´ EJERCICIOS UNIDAD 3 TERMODINAMICA
RAFAEL GUILLERMO TOSCANO NEGRETE CARLOS FARID GENES QUINTERO
´ ROSBEL JIMENEZ
´ TERMODINAMICA
´ UNIVERSIDAD DE CORDOBA ´ FACULTAD DE CIENCIAS BASICAS ´ DEPARTAMENTO DE F´ISICA Y ELECTRONICA PROGRAMA DE F´ISICA
´ MONTER´IA - CORDOBA MARZO - 2015
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EJERCICIOS UNIDAD III ´ TERMODINAMICA
15 de abril de 2015
Problemas Zemanski 7 Edici´ on Ejercicio 3.1 Un contenedor de metal con paredes delgada, de volumen V contiene un gas a alta presi´on. Conectado a un contenedor por un tubo capilar con llave de paso. Donde la llave de paso es abierta ligeramente, el gas se fugas lentamente en un cilindro equipado que no presenta filtraci´on, pist´on sin fricci´on, donde la presi´on permanece constante al valor atmosf´erico P 0 . (a) Mostrar que, despu´ es de tanto gas como sea posible se ha filtrado, una cantidad de trabajo se ha hecho, donde V 0 es el volumen del gas a presi´on atmosf´erica y temperatura. W = −P 0 (V 0 − V ) (b) ¿Cu´anto trabajo se llevar´ıa a cabo si el gas se filtr´ o directamente a la atm´ osfera? Soluci´ on
(a) Tenemos que la ecuaci´on de trabajo est´a dada por W = − 2
P dV
Figura 1: Imagen problema 3.1
Donde el volumen inicial es V , el volumen cedido por la filtraci´on es V 0 , o sea el volumen final, y tenemos que la presi´on en el cilindro permanece constante a un valor P 0 ⇒ V 0
W = −P 0
dV
V
W = −P 0 [V ]V V
0
W = −P 0 (V 0 − V ) (b) Cuando el gas es filtrado directamente a la atmosfera tenemos que el trabajo est´a dado por W = −P 0 (V 0 − V ) Donde V que es el volumen del gas inicial, cuando este es filtrado a la atmosfera es cero, pero tenemos que el sistema es el que realiza trabajo, por tanto el trabajo es negativo, por tanto la ecuaci´on anterior nos queda 3
W = P 0 V 0
Ejercicio 3.2 (a) Muestran que el trabajo realizado un gas ideal durante el quasi est´atica, la expansi´on isot´ermica de un pi presi´on inicial a P i presi´on final P f viene dado por P f W = nRTln P i (b) Calcular el trabajo realizado cuando la presi´on de 1mol de un gas ideal se reduce cuasi est´atica de 20 a 1mol, la temperatura permanece constante a 20C (R = 8,31J/mol · deg) Soluci´ on V
(a) Sea el trabajo dado por W = − V if P dV adem´as tenemos que la ecuaci´ on de l gas ideal es P V = nRT como el proceso es isot´ermico, entonces P =
nRT V
Reemplazando la expresi´on de presi´on en la ecuaci´on de trabajo se tiene que V f
W = − −
V i
nRT dV V
Por lo que esto ser´ıa W = nRTln
V i V f
(1)
pero la presi´on P i esta dada por P i = nRT y la presi´on P f es P f = nRT V i V f ⇒ P i V i = nRT y P f V f = nRT igualando ambas expresiones se tiene la siguienete relaci´on V i P f = V f P i Resta sustituir (2) en (1), al final se tiene que
4
(2)
W = nRTln (b) Calculando el trabajo entonces
W = (1mol)(8,31J/mol · deg)(20C )ln
P f P i
1atm ∗ 100 = 20atm ∗ 100
−497,890J
Ejercicio 3.3 Una c´amara adiab´ atica con paredes r´ıgidas consiste de dos compartimientos, una contiene un gas y la otra un gas evacuado; la partici´on entre las dos es retirada s´ ubitamente. ¿Es el trabajo hecho durante una infinitesimal porci´on de este proceso (llamado una expiaci´on a diab´atica libre) igual a P dV ? Soluci´ on
La respuesta es que no, ya que como la separaci´on entre las dos camara es retirada s´ubitamente, el cambio de valor de las variables tambi´ en ser´a muy brusco, en pocas palabra no se tiene un proceso cuasi-est´atico, lo que nos hace deconocer el comportamientos de las varaibles, ya que no se tiene un camino o proceso que registrar.
Ejercicio 3.4 (a) Calcular el trabajo realizado en la expansi´o n de 1mol de un gas cuasi est´atica y isot´ermica de volumen v i a un volumen v f , cuando la ecuaci´on de estado es a P + 2 (v − b) = RT v Donde a y b son las constantes de Van Der Waals
(3)
(b) Si a = 1,4E 9 N · m4 /mol y b = 3,2E −5 m3 /mol, ahora el trabajo es dado donde el gas se expande desde un volumen de 10litros a un volumen de 22,4litros en 20C
5
Soluci´ on
(a) de acuerdo a al ecuaci´on de trabajo W = molar v = V n entonces ndv = dV ⇒
Vf
− V i
P dV sea el volumen
V f
W = −
Pndv
V i
donde n = 1mol entonces
V f
W = −
(4)
P dv
V i
Despejamos a la presi´on de la ecuaci´on (3) se tiene que P =
RT v−b
−
a v2
(5)
Sustituyendo (5) en la ecuaci´on (4) se tiene que V f
W = −
V i
RT v−b
Resolviendo la integral se tiene al final que
−
a v2
⇒
dv
1 1 − W = −RT [ln(vf − b) − ln(vi − b)] − a vf vi (b) tomando la ecuaci´on (6) se tiene que
(6)
W = 7,7499E 10 J
Ejercicio 3.5 Durante una expansi´on cuasi-est´atica de un gas en un contenedor adiab´atico, la presi´on en cualquier momento est´a dado por la ecuaci´on P V γ = K Donde γ y K son constantes. Mostrar que el trabajo hecho por la expansi´on desde el estado (P i , V i ) a un estado (P f , V f ) es W = −
P f V f − P i V i γ − 1 6
Si la presi´on y volumen inicial es de 10 6 P a y 10−3 m3 , respectivamente, y los valores finales son 2 × 105 P a y 3,16 × 10−3 m3 , respectivamente, ¿Cu´anto trabajo es hecho en un gas teniendo a γ = 1,4? Soluci´ on
Tenemos que la ecuaci´on del trabajo est´a dada por W = −
P dV
de la ecuaci´on de la presi´on tenemo que P V γ = K K V γ Reemplazando el valor anterio de la presi´on en la ecuaci´on del trabajo tenemos que P =
V f
W = −K
V i
Resolviendo tenemos
W = −
dV V γ
V f
V −γ +1 K 1 − γ
K V W = V γ γ + 1
V i
V f V i
Donde K/V γ es la presi´on del gas, ademas sabemos que la presi´on est´a cambiando de un P i a un P f , entonces nos queda que
P V W = γ + 1 W =
P f V f P i V i
P f V f − P i V i γ + 1
⇒
7
P i V i − P f V f γ + 1 ⇒ Ahora tomamos los valores de γ = 1,4, y las condiciones iniciales y finales para el volumen y presi´on. P i = 1 × 10 6 P a, P f = 2 × 105 P a, V i = 1 × 10−3 m3 , y V f = 3, 16 × 10−3 m3 W = −
⇒
(1 × 106 P a)(1 × 10−3 m3 ) − (2 × 105 P a)(3, 16 × 10−3 m3 ) W = − 1,4 + 1 W = −920J
Ejercicio 3.6 Un cilindro vertical fijo cerrado por su parte superior, contiene un gas cuyo volumen puede variarse mediante un pist´on sin fugas, son rozamiento y de peso w (a) ¿Qu´e trabajo ha de realizado un agente exterior para comprimir el gas en una cantidad dV , elavando el pist´on una distancia dy? (b) si este dispositivo se utiliza como parte de un motor, cual es la expresi´on es apropiado para calcular el trabajo neto entregada o recibida de los alrededores? (c) si este dispositivo se utiliza s´olo para producir los cambios de temperatura del gas, cual es la espresi´on para el trabajo ser´ıa apropiada Soluci´ on
(a) Tenemos que el trabajo esta dado por W = − P dV ; la presi´o n es , donde A es el ´area del cilindro y es igual a A = dV por ende la nueva P = F A dy expresi´on a´ra la presi´on ser´ıa P = W
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dy dV
Figura 2: Balanza de resorte
entonces W = −
W dy
(b) Tenemos que P V = nRT ⇒ V = nR para una peque˜na variaci´on P T , nR tenemos que dV = P dT , reemplaz´andolo en la ecuaci´on del trabajo W = −
nR P dT = P
se´a la ecuaci´on del gas ideal V = nRT P 1
⇒ y dV
1 W = + PnRT 2 dP = P
nRdT
= −nRT P 1 dP por tanto 2
nRT dP P
Tomando que la temperatura en el motor es constante
Ejercicio 3.7 La presi´o n de 100g de N´ıquel es incrementado cuasi-est´aticamente y a temperatura constante desde 0 a 500atm. Asumiendo que la densidad y la compresibilidad isot´ermica permanecen constantes a un valor de 8, 90 × 103 Kg/m3 y 6, 75 × 10−12 P a−1 , respectivamente, calcule el trabajo.
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Soluci´ on
Tenemos que la ecuaci´on del trabajos est´a dada por: W = −
P dV
Donde dV lo podemos expresar como dV =
∂V ∂P
dP + T
∂V ∂T
dT
P
Pero tenemos que el proceso se hace bajo la condici´on que la temperatura sea constante, entonces dV =
∂V ∂P
dP T
Pero tenemos que la compresibilidad isot´ermica se define como 1 κ = − V
= −κV
∂V ∂P
⇒
∂V ∂P
⇒
T
T
dV = −κV dP Reemplazando dV en la explesi´on del trabajo tenemos que W =
κPVdP
donde V y κ son constantes, por tanto P f
W = κV
P dP
P i
P 2 W = κV 2
10
P f P i
W =
κV 2 [P f − P i2 ] 2
W =
κV 2 [P ] 2 f
donde V =
0, 1Kg m = = 1, 123 × 10−5 m3 3 3 8, 9 × 10 Kg/m D
La presi´on final en pascales esta dada por
101325P a 500atm = 50662500P a = P f 1atm ⇒
(6, 75 × 10−12 P a−1 )(1, 123 × 10−5 m3 ) [(50662500P a)2 ] W = 2 ⇒
W = 9, 7 × 10−2 J
Ejercicio 3.8 (a) La tensi´on de un alambre se aumenta isot´ermica y cuasi- est´aticamente desde J i hasta J f . Si la longitud, la secci´on transversal y el m´odulo de Young isot´ermico permanecen pr´aticamente constante, demostrar que el trabajo realizado es L ( J f 2 − J i2 ). W = 2AY (b) La tensi´on en un alambre de 1m de longitud y de 0,001cm2 de ´area se incrementa cuasi-estaticamente y isot´ermicamente a 20C desde 10N a 100n . Ahora se determinar´a el traabajo deado si el modulo de Young’s isotermico a 20C es 1,23E 11 N/m2
11
Soluci´ on
EL trabajo debido a una varilla es Lf
W =
(7)
J dL
Li
donde se tiene que J correspondiente ala tensi´on de la varilla y L a la longitud de ella, como el preseco es isot´ermico es decir a temperattura costante, entonces ka funci´on eta descrito como F (J , L , T ) una peque˜ na variaci´on de la longitud se tiene que L = F L (J , T ) ⇒
∂L ∂ J
dL =
Por otro lado tenemos que dJ =
dJ + T
∂L ∂T
dT
(8)
dT
(9)
J
J = F J (L, T ) ⇒
∂ J ∂L
dL + T
∂ J ∂T
L
Sstituyendo (9) en (8) se tiene que dL = ⇒
dL =
∂L ∂ J
∂ J ∂L
T
∂L ∂ J
T
∂ J ∂L
dL + T
dL + T
∂ J ∂T
dT ] +
L
esto implica que
∂L ∂ J
∂ J ∂T
T
∂L ∂ J
∂L ∂ J
⇒
T
∂ J ∂L
∂ J ∂L
T
∂L ∂ J
dT J
Si consideramos a T constante, entonces dL =
∂L ∂T
=
T
12
dL T
=1
T
1
∂ J ∂L T
+
L
∂L ∂T
J
dT
Notar que el modulo de Young es Y = relaci´on ∂ ∂L es J T
∂L ∂ J
= T
L A
∂ J , ∂L T
al final se tiene que la
L AY
(10)
Reemplazando la ecuaci´on (10) en la ecuaci´on (8) se tiene que dL =
L d J AY
(11)
Luego reemplazamos la ecuaci´on (11) en la encuaci´on (7), entonces J f
W =
J i
L L J d J = AY AY
J f
J dJ =
J i
L [ J f 2 − J i 2 ] 2AY
donde se tiene que A, L, Y son constante entonces el trabajo esta dado por L [ J f 2 − J i 2 ] 2AY (b) Haciendo el calculo para hallar el trabajo tenemos que W =
(12)
W = 36, 585J
Ejercicio 3.9 La ecuaci´on de estado de una sustancia el´astica ideal es
L J = KT L0
L 20 − 2 L
Donde K es una constante y L0 (el valor de L para tensi´o n cero) es funci´on solo de la temperatura. Calcule el trabajo necesario para comprimir la sustancia desde L = L 0 hasta L = L 0 /2 cuasi-est´aticamente y temperatura constante. Soluci´ on
Tenemos que la expresi´on del trabajo est´a dada por W =
13
J dL
⇒ L0 /2
W =
L0
L KT L0
Donde K T son constantes
L0 /2
L 20 − 2 L
L 20 L2
dL
W = K T
L0
1 W = K T L0
L L0
−
L0 /2
L0 /2
2 0
LdL − L
L0
L0
L2 L 20 + W = K T 2L0 L L20 2L20 + W = K T 8L0 L0 W = KT
dL
−
dL L2
L0 /2 L0
L20 2L0
L0 L 0 + 2L0 − 8 2
L 20 − L0
− L0
5 W = KT L0 8
Ejercicio 3.10 Demostrar que e traba jo necesario para henchir una burbuja esf´erica de jab´on de radio R por un proceso isot´ermico y cuasi- est´ atico, a la presi´on 2 atmsf´erica, es igual a 8πγR Soluci´ on
La burbuja esta formada por dos laminas superficiales esfericas muy pr´oximas entre s´ı, por tanto l traba jo sobre la burbuja es dW = 2γdA
(13)
Pero dc es a circunfencia o longitud, dado que la esfera tiene volumen V = 4 no volumen se´ıa dV = 34 πR2 dR y para el ´area tenemos que πR 3 un peque˜ 3 dA = 8πRdR, ⇒ (14) dA = 8πRdR 14
Sustituyendo la ecuaci´on (14) en la ecuaci´on (13) entonces dW = 16γπRdR Por tanto el trabajo vendr´ıa dado de tal forma W =
16γπRdR = 8γπR2
note que la integral es cerrada debido a que la burbura es una secci´on cerrada, entonce se tiene que el trabajo es W = 8πγR2 Donde γ es la tensi´on superficial (N/m)
Ejercicio 3.11 Una celda electroqu´ımica, en el que reacciona Cu + Hg2 SO 4
→
2Hg + CuSO4
Se lleva a cabo, est´a conectado a un motor que tiene una fuerza electromotriz (fem) s´olo ligeramente m´as peque˜ n o que la fem de la celda. La fem de la celda est´a dada por Ecuaci´on (2.14), con ξ 20 = 0, 3497V , α = −6, 35 × 10−4 V/deg, β = −2, 4 × 10−6 V/deg 2 , y γ = 0. Si la celda permanece a una temperatura constante de 25 ◦ C y 0, 1mol de cobre reaccionan, entonces ¿cu´anto trabajo se realiza en el motor? Soluci´ on
La ecuacion (2.14) no dice que ξ = ξ 20 + α(θ − 20◦ C ) + β (θ − 20◦ C )2 + γ (θ − 20◦ C )3 La ecuaci´on para el trabajo est´a dada por Z f
W =
ξdZ
Zi
W = ξ (Z f − Z i ) 15
Donde (Z f − Z i ) = ∆njF donde F es la constante de Faraday’s y tiene un valor de 96 , 485C donde C es medida de carga electrica en coulomb, j es la valencia y tiene valor de −2. ⇒
W = [ξ 20 + α(θ − 20◦ C ) + β (θ − 20◦C )2 + γ (θ − 20◦ C )3 ]∆njF Reemplazando los valores de las variables tenemos que W = [0, 3497V −6, 35×10−4 V/deg(5◦ C )−2, 4×10−6 V/deg 2 (25◦ C 2 )](0, 1mol)(−2)(96500C ) W = −6, 69 × 103 J
Ejercicio 3.12 La ecuaci´on de estad de un diel´ectrico es V ρ = xE siendo x una funci´on de la temperatura. Demostrar que el trabajo realizado en un cambio de estado isot´ermico y cuasi- est´atico vieen dado por W =
1 Vx 2 [ρ2f − ρ2i ] = (E f − E i2 ). 2V x 2
Soluci´ on
se tiene que para un diel´ectrico el trabajo es dW = Edρ Se tiene que V ρ = xE ⇒ E = trabajo (15 ) , entonces
ρ y xV
(15)
reemplazando esto en la ecuaci´on del
ρ dρ xV luego integrando de ρi a ρf entonces se tiene dW =
W =
1 (ρ2f − ρ2i ) 2xV 16
o bien se tiene que dW = Edρ donde xV dE = dρ, Entonces dW = xV EdE ⇒
xV 2 [E f − E i2 ] 2 al final se tiene que el trabajo W realizado sobre un materia diel´ectrico es W =
1 xV 2 (ρ2f − ρ2i ) = [E f − E i2 ] 2xV 2 donde ρ corresponde al momento el´ectrico total del material, E es el campo electrico que hay entre las placas. W =
Ejercicio 3.13 Probar que el trabajo hecho cuasi-est´aticamente y a temperatura constante durante el cambio de estado de una sustancia paramagn´etica obedece a la ley de Curie’s y est´a dada por µ0 T 2 µ0 C c 2 (Mf − M2i ) = (Hf − Hi2 ) 2C c 2T Donde C c is la constante de Curie W =
Soluci´ on
Tnemos que el trabajo est´a definico como: W = µ 0
HdM
donde por la ley de Curie’s tenemos que M
=
HC c
T
⇒
dM =
dHC c T
Reemplazando d M en el trabajo 17
µ0 C c W = T W =
Hf
HdH
Hi
µ0 C c 2 Hf [H ]Hi 2T
⇒
µ0 C c 2 (Hf − H2i ) 2T Por otro, tenemos que podemos escribir la ley de Curie’s como W =
H
=
MT
C c Reemplazando en la definici´ on del trabajo tenemos que µ0 T W = C c W = ⇒
W =
Mf
MdM
Mi
µ0 T 2 Mf [M ]Mi 2C c
µ0 T 2 (Mf − M2i ) 2C c
Ejercicio 3.14 un volumen de 200cm3 de sustancia paramagn´etica se mantiene a temperatura constante. el campo magn´etico se incrementa cuasi est´atica y isot´ermicamente desde 0 a 10E 6 A/m. Supongamos que la ley de Curie de sujetar y la constante de Curie por unidad volumen es 1,885K/m3 (a) C´omo muco trabajo tendr´ıa que hacer si no hay material estuvieron presentes? (b) la cantidad de trabajo que se hace para cambiar la magnetizaci´on total del material cuando la temperatura es 300K y cuando es 1K (c) la cantidad de trabajo que se hace para cambiar la magnetizaci´on total entre el generador que suministra la corriente? 18
Soluci´ on
(a) tenemos que el trabajo sobre un toroide esta dado por dW = V µo HdH + µo HdH
(16)
Como no existe materia en el interor de enrrollamiento toroidal, magnetizaci´on M = 0 por lo qu tendr´ıamos que se segundo termino de a ecuaci´on anterior es nula, entonces dW = V µo HdH luego el trabajo para una excitaci´on magn´etica
Hi
a
Hf
es
V µo 2 [Hf − H2i ] 2 entonces reemplazando los valores se tiene que W =
(2E −4 m3 )(4πE −7 N/A2 ) [(10E 6 A/m)2 − 02 ] = 12,5E 1 J W = 2 (b) µo (1,885K/m3 ) (1E 1 2A2 /m2 )(2E −4 m3 ) = 0,8J W = 600k
19
