UNIVERSIDAD NACIONAL DE BARRANCA CARRERA PROFESIONAL DE INGENIERÍA EN INDUSTRIAS ALIMENTARIAS
TRANSFERENCI TRANSFERENCIA A DE MASA
PRESENTACIÓN El presente texto no tiene más mérito que ser una recopilación práctica y sistemática acerca de los principios principios fundamental fundamentales es de la Transferencia Transferencia de Masa, que ponemos ponemos a disposición de nuestros alumnos, y en forma muy especial de los alumnos del programa académico de Ingeniería en Industrias Alimentarias de nuestra casa superior de estudios. En tal sentido, deemos mencionar que la importancia de la Transferencia de Masa se dee a que inter!iene en muc"as de las experiencias de la !ida diaria, como por e#emplo el endul$ar una ta$a de café% y al papel que tiene en los procesos industriales, como el estudio de la rapide$ de las reacciones químicas y iológicas catali$adas. En esto radica lo fundamental del estudio de la Transferencia de Masa dentro de los planes de estudio de Ingeniería. &e agradece desde ya las sugerencias y correcciones corr ecciones que nos "agan llegar. '(& A)T(*E&
i
PRESENTACIÓN El presente texto no tiene más mérito que ser una recopilación práctica y sistemática acerca de los principios principios fundamental fundamentales es de la Transferencia Transferencia de Masa, que ponemos ponemos a disposición de nuestros alumnos, y en forma muy especial de los alumnos del programa académico de Ingeniería en Industrias Alimentarias de nuestra casa superior de estudios. En tal sentido, deemos mencionar que la importancia de la Transferencia de Masa se dee a que inter!iene en muc"as de las experiencias de la !ida diaria, como por e#emplo el endul$ar una ta$a de café% y al papel que tiene en los procesos industriales, como el estudio de la rapide$ de las reacciones químicas y iológicas catali$adas. En esto radica lo fundamental del estudio de la Transferencia de Masa dentro de los planes de estudio de Ingeniería. &e agradece desde ya las sugerencias y correcciones corr ecciones que nos "agan llegar. '(& A)T(*E&
i
INTRODUCCIÓN 'a transferencia de masa ocurre cuando una sustancia se transfiere a tra!és de otra u otras a escala molecular. Esto ocurre cuando se ponen en contacto dos sustancias con composiciones químicas diferentes. 'a sustancia que se difunde aandona una región de alta concentración y pasa a otra de concentración menor +. 'a transferencia de masa puede ocurrir en los sólidos, líquidos y gases. En el presente texto se aordará la transferencia de masa por difusión, "aciendo uso de las leyes de ic-, y tamién ta mién la transferencia de masa por con!ección. c on!ección. 'a difusión molecular se ampliará de acuerdo a su aplicación en gases, líquidos y sólidos. Tamién se !erán los diferentes métodos para calcular los coeficientes de transferencia de masa, y las analogías que existe entre la transferencia de masa y de calor. por /ltimo la transferencia de masa entre e ntre fases gaseosa y líquida.
1
Otro factor que influye en el proceso de d ifusión es el espaciamiento molecular, molecular, por lo que la razón de difusión es mucho más alta en los gases que en los líquidos, y mucho más alta en estos que en los sólidos.
ii
INDICE PRESENTACIÓN ........................................................................................................................ i INTRODUCCIÓN....................................................................................................................... I.
ii
TRANSFERENCIA DE MASA ......................................................................................... 3 1.
Importanca !" #a Tran$%"r"nca !" Ma$a& ................................................................... 3
'.
E("mp#o$ !" Proc"$o$ !" Tran$%"r"nca !" Ma$a& ....................................................... 3
II.
TRANSFERENCIA MOLECULAR DE MASA .......................................................... 6
1.
R"pr"$"ntac)n !" #a conc"ntrac)n& 6 a*
.............................................................................
Ba$"
m+$ca& ................................................................................................................. 6 ,* Ba$" mo#ar& .................................................................................................................. 6 '.
L"-"$ !" Fc !" #a !%/$)n& .......................................................................................... 8 '.1.
D%/$)n "n "$ta!o "$taconaro 0 Prm"ra #"- !" Fc&
'.'.
D%/$)n "n "$ta!o no "$taconaro 0 S"/n!a #"- !" Fc&
III.
........................................ 8 ................................ 1
DIFUSIÓN MOLECULAR EN GASES ..................................................................... 33
1.
Contra!%/$)n "2/mo#ar "n a$"$& ............................................................................ 33
'.
Ca$o "n"ra# para #a !%/$)n !" #o$ a$"$ A - B m+$ con3"cc)n& ........................... 38
4.
D%/$)n "n "$ta!o "$taconaro !" A 2/" $" !%/n!" a tra35$ !" B no !%/$3o - "n
r"po$o& .................................................................................................................................... 3!
6.
D%/$)n a tra35$ !" /n +r"a !" cort" tran$3"r$a# 3ara,#"& "" a0
D%/$)n
!"$!"
......................................
/na
........................................................................................ "" 0
con!/cto !" +r"a !" cort" tran$3"r$a# no /n%orm"& IV. 1.
"$%"ra& D%/$)n por /n
.................. "6
DIFUSIÓN MOLECULAR EN LÍ7UIDOS .............................................................. "! Ec/acon"$ para #a !%/$)n "n #82/!o$& "! a*
Contra!%/$)n
.....................................................................
"2/mo#ar& +
....................................................................................... "!
,*
D%/$)n !" A a
tra35$ !" B 2/" no $" !%/n!"&....................................................... #$ V. DIFUSIÓN MOLECULAR EN SÓLIDOS ..................................................................... #3 1.
D%/$)n !" $)#!o$ 2/" $/"n #a #"- !" Fc& ............................................................. #3
1
'.
D%/$)n "n $)#!o$ poro$o$ "n #o$ 2/" a%"cta #a "$tr/ct/ra& ...................................... ## a* D%/$)n !" #82/!o$ "n $)#!o$ poro$o$& ## ,*
D%/$)n
..................................................................
!"
a$"$
"n
$)#!o$
poro$o$& ....................................................................... #6 VI.
COEFICIENTES DE TRANSFERENCIA DE MASA .............................................. #%
1.
Intro!/cc)n& #% a*
.................................................................................................................
Contratran$%"r"nca
"2/mo#ar&
.............................................................................. #8
,*
Tran$%"r"nca !" A a
tra35$ !" B 2/" no $" tran$%"r"& ......................................... #8 '.
Co"%c"nt"$ !" Tran$%"r"nca !" ma$a "n %#/(o #amnar& .......................................... #!
4.
Co"%c"nt"$ !" tran$%"r"nca !" ma$a "n %#/(o t/r,/#"nto& ...................................... 61 a*
T"or8a !" #a p"#8c/#a& ................................................................................................. 6
,* T"or8a !" #a p"n"trac)n& 6 c*
..........................................................................................
T"or8a
!"
r"no3ac)n
!"
$/p"r%c"& ..................................................................... 63 !*
#a
T"or8a
com,na!a !" r"no3ac)n !" #a $/p"r%c" !" #a p"#8c/#a& ......................... 6" "* T"or8a !" "$tram"nto $/p"r%ca#&
.......................................................................... 6"
%*
T"or8a !" #a capa #8mt"& ........................................................................................... 6" VII.
AN9LOGÍAS
ENTRE
LAS
TRANSFERENCIAS
DE
CANTIDAD
DE
MOVIMIENTO: CALOR ; MASA ........................................................................................ 66 Ana#o8a !" R"-no#!$& .......................................................................................................... % Ana#o8a !" C<#ton 0 Co#,/rn& ............................................................................................ %3 VIII.
TRANSFERENCIA DE MASA ENTRE FASES GASEOSA ; LÍ7UIDA ......... 8#
BIBLIOGRAFIA ....................................................................................................................... 88
I. TRANSFERENCIA DE MASA 1. Importanca !" #a Tran$%"r"nca !" Ma$a&
'a transferencia de masa #uega un papel muy importante en la mayoría de procesos químicos, deido a que estos requieren de una purificación inicial de las materias primas empleadas, así como de la separación final de los productos y suproductos. &eparaciones que, por lo general in!olucran costos considerales dentro de dic"os procesos. 2uando se !an a dise3ar o anali$ar equipos industriales que !an a ser empleados en operaciones industriales de separación, es necesario conocer la !elocidad de transferencia de masa para determinar la eficiencia de las etapas in!olucradas, a fin de determinar el n/mero de etapas reales que se necesitan. '. E("mp#o$ !" Proc"$o$ !" Tran$%"r"nca !" Ma$a&
Muc"os fenómenos comunes implican una transferencia de masa4 &i se de#a un recipiente aierto con agua, llega un momento en que ésta se e!apora
como resultado de la difusión de las moléculas de agua en el aire, deido a la diferencia de concentración del !apor de agua entre la superficie del líquido y el aire que lo rodea. )n tro$o de 2( 1 sólido 5"ielo seco0 se "ace más peque3o con el transcurso del
tiempo, deido a que las moléculas de 2( 1 se difunden "acia el aire. )na cuc"arada de a$/car sumergida en una ta$a de café se disuel!e y se difunde,
endul$ándola. Esto ocurre sin agitación, a pesar de que las moléculas de a$/car son más pesadas que las del agua.
'as moléculas de un lápi$ de color introducido en un !aso con agua se difunden "acia ésta, como se e!idencia por la dispersión gradual del color en esa agua.
)na peque3a fracción de ( 1 que se encuentra en el aire se difunde "acia el agua y
satisface las necesidades de oxígeno de los animales acuáticos. 2uando la madera !erde se seca parcialmente, el agua se difunde "asta la superficie
cortada, y después a la atmósfera circundante. Algunas aplicaciones de la transferencia de masa en los procesos industriales son4
'a remoción de materiales contaminantes de las corrientes de descarga de los gases
y aguas contaminadas.
En un proceso de fermentación, los nutrientes y el oxígeno disuelto en la solución se difunden "acia los microorganismos.
'a destilación para separar alco"ol de agua implica una transferencia de masa.
'a difusión de neutrones dentro de los reactores nucleares.
En el procesamiento de uranio, un disol!ente orgánico extrae una sal de uranio en
solución.
'a difusión de sustancias al interior de los poros del carón acti!ado.
'a difusión del carono "acia el "ierro en el curso del cementado.
En una reacción catalítica, los reacti!os se difunden del medio circundante a la
superficie catalítica donde se !erifica la reacción. 'a extracción de &(1 de los gases producidos en la comustión se lle!a a cao por
asorción en una solución líquida ásica. En la industria farmacéutica tamién ocurren procesos de transferencia de masa
tales como la disolución de un fármaco, la transferencia de nutrientes y medicamentos a la sangre, etc. 4. C#a$%cac)n G"n"ra# !" #a Tran$%"r"nca !" Ma$a&
El mecanismo de la transferencia de masa, depende de la dinámica del sistema en que se lle!a a cao. 6ay dos modos de transferencia de masa4 a* Tran$%"r"nca mo#"c/#ar !" ma$a& 'lamada tamién difusión. En donde la masa
se transfiere por medio del mo!imiento molecular fortuito del fluido 5mo!imiento indi!idual de las moléculas0, deido a gradientes de concentración. ,* Tran$%"r"nca !" ma$a por con3"cc)n& El transporte de masa ocurre deido al
mo!imiento gloal del fluido, por lo que puede ocurrir en régimen laminar o turulento. Tal como ocurre con el transporte de calor, el transporte de masa por con!ección puede darse como con3"cc)n %or=a!a , en la que el mo!imiento del fluido es producido por una fuer$a externa, y con3"cc)n #,r" o nat/ra# , en el que el mo!imiento gloal se desarrolla como consecuencia de camios de densidad originados por las diferencias de concentración del medio.
Estos dos mecanismos suelen presentarse simultáneamente% sin emargo, en el análisis de un prolema en particular, se considera solo uno de ellos, por ser cuantitati!amente importante.
II.
TRANSFERENCIA MOLECULAR DE MASA
'a transferencia molecular de masa o difusión molecular, es el resultado de la transferencia o despla$amiento de moléculas indi!iduales a tra!és de un fluido deido a sus mo!imientos desordenados. En estos mo!imientos, las moléculas c"ocan con otras camiando sus !elocidades tanto en magnitud como en dirección. 'a transferencia molecular de masa puede ocurrir en cualquiera de los 7 estados de agregación de la materia 5siendo su mecanismo de transporte muy diferente en cada uno de ellos0 como resultado de un gradiente de concentración, temperatura, presión, o de la aplicación a la me$cla de un potencial eléctrico. 1. R"pr"$"ntac)n !" #a conc"ntrac)n& a* Ba$" m+$ca& En una ase másica, la concentración se expresa en términos de densidad 5o concentración de masa0, la cual es la masa por unidad de !olumen. D"n$!a! parca# !" #a "$p"c" i &
i
mi
+
V kg m 7
i D"n$!a! tota# !" #a m"=c#a&
m
m V i
1
i
V
'a concentración de masa tamién puede expresarse en forma adimensional, en términos de la fracción de masa 5w04
Fracc)n !" ma$a !" #a "$p"c" i & mi w i
mi
m
V
m
i 7
V
wi + ,* Ba$" mo#ar& En una ase molar, la concentración se expresa en términos de concentración molar
5o densidad molar0, la cual es la cantidad de materia, en kmol ,
por unidad de !olumen.
Conc"ntrac)n mo#ar parca# !" #a "$p"c" i & n C i i 8 V
C i
kmol m7
Conc"ntrac)n mo#ar tota# !" #a m"=c#a& C
n
n
i
9
C V
i
V
'a concentración molar tamién puede expresarse en forma adimensional en términos de la fracción molar.
Fracc)n mo#ar !" #a "$p"c" i & y i
ni
n
ni V
n
C i
:
C
V
Además las concentraciones de masa y molar están relacionadas entre sí por4 Para #a "$p"c" i & ; C i i PM i
Para #a m"=c#a& C
PM
<
=onde4 PM es el peso molecular de la me$cla, la cual puede determinarse a partir de4 ni ni PM i m PM i yi PM > PM
n
n
i
n
'as fracciones de masa y molar de la especie i de una me$cla están relacionadas entre sí por4 C PM i PM +? w i i y i i
PM
C
i
PM
A a#as presiones, puede tenerse una aproximación con!eniente de un gas o me$cla de gases como un gas ideal , con error despreciale. @or lo tanto, la fracción de presión
de la especie i de una me$cla de gases ideales es equi!alente a la fracción
molar de esa especie y puede usarse en lugar de ella en el análisis de la transferencia de masa4 ni Ru T P i V
ni
i
++
y
P
n Ru n V
T
=onde4 Ru, es la constante uni!ersal de los gases, tanto para la especie i, como para la me$cla. '. L"-"$ !" Fc !" #a !%/$)n&
'as ecuaciones ásicas de la difusión fueron escritas en +<99 por Adolfo ic-, el cual consideraa que el mo!imiento difusi!o, o penetración del soluto en el disol!ente, es totalmente análogo a la penetración del calor en la conducción térmica. &eg/n esta "ipótesis, para la difusión se pueden utili$ar las mismas ecuaciones que empleaa ourier para estudiar la conducti!idad térmica. '.1. D%/$)n "n "$ta!o "$taconaro 0 Prm"ra #"- !" Fc&
2onsiderando una me$cla inaria en un medio en reposo de las especies químicas A y , en donde el n/mero de moléculas de A en un !olumen dado en una región, es mayor que en otra región !ecina, entonces tendrá lugar la migración de moléculas de A a tra!és de , es decir desde la $ona de mayor concentración "acia la de menor concentración. El estado estacionario se !erifica si consideramos la difusión del soluto en la dirección z 5como se muestra en la figura0. &upongamos que tras un periodo de tiempo, las concentraciones en z 1 y z 2 se mantienen constantes C 1 y C 2 respecti!amente. Estas condiciones de difusión se conocen como estado estacionario. Al representar la concentración C frente a la posición o distancia z , la gráfica resultante se denomina perfil de concentración, en donde la pendiente de esta gráfica en un punto determinado es el gradiente de concentración4 gradiente de concentraciónB
dC dz
+1
F/ra 14 =ifusión molecular en estado estacionario
En el sistema mostrado se producirá un flu#o de moléculas del lado de concentración más alta al de concentración más a#a.
F/ra '& =ifusión molecular de dos especies
'a primera ley de ic- de la difusión de masa de la especie química A en la dirección $ estará dada por4 ndif ,
" !
dC
+7
dz
=onde4 ndif , 4 Es la ra$ón de difusión de masa de la especie química , en -molCs.
" ! 4 Es el cociente de difusión 1 5o difusi!idad de la masa0, en m 1Cs.
C 4 Es la concentración de la especie en la me$cla dC dz
en ese lugar.
4 Dradiente de concentración de , en la dirección $.
El signo negati!o de la ecuación 5+70 "ace "incapié que la difusión ocurre en el sentido del decremento en la concentración, por lo que el gradiente es negati!o pero el flu#o de masa dee ser positi!o. @ara una me$cla inaria, podemos expresarla ley de ic- de di!ersas maneras4 Ba$" m+$ca& dw
m " ! dz +8
d
+9 m " ! dz
&i es constante4 m " !
d
+:
dz
Ba$" mo#ar& n
C " ! d y +; dz
C C
d
" ! n C
dz
+<
&l coeficiente de difusión o difusi'idad ��� de un componente ( en una solución ), es una constante de proporcionalidad entre el flu*o de masa y el gradiente de concentración y cuya magnitud num+rica indica la facilidad con la que el componente ( se transfiere en mezcla.
1
&i C es constante4 " !
n
dC dz
+>
Tamién se puede expresar el flu#o de masa 5por difusión0 y el flu#o molar 5por difusión0 de la especie como la transferencia de masa por difusión, por unidad de tiempo y por unidad de área normal a la transferencia de masa, conocido como el flu#o específico de difusión. Ba$" m+$ca& #
m
" ! d w 1? dz
d
#
m
" ! 1+ dz
kg 1 s m
=onde4 # Ba$" mo#ar&
$ " !
$
=onde4 $
n
C
n
C " !
d y dz
11
C d C
17
dz
kmol s m
1
En el caso especial de densidad constante de la me$cla o concentración molar C constante, las relaciones anteriores se simplifican4
Ba$" m+$ca& 5 B constante0 #
=onde4 #
kg
s m
1
" !
d dz
18
Ba$" mo#ar& 5C B constante0 $
=onde4 $
" !
dC dz
19
kmol s m
1
Pro,#"ma 1& )na tuería contiene una me$cla de 6e y 1 gaseosa a 1>< F y + atm
de presión total, constante en toda la extensión del tuo. En uno de los extremos de del 6e es ?,:? atm y en el otro extremo, a 1? este punto +, la presión parcial P ,+ cm, P ,1 es ?,1? atm. 2alcule en unidades &I el flu#o específico de 6e en estado " ! de la me$cla 6eG1 es ?,:<; cm 1Cs. estacionario cuando el !alor de Solución:
2onsiderando que el 6e cumple la ley de los gases ideales4 P V n R T
&e tiene4 C
n
P
V R T
*eempla$ando en la ecuación 5190 de la ley de ic-4
P d $ " ! R T dz
" ! $ d P R T
dz
(rdenando e integrando4 $
z 1
dz
"
P , 1
!
R T
z +
A
z z "
$
1
P
+
R T
,+
$
P , 1 P ,+
P ,+ P , 1 $ R T z 1 z + " !
P d
1:
1 9 m :, <; +? s ?, : atm ?, 1 atm " ! P ,+ P ,1 7 mol 7 9, :1 +? + m &e 1 atm % R T z m z s 1 + 1>< ' ?, 1 7 ?, m ?<1 mol ' +? %
Pro,#"ma '& &e almacena gas "idrógeno a presión, a 79< F, en un recipiente
esférico "ec"o de níquel con 8,< m de diámetro exterior. 'a pared esférica del recipiente tiene : cm de espesor. &e determina que la concentración molar del "idrógeno en el níquel, en la superficie exterior, es despreciale. =etermine el gasto de masa por difusión del "idrógeno a tra!és del recipiente. El coeficiente de difusión inaria para el "idrógeno en el níquel a 79< F es ��� B 2
1,2 × 10−12 .
� �
Solución:
)tili$ando la ecuación 5+>0 y considerando que el gradiente de concentración será radial4 �� = − ��� ∙ ∙
��� ��
El área de la esfera es4 B 8��1, reempla$ando y desarrollando4
�� ∙ �� = −��� ∙ (4�� 2 ) ∙ ��� ��,2
�2
� � �� ∙ ∫ 2 = −4 ∙ � ∙ ��� ∙ ∫ ��� � �� ∙ [
1 �1
�1
��,1
1 − ] = −4 ∙ � ∙ ��� ∙ (��,2 − ��,1 ) �2
�� =
4 ∙ � ∙ ��� ∙ (��,1 − ��,2 ) 1 −1 �1
�2
=onde4 �+ B 1,78 � �1 B 1,8 �
*eempla$ando en la ecuación anterior4 �� =
4 ∙ � (1,2 × 10
−12
��� �
2 � ) �
∙ (0,087 � 3 1 1 − 2,34 � 2,4 �
� � = 1,23 × 10
�� −10 � �
− 0)
�Pro,#"ma
4& )na memrana delgada de plástico separa "idrógeno de aire. &e
determina que las concentraciones molares del "idrógeno en la memrana, en las superficies interior y exterior, son de ?,?89 y ?,??1 -molCm 7, respecti!amente. El coeficiente de difusión inaria del "idrógeno en el plástico, a la temperatura de operación, es de 9,7H+? G+? m1Cs. =etermine el gasto de masa del "idrógeno por difusión a tra!és de la memrana, en condiciones estacionarias, si el espesor de la memrana es de4 a0 1 mm 0 ?,9 mm
Solución:
=e la primera ley de ic-4 �� = − ��� ∙
��� ��
�2 ��,2
�� ∙ ∫ �� = − ��� ∙ ∫ �� � �1 ��,1
�� ∙ (�2 − �1) = − ��� ∙ (��,2 − ��,1 ) ��� ∙ (��,1 − �� B
��,2 ) �
a0 @ara ∆� = 0,002 � �� =
(5,3 × 10
−10
2 �
�)
∙ (0,045 ��� �
��� �
− 0,002
)� 3
3�
0,002 � �
� = 1,1395 × 10−8
��� � �� = 1,1395 × 10−8 × �2 ∙ �
0 @ara ∆� = 0,0005 � �� =
2
(5,3 × 10
� �)
��� �
∙ (0,045 � 3 0,0005 �
�
� = 4,558 × 10−8
��� � �� = 4,558 × 10−8 × �2 ∙ �
� �
�� = 2,279 × 10−8 �2 ∙ � �� ��
2
−10
��� � �2 ∙ �
2
��� �
− 0,0023�
)
��� � �2 ∙ �
� �
�� = 9,116 × 10−8 �2 ∙ � �� ��
Pro,#"ma 6& 'a soluilidad del gas "idrógeno en acero, en términos de su fracción
de masa, se expresa como ��2 = 2,09 × −4 ���− 3950) ∙ �02,5 , donde �2 es la � 10 ( presión parcial del "idrógeno, en ar, y T es la temperatura en F. &i se transporta gas natural en un tuo de acero de + cm de espesor y 7 m de diámetro interno, a una presión de 9?? -@a, y la presión parcial del "idrógeno en el gas natural es de 7 F, si el tuo está expuesto al aire. Tome la difusi!idad del "idrógeno en el acero como 1,>H+?G7 m1Cs. 'as masas moleculares del 61 y 268 son de 1 y +: -gC-mol respecti!amente. 'a densidad de la tuería de acero es ;<98 -gCm 7.
Solución:
� �2
�2
= 0,08
= = (0,08)(500 ��) = 40 �� = 0,4 �� � − 3950 ��2 = ��,1 = 2,09 −×4 ��� ) ∙ (0,4)0,5 = 1,847 × 10−10 293 10 ( �2
'a concentración del "idrógeno en el aire es prácticamente cero, por lo que la concentración en la superficie externa de la tuería puede ser tomada como cero4 ��,1 B ? �+ B +,9 � �1 B +,9+ � � B +?? �
=e la ecuación 5+80 de la ley de ic-4 �� B K� L ���
=onde4 =
��� ��
L L
2���
*eempla$ando, ordenando e integrando4 �2
� �
�� �
∙∫
�+
= −� ∙ ��� ∙ 2�� ∙ ∫ ��� � ��
�
, , 1
2� ∙ � ∙ � ∙ ��� ∙ (��,1 − +�� B
��,2) �2
ln (
)�
1
�
2� ∙ (100 �) ∙ (7854
�
�
=
��
2
) ∙ (2,9 × 10−13
10−10 − 0) 7 1, 51 ln � ( ) 1,5 �
�� = 3,976 × 10
�
) ∙ (1,847 ×
�
� −14� �
Pro,#"ma >& Estime el tiempo necesario para la e!aporación completa de una esfera
de naftaleno de + cm de diámetro en aire atmosférico a 7+< F. &i la temperatura de la superficie de la esfera estu!iera en equilirio térmico con el aire amiente 5misma temperatura0, la presión de !apor del naftaleno será de +,?:H+? 8 @a y su densidad de +,+8H+? 7 -gCm7. En estas mismas condiciones, la difusi!idad del gas de naftaleno en el aire es =AB:,>H+?G; m1Cs. � � ������������� = 128,7
��� �
=e la ecuación de ic-4
Solución: ��� �� B K� L ���
��
L L
�� = − � ∙ ��� ∙ (4�� 2 ) ∙ �
��,2
��2
� � �� ∫ 2 = −� ∙ ��� ∙ 4� ∙ ∫ ��� � �1
��,1
1 1 −�� ∙ ( − ) = −� ∙ ��� ∙ 4� ∙ (��,2 − ��,1) �2 �1
�� =
4� ∙ � ∙ ��� ∙ (��,1 − ��,2 ) 1 1 �+ K �
@ero4 ��,2 = 0 cuando �2 =
∞ 1 �� B 8� L � + L � L ��� L ��,+
5+0
2omo "ay !ariación del tama3o de la esfera y esta !ariación es peque3a comparada con el camino de la difusión 5desde �1 = 0,5 �� "asta �2 = 0 0 entonces podemos usar un modelo de régimen pseudopermanente. El flu#o molar total para la superficie es4 � �
�� = −2�� ∙ (4�� ) ∙
� � �2
� =0
�� ∙ ∫ �� = −4 � ∙ �� ∙ ∫ � 2 �� �+
? �� L � B K8� L �� L 4� ∙ �� ∙ �1 3
7�� =
Igualando las ecuaciones 5+0 y 5104
3∙�
( 0 − �1 ) 7
510
4� ∙ �1 ∙ � ∙ ��� ∙ 4� ∙ � ∙ � 2
��,1 =
�= �
1 , 06 × 104
�1 3 3∙� �� ∙ �1
7L�L��� L��,+
�
��,+ B B +?+ 719
= 0,1046
570
�'a concentración del naftaleno será4
�� B
1 , 14 × 103
�� ���
��
= 8,858
�
=
�� �� �
7
128,7 �� �� ��
7
'a concentración total se puede calcular como la concentración del aire4 ��� 1 � = 38,35 � = �3 = � ∙ ��� � � = ∙ �3 � �� 1� (0,082 ) (318 �) × ��� ��� L �
�
+?7
*eempla$ando en la ecuación 5704
(8,858
) ∙ (0,005
��� �� � � � �= 7 −7 � 2 1 ��� ��� �� � � ( ) 3 ∙ (38,35 ∙ 6,9 × 10 ∙ 0,1046 × ) ( ) 103 ��� �3 �
� B 1: 97?,; � B ;,8
ℎ'.'. D%/$)n "n "$ta!o no "$taconaro 0 S"/n!a S "/n!a #"-
!" Fc&
El estado estacionario, en el cual las condiciones permanecen in!ariales con el tiempo, tiempo, no se encuentra encuentra con facilidad facilidad entre los prolemas prolemas de ingeniería. ingeniería. En la mayoría de los casos, se da la difusión en estado no estacionario, en el cual la concentración del soluto en cualquier punto del material camiará con el tiempo. &upongamos el caso de que una especie química A se difunde en otra especie química . A medida que el tiempo progresa, la concentración del soluto en cualquier punto del sólido en la dirección z aumentará, aumentará, como se indica en los tiempos t 1 y t 2.
F/ra 4& =ifusión en estado no estacionario
@ara la difusión de la especie química , en condiciones no estacionarias4
F/ra 6& =ifusión en estado no estacionario =educción de la segunda ley de
ic- alanceando el componente en términos molares, en ausencia de generación4 Nelocidad Nelocidad de Nelocidad de entrada de A salida de A acumulada de A C $ , z $ , z z z t
"
C
"
z
!
! z
C z
z
C
t
z z
(rdenando4 " !
C
C z
C " ! z z z
z
t z 'le!ando al límite, cuando z tiende a cero, se otiene la &egunda ley de ic-4 dC dt
dC 1; " ! dz dz d
&i el coeficiente de difusión es independiente de la composición, lo cual dee comproarse para cada situación particular, la ecuación anterior se simplifica a4 A d 1C 1 dC " dt dz
1<
@ara difusión en las tres dimensiones, se tiene4 dC
1 A d C1 "
dt
d(
1
1
d C
d C
1
dy
1
dz
1>
'as soluciones a la ecuación 51<0 se consiguen especificando condiciones límites físicamente significati!as. En la práctica, una solución importante es la de un sólido semiinfinito cuya concentración superficial se mantiene constante, donde se plantean las siguientes "ipótesis4 +0 Antes de la difusión, todos los átomos de soluto están uniformemente distriuidos en el sólido a concentración
C , i .
10 El !alor de z en la superficie es cero y aumenta con la distancia dentro del sólido. 70 El tiempo se toma igual a cero en el instante inmediatamente antes de empe$ar la difusión. Estas condiciones límite son4 , @ara t ? C C a ? z , i
@ara t ? ,
C
, s
C 5la concentración superficial constante0 z ?
C C , i
a z
Aplicando las condiciones límites a la ecuación 51<0, se otiene4 C , z C , i z + erf 7? s A, A, i A 1 " t C C =onde4 C , z 4 2oncentración de la especie A a la distancia z de la superficie en un tiempo t . C , i 4 2oncentración inicial uniforme de la
especie A, en el instante t)*.
C , s 4 2oncentración de la especie A en la superficie del sólido.
z 4 =istancia desde la superficie. " ! 4 2oeficiente de difusión.
erf 4 unción de error gaussiana 7. t
4 Tiempo.
Esta ecuación, tamién puede ser escrita en términos de la función de error complementaria8 5 erfc 0. C , z C , i
erfc s A, A,i 1 C C
z "
A
t
7+
En la tala siguiente se dan los datos para !arios !alores de
3
&sta función de error gaussiana se define por
erf
donde
"
1
1
u1
?
e
z " ! t se ha reemplazado por la 'aria-le
&sta función se define como
erfc
+
1
?
du
.
e
u1
du
z 1 " ! t
.
Ta,#a ?1& Va#or"$ !" #a %/nc)n "rr or @ erf * - #a %/nc)n !" "rror comp#"m"ntara @ erfc * 1 ( t 1 dt 1 t 1 ferr 5 (0 y ferCom5 (0 ?e ( e dt
/err
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0,00 0,01
$,$1183
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$,338!$8
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0,34
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0,50
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$,$$$$" $,$$$$ $,$$$$1 $,$$$$1! $,$$$$18 $,$$$$1%
Además la ecuación 57?0, tamién puede escriirse utili$ando las siguientes definiciones4
Fracc)n mo#ar& y , z y , i
erfc s A,i A, 1 y y
z "
A
t
71
Fracc)n !" ma$a& w , z w , i
erfc s A,i A, 1 w w
z "
A
t
77
D"n$!a!& , z , i erfc
A, s
A, i
1
z
78
A " t
Pro,#"ma 1& )na pie$a sorecalentada de "ierro dulce, cuya concentración inicial
es de ?,1?J por peso de carono, se expone a una atmosfera carurante durante + "ora. En las condiciones del proceso, la concentración superficial del carono es
$,$$$$16
Además la ecuación 57?0, tamién puede escriirse utili$ando las siguientes definiciones4
Fracc)n mo#ar& y , z y , i
erfc s A,i A, 1 y y
z "
A
t
71
Fracc)n !" ma$a& w , z w , i
erfc s A,i A, 1 w w
z "
A
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77
D"n$!a!& , z , i erfc
A, s
A, i
1
z
78
A " t
Pro,#"ma 1& )na pie$a sorecalentada de "ierro dulce, cuya concentración inicial
es de ?,1?J por peso de carono, se expone a una atmosfera carurante durante + "ora. En las condiciones del proceso, la concentración superficial del carono es de ?,;?J. &i la difusi!idad del carono en el acero es de +,?H+?G++ m1Cs, a la temperatura del proceso, determínese la composición del carono a ?,?+ cm, ?,?1 cm y ?,?8 cm a#o la superficie. Solución:
)tili$ando la ecuación 57704 ��,� − ��, � = ���� [ ��,� − ��, 2 ∙ √ ∙� � �� =atos4 ��, B ?,1?J
��,� = 0,70%
� B + ℎ B 7:?? �
��� = 1,0 × 10
� −11
2
�
1;
]
A la profundidad de � B +,? H +?K8 �
��,� − 0,002
4
0,007 − 0,002
= ���� [0,2635]
��,� − 0,002
0,007 − 0,002
= 0,7094
��,� B ?,??998; o ?,998;J de carono
A la profundidad de � B 1,? H +?K8 �4 ��,� B ?,??81<+ o ?,81<+J de carono
A la profundidad de � B 8,? H +?K8 �4 ��,� B ?,??1:<+ o ?,1:<+J de carono
Pro,#"ma '& 2om/nmente, se endurece la superficie de una pie$a de acero dulce
empacándola en un material caronoso, dentro de un "orno a una temperatura ele!ada, durante un tiempo predeterminado. 2onsidere una de esas pie$as con una concentración inicial uniforme de carono de ?,+9J en masa. A"ora se empaca la pie$a en un material caronoso y se coloca en un "orno a temperatura ele!ada. &e sae que el coeficiente de difusión del carono en el acero, a la temperatura del "orno, es 8,
1<
)tili$ando la ecuación 57704
��,� − ��, � = ���� [ ��,� − ��, 2 ∙ √ ∙� � ��
]
0,01 − 0,0015 � = ���� [ 0,012 − 0,0015 2 ∙ √ ∙� � �� 0,81 = ���� [
]
� ] 2 ∙ √ ∙� � ��
&e tiene4 � = 0,17 2 ∙ √ ∙� � ��
=espe#ando4 �=
(0,0005
�2 4∙�
∙
�� (0,17 )
1
=
� )2 �
4 ∙ (4,8 × 10−102 ) 1 ∙ (0,17)�
� B 89?9 � B + ℎ +9 ���
'a pie$a de acero dee mantenerse en el "orno durante + " y +9 min para lograr el ni!el deseado de endurecimiento. Pro,#"ma 4& &e pretende cementar un acero con ?,+J de carono, mantenido en
un amiente a +1J de carono en alta temperatura, "asta que se alcance ?,89J de carono en una profundidad de 1 mm por dea#o de la superficie. 2uál es el tiempo total de cementación si el coeficiente de difusión es 1H+?G++ m1Cs. Solución:
)tili$ando la ecuación4
��,� − ��, � = ���� [ ��,� − ��, 2 ∙ √ ∙� � ��
0,0045 − 0,001 � = ���� [ 0,012 − 0,001 2 ∙ √ ∙� � �� � ?,7+<+< B ���� O 1 L P��� L
]
]
]
�&e
tiene4
� = 0,71 2 ∙ √ ∙� � ��
=espe#ando4 �=
(0,002
�2 4∙�
∙
�� (0,71 )
1
=
�) 2 �
4 ∙ (2 × 10−11 2 ) 1 ∙ (0,71� )
� B >> +<:,:; � B 1; ℎ 7: ���
Pro,#"ma 6& =eterminar el tiempo necesario para alcan$ar una concentración del
?,7?J de carono a 8 mm de la superficie de una aleación "ierroGcarono que inicialmente contenía ?,+?J de carono. 'a concentración de la superficie se mantiene a ?,>?J2de carono y la proeta se calienta a ++?? Q2. )tili$ar ��� B
7,0 × 10−11
� �
.
Solución:
)tili$ando la ecuación4
��,� − ��, � = ���� [ ��,� − ��, 2 ∙ √ ∙� � ��
]
0,0030 − 0,0010 � = ���� [ 0,0090 − 0,0010 2 ∙ √ ∙� � �� 0,25 = ���� [
]
� ] 2 ∙ √ ∙� � ��
&e tiene4 � = 0,81 2 ∙ √ ∙� � ��
=espe#ando4 �=
(0,004
�2 4∙�
∙
�� (0,81 )
1
=
�) 2
4 ∙ (7,0 × 10−112 (0,81)
� )
1
∙
�
� B <; ?>8,; � B 18 ℎ +1 ��
�Pro,#"ma >& &e caruri$a acero en un proceso de alta temperatura que depende
de la transferencia de carón por difusión. El !alor del coeficiente de difusión es fuertemente dependiente de la temperatura y se puede aproximar como4 ��� = 2 ×
− 17 000 � (�)
10 �
�2 �
K9
&i el proceso se efect/a a +??? Q2 y se mantiene una fracción molar de carón de ?,?1 en la superficie del acero, R2uánto tiempo se requiere para ele!ar el contenido de carón en el acero de un !alor inicial de ?,+J a un !alor del +,?J a una profundidad de + mmS Solución:
� B +??? Q� B +1;7 �
��� = 2 ×
− 17 000 �2 1 273 = 3,172 × 10−11
�
10 �
�2 �
K9
)tili$ando la ecuación4
� � , � − � �, � = ���� [ �� ,� − � �, 2 ∙ √ ∙� � ��
0,01 − 0,001 � = ���� [ 0,02 − 0,001 2 ∙ √ ∙� � �� 0,47368 =
� ] 2 ∙ √ ∙� � ��
���� [
&e tiene4 �
1 L P��� L
= 0,51
]
]
�
= e s p e # a n d o 4
�2 4∙�
∙
�� (0,81 )
1
=
(0,001 �)2 4 ∙ (3,172 × 10−11 (0,51)2�
�=
� B 7? 7?+,; � B < ℎ 19 ��
�
1
)∙
�
III.
DIFUSIÓN MOLECULAR EN GASES
'as fuer$as intermoleculares en los gases son relati!amente déiles. Esto deido a que contienen pocas moléculas por unidad de !olumen, en donde cada molécula tiene pocas moléculas !ecinas con las que pueda interactuar teniendo que recorrer distancias considerales antes de poder colisionar. 1. Contra!%/$)n "2/mo#ar "n a$"$&
&e presenta con frecuencia en las operaciones de destilación. &upongamos que se tienen dos cámaras grandes conectadas por un tuo, en donde se tienen los gases y !
a la presión total P que se mantiene constante. Amas cámaras están siendo
agitadas para mantener las concentraciones uniformes. 'as presiones parciales están y P !,1 P !,+ , por lo que las moléculas de se difunden relacionadas como4 P ,+ P ,1
"acia la derec"a y las de lo "acen "acia la i$quierda. 2omo la presión total P se mantiene constante, los moles netos de que se difunden "acia la derec"a deen ser iguales a los moles netos de ! que lo "acen "acia la i$quierda, es decir4 $ $ !
79
F/ra >& 2ontradifusión equimolar
El perfil de presiones será4
F/ra& @erfil de las presiones parciales de A y en función de $
Escriiendo la ley de ic- para ! cuando C es constante 5ecuación similar a la ecuación 1904 $ !
" !
dC !
7:
dz
Además se tiene4 C C ! C
7;
dC dC !
7<
=iferenciando4
*eempla$ando en la ecuación 57904 " " !
dC
dz
" !
dC !
!
" !
dz
" ! " !
dC !
dz dC !
dz
7>
Esto demuestra que en una me$cla gaseosa inaria de y !, el coeficiente de difusi!idad 5 " ! 0 para la difusión de en ! es igual al coeficiente de difusi!idad para la difusión de ! en 5 " ! 0.
Pro,#"ma 1& En un tuo uniforme de ?,+? m de largo se difunde amoniaco gaseoso
5A0 en 1 gaseoso 50 a +,?+71H+? 9 Pa de presión y 1>< ' . En el punto +, " ! es 8 P ,+ +, ?+7 +? y en el punto 1, �,2 = 0,507 × 104 � . 'a difusi!idad Pa
?,17?H+? G8 m1Cs.
a0 2alcule el flu#o específico $ en estado estacionario. 0 *epita para $ ! . Solución:
a0 Aplicando la ecuación 51:04 A A,+ A, 1 " P P $ A R T z z
1
m 8
?<1
+ atm
! s
?,
+
1
8
atm %
8
mol 1
m s
0 @ara calcular $ ! , modificaremos la ecuación 51:0 a4
=onde4 1
" !
"! ?, 17 +?
8
m s
+?+719 Pa + m
7
1>< ' ?,+ m 7 +? % mol . '
$ 8, ; +?
$ !
8
" ! P ! ,+ P ! , 1 R T z 1 z +
P ! ,+ P P ,+ +, ?+71 9 Pa +, ?+7+? +? P !, 1 P P , 1
+, ?+71
+?
Pa ?, 9?;
9
Pa >,++> +?8 Pa
8
8 Pa >, :19 +? Pa
8
+?
*eempla$ando en la ecuación anterior4 1 m + atm 8 8 8 A ,+ , 1 ! " P P s +?+719 Pa $ 7 R T z atm % + m z ?, 1 + 1>< ' ?,+ m 7 +? % mol .' ?<1 8
$ ! 8, ; +?
mol 1
m s
Pro,#"ma '& ióxido de carono y nitrógeno experimentan contradifusión equimolar
en un tuo circular, cuya longitud y diámetro son + m y 9? mm, respecti!amente. El sistema está a una presión total de + atm y a una temperatura de 19 Q2. los extremos de los tuos se conectan a cámaras grandes en las que las concentraciones de especies se mantienen a !alores fi#os, y la presión parcial de 2( 1 en un extremo es +?? mm de 6g y en el otro extremo es de 9? mm de 6g. R2uál es la rapide$ de transferencia de masa del 2(1 a tra!és del tuoS 2
� 'a difusi!idad del 2( 1 en el 1 es ��� = 0,16 × 10K8 �
Solución:
P A,1 =100 mm Hg
CO2 : A N2 : B
P=1 atm T=25 °C
=e la ecuación de ic-4 En donde4
��� �� B K��� L
��
L
��
�
=
�� B
*eempla$ando4
�
�L�
��
� ( � � )∙ � = −��� ∙ (� ∙ � 2 ) ∙ �� ��� ∙ ( � ∙ � �
� 2)
�� B K �2
∙
��
� �,2
� L �
��� ∙ � �2 ∙ ∙ ∫ � � �� ∙ ∫ �� = − ∙ � ��,1 �1 � �� ∙ (� 2 − �1 ) = −
��� ∙ � ∙ �
1
∙ ( � , 2 −
� , 1 )
� ∙ � ��� ∙ � ∙ � 2 ∙ ( � , 1 − � , 2 ) �� = � ∙ � ∙ − �1 )
( �2 *eempla$ando datos4 (0,16 × 10−4 ��
=
2 �
) ∙ (3,14) ∙ (25 × 10−3 )2 ∙ [(100 − 50)�� � ] ∙
� 3 ��� ∙ � 1 �3 10 ��� ( ) ( ) (0,082 ) ∙ 298 � ∙ 1 ∙ ∙
���� L �
�� = 8,454 × 10
1 ���
��� � −11
+
����
�
��� �� �
��
+?7 �
�� = (8,454 × 10−11
�
) ∙ (44
�� ��
) = 3,720 × 10−9
�
;:? ��
Aunque la transferencia molar del 1 en la dirección opuesta es4 �� = −8,454 × 10−11
��� � �
'a ra$ón de transferencia de masa es4 ��� �
�� = (−8,454 × 10−11
) ∙ (28
�
) = 2,367 × 10−9
� � ��� �
��
�'.
Ca$o "n"ra# para #a !%/$)n !" #o$ a$"$ A - B m+$ con3"cc)n&
6asta este punto solo se "a considerado la transferencia de masa por difusión en un fluido estacionario, sin un mo!imiento neto 5o flu#o con!ecti!o0 de la totalidad de la $ solo se dee al gradiente me$cla de y !, en donde el flu#o específico de difusión de concentraciones% el cual tamién se puede expresar en función de la !elocidad de difusión de como4 $ +dif , C
8?
=onde4 +dif , 4 Nelocidad de difusión de , en mCs, considerando que lo "ace "acia la derec"a
5con signo positi!o0 2onsideremos a"ora que la totalidad del fluido se está mo!iendo con un flu#o general o con!ecti!o. El componente sigue difundiéndose "acia la derec"a, y su !elocidad con respecto a un punto estacionario será igual a su !elocidad de difusión más la !elocidad de la fase total4 + +dif , + M
8+
=onde4 + 4 Nelocidad de con respecto a un punto estacionario. + M 4
Nelocidad molar promedio de la totalidad del fluido con respecto a un punto
estacionario. Multiplicando la ecuación 58+0 por C , se tiene4 C + C +dif , C + M
81
@odemos expresar esta ecuación por4 , $ C + M
87
=onde4 ,
4 lu#o específico total de con respecto al punto estacionario
$
4 lu#o específico de difusión con respecto al fluido en mo!imiento.
C + M 4 lu#o con!ecti!o específico de con respecto al punto estacionario.
Además, sea , , el flu#o específico total de la corriente general con respecto al punto
estacionario4 , C + M , , !
88
=espe#ando + M 4
, ! M
+
,
89
C
*eempla$ando en la ecuación 58704 , $
C
, C
, ! 8:
&ustituyendo la ecuación 5190 que es la ley de ic- en la ecuación 58:0 94 ,
" !
dC
, dz
C
, ! 8;
C
Esta situación expresa de forma general la difusión más con!ección. @uede escriirse , 4 una ecuación similar para ! , !
"
dC !
C !
, 8<
, !
dz
C
!
Amas ecuaciones 58;0 y 58<0, se pueden aplicar para la difusión en gases, líquidos y sólidos. 4. D%/$)n "n "$ta!o "$taconaro !" A 2/" $" !%/n!" a tra35$ !" B no !%/$3o "n r"po$o&
En este caso, alg/n límite al final de la trayectoria de difusión es impermeale al componente !, por lo que este no puede atra!esarlo. @ara un me#or entendimiento !eamos 1 e#emplos4 a0 2onsiderar la e!aporación de un líquido puro como el enceno 5 0 en el fondo de un tuo estrec"o, por cuyo extremo superior se "ace pasar una gran cantidad de aire
#
&sta ecuación representa otra de las formas de la ley de /ic, en la cual se in'olucra los t+rminos correspondientes al transporte molecular y al transporte con'ecti'o.
5 !0 inerte o que no se difunde 5!er figura ad#unta0. El !apor de enceno 5 0 se difunde a tra!és del aire 5 !0 en el tuo. El límite en la superficie líquida en el punto + es impermeale al aire, pues este es insolule en el enceno líquido. @or consiguiente, el aire 5 !0 no puede difundirse en la superficie o por dea#o de ella. , pues pasa un gran !olumen de aire. En el punto 1, la presión parcial P ,1 ?
F/ra & =ifusión de enceno a tra!és del aire no difusi!o y en reposo 5enceno
que se e!apora al aire0 0 (tro e#emplo lo constituye la asorción de !apor de 6 7 5 0 del aire 5 !0 en agua. =eido a la a#a soluilidad del aire en el agua, se puede considerar la superficie del agua como impermeale al aire.
F/ra & =ifusión del agua a tra!és del aire Así tendremos para amos e#emplos que , ! ? , y reempla$ando este !alor en la
ecuación 58;0 otenemos4 ,
" !
dC dz
C C
8> ,
&i se mantiene constante la presión, y si consideramos a los gases como ideales P
P
% y reempla$ando en la ecuación 58>0 tenemos4 C y tenemos4 C R T R T
, ,
" ! dP
R T
P
dz
9?
P
*eordenando e integrando4
P + , d
P
P
dz
,
,+
P
z 1 z+
9+
P ,1
z
dP A
+
P P
P P , 1 ln P ,+
" ! P R T
A
,
!
dz
R T
+
" !
R T "
z 1
,
P P P A,1 ln 91 P P R T z z 1 + ,+ "
@ero saemos que P P ,+ P !,+ P ,1 P !,1 , de donde se tiene que
P P ,1
y P P ,+ P !,+ . *eempla$ando en la ecuación 5910 y multiplicando por el factor P ,+ P ,1, que es igual a la unidad, tenemos4 P ! ,1 P ! ,+
A
" ,
R T z 1
z+
P ,1
A,+
P
P A,1 P P ! ,1 P ! ,+
ln
P !,+
=efiniendo la me$cla logarítmica de ! como4 P ! , M
P ,1 P !
ln + ! , P ! ,1
! ,+ P *eempla$ando en la ecuación 59704
98
97
P !,1
" ! P P ,+ ,
99
P , 1 R T z 1 z +
.P !, M
&i P ,+ es peque3o en comparación con P , es decir para una me$cla gaseosa diluida, se tiene4 P !, M " P . Pro,#"ma 4& El agua en el fondo de un tuo metálico estrec"o se mantiene a
temperatura constante de 1>7 F. 'a presión total del aire 5que se supone seco0 es +,?+719H+? 9 @a 5+ atm0 y la temperatura es 1>7 F. El agua se e!apora y se difunde a tra!és del aire en el tuo y la trayectoria de difusión $ 1G$+ tiene ?,+981 m de longitud. 2alcule la !elocidad de e!aporación en estado estacionario en -molCs.m1. 'a difusi!idad del !apor de agua a 1>7 F y + atm de presión es ?,19?H+? G8 m1Cs. &uponga que el sistema es isotérmico. Solución:
=e talas, se encuentra la presión de !apor del agua a 1>7 F4
�,+
= 0,0231
���
'a presión del agua en el punto 1, se considera cero por tratarse de aire puro4
�,1 B ?
��� �,+ B K �,+ B + ��� K ?,?17+ ��� B ?,>;:> ��� �,1 B K �,1 B + ��� K ? ��� B + ���
*eempla$ando en la ecuación 5980 para encontrar la media logarítmica de 4 1 ��� − 0,9769 �,� �,2 − �,1 = 0,9884 ��� � , 2
=
ln (
�,1
)
���
1 ���
ln (
)
0,9769 ��� ��� ∙ ∙ (�,1 − �,2 )
�� =
� ∙ � ∙ (�2 − �1 ) ∙ �,� � (0,25 × 10−4 2 ∙ (1 ���) ∙ (0,0231 ��
=
� )��� − 0 ) 3 � �� ∙ � 1 )� ( ( (0,082 ) ∙ 293 ∙ 0,1542 � �) ∙ (0,9884 ���) ×
��� L �
�� = 1,577 × 10
×
−4
��
1
�
���
�2 ∙ �
103
� +?7 �
= 1,577 × 10
−7
��� � �2 ∙ �
���
Pro,#"ma 6& 'a difusión de !apor de agua en un tuo estrec"o ocurre como se
muestra en la figura. &in emargo, en un tiempo dado t , el ni!el es z m desde la parte superior. 2onforme a!an$a la difusión, el ni!el, el ni!el !a disminuyendo lentamente. =edu$ca la ecuación para el tiempo t f que tarda el ni!el en a#ar desde un punto de partida z * m en t)* a z f en t)t f s, como se muestra.
Solución:
2onforme pasa el tiempo, la longitud de la trayectoria z aumenta. Aplicando la ecuación 5990, considerando que , y z son !ariales. ��� ∙ ∙ (�,1 − �� B
�,2 )
� L � L � L �,
�&i
se supone un área de corte trans!ersal de 1 m2, el ni!el desciende dz m en dt s y � � ∙ (�� ∙ 1)
��
son los -mol de A que se !an a ir difundiendo. �� ∙ ( ��
∙ 1)
�� ∙ (1) =
�� ∙ ��
Igualando amas ecuaciones, ordenando e integrando se tiene4 ��
��� ∙ ∙ (�,1 −
�� ∫ � ∙ �� �� � � ∫ �� �0
�,2)
= � =0
2 2 �� ∙ (� � − �0 ) ∙ � ∙ � ∙
�=
�,�
2 ∙ �� ∙ � ��) ∙ ∙ (�,1 − �,2
6. D%/$)n a tra35$ !" /n +r"a !" cort" tran$3"r$a# 3ara,#"&
2uando el área de corte trans!ersal es !ariale, se define la siguiente ecuación4 ,
,
9:
=onde4 , 4 son los -ilomoles de que se difunde por segundo.
2asos4 a0 D%/$)n !"$!" /na "$%"ra& 2onsiderar el caso de difusión en un gas "acia o desde una esfera% situación que se puede presentar en casos de e!aporación de una gota de líquido, la e!aporación de una ola de naftaleno y en la difusión de nutrientes a un microorganismo de forma esférica en un líquido. Así tenemos una esfera de radio r + que se encuentra en un medio gaseoso infinito. El componente , con una presión parcial P ,+ en la superficie, se difunde en el medio estacionario circundante !, en donde el !alor de es igual a cero.
P , 1
a una distancia grande
dr
r
r +
P ,1 P ,+
,
F/ra & =ifusión desde una esfera
=e la ecuación 59:0 para una esfera, se tiene4 ,
,
8 r
9;
1
de la ecuación 59+0, reempla$ando dz por dr 4 " ! dP 9< , R T P + P dr Igualando amas ecuaciones, ordenando e integrando4 ,
8 r , 8
dP " ! R T P + P dr
1
r 1
dr
r +
r1 T
" ! R
P , 1
P ,+
P d
+
P P
+ + " P P P , 1 ! ! ln P P ,+ r 1 R T 8 r + ,
@uesto que r 1
r +, por lo que + P " ? , sustituyendo el !alor de !, M r 1
5980 y multiplicando amos miemros por + 4 r +
de la ecuación
+ r +
,
" ! P P ,+ P , 1
8 r +
,
R T P ! , M
, ,+ 1
8 r
" ! P P ,+
P , 1
R T r P
+
+
+
r +
9>
! , M
0 D%/$)n por /n con!/cto !" +r"a !" cort" tran$3"r$a# no /n%orm"& 2onsiderar la figura siguiente en donde el componente se difunde en estado estacionario a tra!és de un conducto circular de área !ariale.
r 1 r +
r z +
1
F/ra & =ifusión por un conducto de área trans!ersal no uniforme
=e la ecuación 59:04
,
,
r
1
:?
=e la ecuación 59+0, tenemos4
,
" !
R T
dP
:+
P dz + P
Igualando amas ecuaciones4 A,
dP r 1
A
A
" R T P + P dz
:1
En donde el radio r es !ariale y se puede relacionar con la posición z de la trayectoria por medio de la ecuación de una recta que pasa por los puntos + 5 z 1 -r 1 y 1 5 z 2 -r 204 r r +
z z +
rr
r 1
+
r 1
r +
:7
z 1 z +
z z
z 1 z +
:8
+
+
&ustituyendo la ecuación 5:70 en la ecuación 5:+0, ordenando e integrando tenemos4 , z 1 z+ " ! P P P , 1 ln :9 r + r 1 R T P ,+ Pro,#"ma >& )na esfera de naftaleno con radio de 1 mm está suspendida en un gran
!olumen de aire estacionario a /10 ' y 1-*1/21* Pa 51 atm0. &e puede suponer que la temperatura superficial del naftaleno es 7+< F y su presión de !apor a esta temperatura es ?,999 mm de 6g. El !alor de " ! del naftaleno en aire a 7+< F es :,>11*34 m1Cs. 2alcule la rapide$ de e!aporación del naftaleno en la superficie.
Solución:
1 ��� �,+ B K �,+ B + ��� K ?,999 �� � H ;:? �� � B ?,>>> ��� �,1 B K �,1 B + ��� K ? ��� B + ���
*eempla$ando en la ecuación 5980 para encontrar la media logarítmica de 4 �,2 − �,1 1 ��� − 0,999 �,� = = 0,999 ��� � , 2
ln (
�,1
)
���
1 ���
ln (
)
0,999 ��� ��� ∙ ∙ (�,1 − �,2 ) ��,+ B
� L � L �+
L �,
�
(6,92 × 10
� ��
−6
�
2
) ∙ (1 ���) ∙ (0,555�� � − 0) ×
1
760 �� �
�
��,1 =
(0,082 1�
7
� �� ∙ �
) ∙ (318 �) ∙ (2 × 10−3 �) ∙ (0,999 ���) ×
��� L � � �,1
���
= 9,70 × 10−5
2
+?7
� L�
�
IV. DIFUSIÓN MOLECULAR EN LÍ7UIDOS 'a difusión de solutos en líquidos es importante en los procesos industriales, sore todo en las operaciones como la extracción líquidoGlíquido o extracción con disol!entes, en la asorción de gases y en la destilación. 1. Ec/acon"$ para #a !%/$)n "n #82/!o$&
En un líquido sus moléculas están más próximas unas de otras que en los gases, y deido a esto, las fuer$as de atracción entre ellas tienen un efecto importante sore la difusión. a* Contra!%/$)n "2/mo#ar& =e la ecuación 58;0 y considerando contradifusión , , ! equimolar en estado estacionario, donde4 ,
" !
dC
, dz ,
,
z 1
z +
C
,
C
dz " !
C , 1
dC
C ,+
" ! C ,+ C , 1
z 1 z +
::
'o cual puede ser escrita como4
" ! C y ,+ y , 1 ,
:;
z 1 z +
=onde4 C 4 es la concentración total promedio de !
Además4
C
MM
+
1
MM+ MM 1
:<
1
=onde4 + y 1 4 =ensidades de la solución en los puntos + y 1 respecti!amente. MM +
y
MM 1
respecti!amente.
4 Masas moleculares de la solución en los puntos + y 1
,* D%/$)n !" A a tra35$ !" B 2/" no $" !%/n!"& Estos casos son frecuentes en la
industria. &upongamos que el soluto que se difunde a tra!és del líquido ! que no se difunde 5 , ! ? 0, se comporta como un gas ideal4 P ,+ C ,+ R T :> P , 1
C , 1 R T ;?
Además4 P C R T
;+
*eempla$ando en la ecuación 59104 ,
" ! C z 1 z +
C R T C , 1 R T ln ! ! C R T C ,+ R T
C R T C ,1 R T ! " ! C R C T , ln! C R T C,+ R T z 1 z + ! ! C R T C , 1 ! " C C ! , ! ln z 1 z + ! + C ,+ ! C ,
C + y, 1 ln ! ;1 + y z 1 z + ! ,+
" !
Además, se tiene la siguiente relación4 y ,+
y !,+ y , 1 y ! , 1 + ;7
*eempla$ando en la ecuación 5;10 y multiplicando por4 , 1
" ! C
y ,+ y , 1 y ! , 1 y ! ,+
y ! , 1 y ,+ y , ln ! ;8 z 1 z + ! y ! ,+ y ! , 1 y !,+
4
=efiniendo la siguiente relación4 y ! , M
y ! , 1 y ! ,+
y ! , 1 ln ! ! y ! ,+
;9
*eempla$ando en la ecuación 5;804 " ! C y ,+ y , 1 ;: ,
z 1 z + y !, M
Pro,#"ma 1& )na solución de etanol 5A0 en agua 50 en forma de película
estacionaria de 1,? mm de espesor a 1>7 F, está en contacto con la superficie de un disol!ente orgánico en el cual el etanol es solule, pero el agua no. @or tanto, , !)*. En el punto +, la concentración del etanol es +:,
En el punto 1 la concentración del etanol es :,
52)600-1 kg8m /.
'a difusi!idad del etanol es *-79*1*36 m2 8s. calcule el flu#o de
estado estacionario , . 'as masas moleculares de A y son4 MM )94-* kg8kmol y MM !)10-*2 kg8kmol.
Solución:
&e utili$ará la ecuación 5;:0. 2alculando las fracciones molares para + -g de solución4
0,168 ��
46,05
��
��� � ��,1 = 0, 168 �� 0 , 832 �� !
= 0,0732
46,05
�� ����
18,02
�� ���
�
0,068
��
46,05
��
��� � ��,2 = 0, 068 �� 0 , 932 �� ! �� ��
46,05
= 0,0278
18,02
���
=e donde4
�� ��
� ��,+ B + K ?,?;71 B ?,>1:< ��,1 B + K ?,?1;< B ?,>;11
@ara calcular ��,� , se dee reempla$ar en la ecuación 5;904 0,9268 0,9722 − 0,9268 0, ln ( ��,� B ) 9722 B ?,>8> 7
2alculando las masas moleculares en + y 14 ��1 =
��2 =
1 �� �� 0, 832 �� ��� � 0, 168 �� ! B 1?,?; �� �� 46,05���� 18,02 ���� 1 �� �� 0, 932 �� ��� � 0 , 068 �� ! B +<,
�
���
*eempla$ando en la ecuación 5:<04 �1 ! �2 ��1 = � ��� �
�� �� 988,1 3 � �3 ! �� ��
972,8
20,07
��2
18,80
2
��� �
�� ��
= 2
= 50,51
�3
*eempla$ando estos !alores en la ecuación 5;:04 �� =
��� ∙ � ∙ (��,1 − ��,2 )
2 �
��
(�
−2 � )1" � �,�
��� �
(0,740 × 10−9 � ) (50,51 � 3 ) = (2 × 10−3 � (0,9493 ) )
(0,0732 − 0,0278)
� � = 8,936 × 10
�� −7 � � �1 L
�
DIFUSIÓN MOLECULAR EN SÓLIDOS
V.
'a transferencia de masa en los sólidos es muy importante en los procesos químicos y iológicos, a pesar de que su !elocidad de difusión es menor comparada con los líquidos y gases. En los sólidos se dan dos tipos de difusión4 aquella que sigue la ley de ic- y que no depende de la estructura del sólido% y la difusión en sólidos porosos, en la que la estructura y los canales !acíos son de gran importancia. 1. D%/$)n !" $)#!o$ 2/" $/"n #a #"- !" Fc&
'a difusión en sólidos se !erifica cuando un fluido o soluto que se difunde, se disuel!e en el sólido para formar una solución más o menos "omogénea. @artiendo de la ecuación 58;04 ,
dC
" !
, dz
@uesto que4
C C
(
C
, ! 8;
C
es un !alor muy a#o, siempre se desprecia% por lo que la
ecuación 58;0 se simplifica a4
,
" !
dC dz
;;
Integrando para una placa sólida4 ,
z 1
z +
dz " !
C , 1
dC
C ,+
, z 1 z + " ! C , 1 C ,+
,
" ! C ,+
C , 1
z 1 z +
;<
En el caso de una difusión radial a tra!és de la pared de un cilindro de radio interno r + con longitud % . y radio externo r 1 ,
=e la ecuación 59:04
" !
dC
;>
dr ,
,
1 r %
,A
r 1
dr
r+
r
1 %
" ! " !
r ln 1
,
" 1 %
d C dr C , 1
A C A, 1
r +
dC
C ,+
C A,+
1 % " ! C ,+ C , 1 ,
<+
r ln 1 r +
@ara la difusión radial a tra!és de una capa esférica de radios internos y externo r + y r 1
respecti!amente. =e la ecuación 59:04 ,
,
<1
8 r 1
Igualando con la ecuación 5;>0, ordenando e integrando4 , 8 r
1
, A 8
dr
r+
r
1
" !
8
r 1
dr C , 1
C
!
dC
C , 1 C A,+
r +
8 " ! C ,+
d C
,+
+ + !
,
"
,
r 1
" !
+ r +
+
C , 1
<7
r 1
El coeficiente de difusión " ! en el sólido no depende de la presión del gas o del líquido en la superficie del sólido.
Además, la concentración de un gas en un sólido está dada por4 C : P <8 =onde4 : 4 &oluilidad del gas en el sólido P 4 @resión parcial de .
En muc"os casos, los datos experimentales de difusión de gases en sólidos no se dan como difusi!idades y soluilidades, sino como permeailidad4 P M " ! : <9 =onde4 P M
4 @ermeailidad.
: 4 &oluilidad del gas en el sólido.
=e la ecuación 5<804 : P ,+ <:
C ,+ C , 1
: P , 1 <;
&ustituyendo en la ecuación 5;<04
" ! : P ,+ P , ,
1
z 1 z + P M
,
<<
P ,+ P , 1
z 1 z +
<>
'. D%/$)n "n $)#!o$ poro$o$ "n #o$ 2/" a%"cta #a "$tr/ct/ra& a* D%/$)n !" #82/!o$ "n $)#!o$ poro$o$&
2onsiderando la figura siguiente, en donde, si los espacios !acíos están llenos de líquido, la concentración del soluto en el punto + es
C ,+
y en el punto 1 es
C , 1 .
'a trayectoria recorrida por el soluto al difundirse en el líquido a tra!és de los z z por un factor # , llamado sinuosidad. espacios !acíos, es mayor que 1 +
F/ra 1?& 2orte trans!ersal de un sólido poroso
=e la ecuación 5;<0, se tiene4
$ " ! C C , 1 >? ,+
,
# z 1 z +
=onde4
$ 4 racción de espacios !acíos. # 4 actor de corrección: de la trayectoria más larga que z 1 z + . ,* D%/$)n !" a$"$ "n $)#!o$ poro$o$&
&i en la figura anterior, en lugar de llenarse con líquido, los poros se llenasen con gas, la ecuación 5>?0 se transforma en4 $ " ! P ,+ P , 1 >+ ,
6
# R T z 1 z +
&n sólidos de tipo inerte # 'aría desde 1,# hasta #.
VI. COEFICIENTES DE TRANSFERENCIA DE MASA 1. Intro!/cc)n&
2uando un fluido fluye por una superficie sólida, la región contigua a la superficie presenta un flu#o predominantemente laminar, el cual al aumentar la distancia de la superficie, irá camiando gradualmente "asta ser cada !e$ más turulento% y en las $onas más externas del fluido pre!alecerá un flu#o completamente turulento. =e la ecuación 58;0, ordenando e integrando4 ,
" !
dC
, dz , , , !
C
z
, ! 8;
C " !
, , !
, , !
" !
z 1
dz
+
dC dz
C , 1
C ,+
C
>1
C dC
C , , , ! C
C , 1 , ! A C A , , , , C z 1 z + C ln! " ! , ,+ ! ! , , C ! C , 1 , ! , , C " ! C , , ln ! ! >7 ! z 1 z+ ! , C ,+ ! , , ! C 'a cual se puede escriir como4
,
, , , !
C , 1 , ! , , C " ! C ln ! ! >8 z1 z+
! , C ,+ ! , , ! C
En donde4 " ! C , se puede reempla$ar por ; que es un coeficiente de masa. z 1 z +
,
C , 1 , ! , , C ! ! ; ln >9
,
, , !
! , C ,+ ! , , ! C
=onde4 ; 4 2oeficiente de transferencia de masa;.
Existen coeficientes de transferencia de masa especiales, que se definen como4 ,
2oeficiente =iferencia de concentración
a* Contratran$%"r"nca Contratran$%"r"nca "2/mo#ar& , , , !
&e tiene4 , , ! por lo que4
.
Para a$"$& ,
k < P ,+ P , 1 >:
,
k y y ,+ y , >; , 1
,
k C C ,+ C , 1 ><
,
k ( ( ,+ ( , 1 >>
Para #82/!o$& ,
k % C ,+ C , 1 +??
,* Tran$%"r"nca !" A a tra35$ !" B 2/" no $" tran$%"r"& &e tiene4 , ! ? por lo que4 , + . , , ! Para a$"$& ,
P ,+ P , 1 k % y ,+ y , 1 k % C ,+ C , 1
k <%
+?+ , +?1 , +?7
y
C
%
&ste es un coeficiente de transferencia de masa local, definido para un lugar par2cular so-re la superficie límite de la fase. &sto es porque el 'alor F depende de la naturaleza del mo'imiento del fluido que puede 'ariar a lo largo de la superficie.
Para #82/!o$& ,
k (% ( ,+ ( , 1 +?8
, 1
k %% C ,+ C ,
+?9 '. Co"%c"nt"$ !" Tran$%"r"nca Tran$%"r"nca !" ma$a ma$a "n %#/(o #amnar&
2onsiderar la figura siguiente, en la que se muestra una película líquida en flu#o laminar, que desciende en una superficie lisa !ertical mientras es expuesta a un gas
, que se disuel!e en el líquido. El líquido contiene una concentración uniforme
C , ?
, en la parte superior. En la superficie del líquido, la concentración del gas disuelto es
C ,
i
, en equilirio equilirio con la presión en la fase gaseosa. @ara que el gas se
disuel!a en el líquido dee darse4
C , i
C , ? .
&uponer que el líquido en su descenso recorre la distancia % .
F/ra 11& @elícula descendente de líquido
El espesor de la película 5 & 0 es4 + +
y 7 + ' 1 7 ' ( 7 &1 +?: g g
=onde4
& 4 Espesor de la película. + y
4 Nelocidad promedio en la dirección y.
' Niscosidad dinámica. 4 =ensidad de la solución. ( 4 *apide$ del flu#o de masa por unidad de espesor de la película. ( + y & +?; &e puede definir un coeficiente promedio 5 k %, prom 0 para la superficie líquidoGgas completa4 k % , prom
+ y
&
%
C , i C , ? ln ! +?< ! C , i C , %
=onde4 C , i
4 2oncentración de en la superficie del líquido.
C ,? 4 2oncentración de en la parte superior del líquido. C , % 4 2oncentración de promedio total. %
4 =istancia recorrida por el líquido en su descenso.
=efiniendo el n/mero de *eynolds para películas4 8 ( +?> Re ' @ara rapideces a#as de flu#o o largos tiempos de contacto del líquido con el gas , ) +?? 0, se tiene4 5generalmente para *e k % , prom " !
&
:= prom * 7, 8+
++?
=onde4 := 4 /mero de &"erood.
Asimismo, para n/meros de *eynolds grandes o tiempo de contacto peque3o, da4 + : " ! +++ k %, prom 1
& %
+
:= prom
7 & 1 ++1 Re :c 1 %
=onde4 :c 4 /mero de &c"midt <. Re :c 4 A este producto se le conoce como n/mero de @eclet 5@e0. Estas k % promedio pueden utili$arse para calcular la rapide$ de asorción total. @or lo
tanto el flu#o específico total de promedio para la superficie completa gasG líquido es4 k % , prom + C , , prom C C , i C M ++7 , % , ? y& %
=onde4 C ,i C M
es el promedio logarítmico de la diferencia entre la parte
superior e inferior de la película. i
C C , i
C , C , ? C , C , ++8
i
%
M
C , i C , ? ln ! ! C , i C , %
4. Co"%c"nt"$ !" tran$%"r"nca !" ma$a "n %#/(o t/r,/#"nto&
En la práctica la mayor parte de situaciones implican el flu#o turulento> y deido a la imposiilidad de descriir matemáticamente las condiciones de flu#o, no es posile calcular los coeficientes de transferencia de masa, por lo que se "ace uso de datos experimentales, los cuales son limitados en su extensión seg/n las condiciones y situaciones en que se aplican, así como del rango de las propiedades del fluido.
8
&l nmero de 4chmidt se define como
:c !
' " !
&s necesario recordar que la tur-ulencia se caracteriza por un mo'imiento irregular de las par5culas del fluido con respecto al tiempo y al sen2do.
&in emargo "ay muc"as teorías que intentan interpretar o explicar el comportamiento de los coeficientes de masa, tales como4 la teoría de la película, la de penetración, la de reno!ación de la superficie, de las capas límites, etc. a* T"or8a !" #a p"#8c/#a&
Es la teoría más antigua y fue tomada de un concepto similar utili$ado para la transferencia de calor por con!ección. 'a teoría de la película nos dice que cuando un fluido en régimen turulento fluye en contacto con una superficie sólida, en el momento en que se efect/a la transferencia de masa de la superficie "acia el fluido, la relación entre concentración y la distancia esta dada por la figura que se muestra a continuación. En donde la se atriuye a la difusión molecular diferencia de concentración total4 C ,+ C , 1 dentro de una película Uefecti!aV de espesor z ; .
F/ra 1'& Teoría de la película
Es así que, seg/n esta teoría, en las ecuaciones !istas "asta este punto, se puede z z por z ; , es decir por el espesor efecti!o de la película. reempla$ar 1 + ,* T"or8a !" #a p"n"trac)n&
&eg/n 6igie, deido a que el tiempo de exposición de un fluido a la transferencia de masa es peque3o, no se llega a formar el gradiente de concentración característico del estado estacionario. @or lo que se puede utili$ar la ecuación 51<0. C
"
1C 1
1<
t
z A
En donde se puede utili$ar las siguientes condiciones4 + C ,? , en t ? para todo z , C - C , i , en z ? para t ? ,C , en z para todo t . ,? =onde4 t
4 Tiempo de contacto.
C ,? 4 2oncentración inicial del gas disuelto. C , i
4 2oncentración en la interfase gasGlíquido.
*esol!iendo la ecuación 51<0 se otiene un flu#o específico de transferencia de masa promedio durante el tiempo de exposición4 ,
1
, , C prom
C ,? i
" !
++9
t
comproando esta /ltima ecuación con la ecuación 5+?90, se tiene4 1 "! ++: W k % , prom t
c* T"or8a !" r"no3ac)n !" #a $/p"r%c"&
=anc-erts se3ala, contrariamente a lo que consideraa 6igie, que los remolinos en la superficie de un fluido en régimen turulento están expuestos a diferentes inter!alos de tiempo. @or lo que la rapide$ de transferencia de masa promedio por unidad de área superficial se determina sumando los !alores indi!iduales. Además, la posiilidad de que un elemento de la superficie fuera reempla$ado por otro casi no dependía del tiempo que "uiese permanecido en la superficie. , C C " ! s ++; , prom
, i
, ?
@or lo tanto, comparándola con la ecuación 5+?90, se tiene4 W
k %, prom " ! s
++<
=onde4 s 4 Nelocidad fraccionaria de reempla$o de los elementos de la superficie.
!* T"or8a com,na!a !" r"no3ac)n !" #a $/p"r%c" !" #a p"#8c/#a&
=oins cominó la teoría de la película y la de la reno!ación de la superficie. @ara esto supuso que los elementos superficiales o remolinos tienen una profundidad finita. Modificó la tercera condición de frontera de la ecuación 51<0 por para z z > , donde z > es finita. W
k
% , prom
"
s
cot"
!
> 1
s z
C
C ,?
++>
" !
"* T"or8a !" "$tram"nto $/p"r%ca#&
En esta teoría se considera que la superficie interfacial a tra!és de la cual ocurre la transferencia de masa, camia periódicamente con el tiempo. @or lo que se tiene4 " ! t r r k %W , prom +1? 1 t C t ?dt r r
=onde4 4 &uperficie interfacial dependiente del tiempo. r t r
4 )n !alor de referencia de , definido para cada situación. 4 )na constante, con dimensiones de tiempo de finida para cada situación +?
.
%* T"or8a !" #a capa #8mt"&
En las teorías antes mencionadas, la !elocidad en la superficie interfacial formada entre dos fluidos, es diferente de cero. &in emargo cuando una de esas fases es un
1$
or e*emplo, para la formación de una gota,
t r será el tiempo de formación de la gota.
sólido, la !elocidad del fluido en esta interfase es cero% pero la !elocidad irá aumentando conforme aumente la distancia desde la superficie. 'a región de menor !elocidad es llamada capa límite. &e puede calcular el coeficiente de transferencia de masa a partir de4 A, i A, ? C k % , " ! C C +1+ z z ? =onde4 C ,? 4 2oncentración uniforme de soluto en el fluido. C , i
4 2oncentración de soluto en el fluido en la superficie del sólido.
VII. AN9LOGÍAS ENTRE LAS TRANSFERENCIAS DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO: CALOR ; MASA Existe una estrec"a relación entre los 7 fenómenos de transferencia, en los regímenes laminar y turulento. @or lo que la similitud entre las ecuaciones para los procesos de transferencia de cantidad de mo!imiento, calor y masa, así como sus soluciones idénticas, nos permiten predecir las características de una forma de transferencia en un sistema en un sistema con una cantidad limitada de datos, mediante el conocimiento de los otros dos procesos de transferencia. 2onsiderando el despla$amiento de un fluido sore una placa plana de longitud con condiciones de flu#o lire o externo de T , V y
w ,
%
,
como se muestra en la
figura siguiente4
F/ra 144 @erfiles y recta tangente de los coeficientes de cantidad de mo!imiento, de transferencia de calor y de transferencia de masa sore una superficie
'a ecuación de !iscosidad descrie el transporte de momento a tra!és de capas fluidas4 + f # s ' y ? V +11
y
1
1
=onde4
# s 4 Esfuer$o cortante.
' 4 Niscosidad dinámica. + 4 Nelocidad.
f
4 actor de fricción.
4 =ensidad. V 4 Nelocidad de flu#o lire en el flu#o externo o la !elocidad media de masa de ++ kg fluido en el flu#o interno . ! m s 1
'a ecuación de transferencia de calor descrie el transporte de energía4 T ? s k =calor Ts +17 y T
y ?
=onde4 k 4 2onducti!idad térmica. =calor 4 2oeficiente de transferencia de calor. T s 4 Temperatura de la superficie. T 4 Temperatura del fluido suficientemente ale#ado de la superficie.
'a ley de difusión descrie el transporte de masa4 , w , w , # = w +18 y " s ! masa s y ? =onde4 " ! 4 2oeficiente de difusi!idad. =masa 4 2oeficiente de transferencia de masa.
11
4e tratará de flu*o eterno o flu*o interno, dependiendo de si el fluido se fuerza a mo'erse so-re una superficie o en el interior de un tu-o.
w , s 4 racción en masa de la especie en la superficie 5en el lado del fluido0. w , 4 racción en masa de la especie
en el flu#o lire.
Estas relaciones se pueden reescriir para el flu#o interno mediante el uso de propiedades medias de masa4
'a cantidad de mo!imiento4 + V f V %C f *e 1 1 ' y d %C y ? d
+19
=onde4
*e 4 /mero de *eynolds. %C 4
'ongitud de entrada de concentración, que es la distancia desde la entrada del
tuo "asta el lugar donde ocurre la unión de las capas límite.
'a transferencia de calor4 T X T s T T s
d!
y d %C
=calor %C
+1: ,u
k y ?
=onde4 Eu 4 /mero de usselt.
'a transferencia de masa4 w w , s d! ! w , w , s
y d %C =onde4 " ! 4 2oeficiente de difusión.
y ?
=m
asa
%C " !
&" +1;
&" 4 /mero de &"erood.
@ara situaciones análogas, los perfiles de temperatura y concentración en forma adimensional así como los coeficientes de transferencia de calor y de masa en forma de grupos adimensionales, están dados por las mismas funciones. Es así que para con!ertir las ecuaciones o correlaciones de datos sore la transferencia de calor a las de transferencia de masa se puede "acer uso de la tala siguiente4 Ta,#a '& Drupos adimensionales correspondientes de transferencia de masa y de
calor Tran$%"r"nca !" ca#or T T + T 1 T +
Tran$%"r"nca !" ma$a
N/m"ro !" R"-no#!$ + %C V *e %C ' / Nm"ro !" Pran!t# cP '
@r
k
C C ,+ C , 1 C ,+
N/m"ro !" R"-no#!$ *e
/ 0
=cal or %C
k
u f *e, @r u f Dr, @r Nm"ro !" Gra$
" !
&" f *e, &c &" f Dr, &c Nm"ro !" Gra$
1
T calor
@e
g % T s C ' Nm"ro !" P5c#"t 7
Dr
c %C +
*e @r V P
calor
Eu
*e @r
Eu
@e
calor
c P
%C
0
k
Nm"ro !" Stanton &tcalor
/
Nm"ro !" Sc
Nm"ro !" N/$$"#t Eu
V %C
=
calor V
7
1 s '
g %C
masa
Dr Nm"ro !" P5c#"t % V @e &c C *emasa !
"
Nm"ro !" Stanton &t masa
&"
&"
*e &c @e masa
uente4 2engel, unus A. 51??;0. Transferencia de calor y masa. 7Y ed.
=masa V
En la con!ección de calor, las magnitudes relati!as de la cantidad de mo!imiento y la difusión de calor en las capas límite de !elocidad y térmica se expresan por el n/mero de @randtl4
/ ' c P +1< @r 0 k
donde4
/ 4 =ifusi!idad de la cantidad de mo!imiento. 0 4 =ifusi!idad térmica. En la con!ección de masa, las magnitudes relati!as de la cantidad de mo!imiento molecular y la difusión de masa en las capas límite de !elocidad y de concentración se expresan por el n/mero de &c"midt4 / ' +1> :c " ! " ! )n n/mero de @randtl cercano a la unidad 5 @r * + 0 indica que la cantidad de mo!imiento y la transferencia de calor por difusión son comparales, y las capas límite de !elocidad y térmica casi coinciden entre sí.
F/ra 16& =esarrollo de las capas límite de !elocidad y de
concentración, en el flu#o interno. )n n/mero de &c"midt cercano a la unidad 5 &c * + 0 indica que la cantidad de mo!imiento y la transferencia de masa por difusión son comparales, y las capas límite de !elocidad y de concentración casi coinciden entre sí.
@ara representar las magnitudes relati!as de la difusión de calor y de masa en las capas límite térmica y de concentración se usa el n/mero de 'eis4 &c 0 =ifusi!idad térmica +7? 'e @r " ! =ifusi!idad de masa 'a ra$ón de transferencia de calor por con!ección, para flu#o externo, se expresó por la ley de enfriamiento de eton4 ?
=con+ s T s T +7+
donde4 =con+ 4 2oeficiente promedio de
con!ección de calor.
s 4 Zrea superficial.
A menudo resulta con!eniente expresar el coeficiente de transferencia de calor en términos del n/mero adimensional de usselt4 %C +71 = Eu con+ k
donde4 %C 4 'ongitud de entrada de concentración.
=e forma seme#ante, la ra$ón de transferencia de masa por con!ección puede expresarse como4 s , s , =masa s w , s w , +77 sa mco n ! donde4 =masa 4 2oeficiente promedio de transferencia de masa. s 4 Zrea superficial.
El coeficiente de transferencia de masa se puede expresar en términos del n/mero adimensional de &"erood4 =masa %C +78 &" " !
A !eces, es más con!eniente expresar los coeficientes de transferencia de calor y de masa en términos del n/mero adimensional de &tanton.
/mero de &tanton de la transferencia de calor4 &t
calor
=calor
V c P
Eu
+
+79
*e @r
/mero de &tanton de la transferencia de masa4 &t
masa
=masa
+
&"
+7:
*e &c
V
donde4 V 4 Nelocidad de flu#o lire en el flu#o externo o la !elocidad media de la masa de
fluido en el flu#o interno. En la transferencia de masa por con!ección natural, se cumple la analogía entre los n/meros de usselt y de &"erood4 &" f Dr, &c . En donde el n/mero de Dras"of se calcula a partir de4
27 % g s +7; Dr %C 1 + +1 7
g
Ana#o8a !" R"-no#!$ @ @r * &c * +*&
2onsiderar el caso "ipotético en el que las difusi!idades moleculares de la cantidad de , de donde4 mo!imiento, de calor y de la masa son idénticas4 / 0 " !
@r &c 'e +, por lo que se otiene4 f
1
*e u &" +7<
o f
V %C
%C 1
/
=calor %C k
=ma sa
+7>
" !
Además, como @r &c +, esta ecuación se puede escriir como4 f u &" +8? 1 *e @r *e &c o
f
&t
&t calor
1
masa
+8+
Esta relación se conoce como la ana#o8a !" R"-no#!$ y permite determinar los aparentemente no relacionados coeficientes de fricción, de transferencia de calor y de transferencia de masa, cuando sólo se conoce o se mide uno de ellos. Ana#o8a !" C<#ton 0 Co#,/rn @ @r 1 &c 1 + *&
=ada por 2"ilton y 2olurn en +>78, como una necesidad de extender la analogía de *eynolds "acia un rango más amplio de n/meros @r y &c4 f
1
1 7
1
@r
&t calor
&t
masa
7 &c
+81
@ara4 ?, : ) @r ) :? , y ?, : ) &c ) 7??? Aunque esta analogía tamién puede expresarse como4 =calor c =masa
1 7
1 7
1
+87 &c c 0 c 'e7 . P P P @r " !
2omo aplicación de esta analogía, se tiene que para me$clas de aireG!apor de agua, la relación entre los coeficientes de transferencia de calor y de masa se pueden expresar con gran exactitud como4 =calor
" c P
+88
=masa
A esta relación se conoce como la relación de 'eis.
Ta,#a 4& *elaciones entre la transferencia de calor por con!ección y transferencia de masa por con!ección Tran$%"r"nca !" ca#or por con3"cc)n 1. Con3"cc)n %or=a!a $o,r" /na p#aca p#ana 9
a* F#/(o #amnar @ *e ) 9 +? * 9
;
,* F#/(o t/r,/#"nto @ 2 +? ) *e ) +? * '. F#/(o comp#"tam"nt" !"$arro##a!o "n t/,o$ crc/#ar"$ #$o$ a* F#/(o #amnar @ *e ) 1 7?? *
u 7, :: 0 lu#o turulento 5 *e +? ??? 0
u ?, ?17 *e?,< @r ?,8 4. Con3"cc)n nat/ra# $o,r" $/p"r%c"$ a* P#aca 3"rtca#
,* S/p"r%c" $/p"ror !" /na p#aca
c* S/p"r%c" n%"ror !" /na p#aca
uente4 2engel, unus A. 51??;0. Transferencia de calor y masa. 7Y ed.
Pro,#"ma 1& 2alcular la rapide$ de asorción de 2(1 en una película de agua
descendente sore una pared !ertical de + m de longitud a un gasto de ?,?9 -gCs por metro de espesor a 19 Q2. El gas es 2( 1 puro a + atm estándar. Inicialmente, el agua está esencialmente lire de 2(1.
����
'a soluilidad del 2(1 en agua a 19 Q2 es4 ��, B ?,?77:
�7
� 2
��� = 1,96 × 10−9 � �� ��������ó��� B >>< �7 # = 8,94 × 10 −4
�∙�
Solución:
)tili$ando la ecuación4 1 3
$
3∙#∙ ) =( 2 � ∙� 1
$
=
∙�
�� 3 ∙ (8,94 × 10−4 ) ∙ (0,05 ) �� � ∙ � �7 = 2,394 × 10−4 � (998��
[ �3
2
∙ (9,81 � 2)
]
�
)
El n/mero de *eynolds es4 �� =
4 ∙ = � #
��
4 ∙ (0, 05 )
= 223,7 � ∙
��
8,94 × 10−4 � ∙ �
@or tratarse de un régimen laminar, se utili$a la ecuación4 1
6 ∙ ��� ∙ ��,���� = [
∙� 6 ∙ (1,96 × 10−9
��,����
=[
�
� ∙ (998 �
��
] � ∙ � ∙ $
2
) �∙ (0,05
�
2
�� � ∙)
1 2
]
�
= 2,80 × 10−5
) ∙ (2,394 × 10−4 �) ∙ (1 �)
�
7=e la ecuación para el flu#o total de A promedio para la superficie completa gasG
líquido es4
��,��� �
� &�� ∙$ �
∙(
� ,� −
)=
�,0
∙( �,����
−
)�
�,
�
=
=onde4
( ��, − ��, 0 ) − (��,
− �� )
(��,
− ��, ' )
�
�,
=
510
�� [ � �, 0
K
] � ��,�� −� & �,'
En la parte superior4 0
�� ��, K � �,? B ⏞
En la parte inferior4
��
?,?77:
�7
��� � ��, K ��� , B
�7 K ��,
?,?77: �
Además, se tiene la ecuación4
0 , 05
� = �
��
�
� ∙ �
= �∙
(998 �)
��
= 0,209 �
) ∙ (2,394 × 10−4
� 3
=e las ecuaciones 5+0 y 5104
0
�� ∙ $ �
0 ⏞
L 5��,� K � �,?0 B ⏞
������ , L
�
5��, K � �,?0 K 5��, K ��,� 0 ? (
��, − �
� , 0
�� [ ] ��, − ��,�
(0,209 � ) (2,394 × 10−4 �) ∙�� ,� � −5 = (2,80 × 10 ) ∙
�� , �
+�
�� [
�
��� �
0,0336
�
]��� �
7
0,0336− � �
�7
&e encuentra que4
�,
�� ��� , B ?,?+87< � � �
7*
ee mp la$ and o en la ecu aci ón 5+04
0
�� ∙ $ ∙ (��,� − � �
(
�,0 )
��,���� = �
(0,209 � ) (2,394 × 10−4 �) (0,01438 �3 ��,���� = 1�
��� �
)
��� � ��,���� = 7,195 × 10−27 � L�
Pro,#"ma '& 2onsidere un fluido que fluye a tra!és de un tuo circular con un diámetro igual a 19 mm donde el soluto transferido es 6 7 en solución diluida. 2alcule el coeficiente de transferencia de masa para los siguientes datos4 � = 25 �, = 1 ���, �� = 10 000, � = 2,26 × 10 −5
= 0,04 @ara el aire4 � = 1,193
�
�
��
�7
y # = 1,83 × 10 −5
��
�L�
1, �
����
�3
Solución:
=el n/mero de &tanton4 ���+��� =
��
=
�*
�� ∙ � * ∙,
ℎ���� B ��L�
*�+�+ �
5+0
�@ara flu#o turulento 5�� [ +? ???0 en tuos
circulares lisos4
� * = 0,023 ∙ �� 0,8 ∙ �� 0,4
510
=el n/mero de &c"midt4
1,83 × 10−5
#
�� = � ∙ ��� =
�� � ∙ �
= 0,678
�� 2 (1,193 3 � ) ∙ (2,26 × 10−5 ) �
�
*eempla$ando en l ecuación 5104 �ℎ B ?,?17 L 5+? ???0?,< L 5?,:;<0?,8 B 7+,1
'a !elocidad media de masa se calcula de la ecuación del n/mero de *eynolds4 ��
�� ∙ # = � = �∙�
(10 000) (1,83 × 10−5 � ∙ �) �� (1,193 �3 ) (0,025 �)
= 6,14 � �
*eempla$ando en la ecuación 5+04 �
(31,2) (6,14 � ) � *� �+ = = 0,0283 (10 000)(0,678) � +
@ero4 B ℎ���� L �
- = (0,0283
��� � � −3 ��� � ) (0,04 3 ) = 1,132 × 10 � �2 ∙ � �
Pro,#"ma 4& 2onsidere un tuo circular de diámetro interior =B?,?+9 m cuya
superficie interior está cuierta con una capa de agua líquida como resultado de la condensación. @ara secar el tuo, se fuer$a a fluir por él aire a 7?? F y + atm con una !elocidad promedio de +,1 mCs. &i se aplica la analogía entre la transferencia de masa y la de calor, determine el coeficiente de transferencia de masa en el interior del tuo, para flu#o completamente desarrollado. &e puede utili$ar la ecuación de Marrero y Mason para encontrar el coeficiente de difusión del !apor de agua en el aire4 −10
��1 �K��� B +,<; H
+?
�2,0
∙
72
�2
( ), 280 � . � . 450 � �
�
Solución:
=el aire a 7?? F y + atm, se encuentra4 / = 1,58 × 10
2 −5 �
�
)tili$ando la ecuación de Marrero y Mason4 2 ( 300 ) � −10 −5 ��2 �−��� = 1,87 × 2,072 � ∙ = 2,54 × 10 1 10 Encontrando el n/mero de *eynolds4 �� =
� ∙ ∙ #
/=
�∙
3
=
) ∙ (0,015 )
( 1, 2 2
1,58×10−5
��2
= 1 139 5*égimen laminar0
2
2on ase en la analogía entre la transferencia de calor y masa4 �� B �ℎ B 7,::
Aplicando la definición del n/mero de &"erood, y considerando4 �� B
�
*� ∙ �+��� �� �ℎ B
*�+��� =
�* ∙ ��� = �
�
( 3, 66) (2 , 54 × 10 �
�
)
0,015
= 0,00620
�
Pro,#"ma 6& @ueden determinarse los coeficientes de transferencia de calor en
configuraciones geométricas comple#as, con condiciones complicadas en la frontera, por las mediciones de la transferencia de masa en configuraciones geométricas
seme#antes, en condiciones similares de flu#o, con el uso de sólidos !olátiles, como el naftaleno y el dicloroenceno, y utili$ando la analogía de 2"iltonG2olurn entre la
transferencia de calo y de masa en condiciones de flu#o a#o de masa. &e determina la cantidad de masa que se transfiere en el lapso de un periodo especificado, pesando el modelo o midiendo la recesión de la superficie. En el curso de cierto experimento en el que inter!iene el flu#o de aire seco a 19 Q2 y + atm, con una !elocidad de flu#o lire de 1 mCs, sore un cuerpo cuierto con una capa de naftaleno, se oser!a que se "an sulimado +1 g de naftaleno en +9 minutos. El área superficial del cuerpo es de ?,7 m 1. Tanto el cuerpo como el aire se mantu!ieron a 19 Q2 en el curso del estudio. 'a presión de !apor del naftaleno a 19 Q2 es de ++ @a y la difusi!idad de masa del propio naftaleno en aire a 19 Q2 es = AB?,:+H+?G9 m1Cs. determine el coeficiente de transferencia de calor en las mismas condiciones de flu#o, sore la misma configuración geométrica.
Solución:
@ueden utili$arse las propiedades del aire seco para la me$cla4 Aire a 19 Q2 y + atm4 � = 1,184
�� �3 �
�� = 1007 �� ∙� 4
= 2,141 × 10
2 −5 �
�
5=ifusi!idad térmica0
'a función de masa del naftaleno en las condiciones de flu#o lire es4 ��,\ B ?'a fracción de
masa del naftaleno en la superficie4
��� �
��� ��,� = ���
)=
∙(
���
(101 325 �)
��
128 , 2
( 11 � )
� , �
∙(
��
−4
) = 4,8 × 10
29
��
��� �
'a ra$ón de e!aporación del naftaleno es4 0 , 012 �� � �� −5 = = � 60 � = 1,33 × 10 � 15 ��� × + ��
=e la ecuación4 �
� = * � ���+ ∙ � ∙ ��� ∙ (��,� − ��,∞ )
1,33 × 10−5
�
�� ℎ��� � L � L 5��,� K
=
(1,184
��,\ 0
��
�
) (0,3 �2 )(4,8 × 10−4 − 0)
�7
�
� B
ℎ���� B ?,?;
=e la ecuación de la analogía de 2"iltonG2olurn4
*������ = * �+��� ∙ � ∙ �� ∙ (
2 3
4
)
�� �
2
�
*������ = (0,0780
2,141 × 10−5
�
�
7
� 2
��
) (1,184 � �
) (1007 �3
)
)( �� ∙
�
*������ = 215 2 � ∙�
0,61 × 10−5
�
1
�
Pro,#"ma >& Está fluyendo agua en forma descendente por la pared interior de una
torre de paredes mo#adas con el dise3o de la figura% al mismo tiempo, en forma
ascendente está fluyendo aire a tra!és del centro. En un caso particular, el diámetro interior es 19,8 mm% el aire seco entra con una rapide$ de ;,? -gCm 1.s de sección trans!ersal interna. &upóngase que el aire tiene una temperatura promedio "omogénea de 7: Q2, el agua de 1+ Q2% el coeficiente de transferencia de masa considérese
constante. @B+ atm. 2alcule la presión parcial promedio del agua en el aire que se ale#a, si la torre tiene + m de longitud. 2 � −4
��� = 0,256 × 10
�
Solución:
Agua a � B 1+ Q�4 �,+ B ?,?189 ���
Aire a � = 36 �4 � = 1,129
�� �3
��
# = 1,8469 × 10 −5
�L�
6aciendo4 �� B �, se puede calcular4 5�
�� =#
,∙�
=
(7
��2 ∙2
1,8469×10−5
) (0, 0254 � ) 5�
= 9 627 5*égimen Turulento0
� �L �ℎ B ?,?17 L ��?,< L ��?,8
5+ 0El n/mero de &c"midt4
�� =
#
� ∙ ���
1
,
=
8469 × 10−5
�� � ∙ �
�� 2 (1,129 ) � (0,256 × 10−4 )
= 0,6390
�
�3
*eempla$ando en la ecuación 5+04 �ℎ B ?,?17 L 5> :1; 0?,< L 5?,:7>?0?,8 B 1>,9:
@or definición del n/mero de &"erood4
*�+��� ∙ ���
�ℎ B
�
*�+��� =
( 29 , 56) (0 , 256 × 10
�* ∙ ��� = �
−2
)
�
= 2,979 × 10
0,0254
� �
=e la siguiente ecuación4 ��
− �
0
�� 0
��, 2
�� ! �� ��, ��
∙ - ∙ ln
−
�� B
? [� � !
�� ] � �
�
⏞
1−
�� = - ∙ ln [
1−
1
�
�
]
� , 2
�
], 1
510
Además4
= * �+��� ∙ � 570 36 � ! 21 ����� = � = 28,5 � = 301,5 � 2 -
= 1 ��� y �,1 = 0,0245 ���
1
� = � ∙ �
= 0,0404
���
= � �� ∙ � 10(30,082 ���
1�
3
�� �� � 3
Entonces4
��� L
+?7 �
+ ���
� � - = 1,2035 × 10−3
��� � �1 L
�Además4
�� B �� L (�,+ K �,10
580
Igualando las ecuaciones 510 y 5804
�� ∙ (�,1 − �,2) = - ∙ ln
1−
�,
]
2
590
[
1−
�,
1
&eg/n el enunciado del prolema, el coeficiente de transferencia de masa �� es
constante. &e puede tomar un �� promedio para di!ersos !alores de �,2.
�� �� �� ������� = 1,2290 × 10−23 ∙�∙ � ���
*eempla$ando en la ecuación 5704
1 − �,2 5+,11>? H +?K70 L 5?,?189 K �,10 B +,1?79 H +?K7 L ln O
1 − ln [
+ K ?,?18
� ,
2
0 , ]9755 = ,02121 0,0245 − �,29 �
Interpolando4 � , 2
?,?+? �,2
?,?1? =e donde4
�,1 B ?,?+:>> ��
]
�
VIII. TRANSFERENCIA DE MASA ENTRE FASES GASEOSA ; LÍ7UIDA 2onsiderando que la transferencia de un gas "acia un líquido, ocurre en 7 etapas4 a0 =ifusión desde el gas "acia la superficie líquida. 0 =isolución en el líquido. c0 =ifusión desde la superficie del líquido "acia el interior del mismo. Este proceso se ilustra en la figura siguiente4
F/ra 1>& Interfase gas G líquido
'os coeficientes indi!iduales de transferencia de masa se definen como4 k <
k %
,
P P , i ,
C , i
C
+89 +8:
donde4 , 4 Nelocidad de transferencia. P 4 @resión parcial del componente A en el gas. P , i 4 @resión parcial del componente A en la interfase.
C 4 2oncentración del C , i
soluto A en el líquido.
4 2oncentración del soluto A en la interfase.
k < 4 2oeficiente pelicular en la fase gaseosa. k % 4 2oeficiente pelicular en la fase líquida.
'os coeficientes gloales de transferencia de masa son4 , +8; ' < ^ P P ,
' %
A
C C +8< ^
donde4 ^
P 4 @resión parcial en el equilirio con C . ^
C 4 2oncentración en equilirio con P .
&i la solución oedece la ley de 6enry 5 P & C 0, se tiene4 ^ P & C +8> ^
P
& C +9?
P , i
& C , i +9+
=onde & es una constante. =e las ecuaciones anteriores se tiene4 ^ P P , i & C C P P , i + , +91 ' < , ,
+
' <
+
k <
+97
&
k %
y
+ ' %
C^ C
C
& ,
, +
' %
P P , i
+
& k <
C , i
+98
, +
+99
k %
@ara gases muy solules, por e#emplo amoniaco en agua, donde & es muy peque3o4 ' <
* k <
@ara soluilidades de gases muy a#as, por e#emplo oxígeno en agua, & es grande4 ' %
* k %
