Teoría de Hodge

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Teoría de Hodge Hodge En matemáticas, la teoría de Hodge es una herramienta útil en el estudio de las formas diferenciales en una variedad diferenciable M diferenciable M . Con mayor precisión, se utiliza para el estudio del grupo de cohomología de M , con coeficientes reales, mediante el uso del operador laplaciano asociado a una métrica de Riemann definida en M en M . La teoría fue desarrollada por W. V. D. Hodge en los años 1930 como una extensión de la cohomología de De Rham, aplicándose principalmente para: el estudio de una variedad de Riemann el estudio de una variedad de Kähler en geometría algebraica, el estudio de una variedad proyectiva compleja o incluso, de forma más general, en un motivo. En el desarrollo desarrollo original, M original, M se se suponía una variedad cerrada (es decir, compacta y sin frontera). En los tres puntos de aplicación mencionados, la teoría fue de gran influencia en trabajos posteriores, siendo continuada, continuada, entre otros, por Kunihiko Kunihiko Kodaira Kodaira (en Japón y después después en Princeton, Princeton, bajo la influencia influencia parcial de Hermann Weyl).

Índice 1 Aplicac Aplicacion iones es y ejemplo ejemploss 1.1 Cohomo Cohomolog logía ía de De Rham Rham 1.2 Teoría de de Hodge Hodge en complejo complejoss elípticos elípticos 2 Estruct Estructura urass de de Hodg Hodgee 3 Véas Véasee tamb tambié ién n 4 Refe Refere renc ncia iass

Aplicaciones y ejemplos Cohomología de De Rham La formulación original de W. V. D. Hodge, se aplica al Complejo de De Rham. Si M M es una variedad k compac compacta ta y orienta orientable ble dotada dotada de una métrica métrica diferen diferenciab ciable le g , y Ω ( M M ) es el espacio de las formas diferen diferenciab ciables les de grado grado k en M , enton entonces ces el comp comple lejo jo de De Rham Rham es la secu secuenc encia ia de opera operado dores res diferenciales

donde d k indica la derivada exterior sobre Ωk ( M M ). ). La cohomología de De Rham es entonces la secuencia de espacios vectoriales definida por

Se puede definir entonces el adjunto formal de la derivada exterior d , que se denota por δ, de la siguiente +1( M manera. Para todo α ∈ Ωk ( M M ) y β ∈ Ωk +1 M ), ), se debe cumplir que

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donde es la métrica inducida sobre Ωk ( M ). El operador Laplaciano para formas se define entonces mediante Δ = dδ + δd. Esto permite definir el concepto de forma armónica y sus espacios asociados.

Puesto que

, hay una aplicación canónica

. La primera parte del

conocido como Teorema de Hodge afirma que dicha aplicación φ es un isomorfismo de espacios vectoriales. Dicho de otro modo, para cada clase de cohomología de De Rham en M existe una única forma armónica que la representa. Una consecuencia importante es que los grupos de cohomología de De Rham en variedades compactas deben ser de dimensión finita. Esto es debido a que el operardor definido como Δ es, en particular, elíptico, y el núcleo de un operador elíptico en una variedad compacta siempre es de dimensión finita.

Teoría de Hodge en complejos elípticos De forma más general, la teoría de Hodge se aplica a cualquier complejo elíptico sobre una variedad compacta. Sea un fibrado vectorial, con su correspondiente métrica, en una variedad compacta M y sea dV su forma de volumen. Supongamos que

son operadores diferenciables que actúan en secciones de esos fibrados vectoriales, y que la secuencia inducida

es un complejo elíptico . Se introduce la suma directa:

y sea L* el adjunto de L. Se puede definir el operador elíptico Δ = LL* + L*L. Al igual que en el caso de De Rham, puede entonces definirse el espacio vectorial de las secciones armónicas.

Así pues, sea

la proyección ortogonal, y sea G la operador de Green para Δ. En ese caso, el Teorema de Hodge asegura que: 1. H and G están bien definidos. 2. Id = H + ΔG = H + GΔ 3. LG = GL, L*G = GL* 4. La cohomología del complejo es isomorfa, de manera canónica, al espacio de secciones armónicas, , en el sentido de que cada clase de cohomología tiene un único representante armónico.

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Estructuras de Hodge Se puede dar una definición abstracta de una estructura de Hodge (en el campo real) de la siguiente forma: para un espacio vectorial real W , una estructura de Hodge con peso k (entero) en W es una descomposición p, q donde k = p + q, y como suma directa de W C = W ⊗ C, la complexificación de W , en piezas con grado W de forma que la conjugación compleja de W C intercambia este subespacio con W q, p. En geometría algebraica, se tiene entonces el siguiente enunciado básico: los grupos de cohomología singular con coeficientes reales de una variedad proyectiva compleja no singular V están dotados de una estructura de Hodge, de forma que possee la descomposición requerida en subespacios complejos H p, q. Esto tiene una conocida consecuencia para los números de Betti, ya que tomando dimensiones

donde la suma está hecha sobre las parejas p, q con p + q = k y donde

La sucesión de números de Betti se convierte entonces en un que se extiende en dos dimensiones.

diamante de Hodge de números de Hodge

Esta graduación proviene de la teoría de las formas armónicas , las cuales son representantes privilegiados de la clase de cohomología de De Rham anulados por el laplaciano de Hodge (generalizando las propiedades de una función armónica, la cual, como consecuencia del principio del máximo, en una variedad compacta debe ser localmente constante ). En trabajos posteriores de Dobealt ha sido mostrado que la descomposición de Hodge también aparece para grupos de cohomología de haces donde Ω p es el haz de -formas holomorfas. Esto permite, en este caso, tener una interpretación más algebraica, que no recurre a ningún laplaciano.

Véase también Conjetura de Hodge

Referencias P. Griffiths; J. Harris (1994). Principles of Algebraic Geometry. Wiley Classics Library. Wiley Interscience. p. 117. ISBN 0-471-05059-8. Hodge, W. V. D. (1941), The Theory and Applications of Harmonic Integrals (http://books.google.com/books?id=-8k8AAAAIAAJ), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-35881-1, MR 0003947 (http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=0003947) Ofer Gabber, Lorenzo Ramero (2009). Foundations for almost ring theory (http://arxiv.org /abs/math.AG/0409584).

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