Temario
EDUCACIÓN PRIMARIA
24
Evolución de la percepción espacial en la Educación Primaria. Elementos, formas y relaciones geométricas en el entorno: clasificación y representación. Intervención educativa.
3 1 1 9 7 7 2 9 1
EDUCACIÓN PRIMARIA
24
CONTENIDOS
1 Evolución de la percepción espacial en la Educación Primaria 1.1
El desarrollo de los conceptos geométri cos. Teoría Teoría de Piaget
1.2
El modelo de niveles de Van Hiele
1.3
El aprendizaje de geometría en la Educación Primaria
2 Elementos, formas y relaciones geométricas en el entorno: clasificación y representación 2.1
Elementos geométricos
2.2
Formas geométricas en el plano
2.3
Figuras geométricas en el espacio
2.4
Relaciones geométricas
2.5
Representación geométrica
3 Estrategias de intervención educativa 3.1
Competencias
3.2
Objetivos
3.3
Contenidos
3.4
Orientaciones metodológicas
3.5
Evaluación
3
UCACI ÓN PRI MARI 24
INTRODUCCIÓN La Geometría es una rama de las matemáticas tradicionalmente incluida en el curr ículo de enseñanza Primaria, aunque a menudo relegada a un segundo plano en favor de los contenidos numéricos. Su utilidad en la vida cotidiana y la posibilidad de emplear en su enseñanza materiales concretos y nuevas tecnologías hacen que los contenidos geométricos permitan utilizar metodologías interdisciplinares y activas. En este tema se estudia, en primer lugar, cómo se produce la adquisición de los conceptos de percepción espacial en la etapa de los seis a los doce años, analizando la teoría de Piaget y el modelo de los niveles de Van Hiele, que son las teorías mas aceptadas en la actualidad. A continuación. se describen, para finalizar esta primera parte del tema, algunos aspectos generales del bloque dedicado a la Geometría en el currículo por el que se establecen las enseñanzas de la Educación Primaria. En la segunda parte del tema, se presentan los elementos, formas y relaciones geométricas en el plano y en el espacio, poniendo especial énfasis en las posibles clasificaciones y en las formas de representación. Por último, se analiza cuál debe ser la intervención educativa en la etapa de Educación Primaria en torno al estudio de los conceptos geométricos. l ra aj e a
arro
yon l 3 ,M
e
ma e prmii rá p ar s it as prspc as ob re
as n l ma iu
. ámu y re
s yu me
on ado on l ma 1.R ol
acin matemá n e ro
mas
5
6
TEMARIO
1Ev o lu cióndela erce
ciónes acial enlaEdu caciónP rim aria P rim e ro hab lare m o sd e cóm o se p ro d u ce lae vo lu ciónd e laad q u isiciónd e lo sco nce p to sg e o m étrico se nlo sniñ o s.N o sb asare m o se nG o d ino (2002)p araintro d u cirlaste o ríasd e P iag e tye lm o d e lo d e lo snive le sd e Van ie le q u e so nlasm ásace p tad ase nlaco m u nid ad d e d id ácticad e lasm ate m áticas.
1.1 Eldes arro llo delo s co nce to s geo m étrico s . Teo rí adeP iaget Lo sniño sco m ie nz an are lacio na rse co nsu e nto rno atrav ésd e lo sse ntid o s fu nd am e ntalm e nte la vistayeltacto .Po ste rio rm e nte d e sarro llane lle ng u aje .Piag e t re alizónu m e ro so sexp e rim e nto shasta lle g arafo rm u laru nate o ríad e ld e sarro llo d e lo sco nce p to se sp aciale se ne lniño . D isting u e e ntre p e rce p ción q u e d e fine co m o e l«co no cim ie nto d e o b je to sre su ltante d e lco ntacto d ire cto co ne llo s»yre p re se ntación(o im ag e nm e ntal)q u e «co m p o rtalae vo caciónd e o b je to se n au se nciad e e llo s». Te ne m o sasíd o sp e rio d o se nre laciónald e sarro llo e sp acial:
D es arro llo deles acio erce tiv o .Tie ne lu g are nlo sEstad io sSe nso rio m o to r(hastalo sd o s
año selniño d e sarro llalascap acid ad e sd e p e rce p ción:co nto rno s fo rm as tam añ o s… d e lesp acio ce rca no )yP re o p e racio nal(d e lo s2hastalo s7añ o s e lle ng u aje le sp e rm ite e nte nd e rm e jo re l e sp acio p róxim o )P arae stu d iare stae tap aP iag e tu tilizóte stsb asad o se nlacap acid ad d e d iscrim inacióne ntre d istinto so b je to satravésd e lavista.
D es arro llo deles acio re res entativ o .Tie ne lu g are sp e cialm e nte e ne lEstad io d e lasO p e ra-
cio ne sCo ncre tas:ap ro xim ad am e nte ap artird e lo ssie te año sso nm ásco nscie nte sd e su ento rno e xte rio ryante lare p re se ntación d e o b je to s(e j.:d ib u jo s)co m p re nd e nlae xiste nciad e o trasp arte sno re p re se ntad as.Piag e testu d ióe stae tap am e d ian te p ru e b asd e re co no cim ie nto d e o b je to s yfo rm asp o re ltacto ye nlacap acid ad d e re p ro d u cirlasco np alillo so d ib u jo s. Encad au no d e esto se stad io sd e d e sarro llo Piag e t d isting u e ad e m ás u na p ro g re sivad ife re nciación d e p ro p ie d ad e sg e o m étricas p artie nd o d e aq u e llasp ro p ie d ad e sq u e élllam ato p o lóg icas o se a p ro p ie d ad e sg lo b ale sind e p e nd ie nte sd e lafo rm ao e ltam añ o co m o so n:ce rcaníao p ro xim id ad se p aración o rd e no su ce siónesp acial inclu sióno co nto rno yco ntinu id ad .Po reje m p lo u nniñ o q u e se e ncu e ntrae ne lp rim e rp e rio d o p u e d e re alizaru nd ib u jo d e u nho m b re co nu na g ran cab e zae n laq u e hay d o so jo s u na b o cayu na na riz d e b ajo d e lab o ca.D ib u jau np e q u e ño tro nco se p arad o d e laca b e za d o strazo sp aralo sb razo syo tro sd o sp aralasp ie rnas se p arad o sd e ltro nco .Eneste d ib u jo ve m o sq u e elniñ o no co nsid e ralasp ro p o rcio ne s d istanciasyp e rsp e ctivas p e ro em p ie zaaco nstru ir lasre lacio ne sto p o lóg ica sm ásse ncillas(co m o ce rca níayse p aración ). Else g u nd o g ru p o d e p ro p ie d ad e sq u e se g únP iag e t d isting u e nlo sniñ o sso nlasq u e d e no m ina p ro p ie d ad e sp ro ye ctivas q u e su p o ne nlacap acid ad d e lniñ o p arap re d e cirq u éasp e cto p re se ntará u no b je to alse rvisto d e sd e d ive rso sáng u lo s.Po re je m p lo lo sniñ o sp u e d e nq u e re rd ib u jaru nacara d e p e rfilyse g u irsine m b arg o p o nie nd o d o so jo se ne lla;o p u e d e nno se rcap ace sd e d arse cu e nta
EDUC A C IÓNPRIM A R IA
4
e que, l m ir run l piz ectv
es e un ex rem o,se v erá un í r ulo. L
recttud »es una propied d pro-
o ue la slí nea srec ssiguen m os r nd o a speco rectlíneo ua lquier
e v ist
ue sea el punt
es e el q ue se la sobser e.
l ter ergrupo
e propied
nc s y ireccones
es geom
rc s son la s euclí ea s es o es la s rela tv s a
ue con ucen,porlo t nto,a la
os
is
ed icó n d e longitud es ngulos rea s et
e pued en d istnguir porejem plo,un tr peco y un rec ngulo b s nd ose en los ngulos y en la s longitud es e losla el t blero d e una
os ( es e el pun o d e v ist proyectv o,
rc y
ue
esa rec ngula rofrece a speco d e tr peco v is o d es e ceros ngulos). Los ni-
os pued en en ese es geom
ba sfigur sson equiv lentes a
io reprod ucrla posicó n ex t
cd ir ué lí ne sy ngulos
n de m
e un punto en una página o una figur
irpa r ello
1.2 El modelo de niveles de Van Hiele n la
id
Dna
tc
e la geom etrí
a
enido una uere influenca el r ba o d es rrolla o porP ierre y
n Hiele pa r explic rel d es rrollo d el pens
iento geom
rco d e losesud ia ntes El m od e-
lo teó rco conocd o com o d e « los niv eles e V n Hiele»com enzóa proponerse en 19 9 y a sid objeto d e bund ntes experm ent cones e inv estga cones ue
n lle
o a introd ucrd iv ers s
tz cones pero que a n contnú a siendo ú tl pa r orga niz rel urríulo d e geom etrí en la có n rm ra y ecun
r
n es e m od elo se proponen cnco niv eles er r uicos pa r e la snoconesy
bilid
esespa ca les C
es rbirla
r
om prensió n y el d om inio
a uno d e loscnco niv eles es rbe procesos e pens
iento que se ponen en juego a nte t rea s y situa cones geom brev em ente la s
u-
rc s A contnu có n d es rbim os
erí stc s e loscnco niv elesy lostpos de a tv id
es ue pueden d es rrolla r
se n c a uno e llos
X Característicasgeneralesdelosniveles L prncpa l c r
erí stc
e ese m od elo d e pens
iento geom
o en el ú ltm o) se d eben rea runos ob etos e m ner
rco es ue en c a niv el (ex ep-
ue la s rela cones entre es os ob etos s
on ieren en los objetos el siguien e niv el. H y port nto un progresiv o a s enso en la y om plejd
1.
. A em s e ese r sgo,el m od elo pos ula la ssiguientes
r
bs r có
erí stc s
osniv elesson secuenca les P r logr run cero niv el superora l 0,los lum nos eben super r los niv elesprev ios
2.
osniv elesno son d epend ientes e la ed d en el sentdo d e loses Algunosesud ia ntesy e e persona s la
ultospued en per
necersiem pre en el niv el 0,yun nú
ult s no a lc nza n nunc el nivel 2. in
ntd d ytpo d e e perenc sgeom
ios e des rrollo de P ia get
ba rgo,la
d
ero im por n-
s á rel con
rc s ue tene os P ort nto, esr zona ble
a
on
ept rq ue
od os los niñ os e E uc có nI nf ntl a 2.ºcurso d e P rm ra es n en el niv el 0, sí om o que la orí
3. L
e losni os e la
experenca geom
tv id
pa
e rm ra no lc nza rán el ni
rc esel prncpa l f
l
orque influye en la progresió n d e niv eles
es ue per iten a los niñ os explor r
bla rsobre la s experenca s e inter
s
ua r on el
ontenid o d el siguiente niv el, em s e increm ent rsus experenca s on el niv el en que s encuentr n,proporcona n la
4.
ejoroporunid d
ua nd o la ins ruccó n o el lengua e us en la
ea
nza rh ca el siguiente ni el
o es á a un niv el superora l del lum no, brá un f llo
om unic có n. Los es ud ia ntes a los ue se pid e enfrent rse con ob etos e pensa
ue no h
ient
n cons ruid o en el niv el a nterorpued en es rrea liza nd o un prend iza e m em orí stco y
lc nza rsolo tem por lm ente un é ito super ca l. U n es ud ia nte puede, pore em plo, em orza r ue tod os los ua
r os son rec ngulossin h bercons ruid o esa rela có n.
7
8
T EMA RI O
Ve am o saho ralasca racte rísticase sp e cífica sd e cad anive l: o
ni
a zo na
nt
ti n náli
de du
Re
R go
ine
en e o
P o ida de
in
d e o m a s Cla
du
n
nfo
o m as 1.
lii
o m 0.
X
in
.
in
Lo so b je to sd e p e nsam ie nto e ne lnive l0so nfo rm asyse co ncib e nse g únsu ap arie ncia. Lo salu m no sre co no ce nlasfig u rasylasno m b ran b asánd o se e nlascaracte rísticasvisu ale sg lo b ale s q u e tie ne n.Aq u e llo sq u e raz o na nse g úne ste nive lso ncap ace sd e hace rm e d icio ne se inclu so d e hab larso b re p ro p ie d ad e sd e lasfo rm as p e ro no p ie nsane xp lícitam e nte so b re e stasp ro p ie d ad e s. Lo q u e d e fine u na fo rm ae ssu ap arie ncia.U nniño e ne ste nive lp e nsa ráq u e u ncu ad rad o q u e se p re se nte ap o ya d o so b re u nvértice esu nro m b o (aso cian lafo rm aalap o siciónenq u e no rm alm e nte se p re se ntanlasfig u ras). Lo sp ro d u cto sd e lp e nsam ie nto d e lnive l0so nclase so ag ru p acio ne sd e fo rm asq u e p are ce nse r «sim ilare s». X ie l1.
li
Lo so b je to sd e p e nsam ie nto e ne lnive l1so nclase sd e fo rm as enlu g ard e fo rm asind ivid u ale s. Lo se stu d iante sq u e razo nanse g úne ste nive lso ncap ace sd e co nsid e rarto d aslasfo rm asinclu id as e nu na clase e nlu g ard e u nafo rm asing u lar.Enlu g ard e hab larso b re e ste re ctáng u lo e sp o sib le hab larso b re to d o slo sre ctáng u lo s.Alce ntrarse e nu na clase d e fo rm as lo salu m no sso ncap ace s d e p e nsarso b re lo q u e hace q u e u nre ctáng u lo se au nre ctáng u lo (cu atro lad o s lad o so p u e sto s p arale lo s lad o so p u e sto sd e lam ism alo ng itu d cu atro áng u lo sre cto s d iag o na le sco ng ru e nte s e tc.). Lascaracte rísticasirre le vante s(co m o e ltam añ o o lao rie ntación )p asanau nse g u nd o p lano .Lo s alu m no sd e lnive l1p u e d e nse rcap ace sd e e nu m e rarto d aslasp ro p ie d ad e sd e lo scu ad rad o s re ctáng u lo syp arale lo g ram o s p e ro no ve rlasre lacio ne sd e inclu sióne ntre e stasclase s:q u e to d o slo s cu ad rad o sso nre ctáng u lo syto d o slo sre ctáng u lo sso np arale lo g ram o s. Lo sp ro d u cto sd e lp e nsa m ie nto d e lnive l1so nlasp ro p ie d ad e sd e lasfo rm as.
EDUCACIÓN PRIMARIA 24
N ivel2.Ded u c c ióninform al
Lo so b je to sd e lp e nsa m ie nto d e lnive l2so nlasp ro p ie d ad e sd e lasfo rm as. Am e d id aq u e lo sestu d iante sco m ie nz an ase rcap ace sd e p e nsarso b re p ro p ie d ad e sd e lo so b je to s g e o m étrico ssinlasre striccio ne sd e u no b je to p articu larso ncap ace sd e d e sarro llarre lacio ne se ntre e stasp ro p ie d ad e s.Lasfig u rasse p u e d e nclasificaru san d o so lo u nm ínim o d e caracte rísticas.P o r e je m p lo cu atro lad o sco ng ru e nte syalm e no su náng u lo re cto p u e d e nse rsu ficie nte p arad e finir u ncu ad rad o . Lo sp ro d u cto sd e p e nsam ie nto d e lnive l2so nre lacio ne se ntre p ro p ie d ad e sd e lo so b je to sg e o m étrico s.
N ivel3.Ded u c c ión
Lo so b je to sd e p e nsam ie nto e ne lnive l3so nre lacio ne se ntre p ro p ie d ad e sd e lo so b je to sg e o m étrico s. Ene ste nive llo se stu d iante sso ncap ace sd e e xam inaralg o m ásq u e lasp ro p ie d ad e sd e lasfo rm as. Su p e nsam ie nto an te rio rhap ro d u cid o co nje tu rasso b re re lacio ne sentre p ro p ie d ad e s.Lo salu m no s d e e ste nive lco m ie nz an aap re ciarlane ce sid ad d e co nstru iru nsiste m alóg ico q u e re p o se so b re u nco nju nto m ínim o d e su p u e sto syap artird e lcu alse d e rive nto d aslasp ro p o sicio ne s.Esto se stu d ian te sso ncap ace sd e trab ajarco ne nu nciad o sab stracto sso b re p ro p ie d ad e sg e o m étricasylle g ar aco nclu sio ne sb asad asm ásso b re lalóg ica q u e so b re laintu ición .Éste e se lnive lre q u e rid o e nlo s cu rso sd e g e o m e tríad e Bachille rato . Lo sp ro d u cto sd e lp e nsa m ie nto d e lnive l3so nsiste m asaxio m ático sd e d u ctivo sp aralag e o m e tría.
N ivel4.Rigor
Lo so b je to sd e p e nsa m ie nto d e lnive l4so nsiste m asaxio m ático sp aralag e o m e tría. Ene lnive lm áxim o d e laje rarq u íad e p e nsam ie nto g e o m étrico p ro p u e sto p o rVan ie le e lo b je to d e ate nciónso nlo sp ro p io ssiste m asaxio m ático s no lasd e d u ccio ne sd e ntro d e u nsiste m a.Se ap re cianlasd istincio ne syre lacio ne se ntre lo sd ife re nte ssiste m asaxio m ático s.Éste e se lnive lre q u e rid o e nlo scu rso su nive rsitario se sp e cializad o se nlo sq u e se e stu d ialag e o m e tríaco m o u naram ad e las m ate m áticas. Lo sp ro d u cto sd e p e nsa m ie nto d e lnive l4so nco m p aracio ne syco ntraste sentre d ife re nte ssiste m as axio m ático sd e g e o m e tría. Enlaetap ad e Prim ariaso lo vam o saenco ntrarno sco nalu m no se nlo sd o sp rim e ro snive le s p o reso vam o sae nu m e rartip o sd e activid ad e sq u e p o d e m o sre alizare ne llo s.
Carac terístic asd elasactivid ad esd elnivel0
Activid ad e sd e clasificación id e ntificación yd e scrip ción d e fo rm asvariad as.
U so d e g ran cantid ad d e m o d e lo sfísico sq u e se p u e d e nm an ip u larp o rlo sniñ o s.
Eje m p lo sd e u navarie d ad d e fo rm asd ife re nte sco no b je to d e q u e lascaracte rísticasirre le vante s
no se p e rcib an co m o im p o rtan te s.(Esto e vitaráq u e p o reje m p lo m u cho salu m no sp ie nse nq u e so lo lo striáng u lo se q u iláte ro sso nre alm e nte triáng u lo s o q u e u ncu ad rad o g irad o 45ºd e jad e se ru ncu ad rad o ).
p araqu e lo salu m no sco nstru yan d ib u je n co m p o ng ano d e sco m P ro p o rcio naro p o rtu nid ad e s p o ng anfo rm asd ive rsas.
9
10
TEM A RIO
Características de las actividades del nivel 1
Co m enzaracentrarlaatenciónm ásso brelaspro piedadesdelasfig rasq eenlasim pleidentificación.D efinir,m edir,o bservarycam biarlaspro piedadesco nel so dem o delo sco ncreto s.
Reso lverpro blem asenlo sq elaspro piedadesdelasfo rm asseanaspecto sim po rtantesatener enc enta.
Seg ir tilizando m o delo sco ncreto s,co m o enlasactividadesdelnivel0,pero sando m o delo s q eperm itanlaexplo racióndediversaspro piedadesdelasfig ras.
Clasificarfig ras sando laspro piedadesdelasfo rm asco m o tam biéns sno m bres.P o rejem plo , enco ntrarpro piedadesdelo striáng lo sq ehaganq e no sseansim ilaresyo tro sdiferentes.
1.3 El aprendizaje de geometría en la Educación Primaria Enelc rríc lo q eestablecelasenseñanzasdelaEd caciónP rim aria,enco ntram o sdentro delárea deM atem áticaslo sco ntenido so rganizado senblo q es: no deello sco rrespo ndeaG eo m etría.El o bjetivo generaldelest dio deesteblo q edeco no cim iento sesq eelal m nado aprendaso bre fo rm asyestr ct rasgeo m étricas.Lageo m etríaesdescribir,analizarpro piedades,clasificaryrazo nar, yno so lo definir.Elaprendizajedelageo m etríareq ierepensaryhacer,ydebeo frecerco ntin as o po rt nidadesparaclasificardeac erdo acriterio slibrem enteelegido s,co nstr ir,dib jar,m o delizar,m edir,desarro llando lacapacidadparavis alizarrelacio nesgeo m étricas.To do ello selo graestableciendo relacio nesco nstantesco nelresto delo sblo q esyco no tro sám bito sco m o elm ndo del arteo delaciencia,pero tam biénasignando npapelrelevantealapartem anip lativaatravésdel so dem ateriales(geo plano sym ecano s,tram asdep nto s,libro sdeespejo s,m aterialparafo rm ar po liedro s,etc.)ydelaactividadperso nalrealizando plegado s,co nstr ccio nes,etc.parallegaral co ncepto atravésdem o delo sreales.Aestem ism o finp edeco ntrib irel so depro gram asinfo rm ático sdegeo m etríadinám ica.
EDUCA CI Ó PRI MA RI A
2E le m e n to s ,fo rm a s yre la cio n e s g e o m étrica s en e l e n to rn o : cla s ifica ció n y re p re s e n ta ció n ag eo m etríasurg ió d elan ec esid ad d elosh om b resd eresolverp rob lem asc om o:rea lizarm ed id as d e te rre n os,c on struc c ion e sre lig iosasy d eotrotip o,orn am e n tac ió n ,e sc ulturas,e tc . ose lem en tos y form asg eo m étric asson m od elosq uep od em osen c on trartam b ién en lan aturalezay elarte.E s in d ud ab lelautilid ad d e lag eom etríae n m ultitud d e c on te x tosy p rofe sion e s,p ore sote n e m osq ue tran sm itiran uestrosalum n oslan ec esid ad d eap ren d ery ap lic arlosc on oc im ien tosg eo m é tric osa suvid ac otid ian a . P arae n señ arg e om e tríaen laesc uelaP rim aria,d eb e m osp artird e lare alid ad q ue n osrod e ay utiliza r losejem p losm ásc erc an osaln iñ op araap rox im arn osalosc on c ep tosg eo m é tric os.M uc h osd eestosc on c ep tosson d em asiad oab strac tosp araq uelosalum n osd eP rim ariap ued an c om p ren d erlos, p e rosíp od e m osac e rc arn osa lasp rop ied ad e sm ásre le va n te satrav é sd e m a terialesy ob jetosreales q uen ossirvan d em od elo. E sim p ortan teq uep artam osd elarea lid ad ,y elm un d oq uen osrod ea esfun d am en talm en tetrid im en sion al.P oresoesrec om en d ab lec om en zaraestud iarlosc on c ep tosd eg eo m etríaesp ac ial an te sq uelosd eg eo m e tríap lan a.E n loslib rosd e te x toq ueen c on tram osh ab itualm e n te e stare c om e n d ac ió n n osec um p le,sig uen e lord e n tra d ic ion a l:p rim e rosein trod uc e n lose lem e n tosy form asen e lp lan oy m ástard esep asaalestud iod e só lid osy p olie d ros.E steord e n d e in trod uc irla g e om e tríae sc olare stáin fluid op orlaestruc turaló g ic ad elasm atem átic as,p eron oe se la d ec uad o siq ue re m osten ere n c uen ta p lan tea m ie n tosd id ác tic osb asad ose n eld esarrollod e losn iñ os.
2.1 E le m e n tos g e om étricos Cuan d oq uerem osen c on trarlaun id ad m ín im aoelelem en tob ásic oq uesirvep arac om p on ertod os losd e m ás,n osap rox im a m osalaid ea d ep un to.P ararep resen tarun p u n to ,n orm alm en teseha c e un ap eq ueñ am uesc ac on un láp izsob reun p ap el,d eform aq ueq uerem osd arlaid ea d eq uen o tie n ed im en sion e s,lam arc a solod eterm in aun ap osic ió n sob re e lp lan ooe lesp ac io. Con p un tosp od em osc rea rotroselem en tosg eo m é tric os,c om olasre ctas .D ec im osq ued osp un tosd eterm in an un aú n ic arec ta.Cuan d od ib ujam osun arec tasiem p reestam osrep resen tan d osolo un trozo,p orq ueun are c taesilim itad ap oram b ose x tre m os,d eform aq ue re sultam uy d ifíc ilvisualizarla.P od em osac erc arn osasud efi n ic ió n siten sam osun h ilofin oy p en sam osq uen un c aterm in a p orn in g un od esusex trem os. Tresp un tosn oalin ea d osd eterm in an un p la n o .P od em osrep resen tarun trozod eun p lan om ed ian te lasup e rfic ied eun am e sa,d e lap iza rraod e un ah ojad e p ap e l.U n p lan on otien e e sp e sory e s ilim itad op ortod oslad os,p orlotan totam b ié n resultad ifíc ile n c on trarun m od elorea l.D osp lan os p ue d e n c ortarseen un a rec taose rp a ralelos,esd ec ir,n otie n e n n in g ú n p un toe n c om ú n . asrec tasy losp la n osc on tien e n in fin itosp un tos.E lesp a c ioe selc on jun tod etod oslosp un tos. Cualq uie rsub c on jun tod ep un tosd e lesp ac iose d en om in afig urag eo m é tric a.E lob jetivod e lag e om e tríaesd esc rib ir,c lasific ary estud iarlasp rop ie d ad e sd e lasfig urasg e om é tric as. asrec ta sp ue d e n oc up ard istin tasp osic ion e sen elesp ac io:d osrec tasson p arale las si,e stan d oe n elm ism op lan o,n un c alleg an ac ortarse;sisec ortan (tien en un p un toc om ú n )sellam an s e ca n te s . D osre c tasq ue n ose c ortan y n oe stán e n elm ism op lan o,se d ic eq ue secru zan . U n p un tosob reun arec tad eterm in ad oss e m irre ctas .U n arec tasob reun p lan od eterm in ad os s e m ip la n o s .U n p lan oen elesp ac iod eterm in ad oss e m ie s p a cio s . D osp un tossob reun arec tad eterm in an un s e g m e n to .P od em osm ed irlalon g itud d elseg m en to:la d istan c iaq ue se p ara susex trem os. osseg m e n tossíp ue d e n rep resen tarse m ejor,y aq ue son lim itad os,aun q ue c on tien e n in fin itosp un tos.
11
12
TEM A RIO
os sem irrec s en el pla no con orgen com
n d eter ina n un
ángulo. L
prend id a entre dic ssem irrec sesel ángulo,la ssem irrec sse lla pa ren, rtce del ngulo. od em os í r ulo gr ua o. L unid d les P od em os la sifi la
it d
e
edirla
edid a
berur
sutliza
n la
regió n d el pla no com osy el orgen que com
e los ngulosutliza nd o un tr nspor
a son losgr os
inutosy segundossex gesi-
rlos ngulossegú n su a berur en: ba r n un s llanos(
e un ángulo lla no)
agudos(
en res que un rec ) y
oro
obtusos(
ipla no)
rectos
yores que un rec o
enores ue un lla no). ossem ipla nos ue se cor n d eter ina n un ángulo diedro. L lo d ied ro es la
el ángulo
ue for
perpen icul res a la rect
ida
e la
berur
e un ángu-
n d os sem irrec s ontenid sen los sem ipla nos ue lo for
n,
e in erseccó n.
pu n to A R e ct a r A
S em irrect a
s eg m en to
B
A O
á n g u lo A Ô B B
Án g u lod ied ro lem ent osg eom étricos
Tod os esos onceptos ue pa recen elem ent les es e el punto d e v ist sia o a bs r
os pa r losniñ os e P rm ra . P oreso la
la s noconesy propied losniñ osla sprncpa les oncretos a
eces
proxim có n que debe
erse esintrod ucr
es pa rtendo d e la rea lid d y utliza nd o recursos ue per it n v isua liza ra r
erí stc s e esosele entosgeom
n sim ples om o cuer s
serconscentes e que no v e punto,rec
em tco,son d em
rcos P od em osutliza rm
ilos ba nicos pa pel p r
era les
obl r etc Tenem os ue
os a encon r rm od elos rea les ue reflejen fielm ente los con eptos
pl no etc,por ue son ob etos id ea les ue no exis en en la rea lid
2.2Formas geométricas en el plano X Po lig
o n a lyp o líg o n o
slí nea spoligona leses n for
sporsegm entos onc ena os P ueden ser bier so cerr
A b iert a
C erra d a
s
E UCACIÓNPRIMARIA
4
L
edid a
e una lí nea poligona l essu perí etro (sum a
e la slongitud es e lossegm entos ue la
om ponen). U na lí nea poligona l es onv exa si no puede sercor puntos en c so con r ro es
a poruna rect en m s e d os
nc
Convexa
Cóncava
olí gono (poli = v ros y gono = á ngulos) es la super ce pla na lim it a poruna lí nea poligona l err
.L
edid a
rá ngulos,ua
e un polí gono essu área . egú n el nú
rlá eros, pen
onos, ex gonos ep
utliz nd o losprefijos gregos e nú igua les se lla
ero d e l
os lospolí gonos pued en ser
onos, oc gonos ene gonos ec gonos..
ero). Los polígonos ue tenen tod os sus la
n polígonosregula res El punto in eror ue equid ist
e los
os y sus ngulos
rtcesesel centro.
Propuesta didáctica para el aula Lad o iagonal ángulo
ángulointer ior
exter ior
vér tice
a)E nlafigur aapar ecenloselementosb ásicosd eunpolíg ono. efinir cad aunod eellosdelafor ma máspr ecisaposib le. b )¿Pued eocur r ir quealg únpolígononotengad iag onales?¿Cuántasd iag onalestieneuncuad r ad o, unpentágonoyunhexágono? c)¿O b tener unafór mulapar acalcular elnúmer od ed iag onalesdeunpolíg onod enlad os?
de triángulos X Clasificación em os is o que el trá ngulo es un polí ono d e tres la pa r pod ercons ruirun trángulo es ue la longitud sum a
e los otros os propied d ra ngula r. L sum a
siem pre es18 º V
osa
la osy la
e sus ngulos
plitud
Atend iend o a la longitud
e cua lquier
rtces L
e sus la os sea
on ic
enorque la
e los res ngulosinterores e un trángulo
la sific rlos rángulosutliz nd o d os rteros iferentes la longitud
e sus la os los rángulos pued en ser e qu iláte ros ( res la
is ó s ce le s ( osla osigua lesy uno d esigua l)
Equilátero
os,res ngulos y res
os igu les
e s ca le n o s (los tresla os desigu les
I sósceles
e sus
Escaleno
13
14
TEM A RIO
Atend iend o a la
plitud
e sus ngulos los rá ngulos pued en ser rec ngulos
on un ángulo
reco),ob usángulos (un ngulo ob uso) o a ut ngulos (res ngulos a gu os). En los rá ngulos rec nguloslosla
os ue d eter ina n el á ngulo reco se lla
n c etosy el la
o opues o, ipotenus
A cu t án g u lo
R e ct á n g u lo
X
O b t u s án g u lo
C la s ifica ció n d ecu a d rilát ero s os ua
rlá eros son polí gonos con ua ro la
in erores e cua lquiercua r
la sifi
os
rtcesy ángulos L sum a
rlá ero es siem pre 3
rlos ua rlá eros pod em os utliza rd iv ersos rteros
es orejem plo,pod em os onc id d o conv exid
endiendo a
rnos en el pa r lelis o de sus la os igua ld d
istnt s propied
e la os
e ngulos
etc egú n el crtero elegido,obtend rem os un tpo d e la sific có n.
lm ent en loslibros e texo d e P rm ra y ecund ra encontr s
e los ua ro á ngulos
a en el pa r lelis o de losla os Esim por nte er
os una
nic
bié n otro tpo e la sifi
la sifi
có n ba
conespa r
los lum nos om prueben la srela cones ue se es blecen entre la sfigur ssegú n sus propied osa ua a)
la sifi
rlos ua rlá eros
endiendo a
or ue es
ue tenga n 0,1 o 2 pa res e la ospa r lelos En los
rlá eros pued e suced er ue los os pa res e la os sea n pa r lelos lla pa r lelogr
os son cua
nd ose a esos ua rlá eros pa r lelogr
os Los
r os rec ngulos rom bos y rom boid es
scuadrados tenen los cua ro la
osigu les los ngulosrecosy sus os ia gona lesigu les
y perpen icula res
srectáng ulos tenen la osigua les os a
os los ngulosrecosy sus os ia gona lesigua
les y no perpen icula res
srom bost enen los ua ro la
os igua les los ngulosigua les os a
os sus os ia gona les
son d istnt sy perpend icula res
srom b oides tenen los la osy los ngulos igua les osa
osy sus ia gona lesson d istnt s
y no perpend icula res
Cu a d ra d o
R ect án g u lo
Rom bo
b ) ue solo tenga n un pa rd e la ospa r leloslla
cos pued en serrectáng ulo r peco on pa r lelos igua les)
nd ose a
s os ua
R o m b o id e
rlá eros r pecos Los r pe-
os ángulos recos) isósceles( r peco con la
r peco con los la escalen o(
osno pa r lelos esigua les
R e ct á n g u lo
Is ó s celes
s ca len o
os no
D U C A C IÓ N P R I A R I 4
c
Que no tengan ningún par de lados paralelos llamándose a estos cuadriláteros trapezoides.
Trape zo id e
X
C u rvas, ir u n fe re n ia ír u lo Una c a plana se puede describir de manera informal como el conjunto de puntos que tra zamos cuando deslizamos un lápiz sobre el papel sin levantarlo. Si por todos los puntos solo pasamos una vez se dice que la curva es m p l . Si los extremos coinciden, se dice que la curva es cer ad . La circun erencia es la línea curva y cerrada formada por los puntos del plano situados a igual distancia de un punto interior llamado cen o. En la figura aparecen los elementos de la circunferencia más notables: centro, radio, cuerda, diámetro y arco. o i d a r
a r o
C e n tro d i á m e tr o u e
d a r
La medida de la circunferencia es la long it d de la circunferencia y se calcula mediante la fórmula L = 2πr , donde π es un número irracional (tiene infinitas cifras decimales no periódicas, aunque suele aproximarse por el número 3,1416) y r es el radio de la circunferencia. Una recta puede ser respecto a una circunferencia: exteror (si no la corta en ningún punto), ent (si la corta en un solo punto), secante (si la corta en dos puntos). La región del plano comprendida dentro de una circunferencia se llama culo es su área y se calcula mediante la fórmula A = πr 2.
cí culo .
an
La medida del cír-
r o
2.3
ig
as eom
icasen el espacio
El concepto intuitivo de curva se puede extender del plano al espacio imaginando figuras dibujadas por un lápiz «mágico», cuyos puntos dejan un trazo visible en el aire. Cualquier superficie sin agujeros y que encierra una región hueca (su interior) se dice que es una perficie cer ada sim pl . La unión de todos los puntos de una super ficie cerrada simple y todos los puntos de su interior forman una figura espacial llamada s lido. Una superficie cerrada simple es conv exa si el segmento que une cualquier par de puntos de la superficie está contenido en el interior de dicha superficie. Por ejemplo, la sf ra, que es el conjunto de puntos situados a una distancia constante de un punto fijo (el centro), es convexa.
E sfe ra
15
16
TEMARIO
Poliedros. Clasificación U np olie d ro es nas perficiecerradasim plefo rm adapo rregio nespo ligo nalesplanas.Cadaregión po ligo nalsediceq ees nacaradelpo liedro ,ylo svérticesylado sdelasregio nespo ligo nalesse diceq eso nlo svérticesylado sdelpo liedro .P araclasificarlo spo liedro spo dem o satenderadiverso scriterio s,co m o po rejem plo ,lareg laridadynúm ero decarasq eco nc rrenenlo svértices. O tro scriterio sdeclasificacióndelo spo liedro sso n:
Inclinación(recto syo blic o s).
P o liedro sco nbases(co n nabase,o variasbases).
Segúnlaco nstr ccióndelm o delo :
Co npo lígo no sreg lares(po liedro sreg lares,sem irreg lares,deltaedro s).
Co npo lígo no sig ales(po liedro sdecarasig ales:po liedro sreg lares,deltaedro s,bipirám ides debasereg lar).
Co nvérticesig ales(po liedro s.reg lares,sem irreg lares,prism asrecto sdebasereg lar...).
Co m binacio nesdedistinto scriterio s.
Ejesyplano sdesim etría,diago nales,áng lo s.
Poliedros regulares U np olie d rore g u lares npo liedro co nlassig ientescaracterísticas: las perficieesco nvexa,lascarasso nregio nespo ligo nalesreg lares co ngr entesyco nc rrenelm ism o núm ero decarasencada no de lo svértices.
Tetraedro
Octaedro
So lo p edenco nstr irse5clasesdepo liedro sreg lares.Esto esasípo rq elas m adelo sáng lo sinterio resdelo spo lígo no sq efo rm anlas carasde npo liedro reg larq eco nc rrenen nm ism o vérticedebe serm eno rde360º,delo co ntrario no po dríancerrar nespacio interio r.
Lo sáng lo sinterio resdeltriáng lo eq ilátero m iden60º.Si sam o striáng lo s co m o carasparafo rm arpo liedro s,co m o m cho p edenco nc rrirenelm ism o vértice5triáng lo s,yaq elas m ades sáng lo sc m plelaco ndiciónindicada. Tenem o sasítrespo liedro s(co n3,4y5triáng lo sencadavértice):elte trae d ro ,el octae d ro yelicos ae d ro . Cubo
Co ncarasq eseanc adrado sso lo sep edefo rm arelcu b o ,enelq eco nc rren 3c adrado sencadavértice.Si tilizam o spentágo no sreg laresco m o caras,so lo po dem o sco nstr ir npo liedro :eld o d e ca e d ro .
Propuesta didáctica para el aula: Completar la siguiente tabla con el n.º de caras, vértices y aristas de cada poliedro regular. Calcular cuánto vale C + V – A en cada caso. Icosaedro
Polígono utilizado
Dodecaedro
TRIÁNGULO TRIÁNGULO TRIÁNGULO CUADRADO PENTÁGONO
C Nº de caras 4
A Nº de aristas 6
V Nº de vértices 4
C–A+V
Nombre poliedro TETRAEDRO OCTAEDRO ICOSAEDRO CUBO DODECAEDRO
EDUCACIÓN PRIMARIA 24
Prism as p irám id es
L o sp rism asso np o lie d ro sco nd o sb ase sfo rm ad asp o rp o líg o no sig u ale sytan tascaraslate rale s co m o núm e ro d e lad o stie ne nlasb ase s.Lascaraslate rale sso np arale lo g ram o s.
Lasp irám idesso np o lie d ro sco nu na so lab ase q u e p u e d e se rcu alq u ie rp o líg o no ytan tascaras late rale sco m o lad o stie ne lab ase .Lascaraslate rale sso ntriáng u lo sq u e co ncu rre nto d o se nu n vértice .
Tanto p rism asco m o p irám id e sp u e d e nse rre cto su o b licu o s.Sicalcu lam o se lnúm e ro d e caras vértice syaristasd e p rism asyp irám id e s ve re m o sq u e tam b ién se cu m p le lam ism are lación q u e e nlo s p o lie d ro sre g u lare s:C+V–A=2.Enre alid ad e stare laciónse ve rificap aracu alq u ie rp o lie d ro e sla llam ad aca racte rística d e Eu le r.
Conos c ilind ros
Lo sco no sylo scilind ro sso nsu p e rficie sce rrad assim p le sq u e g e ne ralizanlasp irám id e sylo sp rism as re sp e ctivam e nte .U nco no tie ne u na b ase q u e e scu alq u ie rre g iónlim itad ap o ru na cu rvace rrad a sim p le co nte nid ae nu np lan o .Lasu p e rficie late rale stág e ne rad ap o rlo sse g m e nto sq u e u ne ne l vértice no situ ad o e ne lp lano d e lab ase co nlo sp u nto sd e lacu rvaq u e d e lim italab ase . A
A
A
B
B B
U ncilind ro eslasu p e rficie g e ne rad atraslad and o lo sp u nto sd e u nare g ión ce rrad asim p le co nte nid a e nu np lan o haciau np lan o p arale lo .Lo sp u nto sq u e u ne np u nto sco rre sp o nd ie nte se nlascu rvas q u e lim itanlasb ase sfo rm anlasu p e rficie late ral.Silo sse g m e nto sq u e u ne np u nto sco rre sp o nd ie nte se nlasd o sb ase sso np e rp e nd icu lare salo sp lano sd e lasb ase sse d ice q u e e lcilind ro e sre cto e n ca so co ntrario se tratad e u ncilind ro o b licu o .
17
18
TE
RI
2 . 4 Relaci nes ge m étricas En el currículo de Primaria encontramos numerosas referencias a la necesidad de establecer, estudiar y aplicar distintos tipos de relaciones geométricas. Cuando introducimos los primeros conceptos geométricos en la escuela, partimos de la realidad tomando como modelo objetos que nos rodean y que pueden ser ejemplos de formas y figuras geométricas. Enseguida apreciamos relaciones que necesitamos ir definiendo para poder clasificar las figuras, como son el paralelismo, la perpendicularidad, la simetría, etc. Es importante que no nos quedemos en la descripción de las figuras y sus propiedades, sino que lleguemos también a establecer relaciones entre ellas de forma que proporcionemos a los niños las experiencias necesarias para progresar en su desarrollo geométrico y poder alcanzar el nivel 2 de Van Hiele. Mediante el planteamiento de problemas geométricos apropiados podemos estudiar propiedades de las figuras, realizar observaciones, buscar regularidades, realizar hipótesis, etc. Todas estas acciones proporcionan a nuestros alumnos oportunidades para establecer relaciones geométricas. Por ejemplo:
Buscar en el geoplano varios polígonos que tengan igual área y distinto perímetro.
Formar mosaicos y recubrimientos del plano con diferentes figuras y polígonos.
Relacionar distintos sólidos y poliedros con su desarrollo plano.
Veamos ahora los movimientos del plano que permiten establecer relaciones entre las figuras que conservan distintas propiedades: X M
ovim ie n to srígid o sd e lplan o
Se llama movimientos rígidos del plano o isometrías a movimientos que conservan el tamaño y la forma de las figuras. Después de realizar un movimiento rígido sobre una figura, se obtiene otra que tiene la misma forma y dimensiones que la inicial, pero se encuentra colocada en una posición distinta del plano. Existen tres tipos de isometrías: traslaciones, giros y simetrías.
Trasla io n e s Una traslación queda determinada dando el vector que indica la dirección en que se desplazan los puntos y la distancia a la que lo hacen (módulo del vector: distancia entre el origen y el extremo). Por ejemplo, el triángulo ABC de la figura se transforma en el triángulo A’B’C’ mediante la traslación dada por el vector u.
G iro s Un giro queda determinado dando un punto O, que será el centro del giro y permanecerá fijo, y la amplitud α de un ángulo orientado, que indica el ángulo de giro. En la figura vemos que el heptágono se ha transformado mediante un giro de 45º alrededor del punto H en el heptágono A’B’C’D’E’F’G’.
EDUC A C IÓNPRIM A R IA
4
tí
La simetría o reflexión so bre un esp ejo eselm o vim ien to rígido delp l a n o que se p ro duc e fi ja n do un a rec ta r delp l a n o yha l l a n do p a ra c a da p un to P o tro p un to P’,de ta lm a n era que l a rec ta r es m edia trizdelsegm en to PP’.La sim etría in vierte l a o rien ta c ión de l a sfi g ura s.La rec ta r se l l am a eje de simetría.
Estos tresm o vim ien to sp ueden a p l ic a rse suc esiva m en te so bre un a fi gura da n do l ug a ra c o m p o - sic ion esde m o vim ien tos.Porejem p l o ,un a sim etría c o n desl iza m ien to esl a c o m p o sic ión de un a sim etría yun a tra sl a c ión . Podem o sdefi n irl a rel a c ión de c o n gruen c ia de fi gura sde l a siguien te fo rm a :dos fi gura sso n c o n - gruen tessi,yso l o si,un a esl a tra n sfo rm a c ión de l a o tra m edia n te un m o vim ien to rígido (esdec ir, tien en l a m ism a fo rm a yelm ism o ta m a ño). Lo sm o vim ien tosdelp l a n o da n l uga ra friso sym o sa ic o s,que so n rec ubrim ien tosdelp l a n o rea l iza - dosa p a rtirde un a fi gura básic a que se rep ite in defi n ida m en te c ubrien do elp l a n o sin deja rhuec o s n i so l a p a m ien tos.Estos p a tro n esg eom étric o s se util iza n c o m o m o tivo s dec o ra tivo s en a zul ejo s, c en efa s,a l fo m bra s,etc .
X
nza
La sho m o tec ia sysem eja n za sn o so n m o vim ien tos,p o rque c o n serva n l o sán gul o s,p ero n o l a sdis- ta n c ia s.Esdec ir,l a sfi g ura s tra n sfo rm a da stien en l a m ism a fo rm a que l a so rigin a l es,p ero distin to ta m a ñ o. U n a ho m o tec ia de c en tro O yra zón k,esl a tra n sfo rm a c ión que ha c e c o rresp o n dera c a da p un to P o tro p un to P’,a l in ea do c o n O yP,de fo rm a que O P’= k ·O P D ec im o sque do sp o l íg o n o sso n sem eja n tes,c ua n do c a da án g ul o ysu tra n sfo rm a do tien en l a m is- m a am p l itud yc a da l a do ysu tra n sfo rm a do so n p ro p o rc ion a l esde ra zón k (ra zón de sem eja n za ). En l a fi g ura vem o selc ua dril átero tra n sfo r- m a do m edia n te un a hom otec ia de ra zón k=2 (O P’= 2 ·O P).Elc ua dril átero A ’B’C ’D ’ tien e l o s án g ul o s igua l es que elA BC D y susl a do sm iden eldo bl e.
19
20
TEMARIO
Lassem ejanzasse tilizanparaelabo rarplano s,m apas,m aq etas,fo to co pias,etc.Laescalaesla razóndesem ejanzaentrelafig rao riginalys representación. Plano de situación. Escala: 1:200.000 1 cm sobre el mapa equivale a 200.000 cm = 2 Km sobre el terreno.
2.
Re p re s e n tació n g e om étrica Ladidácticadelasm atem áticasreco m iendaq ese tilicenrepresentacio nesym o delo s,físico s o gráfico s,delo sco ncepto sgeo m étrico sq eperm itanalo sal m no so bservar,m edir,m anip lar, co nstr ir,transfo rm ar,etc. P araelegir nab enarepresentacióno m o delo de nco ncepto ,sit acióno pro blem aco ncreto , tenem o sq etenerenc entado sfacto res:
Q eelm o delo sea narepresentaciónlo m ásfielpo sibledelco ncepto o sit ación.
Q elo sal m no sinterpretenlarepresentaciónco nfacilidadyledenelsignificado co ncept al q eelm aestro pretende.
Lasrepresentacio nesq eso ndem asiado co m plicadasparalo sest diantes,lasq eso lo transm iten lo sco ncepto sdefo rm aparcialo lasq es gierenideaseq ivo cadasso nto talm enteinadec adas paralaenseñanzadelageo m etríaenc alq iernivel. EnP rim ariase tilizann m ero so stipo sderepresentacióngeo m étrica:dib jo s,geo plano s,c adríc las,fig ras,po liedro s,plegado depapel,p zles,plano s,m apas,appletsdejava,rec rso sinfo rm ático s,etc. Lo sgráfico so dib jo sso npro bablem enteelm edio derepresentacióngeo m étrico m ásextendido enela lay,desdel ego ,enlo slibro sdetexto .Sinem bargo ,lo sdib jo sp edenser no bstác lo en laadq isicióndeco ncepto sgeo m étrico senalg no scaso s.
EDUC A C IÓNPRIM A R IA
4
X Re
nt in t
io
Ex iste un a ten den c ia a usa restereotip o sp a ra rep resen ta rfi gura su o bjeto sque p ro vo c a n un a iden ti- fi c a c ión en tre elo bjeto geo m étric o ysu rep resen ta c ión ,l o que p uede l l eva ra l o sa l um n o sa c rea rse idea serrón ea s. La p o sic ión fi ja de l a sfi gura ssuel e serun o de l o sestereo tip o sm ásfrec uen tesen l a rep resen ta c ión gráfi c a ,de fo rm a que in duc e a l o sa l um n o sa iden tifi c a rl a fo rm a c o n l a p o sic ión . Ejem p l o: Se tien de a rep resen ta rsiem p re l o sc ua dra dosa p o ya dosso bre un o de susl a dosyl o sro m bosso bre un o de susvértic es,de fo rm a que m uc ho sestudia n tesc o n fun den elcua dra do c o n elro m bo si l o ven gira do resp ec to de l a p o sic ión ha bitua l .
X Re
nt in bj
ti
¿La sdosfigura sso n c ua dra dos? nsin
Según Gutiérrez(1994),c ua n do rep resen ta m o sun o bjeto tridim en sion a lm edia n te un a fi gura p l ana, n ec esita m o sque ela l um n o rea l ic e do sa c c ion esp a ra c o m p ren derdic ha rep resen ta c ión :
1 .Q ue in terp rete l a fi gura p l a n a p a ra c o n vertirl a en un o bjeto tridim en sion a l . . Q ue c o n vierta l a im a gen m en ta ltridim en sion a lque se ha c o n struido en el c o n c ep to geom étric o estudia do. Esdec ir,n ec esita m o sc o n ta rc o n l a c a p a c ida d de visión esp a c ia lde l o sestudia n tesyc o n l a ha bil ida d de dibuja rfi gura stridim en sio n a l eso de in terp reta rl o sdibujo srea l iza do sp o rotra sp erso n a s.
P
a a ea
a na e
nt
n
na de bo
Esim p o rta n te que desde Prim a ria se tra ba je elp a so delp l a n o a lesp a c io en l o sdo ssen tidosp o si- bl es:rep resen ta c ión p l a n a de fi gura stridim en sio n a l esyc o n struc c ión de sól ido s,a p a rtirde su rep re- sen ta c ión p l a n a .Pero n o ha yque o l vida rque,si l o sa l um n o stien en difi c ul ta desp a ra in terp reta rl os dibujo s,p o dem o sutil iza ro tro srec urso sp a ra rep resen ta rl o sc o n c ep tostridim en sion a l es:m o del os físic o s,rep resen ta c io n esvirtua l esque p erm iten elm o vim ien to,etc .
21
22
T EMA RI O
3E s tra te g ia s d e in te rv e n ció n e d u ca tiv a Con laen trad a e n vig ord e la O M CE ,q ue m od ific ala O E ,sein sisteen la n ec esid ad d e utilizarla ed uc ac ió n c om oc lave en latran sform ac ió n d elasoc ied ad ,q uec ad avezm ás,req uiered ec iud ad an osm ásac tivosy d e se ososd ep a rtic ip are n lam ism a.P ara e llo,serec lam alaad q uisic ió n ,d e sd e ed ad estem p ran as,d ec om p eten c iasc laveatravé sd eun c am b ioen lam etod olog íaem p lea d ah asta ah ora.E stad eb ec on tem p laralalum n ad oc om oun elem en toac tivoen elp roc esod eap ren d izaje,si q uerem osc on seg uirun am ejorad elac alid ad d elaed uc ac ió n . E n laO rd e n E C D/65/2015 ,d e 21d e e n e ro ,p orlaq uesed e sc rib en lasrelac ion e se n tre lasc om p e te n c ias,losc on te n id osy losc rite riosd e e va luac ió n d e laE d uc ac ió n P rim a ria,laE d uc a c ió n Se c un d ariaO b lig a toria y e lBac h illera to,see sta b lec e q ue losm é tod osd oc e n te sd e b erán fav ore c e r lam otivac ió n p orap ren d erp roc uran d otod otip od eay ud asy em p lea n d oloq uesec on oc ep or m etod olog íasac tivasy c on tex tualizad as:A q uellasq uefac iliten lap artic ip ac ió n eim p lic ac ió n d el alum n ad oy laad q uisic ió n y usod ec on oc im ie n tose n situac ion esre ales. asm e tod olog ías activ as h a n d e ap oy arsee n e struc tura sd e ap re n d izaje coo p e rativ o ,sie n d o e ste tip od e e strate g iaslasm ása d e c ua d a sp ara latran sfe rib ilid a d d e losap re n d iza je s.E la p re n lo sce n tros d e in te rés ,ele s tu d iod e cas os oe la p re n d iz a je b a s a d o e n d iza je p orp roye cto s , lae x p e rim e n tac ió n y un ap ren d izajefun c ion alq ue va p ro b le m a s favo re c e n lap artic ip ac ió n ac tiva , afac ilitareld e sarrollod e lasc om p e ten c ias,asíc om olam otiva c ió n . ase lec c ió n y usod em ate ria le sy rec ursosd id ác tic osc on stituy e un asp e c toe se n c iald elam etod olog ía.E lp rofe sora d od eb e im p lic arseen laelab orac ió n y d iseñ od e d iferen te stip osd e m ateriales, ad ap tad osalosd istin tosn ive lesy alosd iferen te se stilosy ritm osd eap ren d iza je d e losalum n os, c on elob je tod e ate n d e ra lad ive rsid ad e n elaulay p erson aliza rlosp roc esosd e c on struc c ió n d e losap re n d iza jes.Se d eb e p oten c iarelusod e un ava ried ad d e m aterialesy re c ursos,c on sid eran d o espe c ialm en telain teg rac ió n d elasTec n olog íasd elaIn form ac ió n y laCom un ic ac ió n en elp roc eso d een se ñ an za -ap ren d iza je q uep e rm ite n ela c c esoarec ursosvirtua le s.
EDUC A C IÓNPRIM A R IA
4
A tod o ello, y q ue sum rle neces ra la ses r egia s L presenca
etod ológic sy id
ente una
ebe per itra
ue n un
geom
oor ina có n entre los docentessobr
e la geom etrí en el entorno inm ed ia o esuna r
rela conesy onceptos geom r
a
tc s ue se utlicen.
señ nza y su a prend iza e, pero no esla geom etrí
ecua
rc s
nic . L s persona s ons ruyen de m ner intuitv a
lguna s
rcos prod uc o d e su in er có n con el espa co;la enseñ nza nza ren el des rrollo
om nto d
n suficente pa r ustfic rsu en-
o se pue
cend o uso d e la
el onocm iento d e ese espa co, e
n m ne rm
pa cd d
e la
l m ne-
nt lm en e im genes e gur s y r la cones
e a bs r có n. El es ud io de la geom etrí per ite a l
lum no est ren in er có n con rela cones ue ya no son el espa co físico sino un espa co con epua liza
o y porlo t nto,en un deter ina o m om ento,la
la s figur s geom r zona
rc s a no se com proba r n em pírc
lid ez d e la s onjetur s ue h ga sobr ente sino que tend r n que a poya rse e
ientos ue obe ecen a la s regl s e a rgum ent có n en m
uccó n d e nuev spropied
esa pa rtrd e l s ue ya
em tc s en pa rtcula r la
e-
onocen.
l a prendiza e e la geom etrí
e plic en la rea lid d en la los depor es la
id a
otd ia na la
r uitecur la pintur la es ultur la
s ronom í
r in erí etc).
e usa en el lengu e cotd ia no ( lles perpend icula res
esa rec ngula r es ler en espir l,
etc).
e rel cona
on otros onteni os e l s
có n d e nú
em tc s un m od elo geom
eros o expresiones lgebr ic slo consttuye el c lculo
rco d e la
el área
e rec ngulos
er ite des rrolla ren los lum nos su per epcó n d el espa co,su c pa cd d bs r có n,su h bili
d pa r el bor rconjetur s
gur o entre v ra sy su h bili A ontnu có nv ucor
d pa r
erc
rgum nt ra l tr
e v isua liza có ny
e la s rel cones geom rde v li
ultplic
rc s en una
rl s onj ur s ue
os a ir na liz nd o a lgunos elem entos urrcula res ue el m es ro, om o con-
l a pren iza e de los lum nosa lo l rgo d e tod a la
pa
e E uc có n P rm ra
be en r
en cuent
3.1 Com
p etencias com p etenciam atem ática se d es rrolla prncpa lm ente en su a speco d e conocm iento y
nejo
e elem entos m
em tcos básicos ( ed id s sí bolos elem entos geom
en situa cones rea les o sim ula r zona
s e la
id a
otd ia na y la puest en pr tc
pa r
e procesos
iento que llev n a la solucó n d e losproblem so a la obtencó n de infor
e que los lum nossepa n a plic rdesreza sy runa
có n. e r
ttud es ue per iten r zona rm
ejorr spuest a situa cones e la
ida
rcos etc)
em tc
e istnto ni el e om ple
espec o a la s com p eten cias b ásicas en cien ciay tecnolog ía el es ud io d e la geom etrí rbuye a l des rrollo de la ejoren su c pa cd d
pa cd d
e cons ruiry
ent
on-
e isua liza có n espa ca l,lo que per ite q ue los lum nos nipul rm ent lm ente figur sen el pla no y el espa co, lo
ue f orecerá el uso d e m pa s pla nos ela bor có n d e d ibujos et
l esud io d e la geom etrí pued e contrbuira l d es rrollo d e la com p etencia encom un icación lin gü ística propica nd o el uso a ecua o d el oc bula ro propio de la geom etrí
orrect expresió n y gus o porem plea r on precsió n el lengu e. Ta pa cd
es e des rpcó n v erba l d e los r ona
sícom o la
bié n se d es rrolla n c
ientos y procesos neces ros pa r resolv erlos
problem s I gua lm ente, esneces ro s beres uc
rla sexplic cones e los em sy es rrolla r
el espírtu crí tco p r po erreba trid ea s ue no se consid eren correc s
n el esud io d e la geom etrí se d es rrolla la com p etencia digital a cones
etod oló gic sesel uso d e la sTI C yel sof
re d e geom etrí
ue una iná
ic
e la s recom en-
23
24
TEMARIO
Lascom p e te n cias s ocia le s ycív ica s setrabajaránm edianteelem pleo dem eto do lo gíasde trabajo co labo rativo .Esto perm iteeldesarro llo delacapacidaddeinteracciónengr po ,do nde lo sal m no sdeberánvalo rareltrabajo delo sdem ásyco ntrib irco ns pro pio esf erzo alaco nsec cióndelo gro sco lectivo sq eperm itiránreso lverlo spro blem asysit acio nesplanteado s. Elest dio deco ncepto sgeo m étrico sco ntrib yealdesarro llo deco n cie n cia y e xp re s io n e s cu ltu rale s alestarestrecham enterelacio nado co neldesarro llo decapacidadesq epro po rcio nana lo sal m no sherram ientasparaco nstr irdib jo s,o brastridim ensio nalesyapreciaciónderec rso sartístico sq evem o senlapint ra,esc lt ra,arq itect rayenlapro pianat raleza.Tam bién senecesita tilizarherram ientasdedib jo yco nstr cción(reglas,co m pás,m edido rdeáng lo s, plegado depapel,etc.),c yo m anejo res ltarám yo po rt no eno trasáreasrelacio nadasco n estaco m petencia. Lanecesidaddeexplicarelpro ceso dereso l ciónde npro blem a,labúsq edadereg laridades,larelaciónentrelaspro piedadesdelo sc erpo s,laaplicacióndeherram ientassencillaspara co nstr irpro cedim iento sm ásco m plejo s,etc.;so naspecto sq eincideneneldesarro llo dela com p e te n cia p ara ap re n d e r a ap re n d e r.Co m nicarco neficacialo sres ltado sdelpro pio trabajo ysercrítico co n no m ism o ylo sdem ásso ntam biénfo rm asdereflexio narso breelpro pio aprendizaje. Als e n tid od e in iciativ aye s p íritu e m p re n d e d orseco ntrib yedesdeelplanteam iento de sit acio nesq eperm itenalal m no enfrentarseco néxito apro blem asabierto s,enlo sq edebe to m ardecisio nesq eleperm itanreso lverlo s tilizando s spro piasestrategiasyco no cim iento s.
3.2 O b je tiv o s D esdeelest dio delblo q edeG eo m etríaenlaetapadeEd caciónP rim ariasepretendendesarro llarlassig ientescapacidades: U tilizarelco no cim iento geo m étrico paraco m prender,valo rarypro d cirinfo rm acio nesym ensajesso brehecho sysit acio nesdelavidaco tidianayreco no cers carácterinstr m entalpara o tro scam po sdeco no cim iento . Apreciarelpapeldelasm atem áticasenlavidaco tidiana,disfr tarco ns so yreco no cerelvalo r deactit desco m o laexplo racióndedistintasalternativas,laco nvenienciadelaprecisióno la perseveranciaenlabúsq edadeso l cio nes. Co no cer,valo raryadq irirseg ridadenlaspro piashabilidadesm atem áticasparaafro ntarsit acio nesdiversas,q eperm itandisfr tardelo saspecto screativo s,estético so tilitario syco nfiar ens spo sibilidadesde so . Elabo rary tilizarinstr m ento syestrategiasperso nalesdecálc lo m entalym edida,asíco m o pro cedim iento sdeo rientaciónespacial,enco ntexto sdereso l cióndepro blem as,decidiendo , encadacaso ,lasventajasdes so yvalo rando laco herenciadelo sres ltado s. U tilizardefo rm aadec adalo sm edio stecno lógico stanto enelcálc lo ,co m o enlabúsq eda, tratam iento yrepresentacióndeinfo rm acio nesdiversas. Identificarfo rm asgeo m étricasdelento rno nat ralyc lt ral, tilizando elco no cim iento des s elem ento sypro piedadesparadescribirlarealidadydesarro llarn evaspo sibilidadesdeacción.
3.3C o n te n id o s EneláreadeM atem áticaslo selem ento s,fo rm asyrelacio nesgeo m étricasseest dianenelB lo q u e G e o m e tría .Co nelest dio delageo m etríasepretendeq elo sal m no saprendanareco no cere identificarfo rm asyc erpo sgeo m étrico ssencillo sdesdeperspectivasdiferentes,establecerrelacio nesentreello sys selem ento s,representarfo rm asyco nstr irydescribirlo sc erpo s.
EDUCA CI Ó PRI MA RI A
Alg u no sco nte nid o sq u e se trab ajan so n:
La s it u a ció n en elp la n o yen eles p a cio ,d is t a n cia s ,án g u lo s yg iro s
D e scrip ciónd e p o sicio ne sym o vim ie nto s e nre laciónau no m ism o yao tro sp u nto sd e re fe -
re ncia. U so d e vo ca b u lario g e o m étrico p arad e scrib iritine rario s:líne asab ie rtasyce rrad as;re ctasy cu rvas. yd e scrip ción ve rb ald e cro q u isd e itine rario sye lab o ración d e lo sm ism o s. Inte rp re tación e le m e ntald e esp acio sco no cid o s:p lan o sym aq u e tas.D e scrip ciónd e p o sicio Re p re se ntación ne sym o vim ie nto senu nco nte xto to p o g ráfico . Las líne asco m o re co rrid o :re ctasycu rvas inte rse cción d e re ctasyre ctasp arale las. Áng u lo s e nd istintasp o sicio ne s. Siste m a d e co o rd e na d ascarte sian as.D e scrip ciónd e p o sicio ne sym o vim ie nto sp o rm e d io d e co o rd e nad as d istancias áng u lo s g iro s... re p re se ntación e le m e ntald e le sp acio e sca lasyg ráfica sse ncillas. La d e instru m e nto sd e d ib u jo yp ro g ram asinfo rm ático sp aralaco nstru cciónye xp lo U tilización raciónd e fo rm asg e o m étricas.
F o rm a s p la n a s yes p a cia les
Lasfig u rasysu se le m e nto s.Id e ntificaciónd e fig u rasp lanase no b je to sye sp acio sco tid iano s.
Id e ntificaciónd e lo scu e rp o sg e o m étrico se no b je to sfa m iliare s.D e scrip ciónd e su fo rm a u ti-
lizan d o e lvo cab u lario g e o m étrico b ásico . yclasificaciónd e fig u rasycu e rp o sg e o m étrico sco ncrite rio se le m e ntale s. Co m p aración d e p o líg o no s.Lad o syvértice s. Clasifica ción circu nfe re nciaye lcírcu lo . La Lo s cu e rp o sg e o m étrico s:cu b o s e sfe ras p rism as p irám id e sycilind ro s.Aristasyca ras. Co nstru cción d e fig u rasg e o m étricasp lan asap artird e d ato syd e cu e rp o sg e o m étrico sp artie nd o d e u nd e sarro llo .Exp lo raciónd e fo rm asg e o m étricase le m e ntale s. yclasificaciónd e áng u lo s. Co m p aración e ntre lad o sye ntre áng u lo sd e u ntriáng u lo . Re lacio ne s p o rlap re cisión e nlad e scrip ción yre p re se ntación d e fo rm asg e o m étrica s. Inte rés
R eg u larid ad es ysim et rías
Búsq u e d ad e e le m e nto sd e re g u larid ad e nfig u rasycu e rp o sap artird e lam an ip u laciónd e
o b je to s. Inte rp re tación d e m e nsaje sq u e co nte ng aninfo rm acio ne sso b re re lacio ne se sp aciale s. Re so lu ción d e p ro b le m asg e o m étrico sexp licand o o ralm e nte yp o rescrito elsig nificad o d e lo s d ato s lasitu aciónp lan te ad a e lp ro ce so se g u id o ylasso lu cio ne so b te nid as. e nlasp ro p iasp o sib ilid ad e s;cu rio sid ad inte résyco nstanciae nlab úsq u e d ad e so Co nfia nz a lu cio ne syp arau tilizarlasco nstru ccio ne sg e o m étricasylo so b je to sylasre lacio ne se sp aciale s. Transfo rm acio ne s m étrica s:traslacio ne sysim e trías. Inte rés p o rlae lab o raciónyp o rlap re se ntacióncu id ad o sad e lasco nstru ccio ne sg e o m étricas. p o rco m p artirlo sp ro ce so sd e re so lu ciónylo sre su ltad o so b te nid o s.Co lab o raciónacti G u sto vayre sp o nsa b le e ne ltrab ajo e ne q u ip o . d e sim e tríase nfig u rasyo b je to s. Re co no cim ie nto
25
26
TEMARIO
Trazado de nafig raplanasim étricadeo trarespecto de nelem ento dado . Intro d cciónalasem ejanza:am pliacio nesyred ccio nes. Interésyperseveranciaenlabúsq edadeso l cio nesantesit acio nesdeincertid m brerelacio nadasco nlao rganizacióny tilizacióndelespacio .
3.4O rie n tacion e s m e tod oló g icas Lasactividadessedebenbasarenlaexperiencia,yestarrelacio nadasco nelento rno delo sal m no s. Lasm atem áticasseaprenden tilizándo lasenco ntexto sf ncio nalesrelacio nado sco nsit acio nes delavidadiariaparairadq iriendo pro gresivam enteco no cim iento sm ásco m plejo sapartirdeexperienciasyco no cim iento sprevio s. Enprim ero eselento rno esco lar,s espacio ,tiem po yactividad,lareferenciabásicaeneltrabajo m atem ático .Enseg ndo seam plíaalento rno fam iliaryentercero alavidaco tidianadelal m no .En esto stresprim ero sc rso ssepretendeenco ntrarco ntexto sq epo sibilitenlafo rm lacióndetareas co ncretas,prácticasys stentadasenlo sinteresesynecesidadesdelal m no ys svivenciasdiariasy alavezfacilitenlaeval aciónyelseg im iento delo spro greso senelaprendizaje.Enlo ssig ientes c rso selento rno sevaam pliando pa latinam entedesdelavidaco tidiana,alento rno inm ediato yal ento rno f ncio nal.Apartirdec arto elal m no vadesarro llando s capacidadparaanalizar,asim ilar yenfrentarseasit acio nesdeento rno sno tanligado sas díaadía,desplazando elcentro desdesí m ism o alm ndo físico yso cialq evive,explo ra,investiga,desc bre,lee,describe… Enestaetapa,elco no cim iento geo m étrico yespacialq etraenlo sniño salaesc eladeberíaam pliarsem edianteexplo racio nes,investigacio nesydisc sio nesso brefig rasyestr ct ras.Lo sal m no sdeberían sars sno cio nesdeideasgeo m étricasparallegaraserm ásco m petentesparadescribir,representars ento rno ydesplazarseenél. D eberíanco m enzaraaprenderarepresentarfig rasdedo sytresdim ensio nesm ediantedib jo s, blo q es,dram atizacio nesypalabras;yhacerexplo racio nesdesco m po niendo fig rasycreando o trasn evas.S co no cim iento deladirecciónydelasit acióndeberíaperfeccio narse,m edianteel leng ajehablado ,dándo lesysig iendo instr ccio nesenvario spaso sparaq elo caliceno bjeto s.La geo m etríao frece naspecto delpensam iento m atem ático distinto aldelo snúm ero spero relacio nado co nél. C ando lo sal m no slleganafam iliarizarseco nlasfig ras,lasestr ct ras,lalo calizaciónylastransfo rm acio nes,yc ando desarro llanelpensam iento espacial,dispo nende nf ndam ento paraco m prenderelm ndo q elesro dea. Ladestrezaenelrazo nam iento q elo sest diantesdesarro llanenestaetapalesperm iteinvestigar pro blem asdecrecienteco m plejidadyest diarpro piedadesgeo m étricas.Elest dio delageo m etría req ierepensaryhacer.P o co apo co ,lo sal m no sdeberíaniradq iriendo claridadyprecisiónpara describirlaspro piedadesdelo so bjeto sgeo m étrico syclasificarlo spo restaspro piedadesencatego rías,co m o rectáng lo s,triáng lo s,pirám ideso prism as.P edendesarro llarco no cim iento sacerca decóm o sedesarro llanlasfig rasgeo m étricas nasco no tras,yem pezaraartic lararg m ento s geo m étrico sso brelaspro piedadesdeestasfig ras.P o dríantam biénexplo rarelm o vim iento ,la lo calizaciónylao rientaciónm ediante,po rejem plo ,lacreacióndecam ino sso brec adríc las,o definiendo seriesdereflexio nesygiro sparadem o strarq edo sfig rasso nco ngr entes.C ando lo s al m no sinvestiganpro piedades,p edeco nectarseestetrabajo co no tro stem as,especialm entelo s dem edidaynúm ero s. Lo sal m no sdeberíanaccederalest dio delageo m etría,alfinalizarestaetapaco n nco no cim iento info rm also brep nto s,líneas,plano sy navariedaddefig rasbidim ensio nalesytridim ensio nales;co nexperienciaeneldib jo ylavis alizacióndelíneas,áng lo s,triáng lo syo tro spo lígo no s;y co nno cio nesint itivasso brelasfig ras,adq iridasatravésdelo saño sdeinteracciónco no bjeto s des vidadiaria.Lasactividadesprincipaleshandeser:investigarrelacio nesdib jando ,m idiendo , vis alizando ,co m parando ,transfo rm ando yclasificando o bjeto sgeo m étrico s.
EDUCACIÓN PRIMARIA 24
Aco ntin aciónsepresentanpo siblesactiv id ad e s arealizarenela la,enrelaciónalageo m etría, o rdenadassegúns a m ento pro gresivo dedific ltad. Repro
d ccióndelíneasdediversasfo rm asco n nac erdapartiendo dem o delo sil strado s.
neasrectas,c Representacióneidentificacióndelí
rvasypo ligo nales.
neasabiertasycerradas. Representacióneidentificacióndelí Identificacióndepo Reco
lígo no s,s slado syvértices.
no cim iento eidentificacióndefo rm aspo ligo nalesf ndam entales,s slado syvértices.
Representacióndefo
rm asgeo m étricasenc adríc la.
Representacióndefig
rassim étricasenc adríc la.
Identificacióndeprism
as,c bo s,cilindro s,co no syesferas.
D eterm
inacióndecam ino sen nac adríc laydes sm edidas.
Co
m entario slibresydecarácterverb alpo rpartedelal m nado ,ensit aciónco lectiva,so bre ¿q ésabem o sdelaslíneasyfo rm asgeo m étricas?y¿q éno sinteresao no sg staríasaber?
Repaso
,po rcada no delo sgr po s,delo sco ntenido sprevio sdela nidaddidáctica,expresión delo spro ceso s,co nm ayo rincidenciaenlaelabo racióndecro q issencillo syenlo stipo syclases delíneas.
Identificaciónysencilladescripcióndelo
so bjeto sdelento rno próxim o ,yrelacio nado sco nfig -
rasgeo m étricasys selem ento s. D escripciónverbaldep Realizardesplazam
nto sysistem asdereferenciadistinto sdesím ism o s.
iento s,áng lo s,giro s,sem irrectas,líneasho rizo ntalesyverticales.
Experim
entaciónco nelpro pio c erpo deto do slo selem ento sdelo sc erpo sgeo m étrico s aprendido s.
Co
m entario libreydefo rm averb alpo rpartedelal m nado ,ensit acióndegrangr po ,so bre ¿q ésabem o sdefig rasgeo m étricas?¿q édific ltadesno shem o senco ntrado hastaaho ra?
Representacióngráficadelo
sm o vim iento senelespacio real:desplazam iento s,giro s,ro tacio nes
ycam bio sdedirección. actividadespsico Realizaciónde
m o to rasdedesplazam iento deactividadesdetipo m anip lado r, co m o lasco nstr ccio nesco ngeo tirasenelgeo plano ym edianteplegado depapel.
Identificaciónysencilladescripcióndelo
so bjeto sdelento rno próxim o relacio nado sco nfig ras
geo m étricasys selem ento s. D esarro
llo derepresentacio nesgráficasdem o vim iento senelespacio real,to m ando co m o referenciaelc adric lado dela la(baldo sadeclase)yelc adric lado delgráfico do ndesevaa repro d cir.
D ib
jo ,co nstr cciónyclasificacióndepo lígo no syc adrilátero s.
Identificacióndelasfig Representaciónydib
rasplanasest diadas,desc briendo s selem ento sypro piedades.
jo defig rasplanasenpo sicio nesno habit ales.
M
anejo enpeq eño gr po delo sm aterialesdedib jo :esc adra,cartabón,transpo rtado r,co m pásydelplegado delpapelygeo plano .D esarro llo yco nstr ccióndeto daslasfig rasyc erpo s geo m étrico saprendido s.
Elabo
racióndecro q isyplano sdeco m plejidadcreciente.Iniciacióndesencillo strabajo saescala.
Inventaryreso
lverpro blem asco nfig rasyc erpo sgeo m étrico s.
27
28
TEMARIO
3.
Ev alu ación N u e stro siste m ae d u cativo e stáe stru ctu rad o p o re tap asy d e ntro d e e stas p o rcu rso s.Co nv ie ne q u e altérm ino encad acu rso se am o scap ace sd e co nstatarelav ance re alizad o p o rlo salu m no s.Las p ru e b asq u e se d ise ñ e np aratalfind e b e nse raco rd e sco nlo sco nte nid o stratad o salo larg o d e lcu rso yalm ism o tie m p o no hayq u e o lvid arq u e d e b e nse rvirp arae valu arcu antitativam e nte e lg rad o d e co nse cu ciónd e lo so b je tivo sp ro p u e sto salinicio .Esne ce sario te ne rm u yclaro cu ále se lnive l q u e se p re te nd e alcan zarco nlo salu m no s q u étip o lo g íasd e p ro b le m asse co nsid e rane sp e cíficas yq u ée strate g iasg e ne rale so p ro ce so she u rístico sse q u ie re q u e lo salu m no sp ractiq u e n.So b re la b ase d e to d o e sto se se le ccio na nlo síte m sq u e se cre an co nv e nie nte syse d e te rm ina cóm o se ha d e valo rarcad ap re g u nta. Am o d o d e e je m p lo se p ro p o ne np ru e b asq u e p o d ríanp lante arse e nm o m e nto sd ife re nte sd e l p rim e rcu rso .Ene llasse re co g e ntre stip o sd e activid ad e s:
D e re fo rm u lación.
Activid ad e sse ncillasd e d e scrip ciónyd e re co no cim ie nto d e o b je to sye sp acio s.
P ro b le m asd e co nstru cción.
Alig u alq u e enlo sd e m áscu rso s lo salu m no sd e b e nre alizarind ivid u alm e nte lasp ru e b asd e evalu ación inte ntand o q u e lo sniñ o slasp e rcib anco m o u na se siónm ásyno se sie ntane valu ad o s. Eltip o d e activid ad e sq u e enestasse sio ne sap are ce nso nd e lestilo d e lasre alizad asd u rante elcu rso ; no o b stante so nu nm o d e lo qu e p u e d e se rm o d ificad o p o re lp ro fe so rad o au nqu e se re co m ie nd a m ante ne rlae stru ctu ra.Cad au nad e e llasp u e d e co nstard e :
U ne je rcicio e ne lq u e d e b e nre lle na rhu e co s p aralo q u e e sne ce sariatan to laco m p re nsión le cto raco m o e lcálcu lo m e ntal.
U naactivid ad e nlaq u e se p re se ntau nasitu ación ap artird e lacu ale lalu m no d e b e analizary d e te rm ina rq u ése le p id e e ncad acaso .
U np ro b le m are p re se ntativo d e e ste cu rso .
UCACI ÓN PRI MARI 24
CONCLUSIÓN E nestetemah emo sem pez ado estudiando do sdelasteo íasm ásim po tantesso beeldesa o llo delape cepció nespacialylaevo lució ndelo sco ncepto sgeo m ético s:lateo íadePiagetyelm o delo delo snivelesdeVanH iele.Luego ,h em o svisto unadesc ipció ndelblo q uedeGeo m etíaq ue seincluyeenelcu ículo deEducació nP im aia. H emo sinto ducido lasdefinicio nesyco ncepto sbásico sso belo selem ento sgeo m ético s,lasfo m asyfiguasenelplano yelespacio ylaselacio nesq uepuedenestablece seenteellas,deteniéndo no senlo sm o vim iento sígido sdelplano ,h o m o teciasysemejanz as.H emo sestudiado las distintasfo m asdeclasificació nyep esentació n,asíco m o po siblesdificultadesq uepuedensugi duantesuap endiz aje. Po ú ltim o ,h emo sealiz ado algunaseco m endacio nesso belam eto do lo gíayfo m asdeevaluació n q uepuedenutiliz asepaalaenseñanz adelageo m etíaenP im aia. Po demo sco ncluiq ueelestudio delageo m etíape m itedesa o llaenlo salum no ssupe cepció n delespacio ,sucapacidaddevisualiz ació nyabstacció n,suh abilidadpaaelabo aco njetuasace ca delaselacio nesgeo m éticasenunafiguao entevaiasysuh abilidadpaaagum entaaltata devalidalasco njetuasq ueh ace.E sindudableq ueelaspecto fo m ativo delaenseñanz adela geo m etíaestanelevanteco m o elaspecto info m ativo yaq uelo sp o ceso sdepensam iento q ue lo salum no sdesa o llanso ntanim po tantesco m o elap endiz ajedelo sco ntenido sgeo m ético s.
29
30
TEM A RIO
BI B LIO R
BIBLIOGRAFÍA REFERIDA C A PARRÓ S,L. (2014):Competencias
clave: de la teoria a la práctica. M
inisteriodeEducaciónculturay
dep orte.Á readeeducación. CO RBERÁ N , R. M . (2014):Didáctica de la geometría: el
modelo Van Hiele. Valen cia:PublicacionsdelaU ni-
versitat devalencia. GO D IN O , J. ;RU IZ, F.(2002):Geometría y su
didáctica para maestros.Matemáticas para Maestros. Proyecto
Edumat-Maestros. A ccesibleen :h t t p ://w w w .u g r.e s /~ jg o d in o /m a n u a l/m a t e m a t ica s _m a e s t ro s .p d f Las representaciones planas de cuerpos tridimensionales en la enseñanza de la geoGU TIÉRREZ, A . (1994): metría espacial.RevistaEM A ,vol.3,3,193-220. A ccesibleen :h tt p ://w w w .u v.es/A n g el.G u tierrez/arch ivo s1 /tex to sp d f/G u t9 8a.p d f Actividades prácticas de VVA A .(2014):
matemáticas y su didáctica 1 y 2: grado maestro de primaria.M
a-
drid: EditorialCCS.
BIBLIOGRAFÍA COMENTADA Invitación A LSIN A ,C .,BU RGU ES,C.,YFO RTU N Y,J. M .(1987):
a la didáctica de la geometría. M
adrid.
Sí ntesis.
Materiales para construir la geometría.M ad rid.SínA LSIN A ,C .,BU RGU ES,C.,YFO RTU N Y,J. M .(1991): tesis. Estos dos libros son referen cia obligada paraun m aestro queim parta geom etrí a en la en señ anzaobligatoria. Presentam aterialesy actividad es.
C A STRO , E.(Ed.) (2001): Didáctica de la matemática en
la Educación Primaria. M ad rid.Síntesis.
Esunm anualquerecogetod osloscontenidosdedidácticadem atem áticasqueunm aestrodeb econocer.D ed icavarioscapí tulosalageom etrí a:elem en tosgeom étricos,form asplanasyesp aciales;transform acion es.
Didáctica de las matemáticas para Primaria.M ad rid. C H A M O RRO , M . C. (2003): Esunm anualquerecogetod osloscontenidosdedidácticadem atem áticasqueunm aestrodeb econocer. D edicavarioscap í tulosalageom etrí a.
Concepción del espacio en el niño según Piaget. BuenosA ires.Paidós. H O LLO W AY, G. E. T. (1982): Enestelibroseexponelateorí adePiag et acercadelasrelacionesespacialesyseexplicacóm olosniños van construyen do lasrelacionestopológicas, proyectivasy eu clidianas.
N O RTES,A . (1993): Matemáticas y su didáctica.M urcia.Tem a-D M . Esunm anualquerecogetod osloscontenidosdem atem áticasqueunm aestrodebeconocer.Recom en dado para recordar definicionesyrelacionesgeom étricas. Tam bién tieneuna partefinal ded icada a la didáctica.
EDUC A C IÓNPRIM A R IA
4
ZO, .; AM IT OU
L (200
eom etrí 1-79.
Didáctica de las Matemáticas
AN CL AV
ic en la es uela
e la geom etrí
. Es una guí
nes lberga
em tc a
ed icones geom etrí
plos ue f clit r n el pr es
r
ner r
iná
ic
ue los lum nos pued n d es rrolla r
es rrollen el inter s porla inv estga có
s e e per entos y explic cones se inica
s e sus om ponentes om o son,nú
ná lisis e d
os y proba bilid
e ens
rente a la es tc
es em pr na s
eros y oper co-
. e incluyen ilustr cones ejerccos
pr
. (1994 ): eom etrí en tod os losni eles y segú n el niv el»Uno. Revista de Didáctica de las Mate-
máticas
2. Ba r elona . Gr ero m onogr
la eorí
o dedic o a la enseña nza
e losniv eles e
n Hiele. Ta
resolucó n d e problem sgeom
W
?»Uno. Revista de
exico:Lm us
tco d irgido a
em tc s y e est
e tr ba o d ond e pa so a pa so a
los lum nos l esud io de la
AR
es e e
J(2015): Enseña matemáticas de forma divertida.
n es e libro proporcona un im por nte a poyo d id centí
es e una perspectv a
en propues spa r introducrla en el ula
un conocm iento básico de la s
ito o rea lid
r elona . Gr
n ese a ríulo se a na liza la enseñ nza s lásic . e h
iná
e la geom etrí . uede
plia rel epí gr e 1,en oncret
bié n h y un a rí ulo d edic o a la s represent conesgr
rcos
E B G R A F ÍA
http ://w w w .ugr.es/~ jgodino/ed um at-m aestros/ http ://w w w .p erem arques.net/ http ://w w w .astroseti.org/articu lo/4163/ http ://w w w .geu p.net http ://w w w .geo lay.com ´ http ://w w w .ugr.es/~ jgodino/ed um at-m aestros/
s en
31
EDUC A C IÓNPRIM A R IA
4
RE
EN
1.Evo lu
ció n d e la p e rce p ció n e s p a cia l e n la Ed u ca ció n P rim a ria
1.1.
2.2.
Formas geométricas en el plano D efi nicionesdelíneapoligonal,perím etro,polígonoysus elem entos. Clasificacionesdetrián gulos(seg únsuslad osyseg únsus
El desarrollo de los conceptos geométricos. Teoría de Piaget
án gulos)ycu ad riláteros(seg únelparalelism odesuslad os). D efinición de cu rva, circunferen ciaycírculo.
Piag etdistingue entre percepcióneinterpretación.Lo s niños en su desarrollo geo m étrico pasan por dos estad ios: sen sori om otor yoperacionesconcretas. Las propied ad esgeo m étricas
2.3.
Figuras geométricas en el espacio
quepri m ero perciben son lastop ológicas, lueg o lasproyecti-
D efi nicionesdesuperficiecerrad asim ple,sólido,esfera,po-
vas ypor últim o laseuclídeas.
liedrosysusclasificaciones,poliedrosreg ulares(tetraedro, octaed ro,icosaedro,cubo,dodecaed ro),prism asypirám ides
1.2.
(C+ V-A= 2), co nosycilindros(rectosyoblicu os).
El modelo de niveles de Van Hiele Co nstadecinco nivelesqueson secu en cialesynodep en den de laedad , sino de las exp erienciasgeom étricas realizadas. Si
2.4.
Relaciones geométricas
aunalum nodeunnivelleplan team osactividad espropias
Esim portan tenoqued arseen ladescripcióndelasfigurasy
deunnivelsup erior,sololograrem osunap ren dizajem em o-
sus propied ad es, tam bién hay queestab lecer relaciones entre
rístico. En Prim arianorm alm en teen contram os alum nos en el
ellasdeform aqueproporcionem osalosniñoslasexperien -
nivel 0, visualización, y en nivel 1, análisis.
ciasnecesariasparaprogresar ensudesarrollogeo m étricoy poder alcan zar el nivel 2 de Van H iele.
1.3.
El aprendizaje de geometría en la Educación Primaria
M ovim ien tosrígidosdelplan o(traslaciones,girosysim e-
Enelcu rriculoqueestablecelasen sen an zasdelaEdu ca-
del plan o.
cionPrim aria,en contram osden trodelareadeM atem aticas
H om oteciasysem ejan zas:conservan los án gulos peronolas
losconten idosorgan izad osen bloques:unodeelloscorres-
distan cias. Se ap lican en m ap as, plan os, m aq uetas, etc.
trías):co nservan losán gulosylasdistancias.D efiniciónde congruen ciadefiguras. Frisosym osaicos son recu brim ien tos
pondeaG eo m etria.Elobjetivo gen eraldelestud iodeeste bloquedeconocim ien tos esqueelalum nad o ap ren dasob re form asyestructurasgeom etricas.Lageo m etriaesdescribir, an alizar prop iedades,clasificaryrazonar,ynosolodefinir.El ap rendizajedelageom etriarequierepen saryhacer,ydeb e ofrecercontinuasoportunidad esparaclasificardeacu erdo acriterioslibrem enteelegidos,co nstruir,dibujar,m odelizar, m edir,desarrollan dolacapacidad paravisualizar relaciones geo m etricas.
2.5.
Representación geométrica Los gráficos o dibujos son probab lem en teelm ed ioderep resen tacióngeo m étricom ásexten dido.Sinem bargo ,los dibujospued en serunobstácu loen laad quisicióndeconcep tos geo m étricosen algunoscasos:rep resen tacióndeestereo tipos(com oaso ciarlasfigurasgeo m étricasadeterm inad as posiciones), dificu ltades en larepresen tación plan adefiguras tridim en sionales.
2.Ele
m e n to s ,fo rm a s yre la cio n e s g e o m é trica s e n e le n to rn o : cla s ifi ca ció n y re p re s e n ta ció n
3.Es tra
te g ia s d e in te rve n ció n e d u ca tiva
En elcu rrícu lopor elqueseestab lecenlasenseñanzasdela EducaciónPrim aria,elestudiodelageom etríaesdescribir,
Lageo m etríasurgiódelanecesidad deloshom bresderesolverproblem ascom o:realizarm ed idasdeterren os,construcciones,ornam en tación,escu lturas,etc.Lo selem en tosy form asge om étricassonm od elosque pod em osen con trar tam bién en lanaturaleza yel arte.
an alizar prop iedad es,clasificaryrazo nar,ynosolodefinir.El ap ren dizajedelageo m etríarequierepen saryhacer,ydebe ofrecercontinuasoportunidad esparaclasificardeacu erdo acriterioslibrem enteelegidos,co nstruir,dibujar,m odelizar, m edir,desarrollan dolacapacidad paravisualizarrelaciones geo m étricas.
2.1.
Elementos geométricos D efinicionesintuitivasaconceptosdelplan o(punto,recta, seg m en to,sem irrecta,án gulo)ydelesp acio(plan o,sem iplano, sem iespacio, án gulo died ro).
33
