Teoria de Columnas

COLUMNAS

UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN MARTIN FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL ESCUELA ACADEMICA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL

COLUMNAS INTRODUCCION.

La selección de elementos estructurales se basa en tres características: resistencia, rigidez y estabilidad. Los procedimientos de análisis de esfuerzos y deformaciones se estudiaron en detalle en los capítulos anteriores. En este capítulo se tratará la cuestión de la posible inestabilidad de sistemas estructurales. En tales problemas se deben hallar parámetros críticos adicionales que determinen si es posible una configuración o patrón de desplazamientos dado

para un sistema particular. Además por lo general gen eral los fenómenos fenóme nos de pandeo o arrugamiento que se observan en miembros cargados ocurren más bien repentinamente. Por esta razón muchas de las fallas estructurales por pandeo son espectaculares y muy peligrosas. El enorme número de problemas de inestabilidad o pandeo de estructuras sugerido por la lista anterior está fuera del alcance de este texto. . Aquí sólo se considerará el problema de la columna. Utilizándolo como ejemplo, sin embargo, se ponen de relieve las características esenciales del fenómeno de pandeo y algunos procedimientos básicos para su análisis. Este se llevará a cabo investigando primero el comportamiento de barras delgadas cargadas axialmente y sometidas simultáneamente a flexión. Tales miembros se llaman vigas columnas. Los problemas de vigas columnas, además de tener un significado

propio permiten determinar las magnitudes de cargas axiales críticas a las que ocurre el pandeo. E S T A B I L I D A D D E L E Q U IL IL I B R I O

Una aguja perfectamente recta sostenida sobre su punta puede considerarse en equilibrio. Sin embargo, la menor perturbación de éste o la imperfección más pequeña en su fabricación harían imposible tal estado. Se dice que esta clase de equilibrio es inestable, y es imperativo evitar situaciones análogas en sistemas estructurales. Para aclarar más el problema, consideremos de nuevo una barra vertical rígida con un resorte de torsión, de rigidez k, en su base, como se muestra en la Figura 5.a. La respuesta de este sistema a medida que aumenta la fuerza P se indica en la Figura 5.b para una fuerza F grande y una fuerza F pequeña. Surge entonces la siguiente pregunta: ¿Cómo se comportará este sistema si F = 0? Este es el caso límite y corresponde al estudio del pandeo perfecto. La barra rígida de la Figura

RESISTENCIA DE MATERIALES II

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5.a puede experimentar sólo rotación, ya que no se puede flexionar; es decir, el sistema tiene un grado de libertad. Para una rotación supuesta, θ, el momento en el resorte (restaurador) es kθ, y con F = 0, el momento que produce P (perturbador) será PLsenθ ≈ PLθ, por lo tanto: kθ > PLθ, el sistema e s estable kθ < PLθ, el sistema es inestable.

Exactamente en el punto de transición kθ = PLθ, el equilibrio no es estable ni

inestable sino neutro (o indiferente). La fuerza asociada a esta condición es la carga pandeo o crítica, que se designará por PC. Para el sistema considerado PC = k/L Esta condición establece el comienzo del pandeo. Con esta fuerza dos posiciones de equilibrio son posibles, la forma vertical y una forma inclinada infinitesimalmente próxima a ella. Por lo tanto, como es posibl e seguir dos ramas o caminos en la solución, a esta condición se la llama punto de bifurcación de la solución de equilibrio. Para P > k/L el sistema es inestable. Como la solución ha sido linealizada no hay posibilidad de que θ sea arbitrariamente grande e n PC. Considerando grandes desplazamientos, hay siempre un punto de equilibrio estable en θ < π. El comportamiento de columnas elásticas, cargadas

concéntricamente y perfectamente rectas, es decir columnas ideales, es análogo RESISTENCIA DE MATERIALES II

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al comportamiento descripto en el sencillo ejemplo anterior. A partir de una formulación linealizada del problema se puede determinar las cargas críticas de pandeo. Las cargas críticas no describen la acción del pandeo mismo. Utilizando una ecuación diferencial exacta de la curva elást ica para deflexiones grandes, es posible hallar posiciones de equilibrio más altas que PC, correspondiente a la fuerza aplicada P. Los resultados de tal análisis se ilustran en la Figura 6. Notar especialmente que aumentando P en sólo 1,5%PC sobre PC se produce un desplazamiento lateral máximo del 22% de la longitud de la columna 2 Por razones prácticas, desplazamientos tan grandes rara vez pueden ser aceptados. Además, por lo general el material no puede resistir los esfuerzos de flexión inducidos. Por lo ta nto, las columnas reales fallan inelástica-mente. En la gran mayoría de las aplicaciones de ingeniería PC representa la capacidad última de una columna recta cargada axialmente en forma concéntrica.

CARGA

DE

PANDEO

DE

EULER

PARA

COLUMNAS

CON

EXTREMOS

ARTICULADOS.

A fin de formular las ecuaciones diferenciales que permitan determinar la carga de

pandeo de una columna ideal, se debe permitir que ocurra un pequeño desplazamiento lateral del eje de la columna. Para la columna con extremos


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articulados e inicialmente recta de la Figura 7.a, lo anterior se indica en la Figura 7.b. Para el caso de la columna ligeramente flexionada de la Figura 7.b., el momento flector M en una sección cualquiera es −Pv (x), que si se substituye en la ecuación

diferencial de la elástica da por resultado:

       Entonces,     tenemos:

 

Esta es una ecuación de la misma forma que la del movimiento armónico simple y su solución es.

  

Donde las constantes arbitrarias A y B se deben determinar a partir de las condiciones de contorno, que son

()  ()  ()  y

En consecuencia

y

 () 

o

Esta ecuación se puede satisfacer tomando A = 0. Como esto corresponde a la condición pandeo, esta solución es trivial. Alternativamente la ecuación anterior también se satisface si

Donde n es un entero. En esta ecuación los valores característicos o auto valores para tal ecuación diferencial, que hacen posible una forma de pandeo, requieren que:


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Se supondrá en este caso que n puede ser cualquier número entero. Sin embargo, puesto que el interés se centra en el valor mínimo con que puede ocurrir el pandeo, n se debe tomar igual a la unidad. Por lo tanto, la carga crítica (o carga de pandeo de Euler) para una columna articulada en ambos extremos es

Donde I debe ser el momento de inercia mínimo del área transversal de la columna y L la longitud de la misma. Este caso de una columna articulada en ambos extremos con frecuencia se lo denomina el caso fundamental. De acuerdo con la ecuación anterior, bajo la carga crítica, B=0, la ecuación de la curva elástica pandeada es:



Esta es la función característica o auto función de este problema y puesto que n puede tomar cualquier valor entero, hay un número infinito de tales funciones. En

esta solución linealizada la amplitud A del modo de pandeo permanece indeterminada. Para n = 1, la curva elástica es media onda de una sinusoide. Esta forma, junto con los modos correspondientes a n = 2 y n = 3, se muestran en la Figura 7.c-e. Los modos de orden superior no tienen significado físico en el problema de pandeo, puesto que la carga crítica mínima ocurre en n = 1.


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PANDEO ELÁSTICO DE COLUMNAS CON DIFERENTES RESTRICCIONES EN SUS EXTREMOS

Las soluciones de tales problemas son muy sensibles a las restricciones de extremo. Por ejemplo la carga crítica de pandeo para una columna empotrada en su base3, Figura 8.b, con una carga vertical en su extremo libre superior, es:

En este caso extremo la carga crítica es sólo 1/4 de la correspondiente al caso fundamenta. Para una columna empotrada en un extremo y articulada en el otro, Figura 8.c:

En tanto que para una columna empotrada en ambos extremos, Figura 8.d:


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Las dos últimas ecuaciones indican que mediante la restricción en los extremos las cargas de pandeo críticas van aumentando notablemente por encima del caso fundamental. Todas las fórmulas anteriores pueden asemejarse al caso fundamental siempre que en vez de la longitud real de la columna se utilice la longitud efectiva de la misma. Esta longitud resulta ser la distancia entre los puntos de inflexión de las curvas elásticas o las articulaciones, si las hay. La

longitud efectiva de una columna, Le, en el caso fundamental es igual a L, pero en los casos anteriores es 2L, 0,7L y 0,5L, respectivamente. Para el caso general, Le = KL, donde K es el factor de longitud efectiva, el cual depende de las restricciones en los extremos.

       ()  () En contraste con los casos clásicos que se muestran en la Figura 8, los miembros a compresión reales rara vez están verdaderamente articulados o completamente

empotrados

(fijos

contra la rotación) en los extremos. Debido a la incertidumbre respecto al grado de fijación de los extremos, a

menudo las columnas se suponen con articulaciones en dichas partes. Con excepción del caso que se muestra en la Figura 8.b, donde no se puede utilizar, este procedimiento es conservador.

LIMITACIÓN DE LAS FORMULAS DE EULER

En las deducciones anteriores de las fórmulas de pandeo para columnas se supuso tácitamente que el material se comportaba de manera linealmente elástica.


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Para poner de manifiesto esta significativa limitación, la ecuación: escribirse en forma diferente.

Por definición:

 

  

puede

donde:

A= área de la sección transversal R=es su radio de giro. La sustitución de esta relación en la ecuación dada anteriormente, se obtiene:

     

O



    ()

     

Donde el esfuerzo critico para una columna se define como (es decir, como un esfuerzo promedio sobre el área transversal de una columna bajo una carga critica ).La longitud de la columna es y R el radio de giro mínimo del área de la sección trasversal, puesto que la fórmula original de Euler se da en términos del valor mínimo de . La relación de la longitud de la





 columna al radio de giro mínimo de un área transversal se llama relación de esbeltez (λ) de la columna.

De la ecuación dada anteriormente se puede concluir el límite de proporcionalidad del material es el límite superior del esfuerzo con la cual la columna pandeará elásticamente.


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FORMULAS GENERALIZADAS DE LA CARGA DE PANDEO DE EULER

Un diagrama esfuerzo-deformación unitario en compresión para una probeta en la que se impide el pandeo se puede representar como en la Figura (a). En el intervalo de esfuerzos desde O hasta A, el material se comporta elásticamente. Si el esfuerzo en una columna en pandeo no excede de este intervalo la columna pandeará elásticamente. La hipérbola correspondiente a la ecuación

  ()

,

con un E elástico, es aplicable en tal caso. Esta porción de la curva se indica como ST en la Figura (b). Es importante reconocer que esta curva no representa el comportamiento de una columna sino más bien el de un número infinito de columnas ideales de diferente longitud. La hipérbola que corresponde a la región situada más allá del intervalo útil se indica en la figura por medio de una línea punteada.

 la columna de más corta longitud hecha de material y tamaño dados, que se  pandeará elásticamente. Una columna más corta, con una relación  aún menor, no se pandeará en el límite de proporcionalidad del material, en el diagrama Una columna con una relación correspondiente al punto S de la Figura (b) será

tensión-deformación de la Figura (a), esto significa que el nivel de esfuerzos en la columna ha pasado del punto A y alcanzado quizá un cierto punto B. A este nivel de esfuerzos más alto se puede decir, en efecto, se ha creado una columna de material diferente puesto que la rigidez del mismo ya no está representada por el módulo de elasticidad. En este punto, la rigidez del material está dada por la tangente a la gráfica tensión-deformación, es decir, por el módulo elástico tangente (o instantáneo) . La columna permanecerá estable si su nueva rigidez a la flexión en B es suficientemente grande y podrá soportar una carga mayor. A medida que la carga aumenta, el nivel de esfuerzos se eleva también, en tanto






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que el módulo referido a la tangente disminuye. Una columna de “material aún menos rígido” actúa bajo una carga creciente.



La sustitución del módulo elástico tangente en vez del módulo elástico inicial E, es entonces la única modificación necesaria para obtener las fórmulas de pandeo elástico aplicables en el intervalo inelástico. En consecuencia, la fórmula generalizada de Euler, o bien la fórmula del módulo referido a la tangente será:

  ()

Como los esfuerzos correspondientes a los módulos referidos a la tangente se pueden obtener partir del diagrama esfuerzo-deformación a la compresión, la relación a la cual se pandeará una columna con estos valores se puede obtener



   de la ecuación     .Una gráfica que represente esta comportamiento para ( )  valores intermedios y bajos de  está data en la Figura (b) por la curva desde S hasta R. Los ensayos en columnas individuales verifican esta gráfica con notable exactitud.

Las columnas que se pandean elásticamente se denominan a veces columnas largas. A las columnas con relaciones que no presentan esencialmente

 fenómenos de pandeo reciben el nombre de columnas cortas. Con bajos valores  de  ( ) Si la longitud  de la ecuación:      se considera como la longitud efectiva  de una columna, se pueden analizar diferentes condiciones de extremo. De acuerdo con este procedimiento en la Figura se grafica para fines de comparación,  el esfuerzo crítica  en función de la relación de esbeltez  para columnas de , los materiales dúctiles “se aplastan” y pueden soportar cargas muy grandes.

extremos empotrados y articulados. Es importante notar que la capacidad de carga en los dos casos está en la relación 4 a 1 sólo para columnas que tengan la relación de esbeltez menores se obtienen 1 o mayor. Para valores de

()

 progresivamente menos ventajas por la restricción al giro en los extremos. Con bajas relaciones L/r , las gráficas se confunden. Hay poca diferencia si un “bloque


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corte” está articulado o empotrado en sus extremos, ya que entonces la

resistencia determina su comportamiento y no el pandeo.

COLUMNAS CARGADAS EXCENTRICAMENTE Y LA FORMULA DE LA SECANTE

En el estudio anterior del pandeo de columnas se supuso que tales elementos eran idealmente rectos. Puesto que en realidad todas las columnas tienen imperfecciones, las cargas de pandeo que se obtienen para columnas ideales son las mejores posibles. Tales análisis sólo proporcionan indicios acerca del mejor funcionamiento posible de columnas. Por lo tanto, no es sorprendente que el funcionamiento de columnas haya sido explorado también con base en algunas imperfecciones determinadas estadísticamente o en posibles desalineamientos de las cargas aplicadas. Como una ilustración de este enfoque, se considerará una columna cargada excéntricamente que es un problema importante en si mismo. Para analizar el comportamiento de una columna cargada excéntricamente, se considera la columna de la figura. Si el origen de los ejes coordenados se toma en la posición de la fuerza superior P, el momento flexionante en cualquier sección es y la ecuación diferencial para la curva elástica es la misma que para una columna cargada axialmente.

–

 

Para la columna mostrada en la figura, el momento flexionante máximo se desarrolla en el punto de flexión máxima y numéricamente es igual a . Por RESISTENCIA DE MATERIALES II

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consiguiente, como la fuerza directa y el momento flexionante máximo no se conocen, el esfuerzo de compresión máximo que ocurre en la columna puede calcularse con la fórmula usual como:

            (  ())         (      ) Pero:

, por tanto:

Esta ecuación, debido al termino con la secante, se conoce como FORMULA DE LA SECANTE y se aplica a columnas de cualquier longitud, siempre que el esfuerzo máximo no exceda el limite elástico. Una condición de iguales excentricidades de las fuerzas aplicadas en la misma dirección, causa la deflexión máxima. Obsérvese que en la ecuación el radio de giro R puede no ser el mínimo, puesto que surge del valor de asociado al eje con respecto al cual se produce la flexión. En algunos casos la condición crítica de pandeo puede existir en la dirección de alguna excentricidad no definida. Obsérvese también que en la ecuación la relación entre y no es lineal; aumenta más rápidamente que P. Por consiguiente, las tensiones máximas causadas por fuerzas axiales no se pueden superponer.

  





Para la fuerza permisible sobre una columna, donde n es el factor de seguridad, debe sustituir a P en la ecuación anterior y el debe hacerse igual al punto de fluencia de un material; es decir:



     (      )

La formula de la secante para columnas cortas se vierte ala familiar expresión cuando tiende a cero. Para este caso, el valor de la secante tiende a la unidad;

 por consiguiente, el límite, la ecuación inicial toma la forma: RESISTENCIA DE MATERIALES II

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        

Que es la relación normalmente usada para bloques cortos.

5. DISEÑO DE COLUMNAS Para columnas que no sean cortas, la teoría del pandeo de columnas muestra que las áreas transversales de estas deben el radio de giro r mínimo mayor posible. Resulta así la relación de esbeltez menor posible lo que permite el uso de esfuerzos superiores. Debe ponerse límites al espesor mínimo del material para prevenir el pandeo local de las placas. Como los perfiles laminados comerciales tienen generalmente relaciones de espesor de pared suficientemente grandes para prevenir el pandeo, se dará un breve tratamiento de este problema en tanto que es aplicable a miembros en compresión de aluminio.



Como los miembros tubulares tienen un gran radio de giro en relación con la cantidad de material en la sección transversal, son excelentes para usarse como columnas. Las secciones de patín ancho (secciones H), son también muy adecuados como columnas y son superiores a las secciones I que tienen patines angostos lo que conduce a grandes relaciones de . Para obtener un gran radio de giro, las columnas a menudo se construyen con patines laminados o extruidos a las piezas individuales se separan entre sí para obtener el efecto deseado.



5.1. Diseño de columnas sometidas a carga céntrica El Instituto Americano de la Construcción en Acero, AISC por sus siglas en inglés, proporciona dos conjuntos de formulas para columnas con dos formulas en cada conjunto. Uno de esos conjuntos es para usarse en el diseño por esfuerzos permisibles (ASD) y el otro en el diseño por factores de carga y resistencia (LRFD). En el segundo enfoque se hace una relación probabilística implícita sobre la confiabilidad de las columnas basada en los factores de carga y resistencia 5.1.1. Formulas para columnas de acero estructural a) Formulas del del ASD del AISC para columnas


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

Las formulas para esfuerzo permisible , para columnas esbeltas se basa en la carga de pandeo elástico de Euler con un factor de seguridad 23/12 =1.92. Las columnas esbeltas son aquellas que tienen una relación de esbeltez o mayor. La constante , corresponde al esfuerzo crítico en la carga de Euler igual a la mitad del esfuerzo de fluencia del acero .

  √            ()         ()         () ()         

La fórmula para columnas largas cuando (

)>

es:

Donde:

Longitud efectiva Radio de giro mínimo del area de la sección tranversal. No se permite que las columnas excedan una >200. Para una relación < , el AISC específica la formula parabólica:

Donde el Factor de Seguridad F.S., se define como:

Nótese que FS varía, siendo más conservador para las mayores relaciones de .La ecuación escogida para el FS se aproxima a un cuarto de una curva seno con el valor de 1.67 en y de 1.92 en . Una razón esfuerzo permisible versus relación de esbeltez para columnas cargadas axialmente de varios tipos de aceros estructurales se muestran en la fig. siguiente.


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Como en las aplicaciones prácticas, la restricción ideal de los extremos de las columnas, no puede ser siempre confiable, el AISC especifica conservadoramente una modificación de las longitudes efectivas como sigue:

  

Para columnas empotradas en ambos extremos Para columnas empotradas en un extremo y articuladas en el otro Para columnas empotradas en un extremo y libre en el otro

 





Ninguna modificación tiene que hacerse para columnas articuladas en ambos extremos, donde . Para otras restricciones de extremo, se verán las especificaciones AISC. b) Formulas del LRFD del AISC para columnas Aquí de nuevo hay dos ecuaciones que gobiernan la resistencia de la columna, una para pandeo elástico y otra para el inelástico. La frontera entre la inestabilidad inelástica y la elástica tiene lugar en λc se define como:

   Esta relación resulta de normalizar la relación de esbeltez  con respecto a la relación de esbeltez para el esfuerzo critico elástico de Euler, suponiendo que    Para lambda de pandeose basa en la carga de Euler y está  dado como: ]  [ Donde el factor 0.877 se introduce para tomar en cuenta la falta de rectitud λc=

λc>1.5, el

de la columna.

  

Para lambda λc=1.5, el una relación empírica basada en extensos estudios experimentales y probabilísticos está dada por: Esta ecuación incluye los efectos de los esfuerzos residuales y la falta de rectitud inicial. Ambas formulas previas dan la resistencia axial nominal de columnas y deben usarse en conjunción con cargas factor izadas y un factor de resistencia RESISTENCIA DE MATERIALES II

COLUMNAS




de 0.85: las relaciones de esbeltez efectivas igualmente que en el método ASD.



son determinadas

5.1.2. Formulas para columnas de aleaciones de aluminio Existen un sin número de calidades de aluminio, sin embargo el modulo elástico de las aleaciones es razonablemente constante. La Aluminium Asociation (AA), proporciona un gran número de formulas de diseño, por ejemplo: Para el aluminio 6061-T6, las tres formulas básicas son:

            ()  

Para miembros en compresión de aleación de aluminio, las longitudes efectivas son aproximadas de la misma manera que las recomendadas por el AISC 5.2. Diseño de columnas sometidas a carga excéntrica En una columna cargada excéntricamente gran parte del esfuerzo total puede resultar del momento aplicado. Sin embargo el esfuerzo permisible en flexión es usualmente mayor que el esfuerzo axial permisible. Por consiguiente para una columna particular es deseable alcanzar algún equilibrio entre los dos esfuerzos, dependiendo de las magnitudes relativas del momento flexionante y de la fuerza axial. Entonces como en flexión donde r1 es el radio de giro en el plano de flexion, el area Ab requerida por el momento flexionante es:

  

Donde:

 

  

Esfuerzo máximo de flexion permisible

Similarmente el área Aa requerida por la fuerza axial P es:

  


COLUMNAS


 

Donde:

Esfuerzo axial permisible para el miembro actuando como columna que depende de la razón L/r.

Por tanto el área total requerida para una columna sometida a una fuerza axial y un momento flexionante es:

Dividiendo entre A:

  

              

Donde es el esfuerzo axial causado por las cargas verticales aplicadas y es el esfuerzo deflexión causado por el momento aplicado. Si una columna soporta solo carga axial y el momento aplicado es cero, la formula indica que lacolumna esta diseñada para el esfuerzo . Por otra arte el esfuerzo permisible resulta ser el esfuerzo de flexión si no hay una fuerza directa de compresión actuando sobre la columna.

           

En término de la AISC, la ecuación

se escribe como:

Cuando hay momentos flexionantes respecto a ambos ejes de la sección transversal, entonces la ecuación anterior toma la forma: Los subíndices x y y, combinados con el subíndice b, indican el eje de flexión respecto al cual un esfuerzo particular es aplicable, y

  

Eesfuerzo axial permisible si sólo se tiene una fuerza axial Esfuerzo de compresión permisible por flexión si sólo se tiene momento flexionante = Esfuerzo axial calculado = Esfuerzo de flexión calculado



En puntos que están arriostrados en el plano de flexión, fluencia del material, y


     



es igual al 60% de

COLUMNAS


En puntos intermedios en la longitud de un miembro en compresión, los momentos flexionantes secundarios debido a la deflexión pueden contribuir en forma importante a la magnitud del esfuerzo combinado. De acuerdo con las especificaciones AISC, esta contribución se ignora en caso de que es menor que 0.15. Cuando es mayor que 0.15, el efecto de los momentos flexionantes secundarios adicionales pueden ser aproximado multiplicando  ), que toma en ambos y por un factor de multiplicación, Cm/ (1cuenta la relación de esbeltez en el plano de flexión y también la naturaleza de los momentos en los extremos. El termino en el denominador del termino de amplificación considera el efecto de la esbeltez por medio de  (esfuerzo de pandeo de Euler usando en el plano de flexion) dividido entre 23/12 o 1.92, que es el factor d seguridad del AISC para una columna muy larga con > . Puede verse que el factor de amplificación crece con y crece cuando se acerca al valor de  . El termino Cm en el numerador es un factor de corrección que toma en cuenta la relación entre los momentos de extremo así como su sentido relativo. El termino Cm es mayor si los momentos extremos son tales que causan una curvatura simple del miembro y menor si causan una curvatura doble. La fórmula para >0.15 es entonces:



 

  



  







           (  ) (  ) 



De acuerdo con las especificaciones AISC, el valor de Cm se tomara como sigue: 1. Para miembros en compresión de marcos sometidos a traslación de sus nodos (desplazamiento lateral), Cm=0.85. 2. Para miembros en compresión restringidos de marcos arriostrados contra traslación de sus nodos y no sometidos a carga transversal entre sus soportes en el plano de flexión, (pero no menor que 0.4), donde es la razón del menor al mayor momento en los extremos de aquella porción del miembro no arriostrada en el plano de flexión en consideración. es positiva cuando el miembro esta flexionado en curvatura doble y negativa cuando esta flexionado en curvatura simple. 3. Para miembros en compresión en marcos arriostrados contra traslación de sus nodos en el plano de carga y sometidos a carga transversal entre sus soportes, el valor de Cm puede determinarse por análisis racional. Sin embargo, en vez de tal análisis, pueden usarse los siguientes valores: (a)Para miembros cuyos extremos están restringido, Cm=0.85 (b)Para miembros cuyos extremos no están restringidos, Cm=1.0




  

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PROBLEMAS 1. Una pieza de madera escuadrada de 50 x 100 mm se emplea como columna

con los extremos empotrados. Calcular la longitud mínima para que pueda aplicarse la fórmula de Euler si E = 10 GPa y el límite de proporcionalidad es de 30 MPa. ¿Qué carga axial podrá soportar con un factor de seguridad igual a 2, si la longitud es de 2,5 m? Solución

Dadas las dimensiones de la sección recta, calcular el radio de giro menor:

  ()()                  

Entonces:

Para calcular la longitud usamos la expresión:

 (⁄)             ()           )     ( ()( )            

Para calcular

, donde:





tenemos lo siguiente:

2. Una tornapunta de aluminio tiene una sección rectangular

de 20 x 50 mm. Un perno que atraviesa cada extremo lo asegura de manera que actúa como columna doblemente articulada con respecto a un eje perpendicular a la RESISTENCIA DE MATERIALES II

COLUMNAS


dimensión de 50 mm y como empotrada, respecto a un eje normal a la de 20 mm. Determinar la carga axial de seguridad con un factor igual a 2.5, siendo E = 70 GPa y la longitud de 2 metros. Solución

   ()()     ()()     ⁄  ⁄       ( )( )               ()         ( )( )            ()           

Tenemos la sección de 20 x 50 mm, calculamos los momentos de inercia.

Calculamos las cargas críticas: En el eje X (doblemente empotado)

En el eje Y (doblemente articulado)

De los dos valores tomamos el menor:

Luego la carga de seguridad con un factor de seguridad 2.5 es:

3. Usando las especificaciones de la AISC, determinar la longitud máxima de un

perfil W360 x 122 si se va a usar como columna con extremos articulados para soportar una carga axial de 1200 kN, usando .

              Solución

Para el perfil

, tenemos:

Además como datos se tiene:


COLUMNAS


             (        )  ⁄       

Calculamos la relación de esbeltez:

Decimos que:

Entonces:

            (⁄)    )()    ( ()        

Reemplazando:

4. Mediante la fórmula de AISC determinar la carga axial de trabajo en una

columna constituida por un perfil W360 x 122 que está articulada en sus extremos y tiene una longitud de 9 m. Use para esto . Solución

  

Para el perfil    , de tabla tenemos:

              (        )           

Obtenemos la relación de esbeltez:

De:


COLUMNAS


La fórmula para el esfuerzo de trabajo se tiene:

          (⁄)  (⁄)     ( )(  () )  


COLUMNAS

Teoria de Columnas

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