texto de metodos estadìsticos

Texto Paralelo Métodos Estadísticos para Investigadores.

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UNIVERSIDAD RURAL DE GUATEMALA MAGÍSTER ARTIBUS EN PROYECTOS, CON ÉNFASIS EN INVESTIGACIÓN. MÉTODOS ESTADÍSTICOS PARA INVESTIGADORES ING. AGR. LUIS MANFREDO REYES CHAVEZ

TEMA:

“TEXTO PARALELO”

ISIDRO BENJAMIN VASQUEZ ORDOÑEZ GUATEMALA, 02 DE JUNIO DE 2007


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INTRODUCCION La estadística se estructuro como disciplina científica en el siglo pasado, sin embargo, ya en las civilizaciones antiguas se realizaban realizaban censos rudimentarios, rudimentarios, por ejemplo en el Antiguo Egipto, debido a las inundaciones del Río Nilo. La estadística es comúnmente considerada como una colección de hechos numéricos expresados en términos de una relación sumisa, y que han sido recopilado a partir de otros datos numéricos. Kendall y Buckland (citados por Gini V. Glas / Julian C. Stanley, 1980) definen la estadística como un valor resumido, calculado, como base en una muestra de observ observaci acion ones es qu quee gen genera eralme lmente nte,, au aunq nque ue no po porr ne neces cesida idad, d, se considera como una estimación de parámetro parámetro de determinada determinada población población;; es decir, una función de valores de muestra. "La estadística es una técnica especial apta para el estudio cuantitativo de los fenómenos de masa o colectivo, cuya mediación requiere una masa de obse ob serv rvac acio ione ness de otro otross fenó fenóme meno noss má máss simp simple less llam llamad ados os indi indivi vidu dual ales es o particulares". (Gini, 1953). Murria Murr ia R. Spie Spiege gel,l, (199 (1991) 1) dice dice:: "La "La esta estadí díst stic icaa estu estudi diaa los los métodos científicos para recoger, organizar, resumir y analizar datos, así como para sacar conclusiones válidas y tomar decisiones razonables razonables basadas en tal análisis análisis.. "La estadística es la ciencia que trata de la recolección, clasificación y presentación de los hechos sujetos a una apreciación numérica como base a la explicación, descripción y comparación de los fenómenos". (Yale y Kendal, 1954). Cualquiera sea el punto de vista, lo fundamental es la importancia científica que tiene la estadística, debido al gran campo de aplicación que posee. Las técnicas estadísticas se usan ampliamente por personas en áreas de comer comercia cializ lizaci ación ón,, conta contabil bilida idad, d, contro controll de calida calidad, d, consum consumid idore ores, s, de depor portes tes,, administración de hospitales, educación, política, medicina, etcétera. Debido a la tremenda importancia que tiene la Estadística y su relación con otras ciencias, se realizó el presente texto paralelo para constituirse como una guía de estudio para el estudiante de la Maestría en Investigación con Énfasis en Proyectos.


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ESTADÍSTICA 1. DEFI DEFINI NICI CION ONES ES::

Se sabe que existen muchas definiciones de estadística, sin embargo casi todas giran alrededor alrededor del del análisis de datos numéricos. numéricos. A continuación se anotan anotan algunas definiciones: La estadística estadística es un método científico que trata trata con variables variables aleatorias, aleatorias, con el objeto de recolectar, organizar y analizar los valores que éstas generan. Es importante importante puntualizar puntualizar que a la estadística le interesan los fenómenos fenómenos de grupo grupo o colectivos, el dato aislado no tiene ninguna importancia (Bonilla, 1,995). Según Según Reyes Reyes (2,00 (2,007), 7), es la cienci cienciaa qu quee se de dedic dicaa a la ge gene nerac ración ión de metodología para la obtención, organización, análisis e interpretación de datos; entendiéndose entendiéndose por dato todo aquel resultado de una medición realizada dentro de una población. La estadíst estadística ica es una ciencia matemática que se refiere a la colección, estudio e interpretación de los datos obtenidos en un estudio. Es aplicable a una amplia variedad de disciplinas disciplinas,, desde la física hasta las ciencias sociales y usada en la toma de decisiones en áreas de negocios e instituciones gubernamentales (wikipedia.org, 2,007). La materia prima de la estadística es la variabilidad, de no ser así, no tendría existencia existencia la estadística. Está ligada al método método científico y se encarga de la toma, recolección, organización, presentación y análisis de datos, tanto para la deduc de ducció ciónn de conclu conclusio siones nes como como pa para ra la tom tomaa de decisi decisione oness razon razonab ables les de acuerdo a tal análisis (Tello Cano, 2,001). Deben Deben difere diferenci nciars arsee do doss funci funcion ones es de dell mét métod odoo estad estadíst ístico ico:: fun funcio cione ness descriptivas y funciones funciones inferenciales. inferenciales. El objetivo fundamental fundamental de la descriptiva descriptiva es analizar poblaciones, para conocer convenientemente convenientemente el comportamiento comportamiento de ellas: es decir, describe describe las característi características cas del fenómeno fenómeno en estudio. estudio. La estadístic estadísticaa infere inferenci ncial, al, saca saca conclu conclusio siones nes o ge gener nerali alizac zacion iones es acerca acerca de dell pa parám rámetr etroo o parámetros parámetros de poblaciones a partir de muestras extraídas aleatoriamente aleatoriamente (Bonilla, 1,995). La estadística tiene relaciones con distintas ciencias, entre ellas se pueden mencionar: Las matemáticas, Física, Agronomía, Administración de Empresas, Contabilidad, Química, entre otras (Tello Cano, 2,001).


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2. CONCEPTOS BASICOS: 2.1 Variable:

Según Tello (2,001), las variables son características que presentan variabilidad o variación. Es una característica que puede tomar diferentes valores. Generalmente se simbolizan con las últimas letras del alfabeto X, Y, Z, entre otras. Si la variable toma solamente un valor, se llama constante (Bonilla, 1,995). Ejemplo: En una camada de 4 pollos, se obtuvieron los siguientes pesos: 12, 10, 9.5 y 10.5 onzas, y se denota a la variable como Y= peso de los pollos. Y1= 12 onzas, Y2= 10 onzas, Y3= 9.5 onzas, y Y4= 10.5 onzas. La naturaleza de las observaciones será de gran importancia a la hora de elegir el método estadístico más apropiado para abordar su análisis. Con este fin, clasificaremos las variables, a grandes rasgos, en dos tipos: variables cuantitativas o variables cualitativas (Pita, 1997). . a. Variables cuantitativas. Son las variables que pueden medirse, cuantificarse o expresarse numéricamente. Las variables cuantitativas pueden ser de dos tipos: •

•

Variables cuantitativas continuas, si admiten tomar cualquier valor dentro de un rango numérico determinado (edad, peso, talla) (Pita, 1997). Variables cuantitativas discretas, si no admiten todos los valores intermedios en un rango. Suelen tomar solamente valores enteros (número de hijos, número de partos, número de hermanos, entre otros) (Pita, 1997).

Una regla práctica para distinguir una variable discreta de una continúa, es: si son el resultado de medir, son variables continuas, y si son el resultado de contar, son discretas (Bonilla, 1,995). b. Variables cualitativas. Este tipo de variables representan una cualidad o atributo que clasifica a cada caso en una de varias categorías. La situación más sencilla es aquella en la que se clasifica cada caso en uno de dos grupos (hombre/mujer, enfermo/sano, fumador/no fumador). Son datos dicotómicos o binarios. Como resulta obvio, en muchas ocasiones este tipo de clasificación no es suficiente y se requiere de un mayor número de categorías (color de los ojos, grupo sanguíneo, profesión, entre otros) (Pita, 1997).


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Las variables de acuerdo a la función que desempeñan en una hipótesis, pueden ser: Variables independientes, variables dependientes y variables intervinientes (Bonilla, 1,995). a. Variables Independientes: es la que explica, condiciona o determina cambios en otra llamada dependiente, es decir, la variable independiente es la supuesta causa de los cambios que se operan en la variable dependiente. La variable independiente, es la que el investigador manipula para comprobar su efecto en la variabilidad de la dependiente. El investigador siempre está interesado por la posible influencia de la variable independiente sobre la variable dependiente, con el objeto de predecir los cambios en la variable dependiente (Bonilla, 1,995). b. Variable Dependiente: es la que explica, condiciona o determinada por la variable independiente. El investigador esta interesado en la observación de la variable dependiente, de acuerdo a los cambios que han introducido en la variable independiente, con el objeto de confirmar o rechazar la suposición de que su variación es el resultado de los cambios que ha introducido en la variable independiente. Por ejemplo, en la hipótesis: “Existen en el país, métodos mejorados de producción lechera, los cuales, si fueran usado por los ganaderos, aumentarían sus ganancias” (Bonilla, 1,995). En este caso la variable dependiente es: métodos mejorados de producción lechera. La variable dependiente es: aumento de ganancias. Generalmente a la variable independiente se le simboliza por la letra x, y a la variable dependiente por la letra y. En lenguaje matemático, la relación se expresa así: y = f(x) (Tello Cano, 2,001). c. Variable Interviniente: es aquella que puede influir en la relación de dependencia entre las variables independientes y la variable dependiente; es decir, la que puede influir entre estímulo y respuesta. El investigador debe de preocuparse, con especial cuidado, en aislar la variable interviniente, para poder determinar con exactitud que la variación observada, en los resultados, es exactamente provocada por los cambios introducidos en la variable independiente (Bonilla, 1,995). Por ejemplo, en la hipótesis anterior, variables intervinientes podrían ser: a) dificultad en adquirir financiamiento; b) ignorancia por parte de los lecheros, sobre la existencia de métodos mejorados de producción lechera, entre otras.


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En el proceso de medición de estas variables, se pueden utilizar dos escalas: 











Escalas nominales: ésta es una forma de observar o medir en la que los datos se ajustan por categorías que no mantienen una relación de orden entre sí (color de los ojos, sexo, profesión, presencia o ausencia de un factor de riesgo o enfermedad, entre otros) (Pita, 1,997). Escalas ordinales: en las escalas utilizadas, existe un cierto orden o jerarquía entre las categorías (grados de disnea, estadiaje de un tumor, entre otros) (Pita, 1,997). Mutuamente excluyente: un individuo, objeto o artículo, al ser incluido en una categoría, debe excluirse de las demás. Ejemplo: color de los ojos (Cyta.com, 2,007). Exhaustivo: cada persona, objeto o hecho debe clasificarse al menos en una categoría. Ejemplo: afiliación religiosa (Cyta.com, 2007). Nivel de intervalo: similar al nivel ordinal, con la propiedad adicional de que se pueden determinar cantidades significativas de las diferencias entre los valores. No existe un punto cero natural. Ejemplo: temperatura en la escala de grados Fahrenheit (Cyta.com, 2,007). Nivel de razón: el nivel de intervalo con un punto cero inicial inherente. Las diferencias y razones son significativas para este nivel de medición. EJEMPLOS: dinero, altura de los jugadores de básquetbol de la NBA (Cyta.com, 2,007).

2.2 Población:

La población representa el conjunto grande de individuos que deseamos estudiar y generalmente suele ser inaccesible. Es, en definitiva, un colectivo homogéneo que reúne unas características determinadas. A continuación se dan algunas definiciones de población: Conjunto completo de individuos, objetos o medidas que poseen alguna característica común observable (Bonilla, 1,995). Una población es un conjunto de elementos acotados en un tiempo y en un espacio determinado, con alguna característica común observable o medible (Di Rienzo, J A; et al. 2,001). Si la población es finita, diremos que el tamaño poblacional es el número de elementos de la misma y lo denotaremos con N. La poblaciones infinitas, son las que comprenden un número infinitamente grande de unidades elementales; por ejemplo: las barras de acero que podrían ser producidas por un proceso determinado; el número de aparecimientos de la cara seis en el lanzamiento de un dado indefinidamente, entre otros (Bonilla, 1,995).


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2.3 Muestra:

La muestra es un subconjunto o parte de la población, que lleva implícita todas las características del universo. Para que se cumpla esto último de las muestras, cada elemento o unidad elemental tomada de la población tiene que tener igual oportunidad de ser escogido (Bonilla, 1,995). La muestra es el conjunto menor de individuos (subconjunto de la población accesible y limitado sobre el que realizamos las mediciones o el experimento con la idea de obtener conclusiones generalizables a la población). El individuo es cada uno de los componentes de la población y la muestra. La muestra debe ser representativa de la población y con ello queremos decir que cualquier individuo de la población en estudio debe haber tenido la misma probabilidad de ser elegido (Pita, 1997). Según Pita (1,997), las razones para estudiar muestras en lugar de poblaciones son diversas y entre ellas podemos señalar: a. Ahorrar tiempo. Estudiar a menos individuos es evidente que lleva menos tiempo. b. Como consecuencia del punto anterior ahorraremos costes. c. Estudiar la totalidad de los pacientes o personas con una característica determinada en muchas ocasiones puede ser una tarea inaccesible o imposible de realizar. d. Aumentar la calidad del estudio. Al disponer de más tiempo y recursos, las observaciones y mediciones realizadas a un reducido número de individuos pueden ser más exactas y plurales que si las tuviésemos que realizar a una población. e. La selección de muestras específicas nos permitirá reducir la heterogeneidad de una población al indicar los criterios de inclusión y/o exclusión. Una unidad muestral es el elemento o entidad de la muestra (Di Rienzo, J A; et al. 2,001). Tamaño muestral es el número de elementos de la población que conforman la muestra y se denota con n (Di Rienzo, J A; et al. 2,001). 2.4 Parámetro:

Es cualquier característica de una población que sea medible por ejemplo, el salario promedio de todos los obreros de la industria manufacturera; la proporción de personas que mueren de cáncer, entre otros (Di Rienzo, J A; et al. 2,001).


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2.5 Estadístico:

Medida resultante del análisis de una muestra. Por ejemplo, el salario promedio de los obreros de la industria manufacturera, calculado a partir de una muestra; la proporción de personas que mueren de cáncer, calculada a partir de una muestra tomada de la población de personas que fallecen (Di Rienzo, J A; et al. 2,001). 3. RAMAS DE LA ESTADÍSTICA:

La estadística se divide en Estadística descriptiva , que es la que permite establecer algunas propiedades básicas de la población. Estas pueden ser medidas de tendencia central, o bien de dispersión. La otra rama de la estadística la constituye la Estadística Inferencial (ó Inferencia Estadística), y es la que permite comprobar algunas hipótesis sobre parámetros de la población y establecer relaciones entre las distintas variables. Es decir mediante ella se pueden establecer conclusiones a partir de una muestra y que sean validas para toda la población (Reyes, 2,007). Ambas ramas (descriptiva e inferencial) comprenden la estadística aplicada. Hay también una disciplina llamada estadística matemática, la cual se refiere a las bases teóricas de la materia. La palabra estadísticas también se refiere al resultado de aplicar un algoritmo estadístico a un conjunto de datos, como en estadísticas económicas, estadísticas criminales, entre otros (Wikipedia.org, 2,007). 3.1 Estadística Descriptiva

La estadística descriptiva es una parte de la estadística que se dedica a analizar y representar los valores. Este análisis es muy básico, pero fundamental en todo estudio. Aunque hay tendencia a generalizar a toda la población las primeras conclusiones obtenidas tras un análisis descriptivo, su poder inferencial es mínimo y debería evitarse tal proceder. Otras ramas de la estadística se centran en el contraste de hipótesis y su generalización a la población (Wikipedia.org, 2,007). Básicamente, se lleva a cabo un estudio calculando una serie de medidas de tendencia central, para ver en qué medida los datos se agrupan o dispersan en torno a un valor central (Wikipedia.org, 2,007). Se considera como los métodos para organizar, resumir y presentar datos de manera informativa, a fin de describir la forma apropiada en que se distribuye diversas características de un conjunto de datos. Ejemplo: un sondeo de opinión encontró que 89% de las personas en una encuesta sabían


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el nombre del jugador de football Maradona. La estadística “89” describe el número de cada 100 personas que saben la respuesta (Cyta.com, 2,007). Una vez que se han recogido los valores que toman las variables de nuestro estudio (datos), procederemos al análisis descriptivo de los mismos. Para variables categóricas, como el sexo o el estadiaje, se quiere conocer el número de casos en cada una de las categorías, reflejando habitualmente el porcentaje que representan del total, y expresándolo en una tabla de frecuencias (Pita, 1997). 3.2 Estadística Inferencial

La inferencia estadística, que se dedica a la generación de los modelos, inferencias y predicciones asociadas a los fenómenos en cuestión teniendo en cuenta lo aleatorio e incertidumbre en las observaciones. Se usa para modelar patrones en los datos y extraer inferencias acerca de la población de estudio. Estas inferencias pueden tomar la forma de repuestas a preguntas si/no (prueba de hipótesis), estimaciones de características numéricas ( estimación, pronósticos de futuras observaciones, descripciones de asociación (correlación) o modelamiento de relaciones entre variables ( análisis de regresión). Otras técnicas de modelamiento incluyen ANOVA, series de tiempo y minería de datos (Wikipedia.org, 2,007) Es una decisión, estimación, predicción o generalización sobre una población, en base a una muestra (Tello Cano, 2,001). 4. REPRESENTACIÓN GRAFICA DE DATOS:

Aunque las tablas estadísticas contienen toda la información, se suelen acompañar de gráficas para que la información sea más clara (Grupo Océano, 2,006). Existen numerosos tipos de gráficas, que se escogen según si las variables son cualitativas o cuantitativas. En el caso de las variables cualitativas, las gráficas más usadas son los pictogramas, los diagramas de barras y los diagramas de sectores. En el caso de las variables cuantitativas, hay que distinguir entre las discretas y las continúas. En el caso de las discretas, se acostumbra a usar también los diagramas de barras, mientras que para las variables continuas se utilizan histogramas (Grupo Océano, 2,006). Los gráficos son medios popularizados y a menudo los más convenientes para presentar datos, se emplean para tener una representación visual de la totalidad de la información. Los gráficos estadísticos presentan los datos en forma de dibujo de tal modo que se pueda percibir fácilmente los hechos esenciales y compararlos con otros (Belcastro, 2,001).


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Según Meza (2,007), la utilidad de las graficas se resume en los siguientes incisos: a)

Síntesis: Se pueden percibir de una ojeada las principales características de una serie de números. Destacan características: Hacen resaltar los hechos esenciales, demarcan las tendencias, muestran los hechos accidentales, establecen las ordenes de importancia, precisan los máximos y los mínimos. Control: Permiten ver a simple vista las anomalías que pueden tener las informaciones. Comparación: Las graficas permiten hacer confrontaciones de dos o más series.

b)

c) d)

Las graficas no sustituyen a los cuadros ya que ambos son importantes y deben completarse en una publicación. El uso de las gráficas puede tener las siguientes desventajas (según Meza, 2,007): a) b) c) d)

Perdida de detalle de la información Posee elementos subjetivos, tanto en su construcción como en su lectura A veces se presta a presentaciones deformadas, tendenciosas, buscando fines comerciales o políticos. Pueden tener errores involuntarios en su elaboración

4.1 Pictograma:

Los pictogramas son gráficos similares a los gráficos de barras, pero empleando un dibujo en una determinada escala para expresar la unidad de medida de los datos. Generalmente este dibujo debe cortarse para representar los datos (Belcastro, 2,001). Lo importante como lo cita Grupo Océano (2,006) es que el tamaño de las figuras es proporcional a sus frecuencias, lo que permite lograr un efecto visual claro, pero que tiene el inconveniente de no ser preciso. Es muy utilizado por los medios de comunicación. Es común ver gráficos de barras donde las barras se reemplazan por dibujos a diferentes escalas con el único fin de hacer más vistoso el gráfico, estos tipos de gráficos no constituyen un pictograma (Belcastro, 2,001). Pueden ser:


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En dos dimensiones En tres dimensiones. En el siguiente ejemplo hemos representado el número de partidos ganados, perdidos o empatados de un equipo.  

4.2 Diagrama de barras:

Se dibujan dos ejes, uno horizontal, llamado eje de las abscisas, y otro vertical, conocido como eje de ordenadas. En el eje de las abscisas se colocan las frecuencias absolutas o relativas, mientras que en el eje de ordenadas se sitúan los diferentes valores que pueden tomas las variables. Para cada variable, se dibujan barras horizontales con una longitud que sea igual a la frecuencia absoluta o relativa, según corresponde (Grupo Océano, 2,006). Se utilizan para representar variables cuantitativas discretas (Meza, 2,007). a. Gráficos de barras verticales

Representan valores usando trazos verticales, aislados o no unos de otros, según la variable a graficar sea discreta o continua. Pueden usarse para representar:  

Una serie Dos o más series (también llamado de barras comparativas) (Belcastro, 2,001)


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b. Gráficos de barras horizontales

Representan valores discretos a base de trazos horizontales, aislados unos de otros. Se utilizan cuando los textos correspondientes a cada categoría son muy extensos (Belcastro, 2,001). Para una serie:

Para dos o más series:

c. Gráficos de barras proporcionales

Según Belcastro (2,001), se usan cuando lo que se busca es resaltar la representación de los porcentajes de los datos que componen un total. Las barras pueden ser verticales


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O bien Horizontales

d. Gráficos de barras comparativas

Se utilizan para comparar dos o más series, para comparar valores entre categorías. Las barras pueden ser Horizontales o Verticales (Belcastro, 2,001).

e. Gráficos de barras apiladas

Se usan para mostrar las relaciones entre dos o más series con el total. Las barras pueden ser horizontales o verticales (Belcastro, 2,001).


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4.3 Diagramas de Sectores:

En un diagrama de este tipo, los 360º de un círculo se reparten proporcionalmente a las frecuencias de los distintos valores de la variable. Resultan muy adecuados cuando hay pocos valores, o bien cuando el carácter que se estudia es cualitativo (Meza, 2,007). Es una forma de representación gráfica en la que se utiliza un círculo dividido en sectores, de forma que los ángulos y las áreas de cada sector son proporcionales a las frecuencias de cada clase (Grupo Océano, 2,006).

4.4 Histogramas:

Se emplean para representar distribuciones de variables continuas y discretas que, por su elevado número de datos, se suelen agrupan en clases. En el histograma se sitúan las clases o intervalos en el eje horizontal y se dibujan rectángulos que tienen por base las amplitudes de estos intervalos, y por altura, sus correspondientes frecuencias absolutas. Hay que indicar el concepto representado en cada uno de los ejes (Grupo Océano, 2,006)

4.5 Polígonos de Frecuencia:


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Son gráficos lineales que se utilizan en el caso de una variable cuantitativa. Para realizar estos polígonos unimos los puntos medios de las bases superiores del diagrama de barras o del histograma según la variable sea agrupada o no agrupada (Sapiens.com, 2007)

4.6 Cartogramas:

Son gráficos realizados sobre mapas, en los que aparecen indicados sobre las distintas zonas cantidades o colores de acuerdo con el carácter que representan (Sapiens.com, 2007). En el siguiente cartograma observamos la urbanización en el mundo atendiendo a la industrialización.

4.7 Gráfico de áreas:

En estos tipos de gráficos se busca mostrar la tendencia de la información generalmente en un período de tiempo (Belcastro, 2,001).


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Pueden ser:    

Para representar una serie Para representar dos o más series En dos dimensiones En tres dimensiones.

4.8 Gráfico de líneas:

En este tipo de gráfico se representan los valores de los datos en dos ejes cartesianos ortogonales entre sí (Belcastro, 2,001). Se pueden usar para representar:  

Una serie Dos o más series

4.9 Gráfico de dispersión:

Gráfico estadístico en el que se representan sobre unos ejes cartesianos los puntos de una distribución bidimensional (Meza, 2,007).


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A cada individuo de la distribución bidimensional le corresponden dos valores, xi, yi, que tomados respectivamente como abscisa y ordenada dan lugar al punto (xi,yi). De este modo, a cada individuo le corresponde un punto y todos ellos dan lugar a una nube de puntos o diagrama de dispersión:

La forma que presenta esta nube de puntos refleja el grado de correlación entre las dos variables (Meza, 2,007). 5. INTRODUCCION A ESTADISTICA DESCRIPTIVA:

La estadística descriptiva describe propiedades de la población en un momento espacial (Reyes, 2,007). La estadística descriptiva es una parte de la estadística que se dedica a analizar y representar los valores. Este análisis es muy básico, pero fundamental en todo estudio. Aunque hay tendencia a generalizar a toda la población las primeras conclusiones obtenidas tras un análisis descriptivo, su poder inferencial es mínimo y debería evitarse tal proceder. Otras ramas de la estadística se centran en el contraste de hipótesis y su generalización a la población (Wikipedia.org, 2,007). Básicamente, se lleva a cabo un estudio calculando una serie de medidas de tendencia central, para ver en qué medida los datos se agrupan o dispersan en torno a un valor central. La metodología empleada se describe a continuación: 1. 2. 3. 4. 5.

Selección y determinación de la muestra. Obtención de los datos. Clasificación y organización de los datos. Análisis descriptivo de los datos. Representación gráfica de los datos. 6. Contraste de hipótesis, si procede. 7. Conclusiones. 5.1 Descripción de los datos: medidas de ubicación:


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a. Desviación media

Para datos no agrupados, la media de la población es la suma de todos los valores en ella dividida entre el total de valores en la población (Cyta.com, 2,007)

Donde µ representa la media de la población. N es el número total de elementos en la población. X representa cualquier valor en particular. ∑ indica la operación de sumar. Ejemplo: La familia Castillo posee cuatro autos. Los datos son los kilómetros recorridos por cada uno: 56 000, 23 000, 42 000 y 73 000. Encuentre el promedio de kilómetros de los cuatro autos. Esto es (56 000 + 23 000 + 42 000 + 73 000)/4 = 48 500 b. Media de una muestra

Para datos no agrupados, la media de una muestra es la suma de todos los valores divididos entre el número total de los mismos (Cyta.com, 2007):

 

Donde denota la media muestral N es el número total de valores en la muestra.

Ejemplo: Dato estadístico: una característica de una muestra. Una muestra de cinco ejecutivos recibió la siguiente cantidad en bonos el año pasado: $14000, $15000, $17000, $16000 y $15000. Encuentre el promedio en bonos para los cinco ejecutivos. Como estos valores representan la muestra de 5 ejecutivos, la media de la muestra es (14000 + 15000 + 17000 + 16000 + 15000) / 5 = $15400. c. Propiedades de la media aritmética

Según Aulafacil.com (2,007), la media aritmética tiene las siguientes propiedades:

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   

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Todo conjunto de datos de nivel de intervalo y de nivel de razón tiene un valor medio. Al evaluar la media se incluyen todos los valores. Un conjunto de valores sólo tiene una media. La cantidad de datos a evaluar rara vez afecta la media. La media es la única medida de ubicación donde la suma de las desviaciones de cada valor con respecto a la media, siempre es cero.

Ejemplo: Considere el conjunto de valores: 3, 8 y 4. La media es 5. Para ilustrar la quinta propiedad, (3 - 5) + (8 - 5) + (4 - 5) = - 2 + 3 - 1 = 0. En otras palabras,

d. Media ponderada

La media ponderada de un conjunto de números X1, X2, ..., Xn, con las ponderaciones correspondientes w1, w2,...,wn, se calcula con la fórmula (Cyta.com, 2,007):

Ejemplo: Durante un periodo de una hora en una tarde calurosa de un sábado, el cantinero Julio sirvió cincuenta bebidas. Calcule la media ponderada de los precios de las bebidas. (Precio ($), cantidad vendida): (.50,5), (.75,15), (.90,15), (1.10,15). La media ponderada es: $(.50 x 5 + .75 x 15 + .90 x 15 + 1.10 x 15) / (5 + 15 + 15 + 15) = $43.75/50 = $0.875 e. Mediana

Mediana: es el punto medio de los valores después de ordenarlos de menor a mayor, o de mayor a menor. La misma cantidad de valores se encuentra por arriba de la mediana que por debajo de ella (Cyta.com, 2,007). Nota: para un conjunto con un número par de números, la mediana será el promedio aritmético de los dos números medios (Cyta.com, 2,007).

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Ejemplo: Calcule la mediana para los siguientes datos. La edad de una muestra de cinco estudiantes es: 21, 25, 19, 20 y 22. Al ordenar los datos de manera ascendente quedan: 19, 20, 21, 22, 25. La mediana es 21.

f. Propiedades de la mediana

Según Aulafacil.com (2,007) las propiedades de la mediana se describen a continuación:  

 

La mediana es única para cada conjunto de datos. No se ve afectada por valores muy grandes o muy pequeños, y por lo tanto es una medida valiosa de tendencia central cuando ocurren. Puede obtenerse para datos de nivel de razón, de intervalo y ordinal. Puede calcularse para una distribución de frecuencias con una clase de extremo abierto, si la mediana no se encuentra en una de estas clases.

g. Moda:

Según Aulafacil.com (2,007), la moda es el valor de la observación que aparece con más frecuencia. Ejemplo: las calificaciones de un examen de diez estudiantes son: 81, 93, 84, 75, 68, 87, 81, 75, 81, 87. Como la calificación 81 es la que más ocurre, la calificación modal es 81. h. Media geométrica

La media geométrica (MG) de un conjunto de n números positivos se define como la raíz n-ésima del producto de los n valores (Cyta.com, 2,007). Su fórmula es:

La media geométrica se usa para encontrar el promedio de porcentajes, razones, índices o tasas de crecimiento. Ejemplo: Las tasas de interés de tres bonos son 5%, 7% y 4%. La media geométrica es = 5.192. La media aritmética es (6 + 3 + 2)/3 = 5.333.

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La MG da una cifra de ganancia más conservadora porque no tiene una ponderación alta para la tasa de 7%. Otra aplicación de la media geométrica es determinar el porcentaje promedio del incremento en ventas, producción u otros negocios o series económicas de un periodo a otro (Cyta.com, 2,007). La fórmula para este tipo de problema es:

Ejemplo El número total de mujeres inscritas en colegios americanos aumentó de 755 000 en 1986 a 835 000 en 1995. Aquí n = 10, así (n - 1) = 9. Es decir, la media geométrica de la tasa de crecimiento es 1.27%. i. Media de datos agrupados

La media de una muestra de datos organizados en una distribución de frecuencias se calcula mediante la siguiente fórmula:

Ejemplo: Una muestra de diez cines en una gran área metropolitana dio el número total de películas exhibidas la semana anterior. Calcule la media de las películas proyectadas. Películas exhibidas 1-2 3-4 5-6 7-8 9-10 total 61/10 = 6.1 películas

Frecuencia, f 1 2 3 1 3 10

Punto medio de clase X 1.5 3.5 5.5 7.5 9.5

(f)(X) 1.5 7.5 16.5 7.5 28.5 61

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j. Mediana de datos agrupados

La mediana de una muestra de datos organizados en una distribución de frecuencias se calcula mediante la siguiente fórmula: Mediana = L + [(n/2 - FA)/f] (i) Donde L es el límite inferior de la clase que contiene a la mediana, FA es la frecuencia acumulada que precede a la clase de la mediana, F es la frecuencia de clase de la mediana e i es el intervalo de clase de la mediana. Para determinar la clase de la mediana de datos agrupados: Elabore una distribución de frecuencias acumulada. Divida el número total de datos entre 2. Determine qué clase contiene este valor (Cyta.com, 2,007). Por ejemplo, si n=50, 50/2 = 25, después determine qué clase contiene el 25° valor (la clase de la mediana). Películas exhibidas

Frecuencia

1-2 3-4 5-6 7-8 9-10

1 2 3 1 3

Frecuencia acumulada 1 3 6 7 10

La clase de la mediana es 5 - 6, ya que contiene el 5° valor (n/2 = 5) De la tabla, L = 5, n = 10, f = 3, i = 2, FA = 3. Así, mediana = 5 + [((10/2) - 4)/3](2) = 6.33 k. Moda de datos agrupados

La moda de los datos agrupados se aproxima por el punto medio de la clase que contiene la frecuencia de clase mayor (Pita, 2,001). Las modas en el ejemplo de la Mediana de datos agrupados son 5.5 y 9.5. Cuando dos valores ocurren una gran cantidad de veces, la distribución se llama bimodal, como en dicho ejemplo. l. Distribución: simétrica, con asimetría positiva, con asimetría negativa a. Distribución simétrica:

Sesgo cero moda = mediana = media


23

b. Distribución con asimetría positiva:

Sesgo a la derecha: media y mediana se encuentran a la derecha de la moda. Moda < mediana < media

c. Distribución con asimetría negativa:

Sesgo a la izquierda: media y mediana están a la izquierda de la moda. Media < mediana < moda

d. Notas:

Si se conocen dos promedios de una distribución de frecuencias con sesgo moderado, el tercero se puede aproximar. Moda = media - 3(media - mediana) Media = [3(mediana) - moda]/2 Mediana = [2(media) + moda]/3 5.2 Medidas de dispersión: 5.2.1 Desviación media

Desviación media: media aritmética de los valores absolutos de las desviaciones respecto a la media aritmética.


24

Ejemplo: Los pesos de una muestra de cajas con frenos en un taller son (en Kg.): 103, 97, 101, 106 y 103 = 510/5 = 102 Kg. 1 + 5 + 1 + 4 + 1 = 12 MD = 12/5 = 2.4 Por lo común los pesos de las cajas están a 2.4 Kg del peso medio de 102 Kg. 5.2.2 Variancia de la población

La varianza de la población para datos no agrupados es la media aritmética de las desviaciones cuadráticas respecto a la media de la población (Pita, 2,001).

Ejemplo: Las edades de la familia Orduz son 2, 18, 34, y 42 años. ¿Cuál es la variancia de la población?

Una fórmula alternativa para la variancia poblacional es:

5.2.3 Desviación estándar poblacional

La desviación estándar poblacional (σ) es la raíz cuadrada de la variancia de la población (Pita, 2,001). Para el ejemplo anterior, la desviación estándar poblacional es 15.19 (raíz cuadrada de 230.81). 5.2.4 Variancia muestral


25

La variancia muestral estima la variancia de la población.

Ejemplo: Una muestra de cinco salarios por hora para varios trabajos en el área es: $7, $5, $11, $8, $6. Encuentre la variancia. X = 37/5 = 7.40 S2= 21.2/(5-1) = 5.3 5.2.5 Desviación estándar muestral

La desviación estándar muestral es la raíz cuadrada de la variancia muestral (Pita, 2,001). En el ejercicio anterior, la desviación estándar de la muestra es = 2.30 5.2.6 Medidas de dispersión: datos no agrupados

Para datos no agrupados, la amplitud es la diferencia entre los valores mayor y menor en un conjunto de datos (Pita, 2,001). AMPLITUD = valor mayor - valor menor Ejemplo: una muestra de cinco graduados de contaduría indicó los siguientes salarios iniciales: $22 000, $28 000, $31 000, $23 000, $24 000. La amplitud es $31 000 - $22 000 = $9 000. 5.2.7 Variancia muestral para datos agrupados

La fórmula de la variancia para datos agrupados usada como estimador de la variancia poblacional es:

Donde f es la frecuencia de clase y X es el punto medio de la clase. 5.2.8 Interpretación y usos de la desviación estándar


26

Teorema de Chebyshev: para cualquier conjunto de observaciones, la proporción mínima de valores que está dentro de k desviaciones estándar desde la media es al menos 1 - 1/k , donde k2 es una constante mayor que 1 (Pita, 2,001). Regla empírica: Según Pita (2,007) para una distribución de frecuencias simétrica de campana, cerca de 68% de las observaciones estará dentro de ±1σ de la media (μ); cerca de 95% de las observaciones estará dentro de ±2σ de la media (μ); alrededor de 99.7% estará dentro de ±3σ de la media (μ).

5.2.9 Dispersión relativa

El coeficiente de variación es la razón de la desviación estándar a la media aritmética, expresada como porcentaje:

5.2.10 Asimetría

Asimetría (sesgo) es la medida de la falta de simetría en una distribución. El coeficiente de asimetría se calcula mediante la siguiente fórmula: Sk = 3(media - mediana) /desviación estándar 5.2.11 Amplitud intercuartílica

La amplitud intercuartílica es la distancia entre el tercer cuartil Q3 y el primer cuartil Q1 (Pita, 2,001). Amplitud intercuartílica= tercer cuartil - primer cuartil = Q3 - Q1 5.2.12 Primer cuartil


27

El primer cuartil es el valor correspondiente al punto debajo del cual se encuentra el 25% de las observaciones en un conjunto ordenado de datos (Pita, 2,001).

Donde L = límite de las clases que contienen Q1, CF = frecuencia acumulada que precede a la clase que contiene a Q1, f = frecuencia de la clase que contiene Q1, i= tamaño de la clase que contiene Q1. 5.2.13 Tercer cuartil

El tercer cuartil es el valor correspondiente al punto debajo del cual se encuentra 75% de las observaciones en un conjunto ordenado de datos (Pita, 2,001):

Donde L = límite inferior de la clase que contiene a Q3, CF= frecuencia acumulada precedente a la clase que contiene a Q3, f= frecuencia de la clase que contiene a Q3, i= tamaño de la clase que contiene a Q3 (Pita, 2,001). 5.2.14 Desviación cuartílica

La desviación cuartílica es la mitad de la distancia entre el tercer cuartil, Q3, y el primero, Q1 (Pita, 2,001). QD = [Q3 - Q1]/2 Ejemplo: Si el tercer cuartil = 24 y el primer cuartil = 10, ¿cuál es la desviación cuartílica? La amplitud intercuartílica es 24 - 10 = 14; Por lo tanto, La desviación cuartílica es 14/2 = 7. 5.2.15 Amplitud cuartílica

Cada conjunto de datos tiene 99 percentiles, que dividen el conjunto en 100 partes iguales (Pita, 2,001).


28

La amplitud cuartílica es la distancia entre dos percentiles establecidos. La amplitud cuartílica 10 a 90 es la distancia entre el 10º y 90º percentiles. 5.2.16 Fórmula para porcentiles

5.2.17 Diagramas de caja

Un diagrama de caja es una ilustración gráfica, basada en cuartiles, que ayuda a visualizar un conjunto de datos (Pita, 2,001). Se requieren cinco tipos de datos para construir un diagrama de caja: el valor mínimo, el primer cuartil, la mediana, el tercer cuartil, y el valor máximo (Pita, 2,001). Ejemplo: Con base en una muestra de 20 entregas, Marco’s Pizza determinó la siguiente información: Valor mínimo = 13 minutos, Q1 = 15 minutos, Mediana = 18 minutos, Q3 = 22 minutos, Valor máximo = 30 minutos. Desarrolle un diagrama de caja para los tiempos de entrega.

5.2.18 Ejemplo Para datos Agrupados:

Cuando la muestra consta de 30 o más datos, lo aconsejable es agrupar los datos en clases y a partir de estas determinar las características de la muestra y por consiguiente las de la población de donde fue tomada (Reyes, 2,007). Antes de pasar a definir cuál es la manera de determinar las características de interés (media, mediana, moda, etc.) cuando se han agrupado en clases los datos de la muestra, es necesario que sepamos como se agrupan los datos (Reyes, 2,007).

29


a. Determinar el rango o recorrido de los datos.

Los siguientes datos corresponden a las estaturas de 50 personas seleccionadas al azar (datos en metros): 1.51 1.63 1.72 1.69 1.70 1.58 1.70 1.62 1.70 1.72 Rango:

1.61 1.64 1.68 1.65 1.67

1.72 1.71 1.68 1.71 1.68

1.55 1.81 1.70 1.69 1.70

1.80 1.75 1.60 1.60 1.69

1.60 1.66 1.70 1.65 1.71

1.63 1.70 1.80 1.75 1.69

1.70 1.69 1.68 1.72 1.66

1.60 1.81 1.72 1.67 1.85

R = 1.85 – 1.51 = 0.34 metros b. Establecer el número de clases (k) en que se van a agrupar los datos tomando como base para esto la siguiente tabla.

Para formar la primera clase, se pone como límite inferior de la primera clase un valor un poco menor que el dato menor encontrado en la muestra y posteriormente se suma a este valor C, obteniendo de esta manera el límite superior de la primera clase, luego se procede a obtener los límites de la clase siguiente y así sucesivamente. Tamaño de muestra o No. De datos Menos de 50 50 a 99 100 a 250 250 en adelante

Número de clases 5a7 6 a 10 7 a 12 10 a 20

Numero de clases:

K = 2.5 4√50 = 6.65 = 7 K = 1 + 3.3 Log (50) = 6.61 = 7 Tamaño del intervalo:

I = 0.34/7 = 0.0486 = 0.05 metros INTERVAL O DE CLASES 1.51 1.55 1.56 1.60 1.61 1.65

Frecuencia Marca FRECUENCIA acumulada de fixmi Fimi2 LIMITES (fi) (fa) clase REALES (mi) 2 2 1.53 3.06 4.68 1.505 1.555 5 7 1.58 7.90 12.48 1.555 1.605 7 14 1.63 11.41 18.60 1.605 1.655

30


1.66 1.71 1.76 1.81

1.70 1.75 1.80 1.85

21 10 2 3 50

35 45 47 50

1.68 1.73 1.78 1.83

35.28 17.30 3.56 5.49 84

59.27 29.93 6.34 10.05 141.35

1.655 1.705 1.755 1.805

1.705 1.755 1.805 1.855

El uso de esta tabla es uno de los criterios que se puede tomar en cuenta para establecer el número de clases en las que se van a agrupar los datos, existen otros para hacerlo. c. Calculo de estadísticos: Coeficiente de Variación:

Media Aritmética:

X = 84/50 = 1.68 metros Varianza:

S2= 1.41 – (84) 2 = 0.0047 50 50-1 Desviación estándar:

S = √0.0047 = 0.069 Coeficiente de variación:

CV = 0.069 * 100 = 4.11% 1.68 Mediana: n = 50 = 25 2 2 Posición de la mediana esta entre clase de 1.66 1.70. Me = 1.655 + ((50/2) – 14) * 0.05 = 1.68 metros 21 Moda:

La moda se encuentra en el intervalo de clases: 1.66 – 1.70


Mo = 1.655

+

31

(21 – 7) * 0.05 = 1.683 metros (21 – 7) + (21 – 10)

d. Conclusiones:

Se determinó que la muestra estudiada es homogénea, ya que el valor del coeficiente de variación (4.11%) no es superior al limite empírico de 20%. Para este caso de estudio, la distribución de las variables es simétrica, ya que el valor de la media coincide exactamente con el valor de la mediana. La mitad de las personas medidas tienen una estatura mayor a 1.68 metros, y exactamente la otra mitad esta por debajo de este valor. Siendo la estatura más frecuente de 1.68 metros. 6. INFERENCIA ESTADÍSTICA

La inferencia estadística es una parte de la Estadística que comprende los métodos y procedimientos para deducir propiedades (hacer inferencias) de una población, a partir de una pequeña parte de la misma ( muestra) (Wikipedia.org, 2,007) La bondad de estas deducciones se mide en términos probabilísticas, es decir, toda inferencia se acompaña de su probabilidad de acierto (Wikipedia.org, 2,007) La estadística inferencial comprende: 

 





La Teoría de muestras. La estimación de parámetros. El Contraste de hipótesis. El Diseño experimental. La Inferencia bayesiana.

6.1 Definiciones

Probabilidad: valor entre cero y uno, inclusive, que describe la posibilidad relativa de que ocurra un evento (Cyta.com, 2,007) Experimento: proceso que conduce a la ocurrencia de una de varias observaciones posibles (Cyta.com, 2,007)

2,007)

Resultado: lo que resulta en particular de un experimento (Cyta.com,


2,007)

32

Evento: conjunto de uno o más resultados de un experimento (Cyta.com,

6.2 Enfoques de la probabilidad

Probabilidad clásica se basa en la consideración de que los resultados de un experimento son igualmente posibles (Cyta.com, 2,007) .

Utilizando el punto de vista clásico,

Ejemplo Considere el experimento de lanzar dos monedas al mismo tiempo. El espacio muestral S = {HH, HT, TH, TT} Considere el evento de una cara. Probabilidad de una cara = 2/4 = 1/2. 6.3 Eventos mutuamente excluyentes

Eventos mutuamente excluyentes: la ocurrencia de cualquier evento implica que ningún otro puede ocurrir al mismo tiempo (Cyta.com, 2,007) En el anterior, los cuatro resultados posibles son mutuamente excluyentes. 6.4 Eventos colectivamente exhaustivos

Colectivamente exhaustivos: por lo menos uno de los eventos debe ocurrir cuando se realiza un experimento (Cyta.com, 2,007) En el EJEMPLO, los cuatro resultados posibles son colectivamente exhaustivos. 25).

En otras palabras, la suma de las probabilidades es = 1 (.25 + .25 + .25 + .

6.5 Concepto de frecuencias relativas


33

La probabilidad de que un evento ocurra a largo plazo se determina observando en qué fracción de tiempo sucedieron eventos semejantes en el pasado:

A lo largo de su carrera, la profesora Patricia ha otorgado 186 calificaciones de A entre sus 1200 estudiantes. ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante de su clase en este semestre reciba una A? Aplicando el concepto de frecuencias relativas, la probabilidad de una A es 186 /1200 = 0.155 6.6 Probabilidad subjetiva Probabilidad subjetiva: la posibilidad (probabilidad) de que suceda un evento específico que asigna una persona con base en cualquier información disponible.

Ejemplos de la probabilidad subjetiva son estimar la probabilidad de que los Salgados de Salta ganen la Lotería el próximo año y estimar la probabilidad de que ocurra un terremoto en Los Ángeles este año. 6.7 Reglas básicas de probabilidad

Si los eventos son mutuamente excluyentes, la ocurrencia de cualquier evento impide que otro evento ocurra. Reglas de adición: si dos eventos A y B son mutuamente excluyentes, la regla especial de adición indica que la probabilidad de que ocurra A o B es igual a la suma de sus probabilidades respectivas:

P(A o B) = P(A) + P(B) Ejemplo: Aerolíneas Argentinas acaba de proporcionar la siguiente información de sus vuelos de Buenos Aires a Rosario:


34

Ejemplo Si A es el evento de que un vuelo llegue antes de tiempo, entonces P(A) = 100 /1000 = 0.1. Si B es el evento de que un vuelo llegue demorado, entonces P(B) = 75 /1000 = 0.075. La probabilidad de que un vuelo llegue antes de tiempo o demorado es P(A o B) = P(A) + P(B) = .1 + .075 = 0.175. Regla del complemento: La regla del complemento se utiliza para determinar la probabilidad de que ocurra un evento restando del número 1 la probabilidad de que un evento no ocurra (Cyta.com, 2,007)

Si P(A) es la probabilidad del evento A y P(~A) es el complemento de A, P(A) + P(~A) = 1 o P(A) = 1 - P(~A). Diagrama de Venn que ilustra la regla del complemento

EJEMPLO Si C es el evento de que un vuelo llegue a tiempo, entonces P(C) = 800 /1000 = 0.8. Si D es el evento de que un vuelo sea cancelado, entonces P (D) = 25 /1000 = 0.025. Utilice la regla del complemento para mostrar que la probabilidad de que el vuelo llegue antes de tiempo (A) o demorado (B) es 0.175. P(A o B) = 1 - P(C o D) = 1 - [.8 + .025] = .175


35

Regla general de adición: Si A y B son dos eventos que no son mutuamente excluyentes, (Cyta.com, 2,007) entonces:

P(A o B) se calcula con la siguiente fórmula: P(A o B) = P(A) + P (B) - P(A y B) Diagrama de Venn que ilustra esta regla

Ejemplo En una muestra de 500 estudiantes, 320 dijeron tener un estéreo, 175 dijeron tener una TV y 100 dijeron tener ambos:

Si un estudiante es seleccionado aleatoriamente, ¿cuál es la probabilidad de que tenga sólo un estéreo, sólo una TV y uno de cada uno? P(S) = 320 /500 = .64. P(T) = 175 /500 = .35. P(S y T) = 100 /500 = .20. Si un estudiante es seleccionado aleatoriamente, ¿cuál es la probabilidad de que tenga un estéreo o una TV en su habitación? P(S o T) = P(S) + P(T) - P(S y T) = .64 +.35 - .20 = .79. Regla especial de multiplicación: La regla especial de multiplicación requiere que dos eventos A y B sean independientes (Cyta.com, 2,007)

Dos eventos A y B son independientes si la ocurrencia de una no afecta la probabililidad de ocurrencia del otro.


36

La regla especial se escribe: P(A y B) = P(A) * P(B). Ejemplo Chris posee dos inventarios independientes uno de otro. La probabilidad de que el inventario A aumente su valor el próximo año es . 5. La probabilidad de que el B aumente el suyo es .7. ¿Cuál es la probabilidad de que ambos aumenten su valor el próximo año? P(A y B) = (.5) (.7) = .35. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos uno aumente su valor el próximo año (esto implica que cualquiera de los dos o ambos aumenten)? Así, P(al menos uno) = (.5)(.3) + (.5)(.7) + (.7)(.5) = .85. 6.9 Probabilidad conjunta

Probabilidad conjunta es una probabilidad que mide la posibilidad de que dos o más eventos ocurran juntos (Cyta.com, 2,007) Un ejemplo sería el hecho de que un estudiante tenga tanto un estéreo como una TV en su habitación (Cyta.com, 2,007) 6.10 Probabilidad condicional

Probabilidad condicional es la probabilidad de que ocurra un evento en particular, dado que ocurrió otro evento. Nota: la probabilidad de que ocurra el evento A dado que ya ocurrió B se denota como P(A|B) (Cyta.com, 2,007) Regla general de multiplicación: La regla general de multiplicación se utiliza para determina la probabilidad conjunta de que ocurran dos eventos y establece:

Para dos eventos A y B, la probabilidad conjunta que ambos ocurran se encuentra multiplicando la probabilidad de A por la probabilidad condicional de B dado que A ocurrió (Cyta.com, 2,007) La probabilidad conjunta, P(A y B) está dada por la siguiente fórmula: P(A y B) = P (A) * P (B|A), o bien P(A y B) = P(B) * P(A|B) Ejemplo


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La directora de la escuela de administración en Miami recolectó la siguiente información acerca de los estudiantes de licenciatura del colegio: Si un estudiante se selecciona al azar, ¿cuál es la probabilidad de que el estudiante sea mujer del área de contabilidad? P(A y F) = 110 / 1000. Dado que la estudiante es mujer, ¿cuál es la probabilidad que esté en el área de contabilidad? P (A|F) = [P(A y F)] / [P(F)] = [110 / 1000] /[400 / 1000] = .275.

6.11 Diagrama de árbol

El diagrama de árbol es muy útil para visualizar las probabilidades condicional y conjunta y en particular para el análisis de decisiones administrativas que involucran varias etapas (Cita.com, 2,007).


38

EJEMPLO: una bolsa contiene 7 fichas rojas (R) y 5 azules (B), se escogen 2 fichas, una después de la otra sin reemplazo. Construya el diagrama de árbol con esta información. 6.12 Teorema de Bayes

El teorema de Bayes se representa con la fórmula:

La compañía Duff Beer ha recibido varias quejas debido a que sus botellas no van bien llenas. Una queja fue recibida hoy pero el gerente de producción no puede identificar cuál de las dos plantas Springfield (A o B) llenó esta botella. ¿Cuál es la probabilidad de que la botella mal llenada haya salido de la planta A?

P(A |U) = [(.55)(.03)]/[(.55)(.03) + (.45)(.04)] = .4783. 6.13 Algunos principios de conteo

Fórmula de la multiplicación: si hay m modos de hacer una cosa y n formas de hacer otra, existen m x n formas de hacer ambas. EJEMPLO: el Doctor Périssé tiene 10 camisas y 8 corbatas. ¿Cuántos conjuntos de camisas /corbatas tiene? (10)(8) = 80. Permutación: un arreglo de r objetos seleccionados a


39

6.14 DEFINICIÓN DE PROBABILIDAD: (La Place). Si en un espacio muestral con “n“ posibles resultados, se define un evento “E” con m posibles resultados, entonces la probabilidad de que ocurra “E” es: P (E)= m/n

Siempre que m sea menor que n. Es decir Casos favorables/casos posibles (Reyes, 2,007). Teoria Axiomática. Un axioma es un enunciado que no requiere de demostración (Reyes, 2,007).

1. P (E) ≤ 1. 2. P (E) ≥ 0. 3. Si A y B son dos eventos mutuamente excluyentes (o se da uno, o el otro), es decir la ocurrencia de uno impide la ocurrencia de otro, por ejemplo: Cara o escudo. Entonces: P (A U B) = P (A) + P (B)

4. Si A y B son dos eventos no excluyentes (la ocurrencia de uno, no impide la ocurrencia del otro), entonces: P (A U B) = P (A) + P (B) – P (A П B)

5. La probabilidad del componente de A es: P (A)c = 1 – P (A) Ejemplos:

1. Si un experimento consiste en el lanzamiento simultaneo de 2 dados, calcule las siguientes probabilidades: a. Que la suma sea impar.

40


1

2

3

4 1 1,1 1,2 1,3 1,4 2 2,1 2,2 2,3 2,4 3 3,1 3,2 3,3 3,4 4 4,1 4,2 4,3 4,4 5 5,1 5,2 5,3 5,4 6 6,1 6,2 6,3 6,4

5 1,5 2,5 3,5 4,5 5,5 6,5

6 1,6 2,6 3,6 4,6 5,6 6,6

Casos posibles: 36 Casos favorables: 18 P (∑ impar) = 18/36 = 0.5

b. Que la suma tenga raíz cuadrada exacta.

Casos posibles: 36 Casos favorables: 7 P (∑ √) = 7/36 = 0.1944 (absoluta) = 19.44% (relativa) c. que la sumatoria sea igual a 15.

Casos posibles: 36 Casos favorables: 0

P (∑ = 15) = 0/36 = 0

d. que la sumatoria sea menor a 5.

Casos posibles: 36 Casos favorables: 6

P (∑ < 5) = 6/36 = 0.1666 = 16.67%

2. Un experimento consiste en lanzar 3 monedas cual es la probabilidad de obtener: a. tres escudos P (3 escudos) = 1/8

C

C

E

E

C

C

E

C C

E

E

C

E

41


b. al menos 2 escudos, es decir que podrían ser 2, o 3.

C C

E

E

C

C

E

C C

E

E

C

E

E

P (al menos 2 escudos) = P (2) + P (3) 4/8 + 1/8 = 5/8

c. 2 escudos o 2 caras. P (2 escudos o 2 caras) = P (2 escudos) + P (2 caras) 4/8 + 4/8 = 8/8 = 1

d. 1 o 2 caras. P (1 o 2 caras) = P (1) + P (2)

42


3/8 + 4/8 = 7/8 C C

E

E

C

C

E

C C

E

E

C

E

E

3. Cuando una persona pasa a una gasolinera, la probabilidad de que pida revisión de aceite es 3/5, que pida revisión de llantas es de 3/7, y que pida revisión de ambas, es de 4/9, calcule las probabilidades siguientes: 3/5

4/9

3/7

a. Que no pida revisión de aceite. 3/ 5

P = 1 – 3/5 = 2/5 = 0.4 = 40%

b. Que pida revisión de llantas o aceite. P = 3/5 + 3/7 – 4/9 = 0.584

c. Que pida revisión de aceite pero no llantas. P = 3/5 - 4/9 = 0.1556 -

Eventos independientes. Dos eventos son independientes cuando el resultado de uno no afecta el resultado del otro. Entonces:


43

P (A П B) = P (A) x P (B) Ejemplo:

1. Una caja contiene 3 bolas blancas, 4 rojas y 5 negras. Si se extraen 3 al azar pero al mismo tiempo, cual es la probabilidad de que sean: a. Las 3 rojas. Condiciones: Espacio Muestral: (12) = 220 (03) Sin reemplazo. No importa el orden. Casos favorables: (4) = 4 (3) P = 4/220 = 0.0181

b. 3 Blancas. Casos favorables: (3) = 1 (3) P = 1/220 = 0.0045

c. 1 de cada color. Aquí se utiliza la multiplicación (y), por que es un evento no excluyente. Casos favorables: (3) x (4) x (5) (3) (1) (1) = 60 = 0.2727 (12) 220 (3) d. 3 del mismo color. Es decir 3 blancas, o 3 rojas, o 3 negras. Aquí se utiliza la suma (o), por que es un evento excluyente. Casos favorables: (3) + (4) + (5) (3) (3) (3) = 1 + 4 + 10 = 0.06818 (12) 220 (3)

2. Una caja contiene 3 bolas blancas, 4 rojas y 5 negras. Si se extraen 3 al azar sucesivamente y sin reemplazo, cual es la probabilidad de que sean:


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a. Las 3 rojas. 4/12 x 3/11 2/10 = 0.018 b. 3 Blancas. 3/12 x 2/11 x 1/10 = 0.0045 c. 1 de cada color. Aquí se utiliza la multiplicación (y), por que es un evento no excluyente. 3/12 x 4/11 x 5/10 = 0.045 d. 3 del mismo color. Es decir 3 blancas, o 3 rojas, o 3 negras. Aquí se utiliza la suma (o), por que es un evento excluyente. (3/12 x 2/11 x 1/10) + (4/12 x 3/11 x 2/10) + (5/12 x 4/11 x 3/10) = 0.0045 + 0.018 + 0.0675 = 0.0681 3. Una caja contiene 3 bolas blancas, 4 rojas y 5 negras. Si se extraen 3 al azar sucesivamente y con reemplazo, cual es la probabilidad de que sean: a. Las 3 rojas. 4/12 x 4/12 4/12 = 0.037 b. 3 Blancas. 3/12 x 3/12 x 3/12 = 0.0156 c. 1 de cada color. Aquí se utiliza la multiplicación (y), por que es un evento no excluyente. 3/12 x 4/12 x 5/12 = 0.0347 d. 3 del mismo color. Es decir 3 blancas, o 3 rojas, o 3 negras. Aquí se utiliza la suma (o), por que es un evento excluyente. (3/12 x 3/12 x 3/12) + (4/12 x 4/12 x 4/12) + (5/12 x 5/12 x 5/12) = 0.125 7. PRUEBA DE HIPOTESIS:

Dada la necesidad de bibliografía para la asignatura Informática Medica II se concibió este Material de Apoyo a la Docencia cuyo contenido forma parte del programa analítico de la asignatura. En el mismo se expone el sumario siguiente:


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Prueba de Hipótesis. Hipótesis nula. e Hipótesis alternativa. Prueba de Hipótesis de una cola y de dos colas. Nivel de significación. Errores de Tipo I (a) y Tipo II (b). Región Crítica de una Prueba de Hipótesis. Prueba de Hipótesis acerca de la media de una Distribución Normal cuando s es conocida y desconocida. Prueba de Hipótesis acerca de una proporción Poblacional. Prueba de Hipótesis sobre Diferencias de Medias y Proporciones Poblacionales (Sagaró y Navarro, 2,007) . En la actividad anterior se abordó uno de los grandes campos de trabajo de la inferencia estadística, la estimación de parámetros poblacionales, el otro campo de acción de la estadística inferencial es la verificación de hipótesis estadística, también conocida como prueba, décima o contraste de hipótesis (Sagaró y Navarro, 2,007) .

Vamos a analizar algunos conceptos básicos comunes todas las pruebas y esenciales para su comprensión, y posteriormente veremos pruebas particulares para problemas concretos (Sagaró y Navarro, 2,007) 7.1 Definiciones Básicas a. Hipótesis:

Supongamos que se conoce por estudios anteriores que la prevalencia del hábito de fumar en la población de un área de salud es del 45% y se realiza una intervención para tratar de reducir este nocivo hábito. Después de realizada la misma se estudia una muestra de esa población y constató que la prevalencia de fumadores era del 30% (Sagaró y Navarro, 2,007) . ¿ Puedo por estos resultados asegurar que la reducción del porcentaje de fumadores se debió al impacto de la intervención?. ¿Será esa diferencia entre esos dos porcentajes producto del azar, de la casualidad, del propio hecho de trabajar con una muestra?. ¿ Son realmente iguales o diferentes esas proporciones?. ¿ Es el por ciento de fumadores menor después que se realizó la intervención? (Sagaró y Navarro, 2,007). Esas interrogantes, esas preguntas las vamos a formular en forma de hipótesis estadística. Una hipótesis no es mas que una afirmación sobre el comportamiento poblacional que se asume para esa variable (Sagaró y Navarro, 2,007) La primera hipótesis que se plantea es la llamada hipótesis nula, y se designa con H, algunos autores la designan con el nombre de hipótesis de no diferencia. En esta hipótesis se expresa la no existencia de diferencia entre los resultados obtenidos en la práctica y los resultados teóricos. Dicho de otra forma,


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en la hipótesis nula se declara lo opuesto a lo que estamos intentando probar, lo opuesto a lo que el investigador quiere probar. En general esta hipótesis se establece con el propósito de ser rechazada (Sagaró y Navarro, 2,007) H: p = p la intervención)

(La prevalencia de fumadores es la misma antes y después de

La hipótesis nula da lugar a una segunda hipótesis, la hipótesis alternativa, que se designa como H y en ella se expresa lo contrario a lo que se planteo en la hipótesis nula, lo que el investigador quiere probar (Sagaró y Navarro, 2,007) . En dependencia de cómo se plantee la hipótesis alternativa se derivan de ella tipos de pruebas de hipótesis (Sagaró y Navarro, 2,007) . Siguiendo con el ejemplo. Que simplemente difieren los porcentajes de fumadores, sin precisar el sentido de esa diferencia. H=p p En este caso se dice que la prueba es de dos colas o contraste bilateral, pues la diferencia puede darse en cualquier sentido, que difieran por exceso o por defecto, p >p,o, p < p Darle sentido a la desigualdad o diferencia. H = p >p (Sería el caso del ejemplo) H=p

Al tomar la decisión de rechazar o no las hipótesis podemos equivocarnos en nuestra decisión, podemos cometer un error (Sagaró y Navarro, 2,007)La decisión siempre se toma en función de la hipótesis nula, sobre esta hipótesis y se pueden cometer dos tipos de errores: 1er Error. Error de tipo I o α Rechazar la hipótesis nula, siendo cierta 2do Error. Error de tipo II o β

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Aceptar la hipótesis nula, cuando esta es falsa Lo anterior se resume en la siguiente tabla: Condición nula

de la hipótesis

Verdadera Falsa

Acción posible No rechazar H0 Correcto Probabilidad 1 - a Error tipo II Probabilidad b

Rechazar H0 Error tipo I Probabilidad a Correcto Probabilidad 1 - b

c. Nivel de significación

Siempre al tomar una decisión estoy expuesto a cometer un error, por eso es muy beneficioso tener una cuantificación de cuán buena o no ha sido mi decisión, medir en términos de probabilidades si mi decisión ha sido o no acertada y tener alguna medida de la confianza de mis decisiones (Sagaró y Navarro, 2,007) El error que se mide con más frecuencia es el de tipo I o α, donde se fija una probabilidad pequeña, como es lógico, de cometer este tipo de error, de equivocarme en mi decisión. Por convención se fija una probabilidad de 0.05 o un 5%, o de 0.01 o un 1% yb se acostumbra a denotar esta probabilidad por α, así tendríamos α= 0.05, o, α= 0.01 (Sagaró y Navarro, 2,007) La especificidad de una probabilidad pequeña designada por α de cometer el error de tipo I, es lo que se conoce como nivel de significación de la prueba (Sagaró y Navarro, 2,007) Ahora resulta fácil entender porque la hipótesis nula se expresa en términos de lo que ``esperamos rechazar´´, lo contrario a lo esperado por el investigador, pues el error que fijamos con una probabilidad pequeña de equivocarnos es el de rechazarla siendo cierta, y desde el momento mismo en que la formulamos se hace en función de lo que no se espera que ocurra (Sagaró y Navarro, 2,007) En el ejemplo de la intervención para reducir la prevalencia del habito de fumar, la hipótesis nula se formuló en términos de igualdad en los proporciones de fumadores, cuando lo que el investigador espera es que sea menor la prevalencia de los que fuman después de la intervención (Sagaró y Navarro, 2,007)


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El rechazo de la Hipótesis Nula equivale a la aceptación de la Hipótesis Alternativa, Alternativa, si en el ejemplo ejemplo que nos ocupa ocupa rechazamos rechazamos la igualdad igualdad de prevalencia prevalencia de fumadores, aceptamos la alternativa de que la prevalencia disminuyó después de aplicado el plan de intervención (Sagaró y Navarro, 2,007) El error de tipo II o β también puede ser ``medido´´, pero en la práctica su uso se limita a casos muy especiales. Es por eso que al no tener en valor de probabilidad fijado de cometer este tipo de error- aceptar la hipótesis nula cuando es falsa- trato de no cometer este error al realizar la prueba y por eso al no poder rech rechaz azar ar la hipó hipóte tesi siss nu nula la nu nunc ncaa digo digo qu quee la acep acepto to,, si no qu quee no pu pued edoo rechazarla. Esta forma de expresar el no rechazo de H es denominada por algunos autores como reservar el juicio y simplemente lo que se trata es de no cometer el error de tipo II al utilizar la palabra acepto (Sagaró y Navarro, 2,007)

d. Estadígrafo o estadístico de prueba.

Para realizar una prueba de hipótesis hay que tener en cuenta algunos aspectos de diseño de la investigación como es la naturaleza de las variables, en que escala están medidas, las características de la muestra, y el cumplimiento de algunos supuestos pre establecidos para decidir que tipo de prueba se va a utilizar (Sagaró y Navarro, 2,007) Siempre existe para cualquier tipo de prueba un estadístico o estadígrafo (expresi (expresión ón o formula formula matemática) matemática) que se calcula con los dat datos os de la muestra muestra (Sagaró y Navarro, 2,007) Esta Esta esta estadí dígr graf afaa ba bajo jo el supu supues esto to de qu quee H sea sea cier cierta ta sigu siguee un unaa determin dete rminada ada distribu distribución ción teórica teórica de frecuenci frecuencia, a, distribu distribución ción que pued puedee variar variar según el tipo de prueba, y que en ocasiones le da el nombre a la prueba estadística (Sagaró y Navarro, 2,007) e. Regla de decisión.

La distribución teórica de frecuencia o de probabilidad que caracteriza a cada estadígrafo y el nivel de significación que se fije para realizar la prueba, son los elementos esenciales esenciales que van a influir en la decisión que se tome en cuento al rechazo o no de la hipótesis nula (Sagaró y Navarro, 2,007) Generalmente Generalmente cuando se produce el rechazo de H y por ende la aceptación de la alternativa se dice que la prueba fue significativa a un 5% o un 1 % en dependencia del nivel de significación con que se halla trabajado la prueba. Este aspecto se explicará con mas detalle, en aras de facilitar su comprensión, cuando desarrollemos algunas pruebas de hipótesis especificas (Sagaró y Navarro, 2,007)


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Antes creemos pertinente pertinente realizar algunas observaciones sobre el termino estadísticamente significativo, que con frecuencia se confunde con el significado corrient corrientee de la palabra palabra significati significativo, vo, y se hace sinónimo sinónimo el resultado resultado de una prueba, al de relevante, importante importante desde el punto de vista del marco teórico de la ciencia en la cual se está investigando. Por tanto se recomienda usar en la literatura científica científica la palabra significativo significativo solo en caso de referirse al resultado de una prueba estadística y no al discurso en general (Sagaró y Navarro, 2,007) Otro aspecto que vale la pena aclarar es que el resultado de una prueba de hipótesis no puede analizarse al margen del marco teórico de la ciencia particular en que esta ha sido usada. El resultado de la prueba estadística sólo es una parte de la evidencia que influye en la decisión del investigador. La decisión estadística no debe considerarse como definitiva, si no que es un elemento mas a considerar junto con el análisis de toda la información científica que existe sobre el problema que se investiga (Sagaró y Navarro, 2,007) 7.2 Pruebas de hipótesis a partir de medias.

Existen dos condiciones básicas en que realizamos PH a partir de medias: para pa ra un unaa sola sola po pobl blac ació iónn y pa para ra do doss po pobl blac acio ione nes. s. Vere Veremo moss cada cada caso caso po por r separado, a la vez que nos detendremos en las particularidades de cada una. Pero antes, debes conocer que las pruebas de hipótesis se pueden realizar de forma unilateral y bilateral, en dependencia de la forma en que son enunciadas las hipótesis nula y alternativa. Así, una PH bilateral es aquella en que sólo interesa conocer la existencia de diferencias, sin definir el sentido de éstas, como ocurre en el caso unilateral (Sagaró y Navarro, 2,007) 7.3 La media de una sola población. población.

Esta situación surge cuando al investigador le interesa probar que la media m de una determinada variable en una población es igual o diferente a un valor determinado m0. Estas pruebas pueden realizarse en tres condiciones diferentes que veremos a continuación: La población se distribuye normal con varianza conocida. La población se distribuye normal con varianza desconocida. La población no se distribuye normal. Aunque la teoría para las condiciones condiciones 1 y 2 se basa en que la población sigue una distribución normal, en la práctica es común aplicar este proceder aún cuando cuando la po pobl blaci ación ón sólo sólo está está distri distribu buida ida ap aprox roxima imada damen mente te no norma rmal.l. Esto Esto es satisfactorio siempre que la desviación de la normalidad sea moderada (Sagaró y Navarro, 2,007) 7.4 Población normal con varianza conocida.


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Suponemos que X~N (m, s2) donde s2 es conocida y queremos contrastar si es posible que m (desconocida) (desconocida) sea en realidad realidad cierto valor m0 fijado. fijado. Esto es un supuesto teórico que nunca se dará en la realidad pero servirá para introducir la teoría sobre contrastes (Sagaró y Navarro, 2,007) Test de dos colas con varianza conocida: El test se escribe entonces como: Ho: m = m0 H1: m ¹ m0 Estadígrafo de prueba:

Si H0 es ciert cierta, a, este este estad estadígr ígrafo afo tiene tiene un unaa distri distribu bució ciónn no norma rmall estándar estándar.. Le llamarem llamaremos os al valor de Z obt obtenid enidoo en la muestra muestra Z observado observado y lo denotaremos denotaremos como Zo, Fijemos ahora el el nivel de significación significación a, de manera que que queden definidas las zonas de aceptación y de rechazo (crítica) respectivamente. Así, tomaremos como región crítica C, a los valores v alores que son muy extremos y con probabilidad a en total, o sea: P(Zo ≤ Z a / 2) = a / 2 P(Zo ³ Z 1-a / 2) = a / 2 Recuerda que Z a / 2 = - Z 1- a / 2 Lo anterior implica que: P(-Z 1- a / 2 ≤ Zo ≤ Z 1- a / 2) = 1- a siendo esta la zona de aceptación. Entonces la región crítica C consiste en: C = Zo, tal que |Zo| > Z 1- a / 2 Luego rechazaremos la hipótesis nula si: |Zo| > Z 1- a / 2 Aceptando en consecuencia consecuencia la hipótesis hipótesis alternativa alternativa (figura (figura 4.4.1). 4.4.1). Puedes observar en la figura 4.7, que la región de rechazo de la hipótesis nula es la sombreada. Se rechaza H0 cuando el estadígrafo Zo toma un valor comp compre rend ndid idoo en la zona zona somb sombre read adaa de la gráfi ráfica ca pe pequ queñ eña, a, N(0, N(0, 1), 1), o equivalentemente, equivalentemente, cuando cuando el estadígrafo toma un valor en la zona sombreada de la gráfica grande, N (m0, s2).

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Ho

Figura 1.Representación gráfica de las zonas de aceptación y rechazo del

Tests unilateral (de una cola) con varianza conocida Consideremos un contraste de hipótesis donde ahora las hipótesis se enuncian: Ho: m = m0 H1: m < m0

A veces se escribe Ho: m ≥ m0 H1: m < m0

El estadígrafo de prueba es el mismo del caso anterior, pues la Ho es igual. Como región crítica consideraremos aquella formada por los valores extremadamente bajos de Zo, con probabilidad a, es decir: P (Zo ≤ Za) = a implica P (Zo ≥ Za) = 1 - a Entonces la región de aceptación, o de modo más correcto, de no rechazo de la hipótesis nula es (figura 4.4.2): Zo ≥ Za; y por consiguiente, se rechaza Ho si: Zo < Z a Así pues, se rechaza la hipótesis nula, cuando uno de los estadísticos Z o

Toma un valor en la zona sombreada de sus gráficas respectivas.

Figura 2. Zonas de aceptación y rechazo para test unilateral. Es evidente que si en el contraste de significación, hubiésemos tomado como hipótesis alternativa su contraria, es decir: Ho: m = m0 H1: m > m0

O también

Ho: m ≤ m0 H1: m > m0


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Por simetría con respecto al caso anterior, la región donde no se rechaza la hipótesis nula es (véase la figura 4.9 y contrástese con la 4.4.2): Zo ≤ Z 1 - a, lo que implica que se rechaza Ho si: Zo > Z1 - a

Figura 3. Regiones de aceptación y rechazo para el test unilateral contrario al anterior. La variable se distribuye normal con varianza desconocida. Test de dos colas con varianza desconocida Sea X~N (m, s2) donde ni m ni s2 son conocidos y queremos realizar el contraste Ho: m = m0 H1: m ¹ m0 Al no conocer s2 va a ser necesario estimarlo a partir de su estimador insesgado: la varianza muestral, S2. Por ello la distribución del estimador del contraste será una t de Student, con n-1 grados de libertad. Si H0 es cierta implica: ~ t n - 1 gl Consideramos como región crítica C, a las observaciones de To extremas: P(To ≤ t n - 1, a / 2) = a / 2 P(To ≥ t n - 1, 1 - a / 2) = a / 2 Recuerda que la distribución t es simétrica respecto a la media y tiene media 0, por lo que: t n - 1, a / 2 = -t n - 1,1 - a / 2 Todo lo anterior implica que: P(t n - 1, a / 2 ≤ To ≤ t n - 1, 1 - a / 2) = 1 - a o sea


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C = (To < - t n - 1, a / 2 ó To > t n - 1, 1 - a / 2 ) De forma similar al caso anterior, para dar una forma homogénea a todos los contrastes de hipótesis es costumbre denominar al valor del estadístico del contraste calculado sobre la muestra como valor observado y a los extremos de la región crítica, como valores teóricos, en este caso Tt. Definiendo entonces: Tt = t n – 1 , 1 - a / 2

Figura 4. Región crítica para el contraste bilateral de una media con varianza desconocida. Entonces, si: |To| ≤ Tt Þ no rechazamos H0 |To| >Tt Þ rechazamos Ho Tests de una cola con varianza desconocida Si realizamos el contraste Ho: m = m0 H1: m < m0 El estadígrafo de prueba es el mismo que en el caso bilateral, pero el valor teórico se modifica al igual que la zona crítica. Tt = t n - 1, a De forma tal que:

To ³ Tt Þ no rechazamos Ho

To < Tt Þ rechazamos Ho y aceptamos H1

Figura 5. Región crítica para uno de los contrastes unilaterales de una media con varianza desconocida. Para el contraste contrario: Ho: m = m0 H1: m > m0

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Definimos To y Tt como anteriormente y el criterio a aplicar es (véase la figura 4.4.6): Tt = t n-1, 1- a

Figura 6. Región crítica para el contraste unilateral de una media contrario al anterior. Varianza desconocida. De aquí que:

Si To ≤ Tt Þ no rechazamos Ho

Si To > Tt Þ rechazamos Ho y aceptamos H1 Ejemplo Conocemos que la talla (X) de los individuos de una ciudad, se distribuye aproximadamente normal. Deseamos contrastar con un nivel de significación de a=0.05 si la talla media es diferente de 174 cm. Para ello nos basamos en el estudio de una muestra de 25 personas. Se obtuvo los siguientes resultados: M= 170cm y s = 10cm Solución: El contraste que se plantea es: Ho: m = 174 cm H1: m ¹ 174 cm Como puedes ver, se trata de un test con varianza desconocida, planteado de forma bilateral, entonces el estadígrafo de prueba será: ~ t 24 gl La regla de decisión estará dada por el valor teórico del estadígrafo: Tt = t 24, 1 - a / 2 = t 24, 0.975 = 2.06 Comparemos ahora el valor observado con el teórico:


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|To| = 2 < Tt = 2.06 Þ No rechazamos Ho Por lo tanto, aunque podamos pensar que ciertamente el verdadero valor de m no es 174, no hay una evidencia suficiente para rechazar esta hipótesis al nivel de confianza del 95%. En la figura 4.12 vemos que el valor de To no está en la región crítica (aunque ha quedado muy cerca), por tanto al no ser la evidencia en contra de H0 suficientemente significativa, esta hipótesis no se rechaza.

Figura 7. Región de rechazo de la hipótesis nula Ejemplo Consideramos el mismo ejemplo anterior. Visto que no hemos podido rechazar el que la talla media de la población sea igual a 174 cm, deseamos realizar el contraste sobre si la talla media es menor de 174 cm. Solución: Ahora el contraste es

Ho: m = 174 cm H1: m < 174 cm

De nuevo la técnica a utilizar consiste en suponer que H0 es cierta y ver si el valor que toma el estadígrafo T es aceptable bajo esta hipótesis, con un nivel de confianza del 95%. Se aceptará la hipótesis alternativa (y en consecuencia se rechazará la hipótesis nula) si: To < t 24, a = -t 24, 1 - a = t 24, 0.95 = -1.71 Recordamos que el valor de To obtenido fue de: To = -2 < Tt = -1.71 Por ello hemos de rechazar la hipótesis nula y por tanto, aceptar la alternativa. Podemos observar en el gráfico, que el valor To está en la región crítica, por tanto existe una evidencia significativa en contra de H0, y a favor de H1.

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Es importante observar este hecho curioso: Mientras que en el ejemplo anterior no existía una evidencia significativa para decir que m ¹174 cm, el ``simple hecho" de plantearnos un contraste que parece el mismo pero en versión unilateral nos conduce a rechazar de modo significativo que m =174 cm y aceptamos que m < 174 cm. Esto no es raro que suceda, de hecho se plantea que al usar pruebas unilaterales las diferencias encontradas suelen ser mucho más significativas que si se aplica el test bilateral. Por ello, es aceptable la actitud conservadora de muchos investigadores que sistemáticamente emplean contrastes bilaterales. 7.6 Población que no presenta una distribución normal.

Si, como ocurre con frecuencia, la muestra en la cual se basa la prueba de hipótesis acerca de la media de una población proviene de una distribución desconocida o diferente de la normal, si la muestra es grande, mayor o igual que 30, es posible aplicar el teorema del límite central y usar el mismo estadígrafo Z visto con anterioridad, incluso en el caso en que no conocemos la varianza se puede sustituir ésta por la varianza muestral.

~ N (m0,

)

El resto del contraste se realiza de forma similar a lo visto anteriormente. Observaciones

Es necesario que aclaremos algunos aspectos antes de continuar, los cuales serán válidos para el resto de la sección. Test Bilateral Vs Unilateral: Una prueba se denomina bilateral o de dos colas, cuando la hipótesis alternativa está planteada sin especificar el sentido de la diferencia. Mientras que en el caso unilateral o de una cola se especifica el sentido o la dirección de la diferencia esperada. En el primer caso la zona de rechazo está dividida en dos partes, a ambos extremos de la distribución siendo las probabilidades a cada lado igual a a/2, para que entre sí sumen un total de a. Mientras que en el caso unilateral la zona crítica se encuentra hacia un extremo o el otro de dicha distribución, cuya área es igual a a. La decisión de cuál test emplear depende del objetivo de la investigación. Valor de p (probabilidad) asociado al estadígrafo: Para llegar a una conclusión sobre el resultado de la prueba podemos utilizar, además del valor directo del estadígrafo de prueba, la llamada p asociada al estadígrafo, que seguro has oído hablar de ella. El valor p para la prueba, es la probabilidad de obtener, cuando Ho es cierta, un valor del estadígrafo mayor o igual (según la dirección de


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la diferencia)que el observado a partir de la muestra. Suele usarse con mayor frecuencia que el valor del estadígrafo, incluso se exige en la publicación de artículos científicos de algunos editores. Por supuesto que las conclusiones son equivalentes. En este caso se compara el valor de p con el valor de a prefijado y si: p < a Þ se rechazará Ho Este valor lo puedes obtener de las tablas de las distribuciones teóricas del estadígrafo, pero los programas estadísticos de computación suelen darlo con exactitud. Pruebas de hipótesis por medio de intervalos de confianza: Se pueden realizar pruebas de hipótesis empleando para ello los intervalos de confianza vistos en secciones anteriores, cuyos resultados son equivalentes al test de hipótesis tradicional. Consisten básicamente, en calcular un IC para el parámetro que se desea contrastar, empleando el mismo nivel de significación que en el test, entonces la regla de decisión será basada en si el Intervalo contiene o no al valor del parámetro hipotetizado, de ser así no se puede rechazar la Ho, en caso de no contenerlo se rechazará la Ho y se aceptará la hipótesis alternativa, siendo la probabilidad de cometer el error tipo I igual a a. Recuerda que el parámetro a contrastar puede ser un valor único o la diferencia entre dos valores. En general, cuando se prueba una hipótesis nula por medio de un intervalo de confianza bilateral, se rechaza Ho en el nivel a de significación, si el parámetro supuesto no está contenido dentro del intervalo de confianza del 100(1-a)%. Elección del test: Como estudiamos, se pueden probar las mismas hipótesis empleando diferentes estadígrafos: prueba Z y prueba t, la escogencia entre uno de ellos dependerá del cumplimiento de las suposiciones necesarias para cada caso. No lo olvides. Hemos tratado de ser explícitos y a la vez de no complicar mucho las cosas para facilitarte la comprensión del contenido, aún así te percatarás que no es un tema sencillo. Lo explicado hasta el momento podrás aplicarlo a otras pruebas de hipótesis que veremos a continuación. 7.7 Pruebas para las medias de dos poblaciones

La prueba de hipótesis que comprende la diferencia entre las medias de dos poblaciones, se utiliza con mayor frecuencia para determinar si es razonable o no concluir que las dos son distintas entre sí. Al igual que en el caso de una sola población se distinguen diferentes situaciones: Muestras pareadas Muestras independientes Sólo veremos aquí la prueba para muestras independientes

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Suposiciones generales: las muestras son aleatorias e independientes, la variable es continua y se distribuye normal, además las observaciones son independientes. Hipótesis: Ho: m1= m2 Þ m1 - m2 = 0 H1: m1 ¹ m2 La hipótesis alternativa puede enunciarse también en forma unilateral: H1: m1 > m2 Þ m1 - m2 > 0 ó H1: m1 < m2 Þ m1 - m2 < 0 Si las varianzas poblacionales son conocidas el estadígrafo de prueba es:

Se distribuye normal estándar En el numerador no se incluye md porque bajo Ho md = 0. En el caso de varianzas desconocidas hay dos posibilidades: Varianzas desconocidas pero se supone que son iguales Varianzas desconocidas pero se supone que son diferentes. El estadígrafo de prueba en cada caso es: a)

donde

Este estadígrafo se distribuye t de Student con (n1 + n2 –2) grados de libertad

Se distribuye t de Student con (nu) grados de libertad, pero si el tamaño de las muestras es grande se distribuye normal estándar; Que suerte! porque la fórmula para calcular los grados de libertad se las trae. En cada caso la regla de decisión puedes enunciarla a partir de la tabla 4.4.1, solo tienes que adecuarlo a la distribución específica de cada estadígrafo.

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7.8 Pruebas de hipótesis a partir de proporciones.

Las pruebas de hipótesis a partir de proporciones se realizan casi en la misma forma utilizada cuando nos referimos a las medias, cuando se cumplen las suposiciones necesarias para cada caso. Pueden utilizarse pruebas unilaterales o bilaterales dependiendo de la situación particular. La proporción de una población Las hipótesis se enuncian de manera similar al caso de la media. Ho: p = p0 H1: p ¹ p0 En caso de que la muestra sea grande n>30, el estadígrafo de prueba es:

se distribuye normal estándar. Regla de decisión: se determina de acuerdo a la hipótesis alternativa (si es bilateral o unilateral), lo cual puedes fácilmente hacerlo auxiliándote de la tabla 4.4.1. En el caso de muestras pequeñas se utiliza la distribución Binomial. No lo abordaremos por ser complicado y poco frecuente su uso. Diferencia entre las proporciones de dos poblaciones La situación más frecuente es suponer que existen diferencias entre las proporciones de dos poblaciones, para ello suelen enunciarse las hipótesis de forma similar al caso de las medias: Ho: p1 = p2 Þ p1 - p2 = 0 H1: p1 ¹ p2 Puede la hipótesis alternativa enunciarse unilateralmente. El estadígrafo de prueba para el caso de muestras independientes:

donde


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Siendo a1 y a2, el número de sujetos con la característica objeto de estudio en las muestras 1 y 2 respectivamente, es decir, en vez de calcular la varianza para cada muestra, se calcula una p conjunta para ambas muestras bajo el supuesto que no hay diferencias entre ambas proporciones y así se obtiene la varianza conjunta. Recuerda que q = 1-p. Está de más que te diga que este estadígrafo se distribuye normal estándar. La regla de decisión se determina de manera similar a los casos ya vistos anteriormente. El objetivo de la prueba es comparar estas dos proporciones, como estimadores H1: p1 ¹ p2 Recuerda que la H1 también puede plantearse de forma unilateral. Si la Ho es cierta entonces b - c =0 y el estadígrafo de prueba es:

Observaciones:

Las pruebas de hipótesis se realizan sobre los parámetros poblacionales desconocidos, es decir, sólo tiene sentido realizarlas cuando se estudia una muestra de la población objeto y deseamos hacer inferencias hacia el total poblacional. Si estudiaste al total de los elementos de tú población objeto (definida de acuerdo a los objetivos de tú investigación), no tiene sentido realizar PH ni otro tipo de inferencia (Sagaró y Navarro, 2,007) Antes de realizar una prueba de hipótesis, debes revisar cuidadosamente las características de los datos (naturaleza de las variables), la forma de selección de la muestra y su tamaño, en fin, valorar el cumplimiento de los supuestos necesarios para aplicar la prueba adecuada a cada caso. Fijando el nivel de significación antes de realizar la prueba y no después de obtener el resultado, al igual que debes valorar seriamente si debes enunciar el problema de forma bilateral o unilateral antes de realizar la prueba. Violar el cumplimiento de los supuestos implica que la prueba pierda potencia, pudiendo no encontrarse diferencias cuando realmente las hay o lo contrario (Sagaró y Navarro, 2,007) Existen software que realizan estas y otras muchas pruebas de hipótesis, al alcance de cualquier persona, esto trae consigo el uso y “abuso” indiscriminado de las mismas sin un conocimiento sólido del basamento estadístico de cada prueba. Te recomiendo no te sumes a la lista de irresponsables que andan por ahí haciendo de las suyas con los números, si no estás seguro de cual es la prueba adecuada recurre a los servicios de un bioestadístico (Sagaró y Navarro, 2,007)


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En el caso que contrastas la diferencia entre dos parámetros, sean medias o proporciones, debes tener en cuenta que el signo del estadígrafo te da la dirección de la diferencia. Si el valor del estadígrafo observado es menor que cero (negativo), quiere decir que el parámetro 1 es menor que el 2 (parámetro1 – parámetro2), esto lo tendrás en cuenta al dar las conclusiones (Sagaró y Navarro, 2,007) Por último, ningún test estadístico supera el sentido común y la responsabilidad profesional, por lo tanto las conclusiones deben basarse no sólo en un resultado estadísticamente significativo logrado a toda costa de artificios matemáticos, sino que depende de todo un conjunto de análisis clínico, epidemiológico, económico, entre otros aspectos que deben ser adecuadamente balanceados teniendo en cuenta la razón perjuicio-beneficio (Sagaró y Navarro, 2,007)

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BIBLIOGRAFIA

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texto de metodos estadìsticos

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