Tópicos de cálculo Vol. II V - By Priale

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VOLUMEN 2 'i ¡ i i y

TERCERA EDICIÓN

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TOPICOS DE CALCULO VOL. II

- INTEGRAL INDEFINIDA - INTEGRAL DEFINIDA •INTEGRALES IMPROPIAS - APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA - COORDENADAS POLARES - RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL - SUPERFICIES

MAXIMO MITACC MEZA - LUIS TORO MOTA

TOPICOS DE CALCULO VOL. II TERCERA EDICION MAXIMO MITACC - LUIS TORO MOTA IMPRESO EN EL PERU

PRINTED IN PERU

Prohibida la reproducción total o parcial por todos los medios gráficos, sin permiso de los autores. Número de Inscripción en le Registro Nacional de Derechos de Autor N° 160 Impreso en los Talleres Gráficos de: Editorial THALES S.R.L.

TERCERA EDICION

Mayo del 2009

PRÓLOGO E n esta se g u n d a e d ició n de T ó p ic o s de C á lc u lo V o l. II, n o s h e m o s e sfo rza d o por presentar el cá lc u lo integral para fu ncio n e s reales de una va ria b le real y la geom etría an alítica en el espacio, en fo rm a tal que resulte de m á x im o p ro v e c h o a los

estudiantes

cuyo

ca m p o

de

e sp e cia liza ción

no

sea

estrictam ente

las

m atem áticas. L a orientación p rin cipal del libro es ha cia a p lic a c io n e s en d iv e rsa s áreas de la ciencia, lo cual a m p lía la utilidad del texto. A u n q u e en esta e d ició n la estructura b ásica general no se ha ca m bia do , se ha realizado una gran cantidad de revisiones. H e m o s reestructurado casi la totalidad del capitulo 6 y el capítulo 7, se han hecho u na gran cantidad de m o d ific a c io n e s a lo

largo

de

todo

el

libro,

lo s

cuales

con siste n

en

ejem p los

a d icio n ale s

d e sa rrolla d os y re d acción de procedim ientos. E l conjunto de ejercicios prop u e stos se ha m od ifica d o , co n la a d ició n de n u e vo s ejercicios. E l L ib r o se d iv id e en siete capítulos. E n los p rim e ro s cuatro ca p ítulo s se hace una presentación de la integral indefinida, integral definida, integral im p ro pia, y sus a plicaciones.

Hem os

visto

por

co n ve n ie n c ia

desarrollar

p rim e ro

la

integral

inde finid a con la fin a lid ad de fa m iliarizar al estudiante con las técnicas y/o artificios de integración que luego se usan en los ca p ítu lo s siguientes. E l capítulo cin co trata sobre las co orde n a da s polares y su s a plicaciones. E n los cap ítulos sigu iente s (del sexto al séptim o), se inicia con una in trod u cción breve de vectores en el e spa cio trid im e n sio n a l y se continua con recta, plano, su p e rficie s y se co n clu y e con las co ord e n a d a s cilin d rica s y esféricas. N u e stro p ro p ó sito es que esta edició n no lenga errores, pero es casi un a x io m a que todo libro de M a te m á tica lo s presente; p or tal m o tiv o co n sid e ra m o s que este texto n o sea la excep ción, a pesar del esm ero y la d e d ica ción puesta para detectarlos y co rre girlo s antes de su im presión. E n tal sentido, los autores co m p a rtim o s la re sp o n sab ilid a d de lo s m ism o s, aclarando que d ic h o s errores han sid o co m e tid os solam ente p or un o de lo s autores. Q u e re m o s expresar nuestro agrad e cim ie n to a los p rofesores y a lu m n o s de todo el p aís p o r la a co gid a b rin d a d a a la edició n anterior y espe ram os que esta n u e va e d ició n tenga la m ism a preferencia.

L o s A u to re s

IN D IC E

C A P I T U L O 1: I N T E G R A L I N D E F I N I D A

1

A n tid e riv a d a e integración in d e fin id a .......................................... P rop ie da d es de la integral in d e fin id a .....................................

4

Integrales in m e d ia ta s...........................................................

5

M é t o d o s de in te grac ió n ........................................................

10

In te gració n p or su stitu ció n o ca m b io de va ria b le .............

11

In te gració n p or p a r t e s ....................................

20

T é c n ic a s de in te gra c ió n ........................................................

29

Integrales de a lgu n a s fu n c io n e s trigonom étricas e h ip e rb ó lic a s

32

in te gra le s de la fo rm a / sen™* c o s - x d x y

32

f s , n ^ x c o sk ’ x d x

Inte gració n p or su stitu ció n trig o n o m é t ric a ................................

45

M é to d o de integración p o r d e sc o m p o sic ió n en fra ccion e s p arciales

56

Inte gració n de a lgu n a s fu n c io n e s irra cio n ale s........... ..............

68

C A P I T U L O 2: I N T E G R A L D E F I N I D A S u m a to ria s............................................................................

95

C á lc u lo del área de una re gió n plana por s u m a to ria s ..............

104

S u m a su p e rio r y su m a in f e r i o r ............................................

112

Integrales inferiores y s u p e r io r e s ..........................................

115

Integral de R ie m a n n ..............................................................

116

P rop ie dad es de la integral d e fin id a .......................................

120

T e o re m a s fundam entales del cá lc u lo in t e g r a l........................

121

C a m b ia de variab le en una integral d e f in id a ........................

130

In te gració n p or partes en una integral d e f in id a ......................

134

C á lc u lo a p ro x im ad o de las integrales d e fin id a s...................

144

C A P I T U L O 3: I N T E G R A L E S I M P R O P I A S Integrales im p ro p ia s co n lím ite s in fin ito s..............................

149

Integrales im p ro p ia s co n lím ite s f i n i t o s ...............................

152

Integrales im p ro p ia s co n integrando no n e g a tiv o ............. .

161

C A P I T U L O 4: A P L I C A C I O N E S D E L A I N T E G R A L D E F I N I D A Á r e a de re gio n e s p l a n a s ....................... ....... ...........................

167

V o lu m e n de un só lid o en fu n ció n de las áreas de las secciones p la n a s ...... 181 V o lu m e n de un só lid o de re v o lu c ió n .....................................

185

M é to d o del d is c o circu la r y del a n illo circ u la r......................

185

M é to d o de la corteza c ilin d rica .............................. ...............

191

L o n g itu d de a r c o ..................................................................

201

Á re a de una supe rficie de r e v o lu c ió n ...................................

208

M o m e n t o s y centros de m asa (ó centros de g r a v e d a d ) ...........

214

A p lic a c io n e s de la integral en los n e g o c io s ............. ...............

229

C A P I T U L O 5: C O O R D E N A D A S P O L A R E S Siste m a de co orde n a da s p o la r e s ..................................... ........

237

R e la ció n entre las co orde n a da s p olares y las re c ta n g u la re s.......

239

D ista n c ia entre d o s p u ntos en coordenadas p o la r e s ...................

240

E c u a c ió n p olar de una r e c t a .............................. .....................

241

E c u a c ió n polar de una c irc u n fe re n c ia .......................................

243

D isc u sió n y gráfica de una ecuación p o l a r ................................

244

Intersección de c u rv a s en coordenadas p o la r e s ...........................

248

D e riv a d a s y rectas tangentes en coorde nadas p o la r e s ..............

251

Á n g u lo entre d o s c u rva s en coorde n adas p o la r e s ......................

254

Á r e a de re gio n e s en co orde n a da s p o la r e s ........................ .......

262

L o n g itu d de arco en coorde n adas p o la r e s .................................

266

V o lu m e n de un só lid o de re v o lu c ió n en co orde n adas polares....

268

C A P IT U L O 6 : R E C T A S Y P L A N O S E N E L E S P A C IO T R ID IM E N S IO N A L V e cto re s en el e sp a cio t r id im e n s io n a l...................... .................

273

Re p re sen tación ge o m é trica de un vector en i 3 ....... ..................

274

V e cto re s paralelos en R 3 ..........................................................

276

M ó d u lo y longitud de un vector en K 3 ......................................

277

Á n g u lo entre d o s v e c t o r e s .........................................................

2 78

Ve ctore s orto go n ales o p erpe n d icu lare s.....................................

279 •

P roducto v e c t o r ia l............. .......................................................

283

A p lic a c io n e s del p rod ucto v e c t o r ia l............................................

285

A p lic a c ió n del triple prod ucto e s c a la r ........................................

287

Recta en el e s p a c io .............................. .....................................

295

R e la c ió n entre lo s c o se n o s directores de una recta.......................

296

E c u a c io n e s de un p la n o en el e s p a c io .........................................

306

Á n g u lo entre d o s p l a n o s .............................................................

319

P ro y e cc ió n ortogonal de una recta sobre un p l a n o ......................

320

C A P I T U L O 7: S U P E R F I C I E S E s f e r a ....................................................................................

342

D is c u s ió n y gráfica de la ecuación de una s u p e r f ic ie .................

347

C i l i n d r o s .................................................................................

352

Su p e rficie de r e v o lu c ió n .........................................................

356

Su p e rficie s c u a d rá tic a s .............................................................

361

C o o rd e n a d a s cilin d rica s y coordenadas e s fé ric a s ........................

369

C o o rd e n a d a s e sfé ric a s...............................................................

371

A p li c a c i o n e s ..............................................................................

373

(r

'

........

.... 1............................

^

INTEGRAL INDEFINIDA ^

......

..... — ^

1.1 A N T I D E R I V A D A E I N T E G R A L I N D E F I N I D A E n el lib ro de T ó p ic o s de C á lc u lo V o lu m e n 1, se trató p rincipalm ente el p ro b le m a b ásico siguiente: “ D a d a u n a fu n c ió n encontrar su d e riv a d a ” . S in em b argo, existen m uc h a s a p lic a c io n e s del c á lc u lo que están re lacio n ad as con el p rob le m a inverso, el cual es: “ D a d a una fu n c ió n / , d efinid a en un intervalo /, encontrar una fu n c ió n

F cu y a d e riv a d a sea la fu n c ió n / , es decir, F '( x ) = / ( x ) , V x G /. D e f in ic ió n 1. Se a / un intervalo y / : / -> M una función. U n a fu n c ió n F: / —» M tal que F ' ( x ) = / ( x ) , V x G /, se d en o m ina p rim itiv a o antiderivada de / en / y se escribe F (x ) = Ant (/ (x )), V x G / E je m p lo 1.

Se a /(x) = 4 x 3 , x G R

y

g(x) = ex , x G B .

L a s fu n c io n e s F( x ) = x 4 y G ( x ) = e x, x G K , son respectivam ente a n tid erivadas de / y g en E , es decir,

F' (x ) = ( x 4) ' = 4 x 3 , V x E R G '( x ) =

( e xy = e * , V x G l

T a m b ié n son a ntid erivadas de / ( x ) = 4 x 3 las fu n cio ne s

F1(x ) = x 4 + 2, F2 {x) = x 4 + ln7i

1007T y

F 3( x ) = x 4 + -

pues su s d erivadas so n igu a le s a / ( x ) = 4 x 3 A n á lo ga m e n te , otras a ntid eriva d a s de g ( x ) = e x son, por ejem plo,

V3

G iC x ) = e x - 1, G2 ( x) = e x - e e, C 3 ( x ) = e x + — don d e k es cu alq u ier constante real.

y C 4(x ) = e x + k

T O I% ()S DE C Á L C U L O - VOLUMEN II

Observación i. Si F { x ) = A n t ( f ( x ) ) en I, entonces F ( x) + C, donde C es una constante real, es también antiderivada de f en l. lista p ropiedad es evidente, pues si F ( x ) = A n t ( J { x ) ) en I, entonces

F '(x)=f(x),

V xel

T a m b ié n ( F ( x ) + C ) ' = F' {x) = / ( * ) , V x 6 /. Enton ce s

F ( x ) + C = A n t ( f { x ) ) en / U n a pregunta natural es: “S i F (x ) = A n t ( f ( x ) ) en el intervalo /, ¿c u a lq u ie r otra antiderivada de / en I difiere de F a lo m ás en una co n sta n te ?” . D ic h o de otro m odo, si F ^ x ) = A n t ( f ( x ) ) en /, ¿necesariam ente Fr ( x) = F ( x ) + C, V x e l ? L a respuesta es afirm a tiva y se deduce de la siguiente prop osición. P r o p o s ic ió n 1.

Se a / : / -» E

una fu n ció n d efinid a en el intervalo abierto / y

F:I -» E

una antiderivada o p rim itiva de / . S i antiderivada de / , entonces

: / -> E

es tam bién una

F1 ( x ) = F ( x ) + C para a lgu n a constante C.

D em ostración D e fin im o s la fu n c ió n H p or H ( x ) = F ^ x ) - F ( x ) . E n to n ce s

H' ( x) = Fi ( x) - F' {x) = f ( x ) - f ( x ) = 0, V x E l Lu e go , H' ( x) = 0 , V x e l . D e aquí se d educe que

H( x ) = C , V x e l , donde C es una

constante (ver

C o ro la rio 1 del T . V . M . T ó p ic o s de C á lc u lo V o l. 1). L u e go , se tiene

H ( x ) = F i C O - F{ x ) = C <=> F ^ x ) = F ( x ) + C , V x e l Geom étricam ente, sig n ific a que si F ( x ) = A n t ( f ( x ) ) en el intervalo /, cu alq uier otra antiderivada de / en I es una cu rva paralela al gráfico de y = F ( x ) (F ig. 1.1).

2

INTEGRAL INDEFINIDA D e f in ic ió n 2.

S e a F ( x ) u na antiderivada de f { x ) d efin id a en el in te rvalo I. L a

in te g r a l in d e f in id a 'd e f ( x ) es e f conjunto de tod as

las a n tid erivadas de f ( x )

d e fin id a s en d ic h o intervalo y se representa m ediante el sím b o lo

J f ( x ) d x = F(x ).+ C d ond e C es u na constante real que se d e n o m in a c o n sta n te de in te g r a c ió n . L a fu n c ió n / ( x ) se lla m a integrando, f { x ) d x es el elem ento de integración, x variab le de la integral- y el s ím b o lo j se d e n o m in a sím b o lo de la integral. L a e x p re sió n

/ / (x )d x

se lee “ integral de f ( x ) co n respecto a x ” o “ integral

in d e fin id a de / ( x ) diferencial x ” .

Observación 2, De la definición 2 se deduce las siguientes propiedades: i)

^ ( J / ( x ) d x ) — (J / (x )d x )

= ( F ( x ) + c y = f ( x ) , es d e c i r :

“la derivada de la integral indefinida es igual al integrando " ti)

d

/ (x )d x j =

/ (x )d x j dx = f{x)dx

¡ii) Si f es una función derivable en I, entonces una primitiva de f es f . Luego,

J

f'{x)dx = f(x ) + C

iv) Como d { f { x ) ) = / ' ( x ) d x , de (iii) se deduce:

J De

d (/ (x )) = f(x ) + C

las p rop ie da de s ii) y

iv), se co n clu ye que la integral in d e fin id a puede

interpretarse c o m o u na o p e ra ció n in ve rsa de la d iferenciación, pues al a p licar la integral in d e fin id a a la diferencial de la fu n c ió n f { x ) , ésta reproduce la fu n c ió n / ( x ) m ás la constante de integración. E j e m p lo 2.

D e l ejem p lo 1 se deduce:

i)

J e xdx = e x + C

ii)

J

4 x 3d x = x 4 + C

E n la fig ura 1.2 se m uestra la grá fica de las antiderivadas de / ( x ) = e x , es decir, de F ( x ) = e * + C , d on d e C es un a constante real. S i C > 0, la grá fica de y = e x se d e sp la za paralelam ente C un idad es h acia arriba y si C < 0, se d esp laza paralelam ente C u n id a d e s h a cia abajo.

3

TÓPICO S DE C Á L C U LO - V O LU M EN II

Ejem plo 3.

Como d ( x ln x - x ) = ln x d x, por la obs. 2-iv , se deduce:

J d ( x l n x —x) = J \nx dx = x l n x - x + C

, ,

E jem p lo 4 .

í 1 x J - ^ —j = - a r c t a n - + C , pues

n

x

1

\'

1

1 __ 2__

( - a r c t a n - + C) = -

X^

4 + x2

1 +=r 4

1.2 P R O P I E D A D E S D E L A I N T E G R A L I N D E F I N I D A P r o p o s ic ió n 2. S i / y g so n fu n cio n e s que adm iten antiderivadas en el intervalo / y k es una constante cualquiera, entonces las fu n cio n e s / ± g y k f antiderivadas en / y se tiene: a)

[ íf(x) ± g ( x ) ] d x =

J

adm iten

f(x )d x ± J g(x)dx

b) I [kf(x)]dx = k j f ( x ) d x D e m o s t r a c ió n a) C om o | J [ / ( x ) ± 5 ( x ) ] d x j = / ( x ) ± ^ ( x ) = e n to nce s

J [f(x)

±g(x)]dx y

J

f(x)dx±

/ (x )d x j ±

J

J

g(x)dx ,

g ( x ) d x s o n las a n tid e riv a d a s

de / ( x ) ± g ( x ) . P o r tanto,

j [/ (*) ± 9 (x)]dx = J f ( x ) d x ± j g ( x )d x b ) L a d em ostra ción q ueda c o m o ejercicio para el lector. D e la parte (a) se deduce que la integral inde finid a de u n a su m a alge b ra ica de varias fu n c io n e s es igu a l a la su m a alge b raica de sus integrales.

E j e m p lo 5. Calcule j ( e x - 4 x 3 + ln x ) d x . S o lu c ió n . E n virtu d de la p ro p o sic ió n 2 y de los e jem plos 1, 2 y 3 se obtiene:

J (e x -

4 x 3 + ln x ) d x =

J

e xd x -

J

4 x 3d x +

J

ln x d x

= ( e x + Ct ) - ( x 4 + C 2) + ( x l n x - x + C3)

= e x - x 4 + x In x - x + C, d o n d e C = Cx + C2 + C3 E n lo que sig u e solam ente usare m o s u na constante ú n ic a de inte gració n para la su m a de 2 o m á s fu nciones.

4

INTEGRAL INDEFINIDA

1.3 I N T E G R A L E S I N M E D I A T A S S i c o n o c e m o s f ' ( x ) , p o r la o b se rva ció n 2 -iii se d educe que

j f'(x)dx = f(x) + C

ó

J d(f(x)) = f{x) + C

E sta integral se d e n o m in a integral inmediata. P o r ejem plo, un a integral inm ediata es / d x = x + C. E n se g u id a , presentarem os una tabla de integrales inm ediatas, que contiene, adem ás de las integrales de fu n c io n e s elem entales, otras que serán de m u c h a utilidad. P o r co m o did ad , en lugar de la variab le x u sa re m o s la letra u. M á s adelante, ve re m o s que u puede ser una fun ción , es decir, u = u ( % ) . F Ó R M U L A S E L E M E N T A L E S D E IN T E G R A C IÓ N

J

1.

3.

f

un+1

u nd u = ---------------- + C , n — 1 n +1

J f

5.

du = u + C

J

J

9.

J

f

e udu = e + C

J

6.

eos u d u = se n u + C

8 . tan u d u = ln [se c u| + C

c o t u d u = ¡njsen u¡ + C

” ■/ 13.

4.

— = ln|u| + C

ciu \ a udu = -------- b C ln a

7.

j

2.

J

f

| se n u du = - c o s u + C J

j

10.

J

secu

ese u du = ln | csci¿ — coti¿| + C

12.

J

csc2u du = —cot u + C

14.

J

du — ln | se c u + tan u| + C

s e c 2u du = tan u + C

s e c u tan u du = s e c u 4- C

15. J ese u cot u d u = — ese u + C

16. J se n h u du = co sh u + C

17. j c o sh u du = s e n h u + C

18. j ta n h u du = ln|cosh u| + C

19. J sech2u du = ta n h u + C

20.

21.

J sechu

22.

J

tp nh u d u = — s e c h u + C

c s c h u coth u d u = — c o s h u + C

5

J

c sc h Ju du = - c o t h u + C

TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II

■h

du

1

+ u-

a

U arctan —+ C , (a > 0)

1

u —a

2a

u + a

1

u + a

2a

u - a

= — ln

■ h

= — ln

f

26

27.

28.

29

31.

du =

+ C , (a > 0)

u

= a rc se n - + C , (a > 0 )

f du i ,----------- 1 I - p = = In u + V u 2 ± a 2 + C v u2 ± a2

r

1

du

— ;..= J uvu2 — a2

.J

30

—=

+ C , (a > 0)

- a r c s e c ------ 1- C , (a > 0 ) a a

yj a 2 — u 2du = —juVa 2 - u 2 + a a r c s e n - + C , (a > 0 ) aj

j yj'u2 + a 2du = - |u%/u2 + a 2 4- a 2 ln ( u + J u 2 + a 2)j 4- C

J

yju 2 - a 2du = - [ u v u 2 - a 2 - a 2 ln |u + V u 2 - a 2 j] + C

C a d a una de éstas fó rm u la s se pueden ve rifica r m ediante la d e riv a c ió n (respecto a la variable u). P o r ejem plo, en el ca so de la fó rm u la 2 4 se tiene:

d

/ 1

du \ 2 a n

iu — ai\ lu + aU

1 2 a¡L

d (ln | u - a \ - ln|u + a|)

UU

1

1

1

2a

u - a

u + a

1

1 iu - a i P o r ta n to ■ I —^------ j = t;— ln --------- + C J u'- — a 2 2a lu + a l

f

du

E n el caso de la fó rm u la 18, se tiene:

d

se n h u ( In c o s h u|) = — — — .?= t a n h u du co sh u

—

D e lo a n t e r io r s e d e d u c e q u e

J ta n h u d u = ln | c o sh u| + C.

6

INTEGRAL INDEFINIDA

E jem p lo 6 . C alcule J ( 6x 4 - x 2 + 3 )d u . Solución U s a n d o las fó rm u la s de integración, tenem os

J (6 x 4-

x 2 + 3)du

= J 6x 4d x = 6

J

-

J

x 2d x

+ J 3d x

x 4d x -

J

x zdx + 3

J

dx

6 x3 = - x 5 - — + 3x + C

E jem p lo 7. Calcule J (v 2 — \ [ x) 2dx. Solución C o m o ( V 2 — V * ) 2 = ( 2 — 2 V 2 V x + x ), entonces se obtiene

j (V 2 - yfx)2dx =2 J dx - 2 V 2

J x 1/2d x + J xd x

r 3/2

= 2„ _ 2V 2 _

y2

+ y

+ C

= 2 x - ^ 4 2 x 3/z 4 - ^ x 2 + C

E jem p lo 8. Halle

f 3 x 5 — 6 x 2 + yfx J

I ------------------- ---- dx.

x6

Solución D iv id ie n d o térm ino a té rm in o el integrando y a p lican d o las p rop ie d a d e s de la integral, se tiene

f 3xs - 6 x 2 +tJx f f dx f I ---------- -------------- d x = 3 I x d x - 6 I ------ ¡- x s/2d x 2 - x 3 - 6 \n\x\ ~ - x 3l2 + C E n los ejem p los anteriores, el m étodo para hallar las integrales co n sistió en tratar de d e sco m p o n e r el integrand o co m o la su m a algebraica de v a ria s fu n c io n e s y luego a plicar las p rop ie d a d e s e nunciadas en la p ro p o sic ió n 2. E ste m étod o es llam ado "m étodo de in tegración por descom posición” . E n ciertas funciones, d e sco m p o n e r la fu n c ió n en su m a s parciales n o es tarea fácil, pues depende de la experiencia, ha bilid ad y práctica del que calcula.

7


E jem p lo 9. Calcule

dx

,

J/ s e n h 2x c o sh -x

S o lu c ió n

1 c o s h 2x - s e n h 2x Como ----- —----—— = -----------—---------—— = csch^x - sech2x, entonces s e n r rx co sh -x

s e n h 2x co sh ^ x

/ s e n h 2x c o s h 2x = / CSCh2* d x ~ / Se ch 2 * d x = ~ COth X “ t a n h x + C

E jem p lo 1 0 . E n c u e n tre

r

■

x2 + 2

--------dx.

J x 2( x 2 + 4 )

S o lu c ió n E xp re sa n d o el n u m e rad or del d enom inador, resulta

integrando

en

térm inos

2

de

los

factores

del

1

+ 2 = x z + - ( x z + 4 - x 2) = - [ ( x 2 + 4 ) + x z ] A h o ra , e sc rib im o s la integral co m o la su m a de d o s integrales (h a cie n d o las sim p lific a c io n e s en cada integrando) y obtenem os

í

l f i ! + ( i 2 + 4)

*¿ +2

J x 2( x 2 + 4 )

X ~ 2j

x 2( x 2 + 4 )

1 i rl ri : a rc ta n 2 l2 í

~

1

2

J

X

1 + C

í

x 2 —5 — —— — dx J x 2( x 2 - 9 )

Solución P roce d ie n d o del m is m o m o d o que en el ejem plo anterior, resulta x 2 — 5 = x 2 + | ( x 2 - 9 - x 2) = | ( x 2 - 9 ) i- -”X 2

9

_

9

f í * 2 + | ( * 2 - 9)

J

4

x 2( x z - 9 )

1

x + 3

4 r

9

dx

5 r dx

dx- 9 j x 2-9 + 9 j I 2

5

2

= 9 ' ¿ ln x — 3 ~ 9 x + ° ~ 2 7

8

ix + 3|

lnL —31

1 r dx

x 2"+ ~ 4 + 2

1 +2

x

-

-a rc ta n - - — 4 2 2x

E jem p lo 1 1 . H alle / =

dx

i r

5 ~9x + C

J

x 2^

INTEGRAL INDEFINIDA

3 dx

Ejem plo 12. Halle

J x 2( x 2 + 5 )

S o lu c ió n U sa n d o el m ism o p roced im ie n to de los ejem plos anteriores, se obtiene 3 3 3 3 = - ( x 2 + 5 — x 2) = — ( x 2 + 5 ) - - x 2 . Luego,

_

3 ,7 .,.,,

2 j

3

r ^ ( x 2 + S ) - ^ x 2 dx ^ 3 J

x 2( x 2 + 5 )

5

x2

5

J x2 +

5

a rc ta n — + C 5V5 V5

E jem plo 13. Se a /: R -> K

=2 y

m

J

3 r

x

3

5x

rdx

una fu n c ió n co n tinu a en E

=

tal que

* e x > 1

\ e x, De te rm in e f ( x ) .

Solución ( - 1 , oo < x < 0 / '( x ) =

|1. le *,

/ (O ) -

ii) / ( l ) =

l*m / ( x ) x-» 0_

= I x + C2 ,

x > l

D e la co ntin uidad de / en 0

f - x + Cu x < 0 =>f ( x )

0 < x < l

=

E, se tie n e

ü m / ( x ) <=* 2

= C, = C 2

R e s o lv ie n d o las e cu a cione s (1 ) y (2), se obtiene: í-x P o r tanto, / ( x )

= |

+2,

1

a2 - u2

x

x + 2,

le* + e Observación 3.

(1 )

lim + / ( x ) «=> 1 + C2 = e + C 3

lim _ / ( x ) =

0 < x < 1

l e * + C3 , x > l

( 2)

= 2, C 2 = 2 y C 3 = e - 3.

<0

0 < x < 3 ,

x

>1

Una identidad útil en el proceso de integración es

1

2a a —u

a -r u

9

1

TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II

E jem p lo 1 4 . C alcule

f dx I ——

Solución U s a n d o la identidad de la o b se rva ció n 3, se tiene (■

dx

1 f r

_

1

1

J x 4 — 9 ~ ~ 6 J i x 2 + 3 + 3~—~}

111

- —

*

a rcta n —

6 LV3

E jem p lo 1 5 . E n c u e n tre

V3

dx

1

+ V3

+ C

+ — — ln

2V3

-V 3

f x 2 + 13 - -dx.

J V FT9

Solución T ra b a jan d o de m anera adecuada en el nu m e rad or del integrando, se obtiene

f x 2 + 13 , f (x 2 + 9) + 4 f r—-----f dx . dx = — — dx = \ yjx2 + 9 dx + 4 1 J Vx2+ 9 J Vx2+ 9 J J V* 2 + 9 = - j * V * 2 + 9 + 9 ln (x + yj x2 + 9 )] + 4 ln (x + j x

= 2 [ W * 2 + 9 + 1 7 ln ( x + J x

2 + 9) + C

2 + 9 )] + C

1.4 M É T O D O S D E IN T E G R A C IÓ N A n te s de presentar los m étodos de integración “p or su stitució n o c a m b io de va ria b le ” y “p or partes”, es necesario hacer notar una d iferencia esencial entre las op e racio ne s de d e riv a c ió n y de integración. D a d a una fu n c ió n elem ental (fu n c ió n que se obtiene m ediante un nú m e ro finito de op e racio ne s de sum a, resta, m ultip licación , d iv isió n y c o m p o sic ió n de fu n c io n e s de las fun cio n e s: constante, potencia

( y - x a ),

( y = a x),

exp one n cial

lo ga rítm ica

( y = lo g a x),

trigon o m é trica s y trigon o m é trica s inversas), su d erivada m antiene la m ism a estructura, es decir, tam bién se exp resa c o m o una fu n c ió n elem ental, m ientras que en la integral indefinida, esto solam ente sucede en c o n d ic io n e s m u y especiales. P o r ejem plo, las integrales sim p le s c o m o

l ^ i x .

fe*dx.

J V i + x 3 dx

, J ser¡(x2) d x , j c o s ( x 2) d x

no pueden ser e xp re sa d a s en té rm in os de “co m b in a c io n e s fin ita s” de fu n c io n e s elementales.

10

INTEGRAL INDEFINIDA D e l punto de vista práctico, la integración se presenta co m o una o p e ra ció n m ás co m p lica d a que la derivación , pues ésta tiene re glas generales de d eriva ción; m ientras que para la integración es p osib le hacer artificios que son v á lid o s para clases particulares de funciones. C a d a caso particular requiere un en sayo , una tentativa, por lo que se re co m ie n da práctica, m ás práctica y m ás práctica.

1.4.1 I N T E G R A C I Ó N P O R S U S T I T U C I Ó N O C A M B I O D E V A R I A B L E Para hallar la integral in de fin id a por este método, d iv id im o s nuestro a n á lisis en dos partes: re co n ocim iento del m od elo y ca m b io de variable. E n el re co n ocim ien to del m od e lo re alizam o s la su stitu ció n m entalm ente, m ientras que en ca m b io de variab le e sc rib im o s los p aso s de la sustitución. E l proced im ie n to de sustitució n en la integración es com p arable con la regla de la cadena en la d erivación. Re cu e rd e que para fu n c io n e s d eriva bles y = f { u )

y

u = g ( x ) , la regla de la cadena establece

d

S i h a ce m o s la sustitución u = g ( x ) , entonces a partir de la d e fin ic ió n de la integral d efinid a tenem os

J

f'{g(x))g'(x)dx = f{g(x)) + C = f ( u ) + C

A s í, h e m o s p rob ado la siguiente prop osición:

] P r o p o s ic ió n 3.

S i y = f ( u ) es una fu n ció n derivable de u, u = g ( x ) es una i

fu n c ió n d erivable de x y F es una antiderivada de / , entonces

J

f ( g ( x ) ) g ' ( x ) d x = F ( g ( x ) ) + C (R e c o n o c im ie n to del m o d e lo )

S i ha ce m o s el ca m b io de va ria b le u = g ( x ) , entonces d u = g ' ( x ) d x . L u e go ,

J

f(g(x))g'(x)dx =

J

f(u )d u = F (u ) + C

E jem p lo 16. Calcule J ( x 3 + l ) 4 3 x 2 dx. Solución Sea t = x A + 1 . entonces d t = 3 x 2 d x . Lu e go ,

II

|

TO PICO S DE C Á L C U LO - V OLU M EN II

X4

í

E jem p lo 1 7 . H alle la integral I

-d x .

J Vx5 + 1

Solución Si

= x 5 + 1 , se tiene d t = 5 x 4d x . En ton ce s

t f

x4 T 'f •-

V x5 + 1

J

, 1 f 5 x 4dx dx = r Tr ,

i r = c

,,, f“

V x5 + 1 5 J

5J

1

7 £í„

d t = - - - t 6/7 + C 5

6

= ¿ 7 ( * 5 + i)6 + c

r Sexdx

E jem p lo 1 8 . Calcule la inte gral J - ^ = = = = . Solución Si

u

= e x , se tiene d u = e * d x . Lu e go , se obtiene f

S e xd x ......

f = 5

J Vi - e 2*

---

du = 5

J V l^ ü 2

E jem p lo 1 9 . C alcule I =

arcsen u + C = 5 arcsenfe*) + C

f se nh xcosh x

— ----------— - — dx.

J (1 + s e n h 2x ) 5

Solución S i co n sid e ra m o s u = 1 + s e n h 2x , se tiene d u = 2 s e n h x c o s h x d x . Lu e go ,

f ? du

1

1

í

/ - J - ¡ ^ - 2j U

E jem p lo 2 0 . H alle

u“4

1

d U ~ 2 ( ^ ) + C - - 8( 1 + s e n V x y + C

f a rc s e n V x d x I — ■ = = — . ■/ Vx — X2

Solución

r-

. '

Si se hace u = a r c s e n V x , se tiene du =

1 dx dx ------- — = = — ■— ..... . P o r tanto, V T ^ x 2V x 2V x - x2

r arcsenVx dx f J — — = J 2 u d u = u + C = [arcsenVx] + C

2

= arcsen2Vx + C Observación 4. En ciertos casos, es necesario realizar algunas operaciones en el integrando p a r a que el cambio de variable sea más f ác i l de realizar.

12

INTEGRAL INDEFINIDA

I

Ejemplo 21. Calcule I

2 + J2 + J 2 + 2 c o s (5 \/ x + 4 ) • x 1/ 2dx.

Solución E n el integrando, a p lic a m o s la identidad trigon o m é trica

Q

9 1 + eos 9 e o s — = ------ —

2

2

2+

1=

- í

-i.

!2 +

ó 1 + e os 0 = 2 e o s 2 —

2 +

12 +

|2 [ l + e o s (5V3c + 4 )] • x i / 2 d x

2 co s 5-^

+ 4 ■x~1/ 2dx =

J

2 + 2 eos

5Vx + 4 5 _ . 16 Si u = ----- — -, e n to n ce s du = —~ x ,¿dx <=> — d u = x 8 16 5 32 f / = — I eos u du = —

E jem p lo 2 2 . H alle / =

J

5 V * 4- 4

1/2dx

' ‘ d x . Luego,

32 32 /5Vx + 4 \ se n u + C = — s e n I ----- g — |+ C

x dx e 3* ( l - x ) 4

Solución L u e g o de expresar el d e n o m in a d o r en una so la potencia, tenem os

f

xe x dx

C r

xe x dx

= J e 4x( l — x ) 4 = JJ ( e x -— x. e x) 4 L u ch o , hacem os u = e x — x e x . E n to n ce s du = —x e xd x ■*=> —du

l)c esiii manera, se obtiene:

/

f du _

J u4

1

3u 3

+ C =

3 e 3* ( l - x ) 3

13

+ C

= x e xdx


(x 2 - 1 ) dx

E je m p lo 23. Calcule / = J

(.x 2 + l ) V x 4 + 1

Solución D iv id ie n d o el nu m e rad or y el d en o m in a do r entre x 2 , se tiene

, =

f

Si u = x + - ,

x

t 1 ~ x 1) d x

f

e n to n ce s du = ( l -----t ) dx

\

V u2 = x 2 + — + 2 ^ x2

x 2)

u2 — 2 = x2 + —

. P o r tanto, se obtiene

x-

du 1 |u| 1 (x2+ 1 — ...... = — are see — + C = — are see ■ J xW u2 — 2 V 2 V2 V2 \ V 2 |x| r

I =

f x + 2 E jem p lo 2 4 . Calcule / = I -- ------ ^

( X — i-J

J

“.x.

Solución S i h acem os

u = x — 2 , se tiene d u = d x

. Lue go ,

/ = J (U +J )dU = | (u~3 + 4 u - 4)du u “2

4

,

= - — "3“

3x +

2

+C = - ^ 2 F +C

r

E jem p lo 2 5. C alcule / = |

f

x íix

= .

Ii + x 2 + 7 ( i + x 2) 3 Solución L a integral puede e scrib irse co m o

/

x dx

f

1 + x z + V ( l + x 2) 3

x dx Vl + W

,--------Si c o n sid e ra m o s i¿ = 1 + V x 2 + 1< e nto n ce s d u =

/ = J — = J u í/2du =

2 Vü

l + V l + x2 x dx Vx2 + 1

+ C = 2J 1 + V 1 + 14

. Luego,

x2

+

C

INTEGRAL INDEFINIDA

E jem p lo 2 6 . Calcule I = J x V x + 4 dx. S o lu c ió n S i se hace u = V * + 4 , entonces u 2 = i + 4 y d x

2 u d u . P o r consiguiente,

/ = [ ( u 2 - 4 )u. 2 u d u = j ( 2 u 4 - 8 u 2)d u ( x + 4 ) 3/2 (6x - 16) + C

15

E J E R C IC IO S /?. - x 3/2 + 3 x + C

J 4 x ( x + 1) d x

R. ^ x 5/z + 3 x3/2 + C

4 dx

Vó

/?. 4 arcse n — + C —

V6

x ^

dx

+ C

x (x 2 — 8)

* ~ 16 ln

7 x 2 + 16

3 x 4 /?. - a r c t a n ---------- 1- C 2 2 x

x4 + 4x2 18 d x

/?.

9xz - x4

2

1

x

3

3 dx

x2 - 8

in

x - 1 \\n

x 2 + 4x - 5

x + 5

4 dx

x + 3

+ C

+ C

2x + 5

R. 2 a r c s e n ------------ i- C V — 4 x 2 — 20x — 9 J V ~ 4 x 2 - 12x - 5 dx

R.

10.

I I.

1 ( 2 x + 3 ) V ~ 4 x 2 - 1 2 x - 5 + 4 a rc s e n

2 X3 X

2x + 3 + C

(D'ÍE^s)-

3 /6 ' *

-dx

25

scn h x d x

R. - ■

(1 + c o s h x ) 3

2(1 + c o s h x ) :

■+C

dx R. - - t a n ( l — 4 x ) + C

c o s 2( l - 4 x )

4

15

T O N IC O S D ii C Á L C U L O - V O L U M L N II

1

13. J c o s ( 7 x + 4 ) d x

14.

R. - s e n ( 7 x 4- 4 ) 4- C

J c l' 2x~r,) d x

(lnX+

15. J

R. - e i2x- ^ 4- C

l ) e xlnxdx

R. x x + C

dx

16.

R. — --------b C

x ln2x f

17.

In x

dx

---------

R. ln IIn x I 4- C

J x lnx 18.

J

4 xe x

R. ------ ~ + C 1 4- In 4

dx

19.

20

(4e)x

dx

3

R. - - ( c o t x - 1 ) 2/3 4- C

se n 2x V c o t x - 1

./

sen x e t a n 2x

R. - e ta,>2* 4- C

c o s Jx

ev*3e

2'. I

2 ( 3 eÆ )

R.

t ~InT3 ~ + c

dx

‘I

R- 2 J l n ( x 4- -J 1 4- x 2) 4- C (1 4- x 2) ln (x 4- V i + x 2) arctan* + x l n ( x 2 + 1 ) 4 - 1

23.

1 -f X 2

dx R■ e arctanx 4- — l n ( x 2 4- 1) 4- arcta n x 4- C 4

24,

25

26

Ji

se n x

I

dx

■dx

R. s e n x 4- ■

•*+■ C

R. — ta n 5 x 4- C

1 4- c o s l O x

dx

■/

V 2 x 4- 1 - yjx

R. 2 ( V 2 x 4- 1 4- V x ) — 2 [ a r c t a n V 2 x 4- 1 4- a r c t a n V x ] 4- C ^ 27.

( X 2 - 2 x + l ) 1/5 j -------- ---------------- dx J 1- x

f

R. - - ( x - 1 ) 2/ 5 4- C

16

INTEGRAL INDEFINIDA

28.

29.

30.

31.

f

V4

-dx

35.

/?. - [ ( x + l ) 3/2 — ( x - l ) 3/2] + C

/V ^ T

h x

- a rc ta n

f l n ( l n x j) J

I

R. ta n x - s e c x + C

+ se n x

2x ■dx

1

1

/?. - l n ( l + 4 x 2) - - a r c t a n 2 ( 2 x ) + C

o

Z

1

dx

xlnx

R. - l n 2 ( l n x ) + C

R. -

2 X 4- 3

x - ^ K 2^ 3)

+ c

dx

/

R. 2 arctanVfc^ - 1 + C

Ve* - 1

f sen x xco sx

J V2 - s e n 4x

-.dx

R. - a r c s e n

2

dx

/

4 + 5 c o s 2x

A

1 R.

4 + 5 s e n 2x

dx e x + /

_

+ C

\ V2

1 (L ( 2 ta n x \ R. - a r c t a n ) — - — ) + C

dx

38.

39.

3

J

( 2 cot x a rc ta n ( — =— | + C V 3

)■

1 R. - - l n ( l + 4 e x) + C

4

In 3 x 40.

41.

+c

dx

36.

37.

+C

*• arcsenf t ) - senl’ " ' ©

— x4

+ 4x2

34.

R.—

' V2 + x 2 — V2 —x 2

32.

33.

x 2x

J x 2x( \ n x + 1 ) dx

i

x In 5 x

dx

R.

In — ln | ln 5 x | + l n x + C

ln ( x + V x 2 + 1)

1 + x2

/

42.

/v r+

43.

j V l + c o s x dx

«. J.

dx

R. - [ ln ( x + V x 2 + 1 )]

se n x d x

R. — 2 V l — s e n x + C R. 2 V l - c o s x + C

R. a r c t a n ( e * ) + C

e x + ex 17

+ C

TOPICOS DE CÁLCULO - VOLUM EN II

f 45'

44

dx dx ~r= =

J vvx y f W -+

/?• ~(Vx + 1) 3/2 - 4(Vx + 1 ) 1/2 + C

1

á

arctanVx

f

• J v ï + æ + x * dx *n

í

'

R• tarctan^ r + C

(x-2)

,

_

fyfx2 - X + l \

_

*• 2 arcse" (----- Ï----- ) + c

j

s e n l 'fse n x ++x xros r InInr x)dx id r 3. Ij j;Z x2senx~i(senx cosx

48.

4 9 '■ .

í~

i----- -

e lr,(2x) 4 in x + V l n x + ...

ß, ì x

2

sen x + ^

R. J l n x + V l n x + ...

+ C

2'

—-----— x

+oo

f e os 6 x + 6 e o s 4 x + 15 e os 2 x + 10

J

eos

5x +

5 e os

3 x + 10 c o s x

R - 2 senx + C

dX

f se n 8 x d x

5L 52.

I

R' Jârctan (— 3— j + C

f c o s 2x ( t a n 2x + 1 )

—---------- ----------- —— d x J (s e n x + c o s x ) 2

f

b3‘

1/ 'se n 2 4x \

9 + senHx

R

I s e c x - ta n x

J J s e c x + t a n x d*

54. J c s c 3x d x

R' >n|secx + t a n x | - ln(secx) + C

- - [ e s c x c o t x 4- ln |csc x - c o tx| J + C

R.

55. J s e c 3x d x f

1

--------------------- 1- r 1 + ta n x

R. - [ ln l s e c x + ta n x| + s e c x ta n x ] + C

2

e 2x

56'

J 4 t + ~ é * dX

57.

I ----------------

rV ^ T

J

fi- - ( e í - l ) 3/2 - 2 ( e I + l ) 1',2 i - C

e arctan * + ln f ( l + x 2)'íx2eX- x2] + V é ^ = T

*-------------dx

\l 1 4- y ^-\!p x 4- y 2pX — v2 — 1

R. earctan* + ^ l n 2 ( l + x 2) + a rc ta n x + C 4 qs

f

xdx

J ( x - l ) 5e 4x

n

R■ ~

4

(x — l ) 4 e 4 Ar + C

18

1

INTEGRAL INDEFINIDA

2e x + e x 59- /1 3^ - ^ dx

fi. l n | V 3 e 2* - 4 V 3 - e " 2*| + C

In x dx

60

/

1 2 x 2( ln x - l ) 2

+C

4 dx

f ---------- =

61

R. -

x 3( ln x — l ) 3

J cos x v l - s e n 2 x + 2 c o s 2x

_____________________

R. 4 ln [ ( t a n x — 1 ) + V t a n 2x - 2 ta n x + 3 ] + C 62. J ( 4 — 3 l n x ) 4 d ( l n x )

/?. - —

(4 -3 1 n x )s + C

Ve* + 2

f e *V e * + 2

63

J

ex + 6

•dx

fi. 2 V e * + 2 - 4 a r c t a n ----- -------- h C

x3

x 5 dx

■/ 65.

■

fí. Y

x3- 8

. 1 + ta n x | -------- — dx J se n 2 x

8

+ -ln | x 3 - 8 |+ C

/?. - l n | c s c 2 x - co t 2x\ + ta n x + C

6 6 . U n a fu n c ió n /: R -

«o ) = - f y / ' W =

es continua en E y satisface: x + |1 - x| H a lle f ( x ) . l2 + 1 x < 1

R. / W = arctan* - 2 ' (. l n ( x 2 + 1 ) - a rc ta n x - In 2 , 67. H a lle la e c u a c ió n d e la c u r v a p a r a el cu a l y " =

x

x > 1

y q u e es ta n g e n te a la

2 R. y = —+ 1

re cta 2 x + y = 5 e n el p u n t o (1; 3 )

6 8 . H a lle la e cuación de la cu rva cu ya tangente en el punto (0; 2 ) es h o rizon tal y /

10 \

tie n e p u n t o d e in fle x ió n en ( — 1 ; "g - ) y

y " ; = 4.

2

v

R. y = - x 3 + 2 x 2 + 2 x2 + Vi + x 69. E n c u e n t r e la a n t id e r iv a d a d e / ( x ) = — j---— — , d e m o d o q u e d ic h a

VTTx

709\ a n t id e r iv a d a p a s e p o r P ^0;

280/ , „ r3 , 6 3 6 _______ R. (1 + x ) / - (1 + x ) - - (1 + x ) + - + - V l T x + 1 L8 5 L 1

19

TOPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II

1.4.2 M É T O D O DE I N T E G R A C I Ó N P O R P A R T E S Sean u y v d o s fu n cio ne s d efinid as y derivables en el intervalo /. P o r la re gla de la diferencial del producto, se tiene

d ( u v ) = u d v + vdu P o d e m o s re e scrib ir la e xp re sió n co m o

u dv = d ( u v ) - vdu Integrando a m b o s lados de la igualdad se obtiene la fó rm u la

J u d v = u v —j

vdu

Esta fó rm u la es c o n o c id a c o m o fórm ula de integración p o r p artes.

Observación 5. La idea básica de la integración po r partes consiste en calcular la integral original mediante el cálculo de otra integral, la cual se espera que sea más simple de resolver que la integral original dada. Para descomponer el elemento de integración en dos f actores u y dv, normalmente se elige como la función u aquella parte del integrando que se simplifica con la derivación y d v será el f actor restante del elemento de integración. Esta no es una regla general, pues en la práctica la habilidad y la experiencia del que calcula son las mejores herramientas. Observación 6. Cuando se determina la función v a partir de su diferencial dv, no es necesario considerar la constante de integración, pues si en lugar de v se considera v + C, C constante, entonces

j udv

= u ( v + C) -

j (v

+ C)du = uv -

J v du

Esto significa que la constante C considerada no figura en el resultado final. E je m p lo 2 7 .

C a lc u le

j ln x

dx.

Solución D e acuerdo con la su ge re n cia d ada en la o b se rva ció n .2, e le g im o s

1 u = ln x = > du = - dx x dv = dx = s v =

J dx = x

(n o se c o n sid e ra la co n sta n te de in te g ra c ió n )

P o r la fó rm u la de in te gración p o r partes, se obtiene

í , J ln x d x = x ln x -

20

f x dx I - x\nx - x + C

INTEGRAL INDEFINIDA

E jem p lo 2 8 . C alcule I =

J ( x 2 + 3x -

1 ) e Zxdx.

Solución Esco ge m o s u = x

2 + 3x — 1 = > du = (2 x + 3)d x

\ d v _ g 2x^x ^

v — J e 2xd x = — e 2x

L u e g o , ob tenem os

/ = - ( x 2 + 3 x - l ) e 2x -

J

(* + 2)

E n la ú ltim a integral (m ás sim p le que la o rig in a l) a p lic a m o s n u evam ente la integración p or partes con

( 3 ¡u = x + - = $ d u = d x d v = e 2xd x = * v = - e 2x 2 P o r lo tanto, / = - ( x 2 + 3 x - l ) e 2x 02x

= ( x 2 + 2 x - 2 ) — •+ C

E jem p lo 2 9 . Calcule / = J e ax c o s b x dx. Solución Escoge m os

d u = a e ax d x

1 d v = e o s bx d x = > v = 7- s e n 6 x b Entonces,

1 / = - e a* s e n 6 x

b

~ í ¡ e axsen b x d x

= - — s e n bx

b

¡í

e axsen b x d x

In te g ra n d o n u e va m e n te p o r p a rte s en | e ax se n bx d x , e sc o g e m o s

/'

C u = e ax = > d u = a e ax d x

|d y = s e n bx d x =* v = — —c o s b x

21


De esta manera, se obtiene

^ = ~b e
~ ~b [ ~ b G<ÍX C° S

1

+ b í eaXQ0S^x d x \

ó

a2

a

1 = - e ax se n b x 4- — e a* c o s b x - ~ I o bz b2 A h o ra , se despeja / de la últim a ecuación y al resultado final se su m a la constante de integración

1 . a2\ ,

axísenbx

acosbx\

e ax 1=

— ( b s e n b x 4-a e os bx ) + C a2 + b2 ' —

E jem p lo 3 0 . Calcule / =

j

s e c 5x dx.

Solución E n p rim er lugar, e sc rib im o s la integral dada com o

/ =

J

s e c 5x d x

=

J sec3x. sec2x d x

jltim a integral, u tiliza m o s integración p or partes e ligie n d o E n la últim f( u = s e c 3x 3* = * du = 3 s e c 3x ta n x dx

'■dv =

s e c 2x • i

d x =$ v = t a n x

Entonces, / = ta n X s e c 3x -

J 3 s e c 3x

l = ta n x s e c 3x -

J

t a n 2x d x

3 s e c 3 x ( s e c 2x - 1 ) d x

I = ta n x s e c 3x - 3 j s e c 5 x d x 4- 3 I = ta n x se c x - 3 / 4 - 3

J

J sec3 x dx

V I + ta n 2x s e c 2x d x

3

41 = ta n x s e c Jx 4- - ( s e c x ta n x 4- ln | s e c x 4- t a n x | ) 1 3 / = - ta n x s e c 3x 4- - (se c x ta n x 4- ln | s e c x 4- t a n x | ) 4- C

22

INTEGRAL INDEFINIDA

E jem pia 31- Calcule

J x arctan x dx.

S o lu c ió n E sco ge m o s

u = arctan x = > d u — ■

/ =

dx

1 f x 2 dx

\ x arctan x d x = — arctan x

2 J 1 + x2

2

f x 2 d xx '

P a ra c a lc u la r la in te g ra l

------- r , se efectúa la d iv is ió n y se tiene: J 1 + r

, = T araan)I‘ l / ( i - r í ^ ) * r X2

1

( x 2 + 1)

1

£*

Lt

= — a rc t a n x - - ( x - a rc ta n x ) + C = ----- ------ a rc t a n x - - x + C ¿

L>

f c o s x + x se n x — — 1í E j e m p lo 332. 2 . C alcule / C = alcule J ----- / =^ jx — ^ 2— S o lu c ió n U tiliza n d o la identidad s e n 2* + c o s 2x = 1, e sc rib im o s la integral c o m o

f c o s x + x s e n x - s e n 2x - c o s 2x

Í=J

(se n x - x ) 2

f - c o s x ( c o s x - 1 ) - se n x ( s e n x - x )

1

(se n x - x I ---------------^ ^) 2

f - ■c o s x ( c o s x — - 1)

/

J

f

(sen x - x ) 2

sen x dx

J (sen x - x)

I P ara la integral J, a p lic a m o s la integración p or partes con

Í u

= —e o s x => du = s e n x (c o sx - 1

)dx ^

dV ~ ( s e n x - x ) 2 ^ L u e go ,

f c oxs x- x se n

--------- +

/ = P o r lo tanto,

cosx

dx

_

v ~ ( Sen x - x )

sen x d x

" f ( sseennxx d xx ) J sen -

/ = -------------- + C se n x - x

1

f Jf ( sseennxx -d xx )

TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUM EN II

E jem p lo 3 3 . Calcule / =

J

dx.

Solución Se p aran d o la integral en la su m a de d os integrales, se tiene

I =

J ~ d x + J e x \n x

dx

¡ Para la integral / , h acem os j u ~ ^ n x = > d u = — vdi? = e x d x =$ v — e x A s í,

1= j ~xdx +\eX]nx ~I ~^dx\= e * l n * +c r ^.garctan* E jem p lo 3 4 . Calcule / = í ----------------- dx.

J (1 + x 2)3/2 ux

Solución g a rc ta n x

Como la integral de — ^

2 es inm ediata, elegim os

g a rc ta n x

d v = - .. 2 d x 1 + x2 Lu e go , tenem os

x e ar<

1 ~ ’ ' n- ■ --V T +x2

~ jJ — ---~ d x ( 1 4 * 2 )3 7 2 J

E n la integral J co n sid e ra m o s

1

u = ■■■•.

V í T ?

, x dx = * du = - ( i + * 2) 3/2

g a r c ta n x

d v = — ------—d x => v = e arctanjc

1

+ x

2

Luego, se tiene i

=

~

V i + x2

”—ân x

v r + i^

r

j ( i + * 2) 3/2

-i « a rc ía n x ( v _ < \

Portante, l = i - -■_ ! ? 2

ii + c

Vi + x2 24

dx

INTEGRAL INDEFINIDA O tra fo rm a d e ca lc u la r la integral del ejem plo anterior es hacer el c a m b io de v a ria b le t = a rcta n x y la in te gral se tra n sfo rm a en J e csert t dt.

E j e m p lo 3 5. Calcule / =

[ ■

s e n h 2x dx

J ( x co sh x — s e n h x ) 2

S o lu c ió n

,

M u ltip lic a n d o y d iv id ie n d o entre x , se tiene

f senh x

/

J

x senh x dx (x co sh x - se nh x ) 2

x

A h o r a e sc o g e m o s se nh x x co sh x - s e n h x u = ---------- =¡> d u = ----------■— ---------------d x

x

xl

1

x se nh x d v = -------- -------------- -— — d x = > v (x co sh x - senh x ) 2

x co sh x - s e n h x

En ton ce s senh x

r dx

x (se n h x - x c o s h x )

J x2

1

se nh x

1 = — ----- :---------------- r - r - - - + C x(se n h x - x c o s h x )


x

f e enx( x c o s Jx — se n x ) I ----------------- --------------- dx.

J

CQS¿X

S o lu c ió n T e n e m o s l = J x e sen x e o s x d x -

h n h a c ie n d o

J

sen x sen* ---------- d x C O S 2X

(u = x = > d u = dx < , ,en _ , td f = e eos x d x = > v = e

U = x e senx

_

... se obtiene

" J

('iu = e sen * = > d u = e sen * e o s x d x Kn /2, h a c ie n d o

,

sen * . 1 — a * = * v = ------co s^ x co sx

dv = —

l 2 = ----------- [ e senx d x = e senx se c x cosx J

25

re s u lta

[ e senx d x J


E JE R C IC IO S Calcule las siguientes integrales indefinidas.

v3 1. J x 2 ln x dx

R. — (3 l n x — 1 ) + C

2. J (7 + x — 3 x z ) e ~ x d x

ñ. ( 3 x 2 + 5 x - 2 ) e _* + C

3.

J x

4.

J

_

s e c2x

dx

fí. a : t a n x + ln | e o sx | + C

V i - 4x2 /?. x a re se n 2 x h------------------ 1-

a rcse n (2 x)dx

f ln x

1 + 2 ln x

* J^

-— --------1- C 4x2

6 . J ln ( x + V i + x 2) d x

7.

j

R. x ln ( x + V 1 + x 2) - V 1 + x 2 + C X

e o s ( l n x ) dx

R. - [ s e n ( l n x ) + e o s ( l n x ) ] + i '

8 . J s e n ( ln x )d x

9.

J x

c

a r c t a n 2x

/?. - [ s e n ( l n x ) — e o s ( l n x ) ] + C

dx R- 2 [(*2 + l ) a r c t a n 2x - 2 x a rcta n x + l n ( x 2 + 1)] + C

10

/ a r c s e n 2x d x

R. x aresen2* + 2 V I - x 2 aresen x - 2 x + C

ii.

R. ln x |ln (ln x ) - 1| + C

fx,n(hr) Lí ,

R.

x2+

1

- ln

(X — 1 (— )

Vx + 1 /

x + C

x 2 dx

J

f

J

R.

n xv )V2 (i rx cr no cs xv -— sc eo n

(x 2 + l) e x

—

R.

(x + i y

26

se n x ( e o s x - s e n x )

2x e x

x + 1

ex + C

eot x + C

INTEGRAL INDEFINIDA

15.

x e* (1 + x ) 2

x e

dx

R. ---------- + e x + C

1+x

17.

x a rc t a n y j x 2 — l d x

(1 - x 2) 3/2

R. - x 2 a r c t a n V * 2 - 1

/?.

dx

a rc ta n * 18.

19.

20.

^

1

_ 16.

a rc s e n x

Vi - x2

- 1 + C

1

1 - x

2

1 + x

+ —ln

+ C

a rc ta n x

-dx

R.

es c 5x d x

R.

X

(X + 1 \

+ In|x| — l n i / l + x 2 + C

- c s c 3x c o t x - - ( e s e x c o t x + ln | c sc x + c o tx | )j + C

R.

Vi

- x 2 ln

V i — X2

21.

e 2* c o s ( e * ) d x

22.

e a* s e n ¿ x d x

23.

a rc ta n (V x + 1) d x

24.

ln ( V x + V i + x ) d x

25.

se n 2( In x ) dx

f------ +

Vx + 1 /

2 a rc se n x + C

/?. e*sen (e* ) + co s(e* ) + C

■[a se n b x — b c o s b x J + C

a2 + b2

R. ( x + 2 ) a r c t a n V x + 1 - V x + 1 + C

R. { x +

ln ( V x + V x + 1 ) — ~ V x 2 + x + C

R. x s e n 2 (ln x ) - - [x s e n ( 2 ln x ) - 2 x e o s (2 In x ) ] + C ^gSen x C 0 S 4 X _

^

dx COSJX

R. e sen x - - [see x ta n x + ln | s e c x + ta n x |] + C

27.

( x 2 - s e n 2x )

x - se n x e os x + x e o s x - se n x 2H.

(a rc c o s x - ln x ) d x

- dx

R. x ( c s c x - c o t x ) + C

R. x á rc e o s x - V 1 - x 2 — x ( I n x - 1 ) + C

27


S i / (x ) = la integral:

29.

—a / ( x ) y g " ( x )

=

b g(x),

j f M g " ( x ) dx

ay b

donde

a+ b

so n constantes, hallar

lf(x)g'(x) - f'(x)g(x)}

-y

I 4 x 3 a rc s e n —dx

30.

x2-

’• /

+C

1 +

c

x a rc ta n x

í -’P

31.

I ~~7Z-----T ^ r d x

32.

x 4 — x a rc ta n x | — — ------- — — d x

33.

(1 + x 2) 4

(1

+ x2)2

, a rcse n V x | ------ —— d x

I

34.

Vx ,1/x

35. I .. 37.

■dx

e os x

36.

J x ex i

38.

J

^ 2cai.2 ,

r x 2 s e c 2x I — ------------------- ^~z^dx J (ta n x - x se s e ic 2x ) 2 '

/

e x dx

:eos x d x

x a rc ta n V x 2 - 1 d x

1

a rc s e n 1 ---------- *

39

>/

41.

43.

45.

x3

j a rc ta n ^ j V x

/ senh" ‘J r

J

•/ -

1

dx

-d x

( e 2* - x 2) ( x - 1 ) ------- - d x

x 2e x

fx c o sx

J

c o s h 2x d x

dx

42.

I

48.

dx

(x se n x + e o s x ) ( x 2 - c o s 2x ) dx

í

I

*5

(x + a ) 2

f • J - = = [ l n ( l + X )* - ln (l - x )*] d x

28

/l+*\

: In ( -------- J d x

J VI - x 2

a ln (x + a + V x 2 + 2 a x )

■ /

Vx

46. J c o sh 3 x e o s 2 x d x

se n x + 1

(x - c o sx) 2 (x +

ln (2 + Vx ) |— ' ' '

’■ /

44.

(x se n h x - c o s h x ) 2

Vi - x /

INTEGRAL INDEFINIDA

1.5 T É C N I C A S D E I N T E G R A C I Ó N 1.5.1

In tegrales de algunas funciones que contienen un trin om io cu a d ra d o de la fo rm a: /

I

I.

n]

í — 5—

dx

f

---------

II.

J p x 2 + qx + r

dx

í —

J j rp x 2 + q x + r

[ (ax + b)dx J p x 2 + qx + r

( ax 4- b)d x J px2 r

f

J

+ qx +

E n lo s c a so s (I) y (II), es suficiente com pletar cu a d ra do s en el trin o m io y aplicar las fó rm u la s que correspondan: (23), (24), (2 5 ) ó (26). E n los c a so s ( I I I ) y ( I V ) se u sa el siguiente artificio:

a aq a x + b = — (2 p x + q) — — + b 2p 2p L a e xp re sió n 2 p x + q es la d erivada del trin o m io cuadrado. E n to n ce s

r (ax ( a x +4- bb)d )dx

aa Cf (2p ( 2pxx +4-q)d q ) dxx 2p j p x 2 + qx + r

J p x 2 + qx + r

a qaq\ \ f

(/ V

2 p)

f

dx

) p; x 2 + q x + r

a / aq\ = —— l n [p x ¿ + q x + r| + I b - — 1A 2 p V 2 p) P or otro lado,

I'

((ax ax ++ b ) d x

__ a f

J yjpx2 + qx + r

( 2px 2p x + + q)dx

/ ^ ^

J J p x 2 + qx + r a

/—^---------

a q \^ f

dx

'2 p / J J p x 2 + q x + :

(

acl\

\

2p )

= - V p x 2 4- qx + r 4- \ b - — j B

p

I ,as integrales (¿4) y (B) son de los c a so s I y II, respectivam ente.

E je m p lo 37. C a lc u le las sigu iente s integrales:

f

J

f

3 dx

f

J x2

4 x z 4- 4 x - 3

2 dx

í

J \ l x 2 4- 6 x 4- 1 8 S o lu c ió n C o m p le ta n d o

el

cu a d ra d o

dx - 2x 4- 1 0 5 dx

^ i V — x 2 — 8 x — 12 en

cada

trinom io

m ig r a c ió n , tenem os

29

y

a p lican d o

las

fó rm u la s

de

TOPICOS DE CALCULO - VOLUM EN II

dxx 3 d

f

J

3 rf

3

= ^ln

4 x 2 + 4 x - 3 ~ 2 J ( 2x + l ) 2 - 4

f dx ■ ) J x 2 - 2x + 10

( c)

2 dx

2 7

+ C

dx 1 (x-l\ ( x - l ) 2 + 9 “ 3 a rC ta n ( _ 3~ J + C

f

J

dx r dx , ,--------------------, f ■ ¿ . T i = 2 1 t =~ = 2 ln * + 3 + V x 2 + 6 x + 1 8 + C J J ( x + 3)2 + 9 L J

J V x 2 + 6 x + 18

„ f 5 dx d) I 7 ' 0 i V -x 2-

E je m p lo 38.

r ~ „„ = 8 x — 12 J

dx 5 — — ■

^ 4 - (x + 4 ) 2

r

x 2 + 6x + 18

í

=

/x + 4 \ = 5 a rc se n ( — - — ) + C v 2 )

C a lc u le las siguientes integrales:

f (3 x - 5 )d x

J c)

2x-l¡ 2x + 3

2 ~ ‘

(1 - 4 x ) d x

J V9x2 + 6 x ^ 1 ix

d)

J V x 2 + l O x + 21

( - ( iiiíW í J x ( x + 3)

S o lu c ió n C o m p le ta n d o cu ad rado en cada trin o m io y u san d o el artificio indicado, se tiene 3 3 a) 3 x — 5 = — ( 2 x + 6 ) — 9 — 5 = — (2 x + 6 ) — 14. E n to n c e s f

J

(3 x — 5 )dx

_

x 2 + 6 x + 18

(2 x + 6 )d x

3 r

f

2 J x 2 + 6 x + 18

dx

1 4 J ( x + 3)2 + 9

3, / , 14 /x + 3 \ = 2 (x + 6 x + 1 8 ) — — a rcta n — - — J + C 4 4 2 7 b ) 1 — 4 x = — — ( 1 8 x + 6 ) + l + — = — - ( 1 8 x + 6 ) + — . Luego,

f

J

4

(1 8 x + 6)d x

_ _ 2 [

Cl ~ 4 x )d x V 9 x 2 + 6x - 3

J

9 :

^ 7

1

V 9 x 2 + 6x - 3 + 3

3

7

3 dx y/ ( 3 x + l ) 2 - 4

----------------------------------------------------

= — - V 9 x 2 + 6x - 3 + - l n

y

f

J

3 x + 1 + V 9 x 2 + 6x - 3 + C

y i

1

i

1

c) 2 — x = — — ( 2 x + 1 0 ) + 2 + 5 = — - ( 2 x + 1 0 ) + 7. E n to n ce s

f __ (2 ( 2 -— xx)) ddxx

_

J Vx2 + l O x + 21 ~

1i rf

((2x 2x ++ 110)dx 0)d x

2 j Vx2 Vx2 +

lO x + 21 21

f

+ 7 iJ 'V ( x

dx + 5 )2 - 4

= - V x 2 + 1 0 x + 21 + 7 ln Ix + 5 + V x 2 + 1 0 x + 2 l| + C

30

INTEGRAL INDEFINIDA

d)

55 ff 2x 2 x 44- 33

f (4 4- 5 x )

77 ff

2 j x 2 + 3 x dX

J x (x + 3 ) dX

2

J

dx

3V

í

\ x + 2)

9

4

5 7 i x = - l n | x 2 + 3x\ — - l n 2 6 I * 4- 3 '

E je m p lo 39.


^ f ( 3 e 2x - 4 e x) ^

^

(senh x + 3 coshx)

^

^

J coshx(6 senh2x 4- senh 2x + 5)

J V 4 e* — ex — 3 S o lu c ió n a)

I

( 3 e 2x - 4 e x)

f (3ex - 4 )e *d x

v '4 e * - e * - 3

J V 4 e * - e 2* - 3

S i se hace t = e x , entonces d t = e x d x . L u e g o ,

l =

jf

J

(3 1 - 4)d t V 4t - t 2 - 3

_

3 I" f (4 — - 2t)dt

+ ^ [f

2 j V 4t - t2 - 3

dt

J yjl - ( t - 2 ) 2

= - 3 V 4 í - t 2 — 3 + 2 a rc se n (t — 2) + C = —3y j 4e x — e 2* — 3 4- 2 a r c s e n (e * — 2) 4- C

r

^ ^

J

(se n h x + 3 co sh x ) d x c o s h x (6 s e n h 2x 4 - se n h 2 x 4 - 5) (s e n h x + 3 c o s h x ) d x

= /:co sh x (6 s e n h 2x 4- 2 se n h x co sh x 4- 5 ) D iv id ie n d o n u m e rad or y d e n o m in a d o r entre c o s h 3x , se tiene (ta n h x 4- 3 ) s e c h 2x dx

J =

J

6 t a n h 2x 4- 2 ta n h x 4- 5 s e c h 2x (ta n h x 4- 3 ) s e c h 2x dx

J 6

ta n h 2x 4- 2 ta n h x 4- 5 (1 — ta n h 2x )

A h o r a bien, si t = ta n h x , entonces d t = s e c h 2x dx. P o r consiguiente.

r (t 4- 3 ) d t

_ 1 f ( 2 t + 2) d t

n f

dt

1 ~ J t 2 + 2 t + 5 ~ 2 J t 2 + 2 t + 5 + 2 J (t 4- l ) 2 4- 4 1 , , /tanh x + 1 \ - ln | t a n h 2x 4- 2 t a n h x 4- 5| 4- arctan ^------ --------J 4- C

31

TÓPICOS DE CALCULO - VOLUM EN II

! '5‘2

r H IP E R B Ó U C A ES A LG U N A S FU N C I° N ES T R IG O N O M É T R IC A S

R e co rd e m o s las sigu ien te s identidades:

1. sen 2u +

cos2u = 1

2.

se c 2u

3. c sc2u -

cot2u = 1

4

sen2u _ 1 ~ cos 2u

_ tan2u = 1 2

r , 1 + cos 2 u 5. c os2u = ----------- ---------

6

7. sech2u + tanh2u = 1

8. coth2u _ csch2u =

9. senh2u =

1 0 cosh2u = cosh 2 u + l

~ 1

cosh2u

_ senh2u = 1

¿

1

2

E stas identidades so n m u y im portantes en los artificios para re so lve r ciertos tip os de integrales de fu n cio ne s trigon om é tricas e hiperbólicas.

I.

IN T E G R A L E S D E L A F O R M A :

Se co nsid e ra n

2

J

s e nmx

cosnx dx y

j

s e n h mx e o s h n*

dx.

casos:

C A S O 1: Uno de los exponentes m ó n e s un entero im p ar positivo. 0

S i m es im p a r positivo, se factoriza se n x

dx (o

se n h *

dj) y

se e xp re sa los

se no s o se no s h ip e rb ó lic o s) restantes en fu n c ió n de co se n o s (o co se n o s h ip e rb ó lic o s) u san d o la identidad s e n 2* = 1 — e o s 2*

(ó

s e n h 2* = c o s h 2* - 1 )

ii) S. n es im p a r p o sitivo , se procede de m anera sim ilar, es decir, se factoriza e o s * d x (o c o s h x dx) y se expresa los co se n o s (ó co se n o s h ip e rb ó lic o s) restantes en fu nció n de se no s (o se no s h ip e rb ó lic o s) u san d o la identidad. e o s 2* = 1 - s e n 2*

Ejem plo 4 0 . a)

I

(o

c o s h 2* = 1 + s e n h 2* )

C a lc u le las integrales

s e n 3* e o s4*

dx

b) J s e n h 5* V ^ i h 7

dx

Solución

a) / =

J

s e n 3* e o s4*

dx = =

J

s e n 2* e o s4* (se n * dx)

- cos2* )cos4* (sen * dx)

INTEGRAL INDEFINIDA

d u = - s e n x d x . A s í, se tiene

E n la ú ltim a integral, h a ce m o s u = e o s x =* / = J (1 - i i 2) u 4 ( - d u ) = -

f

Cu 4 - u 6) d u = - y

c o s 5x

+ y

+ C

•(5 e o s2* - 7 ) + C

35

b) f s e n h 5x V ^ i h l d x = J (c o s h 2x - l ) 2(c o sh x ?

=

J

' 2 (se n h x dx)

(c o s h 9/2x - 2 c o s h 5/2x + c o s h 1/zx ) ( s e n h x

dx)

= J L c o s h 11/2x - ~ c o s h 7/2x + \ c o s h 3/2x + C 11

7

3

C A SO 2 : A m bos exponentes m y n son p ares y m ayores o iguales a cero . E n este caso, se u san las identidades:

1 - eos 2 x s e n 2x = ------- ^------s e n h 2x

= ------- 2-------

C°

e osh 2 x - 1

/

íó

1 + eos 2 x

, y

------- ------ y

co sh 2 x +

., co sh x

= ----- -

J

A l efectuar las operaciones, se obtienen té rm inos que contienen p oten cia s pares e im pares de e os 2 x (ó c o s h 2 x ) . L o s té rm in os que tienen las potencias im p ares se integran teniendo en cuenta el caso 1. L o s té rm inos que tienen las p otencias pares se reducen de n u e vo u sa n d o sucesivam ente las identidades indicadas.

Ejem plo 41. C a lc u le las integrales: a)

J

se n h 43 x

dx

b)

f

s e n 2x c o s 4x d x

Solución

a,

f

se n h -3 , ¿ r = / ( E S Í J p i ) 2

dx =

i J ( c o Sh>6* - 2 cosh 6 * + 1)

= 1 f ( £ £ í < y í l í l _ 2 c0 s h 6 , + l ) d ,

= ^ | (c o sh 1 2 x - 4 cosh 6 x 4- 3 )

= i f —

8 \12

dx

senh 1 2 x - ^ s e n h 6x + 3 x ) + C 3 >

33

dx


u

f

4

.2

,

f / I - c o s 2 x \ / I 4-cos2x\

b) J sen- x cos4x dx = J ( ------- ------- j ( -------------- J

dx

= - J (1 + eos 2x - cos22x - cos 32 x) dx f /

1

14- cos4x\

1

[

- g J ^1 4- eos 2 x ----------------- j dx - - I (1 - sen 2 2 x)(cos 2 x dx)

(j + C0S2X~ \ C0S 4X) d X ~ l 6 j 1/x 1 ^ 1 \ 1/

<'1 ~

sen22x)(2 cos

= 8 ( 2 + 2 SGn 2 * ~ 8 Sen 4X) ~ T 6 [ Sen 2X ~

3 sen32x) + C

= ¿ J

1 (

=

se n 4x

4-

16 { X —

ta n h mx se ch nx dx

dx)

\

1

s e n 32 x \

+—

) +C

II. I N T E G R A L E S D E L A F O R M A :

J

2x

J

y

J

ta n mx s e c n x d x ,

j

c o tmx c s c nx d x ,

c o th mx c s c h nx dx.

Se co n sid e ra n 2 casos: m entero p o sitivo im par y n entero p o sitiv o par. C A S O 1. S i

m

es

(ó c o t x c s c x d x

un

e n te ro

im p a r

p o sitivo ,

ta n h x s e c h x d x

ó

se

factoriza

ta n xse cxd x

ó co th x c sc h x d x ) y se e xp re sa las

tangentes (ó cotangentes ó tangentes hipe rb ólica s ó cotangentes h ip e rb ó lic a s) restantes en té rm in os de s e c x identidad: t a n 2u = s e c 2u - 1 ó c o t h 2u = 1 4- c s c h 2u). E j e m p lo 42.

(ó

e sex

J

c)

J

se ch x

ó c s c h x ) m ediante la ó

t a n h 2u = 1 - s e c h 2u

C a lc u le las sigu ien te s integrales:

r

f ta n 3x

3)

ó

(ó c o t2u = c s c 2u - 1

: dx ta n h 3x V s e c h x dx

b)

J

co t S x d x

d)

j

co th sx c sc h 3x dx

S o lu c ió n

f ta n 3x

3) J

r se c 2x - 1

f ta n 2x

^ c dx = J i =

j

^

(tan* Sec*

dx) = J - ^ i ^ ( t a n x s e c x d x )

(se c ~ 3x - se c ~ 5x ) (tan x sec x dx)

(si u = s e c x , du = s e c x tan x d x )

1

= --se c

2

-9

1

x 4- - s e c 4x 4- C

4

34

1

,

= - c o s 2x ( c o s 2x - 2 ) 4- C 4

INTEGRAL INDEFINIDA

b)

f

f C0 t 4X

cot 5x d x =

J

=

J

, -------- ( c o t x c s c x d x ) CSC X

f ( csc2x — l ) 2 J

= -

-------------------(cot x csc x d x ) cscx í (c sc 3x - 2 c s c x 4-------- ) ( - c o t x e s c x d x )

J

cs cx

c 4x \ -------- csc2x + ln|cscx| I + k

c)

f

f ta n h 2x

J

J V sechx

, ,--------ta n h 3x v s e c h x d x =

,........: (tan h x sech x x a x )

=

f 1 —- se s ecchr2x rx J

— ^ = = _ (ta n h x se ch x dx) V se ch x

=-

J

(se c h ~ 1/2x — se c h 3/,2x ) ( — ta n h x se ch x dx )

= — ^ 2 V s e c h x — - s e c h 5/2x j + C

d)

j

c o th 5x c sc h 3x d x =

J

c o th 4x c sc h 2x (c o th x c s c h x ) dx

= J (1 + c sc h 2x ) 2 csch x (coth x csch x d x )

= - J ( c s c h x + 2 c sc h 3x + c sc h 5x ) ( - c o t h x c s c h x d x )

n

i

i

\

= — I - c sc h zx + - csch 4x + - csch 6x 1 + C \2 2 6 /

C A SO 2. Si n es un en tero p a r positivo, se factoriza s e c 2x d x (ó c s c 2x d x ó s e c h 2x d x ó c s c h 2x d x ) y el resto de las secantes (ó cosecantes ó secantes h ipe rb ólica s

ó

cosecantes

h ip e rb ólica s)

ta n x (ó c o t x ó ta n h x ó co th x )

u san d o

se

transform an la identidad

en

té rm in o s

de

s e c 2x = 1 + t a n 2x

(ó c s c 2x = 1 + c o t 2x ó s e c h 2x = 1 - t a n h 2x ó c s c h 2x = c o t h 2x - 1 ).


E je m p lo 43.

Calcule las siguientes integrales:

a)

J ta n 3/2x se c 4x dx

b)

c)

J

d)

ta n h 2x s e c h 4x

dx

j

csc4x dx

j csch6x d x

Solución a)

j

ta n 3/2x s

ec4x d x = J

t =

ta n x ,

dt

dx)

ta n 3/2x ( l + ta n 2x ) ( s e c 2x

dx)

- J (ta n 3/<2x + ta n 7/2x ) ( s e c 2x

dx)

=

(si

j

ta n 3/2x s ec2x(sec2x

= s e c 2x

dx)

2

2

= - t a n 3/2x + - t a n 5/2x + C O 7

J csc4x dx = J

b)

(si

t

= cot x ,

dx) = -

c s c 2x ( c s c 2x

dt =

— c s c 2x

J (1

-f co t 2x ) ( - c s c 2x

dx)

= - ^cot x + ^ co t3x j + C

c)

j

dx)

ta n h 2x se c h 4x d x = / ta n h 2x ( l - ta n h 2x ) ( s e c h 2x

=

J ( ta n h 2x

1

,

- ta n h 4x ) ( s e c h 2x

dx)

1

= - t a n h 3x - - t a n h 5x + C

d)

J

csch 6x

dx -

J

(c o th 2x - l ) 2 (c sc h 2x

dx)

= - J (c o th 4x - 2 c o th 2x + l ) ( - c s c h 2x dx)

= - ^ - c o t h 5x - - co th 3 x + coth x j + C

36

dx)

INTEGRAL INDEFINIDA III.

J

IN T E G R A L E S D E L A F O R M A :

s e n (mx)

cos(nx) d x , J s en( mx)s en(nx) dx, J

J senh(mx) j

co sh (n x )

co sh (m x ) co sh (n x )

dx,

e o s (mx)

J senh(mx)senh(nx)dx

cos(nx) d x ,

y

dx.

P ara calcular estas integrales se usan las fórm ulas:

1

a) se n (mx) eos (nx) = - [s e n (m -

b ) s e n ( m x ) s e n ( n x ) = - [c o s (m

n)x +

se n (m +

n)x]

-n)x -

e o s (m +

n) x]

c) eos (mx) eos (nx) = - [c o s(m - n) x 4- eos (m + n) x]

1 d ) s e n h ( m x ) c o s h ( n x ) = - [s e n h (m +

1 e) s e n h ( m x ) s e n h ( n x ) = - [c o s h (m +

1 f) c o s h ( m x ) c o s h ( n x ) = — [c ó sh (m +

n)x +

n ) x — e o sh (m n) x +

n)x]

se n h (m -

— n )x ]

e o s h (m —

n)x]

E je m p lo 44. C a lc u le las siguientes integrales: a)

J

se n

c)

j

senh

2x eos

3x

dx

b)

j

eos 3 x e os

4x dx

d) J cosh 4 x senh x d x

S o lu c ió n a)

J

se n 2 x c o s 3 x

dx

= - J [se n ( 2 — 3 ) x + s e n (2 4- 3 ) x ] d x

= 2 / ^S6n

b) J c o s 3 x c o s 4 x d x

c)

J

se n h 3 x se n h 4 x

~ S8n X^ X ~ 2 ( ------ 5-*" C° S * ) +

= - J [ c o s ( — x ) 4- eos 7 x ] d x = - ^ s e n x 4- - s e n 7 x )

d x = - J [ c o s h 7x — c o sh x jd x


d)

J

c o sh 4 x se n h x d x =

—j

[s e n h 5 * - s e n h 3 x ] d x

1/1

1

\

~ 3 C0S 3 x ) + ^

= 2 \ 5 C° S

E n este ejem plo, se han usad o las identidades: se n h (-u ) = -senh u , c o sh (— u ) = c o sh u ,

E j e m p lo 45.

se n (-u ) = -se n u

c o s ( -u ) = co su

C a lc u le las integrales:

y í i ~ a) I s e n 3 ( 3 * ) t a n 3 * d *

b)

J

c)

f

e

.

í se n 4* + e o s4* ------ ------------ T - d x J s e n 2* — e o s2* r

os*

■ ■dx J V'sen7 ( 2 *)eos*

d) I eos3* sen 3* dx J

S o lu c ió n a)

/=

f J

s e n 3 ( 3 * ) tan 3 *

dx =

f s e n 43 x ------—

J eos 3 *

dx

_ J (1 - c o s 2 3 * ) 2

-dx

eos 3 *

=

J(sec3x -

2 eos 3* + cos33 * )d *

1 2 1 f = - ln |s e c 3 x + tan 3*| - - sen 3* + - I (1 - sen23*)(3 eos 3* dx)

1

1/

2

1

\

= - ln |s e c 3 * + tan 3*| - - sen 3* + - (sen 3* - - s e n 33* + C j 3 3V 3 / =

1 , 1 1 - ln |s e c 3 * 4- tan 3*| - - s e n 3* - - s e n 33* + C ■J

J

f sen4* + eos4* b)

J

----i ----------- J~ d x sen2* - eos2*

7

r 4 ( 2 + 2 cos22*) =

------------ñ-------- d x - e o s 2*

J

-lí 1

( s e c 2 * + eos 2 x ) d x

,

1

= - - r h i ( s e e 2 * + tan 2*| - - s e n 2 * + C 4 4

38

INTEGRAL INDEFINIDA

c)

/

-

cos * I f cos x dx C0SX H - 1 f J Y s e n ^ ( 2x T c o s x V 2 7 J V s e n 7x c o s 8*

f

Se o b se rv a que esta integral no se adapta a n in g u n o de los tip o s e stu d iad os en (I). C u a n d o se presentan estos casos, a veces, es co nveniente tra n sfo rm a r a los otros casos, es decir, a p roductos de tangentes y secantes ó cotangentes y cosecantes. E n este ejem plo, transform ando a tangentes y secantes (d iv id ie n d o entre e o s 5* , nu m e rad or y d e n o m in a d o r) se obtiene:

1

f

' = V l 2 8 J t a n 7/3*

1 , .

1

s e c 4*

f 1 + ta n 2*

= ÍV f J

t a n 7/3*

O

0" * d* )

.t a n 7/3x + ta n 1/3* ) s e c 2* d *

4 V2J v

J

= —r rz ( —- c o t4/3* + - t a n 2/3* ) + C

4V2V

4

)

2

f 7 f (1 + eos 4*\ d) } = I cosJ2* sen 3* dx = J ^------------- J eos 2* sen 3* dx

4

/ ( c „ s 2 x Sen 3 ^

=-

J [sen * + sen 5*]dx + - J

1

+ Í J eos 4*(cos 2* sen 3 x ) d x [eos 4* sen * + eos 4* sen 5 x ] d x

1

1 ir

= — — eos * - - eos 5* + - I [ - s e n 3* + sen 5* + sen * + sen 9 x ] d x \( 1 \ 1/1 1 1 = - — eos * - - eos 5 * I + - - eos 3* — - eos 5 * - eos * ----- eos *

4V 5 / 8 \3 3 1 3 = - - eos * + — eos 3* - — eos 8 24 E je m p lo 46.

5*

9

1 - — eos 9* + 40 72

/

+ C

C

Calcule las siguientes integrales:

f

a) j tanh42 * d x

b)

f, sê n 4 3 * ----- T¿—d x J e o s 33 *

e)

d)

5

\

f

I seeh 3x d x

e)

f sen^x

I —— dx e o s “*

f J

ta n ¿ x s e c * d *

Solución Se o b se rv a que n in g u n a de las integrales se adaptan a los c a so s estudiados, p or lo que será necesario efectuar a lgu n a s transform aciones. E n efecto,

39

•


a) I tanh 4 2 x d x = J (1 - sech2x ) 2 dx = J ( 1

- 2

sechz 2 x + sech 4 2 x) dx

= x — tanh 2x + J (1 — tanh 2 2 x) sech2x dx

1/

= x - tanh 2 x + - ( t a n h 2 x

1

1

¿

O

-

1

- t a n h 3 2x)

+ C

= x - - t a n h 2 x - - t a n h 32 x + C

b) J sech3x dx = J - J l - tanh2* (sech2* dx) (Si u = tanh x , du = sech2x dx) = —[tanh x

Vl - tanh2x + arcsen(tanh x)j + C

lr = - [tanh x sech x + arcsen(tanh x)] + C

f

sen2x

f

r

^ J c ö s ^ x dx = J tan2x Sec4* dx = I tan2x^1 + tan2x)(sec2x dx) = ( sen43x

3J

co s33x

I (tan2* + tan4x)(sec2x dx) = ^tan3x + ^tansx + C 3 5

J

r

“J

(1 - cos23x)2

^3*

dx = J

r

(sec 3* ~ 2 sec 3* + cos 3*)

= J Vl + tan23x sec23x dx - În|sec3x + tan 3x| + ^sen3x A

1r

= ~ |tan 3x sec 3x + In|sec 3x + tan 3x|] - A 1 1 1 = gtan 3x sec 3x - -In|sec 3x + tan 3x| + ^ sen 3x + c

e) I tan2* secx d x = J y / s e c ^ x ^ l ( t a n x s e c x d x ) 1, = - | s e c x t a n x - ln|secx + ta n x | ] + C

INTEGRAL INDEFINIDA

f

ddx x +

l:)riii|)lo 4 7 . Halle la integral J

u sa n d o la s u s t it u c ió n x = 2 ta n i

So l ut-ion ( .uno x = 2 ta n 0 , d x — 2 s c c 29 d9. En tonce s

f

dx

Il f

s e c 290 dB see

1 f

i 1 f (1 + c o s 2 9 ) d 9 2

-iJ 1

se n 2 0

1 'i

16

+ C = — [0 + s e n 0 c o s 0 ] + C 16

x 2x ( a rc t a n - 4- , , 4 -C 16 V 2 4 + x 2)

l’.tra re g re sa r a la va ria b le o rig in a l x, en vista de q u e t a n # = - ,

se c o n stru y e

d triángulo

A partir de este triángulo, se obtiene que

sen

0

=

y Vx2+ 4

e o s ti = — V x 2 4- 4

E J E R C IC IO S C a lcu le las sigu ien te s integrales indefinidas:

+ 2 x — 8 dx

1.

R. 9 dx

/

l)Vx2 - « x

-

8-

9 ln |x 4- 1 4- J x 2 4- 2 x -

8|J 4- C

fl. 3 ln [3 x - 2 4- V 6 * 2 - 1 2 x T l 3 ] 4- C

V 9 x z - 1 2 x + 13 3

3.

- [ ( x 4-

dx

fi. - a r c t a n ( 2 x - 4 ) 4- C

4 x 2 — 1 6 x 4 -1 7 4

— Ix

: dx

V x 2 4- 2 x — 8

ß . - 7 a /x 2 4- 2 x - 8 4- 11 ln

41

x

4- 1 4- v x 2 4- 2 x - 8 | 4- C

i u n c u s U t CALCULO - VOLUMHN II

3 + 5*

5.

f— ! J 9 * 2 - 1 2 * + 13 dx R- — In (9 * 2 - 1 2 * + 1 3 ) + y

j

(2 — x) dx

f

J

_____________ __

^ ~ xZ ~ 1 0 * — 21 +

V —* 2 — 1 0 * — 21

J

1.

a rcta n ( ^ y ~ ) + C

^^ 7 a rc se n

+ C

se n 2 * + 3 c o s * V 9 + 4 s e n * - c o s 2*

dx

*■ 2 V s e n 2* T T s e n * T 8 - In | s e n * + 2 + x » 7 T 4 l i I 7 T T 8 |

8.

[

(5 se n h * + 4 c o sh

x)dx

J co sh * ( 9 s e n h 2* + 6 s e n h 2 * + 5 )

R- r l n | 4 ta n h 2* + 12 tan h *| - — In l- t a n h * + 1 l 12 12 tanh ta n h * + 5 I

16

J

9.

s e n 2*

dx

1 0 . J c o s h 25 * dx

se n 2 *

n

*

*•

2 ---- i

D X

1

R- 2 + ^ 3*

n . / s e n 4* dx

~ +C

se n ( ! 0 * } + C

se n 2 *

se n 4 *

*• T — 4~ + — 2

n

1 2 . / c o s 5* dx

c o s 8*

40

15.

f s e n 3* I -----r - d * J c o s 4*

J

s e n h 3*

1 1

*

dx

' 16 s e n h 8* c o s h 5*

18.

j

ta n 6*

dx

- se c* + C

R■ - c o s h * ( c o s h 2* — 3 ) + C

16. j s e n 2 ( 3 * ) c o s 4 3 *

J

(4 c o s 2* - 5 ) + C

3 c o s 3*

dx

17.

1

se n * - - s e n 3* + - s e n 5* + C

, 3 . / c o s 7* s e n 3* d * „„ 14.

+c

dx

se n 1 2 * 192

1

s e n 36 *

+ ~144~+C

2

i

R. - s e n h 9* + - s e n h 3* + - s e n h 5* + C

1

1

g tan * - - t a n 3* - tan * + * +

42

c

+

c

INTEGRAL INDEFINIDA

A

1

19. J

c o t5*

dx

20. J

ta n h 4*

21. J

se c 4* V c o t3*

1

,

R. —- c o t 4* + - c o t z* + ln | se n *| + C

dx

R. x — t a n h * - - t a n h 3* + C

dx

R. — 2Vcot *

+ - Vtan3* +

2

2

-sec5/2* —4 sec1/2* —-cos 3/2x +

2 2 . J ta n 5* V e o s 3x dx

R.

23. J t a n h 6* se c h 4* dx

R. - t a n h 7* — - t a n h 9* + C

24.

í J J I

V2 dx

se n 3 * se n 5 *

7

9

R. - V t a n * ( 5 + ta n 2* ) + C

c o s 3* V s e n 2 *

25.

C

dx

se n 2 * se n 8 * ------ 77 — + C 4 16

R■ —

1

1

10

18

I eos 2 * eos 7 x d x

R. — se n 5 * + — se n 9 * + C

27.

J

s e n 52 * c o s B2 *

R. - s e n 6 ( 2 * ) - - s e n 8 ( 2 * ) + C

28.

j

s e n 3* e o s3*

29.

J (1

30.

J

31.

i |

26.

dx

dx

dx

J

e o s ( 2 * ) + - i - e o s 3( 2 * ) + C 48

V2

V2

, '

R. — se n 2 * — — s e n 3 2 * + C 2 3 ,

1

R. —- c o t 3 3 * + - c o t 3 * + * -I- C 9

,

sen4 - cos'1- dx

32. J ta n 3* dx

33.

16

1

c o t4 (3 x) dx

->x

1

R. -

4- eos 4 * ) 3/2

ax

1

ta n 3 ( 3 * ) s e c 3 ( 3 * ) c ¿ *

3

*

1

16

32

1

R■ TZ ~ T o se n 2 * — — se n * + C 24

ta n 2*

R. — ------h ln| co s*| + C 1

1

15

9

,

R. — s e c 53 * - - s e c 33 * + C

C


f s c n 3x

' i 36. /

V

,3

_____

^ dX

R' 3V i ¿ n ( - c o s 2x + 3) + C

dx

1 2 t a n x + ^ t a n 3x — c o t x + C

s e n 2x c o s 4x

37. f dx J s e n 5x c o s 5x

?9tan *~

3 8 ’ / v s e n x c o s 3x

R-2Vtáñx +

1

^

3

1^ ^ “«i«» ^n lâ n ai x\— ~ ~ c o t 2x

¿

oq í Sec4*H

R. 2-sfséñx - ^ s e n 5' 2x + ^ s e n 9' 2x + C

í s e n 2( nx)

i ^ R •“ [3

J c o s 6 (jrx) dx

J

se n x se n

2 x se n 3x d x

.43. f sen 4x eos 5x dxr

cos9 x

18 r

sen

J J cosh 3 x cosh x dx

r .i senh

j senh 4 x senh x dx

R.

48. f cos2x sen24 x d x J

o

C

x _ sen

, r

10 4x + ^senh 2x + C 4

c o s 2 x - ¿ c o s 4 * + ¿ c 0S6x + C

R. l

ên

R x

i sen 2x

32 r

J

R‘ ~ 2 ^

44

-8

sen 6x

'

n 12

sen lOx

~ 48

sen^ ^x j_ senh 3x

90 28

dx V s e n 3x c o s ^ x

+

_ COsh 5x + ^ cosh 3 x + C

' 4

49. f senh2x cosh 5x dx

^ cos 2 x

2

22

47. J sen3x eos 3x d x

50./

tan3 C^x)+ - t a n s ( 7rx)J + C

cosx

44. í sen 8x sen 3x dx

46.

^

R. ¿ c o s 6 x - A Co s 4 x

J

45.

C

R- - co tx - 3 c° t 3x + C

I S o tx c o s^ x dx

42.

4

1

■ J ta n 4x

40.

1

——(

— — c o t4* 4* C

8Ó ~ + C

senh 5x

tt:—

10

+C

2 x + 3 t a n x V t lF * + C

INTEGRAL INDEFINIDA

1.5.3 I N T E G R A C I Ó N P O R S U S T I T U C I Ó N T R I G O N O M É T R I C A Las integrales de la fo rm a f R ( x , J p x 2 + q x + r ) d x , racional de las va ria b le s x y J p x

d ond e R es u n a fu n c ió n

2 + q x + r , se puede sim p lific a r p o r m e d io de

una su stitu ció n trigo n o m é trica adecuada. C o m p le ta n d o el cu ad rado en el trin o m io p x 2 + q x + r se obtiene u na e xp re sió n de la fo rm a I)

u 2 + a 2 ó u 2 — a 2 ó a 2 — u 2, d on d e a es una constante.

S i el trin o m io tiene la fo rm a

u - a sen 9 ,

a 2 —u 2, m ediante la sustitució n

a > 0

se e lim in a el radical, p ues V a 2 - u 2 = a e o s 9 . T a m b ié n se tiene que

d.u = a e o s 9 dO P a ra regresar a la va ria b le o rig in a l u, se em plea el triá n g u lo fo rm a d o co n la

u

sustitución sen 6 = — (Fig. 1.3 a).

(a) Fig. 1.3 II) S i el trin o m io tiene la fo rm a a 2 + u 2, m ediante la sustitución

u - a ta n Q , a > 0 se e lim in a el radical, pues

Va2 +

u2 =

a se c 9

. T a m b ié n se tiene que

d u = s e c 29 d 8 P a ra regresar a la va ria b le o rig in a l u, se u tiliza el triá n g u lo fo rm a d o co n la

u

s u st itu c ió n tan 9 = -

a

(Fig. 1.3 b).

III) S i él trin o m io tiene la fo rm a u2

t-

a 2 , m ediante la sustitución

u = a se c 6 , a > 0 se e lim in a el radical, p u es

Vu2 -

a 2 = a ta n 6 . T a m b ié n se tiene

du = a se c 9 ta n 9 d9 P a ra expresar la integral o rig in a l en té rm inos de su va ria b le u, se em p lea el

u t r iá n g u lo e la b o r a d o c o n s e c f i = -

(F ig. 1.3 c).

45


E jem plo 48 . Calcule / =

J ^9 -

x 2 dx.

Solución H a cie n d o ia su stitució n

8, dx - 3 eos 8 d d

* = 3 sen

y ca lc u la n d o la integral

trigon o m é trica que resulta, se tiene

j V 3 2 — x 2 dx — J ^ p^ - ^ ^ s e ñ 2d

/=

3 eos 9

c o s 20 . 3 eos

dd

= J 9 eos 26 dd = - J (1 + eos 29) dd 9

4- se n 0

= -(0

9( eos 9) + C = - I

xV9 - x 2

x

arcsen-4------- -------

- ( Xy¡9 - x 2 + 9 are sen - ) + C

E j e m p l o 4 9 . C a lc u le / = /

dx x 2-J 1 6 + 9 X 2

Solución Sea 3 x = 4 t a n 0 , dx = - s e c 28 dd. Luego,

s e c2d dd

dx _4 f 2V ll66 4- 9 x 2 ~ 33JJ ^ t a n 20 V 1 6 4- 1 6 ta n 20 J x 2V í

3 f secd 3 f c o sí = — ----- T - d d = — ----- — d 0 16 J tan2d 16 J se n 2d 3

V 16 4 -9 x 2

16

.+

3x

c

E j e m p l o 5 0 . C a lc u le /

- C S C 0 4-

16

V 1 6 4 -9 X 2 = ----------— -------- +

16x

C

„

c

:d x. , J Vx2 — 9

Solución H a c ie n d o x = 3 sec 9 , d x = 3 sec 9 tan 9 d 9 , se obtiene

(

f :2 7 se c 3 0 . 3 sec d tan d dd

xJ

=

dx =

J Vx2 — 9

J

V 9 s e c 20 — 9

= 2 7 J ( 1 4- ta n 2 0 ) s e c 20 d d = 2 7 (ta n d 4- - t a n 3flj 4-

= 9 v ' x 2 — 9 4- - ( x 2 — 9 ) 2 4- C

O

46

6 dd

INTEGRAL INDEFINIDA

dx J V x 2 + 2x 4- 5 X3

I'li'iiiplo 51. Halle I = Solución i om pletando

el

cu ad rado

en

el

trin o m io

y

Imi icndo la su stitu ció n v I 1 = 2 ta n 9 , d x = 2 s e c z 9 d d M' obtiene

x 3 dx / Vx2+

x 3 dx

f

2x + 5

J J(x + l )2 + 4

I (2 tan 0 — l ) 3 2 se e 20 dd 2 se c0

= J (2 tan 0 - l ) 3 see 8 dd

(8 tan30 see 6 - 1 2 tan20 see 0

4-

6 tan 6 see 0 - see 0) dd

H

see30 - 6 see 8 tan 8 + 5 ln|see0 + tan 8 \ - 2 see 8 + C 3

1

(xz + 2x +

5 ) 3/2 - -

t____________________

(x + 1 )V * 2 + 2x + 5 + 5 In \x + 1 + *Jx2 + 2x + s| - J x ^ T Y T s + C

(2x2 - 5 x - 5 ^ 4- 5 ln ¡x + 1 + V * 2 + 2 x + 5| + C

lije m p lo 52. H alle /

dx

/

( 1 + X 4)a/\/T + X 4 - X 2"

Solución s e c 20 Si se hace x ¿ = tan 0 => d x = — ;— . d f t . líntonces se e 20 d 0 dx

/ (1 + x 4)VVl

+ x4- x 2

- /■■ > se e 20 V se e 0

eos0 d0 V s e n 0 — s e n 20

eos 0

— tan 0

d8

z

1/ lT

1

1

/

2

2

Vvi+x4

= - a r e s e n ( 2 se n 0 - 1 ) 4- C = - a rcse n

47

2x 2

- ^

=

-a rc se n

2

1

4 -C

+ C


E jem p lo 5 3 . Calcule / -

12 dx

,

__________________ /;( 2x - l ) / ( 4 x 2 - 4x - 8 ) 3

Solución C o m p le ta n d o el cuadrado en el trin om io y haciendo la sustit jc ió n

2 x - 1 = 3 se c 9,

d x = - se c 9 ta n 9 d.9

R e su lta

/

12 dx = / ( 2x - 1 ) V ( 4 x 2 — 4x — 8) 3

12 dx - / {2.x — l ) [ ( 2 x — l ) 2 — 9 ]3/2

8 tan 9 dd

2

3 s e c 0 2 7 t a n 30

9

1 8 sec

■/ 2

= —

,

[—cot 6 — 0] + C = —

J

co t 26 d9 = —

2/ 2x - 1 \ (■ + a re se n — - — J + C 9 V V 4 x 2 - 4x - 8

e _:>f dx

E jem p lo 5 4 . Calcule J

/

( 9 e ~ 2x + 1) 3/2'

Solución S i se sustituye 3e * = t a n fl,

= - - s e c 29 d 9 , se tie n e

e

e x dx = J [ ( 3 e ~x ) 2 + I ] 3/2

r ~ 3 sec29

J

d9

--se n

\ r

3

s e c 39

J eos 9 d 9

9 + C

Vi + 9e~2*

j ( esc29 — 1 ) d 6

+ C

48

INTEGRAL INDEFINIDA

R | c in p lo 55. Calcule / =

I XV * X- d* J V 2 —x

S o lu c ió n R a c io n a liz a n d o el integrando, obtenem os

fx\[i-x

f

J V2 -x

x(l~x)

r x ( l - x)dx

X ~ J V l ^ / 2^

X ~ \ V x 2 - 3x + 2

A lio ra bien, com p letand o el cuadrado en el trin o m io y haciendo la su stitu ció n 3 1 1 - = - se c 8, d x = - se c 8 ta n 8 d 8

2

2

Sus t . 2x - 3 = s e c 9

2

c obtiene

2x- 3 / f

ly / x 1 - 3 x + 2

x ( l - x)dx / Q \

\(y

2

r ^ se c 8 +

1

1

^ se c 6 ta n 0 dd

( l - ^ - i se c

^ ta n 8

= - -

J

( s e c 3 8 + 4 s e c 28 4- 3 se c 8) d d 3

1 r

= - ta n 8 - - l n | s e c 0 + ta n 8\ - 4 4 J

------------------

y / l + t a n 20 s e c 2d d d

3 1 = - t a n 8 - - l n | s e c 0 4- ta n 8 | - - ( s e c 8 ta n 8 + ln | s e c 0 4- ta n 0\ 4- C 4 o 1 7 = - - t a n 0 ( 8 4- s e c 0 ) - - l n | s e c 0 4- ta n 8\ 4- C O O

2sJx 2 — 3x 4- 2 7 i ____________ = ----------------------- ( 8 + 2x - 3 ) - - l n \2x - 3 4- 2 j x 2 - 3x 4- 2 4- C O O ' ' ____ i y j — 3 x “h 2 7 i = ------------ ----------- (5 4- 2 x ) - - \ n \ 2 x - 3 4- 2 V * 2 - 3 x 4- 2| 4- C

49


Si el integrando contiene una expresión de la form a V a 2

Observaci ón 7.

ó V a2 + u 2 ó Vu2 Par a V a 2

-

—u

a2 , a veces una sustitución hiperbólica es más efectiva.

u 2 , la sustitución es u = a ta n h t.

Par a

Va2 + u 2 ,

la sustitución es u = a

Par a

Vu2 —a 2 ,

la sustitución es

En el prim er caso, V a 2 -

u2 = a

senh t.

u = acoshí. se c h t.

En el segundo caso, 'Ja2 + u 1 = a c o s h t. En el tercer caso, V u 2

-

a2

E j e m p lo 5 6 . Calcule / =

=

a s e n h t.

J x 2J x 2 + 4 dx.

S o lu c ió n U sa n d o la sustitución

x = 2 se n h í , d x = 2 co sh í d t tenem os / -

J x 2y ¡ x 2 + 4 d x = J 4 sen h 2 t 2 cosh t 2 cosh t d t

- 1 6 J sen h 2 t co sh 2t d t = 4 J sen h 22 í d t = 2 J (co sh 4 t - l)d £ 1 - - s e n h 4 í - 2 t + C = 2 senh tc o s h t(s e n h 2 t + co sh 2t ) - 2 1 + C xV 4 + x 2 / x 2

4 + x 2\ x j _ 2 Se n h - 1 - + í:

xV 4 + x 2 4

2

x 2 dx E jem p lo 5 7 . Calcule / ~ f ■ J V < x2 + 4x - 5 Solución Completando el cuadrado en el trinomio y haciendo la sustitución x + 2 = 3 cosh t , d x = 3 senh i d t

resulta Irn {

J

dx

_ _ *2 f *2dx + 4 * - 5 ~ J / ( * + 2)z - 9 50

f (3 co sh t ~ 2 ) 2 3 sen h t d t

i

3 sen h

t

INTEGRAL INDEFINIDA

(3 co sh t - 2 ) 2 dt = J (9 c o s h 2í - 12 co sh t + 4 ) d t

í

/ c o sh 2 t + 1 9 ^-----------------) - 1 2 c o sh t + 4 )

dt

9 17 - c o s h 2t - 12 c o sh t + — dt 2

2

9 17 = - s e n h 2t - 12 se nh t + — t + C 4 2 9 17 = - senh tc o s h t — 12 senh t + — -t + C

2

2

V x 2 + 4x - 5 17 --------- - --------- (x — 6 ) + — c o s h -

O b s e r v a c i ó n 8 . Si la i nt e g r a l

( x 4- 2 \ (

-

J + ^

t iene la f o r m a I R [ x n ; J a 2 ± x 2) dx

ó

I R ( x n ; J x 2 — a 2) d x , do n d e n es ent e r o i mp a r posi t i vo, es p r e f e r i b l e z 2 = x 2 - a 2.

usar ia sustitución z 2 = a 2 ± x 2 ó

I.je m p lo 58.


x 3 dx J)

f ( x s - x) b)

Vx2- 9 x 3 dx

<0

« J

( x 2 + 9 ) 3/2

—

J Vx V. 2 + 3

dx

x 3 dx (3 — x 2) 4

S o lu c ió n a) U tiliza n d o z 2 = x 2 - 9, 2 z d z = 2 x d x <=> z d z = x d x se tiene ( x ddx) x) r x 4 (x

x 3 dx

J

Vx2— 9 =

Vx2 —

J (z 4

9

ff( z 2 + 9 ) 2z d z J

+ 1 8 z 2 + 9 )d z = ^ z 3 + 6 z 3 + 9z + C

= - ( z 4 + 3 0 z 2 + 45) + C

Vx2 - 9

( x 4 + 12x - 1 4 4 ) + C

51

/

TÓPICOS DE CÁLCULO - VO LU M EN II

b) H aciendo z 2 = x 2 + 3, z d z = x dx se obtiene f (x 5 - x)

f [(z2 - 3)2 - ] z dz

r (x * - l ) ( x d x )

_

J V^T3

J

VFT3

z

"J

f

z **

= J (z4 - 6z 2 + 8)dz = Y

- 2 z3 + 8z + C

z = -[z4 -1 0 z 2 +40] + C

Vx2 + 3 , = ----- ------ ( x 4 - 4 x 2 + 1 9 ) + C

c) S i se sustituye z 2 = x 2 + 9, z d z = x d x resulta

r

J

x 3 dx

_

( X 2 + 9)3/2

r x 2(x dx)

- J (x

f ( z 2 - 9) (z dz)

2 + 9)3/2 -

J

dz 9 1 , = z H ------h C = - ( z + 9 ) + C

z

z

1 Vx2 + 9

( x 2 + 18) + C

d ) H a c ie n d o z — 3 — x 2, x d x = - - d x se obtiene

f

x 5 dx

í x 4( x d x )

f (3 - z ) 2( - í d z )

J (3 - x 2)4 ~ J ( 3 - x 2) 4 = J 6

1 f/ 9

2J 1/3

3

+

i? 1\

1\

“ 2 \ ^ ~ I * + z) + C

x4 - 3 x 2 + 3 ~

2 ( 3 - x 2) 3

+ C

INTEGRAL INDEFINIDA

E JE R C IC IO S f

x~ dx

J

vf^F

J *

1 x /-------- R. - - a r c s e n x - - v l - x 2 4 - C

R. - j x V 4 + x2 + ln (x + J 4 + x 2)j 4- C

+ x 2 dx

x V4 - x 2 |x R. 2 a rc s e n ----------- -—

j x z \ ¡4 - x z d x f

- 2xj + C

V l + xi R . --------------- 4- C

dx

J x 2v l + x 2 I y[2x , 1 R. — a r c t a n l - = = )+ C vf \V 1 - X 2

dx J

( X 2 -r 1 ) V 1 -

'

X 2

V 2 x 2 4- 7 , R. — — ------- ( x 2 + 7) + C

x 3 dx v 2x2 + 7

V x 2 4- 3 ( x 2 + 3 ) 3/2 R. ---- r--------- ----- + C 9x 27x3

dx x 4V x 2 + 3 r

J

(4 x + 5 )d x

R.

( x 2 — 2 x + 2 ) 3/2

9 x - 13 ^ _______ : 4~ C V x 2 - 2 x 4- 2 5x - 3

(2x - 3 )d x

f-4 JI ( Xx 22 4- 2 x

f V x 2 — 4x

:+ C

- 3 ) 3/2

4 V x 2 + 2x - 3 ( x 2 - 4 x ) 3/2

dx

6x 3 vs

x 4 dx

(4 -

I

R.

x 2y /z

2 0 ( 4 - x 2) 5/2

( x 2 - 2 5 ) 3/2 d x

( x 2 - 2 5 ) s/2

x6

125x5

1

dx

1

4- C

+c

V x 2 4- 2 x

if. - a r s e n ( * + l ) + i 5 r n 5 j + C

(x ■+■l) 3Vx2 + 2x sen x dx J Vcos2x + 4cosx r

/?.

4- 1

- l n j c o s x + 2 + V c o s 2x + 4 c o s x + l j + £


e x\ ¡ e 2x - 4 - 2 e 2x( e x + 2 ) ------------- — "■■■■■ ■ —— —dx 2 { e x + 2 ) 4 e 2x~ - 4

15.

|—

_ 16.

f 2 x 2 - 4 x 4- 4 j — dx

5 /

R. —\ n\ e x + 2| - V e 2* - 4 + c

- (x - 1 ) V 3 + 2 x - x 2 + C

R. a resen

J 4 3 + 2 x —x 2 dx

17

18.

í

J

4 V x 2 - 2x + 5

( x - l )WV x 2 - 2 x + 1 0 (X V * 2 - 2a: + 10 + 5 In | V *2 - 2x + 10 + x + l| + - ln

( 3 + x 2) 2 x 3

R. - -

/

21

i

.2

x - 1

(*2 + l )2 , 7 , -------------+ ( x 2 + 1 ) +

f V y 2 ~ 4 dy y4

+C

_

2x2 4 - 1

-f* €

■ Í2

k.

‘ J (x 2 —l)Vx 2 - 2 (x 2 + 4)2

4

( y 2 - 4 ) 3/2

—

r

22

23

V x 2 - 2x + 1 0 - 3

V4 - x 2 /? .------ ----- (8 + x2) + C

Í4^ L J V4 — x 2

20'

1

( x 2 + 3x 3 x )d x

R.

m

x-

R.

( x 2 - 2 x + 5 ) 3/2

dx

R-

y 3

+ C

Vx2 - 2 arctan--------- + C x

x

14x

r r l a r c t a n r ----— — - 1 4- C

161

x 2 4- 4J

2

dx

■/ 25.

fi. a rc t a n

( 2 x 2 4- l ) V x 2 + 1

f3 x a rc se n x I — . dx

aresen x

vi R

i1r[

(1 — x 2) 3/7

J V ( i - * 2) 5

J Vi - x 2

-x/

*

) + C

W 2/ ■ V1 i 4- xr 2

2l ~

x

AT + 1

-4 -in

4- C VT

dx

] n f 1 + X ) ( 2 73

*■ l n l T ^ I A 3 z

1

s

~ 5

\

,

89

/2 5 + 6x 2\

- z J + g ó a rc s e n * “ * 2 ( —

donde z = J l - x 2

54

e T ' j + c-

INTEGRAL INDEFINIDA

it

x¿ - 3

1

:d x

In |x 2 + V * 2 _ 4 | - - a r c s e n —

+ C

A v/x4 - 4

1

x dx

V x 4 — 4 x 2 4- 5 — 1

/?. - I n

4- C

x2- 2

(x 2 - 2 ) V x 4 - 4 x 2 + 5 x 2 dx

¿'t

4 x 2 — 12x — 5

\l

( 2 x 4- 3 \ i-----------------------11 a rc s e n ^ — - — j 4- -J—4-x2 - 12x — 5 (3 — 2 x )

411

II

1

x z dx

R ‘ 64

( x 2 4- 4 ) 3

x 2 x ( 4 - x 2) 1 a rc ta n - 4- C '2 ( 4 + x 2) 2

2 x :i d x

1 - 3x2 ^------ T“TT 4- C

R ■

( v ’ - l )4

dx 1,’

4- C

R.

(() _ x 2)3

3 6 ( 9 - x 2)

2 1 6 ( 9 - x 2)

6(x 2 — l )3

3 (3 + x f ■4- - In 9 — x2 4

4- C

( 4 x 2 4- l ) d x 4I ( v - 3 )V 6 x — x 2 — 8

1 - Vóx - x 2 - 8

/Í. 2 4 a r c s e n ( x — 3 ) 4- 3 7 In

4y¡6x — x 2 — 8 4- C

x — 3

e* - 5

e 2x d x

R.

It

4- C 4 V e 2* - 2 e * 4- 5

J ( c ¿x - 2 e x 4- 5 ) ) 3 senh 2x dx

(2 c o s h 2x — 3 s e n h 2x — 2 c o s h x ) 3/2 3 — co sh 2 x :4 - C

R 2 V 2 c o s h 2x - 3 s e n h 2x - 2 c o s h x ill

! sen 2 x se n x d x

I (,

-

4 s e n 2 x - 1 9 s e n 2x ) 5/2 4 ta n x — 16

/

5 (ta n x -4 )2

+ 12 +

W t.m 2* - 8 ta n x + 20 \ t a n 2x - 8 ta n x 4 20

128 3 ( ta n 2x - 8 ta n x + 2 0 ) 3/

"tC

dx
(*

1) ( x 2 - 2x + 5 ) 2 (x - l ) 2

R- 32 55

x 2 — 2x + 5

4-

1

8 ( x 2 - 2 x + 5)

+ C

TÓPICOS DE CALCULO - VOLUM EN II

1.5.4

M É T O D O D E IN T E G R A C IÓ N P O R D E S C O M P O S IC IÓ N EN F R A C C IO N E S P A R C IA L E S

I.5.4.1

IN T E G R A C IÓ N D E F R A C C IO N E S S IM P L E S

Se d en o m in a n fraccion e s sim p le s a ias funciones que se presentan bajo una de las form as siguientes:

0

fW

=

x —r

•*)

/ O ) = 7— ,n >2,n e N (x — r ) n

ill)

f(x) —

ax + b J jX

2 '------ :— , d o n d e p x 2 + qx + r no tiene raíces reales, es decir, “t” CJX T Y

qz — Apr < 0. IV )

^ s CLX + b f ( x ) = -— — -----------— , d o n d e n > 2 , n e N , q 2 - Apr < 0. (;p x 2 + qx + r) n ^ p

L a s integrales de estas fra ccion e s sim p le s son inm ediatas, pues i)

U)

f

a

J x —r

í (x - r ) n dX ~ (1 - n) ( x - r ) n_1 + C

f iii)

d x = a ln ¡x - r| + C

ax + b — 7 - -------- ;—

J px2 +qx + r f

dx

(d e sa rro lla d o en 1.5.1 caso III)

J

ax + b

( 2 p x + q) dx

J (p x 2 + qx + r ) n X

2 p J ( p x 2 + qx + r ) n + \

2p ( n - 1 ) ( p x 2 + qx + r ) n~

f

-+

dx

i ( p x 2 + qx + r ) n

(*-S

dx f ) /J ( p x 2 + qx + r ) n ;

Para ca lcu la r la integral /, al com pletar el cuadrado en el trinom io, se obtiene r

J = ~

J v J

í

Ti

du

, in , '

( u 2 + k 2Y 2r ’

j j r~ R donde u = J p . x + — =

,

y k =

y

4 r P _ <7 -----------44np

E n esta ú ltim a integral, se puede u sar la sustitución trigon o m é trica u = k ta n 0 ó la siguiente fó rm u la de reducción:

56

INTEGRAL INDEFINIDA

l'le m p lo 59. U sando la fórm ula de reducción, calcule / =

J

dx

f

dx

+

.

S o lu c ió n l n este ca so n = 2 y k = 2. E n to n ce s

r

dx

x

2 (2 ) - 3

] ( x 2 + 4 ) 2 “ 2.22(2 - l ) ( x 2 + 4 ) 2-1 + 2.22(2 - 1) J (x 2 + 4 ) x

1 1

x

1/

x

2x

\

“ 8 ( ^ 4 ) + 8 ' 2 arCt3n 2 + C = 16 l arCtan 2 + Í ^ T í ) + C

1.5.4.2

IN T E G R A C IÓ N

DE

F U N C IO N E S

R A C IO N A L E S

POR

D E S C O M P O S IC IÓ N E N F R A C C IO N E S S IM P L E S Sim la

P (x) ra cio n a l f ( x ) = — -r, d o n d e

fu n c ió n

Q(x)

P (x )

y

Q{ x ) s o n p o lin o m io s

i <«primos de g ra d o s m y n ( m , n e N ), respectivam ente.

Si m < n , se dice que la fu n c ió n racional es prop ia y cu a n d o m > n , se dice que rs una fu n c ió n racional im propia. Por ejemplo, las fu n c io n e s racionales

x 5 - 6x2 + 7 y

2x4 + 8

ato

J

"

2 x &+ 3 x 3 + 2

mm propias, pues el gra d o del p o lin o m io del n u m e rad or es m en o r que el g ia d o del p o lin o m io del d e no m in a d o r; m ientras que las fu n c io n e s racionales 3x4 - 2x2 + 7

x 2 + 2x + 3

F(X) ~

5x3 - 3x2 + 1

_ y

" 2x2 - 7x3 + 4

son im propias. Si / (x ) =

P( x)

es Una fu n c ió n ra cio n al im p ro p ia , p o r el a lg o ritm o de la d ivisió n ,

uxisicn p o lin o m io s C ( x ) y / ?(x ) ú n ico s tales que l’t o

rr

^

------- = C( x) +

Q(x)

ilmule el gra d o de

Q( x)

R(x)

es m e n o r que el grad o de

Q(x) .

C( x )

y

R ( x ) son,

ii'speclivam ente, el cociente y el resto de la d iv isió n de P ( x ) entre Q( x ) . I tío sig n ific a que toda fracción im p ro p ia puede ser exp resad a c o m o la su m a de un p o lin o m io y de una fracción propia. A s í, la integral de una fra cción im p ro p ia IMifilc ser escrita c o m o

í pt o ,

f

, ( Rt o

dx

57


En se gu id a , ve re m o s el m étodo de integración para una fracción propia, el cual se basa en que “toda fracción racional propia puede ser d escom p uesta en la su m a de fracciones sim p le s” . Este hecho se sustenta en el co n ocim ie n to de d o s teorem as del Á lg e b r a que a dm itire m os sin dem ostración. T e o r e m a 1. S i

Q ( x ) se

Q ( x ) es un p o lin o m io de grado n ( n > 1 ) , entonces

d esco m p on e c o m o un prod ucto de factores de 1er gra d o y de factores de 2 do grad o irreductibles en M, de la siguiente forma:

Q(x) = a( x — r j ) " 1(x — r 2) n2 ... (x - rk) nk( x2 + p^x + q1) m» ...(x 2 + psx + qs) m> ( * ) , 2 m l + ... + 2 m s

donde n = TI-L+ n 2+ ... + n k + T e o r e m a 2.

S i el p o lin o m io ( ? ( * )

un p o lin o m io

de gra d o

m enor

posee la d e sco m p o sició n '( * ) y

que n, entonces

la fracción

P (x )

es

P (X j

p ro p ia

se d e sco m p on e u nívo cam e nte en fracciones sim p le s co m o

P( X) _ ^11 Q(x) x — + -

A12

^21

+ (x — r x) 2 Alnt-

+ .-4-

( x - r 2)"2

^ _l_

Bl l x + ^11

B S1X + C s í

A k l-

^

^

x 2 + psx + qs

Ak2

+

(x - rk)

( x 2 + p 1x + q 1)

^22

(x - r j ) ni + (x - r2) + (x - r 2) 2 +

+... +

(x — rk) 2

Bl2x + ^12

^

^

A k n *__ +

( x - r k) nk

J

( x 2 + p xx + Ch) 2

^

^lm , + ( x 2 + p jX + Q i)mi

B s2 X + C S2

®smj "t" Q m s

( x 2 + psx + q s) 2

( x 2 + psx + qs) ms

E n resum en, p o d e m o s a firm ar que la integración de una fu n c ió n racional (p ro p ia ó im p ro p ia ) se reduce a integrar a lo m ás un p o lin o m io y las fraccione s sim ples. Recuerde que si ei grad o del num e rad or es m a yo r o igual que el gra d o del denom in ador, p rim e ro se debe d iv id ir (sa lvo que se em plee otro artificio de integración). C u a n d o se d e sco m p o n e una fu n c ió n racional en fraccion e s sim ples, la e cuación resultante

es

una

identidad,

es decir,

es verdadera

para todos

los

va lo re s

sig n ific a tiv o s de la variab le x. E l m étodo para determ inar las constantes que se presentan en los nu m e rad ore s de las fracciones sim p le s se basa en un T e o re m a del A lg e b r a que establece que los p o lin o m io s de un m ism o grad o so n idénticos cuand o so n igu a le s los coeficientes que corresponden a potencias iguales. E sta s constantes tam bién se pueden determ inar re so lvie n d o la iguald ad de p o lin o m io s para un n ú m e ro suficiente de va lo re s de x. E n el sigu iente ejem plo, sin determ inar las constantes, m ostrarem os c o m o se de sco m p on e una fra cción propia.

58

INTEGRAL INDEFINIDA

Sea la fracción p rop ia 7 x 4 — 2 x 3 + x 2 — %/2x + n

P(x)

Q( x) = (x + l ) ( x - 4 ) 3 ( x 2 + 9 ) ( x 2 + 1 ) 2 I .1 d e sc o m p o sic ió n de esta fra cción en fracciones sim p le s se e xp re sa c o m o

P( x)

A

B C D Ex + F Gx + H Jx + M ■+ -------r + 7------ :t t + -:------ ; t t + — ---- — H---- ^---- - + -

Q( x)

x + 1

(x - 4 ) 2

x - 4

(x - 4 ) 3

x2 + 9

x2+ 1

(x 2 + l )2

donde A, B, C, D , E, F, G, H, J y M son constantes a determinar.

f x 3 —3x + 3 — :---------- i r dx .

lile m p lo 6 0 . Calcule / = H

J

x2 + x

- 2

S o lu c ió n I n prim er lugar, se d ivide, y a que el integrando es un a fra cción racional im propia. x 3 — 3x + 3

1 1 = x — 1 + — ---------- - = x - 1 + ■ x2+ x - 2 ( x - l ) ( x + 2)

x2+ x - 2

dx

x2

1 iit'í’o, J = j (x — l) d x + J • — —X (x — l ) ( x + 2 ) 2

A l d esco m p on e r el integrando de I en fracciones sim p le s, se tiene 1

A

B

(x — l ) ( x + 2 )

x — 1

x + 2

donde A y B son constantes a determinar. M u ltip lic a n d o esta e cu a ció n p o r el m ín im o c o m ú n m últip lo del denom inador, se obtiene la e c u a c ió n p r in c ip a l 1 = A( x + 2 ) + B ( x - l ) , V x £ l A h o ra bien, para determ inar las constantes A y B se debe e sco g e r va lore s npi op ia do s de x. E sto s va lo re s son aquellos que hacen igual a cero el d e n o m in a d o r de cada fracción sim ple. A s í, tenem os: l'm a x = 1 en la ecu ación principal, nos queda: 1 = 3A <=> A = 1 / 3 l'n ia x = - 2 en la e cu a ció n p rincipal, resulta: 1 = - 3 B «=> B = - 1 / 3 I ui'ô, 1 /3

/( :

1 /3 \ 1

x + 2)

1

,

1

dx = -ln|x —1| — -ln|x 3

3

x

.

, 1. + C + 2| + C = -in x + 2 3

'n i lauto. X2 / = y - í

1

X + ^ T

- x

+ 3 1" x + 2

+ C

I ti el ejem plo anterior, para calcular la integral I no es necesario d e sco m p o n e r en li h it iones sim ples, pues tam bié n se puede calcular co m p le tan d o cuadrados. E n los llá m e n le s ejem plos, u sa re m o s el m étodo m ás adecuado.

59


f X2 x¿— — 6x + 8 ------ - d x J x 2 + 2x + 5

E jem p lo 6 1 . Halle I = I — — Solución

C o m o el integrando es una fra cción im propia, p rim ero se d iv id e y lu e go se aplica el artificio presentado en 1.5.1. A s í, se obtiene f x z - 6x + 8 f 3 - 8x i f (8 x - 3 )dx = I 7' , o — r ? d x = I 1 + - ^ — =------ - d x = x J x 2 + 2x + 5 J L x 2 + 2x + 51 J x 2 + 2x + 5

f 2x + 2 rf dx = x — 4 I —-— ------ dx + 11 I , J x 2 + 2x + 5 J (x + l ) 2 + 4 , 11 ¡x + 1 \ x —4 l n ( x 2 + 2x + 5 ) + — arctan ^— - — J + C

E jem p lo 6 2 . Halle J . Solución

.

J

,

dx

x3 + 1

L a d e sc o m p o sic ió n que corresponde a la'fracción p rop ia del integrando es 1

1

A

x3+ 1

(x + l ) ( x 2 - x + 1)

x + 1

Bx + C x2- x

+ l

P E lim in a n d o d enom inadores, obtenem os la e cuación principal: 1 = A ( x 2 - x + 1 ) + ( Bx + C) ( x + 1)

(*)

Para x — — 1 en la e cuación ( * ) , se tiene: l = 3A ==> A = 1/ 3. Ig u a la n d o coeficientes de x 2 en ( * ) , resulta: 0 = i 4 + í ? = > f i = — 1/3. Igu a la n d o coeficientes de x en ( * ) , obtenem os: O = - A + B + C =$ C = 2/3. E n esta integral, el p rob le m a m a y o r es la integración de la fracción sim p le /?. U n m étodo que facilita la integración de este tipo de fraccione s sim p le s (y que se usa cuando el d e n o m in a d o r presenta factores cuadráticos irreducibles) con siste en expresar el integrando co m o

donde

1

1

A

X3 + 1

(x + l ) ( x 2 — x + l )

x + 1

2x - 1

D(2x - 1 )

t

E

x2 — x + 1

es la d erivada del d e n o m in a d o r x 2 - x + 1. O b sé rv e se que para

integrar la se g u n d a fra cción es suficiente separar en d o s integrales tal c o m o verem os a continuación. E n la igu a ld ad anterior, m u ltip lica n d o por el d e n o m in a d o r se obtiene la n u e va ecuación p rincipal:

INTEGRAL IND EFIN ID A

1 = A (x2 - X + 1) + [D ( 2 X - 1 ) + E ](x + 1) Para x = - 1 en ( * * ) , se obtiene: 1 = 3A = > A = 1 /3 . Igu a la n d o coeficientes de x 2 en ( * * ) , resulta: Q = A + 2 D = $ D = — 1/6. Igu a la n d o coeficientes de x en ( * * ) , se tiene: 0 = —A + D + E = > E = 1/2. fu e g o ,

1

1

1

= -ln|x + 1 | - gln(x 2 - x + 1) + -ârctan

í 2 x ~~

+c

dx ■

lí j e in p lo 6 3 . C alcule J S o lu c ió n

C o m o x 3 - 1 = (x - l ) ( x 2 + * + 1 ), a p lic a m o s el m étodo del ejem plo anterior.

1)c este m od o, la d e sc o m p o sic ió n en fraccion e s sim p le s es 1

A

x3 - 1 ~ x - l +

B (2 x + 1 ) + ^ x2 + x + 1

E lim in a n d o d e n o m in a d o re s .s e obtiene A = 1/3, B = - 1 / 6 . C = - 1 / 2 . P o r tanto.

dx mp p lo lo 6 E je m 64 4 .. H H alle alle / / -— J <•* _ 2 ) 2 ^

- 4 x + 3 )'

S o lu c ió n ( orno ( x - 2 ) 2 ( x 2 - 4 x + 3 ) = ( x - 2 ) 2 ( x - 3 ) ( x - 1), entonces

(x — 2 ) 2 ( x 2 — 4 x + 3 )

x — 2

(x - ¿ V

x - i

x -1

l lim in a n d o den om in adore s, obtenem os la e cuación p rincipal:


l = A ( x - 2 )(x - 3 ) ( x - 1) + B(x - 3 )(x - 1) + C(x - l ) ( x - 2 ) 2 + D(x - 3 ) ( x - 2 ) 2 Trab ajan d o con esta e cuación principal, se tiene Para x

=

2

= > 1 = —B

=> B - - 1

Para x

=

3

=> 1 = 2C = >

Para x

=

1

=> 1 = - 2 D

C = 1/2

=¡> D = - 1 / 2

Ig u a la n d o coeficientes de x 3 resulta: 0 = i4 + C + D = > . 4 = 0 P o r consiguiente,

I

dx

S o (rx :- 2 1

rf

_

dx

1 f

J

dx x -1

x - 3

: ------^ + r l n x - 2 2

E j e m p lo 6 5 . H alle

1 r

( x - 2 ) 2 + 2 J x —3 ~ 2

)2 (*-3 )(x -l)

1

dx

x —1

+ C

I - j Vsen x-dx. c o sx

S o lu c ió n E s c r ib im o s la integral c o m o

/ =

f' vV se s erT n xx J

---------- d x =

cosx

f v se n x co sx — ----------- — dx l - s e n 2x

J

H a cie n d o u 2 — s e n x => e o s x d x = 2 u d u y d e sco m p o n ie n d o el resultado en fracciones sim ples, se tiene

22u u 22du du

r 2 u 2 du _ í

"

J

1 - u4 ~

J

r r i /2

1

(1 - U2)(l + u 2) ~ J l l - u + 1 + u " l T ^

1 , | u+l i

1

IVsenx + 1

2

2

V üñx- 1

~ ln ------ r - a rcta n u + C = - l n

lu-H

E j e m p lo 6 6 . Cacule

1/2

I= j

,

------

a rc ta n V se n x + C

dx x ( x 69 + l ) 3 '

S o lu c ió n Se tiene qu e / =

dx 1 f 6 9 x 68 d x I - —^7 --------- -- — ¡ -----------------J x ( x 69 + l ) 3 6 9 J x 69( x 69 + l ) 3

»S i en la ú ltim a integral se hace u = x 69 + 1 => d u = 6 9 x 68 d x , resulta

/- 1 69

f du Ju 3 (u - 1 )

1

f \A

B

c

D

6 9 J [u + u 2 + i í 3+ w - l j

62

du

1

INTEGRAL INDEFINIDA

D e term inand o las constantes A,

B,

C y D p o r el p roced im ie n to u sa d o en los

ejem plos anteriores, se obtiene

1 1 1 . Í L Í _ jL _ - L 1 d u = -ln | u | H------t - r - r + ln|u - 1| + C u 2u 2 i9 J i u u2 u 3 + u - 1 69 >.69

1

+ 1

6 9 r " k 69 + 1

K | e m p lo 6 7 . Calcule 1 =

J

2 ( x 69 + l ) 5

+ C

V t a n x dx.

.Solución

21 dt SI lineem os t 2 = t a n x =» x = a r c t a n t 2 y f 2t2 dt _

dx =

1+ t

e n to n ce s

2 tz dt

f

1 ~ J i + t4 “ J ( T + V 2 t + t z) ( l - V 2 t + t 2) I ,ii l'actorización de 1 + t 4 se realizó del siguiente modo: I f t 4 = ( t 2 + l ) 2 - 2 t 2 = ( t 2 + l ) 2 - ( V 2 t ) 2 = ( t 2 + 1 - V 2 t ) ( t 2 + 1 + V 2 t) I ,¡t d e sc o m p o sic ió n del integrando es A ( 2 t + V 2 ) + B t C( 2 t - s / 2 ) + D _ t2 + V 2t + l

t2 - V 2t + l

2 12

“ l + t4

E lim in a n d o den om in adore s, se tiene

212 = [¿ (2 t + V2) + B ][t2 - V2t + 1] + [C(2t - V2) + Z>][t2 + V2t + l] Igu a la n d o lo s coeficientes de las potencias de t en los d o s p o lin o m io s, se obtiene

2A + 2 C ^ = 0 ,

( B + D ) + V 2 ( C —A) = 2 ,

yj2(B - D) = 0 , V 2 G 4 - C ) + B + D = 0 K e so lv ie n d o las e cuaciones, resulta i4 = — V 2 / 4 , C = V 2 / 4 , B = — 1 /2 , D = 1 /2 I uego, V2 r ’4

2t + V 2

J t 2 + V 2t + 1 f

_ i r_

V2 f

dt

2 J t2 + V 2t + 1

2t - V 2

1 f

dt

4 J t 2 - V 2 t + 1 t + 2 j t2 - V 2 t + 1

h iiegra n d o y sim p lifica n d o , se obtiene

/^ ^2 V 2 , t2 - V 2 t + 1 — — a r c t a n (V 2 t + l ) + — a r c t a n (V 2 t — l ) + C / = T4 ln t 2 + V 2 t + 1 donde t = V ta n x.

63

r TOPICOS DE CÁLCULO - VOLU M EN II

sec2x dx Ejemplo 68. Calcule I = í ------— J 3 + 4 tan x + sec2x ' Solución E s c r ib im o s la integral c o m o

l = [ x sec2* dx - f _____ x s e ^ x dx _ f x sec2x dx J 3 + 4 tan x + sec2x J 3 + 4 tan x + ( 1 + ta n 2* ) ~ (ta n x + 2 ) 2

J

A p lic a n d o el m étodo de integración p o r partes, e le gim o s

(u = x

=> du = dx sec2x dx

\ d v = 71-------- V = - (tan x + 2 )2

tan x + 2

Lu e go ,

r

l =

H a c ie n d o t = ta n ,

dx

----------- _ + tan x + 2 J tan x J

=* d t = se c 2x d x

x

ddx xf

f

+2 en la integral ], se tiene

_ r sec2x _______dx se c2x dx _______

J tan x + 2

J (tan x + 2)(1 + tan2x)

rr

dt

J (' t + 2 ) ( 1 + t 2)

D e s c o m p o n ie n d o el integrand o en fra ccion e s sim ples, tenem os

1

_

( í + 2 ) ( l + t 2)

5

t + 2

. ~ l ñ ( 2 t) + 5 ■+ •

1 + t2

L u e go ,

l r

1

2 r

1 r 2t dt

dt

dt

1 0 J 1 + t2 + 5 J 1 + t2

5j t + 2 1

2

J = p ln | t + 2| — —— ln | l + t 2 1 + - a r c t a n t + C b

10

1

1

5

2

7 = g In|tan x + 2| - — ln | l + ta n 2x| + - a r c t a n ( t a n x) + C Finalm ente, ob tenem os * / — ------------- “

tan x + 2

1

(ta n x + 2 ) 3

10

sec2x

H----- ln

2 + - * + C

INTEGRAL INDEFINIDA

E J E R C IC IO S II,illc las s ig u ie n t e s in te g ra le s in d e fin id a s: 4x2 + 6

/ x 3 + 3x

í I

dx

R. l n [ x 2 ( x 2 + 3 )] 4- C

8

X‘

-dx

4 l n [ x 2 4- 4| +

( x 2 4- 4 ) 2

^ '2

x 4 - 4 x 2 - 14a: -dx x 2 —2x — 8

x2 + 4

C

x ■> 68 , , 14 , R. — 4 - x 4 - 8 x 4 - — ln [x — 4 | — — ln|jí + 2| + C

dx

/ ( x 2 + 2x +

5) 3

R. X 2 4- X -

/;

x 4- 1

+ x

r

dx

R. ------------— + - ln | x - 1 | - - l n | x 4 - l| 4- C 2 (x - 1)

ln|x|

2 x 2 4- 3x

- X 3 4- X 2

dx

R.

4

4

ln (x 2 - 2 x 4- 3) 2 •+ - arctan 3
\i

)

1 I x2 I R. — 4 - ln ------ -

dx

x 2 + x —2

x 4- 1

X

1 (x2+ 1 R. - l n —z----- 6 \ x 2 4- 4

-dx

4 4- 5 x 2 4- 4

2 x 2 —3x — 3

«)

8

1

:3 - x 2 - x + 1

h

3 (x + 1\ ~ a r c t a n ( — - — j 4- C

2 (x 4 1) 3 (x -t - l) •4, . „— ( x 2 4- 2 x 4- 5 ) 2 4 ( x 2 4- 2 x + 5)

l ) ( x 2 - 2 x + 5)

dx 1

r

J

+c

a rc t a n x 4- a rc t a n - 4- C

R. - l n ( x 2 — 2 x 4 - 5 ) - ln|x — 1 | - F - a r c t a n

10.

4- C

1

x2

■dx 1 - x6 x 2 dx x 6 - 1 0 x 3 4- 9

( ^ )

4- C

X 3 4- 1

R. - l n 6

4- C

B. i l n

+ C

4 x 4- 1 -dx X 2 4 -1

1

R. - l n ( x 2 4- x + 1 ) — V 3 arctan

II

2x X2

2x + 1

4 /2x + — a rc t a n

V3

V3 2

V

V3

/ 2 x 2 4-

i) V

R. — a rc ta n ----- ——

-dx

4- 1

V3

65

V

V3

+ C

4- C


f 14.

Z x<■ --------

+1 J x 4 + x- ■

-dx x2- X + 1

|m

Ä-.

1 /2 x + 1 \ 1 /2 x - 1\ + — arctan — = r— + — arctan — = — + C V3 V V3 ) V3 \ V3 /

i( ^ )

x 2 dx

•/

X 3 -

x 6 - 10x3 + 9

9 + C

fi' 2 4 ln x 3 — 1

dx

/i V2 1 + V 2x + x 2 /?. — ln + -^ -a rc ta n (V 2x + l ) — 1 — V2x + x1

dx 17.

1 ñ.

x8 + x6 r

x

18' J

a rc ta n (V 2x — l ) + C

-

bx3

1

1

+ — — ---------- a rc t a n x + C 3x4 x

7 .

+ xJ

- 2 4 ' + 1 d% . 4

„

4

1, , ,

1

|2x 4 + 1 — V5|

2V5

|2x 4 + 1 4 - v 5 i

,

R. :rln | x 4 - 1 | - - l n [ x 6 + x 4 - 1 -------— l n ----------------- = + C 2

4

dx 1 9 ./

f

20.

R. ¡ n | x | - ^ i n | x 7 + 1 | + — — 7 7 ( x ■t

x (x 7 + l )2

dx

1

I

X ( X 999 +

l) 2

/

x (x 9 + l )3

+ C tj

1

R. ln|x|-------- ln jx 999 •<- l l + --------- — ------- + C 999

dx

9 9 9 ( x 9"

1

1 „

R. ln|x|— - ln | x + l| +

9 (x 9 +

9

+ 1)

1 4-------- — ^— 1) I 8 (x 9 +

? + C l )2

dx

■/ f

23 i

25.

11

1■/

+ 1| -

l l x 11

-

ln|x| + L

co t x d x c i S í 7x + 1 )

f 24.

R •r r l n l x 11

X 12 ( X 11 + 1 )

R. ln | s e n x j —

7

ln | se n 'x + 1| + — -----:--------~ + C 7 ( s e n 'x + l j

ta n x d x

J ( c o s " x + 1)

R. — ln|cos x + l| - lnjcos x ) -

9 9 (c o s "x + l)

+ C

P

' x 4V s e n x + V s e n x + c o s x ----------------- dy. I ---------- , , ( x 4 + 1) c o s x Ä. | m

V se n x + 1 -------V se n x - 1

V2. x 2 + V2x + 1 a rc t a n fV s e n x ) + —— ln ---------------------- — -------8 x 2 - V2x + 1

+ — arc tan (V 2 x + l ) -

66

arc tan (V 2 x - l ) + C

I IN 1 cvjKAL LNUfcMINIUA

dx lU.

/

Xs + 1

2 x 2 - ( l - V 5)x + 2

V5

R- 20 ™ ln

V lO — 2V5 + ------ — ------ arctan

2 x 2 - (1 + V 5 )x + 2

10

/ 4 x - (l+ V 5 )\ — + V

V

1 0 - 2V 5

/

V IO + 2V 5 ^ ( Ax - (1 - V 5 ) \ , „ --------— ------ a rcta n — |+ C

V V 10 + 2 V 5

10

,'7.

j Vtañhxdx co sx V se n x + 1 se n x + 2

1

2 (c o s 5 x + l)

•+ C

1 - V co sx

2 dx

/?. In

+ 2 a rc ta n (V c o s x ) + C 1 + V co sx

V c o s x sen x

5

X3

J i13!

fi. - [ x 3 - l n ( x 3 -

dx

x3 + x - 1 ;»2.

co s5 x+ l

4

<0.

C

cos 5 x - 1

R. - I n

se n 5 x ( l + co s 5 x )

1!.

— — arctan(tanh x ) + C

R. 2 V s e n x + 1 — 2 a r c t a n V s e n x + C

dx

dx

2').

tanh X + 1

1 Ä. - I n 2

Ä.

dx

/

(x 2 + 2 )2

/

( x - l ) 2( x 2 + l ) 2

2—x

1 )] + C

I n J x 2 + 2 ------ — arctan —

4 (x 2 + 2)

4V 2

^

V2

+C

4 x 2 - 8x u.

dx 3x

R.

- 1

(x - l ) ( x 2 + 1)

+ In

,

( * ~ 1) \

— ■■ . 1 + a rc t a n x + C x2 + 1 )

dx (■I

/

(x 2 — x )(x 2 - x + l ) 2 x - 1

10

Æ. In 3V3

/

/2x - 1 — — V V3

2x — 1 3 ( x 2 — x + 1)

4x + 3 R. — ------ —w + ln -

3x + 2 x (x + l ) 3

a rc ta n

dx

2 (x + l ) 2

67

x

(x + l ) 2

+ C

+ C


1.6 IN T E G R A C IO N D E A L G U N A S F U N C IO N E S IR R A C IO N A L E S H e m o s v isto que las fu n c io n e s racionales poseen integrales que se e xp re sa n c o m o co m b in a c io n e s lineales finitas de fu n cio ne s elementales. E s t o n o sucede c o n las fu n cio ne s irra cio n ale s sa lv o en a lg u n o s ca so s particulares. E n esta se c c ió n y en las siguientes, v a m o s a estudiar a lg u n o s tip o s de fu n c io n e s irracionales c u y a s integrales pueden ser expresadas c o m o un a su m a fin ita de fu n cio n e s elem entales. P a ra esto, es necesario un adecuado c a m b io de va ria b le de m anera que el integrand o de la n u e va integral sea una fu n c ió n racional.

f 1 .6 .1 IN T E G R A L E S D E L T IP O

í

j A

/ a + b x \ mi/ni (

_

)

/ a + b x \ mk/nk ;...; ( —

)

dx

E n este caso, R es una fu n c ió n ra cio n al de variables

/ a . + b x \ mJni

x ■f c r s )

/ a + b x \ mk/nk .

■ •••y

'* > "* »• > .................... " • 6 : a + bx

P o r tanto, lo s e xp o n e n te s de -------—

c + dx

s o n n ú m e ro s racionales.

E n esta situación, se hace el c a m b io de variable

a + bx c + dx

= t n , d o n d e n = m. c. m. {ri!, n 2, - , n k}

D e sp e ja n d o x, se obtiene

t nc — a (be — a d ) n í n_1 y

dx=

■í b - d ñ ‘ - i c

Su stitu ye n d o estas e xp re sio n e s en el integrando, se obtiene que R es u n a fu n c ió n racional de va ria b le t.

dx

xl/2(1 + xl/4) •

E j e m p lo 6 9 . C alcule J = f S o lu c ió n

E n este caso, lo s exponentes fra ccio n a rio s de x so n 1 / 2 y 1 /4 . E n to n ce s m .c. m . { 2 , 4 } = 4 H a cie n d o el c a m b io de variab le

f

^j ~

4 t3 dt t2( 1

+

t)

r

x — ? 4 =* d x = 4 13 d t resulta

4t

~ J 1 + t dt ~

f (

j

4

\ ~ t

\

+1/

= 4 t - 4 ln |t + 1 | + C = 4 x 1/4 - 4 l n |x 1/4 + l | + C

INTEGRAL INDEFINIDA

K jcin p lo 70. Halle I = f

dx

J V X - 1 + \jx - 1 ' S o lu c ió n I .ds cxp on cn te s fra ccio n a rio s de x - 1

son 1/2 y 1 / 3 .

Si se hace x ~ 1 = t 6 ( 6 = m. c. m. {2 , 3 } ) => d x = 6 t s dt. I liego,

f 6t5 dt

r

t3

r ,

i

J t 3 + t 2 ~ 6 ] T T i dt = 6 l ( t 2 ~ t + 1 - ^

.

) dt

= 2 t 3 - 3 t 2 + 6 t - 61n|t + 1| + C - 2\¡x - 1 - 3 V x - 1 + ó V x - 1 - 6 1 n | V x — 1 + l l + C

E je m p lo 7 1. Calcule / =

í J

í— —

y] 1

1 —

+ x2 x

S o lu c ió n Se escribe i

/=

í

J

~

r

I** ~ 1 ^ - 1f jl + x 2 x 2

J

;x2 “ 1

1 ■—

2 * dx

J i + x 2'~P~

I luciendo el cam bio de variable z = x 2, se obtiene

/ = - [ 2

J

,2 ~ 1 d z

1+ z z

I n ''s t a ú ltim a integral, el crite rio e stu d ia d o n o s s u g ie re re e m p la z a r —

= ^

I »nam os al lector se g u ir este cam ino. R e s o lv e m o s la integral u san d o el sigu iente

l = ± r _ j £ Z l ) d z _ _ l r (z-l)dz 2 J zv 1 + zVz — 1

ir

dz

2 j zVJ T T J 2 ) 4 ^ 1

1 , --------- , i - l n | z + V z 2 - 1¡ - ~ a r c s e c | z | + C

ir 2

J

dz ¡V P ^ T



J -Jtan2x

+ 2 dx.

S o lu c ió n E s c rib im o s la integral co m o

l

r ta n 2* ++ 2

se c 2x + 1 [r sec2x

J V t a n 2* + 2

J V t a n 2x + 2

_ f

ssec e c 2xx dx “x

+ [f

dx

J V t a n 2x + 2

iJ V t a n 2x + 2

'i

'2

A p lic a n d o las fó rm u la s de integración correspondiente a cada integral, te ne m os

+ C1

/* = ln jta n x +

[

/, =

eos x d x f e os x d x (senx\ , = ■— -- a r e s e n I — — + C2 J V s e n 2x + 2 e o s 2* J V 2 — s e n 2* ' v2 /

P o r consiguiente, i --------------- 1 I = ln |tan x + V t a n 2* + 2 1 + a re se n ^

/sen x \ j + C

dx 1 .6 .2 IN T E G R A L E S D E L A F O R M A

, n e

(x - a ) n4 p x 2 + qx + r P ara ca lcu la r esta integral, se debe usar la siguiente s u s t it u c ió n r e c íp ro c a 1

x - a = j=>dx = -

dt jj

dx E j e m p lo 7 3 . C alcule / =

I —

J x 2y/ 4 x 2 + X + 4 S o lu c ió n 1 1 H a c ie n d o la s u s t it u c ió n x = - = > d x = — - r d t , t tz

s e o b tie n e

dt t2

t dt f — = U L = = - Í J 11 ¡ 4A , 1 , , J V 4 t2 + t + 4 + 7 + 4 t 2 \| t2

-~í 8J

(8 t + l) d t

dt

- s

dt

if

V 4 t 2 + 1 + 4 ' 8.1 8j

= - - V 4 í 2 + t + 4 + — í= ln | 2 t + 7 + V 4 t2 + t + 4 + C 4V 2V63 I 4_ '

1 V4 + 4 x 2 + x

1

8 + x

2V63

4x

----------------------- + — = = ln

4

x

70

V4x2 + x + 4 + -------------------- + C

INTEGRAL INDEFINIDA

dx

Ejemplo 74. Calcule / = [ _____ i J ((xx — )yfx + 3 x - 9 - 2 2)y/x2 S o lu c ió n 1 1 C o m o x — 2 = — => d x = —— dt , e n to n c e s

dt t2

dt

- / í| TJ (3i + 2^ + 3(l + 2 ) - 9 = = - ln t + - + V t 2 + 7 t + 1 + C 45 I 2

-ln

7 x - 12

V x2 + 3x - 9

2 (x - 2)

x - 2

.. + 3 )d x — J x 2yj 3x2 + 2x

E j e m p lo 7 5. Calcule J = f

+1

S o lu c ió n 1 1 Si se h a c e x = - = > d x = - ^ - d t . L u e go ,

dt

=_

f

J

( í +3) tf2

f

1 / 3 + 2+ 1- J

(1 + 3 t ) d t V t2 + 2 í + 3

t 2y J F + t + 1 3 f

2t + 2

2 J Vt2 + 2 t +

d t “h 2

3

dt

J/:V(t + l ) 2 + 2

= — 3-y/t2 + 2 t + 3 + 2 ln |t + 1 + V i 2 + 2 t + 3¡ + C

3V 3x2 + 2x + 1 + 2 In

x + 1 + V 3 x 2 + 2x + ll + C

1 'i a lg u n o s casos, la su stitu ció n recíproca puede facilitar integración, c o m o v e re m o s en lo s d o s ejem plos siguientes.

71

el

proceso

de


r -yx Vx —■ - ;X E j e m p lo 76. Calcule / = J — — — dx. S o lu c ió n 1 1 S i se h a c e x = - = > d x = — ^ d t . Lue go , t t2 * 11 _ J _

= - J

- - ^ = - J V t 2 - 1 t d t ,(u = t 2 - l , d u


J ■

= 2t d t )

dx

(x + l ) 4 x 2 ‘

S o lu c ió n 1 1 Si se hace x + 1 = 7 = > d x = - - ^ d t . Luego, t * ~~ t

dt

t4 H = - f y + t 2 + 3 í + 4 l n ( l - 1) +

+ c

1 1 3 1 x 1 x + li „ -------- — H-------------- H-----------f- 4 ln -------r H--------- 1 + C .3(x + l ) 3 (x + 1 ) 2 x + l ljc + l l x i

1 .6 .3 IN T E G R A L E S D E L A F O R M A

J R [ x - . J a x 2 + bx +

c) dx

E n este caso, R es u n a fu n c ió n ra cio n al en las va ria b le s x y V a x 2 + bx + c. U n a integral de esta fo rm a se ca lcu la u sa n d o las ‘‘s u st itu c io n e s de E u l e r ” . E sta s su stitu cio n es perm iten tran sform ar el integrando en una fu n c ió n ra cio n al de variable t. S e presentan 3 casos: C A S O I. S i c > 0 , el ca m b io de variab le es V a x 2 + b x + c = t x + Ve. E le v a n d o al cuadrado, resulta

a x 2 + b x + c = t 2x 2 + 2 V e t x + c <=> ( a - t 2) x 2 + ( b — 2 V c t ) x = 0 «=* x [ ( a - t 2) x + ¿ - 2 V c t] = 0

72

INTEGRAL INDEFINIDA

E n esta ú ltim a ecuación, e lim in a n d o la so lu c ió n x = 0, se obtiene x =

es tam bién una

J R ( x , ] y ] a x 2 + bx + c ) d x = J R(
t.

dx

E j e m p lo 78. Calcule ] = \ ■ J .x V 2 x 2 + x + 1 ' S o lu c ió n H a cie n d o y = V 2 x 2 + x + 1 = t x + 1 y e le vand o al cuadrado, se obtiene 2 x 2 + x = t 2x 2 + 2 t x E lim in a n d o la so lu c ió n x = 0, se obtiene

2t ■

2 ( t 2 — t + 2)

dx

2 —t 2 '

y= "

dt,

(2 — t 2) 2

t ( 2 t - 1) 2 —t 2

+ 1 = 1 ‘

t + 2 2 —t 2

Lue go , re e m p lazan d o estos va lo re s en la integral y sim p lifica n d o , n os queda

2dt . . J 21 - 1

J' = f

C A S O II.

2V2x2 + x + 1 - 2

= ln | 2 t — 1| + C = ln

+ C

S i a > 0 , se hace la su stitu ció n V a x 2 + b x -f c = V a x + t.

E le v a n d o al cuadrado y sim p lifica n d o , se obtiene

b x + c = 2 V a í x + t 2 . D e esta

dx e cu a cio n .se ob tie n e q ue x

y

s o n fu n c io n e s ra c io n a le s de t y p o r tanto, el

~

n u e vo integrando es tam bién una fu n c ió n racional de variab le t.


j

dx xVx2 + x + 1

S o lu c ió n Se a y = v x 2 + x + l = x + t. E le v a n d o al cuadrado, se obtiene x 2 + x + 1 = x 2 + 2 t x + t 2. Lu e «o , 1 1 - 21

-tc + t • , dx - 2

(1 - 2 t ) 2

- r

dx, y =

+ 1- i i - 21

Finalm ente, reem plaitando estos va lore s en I y sim p lifica n d o , se tiene

dt

'J

= ln

t — li

t+ 1

+ C = ln

73

Vx2 + x + 1 - x -

Vx2

+ x +

1

1

~ X + 1


C A S O III.

E l trin o m io

a x 2 + bx + c tiene dos raíces reales r

s. E n este

y

caso, la sustitució n es y - V a x 2 + b x + c = t { x - r). E le v a n d o al cuadrado, se obtiene

a x 2 + b x + c = a ( x - r ) ( x — s ) = t 2(x - r ) 2 C a n c e la n d o el factor x — r, resulta a ( x — s ) -

dx

De esta iguald ad , se sig u e que x , —

dt

t 2{x - r).

e y s o n fu n cio n e s ra c io n a le s de t y, p o r

ende, el n u e vo integrando es tam bién una fu n c ió n racional de va ria b le t.

E j e m p lo 8 0 . C alcule /

,

=/;

dx

____________ W x 2 - 3x + 2

S o lu c ió n C o m o x 2 - 3 x + 2 = (x - 2 ) ( x - 1 ) , reem plazam os y = y/ x2 - 3x + 2 = y/{x - 2) ( x - 1) = t ( x - 1) E le v a n d o al cu a d ra do y sim p lific a n d o el factor x — 1, q ueda x - ¿ — t 2( x - 1). L u e go , se obtiene 2 — t2

2t d t dx=ó ^ w

t A

Finalm ente, , dt Í = - 2 I —

V2 = - T ln

t-V 2

4 x - 2 4- y¡2(x - 1) V2 + C = T ln + C

t + y¡2

47=2-J2(

1 .6 .4 IN T E G R A L E S D E L A F O R M A :

x

-1)

J x m ( a + b x n) p d x

A una e xp re sió n de la fo rm a x m ( a + b x n) p d x , don d e m, n y p so n n ú m e ros racionales, se lla m a b in o m io diferencial. P afn u ty L v o v ic h

C h e v y s h e v (1 8 2 1 -

1894), el m atem ático ru so m ás em inente del sig lo X I X , dem ostró que la integral de

los

b in o m io s

d iferenciales

co n

exponentes

ra cio n ales

puede

expresarse

m ediante fu n c io n e s elem entales solam ente en los ca sos sig u ie n te s (siem pre que

a ^ 0 y b

0):

C A S O I:

p es u n n ú m e ro entero

C A S O II:

m + 1 ---------es u n n u m e ro entero n

m + 1 C A S O I II : — :-----h p es u n n ú m e ro entero ’ n Si n in g u n o de lo s n ú m e r o s p ,

m + 1 m + 1 ---------, — ------- h p es entero, la in te gral n o p u e d e

ser expresada m ediante fu n cio n e s elementales.

74

INTEGRAL INDEFINIDA

C A S O I.

x = z r , donde

S i p es un n ú m e ro entero, se hace la su stitució n

r = m. c. m. de los d en o m in a do re s de las fra ccion e s m y n . C A S O II.

Si

m + 1 — - — es u n n ú m e ro entero, h a c e m o s la su stitu c ió n a + b x 11 — z s,

d ond e s es el d e n o m in a d o r de la fra cción p (c o m o p es un nú m e ro r racional, P = ~> con r y s n ú m e ro s e n te ro s c o p r im o s )

m + 1 C A S O III. S i ---------- 1- p es u n n ú m e ro entero, se utiliza la s u stitu c ió n n

a + b x n — z sx n ó a x ~ n + b = z s don d e s es el d e n o m in a d o r de la fracción p.

E j e m p lo 8 1 . Calcule / = J x 2 ^ 1 + x ^

¿Lx.

S o lu c ió n E n este caso, m = 1/2, n = 1/3, p - - 2 e l (ca so I) y m. c. m. {2,3} = 6. L a su stitu ció n es x = z 6, d x = 6 z 5dz,

x 1/2 = z 3 y

x 1/3 = z 2.

A s í, tenem os f,

=J

fr z s. 3. 6 z b5 d z

~x 1/z i/¿

I = I „

r.

ZZ6J

7TT - 6 I ( 1 + z 2 ) 2 d z ( l +. X 1/3)2dX == = JI T(T1—- f z 2) 2 I

Efectuand d o la d iv is ió n en el integrando, se obtiene

fr 4 z 2 + 3 f - - + ^ 2 )2 dz r ) d z - 6 ( j - - +3z) - 6 I-l

f, ,/ , 4z2 + 3 \ , (/ zz 5s 2 z 3 \ / = 6 | |z + 2 z 2 + 3 — , _ ,N, ) d z = 6 ( - - — + 3 z )-6

= 6 J ( z4 + 2z2 + 3 - a ^

”7 ” Para ca lcu la r la integral J, u sa m o s la sustitución trigono m é trica z = ta n 6.

f 4z2 + 3

f (4 ta n 20 + 3 ) s e c 28dB

= /(3 + s 7

e

[

= J - - - - - - - - = J (4sen " + 3

1 ' J IT T ^ P

n

= / (3 + l ^ H

se n 0 eos 0

) M =18 - ^ 7z

= 2 « ---------- 5------- + C > = 2 arCta" Z “ 2 ( T T P j + C ' P or lo tanto, 6 / = - z 5 - 4z 5

3z + 1 8 z - 2 1 a rc ta n z + -------- r + C 1 + z2

= % x s' b - 4 V x + 1 8 V x - 2 1 a rc ta n \ [ í + + C 5 1 + Vx

75

+ C,

’


E j e m p lo 8 2

J x1/3(2

C alcule } =

+ ^ 2/3) 1/4 dx.

S o lu c ió n 1 2 1 E n este caso, se tiene m = - , n = - , p = 3 3 4 A h o ra , la s

titución es

m + 1 ---------= 2 E 2 ( c a s o i I ) , n

y

'

2 + x 2/3 = z 4 , \¡ X~X,Z d x = 4 z 3d z

ó

d x = 6 x 1/3z 3d z

Lu e go , J

y

=

6

x 1/3( z 4 ) 1/,46 x 1/3z 3

( t

--

%

r

)

+

c

dz = 6

3 (V2

=

I

+

"

J x 2/3z 4 d z = 6 j ( z 4 '

2 / 3 ) 9/4

-

^

5(

2

+

"

2 ) z 4d z

2 / 3 ) s/4

+

c

dx

E j e m p lo 8 3. C alcule / = J ^

t 6( 6 5 - x 6y / 6 '

S o lu c ió n / = J x - 6 (6 5 — x 6) ~1/6 dx.

E s c r ib im o s la in te gral c o m o

1

P u esto q ue

m = —6, n = 6, p = - -

6

y

m + 1 ------ — + p = — 1 a TL (c a so III),■

n

h ace m os la su stitu ció n 6 5 - x 6 = z 6x 6

ó

z 6 = 6 5 x -6 - 1, d x = - — x 7z 5 d z 65

P o r tanto, tenem os

I = J x ~ 6 ( z 6x 6)~ 6

— x 7z 5 d z j = - —

J z 4 dz

1

=

_ ( 6 5 - x 6) 5/6 z5+ C = - - - — 7 — + C 325 325x5

E j e m p lo 8 4. C alcule 1 = J V x V * 3 + 1 d i s o lu c ió n La integral tiene la fo rm a 1 = J x 1/2( l + x 3) 1/í2 d x . Luego, 1 m = -,

1 n = 3, p = —

y

A hora, hacem os 1 + x 3 = z 2x 3

m + 1 — --------------------1- p = 1 £

ó x ~ 3 + 1 = z z, d x = - 2 / 3 x 4z d z.

76

TL

INTEGRAL INDEFINIDA

En ton ce s

/ = J x 1/2( z 2x 3')1/ 2 ^ - - x 4z dz'j = - -

| x 6z 2 d z —

2 r _ 3

J (z2

1 - 1)2

z

Para ca lcu la r la últim a integral, usam os la sustitución z = s e c B. A s í, se tiene / = -

2 f se c 20 see 0 tan 0 dff ta n 40

I /

2 f se c 30

2 f

3

3

J

ta n 3fl

j

c s c 30 dd

1 4- c o t20 ( - c s c 20 ) d 0

= - [ c o t 0 c s c 0 4- ln | co te 4- cscfl|] 4- C 14- z •+ ln

+ c V P -

x V x 4 4 -x 1 i ,--------- ¡ ------------- + - ln x 3/2 + j l + x 3 4- C J 6 1 l

J

E j e m p lo 85. Calcule / =

V i + e 4x

-dx.

S o lu c ió n

dt

H a cie n d o t = e x, dx — —

t

resulta

r V T T e 4* r v i + tV4i + 14 r

' = J — ^

- d r= } - p

C om o m = — 2 , n = 4 , 1 + t4 = z 4t4 ó

- d“

l

r 2( l + 14) 1/4 dt

1 m 4 -1 p = — , ----------1- p = 0 E TL ento nce s

4

n

t ~ 4 4- 1 = z 4 y d t

- t 5z 3 d z

Lu e ao, se tiene

/= -

jt

2( z 4t 4) 1/4t bz 3 d z = -

- '- 1 /

z4 - 1 1 -z --ln

J t 4z 4 d z = - J 1

—- d z

z2 + 1

z — 1

z 4 -1

4- - a r c t a n z 4- C

Finalm ente, retornando a ia variab le inicial x, se tiene V i 4- e 4x 1 / = ------------------------ln e* 2

V i 4- e 4x - e >

V i 4- e 4x 4- e*

77

1 / V i 4- e 4ArN 4- - a rc ta n I ------ —----- | 4-

2 c¿z


E jem p lo 8 6 . Calcule J

,

6 dx

_______________ s e n x v e o s 3* + s e n 3x

Solución D iv id ie n d o n um e rad or y d e n o m in a d o r entre c o s 2x, se obtiene

¡_ f

J

6 dx

r

V co s^ F T se ñ ^ x

se n x

J

6 s e c 2x d x ta n x

Vi

4- ta n 3x

H a cie n d o t = ta n x, tenem os f / =

J

6 d ti - j = = = =

Vi

t

4- t 3

r ó r H i + t 3) ' ^ d t J 1

P u esto q u e m = - 1 ,

n = 3,

m + 1

P =Y — - — = 0 e Z , hacem os

+ t 3 = z 3, d t = t _2z 2 d z

1 Lu e go ,

J - f 6 t ~ 1( z 3) ~ 1/3t ~ 2z 2 d z = j 6 t ~ 3z d z = f 6 2 d Z Para calcular la últim a integral, fracciones sim p le s, esto es, i4

J

■/

z

u sam os

el

m étodo

de

d e sc o m p o sic ió n

en

B ( 2 z 4- 1) 4- C 1

z 2 4- z 4- 1

dz

M e d ian te operaciones, se obtiene que los va lore s de A, B y C son:

A = 2,

B = - 1 y C = 4. P o r lo tanto,

f

1

2 f 2 zz ++ l1 f dz ------ T d z ~ ~ 2~.----- — d z 4- 4 ---------J z - 1 J z2 z 4- 1 ) , i

(Z 4' Í ) + l = 2 ln|z — 1| — ln | z 2 4- z 4- 1| + V3

a rc ta n ( — —— ) + C V V3 >

= 2 ln | ( l 4 - 13) 1' 3 - l| - ln | ( l + 13) 2/3 4- (1 4 - 13) 1/3 + 1| 48 /2 V i 4- £3 4- 1 \ 4- —=. arctan I ---------- —-------- ) 4- C , d o n d e t = tan x V3 \ V3

78

INTEGRAL INDEFINIDA

E J E R C IC IO S C a lc u le las sig u iente s integrales:

f 1.

¿x

I — —

57=

R. 2 V x — 3 x 1/l3 + 6 x 1/6 — 6 l n l l + x 1/6 ! + C

Vx + Vx

J

1

r -J~x Hy

1

1n

2 ‘ J y + x 4/5

2x1/2 ~ Y x V 1 ° + 10x1/10 - 1 0 a rc ta n (x 1/10) + C

f 5 x 2 + 2 0x - 24 -------- ;-------- -----Vx + 5

3. J 4.

fl. 2 (x + 5 ) s/2 - 2 0 (x + S ) 3/2 + 2 (x + 5 ) v " + C

[ ............... ....... ... ................. J ( 2 x + 5 ) V 2 x - 3 + 8 x - 12

R. - a rc ta n ( 1 + - V 2 x — 3 ^ + C 2

V

2

/

5.

f 8x + 2 l V 2 x - 5 -----------; ....... dx J 4 + V2x - 5

6.

------ — 777— ;----------------------------------------------------------------------------------- t t f t t J ( x + I ) 3/4 - ( x + I ) 5/4 7 J

r

(2 — x — 5 ) ( 8 V 2 x — 5 + 1 5 ) R. ------------------------------------------ - + C 6

dx

I

f ( x — 2 ) 2/3 d x

_____

Z ] (X-2)V> + 3 f

x 1/7 + x 1/2 x 8/7 1S/14 d x

8.

/Vx - 2\

*.

+ C

/?. 7 X 1/7 - 1 4 X 1/14 + 2 8 In C x 1/14 + 1 ) + C

f Vx + i

9. I - = ---- ■dx 1 J V F + i 4 4 R. — x 5/4 — - x 3/4 + 2 x 1/2 + 4 x 1/4 - 2 l n ( l + V x } - 4 a rc t a n - + C

f 9 V T =rx —

,---------R. a r c s e n x + V 1 - x 2 + C

........d r

J VTTx

11

í-

x - 9

f

2

j

x + 9

dx

3 ¡2 - x

3/2 +

12 .

J

13.

j sjsen 2x + sen x d x

14.

J V c o s 2x + c o s x d x

(2 -x )2

, 4 /3x - 1 2\ - ln|x + 9| - ^ a r c t a n I - -------— ) + C 3 V2x + 18/

R. '

x \ z/3

^ 4 ( 2^ )

dX /?. - Vsen x -

sen2x - arcsenV l - sen x

+C +C

Ä. V c o s x - c o s 2x + a r c s e n V l -e o s x + C

79


dx

I (eos x - sen x)Vcos

R.

2x

1 - x dx

í

Vi - x 2

1 - V i - x2

R. - l n

1 + x x2

¡1 -i- ta n x -------------- + C J 1 - ta n x

■+C

f

17-

2 —s e n x --------------e o s x d x J J 3 4- s e n x -------------- ,------------¡3 4 - se n x R. V 3 4- se n x V 2 - se n x 4- 5 are se n --------------- y-C f

dx

18.

J x 2V x z — 2 x 4- 4 R.

.

Vx2 -

2x

+ 4 —2

3x

3 2(x

- 4 + 2 V z 2 —2 x + 4)

dx

2

19 / xVx2

f

20

+ ln

- 4 + 2Vx2 -

2x

+4

+ C

/ V x2 + 2x - 3 - x >

R. — arctan

4- 2 x - 3

x

--------------—-----------

V

V3

+ C

v3

¡x - 2

dx

R. 2. I -------- 4 - C ■vi x

J ( x - 1 ) V x 2 - 3 x 4- 2

1

f 4 2 - x y - x‘

21' J

■dx

—

4 2 —x —;.2 4 2 R . --------------------- 4- — ln x

dx

•/ 23.

•42- x - .

V2| /2x + 1\ — — are se n ( j 4 -C

4

1

i - v n 4" X X I -----— x V l -t- X 4- X ¿

/

V3

r ir

X 4- 2 -

(1 4-

x)Vl

,

x 4- x 2

2¡

2 V l 4- X -r X 2 ! Xa

X 44-

\x

R. ln

dx

24 /

/ V3

R . ---- —aresen ------- 1 4- C

(x - 2 ) 4 x 2 — 4 x + 1

R. ln

Vi

-| -t- c

4- X 4- X 2

x 4 *2 4 -V l4 *x 4 -x ¿

INTEGRAL INDEFINIDA

26.

(1 - V i + x + x 2) 2 dx

/

x 2V l + x + x 2 — 2 ( v x 2 4- x + 1 — 1 )

R- ---------------------------------f- In

' 4- V l 4- x + x 2 -

1

x —V l 4 - x + x 2 + 1 '

x

4- C

4- x 4- 1

27.

dx x V x 2 - x 4- 1

2x - 1 r - -----------19 I ,------------ — , R' — ^ ¡ ~ v * - x 4- 1 + — in | 2 x - 1 + 2 V x 2 - X ‘+ lj + C x + 2 28.

-.dx (x - l ) v x ‘ + 1

R. In (x + yj x2 + ir} -----— In v2

dx

29.

1

Vx2 + 1 ■+

X - 1

+ C s[2

tan x — v s e c 2x + tan x

R, In

+ c tan x + 2 + V s e c 2x + ta n x

dx

30.

1 /e* - 2\ ft. - a r c s e n ------ — +C 2 V e*V 2 /

V ? Zx + 4 e ;c — 4

dx

31.

(x

- l ) 3V 5 x 2 - 8 x + 4 V 5 x 2 — Sx + 4 ( 4 - 3 x )

R.

32.

f

2 (x -

l)2

-t- C

x - 1

dx

J ( x 2 - 1)VX2 D vx2 + X - 6 1

/ II - 3x\

R. - - a rc s e n — --------4

33.

V 5 x2 — 8x + 4 + . + In

f 3_VX

J

(Vx + l ) 2

dx

\ 4x - 4 /

i

¡ X -r 1'3\ a rc s e n ( --------- + C k' d x + b/ 2v6

3 ° R. - x 2/3 - 6 x :/3 + — ... . + 9

2

+1

+ if + C

f (V x + I f 2

34.

R. - ( x 1' 3 + I ) 5' 2 - 2 ( x 1/3 + I ) 3' 2 + C V x

J

35.

36.

r

J

dx (1 + x 2) 3/ 2

f

J

R.

4- C V X2 +

1

dx

Vx2(l

+ V x 2)

R. 3 a rc ta n x + C


38.

dx

/

X 2( l +

Vi + x 2 + C

X 2) 3/2

V i + x2

39.

J J ( 1 + V x ) 3 dx

An 40.

,V 2 - V í | ----- — ---- d x

41.

| x 5 V ( H - ; t 3) 2 d x

( 7 V x — 4 ) (1 + V x ) 7/4 + C

K. —

n 2 ( 4 + 3 V x ) ( 2 - V x ) 3/2 fí. ----------------- ------' — + c b 5x3 - 3 (1 + x 3) 5/3 + C

40 V i + X 1/3 -d x x 2 /3

42.

43.

/?. 2 ( 1 + V x ) 3/2 + C (2 + x 2/3) 5/4 - ( l 0 x 2/3 - 1 6 ) + C 15

J V x ( 2 + V x ^ ) 1/4 d x dx

4 4 ./ ;

45.

+ C

2x*

dx

V i + x4

i?, - l n

/ VTTx*

+ - arctan |

4

1 + x4 + C

V i + X4 + .

. x 3 + 2x2 46. I —------- — dx *■/ (1 + x 3) 3/2

R.

-V I +X 3 ----- — 3

3V1 + x 3

dx

47 j

(1 + x 3) 2/3

R.

x 3( l + X 3) 1/3

1

Z 2 5 - ■ x 3Xí 4/E

R . --------- --------------100 \ xa )

x 5( 2 5 — x 5) 1/5

- C

48. J e 7* ( l - e 3* ) 5/4 d x 4

R. - -

1 (1 — g 3 * )l/4 _ A . (1 -

e 3 * ) 1 3 / 4 + _ L ( i _ e 3 X y 7 /4

3

c o s x s e n 7x d x

49

' ■ / ( s e n 2x + c o s 2x + s e n 4x ) 3/2 «.

i f v 'l

se rrx V I -r s<;pn4 e n 4xr /

50.

27 3r V 8 x 3 + 27

« • ^ í 8* 3 + 2 7 ) S/9- ^

dx

51- h

( x ~ 3 -t- I ) 4/3

( 8 x 3 + 27)

2/9

128

1 /I + x *■

82

- 52 \ h x r:

, 3 x 2/ 3

( l + x 3) 1^

+ c

INTEGRAL INDEFINIDA

1.8

IN T E G R A C IÓ N D E F U N C IO N E S R A C IO N A L E S T R IG O N O M É T R IC A S

En general, las fu n c io n e s que contienen c o m b in a c io n e s de fu n c io n e s trigono m é tricas n o so n integrables p or m ed io de p roced im ie n to s elementales. V e re m o s a lg u n o s c a so s en los cuales si es p o sib le la integración.

1 .8 .1 IN T E G R A L E S D E L A F O R M A :

J R(cosx;senx)dx

E n este caso, R es u na fu n c ió n racional que contiene se no s y co se n o s. P ara transform arla en u na fu n c ió n racional de va ria b le z, se u tiliza la sustitución

universal z ' = ta n

x 2 <^ > x ~ 2 a r c t a n z

E n consecuencia, 2 dz d x = ------- - , 1+ z 2

1 — z2 2z eos x = —---- - y se n x — -------- -

1+z2 *

1 + z2

D e esta m anera, el integrando, que es una fu n c ió n racional que contiene se n o s y cosenos, se tra n sform a en un a fu n c ió n racional de variab le z.

E j e m p lo 8 7. C alcule I =

f

dx

----------- -------------J c o s x + 2 se n x + 3

Solución x Si h a c e m o s z = tan - , e n to n ce s 2 dz

,_

f

TTz2

_ f

J 1 - z 2 ,4z , „ l + z 2+ l + z 2+ó

dz

_ f

J z 2 + 2z + 2

dz

J (z + l ) 2 + l

= a r c t a n ( l + z ) + C = arctan ^1 + t a n - ^ + C

Observación 9. La “sustitución universal’’ ofrece la posibilidad de integrar cualquier función racional de sen x y eos x . Sin embargo, en la práctica, conduce a menudo a funciones racionales demasiado complicadas. Por esta razón, en algunos casos, es preferible usar la sustitución auxiliar t — ta n x

(*)

Con esta sustitución se tiene dt d x — ------r, s e n x 1 + t2’

=

t . e os

VI + t 2' 83

1

x = * VI + t 2

TOPICOS DE CALCULO - VOLUM EN Ii

Esta sustitución ( * ) debe ser usada cuando la función racional trigonométrica tiene ia f or ma i)

J R( s e nkx

ii)

J R(tanx)dx

k y n son n úme r o s e n t e r o s pares.

; e o s nx ) d x , donde

E j e m p lo 8 8 . Calcule )

dx , J : 3 + c o s 2x

S o lu c ió n C o n sid e ra n d o la o b se rva ció n anterior, u sa m o s la su stitu ció n a u x ilia r D e esta m anera, se obtiene

=

f

T + F ----------- i—

J 3 ¡

1

=

f

dt

t = ta n x.

1 t / V 3t\ , „ = — = arctan — — + C 2V3 \ 2

— ;-----

J 3t2 + 4

ó + l + t2 1 /V3 ta n x \ — a rcta n ---------- 4- C 2V3 \ 2 /

E n este ejemplo, si u tiliza m o s la su stitu c ió n u n iv e rsa l

2 j

J

x z = t a n - , o b te n e m o s

dz

1 + z2

2(1 4- z 2) d z

- , A - z 2V \1 + z 2/

J 4 ( z H z 2 + l)

y es evidente que esta últim a integral ofrece m a yo re s dificultades.

E j e m p lo 8 9. C alcule I =

f tan x -----------— dx. J 2 4- ta n 2*

S o lu c ió n

t =

E m p le a n d o la su stitu ció n a u x ilia r

ta n

x,

se obtiene

t_ f íc^í f í t t \ j, 1 ~ J (2 + t 2) ( i + t 2: = J u T F ~ 2 T ^ J ■= j l n ( t 2 4 - l ) - ^ l n ( 2 + t 2) 4 - C

1, ~ 2

/ t 2 + 1\

1

U 2 + 2j + C ~ 2

/ t a n 2x + l\ ( t a n 2* 4- 2 j + ^

84

INTEGRAL INDEFINIDA

E j e m p lo 9 0 . C alcule / =

2 4 4- 3 e o s x f I ------dx. J eos X 4- 4 e o s2*

S o lu c ió n D e sc o m p o n ie n d o la integral, se tiene 2 4 -3 eos x

■/

dx

c o s x ( l 4- 4 c o s x )

~ J 2 se c x

dx -

j

= 2 ln j s e c x 4- ta n

[(—

= J Vccoo s x

l4 -4 e o s x /

Idx

5 dx

y

+ 4 e os*

x\- J -

5 dx 4- 4 e os x

J

x

Para ca lc u la r la in te gral J, u s a m o s la su stitu c ió n u n iv e rsa l z = t a n - . Luego,

(V 3 z ) 2

10

1

V3

2V5

ln

V 3 z4 -V 5 4- C V 3 z-V 5

1 4- z V 3 t a n ^ 4- V 5 =

+ C

Jl

V3 ta n ^ — V5

P o r lo tanto, V 3 ta n ^ 4- V 5

1 = 2 ln | s e c x 4- ta n x\ -

+ C

- ln V 3 ta n j - V 5

dx

E j e m p lo 9 1. C alcule / =

I -------J 3 —x 4 - 2 V 1 - X 2 '

S o lu c ió n U s a m o s la sustitución trigon o m é trica x = s e n 0. E n to n ce s eos 8 dd

I

se n 0 4 -2 eos 8

zlhora, u s a m o s la s u stitu c ió n u n iv e rsa l z = tan — . Luego,

¿

1 — z2 f

2 dz

1 4 z z

J,

3

2z 1 -i- z

1 4- z 2

. 2 ( 1 - z 2) ~ J

2

1 4- z

— 2 z 2)dz f (2 ________ v (z2 - 2 z 4- 5 ) ( z 2 4 - 1 ) _

2

85


D escom poniendo la últim a integral en fracciones sim ples, se obtiene f [1 /2z + 4 \ 1 ~ ] [ s U 2 + lJ

- 1 í

f 2z

1 í { 2 z - 2) + 12

dz

5 \ z 2 — 2z + 5

4

2

12

2z + 5

(z — l ) 2 + 4J

___ 2—z —

5 J iz 2 + 1 + z 2 + 1

z2 -

dz

= ^ Jln(z2 + 1) + 4 arctan z - ln (z2 - 2z + 5) - 6 arctan ( ^ y ~ ) ] + c (

ir

z2 + i

+ 4 arctan z - 6 arctan^

+ C

“ 5 r i z 2-2 z + 5

tan 2 ó + 1

ln

/ tan 2 - 1

+ C

+ 2x - 6 arctan ^

E J E R C IC IO S C a lc u le las sig u ie n te s integrales:

dx 1.

/

4 + 3 eos*

fí. — ln

í 2 + sen x + 3 eos*

4* C

6

2 tan j

2

dx

dx

sen x dx / I + sen x

6.

sen2* dx J 1 + eos2*

7.

S

R.

x\

„ C

X

+ * +

c

1 + ta n 2

/tan *^ /ta n *\ Æ. v 2 a rc ta n ^ j - * + C

f

dx

/

■t

-arctan ^2 tan-J +

R.

/ 5 - 3 eos *

5.

+1

R. — a rc t a n --------— ------1 + C V3 \ V3

/ 2 + sen *

4.

+ C

ta n ^ - 1 + Vó

V6,

dx 2.

tan : - a rc t a n — — 7 l V7

R.

7T

Ir

1

». - g [ « ( 4 * ) + ^

sen 24 * + tan24*

86

arctan

/ta n 4 x M

„ + C

INTEGRAL 1NDEFINIDA f

dx

Ö'

J 3 + s e n 2x - c o s 2x R ' T arCtan(V2 ta,,JC) + ';

9■

J s e n 4x + c o s 4x ^X

f

se n 2x

R ' a r c t a n ( ™ s 2 * ) 4- C

f 3 se n x 4 -2 co sx 1 0 - h c p n v , i ™ C v dj: 2 sen x 4 -3 c o s x

11

_

^¡ 2

12 fl. t ^ '1 3

x

5 - — ln | 2 s e n x + 3 c o s x | + C 13

T 1 + ta n x

• J T -tan x^ * ,

— l n l c o s x — s e n x| -f- C

1

dx

12'

I ¡ e n 2x - 5 s e n x c o s x

13-

r cos x ----- i-------7----------- fl. - l n J s e n 2x - 6 s e n x + 5

1 /I

f dx q------ 2— T c --------- 3 J 3 s e n 2x + 5 c o s 2x f

1C

16.

fl. 7D ln | l - 5 c o tx | + C

f

dx

i

sen x - 5

4

s e n x -i- 1

~r C

1 / V 3 ta n x \ fl- - ^ r a r c t a n ------- —— j -i- C ^15 \ ^5 j

1

|2tan x + fl. - = l n ' v i3

~ n— ; ~--------------------------- z s e n 2x 4 - 3 s e n x c o s x - c o s 2x

3 -v l3 2 ta n x 4 - 3 4 - V T 3

dx

J ;c o s 2x -f 5 c o s x 4- 6 1 / n ? \ f l - - — a rc ta n — V2 ^ v2 y

2 / ta n ö \ 4 - — a r c t a n — =r=- 4- C V3 ^ v '3 y

dx ~ ~ 1 — r-x----------------------- ----- 5—

fl. a rc t a n (2 ta n x 4- 1 ) 4- C

c o s zx 4- 2 s e n x c o s x -t- 2 s e n 2x

f s e n 2x - 2 c o s 2x J

8 / v ' 3 ta n x ', fl. 3 x — — a r c t a n ------ — — j • v6 'v v/2 J

5----------;------- d x

3 - c o s 2x

-4- C

C S P n ^ Y 4- r n ^ ^ r

1 9 ‘ j V e n 2x - c o s 2x d * f 20-

1 4- ta n x

" ln|sec 2 x + ta n 2x| - s e n 2 x

C

^------------------d x

1 1 ft. - I n | c s c 2 x — co t 2x| 4- - ta n x 4- C 2 2

s e n x ta n x

1

J 2 sen x c o s x f

*

R~ 3

2L J s e n 3x — c o s 3x

87

" 11 + C


E N T R E T E N IM IE N T O

1.

2.

dx Jí -x J x—+ 1 f

J

J

V x2 - 1

x

x

dx x6 + 1

arctan x V3 ----g----- ^ 12 3.

1

R. a r c s e n — I----------------- f- C

fx'¿ 4- V3x + 1\

1 1 + 1 ) + g arctan(2* + v3) 4- -arctan(2x - VI) + C

(

( a rc s e n x +

, vr^2 / dx

x+2

dx

2x + 3

3 x 2 + l l x 4- 10

v.

4.

X—

^

R. x a r c s e n x 4- C

¡2 x 4- 3 R. 2 a rc t a n j------------ (- C x 4- 2

dx í V V 22xx

- Vx 4- 4 R.

2Vx 4-

4 4-

2V2x 4- 4 V 2

ln

Vx - 2Vx 4- 4 4- 4V2I x - 4

dx

6.

3V i

R. 3 a rc t a n x

J Vx v x Vx (1 4- V x)2

1

4- C

c 4-

Vx

I

7.

J e*(cotx-i-lnsen x)dx

8'

x ) f >1 X ~ ^ 2 dx

9. 10. 11.

12.

J (1 f

f Va —x — ----- —dx J Va - v x

f

R.

ln js e n

x¡ ■+• C

1 • 4- — ln| 1 — x 4 ( 1 — x 4) 4

| 4- C

6 e 4*

J í T ^

/

r. e*

R.

R. a a r c s e n — a

sen x

4- s e n 2 x 4- . . . 4- s e n ( n x )

eos x

4- e o s 2 x 4 -... 4- e o s ( n x )

r

v 4 + ex dx

- 2 e 3x - ? e Zx - 6 e x - 6 \ n \ e x - 1| 4- C

dx

2V a v a - x -

fl. - ■

n 4-

ia -x v x -r C

-ln cos

R. 2 ^ 4 4- e 2* + 2 ln

88

\

-v/4 1- e x - 2¡

-I -1- C V 4 -i-e * 4-2Í

INTEGRAL INDEFINIDA

3 x ~ ■+■

dx

R. in

2 V x ( 4 — 3 x 2) V 3 x 2 4- x — 4 S u g e r e n c ia : h a c e r ta n 0 —

V 3 x 2 + x - 4 4- V x a/3 x

2- 4

'JX V3x2 - 4

x 2 dx 14.

J l 4 - X 3 4- 7 ( 1 + X 3)

!

|2 4- 3 x X -

3

11

dx

fí. V 3 x 2 — 7 x — 6 H------ — In

2 a/3

7 x ------ 1-

7 x 2 ---- x — 2

6

^3

4- C

( x 4- l ) d x

16. (2 x 4- x 2) a/2 x 4- x 2

\/2x 4- x 2

2*

17.

r 18.

1 4- 2 X

dx

1 — 4*

R - iIn 4r in

1

—

2*

x - Vx - 2 ------------

d r

J x2 ~ ^ ( x - i y

R. - l n | ^ x — 2 4 - 1| 4- — ln|(x - 2 ) 2/3 - (x - 2 ) 1/3 + £| 1 (2 W = 2 -l\ ------ ■= arctan --------- = ------- | 4- C 4V7 V V7

(4 4- x 2) 1/2 dx ( 4 + x 2) 1/2

I /?. x - 5 In

4- x

25 ----- = l n

1

20.

dx

j

f

I

J \Vx

a rc ta n

V21

R. e ^ ¡4x 3/4 - 1 2 x 1/2 4- 2 4 x 1/4j + C

r 1 1 21. —=• s e n - d x j xJ x 22.

/7 — V 3 ta n

-dx

- a

1 1 /?. - c o s —

x

x

1 s e n - 4- C

x

R. yj x ( x - a) ■+• a i n j v x 4- v * - a| -1- C


24.

I

xV l - x

dx

I — ■

4T=x fl. - V 4 x 2 - 1 2 x

+

7

8 - l(2x O

.

-

3 )V 4 x 2

-

12x + 8 -

_______________

- - l n 2x — 3 4- V 4 x 2 - 1 2 x + 8 + C O

I

I

dx /?. V 2 ln j s e c ^ + t a n ^ | + C

■ í V i + cosx a rc se n V 2 x 26.

|

rfr

R. V 2 x - ( a r c s e n V 2 x ) ( V l - 2 x ) + C

i': V 1 - 2 x 27.

,'4* + l

I

|—

n

d*

R . x - 2 ln | 2 * + l| + C

m + x --------- d x

/?. y j mx + x 2 + m l n ( V x + 4 m + x ) + C

-> 3 /2

V i — x2 29.

/

a rc se n x d x

x “1

'

s e n 2x d x

30.

31.

íi /

x

r

33‘ J

*

3x3

( a + b \ 1/2

6x2

la- x I-------- d x

f yf a t a n x \

r ~z -------- r

35.

u — x

— x dx

Vx + 1 - V x 2 + 1

2 ^ /?. - ( x + 1 ) 3/2 + - [ x V x 2 4- 1 + l n ( x + V x 2 + 1 )] + C

(x 2 - l)d x xV l + 3x2 + x4

1

(Su&

u = x + -) + ta n h -1

3 + V5 ^

ârcse c ( 2 x 2 + 3 ) \ “ 1

J

x

R. V a 2 - x 2 - 2 a I---------- 1- C ya + x

/?. i c o s h - ^ ^ i l ^

34.

3

+ b c o s 2x

, 2a + x 1 ----------

■/

(1 — x ) a rc se n x 1 ln x D _ _____ ____________________ , f*

V i Va3 — x3

)

+ C

2 /?. x a r c s e n ( |+ C 3 \ a 3/2

dx .

4 —x

/

2 + x

dx

i?. 3 arc co s ( ~ y —) + 3 V x 2 - 2 x + 8 4- C

90

INTEGRAL INDEFINIDA

36.

dx

/ ( * + l ) V T + 3l T l F R. fin

x + V i + 3x + 3 x 2

1 (1 + 3x + 3 x 2) 3/2 •— ln D

y usar binom ios) V i + 3x + 3 x 2 + 1

/ 2 V l + 3x + 3X2 —x \

1

' v f arctan [ ----------- W x ----------- ) + c 37.

J secx

1 + V 2 sen x

see 2 x d x

R. — ln V2

38.

1 ---- ln 2 1 - V 2 sen x

1 4- sen x 1 — sen x

+ C

x z + x 4- 2 + 2 y j x 3 4- x 2 4- x 4- 1 d x 2 1 /?. - ( x + 1 ) 3/2 4- - [x-\/l + x 2 4- ln ( x + y¡ x2 + l ) j + C

39.

dx

/?. V 2 a rc t a n

e* — 1 — ------- h C

(1 4- e * ) V e * - 1 se cx V se c2 x 40.

dx

a re s e n (ta n x )

R. ln | a rc s e n (ta n x)| 4- C

1 — eos x 41.

í I—

J Jcosa

eosx

-d x , 0 < a < x < n

R. - 2 a re s e n | ------2a \ + C co s-

-.dx

R. —

■/

V T

■/

( c o s 2x 4- 4 s e n x - 5 ) e o s x

( 2 e * - 3 ) ( 1 4 - e * ) 2/3 4 - C

m

dx

R. ln | (l - se n x ) 1/2( l 4- se n x ) 1/18(2 - se n x ) ~ 4/9| 4dx

/

e o s x V 2 4- s e n x

1 6 — 3 se n x

+ C

V 3 4- V 2 4- sen x í?. ln | V l + sen x\ H----- — ln 4- C 1 2 a/3 -\¡3 — V 2 4 sen x

ta n x d x

■/

( s e c 999x + l ) 2 R. ln|secx| - — -ln | se c 999x 4 - 1| 4- — — — — ■— 4-C 999 9 9 9 ( s e c 999x 4- 1)

91


r

4 6.

____ ^ ____

J x 4 + a 2x 2 + a 4

1

x 2 + ax + a 2 x 2 - ax + a 2

/ aV3x ,

-i--------- = a rc t a n — -------- | + C \a2 — x2 2 a 3V 3

47. D e te rm in e un p o lin o m io cuadrático P ( x ) tal que P ( 0 ) = 1 y P ' ( 0 ) = 0, de

f

P(x)dx

™ doque 1 4 8 i.

49.

, /lnx

J x 17 l n ( x 2) dx J

R. P (x ) = - 3 x 2 + 1

se a u n a fu n c ió n ra c io n a l.

fl. 2 x 18

t a n ( ln x ) G Íx

1

\ 1 8 ~ 324/ + C

R. x — 2 a rc t a n x 4- C

50., f |vV ri - r e o s x d x

R. — 2 V i + c o s x + C

e a da

1 K.

52.

i senh“1 -

K 53.

55.

56.

. x R. x s e n h 1 — a

dx

a

i ta n h - 1 - dx J a

I

R. x t a n h

rtCLX

R.

I x 2 a rcc o s - dx

a

I * 2 a rc ta n - dx

/

a

r a rcc o s I _______

i

a

'J

x2

1

x

6

6

x

1

a

2a

a rc ta n - + —

a

+ x

I n ------ r------ h C

x2

R. x c o t h -1 - + ^ l n ( x 2 - a 2) + C a 2

* *

j dx

+ C

X^ X Í7Y2 i?. — a rcta n ------- — + — ln (a 2 + x 2) + C

R. —

5 9I

a 2( 1 + a x )

Ä. — arccos - - - ( x 2 + 2 a2)s¡ a2 - x 2 + C 3 a 9

a rc ta n :

/ c o th -1 ©

: e ° t-C

J x 2 + a2 + C

x e ax d x

/

1 + x

| l n ( a 2 - x 2) + C

(1 + a * ) 2

57

58

\

_ 1 x 1 a + Va2 - x2 R. — a r c c o s - + - l n ---------------------- h C x a a x

92

INTEGRAL INDEFINIDA

60.

1 u ‘~‘

¡(x + s ^ r d x

w + C, u = x + V *2+ 1

2 J T + ~9

(co sx - sen x) dx / ■ 5 + sen 2x

1

/ se n x + c o sx \ + C

¿ " " “ I------ 2, ----- )

B'

dx

i

( x 2 e o s 2a + x sen 2 a + 1)2

x cos a + sen a

: “i- C

eos 3a Vx2 cos2a + x sen 2a + 1 63.

f sech5x d x

J

1

3

R. — sech3x tanh x + - [sech x tanh x + arcsen(tanh x)] + C

64. / (tan x + s e c x )20 sec2x d x

dx

4 R• ö

65./

V (x - l ) 3(x + 2 )5

66 ■ 67

(eos 2x — 3) dx ícos4xV4 , - cot2x

ñ . ---- tan x (2 + tan2x ) V 4 — cot2x + C

3

J

V( 1 + x 2)5

J:

-dx

,-------

R. ln ( x + V I + x ) 2 -

68

ix - 1

3 ^ -----x 4- 2

j- v'sen3(2x) j

v ( i + * 2) 5 _ , — 5x5

J ( i + x 2y

- V

v i + x2

„„ -------------------- + C 3x3 4V2

r-

R . ----- — V c o t 5x + C

dx

s e n bx Su ge rencia: hacer u = c o t x ' V i + X 8

>r

r.

dx <>9. I ---------,13 f 3 i sen2x

7<)- J

-

(1 + x 8) 3/2 ,„ -i-

12x12

c

R. — Vtan5x(5 tan2x + 11) + C

dx

V21

R.

7L Jí “cC oO sS J3x v s e n 2x 93

,_____

(tan2x + 5)Vtan x ■+■C


1 + s e n 2x

72./

V sen x R. ---------- + C

dx 2 c o s 2x V s e n x

73.

co sx

,'Vx- 1 + V x - í | --------------- r --------- d x

* J :

x - 2

e x( x 2 - 8)

e * (x + 2) - ..+ C x - 2

R■ —

75.

j

e sen* ( s e c 2x - c s c 2x + c s c x ) d x

fi. efefl*(ta n x + c o t x ) -f C ,senh-1 jr

J e * enh_1* ( x V l T x 2 + i ) 76

(1 + x 2) 3/2

77.

■dx

(1 + x 2) 3/2

x 2I n 2x ( l -r l n x ) | — — — y ~ --, / d x •t- x ¿ Inr

ñ f

i?, x ln x - a r c t a n ( x in x ) + C

e x:(( x + l1))

xex —1 R.

78, j _ i 42xv 22 d x + ea 2xx e 3 x x f■ e**

’ J ~1

79.

2 ^ x

ds

82.

C

(1 + g Z a r c t a n * ) ^ + * 2 )

R. x e x — a rc t a n ( x e x ) -t- C

dx

ñ. a rc t a n ( e arctan* ) - r C

s e n x + xcos x

■/

xex + 1

+

i .■„ . \ 2 ¿>2at -t- x z e

•/

-ln 2

1 + xse n x /?. - .... - + r. V x 2^ e n 2x — 1

:dx

(1 - x s e n x ) V - l + x 2 - x 2c o s 2x x + 20 ......d x - - ... y¡ (5 - 4 x - x 2) 3

R.

2x + 5 - + r V 5 - 4 x - x 2

I n 2 ( 4 * + 2 (1+A:)) 83.

dx ( 2X + 5 )V 5 - 4 2 * - 4 * 1 - 2 * — ..

r

84

V5^ 4 2 ^ 7 4 7

J e senx( c s c 2x - s e c 2x - c s c x ) d x

94

+ a rc s e n

(2X + 2

l

3

. r

y ’1"

R. - e sen* ( c o t x + t a n x) + C

INTEGRAL DEFINIDA 2.1 S U M A T O R I A S Sean m y n d o s n ú m e ro s enteros tales que para cada i e 1, c o n m < i < n. E l sím b o lo

i

m < n y / una fu n c ió n d efin id a

m

¿=m

representa la su m a de los té rm in os f ( m ) , f ( m + 1), ...,/ (n ); esto es, n

/ ( 0 = f { m ) + f ( m + 1) + / ( m + 2 ) +

+ / (n )

t=m

L a letra g rie g a S (sig m a ) es llam ada sím b o lo de la sum atoria, i es el índice o variable, m es el lím ite infe rio r y n es el lím ite superior. P o r ejemplo, si / ( i ) = i 2 , entonces 5

5

i2 = 22 + 32 + 42 + 52

^ T / (0 =

i-2

i=2

D e la m ism a m anera, si n > 1, n

y

sen(¿j¡:) = se n x + s e n 2x + ... + se n nx

í= i

2.1.1 P R O P I E D A D E S D E L A S U M A T O R I A n 1. a) ^

k = (.n - m + 1)/í , /c es constante

¿=m n

b) ^

k = nk , k es co nsta nte

i= i n

2.

n

fc . / ( i ) =

fey

/ (/ ) , k es constante


3.

^

[/ ( i) ± g ( i )] = ^

¿~m

5 ( 1)

/ (i) ± ^

i=m

(P ro p ie d a d D istrib u tiv a )

i- m

n

4.

a) ^ [ / ( i ) - / ( ¿ - 1)] = f ( n ) - f ( m - 1)

(P ro p ie d a d T e le scóp ica )

:= m

n

b) 2 ][/(0 - /(£ - 1)] =

- /(O)

n 5-

a) ^

[/ (i + 1 ) - f ( i - 1)] = f ( n + 1) + / ( n ) - f ( m ) - f ( m - 1)

i~m

(P ro p ie d a d T e le scó p ica ) n

b) £ [ f ( i + 1) - / ( i - 1)] = f i n + 1) + / ( n ) - f { 1) - /(O )

400

E j e m p lo 1. C alcule el v a lo r de ^ ( V ¿ — V i — 1 + 4). ¡=5 S o lu c ió n P o r la prop ie dad 3, se tiene 400

400

^ ( V 7 - V i — 1 + 4) ;= £

400

= ^ ( v '7 - Vt ;= 5

l ) -r

y

4

i= S

E n la prim e ra sum atoria, a plican d o la propiedad 4 -a para

/ (i) = V i , m = 5 y

n = 4 0 0 , se obtiene 400

^ ( V 7 - V i - 1 ) = (V 4 Ó 0 - v 4 ) = 18 1= 5

En

la se g u n d a sum atoria, a p lican d o

la p ropiedad

1-a para k = 4, m = 5 y

n = 4 0 0 , se tiene ^ 4

= ( 4 0 0 — 5 + 1 )4 = 1 5 8 4

Por tanto, 400

]T (V 7 - Vi - 1 + 4) = ^ ( V i - Vi - l ) + ^

96

4 = 18 + 158 4 = 1602

INTEGRAL DEFINIDA

Ejemplo 2. Calcule una fórm ula p ara ^ [ ( ¿ + l ) 2 - (i - l ) 2]. S o lu c ió n - i ;2 Si / ( i) = 2 , entonces / (/ + 1 ) = (t + l ) 2 y f ( i - l ) 2 = (¿ _ i ) 2 . p or tant0) por la p ropiedad telescópica 4-b, se tiene: n

^ [ ( ¿ + l ) 2 - (¿ - l ) 2] = (n + l ) 2 + n 2 - l 2 - O2 = 2 n 2 + 2n 1= 1

ó

n

^ [(¿ + l ) 2- ( i - l ) 2]) = 2n(n + l)

(a)

í —1 . C 'om o (¿ + l ) 2 - ( i - l ) 2 = 4¿, reem plazando esta igu ald ad en ( a ) se obtiene n

^

4i =

2n( n + 1)

1=1 D e esta parte se d educe una fó rm u la m u y conocida: V 1.

n ( n + 1)

L 1~

2

í= i

E je m p lo 3. U sa n d o las prop ie dade s de la sum atoria, dem uestre que:

, V-

n(n + l)

,v V ,

1=1 c) ^

n(n + l)(2n + 1)

1=1 ¿3 = n2(n + 1) 2

d) ^

,4 _ n ( n + 1 ) ( 6 n 3 + 9 n 2 + n - 1) 30

1=1

i= i S o lu c ió n a) V e r ejem plo 2.

b) C o n sid e ra m o s / ( i ) = ¿ 3 . U sa n d o la propiedad 5-b, se tiene n ^ [ ( t + l ) 3 - (i - l ) 3] = ( n + l ) 3 + n 3 -

l 3 - O3

í=i

S im p lific a n d o en a m b o s lados y luego a plicand o las p ropiedades 3-b, 2 -b y 1-b de la sum atoria, obtenem os n

n

^ T ( 6 i 2 + 2 ) = 2 n 3 + 3 n 2 + 3 n <=> Í=1

n

6 t2 + 1=1

n

<=> 6 ^

2 = 2 n 3 + 3 n 2 + 3n 1=1

n

í 2 + 2 n = 2 n 3 + 3 n 2 + 3n

i= i

i2 = 2n3 + 3 n 2 + n

6 ¿= i

97


Finalm ente, n ( n + 1 ) ( 2 n 4 -1 )

I

6

í=i

c) y d) Eje rcicios. Sug. para c): considere / ( i ) = ¿4 y use la prop. 4.

Z

a ( a n — 1) a 1 = -------------- .

£= 1

a — 1

S o lu c ió n A p lic a n d o la prop iedad 4 -b a / ( i ) = n

a'

y luego a plican d o la p rop ie dad 2, se tiene

n

^ ( a ‘ -

a '- 1 ) = a " -

■

n

1 <=> ^ T ( a ' - — ) = a " - 1 <=> ^ ( - -------- ) a‘ = 1=1

i= i

an -

1

i= i

Finalm ente, V

i _

Z

a

a ( an ~ 1 )

(a-1) n

E j e m p lo 5. D e te rm in e u n a fó rm u la p ara ^

se n

kx.

k=l

S o lu c ió n Para calcular la sum atoria de se no s o cosenos, se co n sid e ra co m o

/ (i)

la

c o fu n ció n de la fu n c ió n que aparece en la sum atoria y se a p lica la propiedad telescópica 5-b. E n este caso, n

f ( k ) = e os kx. A s í, se tiene

^ [ c o s ( k + 1) x —eos (k — 1) x] = cos(n + 1) x + eos nx — eos x — 1 k =i

U tiliza nd o las identidades trigon o m é tricas para c o s ( a ±

b)

y sim p lifica n d o , se

sigue n

^ ( - 2

se n x se n kx) = c o s ( n + l ) x + c o s n x — c o s x — 1

k =i

n - 2 se n

x^

se n

k x — e o s (n + 1 ) x + eos n x — eos x — 1

k= 1

Finalm ente,

z

c o s ( n + l ) x + c o s nx — e o s * — 1 se n kx = ---------------------- ----------------------------2 se n x

98

INTEGRAL DEFINIDA n

E jem p lo 6 . Halle una fórmula para ^

fc fe!

fc=i S o lu c ió n Si f ( k ) = ( k + 1)!, p o r la p ro p ie d a d 4 -a, se tiene n

^ [(fc+ l)!-/c!] = (n + 1)1-1 k= 1

n

J][fc!(fc + l)-fc!] =(n + l ) ! - l k=l Finalm ente,

^fcfcl = (n + l ) ! - l

, „ r, E j e m p lo 7. D e te rm in e u n a fo rm u la p ara

v -> t a n h l9 / c x > --------------- . Z_i sech 19 kx k= 1

S o lu c ió n

Z k= 1

ta n h 1 9 k x v~> — — = > s e n h 1 9 kx sech 19 kx

í-u

k=l

Se procede de m anera s im ila r a lo realizado en el ejem plo 5 para la fun ció n trigonom étrica. S i /(/c) = c o s h 1 9 k x , p or la p ropiedad 5-a, se tiene H ^

[c o sh 1 9 ( k + l ) x - c o s h 1 9 (fc - l ) x ] = c o s h 1 9 ( n + l ) x + c o s h 19 n x - c o s h 1 9 x -

1

k-1 n 2 s e n h 1 9 x ^ se n h 19

kx = co sh 1 9 ( n + l ) x 4- c o sh 1 9 nx — c o sh Í 9 x - 1

k=l

finalm ente, n

V 1 co sh 1 9 (n + í ) x + co sh 19 nx - co sh 19 x - 1 > s e n h 1 9 k x = -----------------------------------------------------------------------Z -j 2 se nh 19 x k =1

99

TÓPICOS DE CALCULO - VOLUM EN II n

E j e m p lo 8. H a lle u n a fó rm u la p a ra /? = ^

b k s e n ( x + ky).

k= 1

Solución A p lic a n d o la p rop ie da d 4 -a a f ( k ) = bk s e n ( x + ky ) , se tiene n s e n ( x 4-

k y ) - ¿ k_1 s e n ( x + (k - l ) y ) ] = b n s e n ( x + n y ) - s e n *

k=l

a

n

^

n

b k se n(x + k y ) —

^

b k s e n ( x + k y —y ) = a

fc=l_______ __________ k = l

P 1 n

P —— ^¡T &fc[ s e n ( * + /cy) eos y — se n y eos (x + /cy)] = a fc=i n /c o s y \

s e n y v-»

-

( l - — J p -\—

-— ^

,

b k c o s ( x + ky) = a

(1 )

k = l ___________________ (

5

Para determinar (5 ), aplicam os el criterio inicial.

n c o s ( x + k y ) - ¿?/£_1cos (x + (k — 1 )y ) ] = b n c o s ( x + n y ) — e o s * k=l

^

n

S —— ^

¿ fc[c o s (x + k y ) eos y + s e n ( x + ky ) s e n y] = b n c o s ( x + n y ) - c o s x

k= 1

Luego, se n y b S = ------------ ( « ) + - ; ------------- [í>n eos ( x + n y ) — c o s x ] o-eosy

o-eosy

(2 )

Finalmente, reem plazando (2) en (1) y efectuando las operaciones correspondientes, obtenemos

b(b-cosy) b 2 — 2¿cosy + 1

sen y (b n cos(x + ny) - eos x) sen(x + ny) —sen x ---------b — eos y

100

INTEGRAL DEFINIDA

E j e m p lo 9. D e te rm in e u n a fó rm u la para

^

ln(fe + 1).

k=1 S o lu c ió n D e sa rro lla n d o la sum ato ria y a plican d o las p ropiedades del logaritm o, se obtiene n ^

ln(fc + 1) = ln 2 + ln 3 + ... + In n + ln (n + 1)

k =l = ln [2 .3 .....n. ( n + 1 )] = ln [ ( n + 1)!]

E J E R C IC IO S Determ ine una fó rm u la para cada una de las siguientes sum atorias. n

1. ^ ( V 2 i + 1 - -y/2i - 1)

R. y/2n + 1 - 1

= 1 Í: = 1

100

I

k= i

ln( ¡ d h )

n

R- - ' " ( 5151>

4

3- kI- 1 (4 fe -

4n R.

3)(4fe + 1)

' 4n + 1

Sugerencia: d e sc o m p o n e r en fracciones parciales a:

4

■I

k= l

Z /í = 1

2k + 3k

3

6k

1

'2

R. 1 '

e

e fc + 2 k~ 1

101

1

2 .3n

2 k + fe(fe + 1) 2 ^ " (fe2 + fe)

4 (4fc - 3)(4fe + 1)

2"

1

1

2n + 2

2 n_1

3 n - e'1

T O P IC O S D E C Á L C U L O - V O L U M E N II

n 7.

Y

2 ?i + 1

fl. 3

—

?i(n 4- 1)

k= 2

8.

^

V/c + i - Vfc

v ’n r 1 -

V F T T

fc=i

1

y 'n + 1

il 9.

1

¡i =1

n 2 + 3n + 3

R.

(/c + l ) ( / c 2 + 5/c 4- 6 )

2 (n + 2 ) ( n + 3)

n

10

I

( k 4- x ) ( k + x + 1 ) ( k + x + 2 ) n ( 2 x + n + 3) fí.

2(n +

11

4- l ) ( n 4- x 4- 2 ) ( x 4- 2 ) ( x 4- 1 )

1 /?.

Z i ln k k [\n(k + l ) ^ 1]

2 ln 2

k=1

12

a:

( n 4- 1 ) l n ( n 4- 1 )

2k + 1

I

fe=i

n ( n + 2)

R. ------------ -

k 2(k + l ) 2

(n + l ) z

U 13

s e n 3 ( n + l ) x 4- s e n 3 n x — s e n 3 x ^

R.

co s(3 kx)

/¿=i

2 sen 3x

2 6 9 / 1 0 2n -

14.

A

15. fe = l

V I O ''

+ 6k

1

R.

1 00 '= /

999 V

R.

-f 4

1 0 2n

4 (n 4- 2)

100

16.

^

s e n 2/c( 2 x )

/?. t a n 2 ( 2 x ) (1 - s e n 2002 x )

k~l 100

17.

/?. fc=i 102

16

1

1

16(5")

5 98

IN T E G R A L D E F IN ID A

8ì.. ^>

k xx K~' k 1

n x n+1 - ( n + l ) x n + 1

fi.

ix

fc=l II

5 k s e n ( 5 k - x)

19. ^

k=l R. n

20

5[(5 —cos 5)(5n sen(5n —x) + sen x) + sen 5(5n cos(5n —x) —cosx] 4(13 —5 cos 5) r

16 csc kx ; c o"t 5/ex s e" e 9k x

I

k=1

4[sen(2n + l)x + sen(2ruc) —sen 2x] sen(2x) [sen 4(n + l)x + sen(4nx) —sen 4x] sen 4x

R. 6n + -------------------------— — ------------------------+

1e h - [3 s e n a c o s a ] k 21.

Z :

3k

k=l

e [(3)

sen 2 a [(s e n a co s a ) n - 1]

~ l]

e - 3

"

!- Z

k=l

1

se n (2 a ) - 2

0

1

2 4 + l Qk - 2 5 k 2

^

5 4

fi. ( n - l ) 2 n+1 + 2

k 2k

23. ^

1

5n + 4 + 5n - 1

k=i

\

n

24. ^

c o s 2k 3;c

fi. c o t 2 3 x [ l - c o s 2n ( 3 x ) ]

k=l

2 5 - Z l o g „ r 2 2k ) l o g „ r 2 2k+2ì k=l

26.

(lo g ^ v G

2( n + l ì )

V 3 + x [ ( 3 + x ) n/2 fi. 1 V3 + X - 1

V 1. - ,-------- nfc > [V à T x ] k=l

103

l] J

TOPICOS DE CALCULO - VO LU M EN II

2.2 C Á L C U L O D E L Á R E A D E UNA R E G IÓ N P L A N A P O R S U M A T O R IA S 2.2.1

PARTICIÓN DE UN INTERVALO CERRADO

Definición 1. Sea [a ;b ] un intervalo cerrado. Una partición del intervalo [a; b] es el conjunto P de puntos Xo,x1(x2, - . x n; con a = x 0 < x v < x 2 ... < x n = b. Se denota con P - {x0, x v x 2, ..., x„}. Observación 1 i)

Toda partición P de [a; b] divide en n subintervalos a l intervalo [a; b],

ii) La longitud de cada subintervalo con Atx = x, — . Se verifica

[x¡„1; x t\, p a r a i =

1,2, ...,n , se denota

n

y A¿x -

b - a

(.=1

iii) Se llama norma o diámetro de la partición P al número ||P|| = m áx{A iX /

i = 1,2, ...,n }

iv) Cuando el intervalo [a; b] se divide en n partes iguales, la longitud de cada subintervalo es Ax =

b —a

n En este caso, los extremos de cada subintervalo son x Q = a , x x - a + A x , x 2 = a + 2 A x ,..., x¡ = a + ¿ A x ,..., x n = b

2.2.2 A P R O X I M A C I Ó N

D E L Á R E A D E U N A R E G IÓ N P O R Á R E A S D E

RECTÁNG ULO S Se a / : [a; b] -> R n egativa región

una fu n c ió n contin ua y no

(/ (x ) > 0) plana

en

[a;b]. Se a R la

p or

las

lim itada

gráfica s

de

y = / ( * ) > las rectas x — a , x — b y el eje x

(llam a da re g ió n b a jo la g r á f ic a de / de a

h a sta b) (fig. 2 . 1). Se a P = { x 0 , x 1, x 2, ...,xn } una p artición [a; b]. P o r la co n tin u id a d de /

en [ a ;b ], p od em os

elegir un co njun to de puntos

u t , u 2, —, u n, de

tal m anera que / ( u ¿) sea el v a lo r m ín im o de / en [ x i - i j x j ,

F'9' 2-1

i = 1 , 2 ,..., n.

104

INTEGRAL DEFINIDA

A si, c o n stru im o s n re ctán gulos cu ya s bases son lo s su b in te rva lo s de P y cu ya s respectivas alturas so n / ( u 1) , / ( u 2), . . . , f ( u n). L a s áreas de estos re ctá n gu lo s son / ( i í J A j X , / ( u 2) A2x , . . . , f ( u n)A nx respectivam ente.

I.os n

re ctán gulos co n sid e ra d o s form an el llam ado

polígono rectangular inscrito

en R (fig. 2.2). E l área de este p o líg o n o lo denotam os con / ( P ) , es decir,

71 K p ) = ' Y J f ( M i) A ix ¡=i

D e m anera sim ilar, e le g im o s

v x, v 2, ..., vn en los n su b inte rva lo s de P, de m odo

que / '( v ¿) es el v a lo r m á x im o de f en [ x ^ ^ x i ] , i = 1 , 2 , ..., ?i, y c o n stru im o s los

n rectángulos cu ya s bases s o n los su bin te rvalo s de P y cu ya s alturas respectivas son f ( v 1) , f ( v 2) , . . . , f ( v n). Kl p o líg o n o rectangular fo rm a d o por estos n rectángulos está circu n scrito a la región R (fig. 2.3) y su área, denotada por C ( P ) , está dada porn

C(P ) = 2 J f ( v ¡)Aix ¡=i

D a d a s d o s p articiones

/\ y

P2. S i / ( P J es el área del p o líg o n o inscrito y C ( P 2)

es el área del p o líg o n o circunscrito, se verifica

l ( P \ ) < C ( P 2) para toda partición P1 y P 2 de [a; b]

(I)

Sea L el conjunto de todas !as áreas de los p o líg o n o s rectangulares in scritos en R, es decir,

i = { / ( P ) / P e s p a r t ic ió n de [a; b ]} y U el conjunto de todas la áreas de los p o líg o n o s rectangulares circ u n sc rito s a R, esto es,

U = ( C ( P ) / P e s p a r t ic ió n de [a; b ]}

105

TOPICOS DE CALCULO - VOLUM EN U

C o m o cada nú m e ro del conjunto L es m enor o igual que cua lq u ier n ú m e ro del conjunto

U (p o r I), entonces L es acotado superiorm ente y U es acotado

inferiorm ente. P o r lo tanto, existen

= s u p ( L ) y As = in f (U) P o r d e fin ició n de ín fim o y de suprem o, se verifica / ( P ) < A¡ < As < C(P), d e d o n d e A¡ < As P or lo tanto, el á re a i4 de la re gió n R (fig. 2.1), si existe, debe estar entre A t y As , es decir, A ¿ < A < As Se dem uestra m ás adelante que A¡ = A¡. Lu e go , se puede d e fin ir el área A de la región R co m o

A — A¿ — As T a m b ié n

se dem uestra que si

t1( t2, —, t n

son

puntos e le g id o s en

los n

subintervalos, es decir, t¿ E [xi_ 1; x¡], i = 1 , ...,n; entonces

(10

Observación 2 i)

Considerando la parte (iv) de la observación 1, si cada t¿ es el extremo derecho de cada subintervalo (t¡ = a + ihx, i = 1 ,2 , . . . n ) y teniendo en cuenta que ||P|| -> 0 <=> n -* oo, entonces (II) pu ede ser escrito como: ( III)

do n d e Ax =

b —a

, = a + ¡A x , i = 1, ...,n n (Esta fórm u la es un caso particular).

ii) Si cada t¿ es el extremo t ¿ = a + (i - l ) A x ,

izquierdo de cada i = 1,..., n

subintervalo.

entonces

E je m p lo 10. P o r rectángulos inscritos, calcule el área de la re gió n Rlim itada p or las gráfica s de y = x +

1 , * = 0 , x = 3 y el eje x.

S o lu c ió n

f ( x ) = x + 1, a = 0 y b = 3. C o m o / es creciente en [0; 3], / presenta m ín im o en el extrem o

L a grá fica de la re gió n se m uestra en la Fig. 2.4. E n este caso, izq uie rd o de cada subintervalo, es decir,

t¿

3 -0 3 = a + (t — l) A x , i = 1 .... n , d o n d e A x = ---------= —

n

106

n

INTEGRAL DEFINIDA

Kntonces

3

3

3

t¡ = 0 + (/ - 1 ) - = - i -----y n n n

3

3

n

n

f ( t i) = t i + l = - i + l -------- .

l’or tanto, utilizand o la fó rm u la dada en la o b se rv a c ió n 2 y la su m a to ria de i, leñem os

A = lim

n-»co

= lim *->oo /n

Fig. 2.5

E je m p lo 11. P o r re ctángu los circunscritos, calcule el área de la re gió n R lim itada por las gráfica s de y = x 2 , x = 3 y el eje x. S o lu c ió n l;.l g rá fico de la re gió n R se m uestra en la fig. 2.5. A partir del gráfico, se deduce que a = O , b = 3 y, p o r tanto, Ax = 3/n . C o m o / es creciente en [0; 3], / tiene v a lo r m á x im o en el extrem o derecho de cada intervalo. A s í,

t¡ = a + iAx ó ti = - i

y f(ti) = — i2

Lu e go ,

A =

limI-YV

n-*co \ n Z - i n ¿ i= i

27 n(n + l)(2n + l) n-*co \ u

J

n-*co \ j l '3

£

TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUM EN 11

E n los e jem plos que siguen, no se tendrá en cuenta los re ctá n gu lo s inscrito s ni los rectángulos circunscritos. L o s puntos derechos de lo s subintervalos.

Ejem plo 12.

serán co n sid e ra d o s c o m o lo s extre m os

C a lc u le el área de la región R lim itada p o r las gráfica s de

y = 3 + x + x 3 , x = — 1, x = 2 y el eje x. Solución a = — 1, b = 2 , f ( x ) = 3 + x + x 3

3 Ax = — ,

3

ti = —1 + — i

n

n

12

y

27 „

27

/(t,) = i + Ir¿ - - t í 2

Para calcular el área de la región (F ig. 2.6), se tendrá en cuenta la su m a to ria de i, de t 2 y de i 3.

A = lim

3 ^ / 12 27 27 \ - ) 1 + — i - — i2 + — i3

n-* oo n ¿ j

¡= i

[3 f

\

n

n2

12

n ( n + 1)

n

2

r?

27

)

n (n + l) (2 n + 1)

27

= lim

— n H --------------------------- -------------------------------1- —

= lim

3

n-*oo

n

b

n 2 (n + l ) 2

----------------4

5 7

1 + 6

Fig. 2.6

2

Fig. 2.7

Ejem plo 13. C a lc u le el área de la re gió n R lim itada por las gráfica s de y = e x.

x = O , x = 1 y el eje x. Solución La re gió n se m u e stra en la Fig. 2.7. La lo n g itu d de cada s u b in te rv a lo es A x = — ,

1

ti = ~ i Y f(t ¡) = en

71

h

108


I n este caso, u sare m o s el resultado obtenido en el ejem plo 4 para a =

1 A = lim — / en n L- a

lim

n-»cn

e l/ n [ (g l/ n y l _ j y

= lim

,1¡n _ ]_

n— »co

1

e n (e — 1 )

n

e 1/11 — 1

A sí,

1 = (e - l ) l i m

,1/n

n

= (e - 1 ) u 2

- e l/n

(*)

x e

( * ) Se hace el ca m b io de va ria b le x = — => lim = lim — — - = 1. n n->oo e 1/n — 1 x->o e x — 1 ( A l aplicar la R e g la de L ’H ó p ita l al ú ltim o lím ite)

E je m p lo 14.

C a lc u le el área de la re gió n bajo la gráfica de

f{x) = se n *

10; 7T/2J. S o lu c ió n L a gráfica de la región se m uestra en la Fig. 2.8. A s í, tenem os

n = s e n ^ ¿.

lim

TT V “ *

—

n-*-»oo 2 n

= lim

n-*oo

= lim

> se n —

jLu í= i

TI

2n

i

71 i 1 + c o s £ ) - cos ( n S 2n

- cos (n +

i

(**)

2sen®

1 + cos (ín ) “ cos (§) ~ cos se n

[1 + 1 - 0 - 0 ] ■

(s )

(s ) ( * * ) Se u sa el resultado del ejem plo 5 para x = n ¡ 2 n .

109

W )

.

1u 2

en


E je m p lo 15. C a lc u le el área de la región bajo la cu rva y = s e n h x en [0 ; 1], S o lu c ió n L a región R se m uestra en la fig. 2.9.

/

Se tiene

1

1

Ax = - , t ¿ = - ¿ n n

A = lim

y

/ ( t í) = se n h

y - senhx

(\ \ -¿

\n J

7

í É senhG i)

n-> co

1= 1

Fig. 2.9

i lim

1

c o s h ( n + 1 ) — + c o s h ( n ■—^ — c o s h i v Jn \ nJ n

n->cc

2 Se „ h ( i )

c o sh ( l + i ) + co sh 1 — co sh ^ — 1

- lim

2 c o s h ( l) - 2

n-*co

E je m p lo 16.

(c o s h (l) - l ) u 2

C a lc u le el área de la región lim itada por las g rá fica s de y = 2\¡x ,

eje x, y x = 9. S o lu c ió n Para

evitar

la

su m ato ria

de

la

ra íz

cuadrada,

to m a m o s

com o

variable

independiente a la variable y , es decir, / ( y ) = y 2 / 4. L a re gió n está lim itada por las curva s / ( y ) = y 2 / 4, .9 ( y ) = 9, las rectas y = 0 c y = 6 (fig. 2.10).

•El área del i-é sím o rectángulo es [g(Zi) - / ( z , ) ] A y . P o r tanto, el área de la re gió n está dada p or

110

INTEGRAL DEFINIDA

^ = *im 4 AyZ ^ (zí)- /(z4 d o n d e A y = £ , z i = 0 + iA y = ^ i , n

n

g ( Zi) = 9 y f ( z ¡ ) = Í ( - A 4 \rc )

9 (.orno g ( z , ) - f (z¡ ) = 9 - — i 2, se tiene 4 = lim

n-* oo

n*-

6V

- )

ruL-¡

= ~ i n¿

9

= 3 6 u 2.

( 9 ----- - i 2)

n-

E J E R C IC IO S i:n cada uno de lo s e jercicios siguientes, encuentre el área de la re gió n lim itada por las cu rva s dadas. 1. y = ( x - l ) 3 , x = 3 , x = 8 y el e j e *

R. 2 3 8 5 / 4 u 2

2 . y = x 2 , x = 0 , x = 2 y el eje x

R. 8 / 3 u 2

3. y = 4 - x 2 y el eje x

R. 3 2 / 3 u 2

4. y = 4 - |x|, x = - 4 ,

x = 4 , el eje x

R. 8 u 2

5. y = 2 v x , eje x , x = 0 , x = 4

R. 3 2 / 3 u 2

6 . y = x 3 , x = - 1 , x = 1 , eje x

R. 1 / 2 u 2

7. y = 1 2 - x 2 , e j e x , x = - 3 , x = - 2

R. 3 0 5 / 6 u 2

8 . y = 2 - '! * ( , e j e x , x = - 2 , x = 2

R. 4 u 2

9. y = x 2 , y = 4 - 3.x2

/?. 1 6 / 3 u 2

1 0 . y = m x , m > 0 , eje x , x = a , x = b , c o n 0 < a < b

R11. y = x 2 - 2 x - 1 , eje x , x = 1 , x = 4

m ( ¿ 2 - a 2) ------- V • 2 /13V2

"■ l

3

\ - 4j "

4 12. y = 3 x - 3 x ‘ - - x 3 , eje x , x = 0 , x = i

/?. 1/6 u 2

13. y = c o s h x , x = 0 , x = l ,

e je x

ñ. s e n h ( l ) w 2

, e je x

/?. 2u

•

14. y = e o s x , x =

n

n

x = -

15. 4 y = ( x t _ 4 ) 2 , 4 y = ( x + 4 ) 2 , 4 y = - ( x - 4 ) 2 , 4 y -

-(4 + x)2

K. 6 4 / 3 u 2 16. y = 3 x 2 , y = - 1 - 3 x 2 , x = 0 , x = 3

111

R. 5 7 u l

,

TÓPICOS DE CALCULO - VOLUM EN 11

2.3 S U M A S U P E R IO R Y S U M A IN F E R IO R En

esta se cción

y

en

las

siguientes, hasta la se cció n

co n sid e ra da s están d efin id as en un intervalo / = [a;

Definición 2. S i P x y P 2 refinam iento de P x cuand o

2.10,

las

fu n c io n e s

b], co n a < b.

so n d o s particiones de /, se dice que P 2 es un c P 2 , Se com prueba fácilm ente que si P 2 es un

refinam iento de Pj , entonces ||P2 || < H H .

Definición

3.

Sea

u na

fu n ció n

acotada

en

/ = [a; b]

y

P = { x 0, x 1, ...,xn } una partición de /. C o n I¡ denotam os al j-é s im o su b in te rva lo de /, es decir, l¡ = \xj_x)Xj\, j = 1 , C o m o / es acotada en ¡ , existen m¡ y Mj tales que

m¡ = i n f { / ( x ) / x e Ij } ; M¡ = s u p { / ( x ) / x G !¡} Se cum ple: m¡ < / ( x ) < M¡, V x £ I¡, j = 1,2, ...,n. D e fin im o s: a) L a s u m a in f e r io r de / para P , que se d esigna con S ( / ; P ) , se define c o m o n n

S(f; P ) = ^

m j( x j - xH 1) = £

7=1

m ; Ayx

7=1

b) L a strm a s u p e r io r de / para P, que se denota con 5 ( / ; P ) , se define c o m o n

S(/ ;P ) = ^ M , A , x j'= l E j e m p lo 17.

Se a / ( x ) =

k

la fu n c ió n constante d e fin id a en

/ = [a; b}. L a

gráfica de la fu n c ió n se m uestra en la fig. 2.11. Se tiene n

n

S_(f. P) = ^

kAjX = k ^

áj-x = k(b - a), donde k = inf{/(x) /

xe //}

■ • 7= 1

n

S (f,P ) - ^

n fcA/X = k y

A , x = k ( i - a ) , d o n d e /c = s u p { / ( x ) / x E /,}

Fig. 2.12

Fig. 2.11

112

INTEGRAL DEFINIDA

(

E je m p lo 18. S i f ( x ) = x , x e 1 = [a ;b ], entonces n £ (/ .p ) -

l¡],j = 1 , 2 , , n

* j - i A j x , d o n d e xh x = in f { / ( x ) / i e j=i

n

= ^ ]x jA jX , donde j~ 1

= s u p { / ( x ) / x E 1¡},¡ = 1 ,2

I ;i gráfica de la fu n c ió n se m uestra en la Fig. 2.12.

I.jc m p lo 19. C o n sid e re m o s " l a fu n ció n de D iric h le t”

c, s

( 1 , s i x es ra c io n a l

,

lo , si x es irra c io n a l 1 x e l’ara cua lq u ier p artición

r

~

,

]

P se ve rifica que m¡ = 0 y M¡

= 1 , j = 1,2, ...,n.

Luego, n

S( f , P) = Y

n

¡= i

2.3.1

l . A ;x = ¿ - a

O.A; x = 0 y 5 ( / , P ) =

S IG N IF IC A D O IN F E R IO R E S

j= i

G E O M É T R IC O

D E L A S S U M A S S U P E R IO R E S E

L a s su m a s su p e rio r e in fe rior p oseen una interpretación geom étrica sim ple. L n p rim e r lugar, a n a lice m o s el sig n ific a d o del producto hjAjX,

d on d e h¡ es

nij

ó Mj y Aj'x es la lo ngitu d del su bin te rvalo Ij = [ x j ^ x j ] . S i hj > 0 . entonces hjAjX es num éricam ente igual al área del rectángulo de base /, y altura

h¡. S i h¡ = 0 , entonces hjAjX = 0; y si hj < 0 , entonces hjA¡x es

num éricam ente igu a l al op ue sto del área del rectángulo de base ¡¡ y altura - h¡. P or esta razón, al n ú m e ro

hjAjX

rectángulo cu y a base es Ij y altura es

lo d e n o m in a re m o s á re a a lg e b r a ic a

\hj\

del

, es decir, el área alge b raica es p o sitiva

si el rectángulo esta sob re el eje x y negativa, si está debajo de eje x. lin la se cció n 2.2.2 (fig u ra s 2.2 y 2.3), v im o s que cu a n d o / es no n e ga tiva en /,

S_(f>P) y S ( f . P ) (que den o tam os p or I {P ) y C ( P ) ) son, respectivam ente, las áreas de lo s p o líg o n o s rectangulares inscrito y circ u n sc rito a R, don d e R es la re gió n lim ita da p or la s grá fica s de / , las rectas x = a , x = b y del eje x.

113


E n las fig u ra s 2.13 y 2.14 se m uestran, respectivam ente, S ( f , P ) y S ( f , P ) $ m a una fu n ció n que no necesariam ente es positiva.

L a c o n d ic ió n de que / esté acotada en / = [a; b] es esencial para que existan los valores m¡ y M¡ . E sto s n úm e ros se definieron c o m o los ín fim o s y su prem os, en ve z de m ín im o s y m á x im o s (co m o se h izo en la se cció n 2 .2 .2 ), y a que en esta op ortu nid ad no se e x ig ió qug / sea continua.

2.3.2 P R O P I E D A D E S D E L A S S U M A S S U P E R I O R E S E I N F E R I O R E S C o m o / es acotada sobre /, existen m y M tales que

m = in f { / 0 ) / x E I }

y

M = s u p { / 0 ) / x E /}

P r o p o s ic ió n 1. Se a / una fu n c ió n acotada i'n una p artición de /. En ton ce s

/ = [a ;b ]

y P =

[ x 0,x-i.

..., x n }

( 1)

m ( b - a ) < S ( f , P ) < S ( f , P ) < M( b - a ) D e m o s t r a c ió n Se tiene

m < m , < Mj < M. M u ltip lic a n d o to d os io s té rm in os p o r A ¡x > U

su m a n d o las re la cio nes obtenidas para j = 1 ,2 ,..., n , ob tenem os n

^

n

mAjX <

7= i

7=i «

m X A¡x j =i

n

nijAjX < ^ ;= i

n

Mj Aj X <

MA¡x

ó

j= i n

ajx

j= i

n

C om o ^

Ayx = b - a, e n to n ce s m ( b - u ) < 5 (/ , P ) < 5 (/ , P) < M (b - a).

y

INTEGRAL DEFINIDA

P r o p o s ic ió n 2.

S i / es una fu n c ió n acotada en /, y Px y P 2 so n d o s particiones

de I tales que P2 es un refinam iento de Pr , (Pt c P2), entonces ‘0 •!(/. Pi) < S ( f , P 2) y b)

S ( f , P x) > S ( f , P2)

S i P2 — / \ tienen r puntos, entonces

í ( f , P 2 ) - S ( f , P í ) < r ( M - m ) \ \ P 1\\

S(f.P1)- S if , P 2)
P r o p o s ic ió n 3. Se a /

una fu n c ió n acotada en /,

y P x y P2 d os p articiones

arbitrarias de /. E n to n ce s •

S ( / . P 1) < 5 ( / . P 2)

(2)

D e m o s t ra c ió n Sea P — P1 U P2. C o m o Pt c P y

Stf.PjlZSif.P)

y

P2 c f ,

p o r la p ro p o sició n anterior, se tiene

S ( f , P ) < S ( f , P 2)

Por la p ro p o sic ió n 1, se tiene S J J .P ) < S ( f , P ) . L u e go . S ( M ) < S ( f , P 2)

2.4 I N T E G R A L E S I N F E R I O R E S Y S U P E R I O R E S D e n ote m o s con D al conjunto de todas las particiones p o sib le s de l. S i f acotada en /, la d e sigu a ld a d (1 ) es verdadera para todo P e D y

{S(f,P)

conjunto

\S(f,P)

/

P eo)

D e fin ic ió n 4.

/■ P 6 D)

es

acotado

superiorm ente

es

a segu ra que el v - el

conjunto

es acotado inferiormente.

S i / es una fu n c ió n acotada en /, el nú m e ro s u p { £ ( / , P ) / P 6 D}

se d e n o m in a integral in fe rio r de / en / y se in dica c o m o

]_=

f f(x)dx =

s u p (S( f , P ) / P e D]

Ja E l nú m e ro

i n f ( S ( f , P ) / P e D)

se d e n o m in a integral su p e rio r de f en / y se

indica co m o

115


2.4.1

P R O P IE D A D E S

DE

LAS

IN T E G R A L E S

S U P E R IO R E S

E

IN F E R IO R E S S i / es fu n c ió n acotada en /. entonces _

]_ < J

rb

ó

rb

I f{x)dx <

Ja 2.

I f{x)dx

(3 )

Ja

S i / es fu n c ió n acotada en /, entonces

m { b - a) < ) _ < ] < M( b - a) d ond e m = in f { f ( x ) / x E 1} 3.

S i / es acotada en /, existen q

y

(4 )

M = su p { f ( x )

y c2

E I tales que

¿ = f ( c - j ( b - a ) y / = / ( c 2) ( ¿ - a ) de m o d o que

(5 )

< f ( c 2) < M.

m< / (q )

4-. S i / es acotada en / y

/ x E /}.

cE ( a ; b ) , se tiene

'•O pC rO f(x)dx = j f(x )d x + I f{x)dx Ja

í

b

rC

f(x)dx =

J

rb

f(x)dx + J f(x)dx

2.5 I N T E G R A L D E R I E M A N N D e fin ic ió n 5. Se dice que una fu n c ió n acotada f : ¡ - > K

es in te g r a b le R ie m a n n

en / si rb

J = [ f(x)dx = í f (x) dx = f f(x)dx *'a Ja Ja P o r sim p licid a d , se llam a in te g r a l de / s o b re / o in te g r a l d e fin id a de / s o b r e / o

in te g r a l de / de a h a sta b.

En

j

f ( x ) d x , el sím b o lo

j

es lla m a d o sím b o lo de in t e g r a c ió n .

Este sím b o lo , que es una S alargada, fue in trod u cido p o r L e ib n iz para representar la sum a, que p ro v ie n e de la palabra latina “ su m m a ” . A d e m á s, f ( x )

es el

f { x ) d x es el elem ento de integración, el n ú m e ro a es el lím ite inferior y b es el lím ite superior. L a variable x n o tiene sig n ific a d o especial, ya

integrando, que í Ja

f f á d x = í f ( z ) d z = í f ( t ) d t = í f ( y ) d y - í f{u)du Ja

Ja

Ja

Ja

etc.

INTEGRAL DEFINIDA

Se a f ( x ) = k

l'.jcin p lo 20.

la fu n c ió n constante. P o r el e je m p lo 16, p ars

/ = [a; b] se tiene S ( f , P ) = S (J , P = k ( b — a ). Enton ce s J = ] = k ( b — a ). P o r lo tanto, / es integrable en [a; b] y se tiene rb

J Ja

k d x —k(b - a)

E je m p lo 21

(fu n c ió n

no

integrable). C o n sid e re m o s

la fu n c ió n

de

D irich le t

/': [0; 1] -» IR, d e fin id a p or

x e s ir ra c io n a l x es ra c io n a l Para

cualquier partición P de 1 = [0; 1] (ejemplo 19), se tiene: S(/ ;P ) = 0

y

5 (/ ;P ) = l

Entonces 7 = 0 y J = 1 y, por tanto, / no es integrable en ¡. Observación 3. Interpretación geom étrica de la integral definida de una función continua f en [a; b]. De la interpretación geom étrica de las sumas superiores e inferiores (secc. 2.3.1), deducimos que si R es la región plana limitada p o r las gráficas de f , las rectas X = a , x = b y el eje X, y /4(fl) representa numéricamente al área de la región R; entonces a) Si f ( x )

> 0,

V x 6 [a; b ]

,

A(R) =

f

f(x)dx

*a

b ) Si f ( x ) < 0 , V x e [a; b] ► - A(R) = f f ( x ) d x JQ c ) Si al n ú m ero I f ( x ) d x lo lla m a m o s área a lg e b ra ic a , p a r a una f u n ció n Ja arbitraria f continua en [a; b], esta integral definida de f en [a; b] representa la suma de las áreas algebraicas de las regiones determinadas p o r la gráfica de f y el eje X, desde x = a hasta x = b.

T O P IC O S D E C A L C U L O - V O L U M E N II

E je m p lo

22.

La

gráfica

de /

consta

de

se gm e n tos de recta y una sem icircunferencia,

ik

co m o se in d ica en la fig u ra adjunta. Halle:

4 a)

í

/ ( x ) d x b)

Jo

J -6

“6 c)

f

/ (x )d x d)

f

y

V

| / (x )| d x

•'-6

y

*

5

¿ x

/■ / * / !

i\ i\ i \

í f(x)dx

i i !

-4

J-6

e) E l área de la re gió n lim itada por la gráfica de / , el eje x y las rectas x = —6 y x = 8 . S o lu c ió n a)

C o m o el área del círcu lo de radio r = .4 es Ax = n r 2 = I ó í t u 2, entonces

í

A,

J / W

^

= - T

= —A4 ti = -

es /12 = 4 u 2

b) D a d o que el área de un triángulo de base b = 2 y altura h = v /4 y el área del se m ic írc u lo es A = — = 8n u 2, ento n ce s

í f(x)dx = í J-6

c)

/ ( x ) d x + í f ( x ) d x = Az - A = 4 - 8 tt. J —4

J-6

Puesto que la integral d efin id a desde —6 hasta 8 está fo rm a d a p or la su m a de áre a s a lg e b ra ic a s de u n triá n g u lo ( A2 = 4 ) , de u n se m ic írc u lo

/ A2 —

\

= — 8 n j,

de u n triá n g u lo (Á3 — 2 ) y de u n rectágulo ( A 4 = 12), e n to n ce s r8

I J-

r —4

/ (x )d x = 6

I

/• 4

J - 6

r 5

/* 8

f (x)dx + I / (x )d x + I / (x )d x

/ (x )d x + I

J4

J - 4

J s

= 4 + ( — 87t ) + 2 + 1 2 — 1 8 ■ 87T d) C o m o |/(x)| = — / ( x ) , V x G [ - 4 ; 4 ] , entonces í

/ (x )d x =

j-ó

f

/ (x )d x - í

J-6

f(x)dx + í f ( x ) d x + í f(x)dx

■ '-4

Js

**4

= 4 - C— 8 tt) + 2 + 1 2 = 1 8 + 8 tt e) E l área de la re gió n p ed ida es 4 (R ) =

í J-6

|/(x)| d x =

[

f (x) dpTh( ( - / (x ))d x + [ / (x )d x + í f(x)dx

J-6

' = 4 — ( —87r) + 2 + 1 2

• '- 4

( 1 8 + 87r)

118

-M u2

->5

INTEGRAL DEFINIDA

T eorem a 1

(C rite rio de integrabilidad de R iem an n ).

Si /

es una función

;icotada en /, una co n d ic ió n necesaria y suficiente para que / sea integrable en / es que d ad o e > 0 arbitrario, exista una partición P de 1 tal que (6 )

S(f,P )-S (f,P )<£ D em ostración

;i) ( = * ) P o r hipótesis, / es integrable en /. S i ¿ = s u p [ S { f , P ) / P e D } , dado

£ > 0, existe una partición P1 de / tal que J_-¿
ó ¿-K f.P J < |

(7 )

P o r otro lado, sie n d o ] = in f { S ( f , P ) / P e D) y tom and o el m is m o e > 0 , existe u na p artición P2 tal que

S ( f , P 2) < 7 + |

ó

(8)

S ( f , P 2) ~ ] < -E

S u m a n d o m ie m b ro a m ie m b ro las d esigua ld a d e s (7 ) y ( 8 ) y c o n sid e ra n d o que / = ] , obtenem os

S ( j r, P2) - S ( f , P 1) < E C o n sid e ra n d o Pí U P2 = P (es un refinam iento de P, y P 2 ), tenem os

S ( f , P ) - S ( f , P ) < S ( f . P 2) - S ( f , P J < £ b) ( < = ) S u p o n g a m o s que d ad o £ > 0, existe una partición P de I tal que (7) es verdadero. C o m o

J_ > S ( f , P ) y ] < S ( f , P ) se obtiene 0 <

J — J < 5 (/ , P ) - S (/ , P ) < e. C o m o £ es arbitrario, se obtiene

7-7 = 0 o 7=7 P o r tanto, / es integrable en /.

Hasta ahora,

I f ( x ) d x se ha d efin id o so lo si a < b . P o r conveniencia, se d an

¿as sigu ien te s definicio n e s:

Definición 6. S i a < b , se define I f ( x ) d x = — ¡ f ( x ) d x , sie m p re que I f { x ) d x

h

Ja

Ja

Definición 7. S i / es una fu n c ió n d efinid a en o. se define ,-a

I

f(x)dx = 0

a

119

exista.


P r o p o s ic ió n

4. S i f

es una fu n ció n continua en / = [a; b],

entonces /

es

integrable en /. L a d em ostración se deja co m o ejercicio al iector. 2.5.1 P R O P I E D A D E S D E L A I N T E G R A L D E F I N I D A 1. S i / es una fu n c ió n integrable en /, entonces es integrable en cu alq uier su bin te rva lo [c; d ] c /. 2.

S i f es una fu n c ió n integrable en /, entonces para toda constante real k , k f es integrable en / y se tiene: (9 )

f k f{x)dx = k í f(x)dx Ja Ja 3.

S i / y g so n fu n c io n e s integrables en I, entonces / ± g tiene: rb

pb

rb

l f ( x ) ± g ( x ) ] d x = \ f (x) dx ± I g(x)dx Ja Ja Ja

4.

es integrable en / y se

(10)

S i f es integrable en los intervalos [a; c] y [c; b], entonces / es integrable en I = [a; b] y se tiene:

( 11 )

f f(x)dx = í f(x)dx + í f(x)dx Ja Ja Je (P rop ied ad aditiva respecto al intervalo de integración).

Esta prop ie dad es vá lid a para tres nú m e ros arbitrarios a , b , c siem pre que las tres integrales existan. 5.

Si

/

es integrable en

I = [a; b] y f ( x ) > 0 , V x E I. entonces ( 12)

f f(x)dx> 0 Ja

6 . S i / y g son fu n c io n e s integrables en /y f ( x ) < g ( x ) , V x E /, entonces í f(x)dx <

Ja 7.

(13)

í g(x)dx Ja

S i / es integrable en

/ = [a;

b] y m < f ( x ) < M, V x E /, entonces

m(b - a) < í f ( x ) d x < M{b - a )

(14)

-'a

8.

S i / es integrable en

I, entonces

f /(x )d x | S í \ f ( x ) \ d x Ja

I

(15)

Ja

120

1N I h C jK A L D t r l N I U A

2.5 .2 T E O R E M A D E L V A L O R IN T E R M E D IO P A R A IN T E G R A L E S T eorem a 2.

S i / es una fu n ció n continua en I = [a; 6 ], entonces existe un

núm ero c G / tal que

í f(x)dx = f ( c ) ( b - a ) Ja D em ostración E l T e o re m a del V a lo r Interm edio de una fu n c ió n continua indica: “ S i f continua en [a; b]

y se cum ple que / ( a )

es

/ '( ¿ ) , entonces para cu a lq u ie r o)

entre / ( a ) y f ( b ) existe un nú m e ro c entre a y b tal que / ( c ) = 6 )". P or hipótesis, / es integrable en /, pues / es co n tinu a en I (Prop. 4 ). Lu e go , por (14), se tiene:

m( b — a) < f f ( x ) d x < M( b - a) Ja donde m y M son el m ín im o y el m á x im o a bso lu to s de / en I, respectivam ente (estos va lo re s existen p orq ue / es continua). Lu e go , m = f ( x m ) y M = f ( x M ) , con x m y x M G / , y

fbf(x)dx f ( Xm) ~

b -a

~ / ( * m)

P o r el teorem a del v a lo r interm edio para fu n cio n e s continuas, existe c entre x m y

x M (c G /) tal que fbf (x ) dx rb f (c ) = — ------------, es decir, I f { x ) d x = / ( c ) ( ¿ — a ) , con c e I b -a Ja 2 .6 T E O R E M A S FU N D A M E N T A L E S D E L C Á L C U L O IN T E G R A L T eorem a 3 (P rim e r T eo rem a Fu ndam ental del C álcu lo In teg ral o T eo rem a de B arro w ) S i f es u n a f u n c ió n c o n t in u a en

/ = [a ;b ]

y

F es la f u n c ió n d e f in id a p o r

F( x) = I f { t ) d t , x G /, e n to n ce s se tiene F '( x ) = ¿ ( /

f(t)dtj = f (x ) ,v x e i

D em ostración P o r d efinición, para x G [a; b] {x fijo), se tiene , ,. F( x + h ) - F ( x ) f * +h f ( t ) d t - f i f ( t ) d t F ( x ) = l i m ------------ -------------- l i m ----------------- r-----------------

h h-*oh

h-*o ,

! * f w t + c kf w t - s * f w t

r v ( í) d í

= h m ---------------------------- :-----------------------------= u m -------------------

h-*o

h

h-o

121

n


Por el teorema del valor intermedio para integrales, para el par de números x y x + h e [a; b] existe c entre x y x + h tal que rX+h.

I

f ( t ) d t = / (c )(x + h - x ) = hf(c)

Jx Luego,

F'(x ) = lim h->o

h

, c entre x y x + h }

F '( x ) = lim f ( c ) , c entre x y x + h

h-0

F'(x ) = / (x ), V x E / , e s decir, F es u n a a n tid e riv a d a de / en /. Observación 4. Este teorema establece un enlace entre los conceptos de integral definida e indefinida. Se prueba que una función f continua en I admite una antiderivada dada p o r F( x) = / * f ( t ) d t , pues F '( x ) = f ( x ) , V x € /. es un teorema de existencia, pues si f es una función continua en l, existe

F( x) = / * f ( t ) d t

tal que F' ( x) = f ( x ) , V x G 7.

Como F( a ) = 0 , F

es la

antiderivada de f en l cuya gráfica p a sa p o r el punto (a ; 0 ). T eo rem a 4 (Segundo T eorem a Fu n d am en tal del C álcu lo In teg ral) S i / es una fu n c ió n continua en / = [a; b] y F es una a ntid erivada de f

en /

( F '( x ) = f ( x ) , V x E /), entonces

[ f ( x ) d x = F ( b ) - F ( a ) = [ F( x ) ] b Ja a

(1 6 )

D em ostración C o m o F es una a ntid erivada de / en / y, por el p rim e r teorem a fundam ental,

F defin id a p o r F ( x ) = / f ( t ) d t es tam bién una antiderivada de / en / , entonces existe u n a constante c tal que F( x) = F ( x ) + c , V x E l. A s í, tenem os

F( b) = F( b) + c = f f ( t ) d t + c y *a

F( a) = F (a) + c =

C o m o /Qa / ( t ) d t = 0, entonces

F( b ) - F ( a ) =

f f(t)dt Ja

C o m o la va ria b le t n o tiene sig n ific a d o especial, se c o n clu ye

í f ( x ) d x = F( b) - F ( a ) ■'a

122

1

f ( t ) d t 4- c

INTEGRAL DEFINIDA

Observación 5 n) \ F ( x ) ] ba es una notación p a r a F( b ) — F( a) . h) La fórm ula dada en (16) es llamada “Fórmula de N ewton-Leibniz” debido a que estos dos matemáticos establecieron, independientemente uno d el otro, la relación íntima entre los conceptos de la derivada y de la integral. -El nombre que se le da a esta fórm u la es convencional, y a que ni Newton (1642-1727) ni Leibniz (1646-1716) dieron exactamente con esta fórmula. c) Obsérvese que la diferencia F( b ) - F( a ) no depende de la elección de la antiderivada F, puesto que todas las antiderivadas se diferencian en una constante, la que desaparece al efectuar ¡a diferencia. Por eso, al calcular una integral definida no es necesario considerar la constante en la antiderivada.

E j e m p l o 2 3 . S e a la fu n c ió n F { x ) = a)

b) F " ( x )

F '0 0

------- - d t . C a lcu le Jn0 1 + t c) F’( 1 )

S o lu c ió n a) Sie n d o

/ ( t ) = 1 / ( 1 + t 2)

una fu n c ió n continua, p or el p rim e r teorem a

fundam ental, se tiene F' ( x) = 1 / (1 + x 2) , V x > 0

(es ne ce sario notar que

F' { x) = 1 / (1 + x 2) es v á lid o para todo x e R ). C o m o entonces F es un a fu n c ió n estrictamente creciente en R .

F' ( x ) > 0 , V x R ,

b) F" ( x ) = —2 x / { l + x 2) 2 (F presenta punto de in fle xió n en x = 0). c) F ' ( 1 ) = 1 / 2 . Finalm ente, dado que F ' ( x ) = 1 / (1 + x 2) , entonces F ( x ) = a rc t a n x + C para a lgu n a constante C. C o m o F ( 0 ) = 0, entonces = a rc t a n (O ) + C => C = 0, es decir, F ( x ) = a rc ta n x

0

E je m p lo 24. C a lc u le el v a lo r de cada una de las integrales

S o lu c ió n a)

U n a antiderivada de f ( x ) = 1 / (1 + x 2) en l = [ - 1 ; 1] es F ( * ) = a rc t a n (en esta antiderivada, p o r la obs. 5-c, no se co n sid e ra la constante). L u e g o , f

J r 1t/2

b) J

dx 1 ■■ 7T y 7T\ n T + x 2 = [arctan x ] _ 1 = a r c t a n ( l) - a r c t a n ( - l ) = - -J = jj.

sen x dx = - [ c o s x ] ^ 2 = - ^ c o s - - cosO j =

o

123

1

x


c) f e* d x = Ja

o

C 1 — e° = e — 1 == e

f1 1 d ) I se n h x d x = [c o s h x ] = c o s h ( l) - 1 Jq u C o m p a re las respuestas obtenidas en (b), (c) y (d) co n las ob tenid as en los ejem plos (13), (1 4 ) y (1 5 ) de este capítulo. E je m p lo 2 5 i)

Se a G ( x ) = / “ f ( t ) d t , donde / : / = [a; b] -> R es co n tin u a una fu n c ió n d erivable (u :

y u = w (x )

es

—» /). Pruebe que

d G' ( x) = / ( u ) . u ', d o n d e u' = — ( u ( x ) ) ax ii) Se a H( x ) = f ^ f ( t ) d t , d o n d e / y u = tt(x ) tienen las c o n d ic io n e s d adas en (i). D e m u e stre que

d H ' ( x ) = - / ( u ) . u ', d o n d e u ' = — ( u ( x ) ) dx S o lu c ió n i)

Si F (x ) = / * f ( t ) d t y

u

(F o u )(x ) = F ( u (x )) =

= u ( x ) , entonces

f ( t ) d t = G(x) . P o r la re gla de

la cadena, se tiene

G' ( x ) = F '( u ( x ) ) . u '( x ) = F '( u ) . u ' = f ( u ) . u ', pues F '( x ) = / ( x ) . E n resum en, G '( x ) = / ( u ) . u '. ii) H( x ) = f “ f ( t ) d t = - / “ / ( t ) d t P o r (i), t f '( x ) = - ( / ( u ) . u ') = - / ( u ) . u '.

E j e m p lo 2 6 . S e a G ( x ) = Halle: a) G '( x )

í

— — -—

—dt y W (x ) = f

J_3 1 + 9 s e n 2t

3 12 + 9 se n t + 15 ^

b) t f '( x )

S o lu c ió n a) U sa n d o el ejem plo 23-i), para / ( t ) = 1 / (1 + 9 s e n 2 1) y u = x 4, se tiene 1 C ' W = 3 - r ^ ------^ ‘4x3 l + 9 s e n 2 ( x 4)

4x3 l + 9 s e n 2 ( x 4)

b) U s a n d o el resultado del ejem plo 2 3 -ii), obtenem os .

1

,

H M = -----r — :-----r r — -• 3x x 6 + 9 se n (x 3) + 15 124

3x2

x 6 + 9 s e n ( x 3) + 15

INTEGRAL DEFINIDA

rX* E jem p lo 2 7 . S i G(x) = [

Jx2

I j l + y 3 d y , h a lle G '( x ) .

S o lu c ió n C o m o / ( y ) = ^/1 + y 3 es co n tinu a en M, e n to n c e s

G (x) =

f

y i + y 3 dy =

Jx2

f

\ ] l + y 3 dy + í

Jo

¿x2

X j l + y 3 dy

Lu e go , G '( x ) = - \ ¡ l + x * • 2 x + V l + x 9 • 3 x 2 = x [ 3 x V i + x 9 - 2 3V l + x 6]

E je m p lo 2 8 . C a lc u le el v a lo r d e

r 1 j x ld x -------- 1 + x2

S o lu c ió n

Si / ( x ) = { ^ 2

si x > 0

1 + x2 '

’ e n to n c e s / ( * )

X

,

“ l + x2

si x < 0

P ara ca lcu la r esta integral, se aplicará la prop ie dad a d itiva respecto al intervalo de integración. E n efecto,

f f ( x ) d x = f f ( x ) d x + f f ( x ) d x = = — i —l dx + í ■ * dx J- 1 J-i J_x l + x 2 J0 1 + x 2 rl i1 - l n ( l + x 2)]^

rl i° = - [ - l n ( l + x 2)j

ln 2 ) + | ( l n 2 ) = l n 2

=

E jem p lo 2 9. Calcule J =

í |x2 + x — 6 | dx. J~4

S o lu c ió n L a va ria ció n de s ig n o s de x 2 + x - 6 = ( x + 3 ) ( x - 2 ) es +

-

+

-3

2

lu e g o |;t2 + x - 6 | = í A:2 + * _ 6 ' i.uego, |x + x 6 | l _ (x2 + x _ 6 l

125

s i x 6 ( - 00; - 3 ] u [ 2 ; + c o ) s i x 6 < _ 3 ;2 >


A p lic a n d o la prop ie dad aditiva de la integral respecto al intervalo de integración, se tiene 2

f \ x2 + x - 6\dx = í

( x2 + x - 6 ) d x - f ( x2 + x - 6 ) d x + f ( x 2 + x - 6 )dx ■'—4 J—3Jo 3

«'—4

3

v2

+ lT + T - 6, -3

125\ ■

38

6 ) + T

i - i "

109 - T~

x > 9, resuelva la ecuación:

E j e m p lo 30. Sa b ie n d o que

16 dt 27T / 2 + yfx \ 3 = — + ln 1 ------ I - 2 arctan - —ln 5 ... (a) 9 V2(16 - t 2) 3 Syfx - 10

i S o lu c ió n

,

f

,

J

t = u2 y dt =

2udu.

16 dt Ví(16 —t2)

I - = -------------

En p rim e r lugar, ca lc u la m o s la integral

u s a n d o la su stitu c ió n

D e esta manera,

f 16 dt _ f 32 u du f 32 f 4 i Vt(16 - t 2) ~ J u( 16 - u4) ~ J 16 - u4 dU “ J 4 - u2

f 4 + J 4+ü* d“

, |u + 2| aín lVF+21 ' /Vt\ = ln ---- - + 2 arctan (-) + C = ln —---- + 2 arctan —- + C \u-2\ '2' V t-2 \2 Lu e go ,

16 dt 9 Vt( 16- t 2) i

In

Vt + 2 Vt 1 + 2 arctan(—) V t-2 Vx 3 + 2 arctan — — 2 a rcta n - -

V i , , + 2 a rc t a n —— V s V z - 10)

O'

In

5

2 a r c t a n - ... (ß) 2 2^

R e e m p la za n d o (/?) en (a ), se tiene

. / Vx + 2 \ ln <=>

V? + 2 arctan T

V*

2 arctan — =

2n

3

2ir

- 2 arctan 2 = T A/x\

n

4x

+

ln ( 4 ± i L ) _ \Syix-lQ )

, ns

V*

2 arctan

y » arctan I — 1= - <=>— = tan (-J » — = V3

F inalm ente, x = 12.

126

INTEGRAL DEFINIDA

E J E R C IC IO S I . K n cada u n o de lo s sigu ien te s ejercicios, calcule la d eriva d a de las sigu ien te s (unciones. ..)

■'(x

/■

)- j

c o sh (2 t 2

”Senx

J

I»)

a

R. F '(x ) = 2 co sh ([8x2 + 1)

^ ------------d t

a rcse n t

f í [ y -—

C)

+ 1) d t

*■

r d t ) dy j *

^ —

'2 \ J 8 1 + 1 + se n 2t r*3

1

F 'w

=Í

t t

A + s e n 2t

dt

j.

rJ0 i + s e n 2 t

e o s2( y 2 + 4 ) d y

d) F(x) = • 'a

e) F Q t) = se n |J

s e n ^J

s e n 3t d t ] d y

/•arcsen^cosArj 2. Sean F ( x ) = A /3 -senx

J

1 — se n x

/ (se n t ) dt -

J

______

1 4- se n x

____________

Halle H' ( x) si H( x ) =

í

____

dt

•'g (x) ( 1 - V l - x 2) ^ f3 X + 1

3. Si

JQ

/1I \

2

f C t j d t = ----- h a x , calcule lo s va lo re s de a de m o d o que f ax \4.

16

T '

/?. a = — 2 ó 1

[ x*

ts

4. Si F( x) — J ^ 1 + {4 d t , halle F'(x). sX + X 2

5. Si G(x) =

I ■>x2+ i

2 ~t2 d t , calcule G '( x ) y G '( l ) .

r e* 6 . Si F ( x ) = I

x ( t 2 + l ) d t , calcule F '( x ) .

7. Sea G(x) = I f ( t ) d t , d o n d e f • 1 -* R •Vi(x) fu n c io n e s

es u na fu n c ió n c o n tin u a y las

,
G '( x ) = f(

8. Sea / : [ —!; 2] -> E una función continua. Si F es una antiderivada de / en [ - 1 ; 2], con F ( - 1 ) = 3 y F( 2 ) = 7, calcule

J f(x)dx.

R. 4

9. E n la fig u ra adjunta se m uestra la gráfica de una fu n ció n g. S i f es la fu n ció n d e fin id a p o r f ( x ) = J ^ g C O d t , x G [ - 3 ; 8 ],

yt

Calcule gráficamente: a) / ( — 3 )

c) / ( 8 )

b) / ( O ) b) 6

R. a) 0

10. Se a / : [ - 6 ; 6 ] -> E

c) 34

6 8

-3

una ¿unción

una fu n ció n continua y g: [ - 6 ; 6 ] ->

im p a r continua, tal que I / ( x ) d x = 10 y I g ( x ) d x = — 2. Halle: J -6 “'-6 rO a) í t / (x ) + £ ( x ) ] d x fí. 12 b ) [ [ / (x ) + s # ( x ) ] d x R. 20

•'-6

•'-6

11. E n los sigu ien te s ejercicios, calcule / ( 2 ) sabiendo que /

es co n tinu a y

ve rifica la ecu ación dada para todo x > 0 . a)

R. 1 6

[ f { t ) d t = x 2( l + x ) Jo

X2 b)

í

f(t)dt

R.

x 2( l + x )

2 + 3V2 L

■'O rfW

c)

I Jo

d)

f

t 2 d t = x 2( l + x )

R. V 3 6

r X 2 {l + l)

1

f(t)dt = x

12. D e m ue stre que si / es continua, entonces

J f(u)(x-u)du = J Sug: c o n sid e re F( x) =

I

Jo

^ J f(t)dt^jdu f ( u ) ( x - u ) d u , e nto n ce s F '( x ) = I f ( u ) d u . Jo

L u e g o , halle su antiderivada y calcule F ( 0 ) para su constante. 13. A partir del ejercicio anterior, dem uestre que

[ Xf ( u ) ( x - u ) 2d u = 2 f i f í f Zf ( t ) d t ) d z d u Jo •'o lyo \ Jq J

128

INTEGRAL DEFIN ID A

14. H a lle f ( x ) s i

= ■ 1 , V x > 0. v i + s e n 2*

15. C a lc u le el v a lo r de las siguientes integrales:

a)

J x 3 dx

c)

I

f 1/2

b)

1

(x + l ) 3 dx

r2

i Vi - x2

Jo

J

d)

x ;------- 7

Ji i 1+ x 5

e)

J - i 1 + 1*1 I

g)

J3 h) I Jo

|cosx|d x

Jo r

°

L

a!

—

dx

5 x - 20

(2 - x ) ( x 2 + 1 )

dx

R. 1 ,336685 ...

se n 2(3 x )d x

r

° I

i “*

ln x dx

16. Sea / : [ - 6 ; 6 ] -» IR u n a fu n ció n continua. Si f es im p a r y

I

f ( x ) d x = 3,

6

halle J

R. - 3 5

( / ( x ) - 2x) dx.

17. Para cierta p ob lación , su p o n g a que N es una fu n c ió n co n tinu a tal que N ( x ) es el núm e ro de p erson as que alcanzan la edad de x en cu a lq u ie r año. Esta fu n c ió n se llam a función de la tabla de vida. B a jo co n d icio n e s apropiadas, la integral J * +n N ( t ) d t da el núm ero esperado de gente en la p o b la c ió n que tiene exactam ente entre x y x + n años, inclusive. S i N ( x ) = 3 0 0 V 1 0 0 - x, determ ine el n ú m e ro de personas que tienen entre 36 y 64 años.

R. 5 9 2 0 0 personas 18. Se a

una recta tangente a la cu rva C : y = g ( x ) en el punto P ( 2 ; 3 ) .

A d e m á s, la recta Lx pasa p or el punto Q ( 1 0 ; 7 ) que no está en la cu rva C. Si f ( x ) = J

J t 2 + 7dt,

h a l l e / '( 2 ) .

129

R. 2


2.7 CA M B IO DE V A RIA BLE EN UNA IN T E G R A L D EFIN ID A S i / es u n a fu n ció n continua en / = [a; b] y si se re e m p laza la

T e o r e m a 5.

variable x de la integral p or g { t ) (es decir, x = g ( t ) ) , don d e g: [ a ; ß ] -> / tiene d erivada co n tinu a en [a; ß] , con g ( a ) = a

g ( ß ) = b ; entonces

y

í f ( x ) d x = í f { g ( t j ) - g'(t)dt Ja Ja

(1 7 )

D e m o s t r a c ió n Sea F ( y ) =

ry í f ( x ) d x , y 6 I . P o r el P rim e r Teorem a F u n d a m e n ta l del Cálculo, se Ja

tiene F ' { y ) = / ( y ) , V y 6 /. P o r la regla de la cadena ó derivada de una fu n ció n com puesta, tenem os

í F í g m ' = F ' i m ) ■s ' ( t ) = / ( s e o ) •5 ' ( o F ( g ( t ) ) es una antiderivada de

P o r tanto,

f ( g ( t ) ) - g ' ( t ) . P o r el S e g u n d o

T e o re m a Fun da m enta l del C á lcu lo , se tiene

C f ( f i ( 0 ) •g ' W d t = [ F ( g m ß = F { g ( ß ) ) - F ( g ( a ) ) = F ( b ) - F ( a ) •â =

í / (x )d x •'a

Observación 5. Si la función g \ [ a \ ß ] -* [a; b] es tal que g ( ß ) = a y g { a ) = b, p o r la fórm ula (17), se tiene f f ( x ) d x = í f ( g C O ) ■g ' { t ) d t Ja

Jß

E j e m p lo 3 1 . Calcule I =

f3

I

x2

3 3 dx.

J2 (1 + x )

S o lu c ió n H a cie n d o

t = 1 + x 3, se tiene q ue

x = g(t) = V t - 1 ,

g'(t) = 3 V ( t - l )2 '

g(9) = 2

g ( 2 8 ) = 3. D a d o que g y g' son co n tinu a s en [9; 2 8 ], entonces

y

I _ J2 ( 1 + a : 3) 3 t _ J9 1 f 28

-

j

L

,

2 \ j (t — l ) z f

t3

l r l ]’28 28

70 3

j 9 - 381024

INTEGRAL DEFINIDA

Hn la práctica, no es necesario dar la fu n c ió n g ( t ) explicitam ente. C o n sid e ra n d o que el lector está habituado a cam biar la variab le en una integral indefinid a, só lo n os queda d ecir que para cam biar los lím ites de integración basta re e m p lazar la variable o rig in a l x p o r lo s lím ites de integración en la correspondiente sustitución y así obtener lo s n u e vo s lím ites de integración (que so n los va lo re s de la n ueva variable). E n el ejem plo anterior, procederíam os así: C o m o la sustitució n es t = 1 + x 3, entonces d t = 3 x 2dx. Para x = 2 => t = 9 = a ; para x = 3 = > t = 2 8 = / ? . P or tanto,

x ¿2 d x

_

1 r 3 3x ¿ 2 dx

1 fr 2Bd 2 t

~ J2 ( 1 + x 3) 3 ~ 3 J 2 (1 + x 3) 3 = 3

E j e m p lo 32. Calcule el v a lo r de 1 =

J9

703

t3

381024

fi (x^ — 1 ^dx -------------- I •'1/2 ( x 2 + l ) V x 4 + 1

S o lu c ió n A n te s de efectuar el ca m b io de variable, d iv id im o s n um e rad or y d e n o m in a d o r por x 2 ( x z > 0, p u e s x 6 [1 / 2 ; 1 ]) y luego re e m p la za m os t = x + 1 / x. E n to n ce s

_ f1

( x2 - l ) d x

f1

Ji/2 (x 2 + l ) V x 4 + 1

_

r2 - 's /2

dt í V t 2

i -

2

V 2

(l--p)dx

J i /2

1

|

1

/,ilNl2

aresee ,| —|f| V 2 . 5/2

= - ^ ( a r c s e c ( V 2 ) - a re s e e ^ ) = V2 V v 1 2) V2

- a re s e e ^ )

E j e m p lo 33. D e m u e stre que

a) Si / es co n tin u a en [0; a], e n to n ce s I f ( x ) d x =

Jo

I f(a-x)dx. Jo /*d

r a.

/ (x )d x = 2 I f (x) dx.

b) Si f e s fu n ció n p a r y co n tin u a en [ - a ; a], e n to n ce s I

j-a c) Si f es fu n ció n im p a r y c o n tin u a en [- a; a], e n to n ce s I • '-a

131

Jo f ( x ) d x = 0.

T Ó P IC O S D E C Á L C U L O - V O L U M E N II

f"

d ) Si f e s fu n c ió n p a r y continua, ento n ce s | x / ( c o s x ) d x = n f J

^0

í nI2

/ (c o sx )d x .

o

fn 7r r e) S i / e s continua, en ton ce s I x f ( s e n x ) d x = /(senx)dx. -'o 2 J0 Solución a)

En

la

J ^ f ( a —x ) d x

integral

En ton ce s para x = 0 = * z = a , y

a —x ~ z

reem plazam os

ydz = -d x .

para x = a => z = 0. P o r tanto,

f f ( a - x)dx ~ - f f ( z ) d z = f f ( z ) d z = f f ( x ) d x ja jo Jo

J0

(L a última igualdad es válida porque ia variable z no tiene sign ificado especial)

b)

f f{x)dx = f f(x)dx + f f(x)dx J - q _________

J-a

...

( a)

Jq

J

E n la integral / re e m p la za m os x = - y . En se gu id a , u tiliza m o s el hecho de que p o r ser / par se verifica / ( - y ) = / ( y ) .

7 = [

/ (x )d x = -

f / (-y )d y =

J -a

f f(y)dy = f f(x)dx

Ja

... (/?)

Jo

Jq

R e e m p la za n d o (/?) en (a ), se obtiene

f f(x)dx = f f(x)dx + c)

f

^0

*'-a

/ (x )d x = 2 [ / (x )d x ¿O

S ig u ie n d o el m ism o p roced im ie n to em pleado en la parte (b) y u tiliza nd o el h echo de que / ( - y ) = - / ( y )

(p o r ser / impar), se prueba que

J - ¡ f{x)dx - - f f(x)dx J-a

Jq

R e e m p la z a n d o este re su lta d o en (a ), se sig u e q u e f

f ( x ) d x = 0.

J-a

d ) y e) E je rc icio . E n a m b o s c a so s reem plazar x = n — y.

dx.

E j e m p lo 34. C alcule I = [

JQ

1 4"

X

Solución S i u tiliza m o s la su stitu ció n x = ta n 8, tenem os

rMníl+x)

Jo ~TT x*~

f nl*\n(l + x.an0)

J0

,

r*/4

■ * * ' « ‘‘' = 1

to(l + ta „ « ) J Í

IN T E G R A L D E F IN ID A r XT/4

f

r M In l + t a n í ------- 6 ) I dd (a p lic a n d o el ejem plo 3 2 - a )

1=1 Jo

4

/■n/4

, = j0

l-ta n 0 \

,

f^ 4

/

ln V1 + l T t a ñ f l ) = i

rn¡4

1=1

2

\

(íT ia ñ d )

/-rt/4

In2d0- I

ln(l+ tanfl)c¡0

¿o________ __________ , i

Jo /■ir/4 P o r tanto, 2 1 =

7r 7T ln 2 d6 = - l n 2 , de d o n d e se co n clu ye que I = — ln 2. 4

Jo

E j e m p lo 3 5 . Calcule 1 =

8

r Itx s e n x dx — — ----— . Jq 1 "i eos X

S o lu c ió n T e n ie n d o en cuenta que e o s 2x = 1 — s e n 2 x, se tiene

rnxser¡xdx

1=

------------ —

í 71 senx x -----------dx

=

J0 1 + e o s 2*

2 - s e n 2x

J0

se n x P u esto que el in te gra n d o es de la fo rm a x / ( s e n x), d o n d e / ( s e n x ) = ^ _ ser)2' ~ » u san d o el ejem plo 32-e, obtenem os

rn

se n x n f n senx x - --------- - d x = — I ---------- 5- d x J0 2 - s e n 2x 2 J0 2 - s e n 2x

1=

7T [ n = 2 Í

Sen X

7T = - 2 [arctan(coS* :'] 0

7T

TTr

= - - [ a r c t a n ( - l ) - a r c t a n (l)] r^/4 r '■

E j e m p lo 3 6 . Calcule J =

7T

7Tl

2L 4

7T2

’

4J 2

(
J --ntt//4 4

S o lu c ió n r n /4

/•tt/4

( x 9 eos x + V t a n x + se n x e cos2jc) d x +

J = ] J — ir/4

j2 -

/•TT/4 r^ 4 I c o s 2x d x =

TI r/-'r/41 + eos 2 x dx I

J —Í t l 4

1r =

ü

*'-7

se n 2 x i 'r/4 b

c o s 2x dx J-7I/4

—

L

1 /7r

\

re + 2

/. = í f e + 1 ) = —

133


es f ( x ) = x 9 e os x + V s e n x + s e n x e cos2*

E l integrando de fu n c ió n im par, pues

y

es

una

/ ( - x ) = ( ~ x ) 9 c o s ( - x ) + 7 t a n ( - x ) + s e n ( - x ) e cos2( x~ > = —x 9 e o s x - V t a n x - s e n x e cos2x = - f ( x ) rn/i

Luego, p o r el ejem plo 3 1 - a, se sig u e que J i =

f(x)dx = 0 J-n/4

n + 2 n + 2 P o r tanto, / = 0 H---------- = --------- .

2.8 I N T E G R A C I Ó N P O R P A R T E S E N U N A I N T E G R A L D E F I N I D A T e o r e m a 6 . S i u = u ( x ) y v = v ( x ) son fun cio n e s co n d e riv a d a s co n tin u a s en I = [a; b] , entonces

J u dv

J v du

= [u v ]^ -

(1 8 )

D e m o s t r a c ió n D e la d iferencial de un producto se deduce que u d v = d ( u v ) - v du. r b

L u e go ,

I

r b

u d v =

Ja

I

rb

[d (u v )-v d u ]

Ja

Ja

f*>

•'a

®

rb

d(uv) Ja

rb

.

u d v = [u v ]

=>

udv =

<=>

\ v du ■'a

(T o d a s estas integrales existen, pues u, v, u ', v ' son co n tin u a s)

E j e m p lo 3 7 . C alcule / =

f x 2 l n x dx. 'i

S o lu c ió n û = ln x

=> du = - d x

H a cie n d o

x

dv

y =

= x 2 dx

o , o b te n e m o s

A =» v = — 3

x3 l3 ■jlnx - Í / ^ c Í A : = ( 9 | n 3 - Í |n 1 ) - [ i ^

1 26 = 9 ln 3 — - ( 2 7 — 1 ) = 9 ln 3 — —

134

I

a

v du

INTEGRAL DEFINIDA

E j e m p lo 3 8. Calcule el v a lo r de J = j

a rcta n J^jx - 1 dx.

S o lu c ió n S i z = a r c t a n V V * — 1 => V * = s e c 2z => x = s e c 4z Para x = 1 => z = 0

y d x = 4 s e c 4z ta n z d z.

y para x = 1 6 => z = tt/3. E n to n ce s

rii/3

} =

I

z • s e c 4z ta n z d z

Jo Para integrar p or partes a esta últim a integral, c o n sid e ra m o s => d u — d z \-dv = 4 s e c 3z • s e c z ta n z d z => v = s e c 4z fu = z

En ton ce s f *''3 se c 4z d z

7 = [z se c 4z]o 3 — I

(*)

Jo r^/3

jj.

(1 + ta n 2z ) s e c 2z d z

— ( —) ( 1 6 ) — I

1Ó7T í tan3z \ n^ 1Ó7T r•— tan z + = — -2 V 3 3 3

0

( * ) Para integrar se c 4z es suficiente considerar que s e c 2z = 1 + ta n 2z.

2.9 I N T E G R A C I O N D E F U N C I O N E S D I S C O N T I N U A S D e f in ic ió n 6 . Se a /: [a; b] -» IR u n a fu n c ió n acotada y sea P = { x 0l x lt . . . , xn} u na p artición de / = [a; b]. Se a n clt c 2 ,...,cn elem entos de /, de tal m an e ra que Cj £ Ij

X yj ,

j

1/2, .../T I.

L a su m a n

S(/ ,P ) = £ / ( c , ) A ;x ;= i se d e n o m in a S u m a d e R i e m a n n de f con respecto a la partición P. Sean m ; = i n f { f ( x ) / x £ /,} y M¡ - s u p { f ( x ) / x e 1¡}. E n to n ce s

rtij < f ( c j ) < Mj, j = 1,2, ...,n y m ás aún S(/ ,P )< S (/ ,P )< S (/ ,P ) L a su m a de R ie m a n n es u n tipo de su m a que no necesariam ente es u n a su m a inferior o una su m a superior, sin o m ás bien está co m p re n d id a entre ellas.

135


Se dice que S ( f , P )

D e f in ic ió n 7. escribe

toda p artición P , co n 0 <

tiene lím ite J e R

si dado e > 0

5 (/ ,P ) = /

||P||

cu a nd o

(arbitrario), existe

||P|| —» 0

5 > 0

y se

tal que para

< 8 , y para cualquier c¡ se tiene

\m ,P )-)\\< £ T eore m a 7

(d e D a r b o u x ) . S i / es una fun ció n acotada en /, u na c o n d ic ió n

necesaria y suficiente para que f sea integrable en / es que exista / G IR tal que J im

5 (/ ,P )= / ;

( j = jj(x )d x ^

D e m o s t r a c ió n (Ejercicio).

T e o r e m a 8 . Se a n f , g ■l = [a ; b ] -» M

d os fun cio n e s tales que f ( x ) = g ( x ) ,

V x E I, excepto para un nú m e ro finito de puntos. S i g es integrable en /, entonces / es integrable en ¡ y se tiene rb

r b

í f (x) dx = í g(x)dx Ja Ja

(1 9 )

D e m o s t r a c ió n S i g es integrable en / y

g { x ) d x = J, p or el teorem a de D a rb o u x , d ad o

e

> 0,

existe 8 X > 0 tal que para todo P , c o n 0 < ||P|| < 5 1; y V c¡ E l¡ se tiene

\ S { g , P ) - J \ < £P o r otro lado, si A = { x e / / f ( x ) * g ( x ) } posee r p u ntos (r fin ito ) y sea

L = s u p { \ f ( x ) - fl(x )| / x E /}, para toda p artición P , c o n ||P|| <

\S(f.P)-S(g,P)l =

Luego, si 8 = mín|<51(

P

2rL

se tiene

IS ( f . P ) - ] \ < m , P ) ~ S(g, P ) | + 15( 5 , P ) - J | < |

1 = £

E n resum en, para tod a partición P , co n ||P|| < 5, y V c¡ E / se v e rifica

\S(f,P)-J\
f f (x) dx = í g(x)dx J a

Ja

136

, se tiene

2


I ro i cm a 9.

S i / es c o n tin u a en

mi.îles e x i s t e n

/ = [ a;b] e x c e p t o e n ios p u n t o s lim f ( x ) = f ( b ~ )

lim < / ( x ) = / ( a + ) y

a ó b, e n los

(f i n it o s ) , e n t o n c e s f es

j :-*b~

iiiii-i'.iahle e n / y e x i s t e u n a f u n c i ó n F, c o n F' ( x) = / ( x ) , V x E ( a ; b), tal q u e ■b

f

f(x)dx = F { b )-F (a )

■Jn

D e m o s tra c ió n . E je rc icio para c! lector. D e fin ic ió n 8 ( F u n c ió n se c c io n a lm e n te c o n tin u a en

l ~ [ a ; ¿ ] ) . Se dice que la

lim d ó n / : / -> 1 es seccionalm ente continua en / cuand o / es con tin u a para todo \ '

/ excepto para un núm ero finito de puntos

c ¡ , j = 1 , 2 m , para los

i nales existe

f ( c ~ ) = lim_ f ( x )

f(cf) =

y

x '* ci

‘.i i) - a

lim / (*) x ~ ,c j

a c¡ = b, debe existir / ( a + ) o f ( b ~ ) respectivam ente.

r O K O L A R I O . S i / es seccionaim ente continua en

/ = [a ;b ], entonces / es

mu-arable en /.

í - 2 , si - 2 < x < - 1 I jcm p lo 39. Se a la fu n c ió n / ( x ) - ] x 3, ( 2 ,

si - 1

< x < 1

si 1 <

x < 2

.

S r pide: .i) I race la gráfica de /. Ii)

;,/ es integrable en [— 2 ; 2 ] ?

i ) Calcule I f ( x ) d x . J-2 f f ( t ) d t , x £ [ - 2 ; 2 ] y trace su gráfica. J-2 i ) D eterm ine el conjunto don d e F es derivable y halle F '( x ) .

il) Halle F ( x ) =

Solu ción ,i t I a gráfica de / se m uestra en la Fig. 2.15. I>)

/ es integrable en (/' es d isco n tin u a en

[— 2 ; 2 ]porque x =

existen los lím ites laterales.

i) í

f(x)dx = f

J -2

í

J-2

estos

E n x = 2 existe el lím ite lateral p or izquierda).

f ( x ) d x +í f ( x ) d x + f

■ J-2 =

/ es seccionalm ente con tinu a en [— 2 ; 2 ]

- 1 , en x = 1 y en x = 2 ;pero en

( - 2)d x + í

f(x)dx •'1

J-l

x 3d x + í 2 d x = - 2 + 0 + 2 = 0

■'-1

137

puntos


d ) Si x e [ - 2 ; - 1 > => F ( x ) =

f ( - 2 )dt = - 2 x - 4 J-2

Si x E [—1 ,1 ] =* F ( x ) = J

Si x

E

f(t)dt = J

( - 2 )dt + J

(1; 2) =* F( x) = J f ( t ) d t — J í-2x - 4,

P o r tanto, F ( x ) = | ( x 4 - 9 ) / 4 ,

( — 2) d t +

J

x4 9 t 3 dt = ■ T _ 4 t 3 d t + J 2 d t = 2x — 4

- 2 < x < -1 - 1 < x < 1

\2x - 4,

1 < x <2

L a gráfica de F se m uestra en la Fig. 2.16.

f)

í —2 , - 2 < x < —1 F' ( x) = \ x 3 , — 1 < x < 1 i2 ,

1 < x < 2

L u e go , F es d erivable en [— 2; 2) excepto en los puntos x = —1 y x = 1.

Fig. 2.15

E j e m p lo 4 0 . T ra ce la gráfica de F( x) =

f 2 t e ~ cZ d t , x e R.

Jo S o lu c ió n i)

D( F) = E

ii)

Inte rse ccio n es con el eje x : P ( 0; 0 ), pues F ( 0 ) = 0.

iii) F '( x ) = 2 x e ~ * 2. E l ú n ico punto crítico es x = 0 y se tiene Signo de

F'(x) < -

L u e g o , F es creciente en

+

(0; + o o ) y F es decreciente en ( — oo; 0>. E l va lo r

m ín im o relativo es F ( 0 ) = 0.

138

INTEGRAL DEFINIDA

iv) F" ( x ) = 2 e~x\ l

- 2 x 2).

L o s p u ntos críticos de in fle x ió n son x = V 2 / 2 y x = - V 2 / 2 . Signo

d e F ”( x) •<------- °----------- 1-------------------- 1------------------ ► - V 2/2

V 2/2

P o r tanto, F es có n ca va hacia abajo en

( - 00 ; — \¡2 /2 ) U ( V 2 / 2 ; + 00)

c ó n ca va hacia arriba en

L a s a b scisa s de lo s p u ntos de

(~ V 2 / 2 ; V 2 / 2 ).

y

in fle xió n de F so n x = V 2 / 2 y x = —V 2 / 2 .

F( x) = 1 - e “* \ p or lo que y =

v) In te grand o se obtiene que

1

es asíntota

horizontal. L a grá fica de F se m uestra en la fig. 2.17.

F iq . 2.17

E J E R C IC IO S I.

C a lc u le el va lo r de las sigu ien te s integrales:

r°

71

dx

1 J_14x2 + 8x + 8 dx 3.

■

r* 5. I s e n h x se n x d x -'o

J0

J1 x 2

-

4x

R. -

4

1

/?. - s e n h í r 2

4.

'6 .

J0

r /3 7 I tan x d x J _„/3

f2 8'

139

6*n2

r1 3 x 8e - x dx

57r a 3 ‘~ Í 6 ~

1

dx

- 5

ti

■■

Jo V2 - x 2

f a x s / 2 dx

16

f2

i

2

5

3

3e

R. - - —

R. 0

x 5 dx ( 1 + x 3) 3/2

9


dx

fi.

> ■ / ; x 6( 6 5 - X 6) 1/ 6

1023 12300 128

1 0 . f x 8( l — x 3) 5/4 d x

i?.

-

■>1

2n

11 . f x 4 ( l — x 2)3/2 d x

R’ "256

Jo

fV v r

71

X dx

R' 4

Jq 13.

1—= Vi - x d x

I

5967

R . y ¡ 2 - ln (l + V 2)

f :J Z ^ x x ex

e - 2

c - ,(1+ x ) 2 d

fi.

f ln yjl —■x d x

fi. ln 2 -----

2

Jo

16-

f 1/2

L

1 + x

J —

1/2 -

dx

¡■n/3

17.

I

c o t x ( ln s e n x ) d x

7- J

18.

11/3

í „/ó

V ía n x d x V tan x + V c o t x

/•7T/4 tt/4

19.

I |tan 5x | d x J-7T/4 r 2*

20. I

fi. — 4- ln 2 2

fi. 4 V 2

| se n x — c o s x | d x

Ja 21.

22 .

23.

x se n x ---------- — d x Jo 1 + c o s 2x

7T

í

4'X + 1 x + 6

rn/: 11/3

T

dx

fi. 5 + 5 ln -

V s e c x dx

fi.

‘'ir/ó V s e c x + V c s c x

140


Si

f ^ 2 se n x c o s x --------------- d x en 7— — - -; 7 dx = A, calcule el v a lo r de la in te gral (x + 2 ) 2 J0 x + 1

c n eos x

I

h

fu n c ió n de A.

R - ( - 4 ------ - -----2 \2 n + 2 f n cosxdx

Su ge re n c ia : e xp re se

[2

f 71 e o s x dx J,

co sx

¿

)

L u e g o , calcule cada una de las d os integrales u san d o integración p o r partes y finalm ente haga el ca m b io de variable x = 2 u.

f 1 ex III. Si k =

dx, e xp re se lo s va lo re s de las sig u ie n te s in te grale s en fu n ció n

I J q

X

T

i-

de k.

'• l - , 7 ^ T T d x ?

f 1 x e x¿

J0 x 2 + 1 s. f -

~*ce~a
dx 1

ex

J o (I x + 1 ) 2

/?. k + 1 - - e

dx

2

4. í e * l n ( l + x )

fi. e l n 2 - f c

Jo IV . E je rc ic io s diversos. 1. C a lc u la r/ (O ) sa b ie n d o que / ( n) = 2 y

f [/ (x ) + f " ( x ) ] s e n x dx = 5. Jo

R. 3 2. P ru e b e que

3. Si / ( x ) =

[ bsenx Ja

cosa eos b f b c o sx ------- d x = -----------------— + — -- d x . x

a

b

Ja

x2

Í 1 2 x — 12 , si x < 1 , . f 2* _ s i x > 1 : 3 (1 ) = ^ m d t , X E R .

Calcule el v a lo r de f

g(x)dx.

R. 3 6 9 7 / 4

2 4. S i n es cua lq u ier n ú m e ro natural, calcule el v a lo r de r^ se n (n + j ) x

J

sen

x

-d x

/?. 7T

2

141


5. C alcule el valor de las siguientes integrales: - 1' 2 a) J c o s(se n x ) In

f l + X\ — -J + 3x + 4

R. 4

dx

rn/2

b)

R. 2

x se n x dx

I -'-71/2

çn/2 c)

R. 0

x 81c o s ( x 9) d x

I

J - ji/2 /•tt/4

d)

I [ x 14s e n ( x 7)] d x

J-nj TI¡A

e) f

R. 12

[ ( x 5 + x 3 + x ) V l + x 4 + 3j d x

J-7

6 . Sea /: 1

u n a fu n ció n continua. Si se sabe que

f ( t ) d t = 6 , calcule

í •/-i n

f / ( 2 x — 2 ) dx. J —4

si 0 < x < 2 7. Se a / ( x ) =

-1 ,

si 2 < x < 3

.x -3 ,

s i 3 < x < 4

a) E sb o c e la gráfica de /. b) C a lc u le JQ4 / ( x ) d x . c) C a lc u le F ( x ) = f * f ( t ) d t , x G [0 ;4 ], d) T ra ce la grá fica de F. e) D e te rm ine en qué puntos F es derivable. f * e‘2 8 . Sea F ( x ) = ? d íJ0 ^-----1 + t2 a) Pruebe que F es fu n c ió n impar. b) Pruebe que F ( x ) > x , V x 6 i j çtt/3

9. Calcule el v a lo r de

Veos

= [0; +oo).

X

dx.

Ln/6 * 1V s e n x + V c o s x co sz

10. La e cu a ción p a ra m é tric a de u n a c u rv a es

dz

H h

;

se n z -d z

, t > 1. Halle

dy

dx '

INTEGRAL DEFINIDA

1 1. L a fu n c ió n / y su in ve rsa / _1 son continuas y / ( O ) = 0. P ruebe que -5

r f ( 5)

f ~ 1( t ) d t = 5 / ( 5 )

/ (x )d x + -'o

•'o dx


( 2 x 2 + l)^ /x 2 T í '

r r3


x2 - 4

i

x2-2 5

-3

dx.

4 f 3 xA 2 -_ T

14. C alcule el v a lo r de I

7-^— 7-71 dx. 3 I* 2 - 1 6 1

15. Se a / una fu n c ió n co n tin u a tal que / '( x ) < 0 en [1; 4]. S i / ( 1 ) = —2 , / ( 4 ) = —6 y

J 14 / ( x ) d x = —1 0 , calcule el v a lo r de

f f ~ 1( x ) d x . J-f, J-6

R. 12 x <2

’^2

16. Si / ( x ) = j

^

-1 + x 3

X < ° , calcule

J

[ / ( x ) - x]dx.

x > 0

r 271 17. Calcule I •'O

(|sen x| + x )d x .

{ e 2- l

18. Calcule

f

R. ' 2 ( e 2 - 3)

[4 - 2 ln ( x + 1)] dx.

•'O 19. Calcule

f 5|x3 - 4 x | d x . ■'-1 dx — =— — 7 . (x2 + l ) 4

C alcule

15?r + 4 4

R.

96

/ * se n(t — l ) 2 d t .’. l. Calcule l i m -------—-------— ------ .

*-1

Calcule

c n/2 J0

1

(1 — x )

3

dx

n R. —

------- --------- p . 1 + fta n x ]^

4

Sugerencia: hacer u = -2 — x. o

143


2.10 C Á LC U LO A PR O X IM A D O DE LAS IN T E G R A L ES D EFIN ID A S Para calcular una integral d efinid a por la fórm ula de N e w t o n -L e ib n itz se necesita hallar una antiderivada del integrando; pero en el capítulo I h e m o s m e n c io n a d o que no toda fu n c ió n continua tiene una antiderivada exp resad a m ediante fu n c io n e s elementales, p o r lo que es necesario los m étodos a p ro x im a d o s para su cálculo. E n esta se cción tendrem os en cuenta que, p or el teorem a de D a rb o u x ,

I

f ( x ) d x = ||Hmo ^ / ( t , ) A ¿ x , d o n d e P = { x 0 , x 1(

“ i= i es una p artición de [a; b] , A ¡ x = x¡ — x ^

y

t¡ 6 [xi_ 1; x i],

2.10.1 A P R O X I M A C I Ó N P O R R E C T Á N G U L O S Se a / : [a; b] -> E

una fu n ció n continua.

Se a P = [ x 0 = a , x 1, x 2, ... ,x n = b } una partición de [a; b ] de tal m anera que el intervalo [a; b] quede d iv id id o en n partes iguales. L a lo n gitud de cada u no de los su bin te rvalo s es

b - a Ax = -------n S e a y¿ = / ( * , - ) , i = 0 , 1 , 2 , . . . , n . C a d a una de las su m a s y 0A x + y xAx + y 2Ax + ... + y n. xAx

y xAx + y 2 A x + y 3A x + ... + y n A x expresa aproxim ad am e n te la integral

í f(x)dx L u eg o,

[ f( x ) d x s A x (y 0 + y! + y 2 +

+ y ,,^ !)

(2 0 )

Ja í f ( x ) d x = Ax ( y x + y 2 + y 3 + - + y n ) Ja T e n ie n d o en cuenta que y kAx es el área algebraica

(21) del rectángulo de base A x

y

altura y k , en la fig u ra 2.18 se m uestra el p o líg o n o rectangular c u y a área alge b raica es la a p ro x im a c ió n del v a lo r de /a&/ ( x ) d x u san d o la fó rm u la 19. E l error que se com ete al ca lcu la r el v a lo r de la integral p o r la fó rm u la de los rectángulos (1 9 ) ó ( 2 0 ) es m e n o r cuanto m a y o r es el n ú m e ro n.

144


2.10.2 A P R O X IM A C IO N P O R T R A P E C IO S I n este

caso,

se

u san

trapecios rectangulares en

lugar de

lo s

rectángulos

tu n sid e ra d o s en el ítem anterior. Se a n los p u ntos P0( x 0; y 0), P i ( x 1; y 1), ... , /;,(.Y„;y„), donde x 0, x n , y 0, yi,..., y n han sid o d e fin id o s en el ítem anterior. C o n sid e ra m o s los n trapecios rectangulares 71, 7 2l ...,7 n que están lim itados por las cuerdas , P1P2, Pn-í^n respectivam ente. C o m o las .ucas alge b raicas de estos trapecios son, respectivam ente, ¡guales a yi + y z . y n-1 + y n . — - — Ax , — - — Ax , ... , ------ ------- Ax ; e n to n c e s

yo + y i A

b f { x ) d x - y—° +- —y i Aa x H,------y i + —y 2 AA x H,— a

¿

y * - i +-----y n A.x H,--------

¿

¿

f ( x ) d x = ¡ ^ - ^ 1 + y 1 + y z +■■■ + y n- l ^ A x

( 22)

l,n la fig u ra 2.19 se m uestra el p o líg o n o rectangular cu y a área alge b ra ica es la a p ro x im a c ió n del v a lo r de

f ( x ) d x u sando la fó rm u la 2 2 .

Igu a l que en el caso anterior, cuanto m a yo r es el núm e ro n, es m ejor la a p ro xim a c ió n al v a lo r de la integral.

Fig. 2.1 9

145


2.10.3 A PR O X IM A C IÓ N PO R PA RÁBOLAS (FÓ R M U LA DE SIM PSO N ) P r o p o s ic ió n 5.

g ( x ) = A x 2 + Bx + C , donde x 6 [a; b ] , y 0 = g ( a ) ,

Se a

( a + b\ yi = s ( — 2 ~ J ' y 2 = 9

En ton ce s

AAxx , /* I G 4 x 2 + B x + C ) d x = — [y 0 + 4 y t + y 2] , d o n d e A x

Ja

b — a

(2 3 )

^

D e m o s t r a c ió n P o r el se gu n d o T e o re m a Fundam ental del C álculo ,

rb

A x3

(.A x 2 + B x + C ) d x =

Bx2

~ T + ~

+C *

Lu e go de efectuar las operaciones indicadas se demuestra que

fb j

Ax ( Ax2 + B x + C) dx = — [ y2 + 4 y 1 + y 0]. y = A x 2 + Bx + C

C o n sid e ra n d o esta p rop osición , si la parábola

pasa p o r los

puntos

/a + b

\

2~ ¡ y i ) ■ p2( b ; y 2)

P0(a-,y 0) , P i

.

entonces el área algebraica bajo la parábola está dada por (23). Sea f una fu n c ió n continua en [a; b]. Para hallar una a p ro x im a c ió n de de f

la idea b ásica es a p ro xim a r la gráfica d iv id im o s

el

intervalo

[a; b]

en

n partes

f(x)dx,

por arcos de parábolas.

iguales,

donde

n es

Para

par.

Sean

{ x 0 , x 1, x 2, ...,xn } los extrem os de los su bintervalos, y y¡ = / ( x ¡ ) , i = 1 ,2 , ...,n. E l área a lge b ra ica bajo la p arábola que pasa p or los p untos ( x 0 ; y 0),

(x ^ y -J

Y i x 2; y 2) está dado p or ( y 0 + 4 y 1 + y 2 )A x / 3 . A s í m ism o , el área alge b raica bajo la p arábola que pasa p or los puntos ( x 2 ; y 2), ( x 3 ; y 3) y ( y 2 + 4 y 3 + y 4) A x / 3

( x 4 ; y 4) , está dado por

y así sucesivam ente, hasta llegar al área alge b ra ica bajo la

parábola que pasa por los puntos ( x n _ 2 ; y n _ 2 ) '

( X i - n 'y n - i X

( x n ; y „ ) está dado

p or ( y n- 2 + 4 y n _ ! + y n ) A x / 3 . P o r tanto, fb

Ax „

f^

Ax

J

J

A x,

.

f { x ) d x = — (y 0 + 4 y x + y 2) + — (y 2 + 4 y 3 + y 4) +

+ —

Ax

(y „_2 + 4 y n_ 1 +

f ( x ) d x s — [(y 0 + yn) + 2 (y 2 + y 4 + ... + y n_2) + 4 ( y t + y 3 + ... + y n- i ) ]

E sta fó rm u la es llam ada f ó r m u la de S im p s o n .

146

yn)

(2 4)

INTEGRAL DEFINIDA

E je m p lo 41. P ara n = 10, calcule por a p ro x im a c ió n el v a lo r de

f" 1 4 d x J0 1 + X 2 S o lu c ió n S i n = 16, entonces Ax - (1 - 0 ) / 1 0 = 0,1.

f(x

xí

4

\ _

xi

1 + x 2

X (y =

/ (*« )

y 6 = 2 ,9 4 1 1 7 6 4 7

0 ,6

* co 1! II O o Vj 00

X

o il o

O (i 1 4* 1 O 1

' C

y 8 = 2 ,4 3 9 0 2 4 3 9

x 3 = 0 .3

y 3 = 3 ,6 6 9 7 2 4 7 7

x 9 - 0 ,9

y 9 = 2 ,2 0 9 9 4 4 7 5

x 4 = 0 ,4

y 4 = 3 ,4 4 8 2 7 5 8 6

T“l II O *

x 5 = 0 ,5

ys = 3 ,2

y x = 3 ,9 6 0 3 9 6 0 4

x 2 = 0 ,2

y2

=

3 ,8 4 6 1 5 3 8 4

y 7 = 2 ,6 8 4 5 6 3 7 5

o II NJ O

x i = 0 ,1

P or la fó rm u la (2 0 ) (a p ro x im a c ió n p or rectángulos),

í1

4 7 T T T d x = 0 , í [ y 0 + Vi + y 2 + ■■■ + y 9] = 3 , 2 3 9 9 2 5 9 8 9 + x

-'o

P or la fó rm u la (2 1 ) (a p ro x im a c ió n p or rectángulos),

4 4

-i f

Í T ^ dX - 0,1 [}>1 + y2 + ■■■+ y 9 + y io ] = 3 , 0 3 9 9 2 5 9 8 9

i

P or la fó rm u la (2 2 ) (a p ro x im a c ió n p or trapecios), 4

--dx = 0,1

í r

= 3 ,1 3 9 9 2 5 9 8 9

+ x2

P or la fó rm u la (2 3 ) (a p ro x im a c ió n p or parábolas o m étodo de Sim p so n ), f1

J

4

0,1 r

i + x z dx ~ ~ 3 ~'-y° + y i ° + 4(-y i + y 3 + y s + y ? + y ^ + + 2 ( y 2 + y 4 + y 6 + y 8)] = 3 , 1 4 1 5 9 2 6 1 4

Este ú ltim o v a lo r co m p a ra d o co n el va lo r real de la integral

"1 4 d x

í0

= n = 3 ,1 4 1 5 9 2 6 5 .. 1 + *2

es exacto hasta la séptim a cifra decim al.

14 7


E JE R C IC IO S C a lcu le los va lo re s a p ro x im a d o s de las siguientes integrales:

1.

f ^ dx I — , p o r la fó rm u la de lo s tra p e cios y la de S im p s o n (n = 2).

R. 1,61 8 2 y 1 ,6 0 9 8 respectivam ente 2.

r 2 dx — , p o r la fó rm u la de lo s tra pe cios y la de S im p s o n (n = 10).

'i x R. 0 ,6 9 3 7 7 y 0 ,6 9 3 1 5 respectivam ente 3 . í V 1 —x } d x , p o r la fó rm u la de lo s tra pe cios (n = 6 ). ■'o

R. 0 ,81 0 9 4.

f3

dx

, p o r la fó rm u la de S im p s o n (n = 4).

Ji 2 x - l

R. 0,81 1 1

1 - ......................

<.........

3

•

"

^

INTEGRALES IMPROPIAS

ti*

En la d e fin ic ió n de la integral definid a

í f { x ) d x , fu e ron e sta b lecid a s ias d os

Ja restricciones siguientes: I o E l intervalo / = [a-,b] es acotado 2 o / es acotada en / D A h o ra tratarem os de librarnos de estas restricciones, extendiendo el concepto de integral definida al caso en donde el intervalo de integración es in fin ito o el caso en donde la fu n ció n del integrando / presenta d isco n tin u idad infinita en [a; b]. L a s integrales que tienen estas características se llam an in te g ra le s im p r o p ia s y son de d o s tipos: T ip o 1: Integrales im p ro p ia s con lím ites infinitos. T ip o 2: Integrales im p ro p ia s con lím ites finitos (con d isco n tin u id a d es infinitas). 3.1 I N T E G R A L E S I M P R O P I A S C O N L Í M I T E S I N F I N I T O S D e fin ic ió n 1.

Se a / :/ = [ a ; + o o ) - * R

una fu n ció n continua en el intervalo /.

L a integral im p ro pia de / de a a + c o se denota y se define com o

í Ja

f ( x ) d x = lím f f ( x ) d x t~’+ ' Ja r+CO

Se dice que la integral im p ro p ia I

f { x ) d x c o n v e r g e cu a n d o el lím ite existe.

•'a

S i el lím ite no existe o es infinito, se dice que la integral im p ro p ia d iv e rge .

Observación 1. Com o vim os en el capítulo anterior, si f (x ) > 0 , la integral definida

I f(x)dx

r e p r e s e n t a el área de la re g ió n p la n a lim ita d a p o r

la gráfica de f , el eje x y las rectas verticales x = a y x = t. Luego, cuando Ia integral impropia es convergente podem os interpretar que el valor de la integra! es el área de la región plana infinita que se encuentra a la derecha de la recta x = a y está comprendida entre la gráfica de f y el eje x (Fig. 3.1).

T Ó P IC O S D F C A I C U I. O - V O I I 'M F N II

Fig. 3.1

D e fin ic ió n 2.

Sea

Fig. 3.2

/: / = ( — °° ;b] -» R

una fu n ció n con tin u a en el intervalo /.

L a integral im p ro p ia de / de — oo a a se escribe y se define c o m o "b

rb

í f ( x) = J—00

l‘m í f { x ) d x t-»-00 J

S i este lím ite existe, se dice que ¡a integral im p ro pia es c o n v e rg e n te ; en caso contrario se dice que es d iv e rge n te . P o r otro lado, si f ( x ) > 0, V x e / y la integral im p ro p ia entonces

elv a lo r de la integral representa

el área

de la

ub icad a a izq uie rd a de la recta x = b y está lim itada p or

f { x ) d x converge,

I j

— 00

re g ió n plana infinita

la g rá fic a de. / y el eje x

(F ig. 3.2). D e fin ic ió n 3.

Se a /: E - * K

una fu n ció n continua en el intervalo { - o o ; + c o } .

L a integral im p ro p ia de f de — oo a + co se escribe co m o r + 00

I

r + co

f b

f ( x ) dx = I

J — 00

f ( x ) dx + I

J — OO

f ( x ) dx

J b

donde b es cu a lq u ie r núm e ro real. rb

,.+ 0 0

f ( x ) d x es c o n v e r g e n t e si tanto I

La integral im p ro p ia J — 00

f(x)dx

com o

—00

/ ( x ) dx s o n convergentes, y es d iv e r g e n t e

si a lg u n a

de las

in te grales

í im p ro pia s del lado derecho diverge.

( x - 2 ) e xd x c o n ve rg e o diverge.

E j e m p lo 1. D e te rm in e si la inte gral |

J-00 S o lu c ió n E n esta integral se a p lica la integración p or partes con u = x — 2 y d v = e xdx.

150

IN T E G R A L E S IM P RO P IAS D e la d e fin ic ió n de la integral im propia, se tiene

[

■Leo

lim f (x - 2) e x d x = lim [(x - 2 ) e x - e x] 2 t-f-CO Jt t->-CO t

( x - 2 ) e xd x =

lim [ - e 2 - ( t - 2 ) e t + e c] = - e z -

=

t —*—oo

E l ú ltim o lím ite es de la fo rm a

0. A p lic a n d o la R e g la de L ’H ó pita l, se obtiene

t - 2

lim ( t - 2 ) e c =

lim — —

t-*—oo

lim (t - 2 ) e c

t -+—co Q 1

1 lim -----

=

0

t- » - c o — Q~

P or lo tanto, c o n c lu im o s que r 2

f

( x - 2 ) e xd x = - e 2

J — (

E n co n clu sió n , la integral im p ro p ia es convergente y co n ve rg e a — e 2. r+°° E j e m p lo 2. D e te rm in e si la integral

^ _j_ 2X —— — — - d x co n ve rg e o diverge. x "f- 3x 5

S o lu c ió n +0°

i

x 2 4- 2x x 3 4- 3 x 2 4- 5

dx

i r +0 3 x 2 + 6x 1 t lim d * = x lim [ln x 3 + 3 x 2 + 5|] t->+cc 3 J 1 x 3 + 3 x 2 + 5 3 t-*+oo J1

1

1

3 t-»°°

3

— lim [ln | t 3 4- 3 t 2 4- 5| - ln 9 ] = ~ ( + o o ) = + o o P or tanto, la integral im p ro p ia dada diverge.

r + CO E j e m p l o 3. C a lc u le

-------- r d x . Loo

1+X2

S o lu c ió n E lig ie n d o b = 0 , se obtiene r +0°

dx

_ r°

=

=

X2 +

Jg

dx 1+ x 2

' r° dx f b dx lim ------- 7 + lim ------- 7 a->-oo J 1 + X 2 b-*+oo J 1 + x 2 lim [a rc ta n x] a -> -° O

=

r +co

dx

J_ 00 1 + X 2 ~ J_!x¡1 +

.y =

0 a

4- lim [a rc ta n x]

b-*+co

b

Fig. 3.3

o

lim [a rc ta n (a )] 4- lim [a rcta n (b )] = - ( — rr/2) 4- n / 2 = n

a-> - co

ö-»+oo

[ +°° P o r lo tanto, la in te gral im p ro p ia I

dx

------- - es con ve rgen te y co n ve rg e a n

J-oo i + x l

1

E n la Fig. 3.3 se m u e s t r a la g rä fic a de f ( x ) =

151

+ x2■

1+ x 2


f

ax

E j e m p lo 4. M u e stre qu e la integral I

—

J\

x^

converge si p > 1 y d iv e rge si p < 1.

S o lu c ió n Para p

f cd x _

1, se tiene que

xp

J i

—p + 1

~

Lu e go ,

C+codx

a) Si p > 1 ,

—

XP

f rt dx

=

lim t^ + QO

1

— = lim XP Í-.+CO (1 - P ) t p -1

1 -p .

p -1

y la integral co n sid e ra d a es convergente.

b) Si p < 1,

/•+cod x I— = lim Jj x p +

r Éd x — = xp

t 1' ? lim +° 1 - p

=:

4-00

1—p

y la integral co n sid e ra d a es divergente. f +” dx c) Si p = 1 , I— - = lim Jj

XP

I —

r £d x = lim [ln X

t->+co

t-*+00

t] = + C

y así la integral dada es divergente. En resum en.

3.2

■/;

xP

es conve rgen te si p > 1 y d ive rge n te si p < 1 .

IN T E G R A L E S IM P R O P IA S C O N L ÍM IT E S F IN IT O S

D e fin ic ió n 4.

Se a /: I-» R

(donde I = [a; ó »

una fu n c ió n co n tin u a en / y

lim / ( x ) = co. L a in te g ra l im p r o p ia de / de a a b se d e fin e c o m o

x-*b

f f ( x ) d x = lim í / ( x ) d x Ja t-*»' Ja S i ellím ite existe, se dice que laintegral im p ro p ia contrario se dice que es d iv e rge n te .

es c o n v e rg e n te ; en caso

L a d e fin ic ió n dada tam bién es equivalente a rb

I

rb-E

f { x ) d x = lim

Ja Si / ( x ) > O, V x

I

/ ( x ) dx

E" 0+ Ja £ [ a ; b ], y la inte gral im p ro p ia

I/ ( x )

dx

es convergente,

el

v a lo r de esta integral representa el área de la re gió n in fin ita lim ita da p or la gráfica de /, el eje x y las rectas x = a

A

x = b (F ig. 3.4).

152


a

t

Fig. 3.5

D e fin ic ió n 5.

Se a /: / - * E

(donde / = (a; b ]) una fu n c ió n co ntin ua en / y

J im / ( x ) = oo . La in te gral im p ro p ia de / de a a b se e scrib e co m o

f f ( x ) d x = lim í / ( x ) d x Ja a A S i el lím ite existe, se dice que la integral im p ro p ia es co n vergen te; en caso contrario se dice que es divergente. L a d e fin ic ió n dada tam bién es equivalente a rb

r b

I f(x)dx = Ja

lim

f(x)dx

I

e~>0 J a+e

Si / ( x ) > O, V x e [a; ¿ ] y la in te gral im p ro p ia I / ( x ) d x es convergente, el v a lo r de esta integral representa el área de la región infinita lim itada p or la g rá fic a de /, el eje x y las rectas x = a

Definición 6.

A

Se a f : I -» E

x = b (Fig. 3.5).

(donde / = [a; £>]) una fu n c ió n co n tin u a en /,

excepto en a lg ú n p u n to d G (a; b) en d o n d e

lim / ( x ) = o o ó

lim / ( x ) = oo. x-*d +

En ton ce s se define

f f ( x ) d x = í f ( x ) d x + í / (x )d x • 'a

• 'a

Jd

rb

f d

rb

l.a inte gral im p ro p ia I f ( x ) d x es convergente s i tanto I f ( x ) d x c o m o I f ( x ) d x ja

'a

Jd

son convergentes, y es d ivergente si a lgu n a de las integrales im p ro p ia s del lado derecho diverge.

15 3


Observación 2. Si la función f definida en (a; b) (a p u ed e ser —oo y b pu ede ser + 00 ) tiene dentro del intervalo (a; b) un número finito de puntos de discontinuidad infinita c1(c2, ....,cn , entonces la integral de la función f en (a; b) se define como f f(x)dx = f

f(x)dx+ f

*a

• 'a

f(x)dx + ...+ f

*Cx

f(x)dx

cn - i

siempre que cada una de las integrales impropias d el segundo miembro sean convergentes. Si p o r lo menos una de las integrales diverge, entonces fb

I f(x)dx

ta m b ié n d iv e r g e

Ja

E j e m p lo 5. D e term ine, s i existe,

f2

dx

I — J1 V x - 1

S o lu c ió n

1

La fu n c ió n / ( * ) =

— .- es co n tin u a en (1; 2] y

lim f ( x ) = + 00.

Lu e go , / =

[

=

lim

= lim Í 2 V x - 1 ] 2 = lim Í 2 - 2 V t - 1 1 = 2

í

P o r lo tanto, la integral im p ro p ia / es convergente y c o n v e rg e a 2.

E j e m p lo 6 . M u e s tr e q ue la in te gral p

f 1 dx

I

—

Jq x

co n ve rge si 0 1.

S o lu c ió n a) Para 0 o+ 1 - p

ti-P 1 -p

1 -p

y la integral considerada es convergente. b)

Para p = 1 , I

f * dx

— = lirn J0 x t-*o+

f * dx

— =

x

lim ( - ln t) = +00

t-o+

y la integral dada es divergente. c)

Para p > 1 , I

[' dx

— = lim

J0 x pt-»o* J t

y la integral es divergente.

f 1d x

I — =

xP

lim

11

( p - l ) t P -t-o+ 1 p - 1

+00


/■*/«

Ejemplo 7.

I

Calcule, s i existe, la integral

cot 9 d.6.

■ '-fr/4

S o lu c ió n Se o b se rv a q u e la fu n c ió n / ( f l) = cot 6 =

tiene d is c o n tin u id a d in fin ita en

se n 8 9 = 0. A s i, la integral d ad a se escribe co m o r0

r*r/ 4

I

J - n /4

r ít/ 4

c o t9 d8 +

co t 8 d.8 = i

J-n/4

cot 8 d8

Jo

Puesto que la integral

í

c o t 8 dd = lim í

lim [ln|sen 0 | ] I l M

co t 8 d 8 -

^

e - 'O + J - n / 4

J —n / 4

0+

'

J[im+ [ ln | -s e n (e )| - l n ( V 2 / 2 )] = - o o

-

es divergente, entonces la integral dada tam bién es divergente

r o e i/x

Ejemplo 8.

Calcule I

J

— j~ d x (si existe).

x

S o lu c ió n C La fu n c ió n f ( x ) = —

x

tiene d isc o n tin u id a d in fin ita en x = 0. Entonces, u s a n d o el

m étodo de in te gración p o r partes, se obtiene

rr0 egl/X ' — z - d■x = -lim

J_! Ï 3.

r -1 ff ~- ££ ep i/x 1/x r I1 — j - d■x = -lim [eei / * _ _ e i/*l

£->0+J_! X3

£->0+1

X

2 + - e _1/£ - 2 e ' £

— lim £-*0+ L

e _1/£ 0 N O T A : El lim ite Um+ — - — es de la fo rm a - . A p lic a n d o la Régla de L’H ô p ita l, résulta e -1/£ 7 limi , --------= lim T7t- = — u ni — t

£-♦0 +

e

-l/ e 2 î l i m -------------------------r-4 = 0 n 2—* ■

£-*o+ e1'*

£-*0+ei/£^_

+ 00

Ejemplo 9.

Calcule, s i existe,

I J-co

dx ¿)

Solución La fu n c ió n / ( x ) = — — —

x {x - 2)

tiene d isc o n tin u id a d infinita en x = 0 y x = 2.

E lig ie n d o lo s p u ntos * = - l , x

3

= l y i = 3 ,

155

la in te gra l d ad a se escribe


dx

r +"

_

r -1

dx

J_m x ( x

J_M x ( x - 2 )

r°

dx

r1

dx

r2

dx

- 2 ) + J_t x ( x - 2 ) + J0 x ( x - 2 ) + Jx x ( x - 2)

’3

dx

J, x ( x -- 2) i2 *(* 2)

^ f +”

dx

J3 J3

x ( x - 2)

Puesto que la integral

rt

dt

lim t->0- J-i 0

lim

t-2

rl lim

~ 1)

=

2_

2 ln

-ln 3

-

t

1

x -

2

2 ln

= 4-00

dx

— ------- — es divergente.

es divergente, e n to n ce s la integral I

J —oo X (.X — ¿ )

De te rm ine el v a lo r de n para el cual la integral im p ro p ia

E je m p lo 10.

3X

-+ » / «

[ ( V— J, x +

x

2x2 + n)

1

dx

es convergente. A d e m á s, calcule la integral para d ich o v a lo r de n. S o lu c ió n A l aplicar la d e fin ic ió n de la integral im propia, se tiene

f +co /

l

n

V ÍT Í

3x " 2x 2

+

\

n

n ) dX ~

I

t

3x

\

~ 2x 2 + n

n

(t + l ) n lim ln t-* + 00 ( 2 t 2 + n ) 3/4

)

dx 2n

ln -

(2 + n ) 3/4J

Com o ( f + 1) n lim =--------T77 = t^+co ( 2 í 2 + n ) 3/4

lim

( t + l)n .....— -------------------------------V 8 Í 6 + 1 2 n t 4 + 6 n 2t 2 + n 3

3 e n to n c e s e ste lím ite e xiste c u a n d o n = -

3 ó n < 2 5/2

a) Si n = - ,

2

b) Si n < - , 2

lim ln t-»+oo

lim

t —*+oo

,

(t+ir

( 2 t 2 + ± ) 3/y (t + 1 )"

i-'-i—

3

\ ( 2 -f-| )3/4;

,

3 7 3 = 74 l n 74 _ o 2 ln 2

2"

ln — ------- TT7T - ln ( 2 t 2 + n ) 3/4 (2 + n ) 3/4

3 3 7 3 P o r tanto, el v a lo r de n es - y d v a lo r de la in te gral es - ln — — - ln 2.


E JE R C IC IO S D e te rm in e si las sigu ien te s integrales so n con ve rgen te s o divergentes. S i es convergente, calcule su valor.

1.

r +00

í I

sen x

dx

i?, diverge

r+OO .

í

2- 1 r

P «*

+ 00

e ~ * dx

R. i

f +c° \x\e x d x

R' i

3- I

Jo

4.

5

I

J — 03

f'

'

dx

1

5V4

r

(*-2 )3 / 5

6. r

JO

*

fi. 2

Ve*

r 1 dx

^3

7' J

r +0°

fi- diverge dx

n

J -co 4 x 2 + 1 /•+00 9.

Jo

**2

xdx

i fi- — la

l + 9) 2 (x2

dx '» ■ /

J0 V 9 ^

n.

17

r

7T

,

*.

0— dx~

fi. O

J-2 - 2 VxTT

r

J0 1

2

+ cosx

diverge

157

TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUM EN II /• ig i/x

13.

J —— Jo x

R. d iv e rge

r +“ d x

14- {

^

R - 100

r /2

16-

dx

í—

I

x..5 d x

rr+ " I

d iv e rge

(1 + x 3) 7/4

r +0° 17.

Rú diverge

1 — se n a~:

Jq

— —

dx - ---------------------------------------------------------------- - R. n

J-o* * 2 +' 2x + 2 r+ O O

e-a*sen bx dx

R.

——

f +0° I e a* eos fax d x

R.

t (a > 0 ) a 2 + fc2

18. í

J0

19.

'o +"

— (a > 0)

a¿ + o¿

a

dx

7T

xVx2 — 1

2

f +0° a r c t a n x

21' J P ? 22.

•+0° d x í +0° — d—* -

Jn

r1

2 tt

R.

2V3

X3 + 1

dx

23- J„

*• ‘« ''“ se

r +co

24.

í

R .2

e - |x| d x

J — 03

25. J V i + x “ 2/3 d x

/?. 2 ( 2 V 2 — 1)

158

INTEGRALES IMPROPIAS r+ca + 00

26 .

27-

28

I x2e ~x 3 dx

fi. d ive rge

J—OO

— 1 — — 2x fr+ “ —X ¿JL I u. ;------ 7T~ d x Jo 3 x 2/3(x - l ) 2 '

fi. d ive rge

dx

■/:

fi. 3

|VF+T|

dx

+0° 29. /_

_œ e* + e~x 1 ( I - * 3) 1' 3

3o-

c

[ +0°

dx

fi. d ive rge

x

31-

^-------i d x J --00 œ 1 + x4

32.

J -1

fi. 0

dx fi. d ive rge

,2 x 3( l + x 3) 4/3

fi. d ive rge

„

lr+"Vxr=T

3H 35.

—

dx

r+œ

' / •'0

dx

^ ________ _

(a2+fc2)(è2 + x2)

2 a b (a + b)

fr-+00 36.

e

dx

fi. 1

* — 00

( aai - e

37.

— = Jo V a 2 -

38.

f Jo V4x —x 2

4

dx

f i . 7T

159

TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II 3 9.

40.

41.

f n sen 6 d d

r. R. 2V2

—............... J0 V I + eos 9

r4

x dx

f1

dx

R. 4

, Jo V l 6 — x 2

R. n

------------------------Jo V x ^ x 2

x5

42.

dx

R. - -

■ /-iV T T ^ 3

44

9

x 5 dx ----------------( 1 + x 3) 5/ 2

r +0°

1 's

5V2

/?. -----18

dx

4 5- f

l ) ( x ~ o.. 8 x +. ^ 15)

diverge

:r 2 ¿ x 3á d x

192

R' ~3S

4 6 ‘ Ji 1 =V x - 1 r-++CcOo

7. 47.

I

2

2 x 2e~3* dx

27

Jo

48.

4

f4

dx — -----Ji x 2 - 4

/?. diverge

<•+00

x ne~x d x

49.

R. ni

Jo r +00c o s x 50. Sabiendo que I — p -d x = Jo

/Tf

f +0° s e n x

I— , halle el valor de la integral I

Vx

/?. V 2 tt

dx 5 1 . Muestre que I —------ converge si 0 1.

160

,—

n2

dx.

J0

V x3

INTEGRALES IMPROPIAS 52. Si G ( a ) =

'•+00 dx ^ - + xa)X ( 1 + x 2 ) . c a lc u le G (0), G ( 1), G (2 ). /?. 7t/ 4 ; nr/4; tt/4

f +° °se n x tí f +0° s e n 2x 53. S a b ie n d o q u e I ------- d x = — , calcule el v a lo r de I — r — dx.

J0

x

2

J0

x2

R. n / 2

54. E sb o ce la gráfica de la fu n c ió n F ( x ) =

I

f ( t ) d t en lo s s ig u ie n te s casos:

J — 00

s i |t| > 1

(1, b) m

= |i

2 ,

si t < 1 Si | t | > 1

555. 5 Se S eaa /f ((xxI -) - í ^™ * * ’ sSÍ |x| >~ 33 i W

1

f+co D e te rm in e m de m o d o que I

/ (x )d x — 1.

R. m = —

J-œ

18

3.3 I N T E G R A L E S I M P R O P I A S C O N I N T E G R A N D O S N O N E G A T I V O S P r o p o s ic ió n 1.

S e a / u n a fu n c ió n no negativa en

[ a ; b ) (esto es, / ( x ) > 0 ) e

integrable en [a; t] para todo t 6 [a; b). Si la fu n c ió n F ( t ) =

I / ( x ) d x es acotada en [a; £>), e nto n ce s I / ( x ) d x converge. Ja

• 'a

D e m o s t r a c ió n C o m o / ( x ) > 0, V x £ [a; fe), e n to nce s F ( t ) =

I / ( x ) d x es creciente e n [a; 6).

Ja Por hipótesis, F ( t ) es acotada. E n to n ce s F ( t ) es creciente y acotada en [a; b). P o r tanto,

lim_ F ( t ) existe y es finito, es decir, t—

161

I / ( x ) d x es convergente, /

• 'a


P roposición 2 (C rite rio de C om p aración ) Se a n / y

g

fu n c io n e s tales que

a) Si

< g ( x ),

0 < / (x )

para to d o

I g ( x )d x converge, entonce s

I / ( x ) d x converge.

•Ja 'a

“' a

b ) Si I f ( x ) d x

x

e [a ; b ), e

[a; b). Lu e go ,

integrables en [a; t], V t e

diverge, e n to n ce s

• 'a

s(x )d x

diverge.

*'a

D em ostración S e sigu e inm ediatam ente de la p ro p o sic ió n 1 y de la d e sigu a ld a d

í f ( x ) d x < í g ( x ) d x , V t 6 [a ; b ) • 'a

■'a

dx

f +0°

Ejemplo 11.

J

V e rifiq u e s i

4^

" i co n ve rge o diverge.

Solución C om o

0 < -----

1

1

< —

r , f +codx , M x £ [2; + 00), y — - es co n ve rg e n te (v e r

h'2

f +°°

ejem plo 2 , p = 6 ), e nto n ce s se concluye que

J

2

Ejemplo 12

x6

dx

——j = = = x

- V

f1 . A n a lic e el co m p o rta m ie n to de la in te gral

es convergente.

l + :

dx

, = . Jo V x 2 + 2 x

Solución C om o 0 <

1 , , f 1* < - = , V x £ (0; 1 ], y -p V x 2 + 2x Vx Jo V x -

1

f1

' , es co n ve rg e n te (v e r ejem plo

dx

4, p = 1 / 2 ) , se co n clu ye qu e

es convergente.

Jo V x 2 + 2 x fr -33

Ejemplo 13.

V e rifiq u e si

dx . „■= es co n ve rg e n te o divergente. i-o, V x 2 + 3 x + 2

Solución C om o 0 < —

I

3

1

1 < — - , V x £ ( - 00; - 3 ] , y x V x 2 + 3x + 2

-

dx

es divergente.

Vx2 + 3x + 2

162

fí 3 dx dx ---------------------- diverge, ento n ce s j -00 *

IN T E G R A L E S IM P R O P IA S

rb D efinición 7. Se dice que la integral im propia

f f ( x ) dx es a b s o lu ta m e n te

b

co n v e rg e n te cuando I |/( x ) |d x es convergente.

Ja

P ro p o sició n 3. Si

la

integral

I /( x ) d x

es

absolutam ente

convergente,

Ja

entonces es convergente.

Demostración Como 0 < |/ ( x ) | — f ( x ) < 2 |/ ( x ) | , se sigue, por la proposición anterior, que l / M I —/"(■*) es convergente. Luego, rb

r-b

rb

I /( x ) d x = I |/ ( x ) |d x — I [ |/( x ) | - / ( z ) ] dx Ja

Ja

Ejem p lo 1 4 . Analice sí

converge

Ja f +coCOS O 2)

-------— dx es convergente o divergente. x

I

Ji

Solución La integral dada es absolutamente convergente, pues eos (x 2)

1

< —

*

r * , V x e [ 1 ; + c o > , y la integral

f +c° d x

Ji

—

x

es convergente.

f +° ° c o s ( x 2)

Luego, por la proposicion anterior, I Jl

----- -— dx es convergente. X

Proposición 4 (C riterio del Lím ite) Sean / y g fu n c io n e s su p o n g a m o s que

no

negativas

integrables

en

m lim — — = r . x-*b- g ( x ) i\) S i 0 < r < + o o , entonces las integrales im p ro p ia s F = í fW d x Ja

y

G = í g(x)dx Ja

son a m b as co nve rgen te s o a m b as divergentes. b) S i

r —O

y G co nve rge, entonces F converge.

c) S i r = ± o o y G diverge, entonces F diverge.

D em ostración, (ejercicio para el lector).

163

•

[a; t], V t 6 [a; b),

y

TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II C o r o la r i o 1.

Se a

su p o n g a m o s que

f

una

fu n c ió n

integrable

en

[a; t ] , V t G [a; + 00 ), y

lim x p/ ( x ) = r < + 00 . X->+oo

Lu e go , se tiene: a) Si p > 1, e n to n ce s Ja+° ° / (x )d x converge. b ) Si r

f ( x ) d x diverge.

0 y 0 < p < 1, e n to n ce s

C o r o la r i o 2.

Se a / una fu n ció n integrable en [a; t ] , V t 6 [a; b), (b e l )

y

su p o n g a m o s que lim ( b - x ) p/ ( x ) = r < + 00 . x -*b

L u e go , se tiene a) Si 0 1, e n to nce s

I / (x )d x

diverge.

Ja r ”

E j e m p lo 15. A n a lic e si

h

d* --------- co n ve rge o diverge. x 3V 4 x 5 + x 3 — 1

Solución C o n sid e ra n d o que lim x 11/2----- , ..... - -.......— ■ = — (e n este caso p = — X -.+ 0 0

x 3 V 4 x 5

4- x 3

—

1

2

\

se concluye, p o r el c o ro la rio 1, que la inte gral

E j e m p lo 16. V e rifiq u e si

>

2

/

r +0° dx I -----converge. J2 x 3V 4 x 5 + x 3 — 1

f5 dx I — 2---------,2 co n ve rg e o diverge. ^2 ^ )

Solución T e n ie n d o en cu e nta q ue M

1 1 lim (x — 2 ) 3/2 ■ ------- ------- t t t t t = — 7= J ( x - 2 ) 3/2 (x + 1 ) 3/2 3^3

( en este

caso p - 3 / 2 > 1), la integral es divergente (se usa el co ro la rio a n á lo g o al co ro la rio 2, re e m p lazan d o (í> - x ) p por (x - a ) p).

x dx f° E jem p lo 17. A n a lic e si I jp = = = = = = ^ = lice

co n ve rg e o diverge.

J—oo V 2 x 9 4- 8 x — 10 Solución L a in te g ra l c o n v e rg e , p u e s

lim x *-*+ “

x

1

• ,-------V 2 x 9 + 8 x - 10

V2

164

( b = 2 > 1).

1INi tOKALhb lívlrKUrlAÍS

EJERCICIOS A n a lic e la co n ve rg e n c ia o d iv e rge n cia de las sigu ien te s integrales im p ropias.

1.

dx

" +0°

í

/?. co n ve rge

J2

dx /?. co n ve rge

x 2 + 3x + 4 r+CO

(x + l) d x /?. co n ve rge

x3- 1

í +0° x + x3 + 3 X4 + x dx

4- J

'

í

R- co n ve rg e

R. co nve rge

X3 + X2

+0°

dx

■l

c3 Mx2 + 4

r +0° x 3 + 1

j dx

7- J2 2

R ■ diverge

j^x 2n -r1 V

dx

o

R. d ive rge

x 2 Mx2 + X + 1

+”

e -2 * d x

R. co n ve rge

x 2 + 3x + 5

> 1

r-ruo

10.

e _Ars e n ( x 2) d x

R. co nve rge

e~x dx

R. co n ve rge

r +00

11.

I

0 f +" 12'

i

dx x 2( i + e x)

R; ¿ o n v e r ee

165

TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II i,

fS

R. c o n v e rg e

dx

' J4 x V 2 5 ^ F 14

f 3 * 3 + L dx 4 ^ 1

R. co n ve rg e

fxsen’Qdx

R. co n ve rg e

’ h

15.

l"1 _______ ^ _______

R. co n ve rg e

r 1 s e n ( x 3) d x

R co nve rge

17- í

18

r*

f ' _ i ---- dx Jo

9n

r + co

R. converge

"i-

rlv

.__________ ____________

J1 x4 + 5x3 + x 2 +x + l

R. co n ve rg e

APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA 'tts

(F'

Hn este capítulo a bo rd a re m o s a lgu na s a plicacion e s de la integral d e fin id a a ios p rob le m as geom étricos, fís ic o s y e conóm icos. 4.1 Á R E A D E R E G I O N E S P L A N A S CASO

I: Se a /: [a ;b ] -» IR una función continua y

f ( x ) > 0, V x 6 /. D e la

interpretación ge om é trica de la integral d efinid a se sig u e que el área de la región

R lim itada p or la grá fica de /, el eje x, las rectas x = a y x = b (F ig. 4.1) está dada por

A (R ) =

C A S O II:

Se a n /

f(x )d x ^ u 2

y

g

d os

fu n cio n e s con tin u as

V x £ [a; b]. E l área de la re gió n

íl

en

[ a \b ] y g ( x ) < f ( x ) ,

lim itada p o r las rectas x = a A x = b

las gráfica s de / y g (F ig . 4 .2 ) está dada por:

A (n) = ( í [f(x ) - g ( x ) ] d x ) u 2 Para dem ostrar esta fórm ula, co n sid e re m o s el nú m e ro real k tal que V x £ [a; b].

k < g(x),

y

TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II Efe ctuan d o u na traslación de ejes al origen 0 ' ( 0; fc), las nu e va s e cu a cio n e s de las

y = f(_x), y = g ( x ) y de las rectas x = a y x = b son, y x = f ( x ) —k , y x — g ( x ) - k , x = a y x - b (p o r las fó rm u la s de traslación y x — y — k A x x — x). P o r lo tanto, en el n u e vo sistem a cartesiano x 10 ' y 1 se ve rifica cu rva s

respectivam ente,

0 < g ( x ) — k < f ( x ) - k , V x e [a; b] L u e go , teniendo en cuenta la fó rm u la del caso I, se tiene

a

Observación 1. Si la región R está limitada p o r las gráficas de x = / ( y ) , x = g (y ), las rectas y — a A y — b (Fig. 4.3), donde f y g son funciones continuas en [a; b] y g ( y ) < / ( y ) , V y E [a; b], entonces el área de la región R es

y - o

Fig. 4 .4

Fig. 4 .3

E je m p lo 1. C a lc u le el área de la re gió n lim itada por 71

y = sen x , x - 0 , x

• y ~ ®

S o lu c ió n D e la d e fin ic ió n d ada en el ca so 1 y de la fig ura 4.4, se obtiene

APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA I ¡im plo 2. C alcule el área de la región S lim itada por

y

2 |x | , el eje x y las rectas x = — 2 y x = 1

1 + x2

Solución l'itr la d e fin ic ió n de v a lo r absoluto, se tiene que r-x , x < 0 1*1 = { ; U , .x > 0 A m , por la fó rm u la dada en el caso I y la figura 4.5, resulta -1 x ro

= [

f° = -

2|x|

,

j 2x

f 1 2x ------- T dx J0 l + x 2

------- r d x +

J-2 1 + x

= - [ l n ( x 2 + 1 ) ] ° 2 + [ l n ( x 2 + 1 ) ] q = ln 5 + ln 2 = (ln 1 0 ) u 2

r.jem plo 3. C a lc u le el área de la re gió n lim itada p or la p arábola y = eje x y las rectas x = - 2

A

x 2 + 4 x , el

x = 2.

S o lu c ió n ( »bservando la gráfica de la re gió n (F ig. 4.6), se tiene que para / ( x ) = x 2 + 4 x se m in p le / ( x ) < 0, V x 6 [ - 2 ; 0]

y

/ ( x ) > 0, V x 6 [0; 2]

l’or tanto, el área de la re g ió n p ed ida se d esco m p one en la su m a de las áreas de las regiones

y R2, es decir,

A ( R ) = A ( R 1) + A ( R 2) f0 f2 16 32 = - l ( x 2 + 4 x ) d x + I ( x 2 + 4 x ) d x = — + — •= 1 6 u 2 J -2 J0 J 3

169

I» TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II E je m p lo 4. H a lle el área de la re gió n F lim itada p or las gráfica s de

y - x 2 , y —x3 , x - - 1 ,

x = 2

S o lu c ió n lin la gráfica de la re gió n F (Fig. 4.7), se ob se rva que

x 3 < x 2 , V x 6 [ - 1 ; 1] y x 2 < x 3 , V x

e

[1; 2]

Luego,

A (F ) =

J1 r

( x 2 - x )d x +

Jr 2( x ,3 -

8

x 2) d x = —

17 25 _ + — = — u

E je m p lo 5. H a lle el área de la re gió n lim itada por las gráfica s de y = a r c s e n x , y = a rc c o s x , y = 0 S o lu c ió n L a s gráfica s de las fu n c io n e s y = a rc s e n x y y = a rc c o s x están d adas en la Fig. 4.8. A h o ra bien, p o r la d e fin ic ió n de las in ve rsa s de estas fun cio ne s, resulta x = s e n y < x = e os y , V y 6 [ü; - ] P o r consiguiente, el área de la re gió n p ed ida es ,-71/4

,4 ( 12) =

I Jo

( e o s y - se n y ) d y = ( V 2 - l ) u 2

liste ejem plo se puede re solve r u san d o a x c o m o variab le independiente, esto es,

/l(/2) =

/•>/2/2 r1 I a rcse n x dx + f arcc o sxd x Jo J\/2/2

lis evidente que en este caso el p roced im ie n to es m ás c o m p lic a d o que el anterior, por

lo

que

re co m e n d a m o s

al

lector

escoger

independiente antes de a plicar la fó rm u la del área.

170

adecuadam ente

la

variable

APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

K jc m p lo 6. H a lle el área de la re gió n R lim itada p or las gráfica s de

y = 4 - x 2 , y = ln (2 x - 3 ) , y = 1 S o lu c ió n I ;i gráfica de la re gió n R se m uestra en la fig. 4.9. P o r c o m o d id a d co n sid e ra m o s a c o m o v a r ia b le i n d e p e n d i e n t e , e s t o e s , x = ^ 4 -

y

a

ey + 3

x

-. Luego, se

obtiene

A( R) ~ l

y (L r ^ ~ J * : r y ) dy = Tey

^ 3y

+ ^2

- y

) 3/2

I ji-m p ío 7. H a lle el área de la re gió n R lim itada p o r las gráfica s de y = |x3 - 4 x 2 + x + 6 | , 3 y + x 2 = 0 , x = 0 , x = 4 S o lu c ió n I ti gráfica de la re gió n R se m uestra en la fig. 4 .10 y su área de la re gió n es

A(R) =

=

J f4

Jo

j|x3 - 4 x 2 + x +

6¡ -

|x3 - 4 x 2 + x + 6| d x +

y jj

dx

í 4x 2

— dx

Jo

3

l'íii.i hallar la integral del v a lo r absoluto, tenem os en cuenta que |x3 - 4 x 2 + x + 6| = |(x + l ) ( x - 2 ) ( x - 3)|

[ x 3 - 4 x 2 + x + 6,

0 < x < 2

|x3 - 4 x 2 + x + 6| = •{ - ( x 3 - 4 x 2 + x + 6 ) , 2 < x < 3

3- 4x2 + x + 6,

171

3 < x < 4

TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II L u e go , r4

/=

í \x3 — 4 x 2 + x + 6\dx 'o

= í ( x 3 - 4 x 2 + x + 6 )d x - f ( x 3 - 4 x 2 + x + 6 ) d x + f ( x 3 - 4 x 2 + x + 6 )d x Jo J2 h _ 22

1

4 7 _ 71

_ T + 12 + 12 ~ T P o r tanto, el área de la re gió n R es 71

A (R )

64

341

2

u

4 V2

( r *

1 1

64 dx = -

E j e m p lo 8. H a lle el área de la re gió n í í que se encuentra en el p rim e r cuadrante y está lim itada p o r las cu rva s x y = 1 , x y = 3 , x - x y = 1 , x — x y = 3. S o lu c ió n Se ve rifica fácilm ente que las gráfica s de las cu rva s se intersecan en los puntos

>1(2; 1/2) , 6(4; 1/4) , C (6; 1/2) y D ( 4; 3/4) L a gráfica de la re gió n Q se m uestra en la fig. 4.11. Finalm ente, el área de la re gió n Q es

AW

= A W ¿ + M B O = [ [(i - i) -

1} i x

729 = (2 — ln 4 ) + ^ 6 ln ^ — 2 j =

In 256 "

172

.

+ j ‘ | ■- (i - ;)

dx

APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA E je m p lo 9. H a lla el área de la re gió n F , ubicada en el p rim er cuadrante y que está lim itada p or las gráfica s de y = x 2 , x 2 = 4 y , x + y = 6. S o lu c ió n L a re gió n F se m uestra en la Fig. 4.12. L o s p u ntos de intersección de las cu rva s en el p rim e r cuadrante se hallan re solvie n d o sim ultáneam ente ecuaciones:

y = x2

y

_ 6 _ x <=> x

= 6 - x<=>x2 + x - 6 = Q= * x = 2 (p a ra el p rim e r cu a d ra n te )

y = x 2/ 4

y

=

6

-

los pares de

x <=> —

-

y = 6 —x

6- x

x - 2 4 1 - 2 (p a ra el p r im e r c u a d ra n te )

.uego, el área de la re gió n F es

A (F ) - A (F i) + A(F2) =

J

( x 2 - ^ x 2^Jdx +

j

^6 - x - ^ j d x

1 1 = 2 + - ( 2 8 V 7 - 6 8 ) = - ( 2 8 a/7 - 6 2 ) u 2

K je m p lo 10. L a re gió n F , lim itada p or la cu rva y = 1 0 * - 5 x 2

y el eje x, es

d iv id id a en d o s partes igua le s p or una recta que pasa por el origen. H a lle la e cuación de d ic h a recta. S o lu c ió n L a re gió n F se m uestra en la Fig. 4.13. L a pendiente de la recta L que pasa por el orige n y por el punto .r>a2) es

(a; 1 0 a -

10a — 5 a 2 m = --------------- = 10 - 5a. a A sí, la e cuación de la recta L es y = (1 0 - 5a)x. I’or otro lado, el área de la región F es /K F ) =

I

Jo

Fig. 4 .1 3

20 ( 1 0 * — 5 x 2) d x — -—u 2

3

A(F) 10 Ahora, c o m o F = F1 U F2,c o n A (F 1) = A(F2), y A(Ft ) - —— = — , e n to nce s ra M F i) =

I

JQ

5 10 [ ( 1 0 x - 5 x 2) - ( 1 0 - 5 a ) x ] d x = - a 3 = — = > a = V 4 6 3

l’or lo tanto, la ecuación de la recta L es y = ( 1 0 - 5 \Í4 )x .

173

TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II E j e m p lo 11. U n a p aráb ola de eje vertical corta a la c u rv a

y = x3 + 2

en lo s

puntos ( — 1; 1 ) y (1; 3). S i se sabe que las cu rva s m e n c io n a d a s encierran una región de área 2 u 2, halle la e cuación de la parábola. S o lu c ió n Este p rob le m a tiene d o s soluciones. Prim er caso:

C u a n d o la p aráb ola está por debajo de la cu rva y — x 3 + 2.

Se g u n d o caso: C u a n d o la p aráb ola está por encim a de la c u rv a y = x 3 + 2. P r im e r caso: Se a

(F ig. 4 .14 ) la región lim itada p o r la p aráb ola b u scad a y la

p arábola se m icú b ic a y = x 3 + 2. C o n sid e ra n d o que la ecu a ción general de una p arábola de eje vertical es y = A x 2. + Bx + C y que

los p u ntos ( — 1; 1 ) y (1; 3 ) pertenecen a d ich a parábola, se tiene 1 = A - B + C 3

Com o ^ C f i) =

...

(a )

= A + B + C

f (x3 + J -i

...(/?)

2 - A x 2 ~ Bx - C)dx = 2 = > A+ 3C = 3 ... (y )

R e s o lv ie n d o ( a ) , (/?) y ( y ) se obtiene

B = 1 , A = 3 /2 , C = 1 / 2 L u e go , la ecuación de la p aráb ola es 2 y = 3 x 2 + 2x + 1.

S e c u n d o caso: Se a F-¿ U ig- l l í j región lim itada por ¡a p arabola

b u scad a y la

parábola se m ic ú b ic a y = x 3 + 2. C o m o A(F2) =

j

( A x2 + Bx + C - x 3 - 2 ) d x = 2 = > /I + 3 C = 9 ... (A)

R e so lv ie n d o ( a ) , (/?)

2y

y

(A ) se obtiene que la e cu a ció n de la p aráb ola es

= 7 + 2 x - 3 x 2.

174

APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA K jc m p lo 12. C alcu le , si existe, ei área de la re gió n infinita c o m p re n d id a entre ia n irv a ( 2 a - x ) y 2 = x 3, ( a > 0 ) y su asíntota vertical. S o lu c ió n I ;i asíntota vertical de la cu rva es x = 2a. E n la fig. 4.16 se m uestra la grá fica de l;i región infinita Q . Lu e go ,

A (íi) =

2 -Í'o

--------- dx — 2 lim

2a —X

-

JÍo' t V 2Íax —:

t->2a ,2a

-.dx

= 2 lim I —= = : dx t_>2a Jo ^ J a 2 -— ( x - a ) : I laciendo u — x — a se obtiene

A ( ü ) = 2 t lim _ a 2 ^ a r e s e n ( — ^ ~ ) - ^

= 2 «¿‘12- “2[iarcse" ( - ir

(.* + 3 a ) v 'x ( 2 a - x )

- ¿ (t + 3“)V«2a-t) +

)

= 2“2 ( t + t ) = (3,i“2)“ 2

Fig. 4 .1 7

K je m p lo

13. D a d a la re gió n infinita í í

lim itada superiorm ente p or x y = 1,

inferiorm ente p o r y x 2 + y - x - 0 y a la izq uie rd a p o r x = 1; calcule su área si existe. ’ S o lu c ió n L a re gió n Í2 se m uestra en la fig u ra 4 .17 y su área requerida es


E JE R C IC IO S I)

So m b re e la re gió n Í2 lim itada p or las curva s dadas y calcule su área.

TI

71

1.

y = cosx,x = - - , x = - , y - 0 .

2.

y = x 2 + 2 x - 3 , x = - 2 , x = 0 , y = 0.

/*. T

3.

y = 9 - x 2 , y = x 2 + 1.

64 . fi. y u 2

4.

y

5.

y = 3 x - x 2, y = x 2 - x.

6.

x = 0 , y = ta n x,

7.

y = x 3 + x,

8.

y = l n ( x 2) , y = ln 4 , x = e.

R. ( 4 - e ln 4 ) u 2

9.

x = e y , x = 0, y = 0 , y = ln 4 .

R. 3 u 2

3

2

,

22

x

- x

, y = 0, x = - 1 , 1 + x2'

x = 2.

u

, n 11 88 \ /?. “—)u , ( 1l + - - arctan 2 +- - ln 2 5/ 8

,

R : 3 tt

y = -c o sx . 5

x = 0,

y = 2,

y = 0.

2

R. - u 2 4

3x 10. y = a r c t a n x , y = a rc c o s — , y = 0.

/2 f i- u

11. y = a r e s e n x ,

». g - V l ) u 2

y = a rc c o s x ,

x = 1.

2

4\ i)

2

1 2 . y = x 3 - 3 x 2 + 2 x + 2 , y = 2 x 2 - 4 x + 2. 13. y = 4 - l n ( x + 1 ) ,

y = l n ( x + 1 ) , x = 0.

R. 2 ( e 2 - 3 ) u 2

14. í í es la re g ió n encerrada p o r la elipse a 2x 2 + b 2x z = a 2b 2.

R- n a b

15. Í1 es la re g ió n de m a y o r área encerrada p or las c u rva s x 2 — 2 y 3 = 0 ,

x 2 - 8 y = 0,

y = 3.

R ■ ( _5 _ + 5 ^ ) u2

16. í í es la re gió n de m e n o r área lim itada p o r las cu rv a s x 2 + y 2 = 2 0 ,

y 2 = 2 x 3.

R. íI 2 0 a re s e n —2 - -8\ Ju

APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA 17. í í es la región de m a y o r área encerrada por las gráfica s de S x 2 - 4 y = 0 y la elipse c u y o s fo co s son los puntos (0, ± 6 ) y cu y a longitud de su eje m enor

R-

es

V

V 5 n — 9 V 5 a rcse n — —

V3

2 J

18. y 2 ~ x = 0 , y - x 3 = 0 , x + y - 2 = 0.

(4x-xz l9 - y =

4

( x 2 + 8 x — 40 '

. y=

x< 0

R .1 7 u >

--------- 1 6 -------- • * > - ‘ .

\-3x-16,

x < -4

20. y ( x 2 + 4 ) = 4 ( 2 - x ) , y = 0 , x = 0.

/?, ^ _ l n 4 j u 2

2 1 . y = x 3 + x - 4 , y = x, y = 8 - x .

22. y — e x , y - e ~ x , x = 1.

2 3. y — 2 x + 2 , x = y 24. y = \ x ~ 2 \ ,

r ê

2 + l , x = 0 , y = 0 , x = 2.

e u2

~ ^ 4

R. ( i s + í v

y + x 2 = 0 , x = 1 , x = 3.

R

— u2 '

25. y = y/'x2 - 3 ,

y = \ x - 1|, y = 0.

26. y = |sen x| con x e [0 ; 2tt] , y + x = 0 , x - 2 n = 0.

^

6

^ ]n3 - i ) u 2

R. ( 4 + 2 n 2) u 2

x2- 4

2 7 - y = ^ T _ 16 > x = - 3 ' X = 3 . y = 0. 28. y = arcsen x , y = a rc co s x , x = 0.

R. ( 2 - y j l ) u 2

29. y = arcsen x , y = a r c c o s x , y = 0.

r_ (y¡2 - i ) u 2

30. y = x 3 + 3 x 2 + 2 , y = x 3 + 6 x 2 - 2 5 . 31. y = x 2 , y = 8 — x 2 , y =

4 x + 12.

32. y = x 2 , 2 y = x 2 , y = 2 x . <3. y + * = o , y = [ / ( t ) d t , d o n d e / ( í ) = í 3 f 2 1 f < 2 . Jo l — 2 t — 1 , t.> 2

r . 108 u2

R.

64u2 K. 4 u 2

TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II 3 V 3 -7 T

R.

34. y = t a n 2* , y = 0 , x - — , x = 0.

35. x zy — 2 , x + y = 4 ,

* = 1,

\

ó

R. ( 9 / 4 ) u 2

* = 2.

36. y = x 4 , y = 8 x.

R. ( 7 9 / 5 ) u 2

37. y = x 3 - x , y = s e n f a x ) .

fi- ( í 4 ) " 2

38. x = 4 y - y 2 , x + 2 y = 5.

R. ( 3 2 / 3 ) u 2

39. y = s e c 2x , y = t a n 2x , x = 0.

«

. ( í - i y

1 40. y =

1

, 2 y = x 2.

*■ ( I 4 ) “ 2

+ x2

R. ( 3 n a 2/ 8 ) u 2

41. x 2^3 + y 2/3 = a 2!3.

8a3 42. x

/?.

= 4ay,

43. y =

| 2 0 x + a: 2 - x 3\ , y -

44. x =

y 3 —2 y 2 — 5 y + 6 , x =

/?. ( 2 3 2 1 / 1 2 ) u 2

0.

2 y 2+ 5 y - y 3 -R. 6 .( 2 5 3 / 6 ) u 2 '1

V3 4 5. y = a r c s e n 2 x , x = — ■ J 4

R.

46. y =

x e 8_2x\

/?.

47

^ T 4 '

y =

y = x.

y = 0,

4a" 2 a 7r — •

* = 0 'x =

V3

n

4' e — 73

48. y =

R.

x 3 e 8 -2 * 2, y - 4 x .

49, y = | j c - l| ,

R. ( 7 / 3 ) u 2

y = x 2 - 2x , x = 0 , x = 2 .

50. y = V x T T - V x - 1, x = - 1 , x = 1.

R. 3 V 2 u 2

51. (x + y ) 2 = 16x, 5x + y = 8 .

R. 1 8 u 2

52. y = |x - 2| - |x - 6|, x - y = 4 .

R. 8 u 2

53. y = |x - 5| - |x + 3|, x + y - 2 -

0.

5 4 . y = se n x + | cosx| , x = - n , x - n , y = 0 .

178

fí. 3 4 u 2 fi. 4

u

APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA T>5. y =

X2 r, x

(4 —x 2) 3/ 2 ’

0, x — 1, y — 0.

R,

' X ~ L> y ~ u-

56.

y =

60 (x s - x 4 + x 3), y = - 2 x , x 2 =

.r)7.

y = x + se n x, y = x, x = 0, x = - .

1.

8x

= y 3,

52 u 2

R.

R —~ ^

6 58. 8 x = 2 y 3 + y 2 - 2 y ,

ty f'

2

’

y 2 + y -

u2

R. — u 2

2 = 0. 96 37

R. — u 2

59. x + y - y 3 = 0 , x - y + y 2 = 0.

12 60 . y -

c

s e n ( - ) ln ( s e n

61 . y 3 ( x -

, x = 0 , x = an.

R.

2ac(l -

ln 2 ) u

2

R . 9 u ,2

2 ) 2 = 1 , y = 0 , x = 1 , x = 10 .

62. y ( x 2 + 4 ) = 8 , 3 x 2 - 4 y - 8 = 0.

R . 2(7r +

,2 2 )u

63 . Í2 es u n a rc o d e la c ic lo id e c u y a e c u a c ió n p a ra m é tric a es x

c i( t

s e n t),

y = íz (1 — e o s £).

R . 3 tccl2

f 2n Su ge rencia : 4(.fi) = y dx. 6 4 . D. es la r e g ió n lim it a d a p o r el a stro id e x = a e o s 3 t ,

y = a s e n 3 t. 3 /? .

65 . D. es la f ig u r a c o m p r e n d id a entre la h ip é rb o la

-7 T U 2

8

x 2 - y 2 = 9 , el eje x

d iá m e tro d e la h ip é r b o la q u e p a sa p o r (5 ; 4).

y el

R. 9 l n 3

2 \x

\

66 . f í e s la r e g ió n lim it a d a p o r la g rá fic a d e / ( x ) = -------- - , el eje x y la s d o s

1 -f* X re ctas v e rtic a le s c o r re sp o n d ie n te s a las a b s c is a s de lo s p u n t o s m á x im o s a b so lu to s. A (]n 4 )u 2 67 . í í es la r e g ió n lim it a d a p o r la g r á f ic a d e / ( x ) = 2 x 4 - x 2 , el eje x y las d o s re ctas v e rtic a le s q u e p a s a n p o r lo s p u n to s m ín im o s re la tiv o s. R. (7 / 1 2 0 ) u 2 60 . 69 .

e s la r e g ió n e n c e rra d a p o r y 2 = x 2 - x 4.

R. (4 / 3 ) u 2

Cí e stá lim it a d a p o r u n la z o d e la c u r v a a 2y 4 = x 4 ( a 2 - x 2). n 4íj2 ? R. — u2 5

17 9


£2 e s t á

70.

encerrada por un lazo de la curva 16a4y 2 = b2x (a —2 cu). nh ab

R. -

u2

4 a 2x

y^

30

71. Q está encerrada p or el lazo de la curva ( x 2 +

y 2)3 =

Q está encerrada p or la lem niscata ( x 2 + y 2) 2

72

a (x

V )■ R. a 2 u 2

73. Q está acotada p o r y ( 4 + x 2) = 5 y el se m ic írc u lo su p e rio r de

S.

x 2 + y 2 — 2 y = 0. 74

^

(2 -5 a rc ta n - + 5 )u 2

Q está encerrada p or la elipse (de eje o b licu o ) ( y - x + 3 )

- 4 - x .

R. 4 n u 2 7 5 . y = 9 - x 2 , y = ln (x - 2) , y = 2 . E n cada un o de lo s siguientes ejercicios grafique ía re g ió n ilim itad a Q. y halle

II

su área (si existe), si se sabe que Q está co m p re n did a entre las grafica s de.

n 1 . y = s e c h x y su asíntota. 2

y su asíntota.

y =

2

2U

R. 16tt

u 2

x 2 + 16 3

( 4 — x 2) y 2 = x 4 y

su s

asíntotas verticales.

R- 2n u 2 R. no existe

4 . y = a rc ta n x , 2 y = i r , x = 0 .

7T 2 n

5 . y = se c h _1x y s u a sín tota vertical.

2W 6' y ~ 1 + x 4 ' V I II

4 |xl

R■ ~û

m

R.3nu2

1 + x 4'

De te rm in e m de m anera que la re gió n que está p or e n cim a de debajo de la parábola y = 2 x - x 2 tenga área igual a 3 6 u .

IV

y

mx y

K. m -

I I área de la re gió n co m p re n d id a entre la p aráb ola y = 1 2 x - 6 x 2 y el eje x es d iv id id o en d o s partes ig u a le s p or una recta que pasa p or el origen. I lullc la ecua ción de d ic h a recta.

V

La

h ip é rb o la

equilátera

circu nfe re n cia x 2 + y 2 =

x2 - y2 = 8

d iv id e

R. y ~

6 (2 -

en

re gio n e s

3

V4Jx a

1 6 . H a lle el área de cada u n a de las regiones.

la

APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA 4.2 V O L U M E N D E U N S Ó L I D O E N F U N C I Ó N D E L A S Á R E A S D E L A S S E C C IO N E S T R A N S V E R S A L E S Sea S un só lid o lim itado en el espacio. B a jo ciertas co n d icio n e s es p o sib le hallar el v o lu m e n de este sólid o. P o r ejemplo, sea Sx una se cció n plana del s ó lid o S obtenido al cortar el só lid o con un p la n o p erpend icular al eje x en el p unto de abscisa x (F ig. 4 .1 8 ) y s u p o n g a m o s que existe un intervalo [a; b] tal que

-

u

xe[a:b]

S i >5(5X) es la fu n c ió n área de la se cción plana (llam a d a se cción transve rsal de S )

y es continua,

V x e [a; b], entonces el v o iu m e n del só lid o 5 está d ad o p or

í A(Sx) d x Jn

Fig. 4 .1 8

Fig. 4 .1 9

E je m p lo 14. L a base de un só lid o es la región lim itada p or la elipse

b 2x 2 + a 2y 2 - a 2b 2 . I lalle el vo lu m e n del só lid o S si las secciones transversales perpe n d iculare s al eje

x son: ¡i) T riá n g u lo s re ctá n gu lo s isósceles, cada uno con hipote n usa sobre el p la n o x y . b) C u ad ra d os.

c)

T riá n g u lo s de altura 2.

S o lu c ió n a) L a grá fica de la se cció n transversal del só lid o se m uestra en la Fig. 4.19. E l só lid o es la u n ió n de los Sx, x 6 [— a; a], donde Sx es un trián g u lo rectángulo isósceles de área

M S X) ~ \ b h = ^ ( 2 y ) h = \ ( 2 y ) y = y 2 = ^ ( a 2 - x 2) Lu e go ,

b2 F=Jf a — (a 2 -

/4

\

x 2) d x - i^ -ab2J u 3

18!

TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II h) S i las se ccion e s transversales so n cuadrados (F ig. 4.20), el só lid o queda descrito c o m o la u n ió n de lo s Sx, x E [ - a ; a], tal que Sx es un cu a d ra do lado 2 y

e

= — y¡a2 - x 2 . Luego, el área de la se cció n Sx es

¿ ( S * ) = ( 2 y ) 2 = 4 y 2 = 4 ^ ( a 2 - x 2) P o r tanto, el vo lu m e n del só iid o es y =

b2

4 ^ j ( a z - x z)dx = ( ^ - a b ^ u 3

í

JJ~a ~-n

&

c) S i las se ccio n e s transversales son trián gu los de altura 2 (F ig . 4.21), ei s o lid o es la u n ió n de los S *, x 6 [ - a ; a], tal que S * es el trián g u lo de altura 2 y base

2 y = — J a 2 - x 2 . Así, el área d é la se cción p la na es

a 1 2b r — — A(.Sx) = - ( 2 y ) 2 = 2 y = — J a 2 - . P o r tanto, el v o lu m e n del só lid o resulta

V =

/-fl U —

___ ____ _

y /a 2 - x 2 dx = (n a b ) u 3

La a

l 'i c m n lo 15 e lipses

U n a recta se m ue ve paralelam ente al p la no y z cortando a las dos

b 2x 2 + a 2y 2 = a 2b 2 A

c 2 x 2 + a 2z 2 - a 2 c 2, que se encuentran en los

p lanos x y y x z respectivam ente. C a lc u le el v o lu m e n del cu e rp o asi engendrado.

Solución Kn este sólid o, la se cción Sx

es un ro m b o (F ig. 4 .2 2 ) cu ya s d ia go n a le s so n

2 y A 2z. L u e g o , el área de la se cció n plana es


---------------

U

, ........ .....

(lom o y = — y a 2 — x 2 A z — — J a 2 — x 2,

a

a

entonces el v o lu m e n del s ó lid o es

[a =

| J —a

be 2 — ( a 2 - x 2) d x ^

= (?a f,c )U=

E J E R C IC IO S 1.

L a base de un só lid o es un círcu lo de radio r. T o d a s las se ccion e s transversales del sólid o, p erpendiculares a un diám etro fijo de la base son cuadrados. Determ ine el volum en del sólido.

R. ( 1 6 r 3/ 3 ) u 3 U n só lid o tiene p or base un círcu lo de radio 1 y su s intersecciones con p la n os perpendiculares a un diám etro fijo de la base so n triá n g u lo s re ctá n gu lo s isósceles c u y a s h ipo te nu sa s son

las respectivas cuerdas de

los círculos.

D e te rm in e el v o lu m e n del sólido.

R. ( 4 / 3 ) u 3 V

H a lle el v o lu m e n del s ó lid o S que es la parte co m ú n a dos c ilin d ro s circulares rectos de radio r, su p o n ie n d o que sus ejes se cortan perpendicularm ente.

R. ( 1 6 r 3/ 3 ) u 3 4.

L a base de un s ó lid o es una elipse c u y o s ejes m id e n 2 0 y 10 unidades. L a intersección de este só lid o con un plano p erpend icular al eje m a y o r de la elipse es un cuadrado. C a lc u le el vo lu m e n del sólido.

R. ( 4 0 0 0 / 3 ) i í 3 5.

H a lle el vo lu m e n de un só lid o S cu ya base es un círc u lo de rad io 3 y cuyas se ccion e s plan as p erpendiculares a un diám etro fijo son triá n g u lo s equiláteros.

R. 3 6 v Í u 3 (>. L a base de un só lid o es la re gió n entre las p arábolas x = y 2 y x = 3 — 2 y 2 . H a lle el v o lu m e n del s ó lid o si las secciones transversales p erpend iculares al eje x son cuadrados.

R. 6 u 3 183

TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II /

1 ;i base de un só lid o es la región entre las parábolas y = x 2 A

y - 3 — 2 x 2.

H alle el v o lu m e n del só lid o si las secciones transversales perpe n d iculare s al eje y son triá n g u lo s rectángulos isósceles, cada uno de ellos co n la h ipo te nu sa sobre el p la n o x y .

R .( 3 / 2 ) u 3 8 . E l punto de intersección de las d ia go n a le s de un cuadrado (de lado variab le ) se d esp laza a lo largo del diám etro (fijo) de una circun fe re ncia de ra d io 3. E l plano

del

cu ad rado

perm anece

siem pre

p erpend icular

al

p la n o

de

la

circunferencia, m ientras que d o s vértices opuestos del cu a d ra d o se d esp lazan por la circunferencia. H a lle el v o lu m e n del cuerpo así engendrado.

R. 7 2 u 3 9.

U n c ilin d ro circ u la r recto de radio r es cortado p or un p la n o que pasa p or un diám etro de la base bajo un á n gu lo a respecto al p la n o de la base. H a lle el vo lu m e n de la parte separada.

R. ( 2 r 3ta n a / 3 ) u 3 10.

E l triá n g u lo c u y o s vértices so n 0 ( 0 ; 0 ), A (a; b ) y B ( 0; b ) gira alrededor del eje y . H a lle el v o lu m e n del co n o obtenido.

R. ( n a 2b / 3 ) u 3 11.

L a base de un só lid o es un círc u lo de rad io 3. T o d o p la n o perpe n d icular a un diám etro d ad o interseca al só lid o en un cuadrado que tiene un lado en la base del sólid o. C a lc u le el v o lu m e n del sólido.

R. 1 4 4 u 3 12.

L a base de un s ó lid o es la re gió n lim itada p or Las

se ccio n e s

tran sve rsales

del

só lid o

y = 1 —x 2 , y = 1 — x 4 . d eterm inadas

p or

p la n o s

perpe n d iculare s al eje x so n cuadrados. Encuentre el v o lu m e n del sólido. 13.

E n un só lid o las se ccio n e s transversales p erpend iculares al eje y son círc u lo s c u y o s diám etro s se extienden entre la cu rv a

x = ^[y

y la recta x = y.

C a lc u le su vo lu m en.

R. ( t i/ 1 2 0 ) u 3 14.

L a base de un s ó lid o es un círcu lo lim itado p o r

x 2 + y 2 = 25

y las

se ccio n e s tra n sve rsales p erpendiculares al eje y so n triá n g u lo s equiláteros. C a lc u le su vo lu m en. 15.

U n c ilin d ro recto c u y a base es una elipse está cortado p o r un p lan o in clin a d o que pasa p or el eje m e n o r de la elipse. C a lc u le el v o lu m e n del cuerpo engendrado, sa b ie n d o que la lon gitu d del eje m e n o r de la elipse es 8 y la lon gitu d del sem ieje m a y o r es 1 0 .


4.3 V O L U M E N D E UN S Ó L ID O D E R E V O L U C IÓ N

plan a'u red ed or^ e u n a í e c í f í^ c l)™ id a \n ne r l t 7 d bT ' d0 ^ ^ llama eje de revolución. P 6 la r e g lo a La recta fiJa se 4.3.1 M E T O D O D E L D I S C O C I R C U L A R Y D E L A N I L L O C I R C U L A R

:*,"< £

•'!

4 M t 'o t o i i a d T T

r

a y - X = * ' ( F ig - 4 2 n U se c c ió " t r a s v e r s a l

q « p a l l l r e 'r T / “ “5" del SÓW0 5

P '“ o Perpendicular

• i ^ r , P or x e es un círcu lo de radio i v i = I f f r 'U c irc u la r). E l area de esta se cción es 1/ M I

A (sx) = n y 2 = n [ f ( x y\2 i x e[a;b] I -ucgo, p o r el m étodo de las se ccion e s transversales, el v o lu m e n de 5 es

Observación 2. Sea S el sólido de ' t'volucion obtenido p o r ¡a rotación en h>rno a l eje y de la región plan a R limitada ,a c u n a x = 9 ( y ) (g continua en el intervalo [ c ; d ]), e l eje y y ¡as rectas v - c A y - d (Fig. 4.25). / monees el volumen d el sólido es

n fc [g(y)l2 d y ' j u 3

m «* (d isc o


Observación 3.

Sean f , g \[ a - ,b ]

R funciones continuas cuyas gráficas se

encuentran a un mismo lado del eje x, y además \g ( x ) \ < ] / ( x ) | , V x 6 [a; ó]. Sea S el sólido de revolución que se obtiene p o r la rotación en torno al eje x de la región ü acotada p o r las curvas y = f ( x ) , y = g ( x ) y ¡as rectas verticales x — a , x = b (en la fig. 4.26, solamente se muestra el caso 0 < g { x ) < / ( x ) ) . Como la sección transversal Sx obtenida p o r la intersección de S con un plano perpendicular al eje x que p asa p o r x G [a; b] es un anillo circular (Fig. 4.27), entonces el área del anillo circular es ¿ ( S * ) = Tt { [ f ( x) ] 2 - [ g ( x ) ] 2} , x G [a; b ]

Luego, el volumen del sólido de revolución S resulta [ g ( x ) ¡ 2] d x

u

re vo lu c ió n es

-a v

- r ¿) d x

u

donde R es el ra d io m a y o r del a n illo circu lar y r es el ra d io m e n o r (fig. 4.26), S i r = 0 , la fó rm u la es la que se obtiene p or el m étodo del d isc o circular.

Observación 4. Sean f , g : [ a; b] -> E funciones continuas cuyas gráficas se encuentran en un mismo lado de la recta y = c y \ g ( x ) — c| < \ f ( x ) — c\, V x G |a; b]. Sea S el sólido de revolución que se obtiene al hacer rotar en torno a la recta y = c la región Q 1imitada p o r ¡as gráficas de y = f (x), y — g { x ) , x a y x = b (Fig. 4.28). /■'.monees el volumen del sólido S es

V -•

J

( l / ' M - c ] 2 - [g ( x ) - c ] 2} d x j u 3

186


Observación 5. Si la región Q limitada p o r las gráficas de x = / ( y ) , x = g ( y ) r las rectas horizontales y = c , y = d gira alrededor de la recta vertical x - k (Fig. 4.29), donde las gráficas de f , g están a un mismo lado del eje de rotación y \ g ( y ) - k\ < | / (y ) - k \ , V y 6 [c;d]. Entonces el volumen del sólido de revolución obtenido es v = (rc /cV ( y ) - k ] 2 - [ g ( y ) - k ^ d y ^ j u 3

E je m p lo 16.

C a lc u le el vo lu m e n del só lid o generado p or la rotación alrededor

del eje x de la re gió n lim itada p or las gráficas de y = e x, x = 0 , x = 1 , y = 0 . S o lu c ió n l-a re gió n se m uestra en la fig u ra 4.30. A p lic a n d o el m étodo del d isc o (R - e x), ■ se obtiene

V = n f ( e x) 2 d x = n í e 2x d x = ^ ( e 2 - 1 ) u 3

Jo

Jo

2

TÓPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II E je m p lo

17. L a re gió n

lim itada p or las gráficas de y — a r e s e n x , y — 0 y

x ~ —1 gira alrededor del eje y. C a lc u le el v o lu m e n del s ó lid o engendrado. S o lu c ió n Com o

el

eje de

rotación

es

el

eje y ,

co n sid e ra m o s

a y

com o

variable

independiente. L a re g ió n se m uestra en la Fig. 4.31. C o m o R = 1 y r = - s e n y , entonces el vo lu m e n del s ó lid o es

ry

1

1° 1

= ir - + - ss eenn ( 2 y ) j 2 4 J- E

n 2

2

E je m p lo 18.

= — - u3 4

L a re gió n lim itada p or las gráficas de y - x 2, y - V *

y x - 2

gira alrededor del eje x. C a lc u le el vo lu m e n del sólido. S o lu c ió n L a s cu rva s y = x 2 y y = V *

se cortan en los p u ntos (0; 0 ) y (1; 1). E n

la

Fig. 4.32 se m uestra la re gió n entre ellas y la recta x = 2. E n la p rim era región,

(0 < x < 1 ) una se cción transversal es un a n illo circu la r co n ra d io m en o r r = x y radio m a y o r R — V * . E n la se gu n d a re gió n (1 < x < 2 ), la se cció n transversal es un a n illo circula r con rad io m en o r r = yfx y rad io m a y o r R = x 2. P or lo tanto, el vo lu m e n del s ó lid o S es

V = n

- ( x 2) 2] d x + n ¡ \ ( x 2) 2 - ( ^ f ) d x

3

X x = 3

Fig. 4.33

Fig. 4.32

188

APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA Ejem plo 19. L a re gió n lim itada p o r la circunferencia

( x + 2 ) 2 + ( y >- 2 ) 2 = ]

j'.iiii a lie d e d or de la recta x — 3. C a lcu le el vo lu m e n del só lid o ge n e rad o (to ro de

revolución). S o lu c ió n I .a re gió n se m uestra en la fig. 4.33, donde / ( y ) = - 2 - V i - (y - 2) 2 A A sí, el ra d io m a y o r /? y el = 3 - / (y ) = 5 + V i

g ( y ) = - 2 + / i - ( y - 2)T

rad io m en o r r son, respectivam ente, - (y - 2) 2 y r = 3 - 5 (y ) = 5 - v' l - ( y -

2)2

Lue go , el vo lu m e n del só lid o de re volu ció n es

V = 7i

( R 2 - r 2) d y = n

2 0 ^ Y ^ ( y ^ 2 y dy

= ÍOn [ ( y - 2 ) V i - ( y - 2 ) 2 + a r c s e n ( y - 2 )] Ejem plo 20.

L a re gió n

lim itada por la elipse

0 < b < a gira alrededor de su eje m ayor. generado.

= ( 1 0 n:2) u 3

b 2x 2 + a 2y 2 = a 2b z

con

C a lc u le el vo lu m e n del só lid o

Solución C o m o la elipse es sim étrica respecto al eje m ayor, p o d e m o s co n sid e ra r que el só lid o es generado p or la rotación de la re gió n som bread a en la fig. 4.34 alrededor de! eje x. A s í, el rad io de g iro del d isc o circu la r es

b i-----------R = y = -V a 2- x2 a P o r consiguiente, el só lid o de re v o lu c ió n es

vo lu m e n

ía V = nj

del

í a b2 R 2d x = n J

/4 \ — ( a 2 - x z ) d x = y - a b 2n j u 3

Ejem plo 21. L a re gió n infinita co m p re n did a entre la cu rva x + x y 2 - y = 0 y su asíntota vertical gira alrededor de su asíntota vertical. C alcu le , si existe, el vo lu m e n del sólido. Solución A l d e sp e ja r x de la ecuación, o b te n e m o s x = „ V , con lo cual la a síntota 1+ y2 vertical de esta cu rva es x = 0 (eje y ), pues y -> ±00 <=> x -> 0 .

189


C o n sid e ra n d o que la cu rva (F ig. 4.35) es sim étrica con respecto al o rige n y el rad io de giro en el p rim e r cu ad rante es R = x = ^

-j . e nto n ce s el v o lu m e n del só lid o

es + oo

V = 2tc í Jo

R2d y = 2n í Jo

ft

2

(i + y 2) 2

d y = 2 n J im _

y 2

„

, dy í-+ o o J/n 0 ( i + y 2Y

H a cie n d o y = ta n 9, la integral resulta

y = 2 K , ! i S . [ í arctan(>,)- 2 ( i + 7 ) ] 0

= 2” tÜ ! S , [ i a rctan (t)- 2 c T T F ) ]

E je m p lo 22. D e te rm in e el v o lu m e n del só lid o de re v o lu c ió n generado al rotar alrededor del eje x la re gió n infinita co m p re n d id a entre la recta y = O y la cu rva

y =

L

S o lu c ió n 1.a resiión se m uestra en la Fig. 4.36. A l aplicar el m étodo del disco, se obtiene r+ “ / i

i' H

\2

1 te )

= , M im = 37T u 3

j V

«

r +"

_! ; t 3 ‘b

«fe = ’' , l i ? „ l - 3 * ' ‘ /3 l'l = * tü 5 . ( - í r o + 3 )

APLICACIONES DE LA INTEGRAL.DEFINIDA

4.3.2 M É T O D O D E L A C O R T E Z A C IL IN D R IC A Sea f \ [ a; b] -» K , a > 0

una fu n ció n continua y n o negativa y S el s ó lid o dé

re volu ció n obtenido al hacer rotar en torno al eje y la re gió n í í lim itada p or las f raileas y = / ( * ) , y = 0, x = a A x = b (F ig. 4 .38 )

i:i só lid o S (F ig. 4 .3 9 ) puede ser con sid e rado c o m o la u n ió n de lo s c ilin d ro s C x G [a; b], es decir, *’

5=

U

Cx

x e [ a :b ]

C o m o el área (lateral) de cada c ilin d ro circular recto Cx está d ad o por

A( CX) = 2 n x f ( x ) ; x 6 [ a , b] se deduce que el vo lu m e n del s ó lid o S es

K = í

A(Cx ) d x - 2 n f x f ( x ) d x

Ja

Observación 6. Sean f ,g : [a; b] -> M funciones continuas en [ a; b] tales que ,
V = Í2 n

(x - c) [ f ( x ) - g ( x ) ] d x

191

u

TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN 11

Observación 7. Sean f , g \ [a; b] •-> E funciones continuas en [a; b] tales que g ( x ) < f [ x ) , V x e [a, b], y S el sólido de revolución obtenido al hacer girar alrededor de la recta x = c, con c > b, la región Q limitada p o r las gráficas de x = a , x = b , y = f ( x ) , y = g ( x ) (Fig. 4.41). El volumen del sólido S es K = ( 27t J

(c - x ) [ f ( x ) - g ( x ) ] d x " j u 3 Fig. 4.41

Observación 8. Sea Q la región limitada p o r las gráficas x = f ( y ), X = g ( y ) , y = a A y = b (Fig. 4.42), donde f y g son continuas en fa; b] tales que g ( y ) < / ( y ) , V y G [a, b] , y S el sólido de revolución que se obtiene a! hacer rotar la región Q alrededor de la recta y = c, con c < a . El volumen de S es V = (^2n

j

(y - c )[/(y ) - s (y )] d y j u 3

Observación 9. Sea Q la región limitada p o r las gráficas de x = g (y ) , x = f ( y ), y = a A y — b (Fig. 4.43), donde f y g son continuas en [a; fa] tales que g { y ) < / ( y ) , V y 6 [a; b], y S el sólido de revolución que se obtiene al hacer rotar la región Q alrededor de la recta y = c, con b < c. El volumen del sólido S es V = ^ 2n

J

(c-y)[f(y) - g(y)]dyju3 Fig. 4.43

A P L IC A C IO N E S D E L A IN T E G R A L D E F IN ID A

l'.jem plo 23. Encuentre el vo lu m e n del só lid o e nge n dra do al g ira r sob re el cíe y l:i región lim itada p o r la cu rva y = (x - 2 ) \ el eje x y la recta x = 3 . S o lu c ió n 1.a re gió n se m uestra en la fig u ra 4.44. A p lic a n d o el m étodo de la corteza leñem os

V

= ZU i

X^

d x = ¿T l\2 x ( x ~ 2 ^ d x

= 2 n í (x 4 - 6 x 3 + 12 x2 - 8x)d x

h 147r

=

l'.jemplo 24.

H a lle el v o lu m e n del só lid o generado p o r la rotación de la re gió n

lim itada p or las gráfica s de x + la recta y = 3.

y 2 + 3 y - 6 = 0 , x + y - 3 = 0 alrededor de

Solución l a re gió n se m uestra en la fig u ra 4.45. C o m o el eje de re v o lu c ió n es horizontal, el vo lum en del só lid o es

V = 2n f

(3 - y ) l ( 6 - 3 y - y 2) - (3 - y ) ] d y

J -3

= 2n f J_3

( y 3 - y 2 - 9 y + 9) d y

256 tt , = — ^— Uá


E je m p lo 25. C a lc u le el vo lu m e n del só lid o de re v o lu c ió n que se obtiene al g ira r alrededor de la recta x = 1 la re gió n lim itada por las gráfica s de

y — ¡x2 — 2x — 3 \ , y + l = 0 , x — 1 = 0 , x — 4 = 0 S o lu c ió n L a región se m uestra en la figura 4.46. A l aplicar el m étodo de la corteza cilindrica, el vo lu m e n del só lid o es

V = 2n

J

( x - l ) [ | x 2 - 2x - 3| + 1 ] dx

U sa n d o la fig u ra 4 .46 y la d efinició n de va lo r absoluto, se tiene

¡xz - 2x - 3| = | 0 - 3 ) 0 + 1)1 = { _ ( * 2 ~ 2X ~ 3 ) ' 2x-3,

1 ~ x<3

3 < x < 4

D e aquí resulta

V =

27r|j

= 2n

O _ 1 )[(3 + 2x - x 2) + l ] d x +

( - 4 + 2x + 3 x 2 - x 3) dx +

J

J

(x - 1 ) [ 0 Z _ 2x - 3 ) + 1 ] dx

O 3 - 3 x 2 + 2) d x

3 5 ^) = y59 , = 2 ^ (( 6 + T 7 ru 3

E je m p lo 26.

C a lc u le el v o lu m e n del só lid o que se obtiene al rotar alrededor de

la recta y = 3 la re gió n Í1 = { O ; y ) e M 2 / O < x < c o s h - 1 0 ) - O < y < 2}. S o lu c ió n La región £2 se m uestra en la Fig. 4.47. E sta re gió n está lim itada p or x = c o s h y ,

x - O, y

O A

y = 2. C o m o el eje de g iro es la recta horizon tal y — 3,

entonces el v o lu m e n del só lid o de re v o lu c ió n es

V = 2 n í (3 - y ) ( c o s h y ) d y = 2 7 r [s e n h (2 ) -!- c o s h ( 2 ) - l ] u 3 Jo

19 4


E je m p lo 27. L a re gió n infinita co m p re n did a entre la gráfica de x y 2 = ( 3 a — x ) ( 0 ) y su asíntota vertical x = 0 g ira alrededor del eje y. C a lc u le el v o lu m e n del só lid o generado. S o lu c ió n C o n la a y u d a de la re gió n que se m uestra en la fig u ra 4.48, el vo lu m e n del só lid o pedido es

9 a 2n 2 — ^— u

Fig. 4 .4 8

E JE R C IC IO S Ivn los sigu ien te s ejercicios, calcule el vo lu m e n del só lid o ge n e rad o p or la rotación de la re gió n Q 1.

L

■

alrededor de la recta L, donde

eje x ; 12 :

y = x 2 , y = 4x. ( * )

( * ) Entién d ase Q lim itado p or las gráficas de y = x 2 A y = 4x. 2.

L: y — 0 ; I] ■y = ( x — 1)

3.

L

■

y = 0 ; SI

,

3 , x = —1 , x — 0 , y — 0. : x 3 - 5 x 2 + 8 x — 4 , y = 0.

195

3 1 7T

,

R. — - u 3 160

R. - ™ u '

T O P I C O S Di ; C Á L C U L O - V O L U M E N II

A.

L : y = 0; Í2: x 2 + ( y — 3 ) 2 = 1

R . 6 n 2u 3

5.

L: eje x ; ü: x 2 + y 2 - 2 b y + b 2 - c 2 = 0 (b > c > 0 )

senx 7r 6 . L : e je x ; /2:y = -------------- , x = - , x 1 - c o sx

2

R. ( 2 n 2b c 2) u 3

2

/3\

= -n

R. l n l - l u

3

\2 /

71 /2:)' = e * s e n ( e * ) , x = 0 , x = l n —

7.

L :e je x ;

8.

L : y = 4 ; Í2: y 2 = 4 ( 2 — x ) , x = 0

9.

L: eje x ; í l- . y = s e n x , y = 0 , x = 0 , x = —

/

V2\

R. I c o s l — 2 ~ ) u 1 2 8 V 2 tt 3

Tí

10. L : x = 4 ;

,

R. ----- ------ u R. — u 3 4

R. 8

/ 2 :x 2 + y 2 = 1

tc2 u

4 9 rr

3

,

R. ------u 3

1 1 . L: x = —2 ; , í h y 2 = x , y = x 2

30

12. L: y = - 1 ; Í2:y = a r c c o s x , y = a r c s e n x , x = 1 13.

L: x = 0 ; /2 : y = V x 2 + 1 0 , x = 3 , x = 4 R.

(2 6 V 2 6 - 1 9 V l9 ) u 3

71 14. L : x = 0 ; í l : y = c o s x ,

y = 0,

x = 0,

x = -

15. L : y = 0 ; i 2 : y = ( v x - - ^ ) , x = 1, x = 4, y = 0

16. ¿ : y = 0 ;

R. 7r ( l n 4 + - ) u / 2V 2 /?. 16tt (■

¡— -----fi: y = 0, y = 2, x = 0, x = y j y 2 + 4

V

3

71

17. L . y = - 1 ; Í 2 : y = a r c s e n x ,

y = 0, x = —

18. L \ y = - 1 ; Í 2 : y = V x 2 - 3 , y = x - 1, y = 0

1

20. L: x = 0 ;íl: y = x 3 + x, x 21. L: x = 1 ; 22. L . y = 0 ;

,

Í7T

19. L : x = 0 ; / 2:y = ----- -t -jt , x = 0, x = c o s ( x 2)

\4

y = 0

1671

= 1, x = 0

/ 2:y = |x 2 - 2 x - 3|, y + 1 =

i?. -y^r-

3

u

0,x = 2, x = 4

45

í l \ y = x + 2, y 2 - 3 y = 2 x

23. ¿ : e j e y ; Í 2 : y = | s e n x | , 2 x = 7r , 2 x = 37r , y =

196

fí. 7r u 3

R .— nu3 0

,

1

A PLIC A C IO N E S D E LA IN TEG R A L D EFIN ID A

¡A. L :y = 0 ; í ¡ :y = V 4 - x 2 , y = l J x = 0 , x = V3 25. L-.y = 0 ; 12: x + y .' 6 . L: x — —1 ;

n. ^

= 0 ;

1,

V x + ^/y = 1

Í2: x = 0, y = 2, ^

= g

R. 2n\Í3u^

; ^

^

y = yfx

; . y

2

= o,* =

2 H. L : x = 0 ; . f i : y = 2 + s e n x, y = x, x = 0 , x

29. L :x

3

u

= 0 ; Í2: y = x 5, x = - 1 , x - - 2 ,

= ^ 233 /?. -------t t u 3 7

y = -1

30. L :x — O - ñ \ a 2y 2 — b 2x 2 = a 2b 2, |x| = a

R. 4 ? m

—

12 u3

32. L \ y = 0 ; i2: ( x 2 + y 2) 2 = 4 ( x 2 - y 2)

33. L :x = 0r; Ñ : y = 3 x 2, y

fl. 2 t t | V 2 l n ( l + V 2 ) -

= 4 - 6x 2

/?.

34. L : x = 0 ; íl: x 2 + y 2 = 1 , x 2 + y 2 = 4

35. L :x

( Í2: c o ro n a )

u3

28

R.— nu3 OCA /?. ------- n u 3 3

x = 8 - y 2

= 0 ; ú : x - y 2,

— 9

36. L : y = — 4; / 2 ;2 x + 3 y = 0, 4 x 2 + 9 y 2 = 3 6 37. ¿ : y

= 0;

/2: x 4

38. L \x

— —2

; /2: ) x |3 - y

+ 1 = 0, x + 1 - 0 ,

39. L : x

= 5 ;

/ 2 : y ( l + x 2)

= 2,y

=

x2

40. L : y

= 4;

/ 2 : y ( l + x 2)

= 2,y

=

xz

+ y4 =

41. L : e j e x ;

x2 y2 Í2 : — + — = 1

42. ¿ : e j e y ;

/3:

a2

.

y jru 3

fl. x - 2

= 0, y = = 0

4 /?.

b2

2

a2

4x2

- n c i b 2u 3

3

2 +

b2

R.

1

7T

~ n a 2b u 3

3

7T

13. L \ y

= -

44. L: x

+ 1 — 0 ; ü\y =

; y = a rcta n x ,

x = 0, x =

y = 0

a rc ta n x, x = 0,4 x = n, y = 0

19?

00 | N)

31. L :x = 4‘ ;. Í 2 : y = ( x - l ) 2, y = x + 1

TÓPICO S DE CÁLCULO - VOLUM EN II

4 5. L \ y = 2 ; íl-.y = l n x , y = 0, x = 0, y = 2 46. L :x = e 3 ; i 2 : y = l n x , y = 0 , x = 0 , y = 2 128 47.

L :x = - 2 ; í l : y = 0, y = 4 - x 2

4 8 . L-.y = 2 ;

Í 2 : y = 0,

R .^ -tcu 3 ~3

44 00

r-

x = 4, y = Vx

*

R. — n u 3 ~3

1 4 9 . L : y = - 2 ; ¿ 2 : y = V x - -^=, x = 1 , X = 4, y = 0

( 145\ , K. 7r ( h i 4 + — Juó

SQ.

n L: y = — 2 ; /2:x = y s e n y, x = 0, y = g

51.

L: e j e x ; ¿2 : y = ' ^ se n ' ¿ - y = 0, x = a, x = - c o n 0 < a < -

COS %

7T

7T

y

- c o s a + l n ( V 2 - 1 ) - ln ( c s c a - e p t a )

52. L: y

= 0 ; ¿ 2 : y = ( x + l ) e * , x = 0 , x = l, y = 0

53. L :x

= 0 ; /2:y = e x\

54- L \x

= 7) ü : y = x e 2*, x = l , x = 3, y =

55. L : y = - 1 ;

7T

y = 0, x = 0, x = 1

u3

R. 7r(e - l ) u 3 0

J 3 :y = l n x , y = 0, x = e

R. 7 ie u 3

56. L: eje x ; Í2: x 2y 2 + 1 6 y 2 = 16, x = 0, y = 0, x = 4 R. n z u 3 57. ¿ : e j e x ;

/a V 3 /2: T r iá n g u lo e q u ilá t e r o c o n v é rtic e s (0; 0), ( a ; 0 ), I - ; — a

na3 *•

—

58. L : x = - 3 ; /2: y = x 5 + 8 , y = ( x 3 - 2 ) 2, x = 0 59. l \e je y ; /2: es la re gió n cerrada p or el lazo de la cu rva ( y 2 - b 2) 2 = a 3x 256 nb9 _ R. ------.— r - u 3 315 a 6 60. L .’ e j e x ; Í2 es la re gió n encerrada por el lazo de la cu rva = q x (x -_ 3a)

a> 0

R

™

( 1 5 _ 1 6 ln 2 ) u 3

x - 4a

¿

61. L: x = 4 ; Í2: x 2y 2 + 1 6 y 2 = 16, x = 0, y = 0, x = 4 R. 3 2 tt[ 1 - V 2 + l n ( 1 7 V 2 ) ] u 3 62. L : e j e x ;

fl es la región, en el p rim e r cuadrante, acotada por: 16

,—

o

A P LIC A C IO N E S D E LA IN TE G R A L D EFIN ID A

__________ (.3. L : e ] e x ;

2

H : y = e~ xJ c o s ( e ~x ) , x = l n - , n

3 x = ln -

n R ■ — [(3 - V 3 ) n - 3 ] u 3

()4. L: x

=

1

;

ú:

x2- 4

=

y, y

=

-3 x

fl.

625 ------- t t u 3

6 (i.r>.

eje y ; /2 es la re gió n que se encuentra al lado derecho del eje y lim itada p or x = 0 , ( 4 + x 2 ) y 2 = 4 - x 2

/?. 47r ( 7r - 2 ) i í 3

(>6 . A la cu rva ^ /xy - 2 x + 3 y - 6 = 0, en el punto (3; 3 ) se trazan las rectas tangente y norm al. C a lc u le el vo lu m e n del só lid o generado p or la rotación alrededor de la recta y = - 3 , de la región lim itada p or la tangente, la norm al

10222

R. ----------n 49

n o rm a l tra za d a y el eje y.

(i7. A la p arábola

y 2 = 1 2 x , en el punto de a b scisa

u3

6 , se ha trazado una

tangente. C a lc u le el v o lu m e n del só lid o generado al g ira r alrededor del eje x, la re gió n lim itada p or la tangente trazada, el eje x y la parábola.

R. 7 2 n u 3 (.8 . L: eje x ; íl: y = x e x, y = 0, x = 1

R. -
'

4

69. L: eje x , ü: es la re gió n lim itada p or y = 0 y un arco de la cicloid e

x —a(t 70.

L :e je y ;

71. L:x = a n ;

s e n t), y = a ( l - e os i)

R.

5 n 2a 2u 3

fl es la re gió n del p rob le m a 6 9

R.

6 n 3a 3u 3

KCL3

R. ------( 97r 2 - 1 6 ) u 3

SI es la re g ió n del p ro b le m a 6 9

6

72.

L . y = 2 a ; ü es la re gió n del problem a 69

R.

7 n 2a 3u 3

73.

L: eje x ; fí es la re gió n lim itada por x = a e o s 3t , y = a s e n 3 t.

74. Se a /; [ 0 ; + 00) -» ffi una fu n ció n continua tal q u e / ( x ) > 0 , V x > 1. Para todo a > 1 , el v o lu m e n del só lid o generado p o r la rotación de la región lim itada p or las g rá fica s de y = / ( x ) , x = 1 , x = a y el eje x, alrededor /

-a

del eje x es: V =

+ 2 a 2 - - j u 3. D e te rm in e f ( x ) .

R. f ( x ) = 75.

Se a / : [0; + 00 ) -> K

Vtt

.V x 2 + 4 x

una fun ció n continua. Para todo a > 0, el vo lu m e n del

só lid o generado p or la rotación en torno al eje x de la región que se encuentra entre la gráfica de y = / ( x ) y el eje x, desde x = 0 hasta x = a co n a > 0 es V = ( a 2 + a ) u 3 . De te rm ine / ( x ) .

199

TO PIC O S DE C Á L C U LO - V O LU M EN II

En los siguientes ejercicios, Q. es una región infinita. 1. L a cu rva

y 2 ( 2 a — x ) = x 3 gira alrededor de su asíntota vertical. H a lle el

vo lu m e n del só lid o generado.

R. 2 n 2a 3u 3 1

x

2. Sea fl la re g ió n infinita c o m p re n d id a entre las gráficas de y = - A y = y que se encuentra a la derecha de la recta x = 1. E l eje de rotación es el eje

x. C a lc u le el vo lu m e n del só lid o generado. 1

3. n es la re g ió n c o m p re n d id a entre la cu rva y = - 2 — ^ y s u a sín to ta y el eje de rotación es el eje x. C a lcu le el vo lu m e n del só lid o generado. 7T2

R. Y C

4. fí es la re gió n c o m p re n d id a entre la cu rva y = J

„

u>

_4t — ------ d i ( x e IR) y

su asíntota y el eje de rotación es su asíntota. 3 16' 5. £2 es la re gió n co m p re n d id a entre la cu rva x y z - 4 a 2 ( 2 a — x ) y su asíntota, y e! eje de re v o lu c ió n es su asíntota. H a lle el vo lu m e n del s ó lid o generado.

R. Anz a 3 u 3 6 . fl es la re g ió n c o m p re n d id a entre la cu rva y 2 = — — -

y s u a sín tota x = 2 a

y el eje de re v o lu c ió n es x = 2 a. C a lc u le el v o lu m e n del só lid o engendrado. R . 2 n 2a 3 u 3 7. fi es la re gió n co m p re n d id a entre la curva rse n x

y = \ x (o ,

x > 0 x = 0

y su asíntota, y el eje de re v o lu c ió n es el eje x. C a lc u le el vo lu m e n del só lid o Tí

g e n e ra d o sa bie ndo i que

í

J0

dx = 2' TI

,

R. — u 3 2

200

A P LIC A C IO N E S D E LA IN TE G R A L D EFIN ID A

i. i L O N G IT U D D E A R C O Se;; / : [a; b] -» R una fu n c ió n co n d eriva d a con tinu a en [ a; b] y P - { x0, x 1 , una partición de [a ;6], E sta p artición define un a p o lig o n a l c o n f l u i d a p o r los se gm e ntos rectilíneos desde < M * ¿ ; / ( * ¡ ) ) , p a r a i = 1 ,2, ... , n (Fig. 4.49).

n

hasta

n

L{p) =

=Z

V O i - * ¡ - i) 2 + (/ (.rj -

i =1

¿=1 i I num e ro ¿ -

^ ( x , ^ ; / (*,_ ,))

¡|{i|m o L(P) , si existe, se llam a

desde ei punto (a ;/ ( a )) hasta el que en este caso el nú m e ro Lsiem pre existe.

y = f{x)

longitud de punto

a rc o de la cu rva

(£ > ;/ (£ )). D e m o stra re m o s

C o m o f es d erivable y co n tin u a en [ x t_ i ; x t] , i = 1 , 2 .....n, por el teorem a de L a gra n ge o del V a lo r M e d io , 3 t ¡ 6 ( x ^ X t ) tal que

= f ( t i) ( x ¡ — x ¡ _ x) , i = 1 ,2 ,..., n

f (x¿) — I laciendo A¿x = x¿ — x

, i = 1,2,..., n , te n e m o s

■A

n V ( A¡ * ) 2 + [ / '( t i ) ] 2 . ( A 1x )2 = V

=

Í=1

V i + [ / '( t ¿)]2 fet

l’or tanto, la longitud de arco de la cu rva y = / ( * ) desde x = a hasta x = b es n

1 ~ I

&

I

W

M

. es decir

TO PIC O S DE C A LC U LO - V O LU M EN II

Observación 10. La longitud de la curva x = g ( y ) comprendida entre las rectas y = c A y = d, donde g es una función con derivada continua en [c; d], es

1=

( j ■/1 + ífj'(y)]-dyju = | J

jl +

4

Observación 11. Si la ecuación de la curva C viene dada en fo rm a param étrica mediante un p a r de funciones con derivadas continuas, esto es,

C:£ : $ r Entonces la longitud de la curva C desde t = a hasta t = fi es

¿=

Vl*'(t)]2+ [y'(OP dt'Ju

E j e m p lo 28. H a lle la longitud de la curva

( 1 + V sec2x + 1 \ n n ,-------------y = v se c 2x + 1 - ln ---------------------- d e sd e x = — h a sta x = ' \ secx J 4 3 S o lu c ió n A l aplicar las re glas de d e riv a c ió n y sim p lific a n d o se obtiene = tan x V s e c 2x + 1

^

dx

P o r lo tanto, c o n la fó rm u la de la lon gitu d de arco resulta

f

L=

d x = f * [1 + ta n 2x ( s e c 2x + l ) ] 1' 2 dx

1 + ® 4

4 / 4

K d x J

J ” /4

rn/3

= I

E j e m p lo 2 9

s e c 2x dx = [tan x \ n J ^ = (V 3 - l ) u

E n c u e n tre la lo n g itu d de la cu rva cuya e cu a ció n es

desde x = —2 hasta x = — 1 . S o lu c ió n C om o y

J

1

x4

dy

= — r + — , e n to n ce s — 2 x 21 6 dx

l = £

4T 7 W ? (x 3

1 \

■+ —

= £

x3 1

= —-Luego, la lo n g itu d de a rco es 4 x3

J ( £ + i )

21

I dx = —

u

- Í T ( ^ ¿ ) 202

¡i- + 1

dx

A P LIC A C IO N E S DE LA IN TE G R A L D EFIN ID A

E je m p lo 30. C a lc u le 4a lo n gitu d total de la cu rva c u y a ecu a ción es:

n

y - J^ V co st d t, ~2

n

- ^- << xx << ^-

2 ~

2

S o lu c ió n C

r

Com o f ( x ) = J ^ V e o s t dt,

7T 7Ti

Vx 6

e n to n ce s f ' ( x ) = V c o s x

es

~2 . r co n tin u a en el in te rv a lo

^

2

- j . P o r lo tanto, 5

___________

L = J * V 1 + co sx dx = ~2

re

dx = “2

P e o s (| ) dx = 4 u

“2

E je m p lo 31. H a lle el perím etro del triángulo c u rv ilín e o lim itado p o r el eje de las abscisa s y p or las c u rva s c u y a s ecuaciones son * y = In (c o s x ),

*e

A y = ln (s e n x ),

x6(0;n)

S o lu c ió n Las

gráfica s de f ( x ) = l n ( c o s x ) , x 6

y de g ( x ) = l n ( s e n x ) , x 6 (0;n)

se m uestran en la fig u ra 4.50. L a s longitudes de los lados del triá n g u lo c u rv ilín e o son

n ¿1 = 2 “ [ n /*

¿2= 1

h

_________________

( n,z /------------------¿3 = j •'/r/4

rn ¡4

V 1 + [ / 'O O P d x = |

V 1 + [5 '( x ) ] 2

Jo

V i + t a n 2x d x = l n ( V 2 + l ) u

( n' 2 /--------------=

V i + c o t 2x dx = l n ( V 2 + l ) u

^rr/4

P or tanto, el p e rím e tro del triá n g u lo c u rv ilín e o es P =

203

+ 2 ln ( V 2 + 1 )] u

TÓ PIC O S DE C Á LC U LO - V O LU M EN II

E je m p lo

32.

C a lc u le

la

lon gitu d

de

la

parábola

se m icú b ic a

2 y 3 = x 2,

co m p re n did a dentro de la circunferencia x 2 4- y 2 = 2 0 . S o lu c ió n L a gráfica de la p aráb ola se m icú b ic a se m uestra en la F ig. 4.51. L o s p u ntos de intersección

de

las

dos

cu rva s

so n

( - 4 ; 2)

y

(4; 2 ).

A h o ra ,

d e riva n d o

im plícitam ente la ecu ación 2 y 3 = x 2 con respecto a y se tiene

dx 3y2 (d x \2 9y 4 / y 3\ 9y — = — = > 1 + — ) = 1 4 - — 5- = 1 4 - 9 y . I — = 1 + — dy x Vdy/ x2 \x J 2 C o m o la g rá fic a de la p arábola se m icú b ic a es sim étrica co n respecto ai eje y, entonces la lo n gitu d de arco co m p re n d id a dentro de la circu nfe re n cia es

->r

i + \ y dy =

(Viooo - i)u

•'0

Ejem plo 3 3 . L a posición de una partícula en el instante t es

x ( t ) = 1 - eos t , y ( t ) = t - sen t Halle el recorrido total entre t = 0 y t = l Solución El recorrido total de la partícula es

A P LIC A C IO N E S D E L A IN TE G R A L D EFIN ID A

E J E R C IC IO S lin cada u n o de lo s ejercicios siguientes, determ inar la lo n gitu d del arco de la cu rva descrita p or

c , ,a + V a 2 - x 2 i---------ra ai / ( x ) - a ln(-------- --------- ) - V a 2 - x 2 ,x e

R. (a ln 3 ) u

a:4 + 3 / (*) = ,i.

* 6 [ 1 ; 3]

6x

/ O ) = X 1' 2 - - x 3/ 2,

R.

x £ [0 ; 1 ]

R. - u

/ ( x ) = V e 2* - 1 - a r c s e c ( e * ) - 1 , x -£ [0; 4]

fW O.

6

R. (e 4 - 1 ) U 393

x e [2; 5]

2x

/ (x) = ln ( - x ) ,

7. f

I).

=

fi' lo - “

x e [-V 8 ; - V I ] X

X

*.

*•

* 2 - 1 - ^ l n ( x + V x 2 - 1 ) , X £ [3; 5 ]

9. x = i y5/3 ~ ^ y 1/3-y 10 , y = ( 9 - x 2/3) 3 /2,

( l + í !» § )< *■

—— —

(x ) = - a r c s e n x - - V l - x 2 , x e

/ (x ) = ¿ W

(y )“ 4

R. 8 u 27 /?. — u

e [0; i]

20

9

x £ [1; 2 ]

3 /—

R. - ( V í - 1 ) u

11 . y = - W 3 - x 2 + ^ a r c s e n ^ x j , x £ [ 0 ; 1 ]

/?.

12 . y -

fí. I n ( V 2 + 1 ) u

1 - ln (c o s x ) ,x £ ¡0 ;£ ]

13. y = a r c s e n ( e * ) , x £ [0 ; 1 ] x 14. y = a c o s h - ,

a

y2

i

R. ln(e + V e 2 - 1) u

x € [0 \ b]

x = T ~ 2 lny , y e

+

R. a senh

[1;e]

(e2 + 1

R.

l(>. / ( x ) = l n ( c o t h - ) , x £ [ a ; b ] , a > 0

205

R.

’

/b>

e 26 - 1

ln^

_ i) + a ~ b

TÓ PIC O S DE C Á LCU LO - V O LU M EN II

59 17. / ( * ) = y + ¿ . * e [ 1 ; 2 ]

R- 7T7U

18. x = ( a 2/3 - y 2/3) 3^2 , y e [ - a ; a]

R. 3 a u

R. — [ V 2 + l n ( l + V 2 ) ] u

2 0 . x =■ e c s e n t , y =

R. vV 22 ( e ’r - 1 l ))uu

e o s t, t e [ 0 ; 7r]

R. ln

— u

2 2 . x = a (e o s t + t s e n t ) , y = a ( s e n t - t e os t ) , t e [0 ;

a]

p u n to m á s p ró x im o d o n d e la tangente es vertical.

R. ~ a a 2u

II.

E n los sig u ien te s ejercicios, halle la longitud de arco de las c u rva s que se indican.

1.

L a lo n gitu d total de la circu nfe re n cia x 2 + y 2 = a 2

R. 2 n a u

2. L a lo ngitu d total del astroide x = a e o s 3 t , y = a s e n 3 t 3.

R. 6 a u

L a lo ngitu d del arco de la ram a derecha de la tractriz

d e s d e y = a h a st a y = b c o n 0 .2/3 4. La lo n g itu d de la cu rv a ( - J + M =1

R. a l n ^ - J u en el p r im e r cuadrante.

a 2 + ab + b 2 R. -------------:------ u 5. L a lo n gitu d total de la c u rv a cu y a e cuación es

R. 6 a u

4 ( x z + y 2) - a 2 = 3 a 4/3 y 2/3

6 . L a lo n gitu d total de la c u rv a 8 y 2 = x 2 - x 4

R. W 2 u

7. La longitud de la curva 9 y 2 = 3 x 2 + x 3 desde x = - 3 hasta x - 0 R. 4 V 3 i¿

206


II

l a longitud de arco de la p aráb ola se m icú b ica 5 y 3 = x 2 c o m p re n d id a dentro 134 de la circ u n fe re n cia x 2 + y 2 = 6 R. — -u 27

•J. C a lcu le el perím etro de y2 = 2x3 A

la re gió n

de m enor área

lim itada p or las gráfica s

x 2 + y 2 = 20 X2

II). I,a lo n g itu d de la c u rv a y = - -

I n V x , d esd e x = 2 h a sta x =

3.

I I . L a lo n gitu d de la R. 2 u

u ir v a y = V x - x 2 + a r c s e n V x . I L a

lo n gitu d total de la cu rv a dada p or ( y - a rc s e n x ) 2 = 1 - x 2

R. 8u

2 13. La lo n g itu d del a rco de la cu rva y 2 = - ( x - l ) 3 c o m p re n d id a d e n tro de la

p a rá b o la y

x — —

14. L a lo ngitu d del arco de la cu rv a dada p or x = ( t 2 - 2 ) s e n t + 2 t e o s t , y = (2 -

t2) eos t

+ 2 t se n

t, d esd e

t = 0 ha sta t = n

71^

15. L a lo ngitu d del arco de la cu rva y = l n ( l - x 2) desde x = 0 hasta x = 1 / 2

R. [ - ¿ + I n 3 ] u III. L o s sigu ien te s ejercicios tratan del m ovim ie n to de u n a partícula. 1.

E n el tiem po t, una partícula se encuentra en el punto P (c o s

t+

t se n t ; se n t - t eos

t)

Encuentre la d istancia recorrid a desde el instante t = 1 hasta t = n 2.

E n el instante

t, la

p o sic ió n de una partícula es

x = 1 + a rc ta n t , y = 1 - ln \ / 1 + t 2 H a lle el re co rrid o desde el instante t = 0 hasta t = 1

207

R. l n ( l + V 2 ) u

TÓ PICO S DE C Á LC U LO - V O LU M EN II

4.5 Á R E A D E U N A S U P E R F IC IE D E R E V O L U C IÓ N Se a

/: [a, b] -> M

un a fu nció n no negativa, con d erivada co n tin u a en

[a; £>].

H a cie n d o g ira r la gráfica de / desde x = a hasta x = b , alrededor del eje x, se obtiene una su pe rficie de re v o lu c ió n (F ig. 4.52). E l área de esta su p e rficie de re v o lu c ió n está dado p or i4 ( S ) = (271 f f ( x ) y j 1 + [ f ( x ) ] 2d x

Fig. 4 .5 2

Observación 12, Si la curva se describe p o r la ecuación paramétrica C : x = x ( t ) , y = y ( t ) , t e [a;/?] donde x ( t ) y y ( t ) son funciones con derivadas continuas en [a; /? J, entonces el área de la superficie generada al hacer girar la curva C alrededor del eje x es

A(S) = ( l n J % ( t ) V [ * '( O P + ty'(t)]2dt Observación 13. Sea f : [a, b] -> E una función con derivada continua en [a; b] tal que su gráfica está a un mismo lado de la recta y = c . Haciendo girar la gráfica de f desde x = a hasta x = b alrededor de la recta y - c se obtiene una superficie de revolución (Fig. 4.53) cuya área es

.APLICACIONES DE’LA INTEGRAL DEFINIDA

Observación 14. Si la curva C se describe con la ecuación x = g ( y ) , V y 6 I " : H donde g es una función con derivada continua en [a; b] y S e s la superficie ./<• revolución que se obtiene al hacer rotar la curva C alrededor de la recta \ = c , (Fig. 4.54), entonces el área de la superficie S es

J

4 (5 ) = i^2n

(*)

\ g ( y ) - c \^ jí + [ g ' ( y W d y ^ j u 2

Si la e cu a ción de la cu rva C está dada en su fo rm a param étrica p or

x = x (t\

Vt 6 [a; /?]

y = y(t),

donde las fu n cio n e s x = x ( t ) , y = y ( t ) entonces la fó rm u la ( * ) se tran sform a en

A (S ) = Í 2 n ( Y b

tienen d eriva d a s co n tinu as en

[a;/?]

|ar(t) - c|V"[x'(t)P + [y '(t)]2 d i ) u 2

k C > -----------------.

i

c c

/

a

-

J

-

.Y

n(y)

S

*x

-

\

C

.....w

-----------►

x

.Y - C

Fig. 4.54

E je m p lo 34. H a lle el área de la superficie generada al hacer gira r la gráfica de / (x) =

V24 — 4 x , x £ [3; 6], alrededor del eje x.

S o lu c ió n

—2 (.orno f ' ( x ) - — , el área de la su p e rficie re su lta n te es V 2 4 - 4x 4

6

4 ( S ) = 2 n f f ( x y i + [ f ( x ) ] 2d x

Ja

= 2 n \ V 2 4 - 4x 11 + — 4 dx h y] 2 4 - 4x = 2n I V 2 8 — 4x dx = ----- u 2 h 3 l a gráfica de f ( x ) = \/ 2 4 - 4 x se m uestra en la figura 4.55.

209

T Ó PIC O S DE C Á LC U LO - V O LU M EN II

YJ

c > y

a: =

a co sh (— )

a

'" " A . C7 i

—

0

y

f

a

<

>

a co sh (l)

r

x

Fig. 4.56

E je m p lo 35. H a lle ei área de la su pe rf cié engendrada por la re v o lu c ió n airededor - 'i d esd e x = a h a sta x = a c o sh ( 1 ) a'

del eje y del arco de la c u rv a y = a eos S o lu c ió n

C o n sid e ra n d o que la cu rva (F ig. 4.5« >) gira alrededor del eje y , el área de la superficie ge ne rad a es

A (S) - 2tt f / ( y ) V 1 + [/ '(y )]2d y •'o / y\ d o n d e x = / ( y ) = a c o sh

y

dx — = f'(y) = s e n h Q

Lu e go .

A( S) = 2 n J

= 2n

J

a co sh

Jl -< - se n h 2(^ )d y na2 , „ , d y = ------(2 + s e n h 2 ) u 2

a co sh 2

E j e m p lo 36. H a lle el área de la super íc ie cua n d o la cu rva

2 x = y v V - 1 + ln ¡ y - J y 2 - l | , y e [ 2 ; 5 ], g ira alrededor del eje x. S o lu c ió n L a ecu a ción param étrica de la c u rv a e:

. * ( 0 = ^[t%/t2 - l + l n | t - ^ f2

~ 1 B , t 6 [2; 5]

y (t) = t de donde x ' ( t ) = V t 2 - 1

A

y'(t)

= 1

P o r tanto, el área de la superficie es

a (s )

=

í y c o T I x ' M F n / M F í !t = 2jt í t-J ( t 2 - 1) + 1 dt = 78n u 2 h 210

APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA I1'templo 37. Halle el área de la superficie generada por la revolución en torno al rlr y

del arco de la curva y = - [ x2 - 21n x], x e [ l ; 4 ].

Solución

1.1ecuación paramétrica de la curva es ( x( t ) = t

1e

y (0 = ^ [t2 -2 1 n t] ’

[1;4]

1

1

tic donde x ' ( t ) - 1 , y '( t ) = - (t - - ) ucgo,

A(S) = 2 ?t J | x ( t y [ x ' ( t ) ] 2 + [y'(t)]2dt

= 2„ J

, J l + i ( , - i ) * d t = 2 , J ‘ l (, + | ) d t = 2 4 ™ ’

I jemplo 38. Calcule el área de la superficie de revolución que se obtiene al hacer líirar la curva y = 2 - e x , desde x = 0 hasta x = 2 , alrededor de la recta V- 2 So lu c ió n

I .i gráfica de la curva se muestra en la ligura 4.57. Se tiene que dy ¿ =f'M lu e g o ,

= -ex

según la fórmula, el área de la

superficie es

¿ ( S ) = 27r f ( 2 - f M ) J l + [ f ' ( x ) ] d x *'0

= 2n í e xyfí' + ( ex) 2 dx “'O

: 7r | e 2V l + e 4 - V2 + + ln

e2 + Vi + e‘ 1+V2

211

TÓ PIC O S DE C Á L C U L O -V O L U M E N II

E je m p lo 39. H a lle el área del elipso id e de re volu ció n que se obtiene al hacer x2 v2 g ira r la elipse — + — = 1 , a lre d e d o r de: a) su eje m a y o r

b) su eje m enor

S o lu c ió n a) C u a n d o la elipse

gira alrededor de su eje m ayor, es su ficiente co n sid e ra r la

curva C d e scrita p o r / ( x ) = - - ^ 2 5 - x 2, x e

A l e m p le a r / ( x )

4 i----------= - V 25 - x 2 A

/ '( x )

[— 5; 5] (F ig.4 .5 8 ).

=

4x - ^ = = = ,

,, , el area de

, la

superficie resulta r 5 ¿J,

A(S) = 2n j

__________

16x2

-V25-X'

l f

100

3\

/

= 27r ( l 6 + —

2 5 ( 2 5 - x 2)

dx

a rc s e n -Jw

b) C u a n d o la elipse gira alrededor de su eje m enor, es suficiente consid erar la cu rva x = - V l 6 - y 2, y 6 [ - 4 ; 4] ( F ig .4.59). 4 L u e go , el área del e lip so id e generado es 5

A( S ) = 2 n J j V l 6 - y 2

25yz

1 +

1 6 ( 1 6 - y 2)

/ 8071, \ , = Í507T + - ^ - l n 4 J u 2

212

dy


E J E R C IC IO S I.

E n ca d a u n o de lo s sigu ien te s ejercicios, halle el área de la supe rficie de re v o lu c ió n que se obtiene al g ira r alrededor del eje x, las cu rv a s d ad as p or

1.

/ ( x ) — —x 3 , x £ [ 0 ; 2 ]

2.

/ (x ) = c o sx ,

3.

U n la zo de la cu rva 8 a 2y 2 = a 2x 2 - x 4

R. ( n a 2/ 4 ) u 2

4.

6 a zx y = x 4 + 3a 4 d e sd e x = a hasta x = 2 a

R. (4 7 r ra 2/ 1 6 ) u 2

5-

/ O ) = - x 3, x e [ 0 ; 2 ]

R. ^ ( 1 7 3/2 -

6.

y 2 + 4x = 2 l n y d e sd e y = 1 h a sta y = 2

R. ( IO t t / 3 ) u 2

7.

x = a c o s 3 t, y = a s e n 3 t

/?. (1 2 7 ra 2/ 5 ) u 2

8.

y = e ~x , x > 0

9.

x =

/?. ( 9 8 t t / 8 1 ) u 2

R. 2 jt[V2 + l n ( l + V 2 ) ] u 2

x e [-j;| ]

l)u 2

R. ;r[V 2 + l n ( l + V 2 ) ] u 2

et se n t, y = e c eos t d esd e t = 0 hasta t = | R. 2 n y Í2 (e n - 2 ) / 5 u 2

10. y = e - *, x > 0

R. ^ [ V 2 + l n ( l + V 2 ) ] u 2

1 1 . x = a (e o s t + ln ( t a n | ) ) ,

fi. 47r a 2 u 2

y = a se n t

1 2 . y = t a n x d e sd e ( 0 ; 0 ) h a sta ( £ ; l )

V4 '

/?. t t ( V s - V 2 + l n ^

13. E l lazo de la cu rv a 9 a y 2 = x ( 3 a - x ) 2

V

R. 3 n a 2u 2

14. x 2 + ( y - /j) 2 = a 2, 0 < a < b (toro de re v o lu c ió n ) x3

e

t1;

2

R ■(208rr/9)u2

[ 0 ; 2]

r . 8 n V 5 i ¿2

17. y 2 = 4 a x d e sd e x = 0 h a sta x = 3 a II.

R . 4 n 2a b u

1

15- y = y + 2 ¿ ‘ x e 16. y = 2 x, x

+ 2

V5 + 1

R. (5 6/ ra 2/ 3 ) u 2

H a lle el área de la su pe rficie generada por la rotación en torno al eje y, de cada una de las sigu iente s cu rva s

1. x = y 3 ,

y 6 [0; 3 ]

R. — [ ( 7 3 0 ) 3^2 - l ] u

2. 6 a 2x y = x 4 + 3 a 4 desde x = a hasta x = 3 a

213

R. ( 2 0 + ln 3 ) n a 2u 2

T Ó PIC O S D E C Á L C U LO - V O LU M EN II 3 . 2 y

=

*V F ^ T + ln (*-V F ^ T ),x e[2 ;S ]

K . 7 8 U U 2

4. x 2 + 4 y 2 = 1 6 5. y - x 2 , x £ [1; 2]

6. y = x4/3, x e [1; 8] III. H a lle el área de la superficie de re v o lu c ió n fo rm ada cu a n d o la cu rv a in dica d a g ira alrededor del eje dado. 1. y = x 3/z , x G [1; 8]; alrededor de y = 1 2

V = í l + _ L ( x £ [1; 2]; a lre d e d o r de y = 1 ' ^ 3 4x

3. y = x 3, x 6 [1; 2]; alrededor de y = - 1 4. y = l n ( x - 1 ) , x G [2; 5. y = 4 + e x, x G [0; 1];

e2 +

1]; alrededor de x = 1

alrededor de y = 4

6. y = 2 x , x £ [0; 2 ]; alrededor de y = - 1

R - 1 2 V 5 ttu z

4.6 MOMENTOS Y CENTROS DE MASA (ó CENTROS DE GRAVEDAD) E l m om ento de m asa de un a partícula respecto a u n a recta L se define c o m o el p rod ucto de su m a sa y su d istan c ia a la recta L. A s i, si m es la m g sa de la particu y d su d istan cia a la recta L F ig. 4.60, entonces el m om ento de la p artícu la respecto a la recta L está d ad o por

Ml = m d

Fig. 4.61

A P LIC A C IO N E S D E LA IN TE G R A L DEFINIDA

•

E s conve n ie nte co n sid e ra r la partícula lo ca liza da en un p la n o de co o rd e n a d a s y determ inar el m om ento de la partícula respecto a un eje de co ord e n a d a s ( o a una recta paralela a un eje de coordenadas). E n este ca so se u sa n las d istan cia s d irigidas, a sí el m om en to será p o sitivo o ne gativo o cero, se gú n la u b ic a c ió n de la partícula; p o r ejem plo si la partícula de m asa m está en el punto ( x ; y ) F ig. 4.61 , entonces su s m o m e n to s Mx y My respecto a los ejes x e y , respectivam ente son

Mx = m y , My = m x m 1, m 2 l ..., m n

S i un sistem a de n partículas de m asa s puntos ( * ! ; y i ) , ( x 2; y 2),

están situ a d o s en lo s

respectivam ente, lo s m o m e n to s Mx y My

(x n;y n)

del sistem a de n partículas se definen co m o n

Mx =

-

™ ¡y ¡

n

My =

]jr

rriiXi

( I)

i= 1

í= l

El c e n tro d e m a s a o c e n tro de g r a v e d a d de un sistem a de p artículas es un punto

P ( x ; y ) tal que, supuesto que la m asa total m del sistem a esta concentrad a en el punto P , lo s m om en tos de P y del sistem a coinciden. S i el sistem a de m partículas de m asas m u m 2, ■■■, m n

(x \'< yi), f e ) y2).

ub icad as en los puntos

- ( x n> Vn) tienen su centro de grave d a d en el p u nto que la m asa total del sistem a es

P{x; y ) y

n

m = ^

mi

i= i entonces los m om en tos Mx y My de P están d ad os p or

Mx = m y , My = m x Luego, de ( I) se obtiene n

my

n

= m¿y; y m x = i= l

^ ¡=1

De don d e resulta

_

Z "= 1m ¿x ¡

y y_ =

x = --------------------------m m En resum e n , si Mx y My so n los m om entos de un sistem a de partículas respecto ;i los ejes x e y respectivam ente y P ( x ; y ) es el centro de grave d a d o centro de m asa del sistem a, entonces

My

Mx

* = -T m

y = -mf

(II)

donde m es la m asa del sistem a.

215


Ejem plo

40

C u atro

P3 ( 0; 5), P4 (2 ; 1 )

partículas y

su s

están

m asa s

en

son

los

puntos

P t ( — 1; — 2), P 2 (1; 3),

m 1 = 2, m 2 = 3, m 3 = 3, m 4 = 4

respectivam ente, determ ine el centro de gravedad del sistem a fo rm a d o p or estas cuatro partículas.

Solución Tenem os

Mx = 2 ( — 2 ) + 3 ( 3 ) + 3 ( 5 ) + 4 ( 1 ) = 2 4 My = 2 ( — 1 ) + 3 ( 1 ) + 3 ( 0 ) + 4 ( 2 ) - 9 m = 2 + 3 + 3 + 4 = 12

Lu e go ,

- _M y _

9

- _ M X _ 24 _

_ 3

X- ñ r~ 1 2 - 4

’

V ~ ~m ~Y 2~2

P o r tanto, el centro de grayedad está u b icad o en el punto P ( 3 / 4 ; 2 )

4.6.1 C E N T R O D E G R A V ED A D D E UNA R E G IÓ N P L A N A ó L Á M IN A E n p rim er lugar, es necesario tener en cuenta las sigu ien te s co n sid e ra cio n e s a) U n a lá m in a es llam ada hom ogénea si d o s p orcio n e s de igu a l área tienen el m ism o peso. b) L a d e n s id a d

p de una lá m in a es la m asa de una un ida d cu a d ra d a de lámina.

S i un a lá m in a es hom ogénea, entonces su d ensidad (de área) p ■es constante y si A es el área de d ic h a lám ina, entonces su m asa es m = pA c) E l centro de m a sa de un a lá m in a hom ogénea, puede p ensarse c o m o el punto de balance de la lám ina; si esta lá m in a tiene un centro geom étrico, este será tam bién el centro de m asa ó centro de gravedad. P o r ejem plo, el centro de m asa de una lá m in a circula r h o m o g é n e a es el centro del círcu lo; el centro de m asa de u n a lám in a rectangular h o m o g é n e a es el centro del rectángulo (intersección de las d ia go na le s). Se define el m om ento de un a lám in a de m asa m respecto a una recta, c o m o el m om ento de una partícula de m asa m situado en el centro de m asa de la lám ina. d) S i una lá m in a se corta en trozos, el m om ento de la lá m in a es la su m a de los m om en tos de su s partes.

Ejem plo 41 En cu en tre el centro de m a sa de una lá m in a h o m o g é n e a de d ensidad p, que tiene la fo rm a propuesta en la F ig . 4.62 (la s m ed idas están en cm .)

Solución L a lám in a está fo rm a d a p o r 3 re ctá n gu lo s y el área total de la lá m in a es igu a l a 9 3 c m 2. S i c o lo c a m o s lo s ejes de co ord e n a d a s tal c o m o se in d ic a en la figura, los centros de m asa de lo s re ctá ngulo s

Rlt R2 y R3 son: 216

U t L A 1ÍN 1 t O K A L U t , r 1 ÍN 1 U A

respectivam ente. L u e g o ,

Mx = ( 2 1 p ) ( y ) + ( 6 0 p ) ( 6 ) + ( 1 2 p ) /13\

= ^

p

969

My = ( 2 1 p ) ( y ) + ( 6 0 p ) ( S ) + ( 1 2 p ) ( 8 ) = —

p

P o r tanto, el centro de m asa ( x ; y ) de la lám ina está d ad o por 969

My -J-P x = ^ = = 5 ,2 0 9 6 7 7 4 1 9 m 93 p

_

1197

y = —- = '

Se a

F

m

un a

~2~P — 93p

= 6 ,4 3 5 48 3 87 1

lá m in a h o m o g é n e a cu ya

d ensidad

es constante

e igual

a

p.

S u p o n g a m o s que F es la re g ió n lim itada p or las gráfica s de:

y =

/(*),

y = a(x),

x = a,

donde f y g so n fu n c io n e s co n tinu a s en

y [a ; b ]

x = b y

/ ( x ) > g ( x ) , V x G [a;fr]

(F ig. 4 .63 ) Se a

P = { x 1, x 2, ■■■,xn}

u na partición de

[ a;b]

y

c¡

es el p u nto m e d io de

[x¿_ x; x¡] , entonces se tiene que:

m = p [ / ( c , ) - 5 ( c ¡) ] A ¡x , i = 1 ,2 ,...... n ( A ix = x¡ - x ^ ) es la m asa del i-é sim o rectángulo som bread o en la fig ura 4.63

217


lil centro de grave d a d del i-é sim o rectángulo se encuentra en el punto

(

f ( c¡) + g (c¡)>

[ Ci)

2

Su stitu ye n d o cada rectángulo p o r un punto m aterial y lo ca liza n d o la m a sa de cada rectángulo en su centro de grave dad se obtiene que lo s m o m e n to s de m a sa de lo s n rectángulos, d eterm inados p o r la partición, respecto a lo s ejes x e y son: /l

lí

Mr

Z

™ ¡y ¡ =

/ (c ¡) + g ( a ) p [/ (c ¡) - 5 (c ¡)]

A jX

M,

L u e go , el centro de grave dad

(x ; y )

estará aproxim ad am ente en el centro de

gravedad de lo s re ctá n gu lo s d eterm inados p or la partición, es decir:

My _ P'Z’j =iCi [ f ( c i) - g j c ^ A j X x

m Mx

y X m ~

p E H iE / ( c¡) -

S(c¡)]A¡*

I p i u m c d r - i g í c d ] 2} ^ p lU lfic d -g ic ^ x

P asan d o al lím ite cu a n d o

||P|| -» 0, se obtiene que las co ord e n a d a s

(x ;y )

del

centro de grave d a d de la lám ina F están d adas por

Ja * [ /( * ) - g ( x ) ] d x

^

_

^ J q {[/(* )]2 - to (* )]2}

£[fto-g(x)]dx

A

y

tf\f(.x)-g(x)]dx

C o m o se observa, las co ord e n a d a s del centro de m asa de la lá m in a h o m o g é n e a no dependen de s u d en sid a d

p, s ó lo depende de su form a. U su a lm e n te el centro de

m asa de u na lá m in a se d e n o m in a ce n tro de g rav ed ad o cen tro id e, re se rva nd o el térm ino centro de m asa p ara un sólid o.

Observación 1S a) Si la región p l an a F es simétrica con respecto a la recta x = x 0 , entonces x = X0 b) Si la región plana F es simétrica con respecto a la recta y — y 0 , entonces

y = yo

218


Observación 16 Si la región pl ana F esta limitado por las gráficas de: x = f(y ), x = g(y), y = c, y = d donde f y g son funciones continuas en [c; d] y f ( y ) > g ( y ) , V y g [ c ;d ] l'ig. 4. 64, las coordenadas del centro de grav ed ad (x ; y ) de la región F son

_ _ 2/cd{[/(y)32-[g(y)]2}dy

~ -= C y t f W

/,d [ / ( y ) - g ( y ) ] d y

- 9(y)]dy

C ifX y ) -g (y )\d y

E je m p lo 42 Encuentre el centroide de la re gió n acotada p o r las cu rv a s y = x 3 , y = 4 x en el p rim er cuadrante. , S o lu c ió n E l área y los m om en tos con respecto a los ejes x e y de la re gió n son

A( R) =

í ( 4 x - x 3) d x = 4 Jo

_2

2

My = i x [ f ( x ) - g ( x ) ] d x = í x ( 4 x - x 3) d x = ^ Jo 15 Mx = z 2 ¡ 0 My 64/15 x = — = --------m _ Lue go ,

“ Í9 ( x ) ] 2} d x = ^ J

Mx

256/21

m

„ , /16 6 4 \ l’o r tanto, el ce n troid e es P \ — : — V15 21/

219

( 1 6 x 2 - x ü) d x =

256 J T

TÓ PIC O S D E C Á LC U LO - V O LU M EN II

E je m p lo 4 3

H a lle el centro de gravedad de la re gió n lim ita da p o r las ciirvas

x 2 - 8 y = 0 , x 2 + 1 6 y = 24 S o lu c ió n C o m o la re gió n F (F ig. 4 .6 6 ) es sim étrica respecto al eje y, se sabe que x = 0 E l área de la re g ió n y el m om ento con respecto al eje x so n

A

■

a

dx = 4V 2

16

16V2

24- x ■ r ' d

dx =

16~

/ 4\ _ P o r tanto, el ce n tro de g rave d a d es ^0; - J p o rq u e

E je m p lo 4 4

En cu en tre

el

centroide

de

la re gió n

Mx

4

_ A

lim ita da

p or

las

c u rva s

x = 2y - y 2 , x = 0 S o lu c ió n C o m o el centro de m asa está situ ado en el eje de sim e tría y = 1 (F ig . 4.67), entonces y = 1. A p lic a n d o las fó rm u la s d ad as en la o b se rva ció n 16 se obtiene

i l o ( 2y - y 2) 2d y _ f g ( 2 y - y 2) d y Luego, el ce n tro id e es P

;

e /is _ 2 4 /3

5

1j 220


(CJemplo 45

D e te rm in e el centroide de la re g ió n p la na lim itada p o r las cu rva s

y = / ( * ) . y = - x 2 , x = - 1 , x = 2, donde f (x) = í 1 ~ x’

n )

x ^ °

l x 2 + 1,

x > 0

S o lu c ió n L a re gió n se ilustra en la F ig . 4.68. D iv id ie n d o la re g ió n en d o s partes se obtiene

A =

11

í ( í - x + x 2) d x + f ( x 2 + 1 + . J- 1 J0

22

55

16 = 2/

K 1 “ * ) 2 “ x *]d x +

f° M, -

J-i

+ ! ) 2 “ x *~id x

r2 x ( l - x + x 2) d x +

_ 107/12 ,uego, x ■, 55/6

_

71/15

'

55/6

J0

1 1 _ 71

1 5 + ~3~ — 15 13

107

x ( x 2 + 1 + x 2)d x = ------ + 1 0 = 12

^

,

~12

/107

142\

V110

275/

y = -=— r , de d o n d e el ce n tro id e es P ----- ; ------ )

Fig. 4.68

E je m p lo 4 6

H a lle el centro de gravedad de la re gió n infinita, en el p rim er

cuadrante, co m p re n d id o entre la cu rva y = x e~ x y el eje x. S o lu c ió n L a re gió n se ilustra en la F ig . 4.69. Lu e go , se tiene " +CO

A

J o

x e~x d x =

lim [ - x e~ x - e~ x]o = 1 t-*+0°

221

T Ó PIC O S DE C Á LC U LO - V O LU M EN II /* +00 i-to

My =

I

Jo

/■ r ++ »00 xf(x)dx = I x 2e ~ xd x Jo

= lim [-x 2e * —2xe * —2e *]£ = 2 t->+°0

M x=- J i

‘X

r +”

[ x2e ~ 2 x - Q ] d . x

Jo

1 r 1 1 1 i* 1 = - lim — - x 2e 2x —- x e ~ 2x —- e ~ 2x¡ = 2 t-.+ « L 2 2 4 J0 8

Luego,

My

_

MX

1

* =T =2. y=T =8

P o r tanto, el ce ntro de grav e d a d de la re g ió n es P ^2;

T eo rem a (T eo rem a de Papp u s p a ra volúmenes) S i un só lid o S es obtenido al hacer rotar una re gió n p la na F (F ig . 4 .70 ) en torno de una recta del m is m o plano, que n o sea secante a la re g ió n F, entonces el v o lu m e n de S es igua l al.área de la re gió n F m ultip licado p or 2 n r , sie n d o r la d istancia del centro de g rave d a d de la re gió n F al eje de rotación, esto es,

V = 2 nr . A donde A es el área de F.


Ejem plo 4 7 S

Calcule el volumen del sólido 5 generado por la rotación de la

a

a P ° rla P a r á b 0 ,a y = * 2 y ,a r e C ía y = * + - 2

en tom o a esta

Solución Para determinar el centro de gravedad.de la región F (Fig. 4 .7 1 ) se tiene

A ( F) = í ( x + 2 - x z) d x = J-1 2 My = í

x ( x + 2 - x 2) d x = -

•'-i

Mx = \ í

4

[ ( x + 2 y - x 4] d x = — 5

¿ J -i

P o r tanto, el centroide ( x ; y ) de la re gió n tiene las co orde n a da s

A ~2

‘ y _ T " 5

C a lcu la n d o la d ista n c ia r del p u n to C ^

a

la recta y = * + 2 se tiene

r = ^ ~ y + 2 l = l l ~ l + 2| _ 9V2 Vi +1 V2 20 Lu e go , p o r el teorem a de Pap p us, el vo lu m en del só lid o S es

V = 2 u r. A = 2 n

Q

=

«3

Y' i.

l\ 1

f ¡ \

F

Vv.7, \\ \ \v 1 .

i i i

L

%

/1 / Y

1 1

/ /

y (V s '

"x ►(-! ;0)

r TÓ PIC O S D E C A LC U LO - V O LU M EN II

Ejem plo 48 L a re gió n lim itada p or las gráficas de y = x 2, y = 5 g ira alrededor de una recta o b lic u a que pasa p o r el punto

¿4(1; 0 ). H a lle la e cu a ción de d ic h a

recta, si el v o lu m e n del só lid o generado es igual a 4 0 V 5 t t u 3

Solución L a gráfica de la re g ió n se m uestra en la fig. 4.72. E n p rim e r lu ga r d ete rm in are m os el centroide de la re g ió n F. C o m o el centro de m asa está situado en el eje de sim etría (eje y), entonces x = 0. P o r otro lado, la orde nad a del centroide de la re gió n es

- _ M* _

A

~ x ^ dx _

20v^

/ ^ r ( 5 - x 2) d x

20V5/3

L u e go , el centro de grave dad es ( x ; y ) = (0 ; 3 ) 20V5 C o n sid e ra n d o q u e el área de la re g ió n F es A = — - — , se tiene

V = 40V57t = 2nr

=* r -

3

Finalm ente, si m es la pendiente de la recta L (eje de rotación) que p asa p o r el punto A(l-, 0 ), entonces su e cu a ción es

y - 0 = m ( x - 1) ó

mx - y - m = 0

P uesto que, r — 3 es la d istancia del punto (x; y ) = (0 ; 3 ) a la recta L, entonces

3 —

\m x-y -m \ .

| -3 -m |

>—»* 3 —

Vm 2 + 1

.

Vm 2 + 1

<=> 9 ( m 2 + 1 ) = 9 + 6 m + m 2 <=> m ( 4 m — 3 ) = 3

<=* m = 0

ó

m = -

4

3 C o m o la recta L e s oblicua, m = - . P o r tanto, la e cu a ció n de la recta L es 4

3x — 4y — 3 = 0

224

0


E JE R C IC IO S I.

En

ca d a

uno

de

ios

ejercicios,

encuentre

el

centroide

de

la

lám ina

h o m o g é n e a de d en sidad p que tiene la form a m ostradas en la figura.

12

■

10

-

A. < ^ 5 )

II.

E n los siguien te s ejercicios, encuentre el centro de gravedad de cada una de las re gio n e s lim itadas p or las siguientes curvas.

1.

y = x 2 - 4 , y = 2x - x 2

*■ ( H 2.

)

y - v a 2 - x 2, y = 0

"■ (o:S 3.

y = 3x, y = x 2, y — 1 , y = 2

(en el prim er cuadrante)

(

67

2 (7 2 ^ 2 -5 3 )

U 8 ( 8 V 2 - 7 ) ' 1 5 (8 > / 2 -7 )

225

T Ó PIC O S D E C Á LC U LO - V O LU M EN II

4.

y - X 2, y = x - x 2

R. Q j g )

5.

y = ln x , y = 4 , y = 4 - 4 x 2 (en el primer cuadrante) R. ( 1 4 ,6 1 ; 3 ,1 5 )

6.

y - x 2 + 1, y = x 3 - 1, x = 0 , x =1

7.

n y = s e n x, y = cosa:, y = 0 desde x = 0 h asta x = —

"■ G 4 (f - i)(2+V5)) 8.

y 2 = 4 - 2x, el eje y , y = 3

( 1 2 3\ 9.

x = 4y —y 2 ,

y = x

y = 0,

R.

10.

Vx + ,/y = 3 ,

11.

y = |x|3 + 1 , x = - 1 , x = 2 , y = 0

ñ

x = 0

9\

R.

12. x + x y 2 - 2 = 0 , x - y 2 = 0 13. y 2 = 2 0 x , x 2 = 2 0 y

tx

14. y = —x , y = j 2 ' [X

, si x < 1 , SI X > 1

R . (9 ; 9 )

•

_ , x = 2 /8 8

15. x - 2 y + 8 = 0 , x + 3y + 5 = 0 , x = - 2 , x =

4

50\

fi.

16. y = 3 + 2 x — x 2 , y los ejes coordenados encierran dos regiones. Determine el centroide de la región de menor área. 17. y ( x 2 + 4 a 2) = 8 a 3 y el eje x (región infinita)

18. La región limitada por el lazo de y 2 = x ( x - 4 ) z

R. ( o ; - a )

R.

19. L a región limitada por el lazo de y 2 = x 4 (3 - x )

l 12

R. (2 ;0 )

20. y = a resen x , y = 0 , x = 1 / 1 6 5\

21. y 2 = 4 x 2 - x 3 , y = 0 en el p rim er cuadrante

\

; 0J

R.


.12. y = x 2 - 2 x - 3 , y = 6 x - x 2 - 3

R. (2;1)

¿3. y = x 3 - 3 x , y = x , s o b r e el la d o d e r e c h o d e l eje y

R,

x y ¿4. La re g ió n e n c e rra d a p o r — + — = 1, en el p rim e r cu a d ra nte D I

/4a

.

4£»\ 1

R' \ 3 n ' 3 n ) 25. L a re g ió n está lim itada p o r lo s ejes co orde nado s y x 2/3 + y 2/3 = V 2 5 /256

256\

\6 3 7 r '6 3 7 T / 26. L a re g ió n es un sector circ u la r de radio r y á n g u lo central 2 a

R. E n el eje de sim e tría, a la d ista n c ia - r -------- del vé rtice del se cto r 3 a 27. y = s e n x, ( 0 < x < n), y = 0

28.

y

=

29.

y = a rcc o s x , y = n , x = 1

c o sh x

,

y

=

0

, x = —1 , x = 1

III. C e n tro de grave d a d y volúm ene s. 1. E l centro de grave d a d de la re gió n acotada p or las cu rva s x 2 = 4 y , y = m x es un punto de a b scisa igua l a 2. D eterm ine el v a lo r de m

2.

/ 1 (0 ;0 ), B ( a ; 0 ) y C ( 0 ; a / 2 )

con

R. m = 1

a > 0 , so n lo s vértices de un triángulo.

C a lc u le el v o lu m e n del s ó lid o obtenido p or la rotación en torno a la recta

y = x - a, de la re g ió n lim ita d a p o r el triá n g u lo ABC. 3.

S e a R la re g ió n del p la n o lim itado p o r la p aráb ola

5 V 2 7 ra 3

R. ----------24

y = x2 - 1

y la recta

y = x — 1 . D e te rm in e el v o lu m e n del só lid o obtenido p or la rotación de la

re g ió n R a lre d e d o r de la recta y = x ~ 1.

7rV2

R. -----60

4. L a re gió n lim itada p o r las gráfica s de y 2 = 2 0 x , x 2 - 2 0 y

g ira alred edor de

la recta 3x + 4 y + 1 2 = 0. C a lc u le el v o lu m e n del só lid o generado.

R. 4000tt 227

TÓ PIC O S DE C Á L C U LO - V O LU M EN II

5,

L a región lim itada p o r las gráfica s de y = x 2 , y = 5

g ira alred edor de una

recta o b lic u a que p asa p o r el punto ( - 1 ; 0 ). H a lle la e cu a ció n de la recta si el v o lu m e n ge n e rad o es igu a l a ( 4 0 V 5

IV . E l centro de grave dad

(x ;y )

n )u 3

R. 3 x + 4 y + 3 = 0

del arco de una cu rv a (h o m o gé n e a ), cu y a

e cuación es y = f ( x ) c o n x 6 [a; b] , donde / es u n a fu n c ió n c o n d eriva d a co n tin u a en [a; b ] , está dado por

_

f c x ji + if'ixw dx j ^ i + [f(x)Y dx

f / w

' y

y i + i / 'M P d *

j ab y i + [ f ' ( x ) ) 2 d x

U s a n d o estas fórm ulas, determ ine el centro de grave d a d de las cu rva s c u y a s ecuacion e s so n 1.

,-----------y = V a 2 - x2

2.

y = a c o sh -,

/

R.

x

(

x £ [-a ;a ] a' 1 ' J

R■ (0 ;

22 a —

a (e 4 + 4 e 2 -

V '

4 e (e2 /

3.

x = a ( t - s e n t ) , y = a ( l - e o s t ) , t e [0;27r]

4.

r Til x = a c o s 3 t , y = a s e n 3t , t e [ 0 ; - j

228

'4 a \

R. (?ra ;/2a

R.

3 /

2a\

1)

A PLIC A C IO N E S DE LA IN TEG R A L D EFIN ID A

4.7 A PL IC A C IO N E S DE LA IN T E G R A L EN LO S N E G O C IO S 4.7.1 E X C E D E N T E D E L C O N S U M I D O R ( on sid e re m o s la fu n c ió n d em an da p = f ( q )

de un determ inado artículo, donde

1/ representa la cantidad de artículos que se d em andan al p recio u nitario p. L a l’i áfica de esta fu n c ió n es la cu rva de dem anda. Si el p recio en el m ercado del artículo en m en ció n es cantidad d em a n d a d a es

p0

y la correspondiente

q0, entonces los c o n su m id o re s que estu vie se n en

c o n d icio n e s de p agar p or el artículo un precio m a yo r que p 0 ganan, p o r el sim p le hecho de que el p recio en el m ercado es menor. Majo ciertas h ipó te sis e conóm icas, la ga n a n cia total del c o n su m id o r se representa por el área bajo la cu rva de dem anda y sobre la recta p = p 0 (F ig. 4.73). A esta arca se le d e n o m in a e xce d ente del c o n s u m id o r ( E C ) y está dado por

/ fQo

\

/ rqn

V -'O

/

V -'O

/

IJna fo rm a alternativa de calcular el excedente del c o n su m id o r es

(u. m. s ig n ific a u n ida d es m onetarias)

p = /(?)<=> ? =

Q Fig. 4.73

229

TÓPICO S DE CÁLCULO - VOLUM EN II

4.7.2 E X C E D E N T E D E L P R O D U C T O R C o n sid e re m o s la fu n c ió n oferta p = f ( q )

de un determ inado artículo, d o n d e

q

es la cantidad de artículos ofertados al precio unitario p. L a grá fica de esta fu n c ió n es la c u rv a de oferta. S i el p re cio en el m ercado del artículo en m e n ció n es

p 0 y la correspondiente

cantidad ofertada es q0, entonces lo s productores que estu vie se n en c o n d ic io n e s de vender el artículo a u n p recio m enor, ganan, p o r el sim p le he ch o de que el p recio en el m ercado es m ayor. B a jo ciertas h ip ó te sis económ icas, la ga n a n cia total del p rod u ctor se representa p or el área sobre la cu rva de oferta y bajo la recta p = p 0 (F ig . 4.74). A esta área se d e n o m in a e xce d en te d e l p r o d u c t o r ( E P ) y está dado, p or

Ep = ( f

[ P o - f ( ‘})]d q Sj u . m . = ^p0q0 - J

U n a fo rm a alternativa de excedente del productor es

EP = ( í

f (q )d q ju .m .

'

9 (.P)dpû.m., d o n d e g = / -1 y P i = / (O )


’

l' Jt'iiip lo 4 9 S i la fu n ció n d em anda es p = 9 - a 2 v o - 5 H a llp m ^ ) ili'l con sum idor. q > Po “ H a lle el c x c cdcnie

Sol u ció n I .i región se m uestra en la fig ura 4.75. C o n la ayu da de ¡a figura se obtiene

f

EC =

\(9 — q 2) — 5 jcJ<7 =

16 i!, m.

-Ai

excedente del productor. S o lu c ió n a re gió n se m uestra en la fig u ra 4.76. A s í, resulta

EP — f [1 6 - ( 4 + 3 q 2)] d q = 1 6 u. m. Jo

E je m p lo 51

L a s fu n c io n e s de dem anda y de oferta, en situ ación de com petencia

p = 227 - - q 2

perfecta s o n

y

p = 2 + 2q 2 re spectivam ente. D e te rm in e el

el correspondiente excedente del co n su m id o r y el excedente'de productor. S o lu c ió n L I p recio en el m ercado y la correspondiente cantidad está determ inado p o r el punto de e q u ilib rio E (F ig . 4.77). E l punto de e q u ilib rio es la intersección de las curva s de oferta y de dem anda, esto es,

2 2 7

4

-

2

+ 2 q 2 => q 2 _

100

231

=> qe =

10

, de d o n d e pe = 202


Fig. 4.78 Lue go , 500 1 11. m. 2 2 7 - j q 2 ~ 2 0 2 dq = — 4

r 10

EC = I

J0

J

r 1°

EP = E je m p lo 52

4000 u .m

[2 0 2 — (2 + 2 q 2)] dq =

L a cantidad ve n d id a y el correspondiente precio, en situa ción de

m o n o p o lio , se d e te rm in a n p o r la fu n c ió n de d e m a n d a

p = — (10 — q Y y el costo

3 total es

C

= — + 5a de tal m a n e ra que se m axim ice la utilidad. D e te rm in e el

4correspondiente excedente del con su m idor. S o lu c ió n L a utilidad es U = I — C , / = in g r e s o y C = c o sto total

W = 0 =* /' - C' = 0 =» lMg = CMg " L a utilidad se m a x im iz a si el ingre so m argin al (/ ' = IMg )

es igu a l al costc

m arginal (C' = CMg)”. Com o / =

pq d ond e p = p re c io d e v e n ta y q = c a n t id a d v e n d id a , e n to n c e s 1

/ = -(1 0 - q ) 2q => IM g =

25 3

Luego En

3

10q + -(?

9

3

I Mg = CMg => 2 5 - lO q + - q 2 = - ^ 2 + 5 => q = 2

q = 2 , la u tilidad es m á x im a porque U " ( 2) = - 1 0

P o r tanto,

r2ri r 2

= j

i

26

j - ( i 0 - q ) 2 - 1 6 j de/ = Y

232

( F ig . 4 . 7 8 )

A P LIC A C IO N E S DE LA IN TEG R A L D EFIN ID A

4.7.3 O T R A S A P L IC A C IO N E S Ejem plo 5 3

A c tu a lm e n te el k ilo de h u e vo cuesta S/. 4,6. L o s e stu d io s re a liza d os

indican que dentro de x sem anas, el p recio estará ca m b ia n d o a ra zó n de 0 ,09 + 0 , 0 0 0 6 x 2 so le s p or semana. ¿C u á n to costará el k ilo de h u e vo s dentro de 10 se m a n a s?

Solución

dp (.orno

—

r 10 = 0,09. + 0 , 0 0 0 6 x 2 = * I (0,09 + 0 , 0 0 0 6 x z) d x

es el a u m e n to en el

precio dentro de 10 sem anas Luego, dentro de 10 sem anas el k ilo de hu e vo costará 10

p = 4 ,6 +

(0 ,0 9 + 0 , 0 0 0 6 x 2) d x = 4,6 + 1,1 = S / . 5,7 I

Ejem plo

54

H a lle

la

cantidad

p rod ucid a

que

m a x im iz a

la

u tilidad

y

la

correspondiente utilidad total (su p o n ie n d o com petencia perfecta) si el in gre so m arginal es ¡Mg = 2 4 - 6q - q 2 y el costo m argin al es

CMg = 4 - 2 q - q 2.

Solución L a u tilidad se m a x im iz a (su p o n ie n d o com petencia perfecta) cu a n d o el in gre so m argin al (/ Mg ) es igua l al co sto m argin al ( CMg ) , luego 2 4 - 6q - q 2 = 4 - 2q - q 2 => q = 5 Com o

U' = UMg = IMg — CMg = 2 0 - 4 q y U " ( 5 ) < 0, entonces la utilidad

se m a x im iz a cu a n d o q = 5 y la utilidad m á x im a es

U

í

=

( 2 0 - 4 q ) d q = 5 0 u .m .

Jn

Ejem plo 55

U n a e m p re sa textil ha co m p ra d o una m á q u in a c u y a p ro d u cció n

representa g a n a n cia s en un tiem po t dadas p or 6 = 2 7 - 2 t z , don d e G está en u nidades de S /. 3 0 0 0 y t está en años. E l costo de reparación y m antenim iento en el tie m p o t está d a d o p o r ñ ( t ) = - t 2 + 2 1, d o n d e R está en u n id a d e s de S/. 3 0 0 0 y t está en años. S u p o n ie n d o que la m áq u in a puede retirarse sin costo a lg u n o en cualq u ier tiem po, ¿c u á n to s a ñ o s se debe m antener la m á q u in a p ara m a x im iz a r la utilidad neta?

Solución L a s ga n a n cia s so n igu a le s al costo de reparación y m antenim iento (F ig. 4.6) cuando 1 2 7 - 2 t 2 = - t 2 + 2 t => t = 3 J

233

TÓ PIC O S D E C Á L C U LO - V O LU M EN II

P or tanto, la m á q u in a debe retirarse después de 3 años. L a utilid ad neta d esp u és de 3 años es 27 - 2 t Lu e go , la utilid ad neta después de 3 años es de 153 0 0 0 soles.

E j e m p lo 5 6

E l v a lo r de reventa de cierta m áq uin a in du strial d is m in u y e durante

un p erío d o de 10 a ñ os a una tasa que ca m bia con el tiem po. C u a n d o la m á q u in a tiene x años, la tasa a la cual está ca m b ia n d o su v a lo r es de 2 2 0 (x - 10)

so le s p o r año. ¿ E n qué cantidad se deprecia la m á q u in a al cu m p lir

d o s a ñ o s y cuál es su p recio de reventa si su costo fue de S/. 12 0 0 0 ?

Solución

dV Si V es el v a lo r de la m á q u in a , —

V(x) = Com o

J

= 2 2 0 0 — 1 0); luego,

2 2 0 ( x - 1 0 ) =* V { x ) = H O x 2 - 2 2(Ubc + C

K 0 ) = 1 2 0 0 0 => C = 1 2 0 0 0

y

V (x ) = 1 1 0 x 2 - 2 2 0 0 x + 1 2 0 0 0 .

P o r tanto, V ( 2 ) = 8 0 4 0 E l p recio de reventa es de SI. 8 04 0 , y la m á q u in a ha su frid o u n a dep re cia ción de

SI. 3960. O tro m étodo p ara re solve r este problem a. E l va lo r de dep re cia ción es

o E sto sig n ific a que la m áquina, en d o s a ñ os se deprecia en Sí. 3 9 6 0 , en este tiem po el v a lo r de reventa es 1 2 0 0 0 - 3 9 6 0 = S / . 8 0 4 0

E JE R C IC IO S 1.

S i la fu n c ió n d em anda es p = 2 5 - q 2, halle elexcedente del c o n su m id o r la cantidad d em an dad a en el m erca d o es q0 = 3

2.

si

R. 18 u. m.

S i la fu n c ió n de oferta es p = 3 l n (q + 2 ) , halle el excedente del p rod u ctor si el p re cio de venta en el m ercado es p 0 = 3

3. L a s fu n c io n e s de d em anda y oferta en situ ación de libre com petencia so n

p = _ (9 - q)2 y

p = - ( 1 + 3 q) re spectivam ente. C alcule el excedente del 4 4 c o n su m id o r y el excedente del productor.

234

A PLIC A C IO N E S DE LA IN TE G R A L D EFIN ID A

■I

L a cantidad ve n d id a y el correspondiente precio, en situa ción de m o n o p o lio ,

p = 45 - q2 y el co sto total C = 7 + 6 q + q 3/ 1 2 de m anera que se m a x im ic e la j utilidad. C a lc u le el

se determ inan p o r la fu n c ió n de dem anda correspondiente excedente del con su m idor. V

R.

1 6 V 3 u . m.

E l v a lo r de venta de cierta m áq u in a industrial d ism in u y e a un a tasa

que

el tiem po. C u a n d o la m áq u in a tiene t años, la tasa a la cual

está

cam bia con

ca m b ia n d o su v a lo r es

- 9 6 0 e ~ t/,s sole s por año. S i ei costo áe ¡a m á q u in a

fue de S/. 5 00 0 , ¿c u á l será su va lo r 10 años m ás tarde?

R.

(«. U n fabricante ca lcu la que su s ingre sos m a rgin a le s so n de

S/. 849,63

j l OO Q Q q

sole s

p or unidad cua n d o su p ro d u cció n es de q unidades. Se ha encontrad o que su costo m a rgin a l correspondiente es de 0,4 q sole s p o r unidad. C u a n d o su n ive l de p ro d u c c ió n es de 16 unidades, su utilidad es de S/. 520. ¿C u á l es su utilidad cuan d o su n ive l de p ro d u c c ió n es de 25 u n id a d e s? 7.

R.

U n fabricante ha encontrado que su costo m argin al es de

S/. 6 4 6 ,2 0 6q + 1

so le s por

unidad cu a n d o se han p ro d u cid o q unidades. E l costo total de la p rim era unidad es de S/. 130 a) ¿ C u á l es el costo de p ro d u cció n de las 10 prim eras u n id a d e s? b) ¿ C u á l es el costo de p ro d u cció n de la d écim a u n id a d ? c) ¿ C u á l es el costo fijo ? R. a )S/ . 4 3 6 X.

b) S/. 58

c) S/. 126

L a tasa de crecim iento de la p ob la ció n de cierta ciud ad ca m b ia co n el tiem po. L o s e stud io s in dica n que dentro de x m eses la tasa de crecim iento de la p o b la c ió n será de 4 4- 5 x 2/3 p erson as p o r mes. L a p o b la ció n actual es de 10000 habitantes. ¿ C u á l será la p o b la ció n dentro de 8 m e se s? R . 1 0125 p erson as

(). E l p recio del p o llo es actualm ente de Si. 4,5 p or kilo. Se espera que dentro de x se m an as el p re cio estará aum entando a una tasa de 0 , 0 3 V x + 1 so le s p or sem ana. ¿C u á n to costará el k ilo de p o llo dentro de 8 se m a n a s? 10.

R. S/. 5,02 el k iio H a lle la cantidad que m a x im iza la utilidad y la correspondiente utilidad m á x im a si el in gre so m argin al es

IMg = 2 0 - 2 q y el costo m a rgin a l es

CMg = 4 4- (q — 4 ) 2 11. L a s fu n c io n e s de oferta y dem anda son, respectivam ente p = 1 f ln ( q + 1) y p -

5 - ln ( q 4- 1 ) . H a lle el excedente del c o n su m id o r y el excedente del R. EC = EP = ( e 2 - 3 )u .m .

productor. 12.

L o s p rom otores de una feria de una ciudad calculan que t horas d esp u és de que se abran las puertas (9 a.m.) los visitantes estarán entrando a la feria a u na tasa de 5 4 ( t + 2 ) 2 - 4 ( t 4- 2 ) 3 p erson as p or hora. ¿C u á n ta s p ersonas entrarán a la feria entre las 10 a.m. y el m ed io d ía ?

235

TÓ PICO S DE CÁ LCU LO - VOLU M EN II

I í.

U n a em presa lia com p rad o una m áq uina cu ya cantidad p ro d u cid a representa ga na n cia s en un tiem po t dadas por G ( t ) = 2 0 — 3 t 2 , d ond e t está en a ñ os y G está en unidades de S/. 10000. E l costo de reparación y m antenim iento en el tiem po está dado p or R ( t ) = 2 t 2, donde R está en u n ida d es de S/. 1 00 0 0 y t está en años. Su p o n ie n d o que la m áq u in a se puede retirar sin costo a lg u n o en cualquier tiem po t, ¿C u á n to s a ñ os se debe m antener la m áq u in a para m a x im iza r las ganancias netas totales? R. D entro de 2 años y UN ' = S / . 2 6 6 6 6 6 , 6 6

14.

U n a co m p a ñ ía está co nsid e ra n do la adición de p ersonal para propaganda. E l 1 costo de a d ició n de este p e rso n a l está d ad o p o r C ( x ) = —x, d o n d e C está en unidades de S /. 6 0 0 y x es el núm ero de p erson as agregadas. E l in gre so obtenido con el personal adicion al es

/(x)

= 2 -¡x ,

dond e / está en

unidades de S/. 6 0 0 y x es el núm ero de personas agregadas. ¿ Q u é nú m e ro de p ersonas para p rop agan das deben agregarse para m a x im iz a r la utilidad, cuál es el in gre so neto a dicio nal (suponer que las fu n c io n e s son co ntin ua s)?. 15.

L a utilidad m argin al de cierta co m p añía es de

1 0 0 — 2x sole s p or unidad

cuand o se p rod u ce n x unidades. S i la utilidad de la c o m p a ñ ía es de S/. 7 0 0 cuand o se p rod ucen 10 un idad es ¿C u á l es la utilidad m á x im a p o sib le de la c o m p a ñ ía ? R. S/. 2 3 0 0 16.

E l costo m argin al de un fabricante es de 3 (q r — 4 ) 2 so le s p or u nidad cuand o su n ive l de p ro d u cció n es de q unidades. a) E x p re se el costo total de p rod u cció n del fabricante en té rm in os de sus ga sto s generales (costo fijo) y el núm ero de unidad es p roducidas. b) ¿ C u á l es el costo de la p ro d u cció n de 14 un idad es si el costo fijo es de S/. 4 3 6 ?

17.

L a s fu n c io n e s de d em anda y de oferta, en situación de com p e te n cia p ura son respectivam ente,

p = 30 — q 2

y

p = 2 q 2 + 3 , halle el excedente del

productor. 18.

S i la fu n c ió n de d em anda es

p = j 20 — q

y la cantidad d em an dad a es

q 0 = 4 , halle el excedente del co n su m ido r. 19.

H a lle

la

cantidad

p ro d u cid a

que

m a xim ice

la

utilid ad

(su p o n ie n d o

com p e te n cia pura) y determ inar la utilidad total en d ic h o punto si las fu n c io n e s de in gre so m a rg in a l y de costo total están d ad as p or

ÍM g = 2 4 - 5 q - 2q 2 y CMg = 1 1 - 3 q - q 2

236

COORDENADAS POLARES -S Í'

5.1 S I S T E M A D E C O O R D E N A D A S P O L A R E S L a p o sic ió n de un punto P en un plano se puede indica r u san d o las c o orde n adas co nsid e ra

p o la re s.

una

Para ello, se

sem irrecta

orientada

OA llam ada eje p o la r, que usualm ente se co n sid e ra en fo rm a h orizontal y que se extiende h acia la derecha (F ig. 5.1); al o rige n O del eje p olar se d en o m ina o r ig e n o polo. A cada punto P de! p lan o se le asig n a (r; 9)

dond e r es la longitud

del segm ento

OP y 9 es la m edida

un par en

radianes

del

á n g u lo

cu y o

lado

inicial es el eje p o la r y el lado term inal es el segm ento OP. A l par (r; 9 ) se d e n o m in a c o o r d e n a d a s p o la re s de P y se denota

P ( r ; 9) , r es

llam ado r a d io v e c to r y 9 es el á n g u lo p o la r. D e la Fig. 5.1- p od ría d ed u cirse que r > 0

y

O < 0 < 2 7 r , pero éstas no son las co n d icio n e s generales. Para asocia r

las co orde n a da s p olare s a un punto y form ar el siste m a de c o o r d e n a d a s p o la re s en el p lan o es necesario tener en cuenta las siguientes consid eraciones: 1.

S i el án gu lo AOP se d esp laza a partir de p o sitiv o y n e ga tivo en ca so contrario.

2. A la sem irrecta

OA

en sentido antihorario,

9 es

OA' que fo rm a con el eje p olar un á n g u lo de m ed ida 9 se

d e n o m in a eje 0 . E l rad io vector r es p o sitivo si P está situado en el eje 9 , y es n e ga tivo si P está en la p ro lo n g a c ió n del eje 9 . 3. E l p o lo 0 está u n ívo ca m e n te determ inado p or r = 0 , es decir, al p o lo se le puede a sig n a r el par (0 ; 9) , donde 9 es cualq u ier núm e ro real.

* TÓ PIC O S DE C Á LC U LO - V O LU M EN 11

Kjcinplo 1. U bique en el plano los puntos cuyas coordenadas polares son

•*(-*;) •

■ s (3;ir) •F<3:" 1)

Solución Para ubicar estos p untos con m a y o r facilid ad usare m os la ro seta p o lar (F ig. 5.2). E n esta roseta polar, r es constante en cada circunferencia y en cada sem irrecta, 9 es constante. A s í, los p untos A , B , C , D , E y F se m uestran en la Fig.5.2.

Observación 1 a) Para establecer la correspondencia biunivoca entre puntos del plano y las coordenadas polares se debe considerar los valores principales

r > 0

y

0 < 0 < 2 tt

(1)

b) Cuando no se considera la restricción (!) a un punto dado, infinitos pares de coordenadas polares

se puede asociai-

(r; 9). Si las coordenadas polares

P son (r; 0), también son coordenadas de P los pares:

((-l)nr ;

9 + nn) , n

62

(2)

Por ejemplo, ctl punto C ( 2; u) se puede asociar las coordenadas pola) es

(-2; 2rr) , (2; 3tt), (2; -7r), (2; 5rr), (-2;

6tt), ..., etc.

de

C O O R D EN A D AS PO LARES

5.2

R E L A C IÓ N

ENTRE

LAS

COODENADAS

PO LARES

Y

LAS

CO O RDENADAS RECTANGULARES C o n sid e re m o s el sistem a de coordenadas rectangulares x O y , co n

Öx = OA , donde

OA es el eje p olar (F ig. 5.3). Si

P

es

co orde na da s

un

punto

del

rectangulares y

p la n o

cuyas

p olares

son

O ; y ) y ( r ; 0 ) respectivam ente, el cam bio de coorde n adas rectangulares a coordenadas polares se relaciones:

efectúa

co n sid e ra n d o

x = r cos 9 y = r se n 9

las

^

Inversam ente, el ca m b io de coordenadas cartesianas a co orde n a da s p olares se efectúa a través de las relaciones

r2 = x2+ y 2 y ta n 8 = —

ó

r = ±/x2+ y2 y

ó

9 = a rc ta n —

E je m p lo 2

n) H alle ¡as c o o rd e n a d a s re cta n gu la re s dei p u nto P b) H a lle las co orde na da s polares del punto P ( - v ' 3; - 1 ) . S o lu c ió n a) r = 4 , 6 = - = * x = 4 e o s ^ , y = 4 s e n ^ = » P ( 2 v 3 ; 2). b) x = - V 3 , y = - 1 tan 6 = —

=> r = ±2

(3 e r cu a d ra n te ) => 8 — — ==> p Í 2 - — 'j

6

V ’ 6/

E je m p lo 3. E n (a) y (b) halle la ecuación p olar de la cu rva dada y en (c) y (d) halle la ecu a ción cartesiana de la curva. a) x 2 + y 2 = a 2 , a > 0 (circunferencia) b) ( x 2 + y 2) 2 = a 2( x z - y 2) ,

a > 0 (lem niscata de B e rn o u lli)

2 39


c) r •- 4 s e n 0 (circunferencia) d) r =

2

---------(e lipse ) 2 - eos 8

S o lu c ió n a) x 2

+ y 2 = a 2 =3^r2 = a 2 =» r = ± a

L a e cu a ción polar de una circunferencia de radio a (a > 0 ) y centro en el origen es r = a

ó r = -a.

b) ( x 2 + y 2) 2 = a 2( x 2 - y 2) => r 4 = a 2( r 2 c o s 2& - r 2 s e n 2 0 ) => r 2 = a 2 c o s 22 0

c) r = 4 sen 0 => r = 4 - =» r 2 = 4y => x 2 + y 2 = 4y '

r x 2 + ( y - 2 ) 2 = 4 (circunferencia de centro (0; 2

d )r = 2

^

„

2 é

3 r = j

n

¿

2 ) y radio 2)

2

= ,1 = 2 F ^ Í

r

=> 2 r - x = 2 => 4 r 2 = (2 + x ) 2 =* 4 ( x 2 + y 2) = (2 + x ) 2 => 3 x 2 + 4 y 2 - 4 x - 4 = 0

(elipse)

5.3 D I S T A N C I A E N T R E D O S P U N T O S E N C O O R D E N A D A S P O L A R E S La

distancia

entre

los

puntos

¿ f a ; 0 X) y f í ( r 2; 0 2) está dada por

d = J r j 2 + r 2 - 2 r t r 2 e os ( 0 2 - 0 ^ L a d em ostra ción se realiza u sa n d o la ley de los co se n o s en el trián gu lo AOB (F ig. 5.4). P or ejem plo,

la d istancia entre

puntos A ( —3; 7 n / 1 2 )

los

y ( 5 ( 5 ; ír / 4 )

es

d =

I 7T 19 + 2 5 + 3 0 e o s - = 7

Fig. 5.4

CO O RD EN A D A S P O LA R ES

5.4 E C U A C IÓ N P O L A R D E UNA R E C T A I.

Se a L una recta que no pasa p or el origen. S i

N( p; w ) es el par p rin cip a l de

co ord e n a d a s p olares del pie de la perpendicular trazada del p o lo a la recta L y

P(r; 8 ) es un punto de la recta L (F ig.5 5), la ecua ción p olar de la recta es r co s(0 —

II.

oj )

= p

(5 )

S i la recta L pasa p or el orige n (Fig. 5.6), su e cuación p olar es

8 = a , a co n stante Observación 2 i)

Si la recta es perpendicular al eje pol ar y está a p unidades del polo, la ecuación (5) se transforma en r = eos 8 = ± p , p > 0

(6 )

El signo de p es positivo si la recta está a la derecha del polo, y es negativo si está a la izquierda. i i)

Si la recta es paralela al eje pol ar y está a p unidades del polo, la ecuación (5) se transforma en r se n 8 = ± p , p > 0

(7 )

El signo de p es positivo si la recta está p o r encima del eje polar, y es negativo si está p o r debajo del eje polar. iii)

La ecuación pol ar r e o s ( 8 - ùj) = p (cartesiana) normal de la recta x eos

iv)

cü +

es equivalente a la ecuación

y se n o) = p

Una ecuación p ol ar de la recta que p as a p o r los puntos A f a ; 8 X) y B (r2>s 2) es rxr s e n ( 0 ! - 9 ) + r 2r s e n ( 0 - 0 2) = r i r 2 s e n ( 0 ! - 0 2) 241

(8 )


Kjcinplo 4 a) H a lle la ecu ación de la recta perpendicular al eje p o la r que pasa p o r el punto i4(6; 2 n / 3 ) . b) H a lle la ecuación de la recta paralela al eje p olar que pasa p o r el punto

B( 2 V 2 ; ff/4). c)

H a lle la ecua ción p o la r de la recta cuya e cuación cartesiana es 3 V 3 x 4- 3 y 4- 2 4 = 0

d) H a lle un a e cu a ción en co orde n adas polares de la recta que pasa p or los puntos / i( 4 ; 2 7 r / 3 ) y B ( 2 V 2 ; tt/ 4 ) S o lu c ió n a) E n la Fig. 5.7 se ob se rva

p = 6 co s(2 7 r/ 3 ) = - 3 Luego,

la e cu a ción

p olar

de

la

recta L es r e os 9 = - 3 b) p = 2 V 2 c o s ( 7 i/ 4 ) = 2. L u e go , la e cuación p o la r de la recta es r sen 0 = 2 c) C o n sid e ra n d o la e qu ivalen cia de la e cuación p o la r co n ia ecu ación norm al, es necesario transform ar la ecu ación dada en su fo rm a norm al. P o r geom etría analítica, se sabe que si la ecu ación cartesiana de u n a recta es de la form a

Ax 4- B y 4- C= 0 , C * 0 la e cu a ción

n orm a l se obtiene

(*)

____________________

d iv id ie n d o ( * ) entre

+^¡A2 4- B 2 , donde el

sig n o del radical es opuesto al sig n o de C. E n nuestro caso, se tiene A = 3>/3 ,

B = 3 y C = 4-24. P o r tanto, d iv id im o s entre

-J (3 V 3 )2 + 32 = - 6

y la

ecuación n orm a l de la recta es: V3 1 ------- x — y = 4 2 2 D e esta e cu a ción se deduce que c o so ) = - V 3 / 2 , s e n (o = - 1 / 2

y p = 4.

D e los va lo re s del se no y del co se n o se co n clu ye que o) está en el tercer cuadrante y a) = 7 n / 6 . P o r tanto, la e cuación p o la r de la recta es r c o s ( 0 — 77t / 6 ) = 4 d) L a e cu a ción

p olar de la recta que pasa por lo s p u ntos

B ( 2 V 2 ; ír/ 4 ), usand o la fó rm u la (8), está dada por

4 r se n ( y - d'j +

2

V2 r sen

(0

-

=

8

V2 s e n ^ |

yl(4 ;2 7r/3 )

y


5.5 E C U A C I Ó N P O L A R D E U N A C I R C U N F E R E N C I A L a e cu a ción p o la r de una circunferencia de centro C(p; a ) y rad io a, a > 0, es

r 2 + p 2 — 2 rp cos(9 —a ) = a 2

(9 )

E n la Fig. 5.8 se ob se rva que si P(r; 8) es un punto de la circunferencia, a plican d o la ley de los co se n o s en el triángulo OCP, se obtiene la e cuación

(9). Observación 3 i) Si la circunferencia p a s a p o r el polo y su centro está en el eje p ol ar (o su prolongación), la ecuación (9) se reduce a r = 2p c o s 0

( 10)

El centro de esta circunferencia es C(p; 0 ) y su radio es |p|. ii) Si la circunferencia p a s a p o r el polo y su centro está en el eje n / 2 (o su prolongación), la ecuación (9) se reduce a ( 11)

r = 2p sen 9

El centro de esta circunferencia es C(p; n / 2 ) y su radio es \p\. iii) Si el centro es el pol o (p = 0 ) , la ecuación (9) se reduce a ( 12)

r = ±a

E je m p lo 5. H a lle la ecu a ción p o la r de la circunferencia tal que: b) Su centro es C ( - 5; n / 2 ) y su radio es 5

a) Su centro es el p olo y su radio es 4

c) Su centro es C (3 ; 0 ) y su radio es 3d) Su centro .es

C (3; 7r /6 ) y su radio es

S o lu c ió n U sa n d o convenientem ente las fó rm ulas dadas en (9), (10), ( 11 ) ó (1 2 ) se tiene a) L a e cuación de la circun fe re ncia es r = 4 o r = — 4. b) L a e cuación de la circun fe re ncia es r

= 6cos0.

c) L a e cuación de la circun fe re ncia es

r = — 1 0 s e n 9.

d) L a e cuación de la circu n fe re n cia es

r 2 - 6 r c o s ( 0 - n / 6 ) = 55.

243

8

TÓ PICO S DE CÁ LCU LO - V O LU M EN II

5.<» D I S C U S I Ó N Y G R Á F I C A D E U N A E C U A C I Ó N P O L A R l’ara trazar la gráfica de una e cuación en coordenadas p olares

E ( r \ Q ) = 0, es

conveniente realizar los siguientes pasos: I)

In te rse c c io n e s

a) C o n el eje polar. Se hace 6 = n n , n E TL, y se resuelve la e cu a ción resultante. b) C o n el eje n / 2 . Se hace 9 = tc/ 2 + n n , n E l , y se resuelve ¡a e cuación resultante. c) C o n el polo. Se hace r = 0 y se resuelve la e cuación que resulta. II) S im e t r ía s a)

C o n respecto

al eje

polar.

En

la

ecuación

se

reem p laza

( r ; 8)

( ( _ l ) n r; - 9 + nn) , n E l . S i la e cuación no va ría para a lg ú n v a lo r de cu rva es sim étrica con respecto al eje

por n, la

polar; si la ecu ación va ría para todo

n e 2 , la cu rva no es sim étrica con respecto al eje polar, b)

C o n respecto ( _ ( _ l ) n r;

al eje n / 2 . E n la e cuación se reem p laza (r; 9) por + n7rj ( n E TL. S i la e cuación no va ria para a lg ú n v a lo r de n, la

cu rva es sim étrica con respecto al eje n / 2 \ si la ecuación va ria para todo

n E l , la cu rva no es sim étrica. c) C o n respecto al polo. Se reem plaza

(r;0 )

p or

( - ( - l ) n r; 9 + nn) , n E TL,

en la ecu ación de la curva. S i la e cuación no va ría para algú n v a lo r de n, la cu rva es sim étrica con respecto al polo; si la e cuación va ría para todo n E X , la cu rva no es sim étrica. (*) Si

P(r;9)

cu rva

cuya

es cualquier punto de la ecu a ción

p o la r

es

E ( r \ 9 ) = 0, el punto sim étrico de P con respecto al eje polar es S ( r \ - 9 )

i’ ( r ; 6 )

(F ig, 5.9). P or

o b se rva c ió n

1,

tam bién

son

S lo s pares ( ( - l ) ’V ; - 9 + nn) , n E l . Si el punto S pertenece a la curva, ( ( - l ) n r; - 9 + n n ) tam bién satisface

co ord e n a d a s

del punto

la ecuación para a lg ú n v a lo r de n, es

Fia. 5.9

decir, la ecuación no varía.

Por otro lado, si ( ( - 1 ) nr ; - 9 + n n ) no satisface la e cu a ción de la cu rva p ara j todo n E TL, sig n ific a que S n o pertenece a la curva, es decir, la cu rva no es

;

sim étrica respecto al eje polar. D e m anera sim ila r se d educen las co n d icio n e s para que una cu rva sea sim é trica co n respecto al eje n / 2 y al polo.

244

i

COORDENADAS POLARES

III) E x t e n s ió n . S e d eterm ina la va ria ció n de r y 8 I V ) T a b u la c ió n . Se tabulan lo s va lo re s de r y 8. V ) T r a z a d o d e la g rá fic a . E n un sistem a de co ord e n a d a s p olare s (es preferible usar la roseta polar) se lo calizan lo s p u ntos ob te n id o s y se traza la c u rv a con la in fo rm a c ió n obtenida en la discusión . E je m p lo 6. D e te rm in e si so n sim étricas o no respecto al eje polar, al eje n / 2 y al polo, las c u rva s c u y a s e cu a cione s son: a) r = 4 e o s 8 + 2 c) r — 3 ( 1 + c o s 0 )

(ca ra col)

b) r 2 = 9 [se n

+ l]

(ca rd ioid e)

S o lu c ió n a) i)

R e sp e cto al eje polar. R e e m p la za n d o en la ecu ación

(r; 8 )

p or

(r ; - 0 ) ,

se obtiene que r = 4 c o s ( - 0 ) + 2 = 4 c o s 0 + 2. P o r tanto, la c u rv a es sim étrica co n respecto al eje polar. ii) R e sp e cto al eje n / 2 . A l reem plazar (r; 8)

p o r ( - ( - l ) n r; - 8 + n n ) , se

tiene que - ( - l ) n r = 4 c o s ( - 0 + n n ) + 2. S i n es p ar => - r = 4 e o s 8 + 2 (varía). S i n es im p ar => r = 2 - 4 e os 8 (varía). L u e g o , la cu rv a no es sim é trica porque la ecua ción va ría para todo n G TL. iii) R e sp e cto al polo. A l reem p lazar (r; 8) que - ( - l ) n = 4 c o s ( 0 + n n ) + 2.

p or ( - ( - l ) n r; 8 + n n ) , se tiene

S i n es p ar => - r = 4 e o s 8 + 2 (varía) S i n es im p ar => r = 2 - 4 e o s 8 (varía) L a cu rva n o es sim étrica co n respecto al polo. L a grá fica del caracol r = 4 e o s 8 + 2 se m uestra en la figura 5.10. b) i)

R e spe cto al eje polar. Para (r; 2 n - 8) , se tiene

n = 2, es decir, re e m p lazand o (r ; 8 ) por

P o r tanto, la c u rv a es sim é trica con respecto al eje polar. ii) R e sp e cto al eje n / 2 . ( — r; 2 n — 8) , se tiene

P ara

n = 2, es decir, reem p lazand o (r ; 8 ) por

P o r tanto, la cu rva es sim é trica con respecto al eje n / 2 . iii) R e spe cto al polo. L a ecu a ción no va ría al reem plazar (r; 8 ) p o r ( — r; 8) (para n = 0). L u e g o , la cu rva es sim étrica respecto al p o lo y su g rá fica se m uestra en la Fig. 5 . 1 1.

245

TÓ PIC O S DE C A LCU LO - V O LU M EN II

c) i:i cardioide

r = 3 ( l + co s0 )

es sim étrico con respecto al eje polar. N o es

sim étrico respecto al eje n / 2 ni respecto al p olo (verificar). I,a gráfica del cardioide r = 3 ( l + c o s 0 ) se m uestra en la F ig. 5.12.

110“\

‘

.

✓ S/

*"*

N A V " i /V ^ s ; i . . r* l K ■*"...I i ' j J

\

/

y -s

__

I

j

'

\ x

1 * \

— *^\ cosO +2

240°

i V \ / jk / i

\

.

X \^ *

7

"

'> & .

.

s¡§-

3 N gQ a

\ / \ A

/ \

r = 3 (l + c o s 0 )

E je m p lo 7. D isc u tir y grafica r la e cuación r — 4 e os 9 + 2 (caracol). S o lu c ió n P o r la p e rio d ic id a d del coseno, es suficiente co nsid e ra r 8 6 [0; 2n]. I.

In te rs e c c io n e s

a) C o n el eje polar. R e e m p la z a m o s 9 = n n en la ecuación y se tiene r = 4 c o s ( n 7 r ) + 2. S i n es par => r = 6 => (6; 0 ) S i n es im p a r => r = — 2 => ( - 2 ; n ) b) C o n el eje n / 2 . R e e m p la z a m o s 9 = (tt/2 + n n ) en la e cu a ción y ob tenem os r = 4

c o s (7t / 2

+ nn) + 2

S i n es par => r = 2 => (2 ; n / 2 ) S i n es im p a r => r — 2 => (2 ; 3 n / 2 )

246

COORDENADAS POLARES

c)

C o n el polo. H a c ie n d o r = 0 en la ecuación, se obtiene

0 = 4 eos 6 + 2 ó

eos 9 = — 1 /2 . L u e go , 8 = 2 n / 3 V 9 = 4 n / 3 . L a cu rv a pasa p o r el polo. II. S im e t ría s. E n el ejem plo 6 h em os visto que este caracol es sim é trico solam ente respecto al eje polar. III. E x t e n sió n , fl £ M A - 2 < r < 6, IV . T a b u la c ió n

9

0

n/6

r

6

5,5

7T/4 4,8

n/3 4

n/2 2

2n/3

3n/4

Sn/6

7T

0

-0 ,8

-1 ,5

—2

V. T r a z a d o de la g rá fic a . L a gráfica se m uestra en la fig u ra 5.10.

E j e m p lo 8. D isc u tir y g ra fica r la e cuación r 2 = 9 S o lu c ió n

se" © + 1

P roce de m o s de m anera sim ila r a lo realizado en el ejem plo anterior. I.

In te rs e c c io n e s

a) C o n el eje polar. 9 = n n => r 2 = 9 [s e n (n 7 r/ 2 ) + 1], S i n = 0 => ( 3 ; 0 ) y ( — 3; 0). . S i n = 1 => (4,2; 7r) y ( — 4,2; 7r). S i n = — 1 => (0 ; — 7r).

b) C on el eje

7T

71

¿

6 = - + nn ¿t

( \ + nn\ se n

—

+1

S i n = 0 => (3,9; n / 2 ) y ( - 3 , 9 ; tt/2). S i n = 2 => (1 ,6 ; S n / 2 ) y ( - 1 , 6 ; S n/ 2 ) . c) C o n el polo, r = 0 => 9 = 3 n , 9 = 7n. II. S im e t ría s . L a c u rv a es sim étrica con respecto al eje polar, al eje n / 2 y al orige n (v e r ejem plo 6). III. E x t e n sió n . 9 £ K IV . T a b u la c ió n es 47r)

y - 3 V 2 < r < 3V2.

(E je rc ic io para el lector. C o n sid e ra r que el perío d o de la fu n c ió n

V. T r a z a d o de la g rá fic a . L a gráfica se m uestra en la fig u ra 5.11.

247


E je m p lo 9. T ra ce la gráfica de r = 1 — [2 s e n 2 0 ] , 0 e [0; n]. S o lu c ió n D iv id im o s convenientem ente el intervalo [0; 7r] de m o d o que |[2 s e n 2 0 ] tom e un solo va lo r entero en el su bin te rvalo considerado. Si 0 £ [0; 7T/12) => 0 < 2 se n 2 0 < 1 => |2 sen 2 0 ] = 0 => r = 1. Si 0 e [tt/12; 7t/4) => 1 < 2 se n 2 0 < 2 => [2 sen 2 0 ] = 1 => r = 0. Si 0 =

t i/ 4

= ^ 2 se n 2 0 = 2 => [2 se n 2 0 ] = 2 =* r = - 1 .

Si 0 G <7t /4; 5 tt/ 12] => 1 < 2 se n 2 0 < 2 => 12 se n 2 0 ] = 1 => r = 0. Si 0 6 <5tt/12;

jt/ 2]

=* 0 < 2 se n 2 0 < 1 =* 12 se n 2 0 ] = 0 => r = 1.

Si 0 e ( j t / 2 ; 7tt/12] =* - 1 < 2 se n 2 0 < 0 => \2 se n 2 0 ] = - 1 Si 0

6

<7tt/1 2; H t t / 1 2 )

=> - 2 <

2 se n 20

<

Si 0 e [1171/12; 7r> => - 1 < 2 se n 2 0 < 0 =>

-1

=»

=> r = 2.

[2 se n 2 0 ]

=

12 se n 2 0 ] = - 1 =» r =

S i 0 = 7r => 2 se n 2 0 =

0 => [2 se n 2 0 ] = 0 => r = 1.

L a gráfica se m uestra en

la Fig. 5.13.

-2 2.

5.7 I N T E R S E C C I Ó N D E C U R V A S E N C O O R D E N A D A S P O L A R E S P r o p o s ic ió n 1. S i

r = / ( 0 ) es la ecu a ción de una cu rv a en co ord e n a d a s polares,

entonces ( - l ) n r = / ( 0 + 7i7r) , n £ Z

(1 3 )

es tam bién la ecu a ción de d ich a curva.

C o n sid e ra n d o esta p ro p o sició n , para hallar la intersección de d o s cu rva s cu y a s ecuaciones en co ord e n a d a s p olare s son

r = f ( 6 ) y r = g(8) se sig u e n lo s sigu ien te s pasos: 1. Se obtienen todas las ecu acion e s distintas de las d o s c u rv a s a p lic a n d o (1 3 ) a cada u n a de ellas. r = f ( 9 ) , r = A ( 0 ) , r = f 2( 9 ) , ... r = g(9) , r

= g^G) , r =

g 2( 8 ) , ...

2. Se resuelven, para r y para 9, las e cu acion e s sim ultáneas

r=m r = g(9)

'

fr = /i(0)

[ r = f(6)

lr = ^ ( 0 )

’ [r = 5 l (0 )

248

’

e iC '

=> r =

L O Ü K U tN A D A S P O L A R E S

3. Se ve rific a si el p o lo es un punto de intersección h acie n do

r = 0

en cada

e cuación para determ inar si existe so lu c ió n para 0 (no necesariam ente la so lu c ió n será la m ism a). I

ara tener una idea respecto a la cantidad de puntos de intersección de d o s curvas,

se sugiere trazar sus gráfica s previam ente de m o d o que se sim p lifiq u e el trabajo. E je m p lo 10. H a lle las diferentes ecuaciones de las cu rva s b) r = 2 + s e n 0

a) r = 2 + e os 2 0 S o lu c ió n

a) A p lic a n d o (13), las ecuaciones de r = 2 + e os 20 están dadas p or ( - 1 ) nr = 2 + eos 2 (0 + n n ) , n E l S i n es par = * r = 2 + e os 29 . S i n es im p ar = > - r = 2 + e o s 29. Lu e go , las diferentes e cuaciones de la cu rva son: r = 2 + e o s 29

y

r = - 2 - e os 2 0

b) D e m anera sim ilar, las e cuaciones de r = 2 + s e n

0 están dadas por

( - l ) n r = 2 + s e n ( 0 + n n ) , n E TL

n es par => r = 2 + s e n 0. S i n es im par = > - r

Si

= 2 - s e n 0.

L u e go , las diferentes ecu acione s de la cu rva son: r = 2 + se n0

E je m p lo 11.

y

r = - 2 + se n0

H a lle lo s p untos de intersección de las c u rva s c u y a s e cu a cio n e s en

coorde nadas p olares so n V 2 r = 3

y

r 2 = - 9 eos 20.

S o lu c ió n L a s gráfica s de estas cu rv a s se m uestran en la Fig. 5.14. C o n sid e ra n d o las sim etrías de estas cu rva s (respecto al eje polar, al eje n / 2 hallar un punto de intersección. Al

re solve r ♦

sim ultáneam ente sus i

i—

.

= — 9 eos 2 0 = > c o s 2 0

—

—

— , i

ecuaciones, se obtiene 9 2

—

y al p olo), es suficiente

'

-

7 C O S (Z t

T 1 = — 2

Jlr = l

L u e go , lo s puntos de intersección son:

Fig. 5.14

249

TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II K je in p lo 12. H a lle los puntos de intersección de las cu rva s r = 2 e os 0 y r = 2 s e n 6 S o lu c ió n Las

gráfica s

de

estas

curvas

(circu n fe re ncias) se m uestran en la figura 5.15. E s evidente que el p o lo es un punto de la intersección (en r = 2 eos 6 G = 7r/2 => r = 0; en r = 2 se n G Q - o => r = 0). No

es

necesario

hallar

las

para para

diferentes

ecuaciones de las d o s curvas, y a que al re solve r sim ultáneam ente sus ecuaciones se obtiene 2 e os 6 = 2 s e n 6 => ta n 6 = 1

=> Q = — 4

L u e go , los p untos de intersección so n P ( V 2; 7r/4) y el p olo .

E je m p lo 13. H a lle los puntos de intersección de las cu rva s r = 4 ( 1 + s e n 6)

y

r ( 1 - s e n 6) = 3

S o lu c ió n L a s gráfica s de r = 4 ( 1 + s e n 6 ) (card ioid e) y r ( 1 - s e n 0 ) = 3 (p ará bo la ) se m uestran en la F ig. 5.16. Se ob se rva que el p o lo no pertenece a la intersección. N o es necesario h allar las otras ecuaciones de estas curvas, pues al re solve r sim ultáneam ente su s ecuaciones se obtienen los cuatro p u ntos que se ob se rva n en el gráfico. E n efecto, 4 ( 1 + s e n 6) = 3 / ( 1 - s e n 6) ^ 4 e o s 26 = 3 => e o s 6 = ± V 3 / 2

Sn T

llr c

7n ’ e - e

’ d

~6~

Lu e go , los p u ntos de intersección son 4 ( 6 ; 7r/6) , 6 ( 6 ; 5 n / 6 ) ,

C(2 ;7 tt/ 6 ) y D (2 ; ll7 r / 6 )

Fig. 5.16

25 0

CO O RDENADAS POLARES

5.8 D E R I V A D A S PO LARES

Y

RECTAS

TANGENTES

EN

CO ORDENADAS

Se a r — f ( 0 ) la ecuación de una curva. D e las fó rm u la s

(x = f ( 9 ) eos 9 x = r e o s 9 A y = r s e n 6 se obtienen P (y = / (0 )se n 0

que so n las ecu acion e s param étricas con parám etro 0, de donde

dy d y _ ¿e_

d y _ f ' { 9 ) sen 8 + / ( 0 ) eos 9

dx

dx

dx^' dG

/ '( 0 ) e os 9 — / ( 0 ) s e n 9

(1 4 )

C o m o sabem os, esta d eriva d a es la pendiente de la recta tangente a la c u rv a en el punto ( x ; y ) , es decir,

dy — = ta n a dx

(1 5 )

donde a es el á n g u lo de in clin a ció n de la recta tangente a la curva. Se a P ( r \ 9 ) el punto de tan gencia y /? el á n g u lo que form a el rad io vector O P y la recta tangente. E x a m in a re m o s los siguientes casos:

E n el ca so (a):

a = 9 + p => p = a — 9

E n el ca so (b):

p = a + n - 9 => p = n + ( a - 9 ) , de donde: ta n p = ta n frr + ( a - 0 ) ] = t a n ( a - 9 )

L o que sig n ific a que en a m b a s situaciones se ve rifica ta n p = t a n ( a - 0 ), es decir, ta n p =

ta n a — ta n 9 (1 6 )

1 + ta n a ta n 9

251

TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUM EN II C o n s id e r a n d o ( 1 4 ) y (1 5 ) se o b tie n e

/ '( 0 ) s e n 0 + / ( 0 )

cosd _

fí

f ' ( 9 ) e o s 6 - / ( f l) s e n 6

ta n /? =

i 4 . f i a s e n e + f{B) cose 1 + /f '' (f ñ fí -- /f (fffYcen 0 )'l rnc e os 0 0 )s e n fí fí

Sim p lific a n d o se obtiene / (« ) tan/? = -7 77^ - , esto es,

fiey

dr tan P ~

°

d 0 :::r c o t i?

<-1 ? ')

le “ L a d erivada del ra d io vector r respecto al án gu lo p olar 6 es igu a l al p rod u cto de la lon gitu d del p rim e ro por la cotangente del án gu lo fo rm a d o p or el rad io vector y la tangente a la cu rv a en el punto d ad o” .

E je m p lo 14.

H a lle los valores de P, a y las e cuaciones cartesiana y p o la r de la

recta tangente a la cu rva r = a ( 1 — e os 0 ) en 0 = tt /6 ( a > 0 ). S o lu c ió n La

gráfica

de

r = a ( l — e os 0 )

120”

(ca rd ioid e) se m uestra en la Fig. 5.18.

dr d6

\

J

L

60°

\ y* / S/

= a se n 6, de d o n d e

ta n /?

I 1

2 se n 2 2

a ( 1 - eos 0 )

a se n 0

^ /a 1 J K pSN T

o

2 se n 02 e os 02

Lue go , ta n /? = ta n ( 0 / 2 ) , de don d e

240"

7T

* = 2 = >*

^ /

270"

300°

Fig. 5.18

12 (1 - eos 0)

El m ism o re su lta d o se ob tie n e al re e m p la za r 0 =

a = e + p => « = jr /6 + n / \ 2 mr = 1

=> a = rr/4

tt /

y

6

en tan /? la

pendiente

de

la

recta

COORDENADAS POLARES O lía fo rm a de obtener la pendiente es usando la fó rm u la (1 4 )

dy

/ '( 0 ) s e n 8 4- / ( 0 ) c o s 0 dr ~ TT7ñ\-------o----- 7 7 7 ------ 7 ■ d o n d e f ' { 9 ) = — = a se n 0 dx f'{8)cos8-f(8)sen 8 J d9 R e e m p la za n d o 8 = n / 6 en esta exp re sió n se obtiene

dy — •= m r = 1 dx Las co orde n a da s rectangulares (x ; y ) del punto de tangencia son V3a/ V3\ a ( V3 x0 = rc o s0 = — I 1 - — 1, y 0 = r s e n 0 = - í l - ~ L a ecuación cartesiana de la recta tangente es y - y 0 = l ( x - x 0), es decir, 5 - 3V3 x - y + • -a = 0 y la ecua ción p olar de esta recta es

7n\ _ 3 V 3 - 5

r e os

4 ) E je m p lo 15.

4V2

H a lle las e cuaciones cartesiana y p o la r de la recta tangente a la

cu rva r 2 = 9 e o s 2 8 en el punto P ( 3 V 2 / 2 ; n / 6 ) . S o lu c ió n C o m o r 2 = 9 e os 2 8, d eriva ndo im plícitam ente se obtiene:

À1

3n 4 \

9 s e n 28

.. X

Luego,

dy

r' s e n 8 + r e o s 8

dx

r' e os 8 - r s e n 8

—

—

3V2

- . e

** 7T

,

s/ p

/

^

t

1 ' 1 1 S r 1 — i— j — ► V v V V / 7 v / ■

R e e m p la za n d o

r =

1t s

_

X X\

s

3V3

= -& y r Fig. 5.19

obtenem os

dy dx

= 0 = mT

La s co orde na da s cartesianas de P son

x - 3^/4, y

3\/2/4. P o r tanto, la

ecuación cartesiana de la recta tangente es y = 3 ^ 2 / 4 . L a e cuación p o la r de està recta es r se n 8 = 3 V 2 / 4 . L n la fig. 5.19 se m uestra la gràfica de r 2 = 9 c o s 2 8 (lem niscata de B e rn o u lli).

253

TÓ PIC O S DE C Á L C U LO - V O LU M EN II

5.9 Á N G U L O E N T R E D O S C U R V A S E N C O O R D E N A D A S P O L A R E S Sean

C

C' d o s cu rva s que se y T'

y

intersecan en el punto P. S i T son, respectivam ente, las

rectas

tangentes a las cu rv a s en el punto P, el á n gu lo entre las d o s c u rva s en el punto

P es el á n g u lo fo rm a d o p or las tangentes T y T'. S i las e cu a cion e s de las cu rva s C y

C'

están en co orde n a da s p olare s y /? y /?' son, respectivam ente, los á n g u lo s que fo rm an el eje p o la r y las rectas tangentes Fig. 5.20

T y T' (F ig . 5.20), entonces: 4-TPT' = 4-OPT' - 4-OPT, es decir, 0 = /?' - P L u e go , tan /?' - ta n /? ta n 0 (t a n / ?'

y

(1 8 )

1 + ta n / ?'ta n /?

t a n /?

se ca lcu la n

a plicand o (1 7 ) en el p u nto de intersección de las

cu rvas)

Observación 4. Como la discusión del ángulo puede presentar dificultades, se calcula el ángulo agudo entre las tangentes a las curvas considerando ¡tan (p\. En todo caso, la interpretación gráfica del problema simplifica los cálculos. E j e m p lo 16. H a lle el á n g u lo

de intersección entre las c u rv a s

r - 3 e o s 6. S o lu c ió n D e la grá fica de las d o s cu rv a s (fig. 5.21),

se obtiene Para

h allar

lo s

puntos

re so lve m o s

de

sim ultáneam ente

e cuacione s y ob tenem os 3 4 eos 6

n

“ "

=i> e os 0 = -

Sn

= 6 V 6 =~6

L o s p u ntos de intersección son P ( 3 / 2 ; 7r/6) y

<2(3/2; S jt/ 6 ).

intersección sus

4 rco s0 = 3

y

C O O RD EN A D A S P O LA R ES

Solam ente h a lla re m os el á n g u lo entre las d o s c u rva s en el punto P (se deja co m o ejercicio allector el á n gu lo en el punto Q). 0

r

3 dr 3 se n 6 - -ñ ^ ~T7T = 1------ 777 Y tan /?' - cot 0 4 c o sfl dd 4 c o s 20 ^

. „ n) r = 3 eos 0

dr =* — = - 3 se n 0 y tan Z? = - 3 cot 0

dd

r

Por la d ire c ció n de los á n g u lo s y a plican d o (18), se tiene:

tan p - tan /?' tan

-cot 0 - cot 0 tan ó ~ -------------

1 + ta n p ta n /?

9

1 - c o t 20

Para 0 = n / 6 => ta n 0 = - V 3 . Finalm ente, (p = 2 n / 3 .

E JE R C IC IO S I.

E x p re se en co orde n a da s polares los sigu iente s p u ntos d ad os en co ord e n a d a s rectangulares. 1) P ( 3 / 2 ; - 3 / 2 )

2 )P (1 ;-V 3 )

3 ) ( - V 3 ; 1)

4) P ( V 8 ; V 2 )

5) P ( — 8; 8 )

6 ) (4 ; 4 ^ 3 )

II. E x p re se en co ord e n a d a s co orde n a da s polares.

rectangulares

ios

I) P (3 ;3 tt/ 4 )

2) P ( - 2 ; n )

4 ) P ( — 2; — S tt/ 1 2 )

5) P ( — 1 /2 ; -

sig uien te s

puntos

dados

3) P ( 4 ; - 2 7 r / 3 ) tt/ 4 )

. 6) P ( 3 ; 2 )

III. H a lle las e cuaciones p olare s de: 1 •y - 5 = 0

R. r se n 0 = 5

2. x 2 - x 2y 2 - y 4 = 0 3. x 2 + y 2 — 4 x + 2 y = 0

R. r — 2 ( 2 e o s 0 — s e n 0 )

4. 6 x y = 5

/?. 3 r 2 s e n 2 0 = 5

5 . y 2 = x 3/ ( 2 a - x )

R. 2 a ta n 0 s e n

6. x 2 + y 2 — 2 y = 0

fl. r = 2

sen 0

7. 3 ( x — 2 ) 2 + 4 y 2 = 1 6

ß. r ( 2 -

eos 0 ) =

6

8. y 2 - 4 x - 4 = 0

R. r ( 1 - e o s 0 ) =

2

255

0= r

en

TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II 3 x 2 + 4 y 2 - 6x - 9 = 0

9.

R. r 2 ( 3 + sen 2 0 ) = 3 ( 2 r eos 0 - 3 )

1 0 .2 x y = a 2

R- r 2 sen 2 0 - a 2

11. x 2 - y 2 = a 2

R. r 2 eos 2 6 = a 2

IV . H a lle las e cu a cione s rectangulares de

1. r = a sen 9 - b c o s O

Æ. x 2 + y 2 + b x - a y = 0

2. r 2 = a 2 eos 2 0

R. ( x 2 + y 2) 2 = a 2( x 2 - y 2)

3. r ( l - eos 0 ) = 4

R. y 2 = 8 ( x + 2 )

4. r ( 2 - eos 0 ) = 3

R. 3 x 2 + 4 y 2 - 6 x - 9 = 0

5. r ( l - 2 eos 0 ) = 4

R. 3 x 2 — y 2 + 1 6 x + 1 6 = 0

6. r = a ( l — eos 0 )

R. ( x 2 + y 2 - a x ) = a 2( x 2 + y 2)

7. r 2 eos 2 0 = 3

fí. x 2 - y 2 = 3

8. r = 2 eos 2 0

R. ( x 2 + y 2) 2 = 2 ( x 2 - y 2)

9. r sen 2 0 = 4

R. x 2y 2 = 4 ( x 2 + y 2)

10. r = a sec 0 + b

R. (x - a ) 2 ( x 2 + y 2) = ¿>2x 2

11. r sen 20 = 4 eos 0

Æ. y 2 = 4 x

12. r = sen 2 0

ñ . ( x 2 + y 2) 3 = 4 x 2y 2

V . E je rc ic io s d ive rsos. 1. D e m u e stre que el área del trián gu lo de vértices

Cr i l ^ i) .

(r 3 ^ 3 )

está d ad a p or

2.

1

r s e n (0 2 - 0 i )

r * ™

í—

í —

s e n (0 3 - 0 2) + —

ñ—

s e n (0 x - 0 3)] +

ü

1

H a lle la lo n gitu d de los la d os y el área del trián g u lo de vértices a ) (1 ; 7t / 3 ) , (2;

ít / 6 )

y (3 ; — tt/ 6 ) fí. J 5 - 2 V 3 , V 7 , V l Ó , ^ ( 3 V 3 - 2 )

b) (2 ; tt/ 8 ) , (4 ; 3 r r /8 ) y ( - 1 ; 7 tt/ 8 )

_________

/?. 2 j s ^ 2 V I , j 5 - 2 V 2 , V Í 7 , ^ ( 5 V 2 - 4 )

COORDENADAS POLARES i. D e m u e stre que el á n g u lo entre las rectas:

r c o s (0 - o)) = p y r c o s (0 - a>') - p '

es a - (o

'1. H a lle la e cuación de la recta que pasa p o r lo s p u ntos

i4 (r1; 0 1) y S ( r 2; 0 2).

Su ge rencia: co n sid e re un p u nto P ( r ; 0 ) cualq uiera de las rectas y las áreas de los triá n g u lo s OAB, OBP y OPA. s e n ( 0 t - 0 2) se n (0 2 ~ 0) se n (0 — 0 j) ----------------- - H---------------------- 1-------------------- = 0 r rx r2 5. H a lle la e cuación de la recta que pasa p o r el punto ( r ^ - j a la recta r e o s ( 0 - cu) = p.

y es p erpe n d icu la r

R. r s e n ( 0 - coi) = T ^ s e n ^ - oj) 6. S i

C (a ;a )

es el centro de una circun fe re n cia de rad io a

co orde n a da s polares, dem uestre que r = 2 a e o s ( 0 - a ) circun fe re ncia que pasa p o r el polo.

exp re sa d o en

es la e cu a ción de la

7. P es cualquier punto de la circunferencia r 2 - 2 r e e o s ( 0 - a ) + c 2 - a 2 = 0. S i O es el p o lo y Q un punto sobre OP de m anera que:

_____

OP k

i) = =

ii) OP.OQ = d 2

OQ H a lle la ecuación del lu ga r geom étrico descrito p o r Q en cada caso.

R. i) k 2r 2 - 2 c k r c o s ( 8 - a ) + c 2 - a 2 =

0

( c 2 - a 2) r 2 - 2 c d 2r c o s ( 0 - a ) + d* = 0

ii)

8. S i el fo c o de una có n ic a (parábola, elipse o h ip é rb ola ) está en el p o lo y la directriz de lacó n ic a es una recta p erpendicular al eje p olar que está a una distan cia de

2 p (p > 0 ), la e cuación de la có n ic a está dada por:

2 ep r = — ----------- , e es la excentricidad de la cónica l± e c o s 0

(1 9 ) v J

(la có n ic a es una elipse si 0 < e < 1 , una p aráb ola si e - 1 y una h ipé rb ola si e > 1). S i la directriz está a la izq uierd a del polo, el s ig n o de (1 9 ) es

en

cam bio, si la directriz está a la derecha del polo, el sig n o de (1 9 ) es + . S i el fo co se m antiene en el p o lo y la directriz es paralela al eje polar, la ecua ción de la có n ic a está dada por 2 ep

r ~ 1

± e se n

0

(' 2 0 )

S i la directriz está debajo del eje polar, el s ig n o de (2 0 ) es está sobre el eje polar, el s ig n o es + .

257

y si

la directriz

TÓ PIC O S DE C Á LCU LO - V O LU M EN II

a)

H a lle la e cuación de la elipse con foco en el polo, exce n tricidad

e = - y

directriz perpendicular al eje p olar en el punto ( — 4; 0 ).

4

R. r = b)

H a lle

la ecu a ción de

la p arábola con

foco

en

2 —eos 8

el p o lo

y

directriz

p erpend icular al eje p olar en el punto ( — 3; 0 ).

R. r

1 - eos 0

16 c)

D e sc rib a y grafiq u e la cu rva r =

5 + 3 se n 6

R. elipse

V I. T r a c e la gráfica de cada una de las ecuaciones siguientes. 1.

r = 5 se n 0 + 4 c o s 0

2. r s e n 0 = 4

3.

r eos 0 = 6

4. r z s e n 2 0 = 1 6

5.

r 2 = 1 6 sen 2 0

6. r ( 2 — c o s 0 ) = 4

7.

r ( 1 + se n 0 ) = 8

8. r ( l - 2 c o s 0 ) = 4, h ip é 'b o la

9.

r 2c o s 30 = a s e n 0

10. r = 2 a ta n 0 s e n 0, cisoid e

11. r = a s e n 2 -

3 0 12. r = a s e n J -

13. r = a 0, espiral de A rq u ím e d e s

1 4 . r = e a 0 , espirai lo ga ritm ica

15. r = a ( l + e o s 0 ), card ioid e

16. r = a ( l - c o s 0 ), card ioid e

17. r 2 = a 2s e n 2 0 , lem niscata

18. r 2 — a 2 c o s 2 0 , lem niscata

1 9 . r = 4 e o s 3 0 , ro sa de 3 pétalos

20. r 2 — 4 r + 3 + 2 c o s 0 = 0

21. r = a s e n 3 0 , ro sa de 3 pétalos


23. r = a e o s 2 0 , ro sa de 4 pétalos


25. r = a e o s 4 0 , ro sa de 8 pétalos


27. r = a e o s 5 0 , ro sa de 5 pétalos 28. r = a ( 2 + e os 0 ), caracol de Pascal. 29. r = a ( l - 2 e o s 0 ), caracol de P ascal 30. r = 12 + 3 s e n 2 0 ]

258

COORDENADAS POLARES

31. |r| = 3 e o s 2 0 , 0 e [0;

tt]

32. |r| = - 3 e o s 2 9 , 9 e [0; rr]

V II.

E je rc ic io s sobre sim etrías. 1. D e te rm in e la co n d ic ió n para que una cu rva sea sim étrica co n respecto al eje 7r/4.

2.

D e te rm in e la c o n d ició n para que una c u rv a sea sim étrica co n respecto al eje 7T/3.

V IH . H a lle los puntos de intersección de los sigu ien te s pares de curva s 1. r s e n 9 = 2 a , r e os { 9 -

R. ( 2 a;

= a

' 2' 2. r = 2 esc 9 ,

r

3 tt>

= 4 sen 0

R. ( 2 V 2 ; Í ) ; ( 2 V 2 ; ^ )

3. r = a , r = 2 a e o s 2 0 4. r = a ( l - e o s 0 ) ,

r = a co s0

/?.

5. 3 r = 4 e o s 0 , r ( l + e o s 0 ) = 1R. (2 / 3 ; ± t t / 3 ) 6. r = 4 ta n 0 s e n 0 , r = 4 e os 0 7. r 2 s e n 2 0 = 8 , r e o s 0 = 2 8. r = 1 + c o s 0 , 2 r = 3

1

9. r = - s e c ¿ - , r = 2 2

2

0 1 10. 3 r = 4 e os 0 , r e o s 2 — = —

2

11. r = l + c o s 0 , 12. r e o s 0 = 4 ,

2

2 r (l-c o s 0 ) = l

r = 10 se n 0

13. r = a ( 1 + s e n 0 ) , r = a ( l - s e n 0 ) 14. r = 3 + e o s 4 0 ,

r = 2 -c o s4 0

15. r = 2 + e os 2 0, r = 2 + s e n 0

259

y e | p 0 |0


IX . I lalle los á n g u lo s /?, a

y la pendiente de la recta tangente para las siguien te s

cu rva s en lo s puntos dados. T ra ce la gráfica de la curva.

n 1. r = 4 ( 1 + s e n 0 ) ; P ( 4 ; 0 )

P~ 4

2. r 2 = a z(c o s20) ; p ( - ^ ; - )

P

_ 37r

4

' “ “

57T ~6~

3 . r ( l + s e n 0 ) = 4 ; Px (2 ; — ) , P 2 (4; n ) 7T

4.

r =

4 sen 30 ; P (4;—) 7T 271

5. r = a sen 0 ; 0 =

1a; l ) '

6. r = a sen 20 ; Px ^

( ° :f )

7. r ( l - sen 0 ); P(a;7r) 8. r = a sec20 ; P (2 a ;-) X . H a lle el á n g u lo de intersección entre las cu rva s sigu ien te s en lo s p u ntos que se indican.

n

n 1 . r = a c o s 0 , r = a s e n 0 ; e n P ^ a;4 j 'V 2

R' 2

/ 2ta 2 . r = 4 e o s 0 , r = 4 c o s 20 - 3 ; e n P ^ - 2 ; — J

^

2

n 3 . r = a , r = 2 a sen a ; en P (a ; - ) 4

r = - a se n 0 , r = eos 0

; e n elp o lo

X I. H a lle lo s á n g u lo s de intersección de las c u rva s siguientes:

1. 2r = 3 , r = a + c o s 0 2. 3 r = 1 0 , r ( 2 - s e n 0 ) =

P . j r /6

R.

5

n/3

3 . r = 1 — s e n 0 , r = 1 4- s e n 0 R. 0 o e n el p o lo ,

260

n/ 2

e n ( 1 ; 7r )

; —

e n (l;0 )

C O O R D EN A D AS PO LARES 4.

r = e o s 0 , r = s e n 29 /V 2

R. 0 o en (0; n / 2 ) ; 7 9 ° 6 ' aprox. en j[ — \ 5. r 2 s e n

6. r ( l

-

29 = 4 , r 2 = 1 6 s e n 2 0

R.

tt/ 3

eos 0 ) = 4 , r ( 2 + c o s 0 ) = 20

7. r = 3 ( 1 -

8. r =

TT

;— 6

eos 0 ) ,

r = 3 eos 0

a eos 0 , r = - a sen 2 0 R. 0 o en el p o lo , arctan 3 V 3 en lo s o tro s p u n to s

9.

X II.

r = s e c 0 , r se n

29 = 2

R. L a s c u rva s n o se cortan

E n los ejercicios del 1 al 4, dem uestre que las sigu iente s cu rva s se cortan en á n g u lo recto. 1.

r ( 1 + e os 9) = a , r ( 1 - e os 9) - b

2.

r

= a ( l + e os 0 ) , r = a ( 1 -

3.

r

- 2 a e o s 0 , r - 2 b se n 0

4.

r

= 4 co s(0 — 5.

e os 0 )

n / 3 ) , r 2 — 6r

eos 0 + 6 = 0

H a lle la c o n d ic ió n para que las circu nfe re n cias

r 2 - 2 cr e o s (0 - a ) + c 2 - a 2 = 0

y

r 2 + 2 c ' r c o s ( 9 — a ') + c '2 — a '2 = 0 se corten ortogonalm ente. R. c 2 + c 12 — 2 cc' e os ( a — a ') = a 2 + a ' 2 6.

D e m ue stre

que

r co s(0 —

oj )

= a + c eos ( a — w )

es tangente

a

la

circu n fe re n cia r 2 — 2 c r c o s ( 0 — a ) + c 2 — a 2 = 0. 7.

H a lle

las

co ord e n a d a s

polares

de

los

centros

y

los ra d io s

de

¡as

circun fe re n cias

r = 4 eos ^0 — — J

y

r 2 - 2 r e os 0 - 2 = 0

Pruebe adem ás que las circun fe re n cias se cortan orto go nalm e n te (d o s circu n fe re n cias se cortan ortogonalm ente si la su m a ' de los cu a d ra d o s de su s ra d io s es igual al cu ad rado de la distancia entre su s centros).

261


5.10 Á R E A S EN C O O R D E N A D A S P O L A R E S Ivn esta se cción d ed u cire m os u na fó rm u la que perm ita obtener el área de u na región F (F ig. 5.22) lim itada por una e cuación polar, esto es,

F = {(r; 0 ) É l 2 / a < 9 < p , 0 < r < / ( 0 ) } donde / : [a; /?] -» E

es una fu n ció n continua y no negativa.

m g.

Fig. 5.22

E n té rm in os sim p le s, F es la re gió n co m p re ndid a entre las gráfica s de r = / ( 0 ) , eje a , eje /? (c o n a < /?) Sea 0 o e [ a \ p ]

y sea A ( 0 O) el área del sector lim itado p or la cu rva r = f ( 9 )

y por las rectas 9 = a y 8 = 9 0. Se a 6 0 + A 0 6 [a; /?], con .m =

m ín f{9) 0o
=

A

A 0 > 0, y

m áx / (0 ) tío< 0 íe o+A0

A ( 6 0 + A9) - A ( 9 0) está co m p re n did a entre las áreas de ios sectores circulares de ra d io s m y M (F ig. 5.23). Para A 0 > 0 se tiene E l área

m 2A9

M 2A9 < A ( 8 0 + A9) - A ( 9 0) <

L u e go .

m 2 ^ A ( 9 0 + A 9 ) — A ( 9 0) ^ M 2 ~Y ~ C o m o f 2/ 2

A6

“ ~2

es continua en

[0 O; 0 O + A 0 ] ,

interm edios, existe 9 G [90\ 9 0 + A 0 ] tal que

f 2( 9)

A ( 9 n + A 0 ) — A ( 9 0)

2

A9

P o r la co n tinu id a d de f 2/ 2 en 0 O, se sigu e que

A { 9 a + A0) - A ( 9 0) lim

f 2( 9 0)

A9

262

p or el teorem a de los va lo re s

C O O R D EN A D AS PO LARES

P rocediendo de m o d o an álogo, para A0 < 0 . se tiene lim A (°o + M ) - M Q 0) A 0 -0 AO

f 2(Q0) 2

l’or tanto, A '(9) = ~

^ , V 0 € [a,P\

y

(*)

l’or consiguiente, de ( * ) se deduce que la fó rm u la para hallar el área de la región /■' expresada en co orde n a da s polares es 1 [P

a^

= 2¡

f 2W 0

Observación 5. Sean f , g: [a; /?] -> M funciones continuas en [ a , p ] tales que () S g ( 8 ) < f ( 9 ) , V 6 e [ a; P] , y sea F la región limitada p o r las gráficas cíe >' = 9 ( 0 ) , r = f ( 9 ) y ¡as rectas 0 = a y 0 = fJ (Fig. 5.24). Entonces el área de la región F está dada p o r A{ F) = \ f [ f 2( 6) - g \ d ) ] d O Jir

l.je m p lo 17. C a lc u le el área de la región /•’ lim itada por la cu rva r - 2 + e os U y los ejes 0 = 0 y 0 = n / 2 . S o lu c ió n I .a gráfica de la re gió n F se m uestra en la fig. 5.25. A l aplicar la fó rm u la correspondiente para hallar el área, se tiene

MF) =

+ c o s 0 ) 2 d 0 = ^ J g2 ( 4 + 4 c o s 0 + 1-+ .™ S +16

,

= -----

263

dd


E je m p lo 18. C a lc u le el área de la re gió n lim itada p or la lem niscata r 2 = a 2 eos 20 S o lu c ió n C o m o la lem niscata es u n a cu rva sim étrica respecto al eje polar, es suficiente m ultip licar p or 4 el área de la re gió n R (F ig. 5,2o). E n to n ce s

A( F) = 4

i

n r*

JJo4«2 e o s 2 9

d9

E j e m p lo 19. H a lle el área de la re gió n lífnitada p or lás p aráb olas r ( l + e o s 9) = 4

y

r ( 1 - e os 0 ) - 4.

S o lu c ió n E n este ca¿&, u n a p aráb ola es sim étrica á la otra p a rá b o la co n respecto al eje n / 2 (al reem plazar

9

por

n - 9

efl láf' prim era ecuación, se obtiene la se gu n d a

ecuación). E sta s paráb ola» so n sim étricas con respecto al eje p o la r y su s p u ntos de intersección so n

los p untos

4 (4 ;7 r/ 2 )

y

B (4 ;3 7 r/ 2 ).

C o n sid e ra n d o

las

sim etrías, el área de la re g ió n enjre estas p arábolas (F ig. 5 .27 ) es 4 veces el área de la re gió n R. E n la integral se u tilizará la identidad (1 + e o s 9 = 2 e o s 20 / 2 ). 1 fI

A(F) = 4

1 6 d9

2 J0 ( l + c o s 0 ) 2

_

ÍJ

32

J0

d9

_

[2 e o s2 6 / 2 ] 2

[2 J0

Ae

64

sec — d9

E je m p lo 20. C a lc u le el área de la re gió n que es interior a la c u rv a r = 2 a e o s 3 0 y exterior a la circun fe re ncia r = a, a > 0, S o lu c ió n L a re gió n se m uestra en la F ig. 5 .28 (parte som breada). P ara hallar el área total es suficiente m u ltip lica r p or 6 el área de la re gió n R . E n to n ce s

C O O R D E N A D A S POI.. A RES 90'

120"

150° N .

\

\

60° /

\

R

T

30"

l M

k

r = ; a e o s 39 Fig. 5.28

Fig. 5.29

I je in p lo 21. C a lcu le el área de la región que es interior a las curva s V 2r = 3

y

r z = -9 c o s2 0

S o lu c ió n L a re gió n es la parte so m b re a d a que se m uestra en la c ig. 5.29. P o r sim e tría se (iene 1 [3 2 f'i9 A( F) = 4 - j ¡ ! ( - 9 c o s 2 S ) d e + - l - M 4

3 , — , = - ( 6 + 7r - 3 ^ 3 ) ^

3

E je m p lo 22. H a lle el área de la re g ió n que es interior a la cu rva r = 3 a e o s 26 y exterior a la cu rva r = a ( l + e o s 2 0 ) , a > 0. S o lu c ió n L a re gió n es la parte so m b re a d a que se ilustra en la fig. 5,30. P or sim etría, se tiene A ( F ) = 4 [ A( RX) + A ( R z) l . dondfe 1 f6 i) = y [ 9 a 2cosz.29 - a 2( 1 + eos 2 6 ) 2] d<9 ‘ ^ Jo . - « ü f 6( 3 + 4 eos 4 0 - 2 c o s 2 0 ) dfl = ^

^ i0

^(^2) = 2J

[9a2c o s 22ff - a 2( 1

+ eos 2 0 ) 2]d 0

(d on d e a es tal que e o s 2 a == - 1 / 4 )

= -y J

[3 + 4 e o s 4 0 - 2 c o s 2 0 ] d 0 = 3

+ ~ 7 r ~ “ 3a

Luego, A(F) = a 2 ( 4 7 1 + ^ ^ 1 5 — 6 a j u2 = (9,95 a 2) u 2:

265

TÓ PICO S DE C Á L C U LO - V O LU M EN II

5 .1 1 L O N G IT U D D E A R C O E N C O O R D E N A D A S P O L A R E S Para calcular la lon gitu d de arco de una cu rva exp resad a p o r la e cu a ción p o la r

r = f ( 9 ) , 9 6 [ a; P] , param etrizam os en térm inos del parám etro 0. A s í. las ecuaciones param étricas de la cu rva son

x = f ( B ) e o s 9 A y = / ( 0 ) s e n 8 , 9 6 [a;/?] donde / es una fu n c ió n con d erivada continua V 9 6 [a; /?]. A l a plicar la d eriva d a de un producto, se obtiene

dx —

uu

dy

= f ' { 9 ) eos 9 - / ( 0 ) s e n 9

y

—

do

= / '( 0 ) s e ! n 0 + / ( 0 ) e o s 0

En ton ce s

ÍS) +Q ’ L u e go , a p lic a n d o la fó rm u la de longitud de arco de una cu rva d ad a en e cu acion e s param étricas, se tiene c}ue la lo n gitu d de arco de r = / ( 9 )

9 = ¡i está dada p or L =

f

9 = a hasta

desde

’

V I / ( 0 ) P + [ / '( 0 ) ] 2 d.9

E je m p lo 23. H a lle a lon gitu d de arco de la cu rva r = a s e n 3 ( 0 / 3 ) , a > 0. S o lu c ió n L a gráfica de la cu rv a se m uestra en la fig. 5.31. L a cu rv a q ueda descrita si

9 6 [0; 37rJ (es sim étrica respecto al eje rt/2).

6

6

C om o [ / ( 0 ) ] 2 + l / '( 0 ) ] 2 = a 2 s e n 5 ~ + a 2s e n 4 >J

!

J

0Q e o s2 - = a 2sen4 —, e n to n c e s ví

r37r { 6 f 3n ,0 a f 3n ( 2d\ 3an ! Ja 2 s e n 4 - d 9 = a s e n 2 — d.9 = — j ( 1 — eos — ) d 9 = — — u ¡ . 3 i p 3 2 J„ y j / 2 Jo

Fig. 6.32

Fig. 5.31

266

C O O RD EN A D A S P O LA R ES

E je m p lo 24. H a lle la lon gitu d de arco de la parte de la p aráb ola r = a s e c 2( 6 / 2 ) cortada p o r la recta p erpe nd icula r que pasa p o r eí polo. S o lu c ió n L a grá fica se m uestra en la

fig.

5.32. Se tiene ~ n f 2 < 0 < n / 2

y

dr ¿jj = / '( Ö ) = a se c 2( 0 / 2 ) t a n ( 0 / 2 ) A p lic a n d o la fó rm u la correspondiente, se tiene n

1 = / l V [ / ( 0 ) ] 2 + [ / '( 0 ) ] 2 d9 = a f ~Z —

í

® i.

®

, I

"2

9 s e cs — d9

e V-

®

— a s e c — t a n — + ln s e c — + t a n — J l 2 2 1 2 2

2

= 2 a [ V 2 + ln (V 2 + l ) ] u r = 2b tan 0 se n 0, b > 0 desde

E je m p lo 25. H a lle la longitud de la cu rva 0 = 0 hasta 0 = tt/3. S o lu c ió n L a grá fica de la cu rv a se m uestra en la obtenem os

fig.

5.33. C o n la fó rm u la de la d erivada

dr d9

- r' = 2b se n 0 ( s e c 20 + 1)

Luego,

TT ‘

1 = l J r 2 + ( r ') 2 d9 n = 2b j

tan 0 V s e c 20 + 3 d9

L n la últim a integral h a ce m o s el ca m b io de variable u 2 = s e c 20 + 3. En ton ce s

2 u d u ~ 2 s e c 20 tan 0 d9 => tan 0 d6 -

u du u2 - 3

C a m b ia n d o los lím ites de integración, se tiene

L = 2b

f vV? u U2 du

i

H 7

3

; = 2b

^ 3 = 2 b lJ 2 i l + ^ Í > du =

2 ¿ ( V 7 - 2 ) + V 3 f c ln f - p + V ^ (V 7 ~ V I)

l(2-V3)(V7 + V3).

.

V3 lu - V 3 u + — ln ------- -

2

u + V3

V7


5.12

V O L U M E N D E U N S Ó L ID O D E R E V O L U C IÓ N E N C O O R D E N A D A S PO LARES

E n prim er lugar, q u erem os calcular el v o lu m e n de un s ó lid o (F ig. 5.35) obtenido p or la rotación alrededor del eje x de un sector circu lar del p la n o x O y (F ig . 5.34) c o m p re n d id o entre los á n g u lo s 0*

y

0 2.

i /

y

\

/

1

i

A X

Fig. 5.34 E l sector circu la r puede ser descrito del siguiente m odo: 0 < x < r c o s 02 y f i ( x ) < y < f 2{x) ) sect:or e n tre Qt y r eos 0 2 < x < r eos 0, .y f t (x) < y < fl( x ) )

02

donde

f x( x) = x ta n 0 r , /2 ( x ) = x ta n 0 2, g { x ) = J r 2 - x 2 A l aplicar el m étodo del disco, obtenem os /•r eos ¡•r cos 02 0,

V = .jr

fr rr Ccos0i OS0! | -rc o s 0 ! [ f 2( x ) ] 2d x + n \ [ g ( x ) l 2d x — n I l A ( x ) ] 2d r

J q-

*^r eos 02

r . r eos 0 2

f r cosOj

r rco s0 !

x 2 t a n 26 2 d x + u

= tt

( r 2 - x 2) d x - n \ - ¡r eos 02

Jn

x 2 t a n 20 1 d x

0

H a c ie n d o lo s c á lc u lo s respectivos, se tiene 2 n r3 1/ = — — (e o s 0 ! - e o s 0 2)

(21 )

A h o ra , nuestro p ro p ó sito es ca lcula r el v o lu m e n V del s ó lid o ob ten id o p or la rotación en to rn o al eje p o la r de la re gió n plana

F = ( ( r ; 0 ) / 0 < r < f ( f l ) , a < 8 < (3} d ond e r = / ( 0 ) co n tinu a en

es la e cu a ció n de u n a c u rv a en co o rd e n a d a s p olare s ( / es

[a ; /?]) y F es la re g ió n lim itada p o r las grá fica s de la cu rv a

/ ( 0 ) y lo s ejes 0 = a y 0 = /? (F ig. 5.36).

268

r =


Sean 9 0 y 80 + A 8 d os puntos de [a;/?], con A 8 > 0. y m = 90<8<60T&e «,

M = 80<8<60-rAe m áx f{S)

A

I- I vo lu m e n obtenido p o r rotación del sector F co m p re n d id o entre 80 y 8 n + A 8 (Fig. 5 .37 ) es. se gún la fó rm u la (21). ¿ 7n n 3

2 tzM 3

- J ~ [eos 0O- eos (0O+ A0] < V(6„ + A0) - V(80) < — -

[eos 0O- eos

(0O-i- A0)j

D iv id ie n d o entre A 0 > 0 se tiene ¿ 711W? rc o s 0 n - e o s (6>0 + A 0 ) 1

3

‘

AS

f 3

Com o

V(60 + A 0) - V(80)

2ttA/3 r c o s 0 c - e o s ( 6 \ + A fl) i

re ----------- £ —

j-

[----------------------------- J

[80; 8 0 + &8], por el teorem a de los valores

es continua en

interm edios, existe Qx e [0 O; 80 + A 0 ] tal que 2n f \ 8 J

e os 8 0 - e o s (8 0 + A 0 ) i

3

A8

A8

I ornando lim ite cuando A 8 -> 0 + , debido a la continuidad de f en 8 n, se tiene 1/

27r / 3 ( 0 o)

j = ------- --------- sen ^

n

Del m ism o m o d o se hace para A 8 < 0. P or tanto.

f 3(8 0) V '(ßo) =

- s e n 0,

malmente, el vo lu m e n del s ó lid o es V = V ( ß) - V( a) . esto es 2rr f ß , i/ = r l f í n ), s e n 8 d B

269

TÓ PIC O S D E C Á L C U LO - V O LU M EN II

E je m p lo 26. C a lc u le el vo lu m e n del só lid o obtenido al hacer gira r el ca rd io id e r = a ( 1 + c o s 0 ) , a > 0, alrededor del eje polar. S o lu c ió n E n la fig u ra 5.38 se o b se rva que para obtener el referido v o lu m e n es suficiente g ira r en torno al eje p olar la parte del cardioide que está en el se m ip la n o superior. E n to n ce s se tiene:

o (1 + c o : É»)4] 71

r

Fig. 5.38

= a (l+ eos 0 )


E JE R C IC IO S E n c a d a u n o d e los s i g u i e n t e s e j e r c i c i o s , c a l c u l e el á r e a d e la r e g i ó n l i m i t a d a p o r las c u r v a s ( d a d a s e n c o o r d e n a d a s p o l a r e s ) q u e se i n d i c a n y b o s q u e j e la g r á f i c a d e la r e g i ó n . 1.

r = a e os 6 , 0 < 0 < n /3

R. (0 ,3 7 a z ) u 2

2.

r = a ( l — eos 9)

r , ^ l a 2û 2

3.

r = 4 e o s 20

R. 4-nu2

4.

r = a se n 26

r

,na

2 5.

r, — u 2

r = eos 3 0

12 6.

r = a e os 5 0

fl.

7.

r 2 = a 2 se n 4 0

fi.

8.

r = a ( 1 + 2 se n 8 ), 8 = - ~ v 0 = 6 '

9.

r = |4 se n 2 0 ¡

— 6

ira '

,

~

U

a 2u 2 (n

/?. (

fl.

H

3V3\ J u

Q nu2

10. r = b + a e o s 0 (0 < b < a )

R. . - ( 2 ¿ 2 + a 2)w :

11. r = a e o s 4 0

R.

12. r z = a 2 e os 8 0

na2 ~~TU

R. a 2u 2

13. L a re gió n es interior a las cu rva s r = 3 + e o s 4 8 y r = 2 - e os 48. R. 3 7 tt/6 u 2 14.

L a re gió n es interior a r =

3 + e o s 4 8 y exterior a r = 2 - e o s 40.

15.


2 - e os 40 y exterior a r = 3 + e o s 40.

16.


2 + e o s 20 y exterior a r =

2 + s e n 0.

R. 5 1 V 3 / 1 6 u 2

17. L a re gió n es interior a las cu rva s r = 2 + e o s 20 y r = 2 + s e n 0.

TÓ PICO S DE C Á LC U LO - V O LU M EN II

i n t e r i o r aa V 2 r = 3 yj *e x t e r i o r a ' r 2 = - 9 e o s 2 0 g ^ 18. La región es interior R. ( 3 7 t - 9 + - V 3 j u 2 2

19. L a re gió n es interior a

las curvas r = 3a eos 20 y r = a ( l + eos 20),

a > 0. 20. L a re gió n está co m p re n d id a entre la parte ex.erna e intetna de 3 e r = a s e n '5-

K-

\

“ 2 ----------5 5 ---------

J

“ 2

21. L a re gió n está co m p re n d id a entre las curvas:

9 a ) r — i — e os 2 0 , r — 2 ( 1

e os 2 0 ) ,

0 < 0 ^

,

b ) r = 2 a eos 0 , r = 2 a sen 0

n

R- ~

^

)

,

2

c) r = a s e n 0 , r = a ( l i- e os 0 )

d ) r = 2 se n 2 0 , r = 2 eos 20

»•

( F 1)

curva. 1

r = se n

2. r =

20

3. r =

o(l

9 , 0 S [0; 2rr] , e e lo ;

«■I W T +

^ n + eos 0 ) , a > 0

4. e = i ( r + i) 5. E l a l

2

2« )

d esd e r = 1 ha sta r

d e t a e spiral lo ga rítm ica

dentro del círcu lo

r

4F

+ '" t2 " + R- 8 a u

= 3 r =

R . Í( 4 + ln 3 )U m > 0, , u e se encuentra

- a. 1 + mz

R. a -------- - u N

m

,

RECTAS Y PLANOS

L=

EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL

(-.1 V E C T O R E S E N E L E S P A C I O T R I D I M E N S I O N A L I I o b j e t i v o d e e s t a s e c c i ó n , e s r e c o r d a r las o p e r a c i o n e s c o n v e c t o r e s y s u s p r o p i e d a d e s c o n la f i n a l i d a d d e h a c e r u s o d e e ll a s e n la s i g u i e n t e s e c c i ó n , r a z ó n po r la c u a l n o se d e m o s t r a r á n las p r o p i e d a d e s . (».6.1 E l E S P A C I O E 3 1.1 e s p a c i o d e d i m e n s i ó n t r e s e s el c o n j u n t o d e t o d a s las t e r n a s o r d e n a d a s de n ú m e r o s r e a l e s y se d e n o t a c o n R 3 = { (x ;y ;z )

/ x,y ,z

6 IR}

Así, u n v e c t o r e n el e s p a c i o IR3 es u n a t e r n a o r d e n a d a d e n ú m e r o s r e a l e s y se denota con á = ( a ^ a ^ a - ^ )

Igualdad de Vectores D os v e c t o r e s a = ( a 1 ; a 2 ; a 3) y b = ( b 1 l' b 2 , b 3 )

e n el e s p a c i o K 3 s o n i g u a l e s si

solo sí s u s c o m p o n e n t e s c o r r e s p o n d i e n t e s so n i g u a l e s , e s d e c i r d = b <=> a t = b lt

a 2 = b2

y

a3 = b3

Vector nulo I s el v e c t o r q u e t i e n e t o d a s s u s c o m p o n e n t e s i g u a l e s a c e r o y se d e n o t a c o n 0 -- ( 0 ; 0; 0 ) . E s t e v e c t o r e s el ú n i c o v e c t o r q u e n o t i e n e d i r e c c i ó n e s p e c i f i c a

Suma de Vectores Sean

á = ( a 1; a 2; a 3)

y

b = ( b 1; b 2 ; b 3)

d o s v e c t o r e s e n el e s p a c i o IR3 ,

e n l o n c e s el v e c t o r á + b e s t á d e f i n i d o c o m o á + b = ( a 1 + b 1 - , a2 + b 2 \ a 3 + b 3 )

Multiplicación de un escalar por un vector Sea r un e s c a l a r ( r 6 R ) y a = ( a : ; a 2 ; a :l) un v e c t o r e n el e s p a c i o IR3 , e n t o n c e s 1.1 m u lt i p l i c a c i ó n d e l e s c a l a r r p o r el v e c t o r ü e s t á d e f i n i d o c o m o rá

= (raí,- r a 2; r a 3)


6.1.1.1 PR O PIE D A D E S Si d , b , c

son vectores en el espacio IR3 y r , s G E

se ve rifica n las sig u ie n te s

propiedades: 1.

a + b es un vector en el e spacio E 3.

2.

á + b = b + á

3.

a + (b + c ) = ( a + b j + c

(P ro pie dad C onm u tativa)

4.

E x iste un ú n ico vector

5.

P ara cada vector

(P ropiedad A so c ia tiv a )

cero 0 = (0; 0; 0 ) tal

a = ( a 1; a 2; a 3),

que á + 0 =

existe un ú n ic o

a , V a en

ve ctor (opuesto de

l 3 a),

- a = ( ~ a 1; - a 2; - a 3) tal que a + ( - a ) = 0 6.

r a es un vector en E 3

7.

r ( a + b) = r a + r b

8.

(r + s ) a = r d + s a

9.

r (s a) = (r s) a

10. 1 a = a , V a en M3 C u a lq u ie r sistem a m atem ático en el que estas prop ie dade s so n válid as, recibe el nom bre' de e sp a cio vectorial real. D e este m o d o

E 3 es u n e spa cio vectorial real

de d im e n sió n tres. S u s t r a c c ió n d e v e c to re s Sean a = ( a x; a 2; a 3) y

b = (i?x; b 2; b 3) d o s vectores del e sp a cio E 3, entonces

la diferencia de estos vectores se define co m o

a - b = a + ( — ib), es decir, a - b = (a x - bx\ a 2 - b z \ a 3 — b3) 6.1.2 R E P R E S E N T A C I Ó N G E O M É T R I C A D E U N V E C T O R E N

E 3

D a d o que un ve ctor es u n ente m atem ático que tiene dirección , sentido y longitud; es representado p o r un se gm e nto orientado en el que se d istin g u e un o rig e n y un extremo. E l vector que tiene c o m o o rig e n el o rige n de co o rd e n a d a s y extrem o cu a lq uier punto P ( x - ,y ; z )

del e sp a cio E 3 (F ig. 6.1) se llam a v e c t o r d e p o s ic ió n y se

denota con

a = OP = ( x ; y ; z ) donde O es el o rige n de coordenadas.

RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL l'n vector que tiene como origen un punto inicial P0 y extremo el punto A (l i;;. 6.2) se denomina vector libre y se denota con a = P0P:

l'n la figura 6.3 se representa geométricamente las operaciones entre dos vectores tí y b .

d - P,P2 - OPz - OPx

=

( x2; y 2; z 2) - (x1; y 1; z 1) = ( x2 - Xl; y 2 - y i -.z2 - z j

275


6.1.3 V E C T O R E S PA R A L E L O S EN E 3 Se dice que d o s vectores a y b en el espacio R 3 so n paralelos, si u n o de e llo s es m últip lo e scalar del otro, es decir,

a II í « a

= r í

V

5

r ,s G R

=

D o s vectores parale los á y b tienen el m ism o sentido si

á = rb ,

r > 0

D o s vectores p aralelos a y a = rb ,

b tienen sentidos opuestos si

r < 0

E je m p lo I

¡a) S i a = (1; 3; - 4 ) y b = ( 2 ; - 1 ; 2 ), encuentre los vectores a + b, d + b y 3 a - 2b b) D e te rm in e

s;

cada

par

de

los

vectores

b = (5; - 1 0 ; 1 5 ) , c = ( - 2 ; 4; - 6 ) y

dados

S o lu c ió n a) A l ap licar las d e fin ic io n e s d adas se tiene

a + b = (1; 3; - 4 ) 4- (2; - 1 ; 2 ) = (3; 2; - 2 ) a — b = (1 ; 3; - 4 ) - (2; - 1 ; 2 ) = ( - 1 ; 4; - 6 )

3a-

2 b =

3(1; 3 ; -

4 ) - 2 (2 ;-1 ; 2)

= (—1; 11; —16).

b) T e n e m o s

b = — 5 a = > a II b y tienen se ntido s opuestos c = 2 a => a \\ c y tienen el m ism o sentido L o s vectores a y

d no so n paralelos

a — ( —1; 2; — 3 )

d = (0; 1; 3 ) so n paralelos.

y

6.1.4 M Ó D U L O O LO N G IT U D D E UN V E C T O R EN M3 I.» longitud o n orm a o m ódulo de un vector a — ( a ^ a 2 ; a 3) en el e sp a cio M 3 se denota y se define c o m o

Hall = V a i + a2 + CL32 2

2

l’or ejem plo, si a = (1 ; 2; - 2 ) => ||a|| = j l 2 + 2 2 + ( - 2 ) 2 = 3

O bservación 2 ti) La norm a de un vector es la longitud d el segm ento orientado que lo representa (Fig. 6.5) ■h) Todo vector de longitud igual a 1 se llam a vector unitario, es decir u es unitario si ||u|| = 1 ¡'i El vector unitario en la dirección del vector no nulo a es el vector _

3.

6.1.4.1 P R O P I E D A D E S Si a y b so n vectores en el e spa cio R 3 y r es un escalar, entonces 1. ||a|| > 0

y

||a|| = 0 <=> a = 0

2. ||r a|| = |r|||a|| 3. ||a + b || < ||a|| + ||¿|| (D e sig u a ld a d triangular)

4. ||a|| = ||—a|| 6.1.5

P R O D U C T O IN T E R N O O E S C A L A R D E V E C T O R E S E N

S i a = ( a t ; a 2; a 3) y

E 3

b = (b t ; b 2; b 3) son vectores en el espacio IR3 , entonces

el p rod u cto interno o p ro d u cto e sca la r de denotado p or

a y b es el núm e ro real d e fin id o y

a • b = a xb1 + a 2b 2 + a 3b3 (se lee " a punto ¿ ”) l’or ejem plo, si a = (5 ; 4; - 1 ) y b = (2; - 1 ; 3 ), entonces

d - b = 5 (2 ) + 4 ( — 1) + ( - 1 ) 3 = 3 277

TO PIC O S DE C A LCU LO - V O LU M EN II

6.1.5.1

P R O P IE D A D E S

Sean á ,b y c vectores en el e spacio R 3 y sea r un escalar. E n to n c e s se tiene 1. á - b = b ■a

(P ro p ie d a d C onm u tativa)

2. ( r a ) ■( b ) = r ( a - b ) 3. á - ( b ± c ) = d - b ± á - c

4.

(P ro pie dad D istrib u tiva )

a •a = ||al|2 ; a ■a = 0 <=> á =

5. ||a+ ¿||2 =

Hall2 + ||£||Z + 2a-b

6. ||a— b \\2 =

Hall2 + ||fe||2 - 2 a • 5

7.

0

||a + b||2 + ||a - fc||2 = 2[|a[|2 + 2||fo||2 (L e y del p arale lo g ra m o )

6.1.6 Á N G U L O S E N T R E D O S V E C T O R E S

Sean

vi setores no n u lo s en el

b

a y

espacio R 3 . E l ár igu lo entre los vectores

b es el ]m enor á n gu lo p o sitivo lerm inado p or a m b os al (0 < Q < n ) del partir de un m ism o o rige n co m ú n (F ig. 6.6) a y

0

T eore m a 1

Si

6

entonces

6=—

ye

/a

es el á n g u lo entre dos

vectores n o n u lo s á y b del e spa cio R 3,

eos

~b \

á

O(origen)

Fig. 6.6

Ha

D e m o s t r a c ió n E je rc ic io para el lector

O bservación 2 D el teorem a 1 se deduce que una fo rm a altern ativa p a ra calcular e l produ cto escalar de los vectores á y b es a - b = l|a||||£|| e o s 9

278

i i L A I N U O LI N

l l

W IVU.1U

1 KlUllVItINjIUWAL

(>■1.7 V E C T O R E S O R T O G O N A L E S O P E R P E N D I C U L A R E S D o s vectores n o n u lo s a y b en el e spacio R 3 son orto go n ale s o perpendiculares si el á n g u lo determ inado p or a m b os es de 9 0 c T e o r e m a 2 D o s vectores no n u lo s á y b en ei e spa cio R 3 son p erpend iculares si y solam ente si á - b = 0

O bservación 3 Sean a. y b vectores no nulos en el espacio R 3. D e la figura 6.7 se tiene:

Á

a + b /r b

b

u a 1 ¡b <=> ¡|a + ¿||" = j|a||2 + ||¿||“ {Teorema de Pitágoras) ií)

á Ib

a

«=> ||a — b ' f = ||a||2 + ||fc||‘

Fig. 6.7

E je m p lo

2

H a lle

el

á n g u lo

que

form an

los

vectores

d = (1 2 ;0 ;-6 )

y

/>' = ( — 6; 0; 3 ) S o lu c ió n

a ■b - 7 2 + 0 - 18 -9 0 -9 0 e os 9 = --------— = — ---------------- = ----------------= --------= — i = > q — n ||a||¡¡¿>|¡ v l8 0 v 4 5 2V45V45 90 E je m p lo 3 C a lcu le el p roducto escalar de los vectores a y b si se sabe que form an un á n gu lo de 30°, ||a|| = 4 y ||fe|| = 6 V 3 S o lu c ió n

a - b = l|a||p|| e o s 30° = 4 ( ó V 3 )

E je m p lo 4

Sean a y

b

= 36

d o s vectores que form an entre sí un á n gu lo de 45° y

¡|a|¡ = 3. C a lcu le |¡¿|¡ si se sabe que el vector a - b e s perpendicular al vector a. S o lu c ió n l’uesto que el vector a — ¿ es perpendicular al vector a. se tiene

( a - b) ■á = 0 <=* á • a = b ■a <=> ||a||2 = ||¿>||||a|| e o s 45°

»

9 = ||¿ ||( 3 ) ( - ^ j ~

279

¡|¿|| = 3V2

T O PIC O S DE C A LCU LO - V O LU M EN II

E je m p lo 5 p || = 2 V 3

Se a n

a ,b y c

vectores en el espacio IR3 tales que ||a[| = 6.

||c|| = 2. Sa b ie n d o que los vectores a y b

y

30°, los vectores b y c

un á n gu lo de 6QC y los vectores

form an un á n g u lo de a y c

un á n g u lo de

90°, calcule a) a - ( b + c)

b) ||a - c||

S o lu c ió n T e n e m o s a ) á - ( b + c) = á - b + d - c = H a l l p H e os 30° + ||a||||c]| e o s 90°

= 6 ( 2 V 3 ) ^ ~ j + 6 ( 2 ) ( 0 ) = 18

b) ||a - c||2 = ||a||2 - 2 a • c + |lc|l2 = 3 6 - 2||a||l|c|| e o s 9 0 ° + 4 = 4 0 D e don d e se obtiene ||a - c|| = V 4 Ó

6.1.8

C O M P O N E N T E Y P R O Y E C C IÓ N O R T O G O N A L D E U N V E C T O R EN L A D IR E C C IÓ N D E O T R O V E C T O R

Sean a y b vectores no n u lo s en el e spacio K 3

A l vector OM (F ig. 6.8) se llam a v e c to r p ro y e c c ió n o r t o g o n a l de a

s o b re b y

se denota c o m o

OM = P r o y ^ a E n el sigu ien te teorem a ve re m o s el proced im ie nto para determ inar este vector

RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL T e o r e m a 3 Se a n a y b vectores n o n u lo s en el e sp a cio K 3, entonces ¡i) E l ve ctor p ro y e c c ió n orto go nal de a sobre b es el vector d ad o p or d r o y- r a = P

I)) A l

e s c a la r

b =ú

que

p ii ; pii

m u lt ip lic a

al v e c to r

u n it a r io

ur = - J - se d e n o m in a

IMI c o m p o n e n t e del v e c to r a en la d ir e c c ió n b (se denota C o m p g a ), es decir, ~ . a-b Com pga =

E je m p lo 6 H a lle el vector p ro y e cc ió n ortogonal de a sobre b y la com p one n te del vector á en la d ire c ció n b de lo s vectores a = (5; 0 : 4 ) y b = (2 ; - 1 ; 2 ) S o lu c ió n El vector p ro y e c c ió n orto go n al de a sobre b es el vector -—

( á - b \r

. „

na =

/10 + 0 + 8 \

F F

v—

9—

J (2: ~ 1; 2 ) = 2 (2 ; _ 1 ; 2 ) = ( 4; _ 2 ;

.a com p one n te del vector a en la d irección de b es el escalar

a-b Com pga =

18 = — = 6

6.1.8.1 P R O P I E D A D E S Sean a , b y c vectores no n u lo s en el e spacio distinto de cero. E n to n ce s I . P r o y ¿ ( a ± b ) = P r o y f a ± Proy,? b

2. P r o y ¿ (k a ) = k P r o y ¿a 3. P r o y (fcf)a = P r o y c-a 4. C o m p ¿ ( a ± b ) = C o m p r a ± C o m p r ó 5. C o m p ^ f c a ) = kC om p¿a

, ' C

f C o m p r a , si k > 0

„ -

W

Í -

c

ün, p , i , s i K

,

281

K 3 y k un escalar cualq uiera

TOPICOS DE CALCULO - VO LUM EN II

E j e m p lo 7 Se a n a y b vectores en el e spacio E 3 que ve rific a n a + 3 b = 0 y c o m p g a = - 6 . C a lc u le el v a lo r de A = 5 ( 3 a + 2 b ) • ( 3 a - 2 b ) S o lu c ió n a = - 3 b , entonces los vectores a y b tienen se n tid o s opuestos. L u e g o ,

Com o

el á n gu lo que fo rm an estos vectores es 9 = rr. A d e m á s,

||a|l = 1I-35H = 3||b||

(1 )

P o r otra parte, •

Com pga =

'

á-b

W

Ha || b I eos ti = ---------¡r ^ --------= -||a|| - - 6 = * ||a|| - 6

MI

(2 )

R e e m p la za n d o (2 ) en (1 ) obtenem os ||5|| = 2 A h o r a bien, u sa n d o las prop ie dade s del producto escalar resulta A = 5 ( 3 a + 2 b ) • ( 3 a - 2 b ) = 5 (9||a|i2 - 4||b||2) = 5 [ 9 ( 3 6 ) - 4 ( 4 ) ] = 1540 E j e m p lo 8 D a d o el trián g u lo de vértices ¿4(5; 2; 3), B ( 8 ; 2 ; - 1 ) y C ( 3 ; 3 ; 5 ) a) H alle las co m p on e ntes del vector P ro y-^ M N

si se sabe que el vector M N es

paralelo al ve ctor AC , donde M está sobre el lado A B , N sob re el lado BC y

\\MN\\ = 1 8 b ) C a lc u le A = 5 ( AC ■ü jg + - C o m p ^ ^ f l j S o lu c ió n Sean lo s vectores AB = (3; 0; - 4 ) y AC = ( - 2 ; 1; 2 ) a) C o m o M N || ~AC, entonces P r o y ^ M N = M N. A d e m á s,

W Ñ = kAC = fc( — 2; 1; 2 ) (fc > 0 ) P o r otra parte, |¡MW|| = V 9 k 2 = 3fc = 1 8 = > k = 6 P o r con siguie n te , P ro y jg M N = 6 ( — 2; 1; 2 ) = ( — 12; 6; 1 2 ) b) A q u í tenem os

AB ^

" p

1

N

f ¡ “ 5 C 3 :0 ;_ 4 )" __ ,

¿f l-Z C

C om P rcA B =

3

^

(5 ; ;

- 6 - 8 = — 3—

-

4^ 5 14 - y

\\AC\\ L u e g o resulta /__ , 3 ___a ( 14 14\ A = 5 yAC • Ujg + - C o m p ^ y l ñ J = 5 ( - y - y ) = - 2 8

282

RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL Eje m p lo 9

a) L n el trián gu lo ABC que se m uestra en la figura

adjunta

se

tiene

^r° y j c ^ = (2; — 1; 5).

,4(3; 1; 1 ) D eterm ine

B

y las

co orde n a da s del punto M , que es el pie de la p erpe nd icula r trazada del vértice B al lado AC. Ii) Si

se

u y

sabe

que

los

vectores

unitarios

form an un á n g u lo de 120°

v

Rectores

w y v

un

á n g u lo

y los

de

90°,

calcule el v a lo r de ||Proyij(4u + vv) j| S o lu c ió n ,i) U tiliza n d o la d e fin ic ió n de la p ro ye cc ió n de un ve ctor sobre otro, tenem os

AM = P r o y ^ A B = (2; - 1 ; 5)

<=> O m - 3;y M - l ; z M - 1) = (2; —1; 5) xM = 5 ,y M = 0 A z M = 6 P or lo tanto, las co orde n a da s del pie de la perpe nd icu lar trazada del vértice B al lado A C es A í ( 5; 0; 6 )

I)) T e n e m o s ||u|| = ||i?|| = i,

ü - v = ||u||||v|| eos 120° = - ^

ñ— • f * - —n /( 4 u + vv) ■ Proyp(4 u + w) - I ----- ----------- I v = (4u - v + w - v ) v = 4 Por lo tanto, el m ódulo buscado es J|Proy^j ( 4 u + ív)|| = ||-2v|| = 2||í5|¡ = 2 (.1.9 P R O D U C T O V E C T O R I A L Sean a = ( a 1; a z ; a 3) y vectores en el espacio E 3

b = (b 1; b 2; b 3)

dos

Se d e n o m in a p ro d u c t o v e c to ria l de los vectores d y

b al vector que es p erpend icular al plano que

contiene a los vectores

á y b

y se denota con

ti x b. A n te s de dar su d e fin ic ió n precisa, es ^ inve nie n te observación.

tener

en

cuenta

la

siguiente

283

y w - v = 0. A s í,

/ u -J = -2v

TOPICOS DE CALCU LO - VOLUM EN II

O bservación 4 Los vectores unitarios que siguen e l sentido p o sitivo de los ejes coordenados son i = (1; 0; 0), / = (0 ; 1; 0 ) y

k = (0; 0; 1)

A estos vectores también se ¡es llanta vectores de la base canónica en M 3 Los vectores unitarios T , j y k se utilizan p a ra representar cualquier vector del espacio R3 en su fo rm a algebraica. En efecto, si a = (a-L; a 2; a 3) , entonces se tiene a = ( a i, a 2; a 3) = ( a x; 0; 0 ) + (0; a 2; 0 ) + (0; 0; a 3) = a x (1; 0; 0 ) + a 2( 0; 1; 0 ) + a 3 ( 0; 0; 1 ) = a xí + a 2j + a 3k

Luego, todo vector a = (a 1(- a 2; a 3) se pu ede escribir en su fo rm a algebraica cí = a-t i + a 2J + a 3k A h o r a podernos expresar el ve ctor á x b

en térm inos de lo s vectores

í, / y k

m ediante el siguiente determ inante de orden 3 x 3

a x b =

T

j

k

a l

a 2

a 3

b,

b2

a 31

\a 2

|a l

al

a 3

b3 \J +

¿1

a 2|

b:

= ( a 2b3 - a 3b 2) i — ( a xb3 - a ^ ) / + ( « 1^2 ~ a 2bx)k

= ( a 2b3 - a 3b 2; a 3 foj Se ve rifica fácilm ente que

a x¿ 3; a xb2 - a 2b t )

a • ( a x b ) — b • { a x b ) = 0, es decir, elvector

a x b es p erpe n d icu la r a los vectores a y b. E j e m p lo 10

C o n sid e ra n d o lo s vectores

a = ( ( 1 ; — 1;1 )

un vector que sea perpe nd icu lar tanto a a

y

b = ( 2 ; 0 ; 1 ), halle

com© a b

S o lu c ió n E l vector que es perpe n d icular a a m b o s vectores, es el vector á x b . A s í tenem os

áxb =

l

J

k

1

-1

1

2

0

1

-1

11

0

II

|1

lf -

12 i r 284

|1

I2

\ k = - 1 + j + 2k

R E C T A S Y PLAN OS EN EL ESPA C IO T R ID IM E N SIO N A L

6.1.9.1 P R O P I E D A D E S Sean á, b y c vectores en el espacio R 3 y k cua lq u ier escalar. E n to n c e s I

á x b = —b x a (P ro p ie d a d A n tico n m u ta tiva ) á x (b ± c ) = (á x b ) ± (á x c ) ) ,„

> L e y e s d is t r ib u t iv a s

<.

{a

l

k d x b = a ( k b ) = k á x ~b

V

a x á = 0

><.

axb=Q <=>á\\b

/.

á ■( a x b) = 0

S..

b ■( a x b) — 0

').

||a

x ¿|| = ||a||||¿|| s e n

10.

||a

x ¿||2 = ||a||2 ||5||2 - (a • b ) 2

11.

Si a l i y a l c

+ b ) x c = a x c + b x c

J

6, donde Q es el á n gu lo entre a y b

=> a | | ¿ x c

12 . X x J = k , j x k = l , k x~í = J 6.1.10

A P L IC A C IO N E S D E L P R O D U C T O V E C T O R IA L

6.1.10.1 Á R E A D E U N P A R A L E L O G R A M O Sean á y b vectores no n u lo s y no paralelos en el e sp a cio K 3 . A h o ra , co n sid e re m o s que estos vectores so n los lados de un paralelogram o, tal c o m o se m uestra en la fig u ra 6.10. E l área A ^

A

del p arale logram o es

= (b a s e ) • (a lt u ra ) = (||a||)(||6||sen 9) = |||| u 2

Fig. 6.10

Fig. 6.11

285


6.1.10.2 Á R EA DE UN TR IÁ N G U L O Sean

a y b d o s vectores no n u lo s y no paralelos en el e spa cio

trián gulo determ inado p or ló s vectores a y b ,

6.1*11

E l área del

(F ig. 6 .1 1 ) es

_ 11“ X ^11 -.2

E L T R IP L E P R O D U C T O E S C A L A R O P R O D U C T O M IX T O

DE

VECTORES Se a n

á = ( a 1; a 2; a 3), b = (£>!,-

¿?3) y c = ( c i ; c 2; c 3) ve ctore s en el e spa cio

R 3 . E l triple producto escalar de los vectores a, b y c está d e fin id o y denotado p or a l

a2

a3

¿1

¿2

^3

c\

c2

c3

a. ( b x c ) =

E j e m p lo 11

D a d o s lo s vectores a = (1; - 1 ; 1), b = (0 ; 2; - 1 ) y c = (1 ; 0; 2),

halle á ' ( i x c ) S o lu c ió n P o r la defin ició n, se tiene

a • (b x c) =

1

- i

0

2

1

1 -1

0

2

= 4 + 1 — 2 = 3 6.1.11.1 P R O P I E D A D E S Sean a, b y c vectores en el e sp a cio M 3 1. E l triple p rod u cto e scalar de lo s vectores

a,b y c

es independiente del

orden circ u la r de la operación, es decir, a • ( b x c ) = b • (c x a ) = c • ( a x b )

2. L o s ve ctore s

a, b y c

solam ente si á ■( b 3.

X

so n coplanares (están en el m is m o p la n o ) si y

c) = 0

S i a ■( b x c) = 0, entonces u n o de lo s vectores es el ve ctor n u lo o d o s d e 'lo s vectores so n p arale los o lo s tres vectores so n coplanares.

RECTAS y

PLANOS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL

6.1.12 A P L I C A C I Ó N D E L T R I P L E P R O D U C T O E S C A L A R 6.1.12.1 V O L U M E N D E U N P A R A L E L E P Í P E D O ■'<-an á — AB, b AD y c = AE vectores determinados adyacentes de un páralelepípedo ABCDEFGH (Fig. 6.12). S d o ° ^ rn

por

las

a rism

Vp del para,elepíped0 determinado por los vectores á, b y c está

VP = \ d - ( b x C)| = \ A B - ( A D x A E )| u 3

D

/ j ^ Q

A

A n

v= la.( ?Xc)|

A -a

^

D

v = ^ |2 .(* x c)|

Hg. 6.12

--------------------- ---------------Fig. 6.13

—

6.1.12.2 V O L U M E N D E U N T E T R A E D R O

Sean a AB, b - AC y c = AD vectores determinados por las aristas adyacentes de un tetraedro D- ABC (Fig. 6.13). IA volumen VT del tetraedro determinado por los vectores a , b y c está dado

1.

i1 ___ >

por

VT = - \ a - ( b x c ) \ = - \ A B - ( A C x A D ) \ u 3

6

E je m p lo 12 E l vector de p o sic ió n *

II&II

sob re el^ eje

y

a se encuentra en el p lan o y z y elve ctor de

negativo, de m anera que el á n gu lo entre e llo s

= v 2 7 y ||¿|| = 8, halle el vector a x b

S o lu c ió n D a d o que d ')

||6|| =

= (0; a 2; a 3) y b = (0; b 2; 0 ) ( b2 < 0 ), se tiene = 8 = > b2 = - 8 = > b = (0 ; - 8 ; 0 )

í¡) l|5 x ¿|| = ||a ||p ||s e n 120° = V27 (8) 287

= 36

es 120°.

TOPICOS DE CALCULO - VOLUM EN 1!

l iii) á x b

0

J a2

k a 3 = ( - 8 a 3 ; 0; 0 )

0-8

0

D e ii) y iii) se ob tie ne ||a x b|| = j 6 4 a 3 - 3 6 = » a 3 = ± P o r lo tanto, el vector es a x b — ( + 3 6 ; 0; 0 ) E j e m p lo 13

E n el paralelepípedo que se m uestra en la fig u ra adjunta se tiene

A ( 1; 1; 1), B ( 3; 1; 1 ), C (3 ; 4; 1 ) y E ( 3; 1; 5 ) C alcule:

^

a) E l área del p arale logra m o CDHE b) E l vo lu m e n del tetraedro de vértices A,

B, C y H. S o lu c ió n a)

D e la fig u ra se obtiene

CD = BA — ( — 2; 0; 0), CE = (0; — 3; 4 ). Entonces

CD x C S =

L u e go , el áreft

?

7

-2

0

k 0

0 , -3

4

( 0 ; 8; 6 )

p arale logram o CDHE es

A ^ = ||CD X C£|| = V 8 2 + 6 2 = 1 0 u 2 b)' D e la fig u ra resulta / / (l; 1; 5), entonces B C = (0 ; 3; 0),

BC x BA

BA = ( - 2 ; 0; 0 ) y i

J

k

0

3

0

-2

0

0

&H = ( - 2 ; 0; 4 ). Lu e go ,

= ( 0; 0 ; 6 )

P o r tanto, el V o lu m e n del tetraedro H-BCA es

VT — \ \BH ■(BC x WÁ)\ — \ |24| = 4 u 3 6

6

E je m p lo 14 D a d o s los puntos >1(1; 0; 0), B ( 0; 3; 0), C (0 ; 0; 2 ) y D(x-, 0; 0 ) a) D e te rm in e el ve ctor á , si se sabe que es p erpendicular al p la n o que contiene al trián g u lo A B C y que ||a|| = 1 4 u b) S i el v o lu m e n del tetraedro C-ABD es 3 u 3, determ ine las co ord e n a d a s del punto D .

288

RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL

Solución a)

L o s vectores AB = ( — 1; 3 ;G ) y AC == ( — 1; 0; 2 ) se encuentran en el m ism o p lano del trián g u lo A B C , entonces

j

k

- 1 3 - 1 0

i

0 2

(6; 2; 3)

C o m o á \ \ A B x A C * = * a = kAB x AC = ( 6 k\ 2k; 3 k ). Puesto que ||a|| = 14, entonces ||a|| = V 3 6 f c 2 + 4/c2 + 9 k 2 = 1 4 <=> 7|fc| = 1 4 <=> k = ± 2 P o r tanto, a = (1 2 ; 4; 6 ) V b)

a = (-1 2 ; -4 ; - 6 )

L o s vectores aristas adyacentes del tetraedro C - A B D son

AB = ( - 1 ; 3; 0),

A D = (x — 1; 0; 0 )

y

AC = ( - 1 ; 0; 2 )

E l triple prod ucto escalar de estos vectores es - 1 3

___

AB ■(AD x A C ) =

x - 1

0 0

- 1 0

0

= - 6 ( x - 1)

2

D a d o que el vo lu m e n del tetraedro es 3 u 3 , entonces se tiene 1 ,—

_

—

.

1

Vt = - \ A B • ( A D x A C ) l = — \—6(x — 1)| = \x - 1| = 3 o

6

P o r consiguiente, D ( — 2; 0; 0 )

V

-2

V

x = 4

D (4 ;0 ;0 )

E j e m p lo 15 C o n lo s p u ntos ^4(8; 0; 0 ), C (4; — 1; 1 ), D ( 6; 0; 5 ) y B (punto del p rim er octante)

se fo rm a un paralelepípedo cu ya s aristas son los vectores

AS,

AC y AD a) C a lc u le el área de la cara del paralelepípedo que contiene a los p untos ¿4, C y

D. b) S a b ie n d o que el vector AB

es paralelo al vector n = (1; 1; 1 ) y el vo lu m e n

del paralelepípedo es de 4 4 u 3, determine las co orde n a da s del punto B.

Solución a)

D a d o que lo s vectores adyacentes que fo rm an la cara A C H D (p ara le log ra m o ) del paralelepípedo so n AC = ( - 4 ; - 1 ; 1 ) y AD = ( - 2 ; 0; 5 ), entonces

ACxAD =

i

J

k

-4

-1

1

-2

0

5

= (-5 ; 1 8 ;-2 )

L u e g o , el área de la cara del paralelepípedo es

A ^ = \\AC x AD\\ = V 2 5 + 3 2 4 + 4 = V 3 5 3 u 2 289

TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II b) C o m o AB II ñ — (1 ; 1; 1 ) = * AB = k n = (fc; k ; fc) (fc > 0 ). L u e g o ,

AB ■(AC x AD =

k

k

k

-4

-1

1

-2

0

5

= 11*

Puesto que el v o lu m e n del paralelepípedo es 4 4 u 3 , entonces se tiene

VP = \ A B - ( A C x AD )| = |llfc| = 4 4 <=> k = 4 P o r tanto, de AB = (4 ; 4; 4 ) resulta B = (1 2 ; 4; 4 ) E je m p lo 16 a) S i lo s vectores á , b

y e

son unitarios y satisfacen la co n d ició n :

a + b + c = 0, calcule el v a lo r de M = a - b + b ■c + a ■c b) L o s vectores a

y b

||a|| = 4 , ||ft|| = 6,

son trid im e n sion a le s y form an un á n g u lo de 30°. S i utilizan d o

el

álgebra

vectorial,

trián g u lo c u y o s lados adyacentes son los vectores a

calcule

el área

del

y b .

S o lu c ió n - » 2 a) D a d o que a + b + c = 0 = > ||a + b + c|| = 0 <=> ||a + b + c|| <=> ||a||2 + ||¿||

+ ||c||2 + 2 a ■b + 2 a ■c + 2b • c = 0

C o m o los vectores a , b

ye

= 0

(*)

so n unitarios, entonces ||a|| = ||fo|| = ||c|| = 1

R e e m p la za n d o estos va lore s en ( * ) se obtiene -

-

l + l + l + 2 a - b + 2a'C + 2 b - c = 0 = * M = a- b + a- c + b- c = — b) E l área del triá n g u lo c u y o s la d os adyacentes so n lo s vectores

a

3

2

y b es

¿a = j \ \ a x ¿|| = ^ ||o ||p ||s e n (3 0 ° ) = ^ ( 4 ) ( 6 ) ^ j = 6 u 2 E j e m p lo 17

L o s puntos

.4(4; 2; 0 ), 5 ( 4 ; 8; 0 ), D ( —2; 2; 0 ) y W ( - 2 ; 4 ; 8 ) son

lo s vértices del p aralelepíped o ABCDEFGH a) C a lc u le su v o lu m e n b) D e te rm in e la altura del paralelepípedo S o lu c ió n a) L o s vectores de las aristas adyacentes del p aralelepíped o son

AB = (0; 6; 0), A D = ( - 6 ; 0; 0 ) y AE = DH = (0 ; 2; 8 )

290

RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL L u e g o , el v o lu m e n del paralelepípedo es

y = |i4B • G 4 D X j4 £ )| =

0

6

0

-6

0

0

0

2

8

= |288| = 2 8 8 u 3

b) T e n e m o s

AB x A D =

í

f

k

0 -6

6 0

0 0

= (0 ; 0; 3 6 )

A s í, el área del p arale log ra m o ABCD es A ¿? = ||AB x AD|| = 3 6 u 2 P u esto que el v o lu m e n del paralelepípedo ABCDEFGH es

Vp = (á re a d e la b a s e ) ( a lt u r a ) = ( 3 6 )(7 i) = 2 8 8 = > h = 8 u O bservación 5 Sean P ^ x^ , y t ; z x) y P 2 ( x 2; y 2; z 2) los extrem os d e un segm ento P i P 2. Entonces las coordenadas del punto P ( x ; y ; z ) que d ivide a l segm ento en PtP la ra zó n d a d a r = —- = ( r í - 1) son

P °2 X1 + r x 2 1 + r

y=

y 1+

ry2

1 + r

Zj + r z 2

z =

1 + r

O bservación 6 Si M (x ; y ; z ) es el punto m edio d el segm ento cuyos extrem os son los pu ntos P i f e ; y x; z x) y P 2 ( x 2; y 2; z 2) , entonces X, + x . Zi + z 2 yi+ y2 x = z = E j e m p lo 1 8

D a d o s lo s p u n to s P i( 5 ; 7; 9 ) y P 2 (3; - 5 ; - 7 ) , halle lo s p u ntos de

trisección del se gm e n to P XP 2 S o lu c ió n Se a n A 1(x 1; y 1; z 1') y ¿42 ( x 2; y 2; z 2) lo s puntos de trise cció n del se gm e nto P i P 2 P ara e n c o n tra r las c o o rd e n a d a s del p u n to Av la ra zó n es r =

P A

1

AP-,

L u e g o , p o r la o b se rva c ió n 5 se tiene

5

x1 =

+ ^ ( ) 13 3

1+\

3 '

7 + 7 Í- 5 )

y\

9 + ¿ C -7 ) =3,

Zi =

1 4- •

1 +;

Pt A2

2 = - = 2 A2P2 1

A n a lo ga m ente , p a ra el p u n to A2 la ra zó n es r = — — P o r co nsiguiente, las co o rd e n a d a s del punto A 2 son

5 + 2 (3 )

*2

1

+ 2

11 3 '

9 + 2 (-7 )

7 + 2 ( — 5)

yz

1 +2 291

= -1,

z2 =

1+ 2

11


E JE R C IC IO S 1. E xp re se el vector

a

b

co m o la su m a de un vector paralelo

y un vector

ortogon al a b , si á = (2; 1; - 1 ) y b = (1; 4; - 2 ) 2. 3.

H a lle el á n g u lo entre los vectores a = (3; 1; 2 ) y S i el á n g u lo que form an los vectores a y b

b = (1; 1; 2 )

es de 45° y

||a|| = 3, halle el

m ó d u lo de b para que a + b form e con a un á n gu lo de 30°.

R. 3 ( V 2 + V 6 ) / 2 4.

Sean

a y b

d o s vectores unitarios en

R 3. D e m u e stre que

á + b es un

vector unitario <=> el á n gu lo fo rm ado p or e llos es de 120°. 5.

D a d o el p arale logra m o ABCD, E está a

2/3

de la

d istancia de B a C y F es el punto m edio de

D

F

C

CD.

H a lle r y s de m o d o que YF = r ~AB + s ~AC

R. r = - 1 / 2 , 5 = 1 / 3 6.

Se a n a ,b y c tres vectores de m ó d u lo s r, s y t

respectivam ente. S e a a el

á n gu lo entre b y c, B el á n g u lo entre

y el á n g u lo entre

a y c y

a y

b

Pruebe que el m ó d u lo S de la su m a de tres vectores está d ad o p o r la fó rm u la

S 2 = r 2 + s 2 + t 2 + 2s t e os a + 2 r t e os/? + 2 r s c o s y 7. S i a = (1; 3; 2 ) , b = ( 1 ; - 1 ; 3 ) y c = (2 ; 3; — 4 }

S.

i)

H á lle el área del parale logram o determ inado p o r a

ii)

H a lle el área del trián gu lo determ inado p or a y c

iij)

H a lle el v o lu m e n del paralelepípedo determ inado

Los

vértices de

un

trián g u lo

so n

lo s

p u ntos

y

b

p or a ,b y c

4 ( 1 ; 2; 3 ),

6 ( 0 ; 2; 1 )

y

C ( — 1; - 2 ; - 4 ) . HaJle el área y el perím etro del triángulo. 9.

Los

vértices de

un

tetraedro

C (3 ; 4; 2 ) y D ( 0; 0; - 1 )

so n

. C a lc u le el

los

p untos ,4(2; 1 ; 0 ) , 5 ( 1 ; - 1 ; 1 ) , v o lu m e n del tetraedro.

10. E n el triá n g u lo de vértices i4(3; 0; 0 ) , 5 ( 0 ; 4; 0 ) y i)

C { 0; 0; 5 ) , halle

L a s lo n gitu d e s de cada m ediana

i i) L a s lo n gitu d e s de cada altura iii) E l centro de grave d a d del trián gu lo 11. Sean

P { 3; 1; — 1 ) y Q ( 4; — 1; 2 ) . H a lle las co o rd e n a d a s del punto R que se

encuentra en la p ro lo n g a c ió n de ~PQ y extendiendo 3 veces su longitud.

292


13. U n auto recorre 2 0 k m h acia el norte y d esp u és 4 0 V 2 en u n a d ire c c ió n 60° al oeste del norte. H a lle el vector d esplazam iento resultante del auto y su longitud.

R . f = ( - 2 0 ; 4 0 ) y ||r+J = 2 0 V 5 k m . 14. Se a n a y

b so n vectores en el espacio R 3 que verifican: a + 2 b = 0 y

c o m p r a = — 8. D e te rm in e el va lo r d e A Í = 2 ( a + 3 f o ) - ( a — 3 b ) . R .M = -1 6 0 . 15. D a d o el trián gulo de vértices A ( 2 ; — 2 ; 4 ) , ñ ( 4; 2; 6 ) y C ( 4; 8; 1 0 ). a)

H a lle el ve ctor unitario de MN, si MN es paralelo al lado AB, M sobre el lado AC y N sobre el lado BC.

b) D e te rm in e las co m p on e n tes del vector MN, si se sabe que MN ■AC = 56. R. W Ñ = ( 2 ; 4; 2 ) . 16. E n la fig u ra adjunta, M y N son lo s centros de las caras GDEF y OAFE respectivam ente.

S i ||p|| = 1 0 y ||q|| = 4 V l 3 , determine las co m p on e n tes del vector 2 p - 3 q. R. 2 p - 3 q

= (3 4 ; 16; 4 8 )

17. Sean a , b , c y d vectores unitarios en el espacio R 3. S i se sabe que los vectores a y b fo rm a n un á n g u lo de 60° y los vectores c y d un á n g u lo de 120°, halle: a) C o m p g ( 4 a )

c) ( P r o y 2 ¿ ( 2 c + 3 d ) ) ■ d

b)Proy4¿(4a) R. a) 2

b) 2 b

c )2 .

18. E l vector p o sic ió n a se encuentra en el plano y z y el vector p o sic ió n b sobre el eje y negativo, de m anera que el á n gu lo entre e llo s es 120". S i ||a|| = V 2 7

y

\\b\\ - 8, halle las co m p on e n tes del vector a x /;. R. ( ± 3 6 ; 0 ; 0 ) . 1 9 .Se a n a +

a,byc

vectores no nu lo s tales que

||tí|| = 3, ||¿|| = 1, ||c|

b + c = 0. C a lc u le el v a lo r de A = d - b + b- c + d - c. R . —13

293

4 y

TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN [[

20. D a d o s los puntos: /1(8; 0; 0), C (4 ; — 1; 1), D (6 ; 0; 5 ) y 5 un punto del prim er ociante. a)

E n el e spa cio R 3 , grafique el paralelepípedo cu ya s aristas son los vectores

AB, AC y AD. b) C a lc u le el área de la cara del paralelepípedo que contiene a los p u ntos A, C y

d

.

c) S i se sabe que el vector AB es paralelo al vector n = (1; 1; 1) y el vo lu m e n del paralelepípedo es de 4 4 i í 3, determine las co orde na da s del punto B . R. b ) V 3 5 3 u 2

c ).B (1 2 :4 ;4 ).

, 19. a) D a d o el triángu lo de vértices 4 ( 3 ; 1; 1), 6 ( 2 ; 1; 4 ) y C (5 ; 4; 6 ). H a lle las com p onentes del vector P r o y ^ MN, si se sabe que el vector M Ñ es paralela al lado AC del triángulo, M está sobre el lado AB, N sobre el lado

BC y ||M77|¡ = V 3 8 / 3 . b) D a d o s

lo s

vectores

a = (2 ;-l;l) ,

b = (-2;l;2)

y

c=(4;3;-3).

C a lc u le 6 ( a • üj¡ ) + V S í C o m p , ? b. R. a) ( 2 / 3 ; 1; 5 / 3 )

b) - 1 7 .

21. D a d o s los p untos A ( 2 ; 4; 3 ), 6 ( 4 ; 5; 5 ) y C ( - 1; 4; 0). a) H a lle

dos

vectores

unitarios

perpendiculares

sim ultáneam ente

a

los

vectores AB y AC. b) Se a M un punto interior del segm ento AC tal que d ( A ; M ) = \ d(A-,C). S i Q ( —1; 4; 2), determ ine si el á n g u lo fo rm a d o p o r lo s vectores QC y QM es a g u d o o no. R. a) i¡ = ( + 1 /\H l ; 0; ± 1 / V 2 ) b) E s agu d o 22. Sean a, b y c tres vectores en el espacio E 3 ales que a = 2 r. |[c|| = 2

y

b ■ c = 4. S i se sabe que lo s vectores b y c form an un á n g u lo de 60°. halle la lo ngitu d del ve ctor V 3 a

x

b ^ 5 a x c.

23. Sean a, b y c vectores no n u lo s en el espacio E 3 tales que ||c|| = 4. P r o y c- b =

b y P r o y g +(? a = 0. S i se sabe que los vectores a y b so n Ui’itarios, halle el m ó d u lo del ve ctor a x b i- a X c .

P..2S

25. D a d o s los p u ntos ¿4(— 1; 5; 3 ) y 6 ( 0 ; 3; 1). a)

H a lle d o s vectores unitarios parale los al vector AB .

b) D e te rm ine d o s vectores un ita rio s p erpendiculares al ve ctor AB

y paralelo

al vector b = (1; 1; - 1 / 2 ) . R. a) w = ( ± 1 / 3 ; + 2 / 3 ; + 2 / 3 )

294

b) ü = ( ± 2 / 3 ; ± 2 / 3 ; + 1 / 3 )

R E C T A S Y PLA N O S EN E L ESPA C IO T R ID IM E N SIO N A L

(>.2 R E C T A E N E L E S P A C I O 6.2.1

ÁN G U LO S,

CO SEN O S

Y

NÚM EROS

D IR E C T O R E S

DE

UNA

RECTA S e a L una recta en el

Definición 1

llam a conjunto de ángulos d irecto res de la recta L al

espacio

M 3. Se

conjunto ord e n a d o {a , p , y }, dond e a,

¡i, y son *o s á n g u lo s que fo rm a la recta L con los ra y o s p o sitiv o s de lo s ejes de co orde n a da s x , y A z respectivam ente (Fig. 6.14) L o s á n g u lo s directores tom an va lore s entre 0 o y

180°, es decir, 0 C < a , p , y , < 180°

O bservación 7 El ángulo entre dos rectas que no se intersecan, se define com o el ángulo form ado p o r rectas que se intersecan y que, al mismo tiem po son p aralelas a las rectas dadas. Si una recta no está orientada (con respecto al sentido que debe tomar) tiene dos conjuntos de ángulos directores que son: { a , p, y ) y

{1 8 0 ° - a ,

1 8 0 ° -/ ?, 180p - y }

En lo que sigue, las rectas serán consideradas sin orientación. Definición 2

L o s c o se n o s de los á n g u lo s directores de u n a recta se llam an

cosenos d irecto res de la recta. U n a recta tiene d o s co njun to s de co se n o s directores. (e o s a, e o s /? , e o s y } O b s e r v a c ió n 8

y

{-e o s a , -e o s/ ?, -e o s y}

D o s rectas so n paralelas si y s o lo sí tienen los m is m o s co se n o s

directores. D e f in ic ió n 3

U n conjunto [ a ; b; c] es llam ado

números directores

constante fe ^ 0 tal que

a

= k eos a,

b

= kcosp, c = kcosy

295

si existe una

TOPICOS DE CALCU LO - VO LUM EN II

6.2.1.1

Se a

E X P R E S IÓ N D E L O S C O S EN O S D IR E C T O R E S D E U N A R E C T A Q U E P A S A P O R DOS PU N T O S

L una recta que pasa p or los

puntos P1(x 1-,y1-,z1) y P2(.x2: y 2, z 2) y sean d = ||PXP 2 1| y

a > P,

\ ------

Y l° s

á n g u lo s directores de L. L o s co se n o s directores de la recta L que pasa p o r los puntos

y P2 son

Fig. 6.15 cos a =

-,

e o s /? =

yz-yi

z2 - z x co sy =

S i la recta L está orientada en el sentido de P2 a P x , entonces lo s co se n o s directores de la recta so n

*2- *1

„

yi-y-L

-

22 Zl

c o s a = ------- — , cos/? = ------- — , c o s y = ------ — donde d es la d istan cia entre Pr y P2

6 4 .1 .2

R E L A C IO N RECTA

E N T R E L O S C O S E N O S D I R E C T O R E S D E UN A

S i e le va m o s al cu ad rado cada un a de las e xp re sio nes de los c o se n o s directores de la recta L que pasa p o r los p untos Px y P2 y su m a m o s, se obtiene 2

cos*a

2 (*2 - * ) 2 + (y 2 - y i ) 2 + +, eos 2 ¡sn +i cos¿y = --------------d2

0 2 - Zl)2

„

d2

P o r lo tanto, u na relación fundam ental entre los co se n o s directores de una recta es

c o s 2a + c o s 2p + c o s 2y = 1 Ejem plo 19 a) H a lle

los

c o se n o s

directores

de

u n a recta d eterm inada

por

los

puntos

P ! ( l ; 0 ; 2 ) y P2( 3; 2; 3 ) y d ir ig id o de Px a P2 b) S i {45°, 60°, y } es un con ju nto de á n g u lo s directores de u n a recta, calcule los p o sib le s va lo re s del á n g u lo y

296

RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL.

S o lu c ió n

Px y P2 es d = V 4 + 4 + 1 = 3. Lu e go , lo s co se n o s

a) L a d istan cia entre

directores de la recta que pasa por Pt y P2 son 3 - 2 1 e os b) D e la

2

1

a = — - — = - ,e os B = - , e os y = 3 3

F

3

3

relación entre los co se n o s directores de una recta, se tiene

1 1 c o s 24 5 ° 4- c o s 26 0 ° + c o s 2y = 1 = > e os 2 y = - = > e os y = ± D e d on d e resulta e o s y = 6 0°

6.2.2

V

y = 1 20 °

E C U A C IO N E S D E U N A R E C T A E N E L E S P A C IO K 3

U n a recta es un conjunto de puntos que se d esp lazan en el e spa cio R 3 en una d ire cción constante (F ig. 6.16)

6.2.2.1 E C U A C I Ó N V E C T O R I A L D E U N A R E C T A E N E L E S P A C I O K 3 Se a L u n a recta que p asa

p or el punto Pn( x n-,y 0 ; z 0)

y sig u e la d ire c ció n dei

vector á = - ( a 1; a 2',a3) (F ig . 6.17;. E l vector a se llam a v e c to r d ire c c ió n .d e la recta L. Se a

P(x;y\z)

un punto cualq uiera de la recta L. E n to n ce s

vector a, luego existe t e M

P o r lo tanto, la e c u a c ió n v e c to ria l de la recta L es i |

PaP es paralelo al

tal que P0 P = t a <=> P = P 0 + í a , t £ E

:

L : ( x ; y ; z ) = ( x 0; y 0; z 0) + t á ,

te R

297

i j

TOPICOS DE CALCU LO - VO LUM EN II

E je m p lo

20

/»,(3 ; 2 ; - l )

Encu en tre

la e cuación

de

la recta que

p asa

por

lo s

p u ntos

y P2( 5 ; - 2 ; 4 )

S o lu c ió n E l vector d ire c ció n de la recta que p asa p or P1 y P2 es a = P1P2 = (2 ; — 4; 5 ) T o m a n d o el punto P i ( 3 ; 2 ; - l )

c o m o P 0, Ia e cuación de la recta es

L-. ( * ; y ; z ) = ( 3 ; 2 ; - l ) + t ( 2 ; - 4 ; 5 ) 6.2.2.2 E C U A C I Ó N P A R A M É T R I C A D E U N A R E C T A E N E L E S P A C I O D e la e cuación ve cto rial de la recta L: 0 t ; y ; z ) = ( x 0; y 0; z o ) +

se tiene que

cu alq u ier punto P ( x ; y ; z ) E L ve rifica la igualdad O ; y ; z ) = ( x 0; y 0; z 0) + ¿ 0 % ; a 2; a 3) L u e go , de la igua ld ad de vectores resulta

x = x Q+ ta t

I

y - y0 + ta2 z = z0 + ta 3

Esta s e cu a cion e s se d e n o m in a n e c u a c io n e s p a r a m é t r ic a s de la recta L que pasa p or el punto P0(x 0 ; y 0; z 0) y es paralela al vector a , y t se lla m a p a r á m e t r o de la ecuación. E je m p lo 21 H a lle las e cuaciones param étricas de la recta que pasa p or lo s puntos P i( 2 ; 3 ; 4 ) y P2( — 1 ; — 3 ;2 ) S o lu c ió n E l vector d ire c ció n de la recta es a = P XP 2 = ( - 3 ; — 6; - 2 ) . A s í, las ecuaciones param étricas de la recta so n

L:

(x = 2 - 3 1 y = 3 - 6t, z = 4 - 2t

te

6.2.2.3 E C U A C I O N S I M E T R I C A D E U N A R E C T A E N E L E S P A C I O Se a L una recta c u y a s ecuacion e s param étricas son

L:

x = x0 + tat y = y 0 + ta2 , t e z = z0 + ta3

r

S i n in g u n o de los n ú m e ro s a t , a 2 y a 3 es cero, entonces d espejando t de cada una de las e cu a cio n e s param étricas e igu a la n d o lo s resultad os se obtiene

x - x 0 L\

y - yo

z - z Q

-----------= ------------ = -----------al

a2

(*)

a3

298


E sta s e cu a cio n e s se llam an e c u a c io n e s s im é tr ic a s de la recta L que p a sa p o r el punto

P o ( x 0; y 0; z 0)

y es paralela al vector á = ( a x; a 2; a 3). L a s co m p on e n tes

del vector a 1 , a 2 y a 3 son los núm e ros directores de la recta L.

v

O bservación 9 a) Si uno de los números directores a i , a 2 ó a 3 es igual a cero, no p odem os usar la ecuación (*). En este caso se em plean otras relaciones P or ejemplo, si a x = 0, la ecuación de L se escribe com o , A y - y 0 ¿-¿o L: x = x 0 A --------- = ---------a2 a3

Si a 2 = 0, la ecuación de la recta L se escribe como x - x 0 z - z0

L: —

= —

A

=

S i a 3 = 0. La ecuación de L se escribe como

x - x 0 y — yo

L: -------------= -------- A z = zn a,

a2

b) Si dos de los números directores a, , a 2 ó a 3 son iguales a cero, tam poco se p u ede usar (*). P or ejemplo, si a , = a 3 = 0, la ecuación de la recta L se escribe com o L: x = x 0 A z = z 0 E je m p lo 2 2

D e te rm in e ¡as e cuaciones vectorial, param étricas y sim é tricas de la

recta que pasa p or el punto -4(1; 2; 2 ) y es p erpendicular a las rectas

Lx\ ( x ;y ;z ) = ( 3 ; 2 ; - l ) + t ( 2 ; - l ; 0 ) y L2: ( x : y ; z ) = ( 0 ; - 3 , 0 ) - r s ( — 12; 3; 1 3 ) S o lu c ió n A q u i el ve ctor d ire cción a. de la recta L que pasa p or el punto A es perpe nd icu lar a los vectores

(vector dirección de Lx) y

¿ = (2;-l;0)

c = ( - 1 2 ; 3; 1 3 )

(vector d ire c ción de L2 )• E n to n ce s a \ \ b x c , donde

i J b x c

2 -13

k -

1 3

= (-1 3 ;-2 6 ;-6 )

0 13

A h o ra , to m and o el vector á = (1 3 ; 26; 6 ), las ecuaciones de la recta L son: F o rm a vectorial

L: ( x : y , z ) = (1: 2; 2 ) + £ (1 3 ; 26; 6), t £ IR IX =

1 4- 1 3 t

F o rm a param étrica L: | y = 2 + 2 6 t l z = 2 + 6t

x —1

y — 2 z — 2 F o r m a sim é tr ic a L: -------- = --------- = --------13 26 6 299

TOPICOS DE CALCU LO - VOLUMEN II

6.2.3 P O SIC IO N E S R E LA TIV A S DE DOS R EC TA S EN E L E SPA C IO E n el espacio R 3 las rectas

Lx: ( x ; y ; z ) = P0 + t a y L2 : ( x ; y ; z ) = Q0 + t b

pueden tener las siguientes p o sicio n e s relativas 6.2.3.1 R E C T A S P A R A L E L A S L a s rectas y L2 so n paralelas si su s vectores d irección d C o m o co n se cue n cia de este resultado tenem os

y b so n paralelos.

O bservación 10 i)

P ara todo punto Px de R 3 y toda recta Lt : (x\ y: z ) — P0 + t á , t E R , existe una única recta L que p a sa p o r el punto P x y es p a ra lela a la recta Ll

ii) S i Li y ¿ 2 son dos rectas paralelas, entonces

= l 2 ó L1 n L2 — 0

6 .2 .3 .2 R E C T A S S E C A N T E S

Lr y ¿ 2

L a s rectas

so n secantes si se intersecan en un ú n ic o punto, esto es,

¿ i n L2 — {P o }

6 .2 .3 .3 R E C T A S Q U E S E C R U Z A N L a s rectas Lx y i 2 se cruzan si n o se cortan y no son paralelas. D o s rectas que se cruzan están en p la n o s paralelos, esto es, no se encuentran en u n m is m o plano.

6.2.4

ANG ULO ENTRE DOS RECTAS

E l á n g u lo entre las rectas L t \ ( x \y - ,z ) = P0 + t á

y

L2: ( x ; y ; z ) = Q0 + s b

(F ig. 6 .18 ) es el á n g u lo 0 co m p re n d id o entre los vectores d ire cción a £)<¿ la d e fin ic ió n del á n gu lo entre d o s Véctores, u na relación para ca lcu la r el

y l 2 es

á n gu lo entre las rectas

a ■0

eos 0

¡|a|| b S i el á n g u lo entre las rectas L, y Lz es recto.

9C

dice

que

las

rectas

son

o r to g o n a le s o p e rp e n d ic u la re s, esto es.

L i ± L 2 s=>ü±b<^>á-b = Q

300

y b

RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL ' 6.2.5 D I S T A N C I A D E U N P U N T O A U N A R E C T A Se a n

un

L: ( x - ,y ; z ) = P0 + t á

una

punto recta

y

en

el

espacio IR3 . A h o ra , si d es la d istan cia del punto P,

a la

recta L (F ig . 6.19), entonces d = ||v|| s e n 9

8

don d e

es el á n gu lo

que

form an

los

vectores a y v = P0P1 P o r una p rop ie dad del producto vectorial se

Fig. 6.19

sabe que Ha x y|| = H a llllvll s e n 9 = ||a||(d) D e d ond e resulta a

E je m p lo 2 3

X

17 j

a x P0Pt

C a lc u le la d istan c ia del punto 4 ( 3 ; 2 ; - 1 )

a la recta

L: P — (1 ; 3; 2 ) + í ( — 1; 2; 3), t € K S o lu c ió n E n este ca so d = ( - 1 ; 2; 3 ) y v = 1 \A - (2 ; - 1 ; - 3 ) . entonces

á x v = ( - 3 ; 3; - 3 ) . L u e go , V9 + 9 + 9 _ V9 + 4 + 1

E je m p lo 2 4

27 ^ 14

Se a n las rectas;

L^. P = ( - 2 ; 1; 0 ) + £ ( - 2 ; 1; - 1 ) , t 6 R L2:Q = (3 ; 7; 1 ) + <>(— 1; 2; 3 ) , s 6 R ¿ 3: x = 2 + 4 t , y = - 1 - 2t , z = 2 + 2t x - 9

z - 3

LS:R = (3 ;4 ; 0) + r ( 4 ; - 2 ; 2 ) , r e IR

30!


Determ ine si son o no paralelas cada uno de los siguientes pares de rectas, en caso que sean secantes determ ine su intersección.

y Lz

a)

d) l 2 y L 4

b) ¿ i y l 3

c) Lx y Ls

e) L2 y L3

f) ¿ 4 y Ls

S o lu c ió n a)

Com o

lo s

vectores

d irección á = ( - 2; 1; — 1 )

y6 =

(— 1 ;2 ;3 )

no

son

paralelas, entonces las rectas Lt y L2no son paralelas. S u p o n g a m o s que A ( x ; y ; z ) £

n L2, entonces existen va lo re s ú n ic o s para t

y s para lo s cuales

A = ( - 2 ; 1; 0 ) + t ( — 2; 1; - 1 ) = (3; 7; 1 ) + s ( - 1; 2; 3 ) P or la igu a ld ad de vectores, se obtiene — 2 — 2t = 3 — s

(1 )

1+ t = 7 + 2 s

(2 )

- t = 1 + 3s

(3 )

7 26 R e so lv ie n d o (2 ) y (3 ) se ob tie n e s = - y t = — , p e ro e stos v a lo re s no 5 5 satisfacen (1). L u e g o , n o existe punto de intersección entre las rectas L 1 y Lz , es decir, Lx y L2 se cruzan. E n fo rm a a n á lo g a se prueba los siguientes resultados. b) Lx c)

|| ¿ 3 || ¿ 5

A

■=

¿3

n ¿5 =

0

AL x n L s = >1(5; 3; - 5 )

d)

L2 ttL 4

e)

L2 l/¡ L3 A

E j e m p lo 2 5

A

Lz A ¿ 3 se cruzan H a lle la ecu ación de la recta que pasa p or el punto P 0 ( 3 ; l ; 5 )

paralelo a la recta L t : 2 x — 2 = 1 — y A z = 4 S o lu c ió n E n p rim e r lu g a r re orde n and o la ecuación de la recta Lx tenem os 2 x - 2 = l - y A z

= 4

y —1

<=> x - 1 = —

Lu e go , la e cu a ció n vectorial de L1 es L^.P = C o m o L ||

—

—2

Az = 4

(l;l;4 ) + t ( l ; - 2 ; 0 ) , t E R

=> L || a , don d e a = (1; - 2 ; 0 ) es el vector d ire c ció n de Lx

P o r tanto, la e cu a ció n de la recta b u sc a d a es

L: Q = (3 ; 1; 5 ) + A ( l ; - 2 ; 0 ), A £ R

302

yes

RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL.

E je iilp fo 2 6 H a lle la e cuación de la recta que pasa p o r P 0 (3; 1; — 2 ) y es p erpe n d icu la r a la recta Lx: x -r 1 = y + 2 = z + í

e interseca

S o lu c ió n L a fo rm a vectorial de !a e cuación de la recta

es

Ly. Q = ( —1; —2; —1) + A ( l ; 1; 1) ,

AgR

A el punto de intersección de las rectas Lx y L (F ig. 6.20). C o m o A G Lv entonces 3 k G K tai que A ( —l +

Se a

k : ~ 2 -'r k ' , — 1 -r k ) .

Por

la

c o n d ic ió n

de

perpendicularidad

resulta

P0A = {k - 4; k - 3; k + 1) 1 a = (1; 1; 1 ) <=> PfíA. a. — k — 4 i- k — 3 + fc -i- 1 = 0 «=> k = 2 A s í, / 4 ( 1 ;0 ;1 ) L u e go , la e cu a ción de la recta que pasa por los puntos P 0 ( 3; 1; - 2 ) y ¿4(1; 0; 1 ) es

L: P = (3; 1; - 2 ) + t ( 2; 1; - 3 ) ,

t £ R

E j e m p lo 2 7 D e te rm in e la e cuación de la recta que pasa p or perpe n d icu lar a las rectas

L^.x = 3 + t , y = 4 + t , z = - 1 + t

A

x + 4 2y - \ ¿ 2 : -------- = -----------

S o lu c ió n Se a

a

el vector d ire cción de la recta

L buscada. Un vector d ire cción de L2 es v = (4 ; 1; 0 ) y el vector d ire cción de es b = (1; 1; 1). C o m o L i ¿ i

L 1 L2 y

^ a l í y a i i

=> a || v X b = (1; - 4 ; 3 ) L u e go , la ecua ción de la recta b uscada es

Fig. 6.21

L: P = (1; 4; 0) + t ( l ; —4; 3), t 6 303

P0( l ; 4 ; 0 )

yes

1 A

z ——

IOl’ lCOS DE CALCULO - VOLUMEN II

K jc in p ln 28 D eterm ine la e cuación de la recta que pasa p o r el punto m ed io de

AH

y corta bajo un á n gu lo de

recta que pasa p or lo s puntos donde 4 ( 2 ; 4; O V

2?(0; 0; — 2),

60c

a la

R y S. R ( 3; 3; 3 )

y S (-l;3 ;3 ). S o lu c ió n Este p rob le m a tiene d os so lu c io n e s

( Fig.

6 .2 2 ). El

punto

'm e d io

M ( 1; 2; — 1 )

del

segm ento

AB

es

y la e cuación de la recta L-¡_

que pasa p or R y S es

p = ( _ i ; 3; 3) + t ( l ; 0; 0), t 6 R Se a / el punto de intersección de L con Lr => I £

=> 3 t £ E / / ( - 1 + t; 3; 3)

D e la co n d ic ió n de que la recta L interseca a la recta L x bajoûn á n g u lo de 60° resulta

a ■t> eos 6 0 “ = ■

, d o n d e d = (1; 0; 0 ) , b = MI = (t - 2; 1; 4)

Ma ll|!u li

D e donde so o b tie n e

t-2

1

t = 2 ± ^ 1 7 / 3 => / ( I ± ^ 1 7 / 3 ; 3 ; 3 )

_ ¿ ( t ~ 2 )2 + 1 + 16

2

Lu e go , tas e cu a cio n e s de las rectas bu scad as son

L: Q = (1; 2; - 1 ) 4- r ( V l 7 / 3

; 1 ; 4), r £ U

L':Q' = ( 1 ; 2 ; - 1 ) + A ( - V l 7 / 3 ; 1 ; 4 ) , A E R E je m p lo 2 9

H a lle el punto en la recta

L: F = (2; 11; 1 4 ) 4- í (2;. 4; 5), t £

que e quidista de las rectas

L¡: E je x

A

/,2 :<2 = (1 ; 7; 0 ) -r s ( 0 ; 0; 1), s £ l S o lu c ió n Un

bosqu e jo de este p rob le m a se m uestra en

la l'ig. 0.23. L a e cuación del eje x

e s

Lx\ R = (0 ; 0; 0 ) + í ( l ; 0 ; 0 ) ,

t £ E

304

RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL S e a A 6 L el punto que e q u id ista d e Jas rectas L , y ¿ 2 , entonces

A (2 + 2 t; 11 + 4 t; 1 4 + S í ) Lu e go , d (> l- L ) =

X

-

í,(2 + 2 í ’ 11 + 4 t ' 1 4 + 5 í ) X (1: ° ; 0)11 Ü( l ; 0; 0)|!

= V (1 4 + 5 t)2 + ( l l + 4 t ) 2

d ( A . L -) _ 110^4 x 6j|

1 2

||( 1 + 2 t , 4 + 4 t , 1 4 + 5 t ) x (0 ; 0; 1 ) ||

p||

11(0; 0; 1)||

- V (4 + 4 t ) 2 + ( l + 2 f)2 R e s o lv ie n d o la e cu a ción que resulta de d(A; Lx) = d ( A \ L 2) se obtiene í = - 2 V t

= -5 0 / 7

Lu e go , lo s p untos de la recta L que equidistan de las rectas i4v( - 2 ; 3 ; 4 )

y

A z( — 66/ 7 ;- 1 2 3 / 7

y L¿ son

152/7)

E J E R C IC IO S 1. En cu en tre la d istan c ia del punto Á( Z\ 2- , Y) P0 ( l ; 2; 9 ) y P i ( - 3 ; - 6 ; - 3 )

a la recta que pasa p o r los puntos

2. S i L,: P = ( 1 ; 0 ; - 1 ) + t ( l ; l ; 0 ) , t € K y L2: Q = (0; 0; 1 ) + s ( l ; 0; 0 ) , s e US., halle la e cuación de la recta L que es perpendicular a Lt y l 2 y las interseca. 3.

D e te rm in e la e cu a ción de la recta que interseca a las rectas ¿j: P = (1; — 1; 1 ) + t ( l ; 0 ; - l ) , t £ M y L2: Q = (1; 0; 0 ) . + s ( - l ; 1; 1), s £ K en lo s p untos A y B

respectivam ente, de tal m anera que la longitud del

se gm e nto AS sea m inim a. 4.

H a lle la e cu a ción de la recta que pasa por el punto / 4 ( 1 9 ; 0 ; 0 ) y corta a las rectas L x : P = (5; 0; - 1 ) -f t ( l ; 1; 1), t c K

L2: Q = 5.

( - l ; 2 ; 2 ) + s ( — 2 ;1 ;0 ),

s E R

U n a recta pasa p o r el punto A{1\ 1; 1 ) y form a á n g u lo s de 60° y 30° co n los ejes x e y respectivam ente. H a lle la ecuación vectorial de d ic h a recta. R. L: P — (1; 1; 1 ) -f- t ( l ; ± V 3 ; 0 j , t E K

6. U n a recta que pasa p or el punto A ( - 2 ; 1; 3 ) es perpendicular e interseca a la recta Lx: P = (2; 2; 1 ) 4- t ( 1; 0; — 1), t E R . H a lle la ecua ción vectorial de d ic h a recta.

R. Q = ( - 2 ; 1; 3 ) -i- 5 (1 ; 1; 1), s e l .

305


6.3 PLA N O EN EL ESPA C IO U n plano en el espacio es un conjunto de puntos que se d esp la za n de tal manera, que el vector que fo rm a estos puntos con un punto fijo es p erpe nd icula r al vector d irección del p lan o (F ig. 6.24). E l vector d irección se llam a v e c t o r n o r m a l del plano y se denota con N.

O bservación 11 La ecuación de un plan o queda com pletam ente determ inado cuando se conoce: i)

Un punto de p a so y su vector normal ó

ii)

Un punto de p a so y dos vectores paralelos al plano ó

iii) Tres pu ntos no colineales d el plan o

6.3.1 E C U A C I O N E S D E U N P L A N O E N E L E S P A C I O 6.3.1.1 E C U A C I Ó N V E C T O R I A L D E U N P L A N O E N E L E S P A C I O Se a Q un p la n o que pasa p or el punto PQ(x 0-,y 0; z 0) y es parale lo a los vectores

a. = ( a 1(- a 2; a 3) y b = ( b1; b 2; b3), donde el vector a no es paralelo al vector b (F ig. 6 .25 ) Sea P ( x \ y , z )

un punto cualq uiera del p la n o Q, entonces e xisten

que P0P = r á + s b D e donde, P - P0 = r á + s b

ó

P = P0 + r a + s b

P or consiguiente, la e c u a c ió n v e c to ria l del p la n o Q es

l------------------------------------------ —-- ---------------1 Q: (x; y , y.) = P0 + r d + sb, r, s 6 E ¡

306

r, s

£ 1

tai

R E C I A S Y PLANOS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL

6.3.1.2 E C U A C I Ó N P A R A M É T R I C A D E U N P L A N O E N E L E S P A C I O D e la e cu a ción vectorial del p lano

Q: P = P0 + r á + s b , se tiene que cu a lq uier

punto P (x \ y ; z ) £ Q ve rifica la igualdad, es decir

(x; y ; z ) = ( x 0; y 0 ; z 0) + r ( a j ; a 2; a 3) + sC£>i.; b 2; b 3) L u e go , p o r la igu ald ad de vectores resulta

x = x 0 + r a x + sb x y = y 0 + ra 2 + sb 2 , r,s 6 R

Í

z = z0 + ra 3 +

E stas e cu a cion e s se llam an e c u a c io n e s p a r a m é t r ic a s del p lano Q que pasa p or el punto

P0( x 0; y Q-,z0)

y es paralelo a los vectores

a y b, r y s se llam an

p a r á m e t r o s de la ecuación. E je m p lo 3 0

H a lle las ecuacion e s vectorial y param étrica del p la n o que pasa por

los p untos P 0 ( 3 ; l ; 2 ) , P ^ l - , - 1 ; 2 ) y P 2 ( 2 ; 0 ; 3 ) S o lu c ió n L o s vectores p aralelos al plano Q que pasa por P0 ,P i 5

y

P2

so n

á = P ¿ P ¡ = ( - 2; — 2; 0 )

y

= P„P2 = ( - l ; - l ; l )

L u e go , la e cu a ción vectorial del p la n o Q es

Q: P = ( 3 ; l ; 2 ) + r ( - 2 ; - 2 ; 0 ) + s ( - l ; - l ; l ) ,

r,s 6 R

y su e cu a ción param étrica es:

íx = 3 — 2r —s Q: \ y = \ - 2 r - s , Iz = 2 + s

r ,s 6 R

O b s e r v a c ió n 12

i)

D e la ecuación vectorial del plan o se obtiene que N = a X b es un vector perpen dicu lar al plano. En general, todo vector no nulo perpen dicu lar al plan o es llam ado n orm al del plano.

ii) Si N es una norm al d el plan o Q: P = P0 + r a + s b , r , s E 1 y Px y P2 son dos puntos d el plano, entonces N 1 P\P2. iii) S i N es la norm al d el plan o Q: P — P0 + r á + s b , r , s 6 R y P0P1 1 N entonces Px 6 Q iv) Si

N

es la norm al d el plan o

Q = {P (x ;y ;z ) /

Q: P = P0 + r á + s b , r , s G R , entonces

Ñ .P^P = 0 } y es el único plan o que p a sa p o r

norm al N 307

P0

con


6.3.1.3 ECU A CIO N G EN E R A L DE UN PLANO Q un plano que pasa por el punto Po(x o’>yo'' z o) Y cu yo vector norm al es Ñ = ( A-.B-.C).

Se a

Se a

P (x ;y ;z )

un punto cualquiera del

plano Q , entonces P ¡ P 1 Ñ «=* Ñ.P^P = 0 <=* ( A; B; C) . ( x - x Q; y - y 0; z - z Q) =

0

A (x - x 0) + B ( y - y 0) + C ( z - z 0) =

0

P o r lo tanto, la ecuación general del plano Q es de la form a j

i

'

"

Q; A x + B y + Cz + D = 0

I

¡

Esta ecu ación tam bién es llam ada e cuación cartesian a del plano. E n lo que sigue, p o r e cuación del plano se entenderá a la ecu a ción cartesiana.

Ejem plo 31 a)

H a lle la e cu a ción del plano que pasa por el punto P 0 ( 2 ; 3 ; - 5 ) y es ortogonal al segm ento PQ t , donde P ( 3; - 2 ; 1 ) y ( ^ ( l ; 3; 0 )

b)

H a lle la eEttación del plano que contiene a los puntos P 0, P y Qt dados

S o lu c ió n a) Se a

Ñ =

= (2 ; — 5; 1 ) y

P 0( 2 ; 3 ; - 5 ) .

entonces la ecu ación general del plano es

Q: 2 { x - 2 ) - 5 ( y - 3 ) + 1 ( z + 5 ) = 0

ó

Q: 2x - 5 y + x + 16 = 0 b) D e la Fig. 6 .2 6 se tiene

& = PaQi = ( - 1 ; 0; 5 ) y b = P ¿P = (1; — 5; 6) E n io n c e s

Ñ II á x b = (2 5 ; 11; 5 )

T o m a n d o Ñ - (2 5 ; 11; 5 ), la e cuación del p la n o es:

Q: 2 5 ( x - 2 ) + U ( y - 3 ) + 5 ( z + 5 ) - 0 Q: 2 5 x + l l y + 5 z - 5 8 = 0

308

ó

en (a).

K tU IA S Y PLANOS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL

O bservación 13 Sea Q un p la n o cuya norm al es N y L una recta cuyo vector dirección es á , entonces se tiene i)

L\\Q <=$N ±a<=*N'á = 0

(Fig. 6.27)

ii)

L ± Q «

(Fig. 6.28)

N II a

L Ñi k

l

]

/ Fig. 6.27

Fig. 6.28

iii) S i L \\ Q => L n Q =
L c Q

iv)

L c Q =$ N 1 a y

P0 e L => P0 6 Q

v)

S i L # Q => L fl Q = / es un punto.

(Fig. 6.29) (Fig. 6.30)

Ni k

/

h

J

Fig. 6 .2 9

E j e m p lo 3 2

Fig 6 .3 0

H a lle la e cu a ción del plano que contiene a la recta

L: P — (1; 2; 2 ) + t(0 ; 3; 1), t 6 M y el punto Q0( 2; - 3 ; 8 ) S o lu c ió n Se a

N

el vector n orm a l del p la n o Q

que

contiene a la recta L y al punto Q0 , entonces

N 1 á = (0; 3; 1 ) A N I P0Q0 = (1 ; - 5 ; 6 ), dondeP0(l;2 ;2 )

309

,

TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II 1

L ueg o. Ñ || & x P ¡ Í Q ¡ = (2 3 ; 1; 3 )

;

P o r lo tanto, al tom ar N = (2 3 ; 1; 3 ) p or el punto Q0, su e cuación es

co m o vector n orm al del p la n o Q que pasa

Q: 2 3 ( x - 2 ) + ( y + 3 ) + 3 ( z - 8 ) = 0

ó

Q\ 2 3 x + y + 3 z — 9 7 = 0 6.3.2

P O S IC IO N E S R E L A T IV A S D E D O S P L A N O S E N E L E S P A C IO

E n el e spa cio lo s p la n os

Q[: A 1x + B1y + Ct z + Dx = 0 y Q2\ A 2x + B2y + 2 z + D2 = 0 pueden tener las siguien te s p o sicio n e s relativas 6.3.2.1 P L A N O S P A R A L E L O S L o s p la n os

y Qz son paralelos <=> ÑQl II ÑQi »

O bservación 14 S i Qy 0 ii)

y

ÑQi = A - Ñ q

Q2 son dos plan os paralelos, entonces

Q1 - Q 2 ( p la n o s c o in c id e n te s ) Qt fl Q2 = 0 (planos paralelos no coinCidenles)

6.3.2.2 P L A N O S S E C A N T E S L o s p ia n o s Qr

y Q2 son secantes «=» ÑQl # ÑQi <=>

recta de intersección de los planos.

n Q 2 = L, don d e L es la

1

L a ecu a ción de la recta de intersección d^ los p la nos

y Q2 se e scribe co m o

(A-^x + Bxy + C jZ + D j = 0 \ a 2x + B2y + C2z + D2 = 0 ó L: A xx + Bt y + Cxz + Oj = 0

A A2x + B2y + C2z + D2 - 0

O bservación 15 i)

Los plan os secantes Qx y Q2 son perpendiculares si vectores norm ales son perpendiculares, esto es. Plano Qx 1 p la n o Q2 <=> N qi 1

^

y

solam ente s í sus

' Ñ qz

ii) Si Qx: AjX + Bry + C1z + D j= 0 y Q2:A2x + B2y + C2z + planos secantes, entonces Ia ecuación de la fa m ilia de plan os que pasan intersección de estos planos es QF\ A-^x + Bxy + C ,z + D j + k ( A 2x + B2y + C2z + D2) = 0 donde k es e l param étro de la fam ilia.

310

D2— 0 p o r la

K t C l A Í > Y r L A N U S t N t L t S P A U Ü 1K l U l M b N S l O N A L

O bservación 16 Las ecuaciones de los plan os coordenados y d e los plan os p a ra lelo s a estos son i)

Ecuación d el plan o coordenado x y : z

ii)

Ecuación del plano coordenado

=

0

x z: y =

0

iii)

Ecuación d el plan o coordenado y z : x =

0

iv)

Ecuación d el plan o p a ra lelo al plan o x y z = k

que p a sa p o r el punto (0 ; 0; k ) es

v)

Ecuación d el plan o p ara lelo a l plan o x z que p a sa p o r el punto (0 ; k; 0 ) es y = k

vi)

Ecuación del plan o p ara lelo al plan o y z que p a sa p o r el pu nto ( k ; 0; 0 ) es x = k

E j e m p lo 3 3 a) H a lle la ecu ación del p la n o que contiene al punto al p la n o Q\ 4 x — 2 y + z - 1 = 0

P 0 (2; 6; - 1 )

y es paralelo

que pasa p or el punto

P 0 , entonces

b) H a lle la distancia del punto @0 ( 2 ; — 1 ; 3 ) a la recta

L: 2 x - y + z - 3 = 0

A

x + 2 y-z + l = 0

S o lu c ió n a) Se a

el ve ctor no rm a l al plano

Ñx II ÑQ = (4; - 2 ; 1). A s í, al tom ar

Nt - (4 ; - 2 ; 1 ), la e cu a ción del p la no

Qi es Qi.

4( x - 2) - 2 ( y - 6 ) + l ( z + 1) = 0

ó

4x - 2y + z + 5 = 0

b) P a ra hallar la d istan cia del punto Q0 a la recta L, es necesario tener la ecua ción de la recta en su fo rm a vectorial. A s í, al re solve r sim ultáneam ente las e cu a cione s de lo s d o s p la n o s que da orige n a la recta L , se tiene:

( 2 x —y + z — 3 = 0 \ x + 2 y —z + l = 0

(1 ) (2 )

S u m a n d o (1 ) y (2 ) resulta 3 x + y - 2 = 0 => y = 2 R e e m p la za n d o (3 ) en (1 ) se obtiene z = 5 - 5 x

3x

(3 )

(4 )

H a c ie n d o x = t, se tiene la ecu a ción param étrica de la recta L, esto es,

L:

x —t y = 2 - 3 t , t e R z = 5 - 5t

L u e g o , la e cu a ció n ve cto rial de la recta L es

L: P = (0 ; 2; 5 ) + t ( l ; - 3 ; - 5 ) , t € R 311

TOPICOS DI- CALCULO - VOLUMEN II

v = P0Q0 = (2; — 3; — 2 ) y á = ( 1 ; — 3 ; — 5 ),

Sean

don d e

P0 (0 ;2 ;5 ).

M m onccs la d istancia del punto Q0 a la recta L es ||i; x ¿t|| _ V 8 1 + 6 4 + 9 _

d =

l|a||

E je m p lo 3 4

22

V H

H a lle la e cuación del plano que pasa por la

los p la n os x — y 4 - 2 z 4 - 4 = 0

,2x4-y4-3z — 9 = 0

recta de intersección de y es paralelo ala recta

c u y o s n ú m e ros directores son [ 1; 3; — 1 ] S o lu c ió n L a e cuación de la fam ilia de p la n os que pasan por la intersección de los p ia n o s d ad os es

x — y 4- 2 z 4- 4 + k ( 2 x + y + 3 z — 9 ) = 0 (1 + 2 k ) x + ( k - 1 ) y + (2 4- 3 k ) z + 4 - 9k

«

= 0

N = (1 4- 2 k; k — 1; 2 4- 3 k) es el vector norm al de la fam ilia. C o m o el

Luego

plano es paralelo al vector a = (1; 3; — 1), entonces IV l a «

Ñ ■d = Q <=> 1 4- 2/c 4- 3/c — 3 — 2 — 3/c = 0 => k = 2 P or tanto, la ecu a ción del plano descrito es 5 x + y 4- 8 z — 1 4 = 0 D a d a s las rectas Lr \ P — (1; 2; — 1) 4- t ( l ; 3; 1), t €

E je m p lo 3 5

1

y

L2: Q = (5; — 1; — 2 ) + s ( 2 ; — 1; 2 ) , 5 6 K H alle

las

e cu a cion e s

de

dos

p lan os

paralelos

Q\ }' Qz de m o d o que

¿i c Q y

¿2 c Qz

S o lu c ió n Sea N el vector n orm a l co m ú n de los planos <2i Y

Qz => Ñ ± a = (1; 3; 1 ) y J V 1 ¿ = (2 ;-1 ;2 )

Luego,

yv II

a x b=

Fig. 6.31

(7; 0; — 7)

S i u tilizam os, el ve cto r n orm al N — (1; 0; — 1 )

y el punto

Px( 1; 2; — 1) E Lr

co m o punto de p aso del plano, entonces la ecu a ción del p la no que contiene a la recta

Lx

es

Qt : 1 0 - 1) 4- 0(y - 2) - í ( z + 1) = 0 <=> Qr : x - z - 2 = 0

312


Aná lo ga m e n te ,

si

u sam os

el

vector

n orm a l

A? = (1 ; 0; — 1 )

y

el

punto

P2( 5 ; - l ; — 2 ) £ L2

c o m o punto de p aso del plano, entonces la e cu a ció n del plano que contiene a la recta l 2 es

Q2: l ( x - 5 ) + 0 ( y + 1 ) - l ( z + 2 ) = 0 Q2: x - z - 7 = 0

E j e m p lo 3 6 E n cada u n o de lo s siguientes ejercicios, L es u n a recta y plano. D e te rm in e si L es paralela o no al p la n o Q y halle L n Q

Q es un

a)

L:

P =

(1 ; - 1 ; 2 ) + t ( 2; - 1 ; 3),

t £ R y Q:

x + 5y + z + 1 = 0

b)

L:

P =

(2 ; 0; 1 ) + t ( 1; 2; - 1 ) , t

é R y Q: x

+ 2y + 5z - 7 = 0

c)

L:

P =

(3 ; - 1 ; 0 ) + t ( 2; 1; - 1 ) ,

t e 1 y Q:

4 x + 2 y - 2 z + 2= 0!

d)

L:

P =

( 1 ; - 1 ; 1 )+ t ( l ; 2 ; - 1 ) ,

t e R y Q :

3 x - y - z

+ 5 =

0

S o lu c ió n Si

a es el ve ctor d ire c ció n de la recta L y Ñ es la n orm a l del

a)

a = (2 ; - 1 ; 3 ) y Ñ = (1; 5; 1 ) =* á ■Ñ = 0 =* L || Q P a rá ve rifica r si c o m p ro b a m o s si

p la n o Q , se tiene

L n Q = 0 ó L c ( J , co n sid e ra m o s un punto P0 £ L y ó P0 £ Q . S i P0 £ Q =* L c Q ; si P 0 g (? =>

P0 £ Q

L n Q = 0 . P ara determ inar si un punto pertenece a un p la n o es suficiente ve rifica r si su s co ord e n a d a s satisfacen o no la e cu a ción del plano. Com o

P0(l-, — 1; 2 ) £ L , entonces reem p lazand o en la ecu a ción del p la n o

tiene 1 +

5 ( — 1 ) + 2 + 1 0 (P 0

n o satisface la

se

e cu a ció n del plano). L u e g o

Po $ Q • P o r tanto L n Q = 0 b)

L c Q

ó

c)

LLQ

y

LC\ Q = L Ln Q

d) a = (1; 2; — 1) y

= / ( l; — 2; 1 )

W = ( 3 ; - 1 ; - 1 ) => a • Ñ = 3 - 2 + 1 *

=> L n Q = / (un p unto) =* / £ L A l e Q

¡ E L => / ( I + t; — 1 + 2 1; 1 - t) / £ Q => 3 ( 1 + t ) - ( - 1 + 2 t ) - (1 - t) + 5 = 0 => t = - 4 P o r consiguiente, / ( - 3 ; — 9; 5 )

313

0


E je m p lo

37

Por

el punto 4 ( 1 ; 0; 1 )

se traza una

p erpe n d icu la r

al

p la n o

Q: 2x 4- y - z - 7 = 0. S i 6 es el pie de d ich a p erpendicular, determ ine un punto C en la recta L: P = ( — 1; 1; 0 ) + t(0 ; 1; 5), t e E de m o d o que el v o lu m e n del tetraedro de vértices 4 , 6 , C y D es igu a l a 4 u 3, don d e D es el punto de intersección de la recta L co n el plano Q . S o lu c ió n E n p rim er lugar, determ inarem os el punto B. Se a

LN: P = A + s N , s G R

la recta que

pasa p or el punto A y es perpendicular al plano Q. A s i,

B e L NnQ<=>BeLN A B e Q <=* 5 ( 1 + 2 s ; s ; l - a) 6 Q «=> 2 ( 1 + 2 s ) + s — ( 1 - s ) — 7 = 0 <=>

s

=

1

F ig. 6 .3 2

D e don d e resulta B ( 3 ; 1; 0 ) C o m o D = L n Q s = $ D E L A D 6 ( ? < = > D ( — 1; 1 + t; 5 1) 6 Q <*=> 2 ( — 1 ) + (1 + t ) - 5 t - 7 = 0 <=* t = - 2 A s í, £ )(— 1; — 1; — 1 0 ) P o r otro lado, d ad o que C 6 L = > C ( — 1; 1 + t; 5 t). A h o ra , sean

a = BC = ( - 4 ; t; 5 t), b = BD = ( - 4 ; - 2 ; - 1 0 ) y c = S 4 = ( - 2 ; - 1 ; 1) E n to n ce s ¿ x c

= (-1 2 ;2 4 ;0 ) y

1 _ i y T = - | a - ( b x c ) ! = 4 < = > 7 |48 + 24t| = 4 < = * |2 + t| = 1 <=» t = - 1 6 6 P o r lo tanto, el p unto es C ( — 1; 0; — 5 ) V E je m p lo 3 8

í = -3

C (-l;-2 ;-1 5 )

S e a n 4 ( 3 ; 2; 1 ) y B ( - 5 ; 1; 2 )

punto C en el p la n o

V

d o s p u ntos del espacio. H a lle un

Q: x - y + 2 z - 4 = 0

de m o d o que

AC + CB

sea

m ínim o.

Solución Para que AC + CB sea m ín im o, necesariam ente 4 , B y C deben estar en un plano p erpend icular al p la no Q . E n la F ig. 6.33 se m uestra al p la n o Q de canto. S i B' es el punto sim é trico de B respecto al p la n o

Q (*), entonces CB + CB' = d 2 .

L u e g o d t + d 2 es m ín im o si C es la intersección de 4 6 ' c o n el p la n o Q .

314

K t c I AS Y PLANOS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL

(*)

D o s p u n to s

B y B ' __ so n sim étricos respecto al plano Q, si

(J es

p erpendicular al segm ento BB' en el punto m ed io M de ~BBi E n p rim e r lu ga r d eterm inarem os M. Sea

Ln \ P = B + t ( l ; — 1; 2), t E IR la recta que pasa p or B y es p erpendicular al plano Q, entonces M £ LN y M 6 Q = > M ( - 5 + t ; l - t ; 2 + 2 t) y ( - 5 + t) - (1 - t) 4- 2 ( 2 + 2 t) - 4 = 0 <=» t = 1 => M ( —4; 0; 4 ) C o m o M es el punto m ed io entre

B y B'.

p o r la fó rm u la de punto m ed io se obtiene B ' ( — 3, — 1,6) A s f, la e cu a ción vectorial de la recta que pasa por A y B' es

L: Q = (3; 2; 1 ) + r ( — 6; — 3; 5), r E R D a d o que C = L n Q »

=* C 6 L y C & Q

C ( 3 - 6 r , 2 - 3 r , 1 + 5 r > A (3 - 6 r ) - ( 2 - 3 r ) 4- 2 ( 1 + 5 r ) - 4

= 0

r = 1/7 P o r co nsiguiente, se tiene C ( 1 5 / 7 ; 1 1 / 7 ; 1 2 / 7 ).

6.3.4 D I S T A N C I A D E U N P U N T O A U N P L A N O Sea

Q

un p la no c u y a e cu a ción general es

P iO iíy i^ i)

Q: A x + B y + C z + D = 0

(la longitud del se gm e n to p erpend icular trazado de Px a Q (F ig. 6.34)), entonces ^ = ll^ ^ U lc o s e l D o n d e P0( x 0; y 0; z 0) p lano

y

un punto del espacio. S i d es la d istancia del punto Pr al p la n o Q

.... ( a )

es un punto del

Q y 9 es el á n g u lo entre el vector

P0Pt y el vector n orm a l N.

Fig. 6.34 315

TOPICOS DE CALCULO - VO LUM EN II

C o m o P0 e Q => A x 0 + B y 0 + C z0 + D = 0 D e don d e

D = - A x 0 - B y 0 - C zQ

(/?)

P o r otro lado,

( K pI ) - ñ

eos 9 -

ItolllM I

(y)

------ ,

R e e m p la za n d o ( y) en ( a) se obtiene

\A (x x - X0 ) + B ( y t - y 0) + C (zt - z 0)| d = -------------------- ----- ---------------- _

(X)

V ¿ 2 + B 2 + C2 R e e m p la za n d o (/?) en ( A ) , la fó rm u la para la d istancia del p u nto escribe co m o

a =

al p la n o Q se

\Axj_ + B y 1 + Cz x + D\ tJA2

+ B2 + C2

O bservación 1 7 La distancia d entre los plan os p ara lelo s Qt : A x + B y + Cz + D-l = 0 y

Qz : A x + B y + C z + D2 = 0

está dada p o r la fórm u la

d= '¡A r + W T c 2

E je m p lo 3 9 C a lc u le la distancia del punto P1( 1 ; 2 ; 3 ) a l v i n o

Q :P = (2 ; 1; — 1 ) + r ( l ; 1; 1 ) + s ( — 1; 1; 0 ), , r , s 6 E S o lu c ió n E l vector n orm a l del p la no Q es Ñ = á x b = ( - 1 ; 1; 0 ) X (1 ; 1; 1 ) = (1 ; 1; - 2 ) A s í, la e cu a ción del plano Q es l ( x — 2 ) + l ( y - 1 ) — 2 ( z + 1 ) = 0 ó (?: x + y - 2 z - 5

= 0

P o r tanto, la d istan c ia entre / ^ ( l ; 2; 3 ) y el p lan o Q es |1 + 2 — 2 ( 3 ) — 5|

4V6

Vi + 1 + 4

3

d =

RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO TRIDIM ENSIO NAL

Ejem p lo 4 0

Encuentre la distancia entre los planos paralelos

Qi". x — 2 y + 2 z — 5 = 0 y Q2: 3 x — 6 y + 6 z — 7 = 0 Solución Para aplicar la fórmula de distancia entre planos paralelos, es necesario que los dos planos tengan el mismo vector normal; con este propósito dividimos la ecuación del plano Q2 entre 3 y obtenemos las ecuaciones

Qt : x — 2 y + 2 z — 5 = 0 y Q2: x - 2 y + 2 z - 7 / 3 = 0 En consecuencia, la distancia entre los planos Q^ y Q2 es

L a distan cia del punto P ( l ; 0; 2 ) al p la n o Q es 1. S i el p lan o Q pasa

E j e m p lo 41

p or la intersección de lo s p la n o s halle la e cu a ció n del plano.

4 x - 2 y - z + 3 = 0

A 2 x - y + z — 2 = 0,

S o lu c ió n L a e cu a ción de la fa m ilia de p la n o s que pasan p o r la intersección de los p la n os d a d o s es

.

Q f :

4 x

- 2 y - z + 3 + k(2x - y + z - 2) = 0

ó

Qf : ( 4 + 2 k ) x - (2 + k ) y + ( k - 1 ) z + 3 - 2 k = 0 P e r ia co n d ic ió n descrita, la d istancia del punto P al p la n o QF resulta

|(4 + 2 k ) — 2 { k — 1 ) + 3 — 2k\

1

_

\ 2k + 5|

” V ( 4 + 2 k Y + ( 2 + k Y + (fe - l ) 2 ~ V6/c2 + 18A: + 2 1 «

6 k 2 + 1 8 k + 21 = 4 k 2 + 2 0 k + 2 5

<=> 2fcz - 2 k - 4

= 0 =>k = - l

V

k = 2

Lu e go , las ecuacion e s del p la n o Q (h a y d o s so lu c io n e s) son (?!: 2 x - y - 2 z + 5 -

= 0

Q2: 8 x - 4 y + z — 1 = 0

E j e m p lo 4 2

Se tiene el p u nto

las ecuacion e s de d o s p la n o s

/ \ ( - 3; 2; — 1)

y la recta

L: x = 2 y = z. H a lle

parale los si se sabe que u n o de e llo s contiene a Pt y

el otro contiene a L, adem ás, la distan cia entre d ic h o s p la n o s

es

V2.

S o lu c ió n L a ecu a ción vectorial de la recta L es L\ P = (0; 0; 0 ) + t ( 2; 1; 2 ),

317

t £ IR


Sea Ñ — (A-, B; C ) el vector n orm al co m ú n de lo s p la n o s paralelos. En ton ce s, la e cuación general del plano que contiene al punto P 1 ( - 3 ; 2 ; - l )

y

la del p lano

que contiene a la recta L son respectivam ente

Qx: A ( x + 3 ) + B ( y - 2 ) + C ( z +

1) = 0 y

Qz : A x + B y + Cz - 0 C o m o el p la n o Q2 contiene a la recta L, entonces N = 04; B-, C) 1 a = (2; 1; 2 )

* =>Ñ. a = 2A + B + 2C = 0*=> B = - 2 A - 2 C

(a )

A h o ra , u tiliza n d o la fó rm u la de la d istancia entre d o s p la n o s resulta

\ 3 A - 2 B + C\ V2 =

___

.

:

y¡Az + B 2 + C2 <=> 2 ( A2 + B 2 + C2) = (3A - 2 B + C )2

(/?)

R e e m p la za n d o ( a ) en (/?) se obtiene

1 0 A 2 + 1 0 C 2 + 16AC = 4 9 A2 + 2 5 C2 + 70AC <=> 1 3A 2 + 18AC + SC2 = 0 <=> (1 3 i4 + 5 C) ( A + C) = 0 <=> A = - C Si A = - C

=> B = 0 =>

ó

A = -5 C / 1 3

= ( — C; 0; C ) = - C ( 1; 0; - 1 )

C o n sid e ra n d o Ñx = (1; 0; - 1 )

se obtiene las so lu c io n e s

x - z + 2 = 0 Q2: Si Para

x

-

z

= 0

A = - 5 C / 1 3 => B = - 1 6 C / 1 3 C = -1 3

se obtiene Ñ2 = (5 ;

Qx: Sx +

1 6 y - 13z - 30 = 0

=> Ñ¡ = ( - 5 C / 1 3 ;- 1 6 / 1 3 ; C ) 16; - 1 3 ) . E n este ca so las s o lu c io n e s son

Q2\ Sx + 1 6 y - 1 3 z = 0 E je m p lo 4 3

U n p la n o se encuentra a un a d istan cia de 2 / 7

de coordenadas. H a lle la e cu a ción del p la n o

u n id a d e s del orige n

si se sabe que contiene

a la

recta

L: x = 2 y = 3 z - 1. S o lu c ió n L a recta

L puede ser co n sid e ra d a c o m o la intersección de lo s p la n o s x — 2y

A x = 3 z - 1.

L a fa m ilia de lo s p la n o s que pasan p o r la intersección de estos

p la n os es

Qf : x - 2 y + k ( x - 3z + 1) = 0 <=* (1 + k ) x - 2 y - 3 k z + k = 0 318

R E C T A S Y PLAN OS EN E L ESPA C IO T R ID IM E N SIO N A L

A s í, de la d istan cia del o rige n de coordenadas al p lan o QF resulta

\k\

2

<=> 4 0 k 2 + 8 k + 2 0 = 4 9 k 2 y/(l + k)2 + 4 + 9 k 2

7 «=> k = 2

ó

k = -1 0 / 9

P o r tanto, existen d o s so lu c io n e s al problem a y estas son

Q^. 3 x — 2 y — 6 z + 2 = 0

(para k — 2 )

Qz ’ x + l Q y - 3 0 z + 1 0 = 0 (para k = - 1 0 / 9 ) 6.3.5 Á N G U L O E N T R E D O S P L A N O S D o s p la n o s n o parale los

y Q2 form an d o s á n g u lo s (d ie d ro s)

9 y 180° - 9

(F ig. 6.35), luego es suficiente co n oce r u no de los á n gu lo s. U n o de estos á n g u lo s es igua l al á n g u lo que fo rm a n su s norm ales. S i 9 es este ángulo, entonces

eos 9 =

Wi-iV2

w m m . y N2

donde

so n respectivam ente, los vectores n orm a le s de los p la n os

Fig. 6.3 5

E je m p lo 4 4

H a lle el á n g u lo ob tuso que form an los p la n o s

Q t : 2 x —y + z — 4 = 0

y

Q2: x + y + 2 z - 5 = 0

S o lu c ió n L o s vectores norm a le s de lo s p la n o s Qa y Q2 son respectivam ente

Ñ, = (2; — 1; 1 ) y

Ñ2 = (1; 1; 2 )

En ton ce s jV iv 2

eos 9 = \N,

3 1 — — - = - <=> 9 = 60° VóVó 2

L u e go , el á n g u lo ob tuso entre lo s p la n os es a = 1 8 0 ° — 6 0° = 1 2 0 °

319


E je m p lo 4 5

H a lle la e cuación del plano perpendicular al p la n o y z , que fo rm a un

á n gu lo 6 = a r c c o s ( 2 / 3 ) radianes co n el p la no Q2 : 2 x — y + 2 z - 3 = 0 y pasa p or el punto S o lu c ió n Se a n Ñ = (¿4; B ; C ) el vector n orm a l del plano buscado,

= (1 ; 0; 0 ) el ve ctor

ftormal del p la n o y z ( x = 0 ) y Ñ2 — (2; — 1; 2 ) el ve ctor n o rm a l del p lan o Qz C o m o el p la n o b u sc a d o es p erpend icular al p la n o y z (N 1 Nt ) y fo rm a un á n g u lo

9 co n el p la n o Q2 , entonces se tiene N . Ñt = 0 =*> A = 0

(1 )

Ñ ■Ñ2 eos 0 =

2 A - B + 2C „ =

\\N\\\\N2\\

.......... — V í4 2 + B 2 + C 2. V 9

(2 )

R e e m p la za n d o (1 ) en (2 ) se obtiene 2 _

2C - B

3 _ 3 V S 2 + C2 D e d on d e

4 ( B 2 + C 2) = 4 C2 - A B C + B 2 «=> 3 B 2 + ABC = B ( 3 B + 4 C ) = 0

<=> B = 0 Si B = 0

ó

entonces

B = -4 C / 3

Ñ - (0 ; 0; C ) = C (0 ; 0; 1). L u e g o , la e cu a ción b u sc a d a del

plano que p asa p o r el punto P 1( 0 ; 1 ; 1 ) es

Qi. 0 ( x - 0 ) + 0 ( y - 1 ) + l ( z - 1 ) = 0 Si B —

4C/3,

entonces

ó

Qi- z =

Ñ = (0; — 4 C / 3 ; C ) = — (C / 3 ) ( 0 ; 4;

1 — 3). Luego,

la

ecuación b u sc a d a del p la n o q,ue p asa p o r le punto ?*((); 1 ; 1 ) es

Q3: 0 ( x - 0 ) + 4 ( y - 1 ) - 3 ( z - 1 ) = 0

ó

Qz : 4 y - 3 z - 1 = 0

6.3.6 P R O Y E C C I Ó N O R T O G O N A L D E U N A R E C T A S O B R E U N P L A N O Sea P un punto del e spa cio y

Q un plano. S e l i c e que el punto P' e Q es la

p ro ye cc ió n (o rto g o n a l) del p unto P so b re el p la n o Q si PP' 1 Q (F ig. 6.36). Sea L una recta y

Q

un plano. A la recta contenida en

Q , que se obtiene

proye ctan do lo s puntos de la recta L se d e n o m in a re cta d e p r o y e c c ió n de L s o b re el p la n o

Q . A esta recta se denota co n LQ (F ig. 6.37). S i L es p erp e n d icu la r al

plano Q , la p ro y e cc ió n de L sobre Q se reduce a un punto.

320

RECTAS Y PLANOS ÉN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL

E j e m p lo 4 6 E n lo s sigu ien te s ejercicios, L es una recta y D eterm ine la p ro y e c c ió n de L sob re Q .

Q

es un p la n o

a)

L:P = (2 ; - 1 ; 4 ) + t { 2; 1; 1), t 6 R , Q: 2 x + y + z - 2 5 = 0

b)

L:P =

c)

L: P = (2 ; 1; - 1 ) + t ( 2 ; - 1 ; 1), t 6 R ,

(1 ; 2; 1 ) + t ( l ; - l ¡ 2 ) , t 6 R ,

Q: x - y - z - 4 = 0 Q: x + 3 y - z + 1 6 = 0

S o lu c ió n

a)

L o s vectores d ire c ció n de la recta L y el p lan o Q so n respectivam ente

a = ( 2 ; l ; l ) y Ñ = (2 ; 1; 1 ) entonces L 1 Q. L u e g o , ia p ro y e c c ió n de L s c j r e Q se reduce al punto / = L n Q (F ig. 6.38a). A l h allar la intersección de la recta L co n el p la n o Q, obtenem os /(8; 2; 7 ) b) A n á lo g a m e n te tenem os ^ = (1* — 1; 2 ) y W — (1 ; — 1; — 1) => a ■Ñ — 0 L \\ Q. P o r ser L || Q será suficiente proyectar un punto de L y co n sid e ra r al ve ctor á c o m o el vector d ire c ció n de l Q (F ig. 6.38 b).

321

TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II Sean

P0 ( l ; 2 ; 1 ) E L

y

LN

la r e c t a q u e p a s a p o r

P0

e n la d i r e c c i ó n d e

Ñ.

A s í, la e cu a ción vectorial de la recta l N es

Ln : P = (1; 2; 1 ) + s ( l ; - 1 ; - 1 ) , s 6 R A h o ra , si P ¿ es la p roye cció n de P0 sobre el plano Q, entonces Pg = LN n Q. A l re so lve r la intersección de LN con Q se obtiene P q (3 ; 0; — 1 ) P o r lo tanto, L q \ R = (3; 0; — 1 ) + A ( l ; — 1; 2), X 6 E c)

E n este caso, tenem os

d = (2 ; - 1 ; 1 ) y Ñ = (1; 3; - 1 ) , entonces L no es paralela ni perpe nd icu lar al p la n o Q (F ig. 6.38 c). Para hallar la recta l Q será suficiente h allar I — L n Q y proyectar el punto Po(2; 1 ; — 1 ) sobre el p la n o Q. A l hallar / = L n Q, se obtiene / (2 4 ; - 1 0 ; 1 0 ). A l proyectar el punto P 0 (2 ; 1; - 1 ) sobre el p la n o Q se obtiene P ¿ ( 0 ; — 5; 1). L u e g o L q es la recta que pasa p or lo s puntos / y Pq. P o r tanto,

Lq \ R = (2 4 ; - 1 0 ; 1 0 ) + A ( 2 4 ; - 5 ; 9 )

6.3.8 Á N G U L O E N T R E R E C T A Y P L A N O Se a L u n a recta c o n vector dirección a y Q un p la n o c u y o vector n o rm a l es

Ñ

.

E l á n gu lo entre la recta L y el p la n o

Q

se define c o m o el á n g u lo que fo rm a L con Lq , d on d e LQ es la p ro y e c c ió n de

L sobre Q (F ig . 6.39). S i a es u n o de lo s á n g u lo s que fo rm a L co n

Q ( E l otro á n gu lo es 1 8 0 ° — a ), 6 + a = 90°, don d e 6 es el

entonces

án gu lo que fo rm a n el vector

TV

y el

Fig. 6.39

vector á. L u e g o ,

Ñ ■â se n a = eos Q = P or lo tanto, la fó rm u la para h allar el á n g u lo entre las rectas L y el p la n o Q es

Ñ •a se n a =

Ñ IIa||

322


E je m p lo 4 7 H a lle el á n g u lo a gu d o que fo rm an el p la n o Q: 2 x + y + z — 5 = 0 con la recta L: P - (2 ; 3; 5 ) + t ( 1; - 1 ; 2), t 6 R S o lu c ió n En

este

ca so

lo s

vectores

dirección

de

la

recta

L y

respectivam ente d = (1; - 1 ; 2 ) y Ñ = (2; 1; 1). L u e g o , form a la recta L co n el p la no Q, tenem os

sen a —

\á.Ñ\

1

= - =» a - aresen

P o r tanto, el á n g u lo a g u d o que fo rm an

del

si a

Q: x - z = 0

Q son

n

G

K

L y Q es de 30°

S e a n L \ P — (1; 0; 0 ) + t ( 0; 1; 1), í 6 IR una

E je m p lo 4 8

p la n o

es el á n g u lo que

recta y

L'Q es la p ro ye cc ió n de V sob re Q,halle la e cuación de la recta que pasa p o r L' n Q, fo rm a un á n g u lo de 45° co n UQ y está contenida en el p la n o Q . un plano. S i

S o lu c ió n Sea L la recta b u sc ad a (F ig. 6.40). C o m o I —L n Q —L'ñQ, entonces se obtiene / (1 ;1 ;1 ).

Al

hacer

las

op eraciones

co rrespondientes para p royectar V plano Q, obtenem os

L'q : P = (1; 1; 1 ) Sea

a — ( a i ; a 2 ; a 3)

sobre el

s ( l ; 2; 1), s 6 R

el vector d ire cción de L.

L está con te nida en el p la no Q y form a un á n g u lo de 45° c o n la recta L'q , tenem os

C o m o la recta

(1)

a - Ñ q - 0 => a t ~ a 3 e o s 45°

Fig. 6.40

a • (1 ; 2; 1 )

ax + 2a2 + a3

V e llall

V 6 ||a||

(2 )

R e e m p la za n d o (1 ) en (2 ) s ; obtiene 1

2 ( ü i + a 2)

+8a^

- 2a‘ = » = *

=

A sí, el vector d ire c ció n de la recta L es

a = ( a j ; ( - 4 ± 3 ^ / 2 ) % ; a j = a ^ l ; - 4 ± 3 V 2 ; 1) Por tanto, la ecu a ción b u sc a d a de la recta es

L: R = (1; 1; 1) + A (l; —4 ± 3V2; l),A 6 E (Dos soluciones) 323


Ejem plo 4 9 Sea Q: x - y — 1 = 0 un plano. Halle la ecuación de la recta L que pasa por i4(0; —1; 0) de modo que LQ\ P = (0 ; - 1 ; 0) + t ( 0 ; 0; 1), t e IR sea la proyección de L sobre Q. Se sabe que el ángulo entre L y Q es de 45°. Solución Se observa que el punto A pertenece a la recta

L(¡ (Fig. 6 .4 1 ). Sea a = ( a ; b; c ) el vector dirección de L. Como la recta L forma un ángulo de 4 5 ° tanto con la recta LQ com o con el plano Q, entonces tenemos

eos 4 5 ° =

óí *(0; 0; 1) _ Hall

sen 4 5 ° =

c

»

a 2 + b 2 = c2

(1 )

~ V a 2 + 62 + c2

a . ( 1 ; —1 ; 0 ) )

a -b

V2||a||

V 2V a2 + b 2 + c 2

o

a2 +

b2 +

c2 = a2 -

lab

+

b2 (2 )

De (1 ) y (2 ) obtenemos

a2 + b2 = —2ab Reemplazando

b

=

-a

«=> a + ¿ = 0 «=> a -

-b

en (1 ) obtenemos c 2 = 2 a 2 =* c = ± V 2 a

Así, el vector dirección de la recta

L es

a

=

(a ;

-a;

±V2a) = a ( l ; - 1 ; ±V2)

Por consiguiente, las ecuaciones buscadas de ia recta L son

L: R = ( 0 ; - 1 ; 0 ) ) + A ( l; - 1 ; ± V 2 ) , A € E

6 .3 .9 D IS T A N C IA M IN IM A E N T R E R E C T A S Sean ¿ 1: P = P0 + í a , t e l espacio.

y

Lz: Q = Q0 + s b , s e

Las dos posiciones relativas de estas rectas son i)

II L2 «

a II b

ii) ln tt /,2 <=> a Jt b

324

dos rectas en ei

RECTAS Y

P L A N O S E N E L E S P A C IO T R ID IM E N S IO N A L

Si L1 || L2, la distancia entre estas rectas está dada por d = d ((?0; ¿ i ) . distancia de Q0 a la recta Lí ó d = d ( P 0; L2), distancia de P0 a la recta Lz (Fig. 6 .4 2 ). Si las rectas se cruzan (Z^ L2) , la distancia mínima d es la longitud del segmento perpendicular común comprendida entre ambas rectas (Fig. 6 .4 3 ).

Si las rectas L1 y L2 se cruzan existen dos planos paralelos Qx y Q2 , tales que ¿■i c Q\ Y ^2 c Qi ■Luego d es la distancia entre los planos Qx y Q2. Sea N = a x b

y 0 el ángulo entre N y C = P0Q0 , entonces

d = ¡C|||cos0| Dado que eos 0 =

C -Ñ , la fórmula de distancia entre rectas que se cruzan

se escribe como

donde Uf¡ es el vector unitario en la dirección del vector Ñ

Observación 18 Si Lx y ellas, entonces

L2 son dos rectas y d es la distancia mínima entre

i)

Si ¿ i II L2 , d ( ¿ 1; ¿ 2) = 0 <=> Lx = L2

ii)Si

Lj

¿ 2,

d^Li, L2)

=

0

<=>

Lj fl ¿2 ^ 0 325

(la intersección es un punto)


E je m p lo 5 0

Halle la distancia mínima entre las rectas

L1: P = (1; 1 ; 4 ) 4- £(0; 1;

-3), t

y — 5,

L2: x = 4 + t l

£ R

y

-3

z =

+ 2t

S o lu c ió n

El punto de paso y el vector dirección de Lx son

P0(l;l;4) 5; —3)

El punto de paso y el vector dirección de L2 son
—3; — 1 )

y C = PqQq —

y

a = (0; 1; —3). (0; 1; —3)

y b =

(3; 4; — 7 )

Por lo tanto, la distancia mínima entre las rectas Lt y L2 es |c • ( a x g)| ||a X b||

| 6 - 1 2 + 7| _

1

V 4 + 9 + 1 ~ V Í4

E j e m p lo 51 Una esfera metálica es soltada en elpunto A(l-, 2; 1 0 ) y cae ■(verticalmente) hasta el plano Q: 2 x + y + z — 12 = 0; luego resbala por él hasta chocar con el plano x y . Halle la distancia total recorrida por la esfera. S o lu c ió n

La distancia total recorrida por la esfera es

d = \AB\ + d(B-,Li) donde B es la intersección de la recta

L: P = (1; 2; 1 0 ) + í( 0 ; 0; 1), t G R con el plano Q y es la recta de intersección de los planos Q y x y (Fig. 6.44).

Como B = L n Q, entonces B ( 1 ; 2 ; 8 ) y \Jb\ = V 0 + 0 + 4 = 2

Por otro lado, la ecuación de la recta L¿ es

(2 x + y + (z - 0

z —12 = 0 ^

||axPñfi||

p

=

(0;i2;0) + A(1;-2;0),A £ E

||(1; — 2; 0 ) x (1; — 10; 8)||

n ^

Lu CRo. rf(B; ¿,) = — ¡¡Jj— = --------------- ------------------- = 8^675 Por tanto, la distancia total recorrida por la esfera es d = \AB\ + d ( B ; L¡) = 2 + 8 ^ 6 / 5

326

R E C T A S Y P L A N O S E N E L E S P A C IO T R ID IM E N S IO N A L

E je m p lo 5 2

P o r la recta

L: P = (4; 2; — 3 ) + t ( l ; 0; 1 )

p asa un p la n o cu ya s

intersecciones co n lo s p la n o s co orde n ado s x y e y z fo rm a n un á n g u lo de 60°. H a lle la e cu a ción del plano. S o lu c ió n Se a N = ( A ; B ; C ) el vector n orm al del plano b u sc a d o contiene a la recta L, entonces

Q. C o m o el p lan o Q

P 0(4 ; 2; - 3 ) £ Q y Ñ. d = (A ; B; C ). (1; 0; 1 ) = A + C = 0 <=> C = - A

(a )

Q: A x + B y + Cz + D = 0 con

P o r otro lado, las rectas intersección del p la n o los p la n o s x y e y z so n respectivam ente

L

B y + Cz + D = 0

A h o ra , si á y b so n lo s respectivam ente, entonces

B y + Cz + D — Q

vectores

dirección

de

las

rectas

y

L2

d = Ñ x k = ( A ; B ; C ) x (0; 0; 1) = (B; - A ; 0 ) y b = Ñ x T = ( A ; B ; C ) x (1; 0; 0 ) = (0; C; - B ) D a d o que las rectas Lx y l 2 fo rm a n un á n gu lo de 60°, entonces tenem os

á ■b

1

-A C

e o s 60° = llá llllS H ^ Z

V B 2 + A 2J C 2 + B2

R e e m p la za n d o ( a ) en (/?) se obtiene

A s í, el p rob le m a tiene d o s so lu c io n e s

S\ B = A => Ñx = (A; A ; - A ) = i 4 ( l ; l ; - l S i B .= - A

=» Ñ2 = 04; —A ; - A ) = A ( l ; - 1 ; - 1 )

L u e g o , las e cu a cione s de lo s p la n o s que satisfacen las c o n d ic io n e s del p rob le m a son

l ( x - 4) + l ( y - 2) - l(z + 3) = 0 ó x + y - z - 9 = 0 Q2:

1 (x

- 4) - l ( y - 2) - l(z + 3) = 0

ó

x - y - z - 5 = 0

E j e m p lo 5 3 Se a n P, Q, R y S los vértices co n se c u tivo s de un cu ad rado co ntenido en el p la n o Qx\ 2 x + 2 y - z - 1 0 = 0. S i P ( 2; 9; 1 2 ) y R ( - 2; 1 1; 8 ) son lo s e xtrem os de u na de las d ia go n a le s del cuadrado, halle las co o rd e n a d a s de los vértices Q y S. S o lu c ió n

327


En la figura 6.45, el punto m edio del cuadrado es M (0; 10; 1 0 ), PR = ( - 4 ; 2; - 4 ) y \\PR\\ = 6 A h o ra , si entonces

a

es el vector dirección de la recta L que contiene a la d ia g o n a l

a lP R

Q 5,

A a 1 ÑQl = > a || PR X ÑQl = 6 (1 ; - 2 ; - 2 )

A s í, la ecua ción vectorial de la recta L es

L: (x ; y ; z ) = (0; 10; 1 0 ) + t ( l ; - 2 ; - 2 ) , t £ R C o m o Q € L, entonces Q (t ; 1 0 — 2t; 1 0 - 2 t). D a d o que, ¡|QM¡¡ = ^|jPR|| = 3 <=» V t 2 + 4 t 2 + 4 t 2 = 3 «=* t = ± 1 P o r tanto, las co ord e n a d a s bu scad as de lo s puntos son Q ( l ; 8; 8 ) y 5 ( - l ; 12; 1 2 )

E je m p lo 5 4

U n a recta L , interseca a los p la n os co o rd e n a d o s x y e y z , de tal

m anera que el se gm e n to co m p re n d id o entre los p untos de intersección está en el prim er octante. S i desde d ic h a s intersecciones se trazan perpe n d icu lare s a lo s ejes coordenados, q ued an d eterm inados lo s cu ad rados

Cx y C2 respectivam ente. E l

área de Cx es el cuád ruple del área de Cz . H a lle la e cu a ció n ve cto rial de la recta L si su d istan cia al o rig e n es 18.

Solución Sean <4(0; b; b)

el punto de intersección de L co n el p la n o y z y

B ( a ; a; 0 )

el

punto de intersección de L co n el p la n o x y ( a > 0 , b > 0 ). C o m o el área de Cx es cuatro veces el área de C2 (F ig. 6.46), entonces tenem os

A(Cr) = a 2 = 4/1 (C2) = 4 b 2 =¡> a = 2b

328


A s í, el ve cto r d ire c ció n de L es vectorial de esta recta es L: P

=

AB = ( 2 b; b ; —tí) = b (2 ; 1; - 1 ) y la e cu a ción

(0; b; b) + A(2; l ; - l ) , Í e l

U tiliza n d o la fó rm u la de d istan cia del punto I N

18 = d ( 0 ; ¿ ) =

x (2; l ; - l) | |

(0(0; 0; 0)) a la recta L, te ne m os <=> b = 9 V 2

V6 P o r lo tanto, la ecu a ción vectorial buscad a de la recta es

L: P = ( 0 ; 9 V 2 ; 9 V 2 ) + A (2 ; 1 ; - 1 ) , E je m p lo 5 5

A eR

U n a recta L que pasa p or el punto A (2; 2; 2 ), es paralela al plano

c u ya e cu a ción es

Q: x + 2 y + 4 z — 4 = 0.

H a lle la ecu a ción ve cto rial de la

recta L si el área del trián g u lo AOB es igual a V l 4 u 2, don d e O es el o rig e n de co ord e n a d a s y B es la intersección de L co n el plano co ord e n a d o y z . S o lu c ió n Se a n 6 ( 0 ; a; b ) el punto de intersección de

L

co n

el

p la n o

yz

(F ig.

a = BA = (2 ; 2 - a; 2 — b)

6 .47 ) el

y

vector

d ire c ción de L. Com o

L II Q, entonces a 1 NQ. D e donde

tenem os

a - ÑQ = a - ( 1 ; 2 ; 4 ) = 2 + 2 (2 - a) + 4 (2 - b) = 0 = > a = 7 — 2b

(a )

P o r otro lado, u tiliza n d o la fó rm u la del área de un trián g u lo tenem os

i||ó lx ó s ||= i|

A& = \ \ \ O A * O B \ \ = i | | ( 2 ; 2 ; 2 ) x ( 0 ; a ; 6 ) | | = - > / 8 a 2 + 8 b 2 — 8 a b = V l 4 <=* a 2 + b 2 - a b = 7

(0)

R e e m p la za n d o ( a ) en (/?) se obtiene ¿)2 - 5 b + 6 = 0 <=> (b - 2 ) ( b - 3 ) = 0 < = > b - = 2

V

b = 3

P o r co nsiguiente, tenem os S i b = 2 => 5 ( 0 ; 3; 2 ) y S i b = 3 =* B '( 0 ; 1; 3 )

P = (2 ; 2; 2 ) + t(2 ; - 1 ; 0), t £ R

y L 2: P = (2; 2; 2 ) + s ( 2 ; 1; - 1 ) , s e l

329

p»!


K jc m p lo 56

L: P =

U n p la n o pasa p or el punto E ( 2; 0; 0 ) y es parale lo a la recta

(5; 6; 1 )

+

t(0; 1; —1 ), t

£ l

S i el plano interseca a los ejes z e y en los puntos F y G respectivam ente, halle la ecuación del p la n o si se sabe que el área del trián gu lo EFG es igu a l a ( 3 / 2 ) u 2 (d o s soluciones). S o lu c ió n Sea Q el p la n o que interseca al eje z en G ( 0 ; 0 ; c ) y al eje y en (Fig. 6.48). Entonces, tenem os

a = EF = ( - 2 ; b; 0 ),

b = E G = ( - 2 ; 0; c ) y

F ( 0 ; b ;Q )

ÑQ = a x b = (be; 2c; 2 b )

D a d o qué

Q II L = > ÑQ 1 d = > ÑQ ■d = (be; 2c; 2b ) ■(0; 1; - 1 ) = 2c - 2b = 0 => b = c

(a)

P o r otro lado, utilizan d o la fó rm u la del área de un trián g u lo obtenem os

A a = i | | E F x E G || = ^ b 2c 2 + 4 c 2 + 4 b 2 = \ ¿é ¿ = > b 2c 2 + 4 c 2 + 4 b 2 ~ 9

(/?)

R e e m p la za n d o (a ) en (ft) resulta c 4 + 8 c 2 - 9 = 0 <=> ( c 2 - l ) ( c 2 + 9 ) = 0 <=> c = ± 1 P o r lo tanto, las e cuaciones de los p la n os que satisfacen las co n d ic io n e s del problem a son Si c = 1 = >

b = 1

=>

Si c = - 1 = > b = - 1

ÑQ = (1; 2; 2 )

y

= > Nq = (1; - 2 ; - 2 )

330

Qt : x + 2 y + 2 z - 2 = 0 y (?2 : at - 2 y - 2 z - 2 = 0


K je m p lo 5 7

Se a n las rectas

Lt : Eje z , L2: x = 3 ; z = 4 . H a lle la longitud

del m en o r segm ento que es paralelo al plano Q: x - 2 y + z — 2 = 0 y une a las

y L2

rectas S o lu c ió n

U n b osque jo del p rob le m a se m uestra en la F ig. 6.49. L a s e cu a cione s vectoriales de las rectas Lx y Lz son L j: P = ( 0 ; 0 ; t ) , t Sean

A E Lx

EK

L2. Q = (3; 0; 4 ) + s ( 0 ; 1; 0 ) , s 6 E

y

B E L2, entonces i 4 ( 0 ; 0 ; t ) para algú n v a lo r de t E l y

y

B ( 3; s; 4 ) para algú n v a lo r de s E M. C o m o AB = (3; s; 4 — t ) es paralelo al plano Q, entonces tenem os

AB 1 Nn

(1; - 2 ; 1) = > AB ■N0 = 3 - 2 s + 4 - t = 0 = » t = 7 - 2 s

A s í, la lo n gitu d del m e n o r segm ento es p B | | = V 9 + s 2 + ( 2 s - 3 ) 2 = V l 8 - 2 sv + 5 s 2 = f ( s ) Para encontrar el v a lo r de s que hace m ín im o a

f(s), d e riv a m o s con respecto a s

y tenem os 5s - 6

f ’í s ) =

...

:------

V18 -

6 = 0

- .....

=» S = -

125 + 5 s 2

5

E l criterio de la p rim era d erivada co n firm a que / ( s ) es m ín im o cua n d o s = 6 / 5 y los puntos son i4 (0 ; 0 ; 2 3 / 5 )

y B { 3 ; 6 / 5 ; 4 ).

P o r lo tanto, la longitud del m enor segmentó es ||i4B|j = 3 ^ 6 / 5 = 3,286... E j e m p lo 58

H a lle la e cu a ción de la recta L que pasa p or el punto

corta a la recta Lx: Q = (1 ; 3 ; - 2 ) x — 4 y + 2 recta L2 : —— = —~ ■2“ 5 S o lu c ió n Se a B 6 para

Llt entonces ñ ( 1 + 4 í ; 3 + 3 í; 2 t - 2 )

algú n

t 6 l.

Como el vector dirección

a = A B = ( 4 t - 2; 3 t - l ; 2 t + 3 ) p erpend icular al vector dirección de

A(3; 4; - 5 ) ,

+ t (4 ; 3; 2), I E E y es p erpend icular a la

de

¿

es

b = (2;3;0)

L2, entonces a -b = 2 (4 í-2 ) + 2 ( 3 t - l) = 1 7 t - 7 = 0 «=» t «= 7 / 1 7

P o r tanto, la ecuación de la recta L es

L: P = ( 3 ; 4 ; - 5 ) + A ( - 6 ; 4 ; 6 5 ) , l € #

331


E je m p lo 5 9 H a lle la e cuación del p la n o que pasa p or P 0 ( 5 ; 0 ; - 2 ) án gu lo de 30° con el eje z. (d o s soluciones).

y fo rm a un

S o lu c ió n Se a N = ( A ; B ; Q el vector norm al del plano Enton ce s su e cu a ció n es

Q: A ( x - 5 ) + B y + C ( z + 2 ) = 0

Q que pasa p o r P 0 ( 5 ; 0 ; - 2 ) . (*)

C o m o el á n g u lo que fo rm a el plano Q con eleje z es 30° (F ig. 6.51), s e n 30° =

1

|C4; 6; C)

— —-

2

■ (0 ; 0;

entonces

1)1

'J ± <=» 3 C 2 = A 2 + B 2 V ¿ 2 + B 2 + C2 ;

(a ) ^

K ( 0 ; 0 ; z 0) es el punto de intersección del p la n o Q co n el eje z,

P or otro lado, si

entonces P0V = ( - 5 ; 0; z 0 + 2 ) y el eje z form an un á n g u lo de 30°. Lu e go , V3 P o ? • (0; 0; 1 ) ^ — = e o s 30° — - W | | « z . ^ 2 ± 5 V 3

(«

D a d o que V (0; 0; z 0) e Q , entonces satisface la e cuación ( * ) , esto es — 5i4 + C ( z 0 +

2) =

0 <=> — SA + C ( — 2 ±

R e e m p la za n d o ( y ) en ( a ) se deduce que B

5 V 3 ) = 0 <=> ¿4 = + V 3 ^ C ( y )

= 0. D e este m od o, el vector norm al

del plano Q es Ñ = ( ± V 3 C; 0; C) = C ( ± V 3 ; 0; 1) P o r consiguiente, la e cuación b uscad a del plano Q resulta (?:

± V 3 x + z + 2 + 5V3 = 0

E j e m p lo 6 0

U n ra yo lu m in o so ¿ £: P = (1; 4; 3 ) + t ( l ; 2 ; - l ) , t 6 R

el espejo p la n o reflejado.

incide en

Q; 3 x — y + 4 z — 2 = 0 y se refleja; hálle la ecu ación del ra yo

S o lu c ió n

332

RECTAS Y PLANOS EN E L ESPACIO TRID IM EN SIO N A L

Sea I =

n Q (en la Fig. 6.52, el plano Q se m uestra de canto).

Luego, / ( I + t; 4 + 2t; 3 - t) e Q e* 3 (1 + t) - (4 + 2 t ) + 4 (3 - t) = 2 <=> t = 3 = » /(4; 1 0 ; 0 ) A h o ra , la e cu a ción vectorial de la recta que pasa p or el punto

P0

y sig u e la

dirección del vector norm al es LN: P = (1; 4; 3 ) + A (3 ; — 1; 4 ) , X £ IR S i M = Ln fl Q, entonces al hacer las op eraciones respectivas ob tene m os /

1

113

42\

2 6 '" 2 6 " '2 6 / D a d o que A i es el punto m ed io del segm ento / V

14

61

P0Qo , entonces el p u nto Q0 es

3 \

1 3 '1 3 '1 3 /

P or tanto, la e cuación vectorial del rayo reflejado que pasa p or el punto I y sigu e la d ire c ció n del ve cto r b = Q0I — — (6 6; 69; — 3 ) es

Lr : R = (4; 10; 0 ) + r ( 6 6 ; 6 9; - 3 ) , r £ IR

EJERCICIOS 1.

H a lle la ecu ación de la recta que pasa p or

(1; 3; 2 ), es paralelo al plano

Q: P = (1; 4; 0 ) + r ( 1; 1; 1 ) + s ( 0; 1; 2), r, s £ E y fo rm a un á n g u lo de 60° c o n la recta Lx\ R = (1 ; — 2; 3 ) + t (0 ; 1; 0 ), t £ E R . L : = (1; 3; - 2 ) + t ( 3 ± 2 V 2 ; 2 ± V 2 ; l ) , t 6 E 2.

H a lle la e cuación del p la n o que pasa p or (3; 1; — 2 ) co n las rectas Lx:P = (1 ; 4; 2 ) + t ( l ; 1; 1),

{x -

R.

3) +

y fo rm a á n g u lo s iguales

t £ E , ¿ 2 ; eíe x

(y - 1 )

+ (V 3 - 2 )(z + 2)

y L3: =

e]ey 0

3. Se a n las rectas:

Li'. P

= ( 3 ; 0 ; 0 ) + t ( l ; — 1; 1), t £ E

L2- Q

— (2; 9; 1 ) + s ( l ; 3; — í ) , s £ E

H a lle la e cuación del p lan o que es paralelo a Lr y

Lz , y d iv id e en 2 partes

igu a le s al se gm e n to de m e n o r longitud que une a d ic h a s rectas. 4.

Se a el p la no con ecu ación

2x + 3y + z + 4

m anera que los d o s vectores

A = i+ j + k

= 0 , encontrar n y m no n u lo s de y

B = nj + m k

p la n o p erpend icular al dado.

R .m = 1/2, 333

n = -1 / 2

están en un


5.

ln : P = (1 ; 2; — 3 ) + t ( l ; — 1 ;5 ),

tGR

L2: Q = (0; 1 ; 4 ) + s ( l ; 0 ; - 1 ) , s e l son

d o s rectas, ¿s e

intersecan?. E n

caso afirm ativo, halle

el punto

de

intersección y la ecu a ción del plano que los contiene. E n ca so contrario, halle la d istancia m ín im a entre Lx y ¿ 2 6. H a lle la ecua ción del plano paralelo al plano 2x - y + 2 z + 4 = 0 si se sabe que el punto P 0 ( 3 ; 2 ; — 1 ) equidista de a m b os planos. R. 2 x — y + 2 z - 8 = 0 7. D a d a s las rectas

P = (1 ; - 1 ; 1 ) + t ( 0; 1; 1),

t e l

¿ 2: Q = (0; 1 ;0 ) + 5(1;0; — 1),

s£ R

H a lle las ecuacion e s de d o s p la n os paralelos Qx y Q2 de m o d o que Lx c Qx y. L2 c Q2 . ¿ C u á l es la d istancia entre Qt y Q21 8.

H a lle la ecua ción del plano perpendicular alplano

z =

punto P 0 ( 2 ; 2 ; 2 ) y que fo rm a un á n gu lo de 60° con el

2, que pasa p or el

plano

y[3x + 2 y — 3z + 2 = Q R. 4 V 3 x + y - 2 (1 + 4 V 3 ) = 0 9.

D a d a s las rectas: L x : P = (1 ; 2; - 1 ) + t ( 2; - 2 ; - 3 ) , t G R

L2. Q = (2; 3; 1 ) + s ( l ; 2; - 1 ) , 5 G R L3: R = (3; 1; - 1 ) + r ( 1; 1; 1), r G R Halle, si existe, la e cuación del plano

Q que contiene a L3 y a su ve z el

plano sea paralelo a las rectas Lx y L2. R. no existe 10. H a lle la ecu a ción cartesiana del p lan o que pasa p or ( 2 ; 6 ; 1 ) y contiene a la X z recta - = - , y = - 5 R. 8 8 x — 1 3 y — 3 3 z — 6 5 = 0 11. L a recta L que pasa p or

( - 1 ; 1; 6 ) es paralela a los p la n o s x + y = 0 A 2x — z — 6 . L a recta LQ es la p roye cció n de L sobre el p la n o x y . H a lle las ecuacion e s de las rectas L y LQ.

12. H alle la e cu a ción de la recta que contiene al m e n o r se gm e nto h orizontal (paralelo al p la n o x y ) que une las rectas

P = ( 0 ; 0 ; 0 ) + t1( l ; 2 ; 8 ) , t E R l‘¿: Q = (1; 3; 0 ) + t2 (0; 1; 4 ), t 6 R R. L: P = (1 ; 2; 8 ) + t3 ( 0; 3; 0), t3 G R 13. H a lle la c c un c ió n cartesiana del p la n o que pasa p or P 0 ( l ; 0; 0 ), sa b ie n d o que la recta L: P — (5; 1 ; — 5 ) + t ( l ; 0 ; — 1), í G R unidad de d ic h o plano (Z, II Q).

334

está a una d istancia de 1


I I. H a lle la ecu ación cartesiana del plano, sabie n do que es paralelo al plano 2 x + 2 y - z + 7 = 0 y que el punto (5; 2; - 3 )

equid ista de a m b o s p lanos.

R. 2x + 2 y - z - 41 = 0 1 5.Se a n L\ P = (1; 1; 3 ) + t ( 2 ; 0 ; l ) , t G E y Q: 2 y - y + z - 1 5 = 0 una recta y un p la n o respectivam ente. S i A — L n Q, halle la ecu a ción de la recta

L1 que p asa p or el punto A y es perpendicular a la recta Lq . L a recta Lx está contenida en el p la no Q. = (3; 4; 5 ) + tx (0; 1 ; - 2 ) , t x G E

16. D a d a s las rectas

L2:

P2 = (4; - 2 ; 1 ) + t2 ( 1; 2; 3), t2 G E

L3: P 3 = (0; 0; 0 ) + t3 ( 2; 1; 0), t 3 G E H a lle la e cu a ción cartesiana de un p la no que corta a estas rectas en lo s p u n to s

A, B y C respectivam ente, de m o d o que AB = BC, E l p la no so licita d o es paralelo a la recta x = y = z y los p u ntos A, B y C están alineados. R . 1 9x - 2 0 y + z - 8 1 = 0 y b = ( - 3 ; V T T ; 4 ) son los vectores d ire c ció n de las rectas

1 7 .a = (4 ; 0; 3 )

y l 2 respectivam ente. L a s rectas se intersecan en (3 ; 2; 1). H a lle de la recta

¿3

la e cu a ción

que pasa p or el punto P 0 ( 3 1 / 5 ; 2 ; 1 7 / 5 ) y d eterm ina

con

Lx y L2 u n t r iá n g u lo de área 6 u 2 . 18. H a lle la ecu a ción de una recta que pasa por el punto (3; 4; — 6 ) y es paralela a los p la n o s

x + 2 y - z = 4

A

3 x - y + 2z = -6 .

R. L: P = (3; 4; - 1 ) + t ( - 3 ; 5; 7), t G E 19. H a lle la ecuación del p la n o que dista del o rige n V 2 3 4 u n id a d e s y pasa p or la intersección

de

las

P = (9 ; 5; 4 ) + t ( l ; 1; 2), t e E

rectas

y

L 2 : Q = (1 ; 2; 3 ) + s ( 2 ; 1; 1), 5 G E R . 11 (x - 1 1 ) + 7 ( x - 7 ) + 8 ( z - 8 ) = 0 20. H a lle

la ecuación

cartesiana

del

p la n o

que

pasa

p or

(3 ; 4; 1 )

y

es

p erpe nd icu lar a los p la n os x - y - 4 A x + z = 6. R. x + y - z - 6 = 0 21. S i -

L1: P = (2 ; 1 ; 0 ) + t ( l ; — 1; 1), t G E , halle la ecua ción de la recta L que

sea sim étrica a la recta L x co n respecto al plano 2 x - y - z - 5 - 0 .

25. D a d o el p la n o

x + 4 5 - y. x - 2 y + 3 z = 8 y la recta L: —— = ——
H a lle la e cu a ción de la recta que pasa por (0; 2; — 1), es paralela al p la n o dado y corta a la recta L. R. L1\ P = (0; 2; - 1 ) + t(4 ; - 1 ; - 2 ) , t £ E 22. D a d a s las rectas

Ly. P i = (1 ; 1; 2 ) + t ^ l ; 2; 0), t x G M L2- P 2 = ( 2 ; 2 ; 0 ) + t 2( l ; — 1; 1). t2 G E 335

V


^ 3 * ^3 = (0 ; 3; — 2) + t 3 (S; 0;

2),

¿3 6 ®

H a lle la e cu a ció n de u n a recta que corte a estas tres rectas Lu Lz los p untos M, N y P respectivam ente, de tal m anera que

L 3 en

y

M N = NP

R. L: P = (0; - 1 ; 2 ) + t ( 2; 2; - 1 ) , t £ 23. Se a n las rectas ¿ j

=

/ r e E} y

{(1 ; 0; 0 ) + r ( 1; 1; 1 )

¿2 =

E

{(7 ;4 ;3 ) + s (3;4;2)

/ s &E}

H a lle lo s vértices de un trián g u lo equilátero de lado 2 V 2 u , tal que un vértice pertenece a ¿ 2 y el lado opuesto en L1. R. ( 4 ; 0 ; 1 ) , ( 2 ± V 2 7 3 ; 24. D a d a s las rectas no coplanares concurrentes en P 0 ( l ; - 2 ; 3 ) x - 1

1

.:—

y + 2

-—

z - 3

x — 1

= —

3 - z

. W -—

=—

A y = -2 y

x — 1 y + 2 z - 3 L o : -------- = -- ------ = ---------

3

2

1

2

H a lle la e cu a ción de un p la n o que pasa p or el punto

A { —4; 2; 6 ) y fo rm a

á n g u lo s igu a le s co n estas rectas. R. 3x — y - z + 2 0 = 0 26. D a d a s las rectas: ¿

.

x —í — 2

1

y+ 2

= — -— 3

5 - z = — -— ■ 4

y *

y - 1

L2. x = - 2 ,— -— z

1

z + 2 = — -— 2

que se cruzan. H a lle la e cu a ción de la recta que pasa p or

i 4 ( - l ; - 2 ; 0 ) , es

perpe n d icular a Lí (en el e spacio) e interseca a ¿ 2 . R . P = ( - 1 ; - 2 ; 0 ) + t ( — 1; 6 ; 4 ), t 6 E 27. D a d o s lo s p la n o s

Qt : 2 x + 2 y - 2 z + 2 = 0. y

<32; x - 2 y — z = 1

y el

punto >4(2; 1; 4 ). H a lle la e cu a ción de u n a recta que p asa p o r A , es paralela a

Q2 y fo rm a un á n g u lo de 30° con R. ¿ = { ( 2 ; l; 4 ) + t ( l l ± 6 V 2 ; 2 ± 3 V 2 ; 7) / t 6 i } 28. H a lle la e cu a ción de una recta que pasa p o r (3; 1; 2 ) y corta a la rectas

Lt : P = { (2 ; 4; - 1 ) + t ( 0; 1; 2 ) / t e E } f x - y + z = 4 l

2 jc + z = 6 R. Q = ( 3 ; l; 2 ) + s ( - l ; 1 0 ; l l ) ,

s é

E

29. Encu entre la e cu a ción del p la n o que pasa p o r el p u n t ó ' < 2 (3 ;— 5; 2 ) ' y es p erpend icular a lo s p la n o s 2 x + 3 y - z - 5

= 0 A

x - 2 y + 2 z - 3 = 0.

R. 4x - 5 y - 7 z — 23 = 0 30. En cuentre

la e cu a ción del p la n o que p asa p o r lo s p u ntos

(4; 8 ; - 8 ), y es p erpend icular al p la n o x z. R. l l x + 6 z + 4 = 0

336

(-2 ;

5; 3 )

y

R E C T A S Y P LA N O S EN EL E SP A C IO T R ID IM E N SIO N A L

31. Encu entre la e cu a ción del p la n o que pasa p or origen, es p erpe n d icu la r a&pJano

2 x + 3 y - S z = 0 y es paralelo a la recta que pasa p o r los p u ntos (1 ; - 1 ; 3 )

y (2; 1; - 2 ) . R . Sx — 5 y — z = 0 32. En cuentre la e cu a ción del p la n o que es paralelo al p lan o 1 2 x — y — Y l z = 4 y p asa p or la intersección de lo s p la n o s 2 x - y - S z = 4

A

3 x + y - z = 0.

R. Y 2 x - y ~ \ 7 z = 1 2 33. U n p lan o pasa p o r los p u ntos P 1( l ; 0; - 1 ) y P 2 ( - 1; 2; 1 ), y es parale lo a la recta de intersección de lo s p la n os 3 x + y - 2 z = 6. H a lle su ecuación.

A

4 x - y + 3 z = 0.

R. 5 x - 3 y + 8 z + 3 = 0 34. Encu entre

la ecuación

de un

p la n o

que pasa

p or

¿4 (1 ;-2 ; 1)

y

es

P !(l;2 ;3 )

y

p erpe nd icula r al ve ctor OA, donde O es el o rige n de coordenadas. R. x - 2 y + z = 6 3 5 . Encu entre la ecu a ción de un p lano que pasa p o r lo s p u ntos P 2 ( 3; 2; 1), y es perpe n d icular al plano 4 x - y + 2 z = 7. R. x + 6 y + z = 1 6 36.

Encu en tre la d istan cia del o rige n de coordenadas

x —2 3

2 — z

y — 1 ~

4

~

5 R. 3 u

„ — 2z — 3 — 0 y _ 2Z = o

Í

interseca

al

p la n o

x + 3 y — z + 4 = 0.

Encuen tre el punto de intersección P y halle la e cu a ción de la recta co nte nida en este plano, que p asa p o r P y es perpendicular a L. R. P ( 1; - 2 ; - 1 ) , —5

= L t l = £ ± 1 3 4

3 8 . C a lc u le la d istancia m ín im a entre la rectas Lx y L2, d on d e l x p asa p o r el o rige n y el p u nto

(1 ; 1; 1), y ¿ 2 pasa p or

(1; 2; - 2 )

y es paralelo al vector

2 í - j + 2k. R. 3V2/2 39.

H a lle

la e cu a ció n del p la n o que fo rm a un á n g u lo de 60° co n el plano»

2 x - y + z = 7 y contiene a la recta L: P = (1 ; 8; 1) + t ( l ; — 3; 1), t 6 M. R . x + y + 2 z = 11, l l x + 2 y — 5 z — 2 2 = 0 (d o s soluciones)^ 40. H a lle la e cuación cartesiana del p la n o que pasa p or (3 ; 4; 1 ) y es orto go n al a lo s p la n o s P: x - y — 4

A

Q: x + z = 6

R. x + y - z - 6 = 0

337

TO PIC O S D E C A L C U LO - V O LU M EN II

41. H a lle

las

ecu acion e s

de

tres

planos

equidistantes, que pasan p or los puntos (1 ; 4; 0 ), (2 ; — 5; 1 ) y (3 ; 0; - 2 ) respectivam ente, de tal m anera que sean a su ve z paralelas a la recta

L = { (1 ; 4; 0 ) + t ( l ; 1; 1 ) / t G M }. S u g e r e n c ia : C o n sid e re P1P2 = P2P3 R.

9x - 2y - 7z - 1 = 0 9x — 2 y - 7z - 21 = 0 9 x - 2 y - 7z - 41 = 0

42. H a lle la lo n gitu d del m e n o r segm ento paralelo al p la n o x y , que une las rectas

Lx = {(1 ; 2; 0 ) + ^ ( 1 ; 2; 1 ) / ^ G R } y

= {(0 ; 0; 0 ) + t 2 ( 1; 1; l ) / t 2 G ®¡}

R. l u 43. Encuentre la ecu a ción de la recta que pasa por (3 ; - 1 ; 6 ) p la n os x — 2 y + z = 2

A R.

y es paralela a los

2 x + y - 3 z = 5. x — 3 = y + l = z - 6

44. H a lle la e cu a ción del p lan o que es paralelo al p la n o 1 2 x — y - 1 7 z = 1 4 y pasa p o r la intersección de lo s p la n os 2 x - y - 5 z = 4

3 x + y — z - 0.

A

R. 1 2 x - y - 1 7 z = 6 4 5 . Encuen tre la e cu a ción de lo s p la n os que bisecan el á n g u lo entre lo s p la n o s 2x + y + z

= 4 A7 x - y — 2 z = 2. R. x — 4 y — 5 z + 10 = 0

4 6 .C on

lo s p u ntos

j4 ( 1 ; 2 ; 3 ) ,

B (0 ;-l;4 )

y

C (— 1 ;2 ;6 )

se

fo rm a el

p arale log ra m o ABCD. H a lle la e cuación de la recta que p asa p o r los p u ntos C

y

d

. R . L = { ( 0 ; 5 ; 5 ) + t ( — 1; — 3; 1 )

47.

/

t G K}

H a lle la e cu a ción del p la no que pasa p or el o rige n de co o rd e n a d a s y p o r la intersección de lo s p la n o s x — y + z — 4 = 0

A

2 x + y - 2 z — 6 = 0.

R. x + 5 y - 7 z = 0 48. H a lle la e cu a ció n cartesiana de u n p la no que pasa p o r

(1 ; 2; — 3 )

y p o r la

intersección del p la n o x — y + 2 z = 4 co n el p la n o x y . R. 3 x - 3 y - 5 z - 1 2 = 0 49. Encuentre la lo n gitud m ín im a del cordel que se necesita para llegar desde el punto

Pq (8 ; 6; - 5 )

hasta un a va ra recta de m adera que pasa p o r los puntos

Qx( 3; 5; 3 ) y
338

R E C T A S Y P LA N O S EN E L ESPA C IO T R ID IM E N SIO N A L

Lx = {(5 ; 11; — 2 ) + ^ ( 0 : 8 ; —1),

5 0 . L a s rectas

6 R}

L2 = {(8 ; - 2 3 ; 3 ) + t 2 ( 3; - 1 0 ; - 4 ) , t 2 6 R } ¿ 3 = { (8 ; 1;

-6 )

+ t3 (3; - 2 ; - 5 ) ,

contienen a lo s la d os del triángu lo

t3 6

R}

ABC. H a lle la d istan cia del centro de

grave d a d de d ic h o trián g u lo al plano 5 x + 1 2 z + 1 4 = 0. R. 5 u 51.

Dados

lo s

p u ntos

no

colineales

.4(0; 0 ; 0 ) ,

D ( 3; 7 ; - 7 ) , determ ine la

f í( 0 ; l; 5 ) , C ( 5 ; 2 ; — 1) y

ecua ción de lo s p la n o s parale los que pasan p o r d ic h o s puntos, de tal m anera que las d istancias que lo s separan sean iguales. R . Qt : 9 x + y - 1 2 z + 5 9 = 0,

Q2: 9 x + y - 1 2 z = 0 Q3: 9 x + y - 1 2 z - 5 9 = 0,
E n el g rá fico adjunto, para determ inar

co ord e n a d a s del punto P ( x 0; y Q; z 0)

DP

2 r = = = — y la n o rm a l del p la n o BP 1 F

la ra z ó n o s

_ es N — á

x b

52. U n h om b re que se encuentra en 0 (0 ; 0; 0 )

lanza un a flecha desde

¿4 (0 ;0 ;1 6 )

Z Ák

h acia un b la n co en

fí(5 0 ;1 2 ;1 6 )

a

A(0;0;16)

que se encuentra

...

sobre el plano 2 5*- 6 y -

1178 = 0 ,

h acie n do im pacto a 0,1 unidades

Sugerencia: 0,1 = \IB\

del blanco. S i la flecha fue lanzada con

u na

trayectoria

paralela

p la n o x y ,

halle el á n g u lo

d eb ió

el

g ira r

B (50;12;16)

h om b re

para

al

y, = 1 5 ,9 6

que

/

O (0;0;0)

* *

no

^ y

eos a = 0,988 => a (i,62°)

fallar. R. 3,62° 53. Se tienen d o s túneles que parten de la superficie (su p o n e r que la su pe rficie es lisa y es el plano x y ) desde los puntos P1A( 0 ; 5 / 2 ; 0 ) respectivam ente a lo s p u ntos

P2/»(— 7; — 1; — 7 )

y

y P 1B( 5 ; 2 ; 0 ) y llegan P2B( - 5 ; 3 ; - 5 ) .

H a lle la

m ín im a d istancia que debe tener un túnel para quedar a n ive l (paralelo al plano

x y ) y sirva para interconectar a los túneles A y B. R . d = 2 ,4 5 7 S u g e r e n c ia : E l túnel que debe intersecar a los d o s túneles debe ser paralelo al plano x y para que quede a nivel, luego igualar las co orde n adas z de lo s puntos que se tom a sob re ca d a túnel.

339


54. U n n iñ o patea una pelota desde el punto P 0 (8; - 1 0 ; 1 2 ) y ésta se m ue ve en línea recta en la d irección del vector v = (2; 2; 2 ), con ve lo c id a d constante. S i la pelota se d irig e hacia una ventana de vid rio, ¿q u é tie m po tardará en im pactar co n el v id rio si la ventana está en el p la n o 2x + 8 z = — 4 ? R. V 2 u 55. H a lle la ecu ación cartesiana de un plano que contenga a la recta

L = { (1 ; 2; - 3 ) + t ( l ; - 4 ; 2 )

/ t 6 R}

y se encuentra a una d istancia 8 / V 4 1 unidades del punto (2 ; — 4; — 5). R. 6x + 2 y + z — 7 = 0 A 3 0 * + 2 y - l l z - 67 = 56. U n ra yo de luz parte del punto

0

(1; 4; 2), se refleja en el espejo plano y z . E l

rayo reflejado, se refleja nuevam ente en el espejo p la n o x z y este últim o rayo reflejado pasa p or ( 5 ; 1; 4 ) . H a lle la e cuación de este ú ltim o ra yo reflejado.

R. L = { ( 1 9 / 5 ; 0 ; 1 8 / 5 ) + t(6 ; 5; 2 ) / t E l ) 57. U n ra yo de luz parte del punto (2; 1; 6 ) , se refleja en el espejo p la n o xz; este rayo reflejado se refleja nuevam ente en el espejo p la no y z , y este ú ltim o ra yo reflejado p asa p or (3; 8; 2). H a lle la e cuación de este ú ltim o ra yo reflejado.

R. L = { ( 0 ; 1 3 / 5 ; 2 2 / 5 ) + t ( 5; 9; - 4 ) / t e R} 58. E n los p la n o s parale los Pj: 4x — 8 y — z + 9 = 0 y P2\ 4x — 8 y — z — 18 = 0, se tienen lo s p u ntos Qt

y

Q2 respectivam ente. H a lle el v o lu m e n del cilin d ro

c u y a d ia g o n a l QÍ Q2 m ide 9 unidades. R . V = 5 4 7r u 3 59. U n a puerta rotatoria de un centro com ercial consta de d o s p la n os

P1: 5 x + 3 y - z ~ 9 - 0 y

P2: 3x - 2 y + 5 z - 6 = 0

Se quiere aum entar un plano m ás a la puerta, de tal m anera que pase p or la recta de intersección de a m b o s p la n o s y que sea paralelo a la c o lu m n a que d escribe la ecuación de la recta Lx = {(3 ; 1; 6 ) + t ( l ; 1; 0 , ) / t 6 R } . H a lle la ecu ación de d ic h o plano. R. 1 9 * - 1 9 y + 4 1 z - 3 9 = 0 60. U n barco se encuentra en el punto rectilíneo co n u na ve lo cid ad constante

P (2 ;3 ;0 )

y tiene un m o vim ie n to

— (1; 5; 0 ). E n ese m ism o instante

un a v ió n co m e rc ia l e m pieza a caer desde el punto (5; 4; 6 ) con una ve locid ad constante

v 2 = (2; 11; - 6 )

en línea recta. C o n estos elem entos de ju ic io se

pregunta a) ¿ K l a vió n cae sobre el b a rc o ? b) S i no es así, ¿c u á l será la m e n o r d istancia entre e llo s?. b) 2,5 u

R. a) N o

340

SUPERFICIES U n a supe rficie es un conjunto de puntos P ( x ; y ; z ) e R 3 c u ya s co orde n adas satisfacen u n a ecu a ción dada en las variab le s x, y y z, esto es,

S — { (x ; y ; z ) 6 E 3 / £ ( x ; x; z ) = 0 } es generalm ente una superficie. U n ejem plo de supe rficie es el p lano (su e cuación es A x + B y + Cz + D = 0 )

Observación 1 Existen ecuaciones tales como a) x 2 + ( y - 2 ) 2 + z 2 + 8 = 0

b) ( x + l ) 2 + 4 ( y - 2 ) 2 + 3 ( z - 5 ) 2 = 0 que no representan a una superficie. Para la ecuación (a), no existen números reales x, y, z que satisfagan la ecuación dada, en este caso se dice que (a) representa a l conjunto vacío (0) Para la ecuación (b), los únicos números reales que satisfacen la ecuación son x = —1, y = 2, z = 5. Luego, la ecuación (b) representa solamente al punto

P C-l;

2; 5).

Observación 2 (Traslación de ejes) D e modo similar a la traslación de ejes en el plano cartesiano, se efectúa la traslación de ejes en el espacio tridimensional R 3. Si el sistema de coordenadas o x y z se traslada a un nuevo origen 0 ' ( h ; k; l ), de modo que las coordenadas de cualquier punto P E I 3 antes y después de la traslación son ( x \ y \ z ) y ( x 1; y ' ; z ' ) respectivamente (Fig. 7.1), entonces las relaciones de tranformación del sistema original ( o x y z ) a l nuevo sistema de coordenadas (o’x 'y 'z ') son

7 11

z ‘1 f|P ]

"z^ Y

x = h + x' y = k + y' ■ z = l + z' Fig. 7.1

SIJI'IÍKI'ICIES

7.1 E S F E R A

Definición: U n a esfera es el conjunto de todos los p u ntos del espacio IR3 que equidistan de un punto fijo llam ado centro. L a distancia constante de cu alq u ier punto al centro se

lla m a

radio y se denota con

r > 0 . Se a P ( x ; y ; z ) cu a lq u ier punto de la esfera de

centro

C (h ',k ;l )

y

radio

r > 0.

Entonces, p or d e fin ic ió n tenem os d ( C ; P) = V ( * - h ) 2 + ( y - k ) 2 + ( z - l ) 2 = r D e donde,

(x - h ) 2 + ( y - k ) 2 + ( z - l ) z = r 2

(*)

Esta ecua ción se llam a form a o rd in aria de la ecuación de la esfera. L a esfera con centro en el o rige n de coorde n adas y ra d io r > 0 ecuación

tiene por

x 2 + y 2 + z 2 —r 2 y esta e cuación se d e n o m in a form a canónica de la ecuación de la esfera. S i d e sa rro lla m o s la fo rm a ord in a ria de la e cuación de la esfera, ob tenem os una e cuación de la fo rm a

x 2 + y 2 + z 2 + Dx + E y + Fz + G = 0

(a )

que es la e cu a ción de la esfera en su form a general. C u a lq u ie r

ecu a ción

de

la form a

(a ),

em p leando

el

m étod o

de

cuadrados, se puede expresar en la form a

( x - h Y + ( y - k ) 2 + ( z - i) 2 = t

(P)

C o m p a ra n d o las ecuacion e s ( * ) y (¡3), se tienen tres p osib ilid a d e s: S i t > 0, (/?) representa a una esfera de centro C ( h ; k ; l ) y ra d io V t S i t = 0, (/?) representa al punto C ( h \ k \ l ) S i í < 0, (/?) representa al conjunto va c ío

com pletar

SUPERFICIES

E j e m p lo 1 a) H a lle la ecua ción de la esfera de centro C(2; — 1; 0 ) y r a d io r = 3 b) H a lle la ecuación de la esfera si u n o de su s d iá m etro s es el se gm e n to de extre m os „4(3; 1; 4 ) y B ( 5; — 1; 2 ) c)

D e te rm in e si u n a de las sigu iente s e cu a cion e s representa a una esfera, a un punto o al conjunto vacío. i)

x 2+ y 2 + z 2 - 2 x + 4 y - 6 z + 1 =

0

ii)

x 2+ y 2+ z 2 - 4 x + 2 y - 2 z f 6 =

0

iii)

x 2+ y 2+ z 2 + 2 x + 6 y ~ 8 z + 3 5 = 0

Solución a) U tiliz a n d o la fo rm a o rd in a ria de la e cuación de una esfera, tenem os, (x - 2 )2 + ( y + l ) 2 + z 2 - 9

ó x 2 + y 2 + z2 - 4x + 2y - 4 = 0

b) C o m o el centro de la esfera es el punto m edio de AB, es decir, C ( 4 ; 0 ; 3 ) y el ra d io r = d i C ; A ) — V 3 ; entonces la e cuación de la esfera es de la fo rm a (x - 4 )2 + y 2 + (z - 3 ) 2 = 3

ó x 2 + y 2 + z 2 - 8 x - 6 z + 22 = 0

c) A l com pletar lo s cu a d ra d o s en cada una de las ecuaciones, obtenem os

( x — l ) 2 + ( y + 2 ) 2 + ( z — 3 ) 2 = 13. E sfe ra de centro C ( l ; - 2 ; 3 )

i)

y

ra d io r = V l 3 ii)

( x — 2 ) 2 + ( y + l ) 2 + ( z - l ) 2 = 0. L u e g o , la e cuación representa el punto C ( 2 ; - l ; l )

iii)

{x + l ) 2 + ( y + 3 ) 2 + ( z — 4 ) 2 = - 9 . L a ecuación dada representa al conjunto vacío.

E je m p lo 2

H a lle la e cu a ción de la esfera q u e es tangente a los p la n o s

<21: x + 2 y + z - 4 = 0

y

Q2'- x - y + 2 z - 5 = 0, y tiene su centro en el eje z. ( D o s so lu c io n e s) S o lu c ió n S e a C (0 ; 0; l ) el centro de la esfera buscada. Enton ce s, u tiliza nd o la fó rm u la de distancia de punto a plano, tenem os

d ( C , Q i ) = d (C , Q2) «

= £ L l5 ! <=>

i

=

1 V

1 =

3

F ig .

7.3

SUPRRriClLS

S i / = 1 , la e cuación b u scad a de la esfera es

3 ó

x 2 + y 2 + ( z - l ) 2= -

2 x 2 + 2 y z + Z z2 —4z -

1 =

O

S i / = 3 , la ecu ación b u scad a de la esfera es 1

x 2 + y 2 + ( z — 3 ) 2= 6 E je m p lo 3

6 x 2 + 6y 2 + 6 z 2 —3 6 z + 5 3 = 0

ó

E l p la n o Q pasa p or el punto

L : x - 1 —-

y contiene a la recta

y + 1

~=

z + 4

'H a lle la ecu a ción de la esfera, co n centro C (0 ;-2 ;l)

y

Q.

tangente al p lan o

¿ C u á l es el punto de contacto? S o lu c ió n D a d o que el punto de p aso de la recta L es (1; — 1; — 4 ), entonces lo s vectores que están co n te n id o s en el p la n o Q son 3 = PoPi — (0 ; 0; — 4 ) y b = (1 ; 4; 1 ) L u e g o , el vector n o rm a l Ñ del p la n o es N = a X b = (1 6 ;-4 ; 0) A s í, la e cu a ción del p la n o Q es

Q: 1 6 ( x - 1 ) - 4 ( y + 1 ) = 0

ó < ? : 4 x - y - 5

= 0

U tiliz a n d o la fó rm u la de d istan cia de punto a plano, el ra d io de la esfera es . |2 — 5| 3 r = d ( C ; Q) = = —=

VT7

V I7

A s í, la e cu a ción de la esfera de centro C (0 ; — 2; 1 ) y ra d io r = 3 / V l 7 es

x 2 + (y + 2 ) 2 + (z - l ) 2 =

9 17

«=> 1 7 x 2 + 1 7 y 2 + 1 7 z 2 + 6 8 y - 3 4 z + 7 6 = 0 E l punto de contacto entre el p la n o Q y la esfera es I = Q ñ LN, don d e LN es la recta que pasa p o r el centro de la esfera y sig u e la d ire c ció n del vector

N\ su

e cuación vectorial es L N : P = (0 ; - 2 ; 1 ) + t ( 4; - 1 ; 0), t £ E . H a lla n d o la intersección de LN co n el p lano Q, se obtiene el punto de tangencia /( 1 2 / 1 7 ; — 3 7 / 1 7 ; 1 )

344

SU P E R F IC IE S

E je m p lo 4

Encu en tre la e cu a ción de la esfera que tiene su centro en el p la n o x z

y es tangente al p la n o Q: 2x - y + z - 4 = 0, en el punto P1( 1; 5; 7). S o lu c ió n L a ecu a ción vectorial de la recta LN que pasa por el punto

P i ( l ; 5; 7 ) y sig u e la dirección

del vector n orm a l es

Ñ = (2; - 1 ; 1 ) (Fig. 7.5)

Ln : ( x ; y ; z ) = (1 ; 5; 7 ) + t ( 2 ; - l ; l ) , t 6 E S i C es el centro de la esfera, entonces

C £ Ln D P la n o x z <=> C £ Ln A C £ P la n o x z «=> C ( 1 + 2t; 5 - t; 7 + t) £ P la n o x z ( y = 0 ) L u e go , el centro de la esfera es C ( l l ; 0; 1 2 ) y su ra d io r = d ( C ; P J = V i 5 0 P o r con siguie n te , la e cu a ción b u sc ad a de la esfera es

(x - l l ) 2 + ( y - O )2 + ( z - 1 2 ) 2 = 1 5 0 ó x 2 + y 2 + z 2 - 22x - 2 4 z + 115 = 0

E JE R C IC IO S 1.

H a lle la e cu a ció n de la esfera de centro C( 4; 3; - 1 )

y rad io r = V 7 .

R. x 2 + y 2 + z 2 - 8 x - 6 y + 2 z + 19 = 0 2)

H a lle

la ecuación de la esfera si u n o de su s diám etros es el se gm e n to de

extrem os i 4 ( 1 0 ; - 5 ; 8 ) y

B (2 ;5 ;-1 4 )

R. x 2 + y 2 + z 2 — 1 2 x + 6 z — 1 1 7 = 0 3) D e te rm in e si u na de las sigu ien te s e cuaciones representa a una esfera, a un p unto o al conjunto vacío. S i representa a una esfera determ ine su centro y su radio. a) x 2 + y 2 + z 2 - Í 6 x + 8 y + 4 z + 7 5 = 0 b) x 2 + y 2

+ z 2 + 8 x - 6 y - 4z + 29 = 0

c) x 2 + y 2

+ z 2 - 2 x - 4 y - 6 z + 15 = 0 R.

3.

H a lle

a) Esfera, C (8 ; - 4 ; - 2 ) y r = 3

b ) P u n to

c) 0

la e cu a ción de la esfera que es tangente al p la n o x - 8 y + 4 z + 7 = 0

y es co ncé n trica a la esfera x 2 + y 2 + z 2 - 1 2 x - 4 y r 6 z + 3 3 = R . X2 + y 2 + z 2 - 1 2 x - 4 y - 6 z + 4 8 = 0

345

0.

SU P E R FIC IE S

4.

H a lle la e cu a ción de la esfera que tiene su centro en el eje x y p a sa p o r lo s p untos P 1( 0 ; 5 ; 0 ) y P 2( - 2 ; 1 ; Ó ) . R. x 2 + y z + z 2 — 1 0 * - 2 5 = 0

5. En cuentre la e cu a ció n de la esfera que tiene su centro en el p la n o co o rd e n a d o

y z y es tangente al p la n o x + 3 y — 2 z + 1, = 0 en el p u n to P ( 5; 0; 3). R . x 2 + y 2 + z 2 .+ 3 0 y - 2 6 z — 1 0 6 = 0 6. D e te rm in e la ecu a ción de la esfera que pasa por, el p unto P 0 ( — 2 ; 4 ; 0 ) y p or la intersección de las esferas x 2 + y 2 + z 2 - 2 x + 2 y — 4 z + 2 = 0

x 2 .+ y 2 + z 2 - 4 x — 2 y — 6 z + 1 0 = 0 R. x 2 + y 2 + z 2 - I 9 x — 3 2 y - 2 1 z + 7 0 = 0 S u g e r e n c ia . S i = 0 y Sz — 0 so n las e cuaciones de d o s esferas, entonces + k S z = 0, para k =é — 1, representa la fa m ilia de esferas que pasan p o r la intersección de la s esferas dadas, co n la e xce p ción de la esfera S 2 = 0 7. D e te rm in e

la e cu a ción

de

la esfera que pasa p o r

la circ u n fe re n cia de

intersección de las esferas:

x 2 + y 2 + z z - 4 x - 8 y + 6 z + 12 - 0 x 2 + y 2 + z 2 - 4x + 4 y - 6z - 12 = 0 y es tangente al p la n o x + 2 y - 2 z — 3 = 0 ,, R .

5t: x 2 + y 2+ z 2 - 4x - 6y + 4z + 8 = 0 S 2. x 2 + y 2 + z 2 — 4 x - 2 4 y + 2 2 z + 4 4 = 0

8. U n a recta L p asa p o r fil p u nto A(3; - 4 ; 6 ) , interseca a la recta

l x: P = (6 ; - 1 0 ; 1 2 ) + t ( l ; 0; 0 ) y a la e sfe ra 3

29

( * + 2 )Z + ( y “ 1)2 +

2 )2 = T

en una cuerda d e lo n gitu d 3 unidades. H a lle la e cu a ció n vectorial de L (d o s so lucio n e s). 9.

H a lle la e cu a ció n del p la n o

Q que contiene a la recta

L: P = (1 ; 2 : 3 ) 4 - t < l ; - l ; 0 ) ,

t é E

de m o d o q u é dicho, plano sea tangente a la supe rficie

x2 + y 2 + zz — 1 = 0

(d o s so lu c io n e s) Suge rencia. U s a r la c o n d ic ió n d ( C ; Q ) = 1 d on d e C (0 ; 0 ; 0 ) R. Qt i 2 x . + 2 y - z - 3 = 0,

Qz \ 4 x + 4 y - 7 z + 9 = 0

p la no contiene a la recta L: 6 x = 2 y = - 3 z e interseca a la esfera x 2 + y 2 + z 2 + 2x — 4y — 10z + 5 = 0 en una circ u n fe re n cia de radio 3.

10. U n

H a lle la e cu a ció n del p la n o (d o s solu c io n e s).

346

S U P E R F IC IE S

7.2 D IS C U S IÓ N Y G R Á F IC A D E L A E C U A C IÓ N D E U N A S U P E R F IC IE D e m an e ra s im ila r a la d is c u s ió n que se efectúa en la e cu a ción de u na c u rv a plana, en el ca so de las su pe rficies es tam bién ventajoso d iscu tir pre viam e nte su e cu ación antes de co n stru ir su gráfica. Para d iscutir la e cu a ción E ( x ; y ; z ) = 0 de una supe rficie se sig u e n los siguien te s pasos: I)

In t e rs e c c ió n c o n lo s ejes c o o rd e n a d o s. Son supe rficie co n cada uno de los ejes coordenados. i)

las in tersecciones de la

C on el eje x. Se reem plaza y = z = 0 en la ecu a ción de la su p e rficie y se an aliza la ecu a ción resultante.

ii) C on el eje y . Se re e m p laza x - z = 0 en la e cu a ción de la su p e rficie y se a na liza la ecu a ción resultante. iii) C on el eje z. Se reem plaza x = y = 0 en la e cu a ción de la su p e rficie y se a na liza la ecu a ción resultante.

II)

T ra z a s sobre los planos coord en ados.

L a traza de un a su p e rficie es una

cu rva fo rm a d a p o r la intersección de la supe rficie co n el p la n o coordenado. A s í, las trazas sob re lo s p la n o s co ord e n a d o s se obtienen de la siguiente m anera i)

C on el plano x y . Se reem plaza z = 0 en la ecuación de la su p e rficie se a n a liza la e cu a ción resultante.

ii) C on el plano y z . Se reem plaza x = 0 en la e cuación de la su p e rficie y se analiza la e cu a ción resultante. iii) C on el plano x z . S e reem plaza y = 0 en la ecuación de la su p e rficie y se a n a liza la e cu a ción resultante. III)

T ra z a s en los planos p aralelos a los planos coord en ad os. S o n intersecciones coordenados. i)

de

la

supe rficie

con

p la n os

p aralelos

a

lo s

las

p la n o s

C on planos p aralelos al plano xy. Se reem plaza z = k en la e cu a ción de la su pe rficie y se a n a liza la e cuación resultante.

ii)

C on planos p aralelos al plano xz. Se reem plaza y de la su pe rficie y se a n a liza la e cuación resultante.

k en la e cu a ción

iii) C on planos p aralelos al plano yz. S e reem plaza x — k en la e cu a ción de la su pe rficie y se a na liza la e cuación resultante. IV )

E xten sión de una superfìcie

Se entiende p or e xtensión de la su p e rficie a

lo s intervalos de variació n, en los cuales las va ria b le s va lo re s reales.

347

x, y A z tienen

SUPERFICIES

V)

S im e t r ía s c o n re sp e cto a lo s p la n o s c o o rd e n a d o s, a lo s ejes c o o r d e n a d o s y a l o rig e n . Se dice que d o s puntos P y Q son sim é tric o s co n respecto a un plano, si el p la n o es perpendicular al segm ento que lo s une en su punto m edio. P o r otro lado, se dice que una superficie es sim é trica c o n respecto a un plano, cu a nd o el p lan o es perpendicular al segm ento que une d o s p u ntos de la su pe rficie en su punto m edio.

Observación 3 Si P(x; y ; z ) es un punto del espacio, entonces tenemos a) ■

El simétrico de

b) El simétrico de

P con respecto a l plano x y es Q (x\ y ; —z ) P con respecto a l plano x z es Q (x\ — y ; z )

c) El simétrico de P con respecto a l plano y z es Q ( —x \ y , z ) d)

El simétrico de

P con respecto al eje x es Q ( x ; —y ; —z )

e)

El simétrico de

Pcon respecto al eje y es Q ( —x; y; — z )

f)

El simétrico de

Pcon respecto a l eje z es Q ( —x ; —y ; z )

g) El simétrico de P con respecto al origen es Q { ~ x \ — y ; — z ) Una superficie es simétrica con respecto a una recta L si el simétrico de cada punto de la superficie, respecto a la recta L, es también un punto de Ia superficie. Una superficie es simétrica con respecto a un punto C si el simétrico de cada punto de la superficie, respecto al punto C, es también un punto de la superficie. D e acuerdo con estas consideraciones, se obtiene los resultados dados en la siguiente tabla: Si la ecuación de la superficie no se

La superficie es simétrica

altera cuando se reemplaza

con respecto al

x p o r —x

Plano y z

y por - y

Plano x z

z p o r —z

Plano x y

z p o r - z A y p o r —y

E jex

x p o r —X A z p o r —z

Eje y

x p o r —X A y p o r - y

Eje z

x por - x

A y por - y

A z por - z

348

origen

S U P E R F IC IE S

V I ) C on stru cción

de la superficie (g ráfica). C o n

la a yu d a de

lo s p aso s

anteriores se co n struye la grá fica de la e cuación de una superficie. E je m p lo 5

D is c u t ir y g ra fica r la e cuación 9 x 2 + 4 y 2 - 1 2 z = 0

Solución I.

Interseccion es con los ejes i)

C o n el eje x : h acie n do y = z = 0 en la ecua ción se obtiene 9 x 2 = 0, entonces x = 0. L a coordenadas.

superficie

interseca al eje x

en el o rig e n

de

A l estudiar las otras intersecciones se co m p ru e b a que el o rige n es el ún ico punto de intersección.

II.

T ra z a s sobre los planos coordenados i)

S o b re el p la n o x y . H a c ie n d o z = 0 se obtiene 9 x 2 + 4 y 2 = 0. ecuación, en el p la n o x y , representa al o rig e n de coordenadas.

ii) S o b re el p la n o x z .

Se hace y = 0

y se obtiene

E sta

9 x 2 - 1 2 z = 0.

E sta

ecuación, en el p la n o x z , representa a una parábola. iii) S o b re el p la n o y z . H a c ie n d o x = 0 se tiene la p aráb ola 4 y 2 III.

12z = 0

T ra z a s en los planos paralelos a los planos coordenados i)

C o n p la n o s p arale los al p la n o x y . H a c ie n d o z = k

en la e cu a ción de la

su pe rficie se obtiene 9 x 2 + 4 y 2 = 12fc. Se o b se rva que h a y intersección solam ente cua n d o elipse).

k > 0

(si k = 0

es un punto, si

k > 0

es una

ii) C o n p la n o s p arale los al plano x z. Reemplazando y = k

en la ecu ación

de la supe rficie se obtiene 9 x 2 - 1 2 z + 4 k 2 = 0. representa a una p aráb ola V k G R .

Esta e cu a ción

iii) C o n p la n o s parale los al plano y z . R e e m p la za n d o x = k

en la e cu a ció n

se tiene 4 y 2 -

1 2 z + 9 k 2 = 0. Esta e cuación representa a una p arábola

Vf e EM. IV. Extensión L a e cu a ción 9 x 2 + 4 y 2 - 1 2 z = 0 está d efinid a Vx G R (de I I I - iii), V y G ñ (de I I I - ii) y V z G [0; + o o ) (de I I I - i).

V.

Sim etrías A l reem plazar x p o r —x en la e cuación de la superficie se o b se rv a que esta n o varía, es decir, la superficie es sim étrica c o n respecto al p lan o y z . D e m anera sim ilar, la supe rficie es sim étrica c o n respecto al p la n o x z y al eje z.

349

r r -

SUPERFICIES VI.

Gráfica 1.a gráfica de esta e cuación se m uestra en la Fig. 7.6 y se llam a paraboloide elíptico.

Ejem plo 6

D isc u tir y g rafica r la superficie cu ya ecu a ción es y 2 - 4 y 4- 2 z = 0

Solución I.

Intersección con los ejes i)

C o n el eje

x. H a cie n d o

todo punto

y = z = 0 se o b tie n e 0 = 0, esto sig n ific a que

del eje x satisface la e cuación de lasuperficie, es decir

intersección de la superficie con el eje x es el eje x. ii)

Con

el

Luego,

eje y. las

Si

x = z = 0 => y 2 - 4 y = 0 => y = 0 V

intersecciones

con

el

eje

y

son los

y

= 4.

puntos

P 1( 0 ; 0 ; 0 ) y P 2 ( 0 ; 4 ; 0 ) iü) C o n el eje

z. S í

x = y = 0 => 2 z = 0 <=> z = 0. A s í, la intersección

con ele eje z es el o rige n de coordenadas.

II.

T ra z a s sob re los planos coord en ados i)

S o b re el plano x y .

L a s trazas so n las rectas

y = 0

(eje x )

(recta paralela al eje x). ii)

S o b re el p la n o x z . L a traza es la recta z = 0 (e je x ).

iíi) S o b re el plan o y z . L a traza es la p aráb ola y 2 — 4 y + 2 z =

350

0

e y = 4

T O P IC O S D E C A LC U LO - V O LU M EN II

lli.

Trazas i)

e n lo s p l a n o s p a r a le lo s a lo s p l a n o s c o o r d e n a d o s

C o n p la n o s parale los al plano xy.

z = k => y 2 — 4 y + 2 k = 0 ==> y E x iste intersección para k < 2 so n d o s rectas paralelas)

(P ara k = 2

= 2 ± V 4 — 2k es una recta, para k < 2

ii) C o n p la n o s parale los al plano x z. y = k => 2 z - 4 k - k 2, es u n a recta

Vk e M iii) C o n p la n o s p aralelos al plano y z .

x = A: => y 2 - 4 y + 2 z = 0 , es una

parábola, V fc 6 IR IV .

E x t e n s ió n L a ecua ción y 2 - 4 y + 2 z = 0

está d efinid a V x 6 l (de I I I - iii), V y £ E

(de 111- ii) y V z 6 ( — oo; 2] (de 111- ii). V.

S im e t r ía s E x iste sim etría co n respecto al plano y z .

V I.

G r á f ic a E n la Fig. 7.7

se m uestra la parte de la superficie que se encuentra en el

p rim e r octante. L a supe rficie se d e n o m in a c ilin d r o p a ra b ó lic o .

E J E R C IC IO S E n cada u n o de lo s sigu ien te s ejercicios efectúe la d isc u sió n y trace la g rá fica de la su pe rficie representada p o r las ecuaciones dadas. 1.

4x2 + y 2

2

x2

*» 4.

X 2 + z2 - 4y = 0

(P a ra b o lo id e de re v o lu c ió n o circu lar)

4,

y2- x 3= 0

(C ilin d ro )

5.

9 x 2 - 4y 2 - 4 z 2

6.

9 x 2 - 4y 2

7.

y2- x2

= 2z

(P a ra b o loid e h ipe rb ólico)

8.

x2 + y 2

+ z2 = 4

(esfera)

9.

y 2 - x 2y = 0

10.

z = |y|

.

+

+

z2

= 4

(e lip so id e )

y2- z2 - 0

(co n o circular)

=

36

+ 4 z 2 = 36

(H ip e rb o lo id e circu la r de d o s hojas) (H ip e rb o lo id e elíptico de una hoja)

351

SU P E R FIC IE S

7.3 C IL IN D R O S U n cilindro es una superficie generada p or una recta que se m ue ve a lo largo de una cu rva plana dada, perm aneciendo siem pre paralela a u na recta fija que no está en el plano de d ic h a curva. L a recta que se m ueve se llam a g e n e ra triz del cilin d ro y la cu rva plana se llam a d irectriz del cilindro. S i la generatriz de un cilin d ro es perpendicular al p la n o de la directriz, el cilin d ro es llam ado cilindro recto y en caso contrario, cilindro oblicuo. S i la directriz es una recta, el cilin d ro se reduce a un plano. E n lo que sigue, se co n sid e ra que la directriz es una cu rva contenida en u n o de los p la n os coordenados.

S u p o n g a m o s que la directriz está en el plano x y (F ig. 7.8). L u e g o , su ecu ación es de la fo rm a E ( x ; y ) = 0

A

z — 0. S i P ( x ; y ; z ) es un p unto del cilin d ro cu ya

generatriz tiene p or vector d irección al vector a — ( a x; a 2; a 3) y si P 0 ( x '; y '; 0 ) es el punto de intersección de la directriz con la generatriz que pasa p or P , entonces

E (x ',y') = 0 ,

z'= 0

(a )

L a e cu a ción de la recta que pasa p or P y P0 es:

x - x'

y —y '

z — z'

--------- = ------ i - = -------«, az a3

(£ )

D e ( a ) y (/í), e lim in a n d o las va ria b le s x ' , y ' cilindro.

352

y

z ' se obtiene la ecu a ción del

T O PIC O S DE C A L C U L O - V O LU M EN II

H a lle la ecua ción del cilin d ro cu y a d irectriz es la cu rv a y 2 = 4 x

E je m p lo ?

z = 0

A

y a = (1 ; — 1; 1 ) es el vector dirección de la generatriz.

S o lu c ió n Se a P ( x - , y ; z ) un punto del cilin d ro y P0( x ' ; y ' ; z ' ) la intersección de la directriz con la ge neratriz que pasa p or P, entonces la e cuación de d ic h a generatriz es

Com o

x - x'

y — y'

1

-1

z -

z'

(a)

1

PQ es un punto de la directriz,

entonces se tiene

y ' 2 = 4x' A z' = 0

(/?)

R e e m p la za n d o z ’ — 0 en (a) se obtiene:

x — x ' = z A y — y ' = —z D e d ond e x ' = x — z A y ' 2 = {y + z ) 2 . R e e m p la za n d o y ' 2 = 4 x ' se obtiene ( y + z ) 2 - 4{x - z).

festos

va lo re s

de la superficie cilin d rica es ( y + z ) 2= 4 { x -

P o r tanto, la e cuación

en

z)

Este c ilin d ro se lla m a c ilin d r o p a r a b ó lic o o b lic u o . E n la Fig. 7.9 se m uestra su

z > 0).

gráfica (para E je m p lo 8

H a lle la ecuación del cilin d ro recto cu ya directriz es la curva

z =

2\x\

A y = 0

1 + X2

S o lu c ió n S u p o n g a m o s que la generatriz que pasa por el

punto

P (x ;y ;z )

(F ig.

7.10)

de

la

superficie corta a la directriz en el punto P o(x':y'',z'),

entonces la e cuación de la

generatriz (eje y ) es

x = x' A z = z'

(a)

C o m o P0 pertenece a la curva, entonces 2|x'|

= lT T 2 A y

^

R e e m p la za n d o ( a ) en ( 0 ) se obtiene 2 jx l

Z

l + x2

Se o b se rva que esta e cu a ción es sim ila r a la e cuación de la directriz.

353

S U P E R F IC IE S

Observación 3 En el espacio tridimensional , la gráfica de una ecuación en dos de las tres variables x, y, z es un cilindro cuya directriz es una curva que se encuentra en el plan o asociado con las dos variables que aparecen en la ecuación y cuyas generatrices son paralelas al eje coordenado asociado con la variable (altante, es decir. 1) E ( x ; y ) = O representa ( e n el espacio) a un cilindro con: Directriz:

E(x-,y) = O A z = O

Generatriz: eje z (variable que ja ita en la ecuación) 2) E ( x ; z ) = O representa a un cilindro con Directriz: E(x-,z) — O A y = O Generatriz: eje y 3)

E ( y \ z ) — O representa a un cilindro con Directriz: E ( y ; z ) = OA x

=

O

Generatriz: eje x

E je m p lo 9

T ra ce la gráfica de la superficie representada p or cada una de las

e cuaciones a) x 2 + y 2 - 4 y = 0 b) z - e x = 0 c)

z2- y3 = 0

d)

x 2 = (y + l ) y 2

S o lu c ió n L a s gráfica s se m uestran en las fig u ra s 7.11, 7.12, 7.13 y 7.14

f ¡9

7 11

.354

Topiros nr r \ i m n - voi i ' m f n

u

E JE R C IC IO S I.

E n cada u no de lo s sig u iente s ejercicios halle la ecua ción del c ilin d ro u san d o las e cu a cione s de la directriz y el vector d ire cción de la generatriz. 1. x 2 + 4 y =

z = 0 , a = (1; 1; 3 )

1 A

R. 9 x 2 + z 2 - ó x z - 3 6 y 4- 1 2 z = 0

2. y 2 ~ z 2 = 1 A x = 0 , d = ( - 1 ; 1; 2) 3. x 2 + y =

1 A z = 0 , a = (2; 1 ;0 )

II. E s b o c e la gráfica de la supe rficie representada p o r cada una de las sig u iente s e cuaciones 1. y 2 — 2 y + 4 = z

2. y = c o s x , x e [0; An] 3. y 3 = x 2

4. x 2 - y 2 = 1. 5. 4 x 2 + y 2 — 4 6. y = l n x

8. y 2 = 4 z 9. z = x e x

n n 1 0 .y = t a n z ,

z e < ~ 2 : 2^

355

SU P E R FIC IE S

7.4 S U P E R F IC IE S D E R E V O L U C IÓ N L a superficie generad a p or la rotación de una cu rv a plana alrededor de una recta fija que está en el p la n o de la curva, se llam a superficie de revolución. L a recta fija se llam a eje de revolución y la curva plana se llam a cu rv a g en erad o ra. S i por un punto cualq uiera

P ( x ; y ; z ) se

traza un p la n o p erpend icular al eje de re volución, la intersección de la superficie con d ic h o p la no

es un a circunferencia

Fig. 7.15

(Fig. 7.15).

S i C es el punto de intersección del plano con el eje de re v o lu c ió n L y Q es el punto de intersección con la cu rva generadora, entonces se ve rifica

d{P-,C ) = d ( Q , C ) A la ecua ción generada p or esta igu ald ad se d en o m in a ecuación de la superficie

de revolución. E n lo que sigue, se co n sid e ra que la cu rva generadora está contenida en un plano co orde n ado o en un p la n o paralelo a un p la n o coordenado.

Observación 4 En la siguiente tabla, se muestra la fo rm a de la ecuación de una superficie de revolución generada p o r una curva que se encuentra en un plano coordenado y gira sobre uno de los ejes coordenados.

Ecuación de la superficie de

generadora

revolución

revolución

eje y

x 2 + z 2 = [/ (y )]2

o

eje y

x 2 + z 2 = [f(y)]2

y = 0

eje x

y 2 + z 2 — [f{x)Y

y = f(x ), z = 0

eje x

y 2 + z 2 — [/ (x )]2

y = / (z ), x = 0

ejez

x 2 + y 2 = [/ (z )]2

x = A *). y = 0

ejez

x 2 + V2 = íf(z )]2

o II x

Eje de

II N

Ecuación de la curva

* = / (y ), z = y- = / ( * ) ,

T O PIC O S D E C A LC U LO - V O LU M EN II

D e m o stre m o s la p rim e ra fó rm u la de la tabla, d o n d e

la

e cu a ció n

ge n e rad ora es C: z = / ( y ) , eje de ro tació n es el eje y. Se a P ( x ; y ; z )

de

la curva

x - 0 y el

un punto cualq uiera de la

su pe rficie de revolu ció n . S i Q es el punto de intersección del p la n o p erpendicular al eje y

que

pasa

P co n

por

la

curva

ge nerad ora y C es el punto de intersección de d ic h o p la n o con el eje y , entonces

< 2 (0 ; y;/(y))

y

Fia. 7.16

c (0;y ;0)

L u e go , de la d e fin ic ió n de la superficie de re v o lu c ió n resulta

d (P ; C ) = D(Q; C) <=> J x 2 + z 2 = |/(y)| <=> x 2 + y 2 = [ f ( y ) ] 2 E n lo s otros casos, la d em ostra ción es sim ilar.

Observación 5 Si el origen de coordenadas se traslada al punto O '( x 0 ; y 0 ; z 0), las ecuaciones de las superficies de revolución de la tabla anterior tienen las siguientes formas: i)

( x - x 0) 2 + ( z - z 0) 2 = [ / ( y - y 0) ] 2

¡O (y " yo)2 + (z - z0)2 = [ / ( * - *0)]2 iii) ( x - x 0) 2 + ( y - y 0) 2 = [ / ( z - z 0) ] 2

E j e m p lo 10

E n ca d a un o de los siguientes ejercicios se da la ecuación de la

cu rva ge n e rad ora y el eje de re v o lu c ió n L, determ ine la ecu ación de la supe rficie de re v o lu c ió n y esboce su gráfica. a)

C:z = e y , x = 0 ; L: e j e y

b)

C:z = e v , x = 0

; L: e j e z

c) C: z 2 - 4 y 2 = 1, x = 0 ; L: e j e y 2\x\ d ) C : z = Y + x 2 ' y = 0 ' L: eJe x e)

C:y = x 2, z = 0 ; L: e j e x

f)

C:y - x 2, z = 0 ; L: e j e y

S o lu c ió n

357

SU P E R FIC IE S

a)

C: z = e y , x = O ; L: e j e y L a ecua ción de la superficie de re vo lu c ió n es

x 2 + z 2 = e 2y.

L a gráfica se m uestra en la F ig . 7.17 b) C: y = l n z , x = 0 ; L\ e j e z L a ecu ación de la superficie de re volu ció n es x 2 + y 2 = ln 2z. L a grá fica se m uestra en la Fig. 7.18

c) E n este caso,

C: z = J 1 + 4 y 2, x = 0 ; L: e j e y

L a ecu a ción de la superficie de re volu ció n es

x2 + z 2-

1 +

Ay2

L a grá fica se m uestra en la Fig. 7.19 (esta superficie se lla m a h ip e r b o lo id e de r e v o lu c ió n o h ip e rb o lo id e c ir c u la r de u n a h o ja )

d) c

z = i + ^ z » y = 0 ; L: ei e x .

La e cu a ción de la su p e rficie es y 2 + z 2 =

Ax2

-------- — . ( 1 + x 2) 2

L a gráfica se muestra en la Fig. 7.20 e)

C: y = x 2, z = 0 ; L : e j e x L a e cu a ción de la superficie de re v o lu c ió n es

y 2 + z2=

x 4.

x 2 + z 2=

y.

L a gráfica se m uestra en la F ig. 7.21 f)

C: y = x 2, z = 0 ; L: e j e y L a e cu a ción de la supe rficie de re v o lu c ió n es L a g rá fic a se m uestra en la Fig. 7.22

S U P E R F IC IE S

Fig. 7.17

359

S U P E R F IC IE S

E je m p lo 11 E n cada un o de lo s siguientes ejercicios se da la ecu ación de la c u rv a generadora C y el eje de g iro

halle la ecuación de la su p e rficie de re volu ció n .

z = b , x - a

a) C:

z = / ( y ) , x = a ; L\

b) C:

z = 2 y - 3, x = 5 ; L: z = - 1 , x = 5

c)

C: 4 ( x + 2 ) 2 — ( y - l ) 2 = 1, z - 3 ; L: eleje im a g in a rio de

d)

C: 4 ( x + 2 ) 2 — ( y — l ) 2 = 1, z = 3 ; L: el eje transverso de la hip é rb o la

la h ip é rb o la

S o lu c ió n a) E n la Fig. 7.23 se m uestra la cu rva C y la recta L en el p la n o x = a . Lu e go ,

C(a; y: b ), Q ( a ; y ; / ( y ) ) D e la d e fin ic ió n de re volu ció n, tenem os

y P (x ;y ;z)

la superficie de

d (P ; C) = d(Q-,C) P o r tanto, la e cuación de la superficie de re v o lu c ió n es (x - a ) 2 + (z - b Y = [/ (y ) - b ]2 Esta e cu a ción tam bién puede obtenerse trasladando

previam ente

el

orige n

al

punto 0 '( a ; 0 ; ¿ ) . b) ( x — 5 ) 2 + ( z + l ) 2 = ( 2 y — 2 ) 2 (co n o de re v o lu c ió n o c o n o circular) (y + 1 )2 c) ( x + 2 ) 2 + ( z — 3 ) 2 -------- ------ = 1 (h ip e rb o lo id e circ u la r de u n a hoja) 4 d) ( y + l ) 2 + (z - 3 ) 2 = 4 ( x + 2 ) 2 - 1 ó 4 ( x + 2 ) 2 — ( y + l ) 2 — (z — 3 ) 2 = 1 (hip e rb o loid e circ u la r de d o s hojas)

E je m p lo 12

E n cada un o de los siguientes ejercicios, identifique si es una

superficie de revolució n . L u e g o , determ ine el eje de re v o lu c ió n y la e cu a ción de la cu rva generadora. a) x 2 = 5 + z 2 — y 2 b) 2 x 2 + 4 z 2 + y 2 = 1 c) x 2 + 2 y 2 4- 2 z 2 — 4 x 4- 8 y — 4 z — 4 = 0 d) 2 x 2 4 2 z 2 4 4 x 4 y - 4 z 4 - 4 - 0 S o lu c ió n

3 60

lU l 'I L U ^ U t L A IX U L U - V O L U M b N H

a)

x 2 + y 2 = 5 + z 2 (h ip e rb o lo id e circular de u n a Jioja) i)

L: x - 0, y — 0 (e je z )

Eje de re v o lu c ió n

C: x = 0, y = v 5 -f z 2

ii) C u r v a ge n e rad ora (h ip é rb o la )

ó

y = 0 , x = V5 + z2

b) N o es una supe rficie de re v o lu c ió n (n in g u n a de las trazas en lo s p lan os p arale los a los p la n o s co ord e na d o s es una circunferencia).

(x — 2 ) 2

c) ( x + 2 ) 2 + ( z - l ) 2 = 9 --------------- (e lip s o id e d e r e v o lu c ió n o e s fe ro id e ) i) Eje de re v o lu c ió n L:

x = —2 , z = 1 18 - ( x - 2 ) 2

ii) C u rva g e n e ra d o ra C: x = —2, z - 1 +

(e lip se )

N d) (x + l ) 2 + (z -

l)2 = - 1

(p a r a b o lo id e c ir c u la r )

L: x - — 1, z = 1

i) Eje de re v o lu c ió n

ii) C u rva ge n e ra d o ra C:x = —1, z = l +

y¡~2

(p a rá b o la )

7.5 S U P E R F I C I E S C U A D R A T I C A S U n a su p e rfic ie c u a d r á t ic a o sim plem ente c u á d r ic a es la gráfica de u na e cuación de se g u n d o grad o en las va ria b le s x , y , z . A lg u n a s su pe rficies c ilin d ric a s o su pe rficies de re v o lu c ió n so n ejem p los de cuádricas. E n ésta se cció n se presentará a lgu n a s fo rm as usuales de las su pe rficies cuadráticas cu y a s e cu a cion e s están en su fo rm a m ás sim p le (f o r m a c a n ó n ic a ). C o n sid e ra n d o que el lector está en co n d icio n e s de d iscu tir la e cu a ción de una superficie, n o s lim ita re m o s a d e scrib ir a lgun a s prop ie dade s de estas superficies.

7.5.1 E L I P S O I D E L a fo rm a ca n ó n ic a de la e cu a ción del elipso id e co n centro en el o rige n es x2

y2

z2

a2 ^ b 2 + ^2 = 1 don d e a, b y c son n ú m e ro s reales positivos. A d e m á s, los intervalos de v a ria ció n de las va ria b le s x , y

a

z

x £ [ - a ; a], y 6 [ - b ; b]

so n A

z

e

[ - c ; c]

361

SU P E R FIC IE S

Si a ¿ = b 2 = c 2, la superficie es una esfera. S i a 2 = b 2 (ó b 2 = c 2, ó a 2 = c 2) la superficie es un e lip s o id e d e r e v o lu c ió n o esferoide. U n esferoide cu y o tercer núm ero es m a y o r que lo s d o s n ú m e ro s iguales, se llam a e sfe ro id e a la rg a d o . ( L a elipse que la genera g ira alrededor de su eje m ayor). S i el tercer núm e ro es m enor que los dos n ú m e ro s iguales, se llam a e sfe ro id e a c h a ta d o (la elipse que la genera g ira alrededor de su eje m enor). L a s trazas en los p la n o s p aralelos a los p lan os C oordenados so n e lip se s o circunferencias. ( E n punto).

lo s p la n o s

x ~ ¿ a , y = + b , z — + c se reduce a un

Esta superficie es sim étrica con respecto a co ord e na d o s y al o rige n de coordenadas.

lo s p la n o s co orde nado s, a los ejes

L a gráfica del e lip so id e se m uestra en fá F ig. 7.24 L a form a o rd in a ria de la e cuación del elipso id e con centro C ( h ; k ; l ) es

(1, _ lr\2 fr* I\2 ■ *) , ( y - * ) 2- . 0 - - 0 2 ñ-------i------- --------- 1--------:—

7.5.2 H I P E R B O L O I D E E L Í P T I C O ( C I R C U L A R ) D E U N A H O J A L a form a ca n ó nic a de la ecu ación del h ip e rb oloid e de una hoja con centro en el origen es

x

y “-

ñ2 + b 2

x2 = 1 V

y2

x2

z2

~a ¿ü ~ ~b 2 + c

= 1

donde a, b y c so n n ú m e ros reales positivos. E n la Fig. 7.25 se m uestra la gráfica de

ó --T +

y

b2

z + -r =

1

T O PIC O S DE C A L C U LO - V O LU M EN II

A continuación se describe algunas propiedades de esta superficie Los intervalos de variación de las variables x, y A z son

x 6 ( - 00; - a ] U [a; + 00), y e (— 00; - b ] U [fe; + 00) y z £ < - 00; + 00) Si a 2 = b 2, es una superficie de revolución (hiperboloide c ircu la r de una h oja) Si a 2 & b 2, la superficie es el hiperboloide elíptico de una h oja, las trazas en los planos paralelos al plano x y son elipses o circunferencias según sea el caso en que

a2

b2

ó

a2 = b2

Las trazas en los planos paralelos a los planos x z e y z son hipérbolas, (en los planos y - b , x - a son dos rectas que se cortan). Esta superficie es simétrica con respecto a los ejes coordenados, a los planos coordenados y al origen de coordenadas. La forma ordinaria de la ecuación del hiperboloide de una hoja con centro en el punto C(h) k; l) es (x - h ) 2

(y - k)2

(z - O 2

a2

b2

c2

1

7.5.3 H I P E R B O L O I D E E L Í P T I C O ( C I R C U L A R ) D E D O S H O J A S La forma canónica de la ecuación del hiperboloide de dos hojas con centro en el origen es x2

y2

z2

(

~ a 2 + b2 ~ 7 2 = 1 \ °

x2

y2

^2 ~ b 2 ~ c 2 = 1 °

donde a, b y c son números reales positivos. En la Fig. 7.26 se muestra la gráfica de x2

y2

z2

z2

~~¿2 + ¥ ~ c 2 = 1 Los intervalos de variación de las variables x , y A z para esta superficie son x £ ( - 00; + 00), y £ (— 00; -b] U [b; +co) y Z £ ( - 00 ; + « > )

363

,

x2

y2

z2

~ á 2 ~ b 2 + c2

SUPERFICIES

S i a 2 = c 2 , es una superficie de re volu ció n (h ip e rb o lo id e c i r c u la r de d o s h o ja s ) Si a 2

c 2, la superficie es el h ip e rb o lo id e elíptico de d o s h oja s.

L a s trazas en lo s p la n os paralelos al plano x z son circun fe re ncia s o e lip se s se gú n sea el caso en que a 2 = c 2 ó

a2

c 2 . ( E n el plano y = b es un punto).

Esta superficie es sim étrica con respecto a los ejes co orde n ado s, a los p la n o s co orde n ado s y al o rige n de coordenadas. L a form a o rd in a ria de la e cuación del hiperb oloid e de d o s hojas co n centro en el punto C(ft; k\ í) es

(x - h ) 2 | ( y - fe)2

(z - Q 2 _ ^

Observación 6 Las tres cuádricas (elipsoide, hiperboloide de una hoja e hiperboloide de dos hojas) también se denominan cuádricas centrales. En general cualquier ecuación de ¡a forma:

(x - h ) 2 ± - -----r a2 ^ ±

(y

- k ) 2( z - l ) 2 7-2 b 2" c±22

= 1

donde a, b y c son números reales positivos, representa a una cuádrica central con centro en C ( h ; k ; l) . Sí los tres signos son positivos: elipsoide Si dos signos son positivos y uno es negativo: hiperboloide de una hoja Si dos signos son negativos y uno es positivo: hiperboloide de dos hojas. Si los tres signos son negativos: el conjunto es vacío.

7.5.4 P A R A B O L O I D E E L Í P T I C O ( O C I R C U L A R ) L a fo rm a ca n ó n ic a de la ecu a ción del parab oloid e con vértice en el o rige n es

x2 ? donde a

y2 + ^

y b

/ =

I,6

x2 ^

z2

y2

+ ^ = by

so n n ú m e ro s p o sitiv o s y c =/= 0

E n la l'ig. 7.27 se m uestra la grá fica de

x2

y2

— + —

6

= cz, con c > 0

364

¥

z2

+ ^

= ax


Si

c < 0

el p arab o loid e se abre h acia la

parte n e ga tiva del eje z. L o s intervalos de v a ria ció n de las variables

x, y A z

para supe rficie son:

la

e cuación

de

esta

x £ ( — c°; + c o ) , y 6 ( — 00; + 0 0 ) y z £ [ 0; + 0 0 ) ( s i c < 0, z £ ( - 0 0 ; 0 ]) Si

a

2=

b 2 , la supe rficie es una superficie

de re v o lu c ió n ( p a r a b o lo id e c ir c u la r ) S i a 2 & b 2, la su pe rficie es el p a r a b o lo id e elíptico. L a s trazas en los p la n o s p aralelos al plano x y son circu n fe re n cia s o e lip se s se gú n sea el caso en que punto).

a 2 = b 2 ó a 2 * b 2. ( E n el p la n o

z = 0. la traza es un

Esta su p e rficie es sim étrica con respecto al eje z, al plano ‘x z y al p la n o y z . L a fo rm a o rd in a ria de la e cuación del p arab o loid e co n vértice en el punto V ( h , k ; l ) es

(x - h.)2

(y - k ) 2

a2

b2

= c ( z - i)

E n los otros casos, la ecuación es de la form a {x -

h)2

(z -

l) 2

■H-----------

b ( y - k)

ó

(y - k ) 2

(z -0

+ ■

= a ( x - h)

7.5.5 P A R A B O L O I D E H I P E R B Ó L I C O ( S I L L A D E M O N T A R ) L a fo rm a ca n ó nica de la e cu a ción del p araboloide h ip e rb ó lic o con punto de silla en el o rige n de co ord e n a d a s es y-

b2

xc

a2

cz

í

z2 ó

V,

x1

— - —

cL

a2

= by , ó

z2

y2

\

c‘

b2

)

d ond e a y b son n ú m e ro s p o sitiv o s y c i d , E n la Fig. 7.28 se m uestra la grá fica de

y2

x2

- r r ------ - -

o2

a2

CZ

, con C > 0

L o s intervalos de v a ria ció n para las variables x , y A / X £ ( - 0 0 , + 0 0 ), y

6 (-0 0 , +00)

V Z £ (-0 0 , +0 0 )

365

de esta su pe rficie son

S U P E R F IC IE S

l.iis secciones transversales al plano x y son h ipérbolas ( E n el p la n o z = 0

son

ilos rectas que se cortan). La$ trazas en los planos p aralelos a los p lan os

xz

e

yy. son parábolas. lista su pe rficie es sim étrica con respecto al eje z, al p la n o x z y al plano y z . E l origen de coorde n adas es el punto de silla de esta superficie. L a form a o rd in a ria de la e cuación del p araboloide h ip e rb ó lic o con punto de silla en S { h ; k\ l) es

(y

~ k)2

(x - h y

b2

a2

= c ( z - l)

E n los otros casos, la e cuación es de la form a (z-/)2 (x -h )2 „ ; — 3 -------------- - 5 — = b (y-k ) o

(z—

O2 { y - k f

= a(x - h)

7.5.6 C O N O E L Í P T I C O ( O C I R C U L A R ) La

form a

ca n ó n ic a

de

la e cuación del co n o

coordenadas es

donde a, b y c so n n ú m e ro s reales p ositivos. E n la Fig. 7.29, se m uestra la gráfica de la superficie

x2

y2

z2

a2 + b2

c2

L o s intervalos de va ria ció n de las variab le s

x, y A z son x e 1 ,y e 1

a z e E

S i a ¿ — b'¿, la su pe rficie es de re v o lu c ió n (c o n o c irc u la r). S i a 2 * b 2, la supe rficie es el c o n o e líptico.

3 66

con

vértice

en el o rige n

de

r o n c o s D E C A L C U L O - V O L U M E N 11 L a s trazas en los p la n os parale los al plano x y son circu n fe re n cia s o e lip se s se gú n sea el caso en que a 2 = b 2 ó

a 2 * h 2. (E n el plano z = 0 la traza es el orige n

de coordenadas). L a s trazas en los planos paralelos al p la n o x z y al p la n o y z son hipé rb ola s ( E n los p la n os y = 0

A

x = 0 son d o s rectas que se cortan).

Esta supe rficie es sim étrica con respecto a ios ejes coordenados, a los planos co o rd e n a d o s y al orige n de coordenadas. L a fo rm a o rd in a ria de la e cuación del co no con vértice el punto V(Iv, k\ l) es

(x - h ) 2

( y - fe)2 _ ( z - l ) 2

a-

c*-

o*-

E n los otros casos, la ecua ción es de la form a

(x - h ) 2 a2 E je m p lo 13

(z - Q 2__ ( y - fe)2. +

c2

(z - Q 2

b2

°c 2

+

( y - k ) 2 _ (x -

b2

~

h)2 a2

D isc u tir y g rafica r la ecuación 9 x 2 + 4 z 2 + 9 y = O

S o lu c ió n I)

Intersección con los ejes coordenados: el orige n de coordenadas.

II)

T ra za s sobre los p la n o s co orde n ado s i)

S o b re el plano x y : la p arábola x 2 + y = O

ii) S o b re el plano y z : la p arábola 4 z 2 4- 9 y = O iii) S o b re el plano x z: el orige n de co orde n a da s III )

T ra za s en p la n os p aralelos a los p la n os co ord e na d o s A I p la n o x y : p arábolas

Fig. 7.30

A l p la n o y z : p aráb olas A l p la n o x z : elipses, (para y < 0) IV )

E xte n sió n : x E l ,

y £ ( —oo; Oj, z £ K

V)

L a grá fica de la supe rficie se m uestra en la l-ig. 7.30 (p araboloid e elíptico).

367

¡f”

SUPERFICIES

F.Jcinplo 14

Ivsboce la gráfica de las siguientes ecuaciones

a) iíjf l /. + y 2z - 9 z 2 = 0

x¿ b ) T

y2

zlzl

+ T6 —

= 1

S o lu c ió n a) 3 x 2z + y 2z - 9 z 2 = 0 <=> ( 3 x

2 + y 2 - 9z ) z = 0

<=> 3 x 2 + y 2 — 9 z = 0

ó

z = 0

L a ecu ación 3 x 2 + y 2 — 9 z = 0 representa a un p arab o loid e elíptico. L a ecu ación z = 0 representa al plano x y . L a gráfica de la e cuación ( 3 x 2 + y 2 — 9 z ) z =

0 se m uestra en la F ig. 7.31

b) U tiliz a n d o la d e fin ic ió n del v a lo r absoluto en

x2

y2

z \z \

~9+ 16~~9~ ~ 1 se tiene

x2

y2

z2

S iz < 0

=> '^■ + 7 7 + 7 r : = l 9 16

S iz > 0

x2 y1 z2 => — + — — — = 1 (h ip e rb o lo id e de u n a hoja) 9 16 9 y2

La gráfica de la e cu a ción — + —

9

z\z\ — = 1 se m u e stra e n la Fig. 7.32

-

x2

(e lip so id e )

368


7.6 C O O R D E N A D A S C IL IN D R IC A S Y C O O R D E N A D A S E S F É R IC A S L a s co o rd e n a d a s de u so frecuente en el espacio trid im e n sion a l, aparíe de las rectangulares so n las co orde n a da s cilin d rica s y las co ord e n a d a s esféricas.

7.6.1 C O O R D E N A D A S C IL IN D R IC A S Si

P

es

un

punto

trid im e n sio n a l y

del

(x ;y ;z )

e spacio so n sus

co ord e n a d a s rectangulares, se define las

co ord en ad as

cilindricas

c o m o la terna ( r ; 8 ; z ) , son

las

co orde n a da s

donde p olares

de

P

(r;8) de

la

p ro ye cc ió n orto go n al de P sobre el plano x y

y

z es la d istan cia d irig id a

de (r; 0 ) a P (F ig. 7.33).

7.6.1.1

Si

R E L A C IÓ N E N T R E L A S C O O R D E N A D A S C A R T E S IA N A S Y C IL IN D R IC A S

(x ; y ; z )

y

(r;0 ;z)

so n respectivam ente las co orde n a da s cartesianas y las

co orde n a da s c ilin d ric a s de un punto P € 1R3, entonces se tiene

C artesian as en térm in os de las cilindricas

x - r eo s 9,

y = r s e n 8, z = z

C ilin d ricas en térm in os de las cartesian as y

ta n 9 = - , x

r 2 = x 2 + y 2,

z = z

Observación 7 a) Las coordenadas cilindricas principales son: r > 0 , 0 < 0 < 2 n A z E l b) Las coordenadas cilindricas d el origen son ( 0 ; 9 ; z ) p a ra cualquier 8 c) La ecuación de un cilindro circular recto de radio a en coordenadas cartesianas es x 2 + y 2 = a 2, transformando a coordenadas cilindricas su ecuación es r = a.

369

su p e r f ic ie s

r j c m p io 15 i)

Encuentre las coordenadas cartesianas del punto que tiene las co orde n a da s cilin d rica s dadas 3)

(3;f;5j

b) ( 7 ; y : - £ )

ii) Encuentre un conjunto de coorde n adas cartesianas son a)

(4; 4 ; - 2 )

c) (1; 0; 1)

coordenadas

cilin d rica s

b) ( - 3 V 3 ; 3; 6 )

del

punto

cu y a s

c) (1; 1; 1)

S o lu c ió n i)

a) S i las co orde n a da s cilin d rica s de

P son (3; n / 2 ; 5 ) , entonces

r = 3.

0 - n /2

y z = 5. Lu e go , aplicando las fó rm ulas que re la cio n as estas co orde n a da s con las cartesianas se tiene

x = 3 c o s(7 r/ 2 ) = 0, y = 3 s e n ( n / 2 ) = 3

y

z = 5

P or tanto, las coordenadas cartesianas de P son (0 ; 3 ; 5) Procediendo de manera sim ilar se obtiene u-

í

7

—

;-4

V^

\

c)

(1; 0; 1)

*-¡

ii) a) Si las co orde n a da s cartesianas de y - 4 y z = 5

P son

(4; 4 ; - 2 ) . entcnces x = 4,

Lu e go , a p lican d o las fó rm u la s que relacionas estas co ord e n a d a s con las c ilin d rica s tiene y 4 tan 0 = - = - = 1 => 6 X

i

n = - , r ‘ = x 2 + y 2 = 3 2 => r = 4 V 2 , z = 5 4

P o r tanto, las coorde nadas cilin d rica s de P son ( 4 V 2 ; 7r/4 ; 5 ) b ) (6 ;

5n/6 ; 6 )

c) ( V 2 ; n /4 ] l )

E je m p lo 16 H a lle una e cuación en co orde nadas c ilin d ric a s para la superficie representada p or la ecu a ción cartesiana a) 2x -f y — z = 0 c) x z - y 2 - 4 z z - 4

b) x 2 + y 2 = 4 z = 0

•

S o lu c ió n R e e m p la za n d o x = r eo s 0,

y = r s e n G y z = z, se obtiene

a) 2 r e os 6 + r s e n 9 - z = 0 b)

r2

c)

r 2 e os

- 4z 20 - 4 z 2 - 4

= 0

370

T O PIC O S D E C A L C U LO - V O LU M EN II

7 .6 .2 C O O R D E N A D A S E S F E R IC A S L a s co ord e n a d a s e sféricas de un punto P 6 R 3,

se

define

com o

la

terna

(p; 8; 0 ) , d on d e p representa la distancia del punto P al origen, 0

es la m e d id a del

á n g u lo que fo rm a el se gm e n to OP con el ra yo p o sitiv o del eje z (el á n gu lo

0

se

llam a co-Iatitu d de P, el á n g u lo n / 2 — 0 se llam a latitud de P) y

0 es la m edida

del á n g u lo que fo rm a el ra y o p o sitiv o del eje x y el se gm e n to

OQ, d ond e Q es la de P sobre el

p ro y e cc ió n (o rto go n a l) p lano x y (F ig . 7.34)

7 .6 .2 .1

Si

Fig. 7.34

R E L A C IÓ N E N T R E E S F É R IC A S

(x ; y ; z )

L A S C O O R D E N A D A S C A R T E S IA N A S Y

(p ; 9; (p) so n respectivam ente las co orde na da s cartesianas y las

y

co o rd e n a d a s e sféricas de un punto P E R 3, entonces se tiene

C artesian as en térm in os de las esféricas Z =

p COS

0

x = p se n 0 eos 8 y = p se n 0 se n 8 E sféricas en térm in os de las cartesian as

x 2 + y 2 + z 2 = p 2,

x 2 + y 2 = p 2 s e n 20

A

y

- = ta n fl

Observación 8 a) Si se incluye los puntos d el eje z, las restricciones p>0,

0 < 8 < 2n, O <0<7r

determinan una correspondencia biunivoca entre los puntos d e l espacio y las coordenadas esféricas (p ; 8; 0 ) b) Las coordenadas esféricas d e l origen son arbitrarios.

(0; 9; 0 ) ,

donde

8 ,0

c) La ecuación cartesiana de la esfera con centro en el origen y radio a es x2 + y 2 + z2 = a2 A l transformar a coordenadas esféricas se reduce a p = a 371

son

SU P E R FIC IE S

E j e m p lo 17

i)

Encuentre

las

coorde n adas

esféricas

de

lo s

p u ntos

cuyas

co ord e n a d a s

rectangulares so n a) (2; 2; 2 )

b) (0 ; 0; — 3 )

ii) Encuentre las co orde n adas rectangulares de los p untos c u y a s co orde n a da s esféricas so n

*

a ) (3; 7t /2; 7t / 4 )

b) ( 2 ; -7 r/ 3 ;7 r/ 6 )

S o lu c ió n i)

U tiliza n d o las fó rm u la s de transform ación de co ord e n a d a s cartesianas a esféricas, tenem os a) ( 2 V 3 ; 7r/4; a r c c o s ( l / V 3 ) )

b) (3; 0; zr)

ii) U sa n d o las fó rm u la s de transform ación de co orde n adas esfé ricas a cartesianas, se tiene a) (0 ; 3 V 2 / 2 ; 3 V 2 / 2 )

b) ( l / 2 ; - V 3 / 2 ; V 5 )

E J E R C IC IO S 1. Encuentre co orde n a da s esféricas para los siguientes p u ntos e sp e cifica d os por su s co orde n a da s rectangulares a) (4; 2 ; - 4 )

b)

(1 ;-V 3 ;4 )

c) (1; 1; 1 )

d)

(2; 0; 2 )

2. H a lle las co ord e n a d a s cilin d rica s para lo s puntos del ejercicio 1. 3. H a lle las co ord e n a d a s rectangulares del punto en co ord e n a d a s cilin d rica s a ) ^2; a r c c o s - ; o j

b)

d ) ( - í . - í . i )

o

(

^

2)

4. H a lle las co ord e n a d a s rectangulares del punto en co ord e n a d a s esféricas

/

n

n\

/

n

n\

b> ( 3 : r - 6 ) /

C> (,:

TI

T l\

6

' i)

r

d)

372

TI

(6:

7T\

«)

T O P IC O S D E C A L C U LO - V O LU M EN II

5.

H a lle u n a ecu ación en co orde nadas cilin d rica s de la supe rficie c u y a e cu a ción en co o rd e n a d a s cartesianas es a) (x + y ) 2 = z —5

b ) x 2z 2 = 2 5 — y 2z 2 d ) ax + b y + c z = x 2 + y 2 + z 2

6.

L a s sig u ie n te s su p e rficie s están descritas en co ord e n a d a s esféricas. En cuentre su s e cu a cion e s rectangulares. a) c o t 0 = s e n 8 + e o s 6 c) p = a s e n 0 s e n 8

7.

b) p 2 e o s 2 0 = a 2

p 2 s e n 20 s e n 2 8 = a 2

d)

H a lle u na e cu a ción en co orde n adas esféricas, para la esfera de ra d io 3 con centro en (0; 1; 0 )

8. 9.

H a lle un a ecu ación en co orde n a da s cilin d rica s para la esfera del ejercicio 7. En

lo s

sigu iente s

ejercicios,

encuentre

las

e cua cion e s

en

co o rd e n a d a

c ilin d ric a s y en co orde n a da s esféricas para la supe rficie dada. a) E l p arab o loid e x 2 + y 2 = 4 z 10. D e s c rib ir la supe rficie

z = 2r

b) E l h ip e rb o lo id e x y = z (coordenadas cilin d rica s), y obtener

una

e cu a ción de la m is m a en co ord e n a d a s cartesianas. 11. H a lle u na ecu ación en co orde n a da s rectangulares(cartesianas) de la supe rficie z 2 = i _ (r _ 2 ) 2

7.7 A P L I C A C I O N E S E j e m p lo 17 C a lc u le el v o lu m e n del só lid o lim itado p o r la su pe rficie z = x 2 + y 2 y el p la no z = 4 _________________________________

S o lu c ió n L a ecua ción

z = x 2 + y 2 representa un

p arab o loid e

circular.

Las

secciones

transve rsales p erpend iculares al eje z son c írc u lo s de ra d io r = V i (F ig . 7.35). E l área de cada se cció n tra n sve rsal es

A (z) = n z ,

z G [0; 4] Y

P o r co nsiguiente, el v o lu m e n del só lid o es x

=

8nu3

Fig. 7.35

373

SU P E R FIC IE S

E je m p lo 19 ¿ L a e cuación x 2 + y 2 - e 2z = 0 representa una su p e rficie de re v o lu c ió n ? L n ca so afirm ativo, halle el área de la superficie c o m p re n d id a entre los p la nos z — 0

y

z = 1 y calcule la longitud de arco de la c u rv a generadora.

S o lu c ió n

x 2 + y 2 = e 2z representa una superficie de revolución. E l eje de re v o lu c ió n es el eje z, ( x - 0 , y = 0 ) y una cu rva generadora es C: y = e z, x = 0 Para determ inar el área de la superficie de re v o lu c ió n co m p re n d id a entre los planos z — 0 y z = 1 (F ig. 7.36), basta considerar el arco de la cu rv a y — e z .

z e [0; 1] en el p lan o x = 0 y hacerla girar alrededor del eje z. (F ig. 7 .37 )

II

i

Fig. 7.36

N

0

1

” z

Fig. 7.37

L u e go , el área de esta superficie de re v o lu c ió n es

^~lyJ1+[§]iz*ievl+e”‘¡z = -

/ T ~,;— 7

2

i /e + Vi + e2 V 1+ V2

e V 1 + e 2 + ln | ------------— —

-V 2

L a lon gitu d de arco de la cu rva ge nerad ora resulta

H a cie n d o la su stitu ció n trigon o m é trica e z = ta n 0 <=* z = ln ( t a n 0 ) , ob tenem os -arctan e

4

ln

^

¿ar ctanee /•arctan

------ r -----s e n 0 e o s 2#

Vi +

-

I

( ese 9 + ta n 9 se c 9 ) d 9

4

1

- ln(V2 - l ) + V i

374

+ e2 - V 2

TOPICO S DE CALCULO - VOLUM EN II

E j e m p lo 2 0

C a lc u le el vo lu m e n del só lid o lim itado p o r las su p e rficies

9 x 2 — 9 y 2 + 4 z 2 — 3 6 x — 8 z 4- 4 = 0. y = — 1

A

y = 4

S o lu c ió n A l com p letar cu a d ra d o s en la e cuación de la superficie se obtiene 2 )2 + ( z - l ) 2

(* 4

9

A s i. la supe rficie es un h ip e rb oloid e elíptico de una hoja c u y o centro es C ( 2 ; 0 ; l ) . L a gráfica del só lid o se m uestra en la Fig. 7.38. L a s se ccio n e s tra nsve rsales del só lid o p erpend iculares al eje y

(.x - 2 ) z ■■

so n las elipses

(z - l ) 2 - t - —— —

—

—

9

4 (x - 2 ) 2

(z - l ) 2

41

91

■4- ■

= 1 +: 4 4- y 2 1, d o n d e t =

L u e g o , el área de la elipse (se cció n transversal) es

A (y) = ír ( 2 V t ) ( 3 V t ) =

/ 4 4- y 2 6 n :(— - —

y 6 [-1 :4 ]

U sa n d o el m étodo de se ccio n e s transversales, el v o lu m e n del só lid o es

j

-4

E je m p lo 21

3

A (y)dy = - n

r4

J

( 4 + y 2) d y =

C a lc u le el v o lu m e n del só lid o lim itado p or la superficie

y 2 4- z 2 - 2 s e n 2* - 2 s e n * - c o s 2x = 0 y lo s p la n o s x = 0

y

x = n /2 .

S o lu c ió n L a ecu ación se puede e scrib ir c o m o

y2

+

z2

=

(se n x

4- l ) 2.

E sta ecu ación

representa una supe rficie de re v o lu c ió n cu yo eje de g iro es el eje x. L a se cció n tran sve rsal del s ó lid o perpendicular al eje x es el circulo y 2

4- z 2 = (sen x + l ) 2, x £ jo;- ]

A s í, el área de la se cció n transversal es

A ( x ) = 7r(señx 4 -1)2. x e [0 ; -| P o r co nsiguiente, el v o lu m e n del s ó lid o resulta

f n/ z f1 , ít(37t 4- 8) u A{x)dx ~ n (sen x 4 -1)2 d x = ------ jo 'o

V(S) = I

375

SU P E R FIC IE S

E jem p lo 22 C a l c u l e e l v o l u m e n d e l s ó l i d o l i m i ta d o p o r la s s u p e r f i c i e s o - x y 2Z — —— ,b —— 4 9

y *

= z2

—

4

S o lu c ió n

x y 2z = — + —

La ecuación

re p re sen ta

representa a un p arab o loid e con vértice en el orige n y la ecuación

„2 . y,,2

x

T + T = z

2

re p re se n ta a u n cono con

representa a un c o n o con vértice en el origen. E sta s su p e rficie s se intersecan cuando

La

se cción

transversal

p erpendicular

al

eje

z,

del es

sólido, el

a n illo

elíptico cu y a área es

A (z) = 7 r(V 8 z )(V l8 z ) - n ( J

a z 2) ( V 9 ? ) =

I 2 n z - 6 n z 2, z 6 [0; 2]

P o r lo tanto, el vo lu m e n del s ó lid o es

y(S) =

E j e m p lo 2 3

í (127TZ — 6 n z 2) d z = 8 n u 3 ■>o U n s ó lid o está lim itado p or las supe rficies 1

S i : p = - cot

(e n c o o rd e n a d a s c ilin d ric a s)

B o sq u e je la g rá fica y calcule el vo lu m e n del sólido. S o lu c ió n U tiliza n d o

las

relaciones

entre

las

co orde n a da s e sféricas y las coorde nadas cartesianas: z — p eos (p,

y = p s e n (p s e n 0. x = p s e n (p co s:0 se tiene x z + y 2 = p 2 s e n 2(p.

376


D e la ecu ación de

resulta

cosrf) -, -, , ,, 3 p = ----- r—- <=> 3 p 2 s e n 2
3 0 " + y ) = z

se n ¿q)

E sta e cu a ción representa a un parab oloid e circular. P o r otro lado, la ecu ación cartesiana de S2 es z = 3. L a grá fica del s ó lid o se m uestra en la Fig. 7.40. L a s se ccio n e s tra n sve rsale s del sólido, perpe n d iculare s al eje z, son círc u lo s de ra d io r = *Jz~/3. A s í, el área de la se cción plana es

A (z) = y ,

z 6 [0; 3]

U s a n d o el m étodo de se ccione s planas, el vo lu m e n del s ó lid o resulta

f 3 nz n s ) = Jj T

E j e m p lo 2 4

3n *

= y

, U

H a lle la e cuación de la recta que pasa p or el punto

P t ( 0; - 2 ; 4 )

y

es tangente al c ilin d ro 5: 2 y = x 2 . E l án gu lo que fo rm a d ic h a recta c o n el plano

x y es de 30° (4 solu cio n e s). S o lu c ió n Se a P 0 (a ; b; c ) el punto de tangencia (F ig. 7.41 izquierda). E n la vista h orizon tal (visto desde arriba h a cia abajo - F ig. 7.41 derecha), se tiene

y + 2 P e n d ie n te de la tangente: m =

(a )

dy

y + 2

dx

x

T a m b ié n m = — = x. Luego,

--------= x

377

(p )

SUPERFICIES P o r otro lado, A ( x ; y ; z ) pertenece al cilindro, entonces

2y = x 2

( y)

D e ( y ) y (/?) se obtiene y = 2, x — ± 2 Si

m = ±2 Qx: y + 2 = 2 x

se reem p laza

tangentes

en y

( a ) se obtiene las

ecu acione s de lo s p la n o s

Q2:y + 2 = —2 x

1. C o n sid e ra n d o el p la n o tangente Qt : 2 x — y — 2 = 0, se tiene:

P0 E Qi =>2a — b — 2 = 0 P0 £ S => 2b = a 2 D e estas d o s e cu acion e s se obtiene a = 2 y

b = 2

D a d o que el á n g u lo que fo rm a la recta con el plano x y es 30°, entonces l , __________ i;. - 1 1

llv íll

2

__ _______

+ (6 + 2 )! + (c - 4 ) 2

R e e m p la za n d o el v a lo r de a - 2 y b = 2, se obtiene 1 4

=

|c-4|

2 V l5 => C = 4 ± — - — V 2 0 + (c - 4 ) 2 3

L u e g o , las e cu a cio n e s de las rectas tangentes son

L x: P = ( 0 ; — 2 ; 4 ) + t ^ l ; 2 ; ^ j ,

t£ R

¿ 2: Q = ( 0 ; - 2 ; 4 ) + A ^ l ; 2 ; - ^ p ^ i

2. C o n sid e ra n d o

el

plano

tangente

Q2: 2 x

A £ R

+ y + 2 = 0,

se

obtienen

solu cio n e s:

¿ 3: P = ( 0 ; - 2 ; 4 ) + t ^ - l ; 2 ; ^ p j ,

L 4 : (2 = ( 0 ; - 2 ; 4 )

+

tE R

A^—1 ; 2 ; - ^ )

2 V Í5 L o s p u n t o s de ta n g e n c ia s o n ( — 2; 2; 4 ± — - — )

378

,

A 6 R

las


E J E R C IC IO S I. E n cada u no de los siguien te s ejercicios, d iscu tir y g rafica r la supe rficie representada p o r cada e cuación a) x 2 + 4 y 2 + 9 z 2 = 3 6

b) x 2 + 4 y 2 + 4 z = 0

c) x 2 — y 2 + 4 z 2 = 4

d) x 2 — y 2 — 4 z z = 4

e) 4 x 2 + 8 y + z 2 = 0

í) x 2 + 9 y 2 = z 2

g) 2 5 y 2 - x 2 - 9 z 2 = 0

h) x 2 + 4 y 2 = 4 z 2 - 4 z + 1

i) x 2 — y 2 — 4 z 2 = 4

j) x 2 + y 2 = 1 + z

k) 1 6 x 2 - 9 y 2 - z 2 - 1 4 4 = 0

I) y 2 + 1 6 x 2 = 6 4 - 4 z 2

II. E n cada u n o de los ejercicios, calcule el v o lu m e n del só lid o lim ita d o p o r las su pe rficies

2) 8 z = x 2 + 4 y 2 , z = 1

R. ( V 2 7 i ) u 3

R. ( 3 6 n ) u 3 4) z — x 2 + 2 y 2 , x 2 + 2 y 2 + z 2 = 6

x2

y2

7) T + V 4 9

(d o s so lu c io n e s)

z|z|

III. H a lle la ecu a ción de la recta L que pasa p o r P ^ O ; - 7 ; 3 ) supe rficie c ilin d ric a y = 5 - ( x -

W- P -

(1; 1; 1) + t(0; 2; - 3 ) ,

y es tangente a la

4 ) 2. L a recta L corta a la recta

t 6 M (d o s so lu c io n e s)

R. V\ Q = (0; -7 ; 3) + t(l; 12; - 8 ), L": R = (0; - 7 ; 3 ) + A ( l ; 4; 4 ),

379

X

t e R 6

R

Tópicos de cálculo Vol. II V - By Priale

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