Teoría de la Elasticidad PROPIEDAD DE LOS CUERPOS Los cuerpos pueden ser: RIGIDOS.- cuando un cuerpo por la acción de una fuerza se rompe sin cambiar aparentemente su forma. PLASTICO.- Son aquellos que a la acción de fuerzas se deforma sin romperse, quedando deformada cuando deja de actuar la fuerza. ELASTICO.- Son aquellos que a la acción de una fuerza el cuerpo se deforma, pero recupera sus dimensiones originales cuando cesan dichas fuerzas. FATIGA O ESFUERZO Se dice que una barra está sometida a esfuerzo o esta en fatiga si esta sometida a la acción de una fuerza.
Si el sentido de las fuerzas es el de alejarse de la barra, la barra se encuentra en estado de TRACCIÓN. Si el sentido de las fuerzas es hacia la barra, se dice que la barra se encuentra en estado de COMPRESIÓN.
ESFUERZOS NORMALES Consideremos una barra sometida en sus extremos a fuerzas iguales y opuestas de magnitud F
La barra está en equilibrio bajo la acción de estas fuerzas y por lo tanto, toda parte de la misma esta sometida también en equilibrio; a la relación de la fuerza distribuida en el área transversal se le denomina ESFUERZO ó FATIGA NORMAL
ESFUERZO CORTANTE Si sobre un cuerpo actúan dos fuerzas en direcciones perpendiculares a su eje longitudinal y sus sentidos contrarios tales como en la figura infinitamente próximas , las secciones m-n tienden a deslizarse uno con respecto a la otra y se producirá una deformación por deslizamiento, luego el esfuerzo cortante es:
Ƭ=
DEFORMACIÓN UNITARIA Si la barra está sometida a una tensión o compresión sufre deformación longitudinal. Deformación unitaria longitudinal:
ε= Donde :
LIMITE DE ELASTICIDAD
Limite de elasticidad es la carga máxima que puede resistir el material sin perder sus propiedad elásticas, ni disminuir su resistencia, es decir la máxima fuerza que no provoque deformación permanente.
Diagrama de esfuerzo y deformación
LEY DE HOOKE Considerando el diagrama de esfuerzo- deformación se observa la parte rectilínea. La pendiente de la recta es la relación entre la tensión y la deformación y se denomina MODULO DE ELASTICIDAD y se representa por E:
E=
de donde
σ=Eε
La tensión es proporcional a la deformación E = Modulo de elasticidad o YOUNG ( Tomas
δ= La expresión es válida cuando: 1.- La carga F debe ser radial 2.- La sección de la barra debe ser homogénea 3.- La tensión no debe pasar el límite de proporcionalidad. DEFORMACIÓN TANGENCIAL
Las fuerzas cortantes producen una deformación tangencial, es decir varia la longitud de sus lados produciéndose un desplazamiento infinitesimal de capas delgadas del elemento una sobre otra.
V Tanθ
=
Pero θ es muy pequeño entonces tanθ = θ
θ=
La deformación tangencial es la variación experimentada por el ángulo entre dos caras perpendiculares de un elemento diferencial. Siendo la ley de Hooke valida en la cortadura, se da la relación lineal entre la deformación tangencial y la tensión cortante. Ƭ=Gθ Ƭ = Tensión ó Esfuerzo cortante. G = Modulo de rigidez transversal. θ = Deformación Tangencial.
Ƭ=
=G
V = Fuerza cortante
PROBLEMAS: 1.- La barra horizontal rígida AB esta soportada por 3 cables verticales, como se muestra en la figura. Esta barra soporta una carga de 24000 kg , hallar los esfuerzos de tensión en cada cable y la posición de carga aplicada para que AB permanezca horizontal.
2.- En el sistema mostrado los módulos de elasticidad para el latón es 9,85x105 kg/cm2 Y el del acero 2,0x105 kg/cm2. Determinar: a.- El desplazamiento vertical del punto A b.- Las fuerzas en las barras de latón y acero.
3.Un cilindro hueco de acero rodea a otro macizo de cobre y el conjunto está sometido a una carga axial de 2500 kg como se muestra en la figura. la placa de cubierta de la parte superior del conjunto es rígida. Determine el desplazamiento de la placa. Acero: A = 18 cm2; E = 2.1 x 106 kg/cm2 ; Cobre: A = 60 cm2; E = 1.1 x 106 kg/cm2 ;
4.- Un bloque rígido pesa 3500 kgf y pende de dos varillas como se observa en la figura, inicialmente la varilla se encuentra en posición horizontal, Determine el esfuerzo de cada varilla. Acero: A = 18 cm2; E = 2.1 x 106 kg/cm2 ; Cobre: A = 60 cm2; E = 1.1 x 106 kg/cm2
5.- Para el sistema mostrado en la figura. Hallar la tensión a la que se encuentra sometida cada cuerda si después de aplicar la fuerza P = 5 Ton, Sabiendo: Acero: A = 18 cm2; E = 2.1 x 106 kg/cm2; Determine el desplazamiento del punto “C”.
C
6.- Determine la fuerza de las 4 patas de una mesa cuadrada de un metro de lado, producidas por una carga P= 10000 kg que actúa en una diagonal, el apoyo de la mesa en el suelo se supone absolutamente rígida y las patas que une a él de tal forma que pueden sufrir deformaciones, las patas de la mesa son de acero de A = 18 cm2, E = 2.1 x 106 kg/cm2, si e = 35 cm.
7.- Para el sistema que se muestra en la figura. Calcular el esfuerzo admisible máximo de los cables simétricos de cobre si : A = 20 cm2; E = 1.1 x 106 kg/cm2 .
8.- Para el sistema mostrado en la figura. Calcular las fuerzas de los cables, Si A = 30 cm 2, E = 2.1 x 106 kg/cm2, para ambos cables y la barra es indeformable, P = 10Tn., a = 60cm
9.- Calcular el punto “A” para el tres cables son de E = 2.1 x 106 kg/cm2
desplazamiento del sistema mostrado y los acero y de A = 18 cm2, , a = 80 cm.
10.-Una varilla de cobre se introduce en el cilindro hueco de aluminio. La varilla sobresale 12 mm como se indica en la figura, si se aplica una carga de 50 Tn . Determine la tensión que soporta la varilla y el cilindro, considere: Acu = 12 cm2 ; AA = 20cm2 . Ecu = 12x105 kg/cm2 , EAl = 7x105 kg/cm2 .
P=50Tn
12mm
1.20m
Cilindro de aluminio
Varilla de cobre
11.- Calcular el desplazamiento del punto “A” para el sistema mostrado en la figura, si se sabe que el modulo de elasticidad es de 2E2 = E1 y A1 = 2 A2
12 .- Para El sistema mostrado em La figura . determine la fuerza en cada barra, se conoce : A1 = A2= A3 y todas lãs barras son del mismo material.
Fatiga de materiales Saltar a: navegación, búsqueda En ingeniería y, en especial, en ciencia de los materiales, la fatiga de materiales se refiere a un fenómeno por el cual la rotura de los materiales bajo cargas dinámicas cíclicas se produce más fácilmente que con cargas estáticas. Aunque es un fenómeno que, sin definición formal, era reconocido desde la antigüedad, este comportamiento no fue de interés real hasta la Revolución Industrial, cuando, a mediados del siglo XIX comenzaron a producir las fuerzas necesarias para provocar la rotura con cargas dinámicas son muy inferiores a las necesarias en el caso estático; y a desarrollar métodos de cálculo para el diseño de piezas confiables. Este no es el caso de materiales de aparición reciente, para los que es necesaria la fabricación y el ensayo de prototipos. 1. Denominado ciclo de carga repetida, los máximos y mínimos son asimétricos con respecto al nivel cero de carga. 2. Aleatorio: el nivel de tensión puede variar al azar en amplitud y frecuencia. La amplitud de la tensión varía alrededor de un valor medio, el promedio de las tensiones máxima y mínima en cada ciclo:
El intervalo de tensiones es la diferencia entre tensión máxima y mínima
La amplitud de tensión es la mitad del intervalo de tensiones
El cociente de tensiones R es el cociente entre las amplitudes mínima y máxima
Por convención, los esfuerzos a tracción son positivos y los de compresión son negativos. Para el caso de un ciclo con inversión completa de carga, el valor de R es igual a -1.
Curva S-N
Estas curvas se obtienen a través de una serie de ensayos donde una probeta del material se somete a tensiones cíclicas con una amplitud máxima relativamente grande (aproximadamente 2/3 de la resistencia estática a tracción). Se cuentan los ciclos hasta rotura. Este procedimiento se repite en otras probetas a amplitudes máximas decrecientes. Los resultados se representan en un diagrama de tensión, S, frente al logaritmo del número N de ciclos hasta la rotura para cada una de las probetas. Los valores de S se toman normalmente como amplitudes de la tensión . Se pueden obtener dos tipos de curvas S-N. A mayor tensión, menor número de ciclos hasta rotura. En algunas aleaciones férreas y en aleaciones de titanio, la curva S-N se hace horizontal para valores grandes de N, es decir, existe una tensión límite, denominada límite de fatiga, por debajo del cual la rotura por fatiga no ocurrirá.
Curva S-N de un Aluminio frágil, se puede observar cómo la curva decrece y tiende a decrecer hasta llegar a rotura. Suele decirse, de manera muy superficial, que muchas de las aleaciones no férreas (aluminio, cobre, magnesio, etc.) no tienen un límite de fatiga, dado que la curva S-N
continúa decreciendo al aumentar N. Según esto, la rotura por fatiga ocurrirá independientemente de la magnitud de la tensión máxima aplicada, y por tanto, para estos materiales, la respuesta a fatiga se especificaría mediante la resistencia a la fatiga que se define como el nivel de tensión que produce la rotura después de un determinado número de ciclos. Sin embargo, esto no es exacto: es ingenuo creer que un material se romperá al cabo de tantos ciclos, no importa cúan ridículamente pequeña sea la tensión presente. En rigor, todo material cristalino (metales,...) presenta un límite de fatiga. Ocurre que para materiales como la mayoría de los férricos, dicho límite suele situarse en el entorno del millón de ciclos (para ensayos de probeta rotatoria), para tensiones internas que rondan 0,7-0,45 veces el límite elástico del material; mientras que para aquellos que se dicen sin límite de fatiga, como el aluminio, se da incluso para tensiones muy bajas (en el alumnio, de 0,1-0,2 veces dicho límite), y aparece a ciclos muy elevados (en el aluminio puede alcanzar los mil millones de ciclos; en el titanio pueden ser, según aleaciones, cien millones de ciclos o incluso, excepcionalmente el billón de ciclos). Como en general no se diseñan máquinas ni elementos de manera que las máximas tensiones sean de 0,1-0,2 veces el límite elástico del material, pues en ese caso se estarían desaprovechando buena parte de las capacidades mecánicas del material, y como tampoco se suele diseñar asumiendo valores de vida por encima del millón de ciclos, en la práctica este tipo de materiales no van a poder presentar su límite de fatiga, aunque sí lo tienen. Esta confusión surge de la propia naturaleza de las curvas S-N de Wöhler, que fueron concebidas en el siglo XIX para los aceros. Al ampliarse el tipo de materiales metálicos usuales en ingeniería, los mismos conceptos y las mismas curvas se trasladaron a otros metales cuyo comportamiento a fatiga es esencialmente diferente (de hecho, es una característica propia de la fatiga la gran variabilidad de comportamientos que presenta en los distintos tipos de materiales). Y como quiera que el acero ha sido y es la piedra angular de la ingeniería, interesaba comparar las propiedades de los demás metales con respecto al mismo: es y era común que, al ensayar materiales, los ensayos se suspendieran una vez superado el millón de ciclos, considerando que no interesaba caracterizar materiales por encima de ese límite temporal.
Resistencia a la fatiga para diversos materiales. Otro parámetro importante que caracteriza el comportamiento a fatiga de un material es la vida a fatiga Nf. Es el número de ciclos para producir una rotura a un nivel especificado de tensiones. Además, el conocimiento del comportamiento a fatiga no es igual en todos los materiales: el material mejor conocido, más ensayado y más fiable en cuanto a predicciones a fatiga es la familia de los aceros. De otros materiales metálicos de uso común como el aluminio, el titanio, aleaciones de cobre, níquel, magnesio o cromo, se dispone de menos información (decreciente ésta con la novedad de la aleación), aunque la forma de los criterios de cálculo a fatiga y de las curvas S-N parece regular, y es parecida a la de los de los aceros, y se considera que su fiabilidad es alta. Para materiales cerámicos, por el
contrario, se dispone de muy poca información, y de hecho, el estudio de la fatiga en ellos y en polímeros y materiales compuestos es un tema de candente investigación actual. En todo caso, existe una diferencia notable entre la teoría y la realidad. Esto conduce a incertidumbres significativas en el diseño cuando la vida a fatiga o el límite de fatiga son considerados. La dispersión en los resultados es una consecuencia de la sensibilidad de la fatiga a varios parámetros del ensayo y del material que son imposibles de controlar de forma precisa. Estos parámetros incluyen la fabricación de las probetas y la preparación de las superficies, variables metalúrgicas, alineamiento de la probeta en el equipo de ensayos, tensión media y frecuencia de carga del ensayo. Aproximadamente la mitad de las probetas ensayadas se rompen a niveles de tensión que están cerca del 25% por debajo de la curva. Esto suele asociarse a la presencia de fuentes de concentración de tensiones internas, tales como defectos, impurezas, entallas, ralladuras,..., que han permanecido indetectadas. Se han desarrollado técnicas estadísticas y se han utilizado para manejar este fallo en términos de probabilidades. Una manera adecuada de presentar los resultados tratados de esta manera es con una serie de curvas de probabilidad constante. Fatiga de bajo número de ciclos (oligofatiga) < Fatiga de alto número de ciclos >
ciclos.
ciclos.
Inicio y propagación de la grieta El proceso de rotura por fatiga se desarrolla a partir del inicio de la grieta y se continúa con su propagación y la rotura final.
Inicio Las grietas que originan la rotura o fractura casi siempre nuclean sobre la superficie en un punto donde existen concentraciones de tensión (originadas por diseño o acabados, ver Factores). Las cargas cíclicas pueden producir discontinuidades superficiales microscópicas a partir de escalones producidos por deslizamiento de dislocaciones, los cuales actuarán como concentradores de la tensión y, por tanto, como lugares de nucleación de grietas.
Propagación
Etapa I: una vez nucleada una grieta, entonces se propaga muy lentamente y, en metales policristalinos, a lo largo de planos cristalográficos de tensión de cizalladura alta; las grietas normalmente se extienden en pocos granos en esta fase.
Etapa II: la velocidad de extensión de la grieta aumenta de manera vertiginosa y en este punto la grieta deja de crecer en el eje del esfuerzo aplicado para comenzar a crecer en dirección perpendicular al esfuerzo aplicado. La grieta crece por un proceso de enromamiento y agudizamiento de la punta a causa de los ciclos de tensión.
Rotura
Al mismo tiempo que la grieta aumenta en anchura, el extremo avanza por continua deformación por cizalladura hasta que alcanza una configuración enromada. Se alcanza una dimensión crítica de la grieta y se produce la rotura. La región de una superficie de fractura que se formó durante la etapa II de propagación puede caracterizarse por dos tipos de marcas, denominadas marcas de playa y estrías. Ambas indican la posición del extremo de la grieta en diferentes instantes y tienen el aspecto de crestas concéntricas que se expanden desde los puntos de iniciación. Las marcas de playa son macroscópicas y pueden verse a simple vista. Las marcas de playa y estrías no aparecen en roturas rápidas.
Velocidad de propagación Los resultados de los estudios de fatiga han mostrado que la vida de un componente estructural puede relacionarse con la velocidad de crecimiento de la grieta. La velocidad de propagación de la grieta es una función del nivel de tensión y de la amplitud de la misma.
Dónde:
A y m son constantes para un determinado material K Factor de intensidad de tensiones pendiente de la curva de velocidad de crecimiento
El valor de m normalmente está comprendido entre 1 y 6.
o bien
Desarrollando estas expresiones a partir de gráficas generadas por ellas mismas, se puede llegar a la siguiente ecuación:
Dónde:
Número de ciclos hasta rotura Y Parámetro independiente de la longitud de la grieta m y A Siguen siendo parámetros definidos por el material Es la longitud crítica de la grieta Longitud de grieta inicial
se puede calcular por:
Dónde:
Es la tenacidad de fractura de deformaciones planas.
Estas fórmulas fueron generadas por Paul C. Paris en 1961 realizando una gráfica logarítmica log-log de la velocidad de crecimiento de grieta contra el factor de intensidad de tensiones mostrando una relación lineal en la gráfica. Utilizando esta gráfica se pueden realizar predicciones cuantitativas sobre la vida residual de una probeta dado un tamaño de grieta particular. Se encuentra así el comienzo de la iniciación o iniciación rápida de grieta.
Factores que intervienen Son diversos los factores que intervienen en un proceso de rotura por fatiga aparte de las tensiones aplicadas. Así pues, el diseño, tratamiento superficial y endurecimiento superficial pueden tener una importancia relativa.
Diseño El diseño tiene una influencia grande en la rotura de fatiga. Cualquier discontinuidad geométrica actúa como concentradora de tensiones y es por donde puede nuclear la grieta de fatiga. Cuanto más aguda es la discontinuidad, más severa es la concentración de tensiones. La probabilidad de rotura por fatiga puede ser reducida evitando estas irregularidades estructurales, o sea, realizando modificaciones en el diseño, eliminando cambios bruscos en el contorno que conduzcan a cantos vivos, por ejemplo, exigiendo superficies redondeadas con radios de curvatura grandes.
Tratamientos superficiales En las operaciones de mecanizado, se producen pequeñas rayas y surcos en la superficie de la pieza por acción del corte. Estas marcas limitan la vida a fatiga pues son pequeñas grietas las cuales son mucho más fáciles de aumentar. Mejorando el acabado superficial mediante pulido aumenta la vida a fatiga. Uno de los métodos más efectivos de aumentar el rendimiento es mediante esfuerzos residuales de compresión dentro de una capa delgada superficial. Cualquier tensión externa de tracción es parcialmente contrarrestada y reducida en magnitud por el esfuerzo residual de compresión. El efecto neto es que la probabilidad de nucleación de la grieta, y por tanto de rotura por fatiga se reduce. Este proceso se llama «granallado» o «perdigonado». Partículas pequeñas y duras con diámetros del intervalo de 0,1 a 1,0 mm son proyectadas a altas velocidades sobre la superficie a tratar. Esta deformación induce tensiones residuales de compresión.
Endurecimiento superficial Es una técnica por la cual se aumenta tanto la dureza superficial como la vida a fatiga de los aceros aleados. Esto se lleva a cabo mediante procesos de carburación y nitruración, en
los cuales un componente es expuesto a una atmósfera rica en carbono o en nitrógeno a temperaturas elevadas. Una capa superficial rica en carbono en nitrógeno es introducida por difusión atómica a partir de la fase gaseosa. Esta capa es normalmente de 1mm de profundidad y es más dura que el material del núcleo. La mejora en las propiedades de fatiga proviene del aumento de dureza dentro de la capa, así como de las tensiones residuales de compresión que se originan en el proceso de cementación y nitruración.
Influencia del medio El medio puede afectar el comportamiento a fatiga de los materiales. Hay dos tipos de fatiga por el medio: fatiga térmica y fatiga con corrosión.
Fatiga térmica La fatiga térmica se induce normalmente a temperaturas elevadas debido a tensiones térmicas fluctuantes; no es necesario que estén presentes tensiones mecánicas de origen externo. La causa de estas tensiones térmicas es la restricción a la dilatación y o contracción que normalmente ocurren en piezas estructurales sometidas a variaciones de temperatura. La magnitud de la tensión térmica resultante debido a un cambio de temperatura depende del coeficiente de dilatación térmica y del módulo de elasticidad. Se rige por la siguiente expresión:
Dónde:
Tensión térmica Coeficiente de dilatación térmica Modulo de elasticidad Incremento de temperatura
Fatiga con corrosión La fatiga con corrosión ocurre por acción de una tensión cíclica y ataque químico simultáneo. Lógicamente los medios corrosivos tienen una influencia negativa y reducen la vida a fatiga, incluso la atmósfera normal afecta a algunos materiales. A consecuencia pueden producirse pequeñas fisuras o picaduras que se comportarán como concentradoras de tensiones originando grietas. La de propagación también aumenta en el medio corrosivo puesto que el medio corrosivo también corroerá el interior de la grieta produciendo nuevos concentradores de tensión.
Deformación Saltar a: navegación, búsqueda La deformación es el cambio en el tamaño o forma de un cuerpo debido a esfuerzos internos producidos por una o más fuerzas aplicadas sobre el mismo o la ocurrencia de dilatación térmica.
Índice
1 Medidas de la deformación
2 Deformaciones elástica y plástica 3 Desplazamientos 4 Energía de deformación 5 Véase también 6 Referencias o 6.1 Bibliografía o 6.2 Enlaces externos
Medidas de la deformación La magnitud más simple para medir la deformación es lo que en ingeniería se llama deformación axial o deformación unitaria se define como el cambio de longitud por unidad de longitud:
de la misma magnitud Donde es la longitud inicial de la zona en estudio y la longitud final o deformada. Es útil para expresar los cambios de longitud de un cable o un prisma mecánico. En la Mecánica de sólidos deformables la deformación puede tener lugar según diversos modos y en diversas direcciones, y puede además provocar distorsiones en la forma del cuerpo, en esas condiciones la deformación de un cuerpo se puede caracterizar por un tensor (más exactamente un campo tensorial) de la forma:
Donde cada una de las componentes de la matriz anterior, llamada tensor deformación representa una función definida sobre las coordenadas del cuerpo que se obtiene como combinación de derivadas del campo de desplazamientos de los puntos del cuerpo.
Deformaciones elástica y plástica Tanto para la deformación unitaria como para el tensor deformación se puede descomponer el valor de la deformación en:
Deformación plástica, irreversible o permanente. Modo de deformación en que el material no regresa a su forma original después de retirar la carga aplicada. Esto sucede porque, en la deformación plástica, el material experimenta cambios termodinámicos irreversibles al adquirir mayor energía potencial elástica. La deformación plástica es lo contrario a la deformación reversible. Deformación elástica, reversible o no permanente, el cuerpo recupera su forma original al retirar la fuerza que le provoca la deformación. En este tipo de deformación, el sólido, al variar su estado tensional y aumentar su energía interna en forma de energía potencial elástica, solo pasa por cambios termodinámicos reversibles.
Comúnmente se entiende por materiales elásticos, aquellos que sufren grandes elongaciones cuando se les aplica una fuerza, como la goma elástica que puede estirarse sin dificultad recuperando su longitud original una vez que desaparece la carga. Este
comportamiento, sin embargo, no es exclusivo de estos materiales, de modo que los metales y aleaciones de aplicación técnica, piedras, hormigones y maderas empleados en construcción y, en general, cualquier material, presenta este comportamiento hasta un cierto valor de la fuerza aplicada; si bien en los casos apuntados las deformaciones son pequeñas, al retirar la carga desaparecen. Al valor máximo de la fuerza aplicada sobre un objeto para que su deformación sea elástica se le denomina límite elástico y es de gran importancia en el diseño mecánico, ya que en la mayoría de aplicaciones es éste y no el de la rotura, el que se adopta como variable de diseño (particularmente en mecanismos). Una vez superado el límite elástico aparecen deformaciones plásticas (que son permanentes tras retirar la carga) comprometiendo la funcionalidad de ciertos elementos mecánicos.
Desplazamientos Cuando un medio continuo se deforma, la posición de sus partículas materiales cambia de ubicación en el espacio. Este cambio de posición se representa por el llamado vector desplazamiento, u = (ux, uy, uz). No debe confundirse desplazamiento con deformación, porque son conceptos diferentes aunque guardan una relación matemática entre ellos:
Por ejemplo en un voladizo o ménsula empotrada en un extremo y libre en el otro, las deformaciones son máximas en el extremo empotrado y cero en el extremo libre, mientras que los desplazamientos son cero en el extremo empotrado y máximos en el extremo libre.
Energía de deformación Artículo principal: Energía de deformación.
La deformación es un proceso termodinámico en el que la energía interna del cuerpo acumula energía potencial elástica. A partir de unos ciertos valores de la deformación se pueden producir transformaciones del material y parte de la energía se disipa en forma de plastificado, endurecimiento, fractura o fatiga del material.
6.3 Deformación unitaria longitudinal. r Si a una barra de longitud l le aplicamos una fuerza de tracción F y la barra sufre un alargamiento ∆ l , se define alargamiento o deformación longitudinal como: ∆l εl = l La deformación longitudinal es la variación relativa de longitud. La relación entre la fuerza F y el alargamiento ∆ l viene dada por el coeficiente de rigidez Ks:
F = Ks ∆ l El coeficiente de rigidez depende de la geometría del cuerpo, de su temperatura y presión y, en algunos casos, de la dirección en la que se deforma (anisotropía). MODULO DE ELASTICIDAD
El módulo de elasticidad es un parámetro muy importante en el análisis de las estructuras de concreto ya que se emplea en el cálculo de la rigidez de los elementos estructurales, en algunos lugares como en la ciudad de México ya raíz de los terremotos de 1985,se han hecho cambios en el Reglamento de construcciones del Distrito Federal, estos cambios de mandan valores mínimos para el módulo de elasticidad dependiendo del tipo de concreto que se emplee en la obra,por lo tanto ahora,además de la f’ cse debe garantizar Ec.En algunos estructuristas existe la tendencia a suponer valores de Ec ,para lo cual emplean fórmulas sugeridas por diversas instituciones,por ejemplo el ComitéAci-318 sugiere en su reglamento la siguiente ecuación para concretos de 90 a 155 lb/pie
Módulo de compresibilidad Saltar a: navegación, búsqueda
Ilustración de compresión uniforme. El módulo de compresibilidad ( ) de un material mide su resistencia a la compresión uniforme y, por tanto, indica el aumento de presión requerido para causar una disminución unitaria de volumen dada. El módulo de compresibilidad
se define según la ecuación:
donde es la presión, es el volumen, y denotan los cambios de la presión y de volumen, respectivamente. El módulo de compresibilidad tiene dimensiones de presión, por lo que se expresa en pascales (Pa) en el Sistema Internacional. El inverso del módulo de compresibilidad indica la compresibilidad de un material y se denomina coeficiente de compresibilidad.
Índice
1 Ejemplo 2 Usos 3 Valores de la compresibilidad 4 Referencias
Ejemplo Para disminuir el volumen de una bola de hierro, con un módulo de compresibilidad de 160 GPa (gigapascales) en un 0,5%, se requiere un aumento de la presión de 0,005×160 GPa = 0,8 GPa. Alternativamente, si la bola es comprimida con una presión uniforme de 100 MPa, su volumen disminuirá por un factor de 100 MPa/160 GPa = 0.000625 ó 0,0625%.
Usos Aunque para el tratamiento de sólidos el efecto del módulo de compresibilidad es muchas veces ignorado en favor de otros módulos, como el módulo de Young, para el tratamiento de fluidos, solo el módulo de compresibilidad es representativo. En situaciones en las que un sólido se comporta como un fluido, como por ejemplo en balística terminal, el módulo de compresibilidad no puede ser ignorado. Estrictamente hablando, el módulo de compresibilidad es un parámetro termodinámico, y por tanto es necesario especificar las condiciones particulares en las que se produce el proceso de compresión, lo que da lugar a la definición de diferentes módulos de compresibilidad. Los más importantes, aunque no los únicos, son:
Si durante el proceso de compresión la temperatura permanece constante, tenemos el que el coeficiente de compresibilidad isotérmico, ( ) viene dado por.
Si el proceso de compresión es adiabático, tenemos el coeficiente de compresibilidad adiabático, ( ).
En la práctica, estas distinciones son solo relevantes para gases. En un gas ideal, los módulos de compresibilidad isotérmico y adiabático vienen dados por
donde p es la presión y γ es el coeficiente adiabático. En un fluido, el módulo de compresibilidad K y la densidad ρ determinan la velocidad del sonido c (ondas de presión), según la fórmula
En la practica un módulo de compresibilidad positivo garantiza un sistema estable. Es decir que cuando sea sometido a presiones mayores, este disminuye su volumen. Si se da lo contrario, quiere decir que un aumento de presión significa un aumento de volumen. Esto sólo se da en sistemas no estables como en reacciones químicas o algunos cambios de fase.
Valores de la compresibilidad Substancia Módulo de compresibilidad 9 Agua 2,2×10 Pa (este valor aumenta a mayores presiones) Aire 1,42×105 Pa (módulo de compresibilidad adiabático) Aire 1,01×105 Pa (módulo de compresibilidad isotérmico) Acero 160×109 Pa Aluminio 73×109 Pa Bronce 88×109 Pa Cobre 110×109 Pa Cristal 35×109 a 55×109 Pa Diamante 442×109 Pa1 Goma (caucho) 4,1×109 Pa (aproximado) Helio sólido 5×107 Pa (aproximado) Níquel 18×109 Pa Plomo 50×109 Pa
Módulo de RIGIDEZ (Redirigido desde «Módulo de elasticidad transversal») Saltar a: navegación, búsqueda
El módulo de elasticidad transversal, también llamado módulo de cizalladura, es una constante elástica que caracteriza el cambio de forma que experimenta un material elástico (lineal e isótropo) cuando se aplican esfuerzos cortantes. Este módulo recibe una gran variedad de nombres, entre los que cabe destacar los siguientes: módulo de rigidez transversal, módulo de corte, módulo de cortadura, módulo elástico tangencial, módulo de elasticidad transversal, y segunda constante de Lamé. Para un material elástico lineal e isótropo, el módulo de elasticidad transversal tiene el mismo valor para todas las direcciones del espacio. En materiales anisótropos se pueden definir varios módulos de de elasticidad transversal, y en los materiales elásticos no lineales dicho módulo no es una constante sino que es una función dependiente del grado de deformación.
Índice
1 Definición 2 Materiales isótropos lineales 3 Materiales anisotrópicos lineales o 3.1 Materiales ortótropos 4 Valores para varios materiales 5 Referencias 6 Véase también
Definición
fig. 1
Esquema para la medición del esfuerzo cortante.
Experimentalmente el módulo elástico transversal (o módulo cortitilatante) puede medirse de varios modos, conceptualmente la forma más sencilla es considerar un cubo como el de la fig. 1 y someterlo a una fuerza cortante, para pequeñas deformaciones se puede calcular la razón entre la tensión y la distorsión angular:
Experimental también puede medirse a partir de experimentos de torsión, por lo que dicha constante no sólo interviene en los procesos de cizalladura.
Materiales isótropos lineales Para un material isótropo elástico lineal el módulo de elasticidad transversal está relacionado con el módulo de Young y el coeficiente de Poisson mediante la relación:
Donde: es el módulo de elasticidad longitudinal o módulo de Young. es el coeficiente de Poisson. son respectivamente la tensión tangencial y la deformación tangencial sobre el plano formado por los ejes Xi y Xj.
Materiales anisotrópicos lineales Los materiales elásticos lineales anisótropos se caracterizan por presentar diferentes valores de las constantes elásticas según la direccionalidad del material. En general, en un material anisotrópico la ley de Hooke,
dond el tensor de constantes elásticas está dado por:
en notación de Voigt, que contrae un tensor de orden 4 en una matriz debido a los requerimientos de simetría que impone la conservación del momento angular sobre el 1 tensor de tensiones, . En un material isotrópo el módulo de cizalla se corresponde con el elemento del tensor de constantes elásticas. En materiales con simetría cúbica no simple es posible definir un módulo de cortadura equivalente identificándolo con el el elemento de dicho tensor,
pero su significado físico cambia. Existen igualmente casos en los que, sin tratarse de un material isótropo ni de simetría cúbica, es posible definir un módulo de cizalla: un caso sería el de los materiales de simetría hexagonal compacta, en los cuales el plano basal tiene simetría cúbica y, por lo tanto, presenta un comportamiento isotrópo dentro del plano2 .
Materiales ortótropos Un caso particular de material anisótropo donde sí se puede hablar de módulos de elasticidad longitudinales y transversales son los llamados materiales ortótropos; la madera es un ejemplo de material ortótropo, frecuentemente usado en construcción. En los materiales ortótropos los modos transversales y longitudinales de deformación están desacoplados. Eso permite identificar claramente módulos de elasticidad transversal y módulos de elasticidad longitudinal. Para un material ortótropo general pueden definirse tres módulos de elasticidad longitudinales básicos (Ex, Ey', Ez) y tres módulos de elasticidad transversal (Gxy, Gxz', Gyz). Estos últimos se definen como:
Para un material como la madera las coordenadas X, Y y Z anteriores se toman de la siguiente manera:
el eje X está alineado con la dirección longitudinal de la fibra. el eje Y se toma perpendicular a los anillos de la sección transversal. el eje Z se toma tangente a los anillos de la sección transversal.
Los módulos de elasticidad transversal en estas tres direcciones son diferentes para la madera y pueden llegar a presentar grandes diferencias de valor entre ellas.
Coeficiente de Poisson Saltar a: navegación, búsqueda
Ensanchamiento por efecto Poisson del plano longitudinal medio de un prisma comprimido a lo largo de su eje, el grado de ensanchamiento depende del coeficiente de Poisson, en este caso se ha usado El coeficiente de Poisson (denotado mediante la letra griega ) es una constante elástica que proporciona una medida del estrechamiento de sección de un prisma de material elástico lineal e isótropo cuando se estira longitudinalmente y se adelgaza en las direcciones perpendiculares a la de estiramiento. El nombre de dicho coeficiente se le dio en honor al físico francés Simeon Poisson.
Índice
1 Materiales isótropos o 1.1 Ley de Hooke generalizada 2 Materiales ortótropos 3 Valores para varios materiales 4 Véase también 5 Referencias o 5.1 Bibliografía o 5.2 Enlaces externos
Materiales isótropos Si se toma un prisma mecánico fabricado en el material cuyo coeficiente de Poisson pretendemos medir y se somete este prisma a una fuerza de tracción aplicada sobre sus bases superior e inferior, el coeficiente de Poisson se puede medir como: la razón entre el alargamiento longitudinal producido dividido por el acortamiento de una longitud situada en un plano perpendicular a la dirección de la carga aplicada. Este valor coincide igualmente con el cociente de deformaciones, de hecho la fórmula usual para el Coeficiente de Poisson es:
Donde ε es la deformación. Para un material isótropo elástico perfectamente incompresible, este es igual a 0,5. La mayor parte de los materiales prácticos en la ingeniería rondan entre 0,0 y 0,5, aunque existen algunos materiales compuestos llamados materiales augéticos que tienen coeficiente de Poisson negativo. Termodinámicamente puede probarse que todo material tiene coeficientes de Poisson en el intervalo (-1, 0,5), dado que la energía elástica de deformación (por unidad de volumen) para cualquier material isótropo alrededor del punto de equilibrio (estado natural) puede escribirse aproximadamente como:
La existencia de un mínimo relativo de la energía para ese estado de equilibrio requiere:
Esta última condición sólo se puede cumplir si el coeficinete de Poisson cumple
Ley de Hooke generalizada Conociendo lo anterior se puede concluir que al deformarse un material en una dirección producirá deformaciones sobre los demás ejes, lo que a su vez producirá esfuerzos en todos lo ejes. Por lo que es posible generalizar la ley de Hooke como:
Materiales ortótropos Para materiales ortotrópicos (como la madera), el cociente entre la deformación unitaria longitudinal y la deformación unitaria transversal depende de la dirección de estiramiento, puede comprobarse que para un material ortotrópico el coeficiente de Poisson aparente puede expresarse en función de los coeficientes de Poisson asociados a tres direcciones
mutuamente perpendiculares. De hecho entre las 12 constantes elásticas habituales que definen el comportamiento de un material elástico ortotrópico, sólo 9 de ellas son independientes ya que deben cumplirse las restricciones entre los coeficientes de Poisson principales y los módulos de Young principales:
Valores para varios materiales El coeficiente de Poisson es adimensional. Para ver el valor del coeficiente de Poisson para varios materiales consultar los valores del coeficiente de Poisson del Anexo:Constantes elásticas de diferentes materiales.
Deformación volumétrica. Cuerpo sometido a fuerzas de tracción.
El cuerpo experimenta:
Un alargamiento en la dirección de las fuerzas aplicadas, es decir: .
Una contracción transversal a la dirección de las fuerzas aplicadas, es decir:
Cuerpo sometido a fuerzas de compresión.
El cuerpo experimenta:
Una contracción en la dirección de las fuerzas aplicadas, es decir: .
Una expansión transversal a la dirección de las fuerzas aplicadas, es decir:
Cuerpo sometido a fuerzas cortantes de tracción o de compresión.
El cuerpo experimenta:
Una deformación llamada de cizalladura, en la que se observa una contracción transversal, es decir:
.