Ecuaciones de Maxwell. La función dieléctrica. Reflexión, transmisión y absorción. Relaciones de Kramers-Kronig. Reglas de suma. Origen físico de las ...
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TEORÍA CLÁSIC CLÁ SICA A DE LA L A FUNCI F UNCIÓN ÓN DIEL DIELÉCTRIC ÉCTRICA A
Ecuaciones de Maxwell. La función dieléctrica. Reflexión, transmisión y absorción. Relaciones de Kramers-Kronig. Reglas de suma. Origen físico de las contribuciones a la función
dieléctrica. Modelo de Lorentz. Absorción infrarroja. Modelo de Drude. Absorción por portadores libres. Modos acoplados. Polaritones
Ecuaciones de Maxwell. La función dieléctrica
Ecuaciones de Maxwell Ecs. de Maxwell microscópicas
Promedio Ecs. de Maxwell macroscópicas
Respuesta de un sistema a un campo externo: Planteamiento del problema “Teoría metálica”
Polarización
Desplazamiento eléctrico
“Teoría dieléctrica”
Funciones de respuesta lineal: conductividad, susceptibilidad y función dieléctrica
Desarrollo de la respuesta (J o P ) en potencias del campo
Régimen de la respuesta lineal
no-localidad retardo
CONDUCTIVIDAD SUSCEPTIBILIDAD
FUNCIÓN DIELÉCTRICA
Medio
homogéneo y estacionario
Transformada de Fourier dispersión espacial
dispersión
(en frecuencia)
Relación entre las diferentes funciones de respuesta
E y (J ,P )
son campos reales
Invariancia
bajo inversión temporal
Disipación de energía Onda plana armónica:
Para un sistema sin dispersión espacial
Para un sistema sin dispersión espacial
Promedio temporal de la potencia disipada
Ecuación de ondas Ecuaciones de Maxwell (en una región → ρ e =0 , J e=0 )
Busco soluciones en forma de onda plana armónica:
Ecuación de ondas
Reflexión, transmisión y absorción
Procesos básicos en la interacción radiación-materia Justificar que necesitamos dos medidas experimentales para determinar las propiedades del sistema
Medio material Luz reflejada Dispersión (”scattering” ) Excitación del medio
Absorción
Luz trasmitida
Luz incidente
FotoLuminiscencia
Relaciones de Kramers-Kronig. Reglas de suma
Respuesta de un medio a un campo e.m.
REPASO En el espacio de Fourier
conductividad susceptibilidad
J =
E
P =
E
(k , ω ) = 1 + 4
función dieléctrica
D =
E
(k , ω ) = - i
permeabilidad = 1
B = H
ε = n + i κ
n Índice de refracción ordinario κ
(k , ω )
(valores complejos)
}
Índice de refracción complejo N =
(k , ω )
Reflectividad (en incidencia normal) =
Coeficiente de extinción
N −1 N +1
2 2
Relaciones de Kramers-Krönig. Reglas de suma.
Origen físico de las contribuciones a la función dieléctrica
Contribuciones a la función dieléctrica (ω )
< -- excitaciones del sólido
excitaciones magnéticas
procesos de relajación dieléctrica
absorción por portadores libres vibraciones de la red impurezas excitones transiciones banda-banda transiciones hacia bandas más altas transiciones desde los niveles del core excitaciones nucleares
ω
Energía (eV) fonones ópticos
excitón
transiciones banda-banda
Energía (eV)
fonones ópticos
excitón
trans. banda-banda
Separación clara de las diferentes resonancias Los valores ε(0) y ε(∞) de una resonancia dependen de las resonancias de mayor energía Tratamiento cuántico
Sería interesante disponer de modelos sencillos que capturen la esencia física del problema:
Model Mod eloo de Loren Lorenttz
Modelo de Drude
Modelo de Lorentz. Absorción infrarroja
Modelo de Lorentz F = − k r
Contribución electrónica a e(w)
Campo eléctrico
E = Eo e
a
i ( kr −ω t )
ne
2
m P= E = χ (ω )E 2 2 (ω o − ω ) − iγω
k m
⇒ E = Eo e − iω t
λ >> a
Sistema de osciladores armónicos no acoplados
Ecuaci Ecuación ón de movimi movimient entoo Momento dipolar: p = − er
ω o =
electrones unidad de volumen P = np
n
ne
2
m χ (ω ) = 2 2 (ω o − ω ) − iγω
MODELO DE LORENTZ
1 → ε ∞
ε = 1 + 4πχ
2 p
ω = 4π
ne
ε = ε ∞ +
2
m Frecuencia de plasma
ω p2 ω o2 − ω 2 − iγω
MODELO DE LORENTZ
Frecuencia longitudinal ωL ε (ω L ) = 0 2 L
2 o
ω − ω =
ω p2 ε ∞
Δ LT = ηω L − ηω o
Índice de refracción r efracción complejo
Reflectividad
Modelo/Experimento en el rango de transiciones electrónicas inter-banda Modelo
Experimento
Acuerdo cualitativo. Necesidad de tratamiento cuántico.
ABSORCIÓN ABSORCIÓ N INFRARROJA INFRARROJ A fonón LO
fonón TO E k
ωLO
ωTO
u = u+ − u− 2 TO
& &+ γ u&+ ω u = − u ε = ε ∞ +
Q
μ
E
Ω p2 2 LO
ω
2
− ω − iγω
Lyddane-Sachs-Teller
!! ε (0) ε ( ∞)
2 p
Ω = 4π
=
2 ω LO
ω 2
1 Q
2
V c μ
Modelo de Drude. Absorción por portadores libres
7. Modelo de Drude. Absorción por portadores libres Contribución de los portadores libres a ε(ω) ωο →
τ =
1
γ
MODELO DE DRUDE
→
0 en el modelo de Lorentz
tiempo de colisión
ε = ε ∞ +
Frecuencia longitudinal ωpL
ω p2 2
ω − iγω
⎯ ⎯ ⎯ → ε = ε ∞ + γ →0
ε (ω pL ) = 0 → ω pL =
ω p ε ∞
Modelo de gran utilidad: reflexión de plasma absorción por portadores libres
ω p2 ω 2
REFLEXIÓN DE PLASMA
ω < ω pL → ε < 0
→
N imaginario puro → R=1
La forma forma de la reflexión reflexión de plasma plasma depende depende de de la magnitud magnitud de ε() Metal ε() ≈ 1
Modelo
Experimento
Semiconductor ε() ≈
10
ABSORCIÓN POR PORTADORES LIBRES
Si
>>1 >>
p
n (ω ) ≈ ε ∞
α (ω ) =
ωε 2 (ω ) cn (ω )
=
ω p2 λ 2 3
c τ n
El ajuste de los experimentos mediante el modelo permite determinar masas efectivas o investigar la dependencia de t con w