TEXTO BASICO

ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DE CHIMBORAZO

FACULTAD DE ADMINISTRACIÓN ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS

ESCUELA DE INGENIERÍA EN CONTABILIDAD Y AUDITORÍ A Modalidad Presencial

GUIA BASICA DE ANÁLISIS Y VALORACIÓN DE OPERACIONES FINANCIERAS (MATEMATICA FINANCIERA)

Elaborado por: Carreras: E-mail: Periodo Académico

Ing. Hernán Arellano Díaz MBA. Ingenierías Contabilidad y Auditoria y Comercial [email protected] Septiembre 2011 febrero 2012

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OBJETIVOS GENERALES DEL TEXTO TEXTO TEORICO 

Desarrollar un criterio matemático - técnico que los capacite para la toma de decisiones financieras en forma eficiente, efectiva y económica.

PRACTICO 

Representar mediante algoritmos el fundamento de las Matemáticas Financieras, también conocido como Análisis y Valoración de las operaciones financieras y sus elementos, capital, interés, tiempo que surgen de toda negociación financiera diferenciando sus elementos en situaciones problemáticas relacionadas con Interés simple. Monto Simple.

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Explicar el objeto de las Operaciones financieras y los elementos, capital , tasa de interés, , tiempo, que conforman su método y relacionar con las operaciones de ahorro- inversión y préstamos vigentes en el sistema financiero nacional a través del Interés simple. Monto Simple, tiempo y tasa de interés.

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Explicar las características operativas esenciales del valor actual y los descuentos simples y aplicar en situaciones problémicas las fórmulas asociadas a dichos métodos en casos de documentos financieros negociables.

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Explicar las características esenciales del interés compuesto por medio del método del interés simple, para deducir su fórmula de cálculo y aplicar en situaciones problémicas problémicas dichas fórmulas asociadas asociadas al monto compuesto, interés compuesto, tasa efectivas efectivas y nominales, tasa de interés y tiempo.

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Explicar las características operativas esenciales del valor actual compuesto y aplicarlos en situaciones problémicas las fórmulas asociadas a dichos d ichos métodos.

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Definir, clasificar e interpretar los diferentes tipos de anualidades o renta. Caracterizar las diferentes clases de rentas, reconocerlas en situaciones problémicas y representarlas en un diagrama de valor.

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Plantear e identificar situaciones problémicas en las que se apliquen las rentas ciertas vencidas simples, rentas ciertas ciertas anticipadas anticipadas simples tanto para para procesos procesos de capitalización –inversión –inversión como para actualización-endeudamientos.

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Plantear situaciones problémicas relacionadas con montos o capitalizaciones y Valores Actuales o actualizaciones y tasas de interés de las rentas ciertas vencidas vencidas y simples, según sea el caso.

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Plantear técnicas que permitan evaluar ideas de negocios negocios de servicio o producción para para visualizar su rentabilidad, a través de las herramientas financieras VAN valor actual neto y TIR tasa interna de retorno a través del cual se determine una tasa de intereses que establezca una igualdad entre una suma presente y la suma de sus valores presentes de un flujo de valores futuros

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Explicar los procedimientos metodológicos y su expresión matemática relacionada con los métodos de amortización de deudas, para aplicarlos en situaciones problémicas discriminando las bondades y perjuicios del método de saldos deudores de capital procedimiento basado en el interés simple y el sistema de rentas i/o anualidades.

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Explicar los procedimientos procedimientos metodológicos relacionados relacionados con los métodos de acumulación, acumulación, e identificar situaciones problémicas en las que se aplican.

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Plantear técnicas que nos permitan evaluar pequeños negocios o microempresas sea ésta de servicio o producción para visualizar su rentabilidad, a través de las herramientas financieras VAN valor actual neto Docente Hernán Arellano Díaz

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y TIR tasa interna de retorno a través del cual se determine una tasa de intereses que establezca una igualdad entre una suma presente y la suma de sus valores presentes de un flujo fl ujo de valores futuros. 

Desarrollar un criterio matemático-técnico que los capacite para la toma de decisiones financieras en forma eficiente, efectiva y económica

INSTRUCCIONES PARA UN APRENDIZAJE SIGNIFICATIVO 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

Se debe tomar y asimilar asimilar la información de de manera crítica. crítica. Siempre se deberá leer tratando de comprender. Se debe escribir de manera argumentada para convencer Hay que automatizar lo rutinario y dedicar todos los esfuerzos en pensar en lo relevante. Es indispensable analizar los problemas de forma rigurosa. En clases hay que escuchar con atención, tratando de comprender Cuando haya una participación en clase se hablara con claridad, convencimiento y rigor. Como norma de conducta se creara empatía con los demás. Siempre se buscara cooperar en el desarrollo de tareas comunes Deberá fijarse metas razonables que le permitan superarse día a día.

La Matemática Financiera es una materia técnica que no puede aprenderse solamente por el hecho de asistir a clases o por medio la observación. Para la Matemática financiera usted debe convertirse en un un participante activo. activo. Tiene que leer leer el texto básico u otros otros libros de apoyo académico (ver bibliografía sugerida); prestar atención en clase y, lo que es más importante, resolver los ejercicios. ejercicios. Mientras más ejercicios resuelva, resuelva, mejor habilidades habilidades tendrá. tendrá. Suerte y existos en este semestre.

Docente Hernán Arellano Díaz

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SISTEMA DE COMPETENCIAS COMPETENCIAS Compromiso y comportamiento ético Responsabilidad, cumplimiento y puntualidad Absoluto respeto a las personas y a las normas de comunicación Esfuerzo interés y dedicación en los trabajos dentro y fuera del ACTITUDES Y aula (motivación de logro) VALORES Habilidades interpersonales interpersonales Rigor, exactitud, profesionalismo Apreciación de la diversidad y multiculturalidad Compromiso social y ambiental Actitud Humanista Creatividad e iniciativa Activa contribución en el trabajo colaborativo y de equipo Emisión argumentada argumentada de juicios de valor valor Calidad en la presentación, presentación, orden y adecuada ortografía Toma de decisiones HABILIDADES O Capacidad de análisis y síntesis DESTREZAS Habilidad para trabajar de forma autónoma y aprender Habilidad para la investigación ( para buscar y analizar información proveniente proveniente de fuentes diversas; cita fuentes de consulta) Capacidad de aplicar los conocimientos en la práctica Dominio y experticia de los contenidos Aporta criterios y soluciones CONOCIMIENTOS Análisis y profundidad en el desarrollo de los temas Resolución de problemas

Autoveri ficacion


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PLANIFICACION DE LA ACTIVIDAD ACADEMICA RESULTADOS DEL EVALUACION DE CONTENIDOS APRENDIZAJE APRENDIZAJES Unidades / temas (Evidencias) Control de lectura comprensiva del texto de apoyo a través de valoración oral o escrita. 

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Interés y Monto Simple Ubicación, importancia de las Operaciones Financieras en el contexto ciencias, del Sistema Bancario-Financiero, Empresarial e individual (persona natural). concepto, Importancia de las matemáticas financieras. Interés Simple Exacto y Ordinario y Monto Simple: fórmula básica. Interés en períodos enteros y fraccionarios de tiempo. Cálculo de la tasa de interés y tiempo, a partir del Interés simple y Monto simple. Matemáticas de casos Valor actual Fórmula de calculo. Casos y aplicaciones. Descuento racional y bancario. Matemática de casos. Tratamiento matemático financiero de las cuentas de ahorro.

Monto compuesto Definición Comparación entre el interés simple y el compuesto Fórmula del monto a Interés Compuesto. Monto por períodos de capitalización entera y fraccionaria. Fórmula de equivalencia tasa de interés nominal y efectiva Matemáticas de casos. Valor Actual del interés compuesto, compuesto, periodos “n” enteros y fracccionarios.

Dominar el cálculo y el algoritmo del interés y monto simple, tiempo y tasa de interes y las modalidades de aplicación en el ámbito conceptual de negocios e inversión en operaciones financieras y sus situaciones problémicas. Conocer y aplicar los conceptos esenciales del valor actual y descuentos para la toma de decisiones en casos de compra venta de papeles fiduciarios. Ejemplificar el calculo del interés en las cuentas de ahorro y diferencia el tratamiento financiero de las inversiones.

Explicar las características esenciales del interés compuesto por medio del método del interés simple, para deducir su fórmula de cálculo y aplicar en situaciones problémicas. Dominar y aplicar los conceptos sobre el interés compuesto, tasas efectivas, tasas de interés y tiempo en el cálculo de inversiones Aplica los conceptos del valor actual y descuentos compuestos

CRONOGRAMA ORIENTATIVO (tiempo estimado) Semana 1 a 4 Clases presenciales 16 horas. 8 horas de autopreparacion extra clase.

El estudiante deberá preparar los temas  Matemática de casos y deberes de previa su asistencia a ejercitación y auto las clases. preparación, valorados a través de prueba Consultas puntuales podrán ser hechas al escrita. profesor mediante el del correo Nivel de uso  participación en la clase electrónico [email protected] du.ec)) o mediantes el du.ec Participación  sistema de atención activa en trabajo Grupal de cada uno de los al estudiante. integrantes El maestro actuará  Desarrollo de como un facilitador, Trabajo de por lo tanto, es investigación. Uno por obligación de los estudiantes traer cada parcial. preparados los temas correspondientes a Pruebas  parciales de los cada sesión, de manera que puedan contenidos establecerse intercambio de  Presentación de los casos opiniones sobre los desarrollados al finalizar temas tratados los temas usando Excel. Semana 6 a 9 Control de Clases presenciales  lectura comprensiva del 16 horas. 8 horas de texto de apoyo a través autoestudio extra de valoración oral o clase. escrita. El estudiante deberá Matemática preparar los temas  de casos y deberes de previa su asistencia a ejercitación y auto las clases. preparación, valorados a través de prueba Consultas puntuales escrita. podrán ser hechas al profesor mediante el  Nivel de uso del correo Docente Hernán Arellano Díaz

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con las fórmulas asociadas a participación en la clase dicho método en situaciones problémicas relacionados con la  Participación compra venta de papeles activa en trabajo Grupal fiduciarios de cada uno de los integrantes Explicar las características operativas esenciales del valor  Desarrollo de actual compuesto y aplicarlos en Trabajo de situación problémicas asociados investigación. Uno por a dichos métodos. cada parcial. Pruebas parciales de contenidos 

los

Presentación de los casos desarrollados al finalizar los temas usando Excel.. 

Rentas i / o anualidades. 

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Rentas y anualidades, conceptos tipos y clasificación. Monto y valor actual rentas ciertas, vencidas Simples. Renta ciertas, vencidas Simples del monto y valor actual . Gradiantes de una serie que crece o decrece gradualmente. Matematica de casos

Dominar el cálculo y el algoritmo del sistema de rentas o anualidades, monto y valor actual y las modalidades de aplicación en el ámbito conceptual de negocios en operaciones financieras de ahorro, inversión y endeudamiento. Conocer y Manejar el Proceso de Amortización gradual. Definir, interpretar y caracterizar los diferentes métodos de amortización para aplicarlos a situaciones problémicas.

Plantear situaciones problémicas relacionadas con gradiantes que permitan calcular el valor Concepto y sistemas de presente que equivale a una serie Amortización Método de Saldos deudores de que crece o decrece linealmente y la cuota uniforme y periódica capital Método de Rentas i/o que equivale a una serie gradiante que crece linealmente, anualidades. y aplicarlos en situaciones Matemática de casos,. problémicas las fórmulas asociadas a dichos métodos

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Métodos de Amortizaciones.    

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Presentar técnicas existentes para evaluar los negocios y

electrónico [email protected] du.ec)) o mediantes el du.ec sistema de atención al estudiante extra clase. El maestro actuará como un facilitador, por lo tanto, es obligación de los estudiantes traer preparados los temas correspondientes a cada sesión, de manera que puedan establecerse intercambio de opiniones sobre los temas tratados Semana 10 a 12 Clases presenciales 12 horas. 6 horas de autoestudio extra clase.

Control de lectura comprensiva del texto de apoyo a través de valoración oral o escrita. El estudiante deberá preparar los temas Matemática de previa su asistencia a casos y deberes de las clases. ejercitación y auto preparación, Consultas puntuales valorados a través podrán ser hechas al de prueba escrita. profesor mediante el uso del correo Nivel de electrónico participación en la [email protected] clase du.ec)) o mediantes el du.ec sistema de atención Participación activa al estudiante. en trabajo Grupal de cada uno de los El maestro actuará integrantes como un facilitador, por lo tanto, es Desarrollo de obligación de los Trabajo de estudiantes traer investigación. Uno preparados los temas por cada parcial. correspondientes a cada sesión, de Pruebas parciales manera que puedan de los contenidos establecerse intercambio de Presentación de opiniones sobre los los casos temas tratados desarrollados al finalizar los temas usando Excel. Semana 13 a 15 Clases presenciales Docente Hernán Arellano Díaz

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estandarizar, el efecto del tiempo en el valor del dinero de manera tal que las diferencias nominales  Control de sean reconocidas en términos lectura comprensiva del constantes en dólares actuales. texto de apoyo a través de valoración oral o Valor actual neto. Plantear técnicas que permitan escrita. evaluar ideas de negocios de Valor actual neto (VAN): servicio o producción para Matemática  Concepto, fórmulas y gráficos. visualizar su rentabilidad, a través de casos y deberes de Tasa interna de retorno (TIR), de las herramientas financieras ejercitación y auto conceptos, métodos de VAN valor actual neto y TIR tasa preparación, valorados cálculo. interna de retorno a través del a través de prueba Matemática de casos. cual se determine una tasa de escrita. intereses que establezca una  igualdad entre una suma Nivel de presente y la suma de sus participación en la clase valores presentes de un flujo de  valores futuros Participación activa en trabajo Grupal Comparar flujos de efectivos de cada uno de los futuros esperados con la integrantes inversión inicial sobre la misma  base del tiempo. Desarrollo de Trabajo de Desarrollar un criterio investigación. Uno por matemático-técnico que los cada parcial. capacite para la toma de decisiones financieras en forma  Pruebas eficiente, efectiva y económica parciales de los contenidos

12 horas. 6 horas de autoestudio extra clase. El estudiante deberá preparar los temas previa su asistencia a las clases. Consultas puntuales podrán ser hechas al profesor mediante el uso del correo electrónico [email protected] edu.ec)) o mediantes edu.ec el sistema de atención al estudiante.

El maestro actuará como un facilitador, por lo tanto, es obligación de los estudiantes traer preparados los temas correspondientes a cada sesión, de manera que puedan establecerse intercambio de opiniones sobre los Presentación de los temas tratados casos desarrollados al finalizar los temas usando Excel.


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SISTEMAS DE EVALUACIÓN De acuerdo a lo establecido en el reglamento de Régimen Académico exime como mínimo 3 componente edumétricos. conocimiento, habilidades o destrezas y actitudes y valores: 1 . Pruebas o valoración de competencias profesionales; 2. Lecciones; trabajo grupal en clases; 3 Trabajos de investigación. (presentación (presentació n de informe; exposiciones). exposiciones) . Existen otras modalidades de evaluación, que se aplicarán de forma sistemática a lo largo de todo el proceso evaluativo, las más utilizadas en el presente semestre serán: Autoevaluación: valoración apreciativa y estimativa que realiza cada estudiante (educante) acerca de sus propios procesos de formación y aprendizaje. recíproca entre educantes educantes y aprendientes de un mismo mismo curso sobre Coevaluación: Coevaluación: valoración recíproca procesos y desempeños durante un período de formación y aprendizaje determinado determinado Heteroevaluación: Heteroevaluación: juicios valorativos emitidos por los demás agentes educativos, educadores/as maestros/as, autoridades). autoridades). Esta modalidad es necesaria para una valoración holística y sistémica de educantes y aprendientes. Evaluación continua: continua : proceso de valoración permanente de la formación y el aprendizaje, que implica acompañamiento, acompañamiento, asesoría y consultoría constantes constantes por parte de maestros/as maestros/as a cada uno de los/las educantes - aprendientes. aprendientes. Aprendientes: Aprendien tes: Se denomina aprendiente al estudiante en proceso de aprendizaje permanente, independiente, colectivo y autónomo. RESPONSABILIDADES DOCENTES. 

Comprometerse a actuar coherentemente en el marco pedagógico del Modelo de Desarrollo Humano y Competencias profesionales vigente en la ESPOCH y a trabajar por una formación de excelencia de los estudiantes, en particular facilitando la permanente conexión entre teoría y práctica, entre la formación academia y el sector productivo.

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Contribuir al mantenimiento de altos estándares de calidad. (próximo proceso de acreditación)

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Tener disponibilidad para actuar como figura de referencia para los estudiantes y acompañarlos en su proceso de formación integral, de manera que desarrollen un comportamiento personal y profesional acorde con los valores éticos, sociales y profesionales que los hacen ciudadanos hombres y mujeres de bien.

RESPONSABILIDADES CON EL MANEJO DE SU ASIGNATURA 

Contribuir desde su asignatura al cumplimiento de los objetivos propuestos. Docente Hernán Arellano Díaz

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Considerar al estudiante como centro del proceso de formación y estimular su responsabilidad responsabili dad en su propio aprendizaje.

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Dedicar su mayor esfuerzo a ser “animador” o facilitador de los procesos de aprendizaje, orientando las actividades, respondiendo las inquietudes de los estudiantes, y retándolos para la aplicación de lo aprendido, más que a transmitir información que ellos puedan adquirir por sí mismos.

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Identificar y hacer explícitas ante los estudiantes las posibilidades de aplicación en las empresas de cada uno de los temas y de los conocimientos y competencias que adquieren.

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Aplicar metodologías y métodos activos y de participación, que faciliten la formación profesional y humana de de los estudiantes, estudiante s, que despierten su iniciativa, creatividad, espíritu científico interés por el análisis de problemas de la realidad y el planteamiento de distintas alternativas de solución de los mismos: trabajo en grupos, moderación, simulaciones empresariales etc.

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Utilizar los recursos educativos a sus disposición: audiovisuales, sala de cómputo, biblioteca, internet, internet, (programar visitas visitas en sus asignaturas, asignaturas, fuera del horario regular), etc.

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Construir o seleccionar ejercicios y tareas para el trabajo en casa, que orienten y enriquezcan el estudio independiente de los estudiantes, y ayuden a la comprensión y el aprendizaje, con énfasis en la aplicación de los temas al ambiente empresarial.

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Planear y orientar investigaciones sobre los temas de su responsabilidad, aplicando el método científico, científico, a través de diversas fuentes, elaborando elaborando informes con criterios crítico crítico y diseñando y evaluando propuestas de solución, que permitan aplicar el conocimiento teórico a situaciones empresariales. empresariales.

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Fomentar en los estudiantes la búsqueda de información, el análisis de hechos, causas y consecuencias consecuencias y la búsqueda de alternativas para desarrollar las competencias requeridas por el Ingeniero en contabilidad contabilidad y auditoría. auditoría.


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UNIDAD 1

1. EL DINERO 1.1 CLASIFICAC CLASIFICACION ION DEL MERCADO MERCADO FINANCIERO FINANCIERO 1.2 UBICACIÓN DE LA MATEMATICA MATEMATICA FINANCIERA FINANCIERA EN EL ENTORNO EMPRESARIAL 1.3 1.3 CO CONC NCEP EPTO TO 1.4 1.4 EL INTE INTERE RESS 1.4. 1.4.11 FA FACT CTOR ORES ES QU QUEE AAFE FECT CTAN AN AL INTE INTERE RESS 1.4.2 TIPOS DE DE IN INTERES 1.4.3 INTERES SI SIMPLE 1.4. .4.4 FOR ORM MULA DE CA CALC LCUL ULO O 1.4.5 NORMA BA BANCARIA 1.4.6 MONTO SSIIMPLE 1.5 OPERACIONE OPERACIONESS DE INVERSION INVERSION PASIVAS PASIVAS 1.5.1 CERTIFICADOS DE DEPOSITOS A PLAZOS 1.5.2 CASOS DESARROLLADOS 1.5.3 CASOS PROPUESTOS. 1.6 CUENTAS DE AHORRO 1.7 VALOR ACTUAL 1.7.1 VALOR ACTUAL FORMULA DE CALCULO 1.7.2 DESCUENTOS 1.7.3 TIPOS DE DESCUENTOS 1.7.4 CASOS DESARROLLADOS 1.7.5 TIPOS DE PAPELES NEGOCIABLES DE DE RENTA FIJA 1.7.6 CASOS PROPUESTOS. 1.8 ANALISIS TASA INFLACION TASA REAL


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ANALISIS Y VALORACION DE LAS OPERACIONES FINANCIERAS INTRODUCCION. INTRODUCCION. En la actualidad donde la modernidad, integración y globalización económica son sinónimos de desarrollo y competitividad en el campo empresarial, la toma de decisiones gerenciales sea en las áreas de Marketing, producción, y finanzas, exige que se las haga en forma económica y productiva, más aún cuando los recursos económicos-financieros y materiales son limitados en algunos casos y escasos en otros. Los niveles de competitividad en los mercados financieros hacen que el análisis y valoración de las operaciones financieras, se sustente en la formulación adecuada de estrategias de ahorro, inversión o financiamie financiamiento nto en el corto, mediano mediano y largo plazo, plazo, y estas se ajuste ajuste a las expectativas expectativas internas y externa de la empresa. Así los recursos monetarios propios (activos) y ajenos (pasivos), se convierten en la oportunidad, para crear nuevas demandas; atender a nuevos mercados, generar ofertas vía producción de bienes y servicios; mejorar procesos, adquirir nueva tecnología, mejorar inventarios, entre otros. En este ámbito la gestión que cumplen en las unidades unidades empresariales requerirá requerirá de la elaboración de un plan financiero tendiente a la búsqueda de una “Posición financiera” un equilibrio entre fuentes y usos (ingresos y gastos), a base del conocimiento y manejo de instrumentos de análisis y valoración de las operaciones financieras que no se limite tan solo a los cálculos matemáticos financieros, sino fundamentalmente se llegue a la toma de decisiones gerenciales en un ambiente de certidumbre. El ciudadano común de manera constante e intuitiva, trata de administrar ahorrar e invertir la mayor parte de recursos monetarios gracias al esfuerzo personal que despliega durante su vida laboral, lo atesora y administra de forma empírica, cuidando en todo instante la conservación de su dinero, utilizando formas imaginativas, adquiriendo bienes de uso y consumo, invirtiendo en activos fijos o depositando en el bancos o financieras, a cambio de seguridad , rentabilidad sin tomar mucho en cuenta el comportamiento inflacionario que hace perder poder adquisitivo al dinero. En cambio el empresario exigente desarrolla y aplica métodos y técnicas más refinadas de recaudación, resguardo y pago (ahorro – inversión) que acrecienten su riqueza y aseguren el desarrollo sostenido del ente económico. Ahorran las cantidades necesarias de dinero para administrar su capital de trabajo indispensable para cubrir todas y cada uno de sus obligaciones tanto de activos como de pasivo circulante (cuentas de ahorro –cuenta –cuenta corriente) e invierten los recursos excedentes. Con el tiempo, se han aplicado y desarrollado métodos y técnicas para el calculo del uso eficiente del dinero, dando origen al Análisis y Valoración de las operaciones Financieras, que usa como base la Matemática Financiera como antesala operativa de las finanzas; concomitantemente, las ciencias administrativas y contables, en su ambiente, han perfeccionado sistemas apropiados de planificación, control y registro que han contribuido a asegurar la presencia, integridad, eficaz recaudación, recaudación , regeneración regeneraci ón y uso adecuado del dinero.


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Como se puede valorar, muchos tratadistas han dedicado suficiente tiempo al tratamiento y creación de modelos para el adecuado manejo financiero del efectivo, siempre analizando los costos financieros de tal o cual decisión a través del cobro de los intereses, todo esto debido a la importancia importanci a de del dinero como un recurso esquivo, pero a la vez muy cotizado debido a lo limitado y escaso.


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1.

EL DINERO. El dinero, tiene una importante incidencia en la economía de un país. En nuestra sociedad el dinero en sus diferentes manifestaciones, es una mercancía que se vende como un bien ordinario. El dinero es un instrumento que sirve de medio de cambio y que debe ser aceptado ampliamente como medio de pago y sus funciones se resumen en:

Medio de cambio: se utiliza para comprar y vender todo tipo de bienes y servicios. Unidad de cuenta: la forma en que se lleva la contabilidad, el patrón de medida universal con el que se miden los valores de los bienes y servicios. Un depósito de valor: el dinero es un activo sin riesgo que puede utilizarse para mantener la riqueza de un período a otro. Tomado de Diccionario Bolsa Valores de Guayaquil BVG.

Dinero: es un bien o recurso económico circulable, y por tanto su uso o su posesión ocasionan un costo o un benéfico, cuya magnitud depende tanto de la valoración que se le de (costo del capital conocido como interés) como del tiempo de usufructo de dicho bien, es decir esta en dependencia al interés como a su tiempo. Tomado de Diccionario Diccionario de Términos Términos Financieros de Avellaneda. El dinero es el parámetro de medición de precios, por lo que los bienes son valorados en función de la unidad monetaria. El dinero es el medio de atesoramiento, es decir, acumulador acumulador de riqueza. . El dinero o efectivo en la empresa comprende el papel moneda y fraccionario en cualquier denominación, los cheques de bancos y los valores negociables de alta liquidez y de plazo inmediato. El dinero, mejor conocido como efectivo, dada su naturaleza, es un recurso muy apreciado y escaso, por lo que amerita ser administrado bajo estrictas medidas de seguridad y con la ayuda de técnicas y métodos financieros probados “ El El dinero es algo singular… Le da al hombre tanta alegría como el amor y tanta angustia como la muerte. John Hemmeth Galbilaith ”.

Desde una perspectiva macroeconómica -visión simplificada- el dinero actúa bajo la participación de tres actores:


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Si gastas el dinero dinamizas la economía y permites que también otros ganen. Si ahorras, también beneficias a otros, porque el banco se encarga de prestar lo que depositas; al invertir, sencillamente das dinero a otros para que lo utilicen en tu nombre. 1.1 CLASIFICACION DEL MERCADO FINANCIERO El mercado financiero se puede clasificar clasificación de acuerdo al intermediario. 1.1.1

de distintas formas. Nos adentraremos en la

DE ACUERDO AL INTERMEDIARIO.

El mercado financiero puede ser dividido de acuerdo a sus intermediarios en dos grandes segmentos: Mercado de intermediación financiero y Mercado de desintermediación financiera: 1

MERCADO DE INTERMEDIACIÓN FINANCIERO.

En este mercado los recursos financieros i/o monetarios captados o recibidos de los ahorristas e inversionistas, sean estos: Gobierno, empresas, o individuos se transfieren primero a una institución institució n financiera -generalmente un banco, que a su vez se encarga de realizar una evaluación de riesgo y crediticia para colocarlo colocarlo vía créditos, créditos, en diferentes sectores de la actividad actividad empresarial. Con esta operación operación como es obvio, el intermediario intermediario (institución financiera), financiera), cubre sus costos y se margina una utilidad que se conoce como margen de intermediación o spread bancario. Instituciones de este mercado de intermediación financiera son los bancos, cooperativas abiertas al público, sociedades financieras, mutualistas, etc. Con el fin de visualizar el área de acción de las Operaciones Financieras y dentro de esta de la Matemática Financiera como un instrumento operativo de la finanzas, herramienta que facilita la toma de Decisiones Gerenciales, conviene analizar el origen de las relaciones bancos-personas bancos- personas naturales y jurídicas , en el mercado de intermediación intermediació n financiera. financiera .

Devuelve Depósitos + Interés

OPERACIÓN ACTIVA (BANCOS) OPERACIÓN PASIVA (EMPRESA ) PRESTAMOS 2.1

Empresa oferta $

1.1

Devuelve préstamos + Interés

BANCO

2

entrega

Empresa demanda $

Recibe

En el caso de las empresas en su calidad de personas jurídicas, la Superintendencia de 1 DEPOSITOS Compañías exige como requisito para la inscripción y registro de la compañía, la cuenta de integración integraci ón del capital social, que deberá ser aperturada cualquier banco o institución OPERACIÓN PASIVA en (BANCOS ) ACTIVA (EMPRESA)


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financiera del país, iniciándose de esta forma una relación forzosa entre las empresas o compañías y el sistema bancario y financiero nacional. Las empresas por procedimiento operativo apertura cuentas de ahorro y cuentas corrientes este último como un procedimiento de control y uso del dinero en efectivo. Son dineros de rápida disponibilidad disponibilidad y por esta característica pagan una reducida tasa tasa de interés. Los excedentes si los hubieren en cambio son atados a plazos generalmente mayores de 30 días y por este hecho reciben una tasa de interés más alta, pues los dineros bajo esta característica no son de rápida disponibilidad. disponibilid ad. Estas dos operaciones operacione s pueden ser catalogadas como operaciones de oferta de dinero, mientras que los préstamos como operaciones de demanda o colocación de recursos. Siendo este la clave del negocio bancario prestar dinero cobrando una tasa de interés alto y captar dinero a través del ahorro y la inversión pagando una tasa de interés baja. La diferencia entre estas dos operaciones constituye el margen de intermediación o ganancia de institución financiera. RELACIONES A NIVEL DE BALANCES. EMPRESA DEDICACION S.A. BALANCE GENERAL AL 31 DE DICIEMBRE /X1

BANCO LEAL S.A. BALANCE GENERAL AL 31 DE DICIEMBRE /X1 DEPOSITOS Y CAPTACIONES PRESTAMOS Y COLOCACIONES

ACTIVO PASIVO Activo Circulante Corriente Doc. Por Pag Disponible Caja-Bancos Largo Plazo Hipot. por P. Exigible Realizable Inversiones PATRIMONIO Pólizas Capital Social Activo Fijo No despreciable Reservas Despreciable Utilidades Otros Activos

1 ACTIVOS Fondos Disponibles Cartera de Crédito Cartera Creed. x Vencer

2 Otros préstamos a personas jurídicas y naturales

Créditos sobre firmas Préstamos Créditos prendarios Créditos Hipotecario Otros créditos

PASIVOS D epósitos Cta. Cte. Depósitos Ahorro Dep. plazo y capta PATRIMONIO

Capital Social Reservas Utilidades

En la actualidad el Sistema Bancario y Financiero nacional en el cual descansan las actividades productivas, se relacionan relacionan directamente directamente con las operaciones operaciones de ahorro-inversión y crédito. Estas actividades están ligadas con la costumbre de pagar un rendimiento o interés, sea al dinero prestado o ahorrado. Bajo este esquema se cobija la legalidad del Análisis y Valoración de las Operaciones O peraciones Financieras, Financieras, inclusive se ha llegado a afirmar que sin el interés no se puede concebir los negocios de tipo financiero. Con la finalidad de ubicar y contextualizar a las Operaciones Financieras, se suele tomar como referencia, las relaciones que pudieren existir entre una institución bancaria y financiera y sus operaciones, con personas jurídicas (corporaciones (corporaciones sociedades empresariales) personas naturales Docente Hernán Arellano Díaz

O T R A S C A P T A C I O N E S

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(obligadas a llevar contabilidad) contabilidad),, sin que esto signifique que el Análisis y Valoración de las Operaciones Financieras no tenga que ver con cualquier otro tipo de operación en la que intervengan capitales ahorrados (cuentas de ahorro), invertidos (pólizas de acumulación; certificados de depósitos) o dados en crédito (préstamos). La inquietud típica en este tipo de casos, es el cómo surge esta relación bancos empresa que hemos descrito a través del análisis básico de sus respectivos respectivo s balances, y la respuesta se circunscribe circunscribe a la obligatoriedad legal impuesta por los organismos de control, al constituir cualquier forma de organización, ésta como requisito básico exige la apertura de una cuenta de ahorro o corriente en la que se depositarán los capitales iniciales suscritos y pagados de una naciente organización. organización. A partir de la constitución de la empresa empresa o compañía, prácticas prácticas de control interno contables y financiera exigen que todo ingreso percibido directamente en efectivo deberá ser depositado en forma inmediata e intacta en las 24 horas subsiguientes a su recepción; al igual que ningún desembolso deberá hacérselo en efectivo sino mediante cheque, factores que sin lugar a dudas atan en forma obligatoria a una persona jurídica con el sistema sistema bancario de intermediación de los recursos. De acuerdo al funcionamiento operativo del Sistema Bancario y Financiero del Ecuador, como hemos ya analizado, la banca frente al sector Corporativo o Empresarial, y de comercio en general se distingue distingue por ofrecer 3 líneas de servicios servicios que bien podríamos podríamos considerarla como como tradicionales. tradicionales. Las operaciones de ahorro en sus modalidades ahorro ( cuenta de ahorro y cuenta préstamos, empréstitos, endeudamiento o amortización de corriente); inversiones a plazo fijo y préstamos, capitales. Estas deben ser juzgadas o vistas, desde la perspectiva del sistema contable practicado en el banco o institución financiera, ya que su funcionamiento y registro operativo determinara su característica y su tratamiento matemático financiero. Los ahorros a través de cuenta de ahorro ahorro y corriente, así como inversiones inversiones a plazo fijo (pólizas, certificados de depósitos, certificados de depósitos a plazo) contablemente conocidas como Depósitos y Captaciones, se convierten en un Pasivo bancario, por tanto su tasa de interés se conoce como tasa Pasivas, diferenciándose con las inversiones únicamente entre estas, en que las cuentas de ahorro son depósitos llamados a la vista es decir que en cualquier momento el usuario o cliente puede retirar los recursos monetarios las veces que creyere conveniente en cualquier instante, por tanto su tasa pasiva es relativamente baja; en cambio en las inversiones los recursos quedan atados a un plazo por lo general mínimo de 30 días y su tasas pasiva es más alta que lo pactado en cuenta de ahorro, justamente por esta característica operativa. operativa. Las tasa se denominan como pasivas por cuanto todos los depósitos o captaciones realizadas en los bancos por sus clientes son recursos que no le pertenecen a la institución bancaria por tanto son obligaciones obligaciones o pasivos, que deberán ser devueltos devueltos a sus clientes de acuerdo a la modalidad, modalidad, en los plazos pactados. Mientras que todas las modalidades de préstamos en lo posible para le empresa deberían ser considerados como el último recursos estratégico utilizado pues previo a ello se deberá establecerse algunas mecanismos tendientes a mejorar la liquides de la empresa, a través de reducción de costos e incremento de las ventas; capitalización de las utilidades; incremento de la estructura estructur a accionaría entre otros a aspectos. De todas formas cuando los recursos son escasos Docente Hernán Arellano Díaz

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se podrá recurrir a la modalidad de préstamos bancarios que son conocidos como operaciones Activas y en consecuencia su tasa de interés se conocerá como tasa Activa. Las operaciones activas tiene que ver con los préstamos y las operaciones pasivas con los depósitos, captaciones e inversiones bancarias, la diferencias entre estas tasas altas para los préstamos y baja para los depósitos e inversiones inversio nes conocidos como spread o margen de intermediación, intermedia ción, constituyen formalmente el negocio de la banca. Financieramente Financieramente las operaciones de cuentas de ahorro, se utilizan para la liquidación o pago de los intereses correspondiente a la serie de depósitos realizados periódicamente por el cliente propietario propietar io de la cuenta; utiliza las fórmulas del interés simple, con dos modalidades de cálculo, cálculo , tomando en cuenta el valor de la transacción, sea depósito o retiro, y la otra tomando como referencia los saldos. En las operaciones de inversión, se utilizan para estimar la liquidación de interés en función a los plazos pactados en dicha inversión;. El tratamiento matemático Financiero para dichas operaciones es relativamente sencillo ya que una vez identificado el valor del capital, el plazo y la tasa se procede automáticamente a calcular los respectivos intereses, igualmente utilizando las fórmulas del Interés Simples. Este procedimiento procedimiento se fundamente fundamente en la inmovilidad del capital, capital, es decir que el no es modificado, retirado o aumentado, si esto llegare a suceder los intereses se calcularan solo sobre el tiempo en que el capital permaneció invariable en el tiempo. En las operación de crédito se utilizan para determinar cuál es el costo financiero o interés que se deberá cancelar o abonar periódicamente para extinguir, reducir la deuda de capitales contraídos, financieramente se lo hace a través de una serie de tablas llamadas tablas de amortización que pueden estar sustentadas sustentadas en el método método de interés simple simple o en el sistema de rentas o anualidades. anualidades. Amanera de conclusión podemos decir que el Análisis y Valoración de las Operaciones financieras es el instrumento técnico que permite regulara las relaciones financieras entre el sistema financiero financier o y sus actores llámese gobiernos, gobierno s, empresas e individuos o personas naturales. 2 MERCADO DE DESINTERMEDIACIÓN FINANCIERA. En este mercado conocido como de Valores, las empresas captan fondos directamente de los ahorristas ahorrista s e inversionistas, sin que tenga que existir un intermediario. Esto lo consiguen a través de la emisión de títulos valores sean de deuda (emisor de obligaciones) o de patrimonio (emisor de acciones), que luego son negociados vendidos o subastados subastado s en la bolsa de valores. Las instituciones características de este mercado son como ya se ha enunciado las bolsas de valores, casas de valores, entre otras. La Bolsa de Valores es un mercado en el que participan intermediarios (operadores de valores) debidamente autorizados con el propósito de realizar operaciones, por encargo de sus clientes, sean estas de compra o venta de títulos de valores (acciones, pagarés, bonos, etc.) emitidos por empresas inscritas en ella (emisores). Tomado Guía básica Mercado de valores Bolsa Valores de Guayaquil BVG.

La estructura del mercado de de valores se visualiza en el siguiente siguiente organigrama:


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ESTRUCTURA DEL MERCADO DE VALORES MERCADO DE DESINTERMEDIACION FINANCIERA. CONSEJO NACIONAL DE VALORES Establece políticas y regula el funcionamiento del mercado de valores.

SUPERINTENDENCIA DE COMPAÑIAS Órgano ejecutor de la política general del mercado de valores.

BOLSA DE VALORES

FONDOS DE INVERSION

ADMINISTRACION

Corporación Civil sin fines de lucro para prestar servicios y mecanismos para negociar valores.

Son recursos de personas naturales o jurídicas para efectuar aportaciones comunes con el objeto de realizar inversiones.

Sociedades Anónimas organizadas para la captación de recursos para administrarlos administrarlos por cuenta y riesgo de inversionistas y administración de fideicomisos y titularización.

DEPOSITOS CENTRALIZADOS DE COMPENSACION Y LIQUIDACION Constituye el servicio de la Bolsa LASValores para el de registro, custodia, liquidación y compensación de valores.

2.1

CASAS DE VALORES Sociedades Anónimas que ejercen actividades de intermediación de valores

CALIFICADORAS DE RIESGOS Son Soc. anónimas o de responsab. limitada, cuyo objeto es calificar el riesgo y solvencia de los emisores.

FONDOS ADMINISTRADOS

FONDOS COLECTIVOS FONDOS INTERNACIONALES

PASOS BASICOS PARA INVERTIR EN EL MERCADO DE VALORES.

Para realizar una negociación, sea para la compra o venta de acciones o cualquiera de los papeles de renta fija en un mercado de valores, se debe necesariamente seguir los siguientes pasos: a. Acudir a una Casa de Valores debidamente autorizada por la Superintendencia Superintendencia de Compañías, donde un asesor lo atenderá y requerirá cierta información: monto de la inversión, dónde desea invertir y el plazo en que está interesado en colocar su dinero. De acuerdo a ello, el asesor de inversión tratará de ubicarlo en la mejor opción de inversión. Es importante aclarar que no es la Casa de Valores, quien comprará o venderá el título, ya que sólo funciona como intermediaria entre usted como inversionista y un vendedor o tenedor del título. b. Adicionalmente, la Casa de Valores puede administrar un portafolio de inversiones (conjunto de títulos de diversa categoría) por cuenta del cliente; es decir el cliente le entrega un monto Docente Hernán Arellano Díaz

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de dinero para que lo administre de acuerdo a las mejores condiciones del mercado o a las preferencias del cliente. Así por ejemplo, si sus expectativas son de corto plazo, les ofrecerá instrumentos instrument os acordes con esa intención, pagarés, avales, letras de cambio, etc., pero si sus expectativas van más allá de un mediano plazo se podría pensar colocar su dinero en acciones de empresas, obligaciones, Bonos del Estado, Cédulas Hipotecarias etc. c. Una vez decidida la inversión, el cliente firma una orden de transacción, en la que se autoriza a la Casa de Valores a actuar según sus requerimientos. d. Recibida la orden de transacción por parte del cliente, el operador acude a la Bolsa de Valores V alores conocida como Rueda a Viva Voz o a la Rueda electrónica desde su propia oficina vía Internet Int ernet para ejecutar la operación, misma que se dará por efectiva cuando exista un "calce de posturas", es decir que otro operador de otra casa de valores coincida con la postura inicial. e. Luego de concretada la operación el operador se encarga de llenar un "Comprobante de Liquidación" en donde se dejará constancia por parte del operador comprador y vendedor, que la operación ha sido realizada. Aquí se indica el precio, plazo, número de títulos y tiempo en que los títulos de entrega de los títulos por parte del vendedor y entrega del dinero por parte del comprador. f. La Bolsa de Valores se encargará de emitir las "liquidaciones" "liquidaciones" en donde se detallará: el monto efectivo de la transacción, a esto se deducirá en el caso del vendedor y adicionará para el comprador, los valores que resultaran de la comisión de la Casa de Valores por intermediar en la operación, así como la comisión de la Bolsa de Valores por garantizar el cumplimiento. Este detalle constará en la papeleta de liquidación tanto para el comprador como para el vendedor. g. Una vez efectuada la operación los operadores (comprador y vendedor) entregarán el respectivo comprobante de "liquidación" a sus clientes en donde deja constancia que ha cumplido con la orden de su cliente. La liquidación de bolsa es el respaldo res paldo de que la operación se efectuó en bolsa y que por ende tiene la garantía de la Bolsa de Valores de Guayaquil. h. Dependiendo de la fecha valor (plazo para entrega de los títulos) que acordaron en el momento de pactar la operación en la rueda de piso o electrónica, el cliente recibirá su título en el caso de compra de los mismos, o su dinero, si era el de vendedor. Con esto queda cerrada la operación. Las fechas valor de una operación podrán ser hasta un máximo de 5 días, a partir del cual se considerarán operaciones a plazo. Aunque el proceso es algo muy simple, el inversionista no debe olvidar tomar ciertas precauciones precauciones antes de invertir: conocer la información básica sobre la empresa en que invierten, conocer la facultades y obligaciones de las casas de valores, recordar que una inversión financiera no es igual que un simple ahorro, pues la primera entraña un nivel de riesgo mayor y, sobretodo, exigir como comprobante la liquidación de bolsa.


20

Proceso de compra de títulos

La casa de Valores a través de un operador compra títulos valores

Inversionista con dinero

Inversionista con títulos valores

Vía internet en bolsa de valores

Proceso de Compra y Venta de un título Inversionistas que tienen

DEMANDA

Tengo títulos y los

Acuden a una Casa de Valores y firman Orden de Venta

Acuden a una Casa Valores y firman Orden de compra

TITULO VALOR OFERTA

Operador de la casa de valores negocia la compra de títulos

Inversionistas que tiene títulos


21

1.2

UBICACIÓN DE LAS OPERACIONES FINANCIERA EN EL ENTORNO EMPRESARIAL.

Con la finalidad de ubicar a las operaciones financiera en el contexto del área Societaria observaremos observaremo s el organigrama organigr ama de una empresa corporativa de carácter industrial. Pero antes de ello conviene hacer notar que el campo de las finanzas es amplio y dinámico. Afecta directamente la vida de todas las personas y de todas las organizaciones. organizacione s. Las finanzas se las puede definir cono el arte y la ciencia de administrar el dinero. Las finanzas están relacionadas con el proceso, las instituciones, los mercados y los instrumentos implicados en la transferencia de dinero entre individuos, empresas y gobiernos, y el Análisis y Valoración de las Operaciones Financieras Financieras en cambio viene a constituir constituir la herramienta operativa, para facilitar facilitar la toma de decisiones Gerenciales. Gerenciales. Este proceso se visualiza de la siguiente manera: JUNTA GENERAL DE ACCIONISTAS NUEVAS HERRAMIENTAS DE GESTION EMPRESARIAL

DIRECTORIO

GERENCIA

DPTO. MARKETING

DPTO. PRODUCCION Y/0 COMERC. Y VENTAS

DPTO. FINANCIERO

DPTO. RR.HH.

3. Plan Pl1.an Fina Financ iero ro Plan de ncie Marketing

4. Cultura y

PIRAMIDE ORGANIZACIONAL Herramientas 2. Plan de 1. PlanNuevas de Marketing

de Gestión

MATEMATICA. FINANCIERA

Producción

Desarrollo Organizacional

1 MKT

3 Plan Financiero

OBEDECE A:  FINANZAS VALORACION DE LAS OPERACIONES

FINANCIERA

2. Plan de Producción DIRECC.

Toma de Administración Administración y distribución distribución del capital. 1 FINAN decisione Niveles de utilidad y objetivos financieros. Políticas de recuperación y pago (Flujos de caja). Niveles de endeudamiento. endeudamiento. Niveles de ahorro. Niveles de inversión

2 PRODUCC.


22

Las Operaciones Financiera al ser parte del área financiera tendrá directa relación con la determinación de los niveles de ahorro, inversión y endeudamiento, por tanto responderá a las siguientes preguntas. ¿Cuánta cantidad de recursos monetarios correspondientes a mi capital de trabajo debo ahorrar, bajo que modalidad? ¿Cuánto de los excedentes monetarios que no los voy a utilizar temporalmente los debo invertir, cuál es la mejor mejor opción?, opción?, ¿con qué riesgo?, riesgo?, a que tasa y tiempo o plazo debo invertir invertir para alcanzar la suma deseada?; ¿Bajo qué línea de crédito puedo endeudarme?, ¿cuál es la más conveniente?, ¿bajo qué método matemático?, ¿bajo qué condiciones y tasas de interés de corto, mediano y largo plazo ?. ¿Para comprar un bien, me conviene endeudarme en un almacén comercial, en una cooperativa , banco o financiera? Concluyendo, señalaremos señalaremos que el Análisis y Valoración Valoración de las Operaciones Financiera, se ubica dentro del campo de las finanzas, como un instrumento operativo, operativo, que pretende facilitar la toma de decisiones bajo un marco de certidumbre. 1.3

ANALISIS Y VALORACION DE LAS OPERACIONES FINACIERAS.

A través de la Matemática Financiera, Financiera, podemos elaborar en términos financieros, financieros, alternativas alternativas de solución a los diferentes problemas financieros, relacionados con el ahorro – inversión y financiamiento, analizando y valorando sus resultados tendientes a tomar decisiones acertadas con niveles adecuados de certidumbre. 1.4

EL INTERES

Concepto 1.- Se denomina interés a la cantidad monetaria adicional al capital mutuamente convenida, acordada o regulada entre las partes por la utilización de los capitales recibidos, sea a través de las operaciones financieras relacionadas con los créditos o ahorros- inversiones. inversiones. Concepto 2.- “Interés es el rendimiento de un capital, establecido en proporción al tiempo y a la tasa de interés así como al propio capital, que se lo transfieren transfieren como préstamo o ahorroahorroinversión”. inversión”. “También podemos decir que es el pago por la utilización del dinero”; “Es la remuneración que reciben lo tenedores de papeles fiduciarios en papeles de renta fija”. Según Frank Ayres, interés es la cantidad pagada por el uso del dinero obtenido en préstamo o la cantidad prestada por la inversión de capitales. Según Portus “el interés es el alquiler o rédito que se tiene que pagar por un dinero tomado en préstamo”. Como conclusión se podría indicar que el interés se convierte en el órgano regulador de las relaciones financieras entre el banco y la empresa en las operaciones de ahorro, inversión, crédito o endeudamiento. endeudamiento. Docente Hernán Arellano Díaz

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El interés del endeudamiento o préstamo visto desde la perspectiva del banco representa el rendimiento, rentabilidad rentabilidad o utilidad de una operación crediticia ejecutada. Desde el punto de vista de la empresa podemos decir que el endeudamiento, representa la cantidad monetaria de interés, que representa el % de costos financieros pagados por la empresa por haber contraído obligaciones. obligaciones. Estos costos financieros para la empresa que no dispone de recursos se convierten en necesarios y a veces medulares; los niveles de costos y su incidencia en la empresa son los resultados de una buena o mala decisión financiera. De todas maneras vale señalar que el endeudamiento se convierte en el último recurso que debemos utilizar para la solución de problemas de liquidez, ya que por norma general deberán arbitrarse los medios financieros al interior de la empresa para buscar la liquides monetaria necesaria que evite el endeudamiento. endeudamiento. En una operación financiera básica intervienen un sujeto (acreedor) que pone a disposición de otra (deudor) uno o más capitales y que posteriormente lo recupera incrementado, es decir, el principal más los intereses.

1.4.1

FACTORES QUE INFLUYEN EN LA DETERMINACIÓN DEL INTERÉS.

Entre los riesgos o factores de tipo general que influencian influencian la fijación del interés, tenemos: 

Inflación/devaluación.- El dinero está sujeto a procesos inflacionarios y devaluatorios que pueden implicar que el dinero este perdiendo valor o capacidad de compra. La inflación puede puede expresarse expresarse como la tendencia permanente de de un mercado hacia hacia un incremento del nivel general de precios por parte de los oferentes y una disminución permanente del poder adquisitivo de la moneda por parte de los demandantes. Por ello se establece que lo primero que se debe hacer antes de pagar el interés, es pagar una compensación como mecanismo de corrección de la moneda que busque como objetivo el mantener el poder adquisitivo de la moneda y luego la respectiva tasa de interés. En nuestro caso este fenómeno o se lo puede observar en la tasa de interés que generalmente generalmente está compuesta por la inflación más un porcentaje como ganancia por el uso del dinero, característica que usualmente no es tomada en cuenta por los inversionistas.



Riesgo País.- Mayor interés entre menor sea la posibilidad de recuperar lo invertido. Este riesgo está tipificado a nivel político , económico y social. En tal virtud en un país inseguro, con economía inflacionaria, inestable a nivel económico, político y social, con altos índices de corrupción la tasa de interés será alta de acuerdo a la calificación riesgo país.



Compensación.- El dueño del capital necesita una compensación ya que al prestarlo pierde la oportunidad de hacer hacer otras transacciones transacciones económicas económicas (costo de oportunidad). oportunidad). El capital es un Docente Hernán Arellano Díaz

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recurso económico económico y el usuario de este (prestatario, deudor) se va a beneficiar beneficiar de su uso. Es justo que el dueño (prestamista, (prestamista, acreedor)participe acreedor)participe de dichos beneficios o márgenes de utilidad).


25

1.4.2

TIPOS DE INTERÉS Y SUS APLICACIONES.

Formalmente la matemática financiera por sus características a convenido en dividir al interés en dos tipos: Interés simple e interés compuesto.

a.- Interés Simple Is = C * t * i

1.- Cuentas Ahorro Ahorro y depósitos a la vista Is = C * t * i 2.- Inversiones (Plazo Fijo) Pólizas , Certificados de depósitos CDs.. CDs.. Is = C*t*i 3.- Valor actual Cva

TIPOS DE INTERES

b.-Interés Compuesto

Mc  (1  i) t o n



Proceso de Capitalización o acumulación

Proceso de valoración de Inversiones “actualización” actualización”

Ms

1  (t  i )

4.- Préstamos , y amortizaciones amortizaciones Is =C*t*i

Amortización o endeudamiento.

1.- Inversiones (Plazo fijo) Mc=(1+i)n o t

Proceso de Capitalización. Programas de ahorro largo plazo.

2.- Valor actual Cva 

Mc

(1  i ) t

Proceso de valoración de Inversiones actualización (evaluación económica financiera materia proyectos)

Con la finalidad de diferenciar el método de interés simple del compuesto conviene citar algunas de sus características más importantes: 1.4.3 INTERES SIMPLE. A manera de definición diremos que el Interés Simple es aquella cantidad de dinero adicional al capital, que se cancela cancela al final de cada período, por el uso de este en operaciones operaciones de ahorro, inversión o préstamo. Sus principales caracterí características sticas son : Docente Hernán Arellano Díaz

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a. El capital permanece constante constante en todo el tiempo de la negociación financiera. Esta condición afecta tanto al interés como al monto, que también son constantes a través del tiempo. b. La capitalización capitalización o sumatoria del capital más interés, interés, se realiza una sola vez en todo el tiempo de negociación financiera (C+Is ) se denomina Monto Simple o capitalización capitalizaci ón simple. c. El monto crece no por efecto del método método matemático financiero financiero de cálculo sino que está en función del tiempo tiempo establecido en la negociación. negociación. El factor de crecimiento crecimiento se encuentra encuentra multiplicando multiplicando t * i. (cuanto de tasa de interés debo cancelar cancelar en función al tiempo t) d. El interés simple obtenido puede ser dividido en interés diario, mensual trimestral, semestral, anual, sin perder esta característica característ ica relacionada con la constancia. Este será pagado al vencimiento. 1.4.4

INTERES SIMPLE SIMPLE FORMULA DE CALCULO.

Fórmula de cálculo para períodos enteros y fraccionarios fraccionarios de tiempo.

Is = C * tn * i Interés simple (Is)= representa el valor monetario $ Usd adicional que se a obtenido por la utilización o uso del dinero en operaciones de ahorro-inversión o préstamo. Capital (C)= Es la cantidad de recursos monetarios negociados entre las partes. Tiempo (t o n) = Representa el período o lapso íntertemporal de tiempo, a la que se ha sometido una operación financiera. financiera. Su unidad referencial de tiempo es de un año. Debiendo obligatoriamente existir entre el tiempo (t o n) y el tiempo de la tasa de interés (i) dualidad o igualdad correspondiente, es decir si el tiempo t esta expresado en años la tasa de interés i también debe estar expresado en esa misma unidad de tiempo.


27

Gráficamente se visualiza así:

Unidad referencial de tiempo t = 1 Año, 12 meses 360 / 365 días

Fecha suscripción Valor Inicial Capital ; Tiempo; tasa de interés

Fecha vencimiento Valor final o futuro Interés Simple Is (pagaderos al vencimiento

El tiempo puede clasificarse en tiempo entero y tiempo fraccionario así: Tiempo entero =

1 año, 2 años, 3 años, 20 años.

Tiempo fraccionario =

1.5 años, 1 año 5 meses, 10 años 8 meses 3 días, 8 meses, 15 días, 16 meses, etc.

Transforme 6 meses en relación a años ? realizando mediante una regla de tres simple se tiene: 6 meses

= 0.5 partes del año

12 meses Transforme 1 mes 28 días en relación a la años? Transformo todo todo a días así: así: 1mes *30dias; *30dias; luego 30 días + 28 días = 58 días Estos días transformamos a años o partes de año así: 58 días

= 0.1611 partes del año o 0.1611 años

360 días Tasa de interés i = Esta dada en tanto por ciento %. En la parte práctica se trabajará con tasas de interés unitarias Ej: La tasa del 10% anual la podemos transformamos a una tasa unitaria anual así: 10% 100%

 0.10 unitario anual

El término Tasa de Interés, viene del verbo tasar, que significa significa medir, cuantificar, cuantificar, valorar. Es decir la tasa de interés mide el costo o precio del dinero que intervino en la negociación financiera, esto Docente Hernán Arellano Díaz

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se verifica al determinar ( t * i), como se observará en el desarrollo práctico de la matemática de casos. La tasa generalmente es anual y en el interés simple se la conoce como nominal. nominal. Esta puede ser presentada en tasa periódicas semestrales, trimestrales o mensuales entre otras. En el caso ecuatoriano la tasa está compuesto de algunos componentes, principalmente por la inflación, niveles de riesgo, utilidad bruta etc. En Una economía dolarizada como la nuestra interesa el comportamiento de las tasa LIBOR y la tasa PRIME. LIBOR Siglas de London Inter. Bank offer Rate. Es la tasa a la que se negocian los eurodólares, eurodólares, y, más concretamente, el promedio de la tasa para las 12H00 AM en un día dado, de cuatro o cinco bancos que se fija como referencia en unos euro créditos. Esta tasa es baja porque los depósitos que captan fondos para este mercado no están sometidos al encaje legal, no tienen tasa reguladas, ni primas por seguro de protección de los recursos y usualmente tiene un costo operativo muy bajo, porque los euro bancos funcionan a muy bajo costo. Se pactan con un período de tiempo referencial, así se tiene una tasa para un mes, un trimestre, etc. PRIME RATE Del inglés Prime, primera o principal, rate, tasa o tipo. Tasa de interés preferencial, es la base sobre la cual se negocian usualmente los créditos crédi tos en moneda extranjera. Es una tasa fluctuante, de acuerdo con la situación del mercado de los Estados Unidos, y se refiere al costo que los bancos americanos cargan a las grandes compañías de ese país. Lo usual es pactar algunos puntos sobre la PRIME, los que dependen del banco corresponsal y de la naturaleza del cliente. Estos puntos por encima de la tasa PRIME se denominan usualmente spread o margen de utilidad, es es decir, la diferencia entre entre la tasa activa activa (préstamos) (préstamos) y la pasiva pasiva (ahorros e inversiones). 1.4.5

CLASIFICACIÓN DE LOS TIEMPOS NORMA BANCARIA.

En matemática financiera la práctica bancaria y comercial ha determinado un mecanismo conocido como Norma Bancaria, misma que resulta de la combinación del tiempo propiamente dicho y del tiempo dado en el interés simple. simple. Esta norma bancaria representa representa la suma más alta de intereses intereses simple a cobrar i/o pagar en una negociación financiera. De acuerdo al tiempo t propiamente dicho este se puede clasificar en dos tipos exacto y ordinario: Tiempo Exacto.- te Conocido también como tiempo calendario. Considera al año de 365 días y eventualmente de 366 días en el caso del año bisciesto. Enero 31

Feb 28

Mar 31

Abril 30

Mayo 31

Junio 30

Jul 31

Agosto 31

Sept 30

Oct 31

Nov 30

Dic 31

Tiempo aproximado. aproximado. ta Conocido como como ordinario ordinario o comercial. comercial. Considera a al año año de 360 360 días es es decir meses de 30 días. Enero 30

Feb 30

Mar 30

Abril 30

Mayo 30

Junio 30

Jul 30

Agosto 30

Sept 30

Oct 30

Nov 30

Dic 30


29

De acuerdo al tiempo del interés simple este se puede clasificar en dos tipos Tiempo del interés Simple exacto y ordinario: Tiempo del interés Simple exacto. exacto. Ise Es aquel que considera al año calendario como divisor divisor fijo de 365 días y Tiempo del Interés Simple Ordinario.Ordinario .- Iso Es aquel que considera al año comercial como divisor fijo de 360 días. CUADRO DE COMBINACIONES NORMA BANCARIA TIEMPO DE INTERES SIMPLE TIEMPO del tiempo t

te o ne 365 TIEMPO EN EL CUAL SE DEBE TOMAR EN C0NSIDERACION LOS MESES DE ACUERDO A LO ta o na 360 TIEMPO EN EL CUAL SE DEBE TOMAR EN C0NSIDERACION LOS MESES DE 30 DIAS CADA UNO

Ise (365) divisor fijo

Iso. (360) divisor fijo

Ise te

Iso. te

Ise ta

Iso. ta

Resultado del presente cuadro se obtuvieron las siguientes formulas del Interés Simple. 1. 2. 3. 4.

Ise te = C * te * i / 365 Iso te = C * te * i / 360 Ise ta = C * ta * i / 365 Iso ta = C * ta * i / 360

1.4.6 MONTO SIMPLE Representa la suma del capital inicial u original más los intereses ganados, devengados o justificados a través del tiempo, que se reciben una sola vez en la negociación financiera . Su fórmula está dada por: M = C + Is M= C + ( C * t * i) sacando factor común M = C [ 1 + (t * i)]

U r t = 1 Año, 12 meses 360 / 365 días Fecha suscripción Valor Inicial o Presente Capital ; Tiempo; tasa interés

Fecha vencimiento Valor final o Futuro Monto Simple (C+ Is)


30

FORMULAS DERIVADAS DEL INTERES Y MONTO SIMPLE Tiempo t o n 

t

M

Is

t

C * i

C i

1

 Is  Tasa de interés i   *100%   C * t 

 M  1 C  *100% i   t    

Valor Actual C va  Is t * i  1

C  M 1  (nt * i  1









En el caso de las operaciones en las que esté buscando el tiempo será necesario tomar muy en cuenta el tiempo de la tasa de interés ya que esto condicionará el comportamiento comportamiento de sus resultados o respuestas, así si la tasa de interés es anual la respuesta del tiempo que estoy buscando ser anual. En este tipo de ejercicios es muy importante que la tasa de enteres se exprese en años, para lo cual tender e que dividir para 360 días del año comercial comercial y de esta forma al expresarse la tasa de interés en días la respuesta del tiempo t buscado estará dada o expresado en días. El caso es inverso cuando estoy buscando la tasa de interés, el tiempo deberá estar expresado en años para que la tasa también se enuncie en esa unidad de tiempo. 1.5

OPERACIONES DE INVERSION O PASIVAS

El Depósito a plazo fijo (DPF) es una operación financiera por la cual una entidad financiera, a cambio del mantenimiento de ciertos recursos monetarios inmovilizados un período determinado, reporta una rentabilidad financiera fija o variable, en forma de dinero o en especie. Al término del plazo pactado, mínimo de 30 días, la persona natural o jurídica puede retirar todo el dinero o parte del mismo. Si las condiciones pactadas lo permiten, podría también renovar el compromiso por un período adicional: en este último caso, si no se toma una decisión el mismo día del vencimiento, no se pierden los intereses generados hasta el momento, pero sí se pierden días durante los cuales se podrían estar generando nuevos intereses. Siempre que se contrata una inversión hay que tener en cuenta la posible necesidad de liquidez del capital invertido ya que algunas entidades cobran una cantidad o porcentaje por la cancelación anticipada de dicha inversión, mientras que en otros casos no existe la posibilidad de cancelación anticipada. Con el fin de saber quien ofrece la mejor tasa en un Certificado de Depósito, o póliza es importante tener una estrecha vigilancia sobre el mercado y saber lo que está pasando. La evolución del mercado es la razón por la que es importante estar pendiente pendiente de las tendencias tende ncias en lo que se refiere a los diferentes tipos de instrumentos financieros incluyendo los Certificados de Depósitos. Docente Hernán Arellano Díaz

31

1.5.1

CERTIFICADOS DE DEPÓSITO A PLAZO (CD´s)

Son obligaciones obligaciones financieras financieras exigibles al vencimiento vencimiento de un período no menor de treinta días, libremente convenido por las partes. Pueden instrumentarse en un título valor, nominativo, a la orden o al portador. Pueden ser pagados antes antes del vencimiento vencimiento del plazo, previo acuerdo acuerdo entre el acreedor y el deudor. Los títulos que poseen estas características tiene además las siguientes denominaciones en el mercado: Póliza de Acumulación Certificado de Depósito Certificado de Depósito a Plazo Fijo Certificado de Depósito a Plazo Depósito a Plazo Depósito a Plazo Mayor

     

Características del Papel: Emisor Bancos. (Según Art. 51, lit. b; Art. 53 inciso 1ro., LGISF) Moneda US Dólares Interés Paga intereses al vencimiento vencimiento o periódicamente periódicamente mediante cupones Amortización Al vencimiento vencimiento Plazo Entre 30 días y un año Rendimiento En función del plazo por vencer del título, de la tasa de interés del mismo y del precio de compra. 1.5.2 MATEMATICA DE CASOS 1.

La empresa Ideas SA. dispone hoy de un capital de $2000 usd. y decide invertirlo en el banco Solidario que paga una tasa de interés simple nominal anual del 10%, cuanto habrá generado de Interés Simple inmediatamente inmediatamente después de: a) 1 año periodo entero de tiempo b) 5 años periodo entero de tiempo c) 10 años periodo entero de tiempo d) e) f) g) h) i) j)

15 días 3 meses 545 días 17 meses 1año 4 meses 1.4 años 5 años, 6 meses, 14 días?

Periodo entero

Periodo fraccionar f raccionario. io.

\


32

OPCION a. DATOS Is = ? C = $ 2.000 t o n = 1 año i = 10% anual

t = 1 año i = 10% Is=?

C = $ 2..000 Valor presente t o n = 1 año i = 10%

Is = C *(t * i) Is = $2000*(1 año *0.10 anual) Is = $2000*0,10 anual Is = $200 USD. en 1 año

GRAFICA DE VALOR t*i representa la cantidad de tasa unitaria de interés que vamos a ganar en función al tiempo. Al ser el tiempo de un año la tasa que se ganará es del 0,10 anual o 10% anual.

Valoración Un capital de $2.000 al término de 1 año, con una tasa del 10% anual simple generará un interés simple futuro de 200 dólares, en esta operación de inversión (operación pasiva). Nota: Este procedimiento de cálculo basado en el interés simple es conocido como método matemático o lógico y debe ser utilizado exclusivamente para operaciones de inversión y no en operaciones de ahorro, préstamos o compras a crédito por el hecho principal de que el capital sometido a la negociación financiera queda inmovilizado o atado al plazo o tiempo establecido en la respectiva operación financiera, esta como su característica fundamental. OPCION b. Is = ? C = $2.000 t o n = 5 años i = 10% anual

1. Al ser interés simple constante, podemos comprobar: Is 5 años= 200 * 5 años Is 5 años = 1.000 luego de 5 años. 2. Mediante fórmula Is= C * t * i Is= 2.000 * 5 años * 0.10 unitario anual Is= 1.000 en 5 años.

OPCION d. Is= ? C = $2.000

Is= C * tn * i Is= 2.000 * 15 días * 0.10 unitario anual

t o n = 15 días Docente Hernán Arellano Díaz

33

i = 10% anual a)

El tiempo t del problema lo transformamos a años o partes de año, así: I s

 2.000 *

15 días *1año * 0.10 anual 360 días

Is = 2.000. * 0.041666666 partes año * 0.10 anual Is = 8.33 USD. Luego de 15 días días // b)

El tiempo lo dejamos igual y la tasa anual la transformamos a una tasa diaria dividiendo 0,10 anual para 360 días que tiene el año, así: I  2.000 *15 días * 0.00027778 s

Is  8,33 usd. en 15 días

OPCION j. Is= ? C= 2.000 t = 5 años, 6meses, 14días i= 10%

1 año

2 años

3 años

4 años

5 años

C= 2.000 t = 5 años, 6meses, 14días i= 0,10 unitario anual

Antes de hacer el ejercicio conviene transformar el tiempo t a años. bajo las siguientes alternativas: 1) directamente directamente todo años; 2) todo a meses y luego ese resultado transformo transformo a años, dividiendo el total para 12 meses que tiene un año; 3) todo a días y luego ese resultado transformo a años, dividiendo dividiendo el total total para 360 días días que tiene tiene un año referencial. referencial. Así: 1) Todo a años 5 años + 6 meses + 14 días 12 meses 360 días 5 años + 0.5 años + 0.038888888 años 5,538888889 años (directamente) 3) Todo a días: 5 años * 360 días/año + 6 meses meses * 30 30 días/ mes + 14 días 1800 días + 180 días + 14 días 1994 días/360 = 5,538888889 años

= 1994 Luego estos días a años

Terminado este proceso aplicamos la formula correspondiente. Otra opción seria así: Is = 2.000 * 1994 días * 0,10 annual Docente Hernán Arellano Díaz

34

Is = 2.000 * 1994 días 360 días

* 0,10 anual

Is = 2.000 * 5,53888889 años * 0,10 anual Is= 1.107.78 $ USD luego de 5 años, 6 meses, 14 días // Debe tomar en cuenta que todas las opciones tiene su correspondiente metodología, por tanto deben contener las gráficas de valor correspondientes, sí como la interpretación y su análisis respectivo. 2. Calcule el monto simple de un capital de $. 5.000 sometido al 1,2% de interés simple mensual durante 5 años. años. Analice las respuestas. Analice e interprete interprete la respuesta. respuesta. DATOS M =? C= 5.000 t-n= 5 años i = 1,2 % mensual M = C + Is

C =$5000 1 año t= 5 años i = 1,2% mensual

2 años

3 años

Valores Presentes o actuales

Donde:

4 años

5 años

M =?

Valores futuros

C= M – Is Is = M - C

M = C (1 + (t*i)) Reemplazando el equivalente al interés simple y luego sacando factor común tenemos: M = C [ 1 + ( t * i)] M = 5.000 [ 1+ 5 años * 0,012 mensual ] M = 5.000 [ 1+ 5 años * 0,012 mensual * 12 meses que tiene 1 año] M = 5.000 [ 1+ 5 años * 0,144 anual] M = 5.000 [ 1,72año] M = $8.600 en 5 años Interpretación: Encontramos el Interés simple generado Is = M - C o también mediante formula Is = c * t * i (compruebe mediante fórmula) Is = $8600 – $8600 –$5.000 $5.000 Is = 3.600 en 5 años 3. Calcular el monto simple de un capital de 1.000 $s bajo las siguientes condiciones: tiempo 3 meses 10 días; tasa 15% anual. Compruebe el valor del del primer mes correspondiente al interés interés simple mediante mediante fórmula. Analice e interprete interprete la respuesta.


35

DATOS Ms. = ? C = 1.000 t = 3 meses 10 días i = 15% anual

M = C [ 1 + ( t * i)] M = 1.000 ( 1 + 100 días * 0,15 anual ) 360 días M = 1041,67 en 3 meses 10 días o 100 días // I = M – C I = 41,67 41,67 en 3 meses 10 días o 100 días // Comprobación:

I1mes = C * t * i

I1mes = 1.000 * 1 mes * 0,15 anual 12 meses I1mes = 12,5 $ mensual // Si quisiéramos comprobar que el interés permanece constante debemos realizar el siguiente cálculo: ($12,5 / 30díasque tiene 1 mes *t100días = $41,67 usd en100 días. Esto a partir del conocimiento conocimiento del interés mensual). 4. A qué tasa de interés (ambos métodos) fue colocado un capital de $9.000 para que pueda obtenerse un rendimiento o Interés simple de $540 al término de 9 meses. Analice e interprete la respuesta.

DATOS

t o n 9 meses Is= 540

i=? C= $ 9.000 Is= $ 540 t = 9 meses

i =? 1 año C= 9.000

METODO 1

METODO 2


36

5. La empresa “Impulsos” realiza una inversión de $10.600 por el cual después de 18 meses 10 días, recibirá un monto simple de $12.219.44 $12.219.44 Determine a qué tasa de interés nominal anual anual y mensual simple se pacto pacto dicha inversión?. inversión?. Realice por ambos ambos métodos . Analice e interprete la respuesta. DATOS i=? C= $10.600 Ms= $12.219,44 t= 18 meses 10 días

METODO 1 METODO 2

6. En cuánto tiempo se dispondrá de un valor total de $2.952 si se invierte hoy en un banco de la localidad una suma de $2.700; obteniendo un rendimiento simple o tasa del 8% anual simple, realice por ambos métodos. métodos. Analice e interprete interprete la respuesta respuesta .

DATOS t n=? C= $2.700 M= $2.952 I= $252 i= 8 % anual simple 0 6666667% mensual.

Ms= $2.952 t =?

C = $ 2.700 i= 8% anual

METODO 2

METODO 1


37

7. En qué tiempo un capital de $5.000 genera un interés simple de $212,50, si dicha inversión se calculó al 6% de interés anual?. anual?. Exprese el resultado resultado tanto tanto en días, como como en meses. meses. ( ambos métodos ). Analice e interprete la respuesta. DATOS Ms= 5.212.50

t=? C= $5.000 Is= $212.50 M= $5.212.50 i = 6% anual simple.

t =? Ms= 12.219,44 C = $ 5.000 i= 6% anual

i =?

2 años C= $10.600 t=18 meses 10 días

METODO 1

METODO 2

8. Calcular el interés que gana una inversión de un capital de $4.200 al 4,5% nominal anual suscrita el 14 de noviembre de 2xx1 y cuya fecha de vencimiento es el 10 de diciembre de 2xx2. Utilice las 4 combinaciones de tiempos y determine cuál es la Norma bancaria. Analice e interprete la respuestas. respuestas. DATOS C= $4.200 i = 4,5% fecha de suscripción 14 de noviembre de 2x17 Fecha de vencimiento 10 de diciembre de 2x18 calcular por las 4 combinaciones?


38 10 dic. 16 + 31 + 31 + 28 + 31 + 30 + 31 + 30 + 31 + 31 + 30 + 31 + 30 +10 Nov 30 Dic D ic 31 En 31 Feb 28

14 Nov subscripción

Mz 31

Ab 30 My 31

te=

Jun 30

Jul 31 Ag 31

Sep 30 Oct 31 Nov 30

10 dic.

391 días

16 + 30 + 30 + 30 + 30 + 30 + 30 + 30 + 30 + 30 + 30 + 30 + 30 + 10 Nov 30 Dic D ic 30 En 30 Feb 30

14 Nov

Mz 30

Ab 30 My 30

ta=

Jun 30

Jul 30 Ag 30

Sep 30 Oct 30 Nov 30

386 días

COMBINACIONES

391 días

1.  Isote

 C * t * i

Iote

 $4.200 *

2.  Isota

 C * t * i

Iota

 $4.200 *

3.  Isete  C * t * i

Iete

 4$4.200 *

4.  Iseta

Ieta

 $4.200 *

 C * t * i

NORMA BANCARIA

* 0.045  $205,27

360 días / 1 _ año 386 días

* 0.045  $202,65

360 días / 1 _ año 391 días 365 días / 1 _ año 386 días 365 días / 1 _ año

* 0.045  $202,46

* 0.045  $199,87

$. 205,27. Isote

9. El 18 de mayo del 20xx un cliente decide hacer una inversión, en el Banco “ Internacional”, Internacional”, por un valor de $20.000, que se aspira genere un interés simple simple de $322.22, a una tasa del 4% anual simple. simple. Calcule la fecha de de pago en que vencerá vencerá esta inversión. inversión. Utilice los criterio Interés ordinario Io tiempo exacto exacto te. Analice e interprete interprete la respuesta. DATOS i= 4% anual

tn=? C= $20.000 Is= $322.22 i= 4% anual

t o n=?

C= 20.000.

18 mayo 2xx9 FECHA PRESENTE

Is= $322.22 FECHA FUTURA FUTUR A ?


39

Donde: Utilizando la fórmula del tiempo a partir del Interés simple tenemos:

t

Is C*i

322 322 .22 20 .000 000 * 0.04 anual t  0.402775 partes de año  *360 360 Io  145 145 días t

Como la fecha de suscripción fue el 18 de mayo, el tiempo encontrado fue de 145 días, aplicando el criterio de Interés ordinario Iso tiempo exacto, tenemos que la fecha de vencimiento será el 10 de octubre. Este mismo procedimiento puede realizarse por medio del tiempo de la fórmula del monto simple y con el criterio Iseta, u otra combinación. 10. Hoy 8 de mayo del 20xx, la empresa Indust rial “Alegría “Alegría SA” SA” desea realizar una inversión de recursos mediante mediante la suscripción suscripción de un documento documento fiduciario fiduciario “Certificados de Depósitos a Plazos” en el banco del Austro bajo las siguientes condiciones: Capital $5.500, tiempo exacto 61 días, tasas de interés 6,50% anual. Tomando en cuenta que que esta inversión debe debe pagar el 2 % de impuestos a los rendimientos rendimientos financieros IRF, determine el valor del Interés y el monto simple liquido a recibir. Utilice el formato de certificado de depósitos respectivo. Tome como referencia para el cálculos de los intereses la combinación Iso te Interés ordinario tiempo exacto. exacto . DATOS Capital $5.500 Tiempo exacto 8 mayo al 8 de julio te 61 días i =6,51% anual

Isote =($5.500*61 días *0,065 anual )/360dias Isote = $ 60.58 en 61 días.

Interés Valor liquido = Isote*( 1 – 1 –0,02 0,02 ) Interés Valor liquido = $60.70 ( 0.98 ) Interés Valor liquido = $ 59.49 Monto liquido a recibir = Capital + Interés Valor liquido Monto liquido a recibir = $ 5.500 + $ 59.49 Monto liquido a recibir = $5.559.49


40

BANCO DE PREGUNTAS DE AUTODIANOSTICO

Las siguientes preguntas le orientaran a usted a entender la forma en que se evaluara potencialmente potencialmente el fundamento teórico teórico de esta materia. materia. 1) Cite la definición de finanzas: 2) Analice las 5 razones por las que debemos estudiar las finanzas: 3) Establezca el papel que desempeña el administrador financiero, con respecto a la administración de los activos (disponible, exigible, inversiones) pasivos y patrimonio. 4) ¿Explique cuántas y cuáles son las principales decisiones financieras que afrontan las familias? 5) ¿Qué se entiende por dinero? 6) ¿Cuáles se consideran son las funciones del dinero? 7) Determine las diferencias básicas entre cuenta corriente y cuenta de ahorro. 8) Determine las diferencias básicas entre ahorro e inversión financiera. 9) Establezca una conceptualización de operaciones activas y pasivas desde la perspectiva de el sistema bancario. 10) Las operaciones activas tienen que ver con los depósitos en ahorro cuenta corriente e inversiones. Explique. 11) Las operaciones pasivas tienen que ver con los préstamos o niveles de endeudamiento. Explique. 12) Mediante un esquema gráfico expliqué cómo funciona el mercado de intermediación financiera. 13) Mediante un esquema gráfico explique cómo funciona el mercado de desintermediación financiera. Bolsa de valores 14) ¿Qué es un fondo de inversión? 15) ¿Cómo se constituye un fondo de inversión? 16) Describa secuencialmente los pasos que un tenedor de un título debe realizar para comprar o vender un papel fiduciario.. 17) ¿Describa claramente en qué consiste y como se puede clasificar los fondos de inversión? 18) Por qué se considera a la matemática financiera como un instrumento operativo de la finanzas?. 19) Cite el concepto de análisis y valoración de las operaciones financieras?. 20) Cite el concepto de interés. 21) ¿Cuántos y cuáles son los factores que influyen en la determinación determinación del Interés? 22) Por que se dice que el interés es un agente regulador de la economía de un país? 23) Qué entiende por capitalización? capitalización? 24) Qué diferencia existe entre la capitalización simple y compuestas? 25) ¿Qué es el Interés Simple? 26) ¿Defina claramente los elementos de la fórmula de cálculo del Interés Simple? 27) ¿Qué entiende entiende por Interés Compuesto? Compuesto? 28) En función al grafico financiamiento, operación inversión explique en donde y como interviene análisis y valoración de las operaciones financieras ? 29) Cuál es la diferencia existe entre tasa Libor y Prime? 30) Que entiende por norma bancaria? 31) Investigue en qué casos prácticos (banco empresas)se aplica análisis y valoración de las operaciones financieras? 32) Qué importancia análisis y valoración de las operaciones financieras en su formación del contador auditor? 33) Describa cómo funciona el esquema de asignación de dinero. Circuito financiero. Docente Hernán Arellano Díaz

41

1.5.3

MATEMATICA DE CASOS

1

Realice las siguientes transformaciones transformaciones de tiempo fraccionario. fraccionario. (t o n)

Con un tiempo de 9 meses 12 días  transforme todo a días y luego todo a años. transfor me todo a meses y luego todo a años.  transforme  transforme directamente directamente a años Con un tiempo de 4 años 9meses 8 días  transforme todo a días y luego todo a años  transforme todo a meses. y luego todo a años  transforme directamente directamente a años Con un tiempo de 18 meses 17 días  transforme todo a días y luego todo a años. transforme todo a meses y luego todo a años.   transforme directamente directamente a años 2

La empresa Comercial Comercial Unidos Cia Ltda. Ltda. dispone hoy de $80.000 que los invertirá invertirá en el Banco del Pichincha, Pichincha, que ofrece pagar una tasa de de interés simple simple nominal anual del del 4.56% anual simple, determine dete rmine cuanto habrá “generado” de Interés simple inmediatamente después de las siguientes opciones de tiempo. (Trabaje con el año comercial equivalente a 360 días)  1año Periodos enteros de tiempo t  6 años  10 años  14 meses  6 meses  280 días Periodos fraccionarios de tiempo t  175 días  12 días  1 años 2 meses 18 días Analice e intérprete las respuestas encontradas.

3

Calcule el Monto Simple de un capital de $30.000 $30.0 00 dólares que son invertido a una tasa de interés del 6,45% anual, inmediatamente inmediatamen te después de las siguientes opciones de tiempo.. (Trabaje con el año comercial equivalente a 360 días)      

5 meses 12 días 1 meses 99 días 14 meses 2 año 8 meses 12 días 9,2 meses

Analice e intérprete las respuestas encontradas Docente Hernán Arellano Díaz

42

8

4

Hoy 6 de agosto del 2009 un inversionista inversionista realizó una operación de inversión por de $42..500 dólares al 5.10% anual de interés simple hasta el 15 de febrero del 2010. Realice las cuatro combinaciones combinaciones y establezca establezca cual es el resultado resultado de Interés simple más alto (Norma bancaria). Considere las retenciones del 2% correspondiente a los Impuestos a IRF). Establezca las conclusiones pertinentes. los Rendimientos Financieros IRF). pertinente s.

5

Marcelo Díaz dispone de un certificado de depósito bajo las siguientes condiciones: condiciones: Capital $38.000 dólares, fecha de suscripción del documento 3 de noviembre del 2008; fecha de vencimiento 18 de junio del 2010, determine la combinaciones Isote, Iseta, si la tasa de interés asciende al 4.5 % anual simple. Considere las retenciones del 2% IRF). Establezca las correspondiente a los Impuestos a los Rendimientos Financieros IRF). conclusiones pertinentes.

6

Una persona hoy 18 de octubre, invierte en el Solidario $22.560 en un fondo de inversión que le garantiza un rendimiento o rédito del 4.78% anual simple. Si esa persona retira después de 31 días (tiempo exacto) cuánto deberá recibir, luego de haber realizado las retenciones de los impuestos correspondientes?.

7

En que tiempo un capital de $900 dólares ganará un interés simple de $ 15,75 dólares si son invertidos al 6 % anual simple. Trabaje por ambos métodos. Opción a) directamente en años R= 0,2916666666 0,2916666666 años; Opción b) directamente directamente en meses R= 3,5 meses meses ( 3 meses 15 días); Opción c) directamente directa mente en días R= 105 días. Analice e intérprete las respuestas.

Determine el tiempo t por ambos métodos para las siguientes opciones: tas directamente en:

b) c) d)

Ms= $ 2.250 C= $ 163,33 Ms= $ 2.016

3,92 2,45 0,63

e)

C=

9,03

$

420,93

f) Ms= $ 1.725,85 Analice e intérprete las respuestas.

os y meses; ses y días días

650

9 La Empresa Empresa Alegrías S.A. realiza una operación de inversión, por un valor de ccapital apital de 2.600 dólares, por el cual después de 16 meses 20 días recibirá un rendimiento futuro de 318 dólares, determine a que tasa de interés anual nominal simple recibió dicha operación. Realice por ambos métodos, Analice e intérprete las respuestas. 10 Determine la tasa de interés porcentual % i por ambos métodos para las siguientes opciones: tas directamente en:

a) b) c) d)

C= Ms= C= Ms=

$ $ $ $

4.320 6.907,67 2.950 1444,67

ías ses o o 1 mes 10 días

e) C= $ 1.000 o 4meses f) Ms= $ 657,75 eses Analice e intérprete las respuestas.

Is = $ 36 C = $ 6.800 Is = $ 265 Is = $ 124,67

9,5 % anual =0,025% )

Is = $ 80 C= 600

meses ral R= 4,1268%


43

11 La Empresa Operaciones Operaciones Secretas SA. realiza una una operación de inversión, inversión, por un valor de capital de 223. 33 dólares, por el cuál después de 14 meses recibirá un rendimiento futuro de 23.33 dólares, determine a que tasa de interés nominal anual simple recibió dicha operación. operación. Realice por el método método del Monto. 12 Calcule la fecha de pago en que vencerá vencerá una inversión inversión que es suscrita suscrita el 28 de marzo del 2009 por un valor de $6.500 $6.500 que se aspira genere un un interés simple de $252,78, $252,78, a una tasa del 4% anual anual simple. simple. Utilice Isote. Analice e interprete interprete la respuesta. respuesta. 13 A qué tasa de interés anual nominal nominal simple se invirtió invirtió un capital de $210 000 para que produzca $20.000 en 180 días. Presente la respuesta directamente en años. Realice por el método del monto simple. 14 En qué tiempo un Capital de $680 $680 000 ganará un interés de $36 000 000 al 18 % anual. Exprese ésta respuesta directamente en días. Realice por el método del Interés Simple. 15 En qué tiempo un Capital de $40 975 ganará ganará un interés de $3707 al 1.7% mensual. mensual. Exprese la respuesta en años; en días; en meses y días. Realice por ambos métodos 16 El 12 agosto de 2009 2009 un cliente cliente decide hacer hacer una inversión, inversión, en Unibanco Unibanco por un valor de $340.000, que se aspira genere genere un interés simple simple de $14.642,67 a una tasa del del 6.8% anual simple. Calcule la fecha de pago o vencimiento de esta inversión. Utilice la norma Interés simple ordinario Iso tiempo exacto te. Analice e interprete la respuesta. EJERCICIOS DE TIPO PRODUCTIVO a. Calcule el monto simple de un capital de $. 30.000 sometido al 0,52, % de interés simple mensual durante 1 año. Analice e interprete la respuesta. b. Calcular el monto simple de un capital de $ 17.400 bajo las siguientes condiciones: tiempo 2 meses 8 días; tasa tasa 4.5% anual. Compruebe el valor valor del primer mes mes correspondiente al interés simple mediante fórmula. Analice e interprete la respuesta. c. ¿A qué tasa de interés simple se duplica un capital en once meses? d. Una persona adquiere en esta fecha un automóvil que cuesta $ 22.000,00. Si suponemos que el vehículo aumenta su su valor en forma constante y a razón del 2% mensual, ¿cuál será su valor después de dos meses? e. Si una persona invierte en pólizas hoy $ 5.000,00 a plazo fijo con el 0.42% de interés mensual, y no retira su depósito y reinvierte sus intereses, cada mes ¿Cuánto tendrá en su cuenta 3 meses después si la tasa de interés simple no varía? f. ¿En qué tiempo se incrementara en $80 un capital de $550 colocado al 10 ¼ % Anual? g. ¿ En qué tiempo se convertirá en $209.970 un capital de $180.000 colocado al 0.75% mensual?


44

h. ¿ A qué tasa de interés anual se coloco un capital de $3300 para que se convierta en $335 en 210días ? i. ¿ A qué tasa de interés mensual un capital de $850 se incrementará una cuarta parte más en 300 días ? j. ¿A qué tasa de interés semestral debe colocarse un capital de $4900 para que produzca $808 en 270 días ? k. Usted realiza una inversión a plazo fijo en Produbanco bajo las condiciones siguientes. Valor de la inversión $54.500; $54.500; tasa de interés 7,05 % anual simple, fecha suscripción suscripción 31 de Marzo 2008 fecha de vencimiento 29 enero 2009. Se pide: 1) Encuentre el valor correspondiente correspondiente al VALOR neto a recibir trabaje con las combinación Iso te. 2) Encuentre el valor correspondiente al VALOR neto a recibir trabaje con las combinación Iseta l. Los datos que se adjuntan pertenecen a una póliza de acumulación acumulación del Banco Procredit, encuentre la fecha de vencimiento de esta inversión. Trabaje con con la fórmula del Interés y monto simple. POLIZA DE ACUMULACION # 04567 BANCO ……………. Cliente Empresa Alfa Capital $245.400 Fecha inversión 25 septiembre 2009 Plazo en días Fecha vencimiento Tasa de interés 3.85% Rendimiento $5642.49 Retención (Imp R F 2%) $112.84 Rendimiento Liquido $5529.64 Neto a recibir $ 250.929.64 m. Con que tasa de interés i un capital de $ 320.000 obtendrá un Interés Simple de $ 7630.22 en un tiempo de 4 meses y 28 días. Realice por el método del Monto Simple, partiendo del despeje de su formula. La respuesta encontrada estará directamente en años. n. Usted dispone de una capital de 65.000 USD. Y decide invertir en el Banco Internacional durante un tiempo de 30 días al 7 % de interés anual. Determine cuanto recibirá mensualmente si decide no retirar ese capital durante un año?. Argumente las respuestas encontradas.


45

1.6

CUENTAS DE AHORROS

Los depósitos de ahorros es aquel tipo de depósito que se consigna en las entidades financieras que tienen entre sus actividades, la captación de fondos y los mismos se mantienen en poder y a disposición de dicha entidad por períodos más largos que los depósitos de cuenta corriente. El hecho de mantener por un mayor tiempo, los fondos depositados en el banco, pero con la facilidad de convertirlos en dinero corriente (efectivo) es un corto tiempo y sin pérdida de valor, es lo que le asigna a esta clase de depósito la categoría o calificativo de "cuasi-dinero". Por otra parte, para hacer retiros de estas cuentas, especialmente especialmente cuando se trata de montos elevados, el banco exige un aviso previo por escrito, de tal manera que pueda contar con la liquidez suficiente para cubrir el compromiso. Las cuentas de ahorro a la vista son productos muy semejantes a las cuentas corrientes y son por definición, contratos de depósito de efectivo, de libre disponibilidad. Todas las operaciones realizadas quedan reflejadas reflejadas en la libreta que se entrega al titular de la cuenta. Es un instrumento que permite disponer de dinero efectivo de forma rápida puesto que se puede hacer por ventanilla, o utilizando algún instrumento de pago que lleve vinculado. Otra característica que cabe señalar es el hecho de que la libreta física permanece en poder del cliente, debiendo actualizarla cuando considere conveniente. Hasta hace relativamente poco tiempo, las principales diferencias eran que con la libreta de ahorros no se podía operar con cheques y no se disponía de algunos servicios de caja. Actualmente no ocurre así, cuando se contrata una libreta de ahorros, el banco suele ofrecer instrumentos y servicios similares, asociados a una cuenta corriente. No obstante, en entidades en las que esto no es posible, la solución consiste consiste en vincular una cuenta corriente corriente y otra de ahorro de un mismo titular, para subsanar la limitación que impone la entidad de librar cheques contra una libreta de ahorros, son las llamadas libretas o cuentas de ahorro combinadas. combinadas. Para la liquidación de los intereses se utiliza la fórmula del interés simple, con dos modalidades de cálculo: la primera toma en cuenta el valor de la transacción, sea depósito o retiro; y l a segunda, los saldos. A continuación se realizarán ejercicios de liquidaciones semestrales de cuentas de ahorro: Ejemplo 1 Una persona propietaria de una cuenta de ahorro realizara una serie de depósitos y retiros con los valores y fechas que se detallan a continuación: el 15 de enero depositó $ 10.000 para abrir la cuenta ; el 10 de febrero depositó $ 5.000; el 2 de marzo retiró $ 6.000; el 3 de abril retiró $ 2.000; el 30 de abril depositó $ 11.000; el 1 de junio retiró $ 3.000. Si la cuenta de ahorro gana una tasa de interés de 14% anual, ¿ cuál será el saldo de la cuenta a 30 de junio? Se elabora un cuadro demostrativo de las fechas, depósitos, retiros, saldo e intereses a favor y en contra: Fecha

Depósito

Retiro

Saldo

Intereses Docente Hernán Arellano Díaz

46

Mes - día 01 – 01 – 15 10.000 02 – 02 – 10 5.000 03 – 03 – 02 04 – 04 – 03 04 – 04 – 30 11.000 06 - 01 Interés a favor y en contra Intereses Saldo a 30 de Junio

10.000 15.000 9.000 7.000 18.000 15.000

6.000 2.000 3.000

+ 636.71 268.49

276.16 61.51

257.37 $ 1.162.57

33.37 $ 377.04

$ 758.53 $ 15.785.53

Saldo de la cuenta al 30 de junio junio : $ 15.785.53 Para este ejemplo se tomó únicamente una de las dos fechas extremas: Enero Febrero 28 Marzo Abril Mayo Junio Total días

16 18 31 30 31 30 166

31 30 31 30 140

29 30 31 30 120

27 31 30 88

31 30 61

29 29

Primer depósito I = 10.000(0.14) (166/365) = $ 636.71 Segundo depósito I = 5.000(0.14) (140/365) = $ 268.49 Primer retiro I = 6.000(0.14) (120/365) = - $ 276.16 Segundo retiro I = 2.000(0.14) (88/365) = - $ 67.51 Tercer depósito I = 11.000(0.14) (61/365) = $ 257.37 257.37 Tercer retiro I = 3.000(0.14) (29/365) = $ 33.37 Total intereses $ 785.53 Se puede hacer el mismo cálculo por factores fijos o multiplicadores multiplicadores fijos: a. b. c. d. e. f. Total

10.000 ( 0.063671 ) = + 636.71 5.000 ( 0.0 0.0 53698) = + 268.49 6.000 ( 0.0 46027) = - 276.16 2.000 ( 0.0 33753) = - 67.51 11.000 ( 0.023397) = + 257.37 3.000 ( 0.011123) = + 33.37 $ 785.53

También se puede hacer el cálculo tomando los saldos de la cuenta, para lo cual se debe calcular el número de días comprendidos entre cada transacción: Docente Hernán Arellano Díaz

47

Primera : Suman: Segunda : Suman: Tercera :

enero 16 Febrero10____ 26 días febrero 18 Marzo 2____ 20 días

Suman:

marzo 29 Abril 3____ 32 días

Cuarta :

abril

Quinta :

mayo Junio

Suman: Sexta : junio Total:

27 días 31 1____ 32 días

29 días 166 días

1. I = 10.000 (0.14) (26/365) = 2. I = 15.000 (0.14) (20/365) = 3. I = 9.000 (0.14) (32/365) = 4. I = 7.000 (0.14) (27/365) = 5. I = 18.000 (0.14)(32/365) (0.14)(32/365) = 6. I = 15.000 (0.14)(29/365) (0.14)(29/365) = Total intereses

99.73 115.07 110.46 72.49 220.93 166.85 $ 785.53

EJEMPLO 2

El señor N.N., poseedor de una cuenta de ahorros en una institución bancaria, tiene un saldo en su cuenta de $ 40.000 a 30 de junio; en el segundo semestre del mismo año realizó el siguiente movimiento: un retiro de $ 2.500 el 25 de agosto; un depósito depósito de $ 3.000 el 18 de septiembre; un retiro de $ 6.000 el 4 de noviembre. Si la tasa de interés fue de 7% anual, ¿ cuánto interés ganará la cuenta a 31 de diciembre? Forma de cálculo Tiempo: Julio Agosto Septiembre Octubre Noviembre Diciembre Total

31 31

31 6 30 30 12 31 31 30 30 30 26 31 31 31 31 184 128 104 57 Docente Hernán Arellano Díaz

48

Interés del saldo I = 40.000(0.07)(184/365) 40.000(0.07)(184/365) = $ 1.411,51 Primer retiro I = 2.500(0.07)(128/365) 2.500(0.07)(128/365) = - $ 64.37 Primer depósito I = 3.000(0.07)(104/365) 3.000(0.07)(104/365) = $ 59.84 Segundo retiro I = 6.000(0.07)(57/365) 6.000(0.07)(57/365) = - $ 65.59 Total intereses

$ 1.344,39

Con multiplicadores fijos factores: I = 40.000(0.035287) 40.000(0.035287) = + 1.411.51 I = 2.500(0.024547) 2.500(0.024547) = - 61.37 I = 3.000(0.019945) 3.000(0.019945) = + 59.84 I = 6.000(0.010931) = 65.59 Total intereses $ 1.344.39 Se puede calcular tomando los saldos de la cuenta: 40.000(0.07)(56/365) = 429.59 37.500(0.07)(24/365) = 172.60 40.500(0.07)(47/365) = 365.06 34.500(0.07)(57/365) = 377.14

Total intereses $1.344.39

Ahora se elabora el formato de la cuenta de ahorros Fecha Mes - día 07 – 07 – 01 08 – 08 – 25 09 – 09 – 18 11 – 11 – 04

Depósito

Retiro 2.500

3.000

Interés a favor y en contra Intereses Saldo final + intereses

6.000

Saldo 40.000 37.500 40.500 34.500

Intereses + 1.411.51 59.84

$ 1.471.35

61.37 65.59 $ 126.96

$ 1.344.39 $ 35.844.39

EJEMPLO 3 El primero de enero se abre una cuenta de ahorros con un valor de $ 1.000; el 15 de febrero se depositan $ 5.000; el 1 de abril se retiran $ 2.000; el 15 de mayo se depositan $ 8.000; y el 1 de junio se retira $ 5.000. Durante el segundo semestre, semestre, el 10 de julio se depositan $ 15.000; el 8 de Docente Hernán Arellano Díaz

49

agosto se retiran $ 20.000; el 15 de septiembre se depositan $ 25.000; el 2 de Octubre se retiran $ 10.000; el 2 de noviembre se retiran $ 5.000. ¿Cuál será el saldo de la cuenta con intereses a 31 de diciembre, si se considera una tasa de interés de 12% anual el 30 de junio; y el 13% anual a partir del 1 de julio? La cuenta es liquidable semestralmente, semestralmente , el 30 de junio y el 31 de diciembre. Para este ejercicio se tomará el año comercial. Primer semestre Enero Febrero 28 Marzo Abril Mayo Junio Total

30 13 31 31 30 30 29 31 31 31 16 30 30 30 30 180 135 90 46 29

Primer depósito I = 1.000(0.12) (180/360) Segundo depósito I = 5.000(0.12) (135/360) Primer retiro I = 2.000(0.12) (90/360) Tercer depósito I = 8.000(0.12) (46/360) Segundo retiro I = 5.000(0.12) (29/360) Total intereses

29

= $ 60.00 = $ 225.00 = - $ 60.00 = $ 122.67 122.67 = - $ 48.33 $ 299.34

Cuadro de liquidación del primer semestre Fecha Mes - día 01 – 01 – 01 02 – 02 – 15 04 – 04 – 01 05 – 05 – 15 06 – 06 – 01

Depósito

Retiro

Saldo

1.000 5.000 2.000

8.000

5.000

Interés a favor y en contra Intereses Saldo a 30 de Junio

1.000 6.000 4.000 12.000 7.000

Intereses +

60 225

122.67

60 48.33

$ 407.67

$ 108.33

$ 299.34 $ 7.299.34

Cálculo del segundo semestre / = 13% Julio Agosto

31

31 31

21 23 Docente Hernán Arellano Díaz

50

Septiembre Octubre Noviembre Diciembre Total días

30 30 31 31 31 30 30 31 31 184 174 145

30 31 30 31 107

15 29 30 31 90

30 31 59

28 2 31 31 33 16

16

Interés del saldo anterior I = 7.299.34(0.13)(184/360) 7.299.34(0.13)(184/360) = $ 485.00 Primer depósito I = 15.000(0.13)(174/360) 15.000(0.13)(174/360) = $ 942.50 Primer Retiro I = 20.000(0.13)(145/360) 20.000(0.13)(145/360) = - $ 1.047.22 Segundo Depósito I = 25.000(0.13)(107/360) 25.000(0.13)(107/360) = $ 965.97 Segundo retiro I = 10.000(0.13)(90/360) 10.000(0.13)(90/360) = - $ 325.00 Tercer Retiro I = 2.000(0.13)(59/360) 2.000(0.13)(59/360) = - $ 42.61 Tercer Depósito I = 18.000(0.13)(33/360) 18.000(0.13)(33/360) = $ 214.50 Cuarto Retiro I = 5.000(0.13)(16/360) 5.000(0.13)(16/360) =- $ 28.89 Total intereses $ 1.164.25

Cuadro de liquidación del segundo semestre Fecha Depósito Mes - día 06 – 06 – 30 07 – 07 – 10 15.000 08 – 08 – 08 09 – 09 – 15 25.000 10 – 10 – 02 11 – 11 – 02 11 – 11 – 28 18.000 12 - 15 Interés a favor y en contra Intereses Saldo a 31 de Diciembre

Retiro

Saldo

20.000 10.000 2.000 5.000

7.299.34 22.299.34 2.299.34 27.299.34 17.299.34 15.299.34 33.299.34 28.299.34

Intereses +

-

485 942.50 965.97 214.50 $ 2.607.97

1.047.22 325 42.61 28.89 $ 1.443.72

$ 1.164.25 $ 29.463.59

Como se observó en el ejercicio anterior, la tasa de interés puede variar dentro de un período de liquidación de interés; cuando esto sucede, el cálculo deberá hacerse tomando como base el número de días que estuvo vigente la respectiva tasa de interés.


51

1.7

VALOR ACTUAL

Evaluar la validez de hacer una negociación económica-financiera antiguamente antiguamente era relativamente relativamente fácil de lo que es actualmente, si consideramos, hoy la institucionalización de la inflación y la incertidumbre incertidu mbre del costo del dinero en el futuro. Antes, simplemente sumábamos el capital en juego, más lo que aspirábamos aspirábamos que la negociación negociación rindiese por concepto de intereses, pensemos pensemos en el próximo año (C+Is) y lo comparábamos con la inversión que teníamos que hacer, a ello sumábamos nuestros posibles ingresos así como la evaluación personal de los niveles de riesgo del negocio y tomábamos una decisión, en base a la comparación de estas estimaciones futuras. Hoy, esos cálculos generales no son suficientes debido debido a algunos factores, entre ellos: la inflación institucionalizada; el riesgo diversificado; reducción de los niveles de utilidad debido al aparecimiento aparecimiento de la competencia; competencia; entre otros otros factores. Estamos muy claros, claros, de que en una economía inflacionaria un dólar presente no significará lo mismo que un dólar futuro, y mucho menos un dólar después de 3 años. Por ejemplo si hipotéticamente hipotética mente una persona gana $ 2.000 dólares de ingresos mensuales y con estos ingresos puede adquirir un bien Z valorado en $2.000 podríamos pues concluir que con esa cantidad de dinero puedo adquirir este momento dicho bien. Si luego de un tiempo determinado por ejemplo un año esta persona sigue ganando $ 1500 dólares y el bien Z cuesta $2400, podríamos concluir que con ese ingreso no estamos en posibilidad de adquirir dicho bien, ya que este ha subido de precio en un 20% [(2400-2000/2000)*100]. [(2400-2000/2000)*100]. En esta última parte podemos entonces analizar que la inflación redujo el poder de compra de la moneda e incremento incremento los precios, es desde esa óptica que que se analiza que un dólar del presente no es lo mismo que un dólar del futuro, pues este ya no tiene el mismo poder adquisitivo, de ahí que es recomendable teóricamente tomar las decisiones en el presente, es decir quitando del escenario financiero el factor inflacionario y sus distorsiones. Por ello, frente a estos desequilibrios económicos-financieros que ha mostrado casi permanentemente en las últimas décadas nuestro país, necesitamos de técnicas adicionales para hacer nuestros análisis tendientes a robustecer la toma de decisiones. Estas herramientas, son conocidas como: Valor Actual Simple, Valor Actual Compuesto; Valor Actual Neto; Tasa Interna de Retorno – Retorno –TIR-; TIR-; que buscan como procedimiento evaluar en una forma precisa la viabilidad de una inversión, trayendo valores del futuro hacia el presente, y comparando con el valor de la inversión actual para así tomar una decisión, sobre la conveniencia o no de inversionar los recursos monetarios. Por estas razones, nos interesaremos en esta unidad del estudio del valor del dinero en el tiempo, procedimientos financieros relativamente sencillos en su aplicación, pero como ya lo hemos señalado dependen de factores coyunturales de la economía, que hacen un tanto complejo el análisis correspondiente de los resultados. Es quizá en estas condiciones donde encontramos sentido a lo dicho por Voltaire, “El poder de los números se respeta más y más cuando menos se entienden”. De ahí la importancia al exig ir de los estudiantes politécnicos la utilización herramientas técnicas integradas al conocimiento de otras áreas como la administración la economía, el conocimiento de la situación general del país, para que nos permitan manejar técnicamente la parte financiera, financiera , y tomemos decisiones objetivas, con niveles adecuados de certidumbre. Docente Hernán Arellano Díaz

52

Financieramente Valor actual no es otra cosa que traer los valores del futuro ( monto simple) al presente, con la finalidad de determinar el capital que sirvió de base para estimar o calcular dichos valores futuros. Esta metodología es útil para la toma de decisiones en el momento presente y no en el futuro pues no conocemos a ciencia cierta lo que puede pasar en el corto, mediano o largo plazo, por tanto nos parece coherente que estas decisiones sean tomadas hoy en base al conocimiento del valor presente que servirá de base para poder ser comparado comparado con otro u otros valores presentes presentes con la finalidad de tomar una decisión adecuada. Antes de adentrarnos al tema, empezaremos con el estudio de los conceptos referentes a capitalización y actualización, para luego analizar el concepto de Valor Actual y Valor Actual Simple dinámico a partir del interés simple. CAPITALIZACION Se refiere a los procesos de acumulación ínter temporales que van desde el presente hacia el futuro. En el caso del interés simple a este proceso de acumulación se lo conoce como Monto Simple y como ya hemos señalado, este mecanismo se da una sola vez indistintamente del plazo de tiempo negociado. Gráficamente se observa

Fecha suscripción Valor presente / Valor actual Valor inicial CAPITAL C

Fecha vencimiento Valor futuro Valor final (C+Is ) = MONTO Monto = Capitalización simple

ACTUALIZACION Se refiere al proceso de traer, matemáticamente hablando, valores del futuro, Monto Simple, Ms al presente, en la intensión de encontrar el capital C, en este caso el mismo que sirvió de base para encontrar su monto simple. simple. A la actualización de ahora en adelante se lo conocerá técnicamente como Cva Capital valor Actual o capital Valor Presente C vp .


53

Actualización Monto simple Valor Futuro

Capital Original Cva CAPITAL VALOR ACTUAL

1.7.1

VALOR ACTUAL

Según Portus Goviden, Valor Actual o Presente de una suma o cantidad de dinero que vence en una fecha futura (monto) es aquel capital (capital inicial, original) mismo que sometido a una tasa de interés dada y en un mismo período de tiempo contado hasta la fecha de vencimiento alcanzará un monto igual a la suma debida o adeudada. Según el Diccionario de BVG (Bolsa de Valores de Guayaquil), el Valor Actual se basa, en el valor del dinero en términos de tiempo. tiempo. La premisa básica es que el dólar de hoy vale más que el dólar de una fecha futura. El Valor Actual de una suma futura es la cifra que un inversionista inversionist a pagaría por ella hoy, en base a una tasa de interés. Es el valor que tiene hoy un activo que generará un flujo de ingreso ingreso a lo largo del del período período determinado. determinado. Encontrado el capital o capital capital valor actual este puede ser comparado con otro capital valor actual de alguna otra inversión y en base a esta información es factible tomar la decisión más acertada a los intereses de los dueños del dinero dinero o inve inversionista. rsionista. Fórmula de Cálculo: M = C + Is Reemplazando a que es igual el Interés simple Is = M=C+(C*t*i) Sacando factor común C M=C[1+(t*i)] Despejando el capital tenemos Cv a



M

[ 1 ( t * i ) ]

Aplicando las propiedades de los exponentes radicales tenemos otra presentación de la fórmula del capital valor actual seria:





C va  M 1 (t *i)

1 Docente Hernán Arellano Díaz

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Matemáticamente Matemáticamen te conocido el valor del monto simple la formula resta todo el interés simple con la finalidad de encontrar su capital esto se representaría teóricamente de la siguiente manera: Ms = C + Is despejando el capital tenemos C = Ms – Ms – Is VALOR ACTUAL O PRESENTE CONCEPTO DINAMICO Bajo el enfoque del Valor Actual dinámico, podríamos decir que Valor Actual o actualización es traer valores del futuro al presente, en cualquier punto del diagrama de tiempo, desde la suscripción hasta antes de la fecha de vencimiento, gráficamente se visualiza así: ACTUALIZACION DINAMICA

-

CAPITAL ORIGINAL

-

CAPITAL VALOR ACTUAL

Solo capital

C+Is Valor actual

C+Is Valor actual

C+Is Valor actual

C+Is Valor actual

Según este criterio se puede encontrar el capital valor actual en cualquier momento de la negociación financiera, aclarando que solo hay un valor actual origina que está compuesto solo de capital, cuando haya transcurrido transcurrido una periodo de tiempo desde la fecha de suscripción y se solicite encontrar el capital valor actual este necesariamente estará compuesto por el capital valor actual original más los intereses que hayan transcurrido desde la fecha de suscripción, tal como se observa en el gráfico. Las operaciones de valor actual en general están relacionado con operaciones bancarias activas; compra venta de papeles negociables y fiduciarios; valoración de alternativas de inversión, valoración de proyectos de factibilidad económica y financiera.


55

La metodología de valor actual es la base para la aplicación de los descuentos racional o bancario aplicado a la compra venta de papeles fiduciarios o negociables, que se vienen a constituir una de las principales operaciones operaciones de renta fija que es desarrollada desarrollada por las Bolsas de Valores. Su formula está dada por:

Cv a



M

[ 1 ( t * i ) ]

1.7.2 DESCUENTOS En el sistema bancario así como en el mercado de Valores se puede realizar ciertas operaciones de compra y venta de papeles denominados negociables o fiduciarios que tienen como característica la posibilidad posibilidad de ceder o transmitir los derechos de propiedad de esos documento a una tercera persona mediante un simple endoso o firma del documento. Entre papeles negociables más comunes tenemos la letra de cambio, el pagaré, las pólizas de acumulación, los certificados bancarios, los avales bancarios y una vasta calificación de bonos, entre otros. Teóricamente, el funcionamiento de la cesión de un documento se da cuando por ejemplo, el 15 de enero se firma un documento cuya fecha de vencimiento es el 15 de julio del mismo año; al tener un documento negociable, este solo podrá ser cobrado en su fecha de vencimiento no antes, bajo ningún concepto salvo que el deudor de la letra decida anticipadamente precancelarla de común acuerdo entre las partes. En el caso de que no haya la posibilidad posibilidad de precancelar precancelar un documento fiduciario, fiduciario, y el tenedor del documento pueda optar por la venta del mismo, a otra persona natural o jurídica. Esto se lo puede hacer en cualquier momento hasta antes de la fecha de vencimiento, es decir 15 de julio. Imaginemos que este es negociada cuando han transcurrido 3 meses (15 de abril), esta puede perfectamente ser cedida o vendida siempre y cuando cumpla con todos los requerimientos que exige el comprador, especialmente con el precio, del documento valorado a la fecha de la venta del mismo; por tanto una primera tarea, luego de considerar las formalidades legales, y el comportamiento del mercado, los niveles de riesgo, y tasa de interés de negociación será el cuantificar cuantifica r financieramente cuánto vale dicho documento, desde la fecha de suscripción suscripci ón (15 de enero) hasta la fecha de venta o negociación (15 de abril), como un mecanismo referencial o estimado de negociación, a partir de lo cual se puede perfectamente vender bajo este valor referencial (bajo la par) o por encima encima del mismo mismo (sobre la par). En lo referente a los mercados de valores lo primero que se debe hacer cuando una persona natural o jurídica tenga un documento negociables es, acercarse a una Casa de Valores, se firmará un documento de acuerdo de venta, en la que se delega para que la casa de valor sea nuestra intermediaria; intermediaria; la casa de valores deberá inscribir este documento documento (L/C u otros documentos negociables o fiduciarios), en el Mercado de Valores para su venta ante subasta correspondiente. correspondiente. Docente Hernán Arellano Díaz

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CONCEPTO DE DESCUENTO. Conceptualmente podríamos señalar que los descuentos son aquellas operaciones matemáticas financieras de compra y venta de papeles negociables o fiduciarios antes del vencimiento. Este tipo de papeles o valores negociables generalmente son endosables. Según el Diccionario de BVG (Bolsa de Valores de Guayaquil),” se habla de descuento cuando se vende un titulo a un precio inferior al que tiene en su vencimiento. Normalmente se utiliza una tasa de descuento para calcular, de acuerdo a cierto procedimiento matemático su valor actual o valor presente. Las aceptaciones bancarias , letras avales y bonos son ejemplos de papeles descuento”. Técnicamente Técnicamente el descuento es la diferencia entre monto monto menos su Valor Actual que equivale a la suma del capital capital original original más los intereses intereses ganados ganados hasta la fecha de negociación negociación o venta). Los descuentos representan teóricamente la parte correspondiente a los intereses por devengar, vencer o justificar en el documento. Dicho descuento es la cantidad de dinero que ganara el comprador de un documento negociable. Gráficamente Gráficamente se visualiza así:

MONTO Intereses Ganados

Intereses por vencer o descuentos

Los descuentos recibirán los compradores del documento negociable una vez que se cumpla original FECHA DE en NEGOCIACIÓN fecha deCAPITAL vencimiento; o a su vez puede entrar un proceso de compra-venta gradual hasta que Valor actual venza el documento, con otros interesados.

Valor de negociación = (Capital original + Intereses Ganados)

El propietario vendedor o tenedor original del documento cedido o vendido recibirá teóricamente el valor correspondiente al capital original más los intereses ganados o devengados (correspondiente (correspondiente al espacio ínter temporal, fecha de suscripción, fecha de negociación.) valor conocido como valor líquido o, actual según sea el caso. De ese valor líquido se descontará la comisión cobrada por la Casa de Valor y por el Mercado de Valores. La negociación de compra venta como hemos visto, estarán sujetas a los niveles de riesgo del país, del ambiente financiero, del propio documento (quién es el acreedor del documento, plazos, tasas de interés, niveles de certidumbre de cobro, etc, factores que harán que la venta del documento por lo general sea bajo la par es decir menos de lo que realmente vale el documento). La tasa con la que se suscribió el documento conocida como tasa de interés, generalmente es diferente a la de negociación o compra-venta del documento, por lo general es más alta y se la conoce como tasa de descuento o negociación.


57

1.7.3

TIPOS DE DESCUENTOS

Existen dos tipos de descuentos, matemáticamente reconocidos, a partir de los cuales se pueden derivar otros métodos por medio de una serie de artificios, estos son : Valor que recibirá Comprador

DR = Ms- Cva

Descuento Racional O Matemático Valor que recibirá Vendedor

Cva = Ms / 1+(t*i)

Valor que recibirá Comprador

DB = M *d * t

Valor que recibirá Vendedor

Cvl = Ms - DB

Descuento Bancario o Comercial

Descuento Racional o matemático: Valor que recibirá el comprador del documento, el momento de la fecha de vencimiento. Técnicamente representa la diferencia entre el monto simple y el valor actual de negociación (capital Origina mas intereses ganados hasta la fecha de negociación del documento). Descuento Bancario o comercial: comercial : Valor que recibirá el comprador del documento, el momento de la fecha de vencimiento. Conocido también como descuento comercial o bursátil y se lo obtiene multiplicando multiplicando el monto del documento negociable por la tasa de descuento y por el tiempo. Fórmula de Cálculo Descuento Racional: D R

 M  C

va

Reemplazando a que es igual el C va tenemos: D R



M



M

[1  ( t * d ) ]

Donde: Docente Hernán Arellano Díaz

58

DR = Descuento Racional; Racional ; es el valor que recibirá el comprado del documento, el momento del vencimiento del mismo. M =

Monto o valor futuro del documento

CVA= Capital valor actual a la fecha de negociación negociación del del documento; documento; teóricamente teóricamente estará compuesto de capital original más intereses ganados; es el valor que recibirá el vendedor del documento, el mismo instante de la venta. t= Tiempo establecido desde la fecha de negociación hasta la fecha de vencimiento del documento. (diferente al tiempo t original, que esta compuesto desde la fecha de suscripción hasta la fecha de vencimiento) vencimiento) d= Tasa de descuento establecida en la negociación del documento, generalmente es diferente a la tasa original i establecida en el documento negociable. Por lo general la tasa de descuento d es siempre es superior a la tasa i. Otra forma de presentación de la fórmula fórmula del Descuento racional seria: Dr = M – M – Cva Dr = M- M / (1 +( t*d) aplicando las propiedades de los exponentes radicales Dr = M – M (1 +( t*i)) -1 luego sacando factor común

-1

DR= M [ 1 – (1 + ( t*d)) ]

INTERESES GANADOS

INTERESES POR GANAR DESCUENTO

CAPITAL ORIGINAL

FECHA DE NEGOCIACION VALOR ACTUAL = VALOR LIQUIDO (Capital original + Interés Ganados)

En una operación de descuento podemos encontrar dos tipos de valores que recibirán las partes interesadas respectivamente: VENDEDOR DOCUMENTO RECIBEBancario ese momento : Capital original + intereses ganados Fórmula de Cálculo: Descuento

= VALOR ACTUAL

COMPRDOR DOCUMENTORECIBIRIA DOCUMENTORECI BIRIA al vencimiento : Interés por ganar


=

59

Fórmula de Cálculo Descuento Bancario : Donde:

DB = M * d * t

DB = Descuento Bancario, es el valor que recibirá el comprado del documento, el momento del vencimiento del mismo. d= Tasa de descuento, establecida en la negociación del documento, diferente a la tasa original i de contrato, o tasa con la que se calcularon los intereses simples totales del documento. t= Tiempo establecido desde la fecha de negociación hasta la fecha de vencimiento del documento. El valor que recibirá el vendedor del documento, el mismo mismo momento de la venta se denomina Capital Valor liquido y esta representado por:

Cvl

= M – Db

Cvl = M – M – (M* d * t) Sacando factor común

Cvl = M [ 1 – (d * t) ]

INTERES GANADO

INTERES POR GANAR DESCUENTO

CAPITAL ORIGINAL ( VALOR ACTUA) FECHA DE NEGOCIACION NEGOCI ACION VENDEDOR DOCUMENTO DOCUMENTO ese momento momen to RECIBE: Capital LIQUIDO original original + Intereses ganados ganados = VALOR ACTUAL = VALOR CAPITAL VALOR LIQUIDO (Capital original + Interés Ganados)

COMPRADOR DEL DOCUMENTO al vencimiento RECIBE: Interés por ganar


=

60

1.7.4

CASOS VALOR ACTUAL Y DESCUENTOS.

1.- La empresa ABC, tiene una inversión cuyo monto asciende a $ 100.000 a 180 días plazo con el 5% de interés anual nominal. nominal. Se pide: determine determine cual es su Valor Actual Actual original? La fecha fecha de suscripción fue el 18 de enero 2007 Compruebe que este valor actual sometido a las mismas condiciones de tiempo y de tasa de interés permite reproducir el mismo valor futuro. Interprete y analice los resultados. DATOS: Cva = ? M = $ 100.000 T o n = 180 días i = 5% 5% anual

M= 100.000 18 de Enero x5

Encontramos capital valor actual M=C(1+t*i) M = 1.000 ( 1 + 2 años * 0.15 anual ) M = $ 1.300 luego de 2 años Determinamos el Valor Actual:

CVA = M (1 + t * i ) -1 CVA = $ 1.300 (1 + 2 años * 0.50 anual )-1 CVA = $ 1.000 Comprobación: M = $ 1.000 (1+ (0.3) M = $ 1.300 2.- La empresa Alfaprado, debe cancelar una deuda total de 200.000, la misma que se contrató hace 12 meses con una tasa de interés del 14.5% anual. Determine cual fue el Valor Actual o Valor original de capital de de esta deuda. deuda. . Interprete y analice los resultados.


61

DATOS: M = $ 200.000 t o n = 12 meses i = 14.5% anual

Cva ?

M=200.000

CVA = M (1 + n * i ) -1 CVA = $ 200.000 (1 + 12 meses * 0.145 anual /12) -1 CVA = $ 174.672.49 3.- Con los mismos datos del ejemplo anterior encuentre el Valor Actual si el tiempo de negociación de esta deuda fue: 7 meses 3 meses 15 días 4,8 meses OPCION a. t o n = 7 meses C VA C VA

7 meses   200.0001  * 0.145anual   12m / año   184.402.61

1

OPCION b. n = 3 meses 15 días C VA C VA

3meses 15días   $200.0001  * 0.145anual  12meses 360dias   $191.884.87

1

OPCION c. n = 4,8 meses C VA C VA

4,8meses  * 0.145anual   $200.0001   12m / año   $189.035.92

1

4.- La empresa ABC realizar el 8 de enero de X9 una inversión inicial de $.100.000 a un año plazo con la tasa de interés de 16% anual simple. Determine mediante formula: ¿a cuánto asciende la deuda original de capital ¿Cuál es el Valor Actual si han transcurrido desde la fecha de suscripción. Explique cómo están compuestos estos valores. Docente Hernán Arellano Díaz

62

   

3 meses desde la fecha de suscripción 6 meses desde la fecha de suscripción Si faltan 3 meses para el vencimiento Si han transcurrido 5 años desde la fecha de suscripción. Analice y comente los resultados

OPCION a. DATOS: C = $ 100.000 t o n = 1 año i = 16%

M=?

M = C ( 1 + tn * i ) M = 100.000 ( 1 + 1 año * 0.16 anual ) M = $ 116.000 luego de un año

CVA = M ( 1 + n * i )-1

CVA= ?

CVA = 116.000 ( 1 + 1 año * 0.16 0.16 anual ) CVA = 100.000 OPCION b. Cuando han transcurrido 3 meses desde su suscripción: CVA = M ( 1 + n * i )-1

 9meses * 0.16anual  C VA 3meses  $116.000 1    12meses C VA 3meses  103571.42

1

Estos CVA están compuestos de: Is9

 M  CVA


63

Is3  C V A3 meses C original

Is9 meses= 160.000 – 160.000 – 103571.42 = $12.428.58 Is3 meses = 110.345 – 110.345 – 100.000 = $11034.5 Is3 = 11.034.5 Intereses de los 3 meses vencidos s9 = 49.655 Intereses de los 9 meses meses por vencer justificar justificar o devengar. devengar. Cuando han transcurrido 6 meses desde su suscripción:

C VA C VA

6meses  * 0.16  116.0001  12m    $77.333.33

1

Si faltan 3 meses meses para el vencimiento: vencimiento:

C VA C VA

3meses  * 0.16anual   160.0001  12m    153.846.15

1

Si han transcurrido 5 años desde la fecha de suscripción: Este cálculo no es posible de realizar porque el tiempo de negociación fue pactado solamente a 1 año plazo, y el valor actual solo se puede encontrar hasta antes de la fecha de vencimiento. 5.- La empresa Marcelo contrató una póliza con el Banco Solidario bajo las siguientes condiciones: condiciones: Monto $ 5,000 a 11 meses plazo con una tasa de interés del 14,8% anual simple. simple. La empresa cuando han transcurrido transcurrido 5 meses desea liquidar liquidar esta inversión. inversión. Por qué valor deberá girarse el cheque?. Explique adecuadamente como está compuesto el valor del cheque (cuánto de capital, cuánto de intereses). intereses).


64

DATOS M = 5’000. t o n = 11 meses i = 14.8% anual

t3 = t1- t2 t3 = 11-5 = 6 meses

 6meses * 0.148anual  C VA 5'000.1    12meses  C VA  4655.49

1

CVAoriginal = M ( 1 + tn * i -1

 11meses * 0.148anual  C VA 5'000.1    12meses  C VA  4402.70

1

Dicho cheque deberá ser emitido o girado por un valor de $ 4655. 49 y está compuesto por un capital original de $ 4402.70 más los intereses correspondientes a los 5 meses transcurridos desde su suscripción suscripción que asciende a (4655.49-4402.70) (4655.49-4402.70) 252.79 que corresponde corresponde a los intereses ganados.


65

1.7.5

TIPOS DE PAPELES NEGOCIABLES DE RENTA FIJA.

Existen distintas maneras de clasificar los títulos de renta fija dependiendo del criterio considerando, así, tenemos que de acuerdo a la vida del papel se los podría dividir en papeles de corto y largo plazo, de acuerdo a la entidad que los emite podría dividirse en papeles del estado y papeles privados, otra forma de agruparlos podría ser los que sólo pagan el valor nominal y los que además de este valor reconocen una tasa de interés. Los papeles de negociación, más importantes que se comercializan a nivel del Mercado de Valores del país son clasificados de acuerdo a la estructura de pagos que presentan hasta su vencimiento, así tenemos: a

PAPELES TIPO UNO (FLUJO ÚNICO)

Títulos que pagan sólo un flujo monetario al final de su vida. Este flujo puede ser el pago del valor nominal (capital), o del valor nominal más los intereses acumulados. Dentro de esta categoría tenemos:          

Obligaciones Cero Cupón Certificados de Depósito a Plazo Certificados de Inversión Certificados de depósito a la Vista Pagarés Letras de Cambio Avales Bancarios Aceptaciones Bancarias Certificados de tesorería Cartas de Crédito Plaz Plazo o del del a el

emisión

vencimiento

* Pago del valor nominal (ca ital) + Intereses acumulados (si los hubiera)

b

PAPELES TIPO DOS (VARIOS FLUJOS)

Títulos que pagan más de un flujo monetario durante la vida del papel. Estos flujos pueden ser los pagos de cupones de interés interés y /o amortizaciones del valor valor nominal (capital). (capital). A esta clasificación clasificación pertenecer los bonos en general :     

Obligaciones Cédulas Hipotecarias Hipotecarias Certificados de Arrendamiento Mercantil Certificados de Arrendamiento Mercantil Inmobiliario Inmobiliario Depósitos a Plazo con pagos periódicos de interés Docente Hernán Arellano Díaz

66

     

Bonos de Prenda Bonos del estado Bonos de Fomento Bonos Brady Eurobonos Bonos Globales Plaz Plazo o del del a el

vencimiento

emisión

c

Pago de cupones de interés y/o amortizaciones de capital

PAPELES TIPO TRES (SIN PLAZO ESPECÍFICO)

Son títulos que no tienen un plazo específico específico de vencimiento vencimiento definido en el papel. Dentro de esta categoría se encuentra sólo las Notas de Crédito Fiscales. Su vencimiento sería el momento de su uso efectivo por parte del tenedor como parte del pago de impuestos. Sin embargo, al poder efectuarse este pago en cualquiera de los siguientes ejercicios fiscales, se desconoce la fecha de vencimiento exacta del papel. 1.7.6 TITULOS EMITIDOS POR EL SECTOR PRIVADO. Son los títulos emitidos por compañías y entidades del sector privado financiero y no financiero tales como: compañías anónimas, limitadas y de economía mixta, bancos, sociedades financieras, etc. OBLIGACIONES Obligaciones son títulos emitidos por compañías financieras o no financieras que buscas captar recursos de mediana y largo plazo para financiar sus actividades productivas. Al realizar la emisión la empresa vende las obligaciones al público mediante un proceso llamado “oferta pública” y con el dinero obtenido de la venta puede solventar sus necesidades ya sean nuevas inversiones dentro de la empresa o reestructuración de pasivos. En otros países estos títulos son conocidos con el nombre de Bonos de Empresa o Bonos Corporativos. Corporativos. En toda oferta pública la compañía emisora debe contar con una calificación de riesgo, y debe preparar un folleto que incluye todas las características de la emisión además de las correspondientes escrituras públicas, dicho folleto es denominado Prospecto de Emisión de Obligación. Compañías anónimas, compañías de Responsabilidad limitada, EMISOR compañías en comandita por acciones y de economía mixta,. Del sector público pueden emitir la Corporación Financiera Nacional y Docente Hernán Arellano Díaz

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Moneda Interés Amortización Plazo Rendimiento Garantía

demás empresas, sociedades o entidades financieras en las que participa el Estado y están bajo control de la Superintendencia de Bancos o Compañías. US Dólares Paga intereses periódicamente periódicamente mediante cupones Se redimirán al vencimiento del plazo o anticipadamente mediante sorteo o cualquier otro sistema. sistema. En estos dos últimos últimos casos casos el procedimiento procedimiento constará en la escritura de emisión. Corto, mediante y largo plazo En función del plazo por vencer del título, de la tasa de interés del mismo y del precio de compra. General: Todo el patrimonio o bienes del emisor emisor que no estén estén afectados por una garantía específica. Específica: Una prenda, hipoteca, hipoteca, o fianza. fianza.

Existen además obligaciones con características diferentes a las antes señaladas, dichas obligaciones son: OBLIGACIONES CERO CUPÓN Son obligaciones generalmente de plazos no mayores a un año que no pagan ningún cupón de interés, sino únicamente el valor nominal. Estas obligaciones se negocian siempre con un precio inferior al 100%, es decir con descuento. OBLIGACIONES ESPECIALES O PAPEL COMERCIAL Son obligaciones emitidas a un plazo específicamente menor a trescientos setenta días, y con garantía general únicamente. únicamente. Aunque pueden generar generar intereses, generalmente generalmente son emitidas sin cupones. OBLIGACIONES CONVERTIBLES EN ACCIONES Las obligaciones convertibles en acciones otorgan a su poseedor el derecho a canjear el valor de las mismas por acciones acciones de la empresa emisora. emisora. Para tal efecto habrá un factor de conversión, conversión, que será el número de acciones que se otorgue por cada obligación de una misma clase, el mismo que deberá ser especificado al momento de la emisión en la escritura respectiva. Esta conversión puede efectuarse en una fecha o fechas determinadas o en cualquier tiempo a partir de la emisión . CERTIFICADOS DE DEPÓSITO A PLAZO Son obligaciones obligaciones financieras financieras exigibles al vencimiento vencimiento de un período no menor de treinta días, libremente convenido por las partes. Pueden instrumentarse en un título valor, nominativo, nominati vo, a la orden o al portador. Pueden ser pagados antes antes del vencimiento vencimiento del plazo, previo acuerdo acuerdo entre el acreedor y el deudor. Los títulos que poseen estas características tiene además las siguientes denominaciones en el mercado: Docente Hernán Arellano Díaz

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     

Póliza de Acumulación Certificado de Depósito Certificado de Depósito a Plazo Fijo Certificado de Depósito a Plazo Depósito a Plazo Depósito a Plazo Mayor

Características del Papel: Emisor Bancos. (Según Art. 51, lit. b; Art. 53 inciso 1ro., LGISF) Moneda US Dólares Interés Paga intereses al vencimiento vencimiento o periódicamente periódicamente mediante cupones Amortización Al vencimiento vencimiento Plazo Entre 30 días y un año Rendimiento En función del plazo por vencer del título, de la tasa de interés del mismo y del precio de compra. CERTIFICADOS DE DEPÓSITO A LA VISTA Son obligaciones obligaciones bancarias bancarias exigibles en un plazo plazo menor a 30 días. días. Podrán constituirse constituirse bajo diversas modalidades y mecanismos libremente pactados entre el depositante y el depositario. Los títulos bajo estas características tienen las siguientes denominaciones en el mercado:     

Certificado e Ahorro Certificado de Ahorro a la Vista Certificado de Depósito a la Vista Depósito de Ahorro Depósito a Plazo Menor

Características del Papel:

Emisor Moneda Interés Amortización Amortizació n Plazo Rendimiento

Bancos. (Según Art. 51, lit. b; Art. 53 inciso 1ro., LGISF) US Dólares Paga intereses al vencimiento Al vencimiento Menor a 30 días En función del plazo por vencer del título, de la tasa de interés del mismo y del precio de compra.

PAGARÉ BANCARIO El Pagaré en un título de crédito mediante el cual existe una promesa de pago hecha por escrito y firmada por el deudor, quien se obliga a pagar una cantidad de dinero en un tiempo determinado, a la orden de otra persona. persona. Se puede estipular estipular el pago de una tasa de interés, la la cuál se hará constar en el título respectivo. Cuando el deudor del Pagaré es un Banco, se lo denomina Pagaré Bancario, y sólo estos últimos pueden ser negociados en Bolsa de Valores. Docente Hernán Arellano Díaz

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Emisor

Bancos y Sociedades Financieras. (Según Art. 51, lit. h; Art. 53 inciso 1ro., de LGISF) US Dólares Paga intereses al vencimiento vencimiento del título. Al vencimiento vencimiento A corto plazo En función del plazo por vencer del título, de la tasa de interés del mismo y del precio de compra.

Moneda Interés Amortización Plazo Rendimiento LETRA DE CAMBIO

La letra de Cambio es un Título mediante el cuál una persona (girador) ordena a otra (girado) que le pague a un tercero (beneficiario) una cantidad determinada de dinero en un momento específico. El girador es considerado considerado el emisor de la letra, y el beneficiario beneficiario puede libremente libremente endosar la letra a otra persona. La persona que emite la Letra puede ser al mismo tiempo la persona que recibirá l pago, en este caso el girador es el beneficiario beneficiario (letra de Cambio a favor del mismo girador). girador). También se puede dar el caso de que la persona que emita la letra también sea la persona que tiene que realizar el pago, de ser así el girador es al mismo tiempo el girado (Letra de Cambio a cargo del mismo girador). En bolsa de Valores sólo se pueden negociar Letras de Cambio giradas por una Institución Bancaria. Características del Papel:

Emisor Moneda Interés Amortización Plazo Rendimiento

Bancos y Sociedades Financieras (Según Art. 51, lit. c; Art. 53 inciso 1ro., LGISF) US Dólares Puede o no pagar interés Al vencimiento vencimiento A corto plazo En función del plazo por vencer del título, de la tasa de interés del mismo si la hubiere y del precio de compra.

TITULOS EMITIDOS POR EL SECTOR PUBLICO Los títulos del sector público son los emitidos por el Estado (Gobierno Central) y las entidades del sector público. BONOS DEL ESTADO Son títulos emitidos por el Gobierno a través del Ministerio de Finanzas, cuya finalidad es la captación interna de recursos para financiar el déficit del presupuesto del estado o proyectos específicos. Docente Hernán Arellano Díaz

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Emisor Moneda Interés Amortización Amortizació n Plazo Rendimiento

Son emitidos por el Gobierno Central a través del Ministerio de Finanzas US Dólares Generalmente Generalment e pagan intereses periódicos mediante cupones, aunque también existen “Bonos Cero Cupón” Al vencimiento o periódicamente periódicament e Generalmente a largo plazo En función del plazo por vencer del título, de la tasa de interés del mismo y del precio de compra .

1.7.6 MATEMATICA DE CASOS EJERCICIOS DE TIPO REPRODUCTIVO 1.La empresa ABC, realiza una inversión en póliza de acumulación acumulación e al banco Procredit por un valor de $100.000 a 1 año plazo al 5% anual de de interés simple. simple. Determine a cuanto asciende asciende su monto simple. Interprete y analice los resultados 1.1 Con los datos del ejemplo anterior encuentre valor actual 1.2 Compruebe que este valor actual sometido a las mismas condiciones de tiempo y de tasa de interés permite reproducir reproducir el mismo valor futuro. Interprete y analice los resultados. resultados. 1.3 En grupos de 2 personas reflexione:  Que en concreto concreto es el Valor actual? actual?  Que hace o como opera financieramente la fórmula?  Por qué es necesario traer valores del futuro al presente?  En qué casos podríamos aplicar el valor actual? 2.La empresa Alfaprado, Alfaprado , debe cancelar una obligación total de $200.000, la misma que se contrató hace 60 días con una tasa de interés del 14.5% anual. Determine el Valor Actual. Interprete y analice los resultados 3.La empresa Prologic realizó el 8 de enero de 2009 una inversión por un monto de $.100.000 a una tasa de interés de 4.25% anual simple y si la fecha de vencimiento es el 19 de agosto del presente año, determine su capital original. Interprete y analice los resultados. EJERCICIOS DE TIPO REPRODUCTIVO 4 La empresa Magicolor realizó realizó una inversión inicial de $.100.000, del 14 de abril al 14 de abril del siguiente año, con una tasa de interés de 7% anual simple, determine: ¿Mediante formula cuál es el valor valor del capital original? original?


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4.1

Con los datos del ejemplo anterior determine:

Opción a) ¿Cuál es el Valor Actual si han transcurrido desde la fecha de suscripción 3 meses. Argumente : Como está compuesto el valor encontrado?; Que procedimiento procedimiento operativo financieramente financieramente realizo la formula?. Para qué sirve estos procedimiento? Opción b) meses

¿Cuál es el Valor Actual si han transcurrido transcurrido desde la fecha de suscripción suscripción 6

Opción c)

¿Cuál es el Valor Actual si faltan 3 meses para el vencimiento? vencimiento?

Opción d) Cuál es el Valor Actual si han transcurrido 5 años desde la fecha de suscripción. suscripción. Analice y comente los resultados 5.La empresa Marcelo SA., contrató una póliza con el Banco Internacional Internacion al bajo las siguientes condiciones: condicio nes: Monto $ 5,000 a 90 días plazo con una tasa de interés del 14,8% anual simple. La empresa cuando cuando han transcurrido transcurrido 60 días desea liquidar liquidar esta inversión. inversión. Por qué valor deberá deberá girarse el cheque?. Explique adecuadamente como está compuesto el valor cuánto de capital, cuánto de intereses. EJERCICIOS DE TIPO PRODUCTIVO 6.María Eugenia desea adquirir una televisión de alta definición dentro de 8 meses. Supone que la entrada que habrá de pagar hacia esas fechas será de $ 1500. Si desea tener esa cantidad cantidad dentro de 8 meses, ¿qué cantidad debe invertir ahora en certificados de aportación que rinden un 5,5% de interés anual simple? 7.¿Cuál es el valor actual de un pagaré por $ 50.000 que vence el 15 de diciembre si se considera un interés del 16% anual simple y hoy es 6 de mayo? 8.Una persona puede adquirir un vehículo usado pagando hoy $9.000 al contado o $9.500 dentro de 185 días. Si esa persona dispone del dinero en efectivo pero puede invertirlo en el Banco Solidario al 6% anual simple. Determine que alternativa le es más ventajosa a ella en este momento y por qué?. 9.Si una persona puede obtener un rendimiento financiero por su dinero del 5.5% anual simple, y desea adquirir un bien valorado en $3.000 ¿Que le es más conveniente, pagarlo al contado el día de hoy o pagarlo pagarlo $3.087 después de de 300 días? Determine el ahorro a valor actual que se obtiene al elegir la mejor alternativa de pago?. EJERCICIOS DE TIPO REPRODUCTIVO DESCUENTOS RACIONAL Y BANCARIO 10.- Determinar “referencialmente” “referencialmente” ?.[referencial. ?.[referencial. adj. Que sirve como referencia ( base de una comparación o de una relación)]. cuánto recibirá el vendedor y el comprador de un documento fiduciario (letra de cambio) cuyo valor de vencimiento asciende a $40.000, suscrito a 1 año plazo, a una tasa de interés del 12% anual. Si este documento es cedido al banco cuando han Docente Hernán Arellano Díaz

72

transcurrido transcurri do desde su suscripción 150 días. Utilice el método para calcular el Descuento raciona y el Descuento bancario. Cuál de los dos métodos favorecería favorecería al vendedor vendedor y cual al comprador comprador de este documento 10.1.- Con los datos del ejemplo ejemplo anterior, encuentre encuentre el descuento descuento racional y bancario si el comprador del documento le ofrece una tasa de descuento del 11% anual. Comente y analice los resultados. 10.2. Si usted represente al vendedor que tasa de interés de descuento estaría dispuesto aceptar para la venta de este documento, cuantifique? 10.3.- En grupo comente de que dependerá el fijar la tasa de descuento descuento para la venta de documentos? EJERCICIOS DE TIPO PRODUCTIVO 11.- Un pagaré cuyo valor nominal o monto simple es $36.400 dólares cuyo vencimiento es el 30 de agosto a 270 días plazo con una tasa de interés del 14 % anual nominal simple, es descontado a un banco de la localidad el 8 de mayo. Determine el valor de los descuentos racional y bancario así como el valor que recibiría el dueño del pagaré si es vendido con una tasa de descuento descuento del 12%. 12.- La empresa Agridulce S.A., debe 3 letras letras de cambio por montos de $4000 usd. a 60; 90 y 120 días plazo, todas las letras se firmaron al 14% simple nominal nominal anual. Se pide: Recalcular esta deuda que Agridulce S.A., tiene con un banco de la localidad, por un valor único de una sola letra si han transcurrido 33 días desde su suscripción. (Se sugiere dar un tratamiento individual individual para cada deuda y luego sumar los valores correspondientes). correspondientes). 13.- Una persona adquiere un bien por una suma total de $6000. Canceló $2000 de anticipo y se comprometió a pagar el saldo de $4000 después de un año y medio. Cuánto dinero debería depositar hoy, en un banco que le reconoce un rendimiento anual del 7% anual simple de tasa de interés, para extinguir la deuda en el plazo acordado. 14.- Hallar el descuento racional y bancario que sufre una letra de cambio cuyo valor de vencimiento asciende a 60.000 cuya fecha de suscripción fue el 18 de abril y su vencimiento el 18 de noviembre del del mismo año, a una tasa de interés interés del 10% anual. Si este documento documento es cedido cedido al banco 150 días antes de la fecha de su vencimiento. Se pide: Descuento racional, Descuento bancario..


73

1.8

ANALISIS TASA DE INFLACION TASA REAL.

La tasa de interés mide el costo del uso del dinero. Siendo el dinero una mercadería escasa limitada y por esta razón muy apreciada, apreciada, el costo suele suele ser relativamente relativamente alto. El costo está dado fundamentalmente por el denominado interés, cuya tasa se expresa en porcentaje anual y se establece libremente libremente en el mercado, pero se regula a través de techos referenciales que imponen las autoridades monetarias del país. Teóricamente la tasa de interés es el resultado de integrar las siguientes variables:   

Riesgos inflacionarios i/o devaluatorios. Riesgos inherentes al país, como inseguridad jurídica, política, social, corrupción, etc. Premio al dueño del dinero, que se le reconoce por aplazar el consumo

En el caso caso ecuatoriano ecuatoriano las tasa tasa de interés interés tanto para el ahorro-inversión ahorro-inversión como para el endeudamiento están compuesta por el componente inflacionario más el riesgo país y por la utilidad bruta o premio para el dueño de los capitales, a esta tasa se la conoce como tasa de mercado. La tasa real es aquella tasa que representa el verdadero rendimiento de una inversión, , es decir esta libre del componente inflacionario o tasa de corrección monetaria. Esta busca medir el rendimiento de la inversión en términos reales de poder de compra, una vez eliminada de los cómputos la distorsión distorsión introducidas por la inflación. inflación. La tasa real se encuentra restando restando de la tasa de mercado la tasa inflacionaria. inflacionaria. Tasa de inflación o tasa de corrección monetaria, es el porcentaje que mide el nivel de inflación en el país, en un momento de tiempo determina determinado. do. La inflación puede expresarse como la tendencia permanente de un mercado hacia un incremento generalizado de precios y una disminución permanente del poder adquisitivo de la moneda CASO PRACTICO A continuación se visualizara el procedimiento para encontrar la tasa de interés real cuando se conoce la tasa de mercado y la tasa de inflación o corrección monetaria. La empresa Flater realiza una inversión en certificados certificados de depósitos depósitos y le comunican que la tasa de interés de mercado que recibirá por esta operación financiera es del 10% anual. El esta interesado en determinar determinar a cuánto asciende la tasa real real que obtendrá, si se conoce que la tasa de inflación o corrección corrección monetaria asciende asciende al 2,5% anual. Determine cuál es la tasa de interés real.

ireal 

 tasa de interes mercado- tasa de inflación    * 100% 1 tasa de inflación  

i mercado =10% anual Docente Hernán Arellano Díaz

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i inflación = 2,5% anual ireal = ?

ireal

 0.10-0.025     * 100%  1  .025 

ireal

 7.32%

La tasa real que efectivamente efectivamente gana el inversionista inversionista asciende al 7,32% anual. CASO PRACTICO En el caso de que se conozca la tasa de interés real y la tasa de inflación o corrección monetaria y se desea conocer la tasa de mercado se procederá de la siguiente manera: La empresa ALCANCE S.A., hizo una inversión en pólizas de acumulación en el Banco del Pichincha, por un valor de $ 3.300 dólares durante 1 año. El banco del Pichincha reconoce una tasa de inflación (corrección monetaria) del 2% anual y una tasa de interés real del 5% anual, determine: cuánto tendrá ahorrado en el primer año. DATOS C= $3.300 t= 1 año iinflac = 2 % corrección monetaria = 0,02 iReal iReal sin inflación = 5% anual = 0.05 Primero encuentro la tasa de mercado Imercado ={[( 1 + tasa de inflación ) * ( 1 + tasa de interés real )] - 1} * 100% IMercado ={[( 1 + ii ) * ( 1 + iR )] - 1} * 100% iM ={[( 1 + 0.02 anual anual ) * ( 1 + 0.05 )] - 1} * 100% iM = 7.1% anual o tasa de mercado En conclusión diremos que la tasa de mercado esta compuesta por la inflación más la tasa real. Segundo conocida la tasa de mercado encuentro en monto simple: M= Capital (1+(tiempo * tasa )) M= $3.300 ( 1 + (1 año * 0.071 )) M= $3.534.3 Los intereses totales asciende a : Interés = Monto simple – simple – capital Interés = $ 3.534.3 -3.300 Interés = $234.3


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Otro procedimiento a. Para mantener el poder adquisitivo a través del tiempo, al final del año el capital corregido Cc será: Cc= Capital *(1+(tasa de inflación* inflación* tiempo)) Cc= $3.300 * (1+(002*1)) Cc= $ 3366

CAPITAL CORREGIDO Cc $ 3366

C= $3.300

CC - C ($3.366-3.3300 = 66 CORRECCION)

La pérdida del poder adquisitivo de la moneda asciende a $66 dólares es decir solo para mantener el poder de compra futuro el capital deberá ascender a $3.366 dólares solo por concepto de capital. b. Para el cálculo de los intereses reales o la cantidad de dinero que efectivamente efectivamente se gana en e n la inversión calcularemos sobre el capital corregido el interés real. Interés simple real o ganancia = Capital Corregido * tiempo * tasa de interés real Interés simple real o ganancia real= $3.366 *1año * 0.05 anual Interés simple real o ganancia real = $168.3 donde: Si estoy interesado en conocer el monto total que se recibirá (capital + corrección monetaria mas intereses reales) se procederá así: Monto total a recibir = Capital Capital Corregido + interés interés simple real Monto total a recibir = $ 3.366 + 168.3 Monto total a recibir = $ 3.534.3 Normalmente en el país el monto se calcula directamente. En este procedimiento no se distingue el valor correspondiente a la inflación y el valor del interés real. Este valor de los intereses como es lógico de suponer está compuesto compuesto por una cantidad de dinero perteneciente a la corrección monetaria de la inflación y la diferencia a intereses reales ganados como se podrá comprobar: Docente Hernán Arellano Díaz

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Interés = $234.3 cantidad de dinero que recibe de la institución financiera luego de transcurrido el plazo correspondiente

$ 66 cantidad que corrige la pérdida del poder adquisitivo del capital luego de transcurrido un año $168.3 cantidad de dinero que realmente obtendrá el inversionista como interés simples reales o líquidos

Gráficamente esto se visualiza de la siguiente manera: M = $3.534.3

C= $3..300


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UNIDAD 2

INTERES COMPUESTO

2 METODO DE INTERES COMPUESTO 2.1 INTERES COMPUESTO 2.1.1 CARACTERISTICAS 2.1,2 DEDUCCION DE LA FORMULA DEL MONTO COMPUESTOS. 2.1.3 MONTO COMPUESTOS PARA PERIDOS ENTEROS DE CAPITALIZACION. 2.1.4 MONTO COMPUESTOS PARA PERIDOS FRACCIONARIOS DE CAPITALIZACION. 2.2 TASAS EFECTIVAS O EQUIVALENTES 2.3 TIEMPO DEL MONTO COMPUESTO 2.4 TASAS DE INTERES DEL MONTO COMPUESTO 2.5 VALOR ACTUAL 2.5.1 VALOR ACTUAL PERIODOS ENTEROS DE CAPITALIZACION 2.5.2 VALOR ACTUAL PERIODOS FRACCIONARIOS DE CAPITALIZACION 2.5.3 MATEMATICA DE CASOS


78

SISTEMA DE COMPETENCIAS COMPETENCIAS Compromiso y comportamiento ético Responsabilidad, cumplimiento y puntualidad Absoluto respeto a las personas y a las normas de comunicación Esfuerzo interés y dedicación en los trabajos dentro y fuera del ACTITUDES Y aula (motivación de logro) VALORES Habilidades interpersonales interpersonales Rigor, exactitud, profesionalismo Apreciación de la diversidad y multiculturalidad Compromiso social y ambiental Actitud Humanista Creatividad e iniciativa Activa contribución en el trabajo colaborativo y de equipo Emisión argumentada argumentada de juicios de valor valor Calidad en la presentación, orden y adecuada ortografía Toma de decisiones HABILIDADES O Capacidad de análisis y síntesis DESTREZAS Habilidad para trabajar de forma autónoma y aprender Habilidad para la investigación ( para buscar y analizar información proveniente proveniente de fuentes diversas; cita fuentes de consulta) Capacidad de aplicar los conocimientos en la práctica Dominio y experticia de los contenidos Aporta criterios y soluciones CONOCIMIENTOS Análisis y profundidad en el desarrollo de los temas Resolución de problemas

AUTOVERIFI CACION


79

PLANIFICACION DE LA ACTIVIDAD ACADEMICA RESULTADOS DEL CONTENIDOS APRENDIZAJE Unidades / temas

Monto compuesto Definición  Comparación entre el interés  simple y el compuesto Fórmula del monto a Interés  Compuesto.  Monto por períodos de capitalización entera y fraccionaria.  Fórmula de equivalencia tasa de interés nominal y efectiva Matemáticas de casos.   Valor Actual del interés compuesto, compuesto, periodos “n” enteros y fracccionarios.

Explicar las características esenciales del interés compuesto por medio del método del interés simple, para deducir su fórmula de cálculo y aplicar en situaciones problémicas. Dominar y aplicar los conceptos sobre el interés compuesto, tasas efectivas, tasas de interés y tiempo en el cálculo de inversiones

EVALUACION DE APRENDIZAJES (Evidencias)

CRONOGRAMA ORIENTATIVO (tiempo estimado)

Semana 6 a 9 Clases presenciales 16 horas. 8 horas de autoestudio.  Control de lectura comprensiva del texto de apoyo a través El estudiante deberá de valoración oral o preparar los temas previa su asistencia a escrita. las clases.  Matemática de casos y deberes de Consultas puntuales ejercitación y auto podrán ser hechas al preparación, valorados profesor mediante el del correo a través de prueba uso electrónico escrita. [email protected] edu.ec)) o mediantes edu.ec  Participación sistema de en trabajo Grupal de el atención al cada uno de los estudiante. integrantes

Aplica los conceptos del valor actual y descuentos compuestos con las fórmulas asociadas a dicho método en situaciones  Desarrollo de El maestro actuará problémicas relacionados con la Trabajo de como un facilitador, compra venta de papeles investigación. Uno por por lo tanto, es obligación de los fiduciarios cada parcial. estudiantes traer preparados los temas Explicar las características  Pruebas operativas esenciales del valor parciales de los correspondientes a cada sesión, de actual compuesto y aplicarlos en contenidos manera que puedan situación problémicas asociados a dichos métodos. Presentación de los establecerse de casos desarrollados al intercambio opiniones sobre los finalizar usando Excel. temas tratados


80

2

METODO DE INTERES COMPUESTO.

Antes de adentrarnos en la caracterización del método de interés compuesto conviene identificar que la capitalización compuesta, no es más que la suma del capital más los intereses en intervalos periódicos, regulares y sucesivos de tiempo durante el plazo establecido en la negociación financiera. Para que formalmente se dé un proceso de capitalización, debe existir como mínimo dos capitalizaciones.

Período 1

CAPITALIZACION C + Interés

C original

2.1

Período 2 C + I Interés

INTERES COMPUESTO

Interés compuesto es aquel valor monetario que se ha acumulado por efecto del proceso de capitalización de los intereses al final de cada período, en un tiempo determinado de acuerdo a una tasa de interés dada. También se puede decir que el interés compuesto es la cantidad de dinero o costo que hay que pagar por el uso del dinero. Si los intereses ganados no son retirados al final de cada período de capitalización establecido, sino que se añaden al capital, se dice que los intereses se han capitalizado. Esto significa que cuando empieza a correr el siguiente período, el capital sobre el cual hay que calcular la tasa de interés para fines de cálculo es mayor y así sucesivamente. Gráficamente:

+I’

C+I

1 año

C

C’ Nuevo Capital original capital capitalización de los intereses

+I’’

C’

2 años

C’’

3 años C’’

Nuevo capital puede realizar

CAPITALIZACION COMPUESTA C’’’ Monto

compuesto al final

La se endelcualquier periodo intervalo de tiempo (diario, mensual, trimestral, semestral, anual), dentro del plazo de la operación financiera, de conformidad con las políticas establecidas por las instituciones financieras para este efecto, el interés por vencer se reconoce al final de cada periodo periodo y éste no es retirado sino que se suma al capital, se considera que el interés se ha capitalizado anualmente. En este caso el período de capitaliza capitalización ción es un año. En caso contrario si el interés se suma al capital cada seis meses, la capitalización será semestral. En general, el período preestablecido a pactado previamente. Docente Hernán Arellano Díaz

81

interés compuesto que los siguientes siguientes términos: términos: “ Cuando Cuando se JUSTIN MOORE a su vez define al interés calcula el interés compuesto, el interés aumenta por adición de los intereses vencidos al final de cada uno de los períodos de tiempo a que se refiere la tasa de interés. Esto se dará siempre que no se pague efectivamente el interés al final de un período, sino se añada al capital, se dice que los intereses se capitalizarán ”.

2.1.1 CARACTERÍSTICAS: a. El capital no permanece constante a través del tiempo establecido en la negociación financiera, financier a, es decir es variable para efectos de cálculo financiero. financiero . El interés producido en el período acordado, se suma al capital, generando a su vez un nuevo (monto) entiéndase capital, que servirá de base para el cálculo de los intereses y así sucesivamente b. El capital inicial queda inmovilizado durante todo el tiempo o plazo establecido, este el liquidado al finalizar dicho tiempo. c. La capitalización (suma de capital más interés) se realiza varias veces en el plazo de la negociación financiera y se denomina compuesta, para que esta sea compuesta se necesitan como mínimo el cumplimiento de dos capitalizaciones. d. El monto crece por efecto del método matemático de cálculo, (progresiones geométricas) en función al acuerdo de capitalización capitalización que se se haya llegado, es decir que se sume capital capital más el interés devengado, cada día, mes, trimestre, semestre o año. e. Genera mayores intereses, según se siga capitalizando. Es decir que su comportamiento está e stá en función al tiempo o factor de capitalización o crecimiento.(1+i) n. 2.1.2

DEDUCCIÓN DE LA FORMULA DEL MONTO COMPUESTO.

Con la finalidad de comprender mejor como opera el proceso de capitalización compuesta, adaptaremos las fórmulas del interés simple para calcular el interés compuesto, luego construiremos un cuadro de resultados con la finalidad de verificar el comportamiento de los intereses a través del método simple vs el compuesto. Con los datos siguientes calcular el interés y el monto simple, así como el interés y el monto compuesto en base a las fórmulas del interés simple. Para el caso del interés compuesto se acuerda que la capitalización será anual, es decir el capital se sumara al interés al finalizar cada año. MÉTODO SIMPLE DATOS Is, Ms ? C = 400 USD i = 10% anual t = 5 años

Is = C*t* i Is = $ 400* 5 años * 0,10 Is= $ 200 luego de 5 años Is anual = $ 200/ 5 años Is anual = $ 40 cada año

Ms = C (1 +(t*i)) Ms = $ 400 ( 1 + (5*.1)) Ms = $ 600 luego de 5 años

MÉTODO COMPUESTO DATOS Ic, Mc ? Docente Hernán Arellano Díaz

82

C = 400 USD i = 10% anual n = 5 años La capitalización de intereses es anual. Procedimiento: Como la capitalización es anual, calcularemos los intereses de cada año, para en forma inmediata ir capitalizando en función a los datos del ejercicio. Año 1 I=C*t*i I = $ 400 * 1 año * .10 I = 40 al final del primer año de capitalización por tanto su monto será: será: M = C+I M = $400 +$40 M = $440

Se asume que se dispone de un monto o valor capitalizado de 440 USD este se Año 2 convierte en el nuevo capital al inicio del nuevo periodo y servirá de base para el cálculo de los intereses correspondientes.. correspondientes.. Monto ? C = 440 I=C*t*i I = $ 440 * 1 año * .10 I = 44 al final del segundo año de capitalización por tanto su monto será: M = C+I M = $440 +$44 M = $484

Año 3. 3. Este monto se convierte en el nuevo capital I=C*t*i I = $ 484 * 1 año * .10 I = 48,4 al final del tercer año de capitalización capitalización por tanto su monto será: será: M = C+I M = $484 +$48,4 M = $532,4

Año 4 Este monto se convierte en el nuevo capital I=C*t*i Docente Hernán Arellano Díaz I = $ 532.4 * 1 año * .10 I = 53.24 al final del cuarto cuarto año de capitalización, capitalización, por tanto su su monto será: será: M = C+I M = $532.4 +$53.24

83

Año 5 Este monto se convierte en capital I=C*t*i I = $ 585,64* 1 año *0.10 I = 58.56 al final del quinto año de capitalización capitalización por tanto su monto definitivo será: será: M = C+I M = $585,64 +$58.56 M = $644.20

CUADRO COMPARATIVO METODO DE INTERÉS SIMPLE METODO DE INTERÉS COMPUESTO DIFERENCIA MONTO CAPITA MONTO COMPUEST INTERÉS CAPITAL INTERÉS PERIODO L SIMPLE O Mc - Ms ANUAL ANUAL ANUAL ANUAL ACUMULADO ACUMULAD O 1 año $ 400 $ 40 $ 440 $400 $ 40 $ 440 $ 0.00 2 año $ 400 $ 40 $ 480 $440 $ 44 $ 484 $ 4.00 3 año $ 400 $ 40 $ 520 $484 $ 48,4 $ 532,40 $ 12,40 4 año $ 400 $ 40 $ 560 $532,4 $ 53.24 $ 585.,64 $ 25,64 $ 600 $ 644.20 5 año $ 400 $ 40 $585,64 $ 58,56 $ 44.20 TOTAL $ 400 $ 200 -----$ 400 $244,20 -----

GRAFICO NTERES SIMPLE Y COMPUESTO.


84

Comportamiento Intereses Anuales no acumulados S/. 70 S/. 60 S/. 50 S/. 40 S/. 30 S/. 20 S/. 10 S/. 0 año 1

año 2

año 3

Inters Simple anual

año 4

año 5

Inters compuesto anual

De la información relacionada relacionada con el monto compuesto se puede obtener el siguiente cuadro: FORMULA DEL MONTO COMPUESTO CAPITAL PERIODO INTERÉS ANUAL MONTO COMPUESTO ANUAL C C* i C + C*i sacando factor común C (1+i) 1 año 2 año C (1+i) C (1+i) * i C (1+i) + C (1+i) * i entonces C (1+i)2 C (1+i)2 C (1+i)2 * i C (1+i)2 + C (1+i)2 * i entonces C (1+i)3 3 año C (1+i) + C (1 + C (1+i) + C (1 + i) C (1+i) + C (1 + i) (1+i) + C (1 + i) * i i) i *i C (1+i)2 (1+i)2 + C (1+i)2 * i también C también C (1+i)2 * podemos continuar hasta la enésima potencia n (1+i)2 i C (1+i)n-1 + C (1+i)n-1 * i = C (1+i)n C (1+i)n-1 C (1+i)n-1 * i Se asume que el Interés es igual a I = C* t * i en donde t en el interés compuesto fue igual a 1 periodo de capitalización anual a la vez por lo que asumimos que t = 1 por tanto la fórmula del interés quedaría reducida reducida a I = C * i. de ahí que Interés = C *i como se visualiza el cuadro. Mc = (1+.10/1) 1*5 años Mc = 644.20

2.1.3

MONTO COMPUESTO PARA PERÍODOS ENTEROS DE CAPITALIZACION. Docente Hernán Arellano Díaz

85

Esta fórmula se refiere a períodos enteros de capitalización establecidos en un tiempo determinado. M= C ( 1 + j / m )m*t

Donde: M = Monto compuesto periodos de capitalización capitalizaci ón menores a un año C = Capital j = Tasa nominal anual establecida en el contrato o acuerdo. t = Tiempo, es el espacio de tiempo convenido en la negociación financiera, se sugiere expresarlo todo en años. m = número de períodos de capitalización capitalización existente existente es un año así: m = 1 periodo de capitalización. si la capitalización es anual capitalización. anual en 1 año. m = 2 período de capitalización semestral. en 1 año si la capitalización es semestrales si la capitalización capitalización es trimestrales m = 4 período de capitalización trimestral en 1 año m= 12 período de capitalización mensuales en 1 año si la capitalización es mensuales si la capitalización capitalización es diaria m = 360 período de capitalización diarios en 1 año La misma fórmula puede ser expresada así:

M= C ( 1 + i )n

Donde i = j/m

n = m *t

M = Monto Compuesto, períodos de capitalización capitalizaci ón anuales. C = Capital i = Tasa efectiva de cálculo o teórica, se obtiene dividiendo dividiendo j/m, aquí la tasa anual se ajusta a los periodos de capitalización establecidos. establecido s. n = Número de períodos de capitalización capitalización enteros existentes en un periodo de tiempo establecido. Se obtiene multiplicando multiplicando así: n= m*t Ejemplo: Encontrar el monto e interés compuestos de un capital de $ 50.000, invertido a 5 años, con una tasa de interés nominal del 16% anual, capitalizable trimestralmente: trimestralmente: M = C ( 1 + j / m )m*t DATOS: DATOS: Mc= ? C = $ 50.000 t = 5 años j = 16% anual j = 0.16 anual capitalización m = 4 periodos de capitalización trimestral en un año

M =C

1+

0.16 anual

4 trim * 5 años

4 trim

M = $50.000 (1 + 0,04 trimestral )

20 trimestres

M = $109.556.16


86

El monto compuesto compuesto asciende a $109.556,16 $109.556,16 y los interés interés Ic = Mc- C $59.556,16 en 5 años a una tasa de interés del16% anual capitalizable capitalizable trimestralmente. trimestralmente. Por tanto: Si la capitalizació capitalizaciónn es semestral semestral la fórmula fórmula del monto será: M= c (1+j/2)2*t Si la capitalización capitalización es trimestral M= c (1+j/4)4*t Si la capitalización capitalización es bimestral M= c (1+j/6)6*t Si la capitalización capitalización es mensual M= c (1+j/12) 12*t Si la capitalización capitalización es quincenal M= c (1+j/24) 24*t Si la capitalización capitalización es diaria M= c (1+j/360) 360*t comercialmente es común utilizar el año ordinario o comercial de 360 días (Iso) Ejemplo: Ejemplo: Calculemos el monto de un capital capital de $20.000, $20.000, durante 5 años, años, si la tasa de interés interés es del 12% anual capitalizable a) anualmente b) semestralmente semestralmente c) trimestralmente trimestralmente d) mensualmente e) diariamente . Datos : Mc C t j m

= = = = =

? 20.000 5 años 12% anual nominal nominal 1 (periodo de capitalización anual en un año.

OPCION a: a: capitalización capitalización anual. M= c (1+j/m)m*t

Mc = 20.000 (1+0.12/1) 1*5 Mc = $35.246,83 Docente Hernán Arellano Díaz

87

OPCION b: b: capitalización semestral Mc = 20.000 (1+0.12/2) 2*5 Mc = $35.816.95 OPCION c: c: capitalización trimestral Mc = 20.000 (1+0.12/4) 4*5 Mc = $36.122.22 OPCION d: d: capitalización mensual Mc = 20.000 (1+0.12/12)12*5 Mc = $36333.93 OPCION e: e: capitalización capitalización diario

Mc = 20.000 (1+0.12/360)360*5 Mc = $36.438.73

Como se puede observar, observar, a medida que los periodos de capitalización capitalización aumenta aumenta el valor del monto y por ende el interés compuesto compuesto tiende a incrementar su valor.. EJEMPLO: Si la empresa Riocel realiza una inversión en fondos de inversión para mediano plazo de $28.000 a 6 años de plazo, a una tasa de interés del 5% anual capitalizable semestralmente, semestralmen te, ¿Qué monto debe pagar la institución financiera a la fecha de vencimiento y qué cantidad de interés descontado el impuesto a los rendimientos financieros financieros IRF? Se calcula primeramente primeramente i y n : Datos Mc C t j m

= = = = =

? 28.000 6 años 5% anual 2 (periodos de capitalización capitalización semestral en año) entonces n= m*t n= 2* 6 n= 12 periodos de capitalización i = j/m i = .05/2 i = 0.025 cada semestre      

M = $ 28.000( 1+0,025) 12 M = $37.656.89

Interpretación: 2.1.4

MONTO COMPUESTO PARA PERÍODOS FRACCIONARIOSDE CAPITALIZACIÓN. CAPITALIZACIÓN. Docente Hernán Arellano Díaz

88

2.1.5 Cuando el tiempo no coincide con el período de capitalización, se presenta el caso de los períodos de capitalización capitalización fraccionarios. fraccionarios. Entonces, si el tiempo es 3 años años y 9 meses y la capitalización capitalización es semestral se tiene que: t= 3 años 9 meses t en años= 3 años + 9meses /12 meses t en años= 3.75 años n = m* t tenemos: n = 2 semestres que tiene 1 año * 3.75 años n = 7,5 periodos semestrales de capitalización. capitalización . Es decir se capitalizara 7 semestres completos y una fracción de semestre. También

n = 3 años (12) + 9 meses = 45 meses n = 45/ 6 n = 7.5 periodos semestrales de capitalización

Para el cálculo del monto compuesto con períodos de capitalización capitaliza ción fraccionario pueden aplicarse dos métodos: métodos: matemático,( matemático,( que toma toma el valor valor exacto exacto de n ) y comercial (que toma n entero y n fraccionario) Para el cálculo de un monto de $14.000 a interés compuesto durante 3 años y 9meses de plazo, con una tasa de interés del 5% anual capitalizabl capitalizablee semestralmente, se tiene: Datos Mc=? C= $14.000 j= 5% anual 0.05 anual m= 2 (periodos de capitalización semestral en 1 año) Cálculo matemático

n = 7.5 periodos semestrales de capitalización i = j/m i = 0.05/2 = 0.025 semestral Mc = c(1+i) n Mc = $ 14.000( 1+0,025) 7.5 Mc = $16848,33


89

Cálculo comercial. este aplica la parte entera de n en la primera parte de de la fórmula y la parte fraccionaria en la segunda parte así: n = 7.5 periodos semestrales de capitalización n = 7 (parte entera) n = 0,5 (parte decimal) Mc = c(1+i) n * (1+(n*i)) parte entera * parte decimal Mc = $ 14.000( 1+0,025) 7 * (1+(0.5 sem *0 .025) Mc = $14.000 (1.188685754) * 1.0125 Mc = $ 16849.62

Como puede apreciarse, el método comercial da un resultado mayor que el método matemático. EJEMPLO: Calculemos por los dos métodos, el matemático y el comercial, el monto compuesto de $80.000 a 7 años y 8 meses plazo, al 6 % anual capitalizable trimestralmente. trimestralmente . Datos Mc=? C= $80.000 j= 6% anual 0.06 anual t= 7 años y 8 meses m= 4 (periodos de capitalización semestral en 1 año) t= 7 años 8 meses t en años= 7 años + 8meses /12 meses = 7.666666667 años n = m* t tenemos: i = j/m n = 4 trim que tiene 1 año * 7.666666667 años i = 0.06/4 = 0.015 trimestral n = 30.666666667 3 0.666666667 periodos trimestrales de capitalización. Es decir se capitalizara capitalizara 30 trimestres completos completos y una fracción de trimestre. Método matemático

Mc = c(1+i) n Mc = $ 80.000( 1+0,015) 30.6666667 Mc = $ 80.000( 1.578672204) Mc = $126293.78

n = 30.666666667 periodos trimestrales de capitalización. Docente Hernán Arellano Díaz n entero = 30 periodos trimestrales de capitalización n fraccionaria = 0.6666667 partes de trimestre i = j/m i = 0.06/4 = 0.015 trimestral

90

Método Comercial

2.2

TASA EFECTIVA DE INTERES REAL O EQUIVALENTE.

Cuando hablamos de interés compuesto observamos que al aplicar la formula aparecen tres tipos de tasas tasas de interés: ( j ) la nominal que aparece al momento de suscribir una operación financiera conocida también como de contrato . ( i )La tasa efectiva, periódica o de calculo que no hace más que transformar la tasa anual a los periodos de capitalización capitalización de un caso determinado al dividir ( j / m) y la tasa efectiva real o equivalente ( ie) ie) tasa que indica cual es la rentabilidad de una inversión o el costo de un crédito, cuando se usa el método de interés compuesto. compuesto. Una tasa de interés anual efectiva ( ie ), con una frecuencia de capitalización de los intereses dentro del año (m), será equivalente a una tasa de interés anual nominal ( j ), si ambas producen la misma cantidad de interés y monto. DEMOSTRACION PRACTICA Un cliente del banco de Guayaquil invierte 8000 dólares durante 1 año a una tasa de interés del 8% anual capitalizable diariamente diariamente opción a). Mensualmente Mensualmente opción b) trimestralmente trimestralmente opción c) semestralmente semestralmen te opción d) anualmente. Determine el monto Compuesto; interés compuesto y la rentabilidad del ejercicio (tasa efectiva) de cada opción. DATOS Mc-Ic = ? Rentabilidad =? C= $8000 j= 8% anual j= 0,08 anual t= 1 año m= 360 opción a) m= 12 opción b) m= 4 opción c) m= 2 opción d) m= 1 opción e)

opción a) Mc = C(i+i)n Mc = $8000 ( 1+0.08/360 )360*1año Mc = $8666.22 luego de un año Ic = McMc- C Ic = 8666.22 – 8666.22 – 8000 Ic = $ 666.22 R = (Ic / C) *100% R = (666.22 / 8000) * 100% R = 8,32775% anual con capitalización diaria R = 8.23 % anual Docente Hernán Arellano Díaz

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Como podemos observar mientras negociamos una tasa nominal anual ( j=8% anual) por efecto de las capitalizaciones hemos obtenido una tasa de rentabilidad del ( ie= 8,33% anual ),) , tasa que de ahora en adelante se denominara efectiva real o equivalente. Si multiplicamos $8.000 por .0832775 de la tasa efectiva encontraremos el valor del interés compuesto $666.22 de ahí el criterio que una tasa de interés interés anual efectiva efectiva ( i ), con una frecuencia frecuencia de capitalización capitalización de los intereses dentro del año (m), será equivalente a una tasa de interés anual nominal ( j ), si ambas producen la misma cantidad de interés y monto. Este mismo ejercicio se lo debe realizar a través de la ecuación de equivalencia.

( 1+ i ) = ( 1 +j/m )m i = ( (1 +0.08/360)360 – 1)* 100% i = 8.33% anual anual cuando la capitalización capitalización es diaria

opción c) m= 4 Mc = C(i+i)n Mc = $8000 (1+0.08/4)1*4 Mc = $8659.45 luego de un año Ic = McMc- C Ic = 8659.45 – 8659.45 – 8000 Ic = $ 659.45 R = (Ic / C) *100% R = (659.45 / 8000) * 100% R = 8,24% anual con capitalización trimestral

Comprobando mediante la fórmula fórmula de equivalencia ( 1+ i ) = ( 1 +j/m )m despejando i = ( (1 +0.08/4)4 trim – 1)* 100% i = 8.24% anual cuando cuando la capitalización capitalización es trimestral

Calcular las restantes opciones y establecer las conclusiones correspondientes. NOTA. Hay qie tomar en cuenta que esta demostración se lo ha establecido para mejorar el la interepretacion del significado de la equivalencia (tasa efectiva) y el concepto de rentabilidad y es aplicable únicamente únicamente a periodos anuales de tiempo, el procedimiento mas exacto es a través de la aplicación de la ecuación de equivalencia, como se vera a continuacion. Docente Hernán Arellano Díaz

92

EJEMPLO: Encontrarla tasa efectiva efectiva de interés equivale equivale a una tasa nominal nominal del 18% anual anual capitalizable trimestralmente. DATOS: i = ?       

j = 18% m = 4       





 

Ecuación de equivalencia



                              capitaliz. trimestral          efectivo con capitaliz.

También se puede plantear el problema inverso: ¿a qué tasa nominal capitalizable trimestralmente trimestralmente es equivalente una tasa efectiva del 19.25186%? DATOS: j = ? i = 19.25186% m = 4 Para la solución de este problema utilizamos la ecuación de equivalencia:       

Y reemplazamos



 

                        

Para encontrar la respuesta pueden emplearse dos métodos: exponentes o radicales y logaritmos. Por exponentes o radicales.- Elevamos ambos miembros a la misma potencia y la igualdad no se altera.                                 *100%





j = 18% anual, efectivo efectivo con capitalización capitalización trimestral trimestral Docente Hernán Arellano Díaz

93

Por logaritmos                                                              

= 0.18 *100%

j = 18% anual con con capitalización capitalización trimestral trimestral Se obtiene la misma respuesta: j = 18% efectivo anual, capitalizable trimestralmente. EJEMPLO. Hallar las tasas efectivas anuales equivalentes a una tasa del 25% anual con capitalización: a) mensual, b) bimestral. c) trimestral. d) semestral. e) anual. DATOS ie=? j=0.25 anual m= 12 a) Mensual m=6 b) Bimestral m= 4 c) Trimestral m= 2 d) Semestral m=1 e) Anual TASA ie efectiva anual con capitalización mensual ie

  j  m    1    1 * 10 1000 %   m  

 0.25  12   1 * 100 ie  1   12   ie  28.07% anual capitalizable mensualmente


94

TASA ie efectiva anual con capitalización bimensual ie

ie

  0.25  6  100   1   1 * 100 6      27.75% anual capitalizable bimensualmente

TASA ie efectiva anual con capitalización capitalización trimestral  0.25  4  ie  1   1 * 100 4    capitalizable trimestralmente trimestralmente ie  27.44% anual capitalizable TASA ie efectiva anual con capitalización semestral  0.25  2  ie  1   1 * 100 2    ie

 26.56% anual capitalizable semestralmente

TASA ie efectiva anual con capitalización capitalización anual  0.25  1   1 * 100 ie  1  1    ie

 25% 25% anual capitalizable anualmente

Con los datos anteriores encontrar las tasas nominales? para cada uno de los casos, cuando se conoce la tasa efectiva. EJEMPLO.- Hallar una tasa efectiva de interés para 20 días equivalente a una tasa de interés nominal anual del 20%. DATOS i=? t=20 dias j=20% anual

ie ie

j

 (1  ) m  1 m

 (1 

0.20

)360  1

360 ie  22.13349270 anualcon capitalización diaria

Luego encontramos la tasa efectiva para los 20 días


95

 (1  ie )

ie

 (1  0.2213349270 )  0.5555555 * 20 dias

ie ie

2.3

1

ie

d 20

m

1 1

360

1

 1.11 en 20 dias

TIEMPO DEL MONTO COMPUESTO.

Para calcular el número de períodos capitalizados, como también el tiempo que dura una operación financiera sea de ahorro o inversión bajo el método del interés compuesto, se debe debe despejar n de la fórmula general del interés compuesto; dado que n es exponente, deberá aplicarse las propiedades de los logaritmos, entonces: n

M  C1  i

M  1  in C

Aplicando logaritmos a ambos lados de la igualdad tenemos:  M  n   log1  i  C 

log

 M    n  log1  i  C 

log

 M   C   n log1  i log

Una vez obtenido el número número de capitalizaciones, capitalizaciones, se puede encontrar encontrar el tiempo de la transacción aplicando la expresión resultante del despeje de n = m * t t 

n m

Al aplicar la expresión anterior, se encuentra el tiempo en años, para aproximar el valor a meses o días se deberá multiplicar por 12 o por 360, respectivamente. respectivamente. EJEMPLO.- En que tiempo expresado en años meses y días un capital capital de $18.000se convertirá

en $ 24.200 a una tasa de interés del 6.25% efectivo semestral? DATOS t=? C = $18.000 Docente Hernán Arellano Díaz

96

Mc = $ 24.200 ie = 6.25% semestral 0.0625 anual m = 2 (periodos semestrales de capitalización capitalizaci ón en 1 año)  M   C   n log1  i log

EJEMPLO: En qué tiempo, expresado en años meses y días, un capital de $ 6.000 convertirá en $7.200 a una tasa de interés interés del 8% anual capitalizable capitalizable trimestralmente?. trimestralmente?. DATOS t = ? años, meses y días log(

$24.200

) $18.000 log(1  0.0625)

n

log(1.344444444)

n

log(1.0625) 0.12854286

n

0.026325938 n  4.882189189 periodos semestrales

t=n/m t = 4.882189189/2 semestres t = 2.441094595 años t = 2.años y (0..441094595 años *360) t = 2 años 159 días Con la finalidad de certificar los resultados se deberá comprobar estos datos en la fórmula del monto compuesto. vvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv C = $6.000 Mc = $ 7.200 ie = 8% anual 0.08 anual m = 4 (periodos trimestrales de capitalización en 1 año)

Mc= C (1+i) n donde ie = 0.08 / 4 $7.200= $6.000 (1+0.02) n

Mc= C (1+j/m) m*t $7.200= $6.000 (1+0.08/4) 4*t Docente Hernán Arellano Díaz

97

aplicando las propiedades de los logaritmos

aplicando las propiedades de los logaritmos log ($7200 / $6000) = 4 t log (1+0.02) log ( 1.2 ) = 4 t log ( 1.02 ) 0.079181246 = 4 t ( 0.008600171762 ) 4 t = 0.079181246 / 0.008600171762 4 t = 9,206937744 9,206937744 periodos trimestrales trimestrales t = 9,206937744 9,206937744 per. trim / 4

log ($7200 / $6000) = n log (1+0.02) log ( 1.2 ) = n log ( 1.02 ) 0.079181246 = n ( 0.008600171762 0.008600171762 ) n = 0.079181246 / 0.008600171762 n = 9,206937744 9,206937744 periodos trimestrales t=n/m t = 9,206937744 / 4 trim

t = 2,301734436 años t = 2 años t = 0.301734436 0.301734436 años años *360 días

t = 2,301734436 2,301734436 años t = 2 años t = 0.301734436 0.301734436 años años *12 meses

t = 109 días

t =3.620813232 meses t = 3 meses t = =0.620813232 *30 días t = 19 días las respuesta definitiva será

las respuesta definitiva será

t = 2años, 109 días t = 2años, 3 meses, 19 días

2.4 TASA DE INTERES DEL MONTO COMPUESTO. Para determinar la tasa periódica ( i ) y después la tasa nominal ( j ) se puede despejar la tasa periódica de la fórmula general del monto a interés compuesto, compuesto, entonces usando exponentes o radicales se tiene: n

M  C1  i

M  1  in C M n 1i C i

n

M 1 C

Si a este valor (i) se multiplica por la frecuencia de capitalización (m), se obtiene la tasa nominal (j), de la transacción, transacción, es decir: decir: j = i x m. Este procedimiento se lo puede realizar también a través del método logarítmico logarítmico EJEMPLO: Determine a cuánto cuánto asciende la tasa nominal nominal anual de un capital capital de 30.000 que se convertirá en un monto de 40.000 en un tiempo de 6 años si la capitalización es mensual. Docente Hernán Arellano Díaz

98

DATOS j = ? C = $ 30.000 Mc = $ 40.000 t = 4 años m = 12 (periodos mensuales de capitalización capitalizaci ón en 1 año) Mc= C (1+i) n donde ie = 0.08 / 4 $40.000 = $30.000 (1+i) 48 n= m x t n= 12*4 = 48 Multiplicando ambos lados por el inverso del exponente ( $40.000 / $30.000 )1/48 = (1+i ) 1/48 *48 tenemos: 1.006011373 = 1 + i i = ( 1.006011373 - 1 ) x 100% i = 0.0601137272 mensual para encontrar la tasa nominal se tiene i = j /m j = i x m j = 0.0601137272 mensual x 12 j = 7.213647264 % annual j = 7.21 % anual

Para verificar la respuesta podemos comprobar en la fórmula del monto compuesto. 2.5

VALOR ACTUAL.

Valor actual es traer valores de futuro al presente para determinar su capital tomando en cuenta lo establecido en los periodos de capitalización. También podemos decir que el Valor Actual se basa, en el valor del dinero en términos de tiempo. El Valor Actual de una suma futura es la cifra que un inversionista pagaría por ella hoy, en base a una tasa de interés. interés. Y a los periodos de capitalización. capitalización. Encontrado el capital o capital capital valor actual actual este puede ser comparado con otro capital valor actual de alguna otra inversión y en base a esta información es factible tomar la decisión más acertada a los intereses de los dueños del dinero o inversionista. La fórmula de cálculo está dada por: Cva 

M

1  in


99

La fórmula anterior puede reescribirse de la siguiente manera: Cva = Mc 1 +i 2.5.1

-n

VALOR ACTUAL PARA PERÍODOS DE CAPITALIZACION FRACCIONARIOS

Cuando se requiere el Valor Actual de una transacción a interés compuesto se aplica la siguiente formula: Cva = Mc / (1 +i)n x (1+(n x i)) n entero

n fraccionario

EJEMPLO: Calcular el valor actual de un pagaré cuyo valor al término de 3 años y 2 meses será

$210.000, considerando una tasa de interés de 16% anual capitalizable semestralmente, semestralmente , hacerlo por ambos métodos.

DATOS Cva = ? Mc = $ 210.000 t = 3 años 2 meses m = 2 (periodos semestrales de capitalización en 1 año) j = 16 % anual ; 0.16 anual t= 3 años 2 meses

t en años= 3 años + 2meses /12 meses = 3.16666667 años

n = m* t tenemos: n = 2 sem que tiene 1 año * 3.16666667 años n = 6.3333333 periodos semesrales de capitalización. Es decir se capitalizara 6 semestres completos y una fracción de 0.3333333 semestres i = j/m i = 0.16/ 2 i =0.08 semestral Método matemático

Método comercial Cva = Mc / (1 +i)n x (1+(n (1+(n x i)) n entero = 6 n decimal =

Cva = M / ( 1+ i ) Cva = $ 210.000 / ( 1+ 0.08 ) 6.3333333 Cva = $128.933.90

0.3333333

Cva= $ 210.000 /(1 +0.08) +0.08)6 x (1+(0.333333 x 0.08)) Cva = $ 210.000 / 1.586874323 x 1.02666667 Cva = $ 210.000 /1.629190972 Cva = $ 128.898.33


100

EJEMPLO: Luego de 1 años 3 meses de la fecha de suscripción se negocia un documento el día

de hoy por un monto de 125.800 firmado a un plazo 2 años 9 meses con una tasa de interés del 12% capitalizable semestralmente. semestralmente . Calcule el valor actual considerando un interés del 11 1/8 %.

2.5.2 1.

2. a. b. c. d. e. f. 3. 4. 5.

6. 7. 8.

9.

MATEMATICA DE CASOS Calcular el Monto e interés compuesto de una inversión de capital de $15.000 colocado durante 5 años a una tasa de interés de 12% anua, con capitalización anual. Analizar los resultados. Que se pudo observar observar respecto al comportamiento comportamiento de j vs vs ie. n vs t? Con los datos del ejemplo anterior desarrolle el interés simple y establezca las conclusiones del caso. Con los datos del ejemplo anterior calcule el monto e interés compuesto si capitalización es: Semestral Trimestral Mensual Diario; establezca las conclusiones del caso. ¿Qué pasa con los resultados si las capitalizaciones aumentan? Que significa la división de j/m y que representa el multiplicar m*t? argumente. Calcular el monto e interés compuesto de un capital de $84. 500 colocado a una tasa de interés de 5% anual capitalizable semestralmente durante 4 años 6 meses. La empresa Alfa centauro invierte en una institución financiera financier a $32.000 a 8 meses de plazo con una tasa de interés de 4.5% capitalizable mensualmente. Calcular el interés y el monto que debe recibir a la fecha de vencimiento. vencimiento. Una persona coloca un capital de $16.300 en una cuenta de ahorro que paga un 2% de interés capitalizable capitalizabl e trimestralmente Cuanto habrá en la cuenta al final de 4 años, 6 meses, 10 días. días. NOTA: Hacer Hacer los cálculos en forma forma matemática matemática y comercial comercial y analizar analizar los los resultados de la aplicación de estos dos métodos? Marco invierte hoy con $8.000 a una tasa de interés del 2.75% capitalizable semestralmente Cuanto habrá en la cuenta luego de 2 años años y 7 meses. NOTA: Hacer los cálculos en forma matemática y comercial y analizar los resultados. Calcular por los métodos matemático y comercial, el monto compuesto que acumula un capital de $15.000 durante 5 años y 9 meses a 6% anual capitalizable semestralmente. Analizar los resultados. Una persona deposita su dinero en un banco de la localidad a un plazo de 2 años y a una tasa del 3% semestral convertible semestralmente. Debido a una emergencia debe retirar su dinero al cabo de 15 meses ¿Cuál será el monto que se le entregue si depositó la suma de $12.000 para obtener el monto acumulado? EJERCICIOS PRODUCTIVOS Utilizando las formulas vistas en clase realice el siguiente calculo: “la población de la ciudad d Riobamba de acuerdo al último censo a crecido a una tasa anual del 2,8% durante los últimos 5 años. Si el número actual de habitantes es de 382.500 habitantes ¿Cuál seria la población en 5 años, 10, 15 , 20 años, considerando los supuestos: Supuesto 1) Que la tasa de crecimiento poblacional no cambia; Supuesto 2) Que la población crece a 2,8% los primeros 5 años; 2,5% los siguientes 5 años; y 2,0% los últimos años. Docente Hernán Arellano Díaz

101

TASAS DE INTERES EFECTIVOS O EQUIVALENTES O TASAS REALES. 10. Una persona invierte invierte en una cooperativa cooperativa de la localidad un capital capital de $ 20.000 a un año plazo a una tasa de interés anual del 10% capitalizable anualmente. anualmente. Se pide: a calcular el Monto e interés compuesto b Usando la formula de la rentabilidad financiera financiera determine determine a cuanto asciende asciende esta? c Establezca las conclusiones correspondientes, correspond ientes, respecto a la rentabilidad encontrada y la tasa de interés nominal d Repita los procedimientos procedimientos a, b, c si la capitalización capitalización es semestral; trimestral, mensual y diario. e Usando la ecuación de equivalencia equivalencia (1+i) = (1+j/m)m compruebe los resultados resultados encontrados en los literales c y d si la capitalización es anual semestral, trimestral; mensual y diario. 11. A que tasa efectiva real anual capitalizable semestralmente equivale una tasa nominal de 5% anual. a. Resolver el problema anterior buscando la tasa nominal capitalizable semestralmente equivalente a una tasa efectiva de 5.0625% 12. A que tasa efectiva equivale una tasa nominal de 8% anual capitalizable trimestralmente. 13. A que tasa anual capitalizable trimestralmente trimestralmente equivale una tasa efectiva de 9,2519% 14. A que tasa anual capitalizable trimestralmente se debe colocar un capital de $10.000 para que produzca un monto monto de $12.433.74 $12.433.74 en 2 años y 9 meses. meses. A que tasa efectiva efectiva equivale? EJERCICIOS POST CLASE 1. Calcular EL Monto compuesto de un capital de $20.000 colocado durante 5 años a una tasa de interés nominal del 5% anual, capitalizable anualmente. anualmente . Con los mismos datos del ejercicio calcular el monto simple y establecer las conclusiones pertinentes. 2. Calcular el monto a interés compuesto y el interés compuesto de un capital de $500000 colocado a una tasa de interés de 15% anual capitalizable semestralmente durante 7 años. 3. Una empresa obtiene una inversión de $4.000.000 a 10 años de plazo con una tasa de interés de 15% capitalizable semestralmente. Calcular el interés y el monto que debe pagar a la fecha de vencimiento. 4. Una persona coloca un capital de $3000000 en una cuenta de ahorro a 12% de interés capitalizable trimestralmente Cuanto habrá en la cuenta al final de 8 años y 6 meses. 5. Rubén abre una cuenta de ahorros hoy con $800000 a una tasa de interés de 14% capitalizable semestralmente Cuanto habrá en la cuenta luego de 7 años y 7 meses. NOTA: Hacer los cálculos en forma matemática y comercial y analizar los resultados. 6. Calcular por los métodos matemático y comercial, el monto compuesto que acumula un capital de $1500000 durante 6 años y 9 meses a 16% anual capitalizable semestralmente. Analizar los resultados. resultados. 7. A que tasa efectiva equivale una tasa nominal de 15% capitalizable semestralmente. semestralmente. 8. Resolver el problema anterior buscando la tasa nominal capitalizable semestralmente equivalente a una tasa efectiva de 15,5625% 9. A que tasa efectiva equivale una tasa nominal de 18% anual capitalizable trimestralmente. trimestralmente. 10. A que tasa anual capitalizable trimestralmente trimestralmente equivale una tasa efectiva de 19,2519% 11. A que tasa anual capitalizable trimestralmente se debe colocar un capital de $1.000.000 para que produzca un monto de $5.500.000 en 6 años y 9 meses Docente Hernán Arellano Díaz

102

12. A que tasa efectiva se convertirá un capital de $500000 en un monto de $900000 en 9 años y 6 meses 13. Calcular el valor actual de un pagaré cuyo valor al término de 3 años y 6 meses será $2100000, considerando una tasa de interés de 16% anual capitalizable semestralmente (sin inflación). 14. Calcular EL Monto compuesto de un capital de $20.000 colocado durante 5 años a una tasa de interés nominal del 5% anual, capitalizable anualmente. anualmente . Con los mismos datos del ejercicio calcular el monto simple y establecer las conclusiones pertinentes. 15. Calcular el interés y monto simple de un capital de de $ 5000 dólares durante un tiempo de un año, si la tasa de interés asciende al 8% anual. Con los datos anteriores calcular el monto compuesto utilizando las formulas de l interés simple, si la capitalización de los intereses es mensual. 16. Construya un cuadro con las columnas periodo; capital; interés mensual; monto simple mensual acumulado; capital: interés compuesto mensual; monto compuesto mensual acumulado, diferencia entre el monto simple y monto compuesto. Establezca las conclusiones correspondientes. 17. Calcular el monto a interés compuesto y el interés compuesto de un capital de $500000 colocado a una tas de interés de 15% anual capitalizable semestralmente durante 7 años. 18. Una empresa obtiene un préstamo de $4000000 a 10 años de plazo con una tasa de interés de 15% capitalizable semestralmente. Calcular el interés y el monto que debe pagar a la fecha de vencimiento. 19. Una persona coloca un capital de $3000000 en una cuenta de ahorro a 12% de interés capitalizable trimestralmente Cuanto habrá en la cuenta al final de 8 años y 6 meses. 20. Rubén abre una cuenta de ahorros hoy con $800000 a una tasa de interés de 14% capitalizable semestralmente Cuanto habrá en la cuenta luego de 7 años y 7 meses. NOTA: Hacer los cálculos en forma matemática y comercial y analizar los resultados. 21. Calcular por los métodos matemático y comercial, el monto compuesto que acumula un capital de $1500000 durante 6 años y 9 meses a 16% anual capitalizable semestralmente. Analizar los resultados. resultados. 22. A que tasa efectiva equivale una tasa nominal de 15% capitalizable capitalizable semestralmente. 23. Resolver el problema anterior buscando la tasa nominal capitalizable semestralmente equivalente a una tasa efectiva de 15,5625% 24. A que tasa efectiva equivale una tasa nominal de 18% anual capitalizable trimestralmente. trimestralmente. 25. A que tasa anual capitalizable trimestralmente equivale una tasa efectiva de 19,2519% 26. A que tasa anual capitalizable trimestralmente se debe colocar un capital de $1000000 para que produzca un monto de $5500000 en 6 años y 9 meses A que tasa efectiva equivale ie = 28.7312% 27. A que tasa efectiva se convertirá un capital de $500000 en un monto de $900000 en 9 años y 6 meses 28. En qué tiempo, en años, se duplicará un capital de $700000 a una tasa de interés efectiva de 18%. 29. En qué tiempo en años aumentara en ¾ partes más un capital de $600.000, considerando considerando una tasa de interés de 17 1/8 % capitalizable semestralmente. 30. Calcular el valor actual de un pagaré cuyo valor al término de 3 años y 6 meses será $2100000, considerando una tasa de interés de 16% anual capitalizable semestralmente (sin inflación).


103

UNIDAD 3

3 3.1 3.1.1 3.1.2 3.1.3 3.2 3.2.1 3.2.2 3.2.3 3.2.4 3.3 3.4 3.5 3.5.1 3.5.2 3.6 3.6.1 3.6.2 3.7 3.7.1 3.7.2 3.8 3.9 3.9.1 3.9.1.1 3.9.1.2 3.10 3.10.1 3.10.2 3.10.3 3.11

RENTAS O ANUALIDADES CLASIFICACION CLASIFICACION DE LAS ANUALIDADES O RENTAS SEGÚN EL TIEMPO SEGÚN LA FORMA DE PAGO SEGÚN LOS INTERESES CLASIFICACION CLASIFICACION DE LAS ANUALIDADESPOR ANUALIDADESPOR EL TIEMPO, LA FORMA DE PAGO Y LOS INTERESES ANUALIDADES ANUALIDADES CIERTAS VENCIDAS SIMPLES ANUALIDADES ANUALIDADES CIERTAS ANTICIPADAS SIMPLES ANUALIDADES ANUALIDADES CIERTAS VENCIDAS DIFERIDAS SIMPLES ANUALIDADES ANUALIDADES CIERTAS ANTICIPADAS ANTICIPADAS DIFERIDAS SIMPLES MONTO DE UNA ANUALIDAD CIERTA VENCIDA SIMPLE VALOR ACTUAL DE UNA ANUALIDAD CIERTA VENCIDA SIMPLE RENTAS DE UNA ANUALIDAD CIERTA VENCIDA SIMPLE RENTA A PARTIR DEL MONTO RENTA A PARTIR DEL VALOR ACTUAL TIEMPO DE UNA ANUALIDAD CIERTA VENCIDA SIMPLE TIEMPO A PARTIR DEL MONTO TIEMPO A PARTIR DEL VALOR ACTUAL TASA DE INTERES DE UNA ANUALIDAD ANUALIDAD CIERTA VENCIDA SIMPLE TASA DE INTERES A PARTIR DEL MONTO TASA DE INTERES A PARTIR DEL VALOR ACTUAL MATEMATICA DE CASOS. PRESTAMOS Y SUS MODALIDADES MODALIDADES TIPOS DE AMORTIZACION Y ENDEUDAMIENTO ENDEUDAMIENTO METODO DE RENTAS Y/O ANUALIDAES ANUALIDAES METODO DE SALDOS DEUDORES DE CAPITAL MODALIDADES MODALIDADES OPERATIVAS TABLAS DE AMORTIZACION CON TASAS REAJUSTALBES TABLAS DE AMORTIZACION CON CUOTAS DE PAGO VENCIDAS TABLAS DE AMORTIZACION CON PERIODOS DE GRACIA MATEMATICA DE CASOS


104


AUTOVERIFI CACION


105

PLANIFICACION DE LA ACTIVIDAD ACADEMICA RESULTADOS DEL EVALUACION DE CONTENIDOS APRENDIZAJE APRENDIZAJES Unidades / temas (Evidencias) 

Rentas i / o anualidades. Rentas y anualidades,  conceptos tipos y clasificación. Monto y valor actual rentas ciertas, vencidas Simples. Renta ciertas, vencidas  Simples del monto y valor actual . Gradiantes de una serie  que crece o decrece gradualmente.  Matematica de casos Métodos de Amortizaciones.  Concepto y sistemas de Amortización Método de Saldos  deudores de capital Método de Rentas i/o  anualidades.  Matemática de casos,.

Dominar el cálculo y el algoritmo del sistema de rentas o anualidades, monto y valor actual y las modalidades de aplicación en el ámbito conceptual de negocios en operaciones financieras de ahorro, inversión y endeudamiento. Conocer y Manejar el Proceso de Amortización gradual. Definir, interpretar y caracterizar los diferentes métodos de amortización para aplicarlos a situaciones problémicas. Plantear situaciones problémicas relacionadas con gradiantes que permitan calcular el valor presente que equivale a una serie que crece o decrece linealmente y la cuota uniforme y periódica que equivale a una serie gradiante que crece linealmente, y aplicarlos en situaciones problémicas las fórmulas asociadas a dichos métodos






Semana 10 a 12 Clases presenciales 12 Control de lectura horas. 6 horas de comprensiva del autoestudio. texto de apoyo a través de valoración El estudiante deberá preparar los temas oral o escrita. previa su asistencia a Matemática de casos las clases. y deberes de puntuales ejercitación y auto Consultas podrán ser hechas al preparación, profesor mediante el valorados a través de uso del correo prueba escrita. electrónico Participación en [email protected] u.ec)) o mediantes el trabajo Grupal de u.ec sistema de atención al cada uno de los estudiante. integrantes



Desarrollo de Trabajo de investigación. Uno por cada parcial.



Pruebas parciales de los contenidos



Presentación de los casos desarrollados al finalizar usando Excel.

El maestro actuará como un facilitador, por lo tanto, es obligación de los estudiantes traer preparados los temas correspondientes a cada sesión, de manera que puedan establecerse intercambio de opiniones sobre los temas tratados


106

3

RENTAS O ANUALIDADES

El término anualidad i/o renta, se refiere al abono de una suma fija de dinero a intervalos regulares de tiempo y hasta que termine el plazo de la operación financiera. Este abono puede estar relacionado con el pago de una deuda o con depósitos de sumas de dinero, a los cuales se les reconoce una tasa de interés por periodo de actualización o capitalización según sea el caso. El valor de cada pago o depósito depósito recibe el nombre nombre de renta o simplemente simplemente anualidad. anualidad. La palabra anualidad se aplica, por costumbre, inclusive si los pagos de las sumas fijas se refieren a períodos diferentes diferente s a un año, como por ejemplo, meses, trimestres, semestres, semestre s, etc. Ejemplos de anualidades pueden ser: El pago del arriendo mensual por una vivienda; El sueldo mensual pagado a un trabajador, Las cuotas que se pagan por una compra a crédito, la compra de una póliza de vida, etc. Las anualidades o rentas constituyen una sucesión o serie de depósitos o rentas periódicas generalmente iguales, con sus respectivos intereses por cada período y se les puede expresar gráficamente gráficamen te de la siguiente manera. R

R

R

R

R

R

Período 1

Período 2

Período 3

Período 4

Período 5

Período 6

3.1

CLASIFICACION DE LAS ANUALIDADES O RENTAS. SEGÚN EL TIEMPO

SEGÚN LA FORMA DE PAGO

SEGUN LOS INTERESES 3.1.1

Anualidades Ciertas Anualidades eventuales o contingentes contingentes Anualidades ordinarias o vencidas Anualidades anticipadas Anualidades diferidas Anualidades simples Anualidades Generales

SEGUN EL TIEMPO.

Desde el punto de vista del tiempo, fechas de inicio y de término en que se realicen los pagos regulares o anualidades, las anualidades pueden ser de dos tipos básicos: ANUALIDADES CIERTAS. Son aquellas en las cuales las fechas de inicio y de término de los pagos regulares son conocidas, e inclusive, se estipulan contractualmente y por lo tanto no dependen de algún evento externo a la operación financiera.


107

Una anualidad de este tipo se puede relacionar, por ejemplo, con las cuotas mensuales que hay que pagar en una compra compra a crédito. En este caso se conocen las fechas exactas en las que se deben pagar la primera cuota y la última, así como también el valor de cada cuota o anualidad. ANUALIDADES EVENTUALES O CONTINGENTES. Son aquellas en las cuales la fecha de inicio o la fecha de término de los pagos regulares es desconocida y dependen de algún acontecimiento externo a la operación financiera. Un ejemplo de este tipo de anualidad puede ser la pensión mensual que paga el IESS a la viuda de un afiliado. En este caso el inicio de los pagos se da cuando fallece el afiliado y la suspensión de los pagos de pensión ocurre cuando fallece la viuda o beneficiario de la pensión. En los dos casos se sabe que estos eventos ocurrirán pero no se sabe exactamente cuándo. 3.1.2

SEGUN LA FORMA DE PAGO.

Según sea el plazo de duración de la operación financiera esta se clasifica en: ANUALIDADES ORDINARIAS, VENCIDAS, O LIMITADAS Son aquellas en las que el depósito, pago o renta y la liquidación de intereses se los realiza al final de cada periodo. Ejemplo: préstamo con pago de las cuotas mensuales vencidas.

ANUALIDADES ANTICIPADAS. ANTICIPADAS . Son aquellas en las que el depósito, pago o renta y la liquidación de intereses se los realiza al principio de cada periodo. Ejemplo: pago de las cuotas mensuales anticipadas por una venta a crédito.

ANUALIDADES DIFERIDAS. Son aquellas cuyo plazo de pago comienza después de transcurrido un determinado periodo o intervalo de tiempo denominado gracia, usualmente se utiliza en la línea de crédito para el financiamiento de proyectos de inversión, en los cuales se requiere un plazo prudencial hasta que el proyecto entre en funcionamiento.

3.1.3 CLASIFICACION DE LAS ANUALIDADES POR LOS INTERESES. Desde un punto de vista de los intereses las anualidades pueden ser simples y generales. ANUALIDADES SIMPLES Son aquellos tipos de anualidades en las cuales el período de pago coincide con los periodos de capitalización capitalización de los intereses, un ejemplo ejemplo muy simple seria: el pago de una renta mensual con los intereses del 10 % capitalizable mensualmente.


108

ANUALIDADES GENERALES A diferencia de la anterior, una anualidad general es aquella en la cual el período de pago no coincide con el periodo de capitalización, capitalización, un ejemplo ejemplo sencillo sencillo seria: el pago pago de una renta semestral con intereses al 5% capitalizable mensualmente. 3.2 CLASIFICACION DE LAS ANUALIDADES POR EL TIEMPO, POR EL PLAZO DE DURACIÓN Y LOS INTERESES. Estas pueden clasificarse entre otras en las siguientes combinaciones:

Anualidades Ciertas Ciertas Vencidas Vencidas Simples CVS Anualidades Ciertas Anticipadas Simples CAS Anualidades Ciertas Vencidas Diferidas Simples Simples CVDS Anualidades Ciertas Ciertas Anticipadas Diferidas Simples Simples CADS 3.2.1

ANUALIDADES CIERTAS, VENCIDAS, SIMPLES.

Una Anualidad cierta vencida simple, es aquella en la cual se conoce la fecha de inicio y finalización de la misma; los pagos o depósitos de las rentas se efectúa en forma vencida es decir al final de cada uno de los períodos estipulados para la anualidad, y los períodos de pago coinciden con los de capitalización. Por ejemplo, si se compra un activo fijo a crédito, se podría establecer un plazo de 6 meses, con 6 cuotas mensuales iguales de pago. Por tanto el pago de la primera cuota se hace al finalizar el primer mes del plazo, y así sucesivamente sucesivamente para las restantes cuotas; en este caso se estará frente a una anualidad cierta vencida simple. Gráficamente este tipo de anualidad se puede representar de la siguiente manera: Renta vencida

Periodo 1 Renta1 3.2.2

2 R2

3 R3

4 R4

5 R5

6 R6

ANUALIDADES CIERTAS ANTICIPADAS SIMPLES.

Una Anualidad cierta anticipada simple, es aquella renta en la cual se conoce la fecha de inicio y finalización; finalizació n; los pagos o depósitos se producen al comienzo de cada uno de los períodos estipulados y los períodos de pago coinciden con los de capitalización. El ejemplo anterior se puede aplicar a este tipo de anualidad si se supone que la primera cuota c uota se la paga al momento de realizar la compra y las restantes al inicio de cada mes posterior. Gráficamente la renta anticipada se puede representar de la siguiente manera: Docente Hernán Arellano Díaz

109

Periodo 1 Renta 1 3.2.3

2 R2

3 R3

4 R4

5 R5

6 R6

ANUALIDADES CIERTAS, VENCIDAS, DIFERIDAS, SIMPLES.

Una Anualidad cierta vencida, diferida y simple, es aquella en la cual se conoce la fecha de inicio y finalización de la misma; los pagos o depósitos de las rentas se efectúa en forma vencida es decir al final de cada uno de los períodos estipulados para la anualidad, y además el primer pago no se produce al término del primer período o anualidad, sino que se difiere a uno posterior intermedio o futuro, denominado gracia. Los periodos de pago igualmente coinciden con los de capitalización. capitalización. Aplicando este tipo de anualidad al ejemplo de la compra del activo, los pagos mensuales se harían al término de cada mes, pero la primera cuota se pagaría al término del tercer mes. Obviamente, hay que suponer que el plazo total de la operación es de 8 periodos, con dos periodos de gracia, y para iniciar los los pagos se lo hará a partir del tercer período, es decir se difiere difiere en este caso para 6 períodos, con la correspondiente capitalización de los intereses, pertenecientes a los períodos de gracia.

Gráficamente este tipo de anualidad se puede representar de la siguiente manera: PERIODOS Gracia 1 2

3.2.4

3 R1

4 R2

5 R3

6 R4

7 R5

8 R6

ANUALIDADES CIERTAS, ANTICIPADAS Y DIFERIDAS, SIMPLE

Una anualidad cierta, anticipada y diferida, se produce cuando los pagos iguales se producen al inicio del período de cada anualidad, y además cuando el primer pago no se produce al inicio del primer período o anualidad, sino que se difiere a uno posterior. Es decir, que la anualidad no empieza a correr desde el primer período sino en uno futuro o intermedio anticipado. Gráficamente este tipo de anualidad se puede representar de la siguiente manera: Gracia 1 2

3

4 R1

5 R2

6 R3

7 R4

8 R5

R6


110

3.3

MONTO DE UNA ANUALIDAD CIERTA VENCIDA Y SIMPLE

Las anualidades como hemos podido analizar formalmente tiene dos áreas claramente identificadas de aplicación, el monto y el valor actual. El monto es utilizado como un procedimiento Matemático Financiero que permite la acumulación o capitalización de valores, por lo que es utilizado para la constitución de programas de ahorro orientados al largo plazo, concretamente programas de ahorro jubilación cesantía, cuyo fundamento se encuentra en la capitalización compuesta de cada uno de los valores de capitales depositados hasta la finalización del plazo convenido, por lo que la suma de esos montos compuestos de los distintos depósitos capitalizados da como valor futuro o final a su Monto de de la renta. Gráficamente el Monto de una anualidad Cierta, Vencida, Simple. se visualiza así: Inicio de la anualidad

Fin de la anualidad R1

R2

R3

R4

Rn (1+i)n-1 (1+i)n-1 (1+Iin-1

1

2

3

4

(1+i)n-1 (1+i)n-1

Antes de proceder al despeje de las fórmulas correspondientes correspondien tes conviene reconceptualizar reconceptuali zar los siguientes elementos: Renta, Renta, es una serie de pagos o depósitos iguales o constantes efectuados en un período de tiempo determinado referencialmente referencialmente de un año. Tiempo o plazo de una anualidad, es el intervalo o lapso de tiempo que transcurre entre el comienzo de la fecha de suscripción y la de vencimiento. Tasa de interés de una anualidad. anualidad . Es la tasa de interés interés que se fija para el cálculo cálculo del costo de de las rentas sea pago o depósito. Son de dos tipos, la tasa de interés nominal y tasa de interés efectiva. Período de pago o período de una anualidad , (capitalización actualización) es el tiempo o período que se fija entre dos pagos o depósitos sucesivos de las rentas y pueden ser diarios, semanales, quincenales, mensuales, trimestrales semestrales, y anuales. Fruto de los despejes correspondientes tenemos la siguiente fórmula. Docente Hernán Arellano Díaz

111

FORMULA DEL MONTO DE UNA ANUALIDAD

 1  j / mm*t  1 M  R *   j / m   donde: M = Monto R = renta (Valor compuesto solo de capital periódico que ha sido depositado) j = tasa de interés interés nominal nominal m = # de períodos de capitalización en un año t = Lapso tiempo expresado en años. (Es el periodo íntertemporal de tiempo que transcurre desde la suscripción hasta hasta su vencimiento) vencimiento) En estos casos siempre se recomienda que el “tiempo este expresado en años” n= número de períodos de capitalización en función al tiempo t del ejercicio. Se encuentra multiplicando m*t=n Capital total invertido = R*# de rentas depositadas Interés = M - C Suponga que se desea conocer la cantidad o suma total que se acumulará en cinco años, si se depositan $1000 al finalizar cada año, en una cuenta de inversión que rinde el 10% de interés anual, capitalizable anualmente. DATOS: Mr R t m jna iea

=? = $100 = 5 años = 1 períodos de capitalización capitalización anual en un año = 10% anual = 0.10 anual


112

GRAFICO TEMPORAL DEL MONTO DE LAS ANUALIDADES CIERTAS Y VENCIDAS. Inicio de la anualidad 1 año 2 año R2 3 año R3 R1

Fin de la anualidad M renta= R(1+i)n-1 4 año R4

5 año Rn

1000(1+0,1)0 =$1000 1000(1+0,1)1 =$1100 1000(1+0,1)2 = $1210

2

1000(1+0,1)3 = $1331 1000(1+0,1)4 = $1464.1

4

MONTO

= $6105.10

Por medio de este gráfico podemos observar y deducir con claridad como opera el proceso de capitalización, capitaliza ción, para hacer esta demostración hemos usado la fórmula del monto compuesto para capitalizar individualmente cada renta y luego proceder a la suma de cada valor capitalizado para de esta forma encontrar el monto de la anualidad. Este mismo procedimiento podemos hacerlo a través del monto compuesto simple. Cuando intentemos capitalizar en forma individual cada una de las rentas. Para deducir la fórmula del monto de la renta a partir del ejemplo anterior, cconsiderando la capitalización de cada una de las rentas, a través del método de interés compuesto, la sumatoria de cada uno de los montos parciales $146.41 +$133.1+... +$100 de cada anualidad vencida ” R ” se le denomina Monto de una anualidad vencida, el planteamiento se puede representar por: n1

M  R1  i

 R1  in2  .....  R1  i1  R

también M  100 100 1  0.1  100 100 1  0,1  100 100 1  0,1  100 100 1  0,1  100 100 4

3

2

1

Invirtiendo el orden de la serie a partir del último depósito o renta se tiene que: n2

M  R  R1 i  R1 i  ....  R1 i 1

2

 R1 in1

también M  100  100 1 0,1  100 1 0,1  1 0,1 100 1 0,1 1

2

3

4

Sacando la anualidad “R” como factor común, la serie es igual a:



n 2

M  R1 1 i  1 i  ....  1 i 1

2

 1 in1 

La suma entre corchetes constituye una progresión geométrica finita, con el primer término r = (1+i ). a1=$100 equivalente a R; último término n o (1+i)n-1 y la razón de crecimiento crecimiento r = Docente Hernán Arellano Díaz

113

La suma “S” de una progresión geométrica finita es igual a : a1r n  a1 S r 1

donde

 r n  1 S  a   r 1 

Aplicando ésta fórmula a la serie entre corchetes se tiene que:

 1 i  1 R1 i  R S  R  1 i  1 i   n

tn

t 1  i  1  Al factor: se lo denomina factor de interés compuesto para una anualidad vencida o

i

factor de valor futuro de una anualidad vencida, es el elemento que dinamiza el cálculo de las capitalizaciones de cada una de las rentas, por lo que al ser multiplicado por el valor correspondiente correspondi ente a las rentas “R” se encuentra encuentr a el monto de una anualidad cierta, vencida, simple Aplicando ésta fórmula general a los datos del ejemplo anterior se tiene que:

 1  i t  1 M  R *   i    1  0,105  1 M  $100 *   0,10   M  $6105,10 Interpretacion: Interpretacion: Este resultado $6105.1 es el mismo que se obtuvo con el procedimiento basado en la capitalización capitalización de cada renta a través del método basado en el interés compuesto. compuesto. Si la capitalización de los intereses se efectúa para una fracción de año, acorde con el período de la anualidad, por ejemplo con capitalizaciones mensuales durante 5 meses la fórmula del Monto cambia de la siguiente manera:

 1  i / m n*m  1  M  R *   / i m    1  0.10 / 12 12*512  1  M  $ 1000 *   0 , 10 / 12   10 0 * 5.084030877F IC  M  $ 100 M  $ 5084 Docente Hernán Arellano Díaz

114

Si en el ejemplo anterior, los depósitos fueran semestrales y los intereses se capitalizan en igual forma y el tiempo fuera de 2 años y medio equivalente a 5 semestres, el Monto Monto sería igual a:

 1  0.1 / 22*2,5años  1  M  $1000 *   0,1 / 2   M  $5525,6 Como un mecanismo de retroalimentación y apropiación de conocimientos se solicita calcular el monto de la renta, cierta vencida simple, del los siguientes datos. Una empresa decide invertir en el Banco Internacional depósitos anuales de $12.500 a la finalización de cada año, en una cuenta de inversión que rinde el 5,60% de interés nominal anual, capitalizable anualmente, durante 2 años. Se pide encuentre el monto monto de la anualidad a través través de la fórmula general. general. Compruebe estos resultados por medio de las fórmulas del monto compuesto y luego del monto o interés simple. Realice todo el procedimiento anterior si la capitalización es semestral opción a) trimestre opción b) y mensual opción c. Analice e interprete las respuestas. 3.4

VALOR ACTUAL ANUALIDAD CIERTA VENCIDA Y SIMPLE

Valor Actual es un procedimiento matemático financiero que se utilizada para el sistema de crédito, préstamos o empréstitos, por lo que el valor actual o presente de una anualidad viene a constituir el valor del capital dado en préstamos, que se constituye por la suma de los valores actuales de los distintos pagos rentas o abonos periódicos futuros o submontos (capital más interés) cada uno actualizado al inicio de la anualidad o plazo de la misma. Gráficamente el Valor actual de una anualidad Cierta, Vencida, Simple. se visualiza así: Inicio de la anualidad R1

R2

R3

Fin de la anualidad R4 Rn

(1+i)-1 (1+i) -2 (1+i)-3 (1+i)-4 (1+i)-5


115

En general, una operación financiera que involucra anualidades puede dar origen a dos situaciones o requerimientos básicos, a partir de los cuales se puede ocasionar otras combinaciones ente monto y valor actual, estas son: 

Que se requiera conocer el monto o valor futuro de la serie de pagos iguales o anualidades efectuados dentro del plazo de la operación financiera.



Que sea necesario determinar el valor actual de la serie de pagos iguales realizados dentro del plazo de la operación financiera (valores futuros), o a su vez determinar el valor actual de un conjunto de valores futuros con la finalidad de tomar decisiones. decisiones.

FORMULA DEL VALOR ACTUAL

C va

1  1  j / m m*t   R *   / j m  

donde: Cva = Capital original o Capital valor actual de un conjunto de valores R = renta (o cuota cuota de pago, valor que esta compuesto compuesto de capital capital e interés) interés) j = tasa de interés interés nominal o de contrato m = # de períodos de actualización en un año t = es el periodo íntertemporal de tiempo que transcurre desde la suscripción hasta el vencimiento. En estos casos siempre se recomienda que el tiempo este expresado en años. n= número de períodos de actualización en función al tiempo t del ejercicio. Se encuentra multiplicando m*t = n. Monto deuda = R *# de rentas Interés = M – M – C Según Alberto Alvares esta fórmula también podría presentar así:

C va

 1  j / mm*t  1   R *  m*t  / ( 1  / ) j m j m  

Para desarrollar la fórmula que permita calcular el valor actual de las anualidades vencidas, se supone el siguiente ejemplo: Determine el capital valor actual de una anualidad o renta de $ 100 cada año durante 5 años si la tasa de interés nominal asciende al 10% anual actualizable anualmente. DATOS: Docente Hernán Arellano Díaz

116

Cva R t m jna iea

=? = $100 = 5 años = 1 períodos de conversión o actualizaron anual en un año = 10% anual = 0.10 anual

Gráficamente se visualiza así: Actualizando cada una de las Inicio de rentas tenemos: la anualidad Cvarenta = R(1+i)-n

R1

Fin de la anualidad R2

R3

R4

$100(1+0.10i)-1= $90,91 $100(1+0.10i)-2= $82.64 $100(1+0.10i)-3= $75.13 $100(1+0.10i)-4= $68.30 $100(1+0.10i)-5= $62.09 Valor actual $379,08 Para despejar la fórmula se trata de determinar el valor de “C”, que equivalga al capital valor actual de cada una de estas 5 anualidades vencidas. Para el efecto, a cada anualidad se lo multiplica por el Factor de Valor Actual a Interés Compuesto, según se muestra a continuación: 1

1 in

1 i

o también

n

Deduciendo la formula del valor actual (c) de una anualidad vencida tenemos que la suma de la serie de los valores actuales parciales de cada anualidad vencida “R”, se denomina valor actual de una anualidad vencida y se puede representar por : 1

2

C va  R1 i  R1 i

(n1)

 ...  R1 i

 R1 i

(n2 )

también 1

2

C va  $1001 0,1  $1001 o,1

 $1001 o,13  $1001 o,14  $1001 0,15

Sacando como factor común la anualidad vencida “R”


R5

117

(n1) (n 2 ) 1 2   1 i  C va  R1 i  1 i  ...  1 i  

también C va

 $1001 0,11  1 o,12  1 o,13  1 o,14  1 0,15 

La suma entre corchetes es una progresión geométrica finita, con primer término a 1=(1+i)-1 y razón de crecimiento r = (1+i) -1 y él número de términos igual a n.

En álgebra se demuestra que q ue la suma “S” de los términos de una progresión geométrica finita es igual a: a1r n  a1 S r 1

Aplicando esta fórmula a la serie entre corchetes se tiene que: n

1 i1 * 1 i1  1 i1 S 1 i1  1 factor  común 1 i1 * 1  in  1 S 1 1 1 i 1 i1 * 1  in  1 S 1 1 i 1 i

1  i1 * 1  in  1 1  i S * i 1  i 1 i 1  in  1 S i  1 1 in  1 S * i 1 n

1 1 i S i

n

1  1  i Al factor i

se le denomina, Factor de valor actual de una Anualidad Vencida. Docente Hernán Arellano Díaz

118

Para calcular el Valor actual de una anualidad vencida, se procede a multiplicar el valor de la anualidad “R” por el factor de valor actual de la anualidad vencida, de la siguiente manera:

1 1 in  C va  R*   i   o también producto del despeje como se reseño anteriormente se puede trabajar con la fórmula:

 1  i  1  R*   1 *  1  i    n

C va

n

Aplicando la formula del valor actual, denominada general, general, a los datos del ejemplo se tiene que:

C va

1  1  i  n   R *   i  

1 1  0,10 5  C va  $100 100 *   0 , 1   C va  $379 379 ,98 Interpretación: Interpret ación: Este resultado es el mismo que se obtuvo con el procedimiento gráfico, basado en los valores actuales del monto compuesto. Si la actualización de las rentas se efectúa para una fracción de año, acorde con el período de la anualidad, la fórmula del valor actual de una anualidad vencida cambia de la siguiente manera:

C va

1  1  j / m m*t   R *   / j m  

Si en el ejemplo anterior los periodos de conversión o actualización fueren trimestrales tendríamos que el valor actual seria:

C va C va

1  1  .10 / 44*5   $100 *   0.10 / 4    $1558 ,91


119

A parte de determinar el valor de un préstamo, el valor actual también es útil para a partir de traer valores del futuro al presente, sean rentas pertenecientes a un préstamo o inversión poder tomar decisiones o escoger la mejor alternativa tal como podremos visualizar en el siguiente ejemplo: Se supone la siguiente propuesta de inversión de inversión: Suponga que a usted le proponen recibir 4 sumas de dinero anuales e iguales a S/. 1200 cada una, la primera de las cuales recibirá al término del primer año y las demás al final de cada uno de los años sucesivos. A cambio de esas sumas de dinero, usted debe entregar HOY una suma de S/. 3450. Determine si la propuesta es o no conveniente. Asuma que en el sistema financiero nacional se podría obtener un rendimiento promedio anual de 18% sobre sumas de dinero disponible, con capitalización anual de intereses. Se trata de determinar el valor de “C va”, que equivalga al valor actual de cada una de estas 4 anualidades vencidas. Para el efecto, a cada anualidad se lo multiplica por el Factor de Valor Actual a Interés Compuesto:1/(1+i) Compuesto:1/(1+i) n o también (1+i) -n según se muestra a continuación:

1 1 0,184  Cva  $1200 *   0,18   Cva  $3228 ,07 Si comparamos la suma de $3400 exigida como propuesta versus el resultado obtenido como Capital valor actual de $3228.07, significa que la persona no debe entregar hoy una suma mayor a $3228.07 al inversionista, puesto que si lo hace se se estaría perjudicando. En efecto, si esta suma la invierte en el sistema financiero a 4 años plazo y al 18% anual con capitalización anual de los intereses, el monto total que obtendría, obtendría, sería $6258.52, por por lo que NO debería aceptar la propuesta porque no es conveniente. conveniente. Para que sea atractivo pudiere entregar menos de $3228,07 por ejemplo $3100, caso contrario si entrega $3228,07 , seria indiferente entre entregar la plata al proponente o invertir en el banco. Como un mecanismo de retroalimentación y apropiación de conocimientos se solicita calcular el valor actual de la renta, cierta vencida simple, del los siguientes datos. Una empresa quiere conocer cuál es el valor actual de un vehículo Toyota si al finalizar cada año, debe cancelar la suma de 3500, con un interés del 13,35% de interés nominal anual, capitalizable anualmente, durante 3 años. Se pide encuentre el valor actual de la anualidad a través de la fórmula general. general. Compruebe estos resultados por medio de las fórmulas del valor actual compuesto y luego del valor actual del interés simple. Realice todo el procedimiento anterior si la capitalización es semestral opción a) trimestre opción b) y mensual opción c. Analice e intérprete las respuestas. respuestas. 3.5 RENTA DE UNA ANUALIDAD CIERTA CIERTA VENCIDA SIMPLE. Podemos a partir de las fórmulas tanto del monto como del valor actual, despejar cada una de sus elementos con la finalidad de determinar la suma de dinero periódica o renta que hay que depositar en casos de montos o procesos de acumulación o las cuotas de pago necesarias para Docente Hernán Arellano Díaz

120

pagar una deuda (amortizar o extinguir un préstamo o credito) en los caos del valor actual o actualización . 3.5.1

RENTA A PARTIR DEL MONTO

1 Una persona desea acumular $30.000 al final de 6 años. Se hacen depósitos de la misma cuantía al final de cada 6 meses en una cuenta de ahorros que paga el 6% anual de interés capitalizable capitaliza ble semestralmente. semestralmente . Cual es el valor de cada depósito. DATOS: M= t= j = i= m= n = m*t

$30.000,00 6 años 0,06 anual 0,03 semestral 2 Peridos de capitalización semestral en un año 12 Capitalizaciones Capitaliz aciones semestrales

 1  i n  1   i 

M  R 

R



M * i

1  i   1 n

R 

30000 * 0.03

1  0.0312  1

R = 211,39 Valor de cada cada deposito semestral.. semestral.. 2 Una persona quiere acumular $100.000 como fondo de retiro. Tiene pensado realizar depósitos mensuales en una institución de bancaria que paga el 6% anual convertible mensualmente. mensualmente. Si su primer depósito lo realiza realiza el 1 de julio, del 2012 y de acuerdo a sus planes el último deposito debe realizarse el 1 de diciembre de 2042, Cuál es el valor de cada depósito. DATOS: M= t= taños= j = i= m= n = m*t R

$100.000,00 30 años 6 meses 30,5 años (todo en años) 0,06 anual 0,005 mensual 12 Peridos de capitalización capitalizaci ón mensual en un año 366 Capitalizaciones Capitalizaciones mensuales de depositos

RENTA  i  M   n  1  i   1

R 

100 .000 * 0.005

1  0.005 

366

1


121

R = 96.05 Valor de cada depósito mensual.

3 Una pareja espera disponer de un total de $30.000 al cabo de cierto tiempo, para pagar el enganche de su casa, que cuenta $120.000 a 15 años plazo. Para ello desea acumular este capital mediante depósitos trimestrales a una cuenta de ahorro que paga el 6% anual de interés convertible trimestralmente. trimestralmente. Si realizara el primer deposito deposito el 1º de julio de 2014 y el último el 1º de julio de 2017, Cual será el valor de cada deposito trimestral trimestral si esperan disponer de los $30.000 inmediatamente después del último deposito. DATOS: M= t= Taños= j = i= m= n=m*t

Suscripción 1o de julio del 2014 Vencimien 1o de julio del 2017

$30.000,00 3 años y 3 meses 3.25 años 0,06 anual 0.015 cada trimestre 4 periodos de capitalización capitalizaci ón trimestral en un año 13 capitalizaciones trimestrales

RENTA

 i  R  M   n   1 1  i   

R 

30 .000 * 0.015

1  0.015 

13

1

R = $ 2.107.21 Valor de cada depósito trimestral. 3.5.2

RENTA A PARTIR DEL VALOR ACTUAL ACTUAL

1 Una familia compra un refrigerador refrigerad or cuyo precio de contado es de $1.350 en efectivo. Pagan $350 de enganche y el resto en 24 mensualidades iguales o equivalentes. Si el vendedor carga el 18% de interés anual convertible mensualmente sobre los saldos. Cual será el valor de cada una de las mensualidades. DATOS: Valor al contado 1.350 - 350 entrada Cva = $ 1.000 Capital adeudado t= 24 meses taños = 2 años J= 0,18 anual i= 0,015 Periodico mensual m= 12 periodos de capitalización capitalización mensual en un año n = m*t = 24 Capitalizaciones Capitaliza ciones mensuales Docente Hernán Arellano Díaz

122

RENTA R

  i  Cva Cv a n  1 1 i      

  0.015 R  1000  24  1  1  0.015 

R =$49.92 es el valor de de cada mensualidad mensualidad

2 Una familia necesita pedir un crédito hipotecario de $50.000 para comprar una casa. En el Banco del Pichincha, les cargan el 12% anual de interés convertible mensualmente. Un segundo banco (banco del IESS) les ofrece el dinero al 11% anual convertible cada mes. Si el dinero va a pagarse en mensualidades durante 20 años Cual sería el ahorro total en intereses si la familia logra conseguir el préstamo al 11%. Al 12% DATOS: Cva = $50.000,00 t= 20 años j = 0,12 anual i= 0,01 periodico mensual m= 12 periodos de capitalización capitalización mensual en un año n = m*t 240 Capitalizaciones Capitalizaciones mensuales RENTA DEL VALOR ATUAL

  i R  Cva Cv a n  1  1  i  

R

  0.01  50.000   240      1 1 0 . 01  

R =$550,54 valor de las cuotas mensuales

Mdeuda= R*n Mdeuda = $132.130.34 I =Mdeuda - C $ 82.129.60 Al 11% DATOS: Cva = $50.000,00 t= 20 años j = 0,11 anual i = 0,00916667 Periodico mensual 12 periodos de capitalización capitalización mensual en un año m= 240 Capitalizaciones Capitaliza ciones mensuales n = m*t


123

RENTA DEL VALOR ATUAL R

    0.00916667 i R  Cva   50 . 000   240  n 1  1  0.00916667  1  1  i   cuota mensual R =$516,09 Valor de la cuota

Mdeuda= R * # cuotas Mdeuda = $123.862,61 $123.862,6 1 I =Mdeuda - C $ 73.862,61 Diferencia entre entre los interés interés de los montos montos de las rentas tenemos: tenemos: I1 – I2 = $82.129.60 $73.862.61 = $8.266,99 Este valor es el ahorro cuando exite de diferencia un punto porcentual. 3.6

TIEMPO DE UNA RENTA CIERTA VENCIDA SIMPLE.

Podemos a partir de las fórmulas tanto del monto como del valor actual, despejar cada una de sus elementos con la finalidad de determinar el número de depósitos o pagos necesarias para cumplir con los objetivos de capitalización o actualización según sea el caso. 3.6.1 TIEMPO A PARTIR DEL MONTO En el caso del monto para encontrar n que representa el número de depósitos o periodos de capitalización en función al tiempo t procederemos de la siguiente manera.









 1  j / m m*t  1  1  i n  1 M  R  _ o _ M  R   j m i /    

Despejando n

M * i R

 1  (1  i ) n

Aplicando logaritmos tendremos

n



 M * i  1   R log(1  i )

log 

CASO 1 .- Marco Proaño desea conocer cuántos depositos completos de $2.500 debe hacer cada mes para obtener $ 75.000 75.000 si la tasa de interés nominal nominal anual asciende asciende al 10% capitalizable mensualmente? DATOS

SOLUCION Docente Hernán Arellano Díaz

124

n= ? M $ 75.000 R= $ 2.500 J= 0,10 anual m= 12 (periodos de capitalización capitalización mensual en 1 año)

n

n



 M * i  1   R log(1  i )

log 

 75000 * 0.0083333333  1  2500  log(1  .000833333 )

log 

n  26 .88864363 INTERPRETACION: Marco Proaño deberá realizar 26. Depósitos mensuales exactos de $2.500 dólares, mas un valor adicional (que se observa en los decimales obtenidos 0.888864363) con el fin de obtener el monto de $ 75.000. si la tasa de interés nominal anual asciende asciende al 10% capitalizable mensualmente? Con la finalidad de determinar los valores adicionales que deberemos depositar con la finalidad de cumplir con los objetivos de capitalización en forma exacta tenemos las siguientes opciones: OPCION A:





 1  i n  1 M  R    x i    (1  0.00833333) 26  1 $75.000  $2.500   x . 00833333   $75.000  $72.244,97  x x  75.000  72.244,97 x  $2755.03

INTERPRETACION: Se deberán depositar 26 rentas de $ 2.500 2.500 más un adicional en la misma cuota de $ 2755,03. 2755,03. O también 25 depósitos depósitos de $2.500 $2.500 y un 26avo depósito de de $5.255.03. $5.255.03. OPCION B:





 1  i n  1 M  R  (1  i)  x i    (1  0.00833333) 26  1 $75.000  $2.500 (1  0.00833333)  x . 00833333   $75.000  $72.847,01  x x  75.000  72.847,01 x  $2152,99 Docente Hernán Arellano Díaz

125

INTERPRETACION: Se deberán depositar 26 valores de $ 2.500 más más un adicional en la 27ava cuota de $ 2152,99. CASO 2 .- Una persona desea acumular 30.000 usd, para reunir esa cantidad decide hacer “depósitos trimestrales” vencidos de $500, en un fondo de inversiones que rinde el 8% anual convertible trimestralmente, Determine durante cuánto tiempo habrá acumulado la cantidad que desea ? n= ? M $ 30.000 R= $ 500 J= 0,08 anual m= 4 (periodos de capitalización trimestral en 1 año) iet =j/m 0 .02

n

 M * i   1  R  log(1  i )

log 

 30.000 * 0.002   1 500   log(1  .002)

log 

n



n

 39.811579558_ trimestres

Aplicando ambas opciones al ejercicio tenemos: OPCION A: INTERPRETACION: Se deberán depositar 39 rentas trimestrales trimestrales de $ 500 más un adicional adicional en la misma cuota de $881.38 OPCION B:





 1  i n  1 M  R  (1  i)  x i    (1  0.02)39  1 $30.000  $.500 (1  0.02)  x 0 . 02   $30.000  $29.118.62 *1.02  x x  30.000  29700.99  x x  $299 _ adicional

INTERPRETACION: Se deberán depositar depositar 39 rentas trimestrales trimestrales de $500 más un un adicional en la 40ava cuota de $ 299. 3.6.2 TIEMPO A PARTIR DEL VALOR ACTUAL.









 1  j / m m*t  1  1  i n  1 M  R  _ o _ M  R   / j m i    

Despejando n Docente Hernán Arellano Díaz

126

M * i R

 1  (1  i ) n

Aplicando logaritmos tendremos

n

C va



 M * i  1   R log(1  i )

log 

1  1  j / m m*t   R *   / j m  

PRUEBA VA = R

–n 1- (1+i ) –n i VA x i = 1 – (1 + I )-n R 1 - VA x i = 1 + I ) -n R log 1 – 1 – VA x i -n = R log (1+i )

log 1 – 1 – VA x i -n = R log (1+i ) DEPOSITO ADICIONAL OPCIÓN A VA = R

–n 1 – (1+i )-n + X ( 1+ i ) –n i

OPCIÓN B –(n+1) VA = R 1 – (1+i )-n + X ( 1+ i ) –(n+1) i

Un último pago en vencimiento de la misma cuota Un último pago adicional a la cuota de vencimiento.


127

MATEMATICA DE CASOS CASO 1.-Cuántos 1.-Cuántos pagos mensuales vencidos de 797.500 se tendrían que hacer para saldar una deuda, pagadera hoy, de 4’400.000, si el primer pago se realiza dentro de 2 meses y el interés es de 11% bimestral. SOLUCIÓN R = 797.500 CVA = 4’400.000 i = 0,11 bimestral n =?

log

1 – 1 – VA x i R

-n =

log

(1+i )

log 1 – 1 – 4.400.00 x 0.11 -n = 797.500 log (1+0.11) - n = - 0.405493146 0.045322978 n = 8.946745

DEPOSITO ADICIONAL A

Un último pago en vencimiento de la misma cuota

VA = R

–n 1 – (1+i )-n + X ( 1+ i ) –n i –8 4’400.000 = 797.500 1 – (1+0.11 )-8 + X ( 1+ 0.11) –8 0.11 4’400.000 = 4’104.032,902 4’104.032,9 02 + X (0.433926496) (0.433926496 ) 4’400.000 - 4’104.032,902 = X ( 0.433926496 ) 295.967,0982 = X ( 0.433926496 0.433926496 ) X = 295.967,0982 0.433926496 X = 682.067,36

R = Se deberá realizar 8 pagos de 797.506 y un adicional en la misma cuota de 682.067 dolares. B VA = R

–n+1 1 – (1+i )-n + X ( 1+ i ) –n+1 i –8+1 4’400.000 = 797.500 1 – (1+0.11 )-8 + X ( 1+ 0.11 ) –8+1 0.11 4’400.000 = 4’104.032,902 + X ( 0.390924771 ) 295.967,0982 = x (0.390924771 (0.390924771 ) Docente Hernán Arellano Díaz

128

x = 295.967,0982 0.390924771 X = 757.095 R = Se deberá realizar realizar 8 pagos pagos de 797.506 797.506 y un adicional adicional en la última cuota de 682.067 dolares. OTRO METODO M = R

(1+i )n –1 –1 i

MR = 797.500

(1+0.11 ) 8 –1 –1 0.11 M = 9’457.898,83 Valor de todos los abonos futuros MVA = Cva (1+i )n M = 4’400.00(1+0.11) 4’400.00(1+0.11) 8 M

= 10’139.966,19

VALOR ADICIONAL = MVA - MR MISMA CUOTA = 10’139.966.19 10’139.966.19 – 9’457.898,83 VADIC = 682.667,36 VALOR EN LA CUOTA # 8 “ADICIONAL” UN VALOR ADICIONAL POSTERIOR A LA 8VA VALOR POSTERIOR = 682.067,36 (1,11) = 757.094,77 3.7

TASA DE INTERES DE UNA ANUALIDAD CIERTA VENCIDA SIMPLE.

Podemos a partir de las fórmulas tanto del monto como del valor actual, despejar cada una de sus elementos con la finalidad de determinar la tasa de interés nominal (j), esto a través del método del tanteo o aproximaciones suscesivas usando interpolaciones. 3.7.1

TASA DE INTERES A PARTIR DEL MONTO

CASO: La empresa asociados Unidos SA desea acumular $27.202,43 a través de depósitos mensuales de $400 6 años. Determine que tasa de interés nominal anual convertible mensualmente mensualmente que permitirá acumular dicho valor.


129

DATOSj ? M= $27.202,43 R= $400 t=6 años m = 12 periodos mensuales

 1  i n  1 M  R   i    1  i n  1   R i  

M

 1  i n  1 $27.202.43   i $400    1  i n  1    68.006075_ valor _ referencia i  

Una vez que hemos determinado el valor de referencia trataremos de de encontrar un valor superior e inferior a dicho dicho valor, a través del uso uso del método de tanteo, que consiste consiste en utilizar al

 1  i n  1  azar un conjunto de tasas nominales en la expresión  . i   Para el tanteo habrá siempre siempre que considerar considerar que esta esta es una opercion pasiva o de ahorro o inversión por tanto la tasa es inferior a la tasa activa o de préstamos.

Método de tanteo o aproximaciones suscesivas. Con el tanteo al 4% anual capitalizable mensualmente ie=0.00333333 mensual, encontramos un valor inferior cercano al valor valor referencial

 1  i n  1    i    (1  0.04 / 12 ) 60 meses  1     66 .29897811 0 . 04 / 12   valor _ inf erior

también tasa _ 4% _ anual

 1  i n  1 M  R   i    (1  0.04 / 12) 60 meses  1 $27202.43  400   0.04 / 12   $27202.43  $26.519.59 Docente Hernán Arellano Díaz

130

Con el tanteo al 10% anual capitalizable mensualmente ie = 0.00833333 mensual encontramos un valor superior superior alejado del de referencia

 1  i n  1    i    (1  0.008333333) 60 meses  1   77 .43707213   0.00833333   valor _ s up erior

Con el tanteo al 6% anual capitalizable mensualmente ie = 0.005 mensual encontramos un valor superior cercano al de referencia

 1  i n  1    i    (1  0.005 00 5) 60 meses  1     69 .770033051 0 . 005 00 5   valor _ s up erior

Una vez encontrados los valores referenciales superior e inferior procedemos a utilizar el sistema de interpolación de los datos. Método de interpolación. Podemos hacer de 2 maneras con los valores SUP e INF de la fórmula del Monto; Tasa i % 6 % anual i 4% anual

Superior 69.770033051 69.770033051 Valor referencial 68.006075 66.29899781 Inferior

2011.82

z =(j =(j -4%) 6% - 4%

Valor referencial – referencial – Valor inferior Valor superior - Valor inferior

z=(j z=(j -4%) 2%

68.006075 - 66.29899781 69.770033051 - 66.29899781

z=(j z=(j -4%) 2%

1.70707719 3.471032698

z=(j z=(j -4%)

2%(1. 70707719/3.47103524) Docente Hernán Arellano Díaz

131

z=(j z=(j -4%)

0.98361343%

z= +4%= z +4%= 0.980112313%+4%= 0.980112313%+4%= j= j=

j -4% j j 4.9836% 4.9836% 5%

Comprobación

 1  i n  1 M  R   i    1  0.05 / 1260  1 $27202.43  $400  0 . 05 / 12   $27202.43  $27202.43

3.7.2

TASA DE INTERES A PARTIR DEL VALOR ACTUAL

Para cancelar una donde de 1.000 usd se requiere rentas de 100 usd mensuales durante 12 meses. Determine a cuánto asciende asciende la tasa de interés con que fue contratado éste éste crédito ? VA = 1.000 R = 100 n = 12 1 2 meses (n*m) i = ?

Va = R an an = 1.000 = 10 valor de referencia

TAMBIÉN CVa = R 1 – 1 – (1+i )-n = Cva = R (1+i )-n - 1 i i ( 1+i )n Cva = 1- (1+i )-n R = i 1-(1+i)-n = 1.000 = 10 valor de referencia i 100

VALOR

VALOR INFERIOR


132

METODO DE APROXIMACIONES SUCESIVAS O MÉTODO DE TANTEO CVa = R 1 – 1 – (1+i )-n i 1000 = 100 1 - (1+0.02911 ) -12 0.029166666

i = 35% anual i = 291666667 mensual

1000 = 1000,39 valor superior También 1000 = 100 1-(1+0.031666)-12 0.031666666 1.000 = 985.57 valor inferior

–12 = 13.88261012 1- ( 1+0.02916) –12 VALOR 0.02196666

1- (1+0.03166666) (1+0.03166666) -12 = 9.8556942 0.031666666 VALOR

i = 38% anual i = 3.166666 mensual METODO DE INTERPOLACIÓN TASA 35% 2,9166667% i J

38 % 3,1666667%

s = 14.43 -3 14,8

También con valores referenciales

VALORES SUPER 1.00,37 VALOR REFERENCIA 1.000 INFER 985.57

13,188079 10 13,412089

interior exterior

s = -3 (0.975) s = -2.925 Entonces reemplazando S = i - 38% -2,925 = i -38% -2,925 + 38 = i 35,075 = i Docente Hernán Arellano Díaz

133

Comprobación CVa = R 1 – 1 – (1+i )-n i 1.000 = 100 1-(1+0.029229166) 1-(1+0.029229166) -12 0.029229166 1.000 = 999.96 1.000 = 1.000 3.8

MATEMATICA DE CASOS ANUALIDADES CIERTAS VENCIDAS SIMPLES

De los planteamientos 1 a 5, dígase a qué tipo de anualidad pertenecen y por qué: 1. Una mina en explotación tiene una producción anual de $600 000 USI y se calcula que se agotará en 5 años. ¿Cuál es el valor actual de la producción si el rendimiento del dinero es de 11%? 2. El pago de la renta de una casa habitación. 3. Una persona adquiere en septiembre un televisor a crédito y acepta liquidar mediante pagos entregados al principio de cada uno de 12 bimestres, comenzando en enero del año siguiente y con intereses de 20% anual efectivo. 4. Una pensión por jubilación que asigna cierta cantidad trimestral. trimestral. 5. Se vende un camión en mensualidades que deben liquidarse cada primer día de mes, a partir del próximo mes, con intereses de 12% anual con capitalización quincenal. 6. Calcúlense el monto y el valor actual de las siguientes anualidades simples, ciertas, vencidas e inmediatas: a) 520 000 semestrales durante 4 años y medio a 18% capitalizable semestralmente. b) $40000 anuales durante 6 años a una tasa anual de 22% c) $50000 mensuales durante 7 mesa, a uña lasa anual de 2 capitalizable mensualmente. 7. El señor López deposita $15 000 cada cada de año en una cuenta de ahorros que abona 10% de interés. ¿Cuánto habrá ahorrado al hacer el cuarto depósito? 8. Calcúlese el valor actual de un terreno, utilizando un interés de 15% con capitalización mensual, si se vendió con las siguientes condiciones:  $40 000 de enganche  Mensualidades vencidas por 2 250 durante 4,25 años  Un pago final de $25 000 un mes después de la última mensualidad 9. Si se calculan los intereses a una tasa de 22% convertible trimestralmente, ¿qué pago único de inmediato es equivalente a 15 pagos trimestrales de $80000 si el primero de ellos se hace dentro de 3 meses? 10. En la compra de un automóvil nuevo que cuesta $145 00 le reciben al licenciado Ugalde su automóvil usado por $5500 ¿Le convendría pagar el resto en 36 mensualidades vencidas de $3 50 si lo más que desea pagar de interés es 2% mensual? 11. Qué cantidad se debería depositar el 31 de enero del año 1 para poder hacer 15 retiros de 5000 a partir del ultimo día día de febrero de ese mismo mismo año si la cuenta que que se deposita paga paga 9% de interés convertible cada mes? Docente Hernán Arellano Díaz

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12. Si un taxi rinde $3 850 vencidos y se considera que esa cantidad es constante por tiempo indefinido, pues incluye gastos, gastos, depreciación, mantenimiento, mantenimiento, etcétera, ¿qué cantidad deberá invertirse el vehículo si se desea obtener un rendimiento de 300 anual efectivo sobre la inversión por un periodo de 3 años 13. Una persona decide contratar una deuda de $100000.00 con un banco. Si éste carga a este tipo de préstamos 22% anual convertible mensualmente, ¿cuánto tendría que pagar mensualmente la empresa para saldar su deuda dentro de 15 meses? 14. El señor Luna adquirió una casa en condominio y acordó pagar, aparte de cierta cantidad mensual, anualidades por $95 000. Si acaba de realizar el trato hoy mismo, de manera que debe liquidar la primen anualidad exactamente dentro de un año, y si decide hacer depósitos trimestrales en fondo de inversión que paga 4% trimestral, ¿de cuánto tendrían que ser sus depósitos para poder acumular a fin de año la cantidad que necesita? 15. Una persona contrató una deuda que le obliga a pagar $150 000 el primero, de enero de cada uno de varios años. Como ahora se da cuenta de que le sería más fácil pagar haciendo abonos trimestrales vencidos, ¿de cuánto tendrían que ser los pagos el nuevo plan, si se considera el interés a 8% convertible trimestralmente? 16. Hoy es 15 de mano. Dentro de 3 años, el 15 de noviembre, el primogénito del señor Mendoza cumplirá mayoría de edad y desea regalarle una motocicleta que calcula costará en ese tiempo (dentro de 3 años) unos $80 000. Para adquirirla decide ahorrar una cantidad mensual en un instrumento bancario que rinde 1% mensual. Si la tasa de rendimiento no cambiara en ese tiempo, ¿cuánto tendría que ahorrar el padre cada mes para poder adquirir la motocicleta? motocicleta? 17. Para saldar un préstamo de $785 000 contratado hoy, el deudor acuerda hacer 5 pagos semestrales iguales y vencidos y, finalmente, un pago único de $300000, 2 años después de realizado el último pago semestral. ¿De cuánto deberá ser cada uno de los pagos iguales, si el interés es de 25% capitalizable semestralmente? 18. El 12 de abril de este año, la señorita Soto deposita $20 000 en una cuenta bancaria bancaria que paga 15% bimestral de interés, Si comienza a hacer depósitos bimestrales bimestrales iguales a partir del 12 de junio y acumula $130 $130 238 inmediatamente inmediatamente después después de realizar realizar el depósito del 12 de diciembre del año siguiente. ¿de cuánto fueron sus depósitos? 19. La señora Jiménez desea vender un comedor que posee y que considera vale $35 000. Hay dos compradores interesados que le hacen ciertas propuestas: a. El comprador A ofrece pagarle 12 mensualidades vencidas de $3 100 b. B ofrece pagarle 18 mensualidades mensualidades vencidas de $2 250 Considerando los intereses a razón de 14.4% anual convertible mensualmente, ¿cuál oferta le conviene? 20. ¿En cuanto tiempo se acumularán $200 000 mediante depósitos bimestrales vencidos de 5000 si se convierten a una tasa de 15% anual convertible bimestralmente? 21. Una deuda de $850.00 contraída hoy se va a liquidar mediante pagos trimestrales iguales y vencida de $18500. Si el interés es de 3.9% trimestral, calcúlese el número de pagos completos y del pago final menor que saldan el compromiso 22. Para pagar una deuda de $525 000 contraída hoy, se van a abonar mensualidades de $15 000 comenzando dentro de un mes. Si el interés que se cobra es de 27% capitalizable cada mes, determínese el número de pagos iguales y el valor del pago final mayor que saldan la deuda. 23. El 12 de septiembre la doctora Gudiño adquiere un automóvil usado en $118 000. Acuerda pagarle, al vendedor mensualidades mensualidades vencidas de $4 148.53. Si se considera un interés a 16% anual convertible con la misma periodicidad que los pagos. ¿Cuándo terminará de pagar? Docente Hernán Arellano Díaz

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24. Como beneficiario de un plan de jubilación, el señor Domínguez puede recibir $160 000 de inmediato; o puede recibir $ 40 000 ahora y el resto con pagos de $6 000 cada 3 meses. Si la compañia paga interés de 12% anual convertible convertible cada 3 meses: c) ¿cuántos pagos completos recibirá? d) ¿con qué cantidad adicional al último pago completo le liquidarán el total de su beneficio de jubilación? e) ¿con qué pago final realizado 3 meses después del último pago de $ 6 000 le liquidarían el total? 25. Si un trabajador ahorra $100 mensuales en una cuenta de ahorros que paga 8% anual convertible mensualmente: a) ¿En qué tiempo reunirá $1 000? b) Si desea juntar esa cantidad en un periodo exacto de meses, ¿cuántos depósitos completos de $100.00 debe hacer, y de qué cantidad (mayor de $ 100.00) debe ser el último depósito para que al realizarlo haya reunido la cantidad precisa de $1 000.00? 26. El 8 de enero se pagó el último abono mensual vencido de $829.14. Con este abono se liquidó totalmente una deuda que ascendía a $7 500.00. Si la operación se pactó a 22.4% anual de interés convertible mensualmente: a) ¿cuándo se hizo el primer pago mensual? b) ¿a qué plazo se se pactó la operación? c) ¿Con que pago final realizado 3 meses después después del último pago de $6000 le liquidarían liquidarían el total? 27. ¿A qué interés se deben hacer depósitos semestrales de $1 000.00 para acumular $8000.00 en 3 años? 28. Una deuda de $5000, con hoy, se pagará mediante 5 abonos mensuales vencidos de $1076.23. ¿A qué tasa nominal anual se debe pactar la operación? 29. Una persona adquirió, mediante 24 abonos quincenales de $280, un televisor que al contado costaba $5 250: a) ¿Qué tasa nominal anual pagó? b) ¿Qué tasa efectiva quincenal pagó? c) ¿Qué tasa efectiva anual pagó? 30. Un automóvil cuesta $238 150. Se vende con 50% de enganche y 6 mensualidades de $20 971.90. ¿Qué interés efectivo mensual se cobra? 31. En 2 almacenes se vende el mismo modelo de cocina integral, con igual precio de contado: $9 995. Las condiciones del crédito son:  El almacén “La Ganga” la vende mediante 8 mensualidades de $1 395.  El almacén “La Bagatela” la vende a 12 mensualidades de $995. a) ¿En qué almacén es más conveniente comprar la cocina? b) ¿Qué diferencia existe entre las tasas mensuales efectivas que se aplican en los 2 casos? 32. Ana Isabel desea adquirir una computadora, y para tomar la mejor decisión compara las alternativas que existen en el mercado: a) La empresa “Rompe precios” ofrece la computadora marca “Compacta” a sólo $22 995 u 8 pagos de $3 245. b) La casa “Club de Precios” ofrece la misma computadora “Compacta” a $23 700 de contado o mediante 6 pagos de $3 950 sin intereses. Si la tasa de interés del mercado es de 15%, ¿cuál alternativa es la mejor para Ana Isabel?


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33. Juan Carlos está planeando sus próximas vacaciones. Encuentra la promoción de un banco que ofrece viajes todo incluido a destinos de playa mediante un enganche de $998.55 y 48 pagos semanales de $182.00. a. ¿cuál ese! valor presente del viaje si el banco le carga un interés de 1.2% semanal? b. ¿cuánto debería ahorrar durante 48 semanas en una cuenta que paga 10% de interés anual convertible semanalmente, si deseara pagar el viaje de contado y éste tiene un costo de $5 900? c. ¿qué le sugeriría usted a Juan Carlos? EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS 1. ¿Qué es una anualidad simple, contingente, vencida y diferida? 2, ¿Qué es una anualidad general, cierta, anticipada e inmediata? 3. ¿Cuál es el tipo más común de anualidad? Dígase qué clase de anualidad representan representan los planteamientos 4 a 8. 4. Una pensión vitalicia otorgada por un seguro de invalidez total, y que asigna cierta cantidad mensual. 5. Un depósito quincenal en una cuenta de abonos que paga 15% capitalizable mensualmente. 6. Una persona subarrienda un negocio. El subarrendatario acuerda pagarle cierta cantidad diaria. 7. La adquisición de un departamento en condominio cuyo enganche se paga mediante 6 pagos bimestrales de $ t02 500. La entrega del inmueble tiene lugar al realizar el sexto pago bimestral 8. La compra a crédito de un automóvil. El interés que se carga es 2% mensual global, y los pagos se hacen cada mes. Las preguntas restantes se refieren a anualidades simples, ciertas, vencidas e inmediatas. 9. ¿Cuál es el monto de 18 depósitos mensuales de $50000 en una cuenta de inversión que paga 1.5% mensual? 10. ¿Cuál es el valor actual de 18 pagos mensuales de $50000 si se consideran intereses de 1.5% mensual? 11. ¿Qué relación existe entre las respuestas a las preguntas 9 y 10? Exprésese en forma de ecuación. 12. La profesora Vélez ha retirado de su cuenta de inversiones 40 mensualidades de $3 275.00. Si la cuenta de inversiones rinde 10% convertible mensualmente, mensualmente, ¿Cuánto tenia en su cuenta de inversiones un mes antes de realizar el primer retiro? (Desde que empezó a hacer los retiros no hizo ningún depósito.) 13. El día 1ro. se depositaron $7 000 en una inversión que paga 16% convertible mensualmente. Además a) se depositaron, comenzando un mes después, $1 000 mensuales durante 1 año. b) al final del mes 19 se depositaron $12 000. ¿Cuál ese monto de todas estas inversiones al final del mes 24? 14. Si se calculan intereses a razón de 22% anual convertible cada 2 meses, ¿qué pago único realizado dentro de 30 meses es equivalente a 15 pagos bimestrales de $8 500? 15. Si se desea obtener un rendimiento de 100% capitalizable mensualmente sobre una inversión riesgosa, ¿cuál es la cantidad máxima que debería invertirse en una operación que se espera pague $10 000 mensuales al final de cada uno de los 8 meses siguientes? 16. En una cuenta que rinde 1.25% mensual, se hicieron los siguientes depósitos: a) 5 de $1750 cada fin de mes, el primero al cabo de un mes. b) 8 de $1450 cada fin de mes; el primero de estos al cabo de 4 meses Docente Hernán Arellano Díaz

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17. 18. 19. 20. 21.

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30.

¿Cuál es la cantidad que se ha acumulado en la cuenta al final del decimosegundo mes? ¿Qué renta pagada durante cada uno de 12 bimestres es equivalente a un valor actual de $100 000, si se consideran intereses a una tasa de 2.8% bimestral? ¿Qué renta pagada al final de cada uno de 9 meses permite acumular $10.000.00 al cabo del décimo ata, si se consideran intereses a razón de 17% convertible cada mes? Si se vende un terreno en 5228 000 a! contado, o mediante 12 pagos semestrales iguales con 20% anual convertible semestralmente. ¿de cuánto serian los pagos ene! plan a crédito? Si se calcula que el enganche de un inmueble del tipo del que le gustaría adquirir al señor López será de $170 000 dentro de un año, ¿qué cantidad debería depositar cada mes en una inversión que rinde 14% convertible mensualmente? El de abril la señorita Pérez obtiene un préstamo de $30 000 que acuerda reembolsar mediante pagos iguales, cada mes, comenzando el 12 de mayo y haciendo el último el 12 de diciembre del año siguiente. Si le cobran intereses de 1.8% mensual, ¿cuánto debe pagar cada mes? Se deben pagar $78 500 el 23 de agosto del año próximo. Si boyes 23 de febrero, ¿cuál debe ser el importe de los depósitos bimestrales a una cuenta de inversión que rinde 3% bimestral pan tener el 23 de agosto del año siguiente, en el momento de realizar el último depósito, la cantidad que se debe pagar, y si el primer depósito se hace el 23 de abril de este año? El 2 de enero se obtiene un préstamo de $324 000. Se a pagar con 6 abonos mensuales iguales; el primero, el 2 de febrero, más $112 000 adicionales al último abono mensual. Si el interés acordado es de 18% convertible mensualmente, ¿cuál debe ser el importe de los pagos mensuales? Un televisor se vende con las siguientes condiciones en 2 tiendas: a) En la tienda A cuesta $2 895 al contado y se puede pagar mediante 12 mensualidades vencidas e iguales con intereses de 3% mensual; b) En la tienda A cuesta $2 895 de contado y se puede pagar mediante 12 mensualidades vencidas e iguales con intereses de 2.4% mensual. Si se desea adquirir el aparato utilizando el crédito, ¿en qué tienda conviene adquirirlo? ¿En cuánto tiempo se acumulan $180 000 mediante depósitos semestrales de 9 816.50 en una inversión que rinde 1.2% mensual? ¿En cuánto tiempo se acumulan $5 000.00 si se ahorran 5200.00 mensuales y los ahorros ganan 01% mensual de interés? ¿Cuántos pagos de $ 136 211.25 seria necesario hacer cada fin de año para liquidar una deuda de $450 000 si el interés es de 30% anual? Rodolfo le vende a su hermana Silvia un departamento. El trato se formaliza hoy y se fija el valor del inmueble en $290 000 para dentro de un año, que es cuando se va a hacer el traslado de dominio. Para pagar, Silvia le va a dar a Rodolfo abonos iguales mensuales de $25 000 y un pago final mayor que liquide totalmente la operación. ¿Cuántas mensualidades iguales deberá pagar, y cuál debe ser el impone del pago final mayor si acordaron un interés de 1.5% mensual? Silvia va a comenzar a hacer los pagos dentro de un mes. Existen dos planes para la compra de un automóvil: a) Precio de contado $135 000 y mensualidades de $7 137,60 con una tasa de interés de 2% mensual, hasta terminar de pagar. b) Precio de contado $139 000, 30% de enganche y 18 mensualidades de $5551.56. ¿Cuál de los dos planes de crédito conviene más? ¿A qué interés efectivo anual se tendría que colocar una serie de 15 depósitos bimestrales vencidos de $13 840.44 para que en el momento de hacer el último depósito se acumularan $250 000? Docente Hernán Arellano Díaz

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31. Para pagar una deuda de $950 000 se abonan 7 mensualidades vencidas de $149 620.66. ¿Qué tan nominal convertible mensualmente se cargó en la operación? 32. ¿A que tasa efectiva bimestral se cobré un crédito de $42000.00 si se cubrió mediante 18 pagos bimestrales vencidos de $3 371.88? 33. Un mueble fino se vende en $18 600 de contado, o a crédito, con un pago inicial de $1860 y 6 abonos mensuales vencidos de $2 999. ¿Cuál es el interés nominal anual, convertible mensual mente, que se cobra en la venta a crédito? 34. ¿Cuál será el monto que acumule Tatiana si realiza 14 depósitos catorcenales de $14000 cada uno, en una cuenta de inversión que rinde 14% de interés anual nominal capitalizable cada 14 días? 35. Yuri desea ayudar a su mamá con los gastos del hogar y considera la posibilidad de adquirir una máquina de coser, la cual le ofrecen con un enganche de $506.23 y 24 abonos “facilitos” de $156.00. ¿Cuál es el precio de contado de la máquina, si el banco le cobra un interés de 4.5% mensual convertible quincenalmente?


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PRESTAMOS Y SUS MODALIDADES.

Los préstamos y sus modalidades pueden tener varios enfoques, todos estos recaen en la posibilidad de que un oferente de dinero canalice sus excedentes hacia los demandantes de los recursos, en otros términos, los que disponen de recursos monetarios los entregan a los que carecen de estos, transferencia que se lo puede hacer formalmente desde una institución reconocida por el sistema financiero nacional, o a su vez, por una persona jurídica, empresa o corporación, que como actividad actividad normal de su negocio negocio venda bienes o servicio servicio a través de la modalidad de financiamiento o crédito. Formalmente, de acuerdo al funcionamiento operativo del Sistema Bancario y Financiero del Ecuador, como lo hemos hemos analizado, analizado, la banca frente al sector sector Corporativo o Empresarial, Empresarial, y de comercio en general se distingue distingue por ofrecer 3 líneas de servicios, servicios, que bien podríamos podríamos considerarla como tradicionales. Las operaciones de ahorro en sus modalidades ahorro y cuenta corriente; inversiones a plazo fijo y préstamos, empréstitos, endeudamiento o amortización de capitales. Estas deben ser juzgadas o vistas, desde la perspectiva del sistema contable de carácter bancario ya que su funcionamiento operativo determinará su característica y su tratamiento matemático financiero. Operaciones de ahorro

Operaciones de Inversión. Inversión. Pólizas; Certificados de depósitos. Otro tipo de inversiones inversiones Operaciones de Crédito. A personas Naturales o jurídicas (Empresas, corporaciones) Las “Cuentas de Ahorro”, para la liquidación liquidación o pago de los intereses utiliza las fórmulas del interés simple, Is = C*t*i con dos modalidades modalidades de cálculo, tomando tomando en cuenta el valor y la fecha fecha de la transacción; sea depósito o retiro, y la otra tomando como referencia el comportamiento de los saldos y sus fechas respectivas. Este tipo de servicio usualmente es utilizado para administrar recursos de rápida disponibilidad, como por ejemplo la administración de los dineros a ser utilizados como capital de trabajo. La modalidad de cuentas de ahorro, también suele estar asociado a la utilización de chequeras, a través de traspasos de dinero de cuentas de ahorro a cuentas corrientes. corrientes. Las “Inversiones bancarias”, representan operaciones orientadas a capitalizar recursos que temporalmente temporalmente la empresa no lo va a utilizar en el giro normal de su negocio, es decir son dineros Docente Hernán Arellano Díaz

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excedentes, que se los puede colocar a plazos mínimos no menores a 30 días, en Pólizas, Certificados de Inversión, o Certificados de Depósitos a Plazos CD’s, su tratamiento tratamiento Matemático Matemático Financiero es relativamente sencillo, ya que una vez identificado el valor del capital, el plazo y la tasa se procederá automáticamente a calcular los respectivos intereses utilizando las fórmula del Interés Simple, Is = C*t*i para luego de ello proceder proceder al cálculo del 2% por concepto concepto de Impuesto Impuesto a los Rendimientos Financieros IRF, que serán deducidos de los intereses simples ganados, y así poder liquidar al propietario de la Inversión y devolver el neto a recibir que estará compuesto del capital invertido más (los intereses simples simples ganados o rendimientos financieros obtenidos obtenidos menos el valor del 5% de los impuestos causados).

Neto a recibir = C + ( Is - 5% IRF) Este procedimiento se fundamenta en la inmovilidad del capital, es decir que este no es modificado, retirado o aumentado durante el plazo o tiempo acordado, si esto sucede los intereses se calculan solo sobre el tiempo en que el capital permaneció invariable. Las “Operaciones de Préstamos”, motivo de nuestro análisis, se sustentan en el otorgamiento de una cantidad determinada de dinero, en un período de tiempo previamente establecido, establecido, y con una tasa alta de interés si se la compara con la tasa que se paga en las inversiones y ahorros. Estos dineros dados en préstamos están sujetos a la devolución de los mismos en uno o varios vencimientos vencimiento s previamente acordados sean en periodos mensuales, trimestrales, trimestrale s, semestrales o anuales dependiendo de las características y tipos de préstamos. En este proceso se entrega o devuelve una parte de capital o fracción del mismo, más una fracción de interés del período de pago establecido, por ejemplo mensual y se denomina amortización de los préstamos. Con respecto a las tasas de interés que son fijadas para el Sistema de Crédito, Endeudamiento o Amortización, es muy usual que el usuario del sistema de crédito, cuando desea contratar una obligación únicamente únicamente conozca la tasa de interés que supuestamente, supuestamente, va a regir durante el tiempo previamente acordado en el respectivo préstamo, sin embargo en nuestro caso a más de la tasa de interés, existen algunos costos o porcentajes adicionales que encarecen el valor de dicha tasa de interés; Entre estos se tiene el ¡% por concepto de impuestos; % por concepto de Seguro de Desgravamen; Desgravamen ; que varía en función a las políticas establecidas establecida s en las instituciones bancarias y financieras; % por manejo administrativo administrativo del crédito, entre otros porcentajes, que lógicamente como ya lo hemos señalado elevan encarecen el valor de la tasa de interés, por lo que siempre es conveniente tomar en cuenta estos costos adicionales para establecer las decisiones más acertadas en favor de los usuarios de este sistema matemático financiero crediticio o de financiamiento. En el préstamo sobre firmas conocido también como quirografario, que quiere decir “estructura a mano”; no existe de por medio ninguna garantía real o tangible, sino sólo la que representa la solvencia moral y económica de las personas que suscriben los pagarés igualmente se les conoce cono ce con el nombre de préstamos préstamos directos. El préstamo quirografario, directo, personal o sobre firmas, se define como sigue: Es una operación activa de crédito por virtud de la l a cual un banco entrega entreg a cierta cantidad de dinero a una persona llamada prestatario y ésta se obliga mediante la firma de un pagare, a devolver devol ver en una fecha determinada determin ada la cantidad recibida recibi da y a Docente Hernán Arellano Díaz pagar los intereses intereses estipulado estipulados. s.

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El préstamo sobre firmas es un tipo de préstamo que se suele utilizar para financiar una necesidad específica en un momento dado, como un coche, viajes, estudios en el extranjero o de postgrado, muebles, reformas, etc. … y de una cuantía no muy alta. Este préstamo se concede con garantías personales del interesado y el plazo de devolución suele oscilar de uno a cinco años. El importe máximo a financiar mediante préstamo personal está en función de las garantías que se puedan aportar. PRÉSTAMOS HIPOTECARIOS Hipoteca Es un contrato por el cual un deudor o un tercero afectan especialmente bienes inmuebles o derechos reales sobre éstos en garantía del cumplimiento de una obligación principal, en forma que, vencida ésta y no satisfecha, pueda hacerse efectiva sobre el precio de venta de aquel bien, con preferencia a los derechos de cualquier otro acreedor. El préstamo hipotecario es el que se realiza a través de una institución de crédito entre el sujeto que necesita un crédito y el prestamista, siempre es un préstamo con garantía de bienes raíces. Los préstamos hipotecarios se caracterizan porque, aparte de la garantía personal, se ofrece como garantía de pago una “garantía real”, que consiste en la hipoteca de un bien inmueble. En los préstamos hipotecarios la hipoteca es un derecho que tiene la entidad financiera a quedarse con el inmueble en caso de impago del préstamo. Es decir, la entidad financiera pasaría a ser propietaria de la vivienda si no se satisface la deuda. Normalmente los préstamos hipotecarios se suelen utilizar para la compra de una vivienda, aunque también es frecuente el caso de personas que solicitan préstamos hipotecarios sobre su vivienda para afrontar la creación de un negocio. El importe máximo del préstamo no suele superar nunca el 80% del valor de tasación del inmueble. La garantía real de los préstamos hipotecarios hace que los tipos de interés aplicados en los préstamos hipotecarios sean más bajos que los aplicados en otro tipo de préstamos en los que existen menos garantías. 4.1

TIPOS DE METODOS DE AMORTIZACIÓN Y ENDEUDAMIENTO.

Los préstamos de recursos de capital financieramente se las denomina como operaciones Activas y se las puede calcular a través de los siguientes métodos: 

Método de amortización basado en los Saldos Deudores de Capital, derivado del interés simple. Su modelo matemático financiero se adapta al de una Progresión Aritmética y como característica distintiva las cuotas de pago de los préstamos son descendentes, aunque aplicando ciertas fórmulas de las progresiones aritméticas se puede encontrar una cuota promedio o constantes de pago.



Método de amortización basado en el sistema de Rentas o Anualidades. Su modelo matemático se ajusta al de una Progresiones Geométrica, por lo que crece en función al tiempo y que como característica distintiva calcula las cuotas de pago de los préstamos en cuotas de pago periódicas constante.



Otros métodos. Sin lugar a dudas los dos métodos antes citados suelen ser los mas utilizados sin embargo pueden existir otros mecanismos de cálculo igualmente importantes, Docente Hernán Arellano Díaz

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por ejemplo los basados en los gradientes aritméticos o geométricos, sistemas de amortización integrados y agregados, entre otros. Todos estos métodos pueden ser utilizados por los bancos, financieras, cooperativas, mutualistas, casas comerciales, empresas y corporaciones entre otras. Producto de la falta de discriminación entre operaciones operaciones activas (préstamos) y pasivas (libretas de ahorro e inversión a plazo fijo de los recursos monetarios) en unos casos, y en otros con la finalidad de sacar el mejor provecho por parte de los prestamistas algunas instituciones, instituciones, aplican el mismo tratamiento matemático financiero utilizado para las inversiones, como para préstamos, lo que genera distorsiones y en algunos casos serios problemas a los usuarios del sistema de crédito, este método se lo conoce como Matemático o lagarto, eventualmente utilizado por almacenes comerciales que venden a crédito o mediante tarjeta de crédito, y lo estudiaremos, estudiaremo s, con la finalidad de darnos cuenta de la pertinencia o no de utilizar un método que puede beneficiar ilegalmente al prestamista y perjudicar seriamente seriamente al deudor. 4.1.1

METODO DE RENTAS.

Este es otro de los métodos, también utilizados para amortizar créditos y deudas, y su fórmula de cálculo se deriva del sistema de progresiones geométricas, por lo que los cálculos o estimaciones de los intereses tienden a crecer en función al tiempo, a diferencia del método de saldos saldos deudores, lo hemos considerado con la finalidad de tener una visión comparativa de las bondades de los métodos, en matemática financiera ll, se aspira sea vista con detenimiento cuando se estudie el sistema de anualidades. Bajo este método y dependiendo de la política de la institución financiera, se pueden construir tablas de amortización mensuales, trimestrales, semestrales y anuales. La fórmula par determinar el valor del capital de una anualidad, aplicable a los casos de préstamo esta dada por:

j   1  1   m   C R va j m

m* t

Producto del despeje correspondiente se puede determinar la fórmula de la renta, para periodos anuales y fraccionarios fraccionar ios de tiempo. C * R

Períodos enteros donde:



R 

C * i

1  1  i 

n

j m

 j  1  1    m 

 m*t

Períodos fraccionarios fraccionarios Docente Hernán Arellano Díaz

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R = renta o anualidad. Representa la cuota de pago o de amortización de los capitales dados en préstamo. Está compuesto este valor por una parte del capital más el interés correspondiente. Se la distingue porque su valor es de carácter carácter periódico constante. C = valor de capital dado en préstamo, se conoce también como capital valor actual u original. j = tasa nominal nominal o de contrato contrato i = tasa efectiva teórica anual. Se la encuentra dividiendo la tasa nominal o de contrato para el número de periodos de actualización o de pago. Esta dada por: j / m m = períodos de actualización actualización en relación al año referencial establecido establecido en matemática financiera ( 1 año, 12 meses, meses, 360 días ) Estos periodos pueden ser quincenales quincenales (24 (24 en el año), mensuales (12 en el año), bimensuales, bimensuales, (6 en el año), trimestrales, trimestrales, (4 en el año), semestrales (2 en el año), y anuales (1 en el año), estos períodos períodos no tienen que ver con con el tiempo t propiamente propiamente dicho. t = periodo de tiempo establecido entre la suscripción y el vencimiento. vencimiento. n (m*t) = número de periodos de actualización en función al tiempo, se encuentra multiplicando m*t. Este procedimiento procedimiento busca la la determinación determinación o cálculo cálculo de cuantos periodos de actualización actualización se encuentran contenidos en el tiempo establecido en el problema, así si el tiempo del préstamo es de 2 años y los periodos de pago se acuerdan sean mensuales entonces en ese tiempo existirá 24 periodos de pago o actualizaciones. actualizaciones. Si el tiempo es de 3 años 6 meses y los periodos de pago establecidos son trimestrales, trimestrales, entonces existirán 14 periodos de pago trimestrales en ese tiempo Se recomienda para la transformación de m*t que el tiempo establecido en el problema, previamente sea transformado a años. 4.1.2

METODO DE SALDOS DEUDORES.

El método de Saldos Deudores, tiene la la particularidad de que los valores establecidos en la columna cuotas de pago, monto periódico o amortización del crédito, son descendentes, y es una forma de distinguirse distinguirse del Método de Rentas, Rentas, pues este método registra valores o cuotas de pago pago constantes o fijas. Sin embargo y como ya se lo ha señalado el Método de saldos, al ser su modelo matemático similar al de una progresión aritmética, que se verifica cuando, la razón o diferencia entre los términos de cada una de las columnas columnas intereses y cuotas de de pago son constantes, de ahí que utilizando ciertos procedimientos procedimientos generados por por las progresiones progresiones nos permitirán obtener o calcular cuotas cuotas de pago constantes constantes o fijas, o las sumatorias sumatorias o totales de las columnas columnas Intereses, y Cuotas de pago, lo que sin duda significa un ahorro de tiempo, tiempo, especialmente especialmente cuando se trata de préstamos de largo plazo, 60, 120, 180 meses, a través de las siguientes formulas:


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donde:

Cuota Fija



Cuota Fija



n(a1 u) 2 n a1  u 2

a1= primer término u = último termino a1+(n-1)d n = # términos o número de cuotas de pago d = diferencias d = (a2 - a1)

Otra maneta de encontrar las cuotas fijas también esta dado por: Cuota fija = Monto total / # cuotas de pago

n = # términos o número de cuotas de pago Suma de los términos. Adicional a la posibilidad de encontrar una cuota fija, otra de las características características de la utilización utilización del sistema de progresiones es el determinar la suma de términos, que es aplicable únicamente a las columnas Intereses, y cuotas de pago de la tabla de amortización del método de saldos deudores de capital. Suma de términos

S = n/2 ( a1 + u )

Donde:

n = # términos o número de cuotas de pago a1= primer término u = último termino termino que es igual: a1+( n-1)d d = diferencias diferencias d = (a2 - a1)

Para encontrar la cuota de pago que se quiera basta utilizar la fórmula del último término, con la particularidad particularidad que n o número de términos representa representa el numero e cuota de pago que se requiera encontrar. Cuota buscada = a1+(n-1)d

4.2

MODALIDADES OPERATIVAS

4.2.1

TABLAS DE AMORTIZACIÓN CON TASAS DE INTERES REAJUSTABLES.

Modalidad aplicada a Saldos deudores como a Rentas en la cual de acuerdo a la política utilizada por la institución financiera financiera se acuerda que la tasa de interés sea reajustable cada cada cierto periodo Docente Hernán Arellano Díaz

145

de tiempo, sea cada trimestre, o semestre, esto en función a las condiciones macroeconómicas y financieras del país. 4.2.2

TABLAS DE AMORTIZACIÓN CON CUOTAS DE PAGO VENCIDAS.

Procedimiento Procedimiento aplicado únicamente a las cuotas de pago que habiéndose fijado la fecha exacta de pago, por diversas razones el deudor no las puede cancelar en esa fecha acordadas o pactadas para lo cual la institución financiera debe cobrar una tasa de castigo que formalmente formalment e se se denomina como tasa de mora, que asciende a 1.1 veces la tasa de interés fijada en el contrato de crédito. Debemos resaltar que de acuerdo a lo establecido en la Ley Orgánica de Defensa del Consumidor, en la parte referida a los derechos y obligaciones que tienen los consumidores de bienes y servicios; se hace relación a que ningún organismo está autorizado a cobrar intereses sobre intereses, en el caso de las operaciones de crédito, particularmente cuando un usuario no ha podido pagar las cuotas pactadas en las fechas respectivas, y sufre demoras o retrasos en los mismos. Su cálculo debe hacerse exclusivamente sobre el saldo del capital pendiente de pago. Es decir, que cada vez que cancele una cuota periódica, el interés debe ser calculado tomando como base el capital de la cuota adeudada, esto con la finalidad de evitar que se cobre sobre el total del capital adeudado. 4.2.3

TABLAS DE AMORTIZACIÓN CON PERIODOS DE GRACIA.

Modalidad aplicable a créditos corporativos de largo plazo, en la que los recursos serán destinados exclusivamente a proyectos de carácter productivo, y en los cuales se establece que los primeros meses o años, los dineros dados en préstamo, estarán orientados al montaje de la planta de producción, producción, por por lo cual se se les da un tiempo denominado denominado de gracia, para que una vez iniciado el arranque de la producción y posterior venta de los productos, pueda generarse ingresos frescos en la empresa, con los cuales pueda cubrir sus obligación contraídas. 4.3

MATEMÁTICA DE CASOS.

Suponga que la empresa Alfa desea desea realizar un préstamo préstamo a corto plazo, el día de hoy bajo las las condiciones siguientes: Capital $ 2.500; Tiempo 6 meses; Tasa de interés nterés 20 % anual. Año base Iso, te. Los pagos de las las cuotas o amortización amortización del crédito son mensuales. mensuales. Establezca las conclusiones técnicas correspondientes, correspondie ntes, tendientes a determinar las características característi cas de cada método. Calcular las cuotas de pago por el Método de Saldos Deudores de Capital y por el Método de Rentas o Anualidades. Anualidades. Con los datos del ejemplo desarrollado en la opción a, construya tablas para: Opción b) tiempo de de 12 meses (préstamo corto plazo) plazo) Opción c) tiempo de 24 meses (préstamo mediano) Opción d) tiempo tiempo de 60 meses meses (préstamo largo plazo) Opción e) tiempo de 120 meses (préstamo largo plazo) Docente Hernán Arellano Díaz

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1.

METODO SALDOS DEUDORES DE CAPITAL

DATOS: Capital: $ 2500 Tiempo: 6 meses (corto plazo) Tasa : 20 % anual Modalidad: Pagos mensuales Fechas : Interés simple ordinario tiempo exacto Isote Una vez diseñada la tabla de amortización se sugiere seguir la siguiente metodología. VALOR DE LA CUOTA DE CAPITAL PERIÓDICA Cp Cper = Capital total / # cuotas de pago Cper = $ 2500 / 6 cuotas Cper = $416,67 cada cuota (en este caso mensual) CALCULO DEL INTERES SIMPLE PERIODICO Interés cuota 1 Is 1/6 = Csic Csic * t * i Is 1/6 = $ 2. 500 * 1 período mensual *0,20/12 Is 1/6 = $ 41,67 Interés cuota 2 Is 2/6 = Csic * t * i Is 2/6 = $ 2. 083.33 * 1 período mensual mensual *0,20/12 Is 2/6 = $ 34,72 Interés cuota 3 Is 3/6 = Csic * t * i Is 3/6 = $ 1.666,66 1.666,66 * 1 período período mensual *0,20/12 Is 3/6 = $ 27,78 Interés cuota 4 Is 4/6 = Csic * t * i Is 4/6 = $ 1.249,99 1.249,99 * 1 período período mensual *0,20/12 Is 4/6 = $ 20,83 Interés cuota 5 Is 5/6 = Csic * t * i Is 5/6 = $ 833,32 833,32 * 1 período mensual *0,20/12 Is 5/6 = $ 13,89 Interés cuota 6 Is 6/6 = Csic * t * i Is 6/6 = $ 416,65 416,65 * 1 período período mensual *0,20/12 Is 6/6 = $ 6,94 CALCULO DE LOS MONTOS SIMPLES PERIODICOS Msp. ( O CUOTAS DE PAGO) El monto a pagar o cuota de pago periódica, se encuentra sumando el valor del capital mas el interés mensuales ( columna 1 +2 ) Msp 1/6= C+Is Msp 1/6= 416,67+41,67 Msp 1/6 = $458,34 Docente Hernán Arellano Díaz

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METODO DE SALDO DEUDORES DE CAPITAL Empresa Alfa Capital $ 2500 Tasa interés 20% anual Tiempo 6 meses Suscripción: Suscripción : 18-Mayo FECHA

DETALLE

18-May 17-Jun 17-Jul 16-Ago 15-Sep 15-Oct 14-Nov

Préstamo # 231 Abono cuota 1/6 Abono cuota 2/6 Abono cuota 3/6 abono cuota 4/6 abono cuota 5/6 abono cuota 6/6

CAPITAL CAPITAL INTERES MONTO SALDO PERIODICO PERIODICO PERIODICO INSOLUTO 1 2 3 = 1+ 2 4 = 4-1 ---------------------$2.500,00 $416,67 $41,67 $458,34 $2.083,33 $416,67 $34,72 $451,39 $1.666,66 $416,67 $27,78 $444,45 $1.249,99 $416,67 $20,83 $437,50 $833,32 $416,67 $13,89 $430,56 $416,65 $416,67 $6,94 $423,61 -$0,02 $2.500,02 $145,83 $2.645,85

Como podemos notar, este este método basado en el Interés Simple Simple representa un sistema equitativo equitativo y justo, tanto para el deudor como para el acreedor, por la simple razón de que los intereses periódicos son calculados sobre los saldos insolutos de las deudas de capital, lo que genera que las cuotas de pago sean descendentes, producto del cálculo de los intereses que tienden a bajar por este hecho, tal como se observa en la tabla de Amortización de Saldos Deudores de Capital, sin embargo de ello es factible encontrar una cuota fija de pagos periódicos a través de la utilización del sistema de progresiones aritméticas. Los intereses totales en este caso ascienden a $145,83 en un tiempo de seis meses. 2.

METODO SALDOS RENTAS I/O ANUALIDADES.

DATOS: Capital: $ 2500 Tiempo: 6 meses (corto plazo) Tasa : 20 % anual Modalidad: Pagos mensuales Fechas : Interés simple ordinario tiempo exacto Isote Una vez diseñada la tabla de amortización se sugiere seguir la siguiente metodología. CALCULO DE LA RENTA; INTERESES; CAPITAL; SALDO INSOLUTO DE CAPITAL. Fórmula de la renta para periodos fraccionarios de tiempo. C * R 

j m

 j  1  1    m 

 m*t


148

Cálculo del valor de la Renta. Antes de aplicar la fórmula de la renta es conveniente tener en cuenta en el ejemplo que el tiempo t=6 meses, debo transformarlo a años, dividiendo para 12 meses que tiene el año referencial así: t= 6/12, (o por medio de una regla de tres simple). t= 0,5 años o 0,5 partes del año. )12 periodos mensuales de pago o actualización en 1 año * ( t = 0,5 años) Entonces: m*t = ( m )12 Con estas consideraciones aplicamos la formula de la renta así: $2.500 50 0 *

R



R

 $44 1,31

0.20   1 1  12  

0.20 12

(12 *0,5..años )

El valor obtenido valor obtenido de $442, 31 dólares dólares representa, el valor de la renta, es decir la cantidad fija fija y periódica que se debe cancelar cada mes durante el tiempo de 6 meses, con la finalidad de extinguir, la deuda que fuere contraída por de $2500 dólares. Este valor esta compuesto de una parte de capital más una de interés, por tanto al conocer el valor de la renta, se puede determinar previo a construir la tabla de amortización el valor total a pagar o monto, así como los interés totales respectivos así: Monto total a pagarse = R * # de cuotas de pago Monto total a pagarse = $441,31 *6 cuotas de pago Monto total a pagarse = $ 2.647,86 Total Interese pagados = Monto – capital préstamo Total Interese pagados = $2.647,86 -$ 2.500 Total Interese pagados = $ 147,86

Cálculo del valor de los intereses, capital periódico y Saldos insolutos. Interés 1/6 = C sic * t * i Interés 1/6 = $ 2.500 * 1 pago periódico periódico mensual mensual * 0,20/12 Interés 1/6 = $ 41,67 Capital periódico periódico = Monto periódico - Interés periódico Capital periódico = $ 441,31 - $ 41,67 Capital periódico periódico = $399,64 $399,64 Capital Saldo Insoluto = C sic – sic – capital periódico Capital Saldo Insoluto = $2.500 - $399,64 Capital Saldo Insoluto = $ 2.100,36 Docente Hernán Arellano Díaz

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Interés 2/6 = C sic * t * i Interés 2/6 = $ 2.100,36 * 1 * 0,20/12 Interés 2/6 = $ 35,01 Capital periódico periódico = Monto periódico - Interés periódico Capital periódico periódico = $ 441,31 - $ 35,01 35,01 Capital periódico = $ 406,30 Capital Saldo Insoluto = C sic – sic – capital periódico Capital Saldo Insoluto = $2.100,36 - $405,30 Capital Saldo Insoluto = $ 1694,05 Realizados todos los cálculos, es decir hasta el interés cuota 6/6, procederemos a llenar los datos de tal forma que quede estructurado de la siguiente manera. METODO DE RENTAS I/O ANUALIDADES Empresa Alfa Capital $ 2500 Tasa interés 20% anual Tiempo 6 meses Suscripción : 18-Mayo CAPITAL INTERES MONTO FECHA DETALLE PERIODICO PERIODICO PERIODICO 1=3 - 2 2 3 18-May Préstamo # 231 17-Jun Abono cuota 1/6 $399,64 $41,67 $441,31 17-Jul Abono cuota 2/6 $406,30 $35,01 $441,31 16-Ago Abono cuota 3/6 $413,08 $28,23 $441,31 15-Sep Abono cuota 4/6 $419,96 $21,35 $441,31 15-Oct Abono cuota 5/6 $426,96 $14,35 $441,31 14-Nov Abono cuota 6/6 $434,08 $7,23 $441,31 $2.500,02 $147,84 $2.647,86

SALDO INSOLUTO 4= 4 – 1 $2.500,00 $2.100,36 $1.694,05 $1.280,98 $861,02 $434,06 -$0,02

Como podemos observar en el sistema de Rentas, los valores a pagar o montos periódicos son constantes o iguales convirtiéndose en la particularidad de este método, sin embargo como una manera de observar la evolución y comportamiento de los capitales así como los intereses periódicos se ajustan criterios basados en el interés simple para cumplir este cometido, por lo l o que suele ser confundido con el método de saldos deudores de capital. RESUMEN DE RESULTADOS TIEMPO 6 MESES MESES Crédito de corto plazo TOTALES METODO CAPITAL INTERES Matemático $2.500,00 $ 250,00 Saldos Deudores de Capital $2.500,00 $ 145,83 Rentas I/0 anualidades $2.500,00 $ 147,04

MONTO $2.750,00 $2.645,83 $2.647,04


150

Ya hemos indicado, que uno de los objetivos al plantear los métodos para amortizar los préstamos, era el observar la existencia de modelos matemático financieros, y fundamentalmente darnos cuenta de su comportamiento operativo y resultados, para al ser comparados establecer conclusiones y aprender a tomar decisiones técnicamente sustentadas. Existen técnicas de evaluación financiera comúnmente usadas en los estudios de las diferentes alternativas de endeudamiento, que se basan en la tasa interna de retorno TIR. y valor actual neto VAN. Aplicables a negocios pequeños, medianos y grandes, bajo el ambiente económico actual, que nos permiten sobre la base de sus resultados determinar la bondad de tal o cual alternativa de financiamiento. Estas técnicas para su valoración objetiva deben tomar mucho en cuenta, a mas de los resultados que se puedan encontrar, ciertos factores como el comportamiento inflacionario, los niveles de riesgo, la incertidumbre, las tasa de interés y sus variaciones a través del tiempo, costo de oportunidad, entre otros otros factores. factores. “Total no hay regla de Arquitectura aplicable aplicable a un castillo en el aire”. Autor anónimo. Sin embargo de esto podemos afirmar que pueden existir otros métodos alternativos de valoración no tan exactos, que igualmente buscan determinar el método de amortización más conveniente, como por ejemplo la fórmula de rentabilidad financiera, o simplemente la cuantificación total de los Intereses, que nos permita ver cual de los métodos hace que un usuario pague mas o menos cantidad de dinero por concepto de interés de los préstamos, que están siendo amortizados. Rentabilidad Rentabilidad Financiera Financiera (Total Interés / total total capital) *100%

Cuantitativamente al cumplirse el objetivo de integrar comparativamente los métodos más comunes, para las operaciones de préstamos, vemos claramente que el Método de saldos deudores registra el menor valor de todos $ 145,83, ligeramente superior al método de rentas con $1,21 dólares en el corto plazo y muy superior el método matemático con 250 dólares en 6 meses, lo que confirma su ilegalidad como método válido de cálculo de amortizaciones o préstamos. El análisis para un crédito de largo plazo puede confirmar ciertas variaciones o criterios de crecimiento de los niveles de interés en función al tiempo, pues estos dependerán del método que se decida a utilizar sea los basados en las progresiones aritméticas aritméticas y geométricas y que qu e se podrán visualizar en el desarrollo de las otras opciones de financiamiento propuesto. METODO SALDOS DEUDORES DE CAPITAL Empresa Alfa Capital $ 2500 Tasa interés 20% anual Tiempo 12 meses Suscripción 18 de mayo CAPITAL INTERES VALOR A FECHA DETALLE PERIODICO PERIODICO PAGAR 18-May Préstamo # 231 18-Jun abono cuota 1/12 $208,33 $41,67 $250,00 18-Jul abono cuota 2/12 $208,33 $38,19 $246,53

SALDO INSOLUTO $2.500,00 $2.291,67 $2.083,33


151

18-Ago 18-Sep 18-Oct 18-Nov 18-Dic 18-Ene 18-Feb 18-Mar 18-Abr 18-May

abono cuota 3/12 abono cuota 4/12 abono cuota 5/12 abono cuota 6/12 abono cuota 7/12 abono cuota 8/12 abono cuota 9/12 abono cuota 10/12 abono cuota 11/12 abono cuota 12/12

R

R



$208,33 $208,33 $208,33 $208,33 $208,33 $208,33 $208,33 $208,33 $208,33 $208,33 $2.500,00

$2.500 *

 .20  1 1  12   23 1,59  $231

$34,72 $31,25 $27,78 $24,31 $20,83 $17,36 $13,89 $10,42 $6,94 $3,47 $270,83

$243,06 $239,58 $236,11 $232,64 $229,17 $225,69 $222,22 $218,75 $215,28 $211,81 $2.770,83

$1.875,00 $1.666,67 $1.458,33 $1.250,00 $1.041,67 $833,33 $625,00 $416,67 $208,33 $0,00

.20 12

 (12meses ..1año *1año )

METODO RENTAS I/O ANUALIDADES Empresa Triángulos Cuadrados. Capital $ 2500 Tasa interés 20% anual Tiempo 1año (pagos mensuales) Suscripción 18 de mayo CAPITAL INTERES VALOR A FECHA DETALLE PERIODICO PERIODICO PAGAR 18-May Préstamo # 231 18-Jun abono cuota 1/12 $189,92 $41,67 $231,59 18-Jul abono cuota 2/12 $193,09 $38,50 $231,59 18-Ago abono cuota 3/12 $196,31 $35,28 $231,59 18-Sep abono cuota 4/12 $199,58 $32,01 $231,59 18-Oct abono cuota 5/12 $202,90 $28,69 $231,59 18-Nov abono cuota 6/12 $206,29 $25,30 $231,59 18-Dic abono cuota 7/12 $209,72 $21,87 $231,59 18-Ene abono cuota 8/12 $213,22 $18,37 $231,59 18-Feb abono cuota 9/12 $216,77 $14,82 $231,59 18-Mar abono cuota 10/12 $220,39 $11,20 $231,59 18-Abr abono cuota 11/12 $224,06 $7,53 $231,59 18-May abono cuota 12/12 $227,79 $3,80 $231,59 $2.500,05 $279,03 $2.779,08 RESUMEN DE RESULTADOS TIEMPO 12 MESES ( Crédito Corto Plazo ) TOTALES METODO CAPITAL INTERES

SALDO INSOLUTO $2.500,00 $2.310,08 $2.116,99 $1.920,68 $1.721,10 $1.518,20 $1.311,91 $1.102,19 $888,97 $672,19 $451,80 $227,75 -$0,05

MONTO


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Saldos Deudores de Capital Rentas i/o anualidades

$2.500,00 $2.500,00

$270,83 $279,03

$2.770,83 $2.779,03

Comentario: OPCION c) préstamo mediano plazo DATOS: Capital: $ 2500 Tiempo: 24 meses (mediano plazo) Tasa :20 % anual Modalidad: Pagos mensuales Fechas : Interés simple ordinario tiempo exacto Isote METODO SALDOS DEUDORES DE CAPITAL Capital $ 2500 Tasa interés 20% anual Tiempo 24 meses Suscripción 18 de mayo CAPITAL INTERES VALOR A SALDO FECHA DETALLE PERIODICO PERIODICO PAGAR INSOLUTO 18-May Préstamo # 231 $2.500,00 18-Jun abono cuota 1/24 $104,17 $41,67 $145,83 $2.395,83 $2.395,83 18-Jul abono cuota 2/24 $104,17 $39,93 $144,10 $2.291,67 $2.291,67 18-Ago abono cuota 3/24 $104,17 $38,19 $142,36 $2.187,50 $2.187,50 18-Sep abono cuota 4/24 $104,17 $36,46 $140,63 $2.083,33 $2.083,33 18-Oct abono cuota 5/24 $104,17 $34,72 $138,89 $1.979,17 $1.979,17 18-Nov abono cuota 6/24 $104,17 $32,99 $137,15 $1.875,00 $1.875,00 18-Dic abono cuota 7/24 $104,17 $31,25 $135,42 $1.770,83 $1.770,83 18-Ene abono cuota 8/24 $104,17 $29,51 $133,68 $1.666,67 $1.666,67 18-Feb abono cuota 9 /24 $104,17 $27,78 $131,94 $1.562,50 18-Mar abono cuota 10/24 $104,17 $26,04 $130,21 $1.458,33 18-Abr abono cuota 11 /24 $104,17 $24,31 $128,47 $1.354,17 18-May abono cuota 12/24 $104,17 $22,57 $126,74 $1.250,00 18-Jun abono cuota 13/24 $104,17 $20,83 $125,00 $1.145,83 18-Jul abono cuota 14/24 $104,17 $19,10 $123,26 $1.041,67 18-Ago abono cuota 15/24 $104,17 $17,36 $121,53 $937,50 18-Sep abono cuota 16 /24 $104,17 $15,63 $119,79 $833,33 18-Oct abono cuota 17/24 $104,17 $13,89 $118,06 $729,17 18-Nov abono cuota 18/24 $104,17 $12,15 $116,32 $625,00 18-Dic abono cuota 19/24 $104,17 $10,42 $114,58 $520,83 18-Ene abono cuota 20/24 $104,17 $8,68 $112,85 $416,67 18-Feb abono cuota 21/24 $104,17 $6,94 $111,11 $312,50 18-Mar abono cuota 22/24 $104,17 $5,21 $109,38 $208,33 18-Abr abono cuota 23/24 $104,17 $3,47 $107,64 $104,17 18-May abono cuota 24/24 $104,17 $1,74 $105,90 $0,00 $2.500,00 $520,83 $3.020,83


153

$2.500 500 * R 

.20   1  1   12   R  $127 127 ,24

.20 12

( 2años *12meses / 1año )

METODO SALDOS RENTAS I/O ANUALIDADES Empresa : Capital $ 2500 Tasa interés 20% anual Tiempo 24 meses Suscripción 18 de mayo CAPITAL INTERES VALOR A SALDO FECHA DETALLE PERIODICO PERIODICO PAGAR INSOLUTO 18-May Préstamo # 231 $2.500,00 18-Jun abono cuota 1/24 $85,57 $41,67 $127,24 $2.414,43 18-Jul abono cuota 2/24 $87,00 $40,24 $127,24 $2.327,43 18-Ago abono cuota 3/24 $88,45 $38,79 $127,24 $2.238,98 18-Sep abono cuota 4/24 $89,92 $37,32 $127,24 $2.149,05 18-Oct abono cuota 5/24 $91,42 $35,82 $127,24 $2.057,63 18-Nov abono cuota 6/24 $92,95 $34,29 $127,24 $1.964,69 18-Dic abono cuota 7/24 $94,50 $32,74 $127,24 $1.870,19 18-Ene abono cuota 8/24 $96,07 $31,17 $127,24 $1.774,12 18-Feb abono cuota 9 /24 $97,67 $29,57 $127,24 $1.676,45 18-Mar abono cuota 10/24 $99,30 $27,94 $127,24 $1.577,15 18-Abr abono cuota 11 /24 $100,95 $26,29 $127,24 $1.476,20 18-May abono cuota 12/24 $102,64 $24,60 $127,24 $1.373,56 18-Jun abono cuota 13/24 $104,35 $22,89 $127,24 $1.269,21 18-Jul abono cuota 14/24 $106,09 $21,15 $127,24 $1.163,12 18-Ago abono cuota 15/24 $107,85 $19,39 $127,24 $1.055,27 18-Sep abono cuota 16 /24 $109,65 $17,59 $127,24 $945,62 18-Oct abono cuota 17/24 $111,48 $15,76 $127,24 $834,14 18-Nov abono cuota 18/24 $113,34 $13,90 $127,24 $720,80 18-Dic abono cuota 19/24 $115,23 $12,01 $127,24 $605,57 18-Ene abono cuota 20/24 $117,15 $10,09 $127,24 $488,43 18-Feb abono cuota 21/24 $119,10 $8,14 $127,24 $369,33 18-Mar abono cuota 22/24 $121,08 $6,16 $127,24 $248,24 18-Abr abono cuota 23/24 $123,10 $4,14 $127,24 $125,14 18-May abono cuota 24/24 $125,15 $2,09 $127,24 -$0,01 $2.500,01 $553,75 $3.053,76 RESUMEN DE RESULTADOS TIEMPO 24 MESES ( Crédito Mediano Plazo ) TOTALES METODO CAPITAL INTERES Saldos Deudores de Capital $2.500,00 $520,83 Rentas I/0 anualidades $2.500,00 $553,75

MONTO $3.020,83 $3.053,75


154

Comentario. OPCION d) préstamo largo plazo DATOS: Capital: $ 2500 Tiempo: 60 meses (largo plazo) Tasa :20 % anual Modalidad: Pagos mensuales Fechas : Interés simple ordinario tiempo exacto Isote RESUMEN DE RESULTADOS TIEMPO 60 MESES MESES ( Crédito Largo Plazo ) TOTALES METODO CAPITAL INTERES Saldos Deudores de Capital $2.500,00 $1.270,83 Rentas I/0 anualidades $2.500,00 $1.474,08

MONTO $3.770,83 $3.974,08

OPCION e) préstamo largo plazo RESUMEN DE RESULTADOS TIEMPO 120 MESES ( Crédito Largo Plazo ) TOTALES METODO CAPITAL INTERES Saldos Deudores de Capital $2.500,00 $2.520,83 Rentas I/0 anualidades $2.500,00 $3.297,67

MONTO $5.020,83 $5.797,67

Gráficamente el comportamiento de los interés totales se visualizaría asi:

METODOS AMORTIZACION AMORTIZACION Intereses Interese s Globales $3,297.67

$3,500.00 $3,000.00

$2,520.83 $2,500.00 $2,000.00 $1,500.00 $1,000.00 $500.00 $0.00 Saldos Deudores de Capital

1

Rentas I/0 anualidades


155

4.4

METODO DE SALDOS DEUDORES MEDIANTE PROGRESIONES.

Como ya lo hemos mencionado, mencionado, el Método de Saldos Deudores Deudores de Capital, Capital, por medio de la utilización de las fórmulas establecidas en el Sistema de Progresiones Aritméticas, se pueden realizar algunos cálculos que podríamos denominarlos como abreviados o rápidos para encontrar la Cuota de pago fija (a diferencia de la tradicional cuota de pago descendente que es la característica cuando se construye normalmente la tabla de amortización de saldos deudores), o las sumatorias o totales de las columnas columnas Intereses, y Cuotas de pago, lo que sin duda significa significa un ahorro de tiempo, especialmente cuando se trata de préstamos de largo plazo, 60, 120, 180 meses. Igualmente resulta resulta interesante interesante poder encontrar encontrar la cuota que se desea desea a través de la fórmula del último termino. Para poder aplicar adecuadamente las fórmulas relacionadas con las progresiones se recomienda construir las primeras 3 filas del cuadro de amortización correspondiente. correspondiente. MATEMÁTICA DE CASOS Con los datos de los ejercicios anteriores capital $2500 dólares, tiempo 12meses, tasa de interés 20 % anual se determine: a) b) c) e)

Las cuotas fijas o promedios de los montos periódicos. Los totales de la columna 2 correspondiente correspondiente al interés periódicos. periódicos. Los totales de la columna 3 a los montos periódicos. La cuota de pago numero 8/12

DATOS: Capital: $ 2500 Tiempo: 24 meses (mediano plazo) Tasa :20 % anual Modalidad: Pagos mensuales Fechas : Interés simple ordinario tiempo exacto Isote Construimos las primeras tres líneas de la tabla de amortización y la última cuota.: TABLAS DE AMORTIZACIÓN SALDOS DEUDORES Capital $ 2500 Tasa interés 20% anual Tiempo 12 meses Suscripción 18 de mayo CAPITAL INTERES VALOR A CUOTA FIJA SALDO FECHA DETALLE A PAGAR INSOLUTO MENSUAL MENSUAL PAGAR 18-May Préstamo # 231 $2.500,00 18-Jun abono cuota 1/12 $208,33 $41,67 a1 $250,00 a1 $230,90 CF $2.291,67 18-Jul abono cuota 2/12 $208,33 $38,19 a2 $246,53 a2 18-May

abono cuota 12/12

$208,33 $2.500,00

$3,47 u $270,83

$211,81 u $2.770,83

$2.770,83


156

OPCION a) Encontramos los los interés totales totales (columna 2). Ultimo término

u =a1 + (n -1)d d =(a2- a1) u = $41,666667 + (12-1)($38,1945-$41,666667) (12-1)($38,1945-$41,666667) u = $ 3,47283//

Suma de los términos S = n/2 (a1 + u) S = 12/2 ($41,6666+ $ 3,472) S = $ 270,83 // OPCION b) Encontramos los montos totales (columna 3). Ultimo término

u =a1 + (n -1)d d =(a2- a1) u = $ 250 + (12-1) ($246,53-$ 250) u = $ 211,81//

Suma de los términos S = n/2 (a1 + u) S = 12/2 ($250+ $ 211,81) S = $ 2.770,83// OPCION c) Encontramos los cuotas fijas, promedios o constantes. Cuota fija = Monto total / n Cuota fija = $ 2.770,83//12 Cuota fija = $ 230,90// Cuota Fija



a1  u 2

Cuota fija = $250+ $211,81/2 Cuota fija = $230,90//

OPCION e) Encontramos la cuota número 8/12 Cuota de pago 8

u8/12 =a1 + (n -1)d d =(a2- a1) u8/12= $ 250 + (8-1) ($246,53-$ 250) u8/12 = $ $225,69 //

La tabla de amortización completa una vez realizado los cálculos correspondientes tendría la siguiente presentación, presentación , en la cual podremos verificar la exactitud y veracidad de los cálculos realizados


157

TABLAS DE AMORTIZACIÓN SALDOS DEUDORES Capital $ 2500 Tasa interés 20% anual Tiempo 12 meses Suscripción 18 de mayo

4.5

CAPITAL INTERES MENSUAL MENSUAL

FECHA

DETALLE

18-May 18-Jun 18-Jul 18-Ago 18-Sep 18-Oct 18-Nov 18-Dic 18-Ene 18-Feb 18-Mar 18-Abr 18-May

Préstamo # 231 abono cuota 1/12 abono cuota 2/12 abono cuota 3/12 abono cuota 4/12 abono cuota 5/12 abono cuota 6/12 abono cuota 7/12 abono cuota 8/12 abono cuota 9/12 abono cuota 10/12 abono cuota 11/12 abono cuota 12/12

$208,33 $41,67 a1 $208,33 $38,19 a2 $208,33 $34,72 $208,33 $31,25 $208,33 $27,78 $208,33 $24,31 $208,33 $20,83 $208,33 $17,36 $208,33 $13,89 $208,33 $10,42 $208,33 $6,94 $208,33 $3,47 u $2.500,00 $270,83

CUOTA SALDO FIJA A INSOLUTO PAGAR $2.500,00 $250,00 a1 $230,90 $2.291,67 $246,53 a2 $230,90 $2.083,33 $243,06 $230,90 $1.875,00 $239,58 $230,90 $1.666,67 $236,11 $230,90 $1.458,33 $232,64 $230,90 $1.250,00 $229,17 $230,90 $1.041,67 $225,69 $230,90 $833,33 $222,22 $230,90 $625,00 $218,75 $230,90 $416,67 $215,28 $230,90 $208,33 $211,81 u $230,90 $0,00 $2.770,83 $2.770,83 VALOR A PAGAR

TABLAS DE AMORTIZACIÓN CON TASAS DE INTERES REAJUSTABLES

Un procedimiento procedimient o utilizado por la banca con respecto al sistema de de créditos, en una economía incierta como la nuestra, es el proteger sus inversiones crediticias a través de la implementación de créditos con el sistema sistema de tasas de interés reajustables, reajustables, generalmente generalmente trimestrales. trimestrales. Con este mecanismo como es usual se delega al deudor del crédito el riesgo de una eventual subida de la tasa de interés por efectos como ya lo hemos señalado señalado de la situación económica económica política y social del país. Con la finalidad de visualizar como se opera bajo este mecanismo se ilustra el siguiente caso: La empresa Vega SA. desea realizar realizar un préstamo préstamo a corto plazo, el día día de hoy bajo bajo las condiciones siguientes: siguientes: Capital $ 2.500; Tiempo 6 meses; Año base Iso, te. Los pagos de las cuotas o amortización del crédito son mensuales. Las tasa de interés son reajustables trimestralmente y tuvieron el siguiente comportamiento Primer Trimestre Segundo Trimestre Tercero Trimestre Cuarto Trimestre

20% 17% 12% 15%

Calcular las cuotas cuotas de pago pago por el de Saldos Deudores Deudores de Capital Capital y Método Método de Rentas o Anualidades. Docente Hernán Arellano Díaz

158

METODO SALDOS DEUDORES DE CAPITAL Empresa Vega SA Capital $ 2500 Tasa interés “reajustable “reajustable trimestralmente” trimestralmente” Tiempo 12 meses Suscripción CAPITAL INTERES VALOR A SALDO FECHA DETALLE PERIODICO PERIODICO PAGAR INSOLUTO $2.500,00 18-May Préstamo # 231 18-Jun 18-Jul 18-Ago

abono cuota 1/12 abono cuota 2/12 abono cuota 3/12

$208,33 $208,33 $208,33

$41,67 $38,19 $34,72

$250,00 $246,53 $243,06

$2.291,67 $2.083,33 $1.875,00

18-Sep 18-Oct 18-Nov


$208,33 $208,33 $208,33

26.56 $23.61 $20.65

$234.89 $231.94 $228.98

$1.666,67 $1.666,67 $1.458,33 $1.250,00

18-Dic 18-Ene 18-Feb


$208,33 $208,33 $208,33

$12.5 $10.42 $8.33

$220.83 $218.75 $216.66

$1.041,67 $833,33 $625,00

18-Mar 18-Abr 18-May


$208,33 $208,33 $208,33 $2.500,00

$7.81 $5.21 $2.60 $ 232.27

$216.14 $213.54 $210.93 $ 2732.27

$416,67 $208,33 $0,00

Cálculo renta renta primer trimestre i= 20% t= 12 meses meses 1 año R 

$2.500 * .20   1  1   12  

.20 12

(12 meses.*1año)

R  $231,59

Cálculo renta segundo trimestre i= 17% t= 9 meses 0.75 años R 

$1920.68. * 0.17   1  1   12  

0.17 12

(12 meses.*0, 75 años )

R  $ 228.81

Cálculo renta tercer tercer trimestre i= 12% t= 6 meses 0,5 años años $1307.27 * R 



0.12 



12 

1  1 

0.12 12

(12meses*..0.75años )



R  $ 225.57

Cálculo renta cuarto trimestre i= 15% t= 3 meses 0,25 años Docente Hernán Arellano Díaz

159

R 

$617.93 * 0.15   1  1   12  

0.15 12

(12 meses.*0.25 años )

R  $211.15

METODO RENTAS I/O ANUALIDADES Empresa Vega SA. Capital $ 2500 Tasa interés 20% anual Tiempo 1año (pagos mensuales) Suscripción CAPITAL INTERES VALOR A FECHA DETALLE PERIODICO PERIODICO PAGAR 18-May Préstamo # 231 18-Jun 18-Jul 18-Ago

abono cuota 1/12 abono cuota 2/12 abono abono cuota 3/12

$189,92 $193,09 $196,31

$41,67 $38,50 $35,28

$231,59 $231,59 $231,59

18-Sep 18-Oct 18-Nov 18-Dic 18-Ene 18-Feb 18-Mar 18-Abr 18-May

abono cuota 4/12 abono cuota 5/12 abono cuota 6/12 abono cuota 7/12 abono cuota 8/12 abono cuota 9/12 abono cuota 10/12 abono cuota 11/12 abono cuota 12/12

$201.6 $202,90 $207.35 $ 212.49 $ 214.62 $ 217.22 $ 203.43 $ 205.97 $ 208.54 $2.500,05

$27,21 $24.35 $21.45 $ 13.07 $ 10.94 $ 8.35 $ 7.72 $ 5.18 $ 2.61 $191.31

$228.81 $228.81 $228.81 $225.57 $225.57 $225.57 $211.15 $211.15 $211.15 $2.691.36

SALDO INSOLUTO $2.500,00 $2.310,08 $2.116,99 $1.920,68 $1719.08 $1514.62 $1307.27 $1049.77 $835.15 $617.93 $414.50 $208.53 $0.01


160

UNIDAD 4

4 4.1 4.2 4.3 4.4 4.4.1 4.4.2 4.5 4.5.1 4.5.2 4.6 4.6.1 4.6.2 4.7

MATEMATICA PARA LA TOMA DE DECISONES GERENCIALES SERIES COMPUESTAS DE FLUJO DE CAJA ESTIMACION DE LA TASA PERTINENTE DE DESCUENTO O COSTO PROMEDIO PONDERADO Kp ESTRUCTURA DE FINANCIAMIENTO Y CALCULO DEL COSTO PROMEDIO PONDERADO CALCULO E INTERPRETACION DEL VALOR ACTUAL CRITERIO DE DECISION CASOS CALCULO E INTERPRETACION DE LA RAZON COSTO BENEFICIO CRITERIO DE DECISION CASOS CALCULO E INTERPRETACION DE LA TASA INTERNA DE RETORNO CRITERIO DE DECISION CASOS MATEMATICA DE CASOS


161


AUTOVERIFI CACION


162

PLANIFICACION DE LA ACTIVIDAD ACADEMICA RESULTADOS DEL EVALUACION DE CONTENIDOS APRENDIZAJE APRENDIZAJES Unidades / temas (Evidencias) (objetivos específicos) Presentar técnicas existentes para evaluar los negocios y estandarizar, el efecto del tiempo en el valor del dinero de manera tal que las diferencias nominales sean reconocidas en términos constantes en dólares actuales.

 



Plantear técnicas que permitan evaluar ideas de negocios de servicio o producción para visualizar su rentabilidad, a través de las herramientas financieras Valor actual neto. VAN valor actual neto y TIR tasa Valor actual neto (VAN): interna de retorno a través del Concepto, fórmulas y gráficos. cual se determine una tasa de Tasa interna de retorno (TIR), intereses que establezca una conceptos, métodos de igualdad entre una suma cálculo. presente y la suma de sus Matemática de casos. valores presentes de un flujo de valores futuros Comparar flujos de efectivos futuros esperados con la inversión inicial sobre la misma base del tiempo. Desarrollar un criterio matemático - técnico que los capacite para la toma de decisiones financieras en forma eficiente, efectiva y económica


Semana 13 a 15 Clases presenciales 12 horas. 6 horas de  Control de autoestudio. lectura comprensiva del texto de apoyo a través El estudiante deberá de valoración oral o preparar los temas escrita. previa su asistencia a las clases.  Matemática de casos y deberes de Consultas puntuales ejercitación y auto podrán ser hechas al preparación, valorados profesor mediante el a través de prueba uso del correo escrita. electrónico [email protected]  Participación u.ec)) o mediantes el u.ec en trabajo Grupal de sistema de atención cada uno de los al estudiante. integrantes El maestro actuará Desarrollo de como un facilitador,  Trabajo de por lo tanto, es investigación. Uno por obligación de los cada parcial. estudiantes traer preparados los temas  Pruebas correspondientes a parciales de los cada sesión, de contenidos manera que puedan establecerse Presentación de los intercambio de casos desarrollados al opiniones sobre los finalizar usando Excel. temas tratados


163

4

MATEMATICA PARA LA TOMA DE DECISIONES GERENCIALES

Son criterios de decisión que toman en cuenta el valor del dinero en el tiempo y por lo tanto comparan valores homogéneos al someter a los flujos netos de caja a un proceso de descuento que sitúan a todos estos flujos de caja en el mismo punto de origen que la inversión, permitiendo una correcta evaluación de los proyectos. La tasa de descuento que se utiliza para poner los flujos de caja a valor presente o actual se denomina “COSTO PROMEDIO PONDERADO DEL CAPITAL” y se refiere a la tas a mínima requerida que se debería gane en un proyecto para que éste pueda ejecutarse sin que la empresa pierda valor en el mercado y tomando en cuenta los costos de las fuentes de financiamiento utilizadas. Los principales indicadores o criterios para evaluar inversiones a largo plazo son los siguientes :    

4.1

VALOR ACTUAL NETO (VAN) RELACION BENEFICIO COSTO (B/C) PERIODO REAL DE RECUPERACIÓN (PRR) TASA INTERNA DE RETORNO SERIES COMPUESTAS DE FLUJOS DE CAJA

Para evaluar propuestas de inversión en activos fijos se debe considerar el valor presente de una serie de sumas que se recibirán en el futuro, en diferentes fechas o períodos, como resultado de una inversión inicial, la misma que ya está expresada a valor presente o actual. Lo que se se requiere en este caso es encontrar el valor presente de cada uno de los flujos de caja según el período o año en el que se reciba o pague, pague, según sea el caso. caso. ENTRADAS CAJA $700

$400

$500

$800 TIEMPO

AÑO 0 SALIDAS CAJA

1

2

3

4

(-$2000)

Siendo: : I) I ( = Inversion Inicia ( ), el monto total invertido para ejecutar el proyecto (tanto con recursos propios como ajenos)

(n) = El número de períodos, medidos generalmente en años, y que constituyen la “Duración” o “Vida Útil del Proyecto”; y, (FNCi) = El excedente en efectivo o flujo de caja de cada administración administración financiera, los mismos que quedan a disposición disposición del proyecto proyecto para recuperar la inversión. inversión. Se calculan como la Docente Hernán Arellano Díaz

164

diferencia entre los ingresos en efectivo y los egresos en efectivo de cada período y dentro del plazo o vida útil del proyecto de inversión. EJEMPLO : Un proyecto puede generar los siguientes flujos de caja durante los próximo 5 años que constituyen su vida útil: AÑO

FLUJO DE CAJA ($)

1 2 3 4 5

400 800 500 400 300

Si el costo promedio de las fuentes de FINANCIAMIENTO es del 9% anual, cuál es el monto máximo que se debe invertir? TABLA DE VALOR PRESENTE DE LOS FLUJOS DE CAJA AÑO

FLUJO NETO DE CAJA

FACTOR DE VALOR PRESENTE AL 9%

VALOR PRESENTE

1 2 3 4 5

400 800 500 400 300

0.943 0.842 0.772 0.708 0.650

366.80 673.60 386.00 283.20 195.00

VALOR PRESENTE

1.904,60

No se debe invertir más de $1904.60 $1904.60 en el proyecto a cambio cambio de recibir estos flujos flujos de caja. Si se puede invertir menos conviene ejecutarlo, si se tiene que invertir más no conviene llevar adelante el proyecto. MATEMATICA DE CASOS 1 Al señor “X” le ofrecieron la siguiente oportunidad, recibir $4.640 al finalizar el año 3 a cambio de entregar entregar $ 3.900 hoy, hoy, si el sistema sistema económico económico permite obtener obtener un rendimiento rendimiento promedio de 15% en inversiones alternativas, evalúe la conveniencia de la propuesta. 2 uál es la suma máxima que Ud., debería entregar hoy si le ofrecen otra de $10.000 al finalizar el año 4. Asuma un rendimiento rendimiento promedio de 14% en inversiones inversiones alternativas. alternativas. 3 Cuál es la suma máxima que Ud., debería entregar hoy si le ofrecen entregar las siguientes cantidades: cantidades: $3.500 al finalizar el primer año; $4.000 al finalizar el segundo año y $5.000 $ 5.000 Docente Hernán Arellano Díaz

165

al finalizar el tercer año. Suponga que Ud., podría obtener obtener un rendimiento promedio promedio de 10% anual en inversiones alternativas. 4.2 ESTIMACIÓN DE LA TASA PERTINENTE DE DESCUENTO O COSTO PROMEDIO PONDERADO DEL CAPITAL (Kp). Para el caso de proyectos de inversión inversión a largo plazo, es decir, aquellos aquellos cuya rentabilidad rentabilidad está determinada por los rendimientos futuros, es de crucial importancia la determinación de la tasa de descuento que deberá aplicarse a esos futuros rendimientos o flujos de caja, de manera de reexpresarlos en términos de valor actual y compararlos con el monto de la inversión que le demandará al inversor la ejecución del proyecto. Para que un inversionista tome una decisión relativa a la ejecución de un proyecto, deberá exigir que su inversión le rinda por lo menos una tasa igual al costo promedio de las fuentes de financiamiento del proyecto. A dicha tasa se le denomina tasa pertinente de descuento o costo promedio ponderado del capital. Desde un punto de vista práctico, para calcular el costo promedio ponderado de las fuentes de financiación utilizadas, que a su vez es la tasa a al que deben descontarse los futuros flujos de caja para determinar su valor actual, se procede a establecer en primer lugar el costo nominal de los recursos utilizados, y en segundo lugar a establecer su participación relativa en el total del FINANCIAMIENTO. El siguiente ejemplo, aclara este cálculo: 4.3 ESTRUCTURA DE FINANCIAMIENTO Y CALCULO DEL COSTO PROMEDIO PONDERADO DEL CAPITAL VALOR (USD)

% (1)

TASA NOMINAL (2)

CAPITAL SOCIAL

10.000

28.57

4.5%

1.29

PRÉSTAMO No. 1

15.000

42.86

15%

6.43

PRÉSTAMO No. 2

10.000

28.57

7.5%

2.14

INVERSIÓN TOTAL

35.000

100.00

Kp

9.86%

FUENTE DE FINANCIAMIENTO

COSTO PONDERADO DE CADA FUENTE (3 = 1 X 2)

NOTA : (a) (b) (c)

Promedio de rendimientos financieros en el sistema económico Préstamo al 20% anual nominal contratado con banco privado. Préstamo al 12% anual nominal contratado con agencia de Desarrollo

Para evaluar a esta inversión, debe usarse como Tasa Pertinente de Descuento el 9.86%, que constituye el “costo promedio ponderado” de las fuentes de financiamiento utilizadas. Docente Hernán Arellano Díaz

166

4.4

CALCULO E INTERPRETACIÓN DEL VALOR ACTUAL NETO (VAN)

La técnica del Valor Actual Actual Neto (VAN) o Valor presente presente Neto (VPN) es la que se utiliza con más más frecuencia para tomar decisiones decisiones de inversión en activos activos fijos. El valor actual neto se define como LA DIFERENCIA ENTRE EL VALOR ACTUAL DE LOS FLUJOS NETOS DE EFECTIVO DE UN PROYECTO Y LA INVERSIÓN NETA REQUERIDA. Su formulación conceptual es la siguiente: VAN = VALOR ACTUAL ACTUAL DE LOS FLUJOS NETOS DE CAJA CAJA - INVERSIÓN

En términos matemáticos financieros. VAN

=

FNC1 (1+i)1

+

FNC2 (1+i)2

+ ....... +

FNCn (1+i)t

t VAN

=

i=1

FNCi (1+i)t

1

El descuento se efectúa a una tasa equivalente equivalente al costo promedio ponderad ponderadoo del capital. Como ya se ha señalado antes, solamente si todos los flujos de caja se calculan en términos de valores actuales se pueden hacer comparaciones válidas entre ellos. 4.4.1

CRITERIO DE DECISIÓN

Si el VAN es mayor a =, aceptar el proyecto. proyecto. En caso contrario rechazarlo. rechazarlo. Cuando el VAN es mayor a O, la empresa obtendría un rendimiento mayor que el costo de oportunidad del capital y por lo tanto conviene ejecutar el proyecto. Además obtiene como rendimiento un valor mayor que el monto que invierte, aumentando su valor en el mercado. Si el VAN es igual a cero, el inversionista inversionista estará indiferente entre invertir en el proyecto o en cualquier inversión alternativa. alternativa. La decisión de inversión inversión se producirá por razones razones diferentes a la rentabilidad rentabilidad del proyecto. Si el VAN es menor que cero (negativo), el proyecto no es viable porque no permite recuperar la inversión en términos de valor actual. EJEMPLO La Empresa “Asesores Asegurados” tiene las dos alternativas de inversión siguientes para mejorar su situación en el mercado. Los datos de cada alternativa aparecen a continuación. continuación. Asuma que el costo promedio ponderado del capital es del 10% Docente Hernán Arellano Díaz

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PROYECTO "B"

PROYECTO "A" FLUJOS FACTOR DE AÑO DE CAJA VAL.ACT. ($) AL 10% 1 S/. 20.000 0,909 2 S/. 20.000 0,826 3 S/. 20.000 0,751 4 S/. 20.000 0,683 5 S/. 20.000 0,621 6 S/. 20.000 0,564 VALOR ACTUAL ACTUAL DE FNCi MENOS : INVERSION VALOR ACTUAL NETO

VALOR ACTUAL

FLUJOS FACTOR DE DE CAJA VA.ACT. ($) AL 10% S/. 18.182 S/. 45.000 0,909 S/. 16.529 S/. 22.000 0,826 S/. 15.026 S/. 20.000 0,751 S/. 13.660 S/. 13.000 0,683 S/. 12.418 S/. 13.000 0,621 S/. 11.289 S/. 13.000 0,564 S/. 87.105 87.105 VALOR ACTUAL DE FNCi : S/. 60.000 MENOS : INVERSION : -S/. 27.105 VALOR ACTUAL NETO :

VALOR ACTUAL S/. 40.909 S/. 18.182 S/. 15.026 S/. 8.879 S/. 8.072 S/. 7.338 S/. 98.407 98.407 S/. 72.000 -S/. 26.407

El proyecto “A” es preferible preferible al proyecto “B” porque tiene tiene un VAN mayor. En todo caso, ambos ambos proyectos son viables viables y conviene ejecutarlos. ejecutarlos. Si se trata de clasificarlos en orden de preferencia preferencia el proyecto “A” estaría estaría en primer lugar. Si se tratara de proyectos proyectos excluyentes, excluyentes, sólo se escogería el proyecto “A”. CALCULO E INTERPRETACIÓN DE LA RAZÓN BENEFICIO / COSTO (B/C) O ÍNDICE DE RENTABILIDAD. Este método no difiere mucho del VAN ya que utiliza los mismos flujos descontados, tanto de las entradas como de las salidas de caja. La diferencia está en que la sumatoria de las entradas a caja a actualizadas se divide entre la Inversión. RAZÓN B/C B/C = V.Actual. DE ENTRADAS ENTRADAS A CAJA INVERSIÓN

Indica el rendimiento, en términos de valor presente, que provine de cada dólar de la suma invertida. Con los datos del ejemplo anterior, tenemos: B/C = $87.080 = 1.45 $60.000

B/C = $98.381 = 1.36 $72.000 Docente Hernán Arellano Díaz

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4.5.1

CRITERIO DE DECISIÓN:

Si la razón B/C es mayor que 1, se debe aceptar un proyecto; en caso contrario rechazarlo. Si la razón B/C es mayor a 1 significa que el VAN es positivo. En consecuencia estos dos métodos dan la misma solución cuando se trata de tomar decisiones de aceptación rechazo de un proyecto. De acuerdo al ejemplo anterior, el proyecto “A” es preferible al proyecto “B”. 4.6

CALCULO E INTERPRETACIÓN DE LA TASA INTERNA DE RETORNO (TIR)

Constituye otro método ajustado en el tiempo para evaluar inversiones. Se define como la TASA DE DESCUENTO QUE HACE QUE EL VALOR PRESENTE NETO SEA CERO”: es decir, que el valor presente de los flujos de caja que genere el proyecto sea exactamente igual a la inversión neta realizada. La expresión general de la tasa Interna de Retorno es :

TIR ( r )

FNC1 + FNC2 +..... FNCn - 1 = 0 (1+i)1 (1+i)2 (1+i)t

Siendo r = Tasa Interna Interna de Retorno Retorno t i=1

FNC1 - 1 = o (1+i)t

4.6.1 CRITERIO DE DECISION: DECISION : El criterio de decisión cuando se utiliza la Tasa Interna de Retorno es el siguiente: 

Si la TIR es MAYOR que el costo promedio ponderado del capital (Kp), se debe aceptar el proyecto, en caso contrario rechazarlo. Una TIR mayor que el costo de oportunidad garantiza que el proyecto rinde más que la inversión alternativa. alternativa.

CALCULO DE LA TASA INTERNA DE RETORNO. Se calcula utilizando un sistema de aproximaciones sucesivas, partiendo de una tasa de descuento inicial que se establece en forma subjetiva la misma que se va ajustando hasta obtener dos tasas consecutivas que den como resultado un VAN positivo y otro negativo y luego, por interpolación, interpolación, se calcula la TIR del proyecto. Suponga los siguientes datos para un nuevo proyecto que va a ejecutar la empresa ABC.S.A.


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FACTOR DE FACTOR DE FLUJO DE VALOR AÑO DESCUENTO DESCUENTO CAJA PRESENTE AL 16% AL 17% 1 S/. 45.000,00 0,86207 S/. 38.793,10 0,85470 2 S/. 22.000,00 0,74316 S/. 16.349,58 0,73051 S/. 22.000,00 S/. 14.094,47 3 0,64066 0,62437 4 S/. 13.000,00 0,55229 S/. 7.179,78 0,53365 5 S/. 13.000,00 0,47611 S/. 6.189,47 0,45611 6 S/. 13.000,00 0,41044 S/. 5.335,75 0,38984 S/. 87.942,16 S/. 128.000 Inversion S/. 87.000 Inversion VAN S/. 942,16 VAN

VALOR PRESENTE S/. 38.461,54 S/. 16.071,30 S/. 13.736,15 S/. 6.937,45 S/. 5.929,44 S/. 5.067,90 S/. 86.203,79 S/. 88.000 -S/. 1.796,21

OBTENCIÓN TASA INTERNA DE RETORNO TIR POR INTERPOLACIÓN. TIR = Tdi + (TDs - TDi ) =

VANi/ (VANi – (VANi – VANs)

Siendo : TDinf = Tasa de Descuento inferior TDsup = Tasa de Descuento superior VANi = Valor actual neto a la tasa de descuento inferior VANs = Valor actual neto a la tasa de descuento superior VANi – VANi – VANs = Diferencia entre los valores actuales netos obtenidos a las tasas de descuento inferior y superior.

(VAN)

Con los datos del ejemplo, la TIR vale : TIR = 0,16 + (0,17 – (0,17 – 0,16) =

942,16 942,16 – 942,16 – (- 1.796,21)

TIR = 0,16 + 0,01 942,16 = 0.16 + 0,00344058667749 0,00344058667 749 = 0,160034405= 2738.37 TIR = 16.0034% Si se asume que el costo promedio ponderado ponderado del capital es de 14% el proyecto es aceptable, es decir, debe ejecutarse.


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REPRESENTACIÓN GRAFICA DE LA TASA INTERNA DE RETORNO VAN 6.000 5.000 4.000 3.000 2.000 1.000

16,77% 12

13

14

15

16

17

1.000 2.000


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INSTRUCTIVO TRABAJO GRUPAL O TRABAJO EN EQUIPO El aprendizaje colaborativo en el aula prepara a los estudiantes para el tipo de trabajo en equipo e intercambio crítico que necesitarán necesitarán para convertirse en miembros miembros útiles de sus empresas y comunidades comunidades en el futuro.

“Un equipo es un pequeño número de personas con habilidades complementarias, complementarias, que están comprometidas con un propósito común, unas metas de desempeño y un enfoque de trabajo, por los que todos se sienten mutuamente responsables”. Se esperan de los alumnos: responsabilidad individual, cumplimento de roles y compromiso con las tareas. CARACTERISTICAS:   

Es una actividad de aprendizaje colaborativo: sumar esfuerzos y aprovechar el apoyo mutuo para aprender más. Se basa en objetivos y resultados compartidos. Grupos de 3 o 4 estudiantes.

PROCEDIMIENTOS PROCEDIMIENTOS / INSTRUCCIONES. INSTRUCCIONES. -

Definan quién dirigirá la actividad grupal. Presenten los ejercicios ejercicios en una hoja hoja de papel ministro Constituyan grupos de trabajo Realicen una actividad de máximo 80 minutos con el grupo

ACTIVIDAD: EVALUACION:


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BIBLIOGRAFIA

BIBLIOGRAFIA BASICA MORA ZAMBRANO armando; (2010), “Matemática Financiera”, Bogota Colombia, tercera

edición, ed Alfaomega.

Armando Mora es ecuatoriano, profesor universitario de prestigiosas prestigiosa s universidades universidade s del país, Master en Administración de Empresas MBA. Su libro está orientado a estudiantes de ciencias administrativas, Contables, económicas, comerciales, bancarios y similares. Está diseñado especialmente para que el estudiante universitario y politécnico pueda abordar sin ayuda los conceptos básicos de la matemáticas financieras, ejercitarse y evaluar su propio aprendizaje, por esta razón lo hemos puesto bibliografía básica. En este libro podemos observar la existencia de temas relacionados con Interés Simple, descuentos, cuentas de ahorro, interés compuesto, anualidades, amortización y fondo de amortización, VAN, Valor actual neto y TIR, tasa interna de retorno, prácticamente se abordan todos los temas que se analizarán en nuestras clases regulares. Lo interesante de estos capítulos es que son abordados con una metodología fácil y sencilla que permite al estudiante comprender y analizar cualquier problema que se plantee en el interesante mundo de las matemáticas financieras. BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTARIA DIAZ - AGUILERA;( 2010) “Matemática Financiera”, México Distrit o Federal, Cuarta edición, ed McGraw-Hill. Alfredo Díaz y Víctor Aguilera docentes de la prestigiosa Universidad Nacional Autónoma de México, Facultad de Contaduría y Administración, Administraci ón, han producido este libro de Matemática Financiera, que lo hemos tomado como complementario por la interesante cantidad de ejercicios propuestos y porque proporciona al estudiante competencias en áreas relacionadas con interés compuesto, rentas, y anualidades ciertas simples y vencidas de amplio uso en el caso ecuatoriano. ecuatorian o. Igualmente aborda interesantemente interesanteme nte casos relacionados con anualidades anticipadas, diferidas entre otros temas. Particularmente este libro será de uso como complementario en los temas de interés compuesto y anualidades. Villalobos josé Luis (2009) ; “Matemática Financiera”, México Distrito Federal, Tercera edición, ed Pearson Prentice Halll El Dr. Villalobos es Master en enseñanza de las matemáticas, matemáticas , docente de Universidad Autónoma de Guadalajara, México, Su libro de Matemática Matemática Financiera lo he puesto como bibliografía complementaria dada la gran cantidad de ejercicios y problemas planteados y resueltos, inclusive usando dos o más métodos de solución y de una forma creativa propone propone momo herramienta herramienta de análisis los diagramas de tiempo y valores, que sin lugar a dudas constituyen una gran ayuda para los estudiantes que buscan consolidar los conocimientos en matemática financiera. Este libro se orienta a brindar al estudiante técnicas básicas para aplicar en forma adecuada los procedimientos procedimientos matemáticos financieros que les facilite conocer el uso del dinero en inversiones y financiamiento, financiamiento, su valor y su capacidad de comprar a través del tiempo así como su aplicación en proyectos de inversión (valor actual neto y tasa interna de retorno). Docente Hernán Arellano Díaz

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ALVAREZ Alberto (2009); “Matemática Financiera”, Bogota Colombia, tercera edición, ed

MgGraw Hill

Ingeniero Industrial, Industrial, Alberto Álvarez Álvarez Arango de nacionalidad nacionalidad Colombiana, Colombiana, es Docente Docente de la Universidad Autónoma Latinoamericana de Medellín y presenta un texto básico muy sugestivo toda vez que en forma creativa profundiza un poco más en temas relacionados con tasas efectivas y propone ejercicios de monto compuesto y de rentas vinculando este tipo de temas. Aborda creativamente sistema de rentas y anualidades incluyente gradientes y proponiendo interesantemente interesantemente sistemas integrados integrados y agregados útiles para calcular calcular métodos de amortización. Este autor expone métodos de amortización en el cual se puede visualizar el comportamiento de la inflación y del dinero en términos corrientes y constantes sistema UPAC, y por ultimo presenta algunos capítulos orientado a la toma de decisiones gerenciales a través del valor actual neto y costo anual uniforme uniforme equivalente equivalente CAUE, y la tasa interna interna de retorno. Este texto texto es muy útil útil para quienes están interesados en profundizar minuciosamente el interesante campo de las matemáticas financieras. Todos los temas presentados en este texto están relacionados con programas académicos académicos de prestigiosas universidades universidades de américa latina así como en el ejercicio práctico de los profesionales del área financiera. BODIE-MERTON (2003); “Finanzas”, México Dis trito Federal, Primera edición revisada, ed Pearson Robert Merton compartió el premio Nobel de de Economía en1997 dando un enfoque moderno a la teoría de las finanzas, es profesor universitario de la universidad de Harvard y por su reconocimiento reconocimiento mundial me permito recomendar recomendar el libro Ingeniería Financiera, Financiera, porque a través de este podemos ver como la matemática financiera adquiere los ribetes de alta ingeniería orientada a la toma de decisiones. decisiones. Me permito permito recomendar recomendar los capítulos 1 al 4, en donde se abordan abordan temas como Las finanzas y el Sistema Financiero (capitulo 1al 3), la asignación de tiempo y de recursos (capítulo 4) con temas como: capitalizaciones, valor presente, anualidades, Amortización de préstamos, inflación y análisis fe flujo descontado. Por cultura general este libro debería ser revisado y analizado por los estudiantes estudiantes que sientan cierta inclinación inclinación e interés por otra forma de aplicar las matemáticas financieras.


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Metodologías de enseñanza: Instrucciones para implementar implementar el Programa Instituciones Instituciones empresarios y profesionales profesionales de éxito Este programa como mínimo deberá contener: 1. Objetivos de aprendizaje: Debe expresar con claridad lo que se espera que el estudiante aprenda o logre mediante esta actividad, complementando algún aspecto importante de la asignatura. 2. Justificación: Debe explicarse la utilidad que tiene para los estudiantes el conocer más sobre ese tema en particular. 3. Perfil del invitado: Se requiere la descripción concreta del perfil básico del experto a invitar, en relación con: su formación y/o experiencia en el tema, su campo de trabajo y/o sus logros al respecto, etc. Seria excelente si se menciona el nombre de un experto en el tema, unido a su cualificación para ampliar la visión de los estudiantes sobre el mismo. 4. Plan de realización: Debe explicitar: qué debe hacer el experto, como alguien que agrega valor y muestra la aplicación de la teoría a la práctica, no como conferencista sobre el tema; Qué debe hacer el profesor (antes, durante y/o después) para ayudar a los estudiantes a aprovechar al máximo esta actividad Qué deben hacer los estudiantes estudiantes (antes, durante durante y/o después) para aprovechar aprovechar la actividad y lograr los objetivos propuestos. propuestos. 5. Forma de evaluación: Explicar de qué manera podrán verificar el profesor y los estudiantes que se han logrado los objetivos de aprendizaje propuestos: quizá, trabajo individual o grupal, presentación de un ensayo, debate, etc., explicitando las preguntas o problemas a resolver.


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Normas para la realización de las tareas Casos para ser resueltos Lecturas complementarias Trabajo de investigación Test de autovaloración Actividades y tareas a Realizarse Temas para aplicación componente práctico Temas componente investigativo. (Puede ser este: bibliográfico o de campo) Guía de investigación Lecturas Complementarias TABLAS DE AMORTIZACION CON PERIODOS DE GRACIA. Hacer calculo de cuotas de pago atrasadas; cuotas de pago anticipadas Calculo de las cuotas con saldos insolutos y reconstrucción de cuotas. FONDOS DE ACUMULACION. Calculo de las cuotas con saldos insolutos y reconstrucción de cuotas. EJERCICIOS METODO DE SALDOS DEUDORES CON EL SISTEMA DE EJERCICIO SALDOS COMPENSATORIOS. I. II.

un ejercicio para los encajes. Si la tasa de interés es del 20% anual y el encaje es del 2*1. Encajes con tablas 6 meses 12 meses, 24 meses. Hacer una tabla con todos los costos, descontados los impuestos del crédito y en otros casos aumentados.

Tabla con enteres reajustadle reajustadle RENTAS Tabla con progresiones. HACER TABLAS CON PERIODOS DE GRACIA, OTRAS FORMAS DE TABLA TABLA DE AMORTIZACION ALBERTO ALVAREZ. Docente Hernán Arellano Díaz

TEXTO BASICO

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