Cinematica punctului material Punct material. Un punct material este prin definiţie , un punct geometric purtător al întregii substanţe a corpului (masa sa). Deci un corp cu dimensiunile neglijabile faţă de distanţele sale până la corpurile înconjurătoare. Poziţia unui punct se determină prin coordonatele sale carteziene x, y , z. Traiectoria este locul geometric al poziţiilor succesive pe care le ocupă punctul material în mişcare, sau mai simplu drumul străbătut de punctul material. Traiectoria poate fi rectilinie sau curbilinie. Pentru a descrie mişcarea mobilului pe traiectoria sa trebuie să cunoaştem poziţia mobilului în fiecare moment pe această traiectorie adică coordonata sa funcţie de timp. Legea de mişcare Coordonata punctului material în funcţie de timp în raport cu un sistem de referinţă se numeşte lege de mişcare x f (t ) . Se poate defini vectorul de poziţie vectorul ce uneşte originea sistemului de referinţă cu poyiţia momentană a punctului material orientat de la origine spre poziţia momentană. r (t ) x (t )i z (t ) j z (t )k cu modulul r (t ) x(t ) 2 y (t ) 2 z(t ) 2 Viteza, vectorul viteză Pentru a putea compara mişcările între ele trebuie să comparăm deplasările mobilelor efectuate în acelaşi timp şi anume în unitatea de timp. Deplasarea mobilului în mişcarea rectilinie este variaţia coordonatei sale. r r (t t ) r (t ) (diferenţa vectorilor de poziţie succesivi intervalului t )
Vectorul viteza medie este definita prin relatia : r Vm t
viteza medie este determinată relativ la un anumit interval de timp şi un anumit sistem de referinţă; are direcţia vectorului deplasare, este mărime vectorială. Viteza momentană sau instantanee : dr , V (t ) r (derivata în raport cu timpul) dt
este mărime vectorială, care are aceeaşi direcţie ca şi tangenta la traiectorie în punctul în care se găseşte mobilul la momentul respectiv. V V x V y Vz V x i V y j Vz k unde V x x , (t ),Vy y , (t ),Vz z , (t )
Având modulul V V 2 x V 2 y V 2 z Unitatea de măsură pentru viteză în sistemul internaţional este
m m km km 1000m ; 1 3,6 ; 1 s h h 3600s s
Acceleraţia, vectorul acceleraţie
V Acceleratia medie : a ; în traiectorii curbilinii acceleraţia medie este orientată ca şi variaţia t
vitezei spre „interiorul” traiectoriei adică spre partea ei concavă. Excepţie în mişcarea rectilinie unde au direcţia traiectoriei.
dV , Acceleraţia instantanee : a V (t ) ; (derivata vitezei momentane în raport cu timpul) dt
acceleraţia instantanee este orientată spre partea concavă a traiectoriei. Unitatea de masură în SI ( m/s2 ) , , , a (t ) a x i a y j a z k V x i V y j V z k şi modulul a a x 2 a y 2 az 2 Mişcarea mecanică este relativă, ea depinde de sistemul de referinţă în care se discută. Traiectoria, deplasarea, viteza şi acceleraţia sunt relative. Intervalele de timp, distanţele dintre două puncte şi dimensiunile corpurilor sunt invariante, adică ele nu depind de sitemul de referinţă ales. Mişcarea corpului faţă de un sistem de referinţă fix se numeşte mişcare absolută. Mişcarea corpului faţă de unsistem de referinţă mibil se numeşte mişcare relativă. Mişcarea sistemului de referinţă mobil faţă de sistemul de referinţă fix se numeşte mişcare relativă. În conformitate cu aceste mişcari, se deosebesc vitezele, acceleraţiile şi deplasările absolute, relative şi de transport, între care există următoarele relaţii matematice: r abs r rel r tr
Vabs Vrel Vtr
aabs a rel atr
Relaţiile matematice sunt valabile pentru situaţia în care la momentul iniţial originile celor două sisteme coincid . Relaţia matematică de legătură între acceleraţii este valabilă dacă mişcarea de transport este o mişcare de translaţie. În cazul în care un punct material este supus simultan la mai multe mişcări, vectorii deplasare şi vitezele se compun după regula paralelogramului, ca orice vectori. Exemplu. Două mobile se deplasează cu vitezele V1 şi respectiv V 2 faţă de un sistem de referinţă fix. Care este valoarea vitezei relative a mobilului 1 faţă de 2? - absolut 1 , transport 2 V1 Vrel 1 / 2 V 2
deci Vrel 1 / 2 V1 V2 cu modulul Vrel 1 / 2 V 2 1 V 2 2 2V1V2 cos unde este unghiul
dintre vectorii viteză V1 şi V 2 . Cazuri particulare: - Mobilele se deplasează în sensuri opuse 1800 , Vrel 1 / 2 V1 V2 -
00
Mobilele se deplasează în acelaşi sens
, Vrel 1 / 2 V1 V2
Mişcarea rectilinie uniformă V cons tan t , legea de mişcare x x 0 V (t t 0 ) , mobilul parcurge spaţii egale în intervale egale de timp. O distanţă parcursă în mişcarea rectilinie uniformă este egală cu produsul dintre viteză şi intervalul de timp corespunzător parcurgerii acestei distanţe: S V t . Mişcarea rectilinie uniform variată a cons tan t
-
1 2
Legea de mişcare x (t ) x 0 V 0 x (t t 0 ) a(t t 0 ) 2
- Legea vitezei Vx (t ) V0 x a x (t t 0 ) - Relaţia lui Galilei Vx 2 V0 x 2 2a x x (t ) x 0 Semnificaţia notaţiilor este: - x 0 reprezintă coordonata punctului material la momentul t 0 - V x reprezintă componenta vitezei V pe axa Ox la momentul t
- V0 x reprezintă componenta vitezei iniţiale V 0 pe axa Ox - x reprezintă coordonata punctului material la momentul t - a x reprezintă componenta vectorului acceleraţie a pe axa Ox Pentru simplificare se notează fără indicele x Forma aplicată:
V2 V1 at
AB d V1 t
;
1 2 at 2
;
V 2 V1 2ad 2
2
O mişcare rectilinie uniform variată este încetinită, dacă componentele vectorilor viteză V şi acceleraţie a au semne opuse. Dacă componentele acestor vectori au acelaşi semn , atunci mişcarea este accelerată. Aruncarea pe verticală de jos în sus 1 2
; h V0 t gt 2 ; V 2 V0 2 2gh
V V0 gt
Mişcarea este limitată, în sensul că la un moment dat viteza se anulează, corpul aflându-se la înălţimea maximă faţă de locul lansării. tu
V0 g
2
; hm
V0 2g
De la înălţimea maximă corpul cade liber. t c t u ; t revenire t u t c
2V0 g
Corpul revine la nivelul de aruncare cu aceeaşi viteză în modul, sensul vectorului viteză fiind invers momentului aruncării. Căderea liberă V gt ; H
1 2 gt c 2
h
1 2 gt 2
; V 2 2gh
, t c este timpul de cădere liberă t c
2H g
până la un nivel de referinţă al orizontalei (sol), unde viteza imediat înaintea atingerii nivelului este Vs gt c 2gH .
În cazul aruncărilor oblice când a şi V o nu sunt pe aceeaşi dreaptă , traiectoria mişcării este o parabolă în planul format de vectorii a şi V 0
Interpretări geometrice 1.Distanţa parcursă de mobil în intervalul de timp t t f t i este numeric egală cu aria figurii geometrice (haşurate) cuprinse între graficul legii vitezei V (t ) , axa Ot , şi cele două drepte paralele cu axa ordonatelor, duse prin t i şi t f .
tf
S (t i , t f ) V (t )dt Afig . (t i , t f , M , N ) ti
2. Se poate poate da o interpretare geometrică şi în cazul a(t ) . Aria figurii geometrice (haşurate), cuprinse între graficul legii de variaţie a acceleraţiei în raport cu timpul, axa Ot şi cele două drepte paralele cu axa ordonatelor, duse prin t i şi t f , este egală cu variaţia vitezei mobilului în intervalul de timp t t f t i .
tf
V (t i , t f ) a(t )dt Afig . (t i , t f , M , N ) ti
Principiile mecanicii newtoniene şi tipuri de forţe: Principiul inerţiei Un punct material îşi menţine starea de repaus sau de mişcare rectilinie uniformă atât timp cât asupra sa nu acţionează alte corpuri care să-i schimbe aceasta stare de mişcare. Inerţia este proprietatea corpurilor de aşi menţine starea de repaus sau de mişcare rectilinie uniformă în absenţa acţiunilor exterioare, respectiv de a se opune la orice acţiune exterioară care tinde să le schimbe starea de repaus sau de mişcare rectilinie uniformă în care se află. O măsură a inerţiei este masa. Unitatea de masura mSI 1Kg . - sisteme de referinţă inerţiale; Sistemele de referinţă în care este valabil principiul inerţiei se numesc sisteme de referinţă inerţiale. Toate sistemele de referinţă inerţiale se mişcă unele faţă de altele rectiliniu uniform. Principiile mecanicii newtoniene sunt valabile în sistemele de referinţă inerţiale. Principiul fundamental al dinamicii
Vectorul forţă este proporţional cu produsul dintre masa şi vectorul F const .m a se alege const. 1
dV dp F ma m dt dt
unde p mV este impulsul penctului material. Unitatea de măsură a forţei; - newtonul simbol N . F SI 1N 1Kg m2 s
Newtonul este egal cu mărimea acelei forţe care aplicată unui corp cu masa de 1kg îi imprimă o acceleraţie de 1 m2 . s
Principiul acţiunii şi reacţiunii Dacă un corp acţionează asupra altui corp cu o forţă, numită acţiune, cel de-al doilea corp acţionează asupra primului corp cu o forţă egală în modul şi opusă ca sens, numită reacţiune. OBS. - acţiunea şi reacţiunea se aplică unor corpuri diferite, efectul fiind diferit. - forţele de contact dintre corpuri; La contactul corpurilor apar forte egale în modul şi de sens contrar, de tip acţiune şi reacţiune exercitate asupra fiecăruia dintre ele. Ex : - forţa de tensiune elastică, forţa de apăsare normală , forţa de reacţiune normală, forţa de frecare. Forţe de contact La contactul oricăror două corpuri apar totdeauna două forţe, egale în modul şi de sensuri opuse, acţiunea unui corp asupra celuilalt şi reacţiune celui de-al doilea asupra primului. Aceste forţe sunt rezultatul deformării reciproce a corpurilor şi a frecării dintre corpuri la suprafaţa de contact. Principiul suprapunerii forţelor (principiul independenţei acţiunii forţelor) Dacă mai multe forţe acţionează în acelaşi timp asupra unui punct material, fiecare forţă produce propria sa acceleraţie în mod independent de prezenţa celorlalte forţe, acceleraţia rezultantă fiind suma vectorială a acceleraţiilor individuale. Forţa de frecare la alunecare Forţa de frecare este conţinută în planul lunecării şi este îndreptată în sens opus vitezei corpului. De cîte ori un corp alunecă peste alt corp, planul de contact (planul alunecării), apar forţe de frecare conţinute în acest plan şi orientate în sensul opus vitezei relative a corpului considerat, faţă de celălalt corp. Forţele de frecare frânează totdeauna mişcarea relativă a corpurilor care alunecă. - legile frecării la alunecare; 1. forţa de frecare la alunecare între două corpuri nu depinde de aria suprafeţei de contact dintre corpuri. 2. forţa de frecare la alunecare este proporţională cu forţa de apăsare normală exercitată pe suprafaţa de contact. Ff N
unde se numeşte coeficient de frecare la alunecare. Ţinind seama de sensul forţei de frecare în raport cu sensul mişcării vectorial se poate exprima: V Ff N V
Coeficientul de frecare la alunecare este adimensoinal, depinde de natura corpurilor şi de felul prelucrării suprafeţelor în contact )gradul de şlefuire sau contaminare cu oxizi sau alte substanţe). Coeficientul de frecare la alunecare se determină experimental. Unghiul de frecare la alunecare este acel unghi al unui plan înclinat pentru care deplasarea liberă a corpului pe plan se face uniform. În această situaţie tg . Deci dacă într-un enunţ se dă unghiul de frecare la alunecare pentru un corp faţă de o suprafaţă, aplicând funcţia tangentă acestui unghi se determină valoarea coeficientului de frecare la alunecare dintre corp şi suprafaţa respectivă. Forţa de tensiune - în oricare secţiune a unui fir întins de o forţă sau în orice secţiune a unei bare, întinse sau comprimate, acţionează două forţe egale în modul şi de sensuri opuse, acţiunea şi reacţiunea, cu care o parte a firului acţionează asupra celeilalte părţi. deformari elastice. Legea lui Hooke sau legea deformărilor elastice -
alungirile relative
l F sunt proporţionale cu eforturile unitare pentru un material dat. l0 S0
Legea se exprimă cantitativ prin relaţia: l 1 F l 0 E S0
F este forţa deformatoare, forţa sub acţiunea căreia firul elastic (resortul) se deformează. l F se numeşte alungire relativă; l l l 0 se numeşte alungire (deformare) absolută; l0 S0 N se numeşte tensiune sau efort unitar. este adimensional, SI 1 2 . m N E se numeşte modul de elasticitate longitudinal sau modulul lui Young E SI 1 2 . m
Forţa elastică Forţa proporţională cu valoarea deformării şi orientată în sens opus acesteia, se numeşte forţă elastică. Fel k l
Unde k
E S0 se numeşte constantă de elasticitate (a firului sau a resortului) l0 Fel k l
Forţa elastică este egală şi de sens opus forţei (rezultantei) deformatoare F k l . Acceleraţia la urcare liberă cu frecare a unui corp pe un plan înclinat: au g (sin g cos )
Deci mişcarea este uniform încetinită. Modulul sau valoarea absolută elimină minusul. Acceleraţia la coborâre liberă cu frecare a unui corp pe un plan înclinat: ac g (sin cos )
Unde este unghiul palnului înclinat. Acceleraţia la deplasare liberă cu frecare pe o suprafaţă orizontală (lansare pe orizontală): ao g
Lucrul mecanic
O forţă efectuează lucru mecanic dacă îşi deplasează punctul de aplicaţie. Lucrul mecanic elementar (L) al forţei F care realizează o deplasare foarte mică (dr ) a unui punct material, se defineşte ca produsul scalar dintre vectorii forţă şi deplasare:
L F dr F dr cos
Lucrul mecanic depinde de sistemul de referinţă ales şi el poate fi pozitiv, negativ sau egal cu zero. Dacă forţa este constantă şi traiectoria punctului material este rectilinie atunci: L F r cos
Unde lui r i se atribuie notaţia x . Forţa care produce mişcarea se numeţte forţă motoare, iar forţa care se opune mişcării se numeşte forţă rezistentă. Lucrul mecanic al forţei motoare se numeşte lucru mecanic motor, iar cel al forţei rezistente se numeşte lucru mecanic rezistent. Unitatea de măsură pentru lcrul mecanic este 1 joule 1newton 1metru . Un joule este lucrul mecanic efectuat de o forţă de 1newton al cărei punct de aplicaţie se deplasează cu un metru pe suportul forţei şi în sensul forţei. Lucrul mecanic al greutăţii este independent de drumul parcurs de punctul material şi de legea mişcării acestuia şi este egal cu produsul greutăţii prin diferenţa de nivel h , dintre poziţia iniţială şi cea finală a punctului material. Li f G Ghi hf
O forţă care acţionând asupra unui punct material, efectuează un lucru mecanic independent de drumul parcurs şi de legea de mişcare după care se mişcă punctul material şi depinde numai de poziţiile punctelor extreme ale traiectoriei se numeşte forţă conservativă (greutatea, forţa elastică etc.) O regiune din spaţiu, limitată sau nelimitată, unde în fiecare punct se face simţită acţiunea unei forţe determinată în modul, direcţie şi sens spunem că formeză un câmp de forţe. Câmpul ale cărui forţe sunt conservative se numeşte câmp de forţe conservativ. Lucrul mecanic al unei forţe variabile F f (x ) , al căreei punct de aplicaţie se deplasează pe distanţa AB este egal cu aria S , (haşurată) a suprafeţei limitată de curba f (x ) , un segment din axa Ox şi două coordonate aparţinând axei absciselor din care se ridică două paralele la axa ordonatelor din punctele A şi B , conform reprezentării din figura alăturată.
Dacă se cunoaşte forma funcţiei de dependenţă a forţei în raport cu deplasarea atunci: 2 Lx1 x 2 F ( x ) F ( x ) cos(F ; x )dx x
x1
Lucrul mecanic al forţei elastice Dacă deformarea se produce din starea iniţial nedeformată x1 0 atunci valoarea lucrului mecanic este: L0 x Fe
kx 2 2
Dacă deformarea se face din stare deja deformată atunci prin interpretare geometrică sau calcul integral: kx 2 2 kx 2 1 Lx1 x 2 Fe 2 2
Caz particular Dacă forţa care acţionează asupra punctului material ce se deplasează în lungul unei axe (Ox) variază liniar cu coordonata (x ) : F ( x ) ax b . În această situaţie se poate egala lucrul mecanic al forţei variabile cu lucrul mecanic al forţei medii constante, forţa medie ca medie aritmetică: Fmed
F (x1 ) F (x 2 ) 2 LF ( x ) LFmed
Energia Energia este o mărime fizică scalară, derivată, care caracterizează capacitatea unui corp sau unui sistem de corpuri de a efectua lucru mecanic. Dacă această capacitate se datorează unor factori mecanici, ca de exemplu: schimbarea poziţiei corpurilor într-un câmp de forţe, deformarea sau accelerarea corpurilor afirmăm că sistemul de corpuri sau corpul respectiv posedă energie mecanică. Energia este o mărime de stare, care caracterizează corpul sau sistemul de corpuri într-o anumită stare. Energia pe care o posedă un corp datorită mişcării sale, în raport cu un sistem de referinţă dat, se numeşte energie cinetică. Energia cinetică a unui corp de masă m , care se află în mişcare de translaţie cu viteza v , în raport cu un sistem de referinţă inerţial, este egală cu semi produsul dintre masa corpului şi pătratul vitezei acestuia. Ec
mV 2 2
Teorema variaţiei energiei cinetice Variaţia energiei cinetice a unui punct material, care se deplasează în raport cu un sistem de referinţă inerţial, este egală cu lucrul mecanic efectuat de forţa rezultantă care acţionează asupra punctului material în timpul acestei variaţii. E c
i f
Li f Frez
Energia are aceeaşi unitate de măsură ca şi lucrul mecanic Joule: J Generalizarea noţiunii de energie potenţială Se poate defini energie potenţială a oricărui sistem în care acţionează forţe conservative: forţe gravitaţionale, forţe elastice, datorate deformării temporare a unui solid, forţe electrostaice, forţe magnetice care se exercită între magneţii permanenţi. Lucrul mecanic efectuat de către forţele conservative care acţionează în sistem este egal şi de semn opus cu variaţia energiei potenţiale a acestuia: E i f p LFconservativă
i f
Energia potenţială a punctului material în câmp gravitaţional E i f pg LG
i f
Deci E f pg mgh f mgh i E i pg ; dacă alegem hi 0 , se poate alege E i pg 0 şi atunci energia potenţială poate fi calculată (în raport cu nivelul de referinţa, configuraţie de zero) ca: E pg mgh
Energia potenţială în câmpul forţelor elastice Energia potenţială de deformare a unui corp elastic, spre exemplu energia potenţială a unui resort elastic, depinde de poziţia relativă a diferitelor părţi ale acestui corp. Variaţia energiei potenţiale elastice a resortului este egală şi de semn contrar cu lucrul mecanic al forţelor elastice: Ep
kx 2 2
Conservarea energiei mecanice Legea conservării energiei mecanice: „Energia mecanică, E m E c E p , a unui sistem izolat în care acţionează forţe conservative este constantă, deci energia mecanică a acestui sistem se conservă”. Ei m Ef m
Teorema variaţiei energiei mecanice Dacă într-un sistem izolat, acţionează simultan forţe conservative şi forţe neconservative, variaţia energiei mecanice a sistemului este egală cu lucrul mecanic efectuat de forţele neconservative. E i f m Li f Fneconservative
Forţe neconservative:forţe de frecare (forţe de rezistenţă la înaintare), forţe de tracţiune (împingere). Puterea Puterea este o mărime fizică scalară, derivată, care caracterizează lucrurile mecanice efectuate în acelaşi interval de timp (rată de efectuare). Puterea medie se defineşte ca raportul dintre lucrul mecanic efectuat de o forţă sau de un sistem de forţe într-un interval de timp t şi intervalul de timp respectiv: Pmed
L t
Puterea instantanee se defineşte ca limita puterii medii, când t 0 : P lim t 0
L t
Din definiţia lucrului macanic rezultă pentru putere: P F v (produs scalar) Unitatea de măsură pentru putere este watt. 1 joule 1 sec undă 1J 1W 1s 1watt
Randamentul planului înclinat
Lu sin Lc sin cos
1 1
tg
1
Cu cât unghiul planului este mai mare, cu atât este mai mare, dar şi forţa necesară este mai mare. La unghiuri mici ale planului înclinat, randamentul este mai mic dar în schimb şi forţa necesară este mai mică.
