02 TÉCNICAS DE CONTEO CÁLCULO COMBINATORIO
Prof. Robinson Arcos OBJETIVOS: •
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Presentar algunas técnicas basadas en fórmulas para determinar, sin enumeración directa, el número de colecciones o arreglos de elementos de un conjunto finito dado que satisfacen una determinada característica o condición. Hacer uso del Teclado Virtual mth y la Aplicación Principal de la calculadora ClassPad 300 PLUS para activar comandos que permiten el cálculo de variaciones, permutaciones y combinaciones de elementos de un conjunto finito dado.
INTRODUCCIÓN: Normalmente se nos presentan interrogantes que llevan implícito el problema de establecer cuántos elementos de un conjunto dado satisfacen una determinada característica. Por ejemplo: en Venezuela, las nuevas placas para la circulación de automóviles en el territorio nacional, presentan un código como el mostrado en la Figura 1 , este arreglo alfanumérico consiste en dos letras, seguidas de tres dígitos, que a su vez están seguidos de otras dos letras. Surge la siguiente interrogante: ¿cuántas placas pueden grabarse? Las técnicas de conteo nos permiten, sin enumeración directa, determinar cuántas colecciones o arreglos, con ciertas características o condiciones predeterminadas, pueden formarse con los elementos de un conjunto finito dado.
Figura 1
En este material encontrará ejemplos, problemas y ejercicios que permitirán al lector ejercitarse en el manejo de las distintas fórmulas que permiten un conteo rápido y por otro lado, algo esencial en estos problemas, el desarrollo de la habilidad para caracterizar correctamente los arreglos de elementos que se desean contar y no incurrir en el error típico de considerar como arreglos distintos, a dos que son iguales de acuerdo a la característica que satisfacen o de incluir en el conteo otros que no la satisfacen.
¿En qué consiste el conteo rápido? El producto de números enteros positivos nos provee una manera rápida e intuitiva de contar. Por ejemplo, si tenemos una cuadrícula de 15 por 7 cuadrados, digamos que contamos a lo largo de la cuadrícula 15 cuadrados y 7 cuadrados a lo ancho, el número total de cuadrados en la cuadrícula será 15 7 105 . Esto es, por cada cuadrado que seleccionemos a lo largo, encontraremos 7 distribuidos a lo ancho. En consecuencia, por los 15 cuadrados que hay a lo largo, encontraremos distribuidos 15 7 105 a lo ancho.
Figura 2
En el caso del problema de las placas de los vehículos, podemos formular una solución análoga. Supongamos que el número de letras del alfabeto que se utilizan en la codificación es 26 (sin la letra Ñ) y para la parte numérica los 10 dígitos decimales. Supongamos además que, tanto las letras como los números, pueden repetirse . Para calcular en número de placas que pueden grabarse, procedemos de la siguiente manera: En la codificación (ver Figura 1), para colocar la primera letra tenemos 26 opciones de elección (las 26 letras del alfabeto), al igual que para la segunda. Por cada letra elegida para la primera, podemos elegir 26 para la segunda, de manera que el número de maneras como se puede formar el primer grupo de dos letras es 26 26 . Por otra parte,
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para colocar el primer número de la codificación, se puede elegir uno de los 10 dígitos, por cada dígito elegido para el primero se puede elegir 10 para el segundo; por lo tanto, el número de parejas de dígitos que se pueden formar es 10 10 . Pero por cada pareja formada hasta el momento, se tienen 10 maneras de elegir el tercer número, luego, por las 10 10 parejas formadas tendremos 10 10 10 ternas que conforman la parte numérica de la placa. Finalmente, siguiendo el mismo proceso, el número de parejas que conforman el segundo grupo de parejas de letras en la codificación es también 26 26 . El conteo final del número de placas se calcula de la siguiente manera: por cada pareja elegida para el primer grupo de letras en la codificación, podemos elegir 10 10 10 ternas de números que conforman la parte numérica de la placa, luego el número de parejas y ternas totales que podemos formar para los primeros cinco elementos alfanuméricos de las placas será 26 26 10 10 10 . Pero por cada uno de los primeros cinco elementos alfanuméricos elegidos en la codificación, tenemos 26 26 parejas que podemos elegir para conformar el segundo grupo de letras, de manera que el numero total de codificaciones de los siete elementos alfanuméricos, de los que consta una placa será 26 26 10 10 10 26 26 26 2 10 3 26 2 456.976.000 , lo que nos da el total de placas que pueden grabarse bajo el supuesto de que, tanto las letras como los números, pueden repetirse en la codificación.
PRINCIPIO DE CONTEO: El método de solución del problema anterior es una aplicación de la multiplicación en problemas de conteo conocido como Principio de Conteo y que podemos enunciar de la siguiente manera:
Si un evento puede realizarse de n1 maneras diferentes, y si, continuando el procedimiento, un segundo evento puede realizarse de n2 maneras diferentes, y si, después de efectuados, un tercer evento puede realizarse de n3 maneras diferentes, y así sucesivamente hasta culminar en un m-ésimo evento que se puede realizar de nm maneras diferentes, entonces el número de maneras diferentes en que los m eventos pueden realizarse en el orden indicado es el producto n1 n2 n3 L nm . Para ilustrar nuevamente el conteo usando este principio intuitivo, supongamos que en el problema de las placas, estamos interesados en establecer el número de placas que verifican la condición de que en la codificación las letras de cada grupo de dos no deben repetirse, ni tampoco los dígitos de la parte numérica . Para realizar el cálculo procedemos de la siguiente manera: la primera letra debe colocarse de 26 maneras diferentes (supuesto el alfabeto de 26 letras), la segunda letra de 25 maneras (puesto que la letra grabada de primera no puede elegirse como segunda), para el primer dígito hay 10 maneras de ser elegido, 9 para el segundo y 8 para el tercero (los tres dígitos no deben repetirse en la codificación) y finalmente, la primera letra del segundo grupo de letras puede elegirse de 26 maneras diferentes y la segunda de 25. Por lo tanto, el número de placas que verifican la condición es: 26 25 10 9 8 26 25 304.200.000 1.
Puede usted determinar cuántas placas tienen al menos una letra o un dígito repetido .
VARIACIONES, PERMUTACIONES Y COMBINACIONES: Suponga que C a1, a 2 , a 3 ,L, an es un conjunto de n elementos (u objetos). Una colección de un número r de dichos elementos, r n , se llama variación de los n elementos tomados de r en r . Las variaciones pueden construirse con repetición o sin repetición de los elementos de C. Para fijar ideas, supongamos que C tiene tres elementos, digamos C a,b, c , entonces las variaciones de estos 3 elementos tomados de 2 en 2 (con repetición ) son: aa; ab; ac; ba; bb; bc; ca; cb; cc En este caso, por el principio de conteo, el número total de variaciones con repetición de los 3 elementos tomados de 2 en 2 es: 3 3 32 9 Si C es un conjunto de n elementos, el número de variaciones con repetición de estos n elementos tomados de r en r , viene dado por la fórmula:
n14 n4 2 n4 nr L n 4 3 r factores
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En el ejemplo precedente, observe que para el cálculo del número de placas que deben grabarse con repetición de letras y números constituye el producto de tres variaciones con repetición: 26 26 10 10 10 26 26 26 2 10 3 26 2 456.976.000 En la mayoría de los problemas de conteo interesan las variaciones sin repetición de elementos y los dos casos particulares de las mismas que son: las permutaciones y las combinaciones . Para el conjunto C a,b, c las variaciones sin repetición de los 3 elementos de C tomados de 2 en 2 son:
es:
ab; ac; ba; bc; ca; cb Por el principio de conteo, el número total de variaciones sin repetición, de los 3 elementos tomados de 2 en 2 V3,2
3 2 6
Si C es un conjunto de n elementos, el número de variaciones sin repetición de estos n elementos tomados de r en r viene dado por la fórmula: Vn,r n14 (n4 4 1) 4 (n4 2) L (n r 3 1) 4 244 4 4 4 4 r factores
En la segunda parte del problema de las placas, observe que para el cálculo del número de placas que deben grabarse sin repetición de letras y números constituye el producto de tres variaciones sin repetición: 26 25 10 9 8 26 25 304.200.000
Permutaciones y la notación factorial: Supongamos que se desea calcular el número de variaciones sin repetición de los 3 elementos de C tomados todos a la vez. Una variación sin repetición de un conjunto de n elementos tomados de n en n (todos a la vez) se llama una permutación de los n elementos del conjunto. Todas las permutaciones de los 3 elementos de C a,b, c son las siguientes:
abc; acb; bac; bca; cab; cba En este caso el número total de elementos es: P3 V3,3 3 2 1 3 ! 6 OBSERVACIÓN: El producto de los enteros consecutivos desde 1 hasta n inclusive, se emplea con frecuencia en matemática y se denota por el símbolo especial n! (que se lee “n factorial”) y se define por: n! 1 2 3
L
n
Conviene definir 0 ! 1 , además el factorial de un número entero no negativo satisface la propiedad inductiva n! n (n 1) ! . De manera que: 2 ! 2 1 2 ; 3 ! 3 2 ! 6 ; 4 ! 4 3 ! 24 ; 5 ! 1 2 3 4 5 4 ! 5 24 5 120 Con esta notación podemos concluir: El número de permutaciones de un conjunto de n elementos es Pn •
•
n! 1 2 3
L
n.
El número de variaciones de n elementos u objetos tomados de r en r viene dado por la fórmula: n (n 1) (n 2) L (n r 1) (n r ) ! n! L (n Vn,r n14 (n4 4 1) 4 (n4 2 ) r 1 ) 4 244 4 4 4 4 3 (n r ) ! (n r ) ! r factores
Combinaciones y números combinatorios binomiales: Tenga presente que en los problemas de conteo, en los que intervienen variaciones sin repetición , dos de ellas son distintas cuando difieren al menos en un elemento o de tener los mismos elementos, éstos están colocados en diferente orden . Para el conjunto C a,b, c , las variaciones sin repetición de sus 3 elementos tomados de 2 en 2 son, como vimos: ab; ac; ba; bc; ca; cb
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Observe que las dos primeras variaciones son distintas por que difieren en la segunda letra. La primera y tercera variaciones son también distintas porque, a pesar de tener las mismas letras, éstas están colocadas en diferente orden. En algunos problemas de conteo, por la naturaleza de la condición que se está imponiendo sobre los elementos que conforman las variaciones sin repetición, dos variaciones son consideradas iguales cuando poseen los mismos elementos independientemente del orden de sus elementos . En estos problemas dos variaciones son consideradas distintas cuando difieren al menos en uno de sus elementos. Tales variaciones bajo esta condición son llamadas combinaciones . Por ejemplo, al considerar las combinaciones de los 3 elementos de C a,b, c tomados de 2 en 2, los arreglos ab y ba son considerados iguales. De la misma manera son iguales ac y ca, y también los son cb y bc. De manera que el número de combinaciones de los 3 elementos tomados de 2 en 2 son: ab; ac y cb El número total de combinaciones en este caso es C 3,2 3 . Para realizar el cálculo del número de combinaciones de 3 elementos tomados de 2 en 2, tenga presente que por el principio intuitivo de conteo, V3,2 C 3,2 P2 . Observe que por cada combinación de los 3 elementos tomados de 2 en 2, hay 2 ! 2 arreglos que tienen los mismos elementos pero en orden distinto, luego el total de variaciones sin repetición de 3 elementos tomados de 2 en 2, es igual al número total de combinaciones de 3 elementos tomados de 2 en 2, multiplicado por el número de permutaciones de esos 2 elementos. De aquí se deduce que V3,2 3! C3,2 3 P2 1! 2 ! En general, el número de combinaciones de n elementos u objetos tomados de r en r , viene dado por la fórmula: Vn,r n! Cn,r Pn (n r ) ! r ! En algunos problemas, el entero positivo Cn,r es llamado número combinatorio binomial y se define por: n r
n! para enteros no negativos r y n tales que r n . (n r ) ! r !
Los números combinatorios binomiales satisfacen las siguientes propiedades: n n n n n 1 n n ; para enteros positivos r y n tales que r n . 1; 1; n 0 r n r r r 1 r •
PROBLEMAS DE CONTEO CON LA ClassPad: El Teclado Virtual Matemático mth de la ClassPad dispone de botones que activan comandos para el cálculo de variaciones sin repetición, permutaciones y combinaciones de un conjunto finito de elementos. Al activar el teclado virtual mth y tocar seguidamente el botón aparece la lista de botones de algunos comandos de cálculo. El óvalo de la Figura 3 encierra los botones que activan los comandos de cálculo combinatorio. •
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•
Permite el cálculo del factorial de un entero no negativo y en consecuencia, el cálculo de las permutaciones de un conjunto de n elementos. Permite el cálculo de las variaciones sin repetición de un conjunto de n elementos tomados de r en r . Permite el cálculo de las combinaciones de un conjunto de n elementos tomados de r en r .
Los cálculos de los problemas de conteo los realizaremos en la Aplicación Principal de la ClassPad .
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Figura 3
2.
Operación con la ClassPad. Antes de comenzar, será necesario realizar las siguientes tareas de limpieza y configuración para que, al operar su calculadora, obtenga el mismo formato de presentación de resultados y las mismas pantallas que aquí se exponen: para (1) Retire la cubierta de la calculadora, tome el lápiz táctil y colóquela sobre la mesa. Presione encenderla. en el panel de iconos para acceder directamente a la Aplicación Principal . (2) Toque (3) En la barra de menús, toque [Edit] [Borrar todo] [Acep.] para limpiar el área de trabajo. para acceder directamente al administrador de variables . Toque main dos veces. Si (4) Toque el botón hay variables asignadas, toque [Todo] [Seleccionar todo] [Edit] [Borrar] [Acep.] [Cerr.] [Cerr.] para limpiar las variables asignadas y regresar al área de trabajo de la Aplicación Principal .
(5)
En la barra de herramientas de la Aplicación Principal toque la siguiente secuencia de comandos: [Preferencias ►] [Configuración [Formato básico] . En el cuadro de diálogo realice la siguiente configuración:
]
►
(6)
En el recuadro Visualización , toque el botón presentación de números: Normal 1.
(7)
En el recuadro Ángulo, toque el botón y seleccione la unidad de representación angular: Radián. En los recuadros de verificación que corresponden al formato Avanzado , toque aquellos donde aparece la marca de verificación para desactivarlos. Al terminar su calculadora mostrará la pantalla de la Figura 4. Toque [Def.] para regresar a la ventana de la Aplicación Principal . Ahora tenemos configurada la ClassPad para resolver las siguientes situaciones problemáticas en la ventana de la Aplicación Principal .
(8)
(9)
y seleccione el modo de
Figura 4
SITUACIÓN PROBLEMÁTICA 1 : 3.
Se dispone de los colores primarios: amarillo, azul y rojo en suficiente cantidad para pintar banderas. a) ¿Cuál es el total de banderas unicolores, bicolores y tricolores de franjas horizontales que se pueden pintar de manera que en cada una no se repitan colores? b) Suponga ahora que el formato de las banderas que van a ser pintadas es de tres bandas horizontales. ¿Cuántas banderas resultarán unicolores, cuántas resultarán de dos franjas (una gruesa y la otra delgada) y cuantas resultaran con las tres franjas pintadas si se permite la repetición de los tres colores primarios?
Figura 5
Solución a la situación problemática a): Dado que hay 3 colores disponibles, es claro que se podrán pintar sólo 3 banderas unicolores. El número de banderas bicolores de franjas horizontales será el número de variaciones sin repetición de 3 colores tomados de 2 en 2, esto es V3,2 3 2 6 . El número de banderas tricolores de franjas horizontales, será el número de permutaciones de los tres colores, esto es P3 3! 3 2 1 6 . De manera que el total de banderas que se puede pintar, si repetir los colores, es: 3 V3,2 P3 3 6 6 15
5
4.
Operación con la ClassPad. El cálculo anterior en la ClassPad se realiza del siguiente modo:
(10) Oprima la tecla
para activar el teclado virtual de la ClassPad .
(11) Por defecto, la calculadora muestra el teclado matemático mth. Toque el botón para que el teclado muestre los botones de los comandos de cálculo. (12) Toque la siguiente secuencia de botones: Aparecerá en la línea de salida el número total de banderas: 3 V3,2 P3 15 Figura 6
Solución a la situación problemática b): Las banderas unicolores resultan cuando las tres bandas horizontales se pintan de un mismo color. En total se tendrán 3 banderas unicolores. Las banderas con dos franjas resultan cuando dos bandas contiguas se pintan del mismo color, quedando una bandera con dos franjas, la primera gruesa y la segunda delgada o viceversa. Para calcular el total de banderas que resultan, tengamos presente que se obtiene banderas del tipo franja gruesa-franja delgada o del tipo franja delgada-franja gruesa . El número de banderas que se obtienen de uno de los tipos es V3,2 De manera que el total de banderas que resultan con dos franjas 2 V3,2 2 3 2 12 . El total de banderas que se obtienen al pintar las tres bandas con repetición de colores, es el número de variaciones con repetición de los 3 colores tomados de 3 en 3, esto es 3 3 27 . Luego, el total de banderas con tres franjas (con y sin colores repetidos) es la diferencia de este número con los dos números anteriores, esto es, 3 3 (3 2 V3,2 ) 27 3 12 12
SITUACIÓN PROBLEMÁTICA 2 : 5.
En una reunión, se cuenta con siete personas para formar comisiones de tres personas. Se supone que en las comisiones no existe ninguna jerarquía. En estas condiciones: a) ¿Cuántas comisiones distintas se pueden formar? b) ¿A cuántas comisiones pertenecerá una al menos de las dos siguientes personas: Carlos y Maribel? c) ¿A cuántas comisiones pertenecerá una al menos de las cuatro siguientes personas: Rosa, Jesús, Carlos y Maribel?
Figura 7
Solución a la situación problemática a): Tengamos presente que dos comisiones son distintas si al menos difieren en una persona, dos comisiones con las mismas personas “son iguales”, ya que no se está considerando ningún orden en los miembros que integran una comisión. Luego, el problema consiste en contar el número de combinaciones de 7 personas tomadas de 3 en 3. Este número es: 7 6 5 C 7,3 35 3 2
6
6.
Operación con la ClassPad. El cálculo anterior en la ClassPad se realiza del siguiente modo:
(13) Toque la siguiente secuencia de botones: Aparecerá en la línea de salida el número total de comisiones: C 7,3 35 Figura 8
Solución a la situación problemática b): Para calcular el número de personas en las que interviene una al menos de las 2 personas citadas, calcularemos la diferencia entre el total de comisiones que se pueden formar (inciso a)) y el número de comisiones donde no interviene ninguna de ellas. Esto es, 5 4 3 C 7,3 C 5,3 35 35 10 25 3 2 7.
Operación con la ClassPad. El cálculo anterior en la ClassPad se realiza del siguiente modo:
(14) Toque la siguiente secuencia de botones: Aparecerá en la línea de salida el número total de comisiones donde aparece al menos una de las dos personas: C 7,3 C 5,3 25 Figura 9
Solución a la situación problemática c): Procediendo de manera análoga a la anterior, tenemos que el número de comisiones donde aparecen al menos una las cuatro personas es C 7,3 C 3,3 35 1 34 8.
9.
¿Le parece obvio este resultado?, ¿por qué?
Operación con la ClassPad. El cálculo anterior en la ClassPad se realiza del siguiente modo:
(15) Toque la siguiente secuencia de botones: Aparecerá en la línea de salida el número total de comisiones donde aparece al menos una de las cuatro personas: C7,3 C3,3 34 Figura 10
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SITUACIÓN PROBLEMÁTICA 3 (Permutaciones circulares): 10.
Alrededor de una mesa redonda se sientan 5 personas. a) ¿De cuántas maneras distintas pueden sentarse? b) Si en el grupo hay un matrimonio, ¿de cuántas maneras pueden sentarse con la condición de que los esposos se sienten juntos?
Solución a la situación problemática a): Es claro que tenemos un problema de conteo del número de permutaciones de las 5 personas que conforma el grupo. Pero al estar sentados en forma circular, resultará que por cada permutación que se realice, otras cuatro en orden distinto son iguales a ésta. Para entender esto, designemos por A, B, C, D y E las cinco personas y digamos que tenemos la permutación ABCDE Esta permutación está diagramada en la Figura 12 , donde las cinco personas se sientan siguiendo el sentido antihorario. Consideremos las siguientes 5 permutaciones: ABCDE BCDEA CDEAB DEABC EABCD
Figura 11
Figura 12
Observe que al estar sentadas las personas siguiendo una distribución circular y no haber lugares con distinciones que puedan indicar un principio y un final, cada una de estas cinco permutaciones dará lugar al diagrama de la Figura 12 , pues en las cinco permutaciones, el primer elemento es el último de la siguiente; teniéndose en consecuencia la misma permutación. Estas permutaciones son llamadas permutaciones circulares . Para este caso, el número de permutaciones circulares será: P5 5! PC 5 4! 24 5 5 En términos generales, dado que cada permutación ordinaria de n elementos da lugar a n permutaciones circulares de n elementos, el número total de permutaciones circulares de n elementos viene dado por la fórmula: Pn n ! PCn (n 1) ! n n Solución a la situación problemática b): Para dar solución al problema, consideremos el matrimonio como un solo elemento, luego el número de permutaciones circulares de 4 elementos será PC4 3 ! . Por otra parte, tengamos presente que para cada permutación circular dada, la esposa puede sentarse tanto a la derecha como a la izquierda de su esposo. De manera que tenemos una permutación ordinaria de dos elementos: P2 2 ! . En consecuencia, por el principio de conteo tendremos que el número de maneras como las personas pueden sentarse, bajo esta condición, es: PC 4 P2 3 ! 2 ! 12
11.
Suponga ahora que se sientan 8 personas y tres matrimonios en una mesa circular. ¿De cuántas maneras pueden sentarse las 14 personas, si los matrimonios deben sentarse juntos?
8
12.
Operación con la ClassPad. El cálculo del inciso b) se realiza del siguiente modo en la ClassPad :
(16) Toque la siguiente secuencia de botones: Aparecerá en la línea de salida el número total de maneras en que las personas pueden sentarse con la condición impuesta: PC 4 P2 3 ! 2 ! 12 Figura 13
PROBLEMAS Y EJERCICIOS 1: 1. Diez personas deben repartirse en tres habitaciones distintas de un hotel. a) ¿De cuantas maneras pueden hacerlo si al menos debe haber tres personas en cada habitación? b) Suponga ahora que el número de personas es ocho. ¿De cuántas maneras pueden distribuirse en las tres habitaciones si al menos debe haber dos en cada habitación? 2. En un tubo sonoro hay ocho orificios. ¿Cuántos sonidos distintos pueden producirse? 3. En una actividad hay 3 niños y 2 niñas. ¿De cuántas maneras: a) los niños y las niñas pueden sentarse en una fila? b) pueden sentarse en fila si las niñas deben estar juntas y los niños también? c) pueden sentarse en fila si sólo las niñas se sientan juntas? 4. Si no se permiten repeticiones: ¿cuántos: a) números de 3 dígitos se pueden formar con los dígitos 2, 3, 5, 6, 7 y 9? b) de éstos números son menores que 400? c) son pares? d) son impares? e) son múltiplos de 5? 5. Una delegación de 4 estudiantes de un colegio se selecciona todos los años para asistir a un evento estudiantil. ¿De cuántas maneras puede escogerse la delegación si: a) hay 12 estudiantes elegibles? b) 2 de los estudiantes elegibles no asisten al mismo tiempo? c) 2 de los estudiantes elegibles son casados y sólo asistirán si van juntos? 6. Una persona tiene 3 trajes, 5 pares de zapatos, 2 sombreros y 10 corbatas, todos combinables. ¿De cuántas formas distintas puede vestirse? 7. ¿Cuál es la mínima cantidad de colores que se necesitan para elaborar 1.700 banderas tricolores? 8. Un estudiante tiene que contestar 10 preguntas de 13 que se le formulan en un examen. ¿Cuántas maneras de escoger tiene, si: a) las dos primeras son obligatorias? b) una de las dos primeras es obligatoria?
9
c) tiene que contestar exactamente tres de las cinco primeras? d) tiene que contestar por lo menos tres de las cinco primeras? 9. ¿De cuántas maneras se puede colorear un triángulo, un cuadrado, un pentágono y un hexágono con cuatro colores de manera que: a) no haya dos figuras del mismo color? b) hayan figuras del mismo color? 10. La clave Morse consta de secuencias de puntos y rayas. Una letra es una secuencia de uno o más de estos símbolos. ¿Cuántas letras se pueden formar con secuencias de tres de estos símbolos? 11. Un número capicúa es aquel que puede leerse igual de izquierda a derecha que de derecha a izquierda. Por ejemplo: 1234321 es un número capicúa. ¿Cuántos números capicúas de cinco cifras se pueden formar? Observe que ninguno de ellos pueden empezar (terminar) en cero ya que en este caso el número no tiene cinco cifras. PARTICIONES ORDENADAS. NÚMEROS COMBINATORIOS MULTINOMIALES: Supongamos que C denota el conjunto de 15 bolas de billar (numeradas del 1 al 15). Calculemos el número de maneras como se pueden seleccionar, primero 6 bolas de C, después 3 bolas y finalmente 6. En otras palabras, queremos calcular el número de particiones ordenadas (C1, C 2 , C3 ) del conjunto de 15 bolas en células C1 con 6 bolas, C 2 con 3 bolas y C 3 con 6 bolas. Estas particiones se llaman particiones ordenadas en el sentido de que las particiones 1, 2, 3, 4, 5, 6 , 7, 8, 9 , 10, 11, 12, 13, 14, 15 y 10, 11, 12, 13, 14, 15 , 7, 8, 9 , 1, 2, 3, 4, 5, 6 son consideradas distintas y cada una produce la misma partición de C.
Figura 14
Para calcular el número de células que se pueden seleccionar con las condiciones establecidas, observe que 15 hay maneras de seleccionar las 6 primeras bolas, esto es, para obtener la primera célula C1 ; seguidamente, 6 9 quedan 9 bolas y por consiguiente hay maneras de seleccionar 3 bolas para conformar la segunda célula C 2 ; 3 6 finalmente quedan 6 bolas que conforman la célula C 3 , o de manera equivalente hay maneras de obtener la 6 15 9 6 15 ! última célula. Entonces por el principio de conteo, hay 420.420 particiones ordenadas de C 6 3 6 6! 3! 6! distribuidas en células C1 con 6 bolas, C 2 con 3 bolas y C 3 con 6 bolas.
En general si un conjunto C compuesto de n elementos y n1, n2 , L, nr son enteros positivos tales que n! n1 n2 L nr n , entonces existen particiones ordenadas diferentes de la forma n1 ! n2 ! n3 ! L nr ! (C1, C 2 ,L, Cr ) donde C1 consta de n1 elementos, C 2 consta de n2 elementos, …, Cr de nr elementos. Este número de particiones ordenadas se denota por número combinatorio multinomial.
10
n n1, n2 ,n3 , L, nr
n! n1 ! n2 ! n3 !
L
nr !
y se llama
SITUACIÓN PROBLEMÁTICA 4: 13. ¿De cuántas maneras se pueden distribuir 9 juguetes entre 4 niños si el menor recibe 3 juguetes y cada uno de los otros 2 juguetes? Solución a la situación problemática planteada: Se desea hallar el número de particiones ordenadas de los 9 juguetes en células que constan de 3, 2, 2 y 2 juguetes respectivamente. Por lo tanto, 4 9 9! hay 7.560 de tales particiones ordenadas. 3, 2, 2, 2 3 ! 2 ! 2 ! 2 !
14.
Figura 15
Operación con la ClassPad.
El cálculo del número de particiones ordenadas se realiza del siguiente modo en la ClassPad : (17) En la barra de menús, toque [Edit] [Borrar todo] [Acep.] para limpiar el área de trabajo. (18) Toque la siguiente secuencia de botones: Aparecerá en la línea de salida el número total de maneras en que pueden distribuirse los juguetes con la condición impuesta: 15 9 6 420.420 6 3 6 Otra manera de proceder es calculando el cociente: (19) Toque la siguiente secuencia de botones:
15 ! Se obtiene 6! 3! 6!
Figura 16
420.420 .
SITUACIÓN PROBLEMÁTICA 5 (Particiones no ordenadas): 15.
¿De cuántas maneras 15 personas pueden repartirse en tres equipos de fútbol de playa E1, E 2 y E 3? Solución a la situación problemática planteada:
Figura 17
En este caso debe observarse que cada partición (E1, E 2 ,E 3 ) del grupo de las 15 personas, no será distinta de las P3 3 ! 6 permutaciones de los equipos, dado que cada equipo debe tener siempre los mismos jugadores. Esto es, las particiones (E1, E2 ,E 3 ) , (E 2 , E1,E 3 ) , (E 3 , E2 , E1) , (E1,E 3 ,E 2 ) , (E 3 , E1,E 2 ) y (E 2 , E 3 , E1) son iguales, pues cada equipo E1 , E 2 y E 3 poseen los mismos jugadores. Las particiones de este tipo se llaman particiones no ordenadas . En número total de particiones no ordenadas se obtiene calculando el número total de particiones ordenadas, dividido por el número de permutaciones de las células que integran cada partición.
11
15 10 5 5 5 5 P3
15 10 5 5 5 5 3!
15 ! 1 126.126 5! 5! 5! 3!
En general si un conjunto C compuesto de n m r elementos donde m y r son enteros positivos, entonces existen particiones no ordenadas diferentes de la forma (C1, C 2 ,L, Cr ) donde C1 consta de m elementos, C 2 consta de m elementos, …, Cr de m elementos. En este caso el total de particiones no ordenadas se calcula por la fórmula n L, m m , m, 2 m,4 144 4 3 r veces n! . r ! (m! )r r ! 14 4 maneras de escoger los otros 4 miembros del primer equipo. Ahora, denotemos por B otra persona que no sea 9 integrante del mismo equipo de A; entonces hay maneras de escoger, entre los restantes, 4 personas que estén 4 en el mismo equipo de B. Las 5 personas que quedan integraran el último equipo. De manera que hay 14 9 126.126 maneras de repartir las 15 personas con la condición dada. 4 4 Otra manera de realizar el cálculo es la siguiente: denotemos por A uno de los estudiantes. Entonces hay
16.
Operación con la ClassPad.
El cálculo del número de particiones no ordenadas se realiza del siguiente modo en la ClassPad : (20) Toque la siguiente secuencia de botones:
(21) O bien, toque la secuencia de botones:
Aparecerá en ambos casos el número total de maneras en que las personas pueden repartirse con la condición impuesta: 15 ! 1 126.126 5! 5! 5! 3! El cálculo por el segundo método se realiza de la siguiente manera: (22) Toque la siguiente secuencia de botones: Se obtiene el mismo resultado.
PROBLEMAS Y EJERCICIOS 2: 12. ¿De cuántas maneras se pueden repartir 9 juguetes por igual entre 3 niños? 13. ¿De cuántas maneras pueden dividirse por igual 9 personas en tres equipos?
12
Figura 18
14. ¿De cuántas maneras se pueden dividir 10 personas en tres comisiones, una de 4 y las otras de 3? 15. Hay 12 bolas en una urna. ¿De cuántas maneras se pueden sacar 3 bolas de la urna, cuatro veces sucesivamente, todas sin sustitución? 16. ¿De cuántas maneras se pueden repartir un club de 12 miembros en tres comités de 5, 4 y 3 miembros respectivamente. 17. De cuántas maneras se pueden repartir 14 personas en 6 comités en los que dos sean de 3 miembros y los otros de 2? SITUACIÓN PROBLEMÁTICA 6:
17.
Para x, y enteros positivos: (x 1) ! a) Simplifique la expresión . (x 1) ! b) Calcule
Vx, y Py . C x y, y
c) Encuentre el conjunto solución de la ecuación V7, x
5 V7, x 1
Solución a la situación problemática a): Desarrollando el numerador de la expresión y simplificando se obtiene: (x 1)! (x 1) !
18.
(x 1) x (x 1) ! (x 1)x x 2 x (x 1)!
Operación con la ClassPad.
La simplificación de la expresión se realiza en la ClassPad del siguiente modo: (23) En la barra de menús, toque [Edit] [Borrar todo] [Acep.] para limpiar el área de trabajo. (24) Toque la siguiente secuencia de botones:
(25) Toque [Acción] [Transformación (x 1) ! Se obtiene x2 x . (x 1) !
] [simplify]
►
Figura 19
Solución a la situación problemática b): Desarrollando la expresión y simplificando se obtiene: x! y! Vx, y Py (x y) ! x ! x ! y! y! ( x y) ! C x y, y (x y) ! (x y) ! y ! ( x y y) !
13
(x ! ) 2 ( y ! ) 2 (x y) ! (x y) !
19.
Operación con la ClassPad. La simplificación de la expresión se realiza en la ClassPad del siguiente modo:
(26) Toque la siguiente secuencia de botones:
Se obtiene
Vx, y Py C x y, y
(x ! ) 2 ( y ! ) 2 . (x y) ! (x y) ! Figura 20
Solución a la situación problemática c): Desarrollando ambos miembros se obtiene: 7! 5 7! V7, x 5 V7, x 1 (7 x) ! (7 (x 1)) !
7! (7 x ) !
5 7! (8 x ) !
7! (7 x ) !
5 7! (8 x)(7 x) !
Dividiendo ambos miembros por 7 ! y de igual modo, multiplicando por (7 x) ! y simplificando, se obtiene: 1 5 (observe que (7 x)! 0 ) 1 8 x x 3 . El conjunto solución de la ecuación es: S La ecuación es equivalente a 5 8 x
20.
3
Operación con la ClassPad. La resolución de la ecuación en la ClassPad se realiza como sigue:
(27) Toque la siguiente secuencia de botones: Multiplicando ambos miembros por (8 x) ! obtenemos:
(28) Toque la siguiente secuencia de botones: Simplificando la ecuación se tiene:
(29) Toque [Acción] [Transformación Resolviendo la ecuación (para x):
] [simplify]
.
►
(30) Toque [Acción] [Ecuación / Desigualdad ►] [solve] Se obtiene el conjunto solución S 3 .
. Figura 21
PROBLEMAS Y EJERCICIOS 3: 18. Encuentre el conjunto solución de cada una de las siguientes ecuaciones: a) C x 3,2 C x 2,2
5;
b) 3 C x,3 6 Vx 1,2 4 ! (x 2) 0 ;
14
c) 3(2 Vx 1,2 7x) 7(x 2 2) 6 C x,4
SOLUCIONES A LOS PROBLEMAS Y EJERCICIOS: 1. a) 3 C10,3 C 6,2
5.400 maneras.
b) 3 C 8,2 C 6,2 3 C 8,2 C 6,3
2.940 maneras.
2. C8,0 C8,1 C8,2 C8,3 C8,4 C8,5 C8,6 C8,7 C8,8
28
256 sonidos.
3. a) P5 5 ! 120 maneras. b) 2 3 ! 2 ! 24 maneras. c) 4 3! 2! 24 maneras. 4. a) V6,3 b) c) d) e)
2 5 5 5
5 4 4 4
6 5 4 120 números.
4 2 4 1
40 números. 40 números. 80 números. 20 números.
5. a) C12,4
495 maneras.
b) C10,4 2 C10,3 c) C10,4 C10,2
450 o bien, C12,4 C10,2
450 maneras.
255 maneras.
6. 3 5 2 10 300 formas. 7. Vn,3
n (n 1) (n 2) 1.700
8. a) C11,8
n 13 . El menor número de colores es 13.
165 maneras.
b) 2 C11,9 c) C 5,3 C 8,7
110 maneras. 80 maneras.
d) C5,3 C 8,7 C5,4 C 8,6 C 5,5 C 8,5 9. a) P4
4 ! 24 maneras.
b) 4 4 10. 2 3
276 maneras.
256 maneras.
8 maneras.
11. 9 10 10 900 números. 12.
9! (3 ! ) 3
1.680 maneras.
15
13.
9! 1 280 maneras. 3 3 ! (3 ! )
14.
10 10 ! 1 2.100 o bien, 4 4 ! 3! 3! 2!
15.
12 ! (3 ! ) 4
369.600 maneras.
16.
12 ! 27.720 maneras. 5! 4! 3!
17.
14 ! 1 2 4 (3 ! ) (2 ! ) 2 ! 4 !
18. a) S
5 maneras. 2
3.153.150 maneras.
3 .
b) S
4 (una solución es rechazada).
c) S
4 (tres soluciones son rechazadas).
16
