INTRODUCION
Las estructuras laminares han adquirido en los últimos tiempos un significado practico extraordinario debido a una relación particular particular de fuerzas en las estructuras superficiales superficia les espaciales, que conduce a un aprovechamiento aprovecham iento favorable del material. Además por su condición de ser ejecutadas en concreto armado, los cascarones seria de cualidades, algunas de las cuales son : Incombustibles Cubre luces amplias sin necesidad de tener portantes dentro de ellos. Asimismo Asimismo por ser elásticas elásticas y a la ves indeformables indeformables geométricamente geométricamente En el caso de las estructuras laminares de doble curvatura anticlasicas(paraboloide anticlasicas(pa raboloide hiperbólico )el encofrado es sencillo debido a que la superficie esta definida por dos sistemas de líneas rectas que se cortan, el encofrado necesita solamente vigas rectas como generatrices. Poco peso por lo tanto las cimentaciones son menos caras.
El análisis de cascarones se puede realizar mediante las llamadas teorías exactas y las teorías aproximadas. Las primeras están en la teoría lineal de la elasticidad cuyas ecuaciones son engorrosas para lo cual es posibles hacer uso de métodos de calculo especializados, en adicion los cascarones cascaro nes debido a su estructura son de comportamiento comportamiento discontinuo discontinuo (presencia de vigas de borde ) y no homogéneo homogéneo (caso del concreto ). La teoría aproximada considera que el cascaron no tiene rigidez a la flexion se comporta como una membrana delgada quedando solo esfuerzos directos en la superficie, superficie, esfuerzos esfuerzos de de compresión compresión pura y esfuerzos cortantes. Con los programas de calculo estructural esto no será será para nada difícil los cuales en su mayoría están basado en la teoría del elemento finito dan como resultado soluciones rigurosas rigurosa s que predicen los esfuerzos principales y sus direcciones en ambos nodos, asi como los esfuerzos cortantyes máximos y sus direcciones en varios nodos.
HISTORIA
Las cubiertas de membranas pretensadas están definidas por membranas translúcidas, tendidas entre puntos firmes. Algunos autores las llaman cáscaras blandas. Es necesario conferirles rigidez, para evitar que salgan de servicio ante las variaciones de cargas, porque son soluciones estructurales livianas y flexibles, que se encuadran dentro de las que resisten por tracción, con posibilidad de adaptar su forma al funicular de las cargas externas Es decir, las características físicas del material de membrana son las que, .
finalmente, deben guiar el proceso de definición formal de los elementos de superficie. Antecesoras de las cubiertas de membranas pretensadas son las cubiertas de membranas tensadas, que son antiquísimas, tan antiguas como el primitivo hombre nómada. Es
interesante hacer una breve revisión histórica, a los efectos de entender cómo evolucionó el diseño desde las tiendas hasta llegar a las actuales cubiertas de membranas pretensadas, es decir, de descubrir su evolución formal y simultáneamente, los aspectos técnicos particulares. Las primeras pruebas convincentes de que el hombre empleó tiendas, según Frei Otto, nos las aportan las excavaciones de campamentos que datan de 30.000 años. En las culturas primitivas más elevadas encontramos amplias descripciones y sobre todo muchas representaciones precisas de su apariencia formal. En Siberia, cerca de Irkutsk, se hicieron excavaciones con hallazgos que determinaron que los cazadores del Paleolítico, en las tundras, durante la época glacial, hace unos 20.000 años, utilizaban tiendas cónicas parecidas a las empleadas hasta épocas recientes por los tipis, indios norteamericanos, que son cónicas, con mástiles dispuestos circularmente, enterrados en el suelo y unidos por la punta con una cuerda con nudos especiales.
tienda alargada con dos mástiles En relieves que representan las campañas guerreras de Senaquerib (705-681 a.C.) se reconoce claramente el diseño de las tiendas, con apoyos de barras de madera y piel tensada sobre ellos. Representaciones egipcias de una tienda real las muestran como las describió Ptolomeo (275 a.C.), con mástiles de cedro y capiteles de palmera, sosteniendo géneros tejidos en telares, probablemente de fibras de lino. Estas tiendas, donde se realizaban fiestas, tenían cerca de 8200 m2. Las tiendas militares romanas, representadas en un relieve de la columna de Marco (siglo II), de Roma, y campamentos de tiendas de legionarios romanos en la columna de Trajano (siglo I), de Roma, eran de lonas tensadas sostenidas por barras de madera. Las mas pequeñas, para la tropa, eran de piel y se conservan aun algunas partes de ellas. Los esquimales (S XVIII), durante el verano usaban tiendas cónicas de piel de foca, sostenidas por un armazón de barras y el borde sujeto por piedras. Se observa, entonces, que en un principio las membranas que cerraban los espacios fueron pieles apoyadas
sobre leños, al tipo de las actuales tiendas de los indios
norteamericanos y, más adelante, las telas sustituyeron a las pieles. El uso de las telas permitió llegar a superficies cubiertas relativamente grandes. La más antigua de las que se tienen noticias, de grandes dimensiones, es la descripta en la Biblia (Exodo, 26), de forma rectangular, de aproximadamente 16 por 5 metros.
La tienda beduina se adapta perfectamente al desierto, donde se usa. Respondiendo a sus características de uso, el techo es bajo y tiene forma aerodinámica, de manera de evitar los embates del viento; el empleo de la madera está reducido al mínimo, se usan los tensores estrictamente necesarios, algunos de los cuales son de considerable longitud. La cubierta, entonces, está sostenida por pocos elementos, unos comprimidos y otros traccionados. Las telas de la tienda beduina sólo cierran el espacio. Son necesarios los tensores y puntales para mantener su forma. Se destaca la preocupación por reducir al mínimo el número de tensores y puntales, que son los elementos estructurales.
Forma y estructura
Debido a sus características físicas y para analizar su comportamiento, es posible esquematizar el material de membrana como una malla de hilos. Se inicia el análisis planteando la voluntad de rigidizar un hilo tendido entre dos soportes.
En la figura se muestra cómo se constituye un sistema de dos hilos: atravesando un hilo sobre el que se pretende estabilizar, con curvatura inversa y anclándolo. Se considera que ambos están contenidos en planos verticales y perpendiculares entre sí. Esta disposición permite estabilizar el punto de intersección de ambos hilos. Es la más sensible de todas las soluciones estabilizadoras. Si ahora se considera que a partir de estos dos hilos se diseñará una estructura de cubierta de cables, deberán agregarse, en principio, dos cables estabilizadores más, figura 3.2, todos a 90° con respecto al primero, paralelos al segundo y contenidos, todos, en planos verticales.
Dicho de otro modo, es necesario considerar, durante el proceso de diseño formal de estas superficies, el aspecto tensional inherente a las mismas . Las unidades formales, que por sí solas o combinadas definen una cubierta de membranas pretensadas, corresponden a superficies infinitas, de doble curvatura total negativa, intersecadas por planos. Esas intersecciones determinan los bordes de las superficies, que pueden ser rígidos o flexibles, figuras 5 y 6. Los elementos de borde , tanto los de un sector como los de toda la membrana limitan la forma con una geometría exactamente definida y son los elementos de anclaje y pretensado de la membrana.
Los bordes rígidos pueden ser curvos o rectos. Se prefieren los primeros porque los bordes rectos, trabajando a flexión, pueden introducir deformaciones adicionales a la membrana y además, la membrana en proximidad a esos bordes pierde la anticlasticidad. Las cubiertas de membranas pretensadas son estructuras resueltas con elementos trabajando, básicamente, a tracción y compresión.
Fig. Superficie anticlástica de revolución intersecada con un plano normal al eje. Borde flexible materializado con relingas fijadas en el plano de intersección.
a) Una superficie intermedia, como se muestra en la figura 7, donde un sector de paraboloide hiperbólico ó HYPAR constituye la superficie que articula dos sectores de superficies de revolución, de eje inclinado.
b) También la articulación puede materializarse con un borde flexible, común a ambas superficies, como es el caso que se ejemplifica en la figura 8.
Un alto porcentaje de los agrupamientos de sectores de superficies anticlásticas que determinan esta tipología, se resuelven en base a ordenamientos geométricos simétricos, figuras 10 a 13. También es posible generar mallas de geometría libre , siempre que se cumpla con la condición de anticlasticidad.
GEOMETRIA DE LA SUPERFICIE 1. Plano tangente a una superficie en un punto P, es aquel generado por las tangentes de todas las curvas que pasan por P contenidos en la superficie. 2.Normal a la tangente.
superficie
en el
punto
P es la
recta normal
al plano
3.seccion normal de una superficie es la curva plana obtenida al cortar mediante un plano que contiene a la normal a ella en un punto P. 4. Curvatura de la superficie es el producto de las superficies de las curvaturas normales en dos direcciones normales cuales quiera trazadas en un punto de la superficie 5. Curvaturas principales (Kn1,Kn2) son las curvaturas de 2 secciones normales trazadas en un punto de una superficie que toman valores máximos y mínimos respectivamente estas secciones se denominan estas secciones normales se denominan líneas de curvatura principales
K=Kn1*Kn2
R1 y R2 son radios de curvatura principales ECUACION DE LA SUPERFICIE
Esta superficie representada por las ecuaciones determinado sistema de coordenadas asi tenemos :
referidas
a
un
F(x,y,z)=0 Z=Z(x,y)
Ecuacion vectorial de la superficie
r r
r (1 2 )
Donde ξ1, ξ2 son 2 parametros y r es una función que admite derivadas de todos los ordenes respecto a ξ1, ξ2 Ecuacion paramétrica de la superficie de r quedan
donde las componentes cartesianas
X=X(ξ1, ξ2) Y=Y(ξ1, ξ2) Z=Z(ξ1, ξ2) Si en la ecuación se mantiene únicamente, vale decir :
ξ2 constante, r estaría en función de ξ1
r r
r (1 )
Que es la ecuación vectorial de la curva S por tanto si ξ2 toma todos los valores constantes posibles , la ecuación representa una familia de curvas S en las que varia únicamente ξ1 a estas curvas se les llama curvas ξ1. De manera análoga se definen las curvas ξ2 como aquellas curvas de S a lo largo de las cuales varia ξ1 únicamente.
La posición de cualquier punto en la superficie S a lo largo de las cuales varia ξ2 únicamente. La posición de cualquier punto en la superficie S queda definido por la intersección de una curva ξ1 y una curva ξ2. Por lo tanto se consideran a estas curvas como curvas coordenadas de P en la superficie S. Cuando en cualquier punto de S las tangentes a las curvas coordenadas son perpendiculares, se dice que las curvas coordenadas son ortogonales. TIPO DE CASCARAS Nombraremos las relacionadas con nuestro tema en estudio Paraboloide hiperbólico
Paraboloide de revolución
SUPERFICIE SIMPLE DE CURVATURA Son aquellas cuya curvatura es nula en este caso el plano tangente en un punto P contiene a una recta de la superficie. Son desarrolladas, es decir, pueden obtenerse a partir de una superficie plana. Esta propiedad las hace muy deformables se producen cambios de curvatura en su sección recta a fin de darles rigidez y estabilizar la forma elementos rigidizantes ajenos a la lamina misma tales como arcos o tímpanos , generalmente en los bordes y a distancias relativamente cortas Se clasifican en : a) Superficie de revolución, como la cúpula cónica. b) Superficie de traslación, como la bóveda cilíndrica. SUPERFICIE DE DOBLE CURVATURA Son superficies no desarrollables la que hace rígidas. Se clasifican por el valor de la curvatura gaussiana en: a) Superficie de doble curvatura elíptica o sin clástica con índice gaussiano positivo . b) Superficie de doble curvatura hiperbolicas o anticlasticas. Con índice gaussiano negativo.
Como ejemplo de elíptico .
superficie
sinclastica : la esfera,
Como ejemplo de superficies hiperboloide de una hoja .
anticlasicas : el
elipsoide paraboloide
parabolide elíptico ,
ANALISIS DE UNA ESTRUCTURA LAMINAR DE DOBLE CURVATURA El análisis de una estructura laminar consiste en el calcular los esfuerzos internos, para ello separaremos de la lamina en un elemento infinitamente pequeño determinado por dos pares de planos próximos normales a la superficie media que contenga las curvas principales .
Tomando los ejes de coordenadas X e Y EN 0 ; a las superficies media. Los radios principales de curvatura quedan en los planos
ESTUDIO DE LAS FUERZAS INTERNAS EN UN ELEMENTO DE LA CASCARA Considerando el elemento de la figura anterior las tensiones que actúan sobre las caras del elemento tienen resultantes en direcciones de los ejes de coordenadas y sus notaciones son en la cara abcd :
Nx=σx*h
Nxy=σx*h Qx=τxz*h
Fuerza normal por unidad de longitud Fuerza cortante por unidad de longitud Fuerza cortante transversal por unidad de longitud
Mx=
Momento felctor provocado por Nx (por unidad de longitud)
My=
Momento flector provocado por Nxy(por unidad de longitud)
Analogamente en la cara cdef Ny , Nxy , Qy , My , Mxy
Para determinar los valores de estas fuerzas internas y momentos internos se analizara el elemento diferencial : Para la fuerza normal Nx se tendrá : La fuerza normal total en la cara abcd es :
F=Nx*dy
….(a)
Recordando:
Nx=σx*h Luego diferencial achurada)
para (
un area
dF= σx.h.dy= σx.dy´dz dy´=(r2+Z)θ
dy´=(r2+Z)dy/2 reemplazando dy´ en d F :
r2 z dyd dF x r2 h
2 r2 z dy dz x F r2 h 2
h
2 r2 z dy dz Nx dy x r2 h 2
h 2
Nx
h
2
x
r2 z dz r2
Representa la fuerza normal que es la resultante de las fuerzas inducidas por los esfuerzos unitarios σx en la cara abcd. De la misma forma se obtiene los valores para otras fuerzas internas asi :
h 2
Nxy
xy
h
r2 z dz r2
2
Expresión para la fuerza cortante
t 2
Qx
xy
t
r2 z dz r2
2
Expresion para la fuerza coratnte transversal , el signo negativo se debe a que Qx se tomo en sentido contrario al eje de coordenadas (z) De manera análoga se encuentran los valores de los esfuerzos resultantes por unidad de longitud en la car cedf:
t
Qy t 2
y
r1 z dz
r1
2
t
2 r1 z dz Ny y r1 t 2
t
t 2
Nyx
2
yx
r1 z dz
r1
CONSTRUCIONES HYPAR El Palacio de los Deportes es una arena de la Ciudad de México, actualmente recinto de eventos como conciertos, ferias comerciales y exposiciones, incluso se celebraron corridas de toros en los años de 1976 y 1987, entre otros. Construido para los Juegos Olímpicos de 1968 por los arquitectos Félix Candela, Antonio Peyri y Enrique Castañeda Tamborell, forma parte del complejo deportivo de la Magdalena Mixhiuca. Tiene una capacidad actual de 17,800 asientos para eventos deportivos, y es operado por Grupo CIE.
Capilla de la ciudad de Cuernavaca con un detalle asimétrico muy llamativo y espectacular contruida por Félix Candela.
City and County of Denver, también es catalogado como el aeropuerto más largo (en términos de pista) de los Estados Unidos
Este edificio se encuentra en Xochimilco que es considerado un lugar muy significativo por tener sus orígenes en el periodo prehispánico en la actual ciudad de México. El lugar se caracteriza por haber tenido uno de los manantiales más importantes para abastecer de agua dulce a la ciudad.
CONCLUSIONES
1. Existen dos formas fundamentales de atacar el problema del cálculo de estructuras laminares : el método de la membrana y el método de la flexión. 2. El estudio de la geometría diferencial permite clasificación geométrica de las cascaras en base a los conceptos de la curvatura gaussiana , pudiendo distinguirse 3 tipos básicos de superficies : elíptica o sinclastica, hiperbólicas o anticlasticas y cilíndricas y parabólicas. 3. Las hipótesis simplificadas de la teoría de la membrana reducen a tres el número número de incógnitas y el número de ecuaciones necesarias para el cálculo de los esfuerzos de las cascaras. 4. La introducción de la función de tensión definida adecuadamente reduce el problema de la solución de una ecuación diferencial. 5. El comportamiento de una estructura laminar se puede analizar en base a tres condiciones fundamentales de la mecánica de sólidos. a) Condiciones de equilibrio entre las fuerzas aplicadas sobre la estructura y los esfuerzos internos desarrollados en los elementos que forman la estructura. b) Condición de compatibilidad geométrica entre las deformaciones de esos elementos. c) La condición constitutiva de los materiales, relaciona las tensiones como las deformaciones internas de cada punto.
6. En general bajo la acción de cualquier carga las estructuras laminares de doble curvatura son las más estables que de simple curvatura o desarrollables, debido fundamentalmente a que trabajan a esfuerzos directos de tracción y compresión, siendo , por consiguiente más útiles como elementos de techo cobertura en general.
