ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET SARAJEVO
INŽENJERSKA FIZIKA II Predavanja za 1. sedmicu nastave
1.MEHANIKA FLUIDA 1.1 Uvod Fluidima nazivamo tečnosti i gasove (plinove): to su supstance koje lako mijenaju oblik, odnosno koje mogu teći. Mehanika fluida ili hidromehanika je dio mehanike u kojoj se proučavaju zakoni ravnoteže i kretanja tečnosti i gasova. U mehanici fluida zanemaruju se strukturna svojstva tečnosti i gasova i smatraju se kao neprekidne sredine, neprekidno raspoređene u prostoru. Mehanika tečnosti se naziva hidromehanika; ona se dijeli na hidrostatiku koja opisuje tečnosti u miru i hidrodinamiku koja proučava tečnosti u kretanju. Slično, gasove proučava aerostatika i aerodinamika.
1.2
Statika fluida
Pošto su fluidi neprekidne sredine onda se misaono mogu podijeliti na elementarne zapremine čije su dimenzije dovoljno velike da ne zalaze u strukturu fluida i dovoljno male da se sile koje dejstvuju na njih mogu smatrati konstantnim. Dio fluida misaono se može zamjeniti čvrstim tijelom ili njegovim dijelom iste zapremine, oblika i gustine kao i razmatrani dio fluida. Ovakav način razmatranja fluida naziva se principom očvršćavanja pomoću kojeg se na fluide mogi primjeniti zakoni čvrstog tijela.
Neka je na slici 1.1 izdvojen jedan dio fluida. Na njega mogu djelovati spoljašne i unutrašnje sile. Unutrašnje sile se međusobno uravnotežavaju pa ih nećemo dalje razmatrati.
Na osnovu principa očvršćavanja posmatrani element fluida biće u ravnoteži ako je zbir svih spoljašnjih sila koje djeluju na njega jednak nuli. U posmatranom slučaju gorni uslov je ispunjen za inercijalni koordinatni sistem, ako je : mg +Fp = 0 ( 1.1) gdje je mg sila teže elementa a Fp površinske sile. Pod dejstvom gornjih sila fluid će biti u stanju mirovanja kad brzina svakog njegovog elementa bude jednaka nuli. 1.2.1
Slobodna površina tečnosti
Ukoliko na tečnost dejstvuje samo sila teže, onda će površina tečnosti u svakoj tački biti normalna na pravac sile teže. U slučaju da na tačnost pored sile teže djeluje i neka druga spoljašnja sila, slobodna površina tečnosti će se postaviti normalno na pravac rezultante svih spoljašnjih sila. Na slici 1.2 prikazan je primjer slobodne površine tečnosti u sudu koji se obrće ugaonom brzinom ω. U ovom slučaju na uočeni element tečnosti pored sile teže mg djeluje i centrifugalna sila Fcf = man = m ω2 x i .
Iz uslova ravnoteže posmatranog elementa dobijamo: mg + m ω2 x i + R = 0
( 1.2 )
odakle za projekcije na ose dobijamo: m ω2 x = R sinα i
mg = R cosα
ili djeljenjem jednačina dobijamo: tgα = dy/dx = (ω2 x )/g
( 1.3)
Integriranjem gornje jednačine i određivanjem konstante integriranja iz početnih uslova ( x=0 i y = 0 ) dobijemo: Y = (ω2 x2 )/2g
( 1.4 )
Slobodna površina tečnosti pod navedenim uslovima u sudu obrazuje rotacioni paraboloid.
1.2.2
Pritisak ( tlak )
Tečnost ili plin djeluju određenom silom na svki dijelić zida posude u kojoj se nalaze, odnosno na svaku površinu tijela koje se nalazi u fluidu. Sila koja djeluje okomito na jedinicu površine zove se pritisak ili tlak. p=
F S
( 1.5 )
Ako sila nije konstantna po čitavoj površini, pritisak je: p=
dF dS
(1.6 )
Pritisak je skalarna veličina . Jedinica za pritisak je:
[ p] = 1 N2 m
= 1 paskal = 1Pa
Paskalov zakon : pritisak u cijelom mirnom fluidu je konstantan ( Pascal 1650. god. ) Po Paskalu pritisak u proizvoljnom dijelu mirne tečnosti jednak je u svim pravcima i prenosi se podjednako po cijeloj zapremini mirnog fluida tj. p1= p2 = p3 = const.
1.2.3
Hidrostatički pritisak
Pritisak uzrokovan samom težinom fluida nazivamo hidrostatičkim pritiskom. Da bismo dobili zakon za hidrostatički pritisak, zamislimo tekućinu u posudi ( Sl. 1.3) i izračunajmo koliki tlak djeluje na djelić površine ∆ S na dubini h.
Sila na površinu ∆ S prouzrokovana je težinom stupca tekućine nad tom površinom, tj. : ∆ G = ∆mg = ρ∆V g = ρ g h ∆S ( 1.7 ) Pa je pritisak ( sila na jedinicu površine ) p = ∆ G / ∆S, odnosno: p= ρgh
( 1.8 )
1.2.4. Atmosferski pritisak Zemlja svojom privlačnom silom drži oko sebe vazdušni omotač, tzv. Zemljinu atmosferu. Atmosferski tlak nastaje zbog vlastite težine zraka. Pritisak zraka možemo izmjeriti pomoću Torricellijeve cijevi. Sandardni atmosferski pritisak je pritisak stuba žive visine 760 mm pri temperaturi od 0 oC, odnosno 760 Torr ili jedna fizikalna atmosfera. Primjenom formule ( 1.8 ) dobivamo vrijednost za normalni atmosferski pritisak u jedinicama SI Pa = ρ g h = 101325 Pa Atmosferski pritisak se vrlo često izražava u barima, gdje je 1 bar = 105 Pa U atmosferi gustina zraka se mijenja ( opada ) sa visinom pa se i atmosferski pritisak mijenja sa visinom po tzv. barometarskoj formuli :
p = p0 e
−
ρ0 gh p0
( 1.9 )
gdje je po i ρo pritisak i gustoća na visini h = 0 .
1.2.5. Arhimedov zakon Kada je tijelo uronjeno u fluid, javlja se rezultantna sila prema gore kao posljedica hidrostatičkog pritiska. Tu silu nazivamo potiskom ( uzgnom ). Da bismo izveli formulu za potisak zamislimo tijelo volumena V uronjeno u fluid gustine ρf ( Sl 1.4 ) . Radi jednostavnost pretpostavimo da je tijelo u oliku kocke ili valjka.
Sila koje djekuju na bočne strane kocke poništavaju se. Sila na donju bazu površine S je F1 = p1 S, dok je sila na gornju bazu F2 = p2 S. Sila F1 ima smjer prema gore, a sila F2 usmjerena je prema dole. Budući da je hidrostaički pritisak na nivou h1 = h 2+ h veći nego na nivou h2, sila F1 biće veća od sile F2 i kao rezultat pojavit će se sila prema gore tj. potisak ili uzgon U = F1 – F2 = ρf g h1S - ρf g h2S = ρf g h S ili U = ρf V g = m f g
( 1.10 )
Gdje je mf masa istisnutog fluida. To je poznati Arhimedov zakon koji glasi: Tijelo uronjeno u fluid izgubi od svoje težine onoliko kliko je teška njime istisnuta tečnost. Tijelo lebdi u fluidu ako je težina tijela uravnotežena potiskom ili ρf = ρtijela..
1.3
Dinamika fluida
1.3.1 Strujanje idealnog fluida Kretanje fluida nazivamo strujanjem. Strujanje nastaje zbog vlastite težine fluida ili zbog razlike u pritiscima. Pri strujanju razni slojevi fluida imaju razne brzine i među tim slojevima javljaju se sile unutrašnjeg trenja ( viskoznost ). Zbog jednostavnosti u početku ćemo zanemariti sva trenja koja se javlju u fluidu i smatrat ćemo da se radi o nestišljivim fluidima ( ρ = const.): Takve fluide nazivamo idealnim fluidima. Uglavnom ćemo razmatrati stacionarno strujanje: Pri takvom strujanju brzina čestica i pritisak u fluidu su samo funkcije položaja, a ne i vremena.
Strujnica je zamišljena linija čija tangenta u svakoj tački pokazuje smjer brzine. Putanja je niz uzastopnih položaja koje čestica fluida zauzima pri kretanju. Kada je strujanje stacionarno, strujnica i putanja čestice se poklapaju. Dio fluida omeđen strujnicama nazivamo strujnom cijevi. Pri stacionarnom strujanju strujnice ne ulaze ni ne izlaze iz strujne cijevi ( Sl. 1.5 ).
1.3.2 Jednačina kontinuiteta Posmatrajmo strujanje fluida kroz cijev različitog presjeka ( Sl. 1.5 ) Za vrijeme ∆t kroz presjek S prođe volumen fluida Sv∆t. Volumen fluida koji u jedinici vremena prođe kroz određeni presjek naziva se protok i iznosi: Φv = Sv ( 1.11 ) Ako je gustoća fluida svuda konstantna i ako unutar strujne cijevi nema izvora i ponora, masa fluida, koja u vremenu ∆t protekne kroz bilo koji presjek, konstantna je
ρ S 1 v 1∆t = ρ S 2 v 2∆t = ρ S 3 v 3∆t = const.
Te je konstantan i protok:
Φv = Sv = const.
( 1.12 )
To je jednačina kontinuiteta. Tamo gdje je cijev uža, brzina je veća i obratno. Fluid se ubrzava tamo gdje se cijev sužava: dakle na čestice fluida dlejule sila usmjerena od šireg dijela cijevi prema užem. Ta sila dolazi zbog razlike pritisaka: pritisak u širem dijeu cijevi je veći nego u užem.
1.3.3 Bernoullijeva jednačina Danuel Bernoulli, švicarski fizičar je 1738. našao zakon o raspodjeli pritisaka unutar strujne cijevi. Eksperiment je pokazao da je pritisak na mjestu gdje je brzina veća manj nego tamo gdje je brzina manja . Pritisak u cijevi se može mjeriti pomoću vertikalne staklene cjevčice ili vertikalnog otvorenog manometra ( Sl.1.6 )
Da bismo izveli Bernoullijevu jednačinu, posmatrajmo stacionarno strujanjr idealnog fluida kroz strujnu cijev promjenljivog presjeka ( Sl. 1.7 )
Neka za vrijeme ∆t kroz presjek S1 peotekne masa fluida ∆m = ρ S 1 v 1∆t. Pri tom je sila pritiska F1 = p1S1 na površini S1 izvršila rad:
∆ W1 = F1 ∆s1 = p1S1 v 1∆t.= p1 ∆m / ρ
(1.13 )
Dok je rad sile F2 = p2 S2 na površini S2:
∆ W2 = -p2 S2 v2 ∆ t = -p2 ∆ m / ρ
(1.14)
Gdje smo predznakom minus uzeli u obzir da su smjerovi sile i pomaka suprotni. Rad ∆ W1 izvršen nad sistemom na presjeku S1 prenosi se preko sistema na presjek S2 gdje sistem izvši rad ∆ W2 protiv sila vanjskog pritiska p2. Ukupni rad izvršen nad sistemom je
∆ W = ∆ W1 + ∆ W2 = (p1 – p2) ∆ m/ ρ
(1.15)
Taj rad je jednak promjeni energije čitavog razmatranog volumena fluida. Ta se promjena može izračunati kao razlika kinetičke i potencijalne energije iscrtkanih malih volumena ∆ V1 = S1 ∆ s1 i ∆ V2 = S2 ∆ s2:
∆ E = Ek2 - Ek1 + Ep2 – Ep1 = = ½ ∆mv22 - ½ ∆mv12 + ∆mgh2 – ∆mgh1 Kada izjednačimo izraze (1.15) i (1.16) i sredimo, dobivamo:
(1.16)
p1 + ρgh1 + ½ ρv12 = p2 + ρgh2 + ½ ρv22
(1.17)
p + ρgh + ½ ρv2 = konst.
(1.18)
ili
( p-statičku tlak; ρgh-tlak zbog težine, razlike visina; ½ ρv2-dinamičku tlak)
To je Bernoullijeva jednačina za strujanje idealnoh fluida. Ona kaže da je zbir statičkog, dinamičkog (brzinskog) tlaka i tlaka koji dolazi zbog visinske razlike pojedinih dijelova fluida uvijek konstantan za određenu strujnicu. Ako je v1 = v2 = 0, tj ako fluid miruje (hidrostatika), jednačina (1.17) prelazi u p1 – p2 = ρg (h2 – h1) To je već poznati izraz za razliku hidrostatičkih pritisaka u mirnom fluidu.
(1.19)
