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TD 09 corrigé - Cinématique analytique - Dérivation vectorielle

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Corrigé Exercice 1 : MANÈGE SPIN FLY. Question 1 : Réaliser des figures planes illustrant les 3 paramètres d’orientation. d’orientation. Question 2 : En déduire sous chaque figure, le vecteur rotation traduisant la figure. Avant tout calcul, TOUJOURS REALISER REALISER des figures planes définissant définissant les paramètres d’orientation.

y1

y0

z2



z1



Attention au placement des axes y et z pour que le tr ièdr e s oit dir ect.

x1





x0

z0  z1

x1  x 2

1/ 0  .z0  .z 1

Question 3 : En déduire 3/0

y2



y2

x3



y1

2 /1  . x1  .x 2

Pou r ré aliser d es figu res p lanes, tou jou rs com mencer par tracer tracer le vecteur comm un aux 2 bases, puis p lacer les autres vecteurs de f açon àob ten ir des tr ièdr es di rec ts .

y3

x2

z 2  z3

3 / 2  .z2  .z 3 Attention les figures p lanes dé fi n is s en t 1/0 , 2/1 et 3/2 et n o n p a s 0/1 , 1/2 et 2/3 .

.

3/0  3/ 2  2/1  1/0 3/0  .z2  .x1  .z 0

Question 4 : Déterminer les trajectoires

T D3/2 , T D2/1 , T D1/0 et T D3/0 . NB : Pour déterminer d éterminer une trajectoire, il faut s’intéresser à la nature du mouvement en présence… (voir présence… (voir cours sur les trajectoires).

Le mouvement de 3/2 est une



rotation d’axe (B, z 2 ) .

rotation d’axe (B, x 1 ) .

rotation d’axe (O, z 0 ) .

Par conséquent, la trajectoire T D3/2 est un arc de cercle d’axe



(B, z 2 ) , de centre B et de rayon

(B, x 1 ) , de centre H1 le projeté

(O, z 0 ) , de centre H2 le projeté

[BD].

orthogonal de D sur la droite (B, x 1 )

orthogonal de D sur la droite

et de rayon [H1D].

(O, z 0 ) et de rayon [H2D].

(voir vidéos sur site du professeur) Le mouvement de 3/0 est une combinaison de 3 rotations. Les trajectoires des points de 3 dans R0 sont quelconques dans l'espace. MPSI-PCSI

Sciences Industrielles pour l’Ingénieur

S. Génouël

17/11/2011

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Question 5 : Déterminer les vecteurs vitesses

V D3/2 , V D2/1 , V D1/0 , et V D3/0 . (Vérifier l’homogénéité des résultats ).

VD3/2

 d (c.x3 )   d x3   dO D   dBD   VD/ 2  " D  3 "  VD/2   2      c .       dt 2  dt 2  dt 2  dt  2

 d x 3     3 / 2  x3  .z3  x3  .y 3 dt  2 Donc VD3/2

 c..y 3 To uj ou rs vé rif ier qu e le r é su ltat ob ten u es t h o m o g èn e àu n e v it es s e l in é ai r e. De p lu s, la v ites se (p or té e par y 3 ) es t b i en

To uj ou rs cal cu ler les dé ri vé es des vec teu rs unitairess en d ehors de l'expression globale unitaire dem and é e, c ela é vit e d e n om br eus es err eur s. De p l u s , c es d é rivé es p eu v en t êt r e r é u tilis é es dans les questions suivantes…

VD2/1

tang ente àla tr ajecto ire (rap pel BD  c.x3 ) !

 d (b.z0  c.x3 )   dO D   dOD   VD/1  " D  2 "  VD/1  "   cte "   1   "   cte "     "   cte "   "   cte "   dt   dt 1   dt 1 1

 d z 0     "   cte "   dt 1

 d z 1     "   cte "  0  dt 1

car

z 1

fixe dans 1

 d x 3  . sin .z 2    "   cte "  3 /1  x3  "   cte "  ( .z2  . x2 )  x3  "   cte "  .s  dt 1 Donc VD2/1

VD1/0

VD1/0

 c..sin .sin .z 2

To uj ou rs vé rif ier q ue l e ré su ltat ob ten u est ho m og ène àu n e v i t es s e l i n é ai r e.

 dO D   dOD   VD/0  " D  1"  VD/0  "   cte et   cte "   0   "   cte et   cte "     "   cte et   cte " d t  dt 0  0  d (b.z0  c.x3 )  d x     "   cte et   cte "  c.  3   "   cte et   cte " dt  0  dt 0

 d x 3     "   cte et   cte "  3/0  x3  "   cte et   cte "  ( .z2  . x 1  .z 0 )  x3  "   cte et   cte "  dt 0  d x 3   .(cos .z2  sin .y 2 )  x3  "   cte et   cte "  .c .cos .y 3  . sin . sin(  ).z2    "   cte et   cte "  .( 2  dt 0 Donc VD 1/0

 c . co cos  y 3  c . si sin  cos  z2






VD3/0

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 dO D   d (b.z0  c.x3 )   d.x   dOD   VD/0  " D  3 "  VD/0   0      c.  3    dt  dt 0  dt 0  0  dt 0

 d x 3     3/0  x3  (.z2  .x1  .z0 )  x 3  .y 3  . sin .z 2  .(cos .z 2  sin .y 2 )  x 3  dt 0  d x 3      .y3  . sin .z2  . cos .y 3  . sin . sin(  ).z2  (   . cos ).y 3  ( . sin   . sin . cos ).z2 2  dt 0 VD3/0  c.(  . cos ).y3  c.(. sin   . sin . cos  ).z2 Tou jo ur s v é rif ier q ue l e

ré su ltat ob ten u est ho m og ène àu n e v i t es s e l in é ai r e. NB : On peut remarquer que VD3/0  VD3/ 2  VD2/1  VD1/0 (Propriété de composition des vecteurs vitesses que l’on démontrera dans le cours suivant)

Question 6 : Déterminer le vecteur accélération B3/0 . (Vérifier l’homogénéité du résultat ). D3/0  D/0  " D  3 "  D/0

 d  c.(  . cos ).y3  c.( . sin   . sin . cos ).z2    dV D/0        d t d t  0  0

NB : (u.v.w)'=u'.v.w+u.v'.w+u.v.w' d cos x d cos u Attention   sin x et dx dx

 u '.sin u

 d y  D3/0  c.(  . cos   .. sin ).y 3  c .(  . cos  ).  3   dt 0  d z   c.(. sin   .. cos   . sin . cos   .. cos . cos   . sin .. sin ).z2  c .(. sin   . sin . cos ).  2   dt 0 Tou jou rs calc uler les d é riv é es d es v ecteu rs un itair es en d eho rs de l'exp ress ion glo bale d em andé e, cela é vite de n om breu ses erreu rs.

 d y 3      3/0  y 3  (.z2  .x1  .z0 )  y 3  .x 3  . sin(  ).z 2  .(cos .z 2  sin .y 2 )  y 3 2  dt 0  d y 3     . x3  . cos .z2  . cos .x3  . sin . sin .z2  (   . cos ).x3  ( . cos   . sin . sin ).z 2  dt 0  d z 2     2/0  z2  (.x1  .z0 )  z2  .y 2  . sin .x1 dt  0 D3/ 0  c.(  . cos   .. sin ).y3  c.(  . cos ). (   . cos ).x3  (. cos   . sin . sin ).z2 






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Toujo urs don ner le ré sultat dans l'ord re crois sant des b ases, puis d ans l'or dre croissant des vecteurs, exemple exemple : V A2/1  ? .x1  ? .y1  ? .z1  ? .x2  ? .y2  ...

soit :

D3/0  c.( . si sin   . si sin . co cos ).. si sin .x1  c.( . si sin   . si sin . co cos )..y 2

 c. 2 . cos . si sin . si sin   . si sin   2... co cos   . si sin . co cos   2... si sin . si sin  .z 2    c.(  . cos )2 .x3  c .(  . co cos   .. si sin ).y 3 Tou jo ur s vé rif ier qu e le ré su ltat ob ten u es t h o m o g èn e àu n e a c c é lé r at i o n l i n é ai r e.

Maintenant, il faudrait projeter ce vecteur dans une base unique pour pouvoir déterminer analytiquement sa norme… Ainsi, on validerait ou non, si la limite supportable par l'homme d'une valeur de 2g est dépassée !!






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Corrigé Exercice 2 : CAMION BENNE. d’orientation. Question 1 : Réaliser une figure plane illustrant le paramètre d’orientation. Question 2 : En déduire sous la figure, le vecteur rotation. y0

y1

Pou r ré aliser d es fig ur es pl anes, tou jou rs com mencer par tracer tracer le vecteur vecteur comm un aux 2 bases, puis p lacer les autres autres vecteu rs de f açon àob ten ir des tri èdr es d irec ts .





x1

At tenti on la fig ure plan e dé fin it 1/0 et non pas 0/1 .

x0

z

1/ 0  .z0  .z 1

Question 3 : Que dire des bases 1 et 2 ? En déduire 2/1 . B1=B2 car le mouvement de 2/1 est une translation : donc

2/1  0 .

Attention R1  R2 car les origines sont distincts.


T B 2/1 , T B 1/0 et T B 2/0 .

Le mouvement de 2/1 est une translation rectiligne de direction

x 1

.

Par conséquent, la trajectoire T B 2/1 est un segment de droite porté par (B, x 1 ) . Le mouvement de 1/0 est une rotation d’axe (O, z ) . Par conséquent, la trajectoire du point T B 1/0 est un arc de cercle d’axe (O, z ) , de centre O et de rayon [OB]. Le mouvement de 2/0 est une combinaison d’une rotation d’une rotation d’axe (O, z ) et d’une translation dans le plan ( x, y ) . Les trajectoires des points de 2 dans R0 sont quelconques dans le plan ( x, y ) .






Question 5 : Déterminer les vecteurs vitesses VB2/1

V B2/1 , V B1/0 et V B2/0 .

 dO B   d .x1   d x   VB/1  " B  2 "  VB/1   1      .x1  .  1  dt   dt 1  dt  dt 1 1

Donc VB2/1

VB1/0

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 .x 1

To uj ou rs vé rif ier q ue l e ré su ltat ob ten u est ho m og ène àu n e v i t es s e l i n é ai r e. De p lu s, la v ites se (p or té e par x 1 ) es t b i en tan g en t e àla trajectoire.

 dO B   d .x1  d x   VB/0  " B  1"  VB/0  "   cte "   0   "   cte "     "   cte "  .  1   dt 0  dt 0  dt 0

 d x 1     1/ 0  x1    z1  x1  .y 1  dt 0 Donc VB1/0

To uj ou rs cal cu ler les dé ri vé es des vec teu rs unitairess en d ehors de l'expression globale unitaire dem and é e, c ela é vi te d e n om br eus es err eur s. D e p l u s , c es d é rivé es p eu v en t êt r e r é u tilis é es dans les questions suivantes…

 ..y 1

To uj ou rs vé ri fi er q u e le r é su lt at o b ten u es t h o m og ène àu ne v it es se li né air e. De pl us , la vi tes se (p or té e par y 1 ) es t b i en tan ta n g en t e àl a t r aj ec t o i r e (r ap p el OB  .x 1 ) !

 dO B   d .x1  d x   VB/0  " B  2 "  VB /0   0      .x1  .  1   dt 0  dt 0  dt 0 Donc VB2/ 0  .x1  ..y 1 Tou jo ur s v é rif ier qu e le r é su ltat ob ten u est VB2/0

h o m o g èn e àu n e v it es s e l in é ai r e. NB : On peut remarquer que VB2/0  VB2/1  V B1/0 (Propriété de composition des vecteurs vitesses que l’on démontrera dans le cours suivant)

Question 6 : Déterminer le vecteur accélération B2/0 .  dV   d (.x1  ..y1 )  d x  d y  B2/0  B/0  " B  2 "  B/0   B/0      .x1  .  1   (.  .).y 1  ..  1  dt 0  dt 0  dt 0  dt 0  Tou jou rs calc uler les d é riv é es d es v ecteur s u nitai res en deh or s d e l'exp ress ion glo bale dem and é e, cela é vite de n om breu ses erreu rs.

 d y 1     1/ 0  y1    z1  y1    x1  dt 0

B

2/0

  x1    y1  (     ) y1   2 x1

Tou jou rs d on ner le ré su ltat dan s l'or dr e








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Corrigé Exercice 3 : BRAS MANIPULATEUR. Question 1 : Proposer un paramétrage intelligent du système. Pour paramétrer les 2 rotations et la translation, on utilise 2 paramètres angulaires et 1 paramètre linéaire : Soit :

  ( x0 , x1 )  ( y0 , y 1) ,

  ( y1, y 2 )  ( z1, z2 ) et

BC

 .z 2 .

Question 2 : Réaliser des figures planes illustrant les paramètr es es d’orientation. d’orientation. y1

y0

z1

z2







x1



x0

z0  z1

y2 y1

x1  x 2

1/ 0  .z0  .z 1

2 /1  . x1  .x 2


T C 3/2 , T C 2/1 et T C 1/0 .

Le mouvement de 3/2 est une translation rectiligne de direction

z 2

.

Par conséquent, la trajectoire T C 3/2 est un segment de droite porté par (C, z 2 ) . Le mouvement de 2/1 est une rotation d'axe (B, x 1 ) . Par conséquent, la trajectoire T C 2/1 est un arc de cercle d'axe (B, x 1 ) , de centre B et de rayon BC  . Le mouvement de 1/0 est une rotation d'axe ( A, z 0 ) . Par conséquent, la trajectoire T C 1/0 est un arc de cercle d'axe ( A, z 0 ) , de centre H le projeté orthogonal de C sur ( A, z 0 ) et de rayon HC  .

Question 4 : Déterminer les vecteurs vitesses  dO C 

V C 3/2 , V C 2/1 , V C 1/0 et V C 3/0 .

 dBC 

d z 

d z 






VC1/0

VC 1/0

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 dO C   d AC   VC /0  " C  1"  VC /0  "   cte et   cte "   0   "   cte et   cte "     "   cte et   cte "  dt 0  dt 0 Tou jo ur s cal cu ler les dé ri vé es des vec teu rs u ni tair es  d (a.y1  .z2 )   en deho rs d e l'expr essi on glo bale dem andé e,   "   cte et   cte " dt  0 cela é vite d e no m breu ses erreu rs.

 d y 1  De p lu s , c es d é r iv é es    1/ 0  y1  "   cte et   cte "    z1  y1  "   cte et   cte "    x1 p eu v en t êtr e r é u t il is é es d an s  dt 0 les questi ons ons suivantes…  d z 2     2/0  z2  "   cte et   cte "  (.x1  .z0 )  z2  "   cte et   cte "  . sin .x1  dt 0 Donc VC 1/0

 a..x1  .. sin .x1

Donc VC 1/0

 (. sin   a)..x 1

To uj o ur s v é ri fi er q u e le r é su lt at o bt en u e st ho m o g ène àun e vi tes s e li né air e. De pl us , la vi tes se (p or té e par x 1 ) es t b i en tan g en t e àl a

trajectoire (rappel AB  a. y 1 ) !

VC3/0

 dO C   d (a.y1  .z2 )   d y1   d z2   d AC   VC /0  " C  3 "  VC /0   0          a . . z .        2 dt  dt 0  dt 0  0  dt 0  dt 0

 d y 1     1/ 0  y1    z1  y1    x1  dt 0  d z 2     2/0  z2  (.x1  .z0 )  z2  .y 2  . sin .x1  . sin .x1  .y 2  dt 0 VC 3/0

 a..x1  .z2  .(. sin .x1  .y2 )

VC 3/0

 (. sin   a)..x1  ..y2  .z2

Tou jo ur s v é rif ier qu e le r é su ltat ob ten u est h o m o g èn e àu n e v it es s e l in é ai r e.

NB : On peut remarquer que VC3/0  VC3/2  VC2/1  VC1/0 (Propriété de composition des vecteurs vitesses que l’on démontrera dans le cours suivant)

Question 5 : Déterminer le vecteur accélération C 3/0

.

 dV   d ((. sin   a)..x1  ..y2  .z2 )  C3/0  C /0  " C  3 "  C /0   C /0     dt    dt 

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