ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET U SARAJEVU
INŽENJERSKA FIZIKA II Predavanja
2. TOPLINA 2.1. Uvod Molekularna fizika predstavlja dio fizike koji izučava strukturu i svojstva materije polazeći od tzv. molekularno - kinetičkih predodžbi. Suglasno tim predodžbama, svako tijelo (čvrsto, tekuće ili plinovito) sastoji se iz velikog mnoštva veoma malih čestica - molekula. Molekule se mogu sastojati od jednog, dva ili više atoma. Makroskopske osobine materije (tvari) mogu se bolje razumjeti pomoću molekularne teorije tvari, tj. promatrajući što se događa u mikroskopskom svijetu atoma i molekula. Atomi unutar molekule vezani su silama čije je porijeklo električne prirode, crt.2.1.
Crt.2.1.
Molekularnu i atomsku strukturu moguće je shvatiti samo pomoću kvantne fizike, te ćemo se zadržati samo na kvalitativnom opisu međudjelovanja atoma i molekula. Na crtežu 2.1. prikazano je kako sila ovisi o udaljenosti dvaju atoma u dvoatomnoj molekuli i odgovarajuća potencijalna energija Ep(r). Kad su atomi na međusobnoj udaljenosti, r=ro, molekula je u ravnotežnom stanju, a potencijalna energija je minimalna. Kada je udaljenost, rro atomi se privlače. Odgovarajuće potencijalne energije zadovoljavaju uvjet. F=-grad Ep. Jedna od važnijih karakteristika ovakvih sila je zasićenost: čim se dva atoma privuku i formiraju molekulu, oni više ne djeluju na ostale atome. Molekule svake materije nalaze se u nesređenom, kaotičnom kretanju, pri čemu nijedan smjer gibanja nema prednost pred ostalim. Intenzitet tog gibanja zavisi od temperature materije. Kod čvrstih tijela molekule (atomi) osciliraju (titraju) oko skoro fiksnih centara koji su pravilno raspoređeni tvoreći kristalnu rešetku. U tekućinama su međumolekularne udaljenosti nešto veće, privlačne sile slabije, te su molekule pokretljivije. U plinovima molekule su daleko jedna od druge, međumolekularne sile vrlo su slabe te se molekule gibaju skoro slobodno i skoro ne utječu jedna na drugu. Veličina molekule je reda veličine nanometra, a masa reda 10-27 kg, radi toga u svijetu atoma i molekula koristi se tzv. atomska jedinica mase: 1u = 1,66 ⋅ 10-27 kg koja je jednaka
(2.1.)
1 mase atoma izotopa ugljika 6C12. 12
Već smo spomenuli razliku između mase i količine tvari (materije). Za razliku mase koju mjerimo u kilogramima, jedinica za količinu tvari je mol (osnovna jedinica SI sistema): Mol je količina tvari koja sadrži onoliki broj međusobno identičnih čestica (atoma, elektrona, protona, iona, itd.) koliko ima atoma u 0,012 kg čistog ugljika 6C12. Broj molekula u 1 molu jedna je od osnovnih prirodnih konstanti, zove se Avogadrov 1 broj i iznosi: No = 6,023 ⋅ 1023 mol-1
(2.2.)
Molna masa ( molarna masa ) je masa količine tvari od 1 mola. Ako je m masa tvari, n broj molova, tada je molna masa:
M=
m n
(2.3.)
2.2. Temperatura U svim se tijelima čestice neprestano gibaju; to gibanje nazivamo toplinsko gibanje. Zbog toga gibanja čestice posjeduju toplinsku energiju. 1
Amadeo Avogadro (1776-1856), talijanski fizičar.
Naš osjećaj toplijeg i hladnijeg ovisi o kinetičkoj energiji čestica tvari s kojom dolazi u dodir. Dovedemo li dva tijela, hladnije i toplije u međusobni kontakt, čestice s većom kinetičkom energijom u sudarima predaje energiju onima s manjom energijom. Na taj način energija u obliku topline prelazi s jednog tijela na drugo. Za tijelo koje pri tom gubi energiju kažemo da je toplije, a za ono na koje energija prelazi da je hladnije. Prijelaz topline taje sve dok se ne uspostavi ravnoteža. Molekule koje se brže gibaju u toplijem tijelu predaju svoju energiju molekulama hladnijeg tijela, usporavaju se i toplije tijelo se hladi; molekule hladnijeg tijela ubrzavaju se i tijelo se grije. U termičkoj ravnoteži srednja kinetička energija istovrsnog gibanja molekula oba tijela je jednaka. Da bi smo odredili stupanj zagrijanosti nekog tijela, definiramo temperaturu. Temperatura je u vezi sa srednjom kinetičkom energijom molekulskog gibanja. Kad dva tijela imaju jednaku srednju kinetičku energiju gibanja čestica (atoma ili molekula), ako ih dovedemo u kontakt, toplinska energija neće prelaziti s jednog na drugo; kažemo da su tijela na istoj temperaturi. Temperatura je proporcionalna srednjoj kinetičkoj energiji čestica tijela. Obično se temperatura ne mjeri u energetskim jedinicama već u kelvinima (K) i definira se izrazom:
1 kT = Ek(1) 2
(2.4.)
gdje je k Boltzmanova konstanta (k=1,38 ⋅ 10-23 J/K), a E k(1) srednja kinetička energija pojedinog stupnja slobode 2 gibanja molekula, koja ne npr. za translaciju u smjeru ose x jednaka
1 mv 2 . Umjesto translacije, mogući su, naravno i drugi oblici gibanja, npr. rotacija i 2 x
osciliranje molekula. U slučaju da se molekule mogu gibati samo translacijski (npr. molekule jednoatomnog plina), srednja ukupna kinetička energija je:
Ek =
3 2 1 mv x = mv 2 2 2
budući da je pri translaciji v 2 = 3v x2 , zbog ravnopravnosti svih triju smjerova u prostoru te je:
kT =
2 1 E k = mv 2 3 3
(2.5.)
Izraz (2.5.) je definicijska formula za termodinamičku ili apsolutnu temperaturu. Budući da je kinetička energija uvijek pozitivna, to je i apsolutna temperatura uvijek pozitivna veličina. Na nultoj temperaturi, tzv. apsolutnoj nuli formula (2.4.) kaže da prestaje svako toplinsko gibanje, ova tvrdnja vrijedi samo u okviru klasične fizike (točnije rečeno nije istinita). To je ustvari najniža moguća temperatura, koja se ne može eksperimentalno dostići iako joj se može vrlo blizu približiti. Skalu apsolutne temperature zovemo još i Kelvinovom skalom (William Thomson - Lord Kelvin).
2
Međusobno nezavisne veličine gibanja zovemo stupnjevima slobode. Tako imamo tri stupnja slobode za prostornu translaciju, tri za rotaciju i sl.
Kelvin (K) je jedinica za temperaturu u Međunarodnom sustavu (SI); definiran je pomoću temperature trojne točke vode 3 . Kelvin je
1 dio termodinamičke temperature trojne točke vode. 27316 ,
U običnom životu temperatura se izražava u stupnjevima Celzijusa (oC). Nula stupnjeva Celzijusa je temperatura ledišta vode, dok apsolutna nula (OK) odgovara -273,15 oC. Veza između Kelvinove (apsolutne) temperature T i Celzijusove temperature t je:
T ( K ) = 27315 , + t ( oC )
(2.6.)
tj. apsolutna temperatura T izražena u kelvinima (K) brojčano je jednaka zbroju mjernog broja temperature t u oC i broja 273,15 . Možemo uočiti da je temperaturni interval u kelvinima jednak temperaturnom intervalu u stupnjevima Celzijusa. Klasična molekularno-kinetička teorija ne može objasniti sve pojave u toplini i za potpunije opisivanje toplinskih pojava potrebno je upotrijebiti kvantnu fiziku.
2.3. Idealan plin. Plinska jednadžba Da bi smo ilustrirali metodu istraživanja molekularno-kinetičkih plinova, izvest ćemo jednadžbu stanja idealnog plina. Model idealnog plina je baziran na slijedećim pretpostavkama: • • • •
Plin se sastoji od velikog broja molekula koja se kreću kaotično unutar granica sistema koji se istražuje. Sudari među molekulama ili sa granicama sistema (zidovima) su savršeno elastični. Zapremina samih molekula se može zanemariti u odnosu na raspoloživu zapreminu sistema. Srednja kinetička energija molekula je proporcionalna temperaturi plina.
Zbog toplinskog gibanja molekula, molekule plina djeluju na zidove posude u kojoj se nalaze. Molekule plina udarajući u zidove posude predaju joj određenu količinu gibanja; promjena ukupne količine gibanja u vremenu određuje silu kojom molekule plina djeluju na površinu zida posuda. Tlak plina jednak je sili koja djeluje na jediničnu površinu. Izvest ćemo jednadžbu stanja idealnog plina, tj. vezu između tlaka, volumena i temperature plina. Zamislimo da se plin nalazi u kutiji oblika kocke brida a
3
Trojna točka vode je stanje u kojoj su sve tri faze vode u ravnoteži (voda, led i vodena para). Ovo stanje odgovara temperaturi 0,01 oC i tlaka 61,05 Pa.
Crt.2.2. Uzmimo u razmatranje jednu od N molekula koliko ih ima u kocki (i-ta molekula). Njena masa je m, a brzina:
r r r r vi = vix + viy + viz
(2.7.)
Prilikom savršeno elastičnog sudara sa zidom posude (onim koji je okomit na osu x) promijeni se x komponenta količine gibanja molekule za iznos:
r r r r Δpix = mvix − (− mvix ) = 2mvix
(2.8.)
Promjena količine gibanja molekule jednaka je impulsu sile koji je primio zid. Budući da je molekuli potrebno vrijeme a/vix sekundi da ode od jednog kraja posude do drugog kraja, odnosno 2a/vix za oba smjera, vrijeme između dva sudara promatrane molekule u isti zid posude iznosit će:
Δt =
2a v ix
(2.9.)
Srednja sila kojom molekula djeluje na zid posude jednaka je ukupnom impulsu sile koji zid primi u jedinici vremena:
Fi =
Δ pix v mv ix2 = 2mv ix ix = Δt 2a a
(2.10.)
To je bilo za jednu molekulu, dok za N molekula imamo:
F=
Δ px 1 N S = ∑ mv ix2 = m Δt a i=1 V
gdje smo umjesto a pisali a =
N
∑ i =1
v ix2
(2.11.)
F a3 V . Iz definicije za tlak p = , slijedi da je tlak p: 2 = S S a
m N 2 p = ∑ v ix v i =1
(2.12.)
Za makroskopske veličine, kao što su tlak i temperatura, koje nisu osobina pojedine molekule nego većeg broja čestica, važne su prosječne (srednje) vrijednosti brzine i kvadrata brzine. Gibanje je kaotično i ima isti broj molekula koje se gibaju u jednom i suprotnom smjeru. Srednji kvadrat x-komponente brzine molekula je: N
v = 2 x
∑ i =1
v ix2
(2.13.)
N Uvrštavanjem ovog rezultata u izraz za tlak (2.12.) dobivamo:
p=
Nmv x2 V
(2.14.)
Svi su smjerovi u posudi ekvivalentni, te vrijedi: (2.15.)
v 2 = v x2 + v 2y + v z2 = 3v x2
Uzevši ovo u obzir, dobivamo relaciju između tlaka i volumena za idealan plin:
1 2 mv 2 2 2 pV = Nmv = N = N Ek 3 3 2 3
(2.16.)
Ovo je veza između tlaka plina i srednje kinetičke energije translacije molekule, osnovna jednadžba kinetičke teorije plinova. Definirajući temperaturu, istakli smo da svakom stupnju slobode gibanja pripada srednja kinetička energija molekule
1 kT . Translacija molekula sastavljena je do tri stupnja 2
slobode, te je kinetička energija (srednja vrijednost) translacije:
Ek = Ek( x ) + Ek( y ) + Ek( z ) =
3 kT 2
(2.17.)
Efektivna brzina molekule v ef =
v ef =
v 2 jednaka je onda:
3kT m
(2.18.)
Uvrstimo li (2.17.) u (2.16.), dobivamo jednadžbu stanja idealnog plina:
pV = NkT
(2.19.)
Iz (2.19.) slijedi da jednaki volumeni različitih plinova, pri jednakom tlaku i temperaturi, imaju jednaki broj čestica. To je Avogadrov zakon. Pišemo li N=nNo, gdje je No Avogadrov broj (broj čestica u 1 molu plina) a n broj molova plina, jednadžba (2.19.) poprima oblik:
pV = nN o kT = nRT
(2.20.)
Produkt Avogadrovog broja No i Boltzmanove konstante daje novu konstantu R koju zovemo univerzalna plinska konstanta:
R = kN o = 1,3805 ⋅ 10 −23
1 J J ⋅ 6,0235 ⋅ 10 23 = 8,314 molK K mol
Volumen l mola bilo kojeg plina pri normiranim uvjetima (273 K, 101325 Pa) jednak je: 23 1 23 J N o kT 6,0225 ⋅ 10 mol ⋅ 1,3805 ⋅ 10 K ⋅ 273K Vo = = p 101325Pa
Vo = 2,24 ⋅ 10 −2
m3 mol
(2.21.)
To je normirani molni volumen idealnog plina. Ako broj molova n u (2.20.) pišemo kao kvocijent mase m i molne mase M, plinska jednadžba glasi:
pV =
m RT M
(2.22.)
Plinska jednadžba (2.19.) vrijedi za idealne plinove a, aproksimativno za realne. Aproksimacija je to bolja što je temperatura plina veća, a tlak manji; odstupanja postaju znatna kad se plin približava točki kondenzacije, tj. prelazi u tekuće stanje.
2.4. Avogadrov zakon, Daltonov zakon i zakon ekviparticije Avogadrov zakon tvrdi da pri istom tlaku i temperaturama, isti volumeni dva proizvoljna plina sadrže isti broj molekula. Ako za ta dva različita plina napišemo jednadžbu stanja:
pV = N1kT ;
pV = N 2 kT
pošto su parametri p, V i T za oba ta plina jednaki, slijedi da je:
N1 = N 2 tj. u svakoj količini ima jednak broj molekula, što je suština Avogadrovog zakona. Promatrajmo sada smjesu plinova u nekoj posudi zapremine V, koji se nalaze u termodinamičkoj ravnoteži i međusobno ne međudjeluju. Jednadžba stanja za tu mješavinu glasi:
pV = ( N 1 + N 2 +...) kT = NkT
(2.23.)
gdje su N1, N2, ..., brojevi molekula odgovarajućih sastojaka smjese, a N je ukupan broj molekula u posudi. Iz izraza (2.23.), dijeljenjem sa V, dobivamo:
p=
(2.24.)
N1 N kT + 2 kT +... V V
To znači da svaka grupa ima svoj vlastiti tlak nezavisan od tlakova ostalih komponenti smjese. To je pretpostavka kod idealnog plina koja kaže da nema međudjelovanja između molekula idealnog plina. Izrazi
N2 N kT = p1 , 2 kT = p2 ,... predstavljaju tlakove V V
koje bi svaki plin vršio kad bi se samo on nalazio u zapremini V i oni se nazivaju parcijalni tlakovi. Relacija (2.24.) može se napisati u obliku:
p = p1 + p 2 + ...
(2.25.)
koja izražava Daltonov zakon. Daltonov zakon kaže da je u smjesi više plinova koji međusobno kemijski ne reagiraju ukupan tlak jednak zbiru parcijalnih tlakova pojedinih sastojaka smjese. Stupanje slobode definiramo kao različite vidove gibanja tijela. Njihov broj za neko tijelo ili sistem tijela jednak je broju nezavisnih koordinata kojima možemo opisati kretanje danog tijela ili sistema tijela. Na primjer, najjednostavniji slučaj imamo kod opisivanja gibanja točkaste mase, npr. jedne molekule koju čini samo jedan atom. Ona ima tri translatorna stupanja slobode, tj. njeno gibanje se može opisati pomoću nezavisno promjenljive veličine (u pravokutnom Descartovom sustavu to su koordinate x, y i z). Ako pak imamo dvije međusobno nezavisne, tj. nepovezane točkaste mase, onda nam treba šest međusobno nezavisnih koordinata da bi smo opisali gibanje ovog sistema od dvije točkaste mase, to su njihove koordinate x1, y1, z1 i x2, y2, z2. Tada kažemo da takav sistem ima
šest stupnjeva slobode. Sistem N međusobno nezavisnih materijalnih točaka, npr. N molekula idealnog plina, ima, prema tome, 3N stupnjeva slobode. Ukoliko, međutim, između dvije točkaste mase postoji kruta veza, onda je za njihovo opisivanje dovoljno pet nezavisno - promjenljivih, jer se šesta uvijek može izvesti iz poznate konstantne udaljenosti točkastih masa d, prema relaciji:
(x
− x1 ) + ( y 2 − y1 ) + ( z 2 − z1 ) = d 2 2
2
2
2
Od ovih pet stupnjeva slobode, tri mogu biti koordinate centra mase sistema, a preostale dvije mogu biti dva kuta ϕ i θ koji određuju pravac u prostoru ose sistema, što znači da su tri stupnja slobode translatorni, a dva rotacioni stupnjevi slobode, crt. 2.3.
Crt.2.3. Ako su pak dvije tačkaste mase povezane elastičnom vezom, onda će broj stupnjeva slobode tog sistema biti šest, jer će, uz već spomenutih pet stupnjeva slobode biti dodan šesti oscilatorni stupanj, tj. šesta koordinata koja je udaljenost r između točkastih masa. U ravnotežnom stanju ova udaljenost je jednaka ro, a svaka promjena ravnoteže uvjetuje silu koja nastoji da ponovo uspostavi ravnotežu. Ako se ovo razmatranje primijeni na plinove, onda je jasno da jednoatomne molekule plina imaju tri translatorna stupnja slobode. Broj stupnjeva slobode koji se pripisuju dvoatomnoj molekuli zavisi od tipa veze između atoma. Taj broj sadrži ili tri translatorna i dva rotaciona stupnja slobode (sa krutom vezom) ili, pored svih pet još jedan oscilatorni stupanj slobode (ako je veza elastična). Na osnovu relacije (2.17.), zaključujemo da slobodna molekula sa tri stupnja slobode, ima kinetičku
energiju translatornog kretanja 3 ⋅ 1/2 kT, tj. na svaki stupanj slobode otpada 1/2 kT kinetičke energije pošto su svi translatorni stupnjevi slobode jednako vrijedni. Ako ovu tvrdnju uopćimo, onda sistem sa s stupnjeva slobode ima kinetičku energiju:
Ek = s
kT 2
(2.26.)
Ovaj izraz je poznat kao zakon o ekviparticiji ili zakon jednake raspodjele kinetičke energije po stupnjevima slobode. Kod utvrđivanja iznosa srednje energije molekule treba voditi računa da dok na svaki translatorni stupanj slobode i svaki rotacioni stupanj slobode dolazi po 1/2 kT energije, dotle na oscilatorni stupanj slobode dolazi dvostruko veća vrijednost tj. 2 ⋅ 1/2 kT=kT srednje energije molekule. Ovo se objašnjava time što su translacija i rotacija molekula vezane uz prisustvo samo kinetičke energije dok su oscilacije u vezi sa postojanjem i kinetičke i potencijalne energije. Prema tome, broj stupnjeva slobode s jedne molekule se može napisati kao zbroj tanslacionih, rotacionih i oscilatornih stupnjeva slobode:
s = strans. + srot . + sosc.
(2.27.)
a ukupna srednja energija je:
E= j gdje je:
j = strans. + srot . + 2sosc.
kT 2
(2.29.)