TD de thermodynamique : machines thermiques. Mai 2009
1
Vrai-Faux de cours 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.
2
Le premier principe donne pour un cycle ∆U = 0. Le second principe donne pour un cycle r´eversible uniquement ∆S = 0 Les principes de la thermodynamique montre qu’il n’existe pas de machine monotherme cyclique. Le second principe de la thermodynamique pour les machines dithermes cycliques conduit `a QC + QTFF ≤ 0. TC Le cas d’´egalit´e dans l’expression pr´ec´edente est le cas de r´eversibilit´e. Pour un moteur le rendement est compris entre 0 et 1. Le rendement d’un moteur r´eversible est 1. Un frigo peut avoir une efficacit´e de 20. C L’efficacit´e de la pompe `a chaleur est eP = Q QF
Cycle de Clapeyron. Exercice de Cours.
Le cycle de Carnot se compose de quatre phases : Deux ´evolution isothermes r´eversibles AB et CD, au contact des sources froides `a 20˚C (T1 = 293˚K) et chaudes `a 600˚C (T2 = 873˚K). Deux ´evolutions adiabatiques r´eversible BC et DA une compression et une d´etente. On suppose aussi que le fluide est invariant (la transformation chimique n’affecte pas ces propri´et´es) et bien d´ecrit par un gaz parfait avec γ = 1,4. On prendra R =8,31S.I. 1. Repr´esenter le cycle moteur sur le diagramme de Clapeyron. 2. Calculer le rendement de ce moteur de Carnot. 3. Sachant que l’air est initialement `a la temp´erature TA = T1 , a` la pression PA = 1000hPa, et que le volume du piston est VA =1000cm3 , et que dans l’´etat C, la temp´erature est TC = T2 (pour avoir une ´evolution isotherme r´eversible) et PC =60000hPa calculer les caract´eristiques de chaque ´etat, ainsi que le travail et la chaleur lors de chaque transformation. (V´erifier la coh´erence de vos r´esultats.) 1
Ph. Ribi`ere
MPSI
2
4. Pourquoi le cycle de Carnot n’est il pas utilis´e dans les moteurs ? 5. Comment fabriquer un r´efrig´erateur de Carnot ? Dessiner son cycle sur le diagramme de Clapeyron. R´ eponse : n = 0,041mol 2. η = 0,66 3. TB = 293K, VB = 765cm3 et PB = 1,3bar (` a partir de l’´ etat C) WA→B = −QA→B = 26J VC = 50cm3 WB→C = 59,5J VD = 54,7cm3 et PD = 54,5bar (` a partir de A) WC→D = −QC→D = −864J WD→A = −59,5J Wtot = −Qtot = −838J
3
Cycle d’Otto. Exercice de cours.
Un moteur a` explosion fonctionne sur le cycle d’Otto, ou Beau de Rochas mod´elis´e ici par : – Admission d’un volume V1 du m´elange air-essence, `a P1 = P0 et T1 = 350 K. – Compression isentropique (adiabatique r´eversible) jusqu’`a l’´etat (P2 , T2 , V2 ). – Explosion (et donc compression) du m´elange qui se retrouve dans l’´etat (P20 , T20 , V20 = V2 ). – D´etente isentropique jusqu’`a l’´etat (P3 , T3 , V3 = V1 ). – Ouverture de la soupape d’´echappement, le m´elange revient a` l’´etat 1 avant d’ˆetre rejet´e dans l’atmosph`ere. Le gaz subit d’abord une d´etente isochore avant d’ˆetre relˆach´e dans l’atmosph`ere. On suppose aussi que le fluide est invariant (la transformation chimique n’affecte pas ces propri´et´es) et bien d´ecrit par un gaz parfait avec γ = 1,35. Donn´ees : V2 − V1 = 1124 cm3 α = VV21 = 9.4 masse volumique de l’essence µ = 720 kg.m−3 . pouvoir thermique de l’essence K = 48 kJ.g −1 . consommation au 100 km c = 5,9 L a` V = 120 km.h−1 (Ntours = 5600 tr/mn). 1. Tracer le cycle sur un diagramme de Clapeyron. Faire un premier bilan sur chacune des transformations. 2. ? Pourquoi parle-t-on de moteur quatre temps ? Quel est l’int´erˆet d’avoir 8 cylindres ? 3. Calculer le rendement du moteur η en fonction de T1 , T2 , T20 et T3 , puis en fonction de α et γ. 4. Montrer la puissance du moteur P s’´ecrit en fonction de c, V, K, µ, η P = 10−5 /3600.c.V.µ.K.η. 5. Calculer toutes les temp´eratures et les pressions en ´etudiant chacune des transformations. 6. Calculer le rendement du moteur, le rendement de Carnot, commenter. 7. ? Commenter le mod`ele adopt´e pour la transformation. −T3 R´ eponse : V1 = 1258cm3 3. η = 1 + TT10 −T = 1 − α1−γ = 0,54 4. P = 37kW 5. T2 = T1 αγ−1 = 2 2
767K P2 = P1 αγ = 20,6 bar P20 = 58,7 bar T3 = 977K et P3 = 2,85 bar. 6. ηC = 1− TTCF = 0,84
4
Climatiseur.
On souhaite r´ealiser la climatisation d’un local afin de maintenir sa temp´erature a` la valeur T1 =300k alors que l’ext´erieur est `a la temp´erature de T2 = 315K. On utilise pour cela une machine thermique
Ph. Ribi`ere
MPSI
3
, fonctionnant avec n mole de’un GP de capacit´e calorifique molaire a` pression constant Cpm = 30J.K −1 .mol−1 . Au cours de la transformation, le fluide re¸coit les transferts ´energ´etiques suivants : Q1 de la source froide, Q2 de la source froide et W un travail m´ecanique. 1. Pr´eciser le signe de chacun des transferts ´energ´etiques. 2. Supposons que le climatiseur fonctionne sur un cycle de Carnot. Repr´esenter le cycle de Carnot sur le diagramme de Watt P=f(V). Calculer l’efficacit´e de la climatisation. 3. Dan s la r´ealit´e, le fluide d´ecrit le cycle suivant : A `a B, compression adiabatique r´eversible de T1 a` T10 = 350K B `a C, refroidissement isobare de T10 a` T2 C `a D, d´etente adiabatique r´eversible de T2 a` T20 D `a A, ´echauffement isobare de T20 a` T1 (a) Repr´esenter le cycle de Carnot sur le diagramme de Watt P=f(V). (b) Exprimer les variations d’entropie du fluide sur chaque transformation en fonction des seules donn´ees de l’´enonc´e. En d´eduire que T20 = T1T.T0 2 1
(c) Calculer QC , QF et W (A.N. pour n=10) (d) Calculer l’efficacit´e de ce climatiseur. Commenter. R´ eponse : 2. eC = 20 3. T 0 2 = 270K et QC = nCpm (T2 − T10 ) et QF = nCpm (T1 − T20 ) e’=6< ec car non r´ eversible.
5
Turbomachine
On consid`ere un Gaz Parfait dont l’´ecoulement est en r´egime permanent qui circule dans une installation qui comporte trois enceintes. La premi`ere enceinte qui transforme le fluide de l’´etat 1 a` l’´etat 2 est un compresseur aux parois
Ph. Ribi`ere
MPSI
4
adiabatiques. La seconde enceinte qui transforme le fluide de l’´etat 2 a` l’´etat 3 est un ´echangeur o` u la temp´erature du fluide est augment´ee. La troisi`eme enceinte qui transforme le fluide de l’´etat 3 a` l’´etat 4 est une turbine adiabatique. Le travail r´ecup´er´e dans la turbine sert a` la fois `a alimenter le compresseur et faire fonctionner l’alternateur. Toutes les ´evolutions sont irr´eversibles. En outre on n´eglige toute variation d’´energie m´ecanique (ni variation de hauteur, ni variation de vitesse) de telle sorte que seule l’´energie du fluide ´evolue. cP = 1kJ.kg −1 .K −1 1 2 3 4 P(bar) 1 8,3 8 1 T(K) 293 576 1260 760 1. Par analogie avec la d´etente de Joule-Thomson, montrer que dans une enceinte quelconque, ∆h = w0 + q o` u h d´esigne l’enthalpie massique, w’ le travail massique utile dans l’enceinte et q le transfert thermique massique dans l’enceinte. 2. Calculer le travail et la chaleur sur chacune des transformations. En d´eduire le travail disponible pour l’alternateur. 3. Calculer le rendement η de l’installation 2. wu = 684.kJ.kg −1 et 3. η = 0,32
