiciones básicas: Conjuntos abiertos y vecindades . Conjuntos cerrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Otros conceptos básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . Bases de vecindades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Homeomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49 49 57 63 65 68 72

III. III.1 III.2 III.3

´ DE TOPOLOGÍAS COMPARACION Comparación de topolog´ıas . . . . . . . . Intersección de topolog´ıas . . . . . . . . . Supremo de una familia de topolog´ıas . .

77 77 79 81

9

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . .

. . . .

ÍNDICE GENERAL

10

III.4

Base de una topolog´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . .

IV. IV.1 IV.2 IV.3 IV.4

´ DE ESPACIOS GENERACION Topolog´ıa inducida . . . . . . . . . Topolog´ıa de identificación . . . . . Producto topológico . . . . . . . . Suma topológica . . . . . . . . . .

´ TOPOLOGICOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

93 93 102 118 132

V. V.1 V.2 V.3 V.4 V.5

LÍMITES Y COLÍMITES Diagramas . . . . . . . . . . . L´ımites . . . . . . . . . . . . Col´ımites . . . . . . . . . . . Construcciones especiales . . Acciones de grupo . . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

143 143 146 148 151 161

VI. VI.1 VI.2 VI.3 VI.4

CONEXIDAD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Espacios conexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . Espacios localmente conexos . . . . . . . . . . . . Espacios conectables por trayectorias . . . . . . . Espacios localmente conectables por trayectorias

. . . . .

. . . . .

. . . . .

165 165 177 181 185

VII. VII.1 VII.2 VII.3 VII.4 VII.5 VII.6

FILTROS . . . . . . . Filtros . . . . . . . . . . Puntos de acumulación . Ultrafiltros . . . . . . . Filtros y funciones . . . Filtros y productos . . . Redes . . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

191 191 204 210 215 220 222

VIII. VIII.1 VIII.2 VIII.3

COMPACIDAD . . . . . . . . . Conjuntos compactos . . . . . . . Compacidad y numerabilidad . . La compactación de Alexandroff

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

231 231 246 255

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

85

ÍNDICE GENERAL

11

VIII.4 VIII.5 VIII.6 VIII.7 VIII.8

Aplicaciones propias . . . . . . . . Topolog´ıa compacto-abierta . . . . La ley exponencial . . . . . . . . . Espacios compactamente generados k-Espacios . . . . . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

264 270 275 280 292

IX. IX.1 IX.2 IX.3 IX.4 IX.5 IX.6

´ OTROS AXIOMAS DE SEPARACION Espacios normales . . . . . . . . . . . . . . Espacios completamente regulares . . . . . ˇ La compactación de Stone–Cech . . . . . .

. . . . Espacios metrizables . . . . . . . . . . . . . . Espacios paracompactos . . . . . . . . . . . . Interrelaciones de las propiedades topológicas

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

295 295 307 312 317 320 334

Segunda parte Nociones de topolog´ıa algebraica [339] X. X.1 X.2 X.3 X.4

´ CONCEPTOS BASICOS Algunos ejemplos . . . . . . Construcciones especiales . Conexidad por trayectorias Acciones de grupo . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

341 341 346 356 362

XI. XI.1 XI.2 XI.3 XI.4

VARIEDADES . . . . . . . . . . Variedades topológicas . . . . . . . Superficies . . . . . . . . . . . . . . Más variedades de dimensión baja Grupos clásicos . . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

369 369 383 403 413

. . . . .

. . . . .

. . . . .

¨ XII. EL TEOREMA DE JORDAN–SCHONFLIES . . 427 XII.1 Gráficas aplanables y el teorema de Jordan . . . . . . 427 XII.2 El teorema de Jordan–Schönflies . . . . . . . . . . . . 441

ÍNDICE GENERAL

12

XII.3 Triangulaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446 XII.4 La clasificación de las superficies . . . . . . . . . . . . 452

XIII.

HOMOTOPÍA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459

XIII.1 El concepto de homotop´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . 459 XIII.2 Homotop´ıa de aplicaciones del c´ırculo en s´ı mismo . . 473 XIII.3 Equivalencia homotópica . . . . . . . . . . . . . . . . . 489 XIII.4 Extensión de homotop´ıas . . . . . . . . . . . . . . . . 502 XIII.5 Invariancia del dominio . . . . . . . . . . . . . . . . . 511

XIV.

EL GRUPO FUNDAMENTAL . . . . . . . . . . . 515

XIV.1 Definición y propiedades generales . . . . . . . . . . . 515 XIV.2 El grupo fundamental del c´ırculo . . . . . . . . . . . . 531 XIV.3 El teorema de Seifert–van Kampen . . . . . . . . . . . 536 XIV.4 Aplicaciones del teorema de Seifert–van Kampen . . . 550

XV.

APLICACIONES CUBRIENTES . . . . . . . . . . 563

XV.1 Definiciones y ejemplos

. . . . . . . . . . . . . . . . . 563

XV.2 Propiedades de levantamiento . . . . . . . . . . . . . . 578 XV.3 Aplicaciones cubrientes universales . . . . . . . . . . . 591 XV.4 Transformaciones cubrientes . . . . . . . . . . . . . . . 602 XV.5 Clasificación de aplicaciones cubrientes sobre espacios paracompactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 609

XVI.

NUDOS Y ENLACES . . . . . . . . . . . . . . . . . 621

XVI.1 1-variedades y nudos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 621 XVI.2 Jugadas de Reidemeister . . . . . . . . . . . . . . . . . 626 XVI.3 Nudos y colores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 629 XVI.4 Nudos, enlaces y polinomios . . . . . . . . . . . . . . . 636

ÍNDICE GENERAL

13

XVI.5 El grupo de un nudo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644 Bibliograf´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655 S´ımbolos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 659 Índice alfabe ´tico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 661

´ logo pro Hoy en d´ıa se habla cada vez más de la especialización en la ciencia moderna. No obstante, esta afirmación es válida sólo hasta cierto punto. Podr´ıa decirse que una caracter´ıstica de la ciencia actual es la interacción cada vez mayor entre las diferentes disciplinas que la conforman. De manera análoga a lo que sucede en la ciencia en general, en cada disciplina se procura tener una relación más amplia entre las distintas ramas que la integran. En matemáticas, por ejemplo, se espera de un geómetra diferencial o de un analista complejo un conocimiento com´ un más amplio que el que se requer´ıa hace medio siglo. Esto sucede as´ı debido a la cada vez mayor ubicuidad que algunos conceptos matemáticos tienen ahora. Uno de estos conceptos es el de espacio topológico, que incluye todo lo relativo a “cercan´ıa”, “continuidad”, “vecindad”, “deformación”, etcétera. Por muchos a˜ nos ya, la topolog´ıa ha sido una de las ramas más importantes y de mayor influencia en las matemáticas modernas. Sus or´ıgenes datan de varios siglos, aunque sin duda fue Poincaré quien le imprimió el gran ´ımpetu que ha caracterizado a la topolog´ıa a través del siglo xx. Hay otros grandes nombres entre los de los creadores de la topolog´ıa de conjuntos, cuya existenca se justifica por el gran progreso de la topolog´ıa algebraica. Por otro lado, la efectividad de la topolog´ıa de conjuntos, más que en teoremas profundos, radica en primer lugar en su simpleza conceptual y en su conveniente terminolog´ıa. Esto se debe a que, en cierto sentido, establece un v´ınculo entre problemas abstractos, no muy intuitivos, y nuestra capacidad de visualizar fenómenos geométricos en el espacio. Esta capacidad intelectual de captar lo que ocurre en el espacio tridimensional, que a través de la topolog´ıa nos permite penetrar en el pensamiento matemático y en el mundo de los objetos abstractos, es muy independiente de la abstracción y del pensamiento lógico. Este reforzamiento de nuestro talento matemático es quizá la causa más profunda de la efectividad y simpleza de los métodos topológicos. 13

´ PROLOGO

14

Como ocurre con muchas de las ramas básicas de las matemáticas, la topolog´ıa tiene una historia intrincada. Si marcamos el comienzo de la topolog´ıa cuando se estableció el marco conceptual de la topolog´ıa de conjuntos, habremos de hacer referencia al libro de Felix Hausdorff, Grundz¨ uge der Mengenlehre (Fundamentos de la teor´ıa de conjuntos), Leipzig, 1914, en cuyo cap´ıtulo 7 “Conjuntos de puntos en espacios generales”, establece los conceptos básicos más importantes en la topolog´ıa de conjuntos. Ya en 1906, en su art´ıculo Sur quelques points du calcul fonctionnel (Sobre algunos temas del cálculo de funciones), Maurice Fréchet introdujo el concepto de espacio métrico y trató de establecer el concepto de espacio topológico, dando un enfoque axiomático al concepto de convergencia. Lo que en realidad creó Fréchet fueron los fundamentos topológicos del análisis funcional. Pero, por supuesto, la historia se remonta más atrás en los tiempos en los que la efervescencia de la geometr´ıa bull´ıa durante el siglo xix. A principios de ese siglo se ten´ıa la idea clásica de que la geometr´ıa era el ámbito matemático en el que se desarrollan los conceptos del espacio f´ısico. Hacia finales de ese siglo, como lo muestra Felix Klein en su Erlanger Programm (Programa de Erlangen. Consideraciones comparativas acerca de las nuevas investigaciones geométricas1 , la proyección fue más allá del espacio f´ısico y incluso llegó a considerar espacios tan abstractos como las n-variedades, los espacios proyectivos, las superficies de Riemann, o incluso los espacios de funciones. Entre las obras decisivas para el surgimiento de la topolog´ıa se encuentra la obra monumental de Georg Cantor. En ella estableció las bases en las que descansa el concepto abstracto de espacio topológico como “un conjunto provisto de una colección de subconjuntos tales que ...”. Efectivamente, ya en 1870 Cantor hab´ıa mostrado que si dos series de Fourier convergen puntualmente y tienen el mismo l´ımite, entonces deben tener los mismos coeficientes. El propio Cantor mejoró este resultado en 1871 probando que la coincidencia de los coeficientes también puede lograrse requiriendo convergencia puntual o igualdad de los l´ımites, salvo para un conjunto finito en el intervalo [0, 2π]. En 1872 analizó ciertos conjuntos infinitos, salvo los cuales la afirmación sigue siendo válida. Fue entonces que introdujo su famoso conjunto de 1 V´ ease

la traducci´ on de C. Prieto en Mathesis 11 (1995) 331–370

´ PROLOGO

15

Cantor (véase II.2.7 2), que a pesar de “sólo” ser un subconjunto de un intervalo, topológicamente no sólo es un objeto interesante, sino de gran importancia en varias ramas de las matemáticas. El problema de decidir si dos espacios son homeomorfos o no es, sin duda, uno de los problemas centrales en la topolog´ıa. Lo designaremos como el problema de homeomorfismo. No fue hasta la creación de la topolog´ıa algebraica que fue posible dar una respuesta razonable a tal problema. En ella no se trata solamente de la simplicidad conceptual de la topolog´ıa de conjuntos y de su adecuada simbolog´ıa, sino que, gracias a la poderosa herramienta que el álgebra proporciona y a su harto conveniente relación funtorial con la topolog´ıa, es que se logra tal eficacia. Por ejemplo, si dos espacios tienen invariantes algebraicos distintos, entonces no pueden ser equivalentes desde el punto de vista homotópico. Por tanto, tampoco serán homeomorfos. La descripción anal´ıtica de los sistemas dinámicos en la mecánica clásica representó los primeros pasos hacia la necesidad de generar un lenguaje geométrico en dimensiones más altas que las usuales. Ya Lagrange en el siglo xviii hab´ıa pensado en la posibilidad de considerar una especie de cuarta dimensión en su Mécanique analytique (Mecánica anal´ıtica), Par´ıs, 1788. Fue Riemann, en su famoso Habilitationsvortrag: ¨ Uber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen (Sobre las hipótesis que subyacen a la geometr´ıa), Göttingen, 1854, quien presentó las primeras ideas sobre la geometr´ıa de las variedades. El mismo Lagrange, en sus Le¸cons sur le Calcul des Fonctions (Lecciones sobre el cálculo de funciones), Par´ıs, 1806, introduce el concepto de perturbación, u homotop´ıa, de curvas en problemas de cálculo variacional para detectar ciertas curvas m´ınimas. Lo que hoy conocemos por topolog´ıa algebraica quizás haya comenzado con el Analysis Situs, Par´ıs, 1895, y sus cinco Compléments (Complementos), Palermo, 1899; Londres, 1900; Par´ıs, 1902; Par´ıs, 1902, y Palermo, 1904, de Henri Poincaré. En el primero anota que “geometr´ıa es el arte de razonar bien con figuras mal hechas ”. Y abunda diciendo “S´ı, sin duda, pero con una condici´ on. Las proporciones de las figuras pueden alterarse mucho, pero sus elementos no deben intercambiarse y deben conservar su ubicaci´ on relativa. En otros términos, no hay que preocuparse por las propiedades cuantitativas, sino que hay que respetar las propiedades cualitati-

16

´ PROLOGO vas, es decir, precisamente aquéllas de las que se ocupa el Analysis Situs.”

En efecto, otras obras de Poincaré contienen tanta topolog´ıa interesante, como las obras citadas; es el caso de su memoria sobre la teor´ıa cualitativa de las ecuaciones diferenciales, que incluye la famosa fórmula del ´ındice de Poincaré, que describe en términos topológicos ´ la famosa fórmula de Euler. Esta constituye uno de los primeros pasos de la topolog´ıa algebraica. En estas obras Poincaré ya considera funciones sobre variedades como, por ejemplo, los campos vectoriales, cuyos ´ındices determinan la caracter´ıstica de Euler en su fórmula del ´ındice. Es también Poincaré quien generaliza la pregunta sobre la clasificación de variedades, teniendo en mente la clasificación de las superficies orientables tratada por Moebius en su Theorie der elementaren Verwandtschaft (Teor´ıa del parentesco elemental), Leipzig, 1863, y resuelta también por Jordan en Sur la déformation des Surfaces (Sobre la deformación de las superficies), Par´ıs, 1866, quienes, al clasificar superficies, resuelven un importante problema de homeomorfismo. Jordan también estudió clases de homotop´ıa de trayectorias cerradas, es decir, las primeras nociones del grupo fundamental inspirado por Riemann, quien ya hab´ıa analizado el comportamiento de integrales de formas diferenciales holomorfas y, con ello, el concepto de equivalencia homológica entre trayectorias cerradas. Por supuesto, no son sólo Cantor, Fréchet, Klein, Hausdorff, Riemann, Jordan, Moebius y Poincaré los creadores de los conceptos básicos de la topolog´ıa. Toda esta historia es, en s´ı misma, objeto de otro texto. Sin duda la obra [25] editada por I. M. James es una excelente referencia en esta dirección. El presente texto es una versión corregida y aumentada del libro “Topolog´ıa básica”, publicado por el Fondo de Cultura Económica en 2003. Como el original, este texto está dividido en dos partes. El propósito de la primera es presentar los temas de topolog´ıa de conjuntos que, desde mi punto de vista, son básicos para cualquier alumno de la licenciatura que esté interesado en esta rama de las matemáticas y en ramas afines. La segunda parte se destina a presentar los temas fundamentales de la topolog´ıa algebraica cuyo ámbito de uso va más allá de la topolog´ıa. El dise˜ no del texto es como sigue. Cada cap´ıtulo se divide en varias

´ PROLOGO

17

secciones, que se distinguen por su doble numeración (I.1, I.2, II.1, . . . ). Las definiciones, proposiciones, teoremas, observaciones, fórmulas, ejercicios, etcétera, se designan con triple numeración (I.1.1, I.1.2, II.1.1, . . . ). Los ejercicios forman una parte importante del texto, ya que muchos de ellos están destinados a llevar al lector a profundizar en las l´ıneas ya desarrolladas, o a probar resultados con interés propio o que son relevantes para temas posteriores. La mayor parte están numerados, aunque ocasionalmente se les identifica dentro del texto por el uso de letras cursivas (ejercicio). Comenzamos la primera parte con un peque˜ no cap´ıtulo I, de carácter motivacional, seguido de ocho cap´ıtulos sustanciales. Se empieza estudiando los espacios métricos, a partir de los cuales se llega a las propiedades abstractas de sus conjuntos abiertos. Esto nos conduce al concepto abstracto de espacio topológico. Más adelante se estudian varias condiciones adicionales a los axiomas básicos, que garantizan propiedades u ´tiles y convenientes de los espacios. Se pone especial énfasis en la cuestión de la compacidad, por tratarse de un tema de particular importancia en muchas de las aplicaciones de la topolog´ıa. Concluimos esta primera parte del libro con los teoremas de metrizabilˇ idad y la compactación de Stone-Cech. A lo largo de ella se resaltan las propiedades universales que tienen las muy diversas construcciones. Particularmente, las propiedades universales que caracterizan la suma topológica y el producto topológico. También damos las propiedades ˇ universales de las identificaciones y de la compactación de Stone-Cech. (Una referencia complementaria muy u ´til para leer con mayor detalle estas propiedades universales es el libro de Graciela Salicrup [37].) Se destina todo un cap´ıtulo al importante tema de l´ımites y col´ımites de espacios topológicos y dos secciones a los espacios compactamente generados y a los k-espacios, pues tienen mucha importancia en la topolog´ıa algebraica. La segunda parte del texto cambia de sabor para adquirir uno de tintes ms de la topolog´ıa algebraica. Tiene el propósito de presentar los que, desde mi punto de vista, son los temas básicos de la topolog´ıa algebraica que de una forma u otra deben ser aprendidos por un estudiante de licenciatura interesado en esta área o en áreas afines de las matemáticas. Comenzamos con un peque˜ no cap´ıtulo X, que trata algu-

18

´ PROLOGO

nas construcciones básicas que se requieren en la topolog´ıa algebraica. Después de este cap´ıtulo, el libro estudia en el cap´ıtulo XI el concepto de variedad topológica, donde se construyen todas las superficies cerradas poniendo énfasis en la importancia de los invariantes algebraicos como herramientas para distinguir espacios topológicos, aunque a´ un no se demuestra en ese cap´ıtulo que ellas son todas ni que son distintas. Se analizan otras variedades de dimensión baja, en particular, se prueba que las u ńicas variedades son el intervalo, el c´ırculo, la semirrecta y la recta. Después, usando la descomposición de Heegaard se muestra cómo pueden analizarse las variedades tridimensionales. Formulamos, aunque sin demostración, el importante teorema de Freedman sobre la clasificación de las 4-variedades simplemente conexas y terminamos presentando otras variedades importantes para distintas ramas de las matemáticas, tales como las variedades de Stiefel y de Grassmann. En el siguiente cap´ıtulo XII se retorna al problema de clasificación de superficies. Haciendo uso de teor´ıa de gráficas se demuestra el teorema de Jordan–Schönflies y con él se prueba que toda superficie cerrada es triangulable. Esto permite probar que cualquier superficie cerrada es homeomorfa a alguna de las superficies construidas en el cap´ıtulo anterior. Más adelante, en el cap´ıtulo XIII presentamos los elementos de la teor´ıa de homotop´ıa. En particular, analizamos las aplicaciones del c´ırculo en s´ı mismo, introduciendo el importante concepto de grado. Se introduce la equivalencia homotópica de espacios, como un concepto más burdo que el de homeomorfismo. El grupo fundamental es el primer invariante propiamente algebraico que introducimos en el cap´ıtulo XIV. Damos más adelante la demostración del teorema de Seifert–van Kampen, que permite calcular el grupo fundamental de un espacio conociendo los grupos de algunas de sus partes. Utilizamos este importante teorema para calcular los grupos fundamentales de todas las superficies cerradas, as´ı como los de algunas 3-variedades orientables, cuya descomposición de Heegaard se conoce. Con el cálculo de los grupos fundamentales de las superficies cerradas construidas en el cap´ıtulo XI concluimos la demostración del teorema de clasificación. Más adelante, en el cap´ıtulo XV se introducen las aplicaciones cubrientes. Son ellas una herramienta esencial para analizar, desde un punto de vista dis-

´ PROLOGO

19

tinto, el grupo fundamental. En el u ´ltimo cap´ıtulo XVI se presenta una breve introducción a la teor´ıa de los nudos, en donde se ve la utilidad de varios invariantes algebraicos. Por un lado, se presenta el polinomio de Jones y, por el otro, como aplicación del grupo fundamental, se define el grupo de un nudo. El libro está planeado para usarse en dos cursos semestrales hacia la segunda mitad de la licenciatura en matemáticas. Para el primer curso, pueden leerse los cap´ıtulos I–VI, pero puede dejarse fuera el cap´ıtulo V referente a l´ımites y col´ımites. Del cap´ıtulo VII puede omitirse la sección VII.6, dedicada a redes. En el cap´ıtulo VIII, la sección VIII.7 que trata espacios compactamente generados y la sección VIII.8 sobre k-espacios pueden omitirse. Finalmente, en el cap´ıtulo IX, las secciones IX.5 y IX.6, que tratan espacios paracompactos y las relaciones entre diversas propiedades pueden eliminarse. Esta ruta cr´ıtica propuesta cumple con el propósito del libro de comenzar con los espacios métricos y, después de agregar condiciones adecuadas a los espacios topológicos generales, retornar a los espacios metrizables. Por otro lado, las secciones omitidas pueden ser utilizadas para que los alumnos desarrollen diferentes proyectos. En particular, las secciones VIII.7 y VIII.8 representan proyectos muy interesantes para buenos estudiantes. El segundo curso puede conformarse leyendo los cap´ıtulos XI sobre variedades, XIII sobre los conceptos básicos de la homotop´ıa, XIV sobre el grupo fundamental y XV sobre aplicaciones cubrientes. Los cap´ıtulos XII sobre el teorema de Schönflies y el XVI sobre nudos, pueden proporcionar material para proyectos que desarrollen los alumnos. No puedo dejar de reconocer la influencia en este libro de todos los expertos que directa o indirectamente tuvieron influencia en mi formación como matemático y como topólogo. En la Facultad de Ciencias de la unam fueron decisivos Guillermo Torres y Roberto Vázquez. Posteriormente, durante mis estudios de doctorado en Heidelberg, Alemania, tuve el privilegio de recibir en forma directa las ense˜ nanzas de Albrecht Dold y Dieter Puppe. En forma indirecta, tuve la influencia de algunos textos alemanes de topolog´ıa, entre los que destacan el de Klaus Jänich [26] –sus efectos se ven reflejados, sobre todo, en este prólogo–. La influencia de Horst Schubert [38] es clara en la primera parte del texto; la del libro [41] de Ralph Stöcker y Heiner Zieschang,

20

´ PROLOGO

as´ı como la del de Tammo tom Dieck [14] lo es en la segunda. Much´ısimo agradezco a todos los que a lo largo de la escritura de este libro y desde que apareció la primera edición han colaborado para mejorarlo. Desde Luis Valero que tipografió las primeras etapas, los alumnos de muchas generaciones que han se˜ nalado errores, imprecisiones y carencias, Leonardo Espinosa, que siempre ha estado generosamente dispuesto a echarme la mano con las dificultades de LATEX y hasta Axel Retif que en la u ´ltima etapa, tanto de la primera edición, como de ésta, ha estado al pie del ca˜ nón para que la obra quede impecable. Por supuesto expreso también mi agradecimiento al Fondo de Cultura Económica, que tan generosamente ha acogido mis libros. Finalmente agradezco a mis hijos y a mi esposa por su tolerancia, pues buena parte del mucho tiempo que esta obra me ha demandado ha sido a costa del que a ellos debo. Carlos Prieto2

Instituto de Matemáticas Universidad Nacional Autónoma de México Otoo de 2012

2 El autor recibi´ o apoyo de los proyectos PAPIIT IN101909 e IN108712 durante la preparaci´ on de esta obra.

ń introduccio El objetivo de este libro es introducir al lector en las ideas básicas de la topolog´ıa de conjuntos y de la topolog´ıa algebraica. Pero, ¿qué es ´ topolog´ıa? Esta no es una pregunta fácil de responder. Tratar de definir una rama de las matemáticas en una oración concisa, es complicado. No obstante, como aproximación, podemos decir que topolog´ıa es la rama de las matemáticas que estudia las deformaciones continuas de objetos geométricos. Uno de los propósitos de la topolog´ıa es clasificar objetos o, al menos, dar métodos para distinguir entre objetos que no son homeomorfos. En otras palabras, para decidir qué objetos no pueden obtenerse uno del otro a través de una deformación continua. La topolog´ıa también proporciona técnicas para estudiar estructuras topológicas en objetos que surgen en ramas muy diversas de las matemáticas. Los conceptos de “deformación”, “continuidad” y “homeomorfismo” serán fundamentales y se definirán con precisión en el texto. No obstante, aun sin haberlos definido, manejaremos a continuación algunos ejemplos, a nivel intuitivo, que los ilustran. La figura 1 presenta tres espacios topológicos; a saber, una superficie esférica a la que se le removieron el polo norte y el polo sur, una esfera a la que se le removieron el casquete polar norte y el casquete polar sur (incluyendo los c´ırculos polares) y un cilindro al que se le removieron los dos bordes. Estos tres objetos claramente pueden ser deformados uno en otro, por lo cual la topolog´ıa no los distingue entre s´ı. En la figura 2 tenemos la superficie de un toro (una “dona”) y una superficie esférica a la que se le pegó la superficie de un asa. Cada una de estas dos figuras geométricas es claramente una deformación de la otra. Sin embargo, es intuitivamente claro que el objeto topológico que se presenta en tres formas en la figura 1 no va a ser deformable en el objeto topológico que se presenta en dos formas en la figura 2. Precisando un poco más, diremos que dos objetos (espacios topológicos) serán homeomorfos cuando exista una correspondencia biun´ıvoca que haga corresponder puntos cercanos de uno de ellos con puntos 21

22

´ INTRODUCCION

Figura 1: Una esfera sin los polos; una esfera sin los casquetes polares ni los c´ırculos polares; un cilindro sin los bordes

Figura 2: Un toro y una esfera con un asa cercanos del otro. Podemos agregar a la lista de espacios que no son homeomorfos, mencionada anteriormente, los siguientes ejemplos. (a) Sean N = {0, 1, . . . , n − 1}, M = {0, 1, . . . , m − 1}, n < m. Considerados como espacios topológicos de la manera que sea, no van a poder resultar homeomorfos debido a que una condición necesaria para que dos espacios topológicos sean homeomorfos es que tengan el mismo n´ umero de elementos. (b) El mismo argumento de (a) demuestra que un punto no es homeomorfo a un intervalo.

´ INTRODUCCION

23

(c) Se requiere de argumentos más sofisticados para demostrar que un intervalo cerrado no es homeomorfo a una cruz, es decir, los espacios topológicos representados en la parte superior de la figura 3 no son homeomorfos entre s´ı. Una manera de decidirlo ser´ıa la siguiente: cualquier punto que le quitemos al intervalo descompone éste en a lo más dos porciones conexas; sin embargo, hay un punto en la cruz que al quitarse descompone ésta en cuatro componentes. Por tal razón, en el primer espacio no existe ning´ un punto que pueda corresponder a este punto especial del segundo espacio y as´ı no pueden ser homeomorfos.

Figura 3: Un intervalo y una cruz no son homeomorfos (d) La superficie del toro no es homeomorfa a la superficie de la esfera. Esto se demostrar´ıa si observamos que se puede dibujar un c´ırculo sobre la superficie del toro que no puede ser deformado en un punto; sin embargo, es muy claro que cualquier c´ırculo que dibujemos sobre la superficie de una esfera s´ı puede ser deformado a un punto, como se puede apreciar en la figura 4. Otra manera de verlo ser´ıa observando que esos c´ırculos son tales que el de la esfera siempre la descompone en dos regiones, mientras que

24

´ INTRODUCCION

el del toro no lo descompone. (En otras palabras, en la esfera se cumple el famoso Teorema de la Curva de Jordan, mientras que no se cumple en el toro.) También puede decirse que en la esfera, cualquier c´ırculo es la frontera de un disco sobre la esfera, mientras que en el toro hay c´ırculos que no son frontera de alg´ un disco.

Figura 4: Todo lazo se contrae en la esfera; un lazo no se contrae en el toro (e) La banda de Moebius, que se obtiene de una tira de papel torciéndola media vuelta y luego pegando sus extremos, no es homeomorfa a la banda trivial, que se obtiene pegando los extremos de la banda de papel sin torcerla (véase la figura 5).

Figura 5: La banda de Moebius y la banda trivial El argumento para demostrar esto es semejante al que utilizamos en el ejemplo (d); a saber, hay un c´ırculo en la banda de Moebius que

´ INTRODUCCION

25

puede ser removido sin que ésta se rompa (se puede cortar con tijeras a lo largo del ecuador sin obtener dos pedazos); sin embargo, en la banda usual, cualquier c´ırculo paralelo y distinto a las orillas (o cualquiera otro) va a descomponer la banda en dos porciones (véase la figura 6). Los primeros ejercicios para el lector son los siguientes. (f) Tómese la banda de Moebius y córtese a lo largo del ecuador. ¿Cuál será el espacio que se obtenga? ¿Será nuevamente una banda de Moebius o será una banda trivial?

Figura 6: La banda de Moebius no es homeomorfa a la banda usual (g) De manera análoga a la construcción descrita de la banda de Moebius podemos considerar una tira de papel y pegar sus extremos, ahora torciendo una vuelta. ¿Será este espacio homeomorfo a la banda de Moebius? ¿Será este espacio homeomorfo a la banda trivial? ¿Qué relación guarda este espacio con el que resulta en el inciso (f)? (Véase la figura 6.) Uno de los problemas centrales de la topolog´ıa consiste, justamente, en estudiar los espacios topológicos para distinguirlos. En todos los ejemplos anteriores se decide que los espacios no son homeomorfos con base en ciertos invariantes que se les pueden asignar a éstos; por ejemplo, en (a) este invariante es la cardinalidad, es decir, el n´ umero de elementos, en (c) es el n´ umero de componentes en que se descomponen al quitarles un punto, mientras que en (d) y en (e) es el n´ umero de componentes en que se descomponen al quitarles un c´ırculo. Uno

26

´ INTRODUCCION

de los objetivos de la topolog´ıa es asignar a los espacios invariantes relativamente simples de calcular que permitan distinguirlos. Cuando mencionamos el concepto intuitivo de homeomorfismo, utilizamos el concepto intuitivo de cercan´ıa entre dos puntos, es decir, hablamos de la posibilidad de decidir qué puntos son cercanos a un punto dado o qué puntos forman una vecindad o un entorno de tal punto. En los primeros cap´ıtulos precisaremos este concepto. Un ejemplo final de la importancia de poder resolver problemas de homeomorfismo corresponde a la teor´ıa de los nudos. Un nudo K es una curva cerrada simple en el espacio tridimensional, es decir, es la imagen k(S1 ) bajo una inclusión ‘decente’ del c´ırculo en el espacio usual, k : S1 ,→ R3 , como se ilustra intuitivamente en la figura 7.

Figura 7: Un nudo en el espacio La teor´ıa de los nudos es un área importante de la topolog´ıa que tiene asombrosas aplicaciones en diversos ámbitos de la ciencia. El problema central de la teor´ıa consiste en determinar cuándo dos nudos son equivalentes entre s´ı, es decir, cuándo es posible deformar en el espacio un nudo en otro sin romperlo. Hace algunos a˜ nos, en lo que constituye uno de los resultados más fuertes de la teor´ıa de nudos, Gordon y Luecke [21] probaron que un nudo K está determinado por su complemento, es decir, dos nudos K y K ′ son equivalentes si y sólo si sus complementos en el espacio R3 − K y R3 − K ′ son homeomorfos. En otras palabras, convirtieron el problema de clasificar nudos en un problema de homeomorfismo de ciertos subconjuntos en R3 . El llamado grupo del nudo, es decir, el grupo fundamental de su complemento es

´ INTRODUCCION

27

un invariante que permite distinguir entre dos nudos no equivalentes, pues de no ser estos grupos isomorfos, entonces los complementos de los nudos no serán homeomorfos y por tanto, por el teorema de Gordon y Luecke, los nudos no serán equivalentes.

Primera Parte Nociones de topolog´ıa de conjuntos

29

´ I. ESPACIOS METRICOS Una muy rica fuente de ejemplos para la topolog´ıa la constituyen los espacios métricos pues, de manera muy natural, tienen las propiedades topológicas fundamentales. En este cap´ıtulo haremos un estudio sucinto de los conceptos básicos de la teor´ıa de los espacios métricos. Comenzaremos la discusión presentando los espacios euclidianos y sus subespacios. I.1 Espacios euclidianos Con el fin de familiarizarnos con la notación del texto, en esta sección presentaremos una serie de ejemplos de espacios topológicos “canónicos” que tienen un papel muy importante, tanto en la topolog´ıa como en otras ramas de las matemáticas. Los s´ımbolos R y C designarán, como es costumbre, los n´ umeros reales y los complejos, respectivamente. n Si n ≥ 1, entonces R será el espacio euclidiano de dimensión n, es decir, Rn = {x = (x1 , . . . , xn ) | xi ∈ R, i = 1, . . . , n} con sus operaciones usuales como espacio vectorial: si x, y ∈ Rn y r ∈ R, entonces x + y = (x1 +y1 , . . . , xn +yn ), x−y = (x1 −y √1 , . . . , xn −yn ) y rx = (rx1 , . . . , rxn ), y la norma está dada por |x| = x21 + · · · + x2n . Se define la distancia entre dos puntos simplemente como |y − x|. R0 representa al espacio euclidiano consistente en un solo punto, el 0, que se puede ver como subespacio del espacio Rn . Se tiene una identidad canónica Rn × Rm = Rn+m dada por ((x1 , . . . , xn ), (y1 , . . . , ym )) = (x1 , . . . , xn , y1 , . . . , ym ). As´ı mismo, se considera a Rn de forma canónica como un subespacio de Rn+1 identificándolo con el subespacio Rn × 0. También se tiene una identificación canónica de √R2 con los n´ umeros complejos C haciendo (x, y) = x + iy, donde i = −1. ´ n. Sea n ≥ 0. Consideraremos los siguientes espacios: I.1.1 Definicio

R+ = {x ∈ R | 0 ≤ x}, la semirrecta no negativa. Bn = {x ∈ Rn | |x| ≤ 1}, la bola unitaria de dimensión n. La 31

´ ESPACIOS METRICOS

32

2-bola unitaria la llamamos frecuentemente disco unitario y la denotamos por D2 .

Sn−1 = {x ∈ Rn | |x| = 1}, la esfera unitaria de dimensión n−1 o (n−1)-esfera unitaria. Si n = 2, entonces S1 es el c´ırculo unitario. ◦

n

B = {x ∈ Rn | |x| < 1}, la célula unitaria o bola unitaria abierta de dimensión n o, más brevemente, n-célula. I n = {x ∈ Rn | 0 ≤ xi ≤ 1, 1 ≤ i ≤ n}, el cubo unitario de dimensión n on n-cubo unitario. ∂I n = {x ∈ I n | xi = 0 o 1 para alguna i}, la frontera de I n en Rn . I = I 1 = [0, 1] ⊂ R, el intervalo unitario. I.1.2 Ejercicio. Probar la igualdad

S1 = {z ∈ C | |z| = 1} es decir, la igualdad

S1 = {e2πit ∈ C | t ∈ I}.

I.2

´tricos Espacios me

En Rn con la métrica o distancia usual, definida arriba, se considera el concepto de conjunto abierto. El concepto de métrica y su concepto asociado de conjunto abierto pueden generalizarse a cualquier conjunto provisto de una función que se comporte de manera análoga a la función distancia en Rn . Esto permite estudiar una serie de propiedades de los conjuntos provistos de una métrica, que serán comunes a las de los espacios euclidianos y a las de cualquiera de sus subespacios. Por ejemplo, el concepto de métrica está muy relacionado con el concepto de convergencia de sucesiones. Frecuentemente se necesitan conceptos más generales, como el de convergencia de sucesiones de funciones, que ya


33

no pueden considerarse dentro del concepto elemental de espacio euclidiano. El propósito de este párrafo es establecer un sistema axiomático que incluya los conceptos de convergencia, de conjunto abierto, de continuidad, etcétera, que nos son familiares del análisis elemental. ´ n. Un espacio métrico consta de un conjunto X y de I.2.1 Definicio una función d : X × X −→ R+ , llamada métrica, o distancia que satisface los siguientes axiomas: (M1) d(x, y) = 0 ⇔ x = y. (M2) d(x, y) = d(y, x)∀x, y ∈ X. (M3) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(y, z), ∀x, y, z ∈ X. Esta u ´ltima desigualdad se conoce como la desigualdad del tri´ angulo (véase la figura I.1).

x d(x, y)

y

d(x, z) d(y, z) z

Figura I.1: La desigualdad del triángulo

I.2.2 Ejemplos. Son espacios métricos los siguientes: 1. X = R, d(x, y) = |y − x|. 2. X = Rn , d(x, y) = |y − x|.

34


3. X ⊆ Rn , d(x, y) = |y −x|. X se denomina subespacio (métrico) de ◦

n

Rn . Son subespacios métricos de Rn , por ejemplo, Bn , B , Sn−1 , I n , ∂I n . De aqu´ı en adelante se entenderán as´ı estos espacios como espacios métricos. 4. Sea X un conjunto arbitrario no vac´ıo y sea d : X × X −→ R+ , tal que { 0, si x = y; d(x, y) = 1, si x ̸= y. ´ Esta es claramente una métrica a la que se le llama métrica discreta. 5. X = Rn , d(x, y) = máx{|xi − yi | | i = 1, . . . , n}. ∑ 2 6. X = {x = (xi ) | xi ∈ R, i ∈ N, ∞ i=1 xi < ∞}, v u∞ u∑ d(x, y) = t (yi − xi )2 i=1

A este espacio de sucesiones de n´ umeros reales se le denota en el análisis funcional usualmente como ℓ2 y se le suele llamar el espacio de Hilbert (real). 7. X = {x : I −→ R | x es una función continua}, √ ∫ 1 d(x, y) = (x(t) − y(t))2 dt . 0

8. X = {x : I −→ R | x es una función continua}, d(x, y) = máx{|x(t) − y(t)| | t ∈ I} . 9. X = {x : I −→ R2 | x es una función continua, x(0) = x(1)}, d(x, y) = máx{|x(t) − y(t)| | t ∈ I} .


35

Obsérvese que, en este u ´ltimo ejemplo, dos funciones distintas pueden tener imágenes iguales, sin embargo, claramente la distancia entre ellas no es 0. Por ejemplo, x, y : I −→ R2 , tales que x(t) = (cos 2πt, sen 2πt), y(t) = (cos 4πt, sen 4πt) satisfacen d(x, y) = 2; no obstante, la imagen de ambas es S1 . No es elemental en varios de los ejemplos anteriores demostrar que la función d satisface los axiomas de una métrica. En algunos casos se requiere del conocimiento de ciertas desigualdades importantes (y famosas), para lo que se refiere al lector, por ejemplo, a [?] o a [5]. Nótese que el ejemplo 4 demuestra que todo conjunto puede ser provisto de una métrica; as´ı mismo, los ejemplos 2 y 5 o 7 y 8 demuestran que al mismo conjunto pueden dársele diferentes métricas no discretas. En lo que sigue, Rn denotará siempre al espacio métrico del ejemplo 2. ´ n. En la definición de una métrica, es suficiente pedir I.2.3 Observacio que d sea una función con valores reales y que los axiomas (M1) y (M3) se cumplan. Además, el axioma (M2) es una consecuencia de los otros dos como se puede ver a continuaci´ on. Tomando z = x, tenemos que por (M3) se tiene d(x, y) ≤ d(x, x) + d(y, x) = d(y, x), donde la u ´ltima igualdad se cumple por (M1). De modo análogo, d(y, x) ≤ d(x, y). As´ı d(x, y) = d(y, x) por lo que se cumple (M2). Más a´ un, tomando y = x, se tiene por (M1) y (M3) que 0 = d(x, x) ≤ d(x, z) + d(x, z) = 2d(x, z). Por tanto d(x, z) ≥ 0 para cualesquiera x, z y la función d es no negativa. El siguiente es un caso interesante de analizar. I.2.4 Ejemplo. Sea S1 = {x = e2πir | r ∈ I} ⊂ C el c´ırculo complejo unitario y sean x = e2πir , y = e2πis ∈ S1 . Definamos { m´ın {s − r, 1 − s + r} si r ≤ s , d(x, y) = m´ın {r − s, 1 − r + s} si s ≤ r . Entonces d es una métrica en S1 , a saber, tenemos lo siguiente: x = y si y sólo si (a) r = s, (b) r = 0 y s = 1, o (c) r = 1 y s = 0. As´ı, claramente, si x = y, entonces d(x, y) = 0. Inversamente, si d(x, y) = 0, entonces (a) r = s, (b) 1 − s + r = 0, en caso de que

36


r < s, lo que implica s = 1 y r = 0, dado que 1 − s ≥ 0 y r ≥ 0, o, análogamente, (c) r = 0 y s = 1. Por la observación anterior, sólo falta demostrar la desigualdad del triángulo. Supónganse x, y como antes y z = e2πit . Entonces tenemos que si r ≤ s ≤ t, d(x, y) = m´ın {s − r, 1 − s + r} , d(x, z) = m´ın {t − r, 1 − t + r} y d(y, z) = m´ın {t − s, 1 − t + s} . Hay que analizar varios casos: (i) Si d(x, y) = s − r y d(x, z) = t − r, entonces d(x, y) ≤ d(x, z) ≤ d(x, z) + d(y, z), ya que s − r ≤ t − r (ii) Si d(x, y) = s − r, d(x, z) = 1 − t + r y d(y, z) = t − s, se tiene que s−r ≤ 1−s+r, 1−t+r ≤ t−r y t−s ≤ 1−t+s. As´ı, sumando la segunda y la tercera desigualdad, obtenemos 1 − s + r ≤ 1 − r + s, por lo que r = s y entonces d(x, y) = 0 ≤ d(x, z) + d(y, z). (iii) Si d(x, y) = s − r, d(x, z) = 1 − t + r y d(y, z) = 1 − t + s, se tiene , y entonces claramente d(x, y) = s − r ≤ s ≤ 1 − t + s = d(y, z) ≤ d(x, z) + d(y, z) pues 1 − t ≥ 0. (iv) Cuando d(x, y) = 1−s+r) se hace un análisis similar que dejamos al lector. I.2.5 Proposici´ on. Sea (X, d) un espacio métrico, Y ⊆ X. Entonces, la restricci´ on d|Y ×Y : Y × Y −→ R es una métrica en Y ⊔ ⊓ Al espacio Y con esta métrica inducida se le llama subespacio métrico. I.2.6 Ejercicio. En los incisos (a)–(g) probar que d : X × X ∈ R+ es una métrica. (a) En X = Rn tómese d(x, y) =

n ∑ i=1

|xi − yi |.


37

(b) En X = {x : I −→ Rn | x es una función continua} tómese ∫ 1 d(x, y) = |x(t) − y(t)|dt. 0

(c) En X = {x = (xi ) | xi ∈ R, i ∈ N, xi → 0} tómese d(x, y) = sup{|xi − yi | | i ∈ N}. ∑ p (d) En X = {x = (xi ) | xi ∈ R, i ∈ N, ∞ i=1 |xi | < ∞}, para alguna p ≥ 1 tómese (∞ )1 p ∑ p d(x, y) = |xi − yi | . i=1

(Sugerencia: Usar la desigualdad de Minkowski [5].) (e) Tómese X como en (d) y supóngase que 0 < p < 1. Sea d dada por la misma fórmula de (d). (f) Si di : Xi × Xi −→ R es una métrica en un conjunto Xi , i = ∏ 1, . . . , n, tómese X = ni=1 Xi y tómese d(x, y) =

n ∑

di (xi , yi ) .

i=1

(g) Si di : Xi × Xi −→ R es una métrica en un conjunto Xi , i = ∏ 1, . . . , n, tómese X = ni=1 Xi y para alguna p ≥ 1 tómese d(x, y) =

( n ∑

)1

p

di (xi , yi )

p

.

i=1

A los espacios métricos de (d) y (e) se les denota usualmente como ℓp . A la métrica de (f) se le llama métrica del producto. ´ n. Sea X un espacio vectorial real. Una norma en X I.2.7 Definicio es una función que a cada x ∈ X le asocia un n´ umero real ∥x∥ ∈ R+ , llamada la norma de x, tal que cumple las condiciones


38

(No1) ∥x∥ = 0 ⇔ x = 0 (No2) ∥rx∥ = |r| · ∥x∥, r ∈ R (No3) ∥x + y∥ ≤ ∥x∥ + ∥y∥ A un espacio vectorial X provisto de una norma se le llama espacio vectorial normado. I.2.8 Ejercicio. Probar las siguientes afirmaciones. (a) En un espacio vectorial normado X, la función d(x, y) = ∥x − y∥ define una métrica. (b) En Rn , cada una de las siguientes funciones define una norma. (i) ∥x∥ = máx{|xi | | i = 1, . . . , n} ∑ (ii) ∥x∥ = ( ni=1 |xi |p )1/p , p ≥ 1. La métrica asociada a (i) es la de I.2.2 5 y la asociada a (ii) es la ∏ de I.2.6 (g) si Xi = R y tomamos Rn = ni=1 R.

I.3

Vecindades y conjuntos abiertos

Como ya dijimos, en un espacio métrico es posible hablar de vecindades de un punto. ´ n. Sea x ∈ X, ε ∈ R, ε > 0. Definimos la bola abierta I.3.1 Definicio con centro en x y de radio ε por Bε (x) = {y ∈ X | d(x, y) < ε} . Decimos que U ⊆ X es una vecindad de x si existe ε > 0 tal que Bε (x) ⊆ U . El siguiente resultado es inmediato.

VECINDADES Y CONJUNTOS ABIERTOS

39

I.3.2 Proposici´ on. Sea X un espacio métrico y t´ omese un punto x ∈ X. (a) Si ε > 0, entonces Bε (x) es una vecindad de x. (b) Si U es una vecindad de x y U ⊆ V , entonces V es una vecindad de x. ⊔ ⊓

V

U

Bε (x)

x

Figura I.2: Un superconjunto de una vecindad de x es una vecindad de x. ´ n. Dos métricas d y d′ en un conjunto X son equivaI.3.3 Definicio lentes si ambas determinan las mismas vecindades de cualquier punto x ∈ X. La siguiente es una afirmación fácil de demostrar. I.3.4 Proposici´ on. Dos métricas d y d′ en X son equivalentes si y s´ olo si para cada punto x ∈ X se cumple lo siguiente: (a) Dada ε > 0, existe ε′ > 0 tal que d′ (x, y) < ε′ =⇒ d(x, y) < ε, y (b) dada δ ′ > 0, existe δ > 0 tal que d(x, y) < δ =⇒ d′ (x, y) < δ ′ . Demostraci´ on: Obsérvese primero que (a) y (b) son equivalentes a las siguientes afirmaciones, respectivamente: (a’) Dada ε > 0, existe ε′ > 0 tal que Bε′ ′ (x) ⊆ Bε (x), y

40


(b’) dada δ ′ > 0, existe δ > 0 tal que Bδ (x) ⊆ Bδ′ ′ (x), donde B simboliza las bolas con respecto a la métrica d y B ′ simboliza las bolas con respecto a d′ . As´ı, (a) implica que las vecindades con respecto a d también son vecindades con respecto a d′ y (b) implica que las vecindades con respecto a d′ son también vecindades con respecto a d. As´ı, si (a) y (b) se cumplen, entonces d y d′ son equivalentes. Inversamente, si d y d′ son equivalentes y ε > 0, entonces por I.3.2 Bε (x) es vecindad con respecto a d′ . Por lo tanto (a’) se cumple, por lo que (a) se cumple también. Análogamente Bε′ (x) es vecindad con respecto a d y as´ı, (b’) se cumple y por tanto (b) también. ⊔ ⊓ I.3.5 Ejercicio. Probar que la métrica en el c´ırculo unitario definida en el ejemplo I.2.4 es equivalente a la métrica inducida por la métrica usual en el plano complejo. I.3.6 Ejercicio. Probar que dada una métrica d en un conjunto X, (a) la función d′ : X × X −→ R+ dada por d′ (x, y) =

d(x, y) 1 + d(x, y)

define una métrica en X y que esta métrica es equivalente a d; y que (b) la función d′′ : X × X −→ R+ dada por d′′ (x, y) = m´ın{d(x, y), 1} define otra métrica en X y que esta métrica también es equivalente a d. Del ejercicio anterior concluimos lo siguiente. I.3.7 Proposici´ on. Todo espacio métrico X con métrica d admite una métrica equivalente d′ que es acotada. ⊔ ⊓


41

I.3.8 Ejercicio. Dada una métrica d en X probar que si k ∈ R, k > 0, entonces la función d′ dada por d′ (x, y) = kd(X, y) define una métrica equivalente en X. También se mencionó que el concepto de conjunto abierto en los espacios euclidianos puede extenderse a espacios métricos. ´ n. Sea X un espacio métrico. Decimos que un subconI.3.9 Definicio junto A de X es abierto si A es vecindad de x para toda x ∈ A. En otras palabras, A ⊆ X es abierto si y sólo si para todo x ∈ A existe ε > 0 tal que Bε (x) ⊆ A. Por la definición I.3.3, tenemos que los conjuntos abiertos de un espacio métrico dependen sólo de la clase de equivalencia de su métrica, es decir, métricas equivalentes determinan los mismos conjuntos abiertos. I.3.10 Proposici´ on. Las siguientes afirmaciones son ciertas: (a) La bola abierta Bε (x) es un conjunto abierto. olo si A es uni´ on de bolas (b) Un subconjunto A ⊂ X es abierto si y s´ abiertas. Demostraci´ on: La afirmación (a) es consecuencia de la desigualdad del triángulo, mientras que la (b) se obtiene de la definición de un conjunto abierto. ⊔ ⊓ Si consideramos la colección de todos los conjuntos abiertos en un espacio métrico X, tendremos la siguiente afirmación. I.3.11 Teorema. Sea A el conjunto de todos los abiertos en un espacio métrico X. Entonces se cumplen las siguientes afirmaciones: (A1) Sea I un conjunto arbitrario de ´ındices. Si {Ai }i∈I es una familia ∪ de elementos en A, entonces i∈I Ai es elemento de A. (A2) Sea I un conjunto finito de ´ındices. Si {Ai }i∈I es una familia de ∩ elementos en A, entonces i∈I Ai es elemento de A.

42


∪ En particular, para el caso I = ∅, por definici´ on i∈∅ Ai = ∅ y i∈∅ Ai = X. Por lo tanto, (A1) y (A2) implican que X y ∅ son elementos de A. ∩

Demostraci´ on: Los conjuntos X y ∅ son obviamente abiertos, es decir, pertenecen a A. El primero por ser el universo en el que están todas las bolas y el segundo por vacuidad. Supongamos pues que I ̸= ∅. (A1) Se obtiene de I.3.2. ∩ (A2) Sea I finito y tómese x ∈ i∈I Ai . Ya que cada Ai es abierta, existe εi > 0, tal que Bεi (x) ⊆ Ai , i ∈ I. Sea ε = m´ın{εi | i ∈ I}; ε > 0 y claramente Bε (x) ⊆ Bεi (x) para toda i ∈ I. As´ı, tenemos que ∩ ∩ Bε (x) ⊆ i∈I Ai . Por lo tanto, i∈I Ai es abierto (véase la figura I.3). ⊔ ⊓

Figura I.3: La intersección finita de abiertos es abierta


43

I.3.12 Ejercicio. Sea X = Rn y sea ′

d (x, y) =

n ∑

|xi − yi |

i=1

la métrica de I.2.6(a). (a) Demostrar que las vecindades en Rn con la métrica usual (ejemplo I.2.2 2) son las mismas que las vecindades dadas por la métrica d′ . (b) ¿Qué se puede decir de las vecindades de un punto Rn definidas usando la métrica del ejemplo I.2.2 5? (c) Probar que, en general, si k = 1, 2, 3, . . . , la función v u n u∑ k dk (x, y) = t |xi − yi |k i=1

determina una métrica y analizar las vecindades que determina. (Sugerencia: Utilizar la desigualdad de Minkowski [5].) I.3.13 Ejercicio. Tómese un espacio métrico discreto X como en el ejemplo I.2.2 4. Probar que todo punto es vecindad de s´ı mismo, es decir, respecto de la métrica discreta, todo conjunto de un solo punto es abierto. I.3.14 Ejercicio. Probar que todas las métricas definidas en I.2.6(g) determinan las mismas vecindades y demsotrar que estas vecindades son las mismas que las determinadas por la métrica de I.2.6(f). I.3.15 Ejercicio. Probar que la función d : I × I −→ R dada por d(s, t) = |s − t|2 satisface (M1) y (M2). Sin embargo, d no satisface (M3). Un conjunto X junto con ua función d : X × X −→ R que satisface (M1) y (M2) se llama espacio semimétrico. Por tanto, I con d definida como arriba es un espacio semimétrico.

44


I.3.16 Ejercicio. Sea X un espacio métrico con métrica d. Un conjunto C ⊆ X se dice que es cerrado si su complemento X −C es abierto. Decimos que un conjunto B ⊆ X es acotado si B ⊂ Bn (x) para alg´ un punto x ∈ X y alg´ un n´ umero n ∈ N. Considérese el conjunto C(X) consistente en todos los conjuntos no vac´ıos, cerrados y acotados en X. Para C ∈ C(X) y ε > 0 def´ınase la ε-vecindad de C como el conjunto ∪ Nε (C) = {Bε (x) | x ∈ C} . Ahora def´ınase δ : C(X) × C(X) −→ R por δ(C, D) = inf{ε > 0 | C ⊂ Nε (D) y D ⊂ Nε (C)} . Probar que δ es una métrica que convierte a C(X) en espacio métrico. ´ Esta se llama la métrica de Hausdorff. I.3.17 Ejercicio. Sea X un espacio métrico con métrica d y tómese un subconjunto A ⊂ X. Probar que A es acotado si y sólo si hay un n´ umero positivo R tal que d(x, y) ≤ R cualesquiera dos elementos x, y ∈ A. Def´ınase el di´ ametro de un conjunto acotado A como el n´ umero diamA = sup{d(x, y)|x, y ∈ A}. Si ∆ = diamA exhibir una bola (indicando su centro y su radio en términos de A y ∆) que contenga a A. I.4

Convergencia

Un concepto importante para el análisis en espacios euclidianos es el de la convergencia de sucesiones. Este concepto puede ser definido en forma análoga en cualquier espacio métrico. ´ n. Sea (xn )n∈N una sucesi´ I.4.1 Definicio on de puntos en un espacio métrico X. Decimos que (xn ) converge a x, y escribimos xn → x, si para toda vecindad V de x existe un n´ umero n0 ∈ N, tal que para toda n ≥ n0 , xn ∈ V . Si una sucesión converge a x, decimos que es convergente.y decimos que x es el l´ımite de la sucesión. I.4.2 Ejercicio. Probar que se obtiene una definición equivalente de convergencia si en vez de pedir que V sea una vecindad de x solamente pedimos que sea una bola con centro en x.

CONVERGENCIA

45

La métrica no juega un papel esencial en este concepto de convergencia, ya que el concepto radica en las vecindades y no expl´ıcitamenteen las métricas. Dado que hay métricas distintas que dan lugar a las mismas vecindades, en espacios métricos con estas distintas métricas tendremos el mismo concepto de convergencia. Es decir, el concepto de convergencia es un concepto que depende exclusivamente de las vecindades o, lo que es lo mismo, de los conjuntos abiertos del espacio en cuestión. Más adelante veremos cómo axiomatizar el concepto de vecindad sin usar el concepto de métrica; por lo tanto, tendremos un concepto correspondiente de convergencia de sucesiones. I.4.3 Ejemplos. Para cada inciso, a continuación, haremos referencia a los espacios métricos de los ejemplos I.2.2 correspondientes. 1. La convergencia en R con la métrica usual es la convergencia usual. 2. La convergencia en Rn con la métrica usual es la convergencia usual. 4. Las sucesiones convergentes en un espacio métrico discreto son las sucesiones casi constantes, es decir, tales que xn = x para n > n0 . 5. Por los comentarios que sobre esta métrica se hicieron anteriormente, las vecindades en Rn , seg´ un esta métrica, son las vecindades usuales; por lo tanto, la convergencia en esta métrica es la convergencia usual. 7. Tenemos un concepto de convergencia de funciones en términos de integrales. Considérdese una sucesión de funciones (fn ), donde para cada n, fn : I −→ Rn . Se dice que la sucesión converge puntualmente a una función f : I −→ Rn , si para cada t ∈ I la sucesión (fn (t)) de puntos en Rn converge en Rn al punto f (t). Considérese la siguiente pregunta: ¿Existe alguna métrica en X = {x : I −→ R | x es una función continua} que induzca la convergencia puntual? La respuesta es no.


46

Más adelante daremos un concepto de convergencia que dependa de las vecindades y ya no de la métrica por s´ı misma, toda vez que ella lo ´ hace demasiado restrictivo. Esta es una de las m´ ultiples razones por las cuales es conveniente axiomatizar el concepto de conjunto abierto en un espacio métrico para dejar de lado los problemas relacionados con la métrica. I.5

´tricos Espacios seudome

Antes de pasar a la axiomatización de la estructura de los conjuntos abiertos en un espacio métrico, conviene introducir una generalización del concepto de espacio métrico, que es una frecuente fuente de ejemplos y comparte con aquél la misma estructura de sus conjuntos abiertos. ´ n. Sea X un conjunto y sea d : X × X −→ R una I.5.1 Definicio función que satisface el axioma (M3) de una métrica y, en vez de (M1) satisface el axioma (SM1) d(x, x) = 0 ∀x ∈ X. A una tal función se le llama seudométrica en X, y a X junto con d se le dice espacio seudométrico. Nótese que en un espacio seudométrico la “seudodistancia” entre dos puntos puede ser cero sin que los puntos coincidan. ´ n. Como en la observación I.2.3, se puede probar I.5.2 Observacio que si los axiomas (SM1) y (M3) se cumplen, entonces d(x, y) ≥ 0 para cualesquiera x, y ∈ X, y se cumple el axioma (M2). I.5.3 Ejercicio. Probar que para toda X ̸= ∅, la función d : X × X −→ R+ dada por d(x, y) = 0 para cualesquiera x, y ∈ X es una ´ seudométrica. Esta es la llamada seudométrica indiscreta. De igual forma que en los espacios métricos, podemos definir conjuntos abiertos en los espacios seudométricos. Sea X un espacio seudométrico con seudométrica d y tómese un conjunto A ⊂ X. Decimos que A es abierto si para todo punto x ∈ A existe ε > 0, tal que la seudobola abierta Bε (x) = {y ∈ X | d(x, y) < ε} con centro en x y radio ε esté contenida en A.

´ ESPACIOS SEUDOMETRICOS

47

I.5.4 Ejercicio. Probar que la colección A de conjuntos abiertos en un espacio seudométrico X satisface las condiciones (A1) y (A2) de I.3.11. I.5.5 Ejercicio. (a) Sea X un espacio seudométrico con seudométrica d y considérese la relación ∼ dada por x ∼ y ⇔ d(x, y) = 0. Probar que ∼ es una relación de equivalencia en X. En el conjunto de clases de e = X/∼ considérese la función equivalencia X e ×X e −→ R+ , de : X e dada por d([x], [y]) = d(x, y), donde [x], [y] denotan las correspondientes clases de equivalencia. Probar que de es una métrica e AX e con la métrica de se le llama identificaci´ bien definida en X. on métrica de X con respecto a la seudométrica d. e en (c) con los de X? Ca(b) ¿Cómo se relacionan los abiertos de X racterizarlos. I.5.6 Ejercicio. Sea d : Sn × Sn −→ R+ dada por d(x, y) = m´ın {|x − y|, |x + y|} , donde |x| es la norma usual en Rn+1 . (a) ¿Es d una seudométrica? Explicar. (b) De ser afirmativa la respuesta a (a), describir la identificación métrica correspondiente. ´ n. Las seudométricas surgen de manera natural en I.5.7 Observacio el análisis funcional. Por ejemplo, considérese el espacio F(X) de funciones reales f : X −→ R junto con un punto especial x0 en el conjunto X. Este punto induce una seudométrica en el espacio de funciones dada por d(f, g) = |f (x0 ) − g(x0 )| para cualesquiera f, g ∈ F (X).


48

I.5.8 Ejercicio. (a) En el cuadrado I × I definimos una relación de equivalencia tal que identifica puntos de la forma (0, t) con los correspondientes de la forma (1, t). Esta relación corresponde a “pegar” la arista izquierda del cuadrado con la arista derecha para obtener un “cilindro”. Construir una seudométrica en I × I, cuya identificación métrica dé al cilindro una métrica. (Sugerencia: Sea d la métrica usual en el plano R2 y para x, y ∈ I × I, def´ınase d′ (x, y) = m´ın {d(x, y), d(x+(1, 0), y)}. Verificar que d′ es una seudométrica con la propiedad deseada. La métrica inducida mide la distancia entre dos puntos de una manera “geodésica”, es decir, “caminando” sobre la superficie del cilindro.) (b) Extender la relación de equivalencia de (a) para incluir ahora la equivalencia de un punto de la forma (s, 0) con el punto (s, 1). Esta nueva reación corresponde a pegar la arista izquierda del cuadrado con la arista derecha, as´ı como la arista inferior con la arista superior para obtener un toro. Construir una seudométrica en I × I, cuya identificación métrica le dé al toro la métrica “geodésica”. (Sugerencia: Sea d la métrica usual en el plano R2 y para x, y ∈ I × I, def´ınase d′ (x, y) = m´ın {d(x, y), d(x+(1, 0), y), d(x+(0, 1), y), d(x+(1, 1), y)} . Verificar que d′ es una seudométrica con la propiedad deseada. ´ Esta es la métrica “geodésica” en el toro.) (c) Def´ınase una relación de equivalencia en el cuadrado I × I de tal modo que identifique puntos de la forma (0, t) con puntos de la forma (1, 1 − t). Esta relación corresponde a pegar la arista izquierda del cuadrado con la arista derecha, pero en sentidos opuestos, para obtener una banda de Moebius. Construir una seudométrica en I ×I, cuya identificación métrica le dé a la banda de Moebius una métrica. (Sugerencia: Sea d la métrica usual en el plano R2 y para x = (s1 , s2 ), y = (t1 , t2 ) ∈ I × I, def´ınase d′ (x, y) = m´ın {d(x, y), d(x′ , y), d(x, y ′ )} , donde x′ = (s1 + 1, 1 − s2 ) y y ′ = (t1 + 1, 1 − t2 ).)

´ ESPACIOS SEUDOMETRICOS

49

I.5.9 Ejercicio. (a) Probar que si X = {x : I −→ R | x es función integrable }, entonces √ ∫ 1 d(x, y) = (x(t) − y(t))2 dt 0

define una seudométrica. (b) Describir la identificación métrica del espacio seudométrico del inciso (a). I.5.10 Ejercicio. Observar que las definiciones I.3.1 y I.3.9 tienen sentido para espacios seudométricos y probar la proposición I.3.11 en este caso más general. I.5.11 Ejercicio. Probar que para la seudométrica indiscreta los u ńicos conjuntos abiertos son X y ∅. ¿Cuál es la identificación métrica en este caso? I.5.12 Ejercicio. Sean X un conjunto, Y un espacio métrico con métrica d′ y f : X −→ Y una función arbitraria. Probar que la función d : X × X −→ R dada por d(x, y) = d′ (f (x), f (y)) es una seudométrica. ¿Cuándo resulta ser una métrica? Probar que la afirmación es igualmente válida si d′ es sólo una seudométrica. I.5.13 Ejercicio. Analizar si las siguientes funciones definen una métrica en R2 . ¿O sólo definen una seudométrica? (a) d((x1 , x2 ), (y1 , y2 )) = |y1 − x1 |. (b) d((x1 , x2 ), (y1 , y2 )) = |x1 x2 − y1 y2 |. (c) d((x1 , x2 ), (y1 , y2 )) = |x1 + y1 − x2 − y2 |.

50


II.

´ ESPACIOS TOPOLOGICOS

En este cap´ıtulo daremos las definiciones básicas de espacio topológico, conjuntos abiertos y cerrados, vecindades y todos los conceptos relacionados con la descripción de un espacio topológico. Todos estos conceptos se definen axiomáticamente tomando como modelo los correspondientes conceptos que se tienen en los espacios métricos o seudométricos. De este modo, éstos serán ejemplos de espacios topológicos. ´ sicas: II.1 Definiciones ba conjuntos abiertos y vecindades En la proposición I.3.11 del cap´ıtulo anterior se probaron dos propiedades, a saber, (A1) y (A2), de la familia de conjuntos abiertos en un espacio métrico. En el ejercicio I.5.4 se pide demostrar que los abiertos ´ en los espacios seudométricos tienen las mismas propiedades. Estas nos sugieren la definición básica de espacio topológico, que será punto de partida para lo que resta de este texto. ´ n. Sea X un conjunto. Una topolog´ıa en X es una II.1.1 Definicio familia A de subconjuntos en X, llamados abiertos, tal que cumple con los siguientes dos axiomas. (A1) Si {Ai }i∈I ⊆ A, I arbitrario, entonces (A2) Si {Ai }i∈I ⊆ A, I finito, entonces

∪

∩ i∈I

i∈I

Ai ∈ A.

Ai ∈ A.

En particular, por ser X la intersección de una familia vac´ıa X yace en A: Más a´ un, por ser ∅ la unión de una familia vac´ıa, también ∅ yace en A. A la pareja (X, A) se le denomina espacio topol´ ogico, al cual denotaremos sólo por X cuando no haya confusión con respecto a la estructura topológica dada por sus abiertos. Al conjunto X lo llamaremos el conjunto subyacente del espacio topológico. 51

52


II.1.2 Ejemplos. Son topolog´ıas las siguientes. 1. La familia A que consta de todos los subconjuntos de X. A esta topolog´ıa se le denomina la topolog´ıa discreta en X. Al espacio topológico correspondiente se le llama espacio discreto. As´ı, en un espacio discreto, todo subconjunto es abierto. 2. La familia A que consta solamente de ∅ y X. A esta topolog´ıa se le llama la topolog´ıa indiscreta en X (también se le llama la topolog´ıa trivial . Al espacio topológico correspondiente se le llama espacio indiscreto. As´ı, en un espacio indiscreto, los u ńicos abiertos son ∅ y X. 3. La familia A que consta de todos los abiertos en un espacio métrico X. A esta topolog´ıa se le designa como metrizable. Al espacio topológico correspondiente se le llama usualmente espacio metrizable. En particular, si X está provisto de la métrica discreta, entonces A es la topolog´ıa discreta y X es un espacio discreto. Por lo tanto, los espacios discretos son metrizables. 4. La familia A que consta de todos los abiertos en un espacio seudométrico X. A esta topolog´ıa se le designa como seudometrizable. Al espacio topológico correspondiente se le llama usualmente espacio seudometrizable. En particular, si X está provisto de la seudométrica indiscreta, entonces A es la topolog´ıa indiscreta y X es unespacio indiscreto. Por lo tanto, los espacios indiscretos son seudometrizables. Obsérvese que los espacios indiscretos no son metrizables, a menos que sólo tengan un solo punto. 5. La familia A que consta de todos los subconjuntos de X cuyo complemento es finito y de ∅. Si X es finito, esta topolog´ıa coincide con la discreta; si X es infinito, la llamamos topolog´ıa cofinita. 6. La familia A que consta de todos los subconjuntos de X cuyo complemento es a lo más numerable y de ∅. Si X es numerable, esta topolog´ıa coincide con la discreta; si X es no numerable, la llamamos topolog´ıa conumerable.

CONJUNTOS ABIERTOS Y VECINDADES

53

7. La familia A = {X, ∅, {x}} en el conjunto X = {x, y}. Al espacio topológico correspondiente se le llama espacio de Sierpi´ nski. II.1.3 Ejercicio. Probar que, en efecto, todos los conjuntos A definidos en los ejemplos anteriores son topolog´ıas en los respectivos conjuntos X II.1.4 Ejercicio. Sea X un espacio topológico y sea S ⊂ X un subconjunto fijo. Probar que el conjunto {A ∪ (B ∩ S) | A, B son abiertos en X} determina otra topolog´ıa en el conjunto subyacente de X. Por la discusión en el cap´ıtulo anterior, sabemos que métricas distintas pueden dar origen a los mismos abiertos, y con ello a la misma topolog´ıa, como por ejemplo fue el caso en el ejercicio I.3.12. En dos métricas equivalentes, la convergencia de sucesiones es la misma, es decir, una sucesión es convergente en una métrica si y sólo si es convergente en la otra. Esto sugiere que la convergencia es un concepto topológico, más que métrico. ´ n. Dada una sucesión en un espacio topológico, deciII.1.5 Definicio mos que ésta converge a un punto x, si para cualquier abierto A que contenga a x, la sucesión yace en A a partir de cierto elemento. En s´ımbolos, xn → x si para cada abierto A tal que x ∈ A, existe n0 ∈ N, tal que xn ∈ A para toda n ≥ n0 . Se dice que x es un l´ımite de la sucesión. II.1.6 Ejercicio. Analizar y describir la convergencia de sucesiones en todas las topolog´ıas de los ejemplos II.1.2. Como en el caso de los espacios métricos, en los espacios topológicos también podemos definir concepto de vecindad. ´ n. Sea X un espacio topológico y sea x ∈ X. DefiniII.1.7 Definicio mos una vecindad de x como un conjunto U ⊆ X para el que existe un abierto A en X, tal que x ∈ A ⊆ U .

54


Esta definición es claramente consistente con la dada para los espacios métricos I.3.1, ya que una bola abierta en un espacio métrico es un conjunto abierto. As´ı, una vecindad de un punto en un espacio métrico es una vecindad del mismo punto en la topolog´ıa definida por la métrica en él, e inversamente. La definición de un conjunto abierto en un espacio métrico I.3.9 se convierte, para espacios topológicos, en el siguiente teorema. II.1.8 Teorema. Sea X un espacio topol´ ogico. Un subconjunto A ⊆ X es abierto si y s´ olo si A es vecindad de todo punto x ∈ A. Demostraci´ on: Si A es un conjunto abierto, entonces A es claramente vecindad de cada uno de sus puntos. Inversamente, supóngase que A es vecindad de cada uno de sus puntos y sea x ∈ A. Al ser A vecindad de x, hay un abierto Ax tal ∪ que x ∈ Ax ⊆ A. Por tanto, A = x∈A Ax , y por el axioma (A1), A es abierto. ⊔ ⊓ De aqu´ı en adelante denotaremos como NxX al conjunto de vecindades de un punto x en un espacio topológico X. Cuando no haya riesgo de confusión, lo denotaremos simplemente como Nx . A la familia N = {Nx | x ∈ X} la llamaremos sistema de vecindades de la topolog´ıa de X. Obsérvese que podemos ver a N como una función N : X −→ PP(X), que a cada x ∈ X le asocia el conjunto Nx de vecindades de x, donde, para cualquier conjunto S, P(S) denota la potencia de S, es decir, el conjunto de todos los subconjuntos de S. II.1.9 Nota. Se puede reformular la definición de convergencia dada en el ejercicio II.1.6 diciendo que una sucesión (xn ) en un espacio topológico X converge a x, en s´ımbolos, xn → x, si para cada V ∈ Nx existe n0 ∈ N, tal que xn ∈ V para toda n ≥ n0 . II.1.10 Proposici´ on. El sistema de vecindades N de la topolog´ıa de X tiene las siguientes propiedades. (V1) V ∈ Nx , V ⊆ U ⇒ U ∈ Nx . (V2) Vi ∈ Nx , i ∈ I, I finito, ⇒

∩ i∈I

Vi ∈ Nx .


55

(V3) V ∈ Nx ⇒ x ∈ V . (V4) U ∈ Nx ⇒ ∃ V ∈ Nx , tal que U ∈ Ny ∀ y ∈ V . Demostraci´ on: (V1) Es claro. (V2) Se obtiene de (A2). (V3) Es evidente por definición. (V4) Sea V abierto en X, tal que x ∈ V ⊆ U . Por lo tanto, V es vecindad de x y para todo y ∈ V , y ∈ V ⊆ U ; as´ı, U es vecindad de y. ⊔ ⊓ ´ n. Sea X un conjunto y sea Nx , x ∈ X, una familia II.1.11 Definicio que satisface las condiciones (V1)–(V4) de la proposición anterior. A la colección N = {Nx | x ∈ X} la llamaremos un sistema de vecindades en X. Un sistema de vecindades en un conjunto X determina una topolog´ıa en X en el siguiente sentido. II.1.12 Teorema. Sean X un conjunto y N un sistema de vecindades en X. Entonces existe una u ńica topolog´ıa en X que tiene precisamente a N como su sistema de vecindades. Demostraci´ on: Probaremos primero que si tal topolog´ıa existe, entonces es u ńica. En efecto, el teorema II.1.8 afirma que un conjunto A ⊆ X es abierto si y sólo si A es vecindad de todos sus puntos. En otras palabras, A es abierto si y sólo si A ∈ Nx para toda x ∈ A. Este hecho caracteriza en forma u ńica a los conjuntos abiertos. Por tanto, la topolog´ıa tiene que ser u ńica. Pero esto también nos permite definir la topolog´ıa. Definamos as´ı A = {A ⊆ X | A ∈ Nx ∀x ∈ A} . Tenemos que demostrar que efectivamente A es una topolog´ıa. Para ello, verificaremos los axiomas. Nótese primeramente que ∅ ∈ A por vacuidad, y que X ∈ A por el axioma (V1).

56


(A1) Sea {Ai }i∈I ⊆ A una colección no vac´ıa de elementos en A. ∪ Si x ∈ i∈I Ai , entonces x ∈ Ai para alguna i ∈ I. Ya que Ai ∈ Nx , ∪ ∪ tenemos que Ai ∈ Nx . Por (V1), i∈I Ai ∈ Nx y, por lo tanto i∈I Ai ∈ A. (A2) Sea {Ai }i∈I ⊆ A una familia finita no vac´ıa de conjuntos en ∩ A. Si x ∈ i∈I Ai , entonces x ∈ Ai para toda i ∈ I. Ya que Ai ∈ A, ∩ tenemos que Ai ∈ Nx para toda i ∈ I. De (V2) se sigue que i∈I Ai ∈ ∩ Nx , por lo que i∈I Ai ∈ A. As´ı tenemos que A es una topolog´ıa en X. Falta estudiar cuáles son las vecindades en esta topolog´ıa. Veremos que las vecindades en ella son precisamente las del sistema de vecindades dado. A saber, sea V una vecindad de x seg´ un A, es decir, existe A ∈ A, tal que x ∈ A ⊆ V . Por definición de A, A ∈ Nx , y por (V1), V ∈ Nx . Inversamente, supongamos ahora que U ∈ Nx . Sea A = {y ∈ X | U ∈ Ny }. En particular, x ∈ A y, por (V3), y ∈ U para todo y ∈ A. As´ı, x ∈ A ⊆ U . Basta pues verificar que A ∈ A. Sea y ∈ A. Ya que U ∈ Nx , por definición de A y por (V4) sabemos que existe V ∈ Ny tal que U ∈ Nz para todo z ∈ V . As´ı, V ⊆ A y por (V1), A es vecindad de y. Por lo tanto A ∈ A como quer´ıamos demostrar. ⊔ ⊓ La construcción de los conjuntos abiertos A que dimos en la demostración de II.1.12 conduce a la siguiente definición. ´ n. Sea X un espacio topológico y sea A ⊆ X. DefiII.1.13 Definicio nimos el interior de A como A◦ = {x ∈ A | A ∈ Nx } . A un punto x ∈ A◦ se le llama punto interior. II.1.14 Teorema. Sean X un espacio topol´ ogico y A un conjunto en X. Entonces ∪ A◦ = {B ⊆ A | B es abierto en X}. Por lo tanto A◦ es un conjunto abierto; de hecho, A◦ es el abierto m´ as grande contenido en A.


57

Demostraci´ on: Sea x ∈ A◦ . Entonces A es vecindad de x, por lo que existe un abierto B ⊂ X, tal que x ∈ B ⊆ A. As´ı, claramente, A◦ ⊆ ∪ {B ⊆ A | B es abierto en X}. Inversamente, sea x ∈ ∪{B ⊆ A | B es abierto en }. Entonces x ∈ B ⊆ A para alguna B ∈ A; por lo tanto A ∈ Nx , es decir, x ∈ A◦ . As´ı, ∪ {B ⊆ A | B es abierto en X} ⊆ A◦ . ⊔ ⊓ II.1.15 Corolario. A es abierto en X si y s´ olo si A = A◦ .

⊔ ⊓

Este corolario es equivalente al teorema II.1.8 ya demostrado anteriormente. ´ n. Sean X un espacio topológico y A un conjunto en II.1.16 Definicio X. A la asignación A 7→ A◦ se le llama operador interior de la topolog´ıa de X. Es sencillo probar la siguiente afirmación. II.1.17 Teorema. Sea X un espacio topol´ ogico. El operador interior tiene las siguientes propiedades. (I1) X ◦ = X (I2) A◦ ⊆ A (I3) (A◦ )◦ = A◦ (I4) (A ∩ B)◦ = A◦ ∩ B ◦ (I5) A ⊆ B ⇒ A◦ ⊆ B ◦ (I6) (A ∪ B)◦ ⊇ A◦ ∪ B ◦ .

⊔ ⊓

II.1.18 Ejercicio. (a) Probar el teorema anterior. (b) Mostrar con un ejemplo que, en general, la igualdad en (I6) no se tiene.

58


(c) Probar que (I5) e (I6) son consecuencias de (I4). ´ n. Sea X un conjunto. A un operador en los subII.1.19 Definicio conjuntos de X, A 7→ A◦ , que satisface (I1)–(I4), se le llama operador interior en el conjunto X. En el mismo esp´ıritu del teorema que caracterizó la topolog´ıa a través de las vecindades, es decir, de los axiomas (V1)–(V4), se tiene el siguiente teorema. II.1.20 Teorema. Sea X un conjunto y sea A 7→ A◦ un operador interior en él. Entonces existe una u ńica topolog´ıa A en X, cuyo operador interior es el operador dado. Demostraci´ on: Sea A = {A ⊆ X | A = A◦ }. Entonces A es la topolog´ıa en X buscada. ⊔ ⊓ II.1.21 Ejercicio. Verificar que, en efecto, A de la demostración anterior es una topolog´ıa y que, de hecho, es la u ńica que tiene a A 7→ A◦ como su operador interior. II.1.22 Ejercicio. Sea X un conjunto y tómese un subconjunto fijo B0 ⊆ X. Def´ınase un operador A 7→ A◦ por { X si A = X , ◦ A = A ∩ B0 si A ̸= X . Probar que éste es un operador interior en X. Analizar este operador en los casos B0 = X y B0 = ∅ y explicar qué topolog´ıa resulta en cada caso. II.1.23 Ejercicio. Recurdese la topolog´ıa de Sierpi´ nski en un conjunto X con dos elementos, digamos, X = {x, y}. ¿Es ésta una topolog´ıa como la que describe el operador interior del ejercicio anterior? II.1.24 Ejercicio. Describir el operador interior para la topolog´ıa cofinita, resp. conumerable, en un conjunto infinito, resp. no numerable, X.

CONJUNTOS CERRADOS

II.2

59

Conjuntos cerrados

Los conjuntos en un espacio topológico X que llamaremos cerrados, al igual que los abiertos, determinarán su topolog´ıa. Sin embargo, sus propiedades son muy diferentes a las de los abiertos, por lo que resulta muy importante estudiarlos por separado. ´ n. Un punto x en un espacio topológico X es un punto II.2.1 Definicio de contacto de un conjunto A contenido en X si toda vecindad V de x en X es tal que la intersección de V con A es no vac´ıa. Sea A = {x ∈ X | x es punto de contacto de A} . A A se le llama la cerradura (o envolvente cerrada) de A. Es sencillo demostrar el siguiente resultado que relaciona la cerradura con el interior. II.2.2 Proposici´ on. Las dos condiciones siguientes se cumplen y son equivalentes (a) A = X − (X − A)◦ (b) X − A = (X − A)◦ .

⊔ ⊓

´ n. As´ı, de la proposición anterior, si X−A es abierto, II.2.3 Observacio entonces X − A = (X − A)◦ = X − A y, por lo tanto, A = A. ´ n. Un conjunto A en un espacio topológico X se dice II.2.4 Definicio que es cerrado si X − A es abierto. As´ı, un subconjunto A de un espacio topol´ ogico X es cerrado si y s´ olo si A = A. En particular, tenemos que X y ∅ son abiertos y cerrados a la vez. De los axiomas (A1) y (A2) para los conjuntos abiertos se tiene la siguiente afirmación.


60

II.2.5 Teorema. Sea X un espacio topol´ ogico. Entonces la familia C de los conjuntos cerrados en X satisface los siguientes axiomas. ∩ (C1) Bi ∈ C, i ∈ J , ⇒ i∈J Bi ∈ C (C2) Bi ∈ C, i ∈ J , J finito, ⇒ ∪i∈J Bi ∈ C.

⊔ ⊓

II.2.6 Ejercicio. Probar con detalle esta u ´ltima afirmación. II.2.7 Ejemplos. 1. En un espacio discreto todos los subconjuntos son abiertos y cerrados, mientras que en un espacio indiscreto, los u ńicos subconjuntos cerrados son X y ∅. 2. En la recta real R con la topolog´ıa usual se tiene, por ejemplo, que los conjuntos singulares {t} ⊂ R, as´ı como [a, b], (−∞, b], y [a, +∞) son subconjuntos cerrados. Por el otro lado, un intervalo abierto (a, b), a < b, es abierto y su cerradura es el intervalo cerrado [a, b]. Sin embargo, ∪ {t} (a, b) = a
no es cerrado. Esto muestra que no podemos omitir la hipótesis de finitud en (C2). 3. Tómese el intervalo unitario I = [0, 1] y def´ınanse conjuntos cerrados A1 ⊃ A2 ⊃ · · · An−1 ⊃ An ⊃ · · · en I como sigue. A1 se obtiene removiendo de I el tercio medio abierto, a saber, el intervalo abierto ( 13 , 23 ) dejando la unión de los dos intervalos cerrados [0, 31 ] y [ 23 , 1]. A2 se obtiene removiendo de A1 el tercio medio abierto de los intervalos restantes, dejando la unión de los cuatro intervalos cerrados [0, 91 ], [ 29 , 31 ], [ 23 , 97 ], y [ 89 , 1]. Este proceso se contin´ ua indefinidamente, donde An se obtiene de An−1 removiendo el tercio medio abierto de cada uno de sus 2n−1 intervalos cerrados. En otras palabras, 3n−1 ∪−1 ( 1 + 3k 2 + 3k ) An = An−1 − , . 3n 3n k=0

CONJUNTOS CERRADOS

61

(Nótese que algunos de los intervalos del lado derecho son superfluos, ya que sólo 2n−1 de los 3n−1 intervalos son relevantes.) El ∩ conjunto de Cantor es el subespacio C = n An ⊂ I. Ya que cada An es cerrado en I, por (C2) su intersección es cerrada, es decir, C ⊂ R es cerrado.

A0 A1 A2 A3 A4

Figura II.1: Conjunto de Cantor: Primeras cuatro etapas

II.2.8 Teorema. Sea X un conjunto y sea C una familia de subconjuntos de X que satisface los axiomas (C1) y (C2). Entonces existe una topolog´ıa u ńica en X para la cual C es exactamente la familia de los subconjuntos cerrados. Demostraci´ on: Tómese A = {A ⊆ X | X − A ∈ C}. Entonces A es la topolog´ıa deseada en X. ⊔ ⊓ Como consecuencia de II.2.8, tenemos que la topolog´ıa de un espacio X se puede caracterizar dando sus conjuntos cerrados (en vez de sus abiertos). II.2.9 Ejercicio. Verificar en detalle que, en efecto, A de la demostración anterior es una topolog´ıa y que, de hecho, es la u ńica que tiene a C como su familia de conjuntos cerrados. II.2.10 Ejercicio. Dar ejemplos de familias de cerrados en espacios topológicos cuya unión no sea cerrada. II.2.11 Ejercicio. Probar los siguientes dos teoremas.


62

Como se ve en las propiedades equivalentes II.2.2 (a) y (b), el concepto de cerradura de un conjunto es, en cierto sentido, dual al de interior de un conjunto; as´ı, dualmente a II.1.14, se tiene el siguiente teorema. II.2.12 Teorema. Sean X un espacio topol´ ogico y A un conjunto en X. Entonces ∩ A = {B ⊂ X | A ⊂ B ∈ C} As´ı, A siempre es un conjunto cerrado; de hecho, A es el conjunto cerrado m´ as peque˜ no que contiene a A. ⊔ ⊓ ´ n. Sean X un espacio topológico y A un conjunto II.2.13 Definicio en X. A la asignación A 7→ A se le llama operador cerradura de la topolog´ıa de X. Dualmente a II.1.17, se tiene el teorema siguiente. II.2.14 Teorema. Sea X un espacio topol´ ogico. El operador cerradura en X tiene las siguientes propiedades. (Ce1) ∅ = ∅ (Ce2) A ⊃ A (Ce3) A = A (Ce4) A ∪ B = A ∪ B.

⊔ ⊓

Las propiedades (Ce1)-(Ce4) del operador cerradura son duales a las propiedades (I1)-(I4) del operador interior. De manera análoga al ejercicio II.1.18(c) y (b) se puede resolver, por tanto, el siguiente ejercicio. II.2.15 Ejercicio. (a) Probar que como consecuencia de (Ce4) se obtienen las propiedades

CONJUNTOS CERRADOS

63

(Ce5) A ⊂ B ⇒ A ⊂ B (Ce6) A ∩ B ⊂ A ∩ B (b) Mostrar con un ejemplo que en general no se da la igualdad en (Ce6). II.2.16 Ejercicio. Sea A la familia de todos los intervalos Ia = (a, ∞) en R, donde I∞ = ∅ y I−∞ = R. Demostrar que A es una topolog´ıa en R. ¿Cuál es, en esta topolog´ıa, la cerradura de un conjunto A ⊆ R? ´ n. Sea X un conjunto. A una operación en los subII.2.17 Definicio conjuntos de X, A 7→ A, que satisface los axiomas (Ce1)–(Ce4), a los que se les conoce como axiomas de Kuratowski, se le llama operador cerradura en X. Dualmente a II.1.20 tenemos el siguiente teorema. II.2.18 Teorema. Sea X un conjunto y sea A 7→ A un operador cerradura en él. Entonces existe una topolog´ıa u ńica en X, cuyo operador cerradura coincide con el operador dado. Demostraci´ on: La familia C = {A ⊆ X | A = A} satisface (C1) y (C2). Por lo tanto, por II.2.8, C determina una u ńica topolog´ıa con ella como ´ su familia de cerrados. Esta es la topolog´ıa deseada. ⊔ ⊓ II.2.19 Ejercicio. Verificar que, en efecto, la topolog´ıa correspondiente en la demostración anterior es la deseada. II.2.20 Ejercicio. Sean X un conjunto y tómese un subconjunto fijo A0 ⊂ X. Si P(X) denota la potencia de X, def´ınase un operador en e dado por P(X), A 7→ A, { e = A ∪ A0 si A ̸= ∅ A ∅ si A = ∅ . Probar que este operador es un operador cerradura, describir el correspondiente operador interior y, con ello, los abiertos de la topolog´ıa en X que genera. Analizar este operador en los casos A0 = X o A0 = ∅ y explicar qué topolog´ıa se describe en cada caso (cf. II.1.22).

64


II.2.21 Ejercicio. Describir el operador cerradura para la topolog´ıa cofinita, resp. la conumerable, en un conjunto infinito, resp. no numerable, X. II.2.22 Ejercicio. Sean X un espacio topológico y tómese un subconjunto A ⊂ X. Se dice que A es regularmente abierto si A = (A)◦ y que A es regularmente cerrado si A = (A◦ ). Probar las afirmaciones siguientes: (a) El complemento de un conjunto regularmente abierto es regularmente cerrado y viceversa. (b) Existen abiertos que no son regularmente abiertos (y, por ende, cerrados que no son regularmente cerrados). Dar ejemplos. (c) Si A ⊂ X, entonces A = (A)◦ es regularmente abierto y A = (A◦ ) es regularmente cerrado. (d) La intersección de dos conjuntos regularmente abiertos es regularmente abierta. Pero la unión de dos conjuntos regularmente abiertos no necesariamente es un regularmente abierto. Dar un ejemplo de este u ´ltimo enunciado. (e) La unión de dos conjuntos regularmente cerrados es regularmente cerrada. Pero la intersección de dos conjuntos regularmente cerrados no necesariamente es un regularmente cerrado. Dar un ejemplo de este u ´ltimo enunciado. II.2.23 Ejercicio. Tómese Rn y def´ınase un subconjunto A ⊂ Rn como cerrado de Zariski si existe una función polinomial p : Rn −→ R, es decir, una función que satisface que p(x) es un polinomio en las componentes de x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn , tal que A = p−1 (C), donde C ⊂ R es finito o R. (i) Probar que la colección de intersecciones arbitrarias de conjuntos cerrados de Zariski en Rn satisface los axiomas (C1) y (C2), por lo ´ que determina una topolog´ıa en Rn . Esta es la llamada topolog´ıa n de Zariski en R .

´ OTROS CONCEPTOS BASICOS

65

(ii) Probar que la topolog´ıa de Zariski en R es la topolog´ıa cofinita (véase II.1.2 5). (iii) Si se considera R con la topolog´ıa cofinita y p : Rn −→ R es una función polinomial, probar que, con respecto a la topolog´ıa de Zariski, p es continua. De hecho, la topolog´ıa de Zariski es la más gruesa en Rn , es decir, la que contiene el menor n´ umero de abiertos, de modo que, si a R se le da la topolog´ıa cofinita, todas las funciones polinomiales resultan continuas. (iv) Un subconjunto V ⊂ Rn es una variedad algebraica si existe una función polinomial p : Rn −→ R, tal que V = p−1 (0). Se define una topolog´ıa en V declarando como los cerrados de V precisamente a las intersecciones V ∩ A, donde A ⊂ Rn es un cerrado en la topolog´ıa de Zariski. Probar que estos cerrados determinan, en ´ efecto, una topolog´ıa en V . Esta es la topolog´ıa de Zariski en la variedad algebraica V . (v) Si V es una variedad algebraica, llamamos conjunto cerrado de Zariski en V a la intersección de un cerrado de Zariski en Rn con V . Probar que B ⊂ V es un cerrado de Zariski si y sólo si existe una función polinomial q : Rn −→ R, tal que B = q −1 (0) ∩ V . II.3

´ sicos Otros conceptos ba

Asociados a la topolog´ıa sobre un conjunto, hay diversos conceptos sobre sus puntos que si bien, a diferencia de los tratados anteriormente, no la determinan, s´ı tienen un papel muy importante en la teor´ıa y en las aplicaciones. ´ n. Sea X un espacio topológico y sea A ⊂ X. Un II.3.1 Definicio punto x ∈ A ∩ X − A se denomina punto frontera de A (y de X − A) en X; a A ∩ X − A se le llama la frontera de A (y de X − A) y se le denota por ∂A. ´ n. II.3.2 Observacio (i) En general, la frontera de un conjunto A no está contenida en A.

66


(ii) La frontera de un conjunto A es cerrada. II.3.3 Ejercicio. Probar que un conjunto A es cerrado si y sólo si A contiene a su frontera. Dado un conjunto A en un espacio topológico X, respecto de A, se tienen tres tipos de puntos; a saber, (i) los del interior de A, (A◦ ), (ii) los de la frontera de A, (∂A), (iii) los del exterior de A, ((X − A)◦ = X − A). II.3.4 Ejercicio. Probar que X = A◦ ∪ ∂A ∪ (X − A)◦ , y que estos tres conjuntos son ajenos dos a dos. II.3.5 Ejercicio. Probar que ∂A siempre contiene a ∂(A◦ ). ¿Cómo se relaciona ∂(A ∪ B) con ∂A y ∂B? ´ n. Sean X un espacio topológico y A un subconjunto II.3.6 Definicio de X. Un punto x ∈ A es aislado si tiene una vecindad U en X, tal que U ∩ A = {x}. Intuitivamente, un punto aislado x de un conjunto A en un espacio X se ve como en la figura II.2. En particular, un punto aislado de un espacio topológico X es un punto que, como conjunto, es abierto en X. II.3.7 Nota. En un espacio discreto todo punto de cualquier conjunto es aislado. En contraposición al concepto de punto aislado, tenemos la siguiente definición. ´ n. Sean X un espacio topológico y A un subconjunto II.3.8 Definicio de X. Un punto x ∈ X se denomina punto de acumulaci´ on de A si toda vecindad V de x en X es tal que (V ∩ A) − {x} ̸= ∅. II.3.9 Nota. Un punto de acumulación x de A no tiene por qué estar en A. Se tiene la siguiente afirmación.

BASES DE VECINDADES

67

x U

A

X

Figura II.2: Punto aislado x de un conjunto A en un espacio topológico X II.3.10 Proposici´ on. Dado un punto x en A, entonces x es un punto aislado o x es un punto de acumulaci´ on de A. ⊔ ⊓ II.3.11 Ejercicio. Probar que si x no es un punto de A, pero x es punto de acumulación de A, entonces x es punto frontera de A. II.4

Bases de vecindades

Sea X un espacio topológico. Dada una vecindad U de un punto x en X, cualquier conjunto que contenga a U es también vecindad de x. As´ı, podemos conocer todas las vecindades de x si conocemos una colección adecuada de sus vecindades –una colección que contiene vecindades “arbitrariamente peque˜ nas”. Por ejemplo, una colección “adecuada” ser´ıa la de sus vecindades abiertas. ´ n. Sea X un espacio topológico y x ∈ X. Una familia II.4.1 Definicio Bx de vecindades de x en X se denomina base de vecindades de x si dada cualquier vecindad U de x, existe una vecindad V ∈ Bx , tal que V ⊂ U . A los elementos de Bx se les llama vecindades b´ asicas de x.

68


Para cada punto x de X hay diversas bases de vecindades. II.4.2 Ejemplos. Sea X un espacio topológico y sea x ∈ X. Son bases de vecindades de x las siguientes. 1. Bx = {V | V es vecindad de x en X}. 2. Bx = {U | x ∈ U y U es abierto en X}. 3. Bx = {{x}}, si {x} es abierto en X (es decir, si x es un punto aislado de X). 4. Bx = {Bε (x) | ε > 0}, si X es un espacio métrico. (Incluso, la familia Bx′ = {B1/n (x) | n ∈ N} es también una base de vecindades de x.) El ejemplo 4 anterior da pie para la siguiente definición. ´ n. Se dice que un espacio topológico X satisface el II.4.3 Definicio primer axioma de numerabilidad, o que es 1-numerable, si cumple (N1) Cada punto de X tiene una base de vecindades numerable. Este axioma “de numerabilidad” tiene un papel muy importante en problemas de convergencia, como se verá posteriormente. La familia Bx′ de II.4.2 4 prueba lo siguiente. II.4.4 Teorema. Todo espacio métrico (metrizable) es 1-numerable. ⊔ ⊓ Para definir una topolog´ıa es frecuentemente u ´til partir de la que ha de ser una colección de vecindades básicas alrededor de cada punto, de modo que esa topolog´ıa tenga a la familia como base de vecindades en cada punto. ´ n. En un conjunto X una colección B = {Bx | x ∈ X} II.4.5 Definicio de familias de subconjuntos de X es una base de vecindades si cumple con los siguientes axiomas:

CONTINUIDAD

69

(BV1) Vi ∈ Bx , i ∈ J , J finito ⇒ ∃ V ∈ Bx tal que V ⊂ ∩i∈J Vi ; (BV2) V ∈ Bx ⇒ x ∈ V ; (BV3) U ∈ Bx ⇒ ∃ V ∈ Bx , tal que ∀ y ∈ V existe Vy ∈ By , que cumple Vy ⊂ U . Nótese que podemos ver a B como una función B : X −→ PP(X), que a cada x ∈ X le asocia un conjunto Bx de vecindades de x. II.4.6 Ejercicio. Sean X un conjunto y {Bx }x∈X una base de vecindades como en la definición II.4.5. Probar que X tiene una u ńica topolog´ıa A, determinada por la base de vecindades, para la cual cada una de las familias Bx es una base de vecindades (en el sentido de la definición II.4.1). (Sugerencia: A ∈ A si y sólo si para todo x ∈ A existe V ∈ Bx , tal que V ⊂ A; alternativamente, puede definirse a partir de {Bx }x∈X un sistema de vecindades en el sentido de la definición II.1.11.) II.4.7 Ejercicio. En cada punto x ∈ R tómense Bx = {(x − ε, x + ε) | ε > 0} ,

si x ̸= 0 ,

y

B0 = {(−ε, ε) ∪ (−∞, −n) ∪ (n, ∞) | ε > 0, n ∈ N} . (a) Probar que Bx es una base de vecindades para cada x ∈ R. (b) Describir los cerrados y el operador cerradura en la topolog´ıa determinada por estas bases de vecindades. Al espacio L obtenido de R con esta topolog´ıa se le llama recta enredada. Para cada uno de los ejemplos de espacios topológicos de II.1.2, describir: (a) el sistema de vecindades, (b) el operador interior, (c) el operador cerradura, (d) el operador frontera.


70

II.5

Continuidad

El concepto de continuidad en espacios topológicos es, quizás, el concepto central de la topolog´ıa. Antes de introducir el concepto general de continuidad en espacios topológicos, conviene formular el concepto en el caso de espacios métricos, el cual es una generalización inmediata de la continuidad en espacios euclidianos que se estudia en los cursos elementales de cálculo. En enguaje llano, esto significa que una aplicación continua conserva la “cercan´ıa”, es decir, aplica puntos cercanos en puntos cercanos. ´ n. Sean X y Y espacios métricos con métricas d y d′ , II.5.1 Definicio respectivamente. Se dice que una aplicación f : X −→ Y es continua en un punto x de X si dada ε > 0 existe δ > 0, tal que si d(y, x) < δ entonces d′ (f (y), f (x)) < ε. Se dice que f es continua si es continua en todo punto x de X.

´ n. En adelante, si no se especifica lo contrario, la palabra Convencio aplicaci´ on se referirá a una aplicación continua. II.5.2 Ejemplos. 1. Cualquier aplicaci´ on constante f : X −→ Y , f (x) = y0 , es claramente continua. 2. La identidad idX : X −→ X es continua. 3. La aplicación f : R −→ R, dada por { 0 si t < 0 f (t) = 1 si t ≥ 0 no es continua en 0. Claramente f no aplica puntos cercanos en puntos cercanos. A saber, si t < 0 es tan cercano a 0 como queramos, d(f (t), f (0)) = d(0, 1) = |0 − 1| = 1. Dados una aplicación f : X −→ Y entre espacios métricos y cualquier punto x de X, podemos reformular la definición de continuidad en x en la forma siguiente.

CONTINUIDAD x

71

f (x)

V

U f

X

Y

Figura II.3: Una aplicación continua manda vecindades dentro de vecindades dadas on f X −→ Y es continua en x si y II.5.3 Proposici´ on. Una aplicaci´ s´ olo si dada ε > 0 existe δ > 0, tal que f (Bδ (x)) ⊂ Bε (f (x)). Equivalentemente, f es continua en x si y s´ olo si dada ε > 0 existe δ > 0, tal que Bδ (x) ⊂ f −1 (Bε (f (x))). ⊔ ⊓ La u ´ltima parte de esta proposición afirma, en otras palabras, que f es continua si y s´ olo si para toda ε > 0, f −1 (Bε (f (x))) es una vecindad de x. Esto nos da la pauta para formular la definición general de continuidad en espacios topológicos. ´ n. Sean X y Y espacios topológicos y sea f : X −→ II.5.4 Definicio Y . Se dice que f es continua en un punto x de X, si dada una vecindad V de f (x), f −1 (V ) es una vecindad de x en X. Se dice que f es continua si es continua en cada punto de X. ´ n. Para espacios topológicos metrizables, esta defiII.5.5 Observacio nición de continuidad es equivalente a la de espacios métricos, como lo muestra la proposición II.5.3. Tenemos también la siguiente caracterización.

72


II.5.6 Proposici´ on. Una aplicaci´ on f : X −→ Y es continua en un punto x ∈ X si y s´ olo si dada una vecindad V de f (x) existe una vecindad U de x, tal que f (U ) ⊂ V . ⊔ ⊓ II.5.7 Teorema. Sean X, Y y Z espacios topol´ ogicos, y sean f : X −→ Y continua en x y g : Y −→ Z continua en f (x). Entonces la composici´ on g ◦ f : X −→ Z es continua en x. Consecuentemente, si f y g son continuas, entonces también lo es g ◦ f . Demostraci´ on: Sea W una vecindad de gf (x) = g(f (x)) en Z. Ya que g es continua en f (x), la imagen inversa g −1 (W ) es vecindad de f (x) en Y . As´ı mismo, ya que f es continua en x, la imagen inversa f −1 (g −1 (W )) = (g ◦ f )−1 (W ) es vecindad de x en X. As´ı, la composición g ◦ f es continua. ⊔ ⊓ Como ya se vio anteriormente, la topolog´ıa de un espacio puede determinarse equivalentemente de diversas maneras. Ya sea dando sus conjuntos abiertos o sus cerrados, el operador interior o el operador cerradura, etcétera. De la misma forma, la continuidad puede caracterizarse utilizando cualquiera de estos conceptos. Tenemos el siguiente resultado. II.5.8 Teorema. Sean X y Y espacios topol´ ogicos y sea f : X −→ Y . Son equivalentes: (a) f es continua. (b) Para todo subconjunto abierto B ⊆ Y , la imagen inversa f −1 (B) ⊆ X es un subconjunto abierto. (c) Para todo subconjunto B ⊆ Y , f −1 (B ◦ ) ⊆ f −1 (B)◦ . (d) Para todo subconjunto A ⊆ X, f (A) ⊂ f (A). (e) Para todo subconjunto cerrado B ⊆ Y , la imagen inversa f −1 (B) ⊆ X es un subconjunto cerrado.

CONTINUIDAD

73

Demostraci´ on: (a)⇒(b) Sea B abierto en Y y sea x ∈ f −1 (B). Por lo tanto, f (x) ∈ B y, por ser B abierto, B es vecindad de f (x). As´ı, por ser f continua (en x), f −1 (B) es vecindad de x. En consecuencia, por ser x arbitrario, f −1 (B) es abierto. (b)⇒(c) Sea B ⊆ Y . Por (b), f −1 (B ◦ ) es abierto y está contenido en f −1 (B). Por lo tanto, también está contenido en f −1 (B)◦ . (c)⇒(d) Sea A ⊂ X. Por (c), f −1 ((Y − f (A))◦ ) ⊂ f −1 (Y − f (A))◦ . As´ı, X − f −1 f (A) = f −1 (Y − f (A)) = f −1 ((Y − f (A))◦ ) ⊂ f −1 (Y − f (A))◦ = (X − f −1 f (A))◦ = X − f −1 f (A). Por lo tanto, ya que A ⊂ f −1 f (A), A ⊂ f −1 f (A) ⊂ f −1 f (A). Aplicando f a ambos extremos, obtenemos f (A) ⊂ f (f −1 f (A)) ⊂ f (A). (d)⇒(e) Sea B cerrado en Y . Por (d) y ya que f f −1 (B) ⊂ B, tenemos que f (f −1 (B)) ⊂ f f −1 (B) ⊂ B = B. Tomando imágenes inversas, tenemos que f −1 f (f −1 (B)) ⊂ f −1 (B). Pero f −1 (B) ⊂ f −1 f (f −1 (B)), por lo que f −1 (B) ⊂ f −1 (B) y, as´ı, f −1 (B) = f −1 (B) es cerrado. (e)⇒(a) Sea x ∈ X y sea V una vecindad de f (x) en Y . Sin perder generalidad, podemos suponer que V es abierto, As´ı, Y − V es cerrado, y por (e), tenemos que f −1 (Y − V ) = X − f −1 (V ) también es cerrado. Por lo tanto, f −1 (V ) es abierto y, ya que contiene a x, es vecindad (abierta) de x en X. As´ı, f es continua en x y, por ser x arbitrario, f es continua. ⊔ ⊓ II.5.9 Ejercicio. Sea X un espacio topológico. Probar que son equivalentes (a) X tiene la topolog´ıa indiscreta. (b) Para todo espacio topológico Y y para toda función f : Y −→ X, f es continua. II.5.10 Ejercicio. Sea X un espacio topológico. Probar que son equivalentes (a) X tiene la topolog´ıa discreta. (b) Para todo espacio topológico Y y cualquier función f : X −→ Y , f es continua.

74


II.5.11 Ejercicio. Sean X y Y espacios topológicos, cada uno de los cuales tiene la topolog´ıa cofinita, (véase II.1.2 5), y sea f : X −→ Y una función. Dar una condición necesaria y suficiente (en términos de los subconjuntos finitos de X y Y ) para que f sea continua. II.5.12 Ejercicio. Usando sólo definiciones y resultados de éste cap´ıtulo y del anterior, probar que las dos aplicaciones R2 −→ R que aplican (s, t) en s + t y en st son continuas.

II.6

Homeomorfismos

Un espacio topológico es un conjunto provisto de una cierta estructura adicional dada por sus conjuntos abiertos (o, equivalentemente, por sus cerrados, o por su operador interior, o por su operador cerradura, etc.). En el álgebra, por ejemplo, los objetos de estudio son también conjuntos con otra estructura “algebraica”; por ejemplo, la estructura de grupo, de anillo, etcétera. Desde el punto de vista del álgebra no se distingue entre dos objetos cuando son isomorfos, es decir, cuando hay una biyección entre los conjuntos subyacentes que respeta la estructura. De la misma manera, se puede hablar de espacios topológicos “isomorfos” cuando existe una biyección entre sus conjuntos subyacentes, que respeta la “estructura topológica”. ´ n. Sean X y Y espacios topológicos y sea f : X −→ II.6.1 Definicio Y . Decimos que f es un homeomorfismo si es una aplicación continua y biyectiva y su inversa, f −1 : Y −→ X también es continua. Si existe un tal homeomorfismo, se dice que los espacios X y Y son homeomorfos, ≈ y se denota el hecho como f : X −→ Y o, más simplemente, como X ≈ Y (a veces también se escribe X ∼ = Y ). Un homeomorfismo es una biyección que respeta la estructura topológica, como veremos enseguida. ogicos y f : X −→ Y una II.6.2 Teorema. Sean X y Y espacios topol´ aplicaci´ on. Son equivalentes (a) f es un homeomorfismo.

HOMEOMORFISMOS

75

(b) f es biyectiva y f (A) es abierto en Y si y s´ olo si A es abierto en X. olo si A es cerrado (c) f es biyectiva y f (A) es cerrado en Y si y s´ en X. Demostraci´ on: Basta observar que para todo subconjunto A de X, −1 f (f (A)) = A, y la demostración es inmediata del teorema II.5.8. ⊔ ⊓ El inciso (b) anterior afirma que f no sólo establece una biyección entre los puntos de X y los de Y , sino también entre los abiertos de uno y del otro; (c) afirma lo propio para los cerrados. Es en este sentido que un homeomorfismo establece una equivalencia, no sólo de los conjuntos sino también de sus estructuras topológicas. ´ n. Si f es continua y biyectiva, no necesariamente II.6.3 Observacio es un homeomorfismo. Por ejemplo, si X es un espacio discreto con más de un elemento y Y es indiscreto, con el mismo conjunto subyacente que X, entonces la identidad es continua y biyectiva, pero evidentemente no es un homeomorfismo. II.6.4 Ejercicio. Probar que f : [0, 1) −→ S1 , f (t) = e2πit es continua, biyectiva y, sin embargo, no es un homeomorfismo. (Sugerencia: La aplicación inversa log : S1 → [0, 1) no es continua en 1 ∈ S1 , ya que la imagen inversa de una vecindad abierta de 0 ∈ [0, 1) de la forma [0, ε), ε < 1, no es abierta en S1 .) II.6.5 Ejemplos. 1. La identidad de un espacio topológico X en s´ı mismo, idX , es un homeomorfismo. 2. Si f : X −→ Y y g : Y −→ Z son homeomorfismos, entonces g ◦ f : X −→ Z es un homeomorfismo. 3. Considérese la esfera unitaria perforada X = Sn − {N } ⊂ Rn+1 , donde N = (0, . . . , 0, 1) es el polo norte. La aplicación (II.6.6)

p : X −→ Rn


76

dada por

( p(x) =

x1 xn ,..., 1 − xn+1 1 − xn+1

) ,

donde x = (x1 , x2 , . . . , xn+1 ) ∈ X, es un homeomorfismo cuyo inverso está dado por ( ) 2y1 2yn |y|2 − 1 −1 p (y) = , ,..., 2 , |y|2 + 1 |y| + 1 |y|2 + 1 donde y = (y1 , . . . , yn ) ∈ Rn . La aplicación p se llama proyecci´ on estereogr´ afica. ´ n. La relación de homeomorfismo es, claramente, II.6.7 Observacio una “relación de equivalencia”. Nótese, sin embargo, que, estrictamente hablando, no lo es, toda vez que la clase de los espacios topológicos (que es más grande que la de todos los conjuntos) no es un conjunto. II.6.8 Ejemplos. 1. Toda transformación af´ın no singular f : Rn −→ Rn , es decir, tal que f (x) = x0 + L(x), donde L es un isomorfismo lineal, es un homeomorfismo. 2. I n es homeomorfo a Bn . II.6.9 Ejercicio. Dar un homeomorfismo expl´ıcito para el ejemplo II.6.8(ii). II.6.10 Ejercicio. Escribir en forma expl´ıcita todas las posibles topolog´ıas en un conjunto con tres elementos. Probar que entre todas ellas hay exactamente nueve, tales que los espacios topológicos correspondientes no son homeomorfos entre s´ı. Determinar cuáles de ellas son comparables y en tal caso indicar cuál es más fina (véase III.1.1). II.6.11 Ejercicio. Probar que en un espacio metrizable X se tiene lo siguiente. (a) Cada punto es la intersección de todas sus vecindades (abiertas).

HOMEOMORFISMOS

77

(b) Todo punto es cerrado. En Rn ning´ un punto es abierto; as´ı, (a) implica que la intersección de abiertos no siempre es abierta. II.6.12 Ejercicio. Sean X un espacio discreto y A ⊂ X. Describir la frontera de A. II.6.13 Ejercicio. Sea X un espacio topológico y sea A ⊂ X. Probar que la frontera de A, ∂A, es un conjunto cerrado. II.6.14 Ejercicio. Sea X un espacio métrico y sea y ∈ X. Probar que la función f : X −→ R definida por f (x) = d(x, y) es continua. II.6.15 Ejercicio. Se dice que un subconjunto A ⊂ Rn es convexo si para cualesquiera dos puntos x0 , x1 ∈ A, el segmento [x0 , x1 ] = {(1 − t)x0 + tx1 | t ∈ I} está contenido en A. Probar que si A ⊂ Rn es un conjunto convexo, cerrado, acotado y con interior no vac´ıo, entonces A es homeomorfo a la n-bola Bn .

78


III.

´ DE TOPOLOGÍAS COMPARACION

Dado un conjunto, como ya vimos, pueden dársele, en general, diferentes topolog´ıas. En este cap´ıtulo estudiaremos las relaciones entre las diversas topolog´ıas en el mismo conjunto. Se verán aqu´ı los conceptos de topolog´ıa más fina y topolog´ıa más gruesa, as´ı como de topolog´ıas m´ınimas y máximas, que son más gruesas o más finas que otras topolog´ıas. As´ı mismo, responderemos la pregunta de cómo encontrar la topolog´ıa más gruesa o la más fina de toda una familia de topolog´ıas. Esto se utilizará para introducirán los conceptos de base y subbase de una topolog´ıa, que son colecciones selectas de abiertos, en general, más peque˜ nas que la propia topolog´ıa, pero que determinan a ésta. III.1

´ n de topolog´ıas Comparacio

Si A1 y A2 son dos topolog´ıas en un conjunto X, se llega a dar el caso de que los abiertos seg´ un una de las topolog´ıas, digamos A2 , también sean abiertos seg´ un la otra topolog´ıa A1 , es decir, (A2 ⊂ A1 ). También puede ocurrir que las topolog´ıas no sean comparables. Tenemos lo siguiente. ´ n. Se dice que A2 es (estrictamente) m´ III.1.1 Definicio as gruesa que A1 , o que A1 es (estrictamente) m´ as fina que A2 , si A2 ⊂ A1 (y son diferentes). También se dice que A1 y A2 son comparables si A1 ⊂ A2 o A 2 ⊂ A1 . La motivación para esta terminolog´ıa tiene que ver, en cierto sentido, con el “tama˜ no” de los abiertos. Mientras más abiertos haya en X, tendrán que ser más finos para que quepan en X. III.1.2 Ejemplo. 1. La topolog´ıa discreta en X es más fina que cualquiera otra en el mismo conjunto. Por el otro lado, la topolog´ıa indiscreta X 79

80


es más gruesa que cualquiera otra en el mismo conjunto X. Más a´ un, si X tiene más de un elemento, entonces la topolog´ıa discreta es estrictamente más fina que la indiscreta en X y, de modo correspondiente, la topolog´ıa indiscreta es estrictamente más gruesa que la discreta en X. 2. Si X = {x, y}, podemos considerar las topolog´ıas A1 = {X, ∅, {x}} y A2 = {X, ∅, {y}}. Las topolog´ıas A1 and A2 no son comparables. El siguiente resultado es claro por definición. III.1.3 Teorema. Sea X1 el conjunto X con la topolog´ıa A1 y sea X2 el mismo conjunto X con la topolog´ıa A2 . Entonces id : X1 −→ X2 es continua si y s´ olo si A1 es m´ as fina que A2 . ⊔ ⊓ III.1.4 Teorema. Sean A1 y A2 topolog´ıas en X. Entonces son equivalentes: (a) A1 es m´ as fina que A2 , es decir, A2 ⊂ A1 . (b) Para toda x en X, cualquier vecindad de x seg´ un A2 también es 2 1 vecindad seg´ un A1 , es decir, Nx ⊂ Nx . (c) Todo cerrado seg´ un A2 es cerrado seg´ un A1 , es decir, C2 ⊂ C1 . (d) Para todo conjunto de A ⊆ X, la cerradura de A seg´ un A1 est´ a 1 2 contenida en la cerradura de A seg´ un A2 , es decir, A ⊂ A . (e) Para todo conjunto de A ⊆ X, el interior de A seg´ un A1 contiene al interior de A seg´ un A2 , es decir, A◦2 ⊂ A◦1 . Demostraci´ on: Por III.1.3, la afirmación (a) es equivalente a decir que id : X1 −→ X2 es continua. As´ı, la equivalencia de las afirmaciones (b), (c), (d) y (e) con (a) es una consecuencia inmediata de la definición II.5.4 y del teorema II.5.8. ⊔ ⊓

´ DE TOPOLOGÍAS INTERSECCION

81

´ n. Como mostramos en el ejemplo III.1.2, 2, dos III.1.5 Observacio topolog´ıas pueden no ser comparables. Por otro lado, la relación de “ser más fina que” es transitiva, es decir, si A1 es más fina que A2 y A2 es más fina que A3 , entonces A1 es más fina que A3 (es decir, A1 ⊃ A2 , A2 ⊃ A3 ⇒ A1 ⊃ A3 ). También se tiene que si A1 es más fina que A2 y A2 es más fina que A1 , entonces A1 = A2 , (es decir, A1 ⊃ A2 , A2 ⊃ A1 ⇒ A1 = A2 ). En otras palabras, podemos decir que todas las topolog´ıas en un conjunto forman un conjunto parcialmente ordenado. Véase VII.3.1 más adelante. Dadas cualesquiera dos topolog´ıas en un conjunto X, siempre hay una que es más fina que ambas, a saber, la topolog´ıa discreta, y hay otra que es más gruesa que ambas, a saber, la topolog´ıa indiscreta. Puede uno plantearse la siguiente pregunta: ¿Habrá entre todas las topolog´ıas en X más finas que A1 y A2 una que sea la más gruesa de todas? Otra pregunta: ¿habrá entre todas las topolog´ıas en X más gruesas que A1 y A2 una que sea la más fina de todas? A continuación estudiaremos estos problemas. III.1.6 Ejercicio. Considérese el conjunto X = {x, y, z} y toménse A1 = {∅, {x}, {x, y}, X}

y

A2 = {∅, {x}, {y, z}, X} .

Probar que A1 y A2 son topolog´ıas. Hallar la topolog´ıa más gruesa que contiene a (es más fina que) ambas. Hallar la topolog´ıa más fina que está contenida en (es más gruesa que) ambas. III.2

´ n de topolog´ıas Interseccio

Supongamos dada una familia {Aλ | λ ∈ Λ} de topolog´ıas en el conjunto X. Nuestro objetivo es encontrar una topolog´ıa A que sea m´ axima con la propiedad de que sus abiertos también sean abiertos de Aλ para toda λ En otras palabras, deseamos construir la topolog´ıa más fina tal que sea más gruesa que todas las topolog´ıas Aλ . El candidato idóneo es la intersección de todas los elementos Aλ de la familia dada. ´ n. Sea {Aλ | λ ∈ Λ} una familia de topolog´ıas sobre III.2.1 Definicio el mismo conjunto X. Se define el ´ınfimo de la familia, denotado por

82


´ınf{Aλ | λ ∈ Λ}, como la máxima topolog´ıa A (la más fina) que es más gruesa que todas las topolog´ıas Aλ . Tenemos la siguiente afirmación. III.2.2 Proposici´ on. Sea {Aλ | λ ∈ Λ} una familia de topolog´ıas sobre el conjunto X. Entonces ∩ A= Aλ λ∈Λ

es una topolog´ıa. Claramente es ésta la m´ axima topolog´ıa que es m´ as gruesa que todas las Aλ ; as´ı, ∩ Aλ . ´ınf{Aλ | λ ∈ Λ} = λ∈Λ

⊔ ⊓ El siguiente teorema nos da una caracterización del ´ınfimo de una familia de topolog´ıas a través de una propiedad universal. III.2.3 Teorema. Dada una familia {Aλ | λ ∈ Λ} de topolog´ıas en el conjunto X, su ´ınfimo A est´ a caracterizado por la siguiente propiedad universal, dada en dos partes. Den´ otese por Xλ el conjunto X con la topolog´ıa Aλ y simplemente por X al mismo conjunto X con la topolog´ıa A. Entonces se tiene lo siguiente. (a) id : Xλ −→ X es continua para toda λ. (b) Dada una funci´ on de conjuntos f : X −→ Y tal que fλ = f : Xλ −→ Y es continua para toda λ ∈ Λ, entonces f : X −→ Y es continua. En un diagrama Xλ id

|

fλ

|

|

/Y |>

f

X

f es continua ⇔ fλ es continua ∀ λ ∈ Λ.

SUPREMO DE UNA FAMILIA DE TOPOLOGÍAS

83

Demostraci´ on: (a) Ya que cada abierto A de X es abierto en Xλ , claramente id : Xλ −→ X es continua para toda λ ∈ Λ. (b) Si f : Xλ −→ Y es continua para toda λ ∈ Λ, entonces para cada abierto B en Y , f −1 (B) está en Aλ para toda λ; por lo tanto, f −1 (B) está en A, es decir, f : X −→ Y es continua. Inversamente, si la topolog´ıa A tiene la propiedad del enunciado, entonces, por ser id : Xλ −→ X continua, A está contenida en cada Aλ . ∩ Por lo tanto, A está contenida en λ∈Λ Aλ . Sea ahora X ′ el conjunto X con la topolog´ıa de intersección y sean Y = X ′ y f = id, que claramente cumplen con la condición de la propiedad. Por lo tanto, id : X −→ X ′ ∩ es continua, y en consecuencia todo abierto seg´ un λ∈Λ Aλ lo es seg´ un ∩ A. As´ı, A = λ∈Λ Aλ . ⊔ ⊓ III.2.4 Ejercicio. Considérse un conjunto X y tómese B ⊆ X. (a) Probar que A = {X, ∅, B} es una topolog´ıa en X. En particular, {{a, b, c}, ∅, {b}} es una topolog´ıa en el conjunto {a, b, c}. (b) Sea f : X −→ {a, b, c} una función y supóngase que B = f −1 {b}. Probar que la topolog´ıa A definida en (a) es el ´ınfimo de todas las topolog´ıas en X que hacen a f continua. (c) Describir el operador interior y el operador cerradura para la topolog´ıa A de (a).

III.3

Supremo de una familia de topolog´ıas

Como antes, supongamos dada una familia {Aλ | λ ∈ Λ} de topolog´ıas en el conjunto X. Nos preguntamos ahora si existe una topolog´ıa m´ınima que contenga los abiertos de todas las Aλ , es decir, la topolog´ıa más gruesa de todas las que son más finas que todas las de la familia. Lo primero que nos viene a la mente es considerar ∪λ∈Λ Aλ , pero nos tenemos que preguntar si es ésta una topolog´ıa. Claramente no lo es.

84


´ n. Sea {Aλ | λ ∈ Λ} una familia de topolog´ıas sobre III.3.1 Definicio el mismo conjunto X. Se define el supremo de la familia, denotado por sup{Aλ | λ ∈ Λ}, como la topolog´ıa A m´ınima (la más gruesa) que es más fina que todas las topolog´ıas Aλ . III.3.2 Ejemplo. Sea X = {x, y, z} y sean A1 = {X, ∅, {x}} y A2 = {X, ∅, {y}}. Claramente A1 ∪ A2 no es una topolog´ıa. Sin embargo, lo u ńico que le falta para serlo es el conjunto {x, y}, es decir, la unión de los dos u ńicos abiertos no triviales en A1 y A2 . As´ı, A1 ∪ A2 ∪ {{x, y}} es el supremo de A1 y A2 . Antes de atacar el problema concreto que nos ocupa, veremos algo de carácter más general. Sea F una familia de subconjuntos de un conjunto X. Si A es una topolog´ıa en X, tal que todos los elementos de F son abiertos de A, entonces no sólo F ⊂ A, sino que A contiene todas las intersecciones finitas de elementos de F. Sea I la familia de intersecciones finitas de elementos de F. As´ı F ⊂ I ⊂ A. En particular, ya que X es una ‘intersección vac´ıa’, X ∈ I. La familia I a´ un no es una topolog´ıa. La familia deseada A debe contener también a todas las uniones de elementos de I. Sea U la familia de todas las uniones de elementos en I. En particular, ∅ ∈ U, ya que ∅ es unión de una ‘familia vac´ıa’. Se tiene F ⊂ I ⊂ U ⊂ A. III.3.3 Proposici´ on. U es una topolog´ıa en X. Claramente, U es la topolog´ıa m´ as gruesa para la cual los elementos de F son abiertos. ⊔ ⊓ ´ n. A U se le denomina la topolog´ıa generada por F. III.3.4 Definicio A F se le llama subbase de la topolog´ıa U. A los elementos de F se les llama abiertos subb´ asicos. As´ı, una subbase F para una topolog´ıa U es una familia de abiertos de U, tal que cualquier abierto de U es unión de intersecciones finitas de abiertos en F.

SUPREMO DE UNA FAMILIA DE TOPOLOGÍAS

85

Toda topolog´ıa tiene al menos una subbase; a saber, ella misma. El concepto de subbase es de mucha utilidad. Un ejemplo es el siguiente. III.3.5 Teorema. Sean X un espacio topol´ ogico y F una subbase de su topolog´ıa. Sea f : Y −→ X, entonces f es continua si y s´ olo si f −1 (S) es abierto para todo S ∈ F. ⊔ ⊓ El problema inicial de esta sección se resuelve como sigue. Dada la familia {Aλ | λ ∈ Λ}, sea F = ∪λ∈Λ Aλ . As´ı, el supremo de {Aλ } es la topolog´ıa U asociada a F, es decir, se tiene el siguiente teorema. III.3.6 Teorema. El supremo de una familia polog´ıas dadas en un conjunto X consiste en intersecciones finitas de abiertos de las Aλ ; es topolog´ıa que tiene como subbase a la uni´ on de

{Aλ | λ ∈ Λ} de touniones arbitrarias de decir, el supremo es la las topolog´ıas dadas. ⊔ ⊓

III.3.7 Teorema. El supremo A de una familia {Aλ | λ ∈ Λ} de topolog´ıas dadas en un conjunto X est´ a caracterizado por la siguiente propiedad universal dada en dos partes. Denotamos por Xλ a X con la topolog´ıa Aλ y por X a X con la topolog´ıa A. Entonces (a) id : X −→ Xλ es continua para toda λ. (b) Dada una funci´ on de conjuntos f : Y −→ X tal que fλ = f : Y −→ Xλ es continua para toda λ, entonces f : Y −→ X es continua. En un diagrama f

Y

|

|

fλ

|

X |>

id

/ Xλ

f es continua ⇔ fλ es continua ∀ λ ∈ Λ. ⊔ ⊓ III.3.8 Ejercicio. Usando III.3.5, probar el teorema anterior en el mismo esp´ıritu que III.2.3.

86


III.3.9 Ejercicio. Probar que las semirrectas abiertas (−∞, b) y

(a, +∞) ,

a, b ∈ R ,

constituyen una subbase de la topolog´ıa usual de R. III.3.10 Ejercicio. Sea X un conjunto (infinito). Probar que la colección S = {X − {x} | x ∈ X} es una subbase para la topolog´ıa cofinita en X (II.1.2(e)). III.3.11 Ejercicio. Sea X un conjunto y sea Kλ un espacio topológico, λ ∈ Λ. Considérese una familia de funciones {fλ : Kλ −→ X | λ ∈ Λ} y sea Aλ = {A ⊆ X | fλ−1 A ⊆ Kλ es abierto}. (a) Probar que Aλ es una topolog´ıa en X. Denótese por Xλ el conjunto X provisto con esta topolog´ıa. (b) Sea A el ´ınfimo de la familia de topolog´ıas {Aλ | λ ∈ Λ}. Demostrar que A es el supremo de todas las topolog´ıas en X que hacen a fλ : Kλ −→ X continua para toda λ ∈ Λ. (c) Sea g : X −→ Y una función, donde X denota al conjunto X provisto con la topolog´ıa A de (b), y sea Y un espacio topológico arbitrario. Probar que g es continua si y sólo si g ◦ fλ : Kλ −→ Y es continua para toda λ ∈ Λ. (d) Para cualesquiera dos elementos λ, µ ∈ Λ sea φλµ : Kλ −→ Kµ una aplicación continua tal que se cumple la igualdad fµ ◦ φλµ = φλ . Supóngase que las aplicaciones φλµ tienen las siguientes dos propiedades: (i) Dada λ ∈ Λ, la aplicación φλλ : Kλ −→ Kλ es la identidad. (ii) Dada λ, µ, ν ∈ Λ, se tiene la igualdad φλν = φµν ◦ φλµ : Kλ −→ Kµ −→ Kν . Para cada λ ∈ Λ, tómese una función gλ : Kλ −→ Y tal que gµ ◦ fµλ = gλ , y sea g : X −→ Y satisfy g ◦ φλ = gλ . Probar que

BASE DE UNA TOPOLOGÍA

87

g es continua si y sólo si gλ es continua para cada λ ∈ Λ. En un diagrama, Kλ B

BB BB gλ BBB

fλ

/X ~ ~ ~~ ~~ g ~ ~

Y g Es continua ⇔ gλ es continua para toda λ ∈ Λ . III.4

Base de una topolog´ıa

En un espacio métrico o seudométrico, las bolas son los bloques que integran los conjuntos abiertos, es decir, todo conjunto abierto es una unión de bolas. Como vimos en el párrafo anterior, en general, los abiertos de un espacio topológico son uniones de intersecciones finitas de abiertos en una subbase de la topolog´ıa. Esto nos conduce a la siguiente definición. ´ n. A una familia B de conjuntos abiertos en un espaIII.4.1 Definicio cio topológico X se le llama base de (la topolog´ıa de) X si todo abierto en X es unión de elementos de B. A los elementos de B se les denomina abiertos b´ asicos. En particular, toda base de una topolog´ıa es una subbase. Haremos uso de la siguiente noción. ´ n. Sea M un conjunto y ≤ una relació en M . Si la III.4.2 Definicio pareja (M, ≤) satisface los siguientes axiomas: (OR1) a ≤ a (la relación es reflexiva). (OR2) a ≤ b, b ≤ c =⇒ a ≤ c (la relación es transitiva). (OR3) a ≤ b, b ≤ a =⇒ a = b (la relación es antisimétrica). (OR4) Para toda a, b ∈ M , entonces, ya sea a ≤ b, o b ≤ a. entonces decimos que la relación ≤ es un orden total en M y en ese caso, M es un conjunto totalmente ordenado. Si a ≤ b y a ̸= b, entonces escribimos a < b.


88

III.4.3 Ejemplos. 1. Si X es un espacio métrico o pseudométrico, entonces tanto B = {Bε (x) | ε > 0, x ∈ X} como

B ′ = {B1/n (x) | n ∈ N, x ∈ X}

son bases para la topolog´ıa de X. 2. Si S es una subbase para una topolog´ıa en X, entonces B = {S1 ∩ · · · ∩ Sk | S1 , . . . , Sk ∈ S} es una base para esa topolog´ıa. 3. En R, los intervalos abiertos constituyen una base para la topolog´ıa usual. 4. Si X es un conjunto totalmente ordenado con orden ≤ (véase III.4.2), entonces los intervalos abiertos (a, b) = {x | a ≤ x ≤ b, a ̸= x ̸= b}, a, b ∈ X, junto con los rayos abiertos (−∞, b) = {x ∈ x < b} y (a, ∞) = {x ∈ X | a < x} constituyen una base para una topolog´ıa, llamada topolog´ıa de orden. Esta topolog´ıa tiene como subbase los rayos abiertos (−∞, b) y (a, ∞), para cualesquiera a, b ∈ X. Ya que por (c), la topolog´ıa usual de R ´ tiene como base a los intervalos abiertos. Esta es una topolog´ıa de orden asociada al orden usual de los reales. III.4.4 Ejercicio. Considérese el conjunto R2 y def´ınase en él el orden lexicogr´ afico,, es decir, el orden dado por (x, y) ≤ (x′ , y ′ )

si, ya sea x ≤ x′

o si

x = x′

y y ≤ y′ .

Probar que éste es un orden total. Más a´ un, describir los intervalos abiertos y los rayos abiertos, as´ı como la correspondiente topolog´ıa de orden. umeros naturales N son un conjunto ordenado III.4.5 Ejercicio. Los n´ con elemento m´ınimo. Describir la topolog´ıa del orden en N.


89

III.4.6 Ejercicio. Sea X = {1, 2}× N provisto del orden lexicográfico. Entonces X se vuelve un conjunto ordenado con elemento m´ınimo. Describir la topolog´ıa del orden en X. ¿Es discreta? III.4.7 Proposici´ on. Sea X un espacio topol´ ogico y sea B una familia de abiertos en X. Entonces B es una base para la topolog´ıa de X si y s´ olo si para todo abierto U ⊂ X, y para toda x ∈ U , existe B ∈ B, tal que x ∈ B ⊂ U . ⊔ ⊓ III.4.8 Ejercicio. Probar que en Rn la familia {B1/n (q) | n ∈ N, q ∈ Qn } es una base para la topolog´ıa usual. El ejercicio anterior muestra que la topolog´ıa de Rn admite una base numerable. Esta propiedad no la tienen todos los espacios topológicos. Un ejemplo ser´ıa cualquier espacio discreto no numerable, puesto que, necesariamente, todos los conjuntos con un solo punto deberán estar en cada base. Tener una base numerable es una propiedad importante, como veremos. ´ n. Se dice que un espacio topológico X satisface el III.4.9 Definicio segundo axioma de numerabilidad, o que es 2-numerable, si cumple la condición siguiente. (N2) La topolog´ıa de X admite una base numerable. III.4.10 Proposici´ on. Todo espacio que satisface el segundo axioma de numerabilidad, también satisface el primero. Demostraci´ on: Basta observar que los abiertos de una base numerable que contienen un punto dado forman una base numerable de vecindades en ese punto. ⊔ ⊓ Por el ejercicio III.4.8, tenemos el siguiente resultado. III.4.11 Teorema. Rn satisface el segundo axioma de numerabilidad. ⊔ ⊓

90


´ n. Sea X un espacio topológico y sea A ⊂ X. DeIII.4.12 Definicio cimos que A es denso en X si A = X. A un espacio X se le llama separable si contiene alg´ un subconjunto denso numerable. III.4.13 Ejercicio. Denotemos por Rl a R con la llamada topolog´ıa de los intervalos semiabiertos inferiormente o topolog´ıa del l´ımite inferior que tiene como base a los intervalos [a, b), a < b. A Rl también se le conoce como recta de Sorgenfrey también denotada por E. Análogamente, Ru denota a R con la topolog´ıa de los intervalos semiabiertos superiormente o topolog´ıa del l´ımite superior , que tiene como base a los intervalos semiabiertos (a, b], a < b. (a) Para un subconjunto A ⊆ Rl probar que un punto x yace en la cerradura de A si y sólo si hay una sucesión (xn ) en A tal que xn ≥ x y |xn − x| → 0. ¿Cuál es la afirmación correspondiente para Ru ? (b) Probar que una función f : Rl −→ R (con la topolog´ıa usual en R) es continua si y sólo si f es continua por la derecha en cada punto x, es decir, l´ım f (x + ε) = f (x), donde el l´ımite se toma cuando ε → 0 con ε > 0. ¿Cuál es la afirmación correspondiente para Ru ? III.4.14 Ejercicio. Considérese una función f : R −→ R. (a) Suponiendo que f es continua por la derecha, a saber, l´ımx→a+ f (x) = f (a) para cada a ∈ R, donde x → a+ significa que el l´ımite se toma para x − a > 0, probar que f es continua al considerarla como función f : Rl −→ R. (b) ¿Qué se puede decir de la continuidad de f al considerarse como f : R −→ Rl o f : Rl −→ Rl ? III.4.15 Ejercicio. Sea Y un conjunto ordenado provisto de la topolog´ıa del orden y supóngase que f, g : X −→ Y son continuas. (a) Probar que el conjunto {x | f (x) ≤ g(x)} es cerrado en X.


91

(b) Sea h : X −→ Y la función dada por h(x) = min{f (x), g(x)} . Probar que h es continua. III.4.16 Ejemplo. Más generalmente que III.4.3 3, si tenemos una familia finita de conjuntos ordenados A1 , . . . , An , con relaciones de orden <1 , . . . ,
92


III.4.17 Proposici´ on. Todo espacio métrico separable satisface el segundo axioma de numerabilidad. Demostraci´ on: Sean X un espacio métrico separable y A ⊂ X denso y numerable. Considérese la familia numerable B = {B1/n (a) | n ∈ N, a ∈ A}. Veremos que B es una base de la topolog´ıa de X. Para esto, sea U ⊂ X abierto y x ∈ U . Sea ε > 0, tal que Bε (x) ⊂ U . Sea n ∈ N, tal que 1/n < ε/2 y sea a ∈ A, tal que d(x, a) < 1/n. Entonces, x ∈ B1/n (a) ⊂ Bε (x) ⊂ U . Por lo tanto, B es una base. ⊔ ⊓ En contraposición con el ejemplo III.4.19, más abajo, se puede probar lo siguiente. III.4.18 Ejercicio. Demostrar que todo espacio 2-numerable X es separable y 1-numerable. (Sugerencia: Por III.4.10, X es 1-numerable. Si B = {Bn } es una base numerable, u ´sese el axioma de elección para tomar un elemento xn ∈ Bn . {xn } es denso en X.) El ejercicio III.4.8 sugiere que de manera análoga puede probarse que el inverso del enunciado del ejercicio previo, es decir, que un espacio separable y 1-numerable es 2-numerable. Sin embargo, esto no es cierto como describiremos a continuación. III.4.19 Ejemplo. La recta de Sorgenfrey definida en III.4.13 es un espacio separable, ya que el subconjunto de los n´ umeros racionales es obviamente denso. E es también 1-numerable, pues los intervalos [x, x+ 1/n) forman una base numerable alrededor de x. No obstante, E no es 2-numerable. Para una demostración de este hecho remitimos al lector a [45, 16.12]. III.4.20 Ejercicio. Probar que una familia B de subconjuntos de un espacio X es una base para la topolog´ıa que genera como subbase si y sólo si X es unión de todos los elementos de B, y las intersecciones finitas de elementos de B son uniones de elementos de B.


93

III.4.21 Ejercicio. Recuérdese el espacio métrico de sucesiones ∑ ℓ2 = {(xn ) | xn ∈ R, x2n < ∞} con la métrica

√∑ (xn − yn )2 . d((xn ), (yn )) =

Probar que ℓ2 satisface el segundo axioma de numerabilidad. (Sugerencia: Considerar las sucesiones racionales casi nulas.) III.4.22 Ejercicio. ¿Es cierta la proposición III.4.17 para espacios seudométricos? III.4.23 Ejercicio. Probar que todo conjunto abierto en R es la unión de una colección intervalos abiertos ajenos (a, b) donde se admiten a = −∞ y b = ∞. Es decir, esta colección es una base para la topolog´ıa usual. III.4.24 Ejercicio. Considérese el conjunto K ⊂ R consistente en todos los n´ umeros de la forma n1 , para n ∈ N, y sea B la colección de todos los intervalos abiertos (a, b) junto con todos los conjuntos de la forma (a, b) − K. (a) Probar que B es una base para una topolog´ıa en R. Denótese el espacio resultante por RK . (b) Probar que las topolog´ıas de Rl (véase el ejercicio de arriba) y de RK son estrictamente más finas que la topolog´ıa usual en R, pero no son comparables una con la otra. (c) Probar que Rl y Ru son homeomorfos. III.4.25 Ejercicio. Considérense las siguientes topolog´ıas en R: A1 = la topolog´ıa usual, A2 = la topolog´ıa de RK , A3 = la topolog´ıa cofinita,

94


A4 = la topolog´ıa del l´ımite superior de Ru , A5 = la topolog´ıa que tiene a todos los conjuntos (−∞, b) = {t ∈ R | t < b} como base. Comparar todas estas topolog´ıas (es decir, determinar para cada una de ellas cuál de las otras es más fina o más gruesa). Para darle fin a esta sección y, con ello, al cap´ıtulo, tenemos el siguiente resultado, que será de utilidad en el cap´ıtulo IX. III.4.26 Proposici´ on. Si un espacio topol´ ogico X es 2-numerable, entonces toda base de X contiene una base numerable. Demostraci´ on: Sea Q = {Qn } una base numerable de X y sea B = {Bλ } una base arbitraria. Cada Qm es unión de abiertos Bλ , es decir, si x ∈ Qm , entonces existe Bλ ∈ B, tal que x ∈ Bλ ⊂ Qm ; análogamente, si x ∈ Bλ , entonces existe Qn , tal que x ∈ Qn ⊂ Bλ . Es decir x ∈ Qn ⊂ Bλ ⊂ Qm . Consideremos las parejas (Qn , Qm ), tales que existe Bλ de modo que Qn ⊂ Bλ ⊂ Qm y para cada una de estas parejas denótese por Bn,m a una tal Bλ . El conjunto {Bn,m } es un subconjunto numerable que claramente es una base, como deseábamos. ⊔ ⊓

IV.

´ DE ESPACIOS GENERACION ´ TOPOLOGICOS

Veremos ahora que, dados espacios topológicos, hay diversas construcciones que permiten obtener nuevos espacios a partir de los espacios dados. Analizaremos as´ı la topolog´ıa inducida en subconjuntos, es decir, la topolog´ıa relativa de los subespacios de un espacio, as´ı como la topolog´ıa coinducida en un cociente, es decir, la topolog´ıa cociente (o de identificación) en los espacios cocientes. As´ı mismo, estudiaremos la topolog´ıa de un producto y de una unión ajena o suma topológica de espacios. IV.1

Topolog´ıa inducida

En esta sección comenzaremos considerando subconjuntos de un espacio topológico como espacios topológicos en s´ı mismos. Describiremos su topolog´ıadetal modo que las aplicaciones inclusión sean continuas. Más generalmente, si X es un espcio topológico y X ′ es un conjunto, consideraremos una función h : X ′ −→ X y responderemos la pregunta acerca de la topolog´ıa más gruesa en X ′ tal que h es continua.

´ n. Sea X un espacio topológico y sea X ′ ⊂ X. Si A IV.1.1 Definicio es la topolog´ıa en X, entonces A′ = {A ∩ X ′ | A ∈ A} es una topolog´ıa. A esta topolog´ıa se le llama topolog´ıa relativa inducida en X ′ y a X ′ , con esta topolog´ıa, se le llama subespacio (topológico) de X. IV.1.2 Ejercicio. Probar que A′ es en efecto una topolog´ıa. Más a´ un, ′ probar que A es la topolog´ıa más gruesa que hace continua a la inclusión i : X ′ ,→ X. IV.1.3 Ejercicio. Sea X un espacio topológico y considérense X ′′ ⊂ X ′ ⊂ X. Supóngase que X ′ tiene la topolog´ıa relativa inducida por X 95

96

´ DE ESPACIOS TOPOLOGICOS ´ GENERACION

y que X ′′ tiene la topolog´ıa relativa inducida por X ′ . Probar que X ′′ tiene la topolog´ıa relativa inducida por X. ogico y sea X ′ ⊆ X. La IV.1.4 Proposici´ on. Sea X un espacio topol´ ′ topolog´ıa relativa de X en X est´ a caracterizada por la siguiente propiedad universal. (i) La funci´ on inclusi´ on i : X ′ ,→ X es continua. (ii) Una funci´ on f ′ : Y −→ X ′ es continua si y s´ olo si f = i ◦ f ′ es continua. Esta propiedad, en un diagrama, se expresa como sigue: XO ′ f′

Y

i

|

|

|

/X |>

f

f ′ es continua ⇔ f es continua. (i) es claro, ya que para cada abierto A ⊆ X, Demostraci´ on: −1 la imagen inversa i (A) = A ∩ X ′ . (ii) Si f ′ es continua, entonces claramente f = i ◦ f ′ es continua. Inversamente, supongamos que f es continua. Los abiertos de X ′ son de la forma A ∩ X ′ , con A ⊂ X abierto. As´ı, f ′ −1 (A ∩ X ′ ) = f −1 (A), que es abierto. Por lo tanto, f ′ es continua. ⊔ ⊓ IV.1.5 Ejemplo. La topolog´ıa de Zariski en una variedad algebraica V ⊂ Rn , definida en II.2.23, es la topolog´ıa relativa de V inducida por la topolog´ıa de Zariski en Rn . El concepto de topolog´ıa relativa recién descrito es un caso particular de un concepto más general que veremos a continuación. ´ n. Sea X ′ un conjunto y sea X un espacio topológico. IV.1.6 Definicio Tómese una función de conjuntos h : X ′ −→ X. Si A es la topolog´ıa en X, entonces claramente A′ = {h−1 (A) | A ∈ A} es una topolog´ıa en X ′ . A A′ se le llama la topolog´ıa inducida por X en X ′ a través de h, o simplemente, topolog´ıa inducida por h. Esta topolog´ıa es la más gruesa que hace continua a h.

TOPOLOGÍA INDUCIDA

97

En el mismo esp´ıritu que IV.1.4, tenemos el siguiente teorema. ogico y sea h : X ′ −→ X una IV.1.7 Teorema. Sea X un espacio topol´ funci´ on de conjuntos. Entonces la topolog´ıa inducida por X en X ′ a través de h est´ a caracterizada por la siguiente propiedad universal. (i) La aplicaci´ on h es continua. (ii) Una funci´ on f ′ : Y −→ X ′ es continua si y s´ olo si f = h ◦ f ′ es continua. Esta propiedad, en un diagrama, se expresa como sigue: XO ′ f′

Y

h

|

|

|

/X |>

f

f ′ es continua ⇔ f es continua. La demostraci´ on es esencialmente la misma que la de IV.1.4 y queda como ejercicio para el lector. ⊔ ⊓ ´ n. Tomando f ′ : X ′ −→ X ′ como la aplicación IV.1.8 Observacio identidad, es muy sencillo ver que en los teoremas IV.1.4 y IV.1.7, la afirmación (ii) implica la (i), por lo que (i) es redundante. Lo ponemos expl´ıcitamente por la importancia que reviste la propiedad. En este sentido, es realmente (ii) en ambos casos la propiedad universal que caracteriza a la topolog´ıa inducida. El siguiente teorema da otras caracterizaciones de la topolog´ıa inducida. IV.1.9 Teorema. Sean X y X ′ espacios topol´ ogicos y h : X ′ −→ X ′ continua, tal que X tiene la topolog´ıa inducida por h. Entonces (a) A′ ⊂ X ′ es abierto si y s´ olo si A′ = h−1 (A) para alg´ un abierto A en X.

98


(b) A′ ⊂ X ′ es cerrado si y s´ olo si A′ = h−1 (A) para alg´ un cerrado A en X. (c) V ′ ⊂ X ′ es vecindad de x′ si y s´ olo si V ′ ⊃ h−1 (V ) para alguna ′ vecindad V de h(x ) en X. ⊔ ⊓ IV.1.10 Ejercicio. Considérese una aplicación h : X ′ −→ X y supóngase que X ′ tiene la topolog´ıa inducida a través de h. Probar que si B es una base para la topolog´ıa de X, entonces {h−1 (B) | B ∈ B} es una base para la topolog´ıa de X ′ . Más a´ un, probar que si Bh(x′ ) es una base de vecindades alrededor de h(x′ ) en X para alg´ un punto x′ ∈ X ′ , entonces {h−1 (V ) | V ∈ Bh(x′ ) } es una base de vecindades alrededor de x′ en X ′ . ´ n. Sean X y X ′ espacios topológicos y h : X ′ −→ IV.1.11 Observacio X continua, tal que X ′ tiene la topolog´ıa inducida por h. Si X satisface el primer, resp. el segundo, axioma de numerabilidad, entonces X ′ también. Esto es claro, ya que si se tiene que B es una base para X, resp. Bh(x′ ) es una base local en h(x′ ), entonces {h−1 (B) | B ∈ B, resp. ∈ Bh(x′ ) } es una base para X ′ , resp. es una base local en x′ (véase el ejercicio IV.1.10). IV.1.12 Teorema. Sean X, Y y Z espacios topol´ ogicos y sean f : X −→ Y y g : Y −→ Z aplicaciones, tales que Y tiene la topolog´ıa inducida por g. Entonces, si X tiene la topolog´ıa inducida por f , también tiene la topolog´ıa inducida por g ◦ f . Demostraci´ on: Es una simple aplicación de la fórmula (g ◦ f )−1 (A) = −1 −1 f g (A). ⊔ ⊓ Ya que uno de los casos importantes de topolog´ıa inducida es el caso de la topolog´ıa relativa en un subespacio, conviene puntualizar algunos detalles al respecto. IV.1.13 Ejercicio. Reformular IV.1.9-IV.1.12 para el caso de la topolog´ıa relativa en un subespacio.


99

´ n. Sea A ⊂ X con la topolog´ıa relativa. En este IV.1.14 Definicio caso, llamamos a la aplicación continua i : A −→ X simplemente inclusi´ on (a la que frecuentemente denotaremos por A ,→ X); a los abiertos de A se les nombra abiertos relativos, a los cerrados de A, cerrados relativos. Obsérvese que A, sin necesariamente ser abierto ni cerrado en X, es abierto relativo y cerrado relativo (en A). IV.1.15 Proposici´ on. (a) Los abiertos relativos en A son abiertos en X si y s´ olo si A es abierto en X. olo si A es (b) Los cerrados relativos en A son cerrados en X si y s´ cerrado en X. ⊔ ⊓ De aqu´ı en adelante, a menos que se indique lo contrario, todos los subconjuntos de un espacio topológico se considerarán como subespacios, es decir, como espacios topológicos con la topolog´ıa relativa e inclusi´ on se referirá siempre a la de un subespacio. En particular, tenemos la afirmación siguiente. IV.1.16 Proposici´ on. Sea X un espacio métrico y A ⊂ X con la métrica inducida. Entonces la topolog´ıa en A dada por la métrica inducida coincide con la topolog´ıa relativa. ⊔ ⊓ IV.1.17 Ejercicio. Sea X un espacio (seudo) métrico con (seudo) métrica d y sea X ′ un conjunto. Si h : X ′ −→ X es una función y x′ , y ′ ∈ X ′ , def´ınase d′ (x′ , y ′ ) = d(h(x′ ), h(y ′ )). Entonces d′ es una seudométrica en X ′ (véase el ejercicio I.5.12). Probar que la topolog´ıa determinada por la seudométrica d′ en X ′ es la topolog´ıa inducida a través de h. Con esto, tenemos muy bien determinada entonces la topolog´ıa de los subconjuntos de Rn y, en particular, la topolog´ıa de los espacios que se dieron como motivación en la introducción y en la sección I.1.

100


IV.1.18 Teorema. Sean X y Y espacios topol´ ogicos y sea f : X −→ Y una funci´ on. Sean f (X) la imagen de X bajo f , con la topolog´ıa relativa, y f ′ : X −→ f (X), tal que f ′ (x) = f (x). Entonces f es continua si y s´ olo si f ′ es continua. En un diagrama tenemos f /Y O BB BB B f ′ BB! ?

XB

fX

f ′ es continua ⇔ f es continua.

⊔ ⊓

Si en el teorema anterior f define un homeomorfismo con su imagen, es decir, f ′ es un homeomorfismo (para lo cual basta con que sea inyectiva), entonces podemos ver a X como subespacio de Y . Se tiene el siguiente concepto. ´ n. A una aplicación continua e : A −→ X se le IV.1.19 Definicio llama encaje si la restricción de e, e′ : A −→ e(A), tal que e′ (a) = e(a) es un homeomorfismo al dotar a e(A) con la topolog´ıa relativa. As´ı, en particular, toda inclusión es un encaje. Frecuentemente utilizaremos la palabra inclusi´ on para designar un encaje que de alguna manera es canónico. Se tienen otros ejemplos importantes. IV.1.20 Ejemplos. 1. La aplicación e : (0, 1) −→ S1 ⊂ C, tal que e(t) = e2πit es un encaje, cuya imagen es el complemento de 1 ∈ S1 . No obstante, la aplicación extendida e′ : [0, 1) −→ S1 dada por la misma fórmula, que aunque sigue siendo inyectiva (incluso biyectiva), ya no es un encaje (pues de serlo, ser´ıa también un homeomorfismo –ejercicio). Obsérvese que hay homeomorfismos h1 : R −→ (−1, 1)

y

h2 : (−1, 1) −→ (0, 1)


dado por h1 (r) =

r 1+|r|

y h2 (s) =

s+1 2 .

101

La composición

1 2 e′ : R −→ (−1, 1) −→ (0, 1) −→ S1

h

h

e

es un encaje de la recta real en el c´ırculo (que no toca a 1). 2. La aplicación e : Rn −→ Sn dada por ( ) 2y1 2yn |y|2 − 1 e(y) = ,..., 2 , , |y|2 + 1 |y| + 1 |y|2 + 1 donde y = (y1 , . . . , yn ) ∈ Rn , es un encaje. En efecto, se trata del inverso de la proyección estereográfica (véase II.6.6). n = {(x , . . . , x n 2 2 3. Si B+ 1 n+1 ) ∈ S | x1 + · · · + xn+1 = 1, xn+1 ≥ 0}, n −→ Rn , dada por (x , . . . , x entonces la proyección p : B+ 1 n+1 ) 7→ (x1 , . . . , xn ), es un encaje cuya imagen es la n-bola unitaria Bn ⊂ Rn .

4. La aplicación e : Bn −→ Sn de la n-bola √ unitaria en la n-esfera, dada por e(x1 , . . . , xn ) = (x1 , . . . , xn , 1 − x21 − · · · − x2n ), es un n ⊂ Sn encaje cuya imagen es B+ Una consecuencia de la proposición IV.1.4 es la siguiente. IV.1.21 Teorema. Sean X y A espacios topol´ ogicos y e : A −→ X una funci´ on inyectiva. Entonces e es un encaje si y s´ olo si e tiene la siguiente propiedad universal. (i) e : A −→ X es continua. (ii) Una funci´ on g : Y −→ A es continua si y s´ olo si f = e ◦ g es continua. Esta propiedad, en un diagrama, se expresa como sigue: e

AO g

Y

}

}

}

/X }>

f

g es continua ⇔ f es continua.

102


La demostraci´ on es esencialmente la misma que la de IV.1.4 y queda como ejercicio para el lector. ⊔ ⊓ ´ n. Sean X y Y espacios topológicos, A ⊂ X, i : IV.1.22 Definicio A −→ X la inclusión y f : X −→ Y . A la composición f ◦ i se le llama restricci´ on de f a A, y se le denota por f |A . Claramente, si f es continua, entonces f |A es continua. Sin embargo, el inverso no tiene por qué ser cierto. IV.1.23 Ejemplo. Sean X = Y = R, A = Q, y sea f : X −→ Y dada por { 0 si x ∈ Q , f (x) = 1 si x ∈ R − Q . Entonces f |A es continua, pero f no lo es. Es muy frecuente en la topolog´ıa tener aplicaciones que, como en el ejemplo anterior, están definidas por pedazos, es decir, están dadas por fórmulas distintas en porciones distintas del dominio. Daremos criterios para saber cuándo éstas resultan continuas. IV.1.24 Teorema. Sea {A1 , A2 , . . . , Ak } una cubierta cerrada de X, es decir, los subconjuntos A1 , A2 , . . . , Ak son cerrados tales que X = ∪k on f : X −→ Y es continua si y s´ olo si fi = f |Ai i=1 Ai . Una aplicaci´ es continua para toda i = 1, 2, . . . , k. Demostraci´ on: Si f es continua, claramente lo son sus restricciones fi . Inversamente, sea G ⊂ Y cerrado, entonces para toda i, fi−1 (G) es cerrado en Ai y, por lo tanto, también en X. Ya que fi−1 (G) = ∪ f −1 (G) ∩ Ai , entonces f −1 (G) = ki=1 fi−1 (G), que, por ser unión finita de cerrados, es cerrado. ⊔ ⊓ El resultado anterior puede reformularse como sigue. IV.1.25 Corolario. Sea {A1 , A2 , . . . , Ak } una cubierta cerrada de X y sean fi : Ai −→ Y , i = 1, . . . , k, aplicaciones continuas tales que para cada i, j, fi |Ai ∩Aj = fj |Ai ∩Aj . Entonces hay una aplicaci´ on continua f : X −→ Y tal que f |Ai = fi para toda i. ⊔ ⊓


103

El siguiente resultado es análogo al teorema anterior, pero para cubiertas abiertas. IV.1.26 Teorema. Sea {Aλ | λ ∈ Λ} una cubierta abierta de X, es de∪ cir, consistente en subconjuntos abiertos de X tales que X = λ∈Λ Aλ . Una aplicaci´ on f : X −→ Y es continua si y s´ olo si fλ = f |Aλ es continua para toda λ ∈ Λ. La demostraci´ on es análoga a la del teorema anterior.

⊔ ⊓

El teorema anterior puede reformularse como sigue. IV.1.27 Corolario. Sea {Aλ | λ ∈ Λ} una cubierta abierta de X y sean fλ : Aλ −→ Y , λ ∈ Λ, aplicaciones continuas tales que para cada λ, µ ∈ Λ, fλ |Aλ ∩Aµ = fµ |Aλ ∩Aµ . Entonces existe una aplicaci´ on continua f : X −→ Y tal que f |Aλ = fλ para toda λ ∈ Λ. ⊔ ⊓ IV.1.28 Ejercicio. Probar las siguientes afirmaciones. (a) Todo subespacio de un espacio discreto es discreto. (b) Todo subespacio de un espacio indiscreto es indiscreto. IV.1.29 Ejercicio. Probar que todo subespacio finito de un espacio métrico es discreto. Obsérvese que la métrica inducida no es necesariamente la métrica discreta. IV.1.30 Ejercicio. Probar que los subconjuntos Z y N de R son espacios discretos. Más generalmente, toda ret´ıcula en Rn , es decir, todo subespacio de la forma R = {k1 a1 + · · · + kn an | k1 , . . . , kn ∈ Z}, donde a1 , . . . , an ∈ Rn son vectores linealmente independientes, es un espacio discreto. Más precisamente, demostrar que cualquier ret´ıcula R en Rn es (canónicamente) homeomorfa a Zn = Z ×· · ·× Z ⊂ Rn a través de un homeomorfismo ambiental, es decir, un homeomorfismo φ : Rn −→ Rn , tal que φ(R) = Zn . IV.1.31 Ejercicio. Sean X ′ un conjunto y X un espacio topológico con topolog´ıa A. Tómese una familia arbitraria de funciones {hα : X ′ −→ X | α ∈ I}.

104


(a) Probar que la topolog´ıa A′ en X ′ que tiene como subbase a la familia de conjuntos {h−1 ıa más α (A) | A ∈ A, α ∈ I} es la topolog´ ′ ´ gruesa en X que hace continuas a todas las funciones hα . Esta es la llamada topolog´ıa inducida por X en X ′ a través de la familia {hα }. (b) Probar que la topolog´ıa de Zariski (II.2.23) es la topolog´ıa inducida en Rn por R con la topolog´ıa cofinita a través de la familia de las funciones polinomiales.

IV.2

ń Topolog´ıa de identificacio

Tómese un espacio topológico X y un conjunto X ′ . Supóngase dada una función f : X −→ X ′ . En esta sección estudiaremos cuál es la topolog´ıa más fina en X ′ para la cual f es continua. Fijémonos en la familia F = {A′ ⊂ X ′ | f −1 (A′ ) es abierto en X}. Si f ha de ser continua, entonces los abiertos en la topolog´ıa A′ deseada deberán pertenecer a F. Más a´ un, la topolog´ıa A′ deberá ser tan fina como sea posible. Lo ideal es que precisamente la familia F sea una topolog´ıa. En efecto, es inmediato probar la siguiente afirmación. IV.2.1 Proposici´ on. La familia F es una topolog´ıa, que denotaremos ′ por A . ⊔ ⊓ Nótese que si x′ no pertenece a la imagen de f , entonces, ya que f −1 ({x′ }) = ∅ es abierto, el conjunto {x′ } es abierto, es decir, X ′ −f (X) es discreto. Por lo tanto, la parte no trivial de la topolog´ıa buscada está sobre la imagen de f . As´ı, para evitar arrastrar la parte trivial, de aqu´ı en adelante (dualmente al caso de la sección anterior en el que supusimos A ⊂ X) supondremos que las funciones f son suprayectivas, es decir, f (X) = X ′ . ´ n. Sean X un espacio topológico y Y un conjunto, IV.2.2 Definicio y sea f : X −→ Y suprayectiva. La topolog´ıa más fina en Y para la cual f es continua (es decir, B es abierto en Y si y sólo si f −1 (B) es abierto en X) se llama topolog´ıa de identificaci´ on inducida por f o, dualmente a IV.1.6, topolog´ıa coinducida por X en Y a través de f (o,

´ TOPOLOGÍA DE IDENTIFICACION

105

más sencillo, topolog´ıa coinducida por f ). A f se le llama identificaci´ on (dualmente a inclusi´ on, alg´ un autor la llama proclusi´ on). La terminolog´ıa se justifica pensando que la aplicación f “identifica” en un solo punto a todos aquellos puntos que tienen al mismo punto como imagen. IV.2.3 Ejercicio. Considérese la función suprayectiva f : R −→ {−1, 0, 1} dada por  −1 si t < 0 si t = 0 f (t) = 0  1 si t > 0 . Describir la topolog´ıa de identificaci´ on en el conjunto {−1, 0, 1}. Es inmediato el siguiente resultado. ogicos y f : X −→ Y IV.2.4 Proposici´ on. Sean X y Y espacios topol´ suprayectiva. Son equivalentes: (a) f es una identificaci´ on. (b) Un subconjunto de Y es abierto si y s´ olo si su imagen inversa bajo f es abierta en X. (c) Un subconjunto de Y es cerrado si y s´ olo si su imagen inversa bajo f es cerrada en X. ⊔ ⊓ Las identificaciones se comportan bien como se muestra a continuación. IV.2.5 Teorema. Sean X, Y y Z espacios topol´ ogicos. Entonces (a) idX : X −→ X es una identificaci´ on. (b) Si f : X −→ Y y g : Y −→ Z son identificaciones, entonces g ◦ f es una identificaci´ on. ⊔ ⊓

106


IV.2.6 Ejercicio. Inversamente a (b) arriba, probar que si g ◦ f : X −→ Z es identificación, entonces g es identificación. Inversamente a (a) arriba, se tiene lo siguiente. IV.2.7 Proposici´ on. Sea f : X −→ Y biyectiva. Entonces f es identificaci´ on si y s´ olo si f es homeomorfismo. ⊔ ⊓ Dualmente a IV.1.7 tenemos la siguiente propiedad universal que caracteriza el concepto de identificación. IV.2.8 Teorema. Sean X y Y espacios topolgicos y sea p : X −→ Y una funci´ on suprayectiva. Entonces p es una identificaci´ on si y s´ olo si se cumplen las siguientes condiciones: (i) La aplicaci´ on p es continua. (ii) Una aplicaci´ on g : Y −→ Z es continua si y s´ olo si la composici´ on f = g ◦ p es continua. En un diagrama X@

@@ f @@ @@ @ _ _ _ /Z Y

p

g

f es continua ⇔ g es continua. Demostraci´ on: (i) es claro. Para probar (ii) supongamos primero que p es identificación. As´ı p es continua, y si g es continua, también lo es g ◦ p = f. Inversamente, supongamos que f es continua. Para ver que g es continua, sea C ⊆ Z cerrado. Probaremos que g −1 (C) ⊆ Y es cerrado. Pero esto es claro, pues p−1 (g −1 (C)) = (g ◦ p)−1 (C) = f −1 (C) ⊆ X es cerrado debido a que f es continua. As´ı, se cumple la condición (ii). Supongamos ahora que se cumplen las condiciones (i) y (ii). Probaremos que p es identificación. Para ver esto, considérese el espacio de identificación Y ′ obtenido al darle a Y la topolog´ıa de identificación coinducida por p. Llamemos p′ : X −→ Y ′ a la identificación. Considérse la identidad, a la que denotamos por g : Y −→ Y ′ . Por la


107

condición (ii), ya que p′ = g ◦ p es continua, también lo es g. Más a´ un, ya que p′ es identificación y g −1 ◦ p′ = p es continua, g −1 es continua. Es decir, g es un homeomorfismo y por tanto p es identificación. ´ n. Como es el caso para la topolog´ıa inducida, coIV.2.9 Observacio mentado en IV.1.8, (i) es redundante. Es un ejercicio para el lector probar que (i) se puede deducir de (ii). IV.2.10 Ejemplo. Si f : I −→ S1 es la aplicación exponencial dada por f (s) = e2πis , entonces f es una identificación que identifica en un punto los puntos 0 y 1 del intervalo I (véase la figura IV.1). 1 I 0 f

1

S

1

Figura IV.1: La aplicación exponencial f : I −→ S1 Nótese que si se toma [0, 1) ⊂ I y la restricción f ′ de f a [0, 1), entonces f ′ : [0, 1) −→ S1 es biyectiva. As´ı, si fuese identificación, entonces por IV.2.7 ser´ıa homeomorfismo. Claramente no lo es. La propiedad de ser identificación se hereda a abiertos o cerrados. Se tiene lo siguiente. on, sea Y ′ un subIV.2.11 Teorema. Sea f : X −→ Y una identificaci´ conjunto abierto o cerrado en Y y considérese X ′ = f −1 (Y ′ ). Entonces f |X ′ : X ′ −→ Y ′ es una identificaci´ on.

108


Demostraci´ on: Supongamos Y ′ ⊆ Y es abierto (resp. cerrado), y sea ′ G ⊆ Y tal que f ′−1 (G) ⊆ X ′ es abierto (resp. cerrado) en X ′ y X ′ es abierto (resp. cerrado) en X. As´ı, f −1 (G) es abierto (resp. cerrado) en X y con ello G es abierto (resp. cerrado) en Y , por lo tanto, también es abierto (resp. cerrado) en Y ′ . ⊔ ⊓ El siguiente resultado nos da una condición suficiente, utilizada con frecuencia, para que una aplicación sea una identificación. IV.2.12 Proposici´ on. Sea p : X −→ Y continua. Si existe una aplicaci´ on continua s : Y −→ X, tal que p ◦ s = idY , entonces p es una identificaci´ on. Tal aplicaci´ on s se llama sección de p. ⊔ ⊓ IV.2.13 Nota. (a) Si s : Y −→ X es una sección de p : X −→ Y , entonces s es un encaje. (b) Supóngase que Y ⊆ X y denótese la inclusión por i : Y ,→ X. Si hay una aplicación r : X −→ Y tal que r ◦ i = idY , entonces a r se le llama retracci´ on. Por (a), una retracción r sismpre es identificación. A continuación veremos una forma alternativa de interpretar el concepto de identificación. Sea X un espacio topológico y sea ∼ una relación de equivalencia en X. Tenemos una función suprayectiva en el conjunto de clases de equivalencia. f : X −→ X ′ = X/∼ . ´ n. A X ′ con la topolog´ıa de identificación se le llama IV.2.14 Definicio espacio cociente de X bajo la relación ∼. También se dice que X ′ tiene la topolog´ıa cociente. ´ n. La topolog´ıa cociente en un conjunto cociente IV.2.15 Observacio es exactamente la noción dual de la topolog´ıa relativa en un subcoonjunto. Análogamente, la topolog´ıa de identificación es dual a la topolog´ıa inducida. De manera correspondiente, una aplicación cociente es la noción dual a la de una inclusión, as´ı como la noción de identificación es la noción dual de encaje.


109

Inversamente a la definición IV.2.14, si se tiene una función suprayectiva f : X −→ X ′ , ésta define una relación de equivalencia en X dada por x1 ∼ x2 si y sólo si f (x1 ) = f (x2 ). Hay as´ı una biyección entre X/ ∼ con la topolog´ıa cociente y X ′ . De hecho, se tiene el siguiente resultado. IV.2.16 Teorema. Sea f : X −→ X ′ una identificaci´ on. Si se define una relaci´ on de equivalencia en X, tal que x1 ∼ x2 si y s´ olo si f (x1 ) = f (x2 ), entonces f determina un homeomorfismo fb : X/∼−→ X ′ . ⊔ ⊓ IV.2.17 Ejemplos. 1. Si f : R −→ S1 es de nuevo la aplicación exponencial f (s) = e2πis , entonces f es una identificación tal que f (s) = f (t) si y sólo si t − s ∈ Z (véase la figura IV.2). 2. Sea f : I × I −→ S1 × I la aplicación dada por f (s, t) = (e2πis , t). Entonces f es una identificaci´ on que identifica la arista vertical izquierda del cuadrado I × I con la arista vertical derechacomo lo muestra la figura IV.3. 3. Si en S2 ⊂ R3 tomamos la relación x ∼ −x y la extendemos a una relación de equivalencia. Entonces el espacio cociente

RP2 = S2 /∼ es el espacio conocido como plano proyectivo real. 4. Más generalmente, si en Sn ⊂ Rn+1 ponemos la misma relación x ∼ −x, entonces el espacio cociente

RPn = Sn / ∼ es el espacio conocido como espacio proyectivo real de dimensión n. En particular, el espacio proyectivo real de dimensión 2 es el plano proyectivo. 5. Hay una versión compleja de los dos ejemplos anteriores, como sigue. En S2n+1 ⊂ Cn+1 = R2n+2 se toma la relación x ∼ x′

110


2

1

0

R

−1

−2 f

S1

1

Figura IV.2: La aplicación exponencial f : R −→ S1 ⇔ existe λ ∈ S1 ⊂ C tal que x′ = λx (es un ejercicio probar que ésta es en efecto una relación de equivalencia). Entonces el espacio cociente CPn = S2n+1 /∼ se conoce como espacio proyectivo complejo de dimensión (compleja) n. En particular, el espacio proyectivo complejo de dimensión 2 se llama plano proyectivo complejo. IV.2.18 Nota. En los ejemplos IV.2.17 3 y 4 de arriba ∼ representa la relación de equivalencia generada por x ∼ −x, es decir, la m´ınima relación de equivalencia, que incluye la relación dada. IV.2.19 Ejercicio. Probar que hay una aplicación canónica

RP2n+1 −→ CPn .


111

f a

a

a

I ×I

S1 × I

Figura IV.3: La identificación f : I × I −→ S1 × I Demostrar que es una aplicación cociente. (Sugerencia: Usar la propiedad universal de la aplicación cociente S2n+1 −→ RP2n+1 .) Más adelante, en IV.2.25, veremos maneras alternativas de definir los espacios proyectivos. Hay un resultado dual a IV.1.4 que caracteriza la topolog´ıa cociente. IV.2.20 Proposici´ on. Sea X un espacio topol´ ogico y t´ omese X ′ = X/ ∼, donde ∼ es una relaci´ on de equivalencia en X. La topolog´ıa cociente coinducida por X en X ′ est´ a caracterizada por la siguiente propiedad universal: (i) La aplicaci´ on cociente q : X −→ X ′ es continua. (ii) Una aplicaci´ on f ′ : X ′ −→ Y es continua si y s´ olo si la composici´ on f = f ′ ◦ q es continua. En un diagrama XA

AA f AA AA A X ′ _ _ _/ Y

q

f′

f es continua ⇔ f ′ es continua.

⊔ ⊓

´ n. Este u ´ltimo resultado es un caso especial de IV.2.21 Observacio IV.2.8 y es dual a IV.1.4.

112


El siguiente teorema, que reformula IV.2.8, da una caracterización de la topolog´ıa de identificación en X a través de la propiedad universal de las identificaciones. IV.2.22 Teorema. Sea p : X −→ X continua. Entonces p es una identificaci´ on si y s´ olo si tiene la siguiente propiedad: Sup´ ongase que f : X −→ Y es tal que si p(x) = p(x′ ), entonces f (x) = f (x′ ). Entonces existe una aplicaci´ on u ńica f : X −→ Y tal que f ◦ p = f . En un diagrama X p

~

f

~

~

/Y ~?

f

X

f es continua ⇔ f es continua. Demostraci´ on: Supongamos que p es una identificación, y sea f : X −→ Y como en la hipótesis. Para demostrar que f es continua, sea B ⊂ Y −1 −1 abierto. Entonces f (B) ⊂ X es abierto ya que p−1 f (B) = (f ◦ p)−1 (B) = f −1 (B) es abierto. Inversamente, tómese la relación de equivalencia x ∼ x′ ⇔ p(x) = ′ p(x ). Sea q : X −→ X/∼ la aplicación cociente correspondiente. Por ser q una identificación, la primera parte del teorema implica que existe p : X/∼ −→ X continua, tal que p ◦ q = p. Por hipótesis, existe una aplicación q : X/ ∼ −→ X continua, tal que q ◦ p = q. Es inmediato probar que p ◦ q = idX , y que q ◦ p = idX/∼ . Por tanto, p es un homeomorfismo y ya que q es identificación, as´ı lo es p. ⊔ ⊓ Es posible reformular el enunciado del teorema anterior con el siguiente concepto. Dada una aplicación p : X −→ X, se dice que otra aplicación f : X −→ Y es compatible con la aplicación p si p(x) = p(x′ ) ∈ X ⇒ f (x) = f (x′ ) ∈ Y . Entonces se puede expresar la propiedad universal de las identificaciones como sigue. IV.2.23 Teorema. p : X −→ X es una identificaci´ on si y s´ olo si, dada f : X −→ Y compatible con p, existe una u ńica f : X −→ Y , tal que f ◦ p = f. ⊔ ⊓


113

´ n. Decimos que f es el resultado de pasar f al coIV.2.24 Definicio ciente. IV.2.25 Ejercicio. (a) Probar que RPn es homeomorfo al espacio cociente de Rn+1 − 0 bajo la relación x ∼ x′ ⇔ existe λ ∈ R tal que x = λx′ . (b) Probar que RP1 es homeomorfo a S1 . (Sugerencia: z 7→ z 2 define una aplicación p : S1 −→ S1 tal que p(z1 ) = p(z2 ) ⇔ z1 = ±z2 .) (c) Probar que el plano proyectivo RP2 es homeomorfo al espacio cociente del disco D2 bajo la relación de equivalencia { z = z′ si |z| = |z ′ | < 1 or ′ z∼z ↔ ′ z = ±z si |z| = |z ′ | = 1 . En otras palabras, RP2 se obtiene de D2 identificando puntos ant´ıpodas en la frontera S1 . (Sugerencia: El disco es homeomorfo 2 = {(x, y, z) ∈ S2 ⊂ R3 | z ≥ 0}.) al hemisferio norte cerrado D+ (d) Más generalmente, probar que el espacio proyectivo RPn es homeomorfo al espacio cociente de la n-bola Bn identificando puntos ant´ıpodas en su frontera Sn−1 . IV.2.26 Ejercicio. (a) Probar que CPn es homeomorfo al espacio cociente de of Cn+1 −0 bajo la relación z ∼ z ′ ⇔ existe λ ∈ C tal que z = λz ′ . (b) Probar que CP1 es homeomorfo a S2 . (Sugerencia: z = (z1 , z2 ) 7→ z1 /z2 , z2 ̸= 0, define una aplicación p : {(z1 , z2 ) ∈ S3 | z2 ̸= 0} −→ C ,→ S2 tal que p(z) = p(z ′ ) ⇔ z = λz ′ que puede extenderse continuamente a una aplicación S3 −→ S2 . El encaje C ,→ S2 es el inverso de la proyección estereográfica, véase VIII.3.1, más adelante. La aplicación p : S3 −→ S2 es conocida como la fibraci´ on de Hopf.)

114


IV.2.27 Ejercicio. Sea X un espacio seudométrico con seudométrica e su identificación métrica (véase I.5.5). Probar que la topolog´ıa d y sea X e determinada por la métrica asociada de es la topolog´ıa cociente en X correspondiente a la relación en X dada por x ∼ y si y sólo si d(x, y) = 0. ´ n. Sea f : X −→ Y . Se dice que f es una aplicación IV.2.28 Definicio abierta (resp. cerrada) si para todo A ⊂ X abierto (resp. cerrado) f (A) es abierto (resp. cerrado). El siguiente resultado es u ´til para determinar cuándo una aplicación es abierta. IV.2.29 Teorema. Sea f : X −→ Y continua. Si f (A) es abierto para todo abierto b´ asico A de X, entonces f es abierta. ⊔ ⊓ IV.2.30 Ejemplos. 1. f : X −→ Y es un homeomorfismo si y sólo si f es continua, biyectiva y abierta (resp. cerrada). 2. La proyección π : Rn −→ Rk , en algunas k de sus n coordenadas, es abierta; sin embargo, no es cerrada. Por ejemplo, la primera proyección π : R2 −→ R no es cerrada, pues si se toma A = {(x, y) ∈ R2 | y = 1/x, x > 0}, A es cerrado en R2 ; sin embargo, su imagen π(A) = (0, +∞), como la muestra la figura IV.4, no es cerrada en R. 3. La función sen : [0, 2π] −→ [−1, 1] es cerrada, pero no es abierta, puesto que si tomamos A = [0, 3π/4), que es abierto en [0, 2π], su imagen f (A) = [0, 1] no es abierta en [−1, 1]. 4. Sea f : X −→ Y suprayectiva, tal que X tiene la topolog´ıa inducida por f , entonces f es abierta y cerrada. Los ejemplos 2 y 3 anteriores muestran que los conceptos de aplicación abierta y de aplicación cerrada son independientes.


115

R

R π

R Figura IV.4: La proyección π en el primer factor R × R −→ R aplica a la rama de hipérbola en un abierto IV.2.31 Ejercicio. Sea f : X −→ Y una aplicación entre espacios topológicos. Demostrar que son equivalentes (a) f es cerrada. (b) Para todo abierto A en X, el conjunto {y ∈ Y | f −1 (y) ⊂ A} es abierto en Y . (c) Para todo cerrado C en X, el conjunto {y ∈ Y | f −1 (y) ∩ C ̸= ∅} es cerrado en Y . (d) Para todo conjunto B en X, f (B) ⊂ f (B); de hecho, f (B) = f (B). IV.2.32 Ejercicio. Sea f : X −→ Y una aplicación entre espacios topológicos. Demostrar que son equivalentes (a) f es abierta. (b) Para todo conjunto B en X, f (B ◦ ) ⊂ f (B)◦ .

116


IV.2.33 Ejercicio. Probar que una aplicación f : X −→ Y es abierta (resp. cerrada) si y sólo si para todo subconjunto T ⊂ Y la restricción fT = f |f −1 (T ) : f −1 (T ) −→ T es abierta (resp. cerrada). IV.2.34 Teorema. Si f : X −→ Y es continua, suprayectiva y abierta (resp. cerrada), entonces f es una identificaci´ on. Demostraci´ on: Ya que f es suprayectiva, para toda B ⊂ Y , f (f −1 (B)) = B. As´ı, sea B, tal que f −1 (B) es abierto (resp. cerrado), entonces B = f (f −1 (B)) es abierto (resp. cerrado). Por lo tanto, f es una identificación. ⊔ ⊓ Como se vio en la demostración del teorema IV.2.22, toda identificación es, salvo homeomorfismo, una aplicación cociente. ´ n. Sea p : X −→ X/ ∼ una aplicación cociente IV.2.35 Definicio (identificación). Para un conjunto A ⊂ X definimos su saturaci´ on como −1 p (p(A)). Este conjunto consta de los puntos de A y de todos aquellos puntos de X que son equivalentes a alg´ un punto de A. Si A es tal que −1 A = p (p(A)), entonces se dice que A es saturado respecto a ∼. Tenemos el siguiente resultado, que es una reformulación del teorema IV.2.11. IV.2.36 Proposici´ on. Si A ⊂ X es abierto (resp. cerrado) y saturado respecto a una relaci´ on ∼ y sea p : X −→ X/∼ la identificaci´ on correspondiente, entonces p|A : A −→ p(A) es una identificaci´ on. ⊔ ⊓ IV.2.37 Ejercicio. Sea f : X −→ Y continua. (a) Probar que f factoriza como X

f∗

/ Z∗

e

/Y ,

donde f ∗ es suprayectiva y e es un encaje. (b) Probar que f factoriza como X

q

/ / Z∗

f∗

/Y ,

donde f∗ es inyectiva y q es un cociente.


117

Para finalizar esta sección, consideraremos un caso particular de aplicaciones cocientes que frecuentemente aparecen en la topolog´ıa. Recuérdese primeramente que dar una relación de equivalencia en un conjunto X es equivalente a dar una partici´ on de X, es decir, una familia de subconjuntos ajenos de X cuya unión es X. La correspondencia entre ambos conceptos se da tomando las clases de equivalencia como los subconjuntos de la partición. Consideraremos un caso particular de aplicaciones cocientesque frecuentemente se encuentran en la topolog´ıa. ´ n. Sea X un espacio topológico y A ⊂ X. ConIV.2.38 Definicio sidérese la partición consistente en el conjunto A y todos los conjuntos singulares {x} para toda x ∈ / A (esto es equivalente a tomar la relación de equivalenca dada por x ∼ x′ si y sólo si, ya sea x, x′ ∈ A o x = x′ . Denotamos el espacio cociente X/∼ por X/A y decimos que X/A se obtiene de X colapsando A en un conjunto de un solo punto, que frecuentemente se denota por {A} o simplemente por ∗. IV.2.39 Ejemplos. 1. Considérese el disco unitario D2 ⊂ C y def´ınase la siguiente partición: (i) Si |z| < 1, entonces {z} pertenece a la partición. (ii) Si |z| = 1, entonces z = e2πit para alguna t ∈ I. Considérense los conjuntos de dos elementos

{e2πi(4k+t)/4n , e2πi(4k+3−t)/4n } ,

{e2πi(4k+1+t)/4n , e2πi(4k+4−t)/4n } ,

donde t ∈ I y k = 0, . . . , n − 1, como los restantes conjuntos de la partición. El espacio cociente resultante es la superficie cerrada orientable de género n. Alternativamente podemos describir esta construcción como sigue. Tómense los puntos en S1 definidos por pk = e2πik/4n , donde k = 0, 1, 2, . . . , 4n − 1 ,

118


esto es, las ra´ıces 4n-ésimas de la unidad. Entonces los arcos en la frontera del disco se identifican seg´ un se muestra en la figura IV.5 para el caso n = 2. Esto quiere decir que el primer arco rotulado con a1 que va de p0 a p1 se identifica con el segundo arco rotulado con a1 que va orientado en dirección opuesta de p3 a p2 . Luego se identifica el arco rotulado con b1 que va de p1 to p2 con el segundo arco rotulado con b2 que va en la dirección opuesta de p4 a p3 y as´ı en adelante. a1

p2 b1

p3

p1

11 00 b1 00 11

a1

p4

p0

11 00 a2 00 11

b2

p5

p7

11 00 b2

p6

1 0 a 2

Figura IV.5: Octágono En el caso n = 1 este ejemplo constituye la construcción del toro. Véase I.5.8 (b) arriba o V.4.12 4, abajo. La figura IV.6 muestra la construcción para n = 1 y n = 2 usando pol´ıgonos en vez del disco. Las aristas corresponden a los arcos salvo un homeomorfismo. 2. Considérese nuevamente el disco unitario D2 ⊂ C y def´ınase ahora la siguiente partición: (i) Si |z| < 1, entonces {z} pertenece a la partición. (ii) Si |z| = 1, entonces z = e2πit para alguna t ∈ I. Considérense entonces los conjuntos de dos elementos {e2πi(2k+t)/2n , e2πi(2k+1+t)/2n } ,


119

a1

b b1

b1

a a2

a

a1

b2 b

b2 a2

Figura IV.6: Casos poligonales para n = 1 y n = 2 donde t ∈ I y k = 0, . . . , n − 1, como los otros conjuntos de la partición. El espacio cociente resultante es la superficie cerrada no orientable de género n. Alternativamente, podemos describir esta construcción como sigue. Tómense los puntos de S1 definidos por pk = e2πik/2n , donde k = 0, 1, 2, . . . , 2n − 1 , es decir, las 2n-ésimas ra´ıces de la unidad. Entonces los arcos de la frontera del disco se identifican como lo muestra la figura IV.7 para el caso n = 3. Esto significa que el primer arco rotulado con a1 de p0 a p1 se identifica con el segundo arco rotulado con a′1 de p1 a p2 . Luego el arco rotulado con a2 de p2 a p3 se identifica con el arco rotulado con a′2 de p3 a p4 y as´ı sucesivamente. En el caso n = 1 este ejemplo proporciona la construcción del plano proyectivo dada en IV.2.25 (c). La figura IV.8 muestra la construcción para n = 2 (la botella de Klein, véase V.4.20) y n = 3 usando pol´ıgonos en vez del disco. Como en el caso anterior, las aristas corresponden a los arcos salvo un homeomorfismo. IV.2.40 Ejercicio. Probar que I/{0, 1} ≈ S1 . (Sugerencia: Ver el ejemplo IV.2.17 1.) Más generalmente tenemos lo siguiente.

120

´ DE ESPACIOS TOPOLOGICOS ´ GENERACION a′1 p2

p1

a2

a1

p3

p0

a′2

a′3 p5

p4 a3

Figura IV.7: Hexágono IV.2.41 Ejercicio. Probar que hay un homeomorfismo Bn /Sn−1 ≈ Sn . Convenci´ on. Si A = ∅ convenimos en definir X/∅ como el espacio X + = X ⊔ {∗}, es decir, el espacio X junto con un punto aislado ∗. Véase la sección IV.4 para el uso general del s´ımbolo ⊔. Para finalizar esta sección es conveniente observar la dualidad entre ciertas nociones relacionadas con la topolog´ıa inducida y aquéllas relacionadas con la topolog´ıa coinducida: (a) Topolog´ıa relativa es dual a topolog´ıa cociente. As´ı, inclusion es dual a aplicaci´ on cociente. (b) Encaje es dual a identificaci´ on. (c) Restricci´ on es dual a paso al cociente (véase IV.2.24).

IV.3

´ gico Producto topolo

Comencemos recordando qué es el producto cartesiano de una familia arbitraria de funciones. Dada una colección {Xλ | λ ∈ Λ} de

´ PRODUCTO TOPOLOGICO a′1

a′1

a2

121

a2

a1

a′2

a′3

a1

a′2 a3

Figura IV.8: Casos poligonales n = 2 y n = 3

conjuntos, definimos su producto cartesiano por ∏

Xλ = {x : Λ −→

∪

Xλ | x(λ) ∈ Xλ } .

λ∈Λ

∏ Dada µ ∈ Λ, definimos la proyecci´ on pµ : λ∈Λ Xλ −→ Xµ por pµ (x) = x(µ). Es com´ un denotar x(λ) por xλ y x por (xλ )λ∈Λ o simplemente por (xλ ). Si el conjunto Λ es finito, digamos Λ = {1, . . . , k}, normalmente se denota el producto cartesiano por X1 × · · · × Xk . Nótese que no asociamos los factores de ninguna manera. Por supuesto, tenemos maneras distintas de asociar los factores que siempre llevan a resultados equivalentes (véase IV.3.2 más adelante). El producto cartesiano tiene la siguiente propiedad universal. IV.3.1 Teorema. Dada una familia {Xλ | λ ∈ Λ} de conjuntos, el pro∏ ∏ ducto cartesiano λ∈Λ Xλ junto con las proyecciones pµ : λ∈Λ Xλ −→ Xµ , µ ∈ Λ, est´ a caracterizado por la siguiente propiedad: ńica funci´ on (PC) Dadas funciones fλ : Y −→ Xλ , λ ∈ Λ, hay una u

122


f : Y −→

∏

λ∈Λ Xλ

tal que pλ ◦ f = fλ . En un diagrama ∏ λ∈Λ Xλ f

Y

v

v

v

v

fλ

v;

pλ

/ Xλ .

∏ Demostraci´ on: Dada y ∈ Y , def´ınase f (y) ∈ λ∈Λ Xλ por f (y)(λ) = fλ (y). En otras palabras, f (y) = (fλ (y))λ∈Λ . Si hay un conjunto X y funciones qλ : X −→ Xλ que satisfacen (PC), es decir, tales que dadas cualesquiera funciones fλ : Y −→ Xλ , hay una función u ńica f : Y −→ X tal que qλ ◦ f = fλ , entonces hay ∏ una equivalencia, es decir, una función biyectiva φ : X −→ λ∈Λ Xλ tal que pλ ◦ φ = qλ . Esto se verifica fácilmente utilizando (PC) para ambas familias de funciones pλ y qλ . Dejamos los detalles como ejercicio para el lector. ⊔ ⊓ El siguiente resultado es una especie de propiedad de asociatividad del producto. IV.3.2 Teorema. Sea Xλ , λ ∈ Λ, una familia (no vac´ıa) de conjuntos no vac´ıos. Sup´ ongase que se tiene una partici´ on del conjunto Λ por subconjuntos Λi , i ∈ I. Entonces hay una equivalencia can´ onica   ∏ ∏ ∏ ≈  Xλ −→ Xλ  . i∈I

λ∈Λ

λ∈Λi

Demostraci´ on: Utilizaremos las correspondientes propiedades universales de los distintos productos. ∏ Por la propiedad universal del producto λ∈Λi Xλ , la familia de ∏ proyecciones pλ : ńica λ −→ Xλ , λ ∈ Λi , determina una u λ∈Λ X ∏ ∏ función πi : λ∈Λ Xλ −→ λ∈Λi Xλ tal que conmuta el diagrama ∏ πi

∏

q

λ∈Λ Xλ

q

q

q

pλ

q8

λ∈Λi

Xλ

pλ

/ Xλ .

´ PRODUCTO TOPOLOGICO

123

) ∏ (∏ Ahora, por la propiedad universal del producto X , hay λ i∈I λ∈Λ i ) ∏ ∏ (∏ una función u ńica φ : λ∈Λ Xλ −→ i∈I X tal que conmuta λ∈Λi λ el diagrama ) ∏ (∏ i∈I λ∈Λi Xλ 6 n n n n n n ∏ / Xλ φ

∏ λ∈Λ

πi

qi

λ∈Λi

Xλ ,

donde qi denota la correspondiente proyección. Esta función φ es la equivalencia deseada. Para construir el inverso de φ, tómese cualquier λ ∈ Λ. Entonces hay una u ńica i ∈ I tal que λ ∈ Λi . Considérese la composición   ∏ ∏ qi ∏ pλ  πλ′ : Xλ  −→ Xλ −→ Xλ . i∈I

λ∈Λi

λ∈Λi

∏ Por la propiedad universal) del producto λ∈Λ Xλ , hay una función ( ∏ ∏ ∏ u ńica ψ : i∈I λ∈Λ Xλ tal que conmuta siguiente λ∈Λi Xλ −→ diagrama ∏ λ∈Λ Xλ 6 n n n n n n) ψ

∏ i∈I

(∏ λ∈Λi

Xλ

′ πλ

pλ

/ Xλ .

Haciendo uso de la unicidad de las funciones definidas en los produtos, fácilmente se prueba que las composiciones φ ◦ ψ y ψ ◦ φ son las correspondientes funciones identidad. Dejamos los detalles como ejercicio para el lector. ⊔ ⊓ Pasamos ahora al caso topológico. Suponemos, as´ı, que tenemos una ∏ familia {Xλ | λ ∈ Λ} de espacios topológicos. Deseamos dar a λ∈Λ Xλ una topolog´ıa tal que se cumplan las siguientes dos condiciones: ∏ (i) La proyección pλ : λ∈Λ Xλ −→ Xλ es continua para toda λ ∈ Λ. (ii) Dada una aplicación continua fλ : Y −→ Xλ para cada λ ∈ Λ, ∏ la función f : Y −→ λ∈Λ Xλ tal que pλ ◦ f = fλ es también continua.

124


En primer lugar, nos ocuparemos de la condición (i) considerando la siguiente pregunta: Dados un conjunto X y para cada λ ∈ Λ una función pλ : X −→ Xλ , ¿cuál es la topolog´ıa más gruesa en X que hace continua a cada pλ ? Como ya vimos arriba, esta topolog´ıa es la m´ınima cota superior, es decir, el supremo de todas las topolog´ıas inducidas en X por cada una de las funciones pλ (compárese esto con el ejercicio IV.1.31(a)). Una subbase para esta topolog´ıa consiste en todos los conjuntos de la forma p−1 λ ∈ Λ. Estamos λ (Qλ ), donde Qλ ⊆ Xλ es abierto, ∏ interesados en el siguiente caso particular. Sea X = λ∈Λ Xλ , el producto cartesiano, visto como conjunto, de una colección {Xλ | λ ∈ Λ} de espacios topológicos. La pregunta general planteada arriba da en este caso origen al problema que queremos resolver, es decir, queremos construir la topolog´ıa más gruesa que hace continuas todas las proyecciones. En el caso del producto tenemos para cualquier subcon∏ junto Qλ ⊆ Xλ , que su imagen inversa p−1 µ̸=λ Xµ . Si λ (Qλ ) = Qλ × suponemos que Qλ es abierto, entonces su imagen inversa deberá ser abierta. Estos abiertos forman una topolog´ıa para cada λ. Como ya sabemos, el supremo de una familia de topolog´ıas tiene como base a las intersecciones finitas de conjuntos subbásicos. Por tanto, una intersección finita de abiertos subbásicos es un producto de la forma ∏ Xµ , (IV.3.3) Qλ1 × · · · × Qλk × µ̸=λ1 ,...λk

donde Qλi es abierto en Xλi , i = 1, . . . , k, (véase la figura IV.9). Algu∏ nas veces denotamos a los básicos Qλ1 × · · · × Qλk × µ̸=λ1 ,...λk Xµ por ∏ λ∈Λ Qλ , donde Qλ = Xλ para casi toda λ ∈ Λ. Tenemos lo siguiente. ´ n. Sea {Xλ | λ ∈ Λ} una familia de espacios topolóIV.3.4 Definicio ∏ gicos. Al supremo de las topolog´ıas en X = λ∈Λ Xλ inducidas por las proyecciones pλ : X −→ Xλ se le llama topolog´ıa del producto, y a X con esta topolog´ıa se le llama producto topol´ ogico de la familia de las ∏ Xλ , y se le denota usualmente como λ∈Λ Xλ . Por construcción, se cumple la condición (i). A saber, tenemos lo siguiente.

´ PRODUCTO TOPOLOGICO ∏ λ̸=µ

125

X11111 λ 00000

11111 00000 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 00000 11111 0000 1111 00000 11111 Qµ

p−1 µ Qµ

Xµ

Figura IV.9: Un conjunto subbásico en el producto IV.3.5 Teorema. Sea {Xλ | λ ∈ Λ} una familia de espacios topol´ o∏ gicos. Si λ∈Λ Xλ tiene la topolog´ıa del producto, entonces todas las ∏ proyecciones pµ : λ∈Λ Xλ −→ Xµ , µ ∈ Λ, son continuas. La demostraci´ on es inmediata observando que un bn básico es de la forma (IV.3.3). ⊔ ⊓ ∏ ´ n. A la base para la topolog´ıa del producto en λ∈Λ IV.3.6 Definicio Xλ se le llama base natural del producto topológico de {Xλ | λ ∈ Λ}. IV.3.7 Nota. En el caso de que el conjunto de ´ındices Λ sea finito, digamos Λ = {1, 2, . . . , m}, la base natural de la topolog´ıa del producto ∏ ∏ en λ∈Λ Xλ consiste en los productos λ∈Λ Qλ , donde Qλ es abierto en Xλ , λ = 1, . . . , m. En este caso se suele denotar al producto topológico simplemente por X1 × X2 × · · · × Xm y a sus abiertos básicos naturales por Q1 × · · · × Qm . IV.3.8 Nota. En el caso de que el conjunto de ´ındices Λ sea infinito, llamaremos a sus conjuntos básicos canónicos ∏ Qλ1 × · · · × Qλk × Xµ µ̸=λ1 ,...λk

126


cajas finitas. Puede definirse otra topolog´ıa diferente en el producto si ∏ se toman cajas infinitas d la forma λ∈Λ Qλ , donde Qλ ⊆ Xλ es alg´ un ´ abierto. Esta es una topolog´ıa más fina en el producto cartesiano, por lo que las proyecciones son continuas. Pero, en general esta topolog´ıa no cumplira la condición (ii). Esta topolog´ıa se llama la topolog´ıa de cajas Probaremos ahora que la topolog´ıa del producto satisface la condición (ii). IV.3.9 Proposici´ on. Sean Xλ , λ ∈ Λ, una familia de espacios topol´ ogicos y sea fλ : Y −→ Xλ be una familia de aplicaciones continuas. ∏ Entonces la aplicaci´ on u ńica f : Y −→ λ∈Λ Xλ tal que pλ ◦ f = fλ , es continua. Demostraci´ on: Basta con tomar un abierto básico Qλ1 × . . . Qλk × ∏ X y demostrar que su imagen inversa es abierta. Ya que λ̸=Λi λ f −1 (Qλ1 × . . . Qλk ×

∏

Xλ ) = fλ−1 (Qλ1 ) ∩ · · · ∩ fλ−1 (Qλk ) , 1 k

λ̸=Λi

y cada fλ es continua, esta imagen inversa es una intersección finita de abiertos, por lo que es abierta. ⊔ ⊓ IV.3.10 Nota. Si tomamos la topolog´ıa de cajas en el producto y Λ es infinito, entonces tendr´ıamos que tomar interseciones infinitas de abiertos, que en general no serán abiertas. Por ende, f no necesariamente ser´ıa continua. Es en este sentido que la topolog´ıa del producto es la adecuada para tener la propiedad universal, que probaremos más abajo. IV.3.11 Ejemplo. Rn es el producto topológico de n copias del espacio topológico R. IV.3.12 Nota. Si Xλ = Y , λ ∈ Λ, entonces se suele denotar a simplemente como Y Λ .

∏

λ∈Λ Xλ


127

IV.3.13 Ejemplo. Sea Rk = R, k ∈ N, y tómense fk = idR : R −→ Rk , k ∈ N. Por la propiedad universal del producto, hay una aplicación ∏ continua f : R −→ k∈N Rk tal que pk ◦ f = fk = idR . Consideemos ∏ ∏ ahora el conjunto k (− k1 , k1 ) ⊂ k Rk . Su imagen inversa bajo f es f −1 (

∏ k

∩ 1 1 1 1 (− , )) = (− , ) = {0} , k k k k k

que no es un conjunto abierto. Ya que f es continua, el producto ∏ ∏ 1 1 no es abierto. Esto muestra que la topolog´ıa de k Rk ∏ k (− k , k ) ⊂ cajas en el producto k Rk es estrictamente más fina que la topolog´ıa del producto. IV.3.14 Ejercicio. Probar que si Λ es no numerable y Xλ no es in∏ discreto para toda λ, entonces λ∈Λ Xλ no satisface ninguno de los dos axiomas de numerabilidad. Sin embargo, si Λ es numerable y Xλ satisface el primer, resp. el segundo, axioma de numerabilidad, probar ∏ que λ∈Λ Xλ satisface el primer, resp. el segundo, axioma de numerabilidad. ∏ ∏ Sean λ ∈ Λ, pλ : λ∈Λ Xλ −→ Xλ , y un abierto básico λ∈Λ Qλ . ∏ Entonces pλ ( λ∈Λ Qλ ) = Qλ es abierto. As´ı, por IV.2.29 y IV.3.9, tenemos el siguiente resultado. IV.3.15 Teorema. Sea {Xλ | λ ∈ Λ} una colecci´ on de espacios topo∏ l´ ogicos. Las proyecciones pλ : λ∈Λ Xλ −→ Xλ , λ ∈ Λ, son continuas y abiertas. ⊔ ⊓ ∏ IV.3.16 Nota. Si Xλ ̸= ∅ para toda λ ∈ Λ, entonces pλ : λ∈Λ Xλ −→ Xλ es suprayectiva. Por lo tanto, IV.3.15, junto con IV.2.34, implica que pλ es una identificación. (De hecho, pλ identifica todos los puntos ∏ x en λ∈Λ Xλ que tienen la misma coordenada xλ .) El producto topológico junto con sus proyecciones tiene la siguiente propiedad universal. ∏ ogico λ∈Λ Xλ junto con sus proIV.3.17 Teorema. El producto topol´ ∏ yecciones pλ : λ∈Λ Xλ −→ Xλ est´ a caracterizado por el hecho de las proyecciones pλ son continuas para toda λ y la siguiente propiedad.

128


(PT) Para toda familia {fλ : Y −→ Xλ | λ ∈ Λ} de aplicaciones con∏ tinuas existe una u ńica aplicaci´ on continua f : Y −→ λ∈Λ Xλ tal que pλ ◦ f = fλ . En un diagrama ∏ λ∈Λ Xλ f

Y

v

v

v

fλ

v

v;

pλ

/ Xλ .

f es continua ⇔ fλ es continua ∀λ Demostraci´ on: Basta probar que si un espacio topológico X, junto con una familia de aplicaciones qλ : X −→ Xλ , satisface (PT), es decir, es tal que dada una familia {fλ : Y −→ Xλ | λ ∈ Λ} de aplicaciones continuas existe una u ńica aplicación continua f : Y −→ X, tal que ∏ qλ ◦ f = fλ , entonces debe existir un homeomorfismo entre λ∈Λ Xλ y X que conmuta con las proyecciones. ∏ ńica q : Por la propiedad universal para λ∈Λ Xλ , existe una u ∏ X −→ λ∈Λ Xλ , tal que pλ ◦ q = qλ . Análogamente, por la propiedad ∏ de X, existe una u ńica p : λ∈Λ Xλ −→ X, tal que qλ ◦ p = pλ . Es una consecuencia inmediata de la unicidad que demanda la propiedad universal, que las composiciones p ◦ q y q ◦ p son las respectivas identidades, es decir, p y q son homeomorfismos inversos que conmutan con las proyecciones. ⊔ ⊓ El teorema IV.3.2 vale en el caso topológico gracias a que el producto topológico tiene la misma propiedad universal que el producto cartesiano. IV.3.18 Teorema. Sea Xλ , λ ∈ Λ, una familia (no vac´ıa) de espacios topol´ ogicos no vac´ıos. Sup´ ongase que se tiene una partici´ on del conjunto Λ por subconjuntos Λi , i ∈ I. Entonces hay un homeomorfismo can´ onico   ∏ ∏ ∏ ≈  Xλ  . Xλ −→ λ∈Λ

i∈I

λ∈Λi

⊔ ⊓


129

Sea {Xλ | λ ∈ Λ} una familia de espacios topológicos y sean Aλ ⊆ ∏ ∏ Xλ , λ ∈ Λ, subespacios. Si tomamos λ∈Λ Aλ ⊆ λ∈Λ Xλ , entonces el ∏ producto cartesiano λ∈Λ Aλ tiene dos maneras de topologizarse. Una ∏ consiste en dar a cada Aλ la topolog´ıa relativa y dar a λ∈Λ Aλ la ∏ topolog´ıa del producto; la otra consiste en dar a λ∈Λ Aλ la topolog´ıa ∏ relativa inducida por la de λ∈Λ Xλ . Tenemos lo siguiente. IV.3.19 Proposici´ on. Tanto la topolog´ıa relativa como la del producto ∏ en λ∈Λ Aλ son iguales. un la topolog´ıa relativa, es de la Demostraci´ on: Un conjunto básico, seg´ ∏ ∏ ∏ forma λ∈Λ Aλ ∩ λ∈Λ Qλ ; pero éste coincide claramente con (Aλ ∩ ∏ Qλ ), que es un básico natural en la topolog´ıa del producto λ∈Λ Aλ . ⊔ ⊓ IV.3.20 Ejercicio. Como demostración alternativa de la proposición ∏ ∏ anterior, probar que λ Aλ ⊆ λ Xλ con la topolog´ıa relativa tiene la propiedad universal IV.3.17. ∏ Sif Qλ ⊂ Xλ es abierto para toda λ, entonces en general λ∈Λ Qλ no es abierto, como se vio en el ejemplo IV.3.13. Sin embargo, tenemos lo siguiente. IV.3.21 Lema. Sea Aλ ⊆ Xλ un subconjunto cerrado para toda λ ∈ Λ. ∏ ∏ Entonces λ∈Λ Aλ ⊆ λ∈Λ Xλ es un subconjunto cerrado. Demostraci´ on: Considérse el complemento   ∏ ∏ ∪ ∏ (Xλ − Aλ ) × Aλ = X λ′  . Xλ − λ∈Λ

λ∈Λ

λ

λ′ ̸=λ

Ya que Aλ ⊂ Xλ es cerrado para toda λ ∈ Λ, este complemento es ∏ ∏ abierto en λ∈Λ Xλ . As´ı λ∈Λ Aλ es cerrado. Como consecuencia, obtenemos lo siguiente. IV.3.22 Proposici´ on. Si Aλ ⊆ Xλ , λ ∈ Λ, entonces ∏ ∏ Aλ = Aλ .


130

∏ Demostraci´ on: Supóngase que Aλ ̸= ∅. Ya que Aλ ⊆ Aλ , se tiene ∏ ∏ Aλ ⊆ Aλ . Pero, por el lema anterior, el término de la derecha es ∏ ∏ cerrado. As´ı, Aλ ⊆ Aλ . ∏ Inversamente, si x ∈ Aλ , entonces xλ ∈ Aλ para toda λ. Tómese ∏ una vecindad abierta básica de x de la forma Qλ , donde Qλ = Xλ para casi toda λ. Entonces Qλ es una vecindad abierta de xλ para toda λ. As´ı Qλ ∩ Aλ ̸= ∅. Por lo tanto, ∏ ∏ ∏ Qλ ∩ Aλ = (Qλ ∩ Aλ ) ̸= ∅ , y as´ı, x ∈

∏

Aλ . En consecuencia,

∏

Aλ ⊆

∏

Aλ .

Por los resultados previos obtenemos lo siguiente. IV.3.23 Teorema. Sea Aλ ⊂ Xλ tal que Aλ ̸= ∅ para toda λ. Entonces ∏ ∏ olo si Aλ es cerrado en Xλ para λ∈Λ Aλ es cerrado en λ∈Λ Xλ si y s´ toda λ ∈ Λ. Demostraci´ on: Si Aλ ⊆ Xλ es cerrado, entonces por el lema IV.3.21, ∏ ∏ A es cerrado en λ∈Λ Xλ . λ∈Λ λ ∏ ∏ Inversamente, si λ∈Λ Aλ ⊆ λ∈Λ Xλ es cerrado, entonces por la ∏ ∏ ∏ proposición IV.3.22, λ∈Λ Aλ = λ∈Λ Aλ = Aλ . Ya que Aλ ̸= ∅ para toda λ, se tiene ∏ ∏ Aλ = pλ ( Aλ ) = pλ ( Aλ ) = Aλ . Por lo tanto, Aλ ⊆ Xλ es cerrado para toda λ. Dado el producto de dos espacios topológicos X × Y , con X ̸= ∅, podemos ver a Y como subespacio de X × Y a través del encaje ix0 : Y −→ X × Y , ix0 (y) = (x0 , y). Si X es un espacio T1 , es decir, si cada punto en X es cerrado (véase VII.1.38), entonces estos subespacios son cerrados y su unión es X × Y , es decir, forman una cubierta cerrada de X ×Y. IV.3.24 Ejercicio. Probar que, en efecto, ix0 es un encaje. (Sugerencia: La proyección pY restringida a la imagen ix0 (Y ) = {x0 } × Y es el inverso de ix0 .)


131

IV.3.25 Ejercicio. Más generalmente, probar que si {Xλ | λ ∈ Λ} es una familia de espacios topológicos no vac´ıos y x0λ ∈ Xλ es un punto ∏ selecto para cada λ ̸= κ, entonces la aplicación iκ : Xκ −→ λ∈Λ Xλ , tal que iκ (xκ ) = (xλ )λ∈Λ , donde xλ = x0λ si λ ̸= κ, es un encaje. Tómese f : X × Y −→ Z. Si f es continua y se toma x0 ∈ X, entonces la función fx0 = f ◦ ix0 : Y −→ Z, tal que fx0 (y) = f (x0 , y) es continua. Sin embargo, el inverso es falso. IV.3.26 Ejemplo. Tómense X = Y = Z = R y def´ınase f : R × R = X × Y −→ Z = R por { 0 si (x, y) = (0, 0), f (x, y) = 2xy si (x, y) ̸= (0, 0). x2 +y 2 (a) Probar que si x0 es cualquier punto, entonces fx0 es continua. (b) Calcular la restricción de f a la recta x = y, es decir, la composición f ◦ δ : R −→ R, donde δ(x) = (x, x). (c) Probar que f no es continua. Sean Xλ y Yλ , λ ∈ Λ, dos familias no vac´ıas de espacios topológicos no vac´ıos y tómense fλ : Xλ −→ Yλ . Considérense las composiciones ∏ fλ pλ Yλ , Xλ −→ Xλ −→ λ∈Λ

donde pλ es la proyección. Por la propiedad universal del producto ∏ ∏ ∏ ∏ ńica aplicación fλ : Xλ −→ Yλ que hace λ∈Λ Yλ , existe una u conmutativo el siguiente diagrama ∏ pλ

∏

Xλ

fλ

Xλ

/

∏

Yλ

fλ

qλ

/ Yλ ,

∏ donde qλ es la proyección. En efecto, fλ está dada por ∏ ( fλ )((xλ )λ∈Λ ) = (fλ (xλ ))λ∈Λ .


132

IV.3.27 Proposici´ on. para toda λ ∈ Λ.

∏

fλ es continua si y s´ olo si fλ es continua

∏ ∏ Demostraci´ on: Ya que qλ ◦ fλ = fλ ◦ pλ , (PT) implica que fλ es ∏ continua si fλ es continua. Inversamente, fλ = qλ ◦ fλ ◦ iλ , donde ∏ iλ : Xλ −→ Xλ es tal que iλ (xλ ) = (xµ )µ∈Λ , con xµ fijo para cada µ ̸= λ, que claramente es continua (véase el ejercicio IV.3.25). Por lo ∏ tanto, si fλ es continua, entonces fλ también lo es. ⊔ ⊓ IV.3.28 Ejercicio. Sea X un espacio topológico discreto y sea Λ un conjunto infinito. Analizar la topolog´ıa del producto X Λ de copias de X, una por cada λ ∈ Λ. ¿Es éste un espacio discreto? Si no, describir su topolog´ıa. Considérese el sistema inverso (IV.3.29)

h3

h2

2 1 · · · −−−−−→X3 −−−− −→X2 −−−− −→X1

y tómese el subespacio del producto X = {(xn ) | hn+1 n (xn+1 ) = xn } ⊂

∏

Xn .

n

´ n. Al espacio X definido arriba se le llama l´ımite IV.3.30 Definicio del sistema inverso (IV.3.29) y se le denota por l´ımn Xn 1 . Este espacio está provisto de aplicaciones hn : l´ımn Xn −→ Xn , definidas como las restricciones de las proyecciones canónicas ∏ i pn hn : l´ım Xn ,−−−−−→ Xn −−−−−→Xn , n

n

es decir, hn = pn |X . Estas aplicaciones satisfacen hnm ◦ hn = hm : l´ımn Xn −→ Xm , donde hnm = hnn−1 ◦ · · · ◦ hm+1 ıa m , m < n. La topolog´ de l´ımn Xn a menudo se denomina topolog´ıa del l´ımite. El l´ımite tiene la siguiente propiedad universal que de hecho lo caracteriza. 1 Algunos

autores lo llaman l´ımite inverso y lo denotan por lim Xn o inv lim Xn . ←−

´ SUMA TOPOLOGICA

133

IV.3.31 Teorema. Sea {fn : Y −→ Xn | n ≥ 1} una familia de aplicaciones, tales que hn+1 ◦ fn+1 = fn : Y −→ Xn para toda n ≥ 1 o, equin n valentemente, hm ◦fn = fm : Y −→ Xm para toda n > m ≥ 1, entonces existe una u ńica aplicaci´ on f : Y −→ l´ımn Xn , tal que hn ◦ f = fn ; en un diagrama Y u f

zu

u

l´ımn Xn

u

u

hn

fn

/ Xn

Demostraci´ on: Por la propiedad universal del producto topológico IV.3.17, las aplicaciones fn determinan una u ńica aplicación f ′ : Y −→ ∏ ′ n+1 ◦ fn+1 = fn , hn+1 n (fn+1 (y)) = n Xn , tal que pn ◦ f = fn . Ya que hn ′ fn (y); por lo tanto, f (y) = (fn (y)) yace en l´ımn Xn , por lo que, por tener éste la topolog´ıa relativa, f ′ determina una aplicación f : Y −→ l´ımn Xn con las propiedades buscadas. ⊔ ⊓ IV.3.32 Ejercicio. Probar que la propiedad del espacio l´ımn Xn , expresada en IV.3.31, caracteriza el l´ımite. IV.3.33 Ejercicio. Probar que si se tiene un sistema inverso · · · ⊂ X3 ⊂ X2 ⊂ X1 , entonces l´ımn Xn = ∩n Xn , con la topolog´ıa relativa a cualquiera de las inclusiones ∩n Xn ⊂ Xn . IV.3.34 Ejercicio. Probar que si se tiene un sistema inverso h3

h2

2 1 · · · −−−−−→X3 −−−− −→X2 −−−− −→X1 ,

entonces la topolog´ıa del espacio l´ımn Xn es la más gruesa que hace continuas las aplicaciones hn : l´ımn Xn −→ Xn . (Sugerencia: Si X = l´ımn Xn con una topolog´ıa más gruesa que hace continuas las aplicaciones hn , por IV.3.31, id : X −→ l´ımn Xn es continua, por lo que la topolog´ıa de X es también más fina que la de l´ımn Xn .) Más adelante, en el cap´ıtulo V., veremos un concepto más general de l´ımite de un diagrama de espacios topológicos.

134


IV.4

´ gica Suma topolo

En esta sección deseamos estudiar la suma topológica de una familia de espacios. Este concepto es dual al del producto topológico. Comezaremos definendo la uni´ on ajena de una familia {Xλ | λ ∈ Λ} de conjuntos, construcción dual a la de producto cartesiano, como sigue: ⨿ ∪ Xλ = Xλ × {λ} . λ∈Λ

λ∈Λ

⨿ Dada µ ∈ Λ, definimos la inclusi´ on iµ : Xµ −→ λ−→Λ Xλ por iµ (x) = (x, µ). Por simplicidad, es com´ un omitir la segunda componente (podemos reemplazar desde un principio cada conjunto Xλ por Xλ × {λ} para que de una vez por todas sean todos ellos conjuntos ajenos). La unión ajena tiene la siguiente propiedad universal, que es dual a IV.3.1. IV.4.1 Teorema. Dada una familia {Xλ | λ ∈ Λ} de conjuntos, la ⨿ ⨿ uni´ on ajena λ∈Λ Xλ junto con las inclusiones iµ : Xµ −→ λ∈Λ Xλ , µ ∈ Λ, est´ a caracterizado por la siguiente propiedad: (UA) Dadas cualesquiera funciones fλ : Xλ −→ Y , λ ∈ Λ, existe una ⨿ funci´ on u ńica f : λ∈Λ Xλ −→ Y tal que f ◦ iλ ◦ f = fλ . En un diagrama fλ

Xλ iλ

⨿

u

u

u

u

/Y u:

f

λ∈Λ Xλ .

⨿ Demostraci´ on: Dado (x, λ) ∈ λ∈Λ Xλ , def´ınase f (x, λ) = fλ (x). Esta función está bien definida, pues x ∈ Xλ ). Si hubiera un conjunto X y funciones jλ : Xλ −→ X que satisfacen (UA), es decir, tales que dadas cualesquiera funciones fλ : Xλ −→ Y , hay una función u ńica f : X −→ Y tal que f ◦ jλ = fλ , entonces hay ⨿ una función biyectiva ψ : λ∈Λ Xλ −→ X tal que ψ ◦ iλ = jλ . Esto puede verificarse fácilmente usando (UA) para cada una de las familias de funciones iλ y jλ . Dejamos los detalles como ejercicio para el lector. ⊔ ⊓

´ SUMA TOPOLOGICA

135

De manera análoga al caso del producto, tenemos la siguiente propiedad de asociatividad de la unión ajena. IV.4.2 Teorema. Sea Xλ , λ ∈ Λ, una familia (no vac´ıa) de conjuntos no vac´ıos. Sup´ ongase que se tiene una partici´ on del conjunto Λ por subconjuntos Λi , i ∈ I. Entonces hay una equivalencia can´ onica   ⨿ ⨿ ⨿ ≈  Xλ  −→ Xλ . i∈I

λ∈Λi

λ∈Λ

La demostraci´ on es dual a la de IV.3.2, y queda como ejercicio para el lector. ⊔ ⊓ Pasaremos ahora al caso topológico, suponiendo que tenemos una ⨿ familia {Xλ | λ ∈ Λ} de espacios topológicos. Deseamos dotar a λ∈Λ Xλ de una topolog´ıa tal que las siguientes dos condiciones se cumplen: ⨿ (i) La inclusión iλ : Xλ −→ λ∈Λ Xλ es continua para toda λ ∈ Λ. (ii) Dada una aplicación continua fλ : Xλ −→ Y para cada λ ∈ Λ, ⨿ la función f : λ∈Λ Xλ −→ Y tal que f ◦ iλ = fλ también es continua. Primeramente nos ocuparemos de la condición (i) considerando la siguiente pregunta: Dado un conjunto X y para cada λ ∈ Λ una función iλ : Xλ −→ X, ¿cuál es la topolog´ıa más fina en X que hace continuas a todas las iλ ? Esta topolog´ıa es claramente el ´ınfimo de todas las topolog´ıas en X coinducidas por cada iλ . Consideraremos, particu⨿ larmente, el siguiente caso. Sea X = λ∈Λ Xλ la unión ajena de los espacios Xλ considerada como un conjunto, y sea iλ : Xλ −→ X la inclusión. En este caso, la pregunta formulada arriba da origen al problema que queremos estudiar, es decir, ¿cuál es la máxima topolog´ıa en la unión ajena tal que las inclusiones se vuelven continuas? Esto nos llevará a la definicición de la suma topológica. ´ n. Sea Xλ una colección de espacios topológicos y IV.4.3 Definicio ⨿ considérese su unión ajena X = λ∈Λ Xλ . Entonces la topolog´ıa de

136


⨿ la suma en X es el ´ınfimo de todas las topolog´ıas en X = λ∈Λ Xλ coinducidas por las inclusiones iλ , y a X con esta topolog´ıa se le llama suma topol´ ogica de la familia de las Xλ , y se le denota usualmente como ⨿ X .. ıa tiene como base la colección de conjuntos de λ∈Λ λ Esta topolog´ la forma ⨿ (IV.4.4) Qλ × {λ} ⊂ Xλ , λ∈Λ

donde Qλ es abierto en Xλ , λ ∈ Λ. Ya que los abiertos en la topolog´ıa de la suma están coinducidos por ⨿ ∪ todas las iµ : Xµ −→ λ∈Λ Xλ y son claramente de la forma Aλ con Aλ = ∅ or Aλ = Xλ , λ ̸= µ y Aµ es abierto en Xµ , tenemos el siguiente teorema, en el que suponemos que cada espacio Xλ es un subconjunto ⨿ de la suma topológica λ∈Λ Xλ . IV.4.5 Teorema. Sea {Xλ } una familia de espacios topol´ ogicos. Un ⨿ conjunto A es abierto en en la topolog´ıa de la suma de λ∈Λ Xλ si y s´ olo si el conjunto A ∩ Xλ es abierto en Xλ para toda λ ∈ Λ. As´ı, la topolog´ıa de la suma es tal que la topolog´ıa dada en cada Xλ resulta ser la topolog´ıa relativa. ⊔ ⊓ El teorema anterior es equivalente al siguiente. IV.4.6 Teorema. Sea {Xλ } una familia de espacios topol´ ogicos. Un ⨿ conjunto A es cerrado en la topolog´ıa de la suma de λ∈Λ Xλ si y s´ olo si el conjunto A ∩ Xλ es cerrado en Xλ para toda λ ∈ Λ. ⊔ ⊓ De IV.4.5 y IV.4.6 se obtiene la siguiente consecuencia inmediata. IV.4.7 Corolario. Cada subespacio Xλ es abierto y cerrado en ⨿ ⊔ ⊓ λ∈Λ Xλ . ´ n. En el caso de que Λ sea finito, digamos Λ = {1, . . . , k}, se Notacio ⨿ suele denotar a λ∈Λ Xλ simplemente por X1 ⊔ · · · ⊔ Xk . ´ n. Por simplicidad, dada una suma topológica IV.4.8 Observacio ⨿ λ∈Λ Xλ consideraremos los sumandos Xλ estrictamente como subespacios de la suma topológica.

´ SUMA TOPOLOGICA

137

Los resultados anteriores hacen la condición (i) clara, pues cada ⨿ iλ : Xλ −→ λ∈Λ Xλ es continua. Probaremos ahora que la suma topológica también satisface la condición (ii). IV.4.9 Proposici´ on. Sea Xλ , λ ∈ Λ, una familia de espacios topol´ ogicos y sea fλ : Xλ −→ Y una familia de aplicaciones continuas. ⨿ Entonces la u ńica aplicaci´ on f : λ∈Λ Xλ −→ Y tal que f ◦ iλ = fλ , es continua. Demostraci´ on: Tómese un abierto B ⊆ Y y considérese f −1 (B) ⊂ ⨿ λ∈Λ Xλ . Para verificar que este conjunto es abierto, tenemos que −1 (B) = (f ◦i )−1 (B) = tomar su imagen inversa bajo cada iλ . Pero i−1 λ λ f −1 fλ (B). Ya que cada fλ es continua, esta imagen inversa es un abierto, por lo que f −1 (B) es abierto. Por tanto, f es continua. ⊔ ⊓ IV.4.10 Ejemplo. Cualquier espacio discreto es la suma topológica de sus puntos. ∪ IV.4.11 Teorema. Sea X un espacio topol´ ogico, tal que X = Xλ con Xλ ∩ Xµ = ∅ si λ ̸= µ. Entonces X es la suma topol´ ogica de las Xλ si y s´ olo si cada Xλ es abierto en X. ⊔ ⊓ La versi´ on para cerrados es válida sólo si Λ es finito. ogico, tal que IV.4.12 Teorema. Sea Λ finito y sea X un espacio topol´ ∪ X = Xλ con Xλ ∩Xµ = ∅ si λ ̸= µ, entonces X es la suma topol´ ogica de las Xλ si y s´ olo si cada Xλ es cerrado en X. ⊔ ⊓ IV.4.13 Nota. Si Λ es infinito, el teorema es falso. Por ejemplo, si Λ = ∪ R, R es unión de todos sus puntos, R = x∈R {x}, que son cerrados, sin embargo R no es la suma topológica de sus puntos, pues no es discreto. Dualmente a IV.3.17, se tiene la siguiente propiedad universal que caracteriza la suma topológica. ⨿ ogica λ∈Λ Xλ junto con sus incluIV.4.14 Teorema. La suma topol´ ⨿ siones iλ : Xλ −→ λ∈Λ Xλ est´ a caracterizada por el hecho de que las inclusiones son continuas para toda λ y por la siguiente propiedad:

138


(ST) Para toda familia {fλ : Xλ −→ Y | λ ∈ Λ} de aplicaciones ⨿ continuas, existe una u ńica aplicaci´ on continua f : λ∈Λ Xλ −→ Y tal que f |Xλ = f ◦ iλ = fλ . En un diagrama, fλ

Xλ iλ

⨿

u

u

u

u

/Y u:

f

λ∈Λ Xλ .

f es continua ⇔ fλ es continua ∀λ La demostraci´ on es totalmente dual a la demostración del teorema IV.3.17 y queda para el lector. ⊔ ⊓ De manera análoga al producto topológico, se tiene la propiedad de asociatividad de la suma topológica. IV.4.15 Teorema. Sea Xλ , λ ∈ Λ, una familia de espacios topol´ ogicos. Sup´ ongase que se tiene una partici´ on del conjunto Λ por subconjuntos Λi , i ∈ I. Entonces hay un homeomorfismo can´ onico   ⨿ ⨿ ⨿ ≈  Xλ . Xλ  −→ i∈I

λ∈Λi

λ∈Λ

⊔ ⊓ IV.4.16 Ejemplos. (a) Una unión de intervalos abiertos ajenos o una unión finita de intervalos cerrados ajenos en R es una suma topológica. ⨿ (b) Q = k∈Z (k + t, k + 1 + t)Q , donde t es irracional y (a, b)Q = (a, b) ∩ Q, a, b ∈ R, es decir, Q se puede expresar de muy diversas maneras como suma topológica de intervalos (abiertos). Sin embargo, Q no es la suma topológica de todos sus puntos, pues si lo fuera, entonces ser´ıa discreto, y no lo es. Tómese un espacio topológico X y una familia de subespacios cerrados A1 , ..., Ak que cubren a X. Llamemos ιi : Ai ,→ X a la aplicación inclusión. Nótese que ιi es una aplicación cerrada. Podemos recuperar X de sus subespacios como sigue.

´ SUMA TOPOLOGICA

139

IV.4.17 Proposici´ on. Considérese la suma topol´ ogica A1 ⊔ · · · ⊔ Ak y def´ınase una relaci´ on de equivalencia tal que Ai ∋ x ∼ y ∈ Aj si y s´ olo ′ si ιi (x) = ιj (y) ∈ X. Entonces el espacio cociente X = A1 ⊔· · ·⊔Ak / ∼ es homeomorfo a X. Demostraci´ on: Considérese la aplicación p : A1 ⊔· · ·⊔Ak −→ X tal que p|Ai = ιi . La aplicación es claramente suprayectiva, pues los conjuntos Ai forman una cubierta. Además p es una aplicación cerrada. A saber, si C ⊂ A1 ⊔ · · · ⊔ Ak es cerrada, entonces Ci = C ∩ Ai es cerrado en Ai . Se tiene que p(C) = ι1 (C1 ) ∪ · · · ∪ ιk (Ck ), el cual es un conjunto cerrado, pues ιi es una aplicación cerrada y por tanto ιi (Ci ) ⊂ X es cerrado. En consecuencia, p es una identificación. Se tiene claramente el siguiente diagrama conmutativo: A1 ⊔ · · · ⊔MAk l MMM lll l MMpM l l l MMM lll l l M& u l A1 ⊔ · · · ⊔ Ak / ∼ _ _ _ _ _φ _ _ _ _ _ _ _/ X . q

La aplicación φ es claramente biyectiva y ya que tanto p como q son identificaciones, φ es un homeomorfismo. ⊔ ⊓ Para subespacios abiertos hay un resultado similar. La hipótesis de finitud no es necesaria en este caso. Si {Aλ } es una familia arbitraria de subespaicos abiertos que cubren X, entonces podemos recobrar X. Sea ιλ : Aλ ,→ X la aplicación inclusión. Nótese que ιλ es una aplicación abierta. El siguiente resultado puede demostrarse de manera similar al anterior. ⨿ IV.4.18 Proposici´ on. Considérese la suma topol´ ogica λ Aλ y def´ınase una relaci´ on de equivalencia tal que Aλ ∋ x ∼ y ∈ Aµ si y s´ olo ⨿ ′ si ιλ (x) = ιµ (y) ∈ X. Entonces el espacio cociente X = λ Aλ / ∼ es homeomorfo a X. ⊔ ⊓ Considérese el sistema dirigido de aplicaciones entre espacios topológicos (IV.4.19)

j2

j3

n+1 jn

1 2 X 1 −→ X 2 −→ X 3 −→ · · · −→ X n −→ X n+1 −→ · · ·


140

y tómese el siguiente cociente de la suma topológica ⨿ X= X n/ ∼ , n

donde ∋ x∼ cociente. Xn

jnn+1 (x)

∈

X n+1 .

Sea q :

⨿

nX

n

−→ X la aplicación

IV.4.20 Proposici´ on. A ⊂ X es cerrado si y s´ olo si q −1 (A) ∩ X n es cerrado para toda n. Demostraci´ on: A es cerrado en X si y sólo si q −1 (A) es cerrado en ⨿ n olo si q −1 (A) ∩ X n es cerrado n X , lo cual, a su vez, es cierto si y s´ en X n para toda n. ⊔ ⊓ ´ n. Al espacio X definido arriba se le llama col´ımite IV.4.21 Definicio del sistema dirigido (IV.4.19) y se le denota por col´ımn X n .2 Este espacio está provisto de aplicaciones jn : X n −→ col´ımn X n , definidas como la composición de la inclusión canónica en la unión ajena y la aplicación cociente; a saber, ⨿ q n / / / col´ım n X n . jn : X n nX Estas aplicaciones satisfacen jm ◦ jnm = jn : X n −→ col´ımn X n , donde m jnm = jm−1 ◦ · · · ◦ jnn+1 : X n −→ X m , m > n. El col´ımite tiene la siguiente propiedad universal que, como siempre, lo caracteriza. IV.4.22 Teorema. Sea {fn : X n −→ Y | n ≥ 1} una familia de aplicaciones, tales que fn+1 ◦ jnn+1 = fn : X n −→ Y para toda n ≥ 1 o, equivalentemente, fm ◦ jnm = fn : X n −→ Y para toda m > n ≥ 1. Entonces existe una u ńica aplicaci´ on f : col´ımn X n −→ Y , tal que f ◦ jn = fn . En un diagrama Xn fn

jn

ys s

s

/ col´ımn X n s s

f

Y.

f es continua ⇔ fn es continua ∀n. 2 Algunos

autores lo llaman l´ımite directo y lo denotan por lim X n o dir l´ım X n . −→

´ SUMA TOPOLOGICA

141

Demostraci´ on: Por la propiedad universal de la suma topológica IV.4.14, ⨿ existe una u ńica aplicación f ′ : n X n −→ Y , tal que f ′ |X n = fn . Ya que fn+1 ◦ jnn+1 = fn , f ′ (jnn+1 (xn )) = f ′ (xn ), por lo que, por la ⨿ propiedad universal del cociente IV.2.22, existe una u ńica f : n X n / ∼ = col´ımn X n −→ Y tal que conmuta el diagrama ⨿

nX

f′

n

q

/ col´ımn X n q qq

q xq q f

Y.

⊔ ⊓

Esta aplicación f es la buscada.

IV.4.23 Ejercicio. Probar que la propiedad del espacio col´ımn X n expresada en IV.4.22 caracteriza el col´ımite. IV.4.24 Ejercicio. Probar que si se tiene un sistema dirigido j2

j3

n+1 jn

1 2 X 1 −→ X 2 −→ X 3 −→ · · · −→ X n −→ X n+1 −→ · · · ,

entonces la topolog´ıa de col´ımn X n es la más fina que hace continuas las aplicaciones jn : X n −→ col´ımn X n . (Sugerencia: Si X = col´ımn X n tiene una topolog´ıa más fina, que hace continuas las aplicaciones jn , entonces por IV.4.22, id : col´ımn X n −→ X es continua, por lo que la topolog´ıa de X es más gruesa que la de col´ımn X n .) Si tenemos en particular que X 1 ⊂ X 2 ⊂ X 3 ⊂ · · · ⊂ X n ⊂ X n+1 ⊂ · · · es una cadena de inclusiones cerradas de espacios topológicos, definimos ∪ su uni´ on n≥1 X n como la unión de los conjuntos X n y su topolog´ıa ∪ declarando un subconjunto C ⊂ n≥1 X n como cerrado si y sólo si su intersección C ∩ X n es cerrada en X n para cada n ≥ 1. A esta topolog´ıa la llamaremos topolog´ıa de la uni´ on; frecuentemente se le conoce también como topolog´ıa débil respecto a los subespacios. IV.4.25 Ejercicio. Probar que la unión tiene la propiedad universal siguiente. Si se tiene una familia {fn : X n −→ Y | n ≥ 0} de aplicaciones continuas, tales que fn+1 |X n = fn : X n −→ Y , entonces existe

142


∪ n una u ńica aplicación f : X −→ Y , tal que f |X n = fn : X n −→ Y . En un diagrama conmutativo escribimos esto como ∪ n / Xn n≥1 X fn

zu

u

u

u

u

f

Y. ∪ Concluir que, en este caso, n X n ≈ col´ımn X n y exhibir un homeomorfismo expl´ıcito. IV.4.26 Ejemplos. (a) Si se toma la cadena de inclusiones de espacios euclidianos

R1 ,→ R2 ,→ R3 ,→ · · · ,→ Rn ,→ Rn+1 ,→ · · · . se define el espacio euclidiano de dimensi´ on infinita, R∞ , como la ∪ n unión n R con la topolog´ıa de la unión. Este espacio consta de las sucesiones (xn )n∈N casi nulas, es decir, tales que para alguna n0 , xn = 0 si n ≥ n0 . (b) Las inclusiones de (a) inducen una cadena de inclusiones de esferas S0 ,→ S1 ,→ S2 ,→ · · · ,→ Sn−1 ,→ Sn ,→ · · · . ∪ Se define la esfera de dimensi´ on infinita S∞ como la unión n Sn con la topolog´ıa de la unión. S∞ es subespacio de R∞ (ejercicio). (c) Si tomamos los espacios proyectivos reales definidos en IV.2.17(d), las inclusiones de (b) inducen una cadena de inclusiones {∗} = RP0 ,→ RP1 ,→ RP2 ,→ · · · ,→ RPn−1 ,→ RPn ,→ · · · . Se define el espacio proyectivo real de dimensi´ on infinita RP∞ ∪ n como la unión n RP con la topolog´ıa de la unión. (d) Análogamente a (a), podemos tomar la cadena de inclusiones canónicas de los espacios complejos

C1 ,→ C2 ,→ C3 ,→ · · · ,→ Cn ,→ Cn+1 ,→ · · · .

´ SUMA TOPOLOGICA

143

Entonces definimos el espacio complejo de dimensi´ on infinita como ∪ la unión n Cn con la topolog´ıa de la unión. Nuevamente, este espacio consiste en las sucesiones casi nulas (zn )n∈N . Ya que topológicamente Cn = R2n , es un sencillo ejercicio probar que C∞ = R∞ . (e) De manera análoga a (b), las inclusiones de (d) inducen una cadena de inclusiones de esferas

S1 ,→ S3 ,→ S5 ,→ · · · ,→ S2n−1 ,→ S2n+1 ,→ · · · . La unión de esta cadena es nuevamente la esfera de dimensión infinita S∞ (ejercicio). (f) Si tomamos los espacios proyectivos complejos definidos en IV.2.17(f), las inclusiones de (e) inducen una cadena de inclusiones {∗} = CP0 ,→ CP1 ,→ CP2 ,→ · · · ,→ CPn−1 ,→ CPn ,→ · · · . Definimos el espacio proyectivo complejo de dimensi´ on infinita ∪ CP∞ como la unión n CPn con la topolog´ıa de la unión. IV.4.27 Ejercicio. Ya que las inclusiones Rn ⊂ Rn+1 son inclusiones de espacios vectoriales, se tiene claramente que el espacio R∞ posee una estructura de espacio vectorial. Más a´ un, la esfera de dimensión infinita es un subespacio de él, es decir, S∞ ⊂ R∞ y, as´ı, tiene sentido pensar en el elemento −x para cada x ∈ S∞ . Además, si x ∈ S∞ , entonces −x ∈ S∞ . Si se declara en S∞ la relación de equivalencia ∼, tal que x ∼ −x, probar que

RP∞ = S∞ / ∼ . IV.4.28 Ejercicio. Ya que las inclusiones Cn ⊂ Cn+1 son inclusiones de espacios vectoriales complejos, el espacio C∞ tiene claramente una estructura canónica de espacio vectorial complejo. Más a´ un, como en el ejercicio anterior, la esfera de dimensión infinita es un subespacio de él, es decir, S∞ ⊂ C∞ , y as´ı, tiene sentido considerar el elemento λx para cada x ∈ S∞ y λ ∈ S1 . Además, si x ∈ S∞ , entonces λx ∈ S∞ .

144


Si declaramos una relación de equivalencia en S∞ por x ∼ λx, λ ∈ S1 , probar que CP∞ = S∞ /∼ . Concluir que hay una aplicación canónica

RP∞ −→ CP∞ . Más adelante, en el cap´ıtulo V., veremos el concepto más general de col´ımite de un diagrama de espacios topológicos. IV.4.29 Ejercicio. Considérese la suma topológica de dos copias del semiespacio Rn+ = {x = (x1 , · · · , xn ) ∈ Rn | xn ≥ 0} e identif´ıquense los subespacios Rn−1 de cada copia v´ıa la identidad. Probar que el espacio cociente obtenido es homeomorfo a Rn .

V.

LÍMITES Y COLÍMITES

Los conceptos de l´ımite y col´ımite tiene un papel muy importante en al topolog´ıa, pues muchos de los espacios relevantes se construyen como l´ımites o col´ımites de diagramas de espacios dados. Ya hemos analizado algunos casos especiales en IV.3.30 y IV.4.21 y muchos otros que fueron estudiados en el cap´ıtulo anterior son, en realidad, l´ımites o col´ımites. En este cap´ıtulo estudiaremos los casos más generales de l´ımites y col´ımites de diagramas de espacios topológicos y obtendremos como casos particulares los ya analizados. V.1

Diagramas

´ n. Una digr´ V.1.1 Definicio afica o gr´ afica dirigida consiste en un conjunto de vértices V = {a, b, c, . . . } y un conjunto de aristas orientadas A = {α, β, γ, . . . }. En otras palabras, se tienen dos funciones dom, cod : A −→ V ; llamamos a dom(α) el dominio de la arista α y a cod(α) el codominio de α y, si dom(α) = a y cod(α) = b, escribimos α : a −→ b, de modo que la digráfica D podemos visualizarla como las ilustradas en la figura V.1.

Figura V.1: Digráficas

145

146


Las digráficas nos van a servir como modelos para diagramas de espacios topológicos. ´ n. Sea D una digráfica con vértices V y aristas orienV.1.2 Definicio tadas A. Un D-diagrama o un diagrama modelado por D es una colección de espacios topológicos {Xa | a ∈ V } y para cada arista orientada α : a −→ b de A, una aplicación continua hα : Xa −→ Xb . As´ı, un D-diagrama es un diagrama de espacios topológicos dispuestos seg´ un la geometr´ıa de D. ´ n. Sea D una digráfica con vértices V y aristas A. V.1.3 Definicio Una D-fuente consta de un espacio topológico Y , un D-diagrama de espacios X = {Xa , hα | a ∈ V, α ∈ A} y, para cada a ∈ V , una aplicación fa : Y −→ Xa , tales que para cada arista α ∈ A, α : a −→ b, hα ◦ fa = fb . Se denota a la D-fuente como f : Y −→ X . Se dice que la D-fuente es terminal si para cualquier otra D-fuente g : Z −→ X existe una u ńica aplicación g : Z −→ Y , tal que para cada vértice a ∈ V , fa ◦ g = ga . ∏ Sea X un D-diagrama y tómese X ′ = a∈V Xa , junto con las ′ proyecciones pa : X −→ Xa . En general, no se tiene que si α : a −→ b es una arista en D, hα ◦ pa = pb , de modo que consideremos el subespacio X de X ′ dado por ∏ X = {(xa ) ∈ Xa | hα (a) = b ∀ α : a −→ b, α ∈ A} . a∈V

Entonces las aplicaciones ha : X −→ Xa dadas por ha = pa |X , determinan una D-fuente h : X −→ X . V.1.4 Proposici´ on. La D-fuente h : X −→ X recién construida es terminal. Demostraci´ on: Sea f : Y −→ X una D-fuente arbitraria. Es decir, se tienen aplicaciones fa : Y −→ Xa , por lo que podemos definir una ∏ aplicación u ńica f ′ : Y −→ X ′ = a∈V Xa , tal que pa ◦ f ′ = fa , donde pa es la proyección sobre el factor a; sin embargo, ya que hα ◦ fa = fb ,

DIAGRAMAS

147

para toda y ∈ Y se tiene que hα (fa (y)) = fb (y), es decir, el punto (fa (y))a∈V del producto yace realmente en X; en otras palabras, y 7→ (fa (y))a∈V determina una u ńica aplicación f : Y −→ X , tal que ha ◦ f = pa ◦ f ′ = fa : Y −→ Xa , lo que demuestra que la D-fuente h : X −→ X es terminal. ⊔ ⊓ Tenemos el concepto dual al de una D-fuente. ´ n. Sea D una digráfica con vértices V y aristas A. Un V.1.5 Definicio D-sumidero consta de un D-diagrama de espacios X = {Xa , hα | a ∈ V, α ∈ A}, un espacio topológico Y y, para cada a ∈ V , aplicaciones f a : Xa −→ Y , tales que para cada arista α ∈ A, α : a −→ b, f b ◦ hα = f a . Se denota al D-sumidero como f : X −→ Y . Se dice que el D-sumidero es inicial, si para cada otro D-sumidero g : X −→ Z existe una u ńica aplicación g : Y −→ Z, tal que para cada vértice a ∈ V , g ◦ f a = g a . Es decir, tal que el diagrama 8 Y qqq q q q g Xa MM MMM M ga & fa

Z

es conmutativo para toda a ∈ V . ⨿ Sea X un D-diagrama y tómese X ′ = a∈V Xa , junto con las inclusiones j a : Xa −→ X ′ . En general, no se tiene que si α : a −→ b es una arista en D, j b ◦ hα = j a , de modo que consideremos el cociente X de X ′ , tal que ⨿ X= Xa /∼ , a∈V

donde ∼ para cada arista α : a −→ b, α ∈ A. Sea ′ q : X −→ X la identificación, entonces las aplicaciones ha : Xa −→ X, tales que ha = q ◦ j a , determinan un D-sumidero h : X −→ X. j a (xa )

j b (hα (xa ))

V.1.6 Proposici´ on. El D-sumidero h : X −→ X recién construido es inicial.

148


Demostraci´ on: Sea f : X −→ Y un D-sumidero arbitrario. Es decir, hay aplicaciones f a : Xa −→ Y , por lo que podemos definir una u ńica ⨿ ′ ′ ′ a a aplicación f : X = a∈V Xa −→ Y , tal que f ◦ i = f , donde ia es la inclusión en el sumando a. Sin embargo, ya que f b ◦ hα = f a , para toda xa ∈ Xa , y toda a se tiene que f b (hα (xa )) = f a (xa ), es decir, f ′ identifica xa con hα (xa ), por lo que factoriza a través de q y, por tanto, determina una u ńica aplicación f : X −→ Y , tal que f ◦ ha = f ′ ◦ ia = f a : Xa −→ Y , lo que demuestra que el D-sumidero h : X −→ X es inicial. ⊔ ⊓

V.2

L´ımites

Utilizaremos el concepto de D-fuente para definir el concepto general de l´ımite. ´ n. Sea X un D-diagrama de espacios topológicos; a V.2.1 Definicio una D-fuente terminal h : X −→ X se le llama l´ımite y se le denota por h : l´ım X −→ X o h : l´ımD Xa −→ X . Por simplicidad, también se le llama l´ımite al propio espacio l´ım X .1 En V.1.4 probamos la existencia del l´ımite. De hecho, el l´ımite es u ńico y está caracterizado por la propiedad universal de ser terminal. V.2.2 Teorema. Sea X un D-diagrama. Entonces su l´ımite h : l´ım X −→ X existe y est´ a caracterizado en forma u ńica por ser una D-fuente terminal. Demostraci´ on: La existencia quedó establecida en V.1.4. Veamos ahora que dos D-fuentes terminales f : Y −→ X y g : Z −→ X cualesquiera son isomorfas. Ya que f : Y −→ X es terminal, existe una u ńica aplicación g : Z −→ Y , tal que fa ◦ g = ga para toda a ∈ V . Análogamente, por ser 1 Algunos

autores lo llaman el l´ımite inverso.

LÍMITES

149

g : Z −→ X terminal, existe una u ńica aplicación f : Y −→ Z, tal que ga ◦ f = fa para toda a ∈ V ; en un diagrama

f

YX D . ) DDD fa DD DD $ ! g X a . $ z= z ) zz . zzz ga z Z

Ya que los diagramas siguientes conmutan con la composición y la identidad, respectivamente

g◦f

Y C . ) CCC fa CC CC $ ! idY X , $ = a {{ ) { { . {{{ fa {

f ◦g

ZC . ) CCC ga CC CC $ ! idZ X a , $ {= { ) {{ . {{{ ga { Z

Y

se tiene, por la unicidad de las aplicaciones en las fuentes terminales, que g ◦ f = idY y f ◦ g = idZ . ⊔ ⊓ V.2.3 Ejercicio. Probar que la topolog´ıa de l´ım X es la más gruesa que hace continuas las aplicaciones ha : l´ım X −→ Xa , a ∈ V . ´ n. Sean f : X ′ −→ X y p : E −→ X aplicaciones V.2.4 Definicio continuas. Definimos el espacio E ′ = {(x′ , e) | f (x′ ) = p(e)} ⊂ X ′ × E, con la topolog´ıa de subespacio del producto topológico, y las aplicaciones F : E ′ −→ E y p′ : E ′ −→ X ′ dadas por F = proyX ′ |E ′ y p′ = proyE |E ′ . El diagrama conmutativo E′ p′

F

/E p

X′

f

/ X′

se llama cuadrado cartesiano o diagrama de ‘pullback’ (Cf. VIII.4.19.)

150


V.2.5 Ejercicio. Probar que la terna (E ′ ; p′ , F ) está caracterizada en forma u ńica por la siguiente propiedad universal. (PB) Si q : Z −→ X ′ y G : Z −→ E son aplicaciones tales que p ◦ G = f ◦ q, entonces existe una u ńica aplicación H : Z −→ E ′ tal que ′ p ◦ H = q y F ◦ H = G. En un diagrama ZA

A

G H

A

A

q

E′

F

p′

/E p

"

X′

f

/ X′ .

En otras palabras, la terna (E ′ ; p′ , F ) es universal entre las ternas (Z; q, G). Concluir que (E ′ ; p′ , F ) es el l´ımite del diagrama E X′

V.3

f

p

/ X′ .

Col´ımites

A lo largo del cap´ıtulo IV. hemos manejado tácitamente una dualidad entre conceptos: subespacios y cocientes, productos topológicos y sumas topológicas, l´ımites y col´ımites de sistemas dirigidos, etcetera. En la sección anterior analizamos el concepto de l´ımite de un D-diagrama que, por definición, fue una cierta D-fuente terminal; su concepto dual será el de col´ımite de un D-diagrama, que será cierto D-sumidero inicial (véase V.1.5). ´ n. Sea X un D-diagrama de espacios topológicos; a un V.3.1 Definicio D-sumidero inicial h : X −→ X se le llama col´ımite y se le denota por h : X −→ col´ım X o h : X −→ col´ımD Xa . Por simplicidad, también se le llama col´ımite al propio espacio col´ım X .2 2 Algunos

autores lo llaman el l´ımite directo.

COLÍMITES

151

En V.1.6 probamos la existencia del col´ımite. De hecho, el col´ımite es u ńico y está caracterizado por la propiedad universal de ser inicial. V.3.2 Teorema. Sea X un D-diagrama. Entonces su col´ımite h : X −→ col´ım X existe y est´ a caracterizado en forma u ńica por ser un D-sumidero inicial. Demostraci´ on: La existencia quedó establecida en V.1.4. Veamos ahora que dos D-sumideros iniciales f : X −→ Y y g : X −→ Z cualesquiera son isomorfos. Ya que f : X −→ Y es inicial, existe una u ńica aplicación g : Y −→ Z, tal que g ◦ f a = g a para toda a ∈ V . Análogamente, por ser g : X −→ Z inicial, existe una aplicación u ńica f : Z −→ Y , tal que f ◦ g a = f a para toda a ∈ V ; en un diagrama = YX {{ . ) { { {{ $ {{ f g Xa C CC $ CC ) C g a CC! . fa

Z.

Ya que los diagramas siguientes conmutan con la composición y la identidad, respectivamente =Y {{ . ) { { {{ $ {{ idY f ◦g Xa B BB $ BB ) B f a BB! . fa

Y,

=Z {{ . ) { { {{ $ {{ idZ g◦f Xa B BB $ BB ) B g a BB! . ga

Z,

se tiene, por la unicidad de las aplicaciones en los sumideros iniciales, ⊔ ⊓ que f ◦ g = idY y g ◦ f = idY . V.3.3 Ejercicio. Probar que la topolog´ıa de col´ım X es la más fina que hace continuas las aplicaciones ha : Xa −→ col´ım X , a ∈ V .

152


´ n. Sean f : X −→ X ′ y g : X −→ Y aplicaciones V.3.4 Definicio continuas. Se definen el espacio Y ′ = Y ⊔ X ′ / ∼, donde g(x) ∼ f (x), con la topolog´ıa cociente coinducida por la de la suma topológica, y las aplicaciones F : Y −→ Y ′ y g ′ : X ′ −→ Y ′ , tales que F = q ◦ iY y g = q ◦ iX ′ , donde q : Y ⊔ X ′ −→ Y ′ es la aplicación cociente e iY , iX ′ son las correspondientes inclusiones. Al diagrama conmutativo f

X

/ X′

g

Y

g′

/Y′

F

se le llama cuadrado cocartesiano o diagrama de pushout. (Compárese con la definición de doble espacio de adjunción V.4.1 al principio de la siguiente sección.) V.3.5 Ejercicio. Probar que la terna (F, g ′ ; Y ′ ) está caracterizada en forma u ńica por la propiedad universal siguiente. (PO) Si G : Y −→ Z y h : X ′ −→ Z son aplicaciones, tales que h ◦ f = G ◦ g, entonces existe una u ńica aplicación H : Y ′ −→ Z, tal que H ◦ F = G y H ◦ g ′ = h. En un diagrama f

X

/ X′

g

Y

g′

/Y′

F

h

C

C

G

CH

C! /Z.

Es decir, la terna (F, g ′ ; Y ′ ) es universal entre las ternas (G, h; Z). Concluir que (F, g ′ ; Y ′ ) es el col´ımite del diagrama X g

Y.

f

/ X′

CONSTRUCCIONES ESPECIALES

V.4

153

Construcciones especiales

Tómese la digráfica D:

bo

α

a

β

/c

y sea X un D-diagrama arbitrario, digamos Xb o

fα

Xa

fβ

/ Xc .

Por simplicidad, llamemos A = Xa , X = Xb y Y = Xc ; además, f = fα y g = fβ , es decir, tenemos el diagrama X :

Xo

f

A

g

/Y .

´ n. El doble espacio de adjunci´ V.4.1 Definicio on se define como el espacio col´ım X , al que denotamos como Yg ∪f X, que esquemáticamente se ve como en la figura V.2. Es decir, Yg ∪f X = X ⊔ Y /f (a) ∼ g(a) , a ∈ A .

´ n. El doble espacio de adjunción no es otra cosa que V.4.2 Observacio la construcción que hicimos en V.3.4, al final de la sección anterior, para definir el concepto de diagrama cocartesiano. Por tal razón, a Yg ∪f X puede llamársele también el pushout de (f, g). V.4.3 Ejemplos. (a) Si A ⊂ Y y g : A ,→ Y es la inclusión, entonces a Yg ∪f X se le llama espacio de adjunci´ on de f y se denota más simplemente como Y ∪f X. (b) Si A = ∅, Yg ∪f X = X ⊔ Y . (c) Si A ⊂ X, Y = {∗} y f : A ,→ X, entonces Yg ∪f X = X/A.


154 X

f A

g

Yg ∪f X

Y

Figura V.2: El doble espacio de adjunción f

g

/Y y V.4.4 Ejercicio. Considérense las aplicaciones X o A su doble espacio de adjunción Yg ∪f X. Probar que Yg ∪f X es en efecto un pushout. A saber, probar que está caracterizado por la siguiente propiedad: Dadas aplicaciones φ : X −→ Z y ψ : Y −→ Z tales que φ ◦ f = ψ ◦ g, existe una aplicación u ńica ξ : Yg ∪f X −→ Z tal que ξ ◦ i = φ y ξ ◦ j = ψ, donde i : X −→ Yg ∪f X y j : Y −→ Yg ∪f X son las inclusiones. (Compárese con el ejercicio V.3.5.)

La construcción espacio de adjunción es una construcción muy importante, ya que con ella se pueden obtener construcciones asociadas, que tienen un papel relevante en varias ramas de la topolog´ıa. Varias de ellas se basan en un cierto espacio asociado a un espacio topológico dado, que definiremos a continuación. ´ n. Sea f : X −→ Y continua y tómese el diagrama V.4.5 Definicio X ×I o

i0

? _X

f

/Y ,

donde i0 (x) = (x, 0). Al espacio de adjunción Y ∪f (X × I) se le llama el cilindro de aplicaci´ on de f y se le denota por Mf .


155

ZX f Y Mf

Figura V.3: El cilindro de aplicación Si Y = X y f = idX , entonces Mf = X × I, al cual se le llama cilindro sobre X y se le denota por ZX. Al espacio cociente del cilindro sobre X, al que se le identifica en un punto la tapa superior ZX/X × {1} = X × I/X × {1} se le llama cono sobre X y se le denota por CX. Hay una inclusión natural X ,→ CX, dada por x 7→ q(x, 0), donde q : ZX −→ CX es la aplicación cociente. ´ n. Sea f : X −→ Y continua y tómese el diagrama V.4.6 Definicio CX o

? _X

f

/Y .

Al espacio de adjunción Y ∪f CX se le llama el cono de aplicaci´ on de f y se le denota por Cf . V.4.7 Ejercicio. Probar que C Sn−1 ≈ Bn . A continuación definiremos un espacio derivado de un espacio dado que juega un papel importante en la topolog´ıa algebraica, principalmente en la teor´ıa de homotop´ıa. ´ n. Sea Y = ∗. Al cono de aplicación de f : X −→ ∗, V.4.8 Definicio ∗ ∪f CX, se le llama suspensi´ on de X y se le denota por ΣX. V.4.9 Ejercicio. Probar que la suspensión de un espacio X coincide con el cociente del cilindro ZX = X × I que se obtiene de identificar la tapa superior X × {1} en un punto y la tapa inferior X × {0} en otro punto.


156

CX f Y Cf

Figura V.4: El cono de aplicación

X

ΣX

Figura V.5: La suspensión V.4.10 Ejercicio. Probar que la suspensión de un espacio X es homeomorfa al doble espacio de adjunción correspondiente al diagrama CX o

? _X

/ CX ,

o equivalentemente al cono de la inclusión X ,→ CX. Otra construcción interesante es la siguiente. ´ n. Sea f : X −→ X continua. Al espacio cociente V.4.11 Definicio del cilindro sobre X, ZX, que resulta de identificar la tapa inferior con la superior, a través de la identificación (x, 0) ∼ (f (x), 1), se le llama toro de aplicaci´ on y se le denota por Tf .


157

V.4.12 Ejemplos. (a) Si f = idX : X −→ X, entonces el toro de aplicación Tf se llama toro de X y se le denota por T X. (b) Si X = I, entonces T I es la banda trivial o cilindro usual.

Figura V.6: La banda trivial (c) Si X = I y f : I −→ I es tal que f (t) = 1 − t, entonces Tf es la banda de Moebius.

Figura V.7: La banda de Moebius (d) Si X = S1 , entonces T S1 es el toro usual y se denota por T2 .

158


Figura V.8: El toro usual

Figura V.9: La botella de Klein (e) Si X = S1 = {ζ = e2πit ∈ C | t ∈ I} y f : S1 −→ S1 es tal que f (e2πit ) = e−2πit , entonces Tf es la botella de Klein. V.4.13 Ejercicio. Probar que la banda usual es homeomorfa al espacio que se obtiene del cuadrado I × I al identificar cada punto (s, 0) con (s, 1), mientras que la banda de Moebius es homeomorfa al espacio que se obtiene del cuadrado al identificar (s, 0) con (1 − s, 1).

V.4.14 Ejercicio. Probar que el toro es homeomorfo al espacio que se obtiene del cuadrado I × I al identificar los puntos (s, 0) con (s, 1) y (0, t) con (1, t), mientras que la botella de Klein se obtiene del cuadrado


a

159

a

Figura V.10: La construcción de la banda de Moebius ´ al identificar (s, 0) con (1 − s, 1) y (0, t) con (1, t). Esta es la definición clásica de la botella de Klein. Veremos más adelante en V.4.20 una manera diferente de definirla. b

a

a

b

Figura V.11: La construcción de la botella de Klein V.4.15 Ejercicio. Probar que la botella de Klein es un cociente de la banda de Moebius. Describir la identificación. V.4.16 Ejercicio. Sea q : Sn−1 −→ RPn−1 la identificación, tal que q(x) = q(−x), y sea

Bn o

i

? _ Sn−1

Probar que RPn−1 ∪q Bn ≈ RPn .

q

/ / RPn−1 .

160


´ n. Tómese el diagrama V.4.17 Definicio

Bn o

i

? _ Sn−1

φ

//X .

El espacio de adjunción resultante X ∪φ Bn se dice que se obtiene de adjuntar una célula de dimensión n al espacio X. Frecuentemente se le ◦

n

denota como X ∪φ en . A la imagen de Bn , resp. B , en Y = X ∪φ Bn se le llama célula cerrada, resp. célula abierta de Y , y a φ aplicaci´ on caracter´ıstica de la célula de Y . V.4.18 Ejercicio. Probar que RPn se obtiene de adjuntar una célula de dimensión n a RPn−1 , con la aplicación canónica q : Sn−1 −→ RPn−1 como aplicación caracter´ıstica. Concluir que el espacio proyectivo RPn se obtiene de adjuntar sucesivamente células de dimensiones 1, 2, . . . , n al espacio singular {∗}, es decir,

RPn = {∗} ∪ e1 ∪ e2 ∪ · · · ∪ en . (Sugerencia: RPn se obtiene de Bn al identificar en su frontera Sn−1 = ∂ Bn los puntos ant´ıpodas.)

/ Bn . Probar que el espa? _ Sn−1 V.4.19 Ejercicio. Sea Bn o cio de adjunción correspondiente es homeomorfo a Sn , es decir, Sn se obtiene de Bn al adjuntar una célula de dimensión n con la inclusión como aplicación caracter´ıstica. Equivalentemente, Sn se obtiene de Sn−1 al adjuntarle dos células de dimensión n, cada una con idSn−1 como aplicación caracter´ıstica. Concluir que la n esfera se descompone como Sn = S0 ∪ (e11 ∪ e12 ) ∪ (e21 ∪ e22 ) ∪ · · · ∪ (en1 ∪ en2 ) .

El procedimiento consistente en descomponer un espacio y luego volver a armarlo como lo muestran las proposiciones IV.4.17 y IV.4.18 se llama cortar y pegar. V.4.20 Ejemplos. 1. Considérese el toro T2 encajado en el 3-espacio de tal forma que sea simétrico con respecto al origen (es decir, de modo que x ∈ T2


161

si y sólo si −x ∈ T2 , véase la figura V.12 (a)). Usando el método de cortar y pegar, mostraremos que si identificamos cada punto x ∈ T2 con su opuesto −x, entonces obtendremos una botella de Klein. El resultado de esta identificación es el mismo que si rebanamos el toro a lo largo de los ecuadores interno y externo y sólo conservamos la parte superior (cerrada), de manera que obtenemos un anillo (véase la figura V.12 (b)), y luego identificamos los puntos ant´ıpodas en el c´ırculo exterior uno con el otro, al igual que los del c´ırculo interior. Esto se marca con flechas dobles y sencillas. Ahora cortamos el anillo en dos mitades a lo largo de las l´ıneas punteadas. Salvo homeomorfismo, obtenemos dos rectángulos, en los que usamos distintos tipos de flechas para codificar lo que se ha identificado (véase la figura V.12 (c)). Se le da la vuelta al rectángulo superior (figura V.12 (d)) y se identifican las aristas marcadas con una sola flecha sólida (figura V.12 (e)). Obtenemos un cuadrado tal que después de realizar las identificaciones en él marcadas nos resulta en la botella de Klein (cf. ejercicio V.4.14).

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

Figura V.12: Cortando y pegando el toro


162

2. Considérese el cuadrado I × I e idéntifiquense los puntos de la frontera de la forma (1, t) con (1 − t, 1), y los de la forma (0, 1 − t) con (t, 0). Esto lo ilustra la figura V.13 (a), donde la arista a se identifica con la arista a′ y la arista b con la arista b′ , manteniendo la orientación levógira (cf. IV.2.25 (c)). Ahora córtese el cuadrado a lo largo de la diagonal de (0, 0) a (1, 1). Si llamamos c y c′ a las nuevas aristas, se obtienen dos triángulos con lados a, b, c y a′ , b′ , c′ orientados como lo muestra la figura V.13 (b). Podemos ahora pegar ambos triángulos a lo largo de las aristas a y a′ manteniendo las orientaciones (girando y volteando el primer triángulo), obteniendo as´ı un cuadrilátero con lados b, c, b′ , c′ mostrado en la figura V.13 (c). Claramente este cuadrilátero es homeomorfo (a través de una aplicación af´ın) al cuadrado con lados denotados igual que se muestra en la figura V.13 (d). Ahora obsérvese que en el cuadrado resultante se identifican los lados verticales con la misma orientación, es decir, (0, t) con (1, t), y los lados horizontales con la orientación opuesta, a saber, (t, 0) con (1 − t, 1). El resultado de esta u ´ltima identificación es la botella de Klein definida en V.4.14.

a′

b′

a′

a b′

b′

a

b (b)

c b

c′ c

b (a)

c

b′

c′ (c)

b

c′ (d)

Figura V.13: Cortando y pegando la botella de Klein V.4.21 Ejercicio. Usando el método de cortar y pegar, probar que el resultado de cortar una banda de Moebius a lo larco del ecuador (cf. ejemplo VI.1.39) es una banda trivial, a saber, es un espacio homeomorfo a S1 × I. Nótese que si se realiza tal corte en el 3-espacio, se

ACCIONES DE GRUPO

163

obtiene una banda con una doble torcedura, como la muestra la figura V.14.

Figura V.14: Si se corta la banda de Moebius se obtiene una banda trivial V.5

Acciones de grupo

Un aspecto interesante de la topolog´ıa es el que la vincula con el álgebra. Este v´ınculo aparece en diversas formas. Una manera importante se refiere a lo que podr´ıa llamarse la simetr´ıa de un espacio topológico, que nos lleva directamente a los or´ıgenes de la propia teor´ıa de los grupos, puesto que originalmente los grupos fueron concebidos como grupos de simetr´ıas. ´ n. Sea G un grupo finito. Se dice que G act´ V.5.1 Definicio ua en un espacio topológico X si se tiene una aplicación continua α : G × X −→ X , llamada acci´ on, con G considerado como un espacio discreto, tal que, si denotamos α(g, x) simplemente como gx, se cumplen las siguientes ecuaciones: 1x = x g1 (g2 x) = (g1 g2 )x ,

164


donde en la u ´ltima ecuación, en la izquierda, se aplica dos veces la acción del grupo, mientras que en la derecha se aplica una sola vez, después de efectuar la multiplicación dentro del grupo. V.5.2 Ejercicio. Probar que si g ∈ G, entonces la aplicación tg : X −→ X, tal que tg (x) = gx es un homeomorfismo. A esta aplicación se le llama traslaci´ on en X por el elemento g. Como lo muestra el ejercicio anterior, la acción del grupo corresponde a un conjunto de homeomorfismos del espacio en s´ı mismo, estructurados como un grupo con la composición como operación de grupo. Esto sugiere una simetr´ıa del espacio. V.5.3 Ejemplo. Sea G = Z2 el grupo con dos elementos {1, −1} y sea X = Sn , entonces se tiene un acción de grupo

Z2 × Sn −→ Sn , tal que (−1)x = −x. A esta acción se le llama acci´ on ant´ıpoda en la n-esfera. Un grupo finito determina una digráfica con un solo vértice y una arista por cada elemento del grupo, con ciertas relaciones correspondientes a la multiplicación del grupo, como se ilustra en la figura V.15. Por lo tanto, una acción del grupo en un espacio X determina un diagrama, sujeto a las mismas relaciones que la digráfica, como se ilustra en la figura V.16, que llamamos G-espacio. As´ı, el ejemplo V.5.3 es un Z2 -espacio. ´ n. Al col´ımite de un G-espacio X se le llama cociente V.5.4 Definicio de X bajo la acci´ on de G o, más simplemente, el espacio de ´ orbitas del G-espacio X. A este col´ımite se le suele denotar por X/G. V.5.5 Ejercicio. Probar que X/G es el espacio cociente de X, que resulta de identificar en X al punto x con el punto gx para todo elemento g ∈ G. Al conjunto Gx = {gx ∈ X | g ∈ G} se le llama la ´ orbita del punto x en el G-espacio X. As´ı, X/G resulta de identificar cada órbita de X en un punto.

ACCIONES DE GRUPO

165

Figura V.15: Un grupo visto como digráfica

X

Figura V.16: La acción de un grupo en un espacio X V.5.6 Ejemplos. (a) Bajo la acción ant´ıpoda en Sn (V.5.3), las órbitas de Sn son las parejas de puntos {x, −x} y el cociente de Sn bajo la acción ant´ıpoda Sn /Z2 es RPn . (b) El grupo Z (con + como multiplicación del grupo) act´ ua en R de modo que si n ∈ Z y x ∈ R, α(n, x) = x+n. Análogamente, Z × Z act´ ua en R2 = R × R por α((n1 , n2 ), (x1 , x2 )) = (x1 +n1 , x2 +n2 ). V.5.7 Ejercicio. Probar que R/Z ≈ S1 . (Sugerencia: La aplicación R −→ S1 tal que t 7→ e2πit determina el homeomorfismo.)

166


Figura V.17: La identificación R R/Z V.5.8 Ejercicio. Probar que R2 /(Z × Z) ≈ T2 . V.5.9 Ejercicio. Probar que hay una acción de Z en R2 tal que (n, (x1 , x2 )) 7→ (n + x1 , (−1)n x2 ) . Probar, más a´ un, que el espacio de órbitas de esta acción, R2 /Z, es homeomorfo a la banda de Moebius.

VI.

CONEXIDAD

La conexidad es un concepto fundamental en la topolog´ıa. No obstante su simpleza, tiene profundas consecuencias. Hay otros conceptos relacionados con la conexidad (topológica), como la conexidad por trayectorias y sus versiones locales. En este cap´ıtulo estudiaremos todas estas propiedades de un espacio topológico. Consideraremos muchos ejemplos. La recta real es un ejemplo de un espacio que tiene todos los tipos de conexidad. Veremos con ejemplos que la conexidad por trayectorias es una propiedad estrictamente más fuerte que la conexidad. Usando la conexidad, probaremos el teorema del valor intermedio, que es una valiosa herramienta en el cálculo. VI.1

Espacios conexos

De los ejemplos IV.4.16 inferimos que R no puede expresarse como una unión ajena de conjuntos abiertos, pero demostramos que Q s´ı se puede expresar as´ı. Este fenómeno se˜ nala una diferencia esencial entre la topolog´ıa de Q y la topolog´ıa de R. Esta diferencia es más evidente si comparamos, digamos, a R con un espacio discreto con más de un elemento. Ser´ıa posible decir que, en cierta forma, R es “continuo”, mientras que el otro espacio es “discreto”. La diferencia estriba en el concepto de conexidad. ´ n. Sea X un espacio topológico. Se dice que X es VI.1.1 Definicio inconexo si existen abiertos ajenos no vac´ıos A y B en X, tales que X = A ∪ B. A la pareja (A, B) se le llama desconexi´ on de X. Se dice que X es conexo si no es inconexo. La siguiente es una agradable caracterización de la inconexidad. ogico X es inconexo si y s´ olo VI.1.2 Proposici´ on. Un espacio topol´ si existe una funci´ on continua suprayectiva g : X −→ {−1, 1}, donde {−1, 1} tiene la topolog´ıa discreta. 167

168

CONEXIDAD

Demostraci´ on: Supongamos primero que X es inconexo y sea (A, B) una desconexión de X. Def´ınase g por g|A = 1 y g|B = −1. Ya que {−1, 1} es discreto, basta observar que las imágenes inversas g −1 (1) = A y g −1 (−1) = B son abiertos. Inversamente, si tal función continua suprayectiva g : X −→ {−1, 1} existe, entonces, definiendo A = g −1 (1) y B = g −1 (−1), (A, B) es una desconexión de X. ⊔ ⊓ VI.1.3 Proposici´ on. Un espacio topol´ ogico X es conexo si y s´ olo si ∅ y X son los u ńicos subconjuntos de X que son simult´ aneamente abiertos y cerrados. Demostraci´ on: Sea X conexo. Si A ⊂ X es abierto y cerrado, entonces B = X −A también es abierto y cerrado. Ya que X es conexo, si A ̸= ∅, entonces B = ∅ y as´ı A = X. Inversamente, si ∅ y X son los u ńicos subconjuntos de X que son simultáneamente abiertos y cerrados, y A y B son abiertos y ajenos y su unión es X, entonces uno es el complemento del otro. As´ı A y B también son cerrados. Por tanto uno es ∅ y el otro es X. En consecuencia, X es conexo. ⊔ ⊓ La conexidad es obviamente un invariante topológico, a saber, si X es conexo, entonces cualquier otro espacio homeomorfo a X es conexo. Un subespacio (o un subconjunto) C de X es inconexo si y sólo si existen A y B abiertos en X, tales que (A∩C, B∩C) es una desconexión de C. A (A, B) se le llama desconexi´ on de C en X (véase la figura VI.1). ´ n. En otras palabras, una desconexión (A, B) de VI.1.4 Observacio un subespacio C ⊆ X es un par de subespacios A y B de X tales que (a) A, B ⊂ X son abiertos. (b) A ∩ C ̸= ∅ ̸= B ∩ C. (c) A ∩ B ∩ C = ∅. (d) C ⊂ A ∪ B. Tenemos el siguiente resultado.

ESPACIOS CONEXOS

169

X′

A X B

Figura VI.1: Desconexión de un subespacio VI.1.5 Proposici´ on. Sea (A, B) una desconexi´ on de un espacio X y sea C ⊂ X. Entonces (A, B) es una desconexi´ on de C si A ∩ C ̸= ∅ = ̸ B ∩ C. ⊔ ⊓ El próximo resultado será u ´til más adelante. VI.1.6 Proposici´ on. Sea (A, B) una desconexi´ on de un espacio topol´ ogico X y sea C ⊂ X un subconjunto conexo. Entonces C ⊂ A o C ⊂ B. Demostraci´ on: De lo contrario, (A, B) ser´ıa una desconexión de C en X. ⊔ ⊓ VI.1.7 Proposici´ on. Las siguientes afirmaciones son equivalentes: (a) X es inconexo. (b) Existen subconjuntos cerrados, ajenos y no vac´ıos C y D en X tales que X = C ∪ D. (c) Existe un subconjunto no vac´ıo propio A de X que es abierto y cerrado. ⊔ ⊓

170

CONEXIDAD

En cierto sentido, podr´ıa decirse que el paradigma de los espacios conexos spaces es R. Tenemos lo siguiente. umeros reales R es conexo. VI.1.8 Teorema. El espacio de los n´ Obtendremos este resultado del resultado más general VI.1.10. Comenzamos con lo siguiente. ´ n. Considérese un conjunto totalmente ordenado R VI.1.9 Definicio (véase III.4.2) con más de un elemento. Decimos que R es un continuo lineal si se cumple lo siguiente: (a) R tiene la propiedad del supremo, a saber, la propiedad de que cada conjunto acotado superiormente tiene al menos una m´ınima cota superior, es decir, un supremo. (b) R tiene la propiedad de la densidad, es decir, para cualesquiera dos elementos a < b en R, existe c tal que a < c < b. VI.1.10 Teorema. Si R es un continuo lineal provisto de la topolog´ıa del orden, entonces R es conexo. Demostraci´ on: Supóngase que, por el contrario, R es inconexo y sea (A, B) una desconexión. Tómese a ∈ A y b ∈ B y, por conveniencia, supóngase que a < b. Considérese el intervalo cerrado [a, b], que es unión de los abiertos (relativos) A′ = A ∩ [a, b]

y

B ′ = B ∩ [a, b] .

Los conjuntos A′ y B ′ son no vac´ıos, pues a ∈ A′ y b ∈ B ′ . As´ı (A′ , B ′ ) es una desconexión de [a, b]. Dado que A′ es no vac´ıo y acotado, por la propiedad del supremo, el punto c = sup A′ existe. Demostraremos que c no pertenece ni a A′ ni a B ′ . Esto será una contradicción ya que c ∈ [a, b] y [a, b] = A′ ∪ B ′ . Caso 1. Supóngase c ∈ B ′ . Entonces, ya sea, c = b o a < c < b. En cualquier caso, ya que B ′ es abierto en [a, b], hay un intervalo de la forma (d, c] contenido en B ′ . Si c = b, entonces llegamos a una contradicción, toda vez que d ser´ıa una cota superior de A′ menor que c. Si c < b,

ESPACIOS CONEXOS d

a

a

c

c b

a

b

a

e b

t c

c

d

171

(a)

e t (b)

b

Figura VI.2: Un continuo lineal es conexo nótese que (c, b] no intersecta a A′ , puesto que c es cota superior de A′ . Tenemos entonces que el intervalo (d, b] = (d, c] ∪ (c, b] no intersecta a A′ . As nuevamente d ser´ıa una cota superior de A′ menor que c, contradiciendo la construcción de c. Véase la figura VI.2 (a). Caso 2. Supóngase c ∈ A′ . En este caso c ̸= b y as´ı c = a o a < c < b. Ya que A′ es abierto en [a, b], hay un intervalo de la forma [c, e) contenido en A′ . Véase la figura VI.2 (b). Por la propiedad de densidad, hay un punto t ∈ R tal que c < t < e. Por tanto t ∈ A′ lo que contradice el hecho de que c es una cota superior de A′ . ⊔ ⊓ Ya que claramente R es un continuo lineal, es un espacio conexo. ´ Esta es la demostraci´ on de VI.1.8. ⊔ ⊓ VI.1.11 Ejercicio. (a) Probar que el intervalo I = [0, 1] es conexo. (b) Probar que los subconjuntos conexos de R son los intervalos, esto es, los intervalos acotados (a, b), (a, b], [a, b), [a, b], para a ≤ b en R, las semirrectas (−∞, b), (−∞, b], (a, ∞), [a, ∞), la misma recta R, y el intervalo vac´ıo ∅. (c) Probar que si a < c < b, entonces [a, b] − {c}, (a, b] − {c}, [a, b) − {c}, y (a, b)−{c} son inconexos. Nótese que tanto a como b pueden tomarse como −∞ e ∞. En particular, R − {0} es inconexo. (d) Probar que ninguno de los intervalos (0, 1), (0, 1], y [0, 1] es homeomorfo a ning´ un otro de ellos. (Sugerencia: ¿Qué pasa si se quita un punto de cada uno de estos intervalos?) Concluir que ninguno de los intervalos (a, b), (c, d] y [e, f ], donde a < b, c < d, y e < f , es homeomorfo a ning´ un otro de ellos.

172

CONEXIDAD

La conexidad no sólo se conserva bajo homeomorfismos, sino bajo cualquier aplicación continua. Tenemos el siguiente resultado. VI.1.12 Teorema. Sea X un espacio conexo. Si f : X −→ Y es una aplicaci´ on continua, entonces f (X) es conexo. Demostraci´ on: Si f (X) no es conexo, sea (A, B) una desconexión de f (X) en Y . Por ser f continua, la pareja (f −1 (A), f −1 (B)) es claramente una desconexión de X. ⊔ ⊓ VI.1.13 Ejercicio. ¿Son válidos los inversos de VI.1.12? Es decir, (a) Sea f : X −→ Y continua y f (X) conexo, ¿Es X conexo? (b) Sea f : X −→ Y , tal que para todo conexo C ⊂ X se cumple que f (C) es conexo. ¿Es f continua? VI.1.14 Ejercicio. Probar que R y Rn son homeomorfos si y sólo si n = 1. VI.1.15 Teorema. Sea X un espacio topol´ ogico y para cada λ ∈ Λ sea Xλ ⊂ X un subespacio conexo, de modo que X = ∪Xλ . Si existe λ0 ∈ Λ, tal que Xλ0 ∩ Xλ ̸= ∅, entonces X es conexo. Demostraci´ on: Supongamos que X es inconexo. Veremos que si Xλ es conexo para toda λ ̸= λ0 , entonces Xλ0 es inconexo. Sea (A, B) una desconexión de X. Demostraremos que también es una desconexión de Xλ0 en X, para lo cual basta con probar que A ∩ Xλ0 ̸= ∅ ̸= B ∩ Xλ0 . Sin perder generalidad podemos suponer que A ∩ Xλ0 ̸= ∅. Ya que Xλ es conexo para toda λ ̸= λ0 , por VI.1.6, ya sea que Xλ ⊂ A o Xλ ⊂ B. Sea ΛB = {λ ∈ Λ | Xλ ⊂ B}. Entonces ΛB ̸= ∅, pues si ΛB = ∅, ∪ entonces Xλ ⊂ A para toda λ y B = B ∩ ( Xλ ) ser´ıa vac´ıo. Tomemos as´ı, λ ∈ ΛB . En consecuencia, Xλ ⊂ B y ∅ ̸= Xλ ∩ Xλ0 ⊂ B ∩ Xλ0 . ⊔ ⊓ ogico y sea Xλ ⊂ X una VI.1.16 Corolario. Sea X un espacio topol´ ∪ ∩ familia de conexos, λ ∈ Λ, tales que X = Xλ . Si Xλ ̸= ∅, entonces X es conexo. ⊔ ⊓

ESPACIOS CONEXOS

173

VI.1.17 Ejercicio. Sea Xn una sucesión de subespacios conexos de ∪ X tales que para toda n, Xn ∩ Xn+1 ̸= ∅. Probar que n Xn es conexo. VI.1.18 Ejercicio. Sea X un espacio tal que cada par de puntos x, y ∈ X yace dentro de alg´ un subconjunto conexo Kxy ⊆ X. Probar que X es conexo. VI.1.19 Ejercicio. Sea X un conjunto infinito dotado de la topolog´ıa cofinita. Probar que X es conexo. VI.1.20 Ejercicio. Recuérdese el espacio R con la topolog´ıa de los intervalos semiabiertos por abajo que llamamos Rl (III.4.13). ¿Es conexo? ¿Por qué? VI.1.21 Ejercicio. Sea X un espacio conexo y sea Y ⊂ X un subespacio conexo. Probar que si (A, B) es una desconexión de X − Y , entonces Y ∪ A y Y ∪ B son conjuntos conexos. VI.1.22 Teorema. Sea X un espacio topol´ ogico y C ⊂ X. Si C es conexo, entonces C es conexo. Demostraci´ on: Si C fuera inconexo, sea (A, B) una desconexión de C en X. Ya que A y B son abiertos, fácilmente se verifica que (A, B) satisface las condiciones (a)–(d) para C en VI.1.4, especialmente (b) A ∩ C ̸= ∅ ̸= B ∩ C. Por tanto (A, B) es también una desconexión de C. ⊔ ⊓ Más generalmente, tenemos la siguiente consecuencia. VI.1.23 Corolario. Sea X un espacio topol´ ogico y C ⊂ X. Si C es ′ ′ conexo y C es tal que C ⊂ C ⊂ C, entonces C ′ es conexo. Demostraci´ on: Basta observar que la cerradura de C en C ′ es C ′ .

⊔ ⊓

La propiedad de conexidad la heredan los productos finitos. Tenemos lo siguiente.

174

CONEXIDAD

VI.1.24 Proposici´ on. Si Xi , i = 1, . . . , n, es una familia finita de espacios no vac´ıos, entonces su producto topol´ ogico X1 × · · · × Xn es conexo si y s´ olo si Xi es conexo, i = 1, . . . , n. Demostraci´ on: Probaremos el caso de dos espacios conexos X1 y X2 y obtendremos el caso general por inducción. Fijemos un punto (x1 , x2 ) ∈ X1 × X2 . Puesto que X1 × {x2 } es homeomorfo a X1 , es conexo. De igual modo, {x}×X2 es conexo para toda x ∈ X1 . El punto (x, x2 ) yace en la intersección (X1 × {x2 }) ∩ ({x} × X2 ). Por lo tanto, por VI.1.16, la cruz Tx = (X1 × {x2 }) ∪ ({x} × X2 ) es conexa. Nótese que el punto seleccionado (x1 , x2 ) yace en Tx para ∩ toda x ∈ X1 , por lo tanto x∈X1 Tx ̸= ∅. De nuevo por VI.1.16, ∪ on es claramente igual a X1 × X2 , de x∈X1 Tx es conexo. Esta uni´ modo que este producto es conexo. Podemos ahora suponer inductivamente que X1 × · · · × Xn−1 es conexo. As´ı, por el primer caso, X1 × · · · × Xn = (X1 ×· · · × Xn−1 ) × Xn es conexo. Inversamente, supongamos que el producto X = X1 × · · · × Xn es conexo. Ya que Xi es la imagen de X bajo la i-ésima proyección, entonces por el teorema VI.1.12, Xi es conexo para toda i. El resultado anterior también es cierto para productos infinitos. Resolver lo siguiente. VI.1.25 Ejercicio. Probar que si Xλ , λ ∈ Λ, es una familia no vac´ıa ∏ de espacios no vac´ıos, entonces su producto λ∈Λ Xλ es conexo si y sólo si cada uno de sus factores Xλ es conexo. (Sugerencia: F´ıjese un ∏ punto p = (pλ ) ∈ λ∈Λ Xλ y hágase lo siguiente: ∏ (i) Para un subconjunto finito K de Λ, sea XK = {x ∈ λ∈Λ Xλ | xλ = pλ ∀λ ∈ / K} y pruébese que XK es conexo. ∪ (ii) Probar que K⊂Λ XK es conexo. (iii) Demostrar que es conexo.)

∪

K⊂Λ XK

=

∏

λ∈Λ Xλ

y concluir que

∏

λ∈Λ Xλ

ESPACIOS CONEXOS

175

VI.1.26 Ejercicio. Sea Ri = R para i = 1, 2, . . . , y tómese el pro∏ ducto cartesiano Rω = ∞ ıa de cajas (véase i=1 Ri dotado de la topolog´ ω la nota IV.3.8). Probar que R es inconexo. (Sugerencia: Supóngase que A consta de todas sucesiones acotadas en Rω y que B consta de todas las sucesiones no acotadas en Rω . Probar que A y B son conjuntos abiertos mostrando que dada una sucesión (xi ) ∈ Rω , el abierto A = (x1 − 1, x1 + 1) × (x2 − 1, x2 + 1) × · · · consta de sucesiones acotadas si x es acotada y de sucesiones no acotadas si x es no acotada. Concluir que A y B son abiertos y por ende (A, B) es una desconexión de Rω .) Hay dos famosos resultados en la topolog´ıa: • El teorema de Borsuk–Ulam: Dada una aplicaci´ on continua n n n f : S −→ R , hay un punto x ∈ S tal que f (x) = f (−x). • El teorema de punto fijo de Brouwer: Dada una aplicaci´ on n n n continua f : D −→ D , hay un punto x ∈ D tal que f (x) = x. Este punto x se llama punto fijo de f . Usando la conexidad, podemos probar estos dos teoremas en el caso n = 1, as´ı como el teorema del valor intermedio VI.1.27, utilizando esencialmente la misma prueba. En efecto, utilizaremos el hecho de que los espacios S1 y D1 = [−1, 1] son conexos. A saber, [−1, 1] es conexo por ser la cerradura en R del intervalo abierto (−1, 1), que es homeomorfo a R, y R es conexo. Por ser S1 la imagen continua del intervalo [0, 1] bajo la aplicación exponencial t 7→ e2πit , entonces, por el teorema VI.1.12, S1 es conexo. Tenemos lo siguiente. VI.1.27 Teorema. (Del valor intermedio) Dada una aplicaci´ on continua f : [a, b] −→ R tal que f (a) ̸= f (b), y dado un n´ umero real r entre f (a) y f (b), hay un punto x ∈ (a, b) tal que f (x) = r. on continua VI.1.28 Teorema. (Borsuk–Ulam) Dada cualquier aplicaci´ f : S1 −→ R, hay un punto x ∈ S1 tal que f (x) = f (−x).

176

CONEXIDAD

VI.1.29 Teorema. (Brouwer) Dada cualquier aplicaci´ on continua f : [−1, 1] −→ [−1, 1], hay un punto x ∈ [−1, 1] tal que f (x) = x. Daremos una demostraci´ on com´ un para los tres resultados. Lo haremos por contradicción. Si alguno de estos tres resultados fuese falso, se podr´ıan definir nuevas aplicaciones g1 : [a, b] −→ {−1, 1} ,

g2 : S1 −→ {−1, 1} ,

g3 : [−1, 1] −→ {−1, 1} ,

o

por g1 (x) =

f (x) − r , |f (x) − r|

g2 (x) =

f (x) − f (−x) , |f (x) − f (−x)|

o

g3 (x) =

f (x) − x . |f (x) − x|

En cualquiera de los tres casos, al ser distinto de cero el denominador, la nueva aplicación es continua. Sin perder generalidad, en el primer caso podemos suponer que f (a) < r < f (b). As´ı g1 (a) = −1 y g1 (b) = 1, por lo que g1 es suprayectiva. En el segundo caso, observamos que g2 (−x) = −g2 (x) (es decir, g2 es una de las llamadas funciones impares), por lo que también es suprayectiva. Finalmente, en el tercer caso, g3 (a) = −1 y g3 (b) = 1, por lo que g3 es también suprayectiva. Por VI.1.2, la existencia de estas aplicaciones contradice la conexidad de [a, b], S1 , y [a, b], respectivamente. ⊔ ⊓ VI.1.30 Ejercicio. Probar que los tres teoremas anteriores VI.1.27, VI.1.28 y VI.1.29 (n = 1) son equivalentes, es decir, cada uno de ellos es consecuencia de cualquiera de los otros dos. VI.1.31 Ejercicio. Probar el siguiente “teorema meteorológico”: En cualquier momento, hay dos puntos ant´ıpodas en el ecuador de la Tierra, en los cuales ya sea la presión atmosférica o la temperatura son iguales. VI.1.32 Ejercicio. Tómese un conjunto X y considérense dos topolog´ıas A ⊂ A′ en X. ¿Qué se puede decir de la conexidad de X con respecto a una de las topolog´ıas y con respecto a la otra? VI.1.33 Nota. El subconjunto singular {x} ⊂ X es obviamente conexo. ∪ El conjunto Cx = {C ⊂ X | x ∈ C, C conexo} es conexo por VI.1.16,

ESPACIOS CONEXOS

177

y es el conexo más grande que contiene a x. Al subconjunto Cx se le llama componente conexa de X correspondiente a x. Por VI.1.22, Cx es necesariamente cerrado. Si y ∈ Cx , entonces Cy = Cx . As´ı, los conjuntos Cx constituyen una partición de X. Sin embargo Cx no es abierto necesariamente. VI.1.34 Ejercicio. (a) Sea X = Q. Probar que Cx = {x} para todo x ∈ Q. (b) Probar que el inverso de VI.1.22 no es válido, dando un ejemplo de un inconexo en un espacio topológico cuya cerradura sea conexa. (c) Dar un ejemplo de un conjunto conexo cuyo interior sea inconexo. umero VI.1.35 Ejercicio. Probar que si un espacio X tiene sólo un n´ finito de componentes conexas, entonces cada una de estas componentes es abierta en X. (Por VI.1.33 sabemos que son cerradas.) Concluir que en este caso, X es la suma topológica de sus componentes. El n´ umero de componentes conexas de un espacio topológico es un invariante que permite distinguir entre espacios. VI.1.36 Ejemplo. Los conjuntos finitos, vistos como espacios topológicos discretos, están clasificados por su cardinalidad, es decir, A ≈ B si y sólo si #(A) = #(B). En particular, S0 ̸≈ B0 . El siguiente ejemplo muestra cómo es posible obtener otros invariantes. VI.1.37 Ejemplo. Sea X un espacio topológico. Si x0 ∈ X, tómese Z(X, x0 ) como el n´ umero de componentes conexas de X − x0 . Si φ : X −→ Y es un homeomorfismo y y0 = φ(x0 ), entonces φ determina un homeomorfismo X − x0 ≈ Y − y0 , por lo que Z(X, x0 ) = Z(Y, y0 ). As´ı, el invariante Z(X, x0 ) nos permite decidir si dos espacios no son homeomorfos. En particular, I ̸≈ S1 , ya que Z(I, 1/2) = 2, pero para cualquier punto x ∈ S1 , Z(S1 , x) = 1. As´ı mismo, podemos probar que la cruz X de la figura VI.3 no es homeomorfa a I, dado que para cualquier punto x ∈ I, Z(I, x) ≤ 2; sin embargo, existe un punto O en X, tal que Z(X, O) = 4.

178

CONEXIDAD

I X

Figura VI.3: Una cruz no es homeomorfa a un intervalo Es entretenido el siguiente ejercicio. VI.1.38 Ejercicio. Usando el invariante Z clasificar, salvo homeomorfismo, las letras del abecedario, vistas como subespacios de R2 .

A,B,C,D,E,F,G,H,I,J,K,L,M,N,O,P,Q,R,S,T,U,V,W,X,Y,Z (En particular, H ̸≈ T, pues en H hay dos puntos x con Z(H, x) = 3, mientras que en T sólo hay un punto y tal que Z(T, y) = 3.) Más interesante es el siguiente ejemplo. VI.1.39 Ejemplo. La banda de Moebius (abierta) y la banda trivial (abierta) (véase V.4.12 below) no son homeomorfas, puesto que si a la primera se le quita el ecuador, se obtiene un espacio conexo (con una sola componente conexa), mientras que al hacérselo a la segunda se obtiene un espacio inconexo (con dos componentes conexas). VI.1.40 Ejercicio. Sean D y D′ dos discos abiertos en R2 cuyas ce′ rraduras D y D se intersectan exactamente en un punto, de modo que los c´ırculos frontera de ambos discos son tangentes. Determinar cuáles de los siguientes subespacios de R2 son conexos: (a)

D ∪ D′ .

(b)

′

D∪D.

(c)

D ∪ D′ .

VI.1.41 Ejercicio. Probar que el conjunto A ⊂ R2 , consistente en parejas (s, t) tales que al menos uno de los n´ umeros s o t es racional, es conexo.

ESPACIOS LOCALMENTE CONEXOS

179

´ n. A un espacio topológico X tal que Cx = {x} VI.1.42 Definicio para todo x ∈ X, se le llama totalmente inconexo. VI.1.43 Ejemplo. Si X es discreto entonces es totalmente inconexo. Inversamente es falso, pues por VI.1.34(a) Q es totalmente inconexo y no es discreto. (Véase también el siguiente ejercicio.) VI.1.44 Ejercicio. Sea C el conjunto de Cantor definido en II.2.7. (a) Probar que C es totalmente inconexo. (b) Probar que C no tiene puntos aislados (véase II.3.6). VI.2

Espacios localmente conexos

´ n. Decimos que un espacio X es localmente conexo si VI.2.1 Definicio las vecindades conexas de cada punto forman una base local de vecindades, es decir, X es localmente conexo si y sólo si para toda x ∈ X y para toda vecindad U de x existe una vecindad conexa V de x, tal que V ⊂ U. VI.2.2 Ejemplos. (a) Q no es localmente conexo. (b) I y R son localmente conexos. (c) Claramente se ve que no todo localmente conexo es conexo. Tampoco todo conexo es localmente conexo; a saber, el espacio peine, que es el subespacio de R2 siguiente P = {(x, y) ∈ R2 | 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, y > 0 ⇔ x = 0,

1 , n ∈ N} , n

es conexo (véase la figura VI.4); sin embargo, no es localmente conexo, pues para cada punto a = (0, y) ∈ P, y > 0, cualquier vecindad suficientemente peque˜ na es inconexa. A saber, una vecindad de cada uno de estos puntos en P se ve como en la figura VI.5.

180

CONEXIDAD

Figura VI.4: El espacio peine ogico. Son equivalentes VI.2.3 Proposici´ on. Sea X un espacio topol´ (a) X es localmente conexo. (b) Para todo abierto A ⊂ X, las componentes conexas de A son abiertas. (c) X tiene una base consistente en abiertos conexos. (d) Si A ⊂ X es abierto y q : A −→ A′ identifica cada componente conexa en un punto, entonces A′ es discreto. Demostraci´ on: (a) =⇒ (b) Si A ⊂ X es abierto y x ∈ A, por (a), existe V ∈ Nx , tal que V ⊂ A y V es conexo. Por lo tanto, V ⊂ Cx (A), donde Cx (A) denota la componente conexa de A que tiene a x. As´ı, ésta es abierta. (b) =⇒ (c) Sea B la familia de componentes conexas de abiertos de X. Por (b) forman éstas una base para la topolog´ıa de X. (c) =⇒ (a) Sea B una base para X, cuyos elementos son conjuntos conexos. Si x ∈ X, entonces Bx = {V ∈ B | x ∈ V } es una base de vecindades conexas en el punto x. Por lo tanto, X es localmente conexo.

ESPACIOS LOCALMENTE CONEXOS

181

Figura VI.5: Una vecindad en el espacio peine (b) =⇒ (d) Sea A abierto en X y sea q : A −→ A′ la identificación que aplica cada componente conexa en un punto. As´ı, para x′ ∈ A′ , q −1 (x′ ) es una componente conexa de A, por lo que por (b) resulta abierta. Por lo tanto, ya que q es una identificación, el conjunto singular {x′ } es abierto y, por ende, A′ es discreto. (d) =⇒ (b) Sea A abierto en X y q : A −→ A′ la identificación de cada componente conexa de A en un punto. Por (d), A′ es discreto, por lo que cada conjunto singular {x′ } ⊂ A′ es abierto. Por lo tanto, cada componente conexa de A, Cx (A) = q −1 (q(x)) es abierta. ⊔ ⊓ Como consecuencia, destacamos lo siguiente. VI.2.4 Teorema. Si un espacio topol´ ogico X es localmente conexo, entonces la componente conexa Cx es abierta para toda x ∈ X. ⊔ ⊓ VI.2.5 Ejercicio. Sea X la curva del seno del top´ ologo definida tomando A = {(x, y) ∈ R2 | 0 < x ≤ 1 , y = sen ( πx )} y B = {(0, y) ∈ R2 | −1 ≤ y ≤ 1} y dando X = A ∪ B (véase la figura VI.6). Probar que X es conexo. ¿Es X localmente conexo? VI.2.6 Ejercicio. Probar que si X es localmente conexo y Y ⊆ X es un subespacio abierto, entonces Y es localmente conexo.

182

CONEXIDAD

(0, 0)

(1, 0)

Figura VI.6: La curva del seno del topólogo ´ n. Por VI.1.33 y VI.2.3(b), se tiene que, si X es VI.2.7 Observacio localmente conexo, Cx es abierto y cerrado. Por otro lado, Cx ∩ Cy ̸= ∅ ⇔ Cx = Cy , pues de otra manera Cx ∪Cy ser´ıa un conexo estrictamente mayor que Cx y Cy . Podemos as´ı definir una relación de equivalencia tal que x ∼ y ⇔ Cx = Cy y llamar Λ al conjunto de clases de equivalencia. Para cada λ ∈ Λ, sea Cλ = Cx para alguna x ∈ λ. A los subespacios Cλ ⊂ X se les llama componentes conexas de X. As´ı, las componentes conexas de un espacio X son los conjuntos conexos máximos en X. Por la observación VI.2.7 y el teorema IV.4.11, se tiene lo siguiente. VI.2.8 Teorema. Si X es un espacio localmente conexo, entonces ⨿ Cλ , X= λ∈Λ

donde {Cλ | λ ∈ Λ} es la familia de componentes conexas de X.

⊔ ⊓

VI.2.9 Ejercicio. Si X es localmente conexo, entonces la relación de equivalencia definida en VI.2.7 determina una aplicación cociente X −→ Λ. Probar que el espacio Λ con la topolog´ıa cociente es discreto. Mostrar con un ejemplo que si X no es localmente conexo, entonces éste no es el caso. (Sugerencia: Tómese X = Q.) VI.2.10 Ejercicio. Probar que la recta de Sorgenfrey E (véase III.4.13) no es localmente conexa.

ESPACIOS CONECTABLES POR TRAYECTORIAS

183

VI.2.11 Ejercicio. Probar que la imagen continua de un espacio localmente conexo no es necesariamente localmente conexa. ∏ VI.2.12 Ejercicio. Probar que el producto λ∈Λ Xλ es un espacio localmente conexo si y sólo si se cumplen las siguientes condiciones: (a) Cada espacio factor Xλ es localmente conexo. (b) Todos excepto un n´ umero finito de los espacios factores Xλ son conexos. VI.3

Espacios conectables por trayectorias

Hay un concepto más fuerte que el de conexidad: la conectabilidad por trayectorias1 . ´ n. Una trayectoria en un espacio topológico X es una VI.3.1 Definicio aplicación σ : I −→ X. Al punto x0 = σ(0) se le llama origen de la trayectoria y al punto x1 = σ(1) se le llama destino. Escribimos este hecho como σ : x0 ≃ x1 y se dice que σ une a x0 con x1 o que x0 y x1 están conectados por la trayectoria σ. Las siguientes son trayectorias que tienen un papel importante. La trayectoria constante κx : x ∼ x dada por κx (t) = x para toda t ∈ I. Dada una trayectoria σ : x0 ≃ x1 , la trayectoria inversa σ : x1 ≃ x0 dada por σ(t) = σ(1 − t). Y dadas dos trayectorias σ : x0 ≃ x1 y τ : x1 ≃ x2 , el producto de trayectorias στ : x0 ≃ x2 , definido por { σ(2t) si t ≤ 21 , στ (t) = τ (2t − 1) si 12 ≤ t, es una trayectoria de x0 a x2 .) Usando las trayectorias constante, inversa, y producto, fácilmente se prueba lo siguiente. VI.3.2 Proposici´ on. Probar que la relaci´ on x0 ∼ x1 ⇔ σ : x0 ≃ x1 , para alguna trayectoria σ, es una relaci´ on de equivalencia. ⊔ ⊓ 1 Me gusta llamar al concepto de “conexidad”, “conexidad topol´ ogica”, y al concepto de “conectabilidad por trayectorias”, “conexidad homot´ opica”.

184

CONEXIDAD x σ y

τ

z

σ∗τ

Figura VI.7: El producto de trayectorias ´ n. A las clases de equivalencia bajo la relación ≃ se VI.3.3 Definicio les llama componentes por trayectorias del espacio X y al conjunto de clases de equivalencia, es decir, al conjunto de componentes, se le suele denotar por π0 (X). Decimos que un espacio topológico X ̸= ∅ es conectable por trayectorias si sólo tiene una sola componente por trayectorias, es decir, si dados dos puntos x, y ∈ X, hay una trayectoria que los une. VI.3.4 Ejemplos. Los siguientes son espacios conectables por trayectorias: (a) El intervalo I, y con él cualquier otro intervalo en R, incluyendo a R mismo. (b) Cualquier espacio indiscreto. (c) El espacio de Sierpinski (II.1.3). VI.3.5 Ejercicio. Verificar que en efecto los anteriores son ejemplos de espacios conectables por trayectorias. Claramente la propiedad de un espacio de ser conectable por trayectorias es topológicamente invariante. VI.3.6 Proposici´ on. Todo espacio conectable por trayectorias es conexo. Demostraci´ on: Si X no es conexo y x, y ∈ X están en componentes conexas distintas, digamos Cx y Cy , y si σ : I −→ X fuera una trayectoria que une a x con y, entonces las imágenes inversas σ −1 Cx y σ −1 Cy formar´ıan una desconexión de I, lo cual contradice VI.1.11(a). ⊓ ⊔

ESPACIOS CONECTABLES POR TRAYECTORIAS

185

VI.3.7 Ejemplo. El inverso de VI.3.6 no es válido. Por ejemplo, la curva del seno del topólogo definida en VI.2.3(b), dada por } {( ( π )) x ∈ (0, 1] X= x, sin x es conexo, por ser la cerradura de un conexo, pero no es conectable por trayectorias, puesto que no hay ninguna trayectoria, por ejemplo, de (0, 0) a (1, 0) en X. Véase la figura VI.6. Análogamente a VI.1.12, se tiene el siguiente resultado. VI.3.8 Teorema. Sea f : X −→ Y continua y X conectable por trayectorias, entonces f (X) es conectable por trayectorias. Demostraci´ on: Si f (x), f (y) ∈ f (X), sea σ : x ≃ y. Entonces f ◦ σ : f (x) ≃ f (y). ⊔ ⊓ ( ( )) ´ n. El espacio { x, sin πx | x ∈ (0, 1]} es conecVI.3.9 Observacio table por trayectorias, pues es la (imagen( del )) intervalo (0, 1] bajo la aplicación continua dada por x 7→ x, sin πx . As´ı, el ejemplo VI.3.7, en contraste con VI.1.22, también muestra que la cerradura de un conjunto conectable por trayectorias no tiene por qué ser conectable por trayectorias. De modo análogo a VI.1.15 y VI.1.16, obtenemos los siguientes dos resultados. VI.3.10 Teorema. Sea X un espacio topol´ ogico y para cada λ ∈ Λ t´ omese un subconjunto conectable por trayectorias subset Xλ ⊂ X tal ∪ que X = Xλ . Si existe λ0 ∈ Λ tal que Xλ0 ∩ Xλ ̸= ∅, entonces X es conectable por trayectorias. Demostraci´ on: Tómense dos puntos x, y ∈ X y supóngase que x ∈ Xλ y y ∈ Xµ . Dado que Xλ ∩Xλ0 ̸= ∅ y Xµ ∩Xλ0 ̸= ∅, podemos tomar puntos x′ ∈ Xλ ∩ Xλ0 y y ′ ∈ Xµ ∩ Xλ0 . Ya que Xλ y Xµ son conectables por trayectorias, hay trayectorias σ : x ≃ x′ y τ : y ′ ≃ y. Más a´ un, ya que Xλ0 es conectable por trayectorias, existe una trayectoria γ : x′ ≃ y ′ . El producto de trayectorias (σγ)τ : x ≃ z está bien definido y conecta a x y z. Por tanto, X es conectable por trayectorias. ⊔ ⊓

186

CONEXIDAD

VI.3.11 Corolario. Sea X un espacio topol´ ogico y sea Xλ ⊂ X una familia de subespacios conectables por trayectorias para λ ∈ Λ, tales que ∪ ∩ X = Xλ . Si Xλ ̸= ∅, entonces X es conectable por trayectorias. ⊔ ⊓ VI.3.12 Ejercicio. Sea Xn una sucesión de subespacios de X conectables por trayectorias tales que para toda n, Xn ∩ Xn+1 ̸= ∅. Probar que ∪ n Xn es conectable por trayectorias. La propiedad de conectabilidad por trayectorias la heredan los productos. VI.3.13 Proposici´ on. Si Xλ , λ ∈ Λ es una familia no vac´ıa de espa∏ cios no vac´ıos, entonces su producto λ∈Λ Xλ es conectable por trayectorias si y s´ olo si cada uno de los factores Xλ es conectable por trayectorias. Demostraci´ on: Supongamos que para toda λ, Xλ es conectable por tra∏ yectorias, y sean x, y ∈ λ∈Λ Xλ dos puntos arbitrarios. Si xλ , yλ son sus proyecciones en el factor Xλ , por ser éste conectable por trayectorias, hay una trayectoria σλ : I −→ Xλ que los une. Por la propiedad ∏ universal del producto, existe una trayectoria σ : I −→ λ∈Λ Xλ , tal que al componerla con la proyección sobre el factor Xλ resulta σλ . Por lo tanto, σ : x ≃ y. ∏ Inversamente, si λ∈Λ Xλ es conectable por trayectorias, ya que para cada λ ∈ Λ, Xλ es la imagen bajo la proyección, por VI.3.8 éste resulta conectable por trayectorias. ⊔ ⊓ En consecuencia, cualquier espacio euclidiano Rn es conectable por trayectorias. Más generalmente, se tiene lo que sigue. VI.3.14 Ejemplos. 1. Cualquier bola euclidiana, es decir, cualquier bola alrededor de alg´ un punto en Rn es conectable por trayectorias. Si es abierta, esto es cierto simplemente porque esta bola es homeomorfa al propio espacio Rn ; si es cerrada, es inmediato ver que cualquier punto frontera se puede conectar por medio de una trayectoria con cualquier punto del interior.

ESPACIOS LOCALMENTE CONECTABLES POR TRAYECTORIAS187

2. Más generalmente, cualquier conjunto convexo C ⊂ Rn (véase II.6.15) es conectable por trayectorias. A saber, si x, y ∈ C, entonces el segmento rectil´ıneo [x, y] ⊂ X. Por lo tanto, la trayectoria lineal λ : I −→ C dada por λ(t) = (1 − t)x + ty es una trayectoria que une a x con y en C.

VI.4

Espacios localmente conectables por trayectorias

Como en el caso de la conexidad, la conectabilidad por trayectorias tiene su versión local. ´ n. Se dice que un espacio topológico X es localmente VI.4.1 Definicio conectable por trayectorias si cada punto x ∈ X tiene una base local formada por vecindades conectables por trayectorias. VI.4.2 Ejemplo. Cualquier espacio euclidiano Rn es localmente conectable por trayectorias, puesto que cada punto tiene una base de vecindades formada por bolas, que son conectables por trayectorias (véase VI.3.14). VI.4.3 Proposici´ on. Sea X un espacio topol´ ogico. Son equivalentes (a) X es localmente conectable por trayectorias. (b) Para todo abierto A ⊂ X, las componentes por trayectorias de A son abiertas. (c) X tiene una base consistente en abiertos conectables por trayectorias. (d) Si A ⊂ X es abierto y q : A −→ A′ identifica cada componente por trayectorias en un punto, entonces A′ es discreto. Demostraci´ on: (a) =⇒ (b) Si A ⊂ X es abierto y x ∈ A, por (a), existe V ∈ Nx , tal que V ⊂ A y V es conectable por trayectorias. Por lo tanto, V ⊂ cx (A), donde cx (A) denota la componente por trayectorias de A que tiene a x. As´ı, ésta es abierta.

188

CONEXIDAD

(b) =⇒ (c) Sea B la familia de componentes por trayectorias de abiertos de X. Por (b) forman éstas una base para la topolog´ıa de X. (c) =⇒ (a) Sea B una base para X, cuyos elementos son conectables por trayectorias. Si x ∈ X, entonces Bx = {V ∈ B | x ∈ V } es una base de vecindades conectables por trayectorias en el punto x. Por lo tanto, X es localmente conectable por trayectorias. (b) =⇒ (d) Sea A abierto en X y sea q : A −→ A′ la identificación que aplica cada componente por trayectorias en un punto. As´ı, para x′ ∈ A′ , q −1 (x′ ) es una componente por trayectorias de A, por lo que por (b) resulta abierta. Por lo tanto, ya que q es una identificación, el conjunto singular {x′ } es abierto y, por ende, A′ es discreto. (d) =⇒ (b) Sea A abierto en X y q : A −→ A′ la identificación de cada componente por trayectorias de A en un punto. Por (d), A′ es discreto, por lo que cada conjunto singular {x′ } ⊂ A′ es abierto. Por lo tanto, cada componente por trayectorias de A, cx (A) = q −1 (q(x)) es abierta. ⊔ ⊓ VI.4.4 Corolario. Si X es localmente conectable por trayectorias, entonces para cada x ∈ X la componente por trayectorias de X que contiene a x, cx , es abierta y cerrada en X. ∪ Demostraci´ on: Por VI.4.3(b), cx es un abierto; ya que X−cx = y̸∈cx cy , es también éste un conjunto abierto, por lo que cx es, as´ı mismo, cerrado. ⊔ ⊓ Ahora s´ı podemos establecer un inverso para VI.3.6. El ejemplo VI.3.7 muestra que no todo conexo es conectable por trayectorias. Sin embargo, el espacio X de este ejemplo no es localmente conectable por trayectorias; de hecho, no es localmente conexo. VI.4.5 Corolario. Si X es un espacio conexo y localmente conectable por trayectorias, entonces es conectable por trayectorias. Demostraci´ on: Si x ∈ X, entonces la componente por trayectorias de X en x, cx es no vac´ıa, abierta y cerrada; por lo tanto, por ser X conexo, cx = X y, con ello, X es conectable por trayectorias. ⊔ ⊓ Para concluir esta sección, daremos algunos ejemplos.


VI.4.6 Ejemplos. (a) El espacio X de VI.2.3 es conexo, pero no es localmente conectable por trayectorias, ni tampoco conectable por trayectorias. Sin embargo, si C = {(0, y) | y ∈ [−3/2, −1]} ∪ {(x, −3/2) ∈ R2 | x ∈ [0, 1]} ∪ {(1, y) | y ∈ [−3/2, 0]}, entonces el espacio Y = X ∪ C es conectable por trayectorias, pero no es localmente conectable por trayectorias. A este espacio Y se le conoce como c´ırculo polaco o c´ırculo de Varsovia (véase la figura VI.8).

Figura VI.8: El c´ırculo polaco (b) El espacio peine, definido en VI.2.2(c) como el subespacio de R2 tal que P = {(x, y) ∈ R2 | y = 0, o x = 0, 1/n; n = 1, 2, . . . o 0 ≤ y ≤ 1}, es conectable por trayectorias, pero no es localmente conexo. VI.4.7 Ejercicio. Probar que si X es un espacio localmente conectable por trayectorias, entonces para toda x ∈ X la componente conexa Cx coincide con la componente por trayectorias cx . VI.4.8 Ejercicio.

190

CONEXIDAD

(a) Determinar las componentes conexas y las componentes por trayectorias del espacio Rω definido en el ejemplo VI.1.26. (b) Probar que x, y ∈ Rω yacen enla misma componente de Rω si y sólo si la sucesión x−y es finalmente cero. (Sugerencia: Demostrar que si x−y no es finalmente cero, entonces hay un homeomorfismo φ : Rω −→ Rω tal que φ(x) es acotado y φ(y) no es acotado.) VI.4.9 Ejercicio. Considérese en R2 el conunto IQ de todos los puntos racionales en el intervalo unitario I y sea R el conjunto {1} × IQ . Def´ınase X como la unión de todos los segmentos de recta que unen el origen con cada uno de los puntos de R. (a) Probar que X es conectable por trayectorias. (b) Probar que el u ńico punto en el cual X es localmente conectable por trayectorias es el origen. VI.4.10 Ejercicio. Considérese en R el conjunto IQ de todos los puntos racionales en el intervalo unitario I y sea X ⊂ R2 la unión de todos los segmentos de recta {q} × I, q ∈ IQ con I × {0}. (a) Probar que X es conectable por trayectorias. (b) ¿En qué puntos es X localmente conectable por trayectorias? VI.4.11 Ejercicio. Considérese en R el conjunto K = { n1 | n ∈ N} y sea S ⊂ R2 el conjunto {1} × K. Def´ınase X como la unión de todos los segmentos de recta que unen el origen con cada uno de los puntos de S. (a) Probar que X es conectable por trayectorias. (b) ¿En qué puntos es X localmente conectable por trayectorias? VI.4.12 Ejercicio.


(a) Probar que la cerradura de la curva del seno del topólogo X = {0}×[−1, 1]∪{(t, sin( πt )) | t ∈ I} (véase VI.2.3(b)) no es conectable por trayectorias. (Sugerencia: Si σ : I −→ X es una trayectoria con origen en el origen y destino en {(t, sin( πt )) | t ∈ I}, entonces el conjunto de las t para las cuales σ(t) ∈ {0} × [−1, 1] es cerrado, por lo que tiene un elemento máximo b. As´ı la restricción λ : [b, 1] −→ X aplica b en {0} × [−1, 1] y (b, 1] en {(t, sin( πt )) | t ∈ I}. Para cada t ∈ [b, 1], sea λ(t) = (x(t), y(t)). π Por tanto, x(b) = 0 y x(t) > 0 y y(t) = sin( x(t) ) para t > b. Probar que hay una sucesión de puntos tk → b tal que y(tk ) = (−1)k , por lo que no es convergente. Esto contradice la continuidad de σ.) (b) Concluir que el c´ırculo polaco (véase VI.4.6) no es localmente conectable por trayectorias.

192

CONEXIDAD

VII.

FILTROS

Los filtros constituyen un concepto que se define sobre conjuntos y que resulta ser una poderosa herramienta para probar resultados fundamentales de la topolog´ıa. Entre otras cosas, su buen comportamiento frente a productos cartesianos permite utilizarlos para probar teoremas que afirman que los productos poseen ciertas propiedades si y sólo si sus factores las tienen. Un ejemplo importante de este tipo de teoremas es el de Tychonoff sobre compacidad, que, haciendo uso de los filtros, probaremos en el siguiente cap´ıtulo. Los filtros codifican y extienden, de alguna manera, el comportamiento de las sucesiones, de modo que, por ejemplo, en el contexto topológico el concepto de convergencia tiene sentido para filtros. As´ı mismo, se tienen las bases de vecindades de un punto como caso particular de filtros. Esta interesante generalización com´ un de sucesiones y vecindades prueba ser muy benéfica en la comprensión de ambos conceptos. Los filtros permiten estudiar, para espacios topológicos generales, propiedades que para espacios 1-numerables, es decir, para espacios tales que cada punto tiene una base de vecindades numerable, podemos inferir del análisis de la convergencia de sucesiones. VII.1

Filtros

En esta sección introduciremos los conceptos de filtro y base de filtro, estudiaremos las relaciones entre distintos filtros y los filtros máximos llamados ultrafiltros. Haciendo uso de los filtros, generalizaremos el concepto de convergencia de sucesiones y reformularemos los conceptos clásicos sobre convergencia en espacios métricos. El lector encontrará un tratamiento más detallado sobre filtros en [37]. Empezaremos recordando algunos conceptos previamente definidos en el caso de espacios métricos en la sección I.4.

193

194

FILTROS

´ n. Una sucesi´ VII.1.1 Definicio on en un espacio topológico (o en un conjunto) X es una función N −→ X, n 7→ xn . Se denota la sucesión por (xn ), o simplemente, por xn . Se dice que la sucesión converge a x, en s´ımbolos xn → x, si para toda vecindad V de x existe N ∈ N tal que xn ∈ V si n > N , y se dice que x es su l´ımite. Para cada N ∈ N, llamamos cola de (xn ) al conjunto {xn | n > N }. As´ı, una sucesión converge a un punto si para cada vecindad de este punto existe una cola de la sucesión contenida en esa vecindad. Comenzamos con lo siguiente. VII.1.2 Nota. Supóngase que un espacio X es 1-numerable (véase II.4.3), y sea {Un } una base numerable de vecindades de x ∈ X. Siempre podemos suponer que para toda n, Un ⊇ Un+1 . Una tal base de vecindades se dice que está anidada. Si la base dada no está ya anidada, podemos reemplazarla por la base de vecindades {Un′ }, donde Un′ = U1 ∩ · · · ∩ Un . El siguiente es un sencillo ejercicio. VII.1.3 Ejercicio. Supóngase que {Un } es una base numerable anidada de vecindades de x ∈ X, y para cada n tómese alg´ un punto xn ∈ Un . Probar que xn → x. El siguiente resultado caracteriza la topolog´ıa de un espacio 1-numerable, as´ı como la continuidad de una aplicación, cuyo dominio es 1-numerable usando convergencia de sucesiones. VII.1.4 Teorema. Sea X un espacio topol´ ogico que satisface el primer axioma de numerabilidad. Entonces (a) A ⊂ X es cerrado si y s´ olo si para toda sucesi´ on (xn ) en A, tal que xn → x0 en X, se tiene x0 ∈ A. (b) f : X −→ Y es continua en x0 ∈ X si y s´ olo si para toda sucesi´ on (xn ) en X tal que xn → x0 , la sucesi´ on imagen f (xn ) → f (x0 ).

FILTROS

195

Demostraci´ on: (a) Supóngase primero que A ⊂ X es cerrado. Sea (xn ) una sucesión de elementos de A tal que xn → x en X. Si x ∈ / A, entonces X − A es una vecindad abierta de x por lo que hay un n´ umero natural N tal que xn ∈ X − A para toda n ≥ N . Esto es una contradicción pues xn ∈ A para toda n. Inversamente, tómese un punto arbitrario x ∈ A. Ya que X es 1numerable, hay una base anidada de vecindades de x, digamos {Un }. Ya que Un ∩ A ̸= ∅, podemos tomar un punto xn ∈ A ∩ Un , y dado que la base de vecindades está anidada, se obtiene del ejercicio VII.1.3 que xn → x. Por lo que, por hipótesis, x ∈ A. En consecuencia A ⊂ A y por tanto A es cerrado. (b) Supóngase primeramente que f es continua en x y que xn → x. Tómese una vecindad V de f (x). Dado que f es continua en x, hay una vecindad U de x tal que f (U ) ⊆ V . Más a´ un, ya que xn → x, hay una N tal que si n ≥ N , entonces xn ∈ U . Por tanto, si n ≥ N , entonces f (xn ) ∈ f (U ) ⊆ V y as´ı f (xn ) → f (x). Inversamente probaremos que bajo la hipótesis se tiene que para toda A ⊆ X, f (A) ⊂ f (A). As´ı, por el teorema II.5.8 (d), f será continua. Por tanto, tómese un punto arbitrario x ∈ A. Por ser X 1numerable, hay una base anidada de vecindades de x, digamos {Un }. Por otro lado, Un ∩A ̸= ∅, por lo que podemos tomar un punto xn ∈ A∩ Un . Ya que la base de vecindades está anidada, otra vez por el ejercicio VII.1.3 se concluye que xn → x. As´ı, por hipótesis f (xn ) → f (x), y ya que f (xn ) ∈ f (A) para toda n, f (x) ∈ f (A). ⊔ ⊓ VII.1.5 Nota. Obsérvese que en la primera parte de las pruebas de (a) y (b) en el teorema anterior, la hipótesis de que X sea 1-numerable no es necesaria. Pero para la segunda parte s´ı que lo es, como lo muestra el siguiente ejercicio. VII.1.6 Ejercicio. Considérese un conjunto no numerable X con la topolog´ıa conumerable (II.1.2(f)), es decir, A ⊂ X es abierto si y sólo si A = ∅ o X −A es a lo más numerable. Probar que con esta topolog´ıa una sucesión en X es convergente si y sólo si es a la larga constante, es decir, tiene una cola constante. Por lo tanto, cualquier función f : X −→ Y va a aplicar sucesiones convergentes en sucesiones convergentes; sin embargo, no cualquier función f tiene por qué ser continua. Mostrar

196

FILTROS

ejemplos de Y y f , tales que f no es continua. Probar expl´ıcitamente que X no satisface el primer axioma de numerabilidad. En general, como acabamos de ver, sin el primer axioma de numerabilidad como hiptesis, el teorema VII.1.4 no es cierto. Por lo tanto, tenemos que generalizar el concepto de convergencia de sucesiones. Para hacerlo, consideremos la siguiente analog´ıa entre las sucesiones y las vecindades de un punto: La intersección de dos colas de una sucesión es nuevamente una cola. Análogamente, la intersección de dos vecindades de un mismo punto es uevamente una vecindad de ese punto. Esta analog´ıa puede extenderse a vecindades básicas observando que la intersecci´ on de dos de ellas contene a una tercera. Estas observaciones sugieren la siguiente definición. ´ n. A un sistema no vac´ıo B de subconjuntos no VII.1.7 Definicio vac´ıos de un conjunto X se le llama base de filtro en X si se cumple (BF1) B1 , B2 ∈ B =⇒ ∃B ∈ B tal que B ⊂ B1 ∩ B2 . VII.1.8 Ejemplos. (a) Si A ⊂ X es no vac´ıo, entonces {A} es una base de filtro. (b) Sea (xn ) una sucesión en el conjunto X. El sistema B de colas de (xn ) es una base de filtro en X. (c) Sea X un espacio topológico y x ∈ X. Un sistema B de vecindades básicas en x es una base de filtro en X. (d) Sea Xλ , λ ∈ Λ, una familia no vac´ıa de conjuntos no vac´ıos. Si Bλ es una base de filtro en Xλ , entonces los productos ∏ Bλ1 × · · · × Bλk × Xλ , λ̸=λ1 ...λk

tales que Bλj ∈ Bλj , j = 1, . . . , k, forman una base de filtro en ∏ Xλ . ´ n. Un sistema no vac´ıo F de subconjuntos no vac´ıos VII.1.9 Definicio de un conjunto X es un filtro en X si

FILTROS

197

(F1) F ∈ F, F ′ ⊃ F =⇒ F ′ ∈ F. (F2) F1 , F2 ∈ F =⇒ F1 ∩ F2 ∈ F . Nótese que necesariamente X ∈ F para cualquier filtro F. VII.1.10 Ejemplos. (a) Dada una base de filtro B en un conjunto X, la colección de todos los superconjuntos de los conjuntos en B forma un filtro F, llamado el filtro generado por B. Se dice que B es una base de F. (b) Sea X ̸= ∅, entonces {X} es un filtro en X llamado el filtro trivial. Es el filtro generado por la base de filtro {X}. (c) Todos los superconjuntos de un conjunto no vac´ıo A ⊂ X forman un filtro denotado por FA , a saber, FA = {F ⊆ X | A ⊆ F }. Es el filtro generado por la base de filtro {A}. (d) Dada una sucesión (xn ) en el conjunto X, se tiene que los superconjuntos de las colas de la sucesión forman un filtro llamado filtro elemental generado por la sucesión y se le denota por F(xn ) . Se tiene as´ı F(xn ) = {F ⊆ X | ∃N ∈ N tal que xn ∈ F para todo n > N } . Es el filtro generado por la base de filtro de colas de la sucesión. (e) Sean X un espacio topológico y x ∈ X. El sistema Nx de todas las vecindades de x es un filtro en X llamado filtro de vecindades de x ∈ X. Siempre es un filtro generado por una base de vecindades, vista como base de filtro. (f) Sea X un conjunto infinito. El sistema de subconjuntos cofinitos de X, es decir, de conjuntos con complemento finito, es un filtro en X llamado filtro cofinito. (g) Todo filtro es una base de filtro. ´ n. Diremos que dos bases de filtro son equivalentes VII.1.11 Definicio si ambas generan el mismo filtro seg´ un el ejemplo VII.1.10(a).

198

FILTROS

VII.1.12 Ejemplo. Considérese B = {(−1/n, 1/n) ⊂ R | n ∈ N} y sea B ′ = {(−π/2n , π/2n ) ⊂ R | n ∈ N}. Ambas son bases de filtro y son equivalentes, ya que generan precisamente el filtro de vecindades de 0 en R; sin embargo, son ajenas. Como vimos en el ejemplo VII.1.10(d), cada sucesión determina un filtro elemental; más a´ un, sucesiones distintas pueden determinar el mismo filtro; por ejemplo, sucesiones que sólo difieren en un n´ umero finito de términos. Si observamos la definición de convergencia de una sucesión en un espacio topológico, vemos que ésta se basa en una comparación de las colas de la sucesión con las vecindades del punto al cual converge. Más precisamente, la sucesión (xn ) converge a un punto x si para cada vecindad de x hay una cola de la sucesión contenida en ella. Es decir, si cada vecindad pertenece al filtro elemental generado por la sucesión. En s´ımbolos, xn → x si Nx ⊂ F(xn ) . Esto da pie a la siguiente concepto. ´ n. Sean F y G dos filtros en un conjunto X. Si VII.1.13 Definicio F ⊂ G, decimos que F es m´ as grueso que G o que G es m´ as fino que F. VII.1.14 Ejemplos. (a) El filtro trivial {X} es el filtro en X más grueso de todos. (b) No existe un filtro más fino que todos; a saber, si A y X −A son no vac´ıos, cada uno de ellos determina un filtro de superconjuntos; a saber, FA y FX−A . No hay un filtro que sea más fino que ambos, puesto que si lo hubiera tanto A como X − A estar´ıan en él, y as´ı también su intersección A ∩ (X − A) = ∅, lo cual es imposible. VII.1.15 Teorema. Sean B1 y B2 bases de filtro en el conjunto X. Son equivalentes (a) El filtro generado por B1 es m´ as fino que el filtro generado por B2 . (b) Cada conjunto en B2 contiene a uno de B1 .

⊔ ⊓

FILTROS

199

VII.1.16 Corolario. Dos bases de filtro B1 y B2 en un conjunto X son equivalentes si y s´ olo si cada conjunto de B1 contiene a uno de B2 y viceversa. ⊔ ⊓ Obsérvese que el ejemplo VII.1.12 ilustra muy claramente el corolario anterior. De las consideraciones previas a la definición VII.1.13, surge de manera natural el siguiente concepto. ´ n. Sea X un espacio topológico y F un filtro en VII.1.17 Definicio X. Decimos que el filtro F converge a x ∈ X, en s´ımbolos F → x, si F es más fino que el filtro de vecindades de x. Es decir, si Nx ⊂ F . Si B es una base de filtro en X, decimos que B converge a x ∈ X, en s´ımbolos B → x, si el filtro generado por B converge a x. Escribimos l´ım F para el conjunto de todos los puntos x ∈ X, tales que F converge a x, conjunto al cual designamos l´ımite de F. Si l´ım F tiene un sólo punto x, escribimos l´ım F = x. Si l´ım F = ∅ decimos entonces que F no converge o simplemente que diverge. VII.1.18 Proposici´ on. Sea G un filtro m´ as fino que otro filtro F. Si F converge a x, entonces G. ⊔ ⊓ VII.1.19 Ejemplos. (a) Sean X un espacio topológico y (xn ) una sucesión en X. Entonces (xn ) converge a x si y sólo si el filtro elemental generado por (xn ) converge a x. (b) Sea X un espacio indiscreto. Entonces para todo filtro F y todo punto x en X, F → x, es decir, l´ım F = X. VII.1.20 Proposici´ on. Sea {Fλ }λ∈Λ una familia de filtros en un con∩ junto X. Entonces la intersecci´ on F = Fλ es un filtro. Llamamos a este filtro simplemente intersecci´ on o ´ınfimo de {Fλ }, y lo denotamos por ´ınf Fλ . ⊔ ⊓ Si G es un filtro en X más grueso que Fλ para toda λ ∈ Λ, entonces G ⊂ Fλ para toda λ ∈ Λ. Claramente G es más grueso que ´ınf Fλ , es decir, ´ınf Fλ es el más fino de todos los filtros que son más gruesos que todos los Fλ .

200

FILTROS

VII.1.21 Teorema. Sea X un espacio topol´ ogico. El ´ınfimo de todos los filtros que convergen a x ∈ X es el filtro Nx . ⊔ ⊓ Sea ahora {Bλ }λ∈Λ una familia de bases de filtro en un conjunto X y sea Fλ el filtro generado por Bλ . De existir un filtro más fino que todos los filtros Fλ , debe contener éste a todos los conjuntos de todos los Fλ , o de todos los Bλ . As´ı también, a las intersecciones finitas de conjuntos en las Bλ . Esto sugiere definir B={

n ∩

Bi | Bi ∈ Bλi , λi ∈ Λ} ,

i=1

de modo que claramente tenemos lo siguiente. VII.1.22 Proposici´ on. Si ning´ un conjunto en B es vac´ıo, entonces B es una base de filtro. ⊔ ⊓ Bajo la hipótesis de VII.1.22, B es base del filtro más grueso que es más fino que todos los Fλ . Tenemos as´ı el siguiente resultado. VII.1.23 Teorema. Sea {Bλ }λ∈Λ una familia de bases de filtro en el conjunto X. Entonces existe un filtro m´ as fino que todos los generados ∩ por las Bλ si y s´ olo si las intersecciones finitas ni=1 Bi , con Bi ∈ Bλi , λi ∈ Λ (distintos), son no vac´ıos. Si esto es as´ı, entonces estas intersecciones constituyen una base del filtro m´ as grueso que es m´ as fino que todos los generados por las bases de filtro Bλ . ⊔ ⊓ ´ n. Sea {Bλ }λ∈Λ una familia de bases de filtro en VII.1.24 Definicio un conjunto X. Al filtro F generado por B se le llama supremo de los filtros Fλ generados por las Bλ . En s´ımbolos, F = sup Fλ . VII.1.25 Teorema. Sea X un conjunto y A ⊂ X. Sea F un filtro en X. Entonces A ∈ F ′ para alg´ un filtro F ′ m´ as fino que F si y s´ olo si X − A ̸∈ F. Demostraci´ on: Si X − A ∈ F , entonces X − A ∈ F ′ para todo F ′ más fino que F. Hence A ̸∈ F ′ para todo F ′ más fino que F. Inversamente, si X − A ̸∈ F y F ∈ F , entonces F ̸⊂ X − A. Por tanto, F ∩ A ̸= ∅. Por el teorema anterior, existe el supremo de F y el filtro FA de los superconjuntos de A, o sea un filtro F ′ más fino que F que contiene a A. ⊔ ⊓

FILTROS

201

VII.1.26 Ejercicio. Sean B1 y B2 bases de filtro. Probar que B = {B1 ∪ B2 | B1 ∈ B1 y B2 ∈ B2 } es una base de filtro. ¿Qué relación guarda el filtro generado por B con los filtros generados por B1 y B2 , respectivamente? Consideremos la siguiente pregunta. ¿Qué propiedad debe tener X para que l´ım F ⊆ {x}, x ∈ X? Es decir, ¿bajo qué condición en X tiene un filtro a lo más un punto l´ımite. Esto requiere que no haya un filtro más fino que los filtros de vecindades de cualesquiera dos puntos de X. Estudiaremos esta condición en detalle en lo que sigue. Sea X un espacio topológico y sean x ̸= y puntos de X. Existe un filtro más fino que el filtro de las vecindades de x, Nx , y el filtro de las vecindades de y, Ny , si y sólo si toda vecindad de x intersecta a toda vecindad de y. En otras palabras, existe un filtro F tal que F → x y F → y si y sólo si existe un filtro F tal que Nx ⊂ F y Ny ⊂ F, lo cual es equivalente a lo que se aseguró anteriormente, es decir, a que toda vecindad de x intersecte a toda vecindad de y. Hemos probado as´ı la siguiente afirmación. as a un VII.1.27 Proposici´ on. Cualquier filtro en X converge a lo m´ solo punto si y s´ olo si se cumple la siguiente condici´ on: (H) Para cualesquiera dos puntos x ̸= y en X, existe U ∈ Nx y V ∈ Ny , tales que U ∩ V = ∅. ⊔ ⊓ La condición (H) se conoce como el axioma de separaci´ on de Hausdorff. VII.1.28 Proposici´ on. El axioma (H) es equivalente al siguiente: (H′ ) Cada punto de X es intersecci´ on de todas sus vecindades cerradas. Demostraci´ on: (H)=⇒(H′ ) Sea x ∈ X un punto arbitrario. Para cada punto y ̸= x, existen vecindades abiertas ajenas U y V de x y y. As´ı, W = X−V ⊃ U , por lo que W es una vecindad cerrada de x que no contiene a y como ∩ elemento. Por tanto, {x} = {W | W es vecindad cerrada de x}.

202

FILTROS

(H′ )=⇒(H) Sean x, y ∈ X, x ̸= y. Existe V , vecindad cerrada de y, tal que x ̸∈ V . Entonces X − V es un abierto que contiene a x como elemento; por tanto, U = X − V es una vecindad de x ajena a V . ⊔ ⊓ ´ n. Al conjunto ∆ = {(x, x) ∈ X × X} se le llama VII.1.29 Definicio la diagonal del espacio X en X × X. Claramente (x, y) ̸∈ ∆ si y sólo si x ̸= y. Si X satisface (H), y (x, y) ̸∈ ∆, entonces existen vecindades ajenas U y V de x y y, respectivamente. El producto U × V es una vecindad de (x, y) en X × X, tal que (U × V ) ∩ ∆ = ∅, ya que si un punto de la diagonal (z, z) ∈ U × V , entonces z ∈ U ∩ V . As´ı, ∆ es cerrado en X × X. Inversamente, si ∆ es cerrado en X × X, entonces X × X − ∆ es un abierto, y si x ̸= y, es decir, si (x, y) ∈ X × X − ∆, entonces existe una vecindad W de (x, y) en X × X ajena a ∆. Por tanto, hay vecindades U y V de x y y en X, respectivamente, tales que U × V ⊂ W , de modo que (U × V ) ∩ ∆ = ∅. As´ı, U ∩ V = ∅. Hemos probado as´ı lo siguiente. VII.1.30 Proposici´ on. La propiedad (H) es equivalente a (H′′ ) La diagonal ∆ ⊂ X × X es cerrada.

⊔ ⊓

Podemos resumir las proposiciones anteriores en el siguiente resultado. VII.1.31 Teorema. Sea X un espacio topol´ ogico. Son equivalentes (H) Cualesquiera dos puntos distintos de X poseen vecindades ajenas. (H′ ) Cualquier punto de X es la intersecci´ on de sus vecindades cerradas. (H′′ ) La diagonal en X × X es cerrada. (H′′′ ) Ning´ un filtro en X converge a m´ as de un solo punto.

⊔ ⊓

´ n. Un espacio topológico X, que satisface uno de VII.1.32 Definicio (y por lo tanto todos) los axiomas (H)–(H′′′ ), se denomina espacio de Hausdorff o espacio T2 .

FILTROS

203

VII.1.33 Ejemplos. (a) Todo espacio métrico es de Hausdorff. A saber, sean x ̸= y en X y ε = d(x, y)/2, entonces Bε (x) ∩ Bε (y) = ∅.

x U

y V

X

Figura VII.1: Vecindades ajenas de puntos distintos (b) No todo espacio seudométrico es de Hausdorff. Por ejemplo, el espacio indiscreto con más de un elemento no lo es. La propiedad de ser espacio de Hausdorff es hereditaria, es decir, es una propiedad que es heredada por los subespacios. VII.1.34 Proposici´ on. Cada subespacio de un espacio de Hausdorff es de Hausdorff. ⊔ ⊓ VII.1.35 Ejercicio. (a) Probar con un contraejemplo que la imagen continua de un espacio de Hausdorff no tiene por qué ser de Hausdorff. (b) Probar que si f : X −→ Y es continua e inyectiva, y Y es de Hausdorff, entonces X es de Hausdorff.

204

FILTROS

Ya que en un espacio de Hausdorff cada punto es intersección de sus vecindades cerradas, tenemos la siguiente afirmación. VII.1.36 Proposici´ on. En un espacio de Hausdorff todo punto es un conjunto cerrado. ⊔ ⊓ El inverso de esta proposición es falso, como lo muestra el siguiente ejemplo. VII.1.37 Ejemplo. Sea X un conjunto infinito con la topolog´ıa cofinita (véase II.1.2(e)). Es inmediato observar que cada punto es cerrado; sin embargo, el espacio no es de Hausdorff. VII.1.38 Proposici´ on. Un espacio topol´ ogico X es tal que cada uno de sus puntos es cerrado si y s´ olo si satisface (T1 ) Para todo par de puntos x ̸= y en X existen vecindades U y V de x y y en X, respectivamente, tales que y ̸∈ U, x ̸∈ V . ⊔ ⊓ ´ n. El axioma (T1 ) se conoce como el primer axioVII.1.39 Definicio ma de separaci´ on. A un espacio topológico X que satisface el axioma (T1 ) se le llama espacio T1 (algunos autores llaman a éstos espacios de Fréchet, pero este nombre puede causar confusión por lo que lo evitaremos). VII.1.40 Ejercicio. Sea X un conjunto infinito. Probar que la topolog´ıa más gruesa en X que lo convierte en un espacio T1 es la topolog´ıa cofinita. VII.1.41 Ejercicio. Probar que Rn con la topolog´ıa de Zariski (II.2.23) es un espacio T1 , que no es de Hausdorff. ¿Qué relación tiene este ejemplo con VII.1.37? VII.1.42 Ejercicio. Probar que el primer axioma de separación es un axioma local. Es decir, probar que si todo punto x ∈ X tiene una vecindad U tal que U es un espacio T1 con la topolog´ıa relativa, entonces X mismo es un espacio T1 .

FILTROS

205

VII.1.43 Nota. El axioma (H) se denota a veces por (T2 ) y también se le conoce como segundo axioma de separaci´ on. A un espacio topológico X que satisface el axioma (T2 ), es decir, a un espacio de Hausdorff, también se le llama espacio T2 . El axioma (T1 ) es más débil que (T2 ), es decir (T2 ) =⇒ (T1 ). Hay un axioma más débil que (T1 ), a saber, (T0 ) Para cada par de puntos x ̸= y in X hay, ya sea, una vecindad U de x en X, o una vecindad V de y en X tal que y ̸∈ U o x ̸∈ V . Al axioma (T0 ) se le conoce como el axioma cero de separaci´ on. Tenemos (T2 ) =⇒ (T1 ) =⇒ (T0 ). VII.1.44 Ejercicio. Probar que el segundo axioma de separación no es un axioma local. Es decir, dar un ejemplo de un espacio X tal que cada punto x ∈ X tenga una vecindad U tal que U es un espacio T2 con la topolog´ıa relativa, pero X mismo no sea un espacio T2 . (Sugerencia: Considerar dos copias de los reales R1 = R y R2 = R y tomar una relación de equivalencia ∼ en la suma topológica R1 ⊔ R2 definida por R1 ∋ t1 ∼ t2 ∈ R2 si y sólo si t1 = t2 < 0 en R, es decir, identificar punto por punto los n´ umeros negativos en las dos copias de los reales. Tomar el cociente X = R1 ⊔ R2 /∼ y probar que cada t ∈ X tiene una vecindad que es homeomorfa a un intervalo abierto en R. Sin embargo, 01 ̸= 02 ∈ X no tienen vecindades ajenas.) VII.1.45 Ejercicio. Mostrar con un ejemplo que no todo espacio T0 es un espacio T1 ).(Sugerencia: Considérese el espacio de Sierpinski.) VII.1.46 Ejercicio. ¿Es el axioma de separación T0 un axioma local? Los ejercicios VII.1.45 y VII.1.37 o VII.1.41 muestran que ninguno de los axiomas de separación es equivalente a otro. VII.1.47 Ejercicio. Sea X un espacio métrico con métrica d y sea (xn ) una sucesión en X. Probar que xn → x si y sólo si d(xn , x) → 0. Para finalizar esta sección veremos cómo un filtro en un conjunto genera en él una topolog´ıa.

206

FILTROS

VII.1.48 Ejemplo. Sean X un conjunto y F un filtro arbitrario en X. Tómese el conjunto X ∗ = X ∪{∞} y para x ∈ X ⊂ X ∗ def´ınase su filtro de vecindades por Nx = Fx , o sea el filtro de todos los superconjuntos de {x} en X ∗ . Para ∞ ∈ X ∗ , def´ınase su filtro de vecindades por N∞ = {F ∪ {∞} | F ∈ F}. Es un ejercicio probar que estos conjuntos forman un sistema de vecindades en el conjunto X ∗ que determinan en él una topolog´ıa. Denótese a este espacio topológico por XF∗ . Es un ejercicio interesante considerar el caso particular en el que X es un conjunto infinito y F es el filtro cofinito descrito en VII.1.10(f). VII.1.49 Ejercicio. Probar que el espacio X ⊂ XF∗ (con la topolog´ıa relativa) es discreto y no es cerrado. Concluir que X = XF∗ , es decir, que X es denso en XF∗ (véase la definición VII.4.17). VII.2

ń Puntos de acumulacio

Siguiendo el paralelo entre sucesiones y filtros, puede extenderse a filtros el concepto de punto de acumulación de una sucesión. En esta sección estudiaremos el concepto de punto de acumulación de un filtro y las relaciones que guarda con los de los filtros comparables. Comenzaremos con el caso particular de punto de acumulación de una sucesión. ´ n. Sean X un espacio topológico y (xn ) una sucesión VII.2.1 Definicio de puntos en X. Un punto x ∈ X es punto de acumulaci´ on de (xn ) si para toda U ∈ Nx xn ∈ U para una infinidad de valores de n. Equivalentemente, x es un punto de acumulación de (xn ) si y sólo si, para toda U ∈ Nx , U intersecta a toda cola de la sucesión (xn ) o, lo que es lo mismo, x es punto de contacto de cada cola de la sucesión. Como ya hemos dicho antes, el concepto de sucesión es pobre al confrontarlo con espacios topológicos muy generales. El siguiente ejemplo, debido a R. Arens, muestra un comportamiento patológico de las sucesiones, que justifica el uso de filtros como alternativa para el estudio de la convergencia. VII.2.2 Ejemplo. Sea X = (N × N) ∪ {(0, 0)}, con la topolog´ıa tal que en N × N es discreta y las vecindades de (0, 0) son los conjuntos U ⊂ X

´ PUNTOS DE ACUMULACION

207

que satisfacen que (0, 0) ∈ U y que existe N ∈ N, tal que para toda n ≥ N U contiene todos los puntos de {n} × N, excepto un n´ umero finito. Esta topolog´ıa es de Hausdorff. La sucesión diagonal, es decir, la sucesión tal que xn = (n, n), tiene a (0, 0) como punto de acumulación; sin embargo, no contiene ninguna subsucesión que converja a (0, 0). VII.2.3 Ejercicio. Verificar las afirmaciones del ejemplo anterior. VII.2.4 Ejercicio. Sea X un espacio topológico 1-numerable y sea (xn ) una sucesión en X con un punto de acumulación x0 . Probar que (xn ) tiene una subsucesión que converge a x0 . Con la idea de que las colas de una sucesión forman una base de filtro, está la analog´ıa siguiente. Sea F un filtro arbitrario en X y sea B una base de F. Si x es punto de contacto de todo conjunto en B, entonces lo es de todo conjunto en F. En otras palabras, sea x ∈ A para toda A ∈ B; si B ∈ F , entonces existe A ∈ B, tal que A ⊂ B. As´ı x ∈ B para toda B ∈ F ; por lo tanto, x ∈ ∩{B ∈ F | B es cerrado}. Inversamente, es claro que si x ∈ ∩{B ∈ F | B es cerrado} entonces x ∈ A para toda A ∈ B. Tenemos as´ı la siguiente definición. ´ n. Sea F un filtro en un espacio topológico X. Se VII.2.5 Definicio dice que x ∈ X es un punto de acumulaci´ on de F si para toda U ∈ Nx y para todo F ∈ F , U ∩ F ̸= ∅. Veamos la siguiente afirmación. VII.2.6 Proposici´ on. Un punto x es punto de acumulaci´ on de un fil∩ tro F si y s´ olo si x ∈ {B ∈ F | B es cerrado}. ⊔ ⊓ Por la proposición anterior, es claro que la definición de punto de acumulación de un filtro es consistente con la de punto de acumulación de una sucesión (VII.2.1); se tiene la siguiente afirmación. VII.2.7 Corolario. Un punto x es punto de acumulaci´ on de la sucesi´ on (xn ) si y s´ olo si x es punto de acumulaci´ on del filtro elemental asociado F(xn ) . ⊔ ⊓

208

FILTROS

Más generalmente, tenemos el siguiente teorema. VII.2.8 Teorema. Sean X un espacio topol´ ogico y F un filtro en X. Entonces x es punto de acumulaci´ on de F si y s´ olo si x es punto de ′ ′ acumulaci´ on de F para todo filtro F m´ as grueso que F. ⊔ ⊓ La relación de los puntos de acumulación de un filtro, con una base de filtro que lo genere se establece en el siguiente resultado inmediato. VII.2.9 Teorema. Sean X un espacio topol´ ogico y B una base de filtro en X. Entonces son equivalentes (a) x es un punto de acumulaci´ on del filtro F generado por B. (b) Para toda U ∈ Nx y para todo B ∈ B, U ∩ B ̸= ∅. (c) x ∈ A, para toda A ∈ B.

⊔ ⊓

Tenemos, en particular, que si A es un subconjunto no vac´ıo del espacio topológico X entonces {A} = B es base del filtro FA de todos los superconjuntos de A. As´ı, en analog´ıa con VII.2.7, se obtiene la siguiente afirmación. VII.2.10 Proposici´ on. Sea X un espacio topol´ ogico y sea A ⊂ X. Entonces x ∈ A, es decir, x es un punto de contacto de A, si y s´ olo si x es punto de acumulaci´ on del filtro de superconjuntos de A, FA . Por lo tanto, A = {x | x es punto de acumulación de FA } . ⊔ ⊓ Esta u ´ltima proposición muestra también la consistencia del concepto de punto de acumulación de un filtro con el de un conjunto. El teorema VII.2.9 afirma que son equivalentes el hecho de que x sea punto de acumulación del filtro F generado por B y el hecho de que toda vecindad de x intersecte a todo conjunto en F. As´ı, la afirmación también es equivalente a asegurar que existe un filtro más fino que F y Nx , es decir, un filtro más fino que F que converge a x. As´ı, queda el siguiente resultado.


209

VII.2.11 Teorema. Sean X un espacio topol´ ogico y F un filtro en X. Entonces x es punto de acumulaci´ on de F si y s´ olo si existe un filtro G m´ as fino que F tal que G converge a x. En particular, si F converge a x, entonces x es punto de acumulaci´ on de F. ⊔ ⊓ Si un espacio topológico no es de Hausdorff, puede un filtro tener un l´ımite y varios puntos de acumulación más. VII.2.12 Ejemplo. Sea X el espacio de Sierpinski, es decir, X = {x, y}, y su topolog´ıa A = {X, ∅, {x}}. El filtro F = {X} converge a y, sin embargo, x es un punto de acumulación de F, pero F no converge a x. Se tiene el siguiente resultado. VII.2.13 Teorema. Si X es un espacio de Hausdorff, entonces para todo filtro convergente F el u ńico punto en l´ım F es el u ńico punto de acumulaci´ on de F. Demostraci´ on: Sea x = l´ım F y sea y un punto de acumulación de F. Por lo tanto, existe un filtro G más fino que F y que Ny , as´ı G → y, pero claramente también G → x. Por ser X de Hausdorff, x = y. ⊓ ⊔ VII.2.14 Ejercicio. Sea B = {(a, ∞) ⊂ R | a ∈ R}. (a) Probar que B es una base de filtro. El filtro F generado por B se llama filtro de Fréchet en R. (b) Probar que el filtro de Fréchet en R con la topolog´ıa usual no tiene puntos de acumulación. (c) Sea L la recta enredada (véase II.4.7). Probar que el filtro de Fréchet en L converge a 0. Como en las sucesiones, puede un filtro no tener ning´ un punto de acumulación o tener un filtro un sólo punto de acumulación sin ser convergente.

210

FILTROS

VII.2.15 Ejercicio. Dar los detalles de la demostración de VII.2.7, es decir, de que x es punto de acumulación de una sucesión (xn ) si y sólo si x es un punto de acumulación del filtro elemental F(xn ) asociado a (xn ). Análogamente probar que x = l´ım xn si y sólo si x = l´ım F(xn ) . Tomemos un espacio topológico X 1-numerable. En términos de filtros, esto significa que, para toda x ∈ X, el filtro de vecindades Nx admite una base numerable. Podemos considerar, en general, filtros arbitrarios con una base numerable. VII.2.16 Ejercicio. Si F tiene una base numerable, entonces tiene una base B = {Bn }n∈N , tal que si m > n entonces Bm ⊂ Bn . VII.2.17 Teorema. Si F admite una base de filtro numerable, entonces existe un filtro elemental m´ as fino que F, y F es la intersecci´ on de todos los filtros elementales que son m´ as finos que él. Demostraci´ on: Sea B = {Bn } una base numerable anidada de F (como en VII.2.16) y sea xn ∈ Bn . Es claro que el filtro elemental F(xn ) es más fino que F. Inversamente, sea G = ∩{F(xn ) | F(xn ) ⊃ F}. Claramente G es más fino que F. Si G ̸= F, entonces existe A ∈ G, tal que A ̸∈ F . As´ı, A ̸⊃ Bn para n ∈ N, es decir, Bn ∩ (X − A) ̸= ∅. Sea xn ∈ Bn ∩ (X − A). Tenemos obviamente que el filtro elemental F(xn ) es más fino que F; sin embargo, A ̸∈ F(xn ) , pues xn ∈ X − A para toda n. As´ı, X − A ∈ F(xn ) . Esto es una contradicción; por lo tanto, G = F. ⊔ ⊓ El teorema anterior nos dice, en particular, que si un punto x ∈ X tiene una base de vecindades numerable, entonces su filtro de vecindades Nx está determinado por todas las sucesiones en X que convergen a x, y por definición de la convergencia también lo están todos los filtros que convergen a x. Sin embargo, hay que cuidar y observar que entre los filtros que convergen a x, pueden existir filtros sin una base numerable. Es decir, si F ⊂ G y G posee una base numerable, F no tiene por qué tener una base numerable.


211

VII.2.18 Ejemplo. El filtro de los superconjuntos de x es más fino que el de sus vecindades Nx . Una base de F{x} es {x}, que es a lo más numerable; sin embargo, si X no satisface el primer axioma de numerabilidad, entonces Nx puede no tener una base numerable. (Es posible también observar que si un filtro no tiene una base numerable, puede existir un filtro más grueso que s´ı la tiene.) VII.2.19 Teorema. Sea X un espacio topol´ ogico que satisface el primer axioma de numerabilidad. Sea F un filtro en X que admite una base numerable, y sea x un punto de acumulaci´ on de F, entonces existe un filtro elemental m´ as fino que F que converge a x. Demostraci´ on: Sea B = {Bn } una base de F y sea U = {Un } una base de Nx . Podemos suponer que estas bases son como en el ejercicio VII.2.16. Si x es un punto de acumulación de F, entonces Bn ∩ Un ̸= ∅ para toda n. Sea xn ∈ Bn ∩ Un , entonces claramente el filtro elemental F(xn ) satisface la afirmación del teorema. ⊔ ⊓ Obsérvese que, en particular, si FA es el filtro de los superconjuntos de A ̸= ∅ en un espacio X que satisface el primer axioma de numerabilidad, entonces x ∈ A si y sólo si existe una sucesión (xn ) ⊂ A, tal que xn → x. Se tiene as´ı que para espacios que satisfacen el primer axioma de numerabilidad la convergencia de sucesiones permite caracterizar la topolog´ıa; véase VII.1.4. VII.2.20 Ejercicio. Sea X un conjunto no numerable y sea (xn ) una sucesión de puntos distintos de X. Probar que el filtro consistente en los conjuntos cofinitos en X (es decir, cuyo complemento es finito) es estrictamente más grueso que el filtro elemental F(xn ) y no tiene una base numerable. VII.2.21 Ejercicio. Sea X un conjunto. (a) Probar que la intersección de dos filtros elementales en X es un filtro elemental. (b) Probar que la intersección de dos filtros en X con base numerable también tiene una base numerable.

212

FILTROS

(c) Probar que si existe el supremo de una familia numerable de filtros en X con base numerable, éste también tiene una base numerable.Let X be a set. VII.2.22 Ejercicio. Sean X un espacio topológico y B la base de filtro consistente en un solo conjunto no vac´ıo A ⊂ X. Probar que si A = {x0 }, entonces B → x0 . VII.2.23 Ejercicio. Sea X un espacio topológico y sea F un filtro en X. Probar que el conjunto de puntos de acumulación de F es cerrado (posiblemente vac´ıo). VII.2.24 Ejercicio. Sea X un espacio de Hausdorff y sea F un filtro en X tal que F → x0 . Si G es más fino que F y x es punto de acumulación de G, probar x = x0 y que G → x0 . VII.3

Ultrafiltros

En esta sección estudiaremos la clase de los ultrafiltros, que son elementos máximos en la clase de los filtros de un conjunto, con respecto a la relación de orden estudiada en la sección VII.1. Los ultrafiltros son filtros con propiedades especiales. Daremos, en primer lugar, una definición general. ´ n. Sea M un conjunto. Se dice que M es un conVII.3.1 Definicio junto parcialmente ordenado (a veces se le suele llamar POSET) si tiene una relaci´ on de orden o un orden parcial ≤ que satisface para cualesquiera elementos a, b, c ∈ M los axiomas (OR1), (OR2) y (OR3) de la Definición III.4.2. VII.3.2 Ejemplos. Son ejemplos de conjuntos parcialmente ordenados los siguientes: (a) Sea X un conjunto y sea M = P(X), la potencia de X, con la relaci´ on ≤ = ⊆. (b) Sea X un conjunto y sea M = {A | A es una topolog´ıa en X}, con la relación de contención de topolog´ıas (ser más gruesa que).

ULTRAFILTROS

213

(c) Sea X un conjunto y sea M = {F | F es un filtro en X} con la relaci´ on ⊆. (d) M = R o Z con la relación de orden usual. ´ n. Sea M un conjunto parcialmente ordenado. Se VII.3.3 Definicio dice que un elemento a ∈ M es m´ aximo si para ninguna b ̸= a, a ≤ b. VII.3.4 Ejemplos. Son máximos en los ejemplos VII.3.2 los siguientes: (a) X ∈ M . (b) La topolog´ıa discreta en X. (c) Los filtros que no admiten filtros estrictamente más finos. (d) No existen elementos máximos en R o Z. ´ n. Sea M un conjunto parcialmente ordenado y sea VII.3.5 Definicio A ⊂ M . Una cota superior de A es un elemento b ∈ M , tal que a ≤ b para todo a ∈ A. Si existe una cota superior de A, entonces se dice que A está acotado superiormente. VII.3.6 Ejemplos. En los ejemplos VII.3.2 tenemos: (a) y (b) Todo subconjunto de M está acotado superiormente. (c) No todo conjunto de filtros está acotado superiormente. (d) No todo subconjunto está acotado superiormente; por ejemplo, M mismo. Sin embargo, se obtiene el siguiente resultado. VII.3.7 Teorema. Sea M el conjunto de todos los filtros en un conjunto X con el orden ⊆. Cada subconjunto de M totalmente ordenado tiene una cota superior.

214

FILTROS

Demostraci´ on: Sea A un conjunto totalmente ordenado de filtros en X ∪ y sea F0 = F∈A F. Es inmediato verificar que F0 es un filtro, que obviamente es una cota superior de A. ⊔ ⊓ El siguiente resultado es un importante lema en la teor´ıa de los conjuntos, del cual omitiremos la demostración (véase [22]). VII.3.8 Teorema. (Lema de Zorn) Sea M un conjunto no vac´ıo parcialmente ordenado. Si cada subconjunto totalmente ordenado de M tiene una cota superior, entonces para toda a ∈ M existe un elemento m´ aximo b ∈ M , tal que a ≤ b. ⊔ ⊓ ´ n. Un filtro máximo en un conjunto X es llamado VII.3.9 Definicio ultrafiltro. Como consecuencia de VII.3.7 y VII.3.8 tenemos el siguiente teorema. VII.3.10 Teorema. Sea X un conjunto arbitrario. Para cada filtro en X existe un ultrafiltro m´ as fino que él. ⊔ ⊓ VII.3.11 Ejemplo. Sea X un conjunto y x ∈ X. El filtro Fx = {A ⊂ X | x ∈ A} es un ultrafiltro. De hecho, éstos son los u ńicos ultrafiltros que se pueden describir expl´ıcitamente. VII.3.12 Ejemplo. Sea X un conjunto y sea (xn ) una sucesión infinita. Entonces el filtro elemental asociado F(xn ) no es un ultrafiltro, pues las subsucesiones propias determinan filtros elementales estrictamente más finos que F(xn ) . Vimos en el teorema VII.2.17 que para todo filtro con una base numerable existe un filtro elemental F ′ más fino que F; también observamos en el ejemplo anterior que los filtros elementales casi nunca son ultrafiltros. En consecuencia, los ultrafiltros son como Fx o no poseen bases numerables. Se tiene el teorema siguiente. VII.3.13 Teorema. Sea X un conjunto. Un filtro U en X es un ultrafiltro si y s´ olo si para toda A ⊂ X se tiene que A ∈ U o X − A ∈ U .

ULTRAFILTROS

215

Demostraci´ on: Supongamos que U es un ultrafiltro. Si X − A ̸∈ U , entonces, por VII.1.25, sabemos que existe un filtro F más fino que U, tal que A ∈ F. Pero U es un ultrafiltro; por lo tanto, F = U. Inversamente, si U no es un ultrafiltro, entonces existe un filtro F más fino que U y distinto. Sea A ∈ F − U; claramente A, X − A ̸∈ U , pues si X − A ∈ U ⊂ F se tendr´ıa X − A, A ∈ F, lo cual no es posible. ⊔ ⊓ VII.3.14 Corolario. Sea X un conjunto y sea U un ultrafiltro en X. ∪ Si A1 , . . . , An ⊂ X son tales que ni=1 Ai ∈ U, entonces Ai ∈ U para alguna i ∈ {1, . . . , n}. Demostraci´ on: Si Ai ̸∈ U para toda i, entonces, por VII.3.13, X − Ai ∈ U para toda i y, por lo tanto, n ∩

(X − Ai ) = X −

i=1

n ∪

Ai ∈ U ,

i=1

lo cual es una contradicción.

⊔ ⊓

Si en el corolario anterior tomamos A1 = A y A2 = X − A, recuperamos el teorema VII.3.13; por lo tanto, VII.3.13 y VII.3.14 son afirmaciones equivalentes y VII.3.14 también es una caracterización de los ultrafiltros. En otras palabras, se tiene lo siguiente. VII.3.15 Teorema. Sea X un conjunto. Un filtro U en X es un ultrafil∪ tro si y s´ olo si cada vez que A1 , . . . , An ⊂ X sean tales que ni=1 Ai ∈ U, entonces Ai ∈ U para alguna i ∈ {1, . . . , n}. ⊔ ⊓ VII.3.16 Ejercicio. Probar que todo filtro en un conjunto X es intersección de los ultrafiltros que lo contienen. VII.3.17 Ejercicio. Sea F un filtro en un conjunto X tal que existe un u ńico ultrafiltro U más fino que él. Probar que F = U. VII.3.18 Ejercicio. Sea X un espacio topológico y A ⊂ X. (a) Probar que x ∈ A◦ si y sólo si A ∈ F para todo filtro F que converge a x.

216

FILTROS

(b) Probar que x ∈ A si y sólo si existe al menos un filtro F que converge a x, tal que A ∈ F. VII.3.19 Ejercicio. Sea X un espacio topológico. Probar que un ultrafiltro U en X converge o no tiene puntos de acumulación. VII.3.20 Ejercicio. Sea P un conjunto de subconjuntos de un conjunto X, tal que si P1 , P2 ∈ P, entonces P1 ∩ P2 , P1 ∪ P2 ∈ P. Un P-filtro es una colección no vac´ıa F de conjuntos no vac´ıos en P, tales que (i) P1 , P2 ∈ F =⇒ P1 ∩ P2 ∈ F, y (ii) P1 ∈ F, P1 ⊂ P2 ∈ P =⇒ P2 ∈ F. Un P-ultrafiltro es un P-filtro máximo. Si X es un espacio topológico, un filtro abierto en X es un P-filtro, tal que P es el conjunto de abiertos en X (su topolog´ıa) y un ultrafiltro abierto es un filtro abierto máximo. (a) Probar que todo filtro abierto está contenido en un ultrafiltro abierto. (b) Probar que las siguientes afirmaciones son equivalentes (1) U es un ultrafiltro abierto. (2) Si G es un abierto en X, tal que G∩H ̸= ∅ para todo H ∈ U, entonces G ∈ U. (3) Si G es abierto en X y G ̸∈ U, entonces X − G ∈ U. VII.3.21 Ejercicio. ∩ (a) Sea F un filtro en un conjunto X, tal que A = F ∈F F ̸= ∅. ¿Qué relación guardan el filtro F y el generado por A, FA ? (b) ¿Existe un filtro F, tal que ∩F ∈F F = ∅?

FILTROS Y FUNCIONES

VII.4

217

Filtros y funciones

Sean X y X ′ dos conjuntos y sea f : X −→ X ′ una función entre ellos. Si B es una base de filtro en X, entonces las imágenes bajo f de los elementos de B forman una base de filtro en X ′ , ya que si B, B ′ ∈ B, entonces existe B ′′ ∈ B, tal que B ′′ ⊂ B ∩ B ′ . Por lo tanto, f (B ′′ ) ⊂ f (B) ∩ f (B ′ ). Si F es un filtro en X, en general la imagen bajo f de sus elementos no forma un filtro. Por ejemplo, si f no es suprayectiva, X ′ no forma parte de esas imágenes. Sin embargo, dado que todo filtro es una base de filtro, las imágenes de los elementos de F bajo f forman también una base de filtro. ´ n. Sea f : X −→ X ′ una función de conjuntos y VII.4.1 Definicio sea F un filtro en X. Al filtro generado por las imágenes bajo f de los elementos de F, es llamada la imagen de F bajo f y se le denota simplemente por f (F). VII.4.2 Ejemplo. Sea N con el orden usual y sea En = {k ∈ N | k ≥ n}. Los conjuntos En constituyen una base de filtro en N, y el filtro E que generan es el de los subconjuntos de N que tienen complemento finito. Una función N −→ X es precisamente una sucesión (xn ) en X y la imagen bajo esa función de E es el filtro elemental asociado a la sucesión F(xn ) . Tomemos una base de filtro B ′ en el codominio X ′ de f . Las imágenes inversas bajo f de los elementos de B ′ satisfacen (BF1), pues f −1 (A′ ∩ B ′ ) = f −1 (A′ ) ∩ f −1 (B ′ ). Si queremos que estas imágenes inversas formen una base de filtro, necesitamos que para toda B ′ ∈ B ′ , f −1 (B ′ ) ̸= ∅. Una condición suficiente para esto es que f sea suprayectiva. Si F ′ es ahora un filtro en X ′ y f −1 (F ′ ) ̸= ∅ para toda F ′ ∈ F ′ , entonces {f −1 (F ′ ) | F ′ ∈ F ′ } es una base de filtro, pero no necesariamente un filtro; a saber, si F ⊃ f −1 (F ′ ), no siempre existe F1′ ∈ F ′ , tal que F = f −1 (F1′ ). (¿Por qué? Ejercicio). ´ n. Sea f : X −→ X ′ una función de conjuntos y sea VII.4.3 Definicio F ′ un filtro en X ′ . Si las imágenes inversas bajo f de los elementos

218

FILTROS

de F ′ constituyen una base de filtro en X, entonces al filtro generado por esta base de filtro se le llama imagen inversa de F ′ bajo f y se le denota por f −1 (F ′ ). Tenemos los siguientes teoremas. on de conjuntos y sea B′ VII.4.4 Teorema. Sea f : X −→ X ′ una funci´ una base de filtro en X ′ . El filtro F ′ generado por B ′ tiene una imagen inversa bajo f si y s´ olo si f −1 (B ′ ) ̸= ∅ para toda B ′ ∈ B ′ . ⊔ ⊓ VII.4.5 Teorema. Sea f : X −→ X ′ una funci´ on de conjuntos. Si ′ F = f (F) para alg´ un filtro F en X, entonces existe f −1 (F ′ ). M´ as a´ un, si f es suprayectiva, entonces existe f −1 (F ′ ) para cualquier F ′ .⊓ ⊔ Sean A ⊂ X y A′ ⊂ X ′ . Si f : X −→ X ′ es una función, entonces A ⊂ f −1 (f (A)) y que f (f −1 (A′ )) ⊂ A′ . En particular, si f es inyectiva, entonces A = f −1 (f (A)) y si f es suprayectiva f (f −1 (A′ )) = A′ . As´ı, se tiene el teorema siguiente. VII.4.6 Teorema. Sea f : X −→ X ′ una funci´ on de conjuntos. (a) Si F es un filtro en X, entonces f −1 (f (F)) es un filtro m´ as grueso que F y coincide con F si f es inyectiva. (b) Si F ′ es un filtro en X ′ y f −1 (F ′ ) existe, entonces f (f −1 (F ′ )) es m´ as fino que F ′ y coincide con F ′ si f es suprayectiva. ⊔ ⊓ as fino que F en X, entonces VII.4.7 Proposici´ on. Si G es un filtro m´ f (G) es m´ as fino que f (F). M´ as a´ un, si F ′ es un filtro m´ as fino que ′ ′ −1 ′ G en X , entonces f (F ) es m´ as fino que f −1 (G ′ ), en caso de existir éstos. ⊔ ⊓ VII.4.8 Nota. Si en el teorema anterior se sustituye “más fino” por “estrictamente más fino”, no se cumple. (Ejercicio). VII.4.9 Nota. Si B es base de F, entonces f (B) = {f (B) | B ∈ B} es una base para f (F). Si, por otro lado, B ′ es base de F ′ , entonces f −1 (B ′ ) = {f −1 (B ′ ) | B ′ ∈ B ′ } es una base para f −1 (F ′ ). Por supuesto, ambas afirmaciones sólo tienen sentido si los filtros correspondientes existen.

FILTROS Y FUNCIONES

219

VII.4.10 Proposici´ on. Sea f : X −→ Y suprayectiva y sea U un ultrafiltro en X, entonces f (U) es un ultrafiltro en Y . Demostraci´ on: Sea U un ultrafiltro en X. Tómese A ⊂ Y , entonces f −1 (Y −A) = X −f −1 (A) y, por tanto, por VII.3.13, f −1 (A) o f −1 (Y − A) es elemento de U, es decir, A o Y − A es elemento de f (U ) y, nuevamente por VII.3.13, f (U) es un ultrafiltro. ⊔ ⊓ ´ n. Sea A ⊂ X. Cada filtro G en A tiene una imaVII.4.11 Definicio gen en X bajo la inclusión A ,→ X, la cual se llama continuaci´ on (o extensi´ on) de G a X. Si X es un espacio topológico y G es un filtro en el subespacio A de X, tal que su continuación a X converge en X, diremos simplemente que G converge en X. Esto no implica necesariamente que G converja en A. Sin embargo, si G converge en A entonces también su continuación a X converge (al mismo punto de A). Más concretamente, se tiene el siguiente ejercicio. VII.4.12 Ejercicio. Sean X un espacio topológico, A ⊂ X y G un filtro en A. Probar (a) x ∈ A es un punto de acumulación de G si y sólo si lo es de su continuación a X. (b) x ∈ A es un punto l´ımite de G si y sólo si lo es de su continuación a X. Si F es un filtro en X, como ya se vio antes, no tiene por qué existir i−1 (F) si i es la inclusión de A en X. De hecho, i−1 (F) existe si y sólo si F ∩ A ̸= ∅ para toda F ∈ F. En este caso se le llama a i−1 (F) la traza (o huella) de F en A. Si A ̸∈ F, pero existe la traza de F en A, entonces la continuación de la traza es el supremo de F y el filtro FA de los superconjuntos de A. Si, en particular, F es el filtro de vecindades de un punto x ∈ X, de la definición de punto de contacto obtenemos el siguiente teorema, que generaliza el teorema VII.1.4 (a). VII.4.13 Teorema. Sea A ⊂ X, x ∈ X. Son equivalentes

220

FILTROS

(a) x ∈ A. (b) El filtro de vecindades de x tiene una traza en A. (c) Existe un filtro G en A, tal que G → x en X.

⊔ ⊓

Sean X y Y espacios topológicos, f : X −→ Y una función y x0 ∈ X. ¿Qué quiere decir que f sea continua en x0 ? Seg´ un la definición, esto significa que dada una vecindad de f (x0 ) existe una vecindad de x0 cuya imagen yace en la vecindad dada, es decir, Nf (x0 ) ⊂ f (Nx0 ). Tenemos, en otras palabras, la siguiente afirmación. VII.4.14 Proposici´ on. f es continua en x0 si y s´ olo si f (Nx0 ) → f (x0 ). En el caso de que este l´ımite sea u ńico, escribimos simplemente (VII.4.15)

l´ım f (x) = f (x0 ) .

x→x0

As´ı, si Y es un espacio de Hausdorff, esta ecuación caracteriza la continuidad de f en x0 . Si ahora tenemos que f es continua en x0 y F es un filtro que converge a x0 , entonces F es más fino que Nx0 , por lo que f (F) es más fino que f (Nx0 ), el cual a su vez es más fino que Nf (x0 ) . Por lo tanto, tenemos la proposición siguiente, que generaliza el teorema VII.1.4 (b). VII.4.16 Teorema. f es continua en x0 si y s´ olo si f (F) → f (x0 ) para todo filtro F, tal que F → x0 . ⊔ ⊓ En otras palabras, las funciones continuas son precisamente aquéllas que conmutan con los l´ımites, es decir, tales que f (l´ım F) = l´ım f (F). En particular obtenemos el teorema VII.1.4 (b) como consecuencia. Terminaremos esta sección revisando otro concepto fundamental de la topolog´ıa, que ya hab´ıamos considerado antes III.4.12, a saber, el concepto de densidad. Empezamos con una definición más general. ´ n. Sea X un espacio topológico y sean A, B ⊂ X. VII.4.17 Definicio Se dice que A es denso respecto a B si B ⊂ A, y que A es denso en B si A ⊂ B ⊂ A.

⊓ ⊔

FILTROS Y PRODUCTOS

221

VII.4.18 Lema. Si A es denso en X y Q es abierto en X entonces A ∩ Q es denso en Q. Demostraci´ on: Deseamos probar que Q ⊂ A ∩ Q. Para esto, sea x ∈ Q y U vecindad de x; ya que Q es abierto, U ∩ Q es vecindad de x y por ser A denso en X entonces U ∩ Q ∩ A ̸= ∅. Por lo tanto, x ∈ Q ∩ A. ⊔ ⊓ Tenemos que si X es un espacio de Hausdorff, entonces, por VII.4.14, f : X −→ Y es una aplicación continua en x0 ∈ X si y sólo si l´ımx→x0 f (x) = f (x0 ), es decir, por definición, si y sólo si f (Nx0 ) → f (x0 ). Si Nx0 induce un filtro en A, y la imagen de este filtro bajo f |A converge a y, podemos escribir que l´ım f (x) = y .

x→x0 x∈A

En particular, si A = X − {x0 }, escribimos l´ım f (x) = y .

x→x0 x̸=x0

Supongamos que A es denso en X y que Y es un espacio de Hausdorff. Para toda x0 ∈ X, existe la traza de Nx0 en A. Si f : X −→ Y es continua, sea g = f |A , as´ı l´ım g(x) = f (x0 ) .

x→x0 x∈A

Tenemos el siguiente teorema. VII.4.19 Teorema. Sean X y Y espacios topol´ ogicos, Y de Hausdorff, y sea A ⊂ X denso. Sean f, g : X −→ Y continuas. Si f |A = g|A , entonces f = g. ⊔ ⊓ VII.4.20 Ejercicio. Probar el teorema anterior, VII.4.19, directamente, es decir, usando expl´ıcitamente el hecho de que A = X y de que Y es de Hausdorff. VII.4.21 Ejercicio. Sea f : X −→ Y continua y sea D ⊂ X un subconjunto denso. Probar que f (D) es denso en f (X) ⊂ Y . En particular, si f es suprayectiva, entonces f (D) es denso en Y . (Sugerencia: Usar II.5.8 (d).)

222

FILTROS

VII.5

Filtros y productos

Los filtros son una buena herramienta para el estudio de la topolog´ıa de un producto. En esta sección haremos un análisis del comportamiento de los filtros respecto a productos. Comenzaremos con el siguiente teorema que caracteriza la convergencia de filtros en un producto. ∏ VII.5.1 Teorema. Sea X = λ∈Λ Xλ un producto de espacios topol´ ogicos y sea F un filtro en X. Entonces, F → x = (xλ ) si y s´ olo si para toda λ ∈ Λ, pλ (F) → xλ , donde pλ : X −→ Xλ es la proyecci´ on. Demostraci´ on: Ya que pλ es continua, si F converge a x, pλ (F) converge a pλ (x). Inversamente, supongamos que pλ (F) → xλ para toda λ, y sea Qλ una vecindad abierta de xλ en Xλ . Por lo tanto, Qλ ∈ pλ (F), −1 as´ı p−1 en contiene λ (Qλ ) ∈ pλ pλ (F) ⊂ F. En consecuencia, F tambi´ −1 a intersecciones finitas de elementos de la forma pλ (Qλ ), es decir, ∏ conjuntos de la forma λ∈Λ Qλ , donde Qλ = Xλ , excepto para un n´ umero finito de λ ∈ Λ; ya que éstos forman una base de vecindades de x = (xλ ) en X, se tiene que Nx ⊂ F, es decir, F → x. ⊔ ⊓ VII.5.2 Ejemplo. Sea RR el producto de copias de R, una por cada t ∈ R, es decir, RR = {f : R −→ R} con la topolog´ıa del producto. Entonces fn → f en RR si y sólo si fn (t) → f (t) para toda t ∈ R. O sea, se tiene convergencia de funciones en la topolog´ıa del producto si y sólo si se tiene convergencia puntual. El teorema VII.5.1 da una caracterización de la topolog´ıa del producto a través de decir qué filtros convergen. Nos preguntamos ahora, en forma general, la existencia de filtros en el producto cartesiano ∏ λ∈Λ Xλ de conjuntos Xλ con proyecciones dadas. Ya en el ejemplo VII.1.8(d) adelantamos la construcción de una base de filtro en un producto dadas bases de filtro en cada factor. Sea ahora Fλ un filtro en un conjunto Xλ , λ ∈ Λ. Sea κ ∈ Λ y Fκ ∈ ∏ Fκ . Entonces p−1 κ (Fκ ) = λ∈Λ Fλ , donde Fλ = Fκ si λ = κ y Fλ = Xλ si λ ̸= κ. Existe el filtro que es la m´ınima cota superior, es decir, el ´ınfimo de {p−1 a generado precisamente por λ (Fλ ) | λ ∈ Λ}, el cual est´ ∏ { λ∈Λ Fλ | Fλ ∈ Fλ , y Fλ = Xλ , excepto para un n´ umero finito de λ ∈ Λ}.

REDES

223

´ n. Sea Λ ̸= ∅ y sea Xλ un conjunto no vac´ıo para VII.5.3 Definicio cada λ ∈ Λ. Al filtro F generado por la base ∏ { Fλ | Fλ ∈ Fλ , y Fλ = Xλ , excepto para un n´ umero finito de λ ∈ Λ} λ∈Λ

se le llama producto de los filtros Fλ , se le denota por que pλ (F) = Fλ . Compárese conVII.1.8 (d).

∏

λ∈Λ Fλ

y es tal

Sean ahora Xλ , λ ∈ Λ, espacios topológicos no vac´ıos y sean Fλ ∏ filtros en Xλ para cada λ. Si λ∈Λ Fλ tiene dos l´ımites distintos en ∏ en tiene dos l´ımites distintos en Xλ para λ∈Λ Xλ , entonces Fλ tambi´ alguna λ. Inversamente, si para alguna λ hay un filtro Fλ con dos l´ımites distintos en Xλ , entonces (si para toda λ, Xλ ̸= ∅) hay un ∏ filtro F con dos l´ımites distintos en X = λ∈Λ Xλ . Tenemos as´ı, como primera aplicación de los filtros a los productos de espacios topológicos, el siguiente teorema. VII.5.4 Teorema. Sea {Xλ | λ ∈ Λ} una familia no vac´ıa de espacios ∏ topol´ ogicos no vac´ıos y sea X = λ∈Λ Xλ . Entonces X es de Hausdorff si y s´ olo si Xλ es de Hausdorff para toda λ ∈ Λ. ⊔ ⊓ VII.5.5 Ejercicio. Sea {Xλ | λ ∈ Λ} una familia no vac´ıa de espacios topológicos no vac´ıos y sean para cada λ ∈ Λ, Fλ un filtro en Xλ y F ∏ el filtro producto en X = λ∈Λ . Probar (a) x = (xλ ) ∈ X es un punto de acumulación de F si y sólo si xλ ∈ Xλ es un punto de acumulación de Fλ para toda λ. (b) F → x = (xλ ) ∈ X si y sólo si Fλ → xλ ∈ Xλ para toda λ. Si pλ = proyXλ : X −→ Xλ , concluir que para un filtro arbitrario F en X se cumplen (c) si xλ ∈ Xλ es un punto de acumulación de Fλ = pλ (F), entonces x = (xλ ) ∈ X es punto de acumulación de F, (d) si Fλ = pλ (F) → xλ ∈ Xλ , entonces F → x = (xλ ) ∈ X.

224

FILTROS

VII.6

Redes

Cuando un espacio satisface el primer axioma de numerabilidad, vimos que la convergencia de sucesiones caracteriza su topolog´ıa. El concepto de red generaliza el de sucesión y la convergencia de redes servirá para caracterizar la topolog´ıa de espacios arbitrarios. A diferencia de los filtros, su manejo es totalmente análogo al de las sucesiones, por lo que resultan ser de manejo sencillo. En cierto sentido, las redes y los filtros son equivalentes: Dada una red, hay un filtro cuya convergencia corresponde a la de la red. Inversamente, dado un filtro, se le puede asociar una red con convergencia similar. En esta sección probaremos los resultados más importantes sobre redes y espacios topológicos haciendo uso de su relación con los filtros. ´ n. Un conjunto M provisto de una relación ≤ es VII.6.1 Definicio dirigido si tiene una relaci´ on de preorden que satisface los axiomas (OR1) (la relación es reflexiva) y (OR2) (la relación es transitiva) de la definición VII.3.1, as´ı como el axioma adicional (CD) Para todo par de elementos a, b ∈ M existe c ∈ M , tal que a ≤ c y b ≤ c. VII.6.2 Ejemplos. Son conjuntos dirigidos los siguientes. (a) M = R, Z o N con la relación de orden usual ≤. (b) M = P(X) la potencia de un conjunto X con la relación de preorden ≤=⊇ (o ≤=⊆). (c) M = Nx , una base local de vecindades alrededor de un punto x en un espacio topológico X, con la relación de preorden ≤=⊃ (o ≤=⊂). A la relación ≤ se le llama direcci´ on en M . Para poder estudiar la convergencia en espacios topológicos en un contexto adecuado, necesitaremos el conjunto dirigido del ejemplo (c). La siguiente definición generaliza sucesiones.

REDES

225

´ n. Sea X un conjunto y sea M un conjunto dirigido. VII.6.3 Definicio Una M -red o, simplemente, una red en X es una función M −→ X. Para cada a ∈ M denotamos por xa ∈ X a la imagen de a en X y a la red la representamos por (xa )a∈M o, simplemente, por (xa ). Sean M ′ un conjunto dirigido y φ : M ′ −→ M una función creciente y cofinal, es decir, tal que satisface a′ ≤ b′ =⇒ φ(a′ ) ≤ φ(b′ ) (φ es creciente) y dada a ∈ M, hay alguna a′ ∈ M ′ tal que a ≤ φ(a′ ) (φ es cofinal). Definimos una subred de (xa )a∈M como la M ′ -net (xφ(a′ ) )a′ ∈M ′ . Análogamente al caso de las sucesiones, se define el concepto de cola de una red (xa ), como (xa )b = (xa )b≤a , para alguna b ∈ M . Ya que si b1 , b2 ∈ M existe b ∈ M , tal que b1 , b2 ≤ b, se tiene que {xa }b ⊂ {xa }b1 ∩ {xa }b2 ; por lo tanto, el conjunto de colas de una red es base de un filtro F(xa ) , al que llamamos filtro generado por la red (xa ). Ya que la convergencia de redes está modelada en la de sucesiones, las siguientes definiciones deben de ser claras. ´ n. Sea (xa )a∈M una red en X y sea A ⊂ X. Se dice VII.6.4 Definicio que la red (xa ) yace frecuentemente en A si para toda a ∈ M existe b ∈ M , a ≤ b, tal que xb ∈ A y que yace finalmente en A si existe a ∈ M , tal que para toda b ∈ M , a ≤ b, xb ∈ A. Si suponemos ahora que X es un espacio topológico, decimos que una red (xa ) converge a un punto x ∈ X (en s´ımbolos, (xa ) → x o, más simplemente, xa → x) si para toda vecindad V de x la red yace finalmente en V . Se define x entonces como un punto l´ımite de la red (en s´ımbolos, x ∈ l´ım xa ). Se dice que y es un punto de acumulaci´ on de una red (xa ) si para toda vecindad W de y la red yace frecuentemente en W . Si, por ejemplo, X es un espacio discreto, entonces una red (xa ) converge a x ∈ X si y sólo si (xa ) yace finalmente en {x}, es decir, si y sólo si hay una b tal que si b ≤ a, entonces xa = x. Por otro lado, si X

226

FILTROS

es indiscreto (con más de un punto), entonces toda red (xa ) converge a cualquier punto de X, es decir, l´ım xa = X. As´ı, una red puede tener varios puntos l´ımites. VII.6.5 Ejercicio. Probar que si una red (xa ) en X yace finalmente en un conjunto V ⊂ A, entonces también yace frecuentemente en él. Concluir que entonces un punto l´ımite de una red es también punto de acumulación de la red. VII.6.6 Ejercicio. Probar que si una red (xa ) en un espacio topológico X es finalmente constante (digamos, finalmente x), entonces (xa ) converge (a saber, xa → x). VII.6.7 Ejemplos. (a) Sean X un espacio topológico, x ∈ X, y M cualquier base local de vecindades del punto x en X. Como en VII.6.2 (c), damos a M una relación por U ≤ V si y sólo si V ⊂ U , que la convierte en un conjunto dirigido. Tómese un punto xU ∈ U para cada U ∈ M. Entonces (xU ) es una red en X tal que xU → x. A saber, dada cualquier vecindad W de x en X, hay alguna U ∈ M tal que U ⊂ W . Por tanto, si U ≤ V en M, entonces V ⊂ W , y con ello, xV ∈ W . As´ı (xU ) yace finalmente en la vecindad dada W . (b) Dado que el conjunto N de los n´ umeros naturales con su relación de orden estándar es un conjunto dirigido, toda sucesi on (xn ) es una red. Claramente (xn ) converge a x como sucesión si y sólo si converge a x como red. Obsérvese que toda subsucesión de (xn ) es una subred de la red (xn ); sin embargi, el inverso es falso. Puede definirse una subred de (xn ) que no sea una subsucesión. (c) Recuérdese que una partici´ on de un intervalo cerrado [a, b] es una sucesión finita P = {t0 = a < t1 < t2 < · · · < tk = b} y que otra partición Q es un refinamiento si P ⊂ Q. Denotamos este hecho por P ≤ Q. As´ı, el conjunto P de todas las particiones de [a, b] es un conjunto dirigido. Dada cualquier función real f definida en [a, b], podemos definir una red L(f ) : P −→ R poniendo L(f )(P )

REDES

227

como la suma inferior de Riemann f sobre la partición P y U (f ) : P −→ R poniendo U (f )(P ) como la suma superior de Riemann de f sobre la partición P (véase [?, 6.1]). El que ambas redes converjan al mismo valor c significa que f es integrable y ∫ b f (t)dt = c . a

Este ejemplo es lo que llevó a Moore y Smith al concepto de red (véase [33]). VII.6.8 Ejercicio. Sea X un espacio métric y tómese x0 ∈ X. Probar que el complemento de este punto M = X − x0 es un conjunto dirigido con el preorden dado por la relación x < x′ si y sólo si d(x′ , x0 ) < d(x, x0 ). Tómese f : X −→ Y , donde Y es otro espacio métrico. La restricción f |M : M −→ Y define una red en Y . Probar que esta red converge a y0 ∈ Y si y sólo si l´ımx→x0 f (x) = z0 en el sentido del cálculo elemental. VII.6.9 Ejercicio. Probar que si una red (xa ) en un espacio topológico X converge a x, entonces toda subred de (xa ) converge a x. El siguiente resultado relaciona la convergencia de redes y la de filtros. VII.6.10 Proposici´ on. Sea X un espacio topol´ ogico y sea (xa ) una red en X. Entonces xa → x si y s´ olo si F(xa ) → x. Demostraci´ on: Si xa → x, entonces para cada vecindad V ∈ Nx hay una cola de la red (xa ) contenida en V . Por lo tanto, V ∈ F(xa ) , es decir, Nx ⊂ F(xa ) . As´ı, F(xa ) → x. Inversamente, si F(xa ) → x, es decir, si Nx ⊂ F(xa ) y V ∈ Nx , entonces V contiene una cola de la red, o sea, la red yace finalmente en V . Por tanto, xa → x. ⊔ ⊓ As´ı como los conceptos de convergencia de redes y de filtros son consistentes, también lo son los de punto de acumulación; a saber, se tiene el siguiente resultado, que generaliza al teorema VII.2.7 y cuya demostración es análoga a la anterior.

228

FILTROS

VII.6.11 Proposici´ on. Sean X un espacio topol´ ogico y (xa ) una red en X. Entonces y es punto de acumulaci´ on de la red (xa ) si y s´ olo si y es punto de acumulaci´ on del filtro F(xa ) generado por ella. ⊔ ⊓ De VII.2.13, es inmediata la siguiente afirmación. VII.6.12 Proposici´ on. Sea X un espacio topol´ ogico de Hausdorff. Entonces toda red (xa ) en X converge a lo m´ as a un solo punto x ∈ X. ⊔ ⊓ Podemos usar redes para caracterizar la cerradura de un conjunto en un espacio topológico y, con ello, su topolog´ıa. VII.6.13 Teorema. Sean X un espacio topol´ ogico y A ⊂ X. Son equivalentes (a) x ∈ A. (b) Existe una red (xa ) en A que converge a x. on de (c) Existe una red (xa ) en A, tal que x es punto de acumulaci´ ella. Demostraci´ on: (a) =⇒ (b) Para cada V ∈ Nx , V ∩ A ̸= ∅ (pues x ∈ A). Sea M = Nx el conjunto dirigido de VII.6.2(c) y M → X una red tal que xV ∈ V ∩ A, para cada V ∈ M . As´ı, la red (xV ) yace en A y para cada V ∈ Nx , xW ∈ V si V ≤ W , es decir, si V ⊃ W . Por lo tanto, xV → x. (b) =⇒ (c) Todo punto l´ımite de una red es de acumulación, ya que si una red yace finalmente en una vecindad, también yace frecuentemente en ella (véase VII.6.5). (c) =⇒ (a) Sea V ∈ Nx ; por ser x punto de acumulación de una red (xa ) en A, la red yace frecuentemente en V , es decir, para cada a existe b, a ≤ b, tal que xb ∈ V . Por lo tanto, ya que xb ∈ A, A ∩ V ̸= ∅, de modo que x ∈ A. ⊔ ⊓ Como consecuencia, se tiene la siguiente caracterización de la topolog´ıa de un espacio a través de redes, que generaliza a VII.1.4 (a) a espacios que no necesariamente satisfacen el primer axioma de numerabilidad.

REDES

229

VII.6.14 Proposici´ on. Sean X un espacio topol´ ogico y A ⊂ X. Son equivalentes (a) A es cerrado. (b) Para toda red (xa ) ⊂ A, tal que y ∈ X es un punto de acumulaci´ on de ella, y ∈ A. (c) Para toda red (xa ) ⊂ A, tal que x ∈ X es un punto l´ımite de ella, es decir, tal que xa → x, x ∈ A. Demostraci´ on: (a) =⇒ (b) Por la proposición VII.6.13, y ∈ A, por lo que, por (a), y ∈ A. (b) =⇒ (c) Todo punto l´ımite de una red es de acumulación; as´ı, x ∈ A. (c) =⇒ (a) Sea x ∈ A; por VII.6.13, existe una red (xa ) en A que converge a x. As´ı, por (c), x ∈ A, por lo que A ⊂ A, es decir, A es cerrado. ⊔ ⊓ Sea f : X −→ Y una aplicación entre espacios topológicos y sea (xa )a∈M una red en X; entonces hay una red (f (xa ))a∈M en Y , a la que llamamos imagen de la red (xa )a∈M bajo f . La convergencia de redes permite caracterizar la continuidad; se tiene la siguiente afirmación. VII.6.15 Proposici´ on. Una aplicaci´ on f : X −→ Y entre espacios topol´ ogicos es continua en un punto x0 ∈ X si y s´ olo si para toda red que converja a x0 , xa → x0 , la red imagen converge a f (x0 ), f (xa ) → f (x0 ). Demostraci´ on: Supongamos, primeramente, que xa → x0 y sea V ∈ Y Nf (x0 ) . Ya que f es continua en x0 , existe una vecindad U ∈ NxX0 , tal que f (U ) ⊂ V . Por la convergencia de la red, ésta yace finalmente en U , por lo que su imagen (f (xa )) yace finalmente en f (U ) y, por ende, en V . Por lo tanto, f (xa ) → f (x0 ). Inversamente, si f no es continua en x0 existe una vecindad V ∈ NfY(x0 ) , tal que para toda vecindad U ∈ NxX0 , f (U ) ̸⊂ V , es decir, f (U ) ∩ (Y − V ) ̸= ∅. Ya que M = NxX0 es un conjunto dirigido, como se indicó en el ejemplo VII.6.2(c), podemos definir una M -red en X, {xU },

230

FILTROS

de modo que para cada U ∈ M , xU ∈ U es tal que f (xU ) ̸∈ V . Por construcción, xU → x0 , pero f (xU ) ̸→ f (x0 ), ya que esta red imagen no yace finalmente en V . ⊔ ⊓ Pondremos en un solo teorema, que generaliza VII.1.4, los resultados anteriores. VII.6.16 Teorema. Sea X un espacio topol´ ogico arbitrario. Entonces (a) A ⊂ X es cerrado si y s´ olo si para toda red (xa ) ⊂ A, tal que xa → x0 en X, x0 ∈ A. (b) f : X −→ Y es continua en x0 ∈ X si y s´ olo si para toda red (xa ) en X, tal que xa → x0 , f (xa ) → f (x0 ). ⊔ ⊓ Tenemos, as´ı, que las técnicas comunes de sucesiones, utilizadas para verificar propiedades topológicas de espacios 1-numerables, pueden aplicarse a espacios arbitrarios, sustituyendo sucesiones por redes. VII.6.17 Ejercicio. Sea F un filtro en un conjunto X. (a) Sea MF = {(x, F ) | F ∈ F y x ∈ F }. Probar que, con la relación de orden (x, F ) ≤ (y, G) ⇐⇒ F ⊃ G, MF es un conjunto dirigido. A la MF -red en X, MF −→ X, tal que (x, F ) 7→ x, se le llama la red determinada por el filtro F. (b) Probar que el filtro determinado por la MF -red, tal que x(x,F ) = x, es, precisamente, F. (c) Sean X un espacio topológico y F un filtro en X. Probar que F → x0 si y sólo si la red determinada por F converge a x0 . (d) Sea M un conjunto dirigido arbitrario y sea (xa ) una M -red en X. Se tiene una función M −→ MF(xa ) , tal que a 7→ (xa , (xb )a ); probar que esta función conserva el orden. Más a´ un, la red (x, F ) 7→ x extiende a la red (xa ) dada, es decir, la composición M −→ MF −→ X (x, F ) 7→ x es la red dada. Probar que esta u ´ltima red converge a x0 si y sólo si la red dada converge a x0

REDES

231

(e) Sea F un filtro en X y sea MF −→ X, (x, F ) 7→ x, la red determinada por F. Probar que el filtro F converge a x0 si y sólo si el filtro F{x(x,F ) } converge a x0 . El ejercicio anterior muestra que, desde el punto de vista de la converegencia, la teor´ıa de redes y la teor´ıa de filtros son equivalentes. VII.6.18 Ejercicio. Sea X un espacio topológico. Probar que si una red (xa ) tiene un punto de acumulación x, entonces existe una subred (yb ) que converge a x.

232

FILTROS

VIII.

COMPACIDAD

La compacidad es una de las condiciones más importantes para resultados fundamentales de la topolog´ıa y el análisis. En este cap´ıtulo se revisarán los conceptos básicos relacionados con la compacidad. En primer lugar, se analizarán diversas condiciones equivalentes a la compacidad y se darán aplicaciones sencillas y profundas del concepto. Se estudiarán los dos teoremas fundamentales sobre compacidad en espacios euclidianos, a saber, el de Heine–Borel–Lebesgue y el de Bolzano– Weierstrass, y sus generalizaciones a espacios métricos o, más generalmente, a espacios 1-numerables. Más adelante se estudiará el concepto de compactación, que se refiere a cómo encajar densamente espacios no compactos en espacios compactos, asunto de gran utilidad en áreas diversas como la geometr´ıa algebraica y la propia topolog´ıa. Analizaremos en este cap´ıtulo la compactación por un punto (de Alexandroff) y pospondremos la de Stone– ˇ Cech al próximo cap´ıtulo. Concluiremos el cap´ıtulo con algunas aplicaciones de la compacidad para construir otras clases de espacios topológicos que tienen propiedades importantes y resultan u ´tiles en la teor´ıa de homotop´ıa. Se trata de las categor´ıas de los espacios compactamente generados y de los k-espacios. Presentaremos cómo modificar la topolog´ıa de un espacio dado para transformarlo en uno de cada una de las nuevas clases. Estos cambios producen una topolog´ıa más fina que la dada, aunque los invariantes homotópicos que estudia la topolog´ıa algebraica no se alteran. VIII.1

Conjuntos compactos

Comenzaremos haciendo un breve recordatorio de los dos teoremas centrales acerca de la compacidad de subconjuntos de Rn . VIII.1.1 Teorema. (Heine–Borel–Lebesgue) En Rn , un conjunto A es cerrado y acotado si y s´ olo si toda cubierta abierta de A contiene una subcubierta finita. 233

234

COMPACIDAD

VIII.1.2 Teorema. (Bolzano–Weierstrass) En Rn , un conjunto A es cerrado y acotado si y s´ olo si toda sucesi´ on en A tiene un punto de acumulaci´ on en A. Daremos posteriormente (VIII.2.12 y VIII.2.13) una demostración de estos teoremas, derivada de la teor´ıa general de compacidad que introduciremos a continuación. ´ n. Sean X un espacio topológico y A ⊂ X. Se dice VIII.1.3 Definicio que C = {Uλ ⊂ X | λ ∈ Λ} es una cubierta de A en X si ∪λ∈Λ Uλ ⊃ A. Definimos la cubierta C como abierta, resp. cerrada, si Uλ es abierto, resp. cerrado, en X para toda λ ∈ Λ. Si C ′ ⊂ C y C ′ es también una cubierta, entonces decimos que C ′ es una subcubierta de C. En particular, afirmamos que C ′ es finita, resp. numerable, si como conjunto C ′ es finito, resp. numerable. VIII.1.4 Teorema. Sea X un espacio topol´ ogico. Son equivalentes: (C) Toda cubierta abierta de X contiene una subcubierta finita. (C′ ) Toda familia de cerrados en X, cuya intersecci´ on es vac´ıa, contiene una subfamilia cuya intersecci´ on es vac´ıa. (C′′ ) Toda familia de cerrados en X, tal que cada subfamilia finita tiene intersecci´ on no vac´ıa, tiene ella misma intersecci´ on no vac´ıa. (C′′′ ) Cada filtro en X tiene al menos un punto de acumulaci´ on. (Civ ) Cada ultrafiltro en X converge. Demostraci´ on: (C)⇐⇒(C′ ) es claro puesto que {Uλ | λ ∈ Λ} es una cubierta abierta si y sólo si {X − Uλ | λ ∈ Λ} es una familia de cerrados con intersección vac´ıa. (C′ )⇐⇒(C′′ ) es evidente. (C′′ )=⇒(C′′′ ) Sea F un filtro en X. Toda colección finita de cerrados F ∈ F tiene intersección no vac´ıa, por lo que, por (C′′ ), I = ∩{F | F ∈ F, F es cerrado } ̸= ∅. Sea x ∈ I, por lo tanto x es punto de

CONJUNTOS COMPACTOS

235

acumulación de F, pues si V ∈ Nx , y G ∈ F , entonces x ∈ G ∈ F y as´ı V ∩ G ̸= ∅. (C′′′ )=⇒(C′′ ) Sea G una familia de cerrados, tal que ∩ki=1 Gi ̸= ∅, Gi ∈ G, k ∈ N, y sea F = {F ⊂ X | F ⊃ ∩ki=1 Gi , Gi ∈ G, k ∈ N}. F es, claramente, un filtro y, por (C′′′ ), tiene un punto de acumulación, ∩ digamos x. Por lo tanto, toda vecindad de x intersecta a ki=1 Gi , Gi ∈ ∩ G, k ∈ N, por lo que x ∈ G para toda G ∈ G, y as´ı x ∈ {G | G ∈ G}. (C′′′ )⇐⇒(Civ ) es inmediato. ⊔ ⊓ ´ n. Un espacio topológico X que satisface una de, y VIII.1.5 Definicio por lo tanto todas, las condiciones (C),...,(Civ ), se llama espacio compacto. Un conjunto A en un espacio topológico X es compacto si como subespacio de X con la topolog´ıa relativa es un espacio compacto. VIII.1.6 Proposici´ on. Sea X un espacio compacto. Si un filtro F en X tiene un solo punto de acumulaci´ on x ∈ X, entonces F converge a x. Demostraci´ on: Si F no convergiera a x, existir´ıa una vecindad abierta V de x, tal que V ̸∈ F. Por lo tanto, por VII.1.25, habr´ıa un filtro G más fino que F, tal que X − V ∈ G. Ya que X es compacto, G tendr´ıa un punto de acumulación y ∈ X, que, por pertenecer al cerrado X − V , ser´ıa diferente de x. Pero también y ser´ıa un punto de acumulación de F, lo cual contradice la unicidad del punto de acumulación. ⊔ ⊓ VIII.1.7 Ejemplos. (a) Todo espacio indiscreto es compacto. (b) Un espacio discreto es compacto si y sólo si es finito. Más generalmente, un subconjunto A ⊂ X de un espacio discreto X es compacto si y sólo si es finito. (c) Todo espacio finito es compacto. (d) El conjunto de Cantor definido en II.2.7 es un conjunto compacto.

236

COMPACIDAD

(e) Todo espacio X con la topolog´ıa cofinita es compacto, ya que si {Uλ } es una cubierta abierta, para cualquier λ1 , el conjunto X − Uλ1 es finito, por lo que podemos escoger un n´ umero finito de abiertos Uλ2 , . . . , Uλk de la cubierta que cubran ese conjunto finito. Entonces {Uλ1 , Uλ2 , . . . , Uλk } es una subcubierta finita de X VIII.1.8 Ejercicio. Probar que el conjunto de Cantor C definido en II.2.7 es homeomorfo a un producto de una colección numerable de copias del espacio discreto con dos elementos. Esto muestra, de pasada, que el producto de espacios discretos no tiene por qué ser discreto. (Sugerencia: Cada punto x ∈ I puede ser expresado en forma ternaria ∑ xi como una suma , con xi ∈ {0, 1, 2}; as´ı, a cada x le corresponde 3i una expresión (x1 , x2 , x3 , . . . ). Estas expresiones son u ńicas, excepto por el hecho de que cada n´ umero, salvo 1, cuya expresión ternaria termina en una sucesión de 2’s, puede también expresarse con una que termina con una sucesión de 0’s. Por ejemplo, 31 puede expresarse como (1, 0, 0, 0, . . . ) o como (0, 2, 2, 2, . . . ). Entonces el conjunto de Cantor C consta precisamente de los puntos x cuya expresión ternaria no contiene ∏ 1’s. Si D = {0, 2} tiene la topolog´ıa discreta, la función C −→ N D, tal que x 7→ (x1 , x2 , x3 , . . . ), determina un homeomorfismo. El espacio C no es discreto, pues en un discreto las u ńicas sucesiones convergentes son las finalmente constantes, mientras que en C la sucesión {1/3n } converge a 0.) VIII.1.9 Ejercicio. Usando el hecho de que cada punto en el conjunto de Cantor tiene una expresión u ńica como una sucesión x1 , x2 , x3 , . . . , donde xi = 0, 2, probar que se trata de un conjunto no numerable. (Sugerencia: Emular la prueba de que el conjunto de n´ umeros reales es no numerable.) VIII.1.10 Ejercicio. Sea X un espacio topológico. Probar que X es compacto si y sólo si toda red {xa } en X tiene un punto de acumulación. Consecuentemente, X es compacto si y sólo si toda red en X posee una subred convergente. (Véase VII.6.18.)

CONJUNTOS COMPACTOS

237

VIII.1.11 Proposici´ on. Sea X un espacio topol´ ogico y sea A ⊂ X. Entonces A con la topolog´ıa relativa es un espacio compacto si y s´ olo si toda cubierta abierta {Uλ } de A en X contiene una subcubierta finita. Demostraci´ on: Sea A compacto, con la topolog´ıa relativa, y sea {Uλ } una cubierta abierta de A en X. {Uλ ∩ A} es una cubierta de A por abiertos en A. Por ser compacto, hay un n´ umero finito de sus elementos, U1 ∩ A, . . . , Uk ∩ A, tales que A = U1 ∩ A ∪ · · · ∪ Uk ∩ A. Por lo tanto, A ⊂ U1 ∪ · · · ∪ Uk . Inversamente, sea {Vλ } una familia de abiertos en A, tal que A = ∪Vλ . Existen abiertos Uλ en X, tales que Vλ = Uλ ∩ A. Por lo tanto, A ⊂ ∪Uλ , por lo que pueden ser tomados U1 , . . . , Uk de entre ellos, tales que A ⊂ U1 ∪ · · · ∪ Uk ; consecuentemente, A = V1 ∪ · · · ∪ Vk . ⊔ ⊓ La manera como usualmente se define el concepto de conjunto compacto es la que se enuncia en la proposición anterior. En esta forma pareciera que la compacidad depende del modo en el que está encajado el conjunto en el espacio. Sin embargo, lo que dice la proposición es que el concepto de compacidad es intr´ınseco del conjunto visto como espacio topológico y no de cómo yace dentro del espacio ambiente. ´ n. No todo subespacio de un espacio compacto VIII.1.12 Observacio es compacto; por ejemplo, usando el teorema de Heine–Borel–Lebesgue para R, (0, 1) no es compacto; sin embargo, [0, 1] s´ı es compacto. Para ver directamente que el intervalo abierto (0, 1) no es compacto, considérese la cubierta abierta {( n1 , 1− n1 )}, n ∈ N. Esta cubierta no admite una subcubierta finita. VIII.1.13 Teorema. Sea X un espacio compacto y sea A ⊂ X. Si A es cerrado, entonces A es compacto. Demostraci´ on: Sea {Fλ } una familia de cerrados en A con intersección vac´ıa. Ya que A es cerrado en X, Fλ es cerrado en X para toda λ. Ya que X es compacto, por (C′ ) existe una intersección finita de las Fλ que es vac´ıa. Por tanto, A es compacto. ⊔ ⊓ VIII.1.14 Ejercicio. Dar demostraciones de VIII.1.13, usando las otras condiciones de compacidad.

238

COMPACIDAD

VIII.1.15 Teorema. Sea X un espacio de Hausdorff y sea A ⊂ X. Si A es compacto, entonces A es cerrado. Demostraci´ on: Supongamos A ̸= ∅ y sea x ∈ A. Por lo tanto, el filtro de vecindades Nx de x en X induce un filtro F en A y, por ser A compacto, F tiene un punto de acumulación a ∈ A. Este punto a también es punto de acumulación de la continuación F ′ = i(F) = ii−1 (Nx ) de F a todo X, que es más fina que Nx . Entonces F ′ → x y, ya que X es de Hausdorff, x es el u ńico punto de acumulación de F ′ , por lo que x = a. As´ı, x ∈ A; por lo tanto, A es cerrado en X. ⊔ ⊓ El teorema anterior y la proposición VIII.1.13 podemos escribirlos juntos en el siguiente corolario. VIII.1.16 Corolario. Sea X un espacio compacto de Hausdorff y sea A ⊂ X. Entonces A es compacto si y s´ olo si A es cerrado. ⊔ ⊓ VIII.1.17 Ejercicio. Sea X un espacio de Hausdorff y sea A ⊂ X compacto. Si x ∈ X − A, probar que existen abiertos ajenos U y V en X, tales que x ∈ U y A ⊂ V . Obsérvese que esta afirmación generaliza VIII.1.15. VIII.1.18 Teorema. Sea X un espacio topol´ ogico. Entonces toda uni´ on ∪n finita i=1 Ai de subconjuntos compactos Ai de X es un conjunto compacto. Demostraci´ on: Considérese una cubierta abierta U = {Uj }j∈J de ∪n A . Entonces U es cubierta abierta de Ai para toda i = 1, . . . , n. i i=1 Como cada Ai es compacto, hay Ui,1 , . . . , Ui,mi ∈ U que cubre a Ai . Por tanto, la subcolección finita U1,1 , . . . , U1,m1 , . . . , Un,1 , . . . , Un,mn ∈ U cubrirá a

∪n

i=1 Ai .

⊔ ⊓

VIII.1.19 Teorema. Sea X un espacio de Hausdorff. Entonces toda ∩ intersecci´ on no vac´ıa i∈I Ai de subconjuntos compactos Ai in X es un conjunto compacto.

CONJUNTOS COMPACTOS

239

Demostraci´ on: Como el espacio X es de Hausdorff, cada Ai es cerrado ∩ y, por lo tanto, i∈I Ai es cerrado. Ya que esta intersección es también un subconjunto cerrado de cada Ai que es compacto, la intersección debe ser compacta. ⊔ ⊓ Hay espacios X que no son de Hausdorff, en los que podemos encontrar conjuntos compactos cuya intersección no sea un conjunto compacto. A saber, se tienen los siguientes ejemplos. VIII.1.20 Ejemplo. Sea X = N con la topolog´ıa A = {∅, N, A | A ⊂ 2N}. El conjunto Ck = {k} ∪ 2N es compacto para k impar. Sin embargo, Ck ∩ Cl = 2N, k, l impares, k ̸= l, y 2N no es compacto, pues es discreto e infinito. VIII.1.21 Ejemplo. Sea Y = {0, 1}, con la topolog´ıa indiscreta, y sea X = R × Y , con la topolog´ıa del producto. Los conjuntos A = (0, 3) × {0} ∪ {0, 3} × {1} y

B = (1, 2) × {0} ∪ {1, 2} × {1}

son compactos. Para cualesquiera a < b ∈ R, la aplicación q : [a, b] −→ (a, b) × {0} ∪ {a, b} × {1} , dada por q(x) = (x, 0) si x ̸= a, b y q(a) = (a, 1), q(b) = (b, 1), es continua y suprayectiva, por lo que, por VIII.1.22, más adelante, al ser [a, b] ⊂ R compacto, (a, b) × {0} ∪ {a, b} × {1} resulta ser compacto; as´ı, A y B son compactos. Se tiene, sin embargo, que la intersección A ∩ B = (1, 2) × {0} no es un compacto. El siguiente teorema nos da una de las propiedades más importantes de la continuidad en relación con la compacidad. VIII.1.22 Teorema. Sea X un espacio topol´ ogico compacto y sea f : X −→ Y una aplicaci´ on continua, entonces f (X) es compacto. Demostraci´ on: Sea C una cubierta abierta de f (X) en Y y sea f −1 (C) = −1 {f (U ) | U ∈ C}. Ya que f es continua, f −1 (C) es una cubierta abierta de X; por ser X compacto, existen U1 , . . . , Uk , tales que X = f −1 (U1 )∪ · · · ∪ f −1 (Uk ). Por lo tanto, f (X) ⊂ U1 ∪ · · · ∪ Uk . ⊔ ⊓

240

COMPACIDAD

VIII.1.23 Ejercicio. Sea X un espacio compacto de Hausdorff no vac´ıo y sea f : X −→ X continua. Probar que existe un conjunto cerrado no vac´ıo A ⊂ X, tal que f (A) = A. ´ n. Sea X un espacio topológico y sea A ⊂ X. Se VIII.1.24 Definicio dice que A es relativamente compacto si A es compacto. VIII.1.25 Ejemplos. (a) Cualquier conjunto acotado en un espacio euclidiano, por el teorema de Heine–Borel–Lebesgue, es relativamente compacto. Inversamente, todo conjunto relativamente compacto es acotado. (b) Si X es un espacio compacto, entonces todo subconjunto es relativamente compacto. El siguiente ejemplo, debido a Ra´ ul Pérez, muestra que no todo compacto es relativamente compacto. VIII.1.26 Ejemplo. Tómese el conjunto de los irracionales del intervalo unitario junto con 1, o sea X = I ∩(R − Q)∪{1}, y sea q : (0, 1] −→ X la función suprayectiva, tal que { x si x ∈ I ∩ (R − Q) q(x) = 1 si x ∈ I ∩ Q . Désele a X la topolog´ıa de identificación. El espacio X no es de Hausdorff ni es compacto, pues si 1 > x1 > x2 > x3 > · · · es una sucesión de irracionales positivos que tiende a cero (en la topolog´ıa usual) la ∪ colección {Un }, tal que Un = q( k≥n (xk+1 , xk ) ∪ (xk , 1]) ⊂ X, es una cubierta abierta de X que no admite subcubierta finita. Sean 0 < a < b < 1 y A = q[a, b] ⊂ X. Por ser [a, b] compacto (teorema de Heine–Borel) y q continua, A es compacto; sin embargo, la cerradura A coincide con X, que no es compacto. A saber, cualquier abierto no vac´ıo U en X tiene a 1 y, ya que q −1 (U ) es un abierto que contiene a I ∩ Q, tiene también irracionales en cualquier intervalo, en particular en [a, b], por lo que A ∩ U ̸= ∅. As´ı, A no es compacto, es decir, A no es relativamente compacto.

CONJUNTOS COMPACTOS

241

El ejemplo anterior vuelve a mostrar la conveniencia de la hipótesis de que un espacio sea de Hausdorff, como algunos autores suponen siempre a los compactos. En particular, si X es de Hausdorff, entonces todo compacto A ⊂ X es relativamente compacto, pues, al ser A cerrado (por ser X de Hausdorff), A = A. Por cierto, ese ejemplo también muestra también que los espacios de identificación, incluso de los espacios más decentes, como es un intervalo, pueden ser bastante desagradables. Supongamos que A es un subconjunto relativamente compacto del espacio topológico X. Por lo tanto, cualquier filtro en A es tal que su extensión a A tiene un punto de acumulación. Por tal razón, también su extensión a todo X posee un punto de acumulación. Ya que un filtro F en X es extensión de un filtro en A si y sólo si A ∈ F, tenemos el siguiente teorema. VIII.1.27 Teorema. Sea X un espacio topol´ ogico y sea A ⊂ X relativamente compacto. Si F es un filtro en X que contiene a A, entonces F tiene un punto de acumulaci´ on. ⊔ ⊓ A continuación prepararemos la demostración del teorema de Heine– Borel–Lebesgue. ´ n. En un espacio métrico X decimos que un conVIII.1.28 Definicio junto A ⊂ X es acotado si A ⊂ Bn (x) para alg´ un punto x ∈ X y un n´ umero natural n. VIII.1.29 Ejercicio. Probar que en un espacio métrico X un conjunto A ⊂ X es acotado si y sólo si para todo punto x ∈ X existe n ∈ N, tal que A ⊂ Bn (x). VIII.1.30 Lema. Todo compacto A en un espacio métrico X es cerrado y acotado. Demostraci´ on: Por ser X de Hausdorff, A es cerrado. Dado x0 ∈ X, la familia de bolas abiertas {Bn◦ (x0 ) | n ∈ N} es claramente una cubierta abierta de X, en particular de A. Ya que A es compacto, podemos extraer una subcubierta finita; por lo tanto, A ⊂ Bn◦ (x0 ) para alguna n ∈ N, ya que cada una de las bolas de la cubierta está contenida en la que le sigue, seg´ un el orden de los naturales. En consecuencia, A es acotado. ⊔ ⊓

242

COMPACIDAD

VIII.1.31 Nota. Recuérdese (I.3.7) que, dado un espacio métrico X con métrica d, podemos encontrar una métrica d′ acotada, de modo que determina la misma topolog´ıa en X. Por lo tanto, tenemos que cualquier espacio métrico no compacto X admite una métrica acotada y en ella todo conjunto, incluido X mismo, es acotado; esto muestra que el inverso del lema VIII.1.30 en general no se cumple. Si X es un espacio compacto, entonces el teorema VIII.1.22 afirma que la imagen de X, f (X) ⊂ R, es un compacto, y por el lema anterior, es cerrada y acotada. Por lo tanto, tenemos la consecuencia siguiente. VIII.1.32 Corolario. Toda funci´ on real continua f : X −→ R definida en un espacio compacto X alcanza su m´ aximo y su m´ınimo. Es decir, existen puntos x0 , x1 ∈ X, tales que f (x0 ) ≤ f (x) ≤ f (x1 ) para toda x ∈ X. ⊔ ⊓ VIII.1.33 Ejercicio. Probar que toda métrica d en un espacio compacto X es acotada, es decir, existe K > 0, tal que d(x, y) ≤ K para todo x, y ∈ X. VIII.1.34 Teorema. Sean X, Y espacios topol´ ogicos y sea f : X −→ Y continua. Si X es compacto y Y es de Hausdorff, entonces f es cerrada; m´ as a´ un, si f es adem´ as suprayectiva, entonces f es una identificaci´ on. Demostraci´ on: Sea A ⊂ X cerrado. Por ser X compacto, A es compacto, y por ser f continua, f (A) es compacto. Ya que Y es un espacio de Hausdorff, entonces f (A) es cerrado. Por lo tanto, tenemos que f es cerrada. Supongamos ahora que, además, f es suprayectiva y sea B ⊂ Y , tal que f −1 (B) es cerrado. Por ser f cerrada, B = f f −1 (B) es cerrado. Esto demuestra que f es una identificación. ⊔ ⊓ El siguiente es un resultado muy u ´til, que claramente se obtiene del teorema anterior. VIII.1.35 Corolario. Sean X un espacio compacto y Y un espacio de Hausdorff, y sea f : X −→ Y continua y biyectiva. Entonces f es un homeomorfismo. ⊔ ⊓

CONJUNTOS COMPACTOS

243

VIII.1.36 Ejercicio. Usando argumentos geométricos, y no necesariamente fórmulas expl´ıcitas, probar que hay identificaciones B2 −→ S1 , S2 −→ B2 , S2 −→ S1 , S2 −→ S1 × S1 , y S1 × S1 −→ S2 . ´ n. La combinación de las propiedades de ser VIII.1.37 Observacio compacto y ser de Hausdorff es especialmente interesante. Sea X un espacio compacto de Hausdorff. Si X ′ es el espacio con el mismo conjunto subyacente y una topolog´ıa más gruesa, entonces f = id : X −→ X ′ es continua. Por lo tanto, si A ⊂ X es cerrado y, por ende, compacto, entonces f (A) ⊂ X ′ es compacto. Si X ′ fuera de Hausdorff, f (A) ser´ıa cerrado, por lo que f ser´ıa una aplicación cerrada y, con ello, la topolog´ıa de X ′ ser´ıa más fina. Hemos probado que la topolog´ıa de X es la más gruesa que siendo compacto lo hace de Hausdorff. Inversamente, si ahora X ′ es el espacio con el mismo conjunto subyacente y una topolog´ıa más fina que la de X, entonces f = id : X ′ −→ X es continua. Por lo tanto, f ser´ıa una aplicación biyectiva de un compacto en un Hausdorff, por lo que tiene que ser un homeomorfismo y, por ende, la topolog´ıa de X ser´ıa la misma que la de X ′ . Esto muestra que la topolog´ıa de X es la más fina que siendo de Hausdorff es compacto. Hemos probado en la observación anterior el siguiente resultado. VIII.1.38 Teorema. La topolog´ıa de un espacio compacto de Hausdorff es la m´ as fina que lo hace compacto y la m´ as gruesa que lo hace de Hausdorff. ⊔ ⊓ ´ n. Se dice que un espacio topológico X tiene la VIII.1.39 Definicio topolog´ıa m´ axima compacta si es compacto y con cualquier topolog´ıa estrictamente más fina ya no lo es. El inverso del teorema VIII.1.38 no es cierto, es decir, una topolog´ıa m´ınima de Hausdorff no tiene por qué ser compacta, ni tampoco una topolog´ıa máxima compacta tiene por qué ser de Hausdorff. Remitimos al lector a [39, ejemplos 99 y 100]. VIII.1.40 Ejercicio. Probar que un espacio X tiene la topolog´ıa máxima compacta si y sólo si todo subconjunto compacto en X es cerrado.

244

COMPACIDAD

VIII.1.41 Ejercicio. Probar que todo espacio con la topolog´ıa máxima compacta es T1 . (Compárese esta afirmación con VIII.1.38.) El siguiente teorema nos presenta el comportamiento de la propiedad de ser compacto frente al concepto de producto topológico. VIII.1.42 Teorema. (Tychonoff) Sea {Xλ }λ∈Λ una familia no vac´ıa de espacios topol´ ogicos no vac´ıos y sea X = Πλ∈Λ Xλ . Entonces X es compacto si y s´ olo si Xλ es compacto para toda λ ∈ Λ. Demostraci´ on: Ya que la proyección pλ : X −→ Xλ es continua y suprayectiva, entonces, si X es compacto, también Xλ es compacto para toda λ ∈ Λ. Inversamente, sea Xλ compacto para toda λ ∈ Λ. Sea U un ultrafiltro en X. Por la proposición VII.4.10, pλ (U) es un ultrafiltro en Xλ y, ya que Xλ es compacto, pλ (U ) converge. En consecuencia, por VII.5.1, U converge y, por lo tanto, X es compacto. ⊔ ⊓ Por el teorema de Tychonoff y VII.5.4, tenemos el siguiente resultado. VIII.1.43 Corolario. Sea {Xλ }λ∈Λ una familia no vac´ıa de espacios topol´ ogicos no vac´ıos y sea X = Πλ∈Λ Xλ . Entonces X es compacto y de Hausdorff si y s´ olo si Xλ es compacto y de Hausdorff. ⊔ ⊓ El ejercicio II.1 es un ejemplo en el que se ve que, si bien el producto (infinito) de espacios discretos no tiene por qué ser discreto, el producto de espacios compactos es compacto. En efecto, ya que este producto tiene un conjunto subyacente infinito, no puede ser discreto, pues no ser´ıa compacto. Los conjuntos compactos en un espacio topológico tienen en muchos aspectos un comportamiento análogo al de puntos. Los teoremas que daremos a continuación muestran este comportamiento. En productos finitos resulta lo siguiente. VIII.1.44 Teorema. Sean X y Y espacios topol´ ogicos. Si A ⊂ X y B ⊂ Y son compactos y W es una vecindad de A×B en X×Y , entonces hay vecindades U de A en X y V de B en Y , tales que U × V ⊂ W .

CONJUNTOS COMPACTOS

245

Demostraci´ on: Para cada (x, y) ∈ A × B, se tienen vecindades abiertas b de x en X y Vb de y en Y , tales que U b × Vb ⊂ W . Para x ∈ A fija, U b1 , U b2 , . . . , U b de x, y por ser B compacto, tomamos las vecindades U ∪k b k ′ b b b b correspondientes V1 , V2 , . . . , Vk , tales que B ⊂ V = i=1 Vi . b ′ = ∩k U b b′ b′ Si U i=1 i , entonces U es vecindad de x y V es vecindad ′ ′ b b de B, tales que U × V ⊂ W . Ya que A es compacto, podemos tomar b′, U b′, . . . , U b ′ y correspondientes Vb ′ , Vb ′ , . . . , Vb ′ , tales que Vb ′ es vecinU 1 2 1 2 j l l ∩ ′ ′ l ′ b b b dad de B, Uj × Vj ⊂ W y A ⊂ U = ∪j=1 Uj . Entonces U y V = lj=1 Vbj′ son vecindades de A y B, tales que U × V ⊂ W . ⊔ ⊓ VIII.1.45 Teorema. Sea X un espacio de Hausdorff. Si A, B ⊂ X son compactos ajenos, entonces existen abiertos ajenos U, V ⊂ X, tales que A⊂U y B ⊂V. Demostraci´ on: Sea ∆ ⊂ X × X la diagonal. Ya que X es de Hausdorff, por VII.1.30, ∆ es un cerrado.Al ser A y B ajenos, A × B ⊂ W = X × X − ∆; por lo tanto, por VIII.1.44, existen abiertos U, V ⊂ X, tales que A × B ⊂ U × V ⊂ W . Por ende, A ⊂ U , B ⊂ V y U y V son ajenos (pues no intersectan la diagonal). ⊔ ⊓ Es inmediata la siguiente consecuencia. VIII.1.46 Corolario. Sea X un espacio compacto de Hausdorff. Si A, B ⊂ X son cerrados ajenos, entonces existen abiertos ajenos U, V ⊂ X, tales que A ⊂ U y B ⊂ V . ⊔ ⊓ A la propiedad de separación de conjuntos cerrados expresada en el corolario anterior se le conoce como normalidad, es decir, todo espacio compacto de Hausdorff es normal. Esta propiedad se analizará con detalle en el siguiente cap´ıtulo (IX.1). VIII.1.47 Ejercicio. Sea X un espacio de Hausdorff. Probar que la unión finita de subconjuntos compactos en X es compacta. En el siguiente ejercicio se evidencia la relación entre compacidad y sumas topológicas.

246

COMPACIDAD

⨿ VIII.1.48 Ejercicio. Probar que una suma topológica X = λ∈Λ Xλ es un espacio compacto si y sólo si Λ es finito y cada Xλ es compacto. VIII.1.49 Ejercicio. Sea X un espacio compacto de Hausdorff. Probar que para todo punto x ∈ X la componente conexa Cx , que contiene a x, coincide con ∩{C ⊂ X | C es abierto y cerrado y C ⊃ Cx }. (Sugerencia: Usar VIII.1.45.) VIII.1.50 Ejercicio. Sea X un espacio conexo, compacto y de Hausdorff. Probar que para todo conjunto A ⊂ X existe un conjunto compacto conexo C que contiene a A, que es m´ınimo, es decir, es tal que si D es compacto y conexo, y A ⊂ D ⊂ C, entonces D = C. (Sugerencia: Usar el Lema de Zorn.) VIII.1.51 Ejercicio. Probar que un espacio compacto localmente conexo tiene un n´ umero finito de componentes. (Sugerencia: Usar el ejercicio VI.2.3.) ¿Qué sucede si X no es localmente conexo? (Sugerencia: Analizar el conjunto de Cantor VIII.1.7(d).) VIII.1.52 Ejercicio. Sea X un espacio métrico compacto y sea f : X −→ X una isometr´ıa, es decir, una aplicación tal que d(f (x), f (y)) = d(x, y). Probar que f es suprayectiva. (Sugerencia: Si y ∈ X, la sucesión y, f (y), f (f (y)), . . . tiene puntos tan cercanos a y como se quiera.) Para concluir esta sección, daremos una interesante caracterización de los espacios compactos. Para ello, requeriremos la siguiente preparación. ´ n. Sea f : X −→ Y una aplicación continua. EsVIII.1.53 Definicio taremos interesados en la siguiente propiedad de f : (F) Para todo filtro F en X, y para todo punto de acumulación y ∈ Y del filtro imagen f (F), existe un punto de acumulación x ∈ X de F, tal que f (x) = y. Decimos en este caso que f tiene la propiedad (F). VIII.1.54 Lema. Sea f : X −→ Y una aplicaci´ on continua. Si f tiene la propiedad (F) entonces es cerrada.

CONJUNTOS COMPACTOS

247

Demostraci´ on: Sea A ⊂ X cerrado no vac´ıo y y ∈ f (A). Si FA denota el filtro de los superconjuntos de A en X, su imagen f (FA ) es el filtro de los superconjuntos de f (A) en Y . Ya que y ∈ f (A) ⊂ G para todo G ∈ f (FA ), y es punto de acumulaci´ on de f (FA ). Por la propiedad (F), existe x ∈ X, punto de acumulación de FA , tal que f (x) = y. Por lo tanto, x ∈ A = A y y = f (x) ∈ f (A), lo que demuestra que f (A) es cerrado. ⊔ ⊓. VIII.1.55 Lema. Sea fλ : Xλ −→ Yλ , λ ∈ Λ, una familia de aplicaciones que tienen la propiedad (F), entonces la aplicaci´ on producto ∏ ∏ ∏ f = fλ : X = Xλ −→ Y = Yλ también tiene la propiedad (F); por lo tanto, es cerrada. Demostraci´ on: Supongamos que cada fλ tiene la propiedad (F). Sea F un filtro en X y y = (yλ ) ∈ Y un punto de acumulación de f (F). Por ser la proyección qλ : Y −→ Yλ continua, entonces yλ es punto de acumulación de qλ f (F) = fλ pλ (F), donde pλ : X −→ Xλ es la proyección. Por tener fλ la propiedad (F), pλ (F) tiene un punto de acumulación xλ ∈ Xλ , tal que fλ (xλ ) = yλ . Por VII.5.5 (c), x = (xλ ) ∈ X, que es tal que f (x) = y, es punto de acumulación de F. Por tanto, f tiene la propiedad (F). ⊔ ⊓ VIII.1.56 Teorema. Sea X un espacio topol´ ogico. Entonces X es compacto si y s´ olo para todo espacio Z la proyecci´ on proyZ : X × Z −→ Z es una aplicaci´ on cerrada. Demostraci´ on: Supongamos, en primer lugar, que X es compacto. Si P es un espacio singular, claramente la aplicación X −→ P tiene la propiedad (F); también es claro que idZ : Z −→ Z tiene la propiedad (F), por lo que, por VIII.1.55, también el producto de ambas aplicaciones, es decir, la proyección proyZ : X × Z −→ Z la tiene. Por lo tanto, es cerrada. Inversamente, supóngase que proyZ : X × Z −→ Z es cerrada para todo espacio Z. Sea F un filtro en X y sea XF∗ como en VII.1.48 (construido para el conjunto X). Sea ∆ = {(x, x) | x ∈ X} ⊂ X × XF∗ y sea F = ∆ ⊂ X × XF∗ . Ya que, por hipótesis, proyXF∗ : X × XF∗ −→ XF∗ es cerrada, proyXF∗ (F ) es cerrado en XF∗ . Ya que X ⊂ proyXF∗ (F ) y, por

248

COMPACIDAD

VII.1.49, X no es cerrado en XF∗ , entonces ∞ ∈ proyXF∗ (F ), es decir, existe x ∈ X, tal que (x, ∞) ∈ F . As´ı, para toda vecindad V de x en X y para todo elemento M ∈ F, la vecindad V × (M ∪ {∞} de (x, ∞) en X × XF∗ es tal que V × (M ∪ {∞} ∩ ∆ = (V × M ) ∩ ∆ ̸= ∅; en otras palabras, V ∩ M ̸= ∅, por lo que x es un punto de acumulación de F. Por lo tanto, por VIII.1.4(C′′′ ), X es compacto. ⊔ ⊓ VIII.1.57 Ejercicio. Sea X un espacio topológico de Hausdorff no compacto y def´ınase A = {A ⊂ X | X − A es compacto} ∪ {∅} . Probar que A es una topolog´ıa en X, llamada topolog´ıa cocompacta. ¿Cómo se compara esta topolog´ıa con la topolog´ıa original de X?

VIII.2

Compacidad y numerabilidad

Hay interesantes relaciones entre la compacidad y diversas propiedades de numerabilidad. En esta sección analizaremos la propiedad de ser compacto, a la luz del comportamiento de sucesiones, probaremos el teorema de Lindelöf sobre existencia de subcubiertas numerables de una cubierta arbitraria y utilizaremos los resultados que se prueben para demostrar los teoremas de Heine–Borel–Lebesgue y de Bolzano– Weierstrass. ´ n. Se dice que un espacio topológico es numerableVIII.2.1 Definicio mente compacto si toda sucesión en él tiene un punto de acumulación. Se dice que un espacio topológico es secuencialmente compacto si toda sucesión en él tiene una subsucesión convergente. Resulta cierta la siguiente afirmación. VIII.2.2 Proposici´ on. (a) Todo espacio compacto es numerablemente compacto. (b) Todo espacio secuencialmente compacto es numerablemente compacto.

COMPACIDAD Y NUMERABILIDAD

249

Demostraci´ on: (a) Es claro, ya que por ser un espacio compacto todo filtro en él tiene un punto de acumulación, en particular todo filtro elemental. (b) Es inmediato. ⊔ ⊓ El inverso de (b) no es necesariamente cierto; sin embargo, se tiene el siguiente teorema. VIII.2.3 Teorema. Todo espacio topol´ ogico X numerablemente compacto que satisface el primer axioma de numerabilidad es secuencialmente compacto. Demostraci´ on: Sea (xn ) una sucesión en X y sea x un punto de acumulación. Tómese U1 ⊃ U2 ⊃ U3 ⊃ · · · ⊃ Un ⊃ · · · una base numerable alrededor de x. Por ser x un punto de acumulación de (xn ), {xn | n > m} ∩ Uk ̸= ∅ para toda k y m. Sea xn1 ∈ {xn | n ∈ N} ∩ U1 . Supongamos ya elegidos xni ∈ {xn | n > ni−1 } ∩ Ui , n1 < n2 < · · · < nk , y sea xnk+1 ∈ {xn | n > nk } ∩ Uk+1 . Por lo tanto, la sucesión (xnk ) es una subsucesión de (xn ), y claramente xnk → x. ⊔ ⊓ VIII.2.4 Teorema. (Lindelöf) Sup´ ongase que X es un espacio topol´ ogico que satisface el segundo axioma de numerabilidad, entonces satisface el axioma de Lindelöf (L) Toda cubierta abierta de X contiene una subcubierta numerable. Demostraci´ on: Sean {Qn } una base numerable de la topolog´ıa de X y {Uλ } una cubierta abierta de X. Claramente se tiene para cada λ que Uλ = ∪Qn ⊂Uλ Qn . Sean n1 < n2 < · · · , tales que Qni ⊂ Uλ para alguna λ; as´ı, ∪∞ i=1 Qni = ∪λ∈Λ Uλ = X . Tómese ahora Uλi , tal que Qni ⊂ Uλi . Claramente ∪∞ i=1 Uλi = X ; por lo tanto, {Uλi } es una subcubierta numerable.

⊔ ⊓

250

COMPACIDAD

´ n. Un espacio topológico X que satisface (L) se VIII.2.5 Definicio denomina espacio de Lindel¨ of. VIII.2.6 Lema. Un espacio topol´ ogico X es numerablemente compacto si y s´ olo si toda cubierta numerable de X contiene una subcubierta finita. Demostraci´ on: Sea X numerablemente compacto y sea {Un } una cubierta numerable de X. Supongamos que {Un } no contiene una subcubierta finita. As´ı, Vn = ∪nk=1 Uk ̸= X. Sea xn ∈ X − Vn . Por ser X numerablemente compacto, la sucesión (xn ) tiene un punto de acumulación x ∈ X. x ∈ Um para alguna m, y Um ⊂ Vm ; por lo tanto, Vm es una vecindad de x que, sin embargo, sólo contiene a un n´ umero finito de términos de la sucesión, lo cual es una contradicción. Inversamente, si toda cubierta numerable de X contiene una subcubierta finita, tomemos una sucesión (xn ) en X. Supongamos que (xn ) no tiene ning´ un punto de acumulación. Por lo tanto, todo punto x ∈ X posee una vecindad V , tal que V ∩ {xn | n ≥ k} = ∅ para k suficientemente grande. Sea Vk = X − {xn | n ≥ k}. Claramente V1 ⊂ V2 ⊂ · · · ⊂ Vk ⊂ · · · . {Vk } es una cubierta numerable de X, ya que si x ∈ X existe V vecindad de x, tal que V ∩ {xn | n ≥ k} = ∅ para alguna k, por lo que x ̸∈ {xn | n ≥ k}; as´ı, x ∈ Vk . La cubierta {Vk } no contiene una subcubierta finita, pues Vk ̸= X para toda k. ⊓ ⊔ VIII.2.7 Nota. Muchos autores definen un espacio numerablemente compacto X como un espacio tal que cualquier cubierta abierta de él contiene una subcubierta finita. El lema anterior muestra que nuestra definición es equivalente. VIII.2.8 Proposici´ on. Si X es un espacio de Lindel¨ of y es numerablemente compacto, entonces X es compacto. Demostraci´ on: Sea {Uλ } una cubierta abierta de X. Por el axioma de Lindelöf, {Uλ } contiene una subcubierta numerable, y por el lema anterior, ésta a su vez contiene una subcubierta finita. ⊔ ⊓ Como consecuencia del teorema de Lindelöf y de VIII.2.8 obtenemos el siguiente resultado.


251

VIII.2.9 Teorema. Si X es un espacio topol´ ogico que satisface el segundo axioma de numerabilidad y es numerablemente compacto, entonces X es compacto. ⊔ ⊓ VIII.2.10 Teorema. Sea X un espacio métrico numerablemente compacto, entonces se tiene (a) Para toda cubierta abierta {Qλ } de X existe δ > 0, tal que para todo punto x ∈ X y para alguna λ, la vecindad Dδ (x) ⊂ Qλ . (A tal δ se le llama n´ umero de Lebesgue de la cubierta.) (b) Para toda ε > 0 existen x1 , . . . , xk ∈ X, tales que X = Dε (x1 ) ∪ · · · ∪ Dε (xk ). (c) X es compacto. (d) X es secuencialmente compacto. Demostraci´ on: (a) Sea {Qλ } una cubierta que no admite n´ umero de Lebesgue y n sea δn = 1/2 . Por lo tanto, existe xn , tal que Dδn (xn ) ̸⊂ Qλ para toda λ. Por ser X numerablemente compacto, la sucesión (xn ) tiene un punto de acumulación x ∈ X y existe κ ∈ Λ, tal que x ∈ Qκ . Pero Qκ es abierto, por lo que existe m ∈ N, tal que Dδm (x) ⊂ Qκ . Para todo punto y ∈ Dδm+1 (x) se tiene que d(z, y) ≤

1 2m+1

=⇒ d(z, x) ≤

1 2m+1

+

1 2m+1

=

1 ; 2m

es decir, Dδm+1 (y) ⊂ Dδm (x) ⊂ Qκ , por lo que, para toda n ≥ m + 1, xn ̸∈ Dδm+1 (x), lo cual contradice que x sea punto de acumulación. (b) Si fuera falso, entonces existir´ıa ε > 0, tal que X no está cubierto por un n´ umero finito de bolas de radio ε. Tómese x1 ∈ X arbitrario; la bola Dε (x1 ) no cubre a X. Sea x2 ∈ X − Dε (x1 ). Supongamos inductivamente que hemos encontrado x1 , . . . , xk , tales que xi ̸∈ Dε (x1 )∪· · ·∪Dε (xi−1 ), i = 2, . . . , k. La unión ∪ki=1 Dε (xi ) no cubre a X; por lo tanto, sea xk+1 ∈ X − ∪ki=1 Dε (xi ). La sucesión {xn } no tiene puntos de acumulación, ya que, dado cualquier punto x ∈ X, la

252

COMPACIDAD

bola Dε/2 (x) contiene a lo más un punto de la sucesión, dado que, por construcción, la distancia entre cada dos de ellos es mayor o igual a ε. (c) Sea {Qλ } una cubierta abierta de X. Por el inciso (a), esta cubierta tiene un n´ umero de Lebesgue δ. Por (b), sabemos que X está cubierto por un n´ umero finito de bolas de radio δ; a saber, X = umero de Lebesgue de {Qλ }, para cada xi ∪ki=1 Dδ (xi ). Por ser δ un n´ existe λi , tal que Dδ (xi ) ⊂ Qλi . Por lo tanto, X = ∪ki=1 Qλi . (d) Es consecuencia de VIII.2.3, ya que todo espacio métrico es 1-numerable. ⊔ ⊓ El siguiente es un resultado básico. VIII.2.11 Teorema. El intervalo unitario I = [0, 1] es compacto. Demostraci´ on: Probaremos que es numerablemente compacto; el resultado se obtiene del teorema anterior, ya que I es métrico. Sea (xn ) una sucesión en I; para cada c ∈ I sea Sc = {n | xn < c} y sea C = {c | Sc es finito}. Claramente 0 ∈ C; por lo tanto, existe c0 = sup C. Veremos que c0 es un punto de acumulación de (xn ). Sea ε > 0. Es obvio que Sc0 −ε/2 es finito, por lo que xn > c0 − ε para una infinidad de valores de n. Si c0 = 1, claramente la vecindad de radio ε de c0 en I contiene a una cola de la sucesión. Supongamos pues c0 < 1. Ya que c0 = sup C, c0 + ε ̸∈ C; por lo tanto, Sc0 +ε es infinito. En consecuencia, también en este caso la vecindad de radio ε de c0 en I contiene puntos xn para una infinidad de valores de n. ⊔ ⊓ Como consecuencia de VIII.1.30, del teorema de Tychonoff y del lema anterior podemos, finalmente, probar los teoremas enunciados al principio de este cap´ıtulo (VIII.1.1 y VIII.1.2). VIII.2.12 Teorema. (Heine–Borel–Lebesgue) Un subconjunto A ⊂ Rn es compacto si y s´ olo si es cerrado y acotado. Demostraci´ on: Si A es compacto, por VIII.1.30 es cerrado y acotado, n ya que R es métrico. Inversamente, supongamos que A es cerrado y acotado. Por ser A acotado, existe un intervalo J = [a, b] ⊂ R, tal que A ⊂ J n ⊂ Rn . Dado


253

que J ≈ I, J es compacto; por el teorema de Tychonoff VIII.1.42 J n también es compacto. Puesto que A es cerrado en Rn , es, as´ı mismo, cerrado en J n y, por ser este u ´ltimo compacto, A mismo debe ser compacto. ⊔ ⊓ Como corolario del teorema de Heine–Borel–Lebesgue, obtenemos el otro teorema enunciado al principio del cap´ıtulo. VIII.2.13 Teorema. (Bolzano–Weierstrass) Un subconjunto A ⊂ Rn es cerrado y acotado si y s´ olo si toda sucesi´ on en A tiene un punto de acumulaci´ on en A. Demostraci´ on: Por VIII.2.12, A es cerrado y acotado si y sólo si A es compacto, y por VIII.2.10, dado que A es métrico, A es compacto si y sólo si A es numerablemente compacto. ⊔ ⊓ VIII.2.14 Ejercicio. (a) Emulando la demostración de VIII.2.11, probar que todo conjunto totalmente ordenado con elementos máximo y m´ınimo y que satisface el axioma del supremo, es numerablemente compacto al darle la topolog´ıa de orden. (b) Probar que de hecho es compacto. (Sugerencia: Usar cubiertas abiertas.) Hay una versión local del concepto de compacidad que tiene a veces suficiente utilidad cuando el espacio en cuestión no es compacto. ´ n. Un espacio topológico X es localmente comVIII.2.15 Definicio pacto si para todo x ∈ X existe U ∈ Nx , tal que U es compacto. Muchos autores definen un espacio localmente compacto pidiendo que éste sea además un espacio de Hausdorff. Esto facilita la escritura de algunos resultados. Nosotros lo pediremos de forma expl´ıcita cada vez que sea necesario. Es clara la siguiente afirmación.

254

COMPACIDAD

VIII.2.16 Proposici´ on. Todo espacio compacto es localmente compacto. ⊔ ⊓ VIII.2.17 Ejemplos. (a) Una n-variedad topol´ ogica es un espacio topológico de Hausdorff, 2-numerable, tal que cada uno de sus puntos tiene una vecindad homeomorfa a un abierto en Rn . Toda n-variedad topológica es un espacio localmente compacto. ∏ ω (b) Sea Rω = ∞ i=1 Ri , donde Ri = R. Sea x = (xi ) ∈∏R . Cualquier vecindad de x contiene una vecindad de la forma Qi , donde Qi es una vecindad de xi , y Qi = R para todos, excepto un n´ umero finito de ´ındices i. Por el teorema de Tychonoff, una vecindad como esta u ´ltima no puede ser compacta, por lo que ninguna otra lo será; por lo tanto, Rω no es un espacio localmente compacto. ´ n. Un espacio topológico se dice que es regular si VIII.2.18 Definicio para cada punto en él sus vecindades cerradas constituyen una base de vecindades. Es decir, X es regular si y sólo si para todo x ∈ X y para toda V ∈ Nx , existe W ∈ Nx , tal que W es cerrada y W ⊂ V . En el siguiente cap´ıtulo (IX.1.2) se analizará con más detalle el concepto de espacio regular. ogico localmente compacto y de VIII.2.19 Teorema. Todo espacio topol´ Hausdorff es regular. Demostraci´ on: Ya que todo conjunto compacto en un espacio de Hausdorff es cerrado, resulta suficiente demostrar que las vecindades compactas forman una base de la topolog´ıa de un espacio topológico localmente compacto y de Hausdorff. Sea X un espacio topológico localmente compacto y de Hausdorff. Supongamos primero que X es compacto y sea x ∈ X. Por ser X de Hausdorff, {x} = ∩{V ∈ Nx | V es cerrado}. Las vecindades cerradas de x constituyen una base de un filtro F que es más grueso que el filtro Nx de vecindades de x. Pero también F es más fino que Nx , ya que por definición de punto de acumulación de un filtro, x es el u ńico punto de acumulación de F;


255

por ser X compacto, por VIII.1.6, F converge a x. Esto demuestra que las vecindades cerradas (compactas) de x en X forman una base de vecindades. Si X no es compacto, pero es localmente compacto, entonces cada x ∈ X tiene una vecindad V compacta y, por lo tanto, cerrada. Por lo anterior, el punto x posee una base de vecindades relativa a V formada por vecindades compactas; ya que V misma es una vecindad, esta base de vecindades en V es una base de vecindades en X. ⊔ ⊓ VIII.2.20 Corolario. Un espacio de Hausdorff es localmente compacto si y s´ olo si cada punto tiene una base de vecindades compactas. ⊔ ⊓ Otros autores definen un espacio localmente compacto como un espacio, tal que cada uno de sus puntos tiene una base de vecindades compactas. El corolario anterior nos muestra que para espacios de Hausdorff ambas definiciones son equivalentes. La propiedad de ser localmente compacto no se hereda a subespacios. VIII.2.21 Ejemplo. R es localmente compacto; sin embargo, Q ⊂ R no es localmente compacto. En cualquier caso, se tienen las siguientes afirmaciones. VIII.2.22 Proposici´ on. Sea X localmente compacto y A ⊂ X cerrado, entonces A es localmente compacto. Demostraci´ on: Sea x ∈ A y sea V una vecindad compacta de x en X, entonces V ∩ A es una vecindad compacta de x en A. ⊔ ⊓ VIII.2.23 Proposici´ on. Sea X localmente compacto y de Hausdorff y A ⊂ X abierto, entonces A es localmente compacto. Demostraci´ on: Ya que las vecindades compactas de un punto x ∈ X forman una base de vecindades en X, aquéllas que están contenidas en A forman una base de vecindades de x en A. ⊔ ⊓

256

COMPACIDAD

´ n. Sea X un espacio topológico y sea A ⊂ X. Se VIII.2.24 Definicio dice que A es localmente cerrado en X si A = Q∩C, donde Q es abierto y C es cerrado en X. VIII.2.25 Ejercicio. Probar que A es localmente cerrado en X si y sólo si para todo x ∈ A existe una vecindad V de x en X, tal que A ∩ V es cerrado en V . Podemos englobar en un solo resultado las proposiciones VIII.2.22 y VIII.2.23, en el caso de espacios de Hausdorff. A saber, tenemos el teorema siguiente. VIII.2.26 Teorema. Sea X un espacio de Hausdorff localmente compacto y sea A ⊂ X localmente cerrado. Entonces A es localmente compacto. Demostraci´ on: A = Q ∩ C con Q abierto y C cerrado en X. Por VIII.2.22, C es localmente compacto y, ya que A es abierto en C por ser intersección de C con un abierto Q, por VIII.2.23, A es localmente compacto. ⊔ ⊓ VIII.2.27 Teorema. Sea {Xλ } una colecci´ on no vac´ıa de espacios to∏ pol´ ogicos no vac´ıos. El producto topol´ ogico X = Xλ es localmente compacto si y s´ olo si todos los factores son localmente compactos y todos excepto un n´ umero finito son compactos. Demostraci´ on: Supongamos primero que X es localmente compacto. Por lo tanto, cualquier punto x = (xλ ) tiene una vecindad compacta ∏ V que contiene a otra vecindad Q de la forma Q = Qλ , con Qλ vecindad de xλ y Qλ = Xλ para todos, excepto un n´ umero finito de ´ındices λ. Si pλ es la proyección de X en el factor Xλ , pλ (V ) es una vecindad compacta de xλ , ya que Qλ ⊂ pλ (V ); por ello, xλ , que puede elegirse de manera arbitraria, posee una vecindad compacta, es decir Xλ es localmente compacto. Más a´ un, pλ (V ) = Xλ para todos, excepto un n´ umero finito de ´ındices λ; por lo tanto, para todos esos ´ındices, Xλ es compacto. Inversamente, supongamos que Xλ es localmente compacto para toda λ y que Xλ es compacto para toda λ excepto para λ = κ1 , . . . , κn .

´ DE ALEXANDROFF LA COMPACTACION

257

Sea x = (xλ ) ∈ X y sea Vκi una vecindad compacta de xκi ; tómese ∏ Vλ = Xλ para λ ̸= κi , i = 1, . . . , n. Entonces, es claro que V = Vλ es una vecindad compacta de x en X. ⊔ ⊓

VIII.3

´ n de Alexandroff La compactacio

En esta sección estudiaremos la más sencilla de las compactaciones, la de Alexandroff, que se logra agregando al espacio un solo punto. VIII.3.1 Ejemplo. Podemos encajar a Rn en la n-esfera Sn a través de la siguiente aplicación i : Rn −→ Sn , tal que i(x1 , . . . , xn ) =

(2x1 , 2x2 , . . . , 2xn , x21 + · · · + x2n − 1) . x21 + · · · + x2n + 1

Esta aplicación es el inverso de la proyecci´ on estereogr´ afica, que encaja a Rn en el complemento del polo norte (0, . . . , 0, 1) de Sn . Es decir, Rn se puede ver como un subespacio muy especial de Sn ; a saber, de tal modo que su complemento es un punto.

π

Figura VIII.1: La proyección estereográfica

En el ejemplo anterior observamos que Rn , que es un espacio no compacto, se puede completar a un espacio compacto agregándole un solo punto, puesto que obtenemos Sn al agregar un punto al infinito. Podemos probar fácilmente que Rn visto como subespacio de Sn es denso.

258

COMPACIDAD

´ n. Sea X un espacio topológico no compacto. Una VIII.3.2 Definicio compactaci´ on de X es un espacio X ′ , junto con un encaje i : X −→ X ′ , tal que i(X) es denso en X ′ . De este modo, el ejemplo VIII.3.1 muestra que la inversa de la proyección esterográfica i : Rn −→ Sn es una compactación de Rn . ´ n. Sea X un espacio topológico de Hausdorff y conVIII.3.3 Definicio sideremos el conjunto X ∗ , que consta de la unión de X con un punto adicional ∞, es decir, X ∗ = X ∪ {∞}. Sea A∗ = A ∪ {A ⊂ X ∗ | ∞ ∈ A, X ∗ − A ⊂ X es compacto }, donde A es la topolog´ıa dada en X. Al espacio resultante X ∗ se le llama la construcci´ on de Alexandroff de X. VIII.3.4 Ejemplo. Si X es discreto e infinito y F es el filtro cofinito, formado por conjuntos cofinitos en X, VII.1.10(f), entonces la construcción de Alexandroff X ∗ coincide con el espacio XF∗ asociado al filtro F seg´ un VII.1.48 (véase VIII.3.8). Veremos a continuación que {A} es, en efecto, una topolog´ıa. VIII.3.5 Proposici´ on. (a) A∗ es una topolog´ıa tal que induce en X la topolog´ıa A. (b) X ∗ con la topolog´ıa A∗ es un espacio compacto. (c) X es abierto en X ∗ . Por lo tanto, si X es un espacio no compacto, su construcci´ on de Alexandroff X ∗ , junto con la inclusi´ on natural, es una compactaci´ on. Demostraci´ on: (a) Basta verificar que uniones arbitrarias e intersecciones finitas de elementos de A∗ que contienen a ∞ están en A∗ . Sea {Aλ } una colección de elementos de A∗ , tales que ∞ ∈ Aλ para toda λ. Sea A = ∪Aλ . ∞ ∈ A y X ∗ − A = ∩(X ∗ − Aλ ), que es compacto, puesto que cada X ∗ − Aλ lo es y X es de Hausdorff. Por lo tanto, ∪Aλ ∈ A∗ .


259

Sean ahora A1 y A2 elementos de A∗ , tales que ∞ ∈ A1 ∩ A2 . = (X ∗ − A1 ) ∪ (X ∗ − A2 ), que es claramente compacto. Por lo tanto, A1 ∩ A2 ∈ A∗ . (b) Sea {Qλ } una cubierta abierta de X ∗ . Sea λ0 , tal que ∞ ∈ Qλ0 . El conjunto C = X ∗ − Qλ0 ⊂ X es compacto y {Qλ } es una cubierta abierta de C. Existe, por lo tanto, una subcubierta finita de C consistente en Qλ1 , . . . , Qλk . Claramente se tiene que la colección finita {Qλ0 , Qλ1 , . . . , Qλk } es una cubierta de X ∗ . (c) Es claro, puesto que X ∈ A. Si X no es compacto, la cerradura X = X ∗ , pues, al ser distintos X y X ∗ , X debe tener puntos que no están en X; a saber, {∞}. ⊔ ⊓ X ∗ − (A1 ∩ A2 )

´ n. Sea X un espacio no compacto. Al espacio X ∗ se VIII.3.6 Definicio le llama compactaci´ on de Alexandroff de X. En algunos textos también se le llama compactaci´ on con un punto of X. La hipótesis que exige que X sea de Hausdorff no es esencial. Del mismo modo en el que se demostró VIII.3.5, se puede probar el resultado siguientet. VIII.3.7 Teorema. Sea X un espacio topol´ ogico con topolog´ıa A y sea ∗ X = X ∪ {∞}. Def´ınase A∗ = A ∪ {A ⊂ X ∗ | ∞ ∈ A,

X ∗ − A es compacto y cerrado} .

Entonces (a) A∗ es una topolog´ıa en X ∗ que tiene a X como subespacio, (b) X ∗ con la topolog´ıa A∗ es compacto, y (c) si X no es compacto, entonces es denso en X ∗ . VIII.3.8 Ejercicio. Comparar la construcción dada de X ∗ con la construcción XF∗ , presentada en VII.1.48, y probar que, si X es discreto, ambas coinciden.

260

COMPACIDAD

VIII.3.9 Ejercicio. ea X un espacio compacto. Probar que la construcción de Alexandroff X ∗ de X, VIII.3.3, es la suma topológica de X con un punto, es decir, X ∗ = X ⊔ {∞} . Por lo tanto, cuando X es compacto, X no es denso en X ∗ . Aun cuando el espacio X sea de Hausdorff, la compactación de Alexandroff X ∗ de X no es necesariamente de Hausdorff. VIII.3.10 Ejemplo. Sea Q ⊂ R con la topolog´ıa relativa. Q es un espacio de Hausdorff. Sin embargo, Q∗ no es un espacio de Hausdorff; a saber, no es posible separar con vecindades abiertas a ∞ de ning´ un elemento q ∈ Q. Sea q ∈ Q; una vecindad t´ıpica de q es un intervalo V = (a, b) ∩ Q. Sea A una vecindad de ∞ en Q∗ ; por lo tanto, C = Q∗ − A es compacto. Si V ∩ A = ∅, entonces V ⊂ C; no obstante, esto no puede ser, ya que hay sucesiones en V (de racionales) que en R convergen a irracionales, por lo cual en Q no convergen, contradiciendo la compacidad de C. VIII.3.11 Ejercicio. Sea Q′ el cociente R/R − Q, y tómese la composición / / R/R − Q . /R e : Q (a) Probar que e : Q −→ Q′ es un encaje. (b) Probar que Q es denso en Q′ . (c) ¿Es Q′ compacto? (d) ¿Cómo se comparan Q∗ y Q′ , donde Q∗ es como en el ejemplo VIII.3.10? Hay una manera de garantizar que la compactación de Alexandroff de un espacio topológico de Hausdorff vuelva a ser un espacio de Hausdorff. Se tiene el siguiente teorema.


261

VIII.3.12 Teorema. (Alexandroff) X es un espacio topol´ ogico de Hausdorff localmente compacto si y s´ olo si su compactaci´ on de Alexandroff X ∗ es un espacio compacto de Hausdorff. Demostraci´ on: En primer lugar probaremos que si X es localmente compacto y de Hausdorff, entonces X ∗ es de Hausdorff. Para esto, basta demostrar que dado x ∈ X existen una vecindad de x y una vecindad de ∞ que son ajenas. Ya que X es localmente compacto, sea V una vecindad de x ∈ X, tal que V es compacto. Sea, por otro lado, A = X ∗ − V . A es una vecindad de ∞ en X ∗ que es evidentemente ajena a V. Inversamente, si X ∗ es de Hausdorff, entonces X también es de Hausdorff por ser subspacio. Más a´ un, si tomamos x ∈ X, hay vecindades ajenas V de x y W de ∞ en X ∗ . Podemos suponer que W es abierta, de modo que X ∗ − W es cerrado y compacto en X. Ya que V ⊂ X ∗ − W , entonces V ⊂ X ∗ − W por lo que V es una vecindad compacta de x en X. Por tanto, X es localmente compacto. ⊔ ⊓ ´ n. Ya que X es abierto en X ∗ , si X ∗ satisface el VIII.3.13 Observacio primer axioma de numerabilidad, entonces X mismo lo satisface; más a´ un, ∞ tiene una base numerable a su alrededor. Por otro lado, si X ∗ satisface el segundo axioma de numerabilidad, entonces los abiertos de una base numerable de la topolog´ıa de X ∗ que contienen a ∞ constituyen una base numerable a su alrededor. Esto nos conduce a la siguiente definición. ´ n. Un espacio topológico X es numerable al inVIII.3.14 Definicio ∗ finito si ∞ ∈ X tiene una base numerable de vecindades. VIII.3.15 Proposici´ on. La construcci´ on de Alexandroff X ∗ satisface el primer, resp. el segundo, axioma de numerabilidad si y s´ olo si X satisface el primer, resp. el segundo, axioma de numerabilidad y es numerable al infinito. ⊔ ⊓ Estudiaremos ahora el significado del concepto de numerabilidad al infinito. Sea X un espacio de Hausdorff localmente compacto y sea V una base de vecindades abiertas de ∞ en X ∗ . Los complementos de

262

COMPACIDAD

los elementos de V son compactos en X y, ya que X ∗ es de Hausdorff, entonces {∞} = ∩V ∈V V , por lo que X = X ∗ − {∞} = X ∗ − ∩V ∈V V = ∪V ∈V (X ∗ − V ), es decir, X es unión de compactos, uno por cada elemento de V. Si en particular V es numerable, es decir, si X es numerable al infinito, entonces tenemos que X es unión numerable de compactos. Inversamente, supongamos que X = ∪∞ n=1 Kn , con Kn compacto. ∗ Por lo tanto, {X − Kn } es una colección numerable de vecindades abiertas de ∞ en X ∗ . Usaremos estas vecindades para construir una base numerable de vecindades alrededor de ∞. Ya que por VIII.2.19 todo espacio (localmente) compacto de Hausdorff es regular, existe una vecindad compacta V1 de ∞ en X ∗ , tal que V1 ⊂ X ∗ − K1 . Tenemos ahora que (X ∗ − K2 ) ∩ V1◦ es también una vecindad abierta de ∞ en X ∗ que, por la misma razón anterior, contiene a una vecindad compacta V2 de ∞. Consideremos construida una vecindad compacta ◦ . Por el mismo argumento que antes, de ∞, Vn ⊂ (X ∗ − Kn ) ∩ Vn−1 hay una vecindad compacta de ∞, Vn+1 ⊂ (X ∗ − Kn+1 ) ∩ Vn◦ . As´ı, Vn+1 ⊂ Vn◦ para toda n. Veamos que {Vn } es una base de vecindades de ∞. Para esto, sea Q una vecindad abierta de ∞. Por lo tanto, X ∗ −Q es compacto. Por otro lado, tenemos ∞ ∪

∗

∗

(X − Vn ) = X −

n=1

⊃ X∗ −

∞ ∩

Vn

n=1 ∞ ∩

(X ∗ − Kn )

n=1 ∗

∞ ∪

∗

= X − (X −

Kn )

n=1

=

∞ ∪

Kn = X .

n=1

Entonces {X ∗ − Vn } es una cubierta abierta del compacto X ∗ − Q. Ya que, además, X ∗ − V1 ⊂ X ∗ − V2 ⊂ · · · , tenemos que X ∗ − Q ⊂ X ∗ − Vn para n suficientemente grande, es decir, Vn ⊂ Q para alguna n, lo que demuestra que {Vn } es una base local de vecindades alrededor de ∞. ∪ De hecho, probamos que X = ∞ n=1 Qn . Surge por todo lo dicho el siguiente teorema.


263

VIII.3.16 Teorema. Sea X un espacio localmente compacto y Hausdorff, entonces son equivalentes (a) X es numerable al infinito. (b) X es uni´ on numerable de compactos. ∪ (c) X = ∞ n=1 Qn , donde Qn es abierto para toda n, Qn es compacto y Qn ⊂ Qn+1 , n ∈ N. ⊔ ⊓ VIII.3.17 Nota. Obsérvese que el hecho de que X sea unión numerable de compactos no implica que X sea localmente compacto; por ejemplo, sea X = Q. Analizaremos ahora un ejemplo importante, en el que juegan un papel varios de los conceptos introducidos en este cap´ıtulo. VIII.3.18 Ejemplo. A la compactación de Alexandroff C∗ del plano complejo C, que por VIII.3.1 es homeomorfa a la 2-esfera, se le llama la esfera de Riemann. Si se toma la 3-esfera S3 ⊂ C2 ≈ R4 , precisamente definida como

S3 = {(z, w) ∈ C2 | ∥z∥2 + ∥w∥2 = 1} , se tiene una aplicación continua y suprayectiva {z si w = ̸ 0 p : S3 −→ C∗ , p(z, w) = w ∞ si w = 0 , que, por ser S3 compacto y C∗ de Hausdorff, es una identificación. Si definimos el espacio proyectivo complejo CPn como el espacio cociente S2n+1 /∼, donde S2n+1 ⊂ Cn+1 ≈ R2n+2 , de modo que si x = (x1 , . . . , xn+1 ), y = (y1 , . . . , yn+1 ) ∈ S2n+1 , x = λy para λ ∈ C , podemos tomar la identificación q : S2n+1 −→ CPn (compárese con IV.2.17(d)). Entonces, en particular, la aplicación p : S3 −→ C∗ definida arriba es compatible con la identificación q : S3 −→ CP1 y, por lo tanto, se obtiene un homeomorfismo φ : CP1 −→ C∗ ≈ S2 .

264

COMPACIDAD

Al tomar CPn como cociente de S2n+1 , de hecho lo que se hace es tomar un punto arbitrario y ∈ S2n+1 y la ´ orbita {λy | λ ∈ S1 } ⊂ S2n+1 , e identificar cada una de estas órbitas en un solo punto. (En otras palabras, se tiene una acción del grupo S1 en la (2n + 1)-esfera y CPn es el espacio de órbitas de esta acción, como se explicó en V.5.1-V.5.5, salvo que ah´ı se presentó el caso de grupos finitos y aqu´ı nuestro grupo S1 posee una estructura topológica involucrada en la acción.) En conclusión, hay una aplicación (identificación) η : S3 −→ S2 , tal que su fibra, es decir, la imagen inversa de cada punto, es una copia de S1 , que juega un importante papel en teor´ıa de homotop´ıa, a la que se le conoce como fibraci´ on de Hopf. VIII.3.19 Ejercicio. En el ejemplo anterior, probar las afirmaciones que ah´ı se hacen. VIII.3.20 Ejercicio. Demostrar que la aplicación φ : S3 −→ S2 ⊂ C × R = R3 , tal que φ(z, w) = (2zw, ∥z∥2 − ∥w∥2 ) coincide con la fibración de Hopf η definida arriba. VIII.3.21 Ejercicio. Probar que se tiene una aplicación canónica γ : RP2n+1 −→ CPn , que hace conmutativo el diagrama

S2n+1HH

t p ttt t tt ztz t

RP2n+1

γ

HH q HH HH HH$ $ / CPn ,

donde p y q son las identificaciones canónicas, que es suprayectiva y cuya fibra γ −1 (x) ≈ S1 . Más precisamente, observar que hay una acción de S1 en RP2n+1 , es decir, una forma de multiplicar los elementos de RP2n+1 por complejos unitarios, de manera que el correspondiente espacio de órbitas es CPn . (Sugerencia: Para la u ´ltima afirmación considerar la acción ζ 2 · [z] = [ζz], donde ζ ∈ S1 , z ∈ S2n+1 ⊂ Cn+1 ≈ R2n+2 y [z] = p(z) ∈ RP2n+1 . Nótese que ζ 2 es un elemento arbitrario de S1 que determina a ζ salvo signo.) VIII.3.22 Ejercicio. Probar que la aplicación α : S1 × RP2n+1 −→ RP2n+1 , tal que α(ζ 2 , [z]) = [ζz], está bien definida y es tal que para


265

cada punto z ∈ RP2n+1 fijo la aplicación S1 −→ RP2n+1 , tal que ζ 2 7→ [ζz] es un encaje. Más a´ un, probar que si identificamos en RP2n+1 dos puntos [z] y [z ′ ] si y sólo si [z ′ ] = [ζz], entonces el espacio cociente es (homeomorfo a) CPn . Para cerrar esta sección, analizaremos un interesante ejemplo. VIII.3.23 Ejemplo. Seg´ un mencionamos en V.4.18, el plano proyectivo RP2 puede obtenerse del disco B2 identificando puntos ant´ıpodas de la frontera, es decir,

RP2 = B2 /∼ donde x ∼ y ⇔ x, y ∈ S1 = ∂ B2 y x = ±y. Si N = (0, 1), S = (0, −1) ∈ S1 ⊂ B2 son los polos, se tiene un homeomorfismo φ : B2 − {N, S} −→ [−1, 1] × (−1, 1) , tal que φ(x1 , x2 ) = ( √

x1 1 − x22

, x2 )

con inverso ψ : [−1, 1] × (−1, 1) −→ B2 − {N, S} , tal que

√ ψ(s, t) = (s 1 − t2 , t) .

Si q : B2 −→ RP2 es la identificación descrita arriba y P = q(N ) = q(S), el homeomorfismo φ determina en los cocientes un homeomorfismo φ : RP2 − {P } = q(B2 − {N, S}) −→ [−1, 1] × (−1, 1)/∼ , donde (1, t) ∼ (−1, −t). Este u ´ltimo espacio M◦ = [−1, 1] × (−1, 1)/∼ es la banda de Moebius abierta. As´ı, lo que hemos probado es que si al plano proyectivo RP2 le quitamos un punto (P ) obtenemos, salvo homeomorfismo, la banda de Moebius abierta M◦ . En consecuencia, ya que el plano proyectivo es compacto (por ser imagen de un compacto) y ya que RP2 − {P } es denso en él, RP2 es su compactación de Alexandroff. Hemos probado el siguiente resultado.

266

COMPACIDAD

VIII.3.24 Proposici´ on. La compactaci´ on de Alexandroff de la banda de Moebius abierta es el plano proyectivo, es decir, (M◦ )∗ ≈ RP2 . ⊔ ⊓ VIII.3.25 Ejercicio. Haciendo uso de VIII.3.23 o VIII.3.24, probar que el cociente de la banda de Moebius cerrada M que resulta al identificar su frontera ∂ M en un punto es el plano proyectivo, donde definimos la frontera como ∂ M = q([−1, 1]×{−1, 1}), si q : [−1, 1]×[−1, 1] −→ M es la identificación que define a M, es decir, M/∂ M ≈ RP2 . VIII.3.26 Ejemplo. La construcción de Alexandroff no se comporta ∪ bien con uniones infinitas, es decir, si por ejemplo X = ∞ n=1 Xn , en∪∞ tonces no necesariamente n=1 Xn∗ coincide con X ∗ . Por ejemplo, si ∪ ∗ ∞ Xn = Rn , entonces Xn∗ ≈ Sn y por lo tanto ∞ n=1 Xn ≈ S . Por el ∗ ∞ Teorema VIII.3.7, X es compacto. Sin embargo, S no es compacto, a saber, la sucesión x1 = (1, 0, 0, . . . , 0, 0, . . . ), x2 = (0, 1, 0, . . . , 0, 0, . . . ), . . . , xn = (0, 0, 0, . . . , 1, 0, . . . ), xn+1 = (0, 0, 0, . . . , 0, 1, . . . ), · · · ∈ S∞ no tiene puntos de acumulación. VIII.3.27 Ejercicio. Sea X1 ⊆ X2 ⊆ · · · ⊆ Xn ⊆ Xn+1 ⊆ · · · una cadena de espacios de Hausdorf, tales que Xn es cerrado en Xn+1 . Probar ∪ que si X = ∞ ıa de la unión y f : C −→ X es conn=1 Xn tiene la topolog´ tinua con dominio C compacto, entonces existe n tal que f (C) ⊆ Xn . (Sugerencia: De lo contrario, puede construirse una sucesión en C sin puntos de acumulación.)

VIII.4

Aplicaciones propias

En la sección anterior definimos la compactación de Alexandroff de un espacio topológico no compacto. En esta sección estudiaremos el comportamiento de esta construcción en relación con aplicaciones continuas. Daremos diversas caracterizaciones de las aplicaciones que se pueden extender a las compactaciones de Alexandroff, es decir, de las aplicaciones que llamaremos propias. Remitimos al lector a textos como

APLICACIONES PROPIAS

267

[9], donde se hacen tratamientos alternativos y complementarios sobre este tema. Comenzaremos analizando unos ejemplos. (En lo que sigue, abusando de la notación, denotaremos por ∞ al punto agregado a cualquier espacio para obtener su compactación, en el entendido de que a espacios distintos les corresponden puntos ∞ distintos.) VIII.4.1 Ejemplos. (a) Sea X = (0, 1), Y = [0, 1] y f : X −→ Y la inclusión. Claramente X ∗ ≈ S1 con encaje i : (0, 1) −→ S1 dado por i(t) = e2πit . Por otro lado, Y ∗ = Y ⊔ {∞}. Es un ejercicio sencillo observar que f no admite una extensión f ∗ : X ∗ −→ Y ∗ . (b) Más a´ un, si consideramos Z = R y g : X −→ Z, g = j ◦ f , donde j es la inclusión de [0, 1] en R, tenemos que tanto X como Z son no compactos. Tampoco en este caso existe una extensión g ∗ : X ∗ −→ Z ∗ de g. (c) Sea ahora X = Y = (0, 1) y sea f : X −→ Y , tal que f (t) = 21 para toda t. En este caso, f s´ı admite una extensión f ′ : X ∗ −→ Y ∗ ; a saber, la aplicación constante S1 −→ S1 con valor −1 ∈ S1 . Sin embargo, no es posible encontrar una extensión f ∗ , tal que f ∗ (1) = 1, es decir, una extensión que aplique al punto adicional ∞ en el punto adicional ∞. Por los ejemplos anteriores, observamos que no cualquier aplicación entre espacios topológicos puede extenderse a las compactaciones de Alexandroff aplicando ∞ en ∞. VIII.4.2 Ejercicio. Sea f : R −→ R continua y sea f ∗ : R∗ −→ R∗ , tal que f ∗ (t) = f (t) si t ∈ R y f ∗ (∞) = ∞. Probar que f ∗ es continua si y sólo si para toda sucesión (tn ) en R, tal que tn → ∞, f (tn ) → ∞. Sean X y Y espacios topológicos y sea f : X −→ Y . Sea f ∗ : X ∗ −→ Y tal que f ∗ (x) = f (x) si x ∈ X y f ∗ (∞) = ∞. f ∗ es continua en x si y sólo si para toda vecindad V de f ∗ (x) en Y ∗ , (f ∗ )−1 (V ) es vecindad de x en X ∗ . Claramente f ∗ siempre es continua en x ∈ X (ejercicio), ¿cuándo es f ∗ continua en ∞? ∗,

268

COMPACIDAD

Sea V una vecindad (abierta) de ∞ en Y ∗ ; por lo tanto, Y ∗ − V es compacto. Deseamos que (f ∗ )−1 (V ) sea una vecindad (abierta) de ∞ en X ∗ . Es decir, queremos que X ∗ − (f ∗ )−1 (V ) sea compacto. Esto nos conduce a la siguiente definición. ´ n. Sean X y Y espacios topológicos y sea f : X −→ VIII.4.3 Definicio Y continua. Se dice que f es una aplicación propia si para todo compacto K ⊂ Y , f −1 (K) es compacto. Por toda la discusión anterior es evidente el siguiente resultado. VIII.4.4 Teorema. Sean X y Y espacios topol´ ogicos y sea f : X −→ Y ∗ ∗ ∗ continua. Entonces f : X −→ Y es continua si y s´ olo si f es propia. ⊔ ⊓ Obsérvese que el teorema anterior es válido para cualquier pareja de espacios X, Y , que pueden ser incluso compactos o no ser localmente compactos ni de Hausdorff. VIII.4.5 Nota. Sea X no compacto y supongamos que f : X −→ Y admite una extensión f ′ : X ∗ −→ Y . En este caso f no puede ser propia, ya que f ′ (X ∗ ) ⊂ Y es compacto, pero X = f −1 (f ′ (X ∗ )) no es compacto. Sea f : X −→ Y una aplicación propia, es decir, f ∗ : X ∗ −→ Y ∗ es continua. Si A ⊂ X es cerrado, entonces A ∪ {∞} es complemento de un abierto en X ∗ y, por lo tanto, es cerrado también en X ∗ , es decir, A ∪ {∞} es compacto. As´ı, también f ∗ (A ∪ {∞}) = f (A) ∪ {∞} es compacto. Si Y es localmente compacto y de Hausdorff, entonces Y ∗ es compacto y de Hausdorff, por ello f (A) ∪ {∞} es cerrado en Y ∗ . Ya que su complemento es abierto, también el complemento de f (A) en Y es abierto, por lo que f (A) es cerrado en Y . En particular, f (X) es cerrado en Y y en consecuencia f (X) es localmente compacto. Hemos probado la siguiente proposición.


269

VIII.4.6 Proposici´ on. Sea Y un espacio de Hausdorff localmente compacto y sea f : X −→ Y una aplicaci´ on propia. Entonces f es cerrada y f (X) es localmente compacto. ⊔ ⊓ La proposición anterior es falsa si no se exige, al menos, que los compactos en Y ∗ sean cerrados. VIII.4.7 Ejemplo. Sea f la inclusión de X = {x} en Y = {x, y}, donde Y tiene la topolog´ıa indiscreta. Obviamente, f es propia; sin embargo, no es cerrada. Está el siguiente resultado que da caracterizaciones para las aplicaciones propias. VIII.4.8 Teorema. Sean Y un espacio de Hausdorff localmente compacto y f : X −→ Y una aplicaci´ on continua. Son equivalentes (a) f es propia. (b) f es cerrada y, para cada y ∈ Y , f −1 (y) es compacto. (c) Para todo filtro F en X y todo punto de acumulaci´ on y del filtro imagen f (F) existe un punto de acumulaci´ on x de F, tal que f (x) = y. Demostraci´ on: (a)=⇒(b) por VIII.4.6 y ya que cada espacio singular {y} es compacto. (b)=⇒(c) Sea F un filtro en X y y ∈ Y un punto de acumulación del filtro imagen f (F). Por ello, y ∈ f (F ) para todo F ∈ F. Ya que f es cerrada, por IV.2.31(d), f (F ) = f (F ). As´ı, f −1 (y) ∩ F ̸= ∅ para toda F ∈ F . Por lo tanto, el conjunto {f −1 (y) ∩ F | F ∈ F} es una base de filtro en f −1 (y) formada por conjuntos cerrados. Al ser f −1 (y) compacto, ésta tiene un punto de acumulación x ∈ f −1 (y), es decir, x ∈ F , para toda F ∈ F. En consecuencia, x es un punto de acumulación de F, como se quer´ıa. (c)=⇒(a) Sea K ⊂ Y un compacto y sea G un filtro en f −1 (K) y F su extensión a todo X. Si denotamos por fK (G) al filtro imagen

270

COMPACIDAD

f |f −1 (K) de G en K, entonces la imagen de F bajo f en Y , f (F), es su extensión a todo Y . Ya que K es compacto, f |f −1 (K) tiene un punto de acumulación y ∈ K, que, por VII.4.12(a), también lo es de f (F). Por (c), se tiene un punto de acumulación x ∈ f −1 (y) de F, que, nuevamente por VII.4.12(a), también lo es de G. Por lo tanto, f −1 (y) es compacto y, en consecuencia, f es propia. ⊔ ⊓ VIII.4.9 Nota. La implicación (a)=⇒(b) en el teorema anterior es la u ńica que requiere de la hipótesis de que Y sea de Hausdorff localmente compacto. La implicación (c)=⇒(b), al igual que ya se hizo para (b)=⇒(c), se puede probar sin esa hipótesis. Como complemento al teorema VIII.4.8, se da el siguiente ejercicio. VIII.4.10 Ejercicio. Sea Y un espacio de Hausdorff localmente compacto. Probar que una aplicación f : X −→ Y es propia si y sólo si para todo ultrafiltro U en X y todo punto l´ımite y ∈ Y de la base de ultrafiltro imagen f (U), existe un punto l´ımite x ∈ X de U, tal que f (x) = y. Por ser Y de Hausdorff, se tiene, de hecho, que f es propia si y sólo si para todo ultrafiltro U en X, tal que la base de ultrafiltro imagen f (U) es convergente, se tiene que U mismo es convergente. Hay otra caracterización interesante de una aplicación propia. VIII.4.11 Teorema. Sean Y un espacio de Hausdorff localmente compacto y f : X −→ Y una aplicaci´ on continua. Entonces f es propia si y s´ olo si para todo espacio topol´ ogico Z la aplicaci´ on producto f × idZ : X × Z −→ Y × Z es cerrada. Demostraci´ on: Supongamos que f es propia; por VIII.4.8(c), f tiene la propiedad VIII.1.53(F); por lo tanto, por VIII.1.54, f ×idZ : X ×Z −→ Y × Z también la tiene, por lo que, por VIII.1.55, es cerrada. Inversamente, sea K ⊂ Y compacto. Si f × idZ : X × Z −→ Y × Z es cerrada, entonces la restricción (f ×idZ )K×Z = fK ×idZ : (f ×idZ )−1 (K ×Z) = f −1 (K)×Z −→ K ×Z


271

es cerrada (véase IV.2.33). Por ser K compacto, por VIII.1.56, también la aplicación proyZ : K × Z −→ Z es cerrada; as´ı, la composición f −1 (K) × Z

fK ×idZ

/K ×Z

proyZ

/Z,

que coincide con proyZ : f −1 (K) × Z −→ Z, es también cerrada. Nuevamente, por VIII.1.56, concluimos que f −1 (K) es compacto. ⊔ ⊓ VIII.4.12 Ejercicio. Probar que si X es compacto, toda aplicación f : X −→ Y es propia; más a´ un, si P es un espacio singular, probar que g : X −→ P es propia si y sólo si X es compacto. VIII.4.13 Ejercicio. Sean X y Y espacios topológicos. Probar que proyY : X × Y −→ Y es propia si y sólo si X es compacto. VIII.4.14 Ejercicio. Sean f : X −→ Y y g : Y −→ Z continuas. Probar (a) idX : X −→ X es propia y, si f y g son propias, entonces también g ◦ f lo es. (b) Si g ◦ f es propia y f es suprayectiva, entonces g es propia. (c) Si g ◦ f es propia y g es inyectiva, entonces f es propia. (d) Si g ◦ f es propia y Y es de Hausdorff, entonces f es propia. VIII.4.15 Ejercicio. Sean f : X −→ Y continua, X compacto y Y de Hausdorff. Probar que f es propia. VIII.4.16 Ejercicio. Probar que la inclusión (0, 1) ,→ R no es propia. (Compárese con VIII.4.1(b).) VIII.4.17 Ejercicio. Sea pk : C −→ C, tal que pk (z) = z k , k ∈ Z. ¿Es esta aplicación propia? VIII.4.18 Ejercicio. Sean X y Y espacios discretos infinitos. ¿Bajo qué condiciones es una aplicación f : X −→ Y propia?

272

COMPACIDAD

VIII.4.19 Ejercicio. Un diagrama de espacios topológicos y aplicaciones continuas F / E G q

Y

f

p

/X

se llama cuadrado cartesiano (o diagrama de “pullback”) si G = {(y, e) ∈ Y × E | f (y) = p(e)} (con la topolog´ıa relativa inducida por la del producto) y q(y, e) = y, F (y, e) = F . Frecuentemente se denota G por Y ×X E y se le designa como producto fibrado de Y y E sobre X. (Véase V.2.4.) Si X es un espacio de Hausdorff, probar las siguientes afirmaciones: (a) Si p es propia, entonces q es propia. (b) Si E es compacto y f es propia, entonces G es compacto. (Sugerencia: Observar que, por ser X de Hausdorff, la diagonal ∆X = {(x, x) | x ∈ X} ⊂ X × X es cerrada.) VIII.5

Topolog´ıa compacto-abierta

Sean X y Y espacios topológicos y sea Top(X, Y ) = {f : X −→ Y | f es continua}. En esta sección estudiaremos cómo dotar de una topolog´ıa a Top(X, Y ) de manera adecuada. Una función natural es la siguiente e : Top(X, Y ) × X −→ Y , tal que e(f, x) = f (x), a la que se le llama evaluaci´ on. Si damos a Top(X, Y ) la topolog´ıa discreta, e es continua. ¿Cuál será la topolog´ıa más gruesa en Top(X, Y ), tal que la evaluación e es continua? Para atacar esta pregunta, plantearemos una un poco más general. Sean X y Y espacios topológicos y sea Z un conjunto. Dada una función de conjuntos α : Z × X −→ Y , ¿cuáles topolog´ıas en Z hacen continua a α? Supongamos que Z está provisto de una topolog´ıa, tal que α es continua.

TOPOLOGÍA COMPACTO-ABIERTA

273

VIII.5.1 Lema. Sea α : Z × X −→ Y continua y sea Nx el filtro de vecindades de x en X. Entonces (a) La aplicaci´ on αz : X −→ Y , tal que αz (x) = α(z, x), es continua para toda z. (b) Si F es un filtro en Z, tal que F → z0 , entonces α(F × Nx ) → α(z0 , x) para toda x ∈ X, donde F × Nx es el filtro que tiene como base al conjunto de productos de un elemento de F y un elemento de Nx . Demostraci´ on: (a) Ya fue probado en la sección IV.3. (b) Es claro que F × Nx → (z0 , x), (véase VII.5.5). Ya que α es continua se tiene la afirmación. ⊔ ⊓ VIII.5.2 Lema. Sea H ⊂ Top(X, Y ), f0 ∈ H y F un filtro en H, tal que e(F × Nx ) → f0 (x) para toda x ∈ X. Entonces existe una topolog´ıa en H para la cual F es el filtro de vecindades de f0 y, por lo tanto, F → f0 y para la cual e es continua. Demostraci´ on: Def´ınase en H una topolog´ıa A como sigue: A = {A ⊂ H | f0 ̸∈ A} ∪ {A ∈ F | f0 ∈ A} . Claramente es ésta una topolog´ıa tal que el filtro de vecindades de f0 en H, NfH0 , está contenido en F, es decir, F → f0 . Veamos que e es continua en esta topolog´ıa. Sea f ∈ H, f ̸= f0 . Si x ∈ X, sea Q una vecindad de f (x) en Y . Ya que f : X −→ Y es continua, f −1 (Q) es una vecindad de x en X y {f } × f −1 (Q) es una vecindad de (f, x) en H × X, y e({f } × f −1 (Q)) = f f −1 (Q) ⊂ Q. Por lo tanto, e es continua en (f, x) si f ̸= f0 . La evaluación e también es continua en (f0 , x), puesto que, por hipótesis, e(F × Nx ) → f0 (x), por lo que tenemos que e aplica al filtro de vecindades de (f0 , x) en un filtro convergente a e(f0 , x) = f0 (x). ⊔ ⊓ Sea H ⊂ Top(X, Y ), sea f0 ∈ H y sea F un filtro en H. Supongamos que H está provisto de una topolog´ıa para la cual F → f0 . Entonces F → f0 para cualquier topolog´ıa más gruesa que la dada. Tenemos as´ı la siguiente afirmación.

274

COMPACIDAD

VIII.5.3 Proposici´ on. Sup´ ongase que existe en H la topolog´ıa m´ as gruesa para la cual e es continua. Con esta topolog´ıa, F → f0 si y s´ olo si e(F × Nx ) → f0 (x) para toda x ∈ X. ⊔ ⊓ as grueVIII.5.4 Teorema. Si existe en Top(X, Y ) una topolog´ıa m´ sa para la cual la evaluaci´ on es continua, entonces una funci´ on f : Z × X −→ Y es continua si y s´ olo si se cumplen las siguientes dos condiciones. (a) Para todo punto z ∈ Z, la funci´ on fz : X −→ Y , tal que fz (x) = f (z, x), es continua. (b) La funci´ on fe : Z −→ Top(X, Y ), tal que fe(z) = fz , es continua. Demostraci´ on: Veamos primeramente que las condiciones son suficientes. Por (a) se puede descomponer f como lo indica el diagrama siguiente. Z × XP

f

PPP PPP PPP PP( e f ×id

/Y pp8 p p pp pppe p p p

Top(X, Y ) × X .

Por (b), fe × id es continua, por lo que f resulta serlo también. Las dos condiciones son necesarias. Por el lema VIII.5.1(a), si f es continua fz también lo es. Por lo tanto, (a) es válida. Para verificar (b), sea G un filtro que converge a z. Nuevamente el lema VIII.5.1(b) implica que para todo punto x ∈ X, f (G × Nz ) → f (z, x), es decir, e(fe × id)(G × Nz ) → f (z, x) = e(fe(z), x). Pero (fe × id)(G × Nz ) = fe(G) × Nx , por lo que, por la proposición VIII.5.3, fe(G) → fe(z), de modo que fe resulta ser continua. ⊔ ⊓ Sea H ⊂ Top(X, Y ) y supóngase que H está provista de una topolog´ıa, tal que la evaluación e : H × X −→ Y es continua. Sean K ⊂ X un compacto, Q ⊂ Y un abierto y def´ınase QK = {f ∈ H | f (K) ⊂ Q}, es decir, f ∈ QK si y sólo si e({f } × K) ⊂ Q. VIII.5.5 Proposici´ on. El conjunto QK ⊂ H es abierto.

TOPOLOGÍA COMPACTO-ABIERTA

275

Demostraci´ on: Sea f ∈ QK . Para todo punto x ∈ K, Q es vecindad de f (x) = e(f, x). Por ser e continua, existen vecindades W (f, x) de f en H y V (f, x) de x en X, tales que e(W (f, x)×V (f, x)) ⊂ Q. Por ser K compacto, puede cubrirse con un n´ umero finito de las vecindades V (f, x); digamos V (f, x1 ), . . . V (f, xn ). As´ı, W = W (f, x1 ) ∩ · · · ∩ W (f, xn ) es vecindad de f en H y e(W × V (f, xi )) ⊂ Q, para i = 1, . . . , n. Ya que K ⊂ V (f, x1 ) ∪ · · · ∪ V (f, xn ), se tiene que e(W × K) ⊂ Q, es decir, W ⊂ QK , lo que demuestra que QK es abierto. Llamaremos a éste conjunto compacto-abierto. ⊔ ⊓ Hemos demostrado que si una topolog´ıa en H es tal que la aplicación evaluación es continua, entonces los conjuntos compacto-abiertos QK deben ser abiertos en dicha topolog´ıa. Esto sugiere lo siguiente. ´ n. Sea H ⊂ Top(X, Y ). A la topolog´ıa en H que VIII.5.6 Definicio tiene como subbase a la colección {QK | K ⊂ X es compacto y Q ⊂ Y es abierto} se le llama topolog´ıa compacto-abierta en H. Utilizaremos la notación M(X, Y ) para H = Top(X, Y ) con esta topolog´ıa. VIII.5.7 Nota. Los conjuntos compacto-abiertos QK no forman en general una base para la topolog´ıa de M(X, Y ). Por construcción de la topolog´ıa compacto-abierta, se tiene el siguiente resultado. VIII.5.8 Lema. En H ⊂ M(X, Y ), la topolog´ıa compacto-abierta es m´ as gruesa que cualquier topolog´ıa para la cual la evaluaci´ on e : H × X −→ Y es continua. ⊔ ⊓ Sea X localmente compacto. Si (f0 , x0 ) ∈ H × X, y Q es una vecindad abierta de f0 (x0 ) en Y , entonces por la continuidad de f0 , existe una vecindad compacta K de x en X, tal que f0 (K) ⊂ Q; as´ı, f0 ∈ QK , por lo que QK es vecindad de f0 en la topolog´ıa compactoabierta. Entonces QK × K es una vecindad de (f0 , x0 ) y, por definición, e(QK ×K) ⊂ Q, por lo que resulta que e : H ×X −→ Y es continua con respecto a la topolog´ıa compacto-abierta en H. Con el lema anterior, hemos demostrado el teorema siguiente.

276

COMPACIDAD

VIII.5.9 Teorema. Sea X un espacio localmente compacto y sea Y un espacio arbitrario. Entonces, para cualquier H ⊂ M(X, Y ), la topolog´ıa compacto-abierta en H es la m´ as gruesa para la cual la evaluaci´ on e : H × X −→ Y es continua. ⊔ ⊓ VIII.5.10 Teorema. Sea X un espacio localmente compacto y sea Y un espacio arbitrario. Si Y ′ = {f ∈ M(X, Y ) | f es constante}, entonces Y ≈ Y ′ . M´ as a´ un, M(X, Y ) es de Hausdorff si y s´ olo si Y lo es. Demostraci´ on: La aplicación i : Y −→ M(X, Y ), tal que i(y) : x 7→ y para toda x ∈ X, es un encaje cuya imagen es Y ′ , con inverso f 7→ f (x) = e(f, x) para alguna x ∈ X. Por lo tanto, si M(X, Y ) es de Hausdorff, entonces Y ′ y, con él, Y son de Hausdorff. Inversamente, si Y es de Hausdorff, sean f, g ∈ M(X, Y ), f ̸= g. Por lo tanto, para alguna x ∈ X, f (x) ̸= g(x). As´ı, existen vecindades abiertas Q1 y Q2 de f (x) y g(x) en Y , respectivamente, tales que Q1 ∩ {x} {x} Q2 = ∅. Entonces los conjuntos Q1 y Q2 son abiertos ajenos, ya que {x} {x} si h ∈ Q1 ∩ Q2 , h(x) ∈ Q1 ∩ Q2 , lo cual es imposible. Claramente, {x} {x} f ∈ Q1 y g ∈ Q2 , por lo que M(X, Y ) resulta ser de Hausdorff. ⊔ ⊓ Para terminar esta sección, daremos una aplicación muy interesante de la topolog´ıa compacto-abierta, cuando el espacio del dominio es localmente compacto; primero, observemos en el siguiente ejemplo, debido a Dieudonné, que, en general, el producto de identificaciones no resulta ser una identificación. VIII.5.11 Ejemplo. Sea Q el conjunto de los racionales con la topolog´ıa relativa y tómese la relación ∼ que identifica en un punto a todos los enteros. Sea p : Q −→ Q/∼ la aplicación cociente; sin embargo, el producto p × id : Q × Q −→ Q/∼ ×Q no es una identificación. VIII.5.12 Ejercicio. Probar que, en el ejemplo anterior, la identificación p no es una aplicación abierta, pero s´ı es cerrada. Más a´ un, probar que, en efecto, el producto p × idQ no es una identificación.

LA LEY EXPONENCIAL

277

El siguiente resultado, debido a J. H. C. Whitehead, es una fuerte aplicación de la compacidad local; resuelve el problema de cuándo el producto de identificaciones vuelve a ser una identificación, caso que, en general, no se da, como lo muestra el ejemplo VIII.5.11. VIII.5.13 Teorema. Sea p : X −→ X ′ una identificaci´ on y sea Y un espacio localmente compacto. Entonces la aplicaci´ on p × id : X × Y −→ X ′ × Y es una identificaci´ on. Demostraci´ on: Tómese en X × Y la relación de equivalencia, tal que (x, y) ∼ (x′ , y) si y sólo si p(x) = p(x′ ) y sea q : X ×Y −→ Z = X ×Y /∼ la aplicación cociente. Por la propiedad del cociente, ya que p×id y q identifican los mismos puntos, existe una u ńica aplicación h : Z = X × Y /∼−→ X ′ × Y que es continua y biyectiva. Por VIII.5.4(b) y VIII.5.9, q determina una aplicación qe : X −→ Top(Y, Z), continua con respecto a la topolog´ıa compacto-abierta en Top(Y, Z). Más a´ un, si p(x) = p(x′ ), claramente qe(x) = qe(x′ ), por lo que, por ser p una identificación, se tiene una aplicación continua q ′ : X ′ −→ Top(Y, Z), tal que q ′ ◦ p = qe . Ya que la evaluación e : Top(Y, Z) × Y −→ Z es continua, por ser Y localmente compacto, la función e ◦ q ′ : X ′ × Y −→ Z, que coincide, precisamente, con h−1 , es continua, por lo que h es un homeomorfismo y, por tanto, al coincidir p × id con q, salvo el homeomorfismo h, es también una identificación. ⊔ ⊓ En la sección VIII.7 (VIII.7.21), formularemos una generalización de este resultado. VIII.6

La ley exponencial

Para conjuntos arbitrarios X y Y , denotemos (provisionalmente) por X Y el conjunto de funciones f : X −→ Y . Si X, Y, Z son conjuntos, la ley exponencial establece una equivalencia de conjuntos Z X×Y ∼ = (Z Y )X .

278

COMPACIDAD

Basta para ello definir una biyección φ : Z X×Y → (Z Y )X por φ(f )(x)(y) = f (x, y), cuyo inverso, ψ : (Z Y )X → Z X×Y está dado por ψ(g)(x, y) = g(x)(y). Veremos ahora cómo establecer un resultado análogo para el espacio M(X, Y ). VIII.6.1 Proposici´ on. Sean X, Y, Z espacios topol´ ogicos tales que Y es de Hausdorff y localmente compacto. Entonces se tiene una equivalencia de conjuntos φ : M(X × Y, Z) → M(X, M(Y, Z)) . Demostraci´ on: Para definir φ como al principio de la sección, hay que demostrar que si f : X × Y → Z es continua entonces φ(f )(x) : Y → Z es continua y φ(f ) : X → Top(Y, Z) también es continua. Para la primera afirmación, observemos que φ(f )(x) es la composición i

f

x Y −→X × Y −→Z ,

donde ix (y) = (x, y), que claramente es continua. (Nótese que si X = ∅ la proposición es trivial.) Para la segunda afirmación, sea U K un subbásico de M(Y, Z). Basta ver que φ(f )−1 (U K ) es abierto en X. Sea, pues, x ∈ φ(f )−1 (U K ). Entonces, φ(f )(x)(y) = f (x, y) ∈ U para todo y ∈ K y existen vecindades Wy de x, Vy de y con f (Wy × Vy ) ⊂ U . Ya que K es compacto, la familia {Vy } contiene una subfamilia finita V1 , . . . , Vm que cubre a K. Sea W = W1 ∩ · · · ∩ Wm , donde Wi es tal que f (Wi × Vi ) ⊂ U . W es vecindad de x en X. Veamos que W ⊂ φ(f )−1 (U K ). En efecto, si x′ ∈ W y y ∈ K, entonces φ(f )(x′ )(y) = f (x′ , y), pero y ∈ Vi para alguna i, y x′ ∈ Wi , as´ı f (x′ , y) ∈ U . Con ello, hemos demostrado que φ está bien definida. Veamos ahora que, con la definición al principio de la sección, ψ : M(X, M(Y, Z)) → M(X × Y, Z) está bien definida. Sea g : X → M(Y, Z) continua. Basta probar que ψ(g) es continua. Sea U ⊂ Z abierto y veamos que ψ(g)−1 (U ) es abierto. Sea (x, y) ∈ ψ(g)−1 (U ), es decir, g(x)(y) ∈ U . Ya que g(x) es continua existe una

LA LEY EXPONENCIAL

279

vecindad W de y con g(x)(W ) ⊂ U . Al ser Y localmente compacto y de Hausdorff existe una vecindad K compacta, tal que y ∈ K ⊂ W ; as´ı, g(x)(K) ⊂ U y, por lo tanto, g(x) ∈ U K , que es abierto en M(Y, Z). Ya que g es continua, existe una vecindad V de x en X, tal que g(V ) ⊂ U K . Sea (x′ , y ′ ) ∈ V × K, que es una vecindad de (x, y) en X × Y , entonces ψ(g)(x′ , y ′ ) = g(x′ )(y ′ ) ∈ U , por lo que V × K ⊂ ψ(g)−1 (U ). ⊔ ⊓ Con una condición adicional, la equivalencia de conjuntos en la proposición anterior es un homeomorfismo; a saber, obtenemos la ley exponencial. VIII.6.2 Teorema. Si X, Y , Z son espacios topol´ ogicos, tales que X y Y son de Hausdorff y Y es localmente compacto, entonces φ : M(X × Y, Z) → M(X, M (Y, Z)) es un homeomorfismo. Demostraci´ on: Veamos que φ y ψ son continuas. Primero, sea (U L )K un subbásico en M(X, M(Y, Z)) con U abierto en Z y K y L compactos en X y Y , respectivamente. Entonces K × L es compacto y si f ∈ (U K×L ) ⊂ M(X × Y, Z), luego φ(f )(K)(L) = f (K × L) ∈ U , es decir, φ(U K×L ) ⊂ (U L )K . Sea ahora U J un subbásico en M(X × Y, Z), con J compacto en X × Y . Sean K = proyX (J) y L = proyY (J). K y L son compactos y J ⊂ K × L. Veamos que ψ((U L )K ) ⊂ U J . En efecto, sean g ∈ (U L )K y (x, y) ∈ J, entonces ψ(g)(x, y) = g(x)(y) ∈ U , puesto que x ∈ K y y ∈ L. ⊔ ⊓ Tomemos la aplicación (VIII.6.3)

M(X, Y ) × M(Y, Z) → M(X, Z)

dada por la composición. VIII.6.4 Ejercicio. Probar que si X y Y son espacios de Hausdorff localmente compactos, la aplicación (VIII.6.3) es continua. En particular, si f : X → Y es continua, entonces induce (por restricción de (VIII.6.3)) una aplicación continua f # : M(Y, Z) → M(X, Z) ,

280

COMPACIDAD

tal que f # (g) = g ◦ f . Igualmente, si g : Y → Z es continua, entonces induce (nuevamente por restricción de (VIII.6.3)) una aplicación continua g# : M(X, Y ) → M(X, Z) , tal que g# (f ) = g ◦ f . ´ n. Sean A un subespacio de X y B un subespacio VIII.6.5 Definicio de Y . Denotemos por M(X, A; Y, B) al subespacio de M(X, Y ) que consta de las aplicaciones f : X → Y , tales que f (A) ⊂ B. Un ejemplo importante de estos subespacios es M(X, x0 ; Y, y0 ) de aplicaciones f : X → Y , tales que f (x0 ) = y0 , con x0 ∈ X y y0 ∈ Y puntos espec´ıficos. A estas aplicaciones se les llama aplicaciones punteadas (o basadas), pues aplican al punto b´ asico x0 de X en el punto básico y0 de Y . A las parejas (X, x0 ) o (Y, y0 ) se les designa como espacios punteados. VIII.6.6 Ejemplo. Sea I = [0, 1] el intervalo y ∂I = {0, 1} su frontera. Podemos considerar as´ı los espacios M(I, X) ⊃ M(I, 0; X, x0 ) ⊃ M(I, ∂I; X, x0 ) , para un espacio punteado (X, x0 ). A estos espacios se les conoce como espacio de trayectorias libres en X, espacio de trayectorias en X basadas en x0 y espacio de lazos en X basados en x0 , respectivamente. A M(I, ∂I; X, x0 ) se le suele denotar como Ω(X, x0 ) o, si el punto básico es claro, ΩX (compárese con VIII.6.9 más adelante). ´ n. Consideremos las parejas de espacios (X, A) y VIII.6.7 Definicio (Y, B). Definimos su producto como la pareja (X, A) × (Y, B) = (X × Y, X × B ∪ A × Y ). As´ı (I, ∂I) × (I, ∂I) = (I 2 , ∂I 2 ), donde I 2 es el cuadrado unitario en el plano y ∂I 2 su frontera, que es homeomorfa al c´ırculo S1 (véase la figura VIII.2). Inductivamente, (I n , ∂I n ) × (I, ∂I) = (I n+1 , ∂I n+1 ), donde I n+1 es el cubo unitario en Rn+1 y ∂I n+1 es su frontera, que es homeomorfa a la esfera

Sn = {(x1 , . . . , xn+1 ) ∈ Rn+1 | x21 + · · · + x2n+1 = 1}.

ESPACIOS COMPACTAMENTE GENERADOS

≈

I ×I

I

281

B2

I

∂I

I × ∂I

I

∪

I

∂I × I

=

∂(I × I)

≈

S1

∂I

Figura VIII.2: (I, ∂I) × (I, ∂I) = (I 2 , ∂I 2 ) ≈ (B2 , S1 ) Por la ley exponencial (que también es válida para parejas -ejercicio), se tiene (VIII.6.8) M(I n+1, ∂I n+1 ; X, x0 ) ≈ M(I, ∂I;M(I n, ∂I n ; X, x0 ), x f0 ) , donde x f0 ∈ M(I n , ∂I n ; X, x0 ) es tal que x f0 (I n ) = x0 . ´ n. Al espacio M(I n , ∂I n ; X, x0 ) se le da el nombre VIII.6.9 Definicio de n-espacio de lazos en X basados en x0 y se le denota por Ωn (X, x0 ) . Si el punto básico es claro, abusando de la notación se escribe Ωn X. Por (VIII.6.8) se tiene Ω(Ωn (X, x0 ), x f0 ) ≈ Ωn+1 (X, x0 ). VIII.6.10 Ejercicio. Sea X un espacio punteado. Probar que hay un homeomorfismo Ωn (X, x0 ) ≈ M(Sn , ∗; Z, x0 ).

282

COMPACIDAD

VIII.7

Espacios compactamente generados

Para diversas construcciones de nuevos espacios topológicos, a partir de espacios dados, es conveniente ajustar adecuadamente la topolog´ıa, con el objeto de obtener espacios con propiedades mejores. En esta sección estudiaremos una clase de espacios, cuya topolog´ıa está determinada por sus subconjuntos compactos; analizaremos también en qué forma puede modificarse la topolog´ıa dada de un espacio de Hausdorff, con el fin de convertirlo en uno del tipo que nos interesa. Veremos que esta construcción no altera demasiado la topolog´ıa dada, de modo que usándola podemos deducir muchas propiedades de la original. Las propiedades homotópicas se mantienen. Esta topolog´ıa fue introducida por Kelley [30] y fue estudiada con detalle por Steenrod [40], cuyas ideas las seguimos en parte. Otras referencias para estudiar las propiedades de esta clase de espacios incluyen [11], [12]. Hay otras clases convenientes de espacios topológicos similares a ésta. Al final de la sección hablaremos un poco de ellas. ´ n. Un espacio topológico de Hausdorff X se dice VIII.7.1 Definicio que es compactamente generado (o un k-espacio) si cumple (CG) A ⊂ X es cerrado si y sólo si A ∩ K es cerrado para todo K ⊂ X compacto. Es decir, un espacio es compactamente generado si y sólo si tiene la topolog´ıa débil generada por sus subespacios compactos, o sea, la topolog´ıa más fina para la cual las inclusiones K ,→ X son continuas para todos los compactos K ⊂ X. En otras palabras, se tiene la siguiente propiedad universal. VIII.7.2 Teorema. Sea X un espacio de Hausdorff. Entonces X es compactamente generado si tiene la propiedad universal siguiente: Para todo espacio Y y toda funci´ on f : X −→ Y , f es continua si y s´ olo si f |K es continua para todo compacto K ⊂ X. Demostraci´ on: Supongamos que X es compactamente generado y sea f : X −→ Y . Si f es continua, entonces f |K lo es para cualquier compacto K.


283

Si, inversamente, f |K es continua para todo compacto K y D ⊂ Y es un cerrado, entonces (f −1 D) ∩ K = (f |K )−1 (D) es cerrado en K; as´ı, por ser X compactamente generado, f −1 D es cerrado y, por tanto, f es continua. Supongamos ahora que X es de Hausdorff y tiene la propiedad universal, y sea A ⊂ X, tal que para todo compacto A ∩ K es cerrado. e el espacio con el mismo conjunto subyacente que X, pero sus Sea X cerrados son precisamente aquellos conjuntos B, tales que B ∩ K es e Por cerrado en X para cada compacto K ⊂ X; as´ı, A es cerrado en X. e e otro lado, por la mera definición de X, id : X −→ X es tal que id|K es continua; por tanto, por la propiedad universal, id es continua y, con ello, A = id−1 A es cerrado en X. Por lo tanto, X es compactamente generado. ⊔ ⊓ e como se definió en la VIII.7.3 Ejercicio. Probar que en efecto X, demostración anterior, es un espacio topológico, es decir, que el conjunto de sus cerrados satisface los axiomas para cerrados II.2.5. Más e es un espacio compactamente generado. (Sugerencia: a´ un, probar que X e y X tienen los mismos compactos.) Verificar que X El siguiente teorema da un criterio, es decir, una condición suficiente para garantizar que un espacio dado es compactamente generado. VIII.7.4 Teorema. Sea X un espacio de Hausdorff, tal que para todo A ⊂ X y para todo punto x ∈ A − A, existe un compacto K ⊂ X, tal que x ∈ A ∩ K − A ∩ K, entonces X es compactamente generado. Demostraci´ on: Sea A ⊂ X, tal que para todo compacto K ⊂ X, A ∩ K es cerrado, y sea x un punto de acumulación de A. Por hipótesis, existe un compacto K0 ⊂ X, tal que x es punto de acumulación de A∩K0 . Ya que éste es cerrado, x ∈ A ∩ K0 ⊂ A; as´ı, A es cerrado, lo que prueba que X es compactamente generado. ⊔ ⊓ El inverso del teorema anterior es falso, como lo muestra el siguiente ejemplo.

284

COMPACIDAD

VIII.7.5 Ejemplo. Sea Y el espacio consistente en todos los ordinales menores o iguales a Ω, el primer ordinal no numerable provisto de la topolog´ıa del orden, es decir, la que tiene como subbase a las semirrectas Ia = {y ∈ Y | y < a} e I b = {y ∈ Y | b < y}, a, b ∈ Y . Tómese ahora como X el subespacio que resulta de retirar de Y los ordinales l´ımites (es decir, los que no cuentan con un predecesor inmediato), excepto Ω. As´ı, K ⊂ X es compacto si y sólo si K es finito, puesto que todo conjunto infinito en X contiene una sucesión que converge a un ordinal l´ımite distinto de Ω. En consecuencia, A = X − {Ω} intersecta a cada compacto en un cerrado, pero no es cerrado, pues Ω ∈ A. Por lo tanto, X no es compactamente generado. Por otro lado, Y s´ı es compactamente generado; de hecho, compacto. Esto muestra que no todo subespacio (abierto) de uno compactamente generado necesariamente lo es. Antes de estudiar hasta qué grado la propiedad de ser un espacio compactamente generado es heredada por subespacios, veremos que la clase de los espacios compactamente generados es amplia y que, por lo tanto, muchos de los espacios que surgen en las aplicaciones de la topolog´ıa son de este tipo. Haremos esto aplicando el criterio VIII.7.4. VIII.7.6 Proposici´ on. Todo espacio de Hausdorff localmente compacto es compactamente generado. Demostraci´ on: Sea X localmente compacto y sea x un punto de acumulación de un conjunto A ⊂ X. Sea K una vecindad compacta de x, entonces la intersección A ∩ K ̸= ∅ y x es punto de acumulación de ella. Por VIII.7.4, X es compactamente generado. ⊔ ⊓ VIII.7.7 Teorema. Sea X un espacio de Hausdorff. X es compactamente generado si y s´ olo si X es cociente de un espacio localmente compacto. Demostraci´ on: Si X es compactamente generado, por tener la topolog´ıa débil inducida por sus subespacios compactos, es cociente de la suma topológica ajena de ellos (ejercicio) que, evidentemente, es un espacio localmente compacto. A saber, ⨿ q:Y = K −→ X , K⊂X , K compact


285

dada por las inclusiones q|K = iK : K ,→ X, es una identificación. Obviamente Y es localmente compacto. Inversamente, si q : Y −→ X es una identificación con Y localmente compacto, sea A ⊂ X, tal que A∩K es abierto en K para cada compacto K ⊂ X; veamos que U es abierto en X. Si V ⊂ Y es un abierto, tal que V es compacto, entonces A ∩ q(V ) = q(V ) ∩ G para alg´ un abierto −1 −1 −1 −1 G en X. Ya que q (A) ∩ q q(V ) = q q(V ) ∩ q (G), intersectando con V tenemos que q −1 (A) ∩ V = V ∩ q −1 (G), por lo que q −1 (A) ∩ V es abierto en Y . Por ser Y localmente compacto, podemos cubrirlo por una familia {Vα } de abiertos relativamente compactos, de modo que q −1 (A) = ∪α (q −1 (A) ∩ Vα ), lo que muestra que q −1 (A) es abierto en Y y, por ser q una identificación, A es abierto en X. ⊔ ⊓ Análogamente a VIII.7.6, tenemos la siguiente afirmación. VIII.7.8 Proposici´ on. Todo espacio de Hausdorff 1-numerable es compactamente generado. Demostraci´ on: Sea X 1-numerable y sea x un punto de acumulación de un conjunto A ⊂ X. Se tiene una sucesión xn ∈ A, tal que xn → x; sea K = {xn } ∪ {x}, entonces la intersección A ∩ K ̸= ∅ y x es punto de acumulación de ella. Por VIII.7.4, X es compactamente generado.⊓ ⊔ Veremos ahora que la propiedad de ser compactamente generado la heredan los subespacios cerrados y algunos abiertos. ´ n. Sea X un espacio topológico y sea Y ⊂ X. Se VIII.7.9 Definicio dice que Y es un abierto regular si todo punto y ∈ Y tiene una vecindad V en X, tal que V ⊂ Y . VIII.7.10 Proposici´ on. Sea X un espacio compactamente generado y sea Y ⊂ X. Si Y es cerrado o es abierto regular, entonces Y , con la topolog´ıa relativa, es compactamente generado. Demostraci´ on: Si Y es cerrado, sea B ⊂ Y , tal que B ∩ K es cerrado para todo compacto K ⊂ Y . Si K ′ ⊂ X es compacto, entonces B∩K ′ = B ∩(K ′ ∩Y ) es cerrado, ya que (K ′ ∩Y ) ⊂ Y es compacto. Por lo tanto, B es cerrado en X y, por ende, también en Y .

286

COMPACIDAD

Si Y es abierto regular, sea B ⊂ Y , tal que B ∩ K es cerrado en Y para todo compacto K ⊂ Y , y sea y un punto de acumulación de B en Y . As´ı, existe una vecindad V de y en X, tal que V ⊂ Y . Si K ′ ⊂ X es compacto, entonces V ∩ K ′ ⊂ Y es compacto. En consecuencia, B ∩ V ∩ K ′ es cerrado en Y , en V ∩ K ′ y, por tanto, en X. Por ello, ya que K ′ es arbitrario y X es compactamente generado, B ∩ V es cerrado en X. Por u ´ltimo, ya que y es un punto de acumulación de B, lo es también de B ∩ V , por lo que, al ser éste cerrado, y ∈ B ∩ V ⊂ B, es decir, y ∈ B, de modo que B es cerrado. ⊔ ⊓ VIII.7.11 Ejercicio. Probar que la definición de conjunto abierto regular dada arriba coincide con la dada en el ejercicio II.2.22. La hipótesis de que Y sea abierto regular en X, en el resultado anterior, no se puede sustituir por la de que sea abierto, como lo muestra el ejemplo VIII.7.5. Dualmente, podemos preguntarnos si cualquier espacio cociente de uno compactamente generado vuelve a serlo. Primero, hay que observar que una condición necesaria para que lo sea es que sea de Hausdorff, condición que no siempre se cumple. En efecto, esta condición es también suficiente. VIII.7.12 Proposici´ on. Sea X un espacio compactamente generado y sea q : X −→ Z una identificaci´ on, tal que Z es un espacio de Hausdorff. Entonces Z es compactamente generado. Demostraci´ on: Por ser X un espacio compactamente generado, por VIII.7.7 existe Y localmente compacto y una identificación p : Y −→ X. Entonces q ◦ p : Y −→ Z es una identificación y, de nuevo por VIII.7.7, Z es compactamente generado. ⊔ ⊓ Dado cualquier espacio de Hausdorff X, como vimos en la demose tración de VIII.7.2, hay un espacio asociado a X, que ah´ı llamamos X, que es compactamente generado. ´ n. Sea X un espacio de Hausdorff. Sea c(X) el VIII.7.13 Definicio espacio que tiene el mismo conjunto subyacente que X y está provisto de la topolog´ıa cuyos cerrados son C = {A ⊂ X | A ∩ K es cerrado en X para todo K ⊂ X compacto} .


287

Como se pidió probar en el ejercicio VIII.7.3, esta colección C satisface los axiomas para conjuntos cerrados de un espacio topológico, y hace de c(X) un espacio compactamente generado que tiene exactamente los mismos compactos que X; lo llamamos el espacio compactamente generado asociado a X. ´ n. Lo que usualmente denotamos por c(X) se VIII.7.14 Observacio denota por k(X). Sin embargo, evitamos esta notación, pues k(X) designará una construcción similar, pero más general que veremos más abajo en VIII.8.1. Esta construcción es funtorial; a saber, dada cualquier aplicación f : X −→ Y entre espacios de Hausdorff, la misma función de conjuntos determina una aplicación continua c(f ) : k(X) −→ k(Y ) que tiene las propiedades siguientes (a)

c(idX ) = idc(X) : c(X) −→ c(X), si X es un espacio de Hausdorff, y

(b)

c(g ◦ f ) = c(g) ◦ c(f ) : c(X) −→ c(Z), si f : X −→ Y y g : Y −→ Z son aplicaciones continuas entre espacios de Hausdorff.

VIII.7.15 Ejercicio. Probar que c(f ) : c(X) −→ c(Y ) es, en efecto, continua. El siguiente teorema resume las propiedades fundamentales de c(X). VIII.7.16 Teorema. Sean X y Y espacios de Hausdorff, entonces c(X) tiene las siguientes propiedades. (a) La funci´ on identidad c(X) −→ X es continua. (b) c(X) es de Hausdorff. (c) X y c(X) tienen los mismos compactos. (d) c(X) es compactamente generado.

288

COMPACIDAD

(e) Si X es compactamente generado, entonces c(X) = X. (f) Si f : X −→ Y es continua en cada subconjunto compacto de X, entonces c(f ) : c(X) −→ c(Y ) es continua. Demostraci´ on: (a) Es obvia, pues cada cerrado en X lo es en c(X). (b) Es también clara, puesto que las vecindades en X lo son, igualmente, en c(X). (c) Si K ⊂ c(X) es compacto, entonces, por (a), K ⊂ X lo es. e ⊂ c(X) el mismo conjunto Inversamente, sea K ⊂ X compacto y sea K e −→ K es continua; K con la topolog´ıa relativa. Por (a), la identidad K para ver que su inversa es continua, sea B ⊂ K cerrado. Obviamente, B intersecta cada compacto de X en un cerrado, por lo que resulta e Esto demuestra que la que B es cerrado en c(X) y, por ende, en K. e e identidad X −→ X es continua; as´ı, X es compacto. (d) Si A intersecta a cada compacto de c(X) en un cerrado, por (c), intersecta a cada compacto de X en un compacto, por lo tanto, cerrado; as´ı, A es cerrado en c(X). (e) Se obtiene directamente de (d). (f) Sea B ⊂ c(Y ) cerrado, entonces B ∩ L es cerrado en Y para cada compacto L. Sea K ⊂ X compacto; entonces f −1 (B) ∩ K = (f |K )−1 (B ∩f (K)) es cerrado en K, y, con ello, en X, ya que f (K) ⊂ Y es compacto. Esto demuestra que f −1 (B) es cerrado en c(X), por lo que c(f ) : c(X) −→ c(Y ) es continua. ⊔ ⊓ Hay una propiedad universal que caracteriza la construcción c(X). VIII.7.17 Proposici´ on. Sea X un espacio de Hausdorff. La aplicaci´ on idéntica c(X) −→ X tiene la siguiente propiedad universal que la caracteriza. (CG) Sea Y un espacio compactamente generado y f : Y −→ X, continua, entonces existe una u ńica aplicaci´ on fb : Y −→ c(X) continua, tal que conmuta el diagrama /X z< z zz fb zzf z zz

c(X) O

Y

.


289

De hecho, esta u ńica aplicaci´ on fb es, a nivel de conjuntos, la funci´ on f . Demostraci´ on: Veamos que c(X) −→ X satisface (CG). Para esto, tómese fb igual a f como función; ya que Y es compactamente generado, por VIII.7.16(e), c(Y ) = Y , por lo que fb = c(f ) es continua. Es claro que fb es u ńica y que el diagrama conmuta. e es compactamente generado y la aplicación i : Inversamente, si X e → X satisface (CG), entonces, para la identidad j : c(X) −→ X X e tal que i ◦ b existe una u ńica aplicación b j : c(X) → X, j = j. En forma análoga, porque j : c(X) −→ X satisface (CG), existe una u ńica aplie b b cación i : X −→ c(X), tal que j ◦ i = i. Aplicando dos veces la unicidad exigida por (CG), concluimos que b j ◦ bi = idXe y que bi ◦ b j = idc(X) , es e ≈ c(X). decir, X ⊔ ⊓ Sean p : X −→ X ′ , q : Y −→ Y ′ identificaciones. Como se muestra en el ejemplo VIII.5.11, no siempre el producto p × q : X × Y −→ X ′ × Y ′ es una identificación. En la sección anterior, VIII.5.13, probamos un resultado que garantiza que el producto de identificaciones sea identificación; sin embargo, este resultado requiere de la propiedad de compacidad local para uno de los factores. Una de las ventajas de trabajar en la clase de los espacios compactamente generados es que, redefiniendo en forma adecuada el producto, el producto de identificaciones vuelve a ser una identificación sin hipótesis adicionales sobre los factores, de modo que la clase de espacios donde esto es válido es mucho más amplia que para la que ya ten´ıamos el resultado. Por otro lado, un ejemplo de Dowker [16] muestra que el producto de dos espacios compactamente generados no necesariamente es compactamente generado (de hecho, lo que Dowker prueba es que el producto de dos complejos CW, véase [37], que, por definición, son compactamente generados, no tiene por qué ser un complejo CW, precisamente porque no es compactamente generado). Por tal razón, conviene modificar la definición de producto topológico.

290

COMPACIDAD

´ n. Sean X y Y espacios compactamente generaVIII.7.18 Definicio dos. Su producto compactamente generado se define como e = c(X × Y ) . X ×Y En efecto, ésta es una buena definición, en vista de que tiene la propiedad universal del producto para espacios compactamente generados, como lo muestra el siguiente teorema. e −→ X y q : X ×Y e −→ VIII.7.19 Teorema. Las proyecciones p : X ×Y Y son continuas y si Z es un espacio compactamente generado y f : e , entonces f es continua si y s´ Z −→ X ×Y olo si las funciones p ◦ f y q ◦ f son continuas. Demostraci´ on: Ya que las proyecciones del producto topológico X × Y son continuas, entonces, por VIII.7.16(a), p y q son continuas. e Sea Z compactamente generado y sea f : Z −→ X ×X. Si f es continua entonces también lo son las composiciones p ◦ f y q ◦ f . Inversamente, si estas u ´ltimas son continuas, por la propiedad universal del producto topológico usual, f : Z −→ X × Y es continua; as´ı, al ser Z compactamente generado, por VIII.7.17, f , como aplicación e , es continua. Z −→ X ×Y ⊔ ⊓ VIII.7.20 Proposici´ on. Si X es un espacio localmente compacto y Y e =X ×Y. es un espacio compactamente generado, entonces X ×Y Demostraci´ on: Sea A ⊂ X ×Y , tal que para todo compacto K ⊂ X ×Y , A ∩ K es cerrado y sea (x, y) ∈ X × Y − A. Por ser X localmente compacto, x tiene una vecindad V , tal que su cerradura V es compacta. Ya que V × {y} es compacto, A ∩ V × {y} debe ser cerrado; as´ı, x tiene una vecindad U más peque˜ na que V , tal que U × {y} no intersecta a A. Sea ahora B la imagen en Y de A ∩ (U × Y ) bajo la proyección. Si C ⊂ Y es compacto, entonces A ∩ (U × C) es compacto; por tanto, B ∩ C es cerrado. Al ser Y compactamente generado, B tiene que ser cerrado en Y . En vista de que y no está en B, resulta que U × (Y − B) es una vecindad de (x, y) que no intersecta a A. Consecuentemente, A es cerrado en X × Y , por lo que este u ´ltimo debe ser compactamente generado. ⊔ ⊓


291

e y q : Y −→ Ye son identificaVIII.7.21 Teorema. Si p : X −→ X e −→ ciones de espacios compactamente generados, entonces p×q : X ×Y e e e X ×Y también lo es. Demostraci´ on: Ya que p × q factoriza como (p × id) ◦ (id × q) y que la composición de identificaciones vuelve a ser una, es suficiente probar el caso Y = Ye y q = id. e ×Y e , tal que (p × id)−1 (A) es cerrado en X ×Y e . Sea Sea A ⊂ X e e e C ⊂ X ×Y compacto y sean D y E sus proyecciones en X y Y , respece es compacto. Bastará probar que A∩(D×E) e tivamente, entonces D×E es cerrado, puesto que, entonces, también A ∩ C será cerrado y, al ser e ×Y e compactamente generado, A será cerrado, probando con ello que X p × id es una identificación. e e es cerrado en X ×Y e , tenemos Ya que (p×id)−1 (D×E) = p−1 (D)×E −1 −1 e e que (p × id) (A ∩ (D×E)) es cerrado en p (D)×E. Sustituyendo e y Y por p−1 (D), D y E, respectivamente, hemos reducido la X, X e y Y son compactos. As´ı, por VIII.7.20, demostración al caso en que X e ×Y e × Y y X ×Y e =X e =X ×Y. X e y Y son compactos y sea ahora W ⊂ X×Y e Supongamos pues que X , −1 tal que (p×id) (W ) es abierto en X ×Y ; tómese (e x0 , y0 ) ∈ W . Si x0 ∈ X es tal que p(x0 ) = x e0 . Al estar (x0 , y0 ) en el abierto (p × id)−1 (W ) y ya que Y es compacto, existe una vecindad V de y0 , tal que {x0 } × V ⊂ (p × id)−1 (W ). Sea U = {x ∈ X | {p(x)} × V ⊂ W }. Veamos que U es abierto en X. Si x1 ∈ U , podemos cubrir {x1 } × V por productos de abiertos contenidos en (p × id)−1 (W ) y seleccionar de ellos una subcubierta finita. Entonces la intersección de los factores en X de este n´ umero finito de productos es una vecindad N de x1 , tal que N × V ⊂ (p × id)−1 (W ); por lo tanto, U es abierto. Por definición, U es saturado respecto a p, es decir, U = p−1 p(U ), por lo que, al ser p e Ya que (e una identificación, p(U ) es abierto en X. x0 , y0 ) ∈ p(U ) × V y que p(U ) × V es abierto y yace en W , W mismo resulta abierto, como quer´ıamos demostrar. ⊔ ⊓ VIII.7.22 Lema. Si X y Y son espacios de Hausdorff, entonces los e dos espacios topol´ ogicos c(X)×c(Y ) y c(X × Y ) coinciden. Demostraci´ on: Ya que las identidades c(X) −→ X y c(Y ) −→ Y son continuas, también lo es la aplicación identidad i : c(X) × c(Y ) −→

292

COMPACIDAD

X × Y . Por lo tanto, cada compacto en c(X) × c(Y ) lo es en X × Y . Sea ahora A un compacto en X × Y . Ya que sus proyecciones B y C en X y Y , respectivamente, son compactos, también lo son en c(X) y c(Y ). As´ı, B × C es compacto en c(X) × c(Y ). En consecuencia, i|B×C es un homeomorfismo. Ya que A ⊂ B × C, tenemos que A es compacto en c(X) × c(Y ) y, en vista de que c(X) × c(Y ) y X × Y tienen los mismos compactos, por la definición de la construcción c, VIII.7.13, las topolog´ıas compactamente generadas asociadas a ambos coinciden. ⊓ ⊔ Si X ⊂ Y y Y es compactamente generado, puede suceder que X, con la topolog´ıa relativa, no sea compactamente generado (véase el ejemplo VIII.7.5). ´ n. Sea Y compactamente generado y X ⊂ Y . La VIII.7.23 Definicio topolog´ıa relativa compactamente generada en X es la topolog´ıa compactamente generada asociada a la topolog´ıa relativa usual, es decir, el subespacio compactamente generado es c(X). Una aplicación e : X −→ Y entre espacios compactamente generados es un encaje compactamente generado si f es un homeomorfismo de X en el subespacio compactamente generado c(f (X)). Un encaje compactamente generado f : X −→ Y está caracterizado por una propiedad universal análoga a la que tiene la topolog´ıa inducida (IV.1.1). A saber, si g : Z −→ Y es una aplicación entre espacios compactamente generados, tal que g(Z) ⊂ f (X), entonces existe una u ńica aplicación g ′ : Z −→ X, tal que f ◦ g ′ = g. VIII.7.24 Ejercicio. Probar que la propiedad universal enunciada arriba caracteriza a los encajes compactamente generados. El siguiente resultado, dual a VIII.7.21, es inmediato. VIII.7.25 Teorema. Si f : X −→ X ′ y g : Y −→ Y ′ son encajes come ′ también lo es. e −→ X ′ ×Y pactamente generados, entonces f ×g : X ×Y ⊔ ⊓


293

Haremos ahora algunas consideraciones relacionadas con la topolog´ıa de espacios de aplicaciones, de acuerdo con lo ya planteado en la sección VIII.5. Sean X y Y espacios de Hausdorff; si, nuevamente, Top(X, Y ) denota al espacio de aplicaciones de X a Y con la topolog´ıa compactoabierta, tenemos, como en otros casos, que, aunque X y Y sean compactamente generados, Top(X, Y ) no necesariamente lo es; por ejemplo, si X es discreto con dos puntos, Top(X, Y ) = Y × Y ; como ya mencionamos, hay un ejemplo de Dowker que muestra que este espacio puede no ser compactamente generado. ´ n. Sean X y Y espacios de Hausdorff. Def´ınase VIII.7.26 Definicio Y X = c(Top(X, Y )) .

(Estamos incurriendo en un abuso de notación, pero no se deberá confundir Y X con los abiertos subbásicos QK de la topolog´ıa compactoabierta en Top(X, Y ).) Restringiéndose a la clase de los espacios compactamente generados, esta topolog´ıa tiene la propiedad deseada. VIII.7.27 Teorema. Sean X y Y espacios compactamente generados; la evaluaci´ on e −→ Y e : Y X ×X es continua. La demostración se basa en el siguiente lema. VIII.7.28 Lema. Sean X y Y espacios de Hausdorff, entonces la evaluaci´ on e : Top(X, Y ) × X −→ Y es continua en compactos.

294

COMPACIDAD

Demostraci´ on: Ya que cada compacto en el producto yace dentro del producto de sus proyecciones, basta probar que e es continua en cualquier conjunto de la forma F × A, donde F ⊂ Top(X, Y ) y A ⊂ X son compactos. Sea (f0 , x0 ) ∈ F × A y sea V ⊂ Y abierto, tal que f0 (x0 ) ∈ V . Por ser f0 continua existe una vecindad U de x0 en X, e ) es abierto en para la cual f0 (U ) ⊂ V . Por lo tanto, (U , V ) ∩ F )×U e F ×A, contiene a (f0 , x0 ) y va dar bajo e en V . Esto muestra que e es continua en compactos. ⊔ ⊓ Demostraci´ on de VIII.7.27: Si se aplica la construcción c a e : Top(X, Y ) × X −→ Y se obtiene una aplicación continua e : c(Top(X, Y ) × X) −→ c(Y ) y si X y Y son compactamente generados, ésta es la misma que e −→ Y , Y X ×X e e ya que c(Top(X, Y ) × X) = c(Top(X, Y ))×c(X) = Y X ×X. ⊔ ⊓ X La notación Y se justifica por el hecho de que, para espacios compactamente generados, se cumplen las leyes exponenciales e X = Y X ×Z e X (Y ×Z) e

Z X ×Y = (Z Y )X , que no demostraremos aqu´ı, en vista de que ya se presentó una versión de la segunda fórmula en VIII.6.2. (Véanse [11], [12] y [40].) VIII.8

k-Espacios

Concluimos este cap´ıtulo introduciendo una clase conveniente de ´ espacios topológicos alternativa, presentada por R. M. Vogt [44]. Esta es una clase más amplia que la de los espacios compactamente generados, puesto que no requiere que los espacios sean de Hausdorff. En efecto, esta clase incluye la clase de los espacios compactamente generados. Solamente bosquejaremos los aspectos más importantes de la clase de Vogt, recomendando al lector desarrollar en detalle las pruebas.

k-ESPACIOS

295

´ n. Un k-espacio X es un espacio topológico con la VIII.8.1 Definicio propiedad de que un conjunto C ⊆ X es cerrado si y sólo si α−1 C ⊆ K es cerrado para cualquier aplicación continua α : K −→ X, para la que K es alg´ un espacio compacto de Hausdorff. Hay una construcción similar a la de la sección anterior que asocia a cada espacio topológico X un k-espacio k(X) con el mismo conjunto subyacente y la topolog´ıa más fina que acabamos de definir. De este modo, la identidad k(X) −→ X es continua. VIII.8.2 Ejercicio. Probar que un espacio compactamente generado X es un k-espacio. VIII.8.3 Ejercicio. Probar que la construcción k(X) es funtorial, es decir, tiene las mismas propiedades que tiene c(X), dadas en los párrafos posteriores a VIII.7.13. VIII.8.4 Ejercicio. Reformular las propiedades dadas para c(X) en VIII.7.16 (excepto (b)) para el caso de k(X) y probarlas. VIII.8.5 Ejercicio. Probar que la construcción k(X) tiene una propiedad universal que la caracteriza, a saber, (a) La aplicación identidad k(X) −→ X es continua. (b) Si Y es un k-espacio y f : Y −→ X es continua, entonces f : Y −→ k(X) es continua. En otras palabras, el siguiente diagrama de aplicaciones continuas es conmutativo: k(X)

Y

z

z f

z

z<

/ X.

VIII.8.6 Ejercicio. Probar que si X es un k-espacio, entonces una aplicación f : X −→ Y es continua si y sólo si la composición f ◦ α : K −→ Y es continua para toda aplicación α : K −→ X, donde K es cualquier espacio compacto de Hausdorff.

296

COMPACIDAD

VIII.8.7 Ejercicio. Sea X un k-espacio. Probar lo siguiente: (a) Si A ⊆ X es cerrado, entonces A con la topolog´ıa relativa usual es un k-espacio. (b) Si A ⊆ X es arbitrario, entonces A con la topolog´ıa relativa usual no es en general un k-espacio. Désele a A la k-topolog´ıa asociada a la topolog´ıa relativa usual. Llámesele a ésta la k-topolog´ıa relativa y denótesele por k(A). Probar lo siguiente: (i) Si A es cerrado, entonces k(A) = A. (ii) La inclusión iA : k(A) ,→ X es continua. (iii) Dado un k-espacio Y y f : Y −→ A, entonces f : Y −→ k(A) es continua si y sólo si iA ◦ f : Y −→ X es continua (véase IV.1.4(ii)). Como en el caso de la clase de los espacios compactamente generados, en vez del producto topológico usual, tomamos su imagen bajo la b = k(X × Y ). construcción k. Es decir, definimos un producto X ×Y Se pueden probar las siguientes dos u ´tiles propiedades (véanse [44] y VIII.7.12, as´ı como VIII.7.21): 1. Si X es un k-espacio y p : X −→ X ′ es una identificación, entonces X ′ es un k-espacio; y 2. si p : X −→ X ′ y q : Y −→ Y ′ son identificaciones entre kb : X ×Y b −→ X ′ ×Y b ′ es una identificación. espacios, entonces p×q También pueden formularse y demostrarse los resultados correspondientes a espacios de aplicaciones, como las leyes exponenciales. Para concluir este cap´ıtulo, probaremos el siguiente resultado sobre productos e identificaciones, donde los productos considerados son los productos topológicos usuales. VIII.8.8 Proposici´ on. Sean X y Y espacios topol´ ogicos arbitrarios y sea B ⊆ Y un subconjunto compacto y cerrado. Si q : Y −→ Y /B es la aplicaci´ on cociente que colapsa B en un punto, entonces la aplicaci´ on p = idX × q : X × Y −→ X × (Y /B) es una identificaci´ on.

k-ESPACIOS

297

Demostraci´ on: Considérese un subconjunto A ⊆ X × (Y /B) tal que p−1 A ⊆ X × Y es abierto. Tenemos que probar que A es abierto. Veremos que todo punto z = (x, y) ∈ A, donde y = q(y) tiene una vecindad básica (de la forma U ×V ) contenida en A. Tenemos dos casos. Caso 1. y ̸= {B}. En este caso, p−1 (z) = {(x, y)}, con y ∈ / B, es decir, (x, y) ∈ p−1 A∩(X ×(Y −B), que es un abierto. En consecuencia, hay vecindades U de x en X y V de y en Y , tales que U × V ⊆ p−1 A ∩ (X × (Y − B). Claramente V = q(V ) ⊆ Y /B es una vecindad de y tal que U × V ⊆ A. Caso 2. y = {B}. En este caso, p−1 (z) = {x} × B es compacto. Ya que p−1 A ⊆ X × Y es abierto, para cada y ∈ B hay vecindades (abiertas) Uy de x y Vy de y tales que Wy = Uy × Vy ⊆ p−1 A. Como {Wy | y ∈ B} es una cubierta abierta de {x} × B. Ya que este u ´ltimo es compacto, la cubierta contiene una subcubierta finita W1 = U1 × V1 , . . . , Wk = Uk ×Vk . Si definimos U = U1 ∩· · ·∩Uk y V = V1 ∪· · ·∪Vk , entonces es claro que {x} × B ⊆ U × V ⊂ W1 ∪ · · · ∪ Wk ⊂ p−1 A . Por otro lado, si definimos V = V /B, y ya que q −1 (V /B) = V , entonces V es una vecindad de {B} y se tiene que (x, y) ∈ U × V ⊂ A. Por lo tanto A es abierto. ⊔ ⊓

298

COMPACIDAD

IX.

Otros axiomas de separacin

En este captulo estudiaremos propiedades de separacin para conjuntos en vez de puntos. En primer lugar, veremos la nocin de espacio normal y, con ella, probaremos el famoso teorema de extensin de Tietze. Posteriormente analizaremos la regularidad completa, que nos ser de utilidad para construir una compactacin de espacios; a saber, la compactacin ˇ de Stone-Cech. Esto nos llevar a probar que para una clase importante de espacios topolgicos, su topologa est dada por una mtrica, lo cual los hace, en cierta forma, sencillos de manejar. El ltimo concepto que estudiaremos en este captulo ser el de paracompacidad, muy importante en el anlisis y en diversas ramas de la topologa. IX.1 Espacios normales La normalidad es una propiedad de separacin de conjuntos, de la que disfrutan los espacios mtricos, pero que abarca a una clase ms gran de espacios, y que tiene como consecuencia dos importantes resultados de la topologa; a saber, el lema de Urysohn y el teorema de extensin de Tietze, que demostraremos en esta seccin. ´ n. Sea X un espacio topolgico y sea A ⊂ X. Decimos IX.1.1 Definicio que U ⊂ X es una vecindad de A en X si U es vecindad de cada punto a ∈ A. En otras palabras, U es vecindad de A si y slo si A ⊂ U ◦ . IX.1.2 Teorema. Sea X un espacio topolgico, entonces son equivalentes (R) Para toda x ∈ X, sus vecindades cerradas forman una base de vecindades. (R′ ) Dados B ⊂ X cerrado y x ∈ X − B, existen vecindades de B y x ajenas. (R′′ ) Dados B ⊂ X cerrado y K ⊂ X −B compacto, existen vecindades de B y K ajenas. 299

300

COMPACIDAD

Demostraci´ on: (R′′ ) ⇒ (R′ ) Esto es obvio, ya que todo punto x es compacto. (R′ ) ⇒ (R) Sea U una vecindad de x ∈ X. Tenemos que demostrar que existe una vecindad cerrada de x contenida en U . Para esto, supongamos que U es abierta (si no, tomamos su interior) y sea B = X − U que es cerrado. Ya que x ∈ X − B, por (R′ ) existen V vecindad de x y W vecindad de B, tales que V ∩ W = ∅. Podemos suponer que W es abierta. Por lo tanto, x ∈ V ⊂ X − W ⊂ X − B = U , es decir, X − W es una vecindad cerrada de x contenida en la vecindad dada U . (R) ⇒ (R′′ ) Sean B ⊂ X cerrado y K ⊂ X − B. X − B, por ser abierto, es una vecindad de K y, por lo tanto, de x para toda x ∈ K. Para x ∈ K, sea Ux vecindad abierta de x, tal que U x ⊂ X − B. Por ser K compacto, K ⊂ Ux1 ∪ · · · ∪ Uxk = U , para un nmero finito de puntos x1 , . . . , xk ∈ K. Sea V = X − (U x1 ∪ · · · ∪ U xk ) ⊃ B. Evidentemente U y V son las vecindades ajenas deseadas. ⊔ ⊓ IX.1.3 Ejercicio. Probar directamente (R′ ) ⇒ (R′′ ). En VIII.2.18 definimos el concepto de espacio regular como un espacio topolgico que satisface (R). El teorema IX.1.2 nos da axiomas equivalentes a la regularidad. El axioma (R′′ ) indica la posibilidad de separar por medio de vecindades a un cerrado de un compacto. No siempre es posible separar dos cerrados en un espacio regular. ´ n. Sea X un espacio topolgico. Decimos que X es IX.1.4 Definicio normal si X satisface (N) Sean A, B ⊂ X cerrados ajenos, entonces existen U vecindad de A y V vecindad de B ajenas. A un espacio normal que tambin es T1 se le llama espacio T4 . Si X es de Hausdorff, entonces claramente (N) ⇒ (R′′ ). De hecho, se tiene la siguiente proposicin. IX.1.5 Proposici´ on. Sea X un espacio T1 y regular, entonces X es de Hausdorff. ⊔ ⊓

k-ESPACIOS

301

´ n. A un espacio regular y T1 se le llama T3 . IX.1.6 Definicio Por lo tanto, (T3 ) ⇒ (T2 ) ⇒ (T1 ). ´ n. Algunos autores definen regularidad como nosotros IX.1.7 Observacio definimos T3 , es decir, pidiendo, adems, que el espacio en cuestin sea T1 (o T2 ). IX.1.8 Ejercicio. (a) Sea X un espacio T3 localmente compacto y sea U ⊆ X un subconjunto abierto relativamente compacto no compacto. Probar que la compactacin de Alexandroff de U y el espacio cociente X/X − U son homeomorfos. (Sugerencia: El espacio cociente X/X − U es un espacio de Hausdorff.) (b) Concluir que el espacio cociente Bn /Sn−1 es homeomorfo a la nesfera Sn . (Sugerencia: Sn es la compactacin de Alexandroff de Rn .) IX.1.9 Proposici´ on. Sea X un espacio de Hausdorff y sean K, L ⊂ X compactos ajenos, entonces existen U vecindad de K y V vecindad de L ajenas. Demostraci´ on: Supondremos primero que L = {y}. Por ser X de Hausdorff, para toda x ∈ K, existen vecindades Ux de x y Vx de y, tales que Ux ∩ Vx = ∅. Por otro lado, al ser K compacto, hay x1 , . . . , xk ∈ K, de modo que K ⊂ Ux1 ∪ · · · ∪ Uxk = U . Sea V = Vx1 ∩ · · · ∩ Vxk , que tambin es vecindad de y. Claramente U y V son las vecindades deseadas. Para ver el caso general, tmese para cada y ∈ L, Uy una vecindad de K y Vy una vecindad de y, tales que Uy ∩Vy = ∅. Por ser L compacto, existen y1 , . . . , yl ∈ L, tales que L ⊂ Vy1 ∪ · · · ∪ Vyl = V y sea U = Uy1 ∩ · · · ∩ Uyl , que tambin es vecindad de K. Claramente U y V son ahora las vecindades deseadas. ⊔ ⊓ Ya que todo conjunto compacto en un espacio de Hausdorff es cerrado y todo conjunto cerrado en uno compacto es compacto, es inmediato el siguiente teorema.

302

COMPACIDAD

IX.1.10 Teorema. Todo espacio compacto de Hausdorff es un espacio T4 ; en particular, es normal. ⊔ ⊓ La propiedad de normalidad es hereditaria a subespacios cerrados. IX.1.11 Proposici´ on. Todo subespacio cerrado de un espacio normal es normal. Por lo tanto todo subespacio cerrado de un espacio T4 es un espacio T4 . ⊔ ⊓ IX.1.12 Ejercicio. (a) Dar un ejemplo de un espacio normal que tenga un subespacio no normal. (b) Probar con un ejemplo que no todo producto de espacios normales es normal. ´ n. A un espacio normal, tal que todo subespacio IX.1.13 Definicio de l es normal, se le llama completamente normal o hereditariamente normal. Si el espacio es, adems, T1 , decimos que es T5 . IX.1.14 Ejercicio. (a) Se dice que dos subconjuntos A, B ⊆ X estn separados si A ∩ B = ∅ = A ∩ B. Probar que X es completamente normal si y slo si cualesquiera dos conjuntos separados pueden separarse por vecindades. (Sugerencia: Considrese el subespacio Y = X −A∩B) (b) Es un espacio mtrico X un espacio T5 ? Ya observamos antes que todo espacio normal es regular; sin embargo, cuando el espacio no es de Hausdorff el axioma (N) no implica el axioma (R). IX.1.15 Ejemplo. Sea X el espacio de Sierpinski consistente en dos puntos x, y y un nico abierto no trivial {x}. Claramente X satisface (N), pero no (R′ ).

k-ESPACIOS

303

El ejemplo ms natural de espacios normales es el de los espacios mtricos. Sea X un espacio mtrico y sean A, B ⊂ X subconjuntos no vacos. Definimos su distancia como µ(A, B) = nf{d(a, b) | (a, b) ∈ A × B} ,

(IX.1.15)

donde d es la mtrica en X. Es claro que si A∩B ̸= ∅, entonces µ(A, B) = 0. El inverso es falso, como se ve en el siguiente ejemplo. IX.1.16 Ejemplo. Sea X = R2 con la mtrica usual, y sean A = {(x, 0) | x ∈ R} y B = {(x, x1 ) | x > 0}. A y B son ajenos e, incluso, cerrados; sin embargo, µ(A, B) = 0. Es inmediato el siguiente resultado. IX.1.17 Proposici´ on. Si A es no vaco, entonces µ(x, A) = 0 si y slo si x ∈ A. ⊔ ⊓ IX.1.18 Teorema. Sea X un espacio mtrico con mtrica d y sea A ⊂ X no vaco, entonces la funcin δA : X −→ R, tal que δA (x) = µ(x, A), es continua. Demostraci´ on: Para x, y ∈ X, z ∈ A, la desigualdad del tringulo nos dice d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) . Por lo tanto, para cada z ∈ A µ(x, A) ≤ d(x, y) + d(y, z) , de modo que µ(x, A) ≤ d(x, y) + µ(y, A) . Esto demuestra la desigualdad |δA (x) − δA (y)| = |µ(x, A) − µ(y, A)| ≤ d(x, y) , que implica claramente la continuidad de δA . De IX.1.17 y IX.1.18 obtenemos la siguiente afirmacin.

⊔ ⊓

304

COMPACIDAD

∩ IX.1.19 Proposici´ on. Sea A ̸= ∅, entonces A = ∞ n=1 Qn , donde Qn = {x ∈ X | µ(x, A) < 1/2n }, que es abierto. En particular, todo cerrado es una interseccin numerable de abiertos y, consecuentemente, todo abierto es una unin numerable de cerrados. ⊔ ⊓ Por ser δA una funcin real continua, del corolario VIII.1.32 se obtiene el siguiente resultado. IX.1.20 Corolario. Sean A ⊂ X cerrado no vaco y B ⊂ X compacto no vaco. Si A ∩ B = ∅, entonces µ(A, B) > 0. ⊔ ⊓ El teorema principal de esta seccin del texto es el siguiente. IX.1.21 Teorema. Todo espacio mtrico es normal. Demostraci´ on: Sean A, B ⊂ X cerrados ajenos no vacos. Sea h : X −→ R, tal que h(x) = µ(x, A) − µ(x, B) = δA (x) − δB (x). h es una funcin continua, por lo tanto, tenemos conjuntos abiertos U = {x | h(x) < 0}

V = {x | h(x) > 0} ,

que evidentemente son ajenos. Claramente, si x ∈ A, µ(x, B) > 0 (si no, x ∈ B = B), por lo que h(x) < 0, es decir, A ⊂ U . Anlogamente B ⊂ V . Esto demuestra que es posible separar a A y B por vecindades. ⊔ ⊓ IX.1.22 Nota. Todo subespacio de un espacio mtrico es mtrico y, por lo tanto, normal. Por lo tanto, todo espacio mtrico es completamente normal. IX.1.23 Lema. El axioma (N) es equivalente a (N′ ) Para todo A ⊂ X cerrado y Q ⊂ X abierto, tales que A ⊂ Q, existe U ⊂ X abierto, tal que A ⊂ U ⊂ U ⊂ Q. A una tal U se le llama encogimiento de la vecindad Q de A.

k-ESPACIOS

305

Demostraci´ on: (N) =⇒ (N′ ) Sean A cerrado en X y Q vecindad abierta de A, entonces A y B = X − Q son cerrados ajenos, y por (N) existen U vecindad abierta de A y V vecindad abierta de B, tales que U ∩ V = ∅, es decir, U ⊂ X − V que es cerrado. Por lo tanto, A ⊂ U ⊂ U ⊂ X − V ⊂ X − B = Q. (N′ ) =⇒ (N) Sean A, B ⊂ X cerrados ajenos. Por lo tanto, Q = X −B es una vecindad abierta de A. Por (N′ ) existe U vecindad abierta de A, tal que U ⊂ Q. En consecuencia, X − U ⊃ X − Q = B, y U y V = X − U son vecindades ajenas de A y B, respectivamente. ⊔ ⊓ La aplicacin repetida del lema anterior produce una construccin muy interesante; a saber, tmense A y B cerrados ajenos en un espacio que satisface (N). Sea U (1) = X − B , que es vecindad abierta de A. Aplicando el lema, existe U (0) vecindad abierta de A, tal que U (0) ⊂ U (1) . Continuando el proceso, obtenemos abiertos U ( 12 ), U ( 14 ), U ( 43 ), tales que U (0) ⊂ U ( 14 ) ⊂ U ( 41 ) ⊂ U ( 12 ) ⊂ U ( 12 ) ⊂ U ( 34 ) ⊂ U ( 34 ) ⊂ U (1) . Siguiendo este mtodo de poner una vecindad entre cada dos consecutivas de las ya obtenidas, nos da para cada 2kn , k = 0, . . . , 2n , abiertos U ( 2kn ), tales que (IX.1.23)

U ( 2kn ) ⊂ U ( k+1 2n )

k = 0, . . . , 2n − 1 ,

ya que, inductivamente, dadas las U ( 2kn ) y despus de aplicar el lema a ), tal que (IX.1.23), se obtiene U ( 2k+1 2n+1 ) ⊂ U ( 2k+1 ) ⊂ U ( k+1 U ( 2kn ) ⊂ U ( 2k+1 2n ) . 2n+1 2n+1 sta sera la familia correspondiente a n + 1.

306

COMPACIDAD

Hemos obtenido as para toda r ∈ [0, 1], tal que r = U (r), tales que r < r′ ⇒ U (r) ⊂ U (r′ ) .

k 2n

abiertos

Definimos para cualquier t ∈ [0, 1] el abierto ∪ U (r) U (t) = r≤t

y se tiene (IX.1.23)

t < t′ ⇒ U (t) ⊂ U (t′ ) ,

puesto que si t < t′ existen k y n, tales que t < que

k 2n

<

k+1 2n

< t′ , por lo

′ U (t) ⊂ U ( 2kn ) ⊂ U ( 2kn ) ⊂ U ( k+1 2n ) ⊂ U (t ) .

Podemos, ms an, definir U (t) = ∅ si t < 0 y U (t) = X si t > 1, y (IX.1.23) contina siendo vlida. Sea f (x) = nf{t ∈ R | x ∈ U (t)}. Ya que U (t) = X para t > 1, entonces para toda x ∈ X, f (x) ≤ 1, y ya que U (t) = ∅ para t < 0, entonces para toda x ∈ X, f (x) ≥ 0. Ms an, si A ̸= ∅, f (x) = 0, para toda x ∈ A, y si B ̸= ∅, f (x) = 1, para toda x ∈ B. Probaremos ahora que f es continua. Sea x0 ∈ X y sea ε positiva. Sea t0 = f (x0 ). Demostraremos que existe una vecindad de x0 , tal que |f (x) − t0 | ≤ ε para toda x en esa vecindad. Si x ∈ U (t0 +ε), entonces f (x) ≤ t0 +ε. Ms an, si x ∈ X −U (t0 − ε), entonces f (x) ≥ t0 − ε (ya que si f (x) < t0 − ε, x ∈ U (t0 − ε) ⊂ U (t0 − ε)). As, si x ∈ V = U (t0 + ε) ∩ (X − U (t0 − ε)), entonces |f (x) − t0 | ≤ ε. Adems, V es abierto y x0 ∈ V , ya que f (x0 ) = t0 y, por lo tanto, x0 ∈ U (t0 + ε) y x0 ̸∈ U (t0 − 2ε ) ⊃ U (t0 − ε). Por todo lo anterior, f es continua. Hemos as construido para dos conjuntos cerrados ajenos A y B en X una funcin continua f : X −→ [0, 1], tal que f |A = 0 y f |B = 1. [ ) ( ] Inversamente, dada una tal f , f −1 0, 12 y f −1 21 , 1 son abiertos ajenos, tales que contienen a A y B, respectivamente. Hemos, pues, probado el siguiente teorema.

k-ESPACIOS

307

IX.1.24 Lema de Urysohn. En un espacio topolgico X son equivalentes (N) (de la definicin IX.1.4) y (N′′ ) Dados A, B ⊂ X cerrados ajenos, entonces existe f : X −→ [0, 1] continua, tal que f |A ≡ 0 y f |B ≡ 1. ⊔ ⊓ ´ n. A una funcin f : X −→ [0, 1], como en (N′′ ), se IX.1.25 Definicio le llama funcin de Urysohn y a una vecindad (un abierto) de A ⊂ X de la forma f −1 (0, 1] se le designa vecindad numrica (abierto numrico) de A. IX.1.26 Nota. Si A = ∅, se puede tomar f = 1. IX.1.27 Nota. Si A y B son cerrados ajenos en X y consideramos C = A ∪ B, entonces la funcin definida en C ⊂ X que vale 0 en A y 1 en B es continua y la afirmacin de (N′′ ) significa que esta funcin admite una extensin a todo X. IX.1.28 Lema de extensin de Tietze. En un espacio topolgico X, (N) es equivalente a (N′′′ ) Si C es cerrado en X y g : C −→ [a, b] es continua, entonces g admite una extensin continua f : X −→ [a, b]. La demostracin de (N′′′ ) consiste en construir una sucesin de funciones fn : X −→ [a, b], tales que fn |C aproxima cada vez ms a g y la sucesin (fn (x)) converge uniformemente. El paso de induccin para construir fn+1 dada fn se logra a travs del siguiente lema. IX.1.29 Lema. Sea X un espacio topolgico que satisface (N) y sean C cerrado en[ X y b] > 0. Si u : C −→ [−b, b] es continua, entonces existe v : X −→ − 3b , 3b , tal que, para toda x ∈ C, |u(x) − v(x)| ≤

2b 3

.

308

COMPACIDAD

Demostraci´ on: Sean A = {x ∈ C | u(x) ≤ − 3b } y

B = {x ∈ C | u(x) ≥ 3b }.

A y B son conjuntos cerrados ajenos, por lo que existe w : X −→ [0, 1] continua, tal que w|A = 0 y w|B = 1, y sea v(x) = entonces para toda x, |v(x)| ≤

b 3

2b 3 w(x)

− 3b ,

y si x ∈ C,

|u(x) − v(x)| = |u(x) +

b 3

−

2b 3 w(x)|.

Sea x ∈ C. Tenemos tres posibilidades; a saber, (i) u(x) ≤

−b 3 .

En este caso, x ∈ A, por lo que v(x) = − 2b 3 = −b +

b 3

−b 3 .

Por lo tanto,

≤ u(x) − v(x) ≤ − 3b +

b 3

= 0.

(ii) u(x) ≥ 3b . En este caso, x ∈ B, por lo que v(x) = 3b . Por lo tanto, 2b 3

=b−

b 3

≥ u(x) − v(x) ≥

b 3

−

b 3

= 0.

(iii) − 3b < u(x) < 3b . En este caso, − 3b ≤ v(x) ≤ 3b , por lo que b − 2b 3 = −3 −

b 3

< u(x) − v(x) <

b 3

+

b 3

=

En los tres casos se tiene la desigualdad deseada.

2b 3

. ⊔ ⊓

Demostracin de IX.1.28: (N′′′ ) ⇒ (N′′ ) claramente, y ya que (N′′ ) ⇔ (N), tenemos que (N′′′ ) ⇒ (N). Lo nico que habr que probar es que (N) ⇒ (N′′′ ). Sin perder generalidad, podemos suponer a = −1 y b = 1, es decir, que tenemos dada g : C −→ [−1, 1].

k-ESPACIOS

309

[ ] Por el lema anterior, existe f1 : X −→ − 13 , 13 continua, tal que |g(x) − f1 (x)| ≤ 23 . ] ] [ [ Sea g1 = g − f1 : C −→ − 23 , 23 ; por lo tanto, existe v1 : X −→ − 92 , 92 continua, tal que |g1 (x) − v1 (x)| ≤ ( 23 )2 . [ ] Sea f2 = f1 + v1 : X −→ −1 + ( 23 )2 , 1 − ( 23 )2 . Supongamos construida [ ] fn : X −→ −1 + ( 23 )n , 1 − ( 23 )n , tal que |g(x) − fn (x)| ≤ ( 23 )n para x ∈ C. Si aplicamos ahora el lema anterior a gn = g − fn |C , tenemos que existe [ ] vn : X −→ − 31 ( 23 )n , 13 ( 23 )n , tal que |gn (x) − vn (x)| < ( 23 )n+1 para x ∈ C. Definamos ahora fn+1 (x) = fn (x) + vn (x). Claramente |g(x) − fn+1 (x)| < ( 23 )n+1 para x ∈ C y [ ] fn+1 : X −→ −1 + ( 23 )n+1 , 1 − ( 23 )n+1 . Dado que |g(x) − fn (x)| < ( 23 )n para toda n, obtenemos para x ∈ C que lm fn (x) = g(x). Tomemos un punto arbitrario x ∈ X y m ≥ n. Entonces ∑∞ 1 2 k ∑ |fm (x) − fn (x)| = | m−1 k=n 3 ( 3 ) , k=n vk (x)| < donde este ltimo trmino es la cola de una serie convergente. Por tanto, tomando n suficientemente grande, podemos hacer este trmino tan pequeo como queramos. Por tanto, para toda x ∈ X, la sucesin (fn (x)) converge al valor f (x). La funcin f : X −→ [−1, 1] es continua, ya que la convergencia es uniforme, como veremos a continuacin. Sea n suficientemente grande para que |fm (x) − fn (x)| < ε para toda m ≥ n. As, |f (x) − fn (x)| ≤ ε. Ya que fn es continua en cada x0 ∈ X, tenemos una vecindad U de x0 , tal que para x ∈ U , |f (x)−f (x0 )| ≤ |f (x)−fn (x)|+|fn (x)−fn (x0 )|+|fn (x0 )−f (x0 )| < 3ε .

310

COMPACIDAD

Esto demuestra que f es continua. Con ello, queda demostrado el teorema. ⊔ ⊓ IX.1.30 Corolario. Sea X un espacio normal (que satisface (N)) y sea C ⊂ X cerrado. Si g : C −→ [a, b) es continua, entonces g admite una extensin continua f : X −→ [a, b); ms an, si g : C −→ (a, b) es continua, entonces g admite una extensin continua f : X −→ (a, b). Demostraci´ on: Para el primer caso podemos suponer, sin perder generalidad, que [a, b) = [0, 1); por el teorema IX.1.28, existe una extensin continua h : X −→ [0, 1]. Sea B = h−1 {1}, que es cerrado y ajeno a C. Por el Lema de Urysohn IX.1.24 hay una funcin v : X −→ [0, 1], tal que v|C = 1 y v|B = 0. Sea f (x) = v(x) · h(x) . Entonces f es una extensin continua de g, tal que f (x) < 1, pues se tendra f (x) = 1 slo si h(x) = 1, pero esto slo sucede para x ∈ B, de modo que, en ese caso, v(x) = 0. Para el segundo caso podemos suponer sin prdida de generalidad que (a, b) = (−1, 1) y tomemos g + (x) = mx{g(x), 0}

g − (x) = mx{−g(x), 0} ,

de modo que g(x) = g + (x)−g − (x). Por definicin, g + y g − son funciones, tales que g + , g − : C −→ [0, 1), por lo que, por el primer caso, existen f + , f − : X −→ [0, 1) continuas que extienden a g + y g − , respectivamente. Entonces la extensin que buscamos es f = f + − f − . ⊔ ⊓ Como una consecuencia de los resultados anteriores, obtenemos el teorema siguiente. IX.1.31 Extensin de Tietze-Urysohn. Sea X un espacio topolgico normal y sea A ⊂ X cerrado. Sea {Iλ }λ∈Λ una familia de intervalos ∏ en R y sea Y = λ Iλ . Entonces toda aplicacin continua g : A −→ Y admite una extensin continua f : X −→ Y . (En particular, Y puede ser Rn .) ⊔ ⊓

k-ESPACIOS

311

´ n. La demostracin del teorema anterior slo reIX.1.32 Observacio quiere que X satisfaga (N), es decir, no tiene por qu ser X un espacio de Hausdorff; sin embargo, la formulacin dada es la ms usual. IX.1.33 Ejercicio. Se dice que un espacio topolgico E es un retracto de vecindad euclidiana o, abreviadamente, un ENR, si admite un encaje i : E ,→ Rn , de modo que i(E) tiene una vecindad abierta U ⊂ Rn y hay una retraccin r : U −→ E, es decir, r ◦ i = idE . Probar que si X satisface (N), C ⊂ X es cerrado y g : C −→ E es continua, entonces existe un abierto V ⊂ X, tal que C ⊂ V , y una extensin f : V −→ E de g. IX.2 Espacios completamente regulares En esta seccin estudiaremos otra propiedad de separacin de los espacios topolgicos, la regularidad completa, que, como la normalidad, la tienen espacios en una clase muy grande. Esta propiedad ser bsica para dar una forma de compactar espacios no compactos; a saber, a travs de ˇ la compactacin de Stone–Cech, que estudiaremos en la siguiente seccin. Empezaremos con la subsecuente definicin; para ello, tenemos que, si X es un espacio topolgico normal y de Hausdorff, entonces se cumple (CR) Para todo x ∈ X y toda vecindad U de x existe f : X −→ [0, 1] continua, tal que f (x) = 0 y f |(X−U ) = 1, ya que por ser X de Hausdorff, G = {x} es cerrado. F = X − U ◦ es cerrado y ajeno a G. Al ser X normal, existe f : X −→ I, tal que f |G = 0 y f |F = 1, como queramos demostrar. ´ n. Un espacio X es completamente regular si satIX.2.1 Definicio isface (CR). Ms an, decimos que es un espacio T3 1 si adems es de 2 Hausdorff. De hecho, tenemos el siguiente teorema. IX.2.2 Teorema. Todo espacio T4 es un espacio T3 1 . 2

⊔ ⊓

El concepto de regularidad completa es ms fuerte que el de regularidad, como se demuestra en el siguiente teorema.

312

COMPACIDAD

IX.2.3 Teorema. Todo espacio completamente regular es regular. De hecho, todo espacio T3 1 es un espacio T3 . 2

Demostraci´ on: Sean X un espacio que satisface (CR) y tmese x ∈ X y U una vecindad de x en X. Queremos demostrar que hay una vecindad cerrada de x contenida en U . Por (CR) sabemos que hay una funcin continua f : X −→ [0, 1], tal que f (x) = 0 y f |(X−U ) = 1. Si definimos V = f −1 [0, 1/2], entonces claramente V es una vecindad cerrada de x, como queramos. ⊓ ⊔ Tenemos as: (T5 ) ⇒ (T4 ) ⇒ (T3 21 ) ⇒ (T3 ) ⇒ (T2 ) ⇒ (T1 ). Un ejemplo de que no todo espacio regular es completamente regular no es sencillo; referimos al lector a [45, 18G] para uno. A diferencia del axioma (N), la propiedad (CR) se hereda a cada subespacio, de ah el adverbio “completamente”. Sean, pues, A ⊂ X y x ∈ A. Una vecindad de x en A es la interseccin de una vecindad de x en X con A, para la cual ya sabemos que existe una funcin f que vale 0 en x y 1 en su complemento. La restriccin f |A sera una funcin separadora de x con el complemento de su vecindad dada en A. Tenemos as el siguiente resultado. IX.2.4 Teorema. Si X es completamente regular, entonces tambin lo es cada uno de sus subespacios. De hecho, si X es T3 1 entonces tambin 2 lo es cada uno de sus subespacios. ⊔ ⊓ Se prob en IX.1.10 que todo espacio compacto de Hausdorff es normal; por lo tanto, tenemos el corolario siguiente. IX.2.5 Corolario. Todo espacio compacto de Hausdorff es completamente regular. De hecho, es T3 1 . ⊔ ⊓ 2

Tambin vimos en IX.1.21 que todo espacio mtrico es normal; por lo tanto, tambin tenemos la siguiente afirmacin. IX.2.6 Corolario. Todo espacio mtrico es completamente regular. De hecho, es T3 1 . ⊔ ⊓ 2

k-ESPACIOS

313

Todo espacio de Hausdorff localmente compacto es subespacio (abierto) de su compactacin de Alexandroff, que es un espacio compacto de Hausdorff, que, por IX.2.5, es completamente regular. Por IX.2.4 tenemos as la siguiente afirmacin. IX.2.7 Proposici´ on. Todo espacio de Hausdorff localmente compacto es completamente regular. De hecho, es T3 1 . ⊔ ⊓ 2

En cuanto a la relacin entre la propiedad (CR) y productos, tenemos el siguiente teorema. IX.2.8 Teorema. Sea {Xλ | λ ∈ Λ} una familia no vaca de espacios ∏ topolgicos no vacos. Su producto X = λ∈Λ Xλ es completamente regular si y slo si Xλ es completamente regular para toda λ ∈ Λ. Por lo tanto, X es T3 1 si y slo si Xλ es T3 1 para toda λ ∈ Λ. 2

2

Demostraci´ on: Supongamos que Xλ satisface (CR) para toda λ ∈ Λ, y sea x ∈ X, x = (xλ ). Sea U una vecindad de x en X. U contiene a una ∏ vecindad producto Q de la forma Q = Qλ , con Qλ vecindad de xλ en Xλ para toda λ y Qλ = Xλ para toda λ, excepto un nmero finito. Consideremos que slo para λ = κ1 , . . . , κm , Qλ ̸= Xλ , y sea fi : Xκi −→ I , tal que fi (xλ ) = 0 y fi |(Xκi −Qκi ) = 1. Entonces la composicin pi

fi

X −→Xκi −→I , donde pi es la proyeccin, es continua, por lo que f : X −→ I, tal que f (y) = mx{fi pi (y) = fi (yκi ) | i = 1, . . . , m} , lo es tambin, donde y = (yλ )λ∈Λ es un punto arbitrario en X. Claramente f (x) = 0. Ms an, si y ̸∈ U , yκi ̸∈ Qκi para alguna i = 1, . . . , m. Por lo tanto, fi (yκi ) = 1 para esa i, por lo que f (y) = 1. ∏ Inversamente, ya que X = Xκ × λ̸=κ Xλ , basta con suponer que X es un producto de dos factores, digamos, X = X1 × X2 , y con probar que si X satisface (CR) entonces X1 lo satisface. Esto es claro, ya que si x2 ∈ X2 , X1 es homeomorfo a X1 × {x2 }, que es un subespacio de X. Por lo tanto, si X satisface (CR), entonces X1 tambin. ⊔ ⊓

314

COMPACIDAD

´ n. Sea I = [0, 1] y sea Λ un conjunto de ndices. ConIX.2.9 Definicio Λ sideremos I un producto de copias de I, una por cada λ ∈ Λ. Llamamos a I Λ un Λ-cubo. Si Λ = {1, . . . , n}, entonces I Λ = I n es el n-cubo y si Λ = N, entonces I Λ = I ω es el cubo de Hilbert. Ya que el producto de espacios de Hausdorff es de Hausdorff, el teorema de Tychonoff nos da la siguiente proposicin. IX.2.10 Proposici´ on. Todo Λ-cubo es un espacio compacto de Hausdorff, por lo tanto, es normal (de hecho es T4 ) y, en particular, completamente regular (T3 1 ). 2

Sea X un espacio topolgico, sea Φ = {φ : X −→ I | φ es continua} y tmese la aplicacin j : X −→ I Φ , tal que j(x) = (φ(x))φ∈Φ . Ya que pφ ◦ j = φ es continua, donde pφ es la correspondiente proyeccin, entonces j es continua. (N) nos sugiere considerar los conjuntos abiertos numricos Wφ = φ−1 [0, 1) y Wφ′ = ′ p−1 φ [0, 1). Ya que [0, 1) es abierto en I, Wφ y Wφ son abiertos en X e I Φ , respectivamente, y se tiene que Wφ = j −1 Wφ′ . En consecuencia (IX.2.10)

j(Wφ ) = Wφ′ ∩ j(X) .

Si X satisface (CR), los conjuntos Wφ son suficientes abiertos en X en el sentido del siguiente lema. IX.2.11 Lema. Sea Φ = {φ : X −→ I | φ es continua}. El espacio X satisface (CR) si y slo si {Wφ | φ ∈ Φ} es una base para la topologa de X. Demostraci´ on: Sea Q ⊂ X un abierto no vaco y sea x ∈ Q. Sea φ : X −→ I, tal que φ(x) = 0 y φ(X − Q) = 1. Tenemos que φ es tal que x ∈ Wφ ⊂ Q. Inversamente, supongamos que {Wφ } es una base para la topologa de X y sean x ∈ X y U vecindad de x. Por hiptesis, existe φ : X −→ [0, 1] continua, tal que x ∈ Wφ ⊂ U . As, φ(x) < 1 y φ(y) = 1 para y ∈ X − U . Sea u : X −→ [0, 1], tal que u(y) = mx{0,

φ(y) − φ(x) }, 1 − φ(x)

⊓ ⊔

k-ESPACIOS

315

que es una funcin continua, tal que u(x) = 0 y u(y) = 1 si y ∈ X − U . ⊔ ⊓ Sea X un espacio T3 21 y sea Γ ⊂ Φ un conjunto de funciones continuas φ : X −→ I. Diremos que Γ es admisible si la familia {Wφ | φ ∈ Γ} es una base para la topologa de X. Sea jΓ : X −→ I Γ definida como antes. La aplicacin restringida j ′ : X −→ jΓ (X) tambin es continua y (IX.2.10) afirma que j(Wφ ) es un abierto en jΓ (X). Por lo tanto, j ′ es una aplicacin suprayectiva y abierta. Sea Γ admisible. Ya que X es de Hausdorff, dados x ̸= y en X, existen abiertos ajenos U, V en X, tales que x ∈ U y y ∈ V . Por lo tanto, existe φ ∈ Γ, tal que x ∈ Wφ ⊂ U , por lo que φ(x) < 1, mientras que φ(y) = 1. Por lo tanto, jΓ (x) ̸= jΓ (y). Tenemos el siguiente lema. IX.2.12 Lema. Sea X un espacio T3 1 (completamente regular y Haus2 dorff ) y sea Γ un conjunto admisible de funciones continuas, entonces X es homeomorfo a un subespacio de I Γ . Demostraci´ on: La aplicacin jΓ es continua e inyectiva. Ya que por ′ (IX.2.10) j es abierta, se tiene que j ′ : X −→ jΓ (X) ⊂ I Γ es un homeomorfismo. ⊔ ⊓ Inversamente, si X es homeomorfo a un subespacio de un compacto de Hausdorff, entonces X es un espacio T3 1 (completamente regular y 2 Hausdorff) ya que todo espacio compacto de Hausdorff es un espacio T3 1 (completamente regular y Hausdorff) y esta propiedad es heredi2 taria. Tenemos, por tanto, el siguiente teorema. IX.2.13 Teorema. (Tychonoff) Un espacio topolgico es T3 1 (comple2 tamente regular y Hausdorff ) si y slo si es homeomorfo a un subespacio de un espacio compacto de Hausdorff. Ms especficamente, X es un espacio T3 1 si y slo si la aplicacin jΓ : X −→ I Γ es un encaje para algn 2 conjunto Γ de funciones continuas φ : X −→ I. ⊔ ⊓

316

COMPACIDAD

ˇ IX.3 La compactacin de Stone–Cech Del trabajo hecho en la seccin anterior, podemos presentar una nueva forma de compactar espacios si son T3 1 ; a saber, a travs de 2 ˇ la compactacin de Stone–Cech. Sea j : X −→ I Φ , j(x) = (φ(x))φ∈Φ , la inclusin de un espacio completamente regular X en el Φ-cubo, tal que Φ = {φ : X −→ I | φ es continua}. Sea β(X) = j(X) ⊂ I Φ . Ya que X es homeomorfo a j(X), tenemos que X se puede encajar como un subespacio denso de β(X), donde β(X) es un espacio compacto, es decir, β(X) es una compactacin de X. ´ n. Sea X un espacio T3 12 . A j : X −→ β(X) se IX.3.1 Definicio ˇ le conoce como la compactacin de Stone–Cech de X. Abusando del lenguaje, al propio espacio β(X) se le llama igual. IX.3.2 Teorema. Sea X un espacio de Hausdorff completamente regˇ ular. Entonces su compactacin de Stone–Cech est caracterizada por la siguiente propiedad universal. ˇ Para todo espacio K compacto de Hausdorff y toda aplicacin (SC) continua f : X −→ K existe una nica g : β(X) −→ K, tal que g ◦ j = f , es decir, tal que el siguiente diagrama es conmutativo. f

X _ j

y

y

y

/K y<

g

β(X) Demostraci´ on: La propiedad caracteriza a j : X −→ β(X) en forma nica, ya que si j ′ : X −→ γ(X) tiene la misma propiedad, suponiendo ˇ existe φ : β(X) −→ γ(X), tal que K = γ(X) y f = j ′ , por (SC), ′ φ ◦ j = j . Anlogamente, por la correspondiente propiedad de j ′ , existe ψ : γ(X) −→ β(X), tal que ψ ◦ j ′ = j. Por lo tanto, ψ ◦ φ ◦ j = j ˇ implica que y φ ◦ ψ ◦ j ′ = j ′ . La unicidad que pide la propiedad (SC) ψ◦φ = idβ(X) y φ◦ψ = idγ(X) . Es decir, β(X) y γ(X) son homeomorfos,

k-ESPACIOS

317

y el homeomorfismo transforma j en j ′ . En un diagrama conmutativo, tenemos β(X) ; ww ww w w - www ≈ X Gq GG GG GG j ′ GG#

j

φ

γ(X) . ˇ Falta probar ahora que j : X −→ β(X) posee la propiedad (SC). Sea, pues, K compacto de Hausdorff y f : X −→ K continua. Para esto, sean Φ = {φ : X −→ I | φ es continua} y Ψ = {ψ : K −→ I | ψ es continua}. Ms an, sean j : X −→ I Φ y k : K −→ I Ψ , tales que j(x) = (φ(x))φ∈Φ y k(y) = (ψ(y))ψ∈Ψ , de modo que β(X) = j(X) ⊂ I Φ y β(K) = k(K) ⊂ I Ψ . Ya que K es compacto, k(K) lo es y, por lo tanto, k(K) = β(K), as como k : K −→ β(K) es un homeomorfismo. Sea fe : I Φ −→ I Ψ tal que fe(tφ ) = (tψf ), es decir, la ψ componente de fe(tφ ) es tψf . Es conmutativo el diagrama X _ j

f

IΦ

/ K _

fe

k

/ IΨ ,

como se comprueba fcilmente.Ya que j es un homeomorfismo de X en j(X), tenemos que fe(j(X)) ⊂ β(K). Por lo tanto, por la continuidad de fe, fe(β(X)) = fe(j(X)) ⊂ fe(j(X)) ⊂ β(K). Sea, as, g : β(X) −→ K, tal que k ◦ g = fe|β(X) : β(X) −→ β(K). Esta aplicacin g tiene la propiedad deseada. La unicidad de g es una consecuencia inmediata del hecho de que X se encaja en β(X) como un subespacio denso y de que K es de Hausdorff. ⊔ ⊓ De la demostracin anterior, obtenemos la siguiente afirmacin. IX.3.3 Proposici´ on. Sea K un espacio compacto de Hausdorff, enˇ tonces su compactacin de Stone–Cech β(K) es homeomorfa a K. ⊔ ⊓

318

COMPACIDAD

Del teorema IX.3.2, se obtiene el siguiente corolario. IX.3.4 Corolario. La construccin β es funtorial, es decir, si X, Y, Z son espacios completamente regulares y las aplicaciones f : X −→ Y , g : Y −→ Z son continuas, entonces existen aplicaciones β(f ) : β(X) −→ β(Y ) y β(g) : β(Y ) −→ β(Z) tales que β(g ◦ f ) = β(g) ◦ β(f ) . Ms an, β(idX ) = idβ(X) . Demostraci´ on: Para construir, digamos, β(f ), tmense K = β(Y ) y la ˇ para obtener aplicacin X −→ β(Y ) inducida por f , y aplquese (SC) β(f ). Anlogamente se define β(g). Una aplicacin de la unicidad en ˇ nos da la frmula deseada. La misma unicidad nos garantiza que, (SC) al aplicar β a la identidad, obtenemos la identidad. ⊔ ⊓ Podemos considerar para un espacio completamente regular X todas sus compactaciones e : X −→ K, es decir, e : X −→ e(X) es un homeomorfismo, tal que e(X) es denso en K. Consideremos la familia C = {(K, e) | e : X −→ K es una compactacin de X}. Se puede definir un orden parcial en C como sigue. (K1 , e1 ) ≤ (K2 , e2 ) ⇔ ∃f : K2 −→ K1 continua, tal que f ◦ e2 = e1 . De IX.3.2, obtenemos el siguiente corolario. ˇ IX.3.5 Corolario. La compactacin de Stone–Cech (β(X), j) es el supremo de la clase C, es decir, (K, e) ≤ (β(X), j) para toda (K, e) ∈ C. ⊔ ⊓ IX.3.6 Nota. Si Γ ⊂ Φ = {f : X −→ I | f es continua} es admisible, entonces el encaje j : X −→ I Γ definido en la seccin anterior es tal que su restriccin j ′ : X −→ j(X) es una compactacin; sin embargo, en ˇ general, sta no coincide con la de Stone–Cech. Mucho menos, si hay un Γ encaje de X en I para Γ arbitraria. Por ejemplo, si X = (0, 1], X ⊂ I y X = I, es decir, en otras palabras, la inclusin (0, 1] ,→ I es una ˇ compactacin, pero no la de Stone–Cech, ya que no tiene la propiedad

k-ESPACIOS

319

ˇ como lo muestra la funcin f : (0, 1] −→ [−1, 1], f (t) = universal (SC), sen(1/t), que no admite una extensin a I = [0, 1]. Ms generalmente, la ˇ bola cerrada Bn no es la compactacin de Stone–Cech de la bola abierta ◦

n

B . IX.3.7 Ejercicio. Probar que el espacio proyectivo real RPn es una ˇ compactacin de Rn distinta de la de Alexandroff y de la de Stone–Cech. (Sugerencia: Recurdese que puede definirse el espacio proyectivo real RPn como el cociente Bn /∼, tal que ∼ identifica puntos antpodas en la frontera Sn−1 de la bola. De ese modo, se tiene una inclusin de la bola abierta, que es homeomorfa al espacio euclidiano Rn , en el espacio proyectivo. Para la segunda parte del ejercicio, mostrar que esa inclusin, es decir, Rn ,→ Bn −→ RPn , si bien es una compactacin, no posee la ˇ propiedad universal (SC).) IX.3.8 Ejercicio. Sea f ∈ Φ, es decir, f : X −→ I continua. Por la ˇ f tiene una extensin a β(X) ⊂ I Φ . Probar propiedad universal (SC), que esta extensin no es ms que la restriccin de la proyeccin proyf : I Φ −→ I. IX.3.9 Teorema. Un espacio X es T3 1 (completamente regular y Haus2 dorff ) y satisface el segundo axioma de numerabilidad si y slo si X puede encajarse como subespacio del cubo de Hilbert I ω . Demostraci´ on: Primero obsrvese que I ω satisface el segundo axioma de numerabilidad por ser un producto numerable de espacios que lo satisfacen y es un espacio T3 1 , y al ser estas propiedades hereditarias, 2 cualquier espacio X que se pueda encajar en I ω las tiene, es decir, X ser 2-numerable y T3 1 . 2 Inversamente, es suficiente probar que existe un subconjunto numerable Γ de Φ, tal que {Wφ | φ ∈ Γ} es una base de la topologa de X. Como X es 2-numerable, esto es una consecuencia inmediata de la proposicin III.4.26. Si {Wφn } es una base numerable contenida en {Wφ | φ ∈ Φ}, entonces Γ = {φn } es un subconjunto numerable de Φ, tal que X puede encajarse en I Γ . ⊔ ⊓

320

COMPACIDAD

ˇ La relacin que guarda la compactacin de Stone-Cech con la de Alexandroff, estudiada en el captulo anterior, la establece el siguiente ejercicio. IX.3.10 Ejercicio. Sea X un espacio T3 1 y j : X −→ β(X) su com2 ˇ pactacin de Stone-Cech. Probar que la composicin k : X

j

/ β(X)

q

/ / β(X)/(β(X) − j(X)) ,

donde q es la aplicacin en el cociente, es homeomorfa a la compactacin de Alexandroff. En particular, si X es compacto, β(X) − j(X) = ∅ y, por definicin, β(X)/∅ = β(X) ⊔ {∞} ≈ X ⊔ {∞} = X + . IX.3.11 Ejercicio. Sea X un espacio completamente regular y sean ˇ j : X −→ β(X) su compactacin de Stone–Cech y k : X −→ X ∗ la de Alexandroff. Por el corolario IX.3.5, existe f : β(X) −→ X ∗ , tal que f ◦ j = k. Probar que f es una identificacin tal que f (β(X) − j(X)) = {∞}. ˇ IX.3.12 Ejercicio. Al igual que la compactacin de Stone–Cech es, segn IX.3.5, el supremo de todas las compactaciones, probar que la de Alexandroff es el nfimo, es decir, si e : X −→ K es una compactacin, probar que la composicin k : X

e

/K

q

/ / K/(K − e(X)) ,

donde q es la aplicacin en el cociente, es homeomorfa a la compactacin de Alexandroff. Esto generaliza IX.3.10. IX.4 Espacios metrizables Hemos visto a lo largo del texto que los espacios cuya topologa est determinada por una mtrica son muy ricos en propiedades topolgicas. Una pregunta natural es determinar qu espacios topolgicos tienen una estructura determinada por una mtrica. En esta seccin probaremos resultados de metrizabilidad. ´ n. Sea X un espacio topolgico; se dice que X es un IX.4.1 Definicio espacio metrizable si existe una mtrica en X que determina su topologa.

k-ESPACIOS

321

En esta seccin daremos un criterio para saber cundo un espacio es metrizable. IX.4.2 Lema. Sea X un espacio mtrico con mtrica d, entonces la funcin d′ : X × X −→ R+ , tal que d′ (x, y) =

d(x, y) , 1 + d(x, y)

es una mtrica acotada que define la misma topologa en X que d. t Demostraci´ on: La funcin f : R+ −→ R+ , tal que f (t) = 1+t , define un + ′ homeomorfismo creciente de R −→ [0, 1), por lo que d = f ◦ d es una mtrica con las propiedades deseadas. ⊔ ⊓

IX.4.3 Nota. La mtrica acotada definida en IX.4.2 no es la nica que define la misma topologa que d. Resulta un ejercicio sencillo observar que la funcin d′′ (x, y) = mn{1, d(x, y)} tambin es una mtrica acotada que determina el mismo sistema de vecindades en X y, por lo tanto, la misma topologa. IX.4.4 Teorema. Sea {Xn }n∈N una familia numerable de espacios metriz∏ ables, entonces Xn es un espacio metrizable. Demostraci´ on: Sea dn una mtrica acotada por 1 en Xn , entonces la ∏ ∏ funcin d : Xn × Xn −→ R+ , tal que d(x, y) =

∞ ∑ 1 dn (xn , yn ) , 2n

n=1

∏ donde x = (xn ) y y = (yn ) son elementos de Xn , es una mtrica ∏ acotada en Xn . ∏ Para ver que d define la topologa del producto en Xn , observemos ∏ primero que una vecindad bsica de un punto x ∈ Xn es de la forma ∏ V = Bεn (xn ), donde εn = 1 para n > k, k ∈ N.

322

COMPACIDAD

Sea V como arriba y sea ε = mn{εn /2n | n = 1, . . . , k}, que es un ∏ nmero positivo. As, si y ∈ Xn es, tal que d(x, y) < ε, tenemos ∞ ∑ 1 1 d (x , y ) ≤ dn (xn , yn ) n n n n 2 2n n=1

= d(x, y) < ε = mn{εn /2n } εn ≤ . 2n Por lo tanto, dn (xn , yn ) < εn para n = 1, . . . , k; ms an, dn (xn , yn ) ≤ εn para n > k. Por consiguiente, Bε (x) ⊂ V . Inversamente, sea ε > 0. Queremos probar que existe V como arriba, tal que V ⊂ Bε (x). Sea k ∈ N, tal que ∑ 1 ε < , n 2 2 n>k

y sean εn = 2n−1 ε/k para n ≤ k y εn = 1 para n > k. Entonces, si ∏ y ∈ V = Bεn (xn ), entonces dn (xn , yn ) < εn para toda n. As,

d(x, y) = ≤

∞ ∑ 1 dn (xn , yn ) 2n

n=1 k ∑ n=1

∑ 1 1 d (x , y ) + n n n 2n 2n n>k

k ∑

1 ε εn + 2n 2 n=1 ε ε = + = ε, 2 2 ≤

es decir, V ⊂ Bε (x).

⊔ ⊓

IX.4.5 Nota. Utilizar 1/2n en la demostracin anterior es simplemente para facilitar las cosas. A saber, si tenemos una serie convergente ∑∞ n=1 cn , tal que cn > 0, entonces la funcin d(x, y) =

∞ ∑ n=1

cn dn (xn , yn )

k-ESPACIOS

323

∏ es una mtrica acotada en Xn , que define la topologa del producto como en la demostracin de IX.4.4. IX.4.6 Ejercicio. Probar directamente, simplificando la demostracin de IX.4.4, al tomar cn > 0 arbitraria, que el producto finito de espacios metrizables es metrizable. IX.4.7 Ejercicio. Sea Q = I ω el cubo de Hilbert. Probar que su topologa est dada por la siguiente mtrica: ∞ ∑ 1 d(s, t) = |tn − sn | . 2n n=1

Con todo lo visto hasta ahora, podemos probar el siguiente teorema. IX.4.8 Teorema. (De metrizabilidad de Urysohn) Para un espacio topolgico X que satisface el segundo axioma de numerabilidad son equivalentes (a) X es un espacio T3 1 (completamente regular y Hausdorff ). 2

(b) X es un espacio T4 (normal y Hausdorff ). (c) X es metrizable. Demostraci´ on: Todo espacio metrizable es T4 . Por lo tanto, (c) ⇒ (b). Tambin sabemos que todo espacio T4 es T3 1 ; as, (b) ⇒ (a). Final2 mente, por IX.3.9, todo espacio T4 que satisface el segundo axioma de numerabilidad puede encajarse en el cubo de Hilbert I ω , y ya que por IX.4.4 el cubo de Hilbert es metrizable, se tiene que todo espacio T3 1 2 es metrizable. Por consiguiente, (a) ⇒ (c). ⊔ ⊓ IX.5 Espacios paracompactos Vimos que todo espacio compacto de Hausdorff es localmente compacto y es normal, es decir, estos son conceptos que generalizan el concepto de compacidad. La propiedad de ser compacto es una propiedad global; sin embargo, la de ser localmente compacto es una propiedad local. La compacidad se defini a travs de propiedades globales de finitud de cubiertas abiertas del espacio en cuestin. En esta seccin estudiaremos localmente propiedades de finitud de cubiertas abiertas de un espacio topolgico.

324

COMPACIDAD

´ n. Sea X un espacio topolgico y sea C = {Aλ | λ ∈ IX.5.1 Definicio Λ} una familia de subconjuntos. Se dice que C es localmente finita si todo x ∈ X tiene una vecindad V , tal que V ∩ Aλ ̸= ∅ slo para un nmero finito de valores de λ. Nos interesar el caso en el que la familia C es una cubierta (abierta, resp. cerrada) de X, y hablaremos de una cubierta (abierta, resp. cerrada) localmente finita. IX.5.2 Lema. Sea C = {Aλ | λ ∈ Λ} una familia localmente finita de subconjuntos del espacio topolgico X. Entonces tambin la familia C = {Aλ | λ ∈ Λ} es localmente finita. Demostraci´ on: Sea x ∈ X y sea V una vecindad abierta de x, tal que V ∩ Aλ ̸= ∅ slo para un nmero finito de λ ∈ Λ. Si V ∩ Aλ = ∅, entonces Aλ ⊂ X − V , donde X − V es cerrado, por lo que Aλ ⊂ X − V . Consecuentemente, V ∩Aλ ̸= ∅, excepto para un nmero finito de λ ∈ Λ. ⊓ ⊔ IX.5.3 Lema. Sea {Fλ | λ ∈ Λ} una familia localmente finita de sub∪ conjuntos cerrados del espacio topolgico X, entonces F = Fλ es un conjunto cerrado en X. Demostraci´ on: Probaremos que X − F es abierto. Sea x ∈ X − F . x tiene una vecindad V que intersecta slo a un nmero finito de Fλ . Si V ∩ Fλ = ∅ para toda λ, entonces V ⊂ X − F . Si, por el contrario, V ∩ Fλ ̸= ∅ para λ1 , λ2 , . . . , λk , entonces V ∩ ∩ki=1 (X − Fλi ) es una vecindad abierta de x contenida en X − F . Por lo tanto, X − F es abierto. ⊔ ⊓ ´ n. Si {Fλ } es una cubierta cerrada, es decir, forIX.5.4 Observacio mada por conjuntos cerrados, localmente finita en X y f : X −→ Y es una funcin, entonces f es continua si y slo si todas las restricciones f |Fλ son continuas. Esto se puede probar, en forma anloga al caso de cubiertas finitas, haciendo uso del lema anterior. ´ n. Sean C = {Aλ | λ ∈ Λ} y C ′ = {Bµ | µ ∈ M} IX.5.5 Definicio cubiertas del conjunto X. Se dice que C ′ es ms fina que C ′ , o que es un refinamiento de C, si cada conjunto en C ′ est contenido en al menos

k-ESPACIOS

325

uno en C. En otras palabras (usando el axioma de eleccin), se puede definir una funcin Φ : M −→ Λ, tal que para toda µ ∈ M, Bµ ⊂ AΦ(M) . Se define el refinamiento como preciso si Λ = M y Φ = id. ´ n. De la definicin anterior es claro que una subcuIX.5.6 Observacio ′ bierta de C es un refinamiento. Tambin es inmediato que la relacin de ser un refinamiento es transitiva. Si, por otro lado, C1 = {Aλ | λ ∈ Λ} y C2 = {Bµ | µ ∈ M} son cubiertas de un espacio X, entonces las intersecciones Cλµ = Aλ ∩ Bµ , para toda λ y µ forman una cubierta C de X que es un refinamiento comn de C1 y C2 . Obviamente, pueden omitirse todas las intersecciones vacas, y si C1 y C2 son cubiertas abiertas, entonces tambin C lo es. ´ n. Un espacio topolgico X es paracompacto si es de IX.5.7 Definicio Hausdorff y satisface la siguiente condicin (PC) Toda cubierta abierta de X admite un refinamiento abierto localmente finito. IX.5.8 Lema. Si un espacio topolgico X es paracompacto, entonces toda cubierta abierta de X admite un refinamiento abierto localmente finito preciso. Demostraci´ on: Sea C = {Aλ }λ∈Λ una cubierta abierta de X. Por ser X paracompacto, existe un refinamiento C ′ = {Bµ }µ∈M . Sea Φ : M −→ Λ ∪ una funcin, tal que BM ⊂ AΦ(µ) . Defnase Bλ′ = Φ(µ)=λ Bµ . Claramente la familia C ′′ = {Bλ′ }λ∈Λ es un refinamiento abierto de C, tal que Bλ′ ⊂ Aλ . Ms an, C ′′ es un refinamiento localmente finito, ya que para toda x ∈ X existe una vecindad V de x, tal que V intersecta slo a un nmero finito de elementos Bµ ∈ C ′ . Ya que los elementos Bλ′ ∈ C ′′ son uniones de elementos de C ′ , V intersecta slo a un nmero finito de ellos. ⊓ ⊔ Se tiene claramente el siguiente resultado. IX.5.9 Proposici´ on. Todo espacio compacto de Hausdorff es paracompacto. ⊔ ⊓

326

COMPACIDAD

IX.5.10 Teorema. Todo subespacio cerrado de un espacio paracompacto es paracompacto. Demostraci´ on: Sean X paracompacto y Y ⊂ X cerrado. Sea C = {Aλ | λ ∈ Λ} una cubierta abierta de Y . Para cada Aλ existe A′λ abierto en X, tal que A′λ ∩ Y = Aλ . La familia C ′ = {X − Y } ∪ {A′λ | λ ∈ Λ} es una cubierta abierta de X y, por ser ste paracompacto, existe un refinamiento localmente finito B ′ = {Bµ′ | µ ∈ M }. La familia B = {Bµ′ ∩ Y | µ ∈ M } es un refinamiento localmente finito de C. ⊔ ⊓ Veremos a continuacin qu relacin guarda el concepto de paracompacidad con los conceptos de separabilidad vistos anteriormente. Para este fin, consideraremos el siguiente lema. IX.5.11 Lema. Sea X un espacio paracompacto y sean F y G subconjuntos cerrados ajenos de X. Si para cada punto x ∈ F existen vecindades ajenas de x y G, entonces F y G poseen vecindades ajenas. Demostraci´ on: Para cada x ∈ F tmense vecindades abiertas ajenas Ux de x y Vx de G. Consideremos la cubierta abierta C de X que consta de los conjuntos Ux y X − F . Por el lema IX.5.9, existe un refinamiento localmente finito de C consistente en un abierto A ⊂ X − F y abiertos Wx ⊂ Ux . Definamos ∪ ∪ W = Wx , H = Wx . x∈F

x∈F

Ya que A ⊂ X − F y A ∪ W = X, W es una vecindad abierta de F . Por los lemas IX.5.2 y IX.5.3, H es cerrado. Ms an, por la eleccin de Vx se tiene que W x ⊂ U x ⊂ X − Vx ⊂ X − G, por lo que H ⊂ X − G, es decir, X − H ⊃ G. U = X − H es as una vecindad abierta de G, que es ajena a la vecindad W de F . ⊔ ⊓ Ya estamos en posibilidad de probar el siguiente teorema. IX.5.12 Teorema. Todo espacio paracompacto X es T4 (en particular, es normal).

k-ESPACIOS

327

Demostraci´ on: Necesitamos demostrar que dos cerrados ajenos F y G tienen vecindades (abiertas) ajenas. Primeramente, sean F ⊂ X cerrado y Gy = {y} ⊂ X − F . Por ser X un espacio de Hausdorff, Gy es cerrado y, por lo mismo, para cada x ∈ F existen vecindades (abiertas) de x y Gy ajenas; en consecuencia, por el lema anterior, hay vecindades abiertas ajenas Uy de F y Vy de Gy , es decir, de y. Por lo tanto, volvemos a ver que se cumplen las hiptesis del lema anterior para F y y ∈ G. As, F y G tienen vecindades (abiertas) ajenas, por lo que se cumple (N) y X es T4 . ⊔ ⊓ Para espacios T3 , la definicin de espacio paracompacto puede formularse de maneras equivalentes, en las que vara el tipo de conjuntos con los que se hacen los refinamientos. Tenemos el siguiente resultado. IX.5.13 Teorema. (E. Michael) Sea X un espacio T3 (es decir, regular y de Hausdorff ). Son equivalentes (a) X es paracompacto. (b) Toda cubierta abierta de X tiene un refinamiento abierto que es unin de una coleccin a lo ms numerable de familias localmente finitas de abiertos. (c) Toda cubierta abierta de X tiene un refinamiento localmente finito consistente en conjuntos no necesariamente abiertos ni cerrados. (d) Toda cubierta abierta de X tiene un refinamiento cerrado localmente finito. Demostraci´ on: (a) ⇒ (b) es claro. (b) ⇒ (c) Sea C = {Aλ }λ∈Λ una cubierta abierta de X. Por (b), existe un refinamiento abierto C ′ = {Bn,µ }(n,µ)∈N×M , tal que para cada n fija la familia Cn′ = {Bn,µ }µ∈M es localmente finita (pero no necesariamente una cubierta). Para cada n, sea ∪ Bn = Bn,µ . µ∈M

328

COMPACIDAD

Entonces la familia C ′′ = {Bn }n∈N es una cubierta abierta de X. Para ∪ cada i = 1, 2, . . . defnase Ci = Bi − j n(x). Resulta ahora que B = {Cn ∩Bn,µ } es un refinamiento de C = {Aλ }; es localmente finito, ya que para cada x ∈ X hay una vecindad que intersecta a lo ms un nmero finito de Cn y para cada tal n el punto x tiene una vecindad que intersecta a lo ms a un nmero finito de Bn,µ . As, B es el refinamiento buscado. (c) ⇒ (d) Sea C una cubierta abierta de X. A cada x ∈ X le asociamos una Ax ∈ C definida, tal que x ∈ Ax . Ya que X es regular, existe un abierto Bx , tal que x ∈ Bx ⊂ B x ⊂ Ax . La familia {Bx }x∈X es una cubierta abierta. Por (c), esta familia tiene un refinamiento preciso localmente finito B = {Bx′ }. Por lo tanto, B ′ = {B ′ x } es tambin una familia localmente finita y ya que B ′ x ⊂ B x ⊂ Ax , para cada x, B ′ es el refinamiento deseado. (d) ⇒ (a) Sea C una cubierta abierta de X. Sea C ′ un refinamiento cerrado localmente finito, entonces cada x ∈ X tiene una vecindad Vx que intersecta a un nmero finito de conjuntos B ∈ C ′ . La cubierta {Vx }x∈X admite tambin un refinamiento cerrado localmente finito C ′′ . Ya que cada C ∈ C ′′ intersecta a un nmero finito de elementos B ∈ C ′ , podemos agrandar cada B a un abierto GB , tal que la familia {GB } es localmente finita; a saber, sea GB = X − ∪{C ∈ C ′′ | C ∩ B = ∅} . Asocindole a cada B ∈ C ′ un nico conjunto AB ∈ C que lo contenga, es evidente que la familia B = {GB ∩ AB } es un refinamiento abierto localmente finito de C. ⊔ ⊓ ´ n. Sea V = {Vλ }λ∈Λ una cubierta abierta de un IX.5.14 Definicio espacio topolgico X. Se dice que V es encogible si existe una cubierta ′ abierta V ′ = {Vλ′ }λ∈Λ con la propiedad que V λ ⊂ Vλ . Por supuesto, a V ′ se le llama encogimiento de V.

k-ESPACIOS

329

El siguiente lema ser de utilidad ms adelante. IX.5.15 Lema. Sea X normal. Entonces toda cubierta abierta localmente finita es encogible. Demostraci´ on: Sea V = {Vλ }λ∈Λ una cubierta abierta localmente finita de X. Por el axioma del buen orden (vase [22]) podemos bien ordenar Λ, y por ejemplo, suponer Λ = {1, 2, . . . , λ, . . . }. Construiremos V ′ = {Vλ′ }λ∈Λ por induccin transfinita como sigue. Sea ∪ F1 = X − Vλ . λ>1

Entonces F1 ⊂ V1 , por lo que, al ser X normal, existe un abierto V1′ , tal que ′ F1 ⊂ V1′ ⊂ V 1 ⊂ V1 . Supongamos que Fµ y Vµ′ ya se han definido para toda µ < λ y sea Fλ = X − [(

∪ µ<λ

Vµ′ ) ∪ (

∪

Vν )] .

ν>λ

Entonces Fλ es cerrado y Fλ ⊂ Vλ ; por lo tanto, podemos encontrar Vλ′ abierto, tal que ′ Fλ ⊂ Vλ′ ⊂ V λ ⊂ Vλ . Sea V ′ = {Vλ′ | λ ∈ Λ}, que es un encogimiento de V, siempre y cuando sea una cubierta. Para ello, sea x ∈ X; por ser V localmente finita, x pertenece slo a un nmero finito de elementos de V, digamos a Vλ1 , . . . , Vλk . Sea λ = mx{λ1 , . . . , λk }. Por lo tanto, x ̸∈ Vν para ν > λ y, as, si x ̸∈ Vµ′ para µ < λ, entonces x ∈ Fλ ⊂ Vλ′ . De este modo, x ∈ Vµ′ para alguna µ ≤ λ. Tenemos as que V ′ es una cubierta abierta de X y, por lo tanto, es un encogimiento de V. ⊔ ⊓ IX.5.16 Ejercicio. Una cubierta de un espacio topolgico es puntualmente finita si cada punto del espacio pertenece slo a un nmero finito de elementos de la cubierta. Siguiendo la demostracin del lema IX.5.15, probar que X es normal si y slo si toda cubierta abierta puntualmente finita es encogible.

330

COMPACIDAD

En general, el producto de espacios paracompactos no tiene por qu ser paracompacto. IX.5.17 Ejercicio. Sea X el espacio siguiente. Como conjunto X = (−1, 1] y tiene como base de su topologa a los intervalos (a, b]. Probar que toda cubierta abierta de X admite un refinamiento que consta de una coleccin numerable de abiertos. (Sugerencia: Constryase el refinamiento de derecha a izquierda.) Probar que X ×X es completamente regular; sin embargo, no es normal. (Sugerencia: Considrense el conjunto de los racionales y el conjunto de los puntos irracionales sobre la recta y = −x en X × X.) Demostrar que X satisface el primer axioma de numerabilidad y es paracompacto, pero no es metrizable. Sin embargo, tenemos los siguientes teoremas. IX.5.18 Teorema. El producto de un espacio paracompacto con un espacio compacto es paracompacto. Demostraci´ on: Sean X un espacio paracompacto y K un espacio compacto, y sea U una cubierta abierta de X × K. Para x ∈ X fija, existe un nmero finito de elementos en U , digamos U1x , . . . , Ukxx , que cubren a {x} × K. Tmese una vecindad abierta Vx de x en X, tal ∪ x x que Vx × K ⊂ ki=1 Ui , que existe por ser K compacto. Los conjuntos Vx , x ∈ X, forman una cubierta abierta de X. Por ser X paracompacto, esta cubierta admite un refinamiento localmente finito V. Para cada V ∈ U, V ⊂ Vx , para alguna x ∈ X. Considrense los conjuntos (V × K) ∩ Uix , i = 1, . . . , kx , formados al variar V en V. ste es un refinamiento de U y una cubierta abierta W de X × K. Ms an, dado (x, y) ∈ X × K, existe una vecindad U de x que intersecta slo a un nmero finito de elementos V ∈ V, por lo que la vecindad U × K de (x, y) slo puede intersectar a un nmero finito de elementos de W. ⊓ ⊔ IX.5.19 Teorema. Todo espacio mtrico X es paracompacto. Demostraci´ on: Por ser X mtrico, es regular (IX.2.6). Sea d una mtrica en X. Veremos que X satisface IX.5.13(b). Sea, pues, C = {Aλ }λ∈Λ una cubierta abierta de X y, como en la demostracin de IX.5.15, dsele a Λ

k-ESPACIOS

331

un buen orden. Definamos para cada λ ∈ Λ y cada n ∈ N los siguientes conjuntos: 1 Unλ = {x ∈ X | µ(x, X − Aλ ) > n } , 2 Tnλ = Unλ ∩ (∩κ<λ (X − Aκ )), λ ∈ Λ, 1 Bnλ = {x ∈ X | µ(x, Tnλ ) > n+2 } , 2 donde µ representa la distancia entre conjuntos asociada a d, como en (IX.1.15). De IX.1.17, se deduce que ∪ Unλ = Aλ , n

ya que X − Aλ es un conjunto cerrado. As, Aλ es unin de una coleccin numerable de abiertos. Para n fija, los conjuntos Tnλ constituyen una coleccin de conjuntos no muy cercanos, es decir, 1 , λ, κ ∈ Λ, λ ̸= κ , 2n pues si x ∈ Tnλ , y ∈ Tnκ y λ < κ, y ̸∈ Aλ , por definicin de Tnκ . Por ello, de la definicin de Unλ , d(x, y) > 1/2n . Aun cuando Tnλ no tiene por qu ser abierto, Bnλ s lo es. Si los abiertos Bnλ y Bnκ son no vacos, aplicando la desigualdad del tringulo se obtiene la desigualdad µ(Bnλ , Bnκ ) ≥ 1/2n+1 . De aqu podemos deducir que para cualquier x ∈ X, cualquier bola con centro en x y radio 1/2n+2 intersecta a lo ms a un solo conjunto Bnλ . As, Cn′ = {Bnλ }λ∈Λ es una familia localmente finita de abiertos tales que, por definicin, Bnλ ⊂ Aλ . Para aplicar IX.1.16(b), basta, pues, verificar que la coleccin C ′ = ∪ ′ n Cn = {Bnλ } es una cubierta. Sea x ∈ X y sea λ ∈ Λ el elemento mnimo, tal que x ∈ Aλ , elemento que existe por el buen orden de Λ. Tomando n suficientemente grande, x ∈ Unλ ; por ser λ mnima, x ∈ Tnλ y, con ello, en Bnλ , como se quera ver. ⊔ ⊓ µ(Tnλ , Tnκ ) ≥

Este resultado implica, entre otras cosas, que Rn es paracompacto. El concepto de paracompacidad de alguna manera permite reducir ciertas propiedades globales a propiedades locales. Esta filosofa se tiene ante el concepto de funcin continua. Para estudiarlo, consideremos la siguiente definicin.

332

COMPACIDAD

´ n. Sea X un espacio topolgico y sea f : X −→ R IX.5.20 Definicio continua. El soporte de f es el conjunto sop(f ) = {x ∈ X | f (x) ̸= 0} . Una manera de describir el soporte de f es diciendo que su complemento X − sop(f) es el mximo abierto en el cual la funcin f se anula idnticamente. ´ n. Sea {fλ : X −→ R}λ∈Λ una familia de funciones IX.5.21 Definicio continuas. La familia es una particin de la unidad si (a) fλ (x) ≥ 0 para toda x ∈ X, (b) La coleccin de sus soportes {sop(fλ )}λ∈Λ es localmente finita, es decir, para toda x ∈ X existe una vecindad V de x, tal que V ∩ sop(fλ ) ̸= ∅ slo para un nmero finito de λ ∈ Λ; en este caso, ∑ λ∈Λ fλ (x) est bien definida, por tratarse de una suma finita, y es continua, ya que en toda una vecindad de cada punto la suma sigue siendo finita; ∑ (c) λ∈Λ fλ (x) = 1 para toda x ∈ X. As, la familia de soportes {sop(fλ )} forma una cubierta cerrada localmente finita del espacio X. ´ n. Sea {Uλ }λ∈Λ una cubierta abierta del espacio IX.5.22 Definicio topolgico X. Se dice que una particin de la unidad {fλ }λ∈Λ en X est subordinada a la cubierta si para toda λ ∈ Λ, sop(fλ ) ⊂ Uλ . IX.5.23 Teorema. Sea X un espacio de Hausdorff. X es paracompacto si y slo si toda cubierta abierta de X admite una particin de la unidad subordinada a ella. Demostraci´ on: Sea U = {Uλ }λ∈Λ una cubierta abierta arbitraria de X y supongamos que X admite una particin de la unidad {fλ }λ∈Λ subordinada a ella. Sea V = {Vλ }λ∈Λ , donde Vλ = {x ∈ X | fλ (x) > 0}. Es claro que V es un refinamiento localmente finito de U.

k-ESPACIOS

333

Inversamente, sea X paracompacto y sea U = {Uλ }λ∈Λ una cubierta abierta de X. Sea V = {Vλ }λ∈Λ un refinamiento localmente finito preciso de U. Por IX.5.12, X es normal, y por IX.5.15, V es encogible, ′ es decir, existe una cubierta V ′ = {Vλ′ }λ∈Λ , tal que V λ ⊂ Vλ para toda λ ∈ Λ. V ′ es a su vez encogible, por lo que existe otra cubierta ′′ V ′′ = {Vλ′′ }λ∈Λ , tal que V λ ⊂ Vλ′ . Sea gλ : X −→ I, tal que gλ |V ′′ = 1 y λ gλ |X−Vλ′ = 0, que existe por ser X normal. Ya que V ′′ es una cubierta, toda x ∈ X pertenece a alguna Vλ′′ , por lo que gλ (x) ̸= 0. As, ya que la cubierta V ′′ es localmente finita, la funcin G : X −→ R+ , tal que ∑ G(x) = gλ (x) λ∈Λ

est bien definida, es continua y no se anula; adems, sop(gλ ) ⊂ Uλ . Por lo tanto, tambin estn definidas las funciones fλ = gλ /G : x 7→ gλ (x)/G(x) ,

λ ∈ Λ,

que claramente constituyen una particin de la unidad subordinada a la cubierta dada. ⊔ ⊓ Para terminar esta seccin mostraremos una interesante aplicacin de las particiones de la unidad. Para ello, recordemos en primer lugar que, si X ⊂ Rn , una funcin f : X −→ R se dice lisa,si admite una extensin a un abierto U ⊂ Rn , X ⊂ U , con derivadas parciales continuas de todos los rdenes Consideremos la siguiente afirmacin. IX.5.24 Proposici´ on. Sea fλ : X −→ R, λ ∈ Λ, una familia de funciones continuas [lisas], tal que la familia de soportes {sop(fλ )} es lo∑ calmente finita, entonces la funcin suma f = λ∈Λ fλ est bien definida y es continua [lisa]. Demostraci´ on: Por ser {sop(fλ )} localmente finita, se tiene que para ∑ cada x ∈ X la suma λ∈Λ fλ (x) es finita. Ms an, hay una vecindad abierta U de x, tal que Ux ∩ sop(fλ ) ̸= ∅ slo para un nmero finito de ∑ ndices λ. As, la funcin fU = f |U = λ∈Λ (fλ |U ) es una suma finita y, por ende, es continua [lisa]. De este modo, la funcin f es continua [lisa]

334

COMPACIDAD

en los abiertos de una cubierta de X, por lo que, por IV.1.26, resulta ser continua [lisa, pues cada una de sus derivadas parciales en cada abierto es continua]. ⊔ ⊓ IX.5.25 Nota. Sea X un espacio topolgico y sea {Uλ } una cubierta abierta de X. Si gλ : Uλ −→ R es continua [lisa]. Supongamos que podemos encontrar una particin de la unidad {πλ : X −→ R} [lisa, es decir, tal que cada funcin es lisa] subordinada a la cubierta. Sea x ∈ X y sea { πλ (x)gλ (x) si x ∈ Uλ fλ (x) = 0 si x ∈ X − sop(πl ) ; ∑ claramente fλ es continua [lisa] y, con ella, la suma λ∈Λ fλ . A esta suma se le suele denotar como ∑ πλ gλ . λ∈Λ

La llamaremos el ensamble de las funciones gλ con la particin de la unidad. Veremos ahora cmo nos puede servir la existencia de particiones de la unidad lisas para aproximar funciones. Para ello, si X = Rn , es posible probar el teorema IX.5.23 obteniendo una particin de la unidad lisa. Antes de hacerlo, necesitamos la siguiente versin lisa del lema de Urysohn (IX.1.24) para Rn , que ser fundamental. IX.5.26 Lema. Sean A, B ⊂ Rn conjuntos cerrados ajenos. Entonces existe una funcin lisa g : Rn −→ R, tal que 0 ≤ g(x) ≤ 1, g|A = 1 y g|B = 0. Demostraci´ on: Dividiremos la demostracin en dos casos. Caso 1. Supongamos A = Bε (x0 ), B = Rn − Bδ◦ (x0 ), 0 < ε < δ. Sea α : R −→ R, tal que { 2 e−1/t si t > 0 α(t) = 0 si t ≤ 0 . Es inmediato verificar que α es una funcin lisa.

k-ESPACIOS

335

Sea ahora β : R −→ R, tal que β(t) =

α(1 − t) . α(1 − t) + α(t)

La funcin est bien definida, es lisa y  β(t) = 1 0 < β(t) < 1  β(t) = 0

cumple con si x ≤ 0 si 0 < t < 1 si x ≥ 1 .

podemos con ella definir g0 : Rn −→ R, tal que g0 (x) = β(

|x − x0 |2 − ε2 ), δ 2 − ε2

que resulta ser lisa y tal que g0 |Bε (x0 ) = 1, g0 |Rn −Bδ◦ (x0 ) = 0. Caso 2. (General) Consideremos los abiertos V1 = X − A, V2 = X − B, y tomemos una familia numerable de bolas cerradas Bεj (xj ) ⊂ Bδj (xj ), 0 < εj < δj , j = 1, 2, . . . , tales que (a) cada una de las bolas Bδj (xj ) yace en V1 o en V2 ; y (b) las bolas abiertas Bε◦j (xj ) cubren todo Rn . Es posible encontrar esta familia, ya que Rn es 2-numerable y, con ello, obtenemos una familia numerable de bolas que forman una base de la topologa. Como en el caso 1, tenemos funciones lisas gj : Rn −→ R, tales que 0 ≤ gj (x) ≤ 1 y gj |Bεj (xj ) = 1

gj |Rn −Bδ◦

j

(xj )

= 0.

∑ Sea ahora hj : Rn −→ R, dada por hj (x) = α(gj (x) − i k, resulta gj (x) − i
336

COMPACIDAD

Por otro lado, ya que cada x ∈ Rn pertenece a una bola Bεj (xj ), para alguna j, gj (x) = 1 para esa j. Sea j mnima, tal que gj (x) > 0; por lo tanto, gi (x) = 0 si i < j; as, hj (x) = α(gj (x)) > 0. Si definimos Hν : Rn −→ R, ν = 1, 2, tal que ∑ Hν (x) = hj (x) , Bδj (xj )⊂Vν

como vimos arriba, esta suma es finita en una vecindad de x, por lo que Hν est bien definida y es lisa. La suma H1 (x) + H2 (x) es claramente positiva. Si x ∈ A, entonces x ̸∈ V1 , por lo que x ̸∈ Bδj (xj ), ∑ si j es tal que Bδj (xj ) ⊂ V1 . Consecuentemente, gj (x) − i
Ms an, si x ∈ B = Rn − V2 , entonces H2 (x) = 0. Si definimos g : Rn −→ R por g(x) =

H2 (x) , H1 (x) + H2 (x)

se tiene que g es lisa; adems, si x ∈ A, g(x) = 1 y, si x ∈ B, g(x) = 0. Finalmente, para cualquier x ∈ Rn , 0 ≤ x ≤ 1, es decir, g es como se quera. ⊔ ⊓ Ahora s tenemos la versin lisa del teorema IX.5.23, y la demostracin es virtualmente la misma, salvo que en vez del lema de Urysohn IX.1.24, aplicamos su versin lisa IX.5.26 que acabamos de probar. IX.5.27 Teorema. Sea C = {Uλ } una cubierta abierta de Rn , entonces existe una particin de la unidad lisa {πλ : Rn −→ R} subordinada a C. ⊓ ⊔ La prometida aplicacin es la siguiente. IX.5.28 Teorema. Sea X ⊂ Rn no vaco, f : X −→ R continua y ε > 0. Entonces existe una funcin lisa g : X −→ R, tal que para toda x ∈ X, |g(x) − f (x)| < ε.

k-ESPACIOS

337

Demostraci´ on: Sea Ux = {y ∈ Rn | |f (y) − f (x)| < ε}. La coleccin C = {Ux }x∈Rn es una cubierta abierta. Por IX.5.27, existe una particin de la unidad lisa {πx : Rn −→ R} subordinada a C. Sea ∑ g(y) = πx (y)f (x) x∈Rn

el ensamble de las funciones constantes con valor f (x) definidas en cada abierto Ux . Aplicando IX.5.25, g est bien definida y es lisa; adems, ∑ |g(y) − f (y)| = | πx (y)f (x) − f (y)| x∈Rn

= |

∑

πx (y)(f (x) − f (y)|

x∈Rn

≤ |

∑

πx (y)|f (x) − f (y)|

x∈Rn

<

∑

πx (y)ε

x∈Rn

= ε, ya que si πx (y) > 0, y ∈ Ux y, por tanto, |f (x) − f (y)| < ε.

⊔ ⊓

IX.6 Interrelaciones de las propiedades topolgicas En esta ltima seccin, presentaremos un diagrama que jerarquiza los distintos axiomas que puede satisfacer un espacio topolgico. Antes de hacerlo, y para tener una lista ms completa, daremos una definicin ms, en cuyo significado no profundizaremos. ´ n. Un espacio topolgico X es perfectamente normal IX.6.1 Definicio si es de Hausdorff y dados A, B ⊂ X cerrados ajenos, existe una funcin continua u : X −→ [0, 1] , tal que u−1 (0) = A, u−1 (1) = B. Algunas veces, a un espacio perfectamente normal se le llama espacio T6 . IX.6.2 Ejercicio. (a) Probar que un espacio topolgico X es perfectamente normal si y slo si dado un conjunto cerrado A ⊂ X hay una funcin continua v : X −→ [0, 1] tal que v −1 (0) = A.

338

COMPACIDAD

(b) Probar que la propiedad de ser perfectamente normal es hereditaria, es decir, si X es perfectamente normal y Y ⊂ X es un subespacio, entonces Y es perfectamente normal. (c) Probar que un espacio perfectamente normal X es completamente normal, es decir, probar que T6 =⇒ T5 . IX.6.3 Ejercicio. Probar que todo espacio metrizable es perfectamente normal. IX.6.4 Ejercicio. Se dice que un subconjunto de un espacio topolgico es un conjunto Gδ si es una interseccin numerable de abiertos. Probar que un espacio de Hausdorff X es perfectamente normal si y slo si es normal y todos sus conjuntos cerrados son conjuntos Gδ . (Sugerencia: Para la suficiencia, si A es cerrado y A = ∩Gn , donde cada Gn es un abierto, entonces existe una funcin un , tal que un (A) = 0 y un (X − ∑ Gn ) = 1 para cada n ∈ N. Sea uA (x) = (un (x)/2n ). Si los conjuntos A y B son cerrados ajenos, sea u(x) =

uA (x) , uA (x) + uB (x)

entonces u es continua, y u−1 (0) = A, u−1 (1) = B.) IX.6.5 Ejercicio. Probar que todo espacio perfectamente normal es completamente normal. IX.6.6 Ejercicio. Sea X un espacio mtrico con mtrica d. Si A y B son compactos no vacos en X, defnase su distancia como b B) = max(max d(x, B), max d(y, A)) . d(A, x∈A

y∈B

Probar que db es una mtrica, a la que se conoce como mtrica de Hausdorff en el conjunto de los subconjuntos compactos no vacos de X (vase I.3.16). IX.6.7 Ejercicio. Sea X un espacio de Hausdorff localmente compacto. Probar que son equivalentes:

k-ESPACIOS

339

(a) X es 2-numerable. (b) La construccin de Alexandroff X ∗ es metrizable. (c) X es metrizable y numerable al ∞. IX.6.8 Ejercicio. Probar que una variedad topolgica es metrizable y numerable al ∞. Podemos resumir las interrelaciones de las propiedades posibles de los espacios topolgicos en el diagrama desplegado en la figura IX.1. IX.6.9 Ejercicio. Revisar todas las implicaciones del diagrama de la figura IX.1 y probar aqullas que no fueron demostradas en el texto. IX.6.10 Ejemplos. Consideraremos la siguiente lista de espacios topolgicos (1) X un espacio indiscreto con ms de un punto. (2) La recta de Sorgenfrey. (3) El espacio de Sierpinski. (4) Q, con la topologa inducida por la de R. (5) R − Q, con la topologa inducida por la de R. (6) [0, Ω), donde Ω es el primer ordinal no numerable, con la topologa del orden. (7) Rn . (8) R∞ . (9) Rω . (10) X como en IX.5.17. (11) Y = X × X, si X es como en (7).

340

COMPACIDAD

[]diagrama Figura IX.1: Interrelaciones de las propiedades topolgicas (12) El cubo de Hilbert I ω . (13) X = [−1, 1], con la topologa A = {A | 0 ̸∈ A o (−1, 1) ⊂ A}. (14) X no numerable, con la topologa A = {A | X − A es finito o p ∈ X − A}, donde p ∈ X es un punto particular. IX.6.11 Ejercicio. En el diagrama de la figura IX.1 en la siguiente pgina hay implicaciones en una sola direccin. De los ejemplos anteriores elegir aqullos que sean contraejemplos para la otra direccin. IX.6.12 Nota. El libro de Steen y Seebach [39] es una fuente natural de contraejemplos adicionales a los de la lista, al que remitimos al lector para buscar ejemplos ms elaborados para, en algunas casos, verificar que las implicaciones del diagrama son, en efecto, solamente vlidas en una direccin.

Segunda Parte Nociones de topolog´ıa algebraica

341

X.

´ CONCEPTOS BASICOS

En este cap´ıtulo introductorio presentaremos algunos temas básicos que necesitaremos en los cap´ıtulos subsecuentes de esta segunda parte. Son temas comunes en la topolog´ıa de conjuntos, pero para que el texto esté completo los incluimos aqu´ı. De este modo, estudiaremos algunos ejemplos especiales de espacios topológicos muy básicos, recordaremos algunas construcciones especiales en el marco general de los espacios de adjunción y estudiaremos aspectos elementales de las acciones de grupo. X.1

Algunos ejemplos

En esta sección daremos las definiciones básicas necesarias para la teor´ıa de las variedades. Antes de comenzar con las definiciones formales, retornamos al problema de homeomorfismo descrito en la introducción. Plantearemos la pregunta de si algunos de los espacios topológicos bien conocidos son homeomorfos o no. Recordemos la llamada proyecci´ on estereogr´ afica (X.1.1)

p : Sn − N −→ Rn ,

donde N = (0, 0, . . . , 0, 1) ∈ Sn ⊂ Rn+1 , dada por ( ) x1 xn p(x) = ,..., , 1 − xn+1 1 − xn+1 donde x = (x1 , x2 , . . . , xn+1 ) ∈ Sn − N . La aplicación p es un homeomorfismo con inverso dado por ) ( 2yn |y|2 − 1 2y1 , . . . , , , p−1 (y) = |y|2 + 1 |y|2 + 1 |y|2 + 1 donde y = (y1 , . . . , yn ) ∈ Rn . 343

344


La proyección estereográfica muestra que Rn y Sn son “casi” iguales, pues salvo por un punto, son homeomorfos. Sin embargo, Rn y Sn no son homeomorfos. Por ejemplo, en el caso n = 0 esto es claro, pues R0 es sólo un punto, mientras que S0 consta de dos puntos. Para n > 0, Rn no es compacto pues no es acotado, mientras Sn es compacto, pues puede verse como un conjunto cerrado y acotado en Rn+1 (por cierto, Sn es la compactación de un punto de Rn , véase VIII.3). X.1.2 Ejercicio. Sea ahora q : Sn − S −→ Rn la proyección estereográfica, pero ahora desde el polo sur S = (0, 0, . . . , 0, −1) ∈ Sn ⊂ Rn+1 . Nótese que q está dada por ( ) x1 xn (X.1.3) q(x) = ,..., . 1 + xn+1 1 + xn+1 Probar que la composición q ◦ p−1 : Rn − 0 −→ Rn − 0 es la inversi´ on con respecto a la esfera unitaria Sn−1 ⊂ Rn − 0, dada por la aplicación ι : Rn − 0 −→ Rn − 0, con la propiedad de que los puntos y e ι(y) junto con el origen O son colineales y en el mismo lado de O. Más a´ un, el producto de sus distancias a O es 1, es decir |y| · |ι(y)| = 1 (véase la figura X.1). (Sugerencia: Es suficiente demostrar que para x ∈ Sn el producto escalar ⟨p(x), q(x)⟩ = 1.)

ι(y)

0

y

Figura X.1: Inversión con respecto al c´ırculo unitario Cuestiones como decidir si hay homeomorfismos Bn ≈ Sn , Sm × Sn ≈ Sm+n , Rm ≈ Rn , Bm ≈ Bn , Sm ≈ Sn si m ̸= n en los u´ltimos

ALGUNOS EJEMPLOS

345

tres casos, son mucho más complicadas y su solución puede obtenerse utilizando métodos más sutiles. Pueden responderse usando técnicas de la topolog´ıa algebraica, que proporciona una respuesta negativa a cada una de las preguntas planteadas. A continuación formularemos y demostraremos un interesante resultado sobre subespacios de Rn . Recordemos que un subconjunto X de Rn es convexo si para cualesquiera dos puntos x0 , x1 ∈ X el segmento de recta [x0 , x1 ] que los une, yace en X, es decir, para cualquier t ∈ I, el punto (1 − t)x0 + tx1 yace en X. X.1.4 Teorema. Sea X un subconjunto convexo compacto de Rn cuyo interior X ◦ es no vac´ıo. Entonces X es homeomorfo a la n-bola Bn a través de un homeomorfismo, que aplica la frontera ∂X homeomorfamente en Sn−1 . Demostraci´ on: F´ıjese un punto interior x0 ∈ X ◦ . Dado cualquier punto x ∈ ∂X, éste tiene la propiedad de ser el u ńico punto frontera que yace en la semirrecta que parte de x0 y pasa por x. Es decir, {(1 − t)x0 + tx | t > 0} ∩ ∂X = {x} . De otro modo, X no ser´ıa convexo. Tómese la aplicación ψ : ∂X −→ Sn−1

dada por

ψ(x) =

x − x0 . |x − x0 |

Ella es una aplicación continua y biyectiva. Dado que ambos espacios son compactos de Hausdorff, ψ es un homeomorfismo. Si extendemos ψ radialmente, obtenemos un homeomorfismo φ : X −→ Bn ,

dado por

φ((1 − t)x0 + tx) = tψ(x) , t ∈ I , ⊔ ⊓

como se deseaba.

X.1.5 Corolario. Sea X ⊂ Rn un conjunto convexo, acotado, abierto, ◦

n

no vac´ıo. Entonces X es una n-célula, es decir, X ≈ B . Demostraci´ on: La hipótesis implica que la cerradura X = X ∪ ∂X es un conjunto compacto, convexo con interior no vac´ıo. Por lo tanto, por


346

X.1.4, hay un homeomorfismo φ : X −→ Bn tal que φ(∂X) = Sn−1 . As´ı, φ, por restricción, induce un homeomorfismo X = X − ∂X −→ ◦

n

Bn − Sn−1 = B .

⊔ ⊓

X.1.6 Ejercicio. Probar que el corolario anterior es igualmente válido si X ⊂ Rn es un conjunto abierto convexo. X.1.7 Ejemplos. (a) El cubo I n es un subconjunto convexo, compacto de Rn , cuyo interior es no vac´ıo. Por tanto es homeomorfo a Bn . Más a´ un, el cubo abierto (0, 1)n es una n-célula. (b) El producto Bm × Bn es un subconjunto convexo, compacto de Rm × Rn = Rm+n , con interior no vac´ıo. Por ello, es homeomorfo ◦

m

◦

n

a Bm+n . As´ı, el producto B × B es una (m + n)-célula (véase XI.1.9). X.1.8 Ejercicio. Mostrar homeomorfismos expl´ıcitos para X.1.7 (a) y (b). Por lo pronto enunciaremos un profundo teorema, el de invariancia del dominio, cuya demostración pospondremos al cap´ıtulo XIII. (véase el teorema XIII.5.5). El resultado tiene fuertes implicaciones en preguntas como las anteriores. Como consecuencia, deduciremos de él dos muy interesantes resultados, los teoremas de invariancia de la dimensión y de la frontera. X.1.9 Teorema. (Invariancia del dominio) Sean X, Y ⊂ Rn , tales que X es homeomorfo a Y . Entonces, si X es abierto en Rn , Y también lo es. Obsérvese que, si supusiésemos que existe un homeomorfismo φ :

Rn −→ Rn que aplica X sobre Y , el resultado ser´ıa trivial. La afirmación del teorema de invariancia del dominio requiere solamente la existencia de un homeomorfismo ψ : X −→ Y . De hecho, la afirmación del teorema es equivalente a decir que la propiedad de ser abierto en Rn es un invariante topológico de los subconjuntos de Rn . A continuación extraeremos algunas consecuencias del teorema X.1.9.

ALGUNOS EJEMPLOS

347

X.1.10 Teorema. (Invariancia de la dimensión) Si m ̸= n, entonces Rm ̸≈ Rn , Sm ̸≈ Sn y Bm ̸≈ Bn . Demostraci´ on: Sea m < n, entonces Rm ⊂ Rn no es abierto en Rn ; sin embargo, Rn ⊂ Rn s´ı es abierto en Rn , por lo que, por X.1.9, Rm y Rn no pueden ser homeomorfos. ≈ Si suponemos que hay un homeomorfismo φ : Sm −→ Sn , entonces, si quitamos de ambas esferas un punto, digamos p ∈ Sm , q = φ(p) ∈ Sn , ≈ por restricción obtenemos un homeomorfismo φ′ : Sm − p −→ Sn − q. A través de las proyecciones estereográficas dadas en (X.1.1) y (X.1.3), φ′ determina un homeomorfismo ψ : Rm ≈ Rn , por lo que m = n en vista de lo ya probado. Finalmente, sea m < n y φ : Bm −→ Bn un homeomorfismo. Por lo ◦

n

◦

n

tanto, B ⊂ Rn es abierto y homeomorfo a φ−1 (B ) ⊂ Bm ⊂ Rm ⊂ Rn que no es abierto en Rn , lo que contradice X.1.9. ⊔ ⊓ Otra interesante aplicación del teorema de invariancia del dominio es el siguiente resultado. X.1.11 Teorema. (Invariancia de la frontera) Sea φ : Bn −→ Bn un homeomorfismo. Entonces φ(Sn−1 ) = Sn−1 . ◦

n

Demostraci´ on: Sea x ∈ Sn−1 y supóngase y = φ(x) ∈ B . Sea ε > 0, tal que la bola abierta Bε◦ (y) ⊂ Bn . La imagen inversa φ−1 (Bε◦ ) ⊂ Rn es homeomorfa a Bε◦ , pero, ya que φ−1 (Bε◦ ) ⊂ Bn y φ−1 (Bε◦ )∩ Sn−1 ̸= ∅, ésta no es un abierto en Rn , lo que contradice X.1.9. ⊔ ⊓ ´ n. A un espacio topológico B homeomorfo a Bn se X.1.12 Definicio le llama n-bola; un espacio topológico S homeomorfo a Sn−1 se designa como (n − 1)-esfera. Sea φ : B −→ Bn un homeomorfismo; a la (n − 1)esfera B • = φ−1 (Sn−1 ) se le nombra frontera de B. (Como en casos más generales en lo que sigue, se puede denotar B • como ∂B.) X.1.13 Nota. Hacemos un abuso del lenguaje al llamar “frontera” a este subconjunto de una bola; sin embargo, esto no habrá de prestarse a confusión, dado que este subconjunto corresponde, en efecto, a la frontera de una bola euclidiana. A la frontera de un subconjunto A de un


348

espacio topológico X es importante llamarla frontera de A en X, para distinguirla de la “frontera intr´ınseca” de una bola. Algunos autores usan la expresión “borde” en vez de “frontera” para este subconjunto. X.1.14 Proposici´ on. El concepto de frontera de X.1.12 est´ a bien definido. Demostraci´ on: Si ψ : B −→ Bn es otro homeomorfismo, entonces, por X.1.11, ψ −1 φ(Sn−1 ) = Sn−1 , por lo que φ(Sn−1 ) = ψ(Sn−1 ) y la definición de B • de X.1.12 es independiente de la elección del homeomorfismo φ. ⊔ ⊓

X.2

Construcciones especiales

En esta sección recordaremos algunas construcciones especiales que tienen un importante papel en lo que sigue. Considérense las aplicaciones continuas f

Xo

A

g

/Y .

El doble espacio de adjunci´ on se define como el espacio de identificación de X ⊔ Y , denotado por Yg ∪f X, dado al identificar f (a) ∈ X con g(a) ∈ Y para toda a ∈ A. Es decir, Yg ∪f X = X ⊔ Y /f (a) ∼ g(a) , a ∈ A . Esquemáticamente se ve como en la figura V.2. ´ n. El diagrama X.2.1 Observacio f

A

/X

g

Y

j

i

/ Yg ∪f X

es uno de los llamados cuadrados cocartesianos o diagramas de pushout. El doble espacio de adjunción Yg ∪f X también se llama pushout de (f, g). Se caracteriza por la propiedad universal del pushout (véase el ejercicio X.2.2):


349

(PO) Si φ : X −→ Z y ψ : Y −→ Z son aplicaciones continuas tales que φ ◦ f = ψ ◦ g, entonces hay una u ńica aplicación ξ : Yg ∪f X −→ Z tal que ξ ◦ i = φ y ξ ◦ j = ψ. f

g

/Y y X.2.2 Ejercicio. Considérense las aplicaciones X o A su doble espacio de adjunción Yg ∪f X. Probar que Yg ∪f X es en efecto un pushout, es decir, probar que está caracterizado por la propiedad (PO) dada arriba.

La construcción del espacio de adjunción es muy importante, ya que con ella se pueden obtener muchas construcciones asociadas, que tienen un papel relevante en varias ramas de la topolog´ıa. Sea f : X −→ Y continua; recordamos el cilindro de aplicaci´ on de f , denotado por Mf , definido en V.4.5 y está asociado al diagrama X ×I o

i0

? _X

f

/Y ,

donde i0 (x) = (x, 0). Si Y = X y f = idX , entonces Mf = X × I, y a este espacio se le llama simplemente el cilindro over X y se denota por ZX. El espacio cociente del cilindro sobre X, en el cual se colapsa la tapa superior en un punto, ZX/X × {1} = X × I/X × {1} se llama cono sobre X y se denota por CX. Hay una inclusión natural X ,→ CX dada por x 7→ q(x, 0), donde q : ZX −→ CX es la aplicación cociente. También recordamos el cono de aplicaci´ on de f , denotado por Y ∪f CX, definido en V.4.6. X.2.3 Ejercicio. Probar que C Sn−1 ≈ Bn . En lo que sigue, recordaremos un nuevo espacio obtenido de un espacio dado, que tiene una especial relevancia en la topolog´ıa algebraica, pero particularmente en la teor´ıa de homotop´ıa. Se trata de la suspensi´ on of X, denotada por ΣX, que se define como el cono de aplicación de f : X −→ ∗, es decir, ∗∪f CX. Véase V.4.8. La suspensión de un espacio X coincide con el cociente del cilindro ZX = X ×I obtenido al colapsar la tapa superior del cilindro X × {1} en un punto, y la tapa inferior del cilindro X × {0} en otro punto.

350


También usaremos la construcción consistente en adjuntar una célula de dimensión n a un espacio X. Esta se obtiene del diagrama

Bn o

i

? _ Sn−1

φ

//X .

Véase V.4.17. El espacio de adjunción resultante se denota por X ∪φ Bn ◦

n

o por X ∪φ en . La imagen de Bn , resp. B , en Y = X ∪φ Bn se denomina célula cerrada, resp. célula abierta de Y , y a φ se le llama aplicaci´ on caracter´ıstica de la célula de Y . Se puede probar que RPn se obtiene de RPn−1 adjuntando una célula de dimensión n con la aplicación canónica q : Sn−1 −→ RPn−1 como aplicación caracter´ıstica (véase V.4.18). De manera similar se tiene que la esfera Sn se obtiene de Bn adjuntando una célula de dimensión n con la inclusión como aplicación caracter´ıstica. Equivalentemente, Sn se obtiene de Sn−1 adjuntando dos células de dimensión n, con idSn−1 como aplicación caracter´ıstica (véase V.4.19). Un concepto fundamental en la topolog´ıa algebraica es el de trayectoria, que estudiaremos a detalle en el cap´ıtulo XIII. En lo que sigue denotaremos, como es usual, por I el intervalo unitario real [0, 1] = {t ∈ R | 0 ≤ t ≤ 1}. Dado un espacio topológico X y dos puntos x0 , x1 ∈ X, una trayectoria en X de x0 a x1 es una aplicación ω : I −→ X tal que ω(0) = x0 y ω(1) = x1 . Denotamos este hecho por ω : x0 ≃ x1 . Es fácil demostrar que la relación ≃ es relación de equivalencia. As´ı, un espacio X se descompone en clases de equivalencia, que denominamos componentes por trayectorias de X. Denotamos al conjunto de componentes por trayectorias de X por π0 (X). Continuemos recordando que un espacio topológico X es conexo si es imposible hallar una desconexi´ on (A, B) of X, es decir, dos conjuntos abiertos, ajenos, no vac´ıos A, B ⊂ X tales que A ∪ B = X. De lo contrario, X es inconexo. En s´ımbolos, una desconexión satisface X =A∪B,

A ∩ B = ∅,

A ̸= ∅ ̸= B .

Es sencillo demostrar que X es inconexo si y s´ olo si hay una funci´ on continua suprayectiva δ : X −→ {0, 1}. El otro concepto es el de un espacio topológico X ̸= ∅ conectable por trayectorias, que es un espacio tal que dados cualesquiera dos puntos


351

x, y ∈ X, hay una trayectoria que los une. En otras palabras, si sólo tiene una componente por trayectorias. Probamos en VI.3.6 que todo espacio conectable por trayectorias es conexo. X.2.4 Teorema. Un subsepacio X ⊆ R es conectable por trayectorias si y s´ olo si X es un intervalo (abierto, semiabierto o cerrado), es una semirrecta (abierta o cerrada) o es todo R. Demostraci´ on: Sea X un intervalo, una semirrecta o todo R. Entonces es de la forma X = {t ∈ R | a < t < b} ,

{t ∈ R | a < t} o

{t ∈ R | t < b}

en el caso de que X sea abierto, o X = {t ∈ R | a ≤ t ≤ b} ,

{t ∈ R | a ≤ t} o

{t ∈ R | t ≤ b}

en caso de ser cerrado o X = {t ∈ R | a ≤ t < b} o {t ∈ R | a < t ≤ b} en otro caso. En cualquier caso, dados dos puntos t0 , t1 ∈ X, tales que sin perder generalidad supondremos t0 < t1 , podemos definir una trayectoria σ : I −→ X tal que σ(s) = (1 − s)t0 + st1 = t0 + s(t1 − t0 ) = t1 − (1 − s)(t1 − t0 ) . Por la segunda expresión, vemos claramente que t0 ≤ σ(s) y por la tercera que σ(s) ≤ t1 . Por lo tanto, en cualquiera de los casos, σ(t) ∈ X, por lo que X es conectable por trayectorias. Inversamente, sea X un subespacio no vac´ıo de R que sea conectable por trayectorias. Tomemos t0 , t1 X y t tal que t0 < t < t1 . Si t ∈ / X, entonces A = X ∩ (−∞, t) y B = X ∩ (t, +∞) forman una desconexión de X, lo cual es una contradicción, pues al no ser conexo tampoco ser´ıa conectable por trayectorias. As´ı, junto con t0 y t1 , X contiene a todos ´ los elementos t que yacen entre ellos. Esta es una caracterización de un intervalo. ⊔ ⊓ Un importante teorema de conexidad es el siguiente (véanse VI.1.16 y VI.3.11).

352


X.2.5 Teorema. (a) Sea {Xλ | λ ∈ Λ} una familia de subespacios conexos de X, tales ∩ ∪ que la intersecci´ on λ∈Λ Xλ ̸= ∅. Entonces Y = λ∈Λ Xλ es conexo. (b) Si C ⊂ X es un subespacio conexo y D es tal que C ⊆ D ⊂ C, entonces D es un subespacio conexo también. En particular, C es conexo. Si tomamos un punto x ∈ X y consideramos el conjunto Cx = ∪ {C ⊂ X | x ∈ C y C es conexo}, entonces Cx es el conexo más grande que contiene a x. Se denomina componente conexa de x. Por el teorema X.2.5 (b), Cx es cerrado. Se dice que un espacio X es localmente conexo (localmente conectable por trayectorias, si para cada punto x ∈ X y y para cada vecindad U de x en X, hay una vecindad conexa (conectable por trayectorias) V de x en X tal que V ⊂ U . X.2.6 Teorema. (a) Sea X localmente conexo y sea U ⊂ X abierto. Entonces las componentes conexas de U son abiertas. (b) Sea X localmente conectable por trayectorias y sea U ⊂ X abierto y conexo. Entonces U es conectable por trayectorias. M´ as a´ un, las componentes por trayectorias de un abierto V ⊂ X coinciden con las componentes conexas de V y son abiertas. (c) Sea X conexo y localmente conectable por trayectorias. Entonces X es conectable por trayectorias. Demostraci´ on: (a) Sea C ⊂ U la componente conexa de x en U y tómese y ∈ C. Entonces C = Cy . Dado que U es una vecindad de y en X, hay una vecindad conexa V de y en X tal que V ⊂ U . As´ı, V ⊂ C debido a que C = Cy es el conjunto conexo máximo en X en el cual yace y. Por tanto, C es abierto en X. (b) Tómese x ∈ U y sea cx la componente por trayectorias de U en la cual yace x. Si y ∈ cx , entonces hay una vecindad conectable por


353

trayectorias V de y tal que V ⊂ U . As´ı tenemos V ⊂ cx y por tanto cx es abierto. Ya que el complemento U − cx es unión de componentes por trayectorias, cada una de las cuales es abierta, entonces él es abierto. Pero U es conexo. As´ı U − cx = ∅, es decir, U = cx es conectable por trayectorias. Combinando (a) con lo u ´ltimo, obtenemos la segunda parte de (b). (c) Al ser X conectable por trayectorias, sus componentes conexas y sus componentes por trayectorias coinciden. Como sólo tiene una sola componente conexa, tiene entonces una sola componente por trayectorias, con lo que queda probado (c). ⊔ ⊓ Dada A ⊂ X, denotamos por ∂A la frontera (topológica) de A en X, a saber, ∂A = {x ∈ X | U ∩ A ̸= ∅ ̸= U ∩ (X − A) para toda vecindad U de x} . Si A◦ denota el interior, dado por A◦ = X − X − A, donde C denota la cerradura de C, entonces ∂A = A − A◦ . Tenemos lo siguiente. X.2.7 Teorema. (a) Si A es un subconjunto abierto de X y es una componente conexa del abierto B en X, entonces ∂A ⊂ ∂B. (b) Si A es un subconjunto abierto conexo de X, entonces A es una componente conexa de X − ∂A. Demostraci´ on: (a) Primero nótese que A es cerrado en B, por ende A = A ∩ B. Dado que A y B son abiertos en X tenemos ∂A = A − A = A − (B ∩ A) = A ∩ (X − B) ⊂ B ∩ (X − B) = ∂B . (b) Sea B la componente conexa de X − ∂A que contiene a A. Si A ̸= B, entonces tanto B ∩ A ̸= ∅ como B ∩ (X − A) ̸= ∅. As´ı la pareja (B ∩ A, B ∩ (X − A)) ser´ıa una desconexión de B, lo cual ser´ıa una contradicción. ⊔ ⊓ Otro resultado de utilidad es el siguiente.

354


X.2.8 Teorema. Sea X un espacio conexo y sea A ⊂ X un subespacio conexo. M´ as a´ un, sea C una componente conexa de X − A. Entonces se tiene lo siguiente: (a) Si U ⊂ X − C es abierto y cerrado en X − C, entonces U ∪ C es conexo. (b) X − C es conexo. Demostraci´ on: (a) Si (P, Q) es una desconexión de U ∪ C, entonces C está contenido, digamos, en P . As´ı, Q ⊂ U . Entonces Q es abierto y cerrado en U . Ya que U es abierto y cerrado en X − C, Q es abierto y cerrado en X − C. Por tanto, Q es abierto y cerrado en (X − C) ∪ (C ∪ U ) = X, pero esto contradice la conexidad de X. (b) Si (P ′ , Q′ ) es una desconexión de X − C, entonces probaremos que (A∩P ′ , A∩Q′ ) es una desconexión de A. Si suponemos que A∩P ′ = ∅, entonces por (a), C ∪ P ′ es conexo y está contenido en X − A. Ya que C es subconjunto propio de C ∪ P ′ , esto contradice el hecho de que C es una componente conexa de X − A. Por lo tanto, A ∩ P ′ ̸= ∅ y análogamente A ∩ Q′ ̸= ∅. ⊔ ⊓ Si los espacios involucrados son de Hausdorff, tenemos interesantes relaciones entre la conexidad y la compacidad. X.2.9 Teorema. Sea X un espacio compacto de Hausdorff. Si C es una componente conexa de X, entonces las vecindades abiertas y cerradas de C forman una base de vecindades de C en X. Demostraci´ on: Consideraremos el caso de un espacio métrico compacto X con métrica d. Una t-cadena, t > 0, de x a x′ en X es una familia {x = x0 , . . . , xk = x′ } tal que d(xj , xj+1 ) < t para 1 ≤ j < k. Definimos una relación en X por x ∼t x′ si y sólo si hay una t-cadena de x a x′ . Esta relación es claramente de equivalencia. M´s a´ un, la clase de equivalencia Kx (t) de todos los puntos x′ tales que x ∼t x′ es abierta en X. Por otro lado, ya que X − Kx (t) es la unión de las otras clases de equivalencia abiertas, es también abierto y por tanto Kx (t) es cerrado. Def´ınase el conjunto ∩ Kx = Kx (t) . t>0

ACCIONES DE GRUPO

355

Considérese ahora la componente conexa de x, Cx , y def´ınase el conjunto COx como la intersección de todos los conjuntos abiertos y cerrados que contienen a x. Entonces se tiene Cx ⊆ COx ⊆ Kx , y obviamente, si Kx es conexo, entonces todas las inclusiones son igualdades. Dado que Kx es intersección de conjuntos cerrados, es cerrado, y si es inconexo, entonces se puede descomponer en una unión ajena Kx = A ∪ B tal que A y B son cerrados y no vac´ıos. Entonces hay una ∪ ◦ (x) y s > 0 tal que las vecindades abiertas de A y B, U2s (A) = x∈A D2s ∪ ◦ (x) son ajenas, donde D ◦ (x) denota la bola abierta U2s (B) = x∈B D2s 2s con centro x y radio 2s. Def´ınase H = X − Us (A) ∪ Us (B) y supóngase que x ∈ A y tómese x′ ∈ B. Para cada t tal que 0 < t < s, x ∼t x′ , por lo que hay una t-cadena {x0 , . . . , xk } de x a x′ . Seg´ un la elección de s podemos siempre suponer que uno de los eslabones de la correspondiente t-cadena yace en H. En otras palabras, si t < s, entonces Kx (t) ∩ H ̸= ∅. Por otro lado, si t < t, entonces Kx (t) ⊆ Kx (t′ ). As´ı, por la compacidad de los conjuntos Kx (t) ∩ H, 0 < t < s, su intersección es no vac´ıa, es decir, Kx ∩ H ̸= ∅, en contradicción con la definición de H. Por lo tanto, Kx es conexo. Sea ahora V una vecindad abierta de C. Ya que C es una componente conexa de X, entonces C = Cx = Kx para toda x ∈ C. Si el conjunto Kx (t) ∩ (X − V ) es no vac´ıo para toda t, entonces por la compacidad de Kx (t) ∩ (X − V ), su intersección Kx ∩ (X − V ) ̸= ∅, lo cual es nuevamente una contradicción. Si X no es métrico, la prueba es similar, pero las t-vecindades deben reemplazarse por algo más general, definiendo una estructura uniforme adecuada. Esto puede encontrarse en [9, Ch. II.§4]. ⊔ ⊓

X.3

Acciones de grupo

En la sección V.5 estudiamos las acciones de grupos finitos en espacios topológicos. Este concepto se puede generalizar a acciones de grupos topológicos.


356

´ n. Un espacio topológico G dotado de dos aplicaX.3.1 Definicio ciones continuas G × G −→ G ,

(g, h) 7−→ gh

y

G −→ G ,

g 7−→ g −1 ,

que dan a G una estructura de grupo, se llama grupo topol´ ogico. En otras palabras, un grupo topológico es un conjunto junto con una estructura de espacio topológico y una estructura de grupo, ambas compatibles una con la otra. X.3.2 Ejemplos. (a) Si G es un grupo arbitrario, provisto de la topolog´ıa discreta, entonces es un grupo topológico denominado simplemente grupo discreto. (b) Si G = Rn es considerado como espacio topológico de la manera usual, y como grupo con las aplicaciones (x, y) 7→ x+y y x 7→ −x, entonces es un grupo topológico. En particular, R = R1 y C = R2 son grupos topológicos en este sentido. (c) Si G = C − {0} es considerado como subespacio topológico de C = R2 y tiene la estructura de grupo dada por (w, z) 7→ wz y z 7→ z −1 (multiplicación compleja e inverso complejo), entonces es un grupo topológico. (d) Si S1 ⊂ C − {0} es considerado como subespacio topológico y también como subgrupo, entonces es grupo topológico. (e) Sea G = GLn (R) (resp. G = GLn (C)) el conjunto de matrices n × n invertibles con elementos reales (resp. complejos). G 2 puede considerarse como subespacio topológico de Rn (resp. 2 Cn ) poniendo cada renglón de la matriz uno frente al anterior en un solo renglón. También puede considerarse como grupo con la multiplicación usual de matrices. Dado que estas operaciones de grupo son claramente continuas, G es un grupo topológico. Véase XI.4 en el siguiente cap´ıtulo .

ACCIONES DE GRUPO

357

X.3.3 Ejercicio. Probar que G es un grupo topológico si y sólo si la aplicación G × G −→ G dada por (g, h) 7→ gh−1 es continua. De modo semejante a la definición V.5.1 tenemos la siguiente. ´ n. Sea G un grupo topológico. Se dice que G act´ X.3.4 Definicio ua en un espacio topológico X si hay una aplicación continua G × X −→ X ,

(g, x) 7−→ gx ,

llamada la acci´ on, de modo que las siguientes identidades se cumplen: 1x = x g(hx) = (gh)x , donde 1 en la primera identidad denota el elemento neutro del grupo G, mientras que en la segunda, la acción del grupo se aplica dos veces del lado izquierdo, mientras que sólo se aplica una sola vez tras haber multiplicado previamente los elementos del grupo en el lado derecho. Si X tiene una acción de un grupo topológico G, decimos que X es un G-espacio. X.3.5 Ejercicio. Probar que dado g ∈ G, la aplicación tg : X −→ X dada por tg (x) = gx es un homeomorfismo. A esta aplicación se le llama translaci´ on en X por el elemento g. Como lo muestra el ejercicio anterior, la acción de un grupo corresponde a un conjunto de homeomorfismos del espacio en s´ı mismo, con la estructura de grupo dada por la composición. Esto sugiere la simetr´ıa del espacio. X.3.6 Ejemplos. (a) Sea G = Z2 el grupo discreto con dos elementos {1, −1} y tómese X = Sn . Se tiene entonces una acción de grupo

Z2 × Sn −→ Sn dada por (−1)x = −x. A esta acción se le llama acci´ on ant´ıpoda sobre la n-esfera.


358

(b) Sea G = S1 el grupo topológico de los n´ umeros complejos unitarios, y tómese X = S2n+1 ⊂ Cn+1 = R2n+2 . Se tiene entonces una acción de grupo

S1 × S2n+1 −→ S2n+1 ,

(ζ, z) 7−→ ζz ,

dada por la multiplicación compleja componente a componente. (c) Sea G = S1 de nuevo el grupo topológico de los n´ umeros comple1 1 jos unitarios, y tómese el 2-toro X = S × S . Se tiene entonces una acción de grupo

S1 × (S1 × S1 ) −→ S1 × S1 ,

(ζ, (w, z)) 7−→ (ζw, ζz) ,

dada por multiplicación compleja componente a componente. (d) Sea G = GLn (R) el grupo topológico de las matrices n × n reales, y tómese X = Rn . Se tiene entonces una acción de grupo GLn (R) × Rn −→ Rn ,

(M, A) 7−→ M A ,

donde M es una matriz y A es un n-vector (escrito verticalmente). Dada una acción de un grupo topológico G en un espacio X, definimos una relación de equivalencia en X declarando x ∼ y si y sólo si hay una g ∈ G tal que y = gx. Las clases de equivalencia son las llamadas ´ orbitas y para cada x ∈ X, su órbita (es decir, su clase de equivalencia) está dada por el conjunto Gx = {gx | g ∈ G}. ´ n. Al espacio cociente de un G-espacio X bajo la reX.3.7 Definicio lación dada arriba se le llama cociente de X bajo la acci´ on de G, o más simplemente, el espacio de ´ orbitas del G-espacio X. Este espacio se denota usualmente como X/G. X.3.8 Ejemplos. (a) Considérese la acción ant´ıpoda en Sn dada en V.5.3 o en X.3.6 (a). Entonces las órbitas en Sn son las parejas de puntos {x, −x} y el cociente de Sn bajo la acción ant´ıpoda Sn /Z2 es el espacio proyectivo real RPn .

ACCIONES DE GRUPO

359

(b) Considérese la acción de S1 en S2n+1 dada en X.3.6 (b). Entonces las órbitas en S2n+1 son c´ırculos y el cociente de S2n+1 bajo esta acción S2n+1 /S1 es el espacio proyectivo complejo CPn . (c) El grupo Z (con + como la multiplicación del grupo) act´ ua en R de tal modo que si n ∈ Z y x ∈ R, α(n, x) = x + n, donde α : Z × R −→ R denota la acción. Puede probarse que el espacio de órbitas R/Z es homeomorfo a S1 . Análogamente, Z × Z act´ ua en R2 = R × R por α((n1 , n2 ), (x1 , x2 )) = (x1 + n1 , x2 + n2 ). En este caso, el espacio de órbitas R × R/Z × Z es el toro S1 × S1 . X.3.9 Ejercicio. Probar que R/Z ≈ S1 (Sugerencia: La aplicación R −→ S1 dada por t 7→ e2πit determina el homeomorfismo.)

Figura X.2: La identificación R R/Z

X.3.10 Ejercicio. Usar el ejercicio X.3.9 para concluir que el espacio de órbitas R × R/Z × Z es el toro S1 × S1 . (Sugerencia: Recuérdese que si se tiene una identificación q : X −→ X ′ y un espacio localmente compacto Y , entonces q × idY : X × Y −→ X ′ × Y es también una identificación.)

360


X.3.11 Ejercicio. Probar que hay una acción de Z on R2 dada por (n, (x1 , x2 )) 7→ (n + x1 , (−1)n x2 ) . Probar más a´ un que el espacio de órbitas de esta acción, R2 /Z, es homeomorfo a la banda de Moebius. ´ n. Una acción de un grupo topológico G en un espaX.3.12 Definicio cio X se denomina transitiva si dados cualesquiera dos puntos x, y ∈ X, hay un elemento g ∈ G tal que gx = y. X.3.13 Ejemplo. Sea G un grupo topológico localmente compacto y sea H ⊆ G un subgrupo cerrado. Si el conjunto X = G/H de clases laterales izquierdas de H en G tiene la topolog´ıa del cociente, entonces hay una acción G × X −→ X dada por g[g ′ ] = [gg ′ ], donde [g] denota la clase lateral gH ⊂ G. Claramente ésta es una acción transitiva. El espacio X = G/H se llama espacio homogéneo. X.3.14 Proposici´ on. Sea G un grupo topol´ ogico, que como espacio topol´ ogico es compacto de Hausdorff. Si H ⊂ G es un subgrupo cerrado, entonces el espacio homogéneo X = G/H es también un espacio de Hausdorff. Demostraci´ on: Recuérdese que X es un espacio de Hausdorff si y sólo si la diagonal ∆X ⊂ X × X es un subespacio cerrado. Ya que G es localmente compacto y H ⊂ G es cerrado, fácilmente se verifica que X = G/H es localmente compacto. As´ı, si q : G −→ G/H = X es la aplicación cociente, entonces q × q : G × G −→ G/H × G/H = X × X es también una aplicación cociente. La imagen inversa (q × q)−1 ∆X = ∪ g∈G gH × gH. Hay una aplicación continua G × H −→ G × G dada por (g, h) 7→ ∪ (gh, gh), cuya imagen es g∈G gH × gH ⊂ G × G. Dado que G × H es un espacio compacto y G × G es un espacio de Hausdorff, (q × ∪ q)−1 ∆X = g∈G gH × gH ⊂ G × G es un subespacio cerrado. Por ende, ∆X ⊂ X × X es cerrado, puesto que q × q es identificación. ⊔ ⊓

XI.

VARIEDADES

El concepto de variedad es uno de los conceptos centrales en la topolog´ıa. Una gran cantidad de los espacios relevantes, tanto en la misma topolog´ıa como en otras áreas de las matemáticas, son variedades. Por ejemplo, las variedades tienen un papel importante en la geometr´ıa diferencial y en la algebraica, también en el análisis y en la teor´ıa de funciones. Entre los más importantes ejemplos de variedades se encuentran las esferas Sn , n = 0, 1, 2, . . . , los espacios proyectivos real y complejo RPn y CPn , y las variedades de Grassmann y las de Stiefel, Gk (Rn ), Vk (Rn ), y Gk (Cn ), Vk (Cn ). En dimensión dos se tienen las superficies, en particular, las superficies de Riemann. En dimensión uno, si bien sólo hay dos variedades esenciales, a saber, la recta R y el c´ırculo S1 , es este u ´ltimo un importante espacio en muchos aspectos. Lo analizaremos cuidadosamente desde el punto de vista de la teor´ıa de homotop´ıa, pero también lo utilizaremos para desarrollar la teor´ıa de los nudos hacia el final del libro. En este cap´ıtulo estudiaremos las variedades topológicas y explicaremos detalladamente la construcción de todas las superficies cerradas y discutiremos su clasificación. También veremos otros muy variados ejemplos de variedades. XI.1

´ gicas Variedades topolo

En esta sección daremos las definiciones fundamentales para la teor´ıa de las variedades e indicaremos el significado de una variedad con estructura, es decir, diferenciable, lisa, compleja, holomorfa, etcétera. ´ n. Un espacio topológico X de Hausdorff, 2-numeXI.1.1 Definicio rable, es una variedad topol´ ogica de dimensión n, o simplemente una variedad de dimensión n, también llamada n-variedad, si cada punto x ∈ X tiene una vecindad V homeomorfa a un abierto U en la n-bola cerrada Bn . Se dice que un punto x ∈ X es un punto interior, resp. 361

362

VARIEDADES ◦

n

punto frontera, si para alg´ un homeomorfismo φ : V −→ U , φ(x) ∈ B , n−1 resp. φ(x) ∈ S . Se define el interior de X como X ◦ = {x ∈ X | x es punto interior de X} y la frontera de X como ∂X = {x ∈ X | x es punto frontera de X}. El teorema de la invariancia del dominio X.1.9 y el de invariancia de la frontera X.1.11 garantizan la buena definición de estos conceptos. ´ n. En la definición de variedad X basta con exigir XI.1.2 Observacio que cada punto x ∈ X tenga una vecindad V homeomorfa a Bn , puesto que, si U ⊂ Bn es abierto y φ : V −→ U es un homeomorfismo, entonces φ(x) ∈ U posee una vecindad U ′ ⊂ U (no necesariamente abierta) homeomorfa a Bn , y, por lo tanto, φ−1 (U ′ ) es una vecindad de x homeomorfa (v´ıa φ) a Bn (véase la figura XI.1). As´ı, un punto ◦

n

x ∈ X es punto interior si y sólo si φ(x) ∈ B , y es punto frontera si φ(x) ∈ ∂ Bn = Sn−1 .

φ(x)

V φ V′

x

U

Bn

U′

Bn Figura XI.1: La n-bola unitaria modela localmente una n-variedad con frontera. XI.1.3 Nota. Dado que Rk es 2-numerable, cada uno de sus subespacios debe ser 2-numerable. As´ı, una condición necesaria para que una n-manifold X admita un encaje en alg´ un espacio euclidiano k es que X es 2-numerable.1 1 En

efecto, hay un importante resultado, a saber, el teorema de encaje de Whitney,

´ VARIEDADES TOPOLOGICAS

363

XI.1.4 Ejercicio. Sea X un espacio discreto. Probar que hay un encaje e : X −→ Rn si y sólo si X es a lo más numerable. Concluir que si X es discreto y a lo más numerable, entonces X puede encajarse en R. XI.1.5 Proposici´ on. El concepto de frontera de una variedad est´ a bien definido, es decir, no depende de los homeomorfismos φ : V −→ U . Demostraci´ on: Por la observación XI.1.2, se puede suponer siempre que U = Bn . Tómese una variedad X y un punto x ∈ X. Sea V una vecindad de x tal que hay dos homeomorfismos φ, ψ : V −→ Bn . Tenemos entonces un homeomorfismo φ◦ψ −1 : Bn −→ Bn . Si ψ(x) yace en la frontera, entonces, por el teorema de invariancia de la frontera X.1.11, se tiene que φ(x) = φψ −1 (ψ(x)) también yace en la frontera. En otras palabras, independientemente de cuál sea el homeomorfismo φ que se tome, si un punto x en la variedad va a dar a la frontera de Bn con uno de ellos, entonces va a dar a la frontera con cualquiera otro. ⊓ ⊔ XI.1.6 Nota. Como en el caso de la frontera de una bola, el uso de la palabra “interior” de una variedad, también representa un abuso del lenguaje, pero no habrá de prestarse a confusión, ya que, como en el caso de la frontera, este concepto es una generalización. As´ı, para ser más precisos, al interior o a la frontera de un subconjunto A de un espacio topológico X deber´ıamos llamarlos interior o frontera de A en X, para distinguirlos del “interior intr´ınseco” o la “frontera intr´ınseca” de una variedad. ´ n. En el caso de una variedad X sin frontera, es XI.1.7 Observacio decir, tal que ∂X = ∅, podemos redefinir el concepto de variedad exigiendo que cada punto x ∈ X tenga una vecindad homeomorfa a Rn , ya que en ese caso tendr´ıa una vecindad homeomorfa a una bola abierta, que resulta ser homeomorfa a Rn (véase el siguiente ejercicio). que afirma que una (v´ ease XI.1.16) n-variedad (lisa) puede encajarse lisamente en 2n . Por cierto, si n > 0, entonces 2n es la mejor cota lineal sobre la m´ınima dimensi´ on de un espacio euclidiano en el que se puedan encajar lisamente todas las n-variedades lisas. Si n es par, entonces el espacio proyectivo real n no admite un encaje en 2n−1 . V´ ease: Whitney, H., The selfintersections of a smooth n-manifold in 2n-space, Annals of Math. 45 (1944), 220–246.

364

VARIEDADES ◦

n

XI.1.8 Ejercicio. Sea B la bola abierta (célula) unitaria en Rn . Pro◦

n

bar que B es homeomorfa a Rn . (Sugerencia: La aplicación x 7→ ◦

x 1+x

n

determina un homeomorfismo Rn −→ B .) Concluir que cualquier bola abierta en Rn , Br (y), con centro en y y radio r es homeomorfa a Rn . (Sugerencia: La aplicación x 7→ x−y determina un homeomorfismo r ◦

n

Br (y) −→ B .) Del ejercicio anterior, obtenemos como consecuencia el siguiente resultado (cf. X.1.5 y X.1.7 (b)). XI.1.9 Proposici´ on. El producto finito de células es una célula y el producto finito de bolas es una bola. En particular, se tiene que el producto de una m-célula con una n-célula es una (m+n)-célula, as´ı como el producto de una m-bola con una n-bola es una (m + n)-bola. Demostraci´ on: Basta probar que ◦

◦

m

◦

n

≈

B _

Bm × Bn

≈

Bm+n .

B × _ B

◦

m+n

k

Ya que por XI.1.8, B ≈ Rk y que Rm × Rn ≈ Rm+n , se obtiene la primera parte de la proposición. De X.1.7 (b) se obtiene la segunda parte. ⊔ ⊓ XI.1.10 Corolario. Los espacios ∂(Bm × Bn ) y (∂ Bm × Bn ) ∪ (Bm × ∂ Bn ) son iguales. Demostraci´ on: Se tienen igualdades ◦

m

◦

n

∂(Bm × Bn ) = Bm × Bn − B × B ◦

m

◦

n

= ((Bm − B ) × Bn ) ∪ (Bm × (Bn − B )) = (∂ Bm × Bn ) ∪ (Bm × ∂ Bn ) .

⊓ ⊔


365

Las condiciones de que una variedad sea un espacio de Hausdorff 2-numerable no son consecuencia de la condición de ser localmente homeomorfa a Rn . Hay espacios “patológicos” que son localmente euclidianos, pero no son de Hausdorff ni 2-numerables. XI.1.11 Ejemplo. Sea X el doble espacio de adjunción correspondiente a la siguiente situación

Ro

i

? _ (0, ∞)

i

/ R,

donde i es la inclusión canónica de la semirrecta abierta en los reales. En otras palabras, es el espacio obtenido de identificar en la suma topológica de dos copias de R las semirrectas positivas abiertas.

R1 01 02

R2 Figura XI.2: Un espacio localmente homeomorfo a R que no es de Hausdorff Claramente este espacio cociente, que se muestra (aunque no con toda fidelidad) en la figura XI.2, es tal que cada uno de sus puntos tiene una vecindad homeomorfa a R. Sin embargo, X no es de Hausdorff, pues los puntos 01 y 02 que provienen de los ceros de cada una de las dos rectas, son distintos y cualquier vecindad de uno de ellos se traslapa con cualquiera del otro. As´ı, X no es de Hausdorff. XI.1.12 Ejemplo. La semirrecta larga cerrada se define como el producto cartesiano del primer ordinal no numerable Ω con el intervalo semiabierto [0, 1), y se dota de la topolog´ıa del orden que se obtiene del orden lexicográfico en Ω × [0, 1). La semirrecta larga abierta se obtiene de la semirrecta larga cerrada removiendo el elemento más peque˜ no

366

VARIEDADES

(0, 0). La recta larga se obtiene poniendo una semirrecta larga en cada dirección. En otras palabras, ⨿ L= Iα /∼ , α

donde Iα ≈ I por un homeomorfismo ψα y α recorre todos los ordinales menores que Ω y, si ψα (0α ) = 0, ψα (1α ) = 1, entonces 1α ∼ 0α+1 . Evidentemente, cada punto en L tiene una vecindad homeomorfa a R; sin embargo, L no satisface el segundo axioma de numerabilidad (ejercicio). Como en el caso de X.1.11, se puede probar el siguiente resultado (ejercicio). XI.1.13 Teorema. Sea φ : X −→ Y un homeomorfismo de variedades con frontera. Entonces φ determina un homeomorfismo φ|∂X : ∂X −→ ∂Y entre las fronteras. ⊔ ⊓ De XI.1.9, se obtiene el siguiente importante resultado. XI.1.14 Teorema. Sea X una m-variedad y Y una n-variedad con fronteras ∂X y ∂Y . Entonces X × Y es una (m + n)-variedad con frontera ∂(X × Y ) = X × ∂Y ∪ ∂X × Y . ⊔ ⊓ Dada una variedad X y un punto x ∈ X, hay una vecindad V de x en X que es homeomorfa, a través de alg´ un homeomorfismo φ : V −→ U , n a un abierto U ⊂ B . Si x ∈ ∂X, entonces V ∩∂X es una vecindad de x en ∂X y la restricción φ|V ∩∂X es un homeomorfismo sobre un abierto U ′ en sn−1 . Sin perder generalidad, podemos suponer que U ′ no es toda la esfera. Por tanto, componiendo φ|V ∩∂X con una proyección estereográfica conveniente, tenemos que V ∩ ∂X es homeomorfo a un abierto en Rn−1 . Hemos demostrado el siguiente resultado. XI.1.15 Teorema. Sea X una n-variedad. Entonces su frontera ∂X es una (n − 1)-variedad con frontera vac´ıa. ⊔ ⊓


367

En lo que sigue, consideraremos solamente el caso de variedades sin frontera dejando al lector como ejercicio el estudio del caso general. Sea X una n-variedad. X se puede cubrir con una colección de abiertos Vλ , tales que para cada λ hay un homeomorfismo φλ : Vλ −→ Uλ para alg´ un abierto Uλ ⊂ Rn . A cada pareja (Vλ , φλ ) se le llama carta de la variedad X. El homeomorfismo φλ permite darles coordenadas a los puntos de Vλ ; a saber, si pk : Rn −→ R es la proyección en la késima coordenada y φkλ = pk ◦ φλ , entonces para cada punto x ∈ Vλ la n-ada (φ1λ (x), . . . , φnλ (x)) asigna coordenadas al punto x. A éstas se les conoce como coordenadas locales de x respecto de la carta (Vλ , φλ ).

Vµ

Vλ

φλ

φµ

γµλ Uµ

Uλ

Figura XI.3: Cambio de coordenadas A una colección de cartas {(Vλ , φλ )}, tales que {Vλ } es una cubierta de X, se le llama atlas de la variedad X. Sea A un atlas en la variedad X y sean (Vλ , φλ ) y (Vµ , φµ ) dos cartas en A; al homeomorfismo γµλ = φµ ◦ φλ−1 : φλ (Vµ ∩ Vλ ) −→ φµ (Vµ ∩ Vλ ) se le conoce como cambio de coordenadas o aplicación de transición Estos cambios de coordenadas son homeomorfismos entre abiertos de Rn que pueden satisfacer condiciones adicionales (véase la figura XI.3).

368

VARIEDADES

´ n. Sea A un atlas para la variedad X. Si los homeoXI.1.16 Definicio λ morfismos γµ son diferenciables de clase C r (C ∞ , anal´ıticos, holomorfos, etcétera) se dice que A es una estructura C r (C ∞ , anal´ıtica, holomorfa, etcétera) y de la variedad se dice que es de clase C r (de clase C ∞ , anal´ıtica, holomorfa, etcétera). A una variedad de clase C ∞ también se le llama variedad lisa.2 XI.1.17 Nota. En el caso de una variedad holomorfa, por ejemplo, requerimos que n sea par, es decir, n = 2m, y tomamos un homeomorfismo fijo Rn ≈ Cm . De este modo, los cambios de coordenadas son homeomorfismos entre abiertos del espacio complejo Cm y tiene sentido exigir que sean aplicaciones holomorfas. Si éste es el caso, se considera que X es una m-variedad holomorfa. XI.1.18 Ejercicio. Dar las definiciones de cartas y atlas para el caso más general de variedades con frontera. Explicar cómo extender el concepto de estructura a este caso. En este texto no estudiaremos las variedades con estructura y sólo consideraremos variedades topol´ ogicas, es decir, variedades con un atlas cuyos cambios de coordenadas son solamente homeomorfismos (topológicos). XI.1.19 Ejemplos. (a) Una 0-variedad no es otra cosa que un espacio discreto. (b) Rn es una n-variedad. Si elegimos como un atlas de Rn al que tiene como cartas la colección de todos los abiertos, junto con la identidad de cada uno de ellos, éste determina una estructura anal´ıtica en Rn (por lo tanto, de clase C r , r ≤ ∞). Más generalmente, cualquier abierto en Rn es una variedad con cualquiera de las estructuras. (c) Cn es una 2n-variedad. Si elegimos como un atlas al que tiene como cartas a la colección de todos los abiertos, junto con la 2 Algunos autores la llaman “suave”, pero consideramos que la expresi´ on “lisa” es m´ as correcta.


369

identidad de cada uno de ellos, entonces este atlas determina una estructura holomorfa, y Cn es una n-variedad holomorfa. (d) La esfera Sn es una variedad. Tenemos un atlas con dos cartas; a saber V1 = Sn − N y V2 = Sn − S, donde N = (0, 0, . . . , 1) es el polo norte y S = (0, 0, . . . , −1) es el polo sur. El homeomorfismo φ1 : V1 −→ Rn es la proyección estereográfica p definida arriba, y φ2 = φ1 ◦ a, donde a : V2 −→ V1 es la aplicación ant´ıpoda, tal que a(x) = −x. De hecho, con este atlas, Sn es una variedad lisa. (e) La cruz X = {(x, 0) | x ∈ R} ∪ {(0, y) | y ∈ R} ⊂ R2 no es una variedad, puesto que el origen no tiene una vecindad homeomorfa a R. (Cualquier vecindad conexa es una cruz que, al quitarle el origen, produce cuatro componentes; sin embargo, si se le quita cualquier punto a R, siempre se obtienen dos componentes. As´ı, la cruz no es homeomorfa a la recta.)

Figura XI.4: La cruz no es homeomorfa a R (f) Sea Rn+ = {(x1 , . . . , xn ) ∈ Rn | xn ≥ 0} el semiespacio superior. Rn+ es una n-variedad con frontera ∂ Rn+ = Rn−1 . (g) Bn es una variedad con frontera ∂ Bn = Sn−1 .

370

VARIEDADES

(h) Si X es una n-variedad sin frontera, entonces X ×I es una (n+1)variedad, tal que su frontera consta de dos copias de X, es decir, ∂(X × I) = X × {0, 1}. XI.1.20 Ejercicio. Probar que el interior de la variedad con frontera Rn+ , (Rn+ )◦ = {(x1 , . . . , xn ) ∈ Rn | xn > 0}, es homeomorfo a Rn . (Sugerencia: La aplicación (x1 , . . . , xn ) 7→ (x1 , x2 , . . . , xn−1 , xn − (1/xn )) determina un homeomorfismo.) XI.1.21 Ejercicio. Sea N = (0, 0, . . . , 1) ∈ Bn . Demostrar que se tiene un homeomorfismo ψ : Bn − N ≈ Rn+ , tal que ψ|Sn−1 −N : Sn−1 − N −→ Rn−1 es la proyección estereográfica. (Sugerencia: Véase la figura XI.5.)

≈

Figura XI.5: Homeomorfismo de Bn − N con Rn+

´ n. Sea X una n-variedad y sea Y ⊂ X. Se dice que XI.1.22 Definicio Y es una subvariedad de dimensión m ≤ n si se cumplen: (a) Y es una m-variedad.


371

(b) X admite un atlas A, tal que para cada punto x ∈ Y y cada carta (V, φ) en A, tal que y ∈ V , las coordenadas locales φk |V ∩Y : V ∩ Y −→ R son cero para k = m + 1, . . . , n. (c) Las parejas (V ∩ Y, pm ◦ φ|(V ∩ Y )), donde pm : Rn −→ Rm es la proyección en las primeras m coordenadas, forman un atlas para Y. As´ı, φ(V ∩ Y ) = U ∩ Rm bajo la inclusión canónica de Rm en Rn en las primeras m coordenadas. XI.1.23 Ejemplos. (a) Rm ⊂ Rn , con la inclusión canónica, es una subvariedad. Más generalmente, si V ⊂ Rn es un abierto, entonces V ∩ Rm es una subvariedad de V (y de Rn ). (b) Si V es un abierto en Rn , entonces V es una subvariedad de Rn . Más generalmente, si V ⊂ Rn es abierto y W ⊂ V es abierto, entonces W es subvariedad de V . (c) Sm ⊂ Sn , con la inclusión dada por la inclusión canónica Rm+1 ⊂ Rn+1 , es una subvariedad; a saber, las cartas V1 = Sn − A1 y V2 = Sn − A2 , donde A1 = (1, 0, 0, . . . , 0) y A2 = (−1, 0, 0, . . . , 0), con las correspondientes proyecciones estereográficas sobre Rn , se intersectan con Sm en cartas W1 y W2 con proyecciones estereográficas sobre Rm . (d) ∂X ⊂ X es una subvariedad de dimensión n−1, si X es una n-variedad, como se deduce aplicando el ejercicio XI.1.21 (ejercicio). ´ n. Sean X y Y variedades topológicas y sea f : XI.1.24 Definicio Y −→ X continua. Se dice que f es un encaje de variedades si es un encaje topológico, es decir, un homeomorfismo con su imagen f (Y ) y ésta es una subvariedad de X. XI.1.25 Ejemplos. Son encajes de variedades los siguientes. (a) La inclusión canónica Rm ,→ Rn , m ≤ n.

372

VARIEDADES

(b) La inclusión canónica Sm ,→ Sn , m ≤ n. (c) La inclusión canónica S1 ,→ R2 . (d) La aplicación del toro en R3 , f : T2 = S1 × S1 ,→ R3 , tal que si (x1 , x2 , y1 , y2 ) ∈ S1 × S1 ⊂ R2 × R2 , f (x1 , x2 , y1 , y2 ) = ((2 + y1 )x1 , (2 + y1 )x2 , y2 ) .

φ

−−−−−−→

Figura XI.6: Unión de dos variedades a lo largo de sus fronteras XI.1.26 Ejercicio. Considérese la aplicación φ : I × I −→ T2 = S1 × S1 dada por φ(s, t) = (e2πis , e2πit ). Probar que φ es suprayectiva. Si consideramos la relación de equivalencia determinada por (s, 0) ∼ (s, 1) y (0, t) ∼ (1, t), s, t ∈ I, probar que φ es compatible con la identificación. Más a´ un, probar que la aplicación inducida en el cociente ψ : I × I/∼−→ T2 es biyectiva. Ya que claramente I × I/∼ es compacto y T2 ⊂ C × C es de Hausdorff, probar que ψ es homeomorfismo. Esto proporciona otra construcción del toro. Véase la figura XI.15. ´ n. Sean X y Y dos n-variedades con frontera, tales XI.1.27 Definicio que ∂X ≈ ∂Y . Si φ : ∂X −→ ∂Y es alg´ un homeomorfismo, podemos construir X ∪φ Y como el espacio de adjunción correspondiente a la situación φ / ∂Y ⊂ Y , X ⊃ ∂X


373

es decir, es el resultado de identificar en la suma ajena X ⊔ Y cada punto x ∈ ∂X con el punto φ(x) ∈ ∂Y . (Véase la figura XI.6.) XI.1.28 Ejercicio. Sea φ : ∂X −→ ∂Y un homeomorfismo. Probar que X ∪φ Y es una variedad sin frontera. (Sugerencia: Un punto x ∈ ∂X tiene una vecindad homeomorfa a Rn+ , de modo que x corresponde al origen. Análogamente sucede con el punto φ(x) ∈ ∂Y . Es ahora posible tomar vecindades más peque˜ nas, homeomorfas a semibolas abiertas, de modo que después de hacer la identificación produzcan una bola abierta.) ´ n. Más generalmente, si las fronteras ∂X y ∂Y no XI.1.29 Definicio son conexas y A es unión de algunas de las componentes conexas de ∂X y B lo es de algunas de las componentes conexas de ∂Y y si, además, se tiene un homeomorfismo φ : A −→ B, como antes, podemos definir X ∪φ Y como el resultado de identificar en la suma ajena X ⊔ Y cada punto x ∈ A ⊂ ∂X con el punto φ(x) ∈ B ⊂ ∂Y . Análogamente a XI.1.28, es posible resolver el siguiente ejercicio. XI.1.30 Ejercicio. Sean A y B uniones de componentes conexas de ∂X y ∂Y , respectivamente, y sea φ : A −→ B un homeomorfismo. Probar que X ∪φ Y es una variedad cuya frontera es la unión (ajena) de las componentes conexas de ∂X y ∂Y que no yacen en A ni en B. ´ n. Un caso particular de las construcciones anteriXI.1.31 Definicio ores es el doble de una variedad (con frontera) X que se define como 2X = X ∪id∂X X , es decir, como el resultado de identificar en la suma topológica ajena de dos copias de X a las fronteras a través de la identidad. Por XI.1.28, se obtiene una variedad sin frontera. (Si X no tiene frontera, entonces 2X = X ⊔ X.) XI.1.32 Ejercicio. Probar que el doble de una variedad M es homeomorfo al espacio cociente M × {0, 1}/∼, donde (x, 0) ∼ (x, 1) para toda x ∈ ∂M .

374

VARIEDADES

XI.1.33 Ejercicio. (a) Probar que el doble de una bola es una esfera, es decir, 2Bn = Sn y que el doble de Rn+ es Rn . (b) Probar que el doble de Rn+ es Rn . (c) Probar que el doble del cilindro S1 × I es el toro S1 × S1 . Dadas dos n-variedades X y Y , su suma topológica ajena, X ⊔ Y , vuelve a ser una n-variedad, si bien inconexa. Es posible efectuar una operación entre n-variedades conexas que produzca nuevamente otra n-variedad conexa. ´ n. Sean X y Y dos n-variedades conexas y perfóXI.1.34 Definicio rense sendos agujeros en ellas, es decir, tómense dos n-bolas BX y ◦ y BY encajadas en X y Y , respectivamente, y sean X ′ = X − BX Y ′ = Y − BY◦ , entonces X ′ y Y ′ son variedades cuyas fronteras son ∂X ⊔ ∂BX y ∂Y ⊔ ∂BY . Ya que ∂BX ≈ Sn−1 ≈ ∂BY , podemos tomar un homeomorfismo φ : ∂BX −→ ∂BY y definir X#Y = X ∪φ Y . A esta n-variedad se le llama suma conexa de X y Y . En el caso n = 2 esta construcción es independiente de cómo se elijan las bolas y el homeomorfismo entre sus fronteras. En el caso general, n > 2, s´ı depende de la elección del homeomorfismo.

Figura XI.7: Suma conexa de dos variedades

SUPERFICIES

XI.2

375

Superficies

Un caso importante de variedades es el de las superficies, cuyo problema de clasificación ya fue resuelto desde el siglo xix por Moebius (1861). En esta sección estudiaremos el concepto, haremos la construcción de todas las superficies cerradas y enunciaremos su clasificación. Convengamos en llamar en esta sección a una 2-bola simplemente disco. ´ n. Una 2-variedad S es una superficie; si es compacta XI.2.1 Definicio y no tiene frontera, se le llama superficie cerrada. (Como en el caso del interior y de la frontera, no debe confundirse este concepto con el de un conjunto cerrado en un espacio.)

111 000 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 S

111 000 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111

1111 0000 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111

1111 0000 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111

Figura XI.8: Superficie con frontera XI.2.2 Ejemplos. Además de R2 , R2+ , o subconjuntos abiertos en ellos, se tienen los siguientes ejemplos. (a) Por XI.1.14, el toro T2 = S1 × S1 es una superficie sin frontera; de hecho, es cerrada. (b) Un disco cerrado, homeomorfo a D2 , es una superficie con frontera.

376

VARIEDADES

T2

Figura XI.9: El toro es una superficie sin frontera (c) Subconjuntos del plano, como en la figura XI.10, son superficies con frontera. (d) Sea f : R2 −→ R una función continua, entonces su gr´ afica G(f ) = {(x, y, z) ∈ R3 | z = f (x, y)} es una superficie. As´ı, un hiperboloide de una hoja, uno de dos hojas, un paraboloide, etcétera, son superficies. (e) S1 × R y R2 − S, donde S es un subconjunto discreto, son superficies. XI.2.3 Ejercicio. Probar que la superficie S1 × R es homeomorfa a R2 − {0}. XI.2.4 Ejemplo. La banda trivial B se define como el espacio que resulta de identificar en I × I a un punto de la forma (0, t) con el punto (1, t). Claramente B es homeomorfa al cilindro cerrado S1 × I. Es una variedad cuya frontera es ∂B ≈ S1 × {0, 1}, es decir, una suma topológica de dos copias de S1 . Por lo tanto la frontera es inconexa: tiene dos componentes conexas. Por otro lado, la banda de Moebius M se define como el espacio que resulta de identificar en I × I a un punto de la forma (0, t) con el punto (1, 1 − t). Claramente M es una superficie con frontera ∂M ≈ S1 , es decir, una copia de S1 ; por lo tanto, conexa.

SUPERFICIES

377

1111111111 0000000000 0000000000 1111111111 0000000000 1111111111 00000000 11111111 0000000000 1111111111 00000000 11111111 0000000000 1111111111 00000000 11111111 0000000000 1111111111 00000000 11111111 0000000000 1111111111 00000000 11111111 0000000000 1111111111 00000000 11111111 0000000000 1111111111 00000000 11111111 0000000000 1111111111 00000000 11111111 0000000000 1111111111 00000000 11111111 0000000000 1111111111 0000000000 1111111111 0000000000 1111111111 0000000000 1111111111

Figura XI.10: Superficies con frontera As´ı, ∂B ̸≈ ∂M y por tanto M ̸≈ B. La banda trivial B es una superficie orientable mientras que la banda de Moebius M es no orientable. De hecho, M es la superficie no orientable por excelencia. Se afirma que es no orientable por el siguiente fenómeno, que no se presenta en B. Si se toma un sistema coordenado sobre un punto del ecuador E = {(s, 12 ) | 0 ≤ s ≤ 1} ⊂ M , digamos ( 12 , 12 ), de tal forma que un eje apunta en dirección horizontal, o sea, paralela a E y positivamente (hacia donde crece s), y el otro eje apunta en dirección vertical, es decir, paralela a E ′ = {( 12 , t) | 0 ≤ t ≤ 1} y hacia arriba. Si ahora desplazamos este sistema coordenado a lo largo del ecuador alrededor de la banda de Moebius, al retornar al punto de partida el eje horizontal seguirá apuntando en dirección positiva, pero el eje vertical estará apuntando hacia abajo. Es decir, mirando en la dirección positiva del ecuador, al comienzo, el eje vertical apunta a la izquierda, pero al regresar, al punto de partida, la flecha vertical apunta a la derecha: cambi´ o la orientaci´ on del eje vertical (véase la figura XI.11). En general, y un tanto informalmente, se dice que una superficie es orientable si para cualquier ciclo, es decir, para cualquier subespacio

378

VARIEDADES

Figura XI.11: La banda de Moebius no es orientable homeomorfo al c´ırculo S1 , al trasladar a un sistema coordenado con dos ejes a lo largo del ciclo, el sistema coordenado regresa al punto de partida con la misma orientación. Se considera no orientable si no es orientable, es decir, si existe un ciclo a lo largo del cual, al desplazar un sistema coordenado, éste regresa a su punto de partida con la orientación opuesta. En el caso de la banda de Moebius, uno de estos ciclos es E. De hecho, no es dif´ıcil probar que una superficie S es no orientable si y sólo si admite un encaje de la banda de Moebius en ella, M ,→ S (ejercicio). XI.2.5 Nota. Frecuentemente es práctico definir la banda de Moebius M como el cociente de [−1, 1] × [−1, 1] que resulta de identificar cada punto (1, t) con el punto (−1, −t). XI.2.6 Ejemplo. La botella de Klein, que se define como el espacio K que resulta de identificar en el cuadrado I × I cada punto (0, t) con el punto (1, 1 − t) y cada punto (s, 0) con el punto (s, 1), es una superficie sin frontera, compacta y por tanto, cerrada, que además es no orientable, puesto que un sistema coordenado trasladado a lo largo del ecuador E, definido como para M en XI.2.4, retorna a su punto de partida con la orientación inversa; equivalentemente, la imagen en K

SUPERFICIES

379

bajo la identificación, del subespacio de I × I de los puntos (s, t), tales que 14 ≤ t ≤ 34 , es homeomorfa a la banda de Moebius M .

S

Figura XI.12: Botella de Klein

XI.2.7 Ejercicio. Probar que la botella de Klein es homeomorfa al doble de la banda de Moebius, es decir, K ≈ 2M (véase XI.1.31). XI.2.8 Ejemplo. Sea S una superficie y perfórense en ella dos agujeros, es decir, tómense dos encajes ajenos e0 , e1 : D2 −→ S y la su◦

2

◦

2

perficie S ′ = S − e1 (B ) − e2 (B ), que es una superficie, tal que ∂S ′ = ∂S ⊔ S10 ⊔ S11 , donde S10 y S11 son c´ırculos en S. Sean φ0 : S1 × 0 −→ S10 y φ1 : S1 × 1 −→ S11 homeomorfismos y péguese el cilindro S1 × I a S ′ . De la superficie resultante S + se dice que se obtiene de S al adjuntarle un asa. Por supuesto, S + depende de la forma de pegar el asa, es decir, de los homeomorfismos φ0 y φ1 . En particular, como se ve en la XI.13, si S = S2 es la esfera, una posibilidad para S + es el toro, cuando S + es orientable (no contiene una banda de Moebius) e, invirtiendo la orientación de uno de los homeomorfismos, lo que se obtiene es la botella de Klein.

380

VARIEDADES

S

Figura XI.13: Esferas con asas XI.2.9 Ejercicio. Probar que si S es una superficie no orientable, entonces el resultado de adjuntarle a S un asa es, salvo homeomorfismo, independiente de las orientaciones. (Sugerencia: Tómese en S una banda de Moebius y adj´ untese el asa perforando los agujeros en la banda.) En adelante daremos varias formas de construir superficies. XI.2.10 Ejemplos. Sea g ≥ 1 un n´ umero entero. (a) Sea Dg ⊂ R2 un disco unitario con g agujeros ajenos (compárese con XI.2.8). Si tomamos la variedad con frontera S = Dg × I, entonces su frontera es una superficie Ag . (b) Sea Dg como en (a). Su doble 2Dg es una superficie Bg . (c) Sea T2 = S1 × S1 el toro. La suma conexa de g copias de T2 , Cg = T2 #T2 # · · · #T2 , es una superficie. (d) Si se le pegan a S2 g asas, de modo que el resultado no contenga ninguna banda de Moebius, se obtiene una superficie Dg .

SUPERFICIES

381

Todas las superficies construidas en XI.2.10 están determinadas, salvo homeomorfismo, por g; más a´ un, Ag ≈ Bg ≈ Cg ≈ Dg . La figura XI.14 muestra el caso g = 3.

A3

B3

C3 D3

Figura XI.14: Superficies de género 3

XI.2.11 Ejercicio. Probar que se tiene un homeomorfismo Ag ≈ Bg . (Sugerencia: ∂S ∩ (Dg × [0, 1/2]) ≈ Dg ≈ ∂S ∩ (Dg × [1/2, 1]).) Hay otra forma de definir estas superficies orientables sin frontera. Para g ≥ 1 sea E4g ⊂ R2 el pol´ıgono regular con 4g aristas y vértices pn = e2πin/4g , donde n = 1, 2, . . . , 4g. Por ser E4g un subconjunto conexo compacto de R2 , es homeomorfo a D2 y, por ende, una superficie con frontera. Definimos una relación de equivalencia en la frontera declarando equivalentes los siguientes puntos: (1 − t)p4i−3 + tp4i−2 ∼ (1 − t)p4i + tp4i−1 (1 − t)p4i−2 + tp4i−1 ∼ (1 − t)p4i+1 + tp4i Es decir, las aristas del pol´ıgono se identifican como lo ilustra la figura XI.15.

382

VARIEDADES a1

b b1

b1

a a2

a

a1

b2 b

b2 a2

Figura XI.15: 4g-gonos, g = 1 y g = 2 XI.2.12 Proposici´ on. El espacio que resulta de identificar las aristas del pol´ıgono E4g , seg´ un la relaci´ on definida arriba, es una superficie cerrada orientable Sg . A Sg y a cualquier superficie homeomorfa a ella se les llama superficie orientable de género g. Con S0 denotamos a la superficie orientable de género 0, que no es otra que una esfera de dimensión 2. Demostraci´ on: Antes de comenzar la demostración, conviene designar en E4g con el mismo s´ımbolo cada par de aristas que se identifican; as´ı mismo damos a cada arista una orientación de acuerdo a cómo se identifican. Es decir, la primera arista, a1 , tiene la orientación positiva (en sentido levógiro), mientras que la tercera arista, a1 , tiene la orientación negativa (en sentido dextrógiro). Más a´ un, la segunda arista, b1 , tiene la orientación positiva, mientras que la cuarta arista, b1 , tiene la orientación negativa. Lo mismo ocurre para el siguiente bloque de cuatro aristas, a2 , b2 , a2 , b2 . Todo esto lo ilustra la figura XI.15. Hay que probar que cada punto de Sg tiene una vecindad homeomorfa a un disco abierto. Hay tres casos: (i) Si x ∈ Sg es un punto proveniente de un punto interior y ∈ E4g , entonces es posible tomar una vecindad V de y en E4g que sea un disco abierto y que sea ajeno a la frontera. As´ı, la imagen de V bajo la identificación es nuevamente una vecindad de x homeomorfa a un disco abierto.

SUPERFICIES

383

(ii) Si x ∈ Sg proviene de un punto y1 ∈ ∂E4g , que no es un vértice, entonces es posible tomar una vecindad V1 de y1 en E4g que sea la intersección con E4g de un disco D1 en R2 con centro en y1 y que no contenga ning´ un vértice. Entonces y1 ∼ y2 , donde y2 también está en la frontera y no es un vértice. Podemos tomar ahora una vecindad V2 de y2 en E4g que nuevamente sea la intersección de otro disco abierto con centro en y2 y el mismo radio que D1 . Entonces, como se ve en la figura XI.16, la imagen de la unión V1 ∪ V2 es una vecindad V de x que es homeomorfa a un disco. y2

V2

V1

y1

Figura XI.16: Dos semidiscos dan un disco (iii) Obsérvese primeramente que todos los vértices de E4g determinan un solo punto x0 ∈ Sg . Para construir una vecindad de x0 , que sea un disco abierto, tomamos para cada vértice pi como vecindad Vi la intersección con E4g de un disco con centro en pi y radio peque˜ no, igual para todos y, digamos, menor que la mitad de la longitud del lado del pol´ıgono. Al efectuar la identificación, se identifican los lados de estos 4g sectores circulares dos a dos, consecutivamente, de modo que, como se ilustra en la figura XI.17, el resultado es una vecindad de x0 homeomorfa a un disco abierto. ⊔ ⊓

384

VARIEDADES p3

p2

p4

p1

p4g−3

p4g

p4g−2

p4g−1

Figura XI.17: 4g sectores dan un disco ´ n. En vez del pol´ıgono E4g podemos tomar el XI.2.13 Observacio disco unitario D2 y marcar los mismos vértices pn = e2πin/4g , n = 0, 1, . . . , 4g − 1. Se toman entonces los arcos determinados por dos vértices consecutivos pi y pi+1 y se hacen las identificaciones corres1 pondientes. Más exactamente, si 0 ≤ t ≤ 4g , entonces e2πit/4g ∼ e2πi(3−t)/4g e2πi(1+t)/4g ∼ e2πi(4−t)/4g y en general, for k = 0, . . . , g − 1, e2πi(4k+t)/4g ∼ e2πi(4k+3−t)/4g e2πi(4k+1+t)/4g ∼ e2πi(4k+4−t)/4g . Fácilmente se demuestra que el resultado de esta identificación es un espacio homeomorfo a Sg . Hagamos ahora un análisis de lo que obtenemos con la construcción que da origen a Sg . En el caso g = 1, E4 es un cuadrado en el que se identifican los lados opuestos como en la figura IV.6; por tanto, lo que se obtiene es un toro, es decir, S1 ≈ T2 (véase el ejercicio XI.1.26).

SUPERFICIES

385

Para g > 1 hagamos un análisis por inducción en g. Sg es cociente de E4g . Si tomamos en E4g el segmento que une a p1 con p5 , cortamos a lo largo de él e identificamos, en primer lugar, p1 con p5 (recuérdese que en Sg se identificaron todos los vértices en un solo punto), en ambos pedazos, obtendremos una copia de E4 con una perforación y una copia de E4g−4 con una perforación, como se ilustra en la figura XI.18. a1

E4 b1

b1 b2 a1

a2

a2

b2 ag E4g−4

Sg ≈ S1 #Sg−1

bg ag bg

Figura XI.18: La suma conexa de S1 y Sg La identificación q : E4g −→ Sg podemos as´ı obtenerla en tres pasos. Primeramente identificamos en la copia perforada de E4 los lados seg´ un q para obtener S1 perforada. Luego hacemos lo mismo con la copia perforada de E4g−4 para obtener Sg−1 , también perforada. El tercer paso consiste en identificar el segmento a lo largo del cual cortamos E4g para obtener la suma conexa de S1 con Sg−1 . En otras palabras, hemos establecido la fórmula de recurrencia Sg ≈ S1 #Sg−1 . Ya que S1 es el toro, podemos suponer inductivamente que Sg−1 es la suma conexa de g − 1 copias del toro. Tenemos as´ı que Sg es la suma conexa de g copias del toro. Por tanto, tenemos la siguiente afirmación. XI.2.14 Teorema. La superficie cerrada orientable de género g es la suma conexa de g copias del toro. ⊔ ⊓

386

VARIEDADES

XI.2.15 Ejercicio. Considérese una superficie S. Tómese un disco encajado en S y perfórense dos agujeros circulares D1 y D2 , en D, con fronteras S1 y S2 , respectivamente. Llámese S ′ el resultado. Désele a S1 una orientación y a S2 la orientación opuesta (viéndolos como discos en D2 ⊂ R2 ). Si consideramos la situación de adjunción φ

S1 × I ⊃ S1 × {0} ⊔ S1 × {1} −→ S ′ , donde φ|S1 ×{0} respeta la orientación de una de las fronteras, mientras que φ|S1 ×{1} invierte la orientación de la otra (compárese con XI.2.8). Usando el método de cortar y pegar, demostrar que la superficie S ′′ = S ′ ∪φ S1 × I es homeomorfa a la suma conexa S#T2 de S con el toro (véanse las figuras XI.19 y XI.20). (Sugerencia: Usar el método de cortar y pegar; véanse las pruebas de los teoremas XI.2.14 y XI.2.24.)

≈

Figura XI.19: El disco con dos perforaciones es homeomorfo al pantalón Estudiemos ahora el caso de las superficies cerradas no orientables, es decir, de aquéllas que contienen a la banda de Moebius como subespacio. El primer ejemplo es el siguiente. XI.2.16 Ejemplo. Dos puntos x, y ∈ R3 − {0} serán declarados equivalentes, si existe un n´ umero λ ∈ R, tal que y = λx. Es decir, dos puntos (no cero) serán equivalentes si y sólo si yacen en la misma recta por el origen. En otras palabras, las clases de equivalencia bajo esta relación son las rectas en R3 que pasan por el origen. Sea P2 el espacio cociente de R3 − {0} bajo esta relación de equivalencia. Como ya se

SUPERFICIES

387

Figura XI.20: La suma conexa con un toro equivale a pegar un asa ha mencionado en otros cap´ıtulos, este espacio es el plano proyectivo o espacio proyectivo de dimensión 2. Se puede decir que P2 es el espacio de las rectas por el origen en R3 . Si tomamos x ∈ R3 −{0} y denotamos por ⟨x⟩ a la recta en R3 que pasa por x, una vecindad de ella siempre contiene un doble cono circular con eje la recta dada. Esto muestra de inmediato que P2 es de Hausdorff. Véase la figura XI.21. El siguiente resultado nos da propiedades del plano proyectivo y nos muestra que, esencialmente, se trata del mismo espacio que el obtenido de la 2-esfera identificando puntos ant´ıpodas. XI.2.17 Teorema. El plano proyectivo P2 es homeomorfo al espacio cociente de S2 obtenido como

RP2 = S2 /∼ ,

donde

x∼y

si y s´ olo si

x=y

o

x = −y .

Demostraci´ on: Sea φ : S2 −→ P2 , tal que φ(x) = ⟨x⟩. φ es una aplicación continua, suprayectiva de un espacio compacto en uno de Hausdorff. Un bien conocido resultado de la topolog´ıa general implica que φ es una identificación. Más a´ un, φ(x) = φ(y) si y sólo si x ∼ y, puesto que cada recta por el origen en R3 intersecta a S2 exactamente en dos puntos ant´ıpodas. Por lo tanto, φ induce un homeomorfismo ≈ φ : RP2 −→ P2 . ⊔ ⊓

388

VARIEDADES

Figura XI.21: Dos conos ajenos muestran que P2 es de Hausdorff El siguiente teorema nos da otra descripción más del plano proyectivo. XI.2.18 Teorema. Sea Q el resultado de identificar en el disco D2 dos puntos en su frontera S1 si y s´ olo si son ant´ıpodas, es decir, si 2 x, y ∈ D , x ∼ y si y s´ olo si x = y o x, y ∈ S1 y x = −y, entonces, 2 Q≈P . 2 2 Demostraci´ on: La √ aplicación ψ : D −→ P , tal que si x = (x1 , x2 ), ψ(x) = ⟨(x1 , x2 , 1 − |x|2 )⟩, es continua y suprayectiva de un espacio compacto en uno de Hausdorff, por lo que, otra vez por el resultado de la topolog´ıa general mencionado en la prueba anterior, ψ es una identificación. Más a´ un, ψ(x) = ψ(y) si y sólo si x ∼ y, por lo que ψ ⊔ ⊓ determina un homeomorfismo ψ : Q ≈ P2 .

Haremos uso de XI.2.17 para probar que, en efecto, P2 es una superficie, es decir, una 2-variedad. De hecho, se tiene el siguiente resultado.

SUPERFICIES

389

XI.2.19 Teorema. El plano proyectivo P2 se obtiene de pegar una banda de Moebius M con un disco D a lo largo de sus fronteras homeomorfas. Demostraci´ on: Tomemos la identificación ψ : D2 −→ P2 de la demostración de XI.2.18, que identifica en D2 puntos ant´ıpodas de su frontera. Podemos descomponer D2 en dos porciones; a saber, A = {(x1 , x2 ) ∈ D2 | |x2 | ≤ 1/2},

B = {(x1 , x2 ) ∈ D2 | |x2 | ≥ 1/2} .

As´ı, si llevamos a cabo la identificaci´ on definida por ψ en primer lugar en cada pedazo, obtenemos de A precisamente una banda de Moebius M y de B simplemente un disco D. Por lo tanto, p2 es el resultado de pegar M = ψ(A) con D = ψ(B) a lo largo de sus fronteras, que son las imágenes bajo las restricciones de ψ del subconjunto {(x1 , x2 ) ∈ D2 | |x2 | = 1/2}. Véase la figura XI.22. ⊔ ⊓

M

D

P2 Figura XI.22: La identificación de una banda de Moebius con un disco a lo largo de sus fronteras da un plano proyectivo Dado que, tanto M como D son variedades con fronteras homeomorfas, al identificarlas con un homeomorfismo, obtenemos P2 . Por tanto, por XI.1.28, se obtiene lo siguiente. XI.2.20 Corolario. P2 es una superficie cerrada.

⊔ ⊓

390

VARIEDADES

En el caso de las superficies orientables, probamos en XI.2.14 que la pieza fundamental para construirlas es el toro, en el sentido de que la superficie orientable de género g, Sg , es homeomorfa a la suma conexa de g copias del toro. Otra consecuencia de XI.2.19 es el siguiente resultado que, en el caso no orientable, muestra, en un primer paso, que la pieza fundamental para construir las superficies no orientables es el plano proyectivo. XI.2.21 Corolario. La suma conexa de dos copias del plano proyectivo P2 es la botella de Klein K. Demostraci´ on: Por XI.2.19, al perforar un agujero en P2 se obtiene una banda de Moebius. Por lo tanto, la suma conexa de dos planos proyectivos coincide con el resultado de pegar dos bandas de Moebius a lo largo de sus fronteras, es decir, con el doble 2M de la banda de Moebius. Por consiguiente, por XI.2.7, P2 #P2 ≈ K. ⊔ ⊓ XI.2.22 Ejercicio. Descomponer I × I en dos porciones A = {(s, t) | 1/4 ≤ t ≤ 3/4},

B = {(s, t) | 0 ≤ t ≤ 1/4 o 3/4 ≤ t ≤ 1}

y probar que si se restringen las identificaciones de XI.2.6 a A y a B, respectivamente, se obtienen dos bandas de Moebius MA y MB . Concluir que la botella de Klein es unión de MA y MB a lo largo de sus fronteras. Análogamente a XI.2.10, consideremos el siguiente ejemplo. XI.2.23 Ejemplo. Sea g ≥ 1 un n´ umero entero. (a) La suma conexa Cg′ = P2 #P2 # · · · #P2 de g copias del plano proyectivo es una superficie cerrada no orientable. (b) Si se le perforan g agujeros a S2 y a lo largo de la frontera de cada uno de ellos se pega una banda de Moebius, a través de un homeomorfismo de las fronteras, se obtiene una superficie cerrada no orientable Dg′ .

SUPERFICIES

391

Las superficies descritas en XI.2.23 están determinadas, salvo homeomorfismo, por g y se tiene que Cg′ ≈ Dg′ . Como en el caso orientable, hay otra forma de definir estas superficies no orientables sin frontera. Para g ≥ 2 sea E2g ⊂ R2 el pol´ıgono regular con 2g lados y vértices pn = e2πin/2g , donde n = 1, 2, . . . , 2g. Por ser E2g un subconjunto conexo compacto de R2 , es homeomorfo a D2 y es, por ende, una superficie con frontera. Definimos una relación de equivalencia en la frontera declarando equivalentes los siguientes puntos: (1 − t)p2i−1 + tp2i ∼ (1 − t)p2i + tp2i+1 . Es decir, los lados del pol´ıgono se identifican como lo ilustra la figura XI.23.

a2

a1

a2

E4

a1

a2

a1

a2

E6

a1

a3

a3

Figura XI.23: 2g-gonos, g = 2, g = 3

XI.2.24 Proposici´ on. El espacio que resulta de identificar los lados del pol´ıgono E2g seg´ un la relaci´ on definida arriba es una superficie cerrada no orientable Ng . A Ng y a cualquier superficie homeomorfa a ella se les llama superficie no orientable de género g. Podemos extender la definición de Ng al caso g = 1 tomando como E2 al 2-gono o “b´ıgono”, es decir, al disco con

392

VARIEDADES

un lado, el semic´ırculo izquierdo, y el otro, el derecho (véase la figura XI.24), de modo que la identificación definida arriba corresponde con la de los ant´ıpodas en la frontera del disco. En consecuencia, con N1 denotamos a la superficie no orientable de género 1, que no es otra que el plano proyectivo.

a1

a1

E2

Figura XI.24: 2-gono La demostraci´ on de XI.2.24 es, en esencia, la misma que para XI.2.12, por lo que la dejamos al lector como ejercicio. XI.2.25 Ejercicio. Probar que dada una superficie S, si cortamos y quitamos un disco y en la frontera que deja identificamos los puntos ant´ıpodas, entonces obtenemos una nueva superficie S ′ (con la misma frontera de S). Más a´ un, demostrar que S ′ es homeomorfa a la suma conexa S#RP2 . No contamos con las herramientas suficientes para hacer un análisis completo de las superficies Sg y Ng . No obstante, enunciaremos el teorema de clasificación de las superficies cerradas, cuya demostración no daremos en este cap´ıtulo. Dedicaremos el próximo cap´ıtulo a la primera mitad de la prueba y más adelante, al contar con el grupo fundamental, la concluiremos. XI.2.26 Teorema. Las superficies S1 , S2 , . . .

y

N 1 , N2 , . . .

SUPERFICIES

393

no son homeomorfas entre s´ı y cualquier superficie cerrada es homeomorfa a una (y s´ olo una) de esta lista. XI.2.27 Ejercicio. Probar que el cociente M/∂M de una banda de Moebius M que identifica su frontera ∂M en un punto, es homeomorfo al plano proyectivo P2 . (Sugerencia: La aplicación f : [−1, 1] × √ [−1, 1] −→ B2 , tal que f (s, t) = (s 1 − t2 , t) es una identificación que aplica las aristas horizontales del cuadrado en los polos del disco y determina el homeomorfismo deseado entre los cocientes M/∂M y P2 ; véase XI.2.5.) XI.2.28 Ejercicio. Al igual que la botella de Klein, el plano proyectivo no admite un encaje en R3 . Probar, sin embargo, que P2 s´ı admite un encaje en R4 . (Sugerencia: La aplicación e : S2 −→ R4 , tal que e(x1 , x2 , x3 ) = (x21 − x22 , x1 x2 , x1 x3 , x2 x3 ) determina en el cociente P2 = S2 /∼ un encaje eb : P2 −→ R4 .) XI.2.29 Ejercicio. (a) Considérese la superficie mostrada en la figura XI.25. Calcular g de tal modo que ésta sea una superficie homeomorfa a Sg . (b) Hacer lo mismo para la superficie mostrada en la figura XI.26. (Sugerencia: Cortar y pegar para convertir cada una de las superficies en alguna de la lista.)

XI.2.30 Ejercicio. Tómese el rectángulo relleno en R2 con vértices (0, −2), (0, 2), (7, 2), y (7, −2). Remuévase la familia infinita de discos ∪ abiertos ∞ n=1 Cn , donde Cn es el disco abierto con centro (xn , 0) y 1 , x1 = 2, y xn+1 = xn + rn + 2rn+1 , donde radio rn , donde rn = 2n−1 n = 1, 2, 3, ..., como lo muestra la figura XI.27. Denótese como E∞ a la figura resultante y sea S = ∂(E∞ × I). ¿Es S una superficie? De ser el caso, probarlo, de lo contrario, explicar.

394

VARIEDADES

Figura XI.25: ¿Qué superficie es ésta?

Figura XI.26: ¿Qué superficie es ésta? XI.2.31 Ejercicio. Se dice que un espacio topológico X es un espacio homogéneo si dados cualesquiera dos puntos x, y ∈ X existe un homeomorfismo φ : X −→ X, tal que φ(x) = y. Probar que el toro es un espacio homogéneo. (Sugerencia: Si x = (1, 1), y = (ζ1 , ζ2 ) ∈ T2 = S1 × S1 ⊂ C × C, φ : T2 −→ T2 , tal que φ(ζ, ζ ′ ) = (ζ1 ζ, ζ2 ζ ′ ) es un homeomorfismo, tal que φ(x) = y.) XI.2.32 Ejercicio. Probar que dados cualesquiera dos puntos x, y ∈ ◦

n

B , n ≥ 2, existe un homeomorfismo φ : Bn −→ Bn , tal que para todo punto z ∈ Sn−1 , φ(z) = z, y φ(x) = y.

´ VARIEDADES DE DIMENSION ´ BAJA MAS

395

Figura XI.27: ¿Es S = ∂(E∞ × I) una superficie? XI.2.33 Ejercicio. Demostrar que cualquier superficie conexa es un espacio homogéneo. (Sugerencia: Usar el ejercicio anterior.) XI.2.34 Ejercicio. Probar que dados tres puntos distintos z, x, y en una n-variedad conexa X (sin frontera), n ≥ 2, hay un homeomorfismo φ : X −→ X tal que φ(z) = z y φ(x) = y. XI.3

´ s variedades de dimensio ´ n baja Ma

Analizaremos en esta sección las variedades de dimensión 1. Primeramente probaremos que no hay demasiadas. Veremos que las u ńicas 1 1-variedades conexas sin frontera son homeomorfas a R o a S . No obstante, las 1-variedades cerradas se vuelven más interesantes si están encajadas en R3 o, equivalentemente, en S3 . Es decir, la riqueza de las 1-variedades la encontramos en los nudos y enlaces que estudiaremos en el u ´ltimo cap´ıtulo. Más adelante, revisaremos sucintamente algunas construcciones que dan origen a 3-variedades; a saber, la llamada descomposición de Heegaard; terminaremos enunciando uno de los resultados más importantes en matemáticas en la u ´ltima parte del siglo xx, que es la clasificación de las 4-variedades debida a M. Freedman [18], y haremos una comparación con la clasificación clásica de las superficies, presentada en la

396

VARIEDADES

sección XI.2, después de hacer una modificación adecuada del enunciado. Comencemos recordando que una 1-variedad conexa es un espacio V conexo, de Hausdorff, que satisface el segundo axioma de numerabilidad y que está cubierto por abiertos Ui , tales que para cada i se tiene un homeomorfismo de un intervalo abierto o semiabierto en él, φi : Ii −→ Ui . El siguiente lema será fundamental para la clasificación de las variedades de dimensión 1. XI.3.1 Lema. Sea X un espacio de Hausdorff conexo, tal que X = X1 ∪ X2 , donde X1 , X2 ⊂ X son abiertos, tales que X1 ≈ X2 ≈ R, entonces X ≈ R o X ≈ S1 . Demostraci´ on: Supondremos que X1 * X2 y X2 * X1 , pues de otro modo el resultado ser´ıa trivial. Sean φ1 : X1 −→ R y φ2 : X2 −→ R homeomorfismos. Ya que la intersección X1 ∩ X2 es abierta, tanto en X1 como en X2 , los conjuntos φ1 (X1 ∩ X2 ) y φ2 (X1 ∩ X2 ) son abiertos en R, por lo que sus componentes son intervalos abiertos. Ninguno de esos intervalos puede ser acotado, pues si un intervalo (a, b) fuera componente de, digamos, φ1 (X1 ∩ X2 ), entonces el conjunto φ−1 ıa tanto cerrado en X2 (pues ser´ıa la intersección del 1 (a, b) ser´ −1 compacto φ1 [a, b] con X2 ), como abierto en X2 , por lo que se tendr´ıa X2 = φ−1 ıa nuestra suposición inicial. 1 (a, b) ⊂ X1 , lo cual contradir´ Más a´ un, φ1 (X1 ∩ X2 ) ̸= R, pues de lo contrario X1 ⊂ X2 . Análogamente, φ2 (X1 ∩ X2 ) ̸= R. Nos restan dos casos posibles: (i) Tanto φ1 (X1 ∩ X2 ) como φ2 (X1 ∩ X2 ) son semirrectas abiertas. (ii) Tanto φ1 (X1 ∩ X2 ) como φ2 (X1 ∩ X2 ) son, cada uno, la unión de dos semirrectas abiertas ajenas. Ya que es posible multiplicar tanto φ1 como φ2 por −1, se puede suponer que, en el caso (i), φ1 (X1 ∩ X2 ) tiene la forma (−∞, a) y φ2 (X1 ∩ X2 ), la forma (b, ∞). La composición (−∞, a) = φ1 (X1 ∩ X2 )

φ−1 1 |

/ X1 ∩ X2

φ2 |

/ φ2 (X1 ∩ X2 ) = (b, ∞)


397

es una aplicación continua e inyectiva, por tanto monótona, y obvia−1 mente creciente (si no, los puntos φ−1 ıan vecin1 (a) y φ2 (b) no tendr´ dades ajenas en X y éste no ser´ıa de Hausdorff). As´ı, −1 X = φ−1 2 ((−∞, φ2 (x0 )]) ∪ φ1 ([φ1 (x0 ), ∞)) ,

para alg´ un punto x0 ∈ X1 ∩ X2 , de modo que en el caso (i) X es homeomorfo a R. En el caso (ii), φ1 (X1 ∩ X2 ) = (−∞, a) ∪ (a′ , ∞) y φ2 (X1 ∩ X2 ) = (−∞, b) ∪ (b′ , ∞), para algunos elementos a, a′ , b, b′ , (a < a′ , b < b′ ), por lo que podemos suponer que el homeomorfismo compuesto φ1 (X1 ∩ X2 )

φ−1 1 |

/ X1 ∩ X2

φ2 |

/ φ2 (X1 ∩ X2 )

aplica homeomorfamente a (−∞, a) en (b′ , ∞), y a (a′ , ∞) en (−∞, b). Los dos homeomorfismos (−∞, a) −→ (b′ , ∞) y (a′ , ∞) −→ (−∞, b) inducidos por el homeomorfismo compuesto de arriba son crecientes −1 ′ (pues si no lo fuera, por ejemplo el primero, los puntos φ−1 1 (a) y φ2 (b ) no tendr´ıan vecindades ajenas en X). Podemos, por tanto, escribir −1 X = φ−1 2 ([φ2 (y), φ2 (x)]) ∪ φ1 ([φ1 (x), φ1 (y)]) , −1 ′ −1 ′ para ciertos puntos x ∈ φ−1 1 (−∞, a) = φ2 (b , ∞), y ∈ φ1 (a , ∞) = 1 φ−1 ⊔ ⊓ 2 (−∞, b); por ello, en el caso (ii), X es homeomorfo a S .

La primera parte de nuestro teorema de clasificación es la siguiente. XI.3.2 Proposici´ on. Cualquier 1-variedad V compacta, conexa es homeomorfa, ya sea, a S1 o al intervalo I = [0, 1]. Demostraci´ on: Si la variedad V es cerrada, es decir, no tiene frontera, entonces puede cubrirse con un n´ umero finito de abiertos homeomorfos a R, que podemos ordenar en una sucesión U1 , . . . , Uk , de manera que cada unión Vl = U1 ∪ · · · ∪ Ul sea conexa. De acuerdo con el lema XI.3.1, el primero de los conjuntos Vl que ya no sea homeomorfo a R, debe ser homeomorfo a S1 y, siendo tanto abierto como cerrado, es toda la variedad V , que, por tanto, resulta ser homeomorfa a S1 . Si suponemos ahora que V tiene frontera, entonces su doble 2V es una 1-variedad conexa y cerrada, por lo que, por la primera parte de

398

VARIEDADES

esta demostración es homeomorfa a S1 . Por tanto, la variedad original V debe ser homeomorfa a un subconjunto propio de S1 , que será conexo, cerrado y no vac´ıo, y no es un punto. Entonces habrá de ser homeomorfo al intervalo cerrado [0, 1]. ⊔ ⊓ El u ´ltimo resultado que necesitamos es el siguiente. ogico X puede representarse como la XI.3.3 Lema. Si un espacio topol´ uni´ on de una sucesi´ on no decreciente de subconjuntos abiertos, todos ellos homeomorfos a R, entonces X mismo es homeomorfo a R. Demostraci´ on: Sea X = ∪Vi la representación dada. Es claro que cualquier homeomorfismo de Vi con alg´ un intervalo (a, b) puede extenderse a un homeomorfismo de Vi+1 con uno de los intervalos (a, b), (a − 1, b), (a, b + 1) o (a − 1, b + 1). De esta forma, es posible construir, inductivamente, una sucesión de intervalos I1 ⊂ I2 ⊂ · · · ⊂ Ii ⊂ · · · y una sucesión de homeomorfismos φi : Vi −→ Ii , i = 1, 2, . . . , tal que φi |Vi−1 = φi−1 : Vi−1 −→ Ii−1 . Es evidente que la aplicación φ : X −→ ∪Ii , tal que φ|Vi = φi , es un homeomorfismo. ⊔ ⊓ Usando los lemas anteriores, podemos probar la segunda parte del teorema de clasificación de variedades de dimensión 1. XI.3.4 Proposici´ on. Cualquier 1-variedad no compacta V , conexa, es homeomorfa a R o a R+ . Demostraci´ on: Supóngase, en primer lugar, que V no tiene frontera. Entonces puede cubrirse con una familia numerable de abiertos homeomorfos a R, a los que es posible acomodar en una sucesión U1 , U2 , . . . , tal que todas las uniones U1 ∪ · · · ∪ Uk sean conexas. Entonces todas estas uniones son homeomorfas a R, pues, si no lo fueran todas, la primera de ellas que no lo es, seg´ un el lema XI.3.1, ser´ıa homeomorfa 1 a S y, al ser cerrada y abierta, deber´ıa coincidir con V , lo cual es una contradicción. Por lo tanto, aplicaremos el lema XI.3.3 a nuestra variedad V para concluir que es homeomorfa a R. Si ahora suponemos que V tiene frontera, entonces su doble 2V no la tiene y es, por tanto, una variedad conexa, no compacta, por lo que


399

debe ser homeomorfo a R. De ah´ı se deduce que V es homeomorfa a un subconjunto conexo, cerrado, no compacto de R, distinto de R, por lo que es homeomorfa a R+ = [0, ∞). ⊔ ⊓ Podemos resumir las proposiciones XI.3.2 y XI.3.4 en el siguiente teorema que nos da la clasificación de las 1-variedades. XI.3.5 Teorema. Sea V una 1-variedad conexa, entonces 1. si V no tiene frontera, hay dos casos: (a) si V es compacta, entonces V ≈ S1 ; (b) si V no es compacta, entonces V ≈ R; 2. si V tiene frontera, hay dos casos: (a) si ∂V es conexa, entonces V ≈ [0, ∞); (b) si ∂V no es conexa, entonces V ≈ [0, 1] = I.

⊔ ⊓

En lo que sigue haremos algunas reflexiones sobre variedades de dimensión 3. Para ello, en primer lugar, tomemos dos toros sólidos, ´ T1 = S1 × D2 y T2 = D2 × S1 . Estas son variedades de dimensión 3, cuyas fronteras son iguales, es decir, ∂T1 = ∂T2 = S1 × S1 . Si ahora identificamos a T1 con T2 a lo largo de su frontera com´ un usando la identidad, es decir, si tomamos el espacio de adjunción correspondiente a la situación de adjunción T1 ⊃ S1 × S1 ,→ T2 , resulta que éste no es más que T1 ∪ T2 = (S1 × B2 ) ∪ (B2 × S1 ) = (∂ B2 × B2 ) ∪ (B2 × ∂ B2 ) = ∂(B2 × B2 ) ≈ ∂ B4 = S3 (véase XI.1.10). Hemos demostrado lo siguiente. XI.3.6 Proposici´ on. La uni´ on de dos copias de un toro s´ olido T =

S1 × B2 a lo largo de su frontera, a través del homeomorfismo ∂T −→ ∂T , tal que (x, y) 7→ (y, x), es homeomorfa a la 3-esfera S3 . ⊔ ⊓

400

S3 =

VARIEDADES

∪

∪

=

Figura XI.28: Una 3-esfera es unión de dos 3-bolas o de dos toros sólidos Esta situación la ilustra la figura XI.28, en la que se aprecia cómo es que la unión de dos bolas sólidas a lo largo de su frontera es lo mismo que la unión de dos toros sólidos a lo largo de su frontera. En general, se tienen homeomorfismos del toro en s´ı mismo, φ : ∂T −→ ∂T , esencialmente distintos al que se describe en el enunciado de la proposición anterior y que, en general, determinan 3-variedades diferentes a la 3-esfera. Miembros importantes de esta familia de automorfismos del toro son los homeomorfismos ac fbd : S1 × S1 −→ S1 × S1 , ac (ζ, η) = (ζ a · η b , ζ c · η d ), a, b, c, d ∈ Z, ad − bc = ±1, que dados por fbd más adelante, en XIV.2.15, se describen. ac correspondientes a Podemos definir los espacios de adjunción Mbd las situaciones de adjunción

T1 ⊃ S1 × S1

ac fbd

/ S1 × S1 ⊂ T2 .

XI.3.7 Ejercicio. Sean a, b, c, d ∈ Z tales que ad − bc = ±1. Probar ac : S1 × S1 −→ S1 × S1 es un homeomorfismo con que la aplicación fbd un inverso del mismo tipo e indicar cuál es ese inverso. XI.3.8 Ejercicio. Probar que si f : S1 × S1 −→ S1 × S1 es un homeomorfismo, entonces el espacio de adjunción M correspondiente a la situación de adjunción T1 ⊃ S1 × S1

f

/ S1 × S1 ⊂ T2


401

es una variedad de dimensión 3 conexa, compacta y sin frontera. De los ejercicios anteriores es inmediato el siguiente resultado. ac , a, b, c, d ∈ Z, ad − XI.3.9 Teorema. Los espacios de adjunci´ on Mbd bc = ±1, son variedades de dimensi´ on 3 conexas, compactas y sin frontera, es decir, son 3-variedades cerradas. ⊔ ⊓ ac con aplicaci´ ac y tomemos otra Sea M = Mbd on de pegadura f = fbd ′ ′ colección a′ , b′ , c′ , d′ ∈ Z, a′ d′ −b′ c′ = ±1; sea M ′ = Mba′ dc′ con aplicación ′ ′ de pegadura f ′ = fba′ dc′ . Considérense α, β, γ, δ ∈ {−1, 1} y m, n ∈ Z. Tenemos as´ı homeomorfismos F : D2 × S1 −→ D2 × S1 , dados por F (ζ, η) = (ζ α η m , η β ), y G : S1 × D2 −→ S1 × D2 , G(ζ, η) = (ζ γ η n , η δ ), donde ξ −1 = ξ. Supongamos que se cumplen las ecuaciones (XI.3.10) γa = αa′ , γb = ma′ + βb′ , αc′ = na + δc, mc′ + δc′ = nb + δd .

Entonces (G|S1 × S1 ) ◦ f = f ′ ◦ (F |S1 × S1 ), es decir, conmuta

S1 × S1 f

F |S1 ×S1

S1 × S1

/ S1 × S1

G|S1 ×S1

f′

/ S1 × S1 ,

por lo que, claramente, M ≈ M ′ . En el caso a = 0, se tiene que bc = ±1, y tomamos α = γ = −1, β = −b, δ = −c, n = 0 y m = −cd. Entonces M ≈ M0110 ≈ (B2 ∪id B2 ) × S1 ≈ S2 × S1 . En el caso a = ±1, tomamos α = δ = a, β = ad − bc, γ = 1 m = b y n = −c. Entonces M ≈ M1001 ≈ S3 (ejercicio, véase la figura XI.28). Sea en adelante |a| ≥ 2. Si a < 0, tomamos α = −1, β = γ = δ = 1 y m = n = 0 y obtenemos a′ > 0, por lo que de una vez podemos suponer a > 0. Si ad − bc = −1, tomamos α = β = γ = 1, δ = −1 y m = n = 0 y obtenemos a′ d′ − b′ c′ = 1, donde a′ = a > 0. Por lo tanto, consideremos de antemano que ad − bc = 1. Los n´ umeros c y d están determinados por a y b en el siguiente sentido. Si se tiene que ad′′ − bc′′ = 1, entonces c′′ = c + na y d′′ = d + nb para alguna n ∈ Z.

402

VARIEDADES

Si en (XI.3.10) se toma esta n y m = 0, α = β = γ = δ = 1, entonces ac′′ . As´ M ≈ Mbd ı, M , salvo homeomorfismo, está determinado por a y b ′′ ac . Tomando ahora y es posible escribir simplemente Mba en vez de Mbd a a n = 0 y α = β = γ = δ = −1 en (XI.3.10), Mb ≈ Mb+ma , por lo que se reduce b módulo a y se obtiene1 ≤ b < a. A la variedad Mba se le conoce como el espacio lente asociado a a, b, usualmente denotado por L(a, b). Hemos demostrado lo siguiente. ac es homeomorfa a la esfera S3 , XI.3.11 Teorema. La 3-variedad Mbd a S2 × S1 o al espacio lente L(a, b), donde a y b son primos relativos y 1 ≤ b < a. ⊔ ⊓

XI.3.12 Nota. La definición que estamos dando para los espacios lentes es ad hoc. Por ejemplo en [4] puede verse la definición tradicional; entonces se torna en un interesante resultado demostrar que nuestros espacios lentes son homeomorfos a los tradicionales. XI.3.13 Ejemplo. Sea g ≥ 1 un n´ umero entero y sea Dg el disco con g agujeros, como en XI.2.10(a). Entonces Hg = Dg × I es una 3-variedad cuya frontera Ag = ∂(Dg × I) es una superficie orientable de género g. A Hg se le llama cuerpo con asas de género g. Si φ : Ag −→ Ag es alg´ un homeomorfismo, entonces M = Hg ∪φ Hg es una 3-variedad cerrada. A la pareja (Hg , φ) se le conoce como descomposici´ on de Heegaard de M de género g. Se tiene el siguiente importante teorema debido a Dyck y Heegaard, cuya demostración se sale de la mira de este texto (véase [24]). XI.3.14 Teorema. Toda 3-variedad cerrada, orientable M , admite una descomposici´ on de Heegaard de género g ≥ 0, es decir, M ≈ Hg ∪φ Hg , para alguna g y alg´ un homemorfismo φ : Ag −→ Ag , Ag = ∂Hg . En una dimensión más arriba, o sea, en dimensión 4, la situación se vuelve particularmente interesante. Como ya se˜ nalamos en XI.2.26, Moebius dio la clasificación de las variedades de dimensión 2. Usando técnicas homológicas, es posible asociarle a cada variedad de dimensión par, digamos 2n, una forma bilineal, llamada su forma de intersecci´ on,


403

que de alguna manera cuenta el n´ umero (finito) de puntos (con signo) en los que se intersectan sus subvariedades de dimensión n. Esto se registra en la homolog´ıa en la semidimensión de la variedad, o sea, en la n-homolog´ıa. A esta forma bilineal se le asocia una matriz simétrica, unimodular (es decir, con determinante ±1) canónica con coeficientes enteros. En el caso de las superficies, a cada matriz simétrica unimodular, puesta en forma canónica, le corresponde una superficie. El teorema de clasificación de superficies XI.2.26 puede reformularse, en términos de estas matrices simétricas unimodulares, como sigue. XI.3.15 Teorema. Sea S una superficie conectable por trayectorias (0conexa). Si S es orientable, entonces su matriz can´ onica puede ser 0, en cuyo caso S ≈ S2 , o es de la forma   0 1 0 0 0 0 1 0   . .  , .   0 0 0 1 0 0 1 0 en cuyo caso S ≈ (S1 × S1 )# · · · #(S1 × S1 ), con tantos sumandos como bloques de 2 × 2 tiene la matriz. Si S no es orientable, entonces su matriz can´ onica es de la forma   1 0 0 0 0 0 0 1   . .  , .   0 0 1 0 0 0 0 1 en cuyo caso S ≈ RP2 # · · · #RP2 , con tantos sumandos como unos tiene la matriz en la diagonal. El teorema afirma que las matrices son invariantes que clasifican las superficies: En el primer caso se trata de matrices de bloques de dimensión 2g × 2g, mientras que en el segundo, se trata de matrices identidad de dimensión g × g, donde, en ambos casos, g es el género de S. En dimensión 4 la situación es particularmente interesante. En primer lugar, no parece posible dar un teorema completo de clasificación,

404

VARIEDADES

es decir, un teorema que clasifique todas las 4-variedades. Hay razones algebraicas que lo impiden, como se se˜ nala en XIV.4.19. Sin embargo, en 1982 se dio un paso fundamental en esa dirección, que fue el trabajo de Freedman [18], en el que da la clasificación de las 4-variedades simplemente conexas (véase XIV.1.24 más adelante). Freedman demuestra que a cada matriz unitaria, unimodular canónica, le corresponde una 4-variedad y que estas matrices canónicas las clasifican. Hay una matriz simétrica unimodular excepcional de 8 × 8; a saber   2 1 0 0 0 0 0 0 1 2 1 0 0 0 0 0 0 1 2 1 0 0 0 0   0 0 1 2 1 0 0 0 E 8 = 0 0 0 1 2 1 0 1 ,   0 0 0 0 1 2 1 0   0 0 0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 1 0 0 2 a la que, de acuerdo con los resultados de Freedman, le corresponde una cierta variedad de dimensión 4 simplemente conexa, que designaremos por V8 . De forma análoga a una de las maneras como a las superficies se les da o no una orientación, a las 4-variedades se les puede o no asociar una estructura llamada spin. El teorema de clasificación es como sigue. XI.3.16 Teorema. Sea V una 4-variedad simplemente conexa (1-conexa –véase XIV.1.24). Si V es spin, entonces su matriz can´ onica puede ser 0, en cuyo caso V ≈ S4 , o es de la forma 0 1 0 0 0 0 1 0   . .   .    0 1   , 1 0     E8     .. . 0 0 0 0 E8 en cuyo caso V ≈ (S2 × S2 )# · · · #(S2 × S2 )#V8 # · · · #V8 , con tantos sumandos S2 × S2 como bloques de 2 × 2 y tantos sumandos V8 como bloques E8 tiene la matriz. Si V no es spin, entonces su matriz can´ onica

´ GRUPOS CLASICOS

es de la forma



1 0     0 0

405

 0 0  .. , .  0 −1 0 0 0 −1 0 1

0 0

2

2

en cuyo caso S ≈ CP2 # · · · #CP2 #CP # · · · #CP , con tantos suman2 dos CP2 como unos y tantos CP como menos unos tiene la matriz en 2 la diagonal. El espacio CP es el plano proyectivo complejo usual, pero con la orientaci´ on opuesta a la de CP2 . Es de llamar la atención, sin duda, el paralelismo, salvo por el bloque E8 en la matriz y el sumando V8 en la 4-variedad, entre este teorema para 4-variedades y el teorema XI.3.15 para 2-variedades. Remitimos al lector a [20] para detalles sobre este resultado. XI.4

´ sicos Grupos cla

A partir de grupos de matrices, conocidos como grupos cl´ asicos que resultan ser variedades, definiremos en esta sección una serie de otras variedades que resultan muy u ´tiles en diversas áreas de las matemáticas, como son las variedades de Grassmann y las de Stiefel; estudiaremos sus relaciones, y veremos cómo las de Grassmann generalizan a los proyectivos. Después, haremos un estudio somero de los grupos clásicos. Comencemos considerando el espacio Mn (R) (resp. Mn (C)) de todas las matrices de n × n con coeficientes en los n´ umeros reales (resp. en los n´ umeros complejos). Colocando los renglones de la matriz uno tras otro, se tienen homeomorfismos 2

Mn (R) ≈ Rn ,

2

2

Mn (C) ≈ Cn ≈ R2n .

Las funciones determinantes detR : Mn (R) −→ R,

detC : Mn (C) −→ C

son continuas, por lo que los subconjuntos GLn (R) = det−1 R (R − 0),

GLn (C) = det−1 C (C − 0)

406

VARIEDADES

son abiertos y, por lo tanto, subvariedades de Rn y de R2n de dimensiones n2 y 2n2 , respectivamente. Estos conjuntos están formados por las matrices invertibles y, con respecto a la multiplicación de matrices, forman grupos. Ya que esta multiplicación, as´ı como la función que aplica a una matriz en su inversa (por la regla de Cramer), son continuas, resulta que son grupos topol´ ogicos. 2

2

´ n. A las variedades GLn (R) y GLn (C) se les conoce XI.4.1 Definicio como grupo lineal general real de matrices n × n y grupo lineal general complejo de matrices n × n. Más brevemente, podemos decir el n-ésimo grupo lineal general real, resp. n-ésimo grupo lineal general complejo. Más a´ un, tenemos dim GLn (R) = n2 y dim GLn (C) = 2n2 . Dada una matriz real A (resp. compleja) den × n, podemos ina1i terpretar a sus columnas como vectores Ai =  ... . Los vectores ani A1 , . . . An son linealmente independientes si y sólo si A ∈ GLn (R) (resp. A ∈ GLn (C)). Supongamos un poco más; a saber, que estos vectores forman una base ortonormal, es decir, satisfacen las n(n+1) 2 ecuaciones ⟨Ai , Aj ⟩ = δij , 1 ≤ i ≤ j ≤ n, donde ⟨−, −⟩ representa el producto escalar usual en Rn (resp. el producto hermitiano usual en Cn ). Ordenándolas adecuadamente, estas ecuaciones (de las cuales, en el caso complejo, n de ellas tienen valores reales, y n(n+1) − n = n(n−1) , 2 2 valores complejos) producen aplicaciones φ : GLn (R) −→ R

n(n+1) 2

,

2

(resp. φ : GLn (C) −→ Rn ) ,

que de hecho son diferenciables, y para cada punto A ∈ GLn (R) (resp. n(n+1)

A ∈ GLn (C)), tal que φ(A) = δ, donde δ ∈ R 2 (resp. δ ∈ Rn ) es el punto dado por la delta de Kronecker δij , i ≤ j = 1, . . . , n, su derivada es de rango máximo. El teorema de la función impl´ıcita asegura que hay una vecindad UA de A en GLn (R) (resp. en GLn (C)), una vecindad 2 2 VA de 0 en Rn (resp. R2n ), y homeomorfismos ψA : VA −→ UA , que aplican a 0 en A de tal modo que las composiciones φ′ ◦ ψA : VA −→ n(n+1) 2 R 2 (resp. φ′ ◦ ψA : VA −→ Rn ), donde φ′ = φ − δ, corresponden, simplemente, a la proyección en las primeras n(n+1) coordenadas reales 2 2

´ GRUPOS CLASICOS

407

(resp. en las primeras n2 coordenadas reales). De este modo, el conjunto de soluciones de las n(n+1) ecuaciones M = φ−1 (δ) = φ′−1 (0) es tal que 2 la restricción de ψA a las u ´ltimas n(n−1) (resp. n2 ) coordenadas reales 2 induce un homeomorfismo que volvemos a denotar por ψA : UA ∩ (0 ×

R

n(n−1) 2

) −→ VA ∩ M (resp. ψA : UA ∩ (0 × Rn ) −→ VA ∩ M ). La figura XI.29 ilustra lo que se ha hecho. 2

R

n(n−1) 2

R

0

n(n+1) 2

φ

ψA A

UA

R

n(n+1) 2

VA

Figura XI.29: El teorema de la función impl´ıcita Hemos demostrado que cada punto A ∈ M tiene una vecindad WA = VA ∩ M y un homeomorfismo ψA : UA′ −→ WA , donde UA′ es n(n−1)

un abierto en R 2 (resp en Rn ). Por lo tanto, M es una varien(n−1) dad de dimensión (resp. n2 ). Más a´ un, al ser M un conjunto 2 de soluciones es cerrado, y al estar formada cada matriz A ∈ M por vectores unitarios, claramente M es acotado, as´ı, M es una variedad cerrada (es decir, compacta y sin frontera). El subconjunto M ⊂ GLn (R) (resp. M ⊂ GLn (C)) es, de hecho, un subgrupo. Está caracterizado de la siguiente forma: Una matriz A ∈ GLn (R) (resp. A ∈ GLn (C)) es tal que A ∈ M si y sólo si AA∗ = 1, donde A∗ es la matriz transpuesta (resp. transpuesta conjugada) de A y 1 representa la matriz identidad. 2

´ n. Al grupo On = {A ∈ GLn (R) | AA∗ = 1} se le XI.4.2 Definicio llama n-grupo ortogonal o grupo de matrices ortogonales de n × n y al grupo Un = {A ∈ GLn (C) | AA∗ = 1}, n-grupo unitario o grupo

408

VARIEDADES

de matrices unitarias de n × n. El primero es una variedad cerrada de dimensión n(n−1) y el segundo es una variedad cerrada de dimensión 2 2 n . On y Un son grupos topológicos con respecto a la topolog´ıa relativa inducida por GLn (R) y GLn (C), respectivamente. Tenemos una construcción más general. Usualmente se consideran marcos, es decir, colecciones ortonormales de k vectores en Rn , k ≤ n. Esto es equivalente a tomar matrices con k columnas y n renglones, o sea, matrices de n × k, A = (A1 , . . . , Ak ), donde   a1i ..   Ai = . ani es un vector en Rn (resp. Cn ) y se cumple la ecuación ⟨Ai , Aj ⟩ = δij , 1 ≤ i ≤ j ≤ k, donde de nuevo ⟨−, −⟩ representa el producto escalar usual en Rn (resp. el producto hermitiano usual en Cn ). Tomemos los conjuntos Vk (Rn ) = {A = (A1 , . . . , Ak ) ∈ Rn × · · · × Rn | ⟨Ai , Aj ⟩ = δij } , Vk (Cn ) = {A = (A1 , . . . , Ak ) ∈ Cn × · · · × Cn | ⟨Ai , Aj ⟩ = δij } , 1 ≤ i ≤ j ≤ k. Podemos considerar a Vk (Rn ) (resp. Vk (Cn )) como el subconjunto de Rnk , (resp. Cnk ) de las soluciones de las k(k+1) 2 (resp.k(k + 1) − k = k 2 ) ecuaciones ⟨Ai , Aj ⟩ = δij , 1 ≤ i ≤ j ≤ k. Los mismos argumentos usados arriba para el grupo ortogonal y el grupo unitario nos muestran que Vk (Rn ) (resp. Vk (Cn )) es una variedad cerrada de dimensión nk− k(k+1) = k(2n−k−1) (resp. 2nk−k 2 = k(2n−k)). 2 2 Tenemos as´ı lo siguiente. ´ n. Al conjunto Vk (Rn ) = {A = (A1 , . . . , Ak ) ∈ Rn × XI.4.3 Definicio · · · × Rn | ⟨Ai , Aj ⟩ = δij , 1 ≤ i ≤ j ≤ k} se le llama variedad de Stiefel real de k-marcos en Rn y al conjunto Vk (Cn ) = {A = (A1 , . . . , Ak ) ∈ Cn × · · · × Cn | ⟨Ai , Aj ⟩ = δij , 1 ≤ i ≤ j ≤ k}, variedad de Stiefel compleja de k-marcos en Cn . El primero es una variedad cerrada de y el segundo es una variedad cerrada de dimensión dimensión k(2n−k−1) 2 k(2n − k).

´ GRUPOS CLASICOS

409

XI.4.4 Nota. Si en la definición anterior tomamos k = n, tenemos que Vn (Rn ) = On y que Vn (Cn ) = Un . Por otro lado, si tomamos k = 1, tenemos que V1 (Rn ) = Sn−1 y que V1 (Cn ) = S2n−1 . Tomemos un elemento M ∈ On (resp. Un ) y un elemento A ∈ Vk (Rn ) (resp. Vk (Cn )). La matriz M act´ ua sobre cada vector Ai del k-marco A, de modo que, por ser M una matriz ortogonal (resp. unitaria), los vectores M Ai , i = 0, 1, . . . , k, forman nuevamente un marco ortonormal en Rn (resp. Cn ). Denotemos a este nuevo k-marco por M A. Esto nos determina una acci´ on del grupo ortogonal (unitario) en la variedad de Stiefel (véase XV.1.25), pues es sencillo verificar que la función On × Vk (Rn ) −→ Vk (Rn ) (resp. Un × Vk (Cn ) −→ Vk (Cn )), (M, A) 7→ M A es continua y se cumplen IA = A y (M N )A = M (N A) (véase V.5.1). XI.4.5 Ejercicio. Probar que dados cualesquiera dos marcos A,B ∈ Vk (Rn ) (resp. Vk (Cn )) existe M ∈ On (resp. Un ), tal que M A = B, es decir, la acción de On (resp. Un ) en Vk (Rn ) (resp. Vk (Cn )) es transitiva. XI.4.6 Nota. Si en la definición previa tomamos k = n, claramente tenemos que Vn (Rn ) = On y que Vn (Cn ) = Un . Por otro lado, si tomamos k = 1, tenemos que V1 (Rn ) = Sn−1 y que V1 (Cn ) = S2n−1 . El ejercicio XI.4.5 muestra que la variedad de Stiefel Vk (Rn ) (resp. Vk (Cn )), al menos como conjunto, es un cociente de On ; a saber, si tomamos el k-marco can´ onico E, tal que Ei = ei es el i-ésimo vector unitario canónico, entonces para cada A ∈ Vk (Rn ) (resp. Vk (Cn )) existe MA ∈ On (resp. Un ), tal que MA E = A. Tenemos as´ı una función suprayectiva On −→ Vk (Rn ) (resp. Un −→ Vk (Cn )) , tal que M 7→ M E, que es fácil verificar que es continua. Pero On (resp. Un ) es compacto y Vk (Rn ) (resp. Vk (Cn )) es de Hausdorff; por lo tanto, resulta lo siguiente. XI.4.7 Proposici´ on. Las aplicaciones On −→ Vk (Rn ) y Un −→ Vk (Cn ), tales que M 7→ M E, son identificaciones. ⊔ ⊓

410

VARIEDADES

XI.4.8 Ejercicio. Probar que M E = N E, M, N ∈ On (resp. Un ), donde E ∈ Vk (Rn ) (resp. Vk (Cn )) es el k-marco canónico, si y sólo si existe K ∈ On−k ⊂ On (Un−k ⊂ Un ), tal que M K = N , donde incluimos a On−k en On (resp. Un−k en Un ) v´ıa ( ) 1k 0 K 7→ 0 K , donde 1k ∈ Ok (resp. Uk ) es la matriz identidad. Lo que el ejercicio anterior demuestra es que la variedad de Stiefel de k-marcos en Rn (resp. Cn ) es el conjunto de clases laterales del subgrupo On−k de On (resp. Un−k de Un ) con la topolog´ıa de identificación. Es decir, (XI.4.9)

On /On−k ≈ Vk (Rn ) (resp. Un /Un−k ≈ Vk (Cn )) .

En otras palabras, las variedades de Stiefel son espacios homogéneos (véase X.3.13). Una forma de definir los espacios proyectivos real RPn−1 y complejo n−1 CP es como espacios de rectas reales o complejas (es decir, de subespacios de dimensión 1) de Rn o de Cn . Podemos, más generalmente, considerar los conjuntos de subespacios de dimensión k de Rn o de Cn . Dicho de otra forma, considérese en Rn − {0} (resp. en Cn − {0}) la relación de equivalencia x ∼ y si y sólo si hay un n´ umero real n−1 n (resp.complejo) ξ tal que y = ξx. Entonces RP ≈ R − {0}/ ∼ (resp. CPn−1 ≈ Cn − {0}/ ∼). XI.4.10 Ejercicio. Considérese el grupo topológico G = R − {0} (resp. G = C − {0} descrito en X.3.2). Entonces G act´ ua en Rn − {0} (resp. en Cn − {0}) por multiplicación por escalares. Probar que la inclusión Sn−1 ,→ Rn − {0} (resp. S2n−1 ,→ Cn − {0}) induce un homeomorfismo RPn −→ Rn − {0}/ ∼ (resp. CPn −→ Cn − {0}/ ∼). Más generalmente podemos considerar los conjuntos de subespacios de dimensión (real) k de Rn (resp. de dimensión compleja k of Cn ). Tómese un marco A ∈ Vk (Rn ) (resp. A ∈ Vk (Cn )). Ya que este marco consta de k vectores linealmente independientes en Rn (resp. Cn ), entonces A determina un subespacio de dimensión real k, LA ⊂ Rn (resp.

´ GRUPOS CLASICOS

411

de dimensión compleja k, LA ⊂ Cn ); más a´ un, cualquier subespacio L de dimensión k de Rn (Cn ) tiene una base ortonormal A ∈ Vk (Rn ) (resp. A ∈ Vk (Cn )). Si llamamos Gk (Rn ) (resp. Gk (Cn )) al conjunto de subespacios de dimensión real k de Rn (resp. de dimensión compleja k de Cn ), entonces hay funciones suprayectivas q : Vk (Rn ) Gk (Rn )

(resp.

q : Vk (Cn ) Gk (Cn )) .

Si se le da al codominio la topolog´ıa de identificación, entonces el conjunto Gk (Rn ) (resp. Gk (Cn )) se convierte en un espacio topoógico compacto. XI.4.11 Ejercicio. Probar que dos marcos A, B ∈ Vk (Rn )

(resp. Vk (Cn ))

determinan el mismo k-subespacio LA = LB de Rn (resp. Cn ) si y sólo si existe K ∈ Ok ⊂ On (Uk ⊂ Un ), tal que KA = B, donde incluimos a Ok en On (resp. Uk en Un ) v´ıa ( ) K 0 K 7→ 0 1 , n−k

donde 1n−k ∈ On−k (resp. Un−k ) es la matriz identidad. Concluir que si se toma la aplicación compuesta On −→ Vk (Rn ) −→ Gk (Rn ) (resp. Un −→ Vk (Cn ) −→ Gk (Cn ) ), entonces LM E = LN E si y sólo si existe K ∈ Ok × On−k ⊂ On (resp. Uk ×Un−k ⊂ Un ), donde incluimos a Ok ×On−k en On (resp. Uk ×Un−k en Un ) v´ıa ( ) K1 0 (K1 , K2 ) 7→ 0 K . 2 Lo que hay que demostrar en el ejercicio anterior es que el espacio Gk (Rn ) (resp. Gk (Cn )) de k-subespacios en Rn (resp. Cn ) es el conjunto de clases laterales del subgrupo Ok × On−k de On (resp. Uk × Un−k de

412

VARIEDADES

Un ) con la topolog´ıa de identificación. Es decir, se trata de los espacios homogéneos (XI.4.12) On /Ok × On−k ≈ Gk (Rn ) (resp. Un /Uk × Un−k ≈ Gk (Cn )) . XI.4.13 Nota. Si en la definición de Gk (Rn ) (resp. Gk (Cn )) tomamos k = n, tenemos que Gn (Rn ) = ∗ (resp. Gn (Cn ) = ∗). Por otro lado, si tomamos k = 1, tenemos que G1 (Rn ) = RPn−1 (resp. G1 (Cn ) = CP2n−1 ). Más a´ un, de la ecuación (XI.4.12) concluimos que On /O1 × On−1 ≈ RPn−1

(resp.

Un /U1 × Un−1 ≈ CPn−1 ) .

Visto de otro modo, por un lado, On /On−1 ≈ Sn−1

(resp.

Un /Un−1 ≈ S2n−1 )

y ya que O1 = Z2 (resp. U1 = S1 ), recuperamos la definición original de RPn−1 (resp. CPn−1 ) como cociente de Sn−1 módulo la acción ant´ıpoda de Z2 = O1 (resp. de S2n−1 , módulo la acción compleja de S1 = U1 ). Hemos demostrado arriba que espacios como lo son Vk (Rn ), Vk (Cn ), Gk (Rn ), Gk (Cn ) se obtienen a partir de ciertos grupos tomando cocientes adecuados, es decir, se obtienen como espacios homogéneos. Más precisamente, por el teorema de la función impl´ıcita, los grupos topológicos On y Un son variedades (lisas) y la aplicación ν : (A, B) 7→ AB −1 , es continua (lisa). Por ende, estos grupos son grupos de Lie, (véase XI.1.16), o sea, son variedades lisas y la aplicación ν es una aplicación lisa (véase XI.1.16). Los subgrupos que hemos considerado son subgrupos cerrados; de hecho, subvariedades. El siguiente resultado hace uso de técnicas espec´ıficas de grupos de Lie compactos. Puede buscarse una demostración en [10]. XI.4.14 Teorema. Si G es un grupo de Lie compacto y H ⊂ G es un subgrupo cerrado, entonces el espacio homogéneo G/H es una variedad cerrada (lisa), tal que dim(G/H) = dim G − dim H. ⊔ ⊓ En consecuencia, en los casos que analizamos, podemos escribir la siguiente definición.

´ GRUPOS CLASICOS

413

´ n. Al conjunto Gk (Rn ) = {L ⊂ Rn | dimR L = k} XI.4.15 Definicio se le llama variedad de Grassmann real de k-marcos en Rn y al conjunto Gk (Cn ) = {L ⊂ Cn | dimC L = k}, variedad de Grassmann compleja de k-subespacios de Cn . El primero es una variedad cerrada de dimensión k(n − k) y el segundo es una variedad cerrada de dimensión 2k(n − k). Hay otros grupos de Lie que juegan un papel importante en las matemáticas. Dos de ellos son SOn = {A ∈ On | det A = 1} y SUn = {A ∈ Un | det A = 1}, llamados el grupo ortogonal especial de matrices reales de n × n y el grupo unitario especial de matrices complejas de n×n. De hecho, tenemos que las funciones determinantes detR : On −→ Z2 = O1 y detC : Un −→ S1 = U1 son epimorfismos, cuyos núcleos son −1 los grupos definidos arriba. Es decir, det−1 R (1) = SOn y detC (1) = SUn . En el caso real, On tiene dos componentes; a saber, det−1 R (1) y −1 detR (−1), cada una de las cuales es una subvariedad de On de la misma dimensión. La primera corresponde a las matrices ortogonales que conservan la orientación canónica de Rn , mientras que la segunda consiste en las matrices que la invierten. De hecho, topológicamente, − On = SOn ⊔ SO− componente n , donde SOn es la( ) por trayectorias de On −1 0 a la que pertenece la matriz 1− n = 0 1n−1 . En el caso complejo, el grupo Un es conectable por trayectorias, y el subgrupo SUn de Un tiene una dimensión menor. XI.4.16 Ejercicio. (a) Probar que On no es conectable por trayectorias. Probar que SOn s´ı es conectable por trayectorias. Concluir que SO− en n tambi´ es conectable por trayectorias. (Sugerencia: Usar el proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt para producir una trayectoria desde cualquier matriz ortogonal de determinante 1 a la matriz identidad.) (b) Probar que Un es conectable por trayectorias. (Sugerencia: Usar el proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt, as´ı como el hecho de que S1 es conectable por trayectorias, para producir una trayectoria desde cualquier matriz unitaria a la matriz identidad.)

414

VARIEDADES

XI.4.17 Nota. El subgrupo SUn de Un es una subvariedad de codimensión 1, a saber, dim SUn = dim Un −1 = n2 −1. Esto surge del hecho de que dim S1 = 1 por lo que la subvariedad {1} tiene codimensión 1 en S1 y cualquier imagen inversa de un valor regular bajo una aplicación suprayectiva lisa (sumersión) conserva la codimensión. De hecho, hay un epimorfismo det : Un −→ S1 , dado por el determinante, tal que SUn = det−1 (1). Más generalmente, tenemos determinantes detR : GLn (R) −→ R − {0} = GL1 (R) y detC : GLn (C) −→ C − {0} = GL1 (C) , que son epimorfismos, cuyos n´ ucleos son los grupos topológicos SLn (R) = det−1 R (1) ⊂ GLn (R) y

SLn (C) = det−1 C (1) ⊂ GLn (C) .

Estos grupos, que son subvariedades de GLn (R) y GLn (C), respectivamente, se conocen como el grupo lineal especial real de matrices n × n y el grupo lineal especial complejo de matrices n × n (o más brevemente, el n-ésimo grupo lineal especial real y el n-ésimo grupo lineal especial complejo). Estos grupos no son compactos (salvo en el caso n = 1) y sus codimensiones son 1 y 2, respectivamente, a saber, dim SLn (R) = n2 −1 y dim SLn (C) = 2n2 − 2. Más a´ un, son inmediatas las siguientes igualdades de espacios. SLn (R) ∩ On = SOn

y SLn (C) ∩ Un = SUn .

Volvamos nuevamente al grupo lineal general GLn (R) y consideremos los subgrupos Bn = {A = (aij ) | aij = 0 si i > j} ⊂ GLn (R) , Bn+ = {A = (aij ) | aii > 0} ⊂ Bn , Bn(1) = {A = (aij ) | aii = 1} ⊂ Bn+ .

´ GRUPOS CLASICOS

415

El primero es el grupo de matrices triangulares superiores reales de n × n, llamado también subgrupo de Borel de GLn (R). El u ´ltimo es el grupo de matrices triangulares superiores reales unipotentes de n × n. Consideremos también el grupo de matrices diagonales con elementos positivos   l1 · · · 0 Dn+ = { ... . . . ...  | λi ∈ R, λi > 0} . 0 · · · λn (1)

XI.4.18 Ejercicio. Probar que se tiene un homeomorfismo Dn+ ×Bn ≈ Bn+ . Observar que no es un isomorfismo de grupos. Estos subgrupos de GLn (R) son importantes en el siguiente teorema, llamado de descomposici´ on de Iwasawa. XI.4.19 Teorema. La multiplicaci´ on de matrices define un homeomorfismo On × Bn+ ≈ GLn (R) . Demostraci´ on: Tomemos una matriz B ∈ GLn (R) y sea Bj = Bej su j-ésima columna, donde ej es el j-vector canónico. Por el proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt, resulta una base ortonormal A1 , . . . , An , tal que ∑ Bj = µjj Aj + µij Ai , i
donde µjj > 0. Es decir, B = AM , donde M = (µij ) ∈ Bn+ y A = (A1 · · · An ) ∈ On . Si AM = A′ M ′ , entonces A′−1 A = M ′ M −1 ∈ On ∩ Bn+ . Pero On ∩ + Bn consiste sólo en la matriz identidad 1n , pues una matriz ortogonal de n × n con n valores propios positivos tiene que ser la matriz 1n . Por lo tanto, A′−1 A = M ′ M −1 = 1n , por lo que A = A′ y M = M ′ . Hemos demostrado as´ı que el proceso de Gram-Schmidt define una aplicación GLn (R) −→ On × Bn+ , B 7→ (A, M ), claramente continua e inversa a ⊔ ⊓ la aplicación On × Bn+ −→ GLn (R) dada por (A, M ) 7→ AM .

416

VARIEDADES

El homeomorfismo de la descomposición de Iwasawa no es un isomorfismo (si n > 1), pues las matrices de On no conmutan con las de Bn+ . Combinando XI.4.18 y XI.4.19 se obtiene la siguiente descomposición. XI.4.20 Corolario. Se tiene un homeomorfismo GLn (R) ≈ On × Dn+ × Bn(1) . ⊔ ⊓ El siguiente resultado muestra el papel que tiene On en la descomposición de Iwasawa. XI.4.21 Teorema. On ⊂ GLn (R) es un subgrupo compacto m´ aximo, es decir, si se tiene un subgrupo compacto K ⊂ GLn (R), tal que On ⊂ K, entonces On = K. Demostraci´ on: Si K ⊂ GLn (R) es un subgrupo compacto, tal que On ⊂ K, entonces H = K ∩ Bn+ es también un subgrupo compacto. Por la descomposición de Iwasawa XI.4.19, se tiene que K = On H. Demostraremos que todo subgrupo compacto H de Bn+ es el grupo trivial. Tomemos, pues, H ⊂ Bn+ un subgrupo compacto y sea A ∈ H. Por la compacidad de H, cualquier valor propio de cualquier elemento de H debe estar en un cierto subconjunto compacto de R∗ = R − 0, por lo que en ese mismo conjunto habrán de estar los valores propios de A y de todas sus potencias. Por tanto, esos valores propios deben ser 1 y, (1) as´ı, A ∈ Bn . Tomemos ahora i ∈ {1, . . . , n} m´ınimo, tal que si i ≤ j < k, entonces Ajk = 0. Debemos probar que i = 1. Si se tuviera i > 1, habr´ıa un ´ındice k ≥ i, tal que Ai−1 k ̸= 0. As´ı, para C = Am se tiene que Ci−1 k = mAi−1 k , lo cual contradir´ıa la compacidad de H, pues los elementos de las matrices en H formar´ıan un conjunto no acotado. XI.4.22 Ejercicio. Probar que cualquier subgrupo compacto de GLn (R) es conjugado en GLn (R) a un subgrupo de On .

´ GRUPOS CLASICOS

417

XI.4.23 Nota. De acuerdo con el teorema XI.4.14, de la gran variedad de grupos (de Lie) que hemos definido, podemos definir muchas variedades (lisas) diferentes, tomando sus cocientes módulo subgrupos cerrados, de la forma como, en particular, obtuvimos las variedades de Stiefel y las de Grassmann.

418

VARIEDADES

XII. EL TEOREMA DE ¨ JORDAN–SCHONFLIES El teorema de la curva de Jordan afirma que al retirar una curva cerrada simple de R2 se obtienen exactamente dos componentes, a saber, el interior (es decir, la componente acotada) y el exterior (o sea, la componente no acotada) de la curva. Esta afirmación de alguna manera tan obvia es asombrosamente dif´ıcil de demostrar. En la primera parte de este cap´ıtulo daremos una demostración de tipo combinatorio del teorema basándonos en un teorema de Kuratowski sobre aplanabilidad de gráficas. Más adelante, en la parte topológica del cap´ıtulo, haciendo uso del teorema de Jordan-Schönflies, probaremos que toda superficie cerrada se puede triangular. Con ello demostraremos que cualquier superficie cerrada es homeomorfa a alguna de las de la lista dada en el teorema XI.2.26. Este cap´ıtulo está basado en el art´ıculo de C. Thomassen [42]. XII.1

´ ficas aplanables y el teorema de Jordan Gra

En esta sección, fundamentalmente de tipo combinatorio, demostraremos el teorema de la curva de Jordan. Comenzamos con lo siguiente. ´ n. Sea X un espacio topológico. Definimos un arco XII.1.1 Definicio simple en X como la imagen de un encaje α : I −→ X, es decir, de trayectoria tal que es una aplicación inyectiva. Sus extremos son α(0) y α(1) y α los une. Una curva cerrada simple es una trayectoria α tal que su restricción al intervalo abierto (0, 1) es inyectiva, pero α(0) = α(1). Un espacio X es conectable por arcos si dados cualesquiera x, y ∈ X, hay un arco simple α en X que los une. Un arco poligonal simple o una curva poligonal cerrada en R2 es un arco simple o una curva cerrada simple que son unión de un n´ umero finito de segmentos de recta. Claramente un espacio conectable por arcos es conectable por trayectorias. 419

420

¨ EL TEOREMA DE JORDAN–SCHONFLIES

XII.1.2 Ejercicio. Probar que si X es un espacio de Hausdorff conectable por trayectorias, entonces es conectable por arcos. En el plano se tiene lo siguiente. XII.1.3 Lema. Si Ω ⊂ R2 es abierto y conectable por arcos, entonces cualesquiera dos puntos en Ω se pueden unir por un arco poligonal simple en Ω. Demostraci´ on: Sean x, y ∈ Ω arbitrarios y sea α : I −→ Ω un arco tal que α(0) = x y α(1) = y. Considérese el conjunto T de todos los puntos t ∈ I tales que hay un arco poligonal simple en Ω que une a x y α(t). Sea t0 = sup T . Necesariamente t0 = 1. De lo contrario, ya que Ω es abierto, habr´ıa un disco D en Ω con centro en α(t0 ) y un punto α(t1 ) ∈ D con t1 > t0 . Como D es convexo, el segmento que une a estos dos puntos yace en D y por ende en Ω, de modo que t1 ∈ T , lo cual es una contradicción. ⊔ ⊓ Sea A ⊂ R2 abierto. A un abierto conectable por arcos máximo Ω ⊂ A se le llama regi´ on de A. ´ n. Una gr´ XII.1.4 Definicio afica G es la unión de dos conjuntos V (G) y A(G), de vértices y aristas, tales que a cada arista a se le asocian dos vértices distintos v y w, llamados los extremos de la arista. En este caso se denota a como vw. Decimos que vw une a v y w o que incide en v y w. Si hay más de una arista que une a v y w diremos que se trata de una arista m´ ultiple. Un isomorfismo entre dos gráficas G y G′ es un par de funciones biyectivas f : V (G) −→ V (G′ ) y g : A(G) −→ A(G′ ) tal que si xy es una arista de G y x′ = f (x), y ′ = f (y), entonces x′ y ′ = g(xy) (es una arista de G′ ). Un camino es una gráfica con vértices distintos v1 , v2 , ..., vn y aristas v1 v2 , v2 v3 , ..., vn−1 vn . Si n ≥ 2 y a˜ nadimos una arista vn v1 , a este camino, obtenemos un ciclo. Denotamos a ambos por v1 v2 v3 ...vn y del contexto quedará claro si se trata de un camino o de un ciclo. Sea A ⊂ V (G) ∪ A(G). Denotamos por G − A la gráfica obtenida de G quitándole todos los vértices y todas las aristas de A, as´ı como todas las aristas que inciden en un vértice de A. Decimos que G es una gráfica

´ GRAFICAS APLANABLES Y EL TEOREMA DE JORDAN

421

conexa si dados cualesquiera dos vértices de G hay un camino en G que los une; decimos que G es 2-conexa si es conexa y para cada vértice v en G, la gráfica G − {v} (también denotada G − v), que se obtiene retirando el vértice v y todas las aristas que en él inciden, es conexa. Se dice que una gráfica puede encajarse en un espacio topológico X, si los vértices de G pueden representarse por elementos distintos de X, y cada arista de G puede representarse por un arco simple en X que une sus dos extremos de tal modo que dos aristas tienen a lo más un extremo en com´ un. Una gráfica que admite un encaje en R2 se llama gráfica aplanable; a su representación en R2 se le llama gráfica plana. XII.1.5 Lema. Si G es una gr´ afica aplanable, entonces G admite un encaje en R2 tal que las aristas son arcos poligonales simples. Demostraci´ on: Sea Γ una gráfica plana isomorfa a G. Sea v un vértice de Γ y sea Dv un disco cerrado con centro en v que sólo intersecte las aristas que inciden en v. De hecho, podemos suponer que para cada par de vértices distintos u y v en Γ, los discos Du y Dv son ajenos. Para cada arista uv en Γ sea Cuv un arco contenido en uv tal que Cuv une Du con Dv y sólo tiene sus extremos en com´ un con Du ∪ Dv . Ahora 2 podemos encajar G en R de tal manera que todos los arcos Cuv formen parte del nuevo encaje y las partes de las aristas dentro de los discos Du y Dv sean segmentos rectil´ıneos (véase la figura XII.1). Usando el lema XII.1.3 resulta fácil sustituir cada Cuv por un arco poligonal simple. ⊓ ⊔

´ n. Una subdivisi´ XII.1.6 Definicio on de una gráfica G es una nueva gráfica que se obtiene de G insertando vértices en las aristas, es decir, sustituyendo algunas (o todas las) aristas por caminos con los mismos extremos de la arista correspondiente. El teorema de Kuratowski dice que una gr´ afica es no aplanable si y s´ olo si contiene una subdivisi´ on de alguna de las gr´ aficas de Kuratowski K3,3 o K5 . K5 es la gráfica de 5 vértices tal que cada dos de ellos están unidos por una sola arista (es decir, es la gráfica completa de 5 vértices), y la gráfica K3,3 es la que tiene 6 vértices u1 , u2 , u3 y v1 , v2 , v3 y 9 aristas ui vj , con i = 1, 2, 3 y j = 1, 2, 3. Una prueba de este resultado puede

422

¨ EL TEOREMA DE JORDAN–SCHONFLIES Cuv v Dv

u

Du

Figura XII.1: El arco Cuv encontrarse en [43]. Aqu´ı sólo usaremos el simple hecho de que K3,3 es no aplanable. Haremos uso del siguiente caso particular del teorema de la curva de Jordan (compárese con XIII.2.29). u2 u2 u1

u3 u1

v1

v3

u3

u5

u4

v2

Figura XII.2: Las gráficas K3,3 y K5 XII.1.7 Lema. Si C es una curva poligonal cerrada simple en R2 , entonces su complemento R2 − C tiene exactamente dos regiones, cada una de las cuales tiene a C como su frontera. Demostraci´ on: Primero veremos que R2 −C tiene a lo más dos regiones. De lo contrario, tendr´ıamos tres puntos x1 , x2 , x3 pertenecientes a tres


423

regiones distintas de R2 − C. Tómese un disco D tal que D ∩ C sea un segmento rectil´ıneo. Para cada i = 1, 2, 3 podemos caminar a lo largo de un arco poligonal simple ai (cercano a C pero ajeno a C) desde xi hasta entrar a D. As´ı, dos de los tres puntos x1 , x2 , x3 están conectados por un arco poligonal simple, lo cual es una contradicción (véase la figura XII.3).

xi

ai

D

Figura XII.3: Los arcos ai terminan en uno de los dos semic´ırculos Enseguida probaremos que R2 − C no es conectable por arcos. Para cada punto x ∈ R2 − C consideremos una semirrecta L con origen x. La intersección L∩C consta de un n´ umero finito de segmentos, algunos de los cuales pueden ser puntos. Considérese alguno de esos segmentos al que llamaremos Q. Si C entra y sale de L por el mismo lado de L, decimos que C toca a L en Q, y de lo contrario, decimos que la cruza en Q. No es dif´ıcil ver que el n´ umero de veces, módulo 2, que C cruza a L no var´ıa cuando se cambia la dirección de L. As´ı, este n´ umero sólo depende de x (y de C) y lo llamamos la paridad de x. Ahora bien, la paridad es la misma para todos los puntos sobre un arco poligonal simple en R2 − C y, por tanto, es la misma para todos los puntos en la misma región de R2 − C. Considerando una semirrecta que intersecte a C exactamente una vez, obtendremos puntos de paridad distinta y, por ende, en diferentes regiones (véase la figura XII.4). ⊔ ⊓

424

¨ EL TEOREMA DE JORDAN–SCHONFLIES L cruza

L

toca

cruza

toca

L

x

Figura XII.4: Posibles semirrectas L para el punto x Si C es una curva cerrada, entonces llamaremos a la región no acotada de R2 − C el exterior de C y la denotaremos por ext(C). A la unión de las demás regiones la llamaremos el interior 1 y la denotaremos por int(C). Más a´ un, escribiremos int(C) = C ∪ int(C)

y

ext(C) = C ∪ ext(C) .

XII.1.8 Lema. Sea C una curva poligonal cerrada simple y sea P un arco poligonal simple en int(C) que une a dos puntos x y y en C y no tiene m´ as puntos en com´ un con C. Sean P1 y P2 los dos arcos en C que unen a x y y. Entonces R2 − (C ∪ P ) tiene tres regiones cuyas fronteras son C, P1 ∪ P y P2 ∪ P , respectivamente. Demostraci´ on: Claramente ext(C) es una región de R2 −(C ∪P ). Como en la demostración de XII.1.7, concluimos que al agregar P , subdividimos int(C) en a lo más dos regiones. Por tanto, basta con probar que P subdivide a int(C) en (al menos) dos regiones. Sean L1 y L2 segmentos 1 No debe confundirse con el interior topol´ ogico A◦ de un subconjunto A de un espacio topol´ ogico X. Esto debe ser claro dentro del contexto.


425

que cruzan, de modo que L1 sea un segmento de P y L2 tiene precisamente al punto de L1 ∩ L2 en com´ un con C ∩ P . Por la prueba del lema XII.1.7, los extremos de L2 están en int(C) y en regiones distintas de R2 − (P ∪ P1 ), por lo tanto también están en regiones distintas de R2 − (P ∪ C). ⊔ ⊓

P2

P

P1 x y

Figura XII.5: Arco poligonal P en int(C)

El lema anterior implica que si w y z son puntos en P1 − {x, y} y P2 − {x, y}, respectivamente, entonces no es posible unirlos por un arco poligonal simple en int(C) sin intersectar P . Estas observaciones también son válidas cuando ext e int se intercambien. Tenemos as´ı lo siguiente. XII.1.9 Lema. La gr´ afica K3,3 es no aplanable. Demostraci´ on: K3,3 puede pensarse como un ciclo C: x1 x2 x3 x4 x5 x6 con tres cuerdas x1 x4 , x2 x5 , x3 x6 . Ahora bien, si K3,3 fuese aplanable, tendr´ıamos un dibujo plano tal que todas las aristas fueran arcos poligonales simples y dos de las cuerdas x1 x4 , x2 x5 , x3 x6 estuvieran ya sea en int(C) o en ext(C). Pero esto contradir´ıa la observación que hicimos después de la demostración del lema XII.1.8. ⊔ ⊓

426


Hasta ahora todo lo dicho es bastante estándar. Ahora ya podemos pasar a la demostración del teorema de la curva de Jordan. Hagamos notar que la demostración hará uso de la no aplanabilidad de la gráfica K3,3 . XII.1.10 Proposici´ on. Si C es una curva cerrada simple en R2 , en2 tonces R − C es inconexo. Demostraci´ on: Sea L1 , respectivamente L2 , una recta vertical que intersecte a C de tal manera que C yazca enteramente en el semiplano cerrado derecho, respectivamente izquierdo, determinado por L1 , respectivamente por L2 . Sea p1 ∈ L1 ∩ C, respectivamente p2 ∈ L2 ∩ C, el punto de máxima altura, y sean P1 y P2 los dos arcos en C que unen a p1 y p2 . Tómese una recta vertical L3 que yazca entre L1 y L2 . Ya que P1 ∩ L3 y P2 ∩ L3 son compactos y ajenos, L3 contiene un segmento L4 que une a P1 con P2 y tiene solamente a sus extremos en com´ un con C. Sea L5 un arco poligonal de p1 a p2 en ext(C) que tiene sólo sus extremos en com´ un con C y consta de segmentos de L1 y L2 y un segmento horizontal por arriba de C. L4 debe yacer en int(C), pues de lo contrario, si el segmento L4 yaciese en ext(C), entonces habr´ıa un arco poligonal simple L6 en ext(C) de L4 a L5 . Pero entonces C ∪ L4 ∪ L5 ∪ L6 es una gráfica plana isomorfa a K3,3 , en contradicción con el lema XII.1.9. Por tanto, el punto medio de L4 no puede estar en ext(C), sino en int(C), de modo que éste es no vac´ıo. Véase la figura XII.6. ⊔ ⊓ Volveremos a usar la no aplanabilidad de K3,3 para demostrar que int(C) consta de una sola región. Para ello se requieren algunos hechos más sobre teor´ıa de gráficas. XII.1.11 Lema. Si G es una gr´ afica 2-conexa y H es una subgr´ afica 2-conexa de G, entonces G puede obtenerse de H agregando caminos sucesivamente, tal que cada uno de ellos une dos vértices distintos en la gr´ afica en turno, y tiene a todos los dem´ as vértices fuera de ésta. umero de aristas en A(G) − Demostraci´ on: Por inducción sobre el n´ A(H): Si este n´ umero es 0, entonces G = H y no hay nada que probar.


427

L5 P2

p1

p2 L4

P1

L1

L3

L2

Figura XII.6: La prueba de XII.1.10 Supongamos entonces que G ̸= H. Por hipótesis de inducción, la afirmación es cierta al reemplazar a la pareja G, H por otra pareja G′ , H ′ tal que A(G′ ) − A(H ′ ) tenga menos aristas que A(G) − A(H). Sea H ′ una subgráfica propia de G que contenga a H y sea máxima 2-conexa. Si H ̸= H, aplicamos la hipótesis de inducción a H ′ , H y luego a G, H ′ . Por tanto, podemos suponer H ′ = H. Ya que G es conexa, hay una arista x1 x2 en A(G) − A(H) tal que x1 está en H. Ya que G − x1 es conexo, tiene un camino P : x2 x3 · · · xk tal que xk está en H y las otras xi , i = 2, . . . , k − 1, no están en H. Puede ser que k = 2. Ya que H ∪ P ∪ {x1 x2 } es 2-conexa, tenemos que H ∪ P ∪ {x1 x2 } = G. ⊔ ⊓ Denotaremos a continuación la cardinalidad de un conjunto S por #(S).

428


XII.1.12 Lema. Si Γ es una gr´ afica 2-conexa plana con al menos tres vértices tal que todas sus aristas son arcos poligonales simples, entonces R2 − Γ tiene #(A(Γ)) − #(V (Γ)) + 2 regiones, cada una de las cuales tiene a un ciclo de Γ como frontera. Demostraci´ on: Si C es un ciclo en Γ, entonces por el Lema XII.1.7, el lema XII.1.12 se cumple si Γ = C. De lo contrario, Γ puede obtenerse de C agregando sucesivamente caminos como en el lema XII.1.11. Cada uno de estos caminos se agrega en una región. Esa región queda delimitada por un ciclo y podemos aplicar el lema XII.1.8 para terminar la prueba, pues este lema dice que el n´ umero de regiones se incrementa en uno al subdividir una región. ⊔ ⊓ Si Γ es una gráfica plana, a las regiones de R2 − Γ también las llamaremos caras de Γ. A la cara no acotada la llamaremos cara exterior y, si Γ es 2-conexa, entonces la frontera de la cara exterior es el ciclo exterior. La unión de dos gráficas abstractas se define de la manera obvia. Para gráficas planas usaremos un tipo distinto de unión. XII.1.13 Lema. Si Γ1 y Γ2 son dos gr´ aficas planas tales que cada una de sus aristas es un arco poligonal simple, entonces la uni´ on de Γ1 y Γ2 es una gr´ afica Γ3 . Demostraci´ on: Primeramente denotemos por Γ′i la gráfica plana que se obtiene como una subdivisión de Γi y cada arista de ella es un segmento rectil´ıneo (i = 1, 2). En segundo lugar, sea Γ′′i la subdivisión de Γ′i tal que un punto p en una arista a de Γ′i es un vértice de Γ′′i si, ya sea, p es un vértice de Γ′3−i , o p está en una arista de la gráfica Γ′3−1 que cruza a. Entonces la unión usual de las gráficas Γ′′1 y Γ′′2 puede hacer el papel de Γ3 . ⊔ ⊓ XII.1.14 Lema. Sean Γ1 , Γ2 , . . . , Γk gr´ aficas 2-conexas planas, todas cuyas aristas son arcos poligonales simples y cada Γi tiene al menos dos puntos en com´ un, tanto con Γi−1 , como con Γi+1 , y ning´ un punto en com´ un con ninguna otra Γj (i = 1, 2, . . . , k − 1). Sup´ ongase también que Γk ∩ Γ1 = ∅. Entonces cualquier punto que se encuentre en la cara exterior de cada una de las intersecciones Γ1 ∪ Γ2 , Γ2 ∪ Γ3 , . . . , Γk−1 ∪ Γk , también estar´ a en la cara exterior de Γ1 ∪ Γ2 ∪ · · · ∪ Γk .


429

Demostraci´ on: Supóngase que p es un punto en alguna cara acotada de Γ1 ∪ Γ2 ∪ · · · ∪ Γk . Ya que Γ1 ∪ Γ2 ∪ · · · ∪ Γk es 2-conexa, entonces por el lema XII.1.12, Γ1 ∪ Γ2 ∪ · · · ∪ Γk tiene un ciclo C tal que p ∈ int(C). El´ıjase C de tal modo que yazca en Γi ∪Γi+1 ∪· · ·∪Γj donde la diferencia j − i es m´ınima. Demostraremos que j − 1 ≤ 1. Supongamos entonces que j − i > 1. De entre todos los posibles ciclos en Γ1 ∪ Γ2 ∪ · · · ∪ Γk que tienen a p en su interior, supongamos que el seleccionado es tal que el n´ umero de aristas en C que no están en Γj−1 es m´ınimo. Dado que C intersecta tanto a Γj como a Γj−2 , C contiene dos segmentos máximos ajenos en Γj−1 . Sea P uno de tales segmentos. Sea P ′ el camino más corto en Γj−1 de P a C − V (P ). Los extremos de P ′ dividen a C en arcos P1 y P2 , cada uno de los cuales contiene segmentos que no están en Γj−1 . Uno de los ciclos P ′ ∪P1 o P ′ ∪P2 tiene a p en su interior; tiene menos aristas que no están en Γj−1 de las que tiene C. Esto contradice la minimalidad de C. Por lo tanto, una C m´ınima no yace dentro de una unión m´ınima Γi ∪ Γi+1 ∪ · · · ∪ Γj con i ≤ j − 2. Véase la figura XII.7. ⊔ ⊓ XII.1.15 Proposici´ on. Si P es un arco simple en R2 , entonces R2 −P es conexo. Demostraci´ on: Sean p y q dos puntos en R2 − P y sea d > 0 tal que 1 d < 3 m´ın{d(p, P ), d(q, P )}. Uniremos a p y q con un arco poligonal simple en R2 − P . Ya que P es la imagen de una aplicación continua (y por ende uniformemente continua), podemos subdividir P en segmentos P1 , P2 , . . . , Pk , de modo que si pi y pi+1 son los extremos de Pi , i = 1, 2, . . . , k, entonces cada punto sobre Pi tiene una distancia menor que d a pi (i = 1, 2, . . . , k − 1). Sea d′ la m´ınima distancia entre Pi y Pj , 1 ≤ i ≤ j − 2 ≤ k − 2, y obsérvese que d′ ≤ d. Para cada i = 1, 2, . . . , k subdividimos Pi en segmentos Pi,1 , Pi,2 , . . . , Pi,ki , a cuyos extremos llamamos pi,j , pi,j+1 , j = 1, 2, . . . , ki − 1 y tales que cada punto en Pi,j tiene una distancia menor que 41 d′ a pi,j . Definamos la gráfica Γi formada por la unión de las fronteras de los cuadrados que constan de ′ segmentos verticales y horizontales de longitud d2 y tienen al punto pi,j como punto medio. Entonces las gráficas Γ1 , Γ2 , . . . , Γk satisfacen las hipótesis del lema XII.1.14. En consecuencia, tanto p como q se

430


Γ3

Γ2 Γ4

Γ1

Figura XII.7: Cadena de cuatro gráficas planas 2-conexas encuentran en la cara exterior de Γ1 ∪ Γ2 ∪ · · · ∪ Γk , pues están fuera del disco con radio 3d y centro pi , mientras que Γi ∪ Γi+1 yace dentro del disco. Además, P no intersecta esa cara. Por lo tanto, p y q pueden unirse por un arco poligonal simple ajeno a P . ⊔ ⊓ ´ n. Dado un subconjunto cerrado C de R2 y una XII.1.16 Observacio región Ω de R2 − C, decimos que un punto p en C es accesible desde Ω si para alg´ un punto y, por tanto, para cualquier punto q en Ω, hay un arco poligonal simple de q a p, con sólo p como punto en com´ un con C. Si C es alguna curva cerrada simple, entonces p no tiene por qué ser accesible desde Ω. Sin embargo, si P es alg´ un arco de C que contiene a p, entonces por la proposición XII.1.15 se tiene que R2 − (C − P ) es conexo y por lo tanto contiene un arco poligonal simple P ′ de q a una región de R2 − C distinta de Ω. Entonces P ′ intersecta a C en un punto de P . Ya que se puede elegir a P de modo que sea arbitrariamente peque˜ no, concluimos que los puntos de C que son accesibles desde Ω constituyen un conjunto denso en C. Tenemos as´ı lo siguiente.


431

XII.1.17 Teorema. (De la curva de Jordan) Si C es una curva cerrada simple en R2 , entonces R2 − C tiene exactamente dos regiones, cada una de las cuales tiene a C como su frontera. Demostraci´ on: Procederemos por reducción al absurdo, as´ı que supongamos que tenemos al menos tres regiones distintas Ω1 , Ω2 , Ω3 y tomemos puntos q1 ∈ Ω1 , q2 ∈ Ω2 , q3 ∈ Ω3 . Sean Q1 , Q2 , Q3 segmentos ajenos de la curva C. Por la observación XII.1.16, en cada Ωi hay un arco poligonal simple Pi,j que une a qi con Qj , i, j = 1, 2, 3. Más a´ un podemos suponer que Pi,j ∩ Pi,j ′ = {qi } si j ̸= j ′ . Esto se puede lograr como sigue. Si, por ejemplo, caminamos a lo largo de Pi,2 desde Q2 , y tocamos a Pi,1 en un punto qi′ ̸= qi , podemos modificar el arco Pi,2 , de modo que su u ´ltimo segmento yazca cerca del segmento de Pi,1 ′ entre qi y qi , de modo que el nuevo arco Pi,2 sólo tenga a qi en com´ un con Pi,1 . Pi,3 puede modificarse de la misma manera, de ser necesario. Claramente Pi,j ∩ Pi′ ,j ′ = ∅ si i ̸= i′ . Ahora podemos extender, agregando a cada uno de los segmentos Q1 , Q2 , Q3 otro segmento, la unión de los arcos Pi,j (i, j = 1, 2, 3) a una gráfica plana K3,3 . Esto contradice el lema XII.1.9. Por lo tanto, R2 − C tiene exactamente dos regiones: ext(C) e int(C). Como antes, la proposición XII.1.15 implica que cada punto de C es punto frontera de ext(C) e int(C). ⊔ ⊓ El teorema de la curva de Jordan recién demostrado es un caso especial del teorema de Jordan-Schönflies, que probaremos en la sección siguiente. Para su prueba necesitamos generalizar algunos de los resultados anteriores. XII.1.18 Lema. Sea C una curva cerrada simple en R2 y sea P un arco poligonal simple en int(C) tal que P une a p y q, puntos de C, y fuera de estos puntos no tiene otros puntos en com´ un con C. Sean P1 y P2 los dos arcos de C que unen p y q. Entonces R2 − (C ∪ P ) tiene exactamente tres regiones cuyas fronteras son C, P1 ∪ P y P2 ∪ P , respectivamente. Demostraci´ on: De manera similar a la demostración del lema XII.1.8, la u ńica parte no trivial es probar que int(C) está dividido en (al menos) dos regiones. Definamos L2 como en la prueba de XII.1.8. Si los extremos de L2 yacen en la misma región de R2 − (C ∪ P ), entonces esa

432


Figura XII.8: Curva cerrada simple región contiene un arco poligonal simple P3 tal que P3 ∪ L2 es una curva poligonal cerrada simple. Ahora, por la demostración de XII.1.7, los extremos de L2 están en regiones diferentes de R2 − (P3 ∪ L2 ), pero también están en la misma región de R2 − (P3 ∪ L2 ), lo cual es una contradicción. ⊔ ⊓ También generalizamos el lema XII.1.12. XII.1.19 Lema. Si Γ es una gr´ afica plana 2-conexa que contiene un ciclo C (que es una curva cerrada simple) tal que todas las aristas en Γ − C son arcos poligonales simples en int(C), entonces R2 − Γ tiene #(A(Γ)) − #(V (Γ)) + 2 regiones, cada una de las cuales tiene a un ciclo de Γ como frontera. Demostraci´ on: La prueba es como la de XII.1.12, excepto que en lugar de usar el lema XII.1.8, usamos el lema XII.1.18. ⊔ ⊓


433

Para concluir esta sección, se˜ nalamos que más adelante haremos uso del hecho de que el lema XII.1.13 sigue siendo válido, si Γ1 y Γ2 son gráficas planas cuya intersección contiene un ciclo C tal que todas las aristas en Γ1 o en Γ2 (no en C) son arcos poligonales simples en int(C). XII.2

¨ nflies El teorema de Jordan–Scho

Comenzamos con lo siguiente. ´ n. Si C y C ′ son curvas cerradas simples y Γ1 y Γ2 XII.2.1 Definicio son gráficas 2-conexas consistentes en C y C ′ , respectivamente, y en arcos poligonales simples en int(C) y en int(C ′ ), respectivamente, se dice entonces que Γ y Γ′ son plano-isomorfas si existe un isomorfismo de Γ a Γ′ tal que un ciclo en Γ es frontera de una cara en Γ si y sólo si la imagen del ciclo es frontera de una cara en Γ′ , as´ı como tal que el ciclo exterior de Γ vaya a dar sobre el ciclo exterior de Γ′ . XII.2.2 Teorema. (de Jordan–Schönflies) Si f es un homeomorfismo de una curva cerrada simple C a una curva cerrada simple C ′ , entonces f puede extenderse a un homeomorfismo de todo R2 . Demostraci´ on: Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que C ′ es un pol´ıgono convexo. Primero extenderemos f a un homeomorfismo de int(C) a int(C ′ ). Sea B un conjunto denso numerable en int(C) (por ejemplo, los puntos de coordenadas racionales). Ya que los puntos de C que son accesibles desde int(C) son densos en C, existe un conjunto denso numerable A en C que consta de puntos accesibles desde int(C). Sea p1 , p2 , . . . una sucesión de puntos en A ∪ B tal que cada punto en A ∪ B aparece una infinidad de veces en la sucesión. Denotemos con Γ0 cualquier gráfica 2-conexa que consista en C y algunos arcos poligonales simples en int(C ′ ). Sea también Γ′0 otra gráfica consistente en C ′ y arcos poligonales simples en int(C ′ ), Γ0 y Γ′0 han de ser tales que son plano-isomorfas, de tal modo que el isomorfismo g0 coincide con f en C ∩ V (Γ0 ). Ahora extendemos f a C ∪ V (Γ0 ) de tal manera que g0 y f coincidan en V (Γ0 ). Definiremos una sucesión de gráficas 2conexas Γ0 , Γ1 , Γ2 , . . . y definiremos Γ′0 , Γ′1 , Γ′2 , . . . , de tal modo que, para cada n ≥ 1, Γn es una extensión de una subdivisión de Γn−1 , Γ′n

434


es una extensión de una subdivisión de Γ′n−1 , hay un isomorfismo plano gn de Γn en Γ′n que coincide con gn−1 en V (Γn−1 ), y Γn y Γ′n constan de C y C ′ , respectivamente, y de arcos poligonales simples en int(C) y int(C ′ ), respectivamente. Supondremos también que Γ′n − C ′ es conexa para cada n. Entonces extendemos f a C ∪ V (Γn de tal modo que f y gn coincidan en V (Γn ). Supongamos ya definidos Γ0 , Γ1 , Γ2 , . . . , Γn−1 y Γ′0 , Γ′1 , Γ′2 , . . . , ′ Γn−1 , as´ı como g1 , g2 , . . . , gn−1 . Definimos Γn , Γ′n y gn como sigue. Consideramos el punto pn . Si pn ∈ A, entonces tomamos a P como un arco poligonal simple de pn a un punto qn de Γn−1 − C, de modo que Γn−1 ∩P = {pn , qn }. Denotemos la gráfica Γn−1 ∪P . P está encajado en una cara de Γn−1 y acotado por un ciclo al que llamamos S. A˜ nadimos a Γ′n−1 un arco poligonal simple P ′ en la cara acotada por gn−1 (S) de manera que P ′ une a f (pn ) con gn−1 (qn ), si qn es un vértice de Γn−1 , o con un punto sobre gn−1 (a), si a es una arista de Γn−1 que contiene al punto qn . Entonces definimos Γ′n = Γ′n−1 ∪P ′ y definimos el isomorfismo plano gn de Γn a Γ′n de la forma obvia. Extendemos f de modo que f (qn ) = gn (qn ). Si pn ∈ B, consideramos el máximo cuadrado Qn de lados horizontales y verticales que tiene centro en pn y yace en int(C). En este cuadrado, (del que no a˜ nadiremos sus lados a Γn−1 , puesto que pueden contener una infinidad de puntos de C) dibujamos otro cuadrado Q′n , igualmente de lados horizontales y verticales, cada uno de los cuales dista menos de n1 de los lados del cuadrado Qn . Dentro de este cuadrado dibujamos una recta horizontal y una vertical tales que ambas contengan al punto pn y todas las regiones en el cuadrado tengan diámetro menor que n1 . Sea Hn la unión de Γn−1 y los nuevos segmentos horizontales y verticales, posiblemente junto con un arco poligonal en int(C) adicional para lograr que Hn sea 2-conexa y que Hn − C sea conexa. Por el lema XII.1.11, Hn puede obtenerse de Γn−1 agregando sucesivamente caminos en caras. Agregamos los caminos correspondientes a Γ′n−1 y obtenemos una gráfica Hn′ que es plano-isomorfa a Hn . Luego agregamos a Hn′ segmentos en int(C ′ ) horizontales y verticales, de modo que la gráfica resultante no tenga una región (acotada) de área mayor o 1 . Si es necesario, desplazamos un poco algunas de las rectas, igual a 2n de modo que intersecten a C ′ solamente en f (A) y que todas las re-


435

giones acotadas tengan diámetro menor que n1 y de modo que cada uno de los nuevos segmentos intersecte a Hn′ en un n´ umero finito de puntos. ′ Esto extiende a Hn a una gráfica que se denota por Γ′n . Le a˜ nadimos a Hn arcos poligonales a modo de obtener una gráfica Γn plano-isomorfa a Γ′n . Luego extendemos f para que esté definida en C ∪ V (Γn ) y coincida con el plano-isomorfismo gn en V (Γn ). Al extender Hn′ a Γ′n , y Hn a Γn tenemos que agregar muchas aristas y quizá resulte dif´ıcil visualizar lo que está ocurriendo. Sin embargo, el lema XII.1.11 nos dice que podemos mirar la extensión de Hn′ a Γ′n como resultado de una serie de extensiones simples, cada una de las cuales consiste en a˜ nadir un camino, que en este caso es un segmento de recta en una cara. Entonces sólo efectuamos sucesivamente las adiciones correspondientes en Hn . Nótese que tenemos gran libertad para ello, ya que la f actual está definida sólo en el conjunto actual de vértices. Las imágenes de los puntos en las aristas actuales no han sido especificadas a´ un. De tal forma, podemos extender f a una aplicación inyectiva definida en F = C ∪ V (Γ0 ) ∪ V (Γ1 ) ∪ · · · ∪ V (Γk ) , con imagen F ′ = C ′ ∪ V (Γ′0 ) ∪ V (Γ′1 ) ∪ · · · ∪ V (Γ′k ) . Estos conjuntos son densos en int(C) e int(C ′ ), respectivamente. Si p es un punto en int(C) en el cual f a´ un no está definida, consideramos una sucesión (qn ) que converge a p y consta de puntos en V (Γ0 )∪V (Γ1 )∪· · · . Vamos a demostrar que la sucesión imagen (f (qn )) también converge, y definiremos entonces f (p) como el l´ımite de la sucesión imagen. Sea d la distancia de p a C y sea pn un punto de B con distancia d3 a p. Entonces p yace dentro del cuadrado máximo Qn (y también dentro de Q′n , si n es suficientemente grande). Por la construcción de las gráficas Γn y Γ′n se tiene que Γn tiene un ciclo S tal que p yace en int(S) y tal que tanto S como gn (S) yacen en discos de radio < n1 . Ya que f aplica a F ∩ int(S) dentro de int(gn (S)) y a F ∩ ext(S) dentro de ext(gn (S)), se obtiene, en particular, que la sucesión f (qm ), f (qm+1 ), . . . yace en int(gn (S)) para alguna m. Ya podemos elegir a n suficientemente grande, resulta que la sucesión (f (qn )) es de Cauchy y, por ende, es convergente. Por lo tanto, f está

436


bien definida. Más a´ un, usando la notación anterior, f aplica a int(S) dentro de int(gn (S)). Por lo tanto, f es continua en int(C). Dado que V (Γ′0 ) ∪ V (Γ′1 ) es denso en int(C ′ ), el mismo argumento muestra que f aplica a int(C) sobre int(C ′ ), es decir, que f es biyectiva y que f −1 es continua en int(C ′ ). Sólo queda por demostrar que f es continua en C (por lo que también f −1 es continua por ser int(C) compacto). Para probar esto, basta considerar una sucesión q1 , q2 , q3 , . . . de puntos en int(C) que convergen a q ∈ C y luego verificar que la sucesión f (q1 ), f (q2 ), f (q3 ), . . . converge a f (q). Supongamos, por el contrario, que l´ım(qn ) = q ′ ̸= f (q). Pero como f −1 es continua en int(C ′ ), tenemos q ′ ∈ C ′ . Como A es denso en C, f (A) es denso en C ′ y por ende, cada uno de los dos arcos en C ′ de q ′ a f (q) contienen un punto de la forma f (x) y f (y) respectivamente, con x, y ∈ A. Para alguna n, la gráfica Γn tiene un camino P de x a y, siendo estos puntos los u ńicos de P ∩ C. Por el lema XII.1.18, P separa int(C) en dos regiones. Estas dos regiones se aplican en las dos regiones distintas de int(C ′ ) − gn (P ). Una de ellas contiene a casi todos los términos f (qn ), mientras que la otra contiene a f (q) en su frontera, pero no en la frontera com´ un de ambas regiones. En consecuencia, no puede ocurrir que l´ım(qn ) = q ′ . Por lo tanto, f puede extenderse continuamente a int(C). Argumentos análogos demuestran que f puede extenderse continuamente a ext(C). Consideramos R2 con sus coordenadas usuales y sin perder generalidad, suponemos que el origen yace dentro de int(C) y que tanto C como C ′ yacen dentro del cuadrado T cuyos vértices son los puntos (±1, ±1). Tómense los segmentos L1 , L2 , L3 sobre rectas por el origen que van de (1, 1), (−1, −1) y (1, −1) a C, respectivamente, y sea pi ∈ C el extremo de Li correspondiente, i = 1, 2, 3. Sean L′1 , L′2 arcos poligonales de f (p1 ) a (1, 1) y de f (p2 ) a (−1, −1), respectivamente, tales que L′1 ∩ L′2 = ∅ y L′i sólo tiene a sus extremos en com´ un con C ′ y T para i = 1, 2. Es fácil ver que se puede construir un arco poligonal L′3 de f (p3 ) a (1, −1) o a (−1, 1), ajeno a L′1 ∪ L′2 y con sólo sus extremos en com´ un con C ′ y T . Reflejando respecto a la diagonal de (−1, −1) a (1, 1) de ser necesario, podemos suponer que L′3 va a (1, −1) (la figura XII.9 muestra la situación). Ahora podemos usar el método de la primera parte de la prueba para extender f a un homeomorfismo

437


de int(T ) tal que sea la identidad en T . Entonces f se extiende a un homeomorfismo de todo R2 de modo que f es la identidad en ext(T ).⊓ ⊔ (−1, 1)

(1, 1) L′1

0 1 0 1 f (p1 ) 0 1 0 1 0 O1

p2 11 00 1 f (p2 ) 0 00 11 0 1 L′2 L2 (−1, −1)

L1

p 11 00 00 1 11 0 1 0 1 f (p3 ) 0 1 0 p1 3

L′3 L3 (1, −1)

Figura XII.9: El cuadrado T y las curvas C y C ′ Si F ⊆ R2 es cerrado, decimos que un punto x ∈ F es accesible por curva si para cada punto y ∈ / F , hay un arco simple de y a x cuya intersección con F consta sólo del punto x. El teorema de Jordan–Schönflies asegura que todo punto en una curva cerrada simple es accesible por una curva. Por tanto, se tiene la siguiente extensión de una parte del teorema XII.1.17. XII.2.3 Teorema. Si F ⊂ R2 es cerrado y tiene al menos tres puntos accesibles por curva, entonces R2 − F contiene a lo m´ as dos regiones. Demostraci´ on: Si x1 , x2 , x3 son puntos de F accesibles por curva y y1 , y2 , y3 pertenecen a distintas regiones de R2 − F . Entonces, como en la demostración del teorema XII.1.17, obtenemos una gráfica plana isomorfa a K3,3 con vértices x1 , x2 , x3 , y1 , y2 , y3 , lo que contradice al lema XII.1.9. ⊔ ⊓

438


En el teorema XII.2.3 no se puede reemplazar “tres” por “dos”. Para demostrarlo tomamos F como la unión de una colección de arcos simples internamente ajenos entre dos puntos fijos. XII.2.4 Teorema. Sean Γ y Γ′ dos gr´ aficas planas 2-conexas planoisomorfas tales que g es un homeomorfismo y un plano-isomorfismo de Γ a Γ′ . Entonces g puede extenderse a un homeomorfismo de todo R2 . Demostraci´ on: La prueba es por inducción sobre el n´ umero de aristas de Γ. Si Γ es un ciclo, el teorema XII.2.4 se reduce al teorema XII.2.2. De lo contrario, del lema XII.1.11 se deduce que Γ contiene un camino P y una subgráfica 2-conexa Γ1 que contiene al ciclo externo de Γ, tal que Γ se obtiene de Γ1 agregando P en int(C), donde C acota una cara de Γ1 . Ahora aplicamos la hipótesis de inducción primeramente a Γ1 y luego a los dos ciclos de C ∪ P que contienen a P . ⊔ ⊓

XII.3

Triangulaciones

Dada una familia finita de pol´ıgonos convexos en R2 (incluyendo su interior) ajenos dos a dos, podemos formar un espacio topológico S identificando cada lado de uno de los pol´ıgonos con exactamente un lado de otro de ellos (o del mismo). Esto fue exactamente lo que hicimos en la página 381 cuando construimos la lista de superficies. Esta construcción también determina una gráfica G cuyos vértices son los vértices que resultan después de la identificación, y las aristas son los lados identificados. En el caso de las superficies orientables construidas con los 4g-gonos en el cap´ıtulo pasado, las gráficas tienen un vértice y 2g aristas y en el de las no orientables construidas con los 2g-gonos, las gráficas tienen un vértice y g aristas. Ya que identificamos un n´ umero finito de pol´ıgonos, X es compacto. El espacio S es una superficie si y sólo si es conexo (G es conexa) y es localmente homeomorfo a un disco alrededor de cada vértice v de G. En este caso se dice que G es el encaje de una 2-célula en S. Si todos los pol´ıgonos que tomamos son triángulos, diremos que G es una triangulaci´ on y que S es una superficie triangulada. Siempre supondremos que hay al menos cuatro triángulos y que no hay aristas m´ ultiples.

439

TRIANGULACIONES

00 11 00 11 00 11

11 00 11 00 11 00 11 00

Figura XII.10: Gráficas de la superficie orientable y de la no orientable de género 3 XII.3.1 Ejemplo. Si en el diagrama de la izquierda en la figura XII.11 se identifican los segmentos a, los b y los c, se obtiene el plano proyectivo RP2 . Ah´ı se muestra una triangulación de RP2 con 3 vértices v1 , v2 , v3 , 6 aristas a1 , a2 , a3 y a4 , a5 , a6 que no están etiquetadas, pero están formadas por la prolongación de cada una de las tres primeras aristas, y 4 caras triangulares c1 , c2 , c3 , c4 . Las tres primeras se forman al identificar seg´ un acabamos de explicar. Cada uno de los 4 triángulos tiene como vértices a los u ńicos 3 que hay. En el diagrama de la derecha si identificamos las aristas a con a, b con b y c con c de acuerdo con la orientación indicada por los vértices se obtiene RP2 , ahora con una triangulación consistente en 7 vértices v1 , v2 , ..., v7 , 18 aristas y 12 caras triangulares. A diferencia de la figura de la izquierda, aqu´ı no hay más de un triángulo por cada 3 vértices. XII.3.2 Ejemplo. Podemos triangular el toro y la botella de Klein como lo muestra la figura XII.12 o en general cualquier superficie orientable o no, como lo indica la figura XII.13. ´ n. Un encaje 2-celular en una superficie S es un XII.3.3 Definicio encaje de una gráfica Γ en S tal que cada cara resulta ser homeomorfa a un disco abierto. Se dice que el encaje 2-celular es cerrado si es un encaje en el cual la cerradura de cada cara es homeomorfa a un disco cerrado.

440

¨ EL TEOREMA DE JORDAN–SCHONFLIES a

v1 a

c1 b c3 v3

v2

a1

c2 c

a3

a2

c3

c2 c

v1 c1 a

b

v7

v3

c

c4

b

v5

v2

v2

v6

c v3

v4 a

b v1

Figura XII.11: Triangulaciones del plano proyectivo El siguiente teorema, que es crucial para la clasificación de superficies, afirma que toda superficie es triangulable. XII.3.4 Teorema. Toda superficie cerrada S es homeomorfa a una superficie triangulada. Demostraci´ on: Dado que un pol´ıgono convexo es triangulable, basta con demostrar que S es homeomorfa a una superficie con un encaje 2-celular, es decir, de un disco. Para cada punto x ∈ S, sea D(x) un disco en R2 homeomorfa a una vecindad de x en S (en vez de tomar un homeomorfismo expl´ıcito, usaremos la misma notación para los puntos en D(x) y en su imagen en S). Dibujemos en D(x) dos cuadriláteros Q1 (x) y Q2 (x) tales que x ∈ int(Q1 (x)) ⊆ int(Q2 (x)). Ya ∪ que S es compacta, S = ni=1 int(Qi (x)), x1 , x2 , ..., xn ∈ S. Podemos suponer que los discos D(xi ) son ajenos dos a dos como subconjuntos del plano, y que permanecen fijos aunque cambiemos el encaje de cada uno de ellos en la superficie. Más precisamente, vamos a mostrar que los cuadriláteros Q1 (x1 ), Q1 (x2 ), ..., Q1 (xn ) pueden elegirse de tal modo que formen un encaje 2-celular de S. Supongamos, por inducción sobre k, que los cuadriláteros Q1 (x1 ), Q1 (x2 ), ..., Q1 (xk−1 ) han podido ser elegidos de manera tal que cualesquiera dos de ellos sólo tengan un n´ umero finito de puntos en com´ un

TRIANGULACIONES

441

0 1 00 11 1111111 0000000 1111111 0000000 11 00 0 1 11 00 00 11 1 0 00 11 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 11 00 1 0 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 11 00 1 0 11 00 1 0 00 11 1 0 11 00 1 0 1111111 0000000 1111111 0000000 11111111 00000000 1111111 0000000 1111111 0000000 11111111 00000000 1111111 0000000 1111111 0000000 11111111 00000000 1111111 0000000 1111111 0000000 11111111 00000000 1111111 0000000 1111111 0000000 11111111 00000000 1111111 0000000 1111111 0000000 11111111 00000000 1111111 0000000 1111111 0000000 11111111 00000000 1111111 0000000 1111111 0000000 11111111 00000000 1111111 0000000 1111111 0000000 11111111 00000000 1111111 0000000 1111111 0000000 11111111 00000000 1111111 0000000 1111111 0000000 11111111 00000000 1111111 0000000 1111111 0000000 11111111 00000000 00 11 0 1 0 1 00 11 1111111 0000000 11111111 00000000 1111111 0000000 1 0 11 00 11 00 0 1 0 1 00 11 1 0 11 00 1111111 0000000 1111111 0000000 11111111 00000000 1111111 0000000 1111111 0000000 11111111 00000000 1111111 0000000 1111111 0000000 11111111 00000000 1111111 0000000 1111111 0000000 11111111 00000000 1111111 0000000 1111111 0000000 11111111 00000000 1111111 0000000 1111111 0000000 11111111 00000000 1111111 0000000 1111111 0000000 11111111 00000000 1111111 0000000 1111111 0000000 11111111 00000000 1111111 0000000 1111111 0000000 11111111 00000000 1111111 0000000 1111111 0000000 11111111 00000000 1111111 0000000 1111111 0000000 11111111 00000000 1111111 0000000 1111111 0000000 11111111 00000000 00 11 00 11 1111111 0000000 1111111 0000000 11111111 00000000 11 00 11 00 00 11 11 00

Figura XII.12: Triangulaciones del toro y la botella de Klein

en S. Fijémonos ahora en Q2 (xk ). Definamos un segmento malo como un segmento P de alguno de los cuadriláteros Q1 (xj ), j = 1, 2, ..., k − 1, que una dos puntos de Q2 (xk ) y el resto de sus puntos yazca en int(Q2 (xk )). Sea Q3 (xk ) un cuadrilátero que yazca entre Q1 (xk ) y Q2 (xk ). Decimos que un segmento malo en Q2 (xk ) es muy malo si intersecta a Q3 (xk ). La figura XII.14 muestra la situación; el segmento engrosado P en Q1 (xj ) es malo, pero no muy malo; por el contrario, el segmento engrosado P ′ en Q1 (xj ′ ) es muy malo. Puede haber una infinidad de segmentos malos, pero solo un n´ umero finito de muy malos. Los segmentos muy malos, junto con Q2 (xk ) forman una gráfica 2-conexa Γ. Redibujamos Γ dentro de Q2 (xk ) para obtener una gráfica Γ′ que sea plano-isomorfa a Γ y tal que todas sus aristas sean arcos poligonales simples. Esto es posible gracias al lema XII.1.11. Ahora, por el teorema XII.2.4, podemos extender el planoisomorfismo de Γ a Γ′ a un homeomorfismo de int(Q2 (xk )) que deje fijo a Q2 (xk ). Esto transforma a Q1 (xk ) y Q3 (xk ) en curvas cerradas simples Q′1 (xk ) y Q′3 (xk ) tales que x ∈ int(Q′1 (xk )) ⊂ int(Q′3 (xk )). Podemos construir una curva poligonal cerrada simple Q′′3 en int(Q2 (xk )) como sigue. Para cada punto x ∈ Q′3 , sea R(x) un cuadrado con centro en x tal que R(x) no intersecte a Q′1 ni a ning´ un segmento malo, a menos que éste sea muy malo. Consideramos una cubierta finita (m´ınima) de

442


Figura XII.13: Triangulación de una superficie arbitraria

Q′3 formada por tales cuadrados. La unión de esos cuadrados es una gráfica plana 2-conexa cuyo ciclo exterior denominamos Q′′3 . Esta curva cerrada es tal que Q′1 ⊆ int(Q′′3 ) y tal que Q′′3 no intersecta a los segmentos malos, salvo a los muy malos (que ahora son arcos poligonales simples). Redibujando Γ′ ∪ Q′′3 (que es una gráfica 2-conexa), y usando una vez más el teorema XII.2.4 podemos suponer que Q′′3 es de hecho un cuadrilátero que tiene a Q′1 en su interior. Si reemplazamos Q1 (xk ) por Q′′3 , entonces cualesquiera dos de los cuadriláteros Q′1 (x1 ), Q′1 (x2 ), ..., Q′1 (xk ), sólo tienen intersección finita. La hipótesis de inducción prueba para toda k lo deseado. As´ı, podemos suponer que sólo hay un n´ umero finito de segmentos muy malos dentro de cada Q2 (xk ) y que tales segmentos son arcos poligonales simples que forman una gráfica plana 2-conexa. La unión ∪n afica Γ dibujada en S. Cada región i=1 Q1 (xi ) puede verse como una gr´ de S − Γ está acotada por un ciclo C en Γ, donde estamos considerando a C como una curva poligonal cerrada simple dentro de alguna Q2 (xi ).

´ DE LAS SUPERFICIES LA CLASIFICACION

443

D(xk )

Q2 (xk )

Q3 (xk ) Q1 (xk ) xk

P P

′

xj xj ′

Q1 (xj )

Q1 (xj ′ )

Figura XII.14: Segmentos malos y muy malos Ahora dibujamos un pol´ıgono convexo C ′ con lados de longitud 1 y cuyos vértices corresponden a los vértices de C. La unión de estos pol´ıgonos C ′ forma una superficie triangulada S ′ con un encaje 2-célular Γ′ que es isomorfo a Γ. Un isomorfismo de Γ a Γ′ puede extenderse a un homeomorfismo φ del conjunto de puntos de Γ en S al conjunto de puntos de Γ′ en S ′ . En particular, la restricción de φ al ciclo C descrito antes es un homeomorfismo sobre C ′ . Por el teorema XII.2.2, φ puede extenderse a un homeomorfismo de int(C) a int(C ′ ), lo que define un homeomorfismo de S a S ′ . ⊔ ⊓

444


XII.4

´ n de las superficies La clasificacio

Finalmente hemos preparado la prueba del teorema de clasificación, es decir, del hecho de que cualquier superficie cerrada es homeomorfa a alguna de la lista que dimos en el cap´ıtulo anterior, en el teorema XI.2.26. Consideremos ahora dos triángulos T1 y T2 (con los seis lados de igual longitud) en una cara F de una superficie S con un encaje 2celular de G. Construimos una nueva superficie S ′ retirando de F los interiores de T1 y T2 e identificando a T1 y T2 de manera que sus orientaciones sean opuestas. Recuérdese que S consta de pol´ıgonos y de sus interiores en R2 , de modo que hablar de orientaciones opuestas de T1 y T2 se refiere a sus versiones en el plano, puesto que no estamos discutiendo la orientabilidad de las superficies. Si las orientaciones al identificar coinciden, entonces obtenemos otra superficie S ′′ . Finalmente, denotamos por S ′′′ a la superficie que se obtiene de eliminar sólo el interior de T1 e identificar en él los puntos diametralmente opuestos. En este caso decimos que S ′ se obtiene de S adjuntando un asa (véase XI.2.8), que S ′′ se obtiene de S adjuntando un asa torcida, y que S ′′′ se obtiene de S adjuntando un plano proyectivo. No es dif´ıcil extender G a un encaje 2-celular en S ′ , S ′′ y S ′′′ . Tampoco es dif´ıcil verificar que S ′ , S ′′ y S ′′′ son independientes, salvo homeomorfismo, de dónde se tomen T1 y T2 , pues resulta sencillo deformar continuamente un par de triángulos en otro par de triángulos dentro de un triángulo dado (véase XI.2.32). De hecho, pueden pertenecer a distintas caras, excepto que –hasta ahora– no podemos distinguir entre un asa y un asa torcida (véase el ejercicio XI.2.9. Si lo que adjuntamos es un plano proyectivo, basta con que T1 sea una curva poligonal cerrada simple, que puede deformarse continuamente en un punto (y as´ı, a un triángulo en una cara). Consideraremos todas las superficies obtenidas de una 2-esfera S0 ≈ S2 (a la que imaginamos como un tetraedro) adjuntando asas, asas torcidas o proyectivos. Si le adjuntamos a S0 g asas obtenemos la superficie orientable de género g, Sg , (salvo homeomorfismo –véase XI.2.15); si a S0 le adjuntamos h proyectivos obtenemos la superficie no orientable de género h, Nh , (salvo homeomorfismo –véase ejercicio XI.2.25). Como


445

sabemos, S1 es el toro, N1 el plano proyectivo y N2 es la botella de ´ Klein. Esta también se obtiene como el resultado de adjuntarle a S0 un asa torcida (véase XI.2.8). Sean Θ1 y Θ2 dos tetraedros ajenos (que son homeomorfos a S0 = 2 S ). Selecciónese un triángulo en cada uno de los dos tetraedros y adj´ untense en ellos, ya sea un asa o un plano proyectivo. Denotamos por ′ Θ1 y Θ′2 las superficies resultantes. Tómese alguna triangulación G de la botella de Klein (véase la figura XII.12). Entonces para cada i = 1, 2, podemos dibujar G en Θ′i de tal modo que las fronteras de las caras sean los mismos triángulos en G en las tres triangulaciones. Entonces el isomorfismo de gráficas de G en Θ′1 a G en Θ′2 puede extenderse a un homeomorfismo de Θ′1 a Θ′2 . Más a´ un, si hubiésemos adjuntado un plano proyectivo, entonces adjuntar un asa o adjuntar un asa torcida dan la misma superficie salvo isomorfismo (véase el ejercicio XI.2.9). En resumen, lo que hemos dicho es que las superficies que se obtienen de adjuntarle a S0 asas, asas torcidas o planos proyectivos da como resultado las superficies S1 , S2 , . . . o N1 , N2 , . . . . XII.4.1 Teorema. Sea S una superficie y G un encaje 2-celular en S con V vértices, A aristas y C caras. Entonces S es homeomorfa, ya sea a Sg o Nh , donde g o h est´ an dados por una de las ecuaciones V − A + C = 2 − 2g ,

o

V − A + C = 2 − h,

seg´ un el caso de que se trate. Por lo tanto, el n´ umero V − A + C no depende del encaje de G, es decir, de la triangulaci´ on, y se le llama caracter´ıstica de Euler de S y se le denota por χ(S). Demostraci´ on: Vamos a demostrar en primer lugar que V − A + C ≤ 2. Para hacerlo iremos quitando aristas de G una a una hasta obtener una subgráfica conexa m´ınima, es decir, un ´ arbol generador H de G. Para cada arista retirada el n´ umero de caras (que ya no son necesariamente 2-células) no se altera o se reduce en 1. Ya que H tiene n vértices, n − 1 aristas y sólamente una cara, resulta V − A + C ≤ n − (n − 1) + 1 = 2. Luego extendemos G a una triangulación G′ de S como sigue. Para cada cara F de G que sea un pol´ıgono convexo con vértices v1 , v2 , . . . , vq , q ≥ 4, y sus ´ındices escritos módulo q, agregamos nuevos vértices u,

446


u1 , u2 , . . . , uq en F y a˜ nadimos las aristas ui vi , ui vi+1 , ui ui+1 , ui u para i = 1, 2, . . . , q (véase la figura XII.15). Sean V ′ , A′ y C ′ el n´ umero de ′ ′ ′ ′ vértices, aristas y caras de G . Claramente V −A +C = V −A+C. Por lo tanto, basta probar el teorema suponiendo dada una triangulación G. Supongamos, por el contrario, que S y G son un contraejemplo para la afirmación del teorema donde G es una triangulación con al menos 4 vértices y i. 2 − V + A − F es m´ınimo. ii. V es m´ınimo sujeto a i., y iii. la m´ınima valencia2 m de G es m´ınima sujeta a i. y ii. v

3 1 0 111 000 00 11 1 0 111 000 00 11 1 0 111 000 1 0 111 000 v4 v2 11 00 00 11 000 111 1 0 111 000 000000 111111 1111 0000 00 11 00 11 00 11 000 111 1 0 111 000 u 3 000000 111111 1111 0000 00 11 00 11 000 111 1 0 111 000 11 00 0000 1111 1111 0000 000000 111111 1111 0000 00 11 00 11 000 111 1 0 000 11 00 0000 1111 1111 0000 u2111 1111 0000 00 11 00 11 000 111 111 000 11 00 0000 1111 1111 0000 1111 0000 u4 00 11 11 00 000 111 000 111 000000 111111 0 1 00 11 111 000 11 00 1111 0000 1111 0000 00 11 00 11 00 11 000 111 000000 111111 0 1 00 11 11 00 1111 0000 00 11 00 11 000 111 000000 111111 0 1 11 00 1111 0000 00 11 00 11 000 111 000000 111111 0 1 11 00 1111 0000 00 11 00 11 v 0 1 000 111 000000 111111 0 1 1 11 00 u1 1111 0000 u 111111 00 11 00 11 00 11 0000000 1111111 0 1 000 111 11111 00000 000000 01 1 11 00 00 11 00 11 11111 00000 1111 0000 0000 1111 00 11 0 11111 00000 0 1 1 0 11111 00000 0000000 1111111 0 1 00 11 111 000 u5 11 00 00v5 11 1111 0000 0000 1111 0 1 0 1 1 0 0000000 1111111 00 11 111 000 11 00 1111 0000 0000 1111 1 0 0000000 1111111 00 11 111 000 11 00 1111 0000 0000 1111 1 0 0000000 1111111 00 11 111 000 11 00 0 1 1111 0000 0000 1111 1 0 111 000 0000000 1111111 00 11 111 000 11 00 u 0 81 1111 0000 0000 1111 1111 0000 1 0 111 000 00 11 111 000 0 1 0 1 1111 0000 1111 0000 11 1111 00 0000 000 111 0 1 111 000 111 000 11111 11 00000 00 0 1 u1111 6 1111 0000 11 00 0000 000 111 0 1 111 000 111 000 11111 11 00000 00 1111 0000 11 1111 00 0000 0 u71 111 000 11111 11 00000 00 1111 0000 11 1111 00 0000 111 000 11111 11 00000 00 00v6 11 1111 0000 11 1111 00 0000 11111 11 00000 00 00 11 1111 0000 11 00 11111 11 00000 00 1111 0000 11 00 00 11 11111 11 00 00 11 1111 0000 v8 00000 11 00 00 11 11 00 00 11 11 00 11 00 00 11 11 00 00 11 v7

Figura XII.15: Pol´ıgono v1 v2 . . . vq triangulado Sea v un vértice de G de valencia m´ınima y sean v1 , v2 , . . . , vm los vértices vecinos a v tales que vv1 v2 , vv2 v3 ,..., vvm v1 son caras que 2 La

valencia de un v´ ertice de una gr´ afica es el n´ umero de aristas que inciden en ´ el.


447

inciden en v, donde, como antes, expresamos los ´ındices módulo m. Ya que v1 y vm están unidos sólo por una arista, tenemos que m ≥ 3. Si m = 3, entonces G − v es una triangulación de S a menos que n = 4, en cuyo caso S es el tetraedro. Esto contradice a ii, o a la hipótesis de que S y G son contraejemplos para la afirmación del teorema. Por lo tanto m ≥ 4. Si para alguna i = 1, 2, . . . , n no hay una arista de G que conecte a vi con vi+2 , entonces tomamos G′ como el resultado de retirar de G la arista vvi+1 y de agregar vi vi+2 . Claramente, G′ triangula a S en contradicción con iii. As´ı, podemos suponer que G contiene a todas las aristas vi vi+2 cuando v es un vértice de valencia m´ınima. Intuitivamente, completamos la demostración cortando la superficie a lo largo del triángulo T = vv1 v3 . Esto transforma a T , ya sea, en dos triángulos T1 y T2 , o en un hexágono H, en el caso en el que T yazca sobre una banda de Moebius contenida en S. Obtenemos una nueva superficie S ′ agregando dos nuevos triángulos (y su interior) o un hexágono (y su interior, al cual triangulamos) e identificamos sus lados con T1 y T2 o con H, respectivamente. Entonces S ′ es una superficie triangulada con un valor de 2 − V + A − C más peque˜ no que el que ′ ten´ıa S. Pero por la minimalidad de este parámetro, S es de la forma Sg o Nh . Entonces S es de esa misma forma. Formalmente, el argumento es el siguiente. Recordemos que S está triangulada, es decir, es el resultado de pegar lados de triángulos ajenos dos a dos en el plano. Sea M el espacio topológico obtenido usando los mismos triángulos y las mismas identificaciones de los lados, excepto que los seis lados que corresponden a las aristas vv1 , v1 v3 , v3 v no se identifican con ning´ un ninguna otra arista. Llamemos a estos lados, los lados frontera de M . Sea G′ la gráfica cuyos vértices son los vértices de los triángulos de M y cuyas aristas son los lados de dichos triángulos. No es dif´ıcil ver que G′ tiene exactamente seis vértices que inciden con los lados frontera y que cada uno de esos seis vértices incide exactamente con dos lados frontera. As´ı, los lados frontera determinan una subgráfica C de G′ , cada uno de cuyos vértices tiene valencia 2. Sólo hay dos tales gráficas (salvo isomorfismo): C es, ya sea, un hexágono, o dos triángulos ajenos. Si C son dos triángulos ajenos, entonces le agregamos a M dos triángulos ajenos (y su interior) en el plano e identificamos sus

448


lados con las aristas de C de modo que obtenemos una nueva superficie S ′ triangulada por G′ . Si C es un hexágono, le agregamos a M un hexágono en el plano junto con su interior, el cual triangulamos, y luego identificamos los lados de este hexágono con las aristas de C. De este modo se extiende M a una superficie S ′′ y G′ se extiende a una gráfica G′′ que triangula a S ′′ . Hemos, as´ı, transformado a G y S en una triangulación G′ con V ′ vértices, A′ aristas y C ′ caras de una superficie S ′ , o a una triangulación G′′ con V ′′ vértices, A′′ aristas y C ′′ caras de una superficie S ′′ . En el caso de S ′ , tenemos V ′ − A′ + C ′ = V − A + C + 2 . En el caso de S ′′ , tenemos V ′′ − A′′ + C ′′ = V − A + C + 1 . Por i., S ′ o S ′′ es una superficie homeomorfa a una de la forma Sg′ o Nh′ recuérdese que G′ se obtiene de G recortando el triángulo vv1 v3 , por lo que, gracias a la arista v2 vm , G′ es conexa, de tal modo que también los espacios M , S ′ y S ′′ son conexos. Si C consta de dos triángulos, entonces claramente S se obtiene de S ′ adjuntando un asa o un asa torcida. Si C es un hexágono, entonces, en S ′′ , C puede deformarse continuamente a un punto, por lo que S se obtiene de S ′′ adjuntando un plano proyectivo (véase la discusión previa al teorema XII.4.1). En este u ´ltimo caso, en el que C es un hexágono, S resulta homeomorfa, ya sea a Nh′ +1 o a S2g′ +1 (por la discusión previa al teorema XII.4.1). Esto contradice la hipótesis de que S y G son un contraejemplo al teorema XII.4.1. Análogamente, si son dos triángulos los que agregamos, entonces S es homeomorfa a, ya sea, Nh′ +2 , a Sg′ +1 o a N2g′ +2 , y nuevamente entramos en contradicción, lo que finalmente prueba la afirmación. Con lo anterior, tenemos que se cumple lo siguiente. XII.4.2 Teorema. Cualquier superficie cerrada es homeomorfa a una de la lista S1 , S 2 , . . . y N1 , N2 , . . . . ⊔ ⊓


449

Hemos concluido la clasificación de las superficies, basándonos en conceptos de teor´ıa de gráficas y sin hacer referencia a la orientabilidad de las superficies o utilizar la caracter´ıstica de Euler. Aunque más adelante, en el cap´ıtulo V, calcularemos el grupo fundamental y el primer grupo de homolog´ıa de cada superficie, y con ello podremos distinguir entre unas y otras, podemos aprovechar el trabajo realizado en este cap´ıtulo para bosquejar una prueba de que las superficies de la lista S0 , S1 , . . . , N1 , N2 , . . . son no homeomorfas dos a dos. Tenemos, en primer lugar, la fórmula de Euler para un encaje de una 2-célula G en una superficie S, que afirma que V − A + C = 2 − 2g , en el caso orientable, y V − A + C = 1 − h, en el caso no orientable, ya que siempre es posible extender dicho encaje a una triangulación. Consideremos una gráfica conexa G con V vértices y A aristas, dibujada en Sg . Usando el lema XII.1.5, podemos suponer que cada arista es un arco poligonal simple. Sea C el n´ umero de caras de este ′ dibujo. Si G es el encaje de una 2-célula de Sg , entonces G ⊔ G′ es un encaje de una 2-célula que satisface la fórmula de Euler y contiene una subdivisión de G. Eliminando aristas sucesivamente y vértices aislados) de G ⊔ G′ hasta obtener una subdivisión de G, concluimos que V − A + C ≥ 2 − 2g . Dado que 3C ≤ 2A , podemos concluir que A ≤ 3V − 6 + 6g , donde la igualdad se tiene si y sólo si G es una triangulación de Sg . As´ı, una triangulación de Sg tiene demasiadas aristas para poder dibujarse en Sg′ con g ′ < g. Por lo tanto Sg y Sg′ no pueden ser homeomorfas si

450


g ̸= g ′ . De manera semejante se puede probar que Nh y Nh′ no pueden ser homeomorfas si h ̸= h′ . Podr´ıa, sin embargo, ocurrir que la superficie orientable Sg y la no orientable Nh fuesen homeomorfas si h = 2g − 1 (de otra manera, las fórmulas de Euler lo impedir´ıan). Es fácil describir una curva poligonal cerrada simple C en Nh tal que al recorrerla se intercambien derecha e izquierda (véanse la página 378 y la figura XI.11). No es tan simple ver que una tal curva no puede existir en Sg , aunque esto se verá reflejado en el cálculo del grupo fundamental de Sg . En otras palabras, la no orientabilidad de una superficie es un invariante que se conserva bajo homeomorfismos. De tal modo que si Nh y Sg fuesen homeomorfas, siendo Nh no orientable, también Sg ser´ıa no orientable. En el siguiente cap´ıtulo se da un argumento contundente para probar este hecho, véase el corolario XIV.4.7.

XIII.

HOMOTOPÍA

El concepto de homotop´ıa es uno de los conceptos fundamentales de la topolog´ıa y es la base de la topolog´ıa algebraica. En este cap´ıtulo estudiaremos la teor´ıa de homotop´ıa necesaria para comprender los cap´ıtulos subsecuentes. XIII.1

El concepto de homotop´ıa

En esta sección introduciremos y estudiaremos el concepto de homotop´ıa de aplicaciones entre espacios topológicos. Como es usual, en lo que sigue I denotará el intervalo unitario [0, 1] ⊂ R. ´ n. Sean X y Y espacios topológicos. Una homoXIII.1.1 Definicio top´ıa de X a Y es una aplicación H : X × I −→ Y . Si f, g : X −→ Y son continuas, se dice que son homot´ opicas si existe una homotop´ıa H de X en Y , tal que H(x, 0) = f (x) H(x, 1) = g(x) . Se afirma que la homotop´ıa H comienza en f y termina en g, o que es una homotop´ıa entre f y g. Si Ht : X −→ Y es tal que Ht (x) = H(x, t), t ∈ I, podemos identificar una homotop´ıa H con una familia {Ht } de aplicaciones de X en Y parametrizada por t. En efecto, la aplicación t 7→ Ht determina una trayectoria (continua) en el espacio M(X, Y ), de aplicaciones de X a Y dotado con la topolog´ıa compacto-abierta. Si hay una homotop´ıa entre f y g, usualmente se denota este hecho por H : f ≃ g. 451

452

HOMOTOPÍA

XIII.1.2 Ejercicio. Probar la u ´ltima aseveración en la definición XIII.1.1, es decir, que dar una homotop´ıa H : f ≃ g es equivalente a dar una trayectoria ω : I −→ M(X, Y ) (cf. XIV.1.1 más adelante), donde M(X, Y ) es el espacio de aplicaciones continuas de X en Y , con la topolog´ıa compacto-abierta (cf. VIII.5) y ω(t) = Ht . Esta afirmación es igualmente cierta si en vez de M(X, Y ) escribimos Y X , es decir, el espacio de aplicaciones de X en Y con la topolog´ıa compactamente generada asociada a la topolog´ıa compacto-abierta. XIII.1.3 Proposici´ on. La relaci´ on ≃ es una relaci´ on de equivalencia en M(X, Y ). Demostraci´ on: Si f : X −→ Y es continua, la homotop´ıa H : X ×I −→ Y , tal que H(x, t) = f (x), prueba que f ≃ f . Si H : f ≃ g, entonces H : g ≃ f , donde la homotop´ıa H es tal que H(x, t) = H(x, 1 − t). Finalmente, si H : f ≃ g y K : g ≃ h, entonces H ∗ K : f ≃ h, donde { H(x, 2t) si 0 ≤ t ≤ 21 , H ∗ K(x, t) = ⊔ ⊓ K(x, 2t − 1) si 12 ≤ t ≤ 1. La relación de homotop´ıa es compatible con composiciones; a saber, se tiene lo siguiente. XIII.1.4 Proposici´ on. Si f ≃ g : X −→ Y y f ′ ≃ g ′ : Y −→ Z, ′ ′ entonces f ◦ f ≃ g ◦ g : X −→ Z. Demostraci´ on: Si H : f ≃ g y H ′ : f ′ ≃ g ′ son homotop´ıas, entonces K : f ′ ◦ f ≃ g ′ ◦ g, donde K(x, t) = H ′ (H(x, t), t) .

⊔ ⊓

XIII.1.5 Nota. Alternativamente, puede definirse K : f ′ ◦ f ≃ g ′ ◦ g en la demostración anterior como { ′ f H(x, 2t) si 0 ≤ t ≤ 12 , K(x, t) = H ′ (g(x), 2t − 1) si 21 ≤ t ≤ 1. Es decir, se prueba primero f ′ ◦ f ≃ f ′ ◦ g y luego f ′ ◦ g ≃ g ′ ◦ g y se aprovecha la transitividad de la relación ≃.

EL CONCEPTO DE HOMOTOPÍA

453

El problema de decidir si dos aplicaciones son homotópicas o no, es en general un problema muy dif´ıcil. Para poder dar una respuesta positiva, se requiere conocer bien los espacios y las aplicaciones dadas para con ello contar con una homotop´ıa expl´ıcita, o tener elementos para responder. En general, el caso negativo es menos dif´ıcil de abordar, siempre y cuando se cuente con herramientas adecuadas para hacerlo. Es éste uno de los aspectos fundamentales de la topolog´ıa algebraica; en los siguientes cap´ıtulos desarrollaremos métodos para analizar este tipo de preguntas. ´ n. Se dice que una aplicación f : X −→ Y es nulXIII.1.6 Definicio homot´ opica si es homotópica a la aplicaci´ on constante cy0 : X −→ Y , tal que cy0 (x) = y0 ∈ Y , para toda y. A una homotop´ıa H : f ≃ cy0 se le llama nulhomotop´ıa. Se dice que un espacio topológico X es contra´ıble si la aplicación identidad idX : X −→ X es nulhomotópica. A una nulhomotop´ıa H : X ≃ cx0 de idX se le conoce como contracci´ on de X. Si H(x0 , t) = x0 para t ∈ I, es decir, si el punto x0 queda fijo a lo largo de la contracción, se afirma que X es fuertemente contra´ıble a x0 . La contraibilidad es un invariante topológico, es decir, si X es contra´ıble también lo es cualquier espacio Y homeomorfo a X. Más adelante veremos que, en cierto sentido, los espacios contra´ıbles se comportan como puntos. Antes de ello, consideremos la siguiente notación. ´ n. Como probamos en XIII.1.3, la relación de hoXIII.1.7 Definicio motop´ıa es de equivalencia. Dada f : X −→ Y , llamamos clase de homotop´ıa de f : X −→ Y a la clase de equivalencia [f ] = {g : X −→ Y | g ≃ f }. Más a´ un, denotamos por [X, Y ] al conjunto de clases de homotop´ıa de aplicaciones f : X −→ Y . ´ n. De acuerdo con el ejercicio XIII.1.2, f ≃ g : XIII.1.8 Observacio X −→ Y si y sólo si f y g son conectables por una trayectoria en M(X, Y ) (o también en Y X ). Por lo tanto, el conjunto de componentes por trayectorias de este espacio coincide con el de clases de homotop´ıa, es decir, π0 (M(X, Y )) = [X, Y ]

(o también π0 (Y X ) = [X, Y ]) .

454

HOMOTOPÍA

XIII.1.9 Ejercicio. Probar que si Y es conectable por trayectorias, entonces cualesquiera dos aplicaciones f, g : X −→ Y nulhomotópicas son homotópicas. (Sugerencia: Si F : f ≃ cy0 y G : g ≃ cy1 , tómese una trayectoria σ : y0 ≃ y1 en Y . La homotop´ıa H : X × I −→ Y dada por  si 0 ≤ t ≤ 31 , F (x, 3t) H(x, t) = σ(3t − 1) si 13 ≤ t ≤ 32 ,  G(x, 3 − 3t) si 23 ≤ t ≤ 1, es una homotop´ıa de f a g.) Si Y es conectable por trayectorias, la clase de homotop´ıa de las aplicaciones nulhomotópicas de X en Y está bien definida y se le denota por 0 ∈ [X, Y ]. XIII.1.10 Ejemplos. (a) Cualesquiera dos aplicaciones f, g : X −→ Rn son homotópicas; por ejemplo, a través de la homotop´ıa H(x, t) = (1−t)f (x)+tg(x) que está determinada por los segmentos que unen al punto f (x) con el punto g(x) en Rn para cada x ∈ X. As´ı, [X, Rn ] = 0. (b) Toda aplicación f : Rn −→ Y es nulhomotópica a través, por ejemplo, de la homotop´ıa H(x, t) = f ((1 − t)x) que está determinada por la imagen en Y de los segmentos de x a 0. As´ı, si Y es conectable por trayectorias, [Rn , Y ] = 0. (c) Si ∗ es un espacio singular, entonces para Y arbitrario hay exactamente una clase de homotop´ıa en [∗, Y ] por cada componente por trayectorias de Y , ya que una homotop´ıa de aplicaciones de ∗ en Y es lo mismo que una trayectoria en Y , es decir, [∗, Y ] está en correspondencia biyectiva con las componentes por trayectorias de Y , o sea, [∗, Y ] = π0 (Y ). (d) Si f : W −→ X y g : Y −→ Z son continuas y H : X × I −→ Y es una nulhomotop´ıa, entonces H ◦ (f × idI ) : W × I −→ Y y g ◦ H : X × I −→ Z son nulhomotópicas, es decir, la composición (en cualquier orden) de una aplicación arbitraria y una nulhomot´ opica es siempre nulhomotópica.


455

(e) Si X es contra´ıble, entonces cualesquiera aplicaciones f : W −→ X y g : X −→ Y son nulhomotópicas, ya que las aplicaciones f = idX ◦ f y g = g ◦ idX e idX es nulhomotópica. Como, en particular, un espacio contra´ıble es conectable por trayectorias (ejercicio), si X es contra´ıble, entonces [W, X] = 0 y [X, Y ] = 0 para cualquier espacio W y cualquier espacio conectable por trayectorias Y , ambos no vac´ıos. (f) Bn y Rn son contra´ıbles a través de las contracciones, tales que (x, t) 7→ (1 − t)x. Con estos espacios, son contra´ıbles todas las bolas y todas las células. Esto, junto con (e), pone a (a) y (b) en un contexto general. (g) Un subconjunto A ⊂ Rn se conoce como asteroide si tiene un punto x0 , tal que para todo punto x ∈ A el segmento de x a x0 yace en A, es decir, (1 − t)x + tx0 ∈ A para toda t ∈ I. En particular, los conjuntos convexos son asteroides. Los asteroides son contra´ıbles con la contracción H(x, t) = (1 − t)x + tx0 . (h) Ya que por la proyección estereográfica sabemos que Sn − x0 es homeomorfo a Rn , es decir, es una célula, para cualquier punto x0 ∈ Sn , si se tiene una aplicación continua no suprayectiva f : X −→ Sn y x0 ̸∈ f (X), entonces f factoriza a través de la inclusión i : Sn − x0 ,→ Sn , que es nulhomotópica. En consecuencia, f es nulhomotópica. Véase XIII.1.11 más adelante, para otra demostración de este hecho. (i) Considérese el espacio peine que es el subespacio de R2 siguiente P = {(x, y) ∈ R2 | 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, y > 0 ⇔ x = 0,

1 , n ∈ N} , n

(véase VI.2.2(c)). La homotop´ıa { (x, (1 − 2t)y) si 0 ≤ t ≤ 12 , H(x, y, t) = ((2 − 2t)x, 0) si 12 ≤ t ≤ 1, muestra que P es fuertemente contra´ıble al punto (0, 0). Sin embargo, P no es fuertemente contra´ıble a ning´ un punto de la forma (0, y), 0 < y ≤ 1; en particular, no lo es a (0, 1).

456

HOMOTOPÍA

´ n. Una demostración alternativa de la afirmación XIII.1.11 Observacio de (h), arriba, es la siguiente. Ya que el segmento que une a −x0 con f (x) en Rn+1 no contiene al 0, la homotop´ıa H : X × I −→ Sn , tal que H(x, t) =

(1 − t)f (x) − tx0 |(1 − t)f (x) − tx0 |

está bien definida, empieza en f y termina en la aplicación constante c−x0 , es decir, es una nulhomotop´ıa de f . XIII.1.12 Ejercicio. Verificar que, en efecto, el espacio peine P no es fuertemente contra´ıble al punto (0, 1) ∈ P . XIII.1.13 Ejercicio. Probar que si f, g : X −→ Sn son aplicaciones, tales que para toda x ∈ X, f (x) ̸= −g(x), entonces f ≃ g. Frecuentemente es importante el concepto de homotop´ıa con ciertas restricciones. En lo que sigue analizaremos algunos casos. ´ n. Sean f, g : X −→ Y y sea A ⊂ X, tal que XIII.1.14 Definicio f |A = g|A ; se dice que f y g son homot´ opicas relativamente a A si existe una homotop´ıa relativa H : X × I −→ Y , tal que H(x, 0) = f (x), H(x, 1) = g(x) y H(a, t) = f (a) = g(a), para toda a ∈ A, es decir, una homotop´ıa de f a g que es estacionaria en A. Esto es denotado ´ como H : f ≃ g rel A. Esta, como la homotop´ıa libre, es una relación de equivalencia. ´ n. Si f, g : X −→ Y son continuas y A ⊂ X es XIII.1.15 Observacio tal que f |A = g|A , entonces f ≃ g rel A =⇒ f ≃ g. Sin embargo, el inverso de esta afirmación es falso, como se puede fácilmente inferir de XIII.1.10(i). Otro concepto frecuente y muy u ´til en la teor´ıa de homotop´ıa es el siguiente. ´ n. Recuérdese que a un espacio topológico X junto XIII.1.16 Definicio con un subespacio A se le designa pareja de espacios y se le denota por (X, A); una aplicaci´ on de parejas, denotada por f : (X, A) −→ (Y, B),


457

es una aplicación f : X −→ Y , tal que f (A) ⊂ B. Una homotop´ıa de parejas es una aplicación de parejas H : (X, A) × I = (X × I, A × I) −→ (Y, B) , es decir, una homotop´ıa H : X × I −→ Y , tal que H(a, t) ∈ B para todos a ∈ A, t ∈ I. Si f (x) = H(x, 0) y g(x) = H(x, 1), f, g : (X, A) −→ (Y, B) y decimos que H es una homotop´ıa de parejas de f a g, en s´ımbolos, H : f ≃ g : (X, A) −→ (Y, B). Como la homotop´ıa libre, la de parejas es una relación de equivalencia y, análogamente a XIII.1.7, denotamos por [f ] a la clase {g | f ≃ g : (X, A) −→ (Y, B)} y al conjunto de estas clases por [X, A; Y, B]. Si A = ∅ = B, entonces este conjunto coincide con [X, Y ], pero, en general, si f : (X, A) −→ (Y, B) su clase [f ] ∈ [X, A; Y, B] difiere de la clase [f ] ∈ [X, Y ], como veremos. XIII.1.17 Ejercicio. Si (X1 , A1 ) y (X2 , A2 ) son parejas de espacios, recuérdese que se define su producto (X1 , A1 ) × (X2 , A2 ) como la pareja (X1 × X2 , A1 × X2 ∪ X1 × A2 ). Probar (a) El producto de parejas es compatible con la identificación de un espacio X con la pareja (X, ∅). (b) Si f1 : (X1 , A1 ) −→ (Y1 , B1 ) y f2 : (X2 , A2 ) −→ (Y2 , B2 ) son aplicaciones de parejas, entonces f1 ×f2 : (X1 , A1 )×(X2 , A2 ) −→ (Y1 , B1 ) × (Y2 , B2 ) es una aplicación de parejas. XIII.1.18 Ejercicio. Un homeomorfismo de parejas φ : (X, A) −→ (Y, B) es un homeomorfismo φ : X −→ Y , tal que φ(A) = B. (a) Probar que se tiene un homeomorfismo de parejas α : (I×I, ({0}× I)∪(I ×{1})∪({1}×I)) −→ (I ×I, {1}×I). (Sugerencia: Tómese  si 0 ≤ s ≤ 1−t (1 − 3s, 3t ) 3 , 1−t 2+t 3s−2st+2t−1 ) si ≤ s ≤ (t, α(s, t) = 2t+1 3 3 ,  3−t 2+t (3s − 2, 3 ) si 3 ≤ s ≤ 1.) (b) Sea (Z, X) una pareja de espacios y sea W = (Z × {0}) ∪ (X × I) ∪ (Z × {1}) ⊂ Z × I. Probar que existe un homeomorfismo de

458

HOMOTOPÍA

parejas φ : (Z × I × I, (Z × I × {1}) ∪ (W × I)) −→ (Z × I × I, (Z × {1} × I) ∪ (X × I × I)) = (Z × I, (Z × {1}) ∪ (X × I)) × I . (Sugerencia: La pareja de la izquierda es el producto de parejas (Z, X) × (I × I, ({0} × I) ∪ (I × {1}) ∪ ({1} × I)); la de la derecha es el producto (Z, X) × (I × I, {1} × I). El homeomorfismo φ buscado es idZ × α, donde α es como en (a).) El siguiente ejercicio será de interés más adelante. XIII.1.19 Ejercicio. Demostrar que si existe una retracción σ : Z × I −→ (Z × {1}) ∪ (X × I), entonces también existe una retracción ρ : Z × I × I −→ (Z × I × {1}) ∪ (W × I), donde W = (Z × {0}) ∪ (X × I) ∪ (Z × {1}) ⊂ Z × I. (Sugerencia: Sea ρ = φ−1 ◦ (σ × idI ) ◦ φ,donde φ es como en el ejercicio anterior XIII.1.18.) Lo que afirma el ejercicio anterior, en términos más técnicos, es que si la inclusión X ,→ Z es una cofibraci´ on, entonces la inclusión W ,→ Z × I es también una cofibración (véase XIII.4.8 más abajo, o [2, 4.1]). XIII.1.20 Ejemplo. Ya que el intervalo unitario I es contra´ıble, [I, I] = 0. Sin embargo, el conjunto [I, ∂I; I, ∂I] consta de cuatro elementos; a saber, la clase de la aplicación identidad idI , la de la constante con valor 0, c0 ; la de la constante con valor 1, c1 , y la de la aplicación idI , tal que idI (t) = 1 − t. En efecto, si f ≃ g : (I, ∂I) −→ (I, ∂I), entonces f |∂I = g|∂I , es decir, f (0) = g(0)(= 0 o 1) y f (1) = g(1)(= 0 o 1). Dada f : (I, ∂I) −→ (I, ∂I), la homotop´ıa H(s, t) = (1 − t)f (s) + t[(1 − s)f (0) + sf (1)] es de parejas; empieza en f y termina en c0 , idI , c1 o idI , seg´ un f |∂I = c0 , id∂I , c1 , o id∂I . Por tanto, [f ] = [g] si y sólo si f |∂I = g|∂I . ´ n. f ≃ g : (X, A) −→ (Y, B) =⇒ f ≃ g : X −→ XIII.1.21 Observacio Y y f |A ≃ g|A : A −→ B. Sin embargo, la afirmación inversa no es cierta (véase XIII.3.8).


459

XIII.1.22 Ejercicio. Probar que X y Y son espacios contra´ıbles si y sólo si el producto X × Y lo es. XIII.1.23 Ejercicio. Recuérdese que la aplicación diagonal d : X −→ X × X es tal que d(x) = (x, x). Probar que d es nulhomotópica si y sólo si X es contra´ıble. Más en general, sea f : X −→ Y y sea df : X −→ X × Y la gr´ afica de f , es decir, df (x) = (x, f (x)); probar que df es nulhomotópica si y sólo si X es contra´ıble. XIII.1.24 Ejercicio. Probar que para todo espacio X, su cono CX = X × I/X × {1} es contra´ıble. Un caso particular de parejas de espacios es el siguiente caso, en el cual A y B son subespacios singulares. ´ n. Dados un espacio X y un punto x0 ∈ X, a la XIII.1.25 Definicio pareja (X, x0 ) se le llama espacio punteado y al punto x0 , punto b´ asico del espacio punteado. A una aplicación de parejas f : (X, x0 ) −→ (Y, y0 ), es decir, tal que f (x0 ) = y0 , se le designa aplicaci´ on punteada, as´ı como a una homotop´ıa de parejas H : (X, x0 ) × I −→ (Y, y0 ), es decir, tal que H(x0 , t) = y0 , t ∈ I, se le llama homotop´ıa punteada. En este caso podemos, alternativamente, denotar el conjunto de homotop´ıa [X, x0 ; Y, y0 ] por [X, Y ]∗ si los puntos básicos son obvios o su nombres son irrelevantes. XIII.1.26 Ejercicio. Si se considera S0 = {−1, 1} como espacio punteado con punto básico 1, probar que π0 (X) = [S0 , 1; X, x0 ], para cualquier punto x0 ∈ X. (Sugerencia: Por XIII.1.10, π0 (X) = [P, X], donde P es un espacio singular; demostrar, pues, [P, X] = [S0 , 1; X, x0 ].) XIII.1.27 Nota. Las parejas de espacios junto con las aplicaciones de parejas forman una categor´ıa en el sentido de que idX determina una aplicación de parejas id(X,A) : (X, A) −→ (X, A) para todo A ⊂ X, y si f : (X, A) −→ (Y, B), g : (Y, B) −→ (Z, C) son aplicaciones de parejas, la composición g ◦ f : (X, A) −→ (Z, C) es de parejas. En este caso nos referimos a la categor´ıa de parejas de espacios. En particular, si se

460

HOMOTOPÍA

restringen las parejas a espacios punteados, estaremos tratando con la categor´ıa de espacios punteados. Más a´ un, podemos asociarle a una pareja de espacios (X, A) un espacio punteado (X/A, {A}), donde {A} representa el punto al que fue a dar A en el espacio cociente X/A. As´ı, una aplicación de parejas f : (X, A) −→ (Y, B) determina una aplicación de espacios punteados f : (X/A, {A}) −→ (Y /B, {B}) de manera funtorial, es decir, tal que si f = id(X,A) , f = id(X/A,{A}) , y si f : (X, A) −→ (Y, B) y g : (Y, B) −→ (Z, C) son aplicaciones de parejas, entonces g ◦ f = g ◦ f : (X/A, {A}) −→ (Z/C, {C}) . En otras palabras, la asignación (X/A, {A})

(X, A) f

/

f

(Y /B, {B})

(Y, B)

es un funtor de la categor´ıa 2 de parejas de espacios y aplicaciones de parejas a la categor´ıa de espacios punteados y aplicaciones punteadas. A un espacio X podemos verlo como pareja, tomando la pareja de espacios (X, ∅), de modo que la asignación (X, ∅)

X

f

Y

/

f

(Y, ∅)

es también un funtor, ahora de la categor´ıa de espacios topológicos y aplicaciones continuas a la categor´ıa 2 . Si recordamos que X/∅ = X + = X ⊔{x0 }, componiendo los funtores descritos arriba, tenemos una manera funtorial de asociarle a un espacio X un espacio punteado; a saber, (X + , x0 ); as´ı, tenemos que (X + , x0 )

X

f

Y

/

f+

(Y + , y0 ),

461


donde f + |X = f y f + (x0 ) = y0 , es un funtor de a . Análogamente, dada una pareja de espacios (X, A), podemos asociarle, ya sea el espacio X, o el espacio A y tenemos que (X, A)

X

f

/

(Y, B) son funtores de

2

f

Y

(X, A) y

f

(Y, B)

A /

f |A

B

a.

Ya que frecuentemente se definen nuevos espacios a través de identificaciones es muy conveniente saber que si las homotop´ıas son compatibles con las identificaciones, entonces determinan homotop´ıas en los espacios cocientes. XIII.1.28 Proposici´ on. Sea q : X −→ X una identificaci´ on y sea H : X × I −→ Y una homotop´ıa compatible con q, es decir, tal que si q(x1 ) = q(x2 ), se tiene que H(x1 , t) = H(x2 , t), t ∈ I, entonces H determina una homotop´ıa H : X × I −→ Y , tal que H(q(x), t) = H(x, t), x ∈ X, t ∈ I. Demostraci´ on: Ya que I es (localmente) compacto, la aplicación q × idI : X × I −→ X × I es una identificación y, al ser H compatible con ella, determina H como se desea. ⊔ ⊓ Una consecuencia inmediata de este hecho es el siguiente corolario. XIII.1.29 Corolario. Si se tienen relaciones de equivalencia en los espacios X y Y , ambas, por simplicidad, denotadas por ∼, t´ omese una homotop´ıa H : X × I −→ Y , tal que si x1 ∼ x2 en X, se tiene que H(x1 , t) ∼ H(x2 , t) en Y , t ∈ I. Entonces H determina una homotop´ıa H : (X/ ∼)×I −→ Y / ∼, tal que si x ∈ X/ ∼ denota la clase de x ∈ X y y ∈ Y / ∼ denota la clase de y ∈ Y , entonces H(x, t) = H(x, t), x ∈ X, t ∈ I. ⊔ ⊓ Hay otras consecuencias interesantes de XIII.1.28. Por ejemplo, se tiene la siguiente.

462

HOMOTOPÍA

XIII.1.30 Proposici´ on. Dada una situaci´ on de adjunci´ on, es decir, f

/ Y , y homotop´ıas H : X × I −→ Z, K : Y × un diagrama X ⊃ A I −→ Z, tales que si a ∈ A, H(a, t) = K(f (a), t) ∈ Z, t ∈ I, entonces la aplicaci´ on (H, K) : (X ⊔ Y ) × I −→ Z, tal que (H, K)|X×I = H, (H, K)|Y ×I = K, induce una homotop´ıa ⟨H, K⟩ : (Y ∪f X) × I −→ Z. ⊔ ⊓

XIII.1.31 Nota. En congruencia con XIII.1.27, tenemos que la construcción de los conjuntos de homotop´ıa [X, Y ] ,

[X, A; Y, B]

y

[X, x0 ; Y, y0 ]

es funtorial en el sentido siguiente. Dadas aplicaciones φ : Y −→ Z, φ′ : (Y, B) −→ (Z, C) y φ′′ : (Y, y0 ) −→ (Z, z0 ), hay funciones φ∗ : [X, Y ] −→ [X, Z] , φ′∗ : [X, A; Y, B] −→ [X, A; Z, C] y

φ′′∗ : [X, x0 ; Y, y0 ] −→ [X, x0 ; Z, z0 ]

definidas por φ∗ ([f ]) = [φ ◦ f ], φ′∗ ([f ′ ]) = [φ′ ◦ f ′ ] y φ′′∗ ([f ′′ ]) = [φ′′ ◦ f ′′ ], respectivamente. Análogamente, dadas aplicaciones ψ : Z −→ X, ψ ′ : (Z, C) −→ (X, A) y ψ ′′ : (Z, z0 ) −→ (X, x0 )), se obtienen funciones ψ ∗ : [X, Y ] −→ [Z, Y ] , ∗

ψ ′ : [X, A; Y, B] −→ [Z, C; Y, B] y

∗

ψ ′′ : [X, x0 ; Y, y0 ] −→ [Z, z0 ; Y, y0 ])

definidas por ψ ∗ ([f ]) = [f ◦ψ], ψ ′ ∗ ([f ′ ]) = [f ′ ◦ψ ′ ] y ψ ′′ ∗ ([f ′′ ]) = [f ′′ ◦ψ ′′ ], respectivamente. Estas asignaciones son funtoriales, ya que (idY )∗ = 1[X,Y ] , (id(Y,B) )∗ = 1[X,A;Y,B]

463


e (id(Y,y0 ) )∗ = 1[X,x0 ;Y,y0 ] , y dadas φ : Y −→ Z y γ : Z −→ W , φ′ : (Y, B) −→ (Z, C) y γ ′ : (Z, C) −→ (W, D), as´ı como φ′′ : (Y, y0 ) −→ (Z, z0 ) y γ ′′ : (Z, z0 ) −→ (W, w0 ), tenemos (γ ◦ φ)∗ = γ∗ ◦ φ∗ : [X, Y ] −→ [X, W ] , (γ ′ ◦ φ′ )∗ = γ∗′ ◦ φ′∗ : [X, A; Y, B] −→ [X, A; W, D] , as´ı como (γ ′′ ◦ φ′′ )∗ = γ∗′′ ◦ φ′′∗ : [X, x0 ; Y, y0 ] −→ [X, x0 ; W, w0 ] ; as´ı, las asignaciones Y

[X, Y ]

φ

/

Z

(Y, B) φ′

φ∗

[X, Z]

/

(Z, C)

(Y, y0 )

φ′∗

[X, A; Z, C]

[X, x0 ; Y, y0 ]

φ′′

[X, A; Y, B]

/

(Z, z0 )

φ′′ ∗

[X, x0 ; Z, z0 ]

son funtores covariantes, o sea, las flechas van en la misma dirección, de la categor´ıa , 2 y ), respectivamente, a la categor´ıa de conjuntos y funciones entre ellos. Por el otro lado, (idX )∗ = 1[X,Y ] , (id(X,A) )∗ = 1[X,A;Y,B] e (id(X,x0 ) )∗ = 1[X,x0 ;Y,y0 ] y dadas aplicaciones ψ : Z −→ X y λ : W −→ Z, ψ ′ : (Z, C) −→ (X, A) y λ′ : (W, D) −→ (Z, C), as´ı como ψ ′′ : (Z, z0 ) −→ (X, x0 ) y λ′′ : (W, w0 ) −→ (Z, z0 )), tenemos (ψ ◦ λ)∗ = λ∗ ◦ ψ ∗ : [X, Y ] −→ [W, Y ], (ψ ′ ◦ λ′ )∗ = λ′ ∗ ◦ ψ ′ ∗ : [X, A; Y, B] −→ [W, D; Y, B], as como (ψ ′′ ◦ λ′′ )∗ = λ′′ ∗ ◦ ψ ′′ ∗ : [X, x0 ; Y, y0 ] −→ [W, w0 ; Y, y0 ]); as´ı, [Z, Y ]

Z ψ

X

/

O

ψ∗

[X, Y ]

(Z, C) ψ′

(X, A)

[Z, C; Y, B] /

O

ψ′ ∗

[X, A; Y, B]

464

HOMOTOPÍA

(Z, z0 ) ψ ′′

[Z, z0 ; Y, y0 ]

/

(X, x0 )

O

ψ ′′ ∗

[X, x0 ; Y, y0 ]

son funtores contravariantes, es decir, las flechas van en dirección opuesta, de , 2 y ), respectivamente, a . XIII.1.32 Ejercicio. Recuérdese el ejercicio XIII.1.26, donde hay que demostrar que π0 (X) ∼ = [S0 , X]∗ . Probar lo siguiente: (a) Las correspondencias X 7−→ π0 (X)

y

X 7−→ [S0 , X]∗

son ambas funtores de la categor´ıa a la categor´ıa . (b) La biyección es natural; a saber, para cualquier aplicación punteada f : X −→ Y , el diagrama π0 (X) f∗

∼ =

π0 (Y )

/ [S0 , X]∗

∼ =

f∗

/ [S0 , Y ]∗ ,

es conmutativo, donde la flecha vertical f∗ en el lado izquierdo manda la componente por trayectorias de X correspondiente a un punto x a la componente por trayectorias de Y correspondiente al punto f (x), mientras que f∗ en el lado derecho manda la clase [γ] a la clase [f ◦γ], para cualquier aplicación punteada γ : S0 −→ X. Gracias a la proposición XIII.1.28, vemos que una homotop´ıa de parejas H : (X, A) × I −→ (Y, B) define una homotop´ıa de espacios punteados H : (X/A, {A}) × I −→ (Y /B, {B}), de modo que si f ≃ g : (X, A) −→ (Y, B), entonces f ≃ g : (X/A, {A}) −→ (Y /B, {B}). En otras palabras, resulta lo siguiente.

APLICACIONES DEL CÍRCULO EN SÍ MISMO

465

XIII.1.33 Proposici´ on. Se tiene una funci´ on natural [X, A; Y, B] −→ [X/A, {A}; Y /B, {B}] , tal que [f ] 7→ [f ].

⊔ ⊓

XIII.1.34 Ejercicio. Dados dos homeomorfismos f, g : X −→ Y , se dice que son isot´ opicos si existe una isotop´ıa H : f ≃ g, es decir, una homotop´ıa, tal que para cada t ∈ I, Ht : X −→ Y es un homeomorfismo. Probar que toda rotaci´ on r : S1 −→ S1 , o sea, tal que r(e2πit ) = e2πi(t0 +t) , es isotópica a idS1 . XIII.1.35 Ejercicio. Probar que, en efecto, la función en la proposición anterior es natural tanto en (X, A) como en Y, B), a saber, probar que si φ : (X, A) −→ (X ′ , A′ ) y ψ : (Y, B) −→ (Y ′ , B ′ ) son aplicaciones de parejas, entonces los diagramas [X, A; Y, B] O

/ [X/A, {A}; Y /B, {B}] O

φ∗

φ∗

[X ′ , A′ ; Y, B]

/ [X ′ /A′ , {A′ }; Y /B, {B}]

[X, A; Y, B]

/ [X/A, {A}; Y /B, {B}]

y ψ∗

[X, A; Y ′ , B ′ ]

ψ∗

/ [X/A, {A}; Y ′ /B ′ , {B ′ }]

son conmutativos. XIII.1.36 Ejercicio. Dadas aplicaciones continuas f, g : X −→ S1 , definimos f · g : X −→ S1 simplemente por (f · g)(x) = f (x)g(x), con la multiplicación usual de n´ umeros complejos. Probar que la multiplicación [f ] · [g] = [f · g] está bien definida y dota a [X, S1 ] con la estructura de un grupo abeliano. Para espacios “decentes” X, este grupo abeliano es el llamado primer grupo de cohomolog´ıa of X y se le denota usualmente por H 1 (X) (véase [2]).

466

HOMOTOPÍA

XIII.2

Homotop´ıa de aplicaciones del c´ırculo en s´ı mismo

Hasta ahora no hemos visto expl´ıcitamente qué aplicaciones no son nulhomotópicas; en esta sección estudiaremos el primer ejemplo de aplicaciones no triviales desde el punto de vista de la homotop´ıa. Las aplicaciones del c´ırculo en s´ı mismo nos darán no sólo el primer ejemplo, sino que representan, de alguna manera, el ejemplo fundamental. Seguiremos el muy conveniente enfoque de Stöcker–Zieschang [41]. Recordemos que los puntos del c´ırculo S1 ⊂ C son de la forma e2πit . Llamemos q : I −→ S1 a la identificación tal que q(t) = e2πit . Sea φ : I −→ R una función continua punteada, es decir, φ(0) = 0, tal que φ(1) = n ∈ Z. La aplicación I −→ S1 , tal que t 7→ e2πiφ(t) , es compatible con la identificación q, por lo que determina una aplicación punteada φ b : S1 −→ S1 , o sea, φ(1) b = 1, tal que φ(e b 2πit ) = e2πiφ(t) . Se tiene as´ı un diagrama conmutativo φ /R I q

S1 _ _ _/ S1 . φ b

Podr´ıamos decir en palabras simples, que los valores de la aplicación φ recorren el intervalo [0, n] (puesto que partimos de 0 y llegamos a n) en una unidad de tiempo, es decir, al recorrer el argumento el intervalo [0, 1]. Por ende, la aplicación φ b es tal que mientras su argumento rodea S1 una vez, partiendo de y regresando a 1, su valor recorre n veces a S1 , también partiendo de y regresando a 1. En otras palabras, después de una vuelta del argumento, hay n vueltas del valor de φ. b De modo más preciso, este n´ umero n cuenta n vueltas en sentido levógiro1 , si n > 0, y −n en sentido dextrógiro2 si n < 0. A continuación probaremos que cualquier aplicación f : S1 −→ S1 coincide con φ b para alguna aplicación φ : I −→ R, es decir, se puede “desenredar” la aplicación.

1 Es 2 Es

decir, hacia la izquierda o en sentido contrario al de las manecillas del reloj. decir, hacia la derecha o en el sentido de las manecillas del reloj.


467

XIII.2.1 Proposici´ on. Dada cualquier aplicaci´ on punteada f : S1 −→ 1 S , o sea, tal que f (1) = 1, existe una uńica aplicación punteada φ : I −→ R, es decir, φ(0) = 0, tal que f (ζ) = φ(ζ), b ζ ∈ S1 . Demostraci´ on: La función es u ńica, ya que si φ, ψ : (I, 0) −→ (R, 0) son tales que φ b = ψb : S1 −→ S1 , es decir, tales que e2πiφ(t) = e2πiψ(t) , entonces ψ(t) − φ(t) ∈ Z para todo t ∈ I. Por lo tanto, ya que la función I −→ Z, tal que t 7→ ψ(t) − φ(t), es continua, I es conexo y Z es discreto, se tiene que esta función es constante; más aún, ya que ψ(0) − φ(0) = 0 − 0 = 0, ψ = φ. Veamos ahora que φ existe. Necesitamos una aplicación φ, tal que φ(0) = 0 y que f (e2πit ) = e2πiφ(t) . Para ello, tomemos la rama principal log del logaritmo complejo; a saber, si z = reiα ∈ C, r > 0, −π < α < π, entonces log(z) = ln(r) + iα, donde ln es la función logaritmo natural. Sea h : I −→ S1 , tal que h(t) = f (e2πit ). Por ser I compacto, h es uniformemente continua y existe una partición 0 = t0 < t1 < · · · < tk = 1 de I, tal que |h(t) − h(tj )| < 2

si

t ∈ [tj , tj+1 ]

y

j = 0, 1, . . . , k − 1 .

As´ı, h(t) ̸= −h(tj ), es decir, h(t) · h(tj )−1 ̸= −1. Por lo tanto, log(h(t) · h(tj )−1 ) está definido. La función buscada es, as´ı, la siguiente. Si t ∈ [tj , tj+1 ], sea φ(t) =

h(tj ) 1 h(t1 ) h(t) (log( ) + · · · + log( ) + log( )) . 2πi h(t0 ) h(tj−1 ) h(tj )

φ está bien definida, es continua y toma valores reales. De la ley exponencial ea+b = ea eb y de elog(z) = z, ya que h(t0 ) = h(0) = 1, se obtiene h(t) e2πiφ(t) = = h(t) = f (e2πit ) . ⊔ ⊓ h(t0 ) Como consecuencia de la proposición anterior, obtenemos el resultado fundamental de esta sección. on f : S1 −→ S1 , existe XIII.2.2 Teorema. Dada cualquier aplicaci´ una u ńica aplicaci´ on punteada φ : I −→ R, tal que f (ζ) = f (1) · φ(ζ), b ζ ∈ S1 (donde el punto representa multiplicaci´ on de n´ umeros complejos).

468

HOMOTOPÍA

Demostraci´ on: Sea g : S1 −→ S1 , tal que g(ζ) = f (1)−1 · f (ζ), entonces g(1) = 1, por lo que, por XIII.2.1, existe una u ńica aplicación punteada φ : I −→ R, tal que g(ζ) = φ(ζ). b Por lo tanto, f (ζ) = f (1) · φ(ζ). b ⊔ ⊓ Considérese la función φn : I −→ R dada por φn (s) = ns. Dada una función φ : I −→ R, tal que φ(0) = 0 y φ(1) = n ∈ Z, entonces φ ≃ φn rel {0, 1}, ya que la homotop´ıa H : I × I −→ R dada por H(s, t) = (1 − t)φ(s) + nst es una homotop´ıa relativa a {0, 1}. Componiendo tanto φ como φn con la exponencial obtenemos el siguiente resultado. XIII.2.3 Lema. Sea φ : I −→ R, tal que φ(0) = 0 y φ(1) = n ∈ Z, entonces φ b≃φ cn rel {1}. ⊔ ⊓ Dada una aplicación f : S1 −→ S1 , por el teorema XIII.2.2, f = f (1) · φ, b es decir, f es el resultado de componer una aplicación de tipo φ b con una rotación como se definió en el ejercicio XIII.1.34. Por este ejercicio sabemos que una rotación es homotópica a la aplicación identidad idS1 , por lo que resulta que f ≃ φ, b para alguna φ : I −→ R, tal que φ(0) = 0 y φ(1) = n ∈ Z. Por XIII.2.3, tenemos lo siguiente. ńico XIII.2.4 Proposici´ on. Sea f : S1 −→ S1 , entonces existe un u n ∈ Z, tal que f ≃ φ cn : S1 −→ S1 . Tenemos la subsecuente definición. ´ n. Sea f : S1 −→ S1 continua y sea φ : I −→ R la XIII.2.5 Definicio u ńica aplicación que por XIII.2.2 existe y es tal que f (ζ) = f (1) · φ(ζ). b Ya que el entero φ(1) = n está bien definido, definimos el grado de f como este entero n y lo denotamos como deg(f ). Geométricamente es claro el significado de deg(f ), ya que, por XIII.2.2, este entero indica el n´ umero total de vueltas que da f (ζ) 1 en S , al dar ζ una sola vuelta en S1 , en sentido levógiro, si n > 0 y dextrógiro, si n < 0 (si n = 0, significa que f ≃ c0 , es decir, que el n´ umero neto de vueltas es 0). Observamos que el grado deg(f ) depende solamente de la clase de homotop´ıa de f .


469

XIII.2.6 Lema. Si f ≃ g : S1 −→ S1 , entonces deg(f ) = deg(g). Demostraci´ on: Sea H : S1 ×I −→ S1 una homotop´ıa, tal que H(ζ, 0) = f (ζ) y H(ζ, 1) = g(ζ), y sea fs : S1 −→ S1 , tal que fs (ζ) = H(ζ, s). Por XIII.2.2, existe una u ńica función continua φs : I −→ R, tal que φs (0) = 0, φs (1) ∈ Z y fs (ζ) = fs (1) · φ cs (ζ). Veremos que la aplicación I × I −→ R, tal que (t, s) 7→ φs (t), es una homotop´ıa, es decir, es continua. Como en la demostración de la proposición XIII.2.2, la aplicación h : I × I −→ S1 dada por (s, t) 7→ h(s, t) = fs (e2πit ), es uniformemente continua, por lo que se puede elegir la partición de I en la demostración de esa proposición, de manera que |h(s, t) − h(s, tj )| < 2

si

s ∈ I, t ∈ [tj , tj+1 ] y

j = 0, 1, . . . , k − 1 .

Como antes, se define ahora φs con la misma fórmula, pero sustituyendo en ella h por hs : t −→ h(s, t), es decir, si s ∈ I y t ∈ [tj , tj+1 ], φs (t) =

h(s, tj ) 1 h(s, t1 ) h(s, t) (log( ) + · · · + log( ) + log( )) . 2πi h(s, t0 ) h(s, tj−1 ) h(s, tj )

Por lo tanto, φs (t) es continua como función tanto de s como de t; en particular, la función s 7→ φs (1) es continua y, ya que φs (1) ∈ Z, tiene que ser constante. Como f (ζ) = f (1) · φ c0 (ζ) y g(ζ) = g(1) · φ c1 (ζ), obtenemos que deg(f ) = φ0 (1) = φ1 (1) = deg(g). ⊔ ⊓ As´ı, el grado determina una función [S1 , S1 ] −→ Z. El resultado fundamental de esta sección, que nos muestra de nuevo cómo un invariante sirve para clasificar, es el siguiente. XIII.2.7 Teorema. La funci´ on [S1 , S1 ] −→ Z

dada por

[f ] 7→ deg(f ) ,

est´ a bien definida y es biyectiva. M´ as precisamente, se tiene olo si deg(f ) = deg(g). (a) Sean f, g : S1 −→ S1 , entonces f ≃ g si y s´ (b) Si n ∈ Z, la aplicaci´ on gn : S1 −→ S1 , tal que gn (ζ) = ζ n , es tal que deg(gn ) = n.

470

HOMOTOPÍA

Demostraci´ on: (a) Por XIII.2.6, si f ≃ g, entonces deg(f ) = deg(g). Esto prueba que la función está bien definida. Inversamente, si deg(f ) = deg(g) = n, resulta entonces que f (ζ) = b f (1) · φ(ζ) b y g(ζ) = g(1) · ψ(ζ), donde φ(0) = ψ(0) = 0 y φ(1) = ψ(1) = n. Ya que multiplicar por f (1) y por g(1) son rotaciones, es decir, aplicaciones homotópicas a idS1 y dado que, por las consideraciones previas a XIII.2.3, φ ≃ φn ≃ ψ, tenemos que f ≃ φ b≃φ cn ≃ ψb ≃ g. Esto prueba que la función es inyectiva. (b) Sea n ∈ N. Ya que gn (e2πit ) = e2πint , tenemos que gn = φ cn ; as´ı, deg(f ) = φn (1) = n, por lo tanto, la función es suprayectiva. ⊔ ⊓ XIII.2.8 Ejemplos. (a) La aplicación idS1 : S1 −→ S1 tiene grado 1, ya que idS1 = g1 . (b) Si f : S1 −→ S1 es nulhomotópica, deg(f ) = 0, dado que f ≃ g0 . (c) La reflexión ρ : S1 −→ S1 respecto al eje real, es decir, la aplicación ρ dada por ρ(ζ) = ζ, tiene grado −1, ya que ρ = g−1 . Más generalmente, cualquier otra reflexión ρ′ : S1 −→ S1 es conjugada a ρ por medio de una rotación r : S1 −→ S1 , es decir, ρ′ = r−1 ◦ ρ ◦ r, por lo que deg(ρ′ ) = deg(ρ) = −1. XIII.2.9 Proposici´ on. Dadas f, g : S1 −→ S1 , se tiene que, si f · g : 1 1 S −→ S denota la aplicación ζ 7→ f (ζ)g(ζ), con la multiplicación compleja en S1 , entonces deg(f · g) = deg(f ) + deg(g). Demostraci´ on: Si f ≃ gm y g ≃ gn , entonces f · g ≃ gm · gn = gm+n . ⊔ ⊓ XIII.2.10 Proposici´ on. Para aplicaciones f, g : S1 −→ S1 , se cumple que deg(f ◦ g) = deg(f ) deg(g). Demostraci´ on: Se tiene que si f ≃ gm y g ≃ gn , entonces f ◦ g ≃ gm ◦ gn = gmn . ⊔ ⊓ XIII.2.11 Corolario. Si f : S1 −→ S1 es un homeomorfismo, entonces deg(f ) = ±1. En consecuencia, f ≃ idS1 o f ≃ ρ, donde ρ es la reflexi´ on dada por la conjugaci´ on.


471

Demostraci´ on: Ya que f ◦ f −1 = id, deg(f ) deg(f −1 ) = 1, lo cual sólo sucede si deg(f ) = deg(f −1 ) = ±1. En particular, tenemos que deg(f ) = deg(f −1 ). ⊔ ⊓ ´ n. Se dice que una aplicación f : Sm −→ Sn es XIII.2.12 Definicio impar si para todo x ∈ Sm , f (−x) = −f (x), y que la aplicación es par si para todo x ∈ Sm , f (−x) = f (x). XIII.2.13 Teorema. (a) Si f : S1 −→ S1 es impar, entonces deg(f ) es impar. (b) Si f : S1 −→ S1 es par, entonces deg(f ) es par. Demostraci´ on: (a) Sea φ : I −→ R la aplicación que, seg´ un XIII.2.2, existe y es tal que φ(0) = 0, φ(1) = deg(f ) y f (e2πit ) = f (1) · e2πiφ(t) . 1

En vista de que −e2πit = e2πi(t+ 2 ) , de la igualdad 1

−f (e2πit ) = f (−e2πit ) = f (e2πi(t+ 2 ) ) se obtiene

1

1

e2πi(φ(t)+ 2 ) = −e2πiφ(t) = e2πiφ(t+ 2 ) , por lo que 1 1 φ(t + ) = φ(t) + + k , 2 2 donde k es un entero, que, por ser I conexo y φ continua, no depende de t. Para t = 0 se tiene que φ( 21 ) = φ(0 + 12 ) = φ(0) + 12 + k = 21 + k. Para t = 12 , 1 1 1 1 1 1 deg(f ) = φ(1) = φ( + ) = φ( ) + + k = + k + + k = 1 + 2k , 2 2 2 2 2 2 por lo que deg(f ) es impar. El caso par se prueba de manera análoga. XIII.2.14 Ejercicio. Demostrar el inciso (b) del teorema anterior.

⊔ ⊓

472

HOMOTOPÍA

XIII.2.15 Ejercicio. El conjunto [S1 , S1 ] tiene un estructura aditiva (es decir, de grupo abeliano), dada por [f ]+[g] = [f ·g] (véase XIII.2.9) y una estructura multiplicativa dada por [f ][g] = [f ◦ g] (véase XIII.2.10). Probar que [S1 , S1 ] es un anillo conmutativo con 0 = [g0 ] (g0 (ζ) = 1 ∀ ζ ∈ S1 ) y 1 = [g1 ] (g1 (ζ) = ζ ∀ ζ ∈ S1 ), con respecto a estas estructuras. Concluir que la función [S1 , S1 ] −→ Z dada por [f ] 7→ deg(f ) es un isomorfismo de anillos. De acuerdo con el ejercicio XIII.1.36, esto muestra que el primer grupo de cohomolog´ıa de S1 es Z, es decir, H 1 (S1 ) ∼ = Z. XIII.2.16 Proposici´ on. Las inclusiones i, j : S1 ,→ T2 = S1 × S1 , tales que i(z) = (z, 1), j(z) = (1, z), no son nulhomot´ opicas ni son homot´ opicas entre s´ı. Es decir, 0 ̸= [i] ̸= [j] ̸= 0. Demostraci´ on: Si i y j fueran nulhomotópicas, ser´ıan también nulhomotópicas las composiciones proy1 ◦ i = idS1 y proy2 ◦ j = idS1 , en contradicción con XIII.2.8(a). Igualmente, si i y j fueran homotópicas, ser´ıan homotópicas también las composiciones proy1 ◦ i = idS1 = g1 y proy1 ◦ j = g0 , lo cual ser´ıa una contradicción, por XIII.2.8(a) y (b).⊓ ⊔

i

j

Figura XIII.1: Los generadores i y j en el toro La proposición XIII.2.16 anterior, que demuestra que las aplicaciones i y j no son homotópicas, nos hace reflexionar sobre el hecho de que cada una de las dos aplicaciones “rodea” un cierto agujero. i rodea el agujero exterior del tubo que forma al toro y j el agujero interior,


473

y estos dos agujeros son esencialmente distintos. Digamos, en términos coloquiales, que si vemos el toro como la cámara de una llanta de coche, i rodea el tubo y j el agujero del rin. Es, tal vez, más elocuente el siguiente ejemplo. Si le perforamos un agujero al plano complejo C, digamos, para obtener el complemento del origen C − 0, entonces la inclusión i : S1 ,→ C − 0 no es nulhomotópica, pues si lo fuera lo ser´ıa también la aplicación idS1 : S1

i

/C−0

r

/ S1 ,

donde r(z) = z/|z|. Lo que esto muestra es que la aplicación i : S1 −→ C − 0 detecta el agujero. Es en este sentido que sistematizaremos el estudio de aplicaciones S1 −→ X para cualquier espacio X, para detectar agujeros o, dicho de otra manera, medir cierto tipo de complicación del espacio X. ´ n. Sean f : S1 −→ C continua y z0 ̸∈ f (S1 ). XIII.2.17 Observacio Una pregunta razonable es ¿cuántas vueltas da la curva descrita por f alrededor de z0 ? La respuesta no es siempre intuitivamente clara, como lo muestra la figura XIII.2.

z0 f (S1 )

Figura XIII.2: ¿Cuántas vueltas le da la curva f (S1 ) al punto z0 ?

474

HOMOTOPÍA

La solución es como sigue. Si r : C − 0 −→ S1 es la retracción, tal que r(z) = z/|z|, entonces la aplicación f

tz

r

0 fz0 : S1 −→ C − z0 −→ C − 0 −→ S1 ,

donde tz0 (z) = z − z0 , está bien definida y la respuesta a la pregunta planteada es que la curva descrita por f rodea al punto z0 precisamente deg(fz0 ) veces. A este n´ umero se le llama el n´ umero de vueltas de la 1 curva f (S ) y lo denotamos por V (f, z0 ). Es decir, (XIII.2.18)

V (f, z0 ) = deg(fz0 )

si

fz0 (ζ) =

f (ζ) − z0 . |f (ζ) − z0 |

Véase [15] para un tratamiento más sistemático y más general de este concepto y, en general, del grado y otros n´ umeros relacionados. Por cierto, en el caso de que f sea derivable el n´ umero de vueltas de f alrededor de z0 corresponde al obtenido por la fórmula de Cauchy, es decir, ∫ 1 f ′ (ζ) V (f, z0 ) = deg(fz0 ) = dζ . 2πi S1 f (ζ) − z0 (Véase [36] o [3].) Haber podido clasificar las aplicaciones S1 −→ S1 , salvo homotop´ıa, atrae muchas consecuencias. Del hecho de que deg(idS1 ) = 1, se tiene que idS1 no es nulhomotópica, por lo que deducimos lo siguiente. XIII.2.19 Teorema. El c´ırculo S1 no es contra´ıble. Demostraci´ on: Si lo fuera, entonces idS1 ser´ıa nulhomotópica.

⊔ ⊓

En el ejemplo de i : S1 −→ C −0, justo hemos visto que r : C −0 −→ S1 es una retracción del plano perforado C − 0 en su subespacio S1 ; este modo de razonar nos permite demostrar un hecho interesante, que es el siguiente. on r : B2 −→ S1 , XIII.2.20 Proposici´ on. No existe ninguna retracci´ es decir, ninguna aplicaci´ on r, tal que r|S1 = idS1 .


475

Demostraci´ on: Ya que B2 es contra´ıble (véase XIII.1.10(f)), cualquier aplicación con dominio B2 es nulhomotópica; en particular, r lo ser´ıa, lo cual es una contradicción, puesto que la composición de r con la inclusión S1 ,→ B2 , por ser idS1 , no es nulhomotópica. As´ı, r no puede existir. ⊔ ⊓ La proposición anterior nos permite probar un importante resultado de la topolog´ıa, de vastas aplicaciones, conocido como teorema de punto fijo de Brouwer. XIII.2.21 Teorema. Toda aplicaci´ on f : B2 −→ B2 tiene un punto fijo, es decir, un punto x0 ∈ B2 , tal que f (x0 ) = x0 . Demostraci´ on: Si no existiera tal x0 , entonces f (x) ̸= x para toda 2 x ∈ B . As´ı, los puntos x y f (x) determinan una semirrecta a partir de f (x), que intersecta S1 en exactamente un punto r(x) (véase la figura XIII.3). La aplicación r : B2 → S1 está bien definida, es continua y es, de hecho, una retracción. Sin embargo, la existencia de una tal retracción contradice la proposición XIII.2.20. ⊔ ⊓

f (x) x r(x)

Figura XIII.3: La hipotética retracción r : B2 −→ S1

XIII.2.22 Ejercicio. Dada f proponer una fórmula expl´ıcita para la hipotética retracción r : B2 −→ S1 descrita en la demostración del teorema de punto fijo de Brouwer XIII.2.21.

476

HOMOTOPÍA

XIII.2.23 Ejercicio. Sea X = {(x, y, z) ∈ R3 | |x| ≤ 1, |y| ≤ 2, |z| ≤ 3} y considérese la aplicación f : X −→ R3 , tal que ( ) y2 + z2 + 1 x2 + z 2 + 4 x2 + y 2 + 9 f (x, y, z) = x − ,y − ,z − . 14 14 14 Probar que la ecuación f (x, y, z) = 0 tiene una solución (en X). (Sugerencia: Hacer uso del teorema de punto fijo de Brouwer XIII.2.21.) El teorema de punto fijo de Brouwer es válido en general. La prueba es similar a la de XIII.2.21. Se necesita lo siguiente. XIII.2.24 Teorema. No existe ninguna retracci´ on r : Bn −→ Sn−1 , es decir, ninguna aplicaci´ on r tal que r|Sn−1 = idSn−1 . La prueba es similar a la de XIII.2.20, salvo que utiliza el hecho de que idSn : Sn −→ Sn no es nulhomotópica. La demostración de esta afirmación requiere de algunos argumentos, ya sea del análisis o de la topolog´ıa algebraica, que rebasan este texto. Sin embargo, este resultado implica el teorema general de Brouwer. on f : Bn −→ Bn tiene un punto XIII.2.25 Teorema. Toda aplicaci´ fijo, a saber, existe x0 ∈ Bn tal que f (x0 ) = x0 . El siguiente resultado es equivalente al teorema de la retracción XIII.2.24. XIII.2.26 Teorema. La aplicaci´ on identidad Sn−1 −→ Sn−1 no es nulhomot´ opica. Demostraci´ on: Si XIII.2.24 es válido y H : Sn−1 × I −→ Sn−1 es una nulhomotop´ıa de la identidad, entonces la aplicación r : Bn −→ Sn−1 dada por r(tx) = H(x, t) es una retracción. Inversamente, si r : Bn −→ Sn−1 es una retracción, entonces H(x, t) = r(tx) define una nulhomotop´ıa de la identidad. ⊔ ⊓ El concepto de grado es tan u ´til que, frecuentemente, rebasa en sus aplicaciones los l´ımites de la topolog´ıa. Un ejemplo de ello es la demostración del teorema fundamental del álgebra.


477

XIII.2.27 Teorema. (Fundamental del álgebra) Todo polinomio complejo no constante tiene un cero, es decir, si f (z) = a0 + a1 z + · · · + an−1 z n−1 + z n , n > 0, a0 , a1 , . . . , an−1 ∈ C, entonces existe z0 ∈ C, tal que f (z0 ) = 0. Demostraci´ on: De no tener un cero, la aplicación z 7→ f (z) determinar´ıa una aplicación f : C −→ C − 0. Si tomamos µ = |a0 | + |a1 | + · · · + |an−1 | + 1 y z ∈ S1 , entonces |f (µz) − µn z n | ≤ |a0 | + µ|a1 | + · · · + µn−1 |an−1 | ≤ µn−1 (|a0 | + |a1 | + · · · + |an−1 |) < µ = |µ z | n

n n

(pues µ ≥ 1)

(pues µ > |a0 | + |a1 | + · · · + |an−1 |).

Por lo tanto, f (µz) yace en el interior de un c´ırculo con centro en µn z n y radio |µn z n |, por lo que el segmento que une f (µz) con µn z n no contiene al origen. De este modo, H(z, t) = (1 − t)f (µz) + tµn z n determina una homotop´ıa H : S1 × I −→ C − 0, que empieza con la aplicación z 7→ f (µz) y termina con la aplicación z 7→ µn z n . Ya que la primera aplicación es nulhomotópica, a través de la nulhomotop´ıa (z, t) 7→ f ((1−t)µz), lo es también la segunda, por lo que al componerla con la ya conocida retracción r : C − 0 −→ S1 , tal que r(z) = z/|z|, obtenemos que la aplicación S1 −→ S1 , tal que z 7→ z n , es decir, gn , es nulhomotópica, lo que contradice XIII.2.7. ⊔ ⊓ Otra aplicación del grado o, mejor dicho, del n´ umero de vueltas V (f, z) definido antes XIII.2.17, es para probar una versión del teorema de la curva de Jordan (compárese con XII.1.7). Esta afirmación estará basada en la siguiente proposición. XIII.2.28 Proposici´ on. Sea f : S1 −→ C continua y sean z0 y z1 puntos en la misma componente por trayectorias de C −f (S1 ), entonces V (f, z0 ) = V (f, z1 ). Demostraci´ on: Si λ : z0 ≃ z1 es una trayectoria entonces fλ(t) , tal que fλ(t) (ζ) =

f (ζ) − λ(t) |f (ζ) − λ(t)|

(véase XIII.2.18) es una homotop´ıa de fz0 a fz1 , por lo que V (f, z0 ) = deg(fz0 ) = deg(fz1 ) = V (f, z1 ) .

⊔ ⊓

478

HOMOTOPÍA

La siguiente es una versión débil del teorema de la curva de Jordan que se probó en el cap´ıtulo anterior (véase el teorema XII.1.17). XIII.2.29 Teorema. Dada cualquier aplicaci´ on f : S1 −→ C, el com1 plemento de su imagen C − f (S ) s´ olo contiene una componente por trayectorias no acotada. Para z dentro de esta componente se tiene que V (f, z) = 0. Demostraci´ on: Ya que f (S1 ) es compacto por ser la imagen continua de otro compacto, el teorema de Heine-Borel asegura que es acotado. As´ı, el complemento C − f (S1 ) contiene una componente no acotada V . Si µ > 0 es suficientemente grande, entonces f (S1 ) ⊂ D = {z ∈ C | |z| ≤ µ}, C − D ⊂ C − f (S1 ), y ya que D es acotado, (C − D) ∩ V ̸= ∅. Por tanto, ya que C − D es conectable por trayectorias, C − D ⊂ V , donde V es la u ńica componente no acotada de C − f (S1 ). Si z ∈ V ′ y z ∈ C − D, entonces por XIII.2.28, V (f, z) = V (f, z ′ ). Más a´ un, la homotop´ıa (1 − t)f (ζ) − z ′ H(ζ, t) = |(1 − t)f (ζ) − z ′ | comienza con fz ′ y termina con una aplicación constante, por lo que V (f, z ′ ) = deg(fz ′ ) = 0. ⊔ ⊓ El teorema de la curva de Jordan que se probó en el cap´ıtulo anterior (véase XII.1.17) en su versión clásica afirma que, dado un encaje e : S1 ,→ R2 , el complemento R2 − e(S1 ) consta de dos componentes, una acotada y la otra no acotada. Esta u ´ltima es la que se afirma que existe en XIII.2.29. Se puede probar que V (e, z) = ±1 si z yace en la componente acotada. Otro bello resultado de la topolog´ıa algebraica es el teorema de Borsuk–Ulam, del cual probaremos su versión en dimensión 2, que, en particular, implica la no existencia de un encaje S2 ,→ R2 . on f : S2 −→ XIII.2.30 Teorema. (Borsuk-Ulam) Dada una aplicaci´ 2 2 R , hay un punto x ∈ S , tal que f (x) = f (−x).


479

Demostraci´ on: Si, por el contrario, suponemos f (x) ̸= f (−x) para todo punto x ∈ S2 , se pueden definir dos aplicaciones; a saber f1 : S2 −→ S1

dada por

f2 : B2 −→ S1

dada por

f (x) − f (−x) , |f (x) − f (−x)| ( ) √ 2 2 f2 (x1 , x2 ) = f1 x1 , x2 , 1 − x1 − x2 . f1 (x) =

Si definimos g = f2 |S1 : S1 −→ S1 , tenemos, por un lado, que g es nulhomotópica, ya que la homotop´ıa H : S1 × I −→ S1

dada por

H(ζ, t) = f2 ((1 − t)ζ)

es una nulhomotop´ıa. Por otro lado, g es impar, o sea, g(−ζ) = −g(ζ), ya que f1 lo es. Por XIII.2.13(a) se tiene que deg(g) es impar, lo que contradice que g sea nulhomotópica. ⊔ ⊓ XIII.2.31 Nota. Se puede dar una interpretación meteorológica del teorema de Borsuk-Ulam; a saber, si se supone que la temperatura T y la presión atmosférica P son funciones continuas sobre la superficie de la Tierra, ambas determinan una aplicación f = (T, P ) : S2 −→ R2 . El teorema afirma en este caso que hay un par de puntos ant´ıpodas sobre la superficie de la Tierra donde estas dos condiciones atmosféricas coinciden. Si g : S2 −→ S1 es continua, no puede ser impar, es decir, no ocurre que g(−x) = −g(x), pues la composición

S2

g

/ S1

/ R2

ser´ıa un contraejemplo al teorema de Borsuk-Ulam XIII.2.30. En la demostración de ese teorema, al suponer lo contrario de lo que afirma, es decir, que existe f : S2 −→ R2 , tal que para todo x ∈ S2 , f (x) ̸= f (−x), construimos una aplicación g : S2 −→ S1 impar. Tenemos, por lo tanto, que el teorema de Borsuk-Ulam es equivalente al siguiente. XIII.2.32 Teorema. No hay aplicaciones impares f : S2 −→ S1 .

⊔ ⊓

480

HOMOTOPÍA

´ n. Hay una versión general del teorema de BorXIII.2.33 Observacio suk-Ulam que afirma que, dada una aplicaci´ on f : Sn −→ Rn , hay un punto x ∈ S2 , tal que f (x) = f (−x). Como arriba, esta afirmación es equivalente a decir que no hay aplicaciones impares f : Sn −→ Sn−1 . Para una demostración de esta generalización se requiere de maquinaria más sofisticada (véanse [2, 11.8.28 y 11.8.29]). XIII.2.34 Ejercicio. Suponiendo cierta la generalización del teorema de Borsuk-Ulam indicada en XIII.2.33, probar que si existe una aplicaci´ on f : Sm −→ Sn impar, entonces m ≤ n. Más a´ un, demostrar que esta u ´ltima afirmación es equivalente al teorema de Borsuk-Ulam. (Sugerencia: Obsérvese que si m ≤ n, entonces Sm ⊂ Sn .) XIII.2.35 Ejercicio. Sea f : B2 −→ R2 una aplicación impar en la frontera, es decir, tal que si x ∈ S1 , f (−x) = −f (x). Probar que existe x0 ∈ B2 , tal que f (x0 ) = 0. XIII.2.36 Ejercicio. Considérese el siguiente sistema de ecuaciones. x cos y = x2 + y 2 − 1 y cos x = tan 2π(x3 + y 3 ) . Haciendo uso del ejercicio anterior, demostrar que el sistema tiene una solución (x0 , y0 ), tal que x20 + y02 ≤ 1. Un u ´ltimo resultado de esta sección, para cuya demostración se aplica el teorema de Borsuk-Ulam, es el coloquialmente llamado teorema del sandwich. Para enunciarlo necesitamos unas consideraciones previas. Para cada punto a = (a1 , a2 , a3 ) ∈ S2 y elemento d ∈ R, sea E(a, d) ⊂ R3 el plano cuya ecuación es γa (x) = a1 x1 + a2 x2 + a3 x3 − d = 0 , y sean E + (a, d) y E − (a, d) los dos semiespacios de R3 , tales que γa (x) ≥ 0 y γa (x) ≤ 0, respectivamente. Es obvio que E + (−a, −d) = E − (a, d). Sean A1 , A2 , A3 ⊂ R3 subconjuntos que cumplen que están definidas y son continuas las funciones fν± : S2 × R −→ R, tales que fν± (a, d) es el volumen de Aν ∩ E ± (a, d), ν = 1, 2, 3; y además que para cada


481

a ∈ S2 existe un u ńico da ∈ R, que depende continuamente de a y es tal que f1+ (a, da ) = f1− (a, da ). Esta u ´ltima condición significa que, dada cualquier familia de planos paralelos, existe uno u ńico que parte al conjunto A1 en dos porciones de igual volumen. Es claro que d−a = −da . Bajo estas condiciones, se tiene el resultado siguiente. XIII.2.37 Teorema. (Del sandwich) Dados subconjuntos A1 , A2 , A3 ⊂ R3 como arriba, existe un plano en R3 que divide a cada uno de los conjuntos A1 , A2 , A3 en porciones de igual volumen. Demostraci´ on: Si f : S2 −→ R2 es la aplicación, tal que f (a) = (f2+ (a, da ), f3+ (a, da )) , por las hipótesis, f está bien definida y es continua. Por el teorema de Borsuk-Ulam XIII.2.30 existe b ∈ S2 , tal que f (b) = f (−b). Aplicando las propiedades de da y de E ± (a, d), se tiene para esta b que fν+ (b, db ) = fν+ (−b, d−b ) = fν+ (−b, −db ) = fν− (b, db ), como se quer´ıa. ⊔ ⊓ XIII.2.38 Nota. Como su nombre lo indica, se puede dar una interpretación gastronómica del teorema del sandwich si suponemos que A1 es el pan, A2 el queso y A3 el jamón que se utilizarán para hacer un sandwich. La afirmación del teorema garantiza que hay una forma de cortar con un cuchillo plano el bocadillo, dando igual cómo hayamos distribuido sus ingredientes, de modo que los dos pedazos que resulten contengan la misma cantidad de pan, queso y jamón. XIII.2.39 Ejercicio. Demostrar el teorema de Borsuk-Ulam en dimensión 1, es decir, probar que dada una aplicación f : S1 −→ R existe x ∈ S1 , tal que f (x) = f (−x). (Sugerencia: Aplicar el teorema del valor intermedio (véase [?, VI.1.27]) a la aplicación g : S1 −→ R, tal que g(x) = f (x) − f (−x).) XIII.2.40 Ejercicio. Formular el teorema del sandwich en R2 y aplicar el ejercicio anterior para probarlo. XIII.2.41 Ejercicio. De las siguientes aplicaciones f , indicar cuáles son nulhomotópicas y cuáles no.

482

HOMOTOPÍA

(a) f : Sn −→ Sn+1 , f (x) = (x, 0). (b) f : S1 −→ S1 × S1 , f (ζ) = (ζ 2 , ζ 3 ). (c) f : S1 × S1 −→ S1 × S1 , f (ξ, η) = (ξη, 1). (d) f : R2 − {0} −→ R2 − {0} , f (x, y) = (x2 − y 2 , 2xy). (e) f : R2 − {0} −→ R2 − {0} , f (x, y) = (x2 , y).

XIII.3

´ pica Equivalencia homoto

El concepto de equivalencia homotópica es más débil que el de homeomorfismo, pero los métodos homotópicos nos permiten distinguir espacios salvo equivalencia homotópica. Si, por alg´ un artilugio homotópico, podemos distinguir a dos espacios como no homotópicamente equivalentes, entonces sabremos que tampoco son homeomorfos. Recordemos que dos espacios X y Y son homeomorfos si existen aplicaciones f : X −→ Y y g : Y −→ X, tales que g ◦ f = idX y f ◦ g = idY . El concepto que deseamos introducir se obtiene sustituyendo en las ecuaciones anteriores las igualdades por homotop´ıas. ´ n. Diremos que dos espacios X y Y son homot´ XIII.3.1 Definicio opicamente equivalentes (o del mismo tipo de homotop´ıa), en s´ımbolos X ≃ Y , si existen aplicaciones f : X −→ Y y g : Y −→ X, tales que g ◦ f ≃ idX

y

f ◦ g ≃ idY .

A cada una de tales aplicaciones f y g se le llama equivalencia homot´ opica y podemos escribir f : X ≃ Y o g : Y ≃ X; cada una de ellas es inverso homot´ opico de la otra. XIII.3.2 Ejemplo. Si X es un espacio contra´ıble, entonces es homotópicamente equivalente a un espacio singular (a un punto), es decir, X ≃ ∗, ya que si idX ≃ cx0 , entonces las aplicaciones f : X −→ ∗ y g : ∗ −→ X, tales que g(∗) = x0 son inversos homotópicos, pues g ◦ f = id∗ y f ◦ g = cx0 ≃ idX . En particular, Bn ≃ ∗.

´ EQUIVALENCIA HOMOTOPICA

483

XIII.3.3 Ejercicio. Probar que, inversamente a la afirmación del ejemplo XIII.3.2, si un espacio X es homotópicamente equivalente a un punto, entonces es contra´ıble. Es decir, se tiene que X es contra´ıble si y s´ olo si X es homot´ opicamente equivalente a un punto. Es inmediata la siguiente afirmación, que muestra que el concepto de equivalencia homotópica es más débil que el de homeomorfismo. XIII.3.4 Proposici´ on. X ≈ Y =⇒ X ≃ Y .

⊔ ⊓

Es un ejercicio sencillo probar la siguiente afirmación. XIII.3.5 Proposici´ on. La relaci´ on de ser homot´ opicamente equivalentes es una relaci´ on de equivalencia en la clase de los espacios topol´ ogicos. ⊔ ⊓ Correspondientemente al concepto de homotop´ıa de parejas, se tiene el siguiente concepto. ´ n. Dos parejas de espacios (X, A) y (Y, B) son hoXIII.3.6 Definicio mot´ opicamente equivalentes (o del mismo tipo de homotop´ıa), en s´ımbolos (X, A) ≃ (Y, B), si existen aplicaciones f : (X, A) −→ (Y, B) y g : (Y, B) −→ (X, A), tales que g ◦ f ≃ id(X,A)

y

f ◦ g ≃ id(Y,B) ,

es decir, estas composiciones son homotópicas a las aplicaciones idénticas a través de homotop´ıas de parejas. Se utilizan designaciones análogas al caso absoluto en el caso relativo. Un caso particular importante es la equivalencia homot´ opica de espacios punteados. Es inmediata la siguiente afirmación. XIII.3.7 Proposici´ on. Si f : (X, A) −→ (Y, B) es una equivalencia homot´ opica de parejas, entonces f : X −→ Y y f |A : A −→ B son equivalencias homot´ opicas. ⊔ ⊓

484

HOMOTOPÍA

El inverso de la afirmación anterior es falso, como lo muestra el siguiente ejercicio. XIII.3.8 Ejercicio. Sea P ⊂ R2 el espacio peine y sea A = {(0, 1)}. Probar que la aplicación f : (X, A) −→ (X, A), tal que f (x) = x0 = (0, 1), satisface que f : X −→ X y f |A : A −→ A son equivalencias homotópicas; sin embargo, f no es una equivalencia homotópica de parejas. (Obsérvese que esta afirmación muestra, en particular, que el inverso de la afirmación de XIII.1.21 no es cierto.) Una fuente importante de equivalencias homotópicas la proporciona el siguiente concepto. ´ n. Un subespacio A de un espacio X es un retracto XIII.3.9 Definicio por deformaci´ on de X si existe una homotop´ıa H : X × I −→ X, tal que

(XIII.3.10)

H(x, 0) = x

si x ∈ X

H(x, 1) ∈ A

si x ∈ X

H(a, 1) = a

si a ∈ A.

A una tal homotop´ıa H se le llama retracci´ on por deformaci´ on de X en A. En particular, la aplicación rH : X −→ A, tal que rH (x) = H(x, 1), es una retracci´ on de X en A, es decir, rH |A = idA , y A es un retracto de X. Si, además de las condiciones (XIII.3.10) pedimos H(a, t) = a

si a ∈ A , t ∈ I ,

se dice que A es un retracto fuerte por deformaci´ on de X y que H es una retracci´ on fuerte por deformaci´ on. ´ n. En la definición anterior, H es una homoXIII.3.11 Observacio top´ıa de la identidad a la retracción rH , es decir, H : idX ≃ rH ; si la retracción por deformación H es fuerte, entonces la homotop´ıa es relativa a A, es decir, H : idX ≃ rH rel A. on de X, enXIII.3.12 Teorema. Si A es un retracto por deformaci´ tonces la inclusi´ on i : A ,→ X es una equivalencia homot´ opica.


485

Demostraci´ on: Si i : A ,→ X es la inclusión y H : X × I −→ X es una retracción por deformación, por la observación XIII.3.11, H : idX ≃ i ◦ rH ; por otro lado, por la tercera ecuación de (XIII.3.10), rH ◦ i = rH |A = idA . ⊔ ⊓ El inverso, en general, es falso; sin embargo, se tiene lo siguiente. XIII.3.13 Ejercicio. Se dice que H : X × I −→ X es una retracci´ on débil por deformaci´ on, si en (XIII.3.10) sólo se pide que la aplicación rH : X −→ A ⊂ X, tal que rH (x) = H(x, 1) sea una retracci´ on débil, es decir, sea tal que rH |A ≃ idA : A −→ A; A es entonces un retracto débil por deformaci´ on de X. Probar que A es un retracto débil por deformaci´ on de X si y s´ olo si A es homot´ opicamente equivalente a X. XIII.3.14 Ejercicio. Mostrar un ejemplo de un retracto débil por deformación de X que no es retracto por deformación de X. (En particular, el que una inclusión i : A ,→ X sea equivalencia homotópica no implica que A sea retracto por deformación de X.) XIII.3.15 Ejercicio. Probar que todo subconjunto compacto convexo de Rn es un retracto (fuerte) por deformación de Rn . XIII.3.16 Ejemplos. (a) Sea ∗ ∈ CX el vértice del cono sobre X, CX = X ×I/X ×{1}, es decir, ∗ = q(x, 1), si q : X × I −→ CX es la aplicación cociente, entonces ∗ es un retracto fuerte por deformación de CX, con la homotop´ıa H : CX × I −→ CX, tal que H(q(x, s), t) = q(x, (1 − t)s + t). (b) La esfera unitaria Sn es retracto fuerte por deformación de X = Bn+1 − 0 o de X = Rn+1 − 0, a través de H : X × I −→ X, dada por x H(x, t) = (1 − t)x + t . |x| (c) El disco con g perforaciones Dg (véase XI.2.10(b)) contiene una cu˜ na de g c´ırculos como retracto fuerte por deformación; en consecuencia, el cuerpo con asas Hg = Dg × I contiene a S11 ∨ · · · ∨ S1g

486

HOMOTOPÍA

como retracto fuerte por deformación; as´ı, se tiene que Dg , Hg y la cu˜ na de g c´ırculos son espacios homotópicamente equivalentes. (Véase la figura XIII.4.)

S11 ∨ S12 ∨ S13

H3

D3

Figura XIII.4: Hg , Dg y S11 ∨· · ·∨ S1g son homotópicamente equivalentes

XIII.3.17 Teorema. Sea Y un espacio que se obtiene de X al adjuntarle una n-célula a través de una aplicaci´ on

Bn ⊃ Sn−1

φ

/X,

es decir, Y = X ∪φ en . Si y0 es el punto en Y que proviene de 0 ∈ Bn ⊂ X ⊔ Bn al hacer la identificaci´ on, entonces X es un retracto fuerte por deformaci´ on de Y − {y0 }, como se aprecia en la figura XIII.5.

Demostraci´ on: Como vimos en el ejemplo XIII.3.16(b), la esfera Sn−1 es un retracto fuerte por deformación de la bola perforada Bn − 0. Si H : (Bn − 0) × I −→ Bn − 0 es la retracción fuerte por deformación, H ′ = H ⊔ proyX : ((Bn − 0) ⊔ X) × I −→ (Bn − 0) ⊔ X es una retracción fuerte por deformación que en el espacio cociente determina K, la retracción fuerte por deformación buscada, de modo que conmuta


487

Figura XIII.5: Secuencia de deformación de un espacio con una célula perforada el diagrama H′

((Bn − 0) ⊔ X) × I q×idI

/ (Bn − 0) ⊔ X q

((X ∪φ en ) − {y0 }) × I

(X ∪φ en ) − {y0 }

(Y − {y0 }) × I _ _ _ _ _ _ _/ Y − {y0 } . K

Ya que I es localmente compacto, la flecha vertical de la izquierda es una identificación, lo que garantiza la continuidad de K. Claramente K empieza con la identidad, termina con una retracción Y − {y0 } −→ X ⊂ Y − {y0 } y deja fijo a X a lo largo de la deformación. ⊓ ⊔ Consideremos las superficies orientables Sg y no orientables Ng de género g. Como en XI.2.12 y XI.2.24, ellas son cocientes de los pol´ıgonos regulares E4g y E2g , respectivamente. Sean p : E4g −→ Sg

y

q : E2g −→ Ng

las identificaciones. En particular, las fronteras ∂E4g y ∂E2g van a dar bajo p y q a cu˜ nas de c´ırculos (como las que se muestran en la figura

488

HOMOTOPÍA

XII.10, en el cap´ıtulo anterior); a saber, en ambos casos los vértices pi , i = 1, 2, . . . , 4g e i = 1, 2, . . . , 2g, respectivamente, de los pol´ıgonos van a dar a un solo punto x0 , y las aristas ai ,bi y ai , i = 1, 2, . . . , g, respectivamente, van a dar a c´ırculos αi , βi y αi , i = 1, 2, . . . , g. Tomando sendos homeomorfismos 1 · · ∨ S}1 ≈ q(∂E2g ) , S · · ∨ S}1 ≈ p(∂E4g ) y |S1 ∨ ·{z | ∨ ·{z g

2g

sean φg : S1 −→ |S1 ∨ ·{z · · ∨ S}1 y ψg : S1 −→ |S1 ∨ ·{z · · ∨ S}1 , tales que g

2g

conmutan los diagramas

S1 ≈

φg

/ S1 ∨ · · · ∨ S1

∂E4g

p

S1

≈

≈

/ p(∂E4g )

ψg

/ S1 ∨ · · · ∨ S1

∂E2g

q

≈

/ q(∂E2g ) .

Tenemos la siguiente consecuencia de esta discusión. XIII.3.18 Proposici´ on. Las superficies Sg se obtienen de adjuntar una 2-célula a p(∂E4g ) a través de la aplicaci´ on S1 ≈ ∂E4g −→ p(∂E4g ), es decir, Sg ≈ |S1 ∨ ·{z · · ∨ S}1 ∪φg e2 . 2g

An´ alogamente, las superficies Ng se obtienen de adjuntar una 2-célula a q(∂E2g ) a través de la aplicaci´ on S1 ≈ ∂E2g −→ q(∂E2g ), es decir, 1 Ng ≈ S · · ∨ S}1 ∪ψg e2 . | ∨ ·{z g

⊔ ⊓ De esta proposición y XIII.3.17, obtenemos la siguiente consecuencia. XIII.3.19 Corolario. Si x ∈ Sg y y ∈ Ng son puntos arbitrarios, se tienen equivalencias homot´ opicas Sg − {x} ≃ |S1 ∨ ·{z · · ∨ S}1 2g

Ng − {y} ≃ |S1 ∨ ·{z · · ∨ S}1 . g

⊔ ⊓


489

XIII.3.20 Nota. Por XI.2.33, resulta que todas las superficies Sg y Ng son homogéneas, por lo que es irrelevante en el corolario anterior qué puntos son x ∈ Sg y y ∈ Ng . Volviendo al caso general, supongamos que Y se obtiene de X adjuntando una 2-célula, es decir, Y = X ∪φ e2 , con aplicación de adjunción φ : S1 −→ X. Se tiene una trayectoria en Y dada por la composición λφ : I

q

φ

/ S1

/X

/ X ∪ φ e2 = Y ,

donde q(t) = e2πit . Claramente, esta trayectoria es un lazo, es decir, λφ (0) = λφ (1). Hay un diagrama conmutativo de parejas λφ

(I, ∂I)

(S1 , 1)

/ (Y, y0 ) O / (B2 , 1)

y, ya que B2 es contra´ıble, el lazo λφ es nulhomotópico (relativamente a ∂I = {0, 1}; véase la figura XIII.6).

x0

Figura XIII.6: Todo lazo se contrae dentro de una célula ´ n. Llamemos a λφ el lazo can´ XIII.3.21 Definicio onico asociado al 2 espacio de adjunción Y = X ∪φ e .

490

HOMOTOPÍA

XIII.3.22 Corolario. Para cualquier espacio de adjunci´ on Y = X ∪φ e2 , el lazo can´ onico es nulhomot´ opico, es decir, se tiene que λφ ≃ cy0 rel ∂I , donde y0 = φ(1) ∈ Y .

⊔ ⊓

XIII.3.23 Ejercicio. Análogamente al corolario XIII.3.22, dado un espacio Y que se obtiene de adjuntarle una n-célula a un espacio X a través de una aplicación φ : Sn−1 −→ X, es decir, Y = X ∪φ en , probar

/ X la clase de homotop´ıa de la aplicación γφ : Sn−1 trivial, o sea, probar que la aplicación γφ es nulhomotópica. φ

/Y

es

No deberá prestarse a confusión llamar αi , βi : (I, ∂I) −→ (Sg , x0 ) , αi : (I, ∂I) −→ (Ng , x0 ) a los lazos definidos por las aplicaciones αi : t 7→ p((1 − t)p4i−3 + tp4i−2 ) ,

βi : t 7→ p((1 − t)p4i−2 + tp4i−1 ) ,

αi : t 7→ q((1 − t)p2i−1 + tp2i ) , respectivamente, donde p : E4g −→ Sg y q : E2g −→ Ng son las identificaciones y los puntos pi son como en XI.2.12 y XI.2.24. El lazo 1 canónico λφg en Sg recorre en el lapso [0, 4g ] lo mismo que el lazo α1 1 1 2 (reparametrizado por [0, 1] −→ [0, 4g ]); en el lapso [ 4g , 4g ], lo mismo 2 3 que β1 ; en el lapso [ 4g , 4g ], lo mismo que α1 , pero en sentido contrario; 3 4 en el lapso [ 4g , 4g ], lo mismo que β1 , pero en sentido contrario, y, en ge4i−3 4i−3 4i−2 neral, en el lapso [ 4i−4 4g , 4g ], lo mismo que αi ; en el lapso [ 4g , 4g ], 4i−1 lo mismo que βi ; en el lapso [ 4i−2 4g , 4g ], lo mismo que αi , pero en 4i sentido contrario, y en el lapso [ 4i−1 4g , 4g ], lo mismo que βi , pero en sentido contrario, i = 1, . . . , g; esto lo expresamos simplemente escribiendo λφg = α1 β1 α1−1 β1−1 · · · αg βg αg−1 βg−1 , (véase XIV.4.6(c) en el siguiente cap´ıtulo). Análogamente, en el caso no orientable de las superficies Ng , expresamos el lazo canónico como λψg = α12 · · · αg2 . De XIII.3.22, obtenemos la siguiente afirmación.


491

XIII.3.24 Teorema. Los lazos λφg = α1 β1 α1−1 β1−1 · · · αg βg αg−1 βg−1 en Sg y α12 · · · αg2 en Ng son nulhomot´ opicos. ⊔ ⊓ Este teorema volverá a aparecer en el siguiente cap´ıtulo al calcular los grupos fundamentales de las superficies. Para terminar esta sección, recordemos el cilindro Mf de una aplicación f : X −→ Y , definido en V.4.5, que se obtiene identificando cada punto (x, 0) ∈ X × I con f (x) ∈ Y . Si llamamos q : (X × I) ⊔ Y −→ Mf a la identificación, se tiene una homotop´ıa H : Mf × I −→ Mf , tal que { q(x, (1 − t)s) si z = q(x, s) , (x, s) ∈ X × I, H(z, t) = q(y) si z = q(y) , y ∈ Y , que claramente es una deformación fuerte de Mf en Y ⊂ Mf . Hemos probado lo siguiente. XIII.3.25 Proposici´ on. Dada una aplicaci´ on f : X −→ Y , el subeon del cilindro Mf , spacio Y ⊂ Mf es un retracto fuerte por deformaci´ con retracci´ on r : Mf −→ Y , tal que { f (x) si z = q(x, s) , (x, s) ∈ X × I, r(z) = y si z = q(y) , y ∈ Y . Por lo tanto, la inclusión i : Y ,→ Mf es una equivalencia homotópica con inverso r. Más a´ un, si se toma la inclusión j : X ,→ Mf , tal que j(x) = q(x, 1), entonces f = r ◦ j, es decir, salvo homotop´ıa toda aplicación f se descompone como una inclusión3 y una equivalencia homotópica. Tenemos, en particular, el siguiente resultado. XIII.3.26 Teorema. Una aplicaci´ on f : X −→ Y es una equivalencia homot´ opica si y s´ olo si X (o, m´ as precisamente, q(X × {1})) es un retracto (fuerte) por deformaci´ on del cilindro de aplicaci´ on de f , Mf . Demostraci´ on: Sea j : X ,→ Mf la inclusión, tal que j(x) = q(x, 1). Ya que, como ya se dijo, la inclusión i : Y ,→ Mf es una equivalencia homotópica, con inverso r : Mf −→ Y , y ya que f = r ◦ j, entonces f es 3 Esta

inclusi´ on es particularmente “decente”, puesto que es una cofibraci´ on (v´ ease

XIII.4.8 más abajo, y para más detalles véase [2, 4.2.8(b)]).

492

HOMOTOPÍA

una equivalencia homotópica si y sólo si j lo es. Basta probar, pues, que j es una equivalencia homotópica si y sólo si X es un retracto fuerte por deformación de Mf . Supongamos, en primer lugar, que X es un retracto (fuerte) por deformación de Mf . En este caso, por XIII.3.12, j es una equivalencia homotópica. Inversamente, si j : X ,→ Mf es una equivalencia homotópica con inverso g : Mf −→ X, sean F : X × I −→ X una homotop´ıa g ◦ j ≃ idX y G : Mf × I −→ Mf una homotop´ıa j ◦ g ≃ idMf . Definamos una retracción r : Mf −→ j(X) por  si z = q(y), y ∈ Y , q(g(z), 1) si z = q(x, s), 0 ≤ s ≤ 12 , r(z) = q(gq(x, 2s))  q(F (x, 2s − 1), 1) si z = q(x, s), 12 ≤ s ≤ 1. Con esta retracción definimos una deformación H : Mf × I −→ Mf como sigue. { G(z, 1 − 2t) si t ≤ 12 , H(z, t) = rG(z, 2t − 1) si t ≥ 21 . ´ Esta es una retracción por deformación. (No es a´ un una deformación fuerte y hay que convertirla en ella. Esto lo podemos hacer con el siguiente lema XIII.3.27, en el que tomamos Z = Mf e identificamos X con j(X).) ⊔ ⊓ Si identificamos a X con j(X) ⊂ Mf = Z, tenemos que existe una retracci´ on σ : Z × I −→ (Z × {0}) ∪ (X × I), definida por { 2s ), 0) si 0 ≤ s ≤ 2−t (q(x, 2−t 2 , σ(q(x, s), t) = 2−t (q(x, 1), 2s+t−2 ) si ≤ s ≤ 1, 2s−1 2 σ(q(y), t) = (q(y), 0), donde q : (X × I) ⊔ Y −→ Mf es la identificación canónica y x ∈ X, s ∈ I y y ∈ Y . Por lo que, por XIII.1.19, existe una retracción ρ : Z × I × I −→ (Z × I × {1}) ∪ (W × I). on r : Z −→ XIII.3.27 Lema. Sea X ⊂ Z, tal que existe una retracci´ X. Si existe una retracci´ on por deformaci´ on de Z en X, H : Z × I −→ Z, entonces existe una retracci´ on fuerte por deformaci´ on de Z en X, L : Z × I −→ Z.


493

Demostraci´ on: Sea r : Z −→ X la retracción asociada a H, es decir, r(z) = H(z, 1) ∈ X, y sea W = (Z × {0}) ∪ (X × I) ∪ (Z × {1}) ⊂ Z × I; definamos G : (Z × I × {1}) ∪ (W × I) −→ Z, tal que G(z, 0, t) = z G(x, s, t) = H(x, st) G(z, 1, t) = H(r(z), t) G(z, s, 1) = H(z, s) , donde z ∈ Z, x ∈ X, s, t ∈ I. La homotop´ıa L : Z × I −→ Z dada por L(z, t) = Gρ(z, t, 0) , donde ρ : Z × I × I −→ (Z × I × {1}) ∪ (W × I), como arriba, es una retracción fuerte por deformación de Z en X, como se puede verificar directamente. ⊔ ⊓ Sean X y Y dos espacios. Si hay una equivalencia homotópica f : X −→ Y , entonces, por XIII.3.26, X es retracto fuerte por deformación del espacio Z = Mf ; as´ı mismo, siempre Y es retracto fuerte por deformación de Z. Inversamente, si X y Y son, cada uno, retracto fuerte por deformación de alg´ un espacio Z, al ser ambos homotópicamente equivalentes a Z, lo son entre s´ı. Hemos, pues, probado lo siguiente. XIII.3.28 Corolario. Dos espacios topol´ ogicos X y Y son homot´ opicamente equivalentes si y s´ olo si existe un espacio Z que contiene a ambos como retractos fuertes por deformaci´ on. ⊔ ⊓ XIII.3.29 Ejercicio. Sean X y Y espacios topológicos homotópicamente equivalentes. Probar o dar un contraejemplo a cada una de las siguientes afirmaciones. (a) X conexo =⇒ Y conexo. (b) X conectable por trayectorias =⇒ Y conectable por trayectorias. (c) X compacto =⇒ Y compacto.

494

HOMOTOPÍA

(d) X de Hausdorff =⇒ Y de Hausdorff. Formular afirmaciones correspondientes a otras propiedades topológicas y demostrarlas o contradecirlas. XIII.3.30 Ejercicio. Probar que X1 ≃ Y1 , X2 ≃ Y2 =⇒ X1 × X2 ≃ Y1 × Y2 . ¿Es cierta la afirmación para productos infinitos? XIII.3.31 Ejercicio. Sabemos, por XIII.3.19, que retirándole al toro un punto obtenemos un espacio del mismo tipo de homotop´ıa de la cu˜ na de dos c´ırculos. ¿Qué se puede decir si son dos los puntos que se le retiran al toro? ¿Y si son más? XIII.3.32 Ejercicio. Si a R3 se le retira el c´ırculo unitario en R2 ⊂ R3 , demostrar que el espacio que queda es homotópicamente equivalente a una cu˜ na S1 ∨ S2 . XIII.3.33 Ejercicio. Si a Sn se le retira el c´ırculo unitario en S1 ⊂ Sn , encajado canónicamente, probar que el espacio que queda es homotópicamente equivalente a Sn−2 . XIII.3.34 Ejercicio. Probar que X ≃ X ′ , Y ≃ Y ′ =⇒ [X, Y ] ≈ [X ′ , Y ′ ]. XIII.3.35 Ejercicio. Considérese el conjunto H(X) = {[f ] | f : X −→ X es una equivalencia homotópica}. Probar que la operación dada por la composición, [f ] · [g] = [f ◦ g] lo convierte en un grupo. Verificar que H(S1 ) es c´ıclico de orden 2, es decir, es isomorfo a Z/2. XIII.3.36 Ejercicio. ¿Qué espacio es el cilindro de aplicación de la reflexión g−1 : S1 −→ S1 ? XIII.3.37 Ejercicio. El espacio de matrices n × n con coeficientes reales Mn (R) o complejos Mn (C) es homeomorfo al espacio euclidiano

495

´ DE HOMOTOPÍAS EXTENSION

Rn o Cn = R4n . La función determinante det : Mn (R) −→ R o det : Mn (C) −→ C es continua; por tanto, los subespacios 2

2

2

GLn (R) = det−1 (R − 0),

GLn (C) = det−1 (C − 0)

son abiertos. Estos espacios constan de las matrices invertibles y, con la multiplicación de matrices, forman grupos llamados grupo lineal general real de matrices n × n y grupo lineal general complejo de matrices n × n (véase XI.4.1). Sean On ⊂ GLn (R) y Un ⊂ GLn (C) los grupos ortogonal y unitario, es decir, M ∈ On o M ∈ Un si y sólo si M M ∗ = 1, donde M ∗ representa la matriz transpuesta o transpuesta conjugada de M y 1 es la matriz idéntica. Probar que On y Un son retractos fuertes por deformación de GLn (R) y GLn (C), respectivamente. (Sugerencia: Aplicar el proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt.)

XIII.4

´ n de homotop´ıas Extensio

En esta sección aplicaremos el teorema de extensión de Tietze–Urysohn para probar algunos resultados sobre extensión de homotop´ıas. El teorema de Tietze–Urysohn es como sigue. El contenido de esta sección está inspirado por el libro de tom Dieck [14]. Recordemos el siguiente resultado (véase ??). XIII.4.1 Teorema. Sea X un espacio normal y sea A ⊂ X un conjunto cerrado. Considérese una familia de intervalos {Iλ }λ∈Λ en R y t´ omese ∏ on continua F : el producto Y = λ Iλ . Entonces cualquier aplicaci´ A −→ Y admite una extensi´ on continua f : X −→ Y . (En particular, se puede tomar Y como Rn .) ⊔ ⊓ Como consecuencia de esto obtenemos lo que sigue. XIII.4.2 Teorema. Sea X un espacio normal y sea A ⊂ X un conjunto cerrado. Si f : A −→ Sn es continua, entonces existe una vecindad abierta V de A y una extensi´ on continua g : V −→ Sn de f . f

Demostraci´ on: Considérese la composición f ′ : A −→ Sn ,→ Rn+1 . Por el teorema de Tietze–Urysohn, hay una extensión continua F : X −→

496

HOMOTOPÍA

Rn+1 de f ′ . Tómese V = F −1 (Rn+1 − {0} y def´ınase g : V −→ Sn por g(x) =

F (x) . |F (x)| ⊔ ⊓

´ Esta es la extensión deseada.

Claramente no toda aplicación f puede extenderse continuamente a todo X. Por ejemplo, si X = Rn+1 , A = Sn y f = idSn , entonces no hay una extensión, pues de lo contrario, f ser´ıa nulhomotópica. Tenemos lo siguiente. XIII.4.3 Teorema. Sup´ ongase que X y X × I son espacios normales y sea A ⊂ X cerrado. Entonces toda aplicaci´ on h : X ×{0}∪A×I −→ Sn tiene una extensi´ on continua H : X × I −→ Sn . Demostraci´ on: Por el resultado anterior, hay una vecindad V de X × {0} ∪ A × I en X × I y una extensión g : V −→ Sn . Ya que X × I es normal, por el lema de Urysohn [?, 9.1.25] hay una función f : X ×I −→ I tal que f |A×I = 1 y f |X×I−V = 0. Tómese s(x) = {f (x, t) | t ∈ I}. Por tanto, para toda x ∈ X, el punto (x, s(x)t) yace dentro de V . Si definimos H(x, t) = g(x, s(x)t), entonces H es la extensión deseada. ⊓ ⊔ El siguiente resultado, que es una reformulación del anterior, afirma que si A ⊂ X es un subconjunto cerrado de un espacio normal que tiene la propiedad de que X × I es también normal, entonces la pareja (X, A) tiene la propiedad de extensi´ on de homotop´ıas –PEH en forma abreviada– con respecto a las esferas. XIII.4.4 Teorema. Sean X y X × I espacios normales, sea A ⊂ X cerrado y sea f : X −→ Sn continua. Dada una homotop´ıa H : A × I −→ Sn tal que H(a, 0) = f (a) para toda a ∈ A, entonces H puede extenderse a otra homotop´ıa K : X × I −→ Sn tal que K(x, 0) = f (x) para toda x ∈ X. En un diagrama ;X i ww

- wwww A GG GG G j0 #

MMM j MM0M &

f

$

K X × I _ _ _ _/ : Sn r8

r + rrri×id

A×I

H


497

En particular, si g : A −→ Sn es nulhomot´ opica, entonces g puede extenderse continuamente a una aplicaci´ on h : X −→ Sn . ⊔ ⊓ ´ n. Un subconjunto E ⊆ Rn se denomina retracto XIII.4.5 Definicio de vecindad euclidiana, o ENR por sus siglas en inglés, si hay una vecindad abierta V de E y una retracción r : U −→ E. Claramente el teorema XIII.4.4 sigue siendo cierto si en vez de Sn ponemos un ENR E. XIII.4.6 Teorema. Sea A ⊂ Sn+1 cerrado y sea f : A −→ Sn continua. Hay entonces una extensi´ on g : Sn+1 − F −→ Sn de f , donde F es un subconjunto finito de Sn+1 . Demostraci´ on: Esta prueba hace uso de algunos resultados sobre aplicaciones lisas, que pueden consultarse en [15]. Tómese y ∈ Rn+1 tal que |y| < 1. Hay una retracción r : Rn+1 − {y} −→ Sn . Podemos considerar a f como aplicación A −→ Rn+1 − {y}, de modo que sólo tengamos que hallar una extensión F : Sn+1 − F −→ Rn+1 − {y}. Por el teorema XIII.4.4, sólo necesitamos extender alguna aplicación g que sea homotópica a f . Por el teorema ??, existe una extensión continua F : Sn+1 −→ Rn+1 de f . Ahora podemos tomar una aplicación C ∞ G : Sn+1 −→ Rn+1 (de hecho, una función polinomial) tal que |G(x) − f (x)| ≤ 12 para toda x ∈ Sn+1 . Esto es posible aplicando el teorema de aproximación de Weierstrass (véase [35]). Sea y ∈ Rn+1 un valor regular de G tal que |y| ≤ 21 , el cual existe por el teorema de Sard (véase [32]). Por tanto, el conjunto F = G−1 (y) es finito y G : Sn+1 −F −→ Rn+1 −{y} es una extensión de g = G|A . Pero, por las condiciones impuestas, la homotop´ıa lineal H : Sn+1 −F −→ Rn+1 −{y} dada por H(x, t) = (1 − t)f (x) + tg(x) está bien definida. Podemos completar el teorema anterior dando una descripción más precisa del conjunto excepcional F . XIII.4.7 Teorema. Podemos elegir el conjunto F en XIII.4.6 de modo que tenga a lo m´s un punto en cada componente del complemento Sn+1 − A.

498

HOMOTOPÍA

Demostraci´ on: Removamos en primer lugar un punto z de Sn+1 , y consideremos Sn+1 − {z} como si fuese Rn+1 . Con esta convención, tomemos Bε (u) = {x ∈ Rn+1 | |u − x| ≤ ε} ⊂ Rn+1 − A , de modo que F no intersecte la frontera Sε (u) de Bε (u). Restr´ınjase la aplicación F a Sn+1 − (Bε◦ (u) − F ). Para cualquier punto x ∈ Bε◦ (u), hay una retracción r : Bε (u) − {x} −→ Sε (u). As´ı, podemos extender F |Sn+1 −Bε◦ (u) a Sn+1 − (Bε◦ (u) ∪ F ) ∪ (Bε (u) − {x} aplicando r ◦ F en Bε (u)−{x}. As´ı, si F es una extensión de f , también lo es la aplicación recién construida. El proceso de extensión descrito puede usarse de dos formas. Si hay varios puntos de F en Bε◦ (u), entonces el u ńico punto que falta es x ∈ Bε (u), y as´ı hemos reducido el conjunto F . Si x, y ∈ F yacen en la misma componente de Sn+1 − A, entonces podemos encontrar un sistema finito de puntos x = x0 , . . . , xk = y en esta componente, tal que para cada i, los puntos xi y xi+1 yacen en alguna bola adecuada Bε (u). Primero podemos agrandar F a˜ nadiendo los puntos x1 , . . . , xk−1 , y luego eliminando sucesivamente x0 , . . . , xk−1 . Repitiendo este proceso, obtenemos el resultado deseado. ´ n. Una inclusión i : A ,→ X se dice que tiene la XIII.4.8 Definicio propiedad de extensi´ on de homotop´ıas –PEH para ser breves– para una clase C de espacios topológicos, si dada una homotop´ıa H : A×I −→ Z, donde Z ∈ C, tal que H(a, 0) = f (a) para toda a ∈ A, entonces H puede extenderse a otra homotop´ıa K : X × I −→ Z tal que K(x, 0) = f (x) para toda x ∈ X. En un diagrama, f

; X MMM j0 MMM & , vvv K $ A GG X × I _ _ _ _/; Z 8 GG qq G + qqqi×id j0 # i vvv

A×I

H

Se dice que i es una cofibraci´ on si tiene la PEH para la clase de todos los espacios topológicos. La cofibración es cerrada si A ⊂ X es un subconjunto cerrado.


499

XIII.4.9 Ejercicio. Sea X un espacio de Hausdorff y supongamos que A es cerrado en X. Probar que i : A ,→ X es una cofibración si y sólo si hay una retracción r : X × I −→ (X × {0}) ∪ (A × I). (Sugerencia: Considérese el diagrama ;X i www w - ww AF FF FF j0 #

LLL j LL0L &

i′

(

_ _r_ _/ (X × {0}) ∪ (A × I) X 9 ×I 6

rrr + rrri×id

A×I

j′

donde i′ : X −→ X × {0} ∪ (A × I) es el encaje dado por x 7→ (x, 0) y j ′ : A × I −→ (X × {0}) ∪ (A × I) es la inclusión. Inversamente, dadas f y H como en la definición, def´ınase K = (f, H) ◦ r, donde (f, H)(x, 0) = f (x) si (x, 0) ∈ X × {0} y (f, H)(a, t) = H(a, t) si (a, t) ∈ A × I.) El siguiente resultado caracteriza a una cofibración (véase XIII.1.19) usando una variante local del concepto de retracción por deformación dado en XIII.3.9. XIII.4.10 Teorema. Una inclusi´ on i : A ,→ X es una cofibraci´ on si y s´ olo si existe una funci´ on u : X −→ R+ = {t ∈ R | t ≥ 0} y una homotop´ıa φ : X × I −→ X tal que (1) A ⊂ u−1 (0), (2) φ(x, 0) = x para toda x ∈ X, (3) φ(a, t) = a para toda a ∈ A y toda t ∈ I, (4) φ(x, t) ∈ A para toda x ∈ X y toda t > u(x). Demostraci´ on: Si i es una cofibración, entonces por XIII.4.9 existe una retracción r : X × I −→ (X × {0}) ∪ (A × I). Def´ınanse u y φ por u(x) = máx{t − proyI r(x, t) | t ∈ I}

y

φ(x, t) = proyX r(x, t) .

500

HOMOTOPÍA

Inversamente, dadas u y φ def´ınase la retracción r : X × I −→ (X × {0}) ∪ (A × I) por { (φ(x, t), 0) , si t ≤ u(x) r(x, t) = (φ(x, t), t − u(x)) , si t ≥ u(x) Concluimos esta sección con los siguientes resultados acerca del producto de dos cofibraciones y el espacio de funciones de una cofibración. XIII.4.11 Teorema. Sean i : A ,→ X y j : B ,→ Y cofibraciones tales que A ⊂ X es cerrado. Entonces k : (A × Y ) ∪ (X × B) ,→ X × Y es una cofibraci´ on. Demostraci´ on: Por el teorema XIII.4.10, para i tenemos una función u : X −→ R+ y una aplicación φ : X × I −→ X y para j tenemos una función v : Y −→ R+ y una aplicación ψ : Y × I −→ Y , que satisfacen (1)–(4). Def´ınase una función w : X × Y −→ R+ by (x, y) 7−→ {u(x), v(y)} , y una aplicación η : X × Y × I −→ X × Y by (x, y, t) 7−→ (φ(x, {t, v(y)}), ψ(y, {t, u(x)})) . Podemos ahora verificar que w y η satisfacen (1)–(4) para i × j: (1) Tómese (a, y) ∈ A × Y . Entonces w(a, y) = {u(a), v(y)} = {0, v(y)} = 0 . Ahora tómese (x, b) ∈ X × B. Entonces w(x, b) = {u(x), v(b)} = {u(x), 0} = 0 . Por tanto (A × Y ) ∪ (X × B) ⊂ w−1 (0).


501

(2) Para (x, y) ∈ X × Y se tiene η(x, y, 0) = (φ(x, {0, v(y)}), ψ(y, {0, u(x)})) = (φ(x, 0), ψ(y, 0)) = (x, y) . (3) Tómese (a, y, t) ∈ A × Y × I. Entonces η(a, y, t) = (φ(a, {t, v(y)}), ψ(y, {t, u(a)})) = (a, ψ(y, 0)) = (a, y)

pues u(a) = 0 .

Ahora tómese (x, b, t) ∈ X × B × I. Entonces η(x, b, t) = (φ(x, {t, v(b)}), ψ(b, {t, u(x)})) = (φ(x, 0), b) = (x, b)

pues v(b) = 0 .

(4) Supóngase { t > w(x, y) = {u(x), v(y)} =

u(x) v(y)

si u(x) ≤ v(y) si v(y) ≤ u(x)

En el primer caso, {t, v(y)} ≥ u(x)′′ ⇒′′ φ(x, max{t, v(y)}) ∈ A , y en el segundo caso, {t, u(x)} ≥ v(y)′′ ⇒′′ ψ(y, max{t, u(x)}) ∈ B . En cualquier caso, tenemos η(x, y, t) = (φ(x, max{t, v(y)}), ψ(y, max{t, u(x)})) ∈ (A × Y ) ∪ (X × B) . XIII.4.12 Teorema. Sea X un espacio de Hausdorff, sea A cerrado en X y sea K un espacio compacto. Si la inclusi´ on A ,→ X es una cofibraci´ on, entonces la inclusi´ on de los espacios de funciones con la topolog´ıa compacto-abierta M(K, A) ,→ M(K, X) es también una cofibraci´ on. Antes de pasar a la demostración, necesitamos algunos lemas.

502

HOMOTOPÍA

XIII.4.13 Lema. Si A es cerrado en X, entonces M(K, A) es cerrado en M(K, X). Demostraci´ on: Considérese una red fα en M(K, A) y supóngase que f ∈ M(K, X) es un l´ımite de la red. Demostraremos que f ∈ M(K, A), y por [?, 7.6.14], M(K, A) será cerrado. Ya que la aplicación evaluación es continua, f (κ) es un l´ımite de la red fα (κ) para toda κ ∈ K. Una vez más, por [?, 7.6.14], puesto que A es cerrado en X, f (κ) ∈ A para toda κ ∈ K, y as´ı f ∈ M(K, A), por tanto M(K, A) es cerrado en M(K, X). XIII.4.14 Lema. Si X es de Hausdorff, entonces también lo es M(K, X). Demostraci´ on: Recuérdese que un espacio Z es de Hausdorff si y sólo si la diagonal ∆Z en Z × Z es cerrada. Por lo tanto, podemos suponer que la diagonal ∆X ⊂ X × X es cerrada y tenemos que probar que la diagonal ∆M ⊂ M(K, X) × M(K, X) es cerrada. Primero nótese que la biyección canónica Φ : M(K, X × X) −→ M(K, X) × M(K, X) dada por Φ(f ) = (p1 ◦ f, p2 ◦ f ), donde p1 , p2 : X × X −→ X son las proyecciones, es un homeomorfismo (exercise). Ya que Φ(M(K, ∆X )) = ∆M y por el lema anterior, Φ(M(K, ∆X )) es cerrado en M(K, X × X), tenemos el resultado. Demostraci´ on del teorema XIII.4.12: Podemos aplicar el ejercicio XIII.4.9. Por hipótesis, hay una retracción r : X × I −→ (X × {0}) ∪ (A × I) y construiremos otra retracción ρ : M(K, X) × I −→ (M(K, X) × {0}) ∪ (M(K, A) × I) . Denótense por r1 : X × I −→ X

y

r2 : X × I −→ I

las composiciones de r con ambas proyecciones.


503

Podemos construir la retracción ρ como sigue: Denotemos por ρ1 : M(K, X) × I −→ M(K, X)

ρ2 : M(K, X) × I −→ I

y

las correspondientes componentes. Def´ınase ρ1 (f, t)(κ) = r1 (f (κ), t)

ρ2 (f, t) = {t, r2 (f (κ), t) | κ ∈ K} .

y

Tenemos que verificar que ρ está bien definida. A saber, si ρ2 (f, t) > 0, entonces r2 (f (κ), t) > 0 y por tanto f (κ) ∈ A para toda κ ∈ K, es decir, f ∈ M(K, A). Claramente ambas son aplicaciones continuas. La aplicación ρ es una retracción. Para calcular ρ(f, 0), tenemos ρ1 (f, 0)(κ) = r1 (f (κ), 0) = f (κ) . Por otro lado, ρ2 (f, 0) = 0 obviamente, es decir ρ(f, 0) = (f, 0). Más a´ un, si f ∈ M(K, A), entonces ρ1 (f, t)(κ) = r1 (f (κ), t) = f (κ) , puesto que f (κ) ∈ A. Además ρ2 (f, t) = m´ın{t, r2 (f (κ), t)} = t pues r2 (f (κ), t) = t ya que f (κ) ∈ A. Por lo tanto, obtenemos el resultado.

⊔ ⊓

XIII.4.15 Ejercicio. Probar que dadas dos cofibraciones cerradas A ,→ X y B ,→ X, entonces A ∩ B ,→ X es una cofibración cerrada. XIII.4.16 Ejercicio. Supóngase que el siguiente A f

i

B

/X

j

g

/Y

es un diagrama de pushout. Probar que i es una cofibración, entonces j es también una cofibración. Más a´ un, probar que si f es una equivalencia homotópica, entonces también g lo es. Concluir que si A es contra´ıble, entonces la aplicación cociente q : X −→ X/A es una equivalencia homotópica

504

HOMOTOPÍA

XIII.4.17 Ejercicio. Sea i : A ,→ X una cofibración y sea H : X × I −→ Y una homotop´ıa. Supóngase también que K : (A × I) × I −→ Y es otra homotop´ıa que comienza con H ◦ (i × idX ) y termina con una homotop´ıa constante K ′ : A × I −→ Y rel A × {0, 1}, es decir, K(a, t, 1) = K ′ (a, 0) = K(a, 0, 1). Probar que hay una homotop´ıa H ′ : H0 ≃ H1 : X −→ Y , donde Hν (x) = H(x, ν), ν = 0, 1, tal que H ′ se mantiene constante en A. XIII.4.18 Ejercicio. Supóngase que i : A ,→ X es una cofibración y que r : X −→ A es una retracción fuerte por deformación. Tómese una deformación fuerte H : X × I −→ X, es decir H(x, 0) = x, H(x, 1) = r(x), y H(a, t) = a, para x ∈ X, a ∈ A, y t ∈ I, compóngase con la homotop´ıa inversa de H|A×I , y apl´ıquese el ejercicio XIII.4.17. ¡Explicar qué ocurre!

XIII.5

Invariancia del dominio

En esta sección demostraremos el teorema de la invariancia del dominio X.1.9 formulado en el cap´ıtulo I. Este teorema y sus consecuencias sobre los teoremas de invariancia de la dimensión y de la frontera se deben a Brouwer. La prueba utilizada aqu´ı utiliza esencialmente la propiedad de separación de conjuntos compactos ajenos que tiene Rn (y la cual es una consecuencia del axioma de separación de Hausdorff axiom, reemplazando dos puntos distintos por dos conjuntos compactos ajenos), as´ı como el teorema de retracción XIII.2.24 para n general, del cual sólo hemos probado el caso n = 2. Otras demostraciones echan mano de algunos resultados de topolog´ıa algebraica. Comenzaremos con algunos conceptos elementales. Considérese un subespacio X ⊂ Rn y un punto x0 ∈ Rn − X. Definimos la aplicaci´ on de enredamiento por wX,x0 = wx0 : X −→ Sn−1 ,

x 7−→

x − x0 . |x − x0 |

Si X es compacto, entonces Rn − X se descompone en componentes por trayectorias abiertas. Sólo una de estas componentes es no acotada. En este caso, X ⊂ Br (0) = {x ∈ Rn | |x| ≤ r, y ya que el complemento

INVARIANCIA DEL DOMINIO

505

Rn − Br (0) es conexo, entonces está contenido en una componente V de Rn − X, que es la no acotada; todas las demás componentes yacen dentro de la bola Br (0). XIII.5.1 Proposici´ on. Sea X ⊂ Rn compacto. Entonces se cumplen: (a) Un punto dado x0 ∈ Rn − X yace en la componente no acotada si y s´ olo si la aplicaci´ on de enredamiento wX,x0 es nulhomot´ opica. (b) Dos puntos x, y ∈ Rn −X yacen en la misma componente si y s´ olo si las aplicaciones de enredamiento wX,x y wX,y son homot´ opicas. Demostraci´ on: (a) Considérese un homeomorfismo af´ın a : Rn −→ Rn de la forma a(x) = rx + b, donde r > 0 y b ∈ Rn . Usaremos a para transformar X a Y = a(X) y x0 a y0 = a(x0 ). Entonces, claramente, wX,x0 = wY,y0 ◦ a. Ya que a es un homeomorfismo, wX,x0 es nulhomotópica si y sólo si wY,y0 es nulhomotópica. También, x0 yace en la componente no acotada de Rn − X si y sólo si y0 yace en la componente no acotada de Rn − Y . Eligiendo r suficientemente grande y b convenientemente, podemos suponer que x0 = 0 y X ⊂ Bn (Bn la bola unitaria). Si ahora suponemos que x0 yace en la componente no acotada K de n R −X, entonces hay una trayectoria σ : x0 = 0 ≃ σ(1) = z0 ∈ Rn −Bn . Considérese la homotop´ıa H : X × I −→ Sn−1 ,

(x, t) 7−→

x − λ(t) . |x − λ(t)|

Entonces H1 (x) = H(x, 1) ̸= q = |z0 |−1 z0 y as´ı su imagen yace en el complemento Sn−1 − {z0 }, el cual es contra´ıble. As´ı, H1 es nulhomotópica. Inversamente, si la componente K, en la cual yace 0, es acotado, entonces K ⊂ Bn y K ∪ X es cerrado ya que su complemento es unión de componentes de Rn − X, que por X.2.6 son abiertas. Si w = wX,0 es nulhomotópico, entonces por XIII.4.4 podemos extender w a una aplicación W : K ∪ X −→ Sn−1 . Def´ınase r : Bn −→ Sn−1 por { W (x) si x ∈ K ∪ X r(x) = |x|−| x si x ∈ Bn − K .

506

HOMOTOPÍA

Ya que ambas partes de la definición coinciden en X, entonces r está bien definida y es continua. Más a´ un, r|Sn−1 = idSn−1 , por lo tanto, es una retracción, lo que contradice el teorema de la retracción.XIII.2.24 (b) Supóngase que x y y yacen en diferentes componentes. Podemos descomponer Rn − X como una unión ajena A ∪ B, donde (A, B) es una separación tal que x ∈ A y y ∈ B. Uno de los dos conjuntos A o B es acotado, digamos que es A. La aplicación wy |X se define en Rn − {y}, as´ı, en particular, está definida en A ∪ X ⊂ Rn − {y}. Pero al final de la prueba de la parte (a) vemos que no se puede extender wx |X a A ∪ X. Pero si wx y wy fuesen homotópicas, entonces por XIII.4.4, ambas aplicaciones podr´ıan extenderse simultáneamente. ⊓ ⊔ Probaremos ahora un teorema de dualidad para subconjuntos de una esfera. XIII.5.2 Teorema. Sea X ⊂ Sn un subconjunto cerrado, diferente de Sn . Entonces el complemento Sn − X es conexo si y sólo si cualquier aplicaci´ on f : X −→ Sn−1 es nulhomot´ opica. Demostraci´ on: Si Sn − X es inconexo, entonces tómense puntos x, y ∈ Sn − X que yacen en diferentes componentes. Sn − {y} es homeomorfo a Rn , y, salvo el homeomorfismo, x yace en la componente acotada. Por XIII.5.1, hay una aplicación nulhomotópica f : X −→ Sn−1 . Inversamente, si Sn − X es conexo y f : X −→ Sn−1 es continua, entonces por XIII.4.7, f puede extenderse a una aplicación continua g : Sn − {x} −→ Sn−1 . Ya que Sn − {x} es contra´ıble, g y con ella también f , es nulhomotópica. ⊔ ⊓ Bajo las mismas hipótesis, tenemos las siguientes consecuencias. XIII.5.3 Corolario.

(a) Si X es contra´ıble, entonces Sn −X es conexo.

(b) Si X es homeomorfa a Sn−1 , entonces hay aplicaciones no nulhomot´ opicas X −→ Sn−1 . Por tanto Sn − X tiene al menos dos componentes. Demostraci´ on: (a) es inmediato y (b) se obtiene de XIII.2.26.

INVARIANCIA DEL DOMINIO

507

XIII.5.4 Teorema. Considérese A ⊂ X ⊂ Sn tal que el par (X, A) es homeomorfo al par (Bn , Sn−1 ). Entonces el complemento Sn − A consta de dos componentes, a saber, Sn − X y X − A. Demostraci´ on: Por el corolario XIII.5.3 (a), Sn −X es conexo. Por otro lado, el complemento X − A es homeomorfo a Bn − Sn y por tanto es conexo. Pero Sn − A = (Sn − X) ∪ (X − A), y as´ı los dos conjuntos (Sn − X) y (X − A) deben ser las componentes de Sn − A. XIII.5.5 Teorema. (Invariancia del dominio) T´ omense subconjuntos n X, Y ⊂ S tales que X es homeomorfo a Y . Entonces, si X es abierto en Sn , Y debe ser abierto también. ⊔ ⊓ Demostraci´ on: Sea φ : X −→ Y un homeomorfismo y tómese y ∈ Y . Si x ∈ X es tal que y = φ(x) ∈ Y , tómese una vecindad U de x tal que U es compacto y contenido en X, as´ı como (U , ∂U ) ≈ (Bn , Sn−1 ). Sea (W, B) = (φ(U ), φ(∂U )). Por XIII.5.4, W − B es abierto. Dado que y ∈ W − B ⊂ Y , y es punto interior de Y y as´ı Y es abierto. Como consecuencia del resultado previo, obtenemos el teorema de invariancia del dominio para variedades. XIII.5.6 Teorema. (Invariancia del dominio para variedades) Sean M y N variedades topol´ ogicas de dimensi´ on n, y sean X ⊂ M , Y ⊂ N tales que X es homeomorfo a Y . Entonces, si X es abierto en M , Y debe ser abierto en N . Demostraci´ on: Sea φ : X −→ Y un homeomorfismo, y tómese y ∈ Y . Si x ∈ X es tal que y = φ(x) ∈ Y . Tómense vecindades U de x en M y V de y en N tales que U está contenido en X, V está contenido en Y , φ(U ) ⊂ V , y tanto U como V son homeomorfas a Rn . Sean ξ : U −→ Sn y η : V −→ Sn encajes con imágenes abiertas ξ(U ) = U ′ y η(V ) = V ′ . Por tanto, tenemos la aplicación η ◦ φ ◦ ξ −1 : U ′ −→ V ′ es un homeomorfismo de U ′ a V ′′ ⊂ V ′ . Por el teorema XIII.5.5, V ′′ es abierto en Sn , y con ello también abierto en V ′ . As´ı, φξ −1 (U ′ ) = φ(U ) es abierto en V , y as´ı también lo es en N . Ya que y ∈ φ(U ) ⊂ N , se tiene que Y es abierto.

508

HOMOTOPÍA

XIV.

EL GRUPO FUNDAMENTAL

El grupo fundamental es probablemente el concepto más impor´ tante de la topolog´ıa algebraica. Este será el primer invariante propiamente algebraico que será estudiado en este libro. A cada espacio topológico le asociaremos su grupo fundamental, que es un grupo, en general, no abeliano, y cuya estructura nos proporciona valiosa información sobre el espacio. XIV.1

´ n y propiedades generales Definicio

En esta sección daremos la definición del grupo fundamental, que depende del concepto básico de trayectoria en un espacio topológico. ´ n. Sea X un espacio topológico y sean x0 , x1 ∈ X. XIV.1.1 Definicio Una trayectoria de x0 a x1 es una aplicación ω : I −→ X, tal que ω(0) = x0 y ω(1) = x1 . La denotamos como ω : x0 ≃ x1 . Al punto x0 lo llamamos origen (o punto inicial) de ω y a x1 destino (o punto final) de ω y a ambos los designamos extremos de la trayectoria. Si los extremos coinciden, es decir, x0 = x1 , se considera que la trayectoria es cerrada o, simplemente, que es un lazo basado en x0 .

XIV.1.2 Ejemplos. (a) Si x ∈ X, cx : I −→ X, tal que cx (t) = x para toda t ∈ I, es la trayectoria constante o el lazo constante (b) Si ZX = X × I es el cilindro sobre X, entonces para cada x ∈ X la trayectoria ωx : I −→ ZX, tal que ωx (t) = (x, t), es la generatriz sobre x; análogamente, si CX = ZX/X × {1} es el cono sobre X, la misma fórmula para ωx determina la generatriz sobre x en el cono. 509

510


X

ω

Figura XIV.1: Trayectoria en un espacio topológico (c) Más generalmente, dada f : X −→ Y , si Mf y Cf representan el cilindro y el cono de aplicación de f , respectivamente, las funciones ωx : I −→ Mf y ωx : I −→ Cf , tales que ωx (t) = (x, t), donde la barra representa las correspondientes imágenes en los cocientes, determina las generatrices del cilindro y el cono. (d) Si f : S1 −→ X es continua, entonces λf : I −→ X, tal que ωf (t) = f (e2πit ), es el lazo asociado a f . (e) Sea n ∈ Z. La trayectoria ωn : I −→ S1 , tal que ωn (t) = e2πint , es el lazo de grado n en el c´ırculo. Tiene el efecto de que conforme var´ıa t en I, la trayectoria da la vuelta a S1 n veces (en sentido levógiro, si n > 0; en sentido dextrógiro, si n < 0, y si n = 0, no da vuelta). ωn es el lazo asociado a la aplicación gn : S1 −→ S1 , definida en XIII.2.7(a). (f) En el toro T 2 = S1 × S1 , las trayectorias ω11 , ω12 : I −→ T 2 , tales que ω11 (t) = (e2πit , 1) = (ω1 (t), 1) y ω12 (t) = (1, e2πit ) = (1, ω1 (t)), son lazos, a los que designaremos por lazo ecuatorial unitario y lazo meridional unitario. (Véase XIII.2.16.) Más gene1 , ω 2 : I −→ T 2 , tales que ralmente, tenemos en T 2 los lazos ωm n 2 1 ωm (t) = (ωm (t), 1) y ωn (t) = (1, ωn (t)). La figura XIV.2 muestra los generadores ω11 y ω12 en el toro.

´ Y PROPIEDADES GENERALES DEFINICION

ω12

511

ω11

Figura XIV.2: Los generadores ω11 y ω12 en el toro (g) Sea X un espacio punteado, es decir, con un punto b´ asico x0 ∈ X. La suspensi´ on reducida de X se define como el espacio cociente ΣX = X × I/X × ∂I ∪ {x0 } × I , que también es un espacio punteado con punto básico, el punto en el que se colapsó X ×∂I ∪{x0 }×I. Denotamos los puntos de la suspensión de X por [x, t], de manera que x′0 = [x0 , t] = [x, 0] = [x, 1] es el punto básico para toda t ∈ I y toda x ∈ X. Para cada x ∈ X hay un lazo canónico λx : I −→ ΣX dado por λx (t) = [x, t] basado en x′0 . En particular, λx0 es el lazo constante. La figura XIV.3 muestra los lazos λx en la suspensión. (La l´ınea gruesa en la figura representa al punto básico x′0 .) En general, como se visualiza en los ejemplos anteriores, as´ı como en la figura XIV.1, conforme el parámetro t var´ıa de 0 a 1, el punto ω(t) recorre una curva o trayectoria en X que une los puntos x0 y x1 . Dos trayectorias ω, σ : I −→ X son iguales si como aplicaciones lo son, es decir, si para toda t ∈ I, ω(t) = σ(t). No basta, pues, que tengan las mismas imágenes. Por ejemplo, los lazos ωn en S1 definidos en XIV.1.2(d) son diferentes entre s´ı. Dados cualesquiera a < b ∈ R y aplicación γ : [a, b] −→ X, el homeomorfismo canónico I −→ [a, b], tal que t 7→ (1 − t)a + tb, transforma a γ en una trayectoria γ b : I −→ X, tal que γ b(t) = γ((1 − t)a + tb), de modo que, en principio, cualquier

512


x′0

x

X

λx

ΣX

Figura XIV.3: Los lazos λx en la suspensión γ es, canónicamente, una trayectoria. Por cuestiones técnicas, conviene suponer a = 0 y b = 1. XIV.1.3 Ejercicio. Probar que dar una trayectoria σ : x0 ≃ x1 en X es equivalente a dar una homotop´ıa H : cx0 ≃ cx1 : ∗ −→ X, donde cx representa la aplicación del espacio singular ∗ en X con valor x. Como en el caso de los lazos, como vimos en el cap´ıtulo anterior, es posible operar entre s´ı trayectorias y definir inversos como ahora veremos. ´ n. Dada una trayectoria ω : I −→ X definimos XIV.1.4 Definicio la trayectoria inversa como ω : I −→ X, tal que ω(t) = ω(1 − t). Si ω : x0 ≃ x1 , ω : x1 ≃ x0 . Dos trayectorias ω, σ : I −→ X son enchufables si ω(1) = σ(0); en este caso puede definirse el producto de ω y σ como la trayectoria ωσ : I −→ X, tal que { ω(2t) si 0 ≤ t ≤ 21 , (ωσ)(t) = σ(2t − 1) si 12 ≤ t ≤ 1.

513


Si ω es cerrada, es decir, si es un lazo, es posible definir ωω, trayectoria que denotaremos por ω 2 . Más en generalmente, podemos en este caso definir ω n como ω n−1 ω, para n ≥ 2. Si ω : x0 ≃ x1 y σ : x1 ≃ x2 , entonces ωσ : x0 ≃ x2 . En particular, las parejas ω, ω; ω, ω; cx0 , ω y ω, cx1 son enchufables siempre y sus productos ωω, ωω, cx0 ω y ωcx1 están definidos. No obstante, en general, ωω ̸= cx0 , cx0 ω ̸= ω, etc. Este mal comportamiento se corrige con la siguiente definición. ´ n. Se dice que dos trayectorias ω0 , ω1 : I −→ X XIV.1.5 Definicio son homot´ opicas si tienen los mismos extremos x0 y x1 y existe una homotop´ıa H : I × I −→ X, tal que H(s, 0) = ω0 (s), H(s, 1) = ω1 (s), H(0, t) = x0 , H(1, t) = x1 , para toda s, t ∈ I, es decir, una homotop´ıa relativa a {0, 1}. Esto lo denotamos, como es usual, por H : ω0 ≃ ω1 rel ∂I; si no se desea poner énfasis en la homotop´ıa, el que ω0 y ω1 sean homotópicas se denota más simplemente como ω0 ≃ ω1 . La figura XIV.4 ilustra el concepto. Si un lazo ω es homotópico al lazo constante cx0 , o sea, ω ≃ cx0 , se afirma que es nulhomot´ opico o contra´ıble. ω0

x0 x1

ω1

Figura XIV.4: Una homotop´ıa de trayectorias XIV.1.6 Nota. La notación H : ω ≃ σ, para homotop´ıa de trayectorias, análoga a ω : x ≃ y para una trayectoria de x a y se justifica, ya que H puede verse como una trayectoria en el espacio de funciones M(I, X) con la topolog´ıa compacto-abierta (véase VIII.5).

514


XIV.1.7 Ejercicio. Probar que, en efecto, es equivalente dar una homotop´ıa H : ω ≃ σ (no necesariamente relativa a los extremos, es decir, tal que sólo H(s, 0) = ω(s) y H(s, 1) = σ(s)), a dar una trayectoria en M(I, X) con origen ω y destino σ. En cuanto a los comentarios posteriores a la definición XIV.1.4, tenemos el siguiente lema. XIV.1.8 Lema. Sean ω : x0 ≃ x1 , σ : x1 ≃ x2 y γ : x2 ≃ x3 trayectorias en X, entonces se tienen las siguientes afirmaciones. (a) ω(σγ) ≃ (ωσ)γ. (b) cx0 ω ≃ ω

ωcx1 ≃ ω.

(c) ωω ≃ cx0

ωω ≃ cx1 .

Demostraci´ on: (a) La homotop´ıa H : I × I −→ X dada por  4s si 0 ≤ s ≤ 2−t ω( 2−t ) 4 , 2−t H(s, t) = σ(4s + t − 2) si 4 ≤ s ≤ 3−t 4 ,  4s+t−3 γ( t+1 ) si 3−t ≤ s ≤ 1, 4 está bien definida y es tal que H : ω(σγ) ≃ (ωσ)γ. (b) Las homotop´ıas H, K : I × I −→ X dadas por { x0 si 0 ≤ s ≤ 1−t 2 , H(s, t) = 1−t 2s+t−1 ω( t+1 ) si 2 ≤ s ≤ 1, { 2s ω( t+1 ) si 0 ≤ s ≤ 1+t 2 , K(s, t) = x1 si 1+t ≤ s ≤ 1, 2 están bien definidas y son tales que H : cx0 ω ≃ ω y K : ωcx1 ≃ ω. (c) Las homotop´ıas H, K : I × I −→ X dadas por { ω(2s(1 − t)) si 0 ≤ s ≤ 12 , H(s, t) = ω(2(1 − s)(1 − t)) si 12 ≤ s ≤ 1, { ω(2(1 − s)(1 − t)) si 0 ≤ s ≤ 12 , K(s, t) = ω(2s(1 − t)) si 12 ≤ s ≤ 1, están bien definidas y son tales que H : ωω ≃ cx0 y K : ωω ≃ cx1 .

⊔ ⊓


515

En lo que sigue escribiremos a menudo ω1 ω2 · · · ωk , sin paréntesis, que, si no se indica lo contrario, significa la trayectoria  si 0 ≤ t ≤ k1 , ω1 (kt)    ω2 (kt − 1) si k1 ≤ t ≤ k2 , ω1 ω2 · · · ωk (t) = .. ..  . .    k−1 ωk (kt − k + 1) si k ≤ t ≤ 1, es decir, se recorren uniformemente todas las trayectorias del producto. En analog´ıa con XIII.1.3, se tiene lo siguiente. XIV.1.9 Lema. La relaci´ on ω ≃ σ es de equivalencia. Demostraci´ on: La homotop´ıa H(s, t) = ω(s) prueba que ω ≃ ω. Si H : ω ≃ σ, entonces H : I ×I −→ X, tal que H(s, t) = H(s, 1−t), es tal que H : σ ≃ ω. Finalmente, si H : ω ≃ σ y K : σ ≃ γ, entonces la homotop´ıa L : I × I −→ X, tal que { H(s, 2t) si 0 ≤ t ≤ 21 , L(s, t) = K(s, 2t − 1) si 21 ≤ t ≤ 1, es una homotop´ıa relativa a {0, 1} que está bien definida y es tal que L : ω ≃ γ. ⊔ ⊓ En adelante denotaremos la clase de equivalencia de ω por [ω] y la llamaremos clase de homotop´ıa de ω. Nos interesaremos, en especial, por clases de homotop´ıa de lazos basados en un punto espec´ıfico x y en particular en la clase [cx ], a la que denotaremos como 1x o, si no hay confusión, simplemente como 1. Si H : ω0 ≃ ω1 y K : σ0 ≃ σ1 , entonces la homotop´ıa HK : I −→ X dada por { H(2s, t) si 0 ≤ s ≤ 12 , HK(s, t) = K(2s − 1, t) si 12 ≤ s ≤ 1, está bien definida y es tal que HK : ω0 σ0 ≃ ω1 σ1 . As´ı, podemos definir el producto de clases de homotop´ıa de dos trayectorias ω y σ enchufables por la fórmula [ω][σ] = [ωσ] . Por lo anterior y XIV.1.8, tenemos el siguiente resultado.

516


XIV.1.10 Proposici´ on. Sean ω : w ≃ x, σ : x ≃ y y γ : y ≃ z trayectorias en X, entonces se cumplen las siguientes igualdades. (a) [ω]([σ][γ]) = ([ω][σ])[γ] (b) 1w [ω] = [ω] = [ω]1x (c) [ω][ω] = 1w , [ω][ω] = 1x . (Por esta raz´ on, a [ω] se le denota como [ω]−1 .) ⊔ ⊓ Gracias a (a), el producto de clases de homotop´ıa de trayectorias es asociativo. No se prestará, as´ı, a confusión escribir simplemente [ω][σ][γ]. XIV.1.11 Ejercicio. Probar que si ωn : I −→ S1 , n ∈ Z, es como en XIV.1.2(d), entonces [ωn ] = [ω1 ]n . (Sugerencia: ω12 = ω2 ; proceder por inducción sobre n.) El concepto de grupo fundamental depende de un punto básico x0 ∈ X. Si restringimos XIV.1.10 a lazos (trayectorias cerradas), obtendremos el siguiente resultado. ´ n. Sea (X, x0 ) un espacio punteado. XIV.1.12 Teorema y Definicio Entonces el conjunto π1 (X, x0 ) = {[λ] | λ es un lazo basado en x0 } es un grupo respecto a la multiplicaci´ on [λ][µ] = [λµ], con elemento neutro 1 = 1x0 = [cx0 ] y con [λ]−1 como inverso de cada [λ]. A este grupo se le llama grupo fundamental de X basado en el punto x0 . ⊔ ⊓ Sea f : (X, x0 ) −→ (Y, y0 ) una aplicación punteada de espacios punteados. Si λ : I −→ X es un lazo basado en x0 , entonces la composición f ◦ λ : I −→ Y es un lazo basado en y0 . Además, si cx0 es el lazo constante en X, f ◦ cx0 = cy0 es el lazo constante en Y y dados lazos λ y µ en X, se tiene f ◦ (λµ) = (f ◦ λ)(f ◦ µ) .


517

XIV.1.13 Ejercicio. Probar la afirmación anterior en el caso general, es decir, si f : X −→ Y es continua y λ y µ son trayectorias enchufables en X, entonces f ◦λ y f ◦µ son enchufables en Y y f ◦(λµ) = (f ◦λ)(f ◦µ). XIV.1.14 Teorema. Una aplicaci´ on punteada f : (X, x0 ) −→ (Y, y0 ) induce un homomorfismo de grupos f∗ : π1 (X, x0 ) −→ π1 (Y, y0 ) , tal que f∗ ([λ]) = [f ◦ λ]. Demostraci´ on: Si H : λ0 ≃ λ1 rel ∂I es una homotop´ıa de lazos en X basados en x0 , es decir, H(s, 0) = λ0 (s), H(s, 1) = λ1 (s), H(0, t) = x0 = H(1, t), entonces claramente f ◦ H : f ◦ λ0 ≃ f ◦ λ1 rel ∂I, por lo que la función f∗ ([λ]) = [f ◦ λ] está bien definida. Las observaciones previas al teorema prueban que f∗ ([λµ]) = [f ◦ (λµ)] = [(f ◦ λ)(f ◦ µ)] = f∗ ([λ])f∗ ([µ]) , lo que demuestra que f∗ es un homomorfismo de grupos.

⊔ ⊓

De hecho, la construcción del grupo fundamental es un funtor, es decir, se comporta bien con aplicaciones, como lo muestra el siguiente resultado inmediato. XIV.1.15 Teorema. Sean (X, x0 ), (Y, y0 ) y (Z, z0 ) espacios punteados y sean f : (X, x0 ) −→ (Y, y0 ) y g : (Y, y0 ) −→ (Z, z0 ) aplicaciones punteadas. Entonces, se tienen las siguientes propiedades. (a) idX∗ = 1π1 (X,x0 ) : π1 (X, x0 ) −→ π1 (X, x0 ), (b) (g ◦ f )∗ = g∗ ◦ f∗ : π1 (X, x0 ) −→ π1 (Z, z0 ). Por las condiciones (a) y (b) anteriores, la asignación X

π1 (X)

f

Y es un funtor (véase XIII.1.27).

/

f∗

π1 (Y )

⊔ ⊓

518


XIV.1.16 Ejercicio. Recuérdese de XIV.1.2(d) que dada una aplicación punteada f : S1 −→ X, hay un lazo inducido λf : I −→ X. Inversamente, dado un lazo λ : I −→ X (basado en x0 ), éste induce una aplicación punteada fλ : S1 −→ X, ya que la exponencial I −→ S1 es una aplicación cociente y λ es compatible con ella. Probar que esta correspondencia establece una biyección π1 (X) ∼ = [S1 , X]∗ , donde X está punteado por x0 y S1 está punteado por 1. Más a´ un, probar que esta biyección es natural, es decir, el diagrama π1 (X) f∗

∼ =

π1 (Y )

/ [S1 , X]∗

∼ =

f∗

/ [S1 , Y ]∗ ,

es conmutativo (véase XIII.1.32(b)). XIV.1.17 Ejemplos. (a) Si λ : I −→ Rn es un lazo basado en 0, entonces la homotop´ıa H(s, t) = (1 − t)λ(s) es una nulhomotop´ıa. As´ı, [λ] = 1 ∈ π1 (Rn ). Por lo tanto, π1 (Rn , 0) = 1, es decir, el grupo fundamental de Rn es el grupo trivial. (b) Como en el ejemplo anterior, se prueba que π1 (Bn , 0) = 1. (c) Recuérdese que un subconjunto X ⊂ Rn es convexo si dados puntos x, y ∈ X, para todo t ∈ I, (1 − t)x + ty ∈ X, es decir, si el segmento que une x con y yace en X. Dado cualquier punto x0 ∈ X y cualquier lazo λ : I −→ X basado en x0 , la homotop´ıa H(s, t) = (1 − t)λ(s) + tx0 es una nulhomotop´ıa relativa a ∂I, por lo que [λ] = 1 ∈ π1 (X, x0 ). Es decir, el grupo fundamental de todo conjunto convexo es trivial. (d) Si X es (fuertemente) contra´ıble a x0 ∈ X (es decir, {x0 } es un retracto fuerte por deformación de X), entonces todo lazo λ : I −→ X basado en x0 es nulhomotópico, como lo muestra la


519

nulhomotop´ıa H(s, t) = D(λ(s), t), donde D : X × I −→ X es una contracción, o sea, es tal que D(x, 0) = x, D(x, 1) = x0 = D(x0 , t), t ∈ I. Por lo tanto, π1 (X, x0 ) = 1, es decir, el grupo fundamental de todo espacio contra´ıble es trivial. XIV.1.18 Proposici´ on. Sean (X, x0 ) y (Y, y0 ) espacios punteados, entonces la funci´ on φ = (proyX∗ , proyY ∗ ) : π1 (X × Y, (x0 , y0 )) −→ π1 (X, x0 ) × π1 (Y, y0 ) es un isomorfismo de grupos (véase XIV.3.7(c)). Demostraci´ on: La función es claramente un homomorfismo. Si λ : I −→ X × Y es un lazo, tal que φ([λ]) = (1, 1), entonces los lazos λ1 = proyX ◦ λ : I −→ X y λ2 = proyY ◦ λ : I −→ Y son nulhomotópicos, digamos, a través de nulhomotop´ıas H1 : I×I −→ X y H2 : I×I −→ Y . Por lo tanto, H = (H1 , H2 ) : I −→ X × Y es una nulhomotop´ıa del lazo (λ1 , λ2 ) = λ : I −→ X × Y . En consecuencia, [λ] = 1 y φ es un monomorfismo. Por otro lado, si ([λ1 ], [λ2 ]) ∈ π1 (X, x0 ) × π1 (Y, y0 ) es un elemento arbitrario, el lazo λ = (λ1 , λ2 ) : I −→ X × Y es tal que φ([λ]) = ([λ1 ], [λ2 ]), por lo que φ es un epimorfismo. ⊔ ⊓ XIV.1.19 Ejercicio. Probar que el isomorfismo dado en la proposición precedente es natural (tanto en X como en Y ; véase XIII.1.35). Hasta ahora sólo hemos visto ejemplos expl´ıcitos de grupos fundamentales triviales; en la sección siguiente veremos ejemplos de grupos fundamentales no triviales. En lo que sigue, analizaremos la relación que guardan los grupos fundamentales de un espacio X con respecto a dos distintos puntos básicos x0 y x1 . Si x0 ∈ X yace en la componente por trayectorias X0 de X y λ es un lazo en X basado en x0 , entonces, al ser I conectable por trayectorias, la imagen de λ yace en X0 . Más a´ un, si H : λ ≃ µ es una homotop´ıa en X, entonces la imagen de la homotop´ıa también yace dentro de X0 . Estas consideraciones muestran la siguiente afirmación.

520


XIV.1.20 Proposici´ on. Sea X un espacio punteado con punto b´ asico x0 . Si X0 es la componente por trayectorias de X que contiene a x0 ∈ X, entonces la inclusi´ on i : X0 ,→ X induce un isomorfismo ∼ =

i∗ : π1 (X0 , x0 )−→π1 (X, x0 ) . ⊓ ⊔ La proposición XIV.1.20 nos permite restringir el estudio del grupo fundamental a espacios conectables por trayectorias. De hecho, en ellos el grupo fundamental está bien definido, salvo isomorfismo, independientemente del punto básico. Más precisamente, obtenemos el siguiente resultado. XIV.1.21 Teorema. Sea ω : x0 ≃ x1 una trayectoria en X. Se tiene un isomorfismo φω : π(X, x1 ) −→ π1 (X, x0 ) , tal que φω ([λ]) = [ω][λ][ω]−1 . Demostraci´ on: Ya que λ es un lazo basado en x1 , ω y λ son enchufables, as´ı como también lo son ωλ y ω, por lo que la función φω está bien definida y, de hecho, depende sólo de la clase [ω]. Para ver que es un homomorfismo, tenemos, por XIV.1.10, que φω ([λ][µ]) = [ω][λ][µ][ω] = [ω][λ][ω][ω][µ][ω] = φω ([λ])φω ([µ]) , por lo que φω es un homomorfismo. Más a´ un, el homomorfismo φω : π1 (X, x0 ) −→ π1 (X, x1 ) es claramente el inverso de φω . ⊔ ⊓ XIV.1.22 Ejercicio. Verificar que, en efecto, φω ◦ φω = 1π1 (X,x0 ) y φω ◦ φω = 1π1 (X,x1 ) . Si en el teorema XIV.1.21 tomamos, en particular, a ω como un lazo basado en x0 , es decir, de modo que [ω] ∈ π1 (X, x0 ), entonces φω no es más que el automorfismo interno de π1 (X, x0 ), dado por conjugación con el elemento [ω].


521

´ n. El teorema XIV.1.21 nos permite escribir π1 (X) XIV.1.23 Observacio para un espacio conectable por trayectorias X sin hacer referencia al punto básico. Obsérvese, no obstante, que en general no hay un isomorfismo canónico entre los grupos fundamentales basados en dos puntos básicos diferentes. Por lo tanto la notación π1 (X) representa en realidad a una familia de grupos isomorfos. El concepto que presentaremos ahora será muy importante en el resto de este texto. También lo es en general. ´ n. Se dice que un espacio topológico X es simXIV.1.24 Definicio plemente conexo si es conectable por trayectorias (0-conexo) y para un punto básico x0 ∈ X, el grupo fundamental π1 (X, x0 ) es trivial. Frecuentemente, a un espacio simplemente conexo se le llama espacio 1-conexo. Los espacios presentados en los ejemplos XIV.1.17 son todos espacios simplemente conexos. Tenemos la siguiente caracterización de este concepto. XIV.1.25 Proposici´ on. Sea X un espacio conectable por trayectorias. Son equivalentes (a) X es simplemente conexo. (b) π1 (X, x) = 1 para todo punto x ∈ X. (c) Todo lazo λ : I −→ X es nulhomot´ opico. (d) ω ≃ σ rel ∂I para cualquier par de trayectorias con los mismos extremos x y y. Demostraci´ on: (a) ⇔ (b) se obtiene del teorema XIV.1.21, ya que, por ser X conectable por trayectorias, siempre existe una trayectoria ω : x0 ≃ x en X. (b) ⇒ (c) dado que si λ : I −→ X es un lazo basado en x, [λ] ∈ π1 (X, x) = 1. As´ı, [λ] = 1, es decir, λ es nulhomotópico.

522


(c) ⇒ (d) puesto que ωσ es un lazo basado en x; as´ı, es nulhomotópico, es decir, ωσ ≃ cx , por lo tanto, por el lema XIV.1.8, (ωσ)σ ≃ cx σ ; pero, por el mismo lema, el lado izquierdo de la ecuación es homotópico a ω(σσ) ≃ ω y el derecho a σ, por lo que, al ser ≃ una relación de equivalencia, ω ≃ σ. (d) ⇒ (a) ya que si [λ] ∈ π1 (X, x0 ), por tener λ y cx0 los mismos extremos, λ ≃ cx0 , es decir, [λ] = 1, por lo que π1 (X, x0 ) = 1, o sea, X es simplemente conexo. ⊔ ⊓ Sean f, g : (X, x0 ) −→ (Y, y0 ) aplicaciones homotópicas de espacios punteados y sea H : X × I −→ Y una homotop´ıa relativa a {x0 }. Si λ : I −→ X es un lazo en X basado en x0 , como se vio antes, f ◦λ y g◦λ son lazos en Y basados en y0 ; más a´ un, la homotop´ıa (s, t) 7→ H(λ(s), t) es una homotop´ıa entre los lazos f ◦ λ y g ◦ λ relativa a {0, 1}, es decir, [f ◦ λ] y [g ◦ λ] son el mismo elemento en π1 (Y, y0 ). Hemos probado lo siguiente. XIV.1.26 Proposici´ on. Sean f, g : (X, x0 ) −→ (Y, y0 ) aplicaciones homot´ opicas de espacios punteados. Entonces f∗ = g∗ : π1 (X, x0 ) −→ π1 (Y, y0 ). ⊔ ⊓ De hecho, el resultado anterior tiene una versión más fuerte; se tiene el siguiente teorema. opicas y, XIV.1.27 Teorema. Sean f, g : X −→ Y aplicaciones homot´ si H : f ≃ g es una homotop´ıa, sea γ : I −→ Y la trayectoria, tal que γ(t) = H(x0 , t), para alg´ un punto x0 ∈ X. Entonces f∗ = φγ ◦ g∗ : π1 (X, x0 ) −→ π1 (Y, f (x0 )), donde φγ es como en XIV.1.21. Demostraci´ on: Sea [λ] ∈ π1 (X, x0 ) y sea F : I × I −→ Y dada por { H(λ(2(1 − t)s), 2st) si 0 ≤ s ≤ 12 , F (s, t) = H(λ(1 + 2t(s − 1)), t + (1 − t)(2s − 1)) si 12 ≤ s ≤ 1. Es inmediato verificar que F es una homotop´ıa relativa a {0, 1} del producto de trayectorias (f ◦ λ)γ a γ(g ◦ λ). Por lo tanto, [f ◦ λ][γ] = [γ][g ◦ λ], es decir, f∗ ([λ]) = φγ g∗ ([λ]). ⊔ ⊓


523

Por el teorema anterior, tenemos que el grupo fundamental es un invariante homot´ opico, es decir, depende sólo del tipo de homotop´ıa del espacio. Se cumple lo siguiente. XIV.1.28 Teorema. Si f : X −→ Y es una equivalencia homot´ opica, entonces el homomorfismo inducido f∗ : π1 (X, x0 ) −→ π1 (Y, f (x0 )) es un isomorfismo para cualquier punto x0 ∈ X. Demostraci´ on: Sea g : Y −→ X un inverso homotópico de f ; por tanto, g ◦ f ≃ idX y f ◦ g ≃ idY . Aplicando XIV.1.27, tenemos (g ◦ f )∗ = φγ : π1 (X, x0 ) −→ π1 (X, gf (x0 )) , (f ◦ g)∗ = φµ : π1 (Y, f (x0 )) −→ π1 (Y, f gf (x0 )) , para ciertas trayectorias γ en X y µ en Y . Es decir, g∗ ◦ f∗ y f∗ ◦ g∗ son isomorfismos de grupo con inverso del primero, digamos α. As´ı, g∗ ◦ (f∗ ◦ α) = 1 y ((f∗ ◦ α) ◦ g∗ ) ◦ f∗ = f∗ , pero, ya que f∗ es un epimorfismo, (f∗ ◦ α) ◦ g∗ = 1, o sea, g∗ es un isomorfismo. Por lo tanto, dado que (α ◦ g∗ ) ◦ f∗ = 1 y α ◦ g∗ es un isomorfismo, f∗ también lo es. ⊔ ⊓ XIV.1.29 Nota. Sea A ⊂ X y sea x0 ∈ A, entonces la inclusión i : A ,→ X induce un homomorfismo i∗ : π1 (A, x0 ) −→ π1 (X, x0 ), que, como lo muestra el caso A = S1 ⊂ B2 = X, en general, no es un monomorfismo. No obstante, si λ es un lazo en A que representa a un elemento en π1 (A, x0 ), i∗ ([λ]) está representado por el lazo i ◦ λ, que, esencialmente, es el mismo lazo λ, pero considerado como lazo en X. Como lo muestra el caso particular mencionado arriba, el hecho de que λ sea un lazo en A, que es contra´ıble en X, no significa que sea contra´ıble en A, es decir, si i∗ ([λ]) = 0, no necesariamente [λ] = 0. De XIII.3.11, obtenemos la siguiente afirmación. XIV.1.30 Proposici´ on. Si A ⊂ X es un retracto por deformaci´ on, entonces la inclusi´ on i : A ,→ X induce un isomorfismo ∼ =

i∗ : π1 (A, x0 ),−→π1 (X, x0 ) . ⊔ ⊓

524


Si λ : I −→ X es un lazo basado en x0 , λ determina una aplicación e : (S1 , 1) −→ (X, x0 ), tal que λ(e e 2πit ) = λ(t). Inversamente, punteada λ también una aplicación punteada f : (S1 , 1) −→ (X, x0 ) determina un lazo λf basado en x0 , tal que λf (t) = f (e2πit ). En otras palabras, tenemos la siguiente afirmación. XIV.1.31 Proposici´ on. La funci´ on π1 (X, x0 ) −→ [S1 , 1; X, x0 ], tal e es una biyecci´ que [λ] 7→ [λ], on. ⊔ ⊓ Más generalmente, resulta lo que sigue. XIV.1.32 Teorema. Sea X conectable por trayectorias y sea Φ : π1 (X, x0 ) −→ [S1 , X] ,

dada por

e , Φ([λ]) = [λ]

pero que ignora el punto b´ asico. Entonces Φ es suprayectiva. M´ as a´ un, si α, β ∈ π1 (X, x0 ), Φ(α) = Φ(β) si y s´ olo si existe γ ∈ π1 (X, x0 ), tal que α = γβγ −1 , es decir, α y β son conjugados. Demostraci´ on: Cualquier aplicación f : S1 −→ X es homotópica a una aplicación g : S1 −→ X, tal que g(1) = x0 , pues si σ : f (1) ≃ x0 es alguna trayectoria, la homotop´ıa  si 0 ≤ s ≤ 3t , σ(t − 3s) 3s−t H(s, t) = f (e2πi( 3−2t ) ) si 3t ≤ s ≤ 3−t 3 ,  σ(3s + t − 3) si 3−t ≤ s ≤ 1, 3 es tal que H(s, 0) = f (e2πis ) y H(s, 1) es el lazo producto σλf σ; en otras palabras, la homotop´ıa K : S1 × I −→ X, tal que K(e2πis , t) = H(s, t), empieza en f y termina en una aplicación g, tal que g(1) = σ(1) = x0 . Esto muestra que Φ es suprayectiva. Supongamos ahora que Φ([λ]) = Φ([µ]); entonces tenemos una homotop´ıa L : S1 ×I −→ X, tal que L(e2πis , 0) = λ(s) y L(e2πis , 1) = µ(s). As´ı, la trayectoria σ : I −→ X, tal que σ(t) = L(1, t), es un lazo que representa un elemento γ = [σ] ∈ π1 (X, x0 ) y que, gracias a la homotop´ıa { H(2(1 − t)s, 2st) si 0 ≤ s ≤ 12 , F (s, t) = H(1 + 2t(s − 1), t + (1 − t)(2s − 1)) si 12 ≤ s ≤ 1,

EL GRUPO FUNDAMENTAL DEL CÍRCULO

525

análoga la de la demostración de XIV.1.27, donde H(s, t) = L(e2πis , t), es tal que se tiene λσ ≃ σµ. Inversamente, si λσ ≃ σµ, entonces existe una homotop´ıa H : λ ≃ e σµσ rel ∂I y K(e2πis , t) = H(s, t) es una homotop´ıa bien definida de λ g Por otro lado, la homotop´ıa a σµσ.  si 0 ≤ s ≤ 1−t σ(3s + t) 3 , 1−t 3s+t−1 si 3 ≤ s ≤ 2+t G(s, t) = µ( 1+2t ) 3 ,  σ(3 − 3s + t) si 2+t ≤ s ≤ 1, 3 es tal que G : σµσ ≃ µ y G(0, t) = σ(t) = G(1, t), por lo que define una homotop´ıa M : S1 ×I −→ X, tal que M (e2πis , t) = G(s, t), que empieza g y termina en µ en σµσ e; as´ı, las homotop´ıas K y M se componen para e dar una de λ a µ e, es decir, Φ([λ]) = Φ([µ]). ⊔ ⊓ XIV.1.33 Ejercicio. (a) Sea X un espacio topológico y σ : I −→ X una trayectoria que empieza en x0 y termina en x1 . Denotemos por [b σ ] la función de π1 (X, x0 ) en π1 (X, x1 ) dada por [b σ ][α] = [σ −1 · α · σ]. Probar que [b σ ] es un isomorfismo y que sólo depende de la clase de homotop´ıa de σ relativa a {0, 1}. (b) Probar que si f : X −→ Y es continua, entonces conmuta el siguiente diagrama: π1 (X, x0 ) [b σ]

/ π1 (Y, f (x0 ))

π1 (X, x1 )

XIV.2

f#

f#

[[ f ◦σ ]

/ π1 (Y, f (x1 ))

El grupo fundamental del c´ırculo

El c´ırculo S1 es conectable por trayectorias, por lo que su grupo fundamental es independiente del punto básico que se le asigne. El punto básico natural es 1 ∈ S1 . Ya en la sección XIII.2 del cap´ıtulo anterior avanzamos en los cálculos necesarios para conocer este grupo. Nos será de mucha utilidad el siguiente lema.

526


XIV.2.1 Lema. La composici´ on de dos lazos en S1 es homot´ opica al producto de los lazos como funciones con valores complejos. Demostraci´ on: Sean λ, µ : I −→ S1 dos lazos. Tómese la homotop´ıa  si 0 ≤ s ≤ 1−t λ(2s) 2 , 2s−t+1 2s+t−1 1+t H(s, t) = λ( 2 ) · µ( 2 ) si 1−t ≤ s ≤ 2 2 ,  1+t µ(2s − 1) si 2 ≤ s ≤ 1, donde ζ · η representa el producto en S1 de los n´ umeros complejos unitarios ζ y η. Esta homotop´ıa empieza con el producto de lazos λµ y termina con el producto complejo de funciones complejas λ · µ. ⊓ ⊔ Por el lema anterior, resulta que si [λ], [µ] ∈ π1 (S1 ,1), entonces [λ][µ] = [λ · µ] y, por lo tanto, ya que el producto complejo es conmutativo, tenemos que [λ][µ] = [µ][λ], es decir, la siguiente consecuencia del lema anterior. XIV.2.2 Lema. El grupo fundamental del c´ırculo, es decir, π1 (S1 , 1), es abeliano. ⊔ ⊓ XIV.2.3 Nota. Se puede dar una demostración directa del hecho de que el grupo fundamental del c´ırculo es abeliano; a saber, sean λ, µ : I −→ S1 lazos. La homotop´ıa H : I × I −→ S1 , tal que { µ(2st) · λ(2(1 − t)s) si 0 ≤ s ≤ 12 , H(s, t) = µ(t + (1 − t)(2s − 1)) · λ(1 + 2t(s − 1)) si 21 ≤ s ≤ 1, donde ζ · η es el producto de los n´ umeros complejos ζ y η en S1 , es tal que H : λµ ≃ µλ, es decir, [λ][µ] = [µ][λ]. La homotop´ıa anterior es, de hecho, la composición de dos aplicaciones; a saber, de la aplicación f : I × I −→ I × I, tal que { (2(1 − t)s, 2st) si 0 ≤ s ≤ 12 , f (s, t) = (1 + 2t(s − 1), t + (1 − t)(2s − 1)) si 12 ≤ s ≤ 1, y la aplicación g : I ×I −→ S1 , tal que g(s, t) = µ(t)·λ(s). La aplicación f manda los lados {0} × I y {1} × I del cuadrado en los vértices (0, 0) y (1, 1), respectivamente, y las aristas I ×{0} e I ×{1} en I ×{0}∪{1}×I y {0}×I ∪I ×{1}, respectivamente. Por su lado, la aplicación g “traslada” el lazo λ en S1 a lo largo del lazo µ. Esto se ve como en la figura XIV.5.

EL GRUPO FUNDAMENTAL DEL CÍRCULO µl

l

f

lµ

527

µ

µ

g

µ

Figura XIV.5: El grupo fundamental del c´ırculo es abeliano XIV.2.4 Ejercicio. Se dice que un grupo G es un grupo topol´ ogico si es un espacio topológico y tanto el producto G × G −→ G como la función G −→ G, que manda a cada elemento en su inverso, son continuas. Probar que el grupo fundamental de cualquier grupo topológico conectable por trayectorias G basado en 1, es decir, π1 (G, 1), es abeliano. (Sugerencia: Se puede aplicar la demostración de XIV.2.1.) XIV.2.5 Ejercicio. Sea G un grupo topológico (o un H-espacio; véase [2, 2.7.2]). Probar que si λ, µ : I −→ G son lazos, entonces [λ][µ] = [λ·µ], si · representa el producto del grupo. Utilizar esto para demostrar que π1 (G, 1) es abeliano. (Sugerencia: Aplicar [2, 2.10.10].) Recordemos la función grado : [S1 , S1 ] −→ Z definida en XIII.2.5 del cap´ıtulo anterior y la función Φ : π1 (S1 , 1) −→ [S1 , S1 ] de la sección previa y sea Ψ = grado ◦Φ : π1 (S1 , 1) −→ Z. Podemos resumir lo hecho en la sección XIII.2 en el siguiente resultado. XIV.2.6 Teorema. La funci´ on Ψ : π1 (S1 , 1) −→ Z es un isomorfismo de grupos. Demostraci´ on: Por XIII.2.7 y por XIV.1.27, ya que en este caso φγ es la identidad, Ψ es biyectiva. Basta, entonces, con verificar que es un homomorfismo de grupos. Sean α = [λ], β = [µ] ∈ π1 (S1 , 1); por XIV.2.1, e µ αβ = [λ · µ]. Si λ, e : S1 −→ S1 son representantes de Φ(α), Φ(µ), rese· pectivamente, entonces Ψ(αβ) = Ψ([λ · µ]) = grado(λg · µ) = grado(λ e µ e) = grado(λ) + grado(e µ) = Ψ(α) + Ψ(β), donde la pen´ ultima igualdad se obtiene de XIII.2.9. ⊔ ⊓

528


Sea γn : I −→ S1 , tal que γn (t) = e2πint = gn (e2πit ). Entonces Φ([γn ]) = [gn ], por lo que Ψ([γn ]) = grado(gn ) = n. As´ı, en particular, Ψ([γ1 ]) = 1 es un generador de Z como grupo c´ıclico infinito (véase XIV.3.7(b)). Tenemos as´ı el siguiente resultado. XIV.2.7 Teorema. π1 (S1 , 1) es un grupo c´ıclico infinito generado por [γ1 ], es decir, por la clase de homotop´ıa del lazo t 7→ e2πit . ⊔ ⊓ ´ n. A la clase [γ1 ] se le llama generador can´ XIV.2.8 Definicio onico de 1 π1 (S , 1). Si se trabaja con espacios conectables por trayectorias, como probamos en XIV.1.21, su grupo fundamental es, en esencia, independiente del punto básico. En adelante, cuando el punto básico sea claro o irrelevante, denotaremos el grupo fundamental de un espacio conectable por trayectorias X simplemente por π1 (X). XIV.2.9 Ejemplos. Para cualquier espacio X del mismo tipo de homotop´ıa de S1 , π1 (X) ∼ = Z; tenemos lo siguiente: (a) π1 (C−0) ∼ umero = Z. El isomorfismo es tal que [λ] 7→ V (fλ , 0), el n´ 1 de vueltas que da alrededor de 0 la aplicación fλ : S −→ C, tal que fλ (e2πit ) = λ(t). (b) Si Y es contra´ıble y X = Y × S1 , entonces, por XIV.1.18 y XIV.1.17(d), π1 (X) ∼ = π1 (Y ) × π1 (S1 ) ∼ = π1 (S1 ) ∼ = Z. En par2 1 ticular, si X = B × S es un toro s´ olido, π1 (X) ∼ = Z. (c) Si M es la banda de Moebius, entonces π1 (M ) ∼ = Z. De hecho, el lazo ecuatorial, λe : I −→ M , tal que λe (t) = q(t, 1/2), donde q : I × I −→ M es la identificación canónica, representa a un generador de π1 (M ). Muy importante es, en particular, el siguiente ejemplo, que es consecuencia inmediata de XIV.1.18 y XIV.2.7. XIV.2.10 Ejemplo. Si T2 = S1 × S1 es el toro y x0 = (1, 1) ∈ T2 , entonces (XIV.2.11)

π1 (T2 , x0 ) ∼ = Z ⊕ Z.

EL GRUPO FUNDAMENTAL DEL CÍRCULO

529

Más a´ un, si γ11 , γ12 : I −→ T2 son los lazos can´ onicos γ11 (t) = (γ1 (t), 1), 2 γ1 (t) = (1, γ1 (t)), entonces podemos reformular (XIV.2.11) diciendo que π1 (T2 , x0 ) es un grupo abeliano libre generado por las clases α1 = [γ11 ] y α2 = [γ12 ]. Más generalmente que en el ejemplo anterior, podemos probar en forma inmediata por inducción lo siguiente. XIV.2.12 Proposici´ on. Sea 1 Tn = S · · × S}1 , | × ·{z n

entonces π1 (Tn ) es un grupo abeliano libre generado por las clases [γ11 ], . . . , [γ1n ], tales que γ1i (t) = (1, . . . , γ1 (t), . . . , 1) ∈ Tn . | {z } i

⊔ ⊓ Sea gn : S1 −→ S1 la aplicación de grado n, tal que gn (ζ) = ζ n . Para el lazo canónico γ1 : I −→ S1 , tal que [γ1 ], es el generador canónico de π1 (S1 ), se tiene que gn ◦ γ1 = γn , por lo que (gn )∗ ([γ1 ]) = [γn ] = [γ1 ]n (ya que, por las consideraciones previas a XIV.2.7, Ψ(γn ) = n). As´ı, gn∗ : π1 (S1 ) −→ π1 (S1 ) es tal que gn∗ (α) = αn . Por lo tanto, puesto que si f : S1 −→ S1 tiene grado n, f ≃ gn , tenemos el siguiente teorema. XIV.2.13 Teorema. Sea f : S1 −→ S1 , tal que grado(f ) = n, entonces f∗ : π1 (S1 ) −→ π1 (S1 ) es tal que f∗ (α) = αn . ⊔ ⊓ XIV.2.14 Nota. Estrictamente, en el teorema anterior, se tiene f∗ : π1 (S1 , 1) −→ π1 (S1 , f (1)) . As´ı, la afirmación del teorema se aplica más precisamente a la composición π1 (S1 , 1)

f∗

/ π1 (S1 , f (1))

(rf−1 ) (1) ∗

/ π1 (S1 , 1) ,

1 1 on en S1 dada por multiplicación donde rf−1 (1) : S −→ S es la rotaci´ por f (1)−1 , que es homotópica a la identidad.

530


Otro ejemplo interesante y u ´til es el siguiente. ac : S1 × S1 −→ S1 × S1 , tal que f ac (ζ, η) = XIV.2.15 Ejemplo. Sea fbd bd a b c d ac ) : (ζ ·η , ζ ·η ), a, b, c, d ∈ Z, entonces, por XIV.2.13 y XIV.2.10, (fbd ∗ ac ) (α ) = αa αc y (f ac ) (α ) = αb αd , π1 (T2 ) −→ π1 (T2 ) es tal que (fbd ∗ 1 1 2 1 2 bd ∗ 2 si α1 , α2 ∈ π1 (T2 ) son como en XIV.2.10.

XIV.2.16 Ejercicio. Verificar los detalles de las afirmaciones del ejemac ) plo anterior y caracterizar los valores de a, b, c, d para los cuales (fbd ∗ ac para esos es un isomorfismo. ¿Qué se puede decir de la aplicación fbd valores? XIV.2.17 Ejercicio. Sea φ : π1 (T2 ) −→ π1 (T2 ) un homomorfismo arbitrario. Probar que existe f : T2 −→ T2 , tal que f∗ = φ. Más a´ un, mostrar que si φ es un isomorfismo, f puede escogerse como homeomorfismo. (Sugerencia: Aplicar el ejemplo XIV.2.15.) XIV.2.18 Ejercicio. Probar que Tm ≈ Tn si y sólo si m = n. XIV.2.19 Ejercicio. Demostrar que un lazo λ : I −→ S1 es tal que [λ] ∈ π1 (S1 ) es un generador si y sólo si V (fλ , 0) = ±1, donde fλ : S1 −→ C es tal que fλ (e2πit ) = λ(t) y V es la función número de vueltas. XIV.2.20 Ejercicio. Si M es la banda de Moebius y f : S1 −→ ∂M es un homeomorfismo, probar que el lazo λf : I −→ M , tal que λf (t) = f (e2πit ) ∈ M , cumple [λf ] = α2 , para α alguno de los generadores de π1 (M ) ∼ = Z, de acuerdo con XIV.2.9(c). Concluir que ∂M no es un retracto de M .

XIV.3

El teorema de Seifert–van Kampen

Una muy u ´til herramienta es una fórmula que, en algunos casos, determina el grupo fundamental de un espacio en términos de los grupos fundamentales de porciones de él. Antes de pasar a la fórmula general, y a guisa de ejemplo, analicemos primeramente un caso especial.

EL TEOREMA DE SEIFERT–VAN KAMPEN

531

XIV.3.1 Proposici´ on. Sea X = X1 ∪ X2 , con X1 , X2 abiertos. Si X1 y X2 son simplemente conexos y X1 ∩X2 es conectable por trayectorias, entonces X es simplemente conexo. Demostraci´ on: Sea λ : I −→ X un lazo basado en x0 ∈ X1 ∩ X2 . Tenemos que {λ−1 (X1 ), λ−1 (X2 )} es una cubierta abierta de I. Hay un n´ umero llamado n´ umero de Lebesgue δ > 0 para esta cubierta (véase VIII.2.10(a)), tal que si 0 ≤ t − s < δ, entonces [s, t] ⊂ λ−1 (X1 ) o [s, t] ⊂ λ−1 (X2 ). As´ı, se tiene una partición 0 = t0 < t1 < · · · < tk = 1 del intervalo I, tal que λ([t0 , t1 ]) ⊂ X1 ,

λ([t1 , t2 ]) ⊂ X2 , . . . , λ([tk−1 , tk ]) ⊂ Xν ,

ν = 1 o 2, seg´ un si k es par o impar. Ya que λ(ti ) ∈ X1 ∩ X2 , existen trayectorias ωi : x0 ≃ λ(ti ) en X1 ∩ X2 , i = 1, 2, . . . , k − 1; sean, más a´ un, ω0 y ωk las trayectorias constantes en x0 = λ(t0 ) = λ(0) = λ(1) = λ(tk ). Los lazos  si 0 ≤ t ≤ 13 , ωi−1 (3t) µi (t) = λi (3t − 1) si 13 ≤ t ≤ 23 ,  ωi (3 − 3t) si 23 ≤ t ≤ 1, donde λi (t) = λ((1 − t)ti−1 + tti ) es la porción de λ en el intervalo [ti−1 , ti ], i = 1, 2, . . . , k, yacen en X1 o en X2 y, por lo tanto, son contra´ıbles en X1 o en X2 y, por ende, en X, es decir, µi ≃ 0 en X. Ya que λ ≃ µ1 µ2 · · · µk , tenemos que λ es contra´ıble, o sea, λ ≃ 0. ⊔ ⊓ Es una aplicación importante la que muestra el siguiente ejemplo. XIV.3.2 Ejemplo. Sea n > 1, entonces la esfera Sn es simplemente conexa; en particular, S2 es simplemente conexa. A saber, si N = (0, . . . , 0, 1) y S = (0, . . . , 0, −1) son los polos de la esfera y X1 = Sn −S, X2 = Sn − N se cumplen las hipótesis de XIV.3.1, ya que X1 y X2 son contra´ıbles, por ser homeomorfos a Rn y X1 ∩ X2 es conectable por trayectorias, puesto que X1 ∩ X2 ≈ Sn−1 × (−1, 1) ≃ Sn−1 . XIV.3.3 Nota. Para n = 1, el ejemplo anterior claramente no se cumple, pues (S1 − N ) ∩ (S1 − S) no es conectable por trayectorias. En efecto, en este caso, π1 (S1 ) ∼ = Z, como se probó en XIV.2.7.

532


l

X1

ω1

x0 ω3

ω2

X2

Figura XIV.6: El teorema de Seifert y van Kampen para la 2-esfera XIV.3.4 Ejercicio. Recuérdese la suspensión de un espacio X, definida como ΣX = X × I/ ≃, donde (x, s) ≃ (y, t) si y sólo si x = y y s = t o s = t = 0 o 1. Probar que si X es conectable por trayectorias, entonces ΣX es simplemente conexo. El teorema de Seifert y van Kampen es una generalización de XIV.3.1, en tanto que permite calcular el grupo fundamental de una unión de subespacios abiertos a partir de los grupos fundamentales de éstos y de la forma cómo el grupo fundamental de la intersección se relaciona con los primeros. En vista de que haremos uso más delicado ahora de conceptos de la teor´ıa de los grupos, haremos un paréntesis algebraico para precisar las ideas. Recuérdese que la intersección de cualquier familia de subgrupos (normales) de un grupo dado es nuevamente un subgrupo (normal). Tenemos lo siguiente. ´ n. Sean G un grupo y A ⊂ G un subconjunto arXIV.3.5 Definicio bitrario. El subgrupo GA = ∩{H ⊂ G | H es un subgrupo tal que A ⊂ H}


533

es llamado el subgrupo de G generado por A y el subgrupo normal NA = ∩{H ⊂ G | H es un subgrupo normal tal que A ⊂ H} se le conoce como el subgrupo normal de G generado por A. GA consta de 1 y los elementos de la forma g = an1 1 an2 2 · · · ank k , donde a1 , a2 , . . . , ak ∈ A y n1 , n2 , . . . , nk ∈ Z; análogamente, NA consta de productos de todos los conjugados de elementos de GA , es decir, de elementos de la forma descrita arriba. Si G = GA se dice que A genera a G o que los elementos de A son generadores de G. Análogamente, si NA = G decimos que A genera normalmente a G o que los elementos de A son generadores normales de G. XIV.3.6 Nota. Para grupos abelianos, con la notación aditiva, la definición XIV.3.5 se expresa diciendo que A ⊂ G genera a G si para 0 ̸= g ∈ G existen x1 , . . . , xk ∈ A, n1 , . . . , nk ∈ Z, tales que g = n1 x1 + · · · + nk xk (en este caso pueden suponerse todos los elementos x1 , . . . , xk diferentes). XIV.3.7 Ejemplos. (a) El conjunto vac´ıo ∅ genera el grupo trivial G = 1. (b) Si G está generado por un sólo elemento a, entonces G es c´ıclico; si an ̸= 1 para todo n ∈ Z, n ̸= 0, entonces G es c´ıclico infinito y consta de los elementos a0 = 1, a±1 , a±2 , . . . y la función n 7→ an determina un isomorfismo Z −→ G. Si ak = 1, para alguna k > 0 y esta k es m´ınima, entonces G es c´ıclico de orden k y consta de los elementos a0 = 1, a, a2 , . . . , ak−1 . La función n 7→ an determina un isomorfismo Zk −→ G. (c) Dados grupos G1 y G2 , se tiene el grupo producto G1 × G2 , que como conjunto es el producto cartesiano y está provisto de la multiplicación coordenada a coordenada. Hay inclusiones de grupos j1 : G1 ,→ G1 × G2 , tal que g1 7→ (g1 , 1), y j2 : G2 ,→ G1 × G2 , tal que g2 7→ (1, g2 ), por lo que podemos identificar a ambos grupos

534


como subgrupos del producto. Ya que (g1 , g2 ) = (g1 , 1) · (1, g2 ) = g1 · g2 , el grupo G1 × G2 est´ a generado por los elementos de G1 ∪ G2 ⊂ G1 × G2 . Más a´ un, se cumple que g1 · g2 = g2 · g1 . En analog´ıa con (c), tenemos lo siguiente. Sean G1 y G2 grupos. Definiremos un grupo G1 ∗ G2 que contiene a G1 y G2 como subgrupos y que está generado por la unión G1 ∪ G2 , pero que no satisface la relación g1 · g2 = g2 · g1 , como sucede en el caso del producto. ´ n. Sean Gν , (ν = 1, 2) grupos, y sea F el conjunto XIV.3.8 Definicio de sucesiones finitas (x1 , . . . , xn ), n ≥ 0, que satisfacen (a) xj ∈ Gν , j = 1, . . . n; (b) xj ̸= 1, j = 1, . . . n; (c) xj ∈ Gν =⇒ xj+1 ̸∈ Gν , es decir, dos elementos consecutivos están en grupos diferentes. En particular, para n = 0 escribimos ( ), y sea g : F −→ F la función, tal que  (x1 , x2 , . . . , xn )    (g, x1 , x2 , . . . , xn ) g(x1 , x2 , . . . , xn ) = (gx1 , x2 , . . . , xn )    (x2 , . . . , xn )

la sucesión vac´ıa. Sea g ∈ Gν si si si si

g g g g

= 1, ̸= 1 y x1 ̸∈ Gν , ̸= 1, x1 ∈ Gν y gx1 ̸= 1, ̸= 1, x1 ∈ Gν y gx1 = 1.

En particular, g( ) = (g) si g ̸= 1 y g(x1 ) = ( ) si gx1 = 1. Si g, h ∈ Gν , g, h ̸= 1, son tales que g = h, entonces, en particular, (g) = g( ) = h( ) = (h), por lo que g = h; si 1 ∈ Gν , entonces 1 = 1F : F −→ F es la identidad y si g, h ∈ Gν , gh = g ◦ h, como se demuestra fácilmente. As´ı, tenemos que g 7→ g determina una inclusión de grupos Gν ,→ P(F ) = {f : F −→ F | f es biyectiva}, es decir, P(F ) es el grupo de permutaciones de F (es ésta una representaci´ on de los grupos G1 y G2 ). El producto libre G1 ∗ G2 es el subgrupo de P(F ) generado por G1 ∪ G2 . Hay inclusiones canónicas (monomorfismos de grupos) i1 : G1 ,→ G1 ∗ G2 e i2 : G2 ,→ G1 ∗ G2 . XIV.3.9 Proposici´ on. Para todo elemento g ∈ G1 ∗G2 , g ̸= 1, hay una representaci´ on u ńica g = x1 · · · xn , de modo que la sucesi´ on (x1 , . . . , xn ) yace en F , es decir, satisface las condiciones (a), (b) y (c) de XIV.3.8.


535

Demostraci´ on: g es una permutación de los elementos de F distinta de la identidad, que, por estar en el subgrupo de P(F ) generado por G1 ∪G2 , es un producto x1 · · · xn , donde cada xi es una permutación de F proveniente de G1 o G2 . Reduciendo (es decir, eliminando elementos 1 o agrupando elementos consecutivos que estén en el mismo grupo), en caso necesario, podemos suponer que la sucesión (x1 , . . . , xn ) satisface las condiciones (a), (b) y (c) de XIV.3.8. Basta, pues, verificar que esta representación es u ńica. Si g = x1 · · · xn es una representación de g ̸= 1, entonces se puede ver inductivamente que g( ) = (x1 , . . . , xn ). Si además g = y1 · · · ym , de modo que (y1 , . . . , ym ) ∈ F , entonces también g( ) = (y1 , . . . , ym ); por lo tanto, (x1 , . . . , xn ) = (y1 , . . . , ym ) y la representación es u ńica. ⊔ ⊓ XIV.3.10 Nota. Dados elementos con representación u ńica g = x1 · · · xm , −1 h = y1 · · · yn ∈ G1 ∗ G2 , tenemos que g −1 = x−1 · · · x m 1 es su representación u ńica, y gh = x1 · · · xm y1 · · · yn es una representación susceptible de reducirse, es decir, si xm , y1 ∈ Gν , entonces el producto xm y1 se toma como un solo elemento; si éste resulta ser 1, entonces se elimina y se toma el producto xm−1 y2 como un solo elemento, y as´ı sucesivamente, en caso dado. ´ n. Son propiedades del producto libre las siXIV.3.11 Observacio guientes: (a) Si G1 ̸= 1 ̸= G2 , entonces G1 ∗ G2 no es un grupo abeliano, ya que un elemento g = x1 x2 , tal que 1 ̸= x1 ∈ G1 y 1 ̸= x2 ∈ G2 , por la unicidad de la representación de g, probada en XIV.3.9, es diferente del elemento h = x2 x1 , por lo que x1 y x2 no conmutan. (b) Si G1 = 1, entonces G1 ∗ G2 = G2 , ya que la u ńica representación posible de un elemento g ∈ G1 ∗ G2 es g = x1 , x1 ∈ G2 , por lo que g 7→ x1 determina la igualdad deseada. (c) G1 y G2 , como subgrupos de G1 ∗ G2 , son tales que G1 ∩ G2 = 1, es decir, su intersección es el grupo trivial. (d) Se tiene un epimorfismo natural γ : G1 ∗ G2 −→ G1 × G2 ,

536

EL GRUPO FUNDAMENTAL −1 tal que el n´ ucleo ker(γ) contiene a los conmutadores x1 x2 x−1 1 x2 , tales que x1 ∈ G1 , x2 ∈ G2 . A saber, sea x1 · · · xn la u ńica representación de un elemento g ∈ G1 ∗ G2 . Si x1 ∈ G1 , entonces γ(g) = (x1 x3 · · · , x2 x4 · · · ); análogamente, si x1 ∈ G2 , γ(g) = (x2 x4 · · · , x1 x3 · · · ). γ es, as´ı, un epimorfismo bien definido. Si −1 g ∈ G1 ∗ G2 es un conmutador, es decir, si g = x1 x2 x−1 1 x2 , con −1 x1 ∈ Gν1 y x2 ∈ Gν2 , ν1 ̸= ν2 , entonces γ(g) = (x1 x1 , x2 x−1 2 ) = −1 (1, 1) = 1 o, γ(g) = (x2 x−1 , x x ) = (1, 1) = 1, seg´ u n ν =1o 1 1 2 1 ν1 = 2.

El producto libre posee una propiedad universal. XIV.3.12 Teorema. Sean f1 : G1 −→ H y f2 : G2 −→ H homomorfismos arbitrarios, entonces existe un u ńico homomorfismo f : G1 ∗G2 −→ H, tal que f ◦i1 = f1 y f ◦i2 = f2 , es decir, tal que conmuta el diagrama

G1 I (XIV.3.13)

i1 / G1 ∗ G2 o i2 ? _ G2 II u II uu f II uu u f1 II$ zuuu f2

H.

M´ as a´ un, si g = x1 x2 x3 · · · xn es la representaci´ on u ńica, f es tal que (XIV.3.14)

f (g) = fν1 (x1 )fν2 (x2 )fν3 (x3 ) · · · fνn (xn ) ,

donde fνi = fν , si xi ∈ Gν , i = 1, . . . , n, ν = 1, 2. Demostraci´ on: Para g = 1, f (g) = 1; si g = x1 · · · xn ∈ G1 ∗ G2 , def´ınase f por (XIV.3.14); f está bien definida y hace conmutativo el diagrama (XIV.3.13). ⊔ ⊓ XIV.3.15 Nota. El homomorfismo γ : G1 ∗G2 −→ G1 ×G2 de XIV.3.11(d) es el que corresponde a f1 = j1 : G1 ,→ G1 × G2 y f2 = j2 : G2 ,→ G1 × G2 , seg´ un el teorema anterior. Sean f1 : G1 −→ H1 y f2 : G2 −→ H2 homomorfismos de grupos. Si j1 : H1 ,→ H1 ∗ H2 y j2 : H2 ,→ H1 ∗ H2 son las inclusiones canónicas, entonces, si H = H1 ∗ H2 , se tienen homomorfismos j1 ◦ f1 : G1 −→ H


537

y j2 ◦ f2 : G2 −→ H, que, por la propiedad universal del producto libre, definen un u ńico homomorfismo f : G1 ∗G2 −→ H, tal que f ◦i1 = j1 ◦f1 y f ◦ i2 = j2 ◦ f2 . Este homomorfismo f es tal que si x1 x2 x3 · · · xn ∈ G1 ∗G2 , f (x1 x2 x3 · · · xn ) = fν1 (x1 )fν2 (x2 )fν3 (x3 ) · · · fνn (xn ) ∈ H1 ∗H2 , donde fνi = fν : Gν −→ Hν , si xi ∈ Gν , i = 1, . . . , n, ν = 1, 2. A una tal f se le denota por f1 ∗ f2 : G1 ∗ G2 −→ H1 ∗ H2 . De hecho, tenemos que la construcción del producto libre es funtorial, como veremos en seguida. XIV.3.16 Teorema. Si f1 : G1 −→ H1 y f2 : G2 −→ H2 ; f1′ : H1 −→ K1 y f2′ : H2 −→ K2 son homomorfismos de grupos, entonces (a) 1G1 ∗ 1G2 = 1G1 ∗G2 : G1 ∗ G2 −→ G1 ∗ G2 , (b) (f1′ ◦ f1 ) ∗ (f2′ ◦ f2 ) = (f1′ ∗ f2′ ) ◦ (f1 ∗ f2 ) : G1 ∗ G2 −→ K1 ∗ K2 .⊓ ⊔ ´ n. La definición XIV.3.8 del producto libre es, XIV.3.17 Observacio en realidad, independiente del conjunto de ´ındices en el que var´ıa ν. De igual modo, puede definirse entonces el producto libre de cualquier colección finita de grupos G1 ∗ · · · ∗ Gn o, incluso más generalmente, ∗ν Gν , para una familia arbitraria de grupos {Gν }; en todo caso, el conjunto de generadores es ∪ν Gν ⊂ P(F ). Volvamos de nuevo a la topolog´ıa y tomemos un espacio topológico X = X1 ∪ X2 , X1 ∩ X2 ̸= ∅, y sea x0 ∈ X1 ∩ X2 ; por la funtorialidad del grupo fundamental, el diagrama conmutativo de inclusiones de espacios topológicos X1 ∩ _ X2 i2

i1

X2

/ X1 _

j2

j1

/X

induce un diagrama conmutativo de homomorfismos de grupos π1 (X1 ∩ X2 , x0 ) i2∗

i1∗

π1 (X2 , x0 )

/ π1 (X1 , x0 )

j2∗

j1∗

/ π1 (X, x0 ) .

538


Tenemos la siguiente afirmación. XIV.3.18 Lema. Si X1 y X2 son abiertos en X y junto con X1 ∩ X2 son 0-conexos, entonces π1 (X, x0 ) est´ a generado por las im´ agenes de π1 (X1 , x0 ) y π1 (X2 , x0 ) bajo j1∗ y j2∗ , respectivamente. Por lo tanto, el homomorfismo φ : π1 (X1 , x0 ) ∗ π1 (X2 , x0 ) −→ π1 (X, x0 ) inducido por j1∗ y j2∗ , seg´ un XIV.3.12, es un epimorfismo. Demostraci´ on: La demostración de este resultado sigue, en esencia, los mismos pasos que la de XIV.3.1. Sea [λ] ∈ π1 (X, x0 ) un elemento arbitrario, y tomemos una partición 0 = t0 < t1 < · · · < tk = 1, tal que λ([t0 , t1 ]) ⊂ X1 ,

λ([t1 , t2 ]) ⊂ X2 , . . . , λ([tk−1 , tk ]) ⊂ X2 .

As´ı, λ(ti ) ∈ X1 ∩X2 , i = 0, . . . , k. Para cada i sea λi (t) = λ((1−t)ti−1 + tti ) y para i = 1, . . . , k − 1, sea ωi : I −→ X una trayectoria de x0 a λ(ti ) en X1 ∩ X2 ; más a´ un, sean ω0 = cx0 = ωk . Tenemos de esta forma lazos  si 0 ≤ t ≤ 13 , ωi−1 (3t) µi (t) = λi ((3t − 1) si 31 ≤ t ≤ 23 ,  ωi (3 − 3t) si 23 ≤ t ≤ 1, que yacen ya sea en X1 o en X2 y que, por lo tanto, representan elementos de π1 (X, x0 ), ya sea en la imagen de π1 (X1 , x0 ) o de π1 (X2 , x0 ). Por lo tanto, ya que [µ1 ][µ2 ] · · · [µk−1 ][µk ] = [λ1 ][λ2 ] · · · [λk−1 ][λk ] = [λ] , resulta que este elemento arbitrario yace en el grupo generado por las imágenes de j1∗ y j2∗ . ⊔ ⊓ Si llamamos j1∗ · j2∗ al epimorfismo φ de arriba, de este u ´ltimo resultado se deduce que π1 (X, x0 ) ∼ = π1 (X1 , x0 ) ∗ π1 (X2 , x0 )/ ker(j1∗ · j2∗ ) . En lo que sigue, calcularemos ker(j1∗ · j2∗ ).


539

Sea α ∈ π1 (X1 ∩ X2 , x0 ), entonces j1∗ · j2∗ (i1∗ (α)) = j1∗ i1∗ (α) = j2∗ i2∗ (α) = j1∗ ·j2∗ (i2∗ (α)), por lo que i1∗ (α)i2∗ (α)−1 ∈ ker(j1∗ ·j2∗ ). En consecuencia, ker(j1∗ · j2∗ ) contiene al subgrupo normal de π1 (X1 , x0 ) ∗ π1 (X2 , x0 ) generado por los elementos de la forma i1∗ (α)i2∗ (α)−1 , para α ∈ π1 (X1 ∩ X2 , x0 ). Veremos en adelante que ambos grupos coinciden. Para ello, requeriremos de algunos resultados. Para facilitar el lenguaje, en lo que sigue será G = π1 (X1 , x0 ) ∗ π1 (X2 , x0 ), N ⊂ G, el subgrupo normal generado por los elementos de la forma i1∗ (α)i2∗ (α)−1 , para α ∈ π1 (X1 ∩ X2 , x0 ). As´ı mismo, si λ : I −→ X es un lazo basado en x0 que yace ya sea en Xν o en X1 ∩ X2 , llamaremos [λ]ν ∈ π1 (Xν , x0 ) o [λ]12 ∈ π1 (X1 ∩ X2 , x0 ), ν = 1, 2, a su clase de homotop´ıa respectiva. Por supuesto, si λ yace en X1 ∩ X2 , iν∗ ([λ]12 ) = [λ]ν ; as´ı, las clases laterales [λ]1 N y [λ]2 N son iguales. Hemos demostrado lo siguiente. XIV.3.19 Lema. Sea λ un lazo en X1 ∩ X2 basado en x0 , se tiene entonces que [λ]1 N = [λ]2 N ∈ G/N . ⊔ ⊓ Sea λ : I −→ X un lazo nulhomotópico basado en x0 y sea H : I ×I −→ X una nulhomotop´ıa de λ, es decir, H(s, 0) = λ(s) y H(0, t) = H(1, t) = H(s, 1) = x0 , s, t ∈ I. Tenemos la siguiente construcción: (a) Se descompone el cuadrado I 2 = I × I en una ret´ıcula de subcuadrados, como se ve en la figura XIV.7, de manera que para cada subcuadrado Q sucede, ya sea que H(Q) ⊂ X1 o H(Q) ⊂ X2 . Esto es posible por el hecho de que X1 y X2 son abiertos al tomar un n´ umero de Lebesgue para la cubierta abierta −1 −1 {H (X1 ),H (X2 )} de I 2 y tomar el lado de cada cuadrado de longitud menor que, digamos, la mitad de ese n´ umero. (b) Para cada vértice v de la ret´ıcula, sea µv : I −→ X una trayectoria auxiliar de x0 a H(v) y sea µv la trayectoria inversa, de modo que si H(v) yace, ya sea en Xν o en X1 ∩ X2 , ν = 1, 2, entonces λv también yace ah´ı. Esto es posible dado que los tres subespacios son conectables por trayectorias. (c) Para cada arista a de la ret´ıcula, al considerarla como trayectoria a : I −→ I 2 (en la dirección creciente), H ◦ a : I −→ X es una trayectoria de H(a(0)) a H(a(1)), que, por (a), yace en X1

540


Figura XIV.7: Subdivisión de Lebesgue del cuadrado o en X2 . Por lo tanto, λa = µa(0) (H ◦ a)µa(1) es un lazo, como se muestra en la figura XIV.8(b), que, as´ı mismo, yace en X1 o en X2 . En consecuencia, los elementos [λa ]1 o [λa ]2 en G están definidos. Denotemos por b a ∈ G/N a la clase lateral [λa ]1 N o [λa ]2 N . Por el lema XIV.3.19, si ambas están definidas, coinciden. Finalmente, sean a01 , . . . , a0n las aristas inferiores de la ret´ıcula y an1 , . . . , ann las aristas superiores, como se indican en la figura XIV.8(a). an 1

an 2

an n

ak1

ak2

akn

ak−1 ak−1 1 2 b

′

a′

ak−1 n

H ◦a

µa(0)

µa(1)

b

a x0 a01

a02

(a)

a0n

(b)

Figura XIV.8: Cada arista de la subdivisión de Lebesgue del cuadrado determina un lazo en X XIV.3.20 Lema. En G/N se cumple la igualdad b a01 b a02 · · · b a0n = 1.


541

Demostraci´ on: Sea Q un subcuadrado fijo con aristas a, b, a′ , b′ , como se indican en la figura XIV.8(a). En Q se tiene que ab ≃ b′ a′ rel ∂I, ya que Q es simplemente conexo (por ser contra´ıble). Si se aplica H, y se enchufan las trayectorias auxiliares correspondientes, se obtiene que λa λb ≃ λb′ λa′ rel ∂I, ya sea en X1 o en X2 , seg´ un H(Q) ⊂ X1 o H(Q) ⊂ X2 . En cualquier caso, b abb = bb′ b a′ en G/N , es decir, para cualquier Q se tiene la igualdad b a = bb′ b a′bb−1 . Si ahora tomamos una hilera de subcuadrados, como la sombreada en la figura XIV.8(a), y multiplicamos las correspondientes igualdades, obtenemos b ai−1 ai−1 ai−1 =b ai1 b ai2 · · · b ain , n 1 b 2 ···b pues los elementos bbji correspondientes a las aristas intermedias se cancelan y bb0i = 1 = bbni , ya que la homotop´ıa H es constante en los lados verticales de I 2 . Inductivamente obtenemos as´ı la igualdad b a01 b a02 · · · b a0n = b an1 b an2 · · · b ann . Pero, siendo H constante también en el lado superior de I 2 , b ani = 1, i = 1, 2, . . . , n, lo que prueba la igualdad deseada. ⊔ ⊓ Ahora s´ı estamos en posibilidad de probar el teorema de Seifertvan Kampen, es decir, de identificar ker(j1∗ · j2∗ ). XIV.3.21 Teorema. (Seifert-van Kampen) Sea X = X1 ∪ X2 , con X1 , X2 abiertos. Si X1 , X2 y X1 ∩ X2 son no vac´ıos y conectables por trayectorias, entonces π1 (X, x0 ) ∼ = π1 (X1 , x0 ) ∗ π1 (X2 , x0 )/N{i1∗ (α)i2∗ (α)−1 |α∈π1 (X1 ∩X2 ,x0 )} , para x0 ∈ X1 ∩ X2 . Demostraci´ on: En la terminolog´ıa que se introdujo arriba, debemos probar que ker(j1∗ · j2∗ ) es N = N{i1∗ (α)i2∗ (α)−1 |α∈π1 (X1 ∩X2 ,x0 )} . Sea β ∈ G un elemento tal que (j1∗ · j2∗ )(β) = 1; veremos que β ∈ N . Podemos escribir β = α1 α2 · · · αk ∈ G, donde αi ∈ π1 (X1 , x0 ) o αi ∈ π1 (X2 , x0 ), aunque no requerimos que esta descomposición sea reducida. Sea λi un lazo en Xν que represente a αi , ν = 1 o 2. Ya que (j1∗ · j2∗ )(β) = 1, [λ1 ][λ2 ] · · · [λk ] = 1 en π1 (X, x0 ), donde las clases

542


de homotop´ıa se toman en X. Subdividimos I en k subintervalos de la misma longitud y tomamos el lazo λ : I −→ X, que en el i-ésimo intervalo coincide con λi reparametrizado adecuadamente, i = 1, 2, . . . , k. La u ´ltima igualdad significa que λ es un lazo contra´ıble; sea H : I 2 −→ X una nulhomotop´ıa para λ. Descomponemos I 2 en subcuadrados, como en la construcción dada antes, de modo que cada uno de los k subintervalos de I sea la unión de algunas de las aristas a01 , a02 , . . . , a0n de la figura XIV.8(a), lo cual es posible si se toma n como un m´ ultiplo suficientemente grande de k. Si el primer intervalo en el que está definido λ1 es la unión de 0 a1 , a02 , . . . , a0i1 , entonces λ1 ≃ λa01 λa02 · · · λa0 rel ∂I en X1 o en X2 , i1 seg´ un λ1 yazca en X1 o en X2 . En cualquier caso, se tiene que α1 N = b a01 b a02 · · · b a0i1 en G/N . Hay igualdades correspondientes para los k − 1 subintervalos restantes, las cuales, al multiplicarlas, dan la igualdad βN = (α1 N )(α2 N ) · · · (αk N ) = b a01 b a02 · · · b a0n en G/N . Del lema XIV.3.20 se tiene, entonces, que βN = 1 ∈ G/N , es decir, β ∈ N , como se deseaba probar. ⊔ ⊓ XIV.3.22 Corolario. Bajo las hip´ otesis de XIV.3.21, resulta que (a) si X2 es simplemente conexo, entonces j1∗ : π1 (X1 , x0 ) −→ π1 (X, x0 ) es un epimorfismo y ker j1∗ es el normalizador del subgrupo i1∗ (π1 (X1 ∩ X2 , x0 )) ; (b) si X1 ∩ X2 es simplemente conexo, entonces j1∗ · j2∗ : π1 (X1 , x0 ) ∗ π1 (X2 , x0 ) −→ π1 (X, x0 ) es un isomorfismo; y que (c) si tanto X2 como X1 ∩ X2 son simplemente conexos, entonces j1∗ : π1 (X1 , x0 ) −→ π1 (X, x0 ) es un isomorfismo.

⊔ ⊓


543

Sea X = X1 ∪X2 de modo que X1 , X2 ⊂ X son cerrados y se pueden encontrar vecindades abiertas V1 de X1 y V2 de X2 en X de manera que hay retracciones fuertes por deformación r1 : V1 −→ X1 , r1 : V2 −→ X2 , que se restringen a una retracción fuerte por deformación r = r1 |V1 ∩V2 = r2 |V1 ∩V2 : V1 ∩ V2 −→ X1 ∩ X2 ; en este caso, el teorema XIV.3.21 se transforma en lo siguiente. XIV.3.23 Teorema. Sea X = X1 ∪ X2 , con X1 , X2 cerrados que cumplen las condiciones anteriores. Si X1 , X2 y X1 ∩ X2 son no vac´ıos y conectables por trayectorias, entonces π1 (X, x0 ) ∼ = π1 (X1 , x0 ) ∗ π1 (X2 , x0 )/N{i1∗ (α)i2∗ (α)−1 |α∈π1 (X1 ∩X2 ,x0 )} , para x0 ∈ X1 ∩ X2 .

⊔ ⊓

XIV.3.24 Ejercicio. Sea M una n-variedad conexa, n ≥ 3, y sea M ∗ = M − B ◦ , donde B es una n-bola encajada en M . Probar que π1 (M ∗ ) ∼ = π1 (M ). (Sugerencia: M = M1 ∪ M2 , donde M1 = M − {b} y M2 = B ◦ , donde b ∈ B ◦ , entonces la inclusión M ∗ ,→ M1 es una equivalencia homotópica, M2 es contra´ıble y M1 ∩ M2 ≈ Sn−1 es simplemente conexo. Aplicar XIV.3.22(c).) XIV.3.25 Ejercicio. Sean M y N n-variedades conexas, n ≥ 3. Demostrar que para su suma conexa M #N (XI.1.34) se tiene π1 (M #N ) ∼ = π1 (M ) ∗ π1 (N ) . (Sugerencia: Aplicar el ejercicio anterior.) XIV.3.26 Ejercicio. Bajo las hipótesis del teorema de Seifert y van Kampen, probar que el grupo fundamental de X, π1 (X, x0 ), posee la siguiente propiedad universal que lo caracteriza: Dados cualesquiera homomorfismos f1 : π1 (X1 , x0 ) −→ H

y

f2 : π1 (X2 , x0 ) −→ H ,

tales que f1 ◦ i1∗ = f2 ◦ i2∗ : π1 (X1 ∩ X2 , x0 ) −→ H, entonces existe un u ńico homomorfismo f : π1 (X, x0 ) −→ H ,

544


tal que f ◦ j1∗ = f1 y f ◦ j2∗ = f2 , es decir, tal que si conmuta el cuadrado exterior en el diagrama π1 (X1 ∩ X2 , x0 )

QQQ m QQQi2∗ mmm m QQQ m mm QQQ m m ( vmm j j2∗ 1∗ / o π1 (X1 , x0 ) π1 (X, x0 ) π1 (X2 , x0 ) QQQ QQQ mmm f QQQ mmm m m QQQ m f1 QQ( vmmmmm f2 i1∗

H,

entonces conmutan los tri´ angulos que se forman. (Esta propiedad universal significa que π1 (X, x0 ) es el col´ımite del diagrama π1 (X1 ∩ X2 , x0 )

mm mmm m m mm m v mm i1∗

QQQ QQQi2∗ QQQ QQQ Q(

π1 (X1 , x0 )

π1 (X2 , x0 ) .

Compárese con X.2.1 y obsérvese que lo que se afirma es que el diagrama de col´ımite topológico va a dar, bajo el funtor grupo fundamental, a un diagrama de col´ımite algebraico.)

XIV.4

Aplicaciones del teorema de Seifert–van Kampen

Diversas construcciones en espacios topológicos pueden analizarse desde el punto de vista del teorema de Seifert y van Kampen para estudiar su grupo fundamental. Consideremos, en primer lugar, la siguiente afirmación. XIV.4.1 Proposici´ on. El grupo fundamental de una cu˜ na de k copias 1 1 del c´ırculo, S1 ∨ · · · ∨ Sk , est´ a generado libremente por los elementos asico de la α1 , . . . , αk ∈ π1 (S11 ∨ · · · ∨ S1k , x0 ), donde x0 es el punto b´ 1 cu˜ na proveniente de 1 ∈ Si y la clase αi est´ a representada por el lazo can´ onico λi : I −→ S1i ,→ S11 ∨ · · · ∨ S1k , λi (t) = e2πit ∈ S1i . Por lo tanto, π1 (|S1 ∨ ·{z · · ∨ S}1 ) ∼ · · ∗ Z} . =Z | ∗ ·{z k

k

APLICACIONES DEL TEOREMA DE SEIFERT–VAN KAMPEN

545

Demostraci´ on: Por inducción sobre k. Para una cu˜ na de dos c´ırculos, X = S11 ∨ S12 , sean X1 = S11 ∨ (S12 − {−1}) y X2 = (S11 − {−1}) ∨ S12 . X, X1 y X2 satisfacen las hipótesis del teorema de Seifert y van Kampen y, además, X1 ∩X2 es homeomorfo a una cruz abierta (R ×{0}∪{0}× R), por tanto, contra´ıble. As´ı, por XIV.3.22(b), ya que las inclusiones S11 ,→ X1 y S12 ,→ X2 inducen isomorfismos de los grupos fundamentales, se tiene que π1 (S11 , 1)∗π1 (S12 , 1) −→ π1 (S11 ∨ S12 , x0 ) es un isomorfismo. Más a´ un, ya que las clases α1 y α2 provienen de los generadores canónicos de π1 (S11 , 1) y π1 (S12 , 1), son ellas los generadores de π1 (S11 ∨ S12 , x0 ) como grupo libre. Por lo tanto, π1 (S1 ∨ S1 , x0 ) es isomorfo a Z ∗ Z. Si para una cu˜ na de k−1 copias de S1 el resultado es cierto, entonces sea X1 = S11 ∨ · · · ∨ S1k−1 ∨ (S1k − {−1}) , que es homotópicamente equivalente, v´ıa la inclusión, a S11 ∨ · · · ∨ S1k−1 y sea X2 = (S11 − {−1}) ∨ · · · ∨ (S1k−1 − {−1}) ∨ S1k , que, también v´ıa la inclusión, es homotópicamente equivalente a S1k . Ya que X1 ∩ X2 es homeomorfo a una “estrella” de 2k picos, es contra´ıble y, de nuevo por XIV.3.22(b), π1 (S11 ∨ · · · ∨ S1k−1 , x0 ) ∗ π1 (S1k , 1) −→ π1 (S11 ∨ · · · ∨ Sk1 , x0 ) es un isomorfismo y, como en el caso k = 2, son α1 , . . . , αk sus generadores como grupo libre, lo que prueba la proposición. ⊔ ⊓ XIV.4.2 Ejercicio. Probar la proposición anterior usando la versión XIV.3.23 del teorema de Seifert–van Kampen en vez de XIV.3.22(b). El teorema de Seifert–van Kampen se puede utilizar para estudiar el grupo fundamental de un espacio al que se la adjuntó una célula. XIV.4.3 Proposici´ on. Sea Y un espacio conectable por trayectorias y sea f : Sn−1 −→ Y continua, n ≥ 3. Si y0 ∈ Y , entonces la inclusi´ on n can´ onica i : Y ,→ Y ∪f e induce un isomorfismo ∼ =

i∗ : π1 (Y, y0 )−−−−−→π1 (Y ∪f en , y0 ) .

546


Demostraci´ on: Sea X = Y ∪f en y sea q : Bn ⊔ Y −→ X la iden◦

n

tificación. Los subespacios X1 = q((Bn − {0}) ⊔ Y ) y X2 = q(B ) son abiertos; por XIII.3.17, la inclusión canónica Y ,→ X1 es una equivalencia homotópica y X2 es contra´ıble; más a´ un, la intersección ◦

n

X1 ∩ X2 ≈ B − {0}, que es del mismo tipo de homotop´ıa que la esfera Sn−1 , ya que n ≥ 3 es simplemente conexa. Por lo tanto, por XIV.3.22(c), si x0 ∈ X1 ∩ X2 la inclusión X1 ,→ X induce un isomorfismo π1 (X1 , x0 ) −→ π1 (X, x0 ). Sea ahora una trayectoria en X1 , ω : x0 ≃ y0 , entonces el homomorfismo inducido por la inclusión i∗ : π1 (Y, y0 ) −→ π1 (X, y0 ) se descompone como en el diagrama conmutativo π1 (Y, y0 )

i∗

/ π1 (X, y0 )

∼ = ∼ = φω

π1 (X1 , y0 ) φω ∼ =

π1 (X1 , x0 )

∼ =

/ π1 (X, x0 ) ,

donde los isomorfismos sin nombre están inducidos por inclusiones y φω es el isomorfismo de XIV.1.21, en X1 y en X, seg´ un el caso. Por lo tanto, i∗ es un isomorfismo como se deseaba. ⊔ ⊓ Veamos ahora qué sucede en el caso de adjuntar una 2-célula. XIV.4.4 Proposici´ on. Sea f : S1 −→ Y continua. Si λf : I −→ Y es el lazo tal que λf (t) = f (e2πit ) y ω : y0 ≃ f (1) es una trayectoria en Y , entonces la inclusi´ on i : Y ,→ Y ∪f e2 induce un epimorfismo i∗ : π1 (Y, y0 ) −→ π1 (Y ∪f e2 , y0 ) y el n´ ucleo es el subgrupo normal generado por el elemento αf = [ωλf ω] ∈ π1 (Y ). Por lo tanto, π1 (Y ∪f e2 , y0 ) ∼ = π1 (Y, y0 )/Nαf . El grupo Nαf no depende de la trayectoria ω; a saber, el lazo µf = ωλf ω que rodea la célula es contra´ıble en Y ∪f e2 , y0 , ya que se puede contraer por encima de la célula, como se ilustra en la figura XIV.9;


547

en ella, en el lado izquierdo, µf ≃ / 0, pero, en el derecho, µf ≃ 0. Por lo tanto, i∗ (αf ) = [µf ] = 1 en π1 (Y ∪f e2 , y0 ). Se dice que el elemento αf ∈ π1 (Y, y0 ) se mata al pegar la 2-célula a través de f .

e2

µf µf Y ∪f e2

Y x0

x0

Figura XIV.9: Pegar una célula mata un lazo

Demostraci´ on: Con la misma notación de la demostración anterior, tenemos que la inclusión canónica Y ,→ X1 es una equivalencia homotópica, y X2 es contra´ıble; más a´ un, la intersección X1 ∩ X2 ≈ ◦

2

B − {0}, que es del mismo tipo de homotop´ıa que el c´ırculo S1 , no es, por tanto, simplemente conexa. Por XIV.3.22(a) la inclusión X1 ,→ X induce un epimorfismo en el grupo fundamental y, con ello, i∗ : π1 (Y, y0 ) −→ π1 (X, y0 ) es un epimorfismo. Por otro lado, el lazo λ′f : I −→ X, tal que λ′f (t) = q( 12 e2πit ), que, de hecho, yace dentro de X1 ∩ X2 , es tal que genera a π1 (X1 ∩ X2 , z0 ) ∼ = Z, si z0 = q(0) = q(1), y la retracción por deformación de X2 en Y deforma λ′f en λf . De XIV.3.22(a), sabemos que, si j : X1 ,→ X es la inclusión, ker(j∗ ) está generado como subgrupo normal por el elemento [λ′f ], por lo que ker(i∗ : π1 (Y, f (1)) −→ π1 (X, f (1))) lo está por [λf ] y, de forma análoga a la demostración anterior, ker(i∗ : π1 (Y, y0 ) −→ π1 (X, y0 )) lo está por αf . ⊔ ⊓ Inductivamente es posible probar el siguiente resultado.

548


XIV.4.5 Corolario. Si se le adjuntan a Y 2-células e21 , e22 , . . . , e2k a través de aplicaciones f1 , f2 , . . . , fk : S1 −→ Y , entonces π1 (Y ∪ e21 ∪ e22 ∪ · · · ∪ e2k , y0 ) ∼ = π1 (Y, y0 )/N{αf1 ,αf2 ,...,αf

k

}.

⊔ ⊓ XIV.4.6 Ejemplos. (a) Sea, para cada entero k ≥ 1, Xk = S1 ∪ e2 , donde la célula se adjunta con la aplicación gk : S1 −→ S1 de grado k, gk (ζ) = ζ k . Si [α] ∈ π1 (S1 , 1) es el generador canónico, entonces π1 (Xk , 1) ∼ = π1 (S1 , 1)/N{αk } , donde αk = [λgk ] ∈ π1 (S1 , 1). Por XIV.2.13, αk = α1k ∈ π1 (S1 , 1), es decir, αk es la k-ésima potencia del generador canónico. Por lo tanto, π1 (Xk , 1) ∼ = Z/k , es decir, este grupo fundamental es c´ıclico de orden k. (b) La construcción de (a) para k = 2 produce X2 ≈ RP2 , es decir, el plano proyectivo. Por lo tanto, π1 (RP2 ) ∼ = Z/2. Hay varias otras formas de visualizar este hecho. Si, por ejemplo, vemos a RP2 como el resultado de identificar puntos ant´ıpodas en la frontera de B2 , la aplicación λ1 : I −→ B2 , tal que λ1 (t) = eπit , determina un lazo λ′ en RP2 ; véase la figura XIV.10 (a). Ya que, por XIV.3.22(a), π1 (S1 ) −→ π1 (RP2 ) es un epimorfismo, la clase [λ′ ] genera π1 (RP2 ), es decir, este grupo es c´ıclico. Dado que el lazo que rodea una vez a B2 , λ = λ1 λ2 , donde λ2 (t) = eπi(t+1) , es contra´ıble, entonces [λ′ ]2 = 1 ∈ π1 (RP2 ), es decir, este grupo es c´ıclico de orden 2. Otra forma de ver esto ser´ıa la siguiente. RP2 se obtiene adjuntando a la banda de Moebius M una 2-célula a lo largo de su frontera, que es homeomorfa a S1 . Ya que M es homotópicamente equivalente a S1 , el lazo ecuatorial λe que rodea una vez el ecuador

APLICACIONES DEL TEOREMA DE SEIFERT–VAN KAMPEN l1

lf

B2

B2

549

le l2 (a)

lf (b)

Figura XIV.10: El cuadrado del generador de π1 (RP2 ) es trivial de M (véase XIV.2.9(c)) genera π1 (M ) como grupo c´ıclico infinito. Si f : S1 −→ ∂M ,→ M es un homeomorfismo sobre la frontera de M , el lazo λf en RP2 = M ∪f e2 es tal que dentro de M se deforma al ecuador para convertirse en λ2e (véase la figura XIV.10(b)); por lo tanto, [λe ]2 = 1 ∈ π1 (RP2 ), lo que corrobora de nuevo que este grupo es c´ıclico de orden 2. De forma muy parecida podemos razonar si consideramos RP2 como cociente de S2 identificando puntos ant´ıpodas. Una trayectoria λ : I −→ S2 que recorre uniformemente la mitad del ecuador de la esfera determina en RP2 un lazo µ, que genera π1 (RP2 ) y cuyo cuadrado proviene de λ2 , que, al recorrer todo el ecuador de S2 , es un lazo que puede deformarse a un lazo constante; por lo tanto, [µ]2 = 1 en π1 (RP2 ). (c) Como se vio en XIII.3.18, la superficie orientable de género g, Sg , se obtiene de adjuntar a una cu˜ na de 2g c´ırculos, Sg1 = 1 1 1 1 Sa1 ∨ Sb1 ∨ · · · ∨ Sag ∨ Sbg , una 2-célula, a través de la aplicación fg : S1 −→ Sg1 , tal que conforme el argumento da una vuelta en el sentido levógiro al c´ırculo la función rodea primero a S1a1 en sentido levógiro, luego a S1b1 , también en sentido levógiro; después de nuevo a S1a1 pero en sentido dextrógiro; luego a S1b1 en sentido dextrógiro, y as´ı sucesivamente, hasta terminar recorriendo S1bg en sentido dextrógiro. De este modo, el lazo asociado λg = λfg : I −→ Sg1 es el producto de lazos λa1 λb1 λa1 λb1 λa2 · · · λag λbg ,

550


donde λai y λbi son los lazos canónicos en S1ai = S1 y S1bi = S1 y λai y λbg son sus inversos, i = 1, . . . , g. Por XIV.4.1, π1 (Sg1 ) es libre generado por las clases αi = [λai ], βi = [λbi ]. Por XIV.4.4, π1 (Sg ) ∼ = π1 (Sg1 )/Nαfg , es decir π1 (Sg ) ∼ · · ∗ Z} /Nα1 β1 α−1 β −1 ···αg βg α−1 −1 , =Z | ∗ ·{z g βg 1

1

2g

si αi es el generador de la (2i − 1)-ésima Z y βi el de la 2i-ésima, i = 1, . . . , g. En términos de generadores y relaciones, este hecho se suele escribir como π1 (Sg ) = ⟨α1 , β1 , . . . , αg , βg | α1 β1 α1−1 β1−1 · · · αg βg αg−1 βg−1 ⟩ , y se dice que este grupo tiene como generadores a los elementos α1 , β1 , . . . , αg , βg sujetos a la u ńica relaci´ on α1 β1 α1−1 β1−1 · · · αg βg αg−1 βg−1 = 1 .

(d) De forma análoga a (c), podemos calcular el grupo fundamental de cada superficie no orientable Ng y tenemos π1 (Ng ) ∼ · · ∗ Z} /Nα21 ···α2g , =Z | ∗ ·{z g

si αi es el generador de la i-ésima Z. En términos de generadores y relaciones, π1 (Ng ) = ⟨α1 , . . . , αg | α12 · · · αg2 ⟩ , es decir, este grupo tiene como generadores a los elementos α1 , . . . , αg sujetos a la u ńica relación α12 · · · αg2 = 1 .


551

De los ejemplos (c) y (d) anteriores, podemos dar un paso más en la clasificación de las superficies, es decir, distinguirlas. XIV.4.7 Corolario. Cada dos de las superficies S0 , S1 , S2 , . . . , N1 , N2 , . . . son de diferente tipo de homotop´ıa; en particular, no son homeomorfas. Demostraci´ on: Si se abelianizan los grupos fundamentales de las superficies, tenemos que π1 (Sg )ab ∼ = Z2g ,

π1 (Nh )ab ∼ = Zh−1 × (Z/2)

(en particular Z0 = 0). Ya que estos grupos son todos diferentes para valores diferentes de g o de h y, ciertamente, lo son para cada g y cada h, es decir, las superficies orientables y las no orientables, cada dos de todas deben ser de distinto tipo de homotop´ıa. ⊔ ⊓ ´ n. Dado un espacio topológico 0-conexo X, puede XIV.4.8 Observacio definirse su primer grupo de homolog´ıa por H1 (X) = π1 (X)ab . ´ Este es en realidad un teorema, pero puede utilizarse como una definición ad hoc. XIV.4.9 Ejercicio. Sean x1 , x2 , . . . , xk ∈ R2 puntos distintos. (a) Probar que R2 − {x1 , x2 , . . . , xk } contiene a un subespacio Xk ho1 meomorfo a S · · ∨ S}1 como retracto (fuerte) por deformación. | ∨ ·{z k

(b) Demostrar que π1 (R2 − {x1 , . . . , xk }) ∼ · · ∗ Z} , =Z | ∗ ·{z k

es decir, es libre en k generadores. Deducir que

R2 − {x1 , x2 , . . . , xk }

y

son homeomorfos si y sólo si k = l.

R2 − {x1 , x2 , . . . , xl }

552


XIV.4.10 Ejercicio. Calcular los grupos fundamentales de los siguientes espacios. (a) S1 ∨ S2 , S1 × RP2 , RP2 ∨ RP2 , RP2 × RP2 . (b) R3 −C, donde C es el c´ırculo x2 +y 2 = 1, z = 0 (véase XIII.3.32.) (c) (S1 × S1 )∪e2 , donde la 2-célula se adjunta a través de la aplicación f (ζ) = (ζ 2 , ζ 3 ). XIV.4.11 Ejercicio. Probar el teorema de invariancia de la dimensión X.1.10 para m = 2 y n > 2; en otras palabras, probar que R2 y Rn (resp. S2 y Sn , B2 y Bn ), n > 2, no son homeomorfos. (Sugerencia: π1 (R2 −{x}) ∼ = Z, mientras que π1 (Rn −{y}) = 1 para n > 2. Comparar con la demostración de XIV.4.3, o de XIV.3.2.) XIV.4.12 Ejercicio. Sea G un grupo finitamente presentado, es decir, G tiene una presentación con un n´ umero finito de generadores a1 , . . . , ak y un n´ umero finito de relaciones r1 , . . . , rl ; en s´ımbolos, G = ⟨a1 , . . . , ak | r1 , . . . , rl ⟩. Probar que hay un espacio topológico X tal que ∨k π1 (X) ∼ = G. (Sugerencia: Tómese Y = j=1 S1j y mátense las relaciones en π1 (Y ) adjuntando 2-células como en XIV.4.4.) Para concluir este cap´ıtulo, recordemos que toda variedad de dimensión 3 conexa, cerrada y orientable es unión de dos cuerpos con asas (véase XI.3.14). Al aplicar el teorema de Seifert y van Kampen a esta descomposición podemos calcular el grupo fundamental de cualquier 3-variedad de este tipo, al menos potencialmente, pues necesitar´ıamos conocer, en cada caso, la descomposición de Heegaard correspondiente. XIV.4.13 Ejemplo. Tómese el cuerpo con asas Hg definido en XI.3.13, con género g ≥ 1. Sabemos por el teorema de clasificación de superficies XI.2.26 que Ag = ∂HG ≈ Sg , donde Sg es la superficie conexa, cerrada, orientable de género g. Por lo tanto, π1 (Ag ) = ⟨α1 , β1 , . . . , αg , βg | α1 β1 α1−1 β1−1 · · · αg βg αg−1 βg−1 ⟩. Por otro lado, como se indicó en el ejemplo XIII.3.16(c), Hg ≃ S11 ∨ · · · ∨ S1g , por lo que π1 (Hg ) es un grupo libre de rango g. Sea i : Ag ,→ Hg la inclusión. Podemos elegir los generadores de π1 (Ag ) de modo que i∗ (α1 ), . . . , i∗ (αg ) sea un conjunto


553

de generadores de π1 (Hg ) e i∗ (β1 ) = · · · = i∗ (βg ) = 1. Si denotamos por q : Hg ⊔ Hg′ −→ M = Hg ∪φ Hg′ , Hg = Hg′ , la identificación a lo largo de un homeomorfismo φ : Ag −→ Ag , tenemos elementos aν = q∗ (αν ), bν = q∗ (βν ), a′ν = q∗ φ∗ (αν ), b′ν = q∗ φ∗ (βν ) ∈ π1 (M ), de modo que, de hecho, b1 = · · · = bg = b′1 = · · · = b′g = 1. Más a´ un, el homeomorfismo φ : A3 −→ A3 es tal que φ∗ (αν ) = rν (α1 , β1 , . . . , αg , βg ), φ∗ (βν ) = sν (α1 , β1 , . . . , αg , βg ), donde rν y sν son ciertas palabras en los generadores α1 , β1 , . . . , αg , βg . Si llamamos W = q(Hg ) y W ′ = q(Hg′ ) y T = q(Ag ) = q(φ(Ag )), Ag ⊂ Hg , tenemos que M = W ∪ W ′ y T = W ∩ W ′ ≈ Ag ≈ Sg . Por la elección de los generadores, π1 (W ) = ⟨a1 , . . . ag |−⟩ , π1 (W ′ ) = ⟨a′1 , . . . a′g |−⟩ . Además, π1 (T ) cuenta con dos posibles sistemas de generadores: {x1 , y1 , . . . , xg , yg }, {x′1 , y1′ , . . . , x′g , yg′ },

xν = q∗ (αν ) , yν = q∗ (βν ) , x′ν = q∗ φ∗ (αν ) , yν′ = q∗ φ∗ (βν ) ,

ν = 1, . . . , g, que están relacionados por las ecuaciones x′ν = rν (x1 , y1 , . . . , xg , yg ) ,

yν′ = sν (x1 , y1 , . . . , xg , yg ) .

Ya que las inclusiones j : T ,→ W , j ′ : T ,→ W ′ son tales que j∗ (xν ) = aν , j∗ (yν ) = 1, j∗′ (x′ν ) = a′ν , j∗′ (yν′ ) = 1, se cumple que a′ν = rν (a1 , 1, . . . , ag , 1) ,

1 = b′ν = sν (a1 , 1, . . . , ag , 1) .

Tenemos as´ı, aplicando la versión XIV.3.23 del teorema de Seifert y van Kampen, que π1 (M )∼ =⟨a1 , . . . , ag , a′1 , . . . , a′g |a−1 ν rν (a1 , 1, . . . ag , 1), sν (a1 , 1, . . . ag , 1)⟩, y ya que a1 , . . . , ag se pueden expresar en términos de a′1 , . . . a′g , entonces estas u ´ltimas son suficientes para generar π1 (M ), y obtenemos π1 (M ) ∼ = ⟨a′1 , . . . , a′g | sν (a1 , 1, . . . ag , 1) para 1 ≤ ν ≤ g⟩ . Esto se puede fácilmente interpretar se˜ nalando que π1 (M ) está gene′ rado por los lazos ecuatoriales aν en ∂W ′ . Y dada la relación φ∗ (βν ) = sν (α1 , β1 , . . . , αg , βg ), se cumple la relación sν (a1 , 1, . . . ag , 1) = 1, ya que los lazos meridionales βν y βν′ son nulhomotópicos en M .

554


XIV.4.14 Ejemplo. Es interesante volver a ver en el contexto del ejemplo anterior el resultado de XIV.3.2 cuando n = 3, es decir, calcular el grupo fundamental de la 3-esfera al descomponerla como unión de dos toros sólidos, de acuerdo con la proposición XI.3.6. En este caso, S3 = H1 ∪φ H1′ , donde H1 = H1′ = S1 × B2 , y φ : S1 × S1 −→ S1 × S1 es tal que φ(x, y) = (y, x). Con la notación anterior, resulta que a′1 = r1 (a1 , b1 ) = b1 = 1, 1 = b′1 = s1 (a1 , b1 ) = a1 ∈ π1 (S3 ), por lo que π1 (S3 ) = ⟨a′1 | a′1 ⟩, pero, obviamente, éste es el grupo trivial. XIV.4.15 Nota. En 1904 Henri Poincaré planteó una conjetura que fue uno de los grandes motores en la investigación de las variedades de dimensión 3 durante todo el siglo xx y que, en todo el siglo, no pudo ser probada ni tampoco pudo encontrarse un contraejemplo para ella. En una serie de tres art´ıculos publicados en arXiv, Grigori Perelman demuestra la conjetura de geometrización de Thurston, de la cual se obtiene como consecuencia la demostración de la conjetura. Esta demostración puede consultarse en [6, 7, 8, 13]. En el ejemplo anterior volvimos a probar que la esfera de dimensión 3 es simplemente conexa. Poincaré conjeturó que ésta es la u ńica tal variedad. La conjetura es ahora el siguiente resultado. XIV.4.16 Teorema. (Perelman) Toda variedad de dimensi´ on 3 cerrada, conexa y simplemente conexa es homeomorfa a S3 . El libro de Hempel [24] trata diversos aspectos de esta afirmación. Recordemos ahora que un grupo es finitamente presentado si está dado por un n´ umero finito de generadores y un n´ umero finito de relaciones entre ellos. Son ejemplos de grupos finitamente generados los grupos fundamentales de las superficies cerradas (véanse XIV.4.6(c) y (d)), as´ı como los de las 3-variedades cerradas (véase XIV.4.13). Es muy interesante resaltar el siguiente teorema acerca de variedades de dimensión 4, cuya demostración se sale, por mucho, de la mira de este texto, por lo que referimos al lector a [20] para su prueba. XIV.4.17 Teorema. Para todo grupo G finitamente presentado hay una 4-variedad cerrada M , tal que π1 (M ) ∼ ⊔ ⊓ = G. XIV.4.18 Nota. Compárese este resultado con XIV.4.12.


555

XIV.4.19 Nota. Se˜ nalamos en el cap´ıtulo XI. que no es posible dar una clasificación de todas las variedades de dimensión 4. A este hecho subyace un resultado algebraico que afirma que no hay un algoritmo que permita decidir si un grupo finitamente presentado es el grupo trivial o no; esto, debido al teorema XIV.4.17, hace complicado decidir si dos 4-variedades son homeomorfas o no, por lo que no es claro cómo dar un algoritmo para clasificar todas las 4-variedades. Es por ello que resulta necesaria la restricción, hecha por Freedman en su teorema de clasificación XI.3.16, a 4-variedades que sean simplemente conexas. XIV.4.20 Nota. Si M es una 4-variedad del mismo tipo de homotop´ıa que la 4-esfera S4 , entonces, ya que la homolog´ıa de ambas y, en consecuencia, sus formas bilineales asociadas son isomorfas, entonces, por el teorema de Freedman XI.3.16, M debe ser homeomorfa a S4 . De este modo, como corolario de este teorema, queda establecida la conjetura de Poincaré en dimensión 4 como sigue. XIV.4.21 Teorema. Si una variedad topol´ ogica de dimensi´ on 4 M es 4 homot´ opicamente equivalente a S , entonces M es homeomorfa a S4 .⊓ ⊔

556


XV.

APLICACIONES CUBRIENTES

En este cap´ıtulo estudiaremos la noción de aplicación cubriente. ´ Este es un concepto importante en varias ramas de las matemáticas. Nosotros analizaremos aqu´ı su relación con el grupo fundamental. XV.1

Definiciones y ejemplos

En esta sección daremos la definición de aplicación cubriente y revisaremos algunos ejemplos. XV.1.1 Ejemplo. Considérese la aplicaci´ on exponencial p : R −→ S1 dada por p(t) = e2πit . Una forma de visualizar esta aplicación se ilustra en la figura XV.1. Si tomamos U = S1 − {1}, entonces p−1 (U ) = R − Z. De hecho, R − Z = ⊔n∈Z (n, n + 1) y, para cada n, p|(n,n+1) : (n, n + 1) −→ U es un homeomorfismo, cuyo inverso es una rama del logaritmo. Más generalmente: (i) Si U ⊂ S1 es cualquier abierto distinto de S1 , entonces p−1 (U ) = en , y p| e : U en −→ U es un homeomorfismo. ⊔n∈Z U Un Justamente fue esta propiedad la que en forma impl´ıcita se utilizó para definir el grado, es decir, para probar lo siguiente: (ii) Dado un lazo λ : I −→ S1 basado en 1, existe una u ńica trayece : I −→ R, tal que λ(0) e e = λ. toria λ =0 y p◦λ Son, la primera propiedad, el hecho de que p es una aplicación cubriente, y la segunda propiedad, la de levantamiento u ńico de trayectorias, que poseen todas las aplicaciones cubrientes. ´ n. Sea X un espacio topológico. Una aplicaci´ on cuXV.1.2 Definicio briente sobre X es una aplicación p : E −→ X, E ̸= ∅, tal que cada punto x ∈ X tiene una vecindad U en X que satisface 557

558


2 3 2

1 1 2

0 − 12

−1

− 32

R −1

−2 p 1

S1 Figura XV.1: La aplicación cubriente universal de S1 ej ⊂ E, (a) La imagen inversa de U , p−1 (U ) es la unión de abiertos U j ∈ J , donde J es alg´ un conjunto no vac´ıo de ´ındices. ej −→ U es un homeomor(b) Para cada j ∈ J , la restricción p|Uej : U fismo. En particular, por (a), p es suprayectiva. Si suponemos, además, que e son conectables por trayectorias, entonces afirmaremos que p es XyX una aplicaci´ on cubriente conectable por trayectorias. A X se le llama el espacio base de la aplicación cubriente, a E se le designa el espacio total (o espacio cubriente). Para cada x ∈ X se le conoce como fibra sobre x a p−1 (x), la cual es no vac´ıa, es decir, p es suprayectiva. Una vecindad U que satisface (a) y (b) se dice que está cubierta parejamente por p y ej se les nombra hojas sobre U (véase la figura XV.2). a los conjuntos U Tenemos el siguiente resultado. XV.1.3 Proposici´ on. Sea p : E −→ X una aplicaci´ on cubriente, tal −1 que X es conexo. Si x, y ∈ X, entonces las fibras p (x) y p−1 (y) tienen

DEFINICIONES Y EJEMPLOS

559

p−1 (U )

p U

Figura XV.2: Una aplicación cubriente vista localmente la misma cardinalidad. A esta cardinalidad se le llama multiplicidad de la aplicación cubriente. Puede ser finita o infinita. Demostraci´ on: Por XV.1.2(a), el conjunto de todos los puntos de X cuyas fibras tienen la misma cardinalidad que p−1 (x) es abierto. Si p−1 (y) tuviera otra cardinalidad, entonces también el conjunto de todos los puntos de X con cardinalidad distinta de la de p−1 (x) ser´ıa abierto y no vac´ıo, lo que contradir´ıa la conexidad de X. ⊔ ⊓ El siguiente teorema recopila propiedades de una aplicación cubriente. XV.1.4 Teorema. Sea p : E −→ X una aplicaci´ on cubriente, entonces (a) Para cada x ∈ X la fibra p−1 (x) es un espacio discreto. (b) Si B es un subespacio conexo de E que yace sobre una vecindad U cubierta parejamente, es decir, B es tal que p(B) ⊂ U , entonces ej , para alguna j ∈ J . B yace dentro de una hoja, o sea, B ⊂ U (c) Si U es una vecindad de x en X cubierta parejamente y V es otra vecindad de x, tal que V ⊂ U , entonces V est´ a cubierta parejamente. (d) Las vecindades en X cubiertas parejamente forman una base para la topolog´ıa de X.

560


(e) Las hojas sobre todos los abiertos de X cubiertos parejamente por p forman una base para la topolog´ıa de E. (f) p es un homeomorfismo local. De hecho, si X es conexo, p es continua, suprayectiva y abierta, por lo que es una identificaci´ on. Demostraci´ on: Todas las afirmaciones son claras. Quizás sólo (e) requiera de algunas palabras. Tómese cualquier abierto A ⊆ E y cualquier punto e ∈ A. Sea x = p(e) ∈ X, tómese una vecindad abierta U de ej , j ∈ J , las hojas sobre x en X cubierta parejamente por p y sean U e e U . Entonces e ∈ Uj para alg´ un ´ındice j. Ya que A es abierto en X, e′ = U ej ∩ A es abierto en U ej y por tanto U ′ = p(U e ′ ) ⊆ U es abierto U j j e ′ es una hoja y está cubierto parejamente por p. Esto muestra que U j ′ sobre U contenida en A que tiene a e como elemento, lo que prueba la afirmación. ⊔ ⊓ XV.1.5 Ejemplos. No todo homeomorfismo local f : Y −→ X es una aplicación cubriente. Por ejemplo, (a) si Y = R⊔R/ ∼, donde se identifican los reales negativos en ambas copias si coinciden (véase XI.1.11), entonces la proyección natural Y −→ R es un homeomorfismo local, pero no una aplicación cubriente; (b) as´ı mismo, la aplicación f : (0, 3) −→ S1 , tal que f (t) = e2πit , es un homeomorfismo local que no es aplicación cubriente, puesto que ninguna vecindad de 1 ∈ S1 está cubierta parejamente por f . La siguiente afirmación nos será de utilidad más adelante. XV.1.6 Proposici´ on. Sea X localmente conexo, sean p : E −→ X y p′ : E ′ −→ X aplicaciones cubrientes y sea q : E ′ −→ E suprayectiva, tal que p ◦ q = p′ , es decir, tal que conmuta E′ C

CC CC C p′ CC!

q

/E | | || || p | }|

X,

entonces q es una aplicaci´ on cubriente.

561


Demostraci´ on: Sea e ∈ E y sea x = p(e). Ya que p y p′ son aplicaciones cubrientes, existe una vecindad U ∈ Nx conexa y cubierta parejamente ej y pe| e : U ej −→ U es por p y p′ . As´ı, en particular, p−1 (U ) = ⊔j∈J U Uj e =U ej , tal que e ∈ U ej . Dado que U también un homeomorfismo. Sea U 0 0 e ′ . Para cada j ∈ J , está cubierta parejamente por p′ , p′−1 (U ) = ⊔i∈J ′ U i ′ ′ ′ ′ e e e ′ es conexa sea J = {i ∈ J | q(U ) ⊂ Uj ; J ̸= ∅, puesto que cada U j

i

j

i

e ′ y, en particular, fj ) = ⊔i∈J ′ U y q es suprayectiva. Por lo tanto, q −1 (U i j −1 ′ ′ e e q (U ) = ⊔i∈J ′ U . Ya que para cada i ∈ J conmuta j0

i

j

q|Ue ′

e′ U i

i

AA AA AA ′ p |Ue ′ AA i

ej /U } }} }} } ~}} p|Uej

U,

para toda j y, en particular, para j0 , y en vista de que tanto p|Uej como e ′ −→ U ej es un hop′ | e ′ en el diagrama son homeomorfismos, q| e ′ : U Ui

Ui

i

ej y, en particular U e , está cubierta meomorfismo. Por lo tanto, cada U parejamente por q, por lo que q es una aplicación cubriente. ⊔ ⊓ ´ n. Dos aplicaciones cubrientes p : E −→ X y p′ : XV.1.7 Definicio ′ E −→ X, sobre el mismo espacio son equivalentes, si existe un homeomorfismo φ : E ′ −→ E, tal que p ◦ φ = p′ , es decir, tal que conmuta el diagrama E′ D

DD DD D ′ p DD"

φ

/E { { {{ {{ p {} {

X.

As´ı, φ es un homeomorfismo fibra a fibra, es decir, un homeomorfismo que aplica fibras en fibras. XV.1.8 Ejemplos. (a) Las aplicaciones cubrientes de una hoja son los homeomorfismos. (b) La exponencial del ejemplo XV.1.1 p : R −→ S1 es una aplicación cubriente cuya fibra es equivalente a Z.

562


(c) Si F es un espacio discreto y definimos p : E = F ×X −→ X como la proyección sobre X, entonces p es una aplicación cubriente. Es una de las llamadas aplicaciones cubrientes producto. (d) Una aplicación cubriente p : E −→ X se dice que es trivial si hay un homeomorfismo φ : X × F −→ E tal que p ◦ φ = proyX . Un tal homeomorfismo φ se llama trivializaci´ on de p. XV.1.9 Ejercicio. Probar que una aplicación p : E −→ X es una aplicación cubriente si y sólo si tiene fibras discretas y es localmente trivial, es decir, hay una cubierta abierta U de X tal que pU = p|p−1 (U ) : p−1 (U ) −→ U es una aplicación cubriente trivial. Una tal cubierta se denomina cubierta trivializadora Hay algunas construcciones que a partir de aplicaciones cubrientes dadas generan nuevas aplicaciones cubrientes. XV.1.10 Proposici´ on. Dadas aplicaciones cubrientes p1 : E1 −→ X1 y p2 : E2 −→ X2 , la aplicaci´ on producto p = p1 × p2 : E12 −→ X1 × X2 es una aplicaci´ on cubriente. Demostraci´ on: Si U1 ⊂ X1 y U2 ⊂ X2 están cubiertos parejamente por p1 y p2 , respectivamente, entonces U = U1 × U2 está cubierto fj es una parejamente por p. A saber, si Uei es una hoja sobre U1 y U e f hoja sobre U2 , entonces se tiene que Ui × Uj es una hoja sobre U . En particular, la fibra de p sobre el punto (x1 , x2 ) es p1−1 (x1 ) × p−1 ⊔ 2 (x2 ).⊓ La aplicación cubriente p en la proposición anterior se denomina producto de p1 y p2 . XV.1.11 Proposici´ on. Dadas aplicaciones cubrientes p1 : E1 −→ X y p2 : E2 −→ X sobre el mismo espacio, sea E1 ×X E2 = {(e1 , e2 ) ∈ E1 × E2 | p1 (e1 ) = p2 (e2 )} y sea p : E = E1 ×X E2 −→ X, tal que p(e1 , e2 ) = p1 (e1 ) = p2 (e2 ), entonces p es una aplicaci´ on cubriente. Demostraci´ on: Si U ⊂ X está cubierto parejamente por p1 y V ⊂ X lo está por p2 , entonces U ∩ V está cubierto parejamente por p. La fibra −1 de p sobre x ∈ X es el producto de las fibras p−1 ⊔ ⊓ 1 (x) × p2 (x).


563

A la aplicación cubriente p de la proposición anterior se le llama el producto fibrado de p1 y p2 ; (a E1 ×X E2 también se le denomina producto fibrado de los espacios totales). XV.1.12 Proposici´ on. Sea p : E −→ X una aplicaci´ on cubriente y ′ sea f : Y −→ X continua. Si E = {(y, e) ∈ Y × E | f (y) = p(e)} y p′ : E ′ −→ Y es tal que p′ (y, e) = y, entonces p′ es una aplicaci´ on cubriente. Demostraci´ on: Si el abierto U ⊂ X está cubierto parejamente por p, entonces su imagen inversa V = f −1 (U ) ⊂ Y está cubierta parejamente por p′ . ⊔ ⊓ A p′ se le llama la aplicación cubriente inducida por p a través de f y se le suele denotar por f ∗ (p) : f ∗ (E) −→ Y . El diagrama conmutativo /E

f ∗ (E) f ∗ (p)

p

Y

/X

f

se denomina diagrama de pullback o cuadrado cartesiano. XV.1.13 Ejercicio. Probar que en la construcción anterior la fibra de p′ sobre un punto y ∈ Y es la misma que la fibra de p sobre f (y) ∈ X, es decir, p′−1 (y) = {y} × p−1 (f (y)). En particular, cualquier fibra de p sobre x es el espacio total de la aplicación cubriente inducida por p a través de la inclusión {x} ,→ X y el producto fibrado p : E1 ×X E2 −→ X es la aplicación cubriente inducida por la aplicación cubriente producto p1 × p2 : E1 × E2 −→ X × X a través de la aplicación diagonal ∆ : X −→ X × X. XV.1.14 Ejercicio. Sean p : E −→ X y p′ : E ′ −→ Y aplicaciones cubrientes y considérese el siguiente diagrama conmutativo: E′ p′

fe

/E p

Y

f

/ X,

564


donde fe|p′−1 (y) : p′−1 (y) −→ p−1 (f (y)) es una biyección. Probar que p′ es equivalente a la aplicación cubriente inducida por p a través de f . XV.1.15 Ejercicio. Verificar todos los detalles de las demostraciones de las tres proposiciones previas. XV.1.16 Ejercicio. Sea p : E −→ X una aplicación cubriente y sea Y ⊂ X. Probar que la restricción p|p−1 Y : p−1 Y −→ Y es una aplicación cubriente, la llamada restricci´ on de p a Y . Si i : Y ,→ X es la inclusión, probar que la aplicación cubriente inducida p′ = i∗ (p) : E ′ = i∗ (E) −→ Y es equivalente a la restricción de p a Y . XV.1.17 Ejercicio. Considérese el espacio E = E1 ×X E2 definido en la proposición XV.1.11 y tómese la (restricción de la) primera proyección p′ : E1 ×X E2 −→ E1′ . Probar que p′ es una aplicación cubriente. En efecto, se trata de la aplicación cubriente inducida por p2 a través de p1 . XV.1.18 Ejercicio. Sea p : E −→ X una aplicación cubriente. Probar las siguientes propiedades funtoriales de las aplicaciones cubrientes inducidas. (a) Si f = idX , entonces f ∗ (E) ≈ E, donde el homeomorfismo está dado por la aplicación asociada fe : (x, e) 7→ e. (b) Dadas aplicaciones continuas f : Y −→ X y g : Z −→ Y , entonces (f ◦ g)∗ (E) = g ∗ (f ∗ (E)). XV.1.19 Ejercicio. Sean p : E −→ X y p′ : E ′ −→ X ′ aplicaciones cubrientes. Probar que si fe : E −→ E ′ es un morfismo de aplicaciones cubrientes, es decir, existe una aplicación continua f : X −→ X ′ tal que f ◦ p′ = p ◦ fe, y para cada x ∈ X, la restricción a la fibra fex : p−1 (x) −→ p′−1 (f (x)) es biyectiva, entonces E ≈ f ∗ (E ′ ). XV.1.20 Ejercicio. Dadas aplicaciones cubrientes q : Ye −→ E y p : E −→ X, en general no es cierto que la composición p ◦ q : Ye −→ X sea una aplicación cubriente. Para cada entero positivo n, sea Cn ⊂ R2 el c´ırculo con centro en ( 21n , 0) y radio 21n , en particular, todos los c´ırculos

565


C4 C3

C2

C1

Figura XV.3: El arete hawaiano tienen al origen 0 como u ńico punto en com´ un, y sea X = C = ∪n Cn ⊂ 2 R y désele la topolog´ıa relativa. Véase la figura XV.3. A este espacio se le suele llamar el arete hawaiano. Considérese el producto Z×C y sea Y = R∪f (Z×C), donde Z×C ⊃ f

Z ×{0} ≈ Z −→ R es la inclusión. Véase la figura XV.4.

Figura XV.4: Rosario de aretes hawaianos Definir una aplicación cubriente p : Y −→ X y construir una aplicación cubriente de dos hojas q : Z −→ Y , de tal manera que p ◦ q : Z −→ X no sea aplicación cubriente. No obstante el anterior ejercicio, tenemos lo siguiente. XV.1.21 Proposici´ on. Sean p : Y −→ X y q : Z −→ Y aplicaciones cubrientes tales que p tiene fibras finitas. Entonces p ◦ q : Z −→ X es aplicaci´ on cubriente.

566


Demostraci´ on: Sea x ∈ X y sea U una vecindad abierta de x cubierta parejamente por p. Es decir, p−1 (U ) = V1 ⊔ · · · Vk , donde pk = p|Vk : Vk −→ U es un homeomorfismo. Sea p−1 (x) = {y1 , . . . , yk } donde yi ∈ Vi para i = 1, . . . , k. Sea Vi′ ⊂ Vi una vecindad abierta de yi cubierta parejamente por q y sea U ′ = p1 (V1′ ) ∩ · · · ∩ pk (Vk′ ). Como es una intersección finita de vecindades abiertas de x contenidas en U , U misma es vecindad abierta de x cubierta parejamente por p. Sea ′ ′ Vi′′ = p−1 esta una vecindad de yi cubierta i (U ) ⊂ Vi . Claramente es ´ ′ parejamente por q, por serlo as´ı Vi . Es decir, q −1 (Ui′′ ) = ⊔j∈J Wi j , de tal modo que qi j = q|Wi j : Wi j −→ Vi′′ es un homeomorfismo. Por lo tanto, (p ◦ q)−1 (U ′ ) = ⊔i j Wi j y para cada pareja i j, la composición pi ◦ qi j : Wi j −→ U ′ es un homeomorfismo. ⊔ ⊓ XV.1.22 Corolario. Hay una categor´ıa cuyos objetos son los espacios topol´ ogicos y cuyos morfismos son las aplicaciones cubrientes de multiplicidad finita, es decir, se cumplen: (a) La identidad idX : X −→ X es una aplicaci´ on cubriente de multiplicidad 1. (b) Si p : Y −→ X y q : Z −→ Y son aplicaciones cubrientes de multiplicidades m y n respectivamente, entonces p ◦ q : Z −→ X es aplicaci´ on cubriente de multiplicidad mn. ⊔ ⊓ En otro orden de ideas, ya hemos visto más ejemplos de aplicaciones cubrientes a lo largo del texto. Vale la pena resaltar los siguientes. XV.1.23 Ejemplos. (a) Sea n ≥ 1 y tómese en la n-esfera Sn la identificación de los pun´ tos ant´ıpodas, x ∼ −x. Esta determina en el cociente el espacio proyectivo real de dimensión n, es decir, RPn = Sn / ∼, La aplicación cociente p : Sn −→ RPn es una aplicación cubriente con 2 hojas.

567


(b) El producto de dos copias de la aplicación cubriente p : R −→ S1 del ejemplo XV.1.1 da una aplicación cubriente R2 −→ T2 , donde T2 = S1 × S1 es el toro de dimensión 2. La fibra de esta aplicación cubriente sobre cualquier punto es de la forma Z × Z y se ve como en la figura XV.5.

p×p

T2 R2 Figura XV.5: El espacio cubriente universal del toro

En el ejemplo anterior, XV.1.15(a), para el caso n = 1, tenemos que RP es homeomorfo a S1 ; en otras palabras, la aplicación π : S1 −→ S1 , tal que ζ 7→ ζ 2 , es equivalente a p : S1 −→ RP1 . Esto puede verse observando que la aplicación π es continua y suprayectiva de un espacio compacto a uno de Hausdorff. Por lo tanto, es una identificación. Más a´ un, identifica exactamente dos puntos si y sólo si son ant´ıpodas, justo como lo hace p. Esto muestra, en particular, que puede haber aplicaciones cubrientes no triviales en las cuales el espacio total y el espacio base son el mismo. 1

XV.1.24 Ejercicio. Considérese la aplicación gk : S1 −→ S1 dada por gk (ζ) = ζ k . Probar que gk es una aplicación cubriente de multiplicidad k.

568


´ n. Sea G un grupo topológico (discreto). Una acci´ XV.1.25 Definicio on (izquierda) de G en un espacio X es una aplicación continua µ : G × X −→ X , donde escribimos gx para µ(g, x), que satisface 1x = x g1 (g2 x) = (g1 g2 )x . As´ı, cada elemento g ∈ G determina un homeomorfismo X −→ X dado por x 7→ gx (con inverso dado por x 7→ g −1 x) y las ecuaciones anteriores significan que la función determinada por la acción G −→ Homeo(X), donde Homeo(X) es el grupo (topológico) de los homeomorfismos de X en s´ı mismo, es un homomorfismo de grupos. Se dice que la acción es pareja1 si todo punto x ∈ X tiene una vecindad V , tal que V ∩ gV = ∅ para todo 1 ̸= g ∈ G, donde gV = {gx | x ∈ V }; as´ı, si g1 ̸= g2 ∈ G, g1 V ∩ g2 V = ∅. Por lo tanto, si G act´ ua parejamente, para todo 1 ̸= g ∈ G y para toda x ∈ X, x ̸= gx, es decir, la acción es libre. Dado x ∈ X, al subconjunto Gx = {gx | g ∈ G} se le llama ´ orbita de x bajo la acción de G en X. Por lo tanto, dada una acción libre de G en X, para cada x ∈ X se tiene que la aplicación G −→ X dada por g 7→ gx es un encaje. As´ı, en este caso, cada órbita es homeomorfa al grupo. De no ser libre la acción, esta aplicación tiene un “n´ ucleo”, es decir, hay un subgrupo Gx tal que gx = x si y sólo si g ∈ Gx . En este caso, la aplicación G −→ X dada por g 7→ gx define una aplicación del cociente (que no es necesariamente un grupo) G/Gx −→ X que es un encaje. El espacio de ´ orbitas o espacio cociente de la acción de G en X es el espacio cociente X/G = X/ ∼, donde x1 ∼ x2 si y sólo si x2 = gx1 para alg´ un g ∈ G. La aplicación cociente q : X −→ X/G se llama aplicaci´ on de ´ orbitas. XV.1.26 Ejemplo. El grupo (aditivo) R act´ ua sobre el espacio topológico R a través de (g, x) 7→ g + x ; esta acción es libre, pero no es pareja 1 Casi todos los autores llaman a ´ esta propiedad de la acci´ on la propiedad de ser propiamente discontinua, pero nosotros encontramos contradictoria esta denominaci´ on, pues la acci´ on es continua.


569

(pues R no es discreto). Sin embargo, la restricción de esta acción al subgrupo Z de R es pareja y por tanto es libre. XV.1.27 Ejercicio. Probar que si G es un grupo finito (discreto) que act´ ua en forma libre en un espacio de Hausdorff X, entonces la acción ´ es pareja. (Este es el caso, por ejemplo, de la acción ant´ıpoda de Z2 en cualquier esfera Sn dada por (−1)x = −x; véase V.5.3.) Las acciones parejas de grupos topológicos sobre espacios son fuente de aplicaciones cubrientes. Tenemos el siguiente resultado. XV.1.28 Teorema. Si el grupo topol´ ogico G act´ ua parejamente en el espacio topol´ ogico X, entonces la aplicaci´ on cociente q : X −→ X/G es una aplicaci´ on cubriente, cuya multiplicidad es la cardinalidad del grupo G. Demostraci´ on: Sea x ∈ X y sea V una vecindad de x, tal que g1 V ∩ g2 V = ∅ para todo par de elementos g1 ̸= g2 ∈ G, entonces la vecindad U = q(V ) de q(x) está cubierta parejamente por q. A saber, q −1 (U ) = ⊔g∈G gV ⊂ X, por lo que cada fibra es equivalente, como conjunto, a G, pues G −→ q −1 (q(x)) = {gx | g ∈ G}, g 7→ gx, es biyectiva. Por tanto, la multiplicidad de q es la cardinalidad de G. ⊔ ⊓ XV.1.29 Ejemplos. (a) De acuerdo con XV.1.27, la acción ant´ıpoda Z2 × Sn −→ Sn es pareja; as´ı, la aplicación cociente Sn −→ Sn /Z2 es una aplicación cubriente. Ya que Sn /Z2 = RPn , esta aplicación cubriente es la referida en XV.1.15(a). (b) El grupo c´ıclico de orden k, Zk (visto como el grupo de las kra´ıces de la unidad), act´ ua en S1 como sigue. Si a = e2πi/k ∈ Zk es el generador canónico (la k-ra´ız primitiva de 1), entonces aζ = e2πi/k ζ, está dado por multiplicación en el grupo S1 . Esta acción es pareja, por lo que la identificación q : S1 −→ S1 /Zk es una aplicación cubriente. Pero, por otro lado, la aplicación p : S1 −→ S1 , tal que p(ζ) = ζ k , es una identificación que satisface que p(ζ) = p(ξ) si y sólo si ζ = bξ, donde b es una k-ra´ız de 1;

570


por lo tanto, se tiene un homeomorfismo S1 −→ S1 /Zk , bajo el cual p corresponde a q. Hemos probado as´ı que la aplicaci´ on de 1 1 k grado k, gk : S −→ S , gk (ζ) = ζ es una aplicaci´ on cubriente de multiplicidad k. (c) Generalizando XV.1.15(b), tenemos que el grupo abeliano libre en n generadores, Zn , act´ ua parejamente en Rn a través de (g, x) 7→ g + x. Por lo tanto, p : Rn −→ Rn /Zn es una aplicación cubriente con una infinidad numerable de hojas que, salvo homeomorfismo, coincide con la aplicación cubriente Rn −→ S1 × · · · × S1 (n factores) que se obtiene como producto de n copias de la aplicación cubriente del ejemplo XV.1.1, es decir, es tal que (x1 , . . . , xn ) 7→ (e2πix1 , . . . , e2πixn ) (por lo tanto, se tiene que la aplicación p(x1 , . . . , xn ) 7→ (e2πix1 , . . . , e2πixn ) es un homeomorfismo Rn /Zn −→ S1 × · · · × S1 (n factores)). El espacio Tn = S1 × · · · × S1 se llama n-toro o toro n-dimensional. (d) Se tiene una acción pareja de Z en R2 , tal que (n, (x1 , x2 )) 7→ (n + x1 , (−1)n x2 ). En la aplicación cubriente asociada, p : R2 −→ R2 /Z, el espacio base es una banda de Moebius abierta, es decir, sin su frontera (véase V.5.9). (e) Sea G un subgrupo del grupo de transformaciones r´ıgidas de Rn (rotaciones, traslaciones y reflexiones), cuya acción natural en Rn sea pareja, entonces la identificación p : Rn −→ Rn /G es una aplicación cubriente. Al espacio base Rn /G se le llama forma espacial euclidiana; se trata de una n-variedad lisa que hereda de Rn una estructura geométrica euclidiana natural. Los ejemplos (c) y (d) son de esta forma. A G se le denomina grupo cristalogr´ afico de n R . XV.1.30 Ejercicio. Sea G el subgrupo del grupo de transformaciones r´ıgidas de R2 generado por las transformaciones (x1 , x2 ) 7→ (x1 + 1, x2 ) y (x1 , x2 ) 7→ (−x1 , x2 + 1). Probar que la acción es pareja y que el espacio de órbitas R2 /G es homeomorfo a la botella de Klein. XV.1.31 Ejercicio. Considerando la (2n − 1)-esfera S2n−1 como

S2n−1 = {z = (z1 , . . . , zn ) ∈ Cn | |z1 |2 + · · · + |zn |2 }


571

y a Z/k como el grupo multiplicativo de las k-ra´ıces de 1 en S1 , hay una acción, tal que (ζ, z) 7→ (ζz1 , . . . , ζzn ). Demostrar que esta acción es pareja, por lo que se tiene una aplicación cubriente p : S2n−1 −→ S2n−1 /Zk . Cuando k es primo, al espacio S2n−1 /Zk se le llama espacio lente y al cual denotaremos por L2n−1 , donde 2n − 1 es la dimensión k de esta variedad. El caso k = 2 corresponde a los espacios proyectivos reales de dimensión impar, es decir, L2n−1 = RP2n−1 . 2 XV.1.32 Ejercicio. Probar que la aplicación T2 −→ T2 , tal que (ζ, ξ) 7→ (ζ a ξ b , ζ c ξ d ) , con a, b, c, d ∈ Z, si m = ad − bc ̸= 0 es una aplicación cubriente con |m| hojas. XV.1.33 Ejercicio. Construir una aplicación cubriente con 2 hojas del toro en la botella de Klein, T2 −→ K. XV.1.34 Ejercicio. Recuérdese que los cuaterniones son los elementos x of R4 escritos como x = x0 + ix1 + jx2 + kx3 , donde x0 abrevia al elemento (x0 , 0, 0, 0) y se denomina la parte real de x, e i = (0, 1, 0, 0), j = (0, 0, 1, 0) y k = (0, 0, 0, 1) son los generadores de la parte imaginaria de los cuaterniones. El conjunto H de cuaterniones tiene una estructura multiplicativa generada por i2 = j2 = k2 = −1

y

ij = k = −ji, jk = i = −kj, ki = j = −ik . Considérese a S3 ⊂ R4 = H como el conjunto de los cuaterniones de norma 1. Si se toma R3 ⊂ H, como los cuaterniones de parte real 0, probar: (a) Si x ∈ S3 , la aplicación fx : R3 −→ R3 , tal que fx (y) = xyx−1 , es una transformación ortogonal con determinante +1; as´ı, se obtiene una aplicación f : S3 −→ SO3 , tal que x 7→ fx , donde SO3 denota al grupo de transformaciones ortogonales de R3 con determinante +1.

572


(b) La aplicación f : S3 −→ SO3 es continua y suprayectiva (por tanto, una identificación) y fx = fx′ si y sólo si x = ±x′ . (c) f : S3 −→ SO3 es una aplicación cubriente con 2 hojas. (d) f induce un homeomorfismo RP3 −→ SO3 . XV.1.35 Ejercicio. (a) Sea pi : Ei −→ Xi una aplicación cubriente para i = 1, 2, . . . , n. Probar que el producto p1 × · · · × pn : E1 × · · · × En −→ X1 × · · · × Xn es una una aplicación cubriente. (b) Probar que en general un producto infinito de aplicaciones cubrientes no es una aplicación cubriente. (Sugerencia: Sea p : R −→ S1 la aplicación exponencial y supóngase que para cada i = 1, 2, . . . , pi = p. Probar que q=

∞ ∏

∞ ∏

pi :

i=1

donde Ei = R y Xi = cubriente.

XV.2

Ei −→

i=1

S1

∞ ∏

Xi ,

i=1

para toda i, no es una aplicación

Propiedades de levantamiento

La propiedad fundamental de las aplicaciones cubrientes es la de “levantamiento”, que analizaremos en esta sección. ´ n. Sean p : E −→ X una aplicación cubriente y XV.2.1 Definicio f : Y −→ X continua. A una aplicación fe : Y −→ E se le llama un levantamiento de f si p ◦ fe = f . En un diagrama fe

Y

}

} f

}

E }>

p

/X

PROPIEDADES DE LEVANTAMIENTO

573

Resulta de especial importancia en el contexto de las aplicaciones cubrientes la propiedad de levantamiento de trayectorias, es decir, la propiedad de que, dada una trayectoria ω : I −→ X, exista siempre un levantamiento, que es una trayectoria ω e : I −→ E, tal que p ◦ ω e = ω. En una figura esto se ve como en la XV.6, en la cual se representan varios levantamientos de la misma trayectoria. e4 e3 e2 e1

ω e4 ω e3 ω e2 ω e1

x0 ω

Figura XV.6: En una aplicación cubriente, para una trayectoria en la base hay varios levantamientos Un problema t´ıpico de la teor´ıa es el problema de levantamiento que plantea la pregunta siguiente: Dada una aplicación punteada p : E −→ X, es decir, tal que p(e0 ) = x0 para ciertos puntos e0 ∈ E y x0 ∈ X, y dada una aplicación f : Y −→ X y un punto y0 ∈ Y tal que f (y0 ) = x0 , ¿existe un levantamiento fe : Y −→ E, tal que fe(y0 ) = e0 ? En etapas sucesivas analizaremos soluciones al problema de levantamiento. En todo caso, éste será u ńico cuando exista, en el sentido de la siguiente afirmación. on cubriente. Si Y es XV.2.2 Teorema. Sea p : E −→ X una aplicaci´ un espacio conexo y fe, ge : Y −→ E son aplicaciones continuas, tales que p ◦ fe = p ◦ ge, entonces fe = ge si y s´ olo si existe un punto y ∈ Y , tal que fe(y) = ge(y).

574


Demostraci´ on: Sea y ∈ Y y sea U una vecindad de pfe(y) = pe g (y) e1 es la vecindad de fe(y) y U e2 es la cubierta parejamente por p. Si U e1 ≈ U y p : U e2 ≈ U , entonces V = vecindad de ge(y), tales que p : U −1 −1 e e e f (U1 ) ∩ ge (U2 ) es una vecindad de y en Y . Si fe(y) = ge(y), entonces e1 = U e2 y fe(y ′ ) = ge(y ′ ), para todo punto y ′ ∈ V . As´ı, el conjunto en el U e1 ∩ U e2 = ∅ y, cual coinciden fe y ge es abierto. Si fe(y) ̸= ge(y), entonces U por tanto, fe(y ′ ) ̸= ge(y ′ ) para todo punto y ′ ∈ V . As´ı, el conjunto en el cual difieren fe y ge también es abierto. Por la conexidad de Y y el hecho de que hay un punto en el cual fe y ge coinciden, este u ´ltimo abierto debe ser vac´ıo, por lo que ambas aplicaciones tienen que coincidir en todo punto de Y . ⊔ ⊓ Comenzaremos ahora a analizar levantamientos ω e : I −→ E de trayectorias ω : I −→ X. El resultado fundamental de la teor´ıa de las aplicaciones cubrientes es el siguiente. XV.2.3 Teorema. (Levantamiento u ńico de trayectorias) Considérese una aplicaci´ on cubriente p : E −→ X. Para cada trayectoria ω : I −→ X y para cada punto e, tal que p(e) = ω(0), existe un u ńico levantamiento de ω, ω e : I −→ E, tal que ω e (0) = e; llamemos a este levantamiento L(ω, e). M´ as a´ un, si ω0 y ω1 son trayectorias en X, tales que ω0 ≃ ω1 rel ∂I, y e es un punto, tal que p(e) = ω0 (0) = ω1 (0), entonces L(ω0 , e) ≃ L(ω1 , e) rel ∂I en E; en particular, coinciden los destinos de ambos levantamientos, es decir, L(ω0 , e)(1) = L(ω1 , e)(1). Antes de dar la demostración de este teorema, consideremos la siguiente afirmación, que nos será necesaria para su u ´ltima parte. XV.2.4 Lema. Sea p : E −→ X una aplicaci´ on cubriente, entonces 2 para cada aplicaci´ on H : I −→ X continua y para cada punto e en la e : I 2 −→ E, tal que fibra sobre H(0, 0) existe una u ńica aplicaci´ on H e = H y H(0, e 0) = e. p◦H Demostraci´ on: La unicidad se obtiene de inmediato de XV.2.2. Probemos la existencia. Por ser I compacto, hay una partición de I 0 = t0 < t1 < · · · < tn = 1 suficientemente fina para que H aplique a cada subcuadrado Qij = [ti−1 , ti ]×[tj−1 , tj ] dentro de una vecindad Uij cubierta


575

parejamente por p (esto es posible tomando la partición lo suficientemente fina para que el diámetro de cada cuadrito sea menor o igual al n´ umero de Lebesgue de la cubierta de I ×I dada por {H −1 (U ) | U ⊆ X eij sobre Uij que está cubierto parejamente por p}). Para una hoja U eij −→ Uij el homeomorfismo, tal que a´ un no determinamos, sea pij : U e e t) = p−1 H(s, t). Verepij = p|Ueij , y sea Hij : Qij −→ E, tal que H(s, ij e mos que es posible elegir las hojas Uij de manera que las aplicaciones e ij definan una aplicación continua H e como se desea. parciales H e1 1 la hoja que contiene a e, lo cual va a implicar que Sea, primero, U e e 1 1 (Q1 1 ∩Q2 1 ) yace sobre U2 1 , hay una H(0, 0) = e; ya que el conjunto H e2 1 que lo contiene; si la elegimos, entonces coincidirán (´ unica) hoja U e e H1 1 y H2 1 en Q1 1 ∩ Q2 1 . De manera análoga, se eligen sucesivamente e en la hojas U3 1 , . . . , Un 1 y con ellas se obtiene la aplicación deseada H franja Q1 1 ∪ · · · ∪ Qn 1 . Para hacer lo propio en la segunda franja, se e1 2 como la hoja que contiene a H e 1 1 (Q1 2 ∩ Q2 2 ). En el elige primero U e2 2 la paso siguiente tenemos dos opciones, ya sea tomar como la hoja U e 1 2 (Q1 2 ∩ Q2 2 ) o la que contiene a H e 2 1 (Q2 1 ∩ Q2 2 ), que contiene a H pero no hay ambig¨ uedad, toda vez que ambas hojas deben contener al e 1 2 (t1 , t1 ) = H e 2 1 (t1 , t1 ), por lo que son la misma. De modo que, punto H e2 2 , H e1 2 = H e2 2 y H e2 1 = H e 2 2 en la después de haber elegido esta u ńica U e sobre esta intersecci´ on de sus dominios. Sucesivamente se construye H segunda franja y en forma análoga se contin´ ua a las siguientes franjas. ⊔ ⊓ Ahora podemos utilizar el lema para demostrar el teorema XV.2.3. Demostraci´ on de XV.2.3: Dada la trayectoria ω : I −→ X, tómese la homotop´ıa H : I ×I −→ X dada por H(s, t) = ω(s), entonces H(0, 0) = e : I × I −→ E, tal ω(0) y si p(e) = ω(0), por el lema anterior existe H e e que H(0, 0) = e y p ◦ H = H. Por lo tanto, la trayectoria ω e : I −→ E, e 0), es una trayectoria, tal que ω tal que ω e (s) = H(s, e (0) = e y p ◦ ω e = ω, es decir, es un levantamiento de ω que comienza en e y, por la unicidad, sabemos que éste es el u ńico. Finalmente, si ω0 , ω1 : I −→ X son trayectorias, tales que ω0 ≃ ω1 rel ∂I, y H : I 2 −→ X es una correspondiente homotop´ıa, entonces, e : I 2 −→ E, tal que por XV.2.4, sabemos que existe una homotop´ıa H

576


e = H y H(0, e 0) = e. Pero la trayectoria t 7→ H(0, e t) yace sobre la p◦H fibra de ω0 (0) = ω1 (0) y, como esta fibra es discreta, debe ser constante; e t) tiene que ser constante. As´ı, análogamente, la trayectoria t 7→ H(1, e e H(0, t) = e, t ∈ I, y H(1, t) = ye, para alg´ un punto ye ∈ E fijo en la fibra sobre ω0 (1) = ω1 (1) y para todo t ∈ I. Por otro lado, la trayectoria e 0) es un levantamiento de ω0 con origen e por lo que, por s 7→ H(s, e 0) = ω la unicidad del levantamiento que se sigue de XV.2.2, H(s, e0 (s); e e es análogamente, H(s, 1) = ω e1 (s), es decir, el levantamiento de H, H, una homotop´ıa ω e0 ≃ ω e1 rel ∂I, como se deseaba probar. ⊔ ⊓ Dada una aplicación cubriente p : E −→ X, el teorema de levantamiento u ńico de trayectorias define para cada trayectoria ω : I −→ X y para cada punto e en la fibra sobre ω(0) un levantamiento L(ω, e), es decir, define una función L : X I ×X E = {(ω, e) ∈ X I × E | ω(0) = p(e)} −→ E I , a la que llamamos funci´ on de levantamiento de la aplicación cubriente p. XV.2.5 Ejercicio. Dada una aplicación cubriente p : E −→ X, probar que su función levantamiento L : X I ×X E −→ E I es continua, si X I y E I están provistos de la topolog´ıa compacto-abierta y el dominio de L tiene la topolog´ıa inducida por la del producto. El siguiente corolario del teorema de levantamiento u ńico de trayectorias resume propiedades fundamentales de la trayectoria L(ω, e) que conviene tener a mano en las aplicaciones del teorema. La demostración consiste en aplicaciones inmediatas de la existencia y la unicidad, y es un ejercicio. XV.2.6 Corolario. Sea p : E −→ X una aplicaci´ on cubriente y sea L : X I ×X E −→ E I su funci´ on de levantamiento de trayectorias, entonces ńica por las (a) la trayectoria L(ω, e) queda determinada en forma u condiciones p ◦ L(ω, e) = ω y L(ω, e)(0) = e;


577

(b) para un lazo nulhomot´ opico λ, L(λ, e) es un lazo nulhomot´ opico; (c) el conjunto {L(ω, e) | e ∈ p−1 (ω(0))} consta de todos los levantamientos de ω, por lo que el n´ umero de ellos es la cardinalidad de la fibra p−1 (ω(0)) y, por tanto, la multiplicidad de la cubierta; y (d) para trayectorias enchufables ω y σ en X, L(ωσ, e) = L(ω, e)L(σ, e′ ) , donde e′ es el destino del levantamiento L(ω, e), que yace en la fibra del origen σ(0) de σ; m´ as a´ un, L(ω, e) = L(ω, e′′ ), donde e′′ es el destino de L(ω, e). ⊔ ⊓ XV.2.7 Ejercicio. Sea p : E −→ X una aplicación cubriente y sean e0 ∈ E y x0 ∈ X puntos básicos, tales que p(e0 ) = x0 . Sea Y un espacio simplemente conexo y localmente conectable por trayectorias con punto básico y0 . Probar que para cada aplicación continua punteada f : Y −→ X existe un levantamiento u ńico fe : Y −→ E, tal que fe(y0 ) = e0 y e p ◦ f = f . (Sugerencia: Para cada y ∈ Y sea σ : y0 ≃ y y def´ınase fe(y) = L(f ◦ σ, e0 )(1).) XV.2.8 Nota. La afirmación del ejercicio anterior no es cierta en general si el espacio Y no es simplemente conexo; a saber, si se toma la aplicación cubriente p : R −→ S1 de XV.1.1, se toma Y = S1 y se toma f = idS1 , entonces no hay levantamiento, ya que, si lo hubiera s : S1 −→ R, tal que p ◦ s = idS1 llegar´ıamos a una contradicción. Para ver esto, el diagrama conmutativo de espacios que se tendr´ıa

R ? BBB p BB s BB B! 1 / S1 , S idS1

inducir´ıa un diagrama conmutativo de grupos fundamentales π (R, 0)

81 rrr r r rr rrr s∗

π1 (S1 , 1)

1π

MMM MMpM∗ MMM M& / π1 (S1 , 1) ;

1 1 (S ,1)

578


ya que π1 (S1 ) ∼ = Z y π1 (R) = 1, esto significar´ıa que el homomorfismo identidad de Z factoriza a través del grupo trivial, lo cual es imposible. Los siguientes ejercicios son una aplicación del ejercicio XV.2.7. XV.2.9 Ejercicio. Sea p : E −→ X una aplicación cubriente, tal que su espacio total E es contra´ıble. Probar que si Y es simplemente conexo y localmente conectable por trayectorias, entonces toda aplicación continua f : Y −→ X es nulhomotópica. XV.2.10 Ejercicio. Probar que si n > 1, se tiene [Sn , S1 ] = 0 ,

[Sn , S1 × S1 ] = 0 y

[RPn , S1 ] = 0 ,

donde [ , ] representa el conjunto de clases de homotop´ıa de las aplicaciones correspondientes. Como vimos en la nota XV.2.8, no siempre es posible encontrar un levantamiento de una aplicación dada hacia el espacio total de una aplicación cubriente. ¿Cuál habrá de ser la condición más general para que dadas una aplicación cubriente p : E −→ X y una aplicación f : Y −→ X, exista un levantamiento de f , es decir, fe : Y −→ E, tal que p ◦ fe = f ? Si existe el levantamiento, conmuta el diagrama π1 (E, e0 ) 7

p fe∗ pppp

ppp ppp

π1 (Y, y0 )

f∗

p∗

/ π1 (X, x0 ) ;

esto implica, en particular, que f∗ (π1 (Y, y0 )) ⊂ p∗ (π1 (E, e0 )), es decir, ésta es una condición necesaria para la existencia del levantamiento. Veremos que es también suficiente. XV.2.11 Teorema. (Levantamiento de aplicaciones) Sea p : E −→ X una aplicaci´ on cubriente y sean e0 ∈ E y x0 ∈ X puntos b´ asicos, tales que p(e0 ) = x0 . Sea Y un espacio conexo y localmente conectable por trayectorias con punto b´ asico y0 y sea f : Y −→ X continua, tal que f (y0 ) = x0 , entonces son equivalentes


579

(a) existe una aplicaci´ on fe : Y −→ E, tal que fe(y0 ) = e0 y p ◦ fe = f , y (b) f∗ (π1 (Y, y0 )) ⊂ p∗ (π1 (E, e0 )). Si se cumplen (a) y, por tanto, (b), entonces la aplicaci´ on fe es u ńica. Demostraci´ on: Ya vimos arriba que (a) =⇒ (b). Si suponemos (b), diremos cómo construir fe. Sea y ∈ Y y sea σ : y0 ≃ y una trayectoria. Def´ınase fe(y) = L(f ◦ σ, e0 )(1). Probaremos que esta definición no depende de la elección de la trayectoria y determina una aplicación continua. Ya que p(L(f ◦ σ, e0 )(1)) = f (σ(1)) = f (y), evidentemente esta aplicación será el levantamiento buscado. Para demostrar que no depende de σ, supóngase que γ : y0 ≃ y es otra trayectoria; entonces el lazo σγ representa un elemento del grupo e en E basado en e0 , fundamental π1 (Y, y0 ). Por (b), existe un lazo λ e e tal que f∗ ([σγ]) = p∗ ([λ]). Por tanto, f ◦ σ ≃ (p ◦ λ)(f ◦ γ) rel ∂I en X. Por el teorema de levantamiento XV.2.3 y su corolario XV.2.6(d), e e L(f ◦ σ, e0 ) ≃ L((p ◦ λ)(f ◦ γ), e0 ) = λL(f ◦ γ, e0 ) rel ∂I. Por lo que, en particular, estas trayectorias tienen mismos destinos, es decir, e L(f ◦ σ, e0 )(1) = (λL(f ◦ γ, e0 ))(1) = L(f ◦ γ, e0 ))(1) , lo que muestra que fe(y) está bien definido y, de hecho, también que fe(y0 ) = e0 , pues la trayectoria constante se levanta en la constante. Debemos verificar ahora que la función que definimos fe : Y −→ E es continua, para lo que haremos uso de la hipótesis de conectabilidad e la hoja en la que yace local por trayectorias. Sea, pues, y ∈ Y y sea U fe(y), sobre una vecindad de f (y) en X cubierta parejamente por p. Por ser f continua, f −1 U es una vecindad de y en Y ; sea V ⊂ f −1 U una vecindad de y conectable por trayectorias, sea y ′ ∈ V y sean γ : y0 ≃ y una trayectoria en Y y µ : y ≃ y ′ una trayectoria en V , entonces e la hoja que fe(y ′ ) = L(f ◦(σµ), e)(1) = L(f ◦µ, fe(y))(1); pero, por ser U e contiene a f (y) y dado que f ◦ µ es una trayectoria en U , la trayectoria e . Hemos probado L(f ◦ µ, fe(y)) y, con ella, su destino fe(y ′ ) yacen en U e e que f (V ) ⊂ U y, puesto que cualquier vecindad de fe(y) contiene una e , esto muestra la continuidad de fe. como U La unicidad de fe es consecuencia de XV.2.2. ⊔ ⊓

580


XV.2.12 Ejercicio. (a) Sea X la curva del seno del top´ ologo definida tomando A = 2 {(x, y) ∈ R | 0 < x ≤ 1 , y = sen ( πx )} y B = {(0, y) ∈ R2 | −1 ≤ y ≤ 1} y dando X = A ∪ B (véase la figura XV.7). Probar que X es conexo, pero no es localmente conexo.

(0, 0)

(1, 0)

Figura XV.7: La curva del seno del topólogo (b) El espacio X de (a) es conexo, pero no es localmente conectable por trayectorias, ni tampoco conectable por trayectorias. Sin embargo, si C = {(0, y) | y ∈ [−3/2, −1]} ∪ {(x, −3/2) ∈ R2 | x ∈ [0, 1]} ∪ {(1, y) | y ∈ [−3/2, 0]}, entonces el espacio Y = X ∪ C es conectable por trayectorias, pero no es localmente conectable por trayectorias. A este espacio Y se le conoce como c´ırculo polaco o c´ırculo de Varsovia (véase la figura XV.8). (c) Probar que π1 (Y ) = 0. (d) Considérese la aplicación f : Y −→ S1 que se obtiene colapsando en Y el subespacio B en un punto y componiéndola con alg´ un homeomorfismo en el c´ırculo, es decir ≈

f : Y −→ Y /B −→ S1 . Probar que a pesar de que Y es simplemente conexo, no hay levantamientos de f para la aplicación cubriente exponencial p : R −→ S1 . Este ejemplo demuestra que la hipótesis de conectabilidad por trayectorias local en el teorema XV.2.11 es necesaria.


581

Figura XV.8: El c´ırculo polaco Sean p : E −→ X una aplicación cubriente y e0 ∈ E y x0 ∈ X puntos e0 , λ e1 : I −→ E son lazos basados básicos, tales que p(e0 ) = x0 . Si λ e e e1 ] = p∗ ([λ e1 ]), entonces en e0 , tales que p∗ ([λ0 ]) = [p ◦ λ0 ] = [p ◦ λ e0 ≃ p ◦ λ e1 rel ∂I. Del lema de levantamiento XV.2.3, se tiene que p◦λ e e e 1 ] = [λ e2 ]. Hemos probado parte del siguiente λ0 ≃ λ1 rel ∂I, es decir, [λ resultado. ´ n. Sea p : E −→ X una aplicaci´ XV.2.13 Teorema y Definicio on cubriente y e0 ∈ E y x0 ∈ X puntos b´ asicos, tales que p(e0 ) = x0 . El homomorfismo inducido por p en grupos fundamentales p∗ : π1 (E, e0 ) −→ π1 (X, x0 ) es un monomorfismo. La imagen p∗ (π1 (E, e0 )) ⊂ π1 (X, x0 ) consta, precisamente, de las clases [λ] ∈ π1 (X, x0 ), tales que el levantamiento L(λ, e0 ) es un lazo. A este subgrupo se le llama subgrupo caracter´ıstico de la aplicaci´ on cubriente p : E −→ X. Demostraci´ on: Basta verificar la segunda afirmación. Si [λ] es un elee para alg´ e en E mento en p∗ (π1 (E, e0 )), entonces [λ] = [p ◦ λ] un lazo λ

582


e e0 ) = λ e rel ∂I, es decir, basado en e0 . Por lo tanto, L(λ, e0 ) ≃ L(p ◦ λ, e L(λ, e0 ) es un lazo, pues λ lo es. e = L(λ, e0 ) es un lazo, entonces [λ] = [p ◦ λ] e = Inversamente, si λ e p∗ ([λ]), o sea, [λ] ∈ p∗ (π1 (E, e0 )). ⊔ ⊓ Una consecuencia interesante del teorema anterior es la siguiente. XV.2.14 Corolario. Sea X un espacio conexo y localmente conectable por trayectorias y sean p : E −→ X p′ : E ′ −→ X aplicaciones cubrientes, tales que sus espacios totales E y E ′ son conexos. Si e0 ∈ E, e′0 ∈ E ′ y x0 ∈ X son puntos b´ asicos, tales que p(e0 ) = x0 = p′ (e′0 ), entonces ambas aplicaciones cubrientes son equivalentes si y s´ olo si p∗ (π1 (E, e0 )) = p′∗ (π1 (E ′ , e′0 )) , es decir, si ambas poseen el mismo subgrupo caracter´ıstico. Demostraci´ on: Una equivalencia φ e : E ′ −→ E, tal que p ◦ φ e = p′ , es ′ un levantamiento de p , que es un homeomorfismo. Claramente, si éste existe, las imágenes de los grupos fundamentales de ambos espacios totales deben coincidir. Si, inversamente, estos subgrupos coinciden, por ser tanto p como p′ aplicaciones cubrientes, al aplicar XV.2.13 a ambas se obtienen levantamientos φ e : E ′ −→ E de p′ y φ e′ : E −→ E ′ ′ ′ ′ de p; más a´ un, las composiciones φ ◦ φ : E −→ E y φ ◦ φ′ : E −→ E son levantamientos de p′ en E ′ y de p en E, que dejan fijos a e′0 y a e0 , respectivamente; ya que idE ′ e idE son también levantamientos de p′ en E ′ y de p en E, entonces, por la unicidad del levantamiento, φ ◦ φ′ = idE y φ′ ◦ φ = idE ′ . ⊔ ⊓ El subgrupo caracter´ıstico de una aplicación cubriente depende del punto e0 ∈ p−1 (x0 ); en el siguiente teorema analizaremos esta dependencia. XV.2.15 Teorema. Sea p : E −→ X una aplicaci´ on cubriente y sean x0 ∈ X un punto b´ asico y e0 , e′0 ∈ p−1 (x0 ), entonces e : e0 ′0 es una trayectoria en E, y α = [p ◦ ω e ] ∈ π1 (X, x0 ), (a) Si ω ′ −1 entonces p∗ (π1 (E, e0 )) = αp∗ (π1 (E, e0 ))α . As´ı, si E es conectable por trayectorias, entonces son dos subgrupos caracter´ısticos de p siempre conjugados.


583

(b) Si H ⊂ π1 (X, x0 ) es un subgrupo conjugado al subgrupo caracter´ıstico p∗ (π1 (E, e0 )), entonces H es un subgrupo caracter´ıstico, es decir, H = p∗ (π1 (E, e′0 )), para alg´ un punto e′0 ∈ p−1 (x0 ). Demostraci´ on: (a) Por XIV.1.21, los elementos de π1 (E, e0 ) son de la forma [e ω ]γ[e ω ]−1 , donde γ var´ıa en π1 (E, e′0 ). Aplicando p∗ , se obtiene la afirmación. (b) Tómese el subgrupo H = α−1 π1 (E, e0 )α para alg´ un elemento ′ α = [ω] ∈ π1 (X, x0 ). Si ω e = L(ω, e0 ), sea e0 = ω e (1); entonces H = p∗ (π1 (E, e′0 )). ⊔ ⊓ Tenemos por lo anterior que los subgrupos caracter´ısticos de una aplicación cubriente, cuyo espacio total es conectable por trayectorias, forman la colección de todos los grupos conjugados de uno de ellos, es decir, C(E, p) = {p∗ (π1 (E, e0 ))0 ∈ p−1 (x0 )} forma toda una clase de conjugación de subgrupos de π1 (X, x0 ), a la cual llamaremos clase de conjugaci´ on caracter´ıstica de la aplicación cubriente p : E −→ X. Su relevancia la muestra el siguiente resultado, que es, en cierta forma, una reformulación de XV.2.14. XV.2.16 Proposici´ on. Sea X un espacio conexo y localmente conectable por trayectorias y sean p : E −→ X, p′ : E ′ −→ X aplicaciones cubrientes, tales que sus espacios totales E y E ′ son conexos. Ambas aplicaciones cubrientes son equivalentes si y s´ olo si sus clases de con′ ′ jugaci´ on caracter´ısticas C(E, p) y C(E , p ) coinciden. Demostraci´ on: Si son equivalentes, es claro que coinciden sus clases de conjugación caracter´ısticas. Si, inversamente, C(E, p) y C(E ′ , p′ ) coinciden, p∗ (π1 (E, e0 )) ∈ C(E ′ , p′ ), por lo que p∗ (π1 (E, e0 )) = p∗ (π1 (E ′ , e′0 )) ; por lo tanto, por XV.2.14, p y p′ son equivalentes.

⊔ ⊓

Dada una aplicación cubriente p : E −→ X, considérese la fibra p−1 (x0 ) = {e | p(e) = x0 }, cuya cardinalidad es la multiplicidad de p, y eljase un punto básico e0 ∈ p−1 (x0 ). Para cada e ∈ p−1 (x0 ), sea ω e e : e0

584


una trayectoria en E, entonces αe = [p ◦ ω ee ] es un elemento del grupo π1 (X, x0 ) y las clases laterales αe (p∗ π1 (E, e0 )) ,

e ∈ p−1 (x0 )

en el grupo π1 (X, x0 ) son todas las clases laterales distintas del subgrupo p∗ (π1 (E, e0 )) en π1 (X, x0 ), cuyo n´ umero es el ´ındice del subgrupo p∗ (π1 (E, e0 )) en π1 (X, x0 ), usualmente denotado por [π1 (X, x0 ) : p∗ (π1 (E, e0 ))] . Hemos probado as´ı el siguiente resultado. XV.2.17 Teorema. La multiplicidad n de una aplicaci´ on cubriente conectable por trayectorias p : E −→ X es el ´ındice de su subgrupo caracter´ıstico en el grupo fundamental de la base, es decir, es n = [π1 (X, x0 ) : p∗ (π1 (E, e0 ))] (n puede ser infinito). ⊔ ⊓ XV.2.18 Ejemplo. Para la aplicación cubriente p : R −→ S1 , tal que p(t) = e2πit , ya que π1 (S1 , 1) ∼ = Z y π1 (R, 0) = 1, entonces el subgrupo caracter´ıstico es trivial; la clase de conjugación caracter´ıstica C(R, p) consta de un solo elemento y la multiplicidad de p, que es infinita, coincide con [Z : 1], que es la cardinalidad de Z. Por otro lado, si pn : S1 −→ S1 es la aplicación de grado n, ζ 7→ ζ n , pn∗ : π1 (S1 , 1) −→ π1 (S1 , 1) corresponde al homomorfismo µn : Z −→ Z, tal que µn (k) = nk, de modo que el subgrupo caracter´ıstico es nZ y la multiplicidad de pn es [Z : nZ] = n. XV.2.19 Ejercicio. Sea E = R × Z ∪ Z × R ⊂ R2 y sea X = S1 ∨ S1 ⊂ S1 × S1 . Sea p : E −→ X, tal que (s, n) 7→ (e2πis , 1) y (m, t) 7→ (1, e2πit ), donde m, n ∈ Z y s, t ∈ R. Probar lo siguiente: (a) p : E −→ X es una aplicación cubriente de multiplicidad infinita. (b) π1 (E, (0, 0)) es un grupo libre de rango infinito (n´ umero infinito de generadores). (c) El subgrupo caracter´ıstico p∗ (π1 (E, (0, 0))) es el conmutador de π1 (X, x0 ) = ⟨a, b | −⟩, el grupo libre con dos generadores a, b.

APLICACIONES CUBRIENTES UNIVERSALES

585

(d) Este conmutador es libre de rango infinito. Para cada n´ umero natural n hay un subgrupo de ⟨a, b | −⟩ libre de rango n. XV.2.20 Ejercicio. Sea p : E −→ X una aplicación cubriente con n hojas, tal que E es conectable por trayectorias, y sea π1 (X) el grupo fundamental de X. (a) Probar que para cada x ∈ X, hay una acción transitiva de π1 (X) en la fibra p−1 (x). (b) Probar que la acción referida en (a) determina un homomorfismo π1 (X) −→ Σn , donde Σn es el grupo simétrico en n letras, y que este homomorfismo es u ńico salvo por conjugación en Σn .

XV.3

Aplicaciones cubrientes universales

Bajo hipótesis adecuadas en X hay una aplicación cubriente “universal” con base X, tal que cualquier aplicación cubriente sobre X, se puede obtener como cociente de aquélla. En esta sección veremos cómo construir una tal aplicación, analizaremos sus propiedades y estudiaremos las consecuencias de su existencia. e −→ X ´ n. Se dice que una aplicación cubriente p : X XV.3.1 Definicio e es universal si el espacio total X es simplemente conexo. Al espacio total e lo llamamos espacio cubriente universal. X e −→ X una aplicaci´ XV.3.2 Proposici´ on. Sea p : X on cubriente. Son equivalentes e −→ X es universal. (a) p : X e p) consiste s´ (b) La clase de conjugaci´ on caracter´ıstica C(X, olo en el subgrupo trivial 1 ⊂ π1 (X, x0 ). (c) Ning´ un lazo en X basado en x0 , salvo que sea nulhomot´ opico, se e levanta a un lazo en X. ⊔ ⊓

586


Cuando X es localmente conectable por trayectorias, por XV.2.16, cualesquiera dos aplicaciones cubrientes universales son equivalentes, por lo que no hay ambig¨ uedad esencial al hablar de la aplicaci´ on cubriente universal de X, cuando ésta exista; por XV.2.17, su multiplicidad es el orden del grupo π1 (X, x0 ). Si p′ : E −→ X es cualquier aplicación cubriente, por el teorema de levantamiento XV.2.11, hay un e −→ E. Tenemos lo siguiente. levantamiento de p, q : X XV.3.3 Proposici´ on. Sea X conexo y localmente conectable por trayece −→ X la aplicaci´ torias.Sea p : X on cubriente universal y sea p′ : E −→ X cualquier aplicaci´ on cubriente conectable por trayectorias, e −→ E, tal que entonces existe una u ńica aplicaci´ on cubriente q : X p′ ◦ q = p, es decir, p es inicial entre todas las aplicaciones cubrientes, de ah´ı la designación de aplicación cubriente universal. Demostraci´ on: Ya mencionamos arriba la forma de construir q de modo ′ que p ◦ q = p. Por XV.1.6, basta probar que es suprayectiva para tener que q es una aplicación cubriente. e tal que p(e Sea e ∈ E y sea x = p′ (e) ∈ X. Existe x e ∈ X, x) = x. Sea e0 = q(e x). Por ser E conectable por trayectorias, hay una trayectoria ω e ′ : e0 ≃ e. As´ı, ω = p′ ◦ ω e ′ es un lazo en X basado en x, que, por e con origen x ser p aplicación cubriente, tiene un levantamiento ω eaX e. La trayectoria q ◦ ω e es un levantamiento de ω a E con origen e0 , por lo que, por la unicidad del levantamiento de trayectorias, coincide con la trayectoria dada ω e ′ . As´ı, en particular, e = ω e ′ (1) = q(e ω (1)). Por lo tanto, q es suprayectiva. La figura XV.9 ilustra la demostración. ⊓ ⊔ e −→ X la aplicaci´ XV.3.4 Proposici´ on. Sea p : X on cubriente univer′ sal y sea p : E −→ X cualquier aplicaci´ on cubriente, entonces existe e −→ E, tal que p′ ◦ q = p, es decir, una u ńica aplicaci´ on cubriente q : X p es inicial entre todas las aplicaciones cubrientes Demostraci´ on: Ya mencionamos arriba cómo construir q de modo que p′ ◦ q = p. Por XV.1.6, q es una aplicación cubriente. ⊔ ⊓ XV.3.5 Ejemplos. Los espacios cubrientes universales del c´ırculo S1 y del toro S1 × S1 son R y R2 , respectivamente. Si n ≥ 2, la esfera Sn

587


e x e

q

ω e

e′ ω e0

e X

E p′

p

x X

ω

Figura XV.9: La aplicación cubriente universal es inicial entre todas las aplicaciones cubrientes es simplemente conexa, por lo que resulta que la aplicación cubriente Sn −→ RPn es universal. Ya que esta u´ltima tiene 2 hojas, entonces en el grupo fundamental de RPn hay 2 elementos, por lo que queda el siguiente resultado. XV.3.6 Proposici´ on. Para n ≥ 2, el grupo fundamental del espacio proyectivo de dimensi´ on n es c´ıclico de orden 2, es decir, π1 (RPn ) ∼ = Z2 . ⊔ ⊓ A continuación analizaremos las condiciones bajo las cuales un espacio X tiene una aplicación cubriente universal. La mayor parte de los espacios interesantes, que tienen un papel importante en diversas áreas de las matemáticas, cumplen estas condiciones, por lo que tienen espacio cubriente universal. Esto es lo que hace que la teor´ıa de las aplicaciones cubrientes tenga tantas aplicaciones exitosas en otras áreas. e −→ Antes de dar las definiciones requeridas, supongamos que p : X X es una aplicación cubriente universal y que X es conectable por trayectorias y localmente conectable por trayectorias. Si x ∈ X, hay

588


una vecindad U de x conectable por trayectorias que está cubierta parejamente por p. Por lo tanto, si λ es un lazo en U , éste se levanta e en X, e que, por ser este espacio simplemente conexo, es a un lazo λ e es nulhomotópico en X. nulhomotópico. En consecuencia, λ = p ◦ λ Esta condición es, pues, necesaria para la existencia de la aplicación cubriente universal. Veamos lo siguiente. ´ n. XV.3.7 Definicio (a) Un espacio X es semilocalmente simplemente conexo si cada punto x ∈ X tiene una vecindad U , tal que cada lazo en U es nulhomotópico en X. (b) Un espacio X es suficientemente conexo si X es conectable por trayectorias, localmente conectable por trayectorias y semilocalmente simplemente conexo. Como vimos, la condición de ser semilocalmente simplemente conexo es necesaria para que un espacio tenga una aplicación cubriente universal; veremos que la de ser suficientemente conexo es condición suficiente para ello. Obsérvese que una condición suficiente para que un espacio sea semilocalmente simplemente conexo es que sea localmente simplemente conexo, es decir, que cada punto del espacio tenga una vecindad simplemente conexa; por ejemplo, contra´ıble. Por tanto, todas las variedades son semilocalmente simplemente conexas. XV.3.8 Ejercicio. Sea C el arete hawaiano definido en XV.1.20. (a) Probar que C es conexo y localmente conectable por trayectorias, pero no semilocalmente simplemente conexo. (b) Sea X ⊂ R3 el cono sobre C, es decir, la unión de todos los segmentos de puntos en C al punto (0, 0, 1). Probar que X es semilocalmente simplemente conexo, pero no localmente simplemente conexo. XV.3.9 Teorema. (Existencia de la aplicación cubriente universal) Todo espacio suficientemente conexo X tiene una aplicaci´ on cubriente e universal p : X −→ X.


589

Demostraci´ on: La idea de la demostración es la siguiente. Supongamos e −→ X que ya tuviéramos una aplicación cubriente universal p : X y cubramos X con una colección {Uj | j ∈ J } de abiertos cubiertos parejamente. Cada imagen inversa p−1 (Uj ) consta de tantos abiertos homeomorfos (v´ıa p) a Uj como elementos tiene el grupo fundamental π1 (X, x0 ); en otras palabras, p−1 (Uj ) es homeomorfo a Uj × π1 (X, x0 ), en donde consideramos al grupo π1 (X, x0 ) con la topolog´ıa discreta. Los homeomorfismos Uj × π1 (X, x0 ) −→ p−1 (Uj ) se ensamblan para producir una identificación e, Y = ⊔j Uj × π1 (X, x0 ) −→ X es decir, tomamos las hojas Uj × {α} (α ∈ π1 (X, x0 )) sobre cada Uj por separado y luego las pegamos convenientemente. Procedamos ahora a la demostración. Como primer paso, supongamos que cada abierto Uj es tal que cada lazo en él es nulhomotópico en X y podemos tomar una trayectoria fija en X, µj : I −→ X con origen x0 y extremo en Uj , tal que (a) si x0 ∈ Uj , µj es la trayectoria constante cx0 ; si x ∈ Ui ∩ Uj , sea gij (x) = [µi ωi ω j µj ] ∈ π1 (X, x0 ), donde ωi y ωj representan trayectorias en Ui o Uj de µi (1) y µj (1), respectivamente, a x. Ya que todo lazo en Ui o Uj es nulhomotópico en X, el elemento gij (x) no depende de las elecciones hechas y se cumplen las siguientes condiciones (b1) Si x ∈ Ui , entonces gii (x) = 1, (b2) Si x ∈ Ui ∩ Uj , entonces gij (x) = gji (x)−1 (b3) Si x ∈ Ui ∩ Uj ∩ Uk , entonces gij (x)gjk (x) = gik (x). A éstas se les llama condiciones de cociclo (véase [2]). (c) Si W ⊂ Ui ∩ Uj y W es conectable por trayectorias, entonces gij (x) = gij (y) para cualesquiera x, y ∈ W .

590


Para el segundo paso, tomemos el producto X × π1 (X, x0 ) × J , donde π1 (X, x0 ) y J tienen la topolog´ıa discreta; consideremos el subespacio Y de las ternas (x, α, j), con x ∈ Uj . Y es la unión ajena de los abiertos Uj × π1 (X, x0 ) × {j} (como lo hab´ıamos mencionado en la introducción de la demostración). Declaramos dos puntos (x, α, i) y (y, β, j) como equivalentes si x = y y α = gij (x)β. Por las condiciones (b1)–(b3), es ésta una relación de equivalencia ∼. e = Y / ∼ el espacio cociente bajo esta relación y sea q : Y −→ Sea X e X la identificación. (d) Si V ⊂ Uj es abierto en X, entonces q(V × {α} × {i}) es abierto e para toda α. en X Para verificar que esto es cierto, veamos que la intersección q −1 q(V × {α} × {i}) ∩ Uj × {β} × {j}) es abierta en Y para toda β y toda j. En efecto, ésta consta de los puntos (y, β, j) con y ∈ V ∩ Uj y β = gji (y)α; si W ⊂ V ∩ Uj es una vecindad conectable por trayectorias de y en X, entonces, por (c), W × {β} × {j}) también yace en la intersección, por lo que ésta es abierta. Para el tercer paso de la demostración tomemos la primera proyece −→ X, tal que ción proyX : Y −→ X, (x, α, i) 7→ x y definamos p : X p ◦ q = proyX , ya que p está bien definida, por ser q una identificación, ei,α = q(Ui × {α} × {i}) es abierto en X e y, es continua. Por (d), U e e ya que gii (x) = 1, Ui,α ∩ Ui,β = ∅ si α ̸= β. Más a´ un, es claro que −1 e p (Ui ) es la unión de las Ui,α , con α ∈ π1 (X, x0 ). As´ı, para cada α, ei,α −→ Ui es continua, biyectiva y, por (c), abierta y, por tanto, p|Uei,α : U un homeomorfismo. En consecuencia, Ui está cubierto parejamente por p, por lo que p es una aplicación cubriente. e es simplemente conexo, lo que haremos en Nos falta verificar que X el cuarto paso. Sea λ : I −→ X un lazo basado en x0 y sea q(x0 , α, i) un punto en la fibra sobre x0 ; x0 ∈ Ui . Tenemos que (e) el levantamiento de λ con origen q(x0 , α, i), tiene a q(x0 , [λ]−1 α, i) como destino.


591

De aqu´ı que cualesquiera dos puntos x e = q(x0 , α, i) y x e′ = q(x0 , β, i) −1 en la fibra sobre x0 , tomando λ tal que [λ] = βα , se pueden unir por la trayectoria L(λ, x e). As´ı, un lazo λ se levanta a un lazo si y sólo si α = [λ]−1 α para alguna α, ya que gii (x0 ) = 1, es decir, si y sólo si [λ] = 1. En otras palabras, los u ńicos lazos que se levantan a lazos e es 0-conexo, entonces son los nulhomotópicos, lo cual prueba que si X e −→ X es universal. p:X e es 0-conexo. Tómense También usamos (e) para demostrar que X e dos puntos cualesquiera. Ya que X es x e = q(x, α, i), ye = q(y, β, j) ∈ X conectable por trayectorias, hay trayectorias σ : x ≃ x0

and

τ : y ≃ x0 .

Tómense los levantamientos σ e tales que σ e(0) = x e y τe(0) = ye y considérense los extremos σ e(1) = q(x0 , α′ , i)

y

τe(1) = q(x0 , β ′ , i)

e : σ for some α′ , β ′ ∈ π1 (X, x0 ). Por (e), hay una trayectoria λ e(1) = ′ ′ q(x0 , α , i) ≃ τe(1) = q(x0 , β , i), por lo que la trayectoria compuesta eτ −1 une a x σ eλe e con ye (usamos la notación τe−1 para la trayectoria τe−1 (t) = τe(1 − t)). Basta, pues, con demostrar (e). Para ello, tómense una partición 0 = t0 < t1 < · · · < tn = 1 y conjuntos Uj1 , Uj2 , . . . , Ujn , de entre los conjuntos Uj definidos en el primer paso, de modo que λ([tν−1 , tν ]) ⊂ e : I −→ X, e tal que Ujν , para ν = 1, 2, . . . , n. Sea xν = λ(tν ) y sea λ  q(λ(t), α, 1) para t0 ≤ t ≤ t1 ,     para t1 ≤ t ≤ t2 ,  q(λ(t), g21 (x1 )α, 2) q(λ(t), g (x )g (x )α, 3) para t2 ≤ t ≤ t3 , e 32 2 21 1 λ(t) =  ..   .    q(λ(t), gn,n−1 (xn−1 ) · · · g21 (x1 )α, n) para tn−1 ≤ t ≤ tn . e = λ y λ(0) e ´ Esta es una trayectoria continua, tal que p ◦ λ = q(x0 , α, 1), o sea, es el levantamiento buscado de λ. De la definición de los cociclos gij , se concluye de la primera parte que gn,n−1 (xn−1 ) · · · g21 (x1 ) = [λ]−1 . e As´ı, λ(1) = q(x0 , [λ]−1 α, 1), dado que g1n (x0 ) = 1; esto prueba (e). ⊔ ⊓

592


XV.3.10 Ejercicio. Sea S una superficie cerrada distinta de S2 y de RP2 . Probar que π1 (S) es un grupo de orden infinito, por lo que su aplicación cubriente universal tiene multiplicidad infinita. Más a´ un, probar que el espacio cubriente universal Se es homeomorfo a R2 . XV.3.11 Ejercicio. Tómese en el producto B2 × {1, 2, . . . , n} (donde {1, 2, . . . , n} es discreto) la identificación (x, i) ∼ (x, j) si x ∈ S1 y e que se obtiene es el 1 ≤ i, j ≤ n. Probar que el espacio cociente X 1 2 espacio cubriente universal de X = S ∪n e . ¿Cuál es la aplicación cubriente? XV.3.12 Ejemplo. Sea X = S1 ∨ S1 , como se ve en la figura XV.10.

a

b

Figura XV.10: La cu˜ na de dos c´ırculos S1 ∨ S1 Como sabemos, π1 (X, x0 ) es un grupo libre en dos generadores, es e puede construirse como decir, Z ∗ Z. Su espacio cubriente universal X un ´ arbol infinito; a saber, como la figura que se ilustra en XV.11, que muestra una porción de él. Los segmentos que en ella se ilustran, con tama˜ no decreciente, son realmente intervalos iguales, que se dibujan as´ı para evitar que se traslapen. La figura ilustra cómo identificar unas con otras, una infinidad de copias del intervalo I. Cada copia del intervalo se aplica sobre uno de los lazos canónicos de X como la aplicación exponencial usual I −→ S1 dada por s 7→ e2πis . Los segmentos horizontales en uno de los lazos y los verticales en el otro. na S11 ∨ S12 de dos copias del c´ırculo y XV.3.13 Ejercicio. Sea X la cu˜ e como se describió arriba. Sea p : X e −→ X, tal que p restringida sea X a cada copia de I es la exponencial s 7→ e2πis , ya sea en la copia S11 si el segmento es horizontal o en la copia S12 si es vertical.


b

593

a

a

b b

a

a

b

a

a b

b b b

a

a

Figura XV.11: El espacio cubriente universal de S1 ∨ S1 e es simplemente conexo y que p es la aplicación (a) Demostrar que X cubriente universal de X. e (Sugeren(b) Probar que el grupo libre Z∗Z act´ ua parejamente en X. cia: El generador 11 de la primera copia de Z act´ ua corriendo cada segmento horizontal paralelamente al siguiente de la derecha, y con él a los verticales, mientras que el generador 12 de la segunda copia de Z hace lo mismo en forma vertical hacia arriba.) Deducir de lo anterior que el grupo fundamental de X es este grupo. (c) Generalizar la construcción anterior a una cu˜ na de k copias del c´ırculo. (Sugerencia: Tómense k direcciones en vez de 2, es decir, constr´ uyase el árbol correspondiente como si estuviera en Rk .)

594


XV.3.14 Ejercicio. Probar que el espacio cubriente universal de X = e = {(r, θ) ∈ R2 | R2 − 0 puede realizarse como el semiplano derecho X r > 0}, con la aplicación de coordenadas polares p(r, θ) = (r cos(θ), r sen(θ)) , e ′ = C, con la aplicación exponencial as´ı como todo el plano complejo X z z 7→ e . Determinar una equivalencia entre ambas cubiertas. Considérese un espacio conexo, localmente conectable por trayectorias X y sea CX el conjunto de las clases de conjugación de todos los subgrupos H ⊂ π1 (X, x0 ). Dada cualquier aplicación cubriente conectable por trayectorias p : E −→ X, justo antes de la proposición XV.2.16 definimos la clase de conjugación caracter´ıstica C(E, p) como el conjunto {p∗ (π1 (E, ei )) ⊂ π1 (X, x0 ) | ei ∈ p−1 (x0 )}, el cual es un conjunto completo de clases de conjugación de un subgrupo de π1 (X, x0 ). Por XV.2.16, tenemos que la asignación [p] 7→ C(E, p) proporciona una aplicación bien definida e inyectiva, donde [p] denota la clase de todas las aplicaciones cubrientes que son equivalentes a p. Esto prueba, entre otras cosas, que las clases de equivalencia de todas las aplicaciones cubrientes sobre el espacio X constituyen un conjunto, al que denotamos por (X). Tenemos as´ı una función bien definida, inyectiva Ξ : (X) −→ CX dada por Ξ[p] = C(E, p). En efecto, tenemos el siguiente teorema de clasificación, que asegura que las aplicaciones cubrientes sobre un espacio X están clasificados, salvo equivalencia, por las clases de conjugación de subgrupos H ⊂ π1 (X, x0 ). Tenemos lo siguiente. XV.3.15 Teorema. Sea X un espacio suficientemente conexo. Entonces la funci´ on Ξ : (X) −→ CX es una biyecci´ on. Demostraci´ on: Sólo tenemos que demostrar que dado cualquier subgrupo H ⊂ π1 (X, x0 ), hay una aplicación cubriente conexa p : E −→ X

TRANSFORMACIONES CUBRIENTES

595

tal que el subgrupo p∗ (π1 (E, e0 )) ⊂ π1 (X, x0 ), donde p(e0 ) = x0 , es con´ jugado a H. Esbozaremos la construcción de p. Esta sigue los mismos e −→ X pasos que para la construcción del espacio cubriente universal X dada en la demostración del teorema XV.3.9. El u ńico cambio es cómo elegir el espacio de identificación Y −→ E adecuadamente. Luego se siguen los mismos pasos. En particular, en el segundo paso, se toma el producto X × (π1 (X, x0 )/H) × I . Luego se define Y como el subconjunto de las ternas (x, αH, j), tales que x ∈ Uj y αH es una clase lateral de H en π1 (X, x0 )/H. Ahora declaramos dos ternas (x, αH, i) y (y, βH, j) como equivalentes si x = y y βH = gij (x)αH o, equivalentemente, si β −1 gij (x)α ∈ H. Def´ınase E como Y /∼. El resto de la demostración es esencialmente el mismo. Solamente el cuarto paso merece cierta argumentación. En efecto, tenemos que probar que el subgrupo caracter´ıstico de p es conjugado a H. Para hacerlo aplicamos XV.2.13. Demostraremos que un lazo λ tal que [λ] ∈ e As´ı, H está caracterizado por el hecho de que se levanta a un lazo λ. por XV.2.13, el subgrupo caracter´ıstico de p debe ser H. Tómese un lazo λ en X basado en x0 . Entonces, de modo análogo a (e) en la demostración de XV.3.9, podemos probar lo siguiente: e que comienza en q(x0 , αH, j), • El levantamiento de trayectoria λ −1 tiene a q(x0 , [λ] αH, j) como destino. e si Esto afirma, en otras palabras, que un lazo λ se levanta a un lazo λ −1 y sólo si [λ] ∈ αHα . XV.3.16 Ejercicio. Verificar todos los detalles del bosquejo de demostración anterior. En particular, para la u ´ltima parte de la prueba, a saber, que la clase de conjugación caracter´ıstica de la aplicación cubriente construida p : E −→ X es la clase de conjugación de H en π1 (X, x0 ).

596


XV.4

Transformaciones cubrientes

Las aplicaciones cubrientes codifican información en muy diversas formas; ya en la sección anterior vimos que el grupo fundamental del espacio base está involucrado en la fibra. De hecho, el n´ umero de hojas de una aplicación cubriente conectable por trayectorias arbitraria p : E −→ X es el ´ındice del subgrupo p∗ (π1 (E, e0 )) en el grupo fundamental de la base π1 (X, x0 ); en particular, cuando p es la universal, este n´ umero de hojas es el orden del grupo fundamental de la base. En esta sección extraeremos información de las aplicaciones cubrientes de modo diferente. Antes de pasar a las definiciones formales, consideremos una aplicación cubriente conexa y localmente conectable por trayectorias p : E −→ X y tomemos alguna aplicación f : E −→ E tal que p ◦ f = p. Por la proposición XV.1.6, f es aplicación cubriente. Más a´ un, si f tiene un punto fijo, es decir, si f (e) = e para alg´ un punto e ∈ E, por la unicidad del levantamiento, f = idE . Si suponemos que f no tiene puntos fijos, y elegimos e0 ∈ E y llamamos e1 a f (e0 ), tenemos que p∗ (π1 (E, e0 )) = (p ◦ f )∗ (π1 (E, e0 )) ⊂ p∗ (π1 (E, e1 )). Bajo ciertas circunstancias, por ejemplo, si π1 (E, e0 ), y por ende también π1 (E, e1 ), es finito, o si éstos son subgrupos normales, entonces se cumplen las hipótesis para que exista un levantamiento g : E −→ E de p tal que g(e1 ) = e0 , es decir, g es tal que p ◦ g = p. Nuevamente, por la unicidad de los levantamientos, se tiene que g ◦ f = idE = f ◦ g. Véase más abajo para detalles.

´ n. Una transformaci´ XV.4.1 Definicio on cubriente de una aplicación cubriente p : E −→ X es un homeomorfismo fibra a fibra f : E −→ E, es decir, tal que p◦f = p, de modo que a cada fibra p−1 (x) la aplica f en s´ı misma. Bajo la composición, las transformaciones cubrientes forman un grupo D(E, p) al que llamaremos el grupo de transformaciones cubrientes de la aplicación cubriente.

Los siguientes ejemplos muestran el tipo de información que guarda D(E, p).


597

XV.4.2 Ejemplos. (a) La m´ ultiplemente citada (XV.1.1) aplicación cubriente p : R −→ S1 , p(t) = e2πit tiene como uńicas transformaciones cubrientes a los homeomorfismos R −→ R, t 7→ t + n, n ∈ Z, por lo que el grupo de transformaciones cubrientes D(R, p) es, en este caso, isomorfo a Z. (b) Para el caso del toro p × p : R × R −→ S1 × S1 , son las transformaciones cubrientes los homeomorfismos R × R −→ R × R, (s, t) 7→ (s + m, t + n), m, n ∈ Z, por lo que, en este caso, el grupo de transformaciones cubrientes D(R × R, p × p) coincide con Z × Z. (c) Si tomamos la aplicación cubriente de grado n, gn : S1 −→ S1 , tal que gn (ζ) = ζ n , las transformaciones cubrientes son las rotaciones de S1 por ángulos m´ ultiplos de 2π/n, por lo que el grupo de transformaciones cubrientes D(S1 , gn ) es precisamente el grupo c´ıclico de orden n, Zn . (d) La aplicación cubriente p : Sn −→ RPn de XV.1.23(a) tiene como u ńicas transformaciones cubrientes a la identidad idSn y la aplicación ant´ıpoda −idSn , por lo que su grupo de transformaciones cubrientes D(Sn , p) es Z2 . (e) Es obvio que para la aplicación cubriente idéntica idX : X −→ X el grupo de transformaciones cubrientes D(X, idX ) consiste en la identidad idX u ńicamente, es decir, es el grupo trivial 1. (f) Sea E conexo y localmente conectable por trayectorias. Si G act´ ua parejamente en E, f : E −→ E es una transformación cubriente para la aplicación cubriente asociada q : E −→ E/G si es un homeomorfismo que hace conmutativo el diagrama EF FF F q

f

FF FF F"

/E xx x xx xx q x| x

E/G ,

598


es decir, si para cada e ∈ E, q(f (e)) = q(e), lo que significa que la órbita de e coincide con la de f (e). Pero éste es el caso si para alg´ un elemento e ∈ E y alg´ un g ∈ G, f (e) = ge. Las aplicaciones g, f : E −→ E son ambas levantamientos de la aplicación orbital q : E −→ E/G, que coinciden en un punto, por lo que, por el teorema de unicidad del levantamiento XV.2.2, coinciden en cualquier punto, es decir, el grupo de transformaciones cubrientes de la aplicación cubriente orbital de un grupo G que act´ ua parejamente en un espacio E, D(E, p) coincide con el grupo G. Completando lo probado en (f), tenemos que, de hecho, cualquier aplicación cubriente conectable por trayectorias es la aplicación orbital de una acción pareja de alg´ un grupo en el espacio total; tenemos lo siguiente. XV.4.3 Teorema. Sea p : E −→ X una aplicaci´ on cubriente conectable por trayectorias. El grupo de transformaciones cubrientes D = D(E, p) act´ ua parejamente en E, de modo que, en particular, ninguna transformaci´ on cubriente diferente de idE tiene puntos fijos y dos transformaciones cubrientes que coinciden en un punto son la misma. M´ as a´ un, si π1 (X) es abeliano, la aplicaci´ on cubriente orbital q : E −→ E/D es equivalente a p. e la hoja que Demostraci´ on: Sea e ∈ E un punto arbitrario y sea U contiene a e sobre una vecindad U de x = p(e) cubierta parejamente por p. Basta, pues, verificar que para una transformación cubriente e ∩ f (U e ) = ∅, lo cual es cierto, ya que, de lo contrario, se f ̸= idE , U e e y, en vista de que p(e tendr´ıa ye ∈ U , tal que f (e y) ∈ U y ) = pf (e y ) y de que p|Ue es inyectiva, ye = f (e y ) lo cual, nuevamente por XV.2.2, sólo puede ser cierto si f = idE . Para probar la segunda parte del teorema, observemos, en primer lugar, que si f ∈ D, p(f (e)) = p(e), por lo que existe φ : E/D −→ X, tal que conmuta EB BB zz BBp zz z BB z z B! z } _ _ _ _ _ _ _ / X. E/D φ q


599

Claramente φ es suprayectiva, puesto que p lo es. De hecho, es claramente una identificación, por lo que basta ver que es inyectiva. Para ver que φ es inyectiva, sean e0 , e1 ∈ E, tales que φ(e0 ) = φ(e1 ) = x. Construiremos una transformación cubriente f : E −→ E, tal que f (e0 ) = e1 , por lo que ambos puntos representarán la misma órbita en E/D. Para ello, sea ω e : e0 ≃ e1 una trayectoria en E y ω = p◦ω e el lazo inducido en X. Si α = [ω] ∈ π1 (X, x), entonces αp∗ (π1 (E, e0 ))α−1 = p∗ (π1 (E, e1 )); pero, por ser π1 (X, x) abeliano, se tiene p∗ (π1 (E, e1 )) = αp∗ (π1 (E, e0 ))α−1 = p∗ (π1 (E, e0 )) , por lo que, por el teorema de levantamiento XV.2.11, el problema de levantamiento =E f

E

{

{ p

{

{

p

/ X,

de modo que f (e0 ) = e1 tiene solución. Como en la demostración de XV.2.16, f es un homeomorfismo, por lo que resulta ser una transformación cubriente, como se buscaba. ⊔ ⊓ XV.4.4 Nota. En la u ´ltima parte del teorema anterior se pide que π1 (X) sea abeliano. Si omitimos esta hipótesis, resulta que la aplicación φ : E/D −→ X existe, es continua y suprayectiva, mas no necesariamente inyectiva. Es un ejercicio buscar ejemplos de aplicaciones cubrientes para los cuales φ no es inyectiva. Ya que cada aplicación cubriente está determinada, salvo isomorfismo, por su clase de conjugación caracter´ıstica C(E, p) (XV.2.16), debe haber una relación entre ésta y el grupo D(E, p). Recordemos que dado un grupo G y un subgrupo H ⊂ G, el normalizador de H en G, NG (H) es el máximo subgrupo de G que contiene a H como subgrupo normal; de hecho se tiene que NG (H) = {g ∈ G | g −1 Hg = H} . Si p : E −→ X es una aplicación cubriente, sea N (E, e0 , p) = Nπ1 (X,x0 ) (p∗ (π1 (E, e0 ))) .

600


Obtenemos, de manera más general que la u ´ltima parte del teorema anterior, el siguiente resultado. XV.4.5 Teorema. Sea p : E −→ X una aplicaci´ on cubriente conexa, cuya base X es localmente conectable por trayectorias, y sea e0 un punto sobre x0 ∈ X, entonces existe, para cada α = [ω] ∈ N (E, e0 , p) ⊂ π1 (X, x0 ), una u ńica transformaci´ on cubriente fα : E −→ E, tal que fα (e0 ) = L(ω, e0 )(1). La funci´ on α 7→ fα determina un epimorfismo de grupos Φ : N (E, e0 , p) −→ D(E, p), tal que ker(Φ) = p∗ (π1 (E, e0 )), por lo que determina un isomorfismo (denotado igualmente por) Φ : N (E, e0 , p)/p∗ (π1 (E, e0 )) −→ D(E, p); en otras palabras, D(E, p) es isomorfo al grupo cociente N H/H, para un subgrupo H ⊂ π1 (X, x0 ) perteneciente a la clase C(E, p). Demostraci´ on: Sea e′0 = L(ω, e0 )(1). Ya que α = [ω] yace en el normalizador, por XV.2.15(a), p∗ (π1 (E, e0 )) = α−1 p∗ (π1 (E, e0 ))α = p∗ (π1 (E, e′0 )) . Por tanto, por XV.2.11, dado que junto con X, E es localmente conectable por trayectorias, es posible resolver el problema de levantamiento fe

E

}

} p

}

E }> p

/X,

de modo que fe(e0 ) = e′0 . Como en la demostración de XV.2.16, se tiene que fe es un homeomorfismo y, por ende, una transformación cubriente. Por XV.4.3, fe es u ńica y, por XV.2.3, depende fe sólo de la clase de homotop´ıa α = [ω]. Sea Φ(α) = fe, con lo que está definida la función Φ. Veamos que Φ es un homomorfismo. Para esto, sean β = [σ] ∈ N (E, e0 , p) y Φ(β) = ge, entonces, por XV.2.6, L(σω, e0 )(1) = (L(σ, e0 )L(ω, ge(e0 )))(1) = L(ω, ge(e0 ))(1) = ge(L(ω, e0 )(1)) = gefe(e0 ) .


601

Por lo tanto, las transformaciones cubrientes Φ([σω]) = Φ(βα) y ge◦ fe = Φ(β)Φ(α) coinciden en e0 y, por ende, son las mismas. Que ker(Φ) = p∗ (π1 (E, e0 )), se deduce inmediatamente de XV.2.13 y XV.4.3. Falta verificar que Φ es suprayectiva. Para esto, sea fe ∈ D(E, p), sea ω e : e0 ≃ fe(e0 ) y sea α = [p◦ ω e ] ∈ π1 (X, x0 ). De XV.2.15(a) obtenemos α−1 p∗ (π1 (E, e0 ))α = p∗ (π1 (E, fe(e0 ))) = p∗ fe∗ (π1 (E, e0 )) = p∗ (π1 (E, e0 )) . En consecuencia, α yace en el normalizador de p∗ (π1 (E, e0 )) y de la definición de Φ y XV.4.3 se obtiene que Φ(α) = fe. ⊔ ⊓ Particularizando el teorema anterior a la aplicación cubriente universal, obtenemos lo siguiente. e −→ X es la aplicaci´ XV.4.6 Corolario. Si p : X on cubriente universal de un espacio localmente conectable por trayectorias X y x e0 es tal que p(e x0 ) = x0 , entonces para cada α = [ω] ∈ π1 (X, x0 ) existe una u ńica e e transformaci´ on cubriente fα : X −→ X, tal que fα (e x0 ) = L(ω, x e0 )(1). e p) es un isomorfismo de grupos. ⊔ La funci´ on Φ : π1 (X, x0 ) −→ D(X, ⊓ Por supuesto, el corolario anterior nos permite calcular, en muchos casos, el grupo fundamental, como se ve en los siguientes ejemplos. XV.4.7 Ejemplos. e p) (a) Para la cubierta universal p : R −→ S1 , se tiene que D(X, consta de las traslaciones en R dadas sumando n´ umeros enteros, 1 ∼ ∼ e por lo que D(X, p) = Z = π1 (S ). (b) Para las cubiertas universales Sn −→ RPn de los espacios proyectivos reales, n > 1, las u ńicas transformaciones cubrientes f : n n n S −→ S son f = idS o f = −idSn , como fácilmente se puede n e p) ∼ verificar. Por lo tanto, D(X, = Z2 ∼ = π1 (RP ). ua parejamente en un espacio simplemente conexo Y , (c) Si G act´ entonces Y −→ Y /G es la aplicación cubriente universal, por lo que, por XV.4.2(f), D(Y, p) = G; as´ı, π1 (Y /G) ∼ = G.

602


XV.4.8 Ejercicio. Probar que para una aplicación cubriente conectable por trayectorias p : E −→ X son equivalentes las siguientes afirmaciones. (a) Para cualquier par de puntos e0 , e1 ∈ p−1 (x), se tiene la igualdad p∗ π1 (E, e0 ) = p∗ π1 (E, e1 ), es decir, la clase de conjugación C(E, p) consta de un solo subgrupo de π1 (X, x). (b) Para todo e ∈ p−1 (x), p∗ π1 (E, e) ⊂ π1 (X, x) es un subgrupo normal. (c) Si un lazo ω en X, basado en x, tiene un levantamiento que es un lazo, entonces cualquier levantamiento de ω es un lazo. Probar que si alguna y, por ende, todas estas condiciones se cumplen para alg´ un punto x ∈ X, entonces se cumplen para cualquier punto en X. A una tal aplicación cubriente se le llama regular. Nótese que cualquier aplicación cubriente universal es regular, también es regular cualquier aplicación cubriente de X si π1 (X) es abeliano (como se vio en XV.4.3); toda aplicación cubriente de dos hojas es regular (pues todo subgrupo de ´ındice 2 siempre es normal). XV.4.9 Ejercicio. Demostrar que, dada una aplicación cubriente regular p : E −→ X, hay un isomorfismo Φ : π1 (X, x)/p∗ π1 (E, e) −→ D(E, p) . XV.4.10 Ejercicio. Si p : E −→ X es una aplicación cubriente de n hojas, y {e1 , e2 , . . . , en } = p−1 (x), demostrar que son equivalentes las siguientes afirmaciones. (a) Hay una transformación cubriente de E, tal que e1 7→ e2 7→ · · · 7→ en1 . (b) p∗ π1 (E, e) ⊂ π1 (X, x) es un subgrupo normal, tal que el grupo π1 (X, x)/p∗ π1 (E, e) es c´ıclico de orden n.

´ DE APLICACIONES CUBRIENTES CLASIFICACION

XV.5

603

´ n de aplicaciones cubrientes sobre Clasificacio espacios paracompactos

El objetivo de esta sección es clasificar aplicaciones cubrientes, cuyo espacio base es paracompacto, haciendo uso de espacios clasificantes. Estos espacios clasificantes serán espacios de configuración. Este resultado se extrajo de [2]. Antes de comenzar, remitimos al lector a la sección IX.5 para recordar los espacios paracompactos (definición IX.5.7) y las particiones de la unidad (definición IX.5.21). Recordemos también (IX.5.22) que dada una cubierta abierta {Uλ }λ∈Λ de un espacio topológico X se dice que una partición de la unidad {ηλ }λ∈Λ en X est´ a subordinada a la cubierta si para toda λ ∈ Λ, sop(ηλ ) ⊂ Uλ . La siguiente caracterización es la que utilizaremos en lo que sigue. Está demostrada en IX.5.23. XV.5.1 Teorema. Sea X un espacio de Hausdorff. Entonces X es paracompacto si y s´ olo si toda cubierta abierta de X tiene una partici´ on de la unidad subordinada a ella. Ahora procedemos a dar los resultados para establecer el teorema de clasificación deseado. Probaremos un resultado general sobre aplicaciones cubrientes. XV.5.2 Lema. Sea p : E −→ X × I una aplicaci´ on cubriente cuyas restricciones a X × [0, a] y a X × [a, 1] son triviales para alguna a ∈ I. Entonces p : E −→ X × I misma es trivial. Demostraci´ on: Por hipótesis, se tienen homeomorfismos φ1 : (X × [0, a]) × F −→ p−1 (X × [0, a]) y φ2 : (X × [a, 1]) × F −→ p−1 (X × [a, 1]) sobre los respectivos espacios bases. Estos homeomorfismos inducen una aplicación (X × {a}) × F

φ1 |

/ p−1 (X × {a})

φ2 |−1

/ (X × {a}) × F

de la forma (x, a, y) 7→ (x, a, g(x)(y)), donde g : X −→ Biy(F ) es localmente constante y Biy(F ) es el grupo de biyecciones de F , y φ1 | y φ2 | restricciones apropiadas.

604


Definamos ahora φ : (X × I) × F −→ E por { φ1 (x, t, y) si t ≤ a , φ(x, t, y) = φ2 (x, t, g(x)(y)) si t ≥ a . ⊔ ⊓

Entonces φ es la trivialización deseada.

on cubriente. Entonces XV.5.3 Lema. Sea p : E −→ X ×I una aplicaci´ hay una cubierta abierta U de X tal que p|p−1 (U ×I) : p−1 (U × I) −→ U × I es trivial para cada U ∈ U. Demostraci´ on: Tómese x ∈ X. Entonces para cada t ∈ I hay vecindades Ut de x en X y Vt de t en I tales que p−1 (Ut × Vt ) −→ Ut × Vt es trivial. Ya que I es compacto, hay una subcubierta finita {Vtr | ∩ r = 1, . . . , m} de la cubierta {Vt | t ∈ I}. Si ponemos Ux = m r=1 Utr y elegimos 0 = s0 < s1 < · · · < sn = 1 de modo que las diferencias si − si−1 para i = 1, . . . , n sean menores que un n´ umero de Lebesgue de la cubierta {Vtr }, entonces la aplicación cubriente restringida p−1 (Ux × [si−1 , si ]) −→ Ux × [si−1 , si ] es trivial. As´ı, iterando y utilizando el lema XV.5.2 tenemos que p−1 (Ux ×I) −→ Ux ×I es trivial también. Si repetimos esta construcción para toda x ∈ X, obtenemos una cubierta abierta {Ux } de X tal que cada p−1 (Ux × I) −→ Ux × I es trivial. ⊔ ⊓ XV.5.4 Proposici´ on. Sea p : E −→ X × I una aplicaci´ on cubriente, tal que X es un espacio paracompacto. Sea r : X × I −→ X × I la retracci´ on dada por r(x, t) = (x, 1) para (x, t) ∈ X × I. Entonces hay un diagrama conmutativo E

f

/E

p

p

X ×I

r

/X ×I

tal que f restringida a cada fibra es una biyecci´ on. Consecuentemente, hay un homeomorfismo φ : E −→ r∗ E = {(x, t, e) ∈ X × I × E | p(e) = (x, 1)}. Un tal par de aplicaciones (f, r) es un morfismo de aplicaciones cubrientes.


605

Demostraci´ on: Usando XV.5.3 y la paracompacidad de X hay una cubierta abierta localmente finita {Uλ }λ∈Λ de X y una partición de la unidad {ηλ }λ∈Λ subordinada (véase el teorema IX.5.23) tal que p−1 (Uλ ×I) −→ Uλ ×I es trivial. Para cada λ ∈ Λ, def´ınase µλ : X −→ I por ηλ µλ (x) = . max{ηλ′ (x) | λ′ ∈ Λ} Debido al hecho de que sólo un n´ umero finito de los valores ηλ′ (x) son no cero, la función max{ηλ′ (x) | λ′ ∈ Λ} es continua y no cero. Por lo tanto, µλ es continua, tiene soporte en Uλ y para cada x ∈ X satisface max{µλ (x)} = 1. Denotemos por φλ : Uλ × I × F −→ p−1 (Uλ × I) una trivialización local para cada λ ∈ Λ. Entonces definimos un morfismo de aplicaciones cubrientes E

fλ

/E

p

p

X ×I

rλ

/X ×I

de modo que, en el espacio base rλ (x, t) = (x, max{µλ (x), t}) para (x, t) ∈ X × I y en el espacio total fλ es la identidad fuera de p−1 (Uλ × I) y fλ (φλ (x, t, v)) = φλ (x, max{µλ (x), t}, v) dentro de p−1 (Uλ × I). Elijamos ahora un buen orden ≺ en Λ. Por la finitud local tenemos que para cada x en X hay una vecindad Wx de x tal que Wx ∩ Uλ es no vac´ıo sólo para un n´ umero finito de elementos λ ∈ Λ, digamos para λ ∈ Λx = {λ1 , λ2 , . . . , λm } with λ1 ≺ λ2 ≺ · · · ≺ λm . Definamos ahora r : X × I −→ X × I por r = rλm ◦ rλm−1 ◦ · · · ◦ rλ1 y definamos f : E −→ E por f |p−1 (Wx ×I) = fλm ◦ fλm−1 ◦ · · · ◦ fλ1 . Ya que rλ en Wx × I y fλ en p−1 (Wx × I) son la identidad si λ ∈ / Λx , podemos considerar a r y a f como composiciones infinitas de aplicaciones, de las cuales casi todas (es decir, todas excepto un n´ umero finito de) ellas son la identidad en una vecindad de cualquier punto. Ya

606


que cada fλ es una biyección en cada fibra, la composición f es también una biyección en cada fibra. ⊔ ⊓ XV.5.5 Teorema. Sea p′ : E ′ −→ X ′ una aplicaci´ on cubriente tal que X es un espacio paracompacto. Sup´ ongase que hay dos aplicaciones homot´ opicas f, g : X −→ X ′ . Entonces hay un homeomorfismo φ : f ∗ E ′ ≈ g ∗ E ′ tal que q ◦ φ = p, donde p(x, e′ ) = x = q(x, e′ ). Demostraci´ on: Sea F : X × I −→ X ′ una homotop´ıa de f a g. Sea in u : X −→ X × I la inclusión iν (x) = (x, ν), ν = 0, 1. Se obtiene que f = F ◦ i0 y g = F ◦ i1 . Sea r : X × I −→ X × I la retracción definida por r(x, t) = (x, 1). Entonces, aplicando XV.1.18, XV.5.4 y XV.1.19, tenemos que f ∗ E ′ = (F ◦ i0 )∗ E ′ ≈ i∗0 (F ∗ E ′ ) ≈ i∗0 (r∗ (F ∗ E ′ )) ≈ (r ◦ i0 )∗ (F ∗ E ′ ) = i∗1 (F ∗ E ′ ) ≈ (F ◦ i1 )∗ E ′ = g ∗ E ′ , donde hemos usado r ◦ i0 = i1 . ⊔ ⊓ ´ n. Sea X un espacio topológico. Definimos su nXV.5.6 Definicio ésimo espacio de configuraci´ on Fn (X) por Fn (X) = {(x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ X n | xi ̸= xj para i ̸= j} . Si Σn denota el grupo simétrico (o de permutaciones) de n elementos del conjunto {1, 2, . . . , n}, entonces hay una acción derecha libre de este grupo sobre Fn (X) dada por (x1 , x2 , . . . , xn )σ = (xσ(1) , xσ(2) , . . . , xσ(n) ) ,

xi ∈ X .

Si X es un espacio de Hausdorff, entonces por XV.1.27 la acción es pareja. Por lo tanto es libre y por XV.1.28 la aplicación cociente qn : Fn (X) −→ Fn (X)/Σn es una aplicación cubriente de multiplicidad n!. También hay una aplicaci´ on cubriente de n hojas, es decir, una aplicación cubriente de multiplicidad n, πn : En (X) −→ Fn (X)/Σn asociada a Fn (X) definida como sigue. El espacio total está dado por En (X) = {(C, x) ∈ (Fn (X)/Σn ) × X | x ∈ C} y la proyección está dada πn (C, x) = C. Consideraremos sólo el caso X = Rk , donde 1 ≤ k ≤ ∞. Puede demostrarse que el espacio Fn (R∞ ) es contra´ıble (ejercicio).


607

XV.5.7 Ejercicio. Considérense dos aplicaciones cubrientes p : E −→ X y p′ : E ′ −→ X sobre el mismo espacio base, tales que hay un morfismo (φ, idX ) de p a p′ , es decir, φ es una aplicación continua tal que p′ ◦ φ = p y para toda x ∈ X, φ|p−1 (x) : p−1 (x) −→ p−1 (x) es biyectiva. Probar que este morfismo es una equivalencia de aplicaciones cubrientes, es decir, mostrar que φ es un homeomorfismo. XV.5.8 Lema. Sean p : E −→ X y q : E ′ −→ X ′ be aplicaciones cubrientes. Sup´ ongase que hay aplicaciones F : E −→ E ′ y f : X −→ X ′ tales que q ◦ F = f ◦ p y para toda x ∈ X, la restricci´ on F |p−1 (x) : p−1 (x) −→ q −1 (f (x)) es biyectiva. Entonces p : E −→ X es equivalente a la aplicaci´ on cubriente q ′ : f ∗ E ′ −→ X inducida de q por f . Demostraci´ on: Considérese el cuadrado cartesiano fe

f ∗E′ q′

/ E′ q

X

f

/ X′ .

Def´ınase φ : E −→ f ∗ E ′ by φ(e) = (p(e), F (e)). Entonces, fibra a fibra, φ coincide con F de tal modo que es una biyección de las fibras y, por ende, una equivalencia. ⊔ ⊓ ´ n. Sea p : E −→ X una aplicación cubriente de n XV.5.9 Definicio hojas. Una aplicaci´ on de Gauss para p es una aplicación g : E −→ Rk , 0 ≤ k ≤ ∞, tal que g|p−1 (x) : p−1 (x) −→ Rk es inyectiva para cada x ∈ X. XV.5.10 Proposici´ on. Sea p : E −→ X una aplicaci´ on cubriente de n hojas. Entonces hay una aplicaci´ on de Gauss para p si y s´ olo si hay k una aplicaci´ on f : X −→ Fn (R )/Σn tal que p es equivalente a la aplicaci´ on cubriente q : f ∗ En (Rk ) −→ X inducida. La aplicaci´ on f se llama aplicación clasificante de p. Demostraci´ on: Primero supongamos que g es una aplicación de Gauss para p y def´ınase f : X −→ Fn (Rk )/Σn como sigue. Para cada x ∈ X

608


el´ıjase una biyección h : n −→ p−1 (x), donde n = {1, 2, . . . , n}. Ya que g ◦ h : n −→ Rk es inyectiva, tómese f (x) = πn (gh(1), gh(2), . . . , gh(n)) . Está bien definida, pues dada cualquiera otra biyección h′ : n −→ p−1 (x), la composición σ = h′−1 ◦ h es una permutación que pertenece a Σn y (gh′ (1), gh′ (2), . . . , gh′ (n))σ = (gh(1), gh(2), . . . , gh(n)) . Para ver que f es continua, tómese una cubierta abierta U of X tal que cada abierto U ∈ U está cubierto parejamente por p. Entonces tenemos un homeomorfismo φU : p−1 U −→ U × n. Para cada x ∈ U tenemos que la composición p−1 (x)

φU |

/U ×n

proy

/n

es una biyección y f (x) = πn (g((proy ◦ φU )−1 (1)), . . . , g((proy ◦ φU )−1 (n))) . Definamos ahora F : E −→ En (Rk ) por F (e) = (f p(e), g(e)); as´ı obtenemos un diagrama conmutativo / En (Rk )

F

E p

X

f

πn

/ Fn (Rk )/Σn .

Ya que F es una biyección en fibras, por el lema XV.5.8, f ∗ En (Rk ) ≈ E. Inversamente, sea h : E −→ f ∗ En (Rk ) una equivalencia de aplicaciones cubrientes. Entonces g : E −→ Rk dada por la composición f ∗ En (Rk ) O

fe

/ En (Rk )

h

/ (Fn (Rk )/Σn ) × Rk

proy

E _ _ _ _ _ _ _ _g _ _ _ _ _ _ _/ Rk es claramente una aplicación de Gauss.

⊔ ⊓


609

XV.5.11 Ejercicio. Sea p : E −→ X una aplicación cubriente de n hojas. (a) Probar que la construcción anterior establece una correspondencia uno a uno entre eel conjunto de morfismos de la forma fe

E

/ En (Rk )

p

X

f

πn

/ Fn (Rk )/Σn

y el conjunto de aplicaciones de Gauss g : E −→ Rk . (b) Probar que si G : E × I −→ Rk es una homotop´ıa tal que para cada t ∈ I, la aplicación Gt : E −→ Rk dada por Gt (e) = G(e, t), es una aplicación de Gauss, entonces podemos usar la construcción anterior para obtener un morfismo de aplicaciones cubrientes E×I

Fe

p×id

X ×I

/ En (Rk )

F

πn

/ Fn (Rk )/Σn

con la propiedad de que si fν : X −→ Fn (Rk )/Σn es la función asociada a Gν para ν = 0, 1, entonces F es una homotop´ıa entre f0 y f1 . Probaremos ahora que cualquier aplicación cubriente p : E −→ X de n hojas, n = 1, 2, · · · , sobre un espacio paracompacto tiene una aplicación de Gauss. Necesitamos el siguiente resultado. on cubriente de n hoXV.5.12 Lema. Sea p : E −→ X una aplicaci´ jas, n = 1, 2, · · · , sobre un espacio paracompacto X. Entonces hay una cubierta abierta numerable W = {Wk | n ∈ N} de X tal que p|p−1 Wk : p−1 Wk −→ Wk es trivial para toda k ∈ N.

610


Demostraci´ on: Sea U = {Uλ | λ ∈ Λ} una cubierta abierta de X tal que la restricción p|p−1 Uλ : p−1 Uλ −→ Uλ es trivial para toda λ ∈ Λ. Ya que X es paracompacto, hay una partición de la unidad {ηλ | λ ∈ Λ} subordinada a U. Para cada x ∈ X def´ınase S(x) como el conjunto finito de los ´ındices λ ∈ Λ para los cuales ηλ (x) es no cero. Para cada subconjunto finito S ⊂ Λ, sea W (S) = {x ∈ X | ηλ (x) > ηµ (x) siempre que λ ∈ S y µ ∈ / S}. Afirmamos que W (S) ⊂ X es abierto. En efecto, el conjunto Bλ,µ = {x ∈ X | ηλ (x) < ηµ (x)} es claramente abierto, ya que Bλ,µ = (ηµ − ηλ )−1 (0, 1]. Ahora bien, dado cualquier punto x0 ∈ W (S), hay una vecindad Vx0 de x0 tal que ηλ es distinta de cero en Vx0 solamente para ∩ λ = µ1 . . . , µr para alguna r (finita). Sea N = λ∈S (Bλ,µ1 , . . . , Bλ,µr ), que es abierto, pues es una intersección finita de abiertos. As´ı, x0 ∈ N ∩ Vx0 ⊆ W (S) por lo que W (S) es abierto. Si S y T son dos subconjuntos distintos de Λ, tales que cada uno contiene m elementos, entonces W (S) ∩ W (T ) = ∅, puesto que de lo contrario, existir´ıa un elemento λ ∈ S, tal que λ ∈ / T y un elemento µ ∈ T , tal que µ ∈ / S. Por lo tanto, x ∈ W (S) ∩ W (T ) implicar´ıa ηλ (x) > ηµ (x) y ηµ (x) > ηλ (x), lo que ser´ıa una flagrante contradicción. ∪ Definamos ahora Wk = {W (S(x)) | |S(x)| = k}, donde | · | denota la cardinalidad de un conjunto. Si λ ∈ S(x), entonces W (S(x)) ⊂ ηλ−1 (0, 1] ⊂ Uλ , y por lo tanto, tenemos que la aplicación cubriente restringida p|p−1 W (S(x)) : p−1 W (S(x)) −→ W (S(x)) es trivial. Ya que para cada k el conjunto abierto Wk es una unión ajena de conjuntos abiertos de la forma W (S(x)), se obtiene que p|p−1 Wk : p−1 Wk −→ Wk es trivial, como se deseaba. ⊔ ⊓ XV.5.13 Proposici´ on. Cada aplicaci´ on cubriente p : E −→ X de n hojas, n = 1, 2, · · · , sobre un espacio paracompacto X tiene una aplicaci´ on de Gauss. Demostraci´ on: Al ser X paracompacto, por el lema XV.5.12 hay una cubierta abierta trivializadora W = {Wk | k ∈ N} de X. Sea φk : p−1 Wk −→ Wk × n una trivialización y sea {ηk } una partición de la


611

unidad subordinada a W. Para cada k ∈ N def´ınase gk : E −→ R por { ηk (p(e)) · proy φk (e) si e ∈ p−1 Wk , gk (e) = 0 si e ∈ / p−1 Wk , donde proy : Wk × n −→ n ⊂ R es la proyección. Definamos ahora g : E −→ R∞ por g(e) = (g1 (e), g2 (e), . . . , gk (e), . . . ). ⊔ ⊓ ´ n. Si X es un espacio paracompacto, denotemos XV.5.14 Definicio por Cn (X) el conjunto de clases de equivalencia de aplicaciones cubrientes de n hojas, n = 1, 2, · · · , sobre un espacio paracompacto X. Por las proposiciones XV.5.10 y XV.5.13 tenemos el siguiente resultado, que es el teorema de clasificación de aplicaciones cubrientes de n hojas sobre un espacio paracompacto. XV.5.15 Teorema. Sea X un espacio paracompacto. Entonces hay una biyecci´ on [X, Fn (R∞ )/Σn ] −→ Cn (X) dada por [f ] 7→ [f ∗ En (R∞ )]. Demostraci´ on: Por el teorema XV.5.5, la función está bien definida. Las proposiciones XV.5.10 y XV.5.13 muestran que la función es suprayectiva. Para ver que la función es inyectiva, considérese R∞ 1 = {(ti ) ∈ ∞ ∞ ∞ R | t2j = 0, j = 1, 2, 3, . . . } y R2 = {(ti ) ∈ R | t2j+1 = 0, j = ∞ 0, 1, 2, . . . }, de tal modo que R∞ = R∞ 1 ⊕ R2 . Definamos ahora homotop´ıas h1 , h2 : R∞ × I −→ R∞ por h1 ((t1 , t2 , t3 , . . . ), t) = (1 − t)(t1 , t2 , t3 , . . . ) + t((t1 , 0, t2 , 0, t3 , 0, . . . ) , h2 ((t1 , t2 , t3 , . . . ), t) = (1 − t)(t1 , t2 , t3 , . . . ) + t((0, t1 , 0, t2 , 0, t3 , . . . ) , donde (t1 , t2 , t3 , . . . ) ∈ R∞ y t ∈ I. Estas homotop´ıas comienzan con la identidad y terminan con aplicaciones que denotamos por ∞ ∞ h11 : R∞ −→ R∞ y h12 : R∞ −→ R∞ 1 ⊂R 2 ⊂R .

612


Las composiciones h1ν ◦ p2 : En (R∞ ) −→ R∞ para ν = 1, 2 son aplicaciones de Gauss, donde p2 : En (R∞ ) −→ R∞ es la proyección en la segunda coordenada. Por XV.5.11(a), estas aplicaciones inducen dos morfismos de aplicaciones cubrientes, a saber, φ eν

En (R∞ ) πn

Fn (R∞ )/Σn

/ En (R∞ )

φν

πn

/ Fn (R∞ )/Σn ,

ν = 1, 2 .

Las composiciones hν ◦ (p2 × id) : En (R∞ ) × I −→ R∞ para ν = 1, 2 son homotop´ıas que comienzan con p2 , ya que hν (q × id)(e, 0) = hν (p2 (e), 0) = p2 (e) para e ∈ En (R∞ ), y terminan con hν1 ◦p2 . Más a´ un, las restricciones de estas homotop´ıas a las rebanadas correspondientes a cada t ∈ I fija son aplicaciones de Gauss. Usando XV.5.11(b), tenemos que φν para ν = 1, 2 es homotópica a la aplicación inducida por p2 , que obviamente es la identidad. As´ı, hemos demostrado que φν ≃ id para ν = 1, 2. Ya estamos en posibilidad de probar que la función es inyectiva. Supongamos dadas fν : X −→ Fn (R∞ )/Σn para ν = 1, 2, tales que f1∗ En (R∞ ) ≈ f2∗ En (R∞ ). Para probar la inyectividad, debemos mostrar que f1 son f2 son homotópicas. Denotemos por E al espacio f1∗ En (R∞ ) y usemos el isomorfismo de arriba para obtener dos morfismos de aplicaciones cubrientes

E

feν

X

fν

/ En (R∞ ) / Fn (R∞ )/Σn ,

ν = 1, 2 .

Sean gν : E −→ R∞ para ν = 1, 2 las aplicaciones de Gauss asociadas, es decir, gν = p2 ◦ feν . Considérense las composiciones hν ◦ gν : E −→ R∞ para ν = 1, 2. Son aplicaciones de Gauss maps, y de acuerdo con XV.5.11(a), inducen


613

morfismos de aplicaciones cubrientes de la forma E

feν

X

fν

/ En (R∞ ) / Fn (R∞ )/Σn

φ en u

φν

/ En (R∞ ) / Fn (R∞ )/Σn ,

ν = 1, 2 .

Definimos entonces G : E × I −→ R∞ por G(e, t) = (1 − t)h11 g1 (e) + ´ th21 g2 (e) para (e, t) ∈ E × I. Esta es una homotop´ıa entre h11 ◦ g1 y 2 1 ∞ 2 ∞ h1 ◦ g2 , y ya que h1 (R ) y h1 (R ) no tienen puntos en com´ un con la excepción de 0, se obtiene que Gt es una aplicación de Gauss para cada t ∈ I. Por lo tanto, usando XV.5.11(b) tenemos que φ1 ◦ f1 ≃ φ2 ◦ f2 . Pero ya sabemos que φν ≃ id para ν = 1, 2. Por tanto, f1 ≃ f2 como se deseaba. ⊔ ⊓

614


XVI.

NUDOS Y ENLACES

En este cap´ıtulo presentaremos una rama especialmente intere´ sante de la topolog´ıa. Nos referimos a la teor´ıa de los nudos. Esta, que si bien trata objetos topológicos de concepción sencilla, como lo son las 1-variedades, no las trata de manera abstracta, sino que analiza sus muy diversas formas de verlas encajadas como subespacios de R3 . La teor´ıa de los nudos ha tenido una dinámica propia, en el sentido de que muchos de sus métodos han sido desarrollados en espec´ıfico para el estudio de estos encajes, si bien ha echado mano de varios aspectos de la topolog´ıa algebraica. Notable ha sido también el hecho de que los nudos han encontrado asombrosas aplicaciones, tanto en otras áreas de las matemáticas como en disciplinas como la f´ısica, la qu´ımica y la biolog´ıa (véase [19, Cap.4], [34]). XVI.1

1-variedades y nudos

En el cap´ıtulo II, sección XI.3, demostramos que las u ńicas variedades conexas de dimensión 1 son, salvo homeomorfismo, el c´ırculo S1 y la recta real R. Topológicamente, el interés de esta u ´ltima es reducido; el c´ırculo es más rico, como ya estudiamos en XIII.2. No obstante, es muy interesante analizar no sólo el c´ırculo, sino en qué forma éste se puede encajar en R3 . Es un hecho importante de resaltar que no es posible encajar el c´ırculo en R, como lo muestra el teorema de Borsuk-Ulam en dimensión 1 (véase XIII.2.39). Por otro lado, el teorema de la curva de Jordan (véanse XII.1.17 o XIII.2.29) implica que en R2 el u ńico encaje, salvo homeomorfismo, es el canónico, es decir, para cualquier encaje existe un homeomorfismo de R2 en s´ı mismo que manda el encaje en la inclusión canónica (ejercicio). Para Rn con n ≥ 4 ocurre lo mismo, es decir, para cualquier encaje del c´ırculo en Rn existe un homeomorfismo de Rn en s´ı mismo que manda el encaje en la inclusión canónica del c´ırculo en el plano determinado por las dos primeras coordenadas, como puede 615

616

NUDOS Y ENLACES

probarse usando argumentos de topolog´ıa diferencial (transversalidad). Es por tanto que los u ńicos encajes que revisten interés son los del 3 c´ırculo en R . La subsecuente es una primera definición provisional del concepto de nudo. Más adelante describiremos el concepto de nudo manso, que será nuestro objeto de estudio en lo que sigue. ´ n. Un nudo es un subespacio K de R3 homeomorfo XVI.1.1 Definicio 1 aS . La figura XVI.1 muestra cinco nudos, que llevan un nombre especial. La necesidad de dibujarlos en el plano nos fuerza a hacerlo por sus proyecciones regulares, las cuales codifican, de alguna manera, el encaje del nudo en el espacio. La porción (conexa) del diagrama, que va de un cruce inferior a otro se llama arco (o cuerda)

Trivial

Figura ocho

Trébol

Estibador

De los amantes

Figura XVI.1: Nudos El primero de ellos, el nudo trivial, se representa por el c´ırculo unitario en el plano. Si el lector fabrica estos cinco nudos con un cordel, cuyos cabos luego los una, fácilmente se va a convencer de que es imposible transformar uno en otro, a menos que pudiéramos lograr que

1-VARIEDADES Y NUDOS

617

el cordel se atraviese a s´ı mismo o, por supuesto, que se suelten los cabos. La siguiente definición parecer´ıa ser la forma natural para la equivalencia de nudos. ´ n. Dos nudos K0 y K1 son isomorfos si existe un XVI.1.2 Definicio homeomorfismo φ : R3 −→ R3 , tal que φ(K0 ) = K1 . Por ejemplo, la figura XVI.2 representa un nudo trivial, es decir, isomorfo a un c´ırculo, aunque en apariencia no lo sea. Es decir, jugando adecuadamente con el cordel podremos desanudarlo. Esto es equivalente a decir que hay un homeomorfismo del espacio que aplica ese nudo en el c´ırculo.

Figura XVI.2: Nudo trivial desagradable Sin embargo, la definición incluye entre los posibles homeomorfismos del espacio a una reflexión a través de un plano, lo que transformar´ıa el nudo trébol en su imagen especular; ambos se muestran en la figura XVI.3. Pero, si tratamos de jugar con el cordel para tratar de transformar uno en el otro, jamás lo lograremos. Si buscamos una definición que involucre el deslizamiento de porciones del nudo para transformarlo en otro, también podemos enfrentar dificultades, puesto que si “apretamos” el nudo lo suficiente llegar´ıamos al trivial, como lo sugiere la figura XVI.4. Para evitar esta situación, la deformación del nudo debe ser tal que deforme consigo puntos vecinos del espacio euclidiano sin colapsarlos.

618

NUDOS Y ENLACES

Trébol izquierdo

Trébol derecho

Figura XVI.3: Nudos especulares

1 0

Figura XVI.4: Deformación prohibida Recuérdese que un homeomorfismo φ : R3 −→ R3 es isot´ opico a la identidad si existe una isotop´ıa H : f ≃ g, es decir, una homotop´ıa, tal que para cada t ∈ I, Ht : R3 −→ R3 , es un homeomorfismo, H0 = φ y H1 = idR3 . Si K ⊂ R3 es un nudo, entonces Kt = H1−t (K) ⊂ R3 es un nudo para cada t; más a´ un, K0 = K y conforme t var´ıa de 0 a 1 K se 3 deforma en R . De un tal homeomorfismo φ decimos que conserva la orientaci´ on. ´ n. Dos nudos K0 y K1 son equivalentes si existe un XVI.1.3 Definicio homeomorfismo φ : R3 −→ R3 que conserva la orientación, tal que φ(K0 ) = K1 . Trataremos aqu´ı con los llamados nudos mansos, es decir, nudos equivalentes a nudos poligonales, o sea, nudos formados por un n´ umero finito de segmentos. Un ejemplo de un nudo salvaje, es decir, de un nudo que no es manso, se puede obtener haciendo una sucesión infinita de nudos cada vez más peque˜ nos en un c´ırculo, como lo muestra la figura XVI.5.

1-VARIEDADES Y NUDOS

619

Figura XVI.5: Nudo salvaje Las figuras de los nudos que hemos presentado, como ya sugerimos antes, implican un código para representarlos sin ambig¨ uedad en el plano, que nos permite trabajar adecuadamente con ellos. Estos dibujos son una proyección del nudo sobre un plano, tal que sólo tiene un n´ umero finito de cruces, a lo más son dos porciones del nudo las que se cruzan y los cruces son oblicuos, es decir, en un ángulo positivo (transversales). A una tal proyección la llamamos regular. El siguiente resultado es cierto, como fácilmente se intuye; la demostración involucra peque˜ nas deformaciones del nudo, que corrijan las posibles fallas de su proyección, pero no la daremos. XVI.1.4 Teorema. Todo nudo manso es equivalente a uno que tiene una proyecci´ on regular sobre el plano. ⊔ ⊓ En adelante cada vez que nos refiramos a un nudo será exclusivamente a un nudo manso. En lo que sigue veremos que es posible y conveniente generalizar el concepto de nudo. ´ n. Un enlace es una unión ajena de una familia XVI.1.5 Definicio finita de nudos en R3 . Es decir, nudos que, posiblemente, se entrelacen, mas que no se intersecten. Análogamente a un nudo, un enlace tiene una proyecci´ on regular, en donde se cruzan a lo más dos componentes y el cruce es transversal. Correspondiente a XVI.1.4, tenemos la siguiente afirmación.

620

NUDOS Y ENLACES

XVI.1.6 Teorema. Todo enlace es equivalente a uno que tiene una proyecci´ on regular sobre el plano. ⊔ ⊓ La figura XVI.6 muestra (proyecciones regulares de) varios enlaces.

(a)

(b)

(c)

Figura XVI.6: Enlaces

XVI.2

Jugadas de Reidemeister

Las proyecciones regulares de nudos equivalentes pueden ser muy distintas, como ya vimos en la figura XVI.2, que muestra una proyección aparentemente diferente a una del nudo trivial, o como se aprecia en la figura XVI.7, que muestra dos proyecciones diferentes del nudo de la figura ocho. Veremos en esta sección cómo jugar con las proyecciones regulares ´ de un nudo o un enlace para compararlas. Estas son modificaciones a las proyecciones que se llevan a cabo alrededor de uno, dos o tres cruces de tipo particular sin modificar el resto del diagrama de la proyección. ´ n. Las jugadas de Reidemeister en el diagrama de XVI.2.1 Definicio la proyección regular de un nudo o enlace pueden describirse como sigue: Tipo I

Sirve para eliminar o crear una coca en cualquier dirección. Elimina o crea un cruce.

JUGADAS DE REIDEMEISTER

621

Figura XVI.7: Dos proyecciones del nudo de la figura ocho Tipo II Sirve para pasar un rizo por debajo o por arriba de otro. Elimina o crea dos cruces. Tipo III Sirve para pasar un arco del nudo por encima o por abajo de un cruce. Involucra tres cruces. Son como se indica en la figura XVI.8. Se dice que dos proyecciones regulares son equivalentes si es posible pasar de una a la otra después de aplicar una secuencia finita de jugadas de Reidemeister de tipos I, II y III y un homeomorfismo del plano que conserve la orientación (es decir, que sea isotópico a la identidad). Se tiene el siguiente teorema debido a Reidemeister. Omitimos su demostración y referimos al lector a [1] para ver una prueba. XVI.2.2 Teorema. Dos nudos o enlaces son equivalentes si y s´ olo si todas sus proyecciones regulares son equivalentes. ⊔ ⊓ XVI.2.3 Ejemplo. Las proyecciones K1 y K2 que se ilustran en la figura XVI.9 parecen representar un par de nudos completamente diferentes. De hecho, durante una muy buena parte del siglo xx nadie pensó lo contrario. No fue hasta 1970 que el abogado estadounidense K. A. Perko probó que es posible transformar K1 en K2 llevando a cabo un enorme n´ umero de jugadas de Reidemeister. A este par de diagramas se les conoce como par de Perko (véase la figura XVI.9).

622

NUDOS Y ENLACES

∼ ∼

Jugada de tipo I

∼

Jugada de tipo II

∼

Jugada de tipo III

Figura XVI.8: Jugadas de Reidemeister umero de jugadas de Reidemeister necesarias para XVI.2.4 Nota. El n´ transformar una proyección de un nudo en otra puede ser, en general, enorme. En [23] se demuestra que si se tiene una proyección regular del nudo trivial, como por ejemplo la de la figura XVI.2, hay una constante positiva c tal que para cualquier proyección regular del nudo trivial, hay una sucesión de a lo más 2c·n jugadas de Reidemeister para convertirla en la proyección de un c´ırculo, si n es el n´ umero de cruces en 11 la proyección. El orden de magnitud de c es 10 . Para tener una idea de esta magnitud, cabe resaltar que la edad del universo es de menos de 5·1011 segundos. De acuerdo con esta estimación, el n´ umero de jugadas de Reidemeister, con las que seguramente se deshar´ıa una proyección 11 regular del nudo trivial con 7 cruces ser´ıa del orden de 210 ·7 o apro10 ximadamente 1010 ·21 , much´ısimos órdenes de magnitud por arriba de la edad del universo en segundos (o incluso en nanosegundos). Por el teorema de Reidemeister XVI.2.2, se convierte el problema de estudiar nudos y enlaces en el de analizar sus proyecciones regulares. De aqu´ı en adelante no distinguiremos entre un nudo o un enlace y su proyección regular, y trabajaremos exclusivamente con estas u ´ltimas.

NUDOS Y COLORES

K1

623

K2

Figura XVI.9: Par de Perko XVI.3

Nudos y colores

En cierto sentido, los nudos son más complicados que las superficies. El problema de distinguirlos involucra la forma como están encajados en el espacio. No fue hasta la década de 1920 que se pudo demostrar la existencia de los nudos no triviales, es decir, que los nudos realmente existen. Obviamente se intu´ıa que el nudo trébol no era trivial, pero no hab´ıa una prueba para ello. El propio manejo de las jugadas de Reidemeister no es desde el punto de vista del cálculo algo simple, seg´ un se˜ nalamos ya en la nota XVI.2.4. El primero en demostrar que el nudo trébol no es trivial fue Reidemeister de la siguiente forma. Inventó una propiedad que no es nada obvia, que se formula diciendo que es posible iluminar cada arco de la proyección regular del nudo con tres colores distintos de modo que se haga uso de al menos dos de los colores y que en cada cruce los tres colores de los arcos que inciden sean todos distintos o todos iguales, es decir, en ning´ un cruce pueden involucrarse sólo dos colores. Por ejemplo, si al trébol, en su representación más simple como en la figura XVI.1, que está formada por tres arcos, se le da a cada arco uno de los tres colores, las reglas se cumplen. Entonces se dice que el trébol es tricoloreable. Reidemeister demostró que esta propiedad es invariante bajo las jugadas de Reidemeister (véase el teorema XVI.3.6). Sin embargo, el c´ırculo, al no tener cruces, no tiene esta propiedad, por lo que no puede ser equivalente al trébol. Con el objeto de abordar con mayor generalidad el problema de distinguir los nudos, introduciremos un procedimiento que generaliza la

624

NUDOS Y ENLACES

tricloreabilidad de Reidemeister, al que llamaremos juego de los colores y es como sigue. Tómese una rueda con un n´ umero impar n de rayos distribuidos uniformemente, a cada uno de los cuales se le asigna un color, al que codificaremos como, por ejemplo, r = rojo, v = verde, a = amarillo, m = morado y z = azul, como lo ilustra la figura XVI.10, para el caso n = 5. r v z a m

Figura XVI.10: Rueda de colores para n = 5

´ n. Definimos el juego de los colores como sigue. XVI.3.1 Definicio Usando los n colores distintos de la rueda, iluminemos cada uno de los arcos de la proyección del nudo de acuerdo con las siguientes reglas: (a) Habr´ an de usarse al menos dos colores distintos. (b) En un cruce, el color del arco que pasa por delante debe ser el que corresponde a la bisectriz (´ unica) del ángulo que forman los rayos con los colores de los arcos que inciden en el cruce y pasan por detrás (estos tres colores pueden ser iguales). A una coloración que satisface las reglas (a) y (b) la llamaremos n-coloraci´ on admisible. Estas reglas las ilustra la figura XVI.11. Vale la pena resaltar que hacer uso precisamente de un n´ umero impar de colores garantiza que, dados cualesquiera dos colores, existe uno u ńico que es bisectriz. (Si n fuera par, podr´ıa haber dos bisectrices o ninguna.)

625

NUDOS Y COLORES r z v

Figura XVI.11: Coloración admisible XVI.3.2 Ejemplo. El nudo de la figura ocho, K8 , que se presenta en la figura XVI.12(a) está iluminado usando los cinco colores de la rueda de la figura XVI.11, de modo que cumple con las reglas del juego; sin embargo, el nudo trébol T de la figura XVI.12(b) no es posible iluminarlo con los cinco colores de acuerdo con las reglas del juego. r

r

a

m

z z (a)

v (b)

Figura XVI.12: Coloraciones Por otro lado, si en vez de utilizar una rueda de cinco colores, utilizamos una de tres, como en la figura XVI.13, s´ı es posible iluminar el trébol, como ya mencionamos al principio de esta sección. Fácilmente podemos verificar, sin embargo, que no es posible iluminar el nudo de la figura ocho con tres colores.

´ n. Dada una proyección regular de un nudo, se deXVI.3.3 Definicio fine su n´ umero crom´ atico como el m´ınimo n´ umero impar n mayor que 1 tal que la proyección admite una n-coloración de acuerdo con las reglas XVI.3.1(a) y (b). Si no admite ninguna coloración con estas reglas se

626

NUDOS Y ENLACES r

b

g

Figura XVI.13: Rueda de colores para n = 3 define este n´ umero como 1 (éste es el caso con cualquier proyección regular del nudo trivial). XVI.3.4 Ejercicio. Probar que una proyección regular de un nudo es n-coloreable si y sólo si sus arcos pueden etiquetarse con los n´ umeros enteros 0, 1, 2, . . . , n − 1 de modo que se cumplan las siguientes reglas: (a) Al menos habrán de utilizarse dos de esos n´ umeros. (b) En un cruce, si el paso superior lleva la etiqueta a y los dos inferiores las etiquetas b y c entonces n|2a − b − c, es decir, 2a ≡ b + c (n). (Sugerencia: Notar que para que las congruencias tengan solución u ńica n debe ser impar. Notar también que el grupo c´ıclico con n elementos puede realizarse como subgrupo de S1 ⊂ C tomando las n-ésimas ra´ıces de la unidad.) XVI.3.5 Ejercicio. Tómese la proyección del nudo de Ochiai dada en la figura XVI.14. Probar que su n´ umero cromático es 1, es decir, que no admite una n-coloración para toda n > 1. (Sugerencia: Usar la descripción del ejercicio anterior y resolver las congruencias como ecuaciones en Z.) El uso de la expresión invariante para el n´ umero cromático lo justifica la siguiente afirmación, que permite aplicarlo no sólo a la proyección de un nudo, sino también al nudo mismo.

NUDOS Y COLORES

627

Figura XVI.14: Nudo de Ochiai XVI.3.6 Teorema. Si dos proyecciones regulares son equivalentes, entonces tienen el mismo n´ umero crom´ atico. Demostraci´ on: Debemos verificar que si un diagrama admite una coloración con n colores, entonces al modificarlo con cualquiera de las jugadas de Reidemeister sigue admitiendo una n-coloración. Para la jugada de tipo I tenemos que si es admisible una coloración, como la que se ve en la figura XVI.15, alrededor del cruce correspondiente, entonces b = a, por lo que todos los tres colores son el mismo, digamos a. a

b

a

Figura XVI.15: Coloración admisible y la jugada tipo I Para la jugada de tipo II obsérvese que si suponemos que en la figura XVI.16 es admisible la coloración de la izquierda con colores a, b, c y d, entonces a es bisectriz de b y c y también lo es de c y d, lo cual

628

NUDOS Y ENLACES

sólo es posible si d = b; por lo tanto, la coloración de la derecha debe ser admisible. a d

c

a b

a b

Figura XVI.16: Coloración admisible y la jugada tipo II Para la jugada de tipo III tenemos que si es admisible la coloración dada en la izquierda de la figura XVI.17, con los colores a, b, c, d, e y f , entonces, en la derecha, deben ser correctos los colores a, b, c, d y e; sólo resta por determinar si es posible encontrar en la rueda de colores un color x, que haga admisible la coloración. Ahora bien, siempre es factible tomar x de tal modo que b es bisectriz de c y x; es rutina verificar que, entonces, a es bisectriz de d y x. ⊔ ⊓

a

c

b

a

b

c

b

e

x f d

b

e

d

Figura XVI.17: Coloración admisible y la jugada tipo III

XVI.3.7 Ejercicio. Reformular la demostración anterior para la descripción dada en el ejercicio XVI.3.4 Por el teorema anterior, tenemos que el n´ umero de colores requeridos para iluminar la proyección de un nudo es un invariante del nudo, es

629

NUDOS Y COLORES

decir, depende sólo del nudo como tal y no de alguna de sus proyecciones regulares. Llamaremos a este invariante, es decir, al m´ınimo n´ umero de colores requeridos para colorear una de sus proyecciones regulares, o 1, el n´ umero crom´ atico del nudo. XVI.3.8 Ejemplo. El nudo de la figura ocho tiene como n´ umero cromático a 5, pero no a 3, y el trébol tiene a 3, pero no a 5. Podemos concluir que el nudo de la figura ocho y el nudo trébol no son equivalentes. No es posible modificar a uno, sin cortarlo, para obtener el otro. c

a

c

b TI

a

b TD

Figura XVI.18: Coloraciones admisibles para los nudos trébol izquierdo y derecho

La figura XVI.18 ilustra el nudo trébol y su imagen especular (como se ve a través de un espejo), y surge la pregunta de si éstos son nudos equivalentes. Tal vez la experiencia cotidiana nos permita aventurarnos a responder que no lo son, pero nuestro juego de los colores no basta para probarlo, ya que si uno de los tréboles se ilumina con tres colores a, b, c, de modo que la coloración sea admisible, al ponerlo en un espejo obtenemos automáticamente una iluminación admisible para el otro: ambos poseen n´ umero cromático igual a 3. De hecho, vale el siguiente resultado. XVI.3.9 Proposici´ on. Si el n´ umero crom´ atico de un nudo es n, entonces el de su imagen especular también es n. ⊔ ⊓ XVI.3.10 Ejercicio. Calcular el n´ umero cromático de cada uno de los nudos de la figura XVI.1.

630

NUDOS Y ENLACES

XVI.4

Nudos, enlaces y polinomios

El n´ umero cromático que introdujimos en la sección anterior no distingue nunca a un nudo de su imagen especular; se dice que un nudo es anfiqueiral si es equivalente a su imagen especular. ¿Serán todos los nudos anfiqueirales? Introduciremos ahora un nuevo invariante, más fino que el n´ umero 1 cromático, que es un polinomio ([28] o [29]).

´ n. El corchete de Kauffman asocia a una proyección XVI.4.1 Definicio de un nudo o enlace K un polinomio en las indeterminadas x, y y d con n´ umeros enteros como coeficientes, [K] ∈ Z[x, y, d], de acuerdo con las siguientes fórmulas de recurrencia: [ (a)

]

[ = x

]

[

]

+ y

Esta regla afirma que si venimos caminando por un “paso superior”, podemos cambiarlo yendo a la izquierda y multiplicando el corchete del enlace resultante por x, y yendo a la derecha y multiplicando el corchete del enlace resultante por y y sumando ambos resultados. De este modo, reducimos el cálculo del corchete de una proyección de un nudo al cálculo del corchete de dos proyecciones con un cruce menos cada una de ellas. Ejemplo: [

]

[ = x

]

[

]

+y

(b) [K ⊔ ⃝] = d[K]. Esta regla establece que si un enlace tiene una componente que es un nudo trivial desenlazado, podemos eliminarla si multiplicamos el corchete del enlace que queda por d. 1 Agradezco a Michael Barot y a Francisco Gonz´ alez Acu˜ na sus valiosos comentarios sobre el contenido de esta secci´ on.

631

NUDOS, ENLACES Y POLINOMIOS

Ejemplo:

[

]

[

]

[ +y [ ] [ = xd +y [ ] = (xd + y) = x

] ]

y [

] = x [⃝⃝] + y [⃝] = xd [⃝] + y [⃝] = (xy + d) [⃝]

(c) [⃝] = 1. Esta regla, finalmente, no pide otra cosa que el corchete de la proyección del nudo trivial sea el polinomio trivial 1. As´ı, tenemos que [ ] [ ] = (xd + y) = (xd + y)(xd + y) = (xd + y)2 XVI.4.2 Lema. El corchete de Kauffman [ ] es invariante bajo la jugada de Reidemeister de tipo II si y s´ olo si xy = 1 y d = −x2 − x−2 . Demostraci´ on: Considérese la siguiente serie de igualdades: [ ] [ ] [ ] = x +y ( [ ] [ ]) ( [ ] [ = x x +y +y x +y ] [ ] ( )[ = x2 + y 2 + xyd + xy [ ] ; =

])

la u ´ltima de ellas se cumple si y sólo si xy = 1, es decir, y = x−1 , y x2 + y 2 + xyd = 0, o sea, si d = −x2 − x−2 . ⊔ ⊓

632

NUDOS Y ENLACES

XVI.4.3 Corolario. Si xy = 1 y d = −x2 − x−2 , el corchete de Kauffman [ ] es invariante bajo la jugada de Reidemeister de tipo III. [ Demostraci´ on: [ ] [ x +y ] [ [ =

]

[

]

= x

[ +y

] [ ; además,

]

= ] ; pero por la invariancia bajo la jugada de tipo II, ] [ ] [ ] [ ] = . Por lo tanto, = . ⊔ ⊓

Denotemos por ⟨K⟩ ∈ Z[x, x−1 ] el corchete de Kauffman [K] para el caso xy = 1 y d = −x2 − x−2 y llamémoslo corchete de Kauffman fino. Por tanto, ⟨K⟩ es un polinomio de Laurent, es decir, en potencias positivas y negativas de x. Ahora podemos terminar el cálculo del corchete para al nudo trébol. Faltaba por calcular ⟨ ⟩ ⟨ ⟩ ⟨ ⟩ = x + x−1 ( ) ( ) = x −x3 + x−1 x ⟨⃝⟩ + x−1 ⟨⃝⃝⟩ ( ) = −x4 + 1 + x−2 −x2 − x−2 = −x4 − x−4 . Por lo tanto, para el nudo trébol izquierdo tenemos que ⟨ ⟩ ( ) ( ) = x x6 + x−1 −x4 − x−4 = −x−5 − x3 + x7 . Si tomamos la imagen especular de la proyección de un nudo, lo u ńico que var´ıa es la orientación, por lo que cambia “izquierda” por “derecha”; as´ı, la regla XVI.4.1(a) implica que en el corchete de la imagen especular aparecen las potencias de x intercambiadas con las potencias de y. Pero, ya que estamos conviniendo en que y = x−1 , realmente deben aparecer las potencias de x con los signos opuestos. Por lo tanto, para la proyección del nudo trébol derecho se tiene que ⟨ ⟩ = x−7 − x−3 − x5 . Ambas proyecciones tienen, consecuentemente, polinomios diferentes.


633

Como ya verificamos, si se modifica la proyección K de un nudo con jugadas de Reidemeister de tipos II o III, su polinomio ⟨K⟩ no se altera. Sin embargo, la jugada de tipo I s´ı lo cambia; a saber, ⟨ ⟩ ⟨ ⟩ (XVI.4.4) = −x3 , ⟨ ⟨ ⟩ ⟩ = −x−3 , por lo que el corchete de Kauffman fino no es un invariante de nudos ni de enlaces. Para corregir este mal comportamiento, necesitamos lo siguiente. ´ n. Se define el torcimiento w(K) de la proyección XVI.4.5 Definicio de un nudo o enlace K de la siguiente forma. Désele a cada componente una orientación y cuéntense los cruces positivos y los negativos, seg´ un la figura XVI.19.

+

−

Figura XVI.19: Cruces orientados Entonces w(K) es el n´ umero de cruces positivos menos el n´ umero de cruces negativos. Obsérvese que si K es un nudo y se toma la orientación opuesta, entonces, en cada cruce, se invierten las dos direcciones, por lo que la orientación del cruce no cambia. As´ı, el torcimiento w(K) no depende de la orientaci´ on elegida. XVI.4.6 Ejercicio. Asignar a cada nudo de la figura XVI.1 una orientación y calcular el torcimiento en cada caso. XVI.4.7 Ejercicio. Asignar sus posibles orientaciones al enlace de Whitehead y a los anillos borromeanos de la figura XVI.20, y calcular los correspondientes torcimientos. Es un ejercicio sencillo demostrar la siguiente afirmación.

634

NUDOS Y ENLACES

Enlace de Whitehead

Anillos borromeanos

Figura XVI.20: Enlaces on de un nudo es XVI.4.8 Proposici´ on. El torcimiento de la proyecci´ invariante bajo las jugadas de Reidemeister II y III. ⊔ ⊓ Como ya dijimos antes, es un sencillo ejercicio probar lo siguiente. XVI.4.9 Proposici´ on. El torcimiento de la proyecci´ on de un nudo es independiente de la orientaci´ on que se le dé. ⊔ ⊓ XVI.4.10 Ejemplo. Como se aprecia en la figura XVI.21, el trébol izquierdo TI tiene torcimiento +3 y el derecho TD , −3.

−

−

−

+

+

+

w(TL ) = −3

w(TR ) = +3

Figura XVI.21: El torcimiento de los nudos trébol izquierdo y derecho

´ n. Asociado a la proyección de un enlace K, queda XVI.4.11 Definicio un polinomio definido por fK (x) = (−x3 )−w(K) ⟨K⟩ .


635

XVI.4.12 Teorema. El polinomio fK (x) de la proyecci´ on de un nudo o enlace K es invariante bajo las jugadas de Reidemeister de tipo I, II y III; por lo tanto, es invariante de un nudo. Demostraci´ on: Por (XVI.4.4), eliminar una coca en K corresponde a multiplicar por x3 o x−3 , seg´ un la orientación de la coca. Por lo tanto, como a la vez se reduce el torcimiento en 1 o −1, el efecto final es que el valor del polinomio se mantiene constante bajo una jugada de Reidemeister de tipo I. Por XVI.4.8, fK es invariante bajo las jugadas de tipo II y III. Por lo tanto, permanece invariante bajo las tres jugadas, por lo que es un invariante del nudo o del enlace. ⊔ ⊓ En particular, tenemos para el trébol izquierdo fTI (x) = (−x3 )3 (−x−5 − x3 + x7 ) = x4 + x12 − x16 ; y para el derecho fTD (x) = (−x3 )−3 (x−7 − x−3 − x5 ) = −x−16 + x−12 + x−4 . Por lo tanto, hemos probado lo siguiente. XVI.4.13 Proposici´ on. El nudo trébol izquierdo TI y el nudo trébol derecho TD no son equivalentes, es decir, el nudo trébol no es anfiqueiral. ⊔ ⊓ Puede probarse que para un nudo K el polinomio fK (x) posee sólo potencias que son m´ ultiplos de 4, por lo que conviene simplificarlo sustituyendo x por t−1/4 , para obtener el llamado polinomio de Jones de K, VK (t) = fK (t−1/4 ) en potencias de la indeterminada t, (véase [27]). En particular, para los nudos trébol tenemos VTI (t) = −t−4 + t−3 + t−1 , VTD (t) = t + t3 − t4 . Se puede demostrar que el valor M que se obtiene del polinomio de Jones, al tomar t = −1 y m = |VK (−1)|, es divisible entre el n´ umero cromático n del nudo K que se presentó en la primera parte de este

636

NUDOS Y ENLACES

trabajo. En el caso del trébol, |VTI (−1)| = 3 = |VTD (−1)|. Es un buen ejercicio calcular el polinomio de Jones del nudo de la figura ocho K8 , para obtener VK8 (t) = t−2 − t−1 + 1 − t1 + t2 , y verificar que |VK8 (−1)| = 5, que es el n´ umero cromático de K8 . XVI.4.14 Ejercicio. Calcular los polinomios de Jones de los nudos del estibador, de los amantes, ambos de la figura XVI.1, as´ı como el del nudo de Ochiai de la figura XVI.14. En cada uno de los tres casos, calcular |VK (−1)|. ´ n. Dadas proyecciones regulares de dos nudos K XVI.4.15 Definicio ′ y K , se puede definir un nuevo nudo removiendo un peque˜ no arco de cada una de las proyecciones y uniendo los cuatro puntos extremos con dos arcos entre ambas proyecciones, como lo muestra la figura XVI.22. Al nudo obtenido se le llama suma conexa de K y K ′ y se le denota como K#K ′ . Por supuesto, para efectuar esta operación se supone que las proyecciones no se traslapan, y los arcos que se escogen para ser removidos están en el exterior, de modo que los dos nuevos arcos que se eligen, para unir cada uno de los extremos de una de las proyecciones resultantes con los de la otra, no se crucen, ni entre s´ı ni con otros arcos de las proyecciones. Si un nudo es la suma conexa de dos nudos no triviales, se le llama nudo compuesto. La suma conexa de un nudo K con un nudo trivial vuelve a dar el nudo K. Si un nudo no es compuesto, entonces se dice que es un nudo primo. Cómparese la definición anterior con la suma conexa de variedades XI.1.34, en el cap´ıtulo II. XVI.4.16 Ejercicio. (a) Probar que el corchete de Kauffman fino de una suma conexa de dos (diagramas de) nudos es el producto de los corchetes de cada sumando, es decir, ⟨K#K ′ ⟩ = ⟨K⟩⟨K ′ ⟩ .


K′

K

637

K#K ′

Figura XVI.22: Suma conexa de nudos (b) Demostrar que el torcimiento de una suma conexa de dos (diagramas de) nudos es la suma de los torcimientos, es decir, w(K#K ′ ) = w(K) + w(K ′ ) . (c) Concluir que el polinomio de Jones de una suma conexa de (diagramas de) nudos es el producto de los polinomios de Jones de cada sumando, es decir, VK#K ′ (t) = VK (t)VK ′ (t) . (d) Haciendo uso de (c), calcular los polinomios de Jones del nudo de la abuelita y del cuadrado, que se ilustran en la figura XVI.23.

De la abuelita

Cuadrado

Figura XVI.23: Sumas conexas de nudos trébol XVI.4.17 Ejercicio. (a) Probar que si dos nudos K y K ′ tienen el mismo n´ umero cromático n, entonces el n´ umero cromático de su suma conexa vuelve a ser n.

638

NUDOS Y ENLACES

(b) Más en general, probar que si n(K) denota el n´ umero cromático de un nudo K entonces se tiene que n(K#K ′ ) = m´ın{n(K), n(K ′ )} , donde m´ın representa el m´ınimo de ambos n´ umeros. XVI.4.18 Ejercicio. Haciendo uso de los ejercicios anteriores, calcular los n´ umeros cromáticos n y n′ del nudo K de la abuelita y de K ′ el nudo cuadrado, y verificar que estos n´ umeros no coinciden con m = |VK (−1)| y m′ = |VK ′ (−1)|. Comprobar que, sin embargo, n|m y n′ |m′ . XVI.4.19 Nota. El libro [1] contiene una tabla con los polinomios de los nudos primos con hasta nueve cruces.

XVI.5

El grupo de un nudo

Dados dos nudos equivalentes K1 y K2 , sabemos que existe un homeomorfismo φ : R3 −→ R3 , que conserva la orientación y es tal que φ(K1 ) = K2 , por lo que se obtiene, por restricción, un homeomorfismo φ′ : R3 − K1 ≈ R3 − K2 . Hemos probado la siguiente afirmación. XVI.5.1 Proposici´ on. Nudos equivalentes tienen complementos homeomorfos. ⊔ ⊓ Nuevamente hemos incurrido en el problema del homeomorfismo; la proposición anterior implica que si dos nudos tienen complementos no homeomorfos, entonces los nudos no son equivalentes. Por lo tanto, cualquier invariante que nos permita distinguir espacios, salvo homeomorfismo, servirá para distinguir nudos. XVI.5.2 Nota. Observemos que un nudo y su imagen especular tienen complementos homeomorfos, ya que una reflexión en R3 es un homeomorfismo que manda a cualquier nudo en su imagen especular. Como ya mencionamos en la introducción, no hace muchos a˜ nos Gordon y Luecke [21] probaron el inverso de la proposición XVI.5.1; más precisamente,

EL GRUPO DE UN NUDO

639

demostraron que dos nudos, o uno de ellos y la imagen especular del otro, son equivalentes si y s´ olo si sus complementos son homeomorfos. De esta manera, el problema de equivalencia de nudos es equivalente al problema del homeomorfismo aplicado a ciertas subvariedades de dimensión 3 de R3 . Un buen invariante para distinguir dos nudos es el grupo fundamental de sus complementos. ´ n. Sea K ⊂ R3 un nudo. Al grupo fundamental XVI.5.3 Definicio π1 (R3 − K) se le llama grupo de nudo de K y se le denota por π(K). Por lo tanto, es inmediata la siguiente afirmación. XVI.5.4 Proposici´ on. El grupo de nudo π(K) es un invariante de la clase de equivalencia de K, es decir, si K y K ′ son nudos equivalentes, entonces sus grupos de nudo π(K) y π(K ′ ) son isomorfos. ⊔ ⊓ En lo que sigue buscaremos alguna forma razonable de presentar el grupo de nudo en términos de generadores y relaciones. Para ello, tomemos un nudo K dentro del semiespacio superior de R3 (x3 > 0), de tal forma dispuesto que su proyección vertical sobre el plano x3 = 0 sea regular. Rompámosla ahora en porciones correspondientes a “pasos superiores” o “pasos inferiores”, de manera que se alternen, como se muestra en la figura XVI.24 para el trébol y el nudo de la figura ocho.

K es el nudo trébol

K es el nudo de la figura ocho

Figura XVI.24: Pasos superiores e inferiores de un nudo K

640

NUDOS Y ENLACES

Reemplacemos ahora cada paso inferior por su proyección en el plano x3 = 0 y unámoslo con los pasos superiores contiguos por segmentos verticales, de modo que obtenemos un nuevo nudo, al que denotaremos otra vez por K, evidentemente equivalente al nudo original, como se ve en la figura XVI.25.

x3 = 0

Figura XVI.25: Nudo K modificado Ahora procederemos a calcular el grupo de nudo de K descomponiendo R3 −K en varios pedazos con grupos fundamentales reconocibles y aplicando el teorema de Seifert y van Kampen en cada paso. 3 es el semiesEn primer lugar, calcularemos π1 (R3+ − K), donde R+ pacio superior cerrado, x3 ≥ 0. Tómese un punto básico x0 con una cota (coordenada x3 ) suficientemente grande para que esté arriba del nudo y désele una orientación al nudo. Para cada paso superior, tómese un lazo basado en x0 que rodee una vez al paso en sentido dextrógiro, como lo muestra la figura XVI.26. Llamemos λ1 , λ2 , . . . , λk a estos lazos y sean α1 , α2 , . . . , αk ∈ π1 (R3+ − K) los elementos que ellos determinan. Se obtiene el siguiente resultado. a generado libremente por los XVI.5.5 Lema. El grupo π1 (R3+ − K) est´ elementos α1 , α2 , . . . , αk .

641

EL GRUPO DE UN NUDO

λ1

λ2

λ3

Figura XVI.26: Generadores del grupo del nudo

b al subespacio de K formado por los Demostraci´ on: Denotemos por K pasos superiores y los segmentos verticales de K, cuyos extremos inferiores yacen en el plano x3 = 0. Por lo tanto, la inclusión R3+ − K ,→ b es una equivalencia homotópica y el grupo fundamental de R3+ − K ambos espacios es el mismo. La unión Ki de cada paso superior con los segmentos verticales de sus extremos tiene una vecindad cerrada Bi en R3+ homeomorfa a una 3-bola, de la forma digamos, de una herradura Hi × I, como se ilustra en la figura XVI.27(a); cada complemento Bi − Ki es homeomorfo a un cilindro con el eje removido (B2 − 0) × I, como se ve en la figura XVI.27(b), por lo que es homotópicamente equivalente a B2 − 0 y, de hecho, a S1 , y su grupo fundamental es isomorfo Z generado por la clase αi′ de un lazo que rodea una vez a K precisamente alrededor del paso superior de Ki . Si X es el espacio que resulta de remover en R3+ los interiores de cada Bi y el interior del disco en que Bi intersecta al plano x3 = 0, entonces es X homeomorfo a R3+ y, en particular, es simplemente conexo, y b = X ∪ (B1 − K1 ) ∪ (B2 − K2 ) ∪ · · · ∪ (Bk − Kk ). tenemos que R3 − K

642

NUDOS Y ENLACES

Por otro lado, la intersección de X con cada porción Bi − Ki es homeomorfa a un disco, por lo que también es simplemente conexa. Si b = suponemos, inductivamente, que el grupo fundamental de R3 − K X ∪ (B1 − K1 ) ∪ (B2 − K2 ) ∪ · · · ∪ (Bi − Ki ) es libre generado por α1 , α2 , . . . , αi , el teorema de Seifert y van Kampen implica que el de b = X ∪ (B1 − K1 ) ∪ (B2 − K2 ) ∪ · · · ∪ (Bi+1 − Ki+1 ) se obtiene R3 − K agregando un nuevo generador alrededor de Ki , que puede ser, por supuesto, αi+1 . Esto prueba nuestro lema. ⊔ ⊓

paso superior

Bi

(a)

(b)

Figura XVI.27: Las herraduras En realidad, debido a que deseamos aplicar el teorema de Seifert y van Kampen, necesitamos dos abiertos. Uno de ellos, al que contib se obtiene uniéndole (R2 − K) b × (−ε, 0], nuaremos denotando R3+ − K, es decir, haciéndolo crecer un poco hacia abajo, sin alterar su tipo de homotop´ıa. b que representa los puntos Nos falta ahora agregar el abierto R3− − K 3 de cota negativa de R , pero quitándoles, no sólo los pasos inferiores b sino los productos de las correspondientes porciones de arco de K, con el intervalo (−ε, 0). Homotópicamente es este espacio equivalente al original y la intersección de ambos espacios agrandados es también

EL GRUPO DE UN NUDO

643

homotópicamente equivalente a la intersección original de cota x3 = 0. Razonemos pues con los espacios originales. Echemos un vistazo al paso inferior del nudo entre los pasos superiores i-ésimo e (i+1)-ésimo y supongamos que el j-ésimo paso superior pasa sobre de él, como en la figura XVI.28. Tomemos los lazos λi y λi+1 y recorrámolos a que pasen cerca del cruce y tomemos lazos λj y λ′j que representen a αj , pero que cada uno pase por lados distintos del paso inferior, como lo muestra la figura XVI.28. Engrosemos ahora la proyección del paso inferior en R3− para obtener una bola de dimensión b la diferencia Di − K. b 3, Di , y consideremos el resultado de unir a R3 − K +

Para poder basar todos los lazos en x0 , a˜ nadimos a Di un segmento de x0 a A y después, verticalmente, otro a B en la tapa superior de Di . b es simplemente conexo, como es claro, y (Di − K) b ∩ (R3+ − K) b Di − K consiste en un disco al que se le remueve un arco (liso) de su interior, por lo que tiene el tipo de homotop´ıa de un c´ırculo y, con ello, su grupo fundamental es c´ıclico infinito (véase el ejercicio XVI.5.11), generado, digamos, por un lazo µi basado en x0 que se enreda una vez alrededor del paso inferior en sentido dextrógiro en el plano x3 = 0. Entonces µi representa un elemento del grupo fundamental que denotaremos por βi . De acuerdo con el teorema de Seifert y van Kampen, si queremos b ∪ (Di − K), b hay que incluir calcular el grupo fundamental de (R3+ − K) e donde ι es la inclusión la relación ι∗ (βi ) = 1 a π1 (R3+ − K), b ∪ (Di − K) b ,→ R3 − K e. (R3+ − K) + Pero ι∗ (βi ) está representado por el lazo µi visto como lazo en R3+ − e Deslizando µi verticalmente hacia arriba, obtenemos un lazo hoK. motópico a λi λj λi+1 λ′j , como también se aprecia en la figura XVI.28. b produce el efecto de imponer en el grupo la relación As´ı, a˜ nadir Di − K

−1 −1 αi αj αi+1 αj = 1. Nótese que si se invierte la orientación del j-ésimo paso superior, la relación cambia por αi+1 αj αi−1 αj−1 = 1. La otra posibilidad ser´ıa que el “paso inferior” hubiera sido incluido sólo para separar dos pasos superiores consecutivos. En este caso, el lazo µi es claramente homotópico a λi λi+1 ; por tanto, la relación que −1 habr´ıa que agregar en este caso ser´ıa αi αi+1 = 1. A cualquiera de las dos relaciones la denotaremos por ri .

644

NUDOS Y ENLACES x0

λi+1

R3+

λj

λ′j A λi

µi B

R3− Di

Figura XVI.28: Aplicación del teorema de Seifert–van Kampen Ya que tenemos en total k pasos inferiores, los primeros k − 1 determinan relaciones r1 , r2 , . . . , rk−1 y proporcionan la descripción del grupo fundamental π1 (Y ), donde b ∪ (D1 − K) b ∪ · · · ∪ (Dk−1 − K) b Y = (R3+ − K) es ⟨α1 , . . . , αk | r1 , . . . , rk−1 ⟩. Veremos ahora que ésta es ya la descripción final que estamos buscando, pues la relación proveniente del u ´ltimo paso inferior es consecuencia de las anteriores. Sea Z la cerradura de R3 −Y . Para completar b habrá que unir Z − K b a Y . Pero Z − K b la construcción de R3 − K, b es simplemente conexo y Y ∩ (Z − K) tiene grupo fundamental c´ıclico infinito generado por un lazo alrededor del u ´ltimo paso inferior. Ahora podemos escoger este lazo como un c´ırculo grande en el plano x3 = 0 que rodea toda la proyección de nuestro nudo. Si deslizamos este c´ırculo verticalmente hacia arriba, hasta que esté encima del nudo, y luego lo contraemos, observamos que representa el elemento trivial de π1 (Y ). Aplicando el teorema de Seifert y van Kampen, obtenemos el resultado

EL GRUPO DE UN NUDO

645

principal de esta sección. XVI.5.6 Teorema. El grupo de nudo de K est´ a generado por los elementos α1 , α2 , . . . , αk , sujetos a las relaciones r1 , r2 , . . . , rk−1 . ⊔ ⊓ XVI.5.7 Ejemplos. (a) Para calcular el grupo del nudo trivial partimos el c´ırculo en dos semic´ırculos, conviniendo en que uno sea el paso superior; la receta que dimos arriba nos proporciona un generador y ninguna relación, por lo que el grupo de nudo del nudo trivial es c´ıclico infinito, es decir, isomorfo a Z. (b) Para hacer lo propio para el trébol izquierdo, se toman pasos superiores e inferiores de acuerdo con la figura XVI.24; tenemos −1 as´ı tres generadores α1 , α2 , α3 sujetos a las relaciones x1 x2 x−1 1 x3 −1 −1 y x2 x3 x2 x1 . Si eliminamos α3 y escribimos a = α1 y b = α2 , resulta que el grupo de nudo del nudo trébol es G = ⟨a, b | abab−1 a−1 b−1 ⟩ .

Si tomamos el grupo de permutaciones de tres letras, Σ3 , se tiene un homomorfismo G −→ Σ3 , tal que a 7→ (12), b 7→ (23), ya que (12)(23)(12) = (13) = (23)(12)(23). Dado que (12) y (23) generan Σ3 , el homomorfismo es un epimorfismo. Esto muestra que G no es abeliano y no es, por tanto, Z. As´ı, vemos nuevamente que el nudo trébol no es equivalente al nudo trivial. (c) Si consideramos ahora el nudo cuadrado, de la figura XVI.23, podemos tomar pasos superiores e inferiores como se muestra en la figura XVI.29 y etiquetarlos del 1 al 6. Las letras a, b, c representan los generadores del nudo de grupo correspondientes a tres de los pasos superiores, como se ve, y usando las relaciones dadas por los pasos inferiores, 1, 2, 4, 5, expresaremos los demás generadores en términos de estos tres. Las relaciones correspondientes a los pasos inferiores 3 y 6 son (b−1 ab)(b−1 a−1 bab)b−1 (b−1 a−1 bab)−1 ,

646

NUDOS Y ENLACES b−1 a−1 bab

c−1 ac

b−1 ab

6

3

5

4 1

2 a

c

b

Figura XVI.29: Cálculo del grupo del nudo cuadrado que se transforma en abab−1 a−1 b−1 , y (c−1 ac)(b−1 a−1 bab)(c−1 ac)−1 c−1 , que se convierte en acac−1 a−1 c−1 , al reemplazar bab por aba. As´ı, el grupo de nudo del nudo cuadrado es ⟨a, b, c | abab−1 a−1 b−1 , acac−1 a−1 c−1 ⟩ .

Nudos no equivalentes pueden poseer el mismo grupo de nudo. Por ejemplo, el lado izquierdo del nudo cuadrado es como un trébol derecho, mientras que el izquierdo es su imagen especular. Si cambiamos el lado izquierdo por otro trébol derecho, obtenemos el nudo de la abuelita, que, se sabe, es un nudo diferente (véase XVI.4.16); sin embargo, es un ejercicio para el lector verificar que éste tiene grupo de nudo isomorfo al del nudo cuadrado. Compárese esto con el resultado del ejercicio XVI.4.16. El problema de decidir si dos grupos dados en términos de generadores y relaciones son isomorfos o no es, en general, imposible de resolver y, en el mejor de los casos, es una tarea dif´ıcil. Por lo tanto, el problema

EL GRUPO DE UN NUDO

647

de clasificar los nudos, al ser equivalente al de clasificar grupos, no tiene solución. Ya en el caso de la clasificación de las superficies tuvimos que abordar el problema abelianizando los grupos fundamentales. Desgraciadamente vale la siguiente afirmación, que trivializa el problema al abelianizar. XVI.5.8 Proposici´ on. La abelianizaci´ on de cualquier grupo de nudo es un grupo c´ıclico infinito. ⊔ ⊓ Por lo tanto, en el caso de los nudos, éste no es un procedimiento a seguir. XVI.5.9 Ejercicio. Calcular el grupo de nudo de los nudos del estibador y de los amantes. XVI.5.10 Ejercicio. Sean K un nudo manso y T una vecindad tubular de él, que se obtiene tomando todos los puntos en R3 cuya distancia al nudo es menor o igual a ε > 0, donde ε es suficientemente peque˜ na para que el tubo no tenga autointersecciones. Probar que R3 − T ◦ es un retracto fuerte por deformación de R3 − K. Concluir que la inclusión induce un isomorfismo π1 (R3 − T ◦ ) ∼ = π1 (R3 − K). ◦

2

XVI.5.11 Ejercicio. Sea A ⊂ B un segmento cerrado. Demostrar que B2 − A ≈ B − 0; generalizar el resultado al caso cuando A es un arco “manso”, es decir, cuando A se obtiene de un segmento a través de un homeomorfismo ambiental (de R3 o de una vecindad del segmento ◦

2

en R3 ). Concluir que para cualquier arco A ⊂ B , π1 (B2 − A) es c´ıclico infinito.

648

NUDOS Y ENLACES

bibliograf´ıa [1] C.C. Adams, The Knot Book, W.H. Freeman and Company, New York, 1994. [2] M. Aguilar, S. Gitler, C. Prieto, Algebraic Topology from a Homotopical Viewpoint, Universitext, Springer-Verlag, New York, Berlin, Heidelberg, 2002. [3] L.V. Ahlfors, Complex Analysis, Second Edition, McGrawHill Book Co., New York, 1966. [4] M.A. Armstrong, Basic Topology, UTM, Springer-Verlag, New York, Berlin, Heidelberg, 1983). [5] R.G. Bartle, The Elements of Real Analysis, Second Edition, Wiley International Edition, 1976. `res, G. Besson, S. Maillot, M. Boileau, J. [6] L. Bessie Porti, Collapsing irreducible 3-manifolds with nontrivial fundamental group, Inventiones Math. 179 (2010), no. 2, 435460. `res, G. Besson, M. Boileau, The proof of the [7] L. Bessie Poincaré conjecture, according to Perelman, The scientific legacy of Poincaré, 243255, Hist. Math., 36, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2010. `res, G. Besson, S. Maillot, M. Boileau, J. [8] L. Bessie Porti, Geometrisation of 3-manifolds, EMS Tracts in Mathematics, 13. European Mathematical Society (EMS), Z¨ urich, 2010. ´ ements de Mathématique, première partie, [9] N. Bourbaki, El´ livre III, Topologie Générale, Hermann, Paris, 1961. 649

650

BIBLIOGRAFÍA

[10] G.E. Bredon, Introduction to Compact Transformation Groups, Academic Press, New York, 1972. [11] R. Brown, Ten topologies for X × Y , Quart. J. Math. Oxford Series (2) 14 (1963), 303–319. [12] R. Brown, Function spaces and product topologies, Quart. J. Math. Oxford Series (2) 15 (1964), 238–250. [13] H.-D. Cao, X.-P. Zhu, A complete proof of the Poincaré and geometrization conjectures–application of the Hamilton– Perelman theory of the Ricci flow. Asian J. Math. 10 (2006), no. 2, 165492. [14] T. tom Dieck, Topologie, de Gruyter, Berlin, New York 1991 [15] A. Dold, Teor´ıa de Punto Fijo, Vols. I, II y III, traducidos y adaptados por C. Prieto, Monograf´ıas del Instituto de Matemáticas, UNAM, 1984. [16] C.H. Dowker, Topology of metric spaces, Amer. J. Math. 74 (1952), 555–577. [17] J. Dugundji, Topology, Allyn and Bacon, Inc., Boston, 1966. [18] M.H. Freedman, The topology of 4-dimensional manifolds, J. Differential Geom. 17 (1982), 357–453. [19] S. Gitler, C. Prieto, Eds., Tendencias Interdisciplinarias en las Matem´ aticas, Aportaciones Mat.–Comunicaciones, SMM, México, 2000. [20] R.E. Gompf, A.I. Stipsicz, 4-Manifolds and Kirby Calculus, Graduate Studies in Math. Vol. 20, Amer. Mat. Soc., Providence, 1999. [21] C.McA. Gordon, J. Luecke, Knots are determined by their complements, J. Amer. Math. Soc. 2 (1989), 371–415. [Un resumen de este trabajo puede consultarse en Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 20 (1989), 83–87.]

BIBLIOGRAFÍA

651

[22] P.R. Halmos, Na¨ıve Set Theory, Van Nostrand, Princeton, 1960. [23] J. Hass, J. C. Lagarias, The number of Reidemeister moves needed for unknotting, J. Amer. Math. Soc. 14 (2001) 399–428 [24] J. Hempel, 3-Manifolds, Annals of Mathematics Studies, Princeton University Press & University of Tokyo, Princeton, 1976. [25] I.M. James, Ed., History of Topology, North-Holland, Amsterdam, 1999. ¨ nich, Topologie, Springer-Verlag, 1996. [26] K. Ja [27] V.F.R. Jones, A polynomial invariant for knots and links via Von Neumann algebras, Bull. Amer. Math. Soc. 12 (1985), 103– 111. [28] L. H. Kauffman, New invariants in the theory of knots, Amer. Math. Monthly 95, 3 (1988) 195–242. [29] L. H. Kauffman, Knots and Physics, Series on Knots and Everything 1, World Scientific, 1991. [30] J.L. Kelley, General Topology, Springer-Verlag, New York, Berlin, Heidelberg, reprint of the edition by D. van Nostrand Co., Inc., New York, 1955. [31] W.M. Massey, A Basic Course in Algebraic Topology, Springer-Verlag, 1991. [32] J. Milnor, Topology from the Differentiable Viewpoint, The University of Virginia Press, Charlottesville, 1965. [33] E.H. Moore, H.L. Smith, A general theory of limits, Amer. J. Math. 44 (1922), 102–121. [34] C. Prieto, Nudos, enlaces y realidad, Universidad de México, N´ um. 578-579 (marzo-abril 1999), 19–24.

652

BIBLIOGRAFÍA

[35] W. Rudin, Functional Analysis, McGraw-Hill Book Co., New York, 1973. [36] W. Rudin, Real and Complex Analysis, McGraw-Hill Book Co., New York, 1974. on a la Topolog´ıa, Ed. J. Rosenblueth [37] G. Salicrup, Introducci´ and C. Prieto. Aportaciones Matemáticas, Soc. Mat. Mex., México, 1993. [38] H. Schubert, Topologie, 4. Auflage, B.G. Teubner, Stuttgart, 1975. [39] L.A. Steen, J.A. Seebach, Jr., Counterexamples in Topology, second edition, Springer-Verlag, New York, Heidelberg, Berlin, 1978. [40] N. Steenrod, A convenient category of topological spaces, Mich. Math. J. 14 (1967), 133–152. ¨ cker, H. Zieschang, [41] R. Sto B.G. Teubner, Stuttgart, 1988.

Algebraische Topologie,

[42] C. Thomassen, The Jordan–Schönflies Theorem and the Classification of Surfaces, Amer. Math. Monthly 99 (1992), 116–130. [43] C. Thomassen, Kuratowski’s theorem, J. Graph Theory, 5 (1981), 225–241. [44] R. M. Vogt, Convenient categories of topological spaces for homotopy theory, Arch. Math. 22 (1971), 545–555. [45] S. Willard, General Topology, Addison-Wesley Publishing, Co., Reading, 1970.

S´ımbolos R+ , semirrecta no negativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Bn , n-bola unitaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 D2 , disco unitario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Sn−1 , (n − 1)-esfera unitaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ◦

n

B , n-célula unitaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 I n , n-cubo unitario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ∂I n , frontera de I n en Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 I, intervalo unitario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ∥x∥, norma de un vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 NxX , conjunto de vecindades de un punto x en un espacio X . . . . . 46 {NxX | x ∈ X}, sistema de vecindades de un espacio X . . . . . . . . . . . 46 P(X), potencia de X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 X ≈ Y , el espacio X es homeomorfo al espacio Y . . . . . . . . . . . . . . . . 66 ≈ f : X −→ Y , f es un homeomorfismo entre X y Y . . . . . . . . . . . . . . . 66 RP2 , plano proyectivo real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 RPn , espacio proyectivo real de dimensión n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 CPn , espacio proyectivo complejo de dimensión n . . . . . . . . . . . . . . 101 2 CP , plano proyectivo complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 ∏ X , producto topológico de la familia Xλ , λ ∈ Λ . . . . . . . . . . . . 115 ∏λ∈Λ λ ogico de los espacios Xλ . . . . . . . . . . . . . . . 115 λ∈Λ Xλ , producto topol´ l´ımn Xn , l´ımite de un sistema inverso de espacios topológicos . . . . 123 ⨿ ogica de los espacios Xλ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 λ∈Λ Xλ , suma topol´ col´ımn X n , col´ımite de un sistema dirigido de espacios topológicos131 C∞ , espacio complejo de dimensión infinita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 CP∞ , espacio proyectivo complejo de dimensión infinita . . . . . . . . . 134 Yg ∪f X doble espacio de adjunción de f y g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 Y ∪f X espacio de adjunción de f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .145 Mf cilindro de aplicación de f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 ZX cilindro sobre el espacio X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .147 653

654

SÍMBOLOS

CX, cono sobre el espacio X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .147 Cf cono de aplicación de f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 ΣX suspensión del espacio X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 Tf toro de aplicación de f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .148 T X toro del espacio X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 X/G, espacio de órbitas de un G-espacio X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 RPn , espacio proyectivo real de dimensión n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 σ : x0 ≃ x1 trayectoria σ de x0 a x1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 π0 (X), conjunto de componentes por trayectorias del espacio X . 175 Rω , producto numerable de copias de R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244 X ∗ , construcción (compactación) de Alexandroff del espacio X . 248 CPn , espacio proyectivo complejo de dimensión n . . . . . . . . . . . . . . 253 M(X, Y ), espacio de aplicaciones de X a Y con la topolog´ıa compactoabierta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264 (X, A), pareja de espacios tal que A ⊂ X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270 Ωn (X, x0 ), n-espacio de lazos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .271 k(X), espacio compactamente generado asociado a X . . . . . . . . . . . 276 Y X , espacio de aplicaciones de X en Y con la topolog´ıa compactamente generada asociada a la compacto-abierta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283 k(X), k-espacio asociado a X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284 I Λ , Λ-cubo (producto de copias del intervalo, una por cada λ ∈ Λ) 302 I ω , cubo de Hilbert (producto numerable de copias del intervalo)302 ˇ β(X), compactación de Stone–Cech del espacio completamente regular X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304 Ω, primer ordinal no numerable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328

´ındice alfabe ´tico abierto, 30, 49 en un espacio métrico, 39 seudométrico, 44 topológico, 49 en un espacio discreto, 50 numérico, 303 regular, 62, 283 relativo, 97 abiertos básicos, 85 subbásicos, 82 abuelita, nudo, 643, 652 acción ant´ıpoda en la esfera, 162 de un grupo, 161 cociente, 162 órbita, 162 acción ant´ıpoda, 364, 575 aplicación de órbitas, 574 de On , 417 de un grupo órbita, 574 de un grupo topológico, 363, 574 libre, 574 pareja, 574 propiamente discontinua, 574 transitiva, 366, 417

acotado, conjunto, 42, 239 adjunción de una célula, 158, 353 espacio, 151 adjunción, espacio, 347 Alexandroff compactación, 257 construcción, 256 teorema, 259 álgebra, teorema fundamental, 484 amantes, nudo, 622 anfiqueiral, nudo, 636 anidada base de vecindades, 192 ant´ıpoda acción sobre la esfera, 364, 575 antisimétrica relación, 85 aplicación, 68 abierta, 112 caracter´ıstica de una célula, 158 cerrada, 112 clase de homotop´ıa, 461 de parejas, 465 clasificante para aplicaciones cubrientes, 614 compatible con una identificación, 110 655

656

ÍNDICE ALFABETICO ´

constante, 68, 461 continua en un espacio métrico, 68 en un espacio topológico, 69 en un punto en un espacio métrico, 68 en un punto en un espacio topológico, 69 cubriente, 563 clase de conjugación caracter´ıstica, 589 espacio base, 564 espacio total, 564 fibra, 564 hojas, 564 inducida, 569 multiplicidad, 565 producto, 568 regular, 608 restricción, 570 subgrupo caracter´ıstico, 587 trivialización, 568 universal, 591 universal, teorema de existencia, 594 de órbitas de una acción, 574 de enredamiento, 511 de Gauss, 614 de parejas, 464 de transición, 375 exponencial, 107, 563 impar, 478 localmente trivial, 568 nulhomotópica, 461 par, 478

propia, 266 punteada, 278, 467 aplicación exponencial, 105 aplicaciones cubrientes equivalentes, 567 producto fibrado, 569 homotópicas, 459 aplicaciones cubrientes aplicación clasificante, 614 equivalentes, 613 producto, 568 teorema de clasificación, 600, 618 aplicaciones del c´ırculo, teorema de clasificación, 476 arco poligonal simple, 427 simple, 427 arco en la proyección de un nudo, 622 arete hawaiano, 571 arista de una gráfica, 428 asa, 387 asteroide, conjunto, 463 atlas de una variedad, 375 axioma de Lindelöf, 247 de numerabilidad primero, 66 segundo, 87 de separación cero, 203 cuarto, 296 de Hausdorff, 199


primero, 202 quinto, 298 segundo, 203 sexto, 334 tercero, 297 separabilidad 3 12 , 307 axiomas de Kuratowski, 61 de numerabilidad versus topolog´ıa inducida, 96 de una topolog´ıa, 49 banda de Moebius, 155, 350, 384 abierta, 263 abierta, compactación, 264 lazo ecuatorial, 534 versus banda trivial, 176 trivial, 155, 350, 384 base de filtro, 194 convergente, 197 de un filtro, 195 de una topolog´ıa, 85 de vecindades, 65 en un conjunto, 66 natural para la topolog´ıa del producto, 123 base de vecindades anidada, 192 bases de filtro equivalentes, 195 básicos, conjuntos abiertos, 85 bola, 345 abierta en un espacio métrico, 36 frontera, 345

657

unitaria, 29 Bolzano–Weierstrass, teorema, 232, 251 Borsuk–Ulam, teorema en dimensión 1, 173 en dimensión n, 173 Borsuk–Ulam, teorema, 485 botella de Klein, 156, 351, 386, 398 triangulación, 447 Brouwer, teorema de punto fijo, 482 caso general, 483 en dimensión 1, 174 en dimensión n, 173 célula adjunción, 353 cajas, topolog´ıa, 124 cambio de coordenadas, 375 camino en una gráfica, 428 Cantor set, 234 Cantor, conjunto, 59, 233 caracter´ıstica de Euler de una superficie, 453 caracterización de la continuidad, 70 de la suma topológica, 135 de la topolog´ıa de identificación, 104 de la topolog´ıa coinducida por una función, 110 de la topolog´ıa relativa, 94 de un encaje, 99 de un ultrafiltro, 212 de una identificación, 110

658


del ´ınfimo de una familia de topolog´ıas, 80 del producto topológico, 125 del supremo de una familia de topolog´ıas, 83 caracterización de la topolog´ıa cociente, 109 de la topolog´ıa coinducida por una función, 104 de la topolog´ıa inducida por una función, 95 carta de una variedad, 375 cartesiano, cuadrado, 270, 569 categor´ıa, 467 de espacios punteados, 468 cell decomposition of Sn , 353 célula abierta, 158 adjunción, 158 cerrada, 158 unitaria, 30 cero, axioma de separación, 203 cerrada, trayectoria, 515 cerrado conjunto, 57 de Zariski, 62 en una variedad algebraica, 63 localmente, 254 regular, 62 relativo, 97 cerradura de un conjunto, 57 de un conjunto conectable por trayectorias, 183

de un conjunto conexo, 171 operador, 60 cilindro de aplicación, 152, 348 estándar, 350 métrica geodésica, 46 sobre un espacio, 153 usual, 155 cilindro sobre un espacio, 348 c´ırculo unitario rotación, 472 c´ırculo, 473 de Varsovia, 187, 586 grupo fundamental, 534 polaco, 187, 586 unitario, 30, 473 clase de conjugación caracter´ıstica de una aplicación cubriente, 589 de homotop´ıa de un lazo, 521 de una aplicación, 461 de una aplicación de parejas, 465 clasificación de las 1-variedades, teorema, 407 de las 2-variedades, teorema, 400, 456, 557 de las 4-variedades, teorema, 412 de las aplicaciones cubrientes, teorema, 600, 618 de las aplicaciones del c´ırculo,


teorema, 476 de las superficies, teorema, 400, 456, 557 coca en un nudo, 626 cocartesiano, cuadrado, 150, 346 cociclo, condiciones, 595 cociente, 106 bajo la acción de un grupo, 162 topolog´ıa, 106 cocompacta, topolog´ıa, 246 cofibración, 466, 505 cerrada, 505 cofibraciones producto, 507 cofinita, topolog´ıa, 50 cofinito conjunto, 195 filtro, 195 cohomolog´ıa, primer grupo, 473 cola de una red, 223 de una sucesión, 192 colapsamiento de un subconjunto, 115 col´ımite de un diagrama de espacios topológicos, 148 de un sistema dirigido de espacios topológicos, 138 propiedad universal, 138, 149 coloración admisible, 630 colores, juego, 630 compacidad, 232 local, 251 numerable, 246

659

relativa, 238 secuencial, 246 versus continuidad, 237 versus producto, 242 versus suma topológica, 244 compactación con un punto, 257 de Alexandroff, 257 de la banda de Moebius abierta, 264 ˇ de Stone–Cech propiedad universal, 312 ˇ de Stone-Cech, 312 de un espacio, 256 compactación de Alexandroff vs. compactación de Stone– ˇ Cech compactification, 316 ˇ compactación de Stone–Cech vs. compactación de Alexandroff, 316 compactamente generado, espacio, 280 compacto conjunto, 233 espacio, 233 compacto-abierta, topolog´ıa, 273 compacto-abierto, conjunto, 273 complejo grupo lineal especial de matrices n × n, 422 completamente normal, espacio, 298, 300 regular, espacio, 307 componente conexa, 175, 180

660


por trayectorias, 182, 356 condiciones de cociclo, 595 conectable por arcos, 427 conectable por trayectorias, espacio, 182, 357 conexa componente, 175, 359 conexidad de una gráfica, 429 2-conexidad de una gráfica, 429 conexo espacio, 165 1-conexo, espacio, 527 conexo, espacio, 357 configuración, espacio, 613 conjetura de Poincaré en dimensión 3, 560 en dimensión 4, 561 conjunto abierto, 30 en un espacio discreto, 50 en un espacio métrico, 39 en un espacio seudométrico, 44 en un espacio topológico, 49 regular, 62, 283 relativo, 97 acotado en un espacio métrico, 42, 239 superiormente, 211 asteroide, 463 cerrado, 57

de Zariski, 62 de Zariski en una variedad algebraica, 63 en un espacio métrico, 42 regular, 62 relativo, 97 cofinito, 195 compacto, 233 compacto-abierto, 273 convexo, 75, 343 grupo fundamental, 524 de Cantor, 59, 233 denso, 88 dirigido, 222 Gδ , 334 localmente cerrado, 254 parcialmente ordenado, 210 elemento máximo, 211 partición, 115 regularmente abierto, 62 regularmente cerrado, 62 relativamente compacto, 238 saturado respecto a un cociente, 114 subyacente de un espacio topológico, 49 totalmente ordenado, 85 conjunto conectable por trayectorias cerradura, 183 conjunto conexo cerradura, 171 conjuntos producto cartesiano, 119 unión ajena, 132


conjuntos abiertos básicos, 85 subbásicos, 82 conmutador, 542 cono de aplicación, 153, 348 sobre une espacio, 153 cono sobre un espacio, 348 constante aplicación, 68 lazo, 515 trayectoria, 181, 515 construcción de Alexandroff, 256 funtorial, 285 continua por la derecha función, 88 continuación de un filtro, 217 versus traza, 217 continuidad, 68 caracterizaciones, 70 de una aplicación determinada por sus restricciones a abiertos, 101 determinada por sus restricciones a cerrados, 100 en un punto en espacios topológicos, 69 en un punto en un espacio métrico, 68 versus compacidad, 237 continuo lineal, 168 contracción de un espacio, 461 contra´ıble espacio, 461

661

espacio fuertemente, 461 lazo, 519 conumerable, topolog´ıa, 50 convergencia de un filtro, 197 de una base de filtro, 197 de una red, 224 de una sucesión en un espacio métrico, 42 en un espacio topológico, 51, 52, 192 puntual, 43 uniforme, 305 usual en R, 43 usual en Rn , 43 convergencia de redes versus convergencia de filtros, 226 convexo, conjunto, 75, 343 coordenadas cambio, 375 locales, 375 corchete de Kauffman, 636 fino, 638 cortar y pegar, 158, 354 cota superior de un subconjunto en un conjunto parcialmente ordenado, 211 cruce en un nudo, 625, 627 cuadrado, 156 cartesiano, 569 cocartesiano, 150, 346 cuadrado cartesiano, 147 cuadrado, nudo, 643 cubierta abierta, 101, 232 partición de la unidad sub-

662


ordinada, 609 cerrada, 321 cerrada, 100, 128, 232 de un subespancio, 232 encogible, 325 encogimiento, 325 localmente finita, 320 más fina, 321 n´ umero de Lebesgue, 249 puntualmente finita, 326 refinamiento, 321 cubierta parejamente, vecindad, 564 cubierta trivializadora, 568 cubo de Hilbert, 310 unitario, 30 Λ-cubo, 310 cubriente aplicación, 563 transformación, 602 cuerda en una proyección, 622 cuerpo con asas, 410 curva cerrada simple, 427 poligonal cerrada, 427 curva de Jordan exterior, 432 interior, 432 curva de Jordan, teorema, 439, 485 débil, topolog´ıa, 280 deformación retracción, 491 retracción débil, 492 retracción fuerte, 491

retracto, 491 retracto débil, 492 retracto fuerte, 491 denso conjunto, 88 subconjunto, 218 descomposición celular de RPn , 158 de Sn , 158 de Heegaard, 410 de Iwasawa, 423 descomposición celular de RPn , 353 desconexión de un conjunto, 166 de un espacio, 165 de un subespacio, 166 desconexión de un espacio, 357 desigualdad del triángulo, 31 destino de una trayectoria, 181, 515 diagonal, 200 diagrama de espacios topológicos col´ımite, 148 l´ımite, 146 de pullback, 270, 569 de pushout, 150, 346 modelado por una digráfica, 144 diagrama de ‘pullback’, 147 digráfica, 143 disco, 383 unitario, 30 discreta


métrica, 32 topolog´ıa, 50 discreto espacio, 50 espacio métrico, 32 grupo, 363 distancia, 29, 31 entre conjuntos, 299 doble de una variedad, 381 doble espacio de adjunción, 151, 346 elemento máximo en un conjunto parcialmente ordenado, 211 encaje, 98 2-celular, 447 cerrado, 447 caracterización, 99 compactamente generado, 290 de una gráfica en un espacio, 429 de variedades, 379 propiedad universal, 99 enchufables, trayectorias, 518 encogible, cubierta, 325 encogimiento de una cubierta, 325 de una vecindad, 301 enlace, 625 proyección regular, 625 proyecciones equivalentes, 627 ENR, 307, 504 enredamiento aplicación, 511 ensamble

663

de funciones con una partición de la unidad, 331 equivalencia de aplicaciones cubrientes, 567 de bases de filtro, 195 homotópica de espacios, 489 de espacios punteados, 490 de parejas de espacios, 490 vs. homeomorfismo, 490 equivalentes aplicaciones cubrientes, 613 métricas, 37 esfera, 345 acción ant´ıpoda, 364 acción ant´ıpoda, 162 de dimensión infinita, 140 de Riemann, 261 descomposición celular, 158 grupo fundamental, 537 unitaria, 30 espacio base de una aplicación cubriente, 564 cociente bajo la acción de un grupo, 365 de un espacio topológico, 106 de una acción de un grupo topológico, 574 compactamente generado asociado a un espacio de Hausdorff, 285 compactamente generado, 280

664


asociado a un espacio de Hausdorff, propiedad universal, 286 compacto, 233 complejo de dimensión infinita, 141 completamente normal, 300 regular, 307 completamente normal, 298 conectable por trayectorias, 182, 357 conexo, 165, 357 1-conexo, 527 contra´ıble, 461 cubriente, 564 universal, 591 universal de S1 ∨ S1 , 598 de órbitas, 365 de adjunción, 151, 347 doble, 151 de aplicaciones, 273 de configuración, 613 de funciones compactamente generado, 291 de Hausdorff, 200 de Hilbert, 32 de lazos, 278 de Lindelöf, 248 de órbitas, 162 de una acción de un grupo topológico, 574 de Sierpi´ nski, 51 de sucesiones, 32 de trayectorias, 278

discreto, 50 euclidiano, 29 de dimensión infinita, 140 fuertemente contra´ıble, 461 hereditariamente normal, 298 homogéneo, 366, 402, 420 inconexo, 165, 357 indiscreto, 50 lente, 410, 577 localmente compacto, 251 conectable por trayectorias, 185 conexo, 177 simplemente conexo, 594 localmente conectable por trayectorias, 359 localmente conexo, 359 métrico, 31 conjunto abierto, 39 discreto, 32 metrizable, 50, 317 normal, 243, 296 1-numerable, 66 2-numerable, 87 numerable al infinito, 259 numerablemente compacto, 246 paracompacto, 322, 609 peine, 177, 187, 463 perfectamente normal, 334 proyectivo complejo, 111, 365 descomposición celular, 158 grupo fundamental, 593 real, 111


proyectivo complejo, 261 de dimensión n, 108 de dimensión infinita, 141 proyectivo real de dimensión n, 107 de dimensión 2, 107, 395, 396, 400 de dimensión n, 163, 572 de dimensión infinita, 140 punteado, 278, 467 regular, 252 equivalencias, 295 secuencialmente compacto, 246 semilocalmente simplemente conexo, 594 separable, 88 seudométrico, 44 conjunto abierto, 44 indiscreto, 44 seudometrizable, 50 simplemente conexo, 527 suficientemente conexo, 594 T0 , 203 T1 , 202 T2 , 200, 203 T3 , 297 T4 , 296 T5 , 298 T6 , 334 T3 1 , 307 2 topológico, 49 conjunto abierto, 49 conjunto subyacente, 49 total de una aplicación cubriente, 564

665

totalmente inconexo, 177 vectorial normado, 36 G-espacio, 162 k-espacio, 280 n-espacio de lazos, 279 G-espacio, 364 k-espacio, 293 asociado a X, 293 espacio conexo vs. conectable por trayectorias, 182 espacio de adjunción doble, 346 espacio normal completamente, 298 espacio proyectivo descomposición celular, 353 espacio semimétrico, 41 espacio vectorial norma, 35 espacios del mismo tipo de homotop´ıa, 489 homeomorfos, 72 homotópicamente equivalentes, 489 pareja, 278, 464 estándar cilindro, 350 toro, 350 estereográfica proyección, 74 estereográfica, proyección, 341 estereográfica, proyección, 255 estibador, nudo, 622 estrictamente

666


más fina, topolog´ıa, 77 cofinito, 195 más gruesa, topolog´ıa, 77 continuación, 217 estructura en una variedad, 376 continuación versus traza, 217 euclidiano convergente, 197 espacio, 29 de Fréchet, 207 subespacios, 29 de vecindades, 195 Euler, caracter´ıstica, 453 elemental, 195 evaluación, 270 extensión, 217 exponencial generado aplicación, 105, 107 por una base de filtro, 195 ley, 275, 277 por una red, 223 exponencial, aplicación, 563 huella en un subconjunto, 217 extensión imagen bajo una función, 215 de un filtro, 217 imagen inversa bajo una función, de una red, 229 216 extensión de homotop´ıas más fino, 196 propiedad, 503, 505 más grueso, 196 extension, teorema de Tietze–Urysohn, producto, 221 502 punto de acumulación, 205 exterior traza en un subconjunto, 217 de un conjunto, 64 trivial, 195 de una curva de Jordan, 432 P-filtro, 214 punto, 64 filtros extremos de una trayectoria, 515 convergencia versus converfamilia localmente finita, 320 fibra a fibra, homeomorfismo, 567 de una aplicación, 262 cubriente, 564 fibración de Hopf, 262 fibración de Hopf, 111 figura ocho, nudo, 622, 631 filtro, 194 abierto, 214 base, 194

gencia de redes, 226 ´ınfimo, 197 intersección, 197 supremo, 198 finalmente, red que yace, 224 forma espacial euclidiana, 576 ćhet, filtro, 207 Fre frecuentemente, red que yace, 224 frontera, 63 de un conjunto, 63 de una bola, 345 de una variedad, 370


punto, 63, 64 fuente asociada a un diagrama, 144 terminal, 144 fuertemente contra´ıble, espacio, 461 función continua por la derecha, 88 de levantamiento, 582 de Urysohn, 303 gráfica, 384 lisa, 330 soporte, 609 funtor, 285, 468, 523 contravariante, 471 covariante, 471 Gδ , conjunto, 334 Gauss, aplicación, 614 generador canónico del grupo fundamental del c´ırculo, 534 generadores de un grupo, 539 normales de un grupo, 539 grado de una aplicación del c´ırculo en s´ı mismo, 475 gráfica, 428 aplanable, 429 aristas, 428 camino, 428 conexa, 429 2-conexa, 429 de una función, 384, 467 encaje en un espacio, 429 plana, 429 subdivisión, 429 vértices, 428

667

gráfica dirigida, 143 gráficas isomorfas, 428 plano-isomorfas, 441 Grassmann variedad compleja, 421 real, 421 grupo abeliano, 479 acción órbitas, 365 espacio cociente, 365 aditivo, 479 automorfismo interno, 526 c´ıclico, 539 de orden k, 539 infinito, 539 cristalográfico, 576 de cohomolog´ıa, primero, 473 de homolog´ıa, primero, 557 de Lie, 420 de permutaciones, 613 de transformaciones cubrientes, 602 de un nudo, 645 del nudo cuadrado, 652 de la abuelita, 652 trébol, 651 trivial, 651 discreto, 363 finitamente presentado, 558, 560 fundamental, 522

668


de Bn , 524 de Rn , 524 de la esfera, 537 de la superficie no orientable de género g, 556 de la superficie orientable de género g, 556 de un convexo, 524 de un espacio contra´ıble, 525 del c´ırculo, 534 del espacio proyectivo, 593 lineal general complejo de matrices n × n, 414, 502 general real de matrices n × n, 414, 502 lineal especial matrices n × n complejo, 422 real, 422 ortogonal, 415, 502 especial, 421 representación, 540 simétrico, 613 topológico, 362, 414, 533 acción, 363, 574 acción pareja, 574 acción propiamente discontinua, 574 unitario, 416, 502 especial, 421 grupo fundamental del c´ırculo generador canónico, 534 grupos

producto libre, 540 propiedad universal, 542 grupos clásicos, 413 Hausdorff axioma de separación, 199 espacio, 200 métrica, 42, 335 hawaiano, arete, 571 Heegaard, descomposición, 410 Heine–Borel–Lebesgue, teorema, 231, 250 hereditariamente normal espacio, 298 Hilbert espacio, 32 Hilbert, cubo, 310 hojas de una aplicación cubriente, 564 homeomorfismo, 72 de parejas, 465 fibra a fibra, 567 que conserva la orientación, 624 vs. equivalencia homotópica, 490 homeomorfismos isotópicos, 472, 624 homeomorfos, espacios, 72 homogéneo, espacio, 366, 402 homolog´ıa primer grupo, 557 homotópicamente equivalentes espacios, 489 parejas, 490 homotop´ıa


propiedad de extensión, 503, 505 homotop´ıa clase, 461 comienzo y término, 459 de aplicaciones, 459 de parejas, 465 clase, 465 de trayectorias, 519 libre, 464 punteada, 467 relativa, 464 Hopf fibración, 111 Hopf, fibración, 262 huella de un filtro en un subconjunto, 217 identificación, 103 métrica, 45 propiedad universal, 110 topolog´ıa, 102 imagen de un filtro bajo una función, 215 de una red, 228 inversa de un filtro bajo una función, 216 impar, aplicación, 478 inclusión, 97 inclusión de un subespacio, 97 inclusión, 98 inconexo, espacio, 165, 357 indiscreta seudométrica, 44 topolog´ıa, 50 indiscreto espacio, 50

669

espacio seudométrico, 44 ´ınfimo de una familia de filtros, 197 de una familia de topolog´ıas, 79 caracterización, 80 propiedad universal, 80 inicial, D-sumidero, 145 interior de un subconjunto, 54 de una curva de Jordan, 432 de una variedad, 370 operador, 55 punto, 54, 64 interrelaciones de las propiedades topológicas, 336 intersección de filtros, 197 intervalo partición, 225 unitario, 356 intervalo unitario, 30 invariancia de la dimensión, teorema, 345 de la frontera, teorema, 345 del dominio para variedades, teorema, 514 del dominio, teorema, 344, 514 invariante de nudos, 632, 634 homotópico, 529 inversa trayectoria, 181 inversa, trayectoria, 518

670


inversión con respecto a la esfera unitaria, 342 inverso homotópico, 489 isomorfismo de gráficas, 428 isotópicos, homeomorfismos, 472, 624 isotop´ıa, 472, 624 Iwasawa, descomposición, 423 Jones, polinomio, 641 de los nudos trébol, 641 del nudo de la figura ocho, 642 Jordan exterior de una curva, 432 interior de una curva, 432 teorema de la curva, 439, 485 ¨ nflies, teorema, Jordan–Scho 441 juego de los colores, 630 jugadas de Reidemeister, 626 Kauffman, corchete, 636 fino, 638 Klein botella, 351, 386, 398 Klein, botella, 156 Kuratowski, axiomas, 61 Kuratowski, teorema, 429 lazo, 278, 496, 515 canónico, 496 en el toro, 535 clase de homotop´ıa, 521 constante, 515 contra´ıble, 519

de grado n en el c´ırculo, 516 ecuatorial de la banda de Moebius, 534 ecuatorial en el toro, 516 meridional en el toro, 516 nulhomotópico, 519 lazos espacio, 278 n-espacio, 279 Lebesgue, n´ umero, 249, 537 lema de extensión de Tietze, 303 de Urysohn, 303 de Zorn, 212 lente, espacio, 410, 577 levantamiento, 584 de una aplicación, 578 de una trayectoria, 579 función, 582 problema, 579 u ńico de aplicaciones, teorema, 584 de trayectorias, teorema, 580 lexicográfico, orden, 86 ley exponencial, 275, 277 l´ımite topolog´ıa, 130 l´ımite de una sucesión, 42 l´ımite inferior topolog´ıa, 88 l´ımite superior topolog´ıa, 88 l´ımite


de un diagrama de espacios topológicos, 146 de un filtro, 197 de un sistema inverso de espacios topológicos, 130 de una base de filtro, 197 de una red, 224 de una sucesión, 51, 192 propiedad universal, 146 ¨f Lindelo axioma, 247 espacio, 248 teorema, 247 lineal, continuo, 168 lisa función, 330 variedad, 376 localmente cerrado, conjunto, 254 compacto, espacio, 251 conectable por trayectorias, espacio, 185, 359 conexo, espacio, 177, 359 finita, cubierta, 320 finita, familia, 320 simplemente conexo, espacio, 594 localmente trivial, aplicación, 568 máximo, elemento, 211 métrica de Hausdorff, 335 manso, nudo, 624 marco, 416 más fina, topolog´ıa, 77 más gruesa, topolog´ıa, 77

671

matar un elemento del grupo fundamental, 553 máxima compacta, topolog´ıa, 241 métrica de Hausdorff, 42 métrica, 31 del producto, 35 discreta, 32 geodésica en el cilindro, 46 en el toro, 46 inducida, 34 versus topolog´ıa inducida, 97 métricas equivalentes, 37 metrizabilidad teorema de Urysohn, 319 versus normalidad, 300 perfecta, 334 metrizable espacio, 50, 317 topolog´ıa, 50 mismo tipo de homotop´ıa espacios, 489 parejas, 490 Moebius banda, 350 Moebius, banda, 155, 384 abierta, 263 multiplicidad de una aplicación cubriente, 565 n´ umero de Lebesgue, 537 de vueltas, 480 no orientable superficie, 117 no orientable, superficie, 385, 386

672


norma, 29, 35 norma en un espacio vectorial, 35 normal espacio completamente, 300 normal, espacio, 243, 296 normalidad, 296 perfecta versus metrizabilidad, 334 versus compacidad, 243 versus metrizabilidad, 300 versus regularidad completa, 307 normalidad completa, 298 normalidad hereditaria, 298 normalizador de un subgrupo, 605 nudo, 622 anfiqueiral, 636 coloración admisible, 630 compuesto, 642 cuadrado, 643 grupo, 652 de la abuelita, 643, 652 grupo, 652 de la figura ocho, 622, 631 polinomio de Jones, 642 de los amantes, 622 de Ochiai, 632 del estibador, 622 grupo, 645 manso, 624 n´ umero cromático, 631 n´ umero cromático, 635 poligonal, 624 primo, 642

proyección arco, 622 cuerda, 622 proyección regular, 622, 625 proyecciones equivalentes, 627 salvaje, 624 torcimiento, 639 trébol, 622, 631 derecho, 623 grupo, 651 izquierdo, 623 polinomio de Jones, 641 tricloreable, 629 trivial, 622 grupo, 651 nudos equivalentes, 624 isomorfos, 623 suma conexa, 642 nulhomotópica, aplicación, 461 nulhomotópico, lazo, 519 nulhomotop´ıa, 461 numerabilidad al infinito, 259 primer axioma, 66 segundo axioma, 87 1-numerable espacio, 66 2-numerable espacio, 87 numerablemente compacto, espacio, 246 n´ umero cromático, 631 de un nudo, 635 n´ umero


de Lebesgue de una cubierta, 249 Ochiai, nudo, 632 operador cerradura, 60 en un conjunto, 61 interior, 55 en un conjunto, 56 órbita de una acción de grupo, 162, 574 órbita de S1 en S2n+1 , 262 órbitas, espacio, 162 órbitas de una acción, 365 espacio, 365 orden lexicográfico, 86 parcial, 210 topolog´ıa, 86 total, 85 orientable superficie, 115 orientable, superficie, 385 orientación, homeomorfismo que la conserva, 624 origen de una trayectoria, 181, 515 ortogonal especial, grupo, 421 grupo, 415 par de Perko, 627 par, aplicación, 478 paracompacto, espacio, 322, 609

673

parcialmente ordenado, conjunto, 210 pareja de espacios, 278, 464 parejas aplicación, 464 del mismo tipo de homotop´ıa, 490 homeomorfismo, 465 homotópicamente equivalentes, 490 homotop´ıa, 465 producto, 278, 465 partición refinamiento, 225 partición de la unidad, 328, 609 lisa, 330 subordinada a una cubierta, 329, 609 partición de un intervalo, 225 partición de un conjunto, 115 PEH, 503, 505 peine, espacio, 177, 187, 463 Perelman, teorema, 560 perfectamente normal, espacio, 334 perforar una variedad, 382 Perko, par, 627 permutaciones, grupo, 613 plano proyectivo, 107, 395, 396, 400 complejo, 108 triangulación, 447 ´, conjetura Poincare en dimensión 3, 560 en dimensión 4, 561 polaco, c´ırculo, 187, 586

674


poligonal, nudo, 624 polinomio de Jones, 641 de los nudos trébol, 641 del nudo de la figura ocho, 642 poset, 210 potencia de un conjunto, 52 preorden, 222 primer axioma de numerabilidad, 66 versus segundo, 87 primer axioma de separación, 202 primer grupo de cohomolog´ıa, 473 problema de levantamiento, 579 proclusión, 103 producto aplicación cubriente, 568 compactamente generado, 288 de clases de homotop´ıa de trayectorias, 521 de cofibraciones, 507 de dos aplicaciones cubrientes, 568 de filtros, 221 de grupos, 539 de métricas, 35 de parejas de espacios, 278, 465 de trayectorias, 181, 518 fibrado, 270 de dos aplicaciones cubrientes, 569 libre de dos grupos, 540 propiedad universal, 542 topológico, 122 caracterización, 125

topolog´ıade cajas, 124 versus compacidad, 242 producto cartesiano de conjuntos, 119 propia, aplicación, 266 propiedad de extensión de homotop´ıas, 503, 505 propiedad hereditaria, 201 propiedad universal de la topolog´ıa coinducida por una función, 104, 110 de la topolog´ıa del producto, 125 de la topolog´ıa inducida por una función, 95 de la topolog´ıa relativa, 94 de c(X), 286 de la compactación ˇ de Stone–Cech, 312 de la identificación, 110 de la suma topológica, 135 de la topolog´ıa cociente, 109 de la totolog´ıa de identificación, 104 de la unión, 139 de los espacios compactamente generados, 280 de un encaje, 99 del col´ımite, 138, 149 del ´ınfimo de una familia de topolog´ıas, 80 del l´ımite, 131, 146 del producto libre de dos grupos, 542 del supremo de una familia


de topolog´ıas, 83 proyección estereográfica, 74, 255 regular de un enlace, 625 de un nudo, 622, 625 proyección estereográfica, 341 proyecciones regulares equivalentes de un nudo o enlace, 627 proyectivo espacio complejo, 108, 261 complejo de dimensión infinita, 141 descomposición celular, 158 grupo fundamental, 593 real, 107, 163 real de dimensión 2, 107, 395, 396, 400 real de dimensión infinita, 140 plano, 107, 395, 396, 400 proyectivo complejo plano, 108 proyectivo, espacio complejo, 111, 365 real, 111, 365 pullback diagrama, 569 pullback, diagrama, 270 punto aislado, 64 básico, 278, 467 de acumulación de un filtro, 205

675

de un filtro versus el de una red, 226 de un filtro versus el de una sucesión, 205 de una red, 224 de una red versus el de un filtro, 226 de una sucesión, 204 de acumulación de un conjunto, 64 de contacto, 57 exterior, 64 fijo, 482 teorema de Brouwer, 482 frontera, 63, 64 de una variedad, 370 interior, 54, 64 de una variedad, 370 l´ımite de una red, 224 de una sucesión, 51, 192 puntualmente finita, cubierta, 326 pushout, 152, 347 de dos aplicaciones, 346 diagrama, 150, 346 pushout de dos aplicaciones, 151 real grupo lineal especial de matrices n × n, 422 recta enredada, 67 larga, 89, 374 Sorgenfrey, 88 red, 223 cola, 223 convergente, 224

676


determinada por un filtro, 229 extensión, 229 filtro generado, 223 imagen, 228 punto de acumulación, 224 que yace finalmente en un conjunto, 224 que yace frecuentemente en un conjunto, 224 redes convergencia versus convergencia de filtros, 226 refinamiento de una cubierta, 321 preciso, 321 refinamiento de una partición, 225 reflexiva relación, 85 región, 428 regular, aplicación cubriente, 608 regular, espacio, 252 completamente, 307 regularidad axiomas equivalentes, 295 completa versus normalidad, 307 versus regularidad, 308 regularidad completa versus regularidad, 308 regularmente abierto, conjunto, 62 cerrado, conjunto, 62 Reidemeister, jugadas, 626 relación

antisimétrica, 85 de orden, 210 de preorden, 222 reflexiva, 85 transitiva, 85 relativa topolog´ıa, 93 relativamente compacto, conjunto, 238 representación de un grupo, 540 restricción de una aplicación, 100 cubriente, 570 ret´ıcula en Rn , 101 retracción, 491 por deformación, 491 débil, 492 fuerte, 491 retracción teorema caso general, 483 retracción, 106 retracto, 491 de vecindad euclidiana, 307 por deformación, 491 débil, 492 fuerte, 491 retracto de vecindad euclidiana, 504 Riemann, esfera, 261 rizo en un nudo, 627 rotación del c´ırculo unitario, 472 salvaje, nudo, 624 sandwich, teorema, 488 saturación de un conjunto respecto a un cociente, 114 sección de una identificación, 106


secuencialmente compacto, espacio, 246 segmento, 75 segundo axioma de numerabilidad, 87 versus primero, 87 versus separabilidad, 90 en espacios métricos, 90 segundo axioma de separación, 203 Seifert-van Kampen, teorema, 547 semiespacio, 377 semilocalmente simplemente conexo, espacio, 594 semimétrico espacio, 41 semirrecta, 29 larga abierta, 373 larga cerrada, 373 separabilidad versus segundo axioma de numerabilidad, 90 en espacios métricos, 90 separable, espacio, 88 separación axioma cero, 203 primero, 202 segundo, 203 set Cantor, 234 seudobola, 44 seudométrica, 44 indiscreta, 44 seudometrizable

677

espacio, 50 topolog´ıa, 50 ´ ski, espacio, 51 Sierpin simétrico, grupo, 613 simplemente conexo, espacio, 527 sistema de vecindades, 52 en un conjunto, 53 dirigido, 137 inverso, 130 soporte de una función, 328, 609 Sorgenfrey, recta, 88 sphere cell decomposition, 353 Stiefel, variedad compleja, 416 real, 416 ˇ Stone–Cech, compactación, 312 ˇ Stone-Cech, compactación propiedad universal, 312 subbase de una topolog´ıa, 82 subbásicos, conjuntos abiertos, 82 subconjunto denso, 218 denso respecto a otro, 218 subcubierta, 232 finita, 232 numerable, 232 subdivisión de una gráfica, 429 subespacio compactamente generado, 290 de un espacio métrico, 32, 34 de un espacio topológico, 93 subgrupo

678


caracter´ıstico de una aplicación cubriente, 587 generado por un conjunto de elementos de un grupo, 539 normal generado por un conjunto de elementos de un grupo, 539 subred, 223 subsepacios de un espacio euclidiano, 29 subvariedad, 378 sucesión, 42, 192 cola, 192 convergente en un espacio métrico, 42 en un espacio topológico, 51, 52, 192 l´ımite, 42 l´ımite, 51, 192 punto de acumulación, 204 suficientemente conexo, espacio, 594 suma conexa de nudos, 642 de variedades, 382 topológica, 134 suma topológica propiedad universal, 135 versus compacidad, 244 suma topológical caracterización, 135 suma, topolog´ıa, 134 sumidero asociado a un diagrama, 145

inicial, 145 superficie, 383 caracter´ıstica de Euler, 453 cerrada, 383 no orientable, 117, 385, 386 de género 1, 400 de género g, 399 no orientable de género g grupo fundamental, 556 orientable, 115, 385 de género g, 390 orientable de género g grupo fundamental, 556 triangulada, 446 superficies, teorema de clasificación, 400, 456, 557 supremo de una familia de filtros, 198 de una familia de topolog´ıas caracterización, 83 propiedad universal, 83 de una familia de topolog´ıas, 82 suspensión de un espacio, 153, 349 T0 , espacio, 203 T1 , espacio, 202 T2 , espacio, 200, 203 T3 , espacio, 297 T4 , espacio, 296 T5 , espacio, 298 T6 , espacio, 334 T3 1 , espacio, 307 2 teorema de Alexandroff, 259


de Bolzano–Weierstrass, 232, 251 de Borsuk–Ulam en dimensión 1, 173 en dimensión n, 173 de Borsuk-Ulam, 485 de clasificación de las 1-variedades, 407 de las 2-variedades, 400, 456, 557 de las 4-variedades, 412 de las aplicaciones cubrientes, 600, 618 de las aplicaciones del c´ırculo, 476 de las superficies, 400, 456, 557 de existencia de la aplicación cubriente universal, 594 de extensión de Tietze-Urysohn, 306 de extension de Tietze–Urysohn, 502 de Heine–Borel–Lebesgue, 231, 250 de invariancia de la dimensión, 345 de la frontera, 345 del dominio, 344, 514 del dominio para variedades, 514 de Jordan–Schönflies, 441 de Kuratowski, 429 de la curva de Jordan, 439, 485 de la retracción

679

caso general, 483 de levantamiento u ńico de aplicaciones, 584 de trayectorias, 580 de Lindelöf, 247 de metrizabilidad de Urysohn, 319 de Perelman, 560 de punto fijo de Brouwer, 482 caso general, 483 en dimensión 1, 174 en dimensión n, 173 de Seifert-van Kampen, 547 de Tychonoff, 242 del sandwich, 488 fundamental del álgebra, 484 valor intermedio, 173 terminal, D-fuente, 144 Tietze–Urysohn, teorema de extensión, 502 Tietze, lema de extensión, 303 Tietze-Urysohn, teorema de extensión, 306 topológico grupo, 362 topolog´ıa orden, 86 topolog´ıa cociente caracterización, 109 propiedad universal, 109 de cajas en el producto, 124 de identificación caracterización, 104 propiedad universal, 104

680


l´ımite, 130 topolog´ıa de los intervalos semiabiertos inferiormente, 88 de los intervalos semiabiertos superiormente, 88 l´ımite inferior, 88 l´ımite superior, 88 trivial, 50 topolog´ıa, 49 cociente, 106 cocompacta, 246 cofinita, 50 coinducida por una función, 102 compactamente generada, 285 compacto-abierta, 273 conumerable, 50, 193 débil, 280 de identificación, 102 caracterización, 110 de la suma, 134 de la unión, 139 de Sierpi´ nski, 51 de Zariski, 94 en Rn , 62 en una variedad algebraica, 63 débil, 139 del producto, 122 propiedad universal, 125 discreta, 50 en un conjunto, 49 estrictamente más fina, 77 estrictamente más gruesa, 77 generada por una familia de

conjuntos, 82 indiscreta, 50 inducida por una familia de funciones, 102 por una función, 94 versus axiomas de numerabilidad, 96 versus métrica inducida, 97 más fina, 77 más gruesa, 77 máxima compacta, 241 metrizable, 50, 317 relativa caracterización, 94 compactamente generada, 290 en un subconjunto, 93 propiedad universal, 94 seudometrizable, 50 torcimiento de un nudo, 639 toro, 380, 382, 383, 388, 392 n-dimensional, 576 de aplicación, 154, 350 de un espacio, 155, 350 estándar, 350 lazos canónicos, 535 métrica geodésica, 46 sólido, 534 triangulación, 447 usual, 155 n-toro, 576 total orden, 85 totalmente inconexo, espacio, 177


totalmente ordenado, conjunto, 85 transformación cubriente, 602 transformaciones cubrientes, grupo, 602 transición aplicación, 375 transitiva relación, 85 transitiva, acción, 366 translation, 364 traslación, 162 trayectoria, 181, 278, 356, 515 cerrada, 515 constante, 181, 515 destino, 181, 515 extremos, 515 inversa, 181, 518 libre, 278 origen, 181, 515 trayectorias componente por, 356 enchufables, 518 espacio de, 278 homotópicas, 519 iguales, 517 producto, 181, 518 traza de un filtro en un subconjunto, 217 versus continuación, 217 trébol, nudo, 622, 631 derecho, nudo, 623 izquierdo, 623 triangulación, 446 de la botella de Klein, 447 del plano proyectivo, 447

681

del toro, 447 tricoloreable, nudo, 629 trivial aplicación cubriente, 568 banda, 350 topolog´ıa, 50 trivial, nudo, 622 trivialización de una aplicación cubriente, 568 Tychonoff, teorema, 242 ultrafiltro, 212 abierto, 214 caracterización, 212 P-ultrafiltro, 214 unión ajena de conjuntos, 132 unión infinita de espacios topológicos, 139 unitaria célula, 30 esfera, 30 unitario c´ırculo, 30 cubo, 30 intervalo, 30 unitario, grupo, 416 especial, 421 unitario, intervalo, 356 universal aplicación cubriente, 591 espacio cubriente, 591 Urysohn función, 303 lema, 303

682


teorema de metrizabilidad, 319 valencia del vértice de una gráfica, 454 valor intermedio teorema, 173 variedad, 369 algebraica, 63 anal´ıtica, 376 atlas, 375 carta, 375 coordenadas locales, 375 de clase C ∞ , 376 de clase C r , 376 de Grassmann compleja, 421 real, 421 de Stiefel compleja, 416 real, 416 doble, 381 estructura, 376 frontera, 370 holomorfa, 376 interior, 370 lisa, 376 punto frontera, 370 punto interior, 370 topológica, 252, 376 variedad topológica, 369 3-variedades, descomposición de Heegaard, 410 1-variedades, teorema de clasificación, 407 2-variedades, clasificación, 400, 456, 557

4-variedades, teorema de clasificación, 412 Varsovia, c´ırculo, 187, 586 vecindad cubierta parejamente, 564 de un conjunto, 295 en un espacio métrico, 36 en un espacio topológico, 51 numérica, 303 vecindades básicas, 65 base, 65 sistema, 52 vértice de una gráfica, 428 vueltas, n´ umero, 480 Zariski, topolog´ıa, 62, 94 Zorn, lema, 212

Topología Básica Carlos Prieto

Recommend Documents