FACULTAD DEINGENIERÍA
UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRÉS FACULTAD DE INGENIERÍA CURSO PREFACULTATIVO – GESTIÓN I / 2008
TERCER EXAMEN PARCIAL
ÁREA: MATEMÁTICA
FECHA: 17/06//2008
TIEMPO DE DESARROLLO DEL EXAMEN: 90 MINUTOS NO ESTÁ PERMITIDO EL USO DE CALCULADORAS ***************************************************************************************************************************************************
1. Parte uno
A. (5 puntos) En un trapezoide simétrico, sus lados opuestos son.
a) Iguales y Paralelo
b) Paralelos solamente
c) sólo iguales
d) No tienen relación
B. (5 puntos) El suplemento suplemento del complemento de la mitad mitad del ángulo x es: es:
a) 90
x
180
2
b) 180
90 2
x
c) 90
90
f) 180
x 2
a) Infinita
x
2
e) 6Π R2
x
90
C. (5 puntos) La recta cuya ecuación es dada por
180
d) 90 2
y a , cuenta con una pendiente:
b) Paralela al eje de ordenadas c) No tiene pendiente
d) Cero
D. (5 puntos) La cantidad total de diagonales que se pueden trazar en un octágono es:
a) 54
b) 60
c) 70
d) 45
e) 20
2. Parte dos
A. (10 puntos) Hallar el área
de la región sombreada.
50% 50%
50%
4 B. (10 puntos) Determine la ecuación de la recta, si el punto P(2,3) es la base de la
perpendicular bajada del origen de coordenadas a esta recta. 3. Parte tres A. (20 puntos) Determinar la ecuación de una circunferencia que pase por los puntos 3,2 , 4, 1 y que su centro esté sobre la recta: 5 x 3 y 1 0 B. (20 puntos) El lado de la base de una pirámide cuadrangular regular mide a y su
altura h. Se inscribe un cubo, apoyado sobre la base de la pirámide, y tal que cuatro de las aristas del cubo son paralelas a una diagonal de la base de la pirámide. Calcular la arista del cubo en función de a y h. acutáng ulo ABC , la distancia del vértice A al circuncentro C. (20 puntos) En el triángulo acutángulo es 8 y al ortocentro es 8 también; si el lado AC 8 2 , calcular el ángulo C ˆ
FACULTAD DEINGENIERÍA
UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRÉS FACULTAD DE INGENIERÍA CURSO PREFACULTATIVO – GESTIÓN I / 2008
TERCER EXAMEN PARCIAL
ÁREA: MATEMÁTICA MATEMÁTICA
FECHA: 17/06//2008 17/06//2008
TIEMPO DE DESARROLLO DEL EXAMEN: 90 MINUTOS NO ESTÁ PERMITIDO EL USO DE CALCULADORAS ***************************************************************************************************************************************************
SOLUCIONARIO Parte uno A. (5 puntos) En un trapezoide simétrico, sus lados opuestos son.
a) Iguales y Paralelos relación
b) Paralelos solamente
d) No tienen ninguna
c) sólo iguales
B. (5 puntos) El suplemento del complemento de la mitad del ángulo x es: a) 90 d) 90
180 180
x 2
x
2
e) 6Π R2
2
C. (5 puntos) La recta cuya ecuación es dada por
a) Infinita
x
90
b) 180
c) 90
90
f) 180
90
x 2
x 2
y a , cuenta con una pendiente:
b) Paralela al eje de ordenadas
c) No tiene pendiente
d) Cero
D. (5 puntos) La cantidad total de diagonales que se pueden trazar en un octágono es:
a) 54
b) 60
c) 70
d) 45
ND
e) 20
n(n 3)
8(8 3)
2
2
20
Parte dos A. (10 puntos) Hallar el área de
la región sombreada. 50% 50%
50%
4
Reordenando la región sombreada El área total esta dado por: 50% 50%
50%
A=
4
50%
50%
50%
4
4
A
r 2
bh
42
8* 4
2
2
2
2
8
2
B. (10 puntos) Determine la ecuación de la recta, si el punto P(2,3) es la base de la
perpendicular bajada del origen de coordenadas a esta recta.
Calculamos L 2 con P1(2,3) P2(0,0) Ecuación de dos puntos:
y y1 x x1
y
L1
y2 y1 x2 x1
y 3 0 3 x 2 0 2
(2,3)
L2 : 2 y
3x
x
Calculamos la pendiente de L 2
L2
3
m2
2
Como L1 es perpendicular a L 2,se cumple
m1m2 Calculamos L 1 con m1 P(2,3) y y 2
y 3
3
1
m1
y1
m x x1
x 2
1
2
m2
3
L1 : 3 y 2 x 13
0
Parte tres A. (20 puntos) Determinar la ecuación de una circunferencia que pase por los puntos
3,2 ,
4, 1 y que su centro esté sobre la recta: 5 x 3 y 1 0
Sea la ecuación de la circunferencia:
x h
2
y k 2
r 2
Para que los puntos estén sobre la curva, sus coordenadas deben satisfacer la ecuación de la misma
h
3
: 4
h
2
2
2
k 2
r 2
(1)
1
k 2
r 2
(2)
Análogamente, si el centro está sobre la recta: 5h 3k 1 0
(3)
De (1)=(2)
h 2 4 4k k 2 16 8h h 2 1 2k k 2 14h 6k 4 0 7h 3k 2 0 (4) 9
6h
(3)+(4): 5h
3k 1
0
7h
3k 2
0
12h
3
h
0
k
1 4
Luego: 1
5
4
3k 1
3k
0
1 4
1 12
En (1): 2 3 h
3
1 4
k 2
2 2
2
1 12
r 2 2
r 2
r 2
La ecuación de la circunferencia resulta:
169 169
625 625
16
144 144
1521
625 625
144 144
x
1 4
2146 144 144
2
y
1 12
2
r
2146 12
2146 144 144
B. (20 puntos) El lado de la base de una pirámide cuadrangular regular mide a y su altura h. Se
inscribe un cubo, apoyado sobre la base de la pirámide, y tal que cuatro de las aristas del cubo
son paralelas a una diagonal de la base de la pirámide. Calcular la arista del cubo en función de a y h. Sean ABCD y A`B`C`D` los vértices del cubo, V el de la pirámide, p irámide, O el centro de las bases y x la arista del cubo. Como:
AC
2x
Como se toma solo la mitad se tiene: AC 2
2 x
OA
Luego tenemos:
MA
Ahora el valor de la recta
2
a
2x 2
MA ÀA MO OV
Teniendo el triangulo se tiene:
a
2x 2
Entonces se tiene que:
a
x h
h a
2x
ax
x
ah a
2h
2
C. (20 puntos) En el triángulo acutángulo ABC , la distancia del vértice A al circuncentro es 8 y
al ortocentro es 8 también; si el lado AC 8 2 , calcular el ángulo C ˆ
Hacemos un esquema aproximado: Donde:
B
D = Circuncentro O = Ortocentro M = Punto donde llega la recta perpendicular al lado BC, desde el circuncentro
. 8
M
D
Como el circuncentro equidista de los tres vértices:
O
8 A
AD DC 8
C
8 2
Entonces ADC es un triángulo isósceles: 82
D 8
8 A
8 2 64
cos C
8 2
82
2
2 8 8 2 cos
2 64 2 64
64
1
2
2
2
2
45º
Por propiedades, se sabe que la distancia del ortocentro al vértice es e l doble de la distancia del circuncentro al lado opuesto al vértice, entonces en tonces DM 8 / 2 4 (Ver esquema inicial) inicial) Luego: 4
M
sen
D
4
1
8
2
30º
8
Finalmente: C
C ˆ
45º 30º 75